Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1
УДК 517.51
ВЕСОВАЯ ОЦЕНКА ПРОМЕЖУТОЧНОГО ОПЕРАТОРА Н...
28 downloads
195 Views
389KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1
УДК 517.51
ВЕСОВАЯ ОЦЕНКА ПРОМЕЖУТОЧНОГО ОПЕРАТОРА НА КОНУСЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Р. Ойнаров Аннотация: Рассматривается интегральный оператор Zx Kβ f (x) =
K β (x, t)f (t) dt,
x > 0, 0 ≤ β ≤ 1, K ≡ K1 .
0
При некотором ограничении на положительную непрерывную функцию K(x, s) получены необходимые и достаточные условия на весовые функции u, v и ρ, при которых справедливо неравенство kuKβ f kq ≤ C(kρf kp + kvKf kr ), f ≥ 0, когда 1 < p, q, r < ∞, q ≥ max{p, r}. Библиогр. 8.
1. Пусть R+ = (0, +∞), µ и λ — неотрицательные борелевские меры на R+ , u, v и ρ — весовые функции на R+ , т. е. неотрицательные локально интегрируемые на R+ функции. Пусть K — интегральный оператор вида Zx Kf (x) =
K(x, t)f (t) dt,
x > 0,
(1)
0
с непрерывным при 0 < s ≤ x < +∞ ядром K(x, t), удовлетворяющим условиям: (а) K(x, s) > 0 при x > s; (б) существует постоянная d ≥ 1 такая, что 1 (K(x, t) + K(t, s)) ≤ K(x, s) ≤ d(K(x, t) + K(t, s)) (2) d для всех x, t, s таких, что 0 < s < t < x < ∞. Оператор вида (1) с условием (б) был введен в работе [1], а различные его свойства исследованы в работах [2, 3]. Класс операторов вида (1) с условиями (а) и (б) включает в себя почти все известные операторы дробного интегрирования, в частности, оператор Римана — Лиувилля 1 Rα f (x) = Γ(α)
Zx
(x − s)α−1 f (s) ds,
α ≥ 1,
0
где Γ(·) — гамма-функция. Введем «промежуточный» оператор вида Zx Kβ f (x) = 0
c 2002 Ойнаров Р.
K β (x, t)f (t) dt,
(3)
162
Р. Ойнаров
где 0 ≤ β ≤ 1, который при β = 1 сводится к оператору (1), а при β = 0 — к оператору интегрирования Zx K0 f (x) =
f (s) ds. 0
Рассмотрим неравенство kKβ f kq,µ ≤ C(kρf kp + kKf kr,λ ),
f ≥ 0,
(4)
где 1 < p, q, r < ∞, k · kp — обычная норма пространства Lp (R+ ), ∞ q1 Z kgkq,µ = |g(x)|q dµ(x) . 0
В случае, когда в (4) dµ(x) = uq (x) dx, dλ(x) = v r (x) dx, K ≡ Rn , β = m = n − k, 0 ≤ k ≤ n − 1, имеем неравенство kuRm f kq ≤ C(kρf kp + kvRn f kr ),
f ≥ 0,
m−1 n−1 ,
(5)
которое эквивалентно весовой оценке промежуточных производных kuy (k) kq ≤ C(kρy (n) kp + kvykr )
(6)
на классе функции M = {y : y (n) ≥ 0, y (i) (0) = 0, i = 0, 1, . . . , n − 1}. Оценка вида (6) используется в различных задачах математического анализа, и проблема заключается в нахождении необходимых и достаточных условий на весовые функции u, v и ρ таких, что справедливо (6) для всех функций y, для которых конечна правая часть (6). При n = 1, p = r решение этой задачи дано в работах [4–6], а в общем случае вопрос остается открытым. Неравенство (4) в случае, когда dµ(x) = uq (x) dx, dλ(x) = v r (x) dx, 1 < p = r ≤ q < ∞, исследовано в [7] при β = 0, a при β = 1 и 0 < β < 1 основные результаты анонсированы соответственно в [1, 8]. 