Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

Санкт-Петербург 2004

ББК 22.1 я 73 М 33

Печатается по рекомендации кафедры прикладной математики и решению президиума редакционно-издательского совета РГПУ им. А. И. Герцена

Рецензенты: д-р пед. наук, проф. Р. Р. Фокин; канд. техн. наук, доц. Ю. К. Кузнецов Авторы: Е. Б. Александрова, А. А. Атоян, И. Е. Водзинская, Е. Г. Копосова, Р. А. Мыркина, Т. А. Семенова, Г. Г. Хамов, М. Ю. Чурилова

М 33 Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие / Под ред. Г. Г. Хамова. — СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2004. — 149 с.

ISBN 5—8064—0692—Х

2

© Коллектив авторов, 2004 © Издательство РГПУ им. А. И. Герцена, 2004

ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие предназначено для студентов факультетов физики, химии, биологии, географии, технологии и предпринимательства. В первой части содержится материал, относящийся к разделу линейной алгебры и аналитической геометрии. В ней изложены: элементы теории матриц и определителей; методы решения систем линейных уравнений; основы аналитической геометрии на плоскости, векторной алгебры, аналитической геометрии в пространстве на базе векторной алгебры; метод приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду на основе линейной алгебры. Материал распределен на пять глав. В каждой главе приводятся: теоретический материал, в котором доказательства теорем и утверждений приведены выборочно; основные формулы, используемые для решения задач; подробно разобранные примеры; наборы задач для самостоятельной работы. В пособии имеются приложения с комплектами задач для проведения проверочных, контрольных работ или для выдачи индивидуальных заданий. При самостоятельной работе с данным пособием перед тем, как приступить к решению задач, рекомендуется внимательно прочитать теоретические сведения параграфа и рассмотреть разобранные там примеры. Нумерация определений, теорем, формул и примеров проведена по главам, при этом в приведенном номере первая цифра означает номер главы, а последующие цифры — порядковый номер в главе. Например, запись «Определение 1.3» означает, что определение находится в первой главе, а 3 — его порядковый номер в главе. В учебном пособии не приводятся доказательства некоторых теоретических положений. При необходимости ознакомления с ними рекомендуем обратиться к литературе: Баврин И И. Курс высшей математики. — М., 1992. Шипачев В.С. Высшая математика. — М., 1996. Мантуров О.В. Н.М. Матвеев. Курс высшей математики. — М., 1986.

3

Глава I. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Матрицы. Действия над матрицами Определение 1.1. Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ ⎜ .................... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a a ... a ⎟ mn ⎠ ⎝ m1 m 2

.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы матрицы будем обозначать буквами с двумя индексами. Например, aij . В этом обозначении первый индекс — i указывает номер строки, а второй — j указывает номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Для матрицы будем использовать обозначение A = (aij )

(i = 1, 2,..., m;

j = 1, 2,..., n ) .

Если m = n , то есть число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n . Это матрица вида ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ A= ⎜ . ................... ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a a ... a ⎟ nn ⎠ ⎝ n1 n 2

Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего к правому нижнему углу, то есть составленная из элементов a11 , a 22 ,....a nn , называется главной диагональю матрицы. 4

Матрица, не являющаяся квадратной, называется прямоугольной. Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица порядка n , у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все элементы вне этой диагонали равны нулю. Для обозначения единичной матрицы используется буква E . Пример 1.1. ⎛ 1 4 6⎞ ⎜ ⎟ A=⎜ 8 3 9⎟ ⎜ − 2 5 0⎟ ⎝ ⎠

Здесь

— квадратная матрица третьего порядка.

a11 = 1, a12 = 4, a13 = 6, a 21 = 8, a 22 = 3, a 23 = 9, a31 = −2, a32 = 5, a 33 = 0 .

Пример 1.2. ⎛ − 2 8⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 3 4⎟ ⎜ 1 7⎟ ⎝ ⎠

— прямоугольная матрица размера 3х2.

Пример 1.3. ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ — единичная матрица второго порядка; E = ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠ ⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ E = ⎜ 0 1 0 ⎟ — единичная матрица третьего порядка. ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠

Две матрицы A = (aij ) и B = (bij ) размера m × n считаются равными, если aij = bij при всех i и j , то есть равны их элементы, стоящие на одинаковых местах. Матрицы можно складывать, вычитать, умножать на число и друг на друга. Определение 1.2. Суммой двух матриц A = (aij ) и B = (bij ) размера m × n называется матрица C = (cij ) размера m × n , такая что cij = aij + bij (i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2,..., n ) . Сумма матриц A и B обозначается символом A + B . 5

5⎞ ⎛1 − 2 ⎜ ⎟ A = ⎜0 2 − 1⎟ ⎜4 3 6 ⎟⎠ ⎝

Пример 1.4. Даны матрицы:

и

⎛0 − 3 0⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜2 7 4⎟ ⎜1 2 1 ⎟⎠ ⎝

.

Найти A + B . Решение. По определению 1.2. получаем: ⎛1 + 0 ⎜ A + B = ⎜0 + 2 ⎜4 +1 ⎝

(−2) + (−3)

5 + 0 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ (−1) + 4 ⎟ = ⎜ 2 6 + 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 5

2+7 3+ 2

Пример 1.5. Найти сумму матриц

−5 9 5

⎛ 0 1 9⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ − 2 3 4⎠

5⎞ ⎟ 3⎟ 7 ⎟⎠

. −1 2 3⎞ ⎟⎟ . ⎝ 1 3 −1 ⎠

и B = ⎛⎜⎜

Решение. ⎛ 0 + (−1) ⎜ A + B = ⎜ (−2) + 1 ⎜ ⎝

1+ 2

9 + 3 ⎞ ⎛−1 ⎟ ⎜ 4 + (−1) ⎟ = ⎜ − 1 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

3+3

Определение 1.3. Разностью матриц m × n называется матрица C = (cij ) размера определяются следующим равенством cij = aij − bij (i = 1, 2, ...,m;

6

12 ⎞ ⎟ 3⎟ ⎟. ⎠

A = (aij )

и B = (bij ) размера m × n , элементы которой

j = 1, 2,..., n ) .

Используется обозначение:

C = A− B.

Пример 1.6. Даны матрицы

2 3⎞ ⎛1 ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 0 − 4 8⎠

Найти разность

3

и

⎛2 1 1 ⎞ ⎟⎟ . B = ⎜⎜ ⎝ 3 − 2 3⎠

A− B.

Решение. Согласно определению 1.3. имеем: ⎛1 − 2 A − B = ⎜⎜ ⎝0 − 3

2 −1 − 4 − (−2)

3 −1 8−3

1 2⎞ ⎞ ⎛−1 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟. ⎠ ⎝ − 3 − 2 5⎠

Определение 1.4. Произведением матрицы

A = (aij )

размера

на действительное число α называется матрица C = (cij ) размера m × n , элементы которой определяются следующим равенством m×n

6

(i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2,..., n ) . Используется обозначение: C = α A . cij = α aij

Пример 1.7. Дана матрица

⎛1 A = ⎜⎜ ⎝3

2 0⎞ ⎟. 1 − 1 ⎟⎠

Найти произведение 2 A . Решение. Пользуясь определением 1.4, получаем ⎛ 2 ⋅1 2 A = ⎜⎜ ⎝2⋅3

2⋅ 2 2⋅0 ⎞ ⎛2 ⎟=⎜ 2 ⋅ 1 2 ⋅ (−1) ⎟⎠ ⎜⎝ 6

4 0⎞ ⎟. 2 − 2 ⎟⎠

Определение 1.5. Произведением матрицы A = (aij ) размера m × k на матрицу B = (bij ) размера k × n называется матрица C = (cij ) размера m × n , у которой элемент cij (i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2,..., n ) равен сумме произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j - го столбца матрицы B , то есть cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + K + aik bkj (i = 1,2,K, m; j = 1,2, K, n ) .

Используется обозначение:

C = AB .

Замечание. При умножении матриц количество столбцов первой матрицы обязательно должно совпадать с количеством строк второй матрицы. Пример 1.8. Пусть

⎛ 2 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛0 1 1 ⎞ ⎟⎟, B = ⎜1 3 1 ⎟. A = ⎜⎜ ⎝ 2 1 0⎠ ⎜ 1 0 1⎟ ⎝ ⎠

Найти C = A ⋅ B . Решение. Здесь

m = 2, k = 3, n = 3. Согласно c11 = a11b11 + a12 b21 + a13 b31 = 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 2,

определению 1.5

c12 = a11b12 + a12 b22 + a13 b32 = 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 0 = 3, c13 = a11b13 + a12 b23 + a13 b33 = 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 2, c 21 = a 21b11 + a 22 b21 + a 23b31 = 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 = 5, c 22 = a 21b12 + a 22 b22 + a 23 b32 = 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 0 = 3, c 23 = a 21b13 + a 22 b23 + a 23 b33 = 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 = 3. 2 3 2⎞ ⎟⎟. Тогда C = A ⋅ B = ⎛⎜⎜ ⎝5 3 3 ⎠

7

Замечание. Если матрица A имеет размерность m × k , а матрица B — размерность k × m, то можно найти как A ⋅ B, так и B ⋅ A . Однако, вообще говоря, AB ≠ BA . При умножении квадратной матрицы A n -го порядка на единичную матрицу такого же порядка имеем: AE = A и EA = A , то есть при умножении матриц единичная матрица обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел. Этим и объясняется ее название «единичная». В географии широкий интерес представляет применение матриц при изучении географических сетей (речные сети, транспортные сети и т.д.). Рассмотрим для примера участок речной сети (рис. 1.1) в матричной форме относительно количества притоков (ребра), сходящихся в каждой точке их слияния (узловые точки) B D

А

F

2 4

E

C 3 6 K 7

Рис. 1.1 Для изображения речной сети матрица может быть составлена как с использованием ребер, так и узлов. Обозначим (см. рис. 1.1) ребра числами 1,2,3,4,5,6,7, а узлы буквами A,B,C,D,E,F,K,L. В матрице ребер число 0 означает, что притоки непосредственно не соединяются, а 1 — что они соединяются; в матрице узлов число 0 означает, что узлы непосредственно между собой не связаны. Получим матрицы: 8

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

⎛0 ⎜ ⎜1 ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 1 0

A B C D E F K L

0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎟ 1⎟ ⎟ 0⎠

0 0 1 1 1 0 1

A

B

C

D

E

F

K

L

⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

0 0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Если учесть течение воды, то матрицы примут вид: 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0

A B C D E F K L

0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎟ 1⎟ ⎟ 0⎠

A

B

C

D

E

F

K

L

⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Сумма по каждому столбцу дает общее количество притоков, впадающих в каждую реку. В данном случае по два притока в 3;6;7 и по два — в узлы C,E,K. Изменения речной сети легко представить путем сложения и вычитания матриц. Изложенный метод можно распространить на другие характеристики речной сети, расход воды, размер русла и т.д. Задания для с амостоятельной работы 1. Даны матрицы

⎛2 A = ⎜⎜ ⎝1

Найти: а)

A − B.

Ответ: а)

A + B;

б)

− 1 3⎞ ⎟ 0 5 ⎟⎠

⎛5 3 2 ⎞ ⎟⎟; A + B = ⎜⎜ ⎝ 6 − 3 9⎠

б)

и

⎛3 B = ⎜⎜ ⎝5

4 −1⎞ ⎟ − 3 4 ⎟⎠

.

⎛ −1 − 5 4⎞ ⎟⎟. A − B = ⎜⎜ ⎝− 4 3 1 ⎠

9

2. Даны матрицы ⎛ 1 ⎜ A = ⎜− 2 ⎜ 1 ⎝

Найти: а) Ответ:

4⎞ ⎛ 3 1 1⎞ ⎛ − 2 0 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ , B = ⎜ − 1 0 2 ⎟, C = ⎜ 4 − 1 0 ⎟. ⎜ 1 2 1⎟ ⎜ 1 2 1⎟ 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 5 −2

3 А + 2В ;

б)

2 А − 3В ;

в)

.

А − 2 В + 3С

3 5⎞ ⎛ 9 11 14 ⎞ ⎛ −6 ⎛ − 11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ а ) ⎜ − 8 15 4 ⎟ , б ) ⎜ − 1 10 − 6 ⎟ , в ) ⎜ 12 ⎜ 5 − 2 5⎟ ⎜ − 1 − 10 − 1 ⎟ ⎜ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

3. Вычислить а)

АВ

и

ВА ,

если

⎛ 1 2⎞ ⎜ ⎟ ⎛ − 1 2 3⎞ ⎟⎟ ; А = ⎜ − 1 1 ⎟ , В = ⎜⎜ 4 0 2 ⎝ ⎠ ⎜ 3 − 2⎟ ⎝ ⎠

б) ⎛1 0 1 ⎞ ⎛−1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ А = ⎜ 2 − 1 4 ⎟ , В = ⎜ 0 2 − 1⎟ ; ⎜3 2 − 2⎟ ⎜ 2 3 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

в)

⎛−1 3 7⎞ ⎛ 3 −4 1 ⎜ ⎟ ⎜ А = ⎜− 5 1 7 ⎟ , В = ⎜ 1 1 − 2 ⎜− 3 − 5 7⎟ ⎜ 2 −1 1 ⎝ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

Ответ: а) ⎛ 7 ⎜ АВ = ⎜ 5 ⎜ − 11 ⎝

7⎞ ⎟ ⎛ 6 − 2 − 1⎟ , ВА = ⎜⎜ ⎝10 6 5 ⎟⎠ 2

− 6⎞ ⎟; 4 ⎟⎠

б) ⎛ 1 4 5⎞ ⎜ ⎟ АВ = ⎜ 6 12 19 ⎟, ⎜− 7 1 − 7⎟ ⎝ ⎠

⎛ 4 1 1⎞ ⎜ ⎟ ВА = ⎜ 1 − 4 10 ⎟; ⎜ 20 5 6 ⎟ ⎝ ⎠

в) ⎛14 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ AB = BA = ⎜ 0 14 0 ⎟. ⎜ 0 0 14 ⎟ ⎝ ⎠

10

1 2 0

5⎞ ⎟ −4 ⎟ 2 ⎟⎠

.

4. Дана матрица бавить к матрице Ответ:

A,

8 ⎛−1 2 ⎜ A = ⎜ 4 − 5 −1 ⎜ 0 4 −3 ⎝

⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

Какую матрицу нужно при-

чтобы получить единичную матрицу?

⎛ 2 −2 −8 ⎜ 6 1 ⎜ −4 ⎜ 0 −4 4 ⎝

⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

5. Найти значение матричного выражения ⎛ 1 1 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 1 0 1 ⎟, ⎜ 2 −1 2⎟ ⎝ ⎠

если

E

3 A 2 − 2 A + 3E

при

— единичная матрица третьего порядка, а

A 2 = AA.

Ответ:

⎛13 − 5 17 ⎞ ⎜ ⎟ 3 A 2 − 2 A + 3E = ⎜ 5 − 3 − 2 ⎟. ⎜17 2 20 ⎟ ⎝ ⎠

§ 2. Определители второго и третьего порядков Пусть дана квадратная матрица второго порядка ⎛ a11 a12 ⎞ ⎟. A = ⎜⎜ ⎟ a a ⎝ 21 22 ⎠

Определение 1.6. Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице A второго порядка, называется число, равное a11a 22 − a12 a 21 . Пишут a11 a12 a 21 a 22

= a11 a 22 − a12 a 21 .

Числа a11 , a12 , a 21, a 22 называются элементами определителя. В определителе второго порядка различают две строки и два столбца. Числа a11 и a 22 образуют главную диагональ, а числа a12 и a 21 — вторую (или побочную) диагональ. 11

Пример 1.9. Если

⎛ −1 2⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ 6 7 ⎝ ⎠

. то

−1 2 6 7

= (− 1) ⋅ 7 − 2 ⋅ 6 = −19 .

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка: ⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a 21 ⎜a ⎝ 31

a12 a 22 a32

a13 ⎞ ⎟ a 23 ⎟ . a33 ⎟⎠

Определение 1.7. Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице третьего порядка, называется число, равное a11 a 22 a33 + a13 a 21 a32 + a12 a 23 a31 − a13 a 22 a31 − a12 a 21 a33 − a11 a 23 a32 .

Пишут: a11

a12

a13

a 21 a31

a 22 a32

a 23 = a11 a 22 a 33 + a13 a 21 a32 + a12 a 23 a 31 − a13 a 22 a31 − a12 a 21 a33 − a11 a 23 a32 . a 33

(*)

Числа aij , i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2, 3 , называются элементами определителя. Определитель третьего порядка имеет три строки и три столбца. Диагональ, образованная элементами a11 , a 22, a33 , называется главной, а диагональ, образованная элементами a13 , a22, a31 — побочной. Замечание. Принцип составления алгебраической суммы (*) прост: каждый ее член есть произведение трех элементов, причем три члена имеют знак «+» и три члена — знак «−». Со знаком «+» берется произведение элементов главной диагонали, а также произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла. Члены, входящие в выражение (*) со знаком «−», строятся таким же образом, но относительно побочной диагонали. Схематически можно так изобразить произведения элементов, которые берутся со знаком «+» и со знаком «−»:

12

Пример 1.10. Дана матрица третьего порядка ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎟ ⎜ A=⎜ 0 3 4⎟ . ⎜− 2 5 6 ⎟⎠ ⎝

Найти ее определитель. Решение. Согласно определению 1.7 получаем 1

2 −1

0 3 −2 5

4 = 1 ⋅ 3 ⋅ 6 + 2 ⋅ 4 ⋅ (−2) + 0 ⋅ 5 ⋅ (−1) − (− 1) ⋅ 3 ⋅ (− 2 ) − 2 ⋅ 0 ⋅ 6 − 4 ⋅ 5 ⋅ 1 = −24 . 6

Рассмотренные определители второго и третьего порядков являются простейшими частными случаями общего понятия определителя. a11

a12K

a1n

a 21

a 22K

a2n

........................ a n1

a n 2K

a nn

квадратной матрицы ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ A=⎜ .................... ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a a ... a ⎟ n 1 n 2 nn ⎠ ⎝ n -го

порядка. Коротко определитель, соответствующий матрице A , обозначают так A или det A . Замечание. Транспонированием данной квадратной матрицы называют построение матрицы, у которой в строках помещаются элементы столбцов соответствующих номеров данной матрицы, то есть переход от матрицы

13

⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ ⎜ .................... ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a a ... a ⎟ nn ⎠ ⎝ n1 n 2

⎛ a11 a 21 ... a n1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a12 a 22 ... a n 2 ⎟ ⎜ .................... ⎟ . ⎟ ⎜ ⎜ a a ... a ⎟ nn ⎠ ⎝ 1n 2 n

к матрице

Аналогично говорят, что определитель a11

a 21 K a n1

a12

a 22 K a n 2

........................ a1n

a 2 n K a nn

получен транспонированием определителя a11

a12 K a1n

a 21

a 22 K a 2 n

........................ a n1

.

a n 2 K a nn

Приведем некоторые свойства определителей. 1. Определитель не меняется при транспонировании. 2. Если одна из строк (или один из столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. 3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (или два одинаковых столбца) равен нулю. 4. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (или два пропорциональных столбца) равен нулю. 5. При перестановке двух строк (или двух столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину. 6. Если все элементы какой либо строки (или какого-нибудь столбца) определителя умножить на некоторое число k , то определитель умножится на это число k . 7. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк (или одного из его столбцов) прибавляются соответственные элементы другой строки (другого столбца), умноженные на одно и то же число.

14

Задания для с амостоятельной работы 1. Вычислите определители второго порядка 1 −3 2 4

а)

б)

cos α sin α

sin α cos α

Ответ: а) 10; б) cos 2α . 2. Пользуясь определением, вычислить определители третьего порядка 2 −1

2

а)

0 −1 4 0

6

б)

1 1

1 1

3 2 0 3 −1 3

Ответ: а) 2; б) 18. 3. Записать определитель, который получается транспонированием определителя: а)

Ответ: а)

−1 4

−1 3

3 8

4 8

б)

б)

1

2 3

−1

1 0

3

4 1

1

−1 3

2

1 4

3

0 1

3 1 − 5 10 4 −2 3 5 в) 0 −1 7 −2 6 −7 1 1

в)

3 1 −5 10

4 −2 3 5

−2 6 0 −7 −1 7 7 1

§ 3. Миноры. Алгебраические дополнения. Обратная матрица A n -го ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ A=⎜ .................... ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a a ... a ⎟ nn ⎠ ⎝ n1 n 2

Пусть дана квадратная матрица

порядка

15

и соответствующий ей определитель det A =

a11

a12 K a1n

a 21

a 22 K a 2 n

........................ a n1

.

a n 2 K a nn

Определение 1.8. Минором M ij элемента aij называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием i -й строки и j - го столбца, то есть той строки и того столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Пример 1.11. Пусть ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 4 5 0⎟ ⎜ 3 1 2⎟ ⎝ ⎠

1 2 3

,

det A = − 4 5 0 3 1 2

.

Тогда M 23 =

1 2 = 1 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 = −5 3 1

.

Определение 1.9. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число, равное произведению минора элемента на (−1)i + j , то есть i+ j Aij = (− 1) ⋅ M ij . Пример 1.12. В условиях примера 1.11 2+3 5 A23 = (− 1) ⋅ M 23 = (− 1) ⋅ (− 5) = 5 . Теорема 1.1. (теорема разложения). Определитель n -го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Рассмотрим теорему 1.1 для определителей третьего порядка. Найдем разложение определителя по элементам первой строки a11

a12

a13

a 21

a 22

a 23 = a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a 32 − a13 a 22 a 31 − a12 a 21 a33 − a11 a 23 a32

a31

a 32

a33

(

)

= (a11a22 a33 − a11a23a32 ) + (a12 a23a31 − a12 a21a33 ) + a13 a 21 a32 − a13 a 22 a31 =

16

= a11 (a 22 a33 − a 23 a32 ) − a12 (a 21 a33 − a 23 a31 ) + a13 (a 21 a32 − a 22 a31 ) = a11

− a12

a 21 a31

a a 23 + a13 21 a31 a33

a 22 a32

a 22

a 23

a 32

a33

−

= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13

Аналогично можно доказать справедливость теоремы разложения определителя третьего порядка по элементам другой строки или столбца. Для этого провести группировку слагаемых в правой части соответствующим образом. Пример 1.13. Вычислить определитель 2

3 4

5 −2 1 1

2

3

а) разложением по элементам второго столбца; б) разложением по элементам первой строки. Решение. а) По теореме 1.1 получаем 2

3

5

−2

1

2

4

1 = 3 ⋅ (− 1)

1+ 2

3

5 1 1 3

+ (− 2 ) ⋅ (− 1)

2+ 2

2 4 1 3

+ 2 ⋅ (− 1)

3+ 2

2 4 5 1

= −3(15 − 1) −

− 2 (6 − 4 ) − 2(2 − 20 ) = −42 − 4 + 36 = −10 .

б) 2

3

5

−2

1

2

4

1 = 2 ⋅ (− 1)

1+1

3

−2 1 2

3

− 3 ⋅ (− 1)

1+ 2

5 1 1 3

+ 4 ⋅ (− 1)

1+ 3

5 −2 1

2

=

= 2 (− 6 − 2 ) − 3(15 − 1) + 4(10 + 2 ) = −16 − 42 + 48 = −10 .

Определение 1.10. Матрицей, обратной квадратной матрице A n -го порядка, называется матрица, обозначаемая символом A−1 и удовлетворяющая условию: A −1 A = AA −1 = E , где E — единичная матрица. Замечания: 1. Для того, чтобы для матрицы A существовала обратная матрица A−1 , необходимо и достаточно, чтобы det A ≠ 0 . 17

2. Если существует обратная матрица A−1 для матрицы A , то она единственна. 3. Если матрица A−1 является обратной для матрицы A , то матрица A является обратной для матрицы A−1 . Теорема 1.2. Пусть ка, причем det A ≠ 0 . Тогда

A = (aij )

— квадратная матрица n -го поряд-

⎛ A11 A21 ... An1 ⎞ ⎟ ⎜ 1 ⎜ A12 A22 ... An 2 ⎟ −1 , A = det A ⎜ .................... ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ A A ... A ⎟ nn ⎠ ⎝ 1n 2 n

где

Aij − алгебраические

дополнения элементов aij матрицы Пример 1.14. Найти матрицу, обратную к матрице

A

.

⎛ 2 5 2⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜1 4 5⎟ . ⎜ 1 3 3⎟ ⎠ ⎝

Решение. Разложением по элементам первой строки вычислим определитель матрицы A . 2 5 2

det A = 1 4 5 = 2(12 − 15) − 5(3 − 5) + 2(3 − 4 ) = 2 ≠ 0. 1 3 3

Вычислим алгебраические дополнения: 4 3 5 A21 = − 3 A11 =

A31 =

5 = −3, 3 2 = −9, 3

5 2 = 17, 4 5

1 5 = 2, A13 = 1 3 2 2 A22 = = 4, A23 = − 1 3 A12 = −

A32 = −

2 2 = −8, 1 5

A31 =

1 1 2 1

4 = −1, 3 5 = −1, 3

2 5 = 3. 1 4

Согласно теореме 1.2, получаем: ⎛ 3 ⎛ − 3 − 9 17 ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ 2 1⎜ A −1 = ⎜ 2 4 − 8⎟ = ⎜ 1 2⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎝ −1 −1 3 ⎠ ⎜ − ⎝ 2

18

9 2 2 1 − 2 −

17 ⎞ ⎟ 2⎟ −4 ⎟ 3⎟ ⎟ 2⎠

.

Задания для с амостоятельной работы 1. С помощью разложения по строке (или столбцу) вычислить определитель −1 1 2

а) − 2

0 1

−1 3 0

3 0 1 б) 6 − 2 4 3

1

2 −2 0 − 4 −1 −1 0 1 1 2 2 −1

в)

0

−1 −1 −1 0

Ответ: а) –10; б) 0; в) 40. 2. Дана матрица ⎛ 1 − 2 3⎞ ⎜ ⎟ 6 0⎟ . A=⎜ 5 ⎜ − 3 1 1⎟ ⎝ ⎠

Найти минор элемента а) a12 ; б) Ответ: а) 5; б) − 5; в) − 15.

a 23 ;

в) a32 .

1⎞ ⎛ 7 0 ⎟ ⎜ 3. Дана матрица A = ⎜ − 3 1 − 1 ⎟ . Вычислите алгебраические ⎜ 2 4 − 2⎟ ⎠ ⎝

дополнения а) A11 ; б) A23 ; в) A31 . Ответ: а) 2; б) –28; в) – 1 . 4. Найти матрицу, обратную к данной матрице а)

б)

5⎞ ⎛1 − 4 ⎟ ⎜ B = ⎜2 1 − 3⎟ ; ⎜4 − 3 1 ⎟⎠ ⎝

⎛ 1 − 2⎞ ⎟; A = ⎜⎜ 4 ⎟⎠ ⎝− 3

Ответ:

а) A

в)

−1

⎛−2 =⎜ 3 ⎜− ⎝ 2

−1 ⎞ 1 ⎟; − ⎟ 2⎠

б)

2 − 1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ C = ⎜0 −1 1⎟ . ⎜2 0 − 1⎟⎠ ⎝

B −1

11 7 ⎞ ⎛ − ⎟ ⎜4 2 2 ⎟ ⎜ ⎜ 19 13 ⎟ = ⎜7 − ⎟; 2 2⎟ ⎜ ⎜ 5 13 − 9 ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝

19

в)

C −1

⎛ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 3 2 3 2 3

2 3 1 3 4 3

1⎞ ⎟ 3⎟ 1 − ⎟. 3⎟ 1⎟ − ⎟ 3⎠

§4. Системы линейных уравнений Сиситему уравнений вида: ⎧a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 , ⎪a x + a x + ... + a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ⎪ ⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm ,

(1.1)

где aij , bi (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n ) — числа, называют системой m линейных уравнений с n неизвестными x1 , x2 , ..., xn . Совокупность n чисел x10 , x 20 , ..., x n0 называется решением этой системы, если каждое уравнение системы в результате подстановки в него чисел x10 , x20 , ..., xn0 вместо соответствующих неизвестных обращается в верное равенство. Системы, не имеющие решений, называются несовместными, а имеющие решение — совместными. Матрица ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ A=⎜ ............ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a a ... a ⎟ mn ⎠ ⎝ m1 m 2

называется матрицей системы (1.1). Числа b1 , b2 , ..., bm называются свободными членами. Рассмотрим простейший частный случай, когда число уравнений системы равно числу неизвестных (n = m ) , то есть систему вида ⎧a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 , ⎪a x + a x + ... + a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎪⎩a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = bn .

Матрица этой системы квадратная и имеет вид: 20

(1.2)

⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ . A=⎜ ............ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a a ... a ⎟ nn ⎠ ⎝ n1 n 2

Рассмотрим некоторые методы решения систем линейных уравнений вида (1.2). 1. Формулы Крамера. Теорема 1.3. (правило Крамера). Если определитель матрицы системы (1.2) n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то данная система имеет единственное решение. Это решение находится по формулам: ∆x (i = 1, 2, ..., n ), (1.3) xi = i ∆

где ∆ — определитель матрицы системы, а ∆xi — определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i -го столбца столбцом свободных членов. Формулы (1.3) называют формулами Крамера (Г. Крамер — швейцарский математик XVIII века). Пример 1.15. Решить систему

⎧2 x − y = 5, ⎨ ⎩3 x + 2 y = 4.

Решение. Матрица этой системы имеет вид ⎛ 2 − 1⎞ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ ⎝3 2⎠

Вычислим ее определитель. Получим ∆=

2 −1 = 4 + 3 = 7. 3 2

Поскольку ∆ = 7 ≠ 0 , то система имеет единственное решение. Найти его можно по формулам (1.3). Для того, чтобы воспользоваться этими формулами, найдем ∆ x и ∆ y . Имеем: ∆x =

5 −1 = 10 + 4 = 14; 4 2

∆y =

2 5 = 8 − 15 = −7. 3 4

По теореме 1.3 получаем 21

x=

Ответ:

∆ x 14 = = 2, ∆ 7

y=

∆y ∆

=

−7 = −1. 7

x = 2 , y = −1.

