Метрология, стандартизация и сертификация. Часть II: Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов механических специальностей

Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Строительный факультет Кафедра технологии конструкционных материалов и метрологии

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ Часть II Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов механических специальностей очной и заочной форм обучения

Санкт-Петербург 2009 1

УДК 621.753.1/2:389(076) Рецензент канд. техн. наук, доцент А. П. Орлов (ГОУ ВПО СПбГАСУ)

Введение Метрология, стандартизация и сертификация. Часть II: методические указания по выполнению курсовой работы для студентов механических специальностей очной и заочной форм обучения / сост. В. А. Норин; СПбГАСУ. – СПб., 2009. – 44 с. Методические указания содержат рекомендации и примеры решения задач курсовой работы по теоретической метрологии. Табл. 8. Библиогр.: 4 назв.

В данных методических указаниях приведены примеры решения задач курсовой работы по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация». К выполнению работы студент может приступить при условии полного усвоения соответствующих разделов курса. Исходные данные вариантов заданий приведены в приложении. Номер варианта задания студент получает на занятии. Курсовая работа оформляется в виде расчетно-пояснительной записки. Текст в расчетно-пояснительной записке разрешается писать на двух сторонах листа белой бумаги форматом 210u297 с полями: слева – 25 мм, справа – 10 мм, сверху – 20 мм, снизу – 25 мм. На титульном листе необходимо указать университет (институт), название работы, фамилию, номер варианта, год выполнения курсовой работы. Проверенная курсовая работа выносится на защиту.

” Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2009

2

3

Задача 1 ОБРАБОТКА ОДНОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Названные составляющие могут состоять из неисключенных систематических и случайных погрешностей. При наличии нескольких систематических погрешностей доверительная граница результата измерения рассчитывается по формуле

θ(P)

k

n

¦ θi2 , i 1

Прямые однократные измерения являются самыми массовыми. Они проводятся, если при измерении происходит разрушение объекта измерения, отсутствует возможность повторных измерений, существует экономическая целесообразность. Прямые однократные измерения возможны лишь при определенных условиях: x достаточный объем априорной информации об объекте измерения, чтобы определение измеряемой величины не вызывало сомнений; x изученный метод измерения, его погрешность либо заранее устранена, либо оценена; x исправные средства измерений, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам. За результат прямого однократного измерения принимается полученная величина. До измерения должна быть проведена априорная оценка составляющих погрешности. При определении доверительных границ погрешности результата измерений доверительная вероятность принимается, как правило, равной 0,95. Методика обработки результатов прямых однократных измерений приведена в рекомендациях МИ 1552–86 «ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов измерений». Данная методика применима при выполнении следующих условий: составляющие погрешности известны, случайные составляющие распределены по нормальному закону, а неисключенные систематические, заданные своими границами T, – равномерно. Составляющими погрешности прямых однократных измерений являются: 1) погрешности средства измерений (СИ), рассчитываемые по их метрологическим характеристикам; 2) погрешность используемого метода измерений; 3) погрешность оператора. 4

где k – коэффициент, зависящий от P, равный 0,95 при P = 0,9 и 1,1 при P = 0,95. Случайные составляющие погрешности результата измерения выражаются либо СКО Sx, либо доверительными границами. В первом случае доверительная граница случайной составляющей погрешности результата прямого однократного измерения определяется через его СКО: H( P )

zpSx,

где zp – точка нормированной функции Лапласа при вероятности P. Если СКО определены экспериментально при небольшом числе измерений (n < 30), то в данной формуле вместо коэффициента zp следует использовать коэффициент Стьюдента, соответствующий наименьшему числу измерений. Найденные значения T и H(P) используются для оценки погрешности результата прямого однократного измерения. Суммарная погрешность результата измерения определяется в зависимости от соотношения T и Sx. Пример При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения x = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает следующей априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений: класс точности средства измерений 4,0; пределы измерений 0…50; значение аддитивной поправки Tа = 0,5, СКО Sx = 0,1. Решение 1.1. Анализируем имеющуюся априорную информацию: класс точности средства измерения, аддитивная поправка, СКО. 5

1.2. При измерении получено значение: x = 10. 1.3. За пределы неисключенной систематической погрешности принимаем пределы наибольшей абсолютной погрешности прибора, которые находим '

xN J 100

50 ˜ 4,0 100

r2 ,

где xN – нормирующее значение, в данном случае равное диапазону измерения средства измерения xN = 50; J – нормируемый предел допускаемой приведенной погрешности, которая определяется из класса точности средства измерения J = 4,0 %. Таким образом, T = ±2. 1.4. Находим границы случайной составляющей погрешности измерения H( P ) t p S x 12,7 ˜ 0,1 1,27 . 1.5. Определяем суммарную погрешность результата измерения. Так как T > 8Sx, то за границы суммарной погрешности принимаем границы неисключенной систематической погрешности. 1.6. Определяем предельные значения измерения: x1 = x – ' = 10 – 2 = 8, x2 = x + ' = 10 + 2 = 12. 1.7. Вносим в результат измерения поправку: X1 = x1 + Ta = 8 + 0,5 = 8,5, X2 = x2 + Ta = 12 + 0,5 = 12,5. 1.8. Записываем результат измерения: X1 d X d X2, 8,5 d X d 12,5. Задание Определить, чему равно значение измеряемой величины при однократном измерении. Исходные данные – см. прил.

6

Задача 2 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов. 1. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений На этом этапе определяются среднее арифметическое значение x измеряемой величины, СКО результата измерений Sx . В соответствии с критериями грубые погрешности исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО. 2. Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей Для предварительной оценки вида распределения по полученным данным строят гистограмму распределений или полигон распределения. В начале производится группирование – разделение данных от наименьшего xmin до наибольшего xmax на r интервалов. Для количества измерений от 30 до 100 рекомендуемое число интервалов – от 7 до 9. Ширину интервала выбирают постоянной для всего ряда данных, при этом следует иметь в виду, что ширина интервала должна быть больше погрешности округления при записи данных. Ширину интервала вычисляют по формуле h

x max  x min . r

Вычисленное значение h обычно округляют. Например, при h = 0,0187 это значение округляют до h = 0,02. Установив границы интервалов, подсчитывают число результатов измерений, попавших в каждый интервал. При построении гистограммы или полигона распреде7

ления масштаб этих графиков рекомендуется выбирать так, чтобы соотношение высоты графика к его основанию было примерно 3 : 5. 3. Оценка закона распределения по статистическим критериям Обычно производится проверка на принадлежность распределения нормальному закону распределения. Нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса, описывается зависимостью p ( x)

ª ( x  x )2 º 1 exp « », V 2S 2V 2 ¼ ¬

где V – параметр рассеивания распределения, равный среднему квадратическому отклонению. Широкое использование нормального распределения на практике объясняется теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных. При количестве измерений n < 15 проверить гипотезу о виде распределения результатов измерения невозможно. При числе данных 15 < n < 50 также трудно судить о виде распределения. Поэтому для проверки соответствия распределения данных нормальному распределению используют составной критерий. Если гипотеза о нормальности отвергается хотя бы по одному из критериев, считают, что распределение результатов измерения отлично от нормального.

n

S*

n

d

i 1

n ˜ S*

где S* – смещенное СКО; 8

,

i 1

. n Гипотеза о нормальности подтверждается, если d1 q  d  d q , где d1 q и d q  процентные точки распределения значений d, которые находятся по табл. 1. Таблица 1 Значения процентных точек q для распределения d Уровень значимости q, % 99,0 1– q/2 95,0 90,0 10,0 q/2 5,0 1,0

11 0,67 0,72 0,74 0,89 0,91 0,94

16 0,68 0,72 0,74 0,87 0,89 0,91

Число результатов измерений 21 26 31 36 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,74 0,74 0,75 0,75 0,76 0,76 0,86 0,86 0,85 0,85 0,88 0,87 0,86 0,86 0,90 0,89 0,88 0,88

41 0,72 0,75 0,76 0,84 0,85 0,87

46 0,72 0,75 0,76 0,84 0,85 0,87

Критерий 2. Гипотеза о нормальности распределения результатов измерения подтверждается, если не более m разностей ( xi  x ) превзошли n

значения S ˜ z p/2. Здесь S

¦ ( xi  x ) 2

; zp/2 – верхняя 100 ˜ P/2 – n 1 процентная точка нормированной функции Лапласа. Значения доверительной вероятности P выбирают из табл. 2. i 1

Таблица 2

Критерий 1. Вычисляют значение d по формуле

¦ xi  x

¦ ( xi  x ) 2

Значения доверительной вероятности Р n m 1,00 q ˜100 % 2,00 2 5,00

10 11–14 15–20 1 1 1 0,98 0,99 0,99 0,98 0,98 0,99 0,96 0,97 0,98

21–22 23 24–27 28–32 2 2 2 2 0,98 0,98 0,98 0,99 0,97 0,98 0,98 0,98 0,96 0,96 0,97 0,97

9

33–35 2 0,99 0,98 0,98

36–49 2 0,99 0,99 0,98

При числе измерений n > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона. При 50 > n > 15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

тематическая погрешность. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. 6. Определение доверительных границ погрешности результата измерения

4. Определение доверительных границ случайной погрешности Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель zp при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности ' r z p ˜ S x . Здесь S x – СКО среднего арифметического значения. При n < 30 частоо используют распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погрешности ' p r t p ˜ S x / n . Здесь tp – коэффициент Стьюдента, приведенный в табл. 3, n – количество измерений.

