流体力学30講 (物理学30講シリーズ)

物理学30講シリーズ２ 戸田盛和 著

流体力学30講

朝倉書店

は

し

が

き

物 理 学 の諸 分 野 は そ れ ぞ れ 固 有 の お も しろ さ を も っ てい るが,流 体 力 学 に は ア ル キ メ デ ス の浮 力 や ボ ー ル の カ ー ブ な ど数 多 くの親 しみ や す い 話 題 が あ る と同 時 に数 理 的 な魅 力 もあ り,ま たい くつ か の有 名 なパ ラ ドッ クス も含 まれ て い る. 理 科 的 な事 柄 を 学 び 始 め た子 供 の ころ,だ れ で も教 わ る のが て こ の釣 り合 い と 水 中 で は た ら く浮 力 の話 で あ り,こ れ らの ２つ は と も に アル キ メデ ス に よ って発 見 され た と伝 え られ てい る.そ し て 前者 は 力 学 の,後 者 は 流 体 力 学 の始 ま りで あ った. ニ ュ ー トンが 書 い た 力 学 の本 『プ リンキ ピ ア』 の 後 半 で は流 体 の 平 衡 や 流 体 中 の物 体 の運 動 が い ろい ろ扱 わ れ てい る.し か し一 般 的 な流 体 力 学 の 基 礎 はオイラ ーよっ て樹 て られ,ラ

グ ラ ンジ ュ な ど に よ って 展 開 され た.

こ こで 「完 全 流 体 」 とい う理 想 化 され た もの が 登 場 す る.も と も と流 体 は 流 れ る性 質 を もつ 物 体 で あ る気 体 と液 体 の総 称 で あ り,気 体 も液 体 も莫 大 な 数 の分 子 の集 ま りで あ る.分 子 の集 ま りとみ れ ば流 体 は多 体 系 の力 学 とし て扱 わ な け れ ば な らない が,力 学 で は 一 般 に ３個 以 上 の質 点 の 力 学 は解 くこ とが で きな い.こ の 方 向 で流 体 を 扱 うの は確 率 の概 念 を 用 い る分 子 運 動 論 や統 計 力学 で あ る.こ れ に 対 し て流 体 の分 子 的 な 構 造 は 無 視 し て連 続 体 と して扱 うの が流 体 力 学 の立 場 で あ る.い わ ば 力 学 の ３体 問題 以 上 の 困 難 を 回避 す る た め に連 続 体 とい う もの を 考 え るの で あ る.さ らに ね ば っこさ,す

な わ ち 粘 性 を無 視 した 連 続 体 と して理 想 化 さ

れ た の が完 全 流 体 で あ る. この 連 続 体 の 各微 小 部 分 の運 動 は ニ ュートン 力 学 の運 動 法 則 に 従 う と して つ く られ た 流 体 力 学 の基 礎 方程 式 が オ イ ラー の運 動 方 程 式 で あ って,完 全 流 体 は この 方 程 式 とい わ ゆ る状態 方程 式 とに よ って 定義 され た も の とい うこ と もで き る.も し も流 体 を構 成 す る分 子 が コマ の よ うな 回転 を もち,し た が って ジ ャ イ ロコ ンパ ス の よ うに軸 の方 向 を一 定 に保 と う とす る性 質 を もつ とす れ ば,流 体 は も っ と複

雑 な 運 動 方 程 式 で 記 述 す る こ とに な るで あ ろ う.完 全 流 体 で は この よ うに複 雑 な 性 質 は 考 え な い.完 全 流 体 は い わ ば も っ と もす な おな 性 質 を もつ もので あ り,い くらか 実 在 の物 質 を離 れ た 仮 想 的 な 実 体 で あ る と も い え るで あ ろ う.し た が っ て 完 全 流 体 の運 動 方 程 式 の解 が 現 実 の 流 体 が示 す 現 象 と一 致 し な い こ と もい ろい ろ あ り うるわ け で あ る.完 全 流 体 内 を 一 様 な 速 さで 動 く球 は 流 体 か ら力 を 受 け な い こ とに な るが,こ れ は 実 際 の 経 験 と一 致 しな い と思 わ れ,ダラン

ベ ール の パ ラ ド

ッ クス と呼 ば れ てい る.完 全 流 体 は そ の ほ か に もい くつ か の 有 名 な パ ラ ド ックス を もっ て い る. 力 学 の 多体 問 題 を 回 避 した代 償 とい うわ け では な い が,流 体 力 学 の運 動 方 程 式 は 非 線 形 方 程 式 で あ る とい う点 で 本 質 的 な むず か し さを も って い る.粘 性 を取 り 入 れ た 流 体 力 学 の基 礎 方 程 式 は ナ ビエース トー クス の方 程 式 と呼 ばれ る が,こ

れ

が 厳 密 に 解 け る のは ご く限 られ た 流 れ の場 合 だ け で あ る. 本 書 で は 完 全 流 体 の,し か も縮 まな い 流体 の運 動 を主 に扱 うこ とに した が,終 わ りの 数講 は 粘 性 流 体 と これに 関 係 す る境界 層 に つ い て の 記 述に 当 て る こ とが で きた.高 速 流 体 の問 題 や 最 近 と くに 著 しい流 れ の 可視 化,あ

るい は コ ン ピュータ

に よる シ ミュ レーション な ど の分 野 は とて も盛 り切 れ な い の で 割 愛 せ ざ るを え な か った.そ

の反 面,他 書 にな い テ ーマ,著 者 が と くに 興 味 を も った テ ーマ を 含 ま

せ る こ とが で きた.こ れ が読 者 の流 体 力 学 に 対 す る興 味 を 新 たに す る こ とに な れ ば これ に 過 ぎた 喜 び は な い. 本 書 の 出版 に際 してい ろい ろ お 世 話 に な った 朝 倉 書 店 の 方 々に 厚 くお 礼 を 申 し 上 げ た い. 1994年 ７月 著

者

目

次

第

１講  静 止 流 体 の 圧 力 と 浮 力  Tea

第 ２講 

Time:永

１

久 機 関 の夢  ５

面 積 分 と体 積 積 分  Tea

７

Time: grad, div, rot 

10

第 ３講  連 続 の 方 程 式  Tea 第 ４講 

５講 

Time:風

16

に飛 び立 つ カモ メ  19

ベ ル ヌ ー イ の 定 理  Tea

第

12 ウス の定 理  15

完 全 流 体 の 運 動 方 程 式  Tea

第

Time:ガ

Time:ベ

23

ル ヌー イ の定 理 の応 用  26

６講  流 れ と 変 形  Tea

第 ７講 

28

Time:ずりと

回 転  33

渦 な し の 流 れ  Tea

Time:速

35 度ポテン シ ャル  41 汎

関数 的

微分  41 第 ８講  縮 ま な い 流 体 の 渦 な し の 流 れ  Tea

Time:湧

き出 し と吸 い 込 み  48

第 ９講  任 意 の 運 動 を す る 球 に は た ら く力  Tea 第10講 

球

形 Tea

Time:物

49

体 に は た ら く流 れ の 力  54

渦  Time:球

42

56 と円 柱 の まわ りの 流 れ  59

第11講 

自 転 す る 球 形 渦  Tea

第12講 

第14講 マグナス

Time:噴

Time:複

Time:２

Time:低

水 に 浮 くピ ンポン 玉  91 93 素 数  96 99

本 の渦糸  104 105

気 圧 の 動 き  109

渦列 

110

Tea Time:公 渦

定 Tea

第20講 

88

渦糸 の い ろ い ろ の 運 動  Tea

第19講 

れ の関 数  86

２次 元 の 渦糸 系  Tea

第18講 

Time:流

77

等 角 写 像  Tea

第17講 

渦 に 呑 まれ て  75

効 果 

Tea

第16講 

Time:大

68

縮 ま な い 流 体 の ２ 次 元 の 流 れ  Tea

第15講 

の球 形 渦 の エ ネ ル ギ ー  65

回 転 運 動 と 渦糸  Tea

第13講 

Time:ヒックス

61

式〓 

114

理  Time:エオルス

115 音  120

ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式  Tea

Time:ラグランジュ 

125

121

第21講 ト

ロ コイド 波  Tea

第22講 

Time:波

第23講 

群

第24講 ２

140 の エ ネ ル ギ ー  145

Time:船

Time:線

第27講 ポアズイユ Tea

Time:粘

Time:人

Time:ア

181

の 流 れ ・自動 車 の 流 れ  188

球 の ま わ りのずり の 流 れ  Tea

173

イ ノル ズ と乱 流  178

ス トー ク ス の 抵 抗  Tea

166

性 率 の温 度 変 化  172

の 流 れ  Time:レ

158

形 の 波 と非 線 形 の 波  165

粘 性 流 体 の 運 動 方 程 式  Tea

147

の抵 抗  156

大 き な 振 幅 の 浅 水 波  Tea

第29講 

度  Time:波

133

波  138

次 元 の 水 面 波  Tea

第28講 

Time:津

速 Tea

第26講 

の 研 究  131

渦 な し の 水 面 波  Tea

第25講 

127

190

インシュ タイン とボ ー アの 初 期 の 論文  194

第30講 

境

界 Tea

索

引 

層  Time:流

197 線 形  201

203

第 １講

静止流体 の圧 力 と浮力

―テーマ ◆ 流 体の重 さに よる圧力 ◆ 流 体中の物 体にはた ら く浮力 ◆TeaTime:永

久機関の夢

流

体

気 体 や液 体 は カ を 加 え る と 自由 に流 れ る ので 総 括 して 流体 と呼 ばれ る.流 体 は 非 常 に 多 くの分 子 か ら成 るが,多 数 の 分 子 のそ れ ぞ れ の運 動 を力 学 的 に扱 うこ と は不 可 能 で あ る.し か し分子 的 な構 造 を考 えず に流 体 を連 続 的 に広 が った 物 体 と して扱 う こ とは で き る.こ の よ うに マ ク ロ的(巨 視 的)な 立 場 で 流 体 を 力 学 的 に 扱 うのが 流体 力 学 で あ る.流 体 力 学 に お い ては 流 体 のお か れ て い る条 件 に 従 って 流 体 の性 質 を直 観 的 に仮 定 す る.た と えば ふ つ うの流 体 力 学 で は 電 磁 場 は な い も の と し,ま た流 体 の分 子 は コ マや 磁 気 的 な ス ピ ンの よ うな 独 自の 角 運 動量 を もた な い とす る.電 磁 場 の 力 を受 け る流 体 の力 学 は 電 磁 流 体 力 学 で あ るが,い れ を除 外 す る.ま た外 部 か ら加 熱 され た り冷却 され た りす る場 合,あ ど う しの摩 擦(内 部 摩 擦,粘 性)に

まは こ

るい は流 体

よ って 熱 が発 生 す る こ とを 考 慮 す れ ば温 度 差

や 熱 エ ネル ギ ー の流 れ も考 えな け れ ば な らな い が,こ れ ら の こ と も しば ら く考 え な い こ とにす る.さ らに空 気 が 酸 素 と窒 素 の混 合 物 で あ る よ うに,流 体 は一 般 に 組 成 を もつ が,こ

こで は流 体 の組 成 は ど こで も同 じで,そ の 性 質 は ど こで も同 じ

で あ る と して お こ う. 静 止 流 体 流 体 を一 定 の条 件 の も とに 放 置 す れ ば,流 体 は や が て 静 止 した 状態 に な る.静 止 流 体 は 次 の よ うな 性質 を もつ. 【静 止 流 体 内 の圧 力 】 静 止 流 体 の 内 部 に 小 さな面 を考 え る と,そ の両 側 の 流 体 は 面 に 垂 直 で,こ の面 の面 積 に比 例 す る力 を 及 ぼ し合 っ て い る.ま た 流体 を 入 れ た 容 器 の壁 に小 さな面 積 を考 え る と,静 止 流体 は この面 に垂 直 で,そ

の面 積 に 比

例 す る 力 を及 ぼ して い る.こ の よ うな力 の単 位 面 積 当 りの値 を 静 止 流 体 の圧 力 と い い,水 の場 合 は 静 水 圧 とい う.静 止 流 体 の １点 に お け る圧 力 は どの よ うな 傾 き を もつ 面 に 対 して も同 じで あ る.言 い 換 え れ ば 圧 力 は 向 きに よ らな い(等 方 的 で あ る).圧 力 と い う言 葉 を 使 え ば,静

止状 態 に お い て ど こで も等 方 的 な圧 力 を も

つ 連 続 体 が 流 体 で あ る とい うのが,静

止流 体 に対

す る流 体 の 定義 で あ る. 静 止 流 体 の圧 力 に よ る力 が任 意 の 面 に 対 して 垂 直 で あ る こ とを 容 認 すれ ば,圧 力 が 等 方 的 で あ る とい うこ とは 次 の よ うに証 明す る こ とが で き る. 図 １の よ うな ４面 体 を考 え,xy軸,yz軸,zx軸 を含 む面 と これ らを切 る斜 め の面 をそ れ ぞ れSz,Sx 図 １

な 面Szと が なす 角(面 細 長 い面ABCDのSzへ

,Syお よびＳ とす る.ま

た斜 面Ｓ とｚ 軸 に垂 直

Ｓの垂 線 とｚ軸 とが なす 角 に 等 しい)を の射 影 をABCDと

γとす る.Ｓ 上 の

する と (１)

が成 り立 つ.面

ＳをBC,ADに

平 行 な 多 数 の細 長 い面 に切 っ て考 えれ ば,同

等な

こ とが い え る ので,そ れ ら の面 積 を 加 え合 わ せ れ ば 結 局 (２) が 成 り立 つ.た だ し面 Ｓお よびSzの 面 積 を 単 にS,Szと 面 Ｓ に はた ら く圧 力 をｐ とす れ ば,そ

書 い た.

のた め に Ｓ に加 わ るカ はf=psで

また面Szに は た ら く圧 力 をpzと す れ ば,そ

あ る.

の た め にSzに 加 わ る力 はfz=pzsz

で あ る.ま た角 γは面Ｓ(の 垂 線)とｚ る力 のｚ 成 分 はfcosγ

軸 とが な す 角 で もあ る か ら,面Ｓ

に加 わ

で あ る.圧 力 の ほ か に 力 が は た らか な け れ ば,こ の４ 面

体 が 静 止 して い るた め に は面Ｓ に 加 わ る 力 のｚ 成 分fcosγ

と面Szに 加 わ る 力

fzと は 釣 り合 わ なけ れ ば な らな い.し た が って (３) あ る いは (４) で あ り,(２)と(４)と px ,面Syに

か らpz=pを

得 る.同 様 に し て 面Sxに

は た ら く圧 力

は た ら く圧 力pyは す べ て 斜 面Ｓ に は た ら く圧 力ｐ に 等 しい こ とに な

るか ら (５) す な わ ち４ 面 体 の 各面 に は た ら く圧 力 はす べ て等 し く,圧 力 は方 向 に よ らな い. 流 体 に 重 力 が は た らい て い る と きに も こ の こ とは 成 り立 つ.こ れ を示 す た め, ｚ軸 の下 方 に 向け て重 力 が は た ら く と し よ う.簡 単 の た め４ 面 体 の直 交 す る稜 の 長 さ をlと す れ ば４ 面 体 の体 積 はl3/6で あ り,面Sx,Sy,Szは る.圧 力 は 深 さに よ って 異 な るか ら,面Szお

す べ てl2/2で あ

よびＳ に は た ら く圧 力 の 平均 値 を

そ れ ぞ れpz,ｐ と し,重 力 加 速 度 をｇ,流 体 の 密 度 を ρとす れ ばｚ 方 向 の 力 の 釣 り合 いの 式 は (６) とな り,こ れ をSz=Scosγ=l2/2で

われ ば (７)

を得 る.こ こで４ 面 体 の大 き さｌ を 無 限 に 小 さ くす れ ば 平均 値pz,ｐ は そ れ ぞ れ そ の点 の圧 力pz,ｐ とな り,pz=pを

得 る.短

くい え ば 圧 力 に よる 力 はl2に 比例 し

重 力 に よる力 はl3に 比 例 す るの で,４ 面 体 の大 き さ を十 分 小 さ くす れ ば重 力 の 影 響 は 無 視 で きる と い うこ とで あ る. 【パ ス カル の 原 理】 流 体 を 閉 じた 容 器 に 入 れ,そ の一 部 に圧 力 を加 えれ ば,流 体 の どの 部 分 も同 じだ け 圧 力 が増 加 す る.こ

れ を パ ス カル(Pascal)の

原理 とい

う.こ の 原 理 は 重 力 の た め に深 い と こ ろで 圧 力 が大 き い と こ ろ の密 度 が 変 化す る

よ うな場 合 には 必 ず し も成 り立 た な い が,重 力 な ど の 力 が は た らか な い場 合 に は密 度 が 圧 力 に よ って 変 化 す る と きに も成立 す る.こ の原 理 を 証 明す る に は,も

し

も圧 力 が一 様 に変 化 しなけ れ ば 流 体 の 釣 り合 い が破 れ る こと に注 意 す れ ば よい. 【流 体 の重 さに よる圧 力】 重 力 を 受 け て い る流 体 の 圧 力 は下 方 へ い くほ ど大 き くな る.静 止 流 体 の鉛 直 な 柱 の釣 り合 いか らわ か る よ うに,深

さ ｈの と こ ろ の圧

力ｐ と高 さ ０の と こ ろ の圧 力p0の 差 は 水 平 な 単 位 面 積 の底 面 を 有 し,高 さがｈ の流 体 の柱 の 重 さに 等 しい 図 ２

(図 ２).も し も密 度 ρが 一 定 な らば

(８)

が 成 り立 っ.も

し も密 度 ρや 重 力 加 速 度ｇ が 高 さｚ に よ って 変 わ る と きは (９)

で あ る. 【自 由表 面】 重 力 を 受 け て い る液 体 の 大 きな表 面 は 水平 に な り,自 由 表面 と呼 ば れ る.液 体 の小 さ な粒 が 球 形 に な る こ とか らもわ か る よ うに,液 体 の表 面 に は 表 面 積 を 小 さ く し よ うとす る 力 が は た らい て い る.こ れ を 表 面 張 力 と い う.自 由 表面 が水 平 に な る と い うの は表 面 張 力 の はた ら きを 無 視 で き る よ うな大 き な表 面 につ い て の こ とで あ る. 浮

力

流 体 中 に 入 れ た 物 体 に は 浮 力 が は た ら く.こ の浮 力 の大 き さ は物 体 が 排 除 した 流 体(自 由表 面 よ り下 の部 分 に あ る物 体 と同 じ体 積 の 流体)の れ を アル キ メデ ス(Archimedes)の

重 さに 等 しい.こ

原 理 とい う.

【証 明 】 物 体 に はた ら く浮 力 は そ の物 体 の表 面 に は た ら く流 体 の 圧 力 のた め の 力 の合 力 で あ る.し た が っ て こ の浮 力 は 物 体 を 同 じ形 の流 体 で 置 き 換 え て も変 わ

ら な いが,こ

の流 体 部 分 に は た ら く浮 力 は そ の流 体 の 重 さに 等 し く釣 り合 って い

るは ず で あ る.し た が って物 体 に は た ら く浮 力 は物 体 と同 じ形 の流 体 部 分 の 重 さ に 等 しい.

TeaTime

永久機 関の夢 代 償 な しに仕 事 を して くれ る機 械,エ

ネル ギ ーを無 か らつ く り出 して くれ る機

械 を 永 久 機 関 とい う.エ ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則 か らい って こ の よ うな 機 械 をつ くる こ とは で きな い が,永 久 機 関 をつ くる とい うこ とは昔 の多 くの人 の夢 で あ った. ボ イル や ヨハ ン ・ベ ル ヌー イ な どと い う当時 一 流 の科 学 者 や 数 学 者 も永 久 機 関 を くふ うして い る.永 久 機 関 の発 明に 心 を うば わ れ て家 業 を つ ぶ した りす る人 が 絶 えな い の で永 久機 関 の特 許 申請 を門 前 払 い に した 役所 もあ る。 永 久機 関 に は い ろ い ろ の種 類 が あ るが,水

中 で はた ら く浮 力 を利 用 した も の も

多 い.そ の も っ と も簡 単 な もの は水 平 な軸 の まわ りに 回転 で き る 円柱 の,た と え ば 右 半分 だ け が 水 中 に あ る よ うな装 置 で あ る(図

３).右 半 分 に は た ら く浮 力 の

た め に 円柱 は 左 まわ りに 回転 す る と い うので あ る.こ れ は 回 転軸 に 対す るモ ー メ ン トを考 えれ ば 不 可 能 で あ る こ とが わ か る.

図 ３

図 ４

もっ と複 雑 な のは 上 と下 に あ る車 に か け た ベ ル トに空 気 の 入 った シ リン ダ ーを た くさん つ け,シ

リン ダ ー のふ た の ゴ ムに は お も りをつ け た装 置 で あ る(図 ４).

図 で は 右側 の お も りが ゴ ムを ひ っぱ る の で空 気 が広 が って浮 力 が増 す .逆 に左 側 で はお も りが ゴ ム を押 してへ こます ので 空 気 が 押 し縮 め られ て浮 力 が減 る の で, ベ ル トは 左 まわ りに 回 る とい うので あ る.こ れ が 回 り続 け る こ とは 不 可 能 で あ る こ とを 証 明 す る のは なか なか む ず か しい.読 者 は 時 間 が あ り余 った な ら この 証 明 を 試 み て ほ し い.

第２ 講

面積分と体積積分

―テーマ ◆ ア ル キ メデ ス の 原 理 の 一 般 化 ◆ ガ ウス の定 理 ◆TeaTime:grad,div,rot

ア ルキ メデ スの 原 理

前 講 で 述 べ た ア ル キ メ デ ス の 原 理 で は,浮

力 が 流 体 中 に 入れ た物 体 の 表 面 に は

た ら く圧 力 に よ る もの で あ り,浮 力 の 大 き さは物 体 が 排 除 した 部 分 と同 じ体 積 の 流 体 の 重 さに 等 しい こ とを 述 べた.こ

の こ とは 圧 力 に よ る力 の 鉛 直 成 分 を 物 体 表

面 で積 分 した もの が 物 体 の 体 積 に 比 例 す る こ とを 示 し て い る.ま ず この こ とを前 講 よ りも少 し.一般化 して 調 べ る こ とに し よ う. 物 体 が 流 体 の 中 に 入 って い て,流 体 の 密 度 は 深 さに よっ て異 な る とす る.鉛 直 上 方 にｚ 軸 を と り,流 体 の 密 度 を ρ(z)と し よ う.圧 力p(z)の

変化は (１)

で与 え られ る.物 体 の表 面 と一 致 す る閉 曲面 を Ｓ と し,そ

図 ５

の 微 小 部 分 をdS,そ

の外 向 き の 法線 が ｚ軸 と なす 角 をｒ とす る と,こ の部 分 に はた ら く圧 力 の た め の

力 のｚ 成 分 は(図

５参 照) (２)

で あ り,浮

力 Ｆ は これ を 全 表 面 で 積 分 し た も の,す

なわち (３)

で 与 え ら れ る. 図 ５ の よ うに 物 体 を 貫 く細 い 柱 を 考 え て,下 し,こ

の 表 面 をdS1,上

の 表 面 をdS2と

れ ら の 面 の 法 線 がｚ 軸 と な す 角 を そ れ ぞ れ γ1,γ2とす る と (４)

が 成 り立 つ.下

と 上 の 面 の 高 さ をz1,z2と

す る と,圧

力 の差 は

(５)で あ り,浮 力 に 対 す る柱 の部 分 の寄 与 は

(６) と な る.物 体 全 体 を 図 ６の よ うに 細 い 柱 に分 け て 考 え れ ば,浮 力 は (７)

図 ６ で 与 え られ る．dS0は

水 平 な 断 面 な の でdxdyと

書 く と,(５)を(７)に

代 入 して (8)

を 得 る.こ

こ で 右 辺 は 物 体 と 同 体 積 の 流 体 の 重 さ で あ り,こ

れ を Ｗ とす れ ば (９)

と な る.こ

れ が ア ル キ メ デ ス の 原 理 で あ る.

さ て(３)と(８)を

比 べ(１)を

用い ると (10)

を 得 る.こ 辺)に

れ は 初 め に 述 べ た よ うに 表 面 に つ い て の 積 分(左

辺)を

体 積 積 分(右

直 す 式 で あ る.

(10)は

一 般 化 さ れ る.い

まｘ,ｙ,ｚ の 任 意 の 関 数 をp(x,y,z)と

す る.(４)を

用いて

(11) した が っ て (12) が 成 り立 つ.

ガ ウ スの 定 理

(12)に

お い てｚ 軸 の 代 わ りにｘ 軸 を と り,p(x,y,z)の

代 わ りに 任 意 関 数P=

P(x,y,z )を 考 え れ ば

(13)

が 得 られ る.た

だ し こ こ で 図 ７ の よ うに Ｓ は 閉 曲

面 で あ り,こ れ が 囲 む 体 積 がＶ は 面dSの

た,α

外 向 き の 法 線 がｘ 軸 の 正 の 向 き と な す

角 で あ る.同 z)を

で あ る.ま

様 に 任 意 の 関 数Q(x,y,z),R(x,y,

と り,dSの

法 線 がｙ,ｚ 軸 と なす 角 を そ れ ぞ

れ β,γとす れ ば 図 ７

(14)

が成 り立 つ.そ

こで これ らを 加 えれ ば

(1 5)

を 得 る． さ ら に Ｐ,Ｑ,Ｒ を １つ の べ ク トルν のｘ,ｙ,ｚ 成 分 と し よ う.す

なわち (16)

と す る.dSの

法 線 の 向 き と 一 致 す る 単 位 ベ ク トル(法

線 ベ ク ト ル)をn=(nx,ny

,nz,)と す れ ば (17) な の でν とｎ と の ス カ ラ ー 積 を 用 い て (18) と 書 け る.ま

た

(19)

と 書 き,こ

れ をν の発散(ダ

イバージェンス)と

を ベ ク トル と み な し て ナ ブ ラ と呼 び,divν

と 書 く こ と も あ る.(16),(18),(19)を

い う.▽=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)

を ス カラ ー積 の形 で

用 い て(15)は

(20)

と 書 か れ る.こ

れ を ガ ウ ス(Gauss)の

定 理 と い う.(12),(13),(15)な

どもガ

ウ ス の 定 理 を 表 し て い る.

TeaTime

grad,div,rot gradは

勾 配(グ

ラ デ ィ エ ン ト),divは

発 散(ダ

イ バ ー ジ ェ ン ス),rotは

回転

(ロ ー テ ー シ ョ ン)と

い う(rotは

ス カ ラ ー 場 φ(x,y,z)に

で あ る.gradは▽(ナ

ベ ク トル 場v=(u,v,w)に

後 出(第

対 し てgradφ

ブ ラ と 読 む)と

６講)).

は ベ ク トル 場

も書 き

対 し てdivvは

スカラー

こ れ は▽ とｖ の ス カ ラ ー 積 の 形 で

と も 書 け る. rotvは

ベ ク トル 場

で あ り,こ れ は▽ とvの

と も書 け る.こ

ベ ク トル 積 で もあ り,行

列式の形で

こ でｉ,ｊ,ｋはｘ,ｙ,ｚ 方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る.

第３ 講

連続 の方程 式

―テ ー マ ◆ 連 続 の方 程 式 ◆ 発 散,div(ダ ◆TeaTime:ガ

イ バ ー ジ ェ ンス) ウス の 定 理

連 続 の 方 程 式

流 体 の 一 部 に 流 体 が 集 ま る 流 れ が あ れ ば,そ に 密 度 を ρ,流 速 をu=(u,v,w)と

(１) が 成 り立 つ.こ

こ の 流 体 の 密 度 が 増 加 す る.一

般

すれば

れ を 連 続 の 方 程 式 と い う.た

だ し こ こで

(２) 【証 明】 空 間 内 に 不 動 の 座 標 系(x,y,z)を x∼x+△x,y∼y+△y,z∼z+△zの △ x△y△zを 考 え る(図 ８).面ABCDの

と り,

範囲の立方体 面 積 は△y△z

で あ り,こ こ に お け る流 体 の密 度 を ρ,流 れ の 速 度(流 速)のｘ 図 ８

成 分 をｕ とす る と,こ の面 を単 位 時

間 に通 る流 体 の 質量 はpu△y△zで

与 え られ る.

次 に 面ABCDか

ら△xだ

(pu)x+△y△zと

け離れ た 面A'B'C'D'を

書 く こ と が で き る.こ

の 値 で あ り,位

単 位 時 間 に 通 る 流 体 の 質量 は

こ で(ρu)x+△xは

位 置x+△xに

置ｘ に お け る ρuの 値 を 単 に ρuと 書 け ば△xが

お け る ρu

小 さい と き

(３) と し て よ い.し

た が っ て 面ABCDを

通 っ て 立 方 体△x△y△zに

ら面A'B'C'D'を

通 って 出 る質量 を ひ い た値 は

入 る流 体 の 質 量 か

(４) で 与 え られ る.同 様 な こ とは 立 方 体△x△y△zの 他 の面 に つ い て もい え る の で,ｙ

お よびz方

向の 流 速 をｖ,ｗ とす れ ば,立 方 体△x△y△x内 の質 量 ρ△x△y△zの時 間

的 変 化 の割 合 は (５) とな る.し た が って (６) これ が連 続 の 方 程 式(１)で

あ る. 発

流 速 の ベ ク トル はu=(u,v,w)で

散

あ る.こ

こ で ナ ブ ラ と呼 ば れ る ベ ク トル▽=

(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z )を 導 入 し,▽ と ρuの ス カ ラ ー積 をつ くる と (７) は(６)に

よ り密 度 の 減 少 の 速 度-∂ ρ/∂tに等 しい.こ れ は流 体 が 広 が って い く

速 度 と い って も よ い.そ こで,▽・Vを

ベ ク トルＶ の発 散,あ

るい は ダ イバ ー ジ

ェ ン ス と い うので あ る. 連 続 の 方程 式 の 別 の 導 き方 連 続 の方 程 式 は 流体 の質 量 が 保 存 され る こ とを 表 して い る.こ の 方程 式 を この 点 か ら考 え て み よ う.任 意 の閉 曲面 Ｓ で囲 ま れ る 体 積Ｖ 内 の 流 体 の 質 量 の 時 間

的変 化 は (８) で あ るが,こ れ は単 位 時 間 に 閉 曲面 Ｓ を通 って流 入 す る流 体 の 質 量 に 等 しい は ず で あ る.閉 曲面 Ｓの 外 向 きの 法 線 をｎ とす れ ば,流 速 の 閉 曲 面 Ｓに 垂 直 な成 分 は 流 速ｕ と法 線ｎ の ス カ ラ ー積 の 形 で (９) と書 け る.た

だ しu=￨u￨は

流 れ の 速 さで あ り,γ は流 速 ベ ク トルｕ と法線ｎ の

間 の 角 で あ る.し た が っ て流 入 す る流 体 の 質 量 は (10) と書 け る.し た が って (11) こ の式 を (12) と書 き,右 辺 に 前講 述 べ た ガ ウ スの 定 理 を 用 い る と (13) とな るか ら (14) を 得 る.こ れ は任 意 の領 域 Ｖ に つ い て 成 り立 つ か ら,被 積 分 が ０で な け れ ば な らな い.し た が っ て連 続 の 方 程 式 (15) が 成 り立 つ こ とに な る.

TeaTime

ガ ウスの定理 閉 曲面Ｓ に 囲 まれ る体 積 をＶ と し,ベ ク トルｖ の(Ｓ の外 向 き法 線 方 向 の)成 分 をvnと す る と き

これ が ガ ウ ス の定 理 で あ る. ベ ク トルｖ がｘ 成 分ｕ だ け で あ っ て,ｕ がｘ だ け の 関 数 で あ る場 合 を 考 え る と,ｘ 軸 に 垂 直 な単 位 断 面積 に つ い て積 分 した後,ｘ に つ い て の 積分 を す れば ガ ウス の定 理 は

と な る.し た が って ガ ウ スの定 理 は こ の よ く知 られ た積 分 公 式 を多 次 元 へ 拡 張 し た もの と考 え る こ とが で き る.

第４ 講

完全流体の運動方程式

―テーマ ◆ オイ ラーの運動方程式 ◆ 流線 ◆TeaTime:風

に飛び立つ カモメ

オ イラ ー の運 動 方 程 式 粘 性 の な い 流体 を完 全 流体 とい う.こ れ は理 想 化 され た 流 体 で あ るが,流 体 の 性 質 を 理 解 す る うえ で た いへ ん 役 に立 つ理 想 化 で あ る.粘 性 が な い とす るか ら完 全 流 体 は 流 体 ど うしが摩 擦 な くす べ り,し た が って 流 体 ど う しが 及 ぼ し合 う力 は 任 意 の面 に垂 直 な圧 力 と して は た ら くだ け で あ る. 流 体 の 運 動方 程 式 に は ラグ ラ ン ジ ュ(Lagrange)に

よ る もの とオ イ ラー(Euler)

に よる もの の ２種 類 が あ る(歴 史 的 に は オ イ ラー に よる もの の ほ うが先 で あ る). 運 動 方 程 式 と して は オ イ ラー

よ る もの の ほ うが簡 単 で あ るか ら,こ れ を先 に述

べ よ う. オ イ ラ ーの立 場 で は 空 間 の 各点(x,y,z)を す る.流 速 のx,y,x成

れ の 場)を

分 は そ れ ぞ れu(x,y,z,t),v(x,y,z,t),w(x,y,z,t)と

け る.一 般 に 流れ の場 の量f(x,y,z,t)を の値 の差 は

通過 す る 流れ(流

記述 書

考 え る と,場 所 と時 刻 が 少 し異 な るｆ

(１)

で あ る.流

れ(速

度ｕ,ｖ,ｗ)に

乗 っ て(流

u =dx/dt,v=dy/dt,ω=dz/dtで

体 の 実 質 部 分 と と も に)み

あ る か ら,fの

て いけば

時 間 的変 化 の割 合 は

(２)

で あ る.と

くに 速 度ｕ,ｖ,ｗの 変 化 の 割 合,す

な わ ち加 速度 は な ど(３)

で 与 え ら れ る.左 り,右

辺 のdu/dt(Du/Dtと

も 書 く)は

流体 実 質 部 分 の 加 速 度 で あ

辺 の ∂u/∂tは 一 定 の 場 所 で み た 流 速 変 化 で あ る.

重 力 の よ うに 流 体 の 質 量 に 比 例 す る 外 力 を 単 位 質 量 当 り の 成 分 でＸ,Ｙ,Ｚ 図９ で わ か る よ う に,流 x+ dxに

と し よ う.

体 の 微 小 部 分x∼

は 両 側 か ら の 圧 力pの

dx)-p(x)}=-(∂p/∂x)dxが

差-{p(x+

図９

は た ら く か ら,

運 動 方程 式 は粘 性 が な い とき な ど(４) と 書 け る(ρ

は 密 度),こ

れ に(３)を

代入すれば

(５)

とな る.こ れ が完 全 流 体 に対 す る オ イ ラ ー の運 動 方 程 式 で あ る.こ こで 流 れ の状 態に関 す る未 知 の量 はｕ,ｖ,ｗ,ρ,ｐ の５ つ で あ る が,こ

れ ら は 運 動 方 程式 の３ 個

の 式 と連 続 の 方 程 式 お よび ρとｐ を結 び 付 け る状態 方程 式 の ５個 の式 に よって 定 ま るわ け で あ る.与

え られ た 初 期 条 件 と境 界 条件 を満 足 す るい ろ い ろ な流 れ の 中

で これ らの ５個 の方 程 式 を 満 た す もの が実 現 され る こ とに な る. 流 速 をν と して ベ ク トル 記 号 を用 い れ ば,オ イ ラ ーの運 動 方程 式 は (６) と書 け る.こ こで▽ はナ ブ ラで あ り (７) は慣 性 項 あ る い は ド リフ ト項 と呼 ばれ る.ま た▽ｐはｐ の勾 配(グラ

デ ィエント)

とい う. (８) で あ る. オ イ ラ ーの 運 動 方 程 式(５)に

おいて な ど(９)

で あ るか ら

(10)

を 導 入 す る.こ れ は 圧 力関 数 と呼 ば れ る.こ れ を 用 い る と運 動 方 程 式 は な ど(11) とな る,さ らに 力X=(X,Y,Z)が

重 力 の よ うに ポ テ ン シ ャル を もつ 力(保 存 力)

で あ る と しよ う.ポ テ ン シ ャル を Ｕ とす る と

(12)ベ ク トル 記 号 で 書 け ば (13) で あ る.こ れ を用 い る と運 動 方 程式 は

な ど(14)

と な る.

流

線

流 れ の 場 を 幾 何 学 的 に 表 す た め に 流 れ に 沿 っ た 曲 線 を 考 え る と 便 利 で あ る.こ れ を 流 線 と い い,そ

の 曲 線 の 接 線 が 流 速 ベ ク トル と一 致 す る 曲 線 で あ る.流

時 間 的 に 変 化 す る と き も 流 線 を 考 える こ と が で き る が,流 い 場 合(定

常 流)の

と き の ほ うが 考 え や す い.こ

測 る と,流

線 は ｓを パ ラ メ タ と し て

の 場 合,流

れ が

れ が 時 間 的 に変 わ らな 線 に 沿 っ て 長 さ ｓを

(15) と表 す こ とが で き る.流

れ はs(t)で

表 さ れ,流

速 をｑ とす れ ば (16)

で あ る.流

速 の成 分 は な ど(17)

で あ り,x=x(s),y=y(s),z=z(s)を

流 線 とす る と

(18)

で あ る.

TeaTime

風 に飛 び 立 つ カ モ メ 船 に 乗 って旅 を す る と き,や や 単 調 な 生 活 の 中 で マ ス トや 救命 ボ ー トの 支 柱 の 上 に来 ては と ま り,ま た 飛 び 立 って 水 面 近 くを 回 って くる カモ メの 生態 を 眺 め る

のは １つ の 大 き な楽 しみ で あ る. 船 は 十 何 ノ ッ トか の速 さ で進 んで い る.カ モ メは風 に 向 か って飛 び立 つ の で, 風 の な い と きは 船 の へ さ きに 向 か って飛 び立 つ こ とに な る .か 時 間 に20kmぐ

らい とす る と,こ れ は 秒 速 約5mで

りに船 の 速度 を １

あ る.い

く ら か微 風 が あ っ て も,カ モ メは だ い た い へ さ きの ほ うか ら来 る風 を受 け て飛 び 立 つわ け で あ る. 柱 上 か ら飛 び立 つ カモ メは,両 翼 を広 げ た だ けで ふ わ り と空 中へ 上 が る.こ の

場 合,羽 ば た き一 つ しな いか ら舞 い上 が る とい う表 現 は 適 当 で な い.た だ,ふ わ りと上 が るの で あ る.風 に 向 か って翼 を広 げ た だ けで,ふ ぶ.そ

わ りと数 ｍ 空 中 へ浮 か

れ か ら少 し羽 ば た い て旋 回す る.

