Математическая статистика

~astx wtoraq

matemati~eskaq statistika A SPORILI ONI O ^EM UGODNO, NA^INAQ S PODLINNOSTI sWQ]ENNOGO PISANIQ I KON^AQ WOPROSOM, ^TO NA SAMOM DELE ZNA^IT NADPISX \GARANTIROWANO" NA BANKAH S DVEMOM."

\. . .

m@RI\L sPARK, mISS dVIN bRODI W RASCWETE LET (Muriel

Spark, The prime of Miss Jean Brodie)

x1. pROBLEMA STATISTI^ESKOGO WYWODA lEKCIQ 1

tEORIQ WEROQTNOSTEJ SOZDAET BAZU DLQ POSTROENIQ MODELEJ REALXNYH QWLENIJ, W OSNOWE KOTORYH LEVAT SOOTNO
ENIQ MEVDU ^ASTOTAMI POQWLENIQ OPREDELENNYH SOBYTIJ. rASPOLAGAQ WEROQTNOSTNOJ MODELX@, MY MOVEM RASS^ITATX WEROQTNOSTI (OTNOSITELXNYE ^ASTOTY) \TIH SOBYTIJ I TEM SAMYM OPTIMIZIROWATX SWOE POWEDENIE W USLOWIQH NEOPREDELENNOSTI. mATEMATI^ESKAQ STATISTIKA STROIT MODELI INDUKTIWNOGO POWEDENIQ W \TIH USLOWIQH NA OSNOWE IME@]IHSQ WEROQTNOSTNYH MODELEJ. oSNOWNAQ PROBLEMA SOSTOIT W TOM, ^TOBY PO NABL@DENIQM \LEMENTARNYH ISHODOW (OBY^NO \TO { ZNA^ENIQ NABL@DAEMYH SLU^AJNYH WELI^IN) DATX METOD WYBORA DEJSTWIJ, PRI KOTORYH ^ASTOTA O
IBOK BYLA BY NAIMENX
EJ. eSTESTWENNO, \TA PROBLEMA SOPRQVENA S RE
ENIEM SLOVNYH ZADA^ NA \KSTREMUM, NO DAVE W TOM SLU^AE, KOGDA \TI ZADA^I NE UDAETSQ RE
ITX, TEORIQ WEROQTNOSTEJ DAET METOD DLQ RAS^ETA SREDNEJ WELI^INY POTERX, KOTORYE MY BUDEM NESTI, ISPOLXZUQ KONKRETNOE, WYBRANNOE NAMI PRAWILO INDUKTIWNOGO POWEDENIQ. tAKIM OBRAZOM, MATEMATI^ESKAQ STATISTIKA ESTX TEORIQ PRINQTIQ OPTIMALXNYH REENIJ, KOGDA POSLEDSTWIQ OT DEJSTWIJ, PREDPRINIMAEMYH NA OSNOWE \TIH REENIJ, NOSQT SLU^AJNYJ HARAKTER. mATEMATI^ESKAQ STATISTIKA ISPOLXZUET METODY TEORII WE-

ROQTNOSTEJ DLQ RAS^ETA ^ASTOTY \NEPRAWILXNYH" RE
ENIJ ILI, BOLEE OB]O, DLQ WELI^INY SREDNIH POTERX, KOTORYE NEIZBEVNO WOZNIKA@T W USLOWIQH SLU^AJNOSTI, KAK BY MY NI PYTALISX OPTIMIZIROWATX SWOE POWEDENIE W \TIH USLOWIQH. pRIWEDEM DWA PRIMERA, ILL@STRIRU@]IH ZADA^I MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI I, OT^ASTI, METODY IH RE
ENIQ, S TEM ^TOBY W POSLEDU@]EM FORMALIZOWATX OB]U@ PROBLEMU STATISTI^ESKOGO WYWODA. p R I M E R 1.1. oPREDELENIE OB]EGO SODERVANIQ SERY W DIZELXNOM TOPLIWE. mY SNOWA OBRA]AEMSQ K PRIMERU 7.2 IZ KURSA TEORII WEROQTNOSTEJ, GDE RE^X
LA O WAVNOJ W \KOLOGI^ESKOM OTNO
ENII HARAKTERISTIKE DIZELXNOGO TOPLIWA { PROCENTNOM SODERVANII \LEMENTARNOJ SERY, KOTORAQ PRI SVIGANII I POSLEDU@]EM SOEDINENII S WODOJ DAET SERNU@ KISLOTU. nEOBHODIMOSTX ISPOLXZOWANIQ METODOW TEORII WEROQTNOSTEJ PRI ATTESTACII DIZELXNOGO TOPLIWA PO \TOJ HARAKTE163

RISTIKE BYLA WYZWANA ZNA^ITELXNYMI RASHOVDENIQMI MEVDU REZULXTATAMI x1
: : :
xn PARALLELXNYH I NEZAWISIMYH ISPYTANIJ n PROB IZ PARTII DIZELXNOGO TOPLIWA. eSLI DAVE ISKL@^ITX O
IBKI \KSPERIMENTA, SWQZANNYE S NEPRAWILXNYM OPREDELENIEM WESA PROBY I TITROWANIEM, TO WSE RAWNO RAZBROS W PARALLELXNYH ISPYTANIQH BUDET ZNA^ITELXNYM W SILU SLU^AJNOGO HARAKTERA PROCESSA SVIGANIQ PROBY TOPLIWA I WYPADENIQ ^ASTI \LEMENTARNOJ SERY W ZOLU. nO W TAKOM SLU^AE WOZNIKAET ESTESTWENNYJ WOPROS, ^TO VE MY IZMERQEM I ^TO VE \TO ZA HARAKTERISTIKA DIZELXNOGO TOPLIWA, KOTORU@ MY NAZWALI \OB]IM SODERVANIEM SERY"? w PRAKTIKE LABORATORNYH ISPYTANIJ OBY^NO GOWORQT O SREDNEM ZNA^ENII \TOJ HARAKTERISTIKI , I DIZELXX n NOE TOPLIWO ATTESTUETSQ WELI^INOJ x = n;1 1 xk { ARIFMETI^ESKIM SREDNIM REZULXTATOW PARALLELXNYH ISPYTANIJ. |TO I ESTX TO \INDUKTIWNOE POWEDENIE" STATISTIKA W USLOWIQH SLU^AJNOSTI, O KOTOROM MY GOWORILI W NA^ALE LEKCII, I OPRAWDANIE RAZUMNOSTI TAKOGO POWEDENIQ ESTESTWENNO ISKATX W RAMKAH ZAKONA BOLX
IH ^ISEL. dEJSTWITELXNO, W PRIMERE 7.2 MY INTERPRETIROWALI REZULXTAT x OPREDELENIQ OB]EGO SODERVANIQ SERY W ODNOJ PROBE KAK REZULXTAT NABL@DENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X
RASPREDELENNOJ PO NORMALXNOMU ZAKONU SO SREDNIM  I DISPERSIEJ 2
PRI^EM ZNA^ENIE (NEIZWESTNOE \KSPERIMENTATORU) PARAMETRA  QWLQLOSX MATEMATI^ESKIM WYRAVENIEM TOJ, NE SOWSEM PONQTNOJ DLQ NAS HARAKTERISTIKI ISPYTUEMOGO TOPLIWA, KOTORAQ NAZYWALASX \OB]IM SODERVANIEM SERY". w RAMKAH \TOJ WEROQTNOSTNOJ MODELI ESTESTWENNO TRAKTOWATX REZULXTATY x1
: : :
xn PARALLELXNYH ISPYTANIJ n PROB DIZELXNOGO TOPLIWA KAK NABL@DENIQ n NEZAWISIMYH KOPIJ X1
: : :
Xn SLU^AJNOJ WELI^INY X: tERMIN \KOPIQ" W DANNOM SLU^AE UPOTREBLQETSQ DLQ OBOZNA^ENIQ TOGO FAKTA, ^TO KAVDAQ IZ NABL@DAEMYH SLU^AJNYH WELI^IN IMEET TO VE RASPREDELENIE, ^TO I X: tAKIM OBRAZOM, POSTULIRUETSQ, ^TO X1
: : :
Xn NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY N (
2)
TAK ^TO W SILU ZAKONA BOLX
IH ^ISEL PRI NEOGRANI^ENNOM WOZRASTANII OB_EMA ISPYTANIJ n n 1 X : X = n Xk ! P k=1 iTAK, ZAKON BOLX
IH ^ISEL GARANTIRUET NAM, ^TO PRI DOSTATO^NO BOLX
OM OB_EME ISPYTANIJ MY BUDEM BLIZKI K ISTINNOMU ZNA^ENI@ ISSLEDUEMOJ HARAKTERISTIKI TOPLIWA. oDNAKO NA PRAKTIKE W ZAWOD164

SKIH LABORATORIQH OBY^NO SVIGA@TSQ WSEGO DWE PROBY TOPLIWA, I TOLXKO W ISKL@^ITELXNYH SLU^AQH PRI POWERKE PRIBOROW ILI TESTIROWANII LABORANTOW DELAETSQ ^ETYRE ISPYTANIQ. eSTESTWENNO, PRI n = 2 GOWORITX O ZAKONE \BOLX
IH" ^ISEL PROSTO SME
NO,{ SLEDUET ISKATX NEKOTORU@ KOLI^ESTWENNU@ HARAKTERISTIKU POSLEDSTWIJ OT NETO^NOJ ATTESTACII PARTII DIZELXNOGO TOPLIWA. lEGKO PONQTX, ^TO W OSNOWU TAKOJ HARAKTERISTIKI SLEDUET POLOVITX O
IBKU j X ;  j W OCENKE PARAMETRA 
NO, K SOVALENI@, ZNA^ENIE  NAM NEIZWESTNO, A X ESTX SLU^AJNAQ WELI^INA, ^TO OKON^ATELXNO DELAET PROBLEMU PROGNOZA OVIDAEMYH O
IBOK PRI ATTESTACII KONKRETNOJ PARTII TOPLIWA NERAZRE
IMOJ. zDESX NABL@DAETSQ TA VE SITUACIQ, ^TO I PRI POPYTKE PREDSKAZATX STORONU MONETY, KOTORAQ WYPADET PRI EE PODBRASYWANII. tO^NYJ PROGNOZ NEWOZMOVEN, NO METODY TEORII WEROQTNOSTEJ POZWOLQ@T NAM RASS^ITATX, KAK ^ASTO MY BUDEM O
IBATXSQ W PROGNOZE PRI DOSTATO^NO DLITELXNOJ IGRE W ORLQNKU. sLEDOWATELXNO, MY DOLVNY RE
ITX ZADA^U O WY^ISLENII WEROQTNOSTI TOGO, ^TO O
IBKA W OCENKE  BUDET SLI
KOM BOLX
OJ { PREWOSHODITX NEKOTORU@ PREDPISANNU@ WELI^INU : |TA WEROQTNOSTX P (j X ;  j > ) OBY^NO NAZYWAETSQ RISKOM OCENKI X
A WEROQTNOSTX P (j X ;  j  ) PROTIWOPOLOVNOGO SOBYTIQ { NADEVNOSTX@ \TOJ OCENKI. tAKIM OBRAZOM, RISK OCENKI UKAZYWAET ^ASTOTU TEH PARTIJ DIZELXNOGO TOPLIWA, W PASPORTE KOTORYH OB]EE SODERVANIE SERY UKAZANO S NEDOPUSTIMO BOLX
OJ O
IBKOJ. zNAQ RISK OCENKI, MY MOVEM WY^ISLITX SREDNIE ZATRATY NA WYPLATU REKLAMACIJ PO ISKAM POTREBITELEJ DIZELXNOGO TOPLIWA. wYWESTI FORMULU DLQ WY^ISLENIQ RISKA NE PREDSTAWLQET OSOBOGO TRUDA, ESLI OBRATITXSQ K TEOREME SLOVENIQ DLQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ (PREDLOVENIE 12.2 KURSA tw). wYBORO^NOE SREDNEE X ESTX NORMIROWANNAQ NA n SUMMA NEZAWISIMYH ODINAKOWO RASPREDELENNYH N (
2) SLU^AJNYH WELI^IN. w SILU TEOREMY SLOVENIQ \TA SUMMA IMEET TAKVE NORMALXNOE RASPREDELENIE, SREDNEE ZNA^ENIE KOTOROGO RAWNO SUMME SREDNIH n
A DISPERSIQ RAWNA SUMME DISPERSIJ n2: pRI UMNOVENII NA 1=n SREDNEE UMNOVAETSQ NA TU VE WELI^INU, A DISPERSIQ UMNOVAETSQ NA EE KWADRAT. tAKIM OBRAZOM, X  N (
2=n)
NADEVNOSTX OCENKI p p p P (;  X ;   ) = ( n=) ; (; n=) = 2( n=) ; 1 165

NAPOMNIM, (;x) = 1 ; (x)), A EE RISK

p  P j X ;  j >  = 2 1 ; ( n=) : pRI WY^ISLENII RISKA OCENKI NEOBHODIMO ZNATX WELI^INU STANDARTNOGO OTKLONENIQ : nO ZNA^ENIE 
O^EWIDNO, OSTAETSQ POSTOQNNYM PRI ATTESTACII RAZLI^NYH PARTIJ { \TO PARAMETR, HARAKTERIZU@]IJ TO^NOSTX METODA HIMI^ESKOGO ANALIZA TOPLIWA, I NE IMEET OTNO
ENIQ K EGO HIMI^ESKOMU SOSTAWU. eSTESTWENNO, ZA DOSTATO^NO KOROTKIJ SROK W LABORATORIQH NAKAPLIWAETSQ BOLX
OJ ARHIWNYJ MATERIAL DANNYH ISPYTANIJ RAZLI^NYH PARTIJ TOPLIWA, ^TO POZWOLQET OCENITX ZNA^ENIE  S DOSTATO^NO WYSOKOJ TO^NOSTX@. s TEM, KAK \TO DELAETSQ, MY POZNAKOMIMSQ W ODNOJ IZ BLIVAJ
IH LEKCIJ. iSPOLXZUQ FORMULU RISKA, MY MOVEM OPREDELITX MINIMALXNYJ OB_EM ISPYTANIJ n
GARANTIRU@]IJ PREDPISANNU@, DOSTATO^NO MALU@ WELI^INU RISKA. dEJSTWITELXNO, ESLI  { ZADANNOE OGRANI^ENIE p NA RISK OCENKI, TO RAZRE
AQ NERAWENSTWO 2(( n=) ; 1)   OTNOSITELXNO PEREMENNOJ n
POLU^AEM, ^TO TREBUEMYJ OB_EM ISPYTANIJ OPREDELQETSQ NERAWENSTWOM 0 ;1 12  (1 ; =2) A : n@ (



p R I M E R 1.2. wYQWLENIE \FFEKTA LE^ENIQ. gRUPPA PACIENTOW W KOLI^ESTWE 10 ^ELOWEK, OBLADA@]IH SHOVIMI ANTROPOMETRI^ESKIMI I ANTROPOLOGI^ESKIMI HARAKTERISTIKAMI, PODWERGAETSQ LE^ENI@ PO NEKOTOROJ NOWOJ METODIKE, PODTWERVDENIE ILI OPROWERVENIE \FFEKTIWNOSTI KOTOROJ SOSTAWLQET PREDMET STATISTI^ESKOGO ISSLEDOWANIQ. pOSLE LE^ENIQ DAETSQ TOLXKO KA^ESTWENNOE ZAKL@^ENIE O SOSTOQNII ZDOROWXQ KAVDOGO PACIENTA, TAK ^TO REZULXTAT ISPYTANIQ NOWOJ METODIKI MOVNO PREDSTAWITX W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI x1
: : :
x10
KOMPONENTY KOTOROJ PRINIMA@T ZNA^ENIQ 1 (POLOVITELXNYJ ISHOD LE^ENIQ) ILI 0 (OTRICATELXNYJ ISHOD). pREDLAGAETSQ SLEDU@]EE STATISTI^ESKOE PRAWILO: NOWAQ METODIKA OB_QWLQETSQ \FFEKTIWNOJ, ESLI xi = 1 DLQ WSEH i = 1
: : :
10
TO ESTX WSE PACIENTY WYZDOROWELI. eSLI VE LE^ENIE HOTQ BY ODNOGO PACIENTA NE PRIWELO K POLOVITELXNOMU ISHODU, NOWAQ METODIKA NE REKOMENDUETSQ K DALXNEJ
EMU KLINI^ESKOMU ISPOLXZOWANI@. ~TO MOVNO SKA166

ZATX O NADEVNOSTI ILI, KAK GOWORQT MEDIKI, \DOSTOWERNOSTI" TAKOGO PRAWILA INDUKTIWNOGO POWEDENIQ? ~TOBY OTWETITX NA \TOT WOPROS, MY DOLVNY POSTROITX WEROQTNOSTNU@ MODELX PROWODIMYH NABL@DENIJ. eSTESTWENNO PREDPOLAGATX, ^TO W SILU \ODNORODNOSTI" GRUPPY PACIENTOW ONI OBLADA@T ODINAKOWOJ WEROQTNOSTX@ p POLOVITELXNOGO ISHODA LE^ENIQ, I ESLI W PROCESSE LE^ENIQ ONI NE IMELI WOZMOVNOSTI IZLI
NE TESNOGO OB]ENIQ, TO ISHODY LE^ENIJ MOVNO PREDSTAWITX W WIDE REALIZACII DESQTI NEZAWISIMYH BINARNYH SLU^AJNYH WELI^IN X1
: : :
X10
KAVDAQ IZ KOTORYH PRINIMAET ZNA^ENIE 1 S WEROQTNOSTX@ p I ZNA^ENIE 0 S WEROQTNOSTX@ 1;p: tAKIM OBRAZOM, MY PRI
LI K MODELI ISPYTANIJ W SHEME bERNULLI S WEROQTNOSTX@ p USPE
NOGO ISHODA. wEROQTNOSTX TOGO, ^TO WSE 10 ISHODOW BYLI USPE
NYMI RAWNA p10
I ZADAWAQ RAZLI^NYE ZNA^ENIQ p MY MOVEM SUDITX O TOM, KAK ^ASTO WOZMOVNY RAZLI^NYE REZULXTATY APROBACII NOWOGO METODA LE^ENIQ. pREDPOLOVIM SNA^ALA, ^TO NOWAQ METODIKA NE\FFEKTIWNA. pRI TAKOM PREDPOLOVENII ZNA^ENIE p NE DOLVNO PREWOSHODITX WELI^INY 1/2, I MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE WEROQTNOSTI SOBYTIQ X1 = 1
: : :
X10 = 1 RAWNO 2;10 = 1=1024 < 0
001: |TO O^ENX REDKOE SOBYTIE, I PO\TOMU PREDPOLOVENIE O NE\FFEKTIWNOSTI NOWOJ METODIKI DOLVNO BYTX OTWERGNUTO. pRI \TOM WEROQTNOSTX 2;10 MOVNO INTERPRETIROWATX KAK RISK WNEDRENIQ W MEDICINSKU@ PRAKTIKU NE\FFEKTIWNOGO METODA LE^ENIQ: ISPOLXZUQ PREDLOVENNOE PRAWILO WYBORA MEVDU DWUMQ DEJ-

STWIQMI (WNEDRENIE ILI OTKLONENIE METODIKI) PRI ISPYTANIQH POSLEDU@]IH METODIK, MY RISKUEM W SREDNEM NE BOLEE ^EM ODIN RAZ IZ TYSQ^I WNEDRITX NE\FFEKTIWNYJ METOD LE^ENIQ.

iNTERESNO ZAMETITX, ^TO W PREDPOLOVENII \NEJTRALXNOSTI" NOWOGO METODA (p = 1=2) WEROQTNOSTX L@BOGO ISHODA X1 = x1
: : :
X10 = x10 ODINAKOWA I RAWNA 2;10
NO ISHOD X1 = 1
: : :
X10 = 1 OBLADAET NAIBOLX
EJ WEROQTNOSTX@ PRINQTIQ DEJSTWITELXNO \FFEKTIWNOJ METODIKI, IBO X 10 X 10 x n ; k 1 xk  p 10
p 1 (1 ; p) ESLI p > 1=2: sTOLX VE PROSTO PROWERITX, ^TO REZULXTATY ISPYTANIJ, W KOTORYH LE^ENIE TOLXKO ODNOGO PACIENTA OKON^ILOSX NEUDA^EJ, IME@T WEROQTNOSTX p 9(1 ; p)
I TAKIE 10 REZULXTATOW x1
: : :
x10 S ODNIM xi = 0 I DRUGIMI xj = 1 OBLADA@T BOLX
EJ WEROQTNOSTX@, ^EM 167

ISHODY S DWUMQ I BOLEE KOLI^ESTWOM NEUDA^, ESLI W DEJSTWITELXNOSTI p > 1=2: |TO ZAME^ANIE POZWOLQET NAM OPREDELITX STATISTI^ESKOE PRAWILO, OBLADA@]EE NAIBOLX
EJ WEROQTNOSTX@ PRINQTIQ W DEJSTWITELXNOSTI \FFEKTIWNOJ METODIKI, NO NE S TAKIM MALYM RISKOM, KAK 2;10: dELO W TOM, ^TO W MEDICINSKOJ PRAKTIKE USTANOWILASX OPREDELENNAQ GRANICA RISKA, RAWNAQ 0.05, I WSE SOBYTIQ, OBLADA@]IE MENX
EJ WEROQTNOSTX@, OB_QWLQ@TSQ \REDKIMI" { IMI MOVNO PRENEBRE^X. w SWQZI S \TIM POZWOLIM SEBE WKL@^ITX W OBLASTX PRINQTIQ NOWOJ METODIKI DOPOLNITELXNYE ISHODY S ROWNO ODNIM NEUSPEHOM, I WY^ISLIM RISK TAKOGO STATISTI^ESKOGO PRAWILA PRI p = 1=2: iSPOLXZUQ IZWESTNYE NAM FORMULY BINOMIALXNYH WEROQTNOSTEJ, NAHODIM, ^TO 0 10 1 P @X Xk  9A = p10 + C 110 p 9(1 ; p)
1 I PRI p = 1=2 \TA WEROQTNOSTX RAWNA 2;10(1 + 10) = 11=1024  0
01
^TO PO-PREVNEMU DOSTATO^NO MALO PO SRAWNENI@ S 0.05. sLEDOWATELXNO, MY MOVEM WKL@^ITX W OBLASTX PRINQTIQ NOWOJ METODIKI E]E C 210 REZULXTATOW ISPYTANIJ, W KOTORYH PRISUTSTWU@T ROWNO DWE NEUDA^I. rISK TAKOWOGO STATISTI^ESKOGO PRAWILA STANOWITSQ RAWNYM 0 10 1 P @X Xk  8A = p10 + C 110 p 9(1 ; p) + C 210 p 8(1 ; p)2
1 I PRI p = 1=2 \TA WEROQTNOSTX RAWNA 2;10(1+10+45) = 56=1024  0:05: |TO KAK RAZ SOOTWETSTWUET PRINQTOJ W MEDICINE NORME RISKA STATISTI^ESKOGO PRAWILA. iTAK, MY REKOMENDUEM NOWU@ METODIKU K DALXNEJ
EMU ISPOLXZOWANI@ W KLINIKE, ESLI LE^ENIE NE BOLEE ^EM DWUH PACIENTOW IZ DESQTI OKAZALOSX NEUDA^NYM, I PRIMENENIE TAKOGO PRAWILA W ISPYTANIQH DALXNEJ
IH METODIK MOVET PRIWESTI K PRINQTI@ NE\FFEKTIWNOGO METODA LE^ENIQ W SREDNEM W PQTI SLU^AQH IZ 100. mY RASSMOTRELI DWE TIPI^NYH ZADA^I MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI { OCENKA PARAMETROW I PROWERKA GIPOTEZ. eSTESTWENNO, KRUG PROBLEM MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI NAMNOGO
IRE, NO PRI NADLEVA]EJ TRAKTOWKE PROBLEM BOLX
INSTWO IZ NIH SWODITSQ ILI K ZADA^E OCENKI PARAMETROW, ILI K ZADA^E WYBORA ODNOGO IZ NESKOLXKIH ALXTERNATIWNYH WYSKAZYWANIJ OB ISSLEDUEMOM OB_EKTE. oPIRAQSX NA RASSMOTRENNYE PRIMERY, MY MOVEM TEPERX PREDSTAWITX DOSTATO^NO OB]U@ SHEMU STATISTI^ESKOGO WYWODA. 168

lEKCIQ 2

l@BOE STATISTI^ESKOE ISSLEDOWANIE, PROWODIMOE W RAMKAH MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI, NA^INAETSQ S OPISANIQ OB_EKTA ISSLEDOWANIQ I FORMALIZACII PROSTRANSTWA D RE
ENIJ d
ODNO IZ KOTORYH STATISTIK PRINIMAET NA OSNOWE NABL@DENIJ NEZAWISIMYH KOPIJ SLU^AJNOJ, WOZMOVNO WEKTORNOJ, WELI^INY X
HARAKTERIZU@]EJ SOSTOQNIE OB_EKTA W MOMENT PROWEDENIQ NABL@DENIJ. tAK, W PRIMERE S ATTESTACIEJ PARTII DIZELXNOGO TOPLIWA (OB_EKT ISSLEDOWANIQ) D ESTX INTERWAL (0 100) (NAPOMNIM, OB]EE SODERVANIE SERY IZMERQETSQ W PROCENTAH K WESU PROBY), A W PRIMERE S OPREDELENIEM \FFEKTIWNOSTI NOWOGO METODA LE^ENIQ (OB_EKT ISSLEDOWANIQ) PROSTRANSTWO D SOSTOIT IZ DWUH TO^EK: d0 { RE
ENIE O NE\FFEKTIWNOSTI METODA (PRINQTIE \NULEWOJ" GIPOTEZY) I d1 { RE
ENIE O WNEDRENII NOWOGO METODA W LE^EBNU@ PRAKTIKU (PRINQTIE ALXTERNATIWNOJ GIPOTEZY). nAIBOLEE WAVNOJ I, PO-WIDIMOMU, NAIBOLEE SLOVNOJ ^ASTX@ STATISTI^ESKOGO ISSLEDOWANIQ QWLQETSQ \TAP POSTROENIQ WEROQTNOSTNOJ MODELI, KOTORYJ SOSTOIT W SPECIFIKACII SEMEJSTWA P = fP

2 g WOZMOVNYH RASPREDELENIJ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X: |TOT \TAP SWQZAN S DOSTATO^NO GLUBOKIM PRONIKNOWENIEM W PRIRODU ISSLEDUEMOGO OB_EKTA I METODA NABL@DENIJ X
{ ODNOJ MATEMATIKOJ ZDESX, KAK PRAWILO, NE OBOJDE
XSQ. sEMEJSTWO P INDEKSIRUETSQ ABSTRAKTNYM PARAMETROM
SOWOKUPNOSTX ZNA^ENIJ KOTOROGO  NAZYWAETSQ PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM. w PERWOM PRIMERE MY WYQSNILI, ^TO SEMEJSTWO WOZMOVNYH RASPREDELENIJ X ESTX SEMEJSTWO NORMALXNYH RASPREDELENIJ N (
2) S DWUMERNYM PARAMETROM = (
) I PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM  = R  R+: w DALXNEJ
EM MY PREDPOLOVILI, ^TO ZNA^ENIE  IZWESTNO, I SWELI NA
E PARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO K \WKLIDOWOJ PRQMOJ:  = R S = : nAKONEC, POSKOLXKU OB]EE SODERVANIE SERY IZMERQETSQ W PROCENTAH, MY DOLVNY OKON^ATELXNO POLOVITX  = (0 100:): wO WTOROM PRIMERE MY IMELI DELO S BINARNOJ SLU^AJNOJ WELI^INOJ X
PRINIMA@]EJ ZNA^ENIE 1 S WEROQTNOSTX@ p I ZNA^ENIE 0 S WEROQTNOSTX@ 1 ; p: tAKIM OBRAZOM, WEROQTNOSTNAQ MODELX PREDSTAWLQLASX SEMEJSTWOM DWUHTO^E^NYH RASPREDELENIJ B(1
p) S = p I PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM  = (0 1): 169

sLEDU@]IJ \TAP STATISTI^ESKOGO ISSLEDOWANIQ SOSTOIT W INTERPRETACII RE
ENIJ d W TERMINAH WYSKAZYWANIJ O SOOTWETSTWU@]IH \TOMU RE
ENI@ ZNA^ENIQH PARAMETRA : |TO NEOBHODIMO SDELATX, ESLI MY POSTAWILI SEBE ZADA^U KOLI^ESTWENNOGO IZMERENIQ POSLEDSTWIJ OT PRINQTIQ NEWERNYH RE
ENIJ, { W NA
IH PRIMERAH RISK ISPOLXZUEMYH PRAWIL PREDSTAWLQL SOBOJ FUNKCI@ OT : nETRUDNO PONQTX, ^TO W PERWOM PRIMERE D = 
A WO WTOROM PRIMERE RE
ENI@ d0 O NE\FFEKTIWNOSTI METODA SOOTWETSTWUET PODMNOVESTWO PARAMETRI^ESKOGO PROcTRANSTWA (0 1=2 ]
A ALXTERNATIWNOMU RE
ENI@ d1 OB ISPOLXZOWANII NOWOJ METODIKI SOOTWETSTWUET INTERWAL (1=2 1) WOZMOVNYH ZNA^ENIJ PARAMETRA = p: iMENNO TAKIM OBRAZOM MY SWODIM KONKRETNYE ZADA^I PO ATTESTACII PARTII DIZELXNOGO TOPLIWA I WYQWLENI@ \FFEKTIWNOSTI NOWOGO METODA LE^ENIQ K ABSTRAKTNYM ZADA^AM MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI { OCENKE PARAMETRA (SREDNEGO ZNA^ENIQ) NORMALXNOGO (
2) RASPREDELENIQ I, SOOTWETSTWENNO, RAZLI^ENI@ DWUH GIPOTEZ H0 : 2 (0 1=2 ] I H1 : 2 (1=2 1) O WELI^INE WEROQTNOSTI USPE
NOGO ISPYTANIQ W SHEME bERNULLI. pARAMETRI^ESKAQ INTERPRETACIQ RE
ENIJ POZWOLQET STATISTIKU ZADATX POTERI L(
d)
KOTORYE ON NESET OT PRINQTIQ RE
ENIQ d
KOGDA PREDSTAWLQET ISTINNOE ZNA^ENIE PARAMETRA. sREDNEE ZNA^ENIE \TIH POTERX W DLINNOM RQDU ODNOTIPNYH STATISTI^ESKIH ISSLEDOWANIJ S ODNIM I TEM VE PRAWILOM PRINQTIQ RE
ENIQ OPREDELQET WELI^INU RISKA, SWQZANNU@ S PRINQTIEM NEPRAWILXNYH RE
ENIJ. tAK, W NA
IH PRIMERAH RISK OPREDELQLSQ WEROQTNOSTX@ PRINQTIQ RE
ENIQ, OTSTOQ]EGO DOSTATO^NO DALEKO OT TOGO RE
ENIQ, KOTOROE SOOTWESTWOWALO ISTINNOMU ZNA^ENI@ PARAMETRA, I, SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ POTERX OPREDELQLASX INDIKATOROM NEKOTOROGO PODMNOVESTWA W   D: |TO TAK NAZYWAEMYE FUNKCII POTERX TIPA 0{1. w PERWOM PRIMERE L(
d) = 1
ESLI j d; j > 
I L(
d) = 0 W PROTIWNOM SLU^AE. wO WTOROM PRIMERE L(
d) = 1
ESLI PRINIMALOSX RE
ENIE d1
A 2 (0 1=2 ]
ILI PRINIMALOSX d0
A 2 (1=2 1)
W OSTALXNYH TO^KAH PROIZWEDENIQ PROSTRANSTW   D POTERI L(
d) POLAGALISX RAWNYMI NUL@. oTMETIM, ^TO W ZADA^E OCENKI PARAMETROW DOWOLXNO ^ASTO ISPOLXZUETSQ KWADRATI^NAQ FUNKCIQ POTERX L(
d) = j d ; j2: kAVDOE IZ RE
ENIJ d STATISTIK PRINIMAET NA OSNOWE REZULXTATA x(n) = x1
: : :
xn NABL@DENIJ NAD NEZAWISIMYMI KOPIQMI X (n) = (X1
: : :
Xn ) SLU^AJNOJ WELI^INY X: sTROITSQ IZMERIMOE OTOBRAVE170

NIE = ( ) PROSTRANSTWA WOZMOVNYH ZNA^ENIJ X (n) W PROSTRANSTWO RE
ENIJ D
S POMO]X@ KOTOROGO PRINIMAETSQ RE
ENIE d = (x(n)): |TO OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ REA@]EJ FUNKCIEJ ILI STATISTI^ESKIM PRAWILOM. tAK, W PERWOM PRIMERE (X (n) ) = X
A WO WTOROM 8 Xn > d < 0
ESLI 1 Xk < 8
(n)

(X ) = > X : d1
ESLI n1 Xk  8 : pOSLEDSTWIQ OT ISPOLXZOWANIQ KONKRETNOJ RE
A@]EJ FUNKCII W DLINNOM RQDU ODNOTIPNYH STATISTI^ESKIH ISSLEDOWANIJ OPREDELQ@TSQ WELI^INOJ SREDNIH POTERX R(  ) = E
L(
(X (n)))
KOTORAQ ZAWISIT OT  FUNKCIQ R(
)
2 
NAZYWAETSQ FUNKCIEJ RISKA. oSNOWNAQ PROBLEMA MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI SOSTOIT W POSTROENII REA@]IH FUNKCIJ , MINIMIZIRU@]IH RAWNOMERNO PO  FUNKCI@ RISKA R(  ): mY BUDEM RE
ATX \TU PROBLEMU DLQ ZADA^

2

OCENKI PARAMETROW I PROWERKI GIPOTEZ. eSTESTWENNO, BUDUT TAKVE IZU^ATXSQ TRADICIONNYE, WOZMOVNO NE OBLADA@]IE OPTIMALXNYMI SWOJSTWAMI, STATISTI^ESKIE PRAWILA, I W \TOM SLU^AE NA
EJ OSNOWNOJ ZADA^EJ BUDET WY^ISLENIE IH FUNKCIJ RISKA. pREDSTAWLENNAQ WY
E SHEMA STATISTI^ESKOGO WYWODA WESXMA DALEKA OT OB]NOSTI. bOLX
INSTWO STATISTI^ESKIH ZADA^ IMEET DELO S NABL@DENIQMI ODNOWREMENNO ZA NESKOLXKIMI OB_EKTAMI, NAPRIMER, NOWYJ METOD LE^ENIQ PRIMENQETSQ K ODNOJ GRUPPE PACIENTOW, W TO WREMQ KAK DRUGAQ PODWERGAETSQ LE^ENI@ TRADICIONNYM METODOM, I PO DANNYM NABL@DENIJ KOPIJ DWUH SLU^AJNYH WELI^IN DELAETSQ WYWOD O PREDPO^TITELXNOSTI NOWOGO METODA. eSLI MY HOTIM SOKRATITX ^ISLO NABL@DENIJ, NEOBHODIMOE DLQ DOSTIVENIQ ZADANNOJ (MALOJ) WELI^INY RISKA, TO CELESOOBRAZNO NE FIKSIROWATX ZARANEE n
A PLANIROWATX PREKRA]ENIE ISPYTANIJ POSLE NABL@DENIQ KAVDOJ KOPII W ZAWISIMOSTI OT POLU^ENNYH RANEE REZULXTATOW. sU]ESTWUET BOLX
OJ KLASS ZADA^ UPRAWLENIQ NABL@DENIQMI { OPTIMALXNOGO WYBORA SLU^AJNOJ WELI^INY, NABL@DAEMOJ NA KAVDOM
AGE STATISTI^ESKOGO \KSPERIMENTA, A TAKVE PRAWILA PREKRA]ENIQ NABL@DENIJ. wSE \TO DALEKO WYHODIT ZA RAMKI TEH \KRATKIH NA^ATKOW" TEORII STATISTI^ESKIH WYWODOW, KOTORYE BUDUT PREDSTAWLENY W NA
EM SEMESTROWOM KURSE. mY ZAWER
IM \TOT PARAGRAF NABOROM PROSTEJ
IH OPREDELENIJ I PONQTIJ, KOTORYE POSTOQNNO ISPOLXZU@TSQ W MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE. 171

iTAK, S ISSLEDUEMYM OB_EKTOM, OTNOSITELXNO KOTOROGO MY DOLVNY PRINQTX NEKOTOROE RE
ENIE d 2 D
SOOTNOSITSQ NABL@DAEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA X
RASPREDELENIE KOTOROJ P
IZWESTNO S TO^NOSTX@ DO ZNA^ENIQ PARAMETRA : sEMEJSTWO RASPREDELENIJ P = fP

2 g
KAK OBY^NO, NAZYWAETSQ WEROQTNOSTNOJ MODELX@. pUSTX (X
A) { IZMERIMOE PROSTRANSTWO ZNA^ENIJ X: w DALXNEJ
EM BUDET WSEGDA PREDPOLAGATXSQ, ^TO NA SIGMA-ALGEBRE A SU]ESTWUET TAKAQ SIGMA-KONE^NAQ MERA 
^TO PRI L@BOM 2  RASPREDELENIE X MOVNO PREDSTAWITX W WIDE INTEGRALA Z P
(A) = P(X 2 A) = A f (x j ) d(x)
A 2 A
OT PLOTNOSTI f (x j ) RASPREDELENIQ X PO MERE : w TAKOM SLU^AE RASPREDELENIE NEZAWISIMYH KOPIJ X (n) = (X1
: : :
Xn) SLU^AJNOJ WELI^INY X NA PROIZWEDENII (Xn
An) IZMERIMYH PROSTRANSTW (X
A) OPREDELQETSQ FUNKCIEJ PLOTNOSTI n fn(x(n) j ) = Y f (xk j )

PO MERE n = |  {z  }
TO ESTX n

P
n(An) = P(X

(n)

2 An

)=

Z

k=1

f (x An n

(n)

j dn x n )

(

( )

)


An 2 An:

wEKTOR X (n) = (X1
: : :
Xn) NEZAWISIMYH, ODINAKOWO RASPREDELENNYH PO TOMU VE ZAKONU, ^TO I NABL@DAEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA X
SLU^AJNYH WELI^IN NAZYWAETSQ SLU^AJNOJ WYBORKOJ OB_EMA n: iZMERIMOE PROSTRANSTWO (Xn
An ) ZNA^ENIJ X (n) NAZYWAETSQ WYBORO^NYM PROSTRANSTWOM, A SEMEJSTWO RASPREDELENIJ Pn = fP
n
2 g NA \TOM PROSTRANSTWE { STATISTI^ESKOJ STRUKTUROJ (n) ILI STATISTI^ESKIM \KSPERIMENTOM. wEKTOR x = (x1
: : :
xn) REZULXTATOW NABL@DENIQ SLU^AJNOJ WYBORKI X (n) NAZYWAETSQ WEKTOROM oPREDELENIE 1.1.

(ILI

SOWOKUPNOSTX@) WYBORO^NYH DANNYH.

zNAQ RASPREDELENIE WYBORKI, MY MOVEM WY^ISLQTX RISK L@BOGO STATISTI^ESKOGO PRAWILA S POMO]X@ n-KRATNOGO INTEGRALA Z Z R(  ) = : : : L(
(x(n)))fn(x(n) j ) dn(x(n) ): X

X

172

kONE^NO, ESLI UDASTSQ NAJTI RASPREDELENIE G
RE
A@]EJ FUNKCII NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE RE
ENIJ (D
D)
TO WY^ISLENIE RISKA UPRO]AETSQ: Z R(  ) = D L(
a) dG(a): tAK, W PERWOM PRIMERE S WYBORKOJ IZ NORMALXNOGO (
2) RASPREDELENIQ RE
A@]EJ FUNKCIEJ SLUVILO WYBORO^NOE SREDNEE X: bYLO POKAZANO, ^TO X IMEET NORMALXNOE (
2) RASPREDELENIE, I IMENNO \TO OBSTOQTELXSTWO POZWOLILO NAM NAJTI PROSTOE WYRAVENIE RISKA STATISTI^ESKOGO PRAWILA ^EREZ FUNKCI@ RASPREDELENIQ STANDARTNOGO NORMALXNOGO ZAKONA. tO^NO TAK VE WO WTOROM PRIMERE S WYBOROM IZ DWUHTO^E^NOGO RASPREDELENIQXB(1
p) RE
A@]AQ FUNKCIQ BYLA OSn NOWANA NA SLU^AJNOJ WELI^INE 1 Xk
KOTORAQ IMEET RASPREDELENIE bERNULLI B(n
p): rISK NA
EGO RE
A@]EGO PRAWILA PO WYQWLENI@ \FFEKTIWNOSTI METODA LE^ENIQ WYRAVALSQ ^EREZ FUNKCI@ RASPREDELENIQ B(n
p): zAMETIM, ^TO FUNKCII OT WYBORO^NOGO WEKTORA X (n) IGRA@T WAVNU@, MOVNO DAVE SKAZATX SAMOSTOQTELXNU@, ROLX W MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE. oPREDELENIE 1.2. l@BOE IZMERIMOE OTOBRAVENIE T = T (X (n)) WYBORO^NOGO PROSTRANSTWA (Xn
An) W NEKOTOROE IZMERIMOE PROSTRANSTWO (T
B) NAZYWAETSQ STATISTIKOJ. sU]ESTWUET DOWOLXNO USTOQW
IJSQ UNIWERSALXNYJ NABOR STATISTIK, POSTOQNNO ISPOLXZUEMYH W TEORII I PRAKTIKE STATISTI^ESKOGO WYWODA RASPREDELENIQ \TIH STATISTIK INTENSIWNO IZU^ALISX NA PROTQVENII POSLEDNIH DWUH STOLETIJ. w SLEDU@]EM PARAGRAFE MY POZNAKOMIMSQ S NABOROM STATISTIK, KOTORYE QWLQ@TSQ WYBORO^NYMI ANALOGAMI STANDARTNYH HARAKTERISTIK RASPREDELENIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY, A TAKVE RASSMOTRIM STATISTIKI, REDUCIRU@]IE RAZMERNOSTX WYBORO^NOGO WEKTORA DO RAZMERNOSTI PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA BEZ POTERI INFORMACII.