Данная операция осуществляется путем суммирования СКО случайной составляющей S x и границ неисключенной систематической составляющей T в зависимости от соотношения T/S x . 7. Запись результата измерения Результат измерения записывается в виде x тельной вероятности Р = Рд.

x r ' P при довери-

Пример

Таблица 3 Величина tp при различных уровнях значимости n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0,2 3,08 1,84 1,64 1,53 1,48 1,44 1,41 1,40 1,38 1,37

0,1 6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,80 1,83 1,81

0,05 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23

Уровень значимости 0,02 0,01 0,005 31,82 63,66 127,32 6,96 9,99 14,09 4,54 5,84 7,45 3,75 4,60 5,60 3,36 4,03 4,77 3,14 3,71 4,32 3,00 3,50 4,03 2,90 3,36 3,83 2,82 3,25 3,64 2,76 3,17 3,50

0,002 318,30 22,33 10,21 7,17 5,89 5,21 4,74 4,50 4,30 4,14

0,001 636,61 31,60 12,92 8,61 6,87 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59

5. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения Под границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная сис10

Произвести обработку результатов измерений, данные которых представлены в табл. 4. Таблица 4 Результаты измерений № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

xi

xi  x

( xi  x ) 2

36,008 36,008 36,008 36,008 36,010 36,009 36,012 36,009 36,011 36,007 36,012

– 0,001 – 0,001 – 0,001 – 0,001 0,001 0 0,003 0 0,002 – 0,002 0,003

0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0 0,000009 0 0,000004 0,000004 0,000009

1 11 ¦ xi ni1

11

¦ ( xi  x )2

36,009

i 1

11

0,000031

1. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений

Как следует из табл. 5, по этому критерию результат 36,012 не является промахом при всех уровнях значимости.

Определяется среднее арифметическое значение результатов измерений

2. Предварительная оценка вида распределения результатов измерений или случайных погрешностей

1 11 ¦ xi 36,009. n i1 Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений

При числе измерений меньше 15 предварительная оценка вида распределения результатов наблюдений не производится.

x

3. Оценка закона распределения по статистическим критериям

1 n ¦ ( xi  x ) 2 n 1 i 1

Sx

1 ˜ 0,000031 0,00194. 11  1

Производится проверка на наличие грубых погрешностей в результатах измерения по критерию Диксона. Таблица 5 Значения критерия Диксона Zq при q, равном n 4 6 8 10 14 16 18 20 30

0,1 0,68 0,48 0,4 0,35 0,29 0,28 0,26 0,26 0,22

0,05 0,76 0.56 0,47 0,41 0,35 0,33 0,31 0,3 0,26

0,02 0,85 0,64 0,54 0,48 0,41 0,39 0,37 0,36 0,31

0,01 0,89 0,7 0,59 0,53 0,45 0,43 0.41 0,39 0,34

Составляется вариационный возрастающий ряд из результатов измерений: 36,007; 36,008; 36,009; 36,010; 36,011; 36,012. Находится расчетное значение критерия для значения 36,012 KД

x n  x n 1 x n  x1

36,012  36,011 36,012  36,007 12

0,2.

При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется. 4. Определение доверительных границ случайной погрешности При числе измерений n = 11 используется распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погрешности ' p r t p ˜ Sx / n . Коэффициент Стьюдента при доверительной вероятности Рд = 0,95 и при n = 11 равен 2,23. Тогда доверительные границы случайной погрешности 'p

r 2,23 ˜

0,00194 11

r 0,0012.

5. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения Границы неисключенной систематической погрешности T принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средства измерения. Для рычажного микрометра допускаемая погрешность ±0,7 мкм. 6. Определение доверительных границ погрешности результата измерения Согласно ГОСТ 8.207–76 погрешность результата измерения определяется по следующему правилу. Если границы неисключенной си13

стематической погрешности T < 0,8 S , то следует пренебречь системаx тической составляющей погрешности и учитывать только случайную погрешность результата. В нашем случае T = 0,7 мкм, Sx

0,0006 мкм , т. е. соотношение T < 0,8 Sx не выполняется, n поэтому систематической погрешностью пренебрегать нельзя. Если 8 S x < T, то можно пренебречь случайной погрешностью. Так как и это соотношение не выполняется (8 ˜0,0006 > 0,0007), то необходимо учитывать и систематическую, и случайную составляющие погрешности измерения. а Sx

Тогда ' P

θ 2  t P2 ˜ S x2

0,0015 .

7. Запись результата измерения Результат измерения x ной вероятности Р = 0,95.

x r 'P

36,009 r 0,002 при доверитель-

Задание Используя данные для задачи 2, произвести обработку результатов прямых многократных измерений и определить, чему равно значение измеряемой величины. Задача 3 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

В качестве результата косвенного измерения рассматривают оценку величины Y , определяемую подстановкой в эту формулу оценок аргументов этой функции. Каждый из аргументов измеряется в результате ï ðÿì û õ ì í î ãî êðàòí û õ èçì åðåí èé ñ í åêî òî ðî é ï î ãðåø í î ñòüþ 'x, вносящей определенный вклад в результат косвенного измерения. Полагая, что погрешности'x малы, можно записать dY

wf 'x i , 1 wx i

m

¦ i

wf 'x i представляет собой частную погрешность wx i результата косвенного измерения, вызванную погрешностью 'x измерения величины x i. Частные производные носят название коэффициентов влияния соответствующих погрешностей. где каждое слагаемое

Пример При многократных измерениях независимых величин U и I получено по 18 результатов наблюдений. Эти результаты после внесения поправок представлены в табл. 6. Определить электрическое сопротивление R = f (U, I), если R = U/I. Таблица 6 Результаты измерений U и I Напряжение U, мВ U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 483 484 484 485 485 482 484 484 483 485 485 Ток I, мкА I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10 I11 482 483 483 483 483 482 482 484 483 486 485

U12 U13 U14 U15 U16 U17 U18 485 484 484 483 481 481 494 I12 I13 I14 I15 I16 I17 I18 484 484 484 483 484 484 493

При косвенных измерениях физическая величина Y, значение которой надо определить, является известной функцией f ряда других величин – аргументов x1, x2, …, xn. Данные аргументы находятся прямыми многократными измерениями, а величина Y вычисляется по формуле

Обработка результатов косвенного измерения производится по следующему алгоритму. 1. Обрабатываются результаты прямых многократных измерений напряжений и тока.

Y = f(x1, x2, …, xn).

Определяются оценки результатов измерения U , I среднего квадратического отклонения результатов измерения SU и SI.

14

15

18

18

¦U i U

¦ (U i  U ) 2

484,417 мВ ;

i 1

18

SU

18

¦ Ii I

i 1

18

3,26 мВ ;

i 1

17

Для n = 18 определяется EqI = 2,72. Сравнивается EI с EqI. Так как EI > EqI, то данный результат измерения I12 является промахом и отбрасывается из результатов наблюдений. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов наблюдений. 17

18

¦ Ii

¦ (Ii  I )2

484,333 мкА ;

SI

i 1

17

2,964 мкА .

I

i 1

17

17

483,545 мкА ;

Исключаются грубые погрешности: EI

max U i  U

EU

2,94 .

SU

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, с учетом q = 1 – Р находят соответствующее ей критическое (табличное) значение EqU = 2,72. Сравнивают EU с EqU. Так как EU > EqU, то данный результат измерения U18 является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов измерений.

¦ (Ii  I )2 SI

max I i  I SI

16

2,023.

Для n = 17 определим EqI = 2,71. Сравнивается EI с EqI. Так как EI < EqI, больше промахов нет. 2. Проверяется гипотеза о нормальности распределения для обеих серий оставшихся результатов наблюдений по составному критерию. Применив критерий 1, вычисляется отношение: 17

17

¦U i U

i 1

17

483,545 мВ ;

EU

¦ (U i  U I ) 2 SU

max U i  U SU

i 1

16

1,293 мВ ;

1,195 .

