理論電磁気学

第

１版

ま え が

き

  この書物 は著 者 が 大 阪 大学 理 学 部物 理 学科 第 ３学年 の 「古典 電 磁 気 学 」 の 講義 を担 当 した ときの 講 義 の ノ ー トを整 備 した もの で あ る． した が って， 読 者 は 大学 教養 課 程 程度 の物 理学 と数 学 の知識 を もつ もの として い る．電 磁 気 学 を学 ぶ た め には， ベ ク トル解析 の知 識 は 不 可欠 な ので， これ に習 熟 し てい な い読 者 のた め に 巻末 の付 録 に この解 説 をあ た え て あ る． また本 書 ではFourier積

分 と一部 の特

殊 関数 をつ か うが ， これ らにつ い て は巻末 付 録 あ るい は本 文 の な か で説 明 して あ る． した が って， か な りひ ろ い範 囲 の人 が よ め る もの と思 う．   Maxwellに

よ って完 成 され た 電 磁気 学 は 自然現 象 の 理 論 的 記 述 とし て も っ と

も完 全 な体 系 の一 つ で あ り， 相対 性理 論 や量 子 力 学 の発 見 に と もな う自然観 の変 革 に よ る試 練 に も耐 え て， そ の理 論 形 式 は その 解釈 を一 部変 更 す る だ け でそ の ま まな りた つ の で あ る． この書 物 の 目的 は現 代 物 理 学 を学 ぶ人 た ち の た め に， この Maxwellの

古典 的理 論 体 系 を組 織 的 に 解 説 す る こ とにあ る． そ の た め電気 工 学

的 な応 用 面 につ い て は， ほ とん どふれ てい ない ． した が って， 本 書 をよん で もテ レビの くみ た ては で き ない であ ろ う． しか し 現 代 の 技 術革 新 に打 ち 克 っ た め に は， もの ご との本 質 を しっ か り身 に つ けて お かね ば な らな い とい われ て い る．新 しい技 術 を開発 し てい くた め には， 個 々の応 用 面 の知 識 だけ で な く， そ の基礎 に な ってい る理 論 体 系 を しっ か り自分 の もの にして お くこ とが か ん じん で あ る． そ うい う意 味 で は， 本書 は純 粋 理学 を学 ぶ 人 だ けで な く，電 気 工 学 を学 ぶ 人 に も役 に立 つの で は ない か と思 われ る．  電 磁 気学 そ の もの は約 １００年 も まえ に完 成 され た もので ある か ら， わ が 国 に も 多 くの電磁 気 学 の よい書 物 が あ るの は 当然 で あ ろ う． しか し不 思 議 な こ とに ， そ れ らの書物 の ほ とん どは きわ めて初 等 的 な もの で，現 在 大学 の物 理 学 科 で電磁 気 学 の講 義 を しよ うとす る と，外 国 の 書物 を参 考 にせ ざ る をえ ない の が現 状 で あ る． 著者 が浅学 を もか え りみ ず ， この書 物 をか いた 理 由 もそ こに あ る．  本 書 の編 集 方 針 と内容 につ い て一 言 しよ う．従 来 の電磁 気 学 の書 物 の ほ とん ど

は ， 静電 気 の解 説 か らは じま り， 次第 にい ろい ろ な法則 が つ け加 え られ て， 最 後 に電磁 気 学 の基 本 法 則 で あ るMaxwellの

方 程 式 が あ らわれ ， そ の簡 単 な取 りあ

つ か い でお わ る とい う形 式 を と って い る． この よ うな形式 でや る と解 説 の途 中 で 種 々雑 多 な第二 義 的 な法 則 が 次 々 に あ らわ れ て くる の で， 電 磁 気学 の本 筋 を見 失 うお それ が あ る． た とえ ば， 電磁 気 学 にお け る もっ とも本 質 的 な法 則 はOhmの 法則 で あ る と考 え る学生 がで て こない ともか ぎ らない ． そ のせ い か， 大 学 の物 理 学科 の学 生 でNewtonの

運 動方 程 式 を書 け な い も のは な いが ，Maxwellの

方

程式 を書 けな い もの を時 々見 受 け る よ うで あ る． また ， それ が書 け て も， そ の物 理 的 内容 を理 解 してい な い もの に な る とだ い ぶ数 がふ える． そ こで本 書 で は電 磁 気学 の も っ と も 基本 的 な 法 則 が 何 で あ るか を 明確 にす る た め に， 第 １章 で簡 単 な実 験 事 実 の も とに， まずMaxwellの Maxwellの

方 程 式 を み ちび い てお く． 第 ２章 で は

方 程 式 の 一般 的 な 性質 と電磁 気 学 にお け る 問題 の性 格 につ い て解 説

す る． 第 ３章 では静 止 した物 質 中 にお け る現 象 論 的 なMaxwell方

程式 を分 子 論

的 な考 察 か らみ ちび き， そ れ が第 ２章 の も っ と も一 般 の基本 方 程 式 系 の どの よ う な近 似 の も とにな りたつ か とい う問題 を明 らか に す る． この ３章 で電 磁 気 学 の基 礎 は お わ る． 第 ４章 は静 電場 ， 第 ５章 は定 常 電 流 に よ る磁 場 の問 題 をあっ か う． この と き， これ らが もっ と も一 般 的 なMaxwellの

方 程式 の どの よ うな特 殊 な場

合 で ある か を強 調 す る．第 ６章 の静 磁 場 は本 来 は第 ５章 の定 常 電 流 に含 まれ るべ き もの で あ るが ，物 質 の磁 性 とい う特 殊 な問題 が ある ので章 を別 に して， 強 磁 性 な どの原 因 につ い て直観 的 か つ 定性 的 な説 明 をす る． これ は本 来 量子 力 学 的 現 象 で あ るた め直観 的 説 明 は むず か しい が， 要 す るに こ うい うこ と だ とい うこ とが 理 解 され れ ば幸 い で あ る． 第 ７章 は準 定 常 電 流 で あ る． これ は電 気 工学 にお け る交 流理 論 の基礎 をなす もの で あ り， それ が基本 的 なMaxwellの

方程 式 のい か な る

近似 の も とにみ ちび かれ るか を説 明す る． 第 ８章 は電磁 波 を取 りあつ か う． これ こそMaxwellの なMaxwellの

理 論 の勝 利 を決 定 的 に した もの で あ り， この 章 で は じめ て正 確 方 程式 が具 体 的 に取 りあっ か われ る．現 在 では 光 は電 磁 波 の一 種

で あ る と考 え られ ，光 学 は電磁 気 学 の な か に吸 収 され て しま っ てい る． した が っ てMaxwellの

理論 の も とに反 射 ， 屈折 ， 回折 ， 散乱 な どの 現象 の解 説 をお こな

う． 第 ９章 で は第 ８章 の電磁 波 が どの よ うな機構 の も とに放 射 され るか とい う問 題 が と りあ げ られ， と くに点電 荷 に よ る電 磁 波 の 放射 の問 題 を くわ し く論 ず る． そ う して古 典 電磁 気 学 の 限界 とそれ らの物 質 構 造 の究 極 の 問題 とのつ なが りに す す む． こ こま でで電 磁 気学 そ の もの の解 説 は おわ る． しか し，Maxwellの

方程式

の本 質 は特殊 相 対 論 を理 解 す るこ とに よ っ ては じめ て 明 らか に され るの で あ る． 第１ ０章 で は特殊 相 対 論 に いた る道 として ， 運 動物 体 の 電 磁 気学 を と りあ げ る． 歴史 的 なHertzの

理 論 とLorentzの

理論 を解 説 す る こ とに よ り， なぜ 特殊 相

対 論 が 導入 された か を考 え る． この章 の お わ りにLorentzの

理論 の応 用 例 と し

て， 最近 核 融 合 反 応や 直接 発 電 に 関 連 して 注 目 を あび て き た， 磁 気 流 体 力学 （M．H．D． ） につ い てそ の概 要 をのべ る． 第 １１章 は特 殊相 対 論 で ある． 従 来 の わ が国 の電磁 気 学 の書物 で はほ とん ど特 殊 相 対 論 はふ れ られ てい ない ．特 殊 相 対論 を学 ぶ た め に は， 一般 相 対論 をふ くむ 『相 対 性理 論 』 の書物 をよ まな けれ ばな ら なか った． しか し一般 相 対論 とい うの は そ の名 に反 しては な は だ特殊 な もの で あ り， 特殊 相 対 論 は逆 にそ の名 に反 して きわ めて一 般 的 な もの で あ る．つ ま り特 殊 相 対 論 の知 識 な くして， 現代 物 理 学 の理 解 は不 可能 な ので あ る． また特 殊 相対 論 が電磁 気 学 の研 究 か ら発 見 され た歴 史 的 事 実 か らし て も， この よ うな電 磁 気学 の 書物 にお い て解 説 を して お くべ き もの で あ ろ う． 最 後 の 第 １２章 は 古 典 電磁 気 学 のLagrange形

式 とHamilton形

式 に よ る定 式 化 をお こな う． 古典 電 磁 気学 か ら

さらに量 子 電 磁 気学 に進 む た めに は， この よ うな方 法 に つ い て知 っ てお か な けれ ばな らな いの で あ る．   全 体 を通 じて理 論 を現 代 物 理学 的 なス タ イ ル で展 開 し， また そ の物 理 的 内容 を 明 らか にす る よ うにつ とめた ．数 式 の 計算 は な るべ く省 略 す る こ とな くで き るだ け くわ し く書 い たつ も りで あ る． だい ぶ 自己流 の と ころが あ るの で読者 の ご批 判 を期 待 す る，   最 後 に この機 会 に学生 時 代 以来 長 い あ い だ ご指導 を いた だい た大 阪 大学 教 授 内 山龍 雄 先 生 と， とも に研 究 をつ づ け て きた畏 友 関 西学 院 大 学教 授 今村 勤 氏 に深 く 感 謝 の意 をあ らわ した い． また本 書 の 出版 に あた って紀伊 國屋 書 店 の仙 波 喜 三氏 にお世 話 にな った こ とを付 記 してお く． １９６ ４年 ８月 著 者

し る す

第 ２版

  Maxwellに

ま え が き

よ って電 磁 気学 の 基本 法 則 が確 立 され て以 来 ， 約 １世紀 の間 の物

理学 の発 展 には ま こ とに 目 ざ ま しい もの が あ った． 相 対論 の発 見 と量子 力学 の展 開 に と もな っ て，古 典 電 磁 気学 もまた量 子 電 磁気 学 と して そ の面 目 を一新 した． この量 子電 磁 気 学 の立 場 か ら，古 典 電磁 気 学 の理 論 を見直 す と き， そ の重 点 のお きど ころ も， 理 論 の ス タイ ル も，１９世紀 以 来 の伝 統 的 な電 磁 気 学 の それ とは だい ぶ違 った もの とな る のは 当然 の こ とで あ ろ う， この も っ と も現 代 的 な視 点 に立 っ て， 古典 電 磁 気学 の基 礎理 論 を体 系 的 に解 説 しよ うとい うのが ，『理 論 電磁 気 学 』 第 １版 の 目的 で あ っ た．   この第 ２版 の編 集 方 針 も， 第 １版 の それ とま った く変 わ らな い． た だ， 第 １版 の経 験 に も とつ い て， 難解 と思 わ れ る部 分 の説 明 を補 足 し， さ らに物 理 的 に重 要 な意 味 を もつ と 考 え られ る 例題 を 追加 して， 読 者 の理 解 を 深 め るよ うに配慮 し た． また一 部 の例 題 を よ り適 当 な場 所 に移 した． なお， この よ うな基 礎 理 論 の 解 説 書 と しては ， やや 異質 な第 １０章 の磁気 流 体 力学 の項， お よび少 し 高踏 的 にす ぎる と思 わ れ る第 １２章 の 変分 原 理 と保 存 則 の項 を 削 除 して ， 全 体 の 統 一 をは か った，   お わ りに，各 種 の ご批 判 お よび誤 植 な どを指 摘 して いた だ い た読 者 諸 氏 に感 謝 の意 をあ らわ したい ． １ ９７３年 ５月 著 者

し る す

第 ３版

ま え が き

  本 書 の 第 ２版 が世 に 出 て か ら， も う ２５年 に な る． この長 い期 間 に わ た っ て ， この書 物 が 多 くの学 生 ・研 究 者 に よ っ て読 み つ が れ て きた こ とは， 著 者 の望 外 の よ ろ こび で あ った．   間 もな く ２１世 紀 を迎 え る に あ た って ，久 し振 りに読 み か え してみ た が ， 本 書 が な お そ の新 鮮 さ と生 命 力 を失 って い な い こ とを確 信 す る に至 った． そ れ で も， 著 者 の 長 い経 験 に も とつ いて 見 直 す と，言 葉 不 足 に よ る難 解 な箇所 が 随 所 に残 さ れ てい る よ うに感 じ られ た． 今 回 ，第 ３版 を上 梓 す る に あ た り， そ れ らの 部 分 の 解 説 を よ りわ か りや す く書 き直 した り，文 章 を補 足 した り した ． また ， 電磁 気 学 の よ り深 い理 解 をた す け るた め， 一 部 の例 題 をよ り重 要 と思 わ れ る もの に 差 し換 え，教 育的 に適 切 と考 え られ る例 題 を数 多 く追 加 した． なお この 際 ，本 書 の よ う な基礎 理 論 の書 物 と して は や や不 適 当 と思 われ る第 ６章 の磁 気 回路 の項 を削 除 し た．  本 書 が， 今 後 と も多 くの読 者 の お役 に立 つ こ とが で きれ ば幸 い で あ る． お わ り に，第 ３版 の校 正 は廣 岡 正 彦 君 （大 阪 大学 大学 院理 学 研 究 科 ）に お願 い し， 出版 に あた って は紀 伊 國 屋書 店 の水 野 寛 氏 の お世 話 に な った こ と を記 して謝 意 をあ らわ す もの で あ る．

１９９８年 ６ 月 著 者

し る す

目

次

第 １章   真 空 電 磁 場 の 基 本 法 則   §１ 場 の概念                                       １   §２ 電場 と磁場の定義                             ４   §３ Coulombの

法則                         ６

  §４ Faradayの 電磁誘導 の法則                       １ ４   §５ Ampereの 法則                       １ ８   §６ 電荷保存則 と変位 電流                    １ ９   §７ Maxwellの 方程式                                ２２ 第 ２章   Maxwellの

方 程 式 の一 般 的性 質

  §１  点電荷 と電磁 場 との共存す る体系                 ２８   §２ 座標変換 と時間反転                        ３ ６   §３ 電磁 ポテンシァル とゲージ変換                        ４４   §４  エネル ギー保 存則                         ５１   §５ 運動量保存則                         ５５  ［ 問題］                                        ６１ 第 ３章   静 止 物 体 中 のMaxwellの

方程 式

  §１  静止物体中の電磁場                     ６３   §２ 物質 中のMaxwellの 方程式                      ６９   §３ Ohmの 法則                        ７５   §４ エネ ルギー保 存則                                     ７９  ［ 問題｝                                        ８１ 第 ４章   静

電

場

  §１  静電場 の基本方程式                      ８３   §２ 電荷分布 による静電場                    ８５   §３ 静電場 の多重極展開                               ８８   §４ 静電 場 のエネルギー                       ９２

  §５   導体系の静電場                       ９８   §６ 誘電体中のGaussの

法則                          １ ０６

  §７ 誘電体の境界条件                            １ １０   §８ 境界値問題                            １ １２  ［ 問題］                                

１２３

第 ５章   定 常 電 流   §１   定常電流 の基本 法則                     １２７   §２ 定常電流 によ る静磁場 の決定                     １２８   §３   ベ ク トル ・ポテ ンシ ァルの多重極展開              １３３   §４ 定 常電流 による磁場 のエネル ギー                      １ ４０   §５ 定常電流 の分布                       １ ４２   §６ Joule熱最小 の定理                               １ ４７  ［ 問題］                                 第 ６章   静

磁

１５ ０

場

  §１ 静磁場 の基本方程式                       １ ５２   §２ 永久磁化                             １ ５４   §３ 境界条件                          １ ５５   §４ 物質 の磁性                             １６１  ［ 問題］                                 １６７ 第 ７章

準定常電流

  §１   準定常電流の基本 法則                     １６８   §２  線状 回路                             １７２   §３ 準定常電 流の空 間的分布                            １７９  ［ 問題］                                  １８４ 第 ８章   電

磁

波

  §１  真空 中の電磁波 の基本法則                    １ ８５   §２ 真空 中の電磁波                             １ ８７   §３ 誘電体 中の電磁波                      １ ９８   §４ 電磁波 の反射 と屈折                       ２１ ０   §５ 導体 中の電磁波                             ２１ ７   §６ 電磁波 の回折                              ２２１   §７ 電磁波 の散乱                              ２３２

 ［ 問題］                                            ２４８ 第 ９章   電 磁 波 の 放 射   §１  遅延 ポテンシ ァル と先進 ポテンシァル                ２５１   §２ 多重極放射                         ２５７   §３ 点電荷 による電磁波 の放射                       ２７３   §４ 点電荷 による電磁波 の散乱                   ２９５   §５ 電磁波 の放射 の反作用                    ３００  ［ 問題］                                 ３１ ２ 第 １０章   運 動 物 体 の 電 磁 気 学 一特殊相対論へのあゆみ一   §１ Hertzの 理論                               ３１ ４   §２ Galneiの 相 対性原理                          ３２０   §３ Hertzの 方程式 と実験事実 との比較                   ３２４   §４ Lorentzの 理論                                  ３２６   §５ Michelson−Morleyの 実験                          ３４０  ［ 問題］                                     

３４６

第 １１章   特 殊 相 対 論   §１   特殊相対論 における時 間 と空間                ３ ４７   §２ Maxwellの 方程式のLorentz変 換                   ３ ６５   §３ テ ンソル と共変性                                ３ ７３   §４ 相対性力学                                 ３ ９０   §５ 電磁波の放射 の反作用 と共変性               ４０２  ［ 問題］                                            ４０８ 第 １２章   電 磁 場 と 変 分 原 理   §１ 古典力学 と変分原理                    ４１ ０   §２ 点電荷 と電磁場 の共存系                     ４１６ 付 録 Ａ  初 等 ベ ク トル 解 析                             ４３７  ［ 問題］                                     

４４９

付 録 Ｂ  直 交 関 数 系                                   ４５１  索

引                                        ４５９

理諭電磁気学 第 ３版

理論 電磁 気学

砂川 重信

紀伊國屋書店

第 １章   真 空 電 磁 場 の 基 本 法 則

§１ 場 の 概 念  正 負 にそ れ ぞれ 帯 電 した ２個 の小 球 が 空間 にあ る距 離 をお い て お かれ た と き， そ れ らのあ い だ に引 力 が は た ら く.こ れ に似 た現 象 と して有 名 なNewtonの

万

有 引力 の法則 が あ る.万 有 引力 は物 体 間 の作 用 を媒 介す る もの は何 もな く,直 接 物体 間 に力 が は た ら く遠 隔作 用 に よる もの で あ る と考 え られ て い る.電 気 的 な力 も,万 有 引 力 の場 合 とお な じ く,遠 隔作用 に よる もの で あ る と解 釈 す る立 場 が あ る.一 方 電 気的 作 用 にた い して,次 の よ うな比 喩 に よる描 像 を えが くこ とも可 能 で あ ろ う.い ま容 器 に水 銀 をみ た し,そ の上 に適 当な ガ ラ ス球 を ２個 うかべ た と しよ う.そ れ ぞ れ の ガ ラス球 の まわ りの水銀 表 面 は,ガ ラ ス球 の 重 さの た めゆ が んで い る.こ れ らの ガ ラス球 を近 づ け る と,そ れ らは水 銀 の表 面 張 力 の た め に引 きつ け られ,た が い に接触 す るに い た るで あ ろ う.こ の とき,も し水 銀 を み る こ とが で き ない とすれ ば,わ れ われ は これ らの ガ ラ ス球 間 に は引 力 が は た らいて い る と考 え るで あ ろ う.真 空 内 に帯 電体 球 をお い た とき も同様 に,そ の ま わ りの 真 空 中 に は あ る種 の ゆ がみ を生 じ,そ の ゆが み が真 空 中 に伝 わ る こ とに よ り,帯 電 体 間 に 引力 をひ きお こす と考 え るの で あ る.こ の よ うに真 空 中 のゆ が み を媒 介 と して電 気 的 作用 が伝 わ る とい う考 え方 が近接 作 用 の立場 で あ る．  物 理 学 の 目的 は 物理 的現 象 を 正 確 に 記 述 す る こ とで あ る とい う考 え方 が あ る が,近 接 作 用 の 立場 は単 に 自然 現 象 を記 述 す るに とど ま らず,ど の よ うに して帯 電 体球 の あ い だに力 が は た ら くか とい う ‘か ら く り ’に ま で た ちい る点 で説 得 力 を もつ とい う利 点 が あ る.し か しこの よ うな 模型 的 な解釈 が,か な らず しも正 し い とは い え ない こ とは後 に くわ しくの べ る.こ れ らの 二 つ の いず れ の立場 に たつ に して も,そ れ ぞ れ の立 場 で電 気 的現 象 を記 述 した と き,そ れ か らえ られ る物 理 的 結論 が ま った く同等 で あ るな らば,い ず れ の立 場 を とる か は単 に各 自の趣 味 の 問題 にす ぎず,物

理 学 的 見地 か らは 二 つ の 立 場 は まっ た く 同等 で あ る.し

かし

なが ら,も しそ れ らの立 場 か らみ ちび かれ る結 論 に,何 らか の相 違 が あ る とき に

は,実

験 事 実 が そ れ ら の あ い だ の 優 劣 を 決 定 し て くれ る で あ ろ う.

  真 空 中 に帯 電 体 球 が 孤 立 して い る 場 合 を 考 え て み よ う.遠

隔 作 用 の 立 場 で は,

帯 電 体 球 の ま わ り の真 空 は そ れ が な い と き と比 べ て何 の 変 わ り も な い.他 体 が あ らわ れ た と き,は

じ め て そ れ に 対 し て作 用 を お よ ぼ す.し

した 帯 電 体 球 を は げ し く振 動 さ せ て も,そ は な い.近

接 作 用 の 立 場 に た つ と,事

が あ る な し に か か わ らず,孤 る.水

の と き は,ほ

か に帯 電 体

立 した 帯 電 体 球 の ま わ りの 真 空 は ゆ が ん だ 状 態 に あ 立 したガ ラス球 の ま わ りの水

の ガ ラ ス 球 の あ る な し に か か わ らず,ゆ

ラ ス 球 を は げ し く振 動 させ て み よ う． 明 ら か に,水 水 銀 面 上 を伝 播 して い くで あ ろ う.そ を振 動 さ せ る で あ ろ う.同

立

の ま わ りの 真 空 中 に は 何 事 も お き よ う

情 は 一 変 す る.こ

銀 に う か べ た ガ ラ ス 球 に 例 を と る な ら ば,孤

銀 表 面 は,他

の帯 電

た が っ て,孤

し て,じ

が ん だ状 態 に あ る.こ

のガ

銀 表 面 の ゆ が み は 波 動 と して

ゅ うぶ ん 遠 方 に あ る 他 の ガ ラ ス 球

様 に 帯 電 体 を 真 空 中 で は げ し く振 動 させ る と,そ

わ りの 真 空 の ゆ が み は 波 動 と し て 真 空 中 を伝 播 して い く可 能 性 が あ る.こ は 近 接 作 用 特 有 の も の で あ っ て,遠

隔 作 用 の 立 場 か らは で て こ な い.上

のま

の結論 にの べ た

真 空 中 を伝 播 す る 波 動 こ そ 実 に わ れ わ れ の よ く知 っ て い る 電 磁 波 な の で あ る.し た が っ て 現 在 で は これ らの 二 つ の 立 場 の 優 劣 は き わ め て 明 ら か で あ る か ら,本

書

で は も っ ぱ ら近 接 作 用 の 立 場 か ら電 磁 気 の 理 論 を解 説 す る.   近 接 作 用 の 立 場 を と る と き,た な に か,と

い う こ とで あ る.水

な す こ と が で き る.電

だ ち に 問 題 に な る の は,真

気 的 作 用 の 場 合 に は,何

考 え る た め に は,そ

を 予 想 せ ざ る を え な い.Newton力

学 万 能 の19世

る 力 学 的 自然 観 に も と づ い て,‘ ゆ が む も の'の

れ を 生 ず る母 体 の 存 在

紀 前 半 の 物 理 学 者 は,い

る.し

な づ け る.こ

な わ ち,‘ 真 空'

間 の 五 感 で は そ の 存 在 を 感 知 す る こ との で き な い あ

る 種 の 力 学 的 性 質 を も つ 物 質 に よ りみ た され て い る と考 え た.こ ル(ether)と

わゆ

存 在 を仮 定 す る こ と に よ り,電

学 の 問 題 に 還 元 し よ う と こ こ ろ み た.す

と 考 え られ て い る 空 間 は,人

は

もな い空虚 な空 間 す なわ ち真 空 が

ゆ が む と い うの で あ る.‘ ゆ が み'を

気 的 現 象 をNewton力

空 の ‘ゆ が み'と

銀 面 上 の ゆ が み の場 合 は そ れ を 純 力 学 的 効 果 と み

の物 質 をエ ー テ

の エ ーテ ル の力 学 的振 動 が 電磁 波 で あ る とす るの で あ

か し 不 幸 に し て,こ

の よ うな試 み は ま った く 失敗 にお わ った の で あ る．

  自然 現 象 に た い して あ る 種 の模 型 を つ く り,そ れ に も と づ い て現 象 を解 釈 す る こ と は,そ

の 研 究 の 初 期 の 段 階 に お い て は き わ め て 有 効 な 場 合 が 多 い が,そ

型 に と ら わ れ て し ま う と,往 よ く あ る こ とで あ る.上

の模

々 に し て そ の 現 象 の 本 質 が 見 失 わ れ て し ま う こ とは

の 失 敗 は エ ー テ ル の 検 出 と い う問 題 に よ っ て,決

定的 に

明 ら か に さ れ た.宇

宙 が エ ー テ ル な る も の に よ っ て み た さ れ て い る な ら ば,そ

の

エ ー テ ル の 静 止 し て い る 空 間 を 絶 対 静 止 の 空 間 と 考 え る こ と が で き る で あ ろ う. 絶 対 静 止 の エ ー テ ル が 実 在 す る も の な ら ば,そ

れ を物 理 的 現 象 に よ っ て 検 出 す る

こ と が で き る は ず で あ る.そ

の 方 法 の 一 つ と して,エ

速 度 の 測 定 が あ げ ら れ る.電

磁 波(光 波 と い っ て も よ い)は エ ー テ ル に 対 し て光 速

度 で 伝 播 す る か ら,エ

ー テル に対 す る地 球 の 絶 対

ー テ ル に 対 して 運 動 して い る 地 球 上 か らみ る と,光

は そ の 方 向 に よ り異 な っ て く る は ず で あ る.こ

球 の エ ー テ ル に 対 す る絶 対 速 度 を知 る こ とが で き,そ 検 証 す る も の と考 え ら れ る.し

か る に,あ

れ は ま たエ ー テル の 実 在 を

ら ゆ る 努 力 に も か か わ らず,地

ー テ ル に 対 す る絶 対 運 動 を 検 出 す る こ と は で き な か っ た .絶 存 在 は 否 定 さ れ た.こ た の で あ る.電 て,ま

れ が き っ か け と な っ て,か

の速 さ

の 相 違 を 検 出 す る こ と に よ り,地

球のエ

対 静 止 の エー テル の

の有 名 な特 殊相 対 論 が つ くられ

気 的 現 象 を 力 学 的 に 解 釈 し よ う と い う試 み は,20世

紀初頭におい

っ た くす て さ ら れ た.

  電 気 的 現 象 を力 学 的 模 型 に よ り説 明 す る こ と が で き な い とい う こ と が は っ き り した い ま,わ

れ わ れ は 近 接 作 用 に お け る 真 空 の ゆ が み と い う も の を ど の よ うに 理

解 し た ら よ い で あ ろ う か.手 味 か ら,わ

れ わ れ は ‘真 空'を

元 空 間 と考 え が ち で あ る.し

が か りは 真 空 と い う言 葉 に あ る.そ

の言 葉 の示 す 意

何 も な い 空 虚 な ひ ろ が りの み を も つ 数 学 的 な ３次 か し,わ

れ わ れ の ま わ りに ひ ろ が る 真 空 空 間 が,そ

の よ う な 空 虚 な 何 の 物 理 的 性 質 も もた な い も の で あ る と い う先 験 的 な理 由 は ま っ た く な い.一 は,実

見 無 に す ぎな い真 空空 間 が お もいが けな い物 理 的性 質 を もつ か否 か

験 に よ りは じ め て た し か め られ る も の で あ っ て,は

と 考 え る こ と は,ま

じ め か ら無 に す ぎ な い

っ た く独 断 に す ぎ な い と い うべ き で あ ろ う.む

しろ電 気 的 現

象 は 物 理 的 真 空 の 性 質 の 一 端 を 解 明 す る手 が か り を あ た え た も の と考 え る べ き で あ っ て,何

も な い 真 空 に ‘ゆ が み'が

で き る わ け が な い とい う考 え 方 は,真

空 が

ま っ た く物 理 的 性 質 を も た な い 空 虚 な も の で あ る とい う先 入 観 に わ ざ わ い され て い る の で あ る.く あ っ て,そ

りか え し て い う と,わ

れ われ の真 空空 間 は物 理 的 な真 空 空 間 で

の 性 質 は 実 験 に よ っ て の み た し か め ら れ る.現

在 の 時 点 に お い て,自

然 記 述 の も っ と も 基 礎 的 理 論 で あ る と考 え られ て い る 場 の量 子 論 に お い て は,電 気 的 現 象 の み な らず,物

質 を構 成 す る 素 粒 子 さ え も が,物

現 象 と して と ら え られ て お り,真

理 的 真 空 に お け る波 動

空 は 空 虚 ど こ ろ か 背 負 い きれ ぬ ほ ど の 複 雑 な 性

質 を もつ も の と考 え られ て い る ．   帯 電 体 が 物 理 的 真 空 中 に あ る と き,物

理 的 真 空 自身 の 性 質 に よ っ て,そ

こに物

理 的 変 化 を 生 ず る.こ を 記 述 す る に は,あ

の 変 化 の 空 間 的 分 布 を 電 場(electric

る 時 刻tの

け る 物 理 的 変 化 の 大 き さ,す

あ る 場 所(そ の 座 標 値 をx,y,zで

略 記 す る.注

ま と め て 太 文 字xで

た が っ て,空

トE(x,t)が

る ベ ク トル の 関 数 と い う

間 の す べ て の 点xに

間 内 に 適 当 な 表 面 を 考 え る と,そ

あ た え られ て,そ

よ う な 図 が で き る の で,こ

の た め 注 意 し て お くが,上

のxは

理 的 量 で は な い.質

文 字 で か く こ と が あ る が,こ の 位 置 と い う物 理 量x(t)を

れ る 物 理 量 で あ る か ら,xが

の 面上 の各 点 に お い て ベ ク

な づ け た.時

た か も麦 畑 の

間 と と も に,そ

の矢 じ

の 穂 が 風 に そ よ ぐ様 子 に 似 て い る.念

空 間 の 各 点 の場 所 を指示 す る パ ラ メー タ ーで

点 の 力 学 に お い て,粒

の と き のxは 示 す も の で,上

と混 同 し て は な ら な い.E(x,t)は

お いて 定 義 され

れ ら を 矢 じ る しで あ ら わ す と,あ

れ を 場(field)と

る し の 方 向 と大 き さ が 変 化 す る さ ま は,麦

あ っ て,物

もち

独 立 変 数 と す る 関 数 で あ る こ とで あ る).こ のE(x,t)は

３次 元 空 間 に お け る ベ ク トル 量 で あ り,空 る.し

あ ら わ す)に お

あ ら わ し,E(x,y,z,t)を

意 す べ き こ と は,E(x,t)はxな

こ と で は な く,x,y,zを

場

な わ ち 電 場 の 強 さ を あ らわ す 量E(x,y,z,t)を

い る(以 下 に お い て はx,y,zを E(x,t)と

field)と い う.電

時 間tを

子 の 位 置 を 同 じxと

い う

パ ラ メ ー タ ー と し て,粒

記 の 場 所 を指 定 す る パ ラ メ ー タ ーx

空 間 内 の 各 点xに

お い て,そ

れ ぞれ あた え ら

連 続 的 数 値 を と り う る こ と に 対 応 し て,場E(x,t)

は 連 続 無 限 の 自 由 度 を も つ 物 理 的 体 系 を表 現 す る も の で あ る と考 え られ る.こ 章 に お い て は,物

子

の

理 量 で あ る 電 磁 場 が ど の よ うに 決 定 さ れ る か と い う基 本 法 則 を

あ た え る.

§２  電 場 と磁 場 の 定 義   物 理 的真 空 中に 帯電 体 が あ る と,そ の まわ りに電 場 が で き る.電 場 が物 理 的 量 と して意 味 を もつ た め には,そ の測定 方 法 が あ た え られ な くて は な らな い.そ の た め,あ らか じめ帯 電 させ た点 電 荷 を もちい る.こ の と き,点 電 荷 とは電 子 の よ うな 素粒 子 的 な 意 味 にお け る点 電 荷 で は な く,巨 視 的 な 意 味 で点 とみ なせ るほ ど 微 小 な古 典 的 粒子 とい う意味 で あ る.し た が っ て,厳 密 に は あ る １点 に お け る電 場 とい う もの は物 理 的 に意 味 を もた な い.た だ,あ る微小 な空 間 領 域 にお け る平 均 的 な場 のみ が測 定 可 能 で あ る,さ て,こ の微 小 電 荷 を試 験 子 と して電 場 内 に も ち こみ,そ の座 標 値 がxで

あ た え られ る場 所 にそ れ を静 止 させ た とき(電子 の よ

うな 素粒 子 を試験 子 と して用 いた の で は,量 子 力 学 的効 果 の た め,そ れ を静 止 さ せ る こ とは で きな い),そ れ に はた ら く力 がF(x)で

あ った な らば,

を も っ て,そ

の 場 所xに

た え られ た 電 気 量 で,ス 量 で あ る か ら,E(x)は が っ て電 場 はxを

お け る 電 場 の 強 さ と定 義 す る.こ カ ラ ー 量 で あ る.F(x)は

こ でeは

試 験子 に あ

３次 元 空 間 に お け る ベ ク トル

空 間 の 各 点 に お い て 定 義 され る ベ ク トル 量 で あ り,し

変 数 と す る ベ ク トル 場 を 形 成 す る,電

力 を 電 気 量 で 割 っ た も の で あ た え られ る か ら,そ

た

場 の 単 位 お よ び 次 元 は,

れ らは電 気量 の単 位 お よび 次元

の と りか た に よ り決 ま っ て くる.   電 磁 的 現 象 を記 述 す る に は,電 必 要 とす る.真

空 中 で 電 流 を な が す と,そ

な る 性 質 を も つ 場,す density)と

場 だ け で な くそ れ と独 立 な 磁 場 と い う物 理 量 を の ま わ り の物 理 的 真 空 中 に 電 場 と は 異

な わ ち 磁 場 を生 ず る.こ

の 磁 場 は 磁 束 密 度(magnetic

よ ば れ る ３次 元 空 間 に お け る ベ ク トル 場B(x)に

flux

よ っ て 記 述 さ れ る.

真 空 中の磁 束 密 度 を定 義す る には次 の よ うにす る.い ま,磁 場 の な か に 一定 の 強 さの 定 常電 流1)をもち こみ,そ の 単位 長 さ あた りに作用 す る 力 の方 向 と大 き さ を測 定 す る.そ して,図2.1 の よ うに電 流 に作用 す る力 の方 向 に垂直 な平面 内 で電 流 を回転 し,力 の大 き さが最 大 に な った とき,磁 束 密 度 は電 流 とそれ に作用 す る力 に よ っ て つ く られ る平 面 に垂 直 で,そ の方 向 は図 2.1に 示 す 方 向 を もつ と約 束 す る.こ の と き,

図2.1  磁 束 密 度 の 定 義

定 常 電流 をI,定 常電 流 の 一 部 の長 さ 〓 の部 分 に作 用 す る力 をFと 束密 度Bの

か く と,磁

大 き さは

に よ っ て あ た え ら れ る.   こ の よ う に して,そ

の 大 き さ と方 向 と が 決 め られ た 磁

場B(x)の

常 電 流I(x)を

の 〓

図2.2 

Ampereの

力

な か に,定

も っ て く る と,そ

の 長 さ の 部 分 に作 用 す る 力F(x)は

で あ らわ され,こ

れ をAmpereの

１)  電流の空間的分布 が時間的に変化 しない電流 を定常電流 とい う.

一般 に

力 と い う.右

辺 の積

は ベ ク トル 積 で,力

の 方 向 は 図2.2に

示 され て い る.磁

束密 度 の単位 は電 流 の単

位 を決 め る こ と に よ り決 定 され る.

§３  Coulombの

法則

  真 空 中 に お け る 帯 電 体 の 空 間 的 分 布 が あ た え られ た と き,場 て 電 場E(x)を

決 め る 法 則 を 求 め よ う.そ

の た め,真

所xの

空 中 に 距 離Rを

関数 とし へ だ て て,

２個 の 点 電 荷 を 静 止 させ て お く.そ れ ら に あ た え た 電 気 量 を そ れ ぞ れeお とす る と,そ く.そ

れ ら が 同 種 の 電 気 で あ る と き は 斥 力,異

種 の と きには 引 力 が は た ら

こ で 電 気 に 正 負 の ２種 類 の も の が あ る と考 え て,eとe'に

ま せ た も の とす る と,e・e'＞0の   精 密 な 実 験 に よ る と,こ 逆 ２乗 に 比 例 し,ま

よ びe'

と き は 斥 力,e・e'＜0の

符 号 ま でふ く

と き は 引 力 が は た ら く.

れ らの 点 電 荷 の 間 に は た ら く力 の 大 き さ は 距 離Rの

たe・e'に

も比 例 す る.し

た が っ て,こ

の ２個 の 点 電 荷 の 間

に は た ら く力 の 大 き さFは

と あ ら わ さ れ る.こ

こ でkは

単 位 が 決 ま っ て く る.こ

正 の 比 例 定 数 で,こ

れ を決 め る こ と に よ り電 荷 の

の 法 則 が 電 気 に 関 す るCoulombの

  電 磁 気 学 に お け る 単 位 系 は い ろ い ろ あ っ て,し

法 則 で あ る.

ば し ば 混 乱 を お こ す.と

を 無 次 元 の 数 １ と と り,二 つ の 等 量 の 電 荷 を も つ 点 電 荷 を １cmは と き,そ

れ らの 間 に １dyneの

の が,C.G.S.静 gr1/2sec-1に

ひ と しい.し

の と き １C.G.S.静

電 単 位 の 電 気 量 は １cm3/2

か し本 書 で は 最 近 の 傾 向 に し た が っ て,実

用単位系 に

理 単 位 系 と い う も の を 一 貫 し て 使 用 す る.や

た らに他 の

単 位 系 を途 中 で 導 入 し て 比 較 す る と,か

え っ て 混 乱 す る お そ れ が あ る の で,他

単 位 系 と の 比 較 は 他 の 著 書 に ま か せ る.M.K.S.と Secondを

な して お い た

力 が は た ら く と き の 電 気 量 を単 位 と し て と っ た も

電 単 位 系 で あ る.こ

も とづ くM.K.S.A.有

く にk

そ れ ぞ れ 長 さ,質

量,時

の

はMetre,Kilogramme,

間 の 単 位 と す る も の で,こ

の単 位 系 で は力 の

単位は

エ ネル ギー の単 位 は

で あた え られ る.さ

て,真 空 中 で ２個 の 等量 に帯 電 した点 電 荷 を １mは

な して

静 止 させ た とき,た が い に作 用 す る力 が

と な る 電 気 量 を １Coulombで

あ る と決 め る.こ

真 空 中 の 光 の 速 さ をm/secの

こ で2.998×108と

い う数 値 は,

単 位 で は か っ た と き の 無 次 元 の 数 値 で あ る.こ

の

よ うに 電 気 量 の 単 位 を決 め る と

と な る.こ

の 場 合,電

気 量 はC.G.S.静

電 単 位 系 な ど の と き と 異 な り,質 量 ・長

さ ・時 間 と は 独 立 の 次 元 の 量 と し て と りあ つ か わ れ て い る.し 秒

１Coulombの

電 気 が は こば れ る ときの 電流 の強 さ を

か し以 下 で は,毎

１Ampereと

し,す

な

わち

と し て 電 流 の ほ う を独 立 な 次 元 の も の と考 え る.そ 有 理 単 位 系 と い う.有 理 単 位 系 と い う の は,あ

こ で この 単 位 系 をM.K.S.A.

とで わか るよ うに電磁 場 を記 述 す

る 基 本 法 則 の な か に,４ π と い う余 計 な 因 子 が で て こ な い よ う に 工 夫 し た 単 位 系 の こ と で あ る.   単 位 系 に よ っ て,た

と え ば 電 気 量 と い う物 理 量 の 次 元 が 変 わ っ て く る の は,お

か し い と考 え る か も し れ な い.し 体 の 量 を 目方 で 測 っ て も,体 の 量 の 次 元 は[kg]で し て も,水

か し,い

ま水 と い う実 体 が あ っ た と き,そ

積 で 測 っ て も さ し つ か え は な い.前

あ り,後

者 の 場 合 は[m]3で

と い う実 体 に 変 わ りは な い.す

あ る.そ

な わ ち,水

の 量 を 物 理 的 量 と して 表 現 す る と き,そ

る の で あ る.し

た が っ て,同

の表現 の仕 方 に次 元 が あ

つ の 測 りか た に よ り え られ た,次

元 の 異 な る数 値 は た が い に 比 較 換 算 す る こ と が で き る.た ３m3の

水 と は ど ち ら が 多 い か と い う こ と は,温

ば 意 味 を も っ て い る.同

様 の こ と が 電 気 量 に つ い て も い え る の で あ っ て,電

を い か な る 物 理 量 で 表 現 す る か に よ っ て,そ

た 一 方M.K.S.A.有

水 と

気 と

の量 を測 定 す る と き,そ

れ

の 次 元 が 異 な っ て くる の で あ る.し

電 単 位 系 に お け る 電 気 量 と,C.G.S.電

れ と の次 元 が 異 な り,ま

と え ば,１kgの

度 を 一定 に保 って お き さ えす れ

い う物 理 的 実 体 が 次 元 を も っ て い る わ け で は な く,そ

た が っ て,C.G.S.静

の いず れ で 測 っ た と

と い う実 体 に 次 元 が あ る の

で は な くて,そ

一 の 水 の 場 合,二

の実

者 の 場 合 は,水

磁 単位 系 にお け る そ

理 単 位 系 に お い て は,独

立 な次 元

を も つ も の と し て も 一 向 に さ しつ か え は な い.た

だ重 要 な こ と は,そ

れ も電 気 と い う 同 一 の 実 体 の 量 を あ ら わ す も の で あ る か ら,た る こ とが で き る と い う こ と で あ る.な

お,あ

れ らが いず

が い に 比較 換 算 す

と の 式 を簡 単 に す る た め に,４ π と

い う因 子 を と りだ し て

と お く と便 利 で あ る(有 理 単 位 系).す る と,ε0は

な る 値 を と り,こ で は な く,単

れ を真 空 の 誘 電 率 と よ ぶ.こ

れ は 真 空 が 偏 極 をす る と い う こ と

に こ の よ う な 数 値 を真 空 の 場 合 に も便 宜 上 と りだ し た に す ぎ な い.

か く し て,Coulombの

法 則 はM.K.S.A.有

理 単 位系 で

と か き あ らわ さ れ る.   電 荷 の 単 位 が 決 ま っ た か ら,(2.1)に １Coulombの

と な る.し

よ っ て 電 場 の 単 位 と 次 元 が 決 ま り,

電 荷 を も つ 試 験 子 に １Newtonの

か し実 用 的 に は 電 圧 の 単 位Voltを

力 が 作 用 す る電 場 の 強 さ は

用 い た ほ うが わ か りや す い.す

わち

と定 義 す る と,電 場 の 強 さの単 位 は

と な る.つ

い で に 磁 束 密 度Bの

単 位 も決 ま り,(2.2)よ

りそれ は

な

とな る.こ の と き も実 用 的 に は磁 束(=磁

束 密度 ×面積)の 単 位 を

と決 め る こ とに よ り,磁 束 密 度 の単 位 は

と し て も ち い る ほ う が 便 利 で あ る.あ れ も よ く も ち い ら れ る.１Teslaは

る い は,１Tesla=１Weber/m2と 電 磁 単 位 系 に お け る104Gaussに

  近 接 作 用 の 立 場 に 適 し た 形 式 にCoulombの な お す た め に,ま う.図3.1に

し て,こ ひ と し い.

法則 をかき

ず そ れ を ベ ク トル 形 式 で あ ら わ し て お こ

お い て,P点

お よ びQ点

とeが お か れ て い る と き,点 電 荷eは

な る 力 を お よ ぼ す.こ

に そ れ ぞ れ 点 電 荷e' 点 電 荷e'に 対 し て

こ でxはP点

らわ し た もの で あ り,xQはQ点

の 位 置 を ベ ク トル で あ の そ れ を ベ ク トル で あ ら わ で あ る.こ

こ でe'を

図3.1  ベ ク トル 形 式 で あ らわ し た Coulombの 法則

し た も の で あ る.ま

た

験 子 とみ る と,Q点

に 点電 荷 が 静 止 して い る とき,そ の まわ りの物 理 的 真 空 中 に

試

な る電 場 が つ く られ て い る こ と に な る.   Q点

を 中 心 と し,半

￨E(x)￨と

径Rの

球 面 を つ く り,そ

の球面上 での 電場 の 大 きさ

球 の表 面 積 との積 をつ くる と

これ をQ点

をか こ む任 意 の閉 曲 面Sに

お け る表 面 積分 に一 般 化 す れ ば,Gauss

の法 則

が え られ る.こ (3.3)の

こ でnは

証 明 を し よ う.E方

閉 曲 面 上 の 外 向 き の 法 線 方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る. 向 とn方

向 と の 間 の 角 度 を θ と す る と(図3.2

参 照),

で あ る.Q点

か ら表 面 素 片dSを

の 立 体 角 をdΩ

み た とき

とす る と

な る 関 係 が あ る.し

たがって 図3.2 

こ こ で(3.2)を

Gaussの

法則

もちい る と

これ を全 閉 曲面 上 にわ た って積 分 す る と

ま た,容 易 に証 明 で き る よ うに,Q点

が 閉 曲面Sの

外部 に あ る とき に は

と な る.

  点 電 荷 が 多 数 あ っ て,e1,e2… 分 布 し て い る と き に は,x点 Coulomb力

… の 電 荷 が そ れ ぞ れQ1(x1),Q2(x2)…

… な る点 に

に あ る試 験 子 の うけ る 力 は そ れ ぞ れ の 点 電 荷 に よ る

の ベ ク トル 和 に な る.し

た が っ て,x点

にお け る電 場 もま た各 点 電

荷 の つ く る 電 場 の ベ ク トル 的 な 重 ね 合 わ せ と な り,そ

れは

に よ りあ た え られ る.こ

図3.3  多 数 の 点 電 荷 の分 布 して い る と きのGaussの 法則

こで

点 電 荷 の 一 部 を か こ む 閉 曲 面Sを (図3.3参

照),

考え ると

右 辺 の 各 項 に お い て,Sの ち,ま

たSの

が え ら れ る.こ

内 部 に あ る 点 電 荷 に よ る項 に 対 し て は(3.3)が

外 部 の 点 電 荷 か ら の 寄 与 は 消 え る.し

こ で,(3.4)の

場 だ け で は な く,右

左 辺 の 電 場Eは

た が っ て,

右 辺 のSの

辺 に は あ らわ れ て い な いSの

な りた

内部 の電 荷 に よ る電

外 部 の 電 荷 に よ る 電 場 もふ く

ま れ て い る こ と に 注 意 す べ き で あ る.   点 電 荷 分 布 を 連 続 的 分 布 に お き か え,そ れ た とす る と,(3.4)は

こ こ で 右 辺 のd3xはdxdydzの 領 域Vに

の 電 荷 密 度 の 分 布 が ρ(x)で あ た え ら

次 の よ う に か け る.

省 略 で,体

わ た り積 分 す る.左

積 積 分 は 閉 曲 面Sに

辺 に 対 してGaussの

か こまれ た全

定 理 を も ち い て,表

面積 分

を体 積 積 分 に な お す と

し た が っ て,

上 の積 分 の領 域Vは

任 意 に とれ る か ら,両 辺 が 等 しい た め に は,被 積 分 関数

が等 し くな くて は な らな い.そ こで

が え ら れ る.   上 の 議 論 を 反 省 す る と,点 電 荷 間 に は た ら くCoulomb力(3.1)は 座 標xとxQと

で か か れ て い て,そ

(3.2)で は,す

で に 試 験 子 の あ る な し に か か わ ら ず,真

の 存 在 が 表 現 さ れ て い る.こ の つ く る電 場Eと,試

と か き,電

の よ うに,点

空 中 のx点

に お け る電 場

電 荷 間 に 作 用 す る 力Fを,点

験 子 の も つ 電 荷e'と

場 を試 験 子e'と

それ ぞれ の

こ で は 場 と い う概 念 は ふ くま れ て い な い.

電 荷e

に 分 解 して

は 独 立 な 実 在 とす る と こ ろ に,近 接 作 用 の 考 え 方 の 特

徴 の 一 つ が あ らわ れ て い る.し

か し な お,(3.2)の

電 場 の 表 式 で は,xに

電 場 の 原 因 が そ れ か ら有 限 の 距 離Rに

あ るQ点

に な っ て お り,ま

の す ぐ近 くの 電 場 と は,Q点

たx点

の 電 場 と,そ

して の み 関 係 を も っ て い て,お で,(3.2)の

の 点 電 荷eに

おける

あ る と い う形 式 の 電 荷 を通

た が い に 直 接 に は 関 係 を も た な い.こ

うい う意 味

表 式 は ま だ 遠 隔 作 用 的 で あ る.

  (3.3)や(3.4)に な っ て い て,距

な る と,真

空 中 に お け る場 の 量 に 関 す る 表 面 積 分 と い う形 に

離 とい う表 現 は 消 え て い る.そ

有 限 距 離 へ だ た っ た 電 荷 に 求 め て い る.こ 近 接 作 用 の 立 場 で は,あ

れ で も,閉

曲面 上 の 電場 の起 因 を

の 点 で ま だ 不 満 足 で あ る.な

ぜ な ら,

る点 にお け る現 象 の原 因 をそれ に無 限 に近 い点 にお ける

現 象 に 求 め る と い う考 え 方 を と る か らで あ る.(3.5)に 間 微 分 だ け で 場 に対 す る 条 件 が あ た え ら れ て い る.微

な る と,x点

にお け る空

分 と い う も の は,考

えてい

る点 の 量 と そ れ に無 限 に 近 い 隣 接 点 の 量 と に 関 係 す る も の で あ る か ら,(3.5)こ そ 近 接 作 用 の 立 場 に も っ と も 忠 実 な 形 式 で あ る.(3.5)は(3.1)のCoulombの 法 則 か らみ ち び い た も の で あ る が,逆 こ と に 注 意 し よ う.(3.5)は

に(3.5)か

電 場Eの

左 辺 の 電 場Eが

に も あ らわ れ て い る.し は べ つ で あ る.し

は 一 意 的 に は 決 ま ら な い.こ

き に,真

の こ と は,

か し電 場 に 対 し て何 ら か の 空 間 的 対 称 性 を 要 求 す れ ば 話

た が っ て,一

般 に は(3.5)以

外 の条 件 を つ け て は じめ て,E(x) れ に つ い て は 後 に の べ る.

間 的 に 変 わ ら な い 電 荷 密 度 分 布 ρ(x)が あ た え られ た と

空 中 に 生 ず る 静 電 場E(x)の

み た す べ き条 件 に か ぎ ら れ て い た.電

度 ρ が 時 間 と と も に 変 化 す る と き に は,電 と も に 変 化 す る は ず で あ る.そ よ う な も の で あ ろ うか.(3.5)は

の と き,電

場 も ま た そ れ に と も な っ て,時 場E(x,t)の

荷密 間 と

み た す べ き条 件 式 は どの

電 荷分 布 が 時 間的 に 変化 しな い ときの 実験 事 実

に も と づ い て み ち び か れ た も の で,そ Coulombの

だ １個 の

右 辺 の 電 荷 に よ る電場 だ け で は な い とい う こと

を 決 定 す る 方 程 式 系 は 完 全 な もの に な る が,こ   い ま ま で の 議 論 は,時

一 般 には で て こな い

３成 分 の未 知 関 数 に 対 して,た

条 件 を あ た え て い る の み で あ る か ら,解 す で に(3.4)の

ら(3.1)は

れ が 時 間 と と もに 変 わ る 場 合 に つ い ては

法 則 は な に も い っ て い な い.し

か し,わ

れ わ れ は(3.5)が

この と き

に も な りた つ も の と考 え て

と,(3.5)を

拡 張 解 釈 す る.こ

っ た く な い.し

か し,(3.5)を

を み ち び く こ と が で き る.こ

れ が 正 し い と い う先 験 的 理 由 は,い

ま の ところ ま

他 の 基 本 法 則 と くみ あ わ せ る こ と に よ っ て,(3.6) れ に つ い て は,第

２章 で 考 察 す る.一

見(3.6)の

拡

張 は 自 明 の つ ま ら ぬ もの の よ うに 思 え る が,実 Coulombの

は そ う で は な く,(3.5)の

法 則 で あ る の に 対 し て,(3.6)はCoulombの

の 事 実 を 内 に ふ くん で い る.す

と な る が,こ

な わ ち,(3.6)で

ρ(x,t)=0と

の 条 件 式 は あ とで の べ る よ うに,電

い う条 件 を 示 し て い る.わ

れ わ れ は(3.6)を

内容 が

法 則 と は ま っ た く別 お い た とき

波 が 横 波 で な くて は な ら な い と

電 場 を 規 定 す る 基 本 法 則 の 一 つ と考

え る.

  磁場 の場合 に も,電 荷 間 にお ける とま った く同 様 に,２ 箇 の単 磁 極 間 に作用 す る力 はCoulombの 式(3.4)と.ま

法 則 に したが う.そ こで 上 にみ ち びい た電 場 に対 す る方 程 った く同形 の方 程式 が磁 束 密度B(x)に

対 して もな りたつ.た だ

磁 気 の場合 に は,単 磁 極 が 孤 立 して存 在 す る こ とは な く,つ ね に異 符 号 等 量 の磁 極 が対 をな してい る た め1),任 意 の 閉 曲面Sに

が な りた つ.こ

れ に と も な っ て,微

で あ ら わ さ れ る.(3.8)は て,磁

束 密 度Bが

おいて

分形 式 の法則 は

静 磁 場 に 対 す る 条 件 式 で あ る が,電

時 間 と と も に 変 わ る と き に も,(3.8)が

場 の とき に な ら っ

な り た つ も の と す る.

これ を磁 束 密 度 に対 す る一 般 的 条件 式 とす る. [例題]Thomsonの えに,Thomsonは

原 子 模 型   Rutherfordに

よっ て原 子 の太 陽系 模 型 が 提案 され る ま

次 の よ うな巧 妙 な原子 模 型 を提案 した.そ の模 型 は 半 径aの

球 の 内部

に,正 電荷 が一様 に分 布 し,そ の なか に 負 電 荷 を もつ 多数 の 点 電子 が西 瓜 の種 の よ うに分 布 して い る とす る もの で あ る.   この 模型 に よ り,原 子 か ら放 出 され る光 の ス ペ ク トルが 線 スペ ク トル で あ る こ とが,う ま く説 明 され る.い ま,そ の も っ と も簡 単 な 例 と して,正 電 荷+eを

もつ 球 の 内部 に負 電 荷-eを

もつ点 電 子

が １個 だ け あ る とき を考 え よ う.正 に帯 電 した球 内 に半 径rの 球 面 を考 え,そ の 内部 に あ る電 荷 量 をe'と 対称 で あ るか ら,(3.4)よ

す る.こ の場 合,電

場 は球

りそれ を決 め る こ とが で きる.中 心 か ら

外 向 き の方 向 の電 場 の大 き さ をE(r)と

す る と,(3.4)か

ら

図3.4 

Thomson

の原 子模 型

 １) Maxwellの 理 論 は単 磁 極(magnetic monopole)が 存 在 しな い こ と を前 堤 と して い る.Dirac は単 磁 極 の存 在 を仮定 す る こ とに よ っ て,電 磁 場 の理 論 を拡 張す る こ とを こ こ ろみ て い る.

した が って

半 径rの

球 内 の電荷 量e'は

に よ りあた え られ る.こ れ を上 の 電場 の式 に代入 す る と

中心 か らrな

る距 離 だ けず れ た 位 置 に電 子 が あ る と,そ の 電 子 に はた ら く力 は

で あ る.し たが って,電 子 の運 動 は

に よ り決 ま る.こ

の運 動方 程 式 は 調 和振 動 子 の そ れ で あ るか ら,電 子 の振 幅 に関 係 な く,

そ の 振 動数 ν は

で あ っ て,こ れ と同 一振 動 数 の光 が原 子 か ら放射 され る こ とに な る.

  §４ Faradayの

電 磁 誘 導 の法 則

  前 節 で は,Coulombの 法 則 に も と づ い て,電 場 お よ び磁場 がそ れ ぞれ み たす 一 般 条 件 が あ た え ら れ た .そ こ で は,電 場 と磁 場 と の 間 に は,直 接 関 係 は な か っ た.1831年Faradayは

閉 じた 導 線 回 路 の 近 くに 磁 石 を お き,こ

に よ り,回 路 内 に 電 流 の 生 ず る こ と を発 見 した.こ と の 関 係 を あ た え る も の で あ る.く の 強 さ をI,起

辺 のNは

れ は磁 場 の時 間 的変 化 と電 場

わ し い 実 験 に よ る と,回 路 の 抵 抗 をR,電

流

電 力 を φ と し た と き,

な る 関 係 が あ る.こ る.右

れ を動 か す こ と

こ で φ はVolt,IはAmpere,RはOhmの

単位 で はか られ

閉 回 路 に よ り か こ ま れ る任 意 の 曲 面 を貫 く磁 束 で あ っ て,こ

れ

に は,磁

石 の つ く る磁 場 だ け で な く,発 生 した 電 流 の つ く る磁 場 も ふ く ま れ て い

る こ とに 注 意 し よ う.磁 束 の 単 位 はWeber＝Volt   Faradayの

実 験 で 直 接 示 さ れ て い る の は,導

る と い う こ と で あ る.近

接 作 用 の 立 場 で は,こ

secで あ る. 線 回路 の内 部 に 起電 力 φ が生 じ こ で 一 歩 飛 躍 す る.そ

れ は回路 の

あ る な しにか か わ らず,右 辺 の磁 束 の変 化 は そ の まわ りの 真 空 中 に電場 を誘 起 して,た また まそ こ に導 線 回 路 が お かれ る と,そ の 誘起 され た電 場 が 回 路 内 に電 流 を発 生 せ しめ る と考 え る ので あ る. い ま,図4.1の 真 空 中の 閉 曲 線C上 に点 電 荷e を もって くる と,Cに

よ って か こ まれ る磁 束 の時

間 的 変化 に よ り発 生 す る電 場Eに に はF＝eEの

よ り,点 電 荷

力 が 作 用 す る.こ の力 の 作 用 の も

とに,点 電 荷 が 閉 曲 線Cを

１周 す る と き,外 部

に な す こ との で きる仕 事 の量 は

に 等 し い.こ

こ で 積 分 は 図4.1に

図4.1  電 磁 誘 導 の法 則

み ら れ る よ う に,閉

一 ま わ りす る線 積 分 で あ る .一 方,起 し い か ら,(4.1)の

電力

φ にeを

左 辺 は 電 場 の 強 さE(r,t)を

回路 を時 計 と反 対 向 き に か けた もの が この仕 事 に等

用 いて

と か く こ と が で き る.   (4.1)の 右 辺 の 磁 束 は 閉 曲 線 に よ りか こ ま れ る 任 意 の 曲 面S上

の表 面 積 分 で

あ らわ さ れ て

と な る.n(x)は 束 を(4.3)の

曲 面Sに

図4.1の

よ う に た て た 単 位 法 線 ベ ク トル で あ る.磁

よ うに あ らわ す と き,閉

よ い こ と は,(3.7)の

閉 曲 面Sを

曲 線Cに

か こ まれ た 任 意 の 曲 面 を と っ て

二 つ の 曲 面S1とS2に

分解 す る こ とに よ っ

て,

の 関 係 が 成 立 す る こ とに よ っ て 知 られ る.た

だ し こ こ で,S2面

上 で はn2＝-n

と と っ て あ る. (4.2)と(4.3)を(4.1)に

Stokesの

代入 す る と

定 理 に よ り,左 辺 は

と か け る か ら,

い ま考 え て い る 真 空 中 の 曲 面sを も に 変 わ る こ とは な い か ら,そ た え られ る.そ

(4.5)と(4.6)と

固 定 し て お く と,右 の 時 間 的 変 化 はB(x,t)の

辺 の 積 分領 域 は時 間 と と な か のtの

み に よ りあ

こで

か ら

こ こで 積 分 領 域 は 真 空 中 に 任 意 に と る こ と が で き る か ら,(4.7)が つ た め に は,被

積 分 関 数 が ０で な く て は な ら な い.そ

が え られ る.こ

れ が 近 接 作 用 の 立 場 に か な っ た,微

誘 導 法 則 で あ る.こ

い つ も な りた

こで

分 形 式 に お け るFaradayの

れ は 磁 場 と電 場 との 関 係 を あ た え る 電 磁 場 の 基 本 法 則 の 一 つ

で あ る,  ［ 例題 ］ ベ ー タ トロ ン(Betatron)(4.8)のFaradayの 時 間 的 変化 に と もな っ て,空

誘 導 法 則 に よ る と,磁 束 密度 の

間 に電 場 が 誘起 され る.こ の 電場 を利 用 して 電 子 を加 速 す る

装 置 が ベ ー タ トロ ンで あ る.   図4.2の

よ うに鉄 の な か に 空 洞 部 をつ く り,励 起 用 の １次 コイ ル と内部 を真 空 に した

ドー ナ ッツ状 の ガ ラ ス管 をお く.１ 次 コイ ルに 交 流 を なが す と,空 洞 部 に磁 場Bが その 時 間的 変 化 に ともな って,ド ー ナ ッ ツ内部 に 電場Eが の強 さが ０か ら増 大 して い く1/4サ イ クル の間 は,空

発 生 し,

誘 起 され る.１ 次 コイ ル の交 流

洞 部 の磁 場 は 増 大 しつ づ け る.そ

し

図4.2  ベ ー タ トロ ンの縦 断 面

て,そ の 間 は誘 導 され た 電 場Eは

一 定 の 方 向 を 向い て い る.ド ー ナ ッツ内 部 の電 子 は こ の

電 場 に よっ て一 定方 向 に加 速 され る.質 量 の 小 さ い電 子 は,こ の1/4サ イ クル の 間 に ドー ナ ッツの な か を数10万 回 も回転 す る.こ

の た め,１ 回転 あた りの起 電力 が数10Voltで

て も,数10万 回 の 回転 の の ち に は10Mevの

あっ

程 度 の高 エ ネル ギ ー に まで 加 速 され る.こ の

とき,電 子 の エ ネル ギー が 増大 して も,電 子 は 一定 の軌 道 半径 の 円周 上 を 回転 す る よ うに してお く必 要 が あ る.そ

の た め には,空

洞 部 の磁 束密度 の空 間的 分 布 を どの よ うに した ら

よい で あ ろ うか.   ドー ナ ッツ管 の なか で,一 定 半 径 の 円運 動 をす る電荷-eの

電 子 の 接線 方 向 の運 動 方 程

式は

で,法 線 方 向 の それ は

で あ る.こ

こ でrは 円運 動 の 軌 道 半径 で,電 子 の運 動 中 は 一 定 に保 た れ て い る とす る.

なお この とき,運 動 す る電子 の っ くる磁 場 は無 視 す る.ま た(4.4)か ら

の 関係 が 成 立 す る.こ れ ら の ３個 の方 程 式 か ら

が え ら れ る.こ

こ でt=0でB=0,N=0と

とる と

の関 係 が え られ る.こ れ が電 子 が 一 定 半 径 の 円運 動 を つ づ け るた め の 磁束 密 度 に 対 す る条 件 で あ り,円 軌 道 上 の磁 束 密度B(r,t)がtの

値 のい か ん に よ らず に,そ れ よ り内 側 の平 均

磁 束密 度N(r,t)/πr2の1/2で

な けれ ば な らな い こ と を示 して い る.つ ま り,磁 束 密 度 の分

布 は内 側 で強 く,外 側 で 弱 くな って い な けれ ば な らない.

§５  Ampereの

法則

  電 磁 気 学 に お け る も っ と も基 本 的 な 法 則 の 一 つ と し て,電 関 す る も の が あ る.1819年Oerstedは

定 常 電 流 に と も な っ て,そ

空 中 に 静 磁 場 が 生 ず る こ と を 発 見 し た.そ した 結 果,電

流Iと

の 後,Ampereが

そ の ま わ りに で き る 磁 束 密 度Bと

な る 関 係 が あ る こ とが わ か っ た(図5.1参

照).こ

こ で,電

流 の 単 位 をAmpereで

の ま わ りの真

さ ら に くわ し く実 験 の間には

こで 積分 は電 流

の ま わ り を図 の よ う に 一 ま わ りす る任 意 の 閉 曲 線C上 で あ る.こ

流 に よ る磁 気 作 用 に

測 り,磁

の線 積 分 図5.1

束 密 度 の単

Ampereの

位 をWeber/m2(=Tesla)に

と か か れ る.比

法 則

とる と

例 定 数 μ0は 次 の 値 を と る こ と が 実 験 に よ り明 ら か に な る1).

こ こ でc=2.998×108m/secで

光 の 真 空 中 で の 速 さ で あ る.

  (5.1)は 磁 場 の 原 因 が,そ

れ か ら あ る距 離 だ け は な れ た 導 線 内

の 電 流 に 起 因 す る と い う形 式 で か か れ て い る.そ

こ で,こ

れ を近

接 作 用 の 立 場 に適 した 形 式 に か き な お す こ と を 考 え よ う.定 流Iを

電 流 密 度i(x)で

か き あ らわ す た め,(5.1)の

っ て か こ ま れ る任 意 の 曲 面Sを

考 え る と(図5.2参

常電

閉 曲線 に よ 照),

図5.2 電流密度

これ よ り,電 流 密 度 の 単 位 はAmpere/m2で

あ る こ と が わ か る.(5.1)と(5.2)

か ら

  １)実 際 に実 験 に よっ て決 め る の は光 速cで め た の で あ る.

あ って,μ0が4π

×107の 値 に な る よ うに ε0の値 を決

ふ た た び,Stokesの

積 分 曲 面Sの

定 理 を 左 辺 に適 用 す る と

と りか た は,任

これ がAmpereの れ た と き,磁

意 であ る か ら

法 則 の 微 分 形 式 で あ っ て,定

常 電 流 の 分 布i(x)が

あたえら

場 を 決 め る 方 程 式 で あ る.

  Gaussの

法 則 の と き と 同 じ流 儀 で,こ れ を 時 間 と と も に 変 化 す る 電 流i(x,t)に

よ っ て,磁

場 を 生 ず る と き に ま で 拡 張 す る な ら ば,次

と こ ろ が,今

の方 程 式 が え られ る.

度 は 前 の と き の よ うに は うま くい か な い.す

量 の 保 存 則 と矛 盾 し て し ま う.た

だ,こ

ま りは げ し くな い と き に の み,近

似 的 に 成 立 す る.そ

(5.3)は

れ はi(x,t)の

な わ ち,(5.4)は

時 間tに

よ る 変 化 が,あ

れ で は,一

どの よ う に拡 張 さ れ ね ば な ら な い で あ ろ うか.こ

電気

般 の場 合 に は

の問 題 は次 節 で解 決 さ

れ る．  [例題]直

線 電流 に よ る磁 場   この ときは,直 線 電 流 を軸 と して対

称 で あ るか ら,(5.1)よ

りた だ ちに

した が っ て

と な り,Bの

方 向 は 図5.3に

示 され る 方 向 で あ た え られ る.

図5.3  直 流 電 流 に よ る磁 場

  §６  電 荷 保 存 則 と 変 位 電 流   電 荷 の 総 量 は い か な る 物 理 的 変 化 の 過 程 に お い て も,一 定 不 変 で あ る.こ

れは

現 在 ま で の あ ら ゆ る 実 験 事 実 の示 し て い る と こ ろ で あ る.   こ の事 実 を数 式 で 表 現 す る に は,ど 任 意 の 閉 曲 面Sで

か こ ま れ た 領 域Vを

の 単 位 ベ ク トル をn(x)と 量 は,電

の よ うに し た ら よ い で あ ろ う か.空

流 密 度 をi(x,t)と

す る.Sを

考 え て,そ 通 っ て,外

した と き,単

の 面Sの

間内 に

外 向 き の法線 方 向

か ら この領 域 に 流 れ こむ 電気

位 時間 あた り

で あ た え ら れ る.n(x)の

方 向 を 外 向 きに とった か

ら,流 れ こ む 量 に は 負 号 を つ け る.電 変 で あ る と い う こ とは,V内 こ に も失 わ れ ず に,そ

気 の総 量 が不

に 流 れ こ ん だ電 気 が ど

の ま まV内

にお け る電 気量

の 単 位 時 間 あ た りの 増 加 量(あ る い は 増 加 の割 合)に 等 し く な る と い う こ と に よ り表 現 され る.し

たが っ

図6.1  電 荷 保 存 則

て,

閉 曲 面Sを

Gaussの

固 定 し て お く と,

定 理 に よ っ て,

した が って

領域Vは

任 意 に とれ るか ら,

これ が電 荷 密度 ρ と電 流 密 度iが

時 間的 に変 化 す る とき に も な りた つ 電荷 保 存

則 をあ らわす 一般 的 関係 式 で あ る.流 体力 学 な どで は(6.1)の 形 の 方程 式 を連 続 の 方程 式 とい って い る.  定 常 電 流 つ ま り電 流 の空 間 分布 が時 間 に よ り変 わ らな い とき には(6.1)は

と な る.定

常 電 流 に よ り静 磁 場 が で き る と き に は,Ampereの

法則 によると

が成 立 した.両 辺 の発 散 を と る と

ベ ク トル 解 析 の 恒 等 式 に よ っ て,左

とな り,こ

の結 果 は(6.2)の

化 す る と き に,(5.4)を

辺 は 恒 等 的 に ０で あ る.し

条 件 式 と一 致 す る.も

た が っ て,

し電 流 分 布 が 時 間 と と も に 変

基 本 法 則 と し て採 用 す る な ら ば,上

の 手 続 き を く りか え

す こ と に よ り,

が え られ る.こ

れ は,明

し た の はMaxwellで

ら か に 一 般 の 保 存 則(6.1)と

法 則 を 次 の よ う に 拡 張 した.

的 な 場 合 に は,右

(displacement

current)密

と を示 そ う.(6.3)の

辺 の 付 加 項 は 消 え る.こ

度 と よ ぶ ．(6.3)は

で くわ し くの べ る よ うに,変

法 則(6.3)は

場 合 を 考 え る と,電

空 中 に 磁 場 を生 ず る と い う,ち た,こ

こ で 最 後 の 等 式 で(3.6)を

と

実 験 的 に も確 証 され て い る.(6.3)で

場 の 時 間 的 変 化 に と も な っ て,そ ょ う どFaradayの

れ をAmpereの

の ま わ りの 真

誘導 法則 の逆 の現 象 の 存在 を

法 則 の 立 場 か らみ る と,ε0∂E/∂tは 磁 場

を生 ぜ し め る 一 種 の 電 流 と み な す こ と も で き る.そ つ け ら れ た の で あ る.

つ か っ た.あ

位 電 流 の存 在 こそ電 磁 波 の存 在 をみ ち び くも ので あ

っ て,Ampere-Maxwellの

示 し て い る.ま

の付加 項 を 変 位 電 流

一 般 の 電 荷 保 存 則 と矛 盾 し な い こ

両 辺 の 発散 を とる と

つ ま り電 荷 保 存 則 が み ち び か れ る.こ

i(x,t)＝0の

の 困 難 を解 決

あ る.

  Maxwellは(5.3)のAmpereの

明 らか に,静

矛 盾 す る.こ

れ で 変 位 ‘電 流'と

い う名 が

[例題]変 位 電 流 に よ る磁 場 の 生成 面 積Sの ２枚 の 金 属 円板 か らな る 平 行 板 コ ン デ ンサ ー を 考 え る.そ の 円板 上 に 全 電 荷Qが 一様 に 分 布 して い る とす る.QがQ(t)＝ Q0sin2π νtによ っ て,時 間 とと もに 変化 す る とき,そ に 変 わ る.そ

こ で,電

極 間 に は,変

と も な っ て,(6.3)に

な ら な い.そ

の 円板 状 電 極 間 の電 場 は 時 間 とと も れに

よ り コ ン デ ン サ ー 内 に 磁 場 が で き る.

こ れ を 求 め よ う． た だ し,こ 乱 れ は 無 視 す る.ま

位 電 流 を 生 ず る.そ

の と き 電 極 の 端 に お け る電 場 の

ず コ ンデ ンサ ー内 の電 場 を求 め な くて は

れ に は,(3.6)を

積 分 形 で か い て お く.

図6.2変

こ の方 程 式 を図6.2の

位電流

よ うに,金 属板 の単 位 表 面 を か こ む 直 方 体 に適 用 す る.金 属 導 体

内 で は 電 場 は ０ で あ り,ま た 対 称 性 か ら電 場 は 図 の よ うに,下

向 きの成 分 のみ が あ る.

そ こ で,電 荷 の表 面密 度 を ω(t)とか く と

す な わ ち,Eは (6.3)よ

電 極 間 で空 間 的 に は一 定 で あ る．

り

そ こで,金 属 円板 の 中心軸 の まわ りに,半 径Rの 分 す る と,Bは

円板 を考 え て,そ の 面S0上

中心 軸 の まわ りに対 称 で あ るか ら,C0をS0の

縁 の 円 と して

一方

こ こ で 最 後 の 等 式 に は,(6.4)を

§７Maxwellの

も ち い た.(6.5)と(6.6)を

比 較 して

方程 式

こ れ ま で に え ら れ た 基 本 法 則 を ま と め る と,次

の よ う に な る.

で表 面 積

こ れ ら の 基 本 方 程 式 系 か ら,μ0お

よ び ε0と い うわ ず ら わ しい 定 数 を 消 し て し ま

うた め に,

に よ っ て,Hお い,そ

の 単 位 は(7.1)か

で あ る.ま flux

よ びDと

た,Dは

density)と

い う新 し い 場 の 量 を 定 義 す る.Hを ら

電 気 変 位(electric よ ば れ て,そ

displacement)ま

の 単 位 は(7.2)よ

で あ る． こ れ ら の 量 を 用 い る と,上

とか か れ る.こ

磁 場 の強 さ とい

た は 電 束 密 度(electric

り

の方 程式 系 は

れ ら の ４組 の 方 程 式 系 をMaxwellの

方 程 式 とい う.こ

れ らは

電 磁 場 の 時 間 空 間 的 変 化 を記 述 す る も っ と も基 本 的 な 法 則 で あ る.  も う一 度,こ

れ らの 方程 式 の物 理 的 意 味 を復 習 してお くこ とは無 駄 で は な いで

あ ろ う.(7.3)はFaradayの

誘 導 法 則 で あ る.(7.4)は

定 常 電 流 に 対 す るAmpereの

法 則 を 拡 張 し たAmpere-Maxwellの

る.左

辺 の 第 ２項 は,Maxwellに

と(7.6)は

電 荷 保 存 則 を考 慮 し て, 法則であ

よ っ て 導 入 さ れ た 変 位 電 流 密 度 で あ る.(7.5)

電 気 お よ び 磁 気 に 関 す るCoulombの

法 則 か ら み ち び か れ た も の で,

そ れ を さ ら に 時 間 的 に 変 化 す る 場 合 に ま で 拡 張 し た も の で あ る.電 電 荷 分 布 ρが,場

流 分 布iと

所 と 時 間 を変 数 と す る 関 数 と し て あ た え られ る と,こ

方 程 式 を解 く こ と に よ り,電  こ こ で,Maxwellの

れ らの

磁 場 は 決 定 す る.

方 程 式 と と も に,荷

電 粒 子 に 作 用 す る 力 の 法 則 を基 本 法

則 と して あ げ て お こ う.   第 １章(2.1)に

あ た え た よ う に,静

用 す る 力 はF＝eE1に

電 場E1(x)の

よ っ て あ た え ら れ る.こ

の 電 荷 の つ く っ た 静 電 場 で あ る.電

な か に お か れ た 点 電 荷eに

の と き,E1は

点 電 荷e以

作

外 の他

荷 が 電 荷 密 度 ρ0(x)で 分 布 し て い る と き,

そ の帯 電体 に作 用 す る力 は

で あ た え ら れ る.こ 場E1を

こ でVは

考 え て い る 帯 電 体 を と りか こ む 領 域 を 示 し,静

つ く る 他 の 電 荷 は 領 域Vの

部 電 場E1の

外 部 に分 布 し て い る も の と す る.さ

な か に 帯 電 体 ρ0を も ち こ む と,そ

電

て,外

れ が つ く る 電 場E0がE1と

重ね

合 わ さ り,全 体 の 電 場 の 様 子 は 帯 電 体 ρ0を も ち こ む 前 と は ま る で 違 っ た も の に な っ て し ま う.そ

の 電 場 はE1とE0を

で あ ら わ され る.こ

の と き,帯

れ と も,全 体 の 電 場E(x)を

ベ ク トル 的 に 加 え たE(x)＝E0(x)+E1(x)

電 体 ρ0に 作 用 す る 力 は,(7.7)で

あ ろ う か.そ

も ちい た

で あ ろ う か.(7.8)は(7.7)に

を追 加 し た も の で あ る.こ 作 用 す る 力 な の で,こ  と こ ろ が,静

の 力Fs(e)は 帯 電 体 ρ0の つ く る 電 場E0が

れ を 自 己 力 と い い,E0を

電 場 の 場 合,こ

の 自 己 力 は0で

電 荷 分 布 ρ0の つ く る 静 電 場 は,(3.2)を

で あ た え られ る.こ

れ を(7.9)に

自 己 場 と い う. あ る こ と が 証 明 され る の で あ る.

一般 化 した

代入すれば

自分 自身 に

と な る.こ

こ で 積 分 変 数xとx'を

Fs(e)＝0で あ る.つ

ま り,静

い れ か え る と,明

ら か にFs(e)＝-Fs(e)と

電 場 の 場 合 に は(7.7)と(7.8)は

な り,

相 等 し い の で,自

己 力 の 効 果 を 考 え る必 要 は な い.   ま っ た く 同 じ こ と が(2.3)のAmpereの

力 に つ い て も成 立 し,外

が,電

流 密 度i0(x)の 定 常 電 流 に 作 用 す る 力

は,定

常 電 流i0(x)の

つ く る 自 己 場B0(x)を

に 一 致 す る こ と が 示 さ れ る.こ (7.13)でB(x)＝B0(x)＋B1(x)で   上 の よ うに,電 き に は,自

の 証 明 は 第 ５章 §２ の 例 題 で あ た え る.な

荷 が 運 動 し,電

流 分 布 が時 間 と と

れ を無 視 す る こ と は で き な い.第

９章 §５ で くわ し

の 点 電 荷 は 電 磁 波 を放 射 し,そ

れ に と もな っ てそ の点 電 荷 の もつ力 学 的

の エ ネ ル ギ ー の 減 少 は,点

力 を あ た え る.こ

の 減 衰 力 は,(7.9)と(7.13)の

じ る の で あ る.し

た が っ て,自

破 られ て し ま うの で あ る.第

示 さ れ る.こ

た電 流 が定 常 的 に分 布 して い る と

電 荷 が 自 己 力 以 外 の 外 的 な 力 の 作 用 に よ っ て 加 速 され る

エ ネ ル ギ ー は 減 少 す る.こ

す る 体 系 に お い て,全

お,

あ る.

己 力 を 考 慮 す る 必 要 は な い が,電

く説 明 す る よ うに,点 と,そ

も と りい れ た 力

荷 の 分 布 が 静 的 で あ り,ま

も に 変 動 す る と き に は,こ

部 静 磁 場B1

電 荷 の 運 動 に 対 す る減 衰

右 辺 に ふ くまれ る 自己力 か ら生

己 力 を 考 え に い れ な い と,エ ２章 §４ と §５ で,荷

ネ ル ギ ー保 存 則 が

電 粒 子 系 と電 磁 場 とが共 存

系 の エ ネ ル ギ ー 保 存 則 と運 動 量 保 存 則 が 成 立 す る こ と が

の と き,自

己 力 を考 慮 す る こ とに よ っ て は じめて 上 の保 存 則 の成

立 す る こ と が理 解 さ れ よ う.   さ て,以

上 の 事 情 を考 慮 した 上 で,微

た え よ う.電

荷 密 度 が ρ で,電

る 電 場 と磁 場 がE(x,t),B(x,t)で (7.8)と(7.13)を

組み合わせた

小 な荷 電 粒 子 に作 用 す る力 の法 則 を あ

流 密 度 がiの

荷 電 粒 子 の 存 在 す る場 所xに

あ る と す る と,粒

お け

子 に 作 用 す る 全 体 の 力 は,

で あ た え られ る.こ

の と き,右

辺 の電 場E(x,t)と

磁 場B(x,t)は,一

を もふ く む全 電 磁 場 で あ る こ と に 注 意 し よ う.(7.14)の

般 に 自己場

力 をLorentzの

力 とい

う.   (7.3)∼(7.6)と(7.14)に

よ っ て 表 現 さ れ た 法 則 は,電

と も基 本 的 な 自然 法 則 で あ っ て,電 則 は,こ

磁 気 学 に あ らわ れ て くるそ の他 の雑 多 の法

れ ら の 基 本 法 則 か ら み る と,す

て,そ

れ ら の す べ て は,原

に,上

の 基 本 法 則(と

子,分

程 式)を 適 用 す る こ とに よ り,原 し た が っ て,こ

子,電

くに(7.14)の

磁 的現 象 を支 配 す る もっ

べ て 第 二 義 的 な も の に す ぎ な い.そ

し

子 な ど か ら構 成 さ れ て い る 物 理 的 体 系

力 の 作 用 の も と に お け るNewtonの

運動方

理 的 に は み ち び き だ さ れ る は ず の も の で あ る.

の 章 を読 み お え た 読 者 は,す

で に 電 磁 気 学 の 基 本 的 な骨 組 み を

つ か み お え た も の と考 え て さ しつ か え な い.以

下 の 章 に お い て は,そ

の肉付 け

を行 な う こ と に な る.  [例題]運 動 す る 導線 回路 に生 じる起 電 力  (4.1)のFaradayの Cに か こ まれ る曲面S上 の磁 束 の変 化 は,磁 束 密 度B(x,t)の あ って も,回 路Cが

時 間 的 に変 わ らな い磁 場B(x)の

っ て も よか っ た.い

ま,こ

でdtの

法 則 に よれ ば,導 線 回 路 時 間 的 変 化 に よ る もの で

な か で運 動す る こ とに よる も ので あ

の 後者 の場 合 を考 え て,図7.1の

よ うに 導線 回路Cが

速 度v

時 間 の あ い だ運 動 した とす る.こ の とき,磁

束 の変 化 量dNは

図 のvdtとdrに

よ って つ くられ

る微 小 な四 辺形 を通 過 す る磁 束 を,導 線 回 路Cの 周 に わ た っ て加 えた も の に等 しい.な にみ られ る よ うに,dt時

間後 の 回 路 をC'と

それ をか こむ 曲 面 と して は,Cに に,C'とCに

一

ぜ な ら図7.1 す る と,

か こまれ る 曲面S

よっ てつ く られ る側 面 を加 えた もの を

とる こ とが で き る か らで あ る.し た が って,

そ こ で,(4.1)の

と な る.こ

右辺は

れ と(4.1)か

で あ る こ と が わ か る.こ E≡v×Bで

図7.1  運 動 す る導線 回 路

ら起 電 力 φ は

の 起 電 力 の 原 因 も 電 場 の 発 生 に よ る も の と見 な せ ば,そ

あ た え ら れ る こ と に な る.し

か し,こ

お い た も の と比 較 す れ ば 明 ら か な よ う に,こ

れ を(7.14)のLorentzの

の電 場 は

の 起 電 力 の 本 当 の 原 因 はLorentzの

力 でi=ρvと 力 で あ る.

  した が っ て,(4.1)の

法 則 は,磁 束 密 度 の 時 間的 変 化 に よる誘 導 法 則 と,Lorentzの

力に

よ る起 電力 の発 生 の 法則 とい うま った く異 な る ２ 種 の法 則 を一 つ の 形式 に ま と めた もので あ って,な ぜ この よ うに本 質的 に異 な る法 則 が た だ一 つ の形 式(4.1)に ま とめ られ るの か, そ の理 由 を知 っ てい る人 は い ない.

第 ２ 章   Maxwellの

方程 式 の一 般 的性 質

§１  点 電 荷 と電 磁 場 と の 共 存 す る 体 系   わ れ わ れ の 生 活 し て い る 物 質 世 界 を,微

視 的 に み る と,す

べ て の物 質 は 正電 荷

を も つ 原 子 核 と負 電 荷 を も つ 電 子 と に 分 解 され て し ま う.そ

こで電 子 や 原 子核 を

点 電 荷 とみ な し1),そ て,こ

れ ら の 間 に 電 磁 的 な相 互 作 用 が は た ら い て い る 体 系 を も っ

の 世 界 の 一 つ の 模 型 と し て 考 え て も よ い で あ ろ う.こ

た ら く重 力 は 電 磁 的 な 力 に 比 較 し て,き

の と き,粒

子 間には

わ め て 小 さ い の で 無 視 す る.ま

た電 子 や

原 子 核 に 対 し て は量 子 力 学 の 法 則 を適 用 す べ き で あ る.す

る と,そ

れ に と もな っ

て 電 磁 場 も ま た 量 子 論 的 に と りあ つ か わ ね ば な ら な い こ と に な る.し で は す べ て古 典 的 に と りあ つ か う こ と に し て,粒 動 法 則 に よ り規 定 さ れ る もの と す る.こ

か し,こ

子 の 運 動 はNewton力

こ

学 の運

の よ うな 古 典 的 体 系 を 記 述 す る 自然 法 則

を 定 式 化 す る こ と を考 え よ う.   最 初 に 点 電 荷 を数 学 的 に 表 現 す る 方 法 を あ た え て お く.点 電 荷 と は,空 る １点 に 電 荷eが

集 中 し た も の で あ る.し

無 限 大 に な っ て い て,そ て,Diracの

こ こ で,xは

間のあ

た が っ て,そ

の電 荷 密 度 は そ の点 で

の 他 の す べ て の 点 で ０で あ る.こ

の性 質 を もつ 関数 と し

δ−関 数 と い う も の を 次 の よ うに 定 義 す る.

変 数 で,xが

そ の 他 の 点 で は ０で あ る.そ

ち ょ う ど ａ に 等 し い と き は,そ

の 値 が 無 限 大 に な り,

の積 分 は

 １) 原 子核 は 陽 子 と 中性 子 とか ら で きて い る.し か しそ れ らを結 びつ け て い る力 は 電 磁 的 な もの とま っ た く性 質 の異 な る核 力 とい われ る もの で,古 典 物 理 学 を適 用 す る こ とは で き ない.し た が って,こ こ で は原 子 核の 構 造 につ い て はふ れ な い.

な る 性 質 を も つ も の と す る.こ

の よ う な 関 数 は 本 当 は 存 在 しな い が,そ

に 厳 密 な 定 義 は 超 関 数(distribution)の   時 刻tに

お い て,全

る と き,そ

の 電 荷 密 度 と電 流 密 度 と は,そ

と表 現 され る.こ

電 荷eを

の数学 的

理 論 で あ た え られ て い る.

も つ 点 電 荷 の 位 置 がr(t)(＝x(t),y(t),z(t))で

あ

れぞれ

こで

な る 省 略 記 号 を も ち い た.こ 保 存 則 第 １章(6.1)を

の よ うに あ ら わ さ れ た 電 荷 密 度 と 電 流 密 度 とが 電 荷

み た す こ と は,次

の よ うに し て 示 す こ と が で き る.

こ の 点 電 荷 に作 用 す る力 は 第 １章(7.14)の,自

己 力 をも ふ く むLorentzの

力であ

ら わ され る か ら

こ こ で,(1.2)の r(t)のtを

通 し て の も の と,な

よ う.前 者 は,仮 き で も,点

δ−関 数 の 性 質 を 用 い た.(1.5)で ま のtに

電 磁 場 の 強 さ の 時 間 的 変 化 は,

よる もの との ２種 が あ る こ とに注 意 し

に場 自身 は そ の 空 間 的 分 布 が 時 間 と と も に 変 わ ら な い と し た と

電 荷 の あ る 位 置r(t)が

時 間 と と も に 変 化 す る た め,そ れ に と も な っ て

点 電 荷 の あ る場 所 の場 の 強 さ が 変 わ っ て く る こ と に よ る も の で あ る.後 空 間 的 分 布 そ の も の が 時 間tと

者 は場 の

と も に 変 わ る効 果 を 示 し て い る.

  い ま考 え て い る 物 理 的 体 系 は,Ｎ

個 の 質 量mi,電

と も な う電 磁 場 と か ら構 成 さ れ て い る.点

荷eiの

点 電 荷 と,そ

電 荷 は そ れ ぞ れ の 位 置ri(t)に

れに お ける

電磁 場 の作 用 の も とに

な る Ｎ 個 の運 動 方 程式 に したが っ て運 動 す る.一 方,電 荷 の 存在 に よ り誘起 さ れた 電磁 場 の 時間 空 間的 変化 は,次 のMaxwellの

(1.6)と(1.7)はri(t)(i＝1,2,… る 連 立 方 程 式 系 で あ っ て,こ に 記 述 さ れ る.こ る な ら ば,原

Ｅ(x,t)と

を 未 知 関 数 とす

の初 期条 件 をあ た え

理 的 に は 考 え て い る 世 界 の す べ て の 知 識 が え ら れ る は ず で あ る.し み る とわ か る よ うに,点

電 荷 の 運 動 は 電 磁 場 に よ り影 響

た そ の 電 磁 場 は 点 電 荷 系 の 運 動 状 態 に よ っ て 決 ま っ て くる,と

合 に す べ て の物 理 量 は 複 雑 に か ら み あ っ て い る.数 式 で あ る.そ

Ｂ(x,t)と

れ ら に よ っ て い ま考 え て い る 古 典 的 物 理 体 系 は 完 全

の 質 点 系 と電 磁 場 と の 共 存 系 に お い て,そ

か し,(1.6)と(1.7)を を う け,ま

… Ｎ)と

方程 式 に よ り規定 され る.

の た め,上

い う具

学 的 に は非線 形 連 立微 分 方程

の 計 画 を実 行 す る こ と は き わ め て 困 難 な 問 題 で あ っ て,

現 在 で も 解 決 され て い な い.わ

ず か に,き

わ め て 低 い 近 似 で の み,そ

の よ うな 試

み が な さ れ て い る 程 度 で あ る.   し か し,実

際 に は(1.6)と(1.7)を

分 離 し て し ま っ て,次

の よ うな 簡 単 化 さ れ

た 問 題 を扱 う こ と が 多 い.   (Ａ)  電 磁 場 の 時 間 空 間 的 分 布 を あ た え た と き,つ ま り(1.6)に と Ｂ(x,t)の お,こ

関 数 形 を決 め て し ま っ た と き,点

の と き ほ とん ど の 場 合,自

お い て,Ｅ(x,t)

電 荷 は ど の よ う に 運 動 す る か.な

己 場 の効 果 を 無 視 す る.

  (Ｂ) 電 荷 分 布 ρ(x,t)と 電 流 分 布i(x,t)と

を あ た え ら れ た も の と し て,(1.7)

に よ っ て 電 磁 場 は ど の よ うに 決 定 さ れ る か.   こ の よ うな 近 似 的 な 取 り扱 い が 許 され る の は,点 磁 場 の 変 化 や,電

磁 波 を放 射 し た と き,電

電 荷 の運 動 に よ っ て お き る 電

荷 お よ び 電 流 の うけ る 反 作 用 が 小 さ く

て無 視 す る こ と が で き る か ら で あ る.第

９章 §５ で くわ し く論 じる よ う に,こ の

よ うな 場 の 反 作 用 が 問 題 に な る の は,電

子 な ど の よ うな き わ め て 軽 い 素 粒 子 か ら

な る体 系 を取 り扱 う場 合 だ け で あ り,日

常的 なス ケ ール の古典 的体 系 にお い ては

問 題 に す る必 要 は ほ と ん ど な い.   (A)の

型 の 問 題 の 例 と し て は,電

子 顕 微 鏡,質

に お け る 荷 電 粒 子 の 軌 道 計 算 が あ る.こ 電 磁 場 が 空 間 的 に 一 様 で な い と き に は,一 形 常 微 分 方 程 式 に な っ て,こ

量 分 析 器,サ

イ ク ロ トロ ン な ど

の 場 合 で も,(1.6)か

ら わ か る よ う に,

般 に 運 動 方 程 式 はri(ｔ)に

関 して非 線

れ だ け で も解 く の は容 易 な こ とで は な い1）.ま た,

シ ン ク ロ ト ロ ンの よ う に き わ め て 高 エ ネ ル ギ ー の 粒 子 の 運 動 を 調 べ る と き に は (1.6)の 運 動 方 程 式 は 相 対 論 的 運 動 方 程 式 に お き か え ら れ ね ば な ら な い.電 学 固 有 の 問 題 は(B)の

型 の も の で あ る.こ

の と き,全

磁気

電 荷量 や 全 電 流 量 だけ をあ

た え て,そ

れ らの 分 布 自身 を も決 定 し よ う とす る や や 高 級 な 問 題 も あ る.こ

き に は,偏

微 分 方 程 式 を 問 題 に 即 応 し た 境 界 条 件 の も と に 解 く こ と に な る.

  と も か く,わ れ わ れ の 世 界 の 模 型 で あ る(1.6)と(1.7)と

のと

の 連 立 方 程 式 系 を,

ま と も に と りあ つ か う こ と は き わ め て 困 難 な 問 題 で あ る が,実

は これ らの解 を求

め な くて も,こ

る程 度 の知 識 を う

の 複 雑 な 物 理 的 体 系 の 一 般 的 性 質 に つ い て,あ

る こ とは 可 能 で あ る.こ と(1.7)で

の 章 で は,こ

の 一 般 的 性 質 を 調 べ る こ と に よ り,(1.6)

記 述 さ れ て い る 体 系 の 物 理 的 内 容 の 一 部 を 明 ら か に す る.

 [例題 １]Zeeman効

果   (A)の 型 の問 題 の例 と して,Zeeman効

み よ う.1896年Zeemanは

果 を古 典的 に扱 って

光 源 を一 様 な磁 場 の な か にお き,そ れ か ら 発 す るス ペ ク トル

の磁 場 に よ る影 響 を調 べ た.そ の結 果 を ま とめ る と,  １)磁 場 の影 響 に よ って,光 源 を構 成 す る原 子 の ス ペ ク トル は 一定 数 に分 離 し,     (i)磁

場 と平 行 方 向 で は ２本 にわ かれ,そ れ ぞれ 左 右 の 円偏 光 をな す.

    (ii)磁

場 と直 角 方 向 で は ３本 に わか れ,元

線 の位 置 の もの は,磁

場 に 平行 な直 線 偏

光 をな す.他 の ２本 は磁 場 に垂 直 な直線 偏光 をな す.  ２)そ の分 離 の距 離 は,磁 場 の強 さ に比例 す る. この実 験 事 実 を,Thomsonの   -eを

原子 模 型 とLorentzの

電子 の電 荷 とす る.Thomsonの

力 に よ り説 明 しよ う.

原 子模 型(第 １章 §３参 照)と(1.6)の 運 動 方 程 式

か ら,電 子 の運 動 は,電 子 の 自 己場 を無 視 す る と

に よ り記 述 さ れ る.た

だ し,こ

こで

  １)空 間的 に 一 様 でな い 電 磁 場 の な か での 荷 電粒 子 の 運 動 を 調べ る問 題 は,最 連 して と りあげ られ て い る.

近 プ ラズ マ 物理 学 に 関

磁場Bは 空 間的 に 一様 で あ るか ら,Bの の各 成 分 の み たす 運 動 方程 式 は

方 向 を ｚ軸 に と り, B＝(0,0,B)と

す る と, r(t)

第 ３式 か ら,ｚ 方 向 の電子 の 運動 は ω0/2πを振 動数 とす る調和 振動 であ る.(1.9)の

第 １

と第 ２の方 程式 の解 を求 め るた め,

とお いて,代 入 す る と

こ れ か ら,α

と β を消去 す る と

こ の 方 程 式 の解 は ４個 あ るが,ω

＞0の

も の だ け と る.ω

の そ れ と 単 に(1.10)の

位 相 が ず れ る だ け で,独

の ２個 の 解 が あ る.こ

れ ら を,そ

れ ぞ れ(1.11)に

＜0の

２個 の 解 は,ω

立 な 解 で は な い.し

＞0の

たがって

代入 す る と

が え られ て,電 子 の運 動 と して は,次 の ２組 の解 によ り示 され る ものが 可能 で あ る.

図1.1左

まわ りの円 運 動

図1.2右

ま わ りの 円運 動

とき

  これ らの運 動 は,x-y平

面 内 で それ ぞ れ 図1.1と

図1.2に

示 され る よ うな,左 まわ り

と右 ま わ りの 円運 動 で あ る.   第 ９章 §３,(２)の 例 題 １に示 す よ うに,荷 電 粒 子 の振 動 に とも な っ て放 射 され る電 磁 波 の 振 動数 は,粒 子 の振 動 数 に等 し く,そ の偏 りの 方 向 は荷 電 粒 子 の 加 速 方 向 で,ま 磁 波 の強 度 は加 速 方 向 に垂 直 の 方 向 で も っ と も強 い.つ と も な っ て放 射 され る光 は,x軸

ま り,x軸

た電

方 向 の電 子 の振 動 に

に そ う方 向 に 直 線 的 に偏 っ て お り,光 の放 射 され る方

向 はx軸 に直 角 の方 向 で あ る.し た が って,(x'，y’)の 合成 振 動 に よ って放 射 され る光 の 振 動 数 は ω'/2πで,そ の 方 向 はz軸 れ る光 の偏 りの方 向 は,x'方

に そ う方 向,つ

ま り磁 場 に 平 行 で あ る.ま た 放 射 さ

向 の振 動 とy'方 向 の振 動 を合 成 し た左 まわ りの円 運 動 に と

も な って,左 ま わ りの 円偏 光 に な る.(x”,y”)の 合 成 振 動 に よ る光 につ い て も同 様 で,た だ この と き,放 射 され る光 の振 動 数 は ω”/2π で,右 事 実(i)).次 に,y軸

ま わ りの 円偏 光 に な っ て い る(実 験

方 向 つ ま り磁 場 に直 角 の方 向 に 放 射 され る光 は,電 子 のz方 向 とx

方 向 の振 動 に よ る もの で あ る.z方

向 の振 動 に よ り放 射 され る光 は,z方

な し,そ の振 動 数 は ω0/2πで,こ れ は 元 線 のそ れ で あ る.x方

向 に直 線 偏 光 を

向 の振 動 と して は, x'の 運

動 をす る もの と,x” の運 動 をす る もの が あ っ て,そ れ らの運 動 に と も な っ て,x方

向に

直 線 偏 光 を し た振 動 数 ω'/2πと ω”/2π の光 が放 出 され る(実 験 事 実(ii)).ま た(1.12)と (1.13)と か ら

が え られ,ス ペ ク トル の分 離 の距 離 はBに

比 例 す る(実 験 事 実 ２)).

  [例題 ２]一 様 で な い静 磁 場 の な か の運 動

上 の例 題 は,空 間 的 に一 様 な磁場 の なか で

の 荷 電粒 子 の 運 動 で あ っ た.こ こ で は,一 様 で な い静 磁 場 の な か で の 荷 電 粒 子 の運 動 を 調 べ よ う.そ こ でい ま,z方 向 の成 分 だ け を も ち,x方 向 にそ の 強 さが変 化 す る磁 場B(x) =(0,0,B(x))の な か で の荷 電eを もつ荷 電 粒 子 の運 動 を考 え る.z方 向 の運 動 は 慣 性 的 な 運 動 にす ぎ な い か ら,x-y平

面 内 で の運 動 だ け を考 え る.こ の と き運 動 方 程 式 は

で あ る.こ の 非線 形 微分 方 程 式 を扱 うた め に,新

を 導 入 し,こ

の 変 数sで

運 動 方 程 式(1.15)を

しい 変 数

か き か え る.す

とい う線 形 の方 程式 にな る.こ の 方 程式 の一 般 解 は

る と,(1.15)は

で あ る.t＝0でs＝0で

あ る こ と に 注 意 す る と,vx(0),vy(0)は

時 間tに

対 す る初期 値 に

な っ て い る.   (1.18)か

ら

とな る こ とが わ か る が,こ れ はx-y平 る.磁 場B(x)が

面 内で の運 動 エネ ル ギー が保 存 す る こと を示 して い

粒 子 の運 動 平面 とつ ね に直交 して い て,磁 場 は粒 子 に対 して仕 事 をす る

こ とが な い こ と を考 えれ ば,こ の こ とは 当然 の こ とで あ る.  こ こでB(x)のxに

よる変 化 は小 さい と して,B(x)を

原 点 Ｏ の まわ りでTaylor展

開

して,は じめ の ２項 だ け残 そ う.

ただ し

で あ る.す

る と こ の と き,(1.16)は

と な る.こ

れ を(1.18)に

さ て,δ

代入すると

が小 さい と き

で ある こ と を利 用 す る と

と な る.こ

こ で ω0＝eB(0)/m,ω0'＝eB'(0)/mで

か ぎ り,(1.21)の で あ る.す

を積 分 して

右 辺 の 積 分 の な か のx(t)と

な わ ち,こ

の とき

あ る.B'(0)に して は,一

関 して １次 の 効 果 を 考 え る

様 磁 場 のと きの解 をつか えば 十分

を う る.こ

で あ る.こ

こ でx(0)＝-vy(0)/ω0と

の 結 果 を(1.21)に

と っ た.こ

れ を さ らに積 分 す ると

代 入 す る と,vy(t)はB'(0)の

１次 の 程 度 の 近 似 で 次 の よ う に

あ ら わ さ れ る.

  ω0'＝0で,磁

場 が 一 様 な とき には,(1.23)の

子 の運 動 は 半 径mv(0)/eB(0)の

右 辺 の第 １項 だ けが 残 り,こ の 項 に よ る粒

円 運動 で あ る.こ の 円運 動 の 中心 が,一 様 でな い 磁場 の な

か で どの よ うに移 動 して い くか とい う問題 を調 べ るた め に,(1.23)に

よ って あ らわ され る

運 動 の,円 運 動 に関 す る一 周期 あ た りの 平均 値

を求 め る.こ れ に(1.23)を 代入 して積 分 すれ ば,右 辺 の第 ２項 か らの寄 与 だ け が の こ り

と な る.同

様 の こ と をvx(t)に

で あ る.(1.25)と(1.26)の

つ い て もお こな う と

結 果 は,荷

電 粒 子 の 円運 動 の 中心 が,磁 場 の 方 向 (z方 向)と 磁 場 の強 さの 変 化 す る方 向 (x方 向)の 両 方 に 直角 の方 向(y方

向)

に移 動 して い くこ とを示 してい る.   こ の よ うにy軸

の方 向 に 移 動 して

い く理 由 は,図1.3を

みれば直観 的

に も理 解 す る こ と が で き る.xの

正

方 向 で磁 場 は大 き く,負 方 向 で磁 場 は 小 さ くな る.そ

の た め に,xの

正

の側 の 円運 動 の半 径 は小 さ く,xの 負 の側 の 円運 動 の半 径 は 大 き い.そ の た め に,荷

電粒 子 はy軸

の方 向に

移 動 す る こ と に な るの で あ る.

