Приведение к каноническому виду и решение задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка: Методические указания

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й Го суда р стве нный уни ве р си те т Ф а культе тпр и кла дно й ма те ма ти ки и ме ха ни ки Ка фе др а ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й

П р и ве де ни е к ка но ни че ско му ви ду и р е ш е ни е за да чи Ко ш и для ги пе р б о ли че ско го ур а вне ни я вто р о го по р ядка

М е то ди че ски е ука за ни я для студе нто в 3 кур са дне вно го о тде ле ни я фа культе та П М М .

Со ста ви те ль: П . С. У кр а и нски й. В о р о не ж 2002

В ве де ни е В на сто яще й р а б о те на ко нкр е тных пр и ме р а х по ка за н ме то д р е ш е ни я за да чи Ко ш и для ги пе р б о ли че ско го ур а вне ни я вто р о го по р ядка . П о ско льку пе р вым эта по м та ко го р е ш е ни я являе тся пр и ве де ни е ур а вне ни я к ка но ни че ско му ви ду, то в пе р во м па р а гр а фе и зла гае тся ме то ди ка пр и ве де ни я ур а вне ни й все х тр е х ти по в к ка но ни че ско му ви ду. В пр и ме р е 2.2. р а ссмо тр е н случа й, ко гда по сле пр и ве де ни я ур а вне ни я к ка но ни че ско му ви ду по лучи вш е е ся ур а вне ни е со де р ж и то б е пр о и зво дные пе р во го по р ядка , и пр и хо ди тся де ла ть е ще о дну за ме ну, что б ыо тэти х пр о и зво дных и зб а ви ться. М е то ди че ска я р а зр а б о тка пр е дна зна че на для студе нто в тр е тье го кур са фа культе та П М М .

2

1. П р и ве де ни е ур а вне ни й к ка но ни че ско му ви ду. Ра ссмо тр и м ур а вне ни е для функци и u = u ( x, y ) a ( x, y)u xx + 2b ( x, y )u xy + c( x, y )u yy + p ( x, y)u x + q ( x, y )u y + r ( x, y )u = f ( x, y)

(1)

Та ко е ур а вне ни е на зыва е тся ли не йным не о дно р о дным 2-го по р ядка . Если f ( x, y ) ≡ 0 , то ур а вне ни е на зыва е тся ли не йным о дно р о дным. У р а вне ни я ви да (1) по др а зде ляются на тр и ти па . 1. Если b2 − ac > 0 в не ко то р о й о б ла сти D ⊂ R 2 , то ур а вне ни е ги пе р б о ли че ско го ти па в D . 2. Если b2 − ac < 0 в о б ла сти D ⊂ R 2 , то ур а вне ни е элли пти че ско го ти па в D . 3. Если b2 − ac = 0 в о б ла сти D , то ур а вне ни е па р а б о ли че ско го ти па в D . Люб о е ур а вне ни е ви да (1), со хр а няюще е ти п в не ко то р о й о б ла сти , мо ж но с по мо щью за ме ныпе р е ме нных пр и ве сти к ка но ни че ско му ви ду. Ка но ни че ски е фо р мыли не йных ур а вне ни й (1) в но вых пе р е ме нных ξ , η и ме ютсле дующи й ви д: 1. uξη + β1 uξ + β 2 uη + γ u = f (ξ , η ) − г и пе р б о ли че ски й ти п 2. uξξ + uηη + β1 uξ + β 2 uη + γ u = f (ξ , η ) − элли пти че ски й ти п (2) 3. uηη + β1 uξ + β 2 uη + γ u = f (ξ , η ) − па р а б о ли че ски й ти п И зло ж и м ме то ди ку пр и ве де ни я ур а вне ни й (1) к ка но ни че ско му ви ду. Со ста ви м о б ыкно ве нно е ди ффе р е нци а льно е ур а вне ни е , на зыва е мо е ур а вне ни е м ха р а кте р и сти к

a( x, y )dy 2 − 2b( x, y)dydx + c( x, y)dx 2 = 0

(3)