1 1 −p0 Пусть ρ−1 ≡ ρ1 ∈ Lloc (·)χ[t,z) (·), где p0 (R+ ), p + p0 = 1, и для функции ρ χ[t,z) (·) — характеристическая функция интервала [t, z) ⊂ R+ , правая часть (4) конечна. Тогда из (2) и (4) вытекают следующие необходимые условия на µ и λ: +∞ Z
µ([t, +∞)) ≡
Z dµ(x) < ∞,
t
K
βq
Z∞ (x, t) dµ(x) ≡ t
[t,+∞)
Z∞
+∞ Z
dλ(x) < ∞, t
K βq (x, t) dµ(x) < ∞,
K r (x, t) dλ(x) < ∞
∀t > 0,
t
которые далее будем считать выполненными. В R+ определим функции ϕ(·) и ϕβ (·): z − 10 ∞ r1 −1 p Z Z 0 ϕ(z) = inf ρ−p ds + K r (x, t) dλ(x) , 0
t
t
Весовая оценка промежуточного оператора на конусе
163
ϕβ (z) = [ inf (Φβ (t, z) + Ψβ (t, z))]−1 , 0
где
Zτ
Φβ (t, z) = inf t<τ
− 10
∞ r1 Z 0 0 K βp (z, s)ρ−p (s) ds +K −β (z, τ ) K r (x, z) dλ(x) , p
t
z
z r1 r1 ∞ Z Z Ψβ (t, z) = K (1−β)r (x, t) dλ(x) + K 1−β (z, t) dλ(x) . t
z
Положим ∞ q1 Z A1 (z, β) = ϕ(z) K βq (x, z) dµ(x) ,
∞ q1 Z A2 (z, β) = ϕβ (z) dµ(x) ,
z
z
Ai ≡ Ai (β) = sup Ai (z, β), i = 1, 2,
Aβ = max{A1 (β), A2 (β)}.
z>0
Заметим, что при β = 0 в силу (2) ϕ0 (z) ≈ ϕ(z) для любых z > 0 и поэтому A0 ≈ A1 (0) ≈ A2 (0). Здесь и далее A << C означает A ≤ αC с некоторой постоянной α > 0, а запись A ≈ C утверждает наличие двусторонней оценки A << C << A. Для удобства примем также соглашения Zz
Z f (x) dµ(x) ≡
f (x) dµ(x). t
[t,z)
2. Основной целью настоящей статьи является доказательство следующей теоремы. Теорема 1. Пусть 1 < p, q, r < ∞, max{p, r} ≤ q, 0 ≤ β ≤ 1, функция K(x, s) непрерывна при 0 < s ≤ x и удовлетворяет условиям (а) и (б). Тогда неравенство (4) выполнено тогда и только тогда, когда Aβ < ∞, причем Aβ ≈ C, где C — константа в (4), наименьшая из возможных. Доказательство. В ходе доказательства без напоминания будут использованы почти неубывание по первому аргументу (dK(x, s) ≥ K(t, s) при x > t > s > 0) и почти невозрастание по второму аргументу (dK(x, s) ≥ K(x, t) при x > t > s > 0) функции K(x, s), вытекающие из левого неравенства (2). 0
Необходимость. Полагая f (·) = ρ−p (·)χ[t,z) (·), имеем
Z∞
kKβ f kq,µ >>
q1 K βq (x, z) dµ(x)
z
kKf kr,λ
Zz
0
ρ−p (s) ds,
Zz
kρf kp =
t
t
∞ r1 z Z Z 0 << K r (x, t) dλ(x) ρ−p (s) ds. t
t
p1 0
ρ−p (s) ds ,
164
Р. Ойнаров
Подставив последние оценки в (4) и заметив, что после сокращения обеих частей Rz 0 полученного неравенства на ρ−p (s) ds левая часть его не зависит от t, 0 < t < t
z, получим
∞ q1 Z K βq (x, z) dµ(x) << Cϕ−1 (z) ∀z > 0. z
Следовательно, A1 (β) << C < ∞. Если β 6= 0, то введем еще функцию 0
0
f (·) = χ[t,τ ) (·)K β(p −1) (z, ·)ρ−p (·),
0 < t < τ < z.
