Общая теория измерений. Методические указания к выполнению практических занятий по теоретической метрологии

Министерство образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Методическое указание предназначено для студентов специальностей 190800 "Метрология и метрологическое обеспечение", 072000 "Стандартизация и сертификация в

Кафедра "Метрология, стандартизация и сертификация"

пищевых отраслях", направления 552200 "Метрология, стандартизация

и

сертификация"

и

653800

«Стандартизация, сертификация и метрология» всех форм обучения. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры "МСС" Протокол № _______ от “___” ____________г.

Методические указания к выполнению практических занятий по теоретической метрологии для студентов специальностей 072000, 190800 и направления 552200 и 653800 Часть 1. Обработка экспериментальных данных

Составитель: Хамханова Д.Н.

Улан-Удэ 2002 2

Работа 1 Характеристика дискретной случайной величины Числовые характеристики. Среднее арифметическое n случайных величин определяется по формуле:

1 n х = ∑ xi n i =1 или m m m х = x1 ⋅ 1 + x2 ⋅ 2 + ... + xn ⋅ n n n n mi - частость появления значения x1 n Несмещенной оценкой дисперсии среднеквадратическое отклонение:

(1)

(2)

где

является

n 1 2 S= ⋅ ∑ ( xi − x ) (3) n − 1 i =1 Кроме определения числовых характеристик для достижения наглядности строят различные графики статистического распределения, из которых чаще всего используют полигон, гистограмму и кумулятивную кривую. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки, изображающие интервалы вариационного ряда, а вычеты равны частотам или частостям соответствующих интервалом, деленным на ширину интервала. Полигон представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (хi ; mi). Для

33

интервального ряда строят полигон, соединяя отрезками точки с координатами (хio,, mi) или (xio,, pi). Кумулятивная кривая - это кривая накопленных частот или накопленных частостей. Если вариационный ряд дискретный, то кривая представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (xi ,, miнак) ) или хi , Fn ( x ) . Для интервального вариационного ряда строят ступенчатую кривую. Ширина каждой ступеньки равна величине интервала, а ее высота - соответствующему данному интервалу значений накопленной частоты или частости. Задание: По данным примера 1 вычислить среднее арифметическое, выборочную дисперсию и построить гистограмму и статистическую функцию распределения. Указание: Количество интервалов определяется по формуле Старджесса:

[

]

r = 1 + 3,3λgn

(4)

Ширина интервала определяется по формуле:

h=

x max − x min r

(5)

Для удобства вычисления значения границ интервала, частоту попадания в интервалы и середину интервалов свести в таблицу 1. Таблица 1 Принцип интервалов

xi - xi+1 1

Середина Частота интервалов попадания интервалы mi xoi 3 2

в

Статистическая вероятность

pi 4 4

Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой Fi+1(xi) = Pi + Fi(xi) где Fi(xi) = 0 Пример 1. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерении приведены в таблице 1 приложения 1. Массив экспериментальных данных взять в соответствии с вариантом, заданным преподавателем или в соответствии с шифром студента. Работа 2 Выравнивание статистических распределений

При использовании вероятностных методов оценки полученных результатов важной задачей является нахождение функции распределения по данному статистическому ряду. Такая операция называется выравниванием статистического распределения, а искомую функцию распределения, или плотность распределения называют выравнивающими. Вид полигона или гистограммы позволяют сделать вывод о возможности выравнивания с помощью того или иного закона распределения. Выравнивание статистического распределения проводится в следующем порядке: 1) выбирают теоретический закон распределения; 2) вычисляют параметры распределения; 3) строят графики выравнивающей функции распределения F(x) или плотности f(x)=p(x) для значений xi, где xi - варианта, или для значений xio, где xio - середина интервала (для интервального вариационного ряда); 5

4) сравнивают графики теоретической функции рас) пределения F(x) и эмпирической F (x ) или f(x)=p(x) и гистограммы. Сравнение графиков показывает, насколько теоретический закон распределения удовлетворительно отражает экспериментальные данные. Если расхождение ) между F(x) и F (x ) невелико, можно считать, что F(x) определено правильно. Выравнивающая функция распределения сглаживает ) все те случайные отклонения, свойственные F (x ) , которые происходят из-за ограниченного объема наблюдений. Задание: По данным примера 1 выравнить статистический ряд. Решение 1. Построить гистограмму. По виду гистограммы (определить) выбрать теоретический закон распределения. Если закон распределения нормальный, то его плотность равна: f (x ) = p(x ) =

1 б 2π

−

⋅λ

( x − m x )2 2б 2

(6)