Д а льне йш и е де йстви я за ви сято тти па ур а вне ни я. 1. П усть b2 − ac > 0 , т. е . ур а вне ни е ги пе р б о ли че ско го ти па . То гда ур а вне ни е (3) dy и ме е тдва р а зли чных р е ш е ни я dx dy b − b 2 − ac dy b + b 2 − ac = , = . (4) dx a dx a И нте гр а льные кр и вые ϕ ( x, y ) = C1 и ψ ( x, y ) = C2 ур а вне ни й (4) на зыва ются

о тно си те льно

ха р а кте р и сти ка ми ур а вне ни я (1). Н о вые пе р е ме нные вво ди м по фо р мула м ξ = ϕ ( x, y), η = ψ ( x, y ). 2. П усть b2 − ac = 0 (па р а б о ли че ски й ти п). П о это му и з (3) на хо ди м то лько о дно dy b зна че ни е = и со о тве тстве нно о дну и нте гр а льную кр и вую ϕ ( x, y ) = C1 . То гда dx a но вые пе р е ме нные вво ди м по фо р мула м ξ = ϕ ( x, y ), η = η ( x, y ), где η ( x, y )  ϕ x' ϕ y'  ≠0 в ' '   η η x y  

пр о и зво льна я ди ффе р е нци р уе ма я функци я, но та ка я, что яко б и а н I = 

о б ла сти D . 3. П усть b2 − ac < 0 (элли пти че ски й ти п). Н а хо ди м о дно и з двух зна че ни й ур а вне ни й (4) в ко мпле ксно й фо р ме . В ыр а зи м и нте гр а л р е ш е ни я в ви де ϕ ( x, y ) + iψ ( x, y ) = C и но вые пе р е ме нные вво ди м по фо р мула м ξ = ϕ ( x, y), η = ψ ( x, y ). 3

И та к, для пр и ве де ни я ур а вне ни я (1) к ка но ни че ско му ви ду на до пр о де ла ть сле дующи е о пе р а ци и . 1. О пр е де ли ть ти п ур а вне ни я по зна ку ди скр и ми на нта b2 − ac . 2. Со ста ви ть ур а вне ни е (3) и р е ш и ть е го . (О б р а ти те вни ма ни е на зна к ми нус пе р е д b( x, y ) ). 3. Н а йти и нте гр а лыур а вне ни й (4) и вве сти но вые пе р е ме нные . 4. В ыпо лни ть за ме ну пе р е ме нных в ур а вне ни и (1). (З а ме ни ть пр о и зво дные и пе р е ме нные в ко эффи ци е нта х). П р и ме р 1.1. П р и ве сти ур а вне ни е к ка но ни че ско му ви ду tg 2 x ⋅ u xx − 2 y ⋅ tgx ⋅ uxy + y 2 u yy + tg 3 x ⋅ ux = 0

Ре ш е ни е . 1. В ычи сли м b2 − ac = y 2tg 2 x − y 2tg 2 x = 0. У р а вне ни е па р а б о ли че ско е на все й пло ско сти . 2. Со ста ви м ур а вне ни е ха р а кте р и сти к tg 2 x ⋅ dy 2 + 2 y ⋅ tg 2 xdydx + y 2 dx 2 = 0. В па р а б о ли че ско м случа е о но пр и во ди тся к ви ду (tg x ⋅ dy + ydx)2 = 0. О ткуда tg x ⋅ dy + ydx = 0.

3. Ре ш а е м, р а зде ляя пе р е ме нные dy cos x =− dx, y sin x

ln y = − ln sin x + ln C и ли y sin x = C .

В во ди м но вые пе р е ме нные ξ = y sin x  η = y

З на че ни е η = y выб р а но пр о и зво льно , по это му вычи сли м яко б и а н  ξ x' ξ y'   y cos x sin x  = = y cos x.  ' '    1  η x η y   0

Я ко б и а н р а ве н нулю то лько на пр ямых x =

π + π k , y = 0. В о ста льно й ча сти 2

пло ско сти яко б и а н не р а ве н нулю. З а ме ну де ла ть мо ж но . 4. В ычи сли м пр о и зво дные и сде ла е м за ме ну. Б уде м счи та ть, что u ( x, y) = u (ξ ( x , y ),η ( x, y )). То г да u x = uξ ξ x + uηη x = uξ y cos x, u y = uξ ξ y + uηη y = uξ sin x + uη .

