Введение в физику неупорядоченных конденсированных систем: учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Н.Н. Дегтяренко

ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СИСТЕМ Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2011

УДК 004.4:[530.145:620.3](075) ББК 32.973.26.-018.227+22.314я7+22.37я7 Д26 Дегтяренко Н.Н. Введение в физику неупорядоченных конденсированных систем: учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 228 c. В пособии приводятся принципы и физические основы явлений в неупорядоченных конденсированных системах, обусловленных наличием беспорядка той или иной природы. Основное внимание уделяется описанию моделей беспорядка и изменению свойств твердых тел при его появлении за счет большой концентрации дефектов структуры. Содержание книги базируется на изучении студентами дисциплин циклов ЕН и ОПД: математики, общей физики, теории упругости, квантовой механики, теории поля, статистической физики, теоретической физики твердого тела. Пособие рекомендовано для освоения студентами методов построения и моделирования свойств материалов. Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. О.В. Нагорнов Учебное пособие подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ ISBN 978-5-7262-1509-9 © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011 Редактор Т.В. Волвенкова Подписано к печати 15.12.2010 . Формат 60х84 1/16 Печ. л. 14,25. Уч.-изд. л. 14,0. Тираж 100 экз. Изд. № 1/4/2. Заказ № 27 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 115409, Москва Каширское ш., 31. ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42

ОГЛАВЛЕНИЕ= =

Введение=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKS= РАЗДЕЛ= N.= Неупорядоченная конденсированная система с высокой концентрацией дефектов=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK9= NKNK= Основные примеры неупорядоченных конденсироJ ванных систем=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNP= NKOK= Некоторые экспериментальные данные по неупоряJ доченным системам=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNT= NKPK= Эргодическая= = теоремаK= Физически достоверный= объем=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKOO= РАЗДЕЛ=O.=Модели и метрика ячеистого беспорядка=KKKKKKKKKKKKPM= OKNK=Беспорядок замещенияKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKPM= OKOK=Магнитный беспорядокKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKPO= OKPK=«Ледовый»=беспорядок=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKP9= OK4K=Метрика ячеистого беспорядка=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK4O= OKRK= Применение модели Изинга для различных неупоJ рядоченных систем ячеистого беспорядка=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK44= OKRKNK=Магнетики=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK44== OKRKOK=Сплавы=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK4S= OKRKPK=Сегнетоэлектрики=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK4T= OKSK=Дальний порядок=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK4T= OKTK= Размер и области упорядочения и упорядоченные= домены=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKRN= OK8K=Спектральный беспорядок=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKRS= OK9K=Термодинамика ячеистого беспорядка=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKR9= OKNMK=Ближний порядок и корреляции=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKSN= OKNNK=Подобие и группа перенормировки в теории критиJ ческих явленийKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKSS= РАЗДЕЛ= P.= Модели и метрика топологического беспорядкаKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKS9= PKNK=Беспорядок на уровне атомной структуры =KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKS9= PKOK=Размерность и порядокKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKTN= PKPK=Неупорядоченные линейные цепочки=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKTO= PKPKNK= Модель Кронига= –= Пенни для неупорядоченной= цепочки=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKT4=

P= =

PK4K= Приводимый и неприводимый топологический бесJ порядокKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKTR= PKRK=Физическая реализация одномерных систем=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKTS= PKSK=Дислокационный==беспорядок=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKT9= PKTK=Поликристаллический беспорядок=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK8M= PKTKNK=Атомные функции распределения=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK8N= PKTKOK=Аморфный или паракристаллический?==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK8S= PK8K= Жидкие кристаллыI= состоящие из несферических= молекул=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK88= PK9K=Беспорядок газового типа=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK9M= РАЗДЕЛ= 4.= Модели и метрика континуального беспорядкаKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK9O= 4KNK=Континуальные моделиKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK9O= 4KOK=Однородные случайные поля=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK9P= 4KPK=Гауссовы случайные поля=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK98= РАЗДЕЛ=R.=Наблюдение беспорядка=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNM4= РАЗДЕЛ= S.= Возбуждения в неупорядоченных системах=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNNO= SKNK==Возбуждения в неупорядоченных системахKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNNO= SKOK=Возбуждения в одномерных системах==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNNT= SKPK=Фазовое представление=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNOO= SK4K= Запрещенные зоны в спектрах неупорядоченных= цепочек=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNOR= SKRK=Плотность состояний=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNO9= SKSK=Приближение локальной плотности=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNPN= SKTK= Квазиклассические электроны в случайном потенJ циальном рельефе=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNPS= РАЗДЕЛ=T.=Перколяция=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN4P= TKN=ВведениеK=Терминология=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN4P= TKOK=Задачи перколяции на регулярных решетках=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN4S= TKPK=Перколяция на решетке Бёте=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNRM= TK4K=Регулярные решетки:=плоские и пространственные=KKKKKKKKKKKKKNRP= TKRK=Пороги протекания для объемных решеток=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNRS= TKS=Оценка порога протекания задачи узлов=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNR8= TKTK=Задача координационных сфер=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNSP=