Тогда
q1
Z∞
kKβ f kq,µ >>
Zτ
dµ(x)
0
(7)
t
z
0
K βp (z, s)ρ−p (s) ds,
Zτ
kρf kp =
p1 0
0
K βp (z, s)ρ−p (s) ds ,
(8)
t
kKf kr,λ
z r1 τ Z Z 0 0 r(1−β) << K (x, t) dλ(x) K βp (z, s)ρ−p (s) ds t
t
∞ τ r r1 Z Z 0 0 + (K(x, z) + K(z, s))K β(p −1) (z, s)ρ−p (s) ds dλ(x) z
t
z ∞ r1 r1 Z Z << K r(1−β) (x, t) dλ(x) + K −β (z, τ ) K r (x, z) dλ(x) t
z
∞ r1 τ Z Z 0 0 + K 1−β (z, τ ) dλ(x) K βp (z, s)ρ−p (s) ds. (9) z
t
Подставляя (7), (8) и (9) в (4) и сокращая обе части полученного неравенства Rτ 0 0 на K βp (z, s)ρ−p (s) ds, а затем учитывая, что левая часть этого неравенства t
не зависит от τ , t < τ < z, и от t, 0 < t < z, получим ∞ q1 Z dµ(x) << Cϕ−1 (z) ∀z > 0. β z
Отсюда следует, что A2 (β) << C < ∞. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть Aβ < ∞ и для функции f ≥ 0 конечна правая часть (4). Далее рассмотрим два случая: β = 0 и 0 < β ≤ 1. Случай β = 0. В этом случае A0 ≈ A1 (0) ≈ A2 (0) и Zx K0 f (x) =
f (s) ds. 0
Весовая оценка промежуточного оператора на конусе
165
Следовательно, мы должны показать, что из A1 = A1 (0) < ∞ вытекает kK0 f kq,µ ≤ C(kρf kp + kKf kr,λ )
(10)
и C << A1 , где C — константа в (10), наименьшая из возможных. В силу непрерывности и монотонности функции K0 f (x) на R+ существует последовательность точек {xk }k∈Z0 ⊂ R+ , Z0 ⊂ Z, таких, что k−1
2
Zxk f (s) ds ∀k ∈ Z0 ,
= K0 f (xk−1 ) =
R+ =
[
[xk , xk+1 ),
k∈Z0
xk−1
[xi , xi+1 ) ∩ [xj , xj+1 ) = ∅ при i 6= j и K0 f (x) ≤ 2k+1 при xk ≤ x ≤ xk+1 , k ∈ Z0 . Тогда xk+1 xZk+1 X Z X q (k+1)q = |K0 f (x)| dµ(x) ≤ 2 dµ(x).
kK0 f kqq,µ
k∈Z0 x k
k∈Z0
(11)
xk
Из A1 = A1 (0) < ∞ следует, что для любого k ∈ Z0 r1 q x − 10 ∞ p Z Z∞ Zk 0 K r (x, xk−1 ) dλ(x) . ρ−p ds + dµ(x) ≤ Aq1 ϕ−q (xk ) ≤ Aq1 xk
xk−1
xk−1
Поэтому из (11) имеем Zxk
X
kK0 f kqq,µ ≤ Aq1
2q(k+1)
k∈Z0
<< Aq1
X
2q(k−1)
k∈Z0
− 10 ρ−p ds
+
xk−1
Zxk
Z∞
p
0
r1 q K r (x, xk−1 ) dλ(x)
xk−1
− q0 0
ρ−p ds
+
X
2q(k−2)
k∈Z0
xk−1
Z∞
p
rq K r (x, xk−1 ) dλ(x)
xk−1
= Aq1 (I1 + I2 ). (12) Учитывая, что q ≥ p и q ≥ r ≥ 1, получим − q0 q x x pq x p Zk Zk Zk X X 0 I1 = f (s) ds ρ−p ds ≤ |ρf |p ds k∈Z0
xk−1
k∈Z0
xk−1
xk−1
pq xk Z X ≤ |ρf |p ds ≤ kρf kqp ,
k∈Z0x
k−1
I2 =
X
Z∞
k∈Z0
rq
K(x, xk−1 )f (s) ds dλ(x)
xk−1
r
xZk−1 xk−2
≤
xi XX Z
k∈Z0 i≥kx i−1
xZk−1
r
rq
K(x, xk−1 )f (s) ds dλ(x)
xk−2
(13)
166
Р. Ойнаров xk−1 r rq xi Z X Z X K(x, s)f (s) ds dλ(x) << i x k≤i i−1
xk−2
r rq xk−1 xi X Z X Z ≤ K(x, s)f (s) ds dλ(x) ≤ kKf kqr,λ . (14) i x i−1
k≤ix k−2
Из (12)–(14) следует (10) с оценкой C << A1 . Случай 0 < β ≤ 1. Из условии (2) вытекает, что K β (x, s) ≤ dβ K β (x, t) + K β (t, s) , 0 < s < t < x.