В ычи сле ни е uxx пр о ве де м по др о б но . ∂ ∂ ∂ (uξ y cos x) = (uξ ) ⋅ y cos x + uξ ( y cos x) = (uξξ ⋅ ξ x + uξη ⋅η x ) y cos x + ∂x ∂x ∂x 2 +uξ ⋅ y (− sin x) = uξξ ( y cos x) − uξ ⋅ y sin x.

u xx =

∂ (uξ y cos x) = (uξξ ξ y + uξηη y ) y cos x + uξ ⋅ cos x = ∂y = (uξξ sin x + uξη ) y cos x + uξ cos x = uξξ y sin x cos x + uξη y cos x + uξ cos x.

u xy =

u yy = uξξ sin 2 x + 2uξη sin x + uηη .

П о дста вляя на йде нные пр о и зво дные в и схо дно е ур а вне ни е , по лучи м

4

y 2 uηη + uξ ( y cos x ⋅ tg 3 x − y sin x ⋅ tg 2 x − 2 y ⋅ tgx ⋅ cos x) = 0 y 2 uηη − 2uξ y sin x = 0 η 2uηη − 2ξ uξ = 0.

И ли о ко нча те льно по лучи м uηη −

2ξ uξ = 0. Э то ка но ни че ски й ви д ур а вне ни я η2

па р а б о ли че ско го ти па . П р и ме р 1.2. П р и ве сти к ка но ни че ско му ви ду y 2 u xx + 2 xyu xy + 2 x 2u yy + yu y = 0.

(1.2.1)

Ре ш е ни е . 1. b2 − ac = − x 2 y 2 < 0. У р а вне ни е элли пти че ско го ти па во все й пло ско сти , кр о ме пр ямых x = 0, y = 0. 2. Со ста ви м ур а вне ни е ха р а кте р и сти к y 2 dy 2 − 2 xydydx + 2 x 2 dx 2 = 0 2

= ± i - ко мпле ксно е и ли y 2   − 2 xy + 2 x 2 = 0, о ткуда по луча е м dx dx y y  dx  dy

dy

dy

р е ш е ни е . Ра ссмо тр и м о дно и з ни х

x

x

dy x x = + i . Ра зде ли м пе р е ме нные dx y y

ydy = ( x + xi )dx. П р о и нте г р и р уе м. y 2 x 2 x2 = + i + C1 + C2 i . 2 2 2 y 2 x2 x2 − − i = C1 + C2i. Ср а вни ва я де йстви те льные и мни мые ча сти , по лучи м 2 2 2 y 2 x2 − = C1 2 2 x2 − = C2 . Д ля удо б ства умно ж и м ка ж до е и з не р а ве нств на −2 . 2 x 2 − y 2 = C11 , x 2 = C21. Н о вые пе р е ме нные вво ди м по фо р мула м ξ = x2 − y2 ,

(2.2)

η = x2 .

В ычи сли м пр о и зво дные , счи та я, что u ( x, y ) = u (ξ ( x, y );η ( x, y )). u x = 2 xuξ − 2 xuη , u y = −2 yuξ , u xx = 4 x 2 uξξ + 8 x 2 uξη + 4 x 2 uηη + 2uξ + 2uη ,

(1.2.1)

u xy = −4 xyuξξ − 4 xyuξη , u yy = 4 y 2 uξξ − 2uξ .

П о дста вляя в и схо дно е ур а вне ни е (2.1), по лучи м uξξ + uηη +

1 1 u − 2 uξ = 0. 2 η 2x y

И з фо р мул (2.2) и ме е м x 2 = η , y 2 = x 2 − ξ = η − ξ . О ко нча те льно по лучи м

5

uξξ + uηη +

1 1 uη + uξ = 0. 2η ξ −η

П р и ве де ни е к ка но ни че ско му ви ду ур а вне ни я ги пе р б о ли че ско го ти па б уде м р а ссма тр и ва ть да ле е в пр и ме р е 3.2.