Для n = 17 определяют EqU = 2,71. Сравнивают EU с EqU. Так как EU < EqU, больше грубых погрешностей нет. Обнаруживаются и исключаются грубые погрешности при измерении тока EI

max I i  I SI 16

2,924 .

¦ Ii  I

¦ Ui  U

17

17

1,214 мкА ;

i 1

dU

i 1 17

n ˜ ¦ (U i  U )

0,844; 2

dI

i 1 17

n ˜ ¦ (I i  I )

i 1

0,829 . 2

i 1

Задавшись доверительной вероятностью P1 = 0,98 и для уровня значимости q1 = 1 – Р1 по табл. 1, определяются квантили распределения d10,5q1 0,715 и d 0,5q1 0,907 . Сравниваются dU и dI с d1 0,5q1 ои d1–0,5q1. Так как d1 0,5q1 < d1, d2 < d 0,5q1 , то гипотеза о нормальном законе распределения для обеих серий согласуется с экспериментальными данными. Применяя критерий 2, задаются доверительной вероятностью Р2 = 0,98 и для уровня значимости q2 = 1 – Р2 с учетом n = 17 определяют по табл. 2 значения m1 = m2 = 1 и Р1* = P2* = 0,98. Для вероятности Р* = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного нор17

мального распределения Ф(t) [2] определяется значение t = 2,33 и рассчитывается: 'U = t ˜ SU = 2,33 ˜ 1,293 = 3,013 мВ; 'I = t ˜ SI = 2,33 ˜ 1,214 = 2,828 мкА. Так как не более m разностей | Q I – Q | превосходит ' по обеим сериям, то гипотеза о нормальном законе распределения результатов наблюдений согласуется с экспериментальными данными. 3. Определяется оценка среднего R : R

U I

EI

483,545 ˜ 10 483,545 ˜10  6

§ wR · ¨ ¸ ˜ 'U © wU ¹

R ˜ 'U U

§ wR · ¨ ¸ ˜ 'I © wI ¹

R ˜ 'I I

1000 Ом .

6,473 Ом ; 5,848 Ом .

EU2  E I2

8,723 Ом .

6. Записывается окончательный результат R

R r E6

Равноточные измерения – это ряд измерений физической величины, выполненных одинаковыми по точности средствами измерений и в одних и тех же условиях. При обработке нескольких рядов измерений вначале производится проверка их на равноточность. Для проверки гипотезы равноточности двух рядов, состоящих из n1 и n2 результатов наблюдений, вычисляются эмпирические дисперсии для каждого ряда n1

5. Находится суммарная погрешность результата косвенного измерения

E6

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕСКОЛЬКИХ СЕРИЙ ИЗМЕРЕНИЙ (РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ)

3

4. Находятся частные погрешности результата косвенного измерения EU

Задача 4

1000,0 r 8,7 Ом, nU = 17, nI = 17, P = 0,95. Задание

Используя данные для задачи 3, произвести обработку результатов косвенных измерений и определить, чему равно значение измеряемой величины. 18

S12

¦ ( xi  x ) 2

i 1

n1  1

n2

;

S 22

¦ ( xi  x ) 2

i 1

n2  1

.

Затем находится дисперсионное отношение F

S12 S 22

, котороее

составляется так, чтобы S12 ! S 22 . Измерения считаются равноточными, если F не попадает в крити÷åñêóþ î áëàñòü, ò. å. F < Fq. Значение Fq для различных уровней значимости q и степеней свободы k1 = n1 – 1 и k2 = n2 – 1 выбираются из таблицы критерия Фишера. Пример При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии наблюдений по n = 18 результатов наблюдений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в табл. 7. Вычислить результат многократных измерений. Таблица 7 Результаты наблюдений Серия j = 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 483 484 484 485 485 482 484 484 483 485 485 Серия j = 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 482 483 483 483 483 482 482 484 483 486 485

19

x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 485 484 484 483 481 481 494 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 484 484 484 483 484 484 493

Экспериментальные данные обрабатываются в каждой j-й серии отдельно. 1. Определяются оценки результата измерения xj и среднеквадратического отклонения SXJ: 18

¦ xi xI

i 1

18

18

¦ ( xi  xI )

484,417 ;

18

¦ xi x II

i 1

18

i 1

SI

17

E II

2

3,26 ;

18

484,333 ;

¦ ( xi  x II ) 2 S II

i 1

17

Для n = 17 определяется Eq = 2,383. Сравнивается EI с E q. Так как EI < E q, больше ошибочных результатов нет. Обнаруживаются и исключаются ошибки для второй серии

max xi  xI SI

2,964 . 17

¦ xi i 1

x II

17

17

483,545 ;

E II

2,94 .

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, с учетом q = 1 – Р находится соответствующее ей теоретическое (табличное) значение Eq = 2,387. Сравнивается EI с E q. Так как EI > E q, то данный результат измерения x18 является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов измерений.

¦ ( xi  xII ) 2 S II

max xi  xII S II

17

xI

i 1

17

17

483,545 ;

EI

SI

max xi  xI SI 20

i 1

16

1,195 .

dI 1,293 ;

16

1,214 ;

2,023 .

17

¦ xi  xI

¦ ( xi  xI ) 2

i 1

Для n = 17 определяется Eq = 2,383. Сравнивается EII с Eq. Так как EII < Eq, больше ошибочных результатов нет. 3. Проверяется гипотеза о нормальности распределения для обеих серий оставшихся результатов измерений по составному критерию [1]. Применив критерий 1, вычисляется отношение 17

¦ xi

2,924 .

Для n = 18 определяется Eq = 2,87. Сравнивается EII с Eq. Так как E II > E q, то данный результат измерения x18 является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов измерений.

2. Обнаруживаются и исключаются ошибки для первой серии. Для этого вычисляется наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение: EI

max xi  xII S II

i 1 17

17 ˜ ¦ ( xi  xI )

0,844 ; 2

¦ xi  xII d II

i 1 17

17 ˜ ¦ ( xi  x II )

i 1

0,829 . 2

i 1

Задавшись доверительной вероятностью P1 = 0,98 и для уровня значимости q1 = 1 – Р1, по таблицам определяются квантили распределения d10,5q1 0,715 и d 0,5q1 0,907 . Сравниваются dI и dII с d10,5q1 21

м и d 0,5q1 . Так как d1 0,5q1 < dI, dII < d 0,5q1 , то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения для обеих серий согласуется с экспериментальными данными. Применив критерий 2, задаются доверительной вероятностью Р2 = 0,98 и для уровня значимости q2 = 1 – Р2 с учетом n = 17 определяются по таблицам значения m1 = m2 = 1 и Р* = P** = 0,98. Для вероятности Р* = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) [2] определяется значение t = 2,33 и рассчитываются

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, определяется из соответствующих таблиц [1] значение аргумента интегральной ôóí êöèè ðàñï ðåäåëåí èÿ âåðî ÿòí î ñòè Ôèø åðà Fq = 2,69. Сравнивается F с Fq. Так как F < Fq, то серии с доверительной вероятностью Р считают равнорассеянными. Так как серии однородны (равнорассеяны с незначимым различием средних арифметических), то все результаты измерения объединяются в единый массив и выполняется обработка по алгоритму [1], как для одной серии. Для этого определяется оценка результата измерения и среднеквадратического отклонения по формулам:

ЕI = t ˜ SI = 2,33 ˜ 1,293 = 3,013;

n1 xI  n2 xII n1  n2

x

ЕII = t ˜ SII = 2,33 ˜ 1,214 =2,828. Так как не более m разностей | xI – x | превосходит Е по обеим сериям, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными. 4. Проверяется значимость различия средних арифметических серий по алгоритму [3]. Для этого вычисляются моменты закона распределения разности: G = x I – x II = 483,545 – 483,545 = 0;

SG

S I2 S II2  nI nII

1,2932 1,214 2  17 17

0,161.

S

483,545 ;

>

1 n1  1 S I2  n2  1 S II2  n1 xI  x 2  n2 xII  x 2 n1  n2 n1  n2  1

@

= 0,261. Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, из таблиц распределения Стьюдента определяется значение t для числа степеней свободы m

22

>n

1

 1  n 2  1 1

1

@;

m = 4/(0,1 + 0,1) = 20.

Тогда t = 2,086. Определим доверительный интервал

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, определяется из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) [1] значение t = 1,57. Ñðàâí èâàåòñÿ |G| с t ˜ SG. Так как |G| = 0 d t ˜ SG = 0,253, то различия между средними арифметическими в обеих сериях с доверительной вероятностью Р можно признать незначимым. 5. Проверяется равнорассеянность результатов измерений в сериях по алгоритму [3]. Для этого следует определить значение

6. Записывается результат измерения x ± DP = 483,5 ± 0,5, P = 0,95, n = 22.