(15)
Положим D = dβ + 1 и для любого k ∈ Z определим xk = sup{x > 0 : Kβ f (x) ≤ Dk }. Очевидно, что xk ≤ xk+1 и в силу непрерывности функции Kβ f (x) будет Dk = Kβ f (xk ), если xk < ∞. Пусть Zβ = {k : Dk = Kβ f (xk ), k ∈ Z}. Тогда [xi , xi+1 ) ∩ [xj , xj+1 ) = ∅ при i 6= j, i ∈ Zβ , j ∈ Zβ и [ R+ = [xk , xk+1 ), Kβ f (x) ≤ Dk+1 при xk ≤ x ≤ xk+1 , k ∈ Zβ . (16) k∈Zβ
Для k ∈ Zβ в силу (15) имеем D
k−1
k
β
=D −d D
k−1
Zxk
β
K (xk , s)f (s) ds − d
=
β
0
Zxk ≤
xZk−1
K β (xk−1 , s) ds
0
β
β
xZk−1
β
K (xk , s)f (s) ds + d K (xk , xk−1 ) xk−1
f (s) ds 0
Zxk <<
K β (xk , s)f (s) ds + K β (xk , xk−1 )K0 f (xk−1 ). (17)
xk−1
Из (16) следует kKβ f kqq,µ
=
xk+1 X Z
xZk+1 X q q(k+1) Kβ f (x) dµ(x) ≤ D dµ(x)
k∈Zβ x k
k∈Zβ
=
X
+
k∈Z0β
X
Dq(k+1)
k∈Z00 β
xk xZk+1
dµ(x) = I 0 + I 00 ,
(18)
xk
где Z00β = Z − Z0β и k ∈ Z0β , если Φβ (xk−1 , xk ) ≤ Ψβ (xk−1 , xk ). Используя (17), оценим I 0 и I 00 по отдельности: I0 =
X k∈Z0β
Dq(k+1)
xZk+1
dµ(x) << xk
X k∈Z0β
Dq(k−2)
xZk+1
dµ(x) xk
(19)
Весовая оценка промежуточного оператора на конусе
xZk−1
X << k∈Z0β
X
+
K
q β
xZk+1
dµ(x)
K (xk−1 , s)f (s) ds xk
xk−2
βq
167
q
xZk+1
(xk−1 , xk−2 )(K0 f (xk−2 ))
k∈Z0β
dµ(x) = I10 + I20 . (20)
xk
Из условия A2 = A2 (β) < +∞ и из (19) выводим, что для k ∈ Z0β Z∞
q q dµ(x) ≤ Aq2 ϕ−q β (xk ) << A2 (Ψβ (xk−1 , xk )) .