風 に 向 か っ て羽 根 を広 げ る と,カ モ メは そ れ だ け で 羽 ば た き もせ ず に空 中 へ 上 が る.も ち ろ ん そ れ と同時 に カモ メは風 下 へ 押 し流 され て い く． カ モ メの翼 は 風 に 向 か っ てあ る迎 角 を も ち,そ の た め に 揚 力 が 生 じるわ け で あ る. い ま,風 と と もに 進 む 座標 系 に 乗 った と し よ う.こ の座 標 系 か らみ て い る と, 柱 上 の カモ メは 一 定 の 速 さＶ で こち らへ 向 か って進 ん で くる こ と に な る.カ モ メが翼 を広 げ た とた ん に空 中へ 上 が る のは,走 っ て きた カ モ メが 空 中 の(眼 に は み え な い)す べ り台 をす べ り上 が るの と同 等 で は な い か .走 って きた トロ ッ コが す べ り台 を すべ り上 が る の と,風 に向 か っ て走 って きた カ モ メが浮 上 す る の と 同 等 だ と い うわ け で あ る.こ

う考 え る と カモ メの もつ 運 動 エ ネル ギ ーが,カ

モ メの

浮 上 した 位 置 の エ ネ ル ギーに 変 わ る過 程 とみ られ る.風 と と もに 進 む座 標 系 に 対 して

こ こ に,ｍ

は カ モ メ の 質 量,Ｖ

は 風 速,ｇ

は 重 力 加 速 度,ｈ

は 翼 を 広 げ た だけ で

カ モ メ が 達 し た 最 高 点 の 高 さ で あ る. エ ネ ル ギ ー の 損 失 が な い と す る と,E=Uか

を 得 る.た とえ ば 風 速10m/秒

ではh〓5mと

ら

な る.こ

の 値 は実 際 の カモ メの上

が る高 さ と して だ い た い 妥 当 な もの と思 わ れ る. 実 際 には 上 の 理 論 上 の 最 高 点 に達 す る前 に風 に 押 し流 され る た め風 に 対 す る カ

モ メの相 対 的 な速 度 は 減 少 し,揚 力 も減 少 して カ モ メの 重 さを 支 え られ な くな る だ ろ うか ら,ｈ は もっ と小 さ な値 に な るに ちが い ない. 風 が 翼 に 当 って 生 じ る揚 力 は,斜 面 を上 が る トロ ッコに 加 わ る斜 面 の抗 力 に な ぞ らえ られ る.斜 面 が な め らか な らば,抗

力は 斜 面 に 対 して 垂 直 で あ り,ト ロ ッ

コに対 して 仕 事 を しな い. 一 方 で風 とと もに 進 む 座 標 系 に乗 ってみ てい る場 合 ,翼 は空 気 を 前 方 下 向 き に 押 しなが ら走 って くる こ とに な る.空 気 の粘 性 を 無 視 す れ ば,翼 は 空 気 の 分 子 を 下 方 へ は じ き飛 ば しなが ら走 る とい っ て も よいだ ろ う.そ の 反 動 と して 揚 力 が は た ら くわ け で あ る. 同 じ問 題 を 船 に 静 止 した 座 標 系 で 考 え てみ よ う.カ モ メで 考 え る前 に トロ ッ コ で 考え る こ とに す る.そ の ほ うが 問 題 が 明 白に な るか らで あ る.こ の場 合,最 トロ ッ コは 静 止 して い て,斜

初

面 が これ に向 か って 速度Ｖ で 走 っ て く る(カ モ メ

に 対 して風 が 走 って くる よ うに).ト

ロ ッコは 動 い て くる斜 面 に押 し上 げ ら れ て

高 い とこ ろ まで 上 が る.斜 面 は こ の場 合,ト

ロ ッコを 押 して もち 上 げ る仕 事 を す

るわ け であ る.な め らか で仕 事 を しな い と い うのは 斜面 が 静 止 して い る場 合 の こ とで あ って,仕 事 とか エ ネル ギ ー とい う量 は座 標 系 を変 えれ ば 変 わ って み え る も の で あ る. カモ メの翼 に 当 る風 も,翼 を押 し上 げ る仕 事 を す る,こ れ を空 気 の 分 子 が 翼 に 当 って下 方 へ跳 ね 返 る反 動 に よる もの とす る と,翼 を 押 し上 げ る仕 事 をす るた め に,翼

に当 る前 よ りも当 った あ との ほ うが 分 子 速度 は 小 さ くな っ て い る こ とに な

る.こ の際 の仕 事 は 翼 が 上 方 あ る いは 揚 力 の 向 きに押 しや られ て い る た め に な さ れ る もの で あ る. こ うして カモ メは 上 昇 す る と同 時 に,揚 力 の 水平 成 分 に よっ て風 の 向 き に加 速 され,し だ い に風 の 速度 に一 致 す る速 度 で 流 され る よ うに な る. 翼 に 当 る風 の 力 は も う １つ の 効 果 を も って い る.そ れ は 翼 を回 転 させ よ うとす る力 の モ ー メ ン トで あ る.こ れ は 翼 が 風 に 当 る迎 角 を大 き く しよ うとす る.カ モ メは 重 心 を 少 し前 に 出 して この モ ー メ ン トを打 ち消 す よ うに して い るに ちが い な い.飛 び立 つ鳥 が首 を 前方 へ 伸 ば す よ うな し ぐさ をす る のは この た め で あ ろ う. 迎 角 を 大 き くし よ う とす る風 力 の モ ー メン トと重 心 の移 動 に よ る モ ー メ ン トと の バ ラ ン スは,少 な く と も迎 角 の小 さい とき は不 安 定 で あ る.だ か ら,カ モ メは 微 妙 な バ ラ ンス を と りなが ら飛 び 立 つ の で あ ろ う.こ れ を お もち ゃ とか 自動 制 御 を も った 装 置 で実 現 す る の はた い へ ん むず か しい に ち が い な い.凧 で は 糸 が つ い て

い るか ら,こ の バ ラ ン スは とれ るが,糸 が な くなれ ば,そ れ こ そ糸 の切 れ た 凧 に な っ て バ ラ ン ス を失 っ て しま う.紙 飛 行 機 で は 重 心 が や や 前方 に あ って 少 し下 降 ぎみ に 飛 ぶ と きに 安 定 した 運 動 が 可 能 で あ る よ うに み え る.そ の と きの 運 動 は 安 定 した ワシ や トン ビの飛 翔 に 似 て い る よ うで あ る.

第５ 講 ベ ル ヌー イ の定 理

―テ ー マ ◆ ベ ル ヌ ー イの 定 理 ◆ 一般的な証 明 ◆TeaTime:ベ

ル ヌ ー イ の定 理 の 応 用

エ ネ ル ギ ー積 分

完 全 流 体 で は 粘 性 が な い の で 内 部 摩 擦 に よ る エ ネ ル ギ ー の 損 失 は な く,そ め 力 学 的 エ ネ ル ギ ー が 保 存 され る は ず で あ る.と す な わ ち 定 常 流 に お い て,ェ

のた

く に 時 間 的 に 変 化 し な い 流 れ,

ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則 は 簡 単 な 形 を と る.こ

れは次の

よ うに 述 べ られ る. 定 常 流に お い ては 流 線 に沿 って

(１)

が 成 り立 つ.こ

れ は エ ネ ル ギ ー積 分 で あ る が,ベ

ル ヌ ー イ(Bernoulli)の

定理

と 呼 ば れ る. 【証 明 】 しや す い.こ

上 式 が エ ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則 を 表 す こ と は,縮

ま な い 流 体 の と き理 解

の と き は ρ=一 定 な の で 上 式 は (２)

とな る.左 辺 第 １項 は 単 位体 積 の運 動 エ ネ ル ギ ー,第

２項 は 位 置 エ ネ ル ギ ー で あ り,第 ３

項 は次 に示 す よ うに圧 力 に対 す る仕 事 を 意 味 し,上 式 は これ らの和 が 流 れ に 沿 って 保 存 さ れ る こ とを 表 して い る. 図10

細 い 流管 の ２点 Ａ と Ｂ を 考 え る(図10).

流 管 の 断 面 積 を Ａ に お い てSAと

し,Ｂ

お け る 流 速 をqA,qBと

間 に 断 面 Ａ を 通 る エ ネ ル ギ ー は,UAを

す る.dt時

に お い てSBと

す る.ま

た こ れ らの 点 に Ａ に

お け る ポ テ ン シ ャル と し て (３) で あ り,断 面 Ｂ を 通 る エ ネ ル ギ ー は (４) で あ る(UBは

Ｂ に お け る ポ テ ン シ ャ ル) .エ

ネ ル ギ ー が 保 存 さ れ る と き,こ

ら の 差 は Ａ に お い て 圧 力 に 対 し て な さ れ る 仕 事WA(Ａ 流 入)と

Ｂ に お い て 圧 力 に 対 し て な さ れ る 仕 事WB(エ

れ

にお け る エ ネ ル ギ ー の ネ ル ギ ー の 流 出)の

差 で

なけ れ ば な らな いか ら (５) で あ る.し

た が って

(６) こ の と き,流

体 の 量 の 保 存(連

続 の 方 程 式)は (７)

と 書 く こ とが で き る.し

(８) と な る.こ

れ は(２)を

た が っ て(６)は

与 え る.

と くに 外 力 と し て 重 力 が あ る と き は,高

さ をｈ と し て 流 体 の ポ テ ン シ ャ ル は

U=ghな

の で ベ ル ヌ ー イ の 定 理(２)は

(９)

とな る. 【一 般 的 な証 明】 定 常 流 で は ∂u/∂t=0な どが 成 り立 つ の で運 動 方程 式 は な ど(10) とな る.こ の 左 辺 にu=qdx/dsな

ど を代 入 す る と

(11) した が っ て 運 動 方 程 式(10)は

(12)

を 与 え る.こ の 第１ 式 の 左 辺 と右 辺 に(1/q)u=dx/dsの

左 辺 と右 辺 を そ れ ぞれ

かければ (13) を得 る.同 様 に 第２ 式,第

３式 か ら

(13')

を 得 る.こ

こ でu2+v2+w2=q2で

あ り,

(14)

で あ る こ と を 考 慮 す れ ば(13),(13)か

ら (15)

を 得 る.し

た が っ て 流 線 ｓに 沿 っ てq2/2+U+P=一

定 が 成 り立 つ.

TeaTime

ベ ル ヌー イの 定 理 の応 用 【流体 の噴 出】 液体 を入 れ た容 器 の底 や側 面 に 小 さな孔 を あけ る と液 体 が 噴 出 す る.図11に す る と,ベ

お い て Ｐ を 水 面,Ｑ

を噴出孔 と

ル ヌ ーイ の定 理 に よ り

こ こで 水 面 の 下 が る 速 度 はvp〓0で pQも大 気 圧 で 等 し い.よ

あ りpPと

っ て孔 か ら噴 出す る

流 速VQは 図11

す な わ ち,孔 か ら流れ 出す 液 体 の速 さは物 体 が水 面 か ら孔 まで 自 由落 下 した と き に 得 る 速 さ に 等 し い.こ ricelli)の

れ を ト リ チ ェ リ(Tor

定 理 と い う こ とが あ る.

【圧 力 を 加 え た 器 か ら の 噴 出 】 に ピ ス ト ン で 圧 力p1を る.そ

の 速 度 をν,外

図12の

よ う

加 え て 液 体 を 噴 出 させ

の 圧 力 をp0と

す る と,ベ 図12

ル ヌ ー イの 定 理 に よ り

した が っ て

これ を グ レア ム(Graham)の

法 則 と い うこ とが あ る.

実 際 に は孔 の 出 口で 流 れ が 縮 むの で,単 位 時 間 に 流 れ 出 る液 体 の量 は 速 さν に

孔 の 断 面 積 Ｓ を かけ た もの よ り少 な く,kvSと に 円 い 孔 を あけ た だ け で はk=0.6ぐ

な る.ｋ を縮 脈 の係 数 とい う.壁

らいに な る.

【水 平 な管 内 の 流れ 】 断 面積 が ゆ るや か に変 化 して い る 水平 な管 に流 体 を 流 す と,図13の

よ うに 断面 積 の小 さ い と こ ろで は 流 速 が 速 く,圧 力 が 小 さ く な る.

これ は ベ ル ヌ ー イの 定 理 に よ りp+1/2ρv2=一 定 とな るか らで あ る.し

か し粘 性

や乱 流 が無 視 で きな い とき は下 流 に い くほ ど圧 力 は 低 くな る(こ れ を 落 差 損失 と い う).

図13

図14

【ピ トー管 】 流 速 を は か る装 置 に ピ トー管 が あ る.こ れ は飛 行 機 に乗 りな が ら そ の 速 さを測 るの に も用 い られ る.図14の(ａ)ま 流 れ の 中 に入 れ る と圧 力差p1-p0が

た は(ｂ)の

で き る.ρ を 流 体 の密 度,流 れ の 速 さを Ｕ と

す れ ば,ベ ル ヌー イ の定 理 か ら

p0を 静 圧,ρU2/2を

動 圧,p1を

よ うな装置を

総 圧(あ

る い は よ ど み 圧)と

い う.

第６ 講 流 れ と 変 形

―テーマ ◆ ず りの変形 ◆ 渦度 ◆TeaTime:ず

りと回転

流 れ に よ る流 体 部 分 の 変形 流 体 の 中 に 小 さな領 域 を 考 え る と,流 れ の た め に この領 域 は 移 動 し,同 時 に変 形(ひ ず み)を 生 じ,ま た 回 転 す る.ひ ず み に は伸 び縮 み の変 形,直

方体がひ し

ゃげ るず りの変 形 が あ り,ま た 体 積 変 化 もあ る.流 体 が 回転 す る 渦 も あ り うる. まず ひ ず み か ら考 察 し よ う. 流 体 の １点P(x,y,z)と δx,y+δy,z+δz)を

こ れ に 十 分 近 い 点Q(x+ と る(図15).短

に 流 れ に よ っ て Ｐ がP'に (x+ξ,y+η,z+ζ)と

+ζ+δζ)と

移 っ た と し,Q'の

す る.(ξ+δ

よ っ てPQはP'Q'に

移 っ た と し,P'の

す る.(ξ,η,ζ)は

た この

座 標 を(x+δx+ξ+δξ,y+δy+η+δη,z+δz

ξ,η+δ η,ζ+δ ζ)は Ｑ の 変 位 で あ る.こ

な り,相

座標 を

こ の際 の Ｐ

の 変 位 で あ り,τ に 比 例 す る微 小 量 で あ る.ま

図15 と き Ｑ がQ'に

い 時 間 τの間

対 変 位 はP'Q'-PQで

あ る,相

れ ら の変 位 に

対 変 位 のｘ 成 分 は (１)

と な る.同

様 に 相 対 変 位 のy,ｚ 成 分 は δη,δζで あ る.

変 位(ξ,η,ζ)は

位 置(x,y,z)の

関 数 で あ る か ら,Ｐ

と Ｑ が 十 分近 けれ ば Ｑ

の Ｐ に 対 す る相 対 変位 は

(２)

と 書 け る.特

別 な 場 合 を い くつ か 調 べ よ う.

【伸 び の 変 形 】

と く に ∂ξ/∂y=∂ξ/∂z=0,δ η=δζ=0の

と きは (３)

これ はPQのｘ

方 向 の長 さ が δξだ け 伸 び た

変 形 で あ り,∂ ξ/∂xは単 位 長 さ当 りの 伸 び (負 の と き は縮 み)を 表 す(図16).同

様に

∂η/∂yはｙ方 向 の長 さ の 伸 び,∂ ζ/∂zはｚ方 図16

向 の 長 さの伸 び の割 合 を表 す. 【体 積 変 化 】

上 の 変 形 が 同 時 に起 こる と

き は(図17),ｘ

方 向 の 長 さl1はl1+(∂

ξ/

∂x)l1に な り,ｙ 方 向 の 長 さl2はl2+(∂

η/

∂y)l2と な り,ｚ 方 向 の 長 さl3はl3+(∂

ζ/

∂z)l3と な る の で,こ 図17

れ らの 長 さを辺 とす

る直 方 体 の 体 積 は

(４) だ け 増 加 す る.た

だ し変 位 は 十 分 小 さ い と し,そ

の た め∂ ξ/∂x,∂η/∂y,∂ζ/∂zに

関 す る ２項 以 上 の 積 は 無 視 で き る と し た.V=l1l2l3を 変 化 を△Vと

す れ ばＶ が 十 分 小 さ い と き(４)に

流 体 部 分 の 体 積 と し,そ よ り

の

(５)

したが って この 右 辺 は 単 位 体 積 当 りの 体 積 変 化 で あ る. 【単 純 なず りの変 形 】 式(２)に

お い て ∂η/∂x以外 の 係 数 が す べ て ０で あ る と

す ると (６) で あ る.こ の と きy方 向 の相 対 変 位 δηは δxに 比 例 す る の で,微 小部 分 は 図18 (ａ)の る.こ

よ うに ｙ 方 向 の ず り の 変 形 を 表 す こ と に な の 際 に は 体 積 変 化 は な い.

同 様 に ∂ξ/∂y以 外 の 係 数 が ０で あ る と す る と(２) は (７) と な り,こ

れ は 図18(ｂ)の

よ う にｘ 方 向 の ず りの

変 形 を 表 す. 図18

【純 粋 な ず り】

こ れ ら ２ つ の 変 形 が 同 時 に,し

か

も 同 じ度 合 で 起 こ る と き,す なわ ち (８) で あ る と きは

(９)

が 成 り立 つ.こ

の 変 形 を 図19に

示 す.こ

の 場 合,45°の

直 線δy=δxは

同 じ向き

図19

の 直 線 δη=δξに 移 る こ と を 注 意 して お こ う.こ の 変 形 で は 正 方 形 の45°の

対角線

は 回 転 を 起 こ さ ず,こ の 方 向 に ひ し ゃ げ る の で あ る.こ の よ う な 変 形 を純粋なずり と い う.

一 般 の 変 位 と変 形

変 形 の式(２)を(純

粋 なず りの式(９)を

参 照 しなが ら)

(10)

と書 き直 す(各 式 の右 辺 の 第 ２項,第

３項 と第 ４項,第

び反 対 称 の部 分 と い うこ とが で き る).第

５項 は それ ぞ れ 対 称 お よ

２項 と第 ３項 は 純粋 なず りを 表 し,こ

れ は 回 転 を 含 まな いか ら第 ４項 と第 ５項 は 一 般 の 変 形 の残 りの部 分,す

なわち回

転 を表 す に ち が い な い.実 際 そ うで あ る こ とを 次 に示 そ う. 回 簡 単 の た め(x,y)面

転

内 の 変 形 を 考 え よ う.す な わ ち δζ=0と す る.ま

た伸び

の変 形∂ξ/∂x,∂η/∂yはな く,純 粋 なずり(∂ ξ/∂y+∂ η/∂x)/2もな い とす る.こ の とき(10)は

(11)

と な る.こ

の 変 位 は 図20の

はｚ 軸 の ま わ り の 回 転(微

よ うに な り,こ 小 回 転)で

れ

あ り,

微 小 回 転 角 は δη/δx=(∂ η/∂x-∂ξ/∂y)/2で あ る.

図20

流 れ に よ るひ ず み速 度 微 小 変 位(ξ,η,ζ)の 生 じ る 微 小 時 間 τで これ らをわ れ ば 流れ の 速度 に な る. す な わ ち 流 速 を(u,v,w)と

(12) また

δξ/τ=δu,δ

η/τ=δv,δ

して

ζ/τ=δwと

な る.

ここ で

(13) と書 く と,exx,eyy,ezzは伸縮ひずみ速度,exy,eyz,ezxは純粋ずりひずみ速度 り,ωx,ωy,ωzは 【渦 度 】

そ れ ぞ れｘ軸,ｙ

軸,ｚ

上 記 の(ωx,ωy,ωz)は渦度

であ

軸 の ま わ りの 回 転 速 度 の ２ 倍 で あ る . と 呼 ば れ る.流

速 をv=(u,v,w)と

書けば

渦 度 ベ ク トル ω=(ωx,ωy,ωz)は

(14) と 書 け る.こ

こ でrotは

回 転(ロ

ー テ ー シ ョ ン)と

呼 ば れ,v=（u,v,w)に

対 し

(15)

を意 味 す る. 渦度 とい うのは 局 所 的 な概 念 で あ る.流 体 が 回 転 運 動 を して い る場 合 で も,渦

度 が あ る のは そ の 中心 の きわ め て細 い糸 の よ うな 部 分(渦 糸 とい う)に 限 られ て い て,そ の周 囲 の 運 動 は そ れ に 引 きず られ た もの で 渦度 が な い とい う場 合 も あ る こ とを 注 意 して お く(第12講

参 照).

TeaTime

ず リと 回転 弾 性 体 の変 形 を む か しは歪 とい い,変 形 に よ って 生 じる 各部 分 の 力 を歪 力 とい っ た.歪 図21の

力 は 応 力 で あ る. よ うに 長 方 形 の 物 体 の 上 下 の 面

に た が い に 逆 向 き で 大 き さ の 等 し い 力Ｆ, F'を 加 え て ず ら す(体

積 は 変 化 し な い).

こ れ を 単 純 な ず り(ず れ)の 長 方 形ABCDが A'B'CDに ∠BCB'を

ず り の た め 平 行４

辺 形

な っ た と き,θ=∠ADA'=

図21

ず りの 大 き さ と い う.

正 方 形 を考 えた と き,そ 変 化 しな い)す 図23か

変 形 と い う.

の 対 角 線 の方 向 へ 図22の

よ うに菱 形 に 変 形(体 積 は

るの を純 粋 な ず りとい う.

らわ か る よ うに 角 度 θ/2の 純 粋 なず りに 角度 θ/2の 回 転 を与 え る と,

ず りの大 き さが θの単 純 なず りに な る. 純 粋 なずり は 回転 を含 ま な い の で 「 純 粋 」 とい うので,こ れ に 回 転 を加 えた も のが 単 純 なずり なの で あ る.こ れ は 次 の よ うに 考 え る こ とが で き る.原 点 の近 く の微 小 な 変 形 を 考 え,点(x,y)が(x+ξ,y+η)へ

移動 す る とす る.微 小 な 単

純 なずり に よる変 形 はａ を微 小 な係 数 と して (１) で表 ざれ る.a2を

無 視 す る と これ は 行 列 の形 で (２)

ただ し

図22

図23

(３)

ただし (４) と書 け る.Ｂ は 微 小 な純 粋 なずり (５) を 与 え る.ま たＣ は微 小 回転 (６)

を 与 え る.し た が っ てＡ は 純 粋 なずり に 回 転 を 加 え る操 作 を 表 す. 流 体 の 場 合 は 変 形 の 微 小 時 間 を τと す る と き2a/τ は 流 れ の 速 度 勾 配 を 表 す わ け で あ る.

第７ 講 渦 な しの 流 れ

―テ ー マ ◆ 速度 ポ テ ン シ ャル ◆ 一 般 化 され た ベ ル ヌ ー イ の定 理 ◆TeaTime:速

度 ポ テ ンシ ャル,汎 関数 的微 分

速 度 ポ テ ンシ ャル

流体の性質や運動は 縮 む 流 体 と縮 ま な い 流 体 完全 流 体 と粘 性 の あ る流 体 渦 の あ る流 れ と渦 の な い 流 れ 定 常 的 な 運 動 と 時 間 的 に 変 化 す る運 動 に 分 類 で き る.こ

こ で は し ば ら く渦 な し の 流 れ を 扱 う.

渦 な し の 流 れ で は 渦 度 が ０,ω1=ω2=ω3=0,す

なわち (１)

が 成 り立 つ.こ

れ は 流 速(u,v,w)に

(２)

で 関 係 付 け ら れ る 関 数 φ(x,y,z,t)が

あ る こ と を 意 味 す る.実

際(２)が

成 り立

てば(１)が

成 り立つ.そ

の逆 も真 で あ る こ とが 示 され る.関 数 φを 速 度 ポ テ ン

シ ャル とい う.渦 な しの 流 れ は 速 度 ポ テ ン シ ャル を もつ の で,ポ テ ンシ ャル 流 と も呼 ば れ る.(２)の

右 辺 に マ イ ナ ス を 付 け て い る本 も あ る か ら注 意 が 必 要 で あ

る.

一般 化 され た ベ ル ヌ ー イの 定 理

流 体 の 運 動 方 程 式(第

４講(14))は な ど(３)

で あ る.渦 な しの場 合 は 条 件(１)に

より な ど(４)

が成 り立 つ の で,運 動方 程 式(３)は な ど(５) と書 け る.こ

こで 流 速 をｑ とす る と (６)

な の でu∂u/∂x+v∂v/∂x+w∂w/∂x=∂(q2/2)/∂x.し

た が って 運 動方 程式 は な ど(７)

と書 け る.さ らに 速 度 ポ テ ンシ ャル φを 用 いれ ば(２)に

より (８)

した が って 運 動 方程 式 は

(９)

と な る.こ

れ ら ３式 は,渦

な し の 流 れ の 全 体 に 対 して

(10)

が 場 所 に よ ら な い 時 間 だ け の 関数 で あ る こ とを 意 味 す る.こ れ を 一 般 化 され た ベ ル ヌー イ の 定 理 と い う. と くに 流 れ が 時 間 に よ らな い(定 常 流)な

らば 渦 な しの と き

(11)

が成 り立 つ.こ れ は 第 ５講 で 述 べ た ベ ル ヌ ーイ の 定 理 に よ く似 て い るが,第

５講

に お け るベ ル ヌ ー イ の定 理 は 渦 が あ って も成 り立 つ か わ りにq2/2+U+Pは

流線

ご とに値 が 異 な るか も しれ な い.こ れ に対 し今 回 の 場 合 は 渦 な しに 限 るが,全 空 間 でq2/2+U+Pが

一 定 に な る とい う ことで あ る.

縮 ま ない流 体 の 場 合 上 述 の定 理 は 縮 む流 体 の場 合 に も成 立 す るが,と

くに縮 ま な い流 体 に 限定 す れ

ば,話 は た いへ ん簡 単 に な る. 縮 ま ない 流 体 の連 続 の方 程 式 は (12) で あ る.こ れ に(２)を

代入すれば

(13)

とな る.こ れ は ラプ ラス(Laplace)方

程 式 と呼 ば れ て い る重 要 な方 程 式 で あ る.

ラプ ラス演 算 子 (14) を 用 いれ ば,ラ

プ ラス方 程 式(13)は (15)

と書 か れ る.こ の方 程 式 の解 φを調 和 関数 とい う. 【縮 まな い流 体 の渦 な し定 常 流 】 この 場 合 は 境界 条件 を 満 た し(15)を る よ うな ポ テ ンシ ャル φを 求 め れば 十 分 で あ る.こ

の 場 合P=p/ρ

満足す

で あ るか ら

(11)は (渦な し定 常 流 の 全 領 域)(16) とな り,φ か ら求 め たｑ の値 を これ に 代 入 す る こ とに よっ て圧 力ｐ が 求 め ら れ る こ とに な る.し た が って 完 全 流 体 の 渦 な し定 常 流 内 に お い た 物 体 に は た ら く力 の 計 算 は ラプ ラ ス方 程 式 を 解 くこ とに よ って な され るの で あ る. 重 力や 静 電 力 の ポ テ ンシ ャル も ラ プ ラ ス方 程 式 を 満 た す.こ

こで知 った の は 縮

ま な い流 体 の 渦 な し定 常 流 の ポ テ ンシ ャル も この 方 程 式 を 満 た す こ とで あ る.こ の よ うに ラプ ラス方 程 式 は きわ め て応 用 の 広 い方 程 式 で あ る.

φ の 勾 配 渦 な しの 流れ の流 速 は 速 度 ポ テ ン シ ャル φの 勾配 で 与 え られ,そ の成 分 は(∂φ/ ∂x,∂ φ/∂y,∂φ/∂z)で

あ る こ と を 述 べ た.

そ の 幾 何 学 的 意 味 を 調 べ よ う. φ(x,y,z)=c1(定 あ る 曲 面 を 表 す.こ し,こ

数)は(x,y,z)空

間の

の 上 の １点 を 原 点 Ｏ と

れ とわ ず か に 離 れ た 曲 面 φ(x,y,z)=

c2(定 数)に

お ろ した垂 線 が この 曲面 を 切 る

と こ ろ をP(x,y,z)と

す る(図24).c2-c1=

ｃ が 小 さ い とす る と Ｏ,Ｐ の 付 近 で 曲 面φ=c2 は 平 面 と み な し て よ い. 原 点 Ｏ か らｘ 軸 が 面φ=c2を の 長 さ をl1,ｙ

軸 とｚ 軸 が 同 じ面 を 切 る 点 ま

で の 長 さ を そ れ ぞ れl2,l3と の 長 さ をl,こ 図24

切 る点 ま で

し,ま

れ がｘ 軸,ｙ 軸,ｚ

た 垂 線OP 軸 となす 角

そ れ ぞ れ α,β,γと す る.∂ φ/∂xはｘ 方 向 に

l1 だ け 進 ん だ と き の φ の 変 化 ｃをl1で ∂y,∂ φ/∂zに つ い て も成 り立 ち,幾

わ っ たc/l1に

等 し い.同

様 な こ と は ∂φ/

何 学 的 に 次 の 式 が 得 ら れ る.

(17)

とれ か ら (18) と な る.こ

こで (19)

と お い た.∂ φ/∂η は 垂線ｎ 方 向 の φ の 変 化 の 割 合,す

な わ ち φ の 勾 配 で あ る,ピ

タ ゴ ラス の 定 理 に よ り (20) で あ るか ら (21) し た が っ て(∂ φ/∂x,∂ φ/∂y,∂ φ/∂z)を 成 分 と す る ベ ク トル は 垂 線ｎ の 方 向 を 向 き,そ

の 向 き の 変 化 の 割 合 は φ の 勾 配 で あ る.そ

ント )と

呼 ぶ.こ

れ は ベ ク トル 記 号 でgradφ

こ で 勾配 をgrad(グラディエ

あ る い は▽ φ と 書 く,す

なわ ち (22)

と書 く.流

速は

(23) で あ る か ら,流

体 は φ の 増 大 す る 向 き に 流 れ る.

ラゲランジュ 関 数

解 析 力 学 を 流 体 に 対 し て 用 い る と き,密 準 変 数 で あ る こ と が 示 さ れ る.

度 ρ と速度 ポ テ ンシ ャル φが 共 役 な 正

【説 明 】 v =gradφ

渦 の な い 流 れ の 場 を 考 え,流

速 をｖ,速

度 ポ テ ン シ ャ ル を φ とす る と

で あ り,単 位 質 量 に は た ら く外 力 の ポ テ ン シ ャ ル を Ｕ

,単

部 エ ネ ル ギ ー をＥ,密

度 を ρ と す る と,流

体 の 全 エ ネ ル ギ ーＨ(ハ

位体積 の内 ミル トン 関

数)は (24) で 与 え ら れ る.こ

こでラグランジュ

関数 Ｌ を (25)

とす れ ば 作 用 原 理 (26) か ら運 動 方 程 式

(27)

が 導 か れ る.こ

こ で δは 汎 関 数 的 微 分(TeaTime参

照)を

表 す.

実 際(24)と(27)は (28-1)

(28-2) を 与 え る.内

部 エ ネル ギ ー Ｅ の微 分 を (29)

と す れ ば,(28-1)は(10)(f(t)は 続 の 方 程 式 を 与 え る.

∂φ/∂tに 含 ま せ る)と

一 致 し,(28-2)は

連

TeaTime

速 度 ポ テ ン シ ャル 渦 な しの 流 体 では 速度ポテ ン シ ャル φ(x,y,z,t)が 存 在 し,流 速(u,v,w)は (１) で 与 え られ る.さ らに流 体 が 縮 ま な い流 体 で あ る とす る と速 度 ポ テ ンシ ャル φは ラプ ラス方 程 式 (２) を 満 た す(第

８講 で くわ し く述 べ る湧 き出 し点,吸

い 込 み点 を除 く).

湧 き 出 し点,吸 い込 み点 は 特 異 点 で,そ の外 部 は ラプ ラス方 程 式 の 解 で あ り, 一 般 解 は 湧 き出 し,吸 い込 み の重 ね 合 わ せ で与 え られ る.こ れ は (３) と書 け る.こ こでr=r(x,y,x)で Qj＜0)の

あ り,rjは 強 さQjの

湧 き 出 し(吸 い込 み で は

位 置 で あ る.重 力 の場 も ラ プ ラ ス方 程 式 を 満 たす.こ の場 合 は,Qjは

重 力 場 を 与 え る質 点 の 質量 で あ る. ２重 湧 き出 しは+Qと-Qの ポ テ ンシ ャル で あ る.さ

湧 き出 し と吸 い込 み が 接 近 し て あ る と きの 速 度

らに多 数 の 湧 き 出 しが 接 近 して存 在 す るた め の 高 次 の 湧

き 出 しポ テ ンシ ャルを 考 え る こ と もで き,ラ プ ラス方 程 式 の解 は これ らの 湧 き出 しポ テ ン シ ャル の重 ね 合 わ せ で 与 え られ る. 速 度 ポ テ ン シ ャル が 一 定 の 曲面 は 流 線 と直 角 に 交 わ る こ と も注 意 して お こ う.

汎 関 数的 微 分 (４) とす る と きＡ の 汎 関 数 的 微 分 は

(５) で あ る.

第８ 講 縮 まない流体の渦な しの流 れ

―テ ー マ ◆ 湧 き 出 し と吸 い込 み ◆ 球 の まわ りの 流 れ ◆TeaTime:湧

き 出 し と吸 い込 み

速 度 ポ テ ン シ ャルの 例

こ れ か ら話 は す べ て 縮 ま な い 流 体 に 限 る こ と に す る.そ な い 流 れ を 扱 う.縮

し て 第 ９講 ま で は 渦 の

ま な い 流 体 の 渦 の な い 流 れ は 第 ７講 の(13)で

示 し た よ うに

ラプ ラス方 程 式 (１) の 解 に よ っ て 与 え られ る.簡

単 な い くつ か の 例 を あ げ よ う.

【一 様 な 流 れ 】ｘ,ｙ,ｚ の １次 式 (２) は ラ プ ラ ス 方 程 式 を 満 た す.そ

の流れは (３)

で 与 え ら れ る.こ

れ は(a,b,c)方

【壁 に 当 る 流 れ 】

向 の 一 様 な 流 れ で あ る.

速 度 ポ テ ン シ ャル

(４) が ラプ ラス 方程 式 を満 たす こ とは 容 易 に確 か め られ る.流 れ は (５) で あ る.縮 まな い 流 体 の連 続 の 方程 式 ∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z=0が 満 た さ れ るの が 確 か め ら れ る.(x,y)面

内で流線の方程

式は (６) あ る い はdy/y=-dx/xで

与 え ら れ る.こ

れ を 積 分 す れ ばlogy=-logx+定

数.し

た が って 流 線 は (７) と な る.こ

れ は 直 角 双 曲 線 で,定

数 ｃを 変

図25 

a＞0の

とき

えれ ば 流 線 の群 を 得 るが,こ れ は 壁 に 当 る ２次 元 的 な 流 れ で あ る(図25).

湧 き 出 しと吸 い込 み 空 間 の極 座 標 を 用 い,動 径 をｒ とす れ ば 速 度 ポ テ ン シ ャル

(８)

ただ し (９) が 原 点r=0を

除 き ラ プ ラス 方程 式 を 満 た す こ とは 容 易 に確 か め られ る.φ ＝定 数

は 原 点 を 中 心 とす る球 面 で あ り,m＞0な 加 す る(図26(ａ)).こ

らば 原 点 か ら遠 ざ か る に つ れ て φは 増

の と き の 流 れ は 原点 か ら流 体 が湧 き 出 て無 限 遠 へ い く 球

対 称 の流 れ で あ る.動 径 方 向 の流 れqrは 原 点 か らｒ の 点 に お い て (10)

図26(ａ)  湧 き出 し

図26(ｂ)  吸 い 込 み

で あ って,半 径ｒ の球 面 を 単位 時 間 に通 過 す る流 体 の 体 積 は (11) で 与 え られ る(こ れ は ｒに よ らな い).こ れ を 湧 き出 しの 強 さ とい う. こ の よ うにm＞0な

らば 原 点 は 流 体 の 湧 き出 し 口で あ る.ま

い込 み ロで あ る(図26(ｂ)).ｍ

たm＜0な

らば 吸

は 湧 き 出 し,吸 い 込 み の 強 さ を 意 味 す る.湧 き

出 しを(+),吸 い 込 み を(-)で表 そ う. 【多 数 の湧 き 出 し】 強 さがm1,m2,…,mNの

湧 き 出 しが 分 布 して い る と き,領

域 を限 る壁 な どが なけ れ ば,流 れ は ポ テ ン シ ャル (12) に よっ て与 え られ る.こ

こ でriは 空 間 の点 Ｐ と

i番 目の湧 き出 しの 間 の 距 離 で あ る.無 限 遠 で 静 止 して い る縮 ま な い流 体 の渦 な しの 流 れ は すベ て 湧 き出 し と吸 い込 み に よ って与 え られ る. 【２重 湧 き出 し】 強 さ の 等 しい湧 き 出 しＡ と 吸 い 込 みＢ が 接 近 して あ る も の を ２重 湧 き出 し 図27 

２重 湧 き 出 し

とい う.Ａ,Ｂか

らｒ,r'の 距 離 の点Ｐ に お け るポ

テ ンシ ャル は

(13)で 与 え られ る.た 図27か

だ し,湧

き 出 し と吸 い 込 み の 距 離dsは

十 分 小 さ い と す る の で,

ら (14)

と し て よ い.dsの

１次 ま で と れ ば (15)

と な る.こ

こで (16)

を 一 定 に し てds→0,m→

∞ とす れ ば,２

重 湧 き 出 しに よる ポ テ ン シ ャル は

(17)

で 与 え られ る こ と に な る. 速 度 ポ テ ン シ ャ ル(17)に 調 べ よ う.動

よ る ２重 湧 き 出 し の 流 れ を

径方 向 の 速度 は (18)

θ方 向 の 速 度 は(ds=rdθ)

(19) 図28２ と な る.こ

の 流 れ を 図28に

示 す.