Пример 1.16. Решить систему ⎧3 x + 2 y + z = 2, ⎪ ⎨2 x − y + 2 z = −2, ⎪ 4 x + 3 y − z = 1. ⎩

Решение. Используя разложение по 1-й строке, вычислим определитель матрицы системы. Получаем 3

2

∆ = 2 −1 4

1 2 = 3 (1 − 6) − 2 (−2 − 8) + 1 (6 + 4) = 15 .

3 −1

Так как ∆ = 15 ≠ 0 , то данная система имеет единственное решение. Для отыскания решения воспользуемся формулами (1.3), вычислив предварительно определители ∆ x , ∆ y , ∆ z с помощью разложения по 1-й строке. 2 2 1 ∆ x = − 2 − 1 2 = 2 (1 − 6) − 2 (2 − 2) + 1 (−6 + 1) = −10 − 5 = −15, 1 3 −1

3 2 1 ∆y =

∆z =

2 − 2 2 = 3 (2 − 2) − 2 (−2 − 8) + 1 (2 + 8) = 20 + 10 = 30, 4 1 −1 3 2 2 2 − 1 − 2 = 3 (−1 + 6) − 2 (2 + 8) + 2 (6 + 4) = 15 − 20 + 20 = 15. 4 3 1

Согласно формулам (1.3) получаем

∆ y 30 ∆ x − 15 ∆ 15 = = −1, y = = = 2, z = z = = 1. ∆ 15 ∆ 15 ∆ 15 x = −1, y = 2, z = 1.

x=

Ответ: 2. Решение систем линейных уравнений с помощью 22

обратной матрицы Пусть дана система ми (см.(1.2)). Обозначим

n

линейных уравнений с

⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟ A=⎜ , ............ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a a ... a ⎟ nn ⎠ ⎝ n1 n 2

n

неизвестны-

⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜b ⎟ X = ⎜ ⎟ , B = ⎜ 2 ⎟. M M ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠

Учитывая правило умножения матриц, систему (1.2) запишем в матричном виде: A⋅ X = B . (1.4) Решим уравнение (1.4). Если det A ≠ 0 , то к матрице A существует обратная матрица A −1 . Умножим слева обе части уравнения (1.4) на A −1 . Получаем: A −1 AX = A −1 B . Так как A −1 A = E и EX = X , то X = A −1 B . Пример 1.17. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений ⎧3 x + 2 y + z = 2, ⎪ ⎨2 x − y + 2 z = −2, ⎪4 x + 3 y − z = 1, ⎩

которая приведена в примере 1.16. Решение. В данном примере ⎛3 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 −1 2⎟ , ⎜ 4 3 − 1⎟ ⎝ ⎠

⎛x⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X = ⎜ y ⎟ , B = ⎜ − 2 ⎟. ⎜z ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Прежде всего найдем матрицу A −1 . det A = 15 (см. пример 1.16). Вычислим алгебраические дополнения: A11 =

−1 2 = −5, 3 −1

A12 = −

2 2 = 10, 4 −1

A13 =

2 −1 = 10, 4 3

23

A21 = −

A31 =

2 1 = 5, 3 −1

2 1 = 5, −1 2

A22 =

3 1 = −7, 4 −1

A32 = −

3 2

1 = −4, 2

A23 = −

A33 =

3 4

2 = −1, 3

3 2 = −7. 2 −1

Отсюда по теореме 1.2 получаем 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜− 3 3 3 ⎟ ⎜ ⎛− 5 5 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 7 4 1 A −1 = ⎜ 10 − 7 − 4 ⎟ = ⎜ − − ⎟. 15 ⎜ 3 15 15 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 10 − 1 − 7 ⎠ ⎜ 2 1 7⎟ − − ⎟ ⎜ ⎝ 3 15 15 ⎠

Тогда 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜− 3 ⎟ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ 3 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 7 4 ⎟⎜ X = A −1 B = ⎜ − − ⎟ ⎜− 2 ⎟ = ⎜ 2 ⎟, ⎜ 3 15 15 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ 1 7⎟⎝ ⎜ 2 − − ⎟ ⎜ ⎝ 3 15 15 ⎠

то есть ⎛ x ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ 2⎟. ⎜ z ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Таким образом, x = −1, y = 2, z = 1. Ответ: x = −1, y = 2, z = 1. Замечание. Метод решения систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы очень удобно применять в тех случаях, когда нужно решить несколько систем уравнений с одинаковыми левыми частями и различными правыми частями. 3. Метод Гаусса Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Рассмотрим этот метод на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными: 24

⎧a11 x + a12 y + a13 z = b1 , ⎪ ⎨a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2 , ⎪a x + a y + a z = b . 32 33 3 ⎩ 31

(1.5)

Пусть a11 ≠ 0 (если a11 = 0 , то изменив последовательность уравнений в системе, можно записать первым то уравнение, в котором коэффициент при x не равен нулю). Чтобы исключить x из второго уравнения системы (1.5), прибавим к нему первое уравнение этой системы, умноженное на

⎛ a 21 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ . a ⎝ 11 ⎠

Аналогично исклю-

из третьего уравнения, умножая первое уравнение на

чаем

x

⎛ a 31 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ a ⎝ 11 ⎠

и прибавляя полученное уравнение к третьему. Приходим к

равносильной системе ⎧a11 x + a12 y + a13 z = b1 , ⎪ c 22 y + c 23 z = d 2 , ⎨ ⎪ c32 y + c33 z = d 3 . ⎩

Если ⎛ c 32 ⎜⎜ − ⎝ c 22

⎞ ⎟⎟ ⎠

c 22 ≠ 0 ,

(1.6)

то умножаем второе уравнение системы (1.6) на

и прибавляем полученное уравнение к третьему уравнению

системы (1.6), исключая из него y . В итоге исходная система (1.5) преобразуется к виду ⎧a11 x + a12 y + a13 z = b1 , ⎪ c 22 y + c 23 z = d 2 , ⎨ ⎪ p33 z = q3 . ⎩

(1.7)

Из последней системы все неизвестные легко определяются. Здесь возможны три случая: 1) если p33 ≠ 0, то система (1.7), а следовательно и равносильная ей система (1.5) имеют единственное решение, которое легко определяется из системы (1.7) начиная с последнего уравнения; 2) если p33 = 0, но q3 ≠ 0, то третье уравнение системы имеет вид 0 ⋅ z = q3 ≠ 0. Такое уравнение называется противоречивым и решений оно не имеет. Поэтому и системы (1.7), (1.5) решений не имеют;

25

3) если

p33 = 0, и q3 = 0,

двух уравнений

то система (1.7) равносильна системе из

⎧a11 x + a12 y + a13 z = b1 , ⎨ c 22 y + c 23 z = d 2 , ⎩

которая имеет бесконечное

множество решений. В системе осталось два уравнения, а неизвестных три, поэтому одно неизвестное будет свободным, то есть может принимать любое числовое значение. Так как во втором уравнении c 22 ≠ 0, то свободным можно взять z ; (если и коэффициент c23 ≠ 0, то свободной неизвестной можно взять либо z , либо y ). Из системы (1.8) выражаем неизвестные x, y через z : ⎧ ⎛⎛ ⎞ ⎞ 1 a d ⎞ ⎛ a12 c 23 − a12 ⎟⎟ ⋅ z ⎟⎟ ⋅ ⎪ x = ⎜⎜ ⎜⎜ b1 − 12 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ c 22 ⎠ ⎝ c 22 ⎪ ⎠ ⎠ a11 ⎝⎝ ⎨ d 2 c 23 ⎪ = − ⋅ z. y ⎪ c c 22 22 ⎩

(1.9)

Эти формулы задают общее решение системы (1.5). Придавая в формулах (1.9) неизвестной z конкретное значение из множества действительных чисел получим три числа x, y , z , которые составляют одно из решений системы (1.5). Например при z = 0 решением будет тройка чисел ⎧ ⎛ a12 d 2 ⎪ x = ⎜⎜ b1 − c 22 ⎝ ⎪ ⎪⎪ d2 ⎨y = c 22 ⎪ ⎪ z = 0. ⎪ ⎪⎩

⎞ 1 ⎟⎟ ⋅ ⎠ a11

Для простоты удобно иметь дело не с самой системой уравнений, а с матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов: ⎛ a11 a12 a13 b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 a 23 b2 ⎟, ⎜a a a b ⎟ ⎝ 31 32 33 3 ⎠

которая называется расширенной матрицей системы (1.5). Эта матрица отличается от матрицы системы дополнительным столбцом из свободных членов системы. Расширенная матрица системы (1,5) приводится к расширенной матрице системы (1.7), то есть к виду 26

⎛ a11 a12 a13 b1 ⎞ ⎜ ⎟ c 22 c 23 d 2 ⎟, ⎜ ⎜ p33 q3 ⎟⎠ ⎝

При этом используется умножение строки на произвольное число и прибавление результата к другой строке, перестановка строк и столбцов (кроме последнего столбца). Отметим, что если переставляем столбцы, то это надо учесть при нахождении неизвестных x, y, z , а именно, следует поменять местами и соответствующие неизвестные. Пример 1.18. Решим теперь методом Гаусса ту же самую систему линейных уравнений

⎧3 x + 2 y + z = 2, ⎪ ⎨2 x − y + 2 z = −2, ⎪4 x + 3 y − z = 1, ⎩

которую уже решали по

формулам Крамера и с помощью обратной матрицы в примерах 1.16 и 1.17. Решение. Расширенная матрица этой системы имеет вид: ⎛3 2 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 − 1 2 − 2 ⎟. ⎜4 3 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠

Умножим элементы первой строки этой матрицы на

⎛ 2⎞ ⎜− ⎟ ⎝ 3⎠

и

прибавим к соответствующим элементам второй строки. Аналогично умножим элементы первой строки на ⎛⎜ − 4 ⎞⎟ и прибавим к ⎝ 3⎠

соответствующим элементам третьей строки. В результате получим матрицу ⎛ ⎞ ⎜3 2 1 2⎟ ⎜ ⎟ 7 4 10 ⎟ ⎜ ⎜ 0 − 3 3 − 3 ⎟. ⎜ ⎟ 1 7 5 ⎟ ⎜0 − − ⎟ ⎜ 3 3 3 ⎠ ⎝

Теперь умножим элементы второй строки полученной матрицы на 1 и прибавим к соответствующим элементам третьей стро7

ки. Имеем: 27

⎛ ⎞ ⎜3 2 1 2⎟ ⎜ ⎟ 7 4 10 ⎟ ⎜ ⎜ 0 − 3 3 − 3 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 − 15 − 15 ⎟ ⎜ ⎟ 7 7⎠ ⎝

Таким образом, получаем систему:

Ответ:

⎧ ⎪3x + 2 y + z = 2, ⎪ 7 4 10 ⎪ ⎨ − y+ z =− , 3 3 3 ⎪ 15 15 ⎪ − z=− , ⎪⎩ 7 7 x = −1, y = 2, z = 1.

откуда

z = 1, y = 2, x = −1.

Пример 1.19. Решить систему ⎧ x+ y+ z= 3 ⎪ ⎨3 x − 2 y + 2 z = −2 ⎪ 2 x − 3 y + z = 5. ⎩

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид ⎛1 1 1 3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 3 − 2 2 − 2 ⎟. ⎜2 − 3 1 5 ⎟ ⎠ ⎝

Умножим элементы первой строки на ( − 3 ) и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Далее умножим элементы первой строки на ( − 2 ) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получаем матрицу 3⎞ ⎛1 1 1 ⎟ ⎜ ⎜ 0 − 5 − 1 − 11 ⎟. ⎜ 0 − 5 − 1 − 1⎟ ⎠ ⎝

Умножим элементы второй строки на ( − 1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получим 3⎞ ⎛1 1 1 ⎟ ⎜ ⎜ 0 − 5 − 1 − 11⎟. ⎜ 0 0 0 10 ⎟ ⎠ ⎝

28

Таким образом, получаем систему ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

x+ y +z = 3

− 5 y − z = −11 0 ⋅ z = 10.

Система решений не имеет. Пример 1.20. Решить систему ⎧− 3 x + 4 y + 2 z = 5 ⎪ ⎨ x + 2 y − 3z = 4 ⎪− 4 x + 2 y + 5 z = 1. ⎩

Решение. Составим расширенную матрицу системы, предварительно переставив местами первое и второе уравнения ⎛ 1 2 −3 ⎜ ⎜− 3 4 2 ⎜− 4 2 5 ⎝

4⎞ ⎟ 5 ⎟. 1 ⎟⎠

Умножим элементы первой строки на 3 и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Далее умножим элементы первой строки на 4 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получаем матрицу ⎛1 2 − 3 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 10 − 7 17 ⎟ . ⎜ 0 10 − 7 17 ⎟ ⎠ ⎝

Умножим вторую строку на ( − 1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Имеем: ⎛1 2 − 3 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 10 − 7 17 ⎟ . ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎠ ⎝

Таким образом, получим систему ⎧ x + 2 y − 3z = 4 ⎨ ⎩ 10 y − 7 z = 17.

z

Находим общее решение системы, выражая вначале y через из второго уравнения y = 17 + 7 z , а затем x через z из первого: 10

10

29

17 ⎛ 7⎞ 3 8 ⎛ 17 7 ⎞ x = 4 + 3 z − 2 y = 4 + 3 z − 2 ⎜ + z ⎟ = 4 − + ⎜ 3 − ⎟ z = + z. 5 ⎝ 5⎠ 5 5 ⎝ 10 10 ⎠

Получим общее решение системы 3 8 ⎧ ⎪⎪ x = 5 + 5 z ⎨ ⎪ y = 17 + 7 z. ⎪⎩ 10 10

Придавая свободной неизвестной z произвольные числовые значения, можно получить все решения данной системы. Например, при z = 0 решением системы является тройка чисел ⎛ 3 17 ⎞ ⎜ ; ; 0 ⎟, при z = 9 − (15; 8; 9 ). ⎝ 5 10

⎠

Пример 1.21. Решить систему ⎧2 x − 5 y + z = 0 ⎪ ⎨3 x − 4 y + 2 z = 0 ⎪ x + y + z = 0. ⎩

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы, переставив в системе последнее уравнение на первое место ⎛1 1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 − 5 1 0 ⎟. ⎜3 − 4 2 0⎟ ⎝ ⎠

Умножим элементы первой строки на ( − 2 ) и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Далее умножим первое уравнение на ( − 3 ) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получим матрицу ⎛1 1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 7 − 1 0 ⎟. ⎜0 − 7 −1 0⎟ ⎝ ⎠

Умножим вторую строку на ( − 1) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Имеем ⎛1 1 1 ⎜ ⎜0 − 7 −1 ⎜0 0 0 ⎝

0⎞ ⎟ 0 ⎟. 0 ⎟⎠

Таким образом, получаем систему ⎧x + y + z = 0 ⎨ ⎩ 7 y − z = 0.

30

Выберем свободное неизвестное, пусть им будет общее решение системы имеет вид:

y.

Тогда

⎧x = 6 y ⎨ ⎩ z = −7 y,

где

— любое действительное число. Замечание. Свободный член в каждом уравнении рассмотренной системы равен нулю. Такая система называется однородной. Однородная система либо имеет единственное решение – нулевое, то есть значения всех неизвестных равны нулю, либо бесконечно много решений. y

Задания для с амостоятельной работы 1. С помощью формул Крамера решить системы линейных уравнений: а) г)

⎧3x − 8 y = −2, ⎨ ⎩2 x + y = 5.

⎧ x + 2 y = 1, ⎨ ⎩2 x − y = −8. ⎧3 x − y + 8 z = −7, д) ⎪⎨− x + 2 y − z = 4, ⎪2 x + 3 y − 2 z = 10. ⎩

б)

⎧2 x + 7 y − z = −5, ⎪ ⎨ x − 5 y + 2 z = 0, ⎪3 x + y − 3 z = −9. ⎩

Ответ: а) г)

x = 2, y = 1;

б)

x = −3, y = 2;

д)

x = −2, y = 0, z = 1;

е)

в)

в)

⎧9 x − y = 12, ⎨ ⎩ x + 5 y = −14.

е)

⎧5 x + 3 y − z = −7, ⎪ ⎨3 x − 4 y + 2 z = 10, ⎪ x + y − 3 z = −5. ⎩

x = 1, y = −3;

x = 1, y = 2, z = −1;

x = 0, y = −2, z = 1.

2. Методом обратной матрицы решить системы линейных уравнений: а)

⎧ x − 2 y + 3 z = 2, ⎪ ⎨2 x − y + 4 z = 5, ⎪3 x + 3 y − 2 z = 4. ⎩

Ответ: а)

б)

x = 1, y = 1, z = 1;

⎧3 x − y − z = −5, ⎪ ⎨5 x + 2 y + 3 z = 13, ⎪ x − y + 2 z = 4. ⎩

б)

в)

x = 0, y = 2, z = 3;

в)

⎧2 x − 2 y + z = −1, ⎪ ⎨ x + 3 y − z = −2, ⎪3 x − y + 4 z = 1. ⎩

x = −1, y = 0, z = 1.

31

3. Методом Гаусса найти решение систем линейных уравнений: а)

⎧ x + 3 y + z + 2 = 0, ⎪ ⎨2 x − y + 2 z − 3 = 0, ⎪ x + 2 y − z + 5 = 0. ⎩

⎧ 3 x + y − 2 z = −4, г) ⎪⎨ x − 2 y + z = 3, ⎪− 2 x − 3 y + 3 z = 10. ⎩ ⎧− x + 3 y − 4 z = 0, ж) ⎪⎨ 3x − 2 y − 2 z = 0, ⎪ 2 x + y − 6 z = 0. ⎩

б)

⎧ 2 x − y − z = 4, ⎪ ⎨− x + 3 y − z = −6, ⎪ 3 x + 2 y + z = 5. ⎩

д)

⎧− x + y − 4 z = 1, ⎪ ⎨ 2 x − 3 y + z = 2, ⎪ − 3 x + 4 y − 5 z = − 1. ⎩

з)

⎧ x + 2 y − z = 0, ⎨ ⎩2 x + y + 5 z = 0.

в)

⎧ x − y − z − 2 = 0, ⎪ ⎨2 x − y + 3 z − 1 = 0, ⎪ x + 2 y − z − 8 = 0. ⎩

е)

⎧ x − 3 y − 2 z = 5, ⎪ ⎨− 3 x + 4 y − z = −2, ⎪− 4 x + y + z = −7. ⎩

Ответ: а) x = −1, y = −1, z = 2 ; б) x = 2, y = −1, z = 1 ; в) x = 3, y = 2, z = −1 ; г) решений нет; д) общее решение x = −5 − 11z, y = −4 − 7 z, z — любое число; е) общее решение x = − 14 − 11 z, y = − 13 − 7 z, z — любое число; 5

ж)

x = 2 z, y = 2 z, z —

5

любое число; з)

5 5 x = −3z , y = z , z —

любое число.

4. Решить системы линейных уравнений: а)

⎧ 3 x − y + 2 z − 2t = 1, ⎪ x − y + 3z − t = 0, ⎪ ⎨ ⎪− x + y + z + t = 4, ⎪⎩ − x + z + 2t = 6.

Ответ: а)

32

x = 3, y = 2, z = 1, t = 4;

б)

б)

⎧− 3x + 2 y + 2 z = 6, ⎪ x + z + 3t = 16, ⎪ ⎨ ⎪− 2 x + y − t = −6, ⎪⎩ x + y − 3z + 2t = 6.

x = 6, y = 8, z = 4, t = 2.

Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Аналитическая геометрия — это область математики, в которой геометрические задачи решаются, а геометрические образы изучаются средствами алгебры на основе метода координат. Наиболее употребительными являются декартовы координаты (Р. Декарт — французский математик и философ XVII века). §1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении 1. Координаты точки на прямой Координаты точек на прямой вводят следующим образом. На прямой строят координатную ось, для чего: а) на прямой выбирают начало координат — точку O , по отношению к которой определяется положение остальных точек; б) выбирают единицу длины для измерения расстояния рассматриваемой точки от начала координат; в) выбирают положительное направление на прямой. Определение 2.1. Координатой точки M на координатной оси Ox называется число x , определяемое правилом: 1) если точка M совпадает с точкой O , то полагают x = 0 ; 2) если точка M отличается от точки O , то а) x равно длине отрезка OM , когда направление от точки O к точке M совпадает с положительным направлением оси Ox , и б) x равно длине отрезка, взятой со знаком минус, когда направление от точки O к точке M противоположно направлению оси Ox . Пишут: M (x ) . 33

Таким образом, каждой точке на координатной оси соответствует одно единственное число, и обратно, каждому числу соответствует одна единственная точка на этой прямой, то есть установлено взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами. Поэтому, когда говорят «дана точка», следует понимать, что дана ее координата. Если говорят «найти точку», следует понимать, что нужно найти координату искомой точки. A

O

M

-3-2 -1 0 1 2 3 4 5

x

Рис. 2.1

На рис. 2.1 изображены: ось

Ox

и точки

M (5) , A(− 3) , O(0 )

на

ней. 2. Прямоугольная декартова система координат Прямоугольную декартову систему координат вводят следующим образом: а) выбирают две взаимно перпендикулярные оси координат — ось Ox , или ось абсцисс, и ось Oy , или ось ординат; б) точку их пересечения — точку O называют началом координат. Определение 2.2. Координатами точки M на плоскости называются числа x и y , определяемые правилом: 1) Из точки M опускают перпендикуляры на оси Ox и Oy . Получают проекцию точки M на оси Ox — точку M x и проекцию точки M на оси Oy — точку M y . 2) Находят координату точки M x на оси Ox , это число x , и координату точки M y на оси Oy , это число y . Тогда числа x и y есть координаты точки M , при чем x — абсцисса, а y — ордината точки M . Пишут: M (x, y ) .

34

y

y

y My

4 E 3 M

M

F

A

1 Mx O 1

x

2

1

x

- 4 -2 CO 1 2-2 3

B

Рис.2.2

5 x

Рис. 2.3.

На рис.2.2 изображены: прямоугольная декартова система координат и точка M . Оси координат делят всю плоскость на четыре части (четыре координатных угла, четверти, четыре квадранта), при этом квадрант знак абсциссы x

I

II

III

IV

+

-

-

+

ординаты y

+

+

-

-

Все точки оси Ox имеют ординаты, равные нулю, точки оси Oy — абсциссы, равные нулю. Если дана пара чисел (x; y ) , то можно построить единственную точку, имеющую эти числа в указанном порядке своими координатами. Для этого на осях Ox, Oy строят точки Mx и My, имеющие числа xи y своими координатами соответственно. Из точки M x восстанавливают перпендикуляр к оси Ox , из точки M y восстанавливают перпендикуляр к оси Oy . Точка пересечения этих перпендикуляров есть искомая точка M ( x; y ) . Таким образом, введено взаимно однозначное 35

соответствие между точками плоскости и парами чисел (x; y ). На рис. 2.3 изображены точки: M (2; 3), A(− 4; 2 ), B(2; − 3), C (− 2; − 2 ), D(5; 0 ), E (0; 4 ), F (3; 2 ). 3. Расстояние между двумя точками Даны две точки A и B. Если эти точки находятся на координатной оси A(x1 ) и B(x2 ), то расстояние между ними d вычисляется по формуле d = x 2 − x1 .

Пример 2.1. Даны точки A(− 3) и B(5). Расстояние между ними равно d = 5 − (− 3) = 8. Если две точки M 1 (x1 ; y1 ) и M 2 (x2 ; y 2 ) даны на плоскости, то расстояние между ними d вычисляется по формуле 2 2 d = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) . (2.1) Пусть точки P1 , Q1 , есть проекции точки M 1 на оси координат, а P2 , Q2 — проекции точки M 2 (см. рис. 2.4). Тогда длина отрезка P1 P2 равна d1 = x2 − x1 , а длина отрезка Q1 Q2 равна d 2 = y 2 − y1 . При этом длина отрезка M 1C равна d1 , а длина отрезка M 2 C равна d 2 . По теореме Пифагора из треугольника M 1M 2C получим 2 2 d = d12 + d 22 = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) . y Q2

M2

Q1

O

M1

P1

C

P2

x

Рис. 2.4

Пример 2.2. Даны точки A(− 4; 2), Найти расстояние между точками а) A 36

M (2; 3), D(5; 0 )

и M

; б)

(см. рис. 2.3).

M и D.

Решение: а) d = (x M − x A )2 + ( y M − y A )2 = (2 − (− 4))2 + (3 − 2)2 б) d = (x D − x M )2 + ( y D − y M )2 = (5 − 2)2 + (0 − 3)2 = Ответ: а) 37 ; б ) 3 2.

= 6 2 + 12 = 37 . 3 2 + 3 2 = 18 = 3 2 .

4. Деление отрезка в данном отношении Пусть даны две точки M 1 (x1 ; y1 ) и M 2 (x2 ; y 2 ) и пусть M (x; y ) делит отрезок M 1 M 2 в отношении λ , то есть делит так, что отношение длины отрезка M 1 M к длине отрезка MM 2 равно λ : d M1 M d M M2

= λ,

где d M M — длина M 1 M , d M M — длина отрезка точки деления M вычисляются по формулам: 1

2

x=

x1 + λ x 2 y + λ y2 , y= 1 . 1+ λ 1+ λ

Замечание. Если точка λ =1 и x=

M

MM 2 .

Координаты

(2.2)

делит отрезок

x1 + x 2 y + y2 , y= 1 . 2 2

M 1M 2

пополам, то

(2.3)

Пример 2.3. Даны две точки M 1 (5; 3) и M 2 (− 1; 0). Найти координаты точки M , которая делит отрезок M 1 M 2 а) в отношении 2:3; б) пополам. Решение. а) по условию λ = 2 , используя формулы (2.2), 3

имеем: x=

2 2 (− 1) 13 3+ ⋅0 3 3 = 9 = 1,8. = = 2,6; y = 2 2 5 5 1+ 1+ 3 3

5+

б) по условию

Получена точка

M (2,6; 1,8).

λ = 1,

используя формулы (2.3), получим: 5 + (− 1) 3+ 0 x= = 2, y = = 1,5. 2

2

37

Получена точка M (2; 1,5). Ответ: а) (2,6; 1,8), б) (2; 1,5). Пример 2.4. Найти координаты точки M , делящей отрезок M 2 M 1 в отношении 2:3. Координаты точек даны в примере 2.3. Решение. λ = 2 , но в данном случае «первой» точкой отрезка 3

является точка M 2 (− 1; 0), а «второй» — точка M 1 (5; 3). При использовании формулы (2.2) следует это учесть. Поэтому имеем M 2M1

x=

2 2 ⋅5 0 + ⋅3 7 3 = = 1,4; y = 3 = 6 = 1,2. 2 2 5 5 1+ 1+ 3 3

−1+

Получена точка

M (1,4; 1,2 ).

Ответ: (1,4; 1,2). Задания для самостоятельной работы 1. На оси Ox даны две точки A(x1 ) между ними, если а) A(5), B(8); б) A(1), B(− 3); в) A(− 2), B(− 4). Ответ: а) 3; б) 4; в) 2.

и B( x 2 ).

Найти расстояние

2. На оси Ox находится точка A(3). На оси найти точки, если известно, что они находятся на расстоянии 10 единиц длины от точки A. Ответ: таких точек две: B (13 ) и B (− 7 ). 1

2

3. Найти расстояние между точками: а) A(5; 2), B(− 3; − 4); б) C (3; 2), D(− 1; − 1); в) R(3; 2), Q(11; − 6). Ответ: а) 10; б) 5; в) 8 2. 4. Даны вершины треугольника A(5; 2 ), B(1; − 1), C (5; − 4 ). Определить его периметр. Ответ: 16.

38

5. Точка, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки A(− 2; 3) в точку B(4; − 5). Найти пройденный путь. Ответ: 10. 6. Найти центр и радиус, окружности, проходящей через точку A(8; 4) и касающейся обеих осей координат. Ответ: (4; 4); 4. 7. Даны координаты вершин треугольника A(3; − 2 ), B(5; 2 ), C (− 1; 4 ). Найти: а) координаты середин его сторон; б) длины его медиан. Ответ: а) (4; 0), (2; 3), (1; 1); б ) 26 , 17 , 41. 8. В трех точках A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y 2 ), C (x3 ; y3 ) помещены грузы одинаковой массы. Найти центр масс этой системы. Ответ:

⎛ x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 ⎞ ; ⎜ ⎟. 3 3 ⎝ ⎠

Указание. Сначала найти центр масс двух материальных точек A и B , а затем центр масс найденной точки и точки C. 9. В трех точках A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y 2 ), C (x3 ; y3 ) сосредоточены массы m1 , m2 , m3 . Показать, что центр масс этой системы находится в точке с координатами x=

y m + y 2 m 2 + y 3 m3 x1 m1 + x 2 m2 + x3 m3 , y= 1 1 . m1 + m2 + m3 m1 + m2 + m3

10. Отрезок AB разделен на 3 части. Найти координаты точек деления, если A(1; 5), B(4; 11). Ответ: M 1 (2; 7 ), M 2 (3; 9). Указание. Точка M 1 делит отрезок AB в отношении 1:2, точка M 2 — в отношении 2:1. § 2 Уравнение линии в декартовых координатах 1. Понятие уравнения линии 39

Пусть дано уравнение, связывающее две переменные величины x и y . Оно имеет простой геометрический смысл, если рассматривать x и y как координаты некоторой точки на плоскости. Такое уравнение определяет на плоскости некоторое множество точек или, может быть, некоторую линию, представляющую собой множество точек. Определение 2.3. Уравнением линии (L ) в декартовых координатах называют уравнение, связывающее координаты x и y точек M , и такое, что: 1) если точка M лежит на линии (L ) , то координаты точки M удовлетворяют данному уравнению; 2) если точка M не лежит на линии (L ) , то координаты точки M данному уравнению не удовлетворяют; 3) если упорядоченная пара чисел (x; y ) удовлетворяет данному уравнению, то точка M с координатами (x; y ) лежит на линии (L ) . По уравнению линии мы можем судить о ее свойствах. Точку M называют «текущей», а ее координаты x и y — «текущими» координатами. Пример 2.5. Какие геометрические образы определяются следующими уравнениями: а) x − y = 0; б) (x − 1)2 + ( y + 2)2 = 0; в) x = −3. Решение. а) Уравнение x − y = 0 запишем в виде x = y. Так как абсцисса x равна ординате y , то точки M (x; y ) лежат на биссектрисах первого и третьего координатных углов; б) (x − 1)2 + ( y + 2)2 = 0 . Ясно, что только одна точка A(1; − 2) имеет координаты, удовлетворяющие данному уравнению, так как сумма квадратов только тогда равна нулю, когда оба слагаемых равны нулю; в) x = −3. В данном случае все точки, лежащие на линии, имеют одно и то же значение абсциссы (− 3). Ордината y в уравнение не входит. Ее значение можно выбирать любым, то есть M (− 3; y ) . Это точки, лежащие на прямой, перпендикулярной оси Ox (см. рис. 2.5).