2. Вычислить m х = x и б 3. Вычислить f(x) для середин интервалов. Для этого вводят переменную t=

( xi − x )

(7) б и, используя свойство нормального распределения 1 f (x ) = ⋅ f (t ) , по приложению 2 найдем значения f(t). б (t ) 6

В

случае

использования интервалов применяют h зависимость f ( x ) = ⋅ f (t ) , где h - ширина интервала. б Для удобства, вычисления свести в таблицу 2. Таблица 2. Середины интервалов хio

x −x t i = io б

f(t)

h ⋅ f (t ) б

F(x)=F(t)

F(x)=F(t) - значения теоретической функции распределения, найденное по таблицам функции Лапласа (приложение3), где F(t)=0,5+Ф(t). 4. Построить графики теоретической функции ) распределения F(x) и эмпирической F (x ) . ) 5. Для построения значений F (x ) можно воспользоваться данными первой работы.

Работа 3 Проверка гипотезы о виде закона распределения вероятностей результата измерения

Проверка гипотезы о виде закона распределения вероятности результатов измерения осуществляется с помощью критериев согласия. Порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия может быть следующей: 1) выбирают меру расхождения между теоретическим и эмпирическим законами распределения и; 2) задают уровень значимости критерия α ; 7

3) вычисляют меру расхождения для исследуемого статистического распределения иэ; 4) находят табличное значение и α , отвечающее заданному уровню значимости α ; 5) делают вывод относительно проверяемой гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений: если иэ> и α – гипотеза отклоняется; если иэ< и α – гипотеза принимается. Проверка гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределении с помощью критерия Пирсона

Критерий согласия Пирсона (критерий х2) используется достаточно часто при интервальной оценке и при числе n ≥ 50. В критерии Пирсона расхождение задают в виде r (mi − nPi )2 2 и=х =∑ (8) nPi 1 где mi - частота; Pi - вероятность попадания в i-ый интервал; r - число интервалов; n - объем наблюдений. случайная величина и=х2 имеет При n → ∞ распределение Пирсона с К=r-3 степенями свободы, где К – число параметров распределения. Проверка гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона осуществляется в следующем порядке: 1) результаты наблюдений х1 , х2 , …, хn группируют в интервальный вариационный ряд; 2) строят гистограмму или полигон; 8

3) выдвигают гипотезу о виде закона распределения и определяют его параметры; 4) задают уровень значимости критерия α ; 5) определяют теоретическую вероятность попадания случайной величины Х в каждый интервал Рi = Ф( xi +1 ) − Ф( xi ) (9) или f(x)=p(x)= h ⋅ f (t )

(10)

б

6) определяют величину расхождения х 2э ; 7) определяют число степеней свободы S=к-r-1. Для нормального распределения принимают; S=r-3. 8) По таблицам приложения 4 распределения Р (х 2 ) находят значение х α2 , по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы S; 9) Делают вывод о проверяемой гипотезе: если х э2 > х α2 - гипотезу отвергают; если х э2 < х α2 - гипотезу принимают. Задание: по данным примера 1 проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим. Вычисления сводим в таблицу 3 или 4. Таблица 3 Границы ЧастоРi − Ф(ti+1 ) − xi − x интервалов хi ; хi+1

та mi

1

2

9

ti =

б

3

Ф(t i )

Ф(t i )

nPi

mi − nPi

(mi − nPi ) 2

(mi − nPi ) 2 nPi

4

5

6

7

8

9

При определении теоретической вероятности попадания случайной величины в интервал по формуле 9 вычисления сводим в таблицу 3, а при определении Рi по формуле 10 вычисления удобнее свести в таблицу 4. Таблица 4 mi

Середина интервала Хio

x −x t i = io б

f(ti)

2

3

4

5

Границы интервало в Хi ; xi+1

Частота

1

Рi =

h f (t i ) б

6

nPi

mi − nPi

Продолжение таблицы 4 (mi − nPi ) 2 ( mi − nPi ) 2 nPi

7

8

9

10

Значения функции Лапласа Ф(ti) определяем по приложению 2, а f(ti) по приложению 3. Суммирование чисел в графах 9 или 10 дает х э2 . Сделать вывод о согласованности эмпирического закона распределения с теоретическим. Проверка гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию

10

Для проверки нормальности закона распределения результата измерения по составному критерию рассчитывается соотношение 1 n ∑ xi − x n i =1 (11) d= 1 n 2 ∑ ( xi − x ) n i =1 и проверяется выполнение условия d min ≤ d ≤ d max

(12)

где dmin и dmax зависят от вероятности Р, с которой принимается решение. Значения dmin и dmax находим по таблице 5. Если условие выполняется, то дополнительно проверяются “хвосты” теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10 ≤ n ≤ 20 считается допустимым отклонение одного из независимых значений результата измерения хi от х больше, чем на 2,5S, а при 20
(13)

При выполнении обоих условий гипотеза о согласованности эмпирического и теоретического распределения принимается с вероятностью * *х Р ≥ Р + Р − 1, где Р * - вероятность, с которой определяются dmin и dmax Р * х = 0,98.