重 湧 き出 しの 流れ

静 止 流 体 内 を 動 く球 の ま わ りの 流 れ 速 度 ポ テ ンシ ャル

(20)

に よる流 れ は,静

止 流 体 内 を 速 さ Ｕ で ｘ方 向 に進 む 半 径 ａの 球 の 中 心 が 原 点 に

一 致 した 瞬 間 に お け る球 の まわ りの流 れ を 与 え る. 【証 明 】(20)は

２重 湧 き出 しの 速度 ポ テ ン シ ャ ル(17)で

μ=-Ua3/2と

お

いた も ので あ る.ｒ 方 向 の 流 速 は (21) で あ り,球 の表 面r=aに

おけ る流 速 は (22)

とな る.こ れ は速 度 Ｕ で 進 む 球 の 表面 上 の点(r,θ)の し い(図29).し

法 線 方 向の 速 度 成 分 に 等

たが っ て この 流 れ は 球 の 運 動 に よ っ て 押 しの け られ て い く流体

の流 れ を 表 し て い る(図30).

図29

図30

静 止 し た 球 の ま わ りの 流 れ ｘ方 向 の速 度Ｕ の 一 様 な 流 れ の 速度 ポ テ ン シ ャル は,φ=Ux=Urcosθ る.ま

であ

たｘ の 負 の 向 き に 静 止 流 体 内 を 進 む 球

の ま わ りの 速 度 ポ テ ン シ ャ ル は φ=U(a3/r2) COSθ で あ る.こ

れ ら を 加 え 合 わ せ た 速 度ポ

テン シ ャル

(23) は 静 止 した半 径ａ の球 の まわ りの 流 れ(遠 方 図31

でｘ 方 向 に 速 度Ｕ)を

与 え る(図31).

実 際 この場合

(24)

した が っ てy＝ 一 定,x→

± ∞ でqr→

±Uで あ り,r=aでqr=0と

な る.な お

この場 合 θ=π/2に お け る球 の 表面 上 の 流れ の速 さは-qθ(r=a,θ=π/2)=(3/2) Ｕとな り,遠 方 に お け る流 速 よ りも大 きい.こ

れ は θ=π/2の 付 近 で は 球 の た め

に 流 れ が 狭 め られ て 速 くな るか らで あ る. ダ ラ ンベ ー ル の 背 理 縮 まな い完 全 流体 の定 常 な 渦 な しの 流 れ の 中 に あ る球 には 力が は た らか な い. これ を ダ ランベ ー ル(d'Alembert)の

背 理(パ

ラ ドック ス)と

い う.流 体 中 に

お い た 球 体 には 流れ の た め の 力 が は た ら くだ ろ う とい う常 識 に反 す る よ うに 思 わ れ る の で背 理 とい うので あ る. 【説 明 】 定常 流 が わ か って い る と き,物 体 に は た ら く力 は 物 体 の表 面 に お け る 圧 力 を 表面 に つ い て積 分 す れ ば 与 え られ る.一 様 な 流体 内に 球 を お い た とき の 流 れ は(24)あ

る いは 図31で わ か る よ うな 対 称 性 を も つ た め に,圧

力 は流 れ の 上

流 と下 流 で(流 れ に 垂 直 な 方 向 で も)同 じで あ る.そ の た め球 に は全 体 と して 力 が は た らか な い. この よ うな こ とは 球 に 限 らず,渦

な しの定 常 な流 れ の中 に あ る物 体 には 全 体 と

して 力 が は た らか な い.抵 抗 も揚 力 も生 じな い ので あ る.こ れ も一 般 に ダ ラ ンベ ール の背 理 と呼 ば れ て い る . 物 体 に抗 力や 揚 力 が は た ら くの は渦 の あ る と き か,物 体 が 加 速 度 を も つ と き か,流 体 が 粘 性 を もつ場 合 で あ る.

TeaTime

湧 き 出 しと吸 い 込 み 湧 き 出 し と吸 い込 み の つ くる流 れ の場 は 静 電 気 に おけ る電 気 力線 に似 て い る. この ア ナ ロジ ーで,た

と えば 湧 き 出 しを プ ラス 電 気〓,吸

い 込 み を マ イナ ス 電 気

〓に 対 応 させ る こ とが で き る.流 線 が 湧 き出 しか ら 出 て吸 い込 み に 向 か う よ う に,電 気 力 線 は〓 電気 か ら〓電 気 へ と向か う. ２つ の湧 き 出 しが 並 んで い れ ば 流 れ は 図32(ａ)の よ うに な り,２ つ の 吸 い込 み が 並 ん で い れば 流れ は 図32(ｂ)の よ うに な る.こ れ らは〓 電 気 ど うし,あ る い は 〓電 気 ど うしの 間 の電 気 力線 とま った く同 様 で あ る. また 湧 き 出 し と吸 い込 み が 並 ん で い れ ば 流 れ は 図32(ｃ)の よ うに な り,こ れ は 〓電 気 と〓 電 気 の間 の 電 気 力 線 と ま った く同 様 で あ る. しか も これ らの 間 に は た ら く力に つ い て も類 似 が 成 り立 つ こ とに な る.し か し これ 以 上 に 類 似 を強 調 す るの は無 理 で あ ろ う.流 れ は 流 れ,電 気 は電 気 で あ る. ポ テ ンシ ャル の符 号 に つ い ては も う少 し複 雑 に な る.力 学 的 な 場合 で は,そ

っ

とお い た物 体 が 動 き出 す 方 向 が ポ テ ンシ ャル(位 置 エ ネ ルギ ー)の 減 る方 向 で あ る.静 電 ポ テ ンシ ャル の 場 合 に は正 と負 の電 気 が あ るの で,約 束 と して正 電 気 を そ っ とお い た とき に,そ れ が動 き出 す 方 向が 静電 ポ テ ンシ ャル の減 る方 向で あ る とす る.と

ころ が 電 子 は負 の電 気 を も っ

てい るか ら,そ っ とお いた 電 子 は ポ テ ン シャル の 高 いほ うへ と動 き 出す . 図32

この 本 で は 流 体 に対 して 速度 ポ テ ンシ

ャル φの増 え る方 向へ 流 体 は流 れ る と して い る.流 れ の 中 に流 れ を調 べ る試 験 体 をお け ば 速 度 ポ テ ンシ ャル の 高 い ほ うへ 動 くの で,こ れ は電 子 を試 験 体 と した と き と似 て い る とい って も よいで あ ろ う.

第９ 講 任意の運 動をする球 には た ら く力

―テーマ ◆ 加速度運 動をす る球にはた らく力 ◆ 流 れの運 動エネルギ ー ◆TeaTime:物

体にはた ら く流れ の力

任 意 の 渦 な しの運 動 渦 な しの 流 れ は 速 度 ポ テ ン シ ャル φを 用 い て 表 され,縮

まな い 流 体 で あ れ ば 速

度 ポ テ ン シ ャル は 第 ７講 でみ た よ うに ラ プ ラス 方程 式 (１) の解 と して与 え られ る.こ の こ とは 流 れ が 時 間 に よ って 変 わ る非 定 常 な 流 れ に つ い て も成 り立 つ.こ の 場 合(１)に

お い て 速度 ポ テ ン シ ャル φは 時 間tを パ ラ メ

タ と して 含 む こ とに な るが,各 瞬 間 ご とに 境界 条件 か ら流 れ が 定 ま る.縮 む 流 体 では 流 体 の一 部 で 生 じた 運 動 は 音 波 と して 伝 わ る.し か し縮 まな い 流 体 で は 音 速 が 無 限 大 な の で,流 れ の 変 化 の 影 響 は 瞬 間 的 に流 体 全 体 に伝 わ る か ら,各 瞬 間 ご とに 流 れ は 定 まる の で あ る. した が って縮 まな い 流 体 の 運 動 の渦 な しの運 動 を知 る には 各瞬 間 ご とに 境界 条 件 を 満 たす よ うな ラプ ラス方 程 式▽2φ=0の 解 を 求 め れ ば よ い.境 界 条 件 が 固 定 され た と考 えた とき の解 φの 中 の定 数 を時 間ｔに 依 存 す る もの とす れ ば よいわ け で あ る.こ の解 を用 い る と き,圧 力 方 程 式

(２) の 中 の ∂φ/∂tが与 え られ るか ら,圧 力pが

これ か ら求 め られ る こ とに な る.こ

よ うに 縮 まな い 流 体 の渦 な しの運 動 で は,φ とpに で,ラ

の

対す る方 程 式 は 分 離 され る の

プ ラ ス方 程式▽2φ=0を 解 け ば 全 領 域 の流 れ が定 ま る の であ る. 球 に は た ら く抵 抗 力

球 が 加 速 度 運 動 を す る と,そ の 周 囲 の 流 体 も加 速 され るの で,そ の 反作 用 に よ る慣 性 力 が 球 に は た ら く.そ の力F'は 球 の 加 速度 と反対 の 向 き には た ら き,そ の大 き さは 球 の 体積 と同体 積 の流 体 の質 量m'の

半 分 に 加 速度 の 大 き さ を か け た

もの に 等 しい.す な わ ち球 の半 径 をａ,流 体 の密 度 を ρ,球 の 加 速度 を α と す れ ば,抵 抗 力 は

(３)

で 与 え られ る. 【証 明】 流 体 は 無 限 遠 で 静 止 して い る とす る.球 が一 定 の速 度 で運 動 し て いれ ば 抵 抗 力 は は た らか な いか ら,球 が加 速度 運 動 をす る と し,簡 単 のた め球 はｘ 軸 上 に あ ってｘ 軸 に そ っ て加 速 され る と し よ う. 球 の 半径 をａ と し,あ る瞬 間 に おけ る球 の位 置 を ξとす る.上 に述 べ た よ うに 加 速度 運 動 を して い て も速度 ポ テ ンシ ャル φは ラ プ ラス 方程 式 の解 と して与 え ら れ るか ら,第 ８講 の(20)を

参 照 して球 の まわ りの 速度 ポ テ ン シ ャル φを書 き下 す

こ とが で き る.た だ 球 の 速度Ｕ は 時 間 的 に 変化 す る の で これ をU(t)と 流 体 のx,y,xに

お け る速度 ポ テ ンシ ャル は (４)

とな る.こ

こで (５)

流 体 が 球 に及 ぼ す 力F'は 球 の 表 面 に お け る流 体 の 圧 力p1を 球 の全 表 面S0で

積 分 した

図33

す れ ば,

式 に よ っ て 与 え ら れ る.球

表 面 に お け るｘ の 値 をx1と

書 け ば(図33) (６)

こ こ で 流 体 の 圧 力ｐ は(２)に

よ り (７)

で与え

られ,球

(７)を(６)に

の 表 面 に お け る 圧 力 の 値 がp1で 代 入 す る とf(t)の

あ る.

項 は 積 分 に 寄 与 し ない ので (８)

と な る.こ

こでU=dξ/dt,U=dU/dtよ

び(5)か

ら得 られ る 式 (９)

を 用 い れ ば(４)か

ら (10)

を 得 る.球

面 上 の 値 を 添 え 字１ で 表 せ ばr1=aな

ので (11)

他 方 で 流 速(u,υ,ω)は(４)か

ら

(12)

し た が っ て 球 面 上 に お け る流 速 をq1と

す ると (1 3)

と な る. (11)と(13)か

ら球 面 上 に お い て (14)

を得 る.こ れ を(８)に

代 入 す れ ば 球 の受 け る力F'が 得 られ る.こ

こ で球 の全

表 面 に わ た る積 分 は

(15) こ こ でa2=(x1-ξ)2+y12+z12を

使 っ た.ま

たx1-ξ,(x1-ξ)3はｘ-ξ

の奇 関

数 なので (16) (15),(16)を

用 い れ ば(８)と(14)から (17)

が 得 ら れ る.

流 体 中 の 球 の 落 下

流 体 中 に あ る 球 に は 浮 力 が は た ら く(第 ス の 原 理 に よ り,球

１講).浮

力 の 大 き さF"は

の 体 積 と 同 体 積 の 流 体 の 質 量m'に

ア ル キ メデ

は た ら く重 力 に 等 し い か

ら F"=m'g (gは 鉛 直 上 方 にｘ 軸 を と り,球 は た ら く抵 抗 力F'は(３)に

重 力 加 速 度)

(18)

の 中 心 のｘ 座 標 を ξ と す れ ば 球 の 加 速 度 運 動 に 対 し て よ り (19)

ま た 球 の 質 量 をＭ

と す れ ば こ れ に は た ら く重 力 は-Mgで

あ る か ら,球

の運 動

方程式は

(20) あ るい は

(2l) と な る.し

た が って球 の加 速 度 を αとす る と (22)

球 の密 度 を ρ0,流 体 の密 度 を ρ,球 の半 径 をaと す れ ば

した が って 球 の 加 速度 は (23)

で与え られ る.球 の 密 度 の ほ うが大 きけ れ ば 球 は落 下 し,球 の密 度 のほ うが 小 さ け れ ば 球 は 浮 上 す る.い ず れ の場 合 も運 動 は 等 加 速 度 運 動 であ る.

流 れ の運 動 エ ネ ル ギー 流 体 中 を 球 が 速 度Ｕ でｘ 方 向 に 進 む と きの 流 体 の 流 れ は(12)に

よ っ て与 え

られ る.し た が って流 体 の 運 動 エ ネル ギ ーは(dV=dxdydz)

(24) で 与 え ら れ る.こ

こ で 積 分 は 流 体 部 分(r〓a)に

対 し て お こ な う.dV=4πr2dr

なの で

(25)

した が っ て (26) 球 と 同 体 積 の 流 体 の 質 量m'=(4π/3)ρa3を

用いれば

(27) これ を 時 間 で微 分 す れ ば (28) こ こ で(３)とU=dξ/dtを

用 いれ ば (29)

を 得 る.こ 加(左

れ は 抵 抗 力-F'に

辺)に

対 して す る 仕 事(右

辺)が

流 体 の エ ネ ル ギ ーの 増

な る こ と を 表 し て い る.

TeaTime

物 体 に は た ら く流 れ の 力 静 止 した完 全 流 体 の 中 を等速 運 動 す る物 体 は 流 体 か ら力 を 受 け な い.こ れ は 日 常 の 体験,す

なわ ち流 体 中 を動 く物 体 には 抵 抗 力 が は た ら くと い う体 験 と矛 盾 す

る よ うに思 わ れ る のでダラン ベ ー ル の パ ラ ドック ス とい うが,こ れ は 完 全 流 体 と い う理 想 化 の た め で もあ る。 しか し完 全 流 体 で も流 れ が 物 体 に 力を 及 ぼ す場 合 もあ る.そ の １つ は 物 体 が 加 速 度 運 動 を す る と きで,球 の 場 合 は 本 文 で扱 った とお りで あ る.一 般 に加 速度 運 動 を す れ ば物 体 の まわ りの 流 れ が変 わ り,流 れ の運 動 エ ネル ギ ー の増 加 は物 体 に は た ら く力 と して現 れ るわ け で あ る. 第 ２に 流 体 が 曲 が って 流 れ る とき は向 心 力 に相 当す る圧 力 勾 配 が あ る ので,適 当 な 条件 の も とで物 体 に 力が は た ら くは ず で あ る.た とえ ば 飛 行 機 の翼 や 凧 に 当 る空気 は 下 向 き に 曲げ られ る． これ は翼 の下 側 で 翼 に 近 い と こ ろの 圧 力 が 高 く圧 力 勾 配 が あ る ので 流 れ は 下 へ 曲が る ので あ る.し た が って反 作用 の た め 翼 の 下 の 面 は圧 力 に よっ て上 向 きに 押 され る.翼 の 上側 で も気 流 は下 向 き に 曲 が るか ら, 圧 力は 翼 の上 の面 で 低 くな って い るわ け で あ る.こ の た め翼 は 下 側 か ら押 され 上 側 か ら引 か れ て 揚 力 を 受 け る わ け で あ る. 回 転 を与 え られ た ボ ー ル の まわ りで も球 との間 に は た ら く摩 擦(粘

性)の た め

翼 の まわ りの流 れ に似 た気 流 が生 じ このた めに ボ ール は揚 力 を 受 け て 曲が る こ と

にな る.こ れ をマグナス 効 果(第14講

参 照)と

い う.

翼 や 回 転 す る ボ 一ル の まわ りの流 れ は これ らの物 体 の まわ りに 回転 す る流 れ, あ るい は物 体 の 位置 に渦 を分 布 させ た とき の流 れ(物 体 の外 で は 渦 の な い ポ テ ン シ ャル 流)を 一 様 な流 れ に加 え合 わ せ た もの とみ る こ とが で き,循 環(第12講 照)で 特徴 づ けら れ る.こ

参

う して 完 全 流 体 が 曲 が って流 れ る ため に 生 じる揚 力 は

循 環 と関係 づ けら れ る ので あ る.

第10講 球

形

渦

―テーマ ◆軸対称 の流れ,ス トー クスの流れ の関数 ◆ヒルの球形 渦 ◆ TeaTime:球

と円柱の まわ りの流れ

ス トー ク ス の 流 れ の 関 数 軸 対 称 の流 れ の場 合 は ２次 元 の流 れ に似 た扱 い が で き る.対

称 軸 をｘ 軸 に と

り,ｘ 軸 か らの 距 離 をｙ とす る(図34).ま た(x,y)面 る.こ

の 方 向 を 表 す 方 位 角 を ψ とす

れ は 円 柱 座 標 系 で あ っ て,ふ

(ρ,ψ,z)と す る が,記

号 ρは 密 度 を 表 す の で,

そ の 代 わ りにｙ を 用 い る.縮 え,流 図34

ば,定常

つ うは

ま な い流 体 を 考

れ のｘ,ｙ 成 分 を そ れ ぞ れｕ,υと す れ 流 に 対 し 小 さ な 領 域dx,dy,ydψ

に

流 入 す る 流体 の量 を考 え て

(1)あ る い は (2)

これ は

(３)

と お く こ と に よ っ て 満 た さ れ る.こ と い う((３)の (x,y)面

の Ψ を ス トー ク ス(Stokes)の

流 れ の関 数

符 号 を 逆 に し た 本 も あ る か ら注 意).

の 中 の 流 れ に よ る 渦 が あ れ ば 渦度 は (４)

と な る.(３)を

代 入す れば (５)

ヒ ルの 球 形 渦

遠方 で −ｘ 方 向 に一 様 な 流 れ Ｕが あ り,原 点 の まわ りに はｘ 軸 を 対 称 軸 とす る球 形 の渦 領 域 が あ る よ うな 流れ(図35)の特 解 が ヒル (Hi11)に よ って与 え ら れ た.こ れ は 半径ａ の球 の 内部 が 渦 領 域 で 図35 (６)

渦 の外 側 で は 渦度 が な く (７) で与 え られ る.こ こでｘ は 対 称 軸 で あ り (８) 渦 領 域(r〓a)に

おけ る渦度 は (９)

図35は

こ の 渦 と 渦 の ま わ りの 流 れ を 示 す.

【説 明 】

渦 領 域(r≦a)でＣ

を定 数 と して (10)

と お く.(３)に

よ り,流 速 は

(11)

これ か ら(４)に

より (12)

球 面 上(r=a)に

お け る値 を上 付 き の― で 表す と流 速 の成 分 は ｕ=-Cy2, υ=Cxy (13) と な る,r方

向 と θ方 向 の 流 れ をqr,qθ

とす る と

(図36)

(14)

の 関係 が あ るの で 球面r=aの

図36

上では

(15) とな る.qrは

法 線 方 向 の速 度,qθは 接 線 方 向 の 速 度 で あ る.qr=0で

の 内部(r≦a)の

あ るか ら球

流 れ は 球 の 外 へ 出 な い で 閉 じた渦 に な って い る こ とが わ か る.

これ が ヒル の球 形 渦 で あ る. 渦 領 域 とそ の外 の流 れ を 接 続 し よ う.r≧aに 場 合 は(３)に

お い て は(７)を

用 い る.こ

より

(16)

と な り,遠

方 でu=-U,υ=0,さ

ら に 球 面(r=a)上

では

の

(17)

した が っ て(17)は (18) とお け ば(13)と と(７)は な お,流

一 致 し,こ

球 面(r=a)で

の と きqr,qθ も(15)と

一 致 す る .し

た が っ て(６)

連 続 的 に つ なが る流 れ を 与 え るの で あ る.

速qr,qθ を 計 算 す れ ば

(19)

(20)

と な る.r=aに

お い て はqr=0お

こ れ か ら再 びC=(3/2a2)Uを

よび

得 る.

TeaTime

球 と円 柱 の ま わ りの 流 れ 球 や 円柱 の まわ りの流 れ に つ い て少 しま とめ て お こ う. １.完 全 流 体 (a)(20)と

第 ８講(24)を

比 べ れ ば わ か る よ うに,ヒ ル の球 形 渦 の場 合 の 球

の外 側 の 流 れ は 静 止 した 剛 体 球 の ま わ りの完 全 流 体 の流 れ とま った く同 じ で あ る.

な お ヒル の球 形 渦 の内 側 と外 側 の流 れ は渦 輪(第17講

参 照)の 流 れ を 渦 輪 に

固 定 した 座 標 系 か らみ た もの に似 て い る. (ｂ)第

８講の(17)と(20)を

比 べ れ ば わ か る よ うに,静 止 した 流体 中 を一 定 の

速 さで 運 動 す る 球 の まわ りの流 れ(流 体 に 静 止 した 座標 系 で み た 瞬 間 的 な様 子) は ２重 湧 き 出 しに よる流 れ(湧 れ)と

き出 し を 中 心 とす る任 意 の 半径 の球 の外 側 の流

同 じで あ る.

(ｃ)円 柱 の まわ りの 一 様 な 流れ は 球 の まわ りの流 れ の断 面 に 似 て い る.ま た これ は 渦 対(第17講

参 照)に

よる流 れ に 似 て い る.

２.粘 性 流 体 につ いて は 第26講 以 下 で 扱 うが,少 静 止 した 球 の まわ りの粘 性 流 体 の一 様 な流 れ(ス

し先 取 りを してお く. トー クス 近似)は 完 全 流 体 の

流 れ と似 て い る よ うにみえ るが,流 体 に対 して 静 止 した座 標 系 か らみ る と(瞬 間 的 な流 れ の 様 子 は)完 全 流 体 の場 合 と大 き く異 な る こ とが わ か る.粘 性 流 体 の定 常流 で は 球 の運 動 の影 響 が 遠 くまで及 ん で遠 方 の 流 体 を 引 きず るの で あ る.な お ス トー クス近 似 では 流 れ は 左 右対 称 で あ る が,実 際 に は 粘 性 流 体 の流 れ は左 右 対 称 に な らず,速

度 が 大 き くなれ ば 下 流 に 渦 が 発 生 した りす る.

第11講 自転する球形渦

―テーマ ◆ヒックスの球形渦 ◆角運動量 ◆ TeaTime:ヒックス

の球形渦のエネルギー

ヒ ッ クス の 球 形 渦 ヒル の 球形 渦 は お も し ろい厳 密 解 で あ るが,対 称 軸 が あ って この軸 の まわ りの 回転(スピ

ン,あ るい は 自転 と い って も よい だ ろ う)は な い.自 転 す る球 形 渦 は

ヒ ックス(Hicks)に

よ って厳 密 解 が与 え られ て い る.ヒ

ックス の球 形 渦 は 自転

に 関係 した パ ラメ タ を含 み,こ の パ ラメ タを ０に す れ ば ヒ ル の 球 形 渦 に な るか ら,ヒ ル の球 形 渦 は ヒ ッ クス の球 形 渦 の 特 別 な 場合 な の で あ る. す でに 述 べ た よ うに 完 全 流 体 の運 動 は 連 続 の方 程 式 を 与 え られ た 境 界 条 件 の も とに 解 くこ とに よ って 与 え られ る.圧 力 は運 動 方 程 式 を 積 分 し た ベ ル ヌ ー イ の 式,あ る い は そ の 一般 化 に よっ て 求 め られ る. ヒル の球 形 渦 の場 合 は 対 称 軸 が あ る ので ス トー クス の 流 れ の 関 数 を 用 い る こ と が で きた し,２ 次 元 の流 れ の場 合 に も流 れ の関 数 を 用 い る こ と が で き る(第13 講).こ れ らの 流 れ の 関 数 は 連 続 の 方程 式か ら導 か れ た も の で あ る.ヒックス

の

球 形 渦 にお い て も連 続 の 方 程 式 か ら出 発す る の が よい． 球 形 渦 を 扱 うの で 極 座 標 を 使 うの が よい であ ろ う.こ こで は 無 限 遠 に お け る流

れ の 方 向 を ｚ軸 に と る.極 そ れ ぞ れur,uθ,uψ

座 標(r,θ,ψ)を

と す る.連

用 い,流

速uのr,θ,ψ

続 の 方 程 式divu=0を

方 向 の成 分 を

極座 標

(1) を 用 い て書 き直 す と

(2) と 書 か れ る(こ

の 式 の 左 辺 がdivuで

ψ を 含 ま な い 関 数 ψ(r,θ),す

あ る).

なわ ち

(3) で あ る 任 意 の 関 数 ψ(r,θ)とf(r,θ)を

導 入す れ ば

(4)

が 連 続 の方 程 式(2)を

満 足 す る ことは 明 らか で あ る.

球 の 中 の ピ ックス の 渦 球 の 内 部(r〓a)の

ψお よび ｆ と して ヒ ック スは

(5) (6) と お い た.た

だ し

(7) で あ り,ま た λは 次 元 の な い任 意 の パ ラ メ タで あ って

(8) (9) 流 速 の 成 分 は(5),(8),(9)と(4)(ψ=ψi)か

ら

(10)

と な る.こ

こ で λ→0と

す れば (11)

と な る の で λ→0で

はA→

∞,λ4A→

有限

とす る と き (12)

と な り,流

速は

(13)

もしも (14)

と お け ば(13)は r=aに

第10講(19)と

お け る 流 速 を(10)か

一 致 す る こ と が わ か る. ら求 め る と

(15)

を得 る.ur=0な

ので 流 れ はr〓aに

閉 じ込 め られ て い る こ とが わ か る.λ→0で

この流 れ は ヒル の球 形 渦 と一致 す る の であ るか ら,上 の 流 れ も球 形 渦 で あ る.そ の うえuψ=0で

あ るか ら この球 形 渦 に よる流 れ はr=aに

お い て ψ 方 向 の 速度 成

分 を もた な い こ とが わ か る.こ の 球 形 渦がヒックス の球 形 渦 で あ る.こ aの流 れ の 中に あ る と して,外 部 の流 れ と接 続 させ る こ とに し よ う.

れ がr〓

球 の外 の渦 な しの流 れ 球(r〓a)の

外(r〓a)の

ψ と して (16) (17)

を 考 え る と,流 速成 分 は

(18)

で 与 え られ る.こ

れ は 第 ８講 の(24)と

ぎ る 遠 方 で 速 度-Uの

一 様 な 流 れ(渦

一 致 す る こ と か らわ か る よ う に,球 な し,ま

たuψ,=0な

をす

の で 角 運 動 量 も な い)

で あ る. r〓aの 解(18)でr=aと

おけば

(19)

で あ る,こ

れ を(15)と

接 続 す るに は

(20) に よ っ て 、Ａ が 定 め ら れ る.こ (20)に

お い て λ→0と

れ に よ っ てヒ ッ クス の 球 形 渦 が 与 え られ た .

す ると (21)

こ れ と(14)を

比べ れば

(22) を 得 る.こ

れ は 第10講(18)に

ほ か な ら な い.

角 運 動 量 体 積素dV=r2sinθdrdθdψ

の 中 の流 体 がｚ

軸 の まわ りに もつ角 運 動 量 は 流 体 の 密 度 をρ と して dM=ρdVrsinθ・uφ  (23) で あ る か ら球 形 渦 の角 運 動 量 は (24) これ を 計 算 す る と (25)

図37

ただ し (26) と な る.(20)と(25)と

か らλAを

消去 す れ ば (27)

を 得 る.こ

れ が 角 運 動 量Ｍ

を も つヒックス

渦 が 静 止 流 体 中 で 進 む 速 さ で あ る.

た だ し こ こで (28) で あ る.

TeaTime

ヒックスの 球 形 渦 の エ ネ ル ギ ー 無 限 遠 で流 体 が 静止 して い る とす る と,ヒ ッ クス の球 形 渦 の進 行 に よ るエ ネル ギ ー と内 部 の渦 の エ ネル ギ ーを 加 え た全 エ ネ ル ギ ーＥ は

で 与 え られ る.Ｍは

角 運 動量 で一 定 値 を与 え ら れ て

い る と し よ う. λが０ に 近 い と進 行 速 度Ｕ

は 大 き く,Ｍは

固定 さ

れ て い るか ら この場 合 の エ ネ ル ギ ー は ほ と ん ど進 行 の エ ネ ル ギ ー で あ り,Ｅ

はU2に

き くす る とq(λ)=0の

最 初 の 根λ=5.76に

は０ に な り,渦 E =10と

は 停 止 す る.こ

な る ,0＜

λ＜5.76の

の 渦 輪 が 存 在 し,図38の 向Ｕ 図38

の 向 き に,外

λが5.76を

に 対 し て逆 向 き に な る.こ

比 例 す る.λ

を 少 し大 お い てＵ

の とき の エ ネル ギ ーは 間 で は 球 の 内 部 に１ つ

よ う に 輪 の 内側 では 進 行 方

側 で は 逆 向 き に 流 体 が 動 い て い る.

越 え て 大 き く な る と,Ｕ

は 角 運 動 量Ｍ

の と き は 球 形 渦 の 半 径ａ の下 に も う１ つ の 渦 輪 が 現

れ,こ れ は そ の 内 部 の 渦 輪 と逆 の 角 運 動 量 を もつ が,全 角 運 動 量 は 内 部 の 渦 輪 と 同 じ 向 き で 進 行 方 向Ｕ

に対 して 逆向 き にな

っ て い る. こ こ ま で のエ 度υ=U/U0の

ネ ルぎー

ε=E/E0と

関 係 は 図39の

進行速

な る(U0=3M/4πρa4).こ

曲 線１ の よ う に れ を 第１ の モ ー ド

と 名 づ け よ う. さ ら に λ を 増 大 させ る とL(λ)とq(λ)が

λ

に 対 し て 振 動 的 で あ る た め,第２,第３,… のモ ー ドが 現 れ る.そ υ =0と

な る .こ

れ ら は す べ て ε=10で

れ を 図39の

曲 線２,３ に 示

した. こ の よ うな エ ネ ル ギ ー ε と 進 行 速 度υ の 関 係 は イ ス ラ エ ル の ペ ケ リ ス(C.L.Pekeris・) に よ っ て 指 摘 され た. 彼 は 第１ の モ ー ド(図39)を る.ロ

図39 液 体 ヘ リ ウ ムⅡ(超 流 動)の励起ロ

トン は 液 体 ヘ リ ウ ム の励 起 と してラン

ダ ウ(L.Landau)の

トン と比 べ て い 提 唱 した も

ので あ る.ペ ケ リス は量 子 論 的 な 考 察 に よ り

と お き,l=1.5,a=3.19×10-8cmと

す れ ばヒックス

の 球 形 渦 はロ

トンの ス ペ ク

ト ル を か な り よ く表 す こ と を 示 し て い る. 球形 渦 に 関 す

る 文 献 は,(1)M.J.M.Hill,Phil.Trans.,A 185

213-245,(2)W.M．Hicks,Phil.Trans.,A 192 Pe keris,Proc.Nat.Academy of れ た い.

(1894), (1898),33-99,(3)C.L.

Sciences,39,May

15

(1953)な

どを 参 照 さ

第12講 回転運動 と渦糸

―テーマ ◆回転運動 ◆循 環 ◆ TeaTime:大

渦に呑 まれ て

回 転 運 動 の向 心 力 物 体 の運 動方 向が 変 わ る とき は,速 度 に 垂 直 な成 分 を も つ 力 が は た ら い て い る.円 運動 の場 合,こ の 力 は向 心 力 で あ る.流 体 の流 れ が 向 き を変 え る とき も, 流 速 に垂 直 な 力す なわ ち向 心 力が は た らい て い なけ れ ば な ら な い.こ の 力 は流 れ に 垂 直 な圧 力勾 配 に よ って 生 じ る.物 体 の 円運 動 に相 当 して,流 体 の 回 転 運 動 を 考 え よ う. た とえ ば 水面 に 棒 を つ っ込 んで ぐ る ぐる と回 す と,そ のあ た りに 渦 が 生 じ,渦 の 中心 部 は低 くな り,水 面 が 図40の

よ うに な る のが み られ る.

水 面 の水 の粒 子 に は 重 力 の ほ か に 回 転 のた め の遠 心 力が は た らき,水 面 は 重 力 と遠 心 力 の 合 力 に 垂 直 に な 図40

る,も

し も垂 直 で な けれ ば合 力 の方

向に 水 が流 れ るか らで あ る. 第 ６講 の終 わ りに 注 意 し た よ う に,流 体 が 回 転 運動 を して い て も, 局 所 的 な渦 が あ る とは 限 らな い.こ の講 では これ を は っ き り扱 うこ とに す るが,回

転 に よ っ て水 面 が 図40

の よ うに くぼんだ 場 合,そ に は 図41の

の 中心 部

図41

よ うに局 所 的 な渦 が あ り,そ

の 外 は 局所 的 な渦 の な い領 域 に な って

い る.大 局 的 に み れば 回転 運 動全 体 が渦 で あ る とい って もよい だ ろ うが,外 側 の 渦 な しの領 域 は 中 心 部 の渦 のた めに 駆 動 され て 回転 運 動 を して い る ので あ る.中 心 部 の局 所 的 な渦 が 極 端 に 強 くな る と 同時 に そ の領 域 が極 端 に狭 くな って も,そ の まわ りに は 回 転 運動 が あ る場 合 も考 え られ る.こ の場 合 の渦 領 域 は 渦糸 と呼ば れ る. 流 体 が 曲が っ て運 動 す る と き流 体 に は た ら く力 を 考 え よ う． 図42に

お い て流

体 は 右 か ら左 へ速 さｑ で 円弧 を えが い て流 れ て い る.円 弧 の 曲率 中心 がＯ で あ る. 流 体 の 微 小部 分(角

でΔψ,幅 でdr)に

注

目す る と,内 側 か ら 圧 力ｐ,外 側 か ら圧 力 p +dpが

は た ら き,左 右か ら圧 力ｐ が そ れ

ぞ れ は た らい て い る.左 右 か ら の圧 力ｐ に よ る力pdr(流

れ に垂 直 に 単 位 幅 の流 体 を

考 え る)の 流 れ に 垂 直 な成 分 は そ れ ぞ れ pdrsin(Δ ψ/2)〓pdrΔψ/2で あ る か ら, 図42 さ はdp,drの２

着 目 して い る流 体 部 分 に は た ら く力 の大 き

次 の項 を 無 視 す る と き (p+dp)(r+dr)Δφ-2pdrΔφ/2-prΔφ=rdpΔφ  (１)

であ る.こ

れ を向 心 力 と し て 流 体 は 速 さq,半

径ｒ の 円 弧 を え が く.そ

密度を ρ と し て ρdr・rΔψ で あ る か ら(向 心 力)=(質

量)×q2/rに

の 質量 は

より rdpΔφ=ρdr・rΔφ・q2/r  (２)

した が っ て (３) を 得 る.こ れ が 圧 力勾 配 に よって流 体が 半 径ｒ の 円運 動 を す る こ とを 表 す式 で あ る.

渦 な し領 域 の 回 転 運 動 原 点Ｏ を 中 心 とす る(x,y)面

内 の回 転 運 動 を 考 え,流

速ｑ がＯ か ら の 距 離

rに 反 比 例 す る と す れ ば (４) と 書 け る.流 図43に

速 のx,y成

分 をu,υと

す れば

お い てsinψ=y/r,cosψ=x/rで

あ

るか ら

(５) 図43 で あ り,r2=x2+y2,q2=u2+υ2で

あ る.こ

の と き 渦度 ω は０,す

な わ ち この 流

れは渦 なし

(６)で あ り,圧

力ｐ は (７)

で 与 え ら れ る. 【証 明 】∂r/∂x=x/r,∂r/∂y=y/γ

(８)し た が っ て ω＝∂υ/∂x-∂u/∂y=0.さ

な の で(５)に

ら に(３)に

よ り

よ り

(９) これ を積 分す れ ばp=-ρm2/2r2+定

数 を得 る.

一 様 な 渦 に よる 回 転 流 速q=(u,υ)が

(10) (11) で 与 え ら れ る 流 れ の 場 で は,渦度

は(x,y)面

に 垂 直 なｚ 方 向 を 向 き,そ

の大

きさ (12) は 一定 で あ る.圧

力は (Ｃは 定 数) 

(13)

で 与 え ら れ る. 【証 明 】(11)か

ら (14)

した が っ て∂υ/∂x-∂u/∂y=ω.さ

ら に(3)に

より (1 5)

こ れ を 積 分 す れ ば 式(13)p=ρω2r2/8+Cを

回 転

aを 定 数(a＞0)と の 運 動 が あ り,r＜aで

し,r＞aで

得 る.

運 動

渦 な し,す

は 一 定 の 渦度 の 運 動,す

が あ る と し,こ れ ら をr=aで

な わ ち(４),(５),(６),(７) な わ ち(10),(11),(12),(13)

つ な ぐ.こ の と きr=aに

お い て(４)と(10)か

ら (16)

した が って (17) ま た 圧 力 の 式(７)と(13)をr=aで

つないで (18)

したが って (19) r＞aの 領 域 で 原 点 を １周 す る 閉 曲 線 に 沿 う流 速 を 積 分 し た 量 は

(20)

で 与 え られ る.こ

の 積 分 を 循 環 と い う.た

だ し こ こで σ=πa2  (21)

は こ の 渦(r≦a)の

断 面 積 で あ る.循

環Γ は こ の 過 運動 の強さ を 意 味 す る の で,

こ れ を 用 い て 上 の 結 果 を ま と め て お こ う. 【一 様 な 渦 】 原 点 を 中 心 と す る 半 径ａ の 領 域(面積σ=πa2)が で 満 た さ れ て い る と き,こ

一 様 な 渦度 ω

れ を 囲 む循 環 は Γ=ωσ(σ=πa2)  (22)

で あ り,流

速q=(u,υ)お

よび 圧 力ｐ は 以 下 の よ うに な る.

r〓aで は

(23)

r〓で は

( 24)

r=aで

は

(25)

r〓aで は流 速ｑ は遠 方 へ い くほ ど減 少 す る.こ れ に 対 しr〓aの ｒに比 例 し,こ れ はr＜aの 示 し て い る.r〓aの

領 域 で はｑ は

領 域 が 剛 体 の よ うに変 形 な しに回 転 して い る こ とを

領 域 の 回 転 速度 を Ω とす る と

す なわ ち この領 域 は 渦度 の半 分 の角 速 度 で 円 板 の よ うに 回転 す る. 【圧 力 と流 れ の 曲率 半 径 の 関係 】 す で に 述べ た よ うに流 体 が 曲 が って流 れ る と きは 圧 力 の 勾 配 が 流 体 部 分 に向 心 力 を 作 用 して い る わ け で あ る.こ れ を い まの 場 合 に確 か め て み よ う. 円運 動 の 半径ｒ とr+drの

間 で θと θ+dθ の間 の 流 体 部 分 を 考 え る.運

に垂 直 に単 位 長 さを と る と,こ

動面

の 部 分 の質 量 は ρrdθdrで あ り,流 速ｑ の とき

の向 心 力 は (26) で あ る.他 方 で この 力 は 圧 力 の差 で 与 え られ る の で (27) で なけ れ ば な らな い.し た が って流 れ は (28) を 満 た さな けれ ば な らな い．

r〓aで は(23)に

よ り

(29)

で(28)が

満 た さ れ て い る.

r〓a で は(24)に

よ り

( 30)

したが って この 場 合 に も(28)は

満 た され て い る.こ の よ うに流 れ が 曲 が る の は

圧 力 勾 配 が向 心 力 と して作 用 す るか らで あ る.