173

x2. wYBORO^NYE HARAKTERISTIKI. dOSTATO^NYE STATISTIKI

lEKCIQ 3

pOSTROENIE WEROQTNOSTNYH MODELEJ W KURSE TEORII WEROQTNOSTEJ OSU]ESTWLQLOSX POSREDSTWOM SPECIFIKACII FUNKCII RASPREDELENIQ ILI FUNKCII PLOTNOSTI NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X: l@BAQ IZ \TIH FUNKCIJ ODNOZNA^NO OPREDELQET RASPREDELENIE X NA SIGMAALGEBRE A BORELEWSKIH MNOVESTW, POROVDENNOJ INTERWALAMI W PROSTRANSTWE X = R WOZMOVNYH ZNA^ENIJ X I S IH POMO]X@ WY^ISLQLISX TAKIE HARAKTERISTIKI RASPREDELENIQ, KAK SREDNEE, DISPERSIQ, KO\FFICIENTY ASIMMETRII I \KSCESSA, KWANTILI, MODA I PR. w PRIKLADNOJ STATISTIKE SU]ESTWUET TRADICIQ, ILI, MOVNO SKAZATX, OBQZATELXNOE PRAWILO, PREDSTAWLQTX POLU^ENNYE \KSPERIMENTALXNYE DANNYE S POMO]X@ STATISTIK { WYBORO^NYH ANALOGOW \TIH FUNKCIJ I HARAKTERISTIK RASPREDELENIQ X: wYBORO^NYE HARAKTERISTIKI QWLQ@TSQ OCENKAMI ISTINNYH ZNA^ENIJ SWOIH PROOBRAZOW I POZWOLQ@T SUDITX W OB]IH ^ERTAH O HARAKTERE RASPREDELENIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY. tAKAQ \OPISATELXNAQ" STATISTIKA OBY^NO NA^INAETSQ S POSTROENIQ WARIACIONNOGO RQDA: WYBORO^NYE DANNYE x1  : : :  xn UPORQDO^IWA@TSQ PO WOZRASTANI@ IH ZNA^ENIJ x(1)
: : :
x(n) I POLU^ENNYJ TAKIM OBRAZOM WEKTOR S NEUBYWA@]IMI KOMPONENTAMI SLUVIT REALIZACIEJ SLU^AJNOGO WEKTORA X(1) : : :  X(n) KOTORYJ, SOBSTWENNO, I SLEDUET NAZYWATX WARIACIONNYM RQDOM. kOMPONENTY WARIACIONNOGO RQDA NAZYWA@TSQ PORQDKOWYMI STATISTIKAMI, A X(1) I X(n) { KRAJNIMI ^LENAMI WARIACIONNOGO RQDA. mY UVE STALKIWALISX S PORQDKOWYMI STATISTIKAMI, KOGDA IZU^ALI STRUKTURU PUASSONOWSKOGO PROCESSA I STROILI WEROQTNOSTNU@ MODELX \SLABOGO ZWENA" (RASPREDELENIE wEJBULLA). uPORQDO^ENNYE DANNYE NANOSQTSQ NA OSX ABSCISS, I STROITSQ STUPEN^ATAQ FUNKCIQ, WOZRASTA@]AQ SKA^KAMI WELI^INY 1=n W KAVDOJ TO^KE x(1) : : :  x(n): pOSTROENNAQ TAKIM OBRAZOM DISKRETNAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ QWLQETSQ REALIZACIEJ SLU^AJNOJ FUNKCII n X 1 Fn(x) = n I(Xk < x) k=1 174

(I(A) KAK OBY^NO, INDIKATOR SOBYTIQ A) I NAZYWAETSQ \MPIRI^ESKOJ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ.

1














x(1)

x(6) x(2) x(4) x(5) x(3) tAKIM OBRAZOM, DISKRETNOE \MPIRI^ESKOE RASPREDELENIE PRIPISYWAET RAWNYE WEROQTNOSTI 1=n KAVDOJ IZ n KOMPONENT WYBORO^NOGO WEKTORA, I PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM x 2 R SLU^AJNAQ WELI^INA nFn(x) POD^INQETSQ BINOMIALXNOMU RASPREDELENI@ B(n F (x)) : P (Fn(x) = k=n) = Ckn F k (x)(1 ; F (x))n;k  k = 0 1 : : :  n: w SILU ZAKONA BOLXIH ^ISEL bERNULLI Fn ! F (x) PRI L@BOM x 2 P R: bOLEE TOGO, TEOREMA gLIWENKO{kANTELLI, UTWERVDENIE KOTOROJ Dn = sup j Fn(x) ; F (x) j ! 0 P x2R

MY PRIWODIM BEZ DOKAZATELXSTWA, UKAZYWAET NA RAWNOMERNOSTX \TOJ SHODIMOSTI NA WSEJ ^ISLOWOJ OSI R: mY ZAKON^IM OBSUVDENIE SWOJSTW \MPIRI^ESKOJ FUNKCII RASPREDELENIQ FORMULIROWKOJ IROKO IZWESTNOGO REZULXTATA a.n. kOLMOGOROWA: + p X1 lim P ( nD < x) = (;1)k e;k x : n!1

2 2

n

k=;1

pOLU^ENNAQ IM FORMULA DLQ ASIMPTOTI^ESKOGO (n ! 1) RASPREDEp LENIQ STATISTIKI nDn HARAKTERIZU@]EJ WELI^INU RASHOVDENIQ MEVDU TEORETI^ESKIM F I \MPIRI^ESKIM Fn RASPREDELENIQMI, ISPOLXZUETSQ DLQ POSTROENIQ KRITERIQ SOGLASIQ WYBORO^NYH DANNYH S PREDPOLOVENIEM, ^TO F QWLQETSQ ISTINNOJ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ, IZ KOTOROGO IZWLEKAETSQ WYBORKA (GIPOTEZOJ O TOM, ^TO F ESTX FUNKCIQ RASPREDELENIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X ). 175

iTAK, MY USTANOWILI, ^TO \MPIRI^ESKOE RASPREDELENIE SHODITSQ PO WEROQTNOSTI K ISTINNOMU (ILI, KAK OBY^NO GOWORQT PRIKLADNIKI, TEORETI^ESKOMU) RASPREDELENI@, I TEPERX MOVEM OBRATITXSQ K WY^ISLENI@ MOMENTNYH I KWANTILXNYH HARAKTERISTIK RASPREDELENIQ Fn: eGO NECENTRALXNYE Z k n X ak = x dFn(x) = n1 Xik i=1 R I CENTRALXNYE Z n X 1 k mk = (x ; a1) dFn(x) = n (Xi ; a1)k i=1

R

MOMENTY SLUVAT WYBORO^NYMI ANALOGAMI SOOTWETSTWU@]IH TEORETI^ESKIH MOMENTOW k  k = 1 2 : : :  I k  k = 2 3 : : :  I NAZYWA@TSQ WYBORO^NYMI MOMENTAMI.

eSLI TEORETI^ESKIE MOMENTY SU]ESTWU@T, TO W SILU ZAKONA BOLXIH ^ISEL WYBORO^NYE MOMENTY SHODQTSQ PO WEROQTNOSTI K SWOIM TEORETI^ESKIM PROOBRAZAM. sREDI WYBORO^NYH MOMENTOW OSOBOE MESTO ZANIMA@T MOMENTY PERWOGO I WTOROGO PORQDKOW. wYBORO^NYJ MOMENT a1 NAZYWAETSQ WYBORO^NYM SREDNIM I IMEET 2SPECIALXNOE OBOZNA^ENIE X  WYBORO^NAQ DISPERSIQ m2 = a2 ; X OBY^NO OBOZNA^AETSQ S 2: sOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM OPREDELQ@TSQ WYBORO^NYJ KO\FFICIENT ASIMMETRII g1 = m3 =S 3 I WYBORO^NYJ KO\FFICIENT \KSCESSA g2 = m4=S 4 ; 3: pRI WYBORE IZ m-MERNOGO, m > 1 RASPREDELENIQ \MPIRI^ESKOE RASPREDELENIE TAKVE PRIPISYWAET MASSU n;1 KAVDOMU WYBORO^NOMU (WEKTORNOMU) ZNA^ENI@ Xk = (Xk1 : : :  Xkm) k = 1 : : :  n: w SOOTWETSTWII S \TIM MY MOVEM OPREDELITX WEKTOR WYBORO^NYH SREDNIH X = (X 1 : : :  X m) S KOMPONENTAMI n X X k = n1 Xki k = 1 : : :  m

i=1 WYBORO^NU@ KOWARIACIONNU@ MATRICU S = k Skj k S \LEMENTAMI n n X X Skj = n1 (Xki ; X k )(Xji ; X j ) = n1 XkiXji ; X k X j  k j = 1 : : :  m i=1 i=1 I MATRICU WYBORO^NYH q KO\FFICIENTOW KORRELQCII R = k rkj k S \LEMENTAMI rkj = Skj = Skk Sjj  k j = 1 : : :  m: sMEANNYE MOMENTY BO-

LEE WYSOKIH PORQDKOW W MNOGOMERNOM SLU^AE OBY^NO NE WY^ISLQ@TSQ. 176

eSLI WYBOR PROISHODIT IZ RASPREDELENIQ, DLQ KOTOROGO SPRAWEDLIWA TEOREMA SLOVENIQ (PREDLOVENIE 12.2 KURSA tw), TO RASPREDELENIE WYBORO^NOGO SREDNEGO USTANAWLIWAETSQ DOSTATO^NO PROSTO. w OB]EM VE SLU^AE MOVNO TOLXKO UTWERVDATX OB ASIMPTOTI^ESKOJ (n ! 1) NORMALXNOSTI \TOJ STATISTIKI PRI USLOWII SU]ESTWOWANIQ WTOROGO MOMENTA U TEORETI^ESKOGO RASPREDELENIQ. aNALOGI^NOE UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO I DLQ MOMENTOW L@BOGO k-GO PORQDKA, ESLI U F (x) SU]ESTWUET MOMENT PORQDKA 2k: oBRATIMSQ TEPERX K WYBORO^NYM ANALOGAM KWANTILEJ RASPREDELENIQ F NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X: nAPOMNIM, ^TO DLQ NEPRERYWNOGO RASPREDELENIQ KWANTILX PORQDKA p OPREDELQLASX KAK REENIE xp URAWNENIQ F (x) = p A W SLU^AE DISKRETNOGO RASPREDELENIQ { KAK NAIBOLXEE x = xp IZ NOSITELQ RASPREDELENIQ, PRI KOTOROM F (xp)
p: pOSKOLXKU \MPIRI^ESKOE RASPREDELENIE DISKRETNO, I EGO FUNKCIQ RASPREDELENIQ Fn() WOZRASTAET SKA^KAMI W TO^KAH, SOOTWETSTWU@]IH KOMPONENTAM WARIACIONNOGO RQDA, TO WYBORO^NAQ KWANTILX PORQDKA p POLAGAETSQ RAWNOJ PORQDKOWOJ STATISTIKE X( np ])  GDE  x ] KAK OBY^NO, OZNA^AET CELU@ ^ASTX x: eSTESTWENNO, DLQ POWYENIQ TO^NOSTI OCENKI ISTINNOJ KWANTILI xp MOVNO PROWODITX INTERPOLQCI@ MEVDU STATISTIKAMI X( np ]) I X( np ]+1): tAK, WYBORO^NAQ MEDIANA PORQDKA p = 0:5 OBY^NO OPREDELQETSQ
, BUDU^I KWANTILX@  KAK X( n=2 ]) + X( n=2 ]+1) =2: ~TO VE KASAETSQ OCENKI MODY RASPREDELENIQ { TO^KI NAIBOLXEGO SGU]ENIQ WYBORO^NYH DANNYH, TO ZDESX NAM PRIDETSQ OBRATITXSQ K WYBORO^NYM ANALOGAM FUNKCII PLOTNOSTI. pRI BOLXIH OB_EMAH NABL@DENIJ WYBORO^NYE DANNYE OBY^NO PODWERGA@TSQ GRUPPIROWKE, PRI \TOM INDIWIDUALXNYE WYBORO^NYE ZNA^ENIQ NE PRIWODQTSQ, A UKAZYWA@TSQ LIX KOLI^ESTWA NABL@DENIJ, POPAWIH W INTERWALY NEKOTOROGO RAZBIENIQ MNOVESTWA X ZNA^ENIJ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY. pOQSNIM PROCEDURU GRUPPIROWKI NA PRIMERE WYBORKI IZ NEPRERYWNOGO ODNOMERNOGO RASPREDELENIQ, KOGDA X = R: w DEKARTOWOJ SISTEME KOORDINAT OSX ABSCISS RAZBIWAETSQ NA r  2 INTERWALOW (;1 a1] (a1 a2] : : :  (ar;2 ar;1] (ar;1 +1) PRI^EM KONE^NYE INTERWALY WYBIRA@TSQ, KAK PRAWILO, ODINAKOWOJ DLINY: ai ; ai;1 =  i = 2 : : :  r ; 1: wYBORO^NYE DANNYE SORTIRU@TSQ PO INTERWALAM RAZBIENIQ I PODS^ITYWA@TSQ ^ASTOTY ni i = 1 : : :  r POPA177

DANIQ DANNYH W KAVDYJ INTERWAL. nAD KAVDYM WNUTRENNIM INTERWALOM RISUETSQ PRQMOUGOLXNIK WYSOTY ni=n TAK ^TO PLO]ADX ni=n KAVDOGO PRQMOUGOLXNIKA S NOMEROM i = 2 : : :  r ; 1 SLUVIT REALIZACIEJ ^ASTOTNOJ OCENKI i=n WEROQTNOSTI POPADANIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X W SOOTWETSTWU@]IJ INTERWAL. zDESX i { STATISTIKA, KOTORU@ MOVNO ZAPISATX S POMO]X@ INDIKATOROW SOBYTIJ Aij = fXj 2 (aX i;1  ai ]g i = 1 : : :  r a0 = ;1 ar = +1 j = 1 : : :  n A IMENNO i = nj=1 I(Aij ). pOLU^ENNAQ TAKIM OBRAZOM SLU^AJNAQ STUPEN^ATAQ FUNKCIQ, PRINIMA@]AQ NULEWYE ZNA^ENIQ NA KRAJNIH INTERWALAH (;1 a1] (ar;1 +1) I RAWNAQ i=n NA WNUTRENNIH INTERWALAH S NOMERAMI i = 2 : : :  r ; 1 NAZYWAETSQ GISTOGRAMMNOJ OCENKOJ fn FUNKCII PLOTNOSTI f (x) x 2 R RASPREDELENIQ X A EE REALIZACIQ (i ZAMENQ@TSQ NA NABL@DAEMYE ^ASTOTY ni i = 1 : : :  r) { GISTOGRAMMOJ WYBORKI x(n) : 43 25 4

-2.5 -1.5 -0.5

23 5 0.5

1.5

2.5

w MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE SU]ESTWUET RQD TEOREM, USTANAWLIWA@]IH, ^TO PRI OPREDELENNYH USLOWIQH NA PLOTNOSTX f GISTOGRAMMNAQ OCENKA fn(x) !P f (x) PRI L@BOM x 2 R ESLI n ! 1 I ODNOWREMENNO r ! 1 A  ! 0 SO SKOROSTX@, ZAWISQ]EJ OPREDELENNYM OBRAZOM OT n I r: w SLU^AE GISTOGRAMMNOJ OCENKI FUNKCII PLOTNOSTI ESTESTWENNO S^ITATX WYBORO^NYM ANALOGOM (OCENKOJ) MODY RASPREDELENIQ X SEREDINU INTERWALA RAZBIENIQ, W KOTOROM GISTOGRAMMA PRINIMAET NAIBOLXEE ZNA^ENIE. zAMETIM TAKVE, ^TO WEKTOR ^ASTOT (1 : : :  r ) IMEET MULXTINOMIALXNOE RASPREDELENIE M(r n p) S WEROQTNOSTQMI ISHODOW pi = F (ai) ; F (ai;1) i = 1 : : :  r ^TO POZWOLQET NAJTI RASPREDELENIE OCENKI fn(x) PRI L@BOM x 2 R I POSTROITX KRITERIJ SOGLASIQ WYBO178

RO^NYH DANNYH S GIPOTEZOJ O WIDE RASPREDELENIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY. |TO IROKO ISPOLXZUEMYJ NA PRAKTIKE KRITERIJ HI-KWADRAT, OSNOWANNYJ NA STATISTIKE (SRAWNITE S KRITERIEM kOLMOGOROWA Dn) 2 r X X 2 = (i ;npnpi) : i 1 aSIMPTOTI^ESKOE RASPREDELENIE \TOJ STATISTIKI MY IZU^IM W PARAGRAFE, POSWQ]ENNOM STATISTI^ESKOJ PROWERKE GIPOTEZ. iTAK, MY RASSMOTRELI OSNOWNYE WYBORO^NYE ANALOGI RASPREDELENIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY I EGO OSNOWNYH HARAKTERISTIK. mY WYSKAZALI TAKVE RQD UTWERVDENIJ O RASPREDELENII \TIH STATISTIK, ^TO POZWOLIT NAM W POSLEDU@]EM WY^ISLQTX POSLEDSTWIQ OT IH ISPOLXZOWANIQ W KA^ESTWE REA@]IH FUNKCIJ. dLQ TOGO, ^TOBY UQSNITX, NASKOLXKO WAVNO ZNATX HOTQ BY SREDNEE ZNA^ENIE STATISTIKI, PRETENDU@]EJ NA ROLX REA@]EJ FUNKCII, OBRATIMSQ SNOWA K PRIMERU 1.1 PO ATTESTACII PARTII DIZELXNOGO TOPLIWA, GDE OBSUVDALASX SOPUTSTWU@]AQ PROBLEMA OCENKI DISPERSII 2 NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X  N ( 2): pREDLAGALOSX OCENIWATX 2 PO NAKOPLENNOMU W LABORATORII ARHIWU ISPYTANIJ ATTESTUEMYH PARTIJ DIZELXNOGO TOPLIWA, TO ESTX PO (n) (n) DANNYM BOLXOGO ^ISLA N WYBOROK X1  : : :  XN MALOGO OB_EMA n: kAVDAQ i-AQ WYBORKA IZWLEKAETSQ IZ NORMALXNOGO (i 2) RASPREDELENIQ, PRI^EM SREDNIE i MOGUT BYTX RAZLI^NYMI DLQ RAZNYH WYBOROK, i = 1 : : :  N NO DISPERSIQ 2 U WSEH WYBOROK ODNA I TA VE. pREDLAGAETSQ SLEDU@]AQ OCENKA 2: w KAVDOJ WYBORKE WY^ISLQETSQ WYBORO^NAQ DISPERSIQ Si2 i =X1 : : :  N I ZATEM BERETSQ IH ARIFMETI^ESKOE SREDNEE: ^N2 = (1=N ) N1 Si2: rASPREDELENIE KAVDOJ Si2 NE ZAWISIT OT i i = 1 : : :  N POSKOLXKU WYBORO^NAQ DISPERSIQ INWARIANTNA OTNOSITELXNO SDWIGOW Xk ! Xk + a: sLEDOWATELXNO, PREDLAGAEMAQ OCENKA ESTX NORMIROWANNAQ NA N SUMMA NEZAWISIMYH, ODINAKOWO X RASPREDELENNYH 2 SLU^AJNYH WELI^IN { KOPIJ STATISTIKI S = (1=n) n1 (Xk ; X )2 I W SILU ZAKONA BOLXIH ^ISEL ^N2 ! ES 2 PRI NEOGRANI^ENNOM WOZRASP TANII OB_EMA N ARHIWNYH DANNYH. wY^ISLIM \TO MATEMATI^ESKOE OVIDANIE: 0 n 1 X 1 2 ; 2 = n ; 1 2  2 2 2 2 2 2 A ES 2 = E @ X X = +  ; X ; = E X ; E n1 k n n 179

POSKOLXKU 2 = EX 2 = DX + E2X A X  N ( 2=n): tAKIM OBRAZOM, PREDLAGAEMAQ OCENKA OBLADAET ZNA^ITELXNYM SME]ENIEM PRI MALOM OB_EME n ISPYTANIJ KAVDOJ PARTII DIZELXNOGO TOPLIWA. nAPRIMER, W SLU^AE n = 2 MY ZANIVAEM DISPERSI@ W DWA 2 RAZA, POSKOLXKU ^N2 ! =2: eSTESTWENNO, \TOT DEFEKT LEGKO USTRAP NIM { DOSTATO^NO ISPOLXZOWATX ISPRAWLENNU@ NA SME]ENIE OCENKU ~N2 = (n=(n ; 1))^ N2 : lEKCIQ 4

w ZAWERENII \TOGO PARAGRAFA MY IZU^IM E]E ODIN KLASS ZAME^ATELXNYH STATISTIK, ISPOLXZUQ KOTORYE MOVNO REDUCIROWATX WYBORO^NYE DANNYE TOLXKO K IH ZNA^ENIQM BEZ POTERI INFORMACII. k SOVALENI@, NE WSE STATISTI^ESKIE STRUKTURY OBLADA@T TAKIMI STATISTIKAMI, NO, PO SU]ESTWU, TOLXKO W TEH STRUKTURAH, GDE IME@TSQ DOSTATO^NYE STATISTIKI, WOZMOVNO POSTROENIE OPTIMALXNOGO STATISTI^ESKOGO PRAWILA, NA KOTOROM DOSTIGAETSQ MINIMUM RISKA. iDEQ, SOSTOQ]AQ W TOM, ^TO W OPREDELENNYH SLU^AQH DLQ PRINQTIQ REENIQ BEZ UWELI^ENIQ RISKA DOSTATO^NO ZNATX TOLXKO ZNA^ENIQ NEKOTORYH STATISTIK, A NE WSE WYBORO^NYE DANNYE, NE TREBUET WWEDENIQ SPECIALXNYH MER INFORMACII, SODERVA]EJSQ W WYBORO^NYH DANNYH I STATISTIKAH, { WSE STANOWITSQ QSNYM PRI RASSMOTRENII SLEDU@]EJ PROSTEJEJ ZADA^I, S KOTOROJ MY IMELI DELO W SAMOM NA^ALE KURSA TEORII WEROQTNOSTEJ. pREDPOLOVIM, ^TO MY HOTIM UZNATX WEROQTNOSTX NASLEDOWANIQ DOMINANTNOGO PRIZNAKA W OPYTAH mENDELQ I RASPOLAGAEM REZULXTATAMI x1 : : :  xn SKRE]IWANIJ n PAR, GDE, KAK OBY^NO, KAVDOE xi ESTX INDIKATOR NASLEDOWANIQ PRIZNAKA, i = 1 : : :  n A SOWOKUPNOSTX WYBORO^NYH DANNYH PREDSTAWLQET REALIZACI@ SLU^AJNOJ WYBORKI X1 : : :  Xn IZ DWUHTO^E^NOGO RASPREDELENIQ S FUNKCIEJ PLOTNOSTI f (x j ) = P  (X = x) = x(1 ; )1;x OTLI^NOJ OT NULQ TOLXKO W TO^KAH x = 0 I 1. ~ASTOTNAQ OCENKA ^n = T=n WEROQTNOSTI

NASLEDOWANIQ PRIZNAKA X OPRE Xn n DELQETSQ STATISTIKOJ T = 1 Xk  WYBORO^NOE ZNA^ENIE t = 1 xk KOTOROJ SOOTWETSTWUET ^ISLU POTOMKOW W \KSPERIMENTE, NASLEDOWAWIH DOMINANTNYJ PRIZNAK. eSTESTWENNO, WOZNIKAET WOPROS, A NELXZQ LI IZWLE^X DOPOLNITELXNU@ INFORMACI@ O WELI^INE PARAMETRA IZ NOMEROW k1 : : :  kt WYBORO^NYH DANNYH, PRINQWIH ZNA^ENIE 1? nETRUDNO PONQTX, ^TO \TO WOZMOVNO TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI RASPRE180

DELENIE WYBORO^NOGO WEKTORA X (n) PRI USLOWII, ^TO STATISTIKA T PRINQLA FIKSIROWANNOE ZNA^ENIE t ZAWISIT OT PARAMETRA : dEJST-

WITELXNO, ESLI MY BUDEM NABL@DATX SLU^AJNU@ WELI^INU, KOTORAQ NE IMEET NIKAKOGO OTNOENIQ K INTERESU@]EMU NAS PARAMETRU, TO OTKUDA \TOJ INFORMACII WZQTXSQ? iTAK, NAJDEM USLOWNOE RASPREDELENIE X (n) OTNOSITELXNO T: iSPOLXZUQ FORMULU USLOWNOJ WEROQTNOSTI, POLU^AEM, ^TO
(n)  Xn (n) V
(n)  P f X = x g f X = t g  k 1
Xn P  X = x(n) j T = t = : P  1 Xk = t Xn (n) eSLI ZNA^ENIQ KOMPONENT WEKTORA x TAKOWY , ^TO 6 t TO SO1 xk = Xn (n) (n) BYTIQ X = x I 1 Xk = t O^EWIDNO, NESOWMESTNY, I PO\TOMU W \TOMXSLU^AE USLOWNAQ WEROQTNOSTX RAWNA NUL@ (NE ZAWISIT XnOT ). eSLI n (n) (n) VE 1 xk = t TO SOBYTIE X = x WLE^ET SOBYTIE 1 Xk = t I FORMULA DLQ WY^ISLENIQ USLOWNOJ WEROQTNOSTI UPRO]AETSQ:
(n)  (n)
(n)  P X = x  P  X = x(n) j T = t = P
Xn X = t :  k 1 tAK KAK Xn Xn
(n)  x n ; (n) (n) k 1 1 xk  P  X = x = fn(X j ) =

(1 ; )
Xn  P  1 Xk = t = Cnt t(1 ; )n;t TO W SLU^AE Xn1 xk = t USLOWNOE RASPREDELENIE WYBORO^NOGO WEKTORA X (n) OTNOSITELXNO STATISTIKI T IMEET WID


 P  X (n) = x(n) j T = t = C1t  n I TAKVE NE ZAWISIT OT : iTAK, NAI WYKLADKI POKAZYWA@T , ^TO RASPREDELENIE WYBORO^NOXn GO WEKTORA NA \PLOSKOSTI" 1 Xk = t NE ZAWISIT OT  I PO\TOMU RASPOLOVENIE ZNA^ENIJ xk = 1 W POSLEDOWATELXNOSTI x1 : : :  xn PRI FIKSIROWANNOM KOLI^ESTWE TAKIH ZNA^ENIJ NE NESET INFORMACII O PARAMETRE : oPREDELENIE 2.1. sTATISTIKA T = T (X (n) ) NAZYWAETSQ DOSTATO^NOJ DLQ STATISTI^ESKOJ STRUKTURY P n = fP n  2 g ESLI 181

USLOWNOE RASPREDELENIE WYBORO^NOGO WEKTORA X (n) OTNOSITELXNO STATISTIKI T NE ZAWISIT OT : w OB]EJ TEORII STATISTI^ESKOGO WYWODA W RAMKAH BOLEE OB]EGO OPREDELENIQ STATISTI^ESKOGO PRAWILA USTANAWLIWAETSQ ZAME^ATELXNYJ FAKT: ESLI STATISTI^ESKAQ STRUKTURA OBLADAET DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ T TO, KAKOWO BY NI BYLO STATISTI^ESKOE PRAWILO  =  (X (n) ) WSEGDA SU]ESTWUET PRAWILO   =   (T ) OSNOWANNOE TOLXKO NA T RISK KOTOROGO SOWPADAET S RISKOM PRAWILA : tAKIM OBRAZOM, POSTROENIE OPTIMALXNYH STATISTI^ESKIH PRAWIL SLEDUET NA^INATX S POISKA DOSTATO^NYH STATISTIK. sLEDU@]AQ TEOREMA DAET KRITERIJ SU]ESTWOWANIQ U STATISTI^ESKIH STRUKTUR DOSTATO^NYH STATISTIK I, ODNOWREMENNO, UKAZYWAET PROSTOJ SPOSOB IH NAHOVDENIQ. tEOREMA 2.1. dLQ TOGO, ^TOBY

T = T (X (n))

BYLA DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ DLQ STATISTI^ESKOJ STRUKTURY, OPREDELQEMOJ FUNKCIEJ PLOTNOSTI fn(x(n) j ) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO,^TOBY \TA FUNKCIQ DOPUSKALA PREDSTAWLENIE






fn(x(n) j ) = g  T (x(n)) h(x(n)) (1) GDE FUNKCIQ h NE ZAWISIT OT PARAMETRA  A FUNKCIQ g ZAWISIT OT I ARGUMENTA x(n) TOLXKO ^EREZ ZNA^ENIQ T (x(n) ) STATISTIKI T = T (X (n) )

d O K A Z A T E L X S T W O. TEOREMY MY PROWEDEM TOLXKO DLQ DISKRETNOGO RASPREDELENIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ
(nWELI^INY  , KOGDA FUNK(n) ) (n) CIQ PLOTNOSTI WYBORKI fn(x j ) = P  X = x : w SLU^AE NEPRERYWNOGO RASPREDELENIQ SHEMA DOKAZATELXSTWA TA VE, NO PRIDETSQ DELATX ZAMENU W n-KRATNOM INTEGRALE. dOSTATO^NOSTX. pUSTX WYPOLNQETSQ FAKTORIZACIONNOE PREDSTAWLENIE (1) TREBUETSQ POKAZATX, ^TO USLOWNOE RASPREDELENIE X (n) OTNOSITELXNO T NE ZAWISIT OT : kAK I W TOLXKO ^TO RASSMOTRENNOM PRIMERE S DWUHTO^E^NYM RASPREDELENIEM, WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ USLOWNOJ WEROQTNOSTI DLQ WY^ISLENIQ USLOWNOJ PLOTNOSTI X (n) OTNOSITELXNO T:
(n)  (n) V (n)
(n)  P f X = x g f T ( X ) = t g  P  X = x(n) j T (X (n)) = t = : P  (T (X (n)) = t) 182

sOBYTIQ, STOQ]IE W ^ISLITELE, BUDUT NESOWMESTNYMI, ESLI T (x(n)) 6= t I W \TOM SLU^AE USLOWNAQ WEROQTNOSTX RAWNA NUL@ (NE ZAWISIT OT ). eSLI VE T (x(n)) = t TO PERWOE PO PORQDKU SOBYTIE W ^ISLITELE WLE^ET WTOROE, I PO\TOMU FORMULA DLQ WY^ISLENIQ USLOWNOJ WEROQTNOSTI UPRO]AETSQ:
(n)  (n)
(n)  P X = x P  X = x(n) j T (X (n)) = t = P (T (X (n)) = t) :  tAK KAK P  (X (n) = x(n)) = fn(x(n) j ) TO ISPOLXZUQ PREDSTAWLENIE (1), POLU^AEM, ^TO (NAPOMNIM, T (x(n)) = t)
 P  X (n) = x(n) j T (X (n)) = t = (n) (n) (n) h ( x ) g  (T (x )h(x ) = : X X g  (T (y(n))h(y(n)) h(y(n)) y(n) : T (y(n))=t

y(n) : T (y(n))=t

tAKIM OBRAZOM, USLOWNOE RASPREDELENIE NE ZAWISIT OT  I PO\TOMU STATISTIKA T DOSTATO^NA DLQ P n: nEOBHODIMOSTX. pUSTX STATISTIKA , TAK ^TO USLOW
(nT) { DOSTATO^NAQ  (n) (n) NOE RASPREDELENIE P  X = x j T (X ) = t = K (x(n) t) GDE FUNKCIQ K NE ZAWISIT OT : tREBUETSQ POKAZATX, ^TO W \TOM SLU^AE DLQ FUNKCII PLOTNOSTI WYBORKI SPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE (1). iMEEM
 fn(x(n) j ) = P  X (n) = x(n) =
 ^ P  fX (n) = x(n)g fT (X (n)) = T (x(n))g =
 P  (T (X (n) ) = T (x(n)))  P  X (n) = x(n) j T (X (n)) = T (x(n)) : mY POLU^ILI PREDSTAWLENIE (1) S g  (T (x(n))) = P  (T (X (n)) = T (x(n))) I h(x(n)) = K (x(n) T (x(n))): tEOREMA DOKAZANA. rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW NA PRIMENENIQ POLU^ENNOGO KRITERIQ DOSTATO^NOSTI K STATISTI^ESKIM STRUKTURAM, SOOTWETSTWU@]IM WEROQTNOSTNYM MODELQM IZ NAEGO KURSA TEORII WEROQTNOSTEJ. nA^NEM S DWUHTO^E^NOGO RASPREDELENIQ (WYBOR W SHEME bERNULLI), GDE MY NEPOSREDSTWENNYMI WY^ISLENIQMI USLOWNOGO RASPREDELENIQ UBEDILISX W DOSTATO^NOSTI STATISTIKI, REALIZU@]EJ ^ISLO USPENYH ISPYTANIJ, { POSMOTRIM, KAK \TO DELAETSQ S POMO]X@ PREDSTAWLENIQ (1).

183

10: dWUHTO^E^NOE RASPREDELENIE B(1 ) IMEET FUNKCI@ PLOTNOSTI f (x j ) = x(1 ; )1;x OTLI^NU@ OT NULQ TOLXKO W TO^KAH x = 0 I 1. pARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO \TOGO RASPREDELENIQ  = (0 1) A FUNKCIQ PLOTNOSTI SLU-

^AJNOJ WYBORKI

Xn 1

xk (1 ; ) n;

Xn

1 xk : fn(x j ) =

pREDSTAWLENIE (1)XnWYPOLNQETSQ S h(x(n) ) 1 I T (x(n)) = Xn1 xk : sLEDOWATELXNO, T = 1 Xk { DOSTATO^NAQ STATISTIKA. 20: rASPREDELENIE pUASSONA P( ), DLQ KOTOROGO x ; f (x j ) = xe!  x = 0 1 : : :   = R+ FUNKCIQ PLOTNOSTI WYBORKI Xn Y (n) fn(x j ) = 1 xk e;n = n xk !: (n)

1

sLEDOWATELXNO, W PREDSTAWLENII (1) hY i h(x(n)) = n1 xk ! ;1  I T = Xn1 Xk { DOSTATO^NAQ STATISTIKA. 30: pOKAZATELXNOE RASPREDELENIE E( ) S ( x) 1 f (x j ) = exp ;  x  0  = R+ I 8 9 n = < X 1 1 fn(x(n) j ) = n exp :; xk  1 tAKVE OBLADAET DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ T = Xn1 Xk : 40: rAWNOMERNOE RASPREDELENIE U(a b), FUNKCIQ PLOTNOSTI KOTOROGO f (x j ) = I ba;b ](ax) OTLI^NA OT NULQ I POSTOQNNA NA OTREZKE  a b ] NA ^TO UKAZYWAET STOQ]AQ W ^ISLITELE INDIKATORNAQ FUNKCIQ OTREZKA  a b ]: w \TOM 184

RASPREDELENII = (a b) { DWUMERNYJ PARAMETR I PARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO  = f(a b) : (a b) 2 R2 a < bg: sTATISTI^ESKAQ STRUKTURA OPREDELQETSQ FUNKCIEJ PLOTNOSTI Yn (n) fn(x j ) = 1(bI ;a ba])(nxk )  I POSKOLXKU PROIZWEDENIE INDIKATOROW, STOQ]EE W ^ISLITELE \TOJ FUNKCII, PRINIMAET ZNA^ENIE 1 W SLU^AE a
1min x
1max x
b kn k kn k

I ZNA^ENIE 0 PRI NARUENII \TIH NERAWENSTW, TO WEKTOR T = ( X(1) X(n) ) KRAJNIH ^LENOW WARIACIONNOGO RQDA QWLQETSQ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ. 50: nORMALXNOE RASPREDELENIE N ( 2). |TO RASPREDELENIE OBLADAET DWUMERNYM PARAMETROM = ( ) S OBLASTX@ ZNA^ENIJ (PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM)  = R  R+: fUNKCII PLOTNOSTI NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X I SLU^AJNOJ WYBORKI X (n) OPREDELQ@TSQ SOOTWETSTWENNO KAK 8 9 < (x ; )2 = 1 f (x j ) = p exp :; 2 2  2 I 8 9 n < = X 1 1 fn(x(n) j ) = (2 )n=2 n exp :; 2 2 (xk ; )2 = 1 8

19

0

n n = X 1 exp <; 1 @X 2 2A (2 )n=2 n : 2 2 1 xk ; 2 1 xk + n  : (n) pOSLEDNEE WYRAVENIE DLQ PLOTNOSTI Xn X POKAZYWAET Xn 2 , ^TO DWUMERNAQ STATISTIKA T = (T1 T2) S T1 = 1 Xk T2 = 1 Xk DOSTATO^NA DLQ STATISTI^ESKOJ STRUKTURY NORMALXNOGO RASPREDELENIQ. kROME TOGO, 2 2 POSKOLXKU T1 = nX I T2 = n(S + X ) TO FAKTORIZACIONNOE RAWENSTWO (1) UKAZYWAET NA DOSTATO^NOSTX STATISTIK X I S 2 KOTORYE IME@T KONKRETNU@ STATISTI^ESKU@ INTERPRETACI@ I PO\TOMU BOLEE UDOBNY DLQ PRAKTI^ESKOGO ISPOLXZOWANIQ. pONQTNO, ^TO \TO ZAME^ANIE NOSIT OB]IJ HARAKTER: L@BYE WZAIMNO ODNOZNA^NYE PREOBRAZOWANIQ

DOSTATO^NOJ STATISTIKI NASLEDU@T SWOJSTWO DOSTATO^NOSTI. 185

oTMETIM TAKVE, ^TO W SLU^AE IZWESTNOGO (FIKSIROWANNOGO) STATISTI^ESKAQ STRUKTURA IMEET PARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO, SOWPADA@]EE S OBLASTX@ ZNA^ENIJ PARAMETRA  I DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ BUDET WYBORO^NOE SREDNEE X: aNALOGI^NOE UTWERVDENIE IMEET MESTO DLQ STATISTIKI S 2 PRI FIKSIROWANNOM : 60: gAMMA-RASPREDELENIE G(  a) IMEET FUNKCI@ PLOTNOSTI ( x) 1  ; 1 f (x j ) = a;( ) x exp ; a  x > 0 = (a ) a > 0 > 0 TAK ^TO FUNKCIQ PLOTNOSTI WYBORO^NOGO WEKTORA 2

3

8

9

;1 n n = < X Y 1 f (x j ) = an;n( ) 4 xk 5 exp :; a1 xk  : 1 1 tOVDESTWO UKAZYWAET
X(1) Yn  , ^TO DOSTATO^NOJ QWLQETSQ DWUMERNAQ STAn TISTIKA 1 Xk 
1XXk ILIXBOLEE UDOBNAQ W WY^ISLITELXNOM OTNO n n ENII STATISTIKA 1 Xk  1 ln Xk : dLQ \TOGO RASPREDELENIQ MOVNO SDELATX TO VE ZAME^ANIE, ^TO I DLQ NORMALXNOGO: PERWAQ KOMPONENTA DOSTATO^NOJ STATISTIKI \OTWE^AET" ZA MASTABNYJ PARAMETR a W TO WREMQ KAK WTORAQ SOOTWETSTWUET PARAMETRU FORMY : 70: bINOMIALXNOE RASPREDELENIE B(m p): |TO DISKRETNOE RASPREDELENIE, SOSREDOTO^ENNOE W TO^KAH x = 0 1 : : :  m S FUNKCIEJ PLOT-