図1.3  一様 で な い磁 場 の な か の荷 電 粒 子 の運 動

§２  座 標変 換 と時 間反 転   (１)  座 標 系 の 回 転(1.6)と(1.7)の

基 本 方 程 式 系 は,あ

ン座 標 系 で か か れ て い る も の で あ る と し よ う.こ

る特 定 の カー テ シ ァ

の 同 じ物 理 的 体 系 を,原

わ り に 回 転 し た 別 の 新 し い カ ー テ シ ァ ン座 標 系 で 記 述 し た と き,方 よ うな 形 に な る で あ ろ うか.古 て,そ

い 座 標 系 を(x,y,z)と

程式 系 は どの

のz軸

を固定 し

の ま わ りに 角 度 θ だ け 回 転 した 新 し い 座

標 系 を(x',y',z')と

す る.こ

の と き,空

間 内 に固

定 した 点Pの,そ

れ ぞ れ の 座 標 値 を(x,y,z)お

よ び(x',y',z')と

す る.そ

れ らの数 値 の間 に は

な る 関 係 が あ る(図2.1参

照).便

を(x1,  x2,x3)と

の 変換 式 は

か く と,上

とか け る.も

っ と 一 般 に,z軸

と か け る.こ

こ でa11な

え て い る よ う に,新 数aijの

か き,そ

点のま

宜 上(x,y,z) 図2.1  座 標 系 の 回転

も動 か した と き に は

ど は 回 転 の 角 度 に よ り決 ま る 数 値 で あ り,と

くに い ま 考

旧両座 標 系 が と もに カ ーテ シ ァン 座 標 系 で あ る とき には 係

間 には

な る 関 係 が 要 求 され る.た

だ し,δijはKroneckerの

記 号 と い わ れ る も の で,

で あ る1).(2.1)を

ま と め て か く と,

  (2.1)の 点Pの

座 標 値 の 組(x1,x2,x3)は

が,ベ

ク トル 量 は む し ろ(2.1)の

る.空

間 内 の任 意 の 点Pに

変 換 性 を も つ も の と定 義 し た ほ うが 一 般 性 が あ

お け る 場 の 量 を,新

場 の 量 が ベ ク トル で あ る と い う こ と は,そ

と い う関 係 が あ る と い う こ とで あ る.こ れ と同 じ もの で,ま

たx'とxと

般 に 異 な っ て い る.ま

旧 両 座 標 系 で か い た と き,そ

こ で,aijは

座 標 変 換(2.1)に

お け るそ

両 座標 系 にお け るそ れ ぞれ の座

そ れ ぞ れ のx'とxの た,場

の

の各成 分 の間 に

は 同 一 点Pの

標 値 で あ る.E'(x',t)とE(x',t)の は,一

３次 元 空 間 に お け る ベ ク トル で あ る

関数 として の関 数形

の 量 φ が ３次 元 空 間 に お け る ス カ ラ ー 量 で

あ る とい うこ とは

が な りた つ と い う こ とで あ る.と 同 じで あ る と き,す １) 原 点 か らP点

こ ろ が(2.1)'よ

が 要求 され る.次 に,逆 変換 は(A)よ

す なわ ち,

に よ りあ た え られ る.そ こ で

が 要求 され る.

の関数 形 が ま った く

旧両座 標 系 で 変 わ らな い はず であ るか ら

り

これ を,上 と比 較す る と,

か ら,

旧 両 座 標 系 で,そ

なわ ち

ま で の距 離 は,新

で な くて は な ら な い.と

く に,新

り

で あ る と き,φ

は 不 変 量 で あ る と い う1).

  (1.6)と(1.7)の で あ る か,ま

ど の 方 程 式 も,そ

れ ら は み な 左 辺 と右 辺 の 両 方 と も ベ ク トル 量

た は ス カ ラ ー 量 で あ る.た

を 考 え て み る.両

と えば

辺 と も 明 ら か に ベ ク トル 量 で あ る.し

た が っ て,次

の関係 が

新 旧座 標 系 の あ い だ で な りた つ.

こ こ で 微 分 記 号 の'はx',y',z'で

の 微 分 を 意 味 す る.さ

っ て 各 成 分 と も ０ に な る か ら,新

座 標 系 で のFaradayの

と か か れ る.こ

っ た く同 じ形 で あ る.そ

れ は(2.5)と,ま

 １) ス カ ラ ー量 と不 変 量 との物 理 的 意 味 を 明 らか にす る ため, 次 の よ うな例 を 考 え よ う.２ 次 元の 平 面上 に図 の よ うな ２個 の テ ン トをは った と しよ う.こ の とき,物 理 量 と して テ ン トの 屋 根 の 高 さhを

考 え る.そ れ はx,yの

関 数 と して

とか くこ とが で き る.さ て原 点Oの まわ りに座 標 軸 を回 転 させ て,新 座 標 系(x',y')で 同 じ屋 根 の 高 さ を記 述 した とす る.図 (A)の 場 合 には,(x',y')の 関 数 と して は そ の 関数 形 は(a)と 異 な り

とな る.し は,新

か し,同 一点P(x,y)＝P(x',y')に

お け る屋 根 の 高 さ

旧座 標 系 に関 係 な くお な じで あ る か ら

で あ る.す な わ ち,図(A)の テ ン トの屋 根 の高 さは ス カ ラ ー 量 で あ る.と ころ が,図(B)の 場 合 に は,テ ン トの 屋 根 の 高 さは h軸 の まわ りに対 称 であ るか ら,新 座 標系 に お い て も

とな って 関 数形 は変 わ らな い.し

たが っ て,

と な り,こ の とき テ ン トの 屋 根 の高 さは 不 変 量 で あ る.

て,右

辺 は(2.5)に

よ

法則 も

の ほか の す べ ての 基本

法 則 に つ い て も,ま

っ た く 同 様 の こ と が い え る か ら,新

同 じ形 が 保 た れ る.こ を 変 え な い と き,そ う.(1.6)と(1.7)の

然 法 則 が あ る 種 の 座 標 変 換 の も と に,そ

の 法 則 は そ の 変 換 に 対 し て 共 変 的(covariant)で 方 程 式 系 は す べ て,座

系 が(1.6)や(1.7)の に 保 証 さ れ,か

の よ う に,自

旧 両 座 標 系 で 自然 法 則 は

標 回 転 に対 し て 共 変 的 で あ る.方

よ う に ベ ク トル 形 式 で か か れ て い る と,そ

つ 一 目 瞭 然 で あ る.そ

れ ゆ え に こ そ,電

の 場 合 ベ ク トル 形 式 で か か れ て い る の で あ っ て,何 も ち い られ る の で は な い.基

程式

の 共 変 性 は 自動 的

磁 気 学 の基本 法則 は多 く

の 理 由 も な くベ ク トル 解 析 が

本 法 則 が ３次 元 空 間 に お け る 座 標 回 転 に 対 し て 共 変

的 で あ る とい う こ と の 物 理 的 意 味 は,空

間 に 特 別 な 方 向 が な い,つ

ま り 自然 法 則

の 形 は ど の 座 標 系 を え らぶ か に よ らな い とい う こ と を 意 味 し て い る.す 旧 座 標 系 に い る観 測 者 も,新

座 標 系 に い る 観 測 者 も,ま

則 を も つ とい う こ と で あ り,こ え らん で,そ

の形

あ る とい

の こ と が あ れ ば こ そ,わ

な わ ち,

っ た く 同 一 の 形 の 自然 法 れ われ は勝 手 な 座標 系 を

の 座 標 系 で も の を考 え て も さ し つ か え が な い と い う保 証 が え られ る

の で あ る.   (２)  空 間 座 標 の 反 転(space

reflection)Newton力

程 式 の 形 は 右 手 カ ー テ シ ァ ン座 標 系 で か い て も,左 て も変 わ らな い(図2.2参

照).こ

の 反 転 と い い,Newtonの え る と,自 る １点Pに

の 右 手 系 か ら左 手 系 へ の 座 標 変 換 を,空

の こ と を示 す た め に,空

の

運 動 を右 手 系(x,y,z)で

の

記 述 し た とす る.こ

と き の 質 点 の 座 標 を(x(t),y(t),z(t))と れ ら を ま と め て,r(t)と

そ し て,そ

いか

間内のあ

質 点 が あ っ た と す る.こ

の 質 点 が 時 間 と と も に運 動 し て い る と き,そ

を左 手 系(x',y',z')で

動方

間座 標

運 動 方 程 式 は こ の 反 転 に 対 して 共 変 的 で あ る.い

然 法 則 に は 左 右 の 対 称 性 が あ る.こ 質 量mの

学 に お い て は,運

手 カー テ シ ァン座標 系 で かい

か こ う.こ

す る.こ の 同 じ運 動

も ま た 記 述 し た とす る.

の と き の 座 標 をr'(t)(=x'(t),y'(t),

ｚ'(t))とす る,す

る と,明

ら か に そ れ らの 成 分

の間 に

な る 関 係 が あ る1).も

図2.2  右 手 系 と左 手 系

ち ろ ん,r'(t)とr(t)と

はtの

関 数 と し て,一

般 にそ の関

  １)(２)で(2.8)の よ うに 太 文 字 で あ らわ した式 は,ベ ク トル 式 で あ る と い う よ り も,３ 個 の式 を 便 宜 上一 つ に ま とめ て表 わ した もの で あ る と解 釈 す べ きで あ る.

数 形 は ち が っ て い る.同 左 手 系 で か い た と きF'と

様 に,そ

の 質 点 に は た ら く力 を右 手 系 で か い た と きF,

し た ら,そ

の成 分 の間 には

な る関 係 が あ る.そ こで,右 手 系 にお け る運 動 方程 式

に(2.8)と(2.9)を

が な りた ち,運

代 入 す る と,

動 方 程 式 の 形 は 変 わ ら な い.す

反 転 の も とで 共 変 的 で あ る.こ

な わ ち,運

動 方 程式 は空 間 座 標 の

の 性 質 は 電 磁 気 学 に お い て も,な

りた っ て い る の

で あ ろ うか.   点 電 荷 に 作 用 す るLorentzの

力(1.5)か

ら,こ

れ を調 べ て み よ う.(2.8)か

ら

EとBが

３次 元 空 間 にお け るベ ク トル で あ る とい う こ とか ら,仮 に同 一 点 に お

け る場 の量 の右 手 系 と左 手 系 とで の三 つ の成 分 の値 の 間 に

の 関 係 が あ る と し て み よ う.こ

の と き,右

を 左 手 系 に 変 換 す る た め に,こ

の 方 程 式 のx成

で あ り,こ れ に(2.12)と

を代 入 す る と

手 系 で の運 動 方程 式

分 を と っ て 調 べ よ う.そ

れは

を う る.(2.14)と(2.15)と

を 比 較 す る と,右

Lorentzの

力 の 第 ２項 の 符 号 に 違 い が あ る.こ

で あ る.し

た が っ て,Lorentzの

は,空

手 系 と 左 手 系 とで は,右

力 の 作用 の も とにお け る点 電 荷 の 運 動 方程 式

間 座 標 反 転 の も と で 共 変 的 で な い と考 え る か も し れ な い.し

論 は(2.13)の

で よ い が,磁

仮 定 に も とづ く も の で,電

場 の 変 換 性 は(2,13)の

で あ た え ら れ る.(2.16)と(2.17)の

と な っ て,こ

れ は(2.14)と

トル を 軸 性 ベ ク トル(axial

場 で は な くて,軸   (2.16)と(2.17)の く同 形 のMaxwellの

の議

か わ りに

変 換 性 の も と で は,運

い い,(2.16)の

vector)と

ベ ク トル 積 は 軸 性 ベ ク トル で あ る.磁

か し,上

場 につ い て は

ま っ た く同 形 で あ る.(2.17)の vector)と

ク トル を 極 性 ベ ク トル(polar

辺 の

の結 論 は他 の成 分 につ い て も同様

い う.た

動 方 程 式 のx'成

分 は

型 の変 換 をす る ベ ク

よ うな 普 通 の 変 換 を す る ベ と え ば,二

つ の 極 性 ベ ク トル の

場 は ベ ク トル 場 で あ る が,普

通 の ベ ク トル

性 ベ ク トル 場 で あ る. 変 換 を用 い る と す ぐ に,左

手 系 で も右手 系 のそ れ とま った

方程 式

が な りた つ こ とを示せ る.こ の証 明 は読 者 に まか せ よ う.こ の よ うに して,電 磁 気学 のす べ て の基本 法 則 も また,空 間座 標 反 転 に対 して共変 的 で あ る こ とが わ か っ た.20世

紀 の中 ご ろ まで,す べ て の 自然 法則 は座 標反 転 に対 して共 変 的,つ

ま り左 右 対称 で あ る と信 じられ てい た.し か るに,原 子核 の β崩 壊 な どの きわ め て弱 い相 互 作用 に も とづ く現 象 を支 配 す る法則 で は,こ れ が破 れ て い る こ とが明

らか に な っ た.   (３)  時 間 反 転(time 行 させ た ら,ど

reversal)Newton力

させ る.す

図2.4  時 間 反 転

線 は粒 子 の 運 動 の 軌 道 を示 す.そ る と,同

な る 関 係 が あ る.旧 と き,(2.19)を

こ こ で,２ る.し

し 時 間 を逆 に 進

の よ うな こ とが お き る で あ ろ うか.

図2.3  時 間軸 の反 転

  図2.3で,曲

学 を 考 え よ う.も

こ で,時

映画 の逆 転

間 軸 の と りか た を逆 転

一 点 の 新 旧 両 時 間 軸 に お け る よみ の 間 に は

時 間 軸tを

用 い た と き の 粒 子 の 軌 道 がr(t)で

つ か っ て 新 時 間 軸t'で

回 目 の 等 号 は-t'の

た が っ て,そ

図2.5 

同 じ運 動 を 記 述 す る と

か わ りに,t'の

の 関 数 形r'(t')はr(t)の

を 図 示 し た も の が 図2.4で

あ る.こ

あ らわ され る

こ で,パ

関 数 と して か き か えた もので あ

そ れ とは ち が っ て い る.こ ラ メ ー タ ーt'をtと

のr'(t')

か き か え る と,

時 間反 転 に よ って粒 子 の軌 道 は

と 変 化 す る.こ

れ を 図 示 し た も の が,図2.5で

す る と わ か る よ う に,映   さ て,運

画 の 逆 転 を し た も の で あ る.

動方程式

に お い て,(2.19)と(2.20)を

あ る.こ

代入 す る と

の運 動 は,図2.3と

比較

が え ら れ る ． た だ し， こ の 場 合 力 Ｆ は 時 間 に は な ま に よ ら な い も の と す る ． (2.23)で

パ ラ メ ー タ ーt'をtに

おきかえると

(2.22)と(2.24)と

を 比 較 す る と,粒 子 の 軌 道r(t)がNewtonの

解 で あ る な ら ば,そ

の 運 動 の 逆 転r'(t)も

わ か っ た ． い い か え る と,力

運 動 方 程式 の

ま た 同 じ運 動 方 程 式 の 解 と な る こ と が

が な ま に 時 間 に よ ら な い と き に は,粒

子 の運 動 は 可

  こ の 性 質 は 電 磁 気 学 に お い て も 保 証 され て い る で あ ろ う か.そ

れ を調 べ る た

逆 的 で あ る.

め,ま

ず 点 電 荷 の 速 度 を考 え よ う.

で あ る か ら,映 画 を逆 転 させ る と速 度 は

と 変 化 し,そ

の 符 号 が 変 わ る.ゆ

え に,電

流密度は

と変 換 す る か ら,

そ こ で,Ampere-Maxwellの

法則

に 注 目 し よ う.こ れ か ら わ か る よ うに,電

場は

と変換 す べ きで あ る.し たが って逆 転 運 動 は

に よ り記 述 さ れ る.一

した が っ て,逆

方,磁

ま り

転 運動 は

に よ りあ た え られ る.ま

で あ る.上

場 は 電 流 密 度 と同 じ変 換 を す べ き で あ る.つ

た電 荷密 度 は

に え ら れ た 諸 量 の 変 換 性 か ら,逆 転 運 動 の み た す 方 程 式 系 が,Newton

力 学 で(2.24)を

み ち び い た と き と 同 じ手 続 き に よ りえ ら れ る.す

これ らの 方 程 式 を(1.6)と(1.7)と (1.6)と(1.7)の

比 較 す る と,ri(t),E(x,t)お

解 で あ る な ら ば,そ

よ びB(x,t)が

の 逆 転 運 動ri'(t), E'(x,t)お

も ま た そ の 解 に な っ て い る こ とが わ か る.す

な わ ち,電

な わ ち,

よ びB'(x,t)

磁 気 学 にお い て もす べ て

の 運 動 は 可 逆 的 で あ る.   時 間 反 転 に対 す る こ の 性 質 は,空

間 座 標 の 反 転 の 場 合 と ち が っ て,現

知 られ て い る す べ て の 基 本 的 自 然 法 則 に お い て な りた っ て い る.そ 力 学 的 現 象 に お い て あ ら わ れ る 不 可 逆 過 程 の 解 釈 の 問 題 は,い 論 が つ き な い.

§３

電 磁 ポ テ ン シ ァル と ゲ ー ジ変 換

Maxwellの

方 程式

在 までに

の た め に,熱

まに い た る ま で議

を な が め て み よ う.仮 し て,場 て,方

に 電 流 分 布iと

の 量 を 求 め よ う とす る と き,未

程 式 の 数 は ８個 で あ る.そ

は な い か とい う心 配 が あ る.そ (3.1)の

電 荷 分布

ρ とが あ た え ら れ て い る も の と

知 関 数 はEとBの

６個 で あ るの に対 し

の ため に条 件 式 が 多 す ぎて解 が存 在 しな い の で こ で こ の 心 配 は 無 用 で あ る こ と を示 し て お こ う.

発散 を とる と

第 １項 は 消 え るか ら

が え られ る.つ 時 刻t=0に

ま りdivB(x,t)は

時 間 的 に 一 定 で あ る.し

じめ の

おいて

が み た され て い る な らば,任 (3.3)と(3.4)に

が え ら れ る.つ した が っ て,第

意 の 時 刻 に お い て も み た され る.同

つ い て も い え て,(3.3)の

ま り,(3.4)の

条 件 は は じ め の 時 刻 で 要 求 し て お け ば 十 分 で あ る.

１章 §３ に お い て お こ な っ たCoulombの

６個 の 方 程 式 に よ っ て 決 定 され る.よ

っ て い る の で,そ (3.2)は

法 則 の 拡 張 解 釈 は,

は 電磁 場 に対 す る初 期条 件 とし

て 要 求 され る に す ぎ な い こ とか ら,６ 個 のEとBと

し,(3.1)∼(3.4)のMaxwell方

様 の こ と が,

発 散 を とっ て電荷 保 存則 を適用 す る と

じつ は 不 要 で あ っ た の で あ る.(3.2)と(3.4)と

(3.3)の

た が っ て,は

の 時 間 的 発 展 は(3.1)と

っ て 上 に の べ た 心 配 は な い.し

程 式 で はBとEと

か

の 各成 分 が複 雑 にか らみ あ

れ ら を も っ と見 や す い 形 に か き な お す こ と を考 え よ う.

と お く と,自 動 的 に み た さ た る.こ

こでA(x,ｔ)は

こ れ を ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァル(vector

微 分 可 能 な 任 意 関 数 で あ っ て,

potential)と

い う.こ

れ を(3.1)に

代入

する と

この方 程式 は

と お く と,自

動 的 に み た され る ． こ の

potential)と

い う.結

φ(x,t)を

局(3.1)と(3.2)の

方 程 式 は

とお く こ と に よ っ て 自動 的 に み た され る.そ φ(x,t)を 求 め れ ば,そ とB(x,t)が はVolt,ベ

れ を(3.7)の

ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ ル(scalar

こ で,電

磁 ポ テ ン シ ァルA(x,t),

よ うに 微 分 す る こ と に よ っ て,場

求 ま る こ とに な る.(3.7)か ク トル ・ポ テ ン シ ァルAの

ら,ス

の 量E(x,t)

カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァル φ の 単 位

単 位 はVolt・sec/m=Weber/m=Tesla・m

で あ る こ と を知 る.   (3.7)の 関 係 の 物 理 的 意 味 を 明 らか に す る た め に,(3.7)の Sの

ま わ りの 閉 曲線Cに

りに積 分 を す る.こ

と な る.こ

そ っ て,曲

線 上 の 任 意 の 点Pか

らPま

で,反

時 計 まわ

のとき

こ で ３番 目 の 等 号 で はStokesの

第 ２式 を利 用 し た.つ か な ら な い.こ

第 １式 の 任 意 の 曲 面

ま り,上

定 理 を,４ 番 目 の 等 号 で は(3.7)の

の 式 は 第 １章(4．4)のFaradayの

の と き注 目 す べ き こ と は,左

誘導法則 にほ

辺 の誘 導 電 場 の 発 生 原 因 は,(3.7)

の右 辺 の ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ ル φ で は な く,ベ

ク トル ・ポ テ ン シ ァ ルAで

あ

る こ と で あ る.こ

の と き,ス

カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ ル は 何 の 役 割 も果 た し て い な い

の で あ る.  次 に,Aと (3.4)を

φ と を 決 め る 方 程 式 を み ち び か ね ば な ら な い ． そ れ に は,(3.3)と

つ か う.(3.3)よ

こ れ に,(3.7)を

こ こ で,ベ

り,

代入す ると

ク トル 解 析 の 公 式

を利 用 して,整 理 す る と

ま た(3.4)か

ら

上 にえ られ た 結果 を ま とめ る と

  (3.8)と(3.9)方

程 式 系 は,(3.1)∼(3.4)のMaxwellの

ま っ た く同 等 で あ っ て,(3.9)の に代 入 す る こ と に よ っ て,場

２式 を 解 い てAと の 量EとBを

い ま 仮 に 任 意 の 微 分 可 能 な 関 数u(x,t)を

方 程 式 系 と内容 的 に φ を 求 め,そ

の 結 果 を(3.8)

求 め る こ とが で き る.と もちい て

こ ろ が,

に よ っ て,A'と

φ'を

つ くる と

また

と な る か ら,場 と,電

の 量BとEと

磁 ポ テ ン シ ァルAと

を １種 の 変 換 と考 え て,こ ま り(3.10)の

し て は ま っ た く同 じ も の が え られ る.い

いか える

φ に は 任 意 関 数uの

不 定 性 が あ る.そ

こ で(3.10)

れ を ゲ ー ジ 変 換(gauge 

transformation)と

い う.つ

ゲ ー ジ 変 換 に 対 し て,場

の 量BとEと

(3.9)の 方 程 式 も ゲ ー ジ変 換 に 対 し て 不 変 で あ る.す

は 不 変 で あ る.ま な わ ち,容

た,

易 にわ か るよ う

に

また

と な る.   (3・9)を み る と,そ れ は ４個 の 未 知 関 数Aと 式 で あ っ て,Aと

φ に 対 す る ４個 の 連 立 微 分 方 程

φ とは 複 雑 に か ら ま りあ っ て い る ． そ こで,上

と φ の不 定 性 を あ る 程 度 制 限 す る こ と に よ っ て,４

に の べ たA

個 の 未 知 関 数 に関 す る連 立

方 程 式 を ４個 の 独 立 な 方 程 式 系 に か き か え る こ と を 考 え る.仮

に(3.9)を

と し て,そ

み た す一 般 の 解 は

(3,10)か

の 決 ま っ た 解 をA0,φ0と ら

し よ う.す

る と,(3.9)を

解 いた

と か け る.こ

こでuは

任 意 の 関 数 で あ る か ら,と

くに 次 の 方 程 式 の 解xを

もっ

辺 は 決 ま っ た 関 数 で あ る か ら,(3.12)を

解 く こ と に よ っ てxを

求め

て くる.

こ こ で,右

る こ と が で き る.こ

の と き,そ

の 解xは

一 義 的 に は 決 ま ら な い が,と

れ ら の 解 の うち 一 つ を決 め た と し て,(3.11)のuの

に よ っ て,ALと

φLな

る 量 を つ く る.こ

解 に な っ て い る.(3.13)で

(3.14)の

のALと

定 義 さ れ たALと

な る 関係 を み た し て い る.こ

か わ りにxを

φLと φLと

ち ろ ん(3.9)の

は

こ で 最 後 の 等 号 で,(3.12)のxの

条 件 式 の お か げ で,ALと

は,も

に か くそ

も ちい て

性 質 を 利 用 し た.

φLの み た す 方 程 式(3.9)は,次

の よ うに か

き か え られ る.

こ れ を み る と,(3.9)と

ち が っ てALと

φLと の み た す 方 程 式 は 独 立 の ４個 の 波

動 方 程 式 と な っ た1).

  １)ALの ３個 の方 程 式 が 独 立 な 形 に な る の は カ ー テ シ ァ ン座 標 系 で の話 で,極 座 標 系 な どで は そ う は な らな い.

こ の よ う に し て わ れ わ れ の え た 方 程 式 系 を ま とめ る と,次

これ らの 方 程 式 系 はMaxwellの 場 の 量EとBと

方 程 式 と内 容 的 に ま っ た く同 等 で あ る.そ

を 求 め る に は,ま

て,え

ら れ た 解 の 組(AL,φL)の

す.こ

の(3.17)の

無 事 に(3.17)の

条 件 を み た す 組 だ け を と りだ

件 と い い,こ

試 験 に パ ス し た 解 の 組AL,φLが の 量EとBと

よ び(3.17)をMaxwell方

こ で,

４個 の 独 立 な 波 動 方 程 式 を 解 い

の条 件 をみ たす 電磁 ポテ

ー ジ に お け る 電 磁 ポ テ ン シ ァル とい う.さ

代 入 す る こ と に よ っ て,場 (3.16)お

ず(3.16)の

うち で(3.17)の

条 件 式 をLorentz条

ン シ ァルAL,φLをLorentzゲ

の よ う に な る.

決 ま っ た ら,そ

て,

れ を(3.15)に

が 決 ま る と い う 寸 法 で あ る。(3.15), 程 式,あ

る い は(3.8),(3.9)と

比 較 す るな

ら ば,わ

れ わ れ の 解 くべ き 問 題 が き わ め て 見通 しの よ い 形 に な っ て い る こ と が わ

か る.ま

た と く に,ALと

φLに つ い て 完 全 に 対 称 的 に な っ て い る た め,理

論的

に も 実 際 的 に も き わ め て 有 効 で あ る.   (3.12)の

解 は一般 に

とか け る.こ

こ でx0は

の 一 般 解 で あ る.こ 何 で も よ い.し

斉 次方 程式

こ で,x0は(3.18)の

た が っ て,xと

め に(3.15),(3.16),(3.17)の

波 動 方程 式 をみ たす もの で ある な らば

し て は そ れ だ け の 不 定 性 が 残 さ れ て い る.そ 基 本 方 程 式 系 は,さ

らに

のた

な る制 限 さ れ た ゲ ー ジ 変 換 に 対 し て 不 変 で あ る こ と が,容

易 に た し か め られ る.

こ の証 明 は 読 者 み ず か ら こ こ ろ み られ た い.

  §４  エ ネ ル ギ ー保 存 則   点 電 荷 系 と電 磁 場 とが 共 存 し て い る 複 雑 な物 理 的 体 系(1.6),(1.7)に

お い て,

全 系 の エ ネ ル ギ ー が 保 存 す る こ と が,そ の解 を 求 め な く と も わ か る こ と を 示 そ う.   点 電 荷 の 運 動 方 程 式(1.6)か

ら

こ こで 右 辺 の電 磁 場EとBは,i番

目の 点 電 荷 の つ くる 自 己 場 を もふ く む 全 電 磁

場 で あ り,し

点 電 荷 の つ く る(1.7)の

た が っ て こ れ ら は,全

の も の で あ る こ と に 注 目 し よ う.そ を か け て,す

こ で,こ

左 辺 の電磁 場 と同一

れ に 点 電 荷 の 速 度vi(t)=dri(t)/dt

べ て の 点 電 荷 に つ い て 和 を と る と,

右 辺 の第 ２項 は ベ ク トル 積 の性 質 か ら消 えるが,そ の物 理 的意 味 は 磁場 に よ る力 の方 向 が運 動 の方 向 につ ね に直交 して い るた め に仕 事 が な され な い とい うこ とで あ る.し た が って,

こ れ に(1.7)の

い ま,こ

第 ２ 式 を代 入 す る と

こ で 次 の 量 を 考 え て み る.

これ に,(1.7)の

第 １式(つ

ま りFaradayの

法 則)を 代 入 す る と

ゆ え に,

これ を(4.1)に

こ こ で,ベ

代入す ると

ク トル 解 析 の 公 式

を利 用 す る と

と な る.そ

こで

と お く と,上 の 式 は

と か か れ る.こ

こ でSは

領 域Vの

表 面 で あ る．

  (4.3)の 物 理 的 意 味 を 考 え て み よ う.左

辺 の 括 弧 の な か の 第 １項 は 明 らか に 全

点 電 荷 系 の 運 動 の エ ネ ル ギ ー を あ ら わ し て い る.ま ル ギ ー と解 釈 さ れ る.近

接 作 用 の 立 場 で は,電

た,W(t)は

電磁 場 の全 エ ネ

荷 の存 在 に よっ て真 空 中 に一 種 の

ゆ が み が 誘 起 され る と 考 え る の で あ る か ら,そ に エ ネ ル ギ ー が た くわ え られ る こ と に な る.す

の ゆが み に ともな っ てそ の 場 所 な わ ち,電

空 中 に エ ネ ル ギ ー が た くわ え られ る.(4.2)のw(x,t)は る 電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー 密 度 を あ らわ して い る.し くCoulomb力

の エ ネ ル ギ ー も ま た,粒

れ る の で な く,場 (4.3)は,点

磁 場 に ともな って 真 真 空 中 の 各 点 にお け

た が っ て,点

電荷間にはた ら

子 自 身 の もつ エ ネ ル ギ ー と し て 考 え ら

の エ ネ ル ギ ー と し てW(t)の

な か に ふ くま れ て い る.す

る と,

電 荷 系 と電 磁 場 と か ら な る 体 系 の 全 エ ネ ル ギ ー の 単 位 時 間 あ た りの

減 少 が,考

え て い る領 域Vの

表 面Sを

に 等 し い と い う こ と を示 し て い る.こ わ れ る もの で,単 た え て い る.も

と お っ て 系 外 に 出 て い くエ ネ ル ギ ー

の ベ ク トルSはPoyntingベ

位 時 間 に 単 位 面 積 を と お っ て 体 系 外 に で て い くエ ネ ル ギ ー を あ し(4.4)が

０ で あ る と き に は,(4.3)か

ら点 電 荷 と電 磁 場 との 共 存

系 の全 エ ネ ル ギ ー は 時 間 的 に 一 定 で あ る こ と が わ か る.こ のLorentz力

ク トル と い

に 自 己 力 を ふ く め て お か な い と,エ

の と き,(1.6)の

ネ ル ギ ー 保 存 則(4.3)を

右辺 み ちび

く こ と は で き な い こ と に注 目 し よ う.   ま た,こ っ て,エ ば,真

こ で 注 意 す べ き こ と は,単

にSな

る ベ ク トル が 形 成 さ れ る か ら と い

ネ ル ギ ー の 流 れ が あ る と い う わ け で は な い と い う こ と で あ る.た

空 中 に 静 電 場 と静 磁 場 と が 重 ね 合 わ さ っ て存 在 す る と き

は ０で は な い.し

か し

に お い て,H(x)とE(x)が

で あ り,ま

た 真 空 中 で はi=0で

静 場 で あ る こ と を 考 え る と,

が え られ る.し

た が っ て,

あ る か ら,(3.1)と(3.3)か

ら

とえ

とな っ て,エ

ネ ル ギ ー の 流 れ は な い.

[例題]古 典 電 子 半 径  電子 を半 径a,電 き，電 子 の まわ りに は

荷-eの

古 典的 小 帯 電 体 球 とみ な す.こ

のと

で あ た え られ る球 対 称 の静 電 場 が生 成 され て い る.こ の静 電 場 の エ ネル ギ ー を求 め よ う. (4.2)か ら,電 場 の エ ネル ギー は次 の よ うに して 求 め られ る.

つ ま り,電 子 に はつ ね に これ だ けの エ ネル ギ ー が ま とわ りつ い てい る.あ べ る相 対 論 に よ る と,静 止 質量 がmの

とで くわ し くの

粒 子 には

だ け のエ ネ ル ギ ーが 内蔵 され て い る.そ こで こ の静 止 質 量 の原 因 は(4.6)の 静 電 エ ネル ギ ー に あ る と考 え る と

な る関 係 が え られ る.こ れ か ら質 量mの

で あ た え られ る こ とに な る.ま

電 子 の半 径aは

えの1/2の 因子 をの ぞ い た も のは,古

典 的 電子 の大 き さの

目安 をあ た え る と考 え る こ とが で きる ので

を古 典 電 子半 径 とい う.こ れ に電 子 の質 量,電 荷 の数 値 を代 入 す る と

で あ る こ とが わか る.   電 子 の 半径 が ０で あ る,す なわ ち 点電 荷 で あ る ときに は,(4.6)の

静 電場 の エ ネ ルギ ー は

無 限大 に な り,し た が っ て(4.8)よ り電 子 の 静止 質 量 もま た無 限 大 にな って しま う.こ の こ とを,点 電 子 の 自 己 エネ ル ギ ーは 無 限大 で あ る とい って い る.量

子 力 学 に お い て は,電 子

は点 電 荷 で あ る とみ な され て い るの で,古 典 論 にお け る無 限大 の 自 己 エ ネル ギ ー の 困難 は 量

子 論 で もそ の ま まひ きつ がれ てい る.し か し,電 磁 場 の 自由度 が 無 限 大 で あ る こ とに も と づ く,量 子論 特 有 の 自己 エ ネル ギー の発 散 も あ り,問 題 は古 典 論 に お け る困難 よ りさ らに 複 雑 で あ る.古 典 論 に お い て,古 典 電 子 半 径a0を

考 え た よ うに,量 子 論 に お い て もそ の

よ うな長 さの 次元 を もつ 自然定 数 を理論 の な か に もち こ む こ とに よ り,こ の 困難 を克 服 し よ う とい う試 みは 多 くの 人 に よ って 考 え られ た が,現 在 まで の と ころ す べ て 失敗 した とい っ て もよい で あ ろ う.そ の失 敗 の原 因 と しては い ろい ろ考 え られ るが,電

子 に大 き さ を もた

せ た とき特殊 相 対 論 との矛 盾 を さ け る こ とがで きな い のが 最大 の障 害 に な っ て い る。 一 方, この よ うな発 散 の困 難 は,実 い る ので,上

際 に観 測 され る物 理 量 に は あ らわ れ て こ ない こ とが 知 られ て

に のべ た よ うな試 み 自体 が物 理 的 に無 意 味 で あ る とい う意 見 もあ る． な お,

電子 の 自 己エ ネル ギ ー の問 題 につ い て は,第

９章 §５ で よ り くわ し く考 察 す る.

§５  運 動 量 保 存 則   (1.6)と(1.7)で

記 述 さ れ る物 理 的 体 系 に お い て,エ

全 系 の 運 動 量 も ま た 保 存 さ れ る こ と を 示 そ う.(1.6)の

ネル ギ ー保 存 則 と と もに 運 動 方 程 式 に お い て,全

点電 荷 につ い て和 を とる と

こ れ にMaxwellの

方 程 式(1.7)を

代 入 し て,右

辺 の 電 荷 と電 流 と を 消 去 す る.

す る と,

が え られ る.こ

こ でGmは

で あ る． こ こ で

を(5.1)に

代入する と

全 点 電 荷 系 の運 動 量 で,

が え ら れ る.こ

こ でSは

前 節 で 導 入 され たPoyntingベ

  (5.3)の 右 辺 の 物 理 的 意 味 を は っ き り さ せ る た め に,各

ク トル で あ る. 成 分 が 次 の表 で あた え

ら れ る 量 を 考 え る.

ま と め て か く と,

同 様 に し て磁 場 に対 して も

な る 量 を 考 え る.そ

して

と お く.(5.5),(5.6)お

よ び(5.7)で

定 義 さ れ た 量 は,ベ

ク トル 量EとBと

が,

空 間座 標 回 転 に よ って

な る 変 換 を す る と き,そ

な る 変 換 を す る.こ う.そ

し て,こ

れ に と もな っ て

の よ うな 変 換 を す る物 理 量 を ２階 の テ ン ソ ル(tensor)と

れ は あ と で の べ るTｉjの

ソ ル と名 づ け られ て い る.こ

x-成 分 を と っ て 考 え よ う.

こ で,次

物 理 的 意 味 か らMaxwellの

の ベ ク トルdiv  Tを

調 べ て み る.

い

応力 テ ン

した が って

同 様 に して

こ こ で,divB=0を   (5.3)の

つ か っ た.

右 辺 と(5.7),(5.9),(5.10)と

比 較 す る と,(5.3)は

次 の よ うに か きか

え ら れ る.

こ こで

で あ る.Gf(t)は

電 磁 場 の も つ 運 動 量 で あ る と解

釈 され る.   (5.11)の 閉 曲 面Sに

意 味 を 考 え よ う。考 え て い る 全 体 系 が か こ ま れ て い る と し た と き,(5.11)

は そ の 全 体 系 の 運 動 量(Gm+Gf)の

増 加 の割 合 が,

閉 曲 面Sに

対 し て 外 部 か らか か る力

に 等 し い,と

い う こ と を意 味 し て い る.し

て ベ ク トルT・nは

真 空 中 の 閉 曲 面Sの

たがっ 単位面

図5.1Maxwellの

応 力

積 に外 部 か らか か る電磁 的 な応 力 に等 しい(図5.1).こ

れ は,ま さに近 接 作 用 の

理 論 に お け る ‘真 空 の ゆ がみ'と い う概 念 を文 字 通 りに定式 化 した もの で あ る. 外 部 空 間 か らの 電磁 的 な応 力 が ０で あ る とき,い い か え る と全 体 系 が 閉 じて い る とき には,

で あ っ て,(5.11)よ

り全 体 系 の 運 動 量 は 保 存 す る .

[例題 １]Maxwellの が あ る と きに は,静

静 電 応 力  電 荷 が 静 止 して い て,そ の まわ りの空 間 に 静電 場 だ け 電応 力 が 作 用 して い る.こ

の 静電 応 力 の性 質 を も う少 し くわ し く調 べ

よ う.   一般 に,空 間 内 の 閉 曲面S上 る 静電応 力 の各 成 分 は

の微 小 面 〓

で あ た え られ る.こ こでn=(nx,ny,nz)は の 〓

に 作用 す

閉 曲面S上

に外 向 きに た て た単 位 法線 ベ ク トル で あ る .

  さて,閉 曲 面Sと して,図5.2に 示 す よ うな電 力 線 に よ っ てか こまれ た電 力 管 の一 部 を考 え,こ の 電力 管 の 各 部 分 に作 用 して い る応 力 を調 べ る.い ま微 小 面 〓 して,電 場Eに

直 交 す る等 電 位 面 上 の微 小 面 〓

る.こ の とき電 場Eはn1と Eの 大 き さをEと

と

をと

平 行 で あ る.し た が って,

図5.2  電 力 管 に作 用 す る Maxwellの 静電応力

か くと

と あ ら わ す こ とが で き る.こ

の と きMaxwellの

これ ら を(5.13)に 代入 す る と,微 小面 〓

応 力 テ ン ソ ルTijeは

に 作用 す る力 のx成

分F

1xは

とな る.他 の成 分 も同 様 に して 計算 す る と

とな り,等 電 位 面 に は外 向 きの力,つ

ま り単位 面積 あた り ε0E2/2の大 き さの 張 力 が作 用 し

て い る.い い か え る と,等 電位 面 には ち ょ うど ゴムひ もを引 っ ぱ った とき に ゴ ムの断 面 に 作用 す る力 と同種 の力 が はた らき,隣 接 す る 空 間 の各部 分 は おた が い に 引 っぱ り合 っ てい る.   次 に,電 力 管 の側 面 に作 用 す る力 を調 べ よ う.側 面上 の微 小 面 を 〓 位 法線 ベ ク トル をn2と

で あ る.一

方,(5.13)よ

す る と,こ の と きはEとn2と

と し,そ の上 の単

は直 交 してい る.し たが って

り

で あ る.(5.16)にExを

か けると

とな るか ら,こ れ を代 入す る と

と な る.し

た が っ て一般 に

で あ る.(5.17)か

ら 電 力 管 の 側 面 に は た ら く力 は,n2と

の 大 き さ は 前 と 同 じで,単 て い て,隣

位 面 積 あ た り ε0E2/2で

反 対 方 向 つ ま り 内 向 き で あ り,そ

あ る.す

な わ ち,側 面 に は 圧 力 が 作 用 し

接 す る 電 力 管 は お た が い に 押 し あ っ て い る こ と が わ か る.

  [例 題 ２]Coulombの 法 則   こ こ で は さ らに,静 電 場 の 場 合 のMaxwellの 応 力 テ ンソ ル を も ち い て,二 つ の 点 電 荷e1とe2と の 間 に は た ら くCoulomb力 を み ち び く.い まe2 のe1に

お よ ぼ す 力 を 求 め よ う.e1に

る 応 力 に よ っ て あ ら わ さ れ る(図5.3参 e2と を 結 ぶx軸 ぼ う.こ ら よ い.そ

照).簡

か こ む 任 意 の 閉 曲 面Sに

単 の た め,Sと

の 中 心 に 直 交 す る 平 面y―zとx＜0のe1を

の と き,無 こで

作 用 す る 力 はe1を

限 遠 方 の 応 力 は ０ に な る か ら,y―z面

し て 図5.4の

作用す

よ うに,e1と

か こむ 無 限 大 の 半球 面 を え ら に 作 用 す る応 力 だ け を 考 え た

図5.3  e2がS面

こ こでnはx方

に作 用 す る応 力

図5.4 

Coulombの

法則

向 の成 分 のみ を もつ こ とに注 意 す る と

しか る に

こ こ で 記 号 は 図5.4を と に 注 目 し よ う.こ

した が って

参 照 さ れ た い.こ れよ り

の と き,静

電 場 は 自 己 力 を ふ くむ 全 電 場 で あ る こ

これ は,正 確 にCoulombの

力 と一致 す る.た だ しe1e2＞0の とき に は斥 力 で あ り,e1e2＜0

の と きに は 引力 で あ る.

[問題]   (１)紫

外線 の作 用 の も とに,光 電子 が きわ め て 小 さな初 速 度 で,距 離dの

平 行 板電 極

の 陰極 か らそ れ に直 角 に とび だ して い る.い ま,電 極 間 に φ な る電 位 差 を,ま た電 極板 に 平行 な方 向 に磁 束 密 度Bな

る磁 場 を加 え る とき,

の とき に は,光 電子 は陽 極板 に達 しな い こ とを示 せ.   (２)一

様 な 磁場 のな か に,磁 場 の 方 向 と角 度 α,初速v0で

入 射 した電 子 は,そ の磁 場

の方 向 を軸 とす る ラセ ンの 上 を運 動 す る こ とを示 し,そ の １周 の周 期 を求 め よ.   (３)前

問 で,あ

る １点 Ｏ に同 一初 速vを

ん に小 さい ときは,そ

もっ て入 射 した 電 子 は,角 度 α が じ ゅ うぶ

の方 向 の い か んに か か わ らず Ｏ点 を通 り,磁 場 と平 行 な軸 上 の １点

にふ た た び集 ま る こ とを示 し,Ｏ 点 か らそ の 点 ま で の距 離 を求 め よ.   (４)電

荷e,質

量mの

とに,原 点 か らx―y平 ね にx軸   (５)rな

粒 子 が 一様 な電 場(0,E,0)と 面 内に 放 出 され る とき,そ

作用 の も

上 の あ る点 に集 束す る こ とを証 明 し,そ の点 の座 標 を求 め よ. る位 置 に あ る質 量mの

粒 子 が,中 心 力 μrと 一 様 な 磁場Bに

の作 用 の も とに あ る とす る.こ の とき,も 粒子 は平 面 内 で運 動 す る こ とを示 せ.ま の ま わ りに 円運 動 をす る こ とを示 せ.   (６)半

一 様 な磁 場(0,0,B)の

の 初速 度 が何 で あ って もその 粒 子 はつ

径a,電

荷eの

しは じめ にrとvと

がBに

よ る力e(v×B)

直 角 で あ るな らば,

た,粒 子 は ２種 の一 定 角速 度 の どち らかで,原

点

小 帯電 体粒 子 が 光速 度 に くらべ て 小 さい 速 度 で運 動 して い る と

き,そ れ の つ くる磁 場 の エ ネル ギー は速 度 の 自乗 に比 例 し,そ の 運 動 の エ ネル ギ ーは

で あ るこ とを 示 せ.右 辺 の 括弧 のな か の第 ２項 を電 磁 質 量 とい う. (７)波

とお く.い

動 方 程式

まa(x)と

にお い て ,

〓(x)と

が 空 間 的 に ゆ っ く り変 わ り,ま

た ω が 非 常 に 大 き い と き,

が な りた つ こ とを示 せ.こ の方 程 式 を幾 何 光 学 の方 程 式 とい う.n(x)は

屈折 率 で あ る.

  (8)Maxwellの 理 論 にお い て は,eお よびe'な る電 荷 の間 に は た ら く力 は そ れ らの間 の遠 隔作 用 に よ るも の と 解 釈 す る の で はな く,空 間 の なか にあ る種 の ‘ゆ がみ ’を お こ して,そ れ を 通 じて順 次 に作 用 が つた わ り,た が い に 作 用 を お よぼ す と考 え て い る.そ こで,空 間 を右 図 の よ う にわ け た と き,e'がeに

作 用 す る力 はe'が

面Sに

作用

す る力 と して あ らわ され るは ず で あ る.こ の力 がMaxwell の応 力 テ ン ソル と して表 わ され る こ とを示 せ.

第 ３ 章   静 止 物 体 中 のMaxwellの

方 程式

  §１ 静止 物 体 中 の電 磁 場   第 １章 と第 ２章 にお い て,真 空 中 に 点電 荷 系 が あ る とき の電 磁場 の基 本 法則 を み ちび き,そ の一 般 的 性 質 を調 べ て きた.こ の章 では,物 質 中 に お け る電 磁 場 を 記述 す る法 則 を調 べ よ う.空 間 中 に誘電 体 があ って,そ の なか に金 属導 体 を挿 入 し,そ れ に電 荷 あ る いは 電流 を あ た えた と しよ う.こ の場 合,そ れ らの物 体 は観 測 者 に対 して静止 してい る もの とす る.物 体 が観 測 者 に対 して運動 して い る とき に つい て は第10章 で考 え る.微 視 的 な 観 点 か らこ の体系 を考 える な らば,こ の 体 系 もま た多 数 の原 子 核 と電 子 とか らな る体 系 で あ るか ら,原 理 的 に は第 ２章 の (1.6)と(1.7)の

基本 方 程 式 系 に よっ て記述 され るはず であ る.し

か し,原 理 的

には そ うであ って も,誘 電体 や金 属導 体 の巨 視 的性 質 を(1.6)と(1.7)と

か らみ

ち びい て,こ の体 系 の電 磁 的 性 質 を調 べ る こ とは きわ め て困難 な仕 事 で あ る.そ こで,こ の体 系 の巨 視 的 な電 磁 的 性質 を論 じよ うとす る とき,電 子 や原 子 核 の 集 合 体 が誘 電 体 や金 属 導体 と して存 在 す る とい う物 理 的 状況 を(1.6)と(1.7)の

基

本 方 程式 系 に 反 映 させ て,そ れ らの物 体 の物 理的 性 質 を現 象論 的 な物 質 定 数 に お きか える こ とに よ っ て,上 に のべ た複 雑 な問題 を避 け るほ うが有 用 な結 論 をみ ち び くの に役 立 つ で あ ろ う.   金 属導 体 と誘電 体 とか らな る体 系 に お い て,そ れ らを構 成 す る原 子 核 と電 子 の 集 団 の性 質 に つ い て考 えてみ よ う.原 子 核 は誘 電 体 と金 属 の な か で,規 則 的 な格 子 をつ くっ て結 晶 を形成 して い る.そ して,そ れ らは それ ぞ れ の平 衡 点 の まわ り に熱 的振 動 を して い る.誘 電 体 内 に あ る電 子 は各 原 子核 に束縛 され て,せ まい 空 間 のな か に閉 じこめ られ て い る.金 属 導 体 の な か では,一 部 の電 子 は金 属 中 を動 きまわ っ てお り,他の電 子 は 原子 核 に 束縛 され て い る.こ の よ うな物 理 的事 実 は, 本 来 な ら第 ２章(1.6)と(1.7)の であ るが,こ

基 本 方 程式 に も とづ いて み ちび き だ され るべ き

こでは そ うはせ ず に この事 実 を(1.6)と(1.7)の

基 本 方 程式 の な か

に反 映 させ る こ とを考 え る.こ れ は まず(1.7)の 右 辺 の電 流 分布 と電 荷 分 布 に 反

映 し て く る.   巨 視 的 な 意 味 で,わ

れ わ れ が 電 荷 や 電 流 と し て 考 え て い る も の は,金

に お け る 自 由 に 動 け る 電 子 の 空 間 的 分 布 と そ の 運 動 で あ る.こ 味 で の 微 小 領 域 に お け る 平 均 値 を ρe(x,t),ie(x,  t)と か き,こ 荷(true

charge),伝

導 電 流(conduction

current)と

あ る い は 分 子 内 の 電 子 は 斥 け られ,原 形 成 す る.こ

の 電 気 双 極 子(electric

れ らをそ れ ぞれ 真 電

い う.さ

る 電 場 は 物 体 内 の 原 子 あ る い は 分 子 を 分 極(polarization)さ

て,真

電荷 の つ く

せ る.つ

ま り,原 子

子 核 は 引 き よ せ られ て,電 dipole)は

属導 体 内

れ らの巨視 的 な意

気 的 な双 極 子 を

さ ら に 電 場 を 誘 起 し て,そ

じ め の 電 場 と重 な っ て 他 の 原 子 分 子 を分 極 さ せ る.こ

れがは

の よ うに し て 形 成 され た 電

気 双 極 子 の 空 間 的 分 布 の 微 小 領 域 で の 平 均 値 は 一 種 の 電 荷 分 布 と み な さ れ る.そ れ を ρd(x,t)と か き,こ

れ を 分 極 電 荷 と い う.こ

わ りに ま と わ りつ い て い る か ら,自 て い る.し

た が っ て,伝

う も の が 発 生 す る.そ   次 に,物

の分 極 電荷 は つ ねに真 電 荷 の ま

由 電 子 つ ま り真 電 荷 の 運 動 に と も な っ て 動 い

導 電 流 に と も な う分 極 電 流(polarization

の 微 小 領 域 で の 平 均 値 をid(x,t)と

current)と

い

か く こ と に し よ う.

体 を つ く っ て い る 原 子 あ る い は 分 子 が 磁 気 モ ー メ ン トを も っ て い る

場 合 を 考 え な く て は な ら な い.そ

の 磁 気 モ ー メ ン トの 原 因 と し て は,原

子核 と

電 子 の も つ 固 有 磁 気 モ ー メ ン ト と電 子 の 核 の ま わ りの 回 転 運 動 に も と づ く磁 気 モ ー メ ン トが 考 え ら れ る.普

通 の 物 質 の 場 合,外

部 磁 場 が な い と き に は,こ

ら は 原 子 の 熱 振 動 の た め に勝 手 な 方 向 を 向 い て い て,そ い る.電

流 分 布ieが

あ る と き,そ

れ を磁 化 の 強 さ と い う.こ

と み な す こ と が で き る.な

ぜ な ら,磁

空 中 に 磁 場 を 発 生 さ せ る が,磁 が で き る は ず で あ る か ら.そ

均 的 磁 気 モ ー メ ン トは ０ で

の 磁 化 の 強 さ も ま た 一 種 の 電 流im(x,t) 気 モ ー メ ン トが ０で な け れ ば,そ

して こ の 電 流 を 磁 化 電 流 と い う.真 電 荷 ρeに よ っ 般 に ρeと 反 対 の 符 号 を も ち,真

減 少 さ せ る は た ら き をす る の に 対 し て,こ

電 荷 の作 用 を

の 磁 化 電 流 は 伝 導 電 流ieの

の 作 用 を 増 大 さ せ る と き も あ る.伝

用 を 減 少 さ せ る よ う な 磁 化 電 流 の 生 ず る物 体 を 反 磁 性 体,増 磁 性 体 と い い,と

れ は真

場 の 存 在 は そ の 原 因 を電 流 の 存 在 に 帰 す る こ と

て 誘 起 さ れ る 分 極 電 荷 ρdが,一

を減 少 さ せ る と き も あ る が,そ

の平 均 値 は ０ に な っ て

れ に よ り誘 起 さ れ た 磁 場 は 分 子 や 原 子 の 磁 気

モ ー メ ン トの 方 向 を そ ろ え る 可 能 性 が あ る か ら,平 な くな る.こ

れ

はた らき 導 電 流 の作

大 させ る物 体 を常

く に そ の 作 用 の 著 し い 物 体 が 強 磁 性 体 で あ る.ま

た,伝

導電

流 が な くな っ た 後 に も磁 化 電 流 が 残 存 す る 物 体 が 永 久 磁 石 で あ る.   以 上 の 考 察 で 明 ら か に な っ た よ う に,第

２章 の(1.7)の

電 荷 お よび 電 流 分 布

に,体 系 の物 理 的 状 況 を反 映 させ る こ とに よ って,電 荷 分 布 を

電流分布 を

と分 類 す る こ とが で き た.そ と電 流idとimと て,物

を,物

こ で,真 電 荷 と伝 導 電 流 に よ っ て 誘 起 され た 電 荷 ρd

質 定 数 を ふ くん だ 場 の 量 と し て か き な お す こ と に よ っ

体 の 存 在 を 電 磁 場 の 性 質 が 変 化 し た もの と し て 解 釈 しな お す.上

に のべ た

プ ロ グ ラ ム を次 に 実 行 し よ う.   ま ず 真 電 荷 ρeの 存 在 に よ っ て,物 第 ２章 の(3.7)に

と か け る.こ

お い て,と

の φ(x)を 静 電 ポ テ ン シ ァル と い う.点 電 荷eに

中 の 静 電 場 は 第 １章(3.2)に

で あ る.こ る.す

体 内 に 誘 起 さ れ る分 極 電 荷 ρdを 求 め よ う.

くに場 が 時間 的 に 変 わ らな い と きに は

こ でRは

る と,無

点 電 荷 の 位 置 か ら,考

限 遠 方 で0に

に よ っ て あ た え ら れ る.こ

え て い る 点xに

れ が 正 しい こ とは,(1.3)を(1.1)に

電 気 双 極 子 がx点

ル を求 め よ う.ポ

テ ンシ ァル は ス カ ラー 量 で あ るか ら

らQ'に

代 入 してみ れ ば

に つ くる静 電 ポ テ ンシ ァ

向 か う ベ ク トルsを

一 定 に 保 ち な が ら,s→0の

向 か うベ ク トル で あ

な る 静 電 ポ テ ン シ ァル は

わ か る.図1.1の

こ こ でQか

よ っ て生 ず る 真 空

あ る よ うに

極 限 を と る.す

考 え て,p＝esを る と

図1.1 微 小 な 電 気双 極 子

こ こ でgradQは

双 極 子 の 存 在 す る 場 所 に お け る 微 分 を と る こ と を 意 味 す る.pを

電 気 双 極 子 モ ー メ ン ト(electric

dipole

moment)と

い う.

  こ の よ うな 微 小 な 電 気 双 極 子 が 体 積 密 度p(x)で に 分 布 し て い る と き,そ

と か け る.こ

れ がx点

こ でgrad'はx'に

を利 用 す る と,(1.6)は

真 空 中 の有 限領 域 内 に連 続 的

に つ く る静 電 ポ テ ン シ ァル は(1.5)か

関 す る 微 分 で あ る.ま

た,

次 の よ う に か き な お せ る.

右 辺 の 第 １項 は 表 面 積 分 に な お せ る.と

こ ろ がp(x)は

0で は な い か ら,第

く して

一 方,真

ら

１項 は0に

な る.か

電 荷 ρe(x)に よ る 静 電 ポ テ ン シ ァル は,点

有 限領 域 内 にお い て の み

電 荷 の そ れ(1.3)を

重 ね合 わ

せ る こ と に よ っ て,

と か く こ と が で き る.(1.7)と(1.8)と

を 比 較 す る と,φd(x)は

に よ って定 義 され る電 荷 が真 空 中 に分布 してい る ときの静 電 ポテ ン シ ァル に相 等 す る もの で あ る こ とが わ か る.こ のp(x)は

物 体 内 の原 子 あ るい は 分子 の分 極 に

よっ て生 じた電 気双 極 子 の分布 をあ らわ してい る.そ こで,こ れ の物 体 内 の巨 視 的 な意 味 で の微 小体 積 δVの な かで の平 均値

を と り,こ のP(x)を

分 極 ベ ク トル とい う.nは

〓 は 平 均 密 度 で あ る.こ

原 子 あ る い は 分 子 の 密 度 分 布,

の 平 均 的 分 極 に よ っ て つ く ら れ る 分 極 電 荷 は(1.9)の

か

わ りに

と か か れ る． 上 に み ち び い た(1.10)の

分極 電 荷 は 静 電 場 の とき にお け る もの で

あ る．   (1.10)の 分 極 の 原 因 は 真 電 荷 の 存 在 に あ る ． そ こ で 真 電 荷 が 運 動 す れ ば,そ に と も な っ て,あ

る 点xに

お け る分 極P(x)も

ま た,時

そ こ で,(1.10)は

こ の と き に も成 立 す る も の とす る.

れ

間 と と も に 変 化 す る.

こ の関係 は,真 電 荷 つ ま り自 由電子 の エ ネル ギ ーが きわ め て大 き くな っ た ときに はな りた たな い.こ の よ うな ときに は,物 体 内 の束 縛電 子 や原 子 は 自由電 子 に よ っ ては ね とば され て,物 体 自身 が破 壊 され て しま う.し たが って,い ま ま での考 え方 自身 が な りた た な くな っ て しま い,第 ２章 の基本 方 程式 に も どっ て考 えな お さね ばな らな い.   自由電子 の運 動 つ ま り伝 導 電流 に と もな って分 極 電流idが 発 生 す る.束 縛 電 子 が 自由な運 動 をは じめた り,自 由電子 が捕 獲 され た りす る こ との な い か ぎ り, 伝導 電 流 と分 極 電流 に対 して,そ れ ぞ れ独 立 に電 荷保 存則 が成 立 す る.

そ こ で(1.11)を(1.12)に

代 入 す る と,

した が っ て,

そ こで一 般 に

とか く こ と が で き る ．右 辺 の 第 ２項 は,そ の 発 散 が ０に な る よ う な 任 意 量 で あ る ． さ て 分 極 電 流 と して は 第 １項 の み を と っ て

と お く こ とに す る.   (1.13)の 右 辺 の 第 ２項 のMは が 体 積 密 度M(x)で

不 定 で あ る が,じ

つ は これ は 微 小 な 磁 気 双 極 子

分 布 し て い る こ と に も とづ く磁 化 電 流 密 度imで

あ る.そ

こで

と お き,Mを

磁 化 ベ ク トル と い う.

  (1.15)の 関 係 の 一 般 的 な 場 合 の 証 明 は 第 ５章 §３ で 示 す こ と に し て,こ

こで は

と くに 簡 単 な 場 合 に つ い て 説 明 し て お こ う.磁 化 電 流 の 原 因 を 微 視 的 な 観 点 か ら 理 解 す る 一 つ の 方 法 と し て ， 分 子 電 流 とい う も の を 考 え る と よ い.す

な わ ち,分

子 の内 部 に は

円形 電 流 が あ っ て,物

体 は分 子 の 円形 電流 つ ま

り分 子 電 流 の 集 合 体 で あ る とす る の で あ る.い ま 図1.2に

示 さ れ て い る よ う に,ソ

の 内 部 に 物 質 を つ め て,ソ を な が す.す れ る.図1.2の

レノイ ド

レ ノ イ ドに 電 流Ie

る と分 子 電 流 の 方 向 が そ ろ え ら 場 合 に は,分

ソ レ ノ イ ドの 伝 導 電 流Ieと

子 電 流 の方 向 は 同 じ方 向 で あ り,

これ は物 体 が常 磁 性 体 あ る い は強 磁 性 体 の場

図1.2  分 子 電 流 と磁 化 電 流

合 に相 当 す る． 反 磁 性 体 の場 合 に は,分 子 電 流 の 方 向 はIeと は反 対 方 向 に な る.さ て,と な り合 う分 子 電 流Iの

ほ とん どは,た が い に消 しあ って,そ の残

り 〓 が 巨視 的 な意 味 で の磁 化 電 流 に な る． こ の磁 化 電 流 に よ り磁 束 密 度 が 増 大 す る の が常磁 性 体 あ る い は強磁 性 体 で あ る.   さて， 第 ５章 §３ で一 般 的 に証 明 す る よ うに,こ の よ うな分 子 電 流 は磁 気 双極 子 モ ー メ ン トm＝ISの

微 小 な磁 気 双極 子 と同一 で あ る.だ だ しSは

分子 電 流

に よ って か こ まれ る平 面 の 面 積 で あ る． この よ うな微 小 な磁 気 双 極 子 が連 続 的 に分 布 して い る とき,そ の単位 体 積 あ た りの平 均密 度 が磁 化M(x)で 磁 化 がz方 向 の成 分 の み を も ち,x方

で あ る とす る ． こ の と き

ある． こ の

向 にだ け 変化 して い る と しよ う.す なわ ち

で あ る.そ

こ で 図1.3の

割 し て,x-y平

よ う に,空

間 を 各 辺 が そ れ ぞ れsx,sy,szの

面 上 の 電 流 の 強 さ が そ れ ぞ れI1とI2で

方 形 状 の 分 子 電 流 が あ る とす る.こ

直 方 体 に分

あ た え ら れ る よ うな 長

れ らの

二 つ の 分 子 電 流 の 接 して い る 部 分 で 生 き の こ る電 流 は

で,こ

流 の 強 さ に な る.I1＞I2の で あ る.し

と きには

た が っ て こ の 場 合,〓

y方 向 で あ る.一 に,各

れ が磁 化電

方,す

で に 説 明 した よ う

分 子 電 流 の 強 さIと,そ

極 子 能 率mと 係 が あ る.し

の方 向 は

の磁 気 双

の 間 に は,の た が っ て,単

関

位 体 積 あ た りの 図1.3  磁 化 電 流 と磁 化 の関 係

平 均 密 度 で あ る 磁 化Mは

で あ た え ら れ る.こ

を う る.こ

の 関係 か ら

こ に え ら れ た 〓/szsxは,y方

向 を 向 く単 位 面 積 あ た りの 電 流 で あ り,

そ れ が 反 対 方 向 に な が れ る 分 子 電 流 の さ しひ き の 残 りで あ る こ と を 考 え る と,こ れ は 磁 化 電 流 密 度imyで

あ る.こ

う し て,(1.15)の

関係 が 成 立 す る こ とが わ

か る.

§２ 物 質 中 のMaxwellの

方程式

前 節 で え られ た 結 果 を ま と め る と,真

空 中 のMaxwellの

方程 式

に お い て.物

体 の ない と きに は

で あ っ た も の が,物

体 の存 在 に よ って

に お き か え られ る と い う こ と で あ る.(2.1)の (2.2)の 右 辺 のiと ら,そ

方 程 式 は 変 わ ら な い.し

ρ と が 変 わ る こ と に よ り,そ

れ に と も な っ て(2.1)の

(2.2)の 第 ２式 に(2.4)を

か し,

の左 辺 の場 の量 は 変 化 す るか

場 の 量 の 内 容 は 変 化 して い る こ と に 注 意 され た い ．

代 入 し,(1.11)を

利用 す る と

とな る.こ こで右 辺 の 負 号 は,分 極 電 荷 が つ ね に真 電荷 ρeと反 対 符 号 で あ り, 生 成 され る電場Eに

対 して,真 電 荷 の 効果 を減 少 させ るは た ら き を もつ こ とを

示 して い る.分 極 電 荷 を左 辺 に移 し,

とお く と

と か く こ と が で き る.(2.5)で

定 義 さ れ たDを

真 空 中の場 合 と同様 に電 束密 度

と い う.  同 様 に(2.2)の 第 １式 に,(2.4)を

代入 す る と

とな る.こ の 式 の最 後 の項 の分 極 電流 は,分 極 電 荷 と同様 に,左 辺 の電 場 の 強 さ を減 少 させ る作 用 を示 す.そ

れ に対 して,磁 化電 流 密 度rot Mの

前 の符 号 が 正

にな っ てい るの は,反 磁 性 に比 較 して,常 磁 性 や 強磁 性 は 目 につ きやす く,こ の 場 合磁 化 電流 は伝 導 電 流 の つ くる左 辺 の磁 束 密 度 を さ らに増 大 させ る こ とを反 映 して い るの で あ る.  上 の式 を変 形 す る と,

ここで

と お く と,

と か け る.   (2.7)で 定 義 さ れ たHを   こ の よ うに し て,静

と か か れ る.こ

真 空 中 の 場 合 と 同 様 に 磁 場 の 強 さ と い う.

止 物 体 内 のMaxwellの

方程式は

の 形 は 真 空 中 のMaxwellの

方 程 式 と ま っ た く同 じで あ る.し

し(2.5)と(2.7)と

か ら わ か る よ う に,(2.9)の

性 質 がPとMと

を 通 して 反 映 して い る こ と に 注 意 しな く て は な ら な い.真

の 場 合 に は 電 束 密 度Dと

磁 場 の 強 さHと

左 辺 の 場 の 量 の な か に は,物

は 単 にEとBと

と い う定 数 を か け た も の に す ぎ な か っ た が,物 組 とDとHの

て,(2.9)に

電 荷 ρeと 伝 導 電 流ieが

お い て,真

ず に,EとBの

組 とDとHの

よ る と静 止 物 体 内 に お い て は,強 通 常 の 物 質 の場 合 に は,次

方 程 式(2.9)

組 と は 独 立 な 物 理 量 で あ る.し

条 件 式 が 少 な す ぎ て 場 の 量 は 決 ま ら な い.そ

たが っ

あ た え られ て い る も の と し て も,

こ で,物

質 の微視 的 な性 質 を考 慮 せ

組 との 間 に 現 象 論 的 な 関 係 を つ け る.実 誘 電 体,強

空 中

に そ れ ぞ れ ε0と μ0-1

質 中 のMaxwellの

に お い て はEとBの

か

体 の

験に

磁 性 体 や非 等 方性 物 質 な どを除 い た

の よ うな 簡 単 な 関 係 が な りな つ こ と が み と め ら れ る.

こ こで ε と μ とは 比例 定 数 で あ る が,こ れ らは物 質 の特 性 を反 映 して い る物 質

定 数 で あ る.と

く に 真 空 の と き に は,ε=ε0 

μ=μ0と

なる か ら

と か き,ε*と

μ*な る無 次 元 の 量 を ひ き だ し て お い て,ε*を

率(dielectric

constant),μ*を

  (2.10)の 関 係 は,ま

比 透 磁 率(magnetic

は 物 性 論 の仕 事 で あ る.こ

磁気 学 の 法則 として は

や μ な どの 物 質 定 数 を 第 一 原 理 か ら み ち び く の

か し,こ

お,こ

れ ま で の議論 か ら

属 な どの 導 体 の 誘 電 率 は 自 由 電 子 を の ぞ い た イ オ ン格 子 の

分 極 に も と づ く も の を 意 味 して お り,通 常 そ の ε*の 値 は1∼10の で あ る.ま が,電

様

れ は 本 質 的 な こ とで は な い

こ の 議 論 で は 位 置 に 関 係 の な い 定 数 と す る.な

も 明 ら か な よ う に,金

い う.

れ ら の 物 質 定 数 は 物 質 の 密 度 に も 関 係 す る か ら,一

で な い 物 質 の 場 合 に は 位 置 の 関 数 に な る.し か ら,こ

permeability)と

っ た く現 象 論 的 な も の で あ っ て,電

第 二 義 的 な も の に す ぎ な い.ε

その物 質 の 比誘 電

た,(2.10)で

程 度 の大 き さ

は 誘 電 率 も 透 磁 率 も 一 様 な物 質 中 で は 定 数 で あ る と した

磁 波 の よ うに 振 動 し て い る 電 磁 場 に 対 し て は,こ

般 に 電 磁 波 の 振 動 数 の 関 数 に な っ て い る.こ

れ ら は 定 数 に な らず,一

の よ うな 場 合 に つ い て は,第

８章

§３で 調 べ よ う.   誘 電 率 と透 磁 率 とが 定 数 で あ る と き に は,(2.9)と(2.10)の の 方 程 式 に お い て,第

物 体 中 のMaxwell

２章 §３ の と き と ま っ た く同 じよ うに し て,ベ

ク トル ・ポ

テ ン シ ァ ル と ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァル を 導 入 す る こ と に よ り,Lorentzゲ お け る 方 程 式 系 が え ら れ る.そ

で あ る.つ

ま り,真

ージ に

の結 果 は

空 中 の 場 合 の ε0と μ0と を そ れ ぞ れ ε と μ に お き か え,

そ れ に と も な っ て,c2=1/ε0μ0をv2=1/ε の 第 ３式 と第 ４式 とは,誘

μ に お き か え さ え す れ ば よ い.(2.12)

電 体 中 の 電 磁 波 の 波 動 方 程 式 で あ っ て,そ

の波動 の 速

さは

に よ っ て あ た え られ る.(2.13)よ

り,真

空 に 対 す る 誘 電 体 の 屈 折 率nは

で あ る こ とが わ か る.  [例題]Lorentzの は,真

電 場  (2.9)の 物 体 中 のMaxwellの

方 程 式 に あ らわれ て い る電 場E

電 荷 の つ くる電場 と,誘 電体 を構 成 して い る分 極 分 子 に よ っ てつ くられ た微 視 的 な

電 場 を巨 視 的 な意 味 でせ ま い領 域 に わ た っ て平均 した電 場 との 重 ね合 わせ で あ る.   図2.1の

よ う な 平 面 コ ン デ ン サ ー を 考 え る と,

巨 視 的 電 場Eは(2.5)に

よっ て

で あ た え られ る.こ こ で ωeは コ ンデ ンサ ー の極 板 上 の真 電 荷 の 表 面密 度 で あ り,ωdは そ の極 板 に 接 して い る誘 電 体 の表 面 に発 生 した 分 極電 荷 の 表 面 密度 で あ る.正

の極 板 上 で は ωe＞0で,こ

の と き ωdは 負 の 値 を もつ の で,こ れ を ω-と か くと

とな る.一 方 負 の極 板上 で は分 極 電荷 の符 号 は正 で,こ れ を ω+と か くと

図2.1Lorentzの

電 場

で あ た え られ る.   さ て,図2.2の よ うに,分 極 して い る分 子 の 間 の空 隙 内 の点Aに お かれ た 電子,あ る いは 分 子 に 作用 す る 微 視 的 な 電 場 を考 えた とき,こ れ を分 子 電 場 ま た は局所 電 場 とい い, これ をELと

か くこ とにす る.こ の分 子 電 場ELは,極

板上

の真 電 荷 の つ くる電場 と,極 板 間 に 存在 す る多数 の分 極 分 子 のつ くる微 視 的 な 電場 との重 ね合 わ せ で あ る.こ の微 視 的 電 場 をつ くっ てい る分子 の配 列 は,A点

に お かれ た 電子 また は

分子 のつ くる電 場 に よっ て変 化 し,そ の配 列 の 変 化 が またA 点 に お け る電 場 を変 化 させ る.こ の よ うな相 互 作 用 に よ る影 図2.2分

子電 場

響 は,電 子 ま たは 分 子 の お かれ てい るA点 の近 傍 で と くにい

ち じる しい.こ の よ うな複 雑な 構 造 を もつELを るか ら,ELとEと

平 均 して な ら して しま った もの がEで

あ

は 明 らか に 異 な る もので あ る.こ の よ うな複 雑 な 構造 を もつ 分子 電 場

ELを 厳 密 に求 め る こ とは非 常 に困難 な こ とであ る.   Lorentzは 誘 電 体 内 の電 子 に作 用 す る力 を求 め るた めに,こ の分 子 電 場ELを 次 のよ う に近 似 的 に計算 した.い ま,図2.2に 示 す よ うに,電 子 の あ る場 所Aを 中 心 と して,か な り多数 の分 子 をふ くむ半 径aの 球 を考 える.こ の球 の外 部 の分 子 に対 して は,電 子 のつ くる電場 の影 響 は 小 さ い として無 視 し,そ こ では分 子 は 連続 的 に分 布 して い る と して,そ れ を巨視 的 に と り扱 え る もの と仮 定 す る.こ の ときA点

に で き る電 場 は,極 板 上 の真 電

荷 のつ くる電 場 と一 様 な分 極 の つ くる電場 の重 ね合 わせ で あ る 巨視 的 平均 電 場E,お 図2.1に

示 して あ るよ うな一 様 な分極Pに

くる電 場E'の

よび

よ って球 の内 面 に誘 導 され て い る電 荷 ω の つ

重 ね 合 わ せ で あ る とす る.球 内 の 分子 がA点

相 互作 用 してい て極 めて 複 雑 で あ る.し か し,Lorentzは

に つ くる電 場 は,電 子 と強 く それ らの分 極 分子 の方 向 は 無秩

序 に分 布 してい て,平 均 的 に は ０ に な ってい る とい う大 胆 な 仮定 をす る.こ の仮 定 は分 子 が 立 方晶 系 をつ くって い る ときに は正 しい こ とが証 明 され る.こ う して,分 子 電 場ELは

で あ た え られ る と 考 え る の で あ る.   そ こ で 問 題 は(2.16)のE'を n'と

す る と,球

計 算 す る こ と で あ る.球

の 内 面 に 生 じ て い る電 荷 の 表 面 密 度

で あ た え られ る.図2.1か

と な り,π/2＞

θ＞0の

で,P=￨P￨で

あ る.そ

た

領域では

ω＜0,π ＞ θ＞ π/2の 領 域 で は

こ で こ の 電 荷 分 布 がA点

 こ こ で

ω＞0と

に つ く る電 場 のx方

であ る.(2.17)を

な る.た

だ しこ こ

向 の 成 分 を求 め る と

代 入 して積 分 す る と

と な る か ら,

こ の 結 果 が 仮 定 した 球 の 半 径aに

とな り,こ

同様 に

ら

こ こでdσ は球 面 上 の微 小 面 積 で

とな る.ま

の 内 側 に 向 く単 位 法 線 ベ ク トル を

ω は(2.15)と

の 分 子 電 場 をLorentzの

よ らな い こ と に 注 意 し よ う.(2.18)と(2.16)か

電 場 と い う. で あ る ことに注 意 す る と

ら

とか くこ とが で きる.   この分 子 電 場ELが,誘

電 体内 の １個 の 分 子 に作 用 した と き,そ

双極 子 を つ くる.そ の電 気 双 極 子 モ ー メ ン トをpと

の分 子 は 分 極 して電 気

か く と,pはELに

こ こで α は比 例定 数 で あ り,こ れ を １個 の 分子 の 分 極 率 とい う.pに 分子 数Nを

比例 す る.

単 位 体 積 あ た りの

か けて,巨 視 的 な意 味 の微 小 領 域 に わ た って 平均 した もの が,分 極 ベ ク トルP

に ほか な らない.し たが って

と か か れ る.一

を う る.し

方,P=(ε-ε0)Eで

あ り,ま

たLorentzの

関 係(2.20)を

考慮す ると

た が っ て,

と い う関 係 が え られ る.(2.23)の

関 係 をClausius-Mossottiの

の 関 係 を 利 用 して 屈 折 率nを

つ か っ て(2.23)を

とな り,こ れ をLorentz-Lorenzの

式 とい う.ま

た,  ε/ε0=n2

か きか え る と

式 とい う.(2.23)ま た は(2.24)の 右 辺 の量 は物 質 の

密度 に比 例 し,ま た α は そ の物 質 を構成 す る分 子 に特 有 な定数 で あ る.こ れ らの式 の左 辺 を実 測 す る と,そ れ が そ の物 質 の密 度 に比 例 す る こ とが検 証 され る.

§３Ohmの   前 節 で は,物

法則 質 の 存 在 に よ っ て 真 空 中 のMaxwellの

を う け る か を 考 え て き た.つ は,場

の 量 と して のPとMの

方 程 式 が ど の よ うな 変 化

ま り,原 子 核 とそ れ に 束 縛 され た 電 子 の 性 質 の 一 部 な か に く り こ ま れ て,導

体 の な か の 自由電 子 だ

け が 真 電 荷 と伝 導 電 流 と して 物 質 中 の 電 磁 場 を つ く り だ す.一 の 運 動 は,も 記 述 さ れ る.こ

う一 組 の 基 本 的 法 則 で あ る第 ２章 の(1.6)の の と き,物

の 自由電 子

体 す な わ ち 原 子 核 と そ れ に 束 縛 さ れ た 電 子 の 存 在 は,

自 由 電 子 群 の 運 動 に 対 して 抵 抗 力 と し て 作 用 す る で あ ろ う.こ と に,電

方,そ

運 動 の 方程 式 に よ っ て

の よ うな考 え の も

磁 場 の 作 用 の も と に お け る 自 由 電 子 群 の 運 動 を記 述 す る現 象 論 的 法 則 を

み ち び く こ とが で き る.し を第 ２章 の(1.6)か

か し,こ

こ で は こ れ を経 験 的 法 則 と し て あ た え,こ

ら み ち び く こ と は,こ

の 節 の 例 題 で の べ る こ と に す る.

れ

  こ れ に つ い て は,実

験 的 に 次 の 法 則 が な りた つ.す

な わ ち,金

属 導線 の ２ 点

間 の 電 位 を φ1,φ2と し た と き(φ1＞ φ2),そ こ に 流 れ る 電 流 の 強 さ Ｉ は,電 φ1−φ2に 比 例 す る.こ

比 例 定 数Rを が １Voltの

れ をOhmの

法 則 と い う.式

電 気 抵 抗 と い っ て,そ ２点 間 に １Ampereの

実 験 に よ る と,抵

と か け る.こ

抗Rは

で か くと

の 単 位 はOhmで

あ る.す

な わ ち,電

電 流 が 流 れ る と き の 抵 抗 を １Ohmと

導 線 の 長 さ をl,断

位差

面 積 をSと

位差 い う.

し た と き,

数 で あ っ て,こ

こで 比 例 定 数 ρ は 導 体 の 幾 何 学 的 形 状 に 関 係 の な い 物 質 固 有 の 定 れ を 抵 抗 率 と い う.ま

た,ρ の 逆 数 σ=ρ-1

を 電 気 伝 導 率 と い う.   (3.1)のOhmの

法則 を近接 作 用 の理 論 に適 した形 にか

き な お そ う.図3.1の 導 体 を 考 え て,そ

よ う に,長

の 抵 抗 をdRと

さdx,断

面 積dSの

微小

す る.そ

の 両 端 にdφ な

る 電 位 差 を あ た え た と し よ う.電 流 は 電 位 の 高 い と こ ろ か ら低 い と こ ろ に 流 れ る か ら,電 位 の 増 加 の 方 向 と電 流 の 方 向 と は 反 対 で あ る.し

し か る に,(3.2)よ

ま た,電

たが っ て

り

流 密 度ieは

(3.4)と(3.5)を(3.3)に

し た が っ て,

代 入 す る と

図3.1  Ohmの

法則

一 方,導

体 内 に一 定 の電 位 差 が あ る ときに も

が な りた つ か ら(第 ５章 §５ 参 照),

が え られ る.こ   (3.6)は

れ が 近 接 作 用 の 立 場 に お け るOhmの

法 則 の 形 式 で あ る.

電 位 差 が 時 間 的 に 変 わ らぬ と き に お い て み ち び い た も の で あ る.し

し,電 流 と電 場 と が 時 間 的 に 変 動 す る と き に も,そ 以 外 は,(3.6)が

は,第

こ で,一

般

法則

２章(1.6)の

点 電 荷 の 運 動 方 程 式 に か わ っ て,導 体 内 の 自 由 電 子 群 の 運 動

を 規 定 す る と考 え る.こ 式 系 は,そ

の変動 が きわ め て大 きい とき

そ の ま ま な りた つ こ と が 実 験 的 に 示 され て い る.そ

化 さ れ たOhmの

か

の よ う に し て,第

れ ぞ れOhmの

法 則(3.7)と

２章 の(1.6)と(1.7)の 物 質 中 のMaxwellの

複 雑 な基 本 方程 法 則(2.9)に

よっ

て お き か え られ た こ と に な る.   Ohmの

法 則 の 性 質 を 調 べ る た め に,(3.7)か

らみ ち びか れ る一 つの結 果 を考

え よ う.電 荷 保 存 則

に お い て,(3.7)と

を代 入 す る と

こ の解 は

す な わ ち,電

気 伝 導 率 σ な る 物 質 中 に,時

分 布 を あ た え た と す る と,こ

の 分 布 は(3.9)に

は 電 流 と し て 四 方 に 散 逸 し て し ま う.そ て くる こ とは な い.

刻t=0に

お い て ρe(x,0)な る 電 荷

よ っ て 減 衰 す る.す

な わ ち,電

し て外 的 原 因 の な い か ぎ り,再

荷

び集 ま っ

  第 ２章 §２ に お い て の べ た よ うに,電 磁 場 と点 電 荷 系 の 共 存 す る体 系 を 記 述 す る 基 本 法 則 は 時 間 反 転 に 対 し て不 変 で あ り,運 動 は 可 逆 的 で あ っ た.し (3.9)の 結 果 は 不 可逆 的 で あ る.こ の 法 則 に あ る.す

な わ ち,時

と な っ て,不

場 のほ うは

た が っ て,時

変 で は な い.そ

間 反 転 を し た と き のOhmの

の た め に,(3.9)で

象 が あ ら わ れ て く る の で あ る.ま に,伝

ち ろ んOhm

間反 転 に よっ て電流 密 度 は

な る 変 換 を す る の に 対 して,電

な る 変 換 をす る.し

の よ うな こ とが お き た 原 因 は,も

た,次

法則は

あ らわ され る よ うな不 可 逆 的現

節 で の べ る よ う に,Ohmの

法則のため

導 電 流 の 構 成 要 素 で あ る 電 子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は 導 体 内 でJoule熱

て 失 わ れ,こ

か る に,

とし

こ に も不 可 逆 的 現 象 が 顔 を だ し て く る.

  [例題]Ohmの 法 則 の 電 子 論  導体 内 の 電子 の流 れ が伝 導 電 流 で あ るか ら,第 ２章(1.6) を物 質 中 の 自 由電 子 に適 用 す る こ とに よ って,Ohmの 法 則 をみ ちび くこ とが で き る はず で あ る.古 典 的 見 地 か ら考 え る と,電 子 が 物 体 内 を流 れ て い くと き,物

体 を構 成 して い るイ

オ ンに衝 突 す る こ とに よ っ て抵 抗 を うけ るで あ ろ うと 想 像 され る.単 位 体 積 中 の 電 子数 を Nと

す る と,そ の 平均 速 度(drift velocity)は

で あ る.こ の電 子 群 の 運 動 に対 す る抵 抗力 は そ の平 均 速 度 に比 例 す る.な

ぜ な ら,単 位 時

間 に電 子 が イ オ ンに衝 突 す る 回数 は そ の速 度 に 比例 す るか らで あ る.こ の 電 荷eの

電子群

に外 部 か ら電 場 が 作用 した と し よ う1).す る と運 動 方程 式 は

とか け る.こ

こ で τ は 比 例 定 数 で 緩 和 時 間(relaxation 

衝 突 す る 確 率 に 関 係 した 量 で あ る.定

time)と

常 状 態 で は,dvD/dt=0で

よ ば れ,電 あ る か ら,

さて,伝 導電 流 の 密 度 は

で あ た え られ る.こ

れ に(3.12)を

１) この と き磁 場 に よ る力e(v×B)は

代 入 す る と,

省 略す る.ま た,自 己 場 の 効 果 も無 視 す る.

子 が イ オ ンに

とな る.こ れ がOhmの

法 則 で あ る.し た が って 電 気伝 導 率 σ は

で あ た え られ る.   上 にの べ た議 論 をみれ ば明 らか な よ うに,Ohmの

法 則 の本 質 は(3.11)の

左 辺 の 抵抗 力

に あ る.と こ ろが,こ の抵 抗 力(あ る い は摩 擦力 とい って もよい)は 明 らか に時 間 反 転 に 対 して,そ の符 号 を変 え,そ のた め に(3.11)は

時 間 反 転 に対 して 不 変 で は な くな る.本 文 で

ものべ た よ うに,こ の抵 抗 力 の 原 因 は物 体 を構成 す る 原 子核 やそ れ に 束 縛 され た 電 子 の 存 在 に あ り,自 由電子 が これ らに 衝 突す る こ とに よ りそ の エ ネル ギ ー を失 うこ と に よ る.そ してひ とた び失 った エ ネ ル ギー は 物 体 の なか に 散逸 して,ふ る機 会 は き わ め て小 さい.こ

たた び 自 由電 子 に も どっ て く

の た め に 日常 的 な時 間 の スケ ール で は,不

可 逆 的 現 象 と して

われ わ れ に観 測 され る も の と考 え られ る.   上 の 古典 論 では,電 子 が 物 体 を構 成 してい る イ オ ンに 衝 突 し散 乱 され る こ とに よっ て抵 抗 が生 じる と考 えた.し か し,実 は これ は本 当 で は ない.量

子 論的 に考 察 す る と,も

しイ

オ ンが 完全 に規 則 的 に配 列 して い る とす る と,電 子 は 散乱 され る こ とは な い とい うこ とが 証 明 され る.し た が っ て,抵 抗 の原 因 は 電子 の イオ ンそ の もの との衝 突 に あ るの で は な い. 固体 内 の結 晶格 子 を構 成 して い るイ オ ンは,つ ね に熱 運動 に よっ て 不 規 則 な 振動 を して い る.こ の振 動 に よっ て,上 述 の 完全 な規 則 的配 列 か らの ‘ずれ'が 生 ず る.電 子 は この ‘ず れ'に よっ て散 乱 され る.熱

振 動 は温 度 の 上昇 とと もに は げ し くな るか ら,そ れ に とも な

ってず れ も大 き くな り,し た が っ て電 気 抵抗 もまた 一般 には 大 き くな る.温 度 が下 がれ ば, 電気 抵 抗 もまた 小 さ くな る.と ころが,半 さ くな る.そ

導 体 の場 合,電

気抵 抗 は温 度 の 上昇 と とも に小

の理 由は,半 導 体 内の 束 縛電 子 の結合 エ ネル ギ ー は きわ め て小 さ くて,そ

の

た めに温 度 が 上 昇 して,熱 振動 が激 し くな る と,束 縛 電 子 が容 易 に 自由電 子 に な り,電 気 伝 導 率 を増 大 させ る こ とに よ る.そ れ る.も

の ほ か の電 気抵 抗 の原 因 と して は,格

し固 体 内 の結 晶 格子 の配 列 に 不規 則 性 が あ る と,そ

子欠陥が考え ら

の不 規 則 な場 所 で電 子 は散 乱

され て抵 抗 を生 ず る.こ の種 の抵 抗 は 温度 の変 化 に あ ま り影響 され ない の で 残 留 抵 抗 とい われ る.

§４  エ ネ ル ギ ー 保 存 則  物 質 中 のMaxwell方

程 式(2.9)か

ら,エ

ネ ル ギ ー 保 存 則 を み ち び い て お こ う.

ベ ク トル 解 析 の 公 式 か ら

こ こ で 右 辺 にMaxwellの

方程 式 を代入 す る と

こ れ を領 域Vの

な か で 積 分 し て,Gaussの

定 理 をつ か う と

(2.10)の 現 象 論 的 関 係 式 が 成 立 し な い と き に も適 用 で き る よ う に す る た め,次 よ うな 変 形 を し て お く.す

最 後 の 積 分 は,そ

の

なわ ち

の前 の 積 分 で 定 義 さ れ る も の で あ る.こ

れ か ら,

最後 の変 形 で時 間微 分 を積分 の前 に だ した とき,物 体 が観 測者 に対 して静 止 して い る こ とをつ か った.そ こで,物 質 中 の電 磁 場 のエ ネル ギー 密度 を

と し,Ohmの

法 則(3.7)を

この方 程 式 は,次

代 入 す る と,(4.1)は

の よ うに解 釈 され る.領

域Vの

次 の よ う な形 に な る.

な か で,密 度wで

い る 電磁 場 のエ ネル ギ ー の 単位 時 間 あた りの減 少 の 割 合 は,単 領 域V内

分 布 して

位 時間 あた りに

でJoule熱

とし て消 費 され る エ ネル ギ ー と,領 域Vを

か こむ 閉 曲面Sを

通 して 外 部 に流

出 す る単 位 時 間 あ た りの エ ネル ギ ー

と の 和 に ひ と し い.つ

ま り,(4.3)は

エ ネ ル ギ ー 保 存 則 を 示 し て い る.

[問題]   (１)室

温 θ0の部 屋 に,質 量m,表

面 積S,比

熱cの

の 電流 を通 す と き,時 間t後 の温 度 上昇 を求 め よ.た

金 属棒 が あ る.こ の棒 に電力P

だ しこの 金 属 の単 位 表 面積 か ら単 位

時 間 あ た り失 わ れ る熱 量 は ν であ る とす る.   (２)あ

る導線 に電流I1を

なが す とき,最

終 温 度 がt1℃

に な っ た とす る と,電 流I2

をな がす ときの 最終 温 度 は い くら にな るか.た だ し周 囲 の温 度 はt0℃ で あ った と し,ま た t0℃ で の この導 線 の抵 抗 の温 度 係数 を α とす る.こ の とき導 線 か ら周 囲 に放散 す る単 位 時 間 あ た りの熱 量 は導 線 と周 囲 との温 度差 に比 例 す る.   (３)真 空 電 球 の フ ィ ラ メ ン トの 抵 抗 が 絶 対 温 度Tに 比 例 し,熱 放 射 がStefan Boltzmannの 法 則 に したが う もの とす れ ば,電 球 に加 え る電 圧 をVと す る と,そ の 平 衡 温 度TはV2/5に   (４)半

比 例 し,電 流 はV3/5に

径a,bな

内 球 に は じめQ0な

比 例 す る こ と を示 せ.

る同 心球 の あい だ を,比 誘 電 率 ε*,電気 伝 導 率 σな る物 質 でみ た し, る電 荷 を あ た え る とき,t秒

き まで に発 生 す る熱 量 を求 め よ.次

に,t=∞

後 に お け る内 球上 の電 荷,お

よび そ の と

でつ い に定 常 状 態 に達 す るま で に 発 生 す る

全熱量を   (i)時

間 的変 化 を考 え て,上 の 結果 を利 用 す る こ とに よ り,

  (ii)純

静 電 的 方 法 に よ り,

求 め よ.   (５)§ ３の 例題 でOhmの 法 則 をみ ち び い たが,そ の とき電 場Eは 時 間 と ともに 変 わ らな い と した.電 場 がE=E0eiωtに よっ て,時 間 と と もに変 動 す る とき のOhmの 法則を み ちび き,電 気 伝導 率 を求 め よ.   (６)1911年Kamerlingh 

Onnesは

水 銀 の 温 度 を4.2K以

下 に す る と,突 然 電 気抵 抗

が 消失 す る こ とを発 見 した.こ の 現 象 を超 伝導 とい う.超 伝 導 体 内 では,Ohmの

法則にか

わ って

な る 関係 が な りた っ てい る と考 え られ た.こ

の 方 程式 を,超

伝 導 体 内 では 電子 は全 く散乱

を うけ ない もの と考 えて,電 子 論 的 考察 か らみ ち び け.さ らに,Maxwellの あ わせ て,超

伝導 体 の 内部 には 電 場 は存 在 せ ず,ご

方 程 式 と くみ

く表 面 にだ け時 間 的 に 変動 す る電場 が

存在 す る こ とを示 せ.   (７)Meissnerは とMaxwellの

超 伝 導 体 の 内部 では,磁 場 は つね に ０で あ るこ と を発見 した.(4.5)

方程式

と を くみ あわ せ る と,

が え られ る.そ

こ でF.Londonは

初期 条 件 と して

をみ た す もの のみ が超 伝 導体 の なか で 実現 され る と した.(4.6)が

成 立 して い る と,外 部 磁

場 は超 伝導 体 内 部 に 侵 入 で き ない こ とを示 せ ． ま た,厚 さ2aの

板 状 超 伝 導 体 が あ り,表

面x=±aに

外 部 磁 場Hextがz方

(4.6)を 電 流 はy軸,磁

向 に一 様 に あ た え られ て い る とき, Londonの

場 は ｚ 軸 を 向 き,か つ そ れ らはい ず れ もxだ

方程式

け の 関数 で あ る と

して解 き,表 面 にそ っ た電 流 に よ って外 部 磁 場 は シ ール ドされ る こ とを示 せ.

第 ４章 静

電

場

  §１ 静 電 場 の 基 本 方 程 式 静 止 物 体 中 のMaxwellの る.す

基 本 方 程 式 は 第 ３章(2.9)に

よ っ て あ た え られ て い

な わ ち,

あ る い は,こ

を,(1.1)の

の 方 程 式 系 と等 価 なLorentzゲ

か わ り に も ち い て も よ い.こ

ー ジ に お け る 基 本 方 程 式 系1)

こ で,Lorentzゲ

ー ジ を示 す 添 字Lを

省 略 した.   い ま と くに,電

磁 場 と電 流 電 荷 の 分 布 が 時 間 的 に 変 動 し な い と き,つ

な 場 合 を 考 え る と,(1.1)のMaxwellの

方 程 式 は 次 の よ う に な る.

１） た だ し第 ３章(2.10)の 関係 が な りた っ て い る もの とす る．

ま り静 的

あ る い は,(1.2)か

ら

が え ら れ る.(1.3)か 分 と,磁 る.つ

ら(1.6)ま で の 方 程 式 を み る と,電

場 と電 流 分 布 に 関 す る 部 分 と が,完

場 と電 荷 分 布 に 関 す る 部

全 に 分 離 し て い る こ とが み と め ら れ

ま り,静 電 場 を 記 述 す る 法 則 は(1.3),あ

る い は(1.5)で

あ た え られ る.定

常 電 流 に よ る 静 磁 場 を 記 述 す る 法 則 は(1.4),あ

る い は(1.6)で

あ る.こ

次 章 に ま わ す こ と に し て,こ

の 章 で は 静 電 場 の 問 題 を 考 え る こ と に し よ う.

  静 電 場 の 基 本 方 程 式(1.3)と(1.5)と

は,そ

れ ぞ れ の 一 般 の 場 合 か らみ ち び か れ

た け れ ど も,も

ち ろ ん す ぐ わ か る よ う に,(1.3)か

と が で き る.た

だ し,こ

を つ か っ た.さ

て,(1.5)に

と い う.(1.5)の

の問題は

ら た だ ち に(1.5)を

み ちび くこ

あ ら わ れ た φ(x)を 静 電 ポ テ ン シ ァル,あ

るい は 電 位

の とき現象 論 的 法 則

第 ２式 をPoissonの

方 程 式 と い う.と

く に,電

荷 分 布 ρe(x)＝０

の場 所 で成 立 す る

を,Laplaceの

方 程 式 とい う.

  静 電 場 の 問 題 を 大 ざ っ ぱ に 分 類 す る と,次 き る で あ ろ う.第

の ３種 類 の 問 題 に分 類 す る こ と が で

１種 の 問 題 は 無 限 に ひ ろ が っ た 真 空 あ る い は 誘 電 体 の な か に 電

荷 の 空 間 的 分 布 が あ た え ら れ た と き,そ る静 電 場 を決 定 す る も の で あ る.こ

れ に よ っ て 誘 起 され る 空 間 の 各 点 に お け

れ は 結 局,(1.5)のPoissonの

解 を求 め る 問 題 で あ り,そ れ が 求 ま っ た ら,そ １式 に 代 入 す る こ と に よ り,静 電 場E(x)が の 問 題 に つ い て 考 察 す る.第 で,こ

の 時,場

っ て,電

方 程式 の特

の 静 電 ポ テ ン シ ァル を(1.5)の

決 定 す る.§ ２ と §３ で は,こ

２種 の 問 題 は,電

第 の種

荷 の 量 の定 常 的分 布 を決 め る 問題

が 静 電 場 で あ る とい う こ と か ら え ら れ る 条 件 を適 用 す る こ と に よ

荷 量 の 分 布 が 決 ま っ て く る.こ

れ に つ い て は,§ ４ と §５ と で と りあ つ

か う、 最 後 の 種 類 の 問 題 は,静 件 の も と に,静

電場 の基 本 方 程式 とそれ か らみ ち びか れ る境 界 条

電 場 と電 荷 分 布 と を 同 時 に 決 定 す る 問 題 で あ る.こ

問 題 と し て は も っ と も高 級 な 問 題 で あ る.数 はLaplaceの

方 程 式 を,考

学 的 に は,Poissonの

れ は静 電 場 の 方程 式 あ るい

え てい る問題 に適 合 した 境 界 条件 の も とに解 くとい

う偏 微 分 方 程 式 の 問 題 に な る.こ

れ に つ い て は,§ ７ の 準 備 の の ち,§

８ にお い

て 扱 わ れ る で あ ろ う.

  §２  電 荷 分 布 に よ る 静 電 場   こ の 節 で は,無

限 にひ ろ が っ てい る真 空 あ るい は等 質 誘 電体 の なか に電 荷分 布

ρe(x)が あ た え ら れ て い る と き,(1.5)のPoissonの に よ っ て 静 電 ポ テ ン シ ャ ル を 決 定 し て,そ

方程 式 の特 解 を求 め る こ と

れ を(1.5)の

微 分 す る こ とに よ っ て 静 電 場 を 求 め る とい う,上

第 １式 に し た が っ て 空 間

に の べ た 第 １種 の 問 題 を と りあ

つ か う.   そ の た め に は,ま

ず

で あ た え ら れ る 方 程 式 の 特 解G(x)を 意 味 は,(2.1)を に,点

求 め て お く と便 利 で あ る.(2.1)の と か き か え,(1.5)と

電荷 ε δ3(x）=ε δ(x)δ(y)δ(z)が原 点 に あ っ た と き,そ

シ ァルG(x)を

求 め る とい う こ とで あ る.も

物理的

比 較 す る とわか るよ う れ の つ くる 静 電 ポ テ ン

し こ のG(x)が

わ か る と,一 般 の 電

荷 分 布 ρe(x)が あ た え られ た と き の 静 電 ポ テ ン シ ァ ル φ(x)は

と か く こ と が で き る.な

と な っ て,(2.2)は か らで あ る.

ぜ な ら,

た し か にPoissonの

方 程 式 を み た し,そ

の特 解 とな っ てい る

  (2.1)を 解 く に は,G(x)を

次 の よ う にFourier積

分(付 録B参

照)で か い て お

く と便 利 で あ る.

δ−関 数 のFourier積

分 は

とか か れ る(付 録B参

照).(2.3)と(2.4)を(2.1)に

代 入 し て そ の 係 数 を比 較 す

ると

な る 代 数 方 程 式 が え られ る.こ G(k)を

求 め る と き,割

は い ら な い.さ

て,こ

れ がFourier積

る と,x=￨x￨と

か し,

まは 心 配

れ を(2.3)に 代 入 す る と

こ の 積 分 を 実 行 す る た め に,図2.1の る.す

分 の 方 法 の 利 点 で あ る.し

り算 す る の に ち ょ っ と注 意 が 必 要 で あ る が,い

よ うな極 座 標 を と

して

図2.1  極 座標 系

〓 の 積分 はす ぐで き る,θ に 関す る積 分 は

とお く こ と に よ っ て,次

こ こで公 式

の よ う に か け る.

を つ か う と,

が え ら れ る.   こ の よ う に し て,Poissonの

方 程 式 の特 解 は

で あ た え られ る こ と が わ か っ た.し き,(2.7)の

た が っ て,電

空 間 積 分 を実 行 し さ え す れ ば,静

荷 分 布 ρe(x)が あ た え られ た と

電 ポ テ ン シ ァル が 求 ま り,こ れ を

微 分 す る こ とに よ っ て 静 電 場 が 決 定 す る.   [例題]球

対 称 の 電荷 分 布   電荷 が 原 点Oの まわ りに球 対 称 に分 布 して い る と き,つ ま り

ρeが 原 点 か らの距離rの

み の 関数 で あ る と き,(2.7)の

積 分 を実 行 して み よ う(図2.2参

照).こ の とき,(2.7)は

とな る．〓 の積 分 はす ぐで き,θ'の 積 分 は

図2.2  球対称 の電荷分布 に よる静電場

し た が っ て,

右 辺 の第 １項 は,原 点Oを 中心 と して半 径rの

と か く と,

球 内 に ある電 荷 に よる部 分 で

と な る.全

電 荷eが

半 径a(＜r)の

球 内 に の み あ る と き に は,(2.9)か

が え られ て,こ れ は原 点Oに 点電 荷eが

ら

あ る と き とま った く同 じ電 場 で あ る.

§３ 静 電 場 の 多 重 極 展 開   電 荷 分 布 ρeが 原 点 の ま わ りに球 対 称 に な っ て い る と き に は,(2.7)の 分 の うち 角 積 分 は 簡 単 に で き,電

荷 分 布 が0の

一 の も の が で き る こ と が 示 され た .電

空 間積

場所 では 点電 荷 に よ る静電 場 と同

荷 分 布 が 球 対 称 で な い と き に は,一

般 に積

分 を 解 析 的 に 遂 行 す る こ と は 困 難で あ る.   こ の よ う な と き,次

に の べ る よ う な 近 似 的 方 法 を も ち い る こ と に よ っ て,球

対

称 で な い 電 荷 分 布 に よ る 静 電 場 を物 理 的 に 見 通 しの よ い か た ち に 表 現 す る こ と が 可 能 に な る.つ

ま り,電

荷 分 布 の か た ち が 球 対 称 で な くて も,十

そ れ は 点 電 荷 と 同 じ結 果 を あ た え る は ず で あ り,近 か ら の ず れ が 明 確 に な っ て く る.こ sion)と

い っ て,静

電 場 は 点 電 荷,双

分 遠 方 で は,

づ くに し た が っ て そ の 球 対 称

うい う近 似 を 多 重 極 展 開(muitipole 極 子,四

expan

重 極 子 等 に よ る電 場 の 重 ね 合 わ せ

と して 表 現 さ れ る.   (2.7)か ら 出 発 しよ う.観 測 点 の 位 置 ベ ク トル をrと

電 荷 は 原 点Oを

中 心 とす る 半 径aの

球 面 内 にあ る も

の と し,r点

は そ の 外 に あ る も の とす る.さ て,r＝￨r￨,

x'=￨x'￨と

か く と(図3.1参

い ま,r＞a＞x'で 数 に 展 開 す る.す

と か か れ る.展

か くと

照),

あ る か ら,こ

れ を(x'/r)の

ベ キ級

る と

開 係 数Plはcosθ'の

関 数 で あ っ て,

図3.1  多重 極 展 開

Pl(cosθ)をLegendreの

で,一

多 項 式 と い う.  cosθ

＝xと

か く と,そ

れ は

般には

に よ っ て あ た え られ る． こ の 関 数 は

な る 微 分 方 程 式 を み た す こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.ま

た,(3.4)と(3.5)を

利

用 す る こ と に よ っ て,

な る 関 係 を 証 明 す る こ と が で き る(く わ し くは 付 録Bを

参 照 され た い).(3.6)の

味 は,Legendreの

多 項 式 は 直 交 関 数 系 を な す と い う こ とで あ る.な

の 関 数 系 はxに

関 して ０次,１ 次,２ 次 … … の 多 項 式 で あ る か ら,そ

結 合 に よ っ て,(-1,+1)の が で き る.こ

Pl'(x)を

れ ら

れ ら の １次

区 間 で 任 意 の 関 数 を い か ほ どで も よ く近 似 す る こ と

の よ うな 関 数 系 を完 全 系 と い う.す

さ れ た 任 意 の 関 数f(x)は

展 開 係 数alを

お,こ

意

な わ ち(-1,+1)の

区 間 で定 義

次 の よ う に展 開 す る こ とが で き る.

求 め る に は,(3.6)の

か け て積分 す る と

直 交 性 を 利 用 した ら よ い.す

な わ ち(3.7)に

した が っ て,

で あ た え ら れ る.   さ て 話 を も ど し て,(3.2)の

とな る.そ

こ で,こ

展 開 式 を(3.1)に 代 入 す る と,

の 展 開 の は じ め の 数 項 を調 べ て み よ う.ま

ずl＝0の

項は

こ こで

で,qは

全 電 荷 量 を あ らわ す.つ

高 次 の 項 は 消 え て,(3.9)の 詳 細 は 問 題 で な くな っ て,あ

ま り,き

わ め て遠 方 で は￨r￨の

第 １項 の み が 生 き の こ り,こ

逆 ベ キ展 開 の

の とき電 荷 分 布 の形 の

た か も 全 電 荷 が 原 点 に 集 中 し た よ う に み え る.

  次 にl＝ １ の 項 を調 べ よ う.

こ こ で,nはr方

向 の 単 位 ベ ク トルn＝r/￨r￨で,ま

は 電 気 双 極 子 モ ー メ ン トで あ る.(3.13)に

た

よ っ て 定 義 され る 電 気 双 極 子 モ ー メ ン

トは 座 標 原 点 の え らび 方 に よ ら な い 本 当 の 意 味 の ベ ク トル 量 で あ る と は い え な い.そ

の 理 由 は 次 の と お り で あ る.い

ま,図3.1の

原 点Oの

位 置 を ベ ク トルa

だ け移 動 し た と す る.す

る と,x'に

か らみ た と き ベ ク トル

と な る.た

よ っ て 指 定 され て い た 場 所 は,新

に よ っ て 示 さ れ る.こ

だし

で,こ

れ はy'＋aの

し た と き の 関 数 形 の 変 化 を示 した も の で あ る.上 モ ー メ ン ト(3.13)は っ て い て,そ

しい原 点

の とき

関 数 をy'の

関 数 とみ な

の 結 果 を み る と,電

気双極子

一 般 に原 点 の え らび か た に よ って 異 な る値 を もつ こ と に な

れ は 客 観 的 な ベ ク トル 量 と して の 意 味 を も た な い.

