Математика: Руководство к изучению курса матема-тики для студентов-заочников I-II курсов (элементы теории, контрольные работы)

УДК 372.851:378.146

Р.А. АЛЕКСАНДРОВА.

МАТЕМАТИКА Руководство к изучению курса математики для студентов-заочников III курсов (элементы теории, контрольные работы). Специальность № 031200 «Педагогика и методика начального образования».

В пособии рассматриваются теоретические вопросы, без знания которых невозможно выполнение контрольных работ: приводятся определения основных математических понятий, формулируются свойства понятий; законы операций с множествами, высказываниями, предикатами, числами; раскрывается смысл основных теорем о равносильности уравнений и неравенств. После изложения элементов теории предлагается десять вариантов каждой из трех обязательных контрольных работ для студентов-заочников.

Указания к выполнению контрольных работ по математике. 1. Каждый студент-заочник в соответствии с учебным планом должен выполнить по три контрольных работы. 2. Каждая контрольная работа содержит ряд заданий по определенным темам. В каждом задании студент выбирает тот номер задачи, который совпадает с последней цифрой номера его зачетной книжки. Например, если номер зачетной книжки 99262, то в каждом из предложенных заданий студент решает задачу № 2. 3. Контрольная работа оформляется следующим образом: Контрольная работа по математике № 1 (2,3).Выполнила студентка I (II) курса заочного отделения ПиМНО Иванова Н.И. ВАРИАНТ № 4. Контрольная работа защищается студентом лично перед ведущим преподавателем. 5. Перед выполнением контрольной работы студенту целесообразно изучить теоретический материал по предложенному списку литературы и ознакомиться с кратким изложением элементов теории в данном пособии.

–1–

ГЛАВА I. Контрольная работа № 1. § 1.Множества и операции с ними. 1. Понятие «множество» не определяется, оно поясняется примерами: множество студентов на курсе, множество цветов в букете. Обозначаются множества заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C,... 2. Предметы, из которых состоит множество, являются элементами множества. Обозначаются элементы прописными буквами латинского алфавита: a, b, c,...

3. Нижеприведенные записи расшифровываются следующим образом: A = {a, b, c} – множество A состоит из элементов a, b, c; a ∈ A – элемент a принадлежит множеству A; а ∉ А – элемент a не принадлежит множеству A; A= ∅ -множество A – пустое (не содержит ни одного элемента).

4. Характеристическим свойством, определяющим множество, называется свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладает ни один, не принадлежащий ему элемент. Обозначается: А = { x | ...},где после вертикальной черты записывается свойство элементов данного множества: А = { x | x+1 = 0}.

5. Множество, элементами которого являются числа, называется числовым: N = {1, 2, 3...n...}

– множество натуральных чисел;

N0 = {0, 1, 2,...n...}

– множество целых неотрицательных чисел;

Z = {...-2, -1, 0, 1, 2,...} – множество целых чисел; ⎧p ⎫ Q 0+ = ⎨ | p ∈ N 0 , q ∈ N⎬ – множество неотрицательных рациональных чисел; ⎩q ⎭

⎧p ⎫ Q 0+ = ⎨ | p ∈ Z , q ∈ Z , q ≠ 0⎬ – множество рациональных чисел; ⎩q ⎭ R+ – множество действительных чисел; R ={x | x ∈ R, x > 0}

– множество положительных действительных ÷èñåë.

6. Число a называется четным, если оно делится на 2; число a называется нечетным, если оно не делится на 2; число a называется простым, если оно делится только на единицу и на самое себя.

7. Каждое числовое множество можно изобразить на числовой прямой, используя следующие иллюстрации: 1) [ a, b ] -множество действительных чисел, расположенных между числами a и b, включая эти числа; [ a, b ] -отрезок, который изображается: 0

a

b

2) [ a. b ) -множество действительных чисел, расположенных между числами a и b, включая только конец a; [ a, b ) -полуинтервал, изображается: 0

a

b

–2–

( a , b ] -множество действительных чисел, расположенных между числами a и b, включая только конец b; ( a, b ] -полуинтервал, изображается: 0

a

b

3) ( a, b )-множество действительных чисел, расположенных между числами a и b, не включая концы a и b; ( a, b )-интервал, изображается: 0

Пример.

a

b

Изобразить на числовой прямой множество четных чисел полуинтервала ( 2, 12 ]: A = { 4, 6, 8, 10, 12 }.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

8. Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B принадлежит множеству A. Обозначается: B ⊆ A. Пример. а) A = { a, b, c, d, e}, B = { a, c, e}, B ⊆ A. b) N = { 1, 2, 3,...n...}, N0 = { 0, 1, 2,...n...}, N ⊆ N0.

9. Пересечением множеств A и B называется новое множество C, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат одновременно как множеству A, так и множеству B. Обозначается: A ∩ B = C, A ∩ B = { x | x ∈ A, x ∈ B }. Пример. A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, B = { 8, 10, 12, 14 }, A ∩ B = { 8, 10 }.

10. Объединением множеств A и B называется новое множество C, содержащее те и только те элементы, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Обозначается: A ∪ B = C, A ∪ B = { x | x ∈ A или x ∈ B }. Пример. A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, B = { 8, 10, 12, 14 }, A ∪ B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }.

11. Разностью множеств A и B называется новое множество C, содержащее те элементы множества A, которые не принадлежат множеству B. Обозначается: A \ B = {x | x ∈ A, x ∉ B }. Пример. A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, B = { 8, 10, 12, 14 }, A \ B = { 2, 4, 6 }, B \ A = { 12, 14 }.

Если же B ⊆ A, то разность A \ B называется дополнением множества B до множества A. Обозначается: B'.

12. Множество U называется универсальным множеством, если рассматриваются только подмножества множества U. 13. Операции с множествами и зависимость между ними можно изобразить с помощью кругов Эйлера:

–3–

1) – множество А

A

2) B

A

– B ⊆ A, B – подмножество множества A

3) U – A ⊆ U, U – универсальное множество

A

4)

A

B

– A ∩ B пересечение множеств A и B

A

B

– A ∪ B объединение множеств A и B

A

B

– A \ B разность множеств A и B

5)

6)

–4–

7)

U – A' – дополнение множества A до множества U

A A'

Рис. 1. Пример. Изобразить с помощью кругов Эйлера множество ( A ∪ В )' ∩ C. Решение.

–A∪В

A

B – ( A ∪ В )'

C – ( A ∪ В )' ∩ C Рис.2.

§ 2. Высказывания и предикаты. 14. Предложение, относительно которого можно утверждать, истинно оно или ложно, называется высказыванием. Обозначаются высказывания заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C,... Если высказывание A истинно, то пишут A = 1,если высказывание A ложно, то пишут A = 0. Пример. A: Солнце всходит на востоке, A = 1; B: Солнце всходит на западе, B = 0.

15. Отрицанием высказывания A называется высказывание A , истинность которого определяется таблицей: A

A

0

1

1

0

A читается: неверно, что A.

Пример. A: Город Санкт-Петербург стоит на Неве, A = 1;

–5–

A : Неверно, что город Санкт-Петербург стоит на Неве, A = 0.

16. Конъюнкцией высказываний A и B называется новое высказывание A истинность которого определяется таблицей:

A

∧

∧ B = C,

∧B

A

B

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

Пример. A: Сахар сладкий; B: Чай горячий; A B = 1,то A B = 1.

∧

A

∧B читается: A и B.

∧ B: Сахар сладкий и чай горячий; если A = 1 и

17. Дизъюнкцией высказываний A и B называется высказывание A ∨ B = C, истинность которого определяется таблицей: A

B

A∨ B

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

A ∨ B читается: A или B.

Пример. A: 5 > 3, B: 5 = 3, A ∨ B: (5 > 3) ∨ (5 = 3), 5 ≥ 3 -это нестрогое числовое неравенство представляет собой дизъюнкцию истинного строгого неравенства (5 > 3) и ложного равенства (5 = 3).

18. Импликацией высказываний A и B называется высказывание A ⇒ B, истинность которого определяется таблицей:

A

B

A⇒B

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

A ⇒ B читается: 1) из A следует B; 2) если A, то B.

Пример.

–6–

A: Четырехугольник ABCD -ромб, B: диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, A ⇒ B: если четырехугольник ABCD -ромб, то диагонали в точке пересечения делятся пополам.

19. Предложение с переменной x, где x ∈ X, X - множество определения, называется предикатом, если при подстановке в него любого x из X получаем высказывание. Обозначается: A(x), B(x),... Пример. а). A(x): x2 -3x +2 = 0 - предикат (уравнение с одной переменной); б). A(x): x - число нечетное, предикат.

20. Множество TA ( x ) значений x ∈ X, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание, называется множеством истинности предиката A(x). Пример. A(x): x2 -3x +2 = 0, TA ( x ) = { x | x2 -3x +2 = 0 } = { 1, 2 }.

21. Над предикатами выполняются операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации; для них справедливы соответствующие таблицы истинности.

22. Множеством истинности TA ( x ) предиката A ( x ) называется дополнение к множеству истинности TA ( x ) предиката A(x) до множества определения X. Обозначается: TA ( x ) = { x | A ( x ) } = { x | A(x) }.

Пример. Пусть A(x): x - число четное, предикат A(x) задан на множестве X = M = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }; TA ( x ) = { x | x ∈ M, x - число четное } = { 2, 4, 6 }. Тогда A ( x ) : неверно, что x - число

четное, т.е. A ( x ) : x - число нечетное; TA ( x ) = { x | x ∈ M, x - число нечетное } = { 1, 3, 5 } = { 2, 4, 6 } и TA ( x ) - дополнение к множеству TA ( x ) : TA ( x ) = TA ( x ) .

23. Множеством истинности TA ( x ) ∨B ( x ) дизъюнкции предикатов A(x) ∨ B(x) называется объединение TA ( x ) ∪ TB ( x ) множеств истинности предикатов A(x) и B(x). Обозначается:

TA ( x ) ∨B ( x ) = TA ( x ) ∪ TB ( x ) = { x | A(x) } ∪ { x | B(x) }. Пример. Пусть A(x): x - число четное, B(x): x - кратно 3. Предикаты A(x) и B(x) заданы на множестве X = M = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. A(x) ∨ B(x): x - число четное или кратно 3. TA ( x ) = { 2,

4, 6 }, TB ( x ) = { 3, 6 }, TA ( x ) ∨B ( x ) = TA ( x ) ∪ TB ( x ) = { 2, 4, 6 } ∪ { 3, 6 } = { 2, 3, 4, 6 }.

24. Множеством истинности TA ( x ) ∧B ( x ) конъюнкции предикатов A

∧ B называется пе-

ресечение TA ( x ) ∩ TB ( x ) множеств истинности предикатов A(x) и B(x). Обозначается:

TA ( x ) ∧B ( x ) = TA ( x ) ∩ TB ( x ) = { x | A(x) } ∩ { x | B(x) }. Пример. Пусть A(x): x - число нечетное; B(x): x - число, кратное 2. Предикаты A(x) и B(x) заB(x): число x -нечетное и кратно 2. TA ( x ) = { даны на множестве М = { 1, 2 ,3, 4, 5, 6 }. A(x)

∧

1, 3, 5 }, TB ( x ) = { 2, 4, 6 }, TA ( x ) ∧B ( x ) = TA ( x ) ∩ TB ( x ) = { 1, 3, 5 } ∩ { 2, 4, 6 } = ∅.

–7–

25. Множеством истинности TA ( x )⇒B ( x ) импликации предикатов A(x) и B(x) называется объединение TA ( x ) ∪ TB ( x ) множеств истинности отрицания предиката A(x) и множества истинности предиката B(x). Пример. Пусть A(x): x - простое число; B(x): x - число нечетное; предикаты A(x) и B(x) заданы на множестве X = M = { 10, 11, 12, 13, 14, 15 }. Тогда A(x) ⇒ B(x): если x - число простое, то оно нечетное. TA ( x ) = { 11, 13 }, TB ( x ) = { 11, 13, 15 }, TA ( x ) = { 10, 12, 14, 15 }, TA ( x )⇒B ( x ) = TA ( x ) ∨B ( x ) = TA ( x ) ∪ TB ( x ) = { 10, 12, 14, 15 } ∪ { 11, 13, 15 } = { 10, 11, 12, 13, 14, 15 } = M.