40

Рис. 2.5

2. Составление уравнения линии по ее геометрическим свойствам Пусть известно геометрическое свойство, присущее всем точкам линии и только им, то есть свойство, отличающее точки линии от всех других точек плоскости. Пусть точка M (x; y ) — «текущая» точка, описывающая все точки линии. Для получения уравнения линии достаточно выразить аналитически известное геометрическое свойство линии для точки M (x; y ) . Пример 2.6. Составить уравнение окружности с центром в точке C (a; b ) и радиусом R = 5. Решение. Отличительным свойством окружности является равноудаленность ее точек от центра. Обозначим «текущую» точку M (x; y ) . Тогда расстояние от M до C равно R : d = R . Используя формулу (2.1) для вычисления расстояния между точками плоскости получим 2 2 d = ( x − a ) + ( y − b ) . Так как d = R , то уравнение окружности имеет вид ( x − a )2 + ( y − b )2 = R 2 . Пример 2.7. Составить уравнение траектории точки M (x; y ) , которая при своем движении остается вдвое ближе к точке A(− 1; 1) , чем к точке B(− 4; − 4) . 41

Решение. Запишем расстояние точки

M

от точек

A

иB:

(x + 1)2 + ( y − 1)2 и d B M = (x + 4)2 + ( y + 4)2 . Так как 2d A M = d B M , то 2 ⋅ (x + 1)2 + ( y − 1)2 = (x + 4)2 + ( y + 4)2 . Преобразуя уравнение, получим x 2 + y 2 = 8. Это уравнение окружности с центром в точке O(0; 0) и радиусом R = 2 2. Ответ: x 2 + y 2 = 8. d AM =

Задания для самостоятельной работы 1. Написать уравнения биссектрис координатных углов. Ответ: y = x, y = − x. 2. Построить области на плоскости, координаты точек которых удовлетворяют следующим соотношениям: а) x=5; б) x > 5; в) y ≤ x; г) x 2 + y 2 = 1; д) x 2 + y 2 < 1. Ответ: а) прямая, перпендикулярная оси Ox и проходящая через точку (5; 0); б) полуплоскость, расположенная справа от прямой x=5, причем точки прямой в множество не входят; в) полуплоскость, расположенная ниже биссектрисы первого и третьего координатных углов, и точки биссектрисы; г) окружность с центром в начале координат и радиусом равным 1; д) круг, ограниченный окружностью x 2 + y 2 = 1 без точек окружности. 3. Даны две точки A(5; 2), B(− 3; − 4). Составить уравнение окружности, для которой отрезок AB является диаметром. Ответ: (x − 1)2 + ( y + 1)2 = 25. 4. Составить уравнение линии, точки которой равноудалены от точки F (0; 4) и от оси Ox . Построить линию по ее уравнению. Ответ:

42

y=

x2 + 2. 8

5. Составить уравнение траектории точки M (x; y ), которая в своем движении остается вдвое дальше от точки A(4; − 4), чем от точки B(1; − 1). Ответ: x 2 + y 2 = 8. 6. Найти точки пересечения следующих прямых с координатными осями а) 2 x − 3 y + 6 = 0; б) x = 3; в) y = −8. Ответ: а) (− 3; 0), (0; 2); б) (3; 0), с осью Oy не пересекается; в) (0; − 8), с осью Ox не пересекается. § 3. Прямая в декартовых координатах 1. Общее уравнение прямой Пусть на плоскости введена декартова система Oxy . Каждая прямая описывается (определяется) уравнением первой степени относительно x и y Ax + By + C = 0, (2.4) где A, B, C — действительные числа, такие, что A и B одновременно не обращаются в нуль, то есть A 2 + B 2 > 0, и, обратно, каждое уравнение (2.4) определяет некоторую прямую. Расположение прямой на плоскости в случае равенства нулю некоторых из коэффициентов A, B, C : Значение коэффициентов C = 0, B = 0,

Уравнение прямой

A≠0 C = 0, A = 0,

Ax = 0, то есть x = 0 By = 0,

B≠0

то есть y = 0

A — любое, C = 0, B ≠ 0, C — любое, A = 0, B ≠ 0,

C — любое, B = 0, A ≠ 0,

A x B C y=− B

y=−

x=−

C A

Расположение прямой на плоскости ось Oy ось Ox прямая проходит через начало координат прямая параллельна оси Ox (и перпендикулярна оси Oy ) прямая параллельна оси Oy (и перпендикулярна оси Ox ) 43

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Если в уравнении (2.4) виду где

y = kx + b, A C k = − , b = − . Прямая B B

B ≠ 0,

то его можно преобразовать к

(2.5) расположена на плоскости под углом

α

к положительному направлению оси Ox. Угол α отсчитывается против часовой стрелки. Число b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy (см. рис. 2.6–2.9). Говорят, что b — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy, то есть длина отрезка от точки пересечения до начала координат, взятая со знаком «плюс», если отрезок лежит на положительной полуоси Oy , и со знаком «минус», если отрезок лежит на отрицательной полуоси Oy . Параметр k равен тангенсу угла α , k=tgα его называют угловым коэффициентом прямой. Докажем это для случая, изображенного на рис. 2.6. Возьмем на прямой произвольную точку M (x, y ) . Проведем прямые MK , NK , параллельные осям координат. Из прямоугольного треугольника MKN имеем MK = tgα, NK

NK = x, MK = y − b .

Рис. 2.6

44

Отсюда tgα= y − b или y=tgα.x+b, то есть k=tgα. x

Рис. 2.7

Рис. 2.8

Рис. 2.9

Замечания. 1. Прямая, перпендикулярная оси Ox , не может быть описана уравнением с угловым коэффициентом. 2. Если b = 0 , то уравнение (2.5) примет вид y = kx , то есть прямая проходит через начало координат. 3. Если k = 0 , то уравнение (2.5) примет вид y = b , то есть прямая параллельна оси Ox . 3. Уравнение прямой в отрезках Уравнение прямой, записанное в виде x y + = 1, a b

(2.6)

называют уравнением прямой в отрезках. Число a в уравнении (2.6.) – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox , а b ордината точки пересечения прямой с осью Oy , таким образом, определяются отрезки, отсекаемые прямой на осях, и их величины (см. рис. 2.10).

45

y 2x − 3y + 6 = 0

y M2

x y + =1 a b

2

b a

О

x

M1

-3

Рис. 2.10

O

x

Рис. 2.11

Пример 2.8. Определить, какие из точек M 1 (− 3; − 5), M 2 (2; 1), M 3 (0; − 3) лежат на прямой 3x − y + 4 = 0 и какие не лежат на ней. Решение. Следует подставить координаты точек в уравнение прямой. Для точки M 1 3 (−3) − (−5) + 4 = 0, для точки M 2 3 ⋅ 2 − 1 + 4 ≠ 0, для точки M 3 3 ⋅ 0 − (−3) + 4 ≠ 0. Отсюда следует, что точка M 1 лежит на прямой, а точки M 2 , M 3 не лежат на прямой. Пример 2.9. Построить прямую 2 x − 3 y + 6 = 0. Решение. 1-й способ. Для построения прямой достаточно найти и построить две точки, лежащие на прямой, а затем через них провести прямую. В качестве таких точек можно взять, например, точки ее пересечения с осями координат. Пусть точка M 1 есть точка пересечения с осью Ox , ее координаты должны удовлетворять системе уравнений ⎧ y = 0, ⎨ ⎩2 x − 3 y + 6 = 0.

M2

Решая ее, мы получим M 1 (− 3; 0). Аналогично, получим точку — точку пересечения прямой с осью Oy : ⎧ x = 0, ⎨ ⎩2 x − 3 y + 6 = 0. M 2 (0; 2 ). Построим точки M 1 и M 2 .

Тогда Далее через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая (см. рис. 2.11).

46

2-й способ. Преобразуем общее уравнение данной прямой к виду уравнения в отрезках, для чего разрешим его относительно 1. Получим x y + = 1. −3 2 на оси Ox

Следовательно, прямая отсекает отрезок величиной в (− 3) масштабных единицы (a = −3), а на оси Oy — в 2 (b = 2). Осталось отметить их на осях и провести прямую через концы отрезков. Пример 2.10. Общее уравнение прямой 2 x − 3 y + 6 = 0 привести к виду с угловым коэффициентом. Решение. Для получения уравнения с угловым коэффициентом разрешим уравнение 2 x − 3 y + 6 = 0 относительно y : − 3 y = −2 x − 6, и 2 2 2 y = x + 2. Здесь k = , b = 2. Итак, y = x + 2. 3

3

3

Пример 2.11. Построить прямую, составляющую с осью угол 30 0 и проходящую через точку A(0; 2). Решение. По условию так как точка прямая.

A

α = 30 0 , следовательно k=tg30°=

лежит на оси

y

Oy .

Ox

3 ; b = 2, 3

На рис. 2.12 построена искомая

y=

3 x+2 3

2 A

) 300 O

x Рис. 2.12 47

4. Взаимное расположение прямых Если уравнения двух прямых даны в виде с угловыми коэффициентами y = k1 x + b1 и y = k 2 x + b2 , то условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k1 = k 2 . (2.7) Условием перпендикулярности двух прямых будет выполнение равенства ⎛ 1⎞ k1 ⋅ k 2 = −1 ⎜⎜ или k 2 = − ⎟⎟ . k1 ⎠ ⎝

Угол

ϕ

(2.8) между прямыми вычисляется по формуле tgϕ =

k 2 − k1 . k1 k 2 + 1

Угол ϕ между прямыми равен разности углов ϕ 2 и ϕ1 , то есть ϕ = ϕ 2 − ϕ1 и tgϕ=tg(ϕ2−ϕ1) По формуле тангенса разности двух углов имеем tgϕ 2 − tgϕ1 tg ϕ = tg (ϕ 2 − ϕ1 ) = . tgϕ1tgϕ 2 + 1

(2.9) y )ϕ ) ϕ1 O

)ϕ 2 x Рис. 2.13

Отсюда и следует эта формула (2.9). Если уравнения двух прямых даны в общем виде A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C 2 = 0, то угол ϕ между прямыми вычисляется по формуле tgϕ =

A1 B2 − A2 B1 . A1 A2 + B1 B2

(2.10)

Условие параллельности прямых записывается в виде: A1 B1 = . (2.11) A2

B2

Условие перпендикулярности прямых: (2.12) Для нахождения точки пересечения двух непараллельных прямых нужно решить совместно их уравнения. A1 A2 + B1 B2 = 0.

48

⎧ A1 x + B1 y + C1 = 0, ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 = 0.

По формулам Крамера (см. теорему 1.3) получаем: − C1 x=

B1

A1

− C 2 B2 , A1 B1 A2

y=

B2

−C

A2 − C 2 . A1 B1 A2

(2.13)

B2

Пример 2.12. Среди прямых 3x − 2 y + 7 = 0, 6 x − 4 y − 9 = 0, 2 x + 3 y − 6 = 0

указать параллельные и перпендикулярные. Решение. Рассмотрим первые два уравнения 3x − 2 y + 7 = 0, 6 x − 4 y − 9 = 0 . Имеем A1 = 3, B1 = −2, A2 = 6, B2 = −4. Для коэффициентов справедливо соотношение

A1 B1 = , A2 B2

то есть

3 −2 = . 6 −4

Следовательно,

эти прямые параллельны. Сравнивая коэффициенты первого и третьего уравнений, получаем отсутствие параллельности прямых, так как A1 ≠ B1 , то A3

есть

B3

3 −2 ≠ , здесь 2 3 A3 = 2, B3 = 3. Так

как A1 A3 + B1 B3 = 0 (3 ⋅ 2 + (− 2) ⋅ 3 = 0), то третья прямая перпендикулярна первой, а, следовательно, и второй. Пример 2.13. Среди прямых

1 y = 2 x + 6, y = − x + 3, y = 2 x 2

параллельные и перпендикулярные. Решение. По условию имеем k1 = k 3 ,

как

1 k1 = 2, k 2 = − , k 3 = 2. 2

указать Так как

следовательно, первая и третья прямые параллельны. Так

k2 = −

1 , k1

то вторая прямая перпендикулярна первой, а, следо-

вательно, и третьей прямой. Пример 2.14. Определить угол между прямыми: а) y = 2 x − 3, y = 1 x + 1 : б) 5 x − y + 7 = 0, 2 x − 3 y + 1 = 0. 2

49

Решение. а) Уравнения прямых даны с угловыми коэффициентами: k1 = 2, k 2 = 1 . Используя формулу (2.9), получим 2

1 3 −2 k 2 − k1 3 tg ϕ = = 2 = 2= . 1 k1k 2 + 1 2 4 ⋅ 2 +1 2 Отсюда ϕ=arctg 3 4

б) Уравнения прямых даны в общем виде. Имеем из условия A1 = 5, B1 = −1, A2 = 2, B2 = −3. В этом случае используем формулу (2.10) tg ϕ = A1B2 − A2 B1 = 5 ⋅ (− 2) − 2 ⋅ (− 1) = 8 . A1 A2 + B1 B2 5 ⋅ 2 + (− 1) ⋅ (− 3) 13 Отсюда ϕ=arctg 8 . 13

Пример 2.15. Найти точку пересечения прямых 2 x − y + 3 = 0, x + y − 4 = 0.

Решение. Решим совместно уравнения прямых, используя формулы Крамера. ⎧2 x − y + 3 = 0, ⎨ ⎩ x + y − 4 = 0.

∆=

2 −1 1 1

= 2 − (− 1) = 3, ∆x =

∆y =

Отсюда Ответ:

∆x 1 = , ∆ 3 ⎛1 2⎞ M ⎜ ; 3 ⎟. ⎝3 3⎠

x=

− 3 −1 4 1

= −3 + 4 = 1,

2 −3

= 8 + 3 = 11. 4 2 ∆y 11 = =3 . y= ∆ 3 3 1

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный угловой коэффициент k Если прямая проходит через точку M 0 (x0 ; y 0 ) и угловой коэффициент ее равен k , то она описывается уравнением y − y 0 = k ( x − x 0 ).

50

(2.14)

Пусть уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Так как прямая проходит через точку M 0 (x0 ; y 0 ) , то подставляя вместо x, y числа x0 , y 0 , получим числовое равенство y 0 = kx0 + b. Вычитая из первого равенства соответствующие части второго, получим y − y 0 = kx + b − kx0 − b <=> y − y 0 = k ( x − x0 ).

Уравнение (2.14) называют уравнением «пучка» прямых. Оно описывает все прямые, проходящие через точку M 0 , кроме прямой, перпендикулярной оси Ox, уравнение которой x = x0 (см. рис. 2.14).

y − y 0 = k1 ( x − x 0 )

y

y − y 0 = k 2 (x − x0 )

y − y 0 = k 3 (x − x0 )

y0 α3

O

M0 α2

α1

x0

x

Рис. 2.14

Пример 2.16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; − 4) и имеющей угловой коэффициент k = 3. (2; − 4) Решение. Точку обозначим M0. Тогда x0 = 2, y 0 = −4, k = 3. Поэтому на основании формулы «пучка» прямых (2.14) имеем y − (− 4) = 3 (x − 2), y + 4 = 3x − 6 и, окончательно, уравнение прямой 3x − y − 10 = 0 . Ответ: 3x − y − 10 = 0 . Пример 2.17. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (− 2; 1) и а) параллельной прямой x − y + 8 = 0; б) перпендикулярной прямой 3x − y + 1 = 0. 51

Решение. а) Преобразуем уравнение данной прямой x − y + 8 = 0 к виду с угловым коэффициентом. Имеем y = x + 8. Отсюда k1 = 1. Так как искомая прямая параллельна данной, то ее угловой коэффициент тоже равен 1, k 2 = 1 (см. формулу (2.7)). А тогда на основании формулы (2.14) имеем y − 1 = 1 ⋅ (x − (− 2)), то есть y = x + 3.

б) Угловой коэффициент данной прямой равен 3, k 2 = 3. В силу перпендикулярности прямых k 2 = − 1 (см. формулу (2.8)). Тогда 3

уравнение искомой прямой имеет вид:

y −1 = −

1 (x + 2) 3

или

x + 3 y − 1 = 0.

Ответ: а)

y = x + 3;

б)

x + 3 y − 1 = 0.

6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Пусть прямая проходит через две данные точки M 1 (x1 ; y1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ). Если x1 ≠ x 2 и y1 ≠ y 2 , то уравнение прямой имеет вид: x − x1 y − y1 . = x 2 − x1 y 2 − y1

(2.15)

Действительно, по формуле (2.14) уравнение прямой имеет вид: y − y1 = k ( x − x1 ) ( k — не известно). Эта прямая проходит через точку M 2 (x2 ; y 2 ). Подставляем координаты этой точки в уравнение прямой. Имеем числовое равенство y 2 − y1 = k (x 2 − x1 ). Разделим левые и правые части первого равенства на второе и получим формулу (2.15). Если абсциссы точек M 1 и M 2 одинаковы, то есть x1 = x2 , то прямая M 1 M 2 перпендикулярна оси абсцисс, и уравнение прямой имеет вид x = x1 . Если ординаты точек M 1 и M 2 равны, то есть y1 = y 2 , то прямая M 1 M 2 перпендикулярна оси Oy и ее уравнение y = y1 .

52

Пример 2.18. Написать уравнение прямой, проходящей через точки а) M 1 (1; − 2) и M 2 (− 2; 3); б) M 1 (4; − 2) и M 2 (3; − 2); в) M 1 (3; 3) и M 2 (3; 5). Решение. а) В силу формулы (2.15) имеем x −1 y − (− 2) = или − 2 − 1 3 − (− 2)

x −1 y + 2 = . −3 5

Окончательно, 5 x + 3 y + 1 = 0. б) Здесь y1 = y 2 = −2. Следовательно, уравнение искомой прямой есть y = −2. в) В этом случае x1 = x2 , = 3. Поэтому уравнение искомой прямой есть x = 3. Ответ: а) 5 x + 3 y + 1 = 0; б) y = −2 ; в) x = 3. 7. Расстояние от точки до прямой M 0 (x0 ; y 0 )

Расстояние от точки ляется по формуле d=

Ax0 + By 0 + C A2 + B 2

до прямой

Ax + By + C = 0

вычис-

(2.16)

.

Пример 2.19. Найти расстояние от точки

M 0 (2; − 3)

до прямой

3x − 4 y + 2 = 0.

Решение. Здесь x0 = 2, y 0 = −3. На основании формулы для искомого расстояния (2.16) имеем: d=

3 ⋅ 2 − 4(− 3) + 2 3 +4 2

2

=

20 = 4. 5

Ответ: 4. Пример 2.20. Найти расстояние между параллельными прямыми 3x + y − 7 = 0, 6 x + 2 y + 1 = 0.

Решение. Все точки одной прямой находятся на одинаковом расстоянии от параллельной ей второй прямой. Выберем какую53

нибудь точку, лежащую на первой прямой, например, гда ее расстояние до второй прямой будет d=

Ответ:

6 ⋅ 0 + 2 ⋅ 7 +1 6 +2 2

2

=

M 0 (0; 7 ).

То-

15 ≈ 2,37. 40

d ≈ 2,37.

Задания для самостоятельной работы 1. Построить прямые, найдя точки их пересечения с осями координат: а) 2 x − y + 4 = 0; б) x + y + 5 = 0. Ответ: точки пересечения прямых с осями координат а) (− 2; 0), (0; 4); б) (− 5; 0), (0; − 5).

45

0

2. Записать уравнения прямых, составляющих с осью Ox углы , 135 0 , 60 0 , 120 0 и отсекающих на оси Oy отрезок а) b = 4; б) b = −4. Ответ: а) y = x + 4, y = − x + 4, y = 3x + 4, y = − 3x + 4; б) y = x − 4, y = − x − 4, y = 3x − 4, y = − 3x − 4. 3. Записать уравнения прямых с угловым коэффициентом: а) 2 x + 3 y − 5 = 0; б) 4 x + y = 0; в) x − 5 y + 3 = 0. Ответ: а) y = − 2 x + 5 ; б) y = −4x; в) y = 1 x − 3 . 3

3

5

5

4. Прямая проходит через точку A(5; 1) и составляет с осью угол 45 0. Написать уравнение этой прямой. Ответ: y = x − 4. 5. Привести к виду в отрезках уравнение прямых: а) 2 x + 3 y = 6; б) 5 x − 4 y + 20 = 0. Ответ: а) x + y = 1; б) x + y = 1. 3

2

−4

Ox

5

6. Даны вершины A(− 1; 3) , B(5; 3) и точка пересечения диагоналей прямоугольника E (2; 0). Написать уравнения его сторон. Ответ: y = ±3; x = −1; x = 5. 54

7. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(2; − 1) и являющихся а) перпендикулярной, б) параллельной прямой 2 x − y + 5 = 0. Ответ: а) y = − 1 x; б) y = 2 x − 5. 2

8. Найти угол между прямыми Ответ: 45 0.

2x + y + 4 = 0

и

y = 3x − 4.

9. Даны две вершины треугольника ABC и точка пересечения его высот M . Найти третью вершину C , если A(− 4; 3), B(4; − 1), M (3, 3). Ответ: (4; 5). 10. Дана прямая x + 2 y − 4 = 0 и точка этой точки на данную прямую. Ответ: (2; 1).

A(5; 7 ).

Найти проекцию

11.

Даны уравнения двух сторон параллелограмма 2 x − y + 5 = 0 и x − 2 y + 4 = 0. Диагонали пересекаются в точке (1; 4). Найти уравнения двух других сторон параллелограмма и длины его высот. Ответ: 2 x − y − 1 = 0; x − 2 y + 10 = 0; 6 5; 6 5. 5

5

12. Написать уравнение траектории точки M (x; y ), движущейся так, что сумма расстояний ее от прямых y = 2 x и y = − x остается 2

равной 5. Ответ: Точка движется по сторонам квадрата, ограниченного прямыми x − 3 y = ±5; 3x + y = ±5.

55

§ 4. Кривые второго порядка К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола, они описываются уравнениями второго порядка. 1. Окружность Определение 2.4. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра) той же плоскости. Если точка C (a; b ) — центр, то уравнение окружности ( x − a )2 + ( y − b )2 = R 2 , (2.17) где R — радиус окружности, x и y — текущие координаты (см. § 2 данной главы, примеры 2.6 и 2.7). Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение (2.17) примет вид: x 2 + y 2 = R 2 . 2. Эллипc Определение 2.5. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная, равная 2a ( a > 0 ). Обозначим расстояние между фокусами d F F = 2c. Ясно, что 2a > 2c . Если выбрать систему координат, как указано на рис. 2.15а, то уравнение эллипса имеет вид: 1 2

где

x2 y2 + = 1, a2 b2 b = a 2 − c 2 (a > b ).

(2.18)

Эллипс имеет центр симметрии O , оси симметрии A1 A2 и B1 B2 ; точки A1 (− a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; − b ), B2 (0; b ) называют вершинами эллипса, отрезки A1 A2 и B1 B2 — большой и малой осями эллипса, параметры a и b — полуосями эллипса. Величина ε = c (ε < 1) называa

ется эксцентриситетом эллипса, он характеризует выпуклость эллипса. 56

Окружность можно считать частным случаем эллипса, когда a = b (ε = 0 ). Если фокусы эллипса лежат на оси Oy , то его уравнение имеет вид (см. рис. 2.15б). x2 y2 + =1 b2 a2

(a > b )

Если центр эллипса находится в точке C (x0 ; y 0 ), а оси параллельны осям координат, то уравнение эллипса имеет вид (см. рис. 2.16). ( x − x 0 )2 ( y − y 0 )2

+ = 1 (a > b ) или a2 b2 ( x − x 0 )2 ( y − y 0 )2 + = 1 (a > b ) . b2 a2

a)

б)

y

y A2 − c F1

b B2 M A1 F1 a −c

O

F2 c

A2 a

x

B1 -b

O

B2 b M

x

− c F2 A1

-b B1

Рис. 2.15

Приведенные уравнения эллипса называют каноническими. Пример 2.21. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса x2 y2 + = 1. 25 9

Построить эллипс.

57

Решение. В соответствии с уравнением (2.18) имеем a = 5, b = 3. a = 25, b 2 = 9, следовательно, Отсюда c 2 = a 2 − b 2 , c = 4, F1 (− 4; 0 ), c 4 F2 (4; 0), ε = = . Эллипс изображен на рис 2.17. 2

a

5

y

y

3 b F1 -5 -4

y0 a

O

x0

x

Рис. 2.16.

F2 4 5

O

x

-3

Рис. 2.17.

3. Гипербола Определение 2.6. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная, равная 2a. Расстояние между фокусами F1 и F2 обозначим 2c, причем c > a. Каноническое уравнение гиперболы x2 y2 − = 1, a2 b2

(2.19)

(см. рис. 2.18). Фокусы F1 (− c; 0) и F2 (c; 0) лежат на оси Ox . Оси координат являются осями симметрии, точка O — центр симметрии гиперболы, точки A1 (− a; 0) и A2 (a; 0) называют действительными вершинами, точки B1 (0; − b ) и B2 (0; b ) — мнимыми вершинами, число a - действительной полуосью, число b — мнимой. Прямоугольник с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат и проходящими через вершины гиперболы, называют основным прямоугольником гиперболы. где

b = c2 − a2

Продолжив его диагонали, получим прямые 58

y=±

b x, a

к которым

неограниченно приближаются ветви гиперболы, Эти прямые называют асимптотами гиперболы. Эксцентриситет ε = c > 1. Эксцентриситет характеризует выa

тянутость основного прямоугольника. Если называют равносторонней.

F1 -c

b B2 A1 A2 -a 0 a

F2 c

B1 -b

x

-b B1 y=−

то гиперболу

y

b y= x a

y

a = b,

b x a

Рис. 2.18

-c F2 a A2

B2 0 b -a A1 -c F1

x

Рис. 2.19

В случае, когда фокусы лежат на оси лы записывают так

Oy ,

уравнение гипербо-

y2 x2 − = 1, a2 b2

а асимптоты

x=±

b y a

(см. рис.2.19).

Если центр гиперболы находится в точке C (x0 ; y 0 ), а оси параллельны осям координат, то канонические уравнения гиперболы имеют вид: ( x − x 0 )2 ( y − y 0 ) 2 a2

−

b2

= 1 или

( y − y 0 )2 ( x − x 0 )2 a2

−

b2

= 1.

Пример 2.22. Определить вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы

x2 y2 − = 1. 4 9

Сделать чертеж.

Решение. В соответствии с формулой (2.19) имеем a = 2, b = 3, c = a 2 + b 2 = 13 , ε =

вершины

A1 (− 2; 0 ), A2 (2; 0 ), B1 (0; − 3), B2 (0; 3).

c 13 = ≈ 1,8, a 2

59

Через эти вершины проводят стороны основного прямоугольника гиперболы. Его диагонали y = ± 3 x — асимптоты ги2

перболы. Через вершины A1 и A2 проводим ее ветви, приближая их к асимптотам (см. рис. 2.20). y y=

3 x 2

3 B2 A1 -2

A2 2

0

x

-3 B1 3 y=− x 2

Рис. 2.20

4. Парабола Определение 2.7. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой, (директрисы), не проходящей через эту точку, расположенных в той же плоскости (см. рис. 2.21). y p x = − 2

y 2 = 2 px

M 0

⎛p ⎞ F ⎜ ; 0 ⎟. ⎝2 ⎠

Рис. 2.21

60

x

Каноническое уравнение параболы ( p > 0), (2.20) где p — расстояние от фокуса до директрисы. Ось Ox — ось симметрии параболы; точка параболы, лежащая на оси симметрии, называется вершиной. Уравнение директрисы x = − p , фокус y 2 = 2 px

2

⎛p ⎞ F ⎜ ; 0 ⎟. ⎝2 ⎠

Эксцентриситет параболы

ε = 1.

Возможны другие расположения параболы на плоскости, которые задаются уравнениями: а)

y 2 = −2 px ;

б)

x 2 = 2 py;

в)

x 2 = −2 py .

Эти уравнения тоже называются каноническими. Смотрите рис. 2.22. а) y y

2

= − 2 px

x =

⎛ p ⎞ F ⎜ − ; 0⎟ ⎝ 2 ⎠

p 2

O

б)

x

в) y

y y=−

x 2 = 2 py

O

⎛ p⎞ F ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠

p 2

x

p⎞ ⎛ F ⎜ 0; − ⎟ 2⎠ ⎝

O

x p y = − 2

x 2 = − 2 py

Рис. 2.22

61

Если вершина параболы лежит в точке (x0 ; y 0 ), то канонические уравнения имеют вид: ( y − y 0 )2 = 2 p(x − x0 ), (x − x0 )2 = 2 p( y − y 0 ), ( y − y 0 )2 = −2 p(x − x0 ), (x − x0 )2 = −2 p( y − y 0 ).