  しか し な が ら,全

電 荷qが

０ の と き に は,と

な り,こ

極 子 モ ー メ ン トは 原 点 の と り方 に よ ら な い 客 観 性 を も ち,ベ と し て 意 味 を も つ こ と に な る.第

３章 図1.1の

の と きに は電 気 双 ク トル 的 な 物 理 量

よ う な 正 負 の 等 量 の 電 荷 か ら構

成 さ れ て い る 系 が そ の 場 合 で あ る.   上 に 注 意 した よ う に,pは は な い が,電

一 般 に は 座 標 原 点 の 位 置 に よ ら な い ベ ク トル 量 で

気 双 極 子 モ ー メ ン トの 時 間 微 分 〓 は ど の よ う な と き に も座 標 原 点

の え らび 方 に よ ら ず,ベ

ク トル 量 と して 客 観 的 な 意 味 を も っ て い る.全

は い か な る場 合 に も時 間 的 に 変 化 せ ず,dq/dt=0で

と な る か ら で あ る. 次 に,l=2の

項は

あ り,し

た が って

電 荷 量q

た だ し,こ

こで

で あ る.(3.15)を

成分にわけると

と な り,

で あ る.こ ル(electric

れ は ２ 階 の テ ン ソ ル 量 で あ っ て これ を 電 気 四 重 極 モ ー メ ン トテ ン ソ quadrupole

moment

tensor)と

トテ ン ソ ル が 原 点 の と り方 に よ らず,客 の は,全

電 荷qが

０で,電

よぶ.し

か し,電 気 四 重 極 モ ー メ ン

観 的 な テ ン ソル量 と して の 意 味 を もつ

気 双 極 子 モ ー メ ン トpも

０の とき だ け で あ る こ とが

容 易 に 示 さ れ る.   こ の よ うに し て,原

点 に 近 づ く に つ れ て,φ1,φ2…

… と電 荷 分 布 の構 造 が 静

電 ポ テ ン シ ァ ル φ に 反 映 し て く る こ と が わ か る.

§４  静 電 場 の エ ネ ル ギ ー 物 質 中 の 電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー は,第

と か か れ る.こ

３章(4.2)に

お い て あ た え た よ う に,一 般 に

こ で,

が な りた つ と き に は

とか か れ る.こ (4.3)か ら,静

こで は,比

誘 電 率 ε*と 比 透 磁 率 μ*と は 場 所xの

電場 のエ ネル ギー は

で あ る こ と が わ か る.

関 数 と し た.

  (4.4)は

近 接 作 用 の 立 場 に よ る 表 式 で,電

ま れ て い る と い う形 で か か れ て い る.そ

気 的 エ ネ ル ギ ーは 電場 の なか にふ く

こ で,こ

れ を 多 分 読 者 に と っ て,よ

り親

しみ ぶ か い で あ ろ う と 思 わ れ る 遠 隔 作 用 の 立 場 に お け る 表 現 に か き か え て み よう.

で あ る.こ

こで

の 関 係 を つ か っ た が,(1.2)の

す れ ば 明 ら か な よ うに,こ

第 １式 と比 較

こ に 静 電 場 と し て の 性 質 が 反 映 し て い る.上

式 を利 用

す る と

と か き な お せ る.静 (3.10)の はr2の

電 ポ テ ン シ ァル が 遠 方 で は,r-1の

結 果 を利 用 す る と,D(x)はr-2の 程 度 で 増 大 す る.し

な り,表 面 積 分 は 消 え る.し

た が っ て,上

程 度 で 小 さ くな る と い う

程 度 で 小 さ く な る.一 の 右 辺 の 第 ２項 はr-1の

た が っ て,静

方,表

面 積S

程度で小 さ く

電 場 の エ ネ ル ギー は 電荷 分布 の存 在

す る とこ ろ だ けの積 分 で か かれ て

と な る.(4.5)は あ る.こ

遠 隔 作 用 の 立 場 で か か れ た 静 電 場 の エ ネ ル ギ ー に 対 す る表 式 で

こ で,(4.4)の

形 の エ ネ ル ギ ー の 表 式 は,一

も の で あ る が,(4.5)は

そ れ を み ちび く とき

か ら も わ か る よ う に,静

般 の 電 場 に 対 し て も正 し い の 関係 を つか った こ と

電 場 の場 合 に だけ な りたつ 表式 で あ る こ とに注 意 しな く

て は な ら な い.   誘 電 体 の な か に,１

個 の 導 体 が は め こ ま れ て い る と し よ う.そ

電 荷 を あ た え る と,第

の導体 の一 部 に

３章 §３ で の べ た よ う に,そ の 電 荷 は た だ ち に 電 流 と し て

四 方 に 散 逸 し て,導

体 の 表 面 上 に あ つ ま っ て,導

体 内 部 に は 電 荷 は な くな る.し

た が っ て,Gaussの

法 則 を 導 体 内 部 に 適 用 す る こ と に よ っ て,す

ぐにわ か る よ う

に 導 体 の 内 部 の 静 電 場 は い た る と こ ろ で ０ とな り,静 電 ポ テ ン シ ァル,あ 電 位 は 一 定 に な る.こ

る いは

の と き の 静 電 場 の エ ネ ル ギ ー を求 め よ う.導 体 表 面 の 形 を

極座標で

と か く(図4.1).こ

の と き,導

を ω(θ,〓)とす る と,電

と あ ら わ さ れ る.こ

で あ る.こ

体 表 面 上 の電 荷 密 度

荷 分 布 ρe(x)は

図4.1  導 体 の 静 電 エ ネ ル ギー

こ で ω'は

れ を(4.5)に 代 入 す る と

こ こで Ω は立 体 角 で あ る.導 体表 面 上 で は 静 電 ポ テ ンシ ァル は 一定 値 φ0を も つ か ら,積 分 の外 に出 せ て

ここで,Qは

導 体 表 面 上 の全 電 荷 で あ る.こ

れ は,よ

く知 られ た 帯 電 導 体 の静

電 エ ネル ギ ーの 表式 で あ る.   孤 立 した導 体 の 静 電容 量Cを

次 の よ うに定 義 す る.

こ こ で,φ ∞ は 無 限 遠 方 で の 電 位 で,い ま の 場 合 は ０ で あ る.導 あ げ る に 要 す る 電 気 量 が １Coulombで で あ る と定 義 す る.と

に 等 しい.Faradと

あ る と き,そ の導 体 の 静 電 容 量 を １Farad

くに,導 体 が 半 径aの

い う単 位 を,上

と か く こ と が で き る.静

電 容 量Cを

体 の 電 位 を １Volt

球 の と き に は,(2.10)と(4.7)と

の よ う に 導 入 す る と,真

つ か う と,(4.6)の

から

空 の 誘 電 率 ε0は

静電エネルギーは

と か くこ と も で き る.   さ き に,導

体 に空 間 電 荷 分 布 を あ た え た と き,そ

電 荷 は 導 体 表 面 上 に 集 中 す る との べ た.こ る と,そ

れ は 電 流 と し て散 逸 し,そ

の

れ は 導 体 内 に 電 荷 分 布 に よ る電 場 が あ

の 作 用 に よ っ て 電 荷 は 自 由 に 動 け さ え す れ ば,そ

に 移 動 を は じめ る こ と に よ る もの で あ る.こ

の電 場 が 消 失す る方 向

の よ うに し て移 動 が お わ っ た と き,

電 荷 分 布 は 場 の エ ネ ル ギ ー を 最 小 に す る よ う な も の で あ る こ と が 予 想 され る.い ま,誘 電 率 が 場 所 の 関 数 に な っ て い る 誘 電 体 の な か に,導 て,ま

体 系 がは め こまれ て い

た 誘 電 体 の な か に 密 度 ρe(x)の 真 電 荷 も分 布 して い る と し よ う.静 電 場 は

基 本 方 程 式 系(1.3)に

は み た す が,第

よ っ て 規 定 され る.(1.3)の

第 ２式

１式 の

は み た す とは か ぎ らな い 仮 想 的 な 電 場 を 考 え た と き,そ

のエ ネル ギ ーが最 小 で あ

る も の は,静

れ をThomsonの

とい う.こ   n個

電 場 つ ま り(4.9)を

み た す も の で あ る.こ

定理

の 定 理 の 証 明 を し よ う.

の 導 体 に そ れ ぞ れQie(i=１,２,…

れ の 導 体 表 面Siを

…n)な

る電 荷 を あ た え た とす る.そ

考 え て そ の 面 上 に お い て,Gaussの

れぞ

法則 を適用 す る と

誘電 体 の なか で は

が な りた つ.(4.10),(4.11)と(4.12)は て な りた つ べ き条 件 で あ る,静

で あ る こ と,お

あ る い は,同

電 場 の と き に は,さ

よび 誘電 体 の なか で

じこ と だ が

静 電 場 で な くて も,す

べ ての 電場 に対 し

らに各 導体 表 面 上 で

の 条 件 が み た され て い な くて は な ら な い.い み た し て い る け れ ど も,(4.13),(4.14)(あ

ま,(4.10),(4.11),(4.12)の る い は(4.15))の

い 仮 想 的 な 電 場 を考 え て,そ れ をD'(x)とE'(x)で

だ け は み た して い る.こ

で あ た え られ る.わ

条 件 を み た して い な

あ ら わ す.つ

の 両 者 の 場 の エ ネ ル ギ ー は,そ

条件 は

ま り,こ れ ら は

れぞ れ

れ われ の証 明 したい の は

で あ る.そ

こ で,

と お く.す

る と,(4.10),(4.11),(4.12)と(4.10)'(4.11)'(4.12)'の

ぐに

が え ら れ る.(4.17)を(4.16)に

代 入 す る と,

条 件 か ら,す

こ こ で(4.12)”

を つ か うと

こ の 式 の右 辺 の 第 ３項 を考 え よ う.こ E(x)は

静 電 場 で あ る か ら,導

を除 い た 全 空 間 に な る.次

の 積 分 は 全 空 間Vに

体 内 部 で はE(x)=0と

に,(4.15)と(4.11)”

わ た る もの で あ るが

な り ,積

,

分 領 域 は導 体 内 部

を も ち い る と,

した が っ て,

こ こでGaussの

定 理 をつ か っ て表面 積 分 に な お し,無 限遠 方 で電 場 が十 分 はや

く消 え る こ とを利 用 す る と,表 面 積 分 の うち残 るの は導 体 表 面上 の寄 与 だ け にな る.し た が っ て,

こ こ で φ(x)は 静 電 場 の ポ テ ン シ ァ ル で あ る か ら,各 そ こ で,そ

導 体 表 面 上 で 一 定 で あ る.

れ は積 分 の外 に 出せ て

こ こ で,(4.10)”

を つ か う と右 辺 の 各 項 と も ０ に な る.し

た が っ て,(4.18)の

右

辺 の 第 ３項 は 消 え て

と な る.ε(x)＞0な る.よ

る こ と に 注 意 す る と,(4.19)の

右 辺 の 第 ２項 は つ ね に 正 で あ

っ て,

な る結 論 が え られ た.つ

ま り,(4.13)と(4.14)を

の エ ネ ル ギ ー は 最 小 で あ る.

み た す 電 場 の,す

な わ ち静 電場

  い ま,空

間 内 に 固 定 され た 導 体 系 に,適

当 に 電 荷 を あ た え た と し よ う.次

そ れ らの 導 体 の い くつ か を 結 合 した と き,電 新 しい 安 定 な 状 態 に お ち つ き,新 と き,適

荷 は 移 動 を は じ め る.そ

算 す る.そ

して最 後 に

し い 静 電 場 が つ く ら れ る で あ ろ う.こ

当 に 新 し い 電 荷 分 布 を 仮 定 し て,そ

に,

の よ うな

れ に と も な う電 場 の エ ネ ル ギ ー を計

れ が 簡 単 に 求 め られ る と き に は,上

のThomsonの

そ の エ ネ ル ギ ー を 極 小 に す る 条 件 を求 め れ ば,新

定 理 に よ っ て,

しい静 電 場 にお け る電 荷分 布 が

決 ま る．   [例題] 静 電場 に お ける 電荷 分 布  図4.2の

よ うに導 体Aを

が い に絶 縁 され て い る とす る.AにQ1,BにQ2の をあ た え た と し よ う.次

導 体Bが

か こ ん で お り,た

電荷

に十 分 遠 方 に あ る電 位 計CにA

をむ す ぶ と,そ れ に電 荷 の一 部 が 移 動 す る.こ の電 荷 の 量 QをThomsonの

定 理 に よ って 求 め て み よ う.こ の と き,

導 体Aの 表面 と導体Bの 内面 とは コ ンデ ンサ ー をつ くって い るか ら,こ の 静電 容 量 をCABと す る.ま た,導 体Bの 外 面 に よる静 電 容量 をCB,電 位 計 にQな

位 計 の それ をCと

す る.電

る量 の電 荷 が 移 動 した と仮 定 す る.す

Aの 電 荷 はQ1−Q,し 荷 は −(Q1−Q)で Q2+(Q1−Q)が

たが っ てBの

る と,

内面 に誘 起 され る電

あ た え ら れ る.Bの

外面 には電荷

発 生 す る.こ の とき,全

系 の エ ネ ル ギー 図4.2  電 荷 の 再分 配

Weは

電 荷Qの

移 動 のす え静 電 場 が で き る が,そ れ はThomsonの

定 理 に よ って,次 の よ うに

して決 まる ．

これ よ り,移 動 した 電 気量Qは

である. §５ 導 体系 の静 電 場   い くつ か の導 体 が 空 間 内 の一 定 の位 置 に 固定 され て い る と き,前 節 の例 題 の よ うな場合 には,導 体 系 に お け る電場 の あい だ に相 関 関係 が ない の で,電 場 の エ ネ ル ギ ー を簡 単 に求 め る こ とが で き て,Thomsonの

定 理 を適用 をす る こ とに よ っ

て,各

導 体 面 上 の 電 荷 量 を知 る こ と が で き た.し

れ か 一 つ に 電 荷 を あ た え る と,そ る.つ

の 導 体 だ け で な く他 の 導 体 の 電 位 も ま た 上 昇 す

ま り,導 体 間 に は 相 関 関 係 が あ っ て,そ

め る こ と は む ず か し く な る.そ あ た え な く て は な ら な い.し

か し,一 般 に は 導 体 の う ち の ど

れ を知 る に は,電

か し,そ

た い て い の 問 題 で は で き な い.し

の た め に 静 電 場 の エ ネ ル ギ ー を求 場 の強 さ を 空 間 の 各 点 に お い て

れ が で き る の は 特 別 な 場 合 だ け で あ っ て,

か し,上

に の べ た 相 関 関 係,つ

に 電 荷 を あ た え た と き の 他 の 導 体 の 電 位 の 上 昇 は,各 び そ れ ら の 配 置,そ

導 体 の 幾 何 学 的 形 状,お

静 電 場 に つ い て の 知 識 が な くて も,あ 体 系 に お い て,次

  n個

の 導 体 が 空 間 内 に 固 定 さ れ て い て,そ

と す る.こ

なわ

の 定 理 が な りた つ こ と が 示 され る.

れ ぞ れ の電 位 が

…Qn'に

間の各点における

る 程 度 の こ と を知 る こ と が で き る.す

ち,導

をQ1',Q2'…

よ

れ か ら誘 電 体 の 誘 電 率 に よ っ て 決 ま っ て く る は ず で あ る.こ

の と き の 各 導 体 上 の 電 荷 量 と電 位 と の 間 の 関 係 に つ い て は,空

あ た え た と き,そ

ま り一 つ の 導 体

れ ぞ れ にQ1,Q2,…

φ1,φ2,…… φnで

変 え た と き,そ

…Qnの

あ っ た と す る.次

れ ぞ れ の電 位 が

電荷 を に,電

φ1',φ2'…… φn'に

荷

な った

の とき

な る 関 係 が あ る.こ   こ の(5.1)の

れ をGreenの

相 反 定 理 と い う.

関 係 を こ こ で は き わ め て 初 等 的 な 方 法 に よ っ て 証 明 す る.ま の と き,第

い た 点 電 荷 系e2,e3…

あ る場 所 に で き た 電 位 を φ1と す る .

…enに

よ っ て,e1の

１番 目 の 点 電 荷e1を

ず,

す べ て の 電 荷 が 点 電 荷 で あ る と し よ う.こ

のぞ

明 らか にそ れ は

で あ た え られ る． な お,静 お こ う.こ

電 場 の と き は 自 己場 は 考 え な く て よ い こ と を 注 意 し て

の 両 辺 にe1’ を か け る と

ま った く同 様 に して

これ らを加 えあ わせ る と

す な わ ち,点

電 荷 系 に 対 し てGreenの

の と き つ か わ れ た の は,静 る こ と と,そ

相 反 定 理 が な りた つ こ と が 示 され た.こ

電 ポ テ ン シ ァル が そ れ ぞ れ の 点 電 荷 の 電 気 量 に比 例 す

れ が ス カ ラ ー 量 で あ る こ と か ら各 点 電 荷 か らの 寄 与 の 代 数 的 和 で あ

た え られ る こ と,そ れ か ら ２点 電 荷 間 の 静 電 ポ テ ン シ ァル が そ れ ら の 間 の 距 離 の み に よ る とい う こ とで あ る.つ

ま り,ポ テ ン シ ァル が 距 離 の ど の よ う な 関 数 に な

っ て い る か と い う こ と に は 関 係 が な い とい う こ と に 注 意 さ れ た い.次 果 を 導 体 系 に 拡 張 し よ う.k番

目 の 導 体 に 目 を つ け,そ

無 限 個 の 点 電 荷 ωk'dSkの 集 合 とみ な す.す る か ら,導

n個

に,上

の結

の 表 面 上 の 電 荷Qk'を

る と導 体 表 面 上 で は電 位 は一 定 で あ

体 表 面 上 の積 分 の そ とに だせ て

の す べ て の 導 体 面 上 で こ の 性 質 が な りた つ か ら,(5.2)は

次 の よ うに か け

る.

こ れ が,Greenの   Greenの

相 反 定 理 で あ る.

相 反 定 理 を 応 用 し て え ら れ る ２,３の 結 果 を 調 べ よ う.上

体 に お い て,Q1=Q2'=Q以 (5.1)か ら

のn個

外 の 電 荷 は す べ て ０ で あ る と し て み る.す

の導 る と,

つ ま り,導 体 １にQ1=Qな ２にQ2'=Qな φ1'に

る電 荷 を あ た え た と き の 導 体 ２の 電 位 φ2は,導

る電荷 を あ た えた とき の 導 体

体

１ の電 位

ひ と し い.

  次 に,２

個 の 導 体 が あ っ て,一

る も の と す る(図5.1参 あ る.導

照).Pは

方 は他 方 を か こ ん で い 二 つ の 導 体 間 の １点 で

体 の電 位 が φ1',φ2'の と きP点

あ る と し よ う.次

の 電 位 は φP'で

に 二 つ の 導 体 を 接 地 し て,P点

な る 点 電 荷 を お い た と き,各 とQ2を

求 め よ う.は

Q1',Q2'と

す る と,次

にq

導 体 に 誘 導 さ れ る 電 荷Q1

じ め の導 体 上 の電 荷 をそ れ ぞ れ

図5.1  導 体 に か こ まれ た 他 の導 体

の 表 が で き る.

相 反 定理 か ら

一 方 導 体 ２ は 導 体 １を か こ ん で い る か ら,

これ ら を解 く と,

が え ら れ る.   導 体 系 に お け る 電 荷 と 電 位 の あ い だ の 関 係 を,Greenの

相 反 定 理 を も ち い て,

さ ら に くわ し く調 べ よ う.導 体 １に だ け 単 位 電 荷 を あ た え た と き,つ

の と きの各 導 体 の電 位 を

と し,ま

た

の と きの各 導 体 の電 位 を

の と きの各 導 体 の 電 位 を

とす る.次 に導 体 の それ ぞ れ に

ま り

Q1,Q2,Q3…

…Qnの

とす る,(5.3)と(5.6)と

に相 反 定 理 を適 用 す る と

が え ら れ,(5.4)と(5.6)を

以 下,同

電 荷 をあ た えた とき の各 導体 の電 位 を

つ か うと

様 に して

が え られ る.こ

と な る.こ

れ ら を ま と め て か く と,

の と き,Pijを

す る け れ ど も,導

電 位 係 数 とい っ て,こ

れ は周 囲 の 媒質 の性 質 には 関係

体 の 電 荷 や 電 位 に は 関 係 せ ず,導

け 関 係 し て い る 量 で あ る.次

に,(5.3)と(5.4)に

な る 関 係 が あ る こ と が わ か る.同

体 の 幾 何 学 的 形 状 と配 置 に だ

相 反 定 理 を適用 す る と

様 に して

な る性 質 を み と め る こ と が で き る.   (5.7)をQiに

とか け る.こ う.そ

つ い て 解 い た とす る と

こ でCiiを

導 体iの

静 電 容 量 係 数,Cij(i≠j)を

の理 由 は 次 の と お り で あ る.い

て 電 位 を ０に し た と き,Qi=Cikと 導 体 は 全 部 接 地 した と き,導

導 体 を 接 地 し て お い て,i番 荷 で あ る.つ

ま りCiiは

φk=1と

な る.し

体kの

た え る べ き電 荷 で あ る.i=kの

ま

の導 体 は全 部 接 地 し

た が っ て,Cikは

電 位 を １Voltに

と き はQi=Ciiと

導 体iの

第k番

す る た め に,導

な る が,こ

目 の 導 体 自身 の 電 位 を １Voltた 静 電 容 量 そ の も の で あ る.し

立 し た 導 体 の そ れ と は 異 な る こ と に 注 意 さ れ た い.   (5.8)の 関 係 に 対 応 し て

し て,他

静 電誘 導 係 数 とい

目以 外 の 体iに

あ

れ は他 のす べ て の か め る に要 す る電 か し,こ

れ は孤

な る 関 係 が あ る こ と を 示 し て お く.(5.7)をQjに

と な る.こ

こ で￨P￨は

は￨P￨か

ら第i行

￨Pij￨は

係 数Pijに と第j列

余 因 数 で あ る.こ

と か か れ る.さ

で あ る.こ

つ い て 解 く と,

関 す るn行n列

の 行 列 式 で あ り,ま た ｜Pij｜

を 除 い て え られ る 行 列 式 で あ る.つ

ま り(−1)i+j

れ を(5.9)と 比 較 す る と

て

こ で 第 ２番 目の 等 号 で は(5.8)を

の 行 と列 と を い れ か え た.こ

つ か い,第

３番 目 の 等 号 で は 行 列 式

れ よ り

と な る.   [例 題

１]静

電 し ゃへ い   図5.2の

よ う に,導

は 導 体 １ を 完 全 に か こ ん で い る と す る.さ

体 ２

て,(5.9)

から

で あ る.い まQ1=0と

す る と,導 体 内 部 に は電場 はな

く,導 体 １と導 体 ２の電位 は等 しい.し た が って

で あ る.ゆ

え に(5.13)は

図5.2静

電 しゃ へ い

とな る.こ の 関係 は φ2と φ3の値 に よ らず に 成立 す るか ら,

で な け れ ば な ら な い.こ

れ ら の 関 係 を(5.13)に

代入す ると

と な る.   そ こ で 導 体 ２ を 接 地 す る と,φ2=0で

あ るか ら

とな る.す な わ ち,導 体 １の電 位 φ1は 導 体１ に あ た え る電 荷Q1の

値 だ けで決 ま り,導

体 ２お よび導 体 ２の外 部 にあ る導 体 ３に あ た え る電 荷 に は 関係 しな い.こ

の よ うな 状 態 に

あ る導 体 １は導 体 ２に よ って静 電 し ゃへ い され てい る とい う.   [例題 ２]コ ンデ ンサ ー の静 電 容 量  図5.3に 示 す よ うに,２ 個 の 導 体 が あ って,そ の 一 方 に電 荷+Q,他 方 に電 荷 −Qが あ た え られ て い て,一 方 か らで た 電 気 力 線 が 全 部 他 方 に は い る よ うな 体系 を コンデ ンサ ー とい う.   コ ンデ ンサー の 静電 容 量Cは,２

個 の導 体 間 の電

位差 を 単 位 だ け 増 加 させ るの に 必 要 な 電荷 量 と し て,

で定 義 され る.こ こで φ1は導 体 １の 電位,φ2は

導

体 ２の 電 位 で あ る.   は じめ に この導 体 系 の 電位 係 数 と静電 容 量Cと の 関係 を求 め よ う.(5.7)と(5.8)よ

であ る.こ

を う る.し

図5.3 

コ ン デ ンサ ー

り

れ よ り

たがって

次 に,静 電容 量 係 数 お よ び静 電 誘導 係 数 との 関 係 を調 べ よ う.こ の とき(5.9)と(5.10)か ら

で あ る.こ

れ を φ1と

φ2に つ い て 解 く と

を う る.こ

れ ら を(5.16)に

代入 す る と

な る 関 係 が え ら れ る.   さ て い ま,コ (5.17)と(5.18)の (5.7)か

よ う な 球 形 コ ン デ ン サ ー を 考 え て,

関 係 を 具 体 的 に 調 べ て み よ う.

ら

こ こで 外 球 Q1=0, 

ン デ ン サ ー の 例 と し て,図5.4の

２ に だ け 単 位 電 荷 を あ た え る と,

Q2=1で,し

φ1=φ2=1/4π

を う る.次

か も 内外球 の 電位 は等 し く

ε0bで あ る.し

た が っ て(5.19)よ

り

に 内球 に のみ 単 位電 荷 を あ た え る と

Q1=1,  Q2=0で,こ

の とき 内球 の 電位 は

φ1=

1/4πε0a,外 球 の そ れ は φ2=1/4π ε0bで あ る.こ ら を(5.19)に

れ

図5.4  球 形 コ ン デ ンサ ー

代入すると

と な る.(5.20)と(5.21)を   (5.20)と(5.21)の

比 較 す る と,た

結 果 を(5.19)に

と な る.(5.22)をQ1とQ2に

しか にP12=P21で

あ る こ と を 知 る.

代入 す る と

つ い て解 くと

こ れ よ り,

で あ る こ と が わ か る.   (5.20)と(5.21)を(5.17)に

代 入 し,ま

た(5.24)を(5.18)に

代入 す る と

とな る.こ の結 果 は,静 電 容 量 を(5.16)の 定 義 に した が っ て直 接 に 求 め た もの と一 致 して い る.

§６ 誘 電 体 中 のGaussの

法則

  第 ３章 で,わ れ わ れは 物 質 中 の電 磁場 を記 述 す る基本 方程 式 をみ ちび い た.そ の とき,物 質 の存 在 に よっ て電 磁場 は変 化 を うけて,電 磁 場 はEとBの それ ら と独 立 な 電束 密 度Dと

磁 場 の強 さHと

ほ かに,

い う物 理量 に よ っ て 記述 され る

こ とを知 った.こ れ らの 新 しい場 の量 の物理 的意 味 を,静 電 場 の場 合 に つ い て, も う一 度 考 え て み るの は無 駄 では な い であ ろ う.   誘電 体 をみ た した空 間 の な か に真電 荷Qeを

お い た とき,そ の 周 囲 の誘 電 体 に

は どの よ うな変 化 が お きる で あ ろ うか.誘 電 体 を構 成 す る物 質 分子 内 の電 子 の ほ とん どす べ て は,原 子核 に束 縛 され てい て 自由に動 き まわ る こ とは で き ない ． こ の よ うな分子 の集 合 体 で あ る誘 電体 に,外 部 か ら真 電 荷Qeに

よる電 場 が作 用 す

る と,そ れ ぞれ の分子 内 の原 子核 と電子 とに は反 対方 向 の力 が はた らい て,図6.1の

よ うに正 負 の電 荷 分布 の分

離 がお き,分 子 は分 極 現 象 をお こす こ とに な る.こ

う

して分極 した分 子 は そ の周 囲 の空 間 に電 場 をつ くり,こ の電 場 が さらに 分子 の分 極 を うな がす こ とにな る.こ の

図6.1  分 極 した原 子

よ うな 過程 をへ て定 常 状 態 に達 した と き,分 極 分 子 か らな る体 系 は 微 小 な 電気 双 極 子pの

集合 体 とみ な す こ とが で きる.こ の とき,こ れ らの分 極 分 子 の 間 の す き

間や,あ る いは 分極 分 子 １個 に作 用 す る電 場 が第 ３章 §２の例 題 で 説 明 した分 子 電 場 で あ る.し か し.第 ３章 で問 題 に した物 質 中 の電磁 場 は,こ の よ うな微 視 的 な電 磁 場 で は な く,巨 視的 に は十 分 小 さい が,し か し 微 視 的 な観 点 か らみれ ば きわ め て大 きい 領域 に わ た っ て平 均 した巨 視 的 な電 磁場 で あ った.   こ こで もそ の立 場 の も とに,誘 電 体 中 の静 電 場 の性 質 を調 べ る.こ の よ うな考 え方 か らす る と,分極 分 子 の 集 合 体 は連 続 体 とみ なす こ とが で きて,そ れ は 図6.2 に 示 す よ うな,そ れ ぞ れ 正 負 の 等 量 の電 荷 で一 様 に 帯 電 した 物 体 をぴ った り重 ね 合 わせ てお い てか ら, 正 電 荷 を もつ物 体 を少 しず ら した もの とみ な され る. 図6.2  分 極 ベ ク トル

この とき物 体 の両端 に だけ 正負 の表 面 電 荷 が しみ だす

こ と に な る.こ ち,そ

の よ う な 状 態 を表 現 す る た め に,ず

ら した 正 電 荷 の 移 動 方 向 を も

の 大 き さ が 物 体 内 に と っ た 任 意 の 単 位 面 を 垂 直 に通 りぬ け る 電 荷 量 で あ た

え ら れ る ベ ク トルPを

導 入 す る ． こ れ が 分 極 ベ ク トル で あ る.さ

の よ うな 任 意 の 二 つ の 断 面S1とS2を

考 え る と,ど

て,図6.2

の よ うな断 面 を通 過 す る全

電 荷 量 も相 等 しい は ず で あ る か ら

の 関 係 が 成 立 す る.   これ ま で は,分

極 ベ ク トルPは

い る と し た が,一

般 に は こ の 分 極 ベ ク トル は 場 所 の 関 数 に な っ て い て,P(x)と

空 間 的 に 一 様 な 大 き さ と一 定 の 方 向 を も っ て

か かれ な けれ ば な らな い.実 際 図6.3の に,真 電 荷Qeを

よう

も つ物 体 の ま わ りの空 間 に

で きて い る分 極 は 場 所 に よ って 変 化 す る.こ のQeを

か こ む任 意 の 閉 曲 面Sを

考 え る と,

誘 電 体 の分 極 に よ っ て この 閉 曲 面Sを

通過す

る全 電 荷 は

で あ た え られ,そ

の 値 はQeを

か こむ閉 曲面 で

さ え あ れ ば ど の よ うな 閉 曲 面 を と っ て も変 わ ら

図6.3誘

電体 中 のGaussの

法則

な い.

さて,真 電 荷Qeが

正 電 荷 で あ る とす れ ば,真 電荷 を もつ物 体 の表 面 に しみ だ

してい る表 面電 荷 は 負 の電 荷 で あ り,そ の全 量 は

で あ た え ら れ る.そ

こ で 図6.3の

上 にGaussの

法則 を適 用 す る と

とな る.と

ころが上 に のべ た よ うに

よ う な 任 意 の 閉 曲 面Sを

考 え て,そ

の面

で あ る か ら.(6.1)は

と か く こ とが で き る.移

と な り,こ

項する と

こで電 束密 度

を 導 入 す る と,(6.3)は

と あ らわ さ れ る.(6.5)を

微 分形 式 で あ らわせ ば

と な り,こ

れ が(1.3)のGaussの

法 則 で あ る.

  な お,静

電 場 を決 定 す る も う一 つ の 基 本 法 則 で あ る(1.3)の

第 １式 に つ い て は,

誘 電 体 の あ る な し に か か わ らず 同 じ

で あ た え られ る.な

ぜ な ら,(6.1)を

み れ ば 明 ら か な よ うに,誘

電体 の存 在 は 表

面電荷

の 存 在 に よ っ て 代 表 さ れ,空 る.そ

間 は 何 の 物 質 も な い 真 空 とみ な さ れ て い る か ら で あ

し て こ の 真 空 空 間 に 静 電 場E(x)を

つ く っ て い る の が,真

電 荷Qeと

その

上 の 表 面 電 荷 な の で あ る.   [例題]誘

電 率 と平 行 板 コン デ ンサ ー  Faradayは

そ の静 電 容 量 が増 大 す る こ とを発 見 した.コ 量 がC0で

コ ンデ ンサ ーに 誘 電体 を挿入 す る と,

ンデ ンサ ー の なか が 真 空 で あ る とき の 静 電 容

あ っ た とす る と,こ れ に誘 電 体 をい れ た ときの 静 電容 量 は

に 増大 す る.も とも と,比 誘 電 率 ε*は このCとC0と

の 比 で定 義 され たの で あ る.静 電

容 量 が なぜ 増 大 す るの か とい う理 由 を考 え る こ とに よっ て,Faradayの

発 見 の物 理 的 意 味

が 明 らか にな るで あ ろ う. 簡 単 のた め,面 積Sの 平 面 導 体 を ２枚 用 意 して,そ れ らの 距離 をdだ けお い た平 行 板 コ ン デ ンサー に対 して考 察 しよ う.電 極 間 を真 空 に して おい た とき,両 極 板 に表 面 密 度 ±ωe

の 電 荷 を あ た え た とす る(図6.4参

照).こ

の と き の 電 場 の 強 さ は,第

１章 の(6.4)と

同様

に して

に よ っ て あ た え ら れ る.さ (1.5)か

て 静 電 ポ テ ン シ ァル の 定 義

ら,

した が っ て,こ の とき の静 電 容量 は

図6.4  平 行板 コン デ ン サー

で あた え られ る.   図6.4の

コ ンデ ン サ ー に誘 電 体 を挿 入 し た と し よ う.す る と,極 板 上 の ±ωeの電荷 は

誘 電 体 を構 成 す る分 子 を分 極 させ る.そ の分 極 に よ っ て生 じた 電場 は,さ の 分 極 を う な が す.こ 態 に 達 し た と き,極

らに他 の分 子

の よ う な 過 程 を へ て,定

常状

板 面 上 に 〓ω'な る分 極 電 荷 が 誘

導 さ れ た と し よ う(図6.5参

照).そ

の た め に,極

上 の 電 荷 は み か け の う え で は,±(ωe−

板

ω')と な る.

こ の 電 荷 が コ ン デ ン サ ー の な か に 電 場 を つ く る か ら,

それは 図6.5  誘 電 体 を いれ た 平 行板 コ ン デ ンサ ー

で あ た え られ る.さ て,± ω'に よ って で き る電 場 の 部 分,す

な わ ち分 極 電 場 をPと

かく

と

で あ る.し か し,こ の 分極 電 場Pは

電 場Eに

よ って誘 起 され た もの で あ るか ら,EとP

との あい だ に は関 係 が あ る はず で あ る.通 常 の物 質 の場 合 に は

な る 関 係 が あ り,x*を こ と は,も が,(6.11)の

電 気 比 感 受 率(electric

susceptibility)と

と も とこ の よ うな分 極 の お き た原 因 は 右 辺 の 電 場 は ωeに

± ωeな

よ る 電 場E0(6.8)で

が,分 極 の 原 因 と し て は ± ωeの 電 荷 の 存 在 の ほ か に,誘

こで 注 意 すべ き

は な い こ と で あ る.上

に ものべ た

電 体 の 分 極 自身 が そ の 分 極 を 促 進

す る の に 協 力 す る と い う効 果 が あ っ た こ と を 考 え あ わ せ る と,分 の 電 荷 に あ る と 考 え な け れ ば な ら な い.(6.9)と(6.10)か

い う.こ

る電 荷 の 存 在 に あ るわ け で あ る

極の全原因は

±(ωe− ω')

ら

し た が っ て,

とな っ て,真

空 の と き の ε0E0=ωeに

お け る ε0E0の 役 目 を(ε0E+P)が

演 ず る こ と に な る.

そ こ で 電 束 密 度D≡

と な り,は

ε0E+Pを

導 入 す る と,(6.12)は

じめ に あ た えた 電荷

電 荷 で,ωe−

ωeに

ω'を み か け の 電 荷(自

荷 で あ る こ と を 考 え る と,こ

よ り生 ず る 場 は

ε0E0か

由 電 荷 と も い うが,真

らDに

変 化 す る.ωeが

真

電 荷 こ そ 自 由 電 子 に も と づ く電

の 名 称 は 適 当 で は な い)と い う.(6.13)と(6.11)か

ら

し た が っ て,

とか け る.こ れ は誘 電 体 の 挿 入 に よ る電 場 の変 化 を示 して い る.さ

て,静

電 ポ テ ン シ ァル

は,誘 電 体 の あ る な しにか か わ らず, で定 義 され る か ら,

で あ る.(6.14)と(6.15)と

か ら,

静 電 容量 の定 義 に よ っ て,

つ ま り,誘 電 体 を挿 入 す る と静 電 容 量 は(1+x*)倍

だ け増 大 す る こ とが わ か っ た.そ

の原

よっ て明 確 に示 され て い る.比

誘電

因 が誘 電 体 の分 極 に よ る もの で あ る こ とが,(6.16)に 率 の定 義 は

であ た え られ るか ら,比 誘 電率 は電 気 比感 受 率 を用 い て

と か け る.し

た が っ て,Dは

と か く こ とが で き る.

§７ 誘 電体 の 境 界条 件   誘 電 体 の な か で の 電 場 の 様 子 を 調 べ る に は,Poissonの Laplaceの

方 程 式(1.8)を

と が 必 要 で あ る.そ

解 か ね ば な らな い.そ

こ で こ こ で は,誘

て 要 求 さ れ る 条 件 を調 べ よ う.

方 程 式(1.5),あ

れ に は,境

るい は

界 条件 をあ た え る こ

電 率 の 異 な る ２種 の 誘 電 体 の 境 界 面 に お い

 ２種 の 誘 電 体 の 比 誘 電 率 を そ れ ぞ れ ε1*と ε2*と す る.こ 面の 一 部 を か こ む,き こGaussの

わ め て うす い,断

面積 が 〓

れ らの誘 電 体 の境 界

の 微 小 円 筒 を 考 え て,そ

こ

法則

を適 用 し よ う.こ

の と き,考

え て い る 円筒 の なか には

真電 荷 の 分 布 は な い も の と し た 。 図7.1に 断面 が え が か れ て い る.円

は 円筒 の

筒 の 厚 さ を無 限 小 に と る

と,(7.1)は

図7.1 電束密度の法線成 分の連続性

とか か れ る.

とえ らぶ と,

らる い は 、

(7.2)か ら電 束 密 度Dの

法 線 成 分 は 連 続 で あ る こ と,ま

た(7.3)か

ら電場 の強 さ

Eの 法 線 成 分 は 不 連 続 で あ る こ と が わ か る.

次 に接 線 成 分 につ い て の境 界 条 件 を調 べ て お く.図 7.2の よ うに,誘 電 体 の境 界 面 に ま たが る微 小 な長 方 形 D閉 曲 線 を考 え て,そ れ に よ りか こ まれ る面 積 をSと し,境 界 面 に平 行 な単 位 ベ ク トル を

とす る.こ れ に静電 場 の基 本 方 程式 の一 つ で あ る 図7.2  電 場 の 接線 成 分 の 連続性 を適 用 す る.Stokesの

とか け る.こ

ここ で,〓

定 理 に よ って

れ か ら

は 閉 曲 線 の 境 界 面 に 平 行 な 一 辺 の 長 さ で あ る.ま

た,閉

曲線 の境 界

面 に 垂 直 な 辺 か らの 寄 与 は,そ

の 辺 の 長 さ を無 限 小 に と る こ と に よ っ て 消 え る.

これ か ら

が え られ る.つ

ま り,電 場Eの

接 線 成 分 は 連 続 で あ る.し

た が っ て,

よ り,電 束 密度 の接 線 成分 は不 連続 とな る.  上 の結 果 か ら,電 場 あ るい は電 束 密度 の誘 電 体 の 境 界 面 で の 屈折 の 法則 が え られ る.す な わ ち,図 7.3に お い て電 束密 度 の法 線 成 分 の 連 続 性(7.2)か ら

一 方 ,接 線 成 分 に つ い て は,(7.6)か

図7.3  電 場 の 屈折 の法 則

ら

こ れ ら を くみ 合 わ せ る と,

な る屈折 の法 則 が え られ る.

§８ 境 界 値問 題   §１ の おわ りで のべ た よ うに,静 電 場 の問 題 で もっ とも高級 な問題 は次 の型 の も ので あ る.た とえ ば,い くつ か の導 体 が 誘 電体 のな か に 固定 され て い る と して, そ れ ぞ れ の導 体 に 一定 量 の電 荷 をあ た え るか,あ る い はそ れ らの導 体 の電 位 を あ た えた とき,誘 電体 内 の静 電 場 を決 定 し,ま た 同時 にそ の導 体 上 の電 荷 分 布 を も 決 める とい う型 の 問題 で あ る.こ の種 の問 題 を と りあ つか うた め には,導 体 表 面 上 で あ た え られ た静 電 ポ テ ンシ ァル の値 を境界 条件 と して,Laplaceの

あ る い は,も

っ と 一 般 に はPoissonの

方程 式

方程式

を解 か な くて は な らな い.こ の場 合,真 電 荷 の空 間 的 分布 ρe(x)はあた え られ た もの とす る.も し,上 の方 程 式 が解 けた な らば,導 体 表 面S上

の表 面 電荷 の密

度 分布 ω は

で あ た え ら れ る.こ ル で あ り,nに よ う に,Gaussの

こ でnは

導体 表面 に外 向 きに た て た法線 方 向 の単 位 ベ ク ト

よ る微 分 はn方 法 則(4.10)を

向 へ の 方 向 微 分 で あ る.(8.3)は,容

易 に わか る

導 体 表 面 上 の 微 小 部 分 に適 用 し た も の で あ る.

(8.1)あ

る い は(8.2)の

偏 微 分 方 程 式 を,問

題 に適 し た 境 界 条 件 の も と に 解 く こ

と は,特

殊 の 場 合 を の ぞ い て は 一 般 に 困 難 で あ る.そ

し て 個 々 の 問 題 に 対 し て,

特 殊 な 数 学 的 技 巧 を工 夫 す る必 要 が あ り,そ れ ら は 物 理 学 の 問 題 とい うよ りも 応 用 数 学 の 問 題 で あ る とい っ て も よ い で あ ろ う.こ

こ で は,物

理 学 の他 の領 域 にお

い て も よ く利 用 さ れ る,な る べ く一 般 的 な 方 法 に つ い て の み 概 説 す る に と ど め る. 等 角 写 像 法 な ど の 特 殊 な方 法 に 興 味 の あ る 読 者 は,そ

の 方 面 の 専 門 書 を 参 照 され

た い.   (１)  鏡 像 法(method

of images)

  空 間 内 に 点 電 荷 と導 体 と が あ る 場 合 を 考 え て み よ う.こ に 点 電 荷 が あ る と き のPoissonの

の と き,r0な

方程 式

を適 当 な境界 条 件 の も とに解 く必 要 が あ る.し か し導 体 の形 お よび そ の表 面上 で の電 位,つ ま り境 界 条 件 が きわ め て簡単 であ る とき には,(8. 4)を 苦 労 して解 か な く とも,問題 の対 称 性 か ら, 解 の形 をあ る程 度予 想 す る こ とが で きる.そ の 方 法 の一 つが 鏡 像 法 とい われ る もの で あ る.こ こで は,こ の方 法 を簡 単 な例 をあ げ て説 明 す る.  半 無 限 空 間 にひ ろが る接 地 され た導体 の ま え に,そ

の表 面 か ら距離aを

お い て 点電 荷+e

図8.1  鏡 像 法

る位置

を お い た と し よ う(図8.1).こ 距 離 に あ る 点Pに

で あ た え ら れ る.し

か し,こ れ で は,導

電 荷 か らrな

る

体 表 面 上 で 電 位 が ０ で あ る とい う境 界 条

こ で 導 体 の か わ りに,境

の 点 電 荷 を お い て み る.こ

で あ る.こ

し 導 体 が な け れ ば,点

お け る 静 電 ポ テ ン シ ァル は

件 は み た さ れ な い.そ

シ ァ ル は,明

の と き,も

界 面 に対 して対 称 的 な 位置 に

れ ら の ２個 の 点 電 荷 の つ く るP点

−e

にお け る静電 ポ テ ン

らか に

こ で,r'は

で は 明 ら か に(8.4)の

−eの

点 電 荷 か らP点

ま で の 距 離 で あ る.こ

解 に な っ て い る.(8.5)を

あ る か ら静 電 ポ テ ン シ ァル は ０ と な っ て い て,導 た 境 界 条 件 が うま くみ た さ れ て い る.こ

み る と,境

れ も導 体 外

界 面 上 で はr＝r'で

体 が あ った と きに要 求 され てい

の よ うに,導

体 表 面 を鏡 の よ う に 考 え て

鏡 内 に で き る 点 電 荷 の 像 の 位 置 に 適 当 な 電 荷 量 の 点 電 荷 を お く こ と に よ っ て,導 体 面 上 の 境 界 条 件 と(8.4)と

を 同 時 に み た す よ う に す る こ と が で き る.こ

の方法

を 鏡 像 法 とい う.   点 電 荷+eの

存 在 に よ っ て,導

(8.3)か ら求 め ら れ る.す

体表 面 上 に 誘 導 され る 電 荷 の 表面 密 度 ω は

な わ ち,

ここで

な る こ と に 注 意 す る と(図8.1参

照),す

ぐに

が え られ る.つ ま り導 体 表 面上 に誘 導 され る電 荷 の 表面 密 度 は

,点 電 荷 か らの距 離 の ３乗 に逆 比例 す る.誘 導 され た 全 電荷 量 は(8 .6)を 導体 の全 表 面 に わ た っ て 積 分 した らよい.そ の結 果 は

つ ま り完 全 誘 導 で あ る こ と が ,容

易 に た し か め られ る.

  (２)  極 座 標 系 に お け るLaplaceの

方 程式

 物 理 的 に重 要 な 意 味 の あ る 問 題 で は,し に対 称 性 を もつ も の が あ る.こ

ば し ば あ る点,ま

の と き に はLaplaceの

た は あ る軸 の ま わ り

方 程 式 を と りあ つ か う に

あ た っ て 極 座 標 系 を も ち い る と,物 理 的 に 見 通 し の よ い結 果 が え られ る シ ァ ン座 標 系(x,y,z)か

で あ た え られ る.こ

と か か れ る.そ が,次

ら極 座 標 系(r

方 程式 は

電 ポ テ ン シ ァル

の よ うに 変 数 分 離 で き る と す る.

こ れ を(8.9)に 代 入 す る と

と な る.こ

れ にr2sin2θ/U・P・Yを

ーテ

,θ,〓)へ の 変 換 は よ く知 られ て い る よ う に

の と き,Laplaceの

こ で い ま,静

.カ

か ける と

φ

図8.2極

座標系

が え ら れ る.こ

こ で 左 辺 はr,θ

こ の 両 辺 がr,θ,〓

の み の 関 数 で あ り,右 辺 は 〓 の み の 関 数 で あ る.

の 任 意 の 値 に 対 し て 等 し く な る た め に は,こ

く て は な らな い.こ

の 定 数 をm2と

れ らが 定 数 で な

か くと

これ は す ぐに解 け て

と か け る.Y(〓)が

〓 の １価 関 数 で あ る た め に は

な る 値 を と ら な く て は な らな い.同 き て,そ

様 の 手 続 き の す え,P(θ)とU(r)も

の と き に あ ら わ れ る 分 離 定 数 をl(l+１)と

分離で

か くと

と な る. (8.15)の

解 は一 般 に

で あ た え られ る こ とは 容 易 に た し か め られ る.AとBは に,(8.14)で

変 数 をx=cosθ

な る微 分 方 程 式 と な る.こ と くにm=0の

と な る.こ

積 分 定 数 で あ る.次

に して か き な お す と,

の 微 分 方 程 式 をLegendreの

陪 微 分 方 程 式 と い う.

と きを考 える と

れ を(3.5)と

ろ う.(3.5)の

比 較 す る と,ま

っ た く 同 じ形 で あ る こ と に 気 が つ くで あ

場 合 に は,lは

な る 値 の み を と っ た.(8.16)に

お い て,lの

値 と し て,(8.17)以

外 の値 を と った

と き に は,有

限 な 解 が 存 在 しな い こ とが 証 明 され る.し

(8.17)の 値 を と らね ば な ら な い.こ Pl(x)で

の と き,(8.16)の

た が っ て,(8.16)のlは 解 はLegendreの

多項 式

あ た え られ る.

  m=0の

場 合 に は,Y=1と

く な る.つ

ま り,こ

な っ て 静 電 ポ テ ン シ ァル φ は 角 度 〓 に は よ らな

の と きz軸

の ま わ りに 対 称 的 な 解 を考 え て い る こ と に な る.

以 下 の 議 論 で は,と

く に こ の 場 合 に つ い て の み く わ し く考 え る こ とに す る.こ

と き に は,(8.10)の

解は

で あ る.上 (8.17)の

の(8.18)の

み ち び き か た を反 省 す れ ば 明 ら か な よ うに,(8.18)のlが

値 を と る も の で あ る な ら ば,そ

Laplaceの

方 程 式 の 解 に な っ て い る.し

も ま た 解 で あ る.そ 般 解 で あ る.こ

の

し て,こ

れ が ど ん な 値 で あ っ て も(8.18)は た が っ て,そ

れ はLaplaceの

こ で,AlとBlと

の線 形 結合

方 程 式 のz軸

は 未 定 で あ る が,こ

みな

の ま わ りに対称 な一

れ らは境 界 条 件 に よ っ て

決 定 さ れ る.

  これ らの未 定 係 数 が境界 条 件 に よ って どの よ うに決 定 され るか を示 す た め に,半 径aの

球殻

を考 え て,そ の表 面 上 で静 電 ポテ ンシ ァル が あ た え られ て い る場 合 を考 え よ う.球 面 上 の そ れ を φ(a,θ)とす る.は じめ に,球 殻 の 内部 の 静電 ポ テ ンシ ァル を求 め よ う.球 内 の原点 に点 電荷 が な い とす れ ば,そ こで静 電 ポテ ン シ ァル は有 限 で な く て は な ら な い.し

た が って,(8.19)の

０ と お か な くて は な ら な い.ゆ

し か る に,球 い る か ら,

面 上r=aに

え に,球

図8.3  球 面 上 の 静電 ポ テ ンシ ァ ル をあ た えた とき の静 電 場

一 般 解 に お い て,す

べ て のBlを

内では

お い て は 静 電 ポ テ ン シ ァル は φ(a,θ)と あ た え られ て

こ れ にPl(cosθ)を

し た が っ て,係

(8.21)を(8.20)に  次 に,球

か け て 積 分 し,(3.6)の

数Alは

境 界 値 φ(a,θ)の 関 数 と し て 次 の よ う に 決 ま る.

代 入 す る こ と に よ っ て,球

内 の 静 電 ポ テ ン シ ァル は 決 定 す る.

殻 の 外 部 に お け る静 電 ポ テ ン シ ァル を決 定 し よ う.無 限 遠 方 で そ れ が

消 え る とい う条 件 を考 え る と,こ ば な ら な い.す

で あ る.こ

公 式 をつ か う と

な わ ち,こ

れ を,(3.9)と

ん ど は(8.19)で

す べ て のAlを

の と き一 般 解 は

比 較 し てみ る と,こ

こ とが で き る で あ ろ う.未 定 係 数Blを

の展 開 式 の 物 理 的 意 味 を 理 解 す る

決 め る に は,ま

え と 同 様 に す れ ば よ い.

球 面 上 で あ た え た 静 電 ポ テ ン シ ァ ル は φ(a,θ)で あ る か ら,

これ よ り

０ とお か な け れ

した が っ て,

と な る.こ

れ を(8.22)に

代 入 す る こ と に よ っ て,球

外 の静 電ポ テ ンシ ァル が求 ま

る. [例題 １]一 様 な 静電 場 のな か の球 形 導体z方

向 に一様 な電場E0=￨E0｜

が あ った とす

る.そ こに球 形 の導 体 を も ちこん だ とき,導 体表 面 上 には電 荷 が誘 導 され て,そ 荷 によ って つ くられ る静 電 場 が は じめの 静 電場E0と

の誘導 電

重 な って,で き あが っ た静電 場 はE0

とは 大 分 様 子 がか わ っ て くる で あ ろ う.こ の静 電 場 と導 体 上 に誘 導 され る電 荷 の 表 面 分 布 を求 め よ う.  導 体 表 面 上 の電 位 を ０ とと る と,も ち ろ ん原 点 で も電 位 は ０で あ る か ら,は じめ の 一 様 な 静電 場 の静 電 ポ テ ンシ ァル φ1は

で あ た え られ る.導

体 球 の 外 部 で,Laplace

の 方 程 式 の 一 般 解 は(8.19)で る.こ

こ でr→

(8.24)を

と,と

∞

あた え ら れ

に お け る境 界 条 件

考 え る と,

る べ き で あ る こ と が わ か る.し

図8.4  一 様 な 静 電 場 の な か の 球 形 導体

たが って

次 に,導 体 表面 上 の 静 電 ポ テ ンシ ァル は ０で あ る とい う条 件 か ら

これ が θ の い か ん にか か わ らず な りた つ た め には

でな くて は な ら な い.し

と な り,こ

た が っ て,(8.25)は

れ が 求 め る 静 電 ポ テ ン シ ァル で あ る.(8．26)と(3.12)と

る よ うに,導

体 上 に誘 導 さ れ た 電 荷 は 大 き さ が4π εE0a3の

 導 体 上 の 誘 導 表 面 電 荷 分 布 は,(8.26)を(8.3)に

を比較 してみ る とわ か

電 気 双 極 子 を つ くっ て い る.

代 入 す る こ とに よ って

で あた え られ る.ま た 全誘 導 電 荷 は

と な る.こ

れ は 当 然 で あ る.

[例題 ２]一 様 な静 電 場 の なか の 誘 電 体球 誘電 率 ε2*なる誘 電 体 の なか に,z方 電場E0が

比

向 に一 様 な

あ っ た とす る.そ のな か に 比誘 電 率 ε1*

の誘電 体球 をお き,そ の 半径 をaと す る.こ の と き,例題 １とちが うの は球 面上 の境 界 条 件 で あ る.

図8.5一

様 な静 電 場 の なか の 誘 電体 球

無限遠 方 で の静 電 ポ テ ン シ ァル は,前 と同様 に

で あ るか ら,球 外 で の一 般解 は

で あた え られ る.球 内 で は,静 電 ポ テ ンシ ァル は有 限 で あ るか ら,一 般 解 は

で あ る.  問 題 は 未 定係 数BlとAlと

を誘 電 体 の表 面 上 で の境 界 条 件 に よっ て 決定 す る こ とで あ

る.§ ７で のべ た よ うに,こ の ときDの い.つ ま り,

法 線 成 分 とEの

接 線 成 分 が等 し くな けれ ば な らな

お よび

が要 求 さ れ る.と

こ ろ が,(8.32)の

条 件 が θの す べ て の値 に対 して成 立 して い る た めに は

で あ れ ば よ い.ま

ず(8.31)に(8.29),(8.30)を

代入す る と

あ るい は,か き なお して

これ が,θ の いか ん に か か わ らず な りた つ た め に は

で な け れ ば な ら な い.次

が え られ る.そ

に,(8.32')に(8.29)と(8.30)を

代入す ると

こで

これ よ り,

が え られ る.ま た原 点 で の 静 電 ポ テ ン シ ァル を ０と とる と

で あ る.(8.33)と(8.34)か

ら,l≧

２ に 対 し てAl=Bl=０

な る こ と が わ か り,ま

た

な る こ とが,簡 単 な 計算 の の ちみ ちび かれ る.こ の よ うに して,す べ ての未 定 係数 は決 定 し

と静電 ポ テ ンシ ァル が 確 定 す る.球 内 の電 場 は(8.37)よ り

で あ た え られ,そ れ はz方

向 の成 分 のみ を も ち,か つ一 定 で あ る.電 束 密 度 は

で あ り,ま た 分極 は

と な る.   上 で,ε1=ε0,ε2=ε*ε0と

す る と,誘

電 体 の な か に 空 洞 が あ る 場 合 と な り,ま

た ε1=ε*ε0,

ε2=ε0と す る と真 空 中 に 誘 電 体 球 を お い た 場 合 に な る.

  [例題 ３]静 電 場 内 の 小 誘 電 体 球 に 作 用 す る 力  ま ず,rの

位 置 に 電 気 双 極 子Pが

あ

り,こ れ に外 部 静 電 場E0(x)が 作 用 した とき,こ の静 電場 の な か で の 電 気 双 極 子 の位 置 の エ ネ ル ギ ー を求 め てお こ う.こ の 双 極 子 の 中心 の位 置 をr,+eの

電 荷 の位 置 をr+s/2,−e

の電 荷 の位 置 をr−s/2と す る と,こ れ らの ２個 の点 電 荷 の つ くる静 電 ポ テ ン シ ァル φ に よ る位 置 の エネ ル ギーVは

で あ た え られ る.こ

と な る.こ

こで

こ でr≫sと

して,sに

関 し て 展 開 し,そ

の １次 ま で と る と

で あ る.し た が って,電 気 双極 子pに

と あ ら わ さ れ る.さ

に お い て,A=p 

て,ベ

お く と,pの

う る.し

と か く こ と も で き る.し い る と き,こ

ク トル 解 析 の 公 式

B=E0(r)と

=(p・grad)E0(r)を

作 用 す る力 は

微 分 は ０,ま

たrot

E0=0よ

りgrad(p・E0(r))

た が っ て,(8.41)は

た が っ て,こ

の よ う な 電 気 双 極 子 が,平

均 密 度P(x)で

分 布 して

れ に作 用 す る力 は

であ た え られ る.  (8.44)を 利 用 して,真 空 中 に半 径aで 誘 電 率 εの微 小 な誘電 体 球 を お き,こ れ に外 部 か ら静 電 場E0(x)を

か けた と き,こ の誘 電 体 球 に作 用 す る力 を求 め よ う.誘 電 体 球 の 中心

の位 置 をrと す る と,(8.44)よ

りこ の小 球 に作 用 す る力 は近 似 的 に

で あ た え ら れ る.こ

部 電 場E0の

の と き,外

き さ の 程 度 の 領 域 で は,そ

場 所 に よ る 変 化 は 小 さ く,微

の 変 化 は 一 様 と み な せ る と仮 定 し た.一

か に お か れ た 誘 電 体 球 の 中 心rに

お け る 分 極 ベ ク トルP(r)は,(8.40)で

方,外

小 誘 電体 球 の 大 部 電 場E0の

な

ε1を ε,ε2を ε0

にお き か え る こ とに よ り

で あ ら わ さ れ る.こ

を え る.こ

れ を(8.45)に

代入す ると

れ が 外 部 電 場 中 に お か れ た 微 小 誘 電 体 球 に 作 用 す る 力 で あ る.な

の ２番 目 の 等 号 で は,公

式(8.42)でA=B=E0と

お き,rotE0=0と

お,(8.46)

し た結 果 を利 用 して

い る.

[問題] (１)  静 電 ポテ ンシ ァル がe-r/a/rで

あ た え られ る よ うな電 荷 分布 を求 め よ.

(２)  球 状 の 導体 に 電荷 を あた えた とき,電

荷 が 内部 に と どま らな い で,全

部 表 面 に集

ま る こ とが実 験 的 に証 明 され た とす る と,電 荷 の あい だ に働 く力 は 距離 の ２ 乗 に逆 比 例 す る こ と,つ ま りCoulombの   (３)空

法 則 が 証 明 され る こ と を示 せ.

間 の あ る領 域 の表 面 上 で,電 位 φ の値 が あ た え られ て お り,そ の 領域 内 の各 点

に お い てPoissonの

方 程式 がみ た され て い る とき,こ

の領 域 内 にお い て静 電 ポテ ンシ ァル

φ の値 は一義 的 に決 定 され る こ とを証 明せ よ.   (４)分

布 の領 域 が 有 限 で球 対 称 の電 荷 分 布 ρ(r)があ る とき,静 電 ポ テ ンシ ァル は

で あ らわ され る こ とを示 せ.   (５)原 子 核 を半 径Rの 球 と し,陽 子 の電 荷eは 核 内 に一 様 に分 布 して い る もの とす る.原 子 番 号Zの 核 の 中心 か らr(r＜R)な る点 の静 電 ポ テ ンシ ァルは

で あ た え ら れ る こ と を示 し,ま

た 原 子 核 のCoulombエ

で あ る こ とを示 せ.た だ し,Vは   (６)平

ネ ル ギー は

原 子核 の体 積 で あ る.

等 に帯 電 した無 限 に ひ ろい 平 面 か らaな る距 離 だ け はな れ

た点Pに お け る電 場 の うち,そ の半 分 の 寄与 はPか ら2aの

距離 以 内

に あ る電 荷 に よ る もの で あ る こ とを証 明 せ よ.   (７)一

辺 がdの

正方 形 の頂 点 に順 次 に+e,−e,+e,−eの

点電

荷 が お か れ て い る とき,こ れ は電 気 四 重 極 子 の一 種 で あ る.こ の と き 辺 と θ な る角度 を な す方 向の 正 方 形 の 中 心 か ら,rだ の静 電 ポ テ ンシ ァル をr≫dの

けは なれ た点

とき に つ い て求 め よ.

  (８)半 径a,b(b＞a)な る二 つ の同 心 導 体球 殻 が,た が い に絶 縁 さ れ てい て,そ れ ぞ れ にQ1,Q2な る電 荷 をあ た え たの ちに,内 球 を相 当遠 方 に あ る電 位計 にむ すぶ とき,そ は 半径cの   (９)静

れ に移 る電 荷 を求 め よ.た

だ し.電 位 計 の静 電 容 量

導 体 球 の 容量 に等 しい も の とす る. 電容 量 がそ れ ぞれC1,C2…

…Cnな

るn個

の コ ンデ ンサ ー を それ ぞ れ φ1,φ2… …

φnな る電 位差 に充 電 した の ちに,そ れ ら を直 列 に連 結 して閉 回 路 をつ くる と き,回 路 に流 れ る電 気 量 を求 め,そ

の とき各 コ ンデ ンサ ー はそ れ ぞれ どれ だ け の電 位 差 を もち,ま

た残

留 す る全 エ ネル ギ ーは どれ だ けか.   (10)半

径a,b(b＞aの

な る点 に,点 電 荷eを   (11)n個

二 つ の接 地 され た 同心 導 体 球 の あ い だに あ る,球 の 中心 か らrp お い た と き,両 球 に誘 導 され る電 荷 量 を求 め よ.

の導 体が 空 間 に固 定 され て い る と き,こ の体 系 の静電 エ ネル ギー は

と か か れ る こ と を 示 せ.こ

こ でPijは

電 位 係 数 で あ る.

  (12)半

径aの

３個 の導 体 球 １,２,３ を,中 心 距離 がr1r2(r1,r2≫aと

線上 に な らべ て,中 央 の球 ２に だ け電 荷Qを

な る よ うに一 直

あ た え る.次 に,２ を １に 結 び,そ の 接続 を

断 った あ とで,２ を ３にむ す ぶ とき,３ の え た電 荷 量 を求 め よ.   (13)３ 個 の相 等 しい導 体 球 の 中心 が 正 三 角形 の頂 点 に あ る.そ れ らの 電位 が φ,０,０ の と き,そ れ ぞれ の 電 荷 量がQ,Q',Q'で あ る とす る と,３ 球 とも電 位 が φ'の と きに は, そ れ ぞれ の電 荷 量 は(2Q'＋Q)φ'/φ

で あ る こ とを示 せ.

  (14)真 空 中にQな る電荷 を も った 導 体が あ った とす る.こ の導 体 に よ る静 電 場 の二 つ の 等電 位 面 φ1,φ2のあい だ の空 間 を均 質 誘 電 体 で み たす とき の エ ネル ギ ー の減 少 を求 め よ.   (15)半

径a,b(b＞a)な

る球 形 コ ンデ ンサ ー の 内球 の表 面 に厚 さt,誘

電率 ε*の うす い

被膜 が で きた と きの静 電 容 量 は,近 似 的 に

だ け増 加 す る こ とを証 明 せ よ.   (16)平 離 はd-aで

行 板 コ ンデ ンサ ー の板 が 正 確 に平 行 で は な くて,一 端 の 距離 はd+a,他 あ って(d≫a),板

の 面積 がSで

あ る とき,こ

端の距

の コ ンデ ンサー の静 電 容 量 は,

近似的に

で あ た え られ るこ とを証 明せ よ.た だ し

  (17)比

誘 電率 ε*の 油 の表 面 に,半 径aの

導 体 球 を球 の 中心 が 液 面 と同 じ高 さ にな る

よ うに支 え て お く.球 のそ ば に は導 体 は な く,液 体 は 無 限 に ひ ろが って い る もの とす る. この球 に 電荷 を あた え た とき,こ の球 の静 電 容量 を求 め よ.   (18)２

枚 の直 交 し,か つ 無 限 にひ ろい導 体 平 面 を接 地 して,そ の間 に あ る点Pに

点電

荷 をお くとき,各 導 体面 上 に誘 導 され る電荷 の表 面 密 度 を求 め よ.   (19)半 径aの 接地 した 導 体球 の 外 部 で,中 心Oか らd(＞a)の 点Pに 点 電 荷qを お く.こ の とき,点 電 荷 が導 体 球 か ら うけ る力,球 外 の 静 電 ポ テ ンシ ァル,球 面 上 の 誘導 電 荷密 度,お

よび球 面 上 の全 電 荷 をそれ ぞれ 求 め よ,

  (20)平

等 に帯 電 した半 径aの

  (21)誘

電 体 内に あ る導 体 球 に電 荷 をあ た えた き,誘 電 体 内 に 生 ず る分 極 の 空 間 分布 と

導体 表 面 上 の分 極 を求 め よ.

誘電 体 球 に よ っ て生 ず る電 場 を調 べ よ.

 (22)共

心 で あ る こ とか ら少 しはず れ た ２個 の導 体球 を極 とす る コ ンデ ンサ ー を考 え る.

内球 お よび外 球 の方 程 式 は,そ れ ぞれ

で あた え られ る も の と し,b＞a≫

ε で ε2の程 度 の量 を無

視す る.外 球 の 電位 を ０,内 球 の電 位 を φ0と す る とき, 両球 に は さまれ た空 間 内 の 点P(r,θ)に

お け る電 位 を決 定

せ よ． また 内球 の 表 面上 に お け る 表 面電 荷 密度 は θ=0° と180° とで は,ど れ ほ ど異 な るか.   (23)球 分が-φ0に よ.

面 の半 分 の 静 電 ポ テ ン シ ァル が+φ0,他

の半

保 たれ てい る と き,球 の 内部 お よび外 部 の 各 点 で の 静電 ポ テ ンシ ァル を 求 め

第 ５章

定

常

電

流

§１  定 常電 流 の 基本 法 則  誘 電体 と導 体 とが空 間 内 に 固定 され,そ れ らが観 測者 に対 して静 止 してい る も の とす る.こ の 導体 の内 部 に電 流 が あ って,そ の空 間 的分 布 が 時 間 と と もに変 動 しない とき,こ の電 流 を定常 電 流 とい う.電 磁場 を記 述す る物 理 量 がす べ て時 間 的 に変 わ らな い とき,第 ４章(1.1)のMaxwellの

方程 式 は次 の よ うにな る.

これ らに物 質 の性質 を反 映 した付 加 的 法則

を追 加 す る と,(1.1)は

  さ て,導

次 の よ うに か か れ る.

体 内 部 に お い て は,定

常 的 な 電 荷 分 布 ρe(x)が 存 在 し え な い こ とは,

第 ３章 の §３ に お い て の べ た と こ ろ で あ る.し

た が っ て,誘 電 体 内 に 空 間 的 電 荷

分 布 が な い と き に は,(1.6)は

でお きか え られ な けれ ば な らな い.さ らに導 体 内部 にお け る電 流 に 対 して,Ohm の法則

が 成 立 して い る も の とす る.(1.7)の 理 量 で は な くな る.一

方(1,3)の

関 係 が あ る と,電 場 と電 流 分 布 は 独 立 な 物

発 散 を と る と,

な る定 常 電 流 に 対 す る 保 存 則 が え られ る.し た が っ て(1.8)と(1.7)と

か ら,(1.6)'

は 自動 的 に 保 証 さ れ る こ と に な る.い

成 立 して い

い か え る と,導 体 内 部 で(1.6)が

る と仮 定 す る と矛 盾 を生 ず る の で あ る.し

で あ た え られ る.こ

た が っ て,わ

れ ら の 方 程 式 か ら,固

との 分 布 は,(1.8)(1.11)お

定 さ れ た 導 体 の な か の 電 場 と定 常 電 流

よ び(1.12)に

て 誘 起 され る 静 磁 場 は,(1.10)の

れ わ れ の基本 方 程 式 系 は

よ っ て 決 定 され,そ

条 件 の も とに(1.9)に

の電 流 分布 に よ っ

よ っ て 決 ま っ て くる こ と

が わ か る.   こ こ で の 近 似 で は,定 常 電 流 の 分 布 は そ れ に よ っ て 誘 起 さ れ た 静 磁 場 の 影 響 を う け る こ と は な い 点 に 注 意 し よ う.電 流ieが る と,磁 場 Ｂ はLorentzの あ る.い

力 の作 用 に よっ て電流 分布 に影響 を あた え る はず で

ま の 場 合 そ れ が な い の は,自

運 動 方 程 式 系 を 現 象 論 的 なOhmの

由 電 子 群 の 運 動 を 規 定 す る 第 ２章(1.6)の

法 則 で 代 用 し,そ

す る 磁 場 の 影 響 を 無 視 した か ら で あ る.し の 型 の 問 題 に 分 類 す る こ と が で き る.第 布 に よ り生 ず る 静 磁 場 を(1.9)と(1.10)か は(1.8),(1.11)お

自由電 子群 の流 れ で あ る こ とを考 え

よ び(1.12)か

の と き電 子 群 の 運 動 に た い

た が っ て,定

常 電流 の問 題 は次 の 二 つ

１種 の 問 題 は あ た え られ た 定 常 電 流 の 分 ら 決 定 す る 問 題 で あ り,第

２種 の 問 題

ら定 常 電流 の導 体 内 にお け る分 布 を求 め る問題 で

あ る.

§２  定 常 電流 に よる静 磁 場 の決 定   定 常 電 流 の 分 布ie(x)が

あ た え られ て い る と き,そ

場 を 決 定 す る 基 本 方 程 式 は(1.9)と(1.10)で

あ る.こ

の ま わ りに 誘 起 さ れ る 静 磁 れ らの 方 程 式 系 か ら

が え られ る こ と は,一 般 の 場 合 に つ い て,第

２章 で す で に の べ た.し

か し,こ

こ

で 再 び く りか え し て み る の も無 駄 で は な い で あ ろ う.   (1.10)か

らた だ ち に

とお くこ とが で き る.こ あ る.A(x)を

こ でA(x)は

未 定 の 関 数 で ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァル で

決 め る た め,(2.4)を(1.9)に

が え られ る.そ

こ で,ベ

代入す ると

ク トル ・ポ テ ン シ ァルA(x)の

か わ りに,

とお い て も

で あ る か ら,ま

っ た く同 じ磁 束 密 度B(x)が

ン シ ァル は 任 意 関 数u(x)だ

け の 不 定 性 を も っ て い る.こ

(2.5)を も っ と見 や す い 形 に か き か え よ う.い て,そ

れ をA0(x)と

の 解X(x)を

に よ っ てA(x)を く りだ す.こ

し よ う.そ

も っ て き て,あ

え られ る.つ

ま,仮

ま り,ベ

ク トル ・ポ テ

の 不 定 性 を 利 用 して,

に(2.5)の

解 が え られ た と し

して

らた め て

つ くる.も

ち ろ ん,A(x)もA0(x)も

同 じ磁 束 密 度B(x)を

の と き,

と な る か ら,上

の よ う に して つ く っ たA(x)の

み たす 方 程 式 は

よ り,

と な る.か

く し て,(2.1)(2.2)お

よ び(2.3)の

基 本 方 程 式 系 が え られ た.

つ

  電 流 分 布ie(x)が

あ た え ら れ た と き の 磁 場 を決 定 す る に は,ま

る ３個 の 独 立 な 微 分 方 程 式(2.2)を た す も の だ け を と り だ す.こ

れ に 合 格 し た ら,そ

れ ら のA(x)に(2.1)の

作 を ほ ど こ す こ と に よ っ て 磁 束 密 度B(x)が

求 ま る.(2.2)の

に(2.3)の

流 の保 存 則(1.8)が

条 件 を 適 用 す る こ とに よ っ て,電

ら,(2.3)の

流 分 布ie(x)に

微 分操

発 散 を と り,こ

れ

え られ る こ とか

よる無 限 に ひ ろ が った 一 様 な空 間 の

な か に で き る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァル を 決 定 しよ う.そ るPoissonの

と(2.2)と

関す

条 件 をみ

条 件 は 電 流 の 保 存 則 と も矛 盾 して い な い こ と が た し か め ら れ る.

  (2.2)の 特 解 を求 め て,電

か ら,第

ずA(x)に

解 く1).そ れ ら の 解 の う ち(2.3)の

れ に は,静

電場 にお け

方程 式

を 比 較 して み る と よ い.つ ４章 の(2.7)と

ま り,こ れ ら は ま っ た く同 じか た ち で あ る

と か く こ と が で き る.こ

同 様 に し て,

の 解(2.8)が(2.3)の

う に して た し か め ら れ る.す

条 件 を み た し て い る こ と は,次

のよ

なわ ち

これ を部分 積 分 す る と,

右 辺 の 第 １項 は 表 面 積 分 に か き な お せ て,定 れ て い る とす る と消 え る.ま

た,第

常電 流 の分布 が有 限 の領 域 に か ぎ ら

２項 は 保 存 則(1.8)か

  1)A(x)の ３個 の成 分 が独 立 な方 程 式 をみ たす のは,カ 座 標 系 や 円筒座 標 系 で は そ うは な らな い.

ら消 え る.し

たがって

ー テ シ ァ ン座標 系 を用 いた と き の話 で,極

とな っ て,た

し か に(2.3)の

  (2.8)を(2.1)に

条 件 を み た し て い る.

代 入 す る こ と に よ っ て,B(x)を

微 分 を 実 行 す る た め に,x成

求 め る こ とが で き る.

分 を と っ て み る.

した が っ て,

ゆ え に,

で あ る.こ

れ は 定 常 電 流ieに

Biot-Savartの

法 則 と い う.と

て 流 れ る 強 さIの

よ り生 成 され る 磁 束 密 度 を あ ら わ す 表 式 で あ っ て, くに,閉

じた 導 線 回 路 に そ っ

き わ め て 細 い 電 流 の と き に は,導

流 分 布 は 一 様 で あ る と み な して,上

線 内 で電

の 体 積 積 分 の う ち電 流 に 垂

直 な 断 面 に つ い て 積 分 を 実 行 し て し ま う こ とが で き る.す ち,ie=ienと

なわ

お くと

ただし 図2.1  導 線 回 路 を な が れ る電 流 で あ る(図2.1参

照).す

る と,(2.8)と(2.9)は

線 積 分

で か き あ らわ さ れ る.こ

れ は,線

状 閉 回 路Cの

な か に電 流 が あ る ときの磁 場 を

求 め る の に 便 利 な 式 で あ る.   [例題 ］Ampereの

力 の 自 己力  定 常 電 流i0(x)が つ くる静 磁 場 をB0(x)と す る と,電

流 分 布i0(x)に 作 用 す る磁 場 に よ る 自己 力Fs(m)は

で あ た え ら れ る.定

常 電 流i0(x)が

で あ た え ら れ る.こ

れ を(2.13)に

と な る.こ

代入 す る と

被積 分 関数 は

とな る.右 辺 の第 １項 の 変数xに

え る.ま

法則

れ に公 式

を 適 用 す る と,(2.15)の

と な り,右

真 空 中 に つ く る 静 磁 場 は,(2.9)のBiot-Savartの

辺 の 第 １項 は 領 域Vの

関す る積 分 は

表 面S上

た 第 ２項 も定 常 電 流 の 保 存 則(1.8)に

の 積 分 と な り,そ よ り消 え る.こ

こ で はi0は

０ で あ る か ら消

の と き,(2.15)は

と な る.こ

こ でx〓x'と

積 分 変 数 を交 換 す る と,Fs(m)＝-Fs(m)を

え る.す

な わ ち,定

常

電 流 の つ く る 自 己 場 に よ る 自 己 力 は ０ で あ る.

§３  ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァル の 多 重 極 展 開 定 常 電 流 の 分 布ie(x')が

あ た え られ た と き の ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァル は,(2.8)

の積 分 を 実 行 しさえす れ ば 求 め られ る.し

か

し,そ の 電流 分 布 関数 の形 が複 雑 な と きには, この 積 分 を 解 析 的 に 実行 す る こ とは 困難 で あ る.同 様 の 問題 が電荷 分 布 に よ る静 電 ポテ ン シ ァル を求 め る ときに もあ った が,そ の ときお こ な った 多重 極 展 開 の方 法 を この場 合 に も適 用 し よ う.   電流 分 布 は原 点Oの 近傍,つ

ま り半 径aの 球

面 の 内 側 にの み あ る と して,球 外 の点rに

お

け るベ ク トル ・ポテ ン シ ァル 図3.1  ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァル の 多重極展開

を1/rの

ベ キ に 展 開 す る(図3.1参

照).r=￨r￨と

し て,第

４章 の(3.9)と

まった

く同 様 に 展 開 す る と

が え ら れ る. (3.1)の は じ め の 数 項 を調 べ よ う.最 初 の 項 を 調 べ る た め,x'の 成 分 を(x',y',z') とか く と,

した が っ て

一 方,i(x')の

分 布 が 空間 の有 限領 域 に の みか ぎ られ て い る こ とか ら

(3.2)と(3.3)と

か ら

しか る に,(1.8)の

と な る.つ

ク トル ・ポ テ ン シ ァ ル の 場 合 に は,静

電 場 にお け る点 電荷 に相 当す

項 は ０で あ る こ と が わ か っ た.

 次 にl=1の

で あ る.公

た が って

ま り,

と な っ て,ベ るl=0の

電 流 保 存 則 に よ っ て右 辺 は 消 え る.し

項 を 調 べ よ う.こ

の とき

式

よ り,

一方

に お い て,体

積 積 分 を と る と,左

辺 で は,div'ie(x)=0と

(3.8)と(3.9)の

辺 は 表 面 積 分 に な お す こ と が で き て 消 え る.右

な る か ら,次

和 を と る と,

の 式 が な りた つ.

と い う関 係 が え られ る.そ

こで

と お く と,(3.7)は

と か か れ る.(3.11)に

よ っ て 定 義 さ れ た ベ ク トルmを

(magnetic  dipole  moment)と   (3.11)に お い て,と

くに 電 流 が 一 つ の 平 面 閉 曲 線Cに

で あ る と き を 考 え よ う.原 点Oを

か く と,(2.10)の

流

関係か ら

と か か れ る(図3.2).右

辺 のIと

記 号 を の ぞ い た 部 分 は,電

流 の つ く る平 面

に 垂 直 で,原

点Oとdx'の

ベ ク トル で あ る.そ

そ って流 れ る 線 状 電 流

この 平面

曲 線 に か こ ま れ た 平 面 の 上 に と っ て,電 の 強 さ をIと

磁気双極 子モ ーメ ン ト

よぶ.

積 分

図3.2  平面 上 の閉 電 流 の磁 気 双 極 子 モ ー メン ト

両 端 で つ く られ る 三 角 形 の 面 積 に ひ と しい 大 き さ の

こ で そ の 平 面 に 垂 直 で ,電 流 の 向 き に ま わ す と,右

す む 方 向 の 単 位 ベ ク トル をkと

か き,電

ね じの す

流 に か こ ま れ た 平 面 の 面 積 をSと

す

る と,

と な る.し

た が っ て,こ

し て は,そ

の 回 路 を 周 辺 とす る 板 状 の 面 に 単 位 面 積 あ た りIの

を も つ 磁 石 を,曲 線Cの   (3.12)で は,ベ ら わ した.い

の よ うな 線 状 電 流 の 平 面 回 路 は,そ

か こ む 平 面Sに

れ が つ くる磁 場 に 関 磁 気 モーメ ン ト

垂 直 に し き つ め た も の と 同 等 で あ る.

ク トル ・ポ テ ン シ ァ ル を 電 流 に よ る磁 気 双 極 子 に よ っ て か き あ

ま 空 間 内 に,m(x)な

る 体 積 密 度 の 磁 気 双 極 子 が 分 布 して い る と し,

そ の 巨 視 的 な 意 味 で の 微 小 体 積 内 で の 平 均 値 をM(x)と

か く と,そ

磁 場 は 電 流 の 分 布 に よ る も の と解 釈 す る こ とが で き る.M(x)の ず る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァル は,(3.12)よ

り

れ に も とづ く

分 布 に よ って生

で あ た え られ る.と

こ ろ が,

で あ る か ら,(3.15)は

と な る.こ

こ で 公 式(付 録A(A・64)を

参 照)

を 考 慮 し,M(x')の

分 布 が 有 限 領 域 に か ぎ られ て い る とす る と,(3.16)の

第 ２項 は 消 え る.し

た が っ て,A(x)は

こ れ を(2.8)と

比 較 す る と,M(x)な

次 の よ うに か け る.

る磁 気 双 極子 の空 間分 布 は

な る電 流 の 空 間 分 布 と み な す こ と が で き る.こ た も の で,磁

右辺 の

気 双 極 子 の 空 間 分 布 が,外

れ が 第 ３章 §１ の(1.15)で

部 磁 場 の 存 在 に よ っ て,方

あたえ

向 をそ ろえ る

こ と に よ っ て 生 ず る物 質 の 磁 化 に も とづ く磁 化 電 流 で あ る.   [例題 １]電 子 の 磁 気 モ ー メ ン ト 電 流 が電 荷e,質 の と考 え る と,

と か か れ る.こ

れ を(3.11)に

代入 す る と

 電 子 の軌 道 角運 動 量 は で あ た え られ る こ とに 注意 す る と

量mの

電 子 群 の運 動 に も とづ く も

こ こ で,

で あ っ て,こ

れ は 電 子 群 の 全 軌 道 角 運 動 量 で あ る.(3.20)は

磁 気 モ ー メ ン トの あ い だ の 関 係 を あ た え る 公 式 で あ る.し 自 転 に よ る 角 運 動 量,つ る.こ

こ で〓

はPlanckの

ま り ス ピ ン(spin)角 定 数hを2π

個 の 電 子 の 全 角 運 動 量 は(L+S)と

電 子 の 軌 道 角 運 動 量 と,そ か し,電

子 に は こ の ほ か にそ の

運 動 量 が あ っ て,そ

の 大 き さ は〓/2で

で 割 っ た も の で あ る.そ

か け る か ら,全

の

れ をSと

あ

か く と,１

磁 気 モ ー メ ン トは

で あ た え られ る よ うに思 われ る.し か し,こ れ は正 し くな い.   まず,電 子 の ス ピン をそ の 自転 に も とづ く もの で あ る と解釈 で き ない こ とを 示 そ う.電 子 を半 径 が 古 典 電子 半 径a0(第

２

章(4.9))の 剛 体球 であ る と しよ う.電 子 は紙 面 に垂 直 な 軸 の ま わ りに,角 速 度 ω で回 転 して い る もの とす る.電 子 の 微小 部 分 の質 量dmは

で あ た え られ る.こ

で電 子 の 体 積 で あ る.す

こで

図3.3電 子 の 自転 に よ る角 運 動量 と磁 気 モ ー メ ン ト

る と 自転 の角 運 動 量 の大 き さSは

こ こ でv0は

電 子 の 表 面 の 速 さ で あ る.

で あ る か ら,

これ か ら

こ こで

で,こ

れ は 無 次 元 の 数 値 で あ り,こ

れ を 微 細 構 造 定 数(fine

structure

constant)と

い う.

(3.22)か らわ か る こ とは,も

し電 子 の ス ピ ンをそ の 自転 に よ る もの で あ る とす る な らば,

電 子 の大 き さに関 係 な く,電 子 の表 面 の 回転速 度 は光速 度 を超 え て しま う.こ れ は,後

章

の特 殊相 対 論 と矛 盾 す る1).し た が っ て,電 子 の ス ピンを古 典 的描 像 の も とに,電 子 の 自転 に よ る角運 動量 で あ る と解 釈 す る こ とは で きな い.こ

の正 しい意 味 は,Diracに

よ る電 子

の相 対 論 的 量子 力 学 に よ っ て,は じめ て 明 らか に され た.こ の とき ス ピン に よ る磁 気 モ ー メ ン トは,(3.21)で

なく

であ る こ とが示 され る.   [例 題 ２] 定 常 電 流 間 に 作 用 す る 力  図3.4の れ 強 さI1とI2の

よ う に 二 つ の 導 線 回 路C1,C2に

定 常 電 流 が な が れ て い る と き,こ

う.BiotとSavartと

が(2.12)の

それぞ

れ らの 回 路 間 には た ら く 力 を求 め よ

法 則 を 発 見 した

当時(19世 紀 の前 半)に は,電 流 素 片Idx'な

るも

の を考 えて,そ の 電 流素 片 が磁 場

を つ く り,こ

れ を回路 全 体 に わ た って積 分 した も

の が(2.12)で

あ る と考 え ら れ て い た.そ

の よ う に 考 え た と き,そ

こ で,こ

れ らの電 流 素片 の間 に作

用 す る 力 に つ い て 調 べ よ う.図3.4の 回 路 上 の 微 小 素 片 をdr1,dr2と に 向 く ベ ク ト ル をRと 片I1dr1がdr2の

す る.す

よ うに 各

し,dr1か

らdr2

る と,電

流素

場 所 に つ く る 磁 場dB2は(3.25)

図3.4定

常 電 流 間 に作 用 す る力

によ り

で あ る.こ

の 磁 場 の な か の 電 流 素 片Idr2に

作 用 す るAmpereの

力dF2は,第

１章(2.3)

により

で あ た え ら れ る.同

様 に し てC2上

の 電 流 素 片I2dr2がdr1に

磁 場 を つ く り,こ

に 作 用 す る力 は

で あ る.(3.26)と(3.27)と

を 変 形 す る と,公

式

  １) しか し,電 子 を剛 体 球 と考 え るこ と 自体 が,す で に相 対 論 の立 場 か ら は許 され な い.

れ がI1dr1

より

を うる.(3.28)の

右 辺 の第 ２項 は 二 つ の電 流 素 片 を結 ぶ 線 上 に あ り,作 用 ・反 作用 の法 則

を み た して い る.と ころ が 右 辺 の第 １項 はそ れ ぞれ 相 手 の電 流 素 片 に平 行 ま た は反 平 行 で あ っ て,こ の 項 が あ る た め に作 用 ・反 作 用 の 法則 が み た され ない.   Ampereら

は,電 流 を動 く電 荷 とは 考 え な いで,導 線 の各 素 片 が磁 石 の よ うに あ る 種 の

緊 張状 態 に あ る もの と考 え てい た の で,電 流 素 片 の つ くる磁場 と して(3.25)の をあ た えた の で あ る.電 流 の本 質 が運 動 す る電荷 で あ る こ とがRowlandに

よ うな 法 則

よ っ て実 験 的 に

確 証 され た の は,19世 紀 も なか ば をす ぎ た1876年 の こ とで あ る こ と を考 え る と,Ampere の 時代 の 人 々 が上 の よ うに考 えた の も 無理 の ない こ とで あ った.電 流 間 に 作 用 す る力 の本 質 は万 有 引 力 と同 じよ うな遠 隔 作 用 で あ る と考 え てい たAmpereは,電

流素片間の力が作

用 ・反 作 用 の法 則 をみ たす よ うに しよ うと して苦心 してい る.Ampereは(3.28)を

無理に

変 更 して,

の大 き さの力 がdr2か

らdr1に

作 用 し,そ の方 向 はRの

  しか し,電 流 の本 質 が動 く電 荷 で あ る な らば,も しない.ま

た本 来 作用 ・反 作 用 の法 則 は,考

方 向 で あ る と した.

と も と電 流 素 片 な ど とい うもの は 実在

え て い る現 象 に関 連 す る全 体 を考 慮 して は じ

め て成 立 す る も ので あ り,関 連 す る体 系 の 一 部分 だ け を と りだ して作 用 ・反 作 用 の 法 則 を 適 用 して も,そ れ は成 立 す るは ず の な い も ので あ る.し

た が っ て,作 用 ・反 作 用 の 法 則 が

成 立 して い るか 否 か を知 るに は,考 え て い る二 つ の 回路 全 体 の間 に 作 用 す る 力 につ い て調 べ な くて は な らな い.   そ こで,回 路 全 体 に作 用 す る力 を考 え るた め,(3.28)の

力 を回路 全 体 にわ た って積 分 す

る.す る と(3.28)のdFlの

右 辺 の 第1項 は次 の よ うな型 の線 積 分 に な る.

と こ ろ が,rot(R/R3)=0と

な るの で

とな る.同 様 の こ とがdF2に

つ い て もい え るか ら,2個

の 回路 全 体 の間 には た ら く力 は

とな り,こ れ らの力 は作 用 ・反 作 用 の法 則 をみ た して い る.Ampereの

式(3.29)も

回路全

体 にわ た っ て積 分す る と,(3.30)と 一 致 す る よ うに つ くられ て い る.   な お,作 用 ・反作 用 の 法 則 の問 題 に 関連 して,そ れ ぞれ 速 度v1,v2で 運 動 して い る二 つ の点 電 荷 の間 に作 用 す るLorentzの 力 に つ い て注 意 して お こ う.図3.4でdr1がv1,dr2 がv2で

あ る と考 え れ ば,Lorentzの

力 に も とづ く点 電 荷 間 の力 も また 作 用 ・反 作用 の法

則 をみ た してい な い よ うに思 わ れ る.し か しこの とき は,第 電 荷 の運 動 量 だ け で はな く,電 磁 場 の運 動 量Gfも

２章 §５ に の べ た よ うに,点

考 慮 しな けれ ば な らな い.こ

れ を考 え

に い れ て,は じめ て作 用 ・反 作 用 の法 則 がみ た され る ので あ る.

§４  定 常 電 流 に よ る 磁 場 の エ ネ ル ギ ー   定 常 電 流 に と も な っ て 生 ず る 磁 場 の エ ネ ル ギ ー は,(1.2)の き,次

関 係 が な りた つ と

式 に よ っ て あ た え られ る.

 さ て,こ

れ を 磁 場 の 発 生 原 因 で あ る電 流 に よ る エ ネ ル ギ ー と し て,か

す こ と を 考 え よ う.B=rotAと

か い て,公

式

を も ち い る と,

こ こ で 右 辺 の 第 １項 は 体 積 積 分 を 閉 曲 面S上 の 表 面 積 分 に か き か え て あ る.電

流 が有 限 領

域 の な か に の み あ る と き に は,(3.7)か

ら無 限

遠 方 でAは

１/r3の

１/r2の程 度 で,ま

程 度 で 小 さ く な る か ら,表 こ こ で,(1.3)を

と か か れ る.つ

たHは

面 積 分 は 消 え る.

つか うと

ま り,Wmは

電流 分 布 の あ る

場 所 だ け の 積 分 で あ ら わ され た.(1.3)を

も

図4.1磁

場 の エネ ル ギー

きあ らわ

ち い た こ と か ら,(4.2)の

表 式 は 変 位 電 流 が な い か,あ

る いは 無 視 で き る とき に

の み 正 しい こ と に 注 意 し よ う.   い ま,と

く に い くつ か の 閉 じた 線 状 回 路Cjに

え よ う(図4.1参

照).導

電流 が なが れ て い る と きを考

線 の 断 面 積 に つ い て 積 分 す る と,(2.10)を

つ か っ て,

(4.2)は

な る 線 積 分 で あ ら わ され る.さ

と変 形 で き る.こ NjはSjを

こ で,Sjは

て,Stokesの

閉 回 路Cjに

定 理 を利 用 す る と

よ っ て か こ ま れ た 任 意 の 曲 面 で あ り,

よ こ ぎ る 磁 束 で あ る.

  磁 束 を あ た え る 曲 面Sjと

し て,Cjに

よ って か こ まれ た任 意 の 曲面 を と って

よ い こ と は,(1.10)のdiv 保 証 さ れ て い る.な 曲 線Cを

B=0の

条件 に よ って

ぜ な ら 図4.2の

よ う に,閉

ふ く む 任 意 の 閉 曲 面Sを,Cを

す る 二 つ の 曲 面S1とS2と

境界 と

に 分割 し た とき,(1.10)

から

で あ る こ と が み ち び か れ る か ら で あ る.た 図4.2磁

束 を定 義 す る曲 面

n1とn2と

は 曲 面S1とS2に

図4.2の

だし よ うに

た て た 単 位 法 線 ベ ク トル で あ る.   し た が っ て,磁

場 の エ ネ ル ギ ーWmは

と か く こ と が で き る.さ

て,n個

貫 く磁 束Njは(4.4)か

ら

磁 束 をつ か っ て

の 閉 じた 線 状 回 路 が あ る と き,j番

目の 回 路 を

で あ る.一

方,閉

回 路Cjの

身 を ふ く め た,す

べ て の 回 路 内 の 電 流 に よ っ て つ く られ る.つ

で あ た え られ る.こ

と か か れ る.さ

うえ の ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァ ルA(xj)は,回

路Cj自

ま り,(2.11)か

ら

れ を(4,6)に 代 入 す る と

ら に(4.7)を(4.5)に

代 入 す る こ と に よ っ て,磁

場 の エネ ル ギ ーは

と,各 回 路 の電 流 の 強 さに つ い ての ２次形 式 で あ らわ され る.こ れ は遠 隔作 用 の 立場 にお け る磁 場 の エ ネ ル ギ ーの 表現 で あ る.こ こで

で,Lijは

各 回 路 の 幾 何 学 的 形 状 と,そ

の 透 磁 率 に よ っ て 決 定 さ れ る.Liiを Lij=Lji(i≠j)をCiとCjと 自 己 誘 導 係 数 は,回 な っ て(4.9)の

の 空 間 的 配 置,お

回 路Ciの

よび空 間 をみ た す物 質

自 己 誘 導 係 数(self inductance),

の 相 互 誘 導 係 数(mutual

inductance)と

い う.

路 を つ く る 導 線 の 太 さ を 考 慮 に 入 れ て お か な い と,無

積 分 が で き な くな る が,こ

算 しな く て は な ら な い.(4.9)の 係 数 の 物 理 的 意 味 は,第

限大 に

の ときに は導 線 の 太 さを有 限 に して計

式 をNeumannの

７章 で 明 らか に され る.そ

公 式 と い う.こ の 単 位 はHenryと

れ らの 誘 導 よ ば れ,

(4.7)か ら

で 定 義 さ れ る.

§５  定 常電 流 の 分布 導 体 内部 に お け る 定 常 電 流 の分 布 を 決 め る 基本 方程 式 系 は,§ １ で の べ た よ うに

と,導 体 内 電子 群 の な がれ,す

なわ ち電 流 を規 定 す るOhmの

に よ っ て あ た え ら れ る.(5.2)と(5.3)に も に 変 わ ら な い 電 場 で あ る が,こ

お け る 電 場 は,導

法則,

体 内部 に あ る時 間 と と

れ は 静 電 場 で は な く て,定

常 電 流 を ひ き お こす

定 常 的 な 電 場 で あ る.   (5.3)のOhmの と,(5.2)に

と な る.し

法 則 を線 状 閉 回 路Cに

適 用 し て み よ う(図5.1参

照).す

る

よ って

か る に,

は,電 流 を そ の 方 向 に 積 分 し た も の で あ る か ら ０で は な い. つ ま り,基 本 方 程 式(5.2)と(5.3)は こ の 矛 盾 の 原 因 は,回

路Cの

図5.1  Ohmの 外部起電力

矛 盾 す る こ と に な る. 全 体 に わ た っ てOhmの

法則 と

法 則 が な りた つ と仮 定

し た こ と に よ る.閉

回 路 に 定 常 電 流 を つ く る に は,そ

の 起 因 とな る外 的 な 力 が な

く て は な ら な い.実

際 電 池 な ど の 内 部 で は,Ohmの

法 則 は(5.3)で

と か か れ て,Eexを

外 部 起 電 力(impressed

よ う にOhmの

とな っ て,電

force)と

い う.こ

の

法 則 を変 更 す れ ば

流 の 起 因 を外 部 起 電 力 に 帰 す る こ とが で き る.し

法 則 が な りた た な い場 所 で は,Ohmの

に よ っ て,お

electromotive

はな く

た が っ て(5.3)の

法則 は

き か え られ な け れ ば な ら な い.

  基 本 方 程 式 系(5.1),(5.2)お

よ び(5.4)が

あ た え ら れ た か ら,こ

の 空 間 的 分 布 を決 定 す る 問 題 を 考 え よ う.ま ァ ル φ を次 の よ うに 定 義 す る こ とが で き る.

ず,(5.2)か

れ か ら定 常電 流

ら ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ

これ は,静

電 ポ テ ン シ ァル と ち が っ て,い

ま の場合 導 体 の 内部 にお け る電位 差 の

存 在 を あ ら わ して い る こ と に 注 意 し よ う.(5.5)を(5.4)に

こ れ を(5.1)の

と な る.と

電流 保 存則 に代入 す る と

くに,σ

と な っ て,こ

が 場 所 に よ ら な い 定 数 で あ る と き に は,(5.7)は

れ は −div Eex(x)の

っ た く 同 じ形 に な る.(5.8)は る が,導

代 入 す る と,

体 表 面S上

が え られ る.こ

電 荷 分 布 が あ る と き のPoissonの

で はdivie=0か

こ でnは

方程式 とま

導 体 内 部 に お け る電 流 分 布 を規 定 す る方 程 式 で あ ら

導体 表 面 上 に導 体 外 部 に 向 け てた て た 単 位 法線 ベ ク ト

ル で あ る.(5.9)に,(5.6)を

代入す ると

とな り,と くにそ の場 所 に起 電 力 が な けれ ば

で あ る ． し た が っ て,(5.7)あ

る い は(5.8)のPoissonの

(5.11)の 境 界 条 件 の も と に 解 く こ と に よ っ て,定

方 程 式 を,(5.10)か

常 電 流 の 分 布 が 決 定 す る.こ

の

解 が 定 数 を の ぞ い て 一 義 的 に 決 ま る こ と を 証 明 し て お こ う.   い ま,仮

に(5.7)と(5.9)と

っ た と し よ う.そ れ ら を φ1と

とお く.す

る と導 体 内 部 で

また導体表面上で

を み た す 解 が,同 φ2と し て,そ

じ σ とEex(x)に

の差 を

対 し て ２個 あ

と な る.さ

て,

にお い て,こ れ を導 体 全 体 に わた って積 分 す る と

と な る.左

辺 は(5.13)に

よ っ て,ま た 右 辺 の 第 １項 は(5.12)に

よ っ て 消 え る か ら,

σ は ど こ で も正 で あ る か ら,

で な け れ ば な らな い.し

たがって

と な る.   (5.7)を 解 く に あ た っ て,も る と き に は,そ

し電 気 伝 導 率 σ の 異 な る二 つ の 導 体 が 相 接 し て い

こ で の 電 流 分 布 を決 め る た め に 境 界 条 件 が 必 要 と な る.そ

電 体 内 の 静 電 場 の と き と,ま

っ た く平 行 的 に お こ な わ れ る.つ

れ は誘

ま り,(5.1)か

電 流 の 法線 成 分 は連 続 で あ っ て

あ るい は,境 界 面上 に外 部起 電 力 が ない とき に は

が な りた つ.一

方,(5.2)か

ら電 場 の 接 線 成 分 が 連 続 で あ る こ とが わ か り

あ るい は

が な り た つ.そ

こ で(5.14)と(5.17)か

こ れ ら を くみ あ わ せ て

ら(図5.2参

照),

図5.2  電 流 の 屈折

ら

な る 屈 折 の 法 則 が え られ る.   そ れ ぞ れ の 導 体 の 誘 電 率 を ε1お よ び ε2と し た と き,ε1/σ1＝ ε2/σ2の関 係 が 成 立 し て い な い と き に は,(5.18)の が,そ

関 係 は 第 ４章 の(7.9)と

の よ う な と き に は 第 ４章(7.2)の

に 表 面 電 荷 が 蓄 積 さ れ,そ

が な りた つ.こ

条 件 が 成 立 せ ず,二

ころ

つ の 導体 の 境界 面上

の 表 面 密 度 を ω と す る と,

の 表 面 密 度 の 大 き さ は(5.19)と(5.14)と

で あ た え ら れ る.こ

矛 盾 し て い る.と

こ でin＝i1・n＝i2・nで

か ら

あ る.

  [例 題 １]電 流 分 布 の 多 重 極 展 開   非 常 に 大 き い 領 域Vに ひ ろ が っ た,電 気 伝 導率 σ が 一 定 で あ る 導 体 の な か の き わ め て せ ま い 領 域 に,起 電 力Eex(x)が あ る ときにお ける Poissonの

方 程 式(5.8)の

解は

で あた え られ る.こ れ を(3.1)と 同 様 に多 重極 展 開 す る と

が え られ る.l＝0の

ま た,l＝1の

項 は,次 の よ うに表 面積 分 に か き なお され て消 え る.

項 は(3.4)の

公式 を つか うと

とな る か ら

とか かれ,こ れ はFな

る双 極 子 に よ る ポテ ンシ ァル を あ らわ して い る.

 [例題 ２]同 心 球 電極 間 の抵 抗   半 径a,b(b＞a)の 同心 球 形電 極 の あ い だ を,電 気 伝 導率 σの媒 質 でみ た した と き,両 球 間 の電 気 抵 抗 を求 め よ う.媒 質 内 部 で は起 電 力 は ない か ら, (5.8)よ りLaplaceの

方程 式 が な りた つ.問 題 の 性 質 か ら,ポ テ ンシ ァル φ は球 対 称 で あ

るか ら

とかか れ る.こ こでkとcは

未定 の定 数 で あ る.さ て,Ohmの

法 則 を内球 表 面 上 で積 分

すると

が な りた つ.こ

こ でIは

内 球 か ら外 球 に な が れ る 全 電 流 の 強 さ で あ る.(5.24)を(5.25)に

代 入 す る と,

し た が っ て,

これ を,(5.24)に

入 れ る こ と に よ っ て,内

で あ た え られ る.し

か る に,電

外 球間 の電 位差 は

気 抵 抗Rは

φ(a)− φ(b)＝RIで

定 義 され る か ら

と求 ま る.

 §６ Joule熱

最 小 の 定理

  前 節 の 議 論 を か え りみ る と,静

電 場 の 問 題 と定 常 電 流 の 分 布 の 問 題 と に は,い

ち じ る し い 類 似 性 が あ る こ とに 気 が つ くで あ ろ う.誘 S2,… … … Thomsonの っ て,そ

が あ り,そ

れ ぞ れ にQ1,Q2,…

定 理 が な りた っ た.そ れ ぞ れ か らI1,I2,…

て み る(図6.1,図6.2参   こ の と き,次

…

…

こ で,導

電 体 の な か に 導 体 系S1,

の 電 荷 が あ た え られ て い る と き, 体 表 面 上 にS1,S2,…

… の電 極 が あ

の 電 流 が 導 体 の な か に な が れ こ む 場 合 と比 較 し

照).

の よ う な 対 応 が つ け られ る.

図6.1Thomsonの

図6.2Joule熱

定 理

静 電 場

定常電流

こ の 表 をみ れ ば 明 ら か な よ う に,静 も の と して,電 き,定

極S1,S2…

常 電 流 はJoule熱

…

で,こ

電 場 の と き のThomsonの

か ら強 さI1,I2…

の 電 流 が 流 れ こ ん で くる と

い う定 理 が 証 明 で き る.こ

→ σ の お き か え を す れ ば,Thomsonの こ で は 省 略 す る.こ

…

定 理 に相 当 す る

のエネルギー

を 最 小 に す る よ うに 分 布 す る,と Q→I,ε

最 小 の定 理

の定 理 をJoule熱

定 理 と ま っ た く同 様 に で き る の 最 小 の 定 理 と い う.

  これ を 線 状 導 線 回 路 に 適 用 す る た め に,Joule熱

を か き な お し て お く.断 面 積S,長

さlの

を 一 様 に 流 れ て い る も の と す る と,(6.7)は

の 証 明 はD→ie,

の エ ネル ギ ー

細 い 導 線 を考 え て,電

流 はそ の な か

と か か れ る.こ Joule熱

こ でRは

導 線 の 全 抵 抗 で あ る.