xk
Поэтому q xZk−1 X q I10 << Aq2 K β (xk−1 , s)f (s) ds Ψβ (xk−1 , xk ) k∈Z0β
xk−2
<< Aq2
X
k∈Z0β
q
xZk−1
K β (xk−1 , s)f (s) ds
xk−2
Zxk
rq K r(1−β) (x1 , xk−1 ) dλ(x)
xk−1
q
∞ rq xZk−1 Z X + Aq2 K β (xk−1 , s)f (s) ds K q(1−β) (xk , xk−1 ) dλ(x)
k∈Z0β
xk−2
xk
=
0 Aq2 (I11
0 + I12 ). (21)
Так как q ≥ r ≥ 1, имеем 0 I11 =
X
Zxk
k∈Z0β
K r(1−β) (x, xk−1 )
xk−1
r
xZk−1
K β (xk−1 , s)f (s) ds dλ(x)
xk−2
<<
xk X Z
xZk−1
r
rq
K(x, s)f (s) ds dλ(x) ≤ kKf kqr,λ ,
k∈Z0βxk−1
xk−2
rq r Z∞ xZk−1 K β (xk−1 , s)K (1−β) (xk , xk−1 )f (s) ds dλ(x)
0 I12 =
X k∈Z0β
rq
xk
xk−2
xk−1 r rq xi+1 Z X X Z << K(x, s)f (s) ds dλ(x)
k∈Zβ i≥k x i
xk−2
xk−1 r rq xi+1 Z X Z X = K(x, s)f (s) ds dλ(x) i
xi
k≤i
xk−2
(22)
168
Р. Ойнаров r rq xk−1 xi+1 X Z X Z K(x, s)f (s) ds dλ(x) ≤ kKf kqr,λ . (23) << i
k≤i x k−2
xi
Из (21)–(23) следует, что I10 << Aq2 kKf kqr,λ . Переходим к оценке I20
=
X
K
βq
(24)
I20 : q
xZk+1
dµ(x) ≤
(xk−1 , xk−2 )(K0 f (xk−2 ))
k∈Z0β
Z∞
xk
где X
dµ0 (s) =
K βq (xk−1 , xk−2 )
k∈Z0β
|K0 f (s)|q dµ0 (s),
(25)
0 xZk+1
dµ(x)δxk−2 (s) ds,
(26)
xk
δxk−2 (s) — дельта-функция Дирaка в точке xk−2 ∈ R+ . Как мы уже показали, имеет место оценка в виде (10) Z∞
bq (kρf kp + kKf kr,λ )q , |K0 f (s)|q dµ0 (s) << A 0
(27)
0
где
q1
Z∞
dµ0 (s) ϕ(z).
b0 = sup A z>0
z
В силу (26) Z∞
X
dµ0 (s) = z
K
βq
xZk+1
(xk−1 , xk−2 )
xk−2 ≥z
dµ(x) xk
xZk+1
X
<<
K
βq
Z∞ (x, xk−2 ) dµ(x) <<
xk−2 ≥z x k
K βq (x, z) dµ(x).
z
Значит,
Z∞
b0 << sup ϕ(z) A z>0
K βq (x, z) dµ(x) = A1 (β) ≡ A1
z
и из (25), (27) следует, что I20 << Aq1 (kρf kp + kKf kr,λ )q .
(28)
Из (20), (24) и (28) имеем I 0 << Aqβ (kρf kp + kKf kr,λ )q .
(29)
Теперь оценим I 00 . Ввиду (17) I 00 = D2q
X k∈Z00 β
Dq(k−1)
xZk+1
dµ(x) << xk
X
k∈Z00 β
Zxk xk−1
q K β (xk , s)f (s) ds
Весовая оценка промежуточного оператора на конусе xZk+1
×
dµ(x) +
X
K
βq
xZk+1
(xk , xk−1 )
k∈Z00 β
xk
169
dµ(x)(K0 f (xk−2 ))q = I100 + I200 . (30)
xk
Выражение I200 оценивается точно так же, как и I20 , т. е. I200 << Aq1 (kρf kp + kKf kr,λ )q .
(31)
Так как Φβ (xk−1 , xk ) > Ψβ (xk−1 , xk ) при k ∈ Z00β , поступая так же, как при оценке I10 , имеем q Zxk X I100 << Aq2 K β (xk , s)f (s) ds (Φβ (xk−1 , xk ))q . k∈Z00 β
xk−1
Выберем τ = τk ∈ (xk−1 , xk ) так, чтобы Zτk
Zxk
β
K (xk , s)f (s) ds = xk−1
K β (xk , s)f (s) ds.