11

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то гипотеза не принимается.

11 16 21 26 31 36 41 46 51

Р * =0,90 dmax dmin 0.7409 0.8899 0.7452 0.8733 0.7495 0.8631 0.7530 0.8570 0.7559 0.8511 0.7583 0.8468 0.7604 0.8436 0.7621 0.8409 0.736 0.8385

Р * =0,95 dmin dmax 0.7153 0.9073 0.7236 0.8884 0.7304 0.8768 0.7360 0.8686 0.7404 0.8625 0.7440 0.8578 0.7470 0.8540 0.7496 0.8508 0.7518 0.8481

Таблица 5 Р * =0,99 dmin dmax 0.6675 0.9359 0.6829 0.9137 0.6950 0.9001 0.7040 0.8901 0.7110 0.8827 0.7167 0.8769 0.7216 0.8722 0.7256 0.8682 0.7291 0.8648

Задание: По данным примера 2 проверить гипотезу о нормальности закона распределения вероятности результата измерения по составному критерию. Пример 2. Повторные измерения силы тока дали следующие результаты, представленные в таблице 2 приложения 1, массив экспериментальных данных взять в соответствии со своим вариантом. Работа 4 Определение интервальных оценок параметров распределения

Суть интервальной оценки параметров распределения состоит в том, чтобы построить интервал значений, в котором с заданной вероятностью будет находиться параметр распределения. Такой интервал называется 12

доверительным, а его границы – верхними и нижними доверительными границами. С вероятностью Р=1- α доверительный интервал содержит известное значение параметра. Вероятность Р называют доверительной, а α -уровнем значимости. Порядок получения интервальной оценки параметров распределения может быть следующей: 1. определяют оценку среднего значения результата измерения 1 n х = ∑ xi n i =1 2. определяют оценку среднего квадратического отклонения результата измерения 2

1 n S= ∑ (xi − x ) n − 1 i =1 3. устанавливают закон распределения результата измерения и проверяют согласованность эмпирического распределения с теоретическим 4. если закон распределения результата измерения нормальный, то определяют стандартное отклонение по формуле: S Sx = (14) n 5. если закон распределения результата измерения отличный от нормального, то определяют стандартное отклонение по формуле:

5.

13

(

)

1 n 2 xi − x 2 ∑ n i =1 задают доверительную вероятность Р=1- α

Sx =

(15)

6. для определения используют соотношение:

доверительного интервала

ε = t pSх

где

ε

(16)

- полуширина доверительного интервала;

tp -

аргумент

функции

Лапласа,

отвечающий

вероятности (1+Р)/2, который в литературе называют квантилью нормального распределения, если закон распределения нормальный. Если эмпирическое распределение подчинится закону распределения вероятности Стьюдента, то t p - аргумент интегральной функции распределения Стьюдента. Если эмпирическое распределение подчиняется иному закону, то t p - аргумент, входящий в неравенство П.Л.Чебышева. Значение аргумента t p

определяют по таблицам

функции Лапласа, Стьюдента и неравенства Чебышева. При нормальном распределении t p определяют по таблицам Приложения 2. При нормальном распределении значение t p могут быть найдены по таблице (приложение 1, 2.) функции Лапласа (при заданной доверительной вероятности Р: 1+ p ε  или 2Ф  − 1 2 σ  Можно также записать 1+ p Ф( х) = 2 Ф(t ) =

(17.)

(18.)

14

1+ p 2

С учетом этого находят соответствующие вероятности значение х=tp. В то же время ε =

Массив экспериментальных данных (получение n независимых значений результата измерения)

Хi отбрасывается

S Оценка среднего значения результата измерения

n

n=n-1

Поэтому доверительной вероятности p доверительный интервал, равный  S S  , x + tp ⋅ x − t p ⋅  n n 

отвечает

Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения

(19.)

Задание: По данным примера 1 найти доверительный интервал.

Да

Работа 5

Да

15

Нет n>40..5

Обработка экспериментальных данных. Многократные измерения с равноточными значениями отсчета

Порядок выполнения многократного измерения при равноточных значениях отсчета приведен на рис. 1. Задание: По данным примера 3 найти результат измерения. Пример 3. При проведении исследования образцовых резисторов было произведено по 50 измерений одной и той же величины. Числовые значения результатов измерения сопротивления приведены в таблице 3 приложения 1.