1,2932 1,214 2

Используя данные для задачи 4, произвести обработку результатов нескольких серий прямых многократных равноточных измерений и определить, чему равно значение измеряемой величины.

F

S I2 S II2

22

1,136 .

'P = t ˜ S = 2,086 ˜ 0,261 = 0,544.

Задание

23

Задача 5 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕСКОЛЬКИХ СЕРИЙ ИЗМЕРЕНИЙ (НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ) Неравноточные измерения – это ряд измерений, выполненных различными по точности средствами измерений и (или) в несхожих условиях. Неравноточные измерения обрабатывают для получения результата измерений только в том случае, когда невозможно получить ряд равноточных измерений. Для проверки гипотезы равноточности двух рядов, состоящих из n1 и n2 результатов наблюдений, вычисляются эмпирические дисперсии для каждого ряда n1

S12

¦ ( xi  x ) 2

i 1

n1  1

и S 22

i 1

n2  1

.

Затем находится дисперсионное отношение F

Пример При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по n = 12 результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в табл. 8. Вычислим результат многократных измерений. Таблица 8 Результаты измерений Xj, i двух серий Серия j = 1 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 565 564 563 561 574 565 564 563 564 Серия j = 2 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 564,02 564,06 564,03 564,04 564,08 564,06 564,05 564,04 564,05 564,06 564.05 573,01 564,09 564,06 564,07 564,07 X2 564

X3 565

X4 562

X5 564

X6 563

X7 565

24

xI

i 1

16

16

¦ ( xi  xI ) 2

564,417 ;

SI

x II

i 1

16

3,26 ;

i 1

15

16

¦ xi

S12 , котороее S 22

составляется так, чтобы S12 ! S 22 . Измерения считаются неравноточными, если F попадает в критическую область, т. е. F > Fq. Значение Fq для различных уровней значимости q и степеней свободы k1 = n1 – 1 и k2 = n2 – 1 выбираются из таблицы критерия Фишера.

X1 563

16

¦ xi

16

¦ ( xi  xII ) 2

564,786 ;

i 1

S II

15

2,6 .

2. Обнаруживаются и исключаются ошибки для первой серии. Для этого вычисляется наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение:

n2

¦ ( xi  x ) 2

Экспериментальные данные обрабатываются в каждой j-й серии отдельно. 1. Определяются оценки результата измерения xj и среднеквадратического отклонения SJ

EI

max xi  xI SI

2,94 .

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, с учетом q = 1 – Р находится соответствующее ей теоретическое (табличное) значение Eq = 2,13. Сравнивается EI с Eq. Так как EI > Eq, то данный результат измерения x12 является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов измерений. 15

15

¦ xi xI

i 1

15

563,545 ;

EI

¦ ( xi  xI ) 2 SI

max xi  xI SI

25

i 1

14

1,195 .

1,293 ;

Для n = 15 определяется Eq = 2,15. Сравнивается EI с Eq. Так как EI < Eq, больше ошибочных результатов нет. Обнаруживаются и исключаются ошибки для второй серии: max xi  xII S II

E II

3,175 .

Для n = 16 определяется Eq = 2,13. Сравнивается EII с Eq. Так как E II > E q, то данный результат измерения x 12 является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов измерений. 15

¦ xi x II

i 1

15

15

564,035 ;

¦ ( xi  xII ) 2

S II

i 1

14

max xi  xII S II

E II

Для n = 15 определяется Eq = 2,15. Сравнивается EII с Eq. Так как EII < Eq, больше ошибочных результатов нет. 3. Проверяется гипотеза о нормальности распределения для обеих серий оставшихся результатов измерений по составному критерию [1]. Применив критерий 1, вычисляется отношение 15

dI

i 1 15

15

15 ˜ ¦ ( xi  x I )

¦ xi  x II 0,844 ;

d II

i 1 17

15 ˜ ¦ ( xi  x II )

2

i 1

0,829 . 2

i 1

Задавшись доверительной вероятностью P1 = 0,98 и для уровня значимости q1 = 1 – Р1, по таблицам определяются квантили распределения d10,5q1 0,715 и d 0,5q1 0,907 . Сравниваются dI и dII с d10,5q1 м и d1 0,5q1 . Так как d1 0,5q1 < dI, dII < d 0,5q1 , то гипотеза о нормальном 26

ЕI = t ˜ SI = 2,33 ˜ 1,293 = 3,013; ЕII = t ˜ SII = 2,33 ˜ 1,214 = 2,828. Так как не более m разностей | xI – x | превосходит Е по обеим сериям, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными. 4. Проверяется значимость различия средних арифметических значений измеряемой величины нескольких серий измерений по алгоритму [3]. Для этого вычисляются моменты закона распределения:

0,012 ;

2,023.

¦ xi  x I

законе распределения вероятности результата измерения для обеих серий согласуется с экспериментальными данными. Применив критерий 2, задаются доверительной вероятностью Р2 = 0,98, и для уровня значимости q2 = 1 – Р2 с учетом n = 17 определяются по таблицам значения m1 = m2 = 1 и Р* = P** = 0,98. Для вероятности Р* = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) [2] определяется значение t = 2,33 и рассчитываются

G = x I – x II = 564,545 – 564,035 = 0,51;

SG

S I2 S II2  nI nII

1,2932 0,012 2  15 15

0,39 .

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) [1] определяется значение t = 1,57. Ñðàâí èâàåòñÿ |G| с t ˜ SG. Так как |G| = 0,39 < t ˜ SG = 0,612, то различия между средними арифметическими в обеих сериях с доверительной вероятностью Р можно признать незначимыми. 5. Проверяется равнорассеянность результатов измерений в сериях по алгоритму [3]. Для этого следует определить значение

F

S I2 S II2

1,2932 0,012 2 27

107,82.

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, из соответствующих таблиц [1] определяется значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера Fq = 2,44. Сравним F с Fq. Так как F > Fq, то серии с доверительной вероятностью Р считают неравноточными. 6. Для удобства обработки результатов неравноточных измерений вводятся весовые коэффициенты [2]

P2 , Si2

pi

где P2 –некоторый коэффициент, выбранный таким образом, чтобы отношение

p1

P2 S12

P2

10. Результат измерения представляется в виде X

X p r S Xp

564,031 r 0,015.

Задание Используя данные для задачи 5, произвести обработку результатов нескольких серий прямых многократных неравноточных измерений и определить, чему равно значение измеряемой величины.

было близким к единице, S j – СКО j-й серии,

S 2j

0,00009 , p2

P2 S 22

1.

7. Находится весовое среднее X p n

¦ pi ˜ xi Xp

i 1

n

¦ pi

0,00009 ˜ 564,545  1 ˜ 564,035 0,00009  1

564,031.

i 1

8. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений вычисляется по формуле

S

1 n ¦ pi ( xi  X p ) 2 n 1i 1

0,0149 .

9. Находится среднее квадратическое отклонение весового среднего SX p

S n

0,015 .

¦ pi

i 1

28

29

Таблица П2

30

Вариант

Результаты наблюдений

Результаты измерений и характеристики средств измерений

Исходные данные к задаче 1

ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица П1

Исходные данные к задаче 2

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

X11

X12

X13

X14

X15

X16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

484 15,1 5,8 1,6 6,6 10,3 15,5 11,8 5,6 4,8 2,5 4,5 12,6 9,3 5,8 4,3 3,1 10,6 4,3 6,3 2,1 7,4 4,5 11,1 10,6

485 15,2 6,1 1,5 6,5 10,1 15,3 11,7 5,5 4,6 2,7 4,3 12,8 9,4 5,9 4,4 3,4 10,2 4,4 6,8 2,2 7,3 4,3 11,3 10,7

484 15,5 5,7 1,7 6,5 10,2 15,3 11,8 5,8 4,7 2,8 4,1 12,4 9,1 6,2 4,6 3,2 10,5 4,5 6,5 2,1 7,2 4,4 11,3 10,4

485 15,4 5,6 1,5 6,8 10,1 15,4 11,9 5,3 4,8 2,5 4,8 12,5 9,2 5,8 4,2 3,5 10,3 4,6 6,4 2,3 ,7,6 4,6 11,2 10,9

483 15,5 5,4 1,4 6,9 10,3 15,3 11,6 5,5 4,6 2,3 4,6 12,5 9,5 5,6 4,3 3,1 10,4 4,2 6,7 2,1 7,4 4,7 11,5 11,8