Пример 2.23. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку A (2; 8) и симметрична относительно оси Oy . Написать уравнение. Решение. Так как парабола симметрична относительно оси Oy и имеет вершину в начале координат, то ее уравнение имеет вид (рис. 2.22) x 2 = 2 py . Точка A(2; 8) лежит на параболе, подставим ее координаты в уравнение параболы: 2 2 = 2 p ⋅ 8 . Отсюда получим p = 1 . Сле4

довательно, уравнение параболы Ответ:

x2 =

x2 = 2 ⋅

1 y, 4

или

x2 =

1 y. 2

1 y. 2

5. Преобразование уравнения второго порядка к каноническому виду Общее уравнение второй степени имеет вид: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,

(2.21)

где A, B, C , D, E , F — действительные числа, причем A, B, C одновременно в нуль не обращаются. В зависимости от соотношения значений коэффициентов уравнения оно может описывать ту или иную кривую второго порядка. Для выяснения какую именно, уравнение преобразуют. Пусть в уравнении B = 0. Тогда рекомендуется выделить полные квадраты переменных. Пример 2.24. Даны уравнения а) 62

x 2 + y 2 − 8 x + 2 y − 8 = 0;

б)

4 x 2 + y 2 + 6 y − 7 = 0;

в) 5 x − 4 y + 10 y − 15 = 0; г) y − 2 x + 4 y + 2 = 0. Выяснить, какие кривые описывают уравнения. Сделать чертеж. 2 2 Решение. а) x + y − 8 x + 2 y − 8 = 0; выделяя полные квадраты, получим 2

(x

2

) (

2

2

)

(x

− 8 x + y 2 + 2 y − 8 = 0;

2

) (

)

− 8 x + 16 + y 2 + 2 y + 1 − 16 − 1 − 8 = 0,

(x − 4)2 + ( y + 1)2 = 25.

Это уравнение окружности с центром C (4; − 1) и R = 5 (см. рис. 2.23а); 2 2 2 2 2 2 б) 4 x + y + 6 y − 7 = 0, 4 x + (y + 6 y ) − 7 = 0, 4 x + (y + 6 y + 9) − 9 − 7 = 0, 2 x 2 ( y + 3) + = 1. 2 4 x 2 + ( y + 3) = 16 , 4 16 Полученное уравнение является уравнением эллипса, причем фокусы лежат на оси Oy, а центр симметрии эллипса находится в точке C (0; − 3) ( см. рис.2.23б); в)

5 x 2 − 4 y 2 + 10 y − 15 = 0, 5(x 2 + 2 x ) − 4 y 2 − 15 = 0,

5(x 2 + 2 x + 1) − 5 − 4 y 2 − 15 = 0,

5(x 2 + 1) − 4 y 2 = 20, 2

(x + 1)2 4

−

y2 = 1. 5

Это уравнение гиперболы, центр симметрии которой находится в точке C (− 1; 0), фокусы лежат на оси Ox (см. рис. 2.23в); г)

y 2 − 2 x + 4 y + 2 = 0,

(y

2

+ 4 y ) − 2 x + 2 = 0,

(y

2

+ 4 y + 4) − 4 − 2 x + 2 = 0,

( y + 2)2 + 2 x + 2 = 0, ( y + 2)2 = 2(x + 1).

Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке ось симметрии — параллельна оси Ox (см. рис. 2.23г).

C (− 1; − 2 ) ,

63

а)

б) y

y -2

2 O

O -1

x

4

C (4;−1)

x

C(0; −3)

(y + 3) = 1 x2 + 4 16 2

( x − 4 )2

+ ( y + 1) = 5 2 2

y

y

в)

г) 5

-1

C(−1;0) -3

1 O

O 1 -1

C (− 1; − 2 )

x

x -2

− 5

(x + 1)2 4

−

y2 =1 5

( y + 2)2 = 2(x + 1) Рис. 2.23

Пусть в уравнении (2.21) B ≠ 0. В этом случае кривая повернута относительно осей. Например, x y = a (a > 0 ) . Это уравнение гиперболы, расположенной в I и III квадрантах (см. рис. 2.24). y

xy = a (a > 0 )

O

x

Рис. 2.24 64

При проведении преобразований возможны случаи, когда уравнение (2.21) распадается на произведение линейных множителей: ( A1 x + B1 + C1 )( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0.

Тогда это уравнение описывает совокупность двух прямых A1 x + B1 y + C1 = 0 и

A2 x + B2 y + C 2 = 0.

Например, x − y = 0, то есть (x − y )(x + y ) = 0. Уравнение описывает совокупность двух прямых x − y = 0, x + y = 0. Возможны случаи, когда уравнению удовлетворяют координаты лишь одной точки, а может быть, что таких точек совсем не существует. 2 2 Например, уравнение (x − 1) + ( y + 8) = 0 описывает лишь одну 2 2 точку (1; − 8), а уравнению (x − 1) + ( y + 8) = −3 ни одна точка не удовлетворяет. Последнее уравнение описывает пустое множество точек. 2

2

Задания для самостоятельной работы 1. Написать уравнение окружности радиуса точке C (a; b ), если

R

с центром в

а) R = 8, C (1; 6); б) R = 4, C (− 1; 2); в) R = 3, C (0; − 3); 2 2 2 2 Ответ: а) (x − 1) + ( y − 6) = 64; б) (x + 1 ) + ( y − 2) = 16; 2 2 в) x + ( y + 3) = 3. 2. Доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, найти ее радиус и центр: 2 2 2 2 а) x + y + 10 y − 4 x − 35 = 0; б) x + y + 8 x − 4 y − 5 = 0. Ответ: а) R = 8, C (2; − 5); б) R = 5, C (− 4; 2). 3. Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку M 0 , если известно расстояние между фокусами 2c : а) M 0 (− 6; 0), c = 2; б) M 0 (6; 0), c = 2; в) M 0 (0; 6), c = 8; 65

г) Ответ: а)

x2 y2 + = 1; 36 32

б)

M 0 (0; − 6), c = 8; x2 y2 + = 1; 36 32

в)

x2 y2 + = 1; 100 36

г)

x2 y2 + = 1. 100 36

4. Записать уравнение эллипса в канонической форме: а)

3x 2 + 2 y 2 − 12 = 0;

64 x 2 + 100 y 2 − 6400 = 0;

б)

г)

Ответ: а)

3x 2 + 2 y 2 + 6 x − 9 = 0;

3x 2 + 2 y 2 − 4 y − 10 = 0.

Сделать чертеж. x2 y2 + = 1; 4 6

в)

б)

x2 y2 + = 1; 100 64

(x + 1)2

в)

4

+

y2 = 1; 6

x 2 ( y − 1) + = 1. 4 6 2

г)

5. Записать уравнение гиперболы в канонической форме. Найти полуоси. Сделать чертеж. 2 2 2 2 2 2 а) 4 x − 5 y − 20 = 0; б) 16 y − 10 x − 160 = 0; в) x − 2 y + 4 x − 20 = 0; 2 2 г) 4 x − y + 8 y = 0. Ответ: а) в)

x2 y2 − = 1, a = 5 , b = 2; 5 4

(x + 2) 24

2

−

б)

−

x2 y2 + = 1, a = 10 , b = 4; 16 10

2

y = 1, a = 2 6, b = 2 3; 12

x 2 ( y − 4) − + = 1, a = 4, b = 2. 4 16 2

г)

6. Напишите уравнение параболы, проходящей через начало координат, точку (5; 3) и симметричной относительно а) оси ординат; б) оси абсцисс. Ответ: а)

66

y=

3 2 x ; 25

б)

x=

5 2 y . 9

Глава III. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. Основные понятия Отрезок называется направленным, если один из его концов считается началом отрезка, а другой — концом. Вектором называется направленный отрезок. Изображается вектор отрезком со cтрелкой на конце (см. рис. 3.1). Вектор обо→ значают симвoлом AB или AB , причем первая буква всегда указывает начало вектора, а вторая буква — его конец. Вектор также обозначают и одной малой латинской буквой со стрелкой или → чертой над ней: a или a. B a

A

Рис. 3.1.

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной (или модулем) вектора. Длина вектора AB обозначается через AB , длина вектора a обозначается через a . Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором. Обозначают его символом 0 или просто 0 . Длина нулевого вектора равна нулю. Понятие направления для нулевого вектора не вводится. Два вектора a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Два вектора a и b называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину. В этом случае пишут: a = b. Все нулевые векторы считаются равными. 67

Из понятия равенства векторов вытекает, что если данный вектор AB перенести параллельно самому себе, помещая его начало в любую другую точку пространства, то получаем вектор, равный данному. Два вектора a и b называются противоположными, если они коллинеарны, имеют равные длины, но противоположно направлены. Для вектора AB противоположным будет вектор BA . Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Рассмотрим операции сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на число. Пусть даны два вектора a и b . Возьмем произвольную точку A пространства и построим вектор AB , равный a . Затем построим вектор BC , равный b . Вектор AC , соединяющий начало первого вектора с концом второго вектора, называется суммой векторов a и b и обозначается a + b (см. рис. 3.2). Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. а)

б)

a

a

B

a b

в)

a

b

A

a+b

b

b

C A a

B b a+b

A

C

C

B

a +b

Рис. 3.2

Для сложения двух неколлинеарных векторов используют правило параллелограмма (см. рис. 3.3,а). а) a

b

б)

B

a a+b

a

C c

C

A

b c

b D

d

B a

A Рис. 3.3

68

b

D d

a+b+c+d

M

Сумму нескольких векторов можно найти так: из произвольной точки A строится вектор AB, равный первому слагаемому вектору, из точки B строится вектор BC , равный второму слагаемому вектору, из точки C строится вектор CD, равный третьему слагаемому и так далее. Вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего слагаемого вектора, является суммой данных векторов (см. рис. 3.3б). Вычитание векторов определяется как действие, обратное сложению: разностью двух векторов a и b называется вектор c , сумма которого с вектором b равна вектору a , то есть b + c = a . Обозначение: c = a − b . Вектор a − b можно построить следующим образом: из произвольной точки A пространства строят векторы AB = a и AC = b. Вектор CB равен a − b (см. рис. 3.4). В

a

a−b С

a А

b

b

Рис. 3.4

Произведением вектора a (a ≠ 0) на действительное число k ≠ 0 называется вектор, коллинеарный вектору a , имеющий длину, равную k ⋅ a и то же направление, что и вектор a , если k > 0, и направление, противоположное направлению вектора a , если k < 0 . Обозначение: k a . Если k = 0 или a = 0, то произведение k a считается равным нулевому вектору. Пример 3.1. Пусть точка C — середина отрезка AB . Доказать, что DC = 1 (DA + DB ), где D — произвольная точка пространства. 2

Решение. На рис. 3.5 изображен отрезок точка D пространства. Рассмотрим векторы видно что DC =

и произвольная DA, DB, DC , DK . ОчеAB

1 1 DK = (DA + DB ), 2 2

69

D B A

C

b

C

N

a M

B

P c

A

Q

D

K

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Пример 3.2. Дан четырехугольник ABCD. Точки M , N , P, Q — середины соответственно сторон AB, BC , CD, AD. Пусть AB = a, BC = b, CD = c. Выразить через a, b, c и построить следующие векторы: а) AB + BC; б) AP; в) QP; г) AD − AB; д) AB + BC + CP; е) (см. рис. 3.6). Решение. а) AB + BC = AC = a + b; б) AP = a + b + 1 c ;

AC − AD

2

в)

1 1 QP = AC = (a + b ); 2 2

д)

г)

AD − AB = BD = b + c ;

1 AB + BC + CP = AP = a + b + c ; 2

е)

AC − AD = − c.

§ 2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по компонентам на координатные оси Пусть в пространстве заданы ось OL и вектор AB. Определение 3.1. Компонентой (или составляющей) вектора AB на ось OL называется вектор A1 B1 , где A1 , B1 соответственно проекции точек A и B на ось OL (см. рис. 3.7). B A

O

A1

Рис. 3.7 70

B1

L

Определение 3.2. Проекцией (или координатой) вектора AB на ось OL называется число, равное: а) длине компоненты A1 B1 на ось OL , если направление компоненты совпадает с направлением оси OL ; б) длине компоненты A1 B1 , взятой со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси OL . Пусть векторы i, j, k — единичные векторы координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно, то есть i , j , k = 1 и направление каждого из них совпадает с положительным направлением соответствующей оси. Обозначим через a x , a y , a z координаты a (проекции вектора a на оси Ox, Oy, Oz соответственно). Тогда a = ax i + a y j + az k; a = a x2 + a y2 + a z2

.

(3.1) (3.2)

Направление вектора a определяется углами α , β , γ , которые он образует с осями Ox, Oy, Oz , соответственно. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора a . Они определяются по формулам cos α =

ay ax a , cos β = , cos γ = z . a a a

(3.3)

Если a x , a y , a z — координаты вектора a (то есть проекции на координатные оси Ox, Oy, Oz ), то пишут: a {a x ; a y ; a z }. Отметим некоторые свойства координат векторов. 1. Каждая координата суммы двух и большего числа векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов, то есть если a {a x ; a y ; a z }, b {bx ; b y ; bz }, то a+b имеет координаты

{a

x

+ bx ; a y + b y ; a z + bz }.

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, то есть, если a {a x , a y , a z }, b {bx , b y , bz }, то вектор a − b имеет координаты

{a

x

− bx ; a y − b y ; a z − bz }.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это чис71

ло, то есть, если

{ka ; ka x

y

; ka z }.

a {a x ; a y ; a z },

то вектор

ka

имеет координаты

4. Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца: если начало вектора в точке M 1 (x1 ; y1 ; z1 ), а конец в точке M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ), то вектор M 1 M 2 имеет координаты {x2 − x1 ; y 2 − y1 ; z 2 − z1 }, (3.4) то есть, чтобы найти координаты некоторого вектора, следует из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала.

Пример 3.3. Даны две точки A(3; 1; − 1), B(5; 2; − 3). Найти координаты вектора AB , его длину AB и направляющие косинусы. Решение. Используя формулу (3.4), получаем AB{5 − 3; 2 − 1; − 3 − (−1)}, то есть AB{ 2; 1; − 2}. По формуле (3.2) получаем 2 2 2 По формуле (3.3) имеем: AB = 2 + 1 + (−2) = 9 = 3. cos α =

2 2 1 , cos β = , cos γ = − . 3 3 3

Ответ:

AB{ 2; 1; − 2},

AB = 3, cos α =

2 2 1 , cos β = , cos γ = − . 3 3 3 a = 3i + 5 j − 2k и b{− 4; 5; 1}.

Пример 3.4. Даны два вектора Найти длину и направляющие косинусы вектора c = a − 3b. Решение. По условию и в силу формулы (3.1) имеем: a{3; 5; − 2} и b{− 4; 5; 1}. Тогда по свойствам проекций координаты вектора c равны: c x = a x − 3bx = 3 − 3(− 4) = 15, c y = a y − 3b y = 5 − 3 ⋅ 5 = −10, c z = a z − 3bz = −2 − 3 ⋅ 1 = 5.

Следовательно, по формулам (3.2) и (3.3) c = 15 2 + (− 10) + (− 5) = 5 9 + 4 + 1 = 5 14 ; 2

2

15 3 − 10 2 −5 1 = ; cos β = =− ; cos γ = =− . 5 14 14 5 14 14 5 14 14 Ответ: c = 5 14 ; cos α = 3 ; cos β = − 2 ; cos γ = − 1 . 14 14 14 cos α =

72

Пример 3.5. Даны вершины треугольника A(2; 1; − 3), B(5, 0; − 4), C (7; 4; − 2 ). Найти длину медианы AM . Решение.

AM = AB +

1 BC. 2

Используя формулу (3.4), получаем:

B M A

AB{3; − 1; − 1}, BC {2; 4; 2},

C

AM {4; 1; 0}.

Рис. 3.8

По формуле (3.2) вычисляем AM = 4 2 + 12 + 0 2 = 17 .

Ответ: 17 .

Задания для самостоятельной работы 1. Дана призма ABCA1 B1C1 . Найти сумму векторов: а) BA + AA1 + A1C ; б) CC1 + C1 A + AA1 ; в) AA1 + A1 B1 + B1 B + BC. Ответ: а) BC ; б) CA1 ; в) AC. 2. Найдите периметр треугольника, образованного векторами AB, BC , CA, если A(0; 1; − 3), B (2; 5; − 7 ), C (− 2; 1; − 3). Ответ: 4(2 + 3 ). 3. Даны два вектора a{5; 2; − 1}, b{3; 0; 1}. Найти длину и направляющие косинусы вектора: а) 2b − a ; б) 2a − b ; в) b − a. Ответ: а) в)

1 ,− 14 1 2 3, − ,− 3 14 ,

2 3 , ; 14 14 1 1 , . 3 3

б)

74 ,

7 4 3 , ,− ; 74 74 74

§ 3. Нелинейные операции над векторами 1. Скалярное произведение двух векторов Определение 3.3. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними. (За угол между векторами принимают 73

угол между содержащими их прямыми, величина которого принадлежит промежутку [0, π ] ). Скалярное произведение векторов a и b обозначается через a b или a ⋅ b. Таким образом, по определению

(

)

(3.5)

a b = a ⋅ b ⋅ cos a ; b .

Приведем некоторые свойства скалярного произведения: 1. a b = b a ; 2. (a + b )c = a c + b c; 3. (λ a )b = λ (a b ), λ ∈ R; 4. Если a ≠ 0, b ≠ 0, то a ⊥ b <=> a b = 0, то есть, для того, чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю. Отметим, что скалярное произведение a a обозначают a 2 и называют скалярным квадратом вектора a . Очевидно, a 2 = a 2 . Теорема 3.1. Если векторы a и b заданы своими проекциями на координатные оси, то есть a{a x ; a y ; a z }, b{bx ; b y ; bz }, тогда a b = a x bx + a y b y + a z bz .

(3.6)

Замечание. Обозначим проекцию вектора правленную

a

, через

мулы (3.5) получаем

Пр a b.

Так как

можно назвать проекцией вектора Пример 3.6. Известно, что

( )

b

тогда из фор-

Пр a b = b cos a; b ,

откуда

a b = a Пp a b,

на ось, сона-

b

Пр a b =

ab a

.

Это число

на вектор a .

( )

a = 3, b = 2, a; b =

π 3

.

Найти: а)

ab;

б) (3a − b )(2a − b ). Решение. Используя равенство (3.5) и свойства скалярного произведения, получаем: а) a b = a ⋅ b ⋅ cos π = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 3. 3 2 2 (3a − b )(2a − b ) = 6 a − 3 a b − 2 b a + b 2 = 6 ⋅ 9 − 5 ⋅ 3 + 4 = 43.

б) Ответ: а) 3; б) 43. 74

Пример 3.7. Даны вершины четырехугольника ABCD: A(− 1; 4; 3), B (0; 8; 1), C (− 4; 4; 5), D(4; − 3; 7 ). Доказать, что диагонали AC, BD перпендикулярны. Решение. Найдем координаты векторов AC, BD : AC{− 3; 0; 2} и BD{4; − 11; 6}. По формуле (3.6) получаем: AC ⋅ BD = −3 ⋅ 4 + 0 ⋅ (− 11) + 2 ⋅ 6 = 0. Согласно свойству 4 скалярного произведения имеем: AC ⊥ BD.

Пример 3.8. Даны точки A(2; 4; 1), B(3; 4; 2), C (2; 3; 0). Вычислить угол между векторами CA и CB. Решение. Найдем координаты векторов CA, CB . CA{0; 1; 1},. CB{1; 1; 2}. Следовательно, CA ⋅ CB = 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 3, CA = 2 , CB = 6 . Из формулы (3.5) можно получить

(

)

cos CA ; CB =

Ответ:

3 2⋅ 6

π

6

=

3 2 3

=

3 . 2

А значит,

(

( )

cos a ; b =

)

cos CA ; CB = arccos

ab a ⋅ b

.

Тогда

3 π = . 2 6

.

Отметим возможность применения скалярного произведения в физике: работа A постоянной силы F при прямолинейном перемещении S ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения A = F ⋅ S . Пример 3.9. Найти работу силы F = 3i + 4 j + k при прямолинейном перемещении точки из положения M (− 2; − 1; 5) в положение B (3; 0; − 1). Решение. Вектор перемещения равен MB{5; 1; − 6}. Тогда A = F ⋅ MB = 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ (− 6 ) = 13 . Ответ 13. 2. Векторное произведение векторов Пусть даны два неколлинеарных вектора a и b. Определение 3.4. Векторным произведением вектора вектор b называется вектор c, удовлетворяющий условиям:

a

на

75

1) модуль вектора

c

численно равен площади параллело-

грамма, построенного на векторах началу, как на сторонах, то есть

a

и

b

приведенных к общему

(

)

c = a ⋅ b ⋅ sin a ; b ;

2) вектор c перпендикулярен каждому из векторов a и b ; 3) вектор c направлен так, что кратчайший поворот вектора a к вектору b виден из конца вектора c происходящим против часовой стрелки (в этом случае говорят, что векторы a , b и c образуют правую упорядоченную тройку векторов). Векторное произведение векторов a и b обозначается символом a × b. Если векторы a и b коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору. Приведем некоторые свойства векторного произведения. 1. a × b = − (b × a ) ; 2. (λ a )× b = λ (a × b ), где λ ∈ R ; 3. (a + b )× c = a × c + b × c. Теорема 3.2. Если векторы заданы своими координатами: a{a x ; a y ; a z }, b{bx ; b y ; bz }, то i

j k

a × b = ax a y az

(3.7)

bx b y bz

Пример 3.10. Даны два вектора: a{2; − 1; 3}, b{0; 4; − 1}. Найти a × b, a × b , площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Решение. По теоремам 3.2 и 1.1 получаем i

j k

a × b = 2 −1 3 = i 0 4 −1

2 3 2 −1 −1 3 −j +k = 4 −1 0 −1 0 4

= i (1 − 12) − j (− 2 − 0) + k (8 − 0) = −11i + 2 j + 8 k . a× b =

(− 11)2 + 2 2 + 8 2

= 189 . Тогда Из условия 1 определения векторного произведения площадь параллелограмма равна 189 кв. ед. Ответ: a × b = −11i + 2 j + 8 k , a × b = 189 , S пар. = 189 кв. ед.

76

Пример 3.11. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(1; 1; 1), B(2; − 1; 0), C (− 1; 3; − 1). Решение. Найдем координаты векторов AB и AC : AB{1; − 2; − 1}, AC{− 2; 2; − 2}.

i

По теореме 3.2

AB × AC =

j k

2 − 2 − 1 = 6 i + 4 j − 2 k.

Тогда

−2 2−2

AB × AC = 6 2 + 4 2 + (− 2 ) = 2 14 .

Следовательно, по определению 3.4 площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AC , равна 2 14. Поскольку площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, то S ∆ABC = 1 ⋅ 2 14 = 14 кв. ед. 2

2

Ответ:

14 кв.

ед.

3. Смешанное произведение трех векторов Пусть даны три вектора a, b, c. Найдем векторное произведение a × b. Получим некоторый вектор. Умножим его скалярно на вектор c, то есть найдем число (a × b )c . Это число называют смешанным или векторно-скалярным произведением векторов a, b, c. Обозначается смешанное произведение векторов a, b, c символом a b c.

Приведем некоторые свойства смешанного произведения векторов. 1. Пусть векторы a, b, c некомпланарны и имеют общее начало. Модуль смешанного произведения a b c численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c как на ребрах. 2. Для того, чтобы три ненулевых вектора a, b, c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю a b c = 0. 3. При круговой перестановке векторов смешанное произведение не меняется, то есть a b c = b c a = c a b; при перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение изменит только знак, a b c = −b c a.

77

Теорема 3.3. Если a {a x ; a y ; a z }, b {bx ; b y ; bz }, c {c x ; c y ; c z }, то ax a y az

(3.8)

a b c = bx b y bz cx c y cz

Пример 3.12. Треугольная пирамида имеет вершины: A(3; 3; 3), B(5; 4; 4 ), C (5; 6; 5), D(6; 6; 7 ). Найти ее объем V и высоту H , опущенную на грань ABC . Решение. Объем пирамиды равен 1 части объема парал6 AB, AC , AD.

лелепипеда, построенного на векторах Найдем координаты векторов AB, AC , AD : AB {2; 1; 1}, AC {2; 3; 2}, AD{3; 3; 4}. Тогда по теореме 3.3 D 2 11

AB AC AD = 2 3 2 = 7

H

иV

3 3 4

B A

7 = . 6

Известно,

что объем пирамиды можно вычислить по формуле V = 1 S осн. ⋅ H . 3

C

Отсюда найдем высоту H =

3V . S осн.

Рис. 3.9

Вычислим

S осн −

площадь треугольника

векторным произведением Отсюда Тогда

78

7 6 = 7 = 7. 6 21 21 2 7 V = куб. ед. H = 6

и

S осн =

1 21 AB × AC = . 2 2

3⋅

Ответ:

воспользовавшись

i j k AB × AC = 2 1 1 = −i − 2 j + 4 k . 2 3 2

AB × AC = 1 + 4 + 16 = 21

H=

ABC ,

7 6

кв. ед.

Пример 3.13. Показать, что векторы a {14; − 6; 4;}, b {− 6; 14; − 16}, c {2; − 2; 2} компланарны. Решение. Достаточным условием компланарности векторов a, b, c является равенство нулю их смешанного произведения. Покажем, что это условие в данном примере выполняется. 14 − 6

4

14 − 16 = 14 (28 − 32 ) + 6 (− 12 + 32 ) + 4(12 − 28) = −56 + 0 − 64 = 0.

a , b, c = − 6

2 −2

2

Задания для самостоятельной работы 1. Даны векторы

(a + b )c.

a = 2 i + 3 j − k , b = i − 2 j − 4k , c = 4 i + k .

Найти

Ответ: 7. 2.

Даны

векторы

Ответ: а)

4 i + 11 j + k ,

(a + 3b )× (a − 2b ).

a {2 − 1; 3;}, b {− 1; 0; 4}.

б)

S=

а) b× a ;

б)

20 i + 55 j + 5k .

3. Вычислить площадь треугольника A , если A(1; 0; − 1), B(2; 1; − 2 ), C (0; 2; 1). Ответ:

Найти:

ABC

и внутренний угол

26 3 кв. ед. ∠ A = π − arccos . 2 9

4. Даны векторы a {− 1; y ; 4}, b {3; − 1; 2}. Найдите координату ли известно, что a ⊥ b. Ответ: y = −5.

y,

ес-

5. На тело, движущееся прямолинейно, под углом в 60o к направлению движения действует сила F . Найти работу силы F на перемещении S , если F = 5, S = 3. Ответ: 7,5. 6. Даны векторы a = 3 i − j + 4k , b = i + j + 3k . Найти: а) Пpb a, б) Пp a b.

Ответ: а)

14 ; 11

б)

14 . 26

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами: A(1; 5; − 1), B (4; 0; − 3), C (3; − 2; − 1), D(− 1; 5; 4 ). Ответ: 4,5 куб. ед. 79

Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Пусть в пространстве задана декартова система координат Oxyz. Каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно x, y, z: Ax + By + Cz + D = 0 ,

(4.1) где A,B,C,D — действительные числа, такие что A,B,C одновременно не обращаются в нуль, и обратно, каждое уравнение (4.1) определяет некоторую плоскость. Коэффициенты A,B,C имеют простой геометрический смысл: они являются координатами одного из векторов перпендикулярных к данной плоскости. Вектор n = Ai + B j + C k называют также нормальным вектором плоскости. Расположение плоскости в пространстве в случае равенства нулю некоторых из коэффициентов A,B,C,D показано в таблице: Значение

Уравнение

Расположение плоскости в

коэффициентов

плоскости

пространстве

D=0

Ax + By + Cz = 0

проходит через начало координат

A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0

By + Cz + D = 0

// оси X (⊥ YOZ )

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0

Ax + Cz + D = 0

// оси Y (⊥ XOZ )

C = 0, A ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0

Ax + By + D = 0

// оси Z (⊥ XOY )

A = D = 0, B ≠ 0, C ≠ 0

By + Cz = 0

проходит через ось OX

B = D = 0, A ≠ 0, C ≠ 0

Ax + Cz = 0

проходит через ось OY

80

C = D = 0, A ≠ 0, B ≠ 0

Ax + By = 0

проходит через ось OZ

A = B = 0, C ≠ 0, D ≠ 0

Cz + D = 0

⊥ OZ (// XOY )

A = C = 0, B ≠ 0, D ≠ 0

By + D = 0

⊥ OY (// XOZ )

B = C = 0, A ≠ 0, D ≠ 0

Ax + D = 0

⊥ OX (// YOZ )

A = B = D = 0, C ≠ 0

Cz = 0

плоскость XOY

A = C = D = 0, B ≠ 0

By = 0

плоскость XOZ

B = C = D = 0, A ≠ 0

Ax = 0

плоскость YOZ

2. Уравнение плоскости в отрезках Рассмотрим плоскость, пересекающую все три координатные оси и не проходящую через начало координат. Обозначим a, b, c величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат: a — абсцисса M 1 , b — ордината M 2 , c — аппликата M 3 (рис. 4.1). Точки пересечения плоскости с осями координат: M 1 (a, 0, 0), M 2 (0, b, 0), M 3 (0, 0, c ) . Уравнение плоскости, записанное в виде x y z + + = 1, (4.2) a b c

Z

называют уравнением плоскости в отрезках. Пример 4.1. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3x − 4 y − 24 z + 12 = 0 на координатных осях и написать уравнение данной плоскости в отрезках. Решение. Находим абсциссу точки пересечения

M1

плоскости с осью

M3

O M1

M2

Y

X

в уравнение плоскости подставляя Рис. 4.1 значения y = 0, z = 0 : 3x + 12 = 0, то есть a = −4. Далее находим ординату точки M 2 пересечения плоскости с осью OY , полагая x = z = 0 : y = 3, то есть b = 3 и аппликату точки M 3 пересечения OX ,

плоскости с осью

OZ ,

полагая

x= y=0 : z=

1 , то 2

есть

1 c= . 2

Со-

ставляем уравнение данной плоскости в отрезках: x y z + + = 1. −4 3 1 2

81

3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Если плоскость проходит через точку M 0 (x0 , y 0 , z 0 ) и ее нормальный вектор равен n {A, B, C}, то ее уравнение имеет вид: A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 (4.3) Возьмем в данной плоскости произвольную точку Вектор M 0 M = (x − x0 )i + ( y − y 0 ) j + (z − z 0 ) k лежит в заданной плоскости. Поэтому векторы n и M 0 M перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю, где бы на плоскости точка M ни находилась. Используя формулу (3.6) скалярного умножения векторов, заданных своими координатами, получаем формулу (4.3).