2. Д а льне йш е е упр о ще ни е ка но ни че ско го ви да ур а вне ни й. Ка но ни че ски е фо р мыур а вне ни й ви да (2) в случа е , е сли и схо дно е ур а вне ни е (1) б ыло ли не йным с по сто янными ко эффи ци е нта ми , до пуска е тда льне йш е е упр о ще ни е . С по мо щью пе р е хо да к но во й функци и мо ж но и з ур а вне ни й ги пе р б о ли че ско го и элли пти че ско го ти по в уб р а ть о б е пр о и зво дные пе р во го по р ядка , а у па р а б о ли че ско го ур а вне ни я уб р а ть о дну и з двух. Н о ва я не и зве стна я функци и v( x, y ) вво ди тся по фо р муле u( x, y ) = v( x, y )e µξ +νη , где µ , ν - чи сла , по дле ж а щи е о пр е де ле ни ю. Ра ссмо тр и м ур а вне ни е ги пе р б о ли че ско го ти па (это пе р во е и з ур а вне ни й (2)). uξη + β1uξ + β 2uη + γ u = f (ξ ,η ).

В ычи сляя пр о и зво дные функци и u( x, y ) и по дста вляя и х в ур а вне ни е , по лучи м vξη + (ν + β1 )vξ + (µ + β 2 )vη + ( µν + µβ1 + νβ 2 + γ )v = f (ξ ,η ) ⋅ exp(− µξ − µη ) . П о ло ж и м µ = − β 2 , ν = − β1 , γ 1 = γ − β1 β 2 , f1 (ξ ,η ) = f (ξ ,η ) ⋅ exp( β 2ξ + β1η ). П р е о б р а зо ва нно е ур а вне ни е пр и ме тви д vξη + γ 1v = f1 (ξ ,η ). (2.1) А на ло ги чным о б р а зо м ур а вне ни е элли пти че ско го ти па (вто р о е и з ур а вне ни й (2)) пр и во ди тся к ви ду vξξ + vηη + γ 1v = f1 (ξ ,η ) , (2.2) 2 2 где γ 1 = γ − 0, 25( β1 + β 2 ), µ = −0,5β1 , η = −0,5β 2 , f1 (ξ ,η ) = f (ξ ,η ) ⋅ exp(0,5( β1ξ + β 2η )). В ур а вне ни и па р а б о ли че ско го ти па выб о р о м µ и ν не льзя о б р а ти ть в нуль ко эффи ци е нтыпр и vξ и vη , по ско льку пр е о б р а зо ва нно е ур а вне ни е и ме е тви д 1 vηη + β1vξ + (2ν + β 2 )vη + (ν 2 + νβ 2 + µβ1 + γ )v = f (ξ ,η ) ⋅ exp( − µξ − γη ). П о ла г а я ν = − β2 , 2 1 1  µ =  β 22 − γ  , по лучи м β1  4  vηη + β1vξ = f1 (ξ ,η ), (2.3)

где f1 (ξ ,η ) = f (ξ ,η ) ⋅ exp(

1 1 1 (γ − β 22 )ξ + β 2η ). β1 4 2

3. З а да ча Ко ш и для ур а вне ни я вто р о го по р ядка ги пе р б о ли че ско го ти па . З а да ча Ко ш и для ур а вне ни я (1) ги пе р б о ли че ско го ти па с усло ви ями

6

u

Γ

= u0 ( x, y ),

∂u ∂l

Γ

= u1 ( x, y )

(3.1)