§ 3.Декартово произведение двух множеств. Соответствия. 26. Декартовым произведением множества X = { x } и множества Y = { y } называется множество всевозможных упорядоченных пар ( x, y ) таких, что x ∈ X, y ∈ Y. Обозначается: X × Y = { ( x, y ) | x ∈ X y ∈ Y }.

∧

Пример 1. X = { 1, 2, 4 }, Y = { 6, 7 }, X × Y = { ( x, y ) | x ∈ X ( 1, 7 ), ( 2, 6 ), ( 2, 7 ), ( 4, 6 ), ( 4, 7 ) }.

∧ y ∈ Y ∧ y ∈ Y = { ( 1, 6 ) ,

Если в декартовом произведении используются множества бесконечные, то X × Y нельзя задать в виде конечного множества пар элементов, как в Примере 1. Тогда декартово произведение X × Y удобнее изобразить с помощью чертежа, где элементы x из множества X откладываются на горизонтальной прямой, а элементы y из множества Y на вертикальной прямой, пересекающей первую под прямым углом в точке 0. Пример 2. X = [ 2, 4 ], Y = { 1, 2, 3, 4 }.

Y

4 3 2 1 0

1

2

3

4

X

Рис.3.

Пример 3.

–8–

X = R, Y = ( 1, 3 ). Y

3 2 1 0

X

Рис.4.

27. Если в декартовом произведении X × Y множеств X = { x } и Y = { y } выбрано не-

∧

которое подмножество упорядоченных пар PR = { ( x, y ) | x ∈ X y ∈ Y }, то говорят, что задано соответствие R. Обозначается: x R y. Множество PR называется графиком соответствия R. Если множество X отложить на горизонтальной оси, Y - на вертикальной, то множество пар ( x, y ), удовлетворяющих соответствию R, является геометрической иллюстрацией графика соответствия. Пример. Пусть X = { 2, 4, 6, 8 }, Y = { 1, 2, 3, 4, 5 }, x R y: x < y, тогда PR = { ( 2, 3 ), ( 2, 4 ), ( 2, 5 ), ( 4, 5 ) } ⊆ X × Y.

Y 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

- элементы декартова произведения X × Y; - элементы графика PR соответствия x R y. Рис. 5.

28. Если пары ( x, y ) соответствия x R y обозначить точками и стрелкой от элемента x из множества X к элементу y из множества Y соединить те и только те пары, для которых выполняется x R y, то говорят, что построен граф соответствия R.

–9–

29. Областью отправления в соответствии x R y называется множество X, множество Y - это область прибытия соответствия. 30. Соответствие R-1 между множествами X и Y такое, что y R-1 x истинно тогда и только тогда, когда истинно x R y, называется обратным.

31. Соответствие R', график которого является дополнением к графику соответствия R до декартова произведения X × Y, называется соответствием, противоположным данному соответствию R. Пример. Для множеств X = { 1, 5, 8 } и Y = { 2, 3, 6 } установлено соответствие R: x < y. 1) Графиком соответствия x R y является множество PR = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 1, 6 ), ( 5, 6 ) }. 1 5 8 2) Граф соответствия: X:

Y: 2

3

6

Рис.6. 3) Обратное соответствие R-1 для R: y R-1 x, если x R y. Если PR = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 1, 6 ), ( 5, 6 ) }, то график обратного соответствия PR−1 = { ( 2, 1 ), ( 3, 1 ), ( 6, 1 ),( 6, 5 ) }. 4) Если PR = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 1, 6 ), ( 5, 6 ) } - график данного соответствия R, X × Y = { (1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 1, 6 ), ( 5, 2 ), ( 5, 3 ), ( 5, 6 ), ( 8, 2 ), ( 8, 3), ( 8, 6) }, то график соответствия R', противоположного соответствию R: PR ' = { ( 5, 2 ), ( 5, 3 ), ( 8, 2 ), ( 8, 3 ), ( 8, 6 ) }.

§ 4.Элементы аналитической геометрии. 32. Длина отрезка, заданного точками A(x1, y1) и B(x2, y2), вычисляется по формуле: d (AB) =

(x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 .

33. Координаты точки M (x, y), делящей отрезок, заданный точками A(x1, y1), B(x2, y2), в отношении λ ≠ -1, вычисляются по формулам: xM =

λ x 2 + x1 , 1 + λ

yM =

λ x 2 + x1 1 + λ

34. Если точка M (x, y) делит отрезок пополам, то λ = 1. § 5.Контрольная работа № 1. Задание № 1. Перечислите элементы каждого из множеств A и B: 1) A = { x | x - натуральное, -2 < x < 8 }, B = { x | x - целое, x - 3 = 7}. 2) A = { x | x - натуральное, x2 = 4 }, B = { x | x - > 0, x + 4 = -6}. 3) A = { x | x - натуральное, x2 + 4 = 0 }, B = { x | x - натуральное, x2 < 9}. 4) A = { x | x - действительное, x - 6 = 2 x + 3 }, B = { x | x - натуральное, -12 < x < 5}. 5) A = { x | x - натуральное, x2 ≤ 9 }, B = { x | x - натуральное, 2 x - 3 = 6 x + 10}.

– 10 –

6) 7) 8) 9) 10)

A = { x | x - íàòóðàëüíîå,-3 ≤ x < 6 }, B = { x | x - действительное, x2 -36 = 0}. A = { x | x - целое, -3 < x < 6 }, B = { x | x - действительное, x2 -6 = 0}. A = { x | x - íàòóðàëüíîå,-3 ≤ x < 0 }, B = { x | x - действительное, x2 ≤ 16}. A = { x | x - целое, x2 -6,25 = 0 }, B = { x | x - действительное, 3 x + 5 = 23 x - 6}. A = { x | x - íàòóðàëüíîå,-5 ≤ x < 4 }, B = { x | x - не положительное, x2 > 4}.

Задание № 2. Изобразите на числовой прямой следующие множества: B = { x | x ∈ R ∧ -1 ≤ x < 5 }. 1) A = { x | x ∈ N ∧ x ≤ 3 }; B = { x | x ∈ R ∧ -3 ≤ x ≤ 2 }. 2) A = { x | x ∈ N ∧ x < 12 }; 3) A = { x | x ∈ N ∧ 3 < x < 6 }; B = { x | x ∈ R ∧ 0 < x ≤ 3 }. B = { x | x ∈ R ∧ -2 < x < 8 }. 4) A = { x | x ∈ N ∧ x > 6 }; B = { x | x ∈ R ∧ -5 < x < -3 }. 5) A = { x | x ∈ N ∧ x ≤ 10 }; 6) A = { x | x ∈ N ∧ 1 < x ≤ 12 }; B = { x | x ∈ R ∧ x ≥ 3 }. 7) A = { x | x ∈ N ∧ 2 ≤ x < 8 }; B = { x | x ∈ R ∧ x < - 2 }. B = { x | x ∈ R ∧ x > - 2 }. 8) A = { x | x ∈ N ∧ x < -2 }; B = { x | x ∈ R ∧ 0 < x ≤ 5 }. 9) A = { x | x ∈ N ∧ x > 1 }; ∧ x > -3 }; B = { x | x ∈ R ∧ 5 < x < 10 }. 10) A = { x | x ∈ N Задание № 3. Найдите A ∪ B, B ∩ C, A \ B, B \ C, ( A ∪ B ) ∩ C, если: 1) A = { 2, 3, 4, 5 }, B = { 12, 14, 16,...28 }, C = N. 2) A = N, B = {-2, -1, 0, 1, 2 }, C = { 5, 6, 8, 12 }. 3) A = { 3, 4, 5,...}, B = N, C = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 }. 4) A = { 21, 22, 23,...34 }, B = { 3, 5, 7, 9, 11 }, C = N. 5) A = Z, B = { 12, 14, 16, 24 }, C = N. 6) A = { 20 }, B = { 2, 3, 4, 5 }, C = { 16, 18, 20,...36 }. 7) A = N, B = { -1, 0, 1, 2, 3 }, C = N. 8) A = { -3, -2, -1, 0, 1, 2 }, B = { 2, 3, 4 }, C = { 4, 6, 8, 10, 12 }. 9) A = Z, B = { -3, -2, -1, 0 }, C = { -1, 0, 1, 2, 3 }. 10) A = { 20, 21 }, B = { 12, 13, 14, 15, 16 }, C = { -3, -2, -1, 0, 1, 2 }. Задание № 4. Найдите объединение, пересечение и разность промежутков A и B; изобразите результаты операций на числовой прямой: 1) A = [ 2, 6 ], B = ( -3, 4 ]. 2) A = ( 2, 6 ), B = [ -3, 4 ]. 3) A = { x | x - íàòóðàëüíîå,-3 ≤ x < 6 }, B = ( -2, 4 ). 4) A = { x | x - действительное, 2 ≤ x < 6 }, B = N. 5) A = { x | x - íàòóðàëüíîå,3 < x ≤ 7}, B = [ 2, ∞ ). 6) A = ( − ∞ , -3 ], B = { x | x - действительное, -6 ≤ x < 5 }. 7) A = [2, ∞ ), B = ( − ∞ , 4 ). 8) A = { x | x - натуральное, 3 ≤ x < 6}, B = [ 3, 6 ]. 9) A = { x | x - действительное, -2 < x < 5 }, B = { 1, 2, 3, 4 }. 10) A = { -3, -2, -1, 0 }, B = [ -2, 1 ). Задание № 5. Пусть даны множества А, B, C и A', B', C' - соответственно их дополнения до универсального множества U. Изобразите при помощи кругов Эйлера следующие множества:

– 11 –

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

( A ∩ B ∩ C )'; ( A' ∪ B' ) ∩ C; ( A ∪ B )' ∩ C'; A \ B'. ( A ∪ B ∪ C )'; ( A ∩ B )' ∪ C; ( A ∩ B )' ∩ C ; B \ C'. ( A ∩ B )' ∩ C; ( A ∩ B ) ∪ C'; ( A ∪ B ) ∩ C'; A' \ C'. ( A ∪ B ) ∩ C'; ( A ∩ B )' ∩ C'; ( A ∪ B ) ∩ ( A' ∩ C' ); C' \ A. ( A ∪ B )' ∩ C; ( A ∪ B ) ∪ C'; ( A ∩ B ) ∪ C'; A' \ C. ( A ∪ C )' ∩ B; ( A ∪ C )' ∩ B'; ( A \ B ) ∩ C; ( B \ C )'. ( A \ C )'; ( A ∪ C )' ∩ B; ( A ∪ B )' ∪ C; ( C \ A ) ∩ B'. ( A ∪ B )' \ C'; ( ( A ∪ B )' )'; ( A ∪ B ) ∪ C'; ( A ∩ C ) ∩ B'. ( A ∩ C )' ∩ B; ( A ∩ B ) ∩ C'; ( A \ B )' ∩ C; ( A ∪ C )' \ B. ( A ∪ B )' \ C; ( A ∩ B )' ∪ C'; ( A \ B ) ∩ C'; ( A ∩ C ) \ B'.

Задание № 6. Найдите длину отрезка [AB] и координаты точки М( x, y ), делящей отрезок [AB] в отношении λ, если: 1) A( -2, 3 ), B( 6, -9 ), λ = 1. 2) A( 2, 3 ), B( 10, 11 ), λ =3:5. 3) A( -3, -2 ), B( 9, 6 ), λ = 3:1. 4) A( 3, -2 ), B( 10, -9 ), λ = 2:5. 5) A( -11, 1 ), B( 9, 11 ), λ = 2:8. 6) A( 5, 8 ), B( 4, 9 ), λ = 1. 7) A( -5, -2 ), B( 4, -3 ), λ = 7:2. 8) A( -5, -1 ), B( 5, 3 ), λ = 1:3. 9) A( 3, -3 ), B( -3, 9 ), λ = 2. 10) A( 3, -3 ), B( -6, 7 ), λ = 4:3. Задание № 7. С помощью таблиц истинности доказать следующие равносильности: 1) [ ( A ∨ B ) ∨ C ] ⇔ [ С ∨ ( A ∧ B ) ]. 2) [ С ∧ ( (A ⇒ B ) ⇒ A ) ] ⇔ ( A ∧ C ). 3) [ C ∨ ( A ∨ B ) ] ⇔ ( A ∧ B ) ∨ C ]. 4) [ A ⇒ ( B ⇒ C ) ] ⇔ [ (A ∧ B ) ⇒ C ]. 5) [ ( A ∨ B ) ∨ C ] ⇔ [С ∧ ( A ∧ B ) ]. 6) [С ∧ ( A ∨ B ) ] ⇔ [ ( A ∧ B ) ∧ C ]. 7) [ ( ( A ⇒ B ) ⇒ A ) ∨ C ] ⇔ ( A ∨ C ). 8) [ (A ⇒ B ) ∧ ( A ⇒ C ) ] ⇔ [ A ⇒ ( B ∧ C ]. 9) [ A ⇒ ( B⇒ C )] ⇔ [ ( A ∧ B ) ⇒ C ]. 10) [( A ⇒ B ) ∨ C ] ⇔ [ ( A ∧ B ) ∨ C ]. Задание № 8. На множестве A = { 1, 2, 3,....10 } заданы предикаты: A(x): x - не делится на 5; B(x): x - число четное; C(x): x - число простое; D(x): x - число, кратное 3. Найдите множество истинности заданных предикатов. 1) A(x) ∧ B(x); A(x) ⇒ C(x); D(x) ∨ C(x). 2) B(x) ∧ C(x); C(x) ⇒ D( x ) ; C(x) ∨ A(x). 3) C(x) ∧ D(x); D( x ) ⇒ A(x); A(x) ∨ B(x). 4) B(x) ∨ D( x ) ; A(x) ⇒ B(x); C(x) ∧ B(x).