重力下の水面の形

鉛 直 上 方 にｚ 軸 を と る と,重

力 の 加速 度 をｇ と し て 水 の 重 さ に よ る 圧 力 は

-ρ gzと な るの で,圧 力 の式(７),(13)に

これ を つ け 加 え て

(31)

を 得 る.r→∞

でz=0と

し,自

由 表 面 の 圧 力 をp0と

す れ ばr→∞

で (32)

が 成 り立 つ.し

たが っ て

(33)

水 面 で はp=p0な

ので,回 転 す る流 体 の 表 面 の 形 は

で 与 え ら れ る(図41).

TeaTime

大 渦 に呑 ま れ て エ ドガ ー ・ア ラ ン ・ポ ー(Edgar 短 篇 小 説 家 で あ るが,彼 の 小 説 にA

Allan Poe,1809−1849)は Descent

ア メ リカの 詩 人,

into the Maelstromと

い うの が

あ る.メ ール ス トロ ー ム は ノ ル ウ ェ ー西 海 岸 沖 に 現 れ る世 界 一 の大 渦 潮 の こ と で,こ れ に呑 まれ そ うに な った 漁 師 が話 す 物 語 で あ っ て,こ の小 説 は科 学 的 写 実 主 義 の は し りと もいわ れ て い る.流 れ の 急 変 に よ って メ ール ス トロー ムに 引 き込 まれ て難 破 した小 舟 の上 で漁 師 は 生 死 の 境 を さ ま よい なが ら,渦 に 巻 き込 まれ る 速 さが物 体 の大 き さや 形 に よっ て違 うこ とを発 見す る. それ は(１)大

き さが 違 う物 を 比 べ れ ば大 きい物 の ほ うが 速 く巻 き込 まれ る,

(２)同 じ体 積 の物 で は球 形 の 物 の ほ うが ほ か の 形 の物 よ り も速 く巻 き込 まれ る, (３)同 じ大 き さ の物 で は 円筒 形 の物 の ほ うが 巻 き込 まれ るの が 遅 い. そ こで 彼 は 自分 自身 を 水 入 れ の樽 に しっか りと結 び 付 け て舟 か ら海 へ 身 を投 げ る.舟 は 間 もな く渦 に 巻 き込 まれ て しま うが,樽

につ か ま った漁 師 は渦 の まわ り

を 回 りな が ら引 き 込 まれず に助 か る とい う物 語 で あ る.や が て海 が 静 ま り満 月 の 光 の 下 にロ ホ ーデ ンの 海 岸 が み え て き た とい う段 の 文 章 は 簡 潔 です ば ら しい. ポ ーは この 話 を だ れ か らか 聞 い た の だ ろ うか,そ れ と も彼 の 想 像 なの で あ ろ う か.上 に あげ た３ つ の 法則 は 真 実 性 が あ る の だ ろ うか,そ れ と も うそ な の だ ろ う か. 回 転 す る水 の 表 面 に 浮 い た 物 が 比 重 に よっ て渦 中心 に 引 き込 まれ る もの と渦 中 心 か ら離 れ る物 との 別 が あ る とい う ことは あ りえそ うで あ るが,難 破 舟 と樽 と で は ど うだ ろ うか. 洗 濯 機 の 中 の ゴ ミをす くい取 る袋 が あ る.あ れ は洗 濯 機 の ふ ちに 付 け た だ け で よ くゴ ミをす くい取 る.す ば ら しい 発 明 で あ る. ア ラン ・ポ ー の小 説 で は 渦 巻 は 直 径 １マ イル とあ るが,こ

の よ うな大 き な渦 巻

は小 説 家 の 創 作 で あ る ら しい.し か し大 洋 の 中に は い くつ も リン グ状 の 流 れ が あ るそ うで あ る.ポ ー の小 説 を離 れ て 次 の よ うな 話 を考 え てみ よ う. 海 面 に 大 きな渦 巻 が あ った と し よ う.回 転 の た め に遠 心 力が は た ら くか ら中心 部 は 低 く,外 側 は 高 くな って 水 面 は 傾 い て い る.こ の渦 巻 の 中 に い る ボ ー トが渦 巻 の方 向 に 漕 ぐとき は渦 よ りも速 く進 む の で 遠心 力が 大 き くな っ て渦 の斜 面 を外 へ 上 っ てい くに ち が い な い,も

し も渦 巻 と逆 の 向 き に漕 げ ば 遠 心 力 が 弱 ま って ボ

ー トは 渦 の 斜 面 を 下 へ 降 りて い くで あ ろ う.中 間 の 向 き に ボ ー トを 漕 ぐと き は, ボ ー トは 横 か ら力 を 受 け た よ うに進 路 が 曲 が る こ とに な る だ ろ う.こ れ は渦 とい う回 転座 標 系 か らみ た と き には た ら くコリ オ リ力の作 用 で あ る と い う こと が で き る.

第13講 縮 まない流体の ２次元の流れ

―テーマ ◆流れ の関数 ◆複素速度ポテ ンシャル ◆ TeaTime： 流れの関数

流 れ の 関 数 と複素 速 度 ポ テ ン シ ャル ２次 元 の流 れ が(x,y)面

内 に あ る と し,速 度 成 分 をｕ,υと す る.縮

まな い流

体 の場 合,連 続 の方 程 式 (１) は 任 意 関 数 ψ(x,y,t)を 用 い

(２)

とお く こ とに よ って満 た され る.ψ を流れ の関数 とい う. 流 体 が 渦 な し の と き,あ るい は 剛 体 の壁 や 円柱 で領 域 が 限 られ て い たり,渦糸 が あ って もそ れ 以 外 の流 体部 分 で 渦 が な い と きは,流 れ は速 度 ポ テ ン シ ャル φに よ って表 す こ と もで き る.こ の よ うな場 合 を考 え る と

(3)

(3)を(1)に

代 入す れ ば

(4) また,渦 な しの 条件 は2次 元 の場 合

(5) で あ り,こ れ に(2)を

代入すれば (渦な しの領 域 で)

(6)

し た が っ て 速 度 ポ テ ソ シ ャ ル も流 れ の 関 数 も ラ プ ラ ス 方 程 式(4)と(6)を

満

た す. 【コ ー シ ー 一リー マ ン の 方 程 式 】(2)と(3)を

比 べ て 得 られ る 関 係 式

(7)

は コ ー シ ー「一リ ー マ ン の 方 程 式 と 呼 ば れ る.こ

れ

は

(8) 図44

が

(9) の 複 素 平 面 に お い て,方 向 に よ らぬ 微 分 係 数 を もつ た め の 条 件 で あ る.こ の と き ｗ はｚ の 解析 関数 で あ る と い う.こ れ を

(10) と 書 き,複

素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル あ る い は 複 素 ポ テ ン シ ャ ル と い う.

【証 明 】 φ(x,y)+iψ(x,y)が とiy方

方 向 に よ ら な い 微 分 係 数 を もつ と す れ ば,ｘ

方 向

向 の 微 分 係 数 を 等 しい とお い て (11)

こ の 両 辺 の 実 部 と虚 部 を そ れ ぞ れ 等 し い と お け ば,コ 式(７)を

ー シ ー-リ ー マ ン の 方 程

得 る.

次 に 逆 の 証 明 と し て,コ iψ がz=x+iy平

ー シ ー-リ ー マ ン の 方 程 式 が 成 り立 つ と きω(z)=φ+

面 で 方 向 に よ ら ぬ 微 分 係 数 を もつ こ と を 示 そ う.ｚ をΔz=Δx+

iΔyだ け変 え た と き の 変 化 を 形 式 的 に 展 開 す る と (1 2) こ こ でコ ー シ ー-リ ー マ ン の 方 程 式(７)に

よ り,ｘ

に つ い て の微 分 にそ ろ えれ ば

(13) こ こでΔxとΔyを

無 限 に 小 さ くす れ ば,左 辺 は

(14)

とな る.こ れ は 任 意 の 方 向 に 微分 した微 分 係数 で あ り,dω/dzと

書 い た.(13)

に よ りこれ はｘ 方 向 に 微 分 した微 分 係 数∂ω/∂xに等 しい.す なわ ち (15) した が ってコ ーシ ー-リ ーマ ンの 方 程 式(７)が お い てω=φ+iψ

を 任 意 の方 向 に微 分 した もの は す べ てｘ 方 向 に 微分 した 微 分 係

数 に 等 しい． 言 い換 えれ ば(７)が 分 係 数 を もつ.

成 り立 て ば複 素 平 面z=x+iyに

成 り立 つ ときω=φ+iψ

は 方 向 に よ ら な い微

複 素 速 度 ポ テ ン シ ャルの 例 複 素ポテソ シ ャル ω(z)を 与 えれ ば (16)

した が って,流 れ は た だ ちに 求 め られ る.次 に簡 単 な例 を い くつ か 示す こ とに し よ う. 【一 様 な 流 れ 】Ｕ

を定 数 と し て

ω=Uz (17)

とお け ば dω/dz=U=u-iυ（ 18）

図45 か ら

u=U,υ=0 (19) こ れ はＸ 方 向 に 速 度Ｕ 複 素 速 度ポテソ

の 一 様 な 流 れ を与え る.

シ ャル を(Ｕ,Ｖは

定 数) ω=(U-iV)z (20)

とお けば u=U,υ=V（ 21) こ れ はｘ,ｙ 方 向 に そ れ ぞ れ 流 速Ｕ,Ｖを 【曲 が る 流 れ 】Ｃ

もつ 一 様 な 流 れ で あ る.

を 定 数 と して (22)

とお け ば

dω/dz=Cz=C(x+iy)=u-iυ( か ら流 速

23)

υ=-Cy

（24） 流 線 はdx/u=dy/υ

で 与 え られ るか ら (25)

これ を 積 分 す れ ばlogx+logy=一

定,あ

るい は

xy= 一 定  した が っ て 流 線 は 直角 双 曲 線(図46)で

(26)

あ る.

図46

図47

一般化 して ω=Cza とａ は (Ｃ正 の定 数) 

(27)

とす れ ば,流 れ は角 度 が (28) だ け 曲 が る流 れ(図47)を

表 す こ とが 示 され る.そ

の角 か ら の 距 離 をｒ とす る

と流 速 は q=aCra-1 (29) とな る.a＜1の

場 合 はr→0でq→

∞ とな り,ベ ル ヌー イ の定 理 で与え られ る

圧 力は 角 で 負 の無 限 大 に な っ て し ま うが,負

の圧 力 は あ りえ な い の で この よ うな

流 れ は 不 可 能 で あ る.実

際 に は 角 の と こ ろ で 壁 か ら離 れ て し ま う(図47の(c)).

【湧 き 出 し と 吸 い 込 み 】ｍ

を定 数 と して

（30）

とす る ．z=reiθ=r(cosθ+isinθ)と

お け ば(図48)

(31)

図48

図49

これ か ら流 速 は

(32)

あ るい は 座 標 変 換 に よ り

(33)

これ は 原 点 を 中 心 とす る流 れ でm＞0の

とき は ２次 元 の湧 き 出 し,m＜0の

とき

は２次 元 の 吸 い 込 み で あ る(図49). 【２重湧 き 出 し】 原 点 に湧 き 出 しが あ りx=ε に 同 じ強 さの 吸 い込 み が あ る とき はポテン シ ャル の重 ね 合 わ せに よ り

(34) と な る.ε が 小 さ い と す れ ば,1/(1-ε/z)=1+ε/z−

….し

た が っ て εが 十 分 小

さけれ ば (35) こ こ で ε→0,m→∞,mε→

μ=有 限

とす れ ば

(36)

と な る,z=reiθ

なので

(37) した が って流 速 は

(38)

これ は２ 次 元 の２ 重湧 き出 しに よ る流 れ で 図50に

こ

れ を示 す. 【渦糸 】Γ を定 数 と し

(39)

とお くと,こ れ は 原 点 を 中心 と して 回転 す る流 れ で あ るが,原 点 を除 い て渦 な し の流 れ で あ る.

図50

【説 明 】z=reiθ

に よ り

(40) した が って

(41)

座標 変 換 を す れ ば 流 速 のｒ,θ成 分 は (42)

し た が っ て こ れ は 原 点 の ま わ り を 回 る 流 れ(Γ>0の と き 反 時 計 ま わ り,Γ<0の (図51).し

か し,渦度

と き 時 計 ま わ り)で

あ る

ω を 計 算 す る と(43)

図51

とな り,原 点 以外 で は渦度 は ない.流 体 は 原 点 に 集 中 し た渦度 に よ って生 じて い る渦 な し の流 れ で あ る.こ の よ うに 集 中 した 渦度 は 渦糸 と呼 ば れ る.こ の よ うな 場 合,渦糸

を除 けば 局 所 的 な渦,す な わ ち 渦度 は な い の で あ るが 大 局 的 構 造 と し

て の渦 は 存 在 す る とい うこ とが で き る. い まの 場 合,原 点 を １周 す る任 意 の閉 曲 線Ｃ に 沿 っ て流 速 を 積 分 した値 は

(44)

とな る.こ れ は 渦糸 の循環 と呼ば れ,Γ

は 渦糸 の強 さ と呼 ば れ る.

渦糸 に つ い ては 第16講 以 下 で 再 び 考 察 す る こ とに す る.

流 れ の 関数 の 意 味 ２次 元 の流 れ の 中 の ２点Ａ とＢ を 結 ぶ 任 意 の 曲 線Ｃ を単 位 時 間 に 通 過 す る 流 体 の 体 積(流 れ の面に 垂 直 なｚ 方 向に は 単位 長 さを 考 え る)はＢ

とＡ に お け る流 れ の関 数 の値

の差 に等 しい(図52). 【証 明 】 曲線Ｃ の上 の点Ｐ に お け るＣ の 法線(右

向 き)方 向 の流 速 成 分 は 図52か

ら

わ か る よ うに

図52

υn=usinθ-υcosθ (45) で あ る.こ こで 曲線Ｃ の線 素 をdsと す る と (46) で あ るか ら,単 位 時 間 にＣ を通 る流量 は (47) こ こで 流 れ の 関 数 ψを用 いれ ばu=∂ ψ/∂y, υ=-∂ψ/∂xなの で (48) した が って Q=φB-φA (49) とな り,流 れ の関 数 ψの差 は ２点 間 を結 ぶ 曲 線 を 左 か ら右 へ 単 位 時 間に 通 る流 量 に等 しい. １つ の流 線 の上 に２ 点Ａ とＢ が あ る とき は,曲 こ と もで きて,こ の 場 合 に は 明 らか にQ=0,す

線Ｃ を この 流 線 に一 致 させ る

なわ ち ψAと ψBは 等 しい こ とが

わ か る.こ れ か ら もわ か る よ うに,流 れ の関 数 ψは 流 線 に 沿 っ て一 定 で あ り,流 線 ご とに ψの値 は 異 な る.

TeaTime

流 れの関数 速 度 ポ テ ンシ ャル を φ とす る と流 れ は ２次 元 の場 合 (1) で 与 え られ,流 線 は φ=一 定 の 曲線 に垂 直 で あ る. これに 対 し,流 れ の 関 数 を ψ とす る と (２) で あ る.流 線 に沿 っ て ψ=一 定 で あ る.ま た任 意 の ２点Ｐ とＯ を結 ぶ 曲線 を 単 位 時 間に 横 切 る流 量 はＰ とＯ の ψの 差ψ(P)-ψ(O)に

等 し い.速 度 ポ テ ン シ ャ

ル に比 べ て 流れ の関 数 は 直 観 的に 理 解 しに くいか も しれ な い. １個 の 質 点 の 力学 に お い て y=p=運動量=x, (３)x=座標  とす る と(x,p)面

は相 平 面(位 相 空 間)と 呼 ば れ る もの に な る.こ こで (４)

とす る と質 点 の ハ ミル トンの 運 動 方 程 式 は (５) とな る.(２)と(５)を

比 べ る とu=xはｘ

方 向 の 速 度,υ=pはｐ(あ

るいは

ｙ)方 向 の速 度 に相 当す る. と くにU=x2/2と

す る と,質 点 で は

(６)

は 単振 動 を与 え,こ れ は 相 平 面 で 反 時 計 まわ りの 円運 動 で あ る.こ れ に対 応 す る 流れ は

(７)

であり,こ

れ は 原 点 を 中 心 と して 流体 が剛 体 の よ うに 回転(反 時 計 まわ り)す る

流 れ を 表す.

第14講 マグナス効 果

―テ ー マ ◆マグナス 効果 ◆揚 力 ◆ TeaTime:噴

水 に 浮 く ピ ンポ ン玉

円柱 を過 ぎ る 流 れ ｘ方 向 の一 様 な流 れ(速 度Ｕ)の

中 に 置 か れ た 円 柱(半 径ａ)の

まわ りの 流 れ

で は,複 素 速 度 ポ テ ン シ ャルは 一 様 な 流 れ に よ るポテソ シ ャル と ２重 湧 き 出 しに よる ポ テ ンシ ャル を 重 ね 合 わ せ た

(１) で 与 え られ る,流 線 はｘ 軸 に対 して対 図53

称 で あ り,原 点 の左 右 で 対 称 で あ る. そ の た め圧 力 も対 称 で あ って,円 柱 は 流 れ か ら力 を 受 け な い.こ れ はダ ラ ンベ ー ル の背 理 の ２次 元 の 場 合 で あ る. ３次 元 の場 合 と同 様 に,完 全 流 体 の 定常 的 な 流 体 中 に置 かれ た物 体 は 一般 に 力

を受 け な い.し か し物 体 の まわ り の流 れ の循 環 が ０で な け れ ば 物 体 は 力 を 受 け る.こ れ を 次に 示 そ う.

マグナス効 果 円柱 を過 ぎ る一 様 な流 れ の複 素 速 度 ポ テ ンシ ャル(１)に,回 シ ャル(第13講

の(39))を

転 の複 素 ポ テ ン

加 える と

(２)

とな る.回 転 す る半 径ａ の 円 柱 が あ って,流 体 は 円柱 の表 面 に い くらか 引 きず ら れ る とす れ ば この よ うな流 れ に な るで あ ろ う. z =reiθ とお け ば ω=φ+iψ か ら

(３)

を得 る. と くにr=aと

おけば 一定

とな るか ら,円 柱 の表面r=aは

１つ の 流 線 に な って い て,流

(４) 体 は 円 柱 の表 面 を

通 過 し な い とい う条 件 が 満 た され て い る.流 れ は (５) か ら求 め られ る.こ

こで

(6)

で あ るか ら

(７)

で あ る.流 れ の様 子 はＵ とΓ の比 に よ って 異 な るが, 円柱r=aの

外 で は図54の

よ うに な る.

(７)の 右 辺 の 第 １項 は それ ぞ れ 一 様 な 流 れ を 表 し, 第 ２項 は 円運 動 を表 す.流 れ は これ らの 重 ね 合 わ せ で 与 え られ,し た が って循 環 も和 で 与 え られ る.し か し 一 様 な流 れ の循 環 は ０で あ るか ら,一 様 な 流 れ が あ っ て も 円柱 の外 を回 る循 環 は 第 ２項 に よる もの だ け で, そ の 値 はΓ に等 しい. 圧 力 は ベ ル ヌ ー イの 式 で与 え られ,こ れ はq2=u2+ υ2を 含 む か ら圧 力 は 重 ね 合 わせ で与 え られ な い .円 柱 図54

の表 面 に お け る圧 力 を求 め るた めr=aと

お くと

(８)

円柱 の表 面 で の流 速 をqa。(θの増 す 回 きを 正 とす る)と 書 くと (９) で あ るか ら (10) した が って ベ ル ヌ ー イの 式 か ら圧 力ｐ は (11) この式 を用 い る と圧 力 に よる 力 のｙ 成 分 は

=ρΓU

(12) と な る(圧 力 に よ る力 のｘ 成 分 の合 力 は０ に な る). し た が って 円 柱 に は 循 環Γ に比 例 し 流 速Ｕ に比 例 す る 力(揚 力)が は た ら く.こ れ をマグナス(Magnus)効果 の まわ りに循 環 流 が起 こされ,上

と呼ぶ.野 球 の ボ ー ルに 回 転 を 与 え る とそ に述べ た２ 次 元 のマグナス 効 果 と同様 の効 果 で

ボ ール は カ ー ブす る.ピ ンポン や ゴル フの 球 も同 じ よ うに カ ー ブす る.飛 行 機 の 翼 に お い て も飛 行機 が 走 る とき に 翼 の まわ りの循 環 が 自然 に 生 じて揚 力 が 発 生 す る.凧 に風 が 当 って 揚 力 を 生 じる の も同 じ よ うな効 果 とみ る こ とが で き る.

TeaTime

噴 水 に 浮 くピ ンポ ン玉 ま っす ぐ上 に上 が る噴 水 をつ くっ て ピン ポ ン玉 を 浮 かす こ とが で き る(図55). 風 が 吹 い て 噴 水 が 乱 れ る と玉 は 落 ち るが 針 金 で つ くっ た受 け 皿 で受 け とめ られ る と,ま た噴 水 に 乗 って 高 く 上 が る. 玉 は 噴 水 に押 し上 げ られ る と水 を 受 け て 相 当 速 く回 転 す る.こ の 回転 に ま つわ りつ くよ うに水 もい っ し ょ に 回 りな が ら水 しぶ き を飛 ば す.図 の よ うに 玉 が 少 し 右 へず れ る とき は玉 は 時計 まわ りに 回 転 し,こ れ につ れ て水 は 右 手 へ回 り込 んで 右 手 に 多 くの 水 しぶ きが 飛 ぶ.右 へ 飛 ぶ 水 しぶ き の反 作 用 で ピ ンポ ン玉 は 左 へ, 噴 水 の ほ うへ と押 し戻 され る た め落 下 し な い の で あ る.水 が 右 へ 飛 ぶ 運 動 量 を 得 る の と代 償 に玉 は左 へ と 押 され る とい って も よい. 図56の

よ うに 口で吹 いて 小 さな プ ラ ス チ ック の玉

を 空 中 に 浮 か せ るお もち ゃが売 られ て い る.球 はフワ フワ と浮 い て 安 定 して い る.空 気 を 吹 き出 す パ イ プを

図55

少 し傾 け て空 気 の流 れ を斜 め に してや る と,球 は パ イ プ の真 上 か らはず れ て 横 の

ほ うで 空気 の流 れ を 受 け な が ら落 ち な い. プ ラス チ ッ クの玉 が 落 ち な い の は ピ ンポ ン の玉 が落 ち な い の と 同 じと考 え て も よい だ ろ う.図55で

も図56で

も玉 の左 側 の空 気 が 吹

き飛 ば され てそ この圧 力 が 下 が る ので 玉 が 左 へ 引 きつ け られ て 落 ち な い とい うこ と もで き るだ ろ う.マグナス

効果 と い う こ と もで き

る. ピ ンポ ン玉 の場 合 は 水 が 主 役 で あ るが 水 は 図56

ち ぎれ て多 数 の水 玉 とな っ て右 へ 飛 ぶ.こ

れ

は 流 体 力 学 とい うよ りも水 玉 の力 学 で あ る と して把 え る こ と もで き る.図56の 場 合 も,凧 が上 が る場合 も,流 体 力 学 と考 え な い で空 気 の粒 子 が 当 るた め に 揚 力 が 生 じる と考 え て も間違 い とは い えな い だ ろ う.こ れ を 完 全 流 体 の 力 学 で 扱 うと き は現 実 か ら相 当離 れ た モ デ ル で考 え て い る こ とに な る.力 学 と流 体 力学 の 区 別 は 人 為 的 な もの で,実 際 には 力学 と流 体 力 学 の中 間 の領 域 もあ る の で あ る.

第15講 等

角 写

像

―テ ー マ ◆流 れ の 変 換 ◆ジ ューコフ ス キ ー の変 換 ◆ TeaTime:複

素数

２次 元 の 流 れ の 変 換

第13講

で 学 ん だ よ う に,縮

ま な い 流 体 の ２次 元(x,y)面

複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル ω(z)=φ+iψ の と き(x,y)面

を 与 え れ ば 定 ま る(ω

内 の渦 な し の流 れ は はｚ の 解 析 関 数).こ

内 の 流 速(u,υ)は (1)

に よ っ て 与 え ら れ る. い ま,こ

の よ う な 流 れ を 与 え た と き,ｚ

る と す る.す

が 別 の 複 素 数 ζ の 解 析 関g(ζ)で

あ

なわち (２)

とす る.こ

の と き ω(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)も

ζ の 解 析 関 数 と な る.こ

れを （３）

と書 こ う.す (u',υ')は

る とW(ζ)は

ζ=x'+iy'の

解 析 関 数 で あ る か ら(x',y')面

内 の流 速

(4) に よ っ て 与 え ら れ る. 言 い 換 え れ ば変換z=x+iy→ (x',y')面

内 の 流 れ(u',υ')に

ζ=x'+iy'に

よ り(x,y)面

変 換 さ れ る,こ

内 の 流 れ(u,υ)は

の 変 換ω(z)→W(ζ)を

等 角 写像

と い う.

等 角 写 像 上 述 の 変 換 が 等 角 写 像 と 呼 ば れ る の は(x,y)面 (x',y')面

の ２つ の 曲 線 が 交 わ る 角 度 が

へ 変 換 した 後 も不 変 に 保 た れ る か ら

で あ る(図57). 【説 明 】ｚ

面 の 線 分 はdz=￨dz￨eiθ

と表 せ

る.２ つ の 線 分 をdz1=￨dz￨eθi,dz2=￨dz2￨eiθ2 と し,そ

の 間 の 角 をα=θ2-θ1と

すれ ば

(５)

と な る.こ

れ ら ２つ の 線 分 が 交 わ る 点 をz=

9(ζ)と し,dz1とdz2の

ζ面 に お け る 写 像 をdζ1

とdζ2と す れ ば

図57 (６)

ここ でdζ1=￨dζ1￨eiψ1,dζ2=￨dζ2￨eiψ2と

書 く と,こ

れ ら の 線 分 の 間 の 角 は α'=ψ2

−ψ1で あ る か ら

(7)

(５)と(７)を

比べれば

(８)

した が って １点 で交 わ る ２つ の線 分 の なす 角 は 変 換z→

である.ジ ュ ーコフ 変 換z→

ζに対 して 不 変(α=α')

ス キ ー の 変換

ζが

(９)

で 与 え られ る と き,こ

れ をジュ

ーコフスキー(Joukowski)の

変換 と い う.こ

の

変 換 に お け る ζ面 とｚ 面 の 対 応 を 調 べ る た め ζ面 に お け る 半 径ａ の 円 (10) を 考 え る と,変

換(９)に

よ り こ の 円 はｚ 面 で (11)

す な わ ちx=-2aと2aの

間 の 長 さ4aの

ψ= π/2はx=0に,ψ=-π

線 分 に 写 像 さ れ る.ψ=0はx=2aに,

はx=-2aに,ψ=3π/2はx=0に

写 像 さ れ る.

ま た ζ面 に お け る 半 径ｂ の 円 (12) はｚ 面 で (13) に 移 さ れ る,b＞aな x =2α ∼-2aを 加 す る と き,zbは

らばψ が０ か ら πを 経 て2π ま で 増 加 す る と き,zbは

反 時 計 まわ りに 回 り,b＜aな 線 分x=2a∼-2aを

こ れ か らわ か る よ うに,ζ

線分

ら ばψ が ０か ら π を 経 て2π ま で 増

時 計 まわ りに 回 る こ と が わ か る.

面 に お け る半 径ａ の 外 と 内 と はｚ 面 を ２重 に 覆 う の

で あ る． 【円 を 過 ぎ る 流 れ 】ｚ

面 に お け る複

素 速 度 ポ テ ン シ ャル ω(z)=Uz (14) を 考 え る と,dω/dz=U=u-iυで る か ら,こ

れ はｘ軸

あ

の 方 向 に 速 さＵ

で 流 れ る 運 動 を 与 え る(図58(a)). こ れ にジ ュ ーコフ ス キ ー の 変 換 を お こ な う と,ζ 面 の 複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル

(15) と な り,こ 図58

(図58(b))を 第14講

れ は 円を 過 ぎ る一 様 な流 れ 与 え る.こ

れ はす で に

で考え た 運 動 で あ る.

TeaTime

複素数 虚 数 が 扱 わ れ 始 め た の は ２次 方 程 式 の 根 を 形 式 的 に 書 く こ と か ら で あ っ た が, 16世 紀 に は イ タ リ ア の カ ルダ ーノ(Cardano)が

３次 方 程 式 の 解 を 求 め た 仕 事 が

あ る.３ 次 方 程 式 (１) は 適 当 な 変 換x→x+cに

よ り (２)

と書 き 直 さ れ る.カ

ただ し

ルダ ーノ は こ の 解 が

(３) で 与 え られ る こ とを 示 し た.実

際(３)を

３乗 し て み れ ばxjが(２)を

満 たす

こ と が わ か る. そ こ で た とえ ば (４) とす る と,p=-5,q=-4,R=-121と

な り,

よっ て ω-1=(-1-4√-3)/2=ω2,ω-2=ω

と な り,(４)の

正 し い 答(方

実 数 な の に 途 中 で は√-1を

を 用 い て

程 式(４)の

根)を

用 い ね ば な らず,さ

得 る が,こ

の と き ３個 の 根 は

らに (５)

と 約 束 し な け れ ば な ら な い. 虚数 を （６） と 表 し た の は オ イ ラ ー(L.Euler,1707−1783)で

あ る.cosx,sinx,eyのテイ

ラー展 開

（７ ）

に おい て形 式 的 にy=±ixと

おけ ばeix=cosx+isinax e-ix=cosx-isinx （８）

を 得 る.こ う.

れ はオ イ ラー の 公 式 と 呼 ば れ,お

そ ら く も っ と も 有 効 な公 式 で あ ろ

xとyと を 実 数 と した とき (９) は 複 素 数 と呼 ば れ る.実 軸 に直交 な虚 数軸 を 加 え て(x,y)平

面 上 で 複 素 数 を表

す こ とが で き る(図59).

(10) こ の(x,y)平

面 を ふ つ うは ガ ウ ス 平 面 と い う.

し か し こ れ を 考 え だ し た の は ガ ウ ス(C.F. Gauss,1777−1855)よ

り さ き のウェッ

セル とい

うデ ンマ ー クの 測 量 技 師 だ った とい うこ とで あ る.ガ

ウ ス 平 面 に お い て 実 軸 をｘ 軸,虚軸

軸 とす る.虚軸

はiy軸

と書 い た ほ うが 理 屈 に

合 う よ う に も 思 うが,iy軸 図59

と 記 す な らわ し で あ る.

をｙ

と は い わ ず にｙ 軸

第16講 ２次元の渦糸 系

―テーマ ◆ 渦糸 系の正 準運動 方程式 ◆不変 量 ◆ TeaTime:２

本 の渦糸

渦糸 に よ る 流 れ ２次 元 の 運 動 で 原 点 を 中心 とす る半 径ａ の 領 域 に 一 様 な 渦度 ωが 存 在 し,そ の 外 で は渦度 が な い とき,r〓aの

領 域 の流 速 は 第12講(23)に

より (１)

で与 え られ る.た だ しこ こでΓ は (２) こ こでΓ を 有 限 に 保 ち な が らa→0,ω→∞と

す る.こ

の とき 原 点 に は渦糸 が

存在 す る と い い,Γ を渦糸 の 強 さ とい う.今 回 は こ の よ うな渦糸 の 集 ま りに よ る ２次 元 の流 れ を考え る. ２次 元 の極 座 標 の動径 をｒ とす ると (３) で あ り, (４)

で あ る． 流 れ の関 数 ψを 用 い る と (５) と書 け る.(１)と(５)を

比 べ て わ か る よ うに 渦糸 に よ る 流 れ(１)は

流れ の

関数

(６)に よ っ て 与 え られ る (第13講  強 さΓiの 渦糸 が(xj,yj)に

(39),(41)参

照).

あ る と き(j=1,2,…),こ

れ らに よる流 れ の 関数

は

(７)

で与 えら れ る こ とに な る. 渦糸 系の 正 準 運 動 方 程 式 多 くの渦糸 が あ る とき,そ れ ぞ れ の 渦糸 は そ の場 合 に 他 の 渦糸 が 起 こす 流 れ に よっ て運 ば れ る.し た が ってｋ 番 目の 渦糸 の 位 置(xk,yk)の

運 動 は(５),(７)

により

(８)た だ し

(９ )

で与え

ら れ る.

こ こ で(x1,y1,x2,y2,…)の

関数(10)

す なわ ち (11) を導 入す る と (12) を得 る.こ の よ うに して (13) これ を(８)に

代入すれば

(14)

を 得 る. (14)は 質 点 系 の力 学 に お け るハ ミル トン の 正 準 運 動 方 程 式 に 相 当 す る形 を し て いて,Ｈは

こ の場 合 の ハ ミル トン関 数 で あ る.た だ 質 点 系 で は 位 置 と運 動 量 が

正 準 共役 の変 数 で あ る の に対 して,今 の場 合 はｘ 座 標 とｙ 座 標 が これ らに 当 る正 準 共役 変 数 で あ る． 質 点 系 の 力学 か ら質 点 系 の統 計 力学 が 導 か れ る の と同 様 に, 渦糸 系の 統 計 力 学 と して ２次 元 の 乱流 理 論 を建 設 す る 試 み もあ る. 渦糸 系と 質 点 系 の対 応 を よ り完全 にす る に は(14)を

(15)

と書 きxkを 質 点ｋ の座 標 に,ΓRykを そ の運 動 量 に 対 応 させ た ほ うが よ い(た だ しハ ミルトン 関 数(10)を

質 点 系 の ハ ミル トン関 数 と解 釈 す る のは 無 理 で あ る).

渦糸 系の 保 存 量 ２次 元 の 渦糸 系の 力 学 が 質点 系 の正 準 運 動 方 程 式 と同 じ形 に書 け たの で あ るか

ら,質 点 系 に お け る種 々の 保 存 量 に相 当 して,渦糸 系で も種 々 の 保 存 量 が あ る こ とに な る,た だ しハ ミル トン関 数 の 形 は た い へ ん 異 な る た め渦糸 系の 保 存 量 は 質 点 系 の 保 存量 と相 当違 う形 の もの もあ る, １. ハ ミル トン関 数 Ｈ は 保 存 さ れ る(エ ネ ル ギ ー とい う意 味 は な い). 【証 明 】(14)を

使 って 書 き直 せ ば

(1 6) ２. 質 点 系 の 重 心(あ

る い は 全 運 動 量)に

相 当 す る量

(17) は 保 存 さ れ る.(x0,y0)は

渦糸 系の 重 心 と 呼 ば れ る.

【証 明 】 ハ ミルトン 関 数 は すべ て のykを い.δxk=0,δyk,=δyと

同 じ量δyだ

け変 化 さ せ て も 変 わ ら な

おけば

(18) し た が っ てdΣΓkxk/dt=0.ま

た す べ て のxkを

ル トン 関 数 は 変 わ ら な い の でδxk=δx,δyk=0と

同 じ量δxだ

け変 化 さ せ て もハミ

お けば

(19) し た が っ てdΣΓkyk/dt=0.

３. ΣΓk(xk2+yk2)(原

点 の ま わ りの 慣 性

モ ー メ ン トの 形 を し て い る)は

保 存 され る.

【証 明 】  ハ ミル トン 関 数 は 座 標 系(x,y) を 微 小 角δ θだ け 回 転 し て も 不 変 で あ る(図 図60

60).こ

の 回 転 で(δθ≪1)

(20)

した が っ て (21) よ っ て こ の変 分 に よ る ハ ミル トン 関 数 の 変 化 は

(22) ４.原

点 の ま わ りの 角 運 動 量 の 形 を し た 不 変 量 (23)

が あ る. 【証 明 】

(10)の

ハ ミル トン 関 数 の 変 数xk,ykを

す べ てλxk,λykに 変 え る とrjkは

λrjkに 変 わ る の で (24) と な る.こ

の 両 辺 を λで 微 分 す る,左

分 し て λx1,λy1,…を

λで 微 分 す る.こ

辺 を λで 微 分 す る と き はλx1,λy1,…

で 微

うして左 辺 か らは (25)

こ れ に(14)のxk,ykを

λxk,λykで 代 え た も の を 代 入 す れ ば

(26) 他方 で 右辺 か らは (27) そ こ で(26)と(27)を

等 し い とお きλ=1と

は 定 数 ば か りか ら な る の で 不 変 量 で あ る.

す れ ば(23)を

得 る,(23)の

右辺

TeaTime

２本 の 渦糸 ２本 の渦糸 が 相 互 作 用 を して い る場 合,一 方 の 渦糸 が 第 ２の 渦糸 に比 べ て非 常 に弱 い な らば,第

１の渦糸 が つ くる流 れ は ほ とん どな く,流 れ は 第2の 渦糸に よ

ってつ くられ る とみ て よい だ ろ う.そ し て第 ２の 渦糸 は 不 動 で 第 １の渦糸 は そ の まわ りを回 る こ とに な るに ち が い な い.こ れ を確 か め てみ よ う. (１) とお くとハ ミル トン関 数 は

(２)で あ る.渦糸

の 位置 を (３)

と 書 く とr2=(x-X)2+(y-Y)2で

あ り,運 動 方 程 式 は (４)

(５) とな る.こ

こ で≪Γ

と す れ ば(５)に

よ り

と し て よ く,(４)は

から

が導 かれ る.す なわ ち第 ２の渦糸 は 静 止 し,第

１の 渦糸 が そ の まわ りを 等速 円運

動す る.非 常 に弱 い渦糸 は そ の 他 の渦糸 が つ くる流 れ を 調 べ る試 験 体に な り うる の で あ る.