со сто и тв сле дующе м. П усть в о б ла сти D за да но ур а вне ни е (1) (b2 − ac > 0) и на кр и во й Γ , ко то р а я пр и на дле ж и то б ла сти D и ли являе тся ча стью гр а ни цыо б ла сти D , за да ныфункци и u0 ( x, y ) , u1 ( x, y ) и на пр а вле ни е l (x,y). Тр е б уе тся на йти функци ю u( x, y ) , ко то р а я в о б ла сти D являе тся р е ш е ни е м ур а вне ни я (1) и на кр и во й Γ удо вле тво р яе тусло ви ям (3.1). Если в ка ж до й то чке кр и во й Γ на пр а вле ни е l не являе тся ка са те льным к кр и во й Γ и ка са те льно е на пр а вле ни е к кр и во й Γ не являе тся ха р а кте р и сти че ски м, то в о б ла сти D , о гр а ни че нно й ха р а кте р и сти ка ми , пр о хо дящи ми че р е з ко нцы кр и во й Γ , пр и до ста то чно й гла дко сти ко эффи ци е нто в ур а вне ни я (1) и да нных усло ви й (3.1) суще ствуе те ди нстве нно е р е ш е ни е да нно й за да чи Ко ш и (1), (3,1). П р и ме р 3.1. Ре ш и ть за да чу Ко ш и

uxy +yux =0

(3.1.1)

u y=3x = 0

(3.1.2)

−5x2

uy y=3x=e

(3.1.3)

Ре ш е ни е . Д а нно е ур а вне ни е уж е и ме е тка но ни че ски й ви д. И зве стно , что ха р а кте р и сти ки та ко го ур а вне ни я – это пр ямые x = C1 , y = C2 . П р яма я y = 3x ка са те льна я к са мо й се б е и не со впа да е тс ха р а кте р и сти ка ми . Н а пр а вле ни е l в (3.1.3) со впа да е тс о сью О У и не являе тся ка са те льным к пр ямо й y = 3x . Ре ш е ни е суще ствуе т, б уде м е го и ска ть. u xy + yu x = 0 пе р е пи ш е м в ви де ∂  ∂u + yu  = 0. П р о и нте гр и р уе м по x , по лучи м ∂x  ∂y  ∂u + yu = B ( y ) , ∂y

(3.1.4)

где B( y ) - пр о и зво льна я ди ффе р е нци р уе ма я функци я. П о лучи м ли не йно е не о дно р о дно е ур а вне ни е о тно си те льно пе р е ме нно й y . Ре ш а ть б уде м ме то до м ва р и а ци и пр о и зво льно й по сто янно й. Ра ссмо тр и м о дно р о дно е ур а вне ни е

∂u + yu = 0. П е р е ме нную x р а ссма тр и ва е м ка к па р а ме тр . Ре ш е ни е по сле дне г о ∂y y2 ур а вне ни я и ме е тви д u( x, y ) = C ( x) exp(− ). Счи та е м те пе р ь, что C ( x ) за ви си те ще и 2 о т y. y2 ). П о дста ви м в (3.1.4) 2 y2 y2 y2 ' C y ( x, y) exp(− ) − y ⋅ C ( x, y ) exp( − ) + yC ( x, y ) exp( − ) = B( y ) 2 2 2 u ( x, y ) = C ( x, y ) exp( −

7

y2 ) 2 y2 C ( x, y) = ∫ B( y ) exp( ) dy + D ( x) 2 y2 О б о зна чи м E ( y) = ∫ B( x) exp( )dy. П о лучи м C ( x, y) = E ( y ) + D ( x). E ( y ), D( x) 2 C y' ( x, y) = B( y ) exp(

пр о и зво льные два ж дыди ффе р е нци р уе мые функци и . П о лучи м р е ш е ни е (3.1.1) в ви де u ( x, y ) = D( x) ⋅ exp(−

y2 y2 ) + E ( y ) ⋅ exp( − ) 2 2

(3.1.5) П о дб е р е м E ( y) и D( x) та к, что б ывыпо лняли сь усло ви я (3.1.2) и (3.1.3). П усть y = 3x, то гда u ( x,3 x) = exp( −

9x2 9x2 ) D ( x) + exp( − ) E (3 x) = 0, 2 2

о ткуда D( x) + E (3 x) = 0.