Z

M ( x, y, z ). n

M M0

O

Y

X

Рис. 4.2

Пример 4.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (3,−2,−7 ) параллельно плоскости 5 x − 3 y + 2 z − 3 = 0 . Решение. Вектор нормальный данной плоскости n {5, − 3, 2} будет нормальным и искомой плоскости, ввиду параллельности плоскостей. Используя формулу (4.3) составляем уравнение искомой плоскости 5 ( x − 3) − 3 ( y + 2 ) + 2 ( z + 7 ) = 0 <=> 5 x − 3 y + 2 z − 7 = 0. Пример 4.3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M (2,−1,1) перпендикулярно двум плоскостям: 2 x − y + 3z − 1 = 0; x + 2 y + z = 0.

Решение. Искомая плоскость параллельна векторам n1 {2; − 1; 3}, n 2{1; 2;1}, где n1 — нормальный вектор первой из данных плоскостей, а n 2 — нормальный второй плоскости. По определению векторного произведения: n = n1 × n 2 перпендикулярен искомой плоскости. Находим это векторное произведение i j k 2 3 2 −1 −1 3 n = n1 × n 2 = 2 − 1 3 = i − j +k = −7 i + j + 5 k . 2 1 1 1 1 2 1 2 1

82

Составляем уравнение искомой плоскости, используя формулу (4.3) − 7( x − 2 ) + ( y + 1) + 5 ( z − 1) = 0 <=> − 7 x + y + 5 z + 10 = 0. 4. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 ( x3 , y 3 , z 3 ), не лежащие на одной прямой, имеет вид x − x1

y − y1

z − z1

(4.4)

x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 = 0 . x3 − x1 y 3 − y1 z 3 − z1

Возьмем на плоскости произвольную точку ним точку M 1 с точками M , M 2 , M 3 , то получим три компланарных Z

{

M 1 M x − x 1 ; y − y1 ; z − z1

}

вектора M 1 M 2 {x2 − x1 ; y 2 − y1 ; z 2 − z1 }. M 1 M 3 {x3 − x1 ; y 3 − y1 ; z 3 − z1 } Поэтому смешанное произведение этих векторов равно нулю: (M 1 M × M 1 M 2 )⋅ M 1 M 3 = 0 .

M ( x, y , z )

и соедиM

M1

O

M2 M3 Y

X

Рис. 4.3

Отсюда получаем формулу (4.4). Пример 4.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 ( 3, − 1, 2), M 2 ( 4, − 1, − 1), M 3 ( 2, 0, 2). Решение. Применяем формулу (4.4) (x − 3) ( y + 1) (z − 2) 1 −1

0 1

−3 0

= 0 <=> 3 x + 3 y + z − 8 = 0.

Пример 4.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 ( 1, − 2, 3), M 2 (2, − 1, 2) параллельно вектору a { 2; 0; 1}. Решение. 1-й способ. По формуле (4.3) уравнение искомой плоскости записывается в виде A( x − 1) + B( y + 2) + C ( z − 3) = 0, где n {A, B, C} — вектор перпенди83

кулярный искомой плоскости. Векторы M 1 M 2 {1; 1; − 1} и a {2; 0; 1} — параллельны искомой плоскости, поэтому их векторное произведение M 1 M 2 × a есть вектор перпендикулярный этой плоскости. Таким образом, i j k n = M 1 M 2 × a = 1 1 − 1 = i − 3 j − 2k , т.е. A = 1; B = −3; C = −2. 2 0 1

Уравнение искомой плоскости имеет вид: ( x − 1) − 3 ( y + 2) − 2 ( z − 3) = 0

<=> x − 3 y − 2 z − 1 = 0.

2-й способ. Возьмем на плоскости произвольную точку M (x, y, z ) . Векторы M 1 M {x − 1; y + 2; z − 3}, M 1 M 2 {1; 1; − 1} и a {2; 0; 1} компланарны, так как M 1 M , M 1 M 2 лежат в искомой плоскости, а вектор a { 2; 0; 1} параллелен этой плоскости. Поэтому их смешанное произведение равно нулю: (M 1 M × M 1 M 2 ) ⋅ a = 0 . Получаем уравнение (x − 1) ( y + 2) (z − 3) 1 2

1 0

−1 1

= 0 <=> x − 3 y − 2 z − 1 = 0.

5. Угол между двумя плоскостями Пусть уравнения данных плоскостей будут: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0;

A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0.

Углом между двумя плоскостями назовем любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями. Один из этих двугранных углов равен углу ϕ между векторами n1 {A1 ; B1 ; C1 }, n2 {A2 ; B 2 ; C 2 } соответственно перпендикулярными заданным плоскостям. Угол ϕ определяется по формуле: cos ϕ =

84

n1 n 2 n1 ⋅ n 2

=

A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 A12 + B12 + C12

A22 + B22 + C 22

.

(4.5)

Плоскости перпендикулярны, если есть A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0.

Плоскости параллельны, если

n1 // n 2 .

A1 B1 C1 = = . A2 B2 C 2

ϕ = 90 0 .

Тогда

cos ϕ = 0,

то

(4.6) Отсюда

(4.7)

Пример 4.6. Среди плоскостей 3x + 2 y − z + 5 = 0; 9 x + 6 y − 3z − 5 = 0; 2 x − y + 4 z − 9 = 0 указать параллельные и перпендикулярные. Решение. Рассмотрим первые два уравнения. Имеем A1 = 3, B1 = 2, C1 = −1; A2 = 9, B2 = 6, C 2 = −3. Для коэффициентов первых двух уравнений справедливы соотношения:

A1 B1 C1 1 = = = . A2 B2 C 2 3

Сле-

довательно, эти плоскости параллельны. Сравним коэффициенты первого и третьего уравнений: A1 3 B1 2 = ≠ = , то есть эти плоскости не параллельны. Так как A3

2

B3

−1

A1 A3 + B1 B3 + C1C 3 = 3 ⋅ 2 + 2 (− 1) + (− 1)4 = 0,

то плоскости первая и третья, вторая и третья перпендикулярны. Пример 4.7. Составить уравнение плоскости: а) параллельной оси OZ и проходящей через точки P (2; − 1; 3), Q(4; 2; 1); б) проходящей через точку R(1; 2; − 1), параллельно вектору a{2; − 1; 5} и перпендикулярной плоскости 3x + 2 y − 3z + 1 = 0. Решение. а) 1-й способ. Уравнение искомой плоскости (проходящей через точку P(2; − 1; 3) ) имеет вид: A ( x − 2 ) + B ( y + 1) + C ( z − 3) = 0, где вектор n {A; B; C} перпендикулярен плоскости. Вектор k {0; 0; 1} параллелен искомой плоскости, а вектор PQ (2; 3; − 2), лежит в этой плоскости, поэтому их векторное произведение PQ, × k есть вектор, перпендикулярный плоскости. Таким образом, i j k n = PQ, × k = 2 3 − 2 = 3 i − 2 j , 0 0 1

уравнение 3 (x − 2) − 2 ( y + 1) = 0

т.е.

A = 3; B = −2; C = 0 ,

и получаем

<=> 3x − 2 y − 8 = 0.

85

2-й способ. В уравнении плоскости, параллельной оси OZ : C = 0.

Поэтому уравнение искомой плоскости (проходящей через точку P(2; − 1; 3), имеет вид: A ( x − 2 ) + B ( y + 1) = 0.

(4.8)

Так как эта плоскость проходит так же через точку Q(4; 2; 1), то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости: A (4 − 2 ) + B (2 + 1) = 0 , то есть 2 A + 3B = 0. Отсюда A = − 3 B. Подставляем в уравнение (4.8), получаем 3 − B ( x − 2 ) + B ( y + 1) = 0 2

2

<=> − 3 ( x − 2 ) + 2 ( y + 1) = 0 <=> 3x − 2 y − 8 = 0.

б) уравнение искомой плоскости P имеет вид: (P ) A (x − 1) + B ( y − 2) + C (z + 1) = 0, где вектор n {A; B; C} перпендикулярен этой плоскости, а поэтому перпендикулярен вектору a (2; − 1; 5) , который ей параллелен. Кроме того, вектор n1 {3; 2; − 3} также параллелен искомой плоскости, так как искомая плоскость и вектор n1 {3; 2; − 3} перпендикулярны данной в условии задачи плоскости (P1 ) . Следовательно, векторное произведение a × n1 (рис. 4.4) есть вектор перпендикулярный искомой плоскости, то есть i

j k

n = a × n1 = 2 − 1 5 = −7 i + 21 j + 7 k . 3 2 −3

P1

n P n1 •R a

Рис.4.4 Уравнение искомой плоскости (Р): − 7 (x − 1) + 21( y − 2) + 7 ( z + 1) = 0 <=> − ( x − 1) + 3 ( y − 2) + ( z + 1) = 0 <=> <=> − x + 3 y + z − 4 = 0.

86

6. Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки вычисляется по формуле d=

Пример

4.8.

M (x0 , y 0 , z 0 )

Ax0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2

Две

грани

до плоскости .

куба

Ax + By + Cz + D = 0

(4.9) лежат

на

плоскостях

2 x − 2 y + z − 1 = 0;

Вычислить объем этого куба. Решение. Данные плоскости параллельны, поэтому ребро куба равно расстоянию между этими плоскостями. Все точки одной плоскости находятся на одинаковом расстоянии от второй. Возьмем какую-нибудь точку, лежащую на первой плоскости, например M 0 (0; 0; 1) . Тогда ее расстояние до второй плоскости бу2 x − 2 y + z + 5 = 0.

дет

d=

2 ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 +1+ 5 4 + 4 +1

=

6 = 2. 3

Объем куба: V

= 8 (куб.

ед.).

Задания для самостоятельной работы 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит: а) через точку M 0 (1; − 2; 4) параллельно плоскости XOZ ; б) через точку M 0 (1; 4; − 3) и ось OZ ; в) через точки M 1 (2; − 1; 1), M 2 (3; 1; 2) параллельно оси OY . Ответ: а) y + 2 = 0; б) 4 x − y = 0; в) x − z − 1 = 0. 2. Дано уравнение плоскости x + 2 y − 3z − 6 = 0 . Для нее: а) написать уравнение «в отрезках»; б) вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость от координатного угла XOY ; в) вычислить объем пирамиды, ограниченной данной плоскостью и координатными плоскостями. Ответ: а) x + y + z = 1; б) S = 9 (кв. ед.); в) V = 6 (куб. ед.) 6

3

−2

3. Даны две точки M 1 (3; − 1; 2), M 2 (4; − 2; − 1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 перпендикулярно вектору M 1M 2 .

Ответ:

x − y − 3z + 2 = 0.

87

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1; 3; − 2) параллельно двум векторам a 1 {− 1; 1; − 2}, a 2 {3; 2; − 4}. . Ответ: 2 y + z − 4 = 0 . 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 (3; 1; − 2), M 2 (1; − 1; 4), M 3 (2; − 5; − 1). Ответ: 34 x − 4 y + 10 z − 78 = 0. 6. Среди плоскостей

4 x + 2 y − 4 z + 5 = 0; 2 x + y + 2 z − 1 = 0;

− x − 2 y + 2 z + 3 = 0; 6 x + 3 y − 6 z = 0.

Указать параллельные и перпен-

дикулярные. Ответ: 1-я и 4-я параллельны, 2-я и 3-я перпендикулярны. 7.

Определить

угол

между

двумя

плоскостями

3 y − z = 0, 2 y + z = 0.

Ответ:

π

4

.

8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M 0 (2; − 3; 5) перпендикулярно к двум плоскостям 2 x − z + 1 = 0, y = 0.

Ответ:

x + 2 z − 12 = 0.

9. Найти точку пересечения плоскостей

x − 2 y + z − 7 = 0,

2 x + y − z + 2 = 0, x − 3 y + 2 z − 11 = 0.

Ответ:

M (1; − 2; 2 ).

10. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2x − 2 y − z − 3 = 0

Ответ:

и отстоящих от нее на расстоянии

d = 10.

2 x − 2 y − z − 33 = 0; 2 x − 2 y − z + 27 = 0.

§ 2. Прямая линия в пространстве Прямая как линия пересечения двух плоскостей определяется совместным заданием двух уравнений первой степени ⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0

88

(4.10)

при условии, что коэффициенты A1 , B1 , C1 первого из них не пропорциональны коэффициентам A2 , B2 , C 2 второго. Уравнение A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ ( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0, где λ — любое действительное число, называют уравнением пучка плоскостей. Оно (при определенном значении λ ) определяет любую плоскость, проходящую через прямую линию (4.10), за исключением плоскости A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0. Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой. Если известна точка M 0 (x0 ; y 0 ; z 0 ) прямой и направляющий вектор s {m; n; p}, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида x − x0 y − y 0 z − z 0 = = , m n p

(4.11)

которые называются каноническими. Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки M 1 (x1 ; y1 ; z1 ), M 2 (x2 ; y 2 ; z 2 ), имеют вид x − x1 y − y1 z − z1 = = x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1

.

(4.12)

Направляющий вектор этой прямой: M 1 M 2 {x 2 − x1 ; y 2 − y1 ; z 2 − z1 }. Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (4.12) и выразим переменные x, y, z через t . Получим параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (x0 , y 0 , z 0 ) в направлении вектора s {m; n; p} : ⎧ x = x 0 + mt ⎪ ⎨ y = y 0 + nt . ⎪ z = z + pt 0 ⎩

(4.13)

В уравнениях (4.13) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, а x, y, z — как функции от t . При изменении t величины x, y, z меняются, и точка M (x, y, z ) движется по данной прямой. Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (4.13) как уравнения движения точки M , то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение 89

точки точки

M.

M

При t = 0 точка M совпадает с точкой M 0 . Скорость постоянна и определяется формулой V = m 2 + n 2 + p 2 .

V

Пример 4.9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую

⎧3x − y + 2 z + 9 = 0 , ⎨ ⎩x + z − 3 = 0

при этом для плоскости выпол-

нено одно из условий: а) проходит через точку M (1; − 4; − 3); б) параллельна оси OX ; в) параллельно вектору a {1; 1; 3}. . Решение. а) Составляем уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую: 3 x − y + 2 z + 9 + λ ( x + z − 3) = 0 <=> (3 + λ )x − y + (2 + λ )z + 9 − 3λ = 0;

(4.14) в полученное уравнение подставляем координаты точки M и находим соответствующее значение λ : (3 + λ ) ⋅ 1 − (− 4) + (2 + λ )(− 3) + 9 − 3λ = 0 <=> − 5λ + 10 = 0 <=> λ = 2; подставляя значение λ = 2 в уравнение пучка (4.14), получаем уравнение искомой плоскости 5 x − y + 4 z + 3 = 0 . б) В уравнении плоскости параллельной оси OX коэффициент A = 0; приравниваем к нулю коэффициент при x в уравнении пучка (4.14) 3 + λ = 0, то есть λ = −3; получим уравнение: − y − z + 18 = 0 . в) Из уравнения (4.14) получим искомую плоскость при том значении λ , когда вектор n {3 + λ ; − 1; 2 + λ } перпендикулярен вектору a {1; 1; 3}, то есть n ⋅ a = 0 <=> (3 + λ )⋅1 − 1 ⋅ 1 + (2 + λ )3 = 0 <=> λ = −2; получаем уравнение: x − y + 15 = 0.

Пример 4.10. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M (2; 0; − 3) параллельно: а) вектору a {2; − 3; 5}; б) прямой x − 1 = y + 2 = z + 1 ; в) оси OY ; 5

г) прямой

3

−1

⎧x − y + 2z + 5 = 0 ⎨ ⎩2 x + y − 3z − 7 = 0.

Решение: а) используем формулу (4.11), взяв направляющим вектором прямой вектор a {2; − 3; 5}: x − 2 = y = z + 3 ; 2

90

−3

5

б) пользуемся формулой (4.11) с направляющим вектором s {5; 3; − 1} : x−2 y z+3 = = ; 5 3 −1

в) за направляющий вектор возьмем

j {0; 1; 0} :

x−2 y z+3 = = . 0 1 0

Замечание. Данную запись не следует понимать буквально (на 0 делить нельзя), а условно как равенство отношений ⎧x − 2 y ⎪⎪ 0 = 1 ⎨ ⎪z + 3 = y ⎪⎩ 0 1

то есть

⎧x − 2 = 0 ⎨ ⎩z + 3 = 0.

г) Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей, нормальные векторы которых n1 {1; − 1; 2}, n2 {2; 1; − 3}; направляющий вектор этой прямой i j k s = n1 × n 2 = 1 − 1 2 = i + 7 j + 3 k . 2 1 −3

Ввиду параллельности данной прямой и искомой, этот же вектор можно взять направляющим для искомой прямой и ее уравнения имеют вид: x−2 y z+3 = = . 1 7 3

Пример 4.11. Составить уравнения движения точки M (x; y; z ) , которая, имея начальное положение M 0 (2; − 3; − 4), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора s {− 2; − 3; 6} со скоростью V = 14. Решение. Длина вектора s равна s = 4 + 9 + 36 = 7. Так как скорость точки 14, то направляющий вектор прямой, которая будет описывать движение точки M , равен s1 = 2 s = {− 4; − 6; 12}. Уравнения движения точки

⎧ x = −4t + 2 ⎪ M : ⎨ y = −6t − 3 ⎪ z = 12t − 4. ⎩

91

Пример 4.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

⎧ x = −3t + 1 ⎪ ⎨ y = 2t − 3 ⎪ z = −t − 2 ⎩

и точку

M (4, − 2, 1).

Решение. Из уравнения данной прямой имеем точку M 1 (1; − 3; − 2 ), принадлежащую искомой плоскости и направляющий вектор s {− 3; 2; − 1}, параллельный этой плоскости. Нормальный вектор искомой плоскости i j k n = s × M 1 M = − 3 2 − 1 = 7i + 6 j − 9 k . 3 1 3

Составляем уравнение плоскости по формуле (4.3) 7 (x − 4 ) + 6 ( y + 2 ) − 9 (z − 1) = 0 <=> 7 x + 6 y − 9 z − 7 = 0. Пример 4.13. Найти проекцию точки

M (2, − 1, 3)

на прямую

x+3 y −2 z −5 = = . −3 2 4

Решение. Приводим плоскость, проходящую через точку M перпендикулярно данной прямой, при этом направляющий вектор прямой s {− 3; 2; 4} перпендикулярен плоскости. Поэтому уравнение плоскости имеет вид: − 3 ( x − 2 ) + 2 ( y + 1) + 4 (z − 3) = 0 <=> − 3 x + 2 y + 4 z − 4 = 0.

(4.15)

Проекцией точки M на заданную прямую будет точка пересечения этой прямой и плоскости (4.15). Находим параметрические уравнения данной прямой

⎧ x = −3t − 3 ⎪ ⎨ y = 2t + 2 , ⎪ z = 4t + 5 ⎩

подставляем в уравне-

ние (4.15) − 3 (− 3t − 3) + 2 (2t + 2 ) + 4 (4t + 5) − 4 = 0 <=> 29t + 29 = 0 <=> t = −1.

Искомая точка (0; 0; 1). x − 2 y +1 z + 4 провести = = 4 −2 −1 плоскости x − 3 y + 5 z − 3 = 0.

Пример 4.14. Через прямую кость перпендикулярную к 92

плос-

Решение. Уравнение искомой плоскости A ( x − 2 ) + B ( y + 1) + C ( z + 4 ) = 0,

где A, B, C — координаты вектора, перпендикулярного плоскости. Так как искомая плоскость проходит через прямую и перпендикулярна плоскости, то направляющий вектор прямой s {4; − 2; − 1} и нормальный вектор заданной плоскости n {1; − 3; 5} параллельны искомой плоскости, а их векторное произведение s × n перпендикулярно ей. Находим s × n : i s×n =

j k

4 − 2 − 1 = −13 i − 21 j − 10 k . 1 −3 5

Уравнение искомой плоскости

− 13 ( x − 2 ) − 21 ( y + 1) − 10 (z + 4 ) = 0 <=> 13 x + 21 y + 10 z + 35 = 0.

Пример 4.15. Найти проекцию прямой

⎧ x = 4t − 2 ⎪ ⎨ y = −3t + 1 ⎪z = t + 4 ⎩

на плос-

кость x + 3 y − 2 z + 5 = 0.

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через данную прямую перпендикулярно данной плоскости (предыдущий пример): x + 3 y + 5 z − 21 = 0. Проекцией данной прямой на заданную плоскость будет линия пересечения плоскостей

⎧x + 3 y − 2z + 5 = 0 ⎨ ⎩ x + 3 y + 5 z = 21 = 0.

Пример 4.16. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые x − 4 = y + 2 = z − 3 ; x + 1 = y − 5 = z − 2 .

−2 −2 1 5 1 5 M 1 (4; − 2; 3), M 2 (− 1; 5; 2 ) лежащие соответст-

Решение. Точки венно на первой и второй прямых принадлежат искомой плоскости. Два вектора M 1 M 2 {− 5; 7; − 1}, s{1; − 2; 5} параллельны искомой плоскости, поэтому их векторное произведение i j k M 1 M 2 × s = − 5 7 − 1 = 37 i + 24 j + 3 k 1 −2 5

есть вектор перпендикулярный

93

искомой плоскости. Для составления уравнения плоскости можно взять любую из точек M 1 , M 2 : 37 ( x + 1) + 24 ( y − 5) + 3 ( z − 2 ) = 0 <=> 37 x + 24 y + 3 z − 89 = 0. Пример 4.17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (− 2, 1, 1) параллельно двум прямым x −1 y + 2 z − 4 = = ; −1 2 3

x y + 3 z +1 = = . −4 3 −2

Решение. Направляющие векторы прямых s1 {2;−1;3}, s 2 {− 4;3;−2} параллельны искомой плоскости, поэтому вектор s = s1 × s 2 = −7 i − 8 j + 2 k перпендикулярен искомой плоскости, уравнение которой будет − 7 ( x + 2) − 8 ( y − 1) + 2 ( z − 1) = 0 <=> − 7 x − 8 y + 2 z − 8 = 0.

Пример 4.18. Найти общие точки трех плоскостей. Определить взаимное расположение этих плоскостей в пространстве. а)

x + 4 y − 2 z = 5, − 3x + y + 5 z = −2,

б)

− x + 3 y + 2 z = 7, 2 x + y − 5 z = −3,

− 2 x + 5 y + 3z = −3;

x + 4 y − 3z = 4.

Решение. а) Из заданных уравнений составляем систему и решаем ее методом Гаусса; расширенная матрица системы имеет вид: ⎛ 1 4−2 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 3 1 5 − 2 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜− 2 5 3 − 3 ⎟ ⎝ ⎠

Умножаем первую строку на 3 и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Далее умножаем первую строку на 2 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получаем матрицу: ⎛ 1 4 −2 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 13 − 1 13 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ 0 13 − 1 7 ⎟ ⎝ ⎠

Умножаем вторую строку на –1 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получаем матрицу 94

⎛ 1 4 −2 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 13 − 1 13 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 −6⎟ ⎝ ⎠

Таким образом, получаем систему:

⎧x + 4 y − 2z = 5 ⎪ ⎨ 13 y − z = 13 , ⎪ 0 ⋅ z = −6 ⎩

которая ре-

шений не имеет. Поэтому данные три плоскости общих точек не имеют. Первые две плоскости определяют прямую линию в пространстве ⎧ x + 4 y − 2z = 5 ⎨ ⎩ − 3 x + y + 5 z = −2 .

Ни одна точка этой прямой третьей плоскости − 2 x + 5 y + 3z = −3 не принадлежит. Поэтому эта прямая параллельна третьей плоскости. Таким образом, каждая из данных плоскостей параллельна линии пересечения двух других. б) Составим систему уравнений и решаем методом Гаусса. Расширенная матрица системы: ⎛−1 3 2 7 ⎜ ⎜ 2 1 −5 −3 ⎜ ⎜ 1 4 −3 4 ⎝

⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠

Первую строку умножаем на 2 и прибавляем к соответствующим элементам второй строки; затем к третьей строке прибавляем соответствующие элементы первой строки. Получим матрицу: ⎛−1 3 2 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 7 − 1 11 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 7 − 1 11 ⎟ ⎝ ⎠

Далее вторую строку умножаем на –1 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. ⎛−1 3 2 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 7 − 1 11 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠

95

Таким образом, получаем систему ⎧− x + 3 y + 2 z = 7 ⎨ 7 y − z = 11. ⎩

Система имеет бесконечное множество решений. Она определяет прямую, как линию пересечения двух плоскостей. Все три данные плоскости проходят через одну прямую, то есть принадлежат пучку плоскостей, определяемому двумя из трех заданных плоскостей. Пример 4.19. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (1,−1, 2) и перпендикулярную прямой x − 2 = y + 3 = z − 1 . −2

1

−3

Решение (1-й способ). Искомая прямая должна находиться в плоскости, проходящей через точку M и заданную прямую. Поэтому направляющий вектор s {m; n; p} искомой прямой, во-первых, перпендикулярен вектору s 1 {− 2; 1;−3}, то есть s1 ⋅ s = 0, во-вторых, векторы s, s1 , MM 1 {1;−2;−1} (точка M 1 (2,−3, 1) принадлежит данной прямой) компланарны, то есть

(s ⋅ s

1

)

MM 1 = 0 .

Получаем систему уравнений

⎧− 2 m + n − 3 p = 0 ⎪ ⎪ m n p ⎨ ⎪ − 2 1− 3 = 0 ⎪ 1− 2 −1 ⎩

⎧− 2 m + n − 3 p = 0 <=> ⎨ ⎩− 7m − 5n + 3 p = 0.

Из второго уравнения исключаем уравнению первое

⎧− 2 m + n − 3 p = 0 . ⎨ ⎩− 9m − 4n = 0.

p,

прибавляя ко второму

Из второго уравнения:

9 n=− m 4

( m — свободное неизвестное); подставляем значение n в первое уравнение − 2m − 9 m − 3 p = 0. Отсюда 3 p = − 17 m, то есть p = − 17 m. По4

лучили общее решение:

96

4

9 ⎧ ⎪⎪n = − 4 m m − любое ⎨ ⎪ p = − 17 m, ⎪⎩ 12

12

действительное число.

Для составления уравнения искомой прямой нужно взять один ненулевой набор значений m, n, p. Например, m = 12, n = −27, p = −17 . Искомая прямая имеет уравнения: x −1 y +1 z − 2 = = . 12 − 27 − 17

2-й способ. Через точку M (1,−1, 2) проводим плоскость, перпендикулярную данной прямой (то есть вектору s 1 {− 2; 1;−3}). Уравнение этой плоскости имеет вид: − 2( x − 1) + ( y + 1) − 3( z − 2) = 0 ⇔ − 2 x + y − 3z + 9 = 0 Находим точку пересечения найденной плоскости и заданной прямой (через эту точку пройдет искомая прямая). Для этого решаем систему уравнений: ⎧− 2 x + y − 3 z + 9 = 0 ⎪ x = −2t + 2 ⎪ ⎨ ⎪ y = t −3 ⎪⎩ z = −3t + 1,

подставляем значения

x, y , z

в первое уравнение и получаем

− 2 (− 2t + 2) + t − 3 − 3 (− 3t + 1) + 9 = 0 <=> 14t − 1 = 0, t =

11 1 13 − 41 и x= ,y= ,z= . 14 7 14 14

Уравнения искомой прямой составляем по формулам (4.14) так как она проходит через две точки M (1,−1, 2) , M 2 ⎛⎜ 13 ,− 41 , 11 ⎞⎟. ⎝ 7 14 14 ⎠ x −1 y +1 z−2 x −1 y +1 z − 2 x −1 y +1 z − 2 = = <=> = = <=> . = = 13 41 11 6 27 17 − 27 − 17 12 −2 − − −1 − +1 7 14 14 7 14 14

Задания для самостоятельной работы 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пе-ресечения плоскостей

⎧2 x − y + 3 z − 5 = 0 ⎨ ⎩x + 2 y − z + 2 = 0

а) и через точку M (1;−1; 2) ; б) параллельно оси OZ ; в) параллельно вектору a {− 2; 3; 5}. Ответ: а) 6 x + 7 y − z + 3 = 0 ; б) 5 x + 5 y + 1 = 0 ; в) 10 x + 15 y − 5 z + 11 = 0 . 97

2. Даны точки M 1 (3;−1; 2), M 2 (4;−1;−1}, M 3 (2; 0; 2). Составить: а) уравнение плоскости (P), проходящей через точки M 1 , M 2 , M 3 ; б) канонические уравнения прямой M 1 M 2 ; в) параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 3 перпендикулярно плоскости (P). Ответ: а)

3 x + 3 y + z − 8 = 0;

б)

x − 3 y +1 z − 2 = = ; 1 0 −3

в)

⎧ x = 3t + 2 ⎪ . ⎨ y = 3t ⎪ z = t + 2. ⎩

3. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (2; 1; − 1) параллельно: а) вектору a {− 2; 3;−1} ; б) оси Ответ: а)

⎧ x = −2t + 2 ⎪ ⎨ y = 3t + 1 ⎪ z = −t − 1; ⎩

б)

OX ;

⎧x = t + 2 ⎪ ⎨y = 1 ⎪ z = −1; ⎩

в) прямой в)

⎧3x − y + 2 z − 7 = 0 ⎨ ⎩ x + 3 y − 2 z + 3 = 0.