第17講 渦糸 のい ろいろの運動

―テーマ ◆ 渦糸がつ くる流れ ◆渦輪 ◆ TeaTime:低

気圧 の動 き

渦糸 の 相 互 作 用 小 さな孔 を あ け たボール 箱 に 煙 を 入 れ て お き,箱 を 軽 く叩 くと孔 か ら煙 が ドー ナ ッツ状 の輪 に な って 出 て くる.口 を 丸 くし てた ば こ の煙 を 口か ら出 す と き も同 じ よ うな 輪 が で き る.こ れ らは輪 に な った 渦 輪 で あ り,渦 輪 は壁 に 当 って 広 が っ た りして な か な か お も しろ い運 動 をす る． 川 の 流 れ の 中 に は 直線 状 の 渦糸 が 水 面 に 出 た と ころ の運 動 が み られ,い

くつ もの渦糸 が相 互作 用 し合 う様 子 が 観 測 で き

る.今 回は 渦糸 の特 徴 的 な運 動 を い くつか 考 察 す る こ とにす る.

２本 の 平 行 渦 基 本 的 な運 動 と し て ２本 の 平 行 な直 線 渦糸 の相 互 作 用 を調べ よ う.こ の場 合 は 渦糸 に垂 直 な面 を(x,y)面

と し,そ れ ぞ れ の渦糸 の 位 置 を 複 素z=x+iyで

表 す こ とが で き る．２本 の渦糸 の 強 さ(不 変)をΓ1,Γ2と す る と第16講 ハ ミル トン関数Ｈ は一 定 で あ る か ら

で考 えた

(１) し た が っ て ２本 の 渦糸 の 距 離r12は

一定 (２)

で あ り,第16講(17)で

述 べ た 重 心Gの

位置 (３)

も不 変 で あ る(Γ1+Γ2≠0と

す る).し

た が っ

て ２ 本 の 渦糸 は 重 心 の ま わ り に 円 運 動 を す る (図61).こ 図61

の と き 角 運 動 量Lは

2π に 等 し い(第16講(23)).ゆ

一 定 でΓ1Γ2/ えに

(４) で あ る.重

心Ｇ

を 座 標 系(x,y)の

原点 と して

(５)

とお け るか ら,こ れ らを(４)に

代 入す れ ば

(６) を 得 る.し た が っ て この渦糸 系は 重 心 の まわ りに 角 速 度 (７) で 回 転 す る. 【渦 対】Γ1+Γ2=0の

と きは ２本

の 渦糸 系を 渦対 という.こ

の ときは

重 心 は 無 限 遠 へ い って し ま った極 限 (Γ1+Γ2→0)と る.渦糸

考 え る こ とが で き

１の速 度 は(図62)

図62

(８)

渦糸 ２の 速度 は (９) こ こで極 限Γ2→-Γ1=Γ

を とれ ば 渦対は 渦 対を 結

ぶ直 線 に垂 直 に (10) で進 む ことが わ か る.た が いに 別 の渦糸 が つ くる流 れ に乗 って運 動 す る と解 釈 す る こ とが で き る.渦 対 に よる流 速 は 図63の

よ うに な り,渦糸 が 車 輪 の よ

うに な っ て進 ん で い くと解 釈 す る こ と もで き る.

図63

渦糸 に よ る 流 れ 渦糸 が そ の まわ りに流 れ を つ くる様 子 は 電 流 が そ の まわ りに 磁 場 をつ くる様 子 に類 似 して い る.電 流 を微 小 な部 分diに 分 け て 考 え る と,こ dHはビ

オーサ バール(Biot-Savart)の

れ が つ く る磁 場

法則に よ り (11)

で 与 え られ る.こ れ と同 様 に 渦糸 の 微 小 部 分Γdsはrだ

け隔 た っ た とこ ろ に

(12)

だ け の 流 れ を つ く る.渦糸

は た が い に こ の よ うな

流 れ に よ っ て 流 し 合 うの で あ る. 【直 線 渦糸 に よ る流 速 】 無 限 に 長 い 直 線 渦糸 に よ る 流 れ を 上 の 式(12)を 渦糸 か ら の 距 離をａ

用 い て 計 算 し て み よ う.

と し,図64の

よ う に 角θ を

と れば￨ds×r￨=rdssinθ,r=a/sinθ,s=acotθ, 図64

ds =-adθ/sin2θ

なので

(13) これ を θ に つ い て-π

か ら0ま

で積 分 す れ ば (14)

こ れ が 直 線 渦糸に

よ る 流 速 で あ る .Г=2πavは側

渦

は 循 環 に な っ て い る.

輪

丸 い輪 の形 を した 渦糸,す

なわ ち 渦 輪 に よ る流 れ は 図65

の よ うに な って い て上 の部 分 が つ くる流 れ は下 の部 分 を 前 進 させ,下

の部 分 が つ くる流 れ は 上 の部 分 を 前 進 させ る.渦 輪

の 各部 分 に つ い て 同 じ こ とが いえ る.こ の た め 渦 輪 は 自分 自 身 が 引 き起 こす 流 れに よ って 前進 を続 け る. 渦 輪 の前 進 方 向に 垂 直 な 壁 が あ る とす る と,壁 に 垂 直 な 流 図65

れ は な い こ とに な る.こ れ は壁 の 向 こ う側 に渦 輪 の鏡 像 が あ

る とす れ ば実 現 さ れ る流 れ で あ る(図66).鏡

像 が つ くる流 れ の た め に渦糸 は壁

に近 づ くにつ れ て半 径 が急 激 に増 大 す る. ま た 同 じ向 き に 回転 す る２ つ の渦 輪 が 図67の

よ うに前 後 に 並 ん で い る とき は,

うし ろ の輪 の つ くる流 れ のた め に前 の 輪 は 半径 を 増 しな が ら前 進 速 度 が 小 さ くな り,う しろ の 輪 は 前 の 輪 が つ くる流 れ の ため に半 径 を 縮 小 しな が ら速 度 を 増 して 前 の輪 を 通 り抜 け る こ とに な る.こ れ もた ば こ の煙 な どで み られ る現 象 で あ る.

図66

図67

TeaTime

低気圧 の動き 気 象情 報や 天 気 予 報 で,低 気 圧 や 台 風 の 動 き が気 に な る こ とが た び た び あ る. 低 気 圧 は 大気 の流 れ に よ って 移 動 し,そ の運 動 は 地 球 の 自転 の た め のコリ オ リ力 の作 用 を 受 け る.赤 道 近 くの地 表 は そ の 北 よ りも 自転 の た め の 速度 が 大 き い か ら,台 風 は 赤 道 付 近 か ら北 上 す る につ れ て 東 へ ず れ る(こ れ がコリ 用).秋

オ リ力の 作

の台風 が 日本 付 近 で放 物 線 を えが くよ うに東ヘ カ ー ブす る の は この た め

で あ る.台 風 や 低 気 圧 へ 吹 き込 む気 流 は や は りコリ オ リ力 を受 け て北 半 球 で は 右 へず れ るの で ま っす ぐ低 気 圧 の 中 心 へ 吹 き込 まず に等 圧 線 にそ っ て反 時 計 まわ り に風 が 吹 くの で あ る.い わ ば 低 気 圧 に よ る気 圧 の勾 配 の作 用 とコリ オ リ力 とが釣 り合 っ て反 時 計 まわ りに風 が 吹 くわ け で あ る. ２つ の低 気 圧 が 並 ん で進 む とき は渦糸 の相 互 作 用 に い くらか 似 た 力が は た ら く よ うにみ え る.大 気 の 運 動 は 流 体 力 学 の観 点 か ら理 解 で き る こ と も多 いが,大 気 の厚 さは 非 常 に 薄 い こ とを 忘 れ ては な らな い.大 気 の圧 力 か ら み れ ば 地 表 の密 度 で大 気 が 上空 へ広 が って い る とす る と大 気 層 の厚 さは 約10kmに にな る.実 際 に は航 空 機 は10000mの

高度 で も飛 ぶ か ら10km以

す ぎな い こ と 上 で も大気は

存 在 す るが,地 表 よ りもは るか に 希 薄 に な って い る.大 気 層 を大 気 の 海 に た とえ れ ば こ の海 は 横 へ の広 が りに比 べ て非 常 に浅 い とい わ な け れ ば な ら な い.そ のた め大 気 の流 れ は 地 表 面 の山 や 森 のた めに 大 きな 影 響 を 受 け るわ け で あ る.

第18講 渦列

―テーマ ◆ １列の渦列 ◆ カルマ ンの渦列 ◆TeaTime:公

式

１列 の 渦列 同 じ強 さの 渦糸 が一 直 線 上に 等 間 隔 に 並 ん だ も の を過列 と い う.時 計 ま わ り の循 環Γ の 渦糸 がｘ 軸 上 に無 限 に並 び,そ x+iy砂に お け る流 れ は第13講(39)の

の 間 隔がａ で あ る とす る.複 素 面z=

複 素 速 度 ポ テ ンシ ャル を 重 ね 合わ せ た式

(１)

で与 え られる.n≠0に

対 しlog(z-na〓)+定数

と書 き直 して公 式

(２)を用 い る と複 素速 度 ポ テ ン シ ャル(１)は

(３)

と 書 け る.流

速(u,v)は

(４) ここで 公 式 (５) を用 いれ ば 流 速 は (６)

(７) で 与 え ら れ る.y≫aで と な る.す

はu=Γ/2a,v=0と

な り,-y≫aで

はu=-Γ/2a,v=0

な わ ち 渦列 か ら 離 れ た と こ ろ でｘ 軸 の 上 側 と下 側 と で逆 向 き に 流 れ て

い る. Γ とａ を 小 さ く し た 極 限 で は 渦列 は 密 集 し た 直 線 に な る.こ

れ を 渦 層 と い う.

この 流 れ は 上 部 と下 部 が逆 向 きに一 定 の 速 さで 流 れ る不 連 続 流 とみ られ る(図68).こ の よ う な流 れ は 不 安定 で あ る.そ れ は この 境 界 に 小 さな

図68

擾 乱 が 起 こ って流 れ に 上 向 きの 山 が で き た とす る と境 界 の上 で は流管 が 狭 く,下 で は広 くな る の で ベ ル ヌ ー イの 定理 に よっ て上 の圧 力 は 小 さ く,下 の圧 力 は 大 き くな り,擾 乱 は ます ます 大 き くな るか らで あ る. この よ うな不 連 続 流 と同様 に１ 列 の渦列 は 不 安 定 で あ る こ とが わ か る.安 定 化 す る た めに は少 な くと も２列 の渦列 が 必 要 で あ る.

２列 の 渦列 １つの 渦列 と平 行 に循 環 の強 さが 同 じで逆 向 き の 渦列 を も う 図69

１つ お い た とす る.一 方 の渦列

の渦糸 の 位 置 をz=na,他 (n=0,±1,±2,…)と

方 の 渦列 の 渦糸 を 中 間 に お き,そ す る.渦糸

の 配 置 は 図69の

の 位 置 をz=z0+na

よ う に な る.複

素 速 度ポテ

ンシ ャル は

(８)

と な る が,こ

こで と くに

(９ )

と す る. 上 の 渦糸 の 列 は 下 の 渦糸 の 列 に よ っ て 動 か さ れ る.そ これ は(６)に

(10) とな る,下

お い てy=b,x=a/2と

の 速 さ をＶ

と す る と,

し て与 え られ

の列 の 動 く速 度 も同 じで,２ 重 の渦列 は 速 度Ｖ で右 向 き に進 行 す る. カ ル マ ン の 渦列

前 節 で 述 べ た ２重 の渦列 は,１ 重 の渦列 と 同様 に一 般 に は 外 部擾 乱に 対 し て不 安定 で あ る.し か し例 外 的 に (11) す なわち (12) の 場 合 に 限 り安 定 で あ る.こ っ て 示 さ れ た の で,こ

れ は1911年

に カ ル マ ン(Th.von

の 渦列 を カ ル マ ン の 渦列 と い う.実

の よ う な 安 定 な ２重 渦列 が 観 測 さ れ る.そ 列と は 異 な る と こ ろ も あ る が,b/aの

Karman)に

よ

際 の流 体 に お い て も こ

れ は 粘 性 の影 響 に よ っ て完 全 流 体 の渦

値 な ど は 上 の 値 と だ い た い 一 致 し た 渦列 が

観 測 さ れ る. カ ル マン は ２重 渦列 を 流 れ の 中 の 物 体 に は た ら く抵 抗 と 結 び 付 け た.た

とえ ば

一 様 な 流 れ の中 に 円 柱 を 置 くと流 速 が 小 さ い と きは 円柱 の うし ろ に前 後 対 称 なポ テンシ ャル 流 が 実 現 さ れ る.し か し流 速 を 上 げ る と円柱 との 間 の粘 性 の た め に 円柱 の う し ろ に 渦 対が 発 生 す る (図70(ａ)→(ｂ)).さ らに 流 速 を 大 き くす る と渦 対は 不 安 定に な っ て左 右 交 互 に 円柱 か ら 図70

離 れ て流 れ 下 って 渦列 を 形 成 す る(図70(ｃ)).こ

の とき カル マ ンの渦列 が で きる の で あ る.渦 は つ ぎ

つ ぎに 円 柱 を 離 れ るの で,そ の ため に流 れ は エ ネ ルギ ーを 食 わ れ,そ れ が 円 柱 に 対 す る流 れ の 抵 抗 とな るわ け で あ る. カ ル マ ン の渦列 の場 合,渦列 2√2aで

は 円柱 か らU-Vの

速 さ で 遠 ざ か り,v=Γ/

あ る． しか し円柱 の半 径 を与 えて も渦 の間 隔ａ やV/Uの

値 は カル マ ン

の 理 論 で 与 え られ な い.こ れ らを 実験 で求 め た とす る と,円 柱 の単 位 長 さが 受 け る抵 抗 力Ｄ を 渦 発 生 の １周期 に わ た って平 均 した 値 は (13) に よ って 与 え られ る.円 柱 の半 径 をｄ と して 抵 抗 係 数

(14)

を定 義 す る と

(15)

と な る. た と え ばd=1.5cmの

場 合,実

測 値 はa=6.5cm,V/U=0.14な

の で(15)

か らCD=0.91と

な る.こ

一 致 し て い る(な

おb/aの

れ に 対 し(14)の

実 測 値 は0.90と

実 測 値 は0 .28で 理 論 値(12)と

な り,き

わめて よ く

完 全に

一 致 して い

る).

TeaTime

公式 こ の 公 式 が 正 し い ら し い こ と は 右 辺 も 左 辺 もz=0,±1,±2,… と,sinπz/πzがz→0で

１に な る こ と か ら 推 定 され る.こ

で ０に な る こ の よ う に 両 辺 の 零点,

あ る いは 根 が 一 致 す る こ とか ら等 式 が導 かれ る のは 複 素 関 数 論 に お い て一 致 の 定 理 と呼 ば れ て い る.こ

の 定 理 に よれ ばf(z)の

零点 をan(n=1,,2,…,∞)と

とき

別 の 方 法 と し て αを 整 数 で な い 実 数 とす る フ ー リエ 展 開(-π<x<π)

に お い てx=π,a=zと

お くと

した が って

これ を積 分 してz→0でsinπz/πz→1を

考 慮 す れ ば 初 め の公 式 が 得 られ る.

す る

第19講 渦

定

理

―テ 一マ

◆ヶ ル ビン の 循 環 定 理 ◆渦 の不 生 不 滅 ◆ TeaTime:エオルス

音

渦 今 回 は 渦 に 関 す る基 本 的 な事 柄 を復 習 し,い

まず,流 速v=(u,v,w)の

くつ か の 渦 定 理 に つ い て述 べ る.

場において

(１)

を渦度 とい う． これ は ベ ク トル で あ り,渦度 ベ ク トル の方 向 と各 点 で 接線 の方 向 が 一 致 す る 曲線 を渦 線 とい う.ま た,小

さな閉 曲線 を通 るす べ て の渦 線 に よっ て

形 成 され る管 を渦管 とい う.さ らに 断 面 積 が 無 限小 の渦管 に 含 まれ る流 体 部 分 を 渦糸 とい う. 閉 曲 線Ｃ の線 素 をds(ベ

ク トル)と

しＣ に沿 って １まわ りす る積 分

(２)

を循 環 とい うこ とは す で に 述 べ た.

ス トー ク ス の 定 理 閉 曲線Ｃ を 周 縁 と す る 任 意 の 面 をＳ とす る と き(図71)

(３)

が 成 り立 つ.こ

図71

【略 証 】 まず(x,y)面 を もつ面 積⊿S=⊿x⊿yの 72),ベクトルｖ

こ で(rotv)nは

面素dSの

線ｎの 方 向 のrotvの

成 分 で あ る.こ

ト ー ク ス(Stokes)の

定 理 と い う.

法

れを ス

内 でｘ 軸 とｙ 軸 に平 行 な 辺 微 小 な 長 方 形 を 考 え る(図

の成 分 を(u,v)と

にお け るｕ の 値 をu(A),Ａのｘ

し,た

と え ばＡ

座 標 をxAな

ど と書

く.高 次 の項 を 無 視 す れ ば,長 方 形 を １周 す る積 分 は

図72

(４) と 書 け る.こ

こ でxB-xA=-(xD-xC)=⊿x,yC-yB=-(yA-yD)=⊿yで

あ り,

(５)

した が って

(６)

とな る.こ こで 法線ｎ 方 向 の(rotv)nはｚ方

向 の成 分(rotv)zに

ほか な らな い.

面Ｓ を 細 か く分 け て上 述 の結 果 を面Ｓ 全 体 に つ い て加 え 合 わ せ れ ば(３)を 得 る.こ の式 で右 辺 はＣ を周 縁 とす る任 意 の 面Ｓ 全 体 にわ た る積 分 で あ る. 渦管 の 強 さ １本 の渦管 を考 え,そ の側 面 に 沿 っ て渦管 を１ 周 す る 閉 曲 線 をＣ と し,同

じ

渦管 を 別 の と ころ で１ 周 す る 閉 曲線 をＣ'と す る と

(７)が 成 り立 つ.こ

こで ω は 渦度,σ

は 渦管 の 断 面 積 で あ る.し

た が って

(８)は 同 じ渦管 を１ 周 す る閉 曲線Ｃ の 選 び 方 に よらな い．Γ(C)は 渦管 の強 さ で あ る. ωσの 値 は１ つ の 渦管 の ど こ を と っ て も 同 じ な の で あ る.し

た が っ て 渦管 は 流 れ の 途 中 で 中 断 す る

こ と は な く,境

界 か ら 境 界 ま で 伸 び て い る か,自

分 自 身 で 閉 じ て 渦 輪 を つ く る か で あ る. 【証 明 】 渦管 の 管壁 に 沿 っ てＣ す る 面 を 考 え てＳ とす る.渦度 の でSの

上 で(rotv)n=0で

とＣ'を 周 縁 と

は この 面 に平 行 な あ り,図73の

にＣ とＣ'を 結 ぶ 部分 で は∫v・dsは

よ う

たが いに打ち消し,Ｃ'で

図73

はＣ と逆 向 き に回

る ので

(９)で あ る.と くに渦管 に垂 直 な 断 面 積 の周 縁 をＣ に 選 べ ば (10) とな り(８)が

導 か れ る.

ケ ル ビ ンの 循 環 定 理 保 存 力 の も とで の完 全 流 体 の運 動 に お い ては,流 体 と と もに 動 く任 意 の閉 曲線 に沿 う循 環 は 時 間 的 に不 変 で あ る.す な わ ち

(11)

あ るい は (12) こ れ をケルビン(Kelvin)の 【証 明 】

循 環 定 理 と い う.

閉 曲 線Ｃ を 微 小 部 分 に 分 け て 書 け ば (13)

と 書 け る.時

刻ｔに

け るΓ の 値 をΓ[t]と

し (14)

と お く. (15) こ こ で 図74に

お い てＡ,Ｂ,Ａ',Ｂ'の

位 置 をrA,rB,rA',rB'と

し

(16)

と す る.ま

た,対

応 す る速度 に 関 して (17)

とお き 図74 (18) した が って (19) と 書 け る.v=v(t),⊿s=⊿s(t)な

ど と略 記 す る と

(20) し た が っ て⊿o→0,⊿t→0の

極 限において

(21) と 書 け る.こ

こ で⊿v/⊿tは

運 動 方 程 式に よ り

(22) で与え

られる.た

だ し外力Ｋ

圧 力 関 数 で あ る.ゆ

はポ テ ンシャルＵ

を も つ と し,ま

たP=∫dp/pは

えに

(23) と な る. ま たv=(vA+vB)/2と

して よい の で (24)

した が って (25) 閉 曲 線Ｃ をＡ,Ｂ,Ｃ,…

に 分 け る と,上 式 の 右 辺 の 各 項 は た が いに 打 ち 消 し 合 っ て (26)

と な る. 【ヘルムホルッ の 渦定 理 】

ケ ル ビ ン の 循 環 定 理 か ら次 の 定 理 が 導 か れ る.

保 存 力 の も とで の 完 全 流 体 の 運 動 に お い て は,(１)１ 渦管 と し て 保 た れ,そ

つ の 渦管 は 常 に １つ の

の 渦管 の 強 さΓ は 不 変 に 保 た れ る.(２)初

上 に あ っ た 流 体 部 分 は い つ ま で も 同 一 の 渦糸 を 形 成 す る.こ (Helmholtz)の

め 同一 の渦 線

れ をヘルムホルツ

渦 定 理 と い う.

【ラ グ ラ ン ジ ュ の 渦 定 理 】

ま た 次 の 定 理 も 導 か れ る.

保 存 力 の も と で の 完 全 流 体 の 運 動 に お い て は 渦度 は 発 生 す る こ と も 消 滅 す る こ と も な い.こ

れ をラグランジュ

の 渦 定 理,あ

る い は 渦 の 不 生 不 滅 の 定 理 と い う.

実 際 の 流 体 で 渦 が 発 生 す る の は 粘 性 の た め で あ る．

TeaTime

エオルス音 牛 乳 パ ッ クの箱 と墨 汁 とで カ ル マン の渦列 の実 験 が で き る.パ して つ く った箱 に 水 を 入れ,表 面 に少 量 の墨 汁 を広 げ る.つ

ックを 輪切 りに

ま よ うじの先 端 を水

に 入 れ て水 平 方 向 に ゆ っ く り動 かせ ば カ ル マ ンの渦列 が で き る.こ の上に 短 冊型 に 切 った 適 当 な紙 を落 とす と流 れ 模 様 が 転 写 され る.水 洗 い す れ ば 余 分 な墨 が流 れ て渦列 模 様 が は っ き り出 る. この よ うに 流 体 の 中 で 円柱 状 の物 体 が 進 む とき,あ

るい は流 れ が物 体 に 当 る と

き,物 体 の うしろ に 左 右 交互に 渦 が発 生 して カル マ ン の渦列 に な る. 鞭 を打 った と き聞 え るヒュ ー という 音 も,電 線 に風 が 当 って 発 す る音 もエオル ス音 とい って,カ ル マ ン の渦列 に よ る もの で あ る(エオルス

と い うのは ギ リシ ア

神話 に 出 て くる 風 の 神 の名 ア イオロス に 由来 す る).電 線 な どの 直 径 をDcm,風 速 をvcm/秒

とす る と き,発 生 す るエオルス 音 の 高 さをｆ ヘ ル ツ とす る と

とな る. ア メ リカ北 西 部 の タ コマ 市 の タ コマ 橋 が つ くられ て 間 もな く強 風 に あお られ て 破壊 した こ とが あ る.こ れ は 橋 脚 の上 下 に交 互 に渦 が発 生 し て橋 脚 が ね じれ て壊 れた の で あ る. カル マ ン の渦列 が 発 生 す る に は実 は流 れ の粘 性 が 関 係 し,粘 性率 を η,流 体 の 密度 を ρと した と き レ イ ノル ズ数(第26講

が 約1000か =4cm/秒

ら10000の

参 照)

間 に あ る と き に 発 生 す る.水

の 場 合D=3mmな

以 上 で カ ル マ ン の 渦列 が 発 生 す る こ と に な る ,

ら ばv

第20講 ラグ ラ ン ジ ュの運 動 方 程 式

―テ ーマ ◆ラグランジュの記述 ◆ヤ コビア ン ◆ TeaTime:ラ

グランジュ.ラグ

ランジュ

の記 述

流 体 の微 小部 分 を 流 体粒 子 と呼 ぶ こ とに す る と,流 体 は無 数 の流 体 粒 子 か ら成 る もの とみ なせ る.各 流 体 粒 子 に 着 目 して 流体 の運 動 を調 べ る方 法 をラ グ ラ ンジ ュの記 述 とい う.簡 単 の た め ２次 元(x,y)面 流 体 粒 子 の 位 置 を(x,y)と

内 の流 体 運 動 につ い て考 え よ う.

す る と運 動方 程 式 は

(１)

と書 け る.た だ しｐ は流 体 の圧 力,ρ は 密度,Ｘ

とＹ は 単 位質 量 に は た ら く外

力(重 力 な ど)で あ る. 各 流 体粒 子 を 区別 す る パ ラ メ タをａ,ｂ(た と えばt=0に

お け る 位 置 座 標)と

し,粒 子 の位 置 お よび 圧 力 を (２)

と書 く.∂x/∂a,∂y/∂aを(１)の

両 式 に か け て加 え合 わ せ,同

様に∂x/∂b,∂y/

∂ bを か け て 加 え合 わ せ る ことに よ り,ａとｂを 独 立 変 数 とす る方 程 式

(３)

を 得 る.こ

れ が ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 で あ る.こ

こで な ど(４)

を 用 い た. a∼a+δa,b∼b+δbを

占 め る流 体 粒 子 の体 積 は

(５) で 与 え られ る.こ

こで

(６)

は 変 換(a,b)→(x,y)に 次 節 参 照).t=0の

対 す る ヤ コ ビアン で あ る(ヤコビの行列式 と き の 流 体 粒 子 の 位 置 を(x0,y0),そ

ｔに お け る 同 じ粒 子 の 位 置 を(x,y),密

と も い う.

の 密 度 を ρ0と し,時

度 を ρ とす れ ば 連 続 の 方 程 式 は(時間によらない) (７)

で 与 え られ る.と

くに縮 まな い流 体 で は

(８)

と し て,連

刻

続 の方 程 式 は ラ グ ラン ジ ュの記 述 で は

(９)

で与 え られ る.

ヤ コ ビア ン 座 標 系(x,y)か

ら 曲線 座 標 系 (10)

に 移 った とき面 積 要 素 が どの よ うに変 換 され るか を 考 え よ う. O-xy面 上 に 曲線 群u=一

定 ,v=一

定 を えが け ば 点(x,y)は(u,v)に

て表 され る.こ れ が 曲 線 座標 で あ る.u=一

定 あ るい はv=一

よっ

定 の曲線を表す

のに 曲 線 に 単 にｕ あ るい はｖ と記 す 方 法 が 用 い られ て い る.こ れ はｘ 軸 やｙ 軸 に ｘ やｙ を 付 け る の と ま っ た く違 うの で い く ら か ま ぎ ら わ し い が,こ u1と かu1+⊿uと

こ で も曲線 群 に

か 書 い て,u=u1=一

の 曲 線 と かu=u1+⊿u=一

定

定 の 曲線 を 表

す こ と に す る. ４つ の 曲 線u=u1,u=u1+⊿u,v=v1, v=v1+⊿vを

考 え,図75の

の 交 点 をＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄ

よ うに これ ら

と す る.⊿uと⊿vが

小 さ い と す る と ４辺 形ABCDは 形 と み な す こ と が で き る.原 ら の 点 を 表 す と,平

平 行 ４辺 点0か

行 ４ 辺 形ABCDの

図75

ら引 い た 位 置 ベ ク ト ルrA,rB,rC,rDで 面 積⊿Sは

これ

ベ ク トル 積 のｚ 成 分 を 用 い て

(11) と書 け る.こ

こで

(12)

であ るか ら

(13) を 得 る, O-xy面

上 の 面 積 要 素 は⊿S=⊿x⊿yと

書 け る か ら,上

式は記号的に

(14) と 書 け る.ま

た この逆 は (15)

と 書 け る.(15)を(14)に

代入すれば

(16 ) これ か ら わ か る よ うに (17) が 成 り立 っ. ヤ コ ビ ア ンは 行 列式 の形 で

(18)

ゆ えに関係式

(19) も成 り立 つ. 変 数 が 多 い場 合 もヤ コ ビア ンは 行 列 式

(20)に よ っ て 定 義 さ れ,体

積要 素 は (21)

と な る.

TeaTime

ラグラ ン ジ ュ ラグランジュ(L.de

Lagrange,1736-1813)は

解 析 力 学 に お け る業 績,こ

と

に ラ グ ラ ン ジ ュの方 程 式 で有 名 で あ るが,流 体 力 学 に お い て も30歳 先 輩 だ った オ イ ラー と並 ぶ ほ どの仕 事 をな し遂 げ た.ニ 床 や 壁 を 建 て,ラ

ュ ー トンは 力 学 を 創 り,オ イ ラ ーは

グ ラ ンジ ュは 力 学 を 楽 しい ま と ま った 家 に つ く りあ げ た と もい

え る. ラ グ ラ ンジ ュに よれ ば,オ イ ラー は流 体 力 学 に 貢 献 した ので な く,流 体 力 学 を 創 っ た の で あ った．ラ グ ラ ンジュ は 渦 な しの 流 れ に対 して 速度 ポ テ ンシ ャル を導 入 し,こ れ を用 い て オ イ ラー の方 程 式 が １回 積 分 で き る こ とを 示 した.こ

うして

得 られ た のが 一 般 化 さ れ た ベル ヌー イの 方程 式 で あ る. オ イ ラ ーの 方 程 式 は 流 れ の場 を表 す ３成 分 に対 す る連 立 した 運 動 方 程 式 と流 体 の連 続 性 を 表 す 連 続 の 方 程 式 とか ら成 る もの で,み た と こ ろは 簡 単 であ るが,こ れ に 含 まれ る 内容 は 広 大 で あ る.質 点 力 学 で ３体 問 題 も一 般 に解 け な い の だ か ら,無 数 の粒 子 を 含 む 流 体 力学 の基 礎 方 程 式 が 一 般 に 解 け ない のは 当 然 で あ るか も しれ な い. ラ グ ラ ンジ ュの 言 葉 を 借 りて い えば,「 完 全 に解 くこ とは お そ ら く常 に解 析 の 能 力 を越 え る もの で あ ろ う.そ して厳 密 な 計 算 の で き るの は き わ め て 少 な い(あ

る いは 特 別 な)運 動 の 場 合 だ け で あ る」. ラ グ ラ ン ジ ュは オ イ ラ ーの 観 点 を 越 えて 新 しい 流 体 力 学 の基 礎 方 程 式 を つ くろ うと した.そ

うして で きた の が 流 体 力 学 に お け る ラ グ ラ ンジ ュの運 動 方程 式 で あ

る.し か しラ グ ラ ンジュは 問 題 に よ って は オ イ ラ ーの運 動方 程 式 の ほ うが す ぐれ た 点 が 多 い こ とを 認 め な けれ ば な らな か った.

第21講 トロ コイド

波

―テーマ ◆厳密な重力波の理論 ◆重 力波の伝播速度 ◆ TeaTime:波 の研究

トロ コイド 波 の 理 論 1802年 に チ ェ コス ロバ キ ア の ゲル ス トナー(F.J.von

Gerstner)は

深い水の

重 力 波 の理 論 を つ くった.こ れ は 完全 流 体 に対 す る もの で や や 素朴 で は あ るが 最 初 で しか もほ とん ど唯 一 つ の厳 密 解 で あ る.こ れ はト ロ コイド 波 と呼 ぼれ る.ト ロコイド とは 円板 が 直 線 に 沿 って す べ る こ とな く ころが る とき に 円板 上 の１ 点 が えが く軌 跡 の 曲線 で あ る.ト ロ コイド 波 は 渦度 を もつ.し た が っ て静 水 か らト ロ コイド 波 を起 こす と きは 実 際 は い くらか 粘 性 が 効 い て い るは ず で あ るが,ト

ロコ

イド波 の 理 論 では 粘 性 は 無 視 し定常 的 な 運 動 を 仮 定 す る。 無 限に 深 い 水 の周 期 的 な 運 動 を上 下 方 向ｙ と水 平 な進 行 方 向ｘ の２ 次元 断 面 で 考 察 す る.波 の表 面 は 圧 カー 定 の 曲線 で あ り,ま た表 面 の水 の粒 子 の 運 動 軌跡 で あ る.そ して 表 面 下 に お い て も一 定 圧 力 の 曲線 が 連 続 し て続 い て いて,こ れ ら も そ れ ぞ れ波 の表 面 に な りうる もの で あ る. トロコイド 波 は 次 の よ うに表 され る． 水 平にｘ 軸,鉛

直 上 方 にｙ 軸 を選 ぶ ,水

の 粒 子 は そ れ ぞ れ 円 運 動 を し,そ の円 の 中 心 の 座標(a,b)に

よ っ て 水 の粒 子 は

区 別 され る.こ れ は 流 体 粒 子 に着 目す るラ グ ラ ンジュ の 記述 で あ る.水 の 粒 子 は (a,b)を

中心 と して半 径ｒ の 円 を一 様 な速 さ で え が く と す る,水

の 粒 子 の軌 跡

は

(１)

で 与 え ら れ る.こ

こ で 波 の 速 さ をｃ,波

長 を λと して

(２)

図76

とお く(波 はｘ の プ ラ ス方 向 へ 伝 播 す る).こ

こでｒ は 深 い と こ ろ ほ ど小 さ くな

り,高 さｂ の 関数 でr0を 定数 と して (３) で あ り,こ

の よ う な 重 力 波 の 速 度ｃ はｇ

を重 力加 速 度 と して

(４)

で 与 え ら れ る.こ り,こ 図77

れ がト ロ コイド 波 で あ

の波は ラ グ ラ ン ジ ュ の運動方程

式 を 満 た す.

【証 明 】 この場 合,運 動方 程 式 は

(５)

で あ り,ラ

グ ラ ンジ ュの運 動 方 程 式 は

(６)

連続 の方程式は

(７)

ま ず(１),(２),(３)か

ら

(８)

と な る.こ

れ ら を 用 い て(７)の

第 ２式 か ら

(９) そ こ で(３)を

考 慮 す れば (10)

と な り連続 の 方 程 式((７)の

第 １式)が

満 た さ れ る.

波 と と も に 右 方 へ 速 さｃ で 進 む 座 標 系 に 対 し て 波 形 は 静 止 し て みえ,ベ

ル ヌー

イの式

(11) が 成 り立 つ.こ

れ に(１)か

ら得 ら れ る 式

(12)

を代 入す る と (13)

を 得 る.し

た が っ て 曲 線b=一

定

は そ れ ぞ れ 圧 カ ー 定 の 曲 面 を 与 え る.波

の 自

由 表 面 もそ の １つ で あ る. さ て(12)を

さ らに 微 分 す る と (14)

と な る.こ

れ と(８)を

運 動 方 程 式(６)に

入れ れ ば

( 15)

とな る が,(４)と(13)に

よ り これ は 満 た され て い る こ とが わ か る.

コ

波 が 水 面 を 伝 わ る と き,水

メ ン

ト

面 の 波 は 円 運 動 を し て い る よ うに み え る.波

ととも

に進 む座 標 系 でみ れ ば 水面 の 形 は定常 的 で,水 が逆 方 向 に 流 れ て い る こ とに な る.水 の 粒 子 の円 運 動 の半 径 をｒ,そ の速 度 をｃ,波 長 を λとす る と 円運 動 の周 期 はT=λ/cで 図78

あ る.波 の 山 に お け る流 速 は (16)

で あ り,谷 に お け る流 速 は

(17) で あ る． こ の流 れ は 定常 的 な の で ベ ル ヌー イの式 が用 い られ (18) を 得 る.こ こで2rは 山 と谷 の高 さの 差 で あ る.こ の 式 か ら流 れ の速 さ と して (19) を 得 る.し たが って 重 力 波 はト ロ コイド 波 に 限 らず,水 面 の水 の粒 子 の軌 跡 が 円 な らば 波 は この 式 に 従 い 波 長 の 平方 根 に 比例 す る速 さで伝 わ る こ とが わ か る.こ れ は もち ろ ん 無 限 小振 幅 の波 に も当 て は ま る(第22講

参照).

無 限 に 深 い 水 で は 水 の粒 子 は 円運 動 を す るが,波 長 に比 べ て浅 い水 で は 水 の粒 子 の 軌 跡 は 平 た い楕 円 に な る こ とが 確 か め られ る.

TeaTime

波の 研 究 西 洋 の文 明 は ギ リシ ア以 前 に 地 中 海 の東 に あ る多 島海 で 興 った.海 は交 通 の手 段 であり,文 の間,人

明 の交 流 は 海 上 交 通 に よ っ てな され た． 海 の 波 は それ 以来 何 千 年 も

の 目に触 れ て きた の で あ るが,波 の 運 動 の 力 学 は18世 紀 こ ろ ま で 大 き

く発 達 しなか った.海 の 波 が 複 雑 で,波 長,周 期 な ど決 め に くい ほ ど カ オ ス 的 で あ る こ とを思 えば,波 の 運 動 の 力学 が遅 く開花 した の も不 思 議 では な い. もっ ともニュー トンは 主 著 『プ リンキ ピ ア』 の 中 で 重 力 に よる水 の波 の 速 度 が 波 長 の平 方 根 に 比 例 す る こ とを あ る模型 的 な 想 定 の も とに導 き出 して い る.し か し そ の計 算 は ま った く不 備 な もの と思 わ れ る.お そ ら くニ ュー トンは 速 度 と波 長 の関 係 を何 らか の 方 法 で 知 って い て,こ れ に 合 うよ うな 模 型 を考 え た の で あ ろ う. 波 の研 究 が お くれ た 原 因 の １つ は波 の 運 動 を 記 述す る流 体 力 学 の 方 程 式 が 非 線 形 で あ る こ と もそ の根 底 に あ る.他 の場 合 と同様 に,無 限 小 の 運動 や 理 想 的 な場 合 の 運 動 が,複 雑 な波 の現 象 を扱 う出発 点 に な った.無 限 小 の 波に つ い て は立 派

な 理 論 が19世

紀 に つ く られ,多

し か し そ れ 以 前 の1802年 stner,1756-1832)がト

くの 現 象 が 解 明 さ れ た.

に チ ェ コ ス ロ バ キ ア の ゲ ル ス トナ ー(F.JvonGer-

ロ コイド 波 の 理 論 を つ くっ た の は お も し ろ い こ と で あ る .