NOSTI

f (x j ) = Cmx p x(1 ; p)m;x ZAWISQ]EJ OT DWUMERNOGO PARAMETRA = (m p) PERWAQ KOMPONENTA m KOTOROGO MOVET PRINIMATX TOLXKO ZNA^ENIQ IZ MNOVESTWA N = f1 2 : : :g A WTORAQ KOMPONENTA p 2 (0 1): fUNKCIQ PLOTNOSTI WYBORO^NOGO WEKTORA Xn Xn n Y x nm ; (n) x k 1 xk : fn(x j ) = Cm  p 1 (1 ; p) k

k=1

pRIMENENIE KRITERIQ (1) POKAZYWAET, ^TO DLQ STATISTI^ESKOJ STRUKTURY S PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM  = N  (0 1) DOSTATO^NOJ (n) STATISTIKOJ MOVET BYTX TOLXKO WESX WYBORO^NYJ WEKTOR Xn X  NO ESLI  = (0 1) (ZNA^ENIE PARAMETRA m IZWESTNO), TO 1 Xk { DOSTATO^NAQ STATISTIKA. 186

80: rASPREDELENIE

RO^NOGO WEKTORA

kOI

C(a b) IMEET FUNKCI@ PLOTNOSTI WYBO-

0  !21;1 n Y x ; a k A  fn(x(n) j ) = ;nb;n @1 +

b I W SILU KRITERIQ (1) EGO STATISTI^ESKAQ STRUKTURA OBLADAET TOLXKO TRIWIALXNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ T = X (n) : mY NE BUDEM WYPISYWATX STATISTI^ESKIE STRUKTURY MNOGOMERNYH RASPREDELENIJ W SILU IH ^REZWY^AJNOJ GROMOZDKOSTI, NO NETRUDNO USTANOWITX PO ANALOGII S RASSMOTRENNYMI PRIMERAMI, ^TO U STRUKTURY MULXTINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ M(m 1 p) S m  2 ISHODAMI I WEKTOROM p = (p1 : : :  pm) WEROQTNOSTEJ SOOTWETSTWU@]IH ISHODOW DOSTATO^NYM BUDET WEKTOR, SOSTOQ]IJ IZ ^ASTOT \TIH ISHODOW W MULXTINOMIALXNOJ SHEME ISPYTANIJ, A U STRUKTURY MNOGOMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ Nm( ) DOSTATO^NU@ STATISTIKU OBRAZU@T WEKTOR WYBORO^NYH SREDNIH I WYBORO^NAQ KOWARIACIONNAQ MATRICA. nA \TOM ZAWERAETSQ WWODNAQ ^ASTX NAEGO KURSA MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI. mY SDELALI POSTANOWKU PROBLEMY STATISTI^ESKOGO WYWODA, PROWELI KLASSIFIKACI@ OSNOWNYH STATISTI^ESKIH STRUKTUR I TEPERX MY GOTOWY K REENI@ KONKRETNYH STATISTI^ESKIH PROBLEM PO OCENKE PARAMETROW RASPREDELENIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY I PROWERKE GIPOTEZ, KASA@]IHSQ STRUKTURY PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA \TOGO RASPREDELENIQ. k=1

187

x3. oCENKA PARAMETROW. mETOD MOMENTOW lEKCIQ 5

mY PRISTUPAEM K RE
ENI@ STATISTI^ESKOJ PROBLEMY OCENKI NEIZWESTNOGO ZNA^ENIQ PARAMETRA
 INDEKSIRU@]EGO SEMEJSTWO P = fP

2 g WOZMOVNYH RASPREDELENIJ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X: bUDUT RASSMATRIWATXSQ TOLXKO KONE^NOMERNYE PARAMETRI^ESKIE PROSTRANSTWA  = Rk  k  1: iNFORMACIQ O ZNA^ENII
POSTUPAET NAM W WIDE WYBORO^NYH DANNYH x n = (x  : : :  xn) { REZULXTATOW NABL@DENIJ n NEZAWISIMYH KOPIJ X n = (X  : : :  Xn) SLU^AJNOJ WELI^INY X: nAPOMNIM, SEMEJSTWO P MY NAZWALI WEROQTNOSTNOJ MODELX@, A SLU^AJNYJ WEKTOR X n { SLU^AJNOJ WYBORKOJ OB_EMA n: w \TOJ PROBLEME, O KOTOROJ MY NESKOLXKO RAZ UPOMINALI W PREDYDU]EM PARAGRAFE, PROSTRANSTWO RE
ENIJ D SOWPADAET S PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM  RE
A@]AQ FUNKCIQ  = (X n ) { STATISTIKA S OBLASTX@ ZNA^ENIJ T =  { NAZYWAETSQ OCENKOJ PARAMETRA
I OBY^NO OBOZNA^AETSQ
n
^n
n
I TOMU PODOBNOE. fUNKCII POTERX L(
 d) W PROBLEME OCENIWANIQ OBY^NO WYBIRA@TSQ W WIDE NEUBYWA@]EJ FUNKCII RASSTOQNIQ j d ;
j (W \WKLIDOWOJ METRIKE) MEVDU ZNA^ENIEM OCENKI d =
^n(x n ) I ISTINNYM ZNA^ENIEM
OCENIWAEMOGO PARAMETRA. ( )

( )

1

1

( )

( )

( )

oSNOWNAQ ZADA^A STATISTI^ESKOJ TEORII OCENIWANIQ SOSTOIT W POSTROENII OCENKI
n
=
n
(X (n) ) MINIMIZIRU@]EJ RAWNOMERNO PO
2  FUNKCI@ RISKA

R(

^n) = E
L(

^n(X n )): tAKIM OBRAZOM, KAKOWA BY NI BYLA STATISTI^ESKAQ OCENKA
^n DLQ OCENKI
n
S RAWNOMERNO MINIMALXNYM RISKOM PRI L@BOM
2  SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO R(

n
)  R(

^n): mY RASSMOTRIM ODNO IZ RE
ENIJ \TOJ ZADA^I W SLU^AE OCENKI SKALQRNOGO PARAMETRA ( = R) PRI KWADRATI^NOJ FUNKCII POTERX L(
 d) = (d ;
)  NO SNA^ALA POZNAKOMIMSQ S TRADICIONNO ISPOLXZUEMYMI W STATISTI^ESKOJ PRAKTIKE METODAMI OCENKI PARAMETROW I IZU^IM RASPREDELENIE \TIH OCENOK S CELX@ WY^ISLENIQ IH FUNKCII RISKA. ( )

2

188

kONE^NO, DALEKO NE WSE ISPOLXZUEMYE NA PRAKTIKE METODY PRIWODQT K OPTIMALXNYM OCENKAM, INOGDA BYWAET TRUDNO NAJTI OCENKU, OBLADA@]U@ HOTX KAKIMI-NIBUDX PRIWLEKATELXNYMI SWOJSTWAMI. pONQTNO, ^TO S^ITATX OCENKOJ L@BOE IZMERIMOE OTOBRAVENIE WYBORO^NOGO PROSTRANSTWA Xn W PARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO  NE SOWSEM RAZUMNO, I PO\TOMU MY WWEDEM NEKOTORYE USLOWIQ, KOTORYM DOLVNA UDOWLETWORQTX STATISTIKA
^n ^TOBY PRETENDOWATX NA ROLX OCENKI. rAZRABATYWAQ W DALXNEJ
EM METODY OCENIWANIQ I PREDLAGAQ KONKRETNYE OCENKI, MY WSEGDA BUDEM PROWERQTX WYPOLNIMOSTX \TIH USLOWIJ. oPREDELENIE 3.1. oCENKA
^n PARAMETRA
NAZYWAETSQ i) SOSTOQTELXNOJ, ESLI
^n(X n ) !
P PRI L@BOM
2  KOGDA OB_EM WYBORKI n ! 1 ii) NESME]ENNOJ W SREDNEM, ESLI E

^n(X n ) =
 KAKOWO BY NI BYLO ZNA^ENIE
2 : nAPOMNIM, ^TO
^n(X n ) !
OZNA^AET, ^TO DLQ L@BOGO " > 0 P ( )

( )

( )


  n ^   lim P
( X ) ;
> " = 0  n!1
 n ( )

ILI, ^TO TO VE,


  (n) ^   lim P
(X ) ;
  " = 1: n!1
 n

(1)

zDESX, KAK OBY^NO, ZAPISX j
;
j DLQ WEKTORNOGO PARAMETRA
OZNA^AET RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI
I
\WKLIDOWA PROSTRANSTWA : w PREDYDU]EM Xn i PARAGRAFE MY POKAZALI, ^TO WYBORO^NYE MOMENTY ai = (1=n) Xj QWLQ@TSQ SOSTOQTELXNYMI OCENKAMI SOOTWETSTWU@]IH \TEORETI^ESKIH" MOMENTOW i = E
X i KOTORYE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI OCENIWAEMOGO PARAMETRA: i = i(
) i = 1 2 : : : : |TOT REZULXTAT UKAZYWAET NAM DOWOLXNO PROSTOJ METOD POSTROENIQ SOSTOQTELXNYH OCENOK W SLU^AE SU]ESTWOWANIQ U RASPREDELENIQ P
NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X MOMENTA PORQDKA k GDE k { ^ISLO KOMPONENT
 : : : 
k OCENIWAEMOGO PARAMETRI^ESKOGO WEKTORA
: 1

2

1

1

1

189

2

pRIRAWNQEM TEORETI^ESKIE MOMENTY WYBORO^NYM I RAZRE
IM POLU^ENNU@ TAKIM OBRAZOM SISTEMU URAWNENIJ i(
 : : : 
k ) = ai i = 1 : : :  k OTNOSITELXNO PEREMENNYH
 : : : 
k : l@BOE RE
ENIE
^n(a) = (
^ n(a) : : : 
^kn(a)) a = (a  : : :  an ) \TOJ SISTEMY NAZYWAETSQ OCENKOJ
PO METODU MOMENTOW, I PREVDE, ^EM ISSLEDOWATX SWOJSTWA TAKIH OCENOK, RASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW NA PRIMENENIQ METODA 1

1

1

1

MOMENTOW.

w KURSE TEORII WEROQTNOSTEJ, IZU^AQ NOWYE WEROQTNOSTNYE MODELI, MY WSEGDA WY^ISLQLI IH MOMENTNYE HARAKTERISTIKI. nAPRIMER, MY ZNAEM, ^TO SREDNIE ZNA^ENIQ DWUHTO^E^NOGO RASPREDELENIQ B(1
) RASPREDELENIQ pUASSONA P(
) I POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ E(
) RAWNY
: sLEDOWATELXNO, WYBORO^NOE SREDNEE X ESTX OCENKA PO METODU MOMENTOW PARAMETRA
L@BOGO IZ \TIH RASPREDELENIJ. lEGKO WIDETX, ^TO \TA OCENKA SOSTOQTELXNA I NESME]ENA. tO^NO TAK VE U NORMALXNOGO RASPREDELENIQ N (  ) PARAMETR OZNA^AET SREDNEE ZNA^ENIE, A { DISPERSI@ \TOGO RASPREDELENIQ. sLEDOWATELXNO, WYBORO^NOE SREDNEE X I WYBORO^NAQ DISPERSIQ S ESTX SOSTOQTELXNYE OCENKI SOOTWETSTWU@]IH KOMPONENT I PARAMETRI^ESKOGO WEKTORA
= (  ): iSPRAWLQQ SME]ENIE OCENKI S KOMPONENTY  POLU^AEM NESME]ENNU@ OCENKU
: zAME^ATELXNO TO, ^TO WSE OCENKI QWLQ@TSQ DOSTATO^NYMI STATISTIKAMI, I \TO OBSTOQTELXSTWO, KAK BUDET WIDNO W DALXNEJ
EM, PREDOPREDELQET IH OPTIMALXNYE SWOJSTWA. rASPREDELENIE OCENKI X LEGKO POLU^ITX, ISPOLXZUQ TEOREMY SLOVENIQ DLQ RASPREDELENIJ B P E I N  RASPREDELENIE VE S PRI WYBORE IZ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ MY NAJDEM NESKOLXKO POZVE. rASSMOTRIM TEPERX PRIMERY, W KOTORYH PRIHODITSQ RE
ATX SISTEMU URAWNENIJ, I NAJDENNYE OCENKI PO METODU MOMENTOW NE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI DOSTATO^NYH STATISTIK. p R I M E R 3. 1. oCENKA PARAMETROW BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ B(m p). pROBLEMA SOSTOIT W OCENKE OBEIH KOMPONENT m I p DWUMERNOGO PARAMETRA
= (m p): iZ KURSA TEORII WEROQTNOSTEJ NAM IZWESTNO, ^TO SREDNEE ZNA^ENIE BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ RAWNO mp A DISPERSIQ { mp(1 ; p): pRIRAWNIWAQ \TI TEORETI^ESKIE MOMENTY IH WYBORO^NYM ANALOGAM, POLU^AEM SISTEMU DLQ OPREDELENIQ OCENOK PO METODU MOMENTOW: mp = X mp(1;p) = S : rAZDELIW WTOROE URAWNENIE NA PERWOE, NAHODIM OCENKU p^n = (X ; S )=X PARAMETRA p POSLE ^EGO, OBRA]AQSX K PERWOMU URAWNENI@, NAHODIM OCENKU m^ n = X =(X ; S ) 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

190

2

PARAMETRA m: lEGKO POKAZATX, ^TO \TI OCENKI OBLADA@T SWOJSTWOM SOSTOQTELXNOSTI (OB]IJ METOD DOKAZATELXSTWA TAKIH UTWERVDENIJ SMOTRITE W PRIWEDENNOJ NIVE TEOREME 3.1), NO PRI MALYH n WELIKA WEROQTNOSTX POLU^ITX OTRICATELXNYE ZNA^ENIQ OCENOK, OCENKA PARAMETRA m KAK PRAWILO, NE BUDET CELYM ^ISLOM, NAKONEC, MOVNO POKAZATX, ^TO OCENKA p
n = X PARAMETRA p BUDET OBLADATX MENX
IM KWADRATI^NYM RISKOM, ^EM OCENKA p^n: wSE \TO, KONE^NO, PE^ALXNO, ODNAKO DRUGIE METODY, PRIWODQ]IE K BOLEE TO^NYM OCENKAM, OBLADA@T ZNA^ITELXNYMI WY^ISLITELXNYMI TRUDNOSTQMI. p R I M E R 3. 2. oCENKA PARAMETROW GAMMA-RASPREDELENIQ G( a). u \TOGO DWUHPARAMETRI^ESKOGO RASPREDELENIQ SREDNEE RAWNO a A DISPERSIQ { a : rE
ENIE SISTEMY URAWNENIJ a = X a = S DAET OCENKI a^n = S =X ^n = X =S  KOTORYE, KAK I W PREDYDU]EM Xn YPRIME n RE, NE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI DOSTATO^NOJ STATISTIKI Xk  Xk  I KAK POKAZYWA@T NE SOWSEM PROSTYE WY^ISLENIQ, IH RISKI DALEKI OT WOZMOVNOGO MINIMUMA. tEM NE MENEE, O^EWIDNAQ WY^ISLITELXNAQ PROSTOTA OCENOK PARAMETROW GAMMA-RASPREDELENIQ PO METODU MOMENTOW OBESPE^IWAET IH POPULQRNOSTX W PRAKTI^ESKIH PRIMENENIQH. iZU^IM TEPERX ASIMPTOTI^ESKIE SWOJSTWA OCENOK PO METODU MOMENTOW { USTANOWIM USLOWIQ IH SOSTOQTELXNOSTI I ISSLEDUEM POWEDENIE IH RASPREDELENIJ PRI BOLX
IH OB_EMAH WYBOROK. dLQ PROSTOTY MY OGRANI^IMSQ SLU^AEM ODNOMERNOGO PARAMETRA
 OCENKA KOTOROGO OPREDELQETSQ RE
ENIEM URAWNENIQ (
) = E
X = X I PREDPOLOVIM, ^TO \TO URAWNENIE IMEET EDINSTWENNOE RE
ENIE
^n = h(X ): pONQTNO, ^TO h() = ; () TAK ^TO h( (
)) 
: o WOZMOVNOSTI RASPROSTRANENIQ NA
IH REZULXTATOW NA SLU^AJ WEKTORNOGO
MY POGOWORIM OTDELXNO. tEOREMA 3.1. eSLI NABL@DAEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET KONE^NOE SREDNEE ZNA^ENIE = (
) I FUNKCIQ h() NEPRERYWNA W OBLASTI ZNA^ENIJ WYBORO^NOGO SREDNEGO X TO
^n = h(X ) QWLQETSQ SOSTOQTELXNOJ OCENKOJ PARAMETRA
PO METODU MOMENTOW. d O K A Z A T E L X S T W O. mY WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ (1) W OPREDELENII SOSTOQTELXNOSTI OCENKI I POKAVEM, ^TO DLQ L@BYH " > 0 I  > 0 SU]ESTWUET TAKOE N (" ) ^TO DLQ WSEH n > N (" ) WEROQTNOSTX    (2) P
 h(X ) ;
  " > 1 ; : 2

2

2

2

2

2

1

1

191

1

pOSKOLXKU h( ) = h( (
)) =
I X !  TO NAM DOSTATO^NO POKAP ZATX, ^TO SWOJSTWO (ILI OPREDELENIE) NEPRERYWNOSTI FUNKCII: h(x) ! h( ) PRI x !  OSTAETSQ SPRAWEDLIWYM PRI ZAMENE OBY^NOJ SHODIMOSTI " ! " NA SHODIMOSTX PO WEROQTNOSTI " ! " TO ESTX X ! WLEP P ^ET h(X ) ! h( ): |TO PO^TI O^EWIDNO, POSKOLXKU SOBYTIE, SOSTOQ]EE P W POPADANII W OKRESTNOSTX NULQ SLU^AJNOJ WELI^INY j X ; j WLE^ET ANALOGI^NOE SOBYTIE DLQ SLU^AJNOJ WELI^INY j h(X ) ; h( ) j NO WSE VE PROWEDEM STROGOE DOKAZATELXSTWO NA QZYKE "" ; ": tAK KAK X ! (
) A h() { NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, TO NAJDUTSQ TAKIE P  = (" ) I N = N (" ) ^TO P ( j X ; (
) j <  ) > 1 ;  (3) DLQ WSEH n > N I SOBYTIE j X ; (
) j <  POWLE^ET SOBYTIE j h(X ) ; h( (
)) j = j h(X ) ;
j  ": w SILU \TOGO NERAWENSTWO (2) STANOWITSQ SLEDSTWIEM NERAWENSTWA (3). tEOREMA DOKAZANA. aNALIZ DOKAZATELXSTWA POKAZYWAET, ^TO TEOREMA SOSTOQTELXNOSTI OSTAETSQ SPRAWEDLIWOJ W SLU^AE WEKTORNOGO PARAMETRA
 ESLI WOSPOLXZOWATXSQ OPREDELENIEM NEPRERYWNOSTI WEKTORNOJ FUNKCII OT WEKTORNOGO ARGUMENTA, SWQZAW EGO S RASSTOQNIQMI W \WKLIDOWYH PROSTRANSTWAH ZNA^ENIJ FUNKCII I EE ARGUMENTA. oBRATIMSQ TEPERX K ASIMPTOTI^ESKOMU ANALIZU RASPREDELENIQ OCENKI
^n = h(X ) PRI n ! 1: pONQTNO, ^TO W DANNOM SLU^AE UPOTREBLENIE TERMINA \OCENKA" PRIMENITELXNO K FUNKCII h(X ) NI^EGO OSOBENNO NE DOBAWLQET { RE^X IDET PROSTO OB ASIMPTOTI^ESKOM RASPREDELENII STATISTIKI, IME@]EJ WID FUNKCII OT WYBORO^NOGO SREDNEGO. tEOREMA 3.2. eSLI X n { SLU^AJNAQ WYBORKA IZ RASPREDELENIQ S KONE^NYMI SREDNIM ZNA^ENIEM I DISPERSIEJ  A FUNKCIQ h(x) OBLADAET OGRANI^ENNOJ WTOROJ PROIZWODNOJ h00 (x) W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x =  TO 0 1 p    x lim P n h(X ) ; h( ) < x =  @ j h0( ) j A : (4) n!1 ( )

2

GDE

() { FUNKCIQ RASPREDELENIQ STANDARTNOGO NORMALXNOGO ZAKONA.

d O K A Z A T E L X S T W O. pONQTNO, ^TO MY DOLVNY WOSPOLXZOWATXSQ CENTRALXNOJ PREDELXNOJ TEOREMOJ (x14 KURSA tw) PRIMENITELXNO K 192

STATISTIKE X = n Xn Xk : x! p    lim P n X ; < x =  : (5) n!1 sTANDARTNYJ PRIEM ISPOLXZOWANIQ \TOJ TEOREMY PRI ASIMPTOTI^ESKOM ANALIZE FUNKCIJ OT SUMM NEZAWISIMYH, ODINAKOWO RASPREDELENNYH SLU^AJNYH WELI^IN SOSTOIT W \LINERIZACII" TAKIH FUNKCIJ S POMO]X@ FORMULY tEJLORA. w NA
EM SLU^AE MY RAZLAGAEM FUNKCI@ h() W OKRESTNOSTI TO^KI X =  ISPOLXZUQ TOLXKO DWA ^LENA RAZLOVENIQ: ) h00  + (X ; )  h(X ) = h( ) + (X ; )h0( ) + (X ; 2! GDE 0    1: pEREPI
EM \TO RAZLOVENIE W WIDE p   p  p  0 n h(X ) ; h( ) = n(X ; )h ( ) + n(X2!; ) h00 + (X ; )    PREDSTAWIW TEM SAMYM SLU^AJNU@ WELI^INU pn h(X ) ; h( ) (SM. FORMULU (4)) W WIDE SUMMY DWUH SLU^AJNYH WELI^IN, PERWAQ IZ KOTORYH W SILU FORMULY (5) IMEET PREDELXNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE, UKAZANNOE W PRAWOJ ^ASTI  (4), A WTORAQ  SHODITSQ PO WEROQTNOSTI 00 K NUL@. dEJSTWITELXNO, h + (X ; ) PO USLOWI@ TEOREMY OGRANI^ENO S WEROQTNOSTX@ SKOLX UGODNO BLIZKOJ K EDINICE, NA^INAQ S NEKOTOROGO n: w SILU NERAWENSTWA ~EBY
EWA (PREDLOVENIE 6.2 KURSA tw) DLQ L@BOGO " > 0 WEROQTNOSTX p p  Epn(X ; ) nDX = p ! 0: P n(X ; ) > "  = " " " n pO\TOMU STOQ]IJ PERED h00=2! MNOVITELX, A S NIM I WSE WTOROE SLAGAEMOE, SHODQTSQ PO WEROQTNOSTI K NUL@. uTWERVDENIE TEOREMY TEPERX SLEDUET IZ PREDLOVENIQ 11.1 KURSA tw: ESLI ODNA POSLEDOWATELXNOSTX SLU^AJNYH WELI^IN IMEET NEWYROVDENNOE PREDELXNOE RASPREDELENIE F A WTORAQ SHODITSQ PO WEROQTNOSTI K NUL@, TO PREDELXNOE RASPREDELENIE SUMMY \TIH POSLEDOWATELXNOSTEJ SOWPADAET S F: iTAK, ESLI h(X ) { OCENKA
^n PARAMETRA
PO METODU MOMENTOW, TO FORMULA (4) TEOREMY 3.2 PRINIMAET WID 1 0
p
  x lim P n
^n ;
) < x =  @ j h0( ) j A : n!1 1

1

2

2

2

2

193

2

pRIWEDEM PRIMER NA ISPOLXZOWANIE APPROKSIMACII RASPREDELENIQ FUNKCII OT WYBORO^NOGO SREDNEGO NA PRAKTIKE. p R I M E R 3.3. oCENKA NADEVNOSTI IZDELIQ S POKAZATELXNYM RASPREDELENIEM DOLGOWE^NOSTI. pRI WYPUSKE IZDELIJ OBY^NO UKAZYWAETSQ IH GARANTIJNYJ SROK SLUVBY t  OTKAZ IZDELIQ DO ISTE^ENIQ SROKA t ^REWAT DLQ POSTAW]IKA RASHODAMI NA REMONT ILI ZAMENU IZDELIQ. ~TOBY PLANIROWATX RASHODY NA TAKOGO RODA REKLAMACII SO STORONY POTREBITELQ, POSTAW]IK DOLVEN ZNATX NADEVNOSTX WYPUSKAEMYH IZDELIJ: H (t ) = P (X > t ): wELI^INA H (t ) UKAZYWAET SREDN@@ DOL@ SREDI WYPU]ENNYH IZDELIJ, KOTORYE MOGUT OTKAZATX ZA GARANTIJNOE WREMQ SLUVBY t : ~TOBY OCENITX H (t ) PROWODQTSQ ISPYTANIQ n IZDELIJ, I PUSTX x  : : :  xn { NARABOTKI NA OTKAZ ISPYTUEMYH IZDELIJ, TRAKTUEMYE KAK REALIZACII SLU^AJNOJ WYBORKI X n IZ RASPREDELENIQ F (  j
) IZWESTNOGO S TO^NOSTX@ DO ZNA^ENIQ PARAMETRA
: nAKONEC, PUSTX NAM IZWESTNO, ^TO DOLGOWE^NOSTX IZDELIJ POD^INQETSQ ZAKONU \OTSUTSTWIQ POSLEDEJSTWIQ", W SILU ^EGO F (x j
) = 1;expf;x=
g { POKAZATELXNOE RASPREDELENIE. w TAKOM SLU^AE PROBLEMA SOSTOIT W OCENKE PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII h(
) = expf;t =
g: tAK KAK
= EX { SREDNQQ NARABOTKA NA OTKAZ, TO ESTESTWENNO OCENITX
POSREDSTWOM STATISTIKI X (RABOTAET METOD MOMENTOW), A ZA OCENKU NADEVNOSTI WZQTX STATISTIKU h(X ) = expf;t =X g: pOSKOLXKU NAIBOLX
U@, S \KONOMI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ, OPASNOSTX PREDSTAWLQET ZAWY
ENIE NADEVNOSTI, TO NAS W PERWU@ O^EREDX DOLVNA INTERESOWATX ^ASTOTA GRUBYH PREWY
ENIJ, NAPRIMER , NA NEKOTORU@ ZADANNU@ p WELI^INU ": eSLI POLOVITX  = " n TO WEROQTNOSTX, UKAZYWA@]AQ GRUBYH PREWY
ENIJ , ZAPISYWAETSQ W WIDE R(
 h(X )) = p^ASTOTU   P n h(X ) ; h(
) >   ^TO POZWOLQET NAM NEPOSREDSTWENNO ISPOLXZOWATX APPROKSIMACI@ (4) PRI ISPYTANIQH DOSTATO^NO BOLX
OGO ^ISLA IZDELIJ (NASKOLXKO BOLX
OGO, \TO { OTDELXNYJ WOPROS, RE
ITX KOTORYJ MOVNO, NAPRIMER, MODELIRUQ WYBORKI IZ POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ S POMO]X@ METODA mONTE-kARLO). iMEEM =
 h0(
) = t
; expf;t =
g I FORMULA (4) DAET NAM SLEDU@]U@ APPROKSIMACI@ DLQ RISKA OCENKI h(X ) : 
( t )! R(
 h(X )) 1 ;  t exp
: nETRUDNO POKAZATX, ^TO NAIBOLX
EE ZNA^ENIE RISKA DOSTIGAETSQ PRI 0

0

0

0

0

0

0

1

( )

0

0

2

2

0

2

0

0

0

194


= t I RAWNO (  e): w TOM SLU^AE, KOGDA OCENKA IMEET WID FUNKCII OT DWUH I BOLEE WYBORO^NYH MOMENTOW, METOD ASIMPTOTI^ESKOGO ANALIZA EE RASPREDELENIQ TOT VE. nAPRIMER, PUSTX
^n = h(a  a ) I FUNKCIQ h UDOWLETWORQET USLOWIQM, ANALOGI^NYM TREBOWANIQM K h W TEOREME 3.2. iSPOLXZUQ FORMULU tEJLORA, PREDSTAWIM h W OKRESTNOSTI TO^KI (   ) W SLEDU@]EM WIDE: h(a  a ) = h(   ) + (a ;  )h0 (   )+ (a ;  )h0 (   ) + Op(j a ;  j ) GDE a = (a  a )  = (   ): lEGKO PROWERQETSQ, ^TO pnj a ;  j ! 0 P p TAK ^TO SLU^AJNAQ WELI^INA n (h(a  a ) ; h(   )) ASIMPTOTI^ESKI NORMALXNA S PARAMETRAMI, KOTORYE WYRAVA@TSQ ^EREZ PERWYE ^ETYRE MOMENTA NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X: 0

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

1

195

2

1

2

x4. oCENKA PARAMETROW. mETOD MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ lEKCIQ 6

mY PRISTUPAEM K IZU^ENI@ BOLEE TO^NOGO METODA OCENKI NEIZWESTNOGO ZNA^ENIQ PARAMETRA. oN PREWOSHODIT METOD MOMENTOW I PRI NALI^II DOSTATO^NYH STATISTIK DAET OPTIMALXNYE OCENKI S TO^KI ZRENIQ KWADRATI^NOGO RISKA. bOLEE TOGO, PRI WYPOLNENII OPREDELENNYH USLOWIJ REGULQRNOSTI \TOT METOD PRIWODIT K ASIMPTOTI^ESKI (n ! 1) OPTIMALXNYM OCENKAM DLQ IROKOGO KLASSA WEROQTNOSTNYH MODELEJ I PRAKTI^ESKI PRI L@BYH FUNKCIQH POTERX. iDEQ METODA SOSTOIT W MATEMATI^ESKOJ FORMALIZACII \RAZUMNOGO" POWEDENIQ ^ELOWEKA W USLOWIQH NEOPREDELENNOSTI. pREDSTAWIM SEBE SITUACI@, ^TO MY OVIDAEM POQWLENIQ ODNOGO IZ NESKOLXKIH SOBYTIJ, WEROQTNOSTI KOTORYH NAM NEIZWESTNY I NAS INTERESU@T NE STOLXKO ZNA^ENIQ \TIH WEROQTNOSTEJ, SKOLXKO TO SOBYTIE, KOTOROE PROISHODIT NAIBOLEE ^ASTO. sITUACIQ OSLOVNQETSQ TEM, ^TO MY RASPOLAGAEM WSEGO ODNIM ISPYTANIEM, W REZULXTATE KOTOROGO PROIZOLO NEKOTOROE SOBYTIE A: kONE^NO, MY PRIMEM REENIE, ^TO A OBLADAET NAIBOLXEJ WEROQTNOSTX@, I WRQD LI MOVNO PREDLOVITX NE^TO BOLEE RAZUMNOE, ^EM TAKOE PRAWILO PRINQTIQ REENIQ. w \TOM I SOSTOIT PRINCIP MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ, KOTORYJ BUKWALXNO PRONIZYWAET WS@ TEORI@ OPTIMALXNOGO STATISTI^ESKOGO WYWODA. pRIMENENIE \TOGO PRINCIPA K PROBLEME OCENKI PARAMETROW PRIWODIT K SLEDU@]EMU STATISTI^ESKOMU PRAWILU: ESLI x n { REZULXTAT NABL@DENIQ SLU^AJNOJ WYBORKI X n  TO ZA OCENKU PARAMETRA SLEDUET BRATX TO EGO ZNA^ENIE, PRI KOTOROM REZULXTAT x n OBLA( )

( )

( )

DAET NAIBOLXIM PRAWDOPODOBIEM.

wY SPROSITE, ^TO TAKOE \PRAWDOPODOBIE" REZULXTATA x n ? dAWAJTE FORMALIZUEM \TO PONQTIE. eSLI NABL@DAETSQ DISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA, TO ESTESTWENNO NAZWATX PRAWDOPODOBIEM REZULXTATA x n PRI FIKSIROWANNOM ZNA^ENII PARAMETRA  WEROQTNOSTX EGO NABL@DENIQ W STATISTI^ESKOM \KSPERIMENTE. nO W DISKRETNOM SLU^AE \TA WEROQTNOSTX SOWPADAET SO ZNA^ENIEM FUNKCII PLOTNOSTI W TO^KE x n : P
(X n = x n ) = fn(x n j ): sLEDOWATELXNO, OCENKA PO METODU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ OPREDELQETSQ TO^KOJ DOSTIVENIQ MAKSIMUMA U FUNKCII PLOTNOSTI SLU( )

( )

( )

196

( )

( )

( )

^AJNOJ WYBORKI, TO ESTX
n  ^n(X n ) = arg max f j : n X
2 ( )

(1)

( )



rASSMOTRIM SRAZU VE PROSTOJ PRIMER. pUSTX X n { WYBORKA W SHEME bERNULLI, I MY OCENIWAEM WEROQTNOSTX  USPENOGO ISHODA. w \TOJ MODELI Xn Xn X n; Xk : n k f (X j ) =  (1 ; ) ( )

( )

1

1

dIFFERENCIRUQ \TU FUNKCI@ PO  I PRIRAWNIWAQ PROIZWODNU@ Xn NUL@, NAHODIM OCENKU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ  = (1=n) Xk : |TO { DAWNO ZNAKOMAQ NAM OCENKA WEROQTNOSTI USPEHA W ISPYTANIQH bERNULLI, KOTORU@ MY POLU^ILI S POMO]X@ MOMENTOW I POSTOQNNO ISPOLXZOWALI PRI ILL@STRACII ZAKONA BOLXIH ^ISEL. tEPERX OPREDELIM PRAWDOPODOBIE W SLU^AE WYBORA IZ NEPRERYWNOGO RASPREDELENIQ S FUNKCIEJ PLOTNOSTI (PO MERE lEBEGA) fn(x n j ) x n 2 Rn  2 : pUSTX x n { SOWOKUPNOSTX WYBORO^NYH DANNYH, TO ESTX TO^KA W n-MERNOM WYBORO^NOM PROSTRANSTWE Rn: oKRUVIM \TU TO^KU PRQMOUGOLXNYM PARALLELEPIPEDOM MALOGO RAZMERA, SKAYn VEM, V" =  xk ; "=2 xk + "=2]: w SILU TEOREMY O SREDNEM DLQ KRATNOGO INTEGRALA WEROQTNOSTX WEKTOR POPA
nTOGO, ^TO WYBORO^NYJ n n DET W \TOT PARALLELEPIPED P X 2 V"  fn(x j )  "  KOGDA " ! 0: eSLI TRAKTOWATX \TU WEROQTNOSTX, KAK PRAWDOPODOBIE REZULXTATA x n  KOTOROE, KONE^NO, ZAWISIT OT WYBORA MALOGO " MY WIDIM, ^TO PROBLEMA MAKSIMIZACII PRAWDOPODOBIQ SWODITSQ K PROBLEME OTYSKANIQ TO^KI DOSTIVENIQ MAKSIMUMA PO WSEM  2  U FUNKCII PLOTNOSTI fn: tAKIM OBRAZOM, I W SLU^AE NEPRERYWNOGO RASPREDELENIQ RAZUMNO NAZWATX PRAWDOPODOBIEM REZULXTATA x n PRI FIKSIROWANNOM ZNA^ENII PARAMETRA  OPQTX-TAKI WELI^INU FUNKCII PLOTNOSTI WYBORKI, TO ESTX fn(x n j ), I OPREDELITX OCENKU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ TOJ VE FORMULOJ (1). rASSMOTRIM PRIMER NA POSTROENIE TAKOJ OCENKI W SLU^AE WYBORA IZ NEPRERYWNOGO RASPREDELENIQ. pUSTX NABL@DAETSQ SLU^AJNAQ WELI^INA X  N (  ) TAK ^TO FUNKCIQ PLOTNOSTI WYBORKI 1

( )

( )

( )

1

( )

( )

( )

( )

( )

2

( 1 X ) 1 n fn(x j ) = (2)n= n exp ; 2 (xk ; )  (n)

2

2

2

197

1

GDE  = ( ) { DWUMERNYJ PARAMETR, ZNA^ENIE KOTOROGO NAM NEIZWESTNO. w SOOTWETSTWII S FORMULOJ (1) NEOBHODIMO OTYSKATX TO^KU DOSTIVENIQ MAKSIMUMA FUNKCII fn(X n j  ) PO PEREMENNYM  2 R I  2 R : eSTESTWENNO, LOGARIFM \TOJ FUNKCII IMEET TE VE TO^KI \KSTREMUMA, ^TO I SAMA FUNKCIQ, NO LOGARIFMIROWANIE UPRO]AET WYKLADKI, PO\TOMU I]EM MAKSIMUM FUNKCII L( j X n ) = ln fn(X n j ) = ; n2 ln 2 ; n ln  ; 21 Xn(Xk ; ) : sOSTAWLQEM URAWNENIQ, OPREDELQ@]IE TO^KI \KSTREMUMA: @ L = 1 Xn(X ; ) = 0 k @ 2 @ L = ; n + 1 Xn(X ; ) = 0: k @   iZ PERWOGO URAWNENIQ SRAZU NAHODIM OCENKU PARAMETRA  : ^n = X: pODSTAWLQQ X WMESTO  WO WTOROE URAWNENIE, NAHODIM OCENKU  : ^n = S (WYBORO^NOE STANDARTNOE OTKLONENIE). o^EWIDNO, (X S ) { TO^KA MAKSIMUMA. tAKIM OBRAZOM, METOD MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ PRIWODIT K TEM VE OCENKAM X I S PARAMETROW  I   ^TO I METOD MOMENTOW. tEPERX DADIM STROGOE OPREDELENIE PRAWDOPODOBIQ I RASSMOTRIM E]E NESKOLXKO PRIMEROW, W KOTORYH METOD MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ DAET OCENKI, OTLI^NYE OT METODA MOMENTOW. oPREDELENIE 4.1. sLU^AJNAQ FUNKCIQ n Y L( j X n ) = f (Xi j ) ( )

+

( )

( )

2

2

1

1

2

2

3

1

2

2

( )

i=1

NA PARAMETRI^ESKOM PROSTRANSTWE  NAZYWAETSQ FUNKCIEJ PRAWDOPODOBIQ, A ZNA^ENIE EE REALIZACII L( j x n ) PRI REZULXTATE NABL@DENIQ X n = x n I FIKSIROWANNOM  =  { PRAWDOPODOBIEM ZNA^ENIQ  PRI REZULXTATE x n : l@BAQ TO^KA ^n = ^n (X n ) (STATISTIKA) PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA  DOSTAWLQ@]AQ ABSOL@TNYJ MAKSIMUM FUNKCII PRAWDOPODOBIQ, NAZYWAETSQ OCENKOJ MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ PARAMETRA : pOSKOLXKU FUNKCIQ PRAWDOPODOBIQ PREDSTAWLQET SOBOJ PROIZWEDENIE FUNKCIJ OT  TO PRI OTYSKANII EE MAKSIMUMA METODAMI DIFFERENCIALXNOGO IS^ISLENIQ UDOBNEE IMETX DELO S LOGARIFMOM \TOJ ( )

0

( )

( )

0

( )

0

( )

198

FUNKCII. eSTESTWENNO, TO^KI \KSTREMUMA U FUNKCII LOGARIFMI^ESKOGO PRAWDOPODOBIQ

L( j X

(n)

)=

n X i=1

ln f (Xi j )

TE VE, ^TO I U FUNKCII L NO ESLI FUNKCIQ L(j x n ) IMEET NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE PO KOMPONENTAM   : : :  k PARAMETRI^ESKOGO WEKTORA  TO PRO]E DIFFERENCIROWATX L ^EM L: w \TOM SLU^AE SISTEMA URAWNENIJ @ L( j X n ) = 0 i = 1 : : :  k (2) @i NAZYWAETSQ URAWNENIQMI PRAWDOPODOBIQ. |TO E]E ODNA RAZNOWIDNOSTX TAK NAZYWAEMYH OCENO^NYH URAWNENIJ, { W PREDYDU]EM PARAGRAFE MY IMELI DELO S URAWNENIQMI METODA MOMENTOW. l@BOE REENIE SISTEMY URAWNENIJ (2), DOSTAWLQ@]EE MAKSIMUM FUNKCII L(jX n ) MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK OCENKA  PO METODU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ. mY NE BUDEM IZU^ATX SLU^AI, KOGDA SISTEMA (2) IMEET NESKOLXKO REENIJ S WOZMOVNO ODINAKOWYMI ZNA^ENIQMI FUNKCII PRAWDOPODOBIQ W \TIH TO^KAH, TAK ^TO TREBU@TSQ DOPOLNITELXNYE APRIORNYE ZNANIQ OTNOSITELXNO WEROQTNOSTNOJ MODELI, POZWOLQ@]IE WYBRATX ODNO IZ \TIH REENIJ. wO WSEH RASSMOTRENNYH NIVE PRIMERAH OCENKA MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ EDINSTWENNA. p R I M E R 4. 1. oCENKA PARAMETRA POLOVENIQ RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ U(0 ). rAWNOMERNOE NA OTREZKE  0  ] RASPREDELENIE IMEET FUNKCI@ PLOTNOSTI f (x j ) = ;  ESLI 0  x   I f (x j ) = 0 WNE \TOGO OTREZKA. sLEDOWATELXNO, FUNKCIQ L( j X n ) OTLI^NA OT NULQ I RAWNA ;n TOLXKO W OBLASTI   X n = max kn Xk : eE MAKSIMUM PO  DOSTIGAETSQ W GRANI^NOJ TO^KE  = X n  TAK ^TO NAIBOLXEE ZNA^ENIE X n WYBORKI X n ESTX OCENKA MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ PARAMETRA : lEGKO WIDETX, ^TO OCENKA  PO METODU MOMENTOW RAWNA 2X: |TA OCENKA NA PORQDOK HUVE OCENKI MAKSIMALXNOGOPRAWDOPODOBIQ  S TO^KI ZRENIQ KWADRATI^NOGO RISKA R( ^n) = E
^n(X n ) ;  : pROSTYE WY^ISLENIQ SOOTWETSTWU@]IH MATEMATI^ESKIH OVIDANIJ POKAZYWA@T, ^TO R( 2X ) = O(n; ) W TO WREMQ KAK R( X n ) = O(n; ): ( )