⎧ x = −2t + 2 ⎪ ⎨ y = 4t + 1 ⎪ z = 5t − 1. ⎩

4. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку M (1;−5; 3) и образует с осями координат углы, соответственно равные 60 0 , 45 0 , 120 0. Ответ: x − 1 = y + 5 = z − 3 . 1

2

−1

5. Найти точку пересечения прямой

⎧ x = 2t − 1 ⎪ ⎨ y = 4t + 3 ⎪ z = 3t ⎩

и плоскости

x − 2 y + 3z + 10 = 0.

Ответ: (− 3;−1;−3). 6. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M (3;−2; 4 ) на плоскость 5 x + 3 y − 4 z + 7 = 0. Ответ: x − 3 = y + 2 = z − 4 . 5

3

−4

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку x −1 y +1 z − 2 M (3; 1; − 2 ) и через прямую = = . 3

Ответ: 98

2 y + z = 0.

−2

4

x + 2 y − 3 z +1 провести = = −2 5 1 плоскости x + 4 y − 3z + 7 = 0.

8. Через прямую

плоскость перпен-

дикулярную к Ответ: x + 8 y + 11z − 11 = 0.

9. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые x = y + 2 = z − 3 ; x − 1 = y − 3 = z + 2 . Ответ:

−3 5 2 5 x + 22 y + 23 z − 25 = 0.

5

2

−3

10. Составить уравнение плоскости, проходящий через точку M (− 5; 3; 2) x −1 y + 3 z − 5 x + 5 y − 4 z + 6 = = ; = = . −1 3 2 −2 1 4 9 x − 10 y + 7 z + 61 = 0.

и параллельной прямым Ответ:

11. Найти общие точки трех плоскостей. Определить взаимное расположение этих плоскостей в пространстве: − x + 4 y + 3z = 6,

а)

4 x + y − 5 z = 7, 3x + 5 y − 2 z = 15;

x + 5 y − 7 z = 4,

б)

− 2 x + y + 3 z = 5, − 3x − 4 y + 10 z = 1.

Ответ: а) общих точек нет; линия пересечения двух плоскостей параллельна третьей плоскости; б) общими точками трех плоскостей являются точки прямой линии пересечения двух плоскостей, третья плоскость проходит через эту прямую. 12. Через точку M (− 2; 1; 1) провести прямую перпендикулярную прямой x + 3 = y − 1 = z − 3 . −1

Ответ:

2

−2

x + 2 y −1 z −1 = = . −4 2 4

99

Глава V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ § 1. Однородная система линейных уравнений Система линейных уравнений называется однородной, если в каждом ее уравнении свободный член равен нулю. Однородная система линейных уравнений является частным случаем общей системы линейных уравнений. Поэтому для решения таких систем применим метод Гаусса. В отличие от общих систем, однородная система имеет либо одно решение (нулевое), либо бесконечное множество решений. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными: ⎧a11 x + a12 y = 0 ⎨ ⎩a 21 x + a 22 y = 0.

Если определитель этой системы

a11 a12 a 21 a 22

не равен нулю, то

по правилу Крамера система имеет единственное решение, которое будет нулевым x = 0, y = 0 . Если определитель равен нулю, то его строки пропорциональны

a11 a12 . = a 21 a 22

система сводится к одному уравнению: ли

a11 ≠ 0,

то

x=−

бом значении x=

a12 k, y = k a11

a12 y, a11

y=k

или

где

y

Тогда методом Гаусса a11 x + a12 y = 0 .

— свободная переменная и при лю-

( k — действительное число) пара чисел

⎛ a12 ⎞ ⎜⎜ k ; k ⎟⎟ ⎝ a11 ⎠

является решением данной системы.

Заметим, что пара действительных чисел 100

Отсюда, ес-

⎞ ⎛ a12 ⎜⎜ k ; k ⎟⎟ определяет ⎠ ⎝ a11

на

плоскости

X 0Y

вектор

⎫ ⎧a a k ⎨ 12 k ; k ⎬, ⎭ ⎩ a11

а множество всех решений

системы есть множество векторов параллельных (коллинеарных) между собой. Поэтому, если выбрать один ненулевой вектор (например,

⎧a a1 ⎨ 12 ; ⎩ a11

⎫ 1⎬ ), ⎭

то любой другой вектор, координаты

которого являются решением данной системы, имеет вид a k = a1 ⋅ k ( k — любое действительное число). Если a11 = 0, то a12 ≠ 0 (в противном случае система имеет нулевые коэффициенты). В этом случае y=0, x — свободная переменная и любая пара чисел (x,0), x — действительное число является решением системы. Таким образом, однородная система имеет ненулевые решения в том и только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Пример 5.1. Решить систему: ⎧ x + 2y = 0 ⎨ ⎩− 2 x − 4 y = 0 .

Преобразуем матрицу системы методом Гаусса 2 ⎞ ⎛ 1 ⎛1 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ~ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ − 2 − 4⎠ ⎝0 0⎠

Система равносильна одному уравнению x + 2 y = 0 ⇔ x = −2 y, y — любое действительное число. Решениями системы являются пары (− 2k ; k ) или множество коллинеарных векторов {− 2k , k } = k {− 2; 1}. Задания для самостоятельной работы 1)

⎧ x+ y =0 ⎨ ⎩3x + 3 y = 0.

Ответ: k {− 1; 1}. 2)

⎧ 2x − y = 0 ⎨ ⎩− 4 x + 2 y = 0.

Ответ: k {1; 2}.

3)

⎧3x − 2 y = 0 ⎨ ⎩9 x − 6 y = 0.

Ответ: k {2; 3} . 4)

⎧ x + 3y = 0 ⎨ ⎩4 x + 12 y = 0.

Ответ: k {− 3; 1}.

5)

⎧− x + 2 y = 0 ⎨ ⎩ 3x − 6 y = 0.

Ответ: k {2; 1}. 101

§ 2. Изменение координат вектора при изменении системы координат (поворот системы вокруг центра) y

y′

x′

x

j

i′

j′

0

i

x

Рис. 5.1

Даны две прямоугольные системы координат (x 0 y ) и (x′ 0 y ′) рис. 5.1; i , j и i ′, j ′ — единичные векторы на осях координат. Находим координаты векторов i ′, j ′ в системе (x 0 y ) : i ′ = t11i + t 21 j j ′ = t12 i + t 22 j

Матрица

⎛t T = ⎜⎜ 11 ⎝ t 21

.

(5.1) t12 ⎞ ⎟, t 22 ⎟⎠

в которой первый столбец есть коор-

динаты вектора i ′ , второй столбец – координаты вектора j ′ , называется матрицей перехода от системы координат (x 0 y ) к системе (x ′ 0 y ′) . Возьмем на плоскости произвольный вектор x , найдем его координаты (проекции на оси) в первой и во второй системах: x = x i + y j = x ′i ′ + y ′ j ′ (5.2) и определим зависимость между координатами x , y и x′, y ′ . Подставляя формулы (5.1) в (5.2), получаем

(

)

x i + y j = x ′(t11i + t 21 j ) + y ′ t12 i | + t 22 j = = (t11 x ′ + t12 y ′)i + (t 21 x ′ + t 22 y ′) j .

Отсюда получаем равенства: ⎧ x = t11 x ′ + t12 y ′ ⎨ ⎩ y = t 21 x ′ + t 22 y ′.

(5.3)

Записываем формулы (5.3) в матричном виде: 102

t12 ⎞ ⎛ x ′ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟. t 22 ⎟⎠ ⎜⎝ y ′ ⎟⎠

⎛ x ⎞ ⎛ t11 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ y ⎠ ⎝ t 21

Обозначив матрицы X ′ = T −1 X ,

⎛ x⎞ X = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ y⎠

(5.4) ⎛ x′ ⎞ X ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ y′⎠

получаем (5.5)

X = TX ′.

Таким образом, формулы (5.3), (5.4), (5.5) устанавливают зависимость между координатами одного и того же вектора x в двух различных системах координат (x 0 y ) и (x′ 0 y ′) . Пример 5.2. Новая система координат определена ортогональными единичными векторами i ′ = 1 i + 2 j, j ′ = 2 i − 1 j. 5

5

5

5

Найти координаты вектора x {2; − 3} в новой системе координат. Решение. Составляем матрицу перехода от системы координат, определяемой векторами i , j к системе, определяемой векторами i ′, j′. ⎛ 1 ⎜ T =⎜ 5 ⎜ 2 ⎜ ⎝ 5

2 ⎞ ⎟ 5 ⎟. 1 ⎟ − ⎟ 5⎠

По формуле (5.4) имеем

⎛ 1 ⎜ 2 ⎛ ⎞ ⎜ 5 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ − 3⎠ ⎜ 2 ⎜ ⎝ 5

2 ⎞ ⎟ 5 ⎟⎛⎜ x ′ ⎞⎟. 1 ⎟⎜⎝ y ′ ⎟⎠ − ⎟ 5⎠

Полученное матричное уравнение решаем одним из следующих двух способов: 1) Перемножаем матрицы, стоящие в правой части, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц левой и правой частей. Получаем систему ⎧ −4 5 4 =− x′ = ⎪ ⎧⎪ x′ + 2 y ′ = 2 5 5 5 ⎪ <=> ⎨ . ⎨ ⎪⎩2 x′ − y ′ = −3 5 ⎪ y′ = 7 5 = 7 ⎪⎩ 5 5

2) Для матрицы T находим обратную матрицу находим X ′ по первой формуле (5.5):

T −1 ,

а далее

103

T =

1 1 2 5 =− = − 5; 5 2 −1 5

1 ⎛ −1 − 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟; 5 ⎝− 2 1⎠

T −1 = −

⎛ x′ ⎞ 1 ⎛ 4⎞ 1 ⎛ − 1 − 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎜⎜ ⎟⎟ , X ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ = T −1 X = − 5 ⎝ − 2 1 ⎠⎝ − 3 ⎠ 5 ⎝− 7⎠ ⎝ y′⎠

то есть

x′ = −

4 5

, y′ =

7 5

.

Пример 5.3. Найти зависимость между координатами вектора в системах координат, если вторая система получена из первоначальной поворотом плоскости вокруг центра системы на угол α . y

y′

x′

i′ α

j j′

0

i

x

Рис. 5.2

Решение. Находим координаты векторов координат (x Oy ) (рис. 5.2)

i ′, j ′

в системе

i ′ = cos α i + cos (90 0 − α ) j = cos α i + sin α j

j ′ = cos (90 0 + α )i + cos α j = − sin α i + cos α j .

Матрица перехода от системы (x 0 y ) к (x ′ 0 y ′) имеет вид: ⎛ cos α − sin α ⎞ ⎟⎟ . T = ⎜⎜ sin cos α α ⎝ ⎠

Зависимость между координатами вектора x в первой и второй системах координат находится по формулам (5.5) ⎛ x ⎞ ⎛ cos α − sin α ⎞ ⎛ x ′ ⎞ ⎧ x = x ′ cos α − y ′ sin α ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ <=> ⎨ ⎝ y ⎠ ⎝ sin α cos α ⎠ ⎝ y ′ ⎠ ⎩ y = x ′ sin α + y ′ cos α .

104

Пример 5.4. Преобразовать уравнение гиперболы x y = 1 , используя формулы, полученные в предыдущем примере для случая, когда поворот плоскости осуществлен на угол α = 450. Решение. При повороте на угол α = 450 матрица перехода от одной системы координат к другой имеет вид ⎛ ⎜ T =⎜ ⎜ ⎜ ⎝

2 2⎞ ⎟ − 2 2 ⎟. 2 2 ⎟⎟ 2 2 ⎠

Формулы преобразования координат точки (x; y ) в (x ′; y ′) : ⎧ 2 ( x ′ − y ′) ⎪x = ⎪ 2 ⎨ ⎪ y = 2 ( x ′ + y ′). ⎪⎩ 2

Подставляя в уравнение

x y =1

гиперболы в системе координат

получим уравнение той же

x′ 0 y ′ :

x′ 2 y ′ 2 − = 1. 2 2

Задания для самостоятельной работы 1. Новая система координат определена ортогональными единичными векторами i ′ = 1 i + 3 j , j ′ = 3 i − 1 j. Найти ко10

10

10

10

ординаты вектора x{− 2; − 1} в новой системе координат. Ответ: x′ = − 5 ; y ′ = − 5 . 10

10

2. Новая система координат получена из первоначальной поворотом плоскости вокруг центра на угол 30 0. Найти матрицу перехода и координаты вектора x{3; − 2} в новой системе координат.

105

⎛ ⎜ ⎛ cos 30 0 − sin 30 0 ⎞ ⎜ ⎟= T = ⎜⎜ 0 0⎟ ⎜ sin 30 cos 30 ⎝ ⎠ ⎜ ⎝

Ответ:

x′ =

3 3 − 1, 2

3 1 ⎞ ⎟ − 2 2 ⎟ , 1 3 ⎟⎟ 2 2 ⎠

3 y′ = − 3 − . 2

3. Новая система координат определена ортогональными Найти единичными векторами i ′ = 1 i + 1 j , j ′ = − 1 i + 1 j. 2

2

2

2

координаты вектора x{− 2; 3} в новой системе координат. Ответ:

x′ =

2 5 2 ; y′ = . 2 2

§ 3. Линейные преобразования Формулы

⎧ x 2 = a11 x1 + a12 y1 ⎨ ⎩ y 2 = a 21 x1 + a 22 y1

(5.6)

задают линейное преобразование, переводящее точку плоскости с координатами (x1 , y1 ) (или вектор a1 {x1 ; y1 }) в точку с координатами (x2 ; y 2 ) (или вектор a 2 {x 2 ; y 2 }). Поэтому говорят, что задается отображение плоскости в себя. Перейдем к матричной записи системы (5.6), обозначая ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ X = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , Y = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ , ⎝ y1 ⎠ ⎝ y2 ⎠

⎛a a ⎞ A = ⎜⎜ 11 12 ⎟⎟ ⎝ a 21 a 22 ⎠

получая (5.7) Матрицу A называют матрицей линейного преобразования плоскости, которое определено формулами (5.6) или (5.7). Заметим, что любому линейному преобразованию, заданному формулами (5.6) соответствует единственная матрица A и обратно, любой матрице A соответствует единственное линейное преобразование вида (5.6) или (5.7). Выясним, как изменяется матрица линейного преобразования, если от системы координат (x 0 y ) перейти к новой системе (x ′ 0 y ′). . По формулам (5.5) получим: Y = AX .

106

⎛ x1′ ⎞ ⎛ x 2′ ⎞ X ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ , Y ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ , Y = TY ′, ⎝ y1′ ⎠ ⎝ y 2′ ⎠

X = TX ′,

(5.8)

(x1′ ; y1′ ) — координаты точки (x1 ; y1 ) в системе (x ′ 0 y ′), а (x′2 ; y 2′ ) — координаты точки (x2 ; y 2 ) в системе (x ′ 0 y ′). Подставим формулы(5.8) в (5.7): TY ′ = ATX ′. Отсюда, умножая обе части равенства на T −1 слева, получим

(5.9) Из равенства (5.9) видим, что матрица линейного преобразования (5.6) или (5.7) (обозначим ее A′ ) в новой системе координат ( x′ 0 y ′) принимает вид: Y ′ = T −1 ATX ′.

(5.10)

A′ = T −1 AT .

Матрицы A и A′ называются подобными. Пример 5.5. Найти матрицу линейного преобразования ⎧ x 2 = x1 + y1 ⎨ ⎩ y 2 = 2 x1 − y1 ,

( x ′ 0 y ′) ,

ме i′ =

заданного в системе координат (x 0 y ) , в новой систе-

1 5

i+

2 5

определяемой j′ =

j;

2 5

i−

1 5

единичными

векторами

j. ⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝ 2 − 1⎠ 1 ⎛1 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . Тогда T= 5 ⎝ 2 − 1⎠

Решение. Матрица линейного преобразования матрица перехода от системы (x 0 y ) к (x ′ 0 y ′) :

матрица линейного преобразования в новой системе координат по формуле (5.10) имеет вид: A′ = T −1 AT = −

1 ⎛ − 5 1 ⎞ ⎛1 2 ⎞ 1 ⎛ − 3 − 11⎞ 1 ⎛ − 1 − 2 ⎞ ⎛1 1 ⎞ 1 ⎛1 2 ⎞ ⎟. ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎜⎜ 5 ⎝ 0 − 3⎠ ⎝ 2 − 1 ⎠ 5 ⎝ − 6 3 ⎟⎠ 5 ⎝ − 2 1 ⎠ ⎝ 2 − 1⎠ 5 ⎝ 2 − 1⎠

Задания для самостоятельной работы 1. Найти матрицу линейного преобразования

⎧ x 2 = −2 x1 − y1 , ⎨ ⎩ y 2 = x1 + 3 y1

заданного в системе координат (x 0 y ) , в системе (x ′ 0 y ′) , определяемой единичными перпендикулярными векторами: i′ =

1 10

i+

3 10

j;

j′ =

3 10

i−

1 10

j.

107

Ответ:

⎛ 5 1⎞ − ⎟ ⎜ 2 2 ⎟. A′ = ⎜ ⎜ 5 3⎟ ⎜− − ⎟ ⎝ 2 2⎠

2. Найти матрицу линейного преобразования

⎧ x 2 = x1 − 3 y1 , ⎨ ⎩ y 2 = 2 x1 − y1

заданного в системе координат (x 0 y ), в системе координат (x ′ 0 y ′), определяемой перпендикулярными единичными векторами:

i′ =

2 13

Ответ:

i+

3

j;

j′ =

3

13 13 1 ⎛11 − 42 ⎞ ⎟. A′ = − ⎜⎜ 13 ⎝ 23 − 11⎟⎠

i−

2 13

j.

3. Найти матрицу линейного преобразования

⎧ x 2 = 3 x1 + 2 y1 , ⎨ ⎩ y 2 = 2 x1 + 3 y1

заданного в системе координат (x 0 y ), в системе координат (x ′ 0 y ′), определяемой перпендикулярными единичными векторами: i ′ = 1 i + 1 j ; j ′ = − 1 i + 1 j . 2

Ответ:

2 ⎛5 A′ = ⎜⎜ ⎝0

2

2

0⎞ ⎟. 1 ⎟⎠

§ 4. Собственные числа, собственные векторы квадратной матрицы. Условия, при которых матрица подобна диагональной Определение 5.1. Ненулевой вектор — столбец зывают собственным вектором матрицы

⎛x⎞ X = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y⎠

α 12 ⎞ ⎛α ⎟⎟ , A = ⎜⎜ 11 ⎝ α 21 α 22 ⎠

на-

если су-

ществует действительное число λ , такое, что AX = λX , при этом число λ называют собственным значением (или собственным числом) матрицы A . Пример 5.6. Для матрицы

⎛3 2⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 2 3⎠

векторы

⎛1⎞ ⎛−1 ⎞ X 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ , X 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠ ⎝ 1⎠

являются собственными векторами с собственными значениями соответственно λ1 = 5, λ2 = 1, так как 108

⎛ 3 2 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛1⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 5 ⎜⎜ ⎟⎟ = 5 ⋅ X 1 , AX 1 = ⎜⎜ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝1⎠

Теорема 5.1. Число α 12 ⎞ ⎛α ⎟⎟ A = ⎜⎜ 11 ⎝ α 21 α 22 ⎠

матрицы

λ

⎛3 2⎞⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 1⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⋅ X 2 . AX 2 = ⎜⎜ 2 3 ⎝ ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠

является собственным значением

тогда и только тогда, когда выполняется

равенство (α 11 − λ ) α 12 (α 22 − λ ) α 21

(5.11)

= 0.

Действительно, по определению число λ — собственное значение матрицы A , если существует такой ненулевой вектор ⎛x⎞ X = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ y⎠

что AX = λX

где

⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ E = ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠

<=>

AX − λX = 0 <=>

AX − λEX = 0,

единичная матрица. Отсюда следует, что

λ

— соб-

ственное значение тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор X , являющийся решением матричного уравнения ( A − λE ) X

(5.12)

= 0.

Матричное уравнение (5.12) равносильно однородной системе линейных уравнений: ⎧(α 11 − λ )x + α 12 y = 0 ⎨ ⎩ α 21 x + (α 22 − λ ) y = 0 .

(5.13)

Система (5.13) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю: (α 11 − λ ) α 12 (α 22 − λ ) α 21

= 0.

Теорема доказана.

109

Определение 5.2. Уравнение (5.11) называют характеристическим уравнением матрицы A. Из доказанной теоремы следует, что собственные числа матрицы A являются корнями характеристического уравнения (5.11). Для нахождения собственных чисел надо раскрыть определитель стоящий в левой части равенства (5.11), получим квадратное уравнение относительно λ , его корни — собственные числа A. Для нахождения собственных векторов составляем однородную систему (5.13) для каждого из двух (или одного, если корни характеристического уравнения равны) собственных чисел. Ее решения – собственные векторы. Каждому собственному числу будет соответствовать бесконечное множество собственных векторов, но все они между собой имеют пропорциональные координаты. Матрица размера 2 × 2 может иметь не более двух собственных векторов с непропорциональными координатами. Если матрица A имеет два собственных вектора с непропорциональными координатами: ⎛x ⎞ X 1 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , ⎝ y1 ⎠

⎛ x2 ⎞ X 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ y2 ⎠

x1 y ≠ 1, x2 y 2

соответствующих собственным значениям будет подобна диагональной матрице венство: ⎛ λ1 0 ⎞ ⎟⎟ , T −1 AT = ⎜⎜ ⎝ 0 λ2 ⎠

где

⎛ x1 T = ⎜⎜ ⎝ y1

x2 ⎞ ⎟, y 2 ⎟⎠

λ1 , λ 2 ,

⎛ λ1 0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 λ2 ⎠

то матрица

A

и выполняется ра-

(5.14)

причем столбцы матрицы T есть собственные векторы, соответствующие собственным значениям λ1 , λ2 : AX 1 = λ1 X 1 ; AX 2 = λ2 X 2 . Среди матриц выделяются матрицы, которые называются симметрическими:

⎛ a11 a12 ⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ a 21 a 22 ⎠

— симметрическая, если

a12 = a 21 .

Любая симметрическая матрица имеет два ортогональных (перпендикулярных) собственных вектора X 10 , X 20 единичной длины (орты). Тогда матрица T (см. 5.5) будет матрицей перехода от прямоугольной системы координат (x 0 y ), определяемой векторами i , j к прямоугольной системе координат (x ′ 0 y ′), опре110

деляемой собственными единичными перпендикулярными векторами X 10 , X 20 . Замечания. 1. Вектор столбец

⎛ x1 ⎞ X = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x2 ⎠

и вектор строка

X {x1 ; x 2 }

есть различные обозначения одного и того же вектора на плоскости. 2. Несмотря на то, что для любой матрицы T , столбцы которой есть координаты собственных векторов, выполняется равенство

⎛ λ1 0 ⎞ ⎟⎟ , T −1 AT = ⎜⎜ ⎝ 0 λ2 ⎠

матрицей перехода от прямоугольной сис-

темы координат (x 0 y ) к прямоугольной системе координат (x ′ 0 y ′), определяемой собственными векторами, является лишь та матрица, столбцы которой — координаты единичных собственных векторов. Матрица A определяет линейное преобразование (5.6; 5.7) и при переходе от системы (x 0 y ) к системе (x′ 0 y ′) , определяемой собственными векторами, матрица линейного преобразования будет иметь вид A′ = T −1 AT , а по формуле (5.14) эта матрица будет диагональной: ⎛ λ1 0 ⎞ ⎟⎟ . A′ = T −1 AT = ⎜⎜ ⎝ 0 λ2 ⎠

(5.15)

Пример 5.6. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

⎛2 3 ⎞ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ ⎝ 3 10 ⎠

Преобразовать матрицу

A

к диаго-

нальному виду. Решение. Составляем характеристическое уравнение мат(2 − λ ) 3 рицы A и решаем его: = 0 ⇔ (2 − λ )(10 − λ ) − 9 = 0 (10 − λ ) 3 ⇔ λ2 − 12λ + 11 = 0 . Получаем собственное значения матрицы λ1 = 1, λ 2 = 11. Для каждого собственного значения находим собственный вектор. При λ1 = 1 собственные векторы являются решениями однородной системы:

⎧ x1 + 3 x 2 = 0 <=> x1 + 3 x 2 = 0 <=> x1 = −3 x 2 , ⎨ ⎩3 x1 + 9 x 2 = 0

x2

—

111

свободная переменная, полагая разом собственный вектор При

λ 2 = 11

x 2 = 1, ⎛ − 3⎞ X 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 1⎠

получим

таким об-

собственные векторы — решения системы:

⎧− 9 x1 + 3 x 2 = 0 <=> 3 x1 − x 2 = 0 <=> x 2 = 3 x1 , ⎨ ⎩ 3 x1 − x 2 = 0 ⎛1 ⎞ x 2 = 3 и собственный вектор X 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 3⎠

Преобразующая матрица имеет вид T −1 AT = −

Единичные

x1 = −3 ;

полагая

x1 = 1,

получим

⎛− 3 1 ⎞ ⎟⎟ . T = ⎜⎜ ⎝ 1 3⎠

1 ⎛ 3 − 1 ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎛ − 3 1⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟. 10 ⎜⎝ − 1 − 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 10 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 11⎟⎠

собственные

векторы

данной

матрицы:

−3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎛− 3 1 ⎞ 1 10 ⎟ 10 ⎟ 0 ⎜ ⎟ , X2 = , преобразующая матрица T = ⎜⎜ , ⎜ 3 ⎟ 1 ⎟ 1 3 ⎟⎠ 10 ⎝ ⎟ ⎟ ⎜ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ и матрица T0 осуществляет переход от системы T0−1 AT0 = ⎜⎜ 0 11 ⎝ ⎠ ⎛ ⎜ 0 X1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

координат (x 0 y ) к системе (x′ 0 y ′) , определяемой единичными векторами X 10 , X 20 . Задания для самостоятельной работы

1. Найти собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы A и преобразовать ее к диагональному виду: ⎛ 5 − 3⎞ ⎟⎟ ; A = ⎜⎜ 3 5 − ⎝ ⎠

⎛ 49 − 7 ⎞ ⎟⎟ ; A = ⎜⎜ 7 1 − ⎝ ⎠

⎛ 0 6⎞ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ 6 5 ⎝ ⎠ Ответы: а) Собственные числа λ1 = 2, λ2 = 8 ; собственные −1 1 векторы (один из наборов) X 1 = ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ , X 2 = ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ , соответственно ⎝1⎠ ⎝ 1⎠

а)

б)

в)

единичные собственные векторы

⎛ ⎜ 0 X1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜− 2⎟ 0 , X2 = ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2⎠ ⎝

1 ⎞ ⎟ 2⎟ . 1 ⎟ ⎟ 2⎠

Преобра-

зующая матрица (соответственно для первого и второго набора 112

собственных

⎛1 − 1⎞ ⎟⎟ , T = ⎜⎜ ⎝1 1 ⎠

векторов)

⎛ ⎜ T0 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 2 1 2

−

1 ⎞ ⎟ 2⎟ , 1 ⎟ ⎟ 2⎠

⎛ 2 0⎞ ⎟⎟ . T −1 AT = To−1 AT0 = ⎜⎜ ⎝0 8⎠

б) Собственные числа ⎛1 ⎞ ⎛− 7⎞ X 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ , X 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝7⎠ ⎝ 1⎠

λ1 = 0, ⎛ ⎜ 0 X1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

единичные

Преобразующая матрица ⎛ ⎜ T 0= ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 50 7

−

50

Тогда

7 ⎞ ⎟ 50 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 50 ⎠

λ 2 = 50 ; собственные 1 ⎞ 7 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜− ⎟ 50 ⎟ 50 ⎟ 0 ⎜ , X2 = . ⎜ 1 ⎟ 7 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 50 ⎠ ⎝ 50 ⎠

⎛1 − 7 ⎞ ⎟⎟ T = ⎜⎜ 7 1 ⎝ ⎠

векторы

— для первого набора и

— для набора из единичных векторов.

⎛0 0 ⎞ ⎟⎟ . T −1 AT = T0−1 AT0 = ⎜⎜ ⎝ 0 50 ⎠

в) Собственные числа ⎛ 2⎞ ⎛ − 3⎞ X 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ , X 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝3 ⎠ ⎝ 2⎠ 1 ⎛ 2⎞ 1 ⎛ − 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , X 20 = ⎜⎜ ⎟⎟ . X 10 = 13 ⎝ 3 ⎠ 13 ⎝ 2 ⎠

λ1 = 9, λ 2 = −4.

Единичные

Преобразующая матрица T0 =

⎛ 2 − 3⎞ ⎟ T = ⎜⎜ 2 ⎟⎠ ⎝3

1 ⎛ 2 − 3⎞ ⎜⎜ ⎟ 2 ⎟⎠ 13 ⎝ 3

ственных векторов; собственных векторов.

Собственные векторы

собственные

векторы

для первого набора соб-

— для набора из единичных Выполняются равенства

0⎞ ⎛9 ⎟⎟ . T −1 AT = T0−1 AT0 = ⎜⎜ ⎝0 − 4⎠

113

§ 5. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду Рассмотрим квадратичную форму с двумя переменными f ( x, y ) = a11 x 2 + 2a12 xy + a 22 y 2 .