492 15,6 5,6 1,6 6,4 10,2 15,2 11,5 5,6 4,8 2,2 4,5 12,2 9,2 5,8 4,6 3,6 10,3 4,1 6,6 2,4 7,5 4,9 11,3 10,6

485 15,3 5,5 1,5 6,5 10,9 15,6 11,8 5,4 4,9 2,5 4,4 12,4 9,4 5,7 4,5 3,2 10,5 4,3 6,5 2,3 7,4 4,5 11,1 10,5

484 15,4 5,4 1,8 6,6 11,2 15,4 11,7 5,9 4,6 2,3 4,6 12,6 9,3 6,1 4,3 3,3 10,3 4,5 6,4 2,6 7,6 4,3 11,3 10,6

485 15,4 5,6 2,2 6,5 10,4 15,3 11,8 5,5 4,8 2,4 4,3 12,2 9,4 5,9 4,6 3,4 10,6 4,4 6,2 2,1 7,9 4,5 11,5 10,4

482 15,5 5,5 1,5 6,7 10,3 15,2 11,6 5,6 4,7 2,5 4,5 12,4 9,5 5,8 4,9 3,3 10,1 4,3 6,1 2,3 7,4 4,5 11,2 10,6

481 15,3 5,3 1,6 6,5 10,4 15,8 11,9 5,7 4,8 2,6 4,3 11,5 10,6 6,9 4,3 3,2 10,5 4,6 6,4 2,4 7,2 4,6 11,6 10,4

484 15,5 5,1 1,7 7,3 10,3 15,4 11,7 5,4 4,6 2,9 4,4 12,3 9,4 5,8 4,6 3,4 10,4 4,8 6,7 2,6 7,1 4,3 12,3 10,5

494 15,4 5,6 1,4 6,4 10,2 16,2 11,5 5,5 4,8 3,2 4,5 12,5 9,2 5,7 4,5 3,3 10,3 4,2 6,5 2,3 7,4 5,6 11,2 10,7

485 15,6 5,4 1,5 6,5 10,1 15,5 10,6 5,7 3,9 2,6 4,7 12,7 9,5 5,8 4,7 3,5 10,5 4,7 6,4 2,7 7,5 4,6 11,3 10,4

484 16,2 5,5 1,4 6,5 10,3 15,3 11,6 6,3 4,7 2,1 5,2 12,4 9,3 5,7 3,8 3,3 11,4 4,6 6,7 3,5 7,6 4,4 11,4 10,6

483 15,4 5,4 1,5 6,6 10,2 15,4 11,9 5,4 4,5 2,5 4,2 12,3 9,2 5,9 4,5 3,4 10,4 5,3 7,4 2,4 8,7 4,5 11,3 10,5

31

Таблица П3

Продолжение табл. П4

Классы точности прибора Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Класс точности 1 0,2 0,1 0,5 0,1 0,2 0,1 0,4 0,2 0,5 0,2 0,5 0,2 0,5 0,2 0,5 0,2 0,1 0,2 0,1 0,5 0,2 0,1 0,2 0,5

Вариант 4

Пределы измерений 0…600 0…20 0…15 0…10 0…10 0…25 0…30 0…20 0…10 0…10 0…10 0…10 0…20 0…20 0…10 0…10 0…10 0…15 0…10 0…10 0…10 0…10 0…10 0…20 0…20

U1 673

U2 674

U3 675

U4 672

U5 674

I1 562

I2 563

I3 563

I4 562

I5 563

U1 323

U2 324

U3 325

U4 322

U5 324

I1 122

I2 123

I3 123

I4 122

I5 123

U1 433

U2 434

U3 435

U4 432

U5 434

I1 222

I2 223

I3 223

I4 222

I5 223

U1 673

U2 674

U3 675

U4 672

U5 674

I1 182

I2 183

I3 183

I4 182

I5 183

U4 482

U5 484

I1 482

I2 483

I3 483

I4 482

I5 483

U1 443

U2 444

U3 445

U4 442

U5 444

I1 332

I2 333

I3 333

I4 332

I5 333

U1 223

U2 224

U3 225

U4 222

U5 224

I1 112

I2 113

I3 113

I4 112

I5 113

Напряжение U, мВ U6 U7 323 325 Ток I, мкА I6 I7 126 125 Напряжение U, мВ U6 U7 433 435 Ток I, мкА I6 I7 226 225 Напряжение U, мВ U6 U7 673 675 Ток I, мкА I6 I7 186 185 Напряжение U, мВ U6 U7 443 445 Ток I, мкА I6 I7 336 335