1

( )

( )

1

( )

1

( )

( )

( )

( )

2

( )

1

( )

199

2

dANNYJ PRIMER INTERESEN TEM, ^TO ZDESX FUNKCIQ PRAWDOPODOBIQ NE IMEET GLADKOGO MAKSIMUMA, I IMENNO \TO OBSTOQTELXSTWO, KAK BUDET WIDNO W DALXNEJEM, OBESPE^IWAET TAKOE RAZLI^NOE POWEDENIE RISKA RASSMATRIWAEMYH OCENOK. p R I M E R 4. 2. oCENKA PARAMETROW GAMMA-RASPREDELENIQ G(a ): u \TOGO RASPREDELENIQ FUNKCIQ PLOTNOSTI ( x) 1 ; f (x j ) = a;( ) x exp ; a  x > 0  = (a ) OTLI^NA OT NULQ TOLXKO NA POLOVITELXNOJ POLUOSI, I LOGARIFMI^ESKOE PRAWDOPODOBIE 1

L(a j X

(n)

n n X X ) = ;n ln a ; n ln ;( ) + ( ; 1) ln Xk ; a1 Xk : 1

1

sOSTAWLQEM URAWNENIQ PRAWDOPODOBIQ: @ L = ; n + 1 Xn X = 0 k @a a a @ L = ;n ln a ; n ( ) + Xn ln X = 0 k @

GDE ( ) = d ln ;( )=d { TAK NAZYWAEMAQ PSI-FUKCIQ |JLERA. iSKL@^AQ IZ PERWOGO URAWNENIQ PARAMETR a I PODSTAWLQQ POLU^ENNYJ REZULXTAT WO WTOROE, POLU^AEM TRANSCENDENTNOE URAWNENIE 2

1

1

n X 1 ln ; ( ) = ln X ; n ln Xk  KOTOROE W SILU SWOJSTWA MONOTONNOSTI FUNKCII ln ; ( ) IMEET EDINSTWENNOE REENIE. pRI ^ISLENNOM REENII \TOGO URAWNENIQ MOVET OKAZATXSQ POLEZNOJ ASIMPTOTI^ESKAQ ( ! 1) FORMULA 1! 1 1 ln ; ( ) = 2 + 12 + O : 1

2

4

p R I M E R 4. 3.

oCENKA PARAMETROW STRUKTURIROWANNOGO SREDNEGO PRI NORMALXNOM RASPREDELENII OTKLIKA. dANNAQ ZADA^A WESXMA ^AS-

TO WOZNIKAET PRI KALIBROWKE KALY PRIBORA. dWE PEREMENNYE x I y SWQZANY LINEJNYM SOOTNOENIEM y = a + bx I DLQ GRADUIROWKI 200

ZNA^ENIJ y NA KALE PRIBORA NEOBHODIMO ZNATX ZNA^ENIQ PARAMETROW a I b \TOJ ZAWISIMOSTI. oDNAKO, DLQ KAVDOGO STANDARTNOGO FIKSIROWANNOGO ZNA^ENIQ x PRIBOR ZAMERQET ZNA^ENIE y S OIBKOJ, TAK ^TO ZAMERY PROISHODQT W RAMKAH WEROQTNOSTNOJ MODELI Y = a + bx +  GDE OIBKA IZMERENIQ (SLU^AJNAQ WELI^INA) IMEET NORMALXNOE RASPREDELENIE S NULEWYM SREDNIM I NEKOTOROJ DISPERSIEJ   ZNA^ENIE KOTOROJ, KAK PRAWILO, TAKVE NE IZWESTNO. sLU^AJNAQ WELI^INA Y OBY^NO NAZYWAETSQ OTKLIKOM NA ZNA^ENIE REGRESSORA x EE RASPREDELENIE PRI FIKSIROWANNOM x O^EWIDNO NORMALXNO (a + bx  ): dLQ OCENKI a I b PROIZWODITSQ n IZMERENIJ OTKLIKA y  : : :  yn PRI NEKOTORYH FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH x  : : :  xn REGRESSORA x OPTIMALXNYJ WYBOR KOTORYH, OBESPE^IWA@]IJ NAIBOLXU@ TO^NOSTX I NADEVNOSTX KALIBROWKI, SOSTAWLQET SAMOSTOQTELXNU@ ZADA^U OSOBOJ OBLASTI MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI { PLANIROWANIE REGRESSIONNYH \KSPERIMENTOW. mY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO ZNA^ENIQ x  : : :  xn APRIORI FIKSIROWANY. w TAKOM SLU^AE ZNA^ENIQ y  : : :  yn PREDSTAWLQ@T REALIZACII n NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN Y  : : :  Yn I Yk  N (a + bxk   ) k = 1 : : :  n: sOWMESTNAQ FUNKCIQ PLOTNOSTI Y  : : :  Yn RAWNA 2

2

1

1

1

1

1

2

1

( 1 X ) 1 n fn(y ) j a b ) = (2)n= n exp ; 2 (yk ; a ; bxk ) )  TAK ^TO LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ PRAWDOPODOBIQ, NEOBHODIMAQ DLQ OCENKI PARAMETROW a, b I  METODOM MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ (n)

2

2

IMEET WID

L(a b  j Y

(n)

1

2

n X ) = ; n2 ln 2 ; n ln  ; 21 (Yk ; a ; bxk ) : 2

2

1

wY^ISLQQ PROIZWODNYE \TOJ FUNKCII PO PEREMENNYM a, b I  POLU^AEM URAWNENIQ PRAWDOPODOBIQ n X 1

n X 1

n

2

(Yk ; a ; bxk ) = 0

xk (Yk ; a ; bxk ) = 0

; X(Y ; a ; bx ) n 1

k

k

201

2

= 0:

kONE^NO, \TO O^ENX PROSTAQ SISTEMA URAWNENIJ, REENIE KOTOROJ NE MOVET WYZYWATX KAKIH-LIBO ZATRUDNENIJ, I MY SRAZU PIEM OCENKI MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ  n  X 1 m m xY xY ^ ^ a^n = Y ; s x bn = s  ^ = n Yk ; a^n ; bnxk  x x GDE 2

2

2

2

1

n n n n X X X X x = n1 xk  Y = n1 Yk  sx = n1 (xk ; x)  SY = n1 (Yk ; Y )  n X mx Y = n1 (xk ; x)(Yk ; Y ): lEGKO WIDETX, ^TO OCENKI PO METODU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ PARAMETROW a I b SOWPADA@T S IH OCENKAMI PO METODU NAIMENXIH KWADRATOW. w \TOM METODE \WYRAWNIWANIQ" \KSPERIMENTALXNYH DANNYH OCENKI Xn I]UTSQ IZ USLOWIQ MINIMIZACII SUMMY KWADRATOW NEWQZOK: (Yk ; a ; bxk )  PRI^EM POD NEWQZKOJ PONIMAETSQ RAZNOSTX MEVDU OTKLIKOM Y I EGO \TEORETI^ESKIM" SREDNIM ZNA^ENIEM a + bx: 2

1

1

2

1

1

1

2

1

p R I M E R 4. 4.

oCENKA PARAMETROW DWUMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ: ZADA^I REGRESSII I PROGNOZA. oCENKA PO METODU MAKSI-

MALXNOGO PRAWDOPODOBIQ PQTI PARAMETROW          DWUMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ S FUNKCIEJ PLOTNOSTI 1

f (x y j ) = 2  1p1 ;  1

8 0 2 < ( x  1 1) @ exp : 2(1 2) 12

;

2 1

2

2

2

2 2



19

; 2 (x ; )(y ;  ) + (y ;  ) A= ; ; NE PREDSTAWLQET OSOBOJ TEHNI^ESKOJ SLOVNOSTI. |TI OCENKI SOWPADA@T S OCENKAMI PO METODU MOMENTOW I, TAKIM OBRAZOM, RAWNY WYBORO^NYM ANALOGAM TEH HARAKTERISTIK DWUMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ, KOTORYE SOOTWETSTWU@T UKAZANNYM PQTI PARAMETRAM: ^ n = X ^ n = Y  ^ n = SX  ^ n = SY  ^n = r: fORMULY DLQ WY^ISLENIQ WYBORO^NYH SREDNIH X I Y  WYBORO^NYH DISPERSIJ S I S  A TAKVE WYBORO^NOGO KO\FFICIENTA KORRELQCII r PRIWEDENY W KONCE x2. 1

2

2 1

1

2

1

2 1

2

2 2

202

2 2

2

2 2

2

2

2

pOLU^ENNYE OCENKI ^ASTO ISPOLXZU@TSQ DLQ OCENKI PARAMETROW LINEJNOGO PROGNOZA Y = a + bX ZNA^ENIJ SLU^AJNOJ WELI^INY Y PO REZULXTATAM NABL@DENIJ X: w SLU^AE NORMALXNOGO RASPREDELENIQ LINEJNYJ PROGNOZ OBLADAET SWOJSTWOM OPTIMALXNOSTI S TO^KI ZRENIQ MALOSTI SREDNEJ KWADRATI^NOJ OIBKI I SOWPADAET S KRIWOJ SREDNEJ KWADRATI^NOJ REGRESSII (SM. PREDLOVENIE 10.3 KURSA tw) y =  +   (x ;  ): 2

2

1

1

oDNAKO FORMALXNAQ PODGONKA PROGNOSTI^ESKOJ KRIWOJ S POMO]X@ PRQMOJ LINII ISPOLXZUETSQ I WNE RAMOK NORMALXNOJ MODELI, I W \TOM SLU^AE OCENKI a^n = Y ; r SS X ^bn = r SS SOWPADA@T S OCENKAMI PO METODU NAIMENXIH KWADRATOW: MINIMIZIRUETSQ, KAK I W PRIMERE 4.3, SUMMA KWADRATOW NEWQZOK n X 1

2

2

1

1

(Yk ; a ; bXk ) : 2

hOTQ OCENKI W OBOIH PRIMERAH IME@T ODINAKOWYJ WID, NO REAEMYE W NIH STATISTI^ESKIE PROBLEMY WESXMA RAZLI^NY: W PRIMERE 4.3 OCENIWALISX PARAMETRY NEKOTOROJ FUNKCIONALXNOJ ZAWISIMOSTI S OIBKAMI W NABL@DENIQH OTKLIKA, W TO WREMQ KAK W PRIMERE 4.4 REAETSQ ZADA^A WYQWLENIQ KORRELQCIONNOJ SWQZI I ISPOLXZOWANIQ \TOJ SWQZI DLQ PROGNOZA. lEKCIQ 7

iSSLEDUEM TEPERX ASIMPTOTI^ESKIE SWOJSTWA OCENOK PO METODU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ. nA^NEM S WYQSNENIQ DOSTATO^NYH USLOWIJ SOSTOQTELXNOSTI \TIH OCENOK. tAKIE OGRANI^ENIQ NA WEROQTNOSTNU@ MODELX OBY^NO NAZYWA@TSQ USLOWIQMI REGULQRNOSTI, I W DANNOM SLU^AE ONI IME@T SLEDU@]IJ WID. (R1) pARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO  ESTX OTKRYTYJ INTERWAL NA PRQMOJ R: 203

(R2) nOSITELX X RASPREDELENIQ P
NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X NE ZAWISIT OT  TO ESTX WSE MNOVESTWA X = fx : f (x j ) > 0g MOVNO S^ITATX ODINAKOWYMI, KAKOWO BY NI BYLO  2 : (R3) rASPREDELENIQ P
RAZLI^NY PRI RAZNYH  TO ESTX PRI L@BYH  6=      2  IMEET MESTO TOVDESTWO fx : x 2 X f (x j  ) = f (x j  )g = 0 GDE  { MERA, PO KOTOROJ WY^ISLQETSQ PLOTNOSTX f (x j ) RASPREDELENIQ P
: 1

2

1

2

1

2

dOKAZATELXSTWO SOSTOQTELXNOSTI OCENOK MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ, KAK I OCENOK PO METODU MOMENTOW, OPIRAETSQ NA ZAKON BOLXIH ^ISEL, NO PRI \TOM ISPOLXZUETSQ SLEDU@]EE DOSTATO^NO PROSTOE, NO IGRA@]EE BOLXU@ ROLX W TEORII WEROQTNOSTEJ, NERAWENSTWO. lEMMA 4.1. (NERAWENSTWO jENSENA) pUSTX X { SLU^AJNAQ WELI^INA S KONE^NYM MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM. eSLI FUNKCIQ g () DWAVDY DIFFERENCIRUEMA I WYPUKLA (g 00 > 0) NA NEKOTOROM INTERWALE, SODERVA]EM NOSITELX RASPREDELENIQ X I MATEMATI^ESKOE OVIDANIE E g(X ) SU]ESTWUET, TO SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO E g(X )  g(EX )

PRI^EM ZNAK RAWENSTWA DOSTIGAETSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA RASPREDELENIE X SOSREDOTO^ENO W ODNOJ TO^KE (X = const:):

d O K A Z A T E L X S T W O. tAK KAK FUNKCIQ g DWAVDY DIFFERENCIRUEMA, TO SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE PREDSTAWLENIE tEJLORA W OKRESTNOSTI TO^KI  = EX : g(X ) = g() + (X ; )g0() + (X ; ) g00( + (X ; ))=2 0 < < 1: wY^ISLQQ MATEMATI^ESKOE OVIDANIE OT OBEIH ^ASTEJ \TOGO RAWENSTWA, POLU^AEM E g(X ) = g(EX ) + E(X ; ) g00 ( + (X ; ))=2  g(EX ): zNAK RAWENSTWA WOZMOVEN TOLXKO W SLU^AE E(X ; ) g00( + (X ; )) = 0: nO POSKOLXKU g00 > 0 TO POSLEDNEE RAWENSTWO S NEOBHODIMOSTX@ WLE^ET (X ; ) = 0 TO ESTX X = const: pOKAVEM TEPERX, ^TO SPRAWEDLIWA tEOREMA 4.1 (SOSTOQTELXNOSTX). eSLI FUNKCIQ LOGARIFMI^ESKOGO 2

2

2

2

PRAWDOPODOBIQ

L(  j X

(n)

)=

n X k =1

204

ln f (Xk j )

(3)

IMEET EDINSTWENNYJ MAKSIMUM, TO PRI WYPOLNENII USLOWIJ REGULQRNOSTI (R1){(R3) TO^KA ^n DOSTIVENIQ MAKSIMUMA \TOJ FUNKCII (OCENKA MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ) QWLQETSQ SOSTOQTELXNOJ OCENKOJ PARAMETRA :

d O K A Z A T E L X S T W O. pOKAVEM, ^TO DLQ L@BOGO FIKSIROWANNOGO  ^  2  I L@BOGO " > 0 WEROQTNOSTX P
j n ;  j < " ! 1: eSLI  { ISTINNOE ZNA^ENIE PARAMETRA  TO W SILU USLOWIQ (R1)  { WNUTRENNQQ TO^KA . tOGDA SFORMULIROWANNAQ WYE ZADA^A SOSTOIT W DOKAZATELXSTWE SLEDU@]EGO UTWERVDENIQ: W NEKOTOROJ "-OKRESTNOSTI ( ; "  + ") FUNKCIQ L( j X n ) OBLADAET LOKALXNYM MAKSIMUMOM S WEROQTNOSTX@, STREMQ]EJSQ K EDINICE PRI n ! 1: nO ESLI PROISHODIT SOBYTIE n o An = L( j X n ) > L( " j X n )  TO WNUTRI \TOJ OKRESTNOSTI IMEETSQ TO^KAMAKSIMUMA, I NAM  OSTAETSQ TOLXKO POKAZATX, ^TO P
(An) ! 1 IBO P
j ^n ;  j < "  P
(An): iSPOLXZUQ USLOWIE (R2) I WID FUNKCII L (SM. (3)), PREDSTAWIM NERAWENSTWO, OPREDELQ@]EE SOBYTIE An W WIDE n 1X f (Xk j  ") < 0: ln nk f (Xk j  ) w SILU ZAKONA BOLXIH ^ISEL hIN^INA LEWAQ ^ASTX \TOGO NERAWENSTWA SHODITSQ PO WEROQTNOSTI K f (Xk j  ")  E
ln (4) f (Xk j  ) I DLQ DOKAZATELXSTWA UTWERVDENIQ DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO \TO MATEMATI^ESKOE OVIDANIE STROGO MENXE NULQ (KSTATI, DOKAVITE SAMI, ^TO PRI SPRAWEDLIWOSTI USLOWIJ TEOREMY MATEMATI^ESKOE OVIDANIE (4) WSEGDA SU]ESTWUET, W PROTIWNOM SLU^AE ZAKON BOLXIH ^ISEL hIN^INA NE PRIMENIM). tAK KAK g(x) = ; ln x { WYPUKLAQ FUNKCIQ, TO W SILU NERAWENSTWA jENSENA f (X j  ")  ln E f (X j  ") = E
ln
f (X j  ) f (X j  ) Z f (x j  ") ln f (x j  )  f (x j  )d(x) = ln 1 = 0 0

0

0

0

0

0

( )

0

( )

0

0

0

( )

0

0

0

0

=1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

X

0

0

205

0

0

PRI^EM RAWENSTWO NUL@ PERWOGO ^LENA W \TOJ CEPO^KE NERAWENSTW WOZMOVNO LIX W SLU^AE f (X j  ") = const: f (X j  ) TO ESTX, POSKOLXKU INTEGRAL OT PLOTNOSTI RAWEN 1, LIX W SLU^AE f (X j  ") = f (X j  ) ^TO NEWOZMOVNO W SILU USLOWIQ (R3). tAKIM OBRAZOM, MATEMATI^ESKOE OVIDANIE (4) STROGO MENXE NULQ, I SOSTOQTELXNOSTX OCENKI MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ DOKAZANA. iZU^IM TEPERX ASIMPTOTI^ESKOE RASPREDELENIE OCENKI MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ. dLQ \TOGO NAM POTREBUETSQ WWESTI DOPOLNITELXNYE USLOWIQ REGULQRNOSTI. 0

0

0

0

(R4) dLQ KAVDOJ TO^KI  PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA  SU]ESTWUET NEKOTORAQ EE OKRESTNOSTX, W KOTOROJ FUNKCIQ PLOTNOSTI f (x j) TRIVDY DIFFERENCIRUEMA PO PARAMETRU  I    @f (x j )  (5)  @   H (x)    @ f (x j )  (6)  @   H (x)    @ ln f (x j )    H (x)  @ PRI^EM FUNKCII H i H INTEGRIRUEMY PO MERE  NA NOSITELE X RASPREDELENIQ X I E
H (X ) < 1 W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI  PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA : (R5) fUNKCIQ 0

1

2

2

2

3

3

1

3

2

3

12 Z 0 12 0 @ ln f ( x  ) @ ln f ( X  ) I () = E
@ @ A = @ @ A f (x ) d(x) > 0 X

j

j

j

KAKOWO BY NI BYLO  2 :

eSTESTWENNO, STOLX GROMOZDKIE I, NA PERWYJ WZGLQD, STRANNYE USLOWIQ TREBU@T NEKOTOROGO KOMMENTARIQ. 206

uSLOWIE (R4) OZNA^AET, ^TO SOOTWETSTWU@]IE PROIZWODNYE FUNKCII PLOTNOSTI RAWNOMERNO INTEGRIRUEMY NA X I PO\TOMU MOVNO WYNOSITX PROIZWODNU@ PO  ZA ZNAK INTEGRALA. uSLOWIE (R5) TREBUET POLOVITELXNOSTI O^ENX WAVNOJ, S TO^KI ZRENIQ SOSTOQTELXNOSTI STATISTI^ESKOGO WYWODA, HARAKTERISTIKI WEROQTNOSTNOJ MODELI: I () NAZYWAETSQ INFORMACIEJ PO fIERU W TO^KE  SODERVA]EJSQ W NABL@DENII SLU^AJNOJ WELI^INY X: eSLI I () = 0 TO WOZNIKA@T NEPREODOLIMYE TRUDNOSTI S PRINQTIEM KORREKTNOGO REENIQ, SOOTWETSTWU@]EGO \TOJ PARAMETRI^ESKOJ TO^KE : pONQTNO, ^TO ANALOGI^NYM OBRAZOM MOVNO OPREDELITX I INFORMACI@ PO fIERU, SODERVA]U@SQ W SLU^AJNOJ WYBORKE X n : 0 1 n @ ln f ( X j  ) n A : In() = E
@ @ pRIWEDEM NESKOLXKO UTWERVDENIJ, KASA@]IHSQ SWOJSTW INFORMACII PO fIERU. lEMMA 4.2. 1 : pRI WYPOLNENII USLOWIQ (R4) W ^ASTI (6) DLQ WY( )

( )

2

0

^ISLENIQ INFORMACII PO fIERU MOVNO ISPOLXZOWATX FORMULU

f (X j  ) : I () = ; E
@ ln @ 2

2

2 : pRI WYPOLNENII USLOWIQ (R4) W ^ASTI (5) INFORMACIQ PO fIERU OBLADAET SWOJSTWOM ADDITIWNOSTI In () = nI () { INFORMACIQ, 0

SODERVA]AQSQ W WYBORKE, RAWNA SUMME INFORMACIJ, SODERVA]IHSQ W NABL@DENII KAVDOJ EE KOMPONENTY.

d O K A Z A T E L X S T W O. 1 : uSLOWIE (R4) W ^ASTI (6) OBESPE^IWAET WOZMOVNOSTX SMENY PORQDKA DIFFERENCIROWANIQ I INTEGRIROWANIQ FUNKCII PLOTNOSTI, PO\TOMU 0 0 0 11 00 @ ln f (X j ) = E B@ f

(X j ) ; @ f
(X j ) A CA = E

@ f (X j  ) f (X j  ) Z Z f

00 (x j ) d  f (x j )d(x) ; I () = d f (x j )d(x) ; I () = ;I (): f ( x j  ) X X 0

2

2

2

2

2

207

2 : iSPOLXZUQ NEZAWISIMOSTX I ODINAKOWU@ RASPREDELENNOSTX KOMPONENT SLU^AJNOJ WYBORKI, POLU^AEM, ^TO 0 Xn 1 @ ln f ( X j  ) k A = In() = E
@ @ 0

2

1

0 0 12 n X @ ln f ( X  ) k A @ @ E
B

j

1 X @ ln f (Xi ) @ ln f (Xj ) C A=

j 

;6

j

@ @ @ i j 0 1 n X @ ln f ( X j  ) k A ; X E
@ ln f (Xi j )  E
@ ln f (Xj j ) = nI () E
@ @ @ @ k i6 j POSKOLXKU, W SILU NERAWENSTWA (5) W USLOWII (R4), MATEMATI^ESKOE OVIDANIE Z f
0 (x j ) Z @ ln f ( X j  ) d E
= f (x j )  f (x j ) d(x) = d f (x j ) d(x) = 0: @ X X k =1

=

2

=1

=

tEPERX PRISTUPIM K WYWODU ASIMPTOTI^ESKOGO RASPREDELENIQ OCENKI MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ SKALQRNOGO PARAMETRA : tEOREMA 4.2 (ASIMPTOTI^ESKAQ NORMALXNOSTX ). pRI WYPOLNENII n ^ ^ USLOWIJ (R1){(R5) L@BOJ KORENX n = n (X ) URAWNENIQ PRAWDOPODOBIQ @ L( j X n )=@ = 0 ASIMPTOTI^ESKI (n ! 1) NORMALEN SO SREDNIM  I DISPERSIEJ (nI ());  TO ESTX   q ^ lim P (n ; ) nI () < x = (x): n!1
( )

( )

1

d O K A Z A T E L X S T W O. eSLI ^n { OCENKA PO METODU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ (KORENX URAWNENIQ PRAWDOPODOBIQ), TO IMEET MESTO TOVDESTWO @ L(^n j X n )=@ = 0: iSPOLXZUQ USLOWIE (R4), RAZLOVIM EGO LEWU@ ^ASTX PO FORMULE tEJLORA W OKRESTNOSTI ISTINNOGO ZNA^ENIQ  PARAMETRA  : @ L(^n j X n )=@ = L0( j X n )+ (^n ;  )L00 ( j X n ) + (^n ;  ) L000( j X n )=2 = 0 GDE PROIZWODNYE OT FUNKCII PRAWDOPODOBIQ L WY^ISLQ@TSQ PO PARAMETRU  A  =  + (^n ;  ) 0 < < 1: ( )

0

( )

0

1

0

0

0

( )

0

0

208

2

( )

1

( )

rAZREIM POLU^ENNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO WELI^INY pn(^n ;  ) KOTORAQ, SOGLASNO UTWERVDENI@ TEOREMY, DOLVNA IMETX W PREDELE PRI n ! 1 NORMALXNOE RASPREDELENIE SO SREDNIM 0 I DISPERSIEJ  I ( ) ]; : pn(^n ;  ) = L0( j X n )=pn ;L00( j X n )=n ; (^n ;  )L000( j X n )=2n : (7) ~ISLITELX PRAWOJ ^ASTI \TOGO PREDSTAWLENIQ n @ ln f (X j  ) X 1 1 k 0 n pn L ( j X ) = pn @ ESTX NORMIROWANNAQ NA pn SUMMA NEZAWISIMYH, ODINAKOWO RASPREDELENNYH SLU^AJNYH WELI^IN S NULEWYMI SREDNIMI I DISPERSIQMI I ( ) > 0 (SM. DOKAZATELXSTWO PUNKTA 2 LEMMY 4.2). tAKIM OBRAZOM, W SILU CENTRALXNOJ PREDELXNOJ TEOREMY ^ISLITELX PRAWOJ ^ASTI (7) ASIMPTOTI^ESKI NORMALEN S \TIMI PARAMETRAMI, I DLQ ZAWERENIQ DOKAZATELXSTWA TEOREMY DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO ZNAMENATELX (7) SHODITSQ PO WEROQTNOSTI K POSTOQNNOJ I ( ) I SOSLATXSQ NA PUNKT (2) PREDLOVENIQ 11.1 (TEOREMA TIPA sLUCKOGO) KURSA tw. w SILU ZAKONA BOLXIH ^ISEL I UTWERVDENIQ 1 LEMMY 4.2 PERWOE SLAGAEMOE W ZNAMENATELE (7) ; n1 L00( j X n ) = ; n1 Xn @ ln f@(Xk j  ) !P ;E
@ ln f@(X j  ) = I ( ) TAK ^TO OSTAETSQ POKAZATX, ^TO I WTOROE SLAGAEMOE SHODITSQ PO WEROQTNOSTI K NUL@. tAK KAK PRI WYPOLNENII USLOWIJ (R1){(R3) OCENKA MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ SOSTOQTELXNA, TO ^n ;  ! 0: mNOVITELX PRI \TOJ P RAZNOSTI n @ ln f (X j  ) 1 L000( j X n ) = 1 X k n n @ W SILU USLOWIQ (R4), NA^INAQ S NEKOTOROGO n PO ABSOL@TNOJ WELI^INE Xn NE PREWOSHODIT (1=n) H (Xk ) (\TO TO n PRI KOTOROM  POPADAET W OKRESTNOSTX TO^KI  ). pRIMENQQ K \TOJ SUMME ZAKON BOLXIH ^ISEL, POLU^AEM, ^TO ONA SHODITSQ PO WEROQTNOSTI K E
H (X ) < 1 0

0

1

( )

0

0

( )

0

0

( )

1

( )

0

1

0

0

0

0

0

2

( )

2

0

1

0

0

2

2

0

3

( )

1

1

1

3

1

3

1

0

0

3

209

0

I PO\TOMU UKAZANNYJ WYE SOMNOVITELX OGRANI^EN S WEROQTNOSTX@ EDINICA, A WSE WTOROE SLAGAEMOE W ZNAMENATELE PRAWOJ ^ASTI (7) SHODITSQ PO WEROQTNOSTI K NUL@. dOKAZANNAQ TEOREMA, KAK BUDET WIDNO IZ OSNOWNOGO REZULXTATA SLEDU@]EGO PARAGRAFA, USTANAWLIWAET ASIMPTOTI^ESKU@ OPTIMALXNOSTX OCENOK MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ S TO^KI ZRENIQ KWADRATI^NOGO RISKA.

210

x5. |FFEKTIWNOSTX OCENOK lEKCIQ 8

oBSUVDAQ W NA^ALE NAEGO KURSA OB]U@ PROBLEMU STATISTI^ESKOGO WYWODA, MY GOWORILI O GLAWNOJ ZADA^E MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI { POSTROENII REA@]IH PRAWIL
n =
n(X n ), MINIMIZIRU@]IH RAWNOMERNO PO WSEM  2  FUNKCI@ RISKA R(
n): k SOVALENI@, BEZ DOPOLNITELXNYH OGRANI^ENIJ NA KLASS REA@]IH FUNKCIJ \TA ZADA^A NE RAZREIMA. dEJSTWITELXNO, RASSMOTRIM PROBLEMU OCENKI PARAMETRA  W KOTOROJ PROSTRANSTWO REENIJ D SOWPADAET S PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM  A REA@]AQ FUNKCIQ
n = ^n { OCENKA : wOZXMEM W KA^ESTWE OCENKI NEKOTORU@ FIKSIROWANNU@ TO^KU  2  TO ESTX PRI L@BOM REZULXTATE x n STATISTI^ESKOGO \KSPERIMENTA BUDEM PRINIMATX ODNO I TO VE REENIE d =  : eSLI FUNKCIQ POTERX OBLADAET TEM ESTESTWENNYM SWOJSTWOM, ^TO L( ) = 0 KAKOWO BY NI BYLO ZNA^ENIE  2  TO RISK TAKOJ OCENKI R(  ) = L(  ) PRI  =  RAWEN NUL@. tAKIM OBRAZOM, ESLI MY HOTIM POSTROITX OCENKU S RAWNOMERNO MINIMALXNYM RISKOM W KLASSE WSEWOZMOVNYH OCENOK  TO MY DOLVNY NAJTI OCENKU n
S FUNKCIEJ RISKA R( n
)  0 I PONQTNO, ^TO TAKOJ OCENKI NE SU]ESTWUET. pO\TOMU MY BUDEM WSEGDA PRI POISKE OPTIMALXNYH REENIJ UKAZYWATX KLASS OCENOK, W KOTORYH I]ETSQ OPTIMALXNOE REENIE. oPREDELENIE 5.1. oCENKA n
= n
(X n ) NAZYWAETSQ OPTIMALXNOJ ILI OCENKOJ S RAWNOMERNO MINIMALXNYM RISKOM W KLASSE K OCENOK PARAMETRA  ESLI DLQ L@BOJ OCENKI ^n 2 K I KAVDOGO  2  IMEET MESTO NERAWENSTWO R( n
)  R( ^n): nIVE PREDLAGAETSQ METOD NAHOVDENIQ OPTIMALXNYH OCENOK SKALQRNOGO PARAMETRA  PRI KWADRATI^NOJ FUNKCII POTERX W KLASSE NESME]ENNYH OCENOK: E
^n(X n ) =  PRI L@BOM  2   R NO PRI DOPOLNITELXNYH OGRANI^ENIQH NA WEROQTNOSTNU@ MODELX I SOOTWETSTWU@]EE SEMEJSTWO RASPREDELENIJ OCENKI. |TI OGRANI^ENIQ ANALOGI^NY TEM USLOWIQM REGULQRNOSTI, KOTORYE MY NAKLADYWALI NA WEROQTNOSTNU@ MODELX PRI IZU^ENII ASIMPTOTI^ESKIH SWOJSTW OCENOK MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ. mY POKAVEM, ^TO KWADRATI^NYJ RISK L@BOJ NESME]ENNOJ OCENKI, UDOWLETWORQ@]EJ \TIM USLOWIQM, NE MOVET BYTX MENXE nI ()]; { ASIMPTOTI^ESKOJ DISPERSII OCENKI MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ (SM. TEOREMA 4.2). sLEDOWATELXNO, METOD ( )

0

( )

0

0

0

( )

( )

1

211

0

MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ DOSTAWLQET ASIMPTOTI^ESKOE REENIE PROBLEMY OPTIMALXNOJ OCENKI. bOLEE TOGO, MY POKAVEM, ^TO PRI NALI^II DOSTATO^NYH STATISTIK METOD MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ MOVET PRIWESTI I K TO^NOMU REENI@ PROBLEMY RAWNOMERNOJ MINIMIZACII FUNKCII RISKA. sFORMULIRUEM USLOWIQ REGULQRNOSTI, PRI WYPOLNENII KOTORYH BUDET NAHODITXSQ NIVNQQ (DOSTIVIMAQ!) GRANICA KWADRATI^NOGO RISKA OCENKI. nOSITELX X RASPREDELENIQ P
NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X NE ZAWISIT OT  2  (USLOWIE, SOWPADA@]EE S (R2) W x4). (B2) iNFORMACIQ PO fIERU I ( ) STROGO POLOVITELXNA PRI L@BOM  2  (USLOWIE, SOWPADA@]EE S (R5) W x4). (B3) rAWENSTWO Z n n Xn fn(x j ) dn (x ) = 1 MOVNO DIFFERENCIROWATX PO  POD ZNAKOM INTEGRALA, TO ESTX Z 0 n n j  ) dn (x ) = 0: n fn (x X pO ANALOGII S (R4) W ^ASTI (5) DLQ \TOGO DOSTATO^NO POTREBOWATX SU]ESTWOWANIE TAKOJ INTEGRIRUEMOJ PO MERE  FUNKCII H (x) ^TO W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI L@BOJ TO^KI  2  WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO j @f (x j )=@ j  H (x) x 2 X : ^ =  ^ (X n ) DOLVNA PRINADLEVATX KLASSU OCENOK K0  (B4) oCENKA  n n SREDNEE ZNA^ENIE KOTORYH Z n ^ E
n(X ) = Xn ^n(x n )fn(x n j ) dn (x n ) MOVNO DIFFERENCIROWATX PO  2  POD ZNAKOM INTEGRALA. kONE^NO, USLOWIE (B4) TREBUET KOMMENTARIQ. w \WYSOKOJ" TEORII STATISTI^ESKOGO WYWODA PRIWODQTSQ DOSTATO^NYE USLOWIQ NA SEMEJSTWO RASPREDELENIJ fP
  2 g NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X KOTORYE OBESPE^IWA@T WYPOLNENIE USLOWIQ (B4), NO FORMULIROWKA \TIH USLOWIJ I, W OSOBENNOSTI, DOKAZATELXSTWO TOGO, ^TO ONI WLEKUT (B4), NASTOLXKO TEHNI^ESKI I KONCEPTUALXNO SLOVNY, ^TO MOGUT SOSTAWITX PREDMET SPECIALXNOGO KURSA. oDNAKO WSE IZU^AEMYE NAMI W

(B1)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

212

( )

( )

KURSE tw WEROQTNOSTNYE MODELI, ZA ISKL@^ENIEM RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ, UDOWLETWORQ@T \TIM USLOWIQM, I PO\TOMU L@BAQ OCENKA IH PARAMETROW PRINADLEVIT KLASSU K0: pREVDE, ^EM POLU^ITX OSNOWNOJ \TEHNI^ESKIJ" REZULXTAT \TOGO PARAGRAFA, WSPOMNIM ODNO ZAME^ATELXNOE NERAWENSTWO IZ KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. |TO { NERAWENSTWO kOI{bUNQKOWSKOGO, KOTOROE W SLU^AE INTEGRALOW lEBEGA PO WEROQTNOSTNOJ MERE P NAZYWAETSQ NERAWENSTWOM {WARCA. pUSTX Y { SLU^AJNAQ WELI^INA S RASPREDELENIEM P I g h { DWE INTEGRIRUEMYE S KWADRATOM PO MERE P FUNKCII NA OBLASTI Y ZNA^ENIJ Y: dLQ \TIH FUNKCIJ IMEET MESTO NERAWENSTWO (E g (Y )h(Y ))  E g (Y )  E h (Y ) ILI, ^TO TO VE, 2

2

2


Z

2

Z

Z

g(y)h(y) dP (y)  Y g (y)dP (y)  Y h (y)dP (y) PRI^EM ZNAK RAWENSTWA DOSTIGAETSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA FUNKCII g I h LINEJNO ZAWISIMY: SU]ESTWU@T TAKIE POSTOQNNYE a I b ^TO ag(y) + bh(y) = 0 DLQ PO^TI WSEH y 2 Y PO MERE P: tEOREMA 5.1. (NERAWENSTWO rAO{kRAMERA) pRI WYPOLNENII USLOWIJ (B1){(B4) DLQ KWADRATI^NOGO RISKA L@BOJ OCENKI ^n 2 K0 SPRA2

2

Y

WEDLIWO NERAWENSTWO

E





 X ^ ( n

(n)

)

2

; D

( )=d ]  X )  dnI  ( )

^
n(

2

(n)

(1)

GDE  () = E
^n (X (n) ) PRI^EM ZNAK RAWENSTWA MEVDU RISKOM I DISPERSIEJ OCENKI ^n DOSTIGAETSQ NA NESME]ENNYH OCENKAH:  () =  A ZNAK RAWENSTWA WO WTOROM NERAWENSTWE (1) IMEET MESTO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET TAKAQ PARAMETRI^ESKAQ FUNKCIQ C ()  2  ^TO

@ L( j X n )  X ) ;  () = C () @ PO^TI NAWERNOE PO MERE P
: d O K A Z A T E L X S T W O. pRODIFFERENCIRUEM OBE ^ASTI RAWENSTW Z n n Xn fn(x j ) dn (x ) = 1 ^ ( n

( )

(n)

( )

Z

( )

n n n ^ Xn n(x )fn(x j ) dn (x ) =  () ( )

( )

213

( )

(2)

PO PARAMETRU  ZANOSQ PROIZWODNYE W LEWYH ^ASTQH POD ZNAKI INTEGRALOW, ^TO MOVNO SDELATX BLAGODARQ USLOWIQM (B3) I (B4). pOLU^ENNYJ REZULXTAT, ISPOLXZUQ USLOWIE (B1), PREDSTAWIM W WIDE Z @ L( j x n ) n n f j  ) dn (x ) = 0 n n (x X @ n Z ) n @ L( j x n n 0 ^ n n (x ) X @ fn(x j ) dn(x ) =  (): wY^TEM IZ WTOROGO RAWENSTWA PERWOE, UMNOVIW EGO PREDWARITELXNO NA  () :  @ L( j x n ) Z
n n 0 n ^ f j  ) dn (x ) =  ( ): n n (x ) ;  ( ) n (x X @ pRIMENIM K LEWOJ ^ASTI POLU^ENNOGO RAWENSTWA NERAWENSTWO {WARCA, POLAGAQ y = x n  Y = Xn g(x n ) = ^n(x n ) ;  () h(x n ) = @ L( j x n )=@ dP (y) = fn(x n j )dn(x n ): w REZULXTATE POLU^IM NERAWENSTWO  Z
n n n ^ ( 0( ))  Xn n(x ) ;  () fn(x j ) dn (x ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

( )

( )

( )

( )

Z

( )

( )

( )

( )

2

( )

( )

( )

0 12 (n) @ L ( j x ) @ A fn(x(n) j ) dn (x(n) ) n

X

(3) @ W KOTOROM ZNAK RAWENSTWA DOSTIGAETSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA WYPOLNQETSQ SOOTNOENIE (2). mY POLU^ILI NERAWENSTWA (1), POSKOLXKU PERWOE IZ NIH O^EWIDNO (NA DISPERSII DOSTIGAETSQ MINIMUM WSEWOZMOVNYH SREDNIH KWADRATI^NYH UKLONENIJ SLU^AJNOJ WELI^INY OT POSTOQNNOJ). wTOROE NERAWENSTWO W (1) ESTX SLEDSTWIE NERAWENSTWA (3), IBO PERWYJ INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (3) RAWEN D
^n A WTOROJ INTEGRAL OPREDELQET FIEROWSKU@ INFORMACI@ In() SODERVA]U@SQ W WYBORKE. nAKONEC, IZ PUNKTA 2 LEMMY 4.2 SLEDUET, ^TO In() = nI (): sLEDSTWIE 5.1. eSLI ^n PRINADLEVIT PODKLASSU K  K0 NESME]ENNYH OCENOK KLASSA K0  TO EE KWADRATI^NYJ RISK R( ^n) = D
^n  n I ()];  (4) 0

1

PRI^EM ZNAK RAWENSTWA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA WYPOLNQETSQ RAWENSTWO (2) S  () = : 214

pONQTNO, ^TO \TO SLEDSTWIE ESTX ^ASTNYJ SLU^AJ DOKAZANNOJ TEOREMY. oNO UKAZYWAET NEKONSTRUKTIWNYJ PUTX K POSTROENI@ NESME]ENNYH OCENOK S RAWNOMERNO MINIMALXNYM RISKOM. dOSTATO^NO WY^ISLITX PROIZWODNU@ W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (2) I ZATEM PODBIRATX STATISTIKU ^n = ^n(X n ) I PARAMETRI^ESKU@ FUNKCI@ C () DLQ KOTORYH IMEET MESTO RAWENSTWO @ L( j X n ) n ^ n(X ) ;  = C () @ : oBY^NO \TO MOVNO SDELATX W SLU^AE STATISTI^ESKIH STRUKTUR, OBLADA@]IH DOSTATO^NYMI STATISTIKAMI, GDE, W SILU TEOREMY FAKTORIZACII (TEOREMA 2.1 IZ x2), FUNKCIQ PRAWDOPODOBIQ L( j X n ) = g
(T (X n ))h(X n ) I POSLEDNEE RAWENSTWO IMEET WID n @ ln g
(T (X )) n ^ n(X ) ;  = C () : (5) @ nAPRIMER, DLQ POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ S FUNKCIEJ PLOTNOSTI f (x j ) = ; expf;x=g x > 0 FUNKCIQ n ; Xn ln g
(X ) = ;n ln  ;  X EE PROIZWODNAQ X @ ln g
(T (X n ))=@ = ;n= + n X=  I RAWENSTWO (5) WYPOLNQETSQ PRI C () =  =n I ^n = X: tAKIM OBRAZOM, WYBORO^NOE SREDNEE X ESTX NESME]ENNAQ OCENKA S RAWNOMERNO MINIMALXNYM RISKOM DLQ PARAMETRA  POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ. nAPOMNIM, ^TO X OCENKA  KAK PO METODU MOMENTOW, TAK I PO METODU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ. lEGKO PONQTX, ^TO ESLI W (4) DOSTIGAETSQ ZNAK RAWENSTWA, TO ^n { OPTIMALXNAQ OCENKA W KLASSE K NO OBRATNOE, WOOB]E GOWORQ, MOVET I NE WYPOLNQTXSQ { MY NE RASPOLAGAEM UTWERVDENIEM, ^TO L@BAQ OPTIMALXNAQ OCENKA IMEET KWADRATI^NYJ RISK, RAWNYJ n I ()]; : ~TOBY POD^ERKNUTX \TO RAZLI^IE I UKAZATX W DALXNEJEM BOLEE KONSTRUKTIWNYJ METOD POSTROENIQ OPTIMALXNYH OCENOK, WWEDEM E]E ODNO OPREDELENIE, RASSMOTREW BOLEE OB]U@ ZADA^U NESME]ENNOJ OCENKI NEKOTOROJ PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII  (): ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

( )

1

1

( )

2

1

2

1

215

nESME]ENNAQ OCENKA ^n = ^n(X n ) PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII  () NAZYWAETSQ\FFEKTIWNOJ W KLASSE K ESLI EE KWADRATI^NYJ RISK R(  ^n) = E
^n(X n ) ;  () = D
^n(X n ) = 0 ^ = 

 ( ) ] =n I ( ) TO ESTX (SM. TEOREMU 5.1 S  ^n ) WYPOLNQETSQ RAn WENSTWO @ L( j X n ) n ^n(X ) ;  () = C () @ : (6) oCENKA ^n NAZYWAETSQ ASIMPTOTI^ESKI \FFEKTIWNOJ W KLASSE K0 ESLI E
^n(X n )  () I D
^n(X n )  0()=n I () KOGDA n ! 1: w SILU TEOREMY 4.2 OCENKA PO METODU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ SKALQRNOGO PARAMETRA  (W DANNOM SLU^AE  () = ) QWLQETSQ ASIMPTOTI^ESKI \FFEKTIWNOJ OCENKOJ W KLASSE K0: pOKAVEM, ^TO ONA DAET REENIE PROBLEMY POSTROENIQ \FFEKTIWNOJ OCENKI W KLASSE K: pUSTX ^n { OCENKA MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ PARAMETRA : oPREDELIM OCENKU  (^n) PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII  () S POMO]X@ PODSTANOWKI WMESTO  EE OCENKI ^n: tEOREMA 5.2. eSLI  (^n) ESTX NESME]ENNAQ OCENKA PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII  () I \FFEKTIWNAQ W KLASSE K OCENKA n
PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII  () SU]ESTWUET, TO PRI WYPOLNENII USLOWIJ REGULQRNOSTI (R1){(R5) I (B3){(B4) PO^TI NAWERNOE n
(X n ) =  (^n (X n )): oPREDELENIE 5.2.