Нет

|xi-

Нет Да

Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения по критерию К.Пирсона к

(mi − n ⋅ pi )2

i =1

n ⋅ pi

λ2 = ∑

Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения по составному критерию

n>10…

Гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения принимается или отвергается на основании априорной информации

16

Работа 6

Да Х2<Х2

Нет

Нет Гипотеза

Обработка экспериментальных данных. Многократные измерения с неравноточными значениями отсчета

отвергается

Да Определение стандартного отклонения среднего арифметического

Sx =

S n

Выбор доверительной вероятности и определение tр по таблицам функции Лапласа

Определение стандартного отклонения среднего арифметического

Sx =

1 n

∑ (x n

i =1

2 i

− x2

)

Выбор доверительной вероятности и определение tр по неравенству пл.Чебышева

Определение среднего арифметического

Sx =

S n

При многократных измерениях с неравноточными значениями отсчета несмещенной оценкой среднего значения результата измерения является среднее взвешенное. Среднее взвешенное определяется по формуле: n

~ x= Выбор доверительной вероятности и определение t по формуле Р=2Sn(t)-1, где 2Sn(t) – интегральная функция распределения вероятности Сьюдента

Расчет половины доверительного интервала Определение пределов в которых находится значение измеряемой величины х − ε ≤ х ≤ х + ε

где

1

∑б i =1

2 xi

⋅ xi

n

1 ∑ 2 i =1 б x i

(20.)

хi - отдельные значения результата измерения;

1 б x2 i

- дисперсия отдельных значений результата

измерения. Дисперсия среднего взвешенного определяется по формуле:

б2 =

1 n

1 ∑ 2 i =1 б x i

(21.)

Нормированный вес каждого отдельного результата измерения определяется по формуле:

Рис. 1

18

Работа 7

1 gj =

σ n

2 xi

∑σ i =1

(22.)

1 2 xi n

При условии

∑g i =1

i

= 1 среднее взвешенное будет

определяться по формуле: n ~ x = ∑ g i ⋅ xi

(23)

i =1

Задание: По данным примера 4 найти результат многократного измерения при неравноточных значениях отсчета. Пример 4. Измерения образцовой меры длины, выполненные приборами разной точности дали следующие результаты, приведенные в таблице 4 приложения 1. Известно, что результат измерения вертикальным оптиметром подчиняется нормальному закону распределения вероятности со стандартным отклонением S1, при измерении машиной типа Цейсс – соответственно, S2 ; машиной типа СИП – S3 ; миниметром с ценой деления 1 мкм – S4 . Каково отклонение результата измерения от номинального значения?

19

Обработка результатов 2-х серии измерений

Серии называются однородными, если состоят из значений, подчиняющихся одному и тому же закону распределения вероятности. В противном случае серии называются неоднородными. Проверка однородности является обязательной при выборе способа совместной обработки результатов нескольких серий измерений. Проверка однородности проводится на основе эмпирических моментов: сравниваются между собой средние арифметические и оценки дисперсии в каждой серии. Проверка значимости различия между средними арифметическими проводится по алгоритму, представленному на рис. 2. Проверка значимости различия оценок дисперсии в двух сериях, результаты измерения в которых подчиняются нормальному закону распределения вероятности, проводится по алгоритму, приведенному на рис. 3. Серии с незначимым различием оценок дисперсии называются равнорассеянными, с существенным различием – неравнорассеянными.

20

Экспериментальн ые данные в 1-ой серии х ∈ {1 n }; n

Экспериментальн ые данные во 2-ой серии

1 n1 ~ х1 = ∑ xi n1 i =1

1 ~ х2 = n2

Проверка нормальности результата измерений

S x21 =

(

n1 1 ~ ⋅ ∑ xi − x1 n1 − 1 i =1

)

2

SG =

n2

∑x i =1

Экспериментальн ые данные во 2-ой серии

1 n1 ~ х1 = ∑ xi n1 i =1

1 n2 ~ х2 = ∑ xi n2 i =1

Проверка нормальности результата измерений

Проверка нормальности результата измерений

i

Проверка нормальности результата измерений

S x2 2 =

Экспериментальн ые данные в 1-ой серии х ∈ {1 n }; n

n2 1 ~ 2 ⋅ ∑ (xi − x2 ) n2 − 1 i =1

S x21 =

(

n1 1 ~ ⋅ ∑ xi − x1 n1 − 1 i =1

2

S x2 2 =

S x2 1 S2 + x2 n1 n2

ψ

~ ~ G = x 2 − x1

Выбор доверительной вероятности и определение t по таблицам функции Лапласа Да Нет G ≤ tS G Различие между Различие между средними средними арифметическими в арифметическими в Рис. 2. Проверка значимости различия между средними арифметическими в двух сериях 21