τk
Тогда − 10
Zτk
Φβ (xk−1 , xk ) ≤
p
K
βp0
(xk , s)ρ
−p0
(s) ds
xk−1
+ K −β (xk , τk )
Z∞
r1 K r (x, xk ) dλ(x)
xk
и I100 << Aq2
X
K −βq (xk , τk )
k∈Z00 β
+
X
k∈Z00 β
<< Aq2
X
Z∞
k∈Z00 β
K β (xk , s)f (s) ds
Zτk
X X
Z∞
rq K r (x, xk ) dλ(x)
xk
q β
− q0 p
Zτk K
K (x, s)f (s) ds
βp0
(xk , s)ρ
−p0
(s) ds
xk−1
xk−1
pq x r rq Zk Zτk X K r (x, xk ) f (s) ds dλ(x) + Aq2 |ρf |p ds
xk
<< Aq2
q
τk
Aq2
Zxk
k∈Z00 β
τk x Zi+1
i≥k x k∈Z00 β i
xk−1
pq x r τk Z Zk X K(x, s)f (s) ds dλ(x) + Aq2 |ρf |p ds q r
k∈Z00 β xk−1
τk
r rq x xk i+1 Z Z X X << Aq2 K(x, s)f (s) ds dλ(x) i
xi
k≤ix k−1
170
Р. Ойнаров pq Zxk X + Aq2 | ρf |p ds << Aq2 (kρf kp + kKf kr )q .
k x k−1
Отсюда и из (31), (30) следует, что I 00 << Aqβ (kρf kp + kKf kr )q . Это неравенство вместе с (29) и (18) приводит к соотношению kKβ f kq,µ << Aβ (kρf kp + kKf kr )q . Следовательно, и в случае 0 < β ≤ 1 доказана справедливость (4) с оценкой Aβ >> C. Теорема 1 доказана. Так как функции Ai (z, β), i = 1, 2, суть произведения двух локально ограниченных функций, конечность Aβ зависит от поведения функции Ai (z, β) на концах интервала R+ . Поэтому справедлива Теорема 10 . Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда неравенство (4) выполнено тогда и только тогда, когда lim Ai (z, β) < ∞,
i = 1, 2,
(32)
lim Ai (z, β) < ∞,
i = 1, 2.
(33)
z→0
z→∞
3. В качестве примера рассмотрим неравенство kRm f kq,µ ≤ C kf kp,γ + kRn f kr,λ ,
f ≥ 0,
(34)
где m = n−k, n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n−1, dµ(x) = xµq dx, dγ(x) = xγp dx, dλ(x) = xλr dx, µ, γ, λ ∈ R, которое эквивалентно неравенству ky (k) kq,µ ≤ C(ky (n) kp,γ + kykr,λ ),
y ∈ M.
(35)
Утверждение. Пусть 1 < p, q, r < ∞, q ≥ max{p, r}, m = n − k, n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n − 1. Тогда неравенство (34) (соответственно (35)) выполнено для всех функций f ≥ 0, f 6≡ 0 (y ∈ M , y 6≡ 0), для которых конечна правая часть (34) ((35)), тогда и только тогда, когда µ + m − 1 + 1/q < 0,
λ + n − 1 + 1/r < 0,
(36)
max{γ − 1 + 1/p, λ + n − 1 + 1/r} ≥ µ + m − 1 + 1/q ≥ min{γ − 1 + 1/p, λ + n − 1 + 1/r} при γ < 1 − 1/p, λ + n − 1 + 1/r ≤ µ + m − 1 + 1/q
при γ ≥ 1 − 1/p.