( )

2

( )

( )

2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

d O K A Z A T E L X S T W O. eSLI n
{ \FFEKTIWNAQ OCENKA  () TO ONA UDOWLETWORQET RAWENSTWU (6): n
(X n ) ;  () = C ()@ L( j X n )=@ (7) KAKOWO BY NI BYLO  2 : nO ESLI ^n { OCENKA PO METODU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ, TO @ L(^n j X n )=@ = 0 TAK ^TO RAWENSTWO (7) PRI  = ^n PREWRA]AETSQ W RAWENSTWO n
(X n ) ;  (^n) = 0 PO^TI NAWERNOE PO WEROQTNOSTI P
n: iZ DOKAZANNOJ TEOREMY NEMEDLENNO WYTEKAET, ^TO WYBORO^NOE SREDNEE X ESTX \FFEKTIWNAQ (SLEDOWATELXNO, I OPTIMALXNAQ) NESME]ENNAQ OCENKA PARAMETRA  TAKIH RASPREDELENIJ, KAK DWUHTO^E^NOE, BINOMIALXNOE PRI IZWESTNOM m pUASSONA, POKAZATELXNOE X ESTX TAKVE NESME]ENNAQ OCENKA S RAWNOMERNO MINIMALXNYM KWADRATI^NYM RISKOM SREDNEGO ZNA^ENIQ  NORMALXNOGO ( ) RASPREDELENIQ. ( )

( )

( )

( )

2

216

x6. dOWERITELXNYE INTERWALY lEKCIQ 9

mY RASSMOTRELI NESKOLXKO METODOW POSTROENIQ TO^E^NYH OCENOK DLQ PARAMETROW ZNA^ENIQ KOTORYH OPREDELQ@T RASPREDELENIE NABL@ DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY bYL POLU^EN RQD UTWERVDENIJ O RAS PREDELENII TAKIH OCENOK ^TO POZWOLQET SUDITX O NADEVNOSTI OCENKI PRI ZADANNOJ TO^NOSTI TO ESTX WY^ISLQTX WEROQTNOSTI SOBYTIJ WIDA j
n X n ;
j  PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM ZNA^ENII PARAMETRA
: pOSKOLXKU IMENNO ZNA^ENIE
NAM NEIZWESTNO TO TAKOGO RODA WY ^ISLENIQ ZA^ASTU@ LIENY PRAKTI^ESKOGO SMYSLA SLIKOM WELIK RAZMAH W NADEVNOSTI OCENKI
n PRI RAZLI^NYH
 DAVE W SLU^AE KOGDA MY RASPOLAGAEM NEKOTOROJ APRIORNOJ INFORMACIEJ O WOZMOVNOJ OB LASTI ZNA^ENIJ \TOGO PARAMETRA pO\TOMU W RQDE PRAKTI^ESKIH SITU ACIJ PYTA@TSQ REATX OBRATNU@ ZADA^U DLQ FIKSIROWANNOJ NADEV NOSTI SKAVEM ;  GDE  MALO UKAZATX NEKOTORU@ OBLASTX ZNA^ENIJ
 ZAWISQ]U@ ESTESTWENNO OT WYBORKI X n  KOTORAQ S WEROQTNOSTX@ NE MENXEJ ;  NAKRYWAET ISTINNOE NEIZWESTNOE NAM ZNA^ENIE
 PRI^EM TAKOE NADEVNOSTNOE UTWERVDENIE DOLVNO WYPOLNQTXSQ PRI L@BYH
2 : w TAKOM SLU^AE PO RAZMERAM OBLASTI KOTORYE OPRE DELQ@TSQ WYBORO^NYMI ZNA^ENIQMI x n  MOVNO SUDITX O TO^NOSTI TAKOJ INTERWALXNOJ OCENKI n oPREDELENIE 6.1. pODMNOVESTWO n PARAMETRI^ES n X KOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ ;  DOWERITELXNOJ OBLASTX@ ESLI
 P
n X n 3
 ;  KAKOWO BY NI BYLO ZNA^ENIE
2 : zADANNOE FIKSIROWANNOE ZNA^E NIE ;  NAZYWAETSQ DOWERITELXNYM UROWNEM A NAIMENXEE ZNA ^ENIE LEWOJ ^ASTI NERAWENSTWA PO WSEM
2 DOWERITELXNYM KO\FFICIENTOM w SLU^AE  DOWERITELXNAQ OBLASTX WIDA
n n
n X
n X NAZYWAETSQ DOWERITELXNYM INTERWALOM W n KOTOROM RAZLI^A@TSQ NIVNIJ
n I WERHNIJ
n DOWERITELXNYE PREDELY dOWERITELXNYE INTERWALY WIDA
n 1 I ;1
n NAZYWA@TSQ SOOTWETSTWENNO NIVNEJ I WERHNEJ DOWERITELXNYMI GRANICAMI eSTESTWENNO KONFIGURACIQ DOWERITELXNOJ OBLASTI WYBIRAETSQ STA TISTIKOM SOOBRAZUQSX S EE GEOMETRI^ESKOJ NAGLQDNOSTX@ I GLAWNOE ,

-

.

-

,

,

( )

^ (

)



,

-

{

^

,

-

.

-

:

,

, 1

-

,

,

( )

,

1

,

,



,

-

)

-

( )

.





(1

 (

( )

=  (

)-

,

1

(1)

)



(

1

)

.

=

-

,

(1)



( )

(

( )

)

(

( )

-

 {



R

)

,

.

(

)

(

)

.

,

,

,

217

,

-

WOZMOVNOSTX@ GARANTIROWATX DOWERITELXNU@ WEROQTNOSTX w SLU^AE SKALQRNOGO PARAMETRA DOWERITELXNAQ OBLASTX OBY^NO WYBIRAETSQ W WIDE INTERWALA PRI^EM W RQDE SLU^AEW NAPRIMER PRI OCENKE NADEV NOSTI ILI WEROQTNOSTI NEVELATELXNOGO SOBYTIQ W WIDE ODNOSTORON NEGO INTERWALA w SLU^AE MNOGOMERNOGO PARAMETRA OBY^NO STROQTSQ DOWERITELXNYE \LLIPSOIDY ILI PARALLELEPIPEDY sLEDUET OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA PRAWILXNU@ FORMULIROWKU DOWERITELXNOGO UTWERVDENIQ KOTORAQ POD^ERKIWAETSQ W NERAWENSTWE ZAPISX@ n X n 3
WMESTO OBY^NOGO
2 n X n : gOWORITX ^TO ZNA^ENIE PARAMETRA
S WEROQTNOSTX@ NE MENXEJ ;  PRINAD LEVIT OBLASTI n ZNA^IT SOZNATELXNO WWODITX TRUDQ]IHSQ NA NIWE PRIKLADNOJ STATISTIKI W ZABLUVDENIE dELO W TOM ^TO ZNA^ENIE PA RAMETRA
W DANNOJ WEROQTNOSTNOJ MODELI NE QWLQETSQ SLU^AJNOJ WE LI^INOJ \TO POSTOQNNAQ SWOJSTWENNAQ ISSLEDUEMOMU OB_EKTU A PO STOQNNAQ PRINADLEVIT KAKOJ LIBO OBLASTI TOLXKO S WEROQTNOSTX@ EDINICA ILI NOLX wSQ SLU^AJNOSTX ZAKL@^ENA W SAMOJ DOWERITELX NOJ OBLASTI n X n  I PO\TOMU PRAWILXNOE DOWERITELXNOE UTWERV DENIE GLASIT OBLASTX n X n S WEROQTNOSTX@, NE MENXEJ ;  NAKRYWAET ISTINNOE (NEIZWESTNOE) ZNA^ENIE
: w SAMOM NA^ALE NAEGO KURSA MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI W PRIME RE S OPREDELENIEM SODERVANIQ OB]EJ SERY W DIZELXNOM TOPLIWE MY STROILI DOWERITELXNYJ INTERWAL FIKSIROWANNOJ IRINY DLQ SRED NEGO ZNA^ENIQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ KOGDA ZANIMALISX PLANI ROWANIEM OB_EMA ISPYTANIJ NEOBHODIMOGO DLQ DOSTIVENIQ ZADANNOJ TO^NOSTI I NADEVNOSTI OCENKI rASSMOTRIM E]E RAZ \TOT PRIMER W SWETE WWEDENNYH PONQTIJ INTERWALXNOJ OCENKI PARAMETRA : dOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ SREDNEGO ZNA^ENIQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ PRI IZWESTNOJ DISPERSII iTAK W PRIMERE MY IMELI DELO S WYBORKOJ X n IZ NORMALXNOGO   RASPREDELENIQ PRI^EM ZNA^ENIE PARAMETRA  NAM BYLO IZWESTNO TAK ^TO W KA^ESTWE NEIZWESTNOGO PARAMETRA
WYSTUPALO : nAA ZADA
n ^A
SOSTOIT W POSTROENII TAKOGO INTERWALA  n X   n X n  ^TO  P  n     n  ;  PRI L@BOM ZNA^ENII  2 : nAPOMNIM ^TO W \TOM PRIMERE OCENKOJ  SLUVILO WYBORO^NOE SREDNEE X NESME]ENNAQ OCENKA  S MINIMALXNYM KWADRATI^NYM RISKOM |TA LINEJNAQ OCENKA OBLADAET ZAME^ATELXNYM SWOJSTWOM IN .

,

,

,

-

,

-

.

.

,

(1)

 (

( )

)

 (

,

( )

)

,

1

-



.

,

-

,

,

,

-

-

.

 (

-

( )

)

:

-

( )

 (

)

1

-

1.1

-

,

-

,

.

.

0

1

.

( )

1.1

,

2

(

,

)

,

-

(

1

( )

)

(

( )

)

R

,

{

.

-

218

WARIANTNOSTI RASPREDELENIE RAZNOSTI X ;  NE ZAWISIT OT  I \TO OBSTOQTELXSTWO PODSKAZYWAET NAM PUTX K POSTROENI@ DOWERITELXNOGO INTERWALA dEJSTWITELXNO 0 1 p j X ;  j P@  n  A  ;  I ESLI POLOVITX  RAWNYM KORN@ URAWNENIQ  ; ;  TO p ; ESTX pWYBRATX   ; =  TO INTERWAL X ; = n X = n BUDET ;  DOWERITELXNYM INTERWALOM DLQ SREDNEGO ZNA ^ENIQ  NORMALXNOGO   RASPREDELENIQ PRI IZWESTNOJ DISPERSII : w \TOM PROSTEJEM PRIMERE NA POSTROENIE DOWERITELXNOGO INTER WALA KL@^EWYM MOMENTOM BYLO ISPOLXZOWANIE INWARIANTNOJ SLU^AJ NOJ FUNKCII
n ;
OT OCENKI
n X I PARAMETRA
: w PRINCIPE IMENNO NA PODOBNOM WYBORE OPORNOJ FUNKCII H
n
S PODHODQ]EJ OCENKOJ
n PARAMETRA
OSNOWANY ISTORI^ESKI PERWYE METODY PO STROENIQ DOWERITELXNYH INTERWALOW I MNOVESTW oPORNAQ FUNKCIQ H   PODBIRAETSQ TAKIM OBRAZOM ^TOBY ONA BYLA MONOTONNO WOZ RASTA@]EJ FUNKCIEJ WTOROGO ARGUMENTA
 I PRI \TOM WEROQTNOSTX  P
H
n X n 
  DLQ NEKOTORYH ZNA^ENIJ  DOLVNA OSTAWATXSQ DOSTATO^NO WYSOKOJ BLIZKOJ K EDINICE KAKOWO BY NI BYLO ZNA^E NIE
2 : mY PROILL@STRIRUEM \TOT METOD POSTROENIQ DOWERITELX NYH INTERWALOW S POMO]X@ PODBORA INWARIANTNYH OPORNYH FUNKCIJ NA PRIMERE NORMALXNOGO   RASPREDELENIQ STROQ DOWERITELXNYE INTERWALY DLQ KAVDOGO IZ PARAMETROW PRI IZWESTNOM I NEIZWESTNOM ZNA^ENIQH DRUGOGO MEA@]EGO PARAMETRA : wERHNQQ DOWERITELXNAQ GRANICA DLQ DISPERSII NORMALXNOGO RASPREDELENIQ PRI IZWESTNOM SREDNEM pRI WYBORE IZ NORMALXNOGO   RASPREDELENIQ S IZWESTNYM SREDNIM ZNA^ENI EM  METOD MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ PRIWODIT K NESME]ENNOJ Xn ; OCENKE n n Xk ;  PARAMETRA  : iSPOLXZUQ REZULXTATY PREDYDU]EGO PARAGRAFA NETRUDNO POKAZATX ^TO n ESTX NESME]EN NAQ OCENKA S RAWNOMERNO MINIMALXNYM RISKOM pOSKOLXKU W ^EM MY NEODNOKRATNO UBEVDALISX Yk Xk ;  = N   k  : : :  n TO ESTESTWENNO RASSMOTRETX W KA^ESTWE OPORNOJ Xn ; FUNKCI@ H n   Xk ;  : nAJDEM EE RASPREDELENIE :

.

,

= 2(

)

1

2(

=

)

1

= 

(1

(1

2)

)

1 = 1

(

+

)-

-

2

(

)

2

-

-

^

^

=

=

(^

,

)

^

-

.

(

)

,

(^ (

( )

)

-

)

(

),

-



-

2

(

(\

2

)

,

")

.

0

.

2

(

^

2

1

=

1

)

-

2 )

(

2

,

,

^

2

-

.

,

(0

1)

,

= (

)

= 1 (^

2

2

) =

2

1

2 )

(

219

.

lEMMA 6.1. eSLI Y1 : : :  Yn NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY X

PO STANDARTNOMU NORMALXNOMU ZAKONU N (0 RASPREDELENIE G(n=2 2):

 TO

n

1)

1

Yk

2

IMEET GAMMA-

d O K A Z A T E L X S T W O pOKAVEM ^TO Y  GDE Y N   IMEET GAMMA RASPREDELENIE =   POSLE ^EGO PROSTO WOSPOLXZUEMSQ TE OREMOJ SLOVENIQ DLQ GAMMA RASPREDELENIQ SM PREDLOVENIE PUNKT KURSA tw fUNKCIQ RASPREDELENIQ Y WY^ISLQETSQ POpFOR p p p MULEp F x P Y < x P ; x < Y < x x ; ; x x ;  TAK ^TO EE FUNKCIQ PLOTNOSTI .

-

2

,

G(1 2

(0

2)

-

-

0 5

2(

) =

)

1

fx (

(

) =

(

2

) =

2 d 66 p2 4

dx

.

12.2,

2

).

(

1)

p

Zx

;1

2

(

-

) = (

)

(

) =

3 8 29 < t= 1 77 1=2;1 ;x=2 exp ; e  : 2  ; 1 5 = 21=2;(1=2) x

p : mY WIDIM ^TO \TO FUNKCIQ PLOTNOSTI POSKOLXKU = GAMMA RASPREDELENIQ =  S PARAMETROM FORMY  = I PARA METROM MASTABA a  OTKUDA KAK BYLO ZAME^ENO WYE NEMEDLENNO SLEDUET UTWERVDENIE LEMMY gAMMA RASPREDELENIE n=  O^ENX ^ASTO ISPOLXZUETSQ W RAZ LI^NYH ZADA^AH MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI I ONO POQWILOSX RANX E ^EM GAMMA RASPREDELENIE  a OB]EGO WIDA POD NAZWANIEM HIKWADRAT RASPREDELENIE S n STEPENQMI SWOBODY fUNKCIQ RASPREDE LENIQ HI KWADRAT OBY^NO OBOZNA^AETSQ Kn x  x >  A ^TO KASAETSQ TERMINA STEPENI SWOBODY TO EGO SMYSL PROQSNITSQ PO MERE DRUGIH PRIMENENIJ HI KWADRAT RASPREDELENIQ tEPERX MY MOVEM PEREJTI K NAEJ OSNOWNOJ ZADA^E POSTROENI@ DOWERITELXNYH GRANIC DLQ  : eSLI OBRATITXSQ K PRAKTI^ESKOJ STO RONE \TOJ PROBLEMY SM W SWQZI S \TIM PRIMER TO LEGKO PONQTX ^TO STATISTIKA DOLVNA INTERESOWATX TOLXKO WERHNQQ A NE DWUSTO RONNQQ GRANICA   NA KOTORU@ ON BUDET ORIENTIROWATXSQ ^TOBY OBEZOPASITX SEBQ OT GRUBYH OIBOK PRI PLANIROWANII STATISTI^ES KOGO \KSPERIMENTA tAKIM OBRAZOM MY DOLVNY SFORMULIROWATX DO WERITELXNOE UTWERVDENIE W FORME   n : pONQTNO ^TO NIVNQQ DOWERITELXNAQ GRANICA I DWUSTORONNIE GRANICY DOWERITELXNYJ IN TERWAL KOLX SKORO ONI KOMU TO POTREBU@TSQ STROQTSQ ANALOGI^NYM OBRAZOM w RAMKAH TAKOJ FORMULIROWKI ZADA^I MY DOLVNY RASSMOTRETX ,

;(1 2) =

-

G(1 2

{

2)

= 2

= 1 2

,

-

,

.

-

G(

2

2)

-

,

,

-

G(

-

)

,

.

-

(

\

-

)

0

",

-

.

{

2

(

-

.

1.1),

,

(

2

)

-

,

-

.

,

-

2

2

,

(

),

-

,

.

,

220

-

SOBYTIE

8 Xn 2 < (Xk ; ) 2 2 1 A = :H (^n  ) = 2

9 =  

 WYBIRAQ  IZ USLOWIQ P A ; : kAK MY TOLXKO ^TO WYQSNILI \TA WEROQTNOSTX NE ZAWISIT OT  I  I W SILU LEMMY POSTOQNNAQ  OPREDELQETSQ KWANTILX@ HI KWADRAT RASPREDELENIQ S n STEPENQMI SWOBODY KORNEM URAWNENIQ ;Kn  ;:XsLEDOWATELXNO WERHNQQ n ; ;  DOWERITELXNAQ GRANICA DLQ  RAWNA Xk ;  =Kn   GDE W SOOTWETSTWII S NAIMI STANDARTNYMI OBOZNA^ENIQMI Kn;  ESTX  KWANTILX HI KWADRAT RASPREDELENIQ S n STEPENQMI SWOBODY iSPOLXZUEMYE W RASSMOTRENNYH PRIMERAH METODY PODBORA OPOR NYH FUNKCIJ OSNOWANNYE NA PRINCIPE INWARIANTNOSTI STATISTIK OCENOK PARAMETROW  I  OTNOSITELXNO LINEJNYH PREOBRAZOWANIJ POZWOLQ@T ANALOGI^NYM OBRAZOM PODBIRATX TAKIE FUNKCII I W SLU ^AE NEIZWESTNYH ZNA^ENIJ MEA@]EGO PARAMETRA tAK ESLI RASSMAT RIWAETSQ ZADA^A POSTROENIQ DOWERITELXNYH GRANIC DLQ X  n PRI NEIZ ; WESTNOM  TO ESTESTWENNO OBRATITXSQ K OCENKE S n Xk ; X PARAMETRA   ZAME^AQ ^TO EE RASPREDELENIE NE ZAWISIT OT  POSKOLX KU KAVDAQ IZ RAZNOSTEJ Xk ; X INWARIANTNA OTNOSITELXNO SDWIGA KOGDA Xk ZAMENQETSQ NA Xk ;  k  : : :  n: eSLI RAZDELITX \TI RAZNOSTI NA  TO MY POLU^IM SLU^AJNYE WELI^INY RASPREDELENIE KOTORYH NE ZAWISIT KAK OT  TAK I OT  I TAKIM OBRAZOM MY PRIHO DIM K INWARIANTNOJ OPORNOJ FUNKCII H S   S = : dLQ WYWODA RASPREDELENIQ \TOJ FUNKCII MOVNO OBRATITXSQ K NORMALXNYM SLU^AJNYM WELI^INAM Yk Xk ;X n= k  : : :  n POSKOLXKU W ^EM LEGKO UBEDITXSQ H S   n; Yk ; Y : eSLI OBRATITXSQ K ZADA^E DOWERITELXNOJ INTERWALXNOJ OCENKI  PRI NEIZWESTNOM ZNA^ENII  TO ZDESX INWARIANTNU@ OPORNU@ FUNK CI@ MOVNO POSTROITX KOMBINIRUQ EE IZ OPORNYH FUNKCIJ ZADA^ I : kAK MY WIDELI PRI REENII \TIH ZADA^ RASPREDELENIQ SLU^AJNYH WELI^IN X ;  = I S= NE ZAWISQT OT  I  I PO\TOMU W KA^EST WE OPORNOJ FUNKCII PRI INTERWALXNOJ OCENKE  MOVNO ISPOLXZOWATX OPORNU@ FUNKCI@ OPREDELQEMU@ OTNOENIEM \TIH WELI^IN TO ESTX FUNKCI@ j X ;  j=S: oDNAKO DLQ POSTROENIQ DOWERITELXNYH INTERWALOW NA OSNOWE TA KIH FUNKCIJ NAM NEOBHODIMO NAJTI SOWMESTNOE RASPREDELENIE STA TISTIK X I S : mY POLU^IM \TO RASPREDELENIE W SLEDU@]EJ LEKCII (

) = 1

,

6.1

-

{

(1

1

(

) = 1

,

2

)-

1

(

)

2

1

,

-

(

1

-

)

(

,

)

.

-

,

2

(

)

,

-

.

,

-

2

2

2

1

=

1

-

2

(

)

,

,

= 1

,

-

2

(

2

) =

2

2

(0, 1)

= (

,

(

2

2

) =

)

1

1

= 1

(

)

,

2

-

0

,

2

1

0

,

(

)

-

,

,

-

2

,

221

SFORMULIROWAW EGO W WIDE UTWERVDENIQ IZWESTNOGO W MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE KAK LEMMA fIERA ,

.

lEKCIQ 10

tEOREMA 6.1. w SLU^AE WYBORA IZ NORMALXNOGO (

 RASPREDELENIQ STATISTIKI X I S NEZAWISIMY, X N   =n  A nS = n; (IMEET HI-KWADRAT RASPREDELENIE S n ; STEPENX@ SWOBODY). d O K A Z A T E L X S T W O pUSTX Y  : : :  Yn SLU^AJNAQ WYBORKA IZ STAN DARTNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ N  : pOKAVEM ^TO STATIS TIKI n n X X Yk ; Y Y n Yk I SY k k NEZAWISIMY Y N  =n  A SY n; : tOGDA UTWERVDENIE TEORE MY BUDET SLEDOWATX IZ TOGO FAKTA ^TO Yk  IME@T TO VE RASPRE DELENIE ^TO I Xk  k  : : :  n I SLEDOWATELXNO RASPREDELENIE X SOWPADAET S RASPREDELENIEM Y  A RASPREDELENIE SY S RASPRE DELENIEM nS = : wWEDEM SLU^AJNYE WELI^INY 2

2

(

2

)

2

)

2

2

1

1

.

{

1

-

(0

=

1

=

(0

1

)

-

2

=1

2

)

= 1

-

1

,

,

,

(

=1

,

1)

+

-

,

,

+

2

{

-

2

Zk

=

n X

i=1

ckiYi k

= 1

 : : :  n

KOTORYE OPREDELQ@TSQ ZADANIEM MATRICY k cki k LINEJNYH PRE OBRAZOWANIJ SLU^AJNYH WELI^IN Y  : : :  Ypn: pUSTX \LEMENTY PERWOJ STROKI \TOJ MATRICY c : : : c n = n A OSTALXNYE \LEMENTY MATRICY WYBEREM TAK ^TOBY PROIZWEDENIE NA TRANSPONIROWAN NU@ MATRICU 0 BYLO EDINI^NOJ MATRICEJ 0 : kAK IZWESTNO TAKOJ WYBOR WOZMOVEN I POLU^ENNAQ TAKIM OBRAZOM MATRICA NAZY WAETSQ ORTONORMIROWANNOJ sLU^AJNYE WELI^INY Z  : : :  Zn RASPRE DELENY W SOOTWETSTWII S n MERNYM NORMALXNYM ZAKONOM DLQ SPECI FIKACII KOTOROGO DOSTATO^NO NAJTI WEKTOR SREDNIH ZNA^ENIJ \TIH WELI^IN I MATRICU IH KOWARIACIJ sREDNIE ZNA^ENIQ C =

-

1

11 =

C

=

1

= 1

,

C

C

C

: CC

-

= I

,

,

-

.

-

1

-

,

.

mk

=

EZk = E

n X

i=1

ckiYk

=

n X

i=1

222

ckiEYk

= 0

k

 : : :  n:

= 1

-

dALEE POSKOLXKU SREDNIE ZNA^ENIQ RAWNY NUL@ KOWARIACII \TIH SLU^AJNYH WELI^IN ,

cov(

,

Zk  Zj

) =

E(Zk ; mk )(Zj ; mj ) = EZk Zj E

n X i=1

ckicjiYi

2

E

+

n X

6

i=l

=

E

n X

ckiYi 

i=1

n X

i=1

cjiYi

=

ckicjl YiYl :

eSLI ZANESTI MATEMATI^ESKIE OVIDANIQ POD ZNAKI SUMM I WSPOMNITX ^TO Y  : : :  Yn NEZAWISIMY EYi  EYi DYi  A PRI i 6 l SREDNIE ZNA^ENIQ EYiYl EYiEYl  TO POLU^IM ^TO

,

,

1

=

Zk  Zj

cov(

2

= 0

=

= 1

= 0

) =

n X

i=1

=

,

ckicji k j

= 1

 : : :  n:

pOSKOLXKU DLQ ORTONORMIROWANNOJ MATRICY POSLEDNQQ SUMMA RAWNA NUL@ ESLI k 6 j I RAWNA EDINICE ESLI k j TO MY PRIHODIM K ZA KL@^ENI@ ^TO Z  : : :  Zn NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY PO STANDARTNOMU NORMALXNOMU ZAKONU N  : tAKIM OBRAZOM ORTONOR MIROWANNYE PREOBRAZOWANIQ SLU^AJNYH WELI^IN Y  : : :  Yn NE IZMENI LI IH SOWMESTNOE RASPREDELENIE tEPERX PREDSTAWIM NAI STATISTIKI Y I SY W TERMINAH SLU^AJ NYH WELI^IN Z  : : :  Zn: pOSKOLXKU ,

=

,

,

=

-

1

(0

1)

,

-

-

1

.

-

1

X c iYi pn Yi i i TO Y Z =pn: dALEE ORTONORMIROWANNOE LINEJNOE PREOBRAZOWANIE SOHRANQET Xn SUMMU Xn KWADRATOW KOMPONENT PREOBRAZUEMOGO WEKTORA TO ESTX Zk Yk : sLEDOWATELXNO STATISTIKA SY W NOWYH PERE MENNYH PRIOBRETAET WID n n n X X X SY Z Y ; Y Z ; n n k n k n n Zk : iTAK RASPREDELENIE Y SOWPADAET S RASPREDELENIEM Z =pn A RAS PREDELENIE SY S RASPREDELENIEM SUMMY KWADRATOW n; NEZAWISIMYH W SOWOKUPNOSTI I NEZAWISQ]IH OT Z NORMALXNYH  SLU^AJNYH WE LI^IN sLEDOWATELXNO Y I SY NEZAWISIMY Y N  =n  SY n; SM LEMMU I LEMMA fIERA DOKAZANA

Z

1 =

=

n X

1

n

1

=

=1

=1

,

1

,

2

1

2

=

,

1

=

1

2

2

=

1

1

-

2 1

2

=

1

1

2

2

,

{

1

(0

1

.

(

.

-

1

,

,

6.1),

\

"

223

(0

.

1)

1

-

)

2

1

uSTANOWIW SOWMESTNOE RASPREDELENIE WYBORO^NOGO SREDNEGO I WY BORO^NOJ DISPERSII W SLU^AE WYBORA IZ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ MY MOVEM PRISTUPITX K POSTROENI@ DOWERITELXNYH INTERWALOW DLQ KAVDOGO IZ PARAMETROW  I  PRI NEIZWESTNOM ZNA^ENII DRUGOGO PA RAMETRA : wERHNQQ DOWERITELXNAQ GRANICA DLQ DISPERSII NORMALXNOGO RASPREDELENIQ PRI NEIZWESTNOM SREDNEM |TA GRA NICA NAHODITSQ NAIBOLEE PROSTO POSKOLXKU RASPREDELENIE OPORNOJ FUNKCII 0 1 Xn n n X ; n X X X Xk ; X nS X ;  k i @ A Yk ; Y    ;ni  k ,

-

.

0

3

.

-

,

2

2

=

1

2 )

(

2

2

1

=

=

)

1

=1

=1

2

(

(2)

ESTX HI KWADRAT RASPREDELENIE S n ; STEPENX@ SWOBODY SM TEOREMU sLEDOWATELXNO WERHNQQ ;  DOWERITELXNAQ GRANICA OPREDE LQETSQ KWANTILX@  K ;  HI KWADRAT RASPREDELENIQ KORNEM URAWNENIQ P nS =   ; Kn;  ;  I DOWERITELXNOE UTWERVDENIE   n nS =Kn;;  WYPOLNQETSQ S ZADANNOJ WEROQTNOSTX@ ; : : dOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ SREDNEGO ZNA^ENIQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ PRI NEIZWESTNOJ DISPERSII w \TOJ ZADA^E MY IMEEM DELO S DWUSTORONNIMI DOWERITELXNYMI GRANICA MI DOWERITELXNYM INTERWALOM I W SOOTWETSTWII S WYBOROM OPOR NOJ FUNKCII j X ;  j=S O KOTOROJ MY GOWORILI PERED DOKAZATELXST WOM TEOREMY NAM POTREBUETSQ ZNANIE WEROQTNOSTI SOBYTIQ WIDA j X ;  j=S  : w NA^ALE WEKA ANGLIJSKIJ MATEMATIK w gOSSET PISAWIJ POD PSEWDONIMOM sTX@DENT NAEL RASPREDELENIE SLU^AJNOJ q p WELI^INY T =   GDE N   A  SLU^AJNAQ WELI ^INA NE ZAWISQ]AQ OT I RASPREDELENNAQ PO ZAKONU HI KWADRAT S  STEPENQMI SWOBODY eSTESTWENNO EGO ISSLEDOWANIQ BYLI SWQZANY S PROBLEMAMI STATISTI^ESKOGO WYWODA O SREDNEM ZNA^ENII  NORMALX NOGO RASPREDELENIQ PRI NEIZWESTNOJ DISPERSII I sTX@DENT ISKAL RASPREDELENIE OPORNOJ FUNKCII SM W SWQZI S PEREHODOM W ZAPI -

1

6.1).

,

(1

1

=

2

(

2

(

(

.

)-

)

-

-

{

) = 1

1(

2

2

) = 1

1 1(

2

=

)

1

0 4

.

-

(

),

-

-

6.1,

XIX

.

\

,

" (Student), 2

=

(0

1)

2

,

{

-

-

.

,

-

,

(

224

. (2))

-

SI OPORNOJ FUNKCII W TERMINAH Xk K Yk X pn n Yk p p X ;  rXn H n;  S n; Yk ; Y Yk Xk ;  N   k  : : :  n KOTORAQ OTLI^AETSQ OT WYBRANNOJ NAMI OPORNOJ FUNKCII TOLXKO MNO p VITELEM n ;  I PO\TOMU TAKVE MOVET BYTX ISPOLXZOWANA W POSTRO ENII DOWERITELXNOGO INTERWALA DLQ  PRI NEIZWESTNOM : tO ^TO RASPREDELENIQ Tn; I H SOWPADA@T IZ TEOREMY SLU^AJ p XnSLEDUET NAQ Yk = n N  NE ZAWISIT OT Xn WELI^INA W ZNAMENATELE Yk ; Y n;  RAZDELIW KOTORU@ NA ZNA^ENIE STEPENI SWOBODY n ;  POLU^AEM   S  n ; : nAJDEM RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY T  KOTOROE NAZYWAET SQ RASPREDELENIEM sTX@DENTA S  STEPENQMI SWOBODY ILI t-RASPREDELENIEM sOWMESTNAQ FUNKCIQ PLOTNOSTI NEZAWISIMYH SLU ^AJNYH WELI^IN I   RAWNA 9 8 ( v) < u= = ; f u v p v ;  ;

:  = = TAK ^TO FUNKCIQ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY T q P = < x  x p x v= 1 Z Z Z Z f u v du dv dv f u v du: p p )

1

=

1

1 =

1

(0

=

)

(

1)

1

2

= 1

-

1

-

,

,

1

=

1

(

2 )

2

1

1

1 2

=

6.1:

(0

1

-

1)

1

-

.

-

2

=

(

2

1

) =

exp

2

2

S (

(

u <

1

) =

2

2

2

;(

2)

(

)

1

exp

2

) =

=

vx

(

;1

0

)

dIFFERENCIRUQ \TO WYRAVENIE PO x NAHODIM FUNKCI@ PLOTNOSTI RASPREDELENIQ sTX@DENTA x

s (

) =

Z1q

q

v=f x v= v dv (

)

0

=

8 0 19 2 = < v x p  2(+1)=2;(=2) v 2 ;1 exp :; 2 @1 +  A dv = 0
 +1  0 1
+1 2 ; 2 ; 1 x
2  @1 + A : = p Z1

1



;


+1



2

225

wID POLU^ENNOJ FUNKCII PLOTNOSTI GOWORIT O TOM ^TO RASPRE DELENIE sTX@DENTA MOVNO TRAKTOWATX KAK OBOB]ENIE STANDARTNOGO a b RASPREDELENIQ kOI a b  KOTOROE POLU^AETSQ IZ RASPREDELENIQ sTX@DENTA PRI ^ISLE STEPENEJ SWOBODY  : |TO SIMMETRI^NOE RASPREDELENIE I PO\TOMU  ;x ;  x  ^TO POZ WOLQET NAM DOWOLXNO PROSTO POSTROITX DOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ  S POMO]X@ KWANTILI RASPREDELENIQ n;  P j Tn; j  t ;  n; t ; n; ;t n; t ; OTKUDA t ;n; ; =  I ; p DOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ  OPREDELQETSQ PREDELAMI X  St= n ; : iTAK MY POSTROILI DOWERITELXNYE PREDELY DLQ PARAMETROW  I  NORMALXNOGO RASPREDELENIQ tABLICY NORMALXNOGO HI KWADRAT I STX@DENTSKOGO RASPREDELENIJ A TAKVE KWANTILEJ \TIH RASPREDELE NIJ NEOBHODIMYE DLQ ^ISLENNOJ REALIZACII DOWERITELXNYH OCENOK SMOTRITE W KNIGE bOLXEW l n sMIRNOW n w tABLICY MATEMATI ^ESKOJ STATISTIKI m nAUKA KOTORAQ W DALXNEJEM BUDET CI TIROWATXSQ KAK tms e]E RAZ OTMETIM ^TO WOZMOVNOSTX DOWERI TELXNOJ OCENKI \TIH PARAMETROW OPREDELQLASX W OSNOWNOM INWARI ANTNOSTX@ SEMEJSTWA NORMALXNYH RASPREDELENIJ OTNOSITELXNO LI NEJNOJ GRUPPY PREOBRAZOWANIJ tO^NO TAK VE MY MOVEM POSTROITX DOWERITELXNYE PREDELY DLQ PARAMETRA
POKAZATELXNOGO RASPREDELE NIQ ILI DLQ PARAMETRA MASTABA GAMMA RASPREDELENIQ PRI IZWESTNOM PARAMETRE FORMY MY WERNEMSQ K \TIM ZADA^AM POZDNEE PRI OBSUVDE NII PROBLEMY OPTIMIZACII DOWERITELXNOJ OCENKI ~TO VE KASAETSQ DRUGIH RASPREDELENIJ TO ZDESX PROBLEMA OSLOVNQETSQ OTSUTSTWIEM INWARIANTNYH OPORNYH FUNKCIJ I NEWOZMOVNOSTX@ POLU^ITX RAS PREDELENIE OCENOK PARAMETRA DLQ KOTOROGO STROQTSQ DOWERITELXNYE PREDELY W QWNOM WIDE tEM NE MENEE SU]ESTWUET DOSTATO^NO OB]IJ PODHOD K DANNOJ PROBLEME OSNOWANNYJ NA ASIMPTOTI^ESKOJ NORMALX NOSTI RASPREDELENIQ OCENOK PO METODU MOMENTOW ILI METODU MAKSI MALXNOGO PRAWDOPODOBIQ pUSTX
n
n X n ASIMPTOTI^ESKI NORMALXNAQ SO SREDNIM
I DISPERSIEJ 
=n OCENKA PARAMETRA
NAPRIMER PRI OPREDELEN NYH USLOWIQH REGULQRNOSTI SM TEOREMU OCENKA MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ ASIMPTOTI^ESKI NORMALXNA SO SREDNIM
I DISPERSIEJ ,

(

= 0

= 1)

C(

-

)

= 1

,

S (

S

(

) = S

1

= S

1

1 (1

1( )

2)

S

(1

1(

) = 1

S (

)

-

1( ) :

) = 2S

1( )

1 = 1

)-

1

,

2

.