最 小 の 定 理 を利 用 す る こ とに よ っ て,線

常的 分 布 を求 め る こ と が で き る.す 電流 分 布 を 仮 定 して,そ

な わ ち,電

状 回路 網 内 に お け る電流 の定

流 保 存 則(1.8)を

の と き 回 路 に 発 生 す るJoule熱

それ が 最 小 に な る よ う に す る こ と に よ っ て,回

み たす 仮 想的 な

を(6.8)に

よ っ て 求 め,

路 内 の定 常 電 流 の分 布 を決 め る こ

と が で き る.   [例題]Kirchhoffの

法 則  線 状 回 路 網 に お け る 定 常 電 流 の 分 布 を決 め るの に 有効 な法

則 としてKirchhoffの

法 則 といわ れ る ものが あ る.こ れ は次 の よ うに表 現 され る.

  (１)  回路 網 内 の任 意 の一 つ の結 合 点 に 流入 す る電 流 の 代数 的和 は ０で あ る.

 (２)  回路 網 内 の任 意 の 一 つ の閉 回路 に おい て,各 枝 路 内 の 電 流 とそ の 抵抗 と の 積 の 代 数的 な和 は,そ の 回路 内 に ふ くまれ る起 電 力 の 代 数 的 な和 にひ と しい.す な わ ち,

上 の第１ 法 則 は定 常電 流 の保 存 則(1.8)を 結 合 点 に適 用 した もの で あ る.第 ２法 則は 起 電 力をふ くむOhmの

法則(5.6)を,考

え て い る 閉回 路 に そ って積 分 した もの で あ る.

 さて 閉回 路 に 電流 が なが れ る場 合,そ の電 流 分 布 がKirchhoffの 法 則 に した が うと き, つま り定 常 電 流 の とき,発 生 す るJoule熱 が 最小 で あ る こ と を示 そ う.ま ず,閉 回 路 の な かに起 電 力 がな い とき を考 える.回

路 網 の なか の 任 意 の一 つ の 閉 回路 を と って み る.そ

閉回路 の各 枝 路 の電 流 をI1,I2…,抵

抗 をR1,R2…

と し,い

路の電 流 をIα,Iβ…,抵 抗 をRα,Rβ … とす る.こ の と き全 系 に発 生 す るJoule熱

さて,考

は

えて い る閉 回 路 の 各 枝 路 の電 流I1,I2… のす べ て を同 じ量 δだ け変 え て も(仮 定

した 閉 回 路 の 方 向 と電 流 と が 同方 向 の と き+δ,反 は成 立 す る． しか し発 生 す るJoule熱

対 方 向 の とき-δ とす る),第１

のエ ネ ル ギ ーU’ は

とな る.し た が って

第２法 則 に よ って,右 辺 の第１ 項 は ０とな っ て

すな わ ち,Kirchhoffの 次 に,考

の

ま考 え てい る閉 回路 以 外 の枝

法 則 にし た が う と き,Joule熱

え て い る 閉 回 路 に 起 電 力Eiexが

は 最 小 に な る.

ふ くまれ て い る と きに は

法則

が最 小 に な る.な ぜ な ら

右辺 の 第 ２項 は,第

２法 則 で ０にな るか ら

で あ る.

 [問題]   (１)  半 径Rの

円形 電流 の 中心 軸上 の磁 場 の 強 さ を,Biot-Savartの

法 則 に よ り求 め よ.

   (２)  同一 の 中心 軸 を もつ 半 径Rの ２個 の 円形 電 流 が,Rの 間 隔 をお い て 向 き あ って い る.こ の コイ ル の 中心 軸 の 中心付 近 では,磁 場 は,ほ とん ど一 様 で あ る こ とを証 明 せ よ. ただ し二 つ の 円形電 流 の向 きは 同 じで あ る.(Helmholtzコ

イル)

  (３)  一様 な表 面 密 度 ω で表 面 に 帯電 して い る半 径aの

導 体球 を,一

つ の直 径 の ま わ

りに一 定 角 速 度 α で回 転 させ る とき,導 体球 の 中心 お よび 回 転 軸 上 の 点 の磁 束 密 度 を求 め よ.   (４)  幅2aの うす い無 限 に 長 い導 体 板 に,長 さの 方 向 に電 流Iが とき,板 の中心 か ら板 面 にhの 距 離 の 点Pの 磁 場 を求 め よ.

一様 に なが れ て い る

  (５)  半径aの 円形 電 流 の 中心 か ら距離r,中 心 軸 とな す 角 θ な る点Pに おけ るベ ク ト ル ・ポ テ ンシ ァル をみ ちび き,と くにPが 電 流 か ら十 分 は な れ た とき,そ の値 を求 め よ.    (６)  地球 磁 場 を双 極 子mと み な す とき,緯 度 λ,経度 φ,地 球 中 心 か らの距 離rな 点で の ベ ク トル ・ポ テ ンシ ァル と磁 場 の強 さ を求 め よ.

る

 (７)  Bohrの 原 子 模 型 で は,水 素原 子 は陽 子 の ま わ りを,１ 個 の電 子 が 回 転 して い る も のとす る.こ の とき,円 形 軌 道 を えが く電 子 に よ っ て,原 子 は磁 気 モ ー メ ン トを もつ こ と にな る.こ の 磁 気 モ ー メ ン トを求 め よ.た だ し,電 子 の 質 量m=9×10‐31kg,電 1.6×10‐19Coulomb,Planck定

数h=6.5×10−34Joule・sec.で

荷e=

あ る とす る.ま た,量 子 論

による と電 子 の軌 道 角 運 動 量 はh／2π の整 数 倍 の値 の み を と り う る.  (８)  半 径 が そ れ ぞ れr,R(R＞r)で,高 さhの 同軸 円筒 が あ って,そ 伝導 率 σ の物 質 が は い って い る と き,両 円筒 間 の電 気 抵 抗 を 求 め よ.

の あ い だ に電 気

 (９)  半 径 が そ れ ぞれa,c(c＞ ａ)の 同心 球形 電 極 の あ い だ を,半 径bの

共 心 球 面 を境 と

して,電 気 伝 導 率 σ1,σ2の二 つ の異 な った導 体 で み たす と き,こ

の 両電 極 間 の電 気 抵 抗 を

求め よ.  (10)  半 径aお

よびbの

２本 の真 直 ぐな針 金 が無 限 に ひ ろ が っ た電 気 伝 導 率 σ の 媒 質

中 に,十 分 大 き い距 離d(d≫a,b)を へ だて て平 行 に お かれ て い る と き,こ れ を電 極 と した ときの針 金 の単 位 長 さあ た りの媒 質 の電 気 抵抗 はい く らか.  (11)  本 文 で 省 略 し たJoule熱  (12)  n本

最 小 の 定 理 の証 明 を あ た え よ.

の 並 列 に つ な が れ た,抵

抗R1,R2…Rnの

導 線 に,そ

れ ぞ れI1,l2…Inの

電

流 が な が れ る と き,全

電 流I=I1+I2+…+Inの

の とき,各 導線 に な がれ る電 流I1,I2…Inを

大 き さ が 一 定 に 保 た れ て い る と す る.こ

求 め よ.

  (13)  抵抗 の等 しい針 金 で 立方 体 の 稜 をつ く り,そ の一 つ の稜 の両 端 に起 電力Eexを

加 え る とき の 各 部 分 の 電 流 を求

め よ.た だ し,電 池 の 内 部抵 抗 をR,各 稜 の抵 抗 をrと す る.   (14)  比誘 電 率 ε*の 無 限 に ひ ろが った 等 質性 の 誘電 体 の な か に,二 つ の導体 を電極 とす る コ ンデ ンサ ーが あ って,そ の静 電 容 量 をCと

す る.い ま,こ の誘 電 体 を電 気伝 導 率 σ の物 質 で お き か え,電 極 間 に

電 流 を通 した ときの抵 抗 をRと

な る 関 係 が あ る こ と を 示 せ.こ ー で あ る.   (15)  面 積S,厚 ε1,ε2,電気 伝 導 率

さd1+d2の

する と

こ でUはJoule熱

の エ ネ ル ギ ー で,Weは

平 行 板 コ ン デ ン サ ー の極 板 間 に 厚 さd1,d2を

σ1,σ2の 媒 質 が つ め て あ り,両

質 の 境 界 面 に 蓄 積 さ れ る電 荷 の 表 面 密 度 を 求 め よ.

極 間 に 電 圧Vを

静 電 エネ ル ギ

もつ 誘電 率

加 え る と き,二

つ の媒

第 ６章 静

磁

場

§１  静 磁 場 の基 本 方程 式  前 章 で の べ た よ うに,真 空 中 に定 常 的 な伝 導 電流 の分 布ie(x)が い る とき,そ れ に ともな って真 空 中 に静 磁 場B(x)が

あ た え られ て

発 生 す る.こ の現 象 を記 述

す る基本 方 程 式 は

に よ っ て あ た え られ る.(1.1)はAmpereの Gaussの

法 則 を,(1.2)は

法 則 を示 す も の で あ る.

  電 流 が 静 止 物 体 内 に あ る と き の 基 本 方 程 式 に つ い て は,す で 復 習 し て お こ う.物

の た め 巨視 的 な意 味 で の微 小 空 間 に お

け る 平 均 的 な磁 気 モ ー メ ン トは ０ で な く な り,磁 磁 化 さ れ る 物 体 を 磁 性 体 と い う.さ た ら し く発 生 す る磁 場 は,第

た が っ て,磁

とお き か え られ,常

て,磁

化 が あ ら わ れ る.こ

のよ うに

気 双 極 子 の 空 間 的 分 布M(x)に

５章(3.17)に

よっ

よっ て

気 双 極 子 の分 布 は

な る 電 流 分 布 の 存 在 と等 価 で あ る.こ

Bの

こ

導 電 流 に よ り生 じ た 磁 場 が 分 子 ・原 子 の 磁 気 双 極 子 の

方 向 を そ ろ え よ う とす る 傾 向 が あ る.こ

で あ た え られ る.し

で に の べ た が,こ

体 を構 成 して い る分 子 あ る い は原 子 が磁 気 モ ー メ ン トを

も っ て い る と す る と,伝

て,あ

磁場 に 関 す る

の と き(1.1)は

磁 性 体 や 強 磁 性 体 の 場 合 に は,真

大 き さ は 増 大 す る.(1.4)と(1.5)か

ら

空 中 の と き よ りも 磁 束 密 度

そ こで,磁 場 の強 さHを

で定 義す る と,物 質 内 に お け る静磁 場 を記 述 す る基 本 方程 式 は

と か く こ と が で き る. (1.4)のM(x),あ

る い は

で 定 義 さ れ る 物 理 量 を 磁 化(magnetization)の と(1.9)か

らわ か る よ うに,B(x)と

お い て,B(x)とH(x)と

同 じ でWeber/m2で

こ で 現 象 論 的 な 法 則 と し て,均

な る 関 係 を つ け加 え る こ と に よ っ て,基 susceptibility)と

の は 電 気 比 感 受 率 で あ る.電 x*は

単 位 は(1.6)

あ る.(1.7)と(1.8)に

は 独 立 な 物 理 量 で あ る か ら,(1.7)と(1.8)と

そ の 解 は 決 ま らな い.そ

磁 化 率(magnetic

強 さ と い う.J(x)の

一 な物 体 内 で な りた つ

本 方 程 式 系 は 完 結 す る.物

い う.静

だ けで は

電 場 の と き に,こ

質 定 数x*を

れ に対 応 す る も

気 比 感 受 率 は つ ね に 正 の 定 数 で あ っ た が,磁

正 ま た は 負 の値 を と り,強 磁 性 体 と い わ れ る物 質 で はx*は

の 関 数 に な る こ と も あ る.さ

て,(1.6)と(1.9)か

で あ る か ら,こ れ に(1.10)を

代入 す る と

化率

磁 場 の 強 さH

ら

そ こで

と か く と,(1.12)は

と か け る.(1.13)の   さ て,い

μ*≡1+x*が

比 透 磁 率 で あ る.

ま 考 え て い る 領 域 の 内 部 に 定 常 電 流 の 分 布 が な い と き,静

す る 基 本 方 程 式 系 は(1.7),(1.8)お

よ び(1.14)か

ら

磁 場 を記 述

であ た え られ る.こ れ らを真 電 荷 が ない ときの静 電 場 の基 本 方程 式 系

と 比 較 す る と,そ

の 類 似 性 は き わ め て 明 白 で あ る.し

た が っ て,静

磁 場 を決定 す

る 問 題 は 静 電 場 を 決 定 す る 問 題 と ま っ た く同 様 に解 く こ と が で き る.(1.15)の

第

１式 か ら

と か く こ とが で き る.そ づ け る.し

か し,こ

こ で,φm(x)を

静 電 場 に お け る 電 位 に 対 応 し て磁 位 と な

の 概 念 は 静 電 場 の と きと違 っ て,伝

て 意 味 を も つ こ と に 注 意 され た い.μ

導 電 流 が ない 場所 に限 っ

が 場 所 に よ らな い と き に は,(1.17)を

(1.15)の 第 ２式 に代 入 す る こ とに よ っ て,磁

位 に 対 す るLaplaceの

方程式

が え られ る.こ

れ を 適 当 な 境 界 条 件 の も とに 解 く こ と に よ っ て φm(x)を 決 定 し,

そ れ を(1.17)に

代 入 す る こ とに よ っ て 磁 場Hが

決 定 され る.

  §２ 永 久 磁 化   前 節 の(1.10)に し,そ

あ る よ う に 物 質 中 の 磁 化J(x)は

の 磁 場H(x)は

い る.し

基 本 法 則(1.7)に

た が っ て,伝

も な っ て,磁

化Jも

導 電 流ieが な くな る.と

持 して い る物 体 が 存 在 す る.こ

(1.10)の

関 係 が な り た つ.磁 場Hを

magnetization)J0と

か れ る.

磁 場H(x)に

導 電 流ie(x)に

消 失 す れ ば,磁 こ ろ が,Hを

場Hも

よぶ.こ

と もな っ て発 生 よ っ て つ く られ て

０ と な り,そ

れ にと

０に し て も な お 磁 化 の 状 態 を 保

れ が 永 久 磁 石 で あ る.こ

に 消 え る磁 化 を誘 導 磁 化(induced 

nent

よ り,伝

magnetization)Jiと

の と き,磁 よ び,こ

場Hと

とも

れについては

消 し て も残 留 す る 磁 化 を 永 久 磁 化(perma の と き,全

磁 化Jは

次 の よ うに 分 離 し て か

磁 束 密 度 は(1.11)よ

り

で あ た え ら れ,

な る関 係 をみ たす.し た が って,伝 導 電 流 が な くて,永 久 磁 化 の あ る場 所 では, 基本 方 程式 系 は

に よ っ て あ た え ら れ る.こ

と か か れ る.こ

が え ら れ,こ (5.8),(5.21)と

の 場 合 に も(2.4)か

ら,磁

位 φmが 定 義 で き て

れ を(2.5)に 代 入 す る こ と に よ っ て

れ は 永 久 磁 化 を源 とす るPoissonの 比 較 す る こ と に よ っ て,無

磁 率 μ*の 磁 性 体 の な か に 永 久 磁 化J0(x)が

方 程 式 で あ る.(2.7)を

第 ５章

限 に ひ ろ い領域 に ひ ろが っ てい る比 透 あ る と き の磁 位 は

に よっ て あた え られ る こ とがわ か る.(2.8)を(2.6)に

代 入 す れ ば磁 場Hが

求め

られ る.   §３ 境 界 条件   (1.18)のLaplaceの

方 程式,あ

るい は(2.7)のPoissonの

方 程 式 を解 くこ と

に よっ て,磁 場 を決 め る こ とが で き る.こ の とき異 な る磁 性体 の境 界 面上 に お け る条 件 が必 要 とな る.こ れ が わ かれ ば,問 題 を静電 場 に お け る境 界 値 問題 とま っ た く平 行 的 に考 え る こ とが で きる.  ふ たた び,二 つ の誘 電 体 の 境界 面 上 に真 電 荷 の分 布 ρeが な い と きの静 電 場 の 法則

と,二 つ の磁 性 体 の 境界 面 上 に 伝導 電 流 お よび永 久 磁 化 の な い ときの静 磁 場 の法 則

と を 比 較 して み よ う. 静 電 場 の と き,(3.1)の

第 １式 と第 ２式 と か ら

Eの 接 線成 分 は連 続, Dの で あ る こ とが み ち び か れ た.こ

れ に 対 応 して

Hの Bの で あ る こ と は(3.2)か

法 線成 分 は連 続

接 線 成 分 は 連続 , 法線 成 分 は 連続

らす ぐ わ か る.ま

た,図3.1に

お い て,静

電場 の 屈折 の法

則 は

で あ った こ とに対応 して,静 磁 場 の場合

図3.1  磁場 の 屈折 の法 則

図3.2  鉄 か らで る磁 束 線 の 屈 折

が な りた つ.い と な る.し

ま 上 部 が 空 気 で,下 部 が 鉄 で あ る と き,μ1≪ μ2で あ る か ら α1≪ α2

た が っ て,鉄

の な か で は ほ と ん ど境 界 面 に 平 行 な磁 束 線 で も,空

気 中

に も れ る と き に は ほ とん ど 直 角 とな っ て で て い く.反 対 に 磁 束 線 が 空 気 中 か ら鉄 の な か に は い る と き に は,直 行 に な り,そ

角 に入 射 し て も鉄 の な か で は 境 界 面 に は ほ と ん ど平

の 結 果 鉄 の な か の 磁 束 密 度 は 著 し く大 き く な る(図3.2参

  永 久 磁 化 の な い 物 体 を外 部 磁 場 の な か に も ち こ ん だ と き,物

体 は 磁 化 さ れ,

で き あ が っ た 磁 場 の 様 子 は も と の磁 場 と は 異 な っ た も の と な る.こ 場 を 求 め る に は,Laplaceの

照).

の とき の磁

方 程式

の一般 解 を求 め,境 界 面上 で

な る境 界条 件 をみ た す よ うに φmを 決 めた ら よい.た だ し(3.8)の 微 分 は境 界 面 の接 線 方 向 の微 分 で あ り,(3.9)の

微 分 は法 線 方 向 の微 分 で あ る.こ

の問 題 は外

部 静 電 場 の な か に誘 電体 をお いた とき の問 題 と ま った くお な じで あ る. [例 題

１]円

筒 形 永 久 磁 石   真 空 中 に 長 さ2l,半

形 磁石 がお か れ て い る.磁 石 の永 久 磁化J0はz方

径a,断

面 積Sの

図3.3の

よ うな 円 筒

向 に 一様 で

あ る とす る.こ の と きの磁 場 の様 子 を調 べ る.い ま の場 合 外 部 磁 場 が な い の で,誘 導 磁化Jiは 束 密 度Bは

０で あ る.し た が っ て,磁

磁 石 の 内部 で は

で,磁 石 の外 部 で は

で あ る.図3.3の

よ う にz方

向 の 単 位 ベ ク トル をn,そ

角 の 方 向 の 単 位 ベ ク トル をtと

す る と,永

久 磁 化J0は

れに直 次の よ

う に か か れ る. 図3.3  永 久 磁 石

こ こ で σmは 磁 化 の表 面 密 度 で,こ れ を磁荷 とい う.θ(x)は

な る性 質 を もつ階 段 関数 で あ って,

で あ る1),   こ の と き,磁

化 に よ る 磁 位 は 磁 石 の 内 外 を 問 わ ず,(2.8)に(3.12)を

代 入 す る こ とに よ っ

て あ た え ら れ る.

こ こ で(3.14)と

δ 関 数 の 性 質 を つ か っ た.(3.15)か

ら磁 荷 σmが

あ らわ れ るの は 磁 石 の

上 下 の 端 だ けで あ る こ とが わ か る． そ してそ れ ぞれ の磁 荷 の表 面密 度 は ±σmで あ る.   磁場Hは(3.15)を(2.6)に

代入 す る こ とに よ っ て求

ま る.こ の こ とか ら,磁 場Hの

様 子 は 表面 密 度 ±ω の

電 荷 を もつ ２枚 の 平 行 板 の つ くる電 場 の様 子 と同 じもの にな る ． は じめ に 磁 石 の表 面 上 に お け る磁 場 の様 子 を調 べ よ う．(2.4)か らHの 接 線 成 分 は 磁石 の 表 面 上 の い た る とこ ろで 連 続 で あ る こ とが わ か る.次 に法 線 成 分 に つ い て は,ま ず 円 筒 の側 面 上 では 連続 にな ってい る.な ぜ な ら,永 久 磁 化J0は

第3.3図

のtの

方 向 と直 交 して

い るた め

図3.4 

Hの

場

図3.5 

Bの

よ り,

をえ るか らで あ る.一 方,上 下端 の面 上 で は

で あ る.つ 場Hの 1)遠

と な る.一

ま り,磁

石 の 両 端 で はHの

様 子 は 図3.4の

法 線 成 分 は そ の 値 が ジ ャ ン プ す る.し

よ う に な っ て い る.図3.3と

方 で消 え る任 意 の微 分 可 能 な 関数 をf(x)と

方

で あ る.こ

図3.4を

た が っ て,磁

比 べ て も わ か る よ う に,H

すると

れ ら を比 較 す る と(3.14)の 正 当性 が わ か る.

場

の 方 向 とJ0の

方 向 と は ほ ぼ 反 対 向 き に な っ て い る た め,Hは

る 作 用 を す る.こ

れ を 自 己 消 磁 作 用(self

  次 に 磁 束 密 度Bは(3.10)に(3.15)を

demagnetization)と

減 少 させ

代 入 す るこ とに よ り

に よって あ た え られ る.磁 石 の外 部 で はJ0は

０で あ る か ら,外 部 のBの

れ と同 じで あ る.そ こで磁 石 の 内 部 のBの み たす か ら,Bの

磁 化 の 強 さJ0を い う.

様 子 を調 べ よ う.Bは

様 子 はHの

そ

い た る と ころ で(2.3)を

法線 成 分 は磁 石 の 表 面上 の ど こで も連 続 に な っ てい る.接 線 成 分 につ い

て は,(2.2)を(2.4)に

代 入 す る こ とに よっ て

な る条 件 が 要求 され る.そ

こ で これ を磁石 の表 面上 で線 積 分 す る と,磁

石 の 円 筒側 面 上 で

は

磁石 の両端では とな る.こ れ か らBの とがわ か る.こ

接 線 成 分 は 側面 で は σmだ け ジ ャ ンプ し,両 端 で は連 続 で あ る こ

うし てBの

部 で はHとBと

様 子 は 図3.5の

[例題 ２]磁 気 しゃへ い  図3.6に を,一

様 な 磁 場H0の

み た すLaplaceの

示 した よ うな透 磁 率 μ,外径a,内

れ に は,磁

位 φmの

こ

よ う に 球 の 中 心 を原 点 に と り,

の 方 向 をH0の

方 向 に と っ て,極

(r,θ,〓)を 利 用 す る.こ 方 程 式 の 解 は,第 し か し,そ

座標系

の と き,Laplaceの

４章(8.19)と

同 じ で あ る.

の と き の 経 験 に よ れ ば,(8.19)

の 全 体 を 考 え な く て も,l=0,1の を 残 し て お け ば 十 分 で あ る.す

２項 だ け 図3.6  磁気 しゃ へ い

な わ ち,

磁 位 φmに は 定 数 の 不 定 性 が あ る か ら,A0=0と   さ て,球

中 空 の球

方 程 式(3.7)を(3.8)と

(3.9)の 境 界 条 件 の も と で 解 け ば よ い.そ

z軸

径bの

な か に お い た とき の磁

場 の 分 布 を 調 べ よ う.そ

で,図3.6の

よ うに な る こ とが わ か る.つ ま り,磁 石 の 内

は ほ ぼ反 対 の方 向 を向 い て い る.

し て よ い.

外 の 磁 位 を φm(1),磁性 体 中 の 磁 位 を φm(2),中空 部 の 磁 位 を φm(3)と お く.無

方 で の磁 位 は-H0rcosθ

で あ り,中

空 部 の 磁 位 は 有 限 で な く て は な ら な い か ら,そ

れ の 領 域 で の 磁 位 の 形 は 次 の よ うに あ ら わ さ れ る ．

限遠 れぞ

(3.22)の

未定の定

い る.球

面 上 で のBの

数B0(1),B1(1),B0(2),A1(2),B1(2)お

よ びA1(3)を

決 め る には 境 界 条 件 を も ち

法線 成 分 の連 続 の条 件 は

こ こ で μ*=μ/μ0であ る.ま たHの

接 線 方 向 の成 分 の連 続 の条 件 は

で あ た え られ る.(3.22)を(3.23)と(3.24)に

代 入 し,そ

れ ら が θの値 に よ らず に成 立 す

る こ とに注 意 す る と

お よび

の ６個 の 条 件 を え る. (3.26)の

第 １式 と第 ２式 か らA1(3)を

と な る.こ

れ と(3.26)の

を え る.こ

れ ら を(3.26)の

第 ３,第

消去す ると

４式 か ら

第 １式 に 代 入 す る と

第 ２式 に代 入 す る と

こ う し て え ら れ た 磁 位 を も ち い て,磁 が,図3.6で

場

を 求 め,そ

あ る.

  い ま と く に,中

空 部 の 磁 場 を 考 え る.こ

のとき

の 結 果 を 図示 し た の

と な り,こ

れ はz方

向 の 一 様 な 磁 場 で あ る.中

の で あ る と き,μ*≫

１な の で,(3.27)は

空 の球 が軟 鉄 の よ うに 透磁 率 の 大 き い も

近似的 に

と な り,中

空 部 の 磁 場 の 強 さ は き わ め て 小 さ く な る.こ

く な る.こ

の よ う に,透

の と きa≫bで

あ れ ば よ り小 さ

磁 率 μ の 大 き い 厚 い 磁 性 体 で か こ む こ と に よ っ て,外

の 影 響 を 防 ぐ こ と が で き る.こ

部 磁 場H0

れ を 磁 気 し ゃ へ い と い う.

§４ 物 質 の 磁 性   物 質 の 磁 気 的 な 性 質 を 分 類 す る の に,磁

化 率x*を

体 の場 合 に は 電 気 感 受 率 は つ ね に 正 で あ り,し

つ か う と便 利 で あ る.誘

電

た が っ て ε＞ ε0で あ っ た が,磁

性

体 の 場 合 に は磁 化 率 χ*は か な ら ず し も 正 で あ る とは か ぎ ら な い.そ 透 磁率

μ*=1+χ*は

１ よ り も小 さ くな る こ と も あ る.x*＞0で

が １に く ら べ て き わ め て 小 さ い と き,そ stance)と

い う.ま た,x*＞0で

の 強 磁 性 の 原 因 は,本

後 に χ*＜0で

れ

sub

そ の 値 が １に く らべ て き わ め て 大 き く,χ*自 身 が substance)

質 的 に 量 子 力 学 的 な も の で あ る た め,こ

く わ し く説 明 す る こ と は で き な い が,あ す る.最

は あ る が,そ

の 物 体 を 常 磁 性 体(paramagnetic

磁 場 の 関 数 に な っ て い る こ と も あ る物 体 を 強 磁 性 体(ferromagnetic と い う.こ

の た め,比

こで は

とで 大 雑 把 に そ の本 質 の 直 観 的 な 説 明 を

あ る よ う な物 体 を反 磁 性 体(diamagnetic

substance)と

い う.   (１)常

磁 性体

  物 体 を 構 成 し て い る原 子 あ る い は 分 子 が,そ

のな か にふ くまれ る電子 の軌 道 角

運 動 量 あ る い は そ れ ら の ス ピ ン に も とづ く磁 気 モ ー メ ン ト(第 ５章(3.24)参

照)を

も っ て い る と き を考 え よ う.こ の 物 体 に 外 部 磁 場 が作 用 し て い な け れ ば,そ れ ら の 原 子 や 分 子 は 不 規 則 な 熱 運 動 を して い て,そ

の た め に それ らの磁 気 双極 子 は ま っ

た く不 規 則 な 方 向 を 向 い て い る.し た が っ て,巨 視 的 な 意 味 に お け る 微 小 領 域 の な か で そ の 平 均 値 は ０ に な っ て い る.と こ ろ が,こ れ に 外 部 磁 場 が か か る と磁 気 双 極 子 は 外 部 磁 場 の 方 向 に そ ろ え られ る 傾 向 を生 ず る.こ れ る.し

た が っ て,温

は 増 大 す る.こ

の よ う に し て物 体 は 磁 化 さ

度 が 高 く な る と磁 化 率 は 減 少 し,逆

に 温 度 が 下 が る とそ れ

の よ うな 機 構 に も とづ い て 磁 化 を 生 ず る 物 体 が 常 磁 性 体 で あ っ

て,磁 化 率 と絶 対 温度Tと

な る 関 係 が あ る.こ

の間 には

の 法 則 をCurieの

質 を も っ て い て,x*は10-6の

法 則 と い う.気 体 で は 酸 素 な ど が こ の 性

程 度 の 大 き さ で あ る.固

が こ の 部 類 に 属 し て い て,x*は10-4の  

体 で は 白金 族 の元 素 な ど

程 度 の 大 き さ を も つ.

(２)  強 磁 性 体

  む か し か ら よ く知 ら れ て い る よ うに,鉄,ニ き つ け られ る 性 質 を も っ て い る.こ 化 率x*は104の る.そ

ッケ ル,コ

バ ル トな ど は 磁 石 に 引

れ ら の 物 質 を 強 磁 性 体 とい う.鉄

程 度 の 大 き さ で あ っ て,ま

たx*は

磁 場Hの

の場 合 の 磁

関数 とな って い

し て 一 定 の 強 度 の 磁 場 の 作 用 の も とで 磁 化 の 強 さ は 飽 和 す る.常

場 合 に は,外

部 磁 場Hに

ま た 消 え る.と

よ っ て 磁 化 した の ち に,外

こ ろ が,強

磁 性 体 に お い て は,外

永 久 磁 石 と な る こ とが あ る.さ

て,鉄,コ

磁 性体 の

部 磁 場 を 除 い た と き磁 化 も

部 磁 場 が 除 か れ て も磁 化 が 残 り

バ ル ト,ニ

ッ ケ ル な どが,な

ぜ と くに

こ の よ うな 著 しい 性 質 を も つ の か と い う理 由 を 正 確 に 説 明 す る た め に は,そ の 元 素 の原 子 構 造 の 特 殊 性 を 量 子 力 学 的 に 考 察 しな け れ ば な ら な い.こ の 点 に は た ち入 ら ず に,強

れ ら

こ で はそ

磁 性 の お き る機 構 に つ い て の み 簡

単 に 説 明 す る こ と に し よ う.鉄 片 を よ くみ が い て 顕 微 鏡 で み る と,た

と え ば 図4.1の

よ うに あ る 区 域 に わ か れ て い る こ

と が わ か る.そ

し て,そ

っ て い る が,区

域 同 士 の 磁 化 の 向 きは 大 体反 対 にな っ て い

て,鉄

の区域 の な かで は磁 化 の向 きが そ ろ

片 全 体 と し て は 磁 化 が な く な っ て い る.こ

域 を磁 区(magnetic

domain)と

い う.な

こ と は の ち に 考 え る こ と に し て,磁

の よ うな 区

図4.1 

磁

区

ぜ こ の よ うな 磁 区 に わ か れ る か と い う

区内 に お いて は磁 化 の向 きが そ ろ っ て い る理

由 を 説 明 す る こ と に し よ う.   原 子 は そ の な か の 各 電 子 の 軌 道 角 運 動 量 お よ び そ の ス ピ ン に も と づ く磁 気 モ ーメ ン トを も っ て い る.と こ ろ が,そ れ ら の 磁 気 モ ー メ ン トの ほ と ん ど は上 向 き 下 向き の 一 対 を つ く っ て た が い に 消 し あ っ て し ま い,原 子 の 外 側 に あ っ て 対 を つ く ら ずに と り残 され た 電 子 の ス ピ ン だ け が 原 子 の 磁 気 モ ー メ ン トの 主 原 因 と な っ て いる こ と が あ る(こ の と き 第 ５章(3 .24)か

ら わ か る よ う に,原 子 核 の 磁 気 モ ー メ

ン トは,そ の 質 量 が 大 き い た め に,き わ め て 小 さ い の で 問 題 に な ら な い).こ の よ う

な 場 合 に,も し物 体 を構 成 す る各 原 子 の(対 を つ く ら な い 電 子 の ス ピ ン に よ る)磁 気 モ ー メ ン トの 方 向 が 全 部 そ ろ っ た ら,物 体 は 強 力 に磁 化 され る こ と に な る で あ ろ う.鉄 な ど の場 合 に は,こ れ が 自 発 的 に お き て い る の で,こ れ を 自 発 磁 化(sponta neous magnetization)と

い う.さ て,な ぜ こ の よ う な 現 象 が お き る の で あ ろ う か .

  こ の 疑 問 に こた え る た め に は 量 子 力 学 に お け る排 他 律(exclusion  principle)と い う原 理 を必 要 と す る.こ い うこ とで あ る.電

れ は 電 子 は お な じ状 態 に た だ １個 しか 存 在 し え な い と

子 の 状 態 は そ の 位 置 の 状 態 とス

ピ ン の状 態 と に よ っ て 指 定 さ れ る.ま ン は 図4.2と

図4.3の

た電子 の ス ピ

よ うに 上 向 き か下 向 き か の

ど ち ら か の 状 態 し か と りえ な い.２ 個 の 鉄 原 子 を考 え て み よ う.そ

れ らの 外 側 に あ る電 子 の ス ピ ン が

同 じ方 向 を 向 い て い る と す れ ば,ス

ピ ン は 同 じ状

図4.2  平 行 ス ピ ンの状 態

態 に あ る か ら,２ 個 の 電 子 が 異 な っ た 状 態 に あ る た め に は(排 他 律),そ

れ ら の位 置 は ち が っ た 状 態 に な

ら な け れ ば な ら な い.つ の よ うに,同

ま り,二

つ の 電 子 は 図4 .2

じ位 置 に は な くて,お

な く て は な ら な い.逆 い る と き に は,ス

互 い に離 れ て い

に ス ピ ン が逆 方 向 を向 い て

ピ ン は ち が っ た 状 態 に あ る か ら,

図4.3  反 平 行 ス ピ ンの状 態

電 子 は 同 じ場 所 に 重 な っ て い て も さ し つ か え な い(図4.3).さ の 状 態 の うち ど ち ら が エ ネ ル ギ ー 的 に よ りひ くい か,つ か を 考 え て み よ う． 電 子 間 に はCoulombの

れ らの二 つ

ま りどち らが安 定 で あ る

静 電 的 な 斥 力 が は た ら い て い る.し

た が っ て,２

個 の 電 子 が 重 な っ て い る よ り も,た

定 で あ る.そ

の と き に は,上

お よ そ,こ

て,こ

が い に離 れ て い る ほ うが よ り安

に の べ た よ うに ス ピ ン は 同 方 向 を 向 い て い る.お

の よ う な わ け で ス ピ ン の 向 き が そ ろ っ た ほ うが 安 定 に な る.つ

ま り,

強 力 に 磁 化 され た状 態 が そ うで な い 状 態 よ り安 定 で あ る こ と が わ か る.   し か し,原 子 は熱 運 動 を して い る か ら,温 度 が き わ め て 高 くな る と折 角 向 き の そ ろ っ て い る ス ピ ン の 配 列 も が た が た に くず され て し ま う.そ 度 〓 以 上 の 温 度 に な る と,規

し て,あ

則 的 な ス ピ ン の 配 列 も 完 全 に くず さ れ て し ま い,

強 磁 性 の 性 質 は 失 わ れ て しま う.こ

の 温 度 をCurie温

度 と い っ て,こ

温 度 で は 鉄 で も 常 磁 性 体 と し て の 性 質 し か もた な い よ うに な る.鉄 度 は 約1,000Kで

る臨界 温

あ る. Curie温

度 以 上 では

れ 以上 の

の 場合 この温

な る 関 係 が あ っ て,こ

れ をCurie-Weissの

法 則 とい う. Curie温

度 以 下 で は,

上 に の べ た よ うに ス ピ ン の 向 き が そ ろ っ た ほ うが エ ネ ル ギ ー的 に ひ く く安 定 に な る か ら 自 発 磁 化 が お き る.  そ れ な ら ば ど う し て 磁 区 な る も の が 存 在 す る の で あ ろ う か.そ

れ を 一 言 で い え ば,図4.1と

図4.4と

き,磁

区 を つ く っ て 磁 化 が た が い に 消 し あ っ て い る 図4.1

の と き の ほ うが よ り安 定 だ か ら で あ る.な

を比 較 した と

ぜ な ら,図4.1

の場 合 磁 区 同 士 の 磁 化 の 向 き が 反 対 に な っ て い る た め,そ の ま わ り の 空 間 に は 磁 場 が で き て い な い.一

方 図4.4の

場

図4.4  永 久 磁 化 磁 区 の方 向 が そ ろ う.

合 に は そ の ま わ りの 空 間 に は磁 場 が 存 在 す る.つ ま りそ の 磁 場 の エ ネ ル ギ ー だ け 図4.4の

ほ う が エ ネ ル ギ ー 的 に高 く不 安 定 で あ る.し

た が っ て,外 部 か ら磁 場 を

か け な い か ぎ り,鉄 片 は 磁 区 を つ く っ て 安 定 な 状 態 に い よ う とす る わ け で あ る. さ て,い

ま 図4.1の

鉄 片 に 外 か ら磁 場 を か け た と し よ う.す

の 外 部 磁 場 の 作 用 の も と に,そ の 壁 の 移 動 が お き て,全 る と き に は,そ き,磁

る と,各

の 磁 化 の 方 向 を そ ろ え よ う とす る.そ

体 の 体 積 は 増 し て い く.こ

の よ うな 移 動 が た や す くで き

れ は 磁 気 的 に 軟 い 材 料 で あ る と い わ れ る.こ

の移 動 の 困 難 な と

気 的 に 硬 い 材 料 と い う こ と に な る.磁 気 的 に 硬 い 物 質 の 場 合,無

移 動 さ せ る と,こ

ん ど は 外 部 磁 場 を 除 い た と き に も,移 に も ど ら な い.こ

磁区はそ の結 果 磁 区

理 に壁 を

動 した壁 は 簡単 には も と

れ が 永 久 磁 化 の 現 象 で あ る.

  強 磁 性 の 本 質 は 電 子 の ス ピ ンの 向 き が そ ろ う こ と に あ る と の べ た.つ

ま り,ス

ピ ンの な ら び か た に 秩 序 が

あ る ほ うが よ り安 定 で あ る こ とが そ の 原 因 で あ る.磁 気 的 な 秩 序 現 象 と し て は,強 図4.5

図4.6

ス ピ ン の 向 き が 図4.6の

(antiferromagnetism)と よ う に,交

磁 性 の ほ かに 反 強 磁 性

い わ れ る も の が あ る.こ

互 に 反 対 の 向 き に な っ て い る も の で,強

性 とお な じ よ う に 自発 磁 化 を もつ け れ ど も,部

  (３)反

法 則(4.1)に

磁

分 的 な 磁 化 は 互 い に 打 ち 消 しあ っ

て 全 体 と し て は磁 化 は な く 常 磁 性 を示 す.  しか し こ の 常 磁 性 は,ま 簡 単 なCurieの

れ は

え にの べ た

は し た が わ な い.

磁 性体

  常 磁 性 や 強 磁 性 を示 す 物 質 は,そ

れ ら を 構 成 す る 原 子 や 分 子 の軌 道 角 運 動 量 や

ス ピ ン に も とづ く固 有 磁 気 モ ー メ ン トを も っ て い る.そ れ が な い物 質 の場 合 に は,外 部 か ら磁 場 をあ た え た と き反 磁 性,つ

ま り磁 化 の方 向 が 磁 場 の方 向 と反

対 向 き に な る性 質 を も っ てい る.こ の と きX*の

値 は 固 体 の とき で大 体-10-5

の程 度 の大 き さで あ る.こ の性 質 は す べ て の物 質 が も って い る の で あ る が,常 磁 性 体 や 強 磁 性 体 の場 合 に は反 磁 性 と反 対 の性 質 が あ る た め,そ れ に マ ス ク さ れ て し まっ て観 測 に かか らな い の で あ る.   反 磁 性 の原 因 は外 部磁 場 の 影 響 で電 子 の軌 道 運 動 量 に も とづ く磁 気 モ ー メ ン トが変 化 す る こ とに よ る.こ の磁 気 モ ー メ ン トの変 化 をBohrの っ て 求 め て み よ う.簡

原 子 模型 に よ

単 の た め水 素 原 子

を 考 え る と,１ 個 の 重 い 陽 子 の ま わ り を電 荷eの

電 子 がCoulomb引

と に 半 径aの 4.7の

力 の作用 の も

円 周 上 を 回 転 し て い る.図

よ う に 電 子 の 回 転 面 を(x,y)平

と り,電

子 の 角 速 度 を ω0と す る.こ

面 に の と

き 電 子 に 作 用 す る 遠 心 力maω02とCou lomb引

力 と は 釣 り合 っ て い る か ら 図4.7  反 磁 性

で あ る.さ

て,こ

はeμ0(υ ×H0)な

の 原 子 にz軸

の 方 向 に一 様 な 外 部 磁 場H0を

る 力 を うけ て そ の 角 速 度 が 変 化 す る.こ

歳 差 運 動(precession)と

い う.こ

か け る と,電

子

の 現 象 をLarmorの

の と き の 角 速 度 を ω とす る と,力

の 釣 り合 い

の式 は

で あ た え ら れ る.(4.3)と(4.4)か

た だ し,こ

こ で 軌 道 半 径aは

熱 過 程).外 部 磁 場H0=￨H0￨は

も ま た 小 さ い と し て,そ 入 す る こ とに よっ て

ら

変 化 しな い よ うに 外 部 磁 場 を か け た も の とす る(断 小 さ く,そ れ に と も な う角 速 度 の 変 化

れ らの 一 次 の 効 果 だ け を と りだ す と,(4.6)を(4.5)に

代

が え ら れ る ． 第 ５ 章 の(3.24)か 化 〓

ら角 速 度 の 変 化 に と も な う磁 気 モ ー メ ン トの 変

は

で あ た え られ る か ら,(4.7)を

を え る.こ

代 入 して

こ で 注 意 す べ き こ とは,eの

外 部 磁 場H0と

符 号 に 関 係 な く,〓

は負 の量 で あ っ て

は 逆 向 き の 磁 気 モ ー メ ン トで あ る こ と で あ る.こ

原 因 で あ る． 〓

が 負 に な る 原 因 は,外

部 磁 場H0が

そ う と す る慣 性 力 が 作 用 す る こ と に よ る.し

れ が反 磁 性 の

働 く とそ の 効 果 を う ち消

た が って 反 磁 性 は物 質 の種 類 に 関

係 な く存 在 す る 一 般 的 な 性 質 で あ る.   多 数 の電 子 を もつ 原 子 の 場 合 に は,(4.8)の こ と に よ っ て,a2＝x2＋y2と

と な る.半

径aは

各 電 子 に よ る 寄 与 を加 え あ わ せ る

か くと

磁 場 が 働 い て い な い と き の 値 で あ る か ら,平 均 的 に

と お く こ と,

と な る.単

位 体 積 内 の 原 子 数 をNと

の 強 さJは(1.9)よ

で あ た え られ る.一

り

方,

か く と,磁 場 を加 え た た め に 発 生 した 磁 化

か ら,(4.9)と(4.10)を

と比 較 して 磁 化 率x*は

で あ た え られ る.(4.10)でHとH0と

は 異 な る も の で,Hは

外 部 磁 場H0と

磁 化 に よ っ て 発 生 し た磁 場 と の 重 ね 合 わ さ っ た も の で あ る が,反 き わ め て 小 さ い の で,こ   反 磁 性(4.11)の

こ で は 第 １近 似 と し てHをH0に

原 因 と して,こ

差 運 動 を あ げ た が,金

磁 性 の大 き さは

お き か え た.

こ で は 束 縛 さ れ た 電 子 に お け るLarmorの

歳

属 内 の 自 由電 子 が 外 部 磁 場 の作 用 で 歳 差 運 動 を は じめ て,

こ れ が 原 因 で 反 磁 性 を示 す こ と も あ る.こ

れ をLandau反

磁 性 と よ ん で い る.

[問題］   (１)円

形 電 流 は そ の 中心 軸 上 の磁 気 双 極子 と等 価 で あ る こと を利 用 して,半 径aの

形 電 流 の 中心 か ら,距 離r≫a,中

円

心 軸 となす 角 θ な る点 の磁位 を求 め よ.ま た,こ れ か ら

え られ る磁 場 の強 さ を第 ５章 問題(５)の 結 果 と比 較 せ よ.   (２)厚

さbで

面 に垂 直 に強 さMで

磁 化 してい る磁 石 板 に よる空 間 内 の 一点Pに お け

る磁 位 を求 め よ.た だ しP点 が磁 石 板 をみ る立 体 角 を ω とす る.   (３)一

平 面 上 の磁 位 がcosθ/rで あ らわ され る磁場 が あ る とす る.そ の 磁 場 の な か の １

点(γ1,θ1)に磁 気 モ ー メ ン トMな

る 小磁 石 が あ る． そ の磁 軸 が この平 面 上 に あ って,θ=0

の方 向 と 〓 な る角 をな す と き の 小磁 石 の位 置 のエ ル ネ ギ ー を求 め よ.ま た,小 磁 石 が そ の 中心 の ま わ りに 自 由に 回 転 で き る と き に は,,あ

るい は

の と きに 釣 り

合 い の位 置 で静 止 す る こ と を示 せ.   (４)磁 気 モ ー メ ン トがM1,M2の に お き,そ れ ぞ れ の 磁 軸 をBA,CAの

小 磁 石 の 中心 を それ ぞ れ 正 三 角 形ABCの 頂 点B,C 方 向 に 一 致 させ てお く.そ して,中 心 の ま わ りに

自 由 に回 転 で きる第 ３の 小 磁 石 をA点

に お く と き,そ の 磁 石 は そ の磁 軸 が ∠BACの

二

等 分線 と

の 角 を なす 位 置 にお い て釣 り合 うこ とを証 明 せ よ.ま た釣 り合 いの 安 定性 を調 べ よ.   (５)半 径a,比 透 磁 率 μ*の 軟鉄 球 を一 様 な 磁場 の なか にお く.こ の球 の外 に お い て, 球 の 中心 を通 る磁 力 線 上 に 中心 を もち,面 が この磁 力 線 に 直角 な 円 を貫 く磁 束 は,球 が あ るた め に

の比 で増加 す る こ とを示 せ ． た だ し,aは の距 離 で あ る.

球 の半 径 で,rは

球 の 中心 か ら うえ の面 上 まで

第 ７章

準 定 常 電 流

§１  準 定 常電 流 の基 本 法 則   真 空 の な か に,あ るい は観 測者 に対 して 静止 してい る誘 電 体 の な かに,導 体 が 固 定 され て い て,そ の導 体 のな か に伝 導 電 流 が あ る と しよ う.伝 導 電 流 の 空 間的 分 布 が時 間 とと もに変動 しない とき,つ ま り定 常 電 流 の とき につ い ては第 ５章 で と りあ つ か った.こ の章 で は伝導 電 流 の空 間的 分 布 が 時 間 と ともに変 わ る とき を 考 え よ う.電 流 の時 間的 変 動 に と もな っ て,電磁 場 もまた 時間 と と もに変 化 す る. した が っ て,こ の体系 の電磁 場 を記 述 す る法 則 は,一 般 のMaxwellの

で あ た え られ る.こ

こで 導体 と誘 電体 の な かで

の 関 係 が な りた っ て い る も の と す る.導 運 動 を 記 述 す る法 則 は,本 対 す るNewtonの で 近 似 す る.す

方程式

来 はLorentzの

体 の 内 部 の 伝 導 電 流 つ ま り自 由 電 子 群 の 力 の 作 用 の も とに お け る 自 由 電 子 に

運 動 方 程 式 で あ た え られ る が,こ わ な ち,電

場E(x,t)と

こ で は こ れ をOhmの

伝 導 電 流ie(x,t)と

法則

の あい だ には

の 関係 が あ る もの とす る.   い ま導 体 の な か にお け る電場 と電 流 分布 とを考 え るこ とに し よ う.導 体 の な か で の,(1.2)の

右 辺 の伝 導電 流 と変位 電 流 との大 き さを比較 してみ る と,電 流 分

布 の時 間 的 変動 が 非常 には や い ときは べ つ と して,普 通 の場 合 前 者 の ほ うが圧 倒 的 に大 きい こ とがす ぐあ とで 示 され る.そ

こで 導 体 の 内部 で は 変 位電 流 を無視

して,導 体 の な か の伝 導 電 流 の時 間 空 間的 変 化 を論 ず る近似 的理 論 を準 定 常 電流 の 理 論 とい う.そ

し て,こ

れ は 電 気 工 学 に お け る交 流 理 論 の 基 礎 とな る も の で あ

る.

  どの よ うな とき に,導 体 内 で変 位 電 流 を無 視 で きる か を考 え てみ よ う.変 位電 流iDは

と か か れ,ま

た 伝 導 電 流ieは(1.6)のOhmの

で あ た え ら れ る.し

た が っ て,両

で あ た え られ る.い

ま,電

法則か ら

者 の大 き さの 比 は

場Eが

な る周 期 的変 化 を して い る とす る と,

と な る.導

体 の 比 誘 電 率 ε*は １∼10の

程 度 の 大 き さ の 値 を も ち,銅

な 良 導 体 の 電 気 伝 導 率 σ の 大 き さ は108Ohm-1・m-1の の 程 度 の値 が え ら れ る.そ

で あ れ ば,導

程 度 で あ る か ら, ら

体 の な か で 変 位 電 流 は 無 視 して さ し つ か え な い とい うこ と に な る.

変 位 電 流 が き い て く る の は ω∼1018sec-1程 る が,こ

こ で(1.7)か

な どの よ う

度 以 上 の 振 動 数(周 波 数)の

の 振 動 数 は 大 体 紫 外 線 の 光 の振 動 数 で あ る.し

た が っ て,電

と きで あ

気 工学 にお

け る低 い 振 動 数 の 電 気 振 動 に お い て は,上 の 近 似 は 十 分 に よ い 近 似 に な っ て い る. そ こ で,わ

れ わ れ は準 定 常 電 流 の 基 本 方 程 式 系 を み ち び くこ と を考 え よ う.

  Ohmの

法 則(1.6)に

よ っ て,伝

導 電 流 に と も な っ て 電 場E(x,t)が

あ る.つ

ま り,電 場E(x,t)は

伝 導 電 流 の 存 在 す る 導 体 の 内 部 に だ け あ っ て,そ

ま く誘 電 体 に は な い も の とす る.導 体 の な か に は(1.2)に

体 内 部 の 伝 導 電 流 に と も な っ て,導

よ っ て 磁 場H(x,t)が

存 在 す る.こ

れ をと り 体 と誘 電

の磁 場 は い ま の近 似 で

は

に よ っ て 決 め ら れ る.さ

が え られ る.こ

て,(1.9)の

発 散 を とる こ とに よっ て

れ は 準 定 常 電 流 の 保 存 則 を あ ら わ し て い る.こ

れ に,Ohmの

法

則 を 代 入 す る こ と に よ っ て,

が え ら れ る.す

な わ ち,定

は 存 在 し え な い.ま 部 に も電荷 分布

た,電

常 電 流 の と き と 同 じ よ うに,導

体 の なか で は電 荷 分 布

場 は 導 体 の な か に の み あ る と し て い る か ら,導

ρe(x,t)は な い.す

お き か え ら れ な く て は な ら な い.し

な わ ち,い

ま の 場 合(1.3)は(1.10)に

か し,(1.10)は(1.9)と(1.6)と

体 の外 よって

か らみ ち び か

れ る か ら,独 立 な 基 本 法 則 と して 要 求 す る必 要 は な くな る.   次 に,(1.1)のFaradayの

誘 導 法 則 は そ の ま ま基 本 法 則 と し て 要 求 す る.こ

れ は 導 体 内 外 の 磁 場 の 時 間 的 変 動 に と も な っ て,導 こ と を示 して い る.(1.1)の

が え られ るか ら,(1.4)は

体 の な かに 起 電力 が発 生 す る

発 散 を と る こ とに よ っ て

磁 場 に対 す る初 期 条 件 と して要 求 して お け ば十 分 で あ

る.   以上 の議 論 を ま とめ る と,準 定 常 電 流 の基 本 方程 式 系 は

に よ っ て あ た え られ る.こ (1.11),(1.12)お

こ で 未 知 関 数 はE,ieとBの

よ び(1.13)の

系 は 完 結 し て い る.ま

た,Bに

９ 個 で,そ

れ に対 して

９個 の 方 程 式 が あ た え られ て い る か ら 基 本 方 程 式 対 す る初 期 条 件 と して

が 要 求 さ れ て い る.(1.13)のEexは   い ま の 場 合,電 磁 場Bは う.し

流ie,し

た が っ て 電 場Eは

導 体 の な か に の み 存 在 し て お り,

導 体 の 内 外 を 問 わ ず 全 領 域 に存 在 す る も の と し て い る こ とに 注 意 し よ た が っ て,空

間 の な か に 場 の エ ネ ル ギ ー と し て た くわ え られ て い る の は 磁

場 の エ ネ ル ギ ー だ け で あ っ て,電 に の み あ らわ れ る.こ

一方

導 体 の 一 部 に あ る外 部 起 電 力 で あ る.

場 の エ ネ ル ギ ー はJoule熱

の こ と を示 す た め に,(1.11)と(1.12)を

と して 導 体 の なか もちい て

,公 式

よ り,

と な る.こ

れ を全 領 域Vに

が え られ る.し

た が っ て,場

の み が あ らわ れ,磁

わ た っ て 積 分 す る と,

の エ ネ ル ギ ー と して は,

場 の エ ネル ギ ー だ けが エ ネル ギ ー の収 支 に関 係 してい る こ と

が わ か る. 外 部 起 電 力Eexが

で あ る か ら,こ

あ る と き に は,(1.13)よ

れ を(1.16)に

り

代 入 す る こ とに よっ て

とか け る.こ の式 の意 味 は次 の とお りで あ る.任 意 の領域 の な かで,外 部 起電 力 か ら供 給 され るエ ネル ギ ー は,そ の 一部 はそ の領 域 の なか の磁 場 の エ ネル ギ ー を 増 大 させ る こ とに,他 の一部 は導 体 内 のJoule熱

の発 生 に消 費 され,残 った部 分

は導 体 を とお っ て領域 の外部 に流 れ さる.

§２ 線 状 回 路 準 定 常 電 流 に 対 す る基 本 法 則(1.11)∼(1.14)を

い くつ か の 線 状 導 線 回 路 か ら な

る体 系 に 適 用 し て み よ う.ま ず,(1.13)を(1.11)に

これ を,体

系 の な か の 一 つ の 閉 回 路Ciに

し,Stokesの

こ で 導 線 の 太 さ を考 え に 入 れ て,そ

た 閉 回 路 に そ う方 向 の 単 位 ベ ク トル をtと

で 積分

の 断 面 積 をS(x)と

す る.ま

す ると

流 の強 さ

は,divie=0よ

り導 線 上 の 場 所xに

外 に だせ て

とな る.た

よ っ て か こ ま れ た 曲 面Si上

定 理 を もち い る と

とか か れ る.こ

しか る に,電

代入す ると

だし

関 係 な く一 定 で あ る か ら,(2.2)の

積分の

で,こ

れ は 回 路Ciの

は 回 路Ciの

全 抵 抗 を あ らわ し て い る.ま

な か に あ る 起 電 力 で あ る.し

と か か れ る.Niは

回 路Ciの

５章(4.7)と

た が っ て,(2.1)は

き る磁 束 で あ る.

次 に(1.12)のAmpereの と 同 じ時 刻tに

た,

法 則 を 考 え よ う.こ

お け る電 流ie(x,t)に

の と き,磁

よ っ て 決 ま る.し

場H(x,t)は,そ

た が っ て,磁

れ

束Niは

第

ま っ た く同 様 に し て

に よ っ て あ た え られ る.こ 互 誘 導 係 数 で,第

こ でLijは

５章(4.9)のNeumannの

自己 お よび相 公式

に よ っ て あ た え ら れ る(図2.1).(2.7)と(2.6)と

くみ あ わせ る とn個

が え られ る.こ

を

図2.1  相 互 誘 導 係 数

の導 体 回路 系 に お け る電 流分 布 を決定 す る基 本方 程 式 系

の と き,各

回 路 は 空 間 内 に 固 定 して い る も の と した.こ

の も つ エ ネ ル ギ ー は,(1.17)を

の 回路 系

定 常 電 流 の と き と同 様 に 電 流 の あ る場 所 の 変 数 の

み で か くこ とに よ っ て,

で あ ら わ さ れ る.   (2.9)で

あ ら わ され る 回 路 に は コ ン デ ン サ ー は は い っ て い な い と し た.こ

あ る と き に は,回

路 の そ の 部 分 で 変 位 電 流 を無 視 す る こ とは で き な い.し

こ こ で は き わ め て 大 ざ っ ぱ な 近 似 をつ か っ て,静 義(第 ４章(5.16))

れが

か し,

電 場 に お け る 静 電 容 量Cの

定

を,電 荷 量Qが

とす る.こ

時 間的 に変 化 す る とき もつか える もの として

こ で,φ(t)は

コ ンデ ンサ ー の 極 板 の あ い だ の 電 位 差 で あ る.(2.11)を

積 分 す る こ と に よ っ て,

こ れ を 起 電 力 と み て(2.9)に

と か く こ と が で き る.あ

っ け くわ え る と

る い は こ れ を も う い ち どtで 微 分 す る と,(2.13)は

次

の よ う に か き か え られ る.

これ はn個 る.こ

の 連 立 ２ 階 常 微 分 方 程 式 系 で,い

わ ゆ る 交 流 理 論 の 基 本 方 程式 で あ

の 方 程 式 の と り あ つ か い に つ い て は 電 気 工 学 の 著 書 を み られ た い.

  (2.14)の

係 数LijはNeumannの

誘 導 係 数 で あ る.こ

公 式(2.8)で

流 の あ い だ の 相 関 関 係 を あ た え る も の で あ る.つ の 強 さ が 変 化 す る と,そ

の 電 流 の 強 さ に 変 化 を 生 ず る.こ

ま う.し

れ に と もな っ

の よ うな 電 流 間 の 相 関 関 係 を あ た え る の がLij 公 式 を積 分 した ら よ い が,(2.7)

方 の 電 流 に よ り発 生 す る 磁 場 が 他 の 回 路 を き る 磁 束 を

求 め る こ と に よ っ て(2.7)の

き に は,回

つ の回 路 のな か の電 流

の た め,そ の 回 路 の な か に 起 電 力 が お き て,そ

求 め る に は,Neumannの

の 磁 束 の 式 を つ か っ て,一

求 め る こ と も で き る.自

ま り,一

の ま わ り の 空 間 に お け る 磁 場 が 変 化 し,そ

て 他 の 回 路 を き る 磁 束 が 変 わ る.そ

で あ る.Lij(i≠j)を

あ た え られ る 自 己 お よ び 相 互

れ は 回 路 の ま わ りに で き る磁 場 の 時 間 的 変 化 に よ る 回 路 内 電

左 辺 を 計 算 し,そ れ を右 辺 と 比 較 し て 相 互 誘 導 係 数 を

己 誘 導 係 数 をNeumannの

公 式(2.8)に

路 の 導 線 の 太 さ を考 え に入 れ て お か な い と(2.8)の た が っ て こ の と き に は,導

よ っ て求 め る と

積 分 は 発 散 して し

線 の 太 さ を有 限 に し て 計 算 せ ね ば な らな い.

ま た 相 互 誘 導 係 数 の と き と 同 様 に 磁 束 を求 め る 方 法 に よ っ て も よ い し,あ (2.10)の 磁 場 の エ ネ ル ギ ー の 式 を利 用 して,左 れ を(2.10)の

辺 を(1.17)に

るいは

よ っ て まず 求 め,こ

右 辺 と 比 較 す る こ と に よ っ て 自 己 誘 導 係 数 を 決 め る こ と も で き る.

[例題 １]平 行 導 線 の 自 己誘 導 係 数 半 径aの 針 金 で つ くった,間 隔dの 平行 導 線 のそ れ ぞ れ を電 流 の 往復 に もち い た と き,長

さl

あ た りの 自己誘 導 係 数 を求 め てみ よ う.ま ず 導線 のそ との 磁 束 を求 め る.d≫aで

あ

るか ら,電 流 は各 導 線 の な か を一 様 に な が れ て い る とみ な して よい.し た が って,導 線 外 の磁 束 を求 め る とき に は,電 流 は導 線 の 中心 軸 に集 中 してい る とみ なせ る.そ こ で 導 線 １の 電 流 に よ る 導 線 外 の 磁 場 は 図2.2 平行導線の 自己誘導係数

(r＞aに お い て)

で あ た え ら れ る(図2.2参

で あ る.ゆ

え に,導

照)． し た が っ て 図2.2の

斜 線 を ほ ど こ した 部 分 を 貫 く磁 束 は

線 １に よ る 外 部 磁 束Nex(1)は

で あた え られ る.導 線 ２に よる磁 束 は,そ

の大 き さ,方

向 と もに導 線 １に よる も の と ま っ

た く相 等 しい か ら,外 部 の全 磁 束 は

で あ る． これ よ り導線 外 部 の 自 己誘 導係 数Lexは

と求 ま る.   次 に導 線 の 内部 の 自己誘 導 係 数Linを

求 め よ う.こ の とき には,磁 場 の エ ネル ギ ーか ら

求 めてみ る.導 線 １の 内部 の磁 場 は

に よっ てあ た え られ る.そ こで 長 さlの 導 線 内 の磁 場 のエ ネル ギー は

こ れ を磁 場 の エ ネ ル ギ ー(2.10)と

比較 す る こ とに よっ て

導線 ２の内 部 の磁 場 のエ ネ ル ギー に つい て も ま った く同様 に 計算 され るか ら

とな る.し た が っ て,全 自己誘 導係 数Lは

で あ た え られ る.   [例題 ２]電 流 回 路 間 の力 と相 互 誘 導 係 数   第 ５章(3.30)に れ る コイ ルC1と

定 常 電 流I2の 流 れ る コイ ルC2間

の 力 が 作 用 し,こ

れ ら の 力 は 作 用 ・反 作 用 の 法 則F1+F2=0を

で あ る こ と を利 用 す る と,(2.15)の

よ る と,定 常 電 流I1の

に は,そ れ ぞ れ

み た し て い る.こ

力F1は

と あ ら わ さ れ る.   こ こ で,図2.3に

示 し た よ う に,

コ イ ルC1とC2の

全 体 と し て の位

置 を 規 定 す る ベ ク トルs1とs2を え る.た

と え ば,コ

な ら,s1とs2は

考

イ ル が 円形 電流

それ ぞれの コイル

の 中 心 の 位 置 を 示 す ベ ク トル と す る.こ

の と き,コ

置 関 係 は,相

イ ル間 の相 対 的位

対 的 位 置 ベ ク トルs=

s1-s2と,s1とs2か

らみ た コ イ ル 上

の 位 置 を 示 す ベ ク トルs1'とS2'で 規 定 さ れ る.図2.3よ s1',r2=s2+s2'で ds1',dr2=ds2'で

り,r1=s1+ あ る か ら,  dr1= あ る.こ

の と き,

図2.3  電 流 間 の 力 と相 互 誘 導 係 数

こで

流

(2.16)の

積分 は

と あ ら わ さ れ る ． 上 で 微 分 と積 分 の 順 序 を 交 換 し た の は,gradsの C2の

形 を 変 え ず に,C2に

ら で あ る.こ

と な る.こ

対 す るC1の

位 置 をsの

こ で 右 辺 の 表 式 で 変 数s1'とs2'を

れ を(2.8)のNeumannの

操 作 が,コ

イ ルC1と

方 向 に 平 行 移 動 す る こ とを意 味 す る か

元 の 変 数r1とr2に

公 式 と 比 較 す る と,コ

も ど し て お く と,

イ ル 間 の 力 は相 互 誘 導 係 数

L12を 用 い て

と あ ら わ す こ と が で き る.   さ て,(2.10)に

よ る と,コ

イ ルC1とC2内

の 電 流I1とI2の

あ た え る磁 場 の エ ネ ル ギ ー

Wmは

で あ る ．(2.17)の し,そ

微 分 操 作 はC1とC2の

間 の相 対 的 な 位 置r=r1−r2を

れ ぞ れ の コ イ ル の 形 は 変 わ ら な い も の と し て い る.し

ず らす こ と を 意 味

た が っ て,そ

れ ぞ れ の コイ

ル の 自 己 誘 導 係 数L11とL22は,回

路 間 の相 対 的 な位 置 の ず ら しに よっ て そ の値 を変 え る

こ と は な い ． し た が っ て,(2.18)は

上 のWmを

用 いて

とか く こ とが で き る.   (2.19)を み る と,回 路 内 の 電 流 を一 定 に保 って お くと,回 路 に 作 用 す る力 は磁 場 の エ ネ ル ギ ー が 増 大 す る方 向 に作 用 す る こ とを知 る.こ れ に対 し て,静 電 場 φ(r)内の 点 電 荷 eに 作用 す る力 は,位 置 エネ ル ギ ー をVと

で あ た え られ,静 電 力Fは

する と

点 電 荷 の位 置 エ ネ ル ギー が減 少 す る方 向 に作 用 す る.電 流 間

に 作 用 す る力 は,こ れ と反 対 向 きで あ る こ と に注 意 さ れ た い.つ の エネ ル ギーWmが

ま りこ の こ とは,磁 場

運 動 エ ネ ル ギ ー の よ うな性 格 を もつ こ と を示 して い る.

  [例題 ３]正 対 させ た ２個 の コ イ ル の相 互 誘 導 係 数   図2.4に 示 す よ うに,半 径aとb の ２個 の 円 形 コイ ル の 中心 を距 離zだ けへ だ て てz軸 上 に お き,コ イ ル面 をz軸 に 垂 直 に お く.こ の コイ ル 間 の相 互誘 導 係 数 をNeumannの 座 標 軸 を図2.4の

公 式 を用 い て計 算 す る.

よ うに とる と,そ れ ぞ れ の コイ ル上 の 点 の位 置 ベ ク トルr1とr2は

し た が っ て,

で あ る.(2.20)よ

り

した が っ て

ま た(2.21)よ

り

これ よ り,相 互 誘 導 係 数 は

図2.4  円形 コイ ル 間 の相 互誘 導係 数

と あ ら わ さ れ る.こ

こ で,変

〓 を 〓 に 変 換 す る.こ る.す

数 〓 を 止 め て お い た と し て,と

の と き.ま

数 な

る と上 の 積 分 は

と な る.こ

こで

で あ る.〓

に 関 す る 積 分 は 楕 円 積 分 で,こ   こ こ で,a≫b,z≫bで,bが (2.23)の

お き,変

たcosと

れ を(2.18)に

に 関 す る 積 分 は 簡 単 で あ る が,残

関 し て 展 開 し,k2の

代 入す ると

った 〓

関 数 と し て 初 等 関 数 で あ ら わ す こ と は で き な い.

小 さ い とす る と,こ

被 積 分 関 数 をk2に

を え る.こ

れ をkの

の とき

１次 ま で を残 す と

な の で,

こ れ は,I1とI2が

平 行 の と き,引

力 で あ る こ と を示 し て い る.

§３ 準 定 常電 流 の空 間的 分 布   前 節 にお い て は,準 定 常 電 流 が線 状 回 路 の な か にあ る とき を と りあつ か った. ここで は導 体 が有 限 の太 さを もって い る とき,そ のな か で の電 流 密度 の空 間 的 分 布 を決定 す る問題 を考 え る.導 体 の 内部 に交流 が あ る とき,電 流 密度 は一 般 に内 部 よ りも表 面 のち か くに集 中 す る傾 向 が あ る.こ の傾 向 は交 流 の振 動数(周 波数) が大 きい ほ ど著 し く,こ の現 象 を表皮 効 果(skin

effect)と い って い る.表 皮 効

果 のお き る原 因 は 誘導 電 流 の 発生 に あ る.い ま 円筒形 の導 体 の なか を長 さの方 向 に交 流 が な がれ て い る とす る と,交 流 に よっ て円 周方 向 の磁 場 が で き る.交 流 の 変化 に よ って その磁 場 の強 さ と方 向 も変化 す る.こ の磁場 の変 化 に と もな っ て, 磁場 の変 化 を さ また げ る方 向(交 流 と逆 の方 向)の 誘導 電流 が発 生 す る.そ の た め に電 流 は 導体 内 部 に存 在 しえ な くな り,円 筒 導 体 の表 面上 に集 中 す る こ とに な る ので あ る.   考 えて い る 領域 の な か に 起 電力 のな い とき,準 定 常電 流 の 基 本 方 程 式 は, (1.11)∼(1.14)に よ って

で あ ら わ され る.い

ま σ と μ とが 空 間 的 に 一 定 で あ る と して,(3.3)と(3.4)

を(3.1)に 代 入 す る と,

ま た,(3.2)の

こ こ で,公

時 間 微 分 を と っ て,(3.5)を

式

代入 す る と

に 注 意 し,

を つ か う と,

が え られ る.こ れ は導 体 内部 にお け る伝 導 電 流 の 時 間空 間 的分 布 をあ た え る微 分 方 程 式 で あ る.   (3.6)が 時 間反 転 に対 して不 変 で な いの は,第 程 式 の一 つ と してOhmの

３章 に もの べた よ うに,基 本 方

法 則 を採 用 した か らで あ る.(3.6)に(3.3)を

代入す

る と,導 体 のな か の電 場 の分 布 を規定 す る方 程 式

が え ら れ る.次

と な る.し

に,(3.5)と(3.2)と

か る に,(3.1)の

が み ち び か れ,ま

か ら 電 流 密 度ieを

消去 す る と

発散 を とる と

た 初 期 条 件 と して(1.15)を

要 求 し て い る か ら,任 意 の 時 刻 に お

い て

が な り た つ.し

た が っ て,(3.8)は(3.6)お

よ び(3.7)と

ま っ た く同 形 の

と な り,こ れ は 磁 場 を 決 め る 方 程 式 で あ る.   (3.6),(3.7)お

と比 較 す る と,ま

よ び(3.10)を

熱 伝 導 の 方程 式

っ た く同 じ形 で あ る.こ

こ で,Tは

温 度 分 布,κ

は 熱 伝 導 度,

mは

質 量 密 度,Cは

比 熱 を あ ら わ す.そ

界 条 件 と初 期 条 件 の も と に 解 く問 題 は,物 題 と 変 わ ら な い.ま [例題]円

こ で,(3.6)な

ど を,あ

た え られ た境

理 数 学 の 書 物 に くわ しい熱 伝 導 の問

た こ の 形 の 方 程 式 を拡 散 方 程 式 と い う.

筒 導 体 に おけ る表 皮 効 果

半径aの

円 筒導 体 の なか を,そ の軸 の 方 向 に 電流

がな が れ てい る とす る.こ の とき 円筒 座標

を つ か う の が 自 然 で あ ろ う(図3.1参 標 系 で は ラ プ ラ シ ア ン △,お

照).こ

の座

よ び 回 転rotは,次

の よ う に か か か れ る.

図3.1円

さて,電 流 密 度 はz方

筒座標系

向の 成 分 のみ を もつ と仮 定 した か ら

あ るい は,

で あ る.と

こ ろ が,(3.14)か

し た が っ て,izはzに

ら

は よらな い で

とかか れ る.一 般 にはizは

と お こ う.す

また

と か か れ る.

る と,こ

〓 に よる が,こ こ で は 〓 に も よ らない と仮定 して

れ に と も な っ てOhmの

法則から

こ の と き,Ezの

み た す 微 分 方 程 式 は(3.7)と(3.12)と

で あ た え ら れ る.ま

た(3.17)と(3.13)と

あ る こ と が わ か る.そ

か ら,rotEの

か ら,

う ち ０で な い成 分 は

〓 成 分 だ けで

こ で(3.1)は

と な って,磁 場 は 〓 成 分 だ け が 時間 と と もに変 化 す る.こ こで 円 筒 内 に次 の よ うな 交 流

が あ る と しよ う.こ れ に と もな って 電場 も

と変 化 し,(3.19)か

ら磁 場 も ま た

な る 振 動 をす る.(3.21)を(3.18)に

が え ら れ る.た

だ し,こ

代入 す る と

こで

で あ る.(3.23)をBesselの

微 分 方 程式

と 比 較 す る と,(3.23)は(3.24)のn=0の に よ っ て解 く こ と が で き て,そ

で あ た え ら れ る こ と は,こ (3.24)は が あ る.こ

場 合 で あ る こ とが わ か る.(3.24)は

の 解 はBessel関

れ を(3.24)に

２階 の 微 分 方 程 式 で あ る か ら,そ れ をNn(z)と

無 限 大 に な る の で,い

で あ た え られ る.未

が え ら れ る.(3.25)か

か い てNeumannの

代 入 す る こ と に よ っ て 容 易 に た し か め ら れ る. の 解 と して は(3.25)の 関 数 と い う.と

ま の 場 合 に は こ の 解 は と ら な い.し

定 の 定 数Aを

級数展開法

数

た が っ て,(3.23)の

決 め る た め に,(3.26)を(3.19)に

ら容 易 に た し か め られ る よ うに

ほ か に これ と独 立 な もの こ ろ が こ の 関 数 はz→0で 解は

代入す ると

で あ る か ら,

であ る.円 筒 の なか をな がれ る全 電 流 強 度 を １ とす る と,(3.28)を

円 筒 表 面 上 で線 積 分 し

て

これ で,定 数Aが

と な る.こ

決 ま って

れ を,(3.26)に

ま た,(3.28)よ

代入する と

り

ま た,

と な り,す べ ての物 理 量 の 空 間 的分 布 が 決 ま る.  次 に,電 流 密度 分 布 の表 面 の近 くで の様 子 を調 べ るた め に,(3.23)の ってrが

大 きい場 合 を考 え る.こ の と き,(3.23)の

この方 程 式 の 解 で(3.26)に 対 応 す る もの は

で あ る.こ

こ でk2=-iσ

μω

よ り

し た が っ て,

で あ る.表

面 か ら の 深 さ をx=a-rと

か くと

微分方程式 にもど

第 ２項 は省 略 す る こ とが で き て

と な る か ら,表

面 か ら δ だ け 円 筒 の な か に は い る と電 流 密 度 は1/eに

δ を表 皮 の 厚 さ(skin

depth)と

減 少 す る.そ

こ で,

い う.

 [問題]   (１)  巻 き数N,半

径aの

円形 回路 が 一 様 な磁 場Hの

な か で,磁 場 に直 角 な直 径 を軸

と して角 速 度 ω で 回転 してい る とき,回 路 に 誘起 され る電 流 は

で あた え られ るこ と を示せ.た だ しRは

回路 の 抵抗,Lは

  (２)  コイ ル に電 池 と抵 抗 とを接 続 して 電流Iを

そ の 自 己誘導 係 数 で あ る.

流 して お き,コ イ ル を あ る瞬 間 に短 絡

す る.こ の とき,コ イ ル の 自 己誘導 に よ って,電 流 はす ぐ0に 流 れ て い る.こ の と き,自 己誘 導係 数 をL,コ をRと

な らな い で,あ る時間 だ け

イ ル の抵 抗

して,電 流 の 時 間的 変 化 を調 べ,そ の電 流 が0に

な る まで に回路 内 に発 生 す るJoule熱

を求 め よ.

  (３)  右 図 の よ うに,自 己誘 導係 数Lの コ イ ル,抵 抗 Rと コ ンデ ンサ ーCと を直 列 に配 置 し,そ の両 端 に外 部 起電力

を

あ たえ た とき,回 路 に な が れ る電 流 を求 め よ.こ の と き ω2=1/LCの

とき電 流 の大 き さは最 大 に な るこ とを示 せ.

  (４)  左図 の よ うな 回路 に

な る外 部

起 電 力 が あ る とき,二 つ の 回路 内 に生 じる 電 流 を それ ぞ れ 求 め よ.   (５)  円形 回 路 の 自己 誘導 係 数 を求 め よ.こ の半 径 をRと

の と き,円

し,針 金 の断面 も円形 で そ の半 径 はaで あ る とす る.

  (６)  １本 の 無 限 に長 い直 線 導 線 と,こ れ と同 一平 面 内 にあ っ て接 して い る半 径aの 形 導線 回路 との 間 の相 互 誘導 係 数 を求 め よ.   (７)  半 径aの 巻 き数nの

円形 回 路 と,そ の 中心 軸 上 にお い た 断 面 積s,長

さ2a,単

円

位 あた りの

細 長 い ソ レノイ ドとの 間 の相 互 誘 導 係 数 を求 め よ.た だ しソ レノイ ドの重 心 は

円 形 回路 の 中心 と一 致 す る もの とす る.

第 ８章

電

磁

波

  §１ 真 空 中 の 電 磁 波 の 基 本 法 則   真 空 中 の 電 磁 場 を 記 述 す る も っ と も一 般 の 基 本 方 程 式 系 は 第 ２章 §１ の(1.7) のMaxwellの

方 程 式 で あ た え られ る.あ

Lorentzゲ て,第

る い は,第

ー ジ に お け る 電 磁 ポ テ ン シ ァ ルALと

２章 の(3.15),(3.16)お

ま で で は,こ

よ び(3.17)で

れ ら の 一 般 的 な 法 則 を,電

２章 §３ で の べ た よ うに, φLと を もち い る こ と に よ っ

あ ら わ す こ と も で き る.こ

の前 の章

磁 場 が 時 間 的 に 変 動 しな い 場 合 や,そ

の

変 動 が 小 さ くて 変 位 電 流 を 無 視 す る こ と が で き る 場 合 な ど の 特 殊 な 場 合 に 適 用 し て き た.し

か し,電 磁 場 の 時 間 的 変 動 が は げ しい と き に は,一

方 程 式 を そ の ま ま 適 用 しな くて は な ら な い.す 磁 波 の 存 在 を 導 く こ と に な る.こ え て い る 空 間 領 域 の な か に,電 う.こ

る と,そ

般 のMaxwellの

の 必 然 的 な 結 果 と し て電

の 電 磁 波 の 性 質 を調 べ る た め に,こ

の章 で は考

荷 も 電 流 も な い 場 合 を と りあ つ か う こ と に し よ

の と き の 電 磁 場 を 自 由 電 磁 場 と よ ぶ こ と に す る.

  自 由 な 真 空 電 磁 波 を 記 述 す るMaxwellの

で あ た え られ る.こ

の 関 係 が あ る.あ

方程 式 は

こで

る い は,Lorentzゲ

ー ジ の 電 磁 ポ テ ン シ ァ ル を もち い て

を 基 本 方 程 式 系 と し て 採 用 し て も よ い.こ

の ゲ ー ジ 変 換 に 対 して 不 変 で あ る.た

の と き,(1.6)∼(1.10)の

だ し,こ

方程 式 系 は

こ でX0は

をみた す任意 関 数 で あ る.   と こ ろ が,い

ま の 場 合 電 流 お よ び 電 荷 が 考 え て い る領 域 の な か に な い お か げ で

(1.11)のx0を

うま くえ ら ぶ こ と に よ っ て,(1.6)∼(1.10)のLorentzゲ

お け る 方 程 式 系 を さ ら に 簡 単 に す る こ と が で き る.す 換 で,X0と

して

れ を もちい て

で あ る よ うにX0を

ま の 場 合,(1.9)の

決 め る.い

が ０ で あ るお か げ で,(1.13)の

よ うにx0を

す る 制 限 条 件 をお か す こ と は な い.そ

に よ っ て,あ

と な る.

な わ ち,(1.11)の

に な る よ う に え らぶ こ とが で き る.そ

解 φL(x,t)を 決 め た と し て,こ

ゲ ー ジ変

れ に は,(1.9)の

右 辺 に あ る は ず の 電 荷 密 度 ρe

決 め て も,こ

こ で,(1.13)のx0を

た ら し い 電 磁 ポ テ ン シ ァルAと

ージに

れ は(1.12)のx0に

対

もち い て ゲ ー ジ 変 換

φ と を 決 め る と,明

らか に

した が っ て,こ

の と き基 本 方 程 式 系(1.6)∼(1.10)は

とか く こ と が で き て,ス

カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァル φ は 消 去 され て し ま っ た.こ

の

よ う な こ と が で き る の は 自 由電 磁 場 に か ぎ る こ と に 注 意 し な く て は な ら な い1). そ こ で,わ

れ わ れ の 問 題 は(1.17)を

も の だ け を と りだ し,こ

解 き,そ

れ を(1.15)と(1.16)に

の 解 の う ち で(1.18)の

条件 をみ たす

代 入 す る こ とに よ って電 磁 場 を決

定 す る こ と で あ る.   (1.17)は い わ ゆ る 波 動 方 程 式 とい わ れ る も の で あ っ て,(1.15)と(1.16)か

が え られ,こ Maxwellの

れ ら は そ れ ぞ れ 電 波 お よ び 磁 波 の 方 程 式 で あ る.(1.19)は 方 程 式(1.1)∼(1.4)か

ら直 接 み ち び く こ と も で き る.そ

ら

もち ろ ん の と き,変

位 電 流 の 存 在 が 波 動 方 程 式 を み ち び くた め に 本 質 的 で あ る こ とが た しか め られ る で あ ろ う.こ

の 点 に つ い て は,読

者 の 演 習 に 残 し て お こ う.

  §２  真 空 中 の 電 磁 波   (１)  平 面 波 と 一 般 解   真 空 中 の 電 磁 波 の 性 質 を 調 べ る た め に は,(1.1)∼ (1.5)のMaxwellの

方 程 式,あ

て は な ら な い.し

る い は(1.15)∼(1.18)の

基 本方 程 式 系 を解 か な く

か し後 者 の ほ うが 見 通 しが よ い の で,こ

こ で は これ ら を も ち い

て 電 磁 波 の 性 質 を 調 べ よ う.   (1.17)は ３ 次 元 空 間 で の 波 動 方 程 式 で あ る.こ 面 波 を考 え,そ

の 性 質 を調 べ よ う.そ

れ の も っ と も簡 単 な 解 と し て平

こで

  １) こ こで のべ た 電磁 ポ テ ン シァ ル の ゲ ー ジは,第12章 別 な場 合 で,放 射 ゲー ジ とよば れ る.

§２ に あ たえ て あ るCoulombゲ

ー ジの 特

とお い て み る.こ

こ でAを

複 素 数 に と っ た が,こ

宜 上 の も の で,必

要 に 応 じて そ の 実 数 部 分 を と っ た ら よ い.e(1)は

方 向 を示 す 単 位 ベ ク トル で あ る.kは

れ は 数 学 的 と りあ つ か い の 便

波 数 ベ ク トル(wave

い わ れ,そ の 方 向 は 波 動 の 伝 播 す る方 向 を示 し,k＝￨k￨は 動 の 数 を あ ら わ し て い て,波

長 λ と はk＝2π/λ

波 動 の 偏 りの

number 長 さ ２πmあ

vector)と た りの波

の 関 係 が あ る.(2.1)を(1.17)

に代 入 す る と

と な る.こ

れ がxの

値 に 関 係 な くな りた つ た め に は

で な け れ ば な ら な い.そ

こで,(2.2)の

を え らぶ こ と が で き る.た

で あ る.(2.3)を(2.1)に

動Aの

波 動 の 振 幅 で あ り,ω

方 向 に進 行 す る平 面 波 を は 振 動 数(周 波 数)ν

と ν＝

れ を 角 振 動 数 と い う.

条件 をみ たす た め に は

で な け れ ば な ら な い.こ

す な わ ち,波

波 動 方 程 式 の 一 つ の 解 でkの

こ でakは

ω/2π な る 関 係 を も ち,こ   (2.5)が(1.18)の

こで

代入 す る と

と な り,こ れ は(1.17)の あ ら わ し て い る.こ

だ し,こ

解 と して

れ が 任 意 のx,tに

偏 りの 方 向e(1)は

くて は な らな い.(2.6)を

おい て成 立 す るた め には

波 動 の 進 行 方 向kに

時 間微 分 す る と

直 角 にな っ てい な

とな る か ら,電 と に な る.そ

波 も ま た 横 波,つ

で あ た え られ る.次

で あ るか ら,磁

ま り波 動 の 進 行 方 向 に 直 角 の成 分 の み を もつ こ

して,

に,(1.16)か

ら磁 場 も求 ま り,

波は

で あ た え られ る.こ

こでe(2)は

電場 の 方向 の

単 位 ベ ク トルe(1)と

進 行 方 向 の 単 位 ベ ク トル

e(3)に 直 交 す る 単 位 ベ ク トル で あ る(図2.1参 照).こ

の よ う に し て,電

に 直 角 な 偏 り を も ち,か

波 と磁 波 は 進 行 方 向 つそ れ らは また たが い

に直 交 して い る こ とが わ か っ た.   電 磁 波(2,8),(2.9)に

と も な う単 位 面 積,単

位 時 間 あ た りの 平 均 の エ ネ ル ギ ー の 流 れ は,第 ２章(4.2)のPoyntingベ

ク トルSの

平均 値

図2.1  平 面電 磁 波 の偏 り

で あ た え られ,単 位 体 積 あた りの電磁 場 のエ ネル ギ ーの 時 間的 平 均値 は

で あ た え ら れ る.こ

れ ら を求 め る に は,(2.8)と(2.9)の

に わ た る 時 間 的 平 均 値 を計 算 した ら よ い が,そ そ の ま ま に し て,(2.10)と(2.11)と

実 数 部 分 を と っ て １周 期

れ を す る か わ りに(2.8)と(2.9)は

をそ れ ぞ れ

に お き か え れ ば,正 しい 答 が え られ る こ とが 容 易 に た しか め られ る.そ と(2.9)を(2.12)に

とな り,(2.13)に

こ で(2.8)

代入す ると

代 入 す る こ とに よ っ て

が え ら れ る.(2.15)で (2.14)と(2.15)と

電 場 と磁 場 の エ ネ ル ギ ー は 相 等 し い こ とが わ か る.ま

た,

か ら

な る 関 係 が あ る こ とが わ か る.   上 に の べ た 電 場 と磁 場 と は た が い に 直 交 す るe(1)とe(2)の を も っ て い る.こ

方 向 の一 定 の 偏 り

の よ うな 波 動 を 直 線 的 な 偏 り を も つ 波 動 で あ る と い う.い

ま,

た が い に 直 交 す る 直 線 的 な 偏 りを も つ 二 つ の 波 動

を考 え,そ れ らを重 ね合 わせ て

を つ く る と,も

ち ろ ん こ れ も ま た(1.17)の

複 素 数 で あ っ て,

解 で あ る.一

般 にak(1)とak(2)と

は

とか い た と き,も

し

で あ る な ら ば,(2・17)も

ま た 直 線 的 な 偏 りを も つ 平 面 波 を あ ら わ し,そ

の 偏 りの

方向は

に よ っ て あ た え ら れ る(図2.2参

とか か れ,楕

照).も

し位 相 δが 異 な る と き に は

円 的 な 偏 り を も つ と い う.

い ま と くに

で あ る と き を く わ し く調 べ て み よ う.こ

と か く こ と が で き て,円

の とき

形 の 偏 り を も つ と い う.そ

座 標 系 と し てe(1)をx軸,e(2)をy軸, 

図2.2  直線 的 な 偏 り

の理 由 を明 らか に す る た め に

e(3)をz軸

に え らび,(2.21)の

実

数 部 分 を とる と

と か く こ と が で き る.そ 定 点 に お い て,z方 の 符 号(e(1)+ie(2))の Aの

こで 空間 内 の固

向 か ら み た と き,上 と き に は ベ ク トル

大 き さは 時 間 と と も に 変 ら ず,そ の

方 向 は 時 計 と反 対 向 き に ま わ る.こ

れ を

左 円 形 の 偏 り とい う.最 近 は こ れ を正 の ヘ リ シ テ ィー(positive  helicity)と う.下 図2.3  左 円形 の偏 り

の 符 号(e(1)-ie(2))の

もい

とき に は時

計 と 同 じ向 き に ま わ り,こ れ を 右 円 形 の

偏 り と い う.ま た 負 の ヘ リ シ テ ィ ー(negative   い ま ま で は,波 が,一

動 方 程 式(1.17)の

も い う(図2.3参

照).

と くに簡 単 な 解 で あ る 平 面 波 を 考 え て きた

般 に は これ ら の 平 面 波 の 任 意 の 重 ね 合 わ せ も ま た 解 に な っ て い る.し

っ て,(1.17)の

一 般 解 は(2.5)を

と か くこ とが で き る.こ

で,振

helicity)と

たが

重 ね合 わ せ て

こで

幅ak,aｋ*はkの

任 意 関 数 で あ る.ま

た,(2.23)が(1.17)の

解 であるこ

とを保 証 す るた めに は

な る 関 係 が い つ も な りた っ て い な くて は な らな い.(2.23)の の は,A(x,t)が

  い ま と くに,x方

と な る.た

し て,い

電 場 はx方

向 に か た よ り,z方

向 に 伝 播 す る １次 元 的 波 動 を 考 え る と

だ し こ こ で,

で あ る.fはz方 す.そ

第 ２ 項 を つ け加 え た

実 数 に な る こ と を 自動 的 に 保 証 す る た め で あ る,

向 に 進 む 波 動 を あ ら わ し,gは-z方 ず れ も,速

さcで

向 の成 分 の み を もち

向 に進 む波 をあ らわ

波 形 を くず す こ とな く進 行 す る.こ

の と き,

と な る.こ

こで

と お く と,

これ に対 して磁 場 はy成

分 の み を もち

とか か れ る.   (２)  初 期 値 問 題   波 動 方 程 式(1.17)の た.(1.17)は

い て 全 空 間 に わ た るA(x,t'),お の 時 刻tに

お け るA(x,t)は

問 題 と い う.こ う(付 録B参

一 般 解 は,(2.23)に

よ っ て あ た え られ

時 間 に 関 して ２ 階 の 微 分 方 程 式 で あ る か ら,は よ び そ の 時 間 微 分 〓(x,t')を

じめ の 時 刻t'に

決 ま っ て しま う.こ

こ で は こ の 問 題 をFourier積

あ た えれ ば,任

お 意

の よ う な 初 期 値 問 題 をCauchy 分 の 方 法 に よ っ て 解 く こ とに し よ

照).

  は じめ の 時 刻t'に

おいて

と あ た え られ た と き,任

意 の 時 刻tに

(2.23)の 一 般 解 を も ち い て,δ

お け るA(x,t)を

関 数 の 性 質(付 録B(B.25)参

求 め る.そ

の た め に,

照)を つ か う と

し た が っ て,

一方

,(2.23)の

時 間微 分

に対 して同様 の計算 をす る と,

が え ら れ る.(2.29)と(2.30)を

加 え合 わ せ る こ と に よ り

が え ら れ,(2.29)か

引 くことに よ って

が え ら れ る.そ

ら(2.30)を

こ で,(2.31)と(2.32)の

とな り,一 般 解(2.23)の して 決 定 した.そ

と な る.こ

こ で

振 幅a(k)お

こ で(2.33)を(2.23)に

右 辺 の 時 刻 をt'に

よ びa*(k)が 代入 す る と

とる と

初 期 値fお

よ びgの

関数 と

と お く と,

と な る か ら,上

の 表式 は

とか くこ とが で き る.こ れ が時 刻t'に き,時 刻tに

お け るAの

お いて,初 期値fお

よびgを

決めた と

値 を あた える式 で あ る.

  (2.34)で 定 義 され た 関数Dは 変 デル タ関 数 とい い,自

相 対 論 的量 子 論 で重要 な役割 を果 た す もの で,不

由電磁 波 の 伝 播 の様 子 を示 す 関 数 で あ る.こ の関 数 は

な る 性 質 を も ち,ま

た ω=с￨k￨で

をみ た し て い る.つ

ま り,D関

t=0で(2.37)と(2.36)と

あ るか らも ちろ ん

数 は 初 期 条 件 と して,

を あ た え た と き のCauchy

問 題 の 解 で あ る.   さ ら に くわ し く,D関 (2.34)の

数 の 性 質 を 調 べ る た め に,

積 分 を 実 行 し て お こ う.そ

の た め 図2.4の

よ う に極 座 標 系 を と る と,

と か け る か ら,〓

の 積 分 は す ぐに で き て

図2.4  D関

数の積分

とお く と

こ こ で,

と な る.(2.35)の

と な る か ら,も

場 合 に は

しt＞t'の

で あ り,t＜t'の

と き に は 右 辺 の 第 １項 だ け が 残 り

と き に は 第 ２項 が き い て き て

で あ る.(2.35)で(2.40)を 現 在tに

と る と き は 過 去 の 時 刻t'に

お け る波 動 を あ た え る も の で あ る.過

初 期 値 を あ た え た と き,

去 の 時 刻t'を

決 め た と き,(2.35)

の 空 間 積 分 の うち 現 在 の 値 に 実 際 に き い て く る の は

を み た す 場 所x'に (2.42)は

光 速 度Cで

対 し て,(2.41)を を あ た え て,現 る.こ

お け るfお

よ びgの

値 の み で あ る こ とが わ か る.そ

伝 播 す る 球 面 波 の 波 面 を あ ら わ し て い る(図2.5).こ と る と き は 未 来t'に

在tに

し て, れ に

お け る電 磁 場

お け る電磁 場 を決 め る もので あ

れ は 未 来 に こ う な る た め に は,現

在 は い かに あ

る べ き か とい う問 題 に 対 す る解 答 を あ た え る も の で あ る.身

近 な例 を あ げ れ ば,来

年 ３月 の 入 試 に 合 格 す る

に は 今 年 どれ だ け 勉 強 す れ ば よ い か とい う問 い に 対 す る答 え を あ た え る も の で,別 て い る わ け で は な い.こ

に む ず か しい こ と を い っ

の よ うな 解 が(2.35)に

ふ くま

図2.5過 去 に 出発 して 未 来 に ひ ろ が る球 面 波

れ て い る の は 波 動 方 程 式 が 時 間 反 転 に対 し て 不 変 で あ る こ と を 考 え る と 当 然 の こ と で あ る.   [例題]Stefan-Boltzmannの

法 則1879年,Stefanは

空 洞 か ら放 射 され る光 の 単 位

体 積 あた りの 平均 エ ネル ギ ー 〓 は,放 射 体 の絶 対 温 度Tの し,そ の後Boltzmannは

４乗 に 比 例 す る こ とを 発見

これ を熱 力学 に も とづ い て

証 明 した ．   第 ２章 §５ に お い て,電 磁 波 は

の 運 動 量 を もつ こ と を 示 し た.(2.16)に のPoyntingベ

ク トル の 平 均 値

よ る と平 面 波

〓 と,単

位体 積 あた

りの 電 磁 波 の 平 均 エ ネ ル ギ ー 〓 と の 間 に は

の 関 係が あ る.し

た が って,体 積V=L3あ

た りの平

図2.6Stefan-Boltzmannの

法則

均 運 動量 〓fは

で あ た え られ るこ と にな る.  い ま こ の電 磁 波 が,図2.6に

示 す よ うな 導 体 に か こ まれ た体 積V=L3の

立 方 体 の空洞

の なか に 閉 じこめ られ てい た とす る.電

磁波 の 進 行方 向 を 示 す 単 位 ベ ク トルeとx軸

の なす 角 を θ とす る と,運 動 量 のx方

向の成 分 は次 式 であ た え られ る.

  (2.44)の 運 動 量 を もつ 電磁 波 が 図2.6の 化 は ２〓f,xで あ る.壁Aに

壁Aに

衝 突 して反 射 す る と,そ の運 動 量 の変

よっ て反 射 され た電 磁 波 が,壁Bに

よ って 反射 され,再 び壁A

に衝 突 す る ま での 時 間 は2L/c

cosθ で ある.し たが って,１secの

数 はc cosθ/2L回

え に １secの 間 の運 動 量 の 全 変化 は2〓f,x･ccosθ/2Lに

で あ る.ゆ

しい.こ れ は壁Aに 作 用す る力 に ほ か な らな い.壁Aに 面積L2で

と

間 に壁Aに

衝 突 す る回 等

作 用 す る圧 力 は,こ の力 を壁Aの

割 った も ので あ る か ら,圧 力 はc〓f,xcosθ/L3で

あ た え られ る.

 空 洞 の内部 の電 磁 波 は不 規 則 な方 向 を もっ てい るの で,入 射 す る 電 磁 波 の 方 向 に つい て 平均 す る と,圧 力pは(2.44)を

代入 して

で あた え られ る.こ れ が空 洞 内 の電 磁 波 の状 態方 程 式 で あ る. 熱 力 学 の第 １法 則 と第 ２法 則 を結 合 す る と

な る 関 係 が 成 立 す る.こ

こ でSは

体 系 の エ ン ト ロ ピ ー を 示 し,内

部 エ ネ ル ギ ーW(T,V)

は い まの 場合

で あ ら わ さ れ,電

磁 波 の平 均 エ ネ ル ギ ー密度

状 態 方 程 式p=p(V,T)は

い ま の 場 合(2.45)で

で あ り,こ

れ と(2.45)を(2.46)に

と な る.一

方S=S(T,V)よ

〓 は 絶 対 温 度Tだ

け の 関 数 に な っ て い る.

あ た え ら れ る.(2.47)か

ら

代入すると

り

とかけ る か ら

と な る.(2.48)か

ら

とい う関 係 を うる.こ れ を整 理 す る と

と な り,こ

れ を 積 分 す る こ と に よ っ て,Stefan-Boltzmannの

が え られ る.こ

こ でc0は

法則

積 分 定 数 で あ る.

§３ 誘 電 体 中 の電 磁 波 一様 な誘電 体 のな か に電 磁 波 が あ る とき,そ の 体系 を記述 す る基 本 方 程式 は第 ３章(2.9)か ら,

で あ た え ら れ,こ る.た

だ,一

の形 は真 空 中 の 自由電 磁 波 の 基 本方 程 式 とま った く 同 じで あ

様 な 誘 電 体 の な か で は(1.5)は

で お き か え られ る.し (2.13)に

た が っ て,ε

と μ とが あ る 定 数 で あ る な ら ば,第

し た が っ て 真 空 中 の 場 合 の 定 数c,μ0,ε0を

さ え す れ ば よ い.と

こ ろ が,ほ

そ れ ぞ れv,μ,ε

と ん どの 誘 電 体 の な か でv,μ,ε

な ら な い で 波 動 の 振 動 数 ω/2π の 関 数 に な っ て い る.す

で あ る.し

３章

におきかえ

な どは定 数 には

なわち

は波 動 の振動 数 に よ っ て変 化 す る.

た が っ て,屈 折 率

実 際 静 電 場 に お い て 測 っ た ε*(0),μ*(0)を れ は か な らず し も光 の 屈 折 率n(ω)と

は 一 致 しな い.こ

に よ っ て 変 化 す る 現 象 を 分 散(dispersion)と る公 式 を 分 散 公 式(dispersion 

も ち い て 屈 折 率n(0)を

formula)と

求 め て も,こ

の よ うに屈折 率 が振 動 数

い っ て, n＝n(ω)の

関数 形 をあ た え

い う.こ れ を理 論 的 に み ち び くに は,

誘 電 体 の 電 子 的 構 造 に た ち い っ て 議 論 し な け れ ば な らな い.こ

の 問題 に つ い ては

こ の 章 の 例 題 を参 照 さ れ た い.   こ の よ うな 分 散 性 物 質 内 に お い て も,基 られ る が,(3.5)の

本 方 程 式(3.1)∼(3.4)は

現 象 論 的 関 係 式 は 修 正 され な くて は な ら な い.す

の よ う にFourier積

分 で か い た と き,そ

が な りた つ.同

様 に して

とか か れ る.し

た が っ て,(3.5)は

れ らの 成 分 に 対 し て は

正 し い と考 え な わ ち,

に お き か え られ ね ば な ら な い.こ

の と き,基

本 方 程 式(3.1)∼(3.4)をEとB

と だ け で か き あ ら わ そ う とす る な ら ば,

は そ の ま ま で あ る が,(3.2)お

と か き な お さ れ る.こ

よ び(3.4)は

こで

で あ る.(3.12)と(3.13)と

は 微 分 積 分 方 程 式 で あ る が,こ

方 程 式 に か き な お す と,高

階 の 時 間 微 分 を ふ く む 方 程 式 に な る.な

簡 単 の た め に μ(ω)＝μ(0)と お き,ま

れ を無理 に普 通 の微 分 ぜ な ら,い

ま

た

と展 開 で き る す る と,(3.12)は

と な る か らで あ る.   分 散 性 物 質 内 に お け る 自 由 電 磁 波 の み た す 基 本 方 程 式 系 は(3.10),(3.11), (3.12)お

よ び(3.13)に

よ っ て あ た え られ る こ と が わ か っ た.そ

程 式 系 を 電 磁 ポ テ ン シ ァル で か くこ と を 考 え よ う.こ か ら

こ で,こ

れ らの方

の と き も,(3.10)と(3.11)

と お く こ と が で き る.こ

れ ら を(3.6)と 同 様 に 時 間 変 数 に 関 し てFourier展

開す

る こ と に よ っ て,

と か く こ と が で き る.こ

れ ら を(3.12)と(3.13)に

代 入 し て,Lorentzゲ

ー ジ

を とる こ とに よ って

と

が え ら れ る.(3.14),(3.15)お

よ び(3.16)の

基本 方 程 式 系 は

な る ゲ ー ジ 変 換 に対 し て不 変 で あ る こ と は 容 易 に わ か る.た

だ し,X0(x,ω)は

の任 意 の解 で あ る.そ こで真 空 の と き と同 様 に

と,X0を

え らぶ と φ'(x,ω)＝0と

な っ て,こ

の と き基本 方 程 式 系 は

に よ っ て あ た え ら れ る.   (3.19)の 解 を求 め る た め に,A'をAと

と お く.こ

れ を(3.19)の

か きか え て

第 ３式 に 代 入 す る と

と な る.こ

れ が 任 意 のxお

で な け れ ば な らな い.真 の 場 合 に はvは

お い て 成 立 す る に は,k≡￨k￨と

空 中 の と き に は ω=C・kで

ω に よ ら ず ω=v・kと

次 関 数 に な っ て い た.分

と か か れ,一

よ びtに

か か れ,い

あ っ た し,誘

電 体 が非 分 散 性

ず れ の 場 合 も ω はkの

散 性 物 質 の と き に は(3.21)をkに

般 に ω(k)はkの

して

１

関 して解 い て

１次 関 数 で は な い.

  (3.22)を み た す よ う な 振 動 数 ω/2π の 平 面 波 を重 ね 合 わ せ る こ と に よ っ て,一 般解

が え ら れ る.こ

れ は(2.23)の

違 う点 は(2.23)で

真 空 中 の 電 磁 波 に 対 す る一 般 解 に 対 応 す る も の で,

は ω=ckで

あ っ た の に 対 し て,(3.23)で

は ω は 一 般 にkの

め ん ど うな 関 数 ω(k)に な っ て い る 点 で あ る.   誘 電 体 内 の 自 由 電 磁 波 の一 般 解(3.23)の 散 性 の物 質 の な か で は,電 の 位 相(k・x−

はcま

た はvで

ωt)の 進 む 速 さ,す

波 数kに

性 質 を 調 べ よ う.真

磁 波 の 一 般 解 は ω∝kの

な わ ち 位 相 速 度(phase

関 係 な く一 定 で あ る.そ

うな ま と ま っ た 形 に か く こ とが で き て,そ し か し,分

散 性 物 質 の な か で は,ω

度 は 波 数kに

よ っ て 変 化 し,し

はkの

し て,こ

velocity)

の た め 一 般 解 は(2.25)の

際,こ

よ

１次 関 数 に な っ て い な い た め 位 相 速 波 動 をつ くって い る各 平 面 波

の 波 形 は 時 間 と と も に くず れ て い く.そ

れ ら の位 相 速 度 は 屈 折 率 が １よ り小 さ い と き に は,光

こ と に な る.実

平面波

の 波 形 は くず れ る こ と な く進 行 す る.

た が っ て(3.23)の

は そ れ ぞ れ ち が っ た 速 さ で 進 む か ら,そ

空 中 あ るい は非 分

関 係 の お か げ で,各

の あ と の[例 題 １]で は

速 度cを

超 える

で,ω ＞ωpの と きvp＞cと ら と い っ て,あ

な る.し

か し,位 相 速 度 がcよ

り も大 き く な っ た か

と で の べ る 相 対 論 と矛 盾 す る こ と に は な らな い.な

ぜ な ら,無

限

の 空間 に一 様 にひ ろが っ てい る平 面波 を信 号 と し て つ か う こ と は で き ず,一

般 に波 動 を信

号 と して も ち い る た め に は,波

の か た ま り,

つ ま り波 束(wave

も ち い な くて

packet)を

は な ら な い か らで あ る(図3.1).   波 束 は 分 散 性 物 質 の な か で,一

を くず しな が ら全 体 と し て 進 行 し て い る.も 小 さ く て,波

velocity)と

し そ の 波 束 の くず れ る 速 さ が 比 較 的

い っ て,そ

速 度 を求 め る た め に,(3.23)の

に お い て,振

  束

束 の 全 体 と し て の 速 さ を 近 似 的 に 定 義 す る こ と が で き る と き に は,

こ れ を 群 速 度(group き る.群

図3.1  波

般 に その 形

幅a(k)は

あ る 波 数k0を

れ を 信 号 の 速 度 と考 え る こ とが で

一 般解

中心 と し 〓

な るせ まい 幅 の範 囲 にお い て

の み ０ で な い も の で あ る と し よ う(図3.2). こ の と き,

と お い て,ω(k)をk0の 開 し てk'に

図3.2  波 数 の 分 布 関 数

す る と,一 般 解(3.23)は

と か か れ る.そ

こで

ま わ り にTaylor展

つ い て １次 の 項 ま で と る.