海 に 遠 い こ の 国 で こ の よ う な 研 究 が な さ れ た の が お も し ろ い.ゲ ヘ ミ ア で ベ ル ト メ ー カ ー の 息 子 と し て 生 まれ た が の 天 文 台 の 助 手 を し た 後,プ し,大

,む

か し ケ プ ラ ーが い た プ ラハ

ラ ハ の 大 学 で 数 学 を 学 ん だ .プ

き な 運 河 計 画 の 技 師 も務 め,堤

防 の 設 計,水

ル ス トナ ーは ボ

ラハ工 科 大学 を設 立

路 の 流 れ,水

力 機 械,力

学,

波 の 運 動 な ど の 研 究 を お こ な っ て い る. ゲ ル ス トナ ーのト

ロ コイド 波 の 理 論 に 刺 激 さ れ た ラ イ プ チッヒ

弟(W.E.とE.H．Weber)は

の ウ ェー バ ー兄

波 の 研 究 の た め の 水 槽 を 初 め て つ く り,有

深 さ の 波 を 実 験 的 に 研 究 し て い る.こ

れ は ガ ラ ス 壁 の 水 槽 で,水

や ブ ラ ン デ ー の 波 も調 べ られ た とい う.ガ

限 の

だ け で な く水 銀

ラ ス 壁 を 通 し て の 観 察 だ け で な く,う

ど ん 粉 を ま ぶ し た 石 板 を 液 中 に 突 っ 込 む と か,急

に 取 り出 す な ど の 方 法 で 波 の 形

を 調べ た と い う こ と で あ る. 【３角波 】ト

ロ コイド 波 の 図77を

み る と 波 の 谷 は 平 ら で 山 は と が っ て い る.

そ し て い く ら で も と が っ た 波 が で き そ う に 思 え る か も し れ な い.実 み て い る と ３角 形 の 波 が 立 つ こ と が あ る .あ で あ る.こ

際,海

の波 を

の ３角波 の 頂 点 の 角 度 は120° 以 上

れ 以 上 とが っ た ３角波 は な い こ と が 示 さ れ る .

第22講 渦 な しの水面波

―テーマ ◆無限小振幅 の重 力波 ◆波 の運動量 ◆ Tea Time:津

波

重

力

波

水 平 方 向にｘ 軸,鉛 直上 方 にｙ 軸 を と る と運 動 方程 式 は

(１)

運 動 が渦 な しで あ る と し て速 度 ポ テ ン シ ャル φ(x,y,t)を 導 入す れ ば

(２) など で あ り,流 速 をqと す る と (３) これ らを 用 い て 運 動 方 程 式(１)を

書 き直 す と

(４)

と な る.た

だ し (５)

を 用 い た.(４)は (６) がｘ に よ ら な いｔ だ け の 関 数 で あ る こ と を 示 し て い る.こ に 一 般 化 さ れ た ベ ル ヌ ー イ の 定 理 で あ る.f(t),∂

れ は す で に述 べ た よ う

φ/∂tに 任 意 性 が あ る こ と を 利

用 し て(６)を

(７) と 書 く こ と が で き る. 縮 ま な い流 体 を考 え る ので 上 式 は (８) と な る.poは

大 気 圧 で あ る,

水 底 と水 面 に おけ る境 界 条 件 を 調 べ て お こ う. 【水 底 の 条件 】 水 底 を平 らで あ る と し, これ をy=0と

す る(図79).(９)

図79

【水 面 の圧 力の 条 件 】 水 面 の平 均 の高 さをｈ,水 面 の 上 昇 を η と し,水 面 に関 す る量 を 添 え 字１ で表 す と水 面 は (10) で あ り,水 面 でp=p0(大

気 圧)で あ る とい う条 件 は(８)か

ら(11)

と書 け る. 【水面 の 運動 学 的 条件 】 水 面 に関 す る連 続 の 式 と して 運動 学 的 な 条 件 が あ る. 任 意 のｘ に お け る水面 の 上 昇 ηの微 小 時 間δｔの 変 化 は,流

速ｖ に よ る 部 分 と傾

き∂η/∂xをもつ 水面 の 移 動u1δtによ る部 分 とか ら成 り (12) し たが って

(13)

が 水 面 の 運 動 学 的 条 件 式 で あ る.

振 幅 の 小 さな波 波は 波 数k=2π/λ(λ=波

長)が

一 定 で あ る と し て,水

面に 限 らず 水 面 下 で も (14)

で 与 え ら れ る と す る.連

続 の 方 程 式∂u/∂x+∂v/∂y=0は (1 5)

と 書 け る の で,こ

れ に(14)を

代 入 す る とＲ の 満 た す べ き 式 (16)

を 得 る.し

た が っ てR=Aeky+Be-kyと

0な の で,Ａを

な る が,水

底 で(９)に

よ りv=∂ φ/∂y=

定 数 と して (17)

とな り (18) と な る. こ こ で 水 面 の 条 件(11)と(13)を お い て〓

考 え よ う.振

と お く こ と が で き る.し

幅 が 小 さ い と す る と(11)に

た が っ て(11)は (19)

と な る.も

う １つ の 条 件(13)に

お い て はu1∂ η/∂xを 高 次 の 項 と し て 無 視 で き

る の で(13)は (20) と し て よ い.こ

こで(19)をｔ

で 微 分 し て(20)を

代入すれば (31)

を 得 る. そ こ で(18)を(21)に

代 入 しy=hと

お く こ とに よ り (22)

した が って (23) を 得 る.こ る.波

れ は 波 の 伝 わ る 速 さｃ を 波 数ｋ と水 深ｈ の 関 数 と し て 与 え る 式 で あ

の 速 さ が 波 数(あ

関 係 を 分 散関係

る い は 波 長)に

依 存 す る と き,分

散 が あ る と い い,そ

と い う.

波 長 を λ とす る とk=2π/λ

な の で 渦 な しの振 幅 の 小 さな 水 面波 の 速 さは

(24)

で 与 え られ る.浅

い 水 の 場 合 は〓

なので

(25)

こ れ が 浅 水 波 の 速 さ で あ る.こ ま た 水 深 が 大 き い と き は〓

れ は 波 長 に よ ら な い. な の で波 の 速 さは

(26)

と な る.こ

れ はト ロ コイド 波 の 速 さ と一 致 し て い る.

の

波 に よ る 水 の移 動 波 の形 は(19)と(18)と

から (27)

とな る.ま た 波に よ る水 平 方 向 の 流 速 はu=∂ φ/∂xから (28) とな る が,こ れ は 波 の高 さ ηと 同位 相 なの で,波 の 高 い と こ ろ で は 流 速 が大 き い.し た が って 波 に つ れ て物 質 の移 動 が あ るは ず で あ る.実 際,単 位 時 間 にｘ 方 向に 移 動 す る水 の 質 量 は (29) で与 え られ る.水 面 の 高 ま り ηは 小 さい か らkη の １次 ま で と って (30)

と し て よ く,(27)は (31) ただ し (32) と し て よ い.(29)は

(33) と な る.こ

こ で １周 期に つ い て 平 均 を とれ ば 平 均 〈…〉 は

(34)

を与 え る ので (35) し た が っ て(32)を

用いれば

(36)

と な る.<Ｍ>は

単 位 時 間に 移 動 す る 水 の 量 で あ る と 同 時に,波

の も つ 運 動量 で

あ る. と くに 水 が 深 い と き は(26)に

よ りc2=gλ/2π

なので

(37) と な る.こ し,振

こ でv=c/λ

は 波 の 振 動 数 で あ る.波

に よ る水 の移 動 は 振 動 数 に 比 例

幅 の ２乗 に 比 例 す る.

TeaTime

津波 津 波 とい う言 葉 の言 源 は港 の波 とい う こ と だ そ う で あ る.港

の ことを 津 と い

う.津 波 は 沖 に い る船 で は あ ま り感 じられ な い の で,津 波に気づ か なか った 漁 師 が 夕 方 港 に 帰 って み る と港 は 津波 で や られ て い た とい うこ とか ら この名 が 生 じた の だ そ うで あ る.ツ ナミ は世 界 の 言に

な っ て い る.

最 近 の 津 波 で は 奥 尻 島 の痛 ま し い被 害 が あ る.日 本 は たび たび 大 き な津 波 に 襲 わ れ て い る.そ の恐 ろ しさ の １つ の 原 因 は 津波 の 速 さが 大 き い こ とで あ ろ う.近 くで 地 震 が あ って 津 波 が 起 こる とた だちに 波 の 速 度c=√ghで

岸 に押 し寄 せ る.津 波 の速 さが 浅 水

与 え られ る とす る と水 深ｈ が20mの

秒,時 速に して50km/時

と き の速 度 は14m/

以上 で あ るか ら 自動 車 な み の 速 さ で あ る.ま た 浅 い と

ころ ほ ど津 波 は 遅 く進 む か ら,岬 を 回 って 一部に 集 中 して波 高 が 高 ま る性 質 が あ る.こ れ も被害 を大 き くす る原 因 で あ る.津 波 の高 さは30mを る.こ

越 え る こ と もあ

うな って は防 波 堤 で も防 ぎ よ うが な い.

チ リの 近 海 で 起 こ った大 地 震 で津 波 が生 じ7000km距

た っ た 日本 の 三 陸 海 岸

に 押 し寄 せ た こ と もあ る.大 平 洋 の平 均 の深 さ は約4000mで が 津 波 は もっ と広 い 範 囲 の波 で あ っ た に ち が い な い.4000mの

あ っ て 深 い よ うだ 水 深 だ と津 波 の

速度 は200m/秒

とな り,約 １ 日の後 に 日本に 達 して大 きな 被 害 を もた ら した.

チ リの 南 部 と 日本 とは ほ ぼ 地 球 の 反対 側 に位 置す る.そ の た め チ リ南 部 で 発 生 して 広 が った 津 波 が 地 球 の 反対 側 で あ る 日本 に集 中 した と も考 え られ る. 簡 単 の た め 地 球 の 全 表 面 が一 定 の 深 さの海 で覆 わ れ て い る と し ょ う.そ して南 極 の海 底 で 大 地 震 が あ って そ の た め に 生 じ た津 波 が周 囲へ 同 時 に 広 が った とす る と,津 波 は赤 道 の 全周 を 同 時 に越 え て北 半 球 では し だ いに 集 中 し,も し も北 極 に 浅 い 浜 辺 が あ れ ば す ごい 高 さの 津 波 とな って押 し寄 せ る で あ ろ う.

第23講 群

速

度

―テ ーマ

◆ 表 面張力波 ◆群速度 ◆ TeaTime:波

のエネルギ ー

表 面張力波 水 深ｈ の 水 面 波 の 速 さ は第22講(24)で

述 べ た よ うに (１)

で 伝 お る(λ は 波 長).し か し これ は 波 長 が あ る程 度 大 き い と き の こ と で あ っ て,波 長 が きわ め て 小 さい と きの 波 動 を 支 配 す る の は 表 面張 力 γ で あ り,水

面

波 の 速 さは (２) で 与 え られ る.こ れ らの両 極 端 の場 合 を含 め,さ て,振 幅 の 小 さ い とき の水 面 波 の 速 さ は

(３)で 与 え ら れ る,

らに水 深ｈ が 有 限 な 場 合 を含 め

【証 明】 水 平 方 向(ｘ 方 向)に

曲 が っ た 水 面 η=

η(x)を 考 え る と,表

面張

力 に よ る力 の 鉛 直 方 向 の成 分 はrsinθ〓r(∂ η/∂x)(図 80)と

み て よい.水 面 の微

小 部 分 δxに は た ら く表 面

図80

張 力 に よる 力 はγδx∂(∂ η/∂x)/∂xとな る.し た が って 表 面 張 力 に よ って 水面 は (４) だ け の圧 力 を 受 け る.こ

れ を 考 慮 す る と 水 面 に お け る圧 力の 条 件 は(第22講

(11)参 照) (５) と な る.し た が って振 幅 が小 さ い と き は 第22講(19)の

代 わ りに(添 え字１ は

水 面 に 関 す る量 を表 す)

(６) とな る.こ れ と運 動 学 的 な 条件 (７) を連 立 させ れ ば

(８)を 得 る. そ こ で 第22講(18)の

よ うに (９)

と お け ば(８)か

ら (10)

よ って

(11) が 得 られ る 。 こ こ でk=2π/λ

で あ る か ら(３)が

得 ら れ た.

深 水波 の 分 散

(３)に

よれ ば 深 い 水 の 水 面 波(2πh≫

λ)の 速 さ は (12)

で 与 え ら れ る,こ ∞ と して もc→

こ で λ→0と ∞ になり,中

で 波 の 速 さ は 最 小 値Cmを

し て も λ→ 間 の 波 長 λm

と る(図81).

こ こで (13)

波 長 が 小 さ い λ<λmの 場 合 は 表 面 張 力 が 支 配 的 で あ り,表 面 張 力 波 あ る い は さ ざ 波

図81 と い う.こ

れ に 対 し 波 長 が 大 き くて λ＞λmの と き は 重 力 が 支 配 的 で あ っ て 重 力 波

と い う. 例 と し て15℃

の 水 を と れ ば,γ=73ダ

長 に 対 す る 速 さ はcm=23.2cm/秒

イ ン/cmで

あ り,λm〓1.72cm.こ

の波

で あ る.

群

速

度

波 長 が 少 し 異 な る ２つ の 波 が 同 じ方 向に 伝 わ る と き は 干 渉 に よ っ てう な りが 生 じ る.水

面 波 に お い て も同 様 な こ と が 起 こ る.

１つ の 波 の 波 数 をk1,角 ω2と す る.簡

振 動 数 をω1と

し,第

２ の 波 の 波 数 をk2,角

振動数を

単 の た め 振 幅 は 等 し く η0で あ る と し

(14)

とす る と ３角 関 数 の公 式 に よ り

(15) と な る.た

だ し

22 で あ る.k1とk2の

差,ω1と

ω2の 差 が 小 さ い とす る と(15)のcos[…]は

ゆ っ

く り変 動 す る 項 で (17) は 振 幅(包

絡 線)を

表 し,sin(kx-ωt)は

Ａは 変 調 さ れ た 振 幅,sin(kx-ωｔ）

速 く振 動 す る 項 で あ る と解 釈 で き る. は 搬 送 波 と呼 ば れ る こ と も あ る.

振 幅 の 波(17)は

(18)

で 進 む.こ

れ を 群 速 度 と い う.

あ る 波 数ｋ と そ の 近 く の 波 数 の 波 を 重 ね 合 わ せ る こ と に よ り,あ 大 き な 振 幅 を も った 波 を つ く る こ と が で き る.こ

る範 囲 だ け で

の よ う な 波 を 波 束 と い う(図

図82

82).波束

は 長 い時 間 が た てば 一 般 に は波 の形 が変 わ っ て し ま うが,し

ば ら くの

間 は波 束 が１ つ の速 さで 進 む よ うに み え る.こ の 速 さが群 速度 で あ り (19) で 与 え られ る.群 速 度cgに 対 してc=c(λ)は

位 相 速 度 と呼 ば れ る.

群速度の例 【浅 水 波 】 λ≫h,λ≫ λmの とき,位 相 速 度 は

(20) これ は 波 長λに よ らな い(分 散 は ない)か

ら,群 速度 は位 相 速 度 に 等 しい: (21)

【深 水 重 力 波 】h≫

λ,λ≫λmの とき,位 相 速度 は (22)

群速度は (23) この 場 合 の群 速 度 は 位 相 速 度 の半 分 で あ る. 【表 面 張 力 波 】h≫ λ,λ≪λmの と き,位 相 速度 は (24) 群 速 度 は この と き (25) した が って表 面 張 力 波 の 群 速 度 は 位相 速度 よ りも大 き い. 群 速 度 の 積 分 形 ・微 分 形 群 速度に は い ろ い ろ の見 方 が あ る.そ の １つ は積 分 を用 い る 方 法 で,そ の また 簡 単 な導 き方 は あ る波 数ｋ の まわ りに 正規 分 布 し た波 か ら な る波 束 (26) を考 え る こと で あ る.ｋの まわ りで 展 開す る と (27) とな り (28) とお き,さ らにs=k'-kと

書 けば 上 の積 分 は

(29)の 虚 数 部に 等 し い.し

た が って (30)

これ は包絡線e-x2/4aで

表 され る振 幅 が

(31) で 右 へ 進 む こ と を 示 し て い る.dω/dk=cgが

群 速 度 で あ る.

別 の 方 法 の １つ と し て 波 の 位 相 (32) が 停 留 値 を と る よ う な 波 の 重 ね 方 を考え る.ｋが で あ る と干 渉 し て 波 は 高 くな る が,こ

接 近 し た ２つ の 波 の 位 相 が 同 じ

の 場 所 は 位 相 の 差 が な い こ と,す

なわ ち (33)

によ っ て 与 え ら れ る.あ

るい は (34)

し た が っ て 干 渉に よ っ て 波 が 強 ま る 位 置ｘ は 時 間ｔ と と も にx=cgt(cg=dω,/dk) で 動 く.こ

れ が 群 速 度cgを

与 え る.

Tea

Time

エネルギー重 力 波 の位 置 エ ネル ギ ーは 計 算 しや す い.平 ら な水 面 か ら水 面 が

へ 変 わ った と きの 位 置 エ ネ ル ギ ー の変 化 を求 め る.あ る と ころ で 幅⊿x,高 の部 分 の 水 を-ｙ

で あ るか ら,-η

の深 さか ら+ｙ の 高 さ まで 上 げ る仕 事 は

の 深 さ まで の水 柱 を取 っ て高 さ+η の 水 柱 に す る仕 事 は

さ⊿y

図83

波長 を λ とし て水 面 の形 を

とす る と １波 長 に 対 す る波 の位 置 エ ネル ギ ー は

とな る.水 の 粒 子 は す べ て単 振 動 して い るか ら運 動 の エ ネル ギ ーの 平 均 は 位 置 エ ネ ル ギ ー の平 均に 等 しい.そ りの 波 の 全 エ ネル ギ ー とし て

を 得 る.

こで上 式 を ２倍 して λで わ れ ば,水 面 の単 位 面 積 当

第24講 ２次元 の水面波

―テーマ ◆ ２次元 の水面波 ◆航跡,釣 り糸がつ くる波 ◆ Tea Time:船 の抵抗

２次 元 の 波 水 面 を細 い棒 で 叩 く と水 面 波 が輪 の形 で広 が って い く.ま た 川 の 流 れ の 中に 細 い棒 を立 て た ときや,静 水 の中 で船 が 進 む と き は特 徴 の あ る波 が 水 面 に み られ る.今 回 は この よ うな場 合 の水 面 波 を扱 うこ とに す る,波 の 振 幅 は 非 常 に 小 さい とし,波 は線 形 近 似,す な わ ち重 ね 合 わ せ の原 理 に 従 うもの とす る. 乱 され ない 水 面 を(x,y)面 方)と す る.は

に と り,こ の 水 面 か らの高 ま りを ζ(ｚ方 向 は 鉛 直 上

じめ に 全 体 と して 水 は 静 止 して い る と し,擾 乱 は 小 さい と して 流

速ｕ,ｖの ２乗 を 無視 す る.表

面張 力 を 考 えず,第22講(11)で

ηを ζと書 け ば (１)

運 動 学 的条 件 は第22講(13)とv1〓

から (２)

した が って

(３)他 方 で連 続 の 式 は ２次 元 の極 座 標(r,θ)を

(４) と 書 け る.こ

用いて

の 式 の解 と して (５)

お よ び こ の よ うな 解 の 重 ね 合 わ せ を 用 い る こ と が で き る.こ あ り,jsはｓ

次 の ペ ッ セ ル 関 数 で あ る.(３)を

こ でs=0,1,2,…

で

考 慮 す れ ば 時 間 因子 を付 け て

(６)

とお け ば よい. 原 点 に 一 般 的 な 擾 乱 を 与 え た とき の波 はい ろ い ろ のｋ を もつ(６)を せた もの で 与 え られ る.波 が 原点 に対 し て 円対 称 の と き に 限 る とs=0の

重ね合わ 項だけ

にな る.以 下 しば ら くこの よ うな波 に 限 る こ とに し よ う. 【瞬 間的 な擾 乱 に よる波 】 波 長 に比べ 遠 い と ころ で は,kr≫1に

対 す る漸 近 形 (７)

を 使 うこ とが で き る.い ま水面 の １点 に瞬 間 的 な擾 乱 が加 え られ た とす る と,い ろ い ろ な 波 数 の成 分 波 が 水 面 に 広 が り,そ れ ぞれ の成 分波 は(１),(６),(７) に よ り時 間 因 子 も含 め て(位 相 定 数 を しば ら く省 略 す る) (８) で与 え られ る.し か し波 数 の異 な る波 が た が いに 干 渉 し合 う結 果,き わ だ った 著 しい 波 と して 残 る と ころ は 重 力 波 の群 速 度 (９) で 進 む波 束 で あ る.し た が っ て 時 間ｔ の 間 に 距 離ｒ だ け進む 波 束 の波 数ｋ は (10)

を 満 たす.こ

れ をｋ に つ い て 解 け ば (11)

重 力 波 で は ω=√gkで

あ る か ら,波

の位 相 は (12)

と な り,そ

の 波 の 波 形 は(８)と(12)に

よ り (13)

で 与 え られ る こ と に な る(さ 果 を 表 すｒ,ｔの

ら に 詳 し い 計 算 を す れ ば(13)の

あ る 関 数 が 因 子 と し て か か る).こ

ソ ン(Cauchy-Poisson)の

波 と 呼 ば れ る.水

右 辺に は 干 渉 の 効

の よ う な 波 はコ ー シ ー‐ポ ア

面 に石 を投 げ た と き に発 生 す る の

は こ の よ うな 波 で あ る.

船 のつ くる水 面 波

深 い 水 の 上 を 船 が 走 っ て い る と き,船 き る.航

跡 は 船 首 か ら 左 右 に 約19°の

の う しろ に は尾 が 広 が る よ うな航 跡 が で 角 度 で 広 が り,船 が つ く る 波 は ほ と ん ど こ

の 中 だけ に限 られ て い るの が 観 察 さ れ る.こ

の波の本質を 明ら

か に し た の はケ ル ビン(Kelvin) で あ る.こ

の 理 論に よ れ ば,航

跡 は 船 に よ る 擾 乱 で 発 生 し たコ ー シ ーｰポ ア ソ ン の 波 の 干 渉 に よって 生 じ る.

図84

船 の 代 わ りに 水面に さし た細 い 棒 が一 定 の速 さv0で 進 ん で い く とす る.図84 にお い て棒 がＱ か ら０ まで 進 む 時 間 をｔ と し,こ の 間 に起 こ さ れ る航 跡 の波 の 峰 の 上 の １点 をｐ とす る.棒 がＱ を通 った とき に で き た擾 乱 が 時 間ｔ でｐ に達 しQP=p1と

す る とｐ とＱ の 問 の位 相 の差 は(12)か

ら (14)

で あ る.航 跡 上 の 点Ｐで 擾 乱 が 強 め 合 う た め に はＱに接 近 した 点Ｑ'か らの 擾 乱 が Ｑか らの 擾 乱 と同 じ位 相 で あ る必 要 が あ る.Ｑ か らＱ'へ 進 む時 間 をdtと す る と (15) し たが っ てＱ の 移 動 に 対 して (16) こ こ でQQ'=v0dtで

あ り図84か

ら (17)

ゆ え に(16),(17)か

ら (18)

他 方 で 図84よ

り (19)

と な る.し

た が っ てp=p1で

分 し て(17)を

あ り,PZはOQを

２等 分 す る.さ

ら に(19)を

用 いれば

(20) した が っ て

(21) を 得 る((18)を

用 い た).こ

れ を 積 分 す れ ばａ を 定 数 と して (22)

が 得 られ る.(14),(18),(22)を

用 いれ ば 位 相 が (23)

で 与 え ら れ る.た

だ し λ0は 船 と 同 じ 速 さ で 進 む 波 の 波 長 で あ る.す

なわ ち

(24)

微

船 が つ く る波 の峰 と次 の峰 との 間 は 位 相 に して る.他 方 で(23)に

ψ=2π

の差 が あ る は ず で あ

より （25）

した が ってｎ を 整 数 とし て （26） の 関係 が あ る こ とに な る.た だ し こ こで δは擾 乱 を与 え る もの の 形 状,性 質,あ る い は船 の 形 に依 存 す る定 数(省

略 して きた位 相 定 数 に当 た る)で

【注意 】 航 跡 は次 の よ うに考 え る こ と もで き る.図84に

あ る.

お い てZPを

船 につ い

た ま まで 進 む波 面 と考 え て そ の波 長 をλ1とす る と

（27） と な り,こ れ と(24)と

か ら （28）

の 関 係 を 得 る.そ

こ で(19),(22),(26)を

用 い る とOZの

距 離ｐ は （29）

と な る.こ

れ は 波 面ZPの

方 程 式 で あ り,船

の 航 跡 は こ の 波 面 の 包 絡 線 と して

与 え ら れ る. 【 航 跡 】 航 跡 の 波 の 峰 の 位 置 を表 す 曲 線 はP(x,y)を

通 る の で θをパ ラ メ タ と して

(30)

で 与 え られ る.図85に

お い て相 隣 る

曲 線 の対 応 す る 点 の 間 の 位 相 の 差 は 2πで あ り,こ れ はａ の 値 に し て⊿a= λ0であ る. 曲 線 は２ つ の群に 分 け られ る.１ つ の点Ｐ で峰 を与 え るＱ に は２ つ の 位 置 が あ る の で あ る.図86の

よ うにOP

図85

を２等 分 す る点 をＣ と しPCを PR1とPR2に

直 径 と す る 円がOQを

垂 直 な 線 分 がOQを

切 る点 をQ1とQ2と

切 る点 をR1,R2と

す る.

す ればR1はQ10を２ 分 し,R2はQ20を２ す る の で,PR1に 跡 とPR2に

等 等分

接 す る航

接 す る航 跡 と

が２ つ の 曲線 群 を 形 成 す る.

図86 円PCがQOに

接 す る と き は 図87の

よ うにQ1とQ2は

一 致 し,航

跡 にカスプ

(直線 上に 並 ぶ)を 与 え る.こ の と き の 角∠POQをθ。とす ると図 か ら

(31) と な る.こ

図87

の と き∠OQP=θc=sin-1(1/√3)と

な り,航

跡 の 曲 線群 は とが っ た

航 跡 θ〉 θcと 平 た い 航 跡 θ<θcと か ら 成 る こ と が わ か る.

釣 り糸 が つ く る 波

川 の 流 れ の 中 に 釣 り糸 を た れ て い る と き,川

の 流 れ が 秒 速30cmぐ

と,糸 の まわ りに図88の

らい で あ る

よ うな波 が で き る.同

じく

ら いの 速 度 で細 い棒 を水 面 で動 か した と き も同 様 の水 面 波 が で き る(速 さが 約20cm/秒

以下で あれば この

よ うな波 は で き な い). こ うい う場 合 に 川 上に で き るの は 間 隔が 狭 い波 で, 図88

これ は 表 面 張 力 波 で あ り,川 下に で き る の は 間 隔 が や

や 広 く,重 力 波 で あ る.水 面 の 波 は 第23講

で 述 べ た よ うに 波 長 が小 さ い と き は

表 面 張 力 の影 響 が 著 しい 表 面 張 力 波 で あ り,波 長 が 小 さい ほ ど波 の 速 さが 大 き く な る.波 長 が1.72cmよ

り大 きい と重 力 の影 響 に よる重 力 波 に な り波 長 が 大 き い

ほ ど速 さが大 き くな る.そ して 波 長 が λm=1.72cmの な り,そ の とき の速 さはCm=23cm/秒

と ころ で波 の速 さは 最 小 に

で あ る.流 れ が この 速 さ よ りも大 き い と

き図88の

よ うな波 が で き る の で あ る.

釣 り糸 の 川 上 と川 下 に で き る波 は 川 岸 に 対 し て静 止 し てみえ る.こ の波 の パ タ ー ン は 糸 が絶 えず 起 こす 擾 乱 が 伝 播 し干 渉 し て で き る もの で あ る.こ れ は 船 が つ くる航 跡 の計 算 と似 た方 法 で 求 め る こ と が で き る が,航 跡 の場 合に は 深 い水 の重 力 波 で あ っ た の に対 し,こ この 場 合 は 表 面 張 力 の 影 響 を含 む波 な の で 分 散 関 係 が 異 な るの で,パ タ ー ンは 大 き く異 な る ので あ る.

図89

釣 り糸 が つ く る 波 の パ タ ー ンは 川 の 流 速 の 大 き さ に よ っ て 異 な る.流 最 小 の 位 相 速 度Cmの

比U/Cmが

速Ｕ

大 き け れ ば 波 の漸 近 線 は 鋭 い 角 を も つ が,U/Cm

〓1に な れ ば こ の 角 は2π に 近 く な り,U/Cm〓1で

は 波 は 消 滅 す る.

一 般 的 な 扱 い

図90に

お い て,水

面 に擾 乱 を

起 こす 点 がＱ を 通 りＯ に 達 す る 時 間 をｔ とす る.Ｑ で起 こされ た 波 は 種 々の 波 長 を もつ 波 の重 ね 合 わ され た もの で あ るが,分 散 のた め 波 長に よ って 進 む 波 の 速 さが 違 う.波数ｋ の 成 分 波 が１ 点Ｐ に達

図90

した と きの位 相 をψ とす る と (32) と書 け る.群

速 度Cgはψ

が 停 留 値 を と る 条 件∂ψ/∂k=0か

ら求 め られ (33)

で 与 え ら れ る.Ｐ

を 波 束 上 の１ 点 と す る と (34)

と

で あ る.図90でＱ

か ら出 た 波数ｋの 成 分 波 と,Ｑ'か ら出 た波 数 がk+dkの

成分波

とがＰに お い て 同 じ位 相 に な っ て 強 め 合 う とす る.こ の 条 件 は 船 がＱ'か らＱへ 進 む 時 間 をdtと

して∂ψ/∂t=0と書 け る.(32)か

ら

(35) と書 け る.右 辺 第１ 項 と第３ 項 は 打 ち消 し合 うか ら,図84を

考慮 すれ ば

(36)を 得 る. 他 方 で 図84か ら

で あ る か ら,こ の 微 分 を と っ て(36)を

用 いれ ばdp/dθ=v0tsinθ,し

(37) たが って (38)

を得 る. 波 の峰 がＰ に お い てQPに PZを 求 め れ ばPZの

垂 直 に な る のは 明 らか で あ るか らQPに

垂直な線分

包 絡 線 と して 波 の 峰 が 与 え られ る こ とに な る.線 分PZを

め るに はＯ か ら これ に 下 し た垂 線OZの と し て与 え れ ば よい.こ

こで(37)か

長 さｐ を こ れ がOQと

定

な す 角θ の 関 数

ら

(39) と な る.こ

こ で(32)を

用 い た.ψ

で はψ の 差 は2π で あ る.し

はＰ に お け る 位 相 で あ り,相

次 ぐ山 の 峰 の 間

た が って (40)

と な る.δ は 擾 乱 を 与 え る も の の 性 質 と形 に 依 存 す る 定 数 で あ る.ゆ

えに (41)

あ る い はk=2π/λ

に よ り (42)

波 長 λを 用 い て 分散 式 を

(43) と書 け ばｐ と θ の 関 係 は(36)に

よ り (44)

と与 え ら れ る. 表 面 張 力 波 と 重 力 波 を 含 む 式(第23講(12))を

用 い れ ば ρ=1の

とき (45)

な の で,pと

θの 関 係 は (46)

とな る. 【重 力 波 】p/(n+δ)λm=λ/λm》1の

と き は(46)右

辺 第１ 項 だ け を と っ て (47)

た だ し λgは 物 体 に 対 す る 流 れ の 速 さvOに

等 しい 速度 を も った 重力 波 の波 長 で (48)

で 与 え ら れ る.(19)に

よ り重 力 波 の 場 合 はp=p1な

の で(44)は(22)と

一致

し て い る. 【表 面 張 力 波 】p/(n+δ)λm=λ/λm《１

の と き は(46)右

辺 第２ 項 だ け を と っ て (49)

を 得 る.た

だ し こ こ でλγは 速 さv0に

等 しい 速 度 を もった 表 面 張 力 波 の 波 長 で (50)

で 与 え ら れ る. 【一 般 の 場 合 】(46)はｐに

つ い て２ 次 式 で あ る.こ

れ を解 くと (51)

を 得 る.こ

れ は(47)と(49)を

極 限 と し て 含 む 式 で あ る.(51)はcosθ

v0 を漸 近 線 とす る 波 群(n=0,1,2,…)を

与 え る.

。=Cm/

(51)で

複 合 の+は

あ る い はθ=π

重 力 波(下

と お き⊿ｎ=1に

流),-は表 対 す るpの

面張 力波(上 差 を⊿pg(重

流)を与え

る.θ=0,

力 波),⊿pγ(表

面 張 力 波)

とす る と

(52) た と え ばv0/cm=1.12と

す る と漸 近 線 は θ。=26。34'と

⊿pg/⊿pγ は 下 流 と 上 流(θ=0,π)に

な り⊿pg/⊿pγ=4と

お け る 波 の 峰 の 間 隔 の 比 で 図88は

な る. これ らの

数 値 に ほ ぼ 近 い. な お,航

跡P=P(x,y)は(38),(51)を

用 い て(30)と

同様 に

に よ っ て 与 え ら れ る.

Tea

Time

船の抵抗 模 型 を 使 っ て 船 の 抵 抗 を 調 べ よ う とす る 試 み は 相 当 む か し か ら あ っ た ら し い が,こ

の よ う な 研 究 で も理 論 の な い う ち は 実 験 し て も 大 き な 成 果 は 得 ら れ な か っ

た. 小 さ な 模 型 船 で 実 験 し た 結 果 を 大 き な 実 際 の 船 に 適 用 す るに は 何 ら か の 相 似 法 則 に よ ら な け れ ば な ら な い． 「 水 中 を 引 か れ る と き模 型 は 実 際 の 船 よ り も 大 き な 波 を つ く る 」 と い う観 点 か ら 「適 当 に お こ な わ れ た 模 型 船 実 験 は 実 物 の 船 に 当 て は め う る デ ー タ を 与 え る 」 と い う立 場 へ の 進 化 で あ る.こ め て 明 ら か に 述 べ た の は フ ラ ン ス の リー チ(Ferdinand あ る が,イ Edmund

ギ リス の フ ル ード(William Froude,1846-1924)の

Froude,1810-1879)と

研 究 で 知 られ て い る.

の よ うな 相 似 法 則 を 初 Reech,1805-1880)で そ の 子(Robert

次 元 解 析 に よ って 相 似 形 の 船 が 受 け る抵抗 力Ｒ は

と書 か れ る こ とがわ か る.こ こで ρは流 体 の密 度,Ｌ は 物 体 の 長 さ,Ｖは そ の 速 度,ｇ は重 力 加 速 度,η は 粘 性 率 で あ る.gL/V2は

フ ル ード 塾 と呼 ば れ,船 が 波

を つ くる た め の抵 抗(造 波 抵 抗)に 関 す る もの で あ る.ま

たρVL/η は レ イ ノル

ズ数 で あ って,物 体 の まわ りの 層 流 が 粘 性 に よ っ て船 に 与 え る抵 抗(摩 擦 抵 抗) と関 係 す る.模 型 船 と実際 の船 とで フル ード 数 と レ イ ノル ズ数 が それ ぞ れ 等 しけ れ ば 相 似 法 則 が成 り立 つ こ とに な る. 実 際 に は これ らの ほ か に 渦 を つ くるた め の 抵 抗,空 気 に よる抵 抗 お よび 荒 い気 象 の た め の抵 抗 もあ っ て問 題 を複 雑 にす るが,い

ま これ らは 考 え な い こ とに し よ

う. 模 型 船 に 対す る摩 擦 抵抗 を理 論 的 に計 算す る こ とが で き た とす る と,測 定 され た 抵 抗 力 か らこれ を ひ き去 って 模 型 船 の造 波 抵 抗 を 知 る こ とが で き る.模 型 船 の 速度V(模)に

対応 して実 際 の船 の速 度 はV(船)=V(模)√L(船)/L(模)で

られ,船 の造 波抵 抗 はR(船)=R(模){L(船)V(船)/L(模)V(模)}2で

与え 与 え られ る

こ とに な る. 船 の 排 水量,長

さ,速 度 を等 し くした とき,造 波 抵 抗 が最 小 に な る よ うな 船 型

が 一 番 す ぐれ た もの といえ る.こ の 場 合 の造 波 抵 抗 と摩 擦 抵 抗 は ほ ぼ 等 しい.し か し1960年 代に な って船 の前 端 に こぶ 状 の 出 っ張 りを付 け た船 で は造 波 抵 抗 を は るか に 小 さ くす る ことが で き る こ とが 示 され た.こ れ は 船首 の こぶ で つ くられ る波 が 船 尾 で つ くられ よ うとす る波 と干 渉 し てた が い に打 ち消 し合 う た め で あ る.

第25講 大 きな振幅 の浅水波

―テ ー マ ◆コルテヴェ ーグ-ド・ フ リース の 方程 式 ◆ソ リ トン ◆ Tea

Time:線

形 の波 と非 線 形 の 波

コ ルテヴェ

1834年

ーグ-ド

・フ リ ース の 方 程 式

に ス コ ッ トラ ン ドの 造 船 技 師 ス コ ッ ト ・ ラ ッ セ ル(Scott

河 沿 いに 馬 で 散 策 し て い た.そ

Russell)は

の と き 運 河 を 馬 に 引 か れ て き た 船 が 停 止 し,そ

運 の

と き船 首 で 盛 り上 が っ て い た 水 が 船 を 離 れ て１ つ の 孤 立 波 と し て 進 む の を 目 に し た.馬

で そ れ を 追 う と 孤 立 波 は 形 を 変 え る こ と な く進 み,運

河 が 曲が った とこ ろ

で よ うや く 消 え 失 せ た.彼 は こ れ に た い へ ん 興 味 を も ち,水 槽 を つ く っ て 孤 立 波 の 実 在 を 確 か め,高 レイ リー(Lord

い 孤 立 波 ほ ど速 く進 む こ と を 発 見 し て そ の 実 験 式 を つ く っ た. Rayleigh)は1876年

に 孤 立 波 の 存 在 を 理 論 的 に 導 き 出 し た.

浅 水 波 の 時 間 的 な 変 化 ま で 表 す 方 程 式 を 導 い た の は コルテヴェーグ(Korteweg) と そ の 学 生 で あ っ たド 程 式 は コ ルテヴェーグ-ド

・フ リース(de Vries)で,1895年 ・フ リ ース(略

浅

波 長 に 比 べ て 水 深 が 浅 い と き,非

し てKdV)の

水

の こ と で あ る.こ 方程式

と 呼 ば れ る.