,

-

,

-

,

,

.

,

.:

.,

.

.

-

, 1983,

.

-

,

-

,

,

-

-

.

-

-

.

,

-

,

,

.

,

-

.

^

= ^ ( 2

( )

) {

( )

(

(

.

4.2)

226

,

-

tOGDA PRI n ! 1 WEROQTNOSTX 0 1 p j
;
j n P
@ 
n  A ;! ;  PRI L@BOM
2  ESLI  ; ; =  I MY POLU^AEM ASIMPTOTI^ESKI ;  DOWERITELXNOE MNOVESTWO 8 9 < =\ p j
;
j n n X
n   : n  : 
eSLI n ESTX INTERWAL NA PRQMOJ TO MY REILI ZADA^U IN TERWALXNOJ OCENKI PARAMETRA
: eSLI VE \TO NEKOTOROE WY^URNOE I NEPRIGODNOE K UPOTREBLENI@ PODMNOVESTWO  TO MOVNO POJTI NA DALXNEJIE UPRO]ENIQ ASIMPTOTI^ESKOGO UTWERVDENIQ ZAMENIW W OPREDELENII n PARAMETRI^ESKU@ FUNKCI@ 
NA EE OCENKU 
n : dOSTATO^NO POTREBOWATX NEPRERYWNOSTX FUNKCII 

2  ^TO BY SSYLAQSX NA TEOREMU sLUCKOGO PREDLOVENIE KURSA tw S

n / 
n ! 
 UTWERVDATX ^TO PRI n ! 1 P 

nI


;1 ).

( )]

^

1

( )



(1

1

= 

(1

2)

)-

( )

 (

^

) =

:



( )



R,

-

R

,



(^ )

( )

( )

,

(

(^ )

( ))



-

11.1

,

0 ^    (
n ) ^ @ p P

n ;

1

p 
n A ;! ; : 

n n n pROILL@STRIRUEM RABOTU \TOGO METODA NA DWUH POLEZNYH W PRAK TI^ESKOM OTNOENII PRIMERAH : aSIMPTOTI^ESKI DOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ WEROQTNOSTI USPEHA W ISPYTANIQH bERNULLI. w SHEME ISPYTANIJ bER NULLI WYBORE IZ RASPREDELENIQ BINARNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X PRINIMA@]EJ ZNA^ENIE USPEH S WEROQTNOSTX@ p I ZNA^ENIE NEUDA^A S WEROQTNOSTX@ ; p OPTIMALXNOJ Xn NESME]ENNOJ OCEN ; KOJ p QWLQETSQ WYBORO^NOE SREDNEE X n Xk ILI ^TO TO VE OTNOSITELXNAQ ^ASTOTA USPENYH ISHODOW W n ISPYTANIQH sTATIS TIKA nX IMEET BINOMIALXNOE RASPREDELENIE n p  I \TO POZWOLQET NAS^ITATX TABLICY DOWERITELXNYH PREDELOW DLQ p PRI RAZLI^NYH ZNA^ENIQH DOWERITELXNOGO UROWNQ ;  OB_EMA WYBORKI n I ^ISLA USPENYH ISHODOW nx SM NAPRIMER tms ~TO VE DAET ASIMPTO TI^ESKIJ PODHOD K POSTROENI@ DOWERITELXNYH INTERWALOW wYBORO^NOE SREDNEE ASIMPTOTI^ESKI NORMALXNO SO SREDNIM p I DISPERSIEJ p ; p =n: sLEDOWATELXNO ;  DOWERITELXNAQ OBLASTX \

^

(^ )

+

1

"

-

.

0 5

-

{

1 (\

(\

")

")

0

1

-

=

1

,

1

,

.

B(

-

)

1

(

.,

,

).

-

?

(1

)

, (1

227

)-

n

q

o

p  p   j X ; p j   p ; p =n : rAZREAQ NERAWENST WA W FIGURNYH SKOBKAH OTNOSITELXNO p POLU^AEM DOWERITELXNYJ IN TERWAL v 0 1 u u n B@X    t X ; X  CA   n  n n n n =

:

0

1

(1

)

-

2

+

2

+



(1

)

2

2

+

4

2

KOTORYJ PRI BOLXIH OB_EMAH ISPYTANIJ n MALO OTLI^AETSQ OT DO q WERITELXNOGO INTERWALA X   X ; X =n POLU^ENNOGO ZAMENOJ  p p ; p NA EE OCENKU X ; X : aSIMPTOTI^ESKI DOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ PARAMETRA INTENSIWNOSTI RASPREDELENIQ pUASSONA. rASPREDELENIE pU ASSONA
S FUNKCIEJ PLOTNOSTI PO S^ITA@]EJ MERE f x j
P
X x
x
=x  x    : : :  INDEKSIRUETSQ POLOVITELXNYM PARAMETROM
 OPTIMALXNAQ NESME]ENNAQ OCENKA KOTOROGO PO WYBOR KE X n OB_EMA n KAK I W PREDYDU]EM PRIMERE OPREDELQETSQ WYBO RO^NYM SREDNIM X: dLQ RASPREDELENIQ pUASSONA TAKVE SPRAWEDLIWA TEOREMA SLOVENIQ nX n
 I NA OSNOWE \TOGO MOVNO POSTROITX TO^NYE DOWERITELXNYE PREDELY DLQ
 TABLICA KOTORYH IMEETSQ W UPOMQNUTOM SBORNIKE tms nO OCENKA X ASIMPTOTI^ESKI NORMALXNA

=n  ^TO POZWOLQET OPREDELITX ASIMPTOTI^ESKI DOWERITELXNU@ q OBLASTX n f

>  j X ;
j  
=ng: rEENIE NERAWENSTW W FIGURNYH SKOBKAH OTNOSITELXNO
DAET ASIMPTOTI^ESKI DOWERITELX NYJ INTERWAL v u u   X n  t Xn n : nAKONEC ZAMENQQ 

EE OCENKOJ X POLU^AEM TAKVE ASIMPTOTI ^ESKI DOWERITELXNYJ NO qKAK POKAZYWA@T ^ISLOWYE RAS^ETY MENEE TO^NYJ INTERWAL X   X=n : nA \TOM MY ZAKAN^IWAEM IZLOVENIE PROSTEJIH METODOW POSTROE NIQ DOWERITELXNYH I ASIMPTOTI^ESKI DOWERITELXNYH INTERWALOW NA OSNOWE PODBORA OPORNYH FUNKCIJ o PROBLEME OPTIMALXNOGO INTER WALXNOGO OCENIWANIQ MY POGOWORIM POZDNEE IZU^IW TEORI@ OPTI MALXNOJ PROWERKI GIPOTEZ WYSKAZYWANIJ O WOZMOVNYH ZNA^ENIQH PARAMETRA
: oSTAWIESQ LEKCII BUDUT POSWQ]ENY IMENNO \TOJ TEO RII -

(1

2

( ) = 6

(1

)

(1

)

) :

0

-

P( )

(

=

(

) =

e

!

)

(

) =

= 0 1 2

-

( )

,

:

P(

-

)

.

(

)



=

:

0

-

2

+

,

2

2

+

2

4

2

( ) = ,

-

,

,

-

.

-

,

-

{

-

.

228

x7. sTATISTI^ESKAQ PROWERKA GIPOTEZ (KRITERII ZNA^IMOSTI) lEKCIQ 11

w PRILOVENIQH MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI SU]ESTWUET OBIRNYJ KLASS ZADA^, W KOTORYH TREBUETSQ PROWERITX ISTINNOSTX NEKOTOROGO WYSKAZYWANIQ OTNOSITELXNO ISSLEDUEMOGO OB_EKTA ILI WYBRATX ODNO IZ ALXTERNATIWNYH REENIJ, KOTOROE OPREDELIT DALXNEJEE POWEDENIE STATISTIKA PO OTNOENI@ K \TOMU OB_EKTU. nAPRIMER, PRI ATTESTACII PARTII DIZELXNOGO TOPLIWA PO OB]EMU SODERVANI@ SERY MY DOLVNY NE TOLXKO DATX TO^E^NU@ OCENKU DANNOJ HARAKTERISTIKI TOPLIWA, NO I PRINQTX REENIE O KA^ESTWE WYPUSKAEMOGO PRODUKTA, KOTOROE POWLE^ET ZA SOBOJ ODNO IZ SLEDU@]IH DEJSTWIJ { ILI OTOSLATX TOPLIWO POTREBITEL@, ILI PROIZWESTI DOPOLNITELXNU@ O^ISTKU TOPLIWA OT WREDNYH PRIMESEJ. tO^NO TAK VE W PRIMERE 1.2 MY STROILI STATISTI^ESKOE PRAWILO, POZWOLQ@]EE PRINQTX ODNO IZ DWUH REENIJ OTNOSITELXNO NOWOGO LE^EBNOGO PREPARATA { ILI PRIZNATX EGO \FFEKTIWNYM I WNEDRITX W LE^EBNU@ PRAKTIKU, ILI ZAPRETITX EGO DALXNEJEE ISPOLXZOWANIE. w ISSLEDOWANIQH, PODOBNYH OPYTAM mENDELQ, ^ASTO NADO PROWERITX GIPOTEZU OTNOSITELXNO PREDPOLAGAEMOGO ZNA^ENIQ WEROQTNOSTI NASLEDOWANIQ DOMINANTNOGO PRIZNAKA. sELEKCIONER, RABOTA@]IJ NAD POLU^ENIEM NOWOGO WIDA PENICY, DOLVEN PODKREPITX SWOE ZAKL@^ENIE O PREWOSHODSTWE NOWOGO WIDA NAD TEM, KOTORYJ UVE ISPOLXZUETSQ W SELXSKOHOZQJSTWENNOJ PRAKTIKE, S POMO]X@ SOPOSTAWLENIQ DANNYH OB UROVAJNOSTI \TIH WIDOW. i TAK DALEE, I TOMU PODOBNOE, { WY SAMI MOVETE PRIWESTI PRIMERY TAKIH ZADA^ PO WYBORU ODNOGO IZ RQDA ALXTERNATIWNYH REENIJ. w NAEM KURSE MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI MY RASSMOTRIM ZADA^I, SWQZANNYE TOLXKO S WYBOROM ODNOGO IZ DWUH REENIJ. pUSTX MY WYSKAZYWAEM NEKOTOROE SUVDENIE (ILI PREDPRINIMAEM DEJSTWIE) OB ISSLEDUEMOM OB_EKTE, I PUSTX d0 { REENIE OB ISTINNOSTI \TOGO SUVDENIQ, W TO WREMQ KAK d1 { REENIE O EGO LOVNOSTI. tAKIM OBRAZOM, PROSTRANSTWO REENIJ D W DANNOJ STATISTI^ESKOJ PROBLEME SOSTOIT IZ TO^EK: D = fd0
d1g: dLQ WYBORA ODNOGO IZ REENIJ MY NABL@DAEM SLU^AJNU@ WYBORKU (n) X IZ NEKOTOROGO RASPREDELENIQ P

ZNA^ENIE PARAMETRA  KOTOROGO NAM NEIZWESTNO. pUSTX  { OBLASTX WOZMOVNYH ZNA^ENIJ 
KOTORU@ 229

MY NAZWALI PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM. w SOOTWETSTWII S PRINQTOJ NAMI W x1 IDEOLOGIEJ STATISTI^ESKOGO WYWODA MY SOPOSTAWLQEM KAVDOMU REENI@ d 2 D OPREDELENNOE PODMNOVESTWO d PROSTRANSTWA 
TO ESTX INTERPRETIRUEM KAVDOE REENIE W TERMINAH WYSKAZYWANIJ OB ISTINNOM ZNA^ENII PARAMETRA : w NAEJ STATISTI^ESKOJ PROBLEME WYBORA ODNOGO IZ DWUH REENIJ POLOVIM i = di
i = 0
1
I WWEDEM RQD PONQTIJ I OPREDELENIJ, ISPOLXZUEMYH PRI REENII \TOJ PROBLEMY. uTWERVDENIE H0 :  2 0 NAZYWAETSQ NULEWOJ GIPOTEZOJ, A UTWERVDENIE H1 :  2 1 { ALXTERNATIWNOJ GIPOTEZOJ ILI (KOROTKO) ALXTERNATIWOJ. gIPOTEZA Hi NAZYWAETSQ PROSTOJ, ESLI SOOTWETSTWU@]EE i SOSTOIT IZ ODNOJ TO^KI PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA  W PROTIWNOM SLU^AE Hi NAZYWAETSQ SLOVNOJ GIPOTEZOJ i = 0
1: tAK, W PRIMERE 1.2 S ISPYTANIEM NOWOGO LE^EBNOGO PREPARATA PARAMETR  OZNA^AL WEROQTNOSTX USPENOGO LE^ENIQ KAVDOGO PACIENTA, I NULEWAQ GIPOTEZA H0 :  = 1=2 O \NEJTRALXNOSTI" PREPARATA ESTX PROSTAQ GIPOTEZA, W TO WREMQ KAK ALXTERNATIWNAQ GIPOTEZA H1 :  > 1=2 OB EGO \FFEKTIWNOSTI { SLOVNAQ GIPOTEZA. pRAWILO, PO KOTOROMU PRINIMAETSQ ILI OTWERGAETSQ NULEWAQ GIPOTEZA H0
NAZYWAETSQ KRITERIEM. iNOGDA DOBAWLQETSQ { KRITERIJ SOGLASIQ (S NULEWOJ GIPOTEZOJ), OSOBENNO, KOGDA ALXTERNATIWA H1 OPREDELENA NE SOWSEM ^ETKO I POD H1 PODRAZUMEWAETSQ \WSE OSTALXNOE". w SLU^AE POLNOGO RAWNOPRAWIQ GIPOTEZ GOWORQT O KRITERII RAZLI^ENIQ GIPOTEZ. kRITERIJ OPREDELQETSQ ZADANIEM OSOBOGO PODMNOVESTWA S WYBORO^NOGO PROSTRANSTWA Xn
KOTOROE NAZYWAETSQ KRITI^ESKOJ OBLASTX@: ESLI WYBORO^NYE DANNYE x(n) POPADA@T W \TU OBLASTX, TO NULEWAQ GIPOTEZA H0 OTKLONQETSQ I PRINIMAETSQ ALXTERNATIWNOE REENIE { SPRAWEDLIWA H1: oBLASTX A = S c = Xn n S NAZYWAETSQ OBLASTX@ PRINQTIQ NULEWOJ GIPOTEZY. nAM BUDET UDOBNO PROWODITX SPECIFIKACI@ KRITI^ESKOJ OBLASTI W WIDE EE INDIKATORNOJ FUNKCII ' = '(X (n) )
KOTORAQ NAZYWAETSQ KRITI^ESKOJ FUNKCIEJ ILI, POSKOLXKU ONA OPREDELQET STATISTI^ESKOE PRAWILO PROWERKI GIPOTEZY, PROSTO KRITERIEM. iTAK, FUNKCIQ '(X (n) ) ESTX BINARNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA, PRINIMA@]AQ ZNA^ENIE 1, ESLI PROIZOLO SOBYTIE X (n) 2 S
I ZNA^ENIE 0, ESLI PROIZOLO PROTIWOPOLOVNOE SOBYTIE X (n) 2 A: pONQTNO, ^TO MATEMATI^ESKOE OVIDANIE E'(X (n) ) OZNA^AET WEROQTNOSTX OTKLONENIQ GIPOTEZY H0: 230

w RASSMATRIWAEMOJ STATISTI^ESKOJ PROBLEME WELI^INA RISKA, SWQZANNAQ S OTKLONENIEM WERNOJ GIPOTEZY, OBY^NO SOOTNOSITSQ S FUNKCIEJ POTERX TIPA 1 { 0: POTERI S^ITA@TSQ RAWNYMI 1, ESLI PRINQTA GIPOTEZA Hi
A W DEJSTWITELXNOSTI  2 1;i
i = 0
1 ESLI VE PRINQTA Hi I  2 i
i = 0
1
TO POTERI POLAGA@TSQ RAWNYMI NUL@. lEGKO WIDETX, ^TO WELI^INA RISKA PRI L@BOM ZNA^ENII PARAMETRA  MOVET BYTX OPREDELENA S POMO]X@ FUNKCII m() = E
'(X (n)) = P
(X (n) 2 S )
KOTORAQ NAZYWAETSQ FUNKCIEJ MO]NOSTI KRITERIQ ': |TA FUNKCIQ UKAZYWAET, KAK ^ASTO MY OTKLONQEM NULEWU@ GIPOTEZU, KOGDA  { ISTINNOE ZNA^ENIE PARAMETRA, I HOROIM SLEDUET S^ITATX TOT KRITERIJ, U KOTOROGO FUNKCIQ m() PRINIMAET BLIZKIE K NUL@ ZNA^ENIQ W OBLASTI 0 I BLIZKIE K EDINICE { W OBLASTI 1: w SWQZI S \TIM WWODQTSQ DWE KOMPONENTY FUNKCII RISKA: () = m() PRI  2 0 I  () = 1 ; m() PRI  2 1: fUNKCIQ ()
 2 0 NAZYWAETSQ WEROQTNOSTX@ OIBKI PERWOGO RODA { ONA UKAZYWAET OTNOSITELXNU@ ^ASTOTU OTKLONENIQ GIPOTEZY H0
KOGDA ONA W DEJSTWITELXNOSTI WERNA ( 2 0). fUNKCIQ  ()
 2 1 NAZYWAETSQ WEROQTNOSTX@ OIBKI WTOROGO RODA { ONA UKAZYWAET OTNOSITELXNU@ ^ASTOTU PRINQTIQ GIPOTEZY H0
KOGDA ONA LOVNA (WERNA ALXTERNATIWNAQ GIPOTEZA H1 :  2 1): zAMETIM, ^TO FUNKCIQ MO]NOSTI m() W OBLASTI 1 TRAKTUETSQ KAK WEROQTNOSTX OTKLONENIQ GIPOTEZY H0
KOGDA W DEJSTWITELXNOSTI WYBOR IDET IZ RASPREDELENIQ S ALXTERNATIWNYM ZNA^ENIEM  2 1
I PO\TOMU ^ASTX m() PRI  2  NAZYWAETSQ MO]NOSTX@ KRITERIQ ': lEGKO PONQTX, ^TO PRI FIKSIROWANNOM OB_EME NABL@DENIJ n NEWOZMOVNO ODNOWREMENNO MINIMIZIROWATX WEROQTNOSTI OBEIH OIBOK, { DLQ UMENXENIQ WEROQTNOSTI OIBKI PERWOGO RODA () = P
(X (n) 2 S )
 2 0
NEOBHODIMO UMENXITX KRITI^ESKU@ OBLASTX S
^TO PRIWEDET K UWELI^ENI@ OBLASTI A PRINQTIQ NULEWOJ GIPOTEZY I, SLEDOWATELXNO, K UWELI^ENI@ WEROQTNOSTI OIBKI WTOROGO RODA  (u) = Pu(X (n) 2 A)
u 2 1: zDESX WOZNIKAET TAKAQ VE SITUACIQ, ^TO I W PROBLEME POSTROENIQ OCENKI PARAMETRA  S RAWNOMERNO MINIMALXNYM RISKOM, { TAKIE OCENKI SU]ESTWU@T TOLXKO W OPREDELENNOM KLASSE STATISTI^ESKIH PRAWIL, NAPRIMER, W KLASSE NESME]ENNYH OCENOK. oDNAKO, DAVE I POMIMO ZADA^I PROWERKI GIPOTEZ S MINIMALXNOJ WEROQTNOSTX@ OIBKI, I NAMNOGO RANXE SOZDANIQ OB]EJ TEORII NAIBOLEE MO]NYH KRITERIEW W STATISTI^ESKOJ PRAKTIKE SLOVILSQ SLEDU@]IJ PODHOD K UPRAWLENI@ RISKOM KRITERIQ. 231

pREDPOLOVIM, ^TO OTKLONENIE GIPOTEZY H0
KOGDA ONA W DEJSTWITELXNOSTI WERNA, PRIWODIT K BOLEE TQVKIM POSLEDSTWIQM, ^EM EE PRINQTIE PRI SPRAWEDLIWOSTI ALXTERNATIWY. w TAKOM SLU^AE MY ZAINTERESOWANY W PERWU@ O^EREDX KONTROLIROWATX WEROQTNOSTX OIBKI PERWOGO RODA. s \TOJ CELX@ ZARANEE FIKSIRUETSQ (WYBIRAETSQ) NEKOTORYJ UROWENX 
WYE KOTOROGO WEROQTNOSTX OIBKI PERWOGO RODA NE DOPUSTIMA, I KRITI^ESKAQ OBLASTX S (KRITERIJ ') OPREDELQETSQ TAKIM OBRAZOM, ^TO ()  
KAKOWO BY NI BYLO  2 0: |TO OGRANI^ENIE  NA WEROQTNOSTX OIBKI PERWOGO RODA NAZYWAETSQ UROWNEM ZNA^IMOSTI, A SAM KRITERIJ '
DLQ KOTOROGO WYPOLNQETSQ \TO OGRANI^ENIE, { KRITERIEM UROWNQ : nAIBOLXEE ZNA^ENIE WEROQTNOSTI OIBKI PERWOGO RODA  = sup ()
2 NAZYWAETSQ RAZMEROM KRITERIQ '
I ESLI  = 
TO GOWORQT O KRITERII ' RAZMERA . w \TOM WYBORE OGRANI^ENIQ IMENNO NA WEROQTNOSTX OIBKI PERWOGO, A NE WTOROGO RODA PROQWLQETSQ TIPI^NAQ ASIMMETRIQ W PRAKTI^ESKOJ CENNOSTI GIPOTEZY I ALXTERNATIWY. nAPRIMER, ESLI PROWERQETSQ \FFEKTIWNOSTX NOWOGO LEKARSTWENNOGO PREPARATA, TO NULEWOJ GIPOTEZE DOLVNO SOOTWETSTWOWATX REENIE O EGO NE\FFEKTIWNOSTI, IBO, OTKLONIW \TU GIPOTEZU, KOGDA ONA WERNA, MY WNEDRIM W LE^EBNU@ PRAKTIKU BESPOLEZNOE ILI WREDNOE LEKARSTWO, ^TO PRIWEDET K BOLEE TQVKIM POSLEDSTWIQM, ^EM OTKLONENIE W DEJSTWITELXNOSTI \FFEKTIWNOGO PREPARATA. nO ESLI MY I]EM ZOLOTO, ANALIZIRUQ SOSTAW KERNOW PRI BURENII PREDPOLAGAEMOGO MESTOROVDENIQ, TO ESTESTWENNO PRINQTX ZA NULEWU@ GIPOTEZU UTWERVDENIE O NALI^II ZOLOTA, IBO OTKLONIW EE, KOGDA ONA WERNA, MY POTERQEM NAMNOGO BOLXE, ^EM STOIMOSTX NESKOLXKIH DOPOLNITELXNYH ANALIZOW, UDOSTOWERQ@]IH, ^TO ZOLOTO W RAZBURENNOJ MESTNOSTI OTSUTSTWUET. sLEDUET TAKVE OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA OB]U@ METODOLOGI@ PROWERKI GIPOTEZ, OTRAVAEMU@ W WYBORE MALOGO ZNA^ENIQ UROWNQ : eSLI NAI WYBORO^NYE DANNYE POPADA@T W OBLASTX S S ISKL@^ITELXNO MALOJ WEROQTNOSTX@, TO ESTESTWENNO PREDPOLOVITX, ^TO TO UTWERVDENIE, KOTOROE PRIWELO K \TOMU MALOWEROQTNOMU SOBYTI@, NE SOOTWETSTWUET ISTINE I OTKLONITX EGO. pOSTUPAQ TAKIM OBRAZOM, MY BUDEM TERQTX W DEJSTWITELXNOSTI WERNU@ GIPOTEZU H0 KRAJNE REDKO 0

232

{ NE BOLEE, ^EM W 100% SLU^AEW.

pROSTEJIJ METOD POSTROENIQ KRITERIEW ZNA^IMOSTI SOSTOIT W ISPOLXZOWANII SOSTOQTELXNYH OCENOK TESTIRUEMOGO PARAMETRA : rASSMOTRIM PROSTEJIJ SLU^AJ:  { SKALQRNYJ PARAMETR, WEROQTNOSTNAQ MODELX NE SODERVIT DRUGIH (MEA@]IH) PARAMETROW I PROWERQETSQ PROSTAQ GIPOTEZA H0 :  = 0 PRI ALXTERNATIWE H1 :  6= 0
GDE 0 { NEKOTOROE, APRIORI FIKSIROWANNOE ZNA^ENIE PARAMETRA  (NAPRIMER, W OPYTAH mENDELQ PROWERQETSQ GIPOTEZA: WEROQTNOSTX  NASLEDOWANIQ DOMINANTNOGO PRIZNAKA RAWNA 0 = 3=4). eSLI ^n = ^n(X (n)) { SOSTOQTELXNAQ pOCENKA 
DISPERSIQ KOTOROJ STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1 KAK O(1= n)
TO ESTESTWENNO KRITI^ESKU@ OBLASTX POp ^ OPREDELITX SREDSTWOM NERAWENSTWA nj n(X (n) ) ; 0 j > C: wEROQTNOSTX p ^ (n) OIBKI PERWOGO RODA TAKOGO KRITERIQ (0
C ) = P
( nj n(X ) ; 0 j > C )
I PRIRAWNIWAQ \TU WEROQTNOSTX ZADANNOMU UROWN@ ZNA^IMOSTI 
NAHODIM KRITI^ESKU@ KONSTANTU p ^C =(n)C () KAK KWANTILX RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY nj n(X ) ; 0 j TAKOJ WYBOR C PRIWODIT K KRITERI@ UROWNQ : eSLI  (6= 0) { NEKOTOROE ALXTERNATIWNOE ZNA^ENIE PARAMETRA, TO, W SILU SOSTOQTELXNOSTI OCENKI, p nj ^n(X (n) ) ; 0 j ! 1
I PO\TOMU WEROQTNOSTX OIBKI WTOROGO ROP DA  () = P
(pnj ^n(X (n) ) ; 0 j > C ()) ! 0
KOGDA n ! 1: tAKIM OBRAZOM, MY POLU^AEM KRITERIJ ZADANNOGO UROWNQ 
OBLADA@]IJ K TOMU VE SWOJSTWOM SOSTOQTELXNOSTI { EGO WEROQTNOSTX OIBKI WTOROGO RODA STREMITSQ K NUL@ PRI NEOGRANI^ENNOM WOZRASTANII OB_EMA WYBORKI n: sFORMULIRUEM TEPERX OSNOWNU@ ZADA^U TEORII STATISTI^ESKOJ PROWERKI GIPOTEZ: TREBUETSQ NAJTI TAKOJ KRITERIJ ' UROWNQ 
KOTORYJ RAWNOMERNO PO WSEM  2 1 MAKSIMIZIRUET MO]NOSTX m() ILI, ^TO TO VE, RAWNOMERNO PO  2 1 MINIMIZIRUET WEROQTNOSTX OIBKI WTOROGO RODA  (): mY UKAVEM METOD POSTROENIQ TAKIH RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NYH KRITERIEW ZADANNOGO UROWNQ  W SLEDU@]EM PARAGRAFE, A POKA OBRATIMSQ K ILL@STRACIQM WWEDENNYH PONQTIJ I POSTROENI@ NAIBOLEE ^ASTO ISPOLXZUEMYH NA PRAKTIKE KRITERIEW, KASA@]IHSQ PROWERKI GIPOTEZ O ZNA^ENIQH PARAMETROW NORMALXNOGO RASPREDELENIQ. 10: pROWERKA GIPOTEZY O WELI^INE SREDNEGO ZNA^ENIQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ PRI IZWESTNOJ DISPERSII. rASSMOT0

233

RIM SNA^ALA NAIBOLEE ^ASTO WSTRE^A@]U@SQ W PRAKTI^ESKIH PRIMENENIQH MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI ZADA^U PROWERKI SLOVNOJ GIPOTEZY H0 :  0 PRI SLOVNOJ ALXTERNATIWE H1 : > 0 O SREDNEM ZNA^ENII NORMALXNOGO (
2) RASPREDELENIQ PRIXIZWESTNOM ZNA^En 2 ; 1 NII DISPERSII : wYBORO^NOE SREDNEE X = n 1 Xk ESTX OPTIMALXNAQ OCENKA NEIZWESTNOGO ZNA^ENIQ
I PO\TOMU, W SOOTWETSTWII S TOLXKO ^TO PREDLOVENNYM METODOM POSTROENIQ SOSTOQTELXNYH KRITERIEWp, RASSMOTRIM KRITERIJ, OTWERGA@]IJ NULEWU@ GIPOTEZU H0
KOGDA n(X ; 0) > C
ILI, ^TO TO VE, X > C
POSKOLXKU ZNA^ENIQ 0 I n FIKSIROWANY I IZWESTNY. pOSTOQNNAQ C DOLVNA WYBIRATXSQ PO ZADANNOMU UROWN@ ZNA^IMOSTI 
OGRANI^IWA@]EMU MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE WEROQTNOSTI OIBKI PERWOGO RODA. tAK KAK PRI WYBORE IZ NORMALXNOGO (
2) RASPREDELENIQ STATISTIKA X  N (
2=n)
TO FUNKCIQ MO]NOSTI \TOGO KRITERIQ
C ; p !
; C p ! m( ) = P(X > C ) = 1 ;  n =  n : lEGKO WIDETX, ^TO m( ) { STROGO WOZRASTAET S ROSTOM
TAK ^TO RAZMER KRITERIQ
C ; p ! 0  = max m ( ) = m ( 0) = 1 ;  

n : pRIRAWNIWAQ RAZMER KRITERIQ UROWN@ ZNA^IMOSTI 
NAHODIM KRIp TI^ESKOE ZNA^ENIE C () = 0 + ;1(1 ; ) = n: wEROQTNOSTX OIBKI WTOROGO RODA NAEGO KRITERIQ RAZMERA  0 1 p C (  ) ;  ( ) = P(X  C ()) =  @

nA = !
; p 0 ; 1 (1)  n +  (1 ; )
> 0
UBYWAET S ROSTOM PO MERE EE OTHODA OT GRANI^NOGO ZNA^ENIQ 0: nAIBOLXEE ZNA^ENIE  ( ) DOSTIGAETSQ W TO^KE = 0 I RAWNO 1 ; : |TO ZNA^ENIE NE ZAWISIT OT RAZMERA WYBORKI n
I PO\TOMU TREBU@TSQ DOPOLNITELXNYE SOOBRAVENIQ PRI PLANIROWANII OB_EMA NABL@DENIJ. oBY^NO ISPOLXZUETSQ METOD WWEDENIQ TAK NAZYWAEMOJ ZONY BEZRAZLI^IQ { INTERWALA ( 0
1 )
KOTORYJ WYBIRAETSQ IZ TEH SOOBRAVENIJ, ^TO PRI ISTINNOM ZNA^ENII 2 ( 0
1) PRINQTIE NULEWOJ GIPOTEZY 0

234

H0 NE PRIWODIT K SLIKOM TQVELYM POSLEDSTWIQM. oDNAKO PRI ISTINNOM  1 WEROQTNOSTX PRINQTIQ H0 DOLVNA BYTX POD KONTROLEM I NE PREWOSHODITX NEKOTOROGO PREDPISANNOGO ZNA^ENIQ : |TO OBSTOQTELXSTWO POZWOLQET SPLANIROWATX OB_EM WYBORKI n
OPREDELIW EGO IZ NERAWENSTWA  ( 1)  : iSPOLXZUQ FORMULU (1) DLQ  ( )
NAHODIM, ^TO OB_EM WYBORKI n = n(

0
1)
NEOBHODIMYJ DLQ RAZLI^ENIQ GIPOTEZ  0 I  1 S ZADANNYMI OGRANI^ENIQMI  I  NA WEROQTNOSTI OIBOK PERWOGO I WTOROGO RODA, RAWEN NAIMENXEMU CELOMU n
UDOWLETWORQ@]EMU NERAWENSTWU h ;1 i  (1 ; ) + ;1(1 ;  ) 2 2 n

: ( 1 ; 0)2

aNALOGI^NYM METODOM STROITSQ KRITERIJ DLQ PROWERKI PROSTOJ GIPOTEZY H0 : = 0 PRI SLOVNOJ ALXTERNATIWE H1 : 6= 0: w \TOJ ZADA^E ESTESTWENNO OPREDELITX KRITI^ESKU@ OBLASTX POSREDSTWOM NERAWENSTWA j X ; 0 j > C: fUNKCIQ MO]NOSTI TAKOGO KRITERIQ "
C + ; p !
;C + ; p ! # 0 0 m( ) = 1 ;  n ; n



STROGO UBYWAET PRI < 0
WOZRASTAET PRI > 0 I PRI = 0 RAWNA WEROQTNOSTI OIBKI PERWOGO RODA. tAKIM OBRAZOM, KRITI^ESKAQ KONSTANTA C = C () OPREDELQETSQ PO ZADANNOMU UROWN@ ZNA^IMOSTI  IZ URAWNENIQ
;C p ! # " "
C p ! p # C m( 0) = 1 ;  n ;  n = 2 1 ; ( n = 1 ; 
OTKUDA C () = ;1(1 ; =2) =pn: lEKCIQ 12

20: pROWERKA GIPOTEZY O WELI^INE DISPERSII NORMALXNOGO RASPREDELENIQ PRI NEIZWESTNOM SREDNEM ZNA^ENII. |TO TIPI^NAQ ZADA^A KONTROLQ ZA WELI^INOJ SLU^AJNOJ OIBKI W PARALLELXNYH NABL@DENIQH NEKOTOROJ HARAKTERISTIKI ISSLEDUEMOGO OB_EKTA. tAK KAK PREWYENIE HARAKTERISTIKI SLU^AJNOJ POGRENOSTI NAD NEKOTORYM NOMINALOM 0 W SLU^AE, KOGDA MY UTWERVDAEM  0
235

WLE^ET BOLEE SERXEZNYE POSLEDSTWIQ, ^EM NEOPRAWDANNYE PRETENZII K SLIKOM BOLXOMU RAZBROSU W DANNYH, TO SLEDUET PRINQTX ZA NULEWU@ GIPOTEZU > 0: pROWERKA \TOJ GIPOTEZY PROWODITSQ PRI ESTESTWENNOJ ALXTERNATIWE H1 :  0
PRI^EM MY NE ZNAEM ZNA^ENIQ MEA@]EGO PARAMETRA { SREDNEGO ZNA^ENIQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ, IZ KOTOROGO PROIZWODITSQ WYBOR. kAK NAM IZWESTNO, WYBORO^NAQ DISPERSIQ S 2 = n;1 Xn1 (Xk ; X )2 ESTX SOSTOQTELXNAQ OCENKA 2
EE RASPREDELENIE NE ZAWISIT OT
A SLU^AJNAQ WELI^INA nS 2= 2 IMEET HI-KWADRAT RASPREDELENIE S n ; 1 STEPENX@ SWOBODY. tAKIM OBRAZOM, RAZUMNO RASSMOTRETX KRITERIJ S KRITI^ESKOJ OBLASTX@ nS 2 < C: fUNKCIQ MO]NOSTI TAKOGO KRITERIQ 0 2 1
C ! nS C @ A m( ) = P 2  2 = Kn;1 2 MONOTONNO UBYWAET S ROSTOM
PO\TOMU NAIBOLXEE ZNA^ENIE WEROQTNOSTI OIBKI PERWOGO RODA DOSTIGAETSQ PRI = 0
I KRITI^ESKOE ZNA^ENIE C () KRITERIQ TREBUEMOGO RAZMERA  OPREDELQETSQ IZ URAW ; 2 NENIQ Kn;1 C 0 = : iTAK, C () = 02Kn;;11() WEROQTNOSTX OIBKI WTOROGO RODA 0 2 1  2

 ( ) = P nS > C () = 1 ; Kn;1 @ 02 Kn;;11()A
 0
MONOTONNO UBYWAET PO MERE OTHODA ISTINNOGO ZNA^ENIQ OT NOMINALA

0: 30: pROWERKA GIPOTEZY O WELI^INE SREDNEGO ZNA^ENIQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ PRI NEIZWESTNOJ DISPERSII (ODNOWYBORO^NYJ KRITERIJ sTX@DENTA). wY, NAWERNOE, OBRATILI WNI-

MANIE, ^TO PRI POSTROENII KRITERIEW ZNA^IMOSTI MY PO SU]ESTWU ISPOLXZUEM METODY POSTROENIQ DOWERITELXNYH MNOVESTW? |TO, DEJSTWITELXNO, TAK { MEVDU ZADA^AMI DOWERITELXNOJ OCENKI I PROWERKI GIPOTEZ SU]ESTWUET MNOGO OB]EGO, I, REIW ODNU ZADA^U, MY SRAZU VE POLU^AEM REENIE DRUGOJ. w KONCE \TOGO PARAGRAFA MY FORMALIZUEM \TOT PARALLELIZM, A POKA BUDEM ISPOLXZOWATX EGO NA INTUITIWNOM UROWNE: PREDLAGAETSQ ISPOLXZOWATX DLQ PROWERKI GIPOTEZ O SREDNEM ZNA^ENII NORMALXNOGO RASPREDELENIQ STATISTIKU sTX@DENTA. rASSMOTRIM SNA^ALA ZADA^U PROWERKI SLOVNOJ GIPOTEZY H0 :  0 PRI SLOVNOJ ALXTERNATIWE H1 : > 0: tAK KAK WYBORO^NOE SRED236

NEE X ESTX SOSTOQTELXNAQ OCENKA ZNA^ENIQ
TO STATISTIKA sTX@DENTA p T = X ;S 0 n ; 1 OPOSREDSTWENNO, ^EREZ WYBORO^NYE DANNYE, HARAKTERIZUET UDALENNOSTX ISTINNOGO SREDNEGO ZNA^ENIQ OT GRANICY 0
RAZDELQ@]EJ GIPOTEZU I ALTERNATIWU. pO\TOMU PREDLAGAETSQ OTWERGATX NULEWU@ GIPOTEZU  0
ESLI T > C
WYBIRAQ C
KAK OBY^NO, PO ZADANNOMU UROWN@ ZNA^IMOSTI : dLQ REENIQ POSLEDNEJ ZADA^I NEOBHODIMO ISSLEDOWATX POWEDENIE FUNKCII MO]NOSTI m( ) = P (T > C ) KRITERIQ T > C: eSLI MY POKAVEM, ^TO m( ) ESTX MONOTONNO WOZRASTA@]AQ FUNKCIQ ARGUMENTA PRI L@BOM FIKSIROWANNOM ZNA^ENII ARGUMENTA
TO NAIBOLXEE ZNA^ENIE WEROQTNOSTI OIBKI PERWOGO RODA ( ) = m( : )
 0 PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM BUDET DOSTIGATXSQ W TO^KE = 0: sLEDOWATELXNO, RAZMER KRITERIQ W TAKOM SLU^AE BUDET RAWEN (SM. PUNKT 40 PREDYDU]EGO PARAGRAFA)  = m( 0 ) = P  (T > C ) = 1 ; Sn;1(C )
GDE S ( ) { FUNKCIQ RASPREDELENIQ sTX@DENTA S STEPENQMI SWOBODY. tAKIM OBRAZOM, MY POLU^IM SWOBODNYJ OT NEIZWESTNOGO ZNA^ENIQ KRITERIJ T > C () TREBUEMOGO RAZMERA  S KRITI^ESKOJ KONSTANTOJ C () = Sn;;11(1 ; ): |TO I ESTX TO STATISTI^ESKOE PRAWILO, KOTOROE OBY^NO NAZYWAETSQ KRITERIEM sTX@DENTA ILI t-KRITERIEM. pOKAVEM TEPERX, ^TO WEROQTNOSTX (FUNKCIQ MO]NOSTI) P (T > C ) MONOTONNO WOZRASTAET S ROSTOM PRI L@BYH FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH I C: s \TOJ CELX@ PREDSTAWIM STATISTIKU T W SLEDU@]EM WIDE: p p T = X S; n ; 1 + ; 0 S n ; 1: eSLI { SREDNEE ZNA^ENIE NORMALXNOGO RASPREDELENIQ, IZ KOTOROGO PROISHODIT WYBOR, TO PERWOE SLAGAEMOE W \TOM PREDSTAWLENII ESTX STX@DENTOWSKAQ SLU^AJNAQ WELI^INA S n ; 1 STEPENX@ SWOBODY. wTOROE SLAGAEMOE ESTX PROIZWEDENIE PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII ( ) = p ( ; 0) n ; 1= NA POLOVITELXNU@ SLU^AJNU@ WELI^INU =S
RASPREDELENIE KOTOROJ NE ZAWISIT OT I : pRI FIKSIROWANNOM FUNKCIQ ( ) WOZRASTAET S ROSTOM I PRI \TOM WSE WTOROE SLAGAEMOE WOZRASTAET, ^TO WLE^ET UWELI^ENIE WEROQTNOSTI SOBYTIQ PERESKOKA STATISTIKOJ T POROGA C
TO ESTX WEROQTNOSTI SOBYTIQ T > C: 0