U8 485

U9 484

U10 483

U11 481

U12 494

I8, 484

I9 484

I10 483

I11 484

I12 493

U1 543

U2 544

U3 545

U4 542

U5 544

I1 582

I2 583

I3 583

I4 582

I5 583

U8 225

U9 224

U10 223

U11 221

U12 224

I8, 114

I9 114

I10 113

I11 114

I12 113

U8 235

U9 234

U10 233

U11 231

U12 244

I8, 454

I9 454

I10 453

I11 454

I12 463

Напряжение U, мВ U6 U7 543 545 Ток I, мкА I6 I7 586 585

U1 233

U2 234

U3 235

U4 232

U5 234

I1 452

I2 453

I3 453

I4 452

I5 453

32

I8, 564

I9 564

I10 563

I11 564

I12 573

U8 325

U9 324

U10 323

U11 321

U12 334

I8, 124

I9 124

I10 123

I11 124

I12 133

U8 435

U9 434

U10 433

U11 431

U12 444

I8, 224

I9 224

I10 223

I11 224

I12 233

U8 675

U9 674

U10 673

U11 671

U12 684

I8, 184

I9 184

I10 183

I11 184

I12 193

U8 445

U9 444

U10 443

U11 441

U12 454

I8, 334

I9 334

I10 333

I11 334

I12 343

U8 545

U9 544

U10 543

U11 541

U12 554

I8, 584

I9 584

I10 583

I11 584

I12 593

U8 685

U9 684

U10 683

U11 681

U12 694

I8, 114

I9 114

I10 113

I11 114

I12 123

Вариант 10 U1 683

U2 684

U3 685

U4 682

U5 684

I1 112

I2 113

I3 113

I4 112

I5 113

Напряжение U, мВ U6 U7 683 685 Ток I, мкА I6 I7 116 115

Вариант 3 Напряжение U, мВ U6 U7 233 235 Ток I, мкА I6 I7 456 455

U12 684

Вариант 9

Вариант 2 Напряжение U, мВ U6 U7 223 225 Ток I, мкА I6 I7 116 115

U11 671

Вариант 8

Вариант 1 U3 485

U10 673

Вариант 7

Таблица П4

U2 484

U9 674

Вариант 6

Результаты измерений U и I

U1 483

U8 675

Вариант 5

Исходные данные к задаче 3

Напряжение U, мВ U6 U7 483 485 Ток I, мкА I6 I7 486 485

Напряжение U, мВ U6 U7 673 675 Ток I, мкА I6 I7 566 565

33

Продолжение табл. П4

U1 183

U2 184

U3 185

U4 182

U5 184

I1 82

I2 83

I3 83

I4 82

I5 83

U1 482

U2 483

U3 484

U4 481

U5 483

I1 182

I2 183

I3 183

I4 182

I5 183

U1 463

U2 464

U3 465

U4 462

U5 464

I1 282

I2 283

I3 283

I4 282

I5 283

U1 683

U2 684

U3 685

U4 682

U5 684

I1 452

I2 453

I3 453

I4 452

I5 453

U1 413

U2 414

U3 415

U4 412

U5 414

I1 442

I2 443

I3 443

I4 442

I5 443

U1 883

U2 884

U3 885

U4 882

U5 884

I1 482

I2 483

I3 483

I4 482

I5 483

U1 783

U2 784

U3 785

U4 782

U5 784

I1 182

I2 183

I3 183

I4 182

I5 183

Продолжение табл. П4

Вариант 11

Вариант 18

Напряжение U, мВ U6 U7 183 185 Ток I, мкА I6 I7 86 85

Напряжение U, мВ U6 U7 583 585 Ток I, мкА I6 I7 686 685

U8 185

U9 184

U10 183

U11 181

U12 194

U1 583

U2 584

U3 585

U4 582

U5 584

I8, 84

I9 84

I10 83

I11 84

I12 93

I1 682

I2 683

I3 683

I4 682

I5 683

Вариант 12

Вариант 19

Напряжение U, мВ U6 U7 482 484 Ток I, мкА I6 I7 186 185

Напряжение U, мВ U6 U7 283 285 Ток I, мкА I6 I7 488 487

U8 484

U9 483

U10 482

U11 480

U12 493

U1 283

U2 284

U3 285

U4 282

U5 284

I8, 184

I9 184

I10 183

I11 184

I12 193

I1 484

I2 485

I3 485

I4 484

I5 485

Вариант 13

Вариант 20

Напряжение U, мВ U6 U7 463 465 Ток I, мкА I6 I7 286 285

Напряжение U, мВ U6 U7 813 815 Ток I, мкА I6 I7 386 385

U8 465

U9 464

U10 463

U11 461

U12 474

U1 813

U2 814

U3 815

U4 812

U5 814

I8, 284

I9 284

I10 283

I11 284

I12 293

I1 382

I2 383

I3 383

I4 382

I5 383

Вариант 14

Вариант 21

Напряжение U, мВ U6 U7 683 685 Ток I, мкА I6 I7 456 455

Напряжение U, мВ U6 U7 223 225 Ток I, мкА I6 I7 116 115

U8 685

U9 684

U10 683

U11 681

U12 694

U1 223

U2 224

U3 225

U4 222

U5 224

I8, 454

I9 454

I10 453

I11 454

I12 463

I1 112

I2 113

I3 113

I4 112

I5 113

Вариант 15

Вариант 22

Напряжение U, мВ U6 U7 413 415 Ток I, мкА I6 I7 446 445

Напряжение U, мВ U6 U7 453 455 Ток I, мкА I6 I7 686 685

U8 415

U9 414

U10 413

U11 411

U12 424

U1 453

U2 454

U3 455

U4 452

U5 454

I8, 444

I9 444

I10 443

I11 444

I12 453

I1 682

I2 683

I3 683

I4 682

I5 683

Вариант 16

Вариант 23

Напряжение U, мВ U6 U7 883 885 Ток I, мкА I6 I7 486 485

Напряжение U, мВ U6 U7 673 675 Ток I, мкА I6 I7 486 485

U8 885

U9 884

U10 883

U11 881

U12 894

U1 673

U2 674

U3 675

U4 672

U5 674

I8, 484

I9 484

I10 483

I11 484

I12 493

I1 482

I2 483

I3 483

I4 482

I5 483

Вариант 17

Вариант 24

Напряжение U, мВ U6 U7 783 785 Ток I, мкА I6 I7 186 185

Напряжение U, мВ U6 U7 213 215 Ток I, мкА I6 I7 475 474

34

U8 785

U9 784

U10 783

U11 781

U12 794

U1 213

U2 214

U3 215

U4 212

U5 214

I8, 184

I9 184

I10 183

I11 184

I12 193

I1 471

I2 472

I3 472

I4 471

I5 472

35

U8 585

U9 584

U10 583

U11 581

U12 594

I8, 684

I9 684

I10 683

I11 684

I12 693

U8 285

U9 284

U10 283

U11 281

U12 294

I8, 486

I9 486

I10 485

I11 486

I12 495

U8 815

U9 814

U10 813

U11 811

U12 824

I8, 384

I9 384

I10 383

I11 384

I12 393

U8 225

U9 224

U10 223

U11 221

U12 234

I8, 114

I9 114

I10 113

I11 114

I12 123

U8 455

U9 454

U10 453

U11 451

U12 464

I8, 684

I9 684

I10 683

I11 684

I12 693

U8 675

U9 674

U10 673

U11 671

U12 684

I8, 484

I9 484

I10 483

I11 484

I12 493

U8 215

U9 214

U10 213

U11 211

U12 224

I8, 473

I9 473

I10 472

I11 473

I12 482

Окончание табл. П4

Продолжение табл. П5 Вариант 6

Вариант 25 U1 83

U2 84

U3 85

U4 82

U5 84

I1 82

I2 83

I3 83

I4 82

I5 83

Напряжение U, мВ U6 U7 83 85 Ток I, мкА I6 I7 86 85

U8 85

U9 84

U10 83

U11 81

U12 88

I8, 84

I9 84

I10 83

I11 84

I12 91

X1 563

X2 564

X3 565

X4 562

X5 564

X1 562

X2 563

X3 563

X4 562

X5 563

U1 653

U2 654

U3 655

U4 652

U5 654

I1 482

I2 483

I3 483

I4 482

I5 483

U8 655

U9 654

U10 653

U11 651

U12 664

I8, 484

I9 484

I10 483

I11 484

I12 493

Исходные данные к задаче 4 Таблица П5

X1 783

X2 784

X3 785

X4 782

X5 784

X1 782

X2 783

X3 783

X4 782

X5 783

X1 583

X2 584

X3 585

X4 582

X5 584

X1 582

X2 583

X3 583

X4 582

X5 583

Серия j = 1 X6 X7 583 585 Серия j = 2 X6 X7 586 585

X8 585

X9 584

X10 583

X11 581

X12 594

X8, 584

X9 584

X10 583

X11 584

X12 593

X8 185

X9 184

X10 183

X11 181

X12 194

X8, 184

X9 184

X10 183

X11 184

X12 193

X8 415

X9 414

X10 413

X11 411

X12 424

X8, 414

X9 414

X10 413

X11 414

X12 423

X8 115

X9 114

X10 113

X11 111

X12 124

X8, 114

X9 114

X10 113

X11 114

X12 123

X8 235

X9 234

X10 233

X11 231

X12 244

X8, 234

X9 234

X10 233

X11 234

X12 243

Вариант 2 X1 183

X2 184

X3 185

X4 182

X5 184

X1 182

X2 183

X3 183

X4 182

X5 183

Серия j = 1 X6 X7 183 185 Серия j = 2 X6 X7 186 185

Вариант 3 X1 413

X2 414

X3 415

X4 412

X5 414

X1 412

X2 413

X3 413

X4 412

X5 413

Серия j = 1 X6 X7 413 415 Серия j = 2 X6 X7 416 415

Вариант 4 X1 113

X2 114

X3 115

X4 112

X5 114

X1 112

X2 113

X3 113

X4 112

X5 113

Серия j = 1 X6 X7 113 115 Серия j = 2 X6 X7 116 115

Вариант 5 X1 233

X2 234

X3 235

X4 232

X5 234

X1 232

X2 233

X3 233

X4 232

X5 233

Серия j = 1 X6 X7 233 235 Серия j = 2 X6 X7 236 235

36

X9 564

X10 563

X11 561

X12 574

X8, 564

X9 564

X10 563

X11 564

X12 573