– 12 –

5) C(x) ∨ D(x); A ( x ) ⇒ C(x); B(x) ∧ A(x).

6) B( x ) ∨ A(x); C(x) ⇒ A(x); D( x )

∧ A(x).

7) A(x) ⇒ B( x ) ; C(x) ∨ D(x) ∨ A(x).

∨ B(x); A(x) ⇒ C( x ) ; D(x) ∧ B( x ) . 9) A ( x ) ∨ C( x ) ; C( x ) ⇒ D(x); B(x) ∧ C(x). 10) A(x) ∧ C(x); D( x ) ⇒ B(x); A ( x ) ∨ C(x). 8) A ( x )

Задание 9. Найдите декартово произведение множеств A и B и изобразите его на координатной плоскости: 1) A = { x | x ∈ N ∧ 3 < x < 7}, B = { y | y ∈ N ∧ 4 ≤ y ≤ 9}. 2) A = { x | x ∈ R ∧ 3 < x < 7}, B = { y | y ∈ N ∧ 2 < y ≤ 8}. 3) A = { x | x ∈ N ∧ 2 < x ≤ 5}, B = { y | y ∈ R ∧ -2 < y ≤ 1}. 4) A = { x | x ∈ R ∧ 1 ≤ x < 3}, B = { y | y ∈ N ∧ 5 < y < 8}. 5) A = { x | x ∈ N ∧ 3 ≤ x ≤ 5}, B = { y | y ∈ R ∧ 5 ≤ y < 8}. 6) A = { x | x ∈ R ∧ 3 ≤ x < 5}, B = { y | y ∈ N ∧ 2 < y < 6}. B = { y | y ∈ N ∧ 3 ≤ y < 7}. 7) A = R, 8) A = { x | x ∈ N ∧ 3 ≤ x < 6}, B = R. B = N. 9) A = R, B = { y | y ∈ N ∧ 2 < y < 4}. 10) A = { x | x ∈ R ∧ x > 0}, Задание 10. Для заданных множеств X = { 1, 12, 14, 18, 6, 8, 10 } и Y = { 10, 12, 14, 8, 9, 5 } и данного соответствия R: а) Построить график PR соответствия R; б) Построить граф соответствия R; в) Построить граф и график соответствия R-1 ,обратного соответствию R. г) Построить граф и график соответствия R', противоположного соответствию R, если: 1) R: x < y; 2) R: y = x + 2; 3) R: x ≤ y; 4) R: x > y; 5) R: x ≥ y; 6) R: x - 2 = y; 7) R: x делится на y; 8) R: x не делится на y; 9) R: x делится на y с остатком r = 2; 10) R: x делится на y с остатком r = 4.

ГЛАВА 2. Контрольная работа N 2. § 6.Целые неотрицательные числа. 34. Натуральным числом называется характеристика класса равносильных конечных множеств.

– 13 –

Пример. Множества A = { а, б, в, г }; B = { 1, 2, 3, 8 }; C = { d, w, r, z }; D = { +, -, x, : } -конечны, равносильны между собой. Они имеют нечто общее - содержат по четыре элемента. Число 4 является характеристикой этих множеств, число 4 - натуральное. Обозначается: n(A) = 4.

35. Характеристикой класса пустых множеств можно считать число 0. Если A = ∅ , то n(A) = 0.

36. Добавив к множеству натуральных чисел N = { 1, 2, 3,...n...} число 0, получим но-

вое множество целых неотрицательных чисел: N ∪ { 0 } = { 1, 2, 3,...n...} ∪ { 0 } = { 0, 1, 2, 3,...n...} = N0.

37. Суммой двух целых неотрицательных чисел a = n(A) и b = n(В), являющихся характеристиками конечных непересекающихся множеств A и B, называется третье целое неотрицательное число c = n(C), которое является характеристикой множества C, где C = A ∪ B. Обозначается: a + b = n(A) + n(B) = n(A ∪ B) = n(C) = c. Пример 1. Пусть A = { 3, 5, 6 }, B = { 1, 4, 2 }, где A ∩ B = ∅ , n(A) = 4, n(В) = 3, C = { 3, 5, 6, 1, 4, 2 }, тогда c = n(C) = n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 4 + 3 = 7; c = 7. Пример 2. Таня нашла 5 грибов, Оля - 8 грибов. Сколько грибов они нашли вместе? Решение.

В задаче имеем два множества: A - содержит 5 элементов, n(A) = 5, B - содержит 8 элементов, n(В) = 8, причем у этих множеств нет общих элементов: A ∩ B = ∅ . Искомое множество C содержит все элементы множеств A и B, поэтому, чтобы найти n(C), надо найти объединение множеств A и B: n(A ∪ B) = n(A) + n(В) = 5 + 8 =13. Всего дети нашли 13 грибов.

38. Разностью двух целых неотрицательных чисел a = n(A) и b = n(В) называется целое неотрицательное число c = n(C), которое является характеристикой дополнения множества B до множества A при условии, что множество B - подмножество множества A. Обозначается: a - b = n(A) - n(В) = n(A \ B) = n(C)= c. Пример 1. A = { 3, 5, 8, 9, 6 }, B = { 3, 5, 8 }, здесь B A, n(A) = 5, n(В) = 3, C = A \ B = { 3, 5, 8, 6 } \ { 3, 5, 8 } = { 9, 6 }, тогда c = n(C) = n(A \ B) = n(A) - n(В) = 5 - 3 = 2, c = 2. Пример 2. В первый раз в туристическом походе участвовало 45 учащихся, во второй раз - на 8 человек меньше. Сколько учащихся участвовало в туристическом походе во второй раз? Решение. Имеем два множества: A -множество участников первого похода, где n(A) = 45 и B множество тех учащихся, которые не пошли в поход во второй раз, причем n(В) = 8 и B ⊆ A. Тогда искомое множество C (участников второго похода) является дополнением множества B до множества A, поэтому c = n(C) = n(A \ B) = n(A) - n(В) = 45 - 8 = 37.

39. Разность двух целых неотрицательных чисел a и b существует тогда и только то-

гда, когда a ≥ b.

40. Если разность двух целых неотрицательных чисел a и b существует, то она единственна.

– 14 –

41. a) Произведением целого неотрицательного числа a на целое неотрицательное число b ≠ 1 называется сумма b слагаемых, каждое из которых равно a. Обозначается: a1444 + a +42 a 444 + ... +4 a = ab 3 b слагаемых

b) b = 1, тогда a ⋅ b = a ⋅ 1 = a. c) b = 0, тогда a ⋅ b = a ⋅ 0 = 0. Пример. Для сада привезли 6 саженцев яблонь и в три раза больше саженцев кустов. Сколько саженцев кустов привезли для сада? Решение. A - множество саженцев яблонь, n(A) = 6.Второе, искомое, множество B имеет в три раза больше элементов, чем множество A. Для нахождения n(B) надо найти характеристику объединения трех множеств, каждое из которых равносильно множеству A: n(B) = n(A1) + n(A2) + n(A3) = 6 + 6 + 6 = 18.

42. Пусть: a) a = n(A); b) Множество A разбито на n попарно непересекающихся равносильных подмножеств: A1, A2, A3,... An. Тогда: 1) Пусть B - число подмножеств в разбиении множества A. Частным двух чисел a = n(A) и b называется число c, где c = n(C) - характеристика каждого подмножества разбиения множества A. 2) Пусть b = n(Ai) - характеристика каждого подмножества в разбиении множества A. Частным двух чисел a = n(A) и b = n(В) называется число подмножеств в разбиении множества A. Обозначение: a : b = c. Пример. Для восьми детских домов привезли 24 мешка сахару. По сколько мешков сахару получит каждый детдом? Решение. Множество A мешков сахару разбивается на 8 равносильных подмножеств: A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A8 ∪ A8. Надо найти характеристику каждого подмножества n(Ai) = c. Тогда c = n(Ai) = n(A): 8 = 24 : 8 = 3.

43. Основными законами операций с целыми неотрицательными числами являются: 1) Коммутативный: a + b = b + a, a ⋅ b = b ⋅ a. 2) Ассоциативный: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c, a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c. 3) Дистрибутивный: a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c, ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c.

Пример. Объяснить, на основе каких законов проведены преобразования: 37 ⋅ 12 = 37 ⋅(10 + 2) = 37 ⋅ 10 + 37 ⋅ 2 = 370 + 74 = 444. Решение: 37 ⋅ 12 = (разложение множителя по основанию системы), 37 ⋅(10 + 2) = (дистрибутивный закон умножения относительно сложения), 37 ⋅ 10 + 37 ⋅ 2 = (умножение на единицу с нулем), 370 + 74 = 444.

§ 7.Позиционные системы счисления.

– 15 –

44. Любое целое неотрицательное число может быть записано в виде суммы степеней основания: 1) Â десятичной системе: a n ⋅ a n −1 ⋅...⋅a 1 ⋅ a 0 = a n ⋅ 10 n + a n −1 ⋅ 10 n −1 + ... + a 1 ⋅ 101 + a 0 ⋅ 10 0 ,

где n ∈ N0 , ai ∈ { 0, 1, 2, 3,...9 }. Пример. 34826 = 3 ⋅ 104 + 4 ⋅ 103 + 8 ⋅ 102 + 2 ⋅ 101 + 6 ⋅ 100. 2) Â системе счисления ñ основанием t > 1: (a n ⋅ a n −1 ⋅...⋅a 1 ⋅ a 0 ) t = a n ⋅ t n + a n −1 ⋅ t n −1 + ... + a 1 ⋅ t 1 + a 0 ⋅ t 0 ,

где n ∈ N0 , ai ∈ { 0, 1, 2, ...t-1 }. Пример. 24536 = 2 ⋅ 63 + 4 ⋅ 62 + 5 ⋅ 6 + 3.

45. Чтобы обратить число, записанное в системе счисления с основанием t > 1, в число в десятичной системе счисления, достаточно представить заданное число в виде суммы степеней основания t и произвести все операции: 24536 = 609. Пример. Число из девятеричной системы счисления обратить в число в десятичной системе счисления: 3489 = x10; 3489 = 3 ⋅ 92 + 4 ⋅ 9 + 8 = 287; 3489 = 287.

46. Чтобы обратить число, записанное в десятичной системе счисления, в число в системе счисления с основанием t, достаточно заданное число делить последовательно на основание системы t, выделяя единицы соответствующих разрядов: Пример. 3489 = x5

единицы

3 4 8 9 4 8 3 9 4

5 6 9 7 1 9 4 7 2

5 1 3 9 3 9 4

десятки сот-

x5 = 102424;

тысячи

5 2 7 2

5 5 0

десятки тысяч

5 1

сотни тысяч

3489 = 1024245

47. Операции с числами в системе счисления с основанием t проводятся по тому же алгоритму, что и в десятичной системе счисления, учитывая, что основание системы не число 10, а число t. Пример. Пусть t = 5. Вычислить 3445 + 2425. Решение. +

3445 2425 11415

1) 4 + 2 = 6 = 115: 1 записываем в результат и один "десяток" добавляем к "десяткам" одного из слагаемых.

– 16 –

2) 4 + 4 +1 = 9 = 145: 4 записываем в результат и одну "сотню" добавляем к "сотням" одного из слагаемых. 3).3 + 2 + 1 =6 = 115: записываем в результат. Получаем: 3445 + 2425 = 11415.