237

iTAK, MY POSTROILI KRITERIJ PROWERKI ODNOSTORONNEJ GIPOTEZY  0 PRI ODNOSTORONNEJ ALXTERNATIWE > 0: fUNKCIQ MO]NOSTI \TOGO KRITERIQ ZAWISIT p OT I TOLXKO ^EREZ PARAMETRI^ESKU@ FUNKCI@  = ( ; 0) n ; 1=
KOTORAQ NAZYWAETSQ PARAMETROM NEp CENTRALXNOSTI. rASPREDELENIE STATISTIKI T = (X ; 0) n ; 1=S PRI PROIZWOLXNYH I
^EREZ KOTOROE WYRAVAETSQ FUNKCIQ MO]NOSTI KRITERIQ sTX@DENTA, NAZYWAETSQ NECENTRALXNYM RASPREDELENIEM sTX@DENTA S n ; 1 STEPENX@ SWOBODY TABLICY \TOGO RASPREDELENIQ, ZAWISQ]EGO OT PARAMETRA NECENTRALXNOSTI 
MOVNO NAJTI W tms. pONQTNO, ^TO POSTROENIE KRITERIQ PROWERKI PROSTOJ GIPOTEZY = 0 PRI DWUSTORONNEJ (SLOVNOJ) ALXTERNATIWE 6= 0 NE WYZYWAET PRINCIPIALXNYH ZATRUDNENIJ. |TO KRITERIJ S KRITI^ESKOJ OBLASTX@ j T j > C
GDE KRITI^ESKAQ KONSTANTA C = C () = Sn;;11(1 ; =2): 40: sRAWNENIE SREDNIH ZNA^ENIJ DWUH NORMALXNYH RASPRE-

DELENIJ S OB]EJ NEIZWESTNOJ DISPERSIEJ (DWUHWYBORO^NYJ KRITERIJ sTX@DENTA). pUSTX X I Y { NEZAWISIMYE SLU^AJNYE WE-

LI^INY, PRI^EM X  N ( 1
2)
A Y  N ( 2
2)
TAK ^TO DX = DY: pO DWUM NEZAWISIMYM WYBORKAM X (n) = (X1
: : :
Xn ) I Y (m) = (Y1
: : :
Ym) (WOZMOVNO, RAZNOGO OB_EMA) TREBUETSQ PROWERITX GIPOTEZU ODNORODNOSTI H0 : 1 = 2 PRI ALXTERNATIWE H1 : 1 > 2: tIPI^NYJ PRIMER TAKOJ ZADA^I { WYQWLENIE \FFEKTA NOWOGO METODA LE^ENIQ NA GRUPPE IZ n PACIENTOW POSREDSTWOM SRAWNENIQ S KONTROLXNOJ GRUPPOJ IZ m PACIENTOW, LE^ENIE KOTORYH PROWODITSQ PO STAROJ METODIKE. |TA ZADA^A QWLQETSQ DLQ NAS NESKOLXKO NOWOJ, POSKOLXKU DO SIH POR MY IMELI DELO TOLXKO S ODNOJ WYBORKOJ. tEM NE MENEE, ONA SWODITSQ K TOJ, ^TO MY TOLXKO ^TO RASSMOTRELI W 30
S POMO]X@ SLEDU@]IH POSTROENIJ. rASSMOTRIM SNA^ALA RAZNOSTX WYBORO^NYH SREDNIH X ; Y : |TA STATISTIKA IMEET NORMALXNOE RASPREDELENIE SO SREDNIM E(X ; Y ) = 1 ; 2 I DISPERSIEJ D(X ; Y ) = DX + DY = 2(n;1 + m;1): sLEDOWATELXNO, PRI SPRAWEDLIWOSTI NULEWOJ GIPOTEZY 1 = 2 SLU^AJNAQ WELI^INA X ; Y s nm

= n+m 238

IMEET STANDARTNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE N (0
1): dALEE, NORMIROWANNYE WYBORO^NYE DISPERSII nSX2 = 2 I mSY2 = 2 NEZAWISIMY I RASPREDELENY PO ZAKONU HI-KWADRAT S n ; 1 I m ; 1 STEPENQMI SWOBODY SOOTWETSTWENNO. tAK KAK DLQ HI-KWADRAT RASPREDELENIQ, KAK ^ASTNOGO SLU^AQ GAMMA-RASPREDELENIQ MESTO TEOREMA SLOVENIQ, TO  2 , IMEET SLU^AJNAQ WELI^INA  = nSX + mSY2 = 2 IMEET HI-KWADRAT RASPREDELENIE S n + m ; 2 STEPENQMI SWOBODY. tAKIM OBRAZOM, MY PRIHODIM K DWUHWYBORO^NOJ STATISTIKE sTX@DENTA v u u

X ; Y t nm(n + m ; 2)
Tnm = q =q 2 n+m =(n + m ; 2) nSX + mSY2 RASPREDELENIE KOTOROJ PRI SPRAWEDLIWOSTI NULEWOJ GIPOTEZY ESTX RASPREDELENIE sTX@DENTA S n + m ; 2 STEPENQMI SWOBODY. kAK I W SLU^AE ODNOWYBORO^NOGO KRITERIQ sTX@DENTA W 30 NETRUDNO POKAZATX, ^TO PRI L@BYH FIKSIROWANNYH C I FUNKCIQ MO]NOSTI DWUHWYBORO^NOGO KRITERIQ sTX@DENTA Tnm > C ESTX MONOTONNO pWOZRASTA@]AQ FUNKCIQ PARAMETRA NECENTRALXNOSTI  = ( 1 ; 2) n + m ; 2=
TAK ^TO KRITI^ESKAQ KONSTANTA C OPREDELQETSQ PO ZADANNOMU UROWN@ ZNA^IMOSTI IZ URAWNENIQ P (Tnm > C ) = 1 ; Sn+m;2(C ) =  I RAWNA KWANTILI RASPREDELENIQ sTX@DENTA: C () = Sn;+1m;2(1 ; ): pONQTNO, ^TO PRI ALXTERNATIWE H1 : 1 6= 2 KRITI^ESKAQ KONSTANTA C () = Sn;+1m;2(1 ; =2): pRI ISPOLXZOWANII \TOGO KRITERIQ SLEDUET OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA PREDPOLOVENIE O RAWENSTWE DISPERSIJ NABL@DAEMYH SLU^AJNYH WELI^IN: X2 = Y2 : zADA^A SRAWNENIQ SREDNIH DWUH NORMALXNYH RASPREDELENIJ S NERAWNYMI DISPERSIQMI I S GARANTIROWANNYM OGRANI^ENIEM  NA WEROQTNOSTX OIBKI PERWOGO RODA NAZYWAETSQ PROBLEMOJ bERENSA{fIERA. iZWESTNO LIX ASIMPTOTI^ESKOE REENIE \TOJ PROBLEMY PRI BOLXIH n I m: 50: sRAWNENIE DISPERSIJ DWUH NORMALXNYH RASPREDELENIJ PRI NEIZWESTNYH SREDNIH (KRITERIJ fIERA). nEZAWISIMYE WYBORKI X (n) I Y (m) BERUTSQ IZ SOOTWETSTWU@]IH NORMALXNYH RASPREDELENIJ N ( 1
12) I N ( 2
22)
OTNOSITELXNO PARAMETROW KOTOROGO PROWERQETSQ GIPOTEZA 12 = 22 PRI ALXTERNATIWE 12 > 22 S MEA@]IMI PARAMETRAMI 1 I 2: w \TOJ ZADA^E ESTESTWENNO RASSMOTRETX KRITERIJ, OSNOWANNYJ NA 239

STATISTIKE F = nSX2 =mSY2
KOTORAQ RASPREDELENA KAK 2n;1 12 : 2m;1 22 fUNKCIQ MO]NOSTI KRITERIQ F > C (KOTORYJ NAZYWAETSQ KRITERIEM fIERA ILI F -KRITERIEM) 0 21 0 2 1 2



m @ 12 A = P    (F > C ) = P @ 2n;1 > C 22 A 2 m;1 1 ESTX MONOTONNO WOZRASTA@]AQ FUNKCIQ OTNOENIQ DISPERSIJ 12= 22: dLQ EE WY^ISLENIQ NEOBHODIMO ZNATX RASPREDELENIE OTNOENIQ DWUH NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN, RASPREDELENNYH PO ZAKONU HI-KWADRAT S n ; 1 I m ; 1 STEPENQMI SWOBODY. |TO TAK NAZYWAEMOE RASPREDELENIE fIERA Fn;1m;1
PLOTNOSTX KOTOROGO  n+m;2 n; ;1 ; x fn;1m;1(x) = ;  n;1 ;2  m;1 n m;
x > 0
( x + 1) 2 2 WY^ISLQETSQ STOLX VE PROSTO, KAK \TO MY DELALI PRI WYWODE RASPREDELENIQ sTX@DENTA. tABLICY RASPREDELENIQ fIERA MOVNO NAJTI W tms. kRITI^ESKAQ KONSTANTA C KRITERIQ fIERA ZADANNOGO RAZMERA  OPREDELQETSQ KAK KWANTILX \TOGO RASPREDELENIQ: C () = Fn;;11m;1(1 ; ): mY ZAWERIM ILL@STRACI@ METODOW POSTROENIQ KRITERIEW S POMO]X@ SOSTOQTELXNYH OCENOK TESTIRUEMOGO PARAMETRA PRIMEROM, W KOTOROM NE WSEGDA RAZMER KRITERIQ SOWPADAET S ZADANNYM UROWNEM ZNA^IMOSTI. 60: pROWERKA GIPOTEZY O WEROQTNOSTI USPEHA W ISPYTANIQH bERNULLI. rASSMOTRIM ZADA^U PROWERKI GIPOTEZY p = p0 PROTIW ALXTERNATIWY p < p0 O WEROQTNOSTI p USPENOGO ISHODA W ISPYTANIQH bERNULLI. pRIMER TAKOJ ZADA^I { PROWERKA GIPOTEZY O WEROQTNOSTI NASLEDOWANIQ DOMINANTNOGO PRIZNAKA W OPYTAH mENDELQ, KOGDA ALXTERNATIWNAQ MODELX PREDPISYWAET \TOJ WEROQTNOSTI MENXEE ZNA^ENIE. pREDLAGAEMYJ NIVE METOD REENIQ POZWOLQET STROITX KRITERII PROWERKI TAKOJ GIPOTEZY PRI ALXTERNATIWAH p > p0 ILI p 6= p0 POSREDSTWOM PROSTOJ ZAMENY NERAWENSTWA, OPREDELQ@]EGO KRITI^ESKU@ OBLASTX, NA OBRATNOE ILI DWUSTORONNEE. 1

2

1

2

2

1

+

240

2

2

iTAK, ESLI MY RASPOLAGAEM WYBORKOJ X (n) IZ DWUHTO^E^NOGO RASPREDELENIQ B(1
p)
TO OTNOSITELXNAQ ^ASTOTA USPENYH ISPYTANIJ (WYBORO^NOE SREDNEE) X QWLQETSQ NESME]ENNOJ OCENKOJ p S MINIMALXNOJ DISPERSIEJ. w SOOTWETSTWII S PREDLOVENNOJ WYE IDEOLOGIEJ PROWERKI GIPOTEZ S POMO]X@ OCENOK TESTIRUEMOGO PARAMETRA MY DOLVNY OTWERGATX GIPOTEZU p = pX 0 W POLXZU p < p0
ESLI X ; p0 < C: pOSKOLXKU STATISTIKA T = nX = n1 Xk IMEET BINOMIALXNOE RASPREDELENIE B(n
p)
A ZNA^ENIE p0 ZADANO, TO DLQ WY^ISLENIQ FUNKCII MO]NOSTI UDOBNEE ZAPISATX KRITI^ESKU@ OBLASTX W WIDE T < C: nO STATISTIKA T PRINIMAET TOLXKO CELO^ISLENNYE ZNA^ENIQ 0
1
: : :
n
PO\TOMU BESSMYSLENNO RASSMATRIWATX DROBNYE ZNA^ENIQ KRITI^ESKIH KONSTANT. tAKIM OBRAZOM, MY PRIHODIM K NAIBOLEE UDOBNOJ FORME ZAPISI KRITI^ESKOJ OBLASTI W WIDE T < C
GDE C PRINIMAET ZNA^ENIQ 1
2
: : :
n fUNKCIQ MO]NOSTI TAKOGO KRITERIQ m(p) = Pp (T < C ) =

CX ;1 k=0

pk (1 ; p)n;k


I POSKOLXKU PROWERQETSQ PROSTAQ GIPOTEZA, TO KRITI^ESKAQ KONSTANTA C DOLVNA OPREDELQTXSQ PO ZADANNOMU UROWN@ ZNA^IMOSTI  IZ NERAWENSTWA CX ;1 m(p0) = p0k (1 ; p0) n;k  : (2) k=0 o^EWIDNO, ^TO ^EM BOLXE C
TEM BOLXE MO]NOSTX KRITERIQ, I PO\TOMU C () SLEDUET WYBIRATX KAK NAIBOLXEE CELOE ^ISLO, UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWU (2). rAZMER KRITERIQ S TAKIM C () NE OBQZATELXNO RAWEN 
TAK ^TO MY MOVEM POLU^ITX KRITERIJ UROWNQ 
NO NE RAZMERA  (W PREDYDU]IH PRIMERAH S TESTOWYMI STATISTIKAMI, IME@]IMI RASPREDELENIE NEPRERYWNOGO TIPA, MY IMELI KRITERII RAZMERA ). bOLEE TOGO, ESLI p0 NASTOLXKO MALO, ^TO (1 ; p0)n > 
TO NE SU]ESTWUET TAKIH C
PRI KOTORYH IMEET MESTO NERAWENSTWO (2). w TAKOM SLU^AE MY DOLVNY PRINIMATX NULEWU@ GIPOTEZU PRI L@BOM REZULXTATE STATISTI^ESKOGO \KSPERIMENTA, OBESPE^IWAQ TEM SAMYM NULEWOJ RAZMER TAKOGO KRITERIQ \UROWNQ ": pRI BOLXIH OB_EMAH WYBORKI n MOVNO ISPOLXZOWATX NORMALXNYE APPROKSIMACII BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ, POLU^AQ TAKIM OBRAZOM KRITERIJ, RAZMER KOTOROGO ASIMPTOTI^ESKI (n ! 1) RAWEN : 241

sTATISTIKA T ASIMPTOTI^ESKI NORMALXNA SO SREDNIM np I DISPERSIEJ np(1 ; p)
PO\TOMU NERAWENSTWO (2) DLQ OPREDELENIQ KRITI^ESKOJ KONSTANTY IMEET ASIMPTOTI^ESKIJ ANALOG 0 1 C ; np 0 A  
 @q np0(1 ; p0) q OTKUDA C () np0 ; ;1(1 ; )= np0(1 ; p0): lEGKO PONQTX, ^TO TAKOJ METOD POSTROENIQ KRITERIEW ASIMPTOTI^ESKOGO UROWNQ  PRIMENIM DLQ L@BOJ KRITI^ESKOJ OBLASTI, W ZADANII KOTOROJ ISPOLXZUETSQ ASIMPTOTI^ESKI NORMALXNAQ OCENKA TESTIRUEMOGO PARAMETRA (SM. POQSNENIQ W PREDYDU]EM PARAGRAFE PERED PUNKTOM 50). |TOT PRIMER POKAZYWAET, ^TO W SLU^AE DISKRETNYH RASPREDELENIJ ZADA^A POSTROENIQ RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NYH KRITERIEW ZNA^ITELXNO USLOVNQETSQ, POSKOLXKU ODIN IZ DWUH KRITERIEW ODNOGO I TOGO VE UROWNQ  MOVET IMETX BOLXU@ MO]NOSTX TOLXKO POTOMU, ^TO ON IMEET BOLXIJ RAZMER. mY STOLKNEMSQ S \TOJ PROBLEMOJ W SLEDU@]EM PARAGRAFE, NO SLEDUET ZAMETITX, ^TO SOWREMENNAQ TEORIQ NAIBOLEE MO]NYH KRITERIEW OBHODIT \TOT NEPRIQTNYJ MOMENT ZA S^ET RASIRENIQ PONQTIQ STATISTI^ESKOGO PRAWILA, WWODQ TAK NAZYWAEMYE RANDOMIZIROWANNYE KRITERII. k SOVALENI@, Q NE RASPOLAGA@ WREMENEM POZNAKOMITX WAS S \TIM ZAME^ATELXNYM OB_EKTOM TEORII STATISTI^ESKOGO WYWODA. mY ZAKON^IM \TOT PARAGRAF, KAK I BYLO OBE]ANO, FORMULIROWKOJ PRINCIPA DWOJSTWENNOSTI MEVDU ZADA^AMI PROWERKI GIPOTEZ I DOWERITELXNOGO OCENIWANIQ. pUSTX A(0)  Xn { OBLASTX PRINQTIQ NEKOTOROGO KRITERIQ UROWNQ 
TESTIRU@]EGO GIPOTEZU H0 :  = 0
I PUSTX A(0) OPREDELENA PRI L@BOM 0 2 : dLQ KAVDOGO REZULXTATA x(n) NABL@DENIQ SLU^AJNOJ WYBORKI X (n) WWEDEM PODMNOVESTWO (x(n)) PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA 
POLOVIW (x(n)) = f : x(n) 2 A()g: tOGDA (X (n) ) ESTX )-DOWERITELXNOE DLQ PARAMETRA  (1(n;  (n) MNOVESTWO ) 
POSKOLXKU P
(X ) 3  = P
X 2 A()  1 ; : nAPRIMER, KRITERIJ sTX@DENTA PROWERKI GIPOTEZY = 0 O SREDNEM ZNA^ENII NORMALXNOGO (
2) RASPREDELENIQ S NEIZWESTNOJ DISPERSIEJ 2 IMEET OBLASTX PRINQTIQ (SM. P. 30 DANNOGO PARAGRAFA) 9 8 < (n) j X ; 0 j p = A( 0) = :X : n ; 1  Sn;;11(1 ; =2) : S 242

pODSTAWIM W \TO NERAWENSTWO WMESTO FIKSIROWANNOGO 0 PARAMETR I RAZREIM NERAWENSTWO OTNOSITELXNO : w REZULXTATE POLU^IM DOWERITELXNOE UTWERVDENIE (SM. P. 40 PREDYDU]EGO PARAGRAFA) p p X ; St= n ; 1   X + St= n ; 1
W KOTOROM t = Sn;;11(1 ; =2): wY SAMI MOVETE SOPOSTAWITX DOWERITELXNYE INTERWALY, POSTROENNYE W x6, S KRITERIQMI IZ x7. pRI \TOM SOPOSTAWLENII MOVNO WYWESTI POLEZNOE PRAWILO, KASA@]EESQ DOWERITELXNOJ OCENKI SKALQRNOGO PARAMETRA : eSLI IMEETSQ SOSTOQTELXNYJ KRITERIJ PROWERKI GIPOTEZY  = 0 PRI DWUSTORONNEJ ALXTERNATIWE  6= 0
TO EGO OBLASTI PRINQTIQ SOOTWETSTWUET DWUSTORONNIJ DOWERITELXNYJ INTERWAL. eSLI VE ALXTERNATIWNAQ GIPOTEZA NOSIT ODNOSTORONNIJ HARAKTER, TO PRI ALXTERNATIWE  < 0 MY POLU^AEM WERHN@@ DOWERITELXNU@ GRANICU, A PRI  > 0 { NIVN@@. eSTESTWENNO, PRINCIP DWOJSTWENNOSTI PRIMENIM I K DOWERITELXNYM INTERWALAM, KAK STATISTI^ESKIM PRAWILAM PROWERKI GIPOTEZ: GIPOTEZA  2 0 OTWERGAETSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA (1 ; )DOWERITELXNAQ OBLASTX PRINADLEVIT PODMNOVESTWU 1
I TAKOE STATISTI^ESKOE PRAWILO (KRITERIJ) GARANTIRUET ZADANNOE OGRANI^ENIE  NA WEROQTNOSTX OIBKI PERWOGO RODA.

243

x8. rAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NYE KRITERII lEKCIQ 13

mETOD POSTROENIQ KRITERIEW ZADANNOGO UROWNQ
 KOTORYJ RAWNOMERNO PO WSEM ALXTERNATIWNYM ZNA^ENIQM PARAMETRA  MAKSIMIZIRUET MO]NOSTX KRITERIQ, SU]ESTWENNO OPIRAETSQ NA SLEDU@]EE, PO^TI O^EWIDNOE UTWERVDENIE, KOTOROE W TEORII PROWERKI GIPOTEZ OBY^NO NAZYWAETSQ LEMMOJ nEJMANA{pIRSONA. rASSMOTRIM WEROQTNOSTNU@ MODELX, SOSTOQ]U@ WSEGO IZ DWUH RASPREDELENIJ P0 I P1 S OB]IM NOSITELEM X I FUNKCIQMI PLOTNOSTI f0(x) I f1(x) x 2 X: pO WYBORKE X ( ) PROWERQETSQ PROSTAQ GIPOTEZA H0 : WYBORKA WZQTA IZ RASPREDELENIQ P0 PRI PROSTOJ ALXTERNATIWE H1 : WYBORKE SOOTWETSTWUET RASPREDELENIE P1: oPREDELIM KRITI^ESKU@ FUNKCI@ '
(X ( )) KAK INDIKATORNU@ FUNKCI@ KRITI^ESKOJ OBLASTI Y ) L(X ( ) ) = ff1((X > C: =1 0 X ) sTATISTIKA L NAZYWAETSQ STATISTIKOJ OTNO
ENIQ PRAWDOPODOBIQ, A KRITERIJ '
{ KRITERIEM OTNO
ENIQ PRAWDOPODOBIQ ILI KRITERIEM nEJMANA{pIRSONA. kRITERIJ '
OTWERGAET NULEWU@ GIPOTEZU, ESLI PRAWDOPODOBIE ALXTERNATIWY f1 (X ( ) ) = Y 1 f1(X ) YW C RAZ PREWOSHODIT PRAWDOPODOBIE NULEWOJ GIPOTEZY f0 (X ( ) ) = 1 f0(X ): |TOT KRITERIJ OBLADAET SLEDU@]IM ZAME^ATELXNYM SWOJSTWOM. tEOREMA 8.1.kRITERIJ OTNO
ENIQ PRAWDOPODOBIQ '
QWLQETSQ NAIn

n

n

k

n

k

k

n

n


n

k

n

n


n

k

BOLEE MO]NYM KRITERIEM W KLASSE WSEH KRITERIEW PROWERKI PROSTOJ GIPOTEZY PRI PROSTOJ ALXTERNATIWE, RAZMER KOTORYH NE PREWOSHODIT RAZMERA KRITERIQ '
: eSLI KRITERIJ '
IMEET RAZMER
 TO ON OBLADAET NAIBOLX
EJ MO]NOSTX@ W KLASSE WSEH KRITERIEW UROWNQ
:

d O K A Z A T E L X S T W O. pUSTX ' = '(X ( ) ) { L@BOJ DRUGOJ KRITERIJ, RAZMER KOTOROGO E 0 '(X ( ) )  E 0 '
(X ( ) ): (1) tREBUETSQ POKAZATX, ^TO TOGDA KRITERIJ '
IMEET BOLXU@ MO]NOSTX, ^EM KRITERIJ ' TO ESTX E 1 '
(X ( ))  E 1 '(X ( ) ): n

n

n

n

244

n

rASSMOTRIM INTEGRAL Z h ih i '
(x( ) ) ; '(x( ) ) f1 (x( ) ) ; Cf0 (x( )) d (x( )) = n

n

n

n


n

Xn

E 1 '
(X (

)

n

)

n

)

h

; C E 0 '
(X (

n

n

n

n

n

n

)

)

; E 0 '(X (

i

: dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO \TOT INTEGRAL NEOTRICATELEN, I TOGDA PERWOE UTWERVDENIE TEOREMY BUDET SLEDOWATX IZ NERAWENSTWA: h i E 1 '
(X ( ) ) ; E 1 '(X ( ) ) ; C E 0 '
(X ( ) ) ; E 0 '(X ( ) )  0 KOTOROE WLE^ET (SM. (1)) h i E 1 '
(X ( ) ) ; E 1 '(X ( ) )  C E 0 '
(X ( ) ) ; E 0 '(X ( ) )  0: pOKAVEM, ^TO FUNKCII '
(x( )) ; '(x( )) I f1 (x( )) ; Cf0 (x( )) PROIZWEDENIE KOTORYH INTEGRIRUETSQ, ODNOWREMENNO POLOVITELXNY ILI OTRICATELXNY PRI L@BYH x( ) 2 X : dEJSTWITELXNO, ESLI '
(x( )) ;'(x( ) ) > 0 TO \TO WLE^ET '
(x( ) ) = 1 POSKOLXKU KRITI^ESKAQ FUNKCIQ RAWNA EDINICE, ESLI ONA NE RAWNA NUL@. nO, PO OPREDELENI@ KRITERIQ OTNOENIQ PRAWDOPODOBIQ, RAWENSTWO '
(x( )) = 1 WOZMOVNO LIX W SLU^AE f1 (x( ) ) ; Cf0 (x( ) ) > 0: tO^NO TAKVE USTANAWLIWAETSQ, ^TO NERAWENSTWO '
(x( )) ; '(x( ) ) < 0 WLE^ET f1 (x( )) ; Cf0 (x( )) < 0: iTAK, KRITERIJ '
NAIBOLEE MO]EN W KLASSE WSEH KRITERIEW, RAZMER KOTORYH NE PREWOSHODIT RAZMERA '
: eSLI VE E 0 '
(X ( ) ) =
 TO \TO UTWERVDENIE, O^EWIDNO, WLE^ET EGO NAIBOLXU@ MO]NOSTX W KLASSE WSEH KRITERIEW UROWNQ
: pRIMENENIE \TOJ TEOREMY K POSTROENI@ RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NYH KRITERIEW MY PROILL@STRIRUEM NA ODNOM ^ASTNOM PRIMERE, IZ KOTOROGO BUDET WIDEN OB]IJ PODHOD K DANNOJ ZADA^E. p R I M E R 8.1. pROWERKA NADEVNOSTI PRI POKAZATELXNOM RASPREDELENII DOLGOWE^NOSTI. w PRIMERE 3.3 MY RASSMATRIWALI PROBLEMU OCENKI NADEVNOSTI IZDELIQ S POKAZATELXNYM RASPREDELENIEM DOLGOWE^NOSTI. nAPOMNIM, SLU^AJNAQ WELI^INA X REALIZACIQ x KOTOROJ SOOTWETSTWUET PROMEVUTKU WREMENI OT NA^ALA RABOTY DO MOMENTA OTKAZA NEKOTOROGO IZDELIQ, NAZYWAETSQ DOLGOWE^NOSTX@, I PO FUNKCII RASPREDELENIQ F (x) x  0 SLU^AJNOJ WELI^INY X MOVNO RASS^ITATX )

n

; E 1 '(X (

n


n

n

n

n

n

n

)

n

)

n

n


n

n


n

n

n

n

n

n

n


n

n


n

n

n

n


n

n


n

n

245

NADEVNOSTX H (t) IZDELIJ, SOOTWETSTWU@]U@ GARANTIJNOMU WREMENI t : H (t) = P (X  t) = 1 ; F (t): pUSTX DOLGOWE^NOSTX X RASPREDELENA PO POKAZATELXNOMU ZAKONU S FUNKCIEJ RASPREDELENIQ F (x j ) = 1 ; expf;x=g ZNA^ENIE PARAMETRA  KOTOROJ NE IZWESTNO. mY DOLVNY UDOSTOWERITXSQ, ^TO NADEVNOSTX WYPUSKAEMYH IZDELIJ DOSTATO^NO WYSOKA: H (t)  P0 GDE P0 { NAIMENXAQ DOPUSTIMAQ DOLQ IZDELIJ, KOTORYE DOLVNY PROSLUVITX GARANTIJNYJ SROK t: |TO TIPI^NAQ ZADA^A PROWERKI GIPOTEZ, REENIE KOTOROJ NA^INAETSQ S OPREDELENIQ NULEWOJ GIPOTEZY H0: pRI \TOM SLEDUET POMNITX, ^TO W STATISTI^ESKOM KRITERII KONTROLIRUETSQ WEROQTNOSTX OTKLONENIQ H0 KOGDA ONA W DEJSTWITELXNOSTI WERNA. w NAEJ KONKRETNOJ PROBLEME SPECIFIKACIQ NULEWOJ GIPOTEZY WO MNOGOM ZAWISIT OT TOGO, ^TO POWLE^ET ZA SOBOJ OTKAZ IZDELIQ. eSLI MY WYPUSKAEM BYTOWYE PRIBORY, TO OTKAZ IZDELIQ DO GARANTIJNOGO SKROKA t POWLE^ET IZDERVKI NA REMONT, KOTORYE MOGUT BYTX NEZNA^ITELXNYMI PO SRAWNENI@ SO STOIMOSTX@ IZDELIQ. w TAKOM SLU^AE ESTESTWENNO WYBRATX W KA^ESTWE NULEWOJ GIPOTEZY UTWERVDENIE O NADEVNOSTI IZDELIJ { OTKLONIW \TU GIPOTEZU, KOGDA ONA WERNA, MY POTERQEM DOROGOSTOQ]U@ PRODUKCI@, REMONT KOTOROJ NAM OBOELSQ BY ZNA^ITELXNO DEEWLE, ^EM EE UNI^TOVENIE ILI PRODAVA PO BROSOWOJ CENE. eSLI VE OTKAZ IZDELIQ PRIWODIT K KATASTROFI^ESKIM POSLEDSTWIQM, NAPRIMER, K GIBELI L@DEJ, TO ZDESX RASSUVDATX NE^EGO, I ZA NULEWU@ GIPOTEZU SLEDUET BRATX UTWERVDENIE O \NENADEVNOSTI". oTKLONIW TAKU@ GIPOTEZU, KOGDA ONA W DEJSTWITELXNOSTI WERNA, MY STOLKNEMSQ S NEPRIEMLEMO BOLXOJ DOLEJ OTKAZOW DO ISTE^ENIQ GARANTIJNOGO SROKA, I PO\TOMU RISK OT PRINQTIQ \PLOHIH" IZDELIJ DOLVEN BYTX KONTROLIRUEM. oSTANOWIMSQ NA \TOM WARIANTE I PRISTUPIM K POSTROENI@ RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NOGO KRITERIQ PROWERKI GIPOTEZY \NENADEVNOSTI" H0 : H (t) < P0 PRI ALXTERNATIWE H1 : H (t)  P0 KOGDA H (t) = expf;t=g: w TERMINAH ZNA^ENIJ PARAMETRA  NULEWAQ GIPOTEZA PRINIMAET WID H0 :  < 0 = ;t= ln
: zAFIKSIRUEM NEKOTOROE ALXTERNATIWNOE ZNA^ENIE 1 > 0 I RASSMOTRIM ZADA^U PROWERKI PROSTOJ GIPOTEZY H00 :  = 0 PRI PROSTOJ ALXTERNATIWE H10 :  = 1: nAIBOLEE MO]NYJ KRITERIJ PROWERKI PROSTOJ GIPOTEZY PRI PROSTOJ ALXTERNATIWE 246

IMEET KRITI^ESKU@ OBLASTX WIDA (SM. TEOREMU 8.1) ( ! ) Y f1(X ) 0 1 1 X ( ) L(X ) = f (X ) =  exp  ;  1 X > C 1 0 1 =1 0 GDE KRITI^ESKAQ KONSTANTAC OPREDELQETSQ  PO ZADANNOMU UROWN@ ZNA( ) ^IMOSTI X
IZ USLOWIQ P L(X ) > C 
: pOSKOLXKU STATISTIKA T = 1 X IMEET GAMMA-RASPREDELENIE G(n 0) TO DLQ OPREDELENIQ C W POSLEDNEM NERAWENSTWE SLEDUET POLOVITX ZNAK RAWENSTWA. kROME \TOGO, STATISTIKA OTNOENIQ PRAWDOPODOBIQ L(X ( ) ) ESTX MONOTONNAQ FUNKCIQ STATISTIKI T  PO\TOMU KRITI^ESKU@ OBLASTX L(X ( ) ) > C MOVNO ZAPISATX W \KWIWALENTNOJ FORME T > C I NAHODITX NOWOE C IZ RAWENSTWA P (T > C ) = 1 ; G (C=0) =
(SOBSTWENNO GOWORQ, NAM WSE RAWNO, KAKOE C OPREDELQTX, NO NA PRAKTIKE, WNE SOMNENIQ, UDOBNEE IMETX DELO S KRITI^ESKOJ OBLASTX@ T > C ). iTAK, C (
) = 0  G;1(1 ;
) GDE G;1() { KWANTILX STANDARTNOGO GAMMA-RASPREDELENIQ G(n 1) I KRITERIJ '
(X ( ) ) = If n ( )g(X ( )) ZADANNOGO RAZMERA
QWLQETSQ NAIBOLEE MO]NYM W KLASSE WSEH KRITERIEW UROWNQ
 PROWERQ@]IH GIPOTEZU H00 PRI ALXTERNATIWE H10: |TO OZNA^AET, ^TO DLQ L@BOGO DRUGOGO KRITERIQ ' S E '(X ( )) 
WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO E '(X ( ) )  E '
(X ( ) ): (2) nO KRITERIJ '
NE ZAWISIT OT WYBORA ALXTERNATIWNOGO ZNA^ENIQ 1 PARAMETRA  { KRITI^ESKAQ KONSTANTA C (
) = 0  G;1(1 ;
)! sLEDOWATELXNO, NERAWENSTWO (2) SPRAWEDLIWO PRI L@BYH 1 > 0 I MY PRIHODIM K ZAKL@^ENI@, ^TO KRITERIJ '
ESTX RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NYJ KRITERIJ W KLASSE WSEH KRITERIEW UROWNQ
 PROWERQ@]IH PROSTU@ GIPOTEZU H00 :  = 0 PRI SLOVNOJ ALXTERNATIWE H1 :  > 0: dALEE, FUNKCIQ MO]NOSTI KRITERIQ '
 KAK KRITERIQ RAZLI^ENIQ ISHODNYH SLOVNYH GIPOTEZ H0 :  < 0 I H1 :   0 RAWNA m() = E '
(X ( ) ) = P (T > C (
)) = 1 ; G (G;1(1 ;
)0 =)  > 0: |TO { WOZRASTA@]AQ FUNKCIQ  PO\TOMU MAKSIMUM WEROQTNOSTI OIBKI   PERWOGO RODA (RAZMER KRITERIQ) RAWEN m(0) = 1 ; G G;1(1 ;
) =
: tAKIM OBRAZOM, KRITERIJ '
ESTX KRITERIJ RAZMERA
PROWERKI GIPOTEZY H0 PRI ALXTERNATIWE H1  OBLADA@]IJ RAWNOMERNO NAIBOLX
EJ MO]NOSTX@ W KLASSE WSEH KRITERIEW ', UDOWLETWORQ@]IH n

n

k

n

k

k

k

n

0

n

n

k

n

n

n

n

0

n

n

n

n

n

n

n

T >C 

n

0

n

n

1

1

n

n





n

n

n

n

247

n

'(X ( )) =
: nO W TAKOM SLU^AE ON BUDET RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NYM I W BOLEE UZKOM KLASSE KRITERIEW UROWNQ
 TO ESTX KRITERIEW ' UDOWLETWORQ@]IH OGRANI^ENI@ E '(X ( )) 
PRI L@BOM  < 0: bOLEE TOGO, NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO KRITERIJ '
OBLADAET MINIMALXNOJ WEROQTNOSTX@ OIBKI PERWOGO RODA
() = m()   0 W KLASSE WSEH KRITERIEW UROWNQ
: dLQ \TOGO DOSTATO^NO POMENQTX MESTAMI NULEWU@ GIPOTEZU I ALXTERNATIWU I WYBRATX UROWENX ZNA^IMOSTI, RAWNYJ 1 ;
: w \TOM PRIMERE POSTROENIE RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NOGO KRITERIQ STALO WOZMOVNYM BLAGODARQ OSOBOMU SWOJSTWU STATISTI^ESKOJ STRUKTURY POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ: STATISTIKA L(X ( ))