)

=

S S

2 x 1 2 x 2

n2 1 ~ 2 ⋅ ∑ (xi − x2 ) n2 − 1 i =1

≥ 1

Выбор вероятности, с которой принимается решение и определение по таблице интегральной функции рас-пределения Да

ψ ≤ψО

Серии равнорассеянны Рис. 3. Проверка значимости дисперсии в двух сериях измерений

Нет

Серии различия

оценок 22

Исходные данные xi j ; m j ; λ

Задание. По данным примера 5 определить результат измерения двух серий измерений. Пример 5. Результаты 2-х серий измерении одной и той же величины постоянного размера приведены в таблице 5 приложения 1. Определить значение измеряемой величины (результат) в зависимости от однородности и равнорассеянности серии измерений. Указание: Если серии неоднородны, то каждая серия обрабатывается отдельно. Если же серии однородны, то серии измерений обрабатываются совместно, т.е. экспериментальные данные входящие в однородные серии обрабатывают как единый массив.

1 ~ xj = mj

i, j

m

S

2 j

=

1 λ

∑

j =1

1 S 2j

~ λ S ~ x = ∑ 2 xj j =1 S j 2

l

∑m

Порядок обработки экспериментальных данных незначимым различием средних арифметических представлен на рис. 4. Задание. По данным примера 6 определить результат измерения неравнорассеянных серий измерений. Пример 6. Результаты двух неравнорассеянных серии измерений с незначимым различием средних арифметических представлен в таблице 6 приложения 1. Определить результат измерения.

i =1

j 1 ~ S = ( xi , j − x j ) 2 ∑ m j (m j −1 ) i =1

Обработка экспериментальных данных, входящих в неравнорассеянные серии

неравнорассеянных серии с

~

∑x

2 j

Работа 8

xi∈{1,..., n } , входящих в j∈{1,..., λ}

mj

j =1

j

≤ 50

n=

l2 l

∑m j =1

нет Выбор доверительной вероятности и определение t по таблицам функции Лапласа

1 J −1

Выбор доверительной вероятности и определение t по формуле р = 25n(t ) − 1, где Sn(t) – интегральная функция распределения вероятности Стьюдента

ε = t⋅S ~ ~ x −ε < x < x +ε Рис.4. Обработка экспериментальных входящих в неравнорассеянные серии.

23

данных, 24

Работа 9 Обеспечение требуемой точности при многократном измерений

Многократные измерения одного и того позволяет обеспечить требуемую точность. ширина доверительного интервала зависит от экспериментальных данных, то увеличивая добиться наперед заданного условия.

Исходные данные Увеличивается массив

же размера Поскольку количества n можно

х отбрасывается

х=

ε ≤ εо

Алгоритм обработки экспериментальных данных при обеспечении требуемой точности измерения представлен на рис. 5. Задание. По данным примера 7 определить результат измерения, если с вероятностью 0,95 точность измерения должна быть не ниже 2ε о = 2см . Пример 7. В таблице 7 приложения 1 приведены 10 независимых числовых значений результата измерения линейного размера (в сантиметрах). Определить его длину, если с вероятностью 0,95 точность измерения должна быть не ниже 2ε о = 2см .

xi∈{1,..., n } ; h; H; 2ε о

Sx = n=n+1

1 n ∑ xi n i =1

(

1 n ~ xi − x n ∑ n − 1 i =1 ~ xi − xn ≤ 3S x

)

2

n=n+1

нет

Да Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения S ~x =

Sx n

Определение t по формуле Р=2Sn(t)-1, где 2Sn(t) – интегральная функция распределения вероятности Стьюдента

ε = tS

~ x

Да ε>εo

Нет

~ ~ х n − ε ≤ x ≤= x n + ε Рис. 5.

25

26

СПИСОК РЕКОМНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии: Учеб. пособие.-3-е изд. Перераб и доп. - М.: Изд-во стандартов, 1984. 2. Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством: Учеб. Для вузов / Под ред. акад. Н.С. Соломенко. - М.: Изд-во стандартов, 1990.-342 с., ил. 3. Шишкин И.Ф. Основы метрологии, стандартизации и контроля качества: Учебное пособие. - М.: Изд-во стандартов, 1987. – С. 320, ил. 4. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология: Учебник для вузов. - М., Изд-во стандартов, 1991.-492 с.

27