と か く と,(3.27)は

と か く こ とが で き る.し こ と に な る.そ 合,群

た が っ て,波

こ で(3.28)を

束 の 振 幅a(x-vgt)は

速 度vgで

進行 す る

群 速 度 と解 釈 す る こ とが で き る.(3.25)の

例 の場

速度 は

と な っ て,ω ＞ ωpの と き,た  (3.24)の

ω=ck/n(ω)の

し か に 光 速 度cよ

両 辺 をkで

り も小 さ く な っ て い る.

微 分 す る と,群

速 度 は 屈 折 率n(ω)を

もち

いて

と あ ら わ す こ と も で き る.通

常 の 場 合 に は ∂n/∂ ω は 正 で あ る が,異

る と き に は そ れ は 大 き くか つ 負 に な る こ と が あ り,そ る こ と が あ る.こ て,こ のk'に

れ は(3.26)の

展 開 でk'の

常分 散 が あ

の た め そ こ でvg＞cと

な

１次 ま で と っ た 近 似 が 悪 い の で あ っ

の と き に は 群 速 度 な る 近 似 的 な 概 念 自身 が な りた た な い.そ 関 す る 展 開 の さ ら に 高 次 の 項 を と る か,あ

る い は(3.23)を

し て,ω(k) 正 確 に積 分 す

る か し な け れ ば な ら な い.こ の よ うな こ と を す る と,波 束 の 振 幅 が 時 間 と と も に く ず れ て い く分 散 性 物 質 の 特 性 が あ らわ れ て く る.し は ω(k)の 展 開 の 良 否 に 関 係 し,も に は,ω(k)の

し 〓

展 開 は よ い 近 似 と な る.こ

た が っ て,そ

が 小 さ い,す

の くず れ る 速 さ

な わ ち 単 色 波 に近 い と き

れ を 空 間 的 に い え ば,波

束 が 十分 ひ ろ

が っ て い る と き に は くず れ る 速 さ は 小 さ く,群 速 度 を定 義 す る こ と が で き る.逆 に 〓

が 大 き い,つ

悪 くな っ て,(3.26)の

ま り空 間 的 に 波 束 の 分 布 が 小 さ い と き に は,ω(k)の

展 開は

展 開 の 高 次 の 項 を 考 慮 す る 必 要 が 生 じ,そ の た め 波 束 の く

ず れ る速 さ は 大 き くな る.し

た が っ て 群 速 度 の 概 念 は 不 正 確 に な る.

[例題 １]電 離 層 内 での 電磁 波 の 伝播  電 離 層 で は,空 気 分子 は 電子 と陽 イ オ ン とに電 離 して い る.こ の よ うな状 態 の気 体 をプ ラズ マ とい う.こ の プ ラズマ に

な る高 周 波 が 入射 した とす る.こ

の とき,陽

イ オ ンは 重 い の で,ほ

とん ど 動 か な いで,

電子 のみ が 動 く.こ の 電離 層 の 屈 折率 を求 め て み よ う.電 子 の電 荷 をe,質 体積 あ た りの電 子 数 をNと

量 をm,単

位

す る.光 速 度 に 比較 して電 子 の 速 度 は小 さい と して,Lorentz

の力 の 磁 場 に よ る項 は 無視 す る.ま た,電 子 の つ く る 自己場 の効 果 も省 略 す る.す る と, 電 子 の 運動 方 程式 は

で あた え られ る.こ れ に よ り,電 子 の速 度 は

そ こで 電 子 の運 動 に よっ て生 ず る電 流 密 度 は

で あ た え られ る.さ

て,Maxwellの

方 程 式 は 真 空 中 で は,

一方 ,プ ラズ マの なか では

であ る.い まの 場合,変 位 電流 は

で あ る.(3.33)と(3.36)と

を(3.34)と(3.35)と

に 代 入 す る と,真

空 中で は

プ ラズ マの な か では

こ こ で ωpは

で,プ ラ ズ マの 特 性振 動 数 とい われ る.(3.37)と(3.38)と

を比 較 す る と,プ ラズ マの存 在

は電 磁 波 に とって は,媒 質 の 比誘 電 率 が １か ら

に変 わ っ た もの とみ な され る.そ こで真 空 に 対 す る電 離 層 の 屈折 率 は,μ*〓1と

した と き

で あた え られ る.ω ＞ωpの とき には,屈 折 率nは 実 数 で １よ り小 にな る.つ ま り電 離 層 は あ たか も屈折 率 が １よ り小 な る媒 質 としての 作用 を し,電 磁 波 は電 離 層 内 を伝 播 して い く. これ に対 して,ω ＜ωpの とき には,屈 折 率nは 虚 数 とな る.こ の と き電 離 層 内 の電 磁 波 は 減 衰 し,216ペ ー ジに のべ る全反 射 をお こ して,入射 電磁 波 は電 離 層 の境 界 面 で反 射 され る.   [例題 ２] 光 の 分 散  原 子 に 対 し てThomson模 型 を考 え て,そ の内 部 の電 子 に,ず れ に 比例 す る弾 性 的 な 力 が作 用 し て い る とす る.外 か ら入 射 す る電 場 をE=E0 cos ωt とす る と,電 荷eの

電 子 の運 動 方程 式 は

で あた え られ る.こ こで ω0は 原 子 に束 縛 され てい る電 子 の単 振動 の 固有 角 振動 数 で あ る. また こ こで も電 子 の 自己 力 とLorentz力

の磁 場 に よ る項 は無 視 した.外 部 か らの電 磁

波 に よ っ て誘 起 され る電 子 の運 動 は(3.41)の 特 解 で あ た え られ る.そ

と お い て,(3.41)に

こで

代入 す る と

と な り,こ れ よ り振 幅Aが

決 ま っ て,電

子 の 速 度v=dr/dtは

であ り,そ れ に と もな う電流 密 度 は

で あ る.  真 空 中 のMaxwellの

方程式

で,B=μ0H,D=ε0Eで

あ る こ と に 注 意 し て,(3.42)を

代入すると

  さて,誘 電 体 中の束 縛 電子 の 存 在 を,誘 電率 ε,透磁 率 μ の物 体 の 存 在 とみ なせ ば, (3.43)に 対 応す る現象 論 的 なMaxwellの 方 程式 は

とか か れ る.   (3.43)と(3.44)を

比 較 す る と,

と お くこ と が で き る.

(3.45)よ

り屈 折 率

は

とな る,ωpは(3.39)の で あ る.屈 折 率nと

プ ラズ マの 特 性振 動 数 角 振動 数 ω の 関 係 を あた

える(3.46)が 分 散 公 式 で あ る.   (3.46)の 分 散 公 式 の性 質 を調 べ よ う.こ れ を 図 に示 した もの が図3.3で あ る.図(a)と 図(b) の よ うに,原 子 の特 性 を反 映 して い る固有 角 振 動数 ω0の 位 置 が可 視 光線 の領 域 をは ずれ てい る とき には,振 動 数 の 大 き い紫 色 の 光 の屈 折 率 の ほ うが,振 動 数 の 小 さい赤 色 の 屈折 率 よ りも 大 き い.そ の た めに,こ の よ うな 物 質 の示 す ス ペ ク トル は水 滴 に よる 虹 と同 じ順序 に な らぶ こ とに な る.こ の よ うな 分散 を正 常 分 散 とい う.   これ に対 して,図(c)の

よ うに 可 視 光線 の領

域 が,原 子 の 固有振 動 数 ω0の 両 側 に ま た が っ てい る とき に は,振 動数 の大 きい 紫 色 の光 の屈 折率 のほ うが,振 動数 の小 さい 赤 色 の 光 の屈 折 率 よ りも小 さ くな る.た とえば,フ クシ ンの ア ル コール 溶 液 で つ くった プ リズ ムの 示 す ス ペ ク トル は,振 動 数 の順 に な らばず に 青,藍,紫, 暗 黒,赤,橙,黄

とい う順 序 にな らぶ.こ の よ 図3.3  正 常 分 散 と異 常 分 散

うな分 散 を異 常分 散 とい う.   な お,(3.46)で

ω=ω0と す る と,屈 折 率 は 無 限大 にな る が,光

を放 射 す る電 子 が 放射

した だ けの エ ネ ル ギー を失 い,そ れ が 電 子 の運 動 に 対 す る減 衰 力 と して 作 用 す る こ とを考 慮 に いれ れ ば,屈 折 率 は 図(c)に 示 す よ うに有 限 にな る.こ の とき ω=ω0の 角 振 動数 で入 射 した光 は,原

子 に 強 く吸 収 され,そ

の ため に フク シ ンの示 す スペ ク トル の緑 の 光 の 部分

は暗 黒線 にな る. [例題 ３] 分 散性 物 質 内 の電 磁 波 の先 端 速 度  本 文 での べ た よ うに,群 速 度 が光 速 度 を超 え る と きには,群 速 度 な る概 念 自身 が意 味 を もた な くな る.こ

の よ うな ときに も,分

散 性物 質 内

の信 号 の速 さ は光速 度cを 超 え る こ とは な い こ と を示 そ う.こ れ を示 す には波 束 の先 端 の 速 さを考 え た ら よい.こ

れ を先 端 速度(front

velocity)と

い っ て,こ れ は い かな る 誘電 体 の な か で も 光速 度cに 図3.4  先 端 速 度

等 しい.し

た が っ て,位

相 速 度 や群 速 度

が光 速 度 よ りも大 き くな る こ とが あ って も,相 対

論 と矛 盾 す る こ とに は な らな い.   誘電 体 の なか の 電磁 波 の 先 端 速度 を 調 べ る た め,こ こで はz方 波 動A(z,t)を

と す る.す

考 える.波 動 の先 端 を決 め るた め に,原 点z=0に

な わ ち,原

で あ る(図3.4参

点z=0に

照).(3.47)で

向 に進 行す る １次 元 の お いて

波 動 の 先 端 が 到 着 す る の は 時 刻t=0で 原 点 に お け るt＞0の

無 限 の 領 域 で 定 義 さ れ る 任 意 の 関 数 はsin級

あ る とい うわ け

波 動 の 形 をasinω0tと

し た が,半

数 で 展 開 す る こ と が で き る か ら,(3.47)の

え

らび かた は一 般 性 を失 わ な い.   さ て,(3.47)で

あ らわ され る関数 を一 つ の 関数 に

ま と めて か くには ど うした らよい で あ ろ うか.結 果 を さ きに か くと

で あ る.こ 図3.5の

こ で 積 分 路 は ω の 複 素 平 面 を 考 え て, よ う に ± ω0の 極 を 上 に 避 け て と る も の

と す る.(3.48)が そ う.ま

実 際 に(3.47)を

ず,t＜0の

あた え る こ と を示

と き を 考 え る.こ

の と き, 図3.5  ω の複 素 平 面

で あ る か ら,の て,(3.48)の

と き,R=￨ω￨の

積 分 に 半 円 積 分 路C1を

しか る に,こ

大 き い 値 に 対 し て,こ

れ は ０ に な る.し

つ け 加 え て も さ し つ か え な い.す

たがっ

なわち

の積 分 路 にか こまれ る領 域 の なか に被 積 分 関数 は特 異点 を もた な いか ら,こ

の積 分 は ０にな る.し た が って

で あ る.次

に,t＞0の

とき を考 え る と

とな るか ら,こ ん どは下 半面 の積分 路C2を

つ け加 えて もよい.す なわ ち

こ の と きに は,積 分 路 の な かに ２個 の極 ± ω0が あ るか ら,積 分 の値 は そ こで の留 数 の和 に な る.す な わ ち,

し た が っ て,こ

と な っ て,た

の とき

しか に,(3.48)は(3.47)と

(3.48)か

らz＞0に

同 等 で あ る.

にお き か え れ ば

お け る 波 動 を 求 め る に は,(3.48)のtを

よ い.こ こで,v(ω)は 分 散性 物 質内 の波 動 の位 相速 度 で

であ る.こ の章 の問 題(１)で あた える よ うに誘電 体 の分 散 公 式 は一般 に

と い う形 に か く こ とが で き る.し

な る 性 質 が あ る.さ

て,z＞0の

と か く こ とが で き る.(3.51)の

た が って

波動 は

波 動 の 性 質 を調 べ よ う.(3.51)の

半 面 の 閉 積 分 路 に そ っ て 積 分 す る と,そ

被 積 分 関 数 を 図3.5の

の 内 部 に 特 異 点 は な い か ら,そ

つ ま り

し た が っ て,

とな る.し

か る に 最 後 の 積 分 でR=￨ω￨=∞

な る こ と に 注 意 し,(3.50)か

らn(ω → ∞)=1

で あ る こ とをつ か うと

と な る.と

の と き,こ の積 分 はR→

ころが

で ０に な る.す

∞

な わ ち. 図3.6  先 端 速 度 は 光 速cに 等 しい

で あ る(図3.6).つ

ま り,波

動 の 先 端 は 高 々 速 さcで

上

の 値 は ０ に な る.

進 む こ と が 示 さ れ た.

次 に先 端 速 度 がcで

あ る こ と をい うた めに は,z＜ctの

とを示 さね ば な らな い.z＜ctの

はR=￨ω￨→

∞

で 消 え る.し

とか くこ とが で き る.と

た が っ て,(3.51)は

ころ が,こ

０で ない こ

無 限 に 大 き いRに

対 して

の 積 分路 に よ りか こま れ た 領 域 の な か に は ２個 の極 が

あ る か ら,こ の積 分 は一般 に ０で は ない.こ 先 端 速 度cに

領域 で積 分(3.51)が

とき には 下 半 円 で の積 分

の よ うに し て,分

散性 物 質 の な か の電 磁 波 の

等 しい こ とが わ か っ た.

  §４  電 磁 波 の 反 射 と 屈 折   前 節 で は 一 様 な 誘 電 体 の な か で の 電 磁 波 の 伝 播 の 様 子 を 調 べ て き た.こ は,二

つ の 異 な る 誘 電 体 が,あ

る 境 界 面 で 接 し て い る と き を 考 え よ う.こ

電 磁 波 は そ の 境 界 面 で 反 射(reflection)あ う.誘

る い は 屈 折(refraction)を

こで のとき

す るで あ ろ

電体 の なか の平 面 波 を

とか い た と き,電

場 は

で あた え られ,磁 場 は

と な る.そ

こ で(4.2)と(4.3)の

に す る.そ

の た め に は,境

平 面 波 の 境 界 面 で の反 射 お よ び 屈 折 を 調 べ る こ と

界 面 上 で電 磁 波 の み た

す べ き 境 界 条 件 を あ た え な く て は な ら な い.   境 界 条 件 を 決 め る た め,誘 の 基 本 方 程 式 系(3.1)∼(3.4)を   (ⅰ)B(x,t)とD(x,t)の る.こ

れ は,(3.3)と(3.4)つ

電 体 内 の 自由電 磁 場 考 え よ う. 法線 成 分 は 連続 であ ま りdiv

B(x,t)=0

図4.1磁 束密度 と電束密度 の 法線成分 の連続性

とdivD(x,t)＝0と

を,そ

れ ぞ れ 境 界 面 の 一 部 を か こ む うす い 直 方 体 の な か で 積

分 す る こ と に よ っ て え られ る(図4.1参

照).こ

のとき

と な り,

とす る と

ま っ た く同 様 に して

が え られ る. (ii)E(x,t)とH(x,t)の (3.2),す

接 線 成 分 は 連 続 で あ る.こ

れ

ら は(3.1)お

よび

なわ ち

と 図4.2  電場 の強 さ と磁場 の強 さの 接線 成分の連続性 と を,図4.2の

よ う な 小 さ な 平 面S＝

δr・ δh上 に お い て 表 面 積 分 し,Stokesの

定 理 を利 用 す る こ とに よ っ て え ら れ る.す

で あ る.こ

こでbはnとtに

な わ ち,こ

直 交 す る 境 界 面 内 の 単 位 ベ ク トル で あ る.し

が っ て,

こ こ で,∂B/∂tは

で あ る.そ

こで

の とき

有 限 で あ る か ら δh→0の

極限 で

た

と お く と,

を う る.Hに

つい て もま った く同様 に して

を う る こ と が で き る.   す な わ ち,境

界 条 件 は 静 的 な 電 磁 場 の と き と ま っ た く同 じ で あ る こ とが わ か っ

た.   さ て,準

備 が で き た の で 本 論 に は い る.入

(4.2)と(4.3)と

と か か れ,反

射 平 面 波(incident

plane

wave)は

か ら

射 波(reflected

ま た 屈 折 波(refracted

plane

plane

wave)は

wave)は

とか か れ る.   こ こ で 二 つ の誘 電 体 の 境 界 面 をz＝0のx―y平 とz＝0に

お い て(i),(ii)の

各 成 分 に 関 して 線 形 の 条 件 で あ る か ら,一

の 形 を し て お り,こ れ が あ らゆ るx,y,tの

で な く て は な ら な い.す

面 上 に と っ た と し よ う.す

境 界 条 件 が 要 求 さ れ る.こ

な わ ち,上

る

れ らの条 件 は上 の波 動 の

般に

値 に 対 して な り た つ た め に は

の ３個 の 平 面 波 の 振 動 数 は 相 等 し く,ま

た ３

個 の ベ ク トルk,k'お

よ びk”

は

同 一 平 面 内 に な くて は な らな い. そ こ で これ ら の ベ ク トル で つ くら れ る 平 面 内 にx軸 し よ う.す

を とる こ とに

ると

と な る(図4.3).い

ま入 射 平 面

波 は 直線 的 な偏 り を して い る も の と し て,振

幅E0の(x,z)平

内 の 成 分 をEp,y軸 分 をEsと

か き,ま

面

方 向 の成 た ω＝v(ω)・

k(ω)の 関 係 を も ち い る と

と な る か ら,(4.8)の

とか か れ る.こ

で あ る.ま

こで

っ た く同 様 に し て,反 射 波 は

で あ た え られ る.こ

で あ る.次

各成分は

に,屈

こで

折波は

図4.3  電 磁 波 の反 射 と屈 折

と な る.こ

こで

で あ る.   問 題 を簡 単 に す る た め,普

通 の物 質 で は μ1＝μ2＝μ0で あ る こ と を つ か う と,

z＝0の

接 線 成 分 が 連 続 で あ る と い う条 件 は

平 面 上 でEとHの

で あ ら わ さ れ る.(4.19)の

が え られ る.さ

は じめ の条件 か ら

き に も の べ た よ うに,こ れ は任 意 のx,tに

お い て な りた た な け れ

ば な らない か ら

で な け れ ば な ら な い.こ

れ よ り,ま ず

が え られ る.し

か るに

で あ るか ら

とな る.つ

ま り入 射 角 と反 射 角 と は 等 しい.ま

とな り,こ

れ はSnellの

法 則 で あ る.n12(ω)は

た

誘 電 体 ２ の 誘 電 体 １に 対 す る 屈

折 率 で あ る.   さ て,上

の 議 論 で 屈 折 波 の ほ か に 反 射 波 を も考 慮 した 理 由 を の べ て お こ う.あ

た え られ た 入 射 波 の 振 幅EpとEsに とDsの

対 し て,未

２個 だ け を と っ た と し よ う.と

知 量 と し て 屈 折 波 の 振 幅Dp

こ ろ が,こ

の ２個 の 未 知 量 に 対 し て,

(4.19)の 条 件 は ４個 で あ る ． し た が っ て,一 般 に これ ら の条 件 を み た す 解 を う る こ とは で き な い.そ で あ る.ま

こ で,さ

ら に ２個 の 未 知 量RpとRsを

た こ の と き,(4.4)と(4.5)の

れ て い る こ とは,あ

考 え ね ば な らな い の

法 線 成 分 の 連 続 の条 件 は 自動 的 に み た さ

とで示す ．

  (4.20)の 条 件 を 考 慮 す る と,波 動 の 位 相 の 部 分 は 共 通 と な っ て,境 は 振 幅 に 対 す る も の だ け に な る.そ

が え ら れ る.こ

こで

こ でEx+Ex'=Ex”

界条 件 の式

か ら

な る 性 質 を つ か っ た.ま

たBy+By'=By”

か ら

  Dの

法 線 成 分 の 連 続 性 の 条 件 は ε1(Ez+Ez')＝ ε2Ez”で あ た え られ る が,こ

の

条件は

とな る.こ

こ で,ま

た,な

注 意 す る と,こ の 条 件 は(4.24)と

る こ とに

一 致 す る ． つ ま り法 線 成 分 の 連 続 性 は 自動 的 に

み た され て い る.   (4.23)と(4.24)か

を うる.同

らDpを

消 去 し て,(4.22)を

利 用 す る と,

様にして

と な る.   ま た,Ey+Ey'＝Ey”

とBx+Bx'＝Bx”

とか ら

が え ら れ る.こ

の と き も,法

線 方 向 の 条 件Bz+Bz'＝Bz"は

自動 的 に み た さ れ て

い る こ と が 示 さ れ る.   (4.25)∼(4.28)は も の で,こ

入 射 波 の 振 幅 で 反 射 波 お よ び 屈 折 波 の 振 幅 を か き あ らわ し た

れ をFresnelの

公 式 と い う.Fresnelは

この式 を エー テル の弾 性 理

論 に も と づ い て み ち び き だ し た の で あ る.   い ま入 射 角 〓 が

をみ た す も の で あ っ た と き を考 え よ う.こ

で あ る か ら,と

な る.つ

この とき

と な る.す

の とき

ま り反 射 波 と 屈 折 波 の 方 向 は 直 交 し て い る.

で あ る か ら,(4.25)よ

な わ ち,こ

り

の と き入 射 面 に 平 行 な 電 波 は 反 射 を しな い で,そ

方 向 の 電 波 の み が 反 射 さ れ る.そ

こ で(4.29)で

決 ま る 角 度 をBrewsterの

角 と い う.   [例題] 全 反射n12(ω)＜ １ の とき を考 え て み よ う.こ の とき

で あ る.の

と きの入 射 角 を 〓 とか く と で あ る.こ

の 場 合 に は,屈

界 面 に そ っ て 進 行 す る.そ

れでは

き に は ど うな る で あ ろ う か.光 て い る よ うに,こ ternal

よ う.で

お き る.こ

の と

学 で よ く知 ら れ

の と き に は 全 反 射(total

reflection)が

と な る.し

折波は境

in

の現 象 を説 明 し

あ る か ら, たがって

図4.4  全

反

射

れ に垂 直 偏光

であ る.sinxが

１ よ り も 大 き い と い う こ と はxが

であ る.こ の物 理 的 意 味 を考 え る た めに,屈

複 素 数 で あ る こ と を 意 味 し,ま

た

折 波 の指数 関数 部 分 を調 べ よ う.(4.17)

と(4.18)か ら,そ れ は

とあ らわ され る.つ

ま り,屈 折 波 はx方

右向 に は 指数 関 数 的 に減 衰 す る.す

向 す な わ ち境 界 面 に 平 行 な方 向 にの み伝 播 し,z

な わ ち誘 電 体 ２の な か に はは い っ て いか な い.こ

のと

き,z方 向 に は エネ ル ギ ーの 流 れ は ない.こ れ を 示 す た め に 単 位 時 間 あ た りの 平 均 の Poyntingベ ク トル(2.12)を 求 め てみ る.z方 向 の単 位 ベ ク トル をnと す る と,こ れ は

で あ た え ら れ る.一

方(4.10)よ

り

であ り,ま た公 式

に お い て,(k”

と な る.し

・E”)=0(横

波)な る こ と に 注 意 す る と

かるに

は純 虚 数 で あ る.し た が って,z方

向 の エ ネル ギー の流 れ はな い.

§５ 導 体 中 の電 磁 波  Ohmの

法 則 が な りた つ導 体 の 内部 に電 場 が あ る と,こ れ に ともな っ て電 流 が

発生 す る.し たが っで,導 体 内 部 で は 自 由電磁 場 を考 え る こ とはで きな い.そ こ でOhmの

法則

を考 慮 す る と,導 体 の なか で の電 磁場 を記 述 す る基 本 法則 は

とか か れ る.ま

た ここで

の 関 係 が な りた つ も の と す る.   (5.4)は 本 来 な ら

と か か れ る べ き で あ る が,準

定 常 電 流 の と き に も の べ た よ う に,導

荷 の 分 布 は 存 在 しえ な い の で ρe=0と 明 して お こ う.い

し た.こ

体 内部 で 真 電

の 点 に つ い て さ ら に く わ し く説

ま

と展 開 してお く.一 方電 荷 保 存則 か ら

こ こ に,Ohmの

法 則 を代入 す る こ とに よっ て

が え ら れ る.こ

こ れ がtの な い.つ

れ に,(5.7)を

代入 す る と

ど ん な 値 に 対 し て も な りた つ た め に は,ρe(x,ω)=0で ま り

で あ る.   さ て,(5.2)と(5.3)と

か ら

な くては な ら

す なわ ち,電 場 の方程 式 は

で あ た え られ,こ

の 方 程 式 を 電 信 方 程 式 と い う.磁 場 も,ま

っ た く同 様 に し て

な る 方 程 式 を み た す.   い ま半 無 限 の 導 体 が あ る と す る.こ

の境 界 面

に 垂 直 に 電 磁 波 が 入 射 す る 場 合 を 考 え よ う. こ の と き,図5.1の と し,z＞0の

よ う にz＜0の

体 内 部 の 電 磁 場 は(5.8)と(5.9)と る.そ

領 域 を真空

領 域 に 導 体 が あ る と し よ う.導

こ でz方

で 記 述 され

向 に進 行 す る直 線 的 な偏 りを

も つ 平 面 波 を考 え て,z＞0に

と お く と,(5.2)か

対 して

図5.1  導 体 に よ る平 面 波 の反 射

ら

が え られ る.(5.10)を(5.8)に

代入 す る こ とに よ って分散 公 式

が み ち び か れ る.こ

実 数 部分 を正 に と り

こ でkの

と か く と,

で あ る.い

ま,σ/ω ε》 １ の と き を 考 え る と

と な り,

が え られ る.つ ま り,導 体 内 に電 磁 波 が入 射 す る と

の深 さの ところで 振 幅 は1/e倍

に な る.こ れ は準定 常 電 流 で考 え た表皮 効 果 で,

δ は 表皮 の厚 さを示 して い る.   z＜0の 領 域 で は 自 由電 磁 波 が あ る.そ

こ では入 射 波 と 反 射 波 と を考 えね ば な

らな いか ら,

と か か れ る.こ

で あ る.こ

れ に と も な う磁 場 は

こで

で あ り,Aは

入 射 波 の 振 幅,Rは

反 射 波 の 振 幅 を あ ら わ し て い る.

  (5.13)∼(5.16)で

あ た え られ た 真 空 中 と導 体 中 の 電 磁 波 の 振 幅 の あ い だ の 関 係

を う る た め に は,境

界 面 上 でEとHの

え た ら よ い.こ

の 条 件 がOhm電

接 線 成 分 が 連 続 で あ る と い う 条 件 を考

流 σEが あ っ て も正 しい こ とは,(4.6)を

び い た と き と同 様 に し て 考 え れ ば た しか め ら れ る.そ から

が え ら れ,ま

を え る.こ

たByの

れか ら

連 続 性 か ら(μ ＝ μ0と し て)

こ でz＝0でExの

み ち 連続 性

そ こで 電磁 波 の導体 に よ る反 射 率rは

で あ た え ら れ る.こ

こ で σ/ω ε≫1の

と き に はk＝(1+i)/δ

とかけ る か ら

と な る.   と くに 電 気 伝 導 率 σ が 無 限 大 の と き に は,r＝1と

な っ て完 全 反 射 を す る.こ

の よ う な 導 体 を完 全 導 体 と い う.

§６  電 磁 波 の 回 折   波 動 の 回 折(diffraction)現

象 を 説 明 す る 方 法 にHuygensの

が あ る こ とは よ く知 ら れ て い る.こ と き,そ

の先 端(wave

面 波 が 発 進 し て,そ

front)の

原 理 とい う も の

れ は波動 の伝 播 を考 え る

上 の各 点 が 中心 とな っ て球

れ ら の 球 面 波 の 先 端 の 包 絡 面 が 新 しい 波

動 の 先 端 と な る とい う も の で あ る.こ

の 方 法 に よ る と波 動 の

回 折 現 象 を 直 観 的 に う ま く説 明 す る こ と が で き る(図6.1 参 照)． し か し,こ

の と き 前 方 に す す む 波 動 と 同 時 に後 方 に す

す む 波 動 も あ た え て しま っ て,そ す る こ とが で き な い.こ の 難 点 で あ る.こ

れ が な い と い う事 実 を説 明

の 点 が,直

観 的 なHuygensの

原理

の 難 点 を解 決 す る た め に は,Huygensの

原 理 を 波 動 の 伝 播 現 象 と して 数 学 的 に 正 確 に 定 式 化 し な く て は な ら な い.こ で,以

れ がKirchhoffの

積分 表 示 とい われ る もの

下 に お い て こ れ を み ち び き,そ

つ か う こ と に す る.

図6.1 Huygensの

原 理

して そ れ に も と づ い て 波 動 の 回 折 を と りあ

  (１)Kirchhoffの

積 分 表 示   真 空 中 の 電 磁 場 は ２個 の ベ ク トルEとBと

に よ っ て あ ら わ され る が,こ

こ で は そ れ ら の 成 分 の う ち の １個 だ け を考 え て,そ

れ を ψ(x,t)と か く こ と に す る.い

ま,閉

曲 面Sに

か こ まれ た 空 間 の 領 域Vの

な か で 定 義 され た 任 意 の 関 数 ψ(x,t)と

φ(x,t)と を 考 え よ う.こ

Greenの

ら にt1＞t'＞t0な

定 理(付 録A参

分 す る.す

照)を 適 用 し,さ

れ に 対 して

る時 間 に わ た って 積

る と恒 等 式

が え られ る.こ

こ で,n'は

領 域Vの

き に た て た 単 位 法 線 ベ ク トル で,ま

表 面Sに

外向

た ∂/∂n'はn'方

向 の方 向微 分

で あ る(図6.2参

照).さ

て,こ

こ で ψ(x',t')と し て は

波 動 方 程式

図6.2Greenの

を み た す も の を 考 え,φ(x',t')と

し て は(2.40)のDret関

定 理

数 を と る こ と に す る.

す な わ ち

とす る.た

だ し,こ

とす る.(2.40)で

こ でt1＞t＞t0で

定 義 され たDret関

あ らわ す 関 数 で あ っ て,(2.34)のD関

とか か れ る.こ

な る階段 関数 で

こ で,θ(t)は

あ る と し,xは 数 は 過 去t'か

領 域Vの

な か の点 で あ る

ら未 来tへ

の 波動 の伝 播 を

数 を もち いて あ らわす と

な る 性 質 を も っ て い る.(6.4)か

で あ る こ と が わ か る1).こ

らDret関

う し て(6.1)は

  そ こで は じ め に左 辺 を計 算 し よ う.そ R＝x-x',R＝￨R￨と

こ こ で,t1≧t'(＞t)に と,上

数 のみ た す方 程式 は

次 の よ う に か か れ る.

れ に は(6.3)と(6.7)を

対 して は, Dretと

ま

そ の 時間 微 分 は ０にな る こ とに注 意 す る

の 時 間 積 分 の 上 限 は 消 え る か ら,t0→t'と

1)(6.7)を

利 用 す る.い

か く と,

み ち び く に は(6.4)の

定 義 と(6.6)の

性 質,お

な る性 質 をつ か えば よい.す な わ ち,

最 後 の等 式 で(2.36)と(2.38)のD-関

数 の 性 質 を利 用 した.

よび

か きか えて

と あ ら わ さ れ る.次

に右 辺 にお い て

で あ る こ とに注意 す る と

と な る.し

た が っ て(6.9)と(6.10)か

ら

が え られ る.   (6.11)の

右 辺 の 第 １項 は 全 領 域Vに

い て あ た え た と き,時 刻t(＞t')に

波 動 方 程 式 の 初 期 値 問 題 の 解(2.35)と Dret関

数 が δ(￨x-x'￨-c(t-t'))と

与 す る の は￨x-x'￨＝c(t-t')の

お け る ψ と ∂ψ/∂tと を,時

刻t'に

お

お け る 波 動 ψ(x,t)を あ た え る も の で,こ れ は 同 じで あ る.こ

の 項 の 体 積 積 分 に お い て,

い う因 子 を ふ くむ こ と か ら,実

際 に積分 に寄

条 件 を み た す よ うな 球 面 上 の 点x'に

おける

ψ

と ∂ψ/∂tと だ け で あ る.こ れ ら の 点x'が も し領 域Vの

外 部 に あ る と き に は,(6.11)

の 右 辺 の 第 １項 は ０ に な っ て し ま う(図 6.3参

照).こ

の と き に は,x点

にお け る

波 動 の 値 は 右 辺 の 第 ２項 だ け で 決 ま っ て く る.つ S上

ま り,図6.3に

あ る よ うに表 面

の 波動 関 数 の値 だ け で決 ま って しま

う.す

な わ ち,こ

の と き(6.11)は

図6.3Kirchhoffの

積 分 表 示

と な る.   (6.12)をKirchhoffの

積 分 表 示 とい っ て,  Huygensの

表 現 を あ た え る も の で あ る.(6.11)の 時 刻t'に

辺 では ψ と 〓 す な わ ち,こ

解 で あ る と考 え る こ とが で き た.と

と を 閉 じ た 表 面Sの

の 種 の 偏 微 分 方 程 式 の 境 界 値 問 題 で は,境

た が っ て,S上

な い の で あ る.境

の意 味 で こ

こ ろ が,(6.12)の

右

で ψ と 〓

界 面 上 で の ψ の 値,あ

界 の内 部 の ψ の値 は一 義 的 に決 ま の 両 方 を勝 手 に あ た え る こ と は で き

界 面 上 で ψ の 値 を あ た え る 問 題 をDirichletの

の 値 を あ た え る も の をNeumannの

動 方 程 式 の 解 で は な く,た

じめ の

うえ で 同 時 に あ た え る こ と は で き な い.

の ど ち ら か 一 方 を あ た え る と,境

っ て し ま う.し

〓

右 辺 の 第 １項 の初 期 値 問 題 で は,は

お け る ψ と ∂ψ/∂tと を勝 手 に あ た え る こ と が で き て,そ

れ は 波 動 方 程 式(6.3)の

る いは 〓

原理 の厳 密 な 数学 的

問 題 と い う.し

問 題 と い い,

た が っ て,(6.12)は

波

だ 波 動 方 程 式 に 境 界 条 件 を考 慮 した 積 分 表 示 で あ る に

す ぎ な い 点 に 注 意 さ れ た い.   (２)  Huygensの

原 理   (6.12)に

上 の 波 動 に よ っ て 表 現 され た.こ した も の で あ る.そ

よ っ て 領 域Vの

れ は ま さ にHuygensの

こ で(6.12)に

も とづ い てHuygensの

な か の 波 動 が 表 面Sの 考 え 方 を数 学 的 に表 現 原 理 をた しか めてみ

よ う.   原 点Oに

あ る 点 光 源 を 考 え て,そ

す る と時 刻t,観

測 点Pに

れ か ら 真 空 中 に 球 面 波 が 発 進 す る と し よ う.

お け る波動 は

と表 現 さ れ る.こ

こ でfは

に よ っ て も変 化 す る.し

球 面 波 の 振 幅 で,一 か し,こ

般 に は 極 座 標(r,θ,〓)の 角 度 θ,〓

こ で はf

は こ れ ら の 角 度 に よ ら な い も の とす る.こ の よ うな 球 面 波 をS-波(S-wave)と さ てP点

よぶ.

に お け る 波 動(6.13)を

む任 意 の 閉 曲 面S上

原点をかこ

か ら発進 す る 素 元 波

の 総 和 と し て 求 め る(図6.4).こ (6.13)と

れ が

一 致 す れ ば,Huygensの

原理 の

図6.4 

Huygensの

原 理 の証 明

正 当 性 が 示 さ れ た こ と に な る で あ ろ う. (6.12)に お け る 領 域Vを

と と る こ と に し よ う.さ

閉 曲 面Sの

て 表 面S上

に よ っ て あ た え ら れ る.し

外 側 に と る こ とに す る.そ

のQ点

して

の波動 は

たがって

また

と な る. そ こ でt→t-R/cと

  こ こ で 原 点Oを

お き か え て,(6.14)と(6.15)を(6.12)に

か こ む表 面Sの

どの よ うに と っ て も,ψ(r,t)の

内 側 にP点

が あ る と き を考 え て み よ う.Sを

値 は 変 ら な い か ら,原

円 体 の 表 面 を と る と,(6.16)はr1と-Rに

代 入 す る と

点Oと

点Pを

焦 点 とす る楕

関 し て 反 対 称 と な る か ら,明

ら

かに

と な る(図6.5参 なHuygensの の で,表

照).こ

の事 実 は直 観 的

原 理 の 難 点 を解 決 す る も

面Sか

ら発 進 す る 波 動 が 逆 行 す

る こ と は な い こ と を示 し て い る.   次 に 点Pが

表 面Sの

考 え よ う.こ

の と き(6.16)の

る に あ た っ て,表

面Sと

外 側 に あ る とき を 積分 を実 行 す して と くに原点

Oを 中 心 とす る球 面 を と る.そ

し て,r1とRを

て,き

る と(6.16)の

わ め て大 き い と す る.す

図6.5  逆 行 す る波 動

電 磁 波 の波 長

に比 べ

第 １項 は 第 ２項 に く ら べ て 無 視 す る

こ と が で き て,

と な る.さ

て,こ

実 行 し よ う.い

こで 表 面積 分 を ま の 場 合,図6.6

よ り

で あ り,ま 図6.6  球 面S上

で あ る.の

した が っ て,(6.18)は

と な る.

た

の素 元 波

関 係 か ら,と

なるか ら

  (6.19)の に,球

積 分 の 値 を 求 める た め

面Sを

図6.7の

状 の 部 分(Fresnel つ ま り,P点

zone)に

わ け る.

を 中 心 と す る 半 径R

の 球 面Aに て,半

よ うな 輪 帯

よ っ て 球 面Sを

きっ

径Rが 図6.7 

Fresnel帯

の 範 囲 の球 面 に よ って き り とられ る輪 帯 状 の部 分 を領域 １と し,

の 部 分 を 領 域 ２ と い う具 合 に し て,球 一 つ の 領 域 の な か で は .角 度Xは

を 一 定 と み て,こ が で き る.す

面Sを

細 分 す る.帯

の 幅 は 小 さ い の で,

ほ と ん ど一 定 で あ る と み な せ る の で,

れ を 各Fresnel帯(Fresnel

zone)で

の積 分 の外 に だす こ と

ると

と な り,さ

ら に 全Fresnel帯

上 の和 を とる と

と な る.こ

こ でNはFresnel帯

の 全 数 で,そ

の 数 が奇 数 で あ る ときに は

と か くこ とが で き る.し

か るに

等 の関 係 が近似 的 にな りた つの で,結 局

と な る.と

ころが

であ るか ら

これ を(6.20)に 代 入 す る と

と な る.(6.21)でN=奇

数 と し た が,そ

れ が偶 数 の と き に もま っ た くお な じ結

果 が え ら れ る1).   (6.22)は 閉 曲 面Sの

上 の 波 動 の 総 和 と し て,P点

で あ る.こ

一 致 して い る こ と か ら,Huygensの

れ が(6.13)と

に お け る波 動 を 求 め た も の 原理 の正 当性 がた

し か め られ た こ と に な る.   (３)  小 孔 に よ る 回 折   １点Oか

ら放 出 さ れ た 電 磁 波(光 波)が 小 孔 の あ い た ス

ク リー ン の上 に投 射 され た と き,ス

ク リー ン の う し ろ 側 に お け る波 動 の 強 度 分 布

を調 べ よ う.こ れ にKirchhoffの あ た っ て,次   (i) 

積 分 表 示(6.12),あ

る い は(6.18)を

適用 す るに

の よ うな 仮 定 す る.

ス ク リー ン の上 で は ψ も ∂ψ/∂nも ０で あ る.

  (ii)  小 孔 の と こ ろ で の ψ と ∂ψ/∂nの 値 は,ス

ク リー ン の な い と き の 投 射 波

の そ れ と 同 じで あ る.   こ の 仮 定 をKirchhoffの うな 近 似 を も ち い る が,じ る.な

ぜ な ら,さ

１)偶 数 の とき は,

近 似 と い う.普 通 回 折 現 象 を 議 論 す る と き,こ

の よ

つ は こ の 仮 定 は 数 学 的 に 矛 盾 を ふ くん で い る の で あ

き に も の べ た よ うに,ス

ク リー ン の 面 上 で ψ と ∂ψ/∂nと を 同

時 に あ た え る こ と は で き な い か らで あ る.ま

た,第

２ の 仮 定 で ス ク リー ン の存 在

に よ る小 孔 の 端 で の 波 動 の ひ ず み を無 視 して い る.し 仮 定 を も ち い る と,観

測 点Pに

お け る波 動 を求 め る に は 小 孔 の 部 分 か ら発 す る 素

元 波 だ け か ら の 寄 与 を 考 え た ら よ い こ とに な る.し

とか くこ とが で き る.さ

て,こ

か し そ れ は と も か く,上 の

た が っ て,近

似 的 に(6.18)を

こで指 数 関数 部 分

は 波 長 λが 小 さ い た め,(r1+R)の

小

さ な 変 化 に 対 して も大 き く変 化 す る. そ れ に く らべ て

の 因 子 は,孔

の 大 き さ が 小 さ い た め,

あ ま り変 化 し な い.そ (6.23)の る.い

積 分 の 外 に だす こ とが で き

ま,図6.8に

ク リー ン 上 にx,y座 に 垂 直 なnの き,座

こで この因 子 を

あ る よ う に,ス 標 を と り,そ

方 向 にz軸

標 系 の 原 点 か らOお

れ

を と った と よびPに

向 け た ベ ク トル を そ れ ぞ れ ρ1と ρpと す る.す

る と,(6.23)は

次 の よ うに

か か れ る.

こ こ で,図6.8か

で あ る か ら,孔

らわ か る よ うに

の 大 き さ が 小 さ い と して

図6.8  小 孔 に よ る回 折

と か か れ る.た 様 に

ρpの

だ し,こ

と な る.(6.25)と(6.26)と

と な る.こ

こで

方 向余 弦 を

α1=x1/ρ1,β1=yi/ρ1は

αp,βpと

ρ1の 方 向 余 弦 で あ る.同

す る と

を(6.24)に

の 積 分 の 前 の 係 数 をAと

代 入 す る と

か く と,こ

の 波 動 の 強 度Jは

で あた え られ る.  電磁 波 の入 射方 向 と同方 向 で観 測 され る回折 波 の強度 をJ0と

す る と,こ の と

き

で ある か ら

とな る.こ

こ でSは

小 孔 の 面 積 で あ る.し

た が っ て,(6.28)は

とか く こ とが で き る.   電 磁 波 の 放 射 点Oと

観 測 点Pと

の 回 折 をFresnelの

回 折 とい う.ま た,こ

距 離 に あ る と き,こ

が,ス

れ をFraunhoferの

ク リ ー ン か ら有 限 の 距 離 に あ る と き,こ れ ら の 点 が ス ク リ ー ン か ら無 限 大 の 回 折 と い う.こ

こ で は,(6.30)に

れ た 結 果 を長 方 形 の 小 孔 の あ る ス ク リー ン に よ るFraunhofer回

えら

折 の とき に適用

して み よ う.電 磁 波 が ス ク リー ン に 垂 直 に 入 射 す る と き,

で あ る.小 孔 の面積 をS=４abと

す る と,座 標 軸 の原 点 を長 方 形 の 中心 に とる

こ とに よ っ て(図6.9),(6.30)は

図6.9  長 方形 の 小 孔

図6.10  回 折 波 の 強 度 の角 分 布

図6.11  長 方 形 の 小 孔 の 回折 像

と な る.こ れ が 長 方 形 の 小 孔 に よ る 波 動 の 回 折 の 強 度 分 布 で あ っ て,方 向 余 弦 αp, βpの 関 数 と して 図6.10の 6.11の

よ う な 形 を と る.し

た が っ て,回

折 波 に よ る像 は 図

よ う な も の に な る.

 §７ 電 磁 波 の散 乱  電 磁 波 が平 面 波 と して 進 行 して い る とき,そ の前 方 に 障害 物 を おい た と し よ う.こ の とき,平 面波 は そ の障 害物 に よっ て散乱 され るで あ ろ う.こ の種 の 問題 は,単 に電磁 気 学 にお い て だ けで な く,現 代物 理 学 全 体 の問 題 として,き わ め て 重要 な意 味 を もって い る.量 子 力 学 に よる と,電 子 や 陽子 な どのす べ ての 素粒 子 は,あ る種 の波 動 で あ る と考 え られ て い る.し た が っ て,素 粒 子 の散 乱 の 問題 は こ こで説 明 す る電磁 波 の散乱 の問 題 と本 質 的 にお な じ問題 に な って しま うか らで あ る.原 子核 や 素粒 子 の よ うな きわ め て小 さい対 象 の性 質 を調 べ る とき,そ れ ら を手 に とって なが め る とい うわ け には い か ない.そ

こで,そ の性 質 を知 りたい 対

象 に 素粒 子 な どの 平面 波 を衝 突 させ て,散 乱 をお こ させ る.散 乱 に よっ て,微 小 な領 域 の出来 事 が そ の領域 か ら遠 くは な れた と ころ で の散乱 波 として,巨 視 的 な

大 き さに ま で拡 大 され て くる.こ の散 乱 波 の性 質 を調 べ るこ とに よっ て,目 的 の 微 小 な対 象 の性質 を推 測 す る こ とがで き る.し たが って,散 乱現 象 を理 論的 実 験 的 に調 べ る こ とに よ って原 子核 や素 粒 子 の よ うな極 微 の物 質 の性質 を知 る こ とが で きる ので あ る.こ こで は,電 磁 波 の散 乱 の問 題 を と りあ つか うが,そ の方 法 は 量 子力 学 的 な問題 に も適用 す る こ とがで きる.   (１)  定 常的 な 波動 方程 式 の 一般 解   電 磁 波EとBの そ れ を ψ(x,t)と か くこ とに す る.波

一 つの成 分 を とっ て,

動 関数 ψ(x,t)は 散 乱 をお こす障 害 物,つ

ま り散 乱 体 の外部 では,波 動 方 程式

をみ た してい る.い ま,定 常 波 す なわ ち特 定 の振 動 数 で伝 播 して い る波動

を 考 え る と,こ

れ は

を み た して い る.こ

の 方 程 式 をHelmholtzの

方 程 式 と い う.わ れ わ れ の 問 題 は

こ の 方 程 式 を い ま 考 え て い る散 乱 の 問 題 に 適 した 境 界 条 件 の も と に 解 く こ と で あ る.   そ の た め の 準 備 と し て,(7.3)の 静 電 場 の と き のLaplaceの

と な る.こ

こ でk=ω/cで

方 程 式 と 同 様 に 極 座 標 系 で か くと

あ る.散

面 波 が 入 射 す る 問 題 を 考 え る と,散 な らば,ψ

一 般 解 を 求 め て お こ う.偏 微 分 方 程 式(7.3)を

乱 体 を原 点 の ま わ りに お き,z軸 乱 体 がz軸

は 角 度 〓 に は よ ら な い(図7.2参

の方 向 に平

の ま わ りに 対 称 な 形 を し て い る

照).こ

の と き に は,第

４ 章(8.19)

と同 様 に し て 一 般 解 は

と か く こ と が で き る.こ 径関数で

こ で,Rl(r)は(7.4)を

変 数 分 離 し た と き あ ら わ れ る動

な る方 程 式 の 解 で あ る.こ

こで

と す る と,(7.6)は

と か き な お さ れ る.こ Besselの

れ を 第 ７ 章(3.24)と

微 分 方程 式 で

比 較 す る とわ か る よ う に,(7.8)は

とお い た も の で あ る.し

た が っ て,そ

の 独立

な ２個 の 解 は

で あ た え ら れ る.こ

こ でNnは

第 ２種Bessel関

数 あ る い はNeumannの

関数

とい われ る もので

で 定 義 さ れ る.   さ ら に,(7.7)に

よ っ て あ ら た め て 球Bessel関

数(spherical

Bessel

function)

とい う も の を

で 定 義 す る.ま

た,球Hankel関

で 定 義 され る.Bessel関 す ると

数は

数 の ベ キ 級 数 展 開 式(第 ７章(3.25))と(7.11)と

を比較

と か く こ と が で き る.す わ され る.(7.13)の

で あ る.Bessel関

の 関 数 は 三 角 関 数 の くみ あ わ せ で あ ら

最 初 の数 個 をか い てみ る と

数 の 漸 近 形 か ら原 点 の 近 くで

で あ る こ とが わ か る.た

で あ る.(7.14)か

な わ ち,jl,nl等

だ し,こ

こで

ら わ か る よ うに,nl(x)は

き い と こ ろ で は,

な る漸 近 形 を も つ こ と が た し か め ら れ る.

原 点 で 発 散 す る 関 数 で あ る.xの

大

こ の よ う に して,z軸

の ま わ りに 対 称 なHelmholtzの

で あ た え られ る こ とが わ か っ た.上 る にLaplaceの

に,数

学 の 公 式 を た く さ ん な らべ た が,要

方 程 式 の 一 般 解(第 ４章(8.19)参

の 動 径 部 分rlとr-(l+1)と

方程 式 の一般 解 は

をJl(kr)とnl(kr)と

す

照)

に お きか え さ えす れ ば よい の で

あ る.   さ て す ぐあ とで の 必 要 の た め に,Rayleighの

を 証 明 し て お こ う.左

辺 はz方

座 標 で か い た も の で あ る か ら,明 した が っ て,そ と こ ろ が,平

れ は(7.16)の

面 波 は 原 点r=0で

(7.16)の 係 数Blは

と か か れ る.そ れ ば よ い.両

公式

向 に す す む 平 面 波 を 図7.1に ら か にHelmholtzの

方 程 式(7.3)の

有 限 で あ る か ら,こ

のとき

たがって

こ で 左 辺 と右 辺 と を 比 較 し て 係 数Alを

の 近 くで 比 較 す る.ま

解 で あ る.

よ う に 展 開 で き る は ず で あ る.

０ で な け れ ば な ら な い.し

辺 はrの

示 され て い る極

決 め

図7.1極

座

と る 値 に か か わ ら ず な りた つ は ず で あ る か らr∼0の ず 左 辺 を(krcosθ)の

ベ キ で展 開 し て,右

標

原 点

辺 に(7.14)を

つ

か うと

と な る.と (3.4)か

こ ろ がPl(COSθ)で

ら(2l)!/2l(l!)2で

で な け れ ば な ら な い.こ

最 高 ベ キ(COSθ)lを

あ た え ら れ る.し

れ か ら係 数Alが

た が っ て,

ふ く む 項 の 係 数 は,第

決 まって

４章

と な る.し

た が っ て,(7.17)が

な りた つ.

  (２)  散 乱 断 面 積(7.16)に

定 常 的 な 波 動 方 程 式 の 一 般 解 を あ た え た.そ

こで

散 乱 の 問 題 に は い る こ とに し よ う.波 動 の 散 乱 現 象 を 記 述 す る の に は,二 つ の 方 法 の 一 つ は,散

乱 体 に向 か って入 射 す る波 動 を平 面 波 の重 ね合 わ

せ で あ る 波 束 で あ る と し て,そ

が 考 え られ る.そ

の 波 束 が 散 乱 体 に 衝 突 し て 散 乱 し て い く様 子 を時

間 的 に 追 跡 し て い く方 法 で あ る.身

近 な例 を あ げ る と,滝

か っ て 飛 び 散 る様 子 を調 べ る の に,滝 え を 追 っ て い く方 法 で あ る.こ

の水 が途 中 の岩 に ぶ つ

の 水 の １滴 に 目 を つ け て,そ

れ に 対 して,も

の水 滴 の ゆ く

う一 つ の 方 法 は 滝 全 体 を み て,そ

れ を １枚 の 写 真 に うつ し と り流 れ の 全 体 の 様 子 を 調 べ る 方 法 で あ る.こ 滝 の 水 の 流 れ が 定 常 的 で あ る な ら ば,流 い.こ

の と き,

れ の 全 体 と して の 様 子 は 時 間 に 関 係 しな

の よ う な 方 法 が 定 常 的 な 方 法 で あ る.こ

こ で は こ の 方 法 に よ っ て,波

動の

散 乱 の 問 題 を と り あ つ か う1).   散 乱 の 問 題 はHelmholtzの

方 程 式 の 一 般 解 の 未 定 定 数AlとBlと

問 題 に適 合 し た 境 界 条 件 に よ っ て 決 め る こ とで あ る.そ

こ で,こ

を,こ

の

こで は まず 無 限

の遠 方 で の散 乱 問題 の境 界条 件 を あ た え,そ

の 性 質 に つ い て調 べ る

こ と に し よ う.い

ま平 面 波 が入射

す る も の と した と き,そ

れ が散 乱

体 に よ っ て 散 乱 され る様 子 を １枚 の 写 真 に と っ た と し よ う.こ き,波

のと

動 の全体 の様 子 は散 乱 体 か

ら十 分 遠 くは な れ た と こ ろ で は, 図7.2に な る.す

示 され る よ うな も の に な わ ち,全

波 動 は入 射 平

図7.2入

射 平 面 波 と散 乱 波

面波 と外 向 き の球 面 波 とか らな りた って い る.し た が っ て入 射 平 面 波 の進 行方 向 をz軸

に と り,散 乱 体 の 中心 に原 点 を とる と,十 分 遠方 で波 動 の様 子 は

で あ ら わ さ れ る.こ

こ でf(θ)は

散 乱 波 の 振 幅(scattering

amplitude)で,θ

  １) これ らの二 つ の 方 法 が全 く等 価 で あ るか ど うか は 自明 の こ とで は な い が,こ えられ てい る.S.Sunakawa,Prog,Theor.Phys.,14,175(1955).

は

の証 明 は す でに あ た

散 乱 角(scattering  angle)で

あ る.(7.18)が

散 乱 の問 題 の無 限遠方 で の境界 条件

で あ る.   さ て,問

題 を 解 く こ と を 考 え る ま え に,散

乱 に よ っ て 知 る こ と の で き る物 理 量

は な に か と い う こ と を 考 え ね ば な らな い.単

位 時 間 に 単 位 面 積 を通 っ て 入 射 す る

電 磁 波 の 平 均 エ ネ ル ギ ー は(2.12)に

に よ っ て あ た え ら れ る.い

ま,入

とす る と,(4.2)と(4.3)と

から

と か く こ とが で き る.し

で あ た え ら れ る.一

よ って

射 平 面 波 ψin(x)が 直 線 的 な 偏 りを も っ て い る

た が っ て,入

方,散

射電 磁 波 の平均 エネ ル ギ ーは

乱波

に と もな っ て,単 位 時 間 に面 積要 素 〓

で あ た え ら れ る(図7.3参 体 の 中 心 か ら面 積

〓

照).こ

を通 って流 れ で る平均 エ ネル ギ ーは

こ でdΩ は 散 乱

を み た 立 体 角 で あ る.そ

こ

図7.3  散 乱 の微 分 断 面積

で,単 位 時間 に単 位 面 積 を通 って単位 平 均 エ ネル ギー の電 磁 波 が入 射 した とき, dΩ な る立 体角 のな か に散 乱 され て で て くる 電磁 波 の単位 時 間 あ た りの平 均 エ ネ ル ギ ーは

に よ っ て あ た え ら れ る.こ の σ(θ)を散 乱 の 微 分 断 面 積(differential  cross-section) と い う.こ

れ を 断 面 積 とい う理 由 は￨f(θ)￨2が

面 積 の次 元 を も って い る か らで

あ る.   (7.22)の 微 分 断 面 積 を 全 立 体 角 に わ た っ て 積 分 し た も の

を散 乱 の 全 断 面 積(total  cross-section)と

い う,こ

れ は単 位 時 間 に 単位 面 積 を通

っ て 単 位 平 均 エ ネ ル ギ ー の 電 磁 波 が 入 射 した と き に,散 間 あ た りの 平 均 全 エ ネ ル ギ ー で あ る.直 断 面 積 に 相 当 す る も の で あ る が,入 は 一 致 し な い.散

乱 され て で て くる単 位 時

断面 積 は 散 乱 体 の幾 何 学 的

射 波 の 波 動 性 の た め に 一 般 に これ ら は 正 確 に

乱 に よ っ て え られ る実 験 的 デ ー タ は す べ て こ の 散 乱 断 面 積 と し

て あ ら わ され る.し な る.散

観 的 に は,全

た が っ て,散

乱 の 理 論 で は これ を 計 算 に よ っ て 求 め る こ とに

乱 断 面 積 を 求 め る た め に は,(7.22)か

を 求 め れ ば よ い.散

乱 振 幅f(θ)は

動 の 位 相 の ‘ず れ ’(phase  shift)と

ら わ か る よ う に,散

散 乱 角 θ の 関 数 で あ る が,こ

乱 振 幅f(θ) れ を さ らに 波

い う パ ラ メー ター によ っ て 表 現 す る こ とが

で き る.   散 乱 断 面 積 を位 相 の ず れ に よ っ て 表 現 す る た め に,無 を考 え る.ま る.こ

ず 平 面 波eikz＝eikr cosθ をRayleighの

の と き必 要 な の は,rの

限 遠 方 の 境 界 条 件(7.18)

公 式(7.17)に

よ って 展 開 す

大 き い と こ ろ だ け で あ る か ら,(7.15)の

漸 近形 を

つか うと

とか か れ る.散

乱 振 幅f(θ)も

とか い て お く.こ

こ でf(θ)は

(7.24)と(7.25)を(7.18)に

完 全 系Pl(cos  θ)で 展 開 し て

未 知 量 で あ る か ら,alも

代入す る と

ま た 未 知 量 で あ る.

と か か れ る.こ

れ は 単 に遠 方 で の 条 件(7.18)を

球 面 波 に 展 開 し た に す ぎ な い.

  (7.18)の 未 知 量f(θ)は,こ

こ で は 係 数alと

に 球 面 波 で 展 開 し た 理 由 は,一

般 解(7.16)が

し て あ ら わ れ て い る.こ

件 も球 面 波 で か い て お い た ほ うが 将 来 便 利 だ か ら で あ る.さ て,断

面 積 を 係 数alで

か い て お こ う.そ

のよ う

球 面 波 で か か れ て い る の で,境 て,(7.25)を

れ に は,(7.25)を(7.22)に

界条 も ちい

代入すれ ば

よ い.

す る と全 断面 積 は

と か か れ る.こ

こ で,公

式

を も ち い た.   こ こ で 前 方 散 乱 の 振 幅f(θ ＝0)を

考 え よ う.(7.25)か

ら

で あ るか ら

と か か れ る.こ あ っ た.し

こ で 遠 方 の 条 件(7.26)に

か し,こ

み る と,eikr/rの

か え っ て み る.そ

こ で はalは

れ に は 次 の よ う な 一 般 的 な 制 限 条 件 が あ る.(7.26)の

未知量で 右 辺 を

係 数 は 出 て い く球 面 波 の 振 幅 を あ ら わ し, e-ikr/rの 係 数 は は い

っ て く る 球 面 波 の 振 幅 を あ ら わ し て い る(図7.4). した が っ て,も

し電 磁 波 が 散 乱 体 に よ っ て 吸 収 され る

こ と が な い な ら ば,そ

れ らの二 つ の振 幅 の 絶対 値 は等

し くな け れ ば な ら な い.こ

の こ とか ら

な る こ と が 要 請 さ れ る1).こ れ か ら 図7.4  発 散 波 と収 束 波

が え ら れ る.そ

こ で こ の 関 係 に 注 意 し な が ら,(7.27)と(7.28)と

な る 関 係 が え ら れ る.す

な わ ち,前

を比較 す る と

方 散 乱 の 振 幅 の 虚 数 部 分 と全 断 面 積 との 間 に

(7.31)の 関 係 が あ る こ とが み と め ら れ る.こ

れ を 光 学 定 理(optical

theorem)と

い う. さ て,(7.29)か

と か け る.こ

ら実 の 量

もち い て

の よ うに す る と

と な る の で,全

断 面積 は

と か き あ ら わ され る.未 た だ し,こ

δlを

知 量alは

の と き 実 数 の δlを つ か う とエ ネ ル ギ ー の 保 存 則(7.29)が

た さ れ て い る こ と に 注 意 され た い.こ した が っ て,散 る.δlを

こ こ で は 未 知 量 δlに お き か え られ て い る.

の δlを 位 相 の ず れ(phase

自動 的 に み

shift)と

い う.

乱 の 問 題 は 位 相 の ず れ を 求 め る とい う 問 題 に 帰 着 し た わ け で あ

位 相 の ず れ とい う理 由 は,(7.32)を(7.26)に

と な り,こ れ を(7.24)の

入 射 平 面波

１)量 子 力 学 で は これ は 確 率 の保 存 を あ らわ す.

代 入 した と き

と比 較 す る と,そ

の 位 相 が δlだ け ず れ て い る か ら で あ る.

  だ い ぶ 話 が こみ い っ た の で,こ

こ で 上 の 話 の す じみ ち を 復 習 して お こ う.散

問 題 の 遠 方 で の 境 界 条 件 は(7.18)で

あ る.そ

し て 散 乱 振 幅f(θ)が

測 に 直 接 関 係 し て い る 散 乱 断 面 積 を(7.22)に 知 量f(θ)を(7.25)に

よ っ て 展 開 した の で,未

知 の 係 数alが

エ ネ ル ギ ー 保 存 則(7.29)の

よ っ て あ ら わ され る.こ

の よ うに し て,散

れ ば 求 ま る こ と に な っ た.つ

解(7.16)の

方 で の 境 界 条 件(7.18)に

は,(7.15)の

れ を(7.34)と

方程 式 の一 般

よ い よ 問 題 を解 く こ と を 考 え よ う.は

よ っ て,一

般 解(7.16)が

の た め に は,一

比 較 す れ ば よ い.ま

ず,一

じめ

ど の よ うに 制 限 され る か

般 解(7.16)の 般 解(7.16)の

遠 方 で の 様子 を 遠 方 で の様 子

漸近 形 を つか って

で あ らわ され る.一

で あ る.こ

知 量 δlを 求

を決 定 しな け れ ば な ら な い.

に つ い て 考 え な け れ ば な らな い.そ 調 べ て,そ

よ っ て δlが わ か

題 自 身 を解 い た わ け で は な い.問

ま り位 相 の ず れ δlを決 め る た め に は,Helmholtzの

  (３） 位 相 の ず れ の 決 定   さ て,い に,遠

相 の ず れ δlに

ま り,上 に の べ た の は 散 乱 問 題 を,未

未 定 係 数AlとBlと

て未

わ か れ ばf(θ)が

お か げ で,位

乱 断 面 積 は(7.33)に

め る 問 題 に 帰 着 させ た だ け の こ とで あ っ て,問 題 を解 く,つ

わ か れ ば,観

よ っ て 求 め る こ とが で き る.さ

わ か る.未 知 係 数alは

乱

方,(7.34)は

れ らを比 較 す る と

で あ る こ と が わ か る.し

た が っ て,(7.37)を(7.36)に

代 入 す るこ とに よ って遠 方

で の 条 件(7.18)を

み たす 散 乱 問題 の解 は

とか か れ る こ と が わ か っ た.   こ の よ うに し て,散 わ さ れ た.そ

乱 問 題 の 波 動 関 数 ψ(r,θ)は 未 知 量 δlに よ っ て か き あ ら

れ で は,未

散 乱 体 の 表 面 上 で,波 る.こ

知 量 δlは どの よ う に して 決 ま る の で あ ろ うか.そ

れは

動 関 数 の み た すべ き境界 条 件 に よ って決 ま っ て くるの で あ

の こ と は よ く考 え て み れ ば 当 然 の こ と で あ る.な

ぜ な ら,ま

え に もの べ た

よ うに 遠 方 で の 散 乱 波 の 様 子 は も と も と 散 乱 体 の 性 質 を 拡 大 し た も の で あ る か ら,そ

れ は 当 然 散 乱 体 の こ ま か い 性 質 を 反 映 し て い る は ず だ か ら で あ る.そ

て,散

乱 体 の 性 質 は 遠 方 で の 位 相 の ず れ δlに は ね か え っ て く る は ず で あ る.仮

に,小

さ な 三 角 形 の 散 乱 体 が あ る と し よ う.こ れ に よ っ て散 乱 され た 波 動 は,遠

し

方 に お い て も散 乱 体 が 三 角 形 で あ っ た とい う履 歴 を記 憶 して い る は ず で あ る.   具 体 的 な 例 題 と して,半

径aの

完 全 導 体 球 に よ る電 磁 波 の 散 乱 の 問 題 を と り

あ げ よ う.完 全 導 体 球 の 表 面 上 で,入

な る条 件 を み た さ ね ば な ら な い.こ 単 位 法 線 ベ ク トル で あ り,tは の 条 件 は(4.4)と(4.6)の

こ でnは

導 体球 の表面 上 に外 向 き にた て た

導 体 表 面 上 の 接 線 方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る.こ

境 界 条 件 を,完

§５ の 場 合 に 適 用 し た も の で あ る.し

な る条 件 を も ち い る こ と に す る.こ が,こ

射 平 面 波 と散 乱 波 を ふ く め た 全 電 磁 波 は

全 導 体 内 で は電磁 場 が ０で あ る とい う

か し,こ

こ で は(7.39)の

条 件 の か わ りに

れ は 電 磁 波 の 成 分 を考 え る と 不 正 確 で あ る

こ で は 位 相 の ず れ が どの よ うに し て 決 ま る か と い う機 構 に つ い て 説 明 し て

い る の で,(7.40)を

代 用 す る こ とに す る.

  す る と,(7.38)か

ら

が え られ る.こ

れ が θ の 値 の 如 何 に か か わ らず な りた つ た め に は

で な け れ ば な ら な い.こ

れ に よ っ て,位 相 の ず れ δlが 確 定 した.(7.41)を(7.38)

に代入 す る と,全 波動 関数 は

と決 定 す る.こ

れ は,も

ち ろ ん 遠 方 で の 境 界 条 件 を み た し,か

で ０ に な っ て い る.(7.41)に

よ っ て 決 ま っ た δlを,(7.33)に

つ導 体球 の表 面 上 代 入 す れ ば散 乱 の

全 断 面 積 が わ か る.   (7.41)に お い て,ka≪1の

と き,つ

分 大 き い と き を 考 え る と,(7.14)の

ま り半 径aに

が え られ る.上

の 議 論 で は 不 正 確 な 境 界 条 件(7.40)を

界 条 件(7.39)を

つ か っ て,電

の ず れ のl=0の

項,つ

も ち い た が,も

し正 確 な 境

磁 場 の ベ ク トル 性 を考 慮 す る な ら ば,(7.41)の

ま りS-波

の 項 が 消 え て し ま う.そ

も っ と も 大 き な 寄 与 を す る の は,l=1の る.こ

く らべ て 電 磁 波 の 波 長 が 十

漸 近 形 を つ か って

項 つ ま りP-波

こ で,長

位相

波長の とき

の 項 で あ る こ とが わ か

の と き,

と な り,こ れ を(7.33)に

と な っ て,こ

代 入 す る と全 断 面 積 は

れ は 波 数kの

４乗 に 比 例,あ

こ の よ うな 散 乱 をRayleigh散

る い は 波 長 λ の ４乗 に 逆 比 例 す る.

乱 とい う.た

と え ば,空

乱 を考 え る と,空 気 分 子 の 大 き さ は お お よ そ1Å 千 Å の 程 度 で あ る こ とか ら,ka≪1の の と き(7.44)のRayleigh散

[例題]積

程 度 で あ り,可 視 光 の 波 長 が 数

条 件 は 十 分 に み た され る.し

乱 が お き る.そ

た が っ て,こ

して波 長 の短 い青 色 の光 の散乱 され

る 割 合 は 赤 色 の 光 の そ れ よ りも 多 くな る た め,空 い て は,ま

気 分 子 に よる光 波 の散

の 色 は 青 くみ え る.こ

の点 に つ

た 第 ９章 で の べ る で あ ろ う. 分 方 程式 に よる方 法   散 乱 の 問題 はHelmholtzの

方 程 式 に,(7.18)の

遠方 に

お け る境界 条 件 と,散 乱 体 の表 面 上 で の 境界 条 件 とを あ た えて 解 く 問題 で あ る こ とが わ か った.と

こ ろが,(6.12)に

あた えたKirchhoffの

積 分表 示 は,任 意 の点xに

関 数 を任 意 の 表面 上 の波動 関数 の値 で か き あ らわ してい る.そ に よ って,Helmholtzの

代入 す る と

お け る波 動

れ を利 用 す る こ と

方 程 式 を散 乱 問 題 の 境 界条 件 をみ たす 積 分 方程 式 にか き か え る こ

とが で き る で あろ う.定 常波

を,(6.12)に

こで,こ

とな る.こ こで右 辺 の積 分 表 面Sを

い ま考 えて い る導 体 球 面 上 に とる と,(7.40)の

境界 条

件 か ら,右 辺 で は ψ(x')=0と な るか ら1)

と か か れ る.平

面 波eikzはHelmholtzの

え て も さ し つ か え は な い.す

方 程 式 の 解 で あ る か ら,こ

る と,(7.46)はk=ω/cと

れ を(7.46)に

つ け加

して

とか かれ る.こ れ は ψ(x)に 関 す る積 分 方 程 式 で あ っ て,Helmholtzの

方 程 式 をみ た し,

ま た 同時 に 導 体表 面 上 で の境 界 条件 もす で に 考慮 して あ る.さ

限遠 方 で の 散乱 の

らに,無

境 界条 件 もみ た して い る こ とは次 の よ うに して わ か る.す なわ ち,原 点 か ら導 体 球 の 表面 上 の 点 に ひ い た ベ ク トルx'と 観 測 点xと とす る と(図7.5参

と か く こ と が で き る の で,r=￨x￨→ で は(7.47)は

の間 の 角 度 をX

照),

∞

の と ころ

次 の よ うに な る. 図7.5  導 体 球 に よる散 乱

そ こ で ベ ク トルk'を,大

き さk=ω/c,方

向 をxの

方 向 に と る と,k'・x'=ka

cosxと

か

け るか ら

と お く と2),(7.49)は   1)導 い.   2)散

体 球 に よる電 磁 波 の 散 乱 と考 え るよ りも,ス カ ラ ー波 ψ の 剛 体 球 に よ る散 乱 と考 えた ほ うが よ 乱 体 の 表 面 をr=aと

と か く と,は い う.こ

か い て,(7.50)を

３次 元 空 間 積 分 の形 で

剛 体 球 に よ る 相 互 作 用 ポ テ ン シ ァ ル と 解 釈 で き,こ

れ は 量 子 力 学 的 多 体 問 題 の と り あ つ か い に 有 効 で あ る.S.Sunakawa

Theor.Phys.,34,693(1965)

れ を擬 ポ テ ン シ ァル と and

Y.Fukui,Prog.

と な り,こ

れ は 散 乱 の 問 題 の 遠 方 で の 条 件 に 一 致 し て い る.し

た が っ て,(7.47)の

積分 方

程 式 を 導 体 に よ る 電 磁 波 の 散 乱 の 基 本 方 程 式 と考 え て よ い.   そ こ で,(7.47)を に,つ

解 く こ と を 考 え よ う.そ

ま りLegendreの

の た め,こ

多 項 式 で 展 開 す る.す

と展 開 す る.次

に,r＞r'に

と展 開 す る.こ

の 公 式 は あ と で も必 要 に な る の で,こ

holtzの

だ し こ の と き,角xは

の 間 の 角 度 で,r=￨x￨,r'=｜x'￨で

R=￨x-x'￨≠0の

と き,(7.52)の

(7.15)を

あ る(図7.6).

し てr≫r'の

み た ら わ か る よ う に,こ

固 定 し てx'の

っ て い て,x'に

と き,(7.49)

向 き の 球 面 波 で あ る.し

た が っ て,

れ は 第 １種 の 球Hankel

関 数 に よ っ て 展 開 で き る は ず で あ る.す

一 方 ,xを

こで そ ベ ク トル

左 辺 は 明 ら か にHelm

方 程 式 の 解 で あ る.そ

に 示 し た よ う に,外

wave)

ず 波 動 関数 を

対 して

の 証 明 を あ た え て お く.た xとx'と

の 方 程 式 を 部 分 波(partial

な わ ち,ま

図7.6  部 分 波 展 開 の方 法

な わ ち,

関 数 と し て み た と き に も,左

辺 はHelmholtzの

方 程式 の解 に な

つ い て は原 点 で特 異 性 はな いか ら

と展 開 され るは ず であ る.こ れ らの二 つ の展 開式 が両 立 す るた め に は

で な くて は な ら な い.そ

こ で 定 数Clを

辺 を 比 較 して み よ う.左

辺 でR→r−r'cosxで

決 め た ら よ い.そ あ り,ま

の た め に,r→

うと

と な る.す

なわ ち

で あ る.さ

て,Rayleighの

公 式(7.17)で

θ=π-Xと

∞

た 右 辺 で(7.15)の

お き,

の とこ ろで両 漸近 形 をつか

と い う性 質 を利 用 す る と

とな る.こ れ を上 の 展 開式 と比 較 す る と

と な る か ら,こ

れ を(7.53)に

  (7.51)と(7.52)の

代 入 す る と(7.52)が

展 開 式 を積 分 方 程 式(7.47)に

え ら れ る. 入れ ると

とな る． こ こで最 後 の 角積 分 を実 行 す る た めに,球 関 数 の加 法定 理

を利 用 す る1).この 公 式 の証 明 は数 学 の本 を参 照 され たい.〓

に関 す る積 分 を 実行 す る と,

右 辺 の 複雑 な項 か らの寄 与 は ０に な っ て し ま う.そ こで

を つ か う と,(7.55)は

とな る.し た が って,係 数 を比 較 す る と

が え られ る.こ れ が波 動 関 数 の 動 径部 分 のみ た す方 程 式 で あ る.こ た め,両 辺 をrで 微 分 して,r=aと

１) こ の と き

お くと

で あ る.

の方 程 式 の解 を求 め る

とな る ． これ を解 くと

で あ る.こ

れ を(7.56)に

代入 し

と

な る性 質 を利 用 して ま とめ る と

が え ら れ る.こ

こ でr=aと

お け ば,明

らか に

とな り,表 面上 の境 界 条 件 がみ た され てい る.ま た

と お く と,

と な る か ら,(7.58)は

と な り,こ

れ を(7.51)に

代入すると

と な り,こ

れ は(7.42)と

正 確 に 一 致 し て い る.

  [問題]   (１)  §３の 例題 ２で,さ らに速 度 に比 例 す る抵 抗 力 が電 子 に は た ら くと した と き,分 散 公 式 は どの よ うにあ らわ され るか.   (２)  ①の 問題 で,入 射 電波 の 振 動数 を ω/2π と した とき,

な る 関 係 が あ る こ と を 証 明 せ よ.た こ と を 意 味 す る.ま

た

だ し 積 分 の ま え のPは

主 値(principal

value)を

とる

で あ る.上 の 関係 式 を分散 式(dispersion  relation)と い う.   (３)  完 全 導体 平 面y―zに

垂 直 に,z方

向 に直 線 的 に 偏 った電 波,お よびy方

っ た磁 波 が 入射 した と き,入 射 波 と反 射 波 とが重 な っ て定 常 波 をつ くる.こ (node)の

位 置を求 め よ． た だ し入 射 電 波は

（４) 一 次元 の 波 束

向 に偏

の とき の節 点

な る正 弦波 で あ る とす る． に お い て,で

され る波数 ス ペ ク トル￨A(k)￨2を

定義

求 め よ． こ の とき

で定 義 され る波 動 の 空間 的 な ひ ろ が り〓

と,波 数 の ひ ろ が り 〓

との間 に は

な る関係 が あ る こ とを示せ(不 確 定性 関係).   (５)  一 様 な誘 電 体 の屈 折 率 がn(ω)で

で あ る こ と を 示 せ.ま x=0に B(ω)と

た,u(x,t)が

あ る とき 一次 元 の電 磁 波 の一 般 解 は

実 数 で あ る と き,n(−

お け る 境 界 条 件 と し て,u(0,t)と

ω)=n*(ω)な

る こ と を 証 明 せ よ.

と が あ た え ら れ た と き,係

数A(ω)と

は

で あ た え られ る こ と を示 せ.   (６)  半 径R=ctの

球 面 上 で,時

刻t=0に

おいて

な る初期 値 を あた え た とき,球 の 中 心Pで の,時 刻t＞0に

で あ た え られ るこ と を,(2.35)か

ら示 せ.こ れ をPoissonの

お け る波動 関 数u(P,t)は

解 とい う.

  (７)  屈折 率n1の 媒 質 か ら,屈 折率n2の 媒 質 に 光 が垂 直 に入射 す る と き,反 射 光 お よ び透 過 光 の振 幅 を求 め よ.n12=n2/n1＞1の と き,入 射 波 と反射 波 の位 相 は反 射 面 に お い て π だ け 変化 す る こ とをた しか め よ ． 次 に,空 気 と硝 子(空 気 に対 す る屈折 率1.5)と の境 界 面 に垂 直入 射 す る と き,反 射 率 と透 過 率 とを求 め よ.   (８)  前 問 にお い て接 触 入射,す と を求 め よ.

な わ ち入 射 角

の とき,反 射波 の振 幅 と反 射 率

  (９)右 図 の よ う に 屈 折 率 が そ れ ぞ れn1,n2,n3な る三 つ の 誘 電 体 の 層 が あ っ た と し,n1の な か の 振 動 数 ω0/2π の 平 面 電 磁 波 が,厚 りぬ け てn3に も しn1が

さdで

屈 折 率n2の

は い る と き,透

ガ ラ ス で,n3が

誘 電体 を垂 直 に通

過 率 と反 射 率 と を 求 め よ.

空 気(n3=1)で

射 波 が な い よ う に す る に は,n2の

あ っ た と き,反

厚 さdとn2の

値を ど

の よ うに と っ た ら よ い か.   (10)波

長6,000Aの

トに 入 射 し た と き,ス

平 行 光 線 が0.1mmの

幅のス リッ

リ ッ トの う し ろ に で き るFraunhofer

回 折 の 縞 を 調 べ よ.   (11)前

問 に お い て,ス

リ ッ トの か わ り に 直 径0.1mmの

円 形 の 小 孔 を 用 い れ ば ど うか.

ただし

で あ る.   (12)剛 体球 に よ る ス カ ラー波 ψ(x,ｔ)の散 乱 の 位相 のず れ と散乱 断面 積 をS-波(l=0) の場 合 に正確 に求 め よ.そ して,こ の と き位 相 のず れ が負 にな る物 理 的理 由 を あた え よ.   (13)Rayleigh散

乱 の微 分 断 面積 を求 め,そ の角 分 布 を調 べ よ.

  (14)剛 体 球 に よる ス カ ラー 波 の散 乱 で 入射 波 の波 長 が きわ め て 短 い と き,全 断 面積 は 2πa2で あた え られ る こ と を示 せ.こ れ が 剛 体 球 の 幾 何学 的 断 面 積 πa2の ２倍 にな る理 由 を考 え よ.   (15)前

問 で 入射 波 の波 長 が きわ め て 長 い とき,全 断 面 積 は4πa2で

を示 し,そ れ が 剛 体球 の表 面 積 に 等 しい 理 由 を考 え よ.

あ た え られ る こ と

第 ９章

電 磁 波 の 放 射

  §１ 遅 延 ポ テ ン シ ァル と 先 進 ポ テ ン シ ァル   前 章 に お い て は,真

空 中 あ る い は 物 質 中 の 自 由 電 磁 波 の 性 質 と,そ

か で の 伝 播 の 様 子 を 調 べ て きた.こ

の 章 で は,そ

す る か と い う問 題 に つ い て 考 え る こ と に し よ う.第 空 間 中 の 電 荷 分 布 が は げ し く変 動 す る と き,そ

的 なMaxwellの

れ が 波 動 と し て 空 間 の な か を伝

の 問 題 を と りあ つ か う た め に は,電

磁 場 を 記 述 す る も っ と も一 般

方 程 式 か ら出 発 し な け れ ば な らな い.

  真 空 中 の 電 磁 場 を 考 え る と,基

で あ た え ら れ る.し

か し,こ

磁 ポ テ ン シ ァルA(x,ｔ)と 上 のMaxwellの

１章 §１ で も の べ た よ う に,

れ に と も な っ て 周 囲 の 空 間 の ‘ゆ

が み ’つ ま り電 磁 場 も ま た は げ し く変 動 して,そ 播 して い く.こ

の空間のな

の電 磁 波 が どの よ うに して発生

方程 式 は

本方 程 式 系 は

こ で の 問 題 の 場 合 に は,Lorentzゲ

ー ジに お け る電

φ(x,t)と を も ち い た ほ うが 便 利 で あ る.す

な わ ち,

と か き か え る こ とが で き る の で,こ で,電

荷 分布

の あ る せ ま い 領 域Vに とす る.自

れ ら を基 本 方 程 式 系 と し て 採 用 し よ う.こ

ρe(x,t)と 電 流 分 布ie(x,t)と の み あ る も の と し,そ

の値 は あ らか じめ与 え られ た も の

由 電 磁 波 の と き に は ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァル φ(x,t)を ０ と え らぶ こ

と が で き た が,い

ま の 場 合 に は そ れ は で き な い.

  せ ま い 領 域 の な か の 電 荷 お よび 電 流 分 布 に よ っ て,無 生 じ る電 磁 場 を 決 め る た め に は,(1.7)と(1.8)の い.そ

こ

は無 限 に ひ ろが っ た 真 空 空 間 の な か

の た め に,電

限 にひ ろい真 空 空 間 内 に

波 動 方程 式 の 特解 を求 め た らよ

磁 ポ テ ン シ ァル を 時 間 に 関 し て,次

の よ う にFourier変

換

し て お く.す な わ ち,

ま た,

これ ら を(1.7)と(1.8)と

が え られ る.こ とは,右

に代 入 す る と

れ は 非 斉 次 のHelmholtzの

方 程 式 で あ る.こ

辺 の 電 流 電 荷 の 分 布 が 存 在 す る と こ ろ で は,一

公 式 が な りた た な い こ と で あ る.し べ つ に さ しつ か え な い が,こ

か し,k≡

こ で注 意 すべ き こ

般 に は ω=ckな

ω/cに よ っ てkを

る分 散

定 義 す る こ とは

の よ う に して 定 義 したkが

い ま 考 えて い る波 動 の

  (1.11)の 解 で 無 限 遠 方 で 消 え る も の を求 め る に は,静

電場 にお い て点 電 荷 に よ

波 数 で あ る と は か ぎ ら な い.

る ポ テ ン シ ァルG(x)を わち

求 め た と き と 同 じ よ う に し た ら よ い(第 ４章(2.1)).す

な

の 解G(x)を

求 め る こ とが で き る と,こ

と あ ら わ され る.な

れ を も ち い て(1.11)の

解 は

ぜ なら

とな る か ら で あ る.  さ て,(1.12)の

解 で遠 方 で 消 え る もの は

お よび

で あ る.な

ぜ な ら,第

と な る か ら で あ る.そ

４ 章 の(2.1)と(2.6)を

つ か っ て,r=￨x￨と

こ で(1.14)と(1.13)と

を(1.10)に

お くと

代 入 す る と,

と な る.こ

こ で,第

８ 章 の(2.40)と(2.41)と

に 注 意 す る と,(1.15)は

次 の よ うに

か か れ る.

あ るい は

ま っ た く 同 様 に し て ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ ル も

とか くこ とが で き る.   (1.16)と(1.17)の

形 は,相

対 論 的 に 共 変 的 な 形 を し て い る の で,場

よ くつ か わ れ る.こ

こ でD〓,関

な る 方 程 式 を み た して い る.こ あ る い は,(1.15)の

が え ら れ る.た

の量 子 論 で

数 は

れ を(1.12)と

比 較 し て み る の も 面 白 い で あ ろ う.

時 間 積 分 を実 行 して し ま う こ と に よ っ て

だ し,こ

こで

で あ る.  以 上 の表 式 にお い て,複 号 の上 の もの を とっ た電磁 ポ テ ンシ ァル を遅 延 ポ テ ン

シ ァ ル(retarded

potential)と

い い,下

を 先 進 ポ テ ン シ ァル(advanced 意 味 は,x'な

の よ う に 受 信 時 刻tが

な る.し

発 信 時 刻t'よ

か し,こ

る 点 を 時 刻t'に

る場 所 で 受

磁 波 の伝 播 速度 が 文 字 通 りよめ

発 した 電 磁 波 がxな

る点 に到

であ る とい っ て い る

れ で は 何 の こ と か わ か ら な い で あ ろ う.そ

を 決 め た と き,現

こ で,こ

に

れ をもっと

８章 §２ に お い て もす で に の べ た よ う に,こ

れ は未 来

在 は ど う あ る べ き か と い う 命 題 を の べ て い る の で あ る.す

る 点 に あ る ア ンテ ナ の な か に 時 刻t'に

生 さ せ る た め に は,xな

る 場 所 に お い て,電

に 出 発 させ,そ A(x,t)と

り遅 れ る の は,電

れ に 対 し て,(1.20)を

れ よ り過 去 の 時 刻

わ か りや す くの べ よ う.第

わ ち,x'な

発 した 電 磁 波 が,xな

で あ る とい う こ と で あ

限 で あ る た め で あ る.こ

進 ポ テ ン シ ァル は,x'な

着 す る の は,そ

延 ポ テ ンシ ァル の 物 理 的

の 受信 され る時刻 が

光 速 度 に 等 し く,有 ば,先

い う.遅

る点 に あ る ア ン テ ナ を 時 刻t'に

信 され る と き,そ る.こ

の も の を と っ た と き の 電 磁 ポ テ ン シ ァル

potential)と

磁 波 を時 刻t'よ

の 波 動 の 強 さ を(1.16)'に

す べ き で あ る と い う こ と で あ る.こ

古 典 物 理 学 で は あ ま りや ら な い.し

強 度ie(x',t')な

か し,素

な

る電 流 を発 りまえ の 時 刻

よ っ て 計算 され た

の よ う な 問 題 の 設 定 の し か た は, 粒 子 物 理 学 に お い て は,こ

の よ うな

問 題 の と りあ つ か い か た が よ く も ち い ら れ る.   (1.19)に あ た え られ た 電 磁 ポ テ ン シ ァ ル をみ ち び く と き,(1.9)のLorentz条 件 を考 慮 し て い な か っ た.し て お こ う.ま ず,ス

か し,こ

れ が 幸 い に し て み た され て い る こ と を示 し

カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァル に つ い て は,

と な る.ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァル の 空 間 微 分 を と る と き に は,￨x−x'￨−1の xに

つ い て の 微 分 だ け で な く,の

し な け れ ば な ら な い 点 に 注 意 し よ う.そ

な か のxに こ で τ=￨x−x'￨/cと

なか の

つい ての 微 分 も 考 慮 おいて

ところ が

で あ る か ら,

と な る.一

方,

に お い て,左

辺 はixが

遠 方 で 消 え る こ と か ら ０ に な る.そ

こ で,こ

れ を(1.22)

に代 入 す る と

と な る.し

た が っ て(1.21)と(1.23)と

が え ら れ る.た 解 はLorentz条

だ し,最 後 の 等 号 で は 電 荷 保 存 則 を つ か っ た.つ

件 は 電 荷 保 存 則 と 同 じ形 を し て い る.だ

か らと

件 が電 磁 ポ テ ンシ ァル の保 存 則 をあ た え て い るわ け で は な

い こ と に 注 意 し よ う.電 分 す る と,

ま り,(1.19)の

件 を み た し て い る.

  上 に み る よ う に,Lorentz条 い っ て,Lorentz条

か ら

荷 保 存 則 の 場 合,そ

れ を 無 限 大 の 領 域Vに

わ た って 積

と な り,無 限遠 方 の表 面S上

が保 存 す る.同

と な る が,領 Aと

様 にLorentz条

域Vの

は い ず れ も,遠

はr3,そ

と な り,(1.26)の

件 を 上 と 同 じ領 域 に わ た っ て 積 分 す れ ば

半 径 をrと

す れ ば,後

方 で1/rの

程 度 で 小 さ くな る.こ

の 表 面Sはr2で

条 件(1.24)は

で電流 密 度iが ０で あれ ば,そ の 内部 の全 電 荷

増 大 し,し

ま れ るxに

た が っ てr→

み る よ うに φ と

れ に 対 し て 領 域Vの

体積

∞ で

両 辺 の 積 分 そ の も の が 意 味 を も た な い.す

な わ ち,Lorentz

い か な る意 味 の 保 存 則 を も あ た え て い な い.

  最 後 に,(1.19)を(1.5)と(1.6)と が 求 ま る.こ

の(2.15)と(2.17)に

の と き,(1.19)の

に 代 入 す る こ と に よ っ て電 磁 場EとBと 微 分 を と る に あ た っ て,分

関 す る微 分 と と も に,(1.20)のt’

母 の￨x−x'￨-1に

の な か に あ る￨x−x'￨/cに

ふ く つい

て の 微 分 も忘 れ て は な ら な い.

§２ 多 重 極放 射  (１)  遅 延 ポ テ ン シ ァル の 多 重 極 展 開   無 限 に ひ ろ が っ た 空 間 の な か の せ ま い 領域 に,電

荷 分布

ρe(x,t)と 電 流 分 布ie(x,t)と

時間 的 変 動 が は げ しい と き に は,そ れる.そ

で あ る.た

が あ た え られ て お り,そ

れ らの

れ に と も な っ て 周 囲 の 空 間 に電 磁 波 が 放 射 さ

の 電 磁 波 の 遅 延 ポ テ ン シ ァル は

だ し,こ

こで

であ る.

 そ こ で(2.1)の 空 間 積 分 を実 行 し さ え す れ ば,任 お ける 電 磁 ポ テ ン シ ァ ル を 求 め る こ とが で き る.静

意 の 場 所xの

任 意 の 時 刻tに

電 場 の とき に,こ

れ に対 応 す

る式 は第 ４章(3.1)で

あ っ た.そ

の と き,電

荷 分 布 が 球 対 称 で な く角 積 分 が 解 析

的 に で き な い と き,多

重 極 展 開 を お こ な う こ と に よ っ て,静

た 点 電 荷,双

重 極 子 な ど の 重 ね 合 わ せ と し て 表 現 す る こ と が で き た.そ

して,こ

極 子,四

電 場 を原 点 に 集 中 し

の 展 開 は物 理 的 に も き わ め て見 通 しの よ い 結 果 を あ た え た.こ

す る こ と を(2.1)に 対 して もお こ な う こ と に し よ う.こ 静 電 場 の と き と ち が っ て,時 あ る 場所x'を,そ

刻tにx点

の と き 注 意 す べ き こ とは,

に 到 着 す る電 磁 波 は,電 荷 や 電 流 分 布 の

れ ぞれ 異 な った 時刻

に出 発 した もの で あ

る と い う点 で あ る.す

な わ ち,こ

測 点xま

｜x｜の逆 数 で 展 開 す る だ け で な く,電

で の 距 離r＝

の と き に は,(2.1)の

に お け る場 所 ご と に 異 な る 発 信 時 刻t'を,原 きの共 通 の発信 時刻

を 利 用 す る.た

延 ポ テ ン シ ァ ル の一 番 普 通 の 表 現 で あ る(2.1)の

こ で第 ８章(7.52)に

だ し,こ

こ でr＝

で あ っ て,θ'はxとx'と あ る(図2.1参

照).ま

る と

な わ ち,

み ち びい た公 式

｜x｜,r'＝

｜x'｜

の あい だ の角度 で ず ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ

ル か ら は じ め る こ と に し て,こ に 代 入 す る.す

荷分 布 と 電 流分 布

点 か ら電 磁 波 が 出 発 し た と した と

表 現 を も ち い た ほ うが よい.す

か ら 出 発 す る.こ

右 辺 の 分 母 を原 点 か ら観

に よ っ て 表 現 しな け れ ば な らな い.

  そ の 目的 の た め に は,遅 りに(1.15)の

れ に相 当

の 公 式 を(2.2) 図2.1  多 重 極 放 射

かわ

とな る.   こ こ ま で は,正

確 で 近 似 は な に も し て い な い.こ

布 して い る 領 域Vが

半 径aの

電 荷 分 布 の振 動 の 周 期T＝

こで,電

荷分布

ρe(x,t)の 分

球 面 の な か に か ぎ られ て い て ωa/c≪ １,あ る い は

２π/ωを つ か っ て

の 条 件 を み た す も の とす る.こ

の 条 件 の 物 理 的 意 味 は放 射 電 磁 波 の 波 長 が 電 流 お

よ び 電 荷 分 布 の 存 在 す る 領 域 の 大 き さ に く ら べ て ず っ と 大 き い と い う こ とで あ る.こ

の と き,第

８章(7.14)に

よ っ て,Ji(wr'/cを

原 点 の 近 くの 値 で あ らわ す こ

とがで きて

とか く こ とが で き る.一

で あ る.ま

と な る.こ

と お く と,

た(2.5)の

方,第

８章(7.13)に

よっ て正確 に

第 １項 だ け を 考 慮 す る と

れ を(2.3)に 代 入 し

が え られ る.こ

う し て 遅 延 ポ テ ン シ ァ ル は 原 点 に お け る 発 信 時 刻to'＝t−r/cに

よ っ て あ らわ され た.   ま っ た く同 様 に して,ベ

ク トル ・ポ テ ン シ ァ ル も ま た

と か く こ とが で き る.あ と で の 分 類 の 便 宜 上,上

と な る.た

だ し,こ

で あ る.こ

こ に え ら れ た(2.7)と(2.8)と

式 で あ る.そ

の 式 でl→l−1と

お きか え る と

こで

が 遅 延 ポ テ ン シ ァル の 多 重 極 展 開 の 一 般

こ で,(2.7)と(2.8)のlに

関 し て 低 い 数 項 を くわ し く 調 べ て み

よ う.   ま ず,は

で あ る.こ

じめ にl＝0の

項 は ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァル に だ け あ ら わ れ る か ら

こで

は 全 電 荷 量 で,時

と な っ て,こ

間 的 に 一 定 な 量 で あ る.し

た が っ て,こ

れ は 点 電 荷 に よ る 静 電 場 に す ぎ な い.そ

考 え る と き に は,こ

の とき

こ で 電 磁 波 の 放 射 の 問題 を

の 項 は い ら な い.

  (２)  電 気 双 極 子 放 射   次 にl＝1の

場 合 を 調 べ よ う.こ の と き ス カ ラ ー ・ポ

テ ン シ ァ ル は(2.7)か

ら

で あ た え られ る.電 気 双 極 子 モ ー メ ン トは

に よ っ て定 義 され る か ら

と な る.こ

こ で,n0＝x/rはxの

方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る(図2.1参

こで

と か く こ と が で き る.次

で あ る.こ

こで

で あ って

で あ る こ とを つか うと

に ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァ ル は(2.8)よ

り

照).そ

と か か れ る.な

す わ ち,l=１

の と き電 磁 ポ テ ン シ ァ ル は 電 気 双 極 子 モ ー メ ン ト

と そ の 時 間 微 分 に よ っ て あ ら わ され た1).そ こ で こ の と き の 電 磁 波 の 放 射 を 電 気 双 極 子 放 射(electric

dipole

  (2.15)と(2.17)と

の観 測 点xに

とB1と

radiation)と

を求 め る こ と が で き る.電

い う．

お け る微 分 を と る こ と に よ っ て,電 場 を求 め る た め,(2.15)の

磁 場E1

右 辺 の 第 １項 の 微

分 か ら計 算 し よ う.

上 の計 算 の最 後 で

を つ か っ た.し

たが って

と な る. 次 に,(2.15)の

右 辺 の 第 ２項 の 空 間 微 分 は

とな る か ら

１) 91ペ ー ジ に の べ た よ うに,電 気 双極 子 モ ー メ ン ト(2.13)の 時 間微 分 は,原 点 の位 置 の え らび 方 に は よ ら ない ．

と な る.ま

た

で あ る.こ

れ らの 結 果 を よせ あ つ め る と,電

場は

で あ た え ら れ る. 一 方,磁

場 は

か ら,

で あ る こ と が わ か る.   (2.18)と(2.19)と

を み る と,電

磁 場 は そ れ ぞ れpと

３種 の 部 分 か らな りた っ て い る こ とが わ か る.そ ０,１,２を つ け て 分 類 す る と

こ で,そ

〓 と 〓 と に比例 す る れ らの部 分 の 肩 に添 字

とか か れ る.   (2.20)に よ りあ らわ され る場 は電 気 双極 子Pに た ち の もの で,た

だ双 極 子Pの

電 気双 極 子 の振動 の周期 をTと

よ る静 電 場 とま った く同 じか

時 間 的変 化 に ともな って 電 場 もま た変 化 す る. す ると

の 程 度 の 大 き さ に な る か ら,r≫cTの

領 域 で はE1②

る.こ

い う.

の 領 域 を 波 動 域(wave

zone)と

とB1②

だ けが きい て く

  電 気 双 極 子 に よ る 電 磁 波 の 放 射 エ ネ ル ギ ー の 量 を調 べ る た め,Poyntingベ トル を半 径rの

球 面 上 で積 分 す る と

ク

と な る か ら,無 あ っ て,そ

限 遠 方 で の 放 射 エ ネ ル ギ ー に寄 与 す る の はE1(2)とB1(2)だ

の ほ か の 電 磁 場 は こ れ に 寄 与 しな い こ と が わ か る.そ

電 磁 場 の 性 質 を調 べ よ う.(2,22)か

な る 関 係 が あ る こ とが わ か る.ま

けで

こ で,(2.22)の

らす ぐに

た,公

式

か ら,

とな るか ら

と な る.つ

ま り,E1(2),B1(2)お

ベ ク トル で,そ い る.す

よ びn0は

の 順 序 は 右 手 系 のxyz軸

な わ ち,波

た が い に垂 直 な の よ うに な っ て

動 域 に お け る放 射 電 磁 波 は,真

自 由電 磁 波 と ま っ た くお な じ性 質 を示 して,そ あ る と 同 時 に￨E1(2)￨＝c￨B1(2)￨な

 こ の と き,単 ８章(2.12)に

空中の

れ は横 波 で

る 性 質 を も っ て い る(図2.2参

図2.2 放 射 電磁 波 の偏 り 照).

位 面 積 を通 っ て 単 位 時 間 あ た りに 放 射 さ れ る平 均 エ ネ ル ギ ー は 第 よっ て

に よ っ て あた え られ る.そ こで原 点 を中心 とす る半 径rの 球 面Sを 時 間 あた りに放 射 され る全 平均 エ ネル ギー は

通 って単 位

で あ ら わ され る ． そ こ で 〓 の 方 向 を θ＝0に

とる と

とな る か ら,放 射 エ ネ ル ギ ー の 角 分 布 は(2.25)か

ら

で あ たえ られ,全 平均 放 射 エ ネル ギ ーは

で あ る.(2.27)か

ら放 射 され る 電 磁 エ ネ ル ギ ー は,〓

方 向 で も っ と も 大 き い.こ を図 示 す る と図2.3の

の 方 向 で は ０で,そ

れ は 双 極 子 放 射 の 特 徴 で あ る.そ

の垂 直

の 波 動 の伝 播 の 様 子

よ うに な る.

図2.3 電気双極子放射 の角分布

図2.4  線状 ア ンテ ナ か らの電 磁 波 の放 射

 ［ 例 題 ］ 線 状 ア ンテ ナ  電気 双 極 子 放 射 の簡 単 な例 と して,図2.4の よ うな長 さdの 線状 の ア ンテナ か らの 電磁 波 の放 射 を考 え る.長 さdは 電磁 波 の波 長 よ りもず っ と小 さい もの とす る． また ア ンテ ナの方 向 をz軸

と し,そ の 中心 にせ ま い切れ 目が あ っ て,そ こか

ら周期 的 電流 をあた え て ア ンテナ を刺激 す るよ うに して あ る.そ 強 さI(z,t)は

して,そ

の周 期的 電 流 の

で あた え られ る もの としよ う． こ の とき,電 荷 保存 則 に よ って単位 長 さ あた りの電 荷密 度 ρ(z,t)は

か ら，

で あ た え られ る.こ

こ で 正 号 はz＞0の

と き で あ り,負

号 はz＜0の

と き で あ る.こ

れ よ

り こ の ア ン テ ナ の 電 気 双 極 子 モ ー メ ン トは

であた えら れ るこ とがわ か る.し た が って,放 射 エ ネル ギー の角分 布 は

で あた え られ,単 位 時 間 あた りの全平 均 放射 エ ネル ギーは

で あ る．す なわ ち,波 長 がdに

く らべ て長 い と きに は ，放射 エ ネル ギ ー は電 流 の周 波 数 の

２乗 に 比例 して大 き くな る.   (３)磁 よ う.こ

気 双 極 子 放 射 と 電 気 四 重 極 子 放 射   こ ん どはl＝

２ の と き を考 え て み

の と き,(2.7)は

と な る,こ

の な か の 全 部 の 項 を調 べ る の は 面 倒 な の で,こ

場 だ け を 考 え る こ と に す る.こ

で あ る.こ

こで

で あ る.た

だ しQ(t)は

の とき

こで は波 動域 で の電 磁

で あ っ て,第 て(2.29)を

４章(3.15)に

あ た え た 電 気 四 重 極 モ ー メ ン トで あ る.こ

れ を用 い

か くと

と な る. 一方

,ベ

ク トル

・ポ テ ン シ ァ ル は,(2.8)よ

り

であ た え られ る.こ こ で も波 動域 で の寄 与 だけ を考 え る と

と な る.こ

を,次

こで

の よ う に 変 形 す る.す

が な りた つ.さ

な わ ち,第

５章(3.8)で

示 した よ うに

らに恒等 式

にお い て,左 辺 の全 空 間積 分 は消 え,右 辺 の 第 １項 は電荷 保 存 則 に よっ て変 形 さ れ る こ とか ら

が え ら れ る.(2.33)と(2.34)と

を加 え 合 わ せ る こ と に よ っ て

と か く こ と が で き る.右

辺 の 第 １項 の 積 分 は 第 ５章(3.11)で

あ た え られ た 電 流 に

よ る磁 気 双 極 子 モ ー メ ン ト

で あ る.ま

た,電

気 四 重 極 モ ー メ ン トか ら

で 定 義 され る ベ ク トルQを

つ か う と,(2.35)の

右 辺 の 第 ２項 も か き か え られ て,

結局

と な る. (2.38)を(2.32)に

代 入 す る こ とに よっ て

と か く こ とが で き る.そ

こ で(2.31)と(2.39)に

お い て,磁

気 双 極 子 に よ る部 分 を

と りだ す と

で あ た え られ る.磁 射(magnetic

dipole

気 双 極 子mの

振 動 に も と づ く電 磁 波 の 放 射 を 磁 気 双 極 子 放

radiation)と

い う.

  電 気 四 重 極 モ ー メ ン トに よ る 部 分 は,(2.31)と(2.39)の あ た え られ る わ け で あ る が,〓

を ふ く む(2.39)の

右 辺 の 残 りの 部 分 とで

右 辺 の 第 ３項 に 対 応 す る も の

が,(2.5)の

展 開 式 の 高 次 の 項 か ら ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ ル に あ ら わ れ て く る.

こ れ を 調 べ る た め に,(2.3)の l=0の

ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ ル の 展 開 式 に も ど っ て,

項 を と り だ す と,

と な る.最

後 の 結 果 の 第 １項 は(2.10)と

は 第 ２ 項 で あ る.こ

同 じ も の で あ り,い

の 項 か ら の 寄 与 も と り い れ る と,電

ま問題 に してい るの

気 四 重 極 モ ー メ ン トに

よ る部分 は

で あ た え ら れ る こ と に な る.と と,(2.41)の

こ ろ が,(2.41)を

右 辺 の 第 ２項 か らの 寄 与 は ０で あ る こ と が 容 易 に た し か め られ る.

し た が っ て,実

際 に は(2.41)の

右 辺 の 第 １項 の 電 気 四 重 極 モ ー メ ン トQに

す る 部 分 だ け を 考 え れ ば よ い.電 (electric quadrupole   さ て,上

つ か っ て 電 場 と磁 場 と を 求 め る

関係

気 四 重 極 子 に よ る放 射 を電 気 四 重 極 子 放 射

radiation)  とい う.