USLOWI@ E

0

n

n



n

OTNO
ENIQ PRAWDOPODOBIQ ESTX MONOTONNAQ FUNKCIQ STATISTIKI X

T = 1 X : |TO { ^ASTNYJ SLU^AJ STATISTI^ESKIH STRUKTUR, OBLADA@]IH DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ T IBO W SILU TEOREMY FAKTORIZACII U TAKIH STRUKTUR L(X ( ) ) = g (T )=g (T ) ZAWISIT OT X ( ) TOLXKO ^EREZ ZNA^ENIQ T (X ( )): dOPOLNITELXNOE SWOJSTWO MONOTONNOSTI OTNOENIQ PRAWDOPODOBIQ OTNOSITELXNO T OBESPE^IWAET SU]ESTWOWANIE I WOZMOVNOSTX KONSTRUKTIWNOGO POSTROENIQ RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NOGO KRITERIQ, PRI^EM KRITI^ESKAQ OBLASTX TAKOGO KRITERIQ X OBQZATELXNO IMEET WID T > C ILI T < C: nAPRIMER, KRITERIJ 1 X > C PRI SOOTWETSTWU@]EM WYBORE C PO ZADANNOMU UROWN@ ZNA^IMOSTI
BUDET RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NYM KRITERIEM W KLASSE WSEH KRITERIEW UROWNQ
PROWERKI GIPOTEZY  < 0 PRI ALXTERNATIWE   0 KOGDA  ESTX SREDNEE ZNA^ENIE NORMALXNOGO RASPREDELENIQ (DISPERSIQ PREDPOLAGAETSQ IZWESTNOJ) ILI PARAMETR MASTABA GAMMA-RASPREDELENIQ (PARAMETR FORMY IZWESTEN). nO ESLI  { PARAMETR TAKIH RASPREDELENIJ, KAK DWUHTO^E^NOE ILI pUASSONA, TO KRIX
TERIJ ' S KRITI^ESKOJ OBLASTX@ 1 X > C OBLADAET RAWNOMERNO NAIBOLXEJ MO]NOSTX@ TOLXKO W KLASSE TEH KRITERIEW, RAZMER KOTORYH NE BOLXE RAZMERA '
: dRUGIE KRITERII, KOTORYE MY RASSMATRIWALI W PREDYDU]EM PARAGRAFE, TAKVE OBLADA@T SWOJSTWOM RAWNOMERNOJ NAIBOLXEJ MO]NOSTI, I PRI DOKAZATELXSTWE \TOGO TAKVE ISPOLXZUETSQ LEMMA nEJMANA{ pIRSONA, NO METODIKA DOKAZATELXSTWA SOWERENNO DRUGAQ I TREBUET RAZRABOTKI METODOW POSTROENIQ KRITERIEW, OBLADA@]IH SWOJSTn

n

k

n

1

0

n

n

k

n

k

248

n

WOM INWARIANTNOSTI { NEZAWISIMOSTI OT MEA@]IH PARAMETROW. nO \TO UVE SOWSEM DRUGAQ OBLASTX TEORII PROWERKI GIPOTEZ, POGOWORITX O KOTOROJ U NAS NE HWATAET WREMENI. q LU^E RASSKAVU WAM O NEKOTORYH DOPOLNITELXNYH UHI]RENIQH W PRAKTI^ESKIH PRIMENENIQH STATISTI^ESKIH KRITERIEW, KOTORYE POZWOLQ@T S BOLXEJ STEPENX@ NAGLQDNOSTI OCENITX STEPENX SOGLASIQ PROWERQEMOJ GIPOTEZY S WYBORO^NYMI DANNYMI. wSE RASSMATRIWAEMYE NAMI KRITERII ZADANNOGO UROWNQ
OBLADA@T TEM SWOJSTWOM, ^TO IH KRITI^ESKIE OBLASTI MOVNO ZAPISATX W WIDE T (X ( )) > C (
) GDE T { NEKOTORAQ STATISTIKA, HARAKTERIZU@]AQ RASHOVDENIE WYBORO^NYH DANNYH S PREDPOLAGAEMYMI ZNA^ENIQMI PARAMETRA. uWELI^ENIE UROWNQ ZNA^IMOSTI
PRIWODIT K UMENXENI@ C (
) I MY POLU^AEM SISTEMU WLOVENNYH DRUG W DRUGA KRITI^ESKIH OBLASTEJ. |TO ZAME^ATELXNOE SWOJSTWO NAIH KRITERIEW POZWOLQET NESKOLXKO IZMENITX METODOLOGI@ IH PRAKTI^ESKOGO ISPOLXZOWANIQ. dO SIH POR MY FIKSIROWALI UROWENX ZNA^IMOSTI
 NAHODILI PO NEMU KRITI^ESKU@ KONSTANTU C (
) I SRAWNIWALI EE S WYBORO^NYM ZNA^ENIEM t = T (x( )) STATISTIKI T = T (X ( )): pOSTUPIM TEPERX SLEDU@]IM OBRAZOM. pOLU^IW WYBORO^NYE DANNYE x( ) WY^ISLIM ZNA^ENIE t = T (x( )) I RASSMOTRIM KRITERIJ T (X ( )) > t: rAZMER TAKOGO KRI  TERIQ
KR = P0 T (X ( )) > t NAZYWAETSQ KRITI^ESKIM UROWNEM ZNA^IMOSTI, KOTORYJ TRAKTUETSQ KAK WEROQTNOSTX POLU^ITX STOLX VE BOLXIE RASHOVDENIQ MEVDU WYBORO^NYMI DANNYMI I NULEWOJ GIPOTEZOJ, KAK I DLQ WYBORO^NYH DANNYH x( ): eSTESTWENNO, MY PO-PREVNEMU MOVEM RABOTATX S ZADANNYM UROWNEM ZNA^IMOSTI
, OTKLONQQ NULEWU@ GIPOTEZU, ESLI
K R <
 I PRINIMAQ EE W PROTIWNOM SLU^AE. kSTATI, PRINIMAQ GIPOTEZU, NE SLEDUET UTWERVDATX, ^TO ONA WERNA. nA \TOT S^ET SU]ESTWUET BOLEE DELIKATNOE WYRAVENIE: \WYBORO^NYE DANNYE SOGLASU@TSQ S WYDWINUTOJ GIPOTEZOJ," IBO, KAK GOWORIL ODIN IZ SOZDATELEJ MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI S\R d.fIER, \GIPOTEZY NE PROWERQ@TQ, A RAZWE LIX OTWERGA@TSQ". tAK WOT, W SWETE \TOGO WYSKAZYWANIQ BOLEE RAZUMNO PROSTO SOOB]ATX POLU^ENNYJ KRITI^ESKIJ UROWENX ZNA^IMOSTI, SOPROWOVDAQ EGO SLEDU@]IM KOMMENTARIEM, KOTORYJ MOVNO S^ITATX MEVDUNARODNYM STATISTI^ESKIM STANDARTOM. eSLI
KR  0:01 TO GOWORQT, ^TO RASHOVDENIE MEVDU GIPOTEZOJ I WYBORO^NYMI DANNYMI WYSOKO ZNA^IMO, ESLI 0:01 <
K R  0:05 TO PROSTO { ZNA^IMO, ESLI n

n

n

n

n

n

n

:

n

:

:

:

249

VE 0:05 <
KR  0:10 { PO^TI ZNA^IMO, I W SLU^AE
K R > 0:10 { NE ZNA^IMO. zAMETIM TAKVE, ^TO W NEKOTORYH PRIMENENIQH KRITERIEW ZNA^IMOSTI (OSOBENNO, W MEDICINE)
K R NAZYWA@T DOSTOWERNOSTX@. sU]ESTWU@T I DRUGIE, SOWERENNO FANTASTI^ESKIE NAZWANIQ
K R  KOTORYE Q NE BUDU ZDESX PRIWODITX W SILU IH KRAJNE NEPRILI^NOGO ZWU^ANIQ. pOGOWORIM TEPERX OB OPTIMALXNYH SWOJSTWAH DOWERITELXNYH GRANIC, SOOTWETSTWU@]IH RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NYM KRITERIQM. rASSMOTRIM TOLXKO SLU^AJ WERHNEJ DOWERITELXNOJ GRANICY  =  (X ( )): :

:

:

:

n

n

n

oPREDELENIE 8.1 wERHNQQ (1 ;
)-DOWERITELXNAQ GRANICA 

NAZYWAETSQ RAWNOMERNO NAIBOLEE TO^NOJ, ESLI ONA RAWNOMERNO PO WSEM  I 0 UDOWLETWORQ@]IM NERAWENSTWU 0 >  MINIMIZIRUET WEROQTNOSTX P ( (X ( ) )  0): tAKIM OBRAZOM, W SLU^AE RAWNOMERNO NAIBOLEE TO^NOJ GRANICY  INTERWAL (;1  ] S ZADANNOJ WEROQTNOSTX@ 1 ;
NAKRYWAET ISTINNOE ZNA^ENIE PARAMETRA  NO ON S MINIMALXNOJ WEROQTNOSTX@ NAKRYWAET L@BYE ZNA^ENIQ  LEVA]IE PRAWEE ISTINNOGO. eSLI MY PROWERQEM GIPOTEZU H :  = 0 PRI ALXTERNATIWE K (0) :  < 0 I OBLASTX PRINQTIQ A(0) RAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NOGO KRITERIQ RAZMERA
OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO PODMNOVESTWO  (x( ) ) = f : x( ) 2 A()g PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA   R ESTX INTERWAL (;1 :  (x( ) ) ] TO  (X ( ) ) ESTX RAWNOMERNO NAIBOLEE TO^NAQ WERHNQQ (1 ;
)-DOWERITELXNAQ GRANICA. wSE OB_QSNQETSQ DOWOLXNO PROSTO: WEROQTNOSTX P ( (X ( ))   0 ) = P (X ( ) 2 A( 0 )) ESTX WEROQTNOSTX OIBKI WTOROGO RODA U KRITERIQ PROWERKI GIPOTEZY H :  =  0 PRI ALXTERNATIWE K ( 0 ) :  <  0: rAWNOMERNO NAIBOLEE MO]NYJ KRITERIJ ESTESTWENNO OBLADAET RAWNOMERNO MINIMALXNOJ WEROQTNOSTX@ OIBKI WTOROGO RODA. wSE POSTROENNYE NAMI W x6 DOWERITELXNYE GRANICY OBLADA@T OPTIMALXNYMI SWOJSTWAMI S TO^KI ZRENIQ MALOJ WEROQTNOSTI NAKRYTIQ TEH ZNA^ENIJ PARAMETRA, KOTORYE NE SOOTWETSTWU@T ISTINE. n

n



n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n



n

n



250

x9. pROWERKA MODELXNYH PREDPOLOVENIJ. kRITERII SOGLASIQ

lEKCIQ 14

rASSMOTRENNYE NAMI METODY POSTROENIQ OPTIMALXNYH RE
A@]IH FUNKCIJ W PROBLEMAH OCENKI PARAMETROW I PROWERKI PARAMETRI^ESKIH GIPOTEZ SU]ESTWENNO OPIRALISX NA TAKIE OSOBYE SWOJSTWA WEROQTNOSTNYH MODELEJ, KAK SU]ESTWOWANIE DOSTATO^NYH STATISTIK, MONOTONNOSTX OTNO
ENIQ PRAWDOPODOBIQ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ STATISTIKI, NEZAWISIMOSTX WYBOROK I PRO^EE. oCENITX VE POSLEDSTWIQ OT ISPOLXZOWANIQ KONKRETNYH RE
A@]IH FUNKCIJ (NAJTI FUNKCI@ RISKA STATISTI^ESKOGO PRAWILA) WOOB]E NE PREDSTAWLQETSQ WOZMOVNYM BEZ ZNANIQ WEROQTNOSTNOJ MODELI. oTS@DA WOZNIKAET NEOBHODIMOSTX RAZRABOTKI OB]IH METODOW TESTIROWANIQ (PROWERKI) PREDLAGAEMOJ WEROQTNOSTNOJ MODELI P = fP

 2 g PO DANNYM SLU^AJNOJ WYBORKI, ILI NESKOLXKIH WYBOROK, KOTORYE PREDPOLOVITELXNO IZWLEKA@TSQ IZ NEKOTORYH RASPREDELENIJ SEMEJSTWA P: zNA^IMYE RASHOVDENIQ MEVDU MODELXNYMI I \MPIRI^ESKIMI RASPREDELENIQMI WYNUVDA@T STATISTIKA PERESMOTRETX POSYLKI, POLOVENNYE W OSNOWU POSTROENIQ WEROQTNOSTNOJ MODELI, I TEM SAMYM IZBEVATX BOLX
IH POTERX OT ISPOLXZOWANIQ ZAWEDOMO PLOHIH RE
A@]IH PRAWIL (TO^NEE PRAWIL, KOTORYE OPTIMALXNY NE DLQ TOJ MODELI). pONQTNO, ^TO RE^X IDET O PROWERKE STATISTI^ESKIH GIPOTEZ BEZ OSOBOJ SPECIFIKACII ALXTERNATIW K NULEWOJ GIPOTEZE. sTATISTI^ESKIE PRAWILA PROWERKI MODELXNYH PREDPOLOVENIJ OBY^NO NAZYWA@TSQ KRITERIQMI SOGLASIQ, I W MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE SLOVILSQ NEKOTORYJ TRADICIONNYJ NABOR TAKIH KRITERIEW, OBLADA@]IH BOLX
OJ UNIWERSALXNOSTX@. |TO KRITERII, S POMO]X@ KOTORYH MOVNO PROWERQTX NE TOLXKO PRINADLEVNOSTX RASPREDELENIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY K OPREDELENNOMU SEMEJSTWU, NO I TESTIROWATX NEKOTORYE BOLEE \GRUBYE" ^ERTY MODELI, KAK TO NEZAWISIMOSTX KOMPONENT NABL@DAEMOGO SLU^AJNOGO WEKTORA (WEKTORNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY), WOZMOVNOSTX OB_EDINENIQ NESKOLXKIH WYBOROK W ODNU (PROWERKA GIPOTEZY ODNORODNOSTI WYBOROK) I MNOVESTWO DRUGIH PREDPOLOVENIJ, KASA@]IHSQ STRUKTURY WYBORO^NYH DANNYH. mY POZNAKOMIMSQ W \TOM PARAGRAFE S NABOROM UNIWERSALXNYH STATISTI^ESKIH PROCEDUR, OB_EDINQEMYH OB]IM NAZWANIEM KRITERII HI-KWADRAT. oB ODNOM IZ NIH 251

MY UVE UPOMINALI W x2 W SWQZI S POSTROENIEM GISTOGRAMMY WYBORKI \TO { 10: kRITERIJ SOGLASIQ HI-KWADRAT. rE
AETSQ STATISTI^ESKAQ PROBLEMA PROWERKI GIPOTEZY O WIDE RASPREDELENIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X (WOZMOVNO, WEKTORNOJ). nA^NEM S PROSTEJ
EGO SLU^AQ, KOGDA POSTROENIE WEROQTNOSTNOJ MODELI PRIWELO K POLNOJ SPECIFIKACII RASPREDELENIQ, TO ESTX PROBLEMA SOSTOIT W PROWERKE PROSTOJ GIPOTEZY H : RASPREDELENIE X NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE (X
A) EE ZNA^ENIJ ESTX P (A)
A 2 A: pOSTROENIE KRITERIQ SOGLASIQ WYBORO^NYH DANNYH c RASPREDELENIEM P NA^INAETSQ Xr S RAZBIENIQ PROSTRANSTWA X NA r  2 ^ASTEJ A1
: : :
Ar  X = 1 Ai . rEKOMENDACII PO WYBORU ^ISLA r I SPOSOBU RAZBIENIQ NOSQT DOWOLXNO RASPLYW^ATYJ HARAKTER, I ESLI NE UTO^NQTX WOZMOVNYE ALXTERNATIWY K P
TO, KAK WY SAMI PONIMAETE, TAKIH REKOMENDACIJ NE MOVET BYTX W PRINCIPE. gLAWNOE, RAZBIENIE NE DOLVNO OPREDELQTXSQ WYBORO^NYMI ZNA^ENIQMI, NADO STREMITSQ K OBLASTQM ODINAKOWOJ KONFIGURACII I RAZMERA, NE SLEDUET DELATX SLI
KOM PODROBNOE RAZBIENIE. nAPRIMER, ESLI X = R (NABL@DAETSQ DEJSTWITELXNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA), TO PRQMAQ R RAZBIWAETSQ NA r INTERWALOW WIDA (;1
a]
(a
a + ]
(a + 
a + 2]
: : :
(a + (r ; 3)
a + (r ; 2)]
(a + (r ; 2)
+1)
TAK ^TO DLINA WNUTRENNIH INTERWALOW POSTOQNNA I RAWNA : kONE^NO WYBOR r ZAWISIT OT OB_EMA WYBORKI n
NO DAVE PRI ISKL@^ITELXNO BOLX
IH n NE DELAETSQ BOLEE 15-20 RAZBIENIJ \TOGO WPOLNE DOSTATO^NO, ^TOBY W GISTOGRAMME OTRAZITX WS@ SPECIFIKU FORMY TESTIRUEMOGO RASPREDELENIQ. pOSLE RAZBIENIQ X PROWODITSQ SORTIROWKA WYBORO^NYH DANNYH Xr PO OBLASTQM RAZBIENIJ I PODS^ITYWA@TSQ KOLI^ESTWA 1
: : :
r
1 i = n
DANNYH, POPAW
IH W SOOTWETSTWU@]IE OBLASTI A1
: : : Ar : wY^ISLQ@TSQ \TEORETI^ESKIE" WEROQTNOSTI pi = P (Ai)
i = 1
: : :
r POPADANIQ WYBORO^NYH DANNYH W \TI OBLASTI I WY^ISLQETSQ ZNA^ENIE x2 TESTOWOJ STATISTIKI r ( ; np )2 X i i 2 X = npi : i=1 gIPOTEZA H OTWERGAETSQ, ESLI x2 > C
GDE KRITI^ESKAQ KONSTANTA C WYBIRAETSQ PO ZADANNOMU UROWN@ ZNA^IMOSTI  KAK NAIMENX
EE ^ISLO, UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWU P (X 2 > C )  : eSTES252

TWENNO, NA PRAKTIKE ISPOLXZU@T KRITI^ESKIJ UROWENX ZNA^IMOSTI KR: = P (X 2 > x2)
SOPROWOVDAQ EGO KOMMENTARIQMI TIPA TEH, KOTORYE BYLI PRIWEDENY W PREDYDU]EM PARAGRAFE POSLE WWEDENIQ PONQTIQ KRITI^ESKOGO UROWNQ ZNA^IMOSTI. oDNAKO TO^NOE RASPREDELENIE STATISTIKI X 2 NAJTI W QWNOM WIDE NE PREDSTAWLQETSQ WOZMOVNYM PREDELXNOE RASPREDELENIE X 2 PRI n ! 1 USTANOWIL k.pIRSON W SAMOM NA^ALE hh WEKA. tEOREMA 9.1. eSLI ^ISLO RAZBIENIJ r  2 FIKSIROWANO, A OB_EM WYBORKI n ! 1
TO RASPREDELENIE X 2 SHODITSQ K RASPREDELENI@ HIKWADRAT S r ; 1 STEPENX@ SWOBODY. d O K A Z A T E L X S T W O. o^EWIDNO, DLQ WYWODA PREDELXNOGO RASPREDELENIQ X 2 SLEDUET W PERWU@ O^EREDX OBRATITXSQ K SOWMESTNOMU RASXn PREDELENI@ ^ASTOT 1
: : :
r
1 i = n: |TO MULXTINOMIALXNOE RASPREDELENIE M(r
n
p)
(SM. x9 KURSA tw) S FUNKCIEJ PLOTNOSTI f (x1
: : :
xr ) = P (1 = x1
: : :
r = xr ) = x ! n! x ! p1x    prx
1 r Xn SOSREDOTO^ENNOE NA CELO^ISLENNOJ RE
ETKE 1 xi = n: tEOREMA 9.1 IZ KURSA tw UTWERVDAET, ^TO SOWMESTNOE RASPREDELENIE PERWYH r ; 1 ^ASTOT 1
: : :
r;1 APPROKSIMIRUETSQ r ; 1-MERNYM NORMALXNYM RASPREDELENIEM. eSTESTWENNO, PREDELXNOE RASPREDELENIE WSEGO WEKTORA ^ASTOT 1
: : :
r PRI SOOTWETSTWU@]EJ NORMIROWKE NA IH SREDNIE Xn ZNA^ENIQ I STANDARTNYE OTKLONENIQ BUDET WYROVDENNYM, IBO 1 i = n: wYROVDENNYE RASPREDELENIQ LU^
E WSEGO ISSLEDOWATX S POMO]X@ HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ, IBO TAKIE RASPREDELENIQ MOVNO ZAPISATX W QWNOM WIDE, TOLXKO PEREHODQ K SISTEME KOORDINAT NA TOJ GIPERPOWERHNOSTI, GDE SOSREDOTO^ENO TAKOE RASPREDELENIE, I \TO ^REZWY^AJNO USLOVNQET TEHNIKU ASIMPTOTI^ESKOGO ANALIZA RASPREDELENIJ. iTAK, NAJDEM SOWMESTNU@ HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ 1
: : :
r : wSPOMNIM SHEMU MULXTINOMIALXNYH ISPYTANIJ. mY NABL@DAEM WYBORKU Y1
: : :
Yn, KAVDYJ \LEMENT KOTOROJ ESTX NEZAWISIMAQ KOPIQ (W SMYSLE ODINAKOWOSTI RASPREDELENIQ) SLU^AJNOGO WEKTORA Y = (X1
: : :
Xr ): wSE KOMPONENTY WEKTORA Y , ZA ISKL@^ENIEM ODNOJ (SKAVEM, Xj ), MOGUT PRINIMATX TOLXKO NULEWYE ZNA^ENIQ, W TO WREMQ KAK Xj = 1: tAKIM OBRAZOM, Yi = (X1i
: : :
Xri) I Xji { KOPIQ Xj
j = 1

253

r

1
: : :
r
i = 1
: : :
n: w TAKIH OBOZNA^ENIQH

j =

n X

i=1

Xji
j = 1
: : :
r:

eSLI MY NAJDEM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ ' Y (t)
t = (t1
: : :
tr )
NABL@DAEMOGO WEKTORA Y
TO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ ' (t) WEKTORA ^ASTOT  = (1
: : :
r ) BUDET WY^ISLQTXSQ PO FORMULE ' (t) = 'nY (t)
IBO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SUMMY NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN RAWNA PROIZWEDENI@ HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ SLAGAEMYH (PUNKT 30 TEOREMY 12.1 KURSA Xr tw). nO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ WEKTORA Y (NAPOMNIM, 1 Xj = 1) 8 r 9 r < X = ' Y (t) = E exp :i tj Xj  = X pj e t
1 1 i j

I PO\TOMU

0r 1n X ' (t) = @ pj e t A : i j

1

tEPERX PRISTUPIM K ASIMPTOTI^ESKOMU ANALIZU HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII WEKTORA X NORMIROWANNYH ^ASTOT Xj = jp;npnpj
j = 1
: : :
r
j SUMMA KWADRATOW KOMPONENT KOTOROGO SOSTAWLQET TESTOWU@ STATISTIKU X 2 (IZWINITE, ^TO ISPOLXZU@ BUKWU X W NOWOM SMYSLE, NO NE HO^ETSQ WWODITX DLQ OBOZNA^ENIQ SLU^AJNYH WELI^IN NOWYE SIMWOLY). hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SLU^AJNOGO WEKTORA, KOMPONENTY KOTOROGO PODWERGNUTY LINEJNOMU PREOBRAZOWANI@, WY^ISLQETSQ PO FORMULE, ANALOGI^NOJ PUNKTU 20 TEOREMY 12.1: 8 r 9 r 8 9 < X p = 0X < i tj =1n 'X (t) = exp :;i tj npj  @ pj exp : pnp A : j 1 1 rAZLOVIM LOGARIFM \TOJ FUNKCII W RQD mAKLORENA PO STEPENQM t1
: : :
tr
KAK \TO DELALOSX PRI DOKAZATELXSTWE CENTRALXNOJ PREDELXNOJ TEOREMY: r p X ln 'X (t) = ;i n tj ppj + 1 3 2 r r X X i 1 p 2 ; 3 = 2 tj + O(n ) 5 = n ln 4 1 + p tj pj ;

n

1

2n

254

1

0

1

2 r r X X 1 1 p 2 = ; 2 tj + 2 @ tj pj A + O(n;1=2): 1 1 tAKIM OBRAZOM, HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ PREDELXNOGO RASPRE-

DELENIQ WEKTORA X NORMIROWANNYH ^ASTOT ESTX

8 2 0r 12 3 9 > > r < 1 6X = X p 7 2 @ A 4 5 lim ' ( t ) = exp ; t ; t p X j j > > n!1 : 2 1 j : 1

|TO { HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ r-MERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ S NULEWYMI SREDNIMI I MATRICEJ KOWARIACIJ  = I ; pp0
GDE p p I { EDINI^NAQ MATRICA, A p = ( p1
: : :
pr ) { WEKTOR STOLBEC. rASSMOTRIM KWADRATI^NU@ FORMU Q(t) =

r X

1

0r 12 X p tj ; @ tj pj A
2

1

KO\FFICIENTY KOTOROJ OPREDELQ@T KOWARIACII KOMPONENT WEKTORA Z = (Z1
: : :
Zr )
RASPREDELENNOGO PO NORMALXNOMU ZAKONU. eSLI PROIZWESTI ORTOGONALXNOE PREOBRAZOWANIE A WEKTORA t
POLAGAQ u = At I FIKSIRUQ POSLEDN@@ STROKU MATRICY A TAKIM , ^TOBY W XrOBRAZOM p NOWOM WEKTORE u = (u1
: : :
ur ) KOMPONENTA ur = 1 tj pj
TO MY POLU^IM KWADRATI^NU@ FORMU (WSPOMNITE ANALOGI^NYE ORTOGONALXNYE PREOBRAZOWANIQ NORMALXNOGO WEKTORA PRI WYWODE RASPREDELENIQ WYBORO^NOJ DISPERSII W LEMME fI
ERA) Q(t) =

r X

1

12 r 0r r;1 X p t2j ; @ tj pj A = X u2j ; u2r = X u2j : 1

1

1

tAKIM OBRAZOM, SU]ESTWUET ORTOGONALXNOE PREOBRAZOWANIE Y = BZ WEKTORA Z
POSLE KOTOROGO Y1
: : :
Yr;1 NEZAWISIMY I ODINAKOWO NORMALXNO RASPREDELENY SO SREDNIMI, RAWNYMI NUL@, I EDINI^NYMI DISPERSIQMI, A Yr IMEET NULEWOE SREDNEE I NULEWU@ DISPERSI@, TO ESTX Yr = 0 PO^TI NAWERNOE. wSE \TO, KONE^NO, SLEDSTWIE WYROVDENNOSTI NORMALXNOGO WEKTORA Z { ONO SOSREDOTO^ENO NA Xr RASPREDELENIQ p GIPERPLOSKOSTI 1 Zj pj = 0: TEPERX K PREDELXNOMU RASPREDELENI@ STATISTIKI X 2 = XroBRATIMSQ 2 1 Xj : pOSKOLXKU PREDELXNOE RASPREDELENIE WEKTORA X SOWPADAET S RASPREDELENIEM WEKTORA Z
TO PREDELXNOE RASPREDELENIE X STATISTIKI 2 X OPREDELQETSQ RASPREDELENIEM KWADRATI^NOJ FORMY r1 Zj2: kAK 255

IZWESTNO, ORTOGONALXNYE Xr 2 XrPREOBRAZOWANIQ Xr;1 2 NE MENQ@T SUMMY KWADRA2 TOW, PO\TOMU 1 Zj = 1 Yj = 1 Yj : sLEDOWATELXNO, PREDELXNOE RASPREDELENIE STATISTIKI X 2 ESTX RASPREDELENIE SUMMY KWADRATOW r ; 1 NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN, IME@]IH OB]EE STANDARTNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE. pO OPREDELENI@ \TO { HI-KWADRAT RASPREDELENIE S r ; 1 STEPENQMI SWOBODY. tEOREMA pIRSONA DOKAZANA. lEKCIQ 15

rASSMOTRIM TEPERX BOLEE SLOVNU@ STATISTI^ESKU@ PROBLEMU, W KOTOROJ PROWERQETSQ GIPOTEZA O PRINADLEVNOSTI RASPREDELENIQ P NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY NEKOTOROMU PARAMETRI^ESKOMU SEMEJSTWU P = fP

 2   Rsg
INDEKSIROWANNOMU s-MERNYM PARAMETROM  = (1
: : :
s): w TAKOM SLU^AE 2 r X 2() = X (i ;npnp(i())) i i=1 NE MOVET NAZYWATXSQ STATISTIKOJ I EE NELXZQ ISPOLXZOWATX DLQ PROWERKI SLOVNOJ GIPOTEZY H : P 2 P: eSTESTWENNO WOSPOLXZOWATXSQ KAKOJ-LIBO OCENKOJ ^n = ^n(X (n) ) PARAMETRA  I RASSMOTRETX TESTOWU@ STATISTIKU r ( ; np ( ^ 2 X i i n )) 2 2 ^ ^ X = X (n) = : npi(^n) i=1 pONQTNO, ^TO RASPREDELENIE STATISTIKI X^ 2 MOVET ZAWISETX OT METODA OCENKI PARAMETRA : oDNAKO, ESLI OPREDELITX OCENKU ^n IZ USLOWIQ MINIMUMA SLU^AJNOJ FUNKCII X 2()
TO, KAK POKAZAL fI
ER, PRI OPREDELENNYH USLOWIQH REGULQRNOSTI, KOTORYM UDOWLETWORQ@T WSE RASSMOTRENNYE NAMI W KURSE tw WEROQTNOSTNYE MODELI, PREDELX^ 2 ESTX HI-KWADRAT RASPREDELENIE NOE RASPREDELENIE STATISTIKI X S r ; s ; 1 STEPENQMI SWOBODY. eSLI VE ^n { OCENKA  PO METODU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ, TO PREDELXNOE RASPREDELENIE X^ 2
TAKVE PRI USLOWIQH REGULQRNOSTI TIPA TEH, ^TO OBESPE^IWALI ASIMPTOTI^ESKU@ NORMALXNOSTX ^n
IMEET FUNKCI@ RASPREDELENIQ K (x)
DLQ KOTOROJ SPRAWEDLIWA DWUSTORONNQQ OCENKA Kr;1(x)  K (x)  Kr;s;1(x)
256

PRI L@BOM x > 0: dOKAZATELXSTWO \TIH UTWERVDENIJ DOSTATO^NO GROMOZDKO I MY NE BUDEM IM ZANIMATXSQ IZ-ZA NEDOSTATKA WREMENI. iDEJNAQ STORONA PROBLEMY NAM QSNA, I KOLX SKORO NAM SOOB]ILI RASPREDELENIE TESTOWOJ STATISTIKI, TO MY MOVEM ISPOLXZOWATX EGO DLQ RAS^ETA KRITI^ESKOGO UROWNQ ZNA^IMOSTI. w SLU^AE OCENKI MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ, KOGDA MY RASPOLAGAEM DWUSTORONNEJ OCENKOJ K R:
REKOMENDUETSQ PRI OTKLONENII GIPOTEZY ORIENTIROWATXSQ NA KR: = 1 ; Kr;1(x2) > 1 ; Kr;s;1(x2)
A W SLU^AE EE PRINQTIQ { NA K R: = 1 ; Kr;s;1(x2) < 1 ; Kr;1(x2)
^TOBY UMENX
ITX RISK OT PRINQTIQ NEPRAWILXNOGO RE
ENIQ. kRITERIJ HI-KWADRAT QWLQETSQ NAIBOLEE UNIWERSALXNYM STATISTI^ESKIM METODOM TESTIROWANIQ WEROQTNOSTNOJ MODELI, POSKOLXKU PREDELXNOE RASPREDELENIE STATISTIKI NE ZAWISIT OT RASPREDELENIQ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY DAVE W TOM SLU^AE, KOGDA \TO RASPREDELENIE ZAWISIT OTpPARAMETROW p , ZNA^ENIE KOTORYH NEIZWESTNO. kRITERIJ kOLMOGOROWA nDn = n sup x j Fn(x);F (x) j > C
O KOTOROM GOWORILOSX W NA^ALE x2, MOVNO ISPOLXZOWATX TOLXKO DLQ PROWERKI PROSTOJ GIPOTEZY F () = F 0 () O WIDE FUNKCII RASPREDELENIQ . eSLI F 0 (x j ) p ZAWISIT OT PARAMETRA I W STATISTIKU nDn WMESTO F (x) PODSTAWLQETSQ F 0 x j ^n(X (n))p
TO RASPREDELENIE MODIFICIROWANNOJ TAKIM OBRAZOM STATISTIKI nDn ZAWISIT KAK OT WIDA FUNKCII F 0
TAK I OT PARAMETRA : sU]ESTWUET, PRAWDA, NESKOLXKO SLU^AEW OSOBOJ SWQZI MEVDU x I  W ZAPISI FUNKCII F 0
PRI NALI^II KOTOROJ RASPREDELENIE TESTOWOJ STATISTIKI NE ZAWISIT OT : |TO, NAPRIMER, TAKIE FUNKCII RASPREDELENIQ S PARAMETRAMI MAS
TABA I SDWIGA, KAK NORMALXNOE I POKAZATELXNOE. dLQ TESTIROWANIQ TAKIH RASPREDELENIJ SOSTAWLQ@TSQ SPECIALXNYE TABLICY KRITI^ESKIH KONSTANT I KRITI^ESKIH UROWNEJ ZNA^IMOSTI. sLEDUET ZAMETITX, ^TO PRQMOE ISPOLXZOWANIE KRITERIQ kOLMOGOROWA S OCENKAMI NEIZWESTNYH ZNA^ENIJ PARAMETROW QWLQETSQ NAIBOLEE RASPROSTRANENNOJ O
IBKOJ W PRAKTI^ESKIH PRILOVENIQH METODOW TESTIROWANIQ WEROQTNOSTNYH MODELEJ. oBRATIMSQ TEPERX K PROWERKE GIPOTEZ, KASA@]IHSQ NE STOLXKO WIDA RASPREDELENIQ NABL@DAEMYH SLU^AJNYH WELI^IN, SKOLXKO IH OSOBYH SWOJSTW, NALI^IE KOTORYH POZWOLQET ZNA^ITELXNO UPROSTITX WEROQTNOSTNU@ MODELX I DOBITXSQ EE BOLEE ^ETKOJ SPECIFIKACII. 257

20: kRITERIJ NEZAWISIMOSTI HI-KWADRAT (TABLICY SOPRQVENNOSTI PRIZNAKOW). sLEDU@]AQ ZADA^A WYQWLENIQ ZAWISIMOS-

TI MEVDU OPREDELENNYMI PRIZNAKAMI NABL@DAEMYH OB_EKTOW ^ASTO WOZNIKAET W PRAKTI^ESKIH PRILOVENIQH MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI. pREDPOLOVIM, ^TO MY SLU^AJNO WYBRALI n OSOBEJ IZ NEKOTOROJ \TNI^ESKOJ POPULQCII, I HOTIM WYQSNITX, SU]ESTWUET LI ZAWISIMOSTX MEVDU CWETOM WOLOS I CWETOM GLAZ. mY RAZLI^AEM s  2 UROWNEJ PERWOGO PRIZNAKA (NAPRIMER, BLONDIN, BR@NET,
ATEN I RYVIJ) I r  2 UROWNEJ WTOROGO (NAPRIMER, KARIE, SERYE, GOLUBYE I ZELENYE). wSE n OSOBEJ RAZBIWA@TSQ NA sr GRUPP W SOOTWETSTWII S NALI^IEM TEH ILI INYH UROWNEJ KAVDOGO PRIZNAKA, I SOSTAWLQETSQ SLEDU@]AQ TABLICA ^ASTOT OSOBEJ W KAVDOJ GRUPPE. p RIZNAK I

1 2 ..

r

s UMMA

1

2   11  12     21  22    .. .. ..  r1  r2    1 2   

tAKIE TABLICY, W KOTORYH SUMMY  i  = X  ij
s

s  1s  2s

s UMMA

 rs s

r n

1 2

..

..

  j = X  ij
r

j =1

i=1

NAZYWA@TSQ TABLICAMI SOPRQVENNOSTI PRIZNAKOW. tREBUETSQ PROWERITX NULEWU@ GIPOTEZU O TOM, ^TO PEREMENNYE PRIZNAKI, PO KOTORYM POSTROENA TABLICA, NEZAWISIMY. pOSTROIM WEROQTNOSTNU@ MODELX, SOOTWETSTWU@]U@ TAKOGO RODA TABLI^NYM DANNYM I SOSTAWIM STATISTIKU X 2 DLQ PROWERKI GIPOTEZY NEZAWISIMOSTI. pUSTX p ij { WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SLU^AJNO OTOBRANNAQ OSOBX IMEET i-YJ UROWENX PO PERWOMU PRIZNAKU I j -YJ { PO WTOROMU, i = 1
: : :
r
j = 1
: : :
s: gIPOTEZA NEZAWISIMOSTI OZNA^AET, ^TO p ij = p i  p  j
GDE s r p i  = X p ij
p  j = X p ij j =1

i=1

258

PRI L@BYH i = 1
: : :
r I j = 1
: : :
s: dLQ PROWERKI GIPOTEZY NEZAWISIMOSTI PREDLAGAETSQ ISPOLXZOWATX TESTOWU@ STATISTIKU X ( ij ; n p i  p  j )2 2 X = (1) n pi pj
ij W KOTOROJ SUMMIROWANIE RASPROSTRANQETSQ NA WSE rs GRUPP TABLICY SOPRQVENNOSTI PRIZNAKOW. pONQTNO, ^TO X 2 QWLQETSQ TESTOWOJ STATISTIKOJ TOLXKO W SLU^AE IZWESTNYH ZNA^ENIJP r + s ;P2 PARAMETROW p i  I p  j
i = 1
: : :
r
j = 1
: : :
s (NAPOMNIM, r1 p i  = s1 p  j = 1
TAK ^TO S POMO]X@ \TIH SOOTNO
ENIJ DWA IZ r + s PARAMETROW, NAPRIMER, p r  I p  s
MOVNO WYRAZITX ^EREZ OSTALXNYE r + s ; 2 PARAMETROW). w \TOM SLU^AE X 2 IMEET W PREDELE (n ! 1) HI-KWADRAT RASPREDELENIE S rs ; 1 STEPENQMI SWOBODY. kONE^NO, WSQ PROBLEMA SOSTOIT W TOM, ^TO \TI PARAMETRY NEIZWESTNY. oKAZYWAETSQ, OCENKI MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ p^i  = ni 
p^ j = n j
i = 1
: : :
r
j = 1
: : :
s
\TIH PARAMETROW ASIMPTOTI^ESKI \KWIWALENTNY OCENKAM PO METODU MINIMUMA STATISTIKI X 2
I PO\TOMU PODSTANOWKA W PRAWU@ ^ASTX (1) \TIH OCENOK PRIWODIT K STATISTIKE 0 1 2 2 X X  (  ;   =n ) ij i j ij @ X^ 2 = n = n ; 1A
    i j i j ij ij PREDELXNOE RASPREDELENIE KOTOROJ ESTX HI-KWADRAT S rs ; (r + s ; 2) ; 1 = (r ; 1)(s ; 1) STEPENQMI SWOBODY. eSTESTWENNO, STATISTIKU X^ 2 MOVNO ISPOLXZOWATX DLQ PROWERKI NEZAWISIMOSTI KOMPONENT DWUMERNOGO WEKTORA (X
Y ), I PRI \TOM TABLICA SOPRQVENNOSTI PREDSTAWLQET ^ASTOTNYE DANNYE DLQ POSTROENIQ GISTOGRAMMY DWUMERNOJ WYBORKI (X1
Y1)
: : :
(Xn Yn): sOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM NORMIROWANNAQ STATISTIKA X 2 MOVET SLUVITX MEROJ ZAWISIMOSTI PRIZNAKOW (ILI KOMPONENT X I Y SLU^AJNOGO WEKTORA). 30: kRITERIJ ODNORODNOSTI HI-KWADRAT. aNALIZIRU@TSQ DANNYE s  2 NEZAWISIMYH MULXTINOMIALXNYH SHEM ISPYTANIJ S ODINAKOWYM ^ISLOM r  2 WOZMOVNYH ISHODOW I SOOTWETSTWU@]IMI OB_EMAMI n1
: : :
ns NABL@DENIJ W KAVDOJ SHEME. pROWERQETSQ GIPOTEZA 259

WSE SHEMY ISPYTANIJ IME@T ODINAKOWYJ WEKTOR WEXr ROQTNOSTEJ p = (p1
: : :
pr )
1 pi = 1
POQWLENIQ SOOTWETSTWU@]IH ISHODOW, PRI^EM ZNA^ENIQ KOMPONENT WEKTORA p NE IZWESTNY. oBOZNA^AQ  ij ^ASTOTU POQWLENIQ i-GO ISHODA W j -OM ISPYTANII, PREDSTAWIM DANNYE NABL@DENIJ W WIDE TABLICY, ANALOGI^NOJ TABLICE SOPRQVENNOSTI PRIZNAKOW ODNORODNOSTI:

ISH : n SH EM :

1 2 ..

r

s UMMA

1

 11  21 ..

 r1 n1

2   12     22    .. ..  r2    n2   

s  1s  2s

s UMMA

 rs ns

r n

..

1 2 ..

sOSTAWIM SNA^ALA STATISTIKU HI-KWADRAT DLQ SLU^AQ IZWESTNOGO WEKTORA WEROQTNOSTEJ p: s X r ( ; n p )2 X ij j i 2 X = nj pi : j =1 i=1 wNUTRENNQQ SUMMA 2 r Xj2 = X ( ij n; npj p i) j i i=1 PREDSTAWLQET STATISTIKU HI-KWADRAT DLQ j -OJ SHEMY MULXTINOMIALXNYH ISPYTANIJ, I PO\TOMU IMEET W PREDELE (nj ! 1) HI-KWADRAT RASPREDELENIE S r ; 1 STEPENQMI SWOBODY. sTATISTIKA X 2 ESTX SUMMA s NEZAWISIMYH STATISTIK, KAVDAQ IZ KOTORYH IMEET PREDELXNOE HI-KWADRAT RASPREDELENIE, TAK ^TO, W SILU TEOREMY SLOVENIQ, PREDELXNOE RASPREDELENIE X 2 ESTX HI-KWADRAT RASPREDELENIE S (r ; 1)s STEPENQMI SWOBODY. w SLU^AE NEIZWESTNYH ZNA^ENIJ WEROQTNOSTEJ ISHODOW, KOTORYE PRI SPRAWEDLIWOSTI NULEWOJ GIPOTEZY ODINAKOWY DLQ WSEH SHEM ISPYTANIJ, ISPOLXZUEM IH OCENKI p^i =  i =n
i = 1
: : :
r
(WSEGO OCENIWAETSQ r ; 1 PARAMETR). pODSTANOWKA \TIH OCENOK W X 2 DAET STATISTIKU 0 1 2 2 X X  (  ; n  =n ) ij j i ij @ X^ 2 = n = n ; 1A
n  n  j i j i ij ij 260

PREDELXNOE RASPREDELENIE KOTOROJ ESTX HI-KWADRAT S (r ;1)s;(r ;1) = (r ; 1)(s ; 1) STEPENQMI SWOBODY. zAME^ATELEN TOT FAKT, ^TO MY POLU^ILI TESTOWU@ STATISTIKU TAKOGO VE WIDA I S TEM VE PREDELXNYM RASPREDELENIEM, ^TO I PRI PROWERKE GIPOTEZY NEZAWISIMOSTI PRIZNAKOW. eSTESTWENNO, POSTROENNYJ KRITERIJ MOVNO ISPOLXZOWATX DLQ PROWERKI GIPOTEZY ODNORODNOSTI RASPREDELENIJ, IZ KOTORYH IZWLEKA@TSQ s  2 WYBOROK. wYBORO^NYE DANNYE PRI \TOM PODWERGA@TSQ GRUPPIROWKE W SOOTWETSTWII S ODINAKOWYM DLQ WSEH WYBOROK RAZBIENIEM PROSTRANSTWA X NA r  2 OBLASTEJ.

261