§ 8.Делимость целых неотрицательных чисел. 48. Каноническим разложением числа a ∈ N на простые множители называется запись числа a в виде произведения простых множителей:

a = p 1α 1 ⋅ p α2 2 ⋅ ... ⋅ p αk k , где p1 < p2 < ... < pk -простые числа, αi ∈ N0. Такая запись осуществляется с помощью специального алгоритма. Пример. Привести каноническое разложение числа 12600.

12600 6300 3150 1575 525 175 35 7

2 2 2 3 3 5 5 1

12600 = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 7

49. Для нахождения НОД (a, b) с помощью алгоритма Евклида достаточно найти последний, не равный нулю, остаток при последовательном делении чисел a, b ( a > b ) и последующих остатков друг на друга. Пример. Найти НОД (1296, 2268).

2 2 6 8 1 2 9 6 1 2 9 6 9 7 2 9 7 2 0

1 2 9 6 1

9 7 2 1

3 2 4 3

Последний, не равный нулю, остаток r = 324, следовательно НОД (1296,2268) = 324.

50. Для нахождения НОД (a, b) с помощью канонического разложения чисел a и b на простые множители, достаточно записать из их канонического разложения все общие множители в наименьших степенях. Для нахождения НОК (a, b) достаточно выписать все делители чисел a и b в наибольших степенях. Пример1. Найти НОД (17640, 18900). Решение.

– 17 –

Так как 17640 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 72, 18900 = 33 ⋅ 52 ⋅ 7, то НОД (17640, 18900) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1260 Пример2. Найти НОК (17640, 18900). Решение. Из предыдущего канонического разложения чисел 17640 и 18900 следует, что НОК (17640, 18900) = 23 ⋅ 33 ⋅ 52 ⋅ 72 = 264600.

51. По общему признаку делимости Б.Паскаля число a = a n ⋅ a n −1 ⋅...⋅a 1 ⋅ a 0 делится на число b, если на число b делится сумма S = rn⋅an + rn-1⋅an-1 + ... + r1⋅a1 + a0, где ai -это цифры числа a, ri -остатки от деления соответствующих степеней 10 на число b. Пример. Определить, делится ли число a = 38654 на число b = 82, используя общий признак делимости Б.Паскаля: Решение. 100 = 82 ⋅ 0 + 1 r0 = 1 1 10 = 82 ⋅ 0 + 10 r1 = 10 2 r2 = 18 10 = 82 ⋅ 1 + 18 3 r3 = 16 10 = 82 ⋅ 12 + 16 4 10 = 82 ⋅ 121 + 78 r4 = 78 S = 3 ⋅ 78 + 8 ⋅ 16 + 6 ⋅ 18 + 5 ⋅ 10 + 4 ⋅ 1 = 524, число 524 на число 82 не делится, поэтому и число 38654 на число 82 не делится.

§ 9.Определение математического понятия. 52. Наиболее распространенным определением математического понятия является его определение через ближайший род и видовое отличие. Формулировка определения понятия через ближайший род и видовое отличие базируется на классификации, которая состоит в том, что некоторое множество объектов разбивается на два непересекающихся подмножества путем указания некоторого отличительного признака, которым ряд объектов обладает, а остальные объекты не обладают. Пусть A(x)-некоторое множество элементов, тогда введя отличительное свойство элементов P1, разобьем множество A на два множества A1 и A', где A = { x | x ∈ A ∧ P (x) } - множество элементов, обладающих свойством P , и A ' = { x | x ∈ 1

1

1

1

A ∧ P1(x) } - множество элементов, не обладающих свойством P1, причем A1 ∪ A '1 = A1, A1 ∩ A ' = ∅. 1

Пример. Сформулировать определение понятия "трапеция", подобрав ближайшее родовое понятие и указав видовое отличие понятия "трапеция". Решение. A = { x } -множество плоских четырехугольников. Введем свойство P1 - свойство четырехугольника иметь одну пару параллельных сторон. Тогда множество A = { x } разобьется на два подмножества A = { x } и A ' = { x }, где A = { x | x ∈ A ∧ P (x) } - множество 1

1

1

– 18 –

1

трапеций и A '1 = { x | x ∈ A ∧ P1 ( x ) } - множество остальных четырехугольников -не трапеций, при этом A1 ∪ A '1 = A; A1 ∩ A '1 = ∅. Определение: Трапецией называется четырехугольник, имеющий одну пару параллельных сторон. Ближайший род понятий для определения трапеции четырехугольник. Видовое отличие трапеции от четырехугольника наличие одной пары параллельных сторон.

§ 10.Контрольная работа № 2. Задание 1. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, опираясь на теоретико-множественную терминологию. 1) Таня нашла 12 грибов, Коля - в три раза меньше, чем Таня, а Сережа нашел на 2 гриба больше, чем Коля. Во сколько раз больше грибов оказалось у Тани, чем у Сережи? 2) Миша нашел 8 грибов, а Коля - на 4 больше, чем Миша. Таня нашла в два раза меньше грибов, чем Коля. На сколько меньше грибов нашла Таня по сравнению с Колей? 3) Миша нашел 5 грибов, а Коля в два раза больше, чем Миша. Таня нашла на три гриба меньше, чем Коля. Сколько всего грибов нашли дети. 4) В среду в библиотеке побывало 75 человек, в четверг - на 25 человек меньше, а в пятницу - в два раза больше, чем в четверг. Сколько человек побывало в библиотеке за эти два дня? 5) В первый раз в лыжном походе участвовали 12 учеников, во второй - в два раза больше, чем в первый, а в третий - на три человека меньше, чем во второй. Сколько учеников участвовали в походе в третий раз. 6) Девочка принесла в одном пакете 12 морковок, а в другом - 21. Она раздала их поровну 9 кроликам. По сколько морковок она дала каждому кролику? 7) Для школьного сада привезли 24 саженца яблонь и 6 саженцев груш. Их посадили поровну в 6 рядов. Сколько саженцев посадили в каждом ряду? 8) В мебельный магазин привезли 500 книжных полок. 30 покупателей купили по 4 полки и 20 покупателей по 8 полок. Сколько полок осталось. 9) В школе в трех аквариумах было в каждом по 16 рыбок. 20 рыбок школьники подарили детскому саду. Сколько рыбок осталось? 10) Миша нашел 12 грибов, а Коля на 4 меньше, чем Миша. Таня нашла в два раза больше грибов, чем Коля. Сколько всего грибов нашли дети? Задание 2. Объясните, на основе каких законов произведены преобразования: 1) 279 + 320 + 621 = 279 + (320 + 621) = 279 + (621 + 320) = (279 + 621) + 320. 2) 164 + 321 + 336 = 164 + (321 + 336) = 164 + (336 + 321) = (164 + 336) + 321. 3) 28 + 81 + 172 = 28 + (81 + 172) = 28 + (172 + 81) = (28 + 172) + 81. 4) 28.34 = 28.(30 + 4) = 28.30 + 28.4 = (20 + 8).30 + (20 + 8).4. 5) 32.21 =(30 + 2).21 = 30.21 + 2.21 = 30.(20 + 1) + 2.(20 + 1). 6) 32 + 164.32 = 32.(1 + 164) = 32.165. 7) 152 + 24.152 = 152.(1 + 24) = 152.25. 8) 31.8 = (30 + 1).8 = 30.8 + 1.8. 9) 82 + 155 + 118 = 82 + (155 + 118) = 82 + (118 + 155) = (82 + 118) + 155. 10) 21 + 82 +179 = 21 + (82 + 179) =21 + (179 + 82) = (21 + 179) + 82.

– 19 –

Задание 3. Выполните указанные действия с числами в заданных позиционных системах счисления (все операции производить в любой из заданных систем, кроме десятичной). 1) ( 34829 + 63247 ) ⋅ 346 – 21345 = X7; 2) ( 65218 – 21425 ) ⋅ 829 + 34728 = X8; 3) ( 24819 + 34215) ⋅ 214 – 32426 = X4; 4) ( 82649 – 34216 ) ⋅ 467 + 36317 = X6; 5) ( 42627 + 32315 ) ⋅ 638 – 22113 = X8; 6) ( 22113 + 34215 ) ⋅ 278– 627 = X8; 7) ( 34728 + 63247 ) ⋅ 346 – 21324 = X6; 8) (21324 + 63248 ) ⋅ 657 – 22113 = X3; 9) ( 24819 + 21166 ) ⋅ 467 – 32428 = X7; 10) ( 32428 – 21197 ) ⋅ 289 –21113 = X9. Задание 4. Представьте заданные натуральные числа : – в каноническом разложении на простые множители, – в виде суммы степеней основания системы. 1) 3960; 6) 9702;

2) 41650; 7) 8712;

3) 113400; 8) 5148;

4) 10780; 9) 28600;

5) 7623; 10) 71825.

Задание 5. Найдите наибольший общий делитель чисел a и b при помощи алгоритма Евклида. 1) НОД ( 236, 824); 2) НОД ( 821, 362); 3) ÍÎÄ ( 824, 642); 4) ÍÎÄ ( 362, 254); 5) ÍÎÄ ( 824, 256); 6) ÍÎÄ( 821, 254); 7) ÍÎÄ( 236, 152); 8) ÍÎÄ( 362, 676); 9) ÍÎÄ( 1242, 824); 10) ÍÎÄ( 646, 1652). Задание 6. Найдите наибольший общий делитель чисел a и жения чисел на простые множители: 1) ÍÎÄ ( 3960, 17550); 2) ÍÎÄ ( 3) ÍÎÄ ( 4165, 10780); 4) ÍÎÄ ( 5) ÍÎÄ ( 7623, 9702); 6) ÍÎÄ ( 7) ÍÎÄ ( 8712, 5148); 8) ÍÎÄ ( 9) ÍÎÄ ( 286000, 71825); 10) ÍÎÄ (

b при помощи канонического разло17550, 41650); 10780, 7623); 9702, 8712); 5148, 286000); 71825, 39600).

Задание 7. Найдите наименьшее общее кратное чисел a и b при помощи канонического разложения чисел a и b на простые множители: 1) ÍÎÊ ( 1825, 960); 2) ÍÎÊ ( 8600, 1825); 3) ÍÎÊ ( 5148, 28600); 4) ÍÎÊ ( 8712, 5148); 5) ÍÎÊ ( 9702, 8712); 6) ÍÎÊ ( 7623, 9702); 7) ÍÎÊ ( 10780, 7623); 8) ÍÎÊ ( 41650, 10780); 9) ÍÎÊ ( 17550, 41650); 10) ÍÎÊ ( 3960, 17550). Задание 8. Найдите наименьшее общее кратное чисел a и b при помощи формулы:

– 20 –

НОК (a , b) = 1) 3) 5) 7) 9)

ÍÎÊ ( ÍÎÊ ( ÍÎÊ ( ÍÎÊ ( ÍÎÊ (

646, 1242, 821, 362, 821,

1652); 824); 254); 254); 362);

2) 4) 6) 8) 10)

a ⋅ b НОД (a , b) ÍÎÊ ( ÍÎÊ ( ÍÎÊ ( ÍÎÊ ( ÍÎÊ (

362, 236, 824, 824, 236,

646); 152); 256); 642); 824).

Задание 9. При помощи общего признака делимости Б.Паскаля определить, делится ли первое число на второе: 1) 34682 на 24;. 2) 24826 на 12; 3) 48682 на 42; 4) 24848 на 14; 5) 84842 на 46; 6) 62842 на 21; 7)286646 на 52; 8) 64289 на 13; 9) 14868 на 18; 10) 8976 на 34. Задание 10. Сформулировать определение заданного понятия через ближайший род и видовое отличие: 1) Равнобедренный треугольник. 2) Прямоугольный треугольник. 3) Четное число. 4) Прямоугольник. 5) Параллелограмм. 6) Равносторонний треугольник. 7) Число, кратно 5. 8) Квадрат. 9) Ромб. 10) Четырехугольник.

– 21 –

ГЛАВА 3.Контрольная работа N 3. § 11.Функция. 53. Отображением f, или функциональным соответствием, множества X в множество Y называется такое соответствие между этими множествами, при котором каждому элементу x ∈ X соответствует один и только один элемент y ∈ Y. Если в отображении f элементу x ∈ X соответствует элемент y ∈ Y, то пишут y = f(x). Эта же запись является общей записью заданной функции, x называют значением аргумента, y - значением функции на произвольном значении аргумента x. Пример. y = f(x) = 2 x2 + 3 x + 4, x - аргумент, y = 2 x2 + 3 x + 4 - значение функции на произвольном значении аргумента x.