(37) (38)
Доказательство. Условие (36) эквивалентно существованию хотя бы одной функции f ≥ 0, f 6≡ 0, для которой имеет место (34). Функции ϕ и ϕβ ≡ ϕm имеют вид z − 10 ∞ r1 −1 p Z Z 0 ϕ(z) = inf x−γp dx + xλr (x − t)r(n−1) dx , 0
t
t
Весовая оценка промежуточного оператора на конусе
171
ϕm (z) = [ inf (Φm (t, z) + Ψk (t, z))]−1 , 0
где Φm (t, z) = inf g(t, τ, z), t<τ
τ ∞ r1 − 10 p Z Z 0 0 g(t, τ, z)= x−γp (z − x)p (m−1) dx +(z−τ )−m+1 xλr (x − z)r(n−1) dx , t
z
r1 ∞ z r1 Z Z Ψk (t, z) = xλr (x − t)rk dx + (z − t)k xλr dx . z
t
Произведем необходимые оценки функции ϕ и ϕm . Учитывая, что ϕ1 ≈ ϕ, в основном оцениваем функцию ϕm . Оценим снизу функцию ϕ−1 m (z) : z − 10 ∞ r1 p Z Z 0 Φm (t, z) ≥ z −m+1 x−γp dx + xλr (x − z)r(n−1) dx , t
z
z r1 r1 ∞ Z Z Ψk (t, z) = z −m+1 xrλ z r(m−1) (x−t)rk dx + xrλ [z m−1 (z−t)k ]r dx t
z
z r1 ∞ r1 Z Z ≥ z −m+1 xrλ (x − t)r(n−1) dx + xrλ (z − t)r(n−1) dx . t
z
Следовательно, −m+1 −1 ϕ−1 ϕ (z). m (z) >> z
Если γ <
1 p0 ,
(39)
то ϕ−1 (z) >> max{z
γ− p10
1
, z λ+n−1+ r }.
(40)
1 p0
При γ ≥ рассмотрим два случая: z < 1 и z > 1. В случае z < 1 1 ϕ−1 (z) >> z λ+n−1+ r . Пусть γ >
1 p0
и z > 1. Тогда
ϕ−1 (z) >> inf (t 0
В случае γ =
(41)
γ− p10
1
+ tλ+n−1+ r ) ≥
inf (t
0
γ− p10
1
+ tλ+n−1+ r ) >> 1.
(42)
1 p0
и z > 1 имеем z − 10 p Z dx −1 λ+n−1+ r1 ϕ (z) >> min inf t , inf 1
− p10
= min{1, | ln z|
− p10
} = | ln z|
. (43)
Оценим сверху функцию ϕ−1 m (z): 1 1 1 1 1 −1 z, z + Ψk z, z << g z, z, z + z −m+λ+n+ r ϕm (z) ≤ Φm 3 3 3 2 << z −m+1 max{z
γ− p10
1
, z λ+n−1+ r }. (44)
172
Р. Ойнаров 1 p0
Из (39), (40) и (44) следует, что при γ <
1
ϕm (z) ≈ z m−1 min{z p0 Если γ ≥
1 p0
−γ
1
, z −(λ+n−1+ r ) }.
(45)
и z < 1, то из (39), (41) и (44) получим 1
ϕm (z) ≈ z m−(λ+n+ r ) .
(46)
А в случае z > 1 из (39), (42) и (43) следует, что при γ > 1/p0 ,
ϕm (z) << z m−1 ϕm (z) << z m−1 | ln z|
1 p0
(47)
при γ = 1/p0 .