Серия j = 1 X6 X7 783 785 Серия j = 2 X6 X7 786 785

X8 785

X9 784

X10 783

X11 781

X12 794

X8, 784

X9 784

X10 783

X11 784

X12 793

X8 145

X9 144

X10 143

X11 141

X12 154

X8, 144

X9 144

X10 143

X11 144

X12 153

X8 225

X9 224

X10 223

X11 221

X12 234

X8, 224

X9 224

X10 223

X11 224

X12 233

X8 515

X9 514

X10 513

X11 511

X12 524

X8, 514

X9 514

X10 513

X11 514

X12 523

X8 85

X9 84

X10 83

X11 81

X12 94

X8, 84

X9 84

X10 83

X11 84

X12 93

X8 484

X9 483

X10 482

X11 480

X12 493

X8, 483

X9 483

X10 482

X11 483

X12 492

X8 345

X9 344

X10 343

X11 341

X12 354

X8, 344

X9 344

X10 343

X11 344

X12 353

Вариант 8 X1 143

X2 144

X3 145

X4 142

X5 144

X1 142

X2 143

X3 143

X4 142

X5 143

Серия j = 1 X6 X7 143 145 Серия j = 2 X6 X7 146 145

Вариант 9

Результаты наблюдений Вариант 1

X8 565

Вариант 7

Вариант 26 Напряжение U, мВ U6 U7 653 655 Ток I, мкА I6 I7 486 485

Серия j = 1 X6 X7 563 565 Серия j = 2 X6 X7 566 565

X1 223

X2 224

X3 225

X4 222

X5 224

X1 222

X2 223

X3 223

X4 222

X5 223

Серия j = 1 X6 X7 223 225 Серия j = 2 X6 X7 226 225

Вариант 10 X1 513

X2 514

X3 515

X4 512

X5 514

X1 512

X2 513

X3 513

X4 512

X5 513

Серия j = 1 X6 X7 513 515 Серия j = 2 X6 X7 516 515

Вариант 11 X1 83

X2 84

X3 85

X4 82

X5 84

X1 82

X2 83

X3 83

X4 82

X5 83

Серия j = 1 X6 X7 83 85 Серия j = 2 X6 X7 86 85

Вариант 12 X1 482

X2 483

X3 484

X4 481

X5 483

X1 481

X2 482

X3 482

X4 481

X5 482

Серия j = 1 X6 X7 482 484 Серия j = 2 X6 X7 485 484

Вариант 13 X1 343

X2 344

X3 345

X4 342

X5 344

X1 342

X2 343

X3 343

X4 342

X5 343

Серия j = 1 X6 X7 343 345 Серия j = 2 X6 X7 346 345

37

Продолжение табл. П5

Окончание табл. П5

Вариант 14 X1 673

X2 674

X3 675

X4 672

X5 674

X1 672

X2 673

X3 673

X4 672

X5 673

Серия j = 1 X6 X7 673 675 Серия j = 2 X6 X7 676 675

Вариант 22 X8 675

X9 674

X10 673

X11 671

X12 684

X1 683

X2 684

X3 685

X4 682

X5 684

X8, 674

X9 674

X10 673

X11 674

X12 683

X1 682

X2 683

X3 683

X4 682

X5 683

X8 895

X9 894

X10 893

X11 891

X12 904

X1 773

X2 774

X3 775

X4 772

X5 774

X8, 894

X9 894

X10 893

X11 894

X12 903

X1 772

X2 773

X3 773

X4 772

X5 773

Вариант 15 X1 893

X2 894

X3 895

X4 892

X5 894

X1 892

X2 893

X3 893

X4 892

X5 893

Серия j = 1 X6 X7 893 895 Серия j = 2 X6 X7 896 895

X1 403

X2 404

X3 405

X4 402

X5 404

X1 402

X2 403

X3 403

X4 402

X5 403

X1 553

X2 554

X3 555

X4 552

X5 554

X1 552

X2 553

X3 553

X4 552

X5 553

X8 405

X9 404

X10 403

X11 401

X12 414

X1 503

X2 504

X3 505

X4 502

X5 504

X8, 404

X9 404

X10 403

X11 404

X12 413

X1 502

X2 5083

X3 503

X4 502

X5 503

X2 244

X3 245

X4 242

X5 244

X1 242

X2 243

X3 243

X4 242

X5 243

Серия j = 1 X6 X7 243 245 Серия j = 2 X6 X7 246 245

X2 483

X3 483

X4 484

X5 485

X1 482

X2 483

X3 484

X4 483

X5 484

Серия j = 1 X6 X7 483 485 Серия j = 2 X6 X7 486 485

X11 681

X12 694

X8, 684

X9 684

X10 683

X11 684

X12 693

Серия j = 1 X6 X7 773 775 Серия j = 2 X6 X7 776 775

X8 775

X9 774

X10 773

X11 771

X12 784

X8, 774

X9 774

X10 773

X11 774

X12 783

Серия j = 1 X6 X7 503 505 Серия j = 2 X6 X7 506 505

X8 505

X9 504

X10 503

X11 501

X12 514

X8, 504

X9 504

X10 503

X11 504

X12 513

Серия j = 1 X6 X7 323 325 Серия j = 2 X6 X7 326 325

X8 325

X9 324

X10 323

X11 321

X12 334

X8, 324

X9 324

X10 323

X11 324

X12 333

X8 975

X9 974

X10 973

X11 971

X12 984

X8, 974

X9 974

X10 973

X11 974

X12 983

X8 555

X9 554

X10 553

X11 551

X12 564

X1 323

X2 324

X3 325

X4 322

X5 324

X8, 554

X9 554

X10 553

X11 554

X12 563

X1 322

X2 323

X3 323

X4 322

X5 323

X8 245

X9 244

X10 243

X11 241

X12 254

X1 973

X2 974

X3 9775

X4 972

X5 974

X8, 244

X9 244

X10 243

X11 244

X12 253

X1 972

X2 973

X3 973

X4 972

X5 973

X8 484

X9 482

X10 485

X11 484

X12 494

Исходные данные к задаче 5

X8, 482

X9 483

X10 482

X11 484

X12 493

Результаты наблюдений

X8 315

X9 314

X10 313

X11 311

X12 324

X8, 314

X9 314

X10 313

X11 314

X12 323

X8 595

X9 594

X10 593

X11 591

X12 604

X8, 594

X9 594

X10 593

X11 594

X12 603

Вариант 26

Вариант 19 X1 481

X10 683

Вариант 25

Вариант 18 X1 243

X9 684

Вариант 24

Вариант 17 Серия j = 1 X6 X7 553 555 Серия j = 2 X6 X7 556 555

X8 685

Вариант 23

Вариант 16 Серия j = 1 X6 X7 403 405 Серия j = 2 X6 X7 406 405

Серия j = 1 X6 X7 683 685 Серия j = 2 X6 X7 686 685

Серия j = 1 X6 X7 973 975 Серия j = 2 X6 X7 976 975

Таблица П6

Вариант 20 X1 313

X2 314

X3 315

X4 312

X5 314

X1 312

X2 313

X3 313

X4 312

X5 313

Серия j = 1 X6 X7 313 315 Серия j = 2 X6 X7 316 315

Вариант 21 X1 593

X2 594

X3 595

X4 592

X5 594

X1 592

X2 593

X3 593

X4 592

X5 593

Серия j = 1 X6 X7 593 595 Серия j = 2 X6 X7 596 595

38

Вариант 1 X1 583

X2 584

X3 585

X4 582

X5 584

X1 584,02

X2 584,04

X3 584,03

X4 584,05

X5 584,03

Серия j = 1 X6 X7 583 585 Серия j = 2 X6 X7 584,06 584,03

X8 585

X9 584

X10 583

X11 581

X12 594

X8, 584,05

X9 584,05

X10 584,04

X11 584,03

X12 593,02

X8 185

X9 184

X10 183

X11 181

X12 194

X8, 184,04

X9 184,05

X10 184,06

X11 184.05

X12 193,01

Вариант 2 X1 183

X2 184

X3 185

X4 182

X5 184

X1 184,02

X2 184,06

X3 184,03

X4 184,04

X5 184,08

Серия j = 1 X6 X7 183 185 Серия j = 2 X6 X7 184,06 18,05

39

Продолжение табл. П6

Продолжение табл. П6 Вариант 11

Вариант 3 X1 413

X2 414

X3 415

X4 412

X5 414

X1 414,02

X2 414,06

X3 414,02

X4 414,03

X5 414,06

Серия j = 1 X6 X7 413 415 Серия j = 2 X6 X7 414,08 414,05

X8 415

X9 414

X10 413

X11 411

X12 424

X8, 414,01

X9 414,04

X10 414,05

X11 414,04

X12 423,02

X1 83

X2 84

X3 85

X4 82

X5 84

X1 84,02

X2 84,03

X3 84,03

X4 84,02

X5 84,03

X1 113

X2 114

X3 115

X4 112

X5 114

X1 114.02

X2 114,03

X3 114,03

X4 114,02

X5 114,03

X8 115

X9 114

X10 113

X11 111

X12 124

X8, 114,04

X9 114,04

X10 114,03

X11 114,04

X12 123,02

X1 482

X2 483

X3 484

X4 481

X5 483

X1 483,01

X2 483,02

X3 483,02

X4 483,01

X5 483,02

X1 233

X2 234

X3 235

X4 232

X5 234

X1 234,02

X2 234,03

X3 234,03

X4 234,02

X5 234,03

X8 235

X9 234

X10 233

X11 231

X12 244

X8, 234,04

X9 234,04

X10 234,03

X11 234,04

X12 243,03

X1 343

X2 344

X3 345

X4 342

X5 344

X1 344,02

X2 344,03

X3 344,03

X4 344,02

X5 344.03

X1 563

X2 564

X3 565

X4 562

X5 564

X1 564,02

X2 564,03

X3 564,03

X4 564,02

X5 564,03

X8 565

X9 564

X10 563

X11 561

X12 574

X8, 564,04

X9 564,04

X10 56,03

X11 564,04

X12 573,04

X1 673

X2 674

X3 675

X4 672

X5 674

X1 674,02

X2 674,03

X3 674,03

X4 674,02

X5 674,03

X1 783

X2 784

X3 785

X4 782

X5 784

X1 784,02

X2 784,03

X3 784,03

X4 784,02

X5 784,03

X8 785

X9 784

X10 783

X11 781

X12 794

X8, 784,04

X9 784,04

X10 784,03

X11 784,04

X12 793,02

X1 893

X2 894

X3 895

X4 892

X5 894

X1 894,02

X2 894,03

X3 894,03