54. Множество A ⊆ X, состоящее из элементов x, для которых найдется y ∈ Y такое, что y = f(x), называется областью определения функции. Пример.

Пусть y = x 2 - 4 , значение функции y существует при x2- 4 ≥ 0,т.е x2 ≥ 4, | x | ≥ 2 или (– ∞ , –2] ∪ [2, ∞ ).

55. Если X и Y - числовые множества, то y = f(x) называется числовой функцией числового аргумента. 56. Графиком функции y = f(x), x ∈ X, называется множество всех упорядоченных пар вида ( x, f(x) ), где x - значение аргумента, f(x)- значение функции на заданном значении аргумента x. 57. Функции можно задать различными способами: формулой, графиком, таблицей, описанием. Пример1. Пусть функциональная зависимость между переменными x и y задана в виде таблицы:

x

1

2

3

4

5

y

5

7

9

11

13

Эту же зависимость можно выразить формулой: y = 2 x + 3. Пример 2. Функция y = 2 x - 4 задана на полуинтервале X = ( -2, 3 ]. Найти область определения функции, построить график функции и найти множество значений функции. Решение. 1) Областью определения функции y = 2 x - 4 является полуинтервал X = ( -2, 3 ]. 2) График функции имеет вид:

– 22 –

Y

2 -2

0

3

-8

Рис.7.

3) Множество значений Y функции y = 2 x - 4 на области определения X = ( -2, 3 ] является полуинтервал Y = ( -8, 2 ], Пример3. Функция y = x2 – 5 x + 6 задана на интервале X = R. Построить график функции y = x2 – 5 x + 6 и найти область определения и множество значений функции. Решение. Корнями уравнения x2 – 5 x + 6 = 0 являются числа x1 = 2 и x2 = 3. Т.к. a = 1 > 0,то ветви графика функции y = x2 – 5 x + 6 направлены вверх, это парабола, пересекающая ось OX в точках x1 = 2, x2 = 3, с вершиной, вычисляемой по формуле: b −5 5 x0 = − =− = 2a 2 ⋅1 2 2 2 25 25 1 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛5 y = f (x 0 ) = ⎜ ⎟ - 5 ⋅ ⎜ ⎟ + 6 = − + 6 = − , M0⎜ ; - ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝2 4 2 4 4⎠ 1

Область определения функции X = R, множество значений - Y = [ − , ∞ ). 4

– 23 –

Y

6

0

3

2

M0

X

Рис.8 Пример4. Функция y = x2 – 4 x + 3 задана на промежутке X = [ -1, 4 ]. Построить график функции y = x2 – 4 x + 3,найти область определения функции и множество значений. Решение. 1) Графиком функции является парабола, пересекающая ось ОХ в точках x1 = 1 и x2 = 3, которые являются корнями уравнения x2 – 4 x + 3 = 0. Так как a = 1 > 0,то ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы расположена в точке M0( x0; y0), b −4 x0 = − =− =2 2a 2 y = f(x) = 22 – 4 ⋅ 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = -1; M0( 2; -1)

2) Областью определения функции является промежуток X = [ -1, 4 ]. 3) Множеством значений функции является промежуток Y = [ a, b ], где a = -1 (координата вершины параболы), а b = f(-1) = (-1)2 – 4 ⋅(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8, Y = [ -1, 8 ].

– 24 –

Y 8

0

3

1

4

X

M0

Рис.9.

§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства. 58. Выражением называется последовательность букв латинского алфавита, чисел, знаков действий и скобок. Пример.

3 a + ( 4 x - 2 ).

59. Если выражение содержит одни числа, то выражение называется числовым; если в выражение включены буквы, то выражение называется выражением с переменными. Обозначается: f(x) = 3 x - 5, g(x, y) = 3 x + 2 y – 6. Пример. 2 ⋅ 4 + 6 ⋅ 8 - 2-числовое выражение, 3 x -2 - выражение с переменной x.

60. Значениями переменной называются числа, которые можно подставлять в выражение вместо переменной. Множество таких чисел называется областью определения данного выражения. 61. Пусть A и B - два числовых выражения. Соединим их знаками равенства и неравенства. Тогда: A = B -числовое равенство, A > B, A < B -числовые неравенства. Пример. 36 - 2 ⋅ 4 = 7 ⋅ 4; 35 : 5 - 2 > 3.

– 25 –

62. Пусть f(x) и g(x) - два выражения с переменной x, если соединить их знаками равенства (=) или неравенства (>,<), то получим равенство или неравенства с переменной. Пример. 3 x + 6 = 8 x - 2; 3 x + 4 < 2 x + 5.

63. Предикат вида f(x) = g(x), x ∈ X, называется уравнением с одной переменной на числовом множестве X. Множество истинности T этого предиката называется множеством решений уравнения. Решить уравнение - это значит найти его множество истинности T. Квадратное уравнение a⋅x2 + b⋅x + c = 0 решается по формуле: x 1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

Пример. 2x 2 − 5x − 12 = 0, x 1, 2 = 3

x 1 = 4; x 2 = − ; 2

5 ± 25 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −12 ) 5 ± 11 = 2⋅2 4

Ответ: { 4, −

3 2

}.

64. Если в уравнении f(x) = g(x) множество истинности T совпадает с областью определения X, то уравнение становится тождеством. Пример. ( x + 3 )2 = x2 + 6 x + 9.

65. Если к обеим частям уравнения f(x) = g(x), заданного на множестве X, прибавить выражение h(x), определенное на этом же множестве X, то получим уравнение, равносильное данному. Обозначается: ( f(x) = g(x) ) ⇔ ( f(x) + h(x) = g(x) + h(x) ). Пример. Решить уравнение: 3 x + 3 = 8 x - 2. Решение. а) Прибавим к обеим частям уравнения выражение h(x) = ( -8 x - 3): 3 x + 3 + ( -8 x - 3 ) = 8 x - 2 + ( -8 x - 3 ). б) Используя тождественные преобразования выражений, получим: ( 3 x - 8 x ) + ( 3 - 3 ) = ( 8 x - 8 x ) - 2 - 3. в) Проведя вычисления, получим: - 5 x = -5 или x = 1.

66. На базе сформулированной теоремы основан прием переноса членов уравнения из одной части уравнения в другую.

67. Если обе части уравнения f(x) = g(x), заданного на множестве X, умножить на вы-

ражение h(x) ≠ 0, имеющее численное значение на X, то получим уравнение, равносильное данному. Обозначается: ( f(x) = g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) = g(x) h(x) ).

Пример. При решении предыдущего уравнения обе части уравнения -5 x = -5 умножили на 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ число − : 5x ⋅ ⎜ − ⎟ = 5 ⋅ ⎜ − ⎟ , х =1. ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ 5

– 26 –

68. Предикат вида f(x) > g(x) ( f(x) < g(x) ), x ∈ X, называется неравенством одной переменной на числовом множестве X. Множество T истинности этого предиката называется множеством решений неравенства. Решить неравенство - это значит найти его множество истинности T. 69. Если к обеим частям неравенства f(x) < g(x) ( f(x) > g(x) ), заданного на множестве X, прибавить выражение h(x), заданное на этом же множестве X и имеющее на нем численное значение, то получим равносильное неравенство того же смысла. Обозначается: ( f(x) > g(x) ) ⇔ ( f(x) + h(x) < g(x) + h(x) ) или ( f(x) > g(x)) ⇔ ( f(x) + h(x) > g(x) + h(x) ). Пример. Решить неравенство: 2 x - 2 > x + 4. Решение. а) Прибавим к обеим частям неравенства выражение h(x) = 2 - x: 2 x - 2 + ( 2 - x ) > x + 4 + ( 2 - x ). б) Используя тождественные преобразования выражений, получим: 2 x - x -2 + 2 > x - x +4 + 2. в) После вычислений имеем: x > 6.

70. Если обе части неравенства f(x) < g(x) ( f(x) > g(x) ), заданного на множестве X, умножить на выражение h(x) > 0, определенное на этом же множестве X и имеющее численное значение, то получим равносильное неравенство того же смысла. Обозначается: ( f(x) < g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) < g(x) h(x) ) или ( f(x) > g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) > g(x) h(x) ). Пример. Решить неравенство: 6 x < 12. Решение.

Умножим обе части неравенства на число

1 6

>0: 6 x ⋅

1 6

1

< 12 ⋅ , откуда x < 2. 6

71. Если обе части неравенства f(x) < g(x) ( f(x) > g(x) ),заданного на множестве X, умножить на выражение h(x) < 0, определенное на этом же множестве X, то получим равносильное неравенство противоположного смысла. Обозначается: ( f(x) > g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) < g(x) h(x) ) или ( f(x) < g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) > g(x) h(x) ). Пример. Решить неравенство: 8 x + 4 < 10 x - 6. Решение. а) Прибавим к обеим частям неравенства выражение h(x) = - 4 - 10 x, 8 x + 4 + ( -4 - 10 x ) < 10 x - 6 + ( -4 - 10 x ). б) Используя тождественные преобразования, имеем -2 x < -10. 1

в) Умножим обе части неравенства на число a = − : 2

1

1

2

2

-2 x ( − ) > -10 ( − ), откуда x > 5.

§ 13. Элементы аналитической геометрии на плоскости. 72. Уравнение прямой l на плоскости может быть записано различными способами: – 27 –

а) А x + В y + С = 0 - уравнение прямой в общем виде, б) y = k x + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом, x y в) + = 1 - уравнение прямой в отрезках, a b г) y - y1 = k ( x - x1 ) - уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1; y1) в направлении заданного углового коэффициента к, x − x1 y − y1 = д) - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки x 2 − x1 y 2 − y1 M1(x1; y1) и M2(x2; y2).

73. Уравнение прямой l можно преобразовать из одного вида в другой. Пример1. Уравнение прямой А x + В y + С = 0 привести к уравнению (а) прямой в отрезках и к уравнению (б) прямой с угловым коэффициентом. Решение. Пусть l: 2 x + 3 y + 8 = 0.

а) 2 x + 3 y + 8 = 0 ⇒ 2 x + 3 y = - 8 ⇒

2x 3y x y x y + =1 ⇒ + =1 ⇒ + = 1; 8 8 8 −8 −8 −4 −

2

−

−

3

3

где a = -4 - это отрезок, отсекаемый прямой l от оси ОХ, считая от начала координат; b =

−

8 3

- это отрезок, отсекаемый прямой l от оси OY, считая от начала координат. б) 2 x + 3 y + 8 = 0 ⇒ 3 y = -2 x - 8 ⇒ y = циент прямой l, b =

−

8 3

−

2 3

x

−

8 3

, где k =

−

2 3

- это угловой коэффи-

- это отрезок , отсекаемый прямой l от оси OY, считая от начала ко-

ординат. Пример2. x y + = 1 привести к уравнению (а) прямой в общем виде и уравa b нению (б) прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой

Решение. x y + = 1. 3 8 x y x y а) + = 1 ⇒ + -1 = 0 ⇒ 8 x + 3 y - 24 = 0. 3 8 3 8 x y y x 8 8 б) + = 1 ⇒ = - + 1 ⇒ y = − x + 8, где k = − - угловой коэффициент прямой 3 3 3 8 8 3 l, b = 8 -отрезок, отсекаемый прямой l от оси OY, считая от начала координат.

Пусть l:

Пример3. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку M(2; -3) с угловым коэффициентом, равным угловому коэффициенту прямой m:3 x - 4 y + 5 = 0. Решение. а) Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку M(2; -3): y - y1 = k ( x - x1 ) ⇒ l: y + 3 = k ( x - 2 ).

– 28 –

б) Неизвестный угловой коэффициент к искомой прямой равен угловому коэффициенту прямой m: 3 x - 4 y + 5 = 0, тогда -4 y = - 3 x - 5 ⇒ 4 y = 3 x + 5 ⇒ y =

3 4

x+

5 4

⇒k=

в) Так как угловые коэффициенты прямых l и m равны, то подставляем k = мое уравнение: l: y + 3 = k ( x - 2 ) y + 3 =

3 4

3 4

3 4

.

в иско-

( x - 2 ). 3

г) Уравнение прямой l можно привести к общему виду: y + 3 =

4

( x - 2 ) ⇒ 4 y + 12 =

3 x - 6 ⇒ 3 x - 4 y - 18 = 0. Пример4. Составить уравнение прямой l, проходящей через две точки: M(2; -3) и N(6; 5). Решение.