(3.1.6)

u y ( x, y ) = D ( x) exp( −

2

2

2

y y y )(− y ) − y exp( − ) E ( y) + exp( − ) E ' ( y ). 2 2 2

П о ло ж и м y = 3x, по лучи м 9 x2 9 x2 9x2 ' )( −3 x) − 3 x exp( − ) E (3 x) + exp( − ) E (3 x) = exp( −5 x 2 ) 2 2 2 9x2 9 x2 ' −3 x exp(− )( D( x) + E (3 x)) + exp( − ) E (3 x) = exp( −5 x 2 ). 2 2 D( x) exp( −

У чи тыва я р а ве нство (3.1.6), по лучи м E ' (3 x) = exp( − E ' ( z ) = exp( − x

x2 ). О б о зна чи м 3 x = z. 2

z2 ). П р о и нте г р и р уе м по z о т0 до x . 18

x

z2 ∫0 E ( z)dz = ∫0 exp(− 18 )dz '

x

z2 E ( x) = ∫ exp(− )dz + E (0). 18 0 И з (3.1.6) на хо ди м 3x

z2 D ( x) = − E (3 x) = − ∫ exp(− )dz − E (0) . 2 0 О ко нча те льно по лучи м, учи тыва я (3.1.5),

8

y 3x   y2  z2 y2  z2 u(x, y) = exp(− )  − ∫ exp(− )dz − E(0)  + exp(− )  ∫ exp(− )dz − E(0)  2  0 18 2 0 18   y

y2 z2 u(x, y) = exp(− ) ∫ exp(− )dz. 2 3x 18 П р и ме р 3.2. Д ля −∞ < x < ∞ и y > 0 р е ш и ть за да чу Ко ш и

3uxx +10uxy + 3uyy + ux + uy +

x+ y 1 u −16x exp(− )=0 16 16

(3.2.1) u ( x, y) = 0

(3.2.1а ) (3.2.1б )

u y ( x, 0) = F ( x), г де F ( x) ∈ C (−∞, ∞) 1

Ре ш е ни е . 1-й эта п. П р и ве де м ур а вне ни е (3.2.1) к ка но ни че ско му ви ду. Д ля это го со ста ви м ур а вне ни е ха р а кте р и сти к 3dy 2 − 10dydx + 3dx 2 = 0. И ли 1 3( y ' )2 − 10 y ' + 3 = 0. О ткуда y1' = 3, y2' = . 3

Ре ш а я, по лучи м два и нте гр а ла ур а вне ни я ха р а кте р и сти к y − 3x = C1 , 3 y − x = C2 . Н о вые пе р е ме нные вво ди м по фо р мула м ξ = y − 3 x,  η = 3 y − x.

(3.2.2)

Счи та е м, что u( x, y ) = u (ξ ( x, y ),η ( x, y)) и на хо ди м пр о и зво дные u x = −3uξ − uη u y = uξ + 3uη u xx =

∂ ( −3uξ − uη ) = −3 ( (−3)uξξ + (−1)uξη ) − ( (−3)uηξ + uηη (−1) ) = 9uξξ + 6uξη + uηη . ∂x

А на ло ги чно на хо ди м u xy = −3uξξ − 10uξη − 3uηη , u yy = uξξ + 6uξη + 9uηη .

1 8

1 8

И з си сте мы(3.2.2) на хо ди м x = (η − 3ξ ) , y = ( 3η − ξ ) . П о дста ви м все это в и схо дно е ур а вне ни е . П о лучи м 27uξξ + 18uξη + 3uηη − 30uξξ − 100uξη − 30uηη + 3uξξ + 18uξη + 27uηη − 1 ξ −η u − 2(η − 3ξ ) exp( ) = 0, 16 32 1 ξ −η 32uξη + uξ − uη − u + (η − 3ξ ) exp( ) = 0. 32 32 В ха р а кте р и сти че ски х пе р е ме нных ξ = y − 3x,η = 3 y − x вве де м о б о зна че ни е  η − 3ξ 3η − ξ  v(ξ ,η ) = u  , да и схо дно е ур а вне ни е (3.2.1) пр и ве де тся к ви ду  , то г 8   8 −3uξ − uη + uξ + 3uη +

9

vξη +

1 1 1 3ξ − η ξ −η vξ − vη − v= exp( ) 32 32 1024 32 32

(3.2.3)