に み ち び い た 磁 気 双 極 子 放 射 の電 磁 ポ テ ン シ ァル(2.40)か

で の電 磁 場 を 求 め よ う.こ

の と き,

ら,波

動域

とな る か ら,E2(m),B2(m),n0は と な る.す

な わ ち,こ

た が い に 垂 直 で,ま た ｜E2（m)(x,t)｜ ＝c｜B2(m)(x,t)｜

の と き の 電 磁 波 も 自 由 電 磁 波 の 性 質 を も っ て い る.ま

た単

位 時 間 あ た りの 単 位 面 積 を 通 る 平 均 エ ネ ル ギ ー 量 は

であ た え られ,角 分 布 は双極 子 放 射 特 有 の形 を して い る.  次 に電 気 四重極 子 放 射 の 場合 は,波 動 域 で の磁 場 が

電場 が

で あ た え られ る こ と が 容 易 に た し か め られ る.こ 場 の性 質 を み た し,B2(e)とE2(e)とn0＝x/rと c｜B2（e)｜な る 関 係 が あ る.こ

の と き の 電 磁 場 も ま た 自 由電 磁 は た が い に 直 交 し,｜E2(e)｜＝

の と き,放 射 エ ネ ル ギ ー の角 分 布 は

に よ っ て あ た え られ る.し

か しベ ク トルQはn0を

ふ くん で い る の で,角

分布

は 一 般 に は 複 雑 で あ る.し

か し,電 荷 分 布 ρe(x',t)に対 称 性 が あ る と き に は,簡

単 に角 分 布 の 様 子 を調 べ る こ とが で き る.  た と え ば,電 み る.こ

荷 分 布 がz軸

の と き ベ ク トルQの

の ま わ りに 対 称 的 な 回 転 楕 円 体 状 の と き を 考 え て 成分は

で あ た え られ る.対

とな り,Qijの る.ま

称性 か ら

非 対角 要 素 は同様 に して全 部 消 え

た 図2.5か

ら

図2.5回

と お く と,

と な る.そ

こ でQzz＝Q0と

と か くこ とが で き る.し

と な る.さ

て,図2.5か

で あ る か ら,角

分布 は

お くと

た が っ て,

ら

転楕円体状 の電荷分布

で あ た え られ る.こ の 様 子 は 図2.6の   最 後 に,上

の ときの放 射 電磁 波 の伝 播 よ う な も の で あ る.

に のべ た い ろい ろ の型 の 電磁 波 の

放 射 の 強 さ の 程 度 を 比 較 し て お こ う.電 荷 の ひ ろ が りの 大 き さ の 程 度 をaと 周 期 をTと

し,そ

の 振動の

する と

と な る か ら,そ (2.25),(2.43)お

れ ぞ れ の 放射 の 強 さの 程度 は よ び(2.46)か

ら

図2.6 電気 四重極子放射 の角分布

で あ らわ され る.こ れ か らわ か る よ うに,磁 気 双 極 子 放 射Pm2と 放射Pe4と

電気 四重極 子

はお な じ程 度 の大 き さで あ り,そ れ ら と電 気 双 極子 放 射Pe2と

の大

き さの程 度 の関 係 は

で あ る.(2.4)か く ら べ て,だ

ら,a/cT≪

１ で あ る か ら,Pm2とPe4と

い ぶ 小 さ く な っ て い る.し

トが あ る と き に は,ほ

た が っ て,電

は電 気 双極 子 放 射 に 荷分 布 に双極 子 モ ー メ ン

と ん ど の 電 磁 波 の 放 射 は 電 気 双 極 子 放 射 に よ る.そ

電 荷 分 布 の 空 間 的 対 称 性 に よ っ て,電

し て,

気 双 極 子 モ ー メ ン トが ０ で あ る と き に,

は じ め て 磁 気 双 極 子 放 射 と電 気 四 重 極 子 放 射 が あ ら わ れ て く る.

§３ 点 電 荷 に よ る電 磁 波 の放 射 (１)点

電 荷 に よる 電磁 場

前 節 にお い ては,有 限 な空 間 的 ひ ろが りを もつ電

荷分 布 が 時 間 と ともに は げ し く変 動 す る とき,そ れ に ともな って発 生 す る電 磁 波 に つ いて 考 え て きた.す べ ての物 質 が 原子 核 と電子 とか ら構成 され てお り,物 質 の電 磁 的 性質 は多 くの場 合 に物 質 内の 電子 の性 質 に よ っ て決 ま っ て くる こ とを考 え る と,電 子(あ るい は点電 荷)の 運 動 に よ っ て発生 す る電 磁場 の性 質 を調 べ てお

く こ と は,き

わ め て 重 要 な こ と で あ る.い

い る軌 道r=r(t)を 電 荷 をeと

ま,点

す る と,電

で あ た え られ る.こ

の と き,点

電 荷 の全

荷 密 度 と電 流 密 度 と は そ れ ぞ れ

れ を(1.19)に

代 入 し空 間 積 分 を お こ な う こ と に よ っ て,点

荷 に よ る 電 磁 ポ テ ン シ ァ ル φ(x,t)とA(x,t)と ち,ス

電 荷 が あ らか じ め あ た え られ て

え が い て 運 動 し て い る も の と し よ う.こ

が 求 め ら れ る で あ ろ う.す

電

なわ

カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ ル は

で あ た え られ,こ

こ でt'は

で あ る,と 思 う か も 知 れ な い.し

か し,こ

の 計 算 は ま ち が い で あ る.な

ぜ な ら,

上 の δ 関 数 の な か み を くわ し くか く と

で あ っ て,t'は っ て,x'に

独 立 変 数 で は な く,x'の

関 数 と な っ て い る か ら で あ る.し

関 す る 空 間 積 分 を 実 行 す る と き,r(t')の

に も注 意 しな くて は な ら な い.上   こ の よ うな 事 情 の た め,(1.19)の

な か に ふ くま れ て い るx'

の 計 算 で は こ の こ と を 考 慮 し て い な い. 表 式 を も と に し て,点

シ ァル を 計 算 す る の は 非 常 に 面 倒 に な る.そ

こ でt'を

な 形 か ら出 発 し た ほ うが 計 算 が ら く に な る で あ ろ う.そ に,(1.15)の

たが

表 式 か ら 出 発 し た ら よ い.す

なわ ち

電 荷 に よ る電 磁 ポ テ ン

独 立 変 数 とみ な せ る よ う れ に は(1.19)の

かわ り

を 出 発 点 と す る.こ

の よ うに す る と,t'は

独 立 変 数 で あ っ て,か

つ それ の 実 際 に

と る べ き値 も時 間 に 関 す る δ 関 数 の お か げ で い つ で も 保 証 され る.し (3.2)で は 空 間 積 分 は す ぐ に で き て,ス

た が って

カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ ル は

と か く こ と が で き る.  t'に 関 す る積 分 はr(t')の

と お く と,(3.3)の

な か のt'の

た め に や や 面 倒 で あ る.そ

こで

積 分 は 次 の よ うな 形 の 積 分 に な る.

そ こ で積分 変 数 をか きか え て

とお く.あ

る い は こ れ をt'に

とか け る.す

る と

とな る か ら,上

と な る.い

つ い て解 け る も の と す る と

の積 分 は

ま と く に,(3.6)でy=tと

で あ る.そ

こで

と な る.し

た が って

し た と き のt'の

値 をt0'と

か くと

で あ る.す

る と(3.7)は

と な る.た

だ し,こ

こ でt0'は(3.8)か

ら

の 解 と して あ た え られ る発 信 時 刻 で あ る.   さ て,(3.10)か

と な る.こ

ら

こで

とお く と,n(t0')は 子 の 位 置r(t0')か

発 信 時 刻t0'に ら観 測 点xの

た 単 位 ベ ク トル で あ る(図3.1参

お け る粒 方 向 に向 い 照).し

た

がって

図3.1Lienard-Wiechertの シ ァ ル

で あ る.   (3.9)か ら,(3.3)の

時 間積 分 の 結果 は

ポ テ ン

とな る.ま

っ た く同 様 に し て,ベ

で あ た え ら れ る.た

ク トル ・ポ テ ン シ ァ ル は

だ し こ こ でt0'は

の 解 と し て あ た え られ る 発 信 時 刻 で あ る.(3.13)と(3.14)と に よ っ て 生 ず る 電 磁 ポ テ ン シ ァル で あ っ て,こ Wiechertの

ポ テ ン シ ァル と い う.

  Lienard-Wiechertの っ て,電

ポ テ ン シ ァル の観 測 点xに

磁 場E(x,t),B(x,t)が

求 め ら れ る.と

分 を し よ う と す る と,(3.13)や(3.14)の る 微 分 だ け で な く,t0'の こ の た め,そ

お け る 微 分 を とる こ とに よ

こ ろ が,こ

な か に あ るxに

の と き に は,t'は

分 ら くに な る.(3.2)を

関 す る 微 分 は,す

て の み と っ た ら よ い こ と に な っ て い る.し

とか くこ とが で き る.た

だ し,こ

こ で,ふ

た た び(3.2)に

関す

た が っ て,こ

も

関 す る微 分 は(3.2)の

つ い て だ け とれ ば よ い.そ

み る と,xに

関 す る微

つ い て も微 分 を し な け れ ば な ら な い.

独 立 変 数 で あ っ て,xに

な か に な ま に あ ら わ れ て い るxに

の と きxに

な か に な ま に あ らわ れ て い るxに

の 計 算 は 非 常 に 面 倒 に な っ て し ま う.そ

ど っ て み る.こ

で,図3.1に

が 運 動 す る点電 荷

の ポ テ ン シ ァル をLienard-

の た めに 計 算 が 大

べ てR=￨x-x'￨を

通 し

の とき

こで

示 さ れ て い る よ う に,x'は

空 間 の任 意 の場 所 を あ ら わす 位 置 べ

ク トル で あ る.し

と な る.こ

た が っ て,ス

こ で,さ

カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァル の 空 間 微 分 は

らに

とお く.r(t')は

任 意 の 時 刻t'に

お け る 点 電 荷 の 位 置 を示 し,n(t')は

か ら観 測 点xへ

向 く単 位 ベ ク トル で あ る.時

を とれ ば,n(t')は(3.11)のn(t0')に   空 間 積 分 の の ち(3.17)は

同 様 に し て,ベ

し て,と

一 致 す る.(図3.1参

く に 発 信 時 刻t0'

照).

次 の よ う に か か れ る.

ク トル ・ポ テ ン シ ァル の 時 間 微 分 は

で あ た え ら れ る.(3.18)と(3.19)か

 最 後 に 残 され た 時 間 積 分 は,(3.3)の よ い.す

間t'と

そ の場 所

な わ ち,(3.9)の

ら,電

場E(x,t)は

次 の よ う に か か れ る.

時 間 積 分 を実 行 し た と き と同 様 に す れ ば

規 則 に し た が っ て,積

分 後 の値 は 被 積 分 関数 の 時 間

変 数

をt0'に

お き か え て,α-1(t0')を

か けた

も の と な る.す

項 は

で あ る.第

２ 項 は(3.7)と

同 様 に し て,積

分 変 数 を,

に かえ る と

と な る.こ

こで

に 注 意 す る と,

と な る.こ

の よ うに し て,電

場E(x,t)は

と な る こ と が わ か っ た. 次 に 磁 場 を求 め よ う.こ の と き に も(3.16)よ

り

る と(3.20)の

第 １

ここで 時 間積 分 は電 場 の とき とま った く同様 に して お こな うこ とがで きて

と な る. 電 磁 場(3.21)と(3.22)の な い が,n(t0')の

右 辺 に ふ くま れ て い る 時 間 微 分 を実 行 し な くて は な ら

時 間 微 分 だ け,さ き に や っ て お く と好 都 合 で あ る.そ

の 時 間 微 分 を実 行 す る と

と なる． こ こで

な る公 式 をつ か う と

を え る. す る と,(3.21)の

電 場E(x,t)は

こ でn(t0')

で あ た え られ る.こ

こ で 右 辺 の 第 １項 と第 ２項 と を ま と め る と,

と な る か ら,

を う る. 磁 場 の 場 合 も 同 様 に し て(3.22)は

(3.24)と(3.25)と

次 の よ うに か き か え られ る.

を比 較 す る と

な る 関 係 が あ る こ とが わ か る.し

た が っ て,電

場 さ え わ か れ ば 磁 場 は(3.26)か

ら

求 め られ る.   (3.24)に 残 され た 時 間 微 分 を 実 行 す る た め に,次 の 微 分 を実 行 し て お こ う.ま ず

で あ り,ま

た

で あ る.そ

こ で,こ れ ら の 関 係 を つ か う と,(3.24)は

の 式 の す べ て の 量 はt0'の

関 数 で あ る が,こ

次 の よ う に な る.た

れ を 省 略 して あ る.

だ し,下

最後 の等 式 では 公式

を つ か っ た.  そ こ で

と お い て,上

で あ り,ま

に え られ た 結 果 を ま と め て か く と,電

た 磁 場 は(3.26)と(3.27)と

場 は

か ら

で あ た え られ る.   上 の 計 算 は ひ ど く複 雑 で あ っ た が,こ ァ ル(3.13)と(3.14)と て,(3.29)と(3.30)が (3.29)と(3.30)の ん で い て,加

ポ テ ンシ

を 直 接 微 分 す る よ り も 計 算 は 大 分 ら く に な っ て い る.さ 点 電 荷 の 運 動 に よ っ て 真 空 中 に 生 ず る 電 磁 場 で あ る.

右 辺 の 第 １項 を み る と,こ

れ らは 粒 子 の 速 度 〓(t0')のみ を ふ く

速 度 〓(t0')はふ くん で い な い.ま

の 程 度 で 小 さ くな る の で,エ と は,点

れ で もLienard-Wiechertの

た,こ

れ ら の 項 は 遠 方 でR-2(t0')

ネ ル ギ ー の 放 射 に は 関 係 し な い 項 で あ る.こ

のこ

電 荷 と と も に 一 定 速 度 〓(t0')で 運 動 し て い る座 標 系 か ら み た ら点 電 荷

は 静 電 場 だ け を つ く る は ず で あ る か ら,当 項 は 点 電 荷 の加 速 度 〓(t0')をふ くみ,遠

然 の こ と で あ る.次

方 でR-1(t0')の

これ ら の 項 が 電 磁 場 の 放 射 に 関 係 して い る.

に,右

辺 の第 ２

程 度 で 小 さ く な る の で,

 [例題] 等速度運動を している点電荷 点電荷が 等速度運動 を して いる ときの 電磁場は (3.29)と(3.30)の

右 辺 の 第 １項 で あ た え

られ る.し か し,こ こ で は(3.13)と(3.14) のLienard-Wiechertの

ポテ ンシ ァル

か ら こ れ を 求 め て み よ う.点 t=0に

お い て 原 点Oに

方 向 に 等 速 度vで

ま,時

刻tに

場 の 強 さ を 求 め る.原

刻t=0に

に き て い る と し,さ

でB点

す る.す

る と,時

刻tに

は,tよ

り も過 去 の あ る 時 刻t0'に,原

点 とA点

と の あ い だ のA0'点

お く.A0'→Pの

に生 ず る場

たA0'→Bの

で あ る.と

こ ろが

図3.2点

を 出 発 し た も の で あ る.そ

距 離 をR(t0')と

で あ る.ま

時

刻tに

らにす す ん

に 到 着 す る 時 刻 をt0と お い てP点

おけ

点Oを

出 発 し た 点 電 荷 は,時

図 のA点

の

運 動 してい る もの と

し よ う(図3.2).い る 点Pの

電 荷 は時 刻

あ っ て,x軸

電 荷 の等 速 度 運 動

こ で ま ず,こ

の 時 刻t0'を

求 めて

す ると

距 離 をX(t0')と

する と

で あ る か ら,上 の 関係 式 を代入 す る と

とな る.こ の 二 次方 程 式 を解 くと

が え ら れ る.複

号 は,t0'がt0＞t＞t0'で

あ る こ と か ら,負

入すると

と な る.  点 電 荷 に よ る ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ ル は(3.13)よ

り

号 を と る.こ

れ を,上

の式 に代

で あ た え ら れ る か ら,こ

とな る.し

れ に(3.32)を

代 入 す る こ と に よ っ て,

か るに

で あ る か ら,

と か か れ る.同

様 に し て ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァ ルA(x,t)は

で あ る.  さ て,(3.34)と(3.35)と

と お き,ex,ey,ezを

で あ る.こ

こで

を 微 分 す る こ と に よ っ て 電 磁 場 が 求 ま る.簡

そ れ ぞ れx,y,x軸

の 方 向 の 単 位 ベ ク トル と す る.す

単のため

る と

で あ るか ら

と な る.こ

こで

を つ か っ た.   電 場 が 求 ま っ た の で,磁

場 に 移 ろ う.磁

場B(x,t)は

で あた え られ る． こ こで 公 式

を つ か う と,

第 １項 で,vは

空 間 的 に 一 定 で あ る か ら,rotv=0で

と ころ が,Aとvと

(3.41)と(3.40)と

は平行であるから

を比 較 す る と

で あ る こ と が わ か る.

あ る.し

た が っ て,

(3.38)の 電 場 は

と か く こ と が で き る.こ と な る と,電

場 はx方

れ か らわ か る よ う に,点 向 でRx(t)が

場 の 存 在 す る 領 域 はx方

電 荷 の 速 さvが

光 速 度cに

大 き くな る と と も に 急 に 小 さ く な る.し

近 づ き, た が っ て,電

向 に 扁 平 な 回 転 楕 円 体 状 に な っ て い る.(3.38)と(3.42)で

ら れ た 電 磁 場 が(3.29)と(3.30)の

あた え

右 辺 の 第 １項 と 同 等 で あ る こ と を 示 す の は 読 者 の 演 習 と

して 残 して お く.

  (２)加

速 さ れ た 点 電 荷 に よ る 電 磁 波   (3.29)と(3.30)に

に よ る 電 磁 場 は,２

個 の 項 か らな っ て お り,第

る と き と同 じ形 の も の で,R-2(t0')に

第 ２項 だ け が き い て く る.ゆ 項 だ け が 問 題 に な る.こ

比 例 す る.し

た が っ て,波

動域では れ らの 第 ２

の よ うに 点 電 荷 が加 速 さ れ る こ と に よ っ て,電

場 は(3.29)か

で あ た え られ,磁

２項 は点 電 荷 が 加 速 度 を も っ

え に 電 磁 波 の 放 射 を 考 え る と き に は,こ

射 す る 現 象 を 制 動 放 射(Bremsstrahlung)と   こ の と き,電

１項 は 点 電 荷 が 等 速 運 動 を し て い

比 例 す る.第

て い る こ と に よ っ て 生 ず る項 でR-1(t0')に

あ た え られ た 点 電 荷

磁 波 を放

い う.

ら

場 は(3.30)よ

り

で あ た え られ る.   (3.45)か

ら,一

般 に 磁 場 は,発

信時刻

t0'に お け る点 電 荷 の 位 置r(t0')か 測 点xに xに

向 く単 位 ベ ク トルn(t0')と,

お け る 電 場E(x,t)と

(図3.3参

照).波

E(x,t)も

ま たn(t0')と

る.な

ら観

に 垂直 であ る

動 域 で は さ ら に,電

ぜ な ら,(3.44)か

場

垂 直 に な って い ら 図3.3  点 電荷 か ら放 射 さ れ た電 磁 波 の偏 り

と な る か らで あ る.す

な わ ち,波

動 域 に お い て は,点

磁 波 の 性 質 を も っ て い る(図3.3参   (3.44)を っ か っ てPoyntingベ

電 荷 に よ る電磁 場 は 自由電

照). ク トル を 計 算 す る こ と に よ り,時

荷 か ら放 射 さ れ た 電 磁 波 が 時 刻tに

観 測 点xで

刻t0'に

測 定 さ れ る と き,単

位 面 積 あ た りの エ ネ ル ギ ー 量 が 求 め ら れ る.す

な わ ち,そ

点電

位 時 間,単

れ は

で あ た え られ る.電 磁 場 を複 素 数 で か き,時 聞 的平 均 を とる ときに は,

と した ら よ い.   こ こ で 注 意 す べ き こ とは,(3.46)は

観 測 点xに

間 あ た りの エ ネ ル ギ ー 量 で あ る こ と で あ る.こ 次 の 事 情 に よ る.点 t0'=T2ま

電 磁 波 は 観 測 点xで

電 荷 が 時 刻t0'=T1か

け 加 速 され た と す る と,こ

は,(3.15)に

か ら時 刻 ま り,観

を うけ る時間

測 点xで

電磁波

は一 般 に点電 荷 の加 速

され た 時 間(T2−T1)と

異 な っ て い る(Doppler効

果).し

あ た り と い う言 葉 を,観

測 点xに

つ い て か,点

お け る時 間tに

つ い て で あ る か,は

ネ ル ギ ー で あ る.な

ぜ な ら,電

位時間

電 荷r(t0')に

つ

して い

つ い て の 単 位 時 間 あ た りの 放 射 エ

磁 波 の 源 で あ る 点 電 荷 が ど れ だ け の 時 間 加 速 され

れ だ け の 量 の エ ネ ル ギ ー が 放 射 さ れ る か が,い

理 量 だ か らで あ る.

た が っ て,単

っ き り区 別 し な け れ ば な ら な い.そ

ま 考 え て い る 問 題 で 意 味 の あ る の は 時 間t0'に

た と き,ど

ら時 刻

の 時 間 に 放 射 され る

よ って 時刻

ま で の あ い だ に 観 測 さ れ る.つ

い て の 時 間t0'に

関 す る単 位 時

の よ うな こ とを 注 意 す る わ け は

電 荷 は 運 動 し て い る か ら,点

で の 時 間(T2−T1)だ

お け る 時 間tに

ま われ わ れ の ほ しい物

  点電 荷 が加 速 され た時 間(T2-T1)の

あ い だ に 放 射 され た 電 磁 波 をx点

で観

測 す る とき,そ こで うけ とるエ ネル ギ ー量Eは

で あ た え ら れ る.こ

の 積 分 変 数tをt0'に

お きか え る と

とな る.し た が っ て,点 電 荷 が 単位 時 間加 速 され た とき放 射 す る エネ ル ギ ー量 は

で あ る.こ た.し

こ で,α(t0')は(3.12)に

た が っ て,点

あたえ

電荷 が そ の 単位 加 速 時 間

に 放 射 す る 全 エ ネ ル ギ ーdW/dt0'は,(3.48) を 半 径R(t0')の

球 面 上 に積分 して

図3.4  加 速 され た点 電 荷 の放 射 す る エ ネ ル ギー

で あ た え ら れ る(図3.4).こ 立 体 角 で あ る,(3.49)に(3.46)を

こ でdΩ

は,x点

の 面 積 要 素 を 点 電 荷 か らみ た

代 入 し て,t0'をtと

か きか え る こ と に よ

り

が え られ る.   加速 され てい る 点電 荷 が 単位 加 速 時 間 に 放 射 す る エ ネル ギ ー量 に 対 す る 式 (3.50)は 正 確 な も の で あ っ て,こ れ は 特 殊 相 対 論 か ら も え られ る.こ の 特 別 な 場 合 に つ い て 考 え て み よ う.も 度cに

く らべ て小 さ い と き に は,n(t)と

こ で,(3.50)

し β≪ １,つ ま り点 電 荷 の 速 さvが

光速

β(t)の あ い だ の 角 度 を θ とす る と

と な る.(3.51)の 例 し,こ

表 式 をLarmorの

公 式 とい い.放

射 の 角 分 布 はsin2θ

に比

れ は 電 気 双 極 子 に よ る放 射 に な っ て い る.

  全 平 均 放 射 エ ネ ル ギ ー は(3.47)か

であ た え られ る.質 量mの

ら

点電 荷 がz方

向 に 調 和振 動 を して い る とき を 考 え

ると

か ら,と

が,単

か け る.し

た が っ て,よ

り

位 時 間 の 平 均 放 射 エ ネ ル ギ ー で あ る.

  次 に,β

と β とが 平 行 の と き を考 え る.こ

の とき

図3.5  進 行 方 向 に鋭 くか た む い て 放 射 され る電 磁 波

と な る か ら,(3.50)は

と な る.こ

れ か らわ か る よ う に,β=v/c→

１に 近 づ く に した が っ て,角

電 荷 の 進 行 方 向 に 鋭 く か た む い て く る(図3.5).   (3.54)の

角 積 分 は,dΩ=2π

・sinθdθよ り

分布 は点

と な る.こ

こ で ξ＝1−

βcosθ

と お い た.

次 に,点 電 荷 が 円軌 道 をえ が き,そ の速 度 β が加 速 度 β と直 交 してい る と き を 考 え よ う.い

ま,点

電 荷 は 図3.6の

よ うに,x

―z平 面 内 で 円 運 動 を し て い る と す る .そ あ る 瞬 間tに と り,y軸

し て,

お け る 点 電 荷 の 進 行 方 向 をz軸

を 図3.6の

点 電 荷 か ら観 測 点Pに

よ う に え ら ぶ.こ

の と き,

向 く単 位 ベ ク トルnの

分 はn=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosφ)で ま た β＝(0,0,β).β

に

成

あ り,

に直 交 す る加 速 度 β の大 き

さ をa/cと

か く と,β ＝(a/c,0,0)で

に,S≡n−

β と お く と,(3.50)の

と な る.こ

こ で

で あ る.な

お 最 後 の 式 で 速 度 と加 速 度 が 直 交 して い て,(β ・ β)=0で

も ち い た.こ

れ ら を(3.56)に

あ る.さ

右 辺 の分子 は

ら 図3.6  放 射 光

あ ることを

代入す ると

これ よ り,放 射 波 の角 分 布 は

と な り,こ

の と き も,z軸

の 方 向,つ

ま り点 電 荷 の 進 行 方 向 に 鋭 い ピ ー ク を も

つ.こ

れ よ り電 子 加 速 器 を用 い て,紫

れ る.こ

れ を 放 射 光(synchrotron

同 じ よ うに し て,角

外 線 か らX線

radiation)と

にわ た る強力 な 光 源 が つ く

い う.な お,(3.57)を(3.55)と

積 分 を 実 行 す る と,

と な る.   [例 題

１] Zeeman効

に よ るZeeman効

果 の ス ペ ク トル の 偏 り  第 ２ 章 §１ の 例 題 １ で 述 べ たLorentz

果 の 理 論 で は,原

子 内 の 電 子 は 原 点Oの

振 動 の 振 動 数 は 外 部 磁 場 に よ り変 化 し た.そ 的 な 説 明 を あ た え た.こ   さ て,原 点Oの し,さ

の と き,放

近 傍 に 限 ら れ て い る.そ ら に 電 子 か ら観 測 点xに

と近 似 さ れ る.こ

く ら べ て 小 さ く,ま

こ で(3.44)で

向 く単 位 ベ ク トルn(t0')を,原

と お い た も の と 一 致 す る.こ

と な る.こ

れ をtで

ら,観

１と近 似 測点 へ向 く

一 般 式 は,

で あ る.

おいて

２章(1.14)の

点Oか

の と き,(3.44)と(3.45)の

とお き

の こ と は,(3.58)の

放 射 波 が 原 点Oの

近 似 に 一 致 し て い る こ と を 意 味 し て い る.   さ て,第

た そ の運 動 領 域 は 原

β を ふ く む 項 を 無 視 し,α(t0')を

お き か え て し ま う.こ

こで

(3.58)は,(2.22)に

の単

こ で は こ の 問 題 を 定 量 的 に 調 べ よ う.

子 内 電 子(電 荷 −e)の 速 度 は 光 速cに

単 位 ベ ク トルn=r/rで

ま わ り で 単 振 動 を し,そ

射 され る光 の偏 りに つ い て定 性

解 を ベ ク トル 形 式 で ま と め る と

２回微 分 す る と

まわ りの電 気 双 極 子

こ れ ら を(3.58)に

代 入 す れ ば,(3.60)で

あ らわ さ

れ る運 動 を し て い る電 子 か ら放 射 され る電 磁 波 の 観 測 点P(r)に

お け る 表 式 が え ら れ る.な

偏 りの 方 向 は,電   そ こ で,観

測 点Pの

り,n=ezと

す る.こ

こ れ に(3.61)を

お,光

の

波 の 偏 り の 方 向 で 示 さ れ る. 位 置 を 図3.7のz軸

上 に と

の と き,(3.58)の

電波は

代入す ると

図3.7 

Zeeman効

果 と

光 の 偏 り

と な る.す と,角

な わ ち,磁

場 に そ う 方 向(z軸

方 向)か

ら み た と き,角

振 動 数 ω'の 左 円 偏 光

振 動 数 ω”の 右 円 偏 光 と が 観 測 さ れ る.

  次 に 観 測 点Pの

位 置 を図3.7のy軸

上 に と り,n=eyと

す る.こ

の と き,(3.58)の

電

波 は

こ れ に(3.61)を

代 入 す る と,

す な わ ち,磁 場 に 直角 の方 向(y軸 方 向)か らみ る と,z軸

の 方 向 に 角振 動 数 ω0で 直 線 的

に偏 った 光 と,角 振 動 数 が ω'と ω”のx軸 方 向 に 直 線 的 に偏 っ た ２種 の光 の合 計 ３個 の 光 が観 測 され る.   [例題 ２] Rutherfordの 原 子 模 型 の 安 定 性  第 １章 §３の例 題 で 説 明 したThomson の 原 子 模 型 は,原 子 か ら放 射 さ れ る 光 の ス ペ ク トル が 線 ス ペ ク トル で あ り,さ ら に Zeeman効 Thomsonの

果 を も う ま く説 明 す る と と も に,原

子 の 安 定 性 も ま た 保 証 し て くれ る.

模 型 の こ の よ うな 利 点 に もか か わ らず,1911年Rutherfordは

放射 性元素

か ら で る α線 の原 子 に よ る散 乱 の実 験 をお こな うにお よ ん で,こ の模 型 を す て さ り,よ く知 られ て い る太 陽 系 型 の 原子 模 型 を提 案 した の で あ る.Thomson模 型 に よ る と,正 に 一 様 に帯電 した半 径a∼10-8cmの 球 の な か に 点状 の電 子 が あ る とす る.こ の球 に正 電 荷 を もつ α線 が衝 突 す る と,そ れ はCoulombの

斥 力 に よ って 散 乱 され る.し か し,正 電

荷 を もつ 球 がつ くる電 場 の強 さは い た る と こ ろ で有 限 で あ り,し た が って α粒 子 の作 用

す る力 の 大 き さは あ ま り大 き くな い.そ の た め α粒 子 の 散 乱 角 も小 さい は ず で あ る.と こ ろ が,Rutherfordの

実 験 に よ る と,き わ め て まれ では あ る が非 常 に大 き い角 度 で散 乱

され て くる α粒 子 が あ る.こ れ を説 明 す る た め に は,α 粒 子 に作 用 す る力 が 大 き くな け れ ば な らな い.も

し正 電 荷 をお び た球 の 半径 がa∼10-13cmの

の よ うな 大 き な力 が作 用 す る(F∝r-2).こ

程 度 で あ る とす る と,こ

の よ うに して,正 電 荷 を もつ 原子 核 の ま わ り

を電 子 が 回 転 して い る とす る太 陽 系型 の模 型 が提 案 され た の で あ る.と

ころ が,こ

の原

子 模 型 に 古 典 力 学 と古 典 電 磁 気 学 の法 則 を適 用 す る な らば,原 子 は きわ めて 不 安 定 に な り,ま た放 射 され る 光 の スペ ク トル も ま た連 続 ス ペ ク トル に な る で あ ろ う.な ぜ な ら, 原 子 核 の ま わ りを回 転 す る電 子 は 加 速 度 を もつ か ら,(3.51)に

よ っ て電 磁 波 を放 射 す る.

そ の た め電 子 の エ ネ ル ギ ー は 次 第 に失 われ て,電 子 は 原 子 核 に近 づ き,つ い に は原 子 核 に お ち こん で しま うで あ ろ う と考 え られ る か らで あ る.つ ま り,Rutherfordの 子 の安 定 性 と原 子 ス ペ ク トル に 関 して は,Thomsonの そ こ でN.BohrはRutherfordの

模 型 は原

模 型 に 一 歩 ゆず る もの で あ っ た.

模 型 に古 典 論 の法 則 を適 用 す る こ と をや め て,量 子 論

を適 用 し,上 に のべ た 困難 を見 事 に解 決 した の で あ る.   さて こ こで は,Rutherfordの

水 素 原 子 模 型 に古 典 論 の法 則 を適 用 した と き,電 子 が原

子 核 に お ち こ ん で し ま うま で の時 間 を計 算 し よ う.電 子 は 原 子 核 の ま わ り を円 運 動 し て い る もの とす る.電 子 の 回 転 半 径 をr,速

さ をv,回 転 の 角 速 度 を ω とす る と,電

子 の半 径 方 向 の運 動 方 程 式 は

で あ た え られ る.し た が って,電 子 の加 速 度 は 図3.8 

Rutherfordの

原 子 模 型

電 子 の エ ネ ル ギ ーWは,v=rω

の 関係 に 注意 す る と

で あ た え られ る.一 方 単 位 時 間 に電 子 が放 射 す る電 磁 波 の エ ネル ギ ーは,(3.51)に

で あ る.し た が って,単 位 時 間 あ た りの電 子 の 失 うエ ネル ギ ーは

よ って

で あ る1).こ

の 左 辺 に(3.64)を

した が って,は

代入すると

じめ の時 刻t=0に

電 子 が半 径aの

円周 上 にあ った と し,そ の 電 子 が原 子

核 に落 ち こ む まで の 時 間 を τ とす る と

で あ る.こ

れ か ら,

が え られ る.   Bohrの

原 子 模 型 に よ る と,と

な の で,こ

した と き

れ をつ か う と

と か け る.こ

こで

は 微 細 構 造 定 数(fine

structure

constant)で

相 互 作 用 の 大 き さ を あ ら わ す 定 数 で あ る.ま length)と

い っ て,量

の 〓/mc2は

れ は 無 次 元 の 定 数 で 電 子 と電 磁 場 の 長(Compton

子 力 学 的 電 子 の 大 き さ の 目安 に な る 長 さ で あ る.し

光 が 電 子 を 横 断 す る の に 要 す る 時 間 で あ っ て,原

と み な す こ と が で き る.電 は10-21secの

あ る.こ

た 〓/mcをCompton波

子 のCompton波

程 度 の 大 き さ に な る.し

子 的 世 界 に お け る時 間 の尺 度

長 は 大 体10-11cmの た が っ て,電

時 間 τは 大 体(137)5×10-21sec∼4.8×10-11secと

wave

た が っ て,(3.67)

程 度 で あ る か ら,〓/mc2

子 が原 子 核 に お ち こ ん で しま うま で の な る.こ

的 世 界 の 時 間 と し て は き わ め て 長 い 時 間 で は あ る が,わ

の10-11secと

い う時 間 は 原 子

れ わ れ の 世 界 か らみ た ら原 子 の 寿

命 は 瞬 間 に す ぎ な い と い う こ と に な っ て し ま う.

§４ 点 電 荷 に よ る 電磁 波 の 散乱 点電 荷 が 加 速 され てい る とき,単 位 加 速 時 間 あ た りの 電磁 波 の放 射 エ ネル ギ ー 1)こ

れ か らわ か る よ うに,一

般 に 制 動放 射 に よる エ ネル ギ ー損 失 は点 電 荷 の 質 量 が 小 さい ほ ど大 き

くな る.し たが っ て,プ ラ ズ マ の よ うな イオ ン と電 子 とか らな る 体系 か らの 電磁 波 の放 射 は そ の ほ とん どが 軽 い電 子 の 制 動放 射 に よ る もの で あ る.

は(3.50)に

よ っ て あ た え られ た.い

ま 外 部 か ら電 磁 波 が 入 射 し,そ

加 速 し電 磁 波 を 放 射 す る場 合 を 考 え る と,こ

れ が点 電 荷 を

の 現 象 は 点 電 荷 に よ る電 磁 波 の 散 乱

現 象 と み な す こ とが で き る.   外 力Fの

作 用 の も とに あ る点 電 荷 に,平

荷 の 運 動 方 程 式 は,第

２章(1.6)に

に よ っ て あ た え ら れ る.な

お,こ

な る こ と に 注 意 す る と,点 に は,磁

面 波Ein,Binが

入 射 す る と き,点

電

よっ て

こ で は 自 己 力 の 効 果 は 無 視 し て い る. 電 荷 の速 度 が 光 速 度 に く らべ て 小 さ い と き

場 に よ る 力 は 省 略 す る こ と が で き る.ま

た,点

電 荷 は入 射 電 磁 波 に よ

っ て 強 制 振 動 を お こ す が,そ

の位 置 の変 化 は入 射 電 磁 波 の波 長 に く らべ て小 さ

い も の と し て,Ein(r(t),t)の

な か のr(t)を

る.す

る と,入

電 子 の 平 均 的 な 位 置r0に

お きかえ

射平面波 は

とか く こ とが で き て,点

電 荷 の 運 動 方 程 式(4.1)は

と近 似 す る こ と が で き る.こ

こ でeは

入 射 電 波 の 偏 りの 方 向 を示 す 単 位 ベ ク ト

ル で あ る.   点 電 荷 の 速 度 が 光 速 に く ら べ て お そ い と き,単

位 立 体 角 の な か に放 射 され る

単 位 加 速 時 間 あ た り の 平 均 エ ネ ル ギ ー は,(3.51)と(3.52)と

か ら

で あ た え られ る.単

８章(7.20)で

位 面 積 あ た りの 入 射 波 の 平 均 強 度 は,第

あたえ

て あ る よ うに

で あ る.し た が って,単 位 強 度 の電 磁 波 が 単位 面 積 を通 っ て入 射 す る とき,単 位 時 間 に単 位立 体 角 内 に放 射 され る電 磁 波 の 強度,つ ま り散 乱 の微 分 断 面 積 は

で あ た え られ る.   (１)  Thomson散 電 荷eの

乱   自 由電 子 に よ る 電 磁 波 の 散 乱 を 考 え よ う.こ

の とき

電 子 の運 動 方程 式 は

で あ る.し

と な る が,こ

たが って

の 場 合 に は(4.2)の

近 似 を つ か わ な くて も(4.7)の

よ う に加 速 度 が 求

ま る こ とに 注 意 し よ う.   (4.7)を(4.6)に

と な る.こ

代入 す る と

こ で 〓 は 点 電 荷 の 位 置 か ら観 測 点 に

向 く単 位 ベ ク トルnと,入 eと

射 電 波 の 偏 り の方 向

の な す 角 度 で あ る.入

射 波 の 方 向kとnと

の 間 の 角 度 を θ とす る と,こ

れ は 散 乱 角 で あ る.

す ると

な る 関 係 が あ る(図4.1参 い な い と き に は,角

度

照).入

射 波 が偏 っ て

ψ につ い て平 均 す る こ と

に よ っ て お き か え られ る.し

た が っ て,こ

図4.1 

Thomson散

乱分 布 の 角

の と き散 乱 の 微 分 断 面 積 は

と あ らわ さ れ る.(4.8)か

らわ か る よ うに,こ

子 に よ る も の で あ り,散 乱 波 の 角 分 布 は(4.10)で

の ときの 電磁 波 の放射 は電 気 双極

  (4.10)を 全 立 体 角 に わ た っ て 積 分 す れ ば,全

あ た え ら れ る. 断 面 積 が え られ る.す

な わ ち,そ

れ は

と な る.こ

れ をThomson散

径 が 第 ２ 章(4.9)の

乱 の 全 断 面 積 とい う． こ こ で 古 典 的 電 子 は そ の 半

古 典電 子半 径

で あ る剛 体 球 と考 え る こ とが で き た こ と を 思 い お こ そ う.(4.12)と(4.11)と

を比

べ て み る と,σTは

なわ

ち,(4.11)は

大 体 古 典 的 電 子 の 幾 何 学 的 断 面 積 πa02に ひ と し い.す

単 位 面 積1cm2を

通 っ て 入 射 し た 電 磁 波 が 電 子 の 的 に衝 突 す る 割

合 を あ ら わ し て い る.(4.12)を(4.11)に

代 入 す る こ とに よ って

で あ る こ とが わ か る.   さ ら に σTを

とか き か え る と,Thomson散

乱 の量 子 力学 的 な解釈 をあ た え る こ とが で き る.

まえ に ものべ た よ うに,量 子 力学 にお い て は電 子 は一 種 の波 動 と解 釈 され て,そ の 波動 の ひ ろが りは大 体Compton波

長 〓/mcで あた え られ る.す

ると単位面

積 を通 っ て単位 強 度 の電 磁 波 が入 射 す る とき,電 子 に衝 突 す る割 合 は電子 の雲 の 断面

積

で あた え られ る.し か し電 子 の雲 は電 磁 波 に対 して半透 明 で あ

って,衝 突 した電 磁 波 の全 部 が散 乱 され る わ けで は な く,そ の うち の

の 割 合 だ け が 散 乱 さ れ る.こ

れ が(4.14)の

量 子 力 学 的 な 解 釈 で あ る.し

た が って

微 細 構 造 定 数 α の ２乗 は,量 子 力 学 的 電 子 す な わ ち 電 子 の 雲 の 不 透 明 度 を あ らわ して い る.あ

る い は も っ と理 論 的 に い う と,そ

れ は 電 磁 波 と 電 子 雲 とが 相 互 作 用

を お こ す 確 率 を あ ら わ す も の で あ る と考 え る こ と も で き る.Thomson散

乱 の公

式(4.14)は

入 射 電 磁 波 の 波 長 が 長 く て,古

入 射 波 の 波 長 がX線 Nishinaの

やr線

ほ ど に な る とCompton散

公 式 に お き か え ら れ る.し

限 を と る と,(4.14)のThomsonの 限(Thomson

limit)と

典 論 が 適 用 で き る と き に だ け 正 し く, 乱 が お き て 有 名 なKlein-

か しKlein-Nishinaの 公 式 に 一 致 す る.こ

い っ て,量

公 式 で 長 波長 の極 の 極 限 をThomson極

子 力 学 的 な 計 算 の 正 否 の 検 証 や,そ

の物 理 的

意 味 の 検 討 に 利 用 さ れ る.   (２)  Rayleigh散

乱   こ ん ど は,電 子 が 原 子 に 振 動 数 ω0/２ π な る弾 性力 に よ

っ て 束 縛 さ れ て い る と き を 考 え よ う.こ れ は 第 ｌ章 §３の 例 題 に お け るThomson の 原 子 模 型 を 考 え て い る も の で あ る.こ

で あ た え ら れ る.な

お,こ

の と き,電

子 の運動 方 程 式 は 近 似 的 に

こ で も 自 己 力 は 考 慮 し て い な い.

  い ま 入 射 電 磁 波 に よ り 誘 起 さ れ る 電 子 の 強 制 運 動 が ほ し い の で あ る か ら, (4.16)の 特 解 を 求 め た ら よ い.そ

と お き,(4.16)に

こで

代 入 して

これ よ り

が え ら れ る.し

た が っ て,

と な る. こ れ を,(4.6)に

が え られ る.こ

代入する と

こ で,σTはThomson散

角 振 動 数 が 小 さ くて

乱 の 全 断 面 積 で あ る.と

く に入 射 波 の

の と き に は,

と な る.す 章(7.44)に

な わ ち,散

乱 断 面 積 は 入 射 波 の 波 長 の ４乗 に 逆 比 例 す る.こ

の べ たRayleigh散

乱 で あ っ て,電

気 双 極 子 放 射(l＝1)の

れは第 ８ 特徴 の

ひ と つ で あ る.

 §５ 電 磁 波 の放 射 の反 作 用   (１)  エ ネル ギー保 存 則 と減衰 力  §３ のRutherfordの

原子模型の安定性の

問題 での べ た よ うに,点 電 荷 が加 速 され て い る とき,そ れ は電 磁 波 を放 射 し,そ れ に ともな っ て点 電荷 自身 の もつ力 学 的 エ ネ ル ギ ーは減 少 す る.こ の作 用 を電 磁 波 の 放射 の反 作用 とい う.こ の反 作 用 は点 電 荷 に作 用 す る 自己力 に も とづ くも の で あ り,こ れ は電 荷 の運 動 に対 す る減 衰 力 と して,そ の運 動 方 程 式 に 反 映 し て くるは ず で あ る.こ の問 題 の一 般 的 議 論 は あ とまわ しに して,こ の 減衰 力 を エネ ル ギ ー保 存則 か らみ ちび い て お こ う.  点 電 荷 の速 度 が光 速 度 に くらべ て小 さい ときに は,点 電 荷 の単 位加 速 時 間 あ た りの放 射 エ ネル ギー は(3,51)か ら

で あ た え られ る.仮

に 点 電 荷 が 周 期 運 動 を し て い て,あ

る 二 つ の 時 刻t1とt2に

おいて

で あ る と し よ う.こ

の 時 間t1→t2に

同 じ時 間 に 放 射 され た エ ネ ル ギ ー,あ く な け れ ば な ら な い.す

なわち

で あ る.こ の右 辺 を部分 積 分 す る と

お い て,減

衰 力Kが

点 電 荷 にな す仕 事 は

るい は点 電荷 のエ ネル ギ ーの 減 少 量 に等 し

で あ る.こ

こ で(5.2)の

条 件 を つ か う と,右

辺 の 第 １項 は 消 え て,第

２項 を(5.3)

の 左 辺 と比 較 す る と

とお け ば,エ

ネ ル ギ ー の 均 衡 が保 た れ る こ とが わ か る.(5.4)の

減 衰力 の大 き さ

の 程 度 を評 価 す る の に は

と か く と よ い.電

子 の 場 合,上

のm〓

の係 数 は

の程 度 で あ って,加 速度 の変 化す る時 間 をTと

の 条 件 が み た され て い る と き に は,減 巨 視 的 な 物 体 の 場 合,質

量mは

衰 力(5.5)は

した とき

き わ め て 小 さ い こ と が わ か る.

き わ め て 大 き く,そ

の た め にT0は

電 子 の とき

よ り も さ ら に 小 さ くな り,電 磁 波 の 放 射 に よ る減 衰 力 は 無 視 す る こ とが で き る.   １個 の 点 電 荷 が 外 力Fに る と き,そ

磁 波 を放 射 しな が ら運 動 し て い

の点電 荷 の運 動 方 程式 は

で あ た え られ る.お し,そ

よ っ て 加 速 され,電

そ い 電 子 に対 し て は 右 辺 の 減 衰 力 は 小 さ い も の で あ る.し

か

れ が 時 間 に 関 し て ３階 の微 分 で あ る こ と に 注 意 しな く て は な ら な い.す

な

わ ち,微

分 方 程 式 の 解 の 本 質 的 性 格 は,た

と え そ の 係 数 が 小 さ く と も,最

微 分 を ふ くむ 項 に よ っ て 決 定 さ れ る か ら,(5.6)は

普 通 のNewtonの

か ら予 想 さ れ る解 以 外 の 解 を ふ くん で い る 可 能 性 が あ る.そ F=0の

高階の

運動方程式

こ で,(5.6)で

外力

と き を 考 え て み よ う.こ の と き 電 子 は 自 由 運 動 を し て い る の で あ る か ら,

な る 解 を と る こ と が で き,こ

の と き 減 衰 力 は ０ で あ る.と

こ ろ が,

も また解 とな っ てい る.こ れ は電 子 に何 の外 力 もか か っ て い ない の に,時 間 と と も に指数 関数 的 に加 速 度 が 大 き くな る とい う不 可解 な運 動 を示 して い る.こ の解 が不 合 理 な こ とは 明 らかで あ る が,そ れ は ど うして この よ うな解 が え られ た の で あ ろ うか.ま ず 気 が つ くこ とは,外 力F=0の した が っ て,(5.2)の う保 証 が ない.そ

ときに は運 動 は周 期 的 では な い.

条件 がみ た され てい な い か ら,(5.4)の 減衰 力 が 正 しい とい

こで この 問題 を解決 す る には,非 周 期 運動 を もふ くめた一 般 の

運動 に対 して 減衰 力 が どの よ うにな るか を考 え な くては な らな い.   (２)放

射 の反 作 用  点 電 荷 が 電磁 波 を放射 す る とき,そ の反 作 用 と して点 電

荷 に減 衰 力 が は た ら くとい う問 題 を一 般 的 に と りあつ か うた め に は,点 電 荷 と電 磁 場 との 共 存 す る 体 系 を 記述 す る 基 本 方 程 式系 に も ど らな けれ ば な らない.す な わ ち,第 ２章 §１に お い ての べ た よ うに,こ 運 動 方 程 式 は第 ２章(1.6)で

の と き電 磁 場 の なか の点 電荷 系 の

あ た え られ,一 方 その 点電 荷 系 の運 動 に ともな って

発 生 す る電磁 場 は第 ２章(1.7)で

あ たえ られ る.こ の よ うに点 電 荷 系 と電磁 場 と

が たが い に か らみ あ った体 系 を考 え な くて は な らな い.こ の節 には い る まで は, あた え られ た電 磁 場 の なか の 点電 荷 の 運動 を求 め る とい う問 題 と,電 荷 の運 動 が 決 ま って い る とき,そ れ に よ り生 ず る電磁 場 を決 め る とい う問 題 だ け を主 と して と りあつ か っ て きた.す なわ ち,第 ２章 の(1.6)と(1.7)の 基 本 方程 式 系 を二 つ に 分 離 した場 合 を考 え て きた.そ の よ うな こ とが きわ め て粗 い 近 似 で あ るに もかか わ らず,古

典 電 磁 気学 の ほ とん どの問題 に有 効 で あ った理 由 は,(5.5)の

あ とで

の べ た よ うに電 磁 波 の放 射 の反 作 用 が小 さ くて,巨 視 的 な物 体 に対 して は ほ とん ど完 全 に それ を無視 す る こ とが で きた か らで あ る.そ して この反 作 用 の効 果 を考 えな くて は な らな い の は,電 子 の よ うな素 粒 子 の場 合 だ けで あ る.し た が っ て, 放 射 の反 作 用 の 問題 を考 え る とき,わ れ われ は必 然 的 に素 粒 子 の世 界 の 問題 にた ちい る こ とに な り,そ の と きに は古 典物 理 学 を こえ て,さ らに相 対 論 や量 子 力学 を も考慮 しな けれ ば な らな い.そ こで以 下 の古 典 論 的 考 察 は あ ま り意 味 のあ る こ とで はな い と考 え るか もしれ な い.し か し,古 典論 に あ らわ れ る 困難 は 現代 物 理 学 に もひ きつ が れ,そ れ は 現在 の理 論物 理 学 の最 も深 刻 な問題 に もつな が る もの であ る.そ して一 部 の研 究者 は,現 在 の場 の相 対 論 的 量 子 力学 の困 難 は,古 典 論 にお け る この 困難 を 克服 す る こ とに よ って は じめて 解 決 され る もの と考 え て い る.こ の よ うな観 点 か らみ る と,将 来 の理 論 へ のふ み 台 と して古 典 論 の困 難 を体

験 し て お くこ とは,あ

な が ち 無 意 味 で は な い で あ ろ う.

  電 子 の 運 動 に対 す る 電 磁 波 の 放 射 の 反 作 用 を 考 え る た め に,第 (1.7)の 基 本 方 程 式 に も ど る.こ

で あ た え ら れ る.こ

２ 章(1.6)と

の と き,電 磁 場 は

こ で,ρ0とi0は

い ま 考 え て い る 電 子 の 電 荷 密 度 と電 流 密 度

を あ ら わ す も の で,電

子 は き わ め て小 さ い が 有 限 の 大 き さ を も ち,半

体 球 で あ る と す る.ま

た ρiとiiと

は,い

径a0の

剛

ま 考 え て い る電 子 以 外 の す べ て の 粒 子

系 に よ る 電 荷 密 度 と電 流 密 度 と を あ ら わ す も の とす る.一

方 考 え て い る電 子 の 運

動方 程 式 は

で あ た え られ る,(5.9)と(5.10)に

あ ら わ れ て い る 物 理 量 は 全 部 未 知 量 で あ っ て,

そ れ らは た が い に か ら み あ っ て い る.   い ま 考 え て い る 電 子 が つ く っ た 電 磁 場 の 自分 自 身 に 作 用 す る 自 己 力(self force)を

考 え る た め に,(5.9)の

と分 離 す る.す

な わ ち,ρ0,i0に

電磁場 を

よ っ て発 生 す る電 磁 場 がE0,B0で

外 の 電 荷 と電 流 に よ っ て 発 生 す る 電 磁 場 がE1,B1で 方程 式 は そ の線 形 性 の お か げ で

あ る.す

あ り,そ れ 以

る と, Maxwellの

お よび

に分 離 す る こ とが で き る.そ して電 子 の 運動 方 程式 もま た

と か く こ と が で き る.こ

こ で,F1は

で 他 の 粒 子 に よ り発 生 した 電 磁 場 の い ま 考 え て い る 電 子 に 働 く力 を あ ら わ し,F0 は 考 え て い る 電 子 が つ く っ た 電 磁 場 が 自 分 自身 に作 用 す る 力,す (self force)を

なわち 自己力

あ らわ し

で あ た え られ る.な

お こ こ で,第

２章 で す で に の べ た よ う に,こ

の よ うな 自己

力 を と り い れ て,は

じ め て 全 系 の エ ネ ル ギ ー ・運 動 量 保 存 則 が 成 立 す る こ と を

注 意 して お こ う.   未 知 量 ρ0とi0を (1.19)の

つ か っ て,(5.12)を

遅 延 ポ テ ンシ ァル

で あ らわ さ れ る.こ

こで

形 式 的 に 解 く と,電

磁 ポ テ ン シ ァル は

で あ る.さ

て こ れ ら を(5.16)に

運動 方 程 式 が え られ る.こ と,速

度v0の

代 入 す る と,自

こ で 電 子 の 速 度 は 光 速 度 に く らべ て 小 さ い も の とす る

１次 の 項 だ け を考 え た ら よ い.ベ

に比 例 し,i0はv0に

己力 の作 用 の も とにお け る電 子 の

比 例 す る か ら,(5.16)の

ク トル ・ポ テ ン シ ァ ルA0は

磁 場 に よ る 力 はv0の

ｉ0

２次 に 比 例 し,

した が っ て こ の 項 か ら の 寄 与 は 無 視 す る こ とが で き る. す る と,電 子 の 運 動 方 程 式 は

とか く こ と が で き る.   そ こ で 右 辺 の 自 己 力 を計 算 す る.右 間 積 分 は い ず れ も半 径a0の た る も の で あ る(図5.1参

辺 の二 つ の空

球 状 の電 子 の 内部 に わ 照).し

た が っ て発 信 時

刻t'は

の 程 度 で,電

子 内 の各 点 に お け る発 信 時 刻 の差 は小

さ い の で,発

信 時 刻t’ の 関 数 に な っ て い る 量 はtの

こ とが で き る で あ ろ う.す

と か か れ る.こ と,

な わ ち,こ

こ でR=x-x'でR=｜R｜

図5.1剛

体 球 と して の電 子

ま わ りにTaylor展

開す る

の とき

と お い た.こ

れ を(5.19)に

代 入 す る

こ こ で,右

辺 の 自 己 力 の うち ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァル か ら の 寄 与 の 一 部 を 考 え て

み よ う．   n=0の

項 は

と な り,こ

れ はxとx'に

とな っ て,こ

関 して 反 対 称 で あ る か ら 消 え る.ま

れ も消 え る.し

シ ァル か ら く る項 で は,n→n＋2と

た が っ て,自

たn=1の

お きか え る と

とな る.   さ て こ こ で 電 荷 保 存 則 をつ か っ て,x'に

とな る.い

関 す る 部 分 積 分 をす る と

ま電 子 は微小 な剛体 球 で あ る として い るか ら

と か く こ と が で き る.そ

こ で ベ ク トル(5.23)を

項は

己 力 の う ち ス カ ラ ー ・ポ テ ン

成 分 で か く と,

と な る.こ

れ を(5.22)に

代 入 し た と き,xとx'に

とお くこ とが で き る.し

た が っ て,

を う る.こ

代入 す る と

れ を(5.22)に

で あ る.(5.24)の 流 分 布i0が し,わ

つ い て対 称 で あ るか ら

時 間 微 分 で ρ0(x',t)の 時 聞 微 分 を と る と,電

あ らわ れ,し

た が っ てv0に

れ わ れ は は じめ か らv0の

荷 保存 則 か ら電

関 して ２次 以 上 の 項 が で て く る.し

２次 の 項 は 省 略 し た の で あ る か ら,こ

か

こ で もそ

うす る と

を え る.こ

れ が 電 子 の 速 度v0と

そ の 時 間 微 分 に 関 し て 非 線 形 の 項 を省 略 し た と

き の 自己 力 の 一 般 的 な 形 で あ る.   (5.25)の 最 初 の 数 項 を調 べ て み よ う.n＝0の

と な り,

とき

と か く と,こ

のWは

第 ２章 §４ の 例 題 で 求 め た 電 子 の 自 己 エ ネ ル ギ ー で あ る.

し た が っ て,

と な る.   次 にn＝1の

とな っ て,こ

とき

れ は(5.4)の

とか か れ る.こ

減 衰 力 で あ る.n≧2に

対 しては

こで

で,こ れ らは電 子 の 内部構 造 に関係 した量 であ る.   この よ うに して 自己力 の作 用 の もの に お け る電 子 の運 動方 程 式 は

で あ た え られ る こ と が わ か っ た.あ

とか か れ る.た

は,電

だ し,こ

る い は,右

辺 の 第 ２項 を左 辺 に 移 す と

こで

子 が そ の ま わ りに 静 電 場 を つ く る こ と に も とづ く電 磁 的 質 量 で あ る と解 釈

され る.し

か し,(5.32)の

る の で あ る.こ   (5.31)のm0は

右 辺 の 係 数4/3の

の 問 題 に つ い て は 第11章 電 子 の 力 学 的 質 量 で,わ

存 在 は,特

殊 相 対 論 の 要 求 と矛 盾 す

で 再 び と りあ げ よ う. れ われ が観 測す る電子 の質 量 は

で あ る と考 え る こ とが で き る.素

粒 子 物 理 学 で はm0を

質 量 と い う言 葉 をつ か う.(5.31)は が っ て,こ

裸 の 質 量, meを

電 子 の 非 周 期 運 動 に 対 し て も な りた つ.し

こ で も(5.8)の 不 合 理 な 解 の存 在 を まぬ か れ な い.し

す ぐ下 で の べ た よ うに,(5.31)はv0,〓,〓

た が っ て,(5.8)の

  上 の 議 論 で は,電

子 は 半 径a0の

剛 体 球 で あ る と仮 定 し た.こ

項 は 消 え て,点

とか くこ と が で き る.Diracに

こ でa0→0と

相対論

す る と,電

子 の

電 荷 の運 動 方程 式 は

よ っ て な さ れ た よ うに,こ

共 変 な 形 に 拡 張 す る こ とが で き る(第11章

う.す

のた め半 径

項 を ふ く む 電 子 の 運 動 方 程 式(5.30)を

的 に 共 変 な 方 程 式 に 拡 張 す る こ と は で き な い.そ

らわ か る よ うに,自

の 剛体 球 とい う

換 に 対 し て 共 変 的 な概 念 で は な い.そ

有 限 に 保 つ か ぎ り,(5.28)の

構 造 に 関 係 した(5.28)の

解 は この条 件 をみ た さ

解 は ゆ る さ れ な い こ とが わ か る.

概 念 は 後 に の べ るLorentz変 a0を

た

か し,(5.25)の

… が そ れ ら の ２乗 を 無 視 で き る ほ ど

小 さ い と仮 定 した と き に な りた つ も の で あ っ て,(5.8)の な い.し

着物の

参 照).と

の方 程式 は相 対 論 的 に

こ ろ が,こ

己 力 に も とづ く電 子 の 電 磁 的 質 量meは

の と き(5.32)か

無 限 大 に な っ て しま

な わ ち,相 対 論 的 理 論 に お い て は,自 己 エ ネ ル ギ ー の 発 散 を ま ぬ か れ な い.

一 方 自 己 エ ネ ル ギ ー を 有 限 に し よ う とす れ ば,こ

ん どは 理 論 は 相 対 論 と矛 盾 し

て し ま う.こ の 困 った 事 情 は 量 子 力 学 に お い て も あ らわ れ て き て,現

在 の理 論物

理 学 の 最 大 の 難 点 の 一 つ と な っ て い る.   [例題 ］ 電 荷 を もつ調 和 振動 子 の 減衰  点電 荷eが とす る.は じめの 時刻t＝0に

振 動数 ω0/2πの弾 性力 を うけ てい る

おい て,振 動 子 の振 幅 はaで

あ る と しよ う.こ の と き点 電

荷 の運 動方 程 式 は

で あ る.い ま減衰 力 は小 さい と して

の 形 の 解 を 求 め る こ と を 試 み よ う.   (5.36)を(5.35)に

一方

代 入 して,ω0≫

γ と 仮 定 し て γ に つ い て １次 の 量 だ け を と る と

とな る.こ れ らを 比較 す る と,γ が決 まっ て

と な る こ と が わ か る.こ

の と き,ω0》

γ の条 件 は

あるいは

と な る.(5.38)を

電 子 に 対 し て適 用 す る と

であ る.1023sec-1の

角振 動 数 は γ 線 の そ れ で あ るか ら,普 通 の 原 子 的世 界 にお い て は,

(5.38)は 十 分 み た され て い る.   点 電 荷 が単 振 動 を してい る とき に は,(3.53)で

あた え た よ うに,放

射 され る電 磁 波 の角

振 動数 は点 電 荷 の 角 振動 数 ω0に 等 し く単 色 波 で あ る.し か し(5.36)の して い る点 電 荷 の 放射 す る電 磁波 は単 色 波 で は ない.そ

よ うな減衰 振 動 を

こで こ の 放 射 波 の強 度 の振 動 数 分

布 を調 べ よ う.   単 位 時間 あた りに点 電 荷 が 放射 す る平均 エ ネル ギー は(3.52)で

あた え られ る.し た が っ

て,全 時間 にわ た って放 射 され る全 平 均 エ ネ ル ギ ー 〓 は

で あ る.   振 動 数 分 布 を 求 め る た め に,(5.39)のr(t)を

これ よ り

で あ る.し

たがって

こ れ を(5.39)に

代入す ると

次 の よ う にFourier展

開 す る.

とな る.各 角振 動 数 に対 す る放 射 電 磁波 の強 度 をI(ω)と す る と

とか け るか ら,強 度 の 振 動数 分 布 は 上式 と比 較 す る こ とに よ り

で あ た え ら れ る.   さ て,点

電 荷 はt≦0で

は 原 点 に 静 止 して い てz(t≦0)=0で

の 運 動 を は じ め る と し よ う.す

と な る.し

と き(5.36)

たがって

これ を(5.41)に

を う る.こ

あ り,t＞0の

る と こ の と き,(5.40)のb(ω)は

代入す ると

のI(ω)は

ω=ω0の

で お き か え て も よ い.こ

近 くで だ け 大 き い 値 を も つ か ら,(ω0−

ω)2以 外 の

の と き(5.42)は

と あ ら わ さ れ る.   図5.2は

放 射 電 磁 波 の 強 度 分 布I(ω)

を 図 示 し た も の で,ω=ω0の

とき強 度 は

最 大 で そ の ま わ り で は 急 激 に 減 少 す る. そ の 強 度 が ち ょ う ど半 分 に な る と き の ピ ー ク の 幅 は γ で あ た え られ,こ 値 幅(half

width)と

い う.こ

れ を 半 の よ う に,

電 磁 波 を放 射 して減 衰 振 動 をす る点 電 荷 の 放 射 す る 電 磁 波 の ス ペ ク トル は,ω0 の ま わ り に 拡 が っ て い て,こ 線 幅(natural

line breadth)と

れ を 自然 い う.

図5.2  放射電磁波 の振動数分布の幅

ω は ω0

  [問題]   (１)  空 間 の き わ め てせ ま い領 域 に電 荷 をもつ 電 気 双極 子 か らの 放 射 に よる 磁 場 の 強 さ は,双 極 子 の近 くで はBiot-Savartの 法 則 に よっ て あた え られ る こ と を示せ.   (２)  放 射 状 に振 動 す る球対 称 な電 荷 分 布 に よ って,電 磁 波 は 放 射 され な い こ と を 証 明 せ よ.   (３)  長 さLの

直線 状 ア ンテナ の な か の電 流 密 度 が

であ た え られ る とき,放 射 され る電 磁 波 の 強 度 の角 分 布 を求 め よ.   (４)  一 辺 がdの

正 方 形 の 頂 点 に,順 次 に+e,-e,+e,-eの

点 電 荷 が お か れ て い て,

正 方 形 の 中心 を通 りかつ 面 に 垂直 な軸 の まわ りに角 速度 ω で回 転 して い る.こ の と き,電 気 四 重極 能 率,放 射 電 磁 場,そ の強 度 の 角 分 布,お の平均 放 射 エ ネル ギ ー を求 め よ.

よび長 波 長 の極 限 で の単 位 時 間 あた り

  (５)  電 気 伝 導率 が無 限 大 の半 径aの 球殻 の上 半 分 と下 半 分 とが,非 常 にせ まい 絶縁 体 に よ って分 離 され て い る とす る.そ して,上 下 の 半球 面 に交 代電 圧 ±φ0cos ωtを か け る. この とき,長 波長 の極 限 で の放 射 電 磁 場,放

射 強 度 の 角分 布,お

よび 球 か らの 単 位 時 間 あ

た りの平 均 放 射 エ ネ ル ギー を求 め よ.   (６)  半 径aの

円周 上 を一 定 角 速 度 ω で回 転 して い る荷 電eの

点 電 荷 か ら放 射 され る

単 位 時 間 あた りの平 均 エ ネル ギ ー量 を求 め よ.   (７)  太 陽 光線 が 大 気 中 を通 る と き,そ の一 部 は 空気 分 子 に よ っ て散 乱 され,透 過 光 の強 さは よわ くな る.大 気 中の分 子 は,そ れ ぞ れ １個 の 電子 を ω0/2πの振 動 数 で 弾性 的 に束 縛 して い る とす る.こ

の と き ω(ω≪ω0)の 角 振 動数 の光 が １個 の分 子 に よ り 散 乱 され る全 断

面積 は本 文 の(4.20)で あ た え られ る.さ

て,空 気 分 子 は1,000Å

の波 長 の 紫 外線 に よ っ て

吸収 ス ペ ク トル が観 測 され る と仮 定 して,太 陽 光 の 赤色 光 と青色 光 が地 上 に到着 した とき, そ れ ぞれ 大 体何 パ ー セ ン トだ け減 少 して い る か.こ 積 あ たり,地 上 か らの 高 さをxと

こで大 気 中 の 空気 分 子 の 数 は,単

位体

した とき,

に よ っ て あ た え ら れ る も の とす る.ま

た,

とす る.  (８)  電磁 波 の放 射 の反 作 用 に よ って,地 球 の １年 の 長 さ を １世紀 の 間 に １日だ け 短 く させ る ため に は,地 球 は どれ だ けの 電 荷 を も っ てい な けれ ば な らな いか.た だ しv/c≪ １で,

地 球 の 軌 道 は 円 で あ る と す る.ま 3×108m/secと

た 地 球 の 質 量 は6×1024kg,ε0=9×10-12Farad/m,c=

す る.

  (９)  ω0/2π な る 振 動 数 で 原 子 に 弾 性 的 に 束 縛 さ れ て い る 電 子 に ω/2π の 振 動 数 の 光 が 入 射 す る と き 光 の 散 乱 の 全 断 面 積 を 求 め よ.た

だ し この と き場 の反 作 用 に よ る 減 衰 力 を考

え に い れ よ.   (10)  楕 円 偏 光 し た 電 磁 波(電

場 はE=Acosωt+Bsinωtで,A,Bは

の 自 由 電 子 に よ る散 乱 微 分 断 面 積 は

で あ る こ とを示 せ.nは

波 動 の 進行 方 向 の単 位 ベ ク トル で あ る.

直 交 す る 振 幅)

第10章  運 動 物体 の電 磁 気学 特 殊 相 対 論 へ の あ ゆ み １)

§１ Hertzの

理論

  近 接 作 用 の 立 場 に よ るMaxwellの る こ と は,こ

理 論 が き わ め て 正 確 に 電 磁 的 現 象 を記 述 す

れ ま で の 議 論 で 明 らか で あ る.こ

の と き,観

き て い る物 体 に 対 し て 静 止 し て い る も の と した.こ

測者 は電 磁 的現 象 のお

の こ とは 第 ３章 の 表 題 か ら し

て 明 ら か で あ る.そ

れ で は電 磁 現 象 を お こ し て い る物 体 が 観 測 者 に 対 し て 運 動 し

て い る と き に は,そ

の 現 象 を 記 述 す る基 本 法 則 は ど の よ うな 形 で あ ら わ され る で

あ ろ うか.1890年Hertzは

こ の 問 題 を 考 え て,運

動 物 体 に 対 す る電 磁 気 学 の 基

本 方 程 式 系 を み ち び い た.   観 測 者 に 対 し て等 速 度 運 動 を し て い る物 体 の な か に お け る 電 磁 的 現 象 を記 述 す る 基 本 方 程 式 をみ ち び くに は 次 の よ う に し た ら よ い.座

標 系K'は

物

体 に 対 し て 静 止 し て い る も の とす る. K'系

に 対 し て 一 定 速 度-vで

等速

度 運 動 し て い る も う １個 の 座 標 系Kを 考 え よ う.す Aか

る とK系

らみ る と,K'系

に の っ て い る人 は+vの

運 動 し て い る こ と に な る.K'系 測 者Bに

速度で の観

と っ て は 静 止 系 のMaxwell

の 方 程 式 が な りた っ て い る か ら,こ

れ

図1.1  物 体 に対 す る静 止 系K'と 運 動 系K

1)  特殊 相 対 論 の 歴 史 的解 説 は 光 学 的 な考 察 に よ って な され るの が 普 通 で あ る.し

物 体 に対 す る

か し この特 殊 相 対

論 を電 磁 気学 の 問 題 と して と らえ,Maxwellの 方程 式 の 本 質 を解 明す るて だ て と考 え るな らば,こ こで や る よ うに 相対 論 の歴 史 的解 説 を運 動 物 体の 電 磁 気 学 の考 察 に よっ て 行 な った ほ うが よ り教 育 的 で あ る と思 わ れ る.実 際,Einsteinの 特殊 相 対 論 の 第 １論 文 の 題 名 は 「運 動 物 体 の 電 気 力 学 につ い て 」と い う もの で あ っ た.

をK系

に 座 標 変 換 す れ ば,K系

あ ろ う(図1.1参

の 観 測 者Aに

と っ て の 基 本 方 程 式 系 が え られ るで

照).

  二 つ の た が い に 等 速 度 運 動 し て い る座 標 系KとK'の の よ うに し て あ た え ら れ る.空

間 内 の あ る 点Pを

瞬 間 に お い て そ の 座 標 値 がK系

で はx,K'系

あ いだ の座 標 変換 は次

考 え た と き,あ で はx'で

る 時 刻tの

その

あ た らえ られ た とす

る と,そ れ らの 座 標 値 の あ い だ に は

な る 関 係 が あ る.た

だ し時 刻t=0の

の とす る.(1.1)でvが き時 間tはK系

と して い る.こ

瞬 間 に は 両 座 標 系 の原 点 は 一 致 し て い る も

一 定 の と き,こ とK'系

の 変 換 をGalilei変

換 と い う.こ

の と

の 両 方 に 共 通 で あ る もの と 仮 定 し

れ は あ た り ま え の よ うだ が,実

はあ とで この点 が 問題 に な って く

る.   (1.1)の 変 換 は 座 標 変 換 で は あ る が,第

２章 §２ で の べ た よ うな 静 止 座 標 系 間

の 座 標 変 換 とは ち が う こ と に注 意 さ れ た い.電 る とい う の は,静

磁 場E,Bな

止 座 標 系 か ら静 止 座 標 系 へ の 座 標 の 変 換(回 転)に 対 し て ベ ク ト

ル 量 で あ る とい うこ とで あ る.(1.1)のGalilei変 うな 変 換 性 を 示 す か とい う こ と は,実 る.K系

の 観 測 者Aが

測 した と き,測 の 観 測 者Bも

どが ベ ク トル 量 で あ

時 刻tの

換 に 対 し て,そ

験 に よ っ て は じ め て 明 らか に され る の で あ

瞬 間 に 点P(座

標 値x)に

定 に よ っ て え られ た 数 値 がF=F(x,t)で ま た 同 一 点P(座

に 観 測 し た と き,え 値 が 一 致 し た と き,つ

れ らが ど の よ

標 値x')に

お け る物 理 量 〓 あ っ た と す る.K'系

お け る お な じ物 理 量 〓

られ た 数 値 がF'=F'(x',t)で

を観

を同 じ瞬 間t

あ っ た と し よ う.こ

れ ら の数

ま り

あ るい は

が な りた っ て い る と き,こ

の物 理 量 〓

はGalilei変

換(1.1)に

対 して スカ ラー

量 で あ る と い う.(1.3)の

等 号 は 実 験 に よ っ て の み た しか め られ る の で あ っ て,

こ の 等 号 は 数 学 的 な か き な お し に よ る等 号 で は な い.F'(x',t)を(1,1)に の 関数 と してか きなお す と

よ っ てx

とな る.こ

こ でFはxの

す も の で,(1.4)の

関 数 と し て か き な お し た こ と に よ る 関 数 形 の 変 化 を示

等 号 は す べ て 数 学 的 な か き な お し に よ る等 号 に す ぎ な い.し

た が っ てF'(x',t)が

ス カ ラ ー 量 で あ る と き に は,(1.3)と(1.4)か

が な りた つ.(1.3)に

お い て と くにFとF'と

で あ る と き,こ  物 理 量 〓

の 物 理 量 はGalilei変

がGalilei変

ら

の 関 数 形 が お な じ と き,つ

ま り

換 に 対 し て 不 変 量 で あ る とい う.

換 に対 し て ス カ ラ ー量 で あ る と き,そ

量 は どの よ う な変 換 を す る で あ ろ うか.K'系

の微分 を とっ た

に お い て物 理 量 〓 はF'(x',t)な

る値 を も つ か ら,

と な る.同

様 に して

と な る か ら,ス

カ ラ ー 量 の 空 間 微 分 も ま たGalilei変

換 に対 して ス カ ラー量 で あ

る.   こ ん ど は 時 間 微 分 を調 べ る.K'系

とな る.こ

に お い て 時 間 微 分 を と る と,

こ で 右 辺 の 第 １項 の 時 間 微 分d/dtは,な

な く,x'＝x-vtの

ま のtに

関 す る微 分 だ け で

な か に ふ く ま れ て い る時 間 に つ い て の微 分 を も と っ た もの で

あ る.し

で あ り,ま

た が っ て,右

辺 の 第 ２ 項 以 下 で そ の 分 だ け 差 し 引 い て あ る.と

た(1.7)と(1.8)と

と な り,(1.1)か

ころが

か ら

ら

で あ る か ら,(1.9)は

と か か れ る.こ

の 右 辺 の微 分 はLagrangeの

微 分 とい わ れ る も の で,流

体力学

では

な る 記 号 を つ か う.(1.11)と(1.12)と

で あ る か ら,Lagrangeの

を く ら べ る と.

微 分 は 物 体 に 対 し て 静 止 し て い る座 標 系K'に

時 間 微 分 を,K系

の 量 で か い た も の で あ る こ とが わ か る.結

間 微 分 はGalilei変

換 に 対 し て,(1.11)の

  準 備 が お わ っ た の で,こ 系 の 観 測 者Bか

れ か らK系

おける

局 ス カ ラー量 の時

変 換 を す る こ と が わ か っ た. か らみ た 基 本 方 程 式 系 を み ち び こ う.K'

らみ た ら,電 磁 現 象 をお こ し て い る 物 体 は 静 止 し て い る か ら,物

体 の な か の 普 通 のMaxwellの

方 程 式 が な りた っ て い る.す

なわち

で あ る.ま

た この とき

な る 関 係 も な りた っ て い る もの と す る.   こ こ でGalilei変

換(1.1)に

対 し て,電

ス カ ラ ー 量 で あ る と仮 定 す る.つ

磁 場,伝

導 電 流 密 度,真

電荷 密 度 等 は

ま り

また

で あ る と す る.こ

の 仮 定 の 正 否 は 実 験 と の 比 較 に よ っ て の み た し か め られ る の で

あ る.   こ の 仮 定 と(1.7)お

よ び(1.8)か

ら,た

だ ち にK系

に お け る 基 本 方 程 式 系 と して

と

が え られ る.   次 に 時 間 微 分 を ふ くむ 方 程 式(1.14)と(1.15)と 空 間 微 分 をふ く む 項 は(1.7)と(1.8)と

か ら

を 考 え よ う.(1.14)に

お い て,

で あ る.時

間 微 分 を ふ くむ 項 は(1.11)か

と な る.こ (1.24)と

こ で(1.21)の

ら

結 果 を つ か う と,右

辺 の第

２ 項 は お ち て,(1.23)と

か ら

が え られ る.   同 様 に し て,(1.15)は

また

で あ る.し

た が っ てK系

に お け る(1.15)は

とな る. こ の よ うに して,物 体 に対 して運 動 して い る座 標 系Kに お け る基本 方 程 式 系 は

お よび

に よ っ て あ た え られ る こ と が わ か っ た.   (1.29)∼(1.32)の ちK'系

基 本 方 程 式 系 をHertzの

の 第 ２項,(1.30)の

のMaxwellの

比 較 し て み る と,(1.29)の

右辺

右 辺 の 第 ２項 と 第 ４ 項 の ３個 の 項 が 運 動 に よ る 影 響 と し て つ

け 加 わ っ て き て い る.も

う.ま

方 程 式 と い う.こ れ を 静 止 系 す な わ

に お け る基 本 方 程 式 系(1.14)∼(1.17)と

ち ろ ん ν=0の

方 程 式 に 一 致 す る.こ

ず 簡 単 な(1.30)の

と き に は,こ

れ らの項 は ０とな っ て普 通

れ ら の付 加 項 の 物 理 的 意 味 を考 え て み よ

右 辺 の 第 ４項 ρe(x,t)vか

ら は じ め よ う.こ

れ は真 電 荷

ρeが 速 度 ν で 運 動 す る こ と に よ っ て 発 生 す る 電 流 を あ らわ し て お り,こ れ を 対 流 電 流(convection  を 考 え る.い

current)と

イ ル を 貫 く磁 束 は 変 化 す る.そ ろ う.こ

い う.次

ま 磁 場 が 一 定 で あ っ て も,コ

に(1.29)の

の た め に,コ

後 に(1.30)の

れ をRontgen電

真 電 荷 は 運 動 し て い る た め,K系

流 とい う.す

な わ ち, K系

生 じ,そ

のために

の点 での

‘変 位 電 流'

れ が 磁 場 を つ く る と い うわ け で あ る.

上 に み ち び い た 運 動 物 体 内 の 電磁 的 現 象 を記 述 す るHertzの

方 程 式 はMax

方 程 式 と同 様 に 実 験 事 実 を正 確 に 記 述 し て い る で あ ろ う か.こ

は い る ま え に,こ

か らみ る と

に お け る あ る 固 定 点 を 考 え た と き,そ

真 電 荷 の つ く る 電 場 の 強 さ は 時 間 と と も に 変 化 す る.そ

wellの

右 辺 の第 ２

磁 場 の な か で真 電 荷 が運 動 して い るた め に お き る一 種 の

変 位 電 流 で あ っ て,こ

-rot(v×D)を

の コ

イ ル の なか に は起 電 力 を生 ず る で あ

の 磁 束 の 変 化 を あ た え る の が こ の 項 で あ る.最

項-rot(v×D)は,電

右 辺 の 第 ２項rot(v×B)

イ ル が 運 動 し て い る と き に は,そ

こ で 考 え たGalilei変

換 に よ っ て,Newtonの

の問題 に

運 動方 程 式 が ど

の よ う な 変 換 をす る か に つ い て 調 べ て お か ね ば な ら な い.

§２ Galileiの   前 節 に お い て,わ

相対 性 原 理 れ わ れ はMaxwellの

方 程 式 がGalilei変

う な 変 換 を う け る か と い う問 題 を調 べ て き た.さ も の と し て は,電

換 に よ っ て どの よ

て 自然 法 則 の も っ と も基 本 的 な

磁 的 現 象 に対 す る もの の ほ か に,古

典 力 学 に お け るNewton

の 運 動 法 則 が あ る.そ

こ で,Newtonの

運 動 方 程 式 がGalilei変

換 に対 して どの

よ う な 性 質 を も つ か とい う問 題 を 調 べ よ う.   い ま カ ー テ シ ァ ン 座 標 系Kに

とか か れ る も の とす る.す

お い て,Newtonの

な わ ち,粒

運 動 方 程式 が

子 の 質 量mに

そ の 加 速 度 を か け た も の が,

そ の 粒 子 に 作 用 す る 力 に 等 し い と い う手 続 き に よ っ て 運 動 法 則 が 記 述 さ れ る も の とす る(回 転 座 標 系 や 曲 線 座 標 系 で は 運 動 法 則 は(2.1)の い).座

標 系Kに

よ う.K系

よ うな 簡 単 な 形 に な ら な

対 し て 等 速 度 運 動 し て い る 他 の カ ー テ シ ァ ン座 標 系K'を

に お い てr(t)に

運 動 を,K'系

か らみ た と き,そ

の と き,r(t)とr'(t')と

な る関 係 が あ る.つ

考 え

よ っ て そ の 運 動 が 記 述 され て い る粒 子 の そ の お な じ れ がr'(t')に

よ っ て 記 述 され る もの と す る.こ

のあいだには

ま り こ の 変 換 はGalilei変

換 で あ る.(2.2)を

微分す ること

に よっ て

が え られ る か ら,粒 子 の 加 速 度 はGalilei変 粒 子 に 働 く力Fは で 測 っ た 力 はK'系 ら れ る.つ

換 に 対 し て ス カ ラ ー 量 で あ る.次

上 の よ うな 座 標 系 の え ら び か た に よ ら な い.す

に

な わ ち,K系

で も 同 じ 大 き さ と 方 向 を もつ こ と が 実 験 に よ っ て た し か め

ま り,力 は,Galilei変

が な りた つ.(2.3)と(2.4)と

換 に 対 して ス カ ラ ー量 で あ る.そ

か ら,K'系

こで

に お け る運 動 方 程 式 は

で あ た え ら れ る こ と が わ か る.   (2.1)と(2.5)と わ ち,K'系

を く ら べ て み る と,そ

の 観 測 者 が 粒 子mの

れ ら の 形 は ま っ た くお な じで あ る.す

運 動 法 則 を つ く る と き に も, K系

な

の観 測者 と

ま っ た くお な じ手 続 き で 運 動 方 程 式 を つ く っ た ら よ い ． こ の よ う に 両 座 標 系 に お い て,法

則 を つ く る 手 続 き,あ

る い は ‘法 則 の か た ち'が

変 わ ら な い と き,考

え

て い る変 換 の も と で 法 則 は 共 変 的 で あ る とい う.す な わ ち,Newtonの はGalilei変

換 に 対 し て 共 変 的 で あ る.こ

運 動 法則

の こ とは粒 子 の運動 そ の もの が両 座 標

系 の そ れ ぞ れ の 観 測 者 に と っ て お な じに み え る と い う こ とで は な い.た 上 に 静 止 して い る観 測 者Aが 的 に 落 下 す る.し Bが,そ

か し,地

小 石 を 自 由 落 下 さ せ た と き,Aか

らみ た小 石 は直 線

上 に対 して等 速 度 運動 を してい る電 車 の なか の観 測 者

の 小 石 の 運 動 を み た ら,そ

れ は 放 物 線 を え が い て 落 下 す る で あ ろ う.す

な わ ち 小 石 の 運 動 の 状 態 は 各 座 標 系 の 観 測 者 に よ っ て 異 な っ て い る.し ら,こ

の 小 石 の 運 動 を 観 測 者AとBと

上 の 人Aに

か しな が

が そ れ ぞ れ 記 述 す る と き,AもBも

くお な じ形 の 運 動 法 則(2.1)と(2.5)と だ,地

とえ ば地

ま った

か ら そ れ ぞ れ 出 発 し な け れ ば な ら な い.た

とっ て は小 石 の運 動 の初 期 条 件 と して水 平 方 向 の速 度成 分 が ０

で あ り,電 車 上 の 人Bに

と っ て は そ れ が ０ で な い と い う ち が い が あ る.こ

に小 石 の 運 動 の 様 子 は ち が っ て く る の で あ る.こ とに 共 変 的 で あ る と い う こ と は,法

の よ う に,法

のため

則 が あ る変換 の も

則 の 形 が 変 わ ら な い とい う こ と で あ っ て,法

則 の 解 で あ る 運 動 そ の もの が 変 わ ら な い と い う こ と で は な い とい う こ と に 注 意 さ れ た い.   さ て,(2.1)に

お い て も,(2.5)に

速 度 運 動 をす る.す で,運

な わ ち,こ

動 方 程 式 が(2.1)あ

ま り座 標 系KとK'は

手 段 が な い.す

な わ ち,仮

の 議 論 か ら わ か る よ う に,い

こ

か な る慣

運 動 法 則 は ま っ た くお な じ形 で あ た え られ る の で, 動 い て い る の か,あ

るい は そ の 逆 で あ るのか 区別 す る

に 絶 対 静 止 の 空 間 が あ っ た と し て も,そ

法 に よ っ て 識 別 す る手 段 は な い.上

Bが 小 石 を 自 由 落 下 させ た ら,こ

れ を力学 的 方

の 電 車 の 例 を考 え る と,地 上 の 人Aは

運 動 が 直 線 的 で あ る か ら 自 分 が 静 止 し て い る の だ と主 張 し て も,も

れ をAが

子 は等

形 に か け る座 標 系 を 慣 性 系 とい う.つ

慣 性 系 で あ る.上

止 ま っ て い てK'が

と き に は,粒

れ ら の 座 標 系 で は 慣 性 の 法 則 が な りた つ.そ

る い は(2.5)の

性 系 に お い て もNewtonの Kが

お い て も力F=F'=0の

ん ど はBに

小石 の

し電 車上 の人

と っ て は 小 石 は 直 線 的 に 落 下 し,そ

み た ら放 物 線 を え が い て 落 下 す る こ とに な っ て,結

局AもBも

たがいに

相 手 が 運 動 し て い る の だ と主 張 す る で あ ろ う.   し か し,慣

性 系 に 対 し て 一 定 角 速 度 で 回 転 運 動 を し て い る カ ー テ シ ァ ン座 標 系

(慣 性 系 に 対 し て 加 速 度 運 動 を して い る)を 考 え る と事 情 が 変 わ っ て く る.回 標 系Rの

上 に の っ て い る観 測 者Cは

外 界 か ら隔 離 され て い る と し よ う.観 測 者C

が 粒 子 の 運 動 を 記 述 し よ う と し て,運 粒 子 に 外 力Fが

転座

動 方 程 式(2.1)を

働 い て い な い な らば,粒

た て た とす る.も

しその

子 は 等 速 度 運 動 を す る は ず で あ る.と

ころ がCの

観 測 す る 自 由 粒 子 の 軌 道 は 曲線 と な る で あ ろ う.す

運 動 方 程 式(2.1)が 説 明 す る に は,あ

な わ ち観 測 者Cは

彼 に と っ て は 成 立 し な い こ と を 発 見 す る.そ

して実 験 事 実 を

る ベ ク トル ω を も っ て き て 運 動 方 程 式(2.1)を

と修 正 す る必 要 が あ る こ と を知 る で あ ろ う1)． そ し て実 験 と う ま く合 う よ う に 一 定 ベ ク トル ω を決 定 す る で あ ろ う.す りた ち,そ

る と,Cは

ω=0の

と き に は(2.1)が

の と き に は 運 動 方 程 式 が 特 別 に 簡 単 な 形 に な る こ とか ら,自

な

分 は角 速

度 ω で 慣 性 系 に対 し て 回 転 し て い る座 標 系 の 上 に い る と い う こ と に 気 が つ くは ず で あ る.あ

る い は,逆

が で き る.こ

の よ う に,運

にCは(2.1)の

法 則 が な りた つ 慣 性 系 の 存 在 を 知 る こ と

動 法 則 の 形 に よ っ て 観 測 者 は 彼 自身 が どの よ う な 座 標

系 に い る か を知 る こ と が で き る.と

こ ろ が,KとK'の

二 つ の慣 性 系 に お いて

は ま っ た くお な じ形 の 運 動 法 則 が な りた っ て い る の で,ど 先 的 で あ る か を決 め る こ と は で き な い ． こ の よ う に,ど 同 一 の 形 で あ ら わ さ れ,ど

相 対 性 原 理 とい う.

  古 典 力 学 を考 え て い る か ぎ り,上

に のべ た よ うに慣 性 系 の あい だ に区別 は なか

磁 的 現 象 を 記 述 す る 法 則 は ど うで あ ろ うか.こ

し て 静 止 し て い る 慣 性 系K'と,そ で は 法 則 の 形 が ち が っ て い る.す ち,K系

の慣 性 系 で も運 動法 則 が

の 慣 性 系 も特 別 な慣 性 系 と し て 区 別 す る こ と が で き な

い と い う事 情 をGalileiの

っ た が,電

で はHertzの

式 はGalilei変

ち ら の 慣 性 系 が よ り優

の と き に は,物

体 に対

れ に 対 し て 等 速 度 運 動 し て い る 慣 性 系Kと な わ ちK'系

で はMaxwellの

方 程 式 が な りた っ て い る.す

換 に対 し て 共 変 的 で は な い.つ

方 程 式 が な りた

な わ ち, Maxwellの

ま りGalileiの

方程

相 対 性原 理 は な り

た た な い.   しか し,こ

の と きK'系

は 電 磁 的 現 象 を お こ し て い る物 体 に 対 して 静 止 し て い

る と い う特 別 の 事 情 が あ る の で,そ

の 特 殊 性 を の ぞ くた め に,い

ま μ=μ0,ε=ε0

と お い て 真 空 中 に 電 磁 的 現 象 が お き て い る場 合 を 考 え て み る ． こ う し て もHertz の 方 程式 に あ らわ れ た 付 加 項 は そ の ま ま の こ り,た だ 定 数 μ と ε と が μ0と と に お き か え られ る だ け で あ る ． そ こ で,あ を 論 ず る た め に,真 観 測 者 がMaxwellの

１)左

る観 測 者 が 真 空 中 に お け る電 磁 現 象

空 中 の 電 磁 場 の 方 程 式 を た て る こ と を試 み た と し よ う.そ 方 程 式 を 仮 定 し た と き,実

と を 発 見 し た とす る.そ 辺 の 第 ２項 はCoriolisの

の 人 はHertzの 力,第

ε0

の

験 事 実 を う ま く説 明 で き な い こ

方 程 式 が う ま く実 験 を 説 明 す る こ と を

３項 は遠 心力 で あ る.

い つ か 発 見 す る で あ ろ う.こ の と き,Hertzの ラ メ ー タ ー で あ る.実 法 則 は 完 結 す る.さ

験 に よ っ て,こ

て こ の と き,そ

方 程 式 に あ らわれ る υは未 定 のパ

の パ ラ メ ー タ ー を決 定 す る こ と が で き て,

の 観 測 者 は υ=0な

気 が つ くで あ ろ う.そ

の 慣 性 系 で はMaxwellの

る.い

の 観 測 者 は 自分 がMaxwellの

い か え れ ば,そ

る特 別 の 慣 性 系 の存 在 に

方 程 式 が な りた っ て い る の で あ 方 程 式 の な りた つ 慣 性 系 に

対 して 速 度 υ で 等 速 度 運 動 を し て い る 慣 性 系 に い る こ と を 知 り,Maxwellの

方

程 式 の な りた つ 慣 性 系 は 絶 対 静 止 の 空 間 に 対 し て 静 止 した 慣 性 系 で あ る と 主 張 す る で あ ろ う.そ て,絶

し て 絶 対 静 止 の 慣 性 系 でMaxwellの

方 程 式 が な りた つ 理 由 と し

対 静 止 の エ ー テ ル の 存 在 を あ げ る で あ ろ う.

  こ の よ うに し て,古

典 力 学 の 運 動 法 則 か らは 検 出 す る こ と の で き な か っ た 絶 対

静 止 の 特 別 な 慣 性 系 の 存 在 を,電 る.し

か し,こ

あ っ て,本

の 議 論 はHertzの

磁 的 現 象 に よ っ て 知 る こ とが で き る は ず で あ 方 程 式 が 実 験 を正 し く説 明 す る と し て の 話 で

当 に そ うで あ る か 否 か は 実 験 に よ っ て た し か め な け ば な ら な い.そ

こ

で 次 節 で 実 験 と比 較 し て み よ う.

§３ Hertzの Hertzの

方 程式 と実 験 事 実 との比 較

方 程 式 の う ちMaxwellの

方 程式 とちが うものは

と

とで あ る ．Maxwellの

と,(3.2)の

方 程 式 に つ け 加 え ら れ た の は(3.1)の

右 辺 の 第 ２項

右 辺 の 第 ２項 と第 ４項

で あ る.   (１)Wilsonの

実 験   (3.3)の

次 の よ う な 実 験 を お こ な っ た.す

部 分 の 検 証 を す る た め に,  H.A.Wilsonは な わ ち,図3.1の

よ うな 誘 電 体 を つ め た 金 属

中 空 円筒 に,一 様 な磁 場 をそ の軸 の 方 向 に か け て,誘 電 体 と と もに 円筒 を回転 す る.外 側 の 円筒 表 面上 の回 転速 度 をvと

で あ る か ら,(3.1)よ

が え られ て,中 の と き,一

り

心 軸 か ら 外 向 き の 電 場 が 発 生 す る.こ

般 に は(3.6)の

加 わ る が,実

す る と,こ の とき

右 辺 に-gradφ

の項 が つけ

験 で は そ の よ うな静電 圧 はお きな い よ う

に し て お く.   さ て,(3.6)に

よ っ て,金

属 円筒 の表 面上 に

な る表 面 電 荷 が誘 起 され る はず で あ る.と こ ろが実 験

図3.1Wilsonの

実 験

結果は

で あ っ た.す

な わ ち,Hertzの

と な る が,実

験 は(3.9)を

理 論 は 実 験 と一 致 し な い.(3.1)に

εをかける と

と お き か え る べ き で あ る こ と を 示 し て い る.   (２)Rontgen-Eichenwaldの Eichenwaldと

実 験   (3.4)の

に よ っ て な さ れ た.(3.2)に

項 の 実 験 はRontgenと

お い て変 位 電 流,伝

導 電 流,対

流電

流 の どれ も ０であ る とき

が え られ る.そ こで い ま 円形平 行 板 コ ンデ ンサ ー の あい だ に誘 電 体 をは さ んで や る.す る と分極 に よっ て誘 電体 の な かに 電束 密 度Dが 電 体 を回転 させ,そ の外 向 きの磁 場

の端 の 回転 速 度 をvと

す る.す

発 生 す る.さ て,こ の 誘 る と誘 電 体 の 回転 軸 に直 角

が 発 生 す る は ず で あ る(図3.2参

照).な

お この と き

も静 磁 場 に よ る磁 位 は あ らわ れ な い よ うに して お く.   とこ ろが実 験 結 果 は

と な っ た.こ

こ でPは

分 極 ベ ク トル の 大 き さ で 図3.2 

で あ る.し

Eichenwaldの

実 験

た が っ て,(3.2)は

で お き か え ら れ な け れ ば な ら な い.す

な わ ち,Rontgen電

流 はDで

な くPに

比 例 す る.   (３)Rowlandの

実 験   (3.5)の 項 を 調 べ る た め に, Rowlandは

電 荷 を 分 布 させ て お き,こ か を 調 べ た.こ

円板 上 に

の 円板 を回 転 させ る こ とに よ っ て 磁 場 が で き る か ど う

の と き,(3.2)に

で あ た え ら れ る は ず で あ る.こ

よ る と磁 場 は

の 実 験 の 結 果 は(3.15)と

場 を つ く る こ と が た し か め ら れ た.な

お,こ

よ く あ い,対

流 電流 が磁

の 実 験 に よ っ て は じめ て,電

流 とは

動 く電 荷 で あ る こ とが 直 接 に 確 認 され た の で あ る.

  §４Lorentzの

理論

運 動 物 体 内 の 電 磁 的 現 象 を 記 述 す るHertzの お よ びEichenwaldの

を克 服 す る に は ど う し た ら よ い で あ ろ うか.そ み ち び く と き に,ひ い.問

み よ う.こ

K系

幸 に し てWilson の重 大 な 困難

れ に は,§ １でHertzの

方程 式 を

そ か に も ち い られ て い る仮 定 に つ い て 反 省 し な け れ ば な ら な

題 の 焦 点 を 明 確 に す る た め,電 の と きK系

ε=ε0,μ=μ0と

方 程 式 は,不

実 験 結 果 と一 致 し な い こ と が わ か っ た.こ

のHertzの

お い た ら よ い.す

で は 真 空 中 のHertzの

磁現 象 が真 空 中 で お き て い る とき を考 え て 方 程 式 とK'系

る と,K'系

のMaxwellの

で は 真 空 中 のMaxwellの

方 程 式 が な りた っ て い る.電

方程 式 で 方 程 式,

磁 的 現象 は絶対 静 止 の

エ ー テ ル の な か で お き る 物 理 的 現 象 で あ る と 考 え る な ら ば,Maxwellの の な りた っ て い るK'系 い る こ と に な る.そ

は,絶

こ で,こ

方程 式

対 静 止 の エ ー テ ル に 対 して 物 体 と と も に 静 止 し て れ をHertzの

方 程 式 の な りた つK系

か らみ る と,

物 体 とエ ー テ ル と は 一 体 とな っ て 運 動 し て い る こ と に な る(あ る い は,動 る 物 体 の 内 部 の エ ー テ ル は 物 体 と と も に 運 動 し て い る).こ と エ ー テ ル の 運 動 と は 不 可 分 な も の で あ ろ う か.そ Hertzの

いてい

の よ うに 物 体 の 運 動

の 正 否 は と も か く と し て,

理 論 に は こ の よ う な 仮 定 が ふ く まれ て い る の で あ る.

  物 体 とエ ー テ ル の 運 動 の 関 係 を 考 え る た め に,WilsonとEichenwaldの 結 果 を 調 べ て み よ う.そ Hertzの

れ に よ る と,K系

方 程 式 で な く(3.10)と(3.14)と

い て 真 空 の 場 合 を考 え る と,そ Maxwellの

の 観 測 者Aに で あ る.こ

こ ろ がHertzの

止 し て い な け れ ば な らな い.こ

方 程 式 で は,真

な わ ち,実 験 は 真 空 中 で はK系

の 方 程 式 が な りた つ こ と を 要 求 し て い る.つ

ま り,K系

は

空 中 の ときに で もMaxwell

は エ ーテ ル に対 して は静

の 点 に 注 目 し たLorentzは,物

テ ル の 運 動 と を き り は な し て,絶

体 の 運 動 とエ ー

対 静 止 の 空 間 に 固定 して い る エ ーテ ル の海 の な

体 が 運 動 し て い る も の と 考 え た.こ

ル の 運 動 に つ い て,色

と っ て の 基 本 方 程 式 は, れ ら の 方 程 式 で ε=ε0と お

れ ら の 付 加 項 は ０ に な っ て,(3.10)と(3.14)と

方 程 式 に 一 致 す る.と

も そ れ ら の 付 加 項 は 残 っ て き た.す

か を,物

実験

こで物 体 を浸 して い る部 分 の エー テ

々 な 考 え か た を と る こ と が で き る.そ

の 第 １は,運

動 して

い る物 体 は そ の 内 部 の エ ー テ ル と一 体 に な っ て 運 動 す る と考 え る 立 場 で あ る.第 ２ は,運

動 物 体 は そ の 内 部 の エ ー テ ル の一 部 分 を ひ き ず っ て 運 動 す る と考 え る 立

場 で あ る.第

３は運動 物 体 の内 部 の エー テル は物 体 外部 のエ ーテ ル に対 して静止

し て い て,エ

ー テ ル は 何 の 抵 抗 も な く物 体 の な か を影 の よ う に 吹 き ぬ け る とす る

立 場 で あ る.   これ らの 立 場 の ど れ を と る か は 実 験 に よ っ て 決 め な け れ ば な ら な い.1851年, Fizeauは

流 水 中 に 光 を 通 し て,水

研 究 し た.い

の 運 動 に よ る 光 の 速 さ の 変 化 を実 験 に よ っ て

ま 第 １の 立 場 を と る な ら ば,水

す る 水 と一 体 に な っ て 運 動 す る.水 つ ま り水 に 対 す る 静 止 系K'か K系 の 観 測 者Aか

の 内 部 の エ ー テ ル は 速 さvで

の 屈 折 率 をnと

す る と,水

らみ た 光 の 速 さ はu'=c/nで

中 の 光 の 速 さ,

あ る.し

ら み た 光 の 速 さuは

で な け れ ば な ら な い.と

こ ろ がFizeauの

運動

実 験 の 示 す とこ ろ に よ る と

た が っ て,

で あ っ た.し

た が っ て,第

考 え 方 で は,運

１の 立 場 は 明 らか に 実 験 と矛 盾 し て い る.し

動 す る物 体 の 密 度 が ０ に な っ た と き,そ

か も この

の物 体 内 の エ ー テル は外

部 の エ ー テ ル に 対 し て 突 然 静 止 す る と い う こ と に な り,こ

の よ うな こ と は 物 理 的

に う け い れ が た い.   第 ２の 立 場 を と っ た の はFresnelで

あ る.Fresnelは

ー テ ル の 一 部 分 を ひ き ず る と考 え た.す し た と き,物 す る.た

物 体 が 運 動 す る と き,エ

な わ ち,真 空 中 の エ ー テ ル の 密 度 を ρ0と

体 中 の エ ー テ ル の 密 度 は ρ=ρ0n2=ρ0+(n2-１)ρ0で

だ しnは

光 に 対 す る 物 体 の 屈 折 率 で,n＞

あ たえ られ る と

１ で あ る と考 え て い る.さ

て,

こ の 物 体 中 の エ ー テ ル の う ち,ρ0の 部 分 は 絶 対 静 止 の エ ー テ ル に 対 して 静 止 し て い て,周 囲 の エ ー テ ル よ り密 度 の 大 き い 部 分(n2-１)ρ0だ 物 体 と と も に 速 さvで

運 動 す る と仮 定 す る.こ

け は物 体 に ひ きず られ て

う考 え る こ と に よ っ て,物 体 内 の

エ ー テ ル の 密 度 は 物 体 の 運 動 に よ っ て 変 化 す る こ とが な くな る と い う わ け で あ る.こ

の と き,物

体 内 の エ ーテ ル の絶 対 静 止 の エ ーテ ル に対 す る平均 速 度

〓は,

で あ る と考 え られ る か ら, で あ る と し て よ か ろ う.つ ま り物 体 内 の エ ー テ ル は 平 均 速 度 によ っ て ひ き ず ら れ る と い う こ と で あ る.そ こ で 係 数 とい う.こ る か ら,絶

をFresnelの

の ひ き ず られ て い る エ ー テ ル の 中 で 光 はu'=c/nの

随伴

速 さで進 行 す

対 静 止 の エ ー テ ル に 対 す る こ の 光 の 速 さuは

で あ た え られ る こ と に な る.こ Fizeauの

で物 体

の よ う に し てFresnelの

考 え 方 を つ か え ば,

実 験 を 説 明 す る こ とが で き る.