а) Используем формулу

x − x1 y − y1 x−2 y+3 = , тогда . = 6− 2 5+ 3 x 2 − x1 y 2 − y1 x−2 y+3 = ⇒ 6− 2 5+ 3

б) Полученное уравнение можно привести к общему виду: x−2 y+3 x−2 y+3 ⇒ ⇒ 2 ( x - 2 ) = y + 3 ⇒ 2 x - y -7 = 0. = = 4 8 1 2

74. Условие параллельности двух прямых l: y = k1 x + и m: y = x + b2 записывается: k1= k2.

75. Условие параллельности двух прямых l: A1 x + B1 y + C1 = 0 и m: A2 x + B2 y + C2 = 0 записывается: A 1 A 2 C1 = ≠ B1 B 2 C 2

Пример.

а) Пусть l: 3 x + 6 y - 2 = 0; m: 6 x + 12 y + 4 = 0. Так как

3

=

6

6

2

12

≠ − , то прямые l и m 4

параллельны. б) Пусть l: 3 x + 6 y - 2 = 0; m: 6 x + 12 y - 4 = 0, здесь

3 6

=

6 12

=

−2 −4

, такие прямые l и m

являются совпадающими. в) Пусть l: y = 3 y + 5, m: y = 3 x - 8, = 3 и k2 = 3, то прямые l и m параллельны.

76. Условия перпендикулярности двух прямых l: y = k1 x + b1 и m: y = k2 x + b2 записывается: k 1 =

1 . k2

77. Условия перпендикулярности двух прямых l: A1 x + B1 y + C1 = 0 и m: A2 x + B2 y + C2 = 0 записывается: A1 A2 + B1 B2 = 0 Пример1.

а) Пусть l: y = 2 x + 4, m: y = −

x + 5, так как k1 = 2, k2 = 2

−

1 2

и k1 = −

1 , то прямые l k2

и m перпендикулярны. б) Пусть l: 3 x - y + 5 = 0, m: x + 3 y - 8 = 0,так как A1 = 3, A2 = 1, B1 = -1, B2 = 3, и A1 A2 + B1 B2 = 3 ⋅ 1 - 1 ⋅ 3 = 0, то прямые l и m перпендикулярны. – 29 –

Пример2. Дан треугольник A(3; 1), B(4; 5), C(-2; 0), составить уравнения: 1) Стороны AB. 2) Медианы AM. 3) Высоты BK. Решение. 1) Сторона AB проходит через точки A(3; 1) и B(4; 5), поэтому используем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B: A(3; 1) и B(4; 5) ⇒ x − x1 y − y1 x − 3 y −1 x − 3 y −1 = = ⇒ ⇒ ⇒ 4 ( x -3 ) = y - 1, = 4 − 3 5−1 1 4 x 2 − x1 y 2 − y1 откуда AB: 4 x - у - 11 = 0. 2) Медиана AM проходит через две точки A(3; 1) и M(x, y), где M -точка середины отрезка BC. Поэтому 4 + ( −2 ) 5+ 0 5 = 1, y = = . x= 2 2 2 5

Составляем уравнение прямой AM, проходящей через точки A(3; 1) и M(1, ): 2

AM:

x − 3 y −1 x − 3 2( y − 1) x − 3 2y − 2 = = ⇒ ⇒ ⇒ 3 ( x - 3 ) = -2 ( 2 y - 2 ) ⇒ = −2 −2 5− 2 3 1− 3 5 −1 2

3 x - 9 = -4 y + 4 ⇒ AM: 3 x + 4 y - 13 = 0. 3) Высота BK проходит через точку B(4; 5) перпендикулярно прямой AC. а) Составляем уравнение прямой AC и находим ее угловой коэффициент k1. б) Находим угловой коэффициент k2 прямой BK, перпендикулярной прямой AC, по 1 формуле k 1 = − . k2 в) Составляем уравнение прямой BK, проходящей через точку B(4; 5) с угловым коэффициентом k2: x−3 y −1 x − 3 y −1 x − 3 y −1 ⇒ ⇒ x - 3 = 5 ( y - 1 ) ⇒ x - 3 = 5 y - 5, = = = − 2 − 3 0−1 −5 −1 5 1 x 2 1 AC: y = + , k1 = 5 5 5 2) k2 = - 5. 3) BK: y - 5 = -5 ( x - 4 ) ⇒ y - 5 = -5 x + 20 5 x + y - 25 = 0, ⇒ BK: 5 x + y -25 = 0.

1) AC:

§ 14.Вычисление площадей и объемов. 78. Площадь квадрата со стороной a вычисляется по формуле S = a2. Площадь прямо-

угольника со сторонами a и b вычисляется по формуле S = a ⋅ b.

79. Объем куба с ребром a вычисляется по формуле V = a3, площадь поверхности ку-

ба вычисляется по формуле S = 6⋅a2.

80. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c вы-

числяется по формуле S = 2⋅c⋅( a + b) + 2⋅a⋅b. Объем вычисляется по формуле V = a⋅b⋅c.

81. Диагональным сечением параллелепипеда (куба) называется сечение, образованное двумя противоположными боковыми ребрами и двумя диагоналями оснований, соединяющими концы этих ребер. – 30 –

§ 15.Контрольная работа № 3. Задание № 1. Найдите область определения функции: 4 1) y = 2x + x−2 2) y = 1 − x 2 5x 1 + 3) y = x − 3 x +1 3 4) y = + x2 + 1 x−2 2x +6 5) y = x−3

6) y =

1 4 − x2

+

2 x

7) y = 2x 2 + 3x − 1 8) y = 2 − x 2 9) y = x 2 + 4 + x 2 − 1 10) y = 4x +

1 2x − 3

Задание № 2. Выразите формулой функциональную зависимость, заданную таблицей: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

x

1

2

3

4

5

y

2

5

8

11

14

x

1

2

3

4

5

y

32

4

5

6

7

x

1

2

3

4

5

y

5

7

9

11

13

x

1

2

3

4

5

y

6

8

10

12

14

x

1

2

3

4

5

y

1

3

5

7

9

x

1

2

3

4

5

y

9

15

21

27

33

x

1

2

3

4

5

y

8

16

24

32

40

x

1

2

3

4

5

y

2

6

10

14

18

x

1

2

3

4

5

y

4

7

10

13

16

x

1

2

3

4

5

y

6

7

8

9

10 – 31 –

Задание № 3. Для функции y = f(x), заданной на множестве X, построить график, найти область определения и множество значений функции. 1) y = x 2 − 5x + 4 ; X = R. 6) y = x 2 − 11x + 24 ; X = [ 2; 5 ]. x 2) y = + 1 ; X = [ -1; 2 ]. 7) y = x 2 − 7x + 10 ; X = ( 1, 6 ). 2 3) y = x 2 − x − 6 ; X = [ 0; 2 ]. 8) y = x + 3 ; X = [ -1; 4 ). x 4) y = 2x − 4 ; X = ( -2; 2 ). 9) y = − + 3 ; X = [ -2; 2 ]. 3 x 5) y = x 2 − 3x − 4 ; X = [ 0; 5 ). 10) y = − − 1 , X = [ 0; 3 ). 2 Задание № 4. Решите уравнение и объясните, какие теоремы о равносильности уравнений использовались при тождественных преобразованиях: 3x − 2 2x − 5 7x + 4 3x − 5 1) x − = 3− ; 6) ; −x= 5 3 2 2 2x + 20 3x − 6 2 = 6x − 2) 2x + ; 7) 2x + 3(x + 2) = (8x - 3) ; 4 2 3 6x + 4 3x − 12 5x + 7 24 + 4x 3) ; 8) − 2x = + = 6x + 11 ; 8 3 2 5 6x − 24 3x + 4 83 3x + 2 8 + 3x 1 = 2x + + = 8x − + ; 4) ; 9) 6 5 5 4 4 2 6x − 4 3x + 4 7 5x + 4 65 5) ; 10) x + = − . − 3(x − 2) = 3x − 8 2 2 6 6 Задание № 5. Решите неравенство и проиллюстрируйте ответ на числовой прямой: 3x x 1) + 5 > 2x − 3 ; 6) 8x − 1 ≥ + 1; 2 3 8x 3 8x + 7; − 1; 2) 2x − 4 ≤ 7) 4x − ≥ 3 2 3 24x 2x 3x 3) 3x − 1 < 8) +1; −1 < + 1; 9 3 4 5x 21x 4) 3x − 2 < 9) + 1; + 1 ≤ 6x + 2 ; 8 2 3 3x 8x 7x + 1; +1 < −1. 5) 2x + ≤ 10) 2 2 3 3 Задание 6. Уравнение прямой в общем виде А x + В y + С = 0 преобразуйте к уравнению прямой с угловым коэффициентом и уравнению прямой в отрезках, постройте прямую: 1) 3 x + 5 y - 6 == 0; 6) 4 x - y - 5 = 0; 2) 2 x + 3 y + 6 = 0; 7) -3 + 5 y + 6x = 0; 3) 4 x + y - 5 = 0; 8) 2 y - 2 + 3x = 0; 4) 3 x - 5 y + 6 = 0; 9) 2 x - 3 y + 5 = 0; 5) 2 x - 3 y - 6 = 0; 10) x - y - 5 = 0. – 32 –

Задание № 7. Дан треугольник ABC, составить уравнения: а) стороны AB, в) медианы AM, с) высоты AK, если: 1) A(0; 1), B(-2; 3), C(6; 2); 6) A(4; 0), B(2; -5), C(3;-1); 2) A(-1; 3), B(2; -3), C(-2; 4); 7) A(0; 2), B(5; -1), C(3, 1); 3) A(1; 3), B(0; 2), C(5; -1); 8) A(2; -4), B(-3; 2), C(3; -1); 4) A(-3; 2), B(4; 1), C(-1; 3); 9) A(3; -2), B(1; 0), C(2; 6); 5) A(3; 6), B(-5; 2), C(0; 4); 10) A(1; 4), B(2; -3), C(-2; 3). Задание № 8. Выберите три неравных отрезка a, b, c и постройте отрезок d, равный: 1) d = a + b + 2c; 6) d = b + 2a - 2c; 2) d = 2a + b - c; 7) d = 3a + 2b + c; 3) d = 2a - b + c; 8) d = 3a + b - c; 4) d = a - b + 2c; 9) d = 2a - b + 2c; 5) d = 2c - a + b; 10) d = a + b + c. Задание № 9. Периметр прямоугольника равен Р см, расстояние от точки пересечения диагоналей до одной стороны прямоугольника больше, чем расстояние этой точки до другой стороны, на a см. Найдите площадь S прямоугольника, если: 1) P = 52 см, a = 7 см.; 6) P = 84 см, a = 4 см.; 2) P = 48 см, a = 2 см.; 7) P = 56 см, a = 3 см.; 3) P = 96 см, a = 2 см.; 8) P = 68 см, a = 3 см.; 4) P = 68 см, a = 6 см.; 9) P = 96 см, a = 4 см.; 5) P = 92 см, a = 4 см.; 10) P = 104 см, a = 6 см. Задание № 10. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, его объем и площадь диагонального сечения по трем его измерениям a, b, c если: 1) a = 10 см, b = 22 см, c = 16 см, 2) a = 12 см, b = 16 см, c = 20 см, 3) a = 8 см, b = 21 см, c = 18 см, 4) a = 4 см, b = 10 см, c = 24 см, 5) a = 6 см, b = 12 см, c = 10 см, 6) a = 2 см, b = 11 см, c = 12 см, 7) a = 3 см, b = 8 см, c = 14 см, 8) a = 4 см, b = 20 см, c = 14 см, 9) a = 6 см, b = 12 см, c = 20 см, 10) a = 4 см, b = 12 см, c = 16 см.

– 33 –

ГЛАВА 4.Формы и содержание отчетности студентов. § 16.Формы отчетности студентов. По учебному плану для заочного отделения специальности № 031200 «Педагогика и методика начального образования» предполагается следующая отчетность студентов. 1 курс, 1 семестр: контрольная работа № 1, зачет. 1 курс, 2 семестр: контрольная работа № 2, экзамен. 2 курс, 4 семестр: контрольная работа № 3, экзамен. 4 курс, 8 семестр: государственный экзамен (для тех, кто не пишет дипломную работу).