П о лучи м ка но ни че ски й ви д ур а вне ни я ги пе р б о ли че ско го ти па . 2-й эта п. В ур а вне ни и (3.2.3) пр и сутствуют(в о тли чи е о тпр е дыдуще го пр и ме р а ) о б е пр о и зво дные пе р во го по р ядка . Н а йти о б ще е р е ш е ни е ур а вне ни я не по ср е дстве нным и нте гр и р о ва ни е м зде сь не льзя. П о это му пр о ве де м да льне йш е е упр о ще ни е (см. па р а гр а ф 2). В ве де м но вую функци ю w(ξ ,η ) по фо р муле v(ξ ,η ) = exp( µξ + νη ) ⋅ w(ξ ,η ). 1 1 ξ −η ) ⋅ w(ξ ,η ). Э ту функци ю на до П о ло ж и м µ = , ν = − , то гда v(ξ ,η ) = exp( 32 32 32

по дста ви ть в (3.2.3). В о спо льзуе мся го то вым р е зульта то м (2.1) и з па р а гр а фа 2, по лучи м γ 1 = γ − β1 β 2 = −

1 1 + 2 =0 2 32 32

f1 (ξ ,η ) = f (ξ ,η ) exp( β 2ξ + β1η ) =

1 (3ξ − η ). 32

О ко нча те льно по лучи м wξη =

1 (3ξ − η ) и ли 32 wξη = 3ξ − η. 32

(3.2.4)

3-й эта п. Ре ш е ни е ур а вне ни я (3.2.4). 1 2

Ра ве нство (3.2.4) пр о и нте гр и р уе м по η. П о лучи м 32wξ = 3ξη − η 2 + C1 (ξ ). Те пе р ь 3 2

1 2

и нте гр и р уе м по ξ . П о лучи м 32w = ξ 2η − η 2ξ + ∫ C1 (ξ )dξ + C2 (η ). О б о зна чи м ϕ (ξ ) =

1 1 1 C1 (ξ )d ξ , ψ (η ) = C2 (η ). П о лучи м w(ξ ,η ) = ξη (3ξ − η ) + ϕ (ξ ) + ψ (η ), г де ϕ (ξ ) ∫ 32 32 64

и ψ (η ) - пр о и зво льные два ж дыди ффе р е нци р уе мые функци и . Ч то б ыве р нуться к функци и v (ξ ,η ) , умно ж и м о б е ча сти по сле дне го р а ве нства на exp(

1 (ξ − η )). 32

 1  v(ξ ,η ) =  ξη (3ξ − η ) + ϕ (ξ ) + ψ (η )  exp(1/ 32(ξ − η )). 64  

В о звр а ща ясь к пе р е ме нным x, y по лучи м о б ще е р е ш е ни е ур а вне ни я (3.2.1). 1 1   u ( x, y) =  ϕ ( y − 3 x) + ψ (3 y − x) − x( y − 3 x)(3 y − x)  exp( − ( x + y )) (3.2.5) 8 16   4-й эта п. Те пе р ь на до на йти функци и ϕ и ψ та к, что б ы u( x, y ) удо вле тво р яла

на ча льным усло ви ям за да чи Ко ш и (3.2.1а ) и (3.2.1б ). П о ло ж и м в (3.2.5) y = 0. П о лучи м 3 3 x   ϕ (−3 x) +ψ (− x) − x  exp(− ) = 0, 8  16 

о ткуда ϕ ( −3 x ) + ψ ( − x ) =

3 3 x. 8

(3.2.6)

Д и ффе р е нци р уя р а ве нство (3.2.5) по y, по лучи м

10

x 1   u y =  ϕ '( y − 3 x) + 3ψ '(3 y − x) − (3 y − x + 3( y − 3 x))  exp( − ( x + y)) − 8 16   1 x 1  −  ϕ ( y − 3 x) + ψ (3 y − x) − ( y − 3 x)(3 y − x)  exp( − ( x + y )). 16  8 16  П о ло ж и м y = 0. П о лучи м 5 2 x 1 3 3 x   ϕ '(−3 x) + 3ψ '(− x) + x  exp( − ) −  ϕ ( −3 x) + ψ ( − x) − x  exp( − ) = F ( x). 4  16 16  8  16 