  し か し な が ら,一

般 に 屈 折 率nは

考 え が 正 し け れ ば,物

光 の 振 動 数 の 関 数 で あ る.も

しFresnelの

体 内 の エ ー テ ル の 密 度 ρ は ρ(ω)=n2(ω)ρ0と あ ら わ さ れ,

そ れ が 物 体 そ の も の と本 来 無 関 係 な は ず の 入 射 光 の 振 動 数 に よ っ て 変 化 す る も の で な け れ ば な ら な い と い う不 合 理 な 結 果 に な っ て し ま う.ま き ず ら れ る エ ー テ ル の 速 さ も α(ω)vと な っ て,エ 体 の 性 質 だ け で な く,光

た,物

体 に よ っ てひ

ー テ ル の ひ き ず られ か た が 物

の 振 動 数 に も よ る と い う こ と に な る.つ

ま り,光

の振 動

数 ご とに 別 々 の エ ー テ ル を 考 え な け れ ば な ら な い とい う こ と に な る わ け で あ る.   そ こ で わ れ わ れ は 第 ３の 立 場 を と ら ざ る を え な い.す

な わ ち,物

の エ ー テ ル の 海 の な か を影 の よ うに 動 い て い る とす る.こ て 静 止 し て い る慣 性 系 をKと

す る と,K系

の観 測 者Aに

程 式 が な りた っ て い な け れ ば な ら な い.一

方,こ

る物 体 に 対 し て 静 止 して い る 慣 性 系K'の

観 測 者Bに

い る の で あ る か ら,§ て い る.つ

考 え る の で あ る.そ Galilei変

とK'系

て し ま う.そ

こでLorentzはGalilei変

局 所 時(local の も と で,ス

で はHertzの

な づ け た.そ

とK'系

のMaxwellの

換 を変 更 し て,慣

方程 式 に

し て,同

性 系K'に

お け る時 れ を

時 に 電 磁 場 の 量 が そ の 新 しい 変 換 この よ うに仮定 す る こ と

の 両 方 の 慣 性 系 でMaxwellの

た つ こ と を 示 す の に 成 功 した の で あ る.以

の 仮 定 と矛 盾 し

ち が う も の で あ る と仮 定 し て,こ

カ ラ ー 量 で は な い と仮 定 し た.Lorentzは

に よ っ て,K系

方 程 式 が な りた つ も の と

方 程 式 が み ち び か れ,上

お け る 絶 対 時 間tと

time)と

体 は 静 止 して

方 程 式 が な りた っ

磁 場 の 量 が こ の 変 換 に対 し て ス カ ラ ー 量 で あ る とす

らか にK系

慣 性 系Kに

と っ て は,物

こ で §１ で 考 え た よ うに,K'系

換 をお こ な い,電

方

のエ ーテ ル に対 して運 動 してい

の 両 方 でMaxwellの

る な ら ば,明

間t'は

の静 止 エ ーテ ル に対 し

と っ て はMaxwellの

１ に お け る と同 様 に や は りMaxwellの

ま り,K系

体 は絶対 静 止

方程 式 が 近似 的 に な り

下 で こ の 理 論 を説 明 し,Hertzの

理論

の 難 点 が ど の よ う に して 除 か れ る か を 明 らか に し よ う.   絶 対 静 止 の エ ー テ ル に 固 定 す る 慣 性 系Kに 運 動 物 体 に 固 定 し た 慣 性 系K'に 瞬 間 に お け る 同 一 点Pの き,こ

お け る座 標 と時 間 と を(x,t)と

お け るそ れ ら を(x',t')と

し よ う.い

し,

ま,同

そ れ ぞ れ の 慣 性 系 で の 座 標 値 を(x,t),(x',t')と

一

した と

れ らの 値 の 間 に は

な る 関 係 が あ る と仮 定 す る.(4.3)はGalilei変

換 で あ り,vは

絶 対 静 止 系Kに

対 す るK'系 の速 度 を あ ら わ す.tはK系 に お け る 絶 対 時 間 で あ る.(4.4)の t'は 局 所 時 で あ っ て,K'系 に お け る各 点 に お け る 時 刻 を あ らわ し て い る.さ て Lorentzの

理 論 で は 物 体 の 運 動 速 度 は あ ま り大 き くな い と し て,β=(v/c)の

の 程 度 の 量 だ け を考 慮 し て,β2の 程 度 の 量 は す べ て省 略 す る.そ の 理 論 で 説 明 で き な か っ たWilsonとEichenwaldと

１次

の 理 由 はHertz

の 実 験 は,す

べ て βに つ

い て １次 の 効 果 だ か ら で あ る.す

る と,(4.4)に(4.3)を

代 入 して,β

の １次 の 寄

に お い て は,そ

の 各点 の時

与 だ け を とる と

と か く こ と もで き る.こ 間t'は る.原

場 所x'に

よ っ て ち が っ て い る.そ

点x'=0に

絶 対 時 間tに   な ぜK'系

れ か ら わ か る よ う に,K'系

お い て は,局

こ でt'を

局 所 時 とな づけ た の で あ

所 時t'は

一 致 して い る. に お い ては 局所 時 な る ものが

あ る の か,そ の 物 理 的 意 味 は 不 明 で あ る が, と に か くLorentzは

こ う仮 定 す る こ と に

よ っ て,Fresnelの

よ うな 不 合 理 な 仮 定 を

せ ず に,Fizeauの

実 験 を 説 明 す る こ とに

成 功 し た の で あ る.   い ま水 に 対 して 静 止 し て い る 系 をK'と し,K'か

ら み た 水 中 の 光 の 速 さ をu'=c/n

とす る.こ

と か く こ と が で き る.こ ー テ ル に 対 し てx方 動 はK系

図4.1  絶 対 静 止 系Kと

の 静 止 水 中 を伝 わ る 光 の 波 動 は

こ で ω'はK'系

向 に 絶 対 速 度vで

か ら み た 光 の 角 振 動 数 で あ る.水

はエ

運 動 し て い る もの と す る と,(4.6)の

波

か ら観 測 した と き どの よ う に み え る で あ ろ うか.Lorentzの

と(4.4)を(4.6)に

エ ー テ ル に 対 して

運 動 し,物 体 に 対 して静 止 して い る 系K'

代入する と

とな る.同 じ光 の 波動 をK系 か らみ た とき

仮 定(4.3)

と あ ら わ さ れ る か ら,(4.7)と(4.8)と

が え られ る.(4.9)はDoppler効

を比較 す る こ とに よっ て

果 に よ る 振 動 数 の 変 化 を あ ら わ し,ま た(4.10)

を み ち び く と き,vの2次

以 上 の 項 は 無 視 し た.こ

こ でc/u'＝n(ω')で

あること

に注 意 す る と

と な り,屈

折 率 の 振 動 数 に よ る変 化 を もふ くめ て,Fizeauの

実 験 事 実 が説 明 さ

れ る.  し た が っ て 問 題 は,Lorentzの とEinchenwaldの

き に の べ たWilsonの

実 験 を 説 明 す る こ とが で き る か ど うか で あ る.そ

テ ル に 対 す る絶 対 静 止 系Kに と し て,こ

仮 定 の も と に,さ

お い て,Maxwellの

実験

こ で,エ

方 程 式 が 正 確 に な りた つ も の

れ を物 体 に 対 し て 静 止 し て い る 慣 性 系K'に(4.3)と(4.4)に

変 換 し よ う(図4.1参  そ の た め にx,tの

任 意 の 関 数F(x,a)を

した が っ て,上

考 え て,そ

の 微 分 が どの よ う に 変 換 さ

て

こ で ２番 目 の 等 号 で はvに

変 数(x,t)を(x',t')に

よ って

照).

れ る か を 調 べ て お く.さ

とか け る.こ

関 し て ２次 の 量 を 無 視 した.ま

た 〓 は

か き な お した こ と に よ る 関 数 形 の 変 化 を 示 して い る.

の 等 号 は す べ て 数 学 的 な か き か え を 示 し て い る だ け で,場

F(x,t)が(4.3),(4.4)の

ー

変 換 の も と に,ど

の量

の よ う な変 換 を す る か と い う こ と に つ

い て は な に も い っ て い な い.F(x,t)の

と な る.こ か のx'に

こで

空 間微 分 を とる と

の 微 分 はx'+vtのx’

に 関 す る微 分 と

関 す る微 分 と の 両 方 の 微 分 を と る こ と を 意 味 し て お り,し

の 分 だ け 差 し引 い て あ る.上

か ら,任

とか け る こ とが わ か っ た.同

様 に して

意 の 関 数F(x,t)に

対 して

と な る.

時 間 微 分 に つ い て は,vの

２次 以 上 の 項 を無 視 す る こ とに よ っ て

のな た が っ てそ

が え られ る.し

たがって

と な る.

準 備 が お わ っ た の で,基 てMaxwellの

本 方 程 式 系 の 変 換 を 実 行 し よ う.絶 対 静 止 系Kに

おい

方 程 式 が 正 確 に な りた っ て い る と仮 定 した の で

が な りた っ て い る.こ 体 が 絶 対 静 止 系Kに

こ で(4.19)の 対 し て 速 度vで

右 辺 の 第 ３項 は 電 磁 的 現 象 を お こ し て い る物 運 動 し て い る こ とに よ る 対 流 電 流 の 項 で あ

る. ま た,こ

こで

の 関 係 は 電 磁 場 の 基 本 法 則 で は な く,物 体 の 原 子 的 構 造 に 関 係 し た 現 象 論 的 法 則 で あ る か らK系

で は 成 立 し て い る と は か ぎ ら な い.こ

し て 静 止 し て い る 慣 性 系K'に

れ らの 関 係 式 は物 体 に対

お い て の み な りた っ て い る と 考 え な け れ ば な ら

な い.  さ て,(4.18)をK'系

が え ら れ る.一

方

に 変 換 し よ う.(4.14)と(4.15)と

を つ か う と,す

ぐに

と な る.そ

こで い ま

と仮定 す る と

で あ る.(4.22)と(4.24)と

を(4.18)に

代 入 す る と

とな る. そ こ で,(4.3)と(4.4)の

変 換 の も と で,電

な る 変 換 性 を も つ と 仮 定 す る.こ (x,t)で

あ る そ の 点 の,  K'系

る と,(4.18)はK'系

場Eと

こ で(x',t')は

磁 束 密 度Bと

絶対 静 止 系 の 座 標値 と 時 刻 が

に お け る 座 標 値 と 局 所 時 と を あ らわ し て い る.す

で

とあ ら わ さ れ る こ と が わ か っ た. 次 に,(4.19)をK'系

と な り,一

で あ る.こ

に 変 換 す る.こ

のとき

方

こで

と 仮 定 し た.(4.28)と(4.29)と

が それ ぞれ

を(4.19)に

代入 す る と

が え ら れ る.   そ こ で,磁

場 の 強 さHと

電 束 密 度Dと

の(4.3)と(4.4)の

変 換 の も とにお け

る変 換 性 を

と仮 定 し よ う.す

る と(4.31)は

とか かれ る.た だ し ここで 伝 導電 流 密度 は

な る 変 換 性 を も つ,つ

ま りス カ ラ ー 量 で あ る と仮 定 した.

  こ ん ど は,(4.20)を

変 換 す る.こ

で あ る.右

辺 のDに(4.32)を

こ こ で,公

式

の と き に も(4.14)と(4.15)と

代 入 し て,vに

から

関 し て １次 の 量 だ け を残 す と

を つ か う と,

とな る.   こ こ で 最 後 の 等 式 で(4.33)を

つ か っ た.と

こ ろ が 右 辺 の 第 ２項 のiｅ'は

電流

で あ る か ら,そ れ て,結

れ 自身vの

１次 の 程 度 の 量 で あ る.し

たが って この 項 は無 視 さ

局

が え られ た.そ こで電 荷 密度 の変 換 性 を

す な わ ち,ス

カ ラ ー 量 で あ る と 仮 定 す る と,(4.20)は(4.35)と(4.36)と

か ら

と変 換 され る こ と が わ か る.   こ こ で(4.30)の div'Dと

仮 定 を 検 討 し て み よ う.上

の 相 違 はvの

か か っ て い る か ら,そ

の 計 算 か らわ か る よ う にdiv'D'と

１次 の 程 度 で あ る.(4.30)で の 誤 差 はvの

は さ ら に そ れ にvが

２次 の 程 度 で あ る.し

た が っ て(4.30)の

１個 仮

定 は こ の 理 論 の 近 似 の 程 度 と矛 盾 し な い.   最 後 に(4.21)を

し た が っ て,K'系

が な りた つ.こ

変 換 す る.こ

の とき

で

れ か ら,(4.23)の

仮 定 の 誤 差 はvの

２次 の 程 度 で あ る こ とが わ

か る.   この よ う に し て え られ た 仮 定 と 結 論 と を ま と め る と 次 の よ う に な る.す ち,エ

ー テ ル に 対 し て 絶 対 静 止 の 慣 性 系(x,t)と

系(x',t')と

の あい だ の座 標 変換 が

なわ

物 体 に対 して静 止 し てい る慣性

で あ た え られ,絶

対 静 止 系KでMaxwellの

が 正 確 に な りた つ とす る.す い る慣 性 系K'に

方 程式

る と(4.39)の

お い て も,vの

変 換 に よ っ て,物

体 に対 して静 止 して

２次 の 程 度 の 量 を 無視 す る と,や は りMaxwell

の方程 式

が な りた つ.す

な わ ちv2の

程 度 の 量 を 無 視 す る か ぎ り, K系

に お い て も,ま

っ た くお な じ形 の 法 則 が な りた つ.つ

で,Maxwellの

方 程 式 は 共 変 的 で あ る.た

に お い て もK'系

ま り(4.39)の

だ し こ の と き,物

変換 の も と

理 量 は 次 の よ うな

変 換 性 を も つ と仮 定 し た.

こ の よ うに して,LorentzはK系

とK'系

と の 両 方 でMaxwellの

方程式が

な りた つ こ と を 示 す の に成 功 し た の で あ る.こ を も つ こ と を仮 定 した が,こ け れ ば な ら な い.ま で あ ろ う か.つ

たK系

ば な ら な い.物

の 量 が(4.42)の

変換 性

の関 係が 正 しいか ど うかは実 験 に よっ てた しか めな に お い て,(3.10)と(3.14)の

ま りLorentzの

し て くれ る で あ ろ うか.こ

の と き,場

方 程 式 は な りた っ て い る

理 論 はWilsonやEichenwaldの

の 疑 問 に こ た え るた め に は,次

体 に対 し て 静 止 し て い る慣 性 系K'で

実験 を説 明 の事 実 に注 目 しな けれ

は,実

験 事 実 か ら物 質 の 構

造 に関係 す る現象 論 的法 則

が な りた っ て い る.し これ ら は(4.42)の

か し,こ

れ ら の 法 則 はK系

変 換 に よ っ てK系

で は な りた た な い.な

ぜ な ら,

では

と な る か ら で あ る1).   さ て,(4.44)か と,こ

ら(3,10)と(3.14)と

の こ と は(4.42)の

いか え る

変 換 の 正 当 性 を間 接 的 に 証 明 す る こ とに な る.強

で な い 誘 電 体 の 場 合 に は μ=μ0と

  １)  真 空 中 す な わ ち μ=μ0,ε=ε0の が な り た つ こ と は,次

が み ち び か れ る こ と を示 そ う.い

お くこ と が で き る か ら,(4.44)の

と き に は,  K系

磁 性体

第 １式 は

で もB(x,t>=μ0H(x,t)とD(x,t)=ε0E(x,t)と

の よ うに し て 示 す こ と が で き る.(4.44)で

ε=ε0,μ=μ0と

お き,ε0μ0=1/c2に

注

意 す る と

を うる,下 の 関 係 を上 の 式 に代 入 す る と,

とな る.さ

らに,こ の右 辺 に上 の ２式 を くりか え し 代入 す れ ば,右

とな り,し た が っ て右 辺 は ０とな る.同 様 に し てD=ε0Eも

辺 はv/cに

え られ る.

関 してい く らで も高 次

と な る.そ

こ で(4.45)の

回転 を とる と

こ こで 右 辺 の 第 １項 にK系

と な る.こ る.す

れ を,(3.14)で

な わ ちLorentzの

次 にWilsonの 発 す る.す

に お け るMaxwellの

μ=μ0と

方 程 式(4.40)を

代入 す る と

お い た も の と比 較 す る と完 全 に 一 致 し て い

理 論 はEichenwaldの

実 験 を 説 明 す る.

実 験 は ど うで あ ろ うか.こ

の と き に は(4.44)の

第 ２式 か ら出

なわ ち

に お い て,こ

の と き も μ=μ0と

し て(4.45)を

代 入 してvの

２ 次 の 量 を無 視 す

ると

と な る.こ

れ の 回 転 を と っ て,Maxwellの

と な る.こ

れ と(3.10)で

あ る.す

な わ ちWilsonの

  こ の よ う に し てLorentzは Hertzの

μ=μ0と

方 程 式(4.40)を

代入す ると

お い た も の と比 較 す る と,そ

の一 致 は完 全 で

実 験 が 説 明 さ れ た. β=v/cの

１次 の 項 ま で を 考 慮 す る こ と に よ っ て,

理 論 の 困 難 を 解 決 す る こ と に見 事 に 成 功 し た の で あ る.そ

は エ ー テ ル と物 体 の 運 動 を 分 離 し,(4.3)と(4.4)の 程 式 の 共 変 性 を要 求 した と こ ろ に あ る.し

の 理論 の本 質

変 換 の も と にMaxwellの

か し こ の と き,Lorentzは

物 理 的 意 味 の 不 明 な 時 間 を導 入 せ ざ る を え な か っ た.こ

方

局所時な る

こに不 満 足 な 点が 残 され

て い る が,そ

の 本 当 の 物 理 的 意 味 は 特 殊 相 対 論 に お い て は じ め て 明 らか に さ れ る

の で あ る.   [例題 ］Lorentzの

力   図4.1の

二 つ の慣 性 系KとK'と

方 向 を 向 く一 様な 磁 場B=(0,0,B)が る.K系

の観 測 者 か らみ て,こ

あ っ て,そ

を考 え よ う.空 間 に はz

の なか に 点電 荷eが

お か れ て い る とす

の 点 電 荷 が静 止 して い る とす る と,こ の 点 電 荷 に 作用 す る

Lorentzの

力 は ０で あ り,し た が っ て こ の点 電 荷 は静 止 した ま ま で あ る.さ

荷 をK'系

の観 測者 がみ た と し よ う.K'系

か らみれ ば 点 電荷 はx'軸

て,こ の点 電

の 負方 向 にvの

速

さ で運 動 して い るわ け で あ る.  Hertzの 理 論 に よ る と,(1.19)に あ た えた よ うに,磁 場 はGalilei変 換 に対 して ス カ ラ ー量 と して変 換 す る.し たが ってB'ｚ'=Bz=Bで あ る.こ の と き,K'系 か らみ て点 電 荷 に作 用 す るLorentzの

で,点

電 荷 はy'方

力は

向 に 運 動 しは じ め,z'軸

に 垂 直 な 平 面 内 で 円 運 動 を す る こ と に な る.

こ れ は 明 ら か に 矛 盾 で あ る.   一 方,Lorentzの

理 論 で は,K系

で の 一 様 な 磁 場B=(0,0,B)は,(4.42)に

よ っ てK'

系で は

と な り,磁

で,K系

場B'z'と

と も に 電 場E'y'も

あ ら わ れ る.し

にお ける と同様 に点 電荷 に はLorentzの

た が っ て点 電 荷 に 作用 す る力 は

力 が作 用 せ ず,υ の速 さ でx'軸

の 負方

向へ の 慣性 運 動 をつ づ け る.   こ の よ うに,電 磁 場 が(4.42)の 変 換 を す る こ と を考 慮 して,は け るHertzの

じめ てLorentzの

力 にお

理 論 の矛 盾 が 解 決 され る.

§５ Michelson-Morleyの   前 節 に 説 明 したLorentzの を考 え よ う.こ て は,Maxwellの

実 験 理 論 で,ε=ε0,μ=μ0と

お い て,真

空 中 の電 磁 場

の と き 絶 対 静 止 の エ ー テ ル に 対 して 静 止 し て い る 慣 性 系Kに 方 程 式 が 正 確 に な りた っ て い る.す

なわち

おい

で あ る.ま

た338ペ

が な りた つ.一

ー ジ の 脚 註 で の べ た よ う に,こ

方 絶 対 静 止 系Kに

の とき

対 し て 速 度 υ で 運 動 し て い る 慣 性 系K'で

も,

お よび

が な りた っ て い る.   これ らの 方 程 式 を み る と,β=υ/cの 系 は 絶 対 静 止 系Kと

１次 の 程 度 を 問 題 に し て い る か ぎ り,K'

本 質 的 な 相 違 は な い.な

ぜ な ら,そ

程 式 は ま っ た く同 じ形 を し て い る か ら で あ る.し 考 慮 す れ ば,(5.3)に

あ る よ うにK'系

る 付 加 項 が つ け 加 わ っ て,K系 そ れ で こそ,K系 あ る.そ

か し な が ら,β2の

のMaxwel1の

のMaxwellの

れ ぞれ の 慣性 系 で 基本 方 程 度 の量 を

方 程 式 に は β2に 比 例 す

方 程 式 と異 な っ て く る で あ ろ う.

は 絶 対 静 止 系 で あ る とい う特 権 を 保 持 し て い る と い え る わ け で

こ で §２の お わ りに の べ た 理 由 に よ っ て,(5.3)の

出 す る こ とが で き る な ら ば,K'系 が で き る は ず で あ る.こ

付 加 項 に よ る効 果 を検

の エ ー テ ル に 対 す る絶 対 速 度 を検 出 す る こ と

こ で 注 意 す べ き こ と は,WilsonやEichenwaldの

は 本 質 的 に β の １次 の 程 度 の 効 果 を あ ら わ す 実 験 で あ る こ と で あ る.そ の β2の 程 度 の 効 果 を検 出 す る 実 験 法 を 発 見 し,そ お こ な っ た の がMichelsonとMorleyで   Lorentzの

考 え 方 に よ る と,電

伝 播 す る.地

動 し て い る で あ ろ う.し

れ に も とづ い て 有 名 な 実 験 を

磁 波 あ るい は 光 波 は絶対 静 止 の エ ーテ ル の な ー テ ル に 対 し て 静 止 して い る 慣 性 系Kで

方 程 式 が 厳 密 に な りた っ て い る.し

し て 光 速 度cで

こで こ

あ っ た.

か に お け る 物 理 的 現 象 で あ っ て,エ Maxwellの

実験

た が っ て,光

は

波 は エ ーテ ル に 対

球 は そ の 公 転 と 自転 との た め エ ー テ ル に 対 して 運

た が っ て,地

球 表 面 に は エ ーテ ル の風 が 吹 い てい る こ と

に な る.こ

の エ ー テ ル の 風 の 速 さ を測 定 す る こ とが で き れ ば,地

球 の エ ーテ ル に

対 す る絶 対 速 度 が わ か り,そ れ に よ っ て 絶 対 静 止 の エ ー テ ル の 実 在 を検 証 す る こ と が で き る は ず で あ る.そ Morleyと

こ で1887年Michelsonと

は地 球 の エ ーテ ル に対 す る運動 方

向 と そ れ に 直 角 の 方 向 に 等 しい 距 離 だ け光 を 往 復 さ せ て,そ

の経 路 の差 に よ ってお き る光

の 干 渉 を 測 定 し よ う と 考 え た.す 図5.1に

な わ ち,

示 す よ う な 装 置 を つ く り,M1→Q

を 地 球 の 公 転 に よ る 進 行 方 向 に,M2→Tを そ れ に 直 角 の 方 向 に 向 け て お く.す の 公 転 に よ っ て,エ こ と に な る.さ

て,光

分 け ら れ 等 距 離lだ

る と地 球

図5.1 

Michelson-Morleyの

ー テ ル の 風 は 速 さ υ で 装 置 をQ→M1の 源Qを

出 発 した 光 は 半 透 明 の 鏡Pに

け 進 行 した の ち,そ し,ふ

た た びPに

っ て,二

れ ぞ れ 反 射 鏡M1とM2に も ど り,Tで

間 を 求 め る の は,速

つ の方 向 に よ って反 射

干 渉 を す る.

  こ の と き 二 つ の 光 が そ れ ぞ れPM1,PM2を

cで

実験

方 向 に 吹 きぬ け る

往 復 す る時

さ υ で な が れ る河 を水 に 対 して速 さ

動 く舟 が往 復 す る 時 間 を求 め る こ と と お な じで あ る.

エ ー テ ル の 河 を 直 角 に 横 断 す る 時 間 は 次 の よ うに し て あ た え ら れ る.す M2に

図5.2  エ ー テ ル の 河 を 横 断 す る光 の 舟

な わ ち,Pを

出 帆 した光 の 舟 が向 こ う 岸 の

到 着 す る た め に は,図5.2のM2方

出 発 し な け れ ば な ら な い.横

向 に向 か って

断 時 間 をtと す る と

で あ る． した が っ て

と な る.こ

れ か らPM2の

で あ た え られ る.次

に,エ

往 復 時 間t⊥

は

ー テ ル の 河 を距 離lだ

け 下 が り,ふ

た たび上 っ て帰 る

時 間t//は

で あ る.し

た が っ て,到

で あ た え ら れ る.ま と る と,到

着 時 間 の 差〓

は

た 装 置 を90° 回 転 し て 同 様 の こ と を や っ て,(5.7)と

の差 を

着 時 間差 として

が え られ る.   こ の よ うに 光 の 到 着 時 間 が 異 な る た め に,二

つ の光 の あ い だ に は位相 の差 を生

じ,そ の た め 干 渉 の 縞 の ず れ を 生 ず る は ず で あ る.そ エ ー テ ル に 対 す る 絶 対 運 動 の 速 さvを

の 位 相 の ず れ か ら,地

決 定 す る こ とが で き る.と

結 果 は こ の よ う な 位 相 の ず れ が な い こ と を 示 し た の で あ る.す ２次 の 効 果 に よ っ てK'系 か っ た.こ

こ ろが 実 験 の

な わ ち,β=v/cの

のエ ー テル に対 す る絶 対運 動 を検 出 す る こ とはで きな

の 事 実 は エ ー テ ル に 対 す る 運 動 系K'に

が 正 確 に な りた ち,(5.3)の

球の

右 辺 のO(β2)の

お い て もMaxwellの

方程 式

付 加 項 は ０で あ る こ と を 示 し て い る.

  こ の 実 験 と予 想 との 重 大 な 不 一 致 を 説 明 す る た め に,LorentzとFitzgerald とは 独 立 に,す 動 方 向 に〓

の 割 合 だ け 収 縮 す る と 仮 定 し た.こ

はl〓

と な る.し

べ て の 物 体 は エ ー テ ル に 対 し て 運 動 す る こ と に よ っ て,そ

た が っ て,(5.5)と

contraction)と

な い.

う す る と,(5.6)のl

に お き か え られ る の で

と な り位 相 の 差 は な く な る.こ

め た が,そ

の運

い う.Lorentzは

比 較 す る と

の 物 体 の 長 さ の 収 縮 をLorentz収

縮(Lorentz

こ の 物 体 の 変 形 の 原 因 を物 質 の 原 子 的 性 質 に 求

の理 論 に は 多 くの特殊 な 仮定 がふ くまれ て いて 信 用 す る こ とはで き

 

Michelson-Morleyの M2P=l+aと

実 験 で は 干 渉 計 の 腕 の 長 さ を等 し く と っ た が,M1P=l,

ち が え て と る と,Lorentz収

縮 を 考 慮 に い れ た うえ で

を え る.し

たが って

と な る.し

か る に 地 球 の エ ー テ ル に 対 す る速 さvは

れ る か ら,干

時 間的 に変 化 す る と考 え ら

渉 の 縞 の 位 置 が 時 間 と と も に 移 動 す る こ とが 予 想 され る.こ

は ず っ と あ とでKennedy-Thorndyke(1932)に も ま た 結 果 は否 定 的 で,干

よ っ て な され た.し

渉 の 縞 は 動 か な か っ た.こ

局所 時 間

か し,こ

れ

の結 果 を 説 明 す る に は,局

所 時 間 が 絶 対 時 間 よ り も お くれ る と解 釈 し た ら よ い.す て 運 動 す る 慣 性 系K'の

の 実験

な わ ち,エ

ー テ ル に対 し

と絶 対 時 間

と

の あい だ には

な る関係 があ る と仮 定 して み る.よ

り,局所 時間 〓

と絶対 時間〓

のあ い だ には,

な る 関 係 に あ る か ら,局

所 時 間 は 絶 対 時 間 よ り遅 れ て い る.す

る と,(5,11)を

(5.10)に 代 入 す る こ と に よ っ て,

とな っ て,K'系 の 速 さvに   Lorentz収

に お け る 観 測 者Bの

関 係 し な い.し

時 計 で は,到

縮 と局 所 時 間 の 遅 れ と を,Lorentzの

と(4.4)と に 反 映 さ せ る こ と を 考 え よ う.簡 方 向 に 一 定 速 度vで

着 時 間 の 差〓

はK'系

た が っ て 干 渉 縞 も動 か な い. 理 論 に お け る座 標 変 換(4.3)

単 の た め,K'系

がK系

運 動 し て い る と き を 考 え る と,(4.3)と(4.4)は

のx軸

の

と な る.こ

こで,長

さの 収 縮 と局 所 時 の 遅 れ と を 考 慮 す る に は,

な るお き か え を し た ら よ い.す

に お き か え られ る.こ 変 換 にLorentz収

こ でt'は

変 換 の も と に,絶

こ の よ うにK系

る.つ

局 所 時 で あ る.こ

の よ うに,座

標 実

実 験 の 否 定 的 結 果 は 自明 の こ と に な る.(5.13)の

対 静 止 系Kと

エ ー テ ル に 対 す る運 動 系K'に

お い て,厳

密 に

方 程 式1)が な りた つ よ うに す る こ とが で き る こ と を,Lorentz自

が 示 した の は1904年

か ら,K'系

運 動 系K'の

の座 標変 換 は

縮 と局 所 時 の お くれ を 考 慮 す れ ば,Michelson-Morleyの

験 とKennedy-Thorndykeの

Maxwellの

る と,上

で あ っ た.そ

とK'系

こ で(5.13)の

変 換 をLorentz変

身

換 と い う.

と で ま っ た くお な じ形 の 法 則 が な りた っ て い る の で あ る

の エ ーテ ル に対 す る絶 対運 動 を検 出 す る こ とは原 理 的 に 不 可能 で あ

ま り,K系

が 絶 対 静 止 の 特 別 の 慣 性 系 で あ る と主 張 す る実 質 的 な根 拠 は ま

っ た く失 わ れ て し ま っ た の で あ る.こ こ ま で 問 題 を つ き つ め て き な が ら,Lorentz に は彼 の金 科 玉 条 と してい た絶 対 静 止 の エ ー テル の 実在 を疑 う こ とはで きな か っ た.運

動 系K'に

お い て も 正 確 にMaxwellの

収 縮 と仮 想 的 な 局 所 時t'を

方 程 式 が な りた つ の は,Lorentz

も ち い た こ と に よ る も の で あ る と考 え た の で あ る.

  こ の よ うな 先 入 観 に と ら わ れ て い な か っ た 若 き 天 才Einsteinは,Lorentzの 理 論 を 深 く省 察 す る こ とに よ っ て,特 や ぶ っ て し ま っ た.1905年 論 に お い てK系

とK'系

殊 相 対 論 を 発 見 し,Lorentzの

の こ と で あ る.す

と で 実 質 的 に何 の 相 違 も な い こ と,お

ー テ ル を 検 出 す る 方 法 が ま っ た く な い こ とに 着 目 して,エ 止 空 間 が 物 理 的 に 何 の 意 味 も な い こ と に 気 が つ い た.そ な エ ー テ ル を追 放 し て し ま い,電 き る も の で は な く,そ る.そ

し てK系

とK'系

理

よび絶 対静 止 の エ

ーテ ル あ る いは 絶対 静 う して,こ

の幽 霊 の よ う

磁 的 現 象 は エ ー テ ル と い う物 質 を舞 台 と して お

れ が 物 理 的 空 間 の もつ 一 つ の 性 質 で あ る と 考 え た の で あ の 法 則 が ま っ た くお な じで あ る こ とか ら,Lorentzに

っ て は 仮 想 的 な 時 間 に す ぎ な か っ た 局 所 時t'は,K系 差 別 さ れ な いK'系

偏 見 を打 ち

な わ ち,EinsteinはLorentzの

に お け る 時 間tと

に お け る 実 在 の 時 間 で あ る こ と を 示 し た.ま

と なん ら

たLorentz収

縮 の原 因 は エ ー テ ル に 対 し て 運 動 す る 物 体 の 原 子 的 構 造 に あ る の で は な く.二   １) Lorentzはie=0,ρe=0の

自 由電 磁 場 に 対 す るMaxwellの

方 程 式 のLorentz変

共 変 性 を証 明 した.電 流 や 電荷 の あ る場 合 の共 変性 をは じめ て証 明 した の はPoincareで

つ

換に 対す る あ る.

の 慣 性 系 に お け る 時 間 と長 さ と の 測 定 尺 度 の 相 違 に よ る も の で あ る こ と を 明 らか に した の で あ る.第11章

に お い て は,こ

のEinsteinの

特 殊 相 対 論 の概 要 を 解 説

す る. [問題]   (１)第

１章 §４ に お い てFaradayの

空 中に 静 止 して い る と した.こ て,Hertzの   (２)第

を,Hertzの   (３)等 Maxwellの

誘 導法 則 の微 分 形 を 求 め る と き,導 線 回路 は真

の 回路 が 観 測 者 に 対 して 一 定速 度vで

運動 して い る と し

方 程 式(1.29)を み ちび け. ２章 問 題 ⑥ の電 磁 質 量

方 程 式(1.30)の

右 辺 のRontgen電

流 か ら求 め よ.

速 度 運 動 を し て い る 点 電 荷 に よ り生 ず るLienard−Wiechertの

ポ テ ン シ ァ ル を,

方程 式

を点 電荷 の静 止 して い る座 標 系 にGalilei変 とき

なる 関係 を利 用 せ よ.

換 す る こ とに よ っ てみ ちび け.た

だ し,こ の

第11章

特 殊 相 対 論

§１  特 殊 相 対 論 に お け る 時 間 と 空 間   (１)相

対 性 原 理   第10章

の 議 論 の 最 終 段 階 で え られ た 結 論 は,任

の た が い に 等 速 度 運 動 を し て い る慣 性 系KとK'に 式 が 平 等 に な りた っ て い る と い う こ と で あ っ た.す と でMaxwellの K系

な わ ち,Lorentz変

方 程 式 は 共 変 的 で あ っ た ． し た が っ て,真

の 観 測 者 に と っ て 電 磁 波 の 伝 播 速 度 は 光 速 度cで

電 磁 波 をK系

方程 換 の も

空 中 に お い て は,

あ た え られ,一

に 対 し て 等 速 度 運 動 して い る 慣 性 系K'上

伝 播 速 度 は や は りお な じ光 速 度cで

意 の二 つ

お い て,Maxwellの

方おな じ

の 観 測 者 が み て も,そ

あ る とい う こ とに な る.こ

の 事実 は普 通 の常

識 的 な 時 間 空 間 の 概 念 を も っ て し て は 理 解 す る こ とは で き な い.Lorentzは の 常 識 的 な 絶 対 時 間,絶

対 空 間 の 概 念 を も とに し て,こ

間,空

れ に 対 し て,EinsteinはMaxwellの

と め,逆

に 新 しい 時 間,空

の 事 実 を解 釈 し よ

方 程 式 の 共 変 性 を従 来 の 時

間 の 概 念 の も と に 解 釈 す る こ と を や め て,こ

Maxwellの

従来

れ に 不 自然 なLorentz

収 縮 と局 所 時 と い う仮 想 的 な 概 念 を も ち こ む こ と に よ っ て,上 う と し た.こ

の

の 共 変性 を 出 発 点 と してみ

間 の 概 念 を 構 成 し よ う と し た の で あ る.そ

し て この

方 程 式 の 共 変 性 を次 の 二 つ の 原 理 の か た ち で 表 現 した.

  相 対 性 原 理   た が い に 等 速 度 運 動 を し て い る す べ て の 慣 性 系 に お い て,す の 基 本 的 自 然 法 則 は ま っ た くお な じ形 で あ らわ さ れ て,そ

べて

れ らの慣 性 系 の な かか

ら 特 別 な も の を え ら び だ す こ とは で き な い.   光 速 度 不 変 の 原 理   い か な る 慣 性 系 に お い て も,そ 観 測 者 に と っ て は 光 速 度 はcな

の系 に対 して静 止 して い る

る 一 定 値 を も つ1).

  こ の 二 つ の 原 理 か ら ど の よ うな 新 しい 時 間 空 間 の 概 念 が み ち び か れ る か に つ い て は,以

下 で 明 ら か に す る こ と に し て,ま

て の べ て お こ う.は

ず これ らの 原 理 の 物 理 的 意 味 に つ い

じ め の 相 対 性 原 理 の 表 現 自 身 は 大 体 第10章

§２ に 説 明 し た

  1)光 速度 不 変 の 原 理 を み と め る とMichelson-Morleyの 実験 は 自明 の こ と にな る.な 上 の 観測 者 に とっ て も,光 は 光 速 度cで 四 方 に伝 播 す るか らで あ る．

ぜ な ら地 球

Galileiの

相 対 性 原 理 と変 わ ら な い.た

だEinsteinの

場 合 は力 学 の法 則 だ けで な

くす べ て の 基 本 的 自然 法 則(電 磁 気 学 の 法 則 も ふ くめ て)が,す い て お な じ形 で あ る こ と を 要 求 し て お り,そ 性 原 理 を 拡 張 して い る.し 方 法 に よ っ て も,エ

た が っ て,相

べ て の慣 性 系 にお

の 点 に お い て 大 幅 にGalileiの

対 性 原 理 を み と め る と,い

相対

か な る物 理 的

ー テ ル や 絶 対 静 止 空 間 を検 出 す る こ と は 不 可 能 に な っ て し ま

う． す な わ ち,エ

ーテ ル や絶 対 静止 空 間 は物 理 的 に無 意 味 に な って し ま うわ け で

あ る.そ

べ て の 運 動 は た が い に 相 対 的 な も の に な り,二 つ の 慣 性 系Kと

K'の

こ で,す

ど ち ら が 静 止 して い る か とい う議 論 は 水 か け 論 で あ る.そ

い て ‘相 対 性 原 理'と

い う言 葉 が つ か わ れ る の で あ る.物

特 権 的 な 慣 性 系 の 存 在 を認 め る こ と が で き な い で,す を も つ と い う意 味 か ら は 相 対 的 で あ る が,し

うい う意 味 に お

理 法 則 に 関 して,あ

べ て の慣 性 系 が 平 等 の権 利

か し 自然 法 則 の 形 が す べ て の 慣 性 系

で 共 通 平 等 で あ る とい う意 味 か らは 絶 対 性 原 理 と も い え る の で あ る.身 え を あ げ れ ば,相

か し,そ

の 法 律(法 則)が

と い う意 味 で は,法 Lorentzの

近なた と

対 性 原 理 と は す べ て の 法 律(法 則)の も とに す べ て の 人 間 は 平 等

(法則 の 共 変 性)で あ る と主 張 す る も の で あ っ て,そ る1).し

る

律(法 則)そ

の 意 味 で 民 主 的(相 対 的)で あ

すべ ての 人 間 に対 して 共 通平 等 に 適用 され る

の も の は 絶 対 的 な も の で あ る.そ

れ に 対 し て,

立 場 は 絶 対 的 君 主(絶 対 静 止 の エ ー テ ル)の 存 在 を み と め,そ

の絶 対 的

君 主 に 適 用 され る 法 律(法 則)と 一 般 国 民 に 適 用 さ れ る法 律 と は ち が っ て い て も よ い とす る も の で,こ

の 場 合,法

律(法 則)は 各 人 に よ っ て 異 な る相 対 的 な も の に す

ぎ な く な っ て い る.   さ て,誤

解 を さ け る た め に 注 意 し て お くが,相

対 性原 理 は 自然 法則 の形 が す べ

て の 慣 性 系 の う え の 観 測 者 に と っ て お な じで あ る とい う こ と を 要 求 し て い る の で あ っ て,自

然 現 象 そ の ものが す べ て の慣 性 系 の観 測 者 に とっ てお な じに み え る と

い っ て い る の で は な い ． た と え ば,K系 と も な う電 磁 場 はK系 運 動 し て い るK'系 か ら,対

に お い て 電 荷 が 静 止 し て い る と,こ

の 観 測 者 に と っ て は 静 電 場 だ け し か な い が,こ

の 観 測 者 が,そ

の お な じ現 象 を み る と,電

流 電 流 に も と づ く磁 場 も 存 在 す る.し

意 味 で の 特 別 な 慣 性 系Kが 意 味 の 特 別 な 慣 性 系 に,K系

存 在 す る.し

た が っ て,静

か し,だ

れ に

れ に対 して

荷 は運 動 して い る

電 場 だ け あ る とい う

か らとい っ て相対 性原 理 で い う

が な っ て い る とい う こ とに は な らな い.な

ぜ な ら,

  1)  しか し,特 殊 相 対 論 で は慣 性系 とい う一群 の観 測 者 に と って の み 法 の平 等 が 保 障 され て い る が, 慣性 系以 外 の 回 転系 な どは 差 別待 遇 され て い る.さ らに 一 般 化 して,あ らゆ る座 標 系(慣 性 系 に対 して 加速 度 を もつ 系 な ど もふ くめ て)で 法 則 が 共 変 的 で あ る こ とを 要求 す るの が一 般 相 対 論 で あ る.

こ の と き にK系

とK'系

の ど ち ら で も,ま

りた っ て い る の で あ っ て,K系

っ た くお な じMaxwellの

に お い て は 単 に そ のMaxwellの

方程式がな 方 程 式 に あ らわ

れ て い る電 流 の値 が た ま た ま ０ に な っ て い る に す ぎ な い し,K'系 れ が ０で な い とい う に す ぎ な い.上 間 が 平 等 だ か ら と い っ て も,善

の 法 律 の 例 で い え ば,法

に お い て はそ

の も とにす べ て の人

人 と悪 人 と で は お な じ法 律 の も と に ち が っ た 待 遇

が あ た え られ る の は 当 然 の こ と で あ る.つ

ま り万 人 に 平 等 な法 の 適 用 に よ っ て,

殺 人 者 が 特 別 な あ つ か い を さ れ た か ら と い っ て,民

主 的(相 対 的)で な い と は い え

な い.   相 対 性 原 理 は 法 則 の も とで す べ て の 慣 性 系 上 の 観 測 者 の 平 等 を主 張 す る が,そ れ が い か な る 法 則 の も とで 平 等 で あ る か と い う法 則 の 具 体 的 内 容 に つ い て は な に も い っ て い な い.こ あ る.Galileiの

の 内容 をあ た え る のが 第 ２の原 理 で あ る光 速 度不 変 の原 理 で

相 対 性 原 理 の 場 合 に は,Newtonの

あ り,そ

れ はGalilei変

て は,不

変 な 法 則 はMaxwellの

Lorentz変

運動 方 程 式 が不 変 な法則 で

換 の も と に 共 変 的 で あ っ た.し 方 程 式 で あ る.そ

換 の も とに 共 変 的 で あ る.こ

か し,Einsteinに

し てMaxwellの

のMaxwellの

とっ 方程式は

方程 式 の共 変性 を簡 潔 な

言 葉 で 表 現 し た も の が 光 速 度 不 変 の 原 理 で あ る.し

た が っ て,す

に 対 し てEinsteinの

然 的 にNewtonの

相 対 性 原 理 を 要 求 す れ ば,必

べ て の 自然 法則 運動方程

式 は 光 速 度 不 変 の 原 理 に 矛 盾 し な い よ う に 変 更 さ れ な く て は な ら な い.   (２)Lorentz変

換 の 導 出  さ き にLorentz収

の 不 明 な 仮 定 か ら推 論 さ れ たLorentz変

縮 と局 所 時 とい う物 理 的 意 味

換 が,上

の二 つ の原 理 か ら きわ め て 自

然 に み ち び か れ る こ と を 示 そ う.   た が い に 等 速 度 運 動 を して い る 二 つ の 慣 性 系KとK'に 空 間 座 標 を そ れ ぞ れ(x,t)お 各 慣 性 系 の 時 間tとt'と

よ び(x',t')と

す る.こ

お い て,そ

れ らの 時間

の と き相 対 性 原 理 に よ っ て

は ま っ た く対 等 な も の で あ っ て,そ

の ど ち ら が よ り基

本 的 な 時 間 で あ る と は い え な い.そ

れ らは そ れ ぞれ の慣性 系 にお け る実 在 の 時 間

で あ る と考 え な け れ ば な ら な い.い

まKとK'の

間 を そ れ ぞ れ の 時 間 の 原 点t=t'=0に 中 を伝 播 す る と き,そ 系 に お い て,同

の 波 面 は,相

と る.こ

の 瞬 間 に 原 点 を発 し た 光 が 真 空

対 性 原 理 に よ っ てKとK'の

じ形 で あ ら わ さ れ,ま

い ず れ の 慣 性 系 で も 同 じ値 を も つ.し 波 面は

慣 性 系 の 原 点 が 一 致 した そ の 瞬

それ ぞ れ の 慣性

た 光 速 度 不 変 の 原 理 に よ っ て,光 た が っ て,そ

速 度cは

れ ぞ れ の 慣 性 系 で,同

じ光 の

で あ らわ さ れ る.こ て は な らな い.な

れ らの二 つ の慣 性 系 の あ い だ の変換 法 則 は一 般 に線 形 で な く

ぜ な ら そ れ が 非 線 形 で あ る な ら ば,そ

の 変 換 に よ っ て(1.1)の

２次 形 式 を保 つ こ とは で き な い か ら で あ る.   K系

の 時 刻tに

お い て,K'系

の原 点x'=0はK系

座 標 値 を も っ て い る か ら,x'=0の

点 はx−vt=0の はK系

る.こ

こ で 簡 単 の た め に,K'系

と,一

般 に 座 標 変 換 式 は 次 の よ うな 線 形 の 変 換 で あ ら わ され る.

これ ら を(1.1)の 第 ２式 に 代 入 し て,第

な る 関 係 が 要 求 さ れ る.そ

とお く と,(1.3)は

(1.4)か

に 対 し てx方

か ら み る とx=vtな

で あ る.こ

こ で,

次 の よ う に か き な お され る こ と が わ か る.

れ を(1.5)と(1.6)に

が え ら れ る.こ

向 に 運 動 し て い る とす る

１式 と比 較 す る と,係

ら

れ ら か ら,

代 入 す る と

る

点 に対 応 して い るは ず で あ

数 のあ い だ に

と な る か ら,(1.8)に(1.9)を

が で る.し

と な る.こ

代入 す る こ とに よ って

たがって

こ で 正 号 を と っ た 理 由 は,v=0の

い う要 求 に よ る.(1.10)を(1.9)に

と な る.し

た が っ て,(1.7)か

と きK系

とK'系

は一 致 す る と

入 れる と

ら

そ こで

正 号 を と っ た 理 由 は(1.10)と ら,こ

お な じで あ る.ま

れ で 係 数 は 全 部 決 ま っ た.す

と な る.こ

な わ ち,こ

れ は 第10章(5.13)のLorentz変

系 と がx方

たv=0の

と き β1=1と

の と き(1.2)の

換 で あ り,い

な るか

変換 は

ま の 場 合K系

向 に 相 対 運 動 し て い る特 別 の 場 合 な の で,(1.13)を

とK'

特 殊Lorentz

変 換 と い う.   (３)  同 時 性,Lorentz収

縮,時

計 の 遅 れLorentz変

換 を も と と して 時 間

と空 間 の 性 質 を調 べ る と,そ れ は 従 来 の も の と大 分 ち が っ た 性 質 を も っ て い る こ

とが わ か る.そ

の ち が い は ま ず 同 時 と い う概 念 に あ らわ れ て く る.い

に お け る二 つ の 点x1とx2で とす る.上

同 時 刻tに

の 二 つ の 事 象 をK'系

お き た 二 つ の 事 象 をK'系

れか ら

と な る.す

な わ ち,x1=x2で

れ ぞ れ

換 か ら

な い か ぎ りt1'=t2'と

に お い て 同 時 に お き た 事 象 も,そ

は な ら な い.つ

ま り, K系

の 二 つ の 事 象 の お き た 場 所 が 異 な れ ば,K'系

か らみ た と き 同 時 に お き た 事 象 で は な く な る.(1.13)をx,tに

と な る の で,K'系

で観 測 した

か ら み た と き の 場 所 と 時 刻 と を,そ

(x1',tl')と(x2',  t2')と す る と,(1.13)のLorentz変

と な る.こ

ま慣 性 系K

関 し て 解 く と,

に お い て 同 時 に お き た 二 つ の 事 象 をK系

と き に も同 時 の 事 象 で は な く な る.す

か ら み る と,こ

な わ ち,同 時 性 に 関 す る問 題 はK系

の

とK'

系 と で お た が い に 相 対 的 な も の で あ る.   こ の よ うに 一 方 の 慣 性 系 で 同 時 に お き た 事 象 が,も

う一 つ の 慣 性 系 で は 同 時 に

お き た の で は な くな る と い う こ と は 不 思 議 な 感 じが す る が,こ 考 え た ら よ い.ま

ず,空

間 的 に 離 れ て い る2点PとQに

時 に お き た と い う こ と を,ど ら考 え よ う.P点

とQ点

観 測 者 が い る.さ

て,Pに

お き た 二 つ の 事 象 が,同

の よ う に し て判 断 す る こ と が で き る か と い う問 題 か

の 中 点 をMと

し,そ

こ に 測 定 器 を お き,そ

何 か が お き て 光 が 放 射 さ れ,ま

お き て 光 が だ さ れ た とす る.こ Mの

れ は 次 の よ うに

の と き も し,Pか

たQに

ら の 光 とQか

測 定 器 に 同 時 に 到 達 した こ と を 観 測 した とす れ ば,観

の す ぐそ ば に も何 か の 事 象 が

ら の 光 とが,中

測 者 は,P点

点

にお きた

事 象 とQ点

に お き た 事 象 と は 同 時 に お き た も の で あ る と判 断 し て さ し つ か え な い

で あ ろ う.   次 に,第1.1図 え,こ

の よ うに,K系

に 対 し て 一 定 の 速 さvで

動 い てい る 箱 を考

の 箱 に 固 定 さ れ た 慣 性 系 をK'と

す る.こ

の 箱 の 中 央 の 点Mか

が 放 射 さ れ た とす る.す 測 者Bは,箱

ら四方 に光

る と箱 の 中 の 観

の 両 側 の 壁PとQと

に光 は

同 時 に 到 達 す る と判 断 す る で あ ろ う.な ぜ な ら,Bに

と っ て 光 は 四 方 に 同 じ速 さ

Cで 伝 わ る か ら で あ る.同

時 にPとQに

到 達 し た と い う こ と は 壁 か ら反 射 され て く る光 が,Mに

ら知 る こ と が で き る.こ る で あ ろ うか.光 は り光 速 度Cで

の 現 象 をK系

上 の 観 測 者Aが

速 度 不 変 の 原 理 に よ る と,Mを

た が っ て,Aは

み た と き に は ど う判 断 す

出 発 し た 光 は, Aか

四 方 に 伝 わ る・ と こ ろ が,壁Pは

右 へ 進 む 光 か ら逃 げ て い く.し し,同

図1.1  同 時 性

同 時 に 帰 っ て く る こ とか

左 に 進 む 光 に 近 づ き,壁Qは 壁Qよ

り も壁Pに

時 に 到 達 した の で は な い と判 断 す る こ と に な る.こ

る よ う に,K’

らみ て も や

系 に お い て 同 時 と判 断 され た の が, K系

光 は は や く到 達

れ まで の議 論 か らわ か

にお い て は 同時 で な い と

判 断 さ れ る 理 由 は 光 速 度 不 変 の 原 理 に あ る.   次 にK'系 か.棒

に 静 止 し て い る 長 さl0の

はx軸

とx'軸

同 時 刻 の 座 標 値 をx1'とx2'と あ る.こ K系

棒 をK系

で み た ら ど うな る で あ ろ う

に 平 行 に お か れ て い る とす る・ 棒 の 両 端 のK'系 す る と, K'系

の 棒 の 両 端 の 座 標 値 をK系

に お け る長 さ はl=x2−x1で

で み た 棒 の 長 さ はl0=x2'−x1'で

か ら み た と き,そ あ る ・K系

れ ら がx1,x2と

た が って

す る と,

か ら み た 両 端 の 位 置 はK系

け る 同 時 刻 の座 標 値 で あ らわ さ れ て い る は ず で あ る か ら,(1.13)か

と な る.し

における

ら

にお

で あ る.そ

こ で,β=ｖ/cと

と な る.す

な わ ち,棒

る.(1.13)の

お くと

に 対 して 運 動 して い るK系

逆 変 換(1.14)か

さ は,K'系

ら 出 発 す れ ば,K系

に 対 し て 静 止 し て い る棒 の 長

か ら み る とや は り収 縮 して み え る.す

相 対 的 な も の で あ る.Lorentzの て 運 動 し て い るK'系

場 合 に は,収

な わ ち,棒

の 点 で 収 縮 の 意 味 がLorentzの

な わ ち, Lorentz収

縮 も また

縮 す る の は 絶 対 静 止 系Kに

上 の 棒 だ け で あ っ て,K系

縮 は し て い な い と考 え て い た.す た.こ

か ら み る と棒 の 長 さ は 収 縮 す

上 の 棒 をK'系

対 し

か らみ て も収

の 長 さ の 収 縮 は 絶 対 的 な もの で あ っ

そ れ とEinsteinの

そ れ とは 根 本的 に ち

が っ て い る こ と に 注 意 され た い.   こ ん ど は 時 計 の 遅 れ の 問 題 を 調 べ よ う.K'系 を 考 え る.こ

の 原 点 に 静 止 し て い る 時 計C'

の 時 計 に つ い て は つ ね にx'=0で

りの よ み を τ とす る.一 盛 りの よ み をtと

方K系

す る と,こ

あ る・ さ て こ の 時 計 の 示 す 目盛

に 対 し て静 止 し て い る 時 計Cの

示 してい る 目

れ ら の よ み の数 値 の 間 に は,(1.14)のLorentz変

換 が な りた ち

で あ る.こ

こ でx'=0と

お き,t'=τ

とか く と

あ る い は,

と な る.で

あ る か ら,時

示 す よ みtよ 時 計Cの

り も小 さ い,つ

よ みtを,K'系

な ら ば,(1.13)の

と な り,こ

計C'の

示 す 目盛 りの よ み τ は,時

ま り遅 れ て い る.逆

にK系

計Cの

の原 点 に静 止 して い る

の 観 測 者 が み て 自分 の 時 計C'の

よみ τ と 比 較 す る

変換 か ら

ん ど はK系

の 時 計Cの

ほ うが 遅 れ て い る こ と に な る.す

た が い に 等 速 度 運 動 し て い る 慣 性 系KとK'の 時 計 の よ み を く らべ る と,お

な わ ち,

それ ぞ れ の原 点 にお か れ てい る

たが い に 相 手 の 時 計 の ほ うが 遅 れ て い る とい うこ

と に な る.つ

ま り 時 計 の 遅 れ は 相 対 的 な も の で あ る.Lorentzの

系 に 静 止 す る 時 計 の 目盛 りの よ みtは K'の

絶 対 的 な も の で,エ

局 所 時 τ だ け が 遅 れ て い る と し て い た.こ

同 様 に,時

場 合 に はK

ーテ ル に対 す る運 動 系

の 点 に お い て,長

計 の 遅 れ の 問 題 はLorentzとEinsteinと

さの収 縮 と

で は本 質 的 に 異 な っ てい

る.   [例 題]ミ

ュ ー ・中 間 子 の 平 均 寿 命   ミ ュ ー ・中 間 子 は 不 安 定 な 素 粒 子 で あ り,こ れ が 静

止 し て い る と き に は,平 し か し,宇

均 寿 命2.21×10-6sec.で

宙 線 の な か に 発 見 され る ミ ュ ー

速 で 地 球 に 降 りそ そ い で く る も の が あ る.こ 1.56×10-4sec.で い る.こ

あ っ て,そ

の 現 象 は(1.16)に

たK'系

速 の0.9999倍

ほ ど もあ る 高

の よ う な 高 速 の ミ ュ ー ・中 間 子 の 平 均 寿 命 は

れ は 静 止 し て い る と き の 平 均 寿 命 の100倍

程 度 も 長 くな っ て

も と づ い て 説 明 され る.

  い ま ミ ュ ー ・中 間 子 がK'系 か く.ま

１個 の 電 子 と ２個 の 中 性 微 子 に 崩 壊 す る.

・中 間 子 に は,光

に 静 止 し て い る と し,そ

で の 時 計 の よ み を τ と す る.す

の 系 で 観 測 した 平 均 寿 命 をT0と

る とK'系

で み た ミ ュ ー ・中 間 子 の 崩

壊 法則 は

で あ らわ され る.そ

こ で こ の 現 象 をK系

い て い る も の と し,ま

とな る.一 方,K系

で定 義 され る.し 止 系K'に

たK系

か ら 観 測 す る.K'系

の 時 計 の よ み をtと

はK系

に 対 して 速 さvで

す る.(1.17)に(1.16)を

動

代 入 す る と,

か らみ た ミュ ー ・中 間子 の 平均 寿 命Tは

た が っ て,(1.18)と(1.19)と

お け る平均 寿 命T0と,そ

を比 較 す る と,ミ

ュー ・中 間子 に対 す る静

れ に対 して運 動 してい る 系Kに

お け る 平 均 寿 命T

との間 に は

の 関 係 が あ る こ と が わ か る.す ら み た そ れT0よ

な わ ち,運

り も 長 く な る.こ

動 系Kか

こ で β＝v/c＝0.9999と

で あ る の に 対 し て,T＝1.56×10-4sec.と

を合 成 し て み よ う.い

K"とKと

お け ば,T0＝2.21×10-6sec.

換 を お こ な う こ と に よ っ て,光

りも大 き な速 度 を も って 相対 的 に運 動 して い る 二 つ の 慣 性 系 を見 い だ

す こ と が で き る で あ ろ う か.こ

速 度vで

止 系K'か

な る.

  (４)  速 度 の 合 成 の 法 則   一 連 のLorentz変 速 度cよ

らみ た 平 均 寿 命Tは,静

の 問 題 に こ た え る た め に,二

ま 三 つ の 慣 性 系K,K',K"を

運 動 し,K"はK'に

対 し てwな

を む す ぶ 特 殊Lorentz変

つ のLorentz変

考 え て,K'はKに る 速 度 を も つ と す る.こ

換 を 求 め よ う.

換 対 して

の と き,

このとき

で あ るか ら,１ 行 目の変 換 式 を ２行 目の変 換式 に代 入 す る.す る と,初 等 的 な計 算ののち

が え ら れ る.こ

で あ る.こ

こで

の よ う に,順

次 に つ づ け て お こ な っ た 二 つ のLorentz変

で き た 変 換 は ま たLorentz変 合 を変 換 群 と い い,い を つ くっ て い る.さ

り も小 さ い.す

ま の 場 合Lorentz変

て,(1.21)を

と か け る か ら,vとwと cよ

換 に な っ て い る.こ

換 に よ って

の よ うな 性 質 を も つ 変 換 の 集

換 はLorentz群(Lorentz

group)

変形す る と

が 光 速 度Cよ

な わ ち 光 速 度cあ

り も 小 さ い か ぎ り,合

成 速 度uは

また

る い は そ れ よ り も大 き い 相 対 速 度 で 運 動 し

て い る 慣 性 系 は 存 在 し な い こ と に な る.   次 に 運 動 して い る質 点 の 速 度 がLorentz変 か を 調 べ て お こ う.あ u'(t')に

換 に よ って どの よ うに変換 され る

る質 点 の あ る瞬 間 に お け る速 度 がK系

よ っ て 記 述 され る と す る.こ

でu(t),K'系

れ らは それ ぞ れ の慣 性 系 で

で

で 定 義 さ れ て い る.こ

の 質 点 の そ の 瞬 間 に お け る 座 標 値(x(t),y(t),z(t))と

(x'(t'),y'(t'),z'(t'))の

あ い だ に は,次

こ こ でvは て,粒

換 式 が な りた っ て い る.

二 つ の慣性 系 のあ い だ の相 対 速 度 で 時 間 的 に 変 わ らな い もの で あ っ

子 の 速 度uと

は っ き り 区別 し て お か な け れ ば な ら な い.さ

ら,

と な る.し

か るに

で あ る.し

たがって

と な る.ま

のLorentz変

た(1.23)か

ら

で あ る.ま とめ る と速 度 の変 換則 は

て,(1.23)か

で あ た え られ る.   こ こ でux(t)=c,uy(t)=0,uz(t)=0と

お い て み よ う.す

る と,uｙ'(t')=uz'(t')=0

と な り,ux'(t')は

とな る.す

なわち

                  光 速 度=光

速 度 − 光 速 度 以 下 の 速 度,

あ るい は                   光 速 度+光

速 度 以 下 の 速 度=光

速度

と な り,光 速 度 で 運 動 す る粒 子 が あ る と き,そ れ にLorentz変 や は り光 速 度 で 運 動 し て い る こ と に な る.あ て い る 粒 子 の 速 度 は,い

る い は,光

換 を ほ ど こ して も

速 度 以下 の速 度 で運動 し

か な る 慣 性 系 で も光 速 度 以 下 で あ る こ と が わ か る.

 [例題]Fizeauの 実 験  第10章 §４ で 説 明 した よ うに,Fresnelは 物 体 が エ ーテ ル の 一部 を引 きず っ てい る と してFizeauの 実験 を説 明 し,Lorentzは 局 所 時 を導入 す る こ と に よ って これ を 解 釈 した.こ

こで は,Fizeauの

実 験 を 特殊 相 対 論 に も とづ い て 説 明 し

よ う.   (1.24)の 速 度 の 変換 則 はK系

か らK'系

へ の 変換 をあ らわす もの で あ るが,逆 にK'系

か らK系 へ の変 換 は

で あ た え ら れ る.そ 速 さu'=c/nで (1.25)か

こ で い ま 流 水 に 対 し て 静 止 し て い る 系 をK'系

伝 わ る 光 を 考 え る.こ

の 光 をK系

ら

で あ る,こ

れ をvに

つ い て 展 開 し,vの

と な り,こ

れ はFizeauの

１次 の 量 ま で 残 す と

実 験 結 果,第10章(4.2)に

と し,K'系

か ら み た と き の 速 さ をuと

一 致 す る.

に対 して す る と,

  (５)Minkowski空

間   1909年Minkowskiは

次 元 空 間 を考 え て,Lorentz変

換 の 幾 何 学 的 意 味 を 明 ら か に し た.従 来 は 時 間 と空

間 と は 独 立 な も の で あ っ て,時 い た が,Lorentz変

間tは

あ ら ゆ る慣 性 系 に 共 通 で あ る と 考 え られ て

換 で は 時 間 と空 間 と は 分 離 し た も の で な く ま じ り あ っ て い る.

そ こ でMinkowskiは て,一

時 間 と 空 間 とを ま とめた ４

そ の 座 標 が(x,y,z,t)で

あ らわ され る ４ 次 元 空 間 を 考 え

つ の 事 象 は こ の ４次 元 時 空 の な か の １点 で 記 述 され る も の と して,そ

世 界 点(world

point)と

な づ け た.ま

た １個 の 質 点 の 運 動 は ４ 次 元 時 空 の な か の

一 つ の 線 に よ っ て あ らわ さ れ る の で ,こ   普 通 の ３次 元 空 間 の な か で は,２

れ を

れ を 世 界 線(world

line)と

点P(X,Y,Z)とQ(x,y,z)と

い う. のあ い だ の

距 離Sは

で あ た え ら れ,こ す な わ ち,こ

の 大 き さ は 座 標 系 の 回 転 やGalilei変

れ ら の 変 換 に 対 し て ス カ ラ ー 量 で あ る.い

個 の 世 界 点P(X,Y,Z,T)とQ(x,y,z,ｔ)を

で 定 義 す る と,こ の 大 き さ はLorentz変 か め られ る.す

換 に 対 し て ス カ ラ ー 量 で あ る.２

空 間 の 幾 何 学 の 性 質 を ３次 元Euclid空

る と,P(X1,X2,X3,X4), 

とか け る.そ

た,特

こで さ らに

殊Lorentz変

点

間 と い う.Minkowski

間 の 幾 何 学 の 性 質 と く らべ る た め に

Q(x1,x2,x3,x4)と

(1.26)は

と か き変 え ら れ る.ま

の 間 の 距 離Sを

換 に 対 し て 変 わ ら な い こ とが 容 易 に た し

あ た え ら れ る 空 間 をMinkowski空

と か き 変 え て み る.す

ま ４次 元 時 空 の な か に ２

考 え た と き,そ

な わ ち,(1.26)はLorentz変

間 の 距 離 が(1.26)で

換 に 対 して 変 わ ら な い.

換(1.13)は

か か れ る か ら,

に よ っ て,虚

数 の 角 度 θ を定 義 す る と,(1.28)は

と か く こ とが で き て,こ

れ は(x1,x4)平

面の な

か の 座 標 回 転 に な っ て い る こ と が わ か る(図 1.2).   い ま ２個 のLorentz変

換

β1,β2を 考 え て,

そ れ ら に 対 応 す る座 標 軸 の 回 転 角 を θ1,θ2とす る と,合 成 さ れ たLorentz変 軸 の 回 転 角 は θ=θ1+θ2で

換 に 対 応 す る座 標 あ る.tanθ=iβ

で 図1.2  時 空 座 標 系 の 回 転

あ る こ と を利 用 す る と

と な る.し

た が っ て,

と な り,こ れ は(1.21)の   こ れ ま で,第 数 軸x0=ctを

とか く.す

速 度 の 合 成 法 則 と一 致 す る.

４番 目 の 座 標 軸 と して,x4=ictな

る 虚 数 軸 を と っ て き た が,実

第 ４軸 に と っ た ほ う が 便 利 で あ る.す

る と こ の と き,特

と あ らわ さ れ る.x2軸

とx3軸

殊Lorentz変

な わ ち,

換 は

とは恒 等 変換 に な る よ うな特 別 の場 合 を考 えて い

る の で,x1とx0に

を え が く.こ

関 す る ２次 元 空 間 を と っ て 図 示 す る(図1.3).ま

れ は 図 のA,Bで

あ る.ま

を え が く.こ れ は 図 のC,Dで

あ る.次

ず双 曲線

た 双 曲線

に これ らの双 曲線 の漸 近 線

を か く.す

る と こ の 漸 近 線 は 光 が 速 さc

で 進 行 す る世 界 線 に な っ て い る.次 曲 線A上

の 任 意 の 一 点P'を

Oと む す ぶ.こ 〓 と す る.漸 Cの

と り,原

の と きx0軸

点

となす 角 を

近 線x1=x0に

上 に あ り,直

に双

関 し てP'と

線OQ'がx1軸

図1.3 

Minkowski空

対 称 な 点Q'を

間 の座 標

と る と,Q'は

と の な す 角 も ま た 〓 と な る.す

双 曲線

る と次 の 定

理 が な りた つ.   定 理   座 標 軸 〓,〓 ん で,OP'とOQ'の

の か わ りに,〓

と 〓

とを新 しい 座標 軸 にえ ら

長 さ を新 しい 長 さ の 単 位 と す る と,こ

(x1,x0)→(x1',x0')に

れ はLorentz変

  こ の 証 明 は 次 の よ うに し て あ た え られ る.直

線Ox0'を(x1,x0)系

で あ らわ し

た 方程 式 を

と お く.す

る と,直

と か か れ る.し

線Ox1'の(x1,x0)系

た が っ てP'点

で の方 程式 は

の(x1,x0)系

に お け る 座 標 値 は,(1.33)を(1.30)

に 代入 す る こ とに よ って

と求 ま る.Q'点

換

な っ て い る.

の 座 標 値 も,(1.34)を(1.31)に

代入 す る こ とに よ って

と求 ま る.さ

て,新

し い 座 標 系(x1',x0')系

に お い て は,P'点

とQ'点

の座標 値

はそ れ ぞれ

で あ る.(x1,x0)系

か ら(x1',x0’)系

とお け る.と

こ ろ がP'点

で あ り,Q'点

に対 して

で あ る か ら,こ

で あ り,Q'点

へ の 変 換 は １次 変 換 で あ る か ら,一

般 に

に 対 し て,

れ ら の値 を(1.38)に

代 入 す る と,P'点

に対 して

に対 して は

で あ る.(1.41)と(1.42)と

を 解 い て,係

換

が え られ る.   角 度 〓 は(1.34)か

ら

数P,Q,R,Sを

決 め る と,Lorentz変

で あ た え ら れ る(Q.E.D.).   Lorentz変

換(1.43)に

よ っ て,双

曲 線 と漸 近 線

はそ れ ぞれ

に 変 換 さ れ る.つ

C,Dは

ま り新

し い 座 標 系(x1',x0')系

双 曲 線 の 方 程 式 を み た す.す

曲線 と漸 近 線 はLorentz変 る.さ

て,図1.4を

換 の も とに不 変 で あ

み よ う,こ

れ をみ る と,ま

え に の べ た 同 時 性 の 問 題 は 自 明 に な る.す ち,斜

線 の な い 領 域 γの な か の 一 点Qを

と,こ

れ を(x1,x0)系

か ら み た ら,原

点 と は 同 時 刻 で は な い.し

なわ 考える

点 Ｏ とQ

か し,ＯQを

むす ぶ

直 線 を 新 しい 座 標 軸 に と っ て,(x1',x0')系 え る と,こ

か ら み て も,図1.3のA,B,

な わ ち双

の 系 で は Ｏ 点 とQ点

を考

と は同 時 刻 に

図1.4 

Minkowski空

間

にお け る同 時 性

な っ て い る.し

か し,領

域 α あ る い は β(図1.4 の斜 線 を ほ ど こ した 領 域)の な か に あ る 点Pを え る と,原

点 Ｏ と点Pと

考

は い か な るLorentz座

標 系 を と っ て も,同 時 刻 に な る こ とは な い.図1.4 は ２次 元 的 に か い て あ る が,x2あ

る い はx3の

の ど ち ら か を 加 え て,３

次 元 的 に か く と 図1.5

の よ う に な る.図1.4は

図1.5のx0軸

断 面 で あ る.図1.5の

を あ ら わ す の で,こ い い,光

よ り未 来 あ る い は 過 去 に あ る.そ

をふ くむ

円 錐 の 表 面 は,光

れ を 光 円 錐(light

の波 面

cone)と

円 錐 の な か の 上 半 分 の 領 域 α を 未 来 圏,

下 半 分 の 領 域 β を 過 去 圏 と い う.こ 図1.5  光 円 錐

あ る 点 は い か な るLorentz変 し て,光

変 換 に よ っ て も そ の 外 に で る こ と は な く,ま い る こ とは な い.す

軸

の 領域内に

換 に よ る も原 点 Ｏ

円 錐 の 内 側 の 点 は い か な るLorentz た 光 円錐 の 外 側 の 点 は そ の 内 側 に は

な わ ち 光 円 錐 の 内 か 外 か とい う区 別 は,Lorentz変

換 に対 し

て 不 変 な 概 念 で あ る.そ (time-like  region),外   Lorentz収 K(x1,x0)系

側 の 領 域 γ を 空 間 的 領 域(space-like 

region)と

い う.

説 明 す る と よ く わ か る.い

ま

に 静 止 す る 長 さ １ の棒 を考 え る.そ は 原 点Oと

す る.そ の ２点 はK系

れ る.さ

て,こ

よ う.K'系

点aに

ある と

に 対 し て 静 止 し て い る か ら,

そ れ らの 世 界 線 はx1軸

に 垂 直 な 直 線 で あ らわ さ

れ をK'(x1'x0')系

か らみ た と し

の観 測 者 は こ の 棒 の 長 さ を 〓

る と 考 え る で あ ろ う.な は,Oとa'と

ぜ な らK'系

で あ

において

は 同 時 刻 で あ る か ら で あ る.ち

っ とみ る と,〓

K'系

円 錐 の 内側 の領域 α と β とを時 間 的 領域

縮 をMinkowski図(図1.6)で

の 両 端 は 時 刻x0=0に

る が,そ

こ で,光

は〓

ょ

よ りも 長 い よ う に み え

れ は ま ち が い で あ る.K'系

に お け る長 さ の 単 位

図1.6Lorentz収

の観 測 者 は を用 い る か ら,で

縮

あ る.(1.36)か

ら

で あ る か ら,

と な り,こ れ か ら

と な る.す

な わ ち,棒

に 対 し て 運 動 す る 系K'か

倍 に な っ て 収 縮 し て み え る.逆

にK'系

ら み る と,そ

の長 さは

に 静 止 す る 棒 が,K系

し て い る 事 情 をMinkowskiの

か ら み た ら収 縮 図 か ら説 明 す る

こ と は 読 者 の 演 習 と し て 残 し て お く.  最 後 に 時 計 の 遅 れ に つ い て 一 言 し て お こ う. 図1.7か

ら明 ら か な よ う に,K系

の原 点 に静

止 す る 時 計 が １秒 を 示 し て い た と す る と,そ

図1.7時

計 の遅 れ

れ をK'系

で み た ら １秒 以 下 に な っ て い る.す

な わ ち,時

計 に 対 して 運 動 して い る 系K'か

み る と そ の 時 計 は 遅 れ て い る.

ら

§２Maxwellの

方 程 式 のLorentz変

換

  特 殊 相 対 論 は も と も と二 つ の 慣 性 系 に お い て,ま

っ た く同 形 のMaxwellの

程 式 が な りた っ て い る とい うMichelson-Morleyの で あ る.そ

し てMaxwellの

変 換 がLorentz変

実験 結 果 か ら 出発 した もの

方 程 式 の 形 を 変 え な い,つ

換 で あ る.そ

こ で,Lorentz変

式 が 共 変 的 で あ る こ と を た しか め,こ

方

ま りそ れ を共 変 的 に す る

換 に よ っ てMaxwellの

方程

の と き電 磁 場 の 量 が ど の よ うな 変 換 性 を も

た ね ば な ら な い か を 調 べ よ う.   物 体 に 対 し て 静 止 し て い る 慣 性 系 をK'(x',y',z',t')と 向 に-vの

し,そ

れ に 対 し てx方

速 度 で 運 動 して い る 慣 性 系 を

K(x,y,z,t)と

す る.す

る と,点Pの

両座 標

系 に お け る座 標値 の あい だ に は

な る 関 係 が あ る.K系

図2.1Maxwellの

に お い て,Maxwell

方 程 式 のLorentz

変 換

の 方程 式

が な りた っ て い る とす る.こ れ ら を 物 体 に 対 し て 静 止 し て い るK'系 真 空 中 の 電 磁 場 を 考 え る と き に は,ε=ε0,μ=μ0と   (2.2)の 方 程 式 系 を変 換 す る た め,あ だ し,こ

の とき

な る 関 係 が あ る と す る.す

る と

に 変 換 す る.

お き さ え す れ ば よ い.

る任 意 の 関 数f'=f'(x',t')を

考 え る.た

同様 に して

と こ ろ が,(2.1)のLorentz変

換 で は

で あ る か ら,

と な る.こ

れ を逆 に解 くと

が え ら れ る.こ   K'系

れ で 準 備 が お わ っ た.

に お け る物 理量

を 考 え る.(2.3)の

公 式 をつ か って

を え る.   そ こ でLorentz変

換 に と も な っ て,DとHと

が 次 の よ うに 変 換 す る もの と

す る.

また,電 流 密度 と電荷 密 度 の変 換 は

で あ た え ら れ る も の とす る.   す る と,(2.4)は

と な る.こ

こ で,右

辺 はK系

に お い てMaxwellの

方 程 式(2.2)が

な りた っ て い

る こ と か ら ０に な り,し た が っ てK'系

にお い て

が な りた つ こ とが わ か っ た.   次 に,K'系

に お い て,

な る 物 理 量 を考 え る.こ

のx-成

と な る.こ

こ で 公 式(2.3)と

Maxwellの

方 程 式(2.2)よ

が 正 確 に な りた つ.   同 様 に して

を 考 え る.x成

分 を とる と

分 を とる と

変 換 性(2.5),(2.6)を り 右 辺 は ０ に な り,  K'系

つ か っ た.K系 にお い て

にお け る

と な る. そ こ でEお

す な わ ち,K'系

よ びBのLorentz変

において

が 正 確 に な りた つ.   同 様 に し て,

換 に よ る変 換 性 を 次 の よ う に 規 定 す る.

とな る．   こ の よ う に して,K系 お よ び(2.10)で 形 のMaxwellの

とK'系

と の 物 理 量 の あ い だ の 変 換 性 が,(2.5),(2.6)

あ た え られ た と き,K'系

に お い て もK系

方程式

が 正 確 に な りた つ こ と が 証 明 さ れ た.す 変 換(2.1)の

の そ れ と ま っ た く同

な わ ちMaxwellの

方 程 式 は,Lorentz

も と に 正 確 に 共 変 的 で あ る.

  上 のEinsteinの

理 論 がWilsonの

と は,(2.5)と(2.10)の

実 験 とEichenwaldの

実 験 を説 明 す る こ

変 換 性 か ら示 さ れ る ． す な わ ち,K'系

静 止 し て い る か ら,現

象 論 的 法則

が な りた っ て い る,こ

れ ら に(2.5)と(2.10)と

を 代 入 す る と, K系

は物 体 に対 して

では

とな る.こ れ ら は 明 ら か に 第10章(4.44)

のvx=v，vy=vz=0の

と き の 成 分 で あ る.ま

が え ら れ る.(2.15)と(2.16)と こ と は,Lorentzの [例 題]等 Wiechertの

っ た く同 様 に し て

か ら,WilsonとEichenwaldの

結 果 が え られ る

理 論 の 場 合 と お な じ で あ る.

速 度 運 動 し て い る 点 電 荷 に よ る 電 磁 場   第 ９章 §３(1)の ポ テ ン シ ァ ル か ら,等

で は そ れ をLorentz変

換 に よ っ て 求 め て み よ う.慣 性 系Kに

動 し て い る 慣 性 系 をK'と 静 電 場 だ け が あ る か ら.１

で あ た え ら れ る.さ

す る.点

電 荷 はK'系

点P(x')に

て,(2.10)のLorentz変

と な る 。(2.17)を(2.18)に

例 題 でLienard

速 度 運 動 し て い る点 電 荷 の つ く る電 磁 場 を 求 め た.こ

代 入 す る と.

対 し て 速 さvでx方

に 静 止 して い る も の と す る.K'系

お け る 電 磁場 は

換 を 逆 に 解 く と,

こ

向に運 では

で あ る.   (2.19)と(2.20)の

右 辺 の 変 数 はK'系

の そ れ で あ る か ら,こ

変 数 に か き 変 え て お か ね ば な ら な い.ま

で あ る.こ

こ でR*は

と な る.そ

こで

第 ９章(3.36)で

ず,(2.1)か

れ を(2.1)に

定 義 さ れ た も の と お な じ で あ る.し た が っ て(2.19)は

と お く と,

が え ら れ る.こ

と な る.し

れ は 第 ９章(3.38)と

と か け る.こ

た が っ て,(2.21)よ

れ は 第 ９章(3.42)と

よ っ てK系

ら

一 致 す る.ま

り

一 致 す る．

た 磁 場 は(2.20)か

ら

の

§３ テ ンソ ル と共 変 性   第 ２章 §２ で の べ た よ う に,普 ク トル の 形 式 で か く理 由 は,こ

通Maxwellの

方 程 式 を ３次 元 空 間 に お け る ベ

うす る と基 本 方 程 式 系 が 空 間 座 標 系 の 回 転 に対 し

て 共 変 的 で あ る こ と が 一 目瞭 然 と な る か らで あ っ た.そ

し て こ の と きE,Bやie

等 が ３次 元 空 間 に お け る ベ ク トル と し て の 変 換 性 を も っ て い た.し の 物 理 量 のLorentz変

換 に と も な う変 換 性 は(2.5),(2.6),(2.10)で

か し,こ

れ ら

あ た え ら れ,

こ の変 換 性 は ３次 元 空 間 に お け る ベ ク トル そ の 他 の 変 換 性 と は 大 分 様 子 が ち が っ て い る.そ

れ で は,こ

れ らの 複 雑 な 変 換 性 の 本 質 は ど こ に あ る の で あ ろ うか.そ

れ が わ か れ ば,Maxwellの

方 程 式 のLorentz変

換 の も とで の 共 変 性 も,前

の べ た よ う な 複 雑 な 手 続 き を へ る こ と な く,一 す な わ ち,３ Lorentz変

次 元 空 間 を 考 え て い る と き,ベ

節 で

目 瞭 然 と な る こ と が 予 想 さ れ る.

ク トル 解 析 が 有 用 で あ っ た よ う に,

換 に う ま く適 合 した 新 し い 数 学 的 道 具 を 考 え だ す 必 要 が あ る.

  そ の 手 が か りはMinkowski空

間 に あ る.す

な わ ちMinkowski空

間 におけ

る 長 さSは

で 定 義 され,Lorentz変 Minkowski空

換 は 一 般 に こ の 長 さ を 不 変 に 保 つ 変 換 で あ っ た.そ

間 の な か の 任 意 の １点Pを

考 え た と き,二

こで

つ の 慣 性 系KとK'

と に お け る そ れ ぞ れ の座 標 値 を(x1,x2,x3,x4),(x1',x2',x3',x4')と

す る と,そ れ ら

の あ い だ に は 一 般 に 次 の 線 形 の 関 係 が あ る.

こ こ でaμ ν は 変 換 の 係 数 で あ り,ま た μ と ν とは １,２,３,４(あるい は １,２,３,０) の 値 を と る も の と す る1).(3.2)の

右 辺 の 添字

つ い て １か ら ４ ま で の 和 を と っ て あ る.相 添 字 が 二 つ あ らわ れ た と き に は,つ 和 の記号

Σ

ν は ２度 あ ら わ れ て い て,そ

れ に

対 論 で は こ の よ うに一 つ の項 にお な じ

ね に そ れ に つ い て 和 を と る も の と約 束 し て,

は 省 略 す る.

  さ てMinkowski空

間 に お け る 長 さSは,Lorentz変

換 に 対 し て不 変 量 で あ

るか ら   １） ４次元 的 な添 字 と して は 普 通 ギ リシ ャ文 字 をつ かい,ロ 字 で あ る.

ー マ文 字 を つ か っ た と きは ３次 元 的 な添

で な け れ ば な ら な い.こ 条 件 が え られ る.す

れ に(3.2)を

代 入 す る こ とに よ っ て,係

数aμ ν に対 す る

な わ ち,

で あ るか ら,

と お け ば,(3.3)が

み た さ れ る.こ

で あ る.次

に,(3.2)にaμ

と な る.こ

こ で(3.4)の

こで

ρを か け て

δνρ はKronecherの

記 号 で

μ につ い て和 を と る と

条 件 を つ か っ た.(3.5)か

ら,

が 要 求 さ れ る か ら,

で な く て は な らな い.す っ 変 換(Lorentz変

な わ ち,Minkowski空

換)の

間 に お け る 長 さSを

不 変 に保

係数は

な る条 件 を み た し て い な け れ ば な ら な い.   (3.2)を 成 分 に わ け て 表 で あ ら わ す と,次

こ の よ う な表 を マ ト リ ッ ク ス と い っ て,右 りた つ も の と す る.二 変 換(1.28)の

の よ う に か け る.

辺 の 積 は 行 列 式 の 積 と お な じ規 則 が な

つ の 慣 性 系 の 相 対 速 度 がx成

と き に は,次

の よ う に か か れ る.

分 だ け で あ る 特 殊Lorentz

こ の 変 換 が(3.7)の

条 件 を み た し て い る こ とは 容 易 に た し か め ら れ る で あ ろ う.

  次 にMinkowski空 う.い

間 に お け る ス カ ラ ー 量,ベ

ま,Minkowski空

間 の な か の 一 点Pに

れ る 物 理 量 を 〓 と し,Pに あ る い は(x1,x2,x3,x4)を に お け る座 標 値 をx'と 〓'(x')と す る.こ

ク トル 量 な ど を 定 義 して お こ

お い て,１

お け る そ の 値 を 〓(x)と す る.こ ま と め て か い た も の で あ る.同

し た と き,上

こ で,  xは(x,ct)

一 点Pの

とお な じ物 理 量 〓 のP点

新 しい慣 性 系 にお け る値 を

の と き そ の 値 が 等 し く,

が な りた つ と き,そ

の物 理 量 〓 を ス カ ラ ー 量 とい う1).ベ

う に 定 義 され る.あ

る 点Pに

考 え た と き,P(x)点

個 の成 分 だ け で 決定 さ

お い て ４個 の成 分 に よ っ て 決 定 さ れ る物 理 量Bを

に お け る そ の 値 がBμ(x)で

系 に お け る 同 一 点P(x')に

な る 関 係 が な りた つ と き,こ

ク トル 量 も ま た 次 の よ

あ っ た と す る.一

お け る お な じ物 理 量Bの

の 物 理 量Bを

  二 つ の ベ ク トル 量Bμ(x)とCμ(x)と

値 をBμ'(x')と

方 新 しい慣 性 した と き

ベ ク トル と い う.

を 考 え て,そ

の成 分 の 積 の和 を つ くった

とき

とな るか ら,Bμ(x)Cμ(x)は

ス カ ラ ー 量 で あ る.ス

分 を考 え よ う.こ の と き

で あ る か ら, １） 関 数形 の変 化 の な い と き,す な わ ち の と き不 変量 とい う.

カ ラ ー 量 〓(x)の ４次 元 的 な 微

と な る.そ

こ でaρ

ν を か け て,ν

に つ い て和 を とる と

と な る.そ

こ で 添 字 の ρ を μ とか き か え る と

と な る.す

な わ ち,ス

カ ラ ー 量 の 微 分 ∂〓/∂xμは ベ ク トル 量 で あ る.

  こ ん ど は ２個 の ベ ク トル の 各 成 分 の 積Bμ(x)Cν(x)を 成 分 を も っ て い る.こ

な る 変 換 性 を も っ て い る.そ と き,そ

の

こ で 一 般 に16個

の 成 分 を もつ 物 理 量Tを

考 えた

れ らの成 分 が

と し て,す

な わ ち ベ ク トル の 積 と し て の 変 換 を す る と き,こ

ン ソ ル 量 と い う.ベ も ち,4n個

考 え る と,こ れ は16個

の量 は

ク トル は １階 の テ ン ソル で あ る.同

の 成 分 か ら な る 物 理 量Tμ ν ρ τ … が

な る 変 換 を す る と き,こ

れ をn階

  ２階 の テ ン ソ ルTμν は 一 般に

と か け る か ら，

の物 理 量 を ２階 の テ

様 に し て,n個

の テ ン ソ ル 量 と い う.

の添 字 を

でSμ ν とAμ ν と を 定 義 す る と

と 分 解 さ れ る.Sμ

ν=Sνμ,Aμν=-Aν μな る性 質 が あ る か ら,Sμ νを 対 称 テ ン ソ ル,

Aμν を 反 対 称 テ ン ソ ル とい う.対

称 テ ン ソ ルSμ νは10個

の 独 立 な成 分 を も ち,

反 対 称 テ ン ソルAμ ν は ６個 の 独 立 な成 分 を も っ て い る.   次 に ベ ク トルBμ(x)の

で あ る か ら,こ

各 成 分 の 微 分 の 和 ∂Bμ(x)/∂xμを考 え よ う.

れ は ス カ ラ ー 量 で あ る.

 ま た テ ン ソル の 微 分 を考 え る と,

そ こで

す な わ ち,

と な る か ら,こ

の 量 は ベ ク トル で あ る.こ

空 間 に お け る ス カ ラ ー 量,ベ

ク トル 量,テ

の よ う に して,４

次 元 のMinkowski

ン ソル 量 な どの 一 般 のLorentz変

換

(3.2)に よ る 変 換 性 が 明 らか に され た.   以 上 の 数 学 的 準 備 の も と に,電

流 電 荷 密 度 や 電 磁 場 の 量 が,Minkowski空

で ど の よ うな 変 換 性 を示 し て い る か を 調 べ よ う.ま 変 換 性 を も っ て い た.す

ず,電

間

流 電 荷 密 度 は(2.6)の

な わ ち,

そ こで

と お く と,(3.20)は

とか か れ る.こ

とな る.こ

れ を(3.9)に

れ と(3.9)と

な ら っ て,マ

トリッ クス の形式 でか くと

を 比 較 す る と,一 般 に

とか け る こ と が わ か る.す

な わ ち 電 流 電 荷 密 度 は,Minkowski空

ベ ク トル と し て 変 換 す る も の で あ る こ とが わ か っ た.

間 に お い て,

  す ぐ あ とで の 必 要 の ため に,反

対 称 テ ン ソ ルAμ ν の(3.9)の

特 殊Lorentz変

換

の も と に お け る変 換 性 を 調 べ て お こ う.

に 注 意 し て,反

対 称 テ ン ソ ルAμ νの 各 成 分 の 変 換 性 を調 べ て み る.(3.14)か

ら

同様 に し て分解 す る と,

で あ る こ と が わ か る.   さ て,ま わち

え に 求 め た 特 殊Lorentz変

換 に よ るDとHの

変 換 性(2.5),す

な

に お い て,

と お く と,(3.26)は

とか き 変 え られ る.こ

れ を(3.25)と

比 較 し て み る と,Hμ

ル と して の 変 換 性 を 示 す も の で あ る こ とが わ か る.す

とす る と,DとHを

な わ ち,

ま と め た もの は ４次 元 空 間 に お け る ２階 の テ ン ソル で

な る 変 換 性 を も つ.   次 にEとBと

νは ２階 の 反 対 称 テ ン ソ

の 変 換 性 は,(2.10)で

あ た え られ

と か か れ る か ら,

と お く と,(3.31)は(3.28)でHμυ て,Fμ

υ も ま たLorentz変

と が わ か る.つ

をFμ υで お き か え た も の に な る.し

たがっ

換 の も とに ２階 の 反 対 称 テ ン ソ ル と し て 変 換 す る こ

ま り,(3.31)は

一般 に は

とか く こ とが で き る.   電 磁 場 の 量 がLorentz変

換 に 対 し て テ ン ソ ル と し て 変 換 し,電

ベ ク トル と して 変 換 す る こ と が わ か っ た.そ 形 式 で か く こ と を 考 え よ う.ま

は,次

こ でMaxwellの

ず一 組 の方 程 式

の よ う な テ ン ソ ル 方 程 式 に か け る.

な ぜ な ら,μ=1の

で あ る.μ=2,３

と き を 考 え る と(3.29)と(3.21)と

の と き も同 様 で,μ=4の

と きに は

か ら

流電荷密度が

方 程 式 を テ ン ソル

と な る.し

た が っ て,(3.34)は

た しか にMaxwellの

方 程式 の一 組 を あ らわ して

い る.   残 りの 一 組 の 方 程 式

は,次

の よ うな3階

の テ ン ソ ル 方 程 式 で あ らわ され る.

(3・35)が 上 のMaxwellの v,ρ の う ち の どれ か2個

方 程 式 の 一 部 を あ ら わ す こ と を 示 そ う.ま が 等 し い と き,た

と え ば μ=レ=1の

ず 添 字 μ,

と き を 考 え る と,

F,,,Yは 反 対 称 テ ン ソ ル で あ る か ら

で あ る.し

たがって

と な り,こ れ は 恒 等 的 に0で

あ る.つ

ま り,こ

も あ ら わ さ な い ・ そ こ で,ρ=1,μ=2,り=3あ

の 場 合 は(3.35)は0=0で,な

ると

と な る.次 P=4の

に 添 字 の うち どれ か に4が

とき

に

るい はそ の い れか え の場 合 を考 え

は い っ て い る と き,た

と え ば μ=1,v=2,

と な る.他

の 成 分 に つ い て も同 様 で あ る.

  こ の よ う に し て,Maxwellの

とか か れ,Hμ

方 程 式 は ４次 元 的 な テ ン ソ ル 方 程 式 と し て

ν とFμ ν は 反 対 称 テ ン ソル で あ っ て,Lorentz変

換 に よっ て次 の

よ うに 変 換 す る も の で あ る こ とが わ か っ た.

い ま,慣

性 系Kに

お け る 観 測 者 が,た

とえば

な る物 理 法則 をつ くっ た とす る.相 対 性 原 理 に よる と,K系 し てい る慣 性 系K'に

に対 して等 速 度 運 動

お い て もま た上 とま った くお な じ形 の法則

が な りた っ て い な け れ ば な ら な い.と

か ら 自動 的 に 保 証 さ れ,そ

こ ろ が こ の こ とは

の 共 変 性 は 一 目 瞭 然 で あ る.す

な わ ち,Maxwellの

方 程 式 を ３次 元 の ベ ク トル 形 式 で か い て お く と,空

間座 標 回転 に よ るそ の共 変性

が 一 見 して わ か っ た と同 様 に,４ 次 元 のMinkowski空

間 に お け るテ ン ソル形 式

で,Maxwellの

方 程 式 を か き あ ら わ し て お く と,Lorentz変

性 は 自 明 の こ と に な っ て し ま い,§

換 に よ るそ の共 変

２ で お こ な っ た よ う な 面 倒 な 計 算 を必 要 と し

な く な る.   こ の よ う に ４次 元 的 な テ ン ソ ル 形 式 で 法 則 を か き あ らわ す こ とが で き れ ば,そ の 法 則 はLorentz変

換 の も と に 共 変 的 で あ る が,そ

の逆 の命題

『Lorentz変

換

に 対 し て 共 変 的 な 法 則 は か な ら ず テ ン ソル 形 式 で か か れ る』 は な りた た な い.す な わ ちDiracの

相 対 論 的 電 子 論 に よ る と,ス

ピ ノ ル と い う量 で あ ら わ され る 方

程 式 も ま たLorentz変

換 の も と に共 変 的 に な り う る の で あ る.こ

の点 につ い て

は 量 子 力 学 の 教 科 書 を参 照 さ れ た い.   Maxwellの で は,物

方 程 式 は(3.36)の

よ うに テ ン ソ ル 形 式 に か く こ とが で き た.そ

れ

質 の構 造 に関 係 した現 象論 的 法則

は ど うで あ ろ うか.こ て の み な りた つ.そ

れ らの 法 則 は 本 来 物 体 に 対 し て 静 止 し て い る慣 性 系 に お い の 意 味 で こ れ ら は共 変 的 で は な い.し

か し,こ

れ らの 関 係 式

を 形 式 的 に テ ン ソ ル 方 程 式 と し て か き あ ら わ す こ と は 可 能 で あ る.す

なわ ち物 体

に対 して静 止 してい る系 に対 して運 動 して い る慣 性 系 で一 般 に

とか く こ と が で き る.た ル で あ っ て,物

だ し,こ

体 に 対 しx方

で あ た え ら れ る.こ

こ で ωμ は 次 節 で の べ る ４次 元 的 な 速 度 ベ ク ト

向 に 速 度-vで

運 動 す る系 で は

れ か ら わ か る よ うに,(3.38)の

運 動 系 との あ い だ の 相 対 速 度vを の 法 則 を か く と き,静

止 系 の 存 在 を 意 識 し て,そ

っ て い る 必 要 が あ る.す

な わ ち,物

法 則 は 物 体 に 対 す る静 止 系 と

な ま に ふ くん で い て,運 動 系 の 観 測 者 が(3.38) れ に 対 す る 自 分 の 速 度vを

体 に 対 す る静 止 系 の観 測 者 は 運動 系 に対 して

(3.38)の 法 則 に 関 す る か ぎ り特 権 的 な 地 位 に あ る.そ 則 は,そ

の 形 式 的 共 変 性 に もか か わ らず,本

し て(3.36)のMaxwellの 平 等 な 地 位 に あ り,(3.36)は

うい う意 味 で,(3.38)の

質 的 に は 共 変 的 で は な い.こ

方 程 式 の 場 合 は,す

法

れ に反

べ て の 慣 性 系 の観 測 者 は ま っ た く

本 質 的 に 共 変 的 な 法 則 で あ る とい え る.

  真 空 中 の 電 磁 場 に お い て は,c2=(ε0μ0)-1で (3.32)と

知

あ る こ とに 注 意 す る と,(3.29)と

を比較 す る こ とに よ っ て

で あ る こ と が 容 易 に た しか め られ る.こ よ うに か き 変 え られ る.

の と きMaxwellの

方 程 式(3.36)は

次の

そ こで い ま

とお く と,(3.41)は

自動 的 に み た され る こ とが わ か る.こ

れは

に お い て,

とお い た も の と お な じで あ る こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.そ 関 係 を(3.40)に

代 入 す る と,

とか か れ る.そ

こで

こ で,(3.42)の

と か く と,

と な る.こ

れ は 第 ２章 §３ の(3.9)を

共 変 的 な 形 に か い た も の で あ る.そ

Lorentz変

換 に対 す る 任 意 の ス カ ラ ー 量 λ(x)を も ち い て

こで

な るゲ ー ジ変換 を す る と

が な りた ち,(3.42)と(3.45)と

は(3.46)の

ゲ ー ジ 変 換 に対 し て 不 変 で あ る.

  ４次 元 的 電 磁 ポ テ ン シ ァ ルAμ(x)の 単 な 形 に か き な お そ う.(3.45)の か い て お く.こ のAμ(0)を

こ の 不 定 性 を利 用 し て,(3.45)を

解 を 一 組 え ら び だ し て お い て,そ

つかって

な る方 程 式 を つ く り,こ れ の 解x(0)を

を つ く る.す

る と,も

さら に簡

れ をAμ(0)と

つ か っ て,

ち ろ んAμ(L)(x)は

と を み た し て い る.と

と な るか ら,(3.47)の

と な る.こ

こ ろ がAμ(L)の

定義 か ら

方程式系は

れ は 第 ２章 §３の(3.15)∼(3.17)で

あ っ て,Lorentzゲ

電 磁 場 の 基 本 方 程 式 系 を 共 変 的 な 形 式 で か い た もの で あ る.ま

ー ジ にお け る た(3.48)が

な る ゲー ジ変換 に対 して不 変 で あ る こ と も容 易 にた しか め られ る. 次に

な る 量 を 考 え て み る.こ

とな る.(3.50)は

代入す ると

明 らか に ２階 の 対 称 テ ン ソ ル で あ っ て,

な る 性 質 を も っ て い る.さ

で あ り,ま

れ に(3.39)を

て,(3.29)と(3.32)の

表 か ら

た

さ らに

で あ る こ とが た しか め られ る.こ す る と,T44は Maxwellの

れ ら を 第 ２章(4.2)と(5.5)お

電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー 密 度,Ti4はPoyntingベ 応 カ テ ン ソ ル で あ る こ と が わ か る.し

とか くこ とが で き る.   (3.50)の

４ 次 元 的 な 発 散 を と っ て み よ う.

こ こ で 右 辺 の 第 ２項 に(3.40)を

代入す ると

た が っ て,

よ び(5.6)と

比較

ク トル,Tijは

また第 １項 と第 ３項 との和 は

ここ で

と,(3.41)を

つ か っ た.し

た が っ て

が え ら れ る.   こ の 方 程 式 の 意 味 を 調 べ る た め に,ま

ず μ＝４ の と き を考 え よ う.こ

(3.57)は

と か き か え ら れ る.そ

こで

と お き,空

間 積 分 をす る と

と な る.こ

こ でLorentzの

に 〓i(t)を か け て,そ

が え られ る.こ

力 の 作用 の も とで の運 動 方程 式

れ を右 辺 に代 入 す る と

れ は 第 ２章(4.3)の

エ ネ ル ギ ー保 存 則 で あ る.

の とき

次 に

μ ＝1,2,3と

す る と,(3.57)は

と な り,(3.59)と

を利 用 し て 空 間 積 分 を お こ な い,ま

が え られ る.こ

運 動 方 程式 を つか うと

こで

で あ る.(3.63)は [例 題]相

た(3.60)の

第 ２章(5.11)の

対 論 的Doppler効

運 動 量 保 存 則 を あ ら わ し て い る.

果jμ(x)＝0の

と き, Lorentzゲ

ー ジ で ４次 元 的 電 磁 ポ テ

ン シ ァルAμ(x)は

の波 動方 程 式 をみ た して い る.K系

に お け る波 動方 程 式(3.64)は 明 らか にLorentz変

対 して共 変 的 で あ る.つ ま り,K'系

が な りた っ て い る.(3.64)の で み た と き,そ

電 磁 ポ テ ン シ ァ ルAμ(x)で

れ はAμ'(x')に

な る 関 係 を も っ て い る.い

換に

にお い て は

よ っ て 記 述 さ れ,同

ま,Aμ(x)が

で あ る と し よ う.た

だ しこ こで

で あ ら わ され る.し

た が っ て,(3.65)は

記 述 され る 電 磁 的 現 象 を,K'系

一 世 界 点 に おい て

平面波

ω＝cｋ で あ る.こ

の 平 面 波 をK'系

で み る と,そ

れは

とな る.こ れ が 任 意 の世 界 点 に お い てな りた つ ため に は

でな け れ ば な ら な い.す

な わ ち,電

磁 波 の 位 相(k・x−

ωt)は

ス カ ラ ー 量 で あ る.そ

こで

とお くと,位 相 は

と か く こ と が で き,kμ

を み た す.xμ は,kμ

は

は ４次 元 的 な ベ ク トル で あ る か ら,位

相(3.66)が

も ま た ４次 元 的 な ベ ク トル で な け れ ば な ら な い.し

換 に と もな っ て,kμ

ス カ ラー 量 で あ る た め に

た が っ て,  (3.9)のLorentz変

は

な る 変 換 を う け る.そ

こ で,x方

向 とk方

向 と の 間 の 角 度 を θ,x方 向 とk'方

向 との 間 の

角 度 を θ'と す る と

を う る.(3.69)の 効 果 で あ る.こ が,相

第 １式 がDoppler効 の 場 合cosθ

＝0つ

果 で,β2を

対 論 的 な と き に は こ の と き に もDoppler効

そ し て,こ

無 視 し た も の が,非

ま り θ＝ π/２ で は,非

相 対 論 的 なDoppler

相 対 論 的Doppler効

果 は ない

果 が 残 っ て い る こ と に 注 意 さ れ た い.

の 相 対 論 的 効 果 は 運 動 し て い る 原 子 か ら で る ス ペ ク トル に よ っ て,実

験 的 にた

しか め られ て い る.

§４ 相対 性 力 学   相 対 性 原 理 に よ る と,す 的 で な け れ ば な ら な い.と

べ て の 基 本 的 物 理 法 則 はLorentz変 こ ろ が,Newtonの

し て 共 変 的 で あ っ て,Lorentz変

更 され る こ とが 期 待 され る.そ し て,Lorentz変

運 動 方 程 式 はGalilei変

換 に 対 し て は 共 変 的 で は な い.Newtonの

動 方 程 式 は 粒 子 の 速 度 が 光 速 度cに め られ て い る こ と を 考 え る と,粒

換 に対 し て 共 変 換 に対 運

く らべ て 小 さい と き に の み 実 験 的 に た し か

子 の 速度 が光 速度 に近 づ い た とき には そ れ が 変 こ で,わ

れ わ れ はNewtonの

運 動 方 程式 を変 更

換 に 対 し て共 変 的 な 運 動 方 程 式 を つ く る こ と を こ こ ろ み よ う.

  こ の よ う な 運 動 法 則 を 構 成 す る に あ た っ て,古

典 力 学 に お け る粒子 の運 動 の記

述 の 仕 方 に つ い て反 省 し て み よ う.Newtonの 間tを

パ ラ メ ー タ ー と し てz(t)で

換 に よ っ て,z'(t)=z(t)−vtと 換 の も とでt'=tな 用 し て,す 間tは

の と き パ ラ メ ー タ ーtは,こ

る ス カ ラ ー 量 で あ る と考 え て い た.時

位 置 座 標zに

空 つ ま りMinkowski空

間tの

関 数 と し て 表 現 し て い る の で あ る.し

く らべ て 特 別 な 役 割 を 演 じ て い る.と 間 に お い て は,時

こ で,Lorentz変

メ ー タ ー τ を つ か っ て,粒

子 の運 動 を 時

表 現 す る1)こ の 粒 子 の位 置z(t)はGalilei変

変 換 さ れ る.こ

べ て の運 動 をtの

ー量 で は な い .そ

力 学 に お い て は,粒

の変

この 性 質 を利 た が っ て,時

こ ろが相 対 論 的 な時

間tはLorentz変

換 の も とで ス カ ラ

換 の も とで ス カ ラ ー 量 で あ る 何 か 新 し い パ ラ

子 の 運 動 をMinkowski空

間 に お け る世 界 線 と し て,

の よ うに 表 現 し た ら よ い こ とが わ か る.   そ れ で は,こ ろ うか.τ

の パ ラ メ ー タ ー τ と し て,ど

はLorentz変

な る 量 を考 え る と,こ

換 に 対 し て ス カ ラ ー量 で な く て は な ら な い.そ

れ はMinkowski空

を む す ぶ 直 線 の 長 さ に な っ て い る.こ で あ る こ と は,Lorentz変 点 か らP点

の よ うな もの を とった ら よい で あ

間 に お け る 原 点 と １点P(x,y,z,ct)と の 量 がLorentz変

換 に対 して ス カ ラー量

換 の 定 義 自 身 か ら 明 らか で あ る.さ

ま で 等 速 度 運 動 し た とす る.こ

て,あ

る質 点 が原

の 質 点 の え が く世 界 線 の 長 さ は

に よっ て あた え られ る.す る とP点 か らそ れ に きわ め て接 近 した 点P'ま 点 の運動 に よ って えが か れ る世 界 線 は

に よ っ て あ た え ら れ る.さ

で あ る.こ

て

こで

１） この 節 では 粒子 の位 置 ベ ク トル をzで

こで い ま

あ ら わす.

で の質

と お い た.こ

のdτ

がLorentz変

定 義 か ら 明 らか で あ る.し

換 に 対 し て ス カ ラ ー 量 で あ る こ と は,(4.1)の

か し,こ

こ で(4.1)が

ス カ ラ ー で あ る こ と を(1.24)の

粒 子 の速 度 の 変 換 性 か ら証 明 し て お く の は 教 育 的 で あ ろ う.   dτ が ス カ ラ ー 量 で あ る こ と を示 す に は,K系

な る量 を つ く り,こ れ に対 し て運 動 してい るK'系

の観 測者 が

の観 測 者 が 上 とお な じ手続 き

で

を つ くっ た と き,

な ら ば,dτ

は ス カ ラ ー量 で あ る.さ

で あ た え られ る.ま

と 変 換 す る.そ

て 粒 子 の 速 度 の 変 換 則 は(1.24)に

た

こ で,(4.3)と(4.4)を

つ か う と

よ って

と な る.す

な わ ち,dτ

は ス カ ラ ー 量 で あ る.