§ 17.Содержание материала для зачетов и экзаменов. 1 курс, 1 семестр. Вопросы для зачета. 1. Понятие множества, символика, способы задания множеств, числовые множества. Примеры множеств из курса математики начальной школы. 2. Понятие взаимно-однозначного соответствия между множествами, равные множества, равносильные множества. Примеры из курса математики начальной школы. 3. Множества конечные и бесконечные. Числовые промежутки. Числовые множества N, N0, Q, Z, R. 4. Понятие включения множества B в множество A (множество B - подмножество множества A). Свойства включения множеств, иллюстрация кругами Эйлера. 5. Операция пересечения множеств, свойства пересечения, иллюстрация кругами Эйлера. 6. Операция объединения множеств, свойства объединения, иллюстрация кругами Эйлера. Примеры объединения множеств из курса математики начальной школы. 7. Операции разности и дополнения множеств, иллюстрация кругами Эйлера. Удаление части множества на примерах из курса математики начальной школы. 8. Система координат на прямой, нахождение расстояния между двумя точками на прямой. Примеры. 9. Деление отрезка в отношении λ ≠ -1 на прямой, примеры. 10. Система координат на плоскости. Координаты точки на плоскости. Построение точек, симметричных данным точкам относительно осей OX, OY. 11. Расстояние между двумя точками на плоскости, примеры. 12. Деление отрезка в отношении λ ≠ -1 на плоскости, примеры. 13. Декартово произведение двух множеств, свойства, примеры иллюстрации декартова произведения двух множеств на координатной плоскости. 14. Понятие высказывания, понятие операции с высказываниями, примеры высказываний из курса математики начальной школы. 15. Операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции с высказываниями, свойства операций. Примеры из курса математики начальной школы. 16. Понятие одноместного предиката, множество истинности одноместного предиката, примеры из курса математики начальной школы. 17. Операции отрицания и дизъюнкции предикатов, множества их истинности, примеры. 18. Операция конъюнкции предикатов, множество истинности конъюнкции предикатов, примеры. – 34 –

19. Объем и содержание понятия. Способы определения понятия. 20. Определение понятия через ближайший род и видовое отличие путем классификации. 21. Понятие соответствия, бинарное соответствие. Понятия графа и графика соответствия. Примеры соответствий. 22. Соответствия противоположное и обратное. Примеры таких соответствий. 23. Понятие образа и полного прообраза в соответствии, примеры. 24. Бинарное отношение на множестве. Примеры бинарных отношений из курса математики начальной школы. 25. Свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности в отношении R, примеры таких отношений. 26. Отношение эквивалентности в множестве X, примеры отношений эквивалентности из курса математики начальной школы. 27. Отношение строгого порядка на множестве X, понятие упорядоченного множества, примеры из курса математики начальной школы. 28. Отношение нестрогого порядка на множестве X, примеры из курса математики. 29. Понятие отображения множества во множество, примеры. 1 курс, 2 семестр. Вопросы для экзамена. 1. Количественные и порядковые натуральные числа. История возникновения счета и понятия натурального числа. 2. Аксиомы Д.Пеано для множества натуральных чисел, определение множества N. 3. Принцип математической индукции в доказательстве предложений в множестве N, примеры. 4. Аксиомы сложения в множестве N, использование аксиом сложения в курсе математики начальной школы. 5. Аксиомы умножения в множестве N, использование аксиом умножения в курсе математики начальной школы. 6. Понятие натурального числа на теоретико-множественной основе, возможность теоретико-множественного истолкования натурального числа в курсе математики начальной школы, примеры. 7. Понятие равенства и неравенства натуральных чисел на теоретико-множественной основе, использование теоретико-множественного истолкования равенства и неравенства натуральных чисел в курсе математики начальной школы. 8. Упорядоченность множества натуральных чисел; понятие числа, непосредственно следующего за данным числом. Понятие упорядоченности множества натуральных чисел в курсе математики начальной школы. 9. Понятие последовательности натуральных чисел (на теоретико-множественной основе). 10. Количественные и порядковые натуральные числа, счет элементов множества, примеры из курса математики начальной школы. 11. Сложение натуральных чисел (на теоретико-множественной основе), свойства суммы, примеры из курса математики начальной школы. 12. Вычитание натуральных чисел на базе удаления части множества A; существование и единственность разности двух натуральных чисел; свойства разности, примеры из курса математики начальной школы. 13. Операция умножения натуральных чисел (на теоретико-множественной основе), свойства произведения: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Использование этих свойств в курсе математики начальной школы. – 35 –

14. Деление натуральных чисел, как операция разложения множества A на n конечных равносильных множеств либо как операция разложения множества A на множества, равносильные данному множеству B. Примеры из курса математики начальной школы. 15. Письменная десятичная система счисления, существование и единственность десятичной записи любого натурального числа. Примеры. 16. Запись чисел в позиционной системе счисления с основанием t, перевод чисел в десятичную систему счисления и обратно. Примеры. 17. Операции сложения, вычитания, умножения и деления чисел, заданных в системе счисления с основанием t. Примеры. 18. Понятие делимости натурального числа a на натуральное число b, свойства антисимметричности и транзитивности отношения деления. Примеры. 19. Признак делимости Б.Паскаля, частные признаки делимости на числа 2, 3, 5, 9. Примеры. 20. Понятие делителя числа, числа простые и составные. Числа взаимнопростые. Конечное множество делителей натурального числа a. Наличие наименьшего и наибольшего делителя у данного числа a. 21. Общие делители двух данных чисел. Наибольший общий делитель двух данных чисел: НОД (a, b), его нахождение с помощью алгоритма Евклида. Примеры нахождения НОД (a, b). 22. Общие делители двух данных чисел. Наибольший общий делитель двух данных чисел: НОД (a, b), его нахождение с помощью разложения чисел на простые множители. Примеры нахождения НОД (a, b). 23. Свойства НОД (a, b).Нахождение наибольшего общего делителя нескольких чисел, примеры. 24. Определение числа a, кратного данному числу b. Существование бесконечного множества чисел, кратных данному числу b. Примеры. 25. Общие кратные двух данных чисел. Наименьшее общее кратное двух данных чисел: НОК (a, b),его нахождение с помощью разложения чисел на простые множители. Примеры нахождения НОК (a, b). 26. Общие кратные двух данных чисел. Наименьшее общее кратное двух данных чисел: НОК (a, b), его нахождение по формуле: a ⋅ b НОК ( a , b) = . НОД ( a , b) Примеры. 27. Общие кратные нескольких чисел. Наименьшее общее кратное нескольких чисел: НОК(a, b, c,..d), его нахождение, примеры. 28. Каноническое разложение числа в произведение простых множителей, нахождение НОД (a, b) через каноническое разложение, примеры. 29. Каноническое разложение числа в произведение простых множителей, нахождение НОК (a, b) через каноническое разложение, примеры. 30. Множество простых чисел, теорема Евклида. 31. Признак простого числа, решето Эратосфена. 32. Понятие рационального неотрицательного числа, множество Q 0+ , равенство и неравенство неотрицательных рациональных чисел и свойства. Примеры. 33. Сложение чисел в множестве Q 0+ , существование и единственность суммы двух неотрицательных рациональных чисел, свойства коммутативности, ассоциативности суммы. Примеры. 34. Вычитание чисел в множестве Q 0+ ,существование и единственность разности двух рациональных неотрицательных чисел.

– 36 –

35. Умножение чисел в множестве Q 0+ , существование и единственность произведения в Q 0+ , свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности произведения. Примеры. 36. Деление чисел в множестве Q 0+ , существование и единственность частного двух неотрицательных рациональных чисел. 37. Понятие десятичной дроби, приведение десятичных дробей к общему знаменателю, операции с десятичными дробями. Понятие процента. Примеры.

2 курс, 4 семестр. Вопросы для экзамена. 1. Понятие функции. Числовая функция. Способы задания функции. Область определения, множество значений, график функции. Примеры. 2. Свойства функции: монотонность, ограниченность и неограниченность, четность и нечетность функции. Примеры. 3. Линейная функция y = k x + b, ее свойства, график. 4. Прямая пропорциональная зависимость y = k x, график. Примеры прямой пропорциональной зависимости из курса математики начальной школы. k 5. Обратная пропорциональная зависимость y = ,график. Примеры обратной пропорx циональной зависимости из курса математики начальной школы. 6. Квадратичная функция y = a x2 +b x +c, ее свойства и график. 7. Понятие числового выражения, равенство и неравенство числовых выражений. Значение числового выражения. Примеры числовых выражений из курса математики начальной школы. 8. Числовые равенства и неравенства как высказывания. Примеры равенств и неравенств из курса математики начальной школы. 9. Выражение с одной переменной. Тождество. Тождественное преобразование выражений. Примеры тождественных преобразований. 10. Уравнение с одной переменной как предикат. Понятие равносильности двух уравнений с одной переменной. Теорема о прибавлении к обеим частям уравнения выражения h(x), примеры использования этой теоремы при решении уравнения. 11. Уравнение с одной переменной как предикат. Понятие равносильности двух уравнений с одной переменной. Теорема об умножении обеих частей уравнения на выражение h(x), примеры использования этой теоремы при решении уравнения. 12. Аналитический метод решения уравнения (разложение левой части уравнения на множители), графический метод. Примеры решения уравнений. 13. Неравенство с одной переменной как предикат. Понятие равносильности двух неравенств с одной переменной. Теорема о прибавлении к обеим частям неравенства выражения h(x), примеры использования этой теоремы при решении неравенства. 14. Неравенство с одной переменной как предикат. Понятие равносильности двух неравенств с одной переменной. Теорема об умножении обеих частей неравенства на выражение h(x) > 0, примеры использования этой теоремы при решении неравенства. 15. Неравенство с одной переменной как предикат. Понятие равносильности двух неравенств с одной переменной. Теорема об умножении обеих частей неравенства на выражение h(x) < 0, примеры использования этой теоремы при решении неравенства. 16. Уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k x + b, построение прямой с различными значениями k и b. 17. Общее уравнение прямой А x + В y + С = 0, расположение этой прямой относительно декартовой прямоугольной системы координат при различных значениях А, В, С.

– 37 –

18. Параллельность двух прямых, заданных в виде (а) y = k x + b и (b) А x + В y + С = 0. Примеры уравнений параллельных прямых. 19. Перпендикулярность двух прямых, заданных в виде (a) y = k x + b и (b) А x + В y + С = 0. Примеры уравнений перпендикулярных прямых. 20. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом k. Примеры таких уравнений. 21. Уравнение прямой в отрезках, примеры уравнений прямой в отрезках. 22. Понятие аксиоматического метода построения математики. Примеры аксиоматических теорий. 23. Система аксиом и геометрических понятий школьного курса геометрии на плоскости. Понятия, изучаемые в курсе математики начальной школы. 24. Понятие геометрической фигуры. Плоские геометрические фигуры, изучаемые в курсе математики начальной школы: прямая, отрезок, угол, треугольник, квадрат, прямоугольник. Определения и свойства этих фигур, примеры. 25. Призма, прямоугольный параллелепипед, куб, пирамида, цилиндр, конус, определения этих фигур, изображение их на плоскости. 26. Общее понятие величины. Длина отрезка как величина, измерение длины отрезка. Стандартные единицы измерения длины, соотношения между ними. 27. Общее понятие величины. Площадь плоской фигуры как величина. Стандартные единицы измерения площади, соотношения между ними. 28. Общее понятие величины. Объем пространственной фигуры как величина. Стандартные единицы измерения объема, соотношения между ними.

4 курс, 8 семестр, государственный экзамен. Вопросы для государственного экзамена. ВОПРОС 1. Понятие множества, способы задания множеств, элемент множества, понятие пустого множества, использование символики для записи понятий множеств. Операции включения и пересечения множеств A и B. Примеры множеств, иллюстрация множеств кругами Эйлера. ВОПРОС 2. Понятие множества, способы задания множеств, элемент множества, использование символики для записи понятий множеств. Множества равные и неравные. Операции объединения и разности (дополнения) множеств A и B. Примеры. ВОПРОС 3. Понятие декартова произведения двух множеств A и B, геометрическая иллюстрация. Примеры декартова произведения двух множеств (конечных, бесконечных).Декартово произведение двух множеств, как основа для формирования понятия декартовой прямоугольной системы координат на плоскости. ВОПРОС 4. Декартова система координат на прямой и декартова прямоугольная система координат на плоскости. Изображения точек на прямой и плоскости. Точки, симметричные друг другу относительно осей координат и начала координат. Простейшие задачи: нахождение расстояния между двумя точками и деление отрезка в данном отношении на прямой и на плоскости. ВОПРОС 5. Понятие высказывания. Операции с высказываниями: отрицание высказывания, конъюнкция, дизъюнкция, импликация двух высказываний. Законы операций с высказываниями. Примеры высказываний в курсе математики начальной школы.