Матрицей данной квадратичной формы называют симметрическую матрицу, составленную из коэффициентов формы f ( x y ) следующим образом ⎛a A = ⎜⎜ 11 ⎝ a12

a12 ⎞ ⎟. a 22 ⎟⎠

Данная матрица определяет линейное преобразование (5.2) плоскости. Если перейти от системы координат ( x0 y ) , в которой форма f ( x y ) задана, к системе ( x′0 y ′) , определяемой перпендикулярными собственными единичными векторами, то матрица данного −1 линейного преобразования будет равна матрице T0 AT0 , которая 0⎞ ⎛λ ⎟⎟. A′ = ⎜⎜ 1 ⎝ 0 λ2 ⎠

ввиду равенства (5.15) есть диагональная матрица Этой матрице в системе координат ( x′0 y ′) соответствует квадратичная форма: f ′(x′y ′) = λ1 x′ 2 + λ2 x′ 2 . Таким образом, при переходе от системы координат (x0y) к системе ( x′0 y′) , определяемой единичными ортогональными собственными векторами с соответствующими собственными значениями выражение λ1 , λ2 , 2 2 a11 x + 2a12 xy + a22 y преобразуется в выражение λ1 x′ 2 + λ2 x′ 2 . В этом случае говорят, что квадратичная форма приведена к каноническому виду. Пример 5.7. Привести к каноническому виду следующие уравнения кривых второго порядка: а) 2 x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 6 б) 2 x 2 + 12 xy − 7 y 2 + 20 = 0 в) 25 x 2 − 14 xy + 25 y 2 + 64 x − 64 y − 224 = 0 г) x 2 − 2 xy + y 2 + 6 x − 14 y + 29 = 0 .

114

Решение: а) составляем матрицу квадратичной формы, ⎛ 2 − 2⎞ ⎟. A = ⎜⎜ 5 ⎟⎠ ⎝− 2

стоящей в левой части уравнения Составляем для матрицы А характеристическое уравнение и решаем его: (2 − λ ) −2

−2 = 0 <=> λ2 − 7λ + 6 = 0 <=> λ1 = 1, λ 2 = 6. (5 − λ )

Находим собственные векторы. Для λ1 = 1 получаем систему ⎧ x1 − 2 x2 = 0 ⎨ ⎩− 2 x1 + 4 x2 = 0 <=> x1 − 2 x2 = 0

один из собственных векторов, соответствующих собственному значению λ1 = 1, e1 { 2; 1},

⎧ 2 1 ⎫ e1′ ⎨ ; ⎬. ⎩ 5 5⎭

нормируем его

Для

λ1 = 6

получаем

систему ⎧− 4 x1 − 2 x2 = 0 ⎨ ⎩− 2 x1 − x2 = 0

нормированный

вид

⎛ ⎜ T0 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

ле (5.5)

2 5 1 5

−1 ⎞ ⎟ 5⎟ 2 ⎟ ⎟ 5 ⎠.

<=> − 2 x1 − x2 = 0,

⎧ −1 2 ⎫ e2′ ⎨ ; ⎬. ⎩ 5 5⎭

собственный вектор

e2

{ − 1; 2},

Преобразующаяся матрица имеет

Формулы преобразования получаем по форму-

⎛x⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = T0 ⎜⎜ ⎟⎟ : ⎝ y⎠ ⎝ y′⎠

⎧ ⎪⎪ x = ⎨ ⎪y = ⎪⎩

2 5 1 5

x′ − x′ +

1 5 2 5

y′ y′

Уравнение линии в новой системе координат, определяемой векторами липс, рис. 5.3).

e1′, e2′

имеет вид:

x ′ 2 + 6 y ′ 2 = 6 <=>

x′ 2 y ′ 2 + =1 6 1

(эл-

115

y′

y x′

1 0

2

x

Рис. 5.3 6⎞ ⎛2 ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 6 − 7⎠ .

б) матрица квадратичной формы ческое уравнение: 2−λ 6

Характеристи-

6 = 0 <=> x 2 + 5λ − 50 = 0, λ1 = 5, λ2 = −10. −7−λ

Находим собственные векторы: для

λ1 = 5

получаем систему

⎧− 3 x1 + 6 x 2 = 0 ⎧ 2 1 ⎫ <=> − x1 + 2 x 2 = 0, e1 {2, 1}, e2′ ⎨ ; ⎨ ⎬ ⎩ 5 5 ⎭; ⎩ 6 x1 − 12 x 2 = 0

для

⎧12 x1 + 6 x 2 = 0 ⎧ 1 2 ⎫ <=> 2 x1 + x 2 = 0, e2 {− 1, 2}, e2′ ⎨− ; ⎨ ⎬ λ2 = 10 : ⎩ 6 x1 + 3x 2 = 0 ⎩ 5 5⎭.

Преобразующая вания:

⎛ ⎜ T0 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ матрица ⎧ ⎪⎪ x = ⎨ ⎪y = ⎪⎩

2 5 1 5

x′ − x′ +

2 5 1 5 1 5 2 5

−1 ⎞ ⎟ 5⎟ 2 ⎟ ⎟ 5 ⎠.

Формулы преобразо-

y′ y′

. Уравнение линии в системе координат, определяемой векторами e1′, e2′ , имеет вид: x′ 2 y ′ 2 − = −1 4 2

116

(гипербола, рис. 5.4).

y y' x' 1 2

0

x

Рис. 5.4 2

2

в) выражение 25 x − 14 xy + 25 y в левой части уравнения является квадратичной формой. Приводим ее к каноническому виду. Корни характеристического уравнения (25 − λ )

−7 =0 (25 − λ )

−7

λ1 = 18, λ2 = 32.

Единичные собственные векторы T0 =

Преобразующая матрица 1 ⎧ ( x ′ − y ′) ⎪x = системе (x′0 y ′) : уравнение

2 ⎪ ⎨ ⎪ y = 1 ( x ′ + y ′). ⎪⎩ 2

18 x ′ 2 + 32 y ′ 2 +

64 2

( x ′ − y ′) −

<=> 18x ′ 2 + 32 y ′ 2 −

128 2

1 ⎫ ⎧ 1 ⎧ −1 1 ⎫ ; e1′⎨ ; ⎬, e2′ ⎨ ⎬ 2⎭ 2⎭. ⎩ 2 ⎩ 2

1 ⎛1 − 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . 2 ⎝1 1 ⎠

Формулы перехода к

Подставляем данные формулы в

64 2

(x′ − y ′) − 224 = 0 <=>

y ′ − 224 = 0 <=> 9 x ′ 2 + 16 y ′ 2 −

64 2

y ′ − 112 = 0.

117

Далее, выделяем в левой части полный квадрат и осуществляем параллельный перенос системы (x ′0 y ′) : 4 ⎞ ⎛ 9 x ′ 2 + 16⎜ y ′ 2 − y ′ + 2 ⎟ − 144 = 0. 2 ⎠ ⎝ 2

2 ⎞ ⎛ 9 x ′ + 16⎜ y ′ − ⎟ = 144. 2⎠ ⎝ 2 X = x ′; Y = y ′ − 2 и переходим 2

Обозначим

к системе координат

2 ⎞ ⎛ O ′ ⎜ 0; ⎟ 2⎠ ⎝

( XO ′Y ) с

центром в точке (координаты точки O′, в системе x ′0 y′ ), в которой уравнение линии примет канонический вид X2 Y2 + =1 16 9 (эллипс, рис.5.5) y

y′

Y

X

x′

0′

0

x

Рис. 5.5

г) Приводим квадратичную форму x 2 − 2 xy + y 2 к каноничес⎛ 1 − 1⎞

⎟⎟ . Находим корни характерикому виду. Ее матрица A = ⎜⎜ ⎝ −1 1⎠ (1 − λ ) − 1 = 0, где λ1 = 0, λ2 = 2 . стического уравнения (1 − λ ) −1

118

1 ⎫ ⎧ 1 ; e1′⎨ ⎬, 2⎭ ⎩ 2

Собственные векторы матрица T0 =

1 ⎫ ⎧ 1 ; e2′ ⎨ ⎬. 2⎭ ⎩ 2

Преобразующая

1 ⎛1 − 1⎞ ⎟ , формулы преобразования: ⎜ 2 ⎜⎝1 1 ⎟⎠ 1 ⎧ ( x′ − y ′ ) x = ⎪⎪ 2 ⎨ ⎪ y = 1 ( x′ + y ′) . ⎪⎩ 2

Подставляя в данное уравнение, получим 2 y′2 + <=>

6 2

(x ′ − y ′) − 14 (x ′ + y ′) + 29 = 0 8

2 y′2 −

x′ −

2

2 20

2

y ′ + 29 = 0

10 25 ⎞ 8 ⎛ <=> 2⎜ y ′ 2 − y′ + ⎟ = x′ − 4 2 ⎠ 2 2 ⎝

<=> <=> <=>

2

5 ⎞ 4 ⎛ 2⎞ ⎛ ⎜ x′ − ⎟. <=> ⎜ y ′ − ⎟ = ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

Обозначая

⎧ ⎪⎪ X = x ′ − ⎨ ⎪Y = y ′ − ⎪⎩

2 , 2 5

осуществим параллельный перенос

2

системы (x ′0 y ′) в систему ( XO ′Y ) с центром в точке

⎛ 2 5 ⎞ ⎟, O ′ ⎜⎜ ; ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

которой уравнение линии примет канонический вид Y 2 =

в

4 X 2

(парабола, рис.5.6) y y′

X

Y

x′ 0′ 2 2

5 2

0

x

Рис. 5.6

119

Задания для самостоятельной работы 1. Привести к каноническому виду уравнения кривых второго порядка. Изобразить линии на чертеже: 2 2 а) 3x − 2 xy + 3 y + 2 x − 4 y + 1 = 0 2 5 x + 12 xy − 22 x − 12 y − 19 = 0 б) 2 2 в) x − 2 xy + y − 10 x − 6 y + 25 = 0 2 2 г) 4 x − 4 xy + y − 20 = 0 2

2

д) − 3x + 8 xy + 3 y = 0 . Ответы: а) собственные числа: λ1 = 2, λ2 = 4 ; собственные векторы:

1 ⎫ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎧ 1 ; ; e1′⎨ ⎬ e2′ ⎨− ⎬ 2⎭, ⎩ 2 2⎭. ⎩ 2

Формулы преобразования: ⎧ ⎪⎪ x = ⎨ ⎪y = ⎪⎩

1 ( x′ − y ′ ) 2 1 ( x′ + y ′) . 2

Формулы параллельного переноса системы (x ′0 y ′) : 1 ⎧ ⎪ X = x′ − 2 2 ⎪ ⎨ ⎪Y = y ′ − 3 ⎪⎩ 4 2

,

3 ⎞ ⎛ 1 0′ ⎜ ; ⎟. ⎝2 2 4 2⎠

Каноническое уравнение в системе ( XO′Y ): X2 Y2 + = 1. 3 3 16 32

(эллипс).

б) Собственные числа: λ1 = 9, λ2 = −4 . Собственные векторы: ⎧ 3 ⎧ 2 2 ⎫ 3 ⎫ ; ; e1′⎨ ⎬ e2′ ⎨− ⎬ ⎩ 13 13 ⎭ , ⎩ 13 13 ⎭ .

120

Формулы преобразования: ⎧ ⎪⎪ x = ⎨ ⎪y = ⎪⎩

1 (3x′ − 2 y′) 13 1 (2 x′ + 3 y ′) . 13

Формулы параллельного переноса системы (x ′0 y ′) : ⎧ ⎪ X = x′ − ⎪ ⎨ ⎪Y = y ′ − ⎪⎩

5 13 1 13

,

⎛ 5 1 ⎞ 0′⎜⎜ ; ⎟⎟ . ⎝ 13 13 ⎠

Каноническое уравнение в системе ( XO′Y ): X2 Y2 − =1 4 9

(гипербола).

в) Собственные числа λ1 = 0 λ2 = 2, собственные векторы: 1 ⎫ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎧ 1 ; ; e1′⎨ ⎬ e2′ ⎨− ⎬ 2⎭, ⎩ 2 2⎭. ⎩ 2

Формулы преобразования : ⎧ ⎪⎪ x = ⎨ ⎪y = ⎪⎩

1 ( x′ − y ′ ) 2 1 ( x′ + y ′) . 2

Формулы параллельного переноса системы: ⎧ 3 2 ⎪ X = x′ − ⎪ 2 ⎨ ⎪Y = y ′ − 1 . 2 (x ′0 y ′) ⎪⎩

Каноническое уравнение в системе ( XO′Y ) Y2 =

8 X 2 (парабола).

121

г) Собственные числа λ1 = 0 λ2 = 5, собственные векторы: ⎧ 1 2 ⎫ ⎧ 2 1 ⎫ ; e1′⎨ ; ⎬ e2′ ⎨− ⎬ ⎩ 5 5 ⎭, ⎩ 5 5 ⎭ .

Формулы преобразования: ⎧ ⎪⎪ x = ⎨ ⎪y = ⎪⎩

1 ( x′ − 2 y ′) 5 1 (2 x′ + y′) . 5

Каноническое уравнение в системе (x ′Oy ′) : ⎡ y′ = 2 y ′ 2 − 4 = 0 <=> ⎢ ⎣ y ′ = −2

(две параллельные прямые).

д) Собственные числа λ1 = 5 λ2 = −5, собственные векторы: ⎧ 1 2 ⎫ ⎧ 2 1 ⎫ ; e1′⎨ ; ⎬, e2′ ⎨− ⎬ ⎩ 5 5⎭ ⎩ 5 5⎭.

Формулы преобразования: ⎧ ⎪⎪ x = ⎨ ⎪y = ⎪⎩

1 ( x′ − 2 y ′) 5 1 (2 x′ + y′) . 5

Каноническое уравнение линии в системе координат (x ′0 y ′) : ⎡ x′ − y ′ = 0 x ′ 2 − y ′ 2 = 0 <=> ⎢ ⎣ x′ + y ′ = 0

122

(две пересекающиеся прямые).

Приложение I

Лабораторная работа № 1 МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. б)

⎛ 1 2⎞ ⎛ 5 − 1⎞ ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟. Найти: A = ⎜⎜ ⎝ − 3 4⎠ ⎝ − 2 3⎠ − 2 A + B; г) − 3 A + 2 B; д) 3 A − 4 B.

Даны матрицы: 5 A − 2 B;

2. Даны

в)

а)

2 A − 3B;

⎛1 0 ⎞ ⎛−1 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛− 2 4 5 ⎞ ⎛ 2 − 1⎞ ⎟⎟, C = ⎜ 3 4 0 ⎟, D = ⎜⎜ ⎟⎟. матрицы: A = ⎜ 3 4 ⎟, B = ⎜⎜ ⎝ 1 0 − 3⎠ ⎝ 0 5⎠ ⎜2 5⎟ ⎜ − 2 1 − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Вычислить а) AB; б) BC; в) CA; г) DB; д) AD. 3. Найти значение матричного многочлена а) A 2 − 3 A + 2 E; б) 2 A 2 − A − 3E; в) 3 A 2 + A − 4 E; г) − A 2 + 5 A − 2 E; д) 4 A 2 − 2 A + E , если ⎛−1 3⎞ ⎟⎟, A = ⎜⎜ ⎝ 4 8⎠

где E – единичная матрица второго порядка.

4. Вычислить определитель второго порядка: а)

11 2 −3 4

4 10 −2 0

б)

в)

−2 1 3 −1

3 −1 5 4

г)

д)

7 3 −5 8

.

5. Вычислить определитель третьего порядка: 5

а)

3

6 −1 0

4

7 −1 0 2 0 −2

б)

− 2 0 −1 1 −2 3

10 2 − 1

в)

3 0 1 −2

3 4

−1 3

г)

0 −3 4

0

5 4 1 1 2 −8

д)

1 −1 1 2 3 −5

6. Используя формулы Крамера, решить систему уравнений: а)

⎧2 x − y = 0, ⎨ ⎩5 x + 2 y = 1.

б)

11x + y − 21 = 0, ⎧ x − 7 y = −8, в) ⎧⎨ ⎨ ⎩2 x + y = −1. ⎩− x + 3 y − 2 = 0. 7 x − 2 y = −23, д) ⎧⎨ ⎩ x + 5 y = 2.

7. Найти матрицу, обратную данной а) в)

⎛ 11 C = ⎜⎜ ⎝−1

1⎞ ⎟; 3 ⎟⎠

г)

⎛3 4⎞ ⎟⎟; D = ⎜⎜ ⎝ 2 5⎠

д)

г)

⎧3x − 4 y + 5 = 0, ⎨ ⎩2 x + 5 y − 12 = 0.

⎛ 2 − 1⎞ ⎟⎟; A = ⎜⎜ ⎝5 2⎠

1 − 7⎞ ⎟⎟; ⎝ 2 1⎠

б) B = ⎛⎜⎜

⎛7 − 2⎞ ⎟⎟. N = ⎜⎜ ⎝1 5 ⎠

123

8. Решить систему уравнений методом обратной матрицы а) д)

⎧2 x − y = 0, б) ⎨ ⎩5 x + 2 y = 1. ⎧7 x − 2 y = −23, ⎨ ⎩ x + 5 y = 2.

⎧ x − 7 y = −8, ⎨ ⎩2 x + y = −1.

в)

⎧11x + y − 21 = 0, ⎨ ⎩− x + 3 y − 2 = 0.

г)

⎧3 x − 4 y + 5 = 0, ⎨ ⎩2 x + 5 y − 12 = 0.

9. Используя формулы Крамера, решить систему уравнений а)

⎧4 y − 2 z = −2, ⎪ ⎨3 x + 5 y − z = 2, ⎪ 2 x + 5 y − 4 z = − 2. ⎩

г)

б)

⎧ x − 4 y + 5 z = 2, ⎪ ⎨2 x − 3 z = −6, ⎪4 x − 3 y + z = −4. ⎩

⎧− x − y = 2, ⎪ ⎨ x + 2 y + z = −1, ⎪2 x + 3 y = −7. ⎩

д)

в)

⎧ 2 x + 3 y + z = 7, ⎪ ⎨ x − z = −4, ⎪ − x − 2 y + z = 0. ⎩

⎧ x + 3 z = 9, ⎪ ⎨2 x − y − z = 3, ⎪ x + 3 y + 4 z = 14. ⎩

10. Найти матрицу, обратную данной а)

⎛ 0 4 − 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 5 − 1 ⎟ ; б) ⎜ 2 5 − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎛−1 ⎜ г) D = ⎜ 1 ⎜2 ⎝

⎛1 − 4 5 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 2 0 − 3 ⎟ ; в) C ⎜4 − 3 1 ⎟ ⎝ ⎠ −1 0⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎜ 2 1 ⎟ ; д) N = ⎜ 2 − 1 ⎜1 3 3 0 ⎟⎠ ⎝

3 1⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ =⎜ 1 0 − 1⎟ ; ⎜−1 − 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3⎞ ⎟ − 1⎟ . 4 ⎟⎠

11. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и методом Гаусса а)

⎧4 y − 2 z = −2, ⎪ ⎨3 x + 5 y − z = 2, ⎪ 2 x + 5 y − 4 z = − 2. ⎩

г)

б)

⎧ x − 4 y + 5 z = 2, ⎪ ⎨2 x − 3 z = −6, ⎪4 x − 3 y + z = −4. ⎩

⎧− x − y = 2, ⎪ ⎨ x + 2 y + z = −1, ⎪2 x + 3 y = −7. ⎩

д)

⎧ x + 3 z = 9, ⎪ ⎨2 x − y − z = 3, ⎪ x + 3 y + 4 z = 14. ⎩

12. Найти множество значений ⎧ x + λy + z = 0, ⎪ ⎨2 x + 5 y − 3 z = 0, ⎪ 4 x − 2 y + z = 0. ⎩

λ,

при которых система

имеет единственное решение. Найти решение

системы при условии а)

124

в)

⎧ 2 x + 3 y + z = 7, ⎪ ⎨ x − z = −4, ⎪ − x − 2 y + z = 0. ⎩

λ = 1;

б)

λ = 0;

в)

λ = −2 ;

г)

λ = 3;

д)

λ = −1 .

Лабораторная работа № 2 КООРДИНАТЫ ТОЧКИ. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ 1. Выбрав прямоугольную систему координат, постройте точки: A (− 4; 2 ), B (2,5; − 6,5), C (0; 3), Д (− 5; 0 ), E (− 5; − 5). 2. Начертите ось l , проходящую через точку E (− 5; − 5) и имеющую то же направление, что и ось абсцисс. Каковы координаты точки O1 , в которой ось l пересекает ось ординат? 3. Дана точка A (− 3; 7 ) . Написать координаты точки A1 , симметричной точке A относительно оси абсцисс, точки A2 , симметричной точке A относительно оси ординат, точки A3 , симметричной точке A относительно начала координат. 4. Доказать, что треугольник, вершинами которого служат точки A (3; 2), B (6; 5), C (1; 10), прямоугольный. 5. Найти периметр треугольника

ABC

по данным задачи 4.

6. Найти длины медиан треугольника с вершинами B (− 2; ,3) , C (0; − 1).

A (2; 1),

7. Проведен отрезок от точки (1; − 1) до точки (− 4; 5) . До какой точки нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его длина утроилась? 8. В точке A (2; 5) сосредоточена масса 2 кг, в точке масса 3кг. Найти точку с — центр масс этой системы. 9. Отрезок между точками (x; 5) пополам. Найти эти точки.

и (− 2; y )

B (12; 0 )

—

делится в точке (1; 1)

125

Лабораторная работа № 3 УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ. ОПИСАНИЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ОБРАЗ УРАВНЕНИЯ Изобразить множество точек на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат по соотношениям, приведенным ниже: а) x = 1 ; б) x ≥ 3 ; в) x = −2 ; г) y = 2 ; д) y ≥ −3 ; е) x ≥ a (a > 0) ; ж) y ≤ в(в > 0) ; з) x ≥ 0 ; и) x > 0 ; к) y ≥ 0 ; л) y > 0 ; м) xy = 0 ; н) x = y ; о) x = y ; п) x + y = 5 ; р) x + y > 5 ; с) x + y ≥ 5 ; т) x + y < 5 ; у) x 2 + y 2 = 9 ; ф) x 2 + y 2 < 9 ; ⎧ x ≥ 1,

х) ⎨

ш)

⎩x + y ≤ 9 ; ⎧x2 + y2 ≥ 1 , ⎪ щ) ⎨ x< y, ⎪ x<0 ; ⎩ 2

2

ц)

⎡ x ≥ 1, ⎢ 2 2 ⎣ x + y ≤ 9;

ч) (x − 1)2 + ( y + 2)2 = 9

⎡x 2 + y 2 = 0 , ⎢ 2 2 ⎢⎣( x − 3) + y ≥ 16 .

2. Описать при помощи уравнений и неравенств изображенные ниже множества точек:

126

Лабораторная работа № 4 ПРЯМАЯ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ 1. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок, величина которого равна 5, и наклоненной к оси Ox под углом: а) 450 ; б) 600 ; в) 1350 ; г) 1200 . 2. Записать уравнения прямых с угловым коэффициентом а) x − y − 1 = 0 ; б) 4 x − 2 y + 3 = 0 ; в) 3x + 2 y − 5 = 0 ; г) 2 x + 5 y = 0 ; д) 3 y − 7 = 0 . 3. Написать уравнение прямой, отсекающей на осях Ox и отрезки, величины которых соответственно равны 3 и -4 .

Oy

4. Написать уравнения прямых в отрезках: а) 3x + 2 y − 6 = 0 ; б) y = x − 1 ; в) 2 x − 3 y + 7 = 0 ; г) y = 6 x − 3 . 5. Построить прямые, определяемые уравнениями: 3x − 5 y + 15 = 0 , 5 x + 3 y = 0 , 3 y − 7 = 0 .

6. Исследовать, как расположены относительно осей координат следующие прямые: а) x − 2 y = 0 ; б) x − 1 = 0 ; в) y + 1 = 0 ; г) x − y = 0 ; д) x + y = 0 ; е) 5 x = 0 ; ж) 3 y = 0 ; з) 3x + 2 y − 6 = 0 . Построить эти прямые. 7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку наклоненной к оси абсцисс под углом 1350 .

M 1 (0; 3)

и

8. Найти угол между прямыми а) y = 3x − 1 и y = −5 x + 2 ; б) y = −2 x + 3 и y = 1 x − 1; в) г) д)

2x − 3y + 1 = 0 y+4=0 x−3= 0

и и

и

2 x + y + 3 = 0;

y + 2x + 3 = 0 ; y + 8 = 0.

127

Лабораторная работа № 5 ПРЯМАЯ. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 1. Даны две точки A и B . Составить уравнение прямой если а) A(−4; 2) и B(6; 4) ; б) A(0; − 1) и B(3; − 1) ; в) A(5 ;4) и B(5 ;−8) ; г) A(8; − 7) и B(−2; − 7) .

AB ,

2. Даны две прямые 5 x + 3 y + 1 = 0 и α x + 5 y + 7 = 0 . Найти такое значение параметра α , при котором данные прямые перпендикулярны. 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2; -3) параллельно прямой, соединяющей точки (1; 2) и (-1; -5). 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1; 2) и перпендикулярной к прямой, соединяющей точки (4; 3) и (-2; 1). 5. Найти расстояние точки 5 x + y − 3 = 0 и 3x − 4 y + 1 = 0 , если а) A(−2; 3) ; б) A(2;− 3) ; в) A(0; 0); г)

A

от двух данных прямых

A(1; 7) .

6. Найти расстояние между данными прямыми: а) 2 x + y + 5 = 0 и 4 x + 2 y + 1 = 0 . б) x + 4 y − 3 = 0 и 3x + 12 y + 4 = 0 . 7. Найти точку пересечения двух прямых: а) x + 2 y − 7 = 0 и 2 x + y − 5 = 0 ; б) 3x − 2 y = 0 и 3x − 2 y + 5 = 0 ; в) 12 x + 3 y − 7 = 0 и 24 x + 6 y − 14 = 0 . 8. Даны вершины четырехугольника: ABCD: A(2; 2), B(5; 1), C(3; 6), D(0; 3). Найти точку пересечения его диагоналей.

128

Лабораторная работа № 6 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА I. Окружность. 1. Написать уравнение окружности, зная, что: а) центр окружности лежит в точке (-2;-3) и радиус ее равен 3; б) центр окружности лежит в точке (2;-3) и окружность проходит через точку (5; 1) в) концы одного из диаметров имеют координаты (3; 9) и (7; 3). 2. Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой уравнением: а) x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 = 0 ; б) 2 x 2 + 2 y 2 + 5 x − 3 y − 2 = 0 ; в) x 2 + y 2 − 6 x − 7 = 0 ; г) x 2 + y 2 + 3 y = 0 . 3. Какие значения должны иметь коэффициенты уравнения Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,

чтобы оно определяло окружность радиуса 5 с центром в точке (3; 2)? 4. Найти уравнение окружности, касающейся оси координат и пересекающей ось Ox в точке (6; 0).

Oy

в начале

5. Найти уравнение окружности, касающейся оси координат и пересекающей ось Oy в точке (0;-8).

Ox

в начале

6. Найти уравнение окружности, касающейся оси (-5; 0) и имеющей радиус, равный 3 единицам длины.

Ox

в точке

II. Эллипс. 1. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением: а) 16 x 2 + 25 y 2 = 400 ; б) 9 x 2 + y 2 = 36 . 2. Эллипс касается оси абсцисс в точке (8; 0) и оси ординат в точке (0;-5). Написать уравнение эллипса, если известно, что его оси параллельны осям координат.

129

3. Написать канонические уравнения эллипсов и построить эллипсы: а) 5 x 2 + 6 y 2 + 10 x = 25 ); б) 5 x 2 + 8 y 2 − 16 y = 32 . III. Гипербола. 1. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением: а) 25 x 2 − 144 y 2 = 3600 ; б)16 x 2 − 9 y 2 = 144 . 2. Дана гипербола

x2 y2 − = 1. 9 25

Написать уравнения асимптот.

3. Написать канонические уравнения гипербол и построить гиперболы: а) 5 x 2 − 6 y 2 + 10 x = 25 ; б) 5 x 2 − 8 y 2 + 16 y − 48 = 0 IV. Парабола. 1. Составить уравнение параболы, зная, что а) осью симметрии параболы служит ось Ox , вершина лежит в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины; б) парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку (2;-4), и вершина ее лежит в начале координат; в) парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку (-2;4), и вершина ее лежит в начале координат; г) парабола симметрична относительно оси Oy , фокус лежит в точке (0; 3), и вершина совпадает с началом координат; д) парабола симметрична относительно оси Oy , проходит через точку (4; 2), и вершина ее лежит в начале координат; е) парабола симметрична относительно оси Oy , проходит через точку (-4;-2), и вершина совпадает с началом координат. 2. Привести уравнения параболы к каноническому виду и построить эти параболы а) 6 x 2 − 12 x − y + 9 = 0 ; б) 6 y 2 − x − 12 y + 9 = 0 ; в) y = 3 x 2 + 6 x + 4 ; г) y = − x 2 + 2 x + 5 .

130

Лабораторная работа № 7 ВЕКТОРЫ 1. В параллелограмме ABCD обозначены: AB = a , AD = b. Точка M — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Через a и b выразить векторы BC , CD, AC , BD, AM , MC , MB. 2. В треугольнике ABC обозначены AB = a , BC = b. Через a и b выразить векторы, совпадающие с медианами AM , BN , CP треугольника. 3. Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю. 4. Даны точки A(2; 1; 0), B(0; 3;−1), C (−1;−1; 2). а) Найти координаты и длины векторов AB, AC , BC . б) Найти вектор m = 2 AB − BC и его длину. 5. Найти направляющие косинусы векторов b { 0;−3; 4} и записать орты данных векторов. 6. Найти скалярное произведение векторов а) a = 2i + j , б) a { − 1;−3; 1} , в) a { 2; − 1;−5},

a

a { 2; 1;−3}

и

и b:

b = −2 j + k ; b { 4;−2;−4} ; b { 2;−1; 1} .

7. Даны точки A(3; 1; 2), B(2; 2;−1), C (1;−1; 2). Найти проекцию вектора AB на направление CB. 8. Даны векторы a { 1; 0;−1} и b { 2; 3; 0}. Найти угол между векторами а) a и b ; б) c = a + 2b и d = 2a − b . 9. На материальную точку действуют силы F 1 = 2i − j + k , F 2 = −i + 2 j + 2k , F 3 = i + j − 2k . Найти работу равнодействующей R этих сил при перемещении точки из положения A(2; − 1; 0) в положение B(4; 1;−1) . 131

10. Найти вектор x , коллинеарный вектору что x a = 28 . 11. Даны векторы (2a − b) × (a + 2b). .

a = 3i − j − 2k

и

a { 1; 2;−3}

b =i+2j−k.