(48)
На основании теоремы 10 неравенство (34) выполнено тогда и только тогда, когда lim Ai (z, m) < ∞, i = 1, 2, (49) z→0
lim Ai (z, m) < ∞,
z→∞
i = 1, 2,
(50)
где ∞ q1 Z 1 A1 (z, m) = ϕ(z) x(µ−1)q (x − z)µq dx ≈ ϕ(z)z µ+m+ q −1 , z
∞ q1 Z 1 A2 (z, m) = ϕm (z) xµq dx ≈ ϕm (z)z µ+ q . z
Из (36), (47) и (48) следует, что при γ ≥ p10 условие (50) всегда имеет место, а из (46) вытекает, что (49) выполнено тогда и только тогда, когда λ − µ ≤ 1q − 1r − k. Если γ < p10 , то ввиду (36), (45) условия (49), (50) эквивалентны соответственно правому и левому неравенствам (37). Утверждение доказано. 4. Рассмотрим неравенство kKβ∗ gkqµ ≤ C kρgkp + kK ∗ gkr,λ , где
Z∞
∗
K(x, s)g(x) dx,
K g(s) =
Kβ∗ g(s)
s
Z∞ =
g ≥ 0,
(51)
K β (x, s)g(x) dx,
s
0 ≤ β ≤ 1, функция K(x, s) непрерывна при x ≥ s > 0 и удовлетворяет условиям (а) и (б). Предположим, что весовая функция ρ и неотрицательные борелевские меры µ, λ удовлетворяют условиям ρ−1 ∈ Lloc p0 (R+ ),
Zt
Zt dµ(s) < ∞,
0
Zt
0
Zt dλ(s) < ∞,
0
K βq (t, s) dµ(s) < ∞,
0
K r (t, s) dλ(s) < ∞
∀t > 0.
Весовая оценка промежуточного оператора на конусе
173
Положим t − 10 t r1 −1 p Z Z 0 ϕ∗ (z) = inf ρ−p ds + K r (t, s) dλ(s) ,
z
z
ϕ∗β (z)
0
= [ inf (Φβ (z, t) + Ψβ (z, t))]−1 , z
где t − 10 z r1 p Z Z 0 0 Φ∗β (z, t) = inf ρ−p (x)K βp (x, z) dx + K −β (τ, z) K r (z, s) dλ(s) , z<τ
τ
0
t r1 z r1 Z Z Ψ∗β (z, t) = K (1−β)r (x, z) dλ(x) + K 1−β (t, z) dλ(s) , z
0
z q1 Z A∗1 (z, β) = ϕ∗ (z) K βq (z, s) dµ(s) ,
z q1 Z A∗2 (z, β) = ϕ∗β (z) dµ(s) , 0
0
A∗β
=
max{sup A∗i (z, β), z>0
i = 1, 2}.
Аналогично теореме 1 доказывается Теорема 2. Пусть 1 < p, q, r < ∞, q ≥ max{p, r}, 0 ≤ β ≤ 1. Пусть также функция K(x, s) непрерывна при 0 ≤ s ≤ x и удовлетворяет условиям (а) и (б). Тогда неравенство (51) выполнено в том и только в том случае, когда A∗β < ∞, причем A∗β ≈ C, где C — константа в (51), наименьшая из возможных. ЛИТЕРАТУРА 1. Ойнаров Р. Весовые неравенства для одного класса интегральных операторов // Докл. АН СССР. 1991. Т. 319, № 5. С. 1076–1076. 2. Ойнаров Р. Двусторонние оценки норм некоторых классов интегральных операторов // Тр. МИ РАН.. 1993. Т. 204. С. 240–250. 3. Stepanov V. D. Weighted norm inequalities for integral operators and related topics // Nonlinear analysis, function spaces and applications: Proc. Spring School held in Prague, May 23-28, 1994.. Prague, 1994. V. 5. P. 139–175. 4. Ойнаров Р., Отелбаев М. Критерии дискретности спектра общего оператора Штурма — Лиувилля и теоремы вложения, связанные с ними // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 4. С. 584–591. 5. Oinarov R. On weighted norm inequalities with three weights // J. London Math. Soc.. 1993. V. 48, N 1. P. 137–151. 6. Ойнаров Р. Об одном трехвесовом неравенстве // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат.. 1992. № 1. С. 47–51. 7. Ойнаров Р. Об одном трехвесовом обобщении неравенства Харди // Мат. заметки. 1993. Т. 54, № 2. С. 56–62. 8. Ойнаров Р., Чагиров А. А. Трехвесовое неравенство с интегральным оператором // Докл. НАН РК. 1993. № 2. С. 13–16. Статья поступила 12 октября 2000 г. Ойнаров Рыскул Институт математики МОиН Республики Казахстан ул. Пушкина, 125, Алматы 480100, Казахстан oinarov@math.kz