– 38 –

ВОПРОС 6. Понятие предиката, область определения предиката, множество истинности предиката. Операции с предикатами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция; законы операций. Теорема, как одноместный предикат. Примеры предикатов в курсе математики начальной школы. ВОПРОС 7. Понятие числового выражения, значения числового выражения. Числовые равенства и неравенства, их свойства. Числовые равенства и неравенства в курсе математики начальной школы. ВОПРОС 8. Выражение с переменной, область определения выражения с переменной. Понятие тождества. Понятие об уравнении с одной переменной, понятие о множестве его решений. Понятие равносильности двух уравнений с одной переменной. Основные теоремы о равносильных уравнениях. Примеры уравнений из курса математики начальной школы. ВОПРОС 9. Понятие о неравенстве с одной переменной и множестве его решений. Понятие равносильности двух неравенств с одной переменной, основные теоремы о равносильных неравенствах. Примеры неравенств с одной переменной в курсе математики начальной школы. ВОПРОС 10. Понятие о бинарном соответствии между элементами двух множеств X и Y, о бинарном отношении между элементами одного множества X. Граф бинарного отношения. Свойства бинарных отношений в множестве X: рефлексивность (антирефлексивность), симметричность (антисимметричность), транзитивность. Привести примеры различных отношений. ВОПРОС 11. Понятие о бинарном отношении в множестве X. Отношения эквивалентности и порядка в множестве X, примеры отношений эквивалентности и порядка (строгого и нестрогого). ВОПРОС 12. Понятие функции, как отображения; понятие области определения и множества значений функции. Числовые функции. График функции. Свойства числовых функций; монотонность, ограниченность и неограниченность функции, четность и нечетность функции на симметричном промежутке. Примеры элементарных числовых функций. ВОПРОС 13. Линейная функция и ее свойства. Прямая пропорциональная зависимость, как частный случай линейной функции. Обратная пропорциональная зависимость. Графики прямой и обратной пропорциональной зависимостей, примеры. ВОПРОС 14. Аксиоматический подход к понятию целого неотрицательного числа. Аксиомы Пеано для множества натуральных чисел N и множества целых неотрицательных чисел N(0). Аксиомы суммы и произведения в N и N(0). Аксиомы Пеано в курсе математики начальной школы. ВОПРОС 15. Теоретико-множественный подход к понятию натурального числа (количественная теория). Определение натурального числа. Отношение равенства и неравенства в множестве натуральных чисел N. Образование последовательности N. Свойства последовательности N: упорядоченность, дискретность, бесконечность. ВОПРОС 16. Теоретико-множественный подход к понятию натурального числа: определение суммы двух натуральных чисел, существование суммы и ее единственность. Определение действия сложения в множестве N, законы сложения, примеры.

– 39 –

ВОПРОС 17. Теоретико-множественный подход к понятию натурального числа: определение умножения натурального числа a на натуральное число b (b не равно единице, b равно единице); существование и единственность произведения, свойства умножения, примеры. ВОПРОС 18. Теоретико-множественный подход к понятию натурального числа: определение разности двух натуральных чисел a и b, существование и единственность разности двух чисел. Действие вычитания двух натуральных чисел; свойства вычитания. Связь вычитания со сложением. ВОПРОС 19. Теоретико-множественный подход к понятию натурального числа: определение частного двух натуральных чисел, существование и единственность частного. Действие деления натуральных чисел, связь деления с умножением, свойства деления. ВОПРОС 20. Понятие отношения делимости в множестве N. Свойства отношения делимости: рефлексивность, антисимметричность, транзитивность. Деление натурального числа a на единицу и на нуль; деление нуля на число a. ВОПРОС 21. Общий признак делимости Б.Паскаля. Признаки делимости натурального числа а на числа 2, 3, 5, 9, 25. ВОПРОС 22. Делители натурального числа а; конечное множество таких делителей. Числа простые и составные. Общие делители двух(нескольких) натуральных чисел; конечное множество общих делителей двух (нескольких) натуральных чисел. Наибольший общий делитель двух (нескольких) натуральных чисел: НОД (a, b), (НОД (a, b,...c)). Нахождение НОД (a, b) с помощью алгоритма Евклида и разложением чисел a и b на простые множители. ВОПРОС 23. Числа, кратные данному натуральному числу a. Существование бесконечного множества чисел, кратных данному числу a. Общие кратные двух (нескольких) натуральных чисел. Наименьшее общее кратное двух (нескольких) натуральных чисел: НОК (a, b), НОК (a, b,...c). Нахождение НОК (a, b) путем разложения чисел a и b на простые множители и по формуле, связывающей НОД (a, b) и НОК (a, b). ВОПРОС 24. Понятия числа простого и числа составного. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел. Основная теорема арифметики. Признак простого числа. Решето Эратосфена. Простые числа-близнецы. ВОПРОС 25. Понятие позиционной системы счисления. Десятичная система счисления. Системы счисления, отличные от десятичной. Системы счисления с различными основаниями: t = 10, t = 3, t = 8. Операции над целыми неотрицательными числами, записанными в различных системах счисления. ВОПРОС 26. Принципы построения учения о рациональных неотрицательных числах. Аксиомы равенства и неравенства рациональных неотрицательных чисел. ВОПРОС 27. Понятие суммы в множестве рациональных неотрицательных чисел, свойства суммы. Определение действия сложения. Действие вычитания чисел вида a / b и c / d, как действие, обратное сложению. Свойства вычитания. ВОПРОС 28. Понятие произведения чисел в множестве рациональных неотрицательных чисел, свойства произведения. Определение действия умножения, действия деления. Свойства деления.

– 40 –

ВОПРОС 29. Понятие аксиоматического метода построения теории (математики).Аксиомы геометрии на плоскости в школьном курсе математики. Понятие геометрической фигуры на плоскости. Понятия геометрии в курсе математики начальной школы: прямая, отрезок, угол, прямой угол, треугольник, квадрат, прямоугольник, окружность, их основные свойства. ВОПРОС 30. Аксиомы, определяющие понятие величины. Длина отрезка, площадь плоской фигуры, объем пространственной фигуры, как величины. Вычисление длин отрезков, площадей простейших плоских и объемов простейших пространственных фигур, объемов простейших пространственных фигур.

– 41 –

ПРИЛОЖЕНИЕ Список рекомендуемой литературы. 1. Основная литература.

1. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî ìàòåìàòèêå / Ïîä ðåäàêöèåé Í.ß. Âèëåíêèíà. Ì., 1977. 2. Ëàâðîâà Í.Í., Ñòîéëîâà Í.Ï. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî ìàòåìàòèêå: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâçàî÷íèêîâ I-Ø êóðñîâ. Ì.,1985. 3. Ìàòåìàòèêà: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ïåäèíñòèòóòîâ. Ì., 1977. 4. Ñòîëÿð À.À., Ëåëü÷óê Ì.Ï. Ìàòåìàòèêà äëÿ ñòóäåíòîâ 1 êóðñà ôàêóëüòåòîâ ïîäãîòîâêè ó÷èòåëåé íà÷àëüíûõ êëàññîâ ïåä. âóçîâ / Ïîä ðåäàêöèåé À.À. Ñòîëÿðà. Ìèíñê, 1976. 5. Ð.À. Àëåêñàíäðîâà, À.Ì. Ïîòàïîâà. Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè / Ïðàêòèêóì. - Êàëèíèíãðàä, 1997. 6. Îðãàíèçàöèÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ñòóäåíòîâ â ïðîöåññå ïîäãîòîâêè ê ãîñóäàðñòâåííûì ýêçàìåíàì: Ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè äëÿ ñòóäåíòîâ çàî÷íîãî è âå÷åðíåãî îòäåëåíèé ïî ñïåöèàëüíîñòè 031200 «Ïåäàãîãèêà è ìåòîäèêà íà÷àëüíîãî îáðàçîâàíèÿ» / Êàëèíèíãð. óí-ò; Ñîñò. Ð.À. Àëåêñàíäðîâà, Â.Â. Ìàëûõèíà, È.Â. Íåóñòðîåâà. - Êàëèíèíãðàä, 1998. - 37ñ. 2. Дополнительная литература.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

Àíäðååâ Ï.Ï., Øóâàëîâà Ç.Â. Ãåîìåòðèÿ. Ì.,1965. Àíäðîíîâ È.Ê. Àðèôìåòèêà. Ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ ÷èñëà è äåéñòâèé íàä ÷èñëàìè. Ì., 1962. Àíäðîíîâ È.Ê., Îêóíåâ À.Ê. Àðèôìåòèêà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Ì., 1971. Áàõâàëîâ Ñ.Â. è äð. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì., 1962. Áîãîìîëîâ Í.Á. Ïðàêòè÷åñêèå çàíÿòèÿ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ì.,1967. Áðàäèñ Â.Ì. Òåîðåòè÷åñêàÿ àðèôìåòèêà. Ì.,1954. Âèëåíêèí Í.ß. Ðàññêàçû î ìíîæåñòâàõ. Ì.,1969. Âîëüâà÷åâ Ð.Ò. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè è òåîðèè ìíîæåñòâ. Ìèíñê,1986. Ãðàôèêè ôóíêöèé: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ïîñòóïàþùèõ â âóçû. Ì.,1972. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. М.,1967. Åãîðîâ Â.Ê. è äð. Ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêîâ ôóíêêöèé. Ì.,1970. Êàëóæíèí Ë.À. Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè. Ì.,1978. Êîëÿãèí Þ.Ì., Ëóêàíêèí Ã.Ë. Ìåòîäèêà ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ñðåäíåé øêîëå: ×àñòíûå ìåòîäèêè. Ì.,1977. Êîëÿãèí Þ.Ì., Ëóêàíêèí Ã.Ë. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñîâðåìåííîãî øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè. Ì.,1974. Ìàëàõîâñêèé Â.Ñ., Çàèêèíà Í.Ã. Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ // Ñîâåðøåíñòâîâàíèå ïðîöåññà îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå: Ñá.íàó÷.òð. / Êàëèíèíãð. óí-ò. Êàëèíèíãðàä,1978. Ìåòåëüñêèé È.Â. Äèäàêòèêà ìàòåìàòèêè. Ìèíñê, 1982. Ìåòîäèêà ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ñðåäíåé øêîëå: Îáùàÿ ìåòîäèêà. Ì.,1973. Íîâîñåëîâ Ñ.È. Ñïåöèàëüíûé êóðñ ýëåìåíòàðíîé àëãåáðû. Ì.,1962. Âèëåíêèí Í.ß. Ñîâðåìåííûå îñíîâû øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè. Ì.,1980. ßãëîì È.Ì. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ì.,1965.×.1. Ñòîéëîâà Ë.Ï., Ïûøêàëî À.Ì. Îñíîâû íà÷àëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè. Ì.,1988. Áåñêèí Ë.Í.Ñòåðåîìåòðèÿ. Ì.,1971. Àðãóíîâ Á.È., Áàëê Ì.Á. Ýëåìåíòàðíàÿ ãåîìåòðèÿ: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ïåäèíñòèòóòîâ. Ì.,1966. Ïîíîìàðåâ Ñ.À. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî êóðñó «Ýëåìåíòû ãåîìåòðèè». Ì.,1963.

– 42 –

СОДЕРЖАНИЕ. 1. Указания к выполнению контрольных работ по математике. 2. Глава 1. Контрольная работа № 1. § 1. Множества и операции с ними. § 2. Высказывания и предикаты. § 3. Декартово произведение двух множеств и соответствия. § 4. Элементы аналитической геометрии на плоскости. § 5. Контрольная работа № 1. 3. Глава 2.Контрольная работа № 2. § 6. Öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. § 7. Ïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ. § 8. Äåëèìîñòü öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. § 9. Îïðåäåëåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîíÿòèÿ. §10. Контрольная работа № 2. 4.Глава 3.Контрольная работа № 3. §11. Функция. §12. Выражение. Уравнение. Неравенство. §13. Элементы аналитической геометрии на плоскости. §14. Вычисление площадей и объемов. §15. Контрольная работа № 3. 5.Глава 4.Формы и содержание отчетности студентов. §16. Формы отчетности студентов. §17. Содержание материала для зачетов и экзаменов. 6.Приложение. Список рекомендуемой литературы.

– 43 –