す ると

はMinkowski空

間 の な か の ２点P,Qと

る ス カ ラ ー 量 で あ っ て,粒 て い る.dτ

そ の あ い だ の 道 が あ た え られ れ ば 決 ま

子 の 運 動 経 路 の 長 さ,つ

は そ の 定 義(4.1)か

ま り世 界 線 の 長 さ を あ ら わ し

らみ て 明 らか な よ う に,あ

る 瞬 間 にお い てそ の

粒 子 の 静 止 す る 座 標 系 を 考 え た と き(ux(t)=uy(t)=uz(t)=0),そ

の 瞬 間 的 な座 標

系 に お け る 時 間 に 等 し い.つ

をそ の 運 動粒 子

の 固 有 時(proper

ま り こ の と きdτ=dtな

time)と

い う.こ

こ でLorentz変

の で,τ

換 に あ らわれ る

な る因子 と,固 有 時 に あ らわ れ る

と は お な じ形 を し て い る が,前 な い も の で あ り,こ

者 のvは

慣 性 系 間 の相 対 速 度 で 時 間 的 に変 わ ら

れ が 自然 法 則 の な か に な ま に あ ら わ れ て い る と き,そ

は 共 変 的 で は な くな る.一

方,後

者 に ふ く ま れ るu(t)は

た 粒 子 の 速 度 を あ ら わ す も の で,一

の 法則

あ る慣 性 系 に お い て み

般 に は 時 間 的 に 変 動 す る も の で あ る か ら,こ

れ ら の 二 つ の 因 子 を 混 同 し て は な ら な い.   古 典 力 学 に お け る絶 対 時 間tに し て,固

かわ る相対 論 的 力学 にお い て のパ ラ メ ー ター と

有 時 τ を つ か っ た ら よ い こ と が わ か っ た.そ

メ ー タ ー と し て,Minkowski空

で 記 述 す る.た

だ し,z1(τ), 

こ で ス カ ラ ー 量 τ をパ ラ

間 の なか で の粒 子 の運 動 を

z2(τ),z3(τ)はtを

パ ラ メ ー ター と した と きの軌 道

x(t),y(t),z(t)と

す な わ ち,変

次 の よ う な 関 係 に あ る.

数 をtか

t=t(τ)は(4.1)を

ら τ に 変 え た こ と に よ っ て 関 数 形 が 変 化 し て い る.ま

  さ て(4.6)はLorentz変

な る 変 換 を す る.こ

換 に よ って

れ を(1.23)の

変 換 と比 較 す る と,ス

タ ー に と っ た 利 点 が よ くわ か る で あ ろ う.(4.7)は

と か か れ る.こ

カ ラ ー 量 τ をパ ラ メ ー

一般 には

れ か ら え られ る

はdzμ(τ)/dτ が ４次 元 的 な ベ ク トル で あ る こ と を示 し て い る.そ

を ４元 速 度(four  wμ

velocity)と

と ３ 次 元 的 な 速 度u(t)と

で あ り,ま

た

積 分 す る こ と に よ っ て決 ま る.

た(4.1)か

ら

い う. の 関 係 を 調 べ て お こ う.

こで

で あ る か ら,

で あ る.同

様 に して

な る 関 係 が あ る こ とが わ か る. wu(τ)は ４次 元 的 ベ ク トル で あ る か ら,そ

で あ た え られ る.こ

と な る.最

れ に(4.11)を

後 の式 か ら

の変換 性 は

代 入 す る と,

と な る か ら,こ

れ を ほ かの式 に代 入 す る と

と な り,こ れ は(4.3)の

粒 子 の 速 度 の 変 換 式 に 一 致 して い る.

 相 対 論 的 な 運 動 方 程 式 を 求 め る に は,さ な い.４

元 速 度wμ(τ)は

らに ４元 加 速 度 を定 義 し け な れ ば な ら

ベ ク トル と し て 変 換 す る か ら,

も ま た ４次 元 的 な ベ ク トル と し て の 性 質 を も っ て い る.こ う.ま

た 従 来 の ３次 元 的 な 力Fに

対 応 し て,４

れ を ４元 加 速 度 とい

次 元 的 な 力fμ

を 考 え る と,こ

の ４次 元 的 な 力 と ３次 元 的 な 力 との 関 係 に つ い て は あ と で 考 え る こ と に し て,相 対論 的 運 動方 程 式 と して

を要 求 す る.こ

こ でm0は

考 え て い る 質 点 を特 性 づ け るパ ラ メ ー タ ー で,こ

質 点 の 固 有 質 量 あ る い は 静 止 質 量(rest  mass)と 変 換 に 無 関 係 な 単 な る定 数 に す ぎ な い.し よ る 共 変 性 は 一 見 し て 明 ら か で あ る.こ

い う.そ

れ を

し てm0はLorentz

た が っ て,(4.12)のLorentz変

換 に

の 運 動 方 程 式 が 正 しい も の か ど うか は,

実 験 事 実 との 比 較 に よ っ て の み た し か め ら れ る の で あ る.   (4・12)の 内 容 を 明 ら か に す る た め に,ま ず 左 辺 を調 べ て み よ う.μ=i(i=1,2,3) の とき

で あ る.さ

て,４

次 元 的 な 力fμ

３次 元 的 な 力F(t)が を つ く る の に,４

と お く.こ

は ど の よ うに し て あ た え られ る の で あ ろ う か.

あ た え ら れ た と き,こ

れ か ら ４ 次 元 的 力fμ(τ)の

元 速 度 と ３次 元 的 速 度 と の 関 係(4.10),(4.11)に

空 間成 分

な ら って

のfｉ(τ)が ４ 次 元 的 な ベ ク トル の 空 間 成 分 と し て の 変 換 性 を も つ か ど

う か は 自 明 の こ と で は な い.し

か し,と

仮 定 す る と,(4.13)と(4.14)か

ら

が え ら れ る.こ

４次 元 的 な 運 動 方 程 式 を ３次 元 的 な 形 式 で か い た

れ は,(4.12)の

も か くfi(τ)が(4.14)で

も の で,Newtonの

運 動 方 程式 とは

粒 子 の 速 度u(t)が

光 速 度 に く ら べ て 小 さ い と き に は,こ

(4.15)はNewtonの

あ た え られ る と

の 因 子 だ け 異 な っ て い る. の 因子 は 無 視 で きて

運 動 方 程 式 に 一 致 す る.

  次 に,(4.14)の

操 作 に よ っ て つ く られ たfi(τ)が,４

次 元 的 ベ ク トル の 空 間

成 分 と し て 実 際 に 変 換 す る か ど うか 調 べ る た め に,具

体 的 に 点 電 荷 には た ら く

Lorentzの

力 を考 え て み よ う.Lorentzの

力 は 第 ２ 章 §１に あ た え られ て い る よ

うに

で あ ら わ され る.こ

と し て み る.た

で あ る.(4.17)が

こで

で あ る.そ

こ で ４次 元 的 なLorentzの

力 を

だ し

４次 元 的 な ベ ク トル で あ る こ と は 明 ら か で あ る.そ

の 空 間 成 分fi(τ)と(4.16)のFi(t)の

あい だ に

こ で(4.17)

の 関 係 が な りた っ て い れ ば,(4.14)の す た め に,(4.17)で

μ=1と

仮 定 が 正 し か っ た こ とが わ か る.こ

し て,(3.32)の

れ を示

表 を参 照 す る と

と な り,た

し か に(4.14)が

な りた っ て い る.ま

た,(4.12)と(4.17)と

Lorentzの

力 の作 用 の も とにお け る点電 荷 の共 変的 な運 動方 程 式 は

から

とか か れ る こ と が わ か っ た.   い ま ま で は ４次 元 的 な 運 動 方 程 式(4.12)や(4.18)の て き た.そ

れ で は(4.18)の

を 検 討 す る た め に,(4.18)で

した が って

と な る.さ

て

空 間成 分 につ い て のみ 考 え

時 間 成 分 は な に を あ ら わ し て い る の で あ ろ う か.こ μ=0と

と る.す

る と,

れ

であるから

したが って,運 動 方程 式 の時 間 的成 分 つ ま り４番 目の成 分 は

と な る.そ

こで

と お く と,

とか け る.こ の式 の右 辺 は電 磁 場 が点 電 荷 に単 位 時 間 に なす 仕 事 に等 しい か ら, Tを

点 電 荷 の運 動 エ ネ ル ギ ー と解釈 す る こ とが で き る.(4.20)で

点 電 荷 の速 度

が光 速 度 に 比 して小 さい とき には

と な る.と

で あ る.こ

くにu(t)=0,つ

ま り点 電 荷 が 静 止 し て い る と き

れ が 有 名 なEinsteinの

ネ ル ギ ー が と も な っ て い る.(4.22)の

公 式 で,静

止 質 量m0の

公 式 が 正 し い こ と は,こ

基 礎 式 に な っ て い る こ とか ら も 明 ら か で あ る.

粒 子 に はTな

るエ

れ が原 子 力 利 用 の

点 電 荷 の ４次 元 的 な運 動 量 と運 動 エ ネ ル ギ ー と を

で 定 義 す る と,gμ(τ)が (4.11)か

４ 次 元 的 ベ ク ト ル と な っ て い る こ と は,(4,10)お

ら 明 ら か で あ る.(4.23)か

が え られ る.gμ

よび

ら

が この 関係 をみ た す のは 点電 荷 が 電磁 場 と 相 互 作用 して い るか

否 か に は 関 係 し な い こ と に 注 意 し よ う.   T=cg0は

点 電 荷 の 運 動 エ ネ ル ギ ー で あ っ た.点

あ る と き の 点 電 荷 の 全 エ ネ ル ギ ーEは れ を 厳 密 に 示 す の は 第12章

電 荷 が 電磁 場 の作 用 の も とに

どの よ う に あ ら わ され る で あ ろ うか.こ

に ゆ ず る こ とに し て,こ

こ で は ３次 元 的 表 示 か ら ４

次 元 的 表 示 へ の 拡 張 を 類 推 を つ か っ て 考 え る こ と に す る.い

ま,(4.19)の

電 場 が静 電 場 で あ っ て

に よ っ て あ た え られ る も の とす る.こ

と な る.こ

れ を 積 分 す る と,左

辺は

れ を(4・19)に 代 入 す る と

右辺 の

右辺は

と な る.し

た が っ て,

とな り

は 保 存 す る.し

た が っ て,Eを

点電 荷 の もつ 全 エ ネル ギ ー と 解 釈 す る こ とが で

き る.   い ま ま で は ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァル か ら の 寄 与 を省 略 し た が,も 考 え に い れ る な ら ば,(4.25)か

な る 物 理 量p(t)を

し この効 果 を

らの類 推 に よ って

定 義 す る こ と が で き る で あ ろ う.こ

のp(t)は

電 磁 場 と相 互

作 用 を し て い る 点 電 荷 の(全 エ ネ ル ギ ー に 対 応 す る)全 運 動 量 と も い うべ き も の で あ っ て,こ

のp(t)を

正 準 運 動 量(canonical

momentum)と

い う.こ

g(t)は 運 動 エ ネ ル ギ ー に 対 応 す る も の で,こ れ を単 に 運 動 量(kinetic

れ に対 して momentum)

と い う.   (3.43)に 注 意 す る と(4.25)と(4.26)は

と か く こ とが で き る の で,pμ

も ま た ４ 次 元 的 な ベ ク トル で あ る.こ

に代入 す る と

とか か れ る.あ

る い は,成

ま とめて

分 に わけ る と

れ を(4.24)

したが って,点 電 荷 の全 エ ネル ギ ーEは

と あ ら わ さ れ る.こ

こ で 複 号 を 正 に と っ た の は,電

磁 場 が ０ の と き質 点 の エ ネ ル

ギ ーは 正準 運動 量 を もち い る と

と か か れ る こ と か ら,E＞0を

要 求 し た こ と に よ る.

  最 後 に 運 動 方 程 式(4.15)に な 運 動 量 を(4.23)に

とか かれ るが,も

あ ら わ れ る 質 量 に つ い て 一 言 し て お こ う.相

対 論的

よ っ て 定 義 す る な ら ば,(4.15)は

しNewton力

学 にお け る運 動 量 の表式(質 量 × ３次元 的 速 度)

を固 執 す る な らば,運 動 す る粒 子 の質 量 を

と定 義 す る こ と に よ っ て,(4.15)は

とか く こ と が で き る.し (4.23)に

か し,相

対 論 的 な 立 場 か ら 考 え る と,む

よ っ て 定 義 さ れ る べ き で あ っ て,そ

に よ る変 換 性 も 明 確 に な る の で あ る.す

しろ 運動 量 は

う し て こ そ 運 動 量 のLorentz変

な わ ち,理

名 前 の 物 理 量 が そ の 内 容 を変 え て い くこ とは よ くあ る こ と で あ っ て,古 固 執 す る の は よ くな い.ま

た,質

換

論 の発展 に と もな っ てお な じ い 内容 に

量 な る も の は 理 論 の な か に 外 部 か ら挿 入 さ れ る

パ ラ メ ー タ ー で あ る こ と を 考 え る と,そ

れ が(4.31)の

よ うに 運 動 状 態 に よ っ て 変

化 す る と考 え る の は 理 論 の 物 理 的 解 釈 を 混 乱 さ せ る お そ れ が あ る.そ

うい う意 味

で は 静 止 質 量 とい う言 葉 も あ ま り よ い 言 葉 と は い え な い.

  §５  電 磁 波の 放 射 の反 作 用 と共 変 性   (１)電

子 の 自己 エ ネル ギ ー  第 ９章 §５に おい て,点 電 荷 が電 磁 波 を放 射 す

る ときの反 作 用 を調 べ,そ れ に関 連 して電 子 の電磁 場 に よ る自己 エ ネル ギ ー の問 題 を考 えた.こ こで は,こ の問 題 を相 対 論 的 な立場 か ら再 び と りあ げ よ う.

  (4.23)に ーTと

よ る と,４

運 動 量gと

元 ベ ク トル を つ く っ て い る相 対 論 的 な 粒 子 の 運 動 エ ネ ル ギ の 間 に は,一

般 に

の 関 係 が な りた っ て い る こ と が 要 請 され る.電 動 量Gfと

由 な 平 面 波 の 場 合 に は,第

の関 係 が あ り,し た が って体 積Vの の運 動量

８章(2.16)に

よ って

なか の電 磁 波 の エ ネ ル ギ ー

とそ

の間 に は

の 関 係 が 成 立 し,WfとGfと

は た し か に ４ 元 ベ ク トル を つ く っ て い る.

９章 §５で 求 め た 速 度vで

９章(5.30)に

運 動 す る 電 子 の 自 己 場 の 運 動 量Gは,第

よると

で あ た え ら れ,余 Wと

そ の運

が ４元 ベ ク トル を つ く っ て い る な らば,こ れ ら の 間 に も同 様 の 関 係 が

成 立 し て い な け れ ば な らな い.自

  一 方,第

磁 場 の エ ネ ル ギ ーWfと

分 の 係 数4/3が

あ る た め に,こ

は ４ 元 ベ ク トル を 形 成 し て い な い.そ

のGと

電 子 の 自己エ ネ ル ギ ー

こ で は じめ に,こ

の4/3の

係数 が あ

ら わ れ る 原 因 に つ い て 考 え て み よ う.   電 子 の 自 己 場 は,電

子 の ま わ りに ま とわ りつ い て い る電 磁 場 で あ る か ら,自

場 の 運 動 量 は 電 磁 場 の 運 動 量Gfで わ りの 電 磁 場 の エ ネ ル ギ ーWfで エ ネ ル ギ ー に 対 す るMaxwellの ２章 の(4.2),(5.12)お

と した と き,

己

あ り,電 子 の 自 己 エ ネ ル ギ ー もま た 電 子 の ま あ る.そ

こで これ らの 量 を 電 磁場 の運動 量 と

４次 元 的 応 力 テ ン ソルTμ ν か ら 求 め よ う.第

よ び こ の 章 の(3.56)に

よる と

とあ らわ され る.い ま電 子 は光 速cに る と し よ う.こ

の と き,第

９章(3.42)に

れ を(5.5)に 代 入 す る と,自

と な る.(5.6)を る.原

点Oに

に,vの

計 算 す る た め に,図5.1の

の 右 辺 の 第 ２項 のz成

で あ た え ら れ る.こ

を もち,

関 係 が あ る.こ

よ うに 電 子 の 進 行 方 向 をz軸

あ る 電 子 の ま わ り の 電 場 は,第

２次 の 項 を 無 視 す れ ば,原

と な る.y成

よ る と,の

運 動 して い

己場 の 運動 量 は

に 球 対 称 に ひ ろ が っ て い る.し

分 はEが

比 べ て小 さい一 様 な 速度vで

９章(3.43)を

に と

み れ ば 明 らか な よ う

点 の まわ り

た が っ て,(5.6)

分は

こ でE=￨E￨で

あ る.x成

図5.1  電 子 の まわ りの 自己 場

角 〓 の ま わ りに 対 称 的 で あ る こ と を考 え る と

分 も 同 様 に し て ０ で あ る.し

た が っ てGfはvの

方 向 の成 分 だ け

で あ る.一

方,(5.5)のWfの

磁 場 の エ ネ ル ギ ー はvの

２次 の 程 度 の 量 な の で,

こ れ を無 視 す る と,

と な る.(5.7)と(5.8)と

とな り,こ

を比 較 す る と

の 関 係 は(5.3)と

同 じで あ る.(5.9)の

関 係 は(5.7)と(5.8)の

ル ギ ー の 積 分 の 値 に 関 係 な く成 立 す る こ とに 注 意 し よ う.こ エ ネ ル ギ ー と運 動 量 と を(5.4)と(5.5)で 数 を生 み だ す こ と を 意 味 し,し

場 の エネ

の こ と は,電

磁場の

定 義 し て い る か ぎ り,必 然 的 に4/3の

係

た が っ て ま た 電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー と運 動 量 と は ４

元 ベ ク トル を 形 成 し な い こ と を示 し て い る.   1960年,Rohrlichは ギ ー と は,(5.4)で

電 子 と相 互 作 用 し て い る と き の 電 磁 場 の 運 動 量 とエ ネ ル は な くて

で あ た え ら れ る と し,こ のGμfが こ でwν

４元 ベ ク トル を 形 成 し て い る こ と を 示 し た.こ

は 電 子 の ４元 速 度 で あ っ て,電

子 の ３次 元 的 速 度vと

の 関 係 を も つ こ と は す で に の べ た こ と で あ る.こ

こ でvが

の １次 の 程 度 の 量 ま で 無 視 した と き に は,(5.10)は(5.4)と   そ こ で,(5.10)に 1,2,3と

一 致 し て い る.

も と つ い て 自 己 場 の 運 動 量 と エ ネ ル ギ ー を 計 算 し よ う.i=

する と

と な る.vの い ので

小 さ く,(5.11)のv

２次 の 項 を 無 視 す る と,磁

場 の応 力 テ ン ソルTmijは

考 え な くて よ

とお く こ と が で き る.(5.12)の 項 も(5.6)と

と な る.こ

計 算 と 同 様 に で き,第

１

同様 に して

の 新 し い 項 は 電 子 の 自 己 場 に よ るMaxwellの

と も な っ て,電

応 力 が,電

子 の運 動 に

子 の 運 動 方 向 と 反 対 向 き の 後 方 へ の 負 の 運 動 量 を あ た え る と解

釈 す る こ とが で き る.し

と な る.一

右 辺 の 第 ２項 は(5.6)の

たがって

方 自 己 場 の エ ネ ル ギ ーWfは

で あ た え られ る.こ

で あ る.(5.13)と

こ でvの

２次 以 上 の 項 を無 視 す る と

こ の結 果 と を 比 較 す る と

と な り,こ

れ は(5.9)と

な わ ち,電

子 と 相 互 作 用 を し て い な い 自 由電 磁 場 に お い て は,そ

と運 動 量 を(5.4)で

ち が っ て ４元 ベ ク トル と し て の 要 請 をみ た し て い る.す

定 義 して も,そ

互 作 用 の あ る電 磁 場 に 対 し て は,Maxwellの す る こ と に よ っ て,は

の エネ ル ギー

れ は ４元 ベ ク トル を 形 成 す る が,電

子 との相

応 力 に よ る後 方 へ の運 動 量 を考 慮

じめ て 相 対 論 の 要 請 が み た さ れ る の で あ る.(5.4)の

の誤 り の 原 因 は,(5.12)の

右 辺 の 第 １項 に あ るvの

定義

１次 の 項 を無 視 し た 不 合 理

な近似 に あ る.   (２)減

衰 力 を ふ くむ電 子 の相 対 論 的運 動 方程 式   第 ９章(5.34)で あ た え た よ

うに,電 磁 波 の放 射 に よ る減 衰力 の作用 の もとに あ る電 子 の運 動 方 程 式 は

で あ る.   Diracは(5.16)を

相 対 論 的 に 拡 張 し て, Lorentz変

式 を 求 め た.(5.16)の

減 衰 力 の相 対 論 的 な一 般 化 と して は

とい う形 が 考 え ら れ る.し ら ４元 速 度wμ

換 に 対 して共 変 的 な方 程

か し,こ

れ で は 困 る の で あ る.な

ぜ な ら ば,(4.24)か

に は一般 に

の条 件 が あ り,こ れ を固有 時 τ で微 分 す る と

こ こ で(4.12)を

つ か う と

とな り,一 般 に ４元 力fμ あ る.そ

と お い て,(5.19)を

こ こで

は(5.19)の

条 件 を み た し て い な け れ ば な ら な い か らで

こ で い ま,

み た す よ う に 上 のSを

に注意 し,で

決 め る.(5.19)か

ら

あ る こ とを利用 す る と

と決 ま る.し た が って,電 子 の相 対 論 的運 動 方程 式 は

で あ た え ら れ る.こ

の よ う に 一 般 化 さ れ た 方 程 式 に お い て も,第

うな 不 合 理 な 解 が 存 在 す る.そ は,付

９章(5.8)の

よ

の よ うな 不 合 理 な 解 が で な い よ うに す る た め に

加 条 件 と して

を要 求 し な け れ ば な ら な い. [問題]  (１)K'系

がK系 に対 して速 度vで

運 動 して い る とき,Lorentz変

換 は一 般 に

で あ た え られ る こ と を 示 せ.   (２)K'系

がK系

に 対 し てx方

向 に 速 さvで

運 動 し て い る と き,３

次元 的 加 速度 の

変 換 式 を 求 め よ.   (３)  (１)の 問 題 の 一 般 のLorentz変

換 に と も な っ て 電 磁 場 は ど の よ うな 変 換 を う け る

か.   (４)EとBと と を 示 せ.ま

が 一 つ の 慣 性 系 で 垂 直 な ら ば,他 た,EがBに

垂直で

のす べ て の 慣 性 系 で も 垂 直 で あ る こ

な ら ば 純 粋 の 電 場 だ け か,純

粋の磁場だけ

の 系 が あ る こ と を示 せ.   (５)等

速 度 運 動 し て い る 点 電 荷 に よ るLienard-Wiechertの

ポ テ ン シ ァ ル をLorentz

変 換 に よ っ て 求 め よ.   (６)  (3.38)の

現 象 論 的 法 則 の 共 変 形 式 が(2.15)と(2.16)を

あ らわ し て い る こ と を た し

か め よ.   (７)K'系

で 観 測 した と き,x'軸

で観 測 した とき の加速 度   (８)考

の 方 向 に 速 度u',加

α は い く ら か.

え てい る体 系 の全 電 荷 量

速度

α'で 運 動 す る 物 体 をK系

はLorentz変

換 に 対 して ス カ ラ ー 量 で あ る こ と を 証 明 せ よ.

  (９)  自 由 電 磁 波 の 波 数 ベ ク トルkと 次 元 的 ベ ク トル を つ く り,kμkμ=0な

角 振 動 数 ω=ckと る 関 係 を み た す.こ

は,Lorentz変

換 に対 して ４

の とき

は不 変量 で あ る こ とを証 明 し,こ れ を利 用 して第 ８章(2.34)のD-関

数 が 不 変量 で あ る こ

とを示せ.   (10)  あ る慣 性系 に対 して静 止 してい る質 量Mの 励 起 され た原 子 が,〓 だけエネル ギー の低 い状 態 に移 る とす る.原 子 は 光子 〓ω を放 出 し,そ の た めに 反 動 を うけ る.こ の た め,放

出 され る光 子 の角 振 動 数 は 正確 に

で はな くこれ よ り小 さい で あ ろ う.

この 角振 動 数 が

で あ る こ と を示 せ.   (11)  速 さu=0.9cで に 崩壊 す る とす る.エ を求 め よ.さ

動 い て い る質 量270mの

中 間子 が それ ぞ れ質 量mの

２個 の 粒子

ネ ル ギ ー と運 動量 の保 存則 をつ か っ て,発 生 した ２個 の粒 子 の 速 度

らに 中 間子 が静 止 して い る慣 性 系 を つ か っ て計算 し,そ の結 果 に速 度 の 変換

式 を適 用 して 同一 の結 果 が え られ る こ とを た しか め よ.   (12)  静電 場 のな か で運 動 す る点電 荷 の エ ネル ギ ー保 存 則(4.25)を 運 動 方程 式(4.15)か ら証 明せ よ.   (13)  x軸 上 で一 定 の力 を うけ て,原 点 の運 動 を調 べ,そ の 終 速度 がcで

点 か ら初 速 度 ０で 動 き は じめ た静 止 質 量m0の

質

あ る こ とを示 せ.

  (14)  ２枚 の平 行 電 極板 の あい だ に電 圧 φ が か か って い る とき,片 方 の電 極板 か ら速 さ u=0で とび だ した点 電荷 が他 方 に 到着 した と きの 速度 は

で あ た え られ る こ とを示 せ.   (15)  一様 な磁 場Bの

なか を 運 動 す る 相 対 論 的粒 子 の 軌道 は ラセ ン形 で あ る こ とを示

し,特 にそ の軌 道 が 円形 であ る とき,

で あ る こ とを証 明 せ よ.Rは

円の 半径 で あ る.

第12章

 電 磁場 と変 分原 理

§１ 古 典 力 学 と 変 分 原 理   Newton力

学 に お け る 運 動 方 程 式 の 形 は,第10章

§２ に お い て の べ た よ う に

３次 元 の 空 間 座 標 系 の と りか た に よ っ て 変 わ っ て く る1).そ る 性 質 が そ の 座 標 系 の と りか た に よ る も の か,あ よ る も の か を 区 別 す る こ とが 困 難 で あ る.そ と き に,運

る い は 力 学 系 そ の もの の 性 質 に

こで 力学 系 の一 般 的 性質 を研 究 す る

動 方 程 式 が 座 標 系 の と りか た に よ ら な い よ う な 形 式 の 理 論 を つ か う

こ と が の ぞ ま しい.こ Lagrange形

の 理 論 が 解 析 力 学 と い わ れ る も の で,そ

式 と い わ れ る も の とHamilton形

な る数 学 的 技 巧 に と ど ま ら ず,古

た が っ て,古

して この 種 の理 論 形式 は単

典 力 学 か ら量 子 力 学 に 移 行 す る と き 欠 くべ か ら

ざ る も の に な っ て い る の で あ る.電

す る こ と に よ っ て,電

の 理 論 形式 に は

式 と い わ れ る も の とが あ る.

こ れ ら の 理 論 の 基 礎 と な る も の が 変 分 原 理 で あ る.そ

で あ る.し

の た めに 力 学 系 の あ

磁 場 は 自由度 が無 限大 の相 対論 的 物 理 的体 系

典 力 学 に お け る変 分 原 理 を 自 由 度 が 無 限 大 の 場 合 に 拡 張

磁 場 のLagrange形

開 す る こ とが で き る で あ ろ う.こ

式 お よ びHamilton形

式 の理 論 を展

の理 論 形 式 を つ か う こ と に よ っ て,古

典電 磁 気

学 か ら量 子 電 磁 気 学 に 移 行 す る こ とが で き る の で あ る.そ

こで こ こでは 古典 力 学

に お け る 変 分 原 理 とLagrange形

式 に つ い て簡 単 に解 説

式 お よ びHamilton形

して お こ う.   簡 単 の た め に １次 元 的 運 動 を す る 質 点 を 考 え て,そ う.こ

こ でq(t)は

質 点 の 位 置 座 標 で あ る.座

ぎ ら ず 任 意 の 空 間 座 標 系 を 考 え た ら よ い.こ 位 置 の エ ネ ル ギ ー をUと

の 運 動 をq(t)で

あ らわ そ

標 系 は カ ー テ シ ァ ン座 標 系 とは か の と き 質 点 の 運 動 エ ネ ル ギ ー をT,

し た と き,

を こ の 体 系 の ラ グ ラ ン ジ ア ン(Lagrangian)と

い う． 一 般 に ラ グ ラ ン ジ ア ンLは

  1)  こ こ で空 間座 標 系 と して は ３次元 的 な カ ー テ シ ァ ン座 標 系,曲 え てい る.

線 座 標 系 とか 回 転座 標 系 とか を 考

位 置 座 標q(t)と

速 度 〓(t)の 関 数 で あ る.こ

動 を示 す も の で あ る が,そ て,は

じめ の 時 刻t1と

こ でq(t)は

質 点 の 位置 の 時 間 的変

の 運 動 が ど の よ うな も の で あ る か は 未 定 で あ る.さ

お わ りの 時 刻t2に

q(t2)と 指 定 し て お い た とす る.こ

お け る 質 点 の 位 置 を そ れ ぞ れq(t1),

の と き,そ

の 途 中 の 時 間 に お い て 実 現 さ れ る運 動 は い か な る もの で あ ろ うか.こ み た す べ き 条 件(こ

の実 現 され る運 動 の

れ が実 は運 動 方程 式 で あ

る)を あ た え る も の が 変 分 原 理 で あ る(図1.1 参 照).   い ま あ る 勝 手 な 運 動q(t)を

考 え て,そ

の

運 動 とす こ し ち が っ た 運 動 〓(t)と 比 較 す る と,そ

図1.1

変分原理

の関 数 形 は

だ け ち が っ て い る.こ

の 関 数 形 の 微 小 変 化 を変 分 と い う.さ

て 実 現 され る運 動 は

(1.2)の 変 分 に よ り,作 用 積 分Iが

と な る よ うな 運 動q(t)で

と す る.(1.3)の

あ る.こ

れ が 変 分 原 理 で あ る.こ

の とき

変 分 を 計 算 し て 実 現 さ れ る 運 動 の み た す べ き条 件 を 求 め よ う.

と こ ろ が,

な る 関 係 が あ る か ら1)  1)  変 分 の 定義 と微 分 の 定 義 か ら

右 辺 の 第 ２項 を部 分 積 分 し て,(1.4)の

と な る.任

条 件 をつ か うと

意 の 変 分 δq(t)(こ れ は 任 意 の 関 数 で あ る)に 対 し て(1.6)が

た め に は,被

と な る.す

積分 関数 が ０で な けれ ば な らな い か ら

な わ ち,実

Lagrangeの

な りた つ

現 さ れ る 運 動 は(1.7)の

方 程 式 あ る い はEulerの

条 件 をみ た す 運 動 で あ る.こ

れが

方 程 式 とい わ れ る も の で あ っ て,Newton

の 運 動 方 程 式 と同 一 内 容 の も の で あ る.   運 動 方 程 式 を こ の 形 に か い て お く と,こ

れ は 質 点 の 位 置 座 標 を ど の よ うな 座 標

系 で か い て も よ い の で あ る.す

し い 座 標 をQと

な わ ち,新

な る 任 意 の 座 標 変 換 を とっ て も,Eulerの

と な る.運

動 方 程 式 をq(t)とq(t)に

Lagrange形   Eulerの が1),さ

す ると

方程式は

よ っ て(1.7)の

形 で あ らわす 理 論 形 式 を

式 と い う. 方 程 式(1.7)は(1.8)の

座 標 変 換 に 対 して 同 じ 形 式 で あ ら わ さ れ た

ら に ひ ろ い 変 換 に 対 し て 同 じ形 式 で あ らわ され る も の がHamilton形

式 とい わ れ る も の で あ る.Lagrange形

式 で は ラ グ ラ ン ジ ァ ンLはq(t)と

と に よ っ て か き あ らわ さ れ て い た.Hamilton形

に よ っ て,独

立 変 数p(t)を

し て 表 現 す る.こ

導 入 し て,す

のq(t)とp(t)と

〓(t)

式では

べ て の 力 学 量 をq(t)とp(t)の

関数 と

を た が い に 正 準 共 軛 量 で あ る と い い,p(t)を

  1)こ のとき で あ り,ラ グ ラ ン ジ ア ンの形 は座 標 系 に よ っ て変 わ る.し た が って運 動 方 程 式 その もの は座 標 系の と りか た に よ って そ の 形 が変 化 す る の で,(1.8)の 座 標 変換 に よ っ て(1.7)は 共 変 的 で あ る とはい わ な い.

正 準 運 動 量(canonical は 運 動 量m〓(t)と

い う.た

一 致 す る が,位

致 し な い.(1.9)に て,こ

momentum)と

い が い の 場 合,正

準 運 動 量p(t)

置 の エ ネ ル ギ ー が 速 度 〓(t)に よ る と き に は 一

よ っ て 定 義 さ れ た 正 準 運 動 量 と位 置 と を独 立 な力 学 量 と考 え

れ ら の 量 に 関 し て ラ グ ラ ン ジ ア ン の 変 分 を と っ て み よ う.

に お い て,(1.7)と(1.9)を

つ か う と

であるから

と な る.い

ま 独 立 量 と し てqとpと と あ ら わ され る.し

で あ る.こ

を と る と,(1.9)を

逆 に 解 い た と し て,

た が って

れは

と か く こ と も で き る.そ

こ でqとpの

関数

を導入 す る と,上 式 は

と な る.一

方

で あ る か ら,こ

れ らを比較 す る と

が え ら れ る.こ

の 形 の 運 動 方 程 式 をHamiltonの

定 義 さ れ たH=H(p,q)を

正 準 方 程 式 とい い,(1.10)で

ハ ミ ル トニ ア ン(Hamiltonian)と

え て い る体 系 の 全 エ ネ ル ギ ー を あ らわ し て い る.

い っ て,こ

れは考

一 般 の 力 学 量A=A(p,q)の

で あ た え られ る.こ

時間 的 変化 は

こで

と か く と,(1.12)は

と か か れ る.一

般 に

で 定 義 さ れ る 量 をPoisson括

弧 と い う.と

く にA=q,B=pの

と き,

[q,p]=1 で あ る.   [例 題]Lorentzの

力

い ま,ラ

グ ラ ン ジ ア ンLが

で あ た え られ る 力 学 系 を 考 え て み よ う.こ とAは

も の と す る.す  す ると

で あ り,

の と き,で

ス カ ラ ー お よ び ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァ ル で あ り,こ な わ ち,こ

あ る.ま れ ら はtに

た φ

な ま に は よ らな い

れ ら か ら え ら れ る 電 場 と 磁 場 は 静 的 な 場 で あ る.

と な る.し

た が っ て,こ

の と きEulerの

方 程 式(1.7)は

とな る.す な わ ち,運 動 方程 式 は

で,こ

れ はLorentz力

の 作 用 の も と に お け る 点 電 荷 の 運 動 方 程 式 で あ る.

次 に こ の と き の ハ ミル トニ ア ンHを

と な る.正

準 方 程 式 は(1.11)か

求 め て お こ う.(1.10)の

ら

お よび

で あ た え られ る.あ との 方程 式 を変 形 す る と

とな る.こ れ ら の方 程式 を ベ ク トル 形 式 でか け ば

で あ る.

定 義式 か ら

  第11章

§４ で 注意 した よ うに,正 準 運 動 量Pは

もつ 全運 動 量 で あ る.し

た が っ て,考

が 力 で あ る とい うNewton力 momentum)mν

電 磁 場 と相 互 作 用 を してい る点 電 荷 の

え て い る系 の 全運 動 量 の 時 間的 変 化 を もた らす も の

学 に お け る 力 の 本 来 の 定 義 か らす れ ば,運

の時 間 的 変化 を あた え る(1.17)の 右 辺 の量 よ りも,む

動 量(kinetic

しろ(1.20)の

右辺

の 量 こそ点 電 荷 に作 用 す る 力 で あ る と考 え る べ き で あ ろ う.そ れ に もか か わ らず 習 慣 的 に (1.17)の 右 辺 をLorentzの

“力 ” と よん で い る.

§２  点電 荷 と電磁 場 の 共存 系  前 節 で簡 単 に解 説 した古 典 力 学 に お け る変 分 原理 を相対 論 的 な運動 をす る点 電 荷 系 と電 磁 場 との共 存 す る体 系 に適 用 しよ う.   (１)  Lagrange形

式   この体 系 の 作 用 積 分 と ラグ ラ ンジ ア ンは次 の よ うに

あ た え られ る も の と仮 定 す る.

こ こ で はVは

で あ る.こ

４次 元 的 領 域 を 示 し,ま

こ で 電 磁 場Fμ ν(x)は 任 意 の 電 磁 ポ テ ン シ ァルAμ(x)か

で つ く られ る も の と す る.こ み た され て い る.し い.変

た

うす る とす で に 第11章(3.41)の

た が っ て,(2.5)は

で あ る.

方 程 式 は 自動 的 に

電 磁 場Fμ νの 定 義 式 で あ る と考 え た ら よ

分 原 理 に よ っ て電 磁 場 の 運 動 方 程 式 第11章(3.40)を

け で あ る.miは

ら

み ち び こ う と い うわ

各 点 電 荷 の 質 量 で あ り,τ は そ の 固 有 時 を あ ら わ す.ま

た

この とき変分 原理 は

で あ ら わ さ れ る.変 る の で あ る が,こ Aμ(x)に

分 は こ の 体 系 を記 述 す る 物 理 量Aμ(x)とzμi(τ)に

れ らの 物 理 量 は た が い に 独 立 な 量 で あ るか ら,は

つ い て の 変 分 を と る.こ

を 考 え た ら よ い.(2.8)の

の と き に は,(2.1)の

ついてと

じめに電 磁場

第 ２項 の 変 分 は な い か ら

第 １項 を計 算 し よ う.

前 節 で のべ た よ うに微分 と変分 とは 交換 可能 で あ る か ら部 分 積分 に よ り

が え ら れ る.こ た.次

に(2.8)の

し た が っ て,こ

こ で 変 分 δAμ(x)は ４ 次 元 時 空Vの 第 ２項 を計 算 す る.

の と き(2.8)は

無 限 遠 方 で消 え る も の と し

とな る.こ

の ４次 元 積 分 が 任 意 の δAμ(x)に 対 し て ０で あ る た め に は

で な け れ ば な ら な い.   そ こ で(2.10)の (4.11)の

右 辺 を 調 べ よ う.ま

ず 空 間 成 分 を 考 え て,第11章(4.10),

４次 元 的 速 度 と ３次 元 的 速 度 と の 関 係 を つ か う と

と か か れ る.こ

こ でt(τ)=t',zi(τ)=zi(t')お

よび

と お い た.次

に

時 間成 分 は

で あ る.し

た が っ て,第11章(3.21)よ

で あ る こ と が わ か っ た.つ

り

ま り,(2.10)の

右 辺 は 点 電 荷 系 の 電 流 密 度 と電 荷 密 度

と を ４次 元 ベ ク トル の 形 に か い た も の で あ る こ とが わ か る.(2.13)よ

り,(2.10)

は

と か か れ,こ

れ は 第11章(3.40)の

電 磁 場 の 運 動 方 程 式 で あ る.

  次 に 点 電 荷 の 運 動 経 路 に 関 す る変 分 を と る こ と に よ っ て,点 動 方 程 式 を 求 め よ う.こ

電 荷 の相 対論 的 運

の と き に は δAμ の変 分 は と らな い で よ い か ら,

を考 え れ ば よ い.ま

ずxに

関 す る積 分 を さ き に 実 行 す る と,(2.15)は

に つ い て分 離 し て し ま う の で 各 粒 子 に 関 す る添 字 〓 を 除 い て し ま う.す

と か か れ る.固

有 時 τ の か わ りに 普 通 の 時 間tを

と か か れ る.(2.17)の

２ 項 の 変 分 はi,k=x,y,zと

と な る.し

た が っ て,(2.17)は

ると

変 数 と考 え る と,(2.16)は

第 １項 の 変 分 は

で あ る.第

各点電荷

す る と

任 意 の 変 分 δz(t)に 対 して

と な る.し

たがって

が え られ た.こ

れ はLorentzの

力 の作 用 の もとに お け る 点 電荷 の 相 対 論 的 運 動

方 程 式 で あ る.   (２)Hamilton形

式   (2.1)の 作 用 積 分 に 変 分 原 理 を適 用 す る こ と に よ り,

電 磁 場 と点 電 荷 に 対 す る運 動 方 程 式(2.14)と(2.18)と か ら こ の 体 系 の ハ ミル トニ ア ン を つ くろ う.そ

が え られ た.そ

の た め に,ま

ず(2.1)を

こ で,(2.1) 次の よ う

に か き な お し て お く.

ここで

で あ る.さ て電 磁 場 は 自由度 が無 限大 の物 理 的 体 系 で あ る こ と を考 慮 して,３ 次 元 空 間 を格子 状 に わ け て それ らの各 点 に番 号 α をつ け,そ を 〓

とす る と,(2.22)の

れ ぞれ の 格 子 の体 積

積分 は全 格 子 に わ た る和 と して

と か か れ る.   ま ず 点 電 荷 の 位 置z(t)に っ て 求 め よ う.こ れ は

正 準 共 軛 な 正 準 運 動 量p(t)を(1.9)の

定 義 に した が

で あ た え られ る.こ

れ か ら第11章(4.26)の

類 推 に よ るp(t)の

定 義 が正 しかっ た

こ とが わ か る.   次 に 電 磁 場 を 考 え る.こ

の と き点 電 荷 の 位 置z(t)に

ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァルA(xa,t)を

と り,こ

対 応 す る 物 理 量 と して は

れ に 正 準 共 軛 な 変 数 π(xa,t)を 次

の よ うに し て定 義 す る.

こ こ でi=(x,y,z)で

が え られ る.す

あ り,第11章(3.32)に

な わ ちAに

注意 す る と

共 軛 な 正 準 変 数 は-ε0E〓xaで

あ る.

  す る と全 体 系 の ハ ミル トニ ア ン は

に よ っ て あ た え られ る.こ

の ハ ミル トニ ア ン を計 算 し よ う.ま ず 点 電 荷 と電 磁 場

の相 互 作 用 の 部 分 と点 電 荷 の 部 分HMIを

計 算 す る.こ

の とき

で あ る か ら,

と か か れ る.こ

れ を 第11章(4.25)と

比 較 す る とわ か る よ うに,静

電場 にお け る

(4.25)の 点 電 荷 の 全 エ ネ ル ギ ー の 表 式 は 一 般 の 電 磁 場 の 場 合 に も 正 し い.(2.27) を ハ ミ ル トニ ア ン と よ ぶ た め に は,こ

れ をz(t)と

そ の 正 準 運 動 量.p(t)で

か きあ

ら わ さ か け れ ば か ら か い. そ れ に は(2.24） か ら

と な り,こ

れ よ り

の 関 係 が な りた つ こ と に 注 意 す る.す

と な る.こ

こ で 第11章(4.29)を

正 号 を と る と,電

ると

み ち び い た と き とお な じ理 由 で 上 の複 号 の う ち

磁 場 と 相 互 作 用 して い る 点 電 荷 の ハ ミル トニ ア ン は

で あ た え られ る こ と が わ か っ た.こ

れ は 第11章(4.29)の

で の み ち び き か た は 厳 密 な も の で あ る.   次 に 電 磁 場 の ハ ミル トニ ア ンHFは

一 般 化 で あ る が,こ

こ

で あ た え られ る.こ

で あ る.ま

た

とお く と,連

と な る.さ

こで

続 的 な 空 間 に も どす こ と に よ り

て,こ

こで

よ り

ま た(2.25)よ

で あ る こ と,お

り

よ び 第11章(3.39)と(3.52)と

で あ る こ と に 注 意 す る と,

が え ら れ る.こ

こで

か ら

な る 関 係 を つ か っ た.か

く し て,全

体 系 の ハ ミル トニ ア ン は

で あ た え ら れ る こ とが わ か る.   点 電 荷 の ハ ミ ル トニ ア ン は(2.27)で つ 全 エ ネ ル ギ ー で あ る.一 (2.29)'で

あ り,こ れ は 電 磁 場 の な か で の 点 電 荷 の も

方 点 電 荷 と相 互 作 用 し て い る電 磁 場 の 全 エ ネ ル ギ ー は

あ た え ら れ て い る.す

な わ ち,全

系 の エ ネ ル ギ ーは

とい う形 で 分配 され てい る.こ れ を第 ２章(4.3)で

点電 荷 の運 動 エ ネル ギ ー を相

対 論 的 に一般 化 した 全 エ ネル ギ ー の表 式

と比較 す る と,全 エ ネ ル ギー の値 は 当然 同 じで あ るが,点 電 荷 と電磁 場 の どち ら の体 系 に どの部 分 を帰属 させ るか とい う分 配 の仕 方 に ちが いが あ るこ とに 注意 さ れ た い.   い ま まで点 電 荷 は １個 だけ あ る として い たが,そ れ がN個

あ る ときに は 明 ら

かに

で あ る.   最 後 に,電 ン シ ァルA0の う.(2.25)を

磁 場 の 正 準 共 軛 量 と し てAと

π と を考 え た が,ス

カ ラ ー ・ポ テ

正 準 共 軛 量 π0を な ぜ 考 え な か っ た か と い う疑 問 に こ た え て お こ み ち び く と き と同 様 に し て

を つ く る と,

な る 因 子 が あ ら わ れ て,π0=０ は で き な い.す

と な る.し

た が っ て,A0を

る と正 準 形 式 はLorentz変

正 準 変 数 に とる こ と

換 に 対 し て 共 変 的 で は な く な る が,

この 点 につ い て は電 磁 場 の 量子 論 的 な と りあつ か い に関 連 して色 々 な考 察 が な さ れ て い る.   (３)  Coulomb相 と,点

互 作 用 の 分 離(2.31)の

全 体 系 の ハ ミ ル トニ ア ン を み る

電 荷 間 に は た ら い て い る 静 電 的 なCoulombの

ル ギ ー が ふ く ま れ て い な い よ うに み え る.ス

相 互 作 用 に も と づ くエ ネ

カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァ ル か ら の 寄 与 は

(2.27)と(2.29)'を

加 え た と き 消 し あ っ て し ま っ た.し

ル ギ ー は(2.31)の

第 １項 の 電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー の な か に ふ く ま れ て い る の で あ

る.す

な わ ち,近

か し電 磁 場 は こ の よ う な 静 電 的 な も の だ け で は な く,

第 ９章 で の べ た よ う な 放 射 場 も あ る.そ

こ で(2.31)の

電 磁 場 の エ ネ ル ギー を

ネ ル ギ ー と放 射 場 の エ ネ ル ギ ー に 分 離 す る こ と を試 み よ う.

  こ の 計 画 を 実 行 す る に は,(2.31)に

あ ら わ れ て い る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ァルA

の ゲ ー ジ が 未 定 で あ る こ とに 注 目 し て,ま のCoulombゲ

え に 考 え たLorentzゲ

ー ジ と い う もの を考 え る.真

章 の(3.42)と(3.45)に

で あ ら わ さ れ る.こ

ま(2.34)の

ら をA*(x),A0*(x)と

空 中 のMaxwellの

ー ジ とは べつ 方 程 式 は 第11

よって

の と きAμ(x)の

ゲ ー ジ は 未 定 で あ っ た.(2.33)を

形 式 に 分 解 す る と 第 ２章 §３の(3.9)が

と な る.い

ネ

接 作 用 の 立 場 か ら み れ ば そ れ は 電 磁 場 の な か に た くわ え られ て

い る は ず だ か ら で あ る.し

Coulombエ

か し,実 はCoulombエ

え られ て

方 程 式 系 を み た すA(x)とA0(x)と か こ う.す

３次 元 的

を 決 め た と し,こ

る と任 意 の 微 分 可 能 な 関 数 λ(x)を つ か っ て

れ

を つ く る と,こ

れ も(2.34)の

の 解 で あ るxcを

つか うと

解 に な っ て い る.そ

で 定 義 さ れ る 電 磁 ポ テ ン シ ァ ルAc(x),A0c(x)が の 解 で あ る.し

か し,こ

に

え られ る.も ち ろ ん こ れ も(2.34)

の よ う に し て つ く ら れ たAcは(2.35)の

な る 条 件 を み た し て い る.こ をCoulombゲ

こ で λ と し て,特

条件 か ら

の よ うに し て 決 め ら れ た 電 磁 ポ テ ン シ ァルAc,A0c

ー ジ に お け る 電 磁 ポ テ ン シ ァル とい う.こ の と き(2.34)と(2.32)

と は 次 の よ う な形 に な る.

た だ し こ こで

で あ る.(2.39)か

ら わ か る こ と は,Ac(x)は

放 射 場 と し て の 性 質,す

なわちそれ

が 横 波 で あ る とい う性 質 を み た し て い る こ と で あ る1).   Coulombゲ ン(2.31)は

ー ジ の 電 磁 ポ テ ン シ ァル を も ち い た と き,全 次 の よ うに か か れ る.

  １) 第 ８章の 自由電 磁 場 で φ=0の ρ=0の

体 系 の ハ ミ ル トニ ア

と きの もの に 相 当 す る.

ゲ ー ジ を と った が,そ

の とき のAは

実 はCoulombゲ

ー ジで

さ て,こ

こ で(2.38)の

とお く.す

る と,明

電 場 を二 つ の 部 分 に わ け て

らか に

な る 性 質 を も っ て い る.す

も え ら れ る.し

な わ ちE1は

た が っ て,(2.42)の

横 波 と して の 性 質 を も ち,こ

第 ２式 と(2.43)を

性 質 を も っ て い る.   さ て 電 場 の エ ネ ル ギ ー を求 め よ う.

こ こ で,(2.42)と(2.43)の

と な る.さ

らに

性 質 をつか うと

み た すE2は

れか ら

静 電 場 と同 じ

で あ る こ とを利 用 す る と

と な る.さ

て

で あ る か ら,こ

れ よ り

が え られ る.こ

れ を(2.44)に

と な り,し

代入 す る と

た が っ て 全 体 系 の ハ ミ ル トニ ア ン は

で あ ら わ され る.第

１項 は横 波 の 電 磁 場 つ ま り放 射 場 の エ ネ ル ギ ー で あ り,第

項 は そ の 電 磁 波 と相 互 作 用 を し て い る 点 電 荷 の エ ネ ル ギ ー を あ ら わ し,最 は 点 電 荷 間 に は た ら くCoulomb力 1/2の

因 子 はCoulombエ

れ た も の で あ る.ま

の エ ネ ル ギ ー を あ た え る.こ

後 の項

の 第 ３項 の 前 の

ネ ル ギ ー を二 重 に か ぞ え な い よ うに す る た め に あ らわ

たi=jの

と き に は,こ

の項 は 無 限 大 に な る.こ

れ は 第 ９章

の お わ りで の べ た 点 電 荷 の 自 己 エ ネ ル ギ ー で あ る.   (４)  放 射 電 磁 場 のFourier分

解(2.45)の

放 射 場 の 性 質 を調 べ る た め に,Fourier分

に お い て,第

２

ハ ミル トニ ア ン の 第 １項HRの

解 を お こ な う.

２項 は ベ ク トル 解 析 の 公 式 に よ っ て,

とか かれ る.放 射 場 の存 在 す る領域 が有 限 で あ る とす る と,第 １項 は消 え て,

と か き な お せ る.こ

こ で(2.39)の

性 質 を つ か っ た.し

た が っ て(2.46)は

と な る.   こ こ で,(2.39)と(2.42)と こ と を 考 慮 し て,こ

とFourier展 り,AcとE1を

か ら,Ac(x,t)とE1(x,t)の

独 立 成 分 は ２個 で あ る

れ らを

開 す る.こ

こ で 右 辺 の 第 ２項 は 第 １項 の 複 素 共 軛 で,こ

実 数 に 保 つ こ と が で き る.第

さ￨k￨の 関 数 で あ り,い

れ らに よ

２式 の 右 辺 の ω(k)はkの

ま の と こ ろ そ の 関 数 形 は 未 定 で あ る.な

大 き

お,(2.48)の

e(λ)(k)は

な る 性 質 を も つ 単 位 ベ ク トル で あ る.さ 向 の 単 位 ベ ク ト ルe(3)(k)=k/￨k￨を のe(1)(k),e(2)(k),e(3)(k)は,す し て 図2.1の

考 え る と,上 べ て のkの

値 に 対

よ う な 右 手 直 交 系 を つ く る.(2.48)

の よ う に 展 開 し て お け ば,(2.39)と(2.42)の 件

ら にk方

条 図2.1  電磁 波 の 偏 りの 方 向

が 自 動 的 に み た さ れ て い る.な k・e(λ)=0(λ ニ1,2)と

ぜ な ら,(2.48)を

こ れ ら に 代 入 す る と,

な る か ら で あ る.

  (2.48)の

展 開 式 を(2.47)に

代 入 して,空

と な る.同

様 に し て,(2.47)の

と な る.こ

こ で 上 の 結 果 を 加 え合 わ せ て,未

間積 分 を さき に実 行 す る と

右 辺 の 第 ２項 の 磁 場 の エ ネ ル ギ ー は

と,そ れ ぞ れ の 第 ２項 は 相 殺 し,ま

た(2.49)の

定 の ω(k)を ω(k)≡c￨k￨と 性 質 を利 用 す る と

定義す る

と な る.こ

こで

とお い て,実

の 変 数P(λ)(k,t)とQ(λ)(k,t)を

導 入 す る.こ

れ を も ち い る と,放

射 場 の 全 エ ネ ル ギ ー は,２ 種 の偏 りの 電 磁 波 か ら の 寄 与 の 和 と し て

と あ ら わ され る.こ

れ か ら わ か る よ う に,放

射 場 は そ れ ぞ れ の 波 数 ベ ク トルk

に 対 応 し て 調 和 振 動 子 の 無 限 個 の 集 合 で あ る と み な す こ と が で き る.こ 振 動 子 を あ ら わ すP(k,t)とQ(k,t)を

量 子 力 学 的 な 演 算 子 と み な せ ば,放

が 光 子 の 集 合 で あ る こ と を 示 す こ と が で き る.し

か し,こ

の調 和 射 場

こで は こ の問題 に は

立 ち い ら な い.   (５)電

磁 場 の 運 動 量   (2.31)の

ハ ミル トニ ア ン に よ っ て,い

ま考 え て い る点

電 荷 と電 磁 場 とが 相 互 作 用 し て い る体 系 の 全 エ ネ ル ギ ー が あ た え られ た.そ れ で は,こ

の 体 系 の 全 運 動 量 は どの よ う に あ ら わ され る で あ ろ う か.点

運 動 量 で あ る 正 準 運 動 量pは(2.24)に

電 荷 の もつ全

よ って

で あ る.   こ れ に 対 し て,電 場 の 正 準 変 数A(x)は は あ る が,A(x)は

磁 場 の 全 運 動 量 は ど の よ うに あ ら わ さ れ る で あ ろ うか.電

対 応 す る もの で

電 磁 場 の 位 置 そ の もの を示 す も の で は な い.そ

の た め にA(x)

に 正準 共 軛 な変数 っ て,電

磁

点 電 荷 の 位 置 を あ ら わ す 正 準 変 数z(t)に

は,点

電 荷 に お け る 正 準 運 動 量p(t)と

磁 場 の もつ 運 動 量 を あ た え る も の で は な い.そ

れ で は電 磁 場 の全 運 動 量

を 示 す 量 は ど の よ うに あ た え ら れ る で あ ろ う か.   そ の 目的 の た め に,(2.29)の

ちが

ハ ミ ル トニ ア ン を相 対 論 的 に 一 般 化 し て

とあ ら わ す.こ

のT(c)μ ν を 正 準 エ ネ ル ギ ー ・運 動 量 テ ン ソ ル(canonical

momentum

tensor)と

  (2.53)で

μ=ν=4と

よ ぶ.こ

れ は 第11章(3.56)のTμ

お い た も の が,電

energy

νに対 応 す る も の で あ る.

磁 場 の 全 エ ネ ル ギ ー 密 度 で あ り,こ

れ

を 空 間 積 分 した も の が ハ ミル トニ ア ン そ の も の に ほ か な ら な い こ と は

を(2.29)と

比 較 す れ ば 明ら か で あ る.な

お ， この とき

で あるこ

し た も の が 電 磁 場 の 全 運 動 量,す

なわ ち正 準運 動 量 で あ る

と を つ か っ た. 次 に μ=4,ν=iと こ と を 示 そ う.こ

で あ る.そ

こで

を 計 算 す る.

の とき

で あ る こ とに 注 意 す る と,

と な る.こ

こ で 右 辺 の 第 １項 を 部 分 積 分 し,表

面 積 分 は 消 え る とす る と,

の 関 係 を 利 用 す る こ とに よ っ て

で あ る こ とが わ か る.こ

れ が 電 磁 場 の 正 準 運 動 量 で あ る.

  (2.56)の 右 辺 の 第 １項 は 電 磁 場 の 運 動 量Gfに

ほ か な らな い.(2.52)と(2.56)

と を加 え た も の が全 系 の 運 動 量 で

と な っ て い て,全 gとGfで

系 の 運 動 量 は 正 準 運 動 量pとPfで

あ らわ し て も変 わ ら な い.た

だeAの

あ ら わ し て も,運

動量

配 分 の しか た が ち が っ て い る

の で あ る.

[例 題]Breitの は(2.19)に

よっ て

相 互 作 用   い くつ か の 点 電 荷 が あ る と き,こ

の 体 系 の ラ グラ ン ジ ア ン

で あ た え ら れ る.こ

こ で 電 磁 ポ テ ン シ ァ ル はCoulombゲ

ー ジ を と っ て い る.こ

の と きス

カ ラ ー ・ポ テ ン シ ァルA0c(x,t)は

をみ た す か ら,そ の 解 は

に よ っ て あ た え られ る.さ 荷 の 軌 道z(t)の

て(2.58)の

相 互作 用 ラ グ ラ ンジ ア ンの電 磁 ポ テ ン シ ァル は点 電

関 数 と な っ て い る の で,こ

れ をu(t)に

関 す る ２次 の 項 ま で 計 算 し て み よ

う.   こ の と き,ベ

ク トル ・ポ テ ン シ ァ ル の み た す 方 程 式 は(2.38)よ

に よ っ て あ た え られ る.た

だ し こ こ でitは

で あ た え ら れ る電 流 で あ る.こ

で あ た え られ,t'は

の と き,ベ

と お き,時

ク トル ・ポ テ ン シ ァル は

発 信 時 刻 で あ る.(2.58)と(2.61)を

程 度 ま で 考 え る と き に は,(2.61)の そ こ で(2.61)の

り

時 刻tとt'の

み れ ば わ か る よ う にuの

２次 の

ち が い は 無 視 し て も さ しつ か え な い.

か わ りに

間 の 遅 れ を 無 視 す る.itを

求 め る た め に,(2.60)の

第 ２項 に(2.59)を

代 入 す る.

す る と電 荷 保 存 則 に よ り

と な る,  こ こで

な る こ と を利 用 して,こ

れ ら を(2.60)に

  こ の と き 電 流itのx,y,z成

代 入 す る.

分 を添 字

α,β で 示 し,ま

た 点 電 荷 の 番 号jを

省略 す る と

とか か れ る.こ

れ を(2.62)に

代入すると

こ こで右 辺 の積 分 を 実行 す るた め に

で定 義 され る ラ プ ラシ ア ンの逆 演算 子 △-1を 導 入 す る.す る と

と な る.そ

こ で い まr=￨x-z(t)￨と

かき

とお く.す る と,問 題 は微 分 方 程式

を解 い て,そ の特 解 を求 めれ ば よ い こ とに な る.

であ るか ら,f(r)の

み た す微 分 方 程式 は

とな る.こ の特 解 は

であ る.こ

れ を(2.63)に

代入 す る と

で あ る.こ の 結果 を ベ ク トル 式 に なお し,点 電 荷 の番 号 をつ け る と,

と な る.こ

れ を(2.58)に

代 入 し,ま

た(2.59)か

ら

が え られ るか ら,

を う る.こ

こで

で ある.(2.64)はCoulombの

相互 作 用 に 最低 次 の 相対 論 的 補 正 を ほ どこ した もの で あ っ

て,２ 電 子 原子 内 の電 子 間 の相 互 作 用 を量子 力 学 的 に と りあ つ か うと きに もち い られ る.こ れ をBreitの

相 互 作 用 とい う.

付録A  初等 ベ ク トル解 析

 電磁気学 を学ぶためには,３ 次元空間におけるベク トル解析の知 識は不可欠である.そ こでベク トル解析に習熟 していない読者のために,本 書をよむのに必要なベク トル解析の 解説をす る.最 後にあげた演 習問題はぜひ ともやってい ただ きたい.

  (１)ベ

ク トル(vector)  あ る 量 が そ の大 き さ と方 向 を指定 す る と決 め られ る と き,そ

の 量 を ベ ク トル とい い,本

書 で は太 文 字Aな

トル の大 き さ を示 す もの とす る.い

どで あ らわ す.細

ま二 つ の ベ ク トルaとbを

文字A=￨A￨は

そのベ ク

考 えた と き,そ

の合 成 ベ

ク トルcは

で あ ら わ され,そ

の方 向 と大 き さ は図A・1の

よ うに 平 行 四 辺

形 の 法則 で あ た え られ る.こ の とき

が な りたつ こ とが容 易 に た しか め られ る.ベ 向 の大 き さが １の ベ ク トル をnと い う.す る と

の と き 原 点Oか

ひ い た ベ ク トル 〓 か く.ま

たx,y,z軸

同 じ方 図A・1 

か き,こ れ を単位 ベ ク トル と

と か く こ と が で き る.図A・2の 系 を 考 え よ う.こ

ク トルAと

ベ ク トル の 和

よ うな 直 角 座 標 ら点Pに

向 か って

を 位 置 ベ ク トル と い い,  rと の それ ぞれ の 方 向 を 向 く 単位

ベ ク トル をex,ey,ezで

あ ら わ す と,任

意のベ ク ト

のex,ey,ezを

基本ベ ク ト

ルAは

と か く こ と が で き る.こ ル と い う.こ

こ でAx,Ay,Azは

ベ ク トルAの

れ ぞ れ の 軸 の 方 向 の 成 分 の 大 き さ で あ る.明

そ

図A・2  基 本 ベ ク トル

らか に

で あ る.   (２)  ベ ク トル の ス カ ラ ー 積(scalar 積A・Bを

product) 

２個 の ベ ク トルAとBと

のスカラー

で 定 義 す る.こ (A・4)の

こ で(AB)は

ベ ク トルA,Bの

あ い だ の 角 度 で あ る  (図A・3参

照).

定義か ら

で あ る こ と が わ か る.さ の 大 き さ が １で,た

で あ る.ま

き の 単 位 ベ ク トルex,ey,ezは

そ

が い に 直 交 して い る か ら,

た 図A・3 

もす ぐ証 明 で きる.い ま ある 単位 ベ ク トルnを

とな る.こ れ は ベ ク トルAのn方

と か け る.さ

向の 成 分 の大 き さ をあ らわす か ら

て

で あ る か ら,Anを

と な る.ま

ス カ ラー 積

考 えると

た,ス

直 角座 標 系 の 成分 で か くと

カ ラ ー 積A・Bを

直 角 座 標 系 の 成 分 で か く と,(A・5)の

性質か ら

と な る.   (３)ベ

ク トル の ベ ク トル 積(vector

product) 

２個 の ベ ク トルAとBに

よ って つ く

られ る 平 行 四 辺 形 の 面 積 は

で あ た え られ る.そ こ でそ の 大 きさ が(A・10)で

あた え ら

れ,そ

あ らわさ

の方 向 が 平 行 四 辺 形 に 垂 直 で 図A・4で

れ る方 向 の ベ ク トルCを

考 え て,そ れ を

とか くこ と にす る.こ の ベ ク トルCをAとBと ル 積 となづ け る.こ の と きA×Bで と,B×Aで

定義 され るベ ク トル と はそ の大 き さは お な じ

で あ る が,方 向 は反 対 向 きに な る か ら

図A・4  ベ ク トル 積

で あ る.し

のベ ク ト

定 義 され る ベ ク トル

か し,(A・6)に

対応す る

は な りた つ.(A・10)と(A・11)の

定 義 を つか う と

で あ るこ とはす ぐわ か る.こ れ か らA×Bを

(４)３

座標 系 の成 分 で か く と,次 の よ うに な る.

個 の ベ ク トル の 積

(i)A(B・C)こ る か ら,Aの

れ はBとCの

ス カ ラ ー 積 に 代 数 的 に ベ ク トルAを

方 向 の ベ ク トル で あ る.そ

か けた もの で あ

こで

と お く と,

と な る.し

た が っ て一 般 に は

で あ る. (ii)A・(B×C)こ B×Cの

れ は ベ ク ト ルAと

ス カ ラ ー 積 で あ る か ら,ス

す ぐ わ か る よ う に,こ

ベ ク トル

カ ラ ー 量1)で あ る.

れ は ３個 の ベ ク トルA,B,Cに

よ

り つ く ら れ る 平 行 六 面 体 の 体 積 を あ ら わ し て い る(図 A・5)． こ れ を 成 分 で か く と(A・9)と(A・15)か

(A・16)か

図A・5平

行 六 面 体 の 体積

ら

ら

で あ る こ と が わ か る. (iii)A×(B×C)こ

１)443ペ

ー ジ参 照

れ は ベ ク トルAと

ベ ク トル(B×C)の

ベ ク トル 積 で あ る か ら,べ

ク トル で あ る.

と お く と,DとEは

と な る.同

垂 直,AとEは

垂 直 で あ る こ と が わ か る.さ

て

様 に して

とな るか ら,公 式

が え られ る.A,B,Cを

いれ か え る と

とな るの で,こ れ らを加 え あわ せ る と恒 等 式

を え る.(A・18)に

と な る.あ

お い て,A=n,C=nと

お くと

るい は 図A・6  ベ ク トル の 分解

とな る.こ れ は任 意 の ベ ク トルBを

単 位 ベ ク トルnの

方 向と

そ の垂 直 方 向 とに分 解 す る とき に も ちい られ る 公式 で ある(図A・6).  (５)ベ

ク トル の 微 分 と 積 分

ベ ク トルaの

大 き さ と 方 向 が パ ラ メ ー タ ーtと

と もに

変 化 す る と き,

とかか れ る.成 分 にわ けて か く と

で あ る.す る とtに

関 す る微 分 は(A・22)の

各成 分 に対 して 普通 の微 分 と同様 に 定義 され

る ．す な わ ち

で あ る.ay,azに

つ い て も 同 様 に 定 義 で き る の で,こ

れ らを ま とめ て

と か く こ と が で き る.こ

れか ら

な る 性 質 が た しか め られ る. ベ ク トル の 体 積 積 分 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る.い 作 用 す る 力 をF(x)=F(x,y,z)と で あ た え ら れ る.し

す る と,微

ま た と え ば 物 体 の あ る 点x=(x,y

小 体 積d3x=dxdydzに

,z)に

作 用 す る 力 はF(x)d3x

た が って物 体 全 体 に作 用 す る力 は

で あ る.こ こでFを

成 分 にわ け る と

とか くこ とが で き,右 辺 の積 分 はFx(x)=Fx(x,y,z)な

どの関 数形 が あ た え られ れ ば,普

通 の 多重 積 分 の方 法 で 積 分す る こ とが で き る.  次に 線 積分 を 定義 す る.た Cに

とえ ば 質 点mが

力Fの

そ って 点Aか ら点Bま で移 動 す る とき,力Fが

F・drの 曲線Cに

作 用 の も とに,あ

る決 ま った 曲線

質 点 に なす 仕 事 の総 量 は ス カ ラー積

そ っ て の和

に よ っ て あ た え ら れ る(図A・7).こ

の 積 分 の 値 は も ち ろ ん 曲 線C

の か た ち に よ っ て 変 わ っ て く る.い

ま 曲 線Cがtを

パ ラ メー タ ー

と して

で あ ら わ され て い る と,曲 ど で あ ら わ さ れ る.し

線 上 で の 力 の 値 はFx(x(t),y(t),z(t))な

た が っ て(A・27)の

積分は

図A・7線

積分

とか か れ,こ の積 分 は 通 常 の積 分 と同様 に実 行 す る こ とが で きる.(A・27)あ

るい は(A・28)

の積 分 を線積 分 とい う.  次 に 表 面積 分 を考 え よ う.た と えば 閉 曲面Sに

か こ まれ た 領 域 の 内部 の 物 質 が外 部 に

向か って 毎 秒 単 位 面積 あ た りi(x)の 強 度 で流 出 す る もの とす る.こ の と き,閉 曲面 Sの

うえの 面 積 要素dSを

通 って毎 秒 流 出

す る量 は,ス カ ラ ー積

であ た え られ る.こ こでn(x)は

閉 曲面S

の うえ に外 向 き にた て た単 位 法 線 ベ ク トル で あ る(図A・ ８).し た が って 閉 曲 面Sを 通 っ て毎 秒 流 出 す る全 量 は

に よ っ て あ た え ら れ る1).こ

図A・ ８  表 面 積 分

の よ う に 曲 面S

上 の 関数 の値 の 和 を とる積 分 を表面 積 分 とい う.(A・29)の した ら よ い.(A・29)を

と か か れ る.し

積 分 を実 行 す る に は次 の よ うに

成分にわけると

か る にnz(x)はn(x)のz方

向の 成 分 で あ るか ら

同様 に

であ る.さ て閉 曲面Sが

と か か れ て い る と,そ

の 上 で のizの

値 はiz(x,y,z(x,y))と

か か れ る か ら,(A・30)の

の 第 ３項 の 積 分 は

とか かれ て,こ れ は 普通 の 二 重 積分 で ある.そ の ほ か の積 分 も同 様 に で きる. １） 閉 曲線 や 閉 曲面 に 関 す る積 分 は

で あ らわ され る.

右辺

  (６)勾

配(gradient)い

ま 室 内 の 温 度Tと

い う物 理 量 を 考 え よ う.温

そ の 大 き さ だ け を あ た え れ ば 決 ま る も の で,そ に,そ

の 大 き さ だ け が あ た え られ る と 決 ま る 量 を ス カ ラ ー 量 と い う.ま

ル の ス カ ラ ー 積 は ス カ ラ ー 量 で あ る.さ そ れ は 場 所x=(x,y,z)の う に,あ

る 物 理 量 が 空 間 の 各 点 で あ た え られ,そ

と な る.さ

と か き あ ら わ され る.そ

よ う に あ ら わ さ れ る.こ

れ ら が ス カ ラ ー 量 で あ る と き,そ

の ス カ ラ ー場 を

て(dx,dy,dz)は

と か く と,そ

一 つ の 微 小 ベ ク トルdxの

こ で,い

の よう

えに の べ た ベ ク ト

て い ま 室 内 の 各 点 に お け る 温 度 分 布 を 考 え る と,

関 数 と してT=T(x)=T(x,y,z)の

を ス カ ラ ー 場 とい う.こ

度 とい うもの は

の 方 向 な ど は 考 え る 必 要 は な い.こ

のよ の集 合

の微 分 は

３個 の 成 分 と 考 え ら れ る か ら

ま

な る も の を つ くる と,

と な る.し

た が っ て(A・32)か

と な る.右

辺 のd〓(x)は

ら

ス カ ラ ー で あ り,dxは

は ベ ク トル の ３成 分 に な っ て い る こ と が わ か る.つ

ベ ク トル で あ る か ら,

ベ ク トル 量 で あ る.こ

れ を スカ ラー場

  ス カ ラ ー 場 と お な じ よ う に,空 そ の ベ ク トルυ

ま り(A・33)で

定 義 され るgrad〓(x)は

〓 の 勾 配 と い う.

間 の 各 点 で,そ

の 大 き さ と方 向 と が 定 義 さ れ て い る と き

の 集 合 υ(x)を ベ ク トル 場 と い う.ベ

ク トル 場 υ(x)の

２点A,B間

の線

積分

を 考 え る と,一 で あ る.す

般 に こ の 値 は 積 分 曲 線 に よ っ て 異 な っ て くる こ と は(A・28)で

な わ ち 積 分 の 両 端 の ２点A,Bを

こ ろ が と くに ベ ク トル

決 め た だ け で は(A・35)の

のべ た とお り

値 は 決 ま ら な い.と

υ(x)が

とか け る とき に は,(A・35)の

積 分 の 値 は,そ の積 分 路 には よ らず に,２ 点A,Bに

値 だ け を決 めれ ば 決 定 す る の で あ る.な ぜ な ら

おける

とな るか らで あ る.と くに任 意 の 閉 曲線 にそ って ぐる りと一 ま わ り積 分 す る と

と な る.(A・36)の き,〓(x)を

よ う に,ベ

ク トル 場 υ(x)が ス カ ラ ー 場 〓(x)の 勾 配 で あ ら わ さ れ る と

ベ ク トル 場 υ(x)の ポ テン シ ァル(potential)と

  (７)発

散(divergence)とGaussの

閉 曲 面Sで

か こ ま れ た 領 域 の 体 積Vを

を ベ ク トル 場i(x)のxな

い う.

定 理(A.30)で

あ た え られ た 表 面 積 分 に お い て

無 限 小 に と っ た と き,

る 点 に お け る 発 散 とい う.さ

て(A・38)の

右 辺 を 計 算 し よ う.計

算 を 簡 単 に す るた め に， 微 小 体積 を V=δxδyδzと

し て 図A・

立 方 体 を と る.す

９の よ うな

る とx軸

二 つ の 面 上 で の(A・38)の (A・30)に

に垂 直 な 積分 は

よ って

とな る.右 辺 の負 号 はnの

方 向が 二

つ の面 で反 対 方 向に な って い る こ とに 図A・ ９  ベ ク トル の発 散

よる.し たが っ て

と な る.同

様 に して

が え られ る.し

た が って

とな る.勾 配 の と きに考 え た よ うに微分 操 作

を 一 つ の ベ ク トル と考 え る な ら ば,ベ トル 場i(x)と

の ス カ ラー 積

ク トル の 発 散 は,微

分 操 作 を示 す ベ ク トル 〓 と ベ ク

で あ る と 解 釈 す る こ と も で き る.  微 小 体 積Viに

お い て,(A・38)が

で あ る.さ て このViを

が な りたつ.と

な りたつ の で

た くさ んつ み 重 ね て有 限 な 体 積Vを

つ くる.す る と

ころが 左 辺 の和 にお い て二 つ の微 小 体 積 の表 面 の 接触 して い る とこ ろで は,

法 線nの 方 向 が反 対 に な っ てい る の で,た が い に 消 しあ っ て し まい,残 るの は 有限 の体 積 Vの 領 域 の表 面Sか らの 寄与 だ けに な る.し た が って

が な りたつ.こ れ は表 面 積 分 と体 積 積分 との関 係 をあ た え る重 要 な 関係 式 で,こ れ をGauss の定 理 とい う.  Gaussの

定 理(A・42)で

とお く と

と な る.さ

て

な る 公 式 が な りた つ か ら,(A・43)は

と な る.さ

とお く と

ら に,こ

こで

と な る.と

ころ が

で あ るか ら

とか くと

と あ ら わ さ れ る.こ

と か か れ る.こ

の

こで

で あ る.(A・48)か

△

を ラ プ ラ シ ア ン(Laplacian)と

〓(x)と

い う.す

な わ ち(A・45)は

ら(A・49)を

ψ(x)を い れ か え る と

引 くと

な る関係 式 が え られ る.あ るい は

と か く と,(A・51)の

微 分 はnの

と か か れ る.(A・50)あ

方 向 へ の 微 分 を あ ら わ し て い る.す

る い は(A・52)の

  (８)  回 転(rotation)とStokesの v(x)の

発 散divv(x)は

恒 等 式 をGreenの

と か く.し

お い て あ た え た よ う に ベ ク トル

〓 な る ベ ク トル 的 な 性 質 を も つ 微 分 操 作 と ベ ク トルv(x)と

つ く っ て み よ う.こ

た が っ て,こ

定 理 と い う.

定 理   (A・41)に

カ ラ ー 積 〓・v(x)と 考 え る こ と が で き た.そ ル 積 〓 ×v(x)を

る と(A・50)は

こ で ベ ク トル 〓 と ベ ク トルv(x)と

の とき

れ を 成 分 で か く と(A・15)に

よ って

のス

のベ ク ト

と な る.い

ま と く に ベ ク トル 場v(x)が

ポ テ ン シ ァル 〓(x)か

らみ ち び か れ る と き を 考 え る

と

で あ る か ら,

と な る.な

ぜ な ら,x成

分 を とっ てみ る と

とな るか らであ る.   ベ ク トル場v(x)の 曲線Cに

な か に 閉 曲線Cで

か こまれ る任意 の面Sを

考 え よ う.こ

の とき閉

そ う線 積 分

を考 え る と

が な り た つ.た

だ し こ こ で 線 積 分 の 方 向 は 図A・10

で 示 す 方 向 で あ り,右

辺 のnは

面Sの

うえ に垂 直 に

た て た 単 位 法 線 ベ ク トル で あ る.(A・56)の

線積分 と

表 面 積 分 の 関 係 を あ た え る 公 式 をStokesの い う.こ

定理 と

の 定 理 の 一 般 的 な 証 明 は ベ ク トル 解 析 の 書

物 に ゆ ず り,こ よ う.面Sを

こ で は 直 観 的 な簡 単 な 方 法 で証 明 し 図A・10の

の 一 つ の 微 小 面Siを 方 向 をz軸

図A・10 

よ う に こ ま か く分 割 し,そ 考 え る.い

の 方 向 に え ら ん でx,y軸

ま と く にSiの を 図A・11の

Stokesの

定 理

法線 よ

う に と る.   す る とSiを

か こ む 線Ci上

で の線 積 分 は

図A・11ベ

ク トル の 回 転

とな る.こ

れ らを よせ集 め る と相 接 す る二 つ の 微 小 面 の ふ ち の うえの線 積 分 の 方 向 は反 対

向 き であ るた め,た が い に消 しあ い,残 るの は 曲線Cの

外 側 の線 か らの 寄 与 だ け に な る.

した が って(A・56)が え られ る.   (９)  い ろ いろ な 公式   こ こで ベ ク トル 解 析 で あ らわれ るい ろ い ろな 公式 の 証 明 を して お こ う.そ の他 の 公 式 もこ こで の べ る方 法 を利 用 すれ ば 簡 単 に証 明す る ことが で きる.   任 意 の ベ ク トル 場v(x)に

で あ る.ま

対 して

た ２個 の ス カ ラ ー 場

〓(x)と

ψ(x)に 対 し て

で あ る か ら, で あ る.次

に

で あ る か ら,

な る公 式 が な りた つ.ま った く同様 に成 分 に わ け る と

が 証 明 で き る.   (A・61)でA=A(x)と

しCをxに

よ ら な い 一 定 の ベ ク トル で あ る と す る と

と な る.そ こ で これ の体 積 積 分 を とる と

と こ ろ が,Gaussの

定理 によ り

で あ る.し

か る に(A・17)よ

り

で あ るか ら

(A・62)と(A・63)と

を 比 較 し,Cが

任 意 の 一 定 ベ ク トル で あ る こ と を 考 慮 す る と

な る関係 が え られ る.

[問 題]  (１) 

は ど ん な と き に な りた つ か.

 (２)  次 の 公 式 を 証 明 せ よ.

 (３)  ベ ク トルAとBと

が座標 原 点 か ら引 かれ てい る とき,AとBの

先 端 をす ぎ る

直線 の方 程式 は とかかれ る こ とを示 せ.  (４)  ベ ク トル らAに

が座 標原 点 か ら引 か れ て い る とき,１ 点(1,2,1)か

お ろ した 垂線 のベ ク トル式 を求 め よ.

 (５)  四 辺 形 の相 対 す る辺 の 中点 をむ す ぶ二 つ の 直線 は た がい に他 を ２等 分 す る こ とを ベ ク トル をつ か っ て証 明せ よ.  (６)  ３個 の ベ ク トル

の それ ぞ

れ の先 端 をむす ん で で き る三角 形 の面 積 を求 め よ.  (７)  次 の公 式 をを証 明せ よ.

 (８) 

で あ る と き,を 数 で あ る.

で あ る と き,div

r=3,rot

証 明 せ よ.こ

r=0で

こで

あ る こ と を 示 せ.ま

た

は任 意 の ス カ ラー関

 (９)  公式

を 証 明 せ よ.   (10)  公 式

を証 明せ よ.  (11) 

の発 散 を,座 標 原 点 を 中心 とす る半径aの

わた って 体積 積 分 す る こ と に よ って,Gaussの  (12)  閉 曲線Cの

な る こ と を証 明 せ よ.

球の内部に

定 理 が な りた って い る こ とを た しか め よ.

うえ にあ る点 の位 置 ベ ク トルrの

線積分が

付録B直

交 関 数 系

 電磁気学だけでな く物理学全般にわたって,あ る関数を直交関数系に展開する方法がよ くつかわれ る.こ こで 本書をよむのに必 要な程度の直交関数系について解説 してお く.

(１)直

交 関 数 系(A・9)に

よ る と ３次 元 空 間 の ベ ク トルAとBと

の ス カ ラー積 は

とあ らわ され,こ れ らの ベ ク トル が 直 交す る とき

とな る.さ て 形 式的 に ３次元 空 間 をn次 け る ２個 のベ ク トルAとBが

元 空 間 に 拡 張 しよ う.こ の と きn次

元 空 間 にお

直 交 す る とき

とか かれ るで あ ろ う.こ こでA1,A2,…Anはn次

元 空 間 にお け る 直 角 座 標 系 を考 え た と

き,そ の各 座 標軸 の 方 向 の成 分 で あ る.さ て これ らの成 分 の添 字 を パ ラ メ ー ター と考 え て, (B・2)を

とか い て お こ う.３ 空 間 で はn個

次 元 空 間 に お い て は ３個 の 基 本 ベ ク トルex,ey,ezが

の 基 本 ベ ク トルe1,e2,…enが

あ る.す

る とn次

あ っ た が,n次

元

元 空 間 に お け る任 意 の ベ ク

トルAは

とか くこ とが で き る.こ の と き基本 ベ ク トル の性 質

のお か げで,係 数A(i)は で あ た え られ る こ と が わ か る.   い ま(B・3)のA(i)とB(i)の と き,A(i)はxの

分 に お き か え ら れ る で あ ろ う.い と す る と,(B・3)は

パ ラ メ ー タ ーiを

関 数A(x)に,B(i)はB(x)に ま 関 数A(x)とB(x)が

連 続 変 数xに な り,パ

お き か え て み よ う.こ

ラ メ ー タ ーiに

変 域b≧x≧aで

の

関 す る和 は 積 定 義 され て い る

とか くこ とが で き る.ベ て,(B・7)の

ク トルAとBと

が(B・3)に

条 件 をみ たす 関 数 を直 交 関 数 とい う.n次

ルe1,e2…enが

あ った よ うに,こ

お い て 直交 してい た こと に 対 応 し 元 空 間 に お い てn個

の基 本 ベ ク ト

の場 合 に も無 限個 の たが い に 直 交 す る基 本 的 関数 の集 ま

り

を考 える こ とが で き るで あ ろ う.(B・5)に 対応 して これ らの関 数 のあ い だ には

な る関 係 が あ る とす る.こ の よ うな条 件 を み たす 関 数 の集 ま り(B・8)を 直 交 規格 化 され た 関 数 系 とい う.す る とn次 よ うに,変 域b≧x≧aで

元 空間 の ベ ク トルAが(B・4)の 定義 され た 任 意 の関 数f(x)は

と か く こ と が で き る で あ ろ う.も 展 開 係 数ciは,(B・9)を

よ うに か き あ らわせ た と同 じ

直 交 関 数 系(B・8)を つ か っ て

し こ れ が 可 能 で あ る な ら ば,(B.6)に

対 応 して(B・10)の

つ か って

で あ た え られ る で あ ろ う.  任 意 の 関 数f(x)が(B・10)の

よ うに展 開 で き る とす る上 の議 論 は,ベ

を単 に形 式 的 に拡 張 した もので あ る.し か しf(x)が

ク トル解 析 の結 果

い か な る条 件 をみ たす とき に(B・10)

の展 開が 可 能 で あ るか と うこ とが 数 学的 に は 問題 とな り,こ の議 論 は きわ め て 面 倒 な もの とな る.こ こで は こ の よ うな厳 密 な 議論 は 省 略す る.た だ 以 下 の議 論 で必 要 な完 全 性(com pleteness)と い う言葉 につ い て説 明 して お く.い ま変域b≧x≧aで

定義 され て い る任 意 の

関 数f(x)が

な る条 件 をみ た して い る もの と し,f(x)を

適 当 な係数ciを

つ か う こ とに よ って

で うま く近 似 で き る もの とす る.こ の と き

の 条 件 を み た し て い る な ら ば,直

交 関数 系

間 の 任 意 の ベ ク トルAを(B・4)の トルe1,e2,…enが (B・4)の

全 部 必 要 で あ り,そ

う し て もn個

の う ち １個 で も 欠 け て い た ら,任

よ うに 展 開 す る こ とは で き な い.そ

全 系 をつ く っ て い る こ と に な る.直

〓1(x),〓2(x),… は 完 全 で あ る と い う.n次

よ う に 展 開 す る た め に は,ど

こ でe1, e2,… …enのn個

交 関 数 系 の 場 合 に は,そ

元空

の基 本 ベ ク

意 の ベ ク トル を

の 基 本 ベ ク トル が 完

の 基 本 的 関 数 〓i(x)が 無 限 個

あ るた め に話 が面 倒 にな り,直 交 関 数 系 が完 全 で あ る とい う こ とを 正 確 に 表 現 し よ うとす る と(B・12)の よ うに な るの で あ る.さ

て(B・12)の 条件 をみ た して い る とき,直

〓1(x),〓2(x)…は完 全 で あ る けれ ど も,そ れ か らす ぐに任 意 の関 数f(x)を

交 関数 系

こ の完 全 系 で展

開で き る,つ ま り(B・10)の よ うに か け る とは い えな い の で あ る.そ れ を い うため に は無 限 級数

が一 様収 束 で あ る とい う条 件 をつ け な けれ ば な らな い.一 様 収 束 で あ る な らば

にお い て,項 別 積 分 が 可能 にな り

と な る か ら,(B・13)の

係 数ciは

に よ っ て 決 め ら れ る.(B・14)を(B・13)に

と な る.そ

代 入す る と

こ でい ま

で あ っ て,

な る性 質 を もつ 関 数 δ(x)を 考 え る.こ れ はDiracの

デ ル タ 関数 とい われ る も の で あ る

が,数 学 的 に は こん な 関数 は ない(た だ し超 関数 の理 論 とい うもの を つ か うと正 確 に定 義 で き る).し か しと もか く,こ れ をつ か うと,(B・15)か

ら

が え られ る.物 理 学 者 は(B・16)を 完全 性 の条 件 とい って い る が,こ れ に は展 開 され る関 数 f(x)の 性 質 が 反 映 してい な い の で,(B・12)の

よ うに厳 密 な 完全 性 の 条 件 の表 現 で あ る と

は考 え られ な い.   (２)  Fourier級 関数 の集 合

が あ げ ら れ る.こ る.こ

数  も っ と も よ く知 られ てい る直交 規 格 化 関数 系 と して は,次

こ で 変 数xの

変 域 はa/2≧x≧

−a/2で

あ り,m=０,１,２

…

の三角

で あ る とす

の とき

な る直 交性 をみ た し,ま た

な る規 格化 の条 件 もみた して い る.ま たn〓mの か る.(B・13)の

とき も同 様 に直 交 して い るこ とはす ぐわ

展 開式 は

とか かれ る.こ の と きf(x)が

に よ っ て決 め られ る.(B・18)の   (３) Fourier積

あ た え られ ていれ ば,係 数AmとBmと

展 開 式 をFourier級

数 とい う.

分  い まま で は基 本 的 関数 は 実の 関 数 で あ る と した が,そ れ らを複 素

数 関数 に とる こ と もで き る.こ の と き直 交 条 件(B・9)は

にお きか え られ る.い また とえば 直 交 関数 系 と して

を 考 え て み よ う.こ

は

の とき

がみ た され てい る こ とはす ぐに た しか め られ る.す る と(B・13)の 展 開式 は

と か か れ,係

数Amは(B・21)よ

で あた え られ る.(B・22)の

り

級 数 は(B.18)のFourier級

数 の複 素 数 的 な表 現 に す ぎな い.

  さて ここ で直 交 関数 系 の 定 義域 を無 限大 に と って み よ う.す なわ ちa→ ∞ とす る.す る と同時 に次 の よ うに 変数 変 換 され る.

す なわ ち,基 本 的直 交 関数 系 は連 続 的 な もの に な る.こ の お き か え をお こ な うと,(B・22) と(B・23)は それ ぞ れ

す な わ ち 関 数f(x)を 分 と い う.す

と な る.つ

指 数 関 数eikxの

積 分 で あ ら わ す こ と が で き る.こ

れ をFourier積

る と 完 全 性 の 条 件(B・16)は

ま り

が え ら れ る.直

交 条 件 は(B・25)か

ら

で あ る こ と が わ か る.   (４)  Legendreの Legendreの

多 項 式   直 交 関 数 系 で,本

多 項 式Pl(x)が

あ る.こ

れは

書 に あ ら れ わ る も う一 つ の例 と して

１≧x≧-1の

変 域 で定 義 され る関 数 で

で あ た え られ る も の で ある.こ れ は また

な る 微 分 方 程 式 の 解 で あ る こ と は,(B・27)を(B・28)に ０,１,２ … な る 値 を と る も の と す る.さ 直 接(B・27)を

て(B・27)の

積 分 し て も よ い が,(B・28)の

(B・28)にPl'(x)を

か け て 積 分 す る.す

代 入 す れ ば わ か る.た

だ しl=

関 数 系 が 直 交 性 を み た し て い る こ と は,

微 分 方 程 式 を つ か っ た ほ う が 簡 単 で あ る.

なわち

第 １項 を部 分 積 分 す る と

こ こ でlとl'と

と な る.そ

と な る.つ (B・27)を

を い れ か え,そ

こ でl〓l'な

ま りPl(x)は

れ らを引 き算す る と

ら

直 交 関 数 系 を な す.l=l'の

つ か っ て 決 め ら れ る.す

これ をl回

(x2-1)lを2l回

と き に は 積 分 は 有 限 で あ り,そ

の値 は

なわ ち

部分 積 分 す る と

微 分 す る と(2l)な

右 辺 の 積分 存 はす ぐに で き て,そ の 値 は

る因子 が でて くる か ら

とな る.し たが って

そこで

とお くと,こ れ ら は直 交 規格 化 関 数 系 を つ くって い る ・す る と1≧x≧-1の れ て い る関 数f(x)は

変 域 で定 義 さ

と展 開 され,係 数Alは

に よ っ て あ た え ら れ る.   最 後 に(B・27)か

ら

な る関係 が あ る こ とが わ か り,こ れ と微 分 方程 式(B・28)と か ら,公 式

が 証 明 され る.

索  引

           

ア

                   カ

Eichenwaldの 実 験   370 Einsteinの 公 式   399 Ampere  ７

回 転   446 外 部 起 電 力   143 Gauss  ９

Ampereの 力   ５,138 Ampereの 法則   18 Ampere-Maxwellの 法 則   21,23

  ― ― の定 理   444   ― ―の法 則   ９

                   イ 異 常 分 散  204,207 位 相   191,202 位 相 速 度   202 位 相 のず れ   239,241 一 様 で ない 静 磁 場 のな か の運 動   33                    ウ

拡 散 方 程 式   181 角 振 動 数   188 過 去 圏  363 偏 り  189 Galileiの 相 対 性 原 理   320,323   ―― 変換  315 慣 性 系  322 完 全 系  89 完 全 性  452 完 全 導 体   221

Wilsonの 実 験  324,370 Weber  ９

完 全 誘 導   115 緩 和 時 間   78

運 動 す る導 線 回路 に生 じ る起 電 力  26

                   キ

運 動 量   401 運 動 量 保存 則   55

幾 何 光 学 の方 程 式   61

            エ 映 画 の逆 転  42 永 久 磁化   154 永 久 磁 石   64,154,157 S波   226 エネ ル ギー 保 存 則   51,79 エ ーテ ル  ２,324 M.K.S.A.有

理 単 位 系   ６,７

遠 隔 作 用   １,12 円形 の偏 り  191 遠 心 力   323             オ Eulerの 方 程 式   412 Ohm  76   ―― の法 則   75   ―― の 法則 の 電子 論  78

球Hankel関 数  234 球Bessel関 数  234 Curie温 度   163   ― ― の法 則   162   ― ―Weissの 法則   164 境 界 条件   155 境 界値 問題   112 強磁 性 体  64,161,162 鏡 像 法   113 共 変 的   39,322 局 所 時   329 局 所 電 場   73 極 性 ベ ク トル   41 Kirchhoffの 近 似   229   ― ― の積 分 表 示   221,225   ― ― の法 則   149 近 接 作 用   １,11

空 間座 標 の反 転  39

磁化  153 磁化 電 流    64,136 磁化 の強 さ  64

空 間 的領 域  364 Coulomb  ７

磁化 ベ ク トル  68 磁化 率  153

 ―

時 間 的領 城   364 時 間反 転42 磁 気 しゃ へ い  159 磁 気 双極 子 モ ー メ ン ト  135

                   ク

―ゲー ジ  187,425

  ―― 相 互 作用 の分 離  425  ―― の 法則   ６,13,23,59 屈 折   210 屈 折 の 法則   112,156 屈 折 波  212 屈 折 率   199 Clausius-Mossottiの 式   75 Greenの 相 反 定理  99   ― ― の 定理  446 Kroneckerの 記 号   36,374 群 速 度   203                    ケ ゲー ジ変 換  44,48 減 衰 力  300   ―― を含 む 電子 の相 対 論 的 運 動 方 程 式  407                       コ 光 円錐   363 光 学 定 理   241 Cauchy問 題   193 光 速 度 不 変 の 原 理  347 勾 配   443 交流 理 論 の基 本 方程 式   174

磁 気 双極 子 放 射   267,269 磁 区   162 軸性 ベ ク トル  41 試 験 子  ４,９ 自己 エ ネ ル ギ ー  54,402 自己 消磁 作 用   159 自己 場  24 自己 力  24,304 自己 誘導 係 数   142 C.G.S.静 電 単位 系  ６ 磁 性 体   152 自然 線幅   311 磁 束  ９ 磁 束 密 度  ５ 自発 磁化   163 磁 場 の エ ネ ル ギ ー  140,171 磁 場 の強 さ  23,171 Joule熱  80   ― ―最 小 の定 理   147,148 自 由電磁 場   185 準 定 常電 流 の基 本 法 則   168

古 典 電 子 半 径   54 固有 時   393

準 定 常電 流 の理 論  169 常 磁 性  64,161

固有 質 量   396 Coriolisの 力   323 コ ン デ ン サー  104

初 期 値 問題   193 Dirichletの 問 題   225

  ―― の静 電 容 量   104 Compton波 長   295

真 空 の 誘電 率  ８ 真 電 荷  64           

ス

                   サ

ス カ ラー  37

座 標 系 の回 転   36 作用 ・反 作 用 の法則   139

  ―― 積  437   ― ― 場  443  ― ― ・ポ テ ンシ ァル  46

散 乱 角   238 散乱 断 面 積   237 散乱 波 の振 幅   237 残留 抵 抗   79

  ― ―量   315,375,443 Stefan-Boltzmannの 法 則   81,197 Stokesの 定理  446,447

                   シ

Snellの 法 則  214 ス ピ ノル  383

磁位   154 磁荷   157

ス ピ ン  162 ス ピ ン角 運 動 量   137

            セ

          

静 止 質 量   396

遅 延 ポ テ ンシ ァル  251,254 超伝 導  81

静 磁 場 の 基 本 方程 式   152 正 準 運 動 量   401,413 正 準 エ ネ ル ギー ・運 動 量 テ ン ソル   432 正 常 分 散207

チ

直 交 関数 系   89,451 直 線 的 な偏 り  190           

テ

静 電 しゃへ い   103 抵 抗 率   76 定 常 電 流  5,127

静 電 場 の基 本 方 程 式  83 静 電 場 の エ ネル ギー  92 静電 ポ テ ンシ ァル  65,84

定 常 電 流 間 に作 用 す る 力  138 定常 電 流 に よ る静磁 場   128

静電 誘導 係 数   102 静 電 容 量94 静 電 容 量係 数   102

定常 電 流 の基 本 法 則  127 定常 電 流 の分 布   142 Tesla  ９ Diracの デ ル タ関 数  28,453

制 動 放 射  287 正 のヘ リシテ ィー  191 Zeeman効 果   31

D-関 数   195 電位   84

世 界 線   359 世 界 点   359

電位 係 数   102 電 荷 保 存則   20

線 状 ア ン テナ  266 線 状 回路   172 先進 ポ テ ン シ ァル  251,255

電 気 四 重 極 子 放射   267,270 電 気 四 重 極 モ ー メ ン トテ ン ソル  92 電 気 双 極 子   64   ―― モー メ ン ト 66,90

線 積 分   441 先 端速 度  207 全 断 面積  239 全 反 射  216

  ― ― 放 射   260,262 電 気 抵 抗   76 電 気 伝 導 率   76 電 気 比感 受 率   109

            ソ 相 互 誘 導 係数   142 相 対 性 原 理(Einsteinの)  相 対 性 力 学   390

347

電 気 変 位  23 電 子 の磁 気 モ ー メ ン ト  136 電磁 質 量  61,346

相 対 論 的Doppler効 果   389 相 対 論 的 運 動 方 程式   396 速 度 の合 成   355

電 磁 波   185   真 空 中 の ―― の基 本 法 則   185   導 体 中の ― ―   217

速 度 の 変換 則   357

  誘 電 体 中 の ――   198 電 磁 波 の回 折   221 電 磁 波 の散 乱   232

            タ 体 積 積 分  441 対 称 テ ン ソル  377 対 流 電 流   320 楕 円的 な 偏 り  191 多 重 極 展 開  88   静 電 場 の ― ―  88   電 流 分 布 の ――   146   遅 延 ポ テ ン シ ァル の― ―  257   ベ ク トル ・ポ テ ンシ ァル の― ―  133 多 重極 放 射   257 単 磁極   13

電 磁 波 の放 射   251   ― ― の放 射 の反 作 用  300 電 磁 場 と変 分 原 理   410 電 磁 場 の運 動 量   431 電 磁 ポ テ ンシ ァル  44,46 電信 方 程 式  219 電 束 密 度    23,70,71 テ ン ソル  56   ―― と共 変性   373 テ ン ソル量376 点 電 荷 に よ る電 磁 波 の放 射   273 伝 導 電 流   64

電 場  ４ 電 流 に よ る磁 気 作用   18 電 流密 度   18              ト

比誘 電 率   72,153 表 皮 効 果   179,181,220 表 皮 の厚 さ  184,220 表 面 積 分  442                    フ

同 時 性   351 導体 系 の静 電 場   98 特 殊相 対 論   347

Farad  94 Faradayの 電 磁 誘 導 の法 則   14,23 Fizeauの 実 験   327,358 Fourier級 数  454

特 殊Lorentz変 換   351 時 計 の 遅 れ   351 Thomson極 限   299

  ―― 積 分   454

  ―― の原 子模 型   13   ―― 散乱  297

不 確 定 性 関係   249 物 質 中 のMaxwellの

  ―― 散 乱 の全 断 面積  298   ―― の 定理  95,148

負 の ヘ リシ テ ィ ー   192 部 分 波246 不 変 デ ル タ関 数   195 不変 量   38,316,375 Fraunhoferの 回 折   231

入射 平 面波  212                    ノ Neumannの

関数  182,234

  ―― の公 式   142,173   ―― の 問題  225             Huygensの

ハ

原 理   221,225

排 他 律   163 波数 ベ ク トル  188 波 束   203 発 散   444 波 動 域264 ハ ミル トニ ア ン  413 Hamilton形

式   410,420

Breitの 相 互 作 用   433 プ ラ ズ マ  204   ―― の特 性 振 動 数  205 Planckの 定数  137 Brewsterの 偏 光 角  216 Fresnel帯

 228

  ―― の 回折   231   ―― の公 式   216   ―― の随 伴 係 数   328 分 極   64   ―― 電 荷  64   ―― 電 流   64   ―― ベ ク トル  66,107 分 散   199   ―― 公 式   199,207

  ―― の正 準 方 程 式  413 反 強 磁 性  164 反 磁性 体  64,161,164

  ―― 式   249 分 子 電 場  73 分 子 電 流   68

反射   210 反射 波  212

分 子 の分 極 率   75

反 対 称 テ ン ソル  377 半値 幅  311             ヒ Biot-Savartの

方 程 式   69

法則   131

光 の分 散  206

                   ヘ 平 面 波   187 ベ ク トル  37,437   ―― 積   438   ―― の微 分 と積 分   440

比透 磁 率  72,153

  ―― 場   443   ―― ・ポ テ ン シ ァル  46,129   ―― 量  375 Bessel関 数   182

微 分 断 面積   239 P-波   244

  ――(第 二 種)   234   ―― の微 分 方 程 式   182

微 細構 造 定数   137,295 左 円 形 の偏 り  191

ベ ー タ トロ ン  16                    ヨ

Hertzの 方 程 式  320

横 波   189 ４元 加 速 度   396 ４元速 度   394

 ―― の理 論   314 Helmholtzコ イ ル   150  ―― の方 程 式   233,252 変位 電 流  21,169 変分   411 変分 原 理410 Henry  142

                   ラ Lagrange形

           Bohrの

式   410,416

  ―― の微 分   317   ―― の方 程 式   412 ラグ ラ ン ジ ア ン  410 Rutherfordの 原 子 模 型   293 Laplaceの 方 程 式   84,112,115

ホ

原 子 模 型   150,165

Poissonの 解   249   ―― 括 弧  414   ―― の方 程 式   84,85,112,144,155 Poyntingベ ク トル  53 放 射 光  292 放 射 ゲ ー ジ  187 放 射 電磁 場 のFourier分

解  428

ラプ ラ シ ア ン  446 Larmorの 公 式   290   ―― の歳 差 運 動   165 Landau反 磁 性   167             リ Lienard-Wiechertの

放 射 の 反 作 用  302 ポ テ ン シ ァル  444 Volt  ８

ポ テ ン シ ァル   277

                   ル Legendreの

                   マ

多 項 式   89,117,455

  ―― の 陪微 分 方 程 式   116

Michelson-Morleyの 実験   340 Maxwellの 応 力 テ ン ソル  56

            レ

  ―― の静 電 応 力  58

Rayleigh散

  ―― の方 程 式22,23,30,185   ―― の方 程 式 のLorentz変 マ トリ ック ス374

  ―― の 公 式   236 換   365

乱  244,299

連 続 の 方 程 式  20 Rontgen電 流  320 Rontgen-Eichenwaldの

実験   325

            ロ み か け の電 荷  110 右 円形 の偏 り  191 ミュ ー ・中間 子 の 平 均 寿 命   355

Rowlandの Lorentz群

未 来 圏   363 Minkowski空

  ―― ゲー ジ  50,72,83,185,201,386 間  359

                   ユ 誘電 体 中 のGaussの

法 則   106

誘電 体 の境 界 条 件   110   ―― の 屈折 率   73 誘 電率   108 誘 電磁 化   154

実 験   326   356

  ―― 収 縮   343,351   ―― 条 件   50   ―― の力   26,29,340,414   ―― の電 場   73   ―― の理 論   326   ―― 変 換  345,349 Lorentz-Lorenzの 式75 Londonの

方 程 式  82

■著作者:砂

川 重 信

1925年 東 京 に生 ま れ る.大 阪 大 学 理学 部 物 理 学 科 卒 業.東 北 大 学 教 授,大 阪 大 学 教 授 を経 て,大 阪 大 学 名 誉 教 授,理 学 博 士.専 攻,理 論 物 理 学.1998年,死

去.

主 な著 訳 書.『 散 乱 の 量 子 論 』(全 書,岩 波 書 店),『 電 磁 気 学 』(物 理 テ キ ス トシ リー ズ ４. 岩波 書 店),『 電 磁 気 学演 習』(物 理 テ キ ス トシ リー ズ ５.岩 波 書 店),『 量 子 力学 』(岩 波 書 店),『 物 理 の考 え 方 』(全 ５ 巻,岩 波 書 店), 『物 理 学 要 論 』(培 風 館),『 電磁 気 学 ― 初 め て 学ぶ 人の た め に― 』(培 風 館),『 フ ァ イ ンマ ン 物理 学V,量 子 力学 』(訳,岩 波 書 店),『 フ ァ イ ンマ ン さん,力 学 を語 る 』(訳,岩 波 書 店), そ の 他.

理 論 電 磁 気 学 1999年9月16日

 

2004年6月15日

 

第 ３版 第 １刷 発 行 第 ５刷 発 行

発行所 会 株社 式 紀 伊 國 屋 書 店 東

新

宿

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ホール 部(営 業)電 セール

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谷 区 東3-13-11 郵 便 番 号150-8513

SUNAKAWA,1999

ISBN4-314-00854-7C3042 Printed in Japan 定 価 は 外 装 に 表 示 して あ ります

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