波

常 に 小 さ い 振 幅 の 波 の 速 度 はCo=√ghで

の方

あ った(第22講).こ

こでｈはよ水 の深 さ で あ る.こ の 速 度 は振 幅 が 非 常 に 小 さ い

(無 限小 振 幅 とい うこ とが あ る)か

ぎ り波 長,波 の形 に よ ら な い(分 散 が な い)

の で 波 は 形 を変 えず に進 む.KdV方程式

に よ れ ば,波

が 高 く な る と波 の 速 さ は

波 長 に よ る よ うに な る.孤 立 は水 面 の 高 ま りが (１) の形 で 表 せ る波 で(図91),波高 ａが1/kに 比 べ て あ ま り大 き くな い(有

限 振 幅 とい う)場

合 には

波 の速 さは (２) で 与 え られ,ａとκの

図91

間には

(３)

の 関 係 が あ る.こ

こ でγ を 表 面 張 力 と し て

(４)

KdV方程式

は右 へ伝 わ る波に 対 し て

(５)た だ し (６) と書 か れ る.KdV方程式(５)は はKdV方程式(５)の特

ηにつ い て非 線 形 の 方程 式 で あ る.孤 立 波(１)

解 と して 与 え られ る.

KdV方程式 水 平 方 向 にｘ軸,水

の導 出

底 か ら鉛 直 上 方 にｙ 軸 を とる.複 素 速 度 ポ テ ンシ ャル を

(７) と 書 こ う.水

底(y=0)の

で 表 し,ｗを

形 式 的 にテイラ

複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル を と くに (８) ー展 開 して ま とめ る と (９)

あ るい は

(10)

と な る.よ

っ て流 速 は

(11)

とな る. 水 面 に対 す る式

(12)

に 上 式 か らu1,v1を 代 入 す る と

(13) この式 をｘ で微 分 し (14) とお く.高 次 の微 係 数 を無 視 し,非 線 形 項 に つ い て は 最低 次 の 項 を 残 す と,並 べ 換えて

(15) を得 る. また 水 面 に対 す る運 動 学 的 条 件(第22講(13))は

同 様 に して (16)

とな る. 【線 形近 似】(15)と(16)か

らｆ,ηに つ い て１ 次 で 高次 の微 分 を 含 ま な い 項

を取 り出 す と

( 17)

を 得 る.こ

れ か ら

(18)

が 導 か れ,こ

れ はco=√ghで

(x〓c。t)と

お い て(17)に

進 む 波 の 波 動 方 程 式 で あ る.η=η(x〓cｏt),f=f 代 入す れば この近 似 で (19)

で あ る こ とが わ か る. 【非 線 形 項 】 波 高 ηを εの オ ー ダ ー と し (20) とお く.線

形 近 似 で はｆ と ηは 同 じ オ ー ダ ー で あ る が 非 線 形 項 ま で 取 り入 れ た と

きは (21) の よ うに ε2のオ ー ダ ー の 量 も 期 待 さ れ る.(15)と(16)の はそれぞれ

非 線 形 項 の 釣 り合 い

(22) と 書 け る の で,こ

の オ ー ダ ーに な る よ うに (23)

とお く.さ

ら に∂/∂tは ε3/2の項 も含 み う る こ と に な る か ら (24)

と お く. こ の よ うに 尺 度 変 換 を す る と(15)に

おいて

(25)

し た が っ てε7/2の 程 度 の 量 を0(ε7/2)と

書 くと

(26) ま た ε5/2の程 度 の 量 を 拾 え ば (27) と な る.し

た が っ て(15)はε5/2ま

で を と る とき (28)

と な り,同

様に し て(16)は (29)

と な る. β を 消 去 す る た め,(28)と(29)を

加 え て２ で わ れ ば

(30) を 得 る. 最 後 に オ ー ダ ー パ ラ メ タ εを１ に と れ ば τ=t,α=η

と な る の で(30)か

ら(31)

を 得 る.こ

れ がKdV方程式

で あ る.さ

ら に 表 面 張 力 の 影 響 を 取 り入 れ る と(５)

が 得 ら れ る.

尺 度

Kd V方程式

変 換

は η,ξ,ｔの尺 度 を そ れ ぞ れ 変 え る と係 数 と符 号 を 任 意 に と る こ と

が で き る と い う特 徴 を も つ.と

く にt→(6h/c0)t,ξ→hx,η→2hu/3と

変換す

れば(５)は

(32)

と な る.(32)の

孤 立 波解 は

(33)

と な る.

ソ

リ

ト ン

孤 立 波(33)は

(34)

と書 く こ とが で き る. 【２ ソ リ トン解 】

(35)

ただ し

(36)

とお く と

(37)

とす れ ば(35)は(32)を

満 たす こ とが 示 され る.

(35)は２ つ の孤 立 波 が 衝 突 し,衝 突 後 も との 孤 立 波 に な って 分 か れ て い く運

図92

動 を与 え る(図92.左

は追 い越 し衝 突,右

は正 面 衝 突).と

くに

(38)

とお け ば

(39) と な る.こ

れ はt=0で (40)

t→-∞

で

(41) t→+∞

で (42)

た だ しeψ=√3と

な る.

こ の 衝 突 の よ うに 孤 立 波 は そ れ ぞ れ 安 定 な 粒 子 の よ う に 振 舞 う の で 孤 立 波粒 子 と い う意 味 で ソ リ ト ン と 呼 ば れ る.KdV方程式 を も つ.

は 任 意 の数 の ソ リ トンを 含 む 解

TeaTime

線形の波 と非線形の波 波はふ つ うは重 ね合 わせ の原 理 に従 う運 動 と考 え られ て い る,多

くの場 合,光

や音 の波 の よ うに 重 ね 合 わ せ の原 理 が よ く成 り立 つ の を 波 の 性 質 の １つ とす る. そ し て 水面 の 波 も重 ね 合 わ せ の原 理 に 従 うと思 って い る人 も多 い か も しれ な い. しか し,水 面 波 が 重 ね 合 わ せ の 原 理 に 従 うの は振 幅 の小 さ い場 合,い わ ゆ る無 限 小振 幅 の 波 の 場 合 だ け で あ る.こ れ を線 形 の波 と い う.線 形 の波 とは いわば た し算,ひ

き算 に よ って 干 渉 や 回 折 が 扱 え る波 で あ る か ら理 解 しや す く,数 学 的 な

取 り扱 い も確 立 され て い る. 線 形 の 波 と して 扱 え る 水面 波 の 現 象 は非 常 に 多 い の で線 形 波 動 の理 論 は きわ め て重 要 で あ り,内 容 も きわ め て広 い.水 面 波 の 速 度 は 水 深,波 長 に 関 係 し,ま た 表 面 張 力 に も関 係 す る.こ の複 雑 な 分 散 関 係 に よ って さ まざ まな 現 象 が 生 じる. た と えば 池 や 湖 水 に 石 を 投 げ 込 む とそ の衝 動 で生 じた一 連 の波 が 水 面 を四 方 へ と 広 が って い く.こ の と きは い ろ い ろ な波 長 の波 が 発 生 す る.よ

くみ る と リン グ状

に広 が って い くの は や や 波 長 の大 きな波 であ り,そ れ に 追 い 越 され る よ うな波 長 の 小 さな波 もあ り,リ ン グ状 の波 の上 を もっ と速 く進 む 波 長 の小 さ い さ ざ波,す なわ ち表 面 張 力 波 もあ る.船 に乗 って船 が つ くる波 を み て い る と,や は り大 き な 波 長 の波 が 小 さ な波 長 の波 を ゆ るが す よ うに して追 い越 して い く. しか し典 型 的 な波 と思 わ れ が ちな 水 面 波に して も,少 し振 幅 が 大 き くな る と線 形 波 動 で な くな る.海 の 波 は 岸に 近 づ くと波 高 が 大 き くな って崩 れ る.崩 れ な く て も少 し振 幅 が 大 き くな る と線形 波動 で は なく な る.水 の波 ば か りで な く,た と えば イオン 化 され た気 体,す

なわ ち プ ラ ズマ の 波 とか,光

フ ァ イバ 中 の 光 の 波 な

ど,最 近 の物 理 学 や 科 学技 術 で は非 線 形 の波 が問 題 に な る こ と が 多 く な って き た.

第26講 粘性流体の運動方程式

―テーマ ◆応 力,粘 性 ◆ナビエ-ス トー クスの運動 方程 式 ◆ Tea Time:粘

性率の温度変化

応

力

粘 性 の ない 流 体 で は,流 体 内 に 考 え た任 意 の 両側 の流 体 部 分 は この面 を 通 し て 面に 垂 直 な力 を及 ぼ し合 う.こ の力 の単 位 面 積 当 りの 大 き さが圧 力 で あ る.粘 性 が あ る場 合 に は 面 の 一 方 の 側 が 他方 の側 を 引 きず る面 力 もは た ら く.そ こで任 意 の 面 を 通 して 両 側 の 流 体 が たが い に 及 ぼ し合 う単 位 面 積 当 りの 力 を応 力 と呼 べ ば, 応 力 の 向 きは 面 の 法線 の方 向 と一 般に一 致 しな い.応 力 は 次 の よ うに 考 え られ る. ｘ軸 に垂 直 な 面 を 通 して+xの 力)をpxと

側 か ら-x側

に 及 ぼす 応 力(単 位 面 積 当 り の

し,そ のｘ,ｙ,ｚ成 分 をpxx,pxy,pxzと 書 く.同 様 にｙ 軸,ｚ 軸に 垂 直

な面 に はた ら く応 力 を そ れ ぞ れpy=(pyx,pyy,pyz),pz=(pzx,pzy,pzz〉

と 書 く.

ま とめ て書 け ば

(１)

これ を応 力 テ ン ソル とい う.

微 小 な立 方 体 に つ い て力 の モ ー メ ン トの釣 り合 い を調 べ る こ とに よ り (２) が示 され るの で,Ｐ は 対 称 テ ンソル で あ る.

応 力 と変 形 速 度 の 関 係 応 力 は 変 形 速 度 と関 係 づ けら れ る.変 形 速 度 は 第６講 で 述 べ た よ うに テ ンソル

(３)

と書 かれ る.た だ し

(4) を 意 味 す る. そ こ でＰ

とＥ

の 関 係 が 線 形 で あ る と 仮 定 し(テ ンソル は テ ンソル に 等 し い と お

か な け れ ば な ら な い),流

体 は 等 方 的(方

向 性 が な い)と す る とｃ,η を 定 数 と し て

(５)

と な る.さ

らに 圧 力ｐ を (６)

で導 入す る と (７) あ るい は (８) と な る.し

た が って

(９) もし も流 れ がｘ 軸に 平 行 な らばｙ 軸 に 垂 直 な面 を 通 して 粘性 のた め の面 力(10) 図93

が は た ら くは ず で あ る.し

たが っ て(９)の

ηは 粘 性 率 に ほか な らな い こ とが わ

か る. 運動方程式 図94の

よ うに 座 標 軸 に そ っ て 小 さ

な６ 面 体⊿x⊿y⊿zを 分 をx方

考 え る と,こ

の部

向に 加 速 す る 力 は(∂pxx/∂x)⊿x

・⊿y⊿zの

ほ か に(∂pyx/∂y)⊿y・

⊿ x⊿ｚ と(∂pzx/∂z)⊿z・⊿x⊿yで

あ る.

し た が っ て 運 動 方 程 式 のｘ 成 分 は(pX

図94

は 外 力)

(11)

と な る.こ

こで

(12)

した が っ て

(13)ｙ ,ｚ成 分に つ い て も 同 様 で あ る.こ

れ らの 成 分 を ま とめ る と

(1 4)

と 書 け る.こ

れ を ナ ビ エ-ス

トー ク ス(Navier-Stokes)の

と くに 縮 ま な い 流 体 の 場 合 はdivⅴ=0な

方程式

と い う.

の で(14)は

(1 5)

と な る.d/dt=∂/∂t+u∂/∂x+v∂/∂y+w∂/∂zで

あ る か ら ナ ビ エ-ス

トー ク ス の 方

程式は

(16)

と 書 け る.

レ イ ノル ズ 数

流 れ を 代 表 す る長 さ と 速 さ を そ れ ぞ れｌ お よ びＵ し,圧

と す る.時

力 は 運 動 量 の 流 れ ρU2で 代 表 す る こ と が で き る.こ

種 々 の 場 合 の 流 れ を 比 較 す る の が 便 利 で あ る.こ ク ス の 方 程 式 にl/ρU2を

か け る と(15)は

間 はl/Uで

代表

れ らの量 を 単 位 と して

の よ う に 考 え て ナ ビ エ-ス

トー

な ど(17)

と 書 け る.こ

こで

(18)

し たが ってｌ,Ｕな ど を単 位 と して 流 れ を 比 較 す る と き,流 れ の 性 質 は 定 数Ｒ に よ って 特 長 づ けら れ る.Ｒ を レイ ノル ズ(Reynolds)数

とい う.

レイ ノル ズ数 が 小 さい 流 れ は 粘 性 の効 果 が 大 き く運 動 の慣 性 の 効果 は 小 さい. 逆 に レイ ノ ル ズ数 が 大 き い流 れ は 粘 性 の 効果 は小 さ く流 れ の慣 性 の 効 果 が 大 き い.レ

イ ノル ズ数 は 慣 性 と粘 性 の 効 果 の 比 を表 す も の で あ る.実

∂u /∂xな ど)は ρU2/lで,粘

際慣 性項(ρu

性 項(η∇2uな ど)は ηU/l2で 代 表 で き るか ら,こ れ

らの比 は (19) とな る.

粘 性 と塑 性 コール タ ール の よ うに 固 い 物 で も一 定 の 力 を 長 い 時 間加え て い れ ば 変 形 して 流 れ る の が認 め られ る.力 を 加 え続 け れ ば 変形 して も とに 戻 ら ない 物 質 は塑 性 を も っ てい る とい う.み た と ころ 固 体 に み え る シ リコ ン樹 脂 な ど も塑 性 変 形 をす る. 固 体 や 弾 性 体に み え る多 くの物 質 が 塑 性 を示 す の で あ る. 弾 性 体にずり の 変 形 を与 え た と き のずり の 力(面 力)とずり 図95

の変 形 との関 係 は 剛 性 率 に よ っ て 表 さ れ

る.剛 性率 をＧ と し よ う.図95の

よ うに ずり の変 形

を角 度ψ で表 す と弾 性 体 で はずり の 力Ｓ は ずり の 変 形ψに 比例 し (20) で 与 え られ る. しか し塑 性 体 で はず りり の 変 形ψ を 一 定に 保 った と きずり の力Ｓ は時 間 と と もに 減 少 して い く.そ の 関 係 は

(21)

で 与 え られ る とみ て よいで あ ろ う.こ こ でτ は緩 和 時 間 と呼 ば れ る定 数 で あ る. (21)を 塑 性に 関す るマ クス ウ ェル の 関 係 式 とい う ことが あ る.こ

の式 でＧ は τ

に比 べ て短 い時 間に 起 こ ったずりに 対す る剛 性 率 を 意 味す る. 一 定 の面 力Ｓ を与 えて 連 続 的にずり(流

れ)を 起 こ さ せ て い く と き はdS=0

で あ るか ら (22) が 成 り立 つ が,面 力 の方 向にｘ軸,こ

れ に垂 直 にｚ 軸 を とれ ばdψ/dtはｘ 方 向 の

流 速ｕ の 勾配∂u/∂zを 表 す.他 方 で この 流 れ の粘 性 率 を ηとす れ ば (23) で あ る.ゆ え に粘 性 率 ηと剛 性 率Ｇ と緩 和 時 間 τの 間に は (24)

の 関 係 が あ る こ と が わ か る. 緩 和 時 間 τは 分 子 振 動 の 周 期(約10-13秒)よ

り小 さ く は な い と 考 え ら れ る.

し た が っ て 通 常 の 液 体(η ∼10-3C.G.S.)の

剛 性 率 はG∼1010C.G.S.程

わ ち ふ つ う の 固 体 の 剛 性 率 の1/10∼1/100で

あ る と推 定 さ れ る.水

度,す

な

な どで も急 速

な 衝 撃 の と き は 剛 性 を も っ た 固 体 の よ うに 振 舞 うで あ ろ う. ずり ψ を 一 定 に 保 つ と き は(21)は (25)

した が って 力 は (26) の よ うに 緩 和 時 間 τ で 減 少 す る こ と に な る.

Tea

Time

粘性率の温度変化 液 体 の粘 性 率 は温 度 が上 が る と急 激 に小 さ くな る.油 な ど が低 温 で ね ば こ くな り,温 度 を上 げ る と さ らさ らす る のは この た め で あ る.粘 性 率 を η,温 度 を 絶対 温度(T=273+セ

氏 温 度)でＴ

とす る と温 度 変化 は

の よ うに 与 え られ る.こ こで η。は定 数 で あ り,定 数Ｂ は 液 体 の分 子 が 引 き合 う 力 の 大 き さを表 す と解 釈 が で き る. 気 体 の 粘 性 率 は 温 度 が 上 が る と大 き くな る(こ れ は 液 体 と反 対 の 温 度 傾 向 で あ る).そ

して 圧 力 が 極 端 に 大 き くな らな い か ぎ り圧 力に よ らな い.こ

れ らは ち ょ

っ と常 識 的に 考 え るの と逆 の よ うで あ る が,気 体 の粘 性 の 著 し い 性質 で あ る.気 体 の粘 性 率 が温 度 と と もに上 昇す る のは,温 度 を 上 げ る と気 体 分 子 の運 動 が激 し くな って,流 れ の 速度 が 一 様に な ろ うとす る傾 向 が 強 くな る た め と解 釈 で き る. また気 体 の 粘 性 率 が 圧 力,し た が って気 体 の密 度に よ らな い の は,密 度 が 小 さい ほ ど遠 方 の 分 子 が飛 来 して 流 れ を均 一化 し よ うとす る傾 向 が強 ま る影 響 と,分 子 衝 突 の機 会 が 少 な くな って均 一 化 の影 響 が弱 ま る傾 向 とが 打 ち 消 し合 うか らで あ る.気 体 の粘 性 率 はサザ ー ラ ン ド(Sutherland)の

で 表 され る.分 子 の√Tは で あ り,分 母 の1+C/Tは 子 で あ る.

式

分 子運 動 が温 度 と と もに 激 し く な る こ とに よる 因子 温 度 が下 が る と分 子 間 の 引 力 が 影響 す る こ と を表 す 因

第27講 ポ アズイユ の流れ

―テーマ ◆ポアズィユ の法則 ◆粘性 による仕事 ◆ Tea Time:レ イ ノル ズ と乱流

円管 中 の 流 れ 円管 の 中 を通 る流 れ は 粘 性 の ために流 速が 制 限 され る.単 位 時 間に 円管 を 流 れ る流 体 の 量(流 量)Ｑ は 管 の 両 端 の 圧 力 差p1-p2比

例 し管 の 長 さｌ に 逆 比 例

し,管 の半 径ａ の４ 乗 に 比例 す る.ま た 流 体 の 粘性 率 ηに逆 比例 す る.

(１)

これ を ポ アズイユ(Poiseuille)の

法則 と い う.

この 法則 は管 内 の流 れ が 乱 流 で な い と きに 成 り立 つ もの で,管 が あ ま り太 い と 乱 流が 起 こる ので成 り立 た な くな る. 【証 明】 ポ アズイユ の 流れ は初 等的 に解 くこ と が で き る.管 の 中 心 か らｒ の と こ ろの 流 速 をｕ と す る.ｒ とr+drの

間 の 面 積 は2πrdrで

あ り,

管 の両 端 で 加わ る圧 力 差 をp1一p2と す れ ば,圧 力

図96

差 に よ る力 は2π(p1-p2)rdrで

あ る.こ

の 力 はｒ とr+drの

両 方 の面に は た ら

く粘 性 の た め の 力 と釣 り合 って 一定 の流 れ が 保 た れ るわ け で あ る.粘 性に よ る面 力 は 速 度 勾 配du/drに

比 例 し,単 位 面積 当 りηdu/drで

あ る.管

の 中 心 か らｒ

の 部 分 に は た ら く粘 性 のた め の 力 は (２) で あ り,r+drの

部 分に は た ら く粘性 の た めの 力 は

(３)であ る.こ れ ら の力 の差 が 圧 力 に よ る力 と釣 り合 うの で あ るか ら ４) あるいは (５) これ を 解 い て 管 のr=aでu=0と

お けば (６)

流 量 は した が って (７) 図97

と な る.

オ ストワルド

の粘度計

鉛 直 に 立 て た細 い管 を通 し て流 れ る流量 か ら粘 性 率 を 求 め る装 置 を オ ストワル ド(Ostwald)の

粘 度 計 とい う.こ の場 合,流 体 の 重 さが 流 体 を 押 し流 す 役 割 を

す る.重 力 の加 速 度ｇ を考 慮 し た方 程 式 は(５)の

代 わ りに (８)

とな る.し た が って流 量 は(７)の

代 わ りに (９)

で与 え られ る.

ナ ビ エ-ス

トー ク ス の 方 程 式 とポ アズイユ の 流 れ

ナ ビエ-ス トー ク スの 方 程 式 が 厳 密 に解 け る場 合 は 少 な い.ポ

アズイユ の 流れ

は厳 密 解 の求 め られ る １つ の例 で あ る. 定常 的 で,ｘ 方 向 に 一 様 な 流 れ の 場 合 は (10) で あ り,ナ ビエ-ス トー クス の方 程 式 は

(11)

と な る. 流 れ は 円管 の 中 心 か ら の 距 離ｒ だ けに よ る の で (12) し た が っ て(11)の

第1式

か ら (13)

これ を解 け ば (14) を 得 る.こ

こ で-dp/dx=(ｐ1-ｐ2)/lで

と し て は(７)が

あ る か ら(14)は(６)と

一 致 し,流

量

導 か れ る.

２ 次 元 のポ アズイユ

２枚 の 平 行 な 平 板(間

隔2a)の

の 流 れ

間 を 流 体 が 一 様 に 流 れ る 場 合 は,流

向 で 板 はｙ 軸 に 垂 直 で あ る と す る と,ナ

ビ エ-ス

れ がｘ 方

トー ク ス の 方 程 式 は (15)

と な る.こ れ を解 い てy=±aでu=0と

お けば (16)

よ っ て 流れ と平 板 に垂 直 な単 位 長 さ の領 域 を 単 位 時 間 に通 る流 量 をＱ とす れ ば (17) こ こで-dp/dx=(pl-p2)/lは

圧 力 勾配 で あ る, ク エット の 流 れ

圧 力 勾 配 が な く，一 方 の 板 が 静 止 して い て,他 方 の 平 行 な板 が 一 定 の 速 さで動 く場 合 の定常 的 な流 れ を ク エット(Couette)の

流 れ と い う.こ の 場 合 の 流 速 は

静 止 した 板 か らの 距 離 に比 例 す る. 粘 性 に よ る波 動 の 伝達 １枚 の板 の右 方 に 流 体 が無 限 に 広 が っ て い る と し,こ の板 が板 の方 向 に 周期 的 な運 動 をす る とす る (図98).板

はｙ 軸 に 垂 直 でｘ 方 向に 振 動 す る と す

る.ｘ 方 向 に 流体 も振 動す る の で そ の速 さ をｕ とす る と(v=w=0) (18)

図98 な の で,ナ

ビエ-ス

トー ク ス の 方 程 式 は (19)

と な る.こ 【注 意 】

れ は 熱 伝 導 型 の 方 程 式 で あ る. 流 体 をｙ 軸 に 垂 直 な 厚 さΔyの

層 に 分 け(19)を (20)

と 書 く.こ

の 式 の 左 辺 で ρΔyは 単 位 断 面 積,厚

の 加 速 度 で あ る.他

さΔyの

流 体 の 質 量,∂u/∂tは

方 で η∂u/∂yは 粘 性 に よ る 面 力,(20)の

の 両 面 に は た ら く面 力 の 差 で あ る.し

た が っ て(20)は

右 辺 は 厚 さΔyの

ニュー

そ 層

トン の 運 動 の 方 程

式 を 表 し て い る. 【波 動 】ｙ

軸 に 垂 直 な板 が (21)

で 振 動 す る と き は,(19)の

解 は (22)

ただ し (23) で与 え られ る.波 動 は 振 幅 が 小 さ くな りなが らｙ方 向に 速 さ (24) で伝 播 す る. 【エ ネ ル ギ ー の散 逸 】 面 力 は η∂u/∂yであ り,厚 さΔyの 両側 の速 度 の 差 は(∂u/∂y)Δyで あ る の で,面

力に 対 す る 仕

事 は(図99)

図99 (25)

よ っ て 粘 性 に よ る エ ネ ル ギ ー の 散 逸 の 時 間 平 均 は(22)を

用 いて

(26) とな る.他 方 で 板 を 動 か してdt時 間 にす る仕 事 は (27) で あ り,そ の 時 間 平 均 を 計 算 す る と

(28) と な っ て(26)と

一 致 す る.板 を動 かす 仕 事 は 粘 性 に よ って散 逸 し熱 に な る の で

あ る. 【板 がｔ=0か 板 がt=0か

ら動 き 出す と き】t<0で

静 止 し て い た 流 体 の 中 でｙ 軸 に 垂 直 な

ら一定 の速 さＵ で動 き出 した とす る.こ の とき(19)の

解は (29)

た だ し ここでerfは 誤 差 関 数 (30) で あ り,ξ と と もに急 激 に１ に近 づ く.そ の た め板 か ら (31) 程 度 離れ る と流 速 は ほ とん ど０ に な る. こ の よ うにｘ 方 向 に伸 び た板 や物 体 がt=0か

ら一 定 の 速度 で動 き 出 し た と き

の流 体 の 運 動 を 求 め る こ とは レイ リー(Rayleigh)の

Tea

問題 と呼 ばれ る.

Time

レイ ノル ズ と乱 流 円筒 中 を流 れ る流 体 に 対す る ポ アズイユ の 法 則 は 流 れ が 管 に平 行 に層 流 を な し て 流 れ て い る と きに 限 る.運 動 方 程 式 に 層 流 を なす 解 が あ る か ら とい っ て,そ の 解 が 実 現 され る とは 限 らな い.流 れ が あ ま り速 くな る と流れ は層 流 で なく な り, 乱 流 が 発 生 す る.管 が 太 い ほ ど小 さ な速 さ で乱 流 が 生 じる.乱 流 が 起 こ る と流 れ の 抵 抗 は 大 き くな る. この 現 象 を初 め て組 織 的 に 調 べ た の は レ イ ノル ズ(0.Reynolds,1842-1912) で あ る(1883年).彼

は管 中 を流 れ て い る水 の 中 に着 色 した 水 の 細 い 流れ を注 入

し て そ の流 れ を観 察 した.流 れ が 遅 い と きは 着 色 水 は 広 が らずに 管 に平 行 な１ 本 の細 い筋 に な っ て流 れ る.流 速 を上 げ て い くと,流 速 が あ る限 界 を 越 え た と きに

流 れ が 乱 れ て 着 色 水 は 管 の 全 断 面 に 広 が って しま う.層 流 か ら乱流 へ の遷 移 は, 無 次 元 数(レ

イ ノル ズ 数)

に よ って 特 徴 づ けら れ る.こ こでＵ は 管 の 断 面 内 の 平 均 流 速,ρ は 流 体密 度,η は粘 性率,ｄ は管 の 直径 で あ る, レ イ ノル ズ数Ｒ が あ る値 を越 え る と乱 流 が 生 じる.こ

の 限界Rcを

臨 界 レイ ノ

ル ズ 数 と い う.こ れ は 「 流 れ の幾 何 学 的 な形 状 に よ って 決 ま る ので,そ

こを 流す

流体 の種 類 に よ らな い」 こ とを強 調 して お く必 要 が あ る.Rcは

管 の 入 口の形 な

どの条 件 に よ って 変 わ る.乱 れ が 生 じに く く し た 極 限 で はRcは

無 限に大 き くな

るの か も しれ な い.し か し与 え られ た装 置 で は 一 定 のRcが

存 在 し,実 際 にはRc

〓2000程 度 であ る.こ の よ うに 臨 界 レ イ ノ ル ズ数 は あ ま り確 実 な意 味 を も っ た もの で は な い.よ り重 要 な の は レイ ノル ズが 指 摘 した 相 似 法 則 で あ る. 一 般 の 流れ に お い て は 流 れ を 特徴 づ ける 長 さをｄ と して上 式 で レイ ノル ズ数 を 定 義す る.幾 何 学 的に 相 似 な 境界 を もち レイ ノル ズ数 が 等 しい 流 れ は相 似 で あ る とい うの が レ イ ノル ズ の 相 似 法則 で あ る.す なわ ち レイ ノル ズ数 の等 しい流 れ で は無 次 元 化 した 量

が そ れ ぞ れ 同 じ値 を と る.こ

こ でｘ は 長 さ,ｔ は 時 間,ｕ

は 流 速,ｐ

は圧 力 で あ

る. レ イ ノ ル ズ は 技 術 者 で あ っ た が 種 々 の 分 野 に 興味 を も ち 精 力 的 に 仕 事 を し て い る.彼

は 頑 固 で あ っ た ら し く,ラ

ウ ェ ル が 死 ぬ ま でマクスウェル た が,気

ジ オ メ ー タ の 理 論 を め ぐ っ て1879年

を 悩 ま し た.マクスウェル

体 分 子 運 動 論 に も大 き な 貢 献 を し て い て,そ

に マ ク ス

は 電 磁 気学 を 完 成 し

の観 点 か らの ラジ オ メー タ

の 理 論 が 彼 の 最 後 の 論 文 と な っ た. 【ラジオ メ ー タ 】ラジオ で,1873年

メ ー タは光 を当 る と くる く る回 る 風 車 の よ う な 装 置

に クル ッ ク ス(W.Crookes,1832-1919)が

偶 然 発 見 し た.彼

は真 空

中に 天 秤 を 吊 し て 精 密 な 測 定 を し よ う と し て い た と き に 天 秤 が 熱 源 に 感 じ る こ と を 発 見 し た の で あ る.ラ

ジ オ メ ー タ は 光 の 羽 根 車 と 呼 ば れ,マ

し た ば か りの 光 の 圧 力 が 羽 根 を 回 す と考 え ら れ た.し

ク ス ウ ェル が 予 言

か しマ クス ウ ェルは それ に

して は力 が 大 きす ぎ る よ うにみ え る と考 え た.そ

うして い る うちに レ イ ノル ズ の

助 手 だ った 人 が,ラ ジ オ メー タ 自身 を 真 空 中 に 吊 して光 を 当 る と,ラ ジ オ メー タ と 羽根 車 が 逆 向 きに 回 る こ と を示 し,ラ ジ オ メ ー タ効 果 が 残 留 気 体 の 作 用 に よ る も ので あ る こ とを 明 らか に した の で あ る. な お クル ッ クスは そ の こ ろか ら心 霊 現 象 の研 究 に 深 入 りして い った. 【粘 性 率 と動 的 粘 性 率 】C.G.S.単 で あ る とき に1cm2に

位 系 で は流 れ の勾 配 が1cmに

つ き1cm/秒

は た ら く粘 性 に よる面 力 を1ポ ア ズ(poise,ポ

名 に よ る)と い う.こ れ は１ダイン(dyn,10-5N)/cm2に

アズイユ の

当 る.

レイ ノル ズ数 は 粘 性 率 ηに 反 比 例 し流 速Ｕ に 比 例 す る.粘 性 率 が 小 さ い もの ほ ど小 さな 流 速 で 臨界 レ イ ノル ズ 数Rcに

達 す る か ら,粘 性 率 の違 う流 体 を 比 べ

る と粘 性 の 小 さ な流 体 ほ ど乱 流 を起 こ しや す い.た

とえ ば 水 の よ うに さ ら さ ら し

た 粘 性 率 の 小 さい液 体 は 蜂 蜜 の よ うにね ば こ く粘 性 率 の大 きな 液 体 よ りも乱 流 に な りやす い. しか した とえば 空 気 と水 と を比 べ る と水 の ほ うが 乱 流 を起 こ し や す い の で あ る.そ れ は レイ ノル ズ 数 が 流体 の 密度 ρに も関 係す る た め で あ る.レ イ ノル ズ 数 は

に 反 比 例 す る の で あ る.粘

性 率 と密 度 の 比μ を 動 的 粘 性 率 と い う.密

慣 性に 関 係 し た も の な の で こ う呼 ぶ の で あ る.20℃ ア ズ,ρ=1.2×10-3g/cm3,し の 水 で は η=1.0×10-2ポ

の 空 気 で は η=1.8×10-4ポ

た が っ て μ(空 気)=15×10-2C.G.S.であり,20。C アズ,ρ=1g/cm3な

の で μ(水)=1.0×10-2C.G.S.し

た が っ て 動 的 粘 性 率 で 比 べ れ ば 空 気 の ほ うが １桁 以 上 ね ば っこく,水 ら さ ら して い る の で,水 起 こ しや す い の で あ る.

度は運動の

の ほ うが さ

の ほ うが 小 さ な 流 速 で 臨 界 レ イ ノ ル ズ 数 に 達 し,乱

流 を

第28講 ス トー ク ス の 抵 抗

―テーマ ◆ス トー クスの近似 ◆粘性抵 抗 ◆ Tea Time:人

の流れ ・自動車の流れ

ス トー ク ス の 近 似 雨粒 や 球 が 空 気 中 や 液 体 中 を 落下 す る とき,速 度 に 比例 す る 抵 抗 が は た ら く と 考 え る こ とが 多 い が,こ の抵 抗 は ス トー クス の近 似 と呼 ば れ る方 法 で導 か れ る も ので あ る.物 体 を固 定 し,こ れ に 当 る流 れ の 速 さが 小 さ く,そ の た め慣 性項 が 無 視 で き る とす る と,外 力 の な い 場合 の ナ ビエ-ス トー クス の式 は (１) とな る.こ れ は 線 形 の 式 で あ り,縮 まな い流 体 の場 合,連

続 の 方 程式 も線 形 で あ

るか ら,こ れ らを 連 立 させ 与 え られ た境 界 条 件 の もと で解 けば 流 速ｖ と圧 力ｐ が 求 め られ る.こ の解 法が ス トー クス の近 似 で あ る. (１)のdivを

とれ ばdivgrad=〓2に

より (２)

した が っ て圧 力 は ラ プ ラ スの 方 程 式 を満 たす(調 和 関 数 で あ る).定常

な流れの

場 合(１)は

(３)

とな り,こ れ と連 続 の 方 程 式 (４) を連 立 させ て 流速ｖ を 求 め れ ば よい. な お(１)のrotを

とれ ば 渦度 ω=rotvに

対し (５)

を得 る.こ れ は 熱 伝 導 型 の 方 程 式 で あ る. 球 の 受 け る抵 抗 速 さＵ の 流 れ の 中 に 置 か れ た 半 径ａ の 球 の まわ りの 流 速v=(u,v,w)は

ス トー

クス の近 似 で

(６)

ま た圧 力ｐ は (７) で与 え られ,球 に は た ら く抵 抗 力 をＤ とす る と

(８) とな る.こ の抵 抗 は 流速Ｕ に比 例 し球 の半 径ａ に 比例 し,粘 性 係 数 ηに 比 例 す る.こ れ を ス トー ク スの 抵 抗 と い う. 【証 明 】(７)は

(９) と 書 け る.〓2(1/r)=0(r≠0)で る.こ

のｐ を 用 い て(３),(４)を

(３),(４)はｖ (３)の

あ る か ら,圧

力 の 式(７)は(２)を

満足す

解 く.

に つ い て 線 形 で あ る か ら 重 ね 合 わ せ の 方 法 が 使 え る.ま

右 辺 を０ と お い た 式(同

次 方 程 式)の

解 をv0と

す る.す

ず

なわち (10)

次 に(３)の

右 辺 を 残 し た 非 同 次 方 程 式 の特 解 をvpと

す る.す

なわち (11)

す る と (12) が(３)を まずｖ0と

満 た す こ とは 明 ら か で あ る. して

(13 )

と お く.〓2(1/r)=0(r≠0)な 〓2な の で 第２ 式 も満 た す

の で,v0は(10)の

第１ 式 を 満 た し,divgrad=

.

次に

(14)

と お く.〓2r=2/r,〓2(1/r)=0に

注 目す る と (15)

こ こで(９)を

用 い た.し

たが って (16)

と お け ば(11)の

第１ 式 が 満 た され る.ま

たdivgrad=〓2と〓2r=2/rに

よ り (1 7)

と な り(11)の

第２ 式 も満 た さ れ る.(14)の

第２ 式 の(1/r,0,0)はdivp=0

を 満 た す た め の 項 で あ っ た. こ う し て(２),(３),(４)を

満 た す 流 れv=(u,v,w)と

して

(18)

を 得 る.こ

こで (19)

とお け ば (20) と な る.す

な わ ち 球r=aの

一 様 な 流 れＵ

上 で 流 れ は 止 ま っ て い て,遠

に な って い る

.(19)を(18)に

方r→∞

で はｘ 方 向 の

代 入 し て 整 理 す れ ば(６)が

得 ら

れ る. 最 後 に 球 の 表 面r=aに

お い て は た ら く応 力 のｘ 成 分 は (21)

と 書 け る.こ

こで

(22)

で あ り,球

の 表 面r=aに

は た ら く応 力 のｘ 成 分 は (23)

と な る.球

に は た ら く抵 抗 力 は これ を 用 い て 計 算 す る と (24)

と な る.

抵 抗

流 れ に 対 す る 球 の 断 面 積 はS=πa2で

係 数

あ る.流

れ の エ ネ ル ギ ー は ρU2/2と

考 え

られ るの で (25)

と お き,こ

れ を 抵 抗 係 数 とい う.ス

トー ク ス の 抵 抗 は (26)

と 書 け る.こ

こで (27)

は こ の 場 合 の レ イ ノ ル ズ 数 で あ る.

オセーン の近 似 ス トー ク ス の 近 似 は３ 次 元 の 球 や 楕 円 体 の 抵 抗 を 与 え る が,２ 合 は ス トー ク ス の 近 似 は 解 を 与 え な い.こ う.オセーン(Oseen)は ナ ビ エ-ス

次元の円柱の場

れ を ス トー ク ス の パ ラ ド ッ ク ス と い

遠 方 に お け る 慣 性 項 の 影 響 を 取 り入 れ る こ と に よ り,

トー ク ス の 方 程 式 を (28)

で近 似 し た.こ の方 程 式 を用 い て球 の抵 抗 を 求 め (29) が 得 られ て い る.こ の 第１ 項 は ス トー クス の 抵抗 と一 致 す る.ス は 球 の 半 径 が 小 さ く,粘 性 が 大 きい 場 合,ゆ

トー クスの 抵 抗

っ く りした 流 れ に 対 し て よい 近 似 で

あ る こ とがわ か る.