X4 894,02

X5 894,03

X1 143

X2 144

X3 145

X4 142

X5 144

X1 144,02

X2 144,03

X3 144,03

X4 144,02

X5 144,03

X8 145

X9 144

X10 143

X11 141

X12 154

X8, 144,04

X9 144,04

X10 144,03

X11 144,04

X12 153,1

X1 403

X2 404

X3 405

X4 402

X5 404

X1 404,02

X2 404,03

X3 404,03

X4 404,02

X5 404,03

X1 223

X2 224

X3 225

X4 222

X5 224

X1 224,02

X2 224,03

X3 224,03

X4 224,04

X5 224,04

X8 225

X9 224

X10 223

X11 221

X12 234

X8, 224,04

X9 224,04

X10 224,03

X11 224,04

X12 233,03

X1 553

X2 554

X3 555

X4 552

X5 554

X1 554,02

X2 554,03

X3 554,03

X4 554,02

X5 554,03

X1 513

X2 514

X3 515

X4 512

X5 514

X1 514,02

X2 514,03

X3 514,03

X4 514,02

X5 514,03

40

X8 515

X9 514

X10 513

X11 511

X12 524

X8, 514,04

X9 514,04

X10 514,03

X11 514,04

X12 523,01

X9 84,04

X10 84,03

X11 84,04

X12 93,02

Серия j = 1 X6 X7 482 484 Серия j = 2 X6 X7 483,05 483,04

X8 484

X9 483

X10 482

X11 480

X12 493

X8, 483,03

X9 483,03

X10 483,02

X11 483,03

X12 492,02

Серия j = 1 X6 X7 343 345 Серия j = 2 X6 X7 344,06 344,05

X8 345

X9 344

X10 343

X11 341

X12 354

X8, 344,04

X9 344,04

X10 344,03

X11 344,04

X12 353,03

Серия j = 1 X6 X7 673 675 Серия j = 2 X6 X7 674,06 674,05

X8 675

X9 674

X10 673

X11 671

X12 684

X8, 674,04

X9 674,04

X10 674,03

X11 674,04

X12 683,02

Серия j = 1 X6 X7 893 895 Серия j = 2 X6 X7 894,06 894,05

X8 895

X9 894

X10 893

X11 891

X12 904

X8, 894,04

X9 894,04

X10 894,03

X11 894,04

X12 903,05

Серия j = 1 X6 X7 403 405 Серия j = 2 X6 X7 404,06 404,05

X8 405

X9 404

X10 403

X11 401

X12 414

X8, 404,04

X9 404,04

X10 404,03

X11 404,04

X12 413,06

Серия j = 1 X6 X7 553 555 Серия j = 2 X6 X7 554,06 554,05

X8 555

X9 554

X10 553

X11 551

X12 564

X8, 554,04

X9 554,04

X10 554,03

X11 554,04

X12 563,06

X8 245

X9 244

X10 243

X11 241

X12 254

X8, 244,04

X9 244,04

X10 244,03

X11 244,04

X12 253,02

Вариант 18

Вариант 10 Серия j = 1 X6 X7 513 515 Серия j = 2 X6 X7 514,06 514,05

X8, 84,04

Вариант 17

Вариант 9 Серия j = 1 X6 X7 223 225 Серия j = 2 X6 X7 224,06 224,05

X12 94

Вариант 16

Вариант 8 Серия j = 1 X6 X7 143 145 Серия j = 2 X6 X7 144,06 144,05

X11 81

Вариант 15

Вариант 7 Серия j = 1 X6 X7 783 785 Серия j = 2 X6 X7 784,06 784,05

X10 83

Вариант 14

Вариант 6 Серия j = 1 X6 X7 563 565 Серия j = 2 X6 X7 564,06 564,05

X9 84

Вариант 13

Вариант 5 Серия j = 1 X6 X7 233 235 Серия j = 2 X6 X7 234,06 234,05

X8 85

Вариант 12

Вариант 4 Серия j = 1 X6 X7 113 115 Серия j = 2 X6 X7 114,06 114,05

Серия j = 1 X6 X7 83 85 Серия j = 2 X6 X7 84,06 84,05

X1 243

X2 244

X3 245

X4 242

X5 244

X1 244,02

X2 244,03

X3 244,03

X4 244,02

X5 244,03

Серия j = 1 X6 X7 243 245 Серия j = 2 X6 X7 244,06 244,05

41

Окончание табл. П6 Вариант 19 X1 481

X2 483

X3 483

X4 484

X5 485

X1 484,02

X2 484,03

X3 484,04

X4 484,03

X5 484,04

Серия j = 1 X6 X7 483 485 Серия j = 2 X6 X7 484,06 484,05

X8 484

X9 482

X10 485

X11 484

X12 494

X8, 484,02

X9 484,03

X10 484,02

X11 484,04

X12 493,7

X8 315

X9 314

X10 313

X11 311

X12 324

X8, 314,04

X9 314,04

X10 314,03

X11 314,04

X12 323,03

X8 595

X9 594

X10 593

X11 591

X12 604

X8, 594,04

X9 594,04

X10 594,03

X11 594,04

X12 603,02

X8 685

X9 684

X10 683

X11 681

X12 694

X8, 684,04

X9 684,04

X10 684,03

X11 684,04

X12 693,01

X8 775

X9 774

X10 773

X11 771

X12 784

X8, 774,04

X9 774,04

X10 774,03

X11 774,04

X12 783,05

X8 505

X9 504

X10 503

X11 501

X12 514

X8, 504,04

X9 504,04

X10 504,03

X11 504,04

X12 513,12

X8 325

X9 324

X10 323

X11 321

X12 334

X8, 324,04

X9 324,04

X10 324,03

X11 324,04

X12 333,09

X8 975

X9 974

X10 973

X11 971

X12 984

X8, 974,04

X9 974,04

X10 974,03

X11 974,04

X12 983,11

Вариант 20 X1 313

X2 314

X3 315

X4 312

X5 314

X1 314,02

X2 314,03

X3 314,03

X4 314,02

X5 314,03

Серия j = 1 X6 X7 313 315 Серия j = 2 X6 X7 314,06 314,05

Рекомендуемая литература 1. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. – 544 с. 2. Радкевич, Я. М. Метрология, стандартизация и сертификация / Я. М. Радкевич, Ф. Г. Схиртладзе. – М.: Высш. шк., 2004. – 767 с. 3. Шишкин, И. Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством / И. Ф. Шишкин. – М.: Изд-во стандартов, 1990. 4. Сергеев, А. Г. Метрология: учеб. пособие для вузов / А. Г. Сергеев, В. В. Крохин. – М.: Логос, 2000. – 408 с.

Вариант 21 X1 593

X2 594

X3 595

X4 592

X5 594

X1 594,02

X2 594,03

X3 594,03

X4 594,02

X5 594,03

Серия j = 1 X6 X7 593 595 Серия j = 2 X6 X7 594,06 594,05

Вариант 22 X1 683

X2 684

X3 685

X4 682

X5 684

X1 684,02

X2 684,03

X3 684,03

X4 684,02

X5 684,03

Серия j = 1 X6 X7 683 685 Серия j = 2 X6 X7 684,06 684,05

Вариант 23 X1 773

X2 774

X3 775

X4 772

X5 774

X1 774,02

X2 774,03

X3 774,03

X4 774,02

X5 774,03

Серия j = 1 X6 X7 773 775 Серия j = 2 X6 X7 774,06 774,05

Вариант 24 X1 503

X2 504

X3 505

X4 502

X5 504

X1 504,02

X2 504,03

X3 504,03

X4 504,02

X5 504,03

Серия j = 1 X6 X7 503 505 Серия j = 2 X6 X7 504,06 504,05

Вариант 25 X1 323

X2 324

X3 325

X4 322

X5 324

X1 324,02

X2 324,03

X3 324,03

X4 324,02

X5 324,03

Серия j = 1 X6 X7 323 325 Серия j = 2 X6 X7 324,06 324,05

Вариант 26 X1 973

X2 974

X3 9775

X4 972

X5 974

X1 974,02

X2 974,03

X3 974,03

X4 974,02

X5 974,03

Серия j = 1 X6 X7 973 975 Серия j = 2 X6 X7 974,06 974,05

42

43

Оглавление Введение ................................................................................................................... 3 Задача 1. Обработка однократных измерений ....................................................... 4 Задача 2. Обработка результатов прямых многократных измерений ................. 7 Задача 3. Обработка результатов косвенного измерения .....................................14 Задача 4. Обработка результатов нескольких серий измерений (равноточные измерения) .......................................................................................19 Задача 5. Обработка результатов нескольких серий измерений (неравноточные измерения)....................................................................................24 Приложения .............................................................................................................30 Рекомендуемая литература .....................................................................................43

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ Часть II Методические указания для студентов строительных и механических специальностей очной и заочной форм обучения Составитель Норин Вениамин Александрович Редактор В. А. Преснова Корректор А. Г. Лавров Компьютерная верстка И. А. Яблоковой Подписано к печати 29.12.09. Формат 60u84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 2,6. Уч.-изд. л. 2,8. Тираж 500 экз. Заказ 177. «С» 95. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 5.

44