И з (3.2.6) выте ка е т, что вто р о е сла гае мо е о б р а ща е тся в но ль и мыпо луча е м р а ве нство ϕ '(−3 x) + 3ψ '(− x) = exp(

x 5 ) F ( x) − x 2 16 4

(3.2.7)

П р о и нте гр и р уе м (3.2.7), по ме няв пе р е ме нную: x

x

x

5

z

∫ ϕ '(−3z )dz + 3∫ψ '(− z )dz = ∫ (exp(16 ) F ( z) − 4 z 0

0

2

)dz.

0

x

x

x

x

1 5 z − ∫ ϕ '(−3 z )d (−3 z ) − 3∫ψ '( − z ) d ( − z ) = ∫ exp( ) F ( z )dz − ∫ z 2 dz. 30 16 40 0 0 x

z 1 1 5 − ϕ (−3 x) + ϕ (0) − 3ψ (− x) + 3ψ (0) = ∫ exp( ) F ( z ) dz − x3 . 3 3 16 12 0 У мно ж и м на –3 и по лучи м x

z 5 ϕ ( −3 x) + 9ψ (− x) = −3∫ exp( ) F ( z ) dz + x3 + ϕ (0) + 9ψ (0). 16 4 0

(3.2.8)

Ра ве нства (3.2.6) и (3.2.8) о б р а зуютси сте му ур а вне ни й о тно си те льно ϕ (−3 x) и ψ (− x), р е ш а я е е , по лучи м x

3 z 7 1 9 ψ (− x) = − ∫ exp( ) F ( z )dz + x3 + ϕ (0) + ψ (0) 80 16 64 8 8 x

17 3 3 z 1 9 ϕ (−3 x) = x + ∫ exp( ) F ( z )dz − ϕ (0) − ψ (0). 64 80 16 8 8 В пе р во м р а ве нстве по ло ж и м − x = q, во вто р о м −3x = p. П о лучи м −q

3 z 7 1 9 ψ (q) = − ∫ exp( ) F ( z )dz − q 3 + ϕ (0) + ψ (0) 80 16 64 8 8 −

ϕ ( p) =

3 8

p 3

∫ 0

z 17 3 1 9 exp( ) F ( z ) dz − p − ϕ (0) − ψ (0). 16 1728 8 8

(3.2.9)

(3.2.10)

П о ла гая да ле е p = y − 3x, q = 3 y − x и по дста вляя (3.2.9) и (3.2.10) в о б ще е р е ш е ни е , по лучи м р е ш е ни е за да чи .

11

−

3 u(x, y) =( 8 3 − 8

x−3y

∫ 0

y−3x 3

∫ 0

z 17 1 9 exp( )F(z)dz − (y−3x)3 − ϕ(0) − ψ(0) − 16 1728 8 8

z 7 1 9 1 1 exp( )F(z)dz − (3y −x)3 + ϕ(0) + ψ(0) − x(y−3x)(3y−x))⋅exp(− (x+ y)). 16 64 8 8 8 16

У пр о ща я, по лучи м

 x−3y  z x+ y 17 7 1 3  u(x, y) = ∫ exp( )F(z)dz − (y−3x)3 − (3y −x)3 − x(y −3x)(3y−x)⋅exp(− ). 8 16 1728 64 8 16  x−3y    ЛИ ТЕРА ТУ РА 1. Сми р но в М . М . Д и ффе р е нци а льные ур а вне ни я в ча стных пр о и зво дных вто р о го по р ядка . – М ., 1964. – 208 с. 2. В ла ди ми р о в В . С. и др . Сб о р ни к за да ч по ур а вне ни ям ма те ма ти че ско й фи зи ки . – М ., 1974. – 272 с. 3. А р се ни н В . Я . М а те ма ти че ска я фи зи ка . О сно вные ур а вне ни я и спе ци а льные функци и . – М ., 1966. – 368 с.

Со ста ви те ль Ре да кто р

П а ве л Се р гее ви ч У кр а и нски й. Ти хо ми р о ва О .А .

12