多 数 の粒 子 が あ る と きの 流 れ 流 れ の 中に 多 数 の棒杭 が あれ ば 流 れ は その た め に 乱 され るが,非 常 に小 さな球 が３ 次 元 的 に 置 か れ て い る と きの 流 れｖ の満 たす 方 程 式 と し て (30) が 考 え られ る.こ こで (31) は 小 さな 球１ 個 に よ る抵 抗 定 数,ｎ は位 置ｒ に お け る 単 位 体 積 内 の 球 の 数 で あ る. 【証 明 】 流 速ｖ の 中 の点ｒ に 半径ａ の球 が 置 か れ て い る と き,こ 離 れ た点Ｒ に お け る流 れ の 乱 れ をｖ'(Ｒ)と す る.(６)に U→vと 置 き換 えれ ばa/rに

こか ら十分

お い てr→｜R-r｜,

つ い て３ 次 の項 を 無視 す る近 似 で (32)

とな る． こ こで

(33)

と してＭ は テンソル

(34) を意 味 す る.流 れ を 乱す 球 が た くさん あ る場 合 は

(35) と な る.こ

の 式 で 右 辺 第２ 項 は

(36) と書 け るの で

(37) と な る.こ〓2=∂2/∂X2十∂2/∂Y2十∂2/∂Z2を

作 用 させ る と

(38)

(39) を 用 い て(37)か

ら

(40) を 得 る. 他 方 で 圧 力 の 式 は(７)を

同 じ よ うに 一 般 化 す れ ば

(41) したが って (42)

流れ を (43) の ポ テ ン シ ャ ル 流ｕ と 多 数 の 球 に よ っ て つ く られ た 乱 れｖ'の 和 (44) と す れ ば(42)か

ら (45)

が 得 ら れ る. n =0な

ら ば(45)は

い と こ ろ で はnvを

ス ト ー ク ス の 近 似(３)と 有 限 に す る た めv=0,す

な る .ま

たｎ が た い へ ん 大 き

な わ ち 流 れ の 入 り込 ま な い 領 域 と な

る.

Tea

Time

人 の 流 れ ・自動 車 の流 れ 都 会 の 繁 華 街,デ

パ ー トや 駅 の 構 内 な どで は もの す ごい 人 の流 れ に お め に か か

る.そ の 中 を 目的 地 へ と進 む の に は大 きな 抵抗 を感 じ ざ るをえ な い.人 の 流れ は 流 体 の 流 れ に た と え られ る こ とが 多 い が,む か しは 気 体 か 完 全 流 体 の よ うに ス ム ー ズに 歩 け た .そ れ が こ の ご ろで は 混 雑 が ひ ど くて,人 の流 れ もひ どい激 流 か 濁 流 か,時

と し ては ね ば っ こい 粘 性 流 体 に近 い の で は ない か と思 うこ と も あ る.駅

の 階段 な どで ひ と り逆 向 きに 進 も うとす る と きな どに 体 験 す る抵 抗 は ス トー クス の抵 抗 よ りもず っ と無 慈 悲 で あ る. 自動 車 の 流 れ も流 体 の 流れ に た とえ られ る こ とが 多 い.交 通 を 数 学 的 に扱 う分 野 もあ るそ うで あ る.し か し数 学 に 乗 りに くい の は 交 通 違 反,駐 車 違 反 で あ るか も しれ な い.ポ

アズイユ の流 れ の式 に よれ ば管 の太 さが 細 くなれ ば流 れ の速 さは

管 の直 径 の４ 乗に 比 例 して著 し く減 少 す るが,こ れ と同 じよ うな ことが 道 路に つ い て も当 ては ま る. 片 道３ 車 線 とい う道 路 が多 いが,歩 道 寄 りに は いつも 駐 車 して い て有 効 な道 路 は２ 車 線 とい うと ころ も多 い し,そ れ に左 折 車 や 右 折 車 が あ って,よ

うや く１車

線 とい う こ と も起 こ る.こ の よ うに車 線 が ふ さが れ てい る と き は 車 の流 れ は著 し

く阻害 され る こ と に な る. か らだ の中 の 血 液 の 流 れ は血 管 が コ レス テ ロー ル な どで 狭 くな って いれ ば,ポ アズイユの 法 則 に よ り著 し く阻 害 され る.こ れ は た い へ ん 危 険 な こと だ と,食 事 に気 をつ け散 歩 に は げ む の もポ アズイユの 流 れ を学 ん だお か げ と い え る か も しれ ない. 道 路 は 都 会 の血 管 の よ うな も ので あ る.都 会 の 血 行 は健 康 とは い え な い状 況 に あ る とだ れ で も認 め て い るに ち が い ない.

第29講 球 のまわ リのずり の流 れ

―テ ー マ ◆ 純 粋 なずり の 流 れ ◆ア インシュ タイン の 粘 度 式 ◆ Tea

Time:ア

インシュ タイン とボ ー ア の 初期 の 論文

単 純 なずり

と 純 粋 なずり

ｘ方 向 の 流れ の速 度ｕ がｙ に比 例 す る層 流 は(図100) (Ω=定 数)(１) と書 け る.こ れ を単 純 なずり の流 れ とい い, 2Ωを流 れ の勾 配 とい う.ひ ず み のテンソル で０ で な い成 分 は 図100 で あ り,渦度

（３） も一 定 で あ る. こ の 流 速 を２ つ に 分 け て

e12=e21=Ω

な ど(２)

(４) と書 く と,右 辺 第１ 項 は角 速 度Ω の 回転 で あ る.第２ 項 は 図101に

示 す よ うな運 動 で あ り,

純粋 なずり 運 動 と呼 ば れ る.単 純 なずり は 流 体 全 体 が 剛 体 の よ うに回 転 す る運 動 と純 粋 なずり とを 合 わ せ た もので あ る. (１)で 与 え られ る単純 なずり の 流れ に 置か れ た 球 は,角

速 度Ω で(x,y)面

図101

内 で回 転 しな が ら純 粋 なずり の流 れ を受 け るわ

け で あ る.

球 の ま わ りの 純 粋 なずり の 流 れ ス トー クス の 近似 で扱 う.純 粋 なずり の 流れ u=Ωy ,v=Ωx,w=0(５) の原 点 に置 か れ た 半 径ａ の球 の まわ りの 流 れ は

(６)で 与 え ら れ る.圧

力は (７)

【証 明 】

ス トー ク ス の 近 似 で は (８) (９) (10)

で あ る.(６),(７)が(８),(９),(10)を まず

満 た す こ と を 直 接 証 明 し よ う.

(11) と 書 け〓2(1/r)=0(r≠0)で

あ る か ら,(７)は(８)を

満 た す.

次 に直 接 微 分 す る こ とに よ り

(12)

こ の 微 分 を 実 行 す る こ と に よ りdivν=0が

示 さ れ る.

次に

(13)

し たが っ て

(14) こ こ でｒ の 関 数f(r)に

対 し (15)

なので (16) よっ て

(17)

他方で (18) で あ る か ら η〓2u=∂p/∂xが 成 り立 つ.同

様 に η〓2v=∂p/∂yが 示 さ れ る.ｚ 成 分 に

ついては

(19)

同様 に

(20)

(19)の 第２ 式 と(20)を

加 え合 わ せ れ ば (21)

を 得 る.他 方 で(７)か

ら (22)

した が っ て η〓2ω=∂p/∂zで あ る.ゆ えに(10)も

満 足 され る.

ア イ ン シ ュ タ イ ンの 粘 度 式 液 体 中 に溶 媒 の 分 子 に 比 べ て大 き い溶 質 分 子 を 溶 か す と粘 性 が 増 大 す る.ア イ ンシ ュ タ イ ンは1906年

の論 文 で 粘 性 率 の 増 加 か ら溶 媒 分 子 の 大 き さ を 推 定す る

方 法 を提 案 し てい る.当 時 ア インシュ タ イン は 分 子 が 実 在 す る ことを 明 らか に し よ う と考え て1905年

に有 名 な ブ ラ ウ ン運動 の 研 究 を 発 表 し て い る.粘

性 率 の増

加を扱 った 論 文 は別 の観 点 か ら分 子 の 大 き さの影 響 を扱 った もの で あ る.こ の 論 文 には 計 算 の 誤 りが あ る こ とを 指摘 され1910年

に 訂 正 して い る.こ

う し て得 ら

れ た ア イ ンシ ュ タ イ ンの 粘 度 式 は 高 分 子 化 学 が 発達 した ころ高 分 子 の大 き さを 算 出す るた め に 盛 ん に用 い られ た. 粘 性 率 を 実 験 的 に 求 め るに は圧 力 を 加 え て管 中 を流 し てポ アズイユ の式 か ら粘 性 率 を 計 算す る とか 液 中 で 円 板 を 回転 振動 させ る な ど の方 法 が と られ る.い ず れ に し て も液 体 にずり の運 動 を させ て面 力 を 測定 す る.し か しずり の 流 れ を させ た と きに 粘 性 に よ って 発 生す る 熱 を 測 って も よいわ け で あ る.ア イ ンシ ュ タ イ ン の 論 文 で は 球 形 の 分 子 がずり の 流 れ の 中 に 置 かれ た とき の流 れ を 前 節 の計 算 とま っ た く同 様 に して 求 め,こ の流 れ が面 力 に対 してす る仕 事,す な わ ち発 生 す る熱 量 を 計 算 して粘 性 率 を算 出 して い る. 面 力 に 対 して 流れ がす る仕 事 の 計算 を こ こで 述 べ るの は や め て 結果 だ け を 記 す こ とにす る.粘

性 率 η0の溶 媒 に 球 形 の溶 質分 子 を多 数 溶 か した と き の粘 性 率 を

ηとす る と

(23)

た だ し ここで溶 質 分 子 の 半径 をａ,単 位 体 積 内 の溶 質 分 子 の数 をｎ とし て い る. (23)を ア イ ンシ ュ タ イ ンの 粘度 式 とい う.こ の式 は 大 き な 分 子 や 高 分 子 の大 き さ を推 定 す るの に頻 繁 に用 い られ た. ア イ ン シ ュ タ イ ンの 粘 度 式(23)は

楕 円 体 の 形 を した溶 質 分 子 の場 合 に も拡 張

され た.ま た 高 分 子 の模 型 と して 小 さな 単位 を首 飾 りの よ うに つ な い だ モ デ ル が 考 え られ,こ れ に対 して第28講(30)を

Tea

用 い た議 論 が な され て い る.

Time

ア イ ン シ ュタ イ ン と ボー アの 初 期 の 論 文 ア イ ン シ ュ タ イ ンの 数 多 くの 論 文 の 中 で も っ と も しば しば 引 用 され た の は こ こ

で述 べ た粘 度 式 の論 文 で あ る.こ れ は1905年４

月 に 一応 完 成 され た が,有

名な

相 対 論 や ブ ラ ウ ン運 動 の論 文 を 仕 上 げ るの に忙 しか った た め に 少 し遅 れ て７ 月 に 学 位 論 文 と し て チ ュー リ ッ ヒ大 学に 提 出 され,す

ぐに 彼 は 博 士 の 称 号 を 得 た.こ

の論 文 は 「 分 子 の大 き さ の新 し い 決 定 法 」 と 題 す る も の で1906年 Physik,19,p.289に

にAnn.d.

発 表 され た.

溶質 を含 む 液 体 の粘 性 率 は η=η0(1+αψ) と書 か れ る.こ

こで ψは 単 位 体 積 内 の溶 質 分 子 が 占 め る体 積 で,分 子 の 半径ａ と

単 位 体 積 内 の溶 質 分 子 の数ｎ とで表 せ る が,ま 質 量ｍ お よび ア ボ ガ ドロ数NAを

と 書 く こ と が で き る.ア

た そ の 分 子量Ｍ

と単 位 体積 内 の

用 いて

イ ン シ ュ タ イ ン は こ の 式 か ら ア ボ ガ ド ロ数NAを

こ と に よ っ て 分 子 の 存 在 を 明 らかに し よ う と し た の で あ る.1906年 α=1と

さ れ,砂

糖 水 の 粘 性 率 か らNA=2.1×1023と

が 指 摘 さ れ α=2.5が

正 し い こ と が わ か っ た.粘

てNa=4.15×1023が

導 か れ,こ

よ い 一 致 を 示 し て い る(修 591).当

さ れ た.の

求 める

の論 文 で は

ち に 計 算 の誤 り

性 率 の さ ら に よ い デ ー タ を用 い

れ は 他 の 方 法 で 知 ら れ た ア ボ ガ ド ロ数 と か な り

正 さ れ た 論 文 はEinstein:Ann.d.Physik,34,p.

時 の 学 位 論 文 と し て は,画

期 的 な 相 対 論 な ど よ りも流 体 力学 関係 の も の

の ほ う が よ か っ た で あ ろ う. ち ょ う ど こ の こ ろ,量

子 力 学 の 創 始 者 の１ 人 で あ るＮ.ボ

に 関 す る 論 文 を 書 い て い る の も興 味 深 い.1905年

ー ア が 水 の表 面 張 力

に デ ン マ ー ク王 立 科 学 院 は,

液 体 の 表 面 張 力 を 決 定 す る た め に 液 体 の ジ ェ ッ トを 詳 し く調 べ た 人 に 対 し て 物 理 学 賞 を 授 与 す る と 公 示 し た.コ

ペ ンハ ーゲン 大 学 の 学 生 で あ っ た ボ ー ア は 父(有

名 な 生 理 学 者 ク リス チ ャ ン ・ボ ー ア,コ て 実 験 を お こ な い,レ

ペ ン ハ ー ゲ ン 大 学 教 授)の

実験室を使 っ

イ リー・ 卿 の 理 論 を 拡 張 す る 理 論 を 樹て て1907年

ル を 受 賞 し た(N.Bohr:Phil.Trans.A.,ccix,p.281(1909)).こ て 読 み に く い 論 文 で あ る.な

お,Ｎ.ボ

に金 メ ダ れ は 長 く

ー ア の修 士 論 文 と学 位 論 文 は と も に 金 属

電 子 論 に 関 す る も の で あ る. な おアインシュタイン

は 紅 茶 の 粉 が 対 流 に よ って 茶 碗 の 底 の 中央 に集 まる こ と

や 川 の 流 れ の 蛇 行 な ど を 扱 っ た 流 体 力 学 関 係 の 論 文 も書 い て い る と い う こ と で あ る. 参 考 文 献 と し て は,(１)ア

ブ ラ ハ ム ・パ イス 著(西

島 和 彦 ほ か 訳)『 神 は 老獪

に して−

ア イ ン シ ュ タ イ ン の 人 と 学 問 』 産 業 図 書,1987,(２)Ｓ.ロ

ー ル 編(豊

田 利 幸 訳)『ニールス

岩 波 書 店,1970な

ど.

・ボーア−

ーゼン

タ

そ の 友 と 同 僚 よ りみ た 生 涯 と 業 績 』

第30講 境

界

層

―テーマ ◆平板境 界層 ◆境界層理論 ◆ Tea Time:流

線形

境界層理論 粘 性 が 小 さい 場 合 は 常 識 的 に 言 って,流 れ は完 全 流 体 とし て扱 え る と考 え られ る.し か し物 体 の表 面 で は 粘 性 の た め 流 速 は 物 体 表面 で０ にな ら なけ れ ば な ら な いか ら,物 体 表 面 近 くで は 粘性 が効 い て 速度 勾 配 の 大 き い部 分 が あ る と 思 わ れ る.粘 性 が 効 い て速 度 勾 配 が 大 き くな る部 分 は 表 面 近 くの 薄 い 層 で あ り,こ れ を 境界層 とい う.そ の層 の外 では 流 れ を完 全 流 体 とす る近 似 は プ ラン トル(Prandtl) によ って提 出 され た境 界 層 理 論 であ る. 図102の

よ うに 一様 な流 れＵ が 物 体 に当 る と,

流れ は 粘 性 の た め ブ レー キが か か っ て物 体 表 面に 流速 の 勾配 が 大 き い領 域 が で き る.こ れ が境 界 層 で,そ の 厚 さ δは下 流 にい くに つ れ て増 大す る と 考 え られ る.一 様 な流 れ の 部分 で は ほ とん ど渦 な し(ω〓0)で で は渦度 ωが 存 在 す る と考 え て よい で あ ろ う.

図102

あ る が,境

界層

平 板 に 沿 う境 界 層   さ らに 問題 を簡 単化 し,一 様 な 流れ ひ がx軸 向 に あ り,こ れ がx軸

に沿 っ てx>0の

方

部分に あ る

平 板 に達 す る とす る.こ れ か ら下 流 で は 粘 性 の た め 流 れ に ブ レー キが か か り,板 の表 面 近 くで は 流 速 が 小 さ くな るか ら流 れ は 幅 が 広 くな ってy方 向 の 流 速 vが 生 じる(図103). 図103

  この場 合 の ナ ビエース トー ク ス の方 程 式 は,流 れ が定 常 的 で あ る とす る と

(1)

流 れ を 制 御 す るパ ラ メ タは η/ρで あ る.粘 性 が 小 さい と して√〓

を小 さな パ

ラ メ タ とす る尺 度 変 換

(2)

と お く.こ (1)に

れ に よ っ て 流 れ のy方

代 入 す る と(第2式

向 の 小 さ な 変 化 を 拾 う こ と が で き る.(2)を

は 》 η/ρ を か け て)

(3.1) (3.2) を 得 る. (3.2)か

らp0を

定 数,a,bを

死,yの 関 数 と し てp/ρ は

(4) の 形 で η/ρに 関 係 し て い る こ とが わ か る.し

た が っ て(3.1)で

η/ρ以 上 の 項 を

無 視す る と

(５)

を 得 る. (５)を

解 くた め 流 れ の 関 数ψ を 導 入 し (６)

と書 く.こ

こで (７)

ただし (８) と お く とf'=df/dζ

と して

(９)

こ れ を(５)に

代 入 す れ ばf(ζ)の

満 た す べ き方 程 式

(10)

を 得 る.た

だ しf"=d2f/dζ2,f'"=d3f/4ζ3で

境 界 条 件 はy=0でu=v=0,y→∞

あ る. でu=Uと

す れ ば よい.ｆ

ば境界条件は (11)

し た が ってｆ は だ い た い 図104に

示 す よ うに な る.

そ こで (1 2) と お い て(10)に

代 入 す る と η2ま で の オ ー ダ ー

図104

につ い て書 け

で(10)が

満 足 さ れ る こ とが わ か る .も

っ と詳 しい 計 算 に よ る と (13)

と な る.ま

た 板 の 表 面 に は た ら く応 力 は

(14) で 与 え られ る.し

た が っ て 長 さlの

板 の 両 面 に は た ら く力 は (15)

(２),(９),(12)に

よ り流 速 は

(16)

とな る.い

ま流 速ｕ が遠 方 の 流 れＵ の α/4倍 にな るｙ の 値δ で 境 界 層 の 厚 さ δ

を 定義 す る.す なわ ち (17) とお くと境 界 層(平 板 境 界 層)の 厚 さ は (18) で 与 え られ る こ と に な る.図105に

境 界 の 曲線 δ(x)=√ ηx/ρUを 破線 で示 し て

あ る.

図105

境 界層 理 論 プ ラン トル は境 界 層 の 中 で は圧 力 はｙ に よ ら ず,境 界 層 の 外 の圧 力p1に 等 し い と した.そ

して境 界 層 の外 の 流速u1は 完 全 流 体 の運 動 方 程 式 (19)

で与 え られ,境 界 層 の 中 の 流 れ は 運 動 方程 式 (20) で 与 え られ る とした.前 節 の 計算 は この近 似 が 妥 当 な もの で あ る こ と を示 し て い る. 境 界 層 理 論 は 多 くの場 合 につ い て詳 し く研 究 さ れ,大

きな成 功 を 収 め て い る

が,実 験 結 果 と一 致 す る の は流 速 が あ ま り大 き くな い とき で あ る.前 節 の 平 板 境 界 層 で い えば レイ ノル ズ数R=Ux/(η/ρ)の

値 が106程 度 まで で あ る,こ

れ 以上

Ｒが 大 き くな る と境 界 層 は 外 か らの擾 乱 に 対 し て 不 安 定に な り,乱 流 へ 移 行す る.

TeaT ime

流線形 物 体 の 速 さが 小 さい と きは 粘 性 に よる抵 抗 が はた ら き,抵 抗 は 速 さ に比 例 し, 粘 性 率 に 比 例す る(ス

トー クス の 抵 抗,粘 性抵 抗).物

体 の速 さが 大 き く な る と

流 れ は 層 流 で な くな り,渦 が で きて 抵抗 は増 大 し速 度 の２ 乗 に比 例す る よ うに な って くる.こ の と きの 抵 抗 は 流 体 の慣 性 に よる もの で 慣 性 抵 抗 と呼 ば れ る.粘 性 は この と き渦 を生 じさせ る 役 割 をす る にす ぎな い.渦 が で きやす い か ど うか は 物 体 の形 に よ り,渦 の で き に くい形 を流 線 形 とい う.渦 が で きる の は境 界 層 が は が れ るた め で あ って,流 線 形 は 境界 層 が は がれ に くい形 で あ る と い う こ と が で き る. 【境界 層】 流 線 形 の物 体 で は 境 界 層 の中 で 流 体 は 層流 とな っ て流 れ,そ

の抵抗

は層 流 の粘 性 に よる摩 擦 のた め で きわ め て 小 さい.境 界 層 の 中 で は速 度 勾 配 が 大 き く渦度 が 存 在 す る ので あ る.こ れ が は が れ て 出 て くる とい わ ゆ る渦 や乱 流 に な る.流 線 形 で な い 円柱 や 球 で は境 界 層 が 流 れ の後 方 で厚 くな る.そ の厚 さを δと す る と き,境 界 層 の レイ ノル ズ数δρu/ηが あ る値 を越 え る と 境 界 層 が 物 体 か ら は がれ て 乱流 に な り,エ ネ ル ギ ーが 乱 流 に食 わ れ る た め物 体 の抵 抗 は著 し く増 大 す る. 魚 は ほ とん ど全 部 の ものが 流 線 形 に 近 い 形 を し て い る.イ ル カは す ごい エ ネ ル ギ ー で 泳 ぎ まわ って い る とい うが,か

らだ の 表 面 か ら何 か を分 泌 して い て,そ の

た め に 抵抗 が小 さ い のだ とい うこ とを 聞 い た こ と もあ る.油 の よ うな もの を 表 皮 に 分 泌す れ ば か らだ の表 面 の境 界 層 が 変 化 し,抵 抗 が小 さ くな る とい うこ と もあ るか も しれ な い.水 泳 選 手 も この 油 を か らだ に 塗 った ら ど うだ ろ うか .水 泳 選 手 に 限 らず,ス

ピー ドス ケ ー トの選 手 は と くに抵 抗 が 小 さ くな る よ うな もの を 着 て

い る ら しい.こ の よ うな 競 技 をす る人 は イル カに 学 ぶ と こ ろが あ るだ ろ う.新 幹 線 や 自動 車 の よ うに 高 速 で 走 る もの は飛 行 機 も含 め て流 線形 に す る ば か り で な く,何 か の油 を塗 る と よい か も しれ な い.し か しそ うす る と新 た な 公 害,汚 染 が 生 じるお そ れ が 多 分 に あ る.

索

  ア  行 ア イン シ ュ タ イ ン  193,194

引

渦 な しの流 れ  35,49

回

渦 の 不 生不 滅 の定 理  119

回 転 運 動 の向 心 力  68

渦列 

回 転 速 度  32

110

ア イ ン シ ュ タ イ ン の粘 度 式

カ ル マン の― 

 194

２列 の― 

浅い 水  131 圧

渦

112

ガ ウス  98 ガ ウス の 定 理  9,10,15

111

輪  108

角 運 動 量  103

うな り 142

力 ２ 流 体 の 重 さに よ る― ４

球 形 渦 の― 

運 動 学 的 条 件(水

面 の)  135

圧 力 関 数  18

運 動 学 的 条 件 式  135

圧 力 勾 配  54,70

運動方程式 オ イ ラー の― 

アボ ガ ドロ数  195

ハ ミル トン の― 

ア ル キ メデ ス の原 理  4,7

ラ グ ラ ンジ ュの― 

球 の― 

17

カ ルダーノ  96 121

カ ル マ ン  112 カ ル マ ン の 渦列  112 慣性項

永 久 機 関  5 エオル ス 音  120

慣 性 モ ー メン ト 102

渦糸 

完 全 流 体  16,54

―の散 逸  177

ウ ェー バ ー兄 弟  132

波 の― 

緩 和 時 間  171

145

ヒックス の球 形 渦 の― 

33,69,83,115

18,170

慣 性 抵 抗  201

エ ネル ギ ー ウェッ セ ル  98

50

壁 に 当 る 流 れ  42 86

運 動 量  102

一致 の 定理  114

65

加 速 度 運 動  54

カー ブ  91

圧 力 方 程 式  49

位 相 速 度  143 一 様 な 流 れ  42

転  10

65

球

―に よる 流 れ  99,107

エ ネ ル ギ ー積 分  23

―に は た ら く抵 抗 力  50

―の相 互 作 用  105

円管 中 の流 れ  173

―の 加 速 度 運 動  50

―の強 さ  84,99

遠 心 力  68

―の まわ りの 純 粋 なずり の

円柱 が受 け る抵 抗 力  113

流 れ  191

渦糸 系 ―の重 心  102

円柱 を過 ぎ る流 れ  88

球形渦

―の正 準 運 動 方 程 式  100

―の 角 運 動 量  65

―の統 計 力 学  101

オ イ ラ ー  16,97,125

―の保 存 量  101

オ イ ラ ー の運 動 方 程 式  17

２次 元 の―  渦管 

99

115

自転 す る―  61 ヒックス の―  61,62,63,

オ イ ラ ーの 公 式  97 応

64 ヒル の― 

力  33,166

57

―の 強 さ  117

応 力 テ ン ソル  166

境 界 層 理 論  197,201

渦

線  115

オ ストワルド の粘 度 計  174

鏡

渦

層  111

渦

対  106

オセーン の近 似  185

32,115

渦 な しの 水面 波  133

ク エット の 流 れ  176 グ ラデ ィエ ン ト 10,18

渦 定 理  115 渦度 

像  108

オセーン  185

  カ  行 解析 関 数  78

クルックス 179 グレアム の法 則  26

ダイバ ー ジェンス  10,13

吸 い込 み  41,43,82

群 速 度  143,144

タ コマ橋  120

水 底 の 条 件  134 KdV方程式 

158,159

水 面 の 圧 力 の 条 件  134

ゲル ス トナ ー  127,132

水 面 の 運 動 学 的 条件  135

ケル ビン  149

水 面 波  133

向心 力  54,69

単 純 なずり  190 ―の 変 形  30,33

渦 な しの― 

133

２次 元 の― 

147

船 の つ くる― 

68

調 和 関 数  38

149

剛 性 率  170

ス トー クス の 近 似  181,191

航

ス トー クス の 抵 抗  182,201

跡  149

勾 配  10,18 コー シ ー‐ポ ア ソ ンの波  149

直 線 渦糸  107

津

波  138

ス トー クス の 定 理  116 ス トー クス の流 れ の 関 数  56,

コー シ ー‐リー マ ンの方 程 式 78 コリ オ リ力  109

57

低 気 圧 の 動 き  109 抵 抗 係 数  113

ス トー ク スの パ ラ ドッ ク ス 185

抵 抗 定 数  186 抵 抗 力(円

孤 立 波  158,163 ―の衝 突  164

ずり純 粋 な― 

コ ルテヴェ ーグ  158 コ ルテヴェーグ‐ド

単 純 な― 

定常 流  19,37

190

停 留 値  144 電 気 力 線  48

静

テ ンソル  167

圧  27

静 止 した 球 の まわ りの 流 れ  46   サ  行

柱 が 受 け る)  113

30,191

・フ リース

の方 程 式  158,159

対 称― 

167

正 準 運 動 方 程 式  101

さ ざ波  142

渦糸 系の―  100 ハ ミル トン の―  101

サザーランド の 式  172

動 圧  27 等 角 写 像  94

３角波  132

静 止 流 体  ２

統 計力 学(渦糸

３次 方 程 式  96

静 止 流 体 内 を 動 く球  45

動 的 粘 性 率  180ド ・フ リース  158

静 水 圧  ２ ―の 速 さ  136

尺 度 変 換  163 心  102 渦糸 系の― 

大 きな 振 幅 の― 

ド リフ ト項  18 158

トロ コイド 波  127

102   ナ  行

自 由表 面  ４

総

重

相 似 法 則  156,157

力  68

重 力 波  133,142,156

圧  27

造波 抵 抗  156

無 限 小振 幅 の― 

133

層

流

れ ―の 関 数  77 一様 な―  42

相 対 変 位  28

―の速 度  128

系の)  101

トリチェリの 定 理  26

浅 水 波  158

自転 す る球 形渦  61 重

流  178,201,202

渦糸 に よ る― 

99,107

ジ ューコフ ス キ ー の変 換  95

速 度 ポ テ ン シ ャル  36,86

渦 な しの― 

35,49

循

塑

円管 中 の― 

173

環  84,91,108,116

円柱 を 過 ぎ る―  壁 に 当 る―

深 水波 の 分 散  142  タ 

幅 ―の 波  143 変 調 され た― 

性  170

ソ リ トン  163,164

純 粋 なずり  30,191

振

ラ ドッ

クス)  47,54,88

―の 速 さ  136

ケル ビン の循 環 定 理  118

回 転 運 動 の― 

ダラ ンベ ー ル の 背 理(パ

行

大 気 層  109 143

大 気 の運 動  109 対 称 テ ンソル  167

88

42

静止 した 球 の まわ りの―  46 多 数 の 粒 子 が あ る と きの―  186

ナ ビエ‐ス トー クス の 方 程 式  169 ナブ ラ  10

ひ ず み  28,33

 175

ひ ず み 速 度  32

法 線 ベ ク トル  10

非 線 形  159

包 絡 線  143 ポテン シ ャル 流  36

―の 波  165

波 ―に よる 水 の 移 動  137

非線形項

非 線 形 の― 

―の エ ネ ル ギ ー  65

143

釣 り糸 が つ く る― 

152

165

  マ  行 マ ク ス ウ ェル  179

64

―の 研 究  131 振 幅 の― 

161

ヒックス の 球 形 渦  61,62,63,

―の エ ネル ギ ー  145

ピ トー管  27

マ ク ス ウ ェル の 関 係 式  171 マグナス効 果  55,89,91

表 面 張 力  4,140

摩 擦 抵 抗  156

表 面 張 力 波  140,152,155,156 ２次 元 の 渦糸 系  99

ヒル の 球 形 渦  57

無 限に 深 い 水  127,131

２次 元 の 水 面 波  147 ２次 元 の ポ アズイユ の 流 れ  175

 ヤ 行

複 素 数  96 複 素 速 度 ポ テ ン シ ャル 78,159, 160

２重 湧 き出 し  41,44,83 ２ソ リ トン解  163 ニ ュー トン  125,131

ヤコビの 行 列 式  122

プ ラ ン トル  197,201 浮

力  ４

揚

粘 性 項  170

フル ード(親

粘 性 抵抗  201

フル ード 数  156

粘 性 に よる 波 動 の 伝 達  176

分

液 体 の― 

172

気 体 の― 

172

子)  156  ラ 行

散  136

落 差 損 失  27

深 水波 の― 

粘 性率  168,171,194

ラ グ ラ ンジ ュ  16,125

142

分 散 関 係  136

ラ グ ラ ンジ ュ関 数  40

噴 水 に 浮 くピンポン 玉  91

ラ グ ラ ンジ ュの 渦 定 理  119 ラグ ラ ンジュの 運 動 方 程 式  121

平 行 渦  105 のび の 変 形  29   ハ  行

―般化 され た― 

変

37

リー チ  156

形  28

136

の び の― 

浅 水 波 の― 

136

変 形 速 度  167

30,33

29

流

線  19

体  １ ―の重 さ に よ る圧 力  ４

変 調 された 振 幅  143

流 体 中 の球 の落 下  52 ボーア 195

微 小 回 転  31

流

流 線 形  201

搬 送 波  143

ビ オ‐サ バール の法 則  107

乱 流  178,201乱 流理論  101

位  28

水 面 波 の― 

汎関 数 的 微 分  40,41

ラ ン ダ ウ  66

ヘルムホルツ の渦 定 理  119

単 純 なずり の― 

さ

78

―の応 用  26

変

101

ラプ ラス方 程 式  37,41,42,49,

ベ ル ヌー イ の 定理  23

ハ ミル トンの 運 動 方 程 式  86 ハ ミル トンの 正 準 運 動 方 程 式 

ラプ ラス 演 算 子  37

ベッ セ ル関 数  148

発 散  10,13 ハ ミル トン関 数  40,101,102

速

ラジ オ メー タ  179

平 板 境 界層  200 ペ ケ リス  66

パ ス カル の 原 理 ３

力  54,91

よ どみ 圧  27

『プ リンキ ピ ア』 131

―の 温 度 変 化  172

ヤ コ ビアン  122,123

臨 界 レ イノ ル ズ数  179,180

ポ アズ  180 ポ アズイユ の 流 れ(２

次 元 の)

レイ ノ ル ズ  178

レ イ ノル ズ 数 120,156,170,179 臨 界― 

ロ ー テ ー シ ョ ン  10

179,180

ロ ト ン  66

レ イ ノル ズ の相 似 法則  179

２重―    ワ 

レ イ リー  158 レ イ リー の 問題  178 連 続 の 方程 式 12

―の 強 さ  44 高 次 の― 

歪

行

力  33

湧 き 出 し  41,43,82

41 41,44,83

著 者 戸

田

盛

和

1917年 東京 に生 まれる 1940年 東京大学理学部物理学科卒築 現

在 東京教育大学名誉教授   ノル ウｴー 王立科学アカデ ミー会員  理学博士

物理学30講 シ リーズ2 流 体 力 学30講 1994年9月

定 価 は カ パ ー に 表 示.

１ 日  初 版 第 １刷

2004年9月25日 

第 ８刷

著 者 戸

田

盛

和

発行者  朝

倉

邦

造

倉 書

店

 株式 発行所 会社 朝

東 京 都 新 宿 区 新 小川 町 ６‐29 郵 電

〈検 印省略〉

FAX 

〓1994〈無断複写 ・転載を禁ず〉 ISBN

4‐254‐13632‐3

便

C3342Printed

番

号 162

話  03(3260)0141 03(3260)0180

平 河工業社・渡辺製本 in Japan

物 理 学30講

シ リー ズ 〈 全10巻 〉

著者 自 らの言 葉 と表現 で語 りか け る大好 評 シ リー ズ 戸田盛和著 物理学30講シリーズ１

一般

力

13631-5 C3342 

学30講

A5判 

208頁 本 体3600円

戸 田 盛和 著 物 理 学30講 シ リー ズ３

波 動 と 非 線 形 問 題30講 13633-1 C3342 

A5判 

232頁 本 体3700円

戸田盛和著 物理学30講 シ リー ズ４

熱

現

象30講

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A5判 

240頁 本 体3700円

戸 田 盛和 著 物 理 学30講 シ リー ズ５

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運

動30講

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戸田盛和著 物理 学30講 シリーズ６

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気学30講

13636-6 C3342 

A5判  216頁  本 体3400円

戸 田 盛和 著 物理 学30講 シ リー ズ7

相

対

性

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理 A5判 

論30講

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戸田盛和著 物理学30講シリーズ８

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学30講 208頁  本体3800円

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物 A5判 

理30講 240頁  本 体3500円

戸 田盛和 著 物 理 学30講 シ リー ズ10

宇 宙

と 素 粒

13640-4 C3342 

A5判 

流体 力 学 に 続 くシ リー ズ 第３ 巻 で は,波 と非 線 形 問題 を,著 者 自身 の 発 見 の 戸 田格 子 を 中 心 に 解 説 。 〔内 容 〕ロト カ-ヴォル テ ラの 方 程 式 ／ 逆 散 乱 法 ／ 双 対 格 子 ／ 格 子 のNソ リ ト ン解 ／２ 次 元KdV方 程式／ 非 対 称 な剛 体 の 運 動 ／他 熱 の 伝 導,放 射,凝 縮 等 熱 を と り ま く熱 現 象 を熱 力学 か ら て いね いに 展 開 して い く。 〔内 容 〕熱 力 学 の 第１,２ 法 則 ／ エ ン トロ ピー ／ 熱 平 衡 の 条件 ／ ミク ロ状 態 とエ ン トロ ピ ー ／希 薄 溶 液/ゆ ら ぎの 一 般 式 ／ 分 子 の 分 布 関 数 ／ 液体 の 臨 界 点 ／ 他

〔 内容 〕 気体の分子運動／初 等的理 論への反省／ 気 体の粘性／拡散 と熱伝導／ 熱電効 果／光の散 乱／ 流体力学の方程式／重 い原子の運動／ ブラウン運 動／拡散方程式／拡散率 と易動度／ガ ウス過程 ／ 揺動散逸定理／ウイナー・ヒン チ ンの定理／他 〔 内容 〕 電荷 と静電場／電場 と電 荷／電荷に働 く力 ／磁場 とローレンツカ／磁場 の中の運動／電気 力 線の応力／電磁場のエ ネルギー／ 物質 中の電磁場 ／分極の具体例／光 と電磁 波／ 反射 と透過／電磁 波の散乱／種々のゲー ジ／ ラグラ ンジュ形式／他 〔 内容〕光の速 さ／時間／ ローレンツ 変換／運動 量 の保存 と質量／特殊相対論的 力学 ／保存法則／電 磁場の変換／ テンソル／一般相対性 理論の出発点 /ア インシュ タインのテ ンソル／ シュ ワル ツシル トの時空／光線の湾曲／相対性理論 の検証／他 〔 内容〕量子／粒子 と波動／シュ レーデ ィンガー方 程式／古典 的な極限／不確定性原理／ トンネル効 果／非線形振動／水素原子／角運動 量／電磁場 と 局所ゲー ジ変換／散乱問題／ヴ リアル定理／量子 条件 とポア ソン括弧 ／経路積分／調和 振動子他 〔内容〕 水素分 子／元素 の周期律／分 子性 物質／ウ ィグナー分 布関数／理 想気体／ 自由電子気体 ／ 自

戸 田盛和 著 物 理 学30講 シ リー ズ ９

物

力学 の最 も基本 的な ところか ら問いか け る。 〔内 容〕力の釣 り合 い／力学 的エ ネル ギー ／単振動 ／ ぶ らんこの 力学／単振 り子／衝突／惑 星の運動／ ラグランジュの運動方程 式／最小作用 の原理 ／正 準変換／断熱定理／ハ ミル トン-ヤコビの方程式

子30講

212頁  本体3800円

由電子の磁性 とホール効 果／ フォ トン／ス ピン波 ／フェル ミ振子 とボース振子／低 温の電気抵抗/ 近藤効果／ 超伝 導／ 超伝 導 トンネル効 果／他 〔 内容〕 宇宙 と時間／ 曲面 と超曲面／ 閉 じた空間 ・ 開いた空間／ 重力場 の方程式/膨 張宇 宙モデル／ 球対称 な星／相 対性理論 と量子力学／ 自由粒 子／ 水素類似 原子／ 電磁場 の量子化/くり 込み理 論／ ラム ・シフ ト／超 多時 間理 論／ 中間子 の質量／ 他 上 記 価 格(税 別)は2004年８

月現 在