и такой,

Найти

a×b

и

12. Даны векторы a { 1; 0;−2} и b { 1;−2; 3} . Найти единичный вектор, перпендикулярный этим векторам. 13. Даны точки A(1; 2; 0), B(3; 0;−3), C (0; 2; − 1). Найти площадь и высоту треугольника ABC. 14. Даны векторы a { 1; 0;−2} , ное произведение a b c .

b { 1;−1; 2} , c {3; 1; − 1} .

Найти смешан-

15. Даны точки A(1; 1; 2), B(2; 3;−1), C (2; − 2; 4)., D(−1; 1; 3. Найти а) объем и высоту параллелепипеда, построенного на векторах

AB, AC , AD.

б) объем и высоту пирамиды

ABCD .

16. Даны точки A(3;−4; 1), B(2;−3; 7), C (1; − 4; 3), что они лежат в одной плоскости.

D(4; − 3; 5).

Доказать,

Лабораторная работа № 8 ПЛОСКОСТЬ 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 (2,−1, 3) и а) параллельно плоскости XOY ; б) параллельно плоскости XOZ ; в) параллельно плоскости YOZ ; г) параллельно плоскости 3x − 4 y + z − 5 = 0 ; д) через ось OX ; е) через ось OY . 2. Дано уравнение плоскости − 2 x + 3 y − z − 12 = 0 ; а) найти отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях; б) вычислить площадь треугольника, отсекаемого плоскостью от координатно132

го угла YOZ ; в) вычислить объем пирамиды, ограниченной данной плоскостью и координатными плоскостями. 3. Составить уравнение плоскости: а) параллельной двум векторам a1 {3; 0;−2}, a 2 {1,−2,−4} и проходящей через точку M 1 (2, 3, 4) ; б) параллельной оси OY и проходящей через две точки M 1 (3, 1,−2 ), x − y − z + 3 = 0, M 2 (1,−1, 3) ; в) перпендикулярной плоскостям 2 x + 3 y + 4 z − 5 = 0 и проходящей через точку M (5;−1; 2 ) ; г) параллельной вектору a{1;−2; 1} и проходящей через две точки M 1 (4;−3; 1), M 2 (2; 3;−1). 4. Определить, какие из следующих уравнений плоскостей являются нормальными: а) − 1 x + 2 y − 2 z − 7 = 0; б) − 1 x + 2 y − 1 z − 5 = 0; 3

в)

3

3

3

1 2 2 x + y + z + 2 = 0; 3 3 3

г)

3

x−2 = 0;

3

д)

y +5 = 0;

е)

− z −5 = 0.

5. Привести уравнения плоскостей к нормальному виду: а) 4 x + 4 y − 2 z + 5 = 0 ; б) 3 x + 2 y + 6 z + 4 = 0; в) x + 2 y + z + 2 = 0; г)

x+ 2 = 0;

д)

7 3z − 2 = 0 .

7

7

6. Вычислить расстояние: а) точки M (1; 2; 3) от плоскости 2 x − y + 2 z + 5 = 0; б) точки A (2,−1, 1) от плоскости, проходящей через три точки M 1 (− 1; 1; 1), M 2 (2;−1; 3), M 3 (1; 3; 1). 7. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями 2 x − 3 y + 6 z − 14 = 0; 4 x − 6 y + 12 z + 21 = 0.

133

Лабораторная работа № 9 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку M 1 (3;−5; 7 ). 2. Определить направляющие косинусы прямой x−3 y + 2 z −4 = = . −4 12 −3

3. Через точку M 1 (1;−3; 2) провести прямую: а) параллельно оси OZ ; б) параллельно прямой x − 5 = y + 1 = z + 2 ; в) параллельно прямой

−4 2 5 ⎧2 x − y + 4 z − 5 = 0 ⎨ ⎩3x + y − 5 z + 2 = 0.

4. Найти точку пересечения прямой кости

x +1 y − 2 z + 4 = = 2 −3 1

и плос-

− 3x + 5 y − z + 5 = 0.

5. Доказать параллельность прямых x −1 y + 2 z = = , 0 −3 −3

⎧x + y − z + 2 = 0 ⎨ ⎩2 x − y + z − 3 = 0.

6. Доказать перпендикулярность прямых ⎧x = t + 2 ⎪ ⎨ y = −2t − 3 ⎪ z = 3t + 1, ⎩

⎧3 x + y − 5 z + 4 = 0 ⎨ ⎩ 2 x + 3 y − 8 z − 5 = 0.

7. Даны вершины треугольника A (7;−2; 3), B (1;−4;−5), C (3; 2;−6) . Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины C. 8. Точка M (x, y, z ) движется прямолинейно и равномерно из начального положения M 0 (7; 5;−3) в направлении, противоположном вектору s {− 3; 6;−2} со скоростью V = 21. Составить уравнения движения точки M и определить точку, с которой она совпадает в момент времени t = 3. 134

Лабораторная работа №10 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку x − 3 y + 4 z −1 M (3;−1; 2 ) и а) перпендикулярно прямой = = ; 1

б) через прямую

−2

−5

⎧ x = 2t − 2 ⎪ ⎨ y = −4t + 1 ⎪ z = t + 3; ⎩

в) параллельно двум прямым

⎧x = t + 2 x −1 y + 2 z − 4 ⎪ = = , ⎨ y = 2t − 4 −3 1 5 ⎪ z = − 3t + 1. ⎩

x − 2 y + 3 z −1 = = провести плоскость: 4 3 −2 а) параллельно прямой x = y − 2 = z − 4 ; 1 3 −2 б) перпендикулярно плоскости 2 x − 5 y + z − 7 = 0.

2. Через прямую

3. Найти проекцию точки M (1; 2; 3) на плоскость 2 x + y − z + 5 = 0. 4. Найти проекцию прямой x + 2 = y − 1 = z + 4 на плоскость −2

3

−4

x + 2 y − z + 6 = 0.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые x − 1 = y + 2 = z − 4 ; x − 3 = y − 2 = z − 1 . 3

−1

2

3

−1

2

6. Через точку M (2; 1;−3) провести прямую, перпендикулярную прямой x + 1 = y − 1 = z + 2 . −1

2

−2

135

Приложение II

Индивидуальная работа № 1 МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Задание I. Даны матрицы: 0⎞ ⎛ 7 − 4 1⎞ ⎛1 − 2 ⎛ 2 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ A = ⎜ 3 4 − 1⎟ , B = ⎜ 2 − 2 0 ⎟ , C = ⎜ 7 ⎜2 8 ⎜ 0 4 8⎟ ⎜− 4 1 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝

6⎞ 1 1⎞ 0⎞ ⎛ 7 1 ⎛0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎟ , D = ⎜ 2 − 8 5⎟ , N = ⎜ − 5 4 − 1⎟ . ⎜ 2 3 ⎜ 4 − 1 3⎟ 0 ⎟⎠ 1 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠

0 1 −1

Номер варианта

Вычислить

Номер варианта

Вычислить

1 2 3 4 5 6 7 8

2 A − N + 4C − A + 3B − D 4 A + D − 3N C − 2B + 3A 3 A − 4D + C − 2 A + B − 3C − 3 A + 5B − C A − N + 4C

9 10 11 12 13 14 15

3C + A − B − A + 4B − N − 2C + 3D − 2 B 5 A − 2C + B − B + 2 D − 3N 4B − A + 2N 3N − 2 B + C

Задание II. Найти произведение матриц. Номер варианта Вычислить Номер варианта Вычислить

1

2

3

4

5

6

7

8

AB

BA

BC

CB

AC

CA

DA

AD

9

10

11

12

13

14

15

DB

BD

CD

DC

AN

NC

BN

Матрицы

A, B, C, D, N взять

в задании I.

Задание III. Дана матрица ⎛ α ⎜ A = ⎜ −1 ⎜ 0 ⎝

136

1 5 2

2⎞ ⎟ 4⎟ 3 ⎟⎠

Вычислить det A двумя способами: а) по определению; б) с помощью разложения по строке (столбцу). Значение параметра α взять равным номеру варианта. A

Задание IV. Найти матрицу, обратную матрице взять в задании III.

A.

Матрицу

Индивидуальная работа № 2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Задание I. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, используя формулы Крамера. Сделать проверку. 1)

⎧3x − y = 1, ⎨ ⎩ x + 4 y = 2.

2)

⎧2 x + y = 3, ⎨ ⎩ x − y = −1.

⎧− 2 x + y = 4, ⎨ ⎩ 7 x − y = 1.

3)

4)

⎧3x + 5 y = −1, ⎨ ⎩− x + 4 y = 0 .

5)

⎧− 3x + y = −4, ⎨ ⎩ 8 x + 2 y = 3.

6)

⎧− x + 5 y = 17 ⎨ ⎩ 2 x − 8 y = 1.

7)

⎧− 3x + 7 y = 40, ⎨ ⎩ 5 x − y = 1.

8)

⎧5 x + y = 5, ⎨ ⎩8 x − y = −1.

9)

⎧4 x + y = −1, ⎨ ⎩3 x − 2 y = 3.

10)

⎧− x + 2 y = 4, ⎨ ⎩2 x − y = 5 .

13)

⎧− 2 x − 5 y = 1, ⎨ ⎩ x + 3 y = 3.

11) 14)

⎧2 x − y = 8, ⎨ ⎩ 3x + 5 y = 1.

12)

⎧ 5 x − 2 y = 4, ⎨ ⎩− x − 5 y = 1.

⎧ 7 x + y = 23, ⎨ ⎩ − 5 x + 3 y = 1.

15)

⎧ 6 x − 8 y = 5, ⎨ ⎩− 2 x + y = 15.

Задание II. Решить систему трех линейных уравнений а) по формулам Крамера, б) методом обратной матрицы, в) методом Гаусса. 1) 2) 3) ⎧2 x + y − z = −1, ⎪ ⎨3 x − 2 y − 2 z = −6, ⎪ x − 3 y + 2 z = 1. ⎩

⎧ x + 2 y − z = 4, ⎪ − y + z = −1, ⎨ ⎪ 2x + z = 1. ⎩

⎧ x + y + z = −1, ⎪ ⎨2 x + y − z = −4, ⎪x + 2 z = 1. ⎩

137

4)

5) ⎧− 2 x + y + z = 5, ⎪ ⎨ x + y − z = −1, ⎪ − x + 2 z = 2. ⎩

6)

⎧ x − 2 y + z = 6, ⎪ ⎨2 x − y − z = −1, ⎪ x − y + 2 z = 5. ⎩

7)

⎧ x − 2 y + z = −2, ⎪ + 4 z = −6, ⎨2 x ⎪ x + 3 y = −1. ⎩

8) 2 y − z = 5, ⎧ ⎪ ⎨2 x + 2 y − 2 z = 4, ⎪ 2 x − y + 3 z = − 7. ⎩

9)

⎧ x + y − z = 3, ⎪ ⎨ − x − 2 y + z = 2, ⎪ − 2 x − 3 y + z = 5. ⎩

10)

⎧5 x + 3 y + 3 z = 48, ⎪ ⎨2 x + 6 y − 3 z = 18, ⎪ 8 x − 3 y + 2 z = 21. ⎩

11)

⎧2 x + 3 y + z = 9, ⎪ 4 y − 2 z = −2, ⎨ ⎪ x + 3 y − z = 3. ⎩

12)

⎧3 x + 2 y + 2 z = 3, ⎪ ⎨ x − 5 y − 8 z = −13, ⎪ 4 x + 2 y + z = 3. ⎩

13)

⎧ x − 2 y + 2 z = −5, ⎪ ⎨7 x + y + z = 6, ⎪ 2 x + y − z = 5. ⎩

14)

⎧ x + 2 y + z = 4, ⎪ ⎨2 x + 7 y − z = 8, ⎪ 3 x − 5 y + 3 z = 1. ⎩

15)

⎧3 x − y + 5 z = 7, ⎪ ⎨ x − 2 y + 4 z = 3, ⎪ 2 x − 4 y + 3 z = 1. ⎩

⎧− x + 2 y − 3 z = −4, ⎪ ⎨ 2 x − y = −1, ⎪ x − 3 y + z = 1. ⎩

Индивидуальная работа № 3 КООРДИНАТЫ. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ Задание I. Найти координату точки A на оси Ox , если известна координата точки B на той же оси и расстояние между точками A и B . № варианта координата точки B расстояние

1 (-5)

2 (-3)

3 (4)

4 (5)

5 (2)

6 (-7)

7 (1)

8 (0)

3

4

5

6

1

4

5

3

9

10

11

12

13

14

15

(-4)

(-1)

(-2)

(11)

(13)

(-2)

(7)

8

9

3

1

2

4

3

AB

№ варианта координата точки B расстояние AB

138

Задание II. На плоскости Oxy даны две точки A и B. Найти расстояние между ними. Построить их. № варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

координаты

(-2; -5)

(-4; -3)

(5; -3)

(1; 2)

(4; 3)

(0: -2)

(-1; 2)

(7;-2)

(3; -4)

(5; 1)

(0; 4)

(2; 4)

(-1; 0)

(-3; 4)

(2; -1)

(2; 1)

9 (0; 3)

10 (3; 0)

11 (9; 1)

12 (-3; -1)

13 (4; 3)

14 (8: 2)

15 (3; -3)

(5; 4)

(2; -3)

(2; -1)

(0; 2)

(2;-7)

(4;8)

(2; -1)

точки A координаты точки B № варианта координаты точки A координаты точки B

Задание III . Найти точку, удаленную от точки A на 6 единиц и находящуюся а) на оси абсцисс; б) на оси ординат. Пояснить построением наличие двух решений. Координаты точки A взять в задании II. Задание IV. На отрезке AB найти а) точку M делящую отрезок AB в отношении λ = AM = 1 ; б) точку M делящую отрезок BA в отношении

MB 2 BM λ= = 2. MA

Координаты точек A и B взять в задании II.

Индивидуальная работа № 4 УРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК Задание I. Составить уравнение прямой, проходящей через точку C (x1, y1) а) параллельно оси Ox; б) перпендикулярно оси Ox. 139

№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

точки C(x 1 ; y1 )

(1; -3)

(-1; 2)

(3;-1)

(4; 3)

(5;-3)

(-3; 6)

(7; -8)

(8; -7)

№ варианта

9

10

11

12

13

14

15

(3; -9)

(-3; 3)

(2;-1)

(-8; 5)

(5; 2)

(0; 7)

(-2; 4)

координаты

координаты точки C(x 1 ; y1 )

Задание II. Составить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным номеру варианта. Где находится точка С: лежит на окружности или внутри круга, вне круга? Координаты точки С взять в задании I. Задание III. Составить уравнение окружности с центром в точке С(х1; y1) и радиусом R, равным номеру варианта. Проходит ли эта окружность через начало координат? Координаты точки С взять в задании I. Задание IV. Составить уравнение траектории точки, которая в своем движении остается на одинаковом расстоянии от начала координат и от точки С. Координаты точки С взять в задании I. Построить чертеж. Задание V. Составить уравнение траектории точки, которая в своем движении остается вдвое ближе от начала координат, чем от точки С. Координаты точки С взять в задании I. Построить чертеж.

140

Индивидуальная работа № 5 ПРЯМАЯ Задание I. 1. Даны точки А(-2; 0) и В(2; -2). На отрезке ОА построен параллелограмм ОАCD, диагонали которого пересекаются точке В. Написать уравнение стороны CD. 2. Даны точки А(2; 0) и В(-2; 2). На отрезке ОА построить параллелограмм ОАCD, диагонали которого пересекаются точке В. Написать уравнение сторон параллелограмма. Точка О – начало координат. 3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 5х-y+10=0 и 8х+4y+9=0 и параллельной прямой х+3y=0. 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х-3y+5=0 и 3х+y-7=0 и перпендикулярной к прямой y=2х. 5. Даны точки М(0; -2) и Р(2; 2). На отрезке ОМ построен параллелограмм ОМКН, диагонали которого пересекаются в точке Р. Написать уравнение стороны МК. 6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х+y+6=0 и 3х+5y+16=0 и через точку В(1; -2). 7. Через начало координат проведена прямая на одинаковом расстоянии от точек А(2; 2) и В(4; 0). Найти это расстояние. Написать уравнение прямой. Задание II. 1. Написать уравнение траектории точки М(х; у), движущейся так, что расстояние ее от прямой y=2х остается вдвое меньше, чем от прямой y=2x. 2. Даны прямая и точка А(5; 2). Найти проекцию точки А на данную прямую, если ее уравнение 4х+3y-1=0. 3. Дана прямая 2х+y-6=0 и на ней две точки М и Р с ординатами уМ=6 и уР=-2. Написать уравнение МD – высоты треугольника МОР.

141

4. Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своем движении остается втрое дальше от прямой y=2х-4, чем от прямой y=4-2х. 5. Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своем движении остается двое дальше от прямой y=4х, чем от прямой y= -х. 6. Даны точки А(-4; 0) и В(0; 6). Через середину отрезка АВ провести прямую, отсекающую на оси 0х отрезок, вдвое больший, чем на оси 0у. 7. Написать уравнение множества точек, равноудаленных от оси 0у и точки В(4; 0), и построить линию по ее уравнению.

Индивидуальная работа № 6 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Задание I. Выяснить геометрический смысл уравнения. Сделать чертеж. 1. 4 xy + y 2 = 0; 2. x 2 − 4 y 2 + 8 x − 24 y − 24 = 0; 3. y 2 − 16 y = 0; 4. x 2 + 4 y 2 − 6 x + 8 y − 3 = 0; 5. x 2 + y 2 + 2 x + 2 = 0; 6. x 2 + xy = 0; 7. 4 x 2 − y 2 = 0. Задание II. Построить область, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств: 1.

2.

⎧ y > x − 4, ⎨ ⎩ y − x − 2 ≤ 0. 2

142

3.

⎧ x + y ≤ 16, ⎨ ⎩1 < x ≤ 3. 2

2

4.

⎧y ≤ 4 − x ⎨ ⎩ x + y + 2 ≥ 0. 2

⎧4 < x 2 + y 2 < 9, ⎨ ⎩ x ≥ 1.

5.

6.

⎧x y ⎪ 4 + 2 ≤ 1, ⎪⎪ 2 ⎨ y > x − 16, ⎪ x ≥ − y. ⎪ ⎪⎩

⎧ y 2 > 2 − x, ⎪ ⎨ x < 4, ⎪ y ≤ 0. ⎩

7. ⎧ x ≥ −2, ⎪ 2 ⎨y < 4 − x , ⎪ y > −2 . ⎩

Индивидуальная работа № 7 ВЕКТОРЫ Даны точки A, B, C, D. Номер варианта

Координаты точек A

B

C

D

1

(1; -2; -1)

(0; -5; 4)

(3; -1; 3)

(-1; 0; 3)

2

(4; 5; 1)

(1; 0; -3)

(-2; 1; 5)

(0; 1; -4)

3

(1; 2; 0)

(3; 1; 4)

(0; 2; -1)

(-1; 3; -1)

4

(4; -5; 1)

(3; -1; 0)

(1; 0; 1)

(-2; 0; 1)

5

(3; -1; 0)

(4; 1; -2)

(2; 0; 3)

(-1; 0; 1)

6

(0; 3; 1)

(2; 1; 4)

(3; 1; 0)

(3; 2; 1)

7

(2; 0; -1)

(-1; 0; 3)

(1; 1; 1)

(-1; 2; -1)

8

(3; 4; 0)

(3; 2; 1)

(0; -1; 0)

(1; 2; -2)

9

(1; 1; 1)

(-1; 0; 3)

(-2; -1; 0)

(3; -3; 4)

10

(3; -5; 4)

(-3; -4; 0)

(-7; 0; 4)

(5; -6; 1)

11

(-1; 4; -1)

(3; 0; 4)

(1; 1; 2)

(-1; 3; -1)

12

(4; -3; -3)

(1; 4; 2)

(-3; 2; 1)

(0; 4; 0)

13

(0; 0; 1)

(3; 4; -1)

(2; - 2; 3)

(1; -4; 1)

14

(2; 1; 3)

(-2; 4; -1)

(0; 0; 3)

(2; -1; 3)

15

(0; 3; 0)

(1; 1; 2)

(4; -2; 1)

(-1; 0; -4)

143

Задание I. Найти ра

AB,

AB ,

направляющие косинусы векто-

AB.

Задание II. Найти координаты вектора

2 AB − 3CB.

Задание III. Вычислить площадь треугольника ABC и внутренний угол B. Задание IV. Найти объем пирамиды ABCD и длину ее высоты, опущенной из вершины D.

Индивидуальная работа № 8 ПЛОСКОСТЬ Даны точки № ваM1 рианта 1 (1;-1;1) 2

(3;0;-2)

M1, M 2 ;

M2

векторы

a1

a1 , a 2 ;

плоскости (Ρ1 ), (Ρ2 ).

a2

Ρ1

Ρ2

{-4,3,-2}

{1,-1,2}

3x-2y+5z-3=0

x+3y-4z+7=0

(5;1;-1)

{2,-3,1}

{1,0,-2}

2x-y+4z-9=0

-x+2y-3z+5=0

(2;3;-2)

3

(-1,2,4)

(3;1;-2)

{-3,1;-1}

{2,-1,-3}

4x-2y+5z+1=0

3x+y-5z-1=0

4

(2;-1;3)

(4;-2;1)

{1;1;-1}

{7;1;-3}

x+2y-z+2=0

5x+y+2z-3=0

5

(4;1;-3)

(1;2;-1)

{-2;1;-5}

{4;-2;-1}

2x+y-7z+3=0

x-3y+5z+2=0

6

(5;-2;2)

(-2;1;3)

{5;2;-1}

{3;1;-2}

-2x+3y-z+4=0

-3x+2y-z+3=0

7

(-3;1;-2)

(-4;3;0;)

{3;-4;1}

{-1;-5;1}

5x+2y-3z+1=0

2x-3y+4z-5=0

8

(-2;3;0)

(0;-3;-1)

{2;1;0}

{-3;5;1}

-3x-y+4z-5=0

4y-5z+1=0

9

(-4;5;-1)

(-1;4;1)

{0;-2;3}

{3;-4;5}

2x-5y+z-1=0

4x+5y-3z-2=0

10

(0;-2;1)

(-5;-2;-1)

{3;-5;2}

{1;-3;4}

-3y+4z+2=0

-2x+y-5z-7=0

11

(-5;3;1)

(4;1;5)

{-1;3;-2}

{6;3;-1}

6x-2y+z-1=0

-4x-2y-z-1=0

12

(6;2;-1)

(-3;2;4)

{6;-1;2}

{5;-1;2}

-4x-2y+z+4=0

x+6y+5z+1=0

13

(2;-6;1)

(3;5;-4)

{1;-6;3}

{-2;6;1}

-5x+7y-z+3=0

6x-y+4z+5=0

14

(3;2;1)

(4;3;2)

{2;1;6}

{4;3;-1}

4x+3y-2z+5=0

7x+y+2z-3=0

15

(3;-5;2)

(2;3;-4)

{2;5;-1}

{-7;2;1}

3x-4y+2z+9=0

-x+5y-2z+10=0

144

Задание I. Составить уравнение плоскости: 1) проходящей через точку M 1 параллельно плоскости Ρ1 ; 2) проходящей через точку M 2 перпендикулярно вектору M 1, M 2 ;

3) проходящей через точку M 2 параллельно векторам a1 , a 2 ; 4) проходящей через точку M 1 параллельно плоскости XOZ ; 5) проходящей через ось OZ и точку M 2 ; 6) проходящей через точки M 1 , M 2 параллельно оси OZ ; 7) проходящей через точки M 1 , M 2 параллельно вектору a 2 ; 8) проходящей через точки M 1 , M 2 перпендикулярно плоскости Ρ2 ; 9) проходящей через точку M 1 перпендикулярно плоскостям Ρ1 , Ρ2 . Задание II. Вычислить расстояние точки

M2

от плоскости

Ρ2 .

Индивидуальная работа № 9 Даны точки M 1 , M 2 , векторы a1 , a 2 ; плоскости видуальную работу № 8) и прямые (l 1 ), (l 2 ) : № варианта

Ρ1 , Ρ2

(см. инди-

l1

l2

x +1 y − 3 z + 5 = = −2 1 4

x = −2t − 4; y = t + 1; z = 4t − 2

2

x − 2 y +1 z − 4 = = −3 1 −2

x = t + 3; y = −3t + 2; z = −2t

3

x+4 y −3 z +6 = = 3 5 −1

x = 3t + 2; y = 5t − 4; z = −t + 3

1

4

x y+2 z+3 = = −4 −2 3

x = −4t − 1; y = −2t + 1; z = 3t − 3 145

5

x+3 y z+2 = = −4 2 1

x = 2t + 5; y = −4t + 7; z = t − 6

6

x − 5 y +1 z − 3 = = −3 6 4

x = 6t − 2; y = −3t + 4; z = 4t + 1

7

x + 2 y + 6 z −1 = = −1 4 5

x = −t + 3; y = 4t + 1; z = 5t − 3

8

x−3 y +2 z −4 = = −5 1 3

x = −5t − 3; y = t + 2; z = 3t − 7

9

x − 6 y − 5 z +1 = = 4 3 −1

x = 4t + 4; y = 3t − 2; z = −t

10

x+5 y−2 z+4 = = 2 3 −2

x = 2t + 1; y = 3t − 5; z = −2t + 3

11

x − 2 y + 4 z −1 = = −1 3 5

x = 3t + 5; y = −t − 3; z = 5t + 1

12

x−4 y+2 z+3 = = −3 2 −2

x = −3t + 2; y = 2t + 5; z = −2t + 4

13

x+6 y+3 z−2 = = −4 −5 −3

x = −4t + 1; y = −5t + 3; z = −3t − 2

14

x −1 y + 5 z +1 = = 5 3 −4

x = 5t + 2; y = 3t − 1; z = −4t + 2

15

x+7 y−2 z+7 = = −6 2 −5

x = −6t + 1; y = 2t + 3; z = −5t − 1

Задание I. Составить уравнения прямой, проходящей: а) через точки M 1 , M 2 ; б) через точку M 1 параллельно оси OY ; в) через точку M 2 параллельно прямой l 1 ; г) через точку M 1 параллельно прямой, образованной пересечением плоскостей Ρ1 , Ρ2 ; д) через точку M 2 перпендикулярно плоскости Ρ1 . 146

Задание II. Определить направляющие косинусы прямой Задание III. Найти точку пересечения прямой

l1

l2.

и плоскости

Ρ2 .

Задание IV. Точка M (x, y, z ) движется прямолинейно и равномерно из начального положения M 1 в направлении вектора a 2 со скоростью V = 1. Составить уравнения движения точки M и определить точку, с которой она совпадает в момент времени t = 2.

Индивидуальная работа № 10 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Координаты точек M 1 , M 2 , векторов a1 , a 2 , уравнения плоскостей Ρ1 , Ρ2 даны в индивидуальной работе №8, уравнения прямых l 1 , l 2 в индивидуальной работе №9. Задание I. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой l 2 . Задание II. Найти проекцию точки

M2

Задание III. Найти проекцию точки

M1

на прямую

M1

l2.

на плоскость

Ρ1 .

Задание IV. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку прямую l 2 .

M2

и

147

Задание V. Через прямую плоскости Ρ1 .

l1

провести плоскость перпендикулярную к

Задание VI. Найти проекцию прямой

l2

на плоскость

Ρ2 .

Задание VII. Провести плоскость через перпендикуляры, опущенные из точки M 1 на плоскости Ρ1 , Ρ2 . Задание VIII. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые l 1 , l 2 . Задание IX. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельной прямой l 1 и вектору a1 .

M2

Задание X. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и параллельно вектору a 2 .

l2

Задание XI. Через точку l1 .

148

M1

провести прямую перпендикулярную прямой

Оглавление

Предисловие................................................................................................. 3 Глава I. Матрицы, определители, системы линейных уравнений ................................................................................ 4 § 1. Матрицы. Действия над матрицами ................................................... 4 § 2. Определители второго и третьего порядков.................................... 11 § 3. Миноры. Алгебраические дополнения. Обратная матрица ......................................................................................................................... 15 § 4. Системы линейных уравнений.......................................................... 20 Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости .......................... 33 § 1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении .................... 33 § 2. Уравнение линии в декартовых координатах.................................. 39 § 3. Прямая в декартовых координатах................................................... 43 § 4. Кривые второго порядка .................................................................... 56 Глава III. Элементы векторной алгебры ........................................... 67 § 1. Основные понятия .............................................................................. 67 § 2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по компонентам на координатные оси............................................................................ 70 3. Нелинейные операции над векторами................................................. 73 Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве ...................... 80 § 1. Плоскость ............................................................................................ 80 § 2. Прямая линия в пространстве ........................................................... 88 Глава V. Преобразование системы координат на плоскости. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду ..................................................................................... 100 § 1. Однородная система линейных уравнений.................................... 100 § 2. Изменение координат вектора при изменении системы координат (поворот системы вокруг центра) ............................................... 102 § 3. Линейные преобразования .............................................................. 106 § 4. Собственные числа, собственные векторы квадратной матрицы. Условия, при которых матрица подобна диагональной............. 108 § 5. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду........................................................................................ 114 Приложение I. Лабораторные работы ................................................... 123 Приложение II.Индивидуальные работы .............................................. 136

149

МАТЕМАТИКА Часть 1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие

Под редакцией доктора педагогических наук Г. Г. Хамова

Редактор Л. Г. Савельева Верстка Т. В. Соболевой Подписано в печать 21.07.2004 г. Формат 60 х 841/16. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Бумага газетная. Объем: 9,5 уч.-изд. л.; 9,5 усл. печ. л. Тираж 500 экз. Заказ ____. Издательство РГПУ им. А.И. Герцена. 191186, С.Петербург, наб. р. Мойки, 48 150

РТП РГПУ им. А.И. Герцена. 191186, С.-Петербург, наб. р. Мойки, 48

151