4= =

TK8K= Структура бесконечного кластераK= Модель ШкловJ ского=–=де ЖенаK==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNST= TK9K=Роль размеров системы=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNTN= TKNMK=Электропроводность вблизи порога протекания=KKKKKKKKKKKKKKKKNT4= TKNNK= Мощность скелета бесконечного кластера вблизи= порога протеканияK=Роль мертвых концов=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNTT= РАЗДЕЛ=8.=Теория прыжковой проводимости==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNT9= 8KNK=Прыжковая проводимость=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN84= 8KOK= Концентрационная зависимость прыжковой провоJ димости=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN89= 8KPK=Температурная зависимость прыжковой проводимоJ сти=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN9N= РАЗДЕЛ=9.=Локализация и делокализация носителей.= Анализ с точки зрения перколяционного подхода=KKKKKKKKKKKKKKKKKN9R= 9KNK= Локализация электронов в неупорядоченных систеJ мах=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN9R= 9KOK=Узкие зоны и переход Мотта=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN9S= 9KPK=Модель Андерсона=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKOMO= 9K4K= Связь плотности числа состояний с критерием локаJ лизации=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKOM4= РАЗДЕЛ=NM.=Гранулированные материалы=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKONN= NMKNK=Гранулированные материалы=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKONN= NMKO==Кулоновская блокада и переход металл-изолятор=KKKKKKKKKKKKKKON9= Список литературы==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKOOT=

R= =

ВВЕДЕНИЕ Высшей степенью пространственного порядка=Eкроме вакуJ умаF= является бесконечный кристаллK= Ансамбль идентичных атоJ мовI= заполняющих кристаллI= обладает трансляционной симметриJ ейK= Наличие беспорядка разрушает симметрию кристаллаI= т.еK= приводит к отсутствию трансляционной инвариантностиK= Последовательность построения и изучения физики=идеальJ ного твердого тела= EФИТТF= при наличии трансляционной симметJ рии обычно содержит три разделаK= NK= МетрикаI= которая определяется геометрией решетки= (ячейкой Вигнера-Зейтца=–=рисK=ВKNI=аFK=Полная метрика определяJ ется симметрией решетки=Eтеория группFK==Прямая решетка опредеJ ляет обратную решетку в=kJпространстве==и зону БрюэлленаK= OK= Термодинамические свойства твердого тела= – =это возJ бужденияI= связанные с малыми отклонениями от трансляционной= симметрии:= фононыI= электроныI= магноны и т.пKI= имеющие термоJ динамические= = функции распределенияK= = Спектр возбуждений= находится для электроновI=напримерI=в задаче Кронига-Пенни:== ( h k )2 = y ( r , k ) = u k × e ikr , ® e ( k ) = . 2m * Все значения вектора= k в обратном пространстве= = принадJ лежат зоне БрюэлленаK= Поверхность Ферми= –= энергетическая поJ верхность в= k-пространствеI= ограничивающая все занятые состояJ нияK= PK= Кинетические характеристики: =слабые отклонения от= равновесия=–=теплопроводностьI=электропроводностьK= В отсутствии дальнего порядка все представленияI=отталкиJ вающиеся от трансляционной симметрииI= должны разрушатьсяK= НапримерI= простейшая физическая картина= –= картина дифракции= = когерентных плоских волн= = на брэговских плоскостях кристалла= теряет смыслI= т.еK= при рассеянии волн с длиной волны порядка= межатомного расстояния вместо резких максимумов под опредеJ ленными углами==наблюдается фонK=Тем не менееI=остатки трансляJ

S= =

ционной симметрии дают о себе знать в виде размытых максимуJ мовK= Какие представления удается использовать при наличии= беспорядка?= Системы описываются вероятностными распределеJ ниямиI=но не произвольнымиK=Есть свои ограниченияK= N K= Поскольку рассматриваются конденсированные системыI= то большинство неупорядоченных систем имеют структуры близJ кие к плотной упаковкеK= Это следует из тогоI= что структуры строJ ятся из принципа геометрических ограничений атомов и химичеJ ских связейK=В результатеI=симметрии у полиэдра Вороного нетI=но= он имеет такой же объемI= как ячейка Вигнера–Зейтца= EрисK= ВKNFK= Число ближайших соседей= ZN остается приблизительно таким жеI= как у упорядоченных системK= =

=====

=

РисK=ВKNK=Ячейка Вигнера-Зейтца для идеальной решетки=EаFX= полиэдр Вороного=EбF=для неупорядоченной системы= sВЗ ≈=sВороногоI=wN ≈=w1Вороного= = O K= Любой конечный макрообъем твердого тела может быть= заменен другим объемом твердого телаK=На определенных расстояJ ниях плотность среды приблизительно постояннаK= Любой ограниJ ченный объем=ENMO= J=NMP= атомов=–=так называемый=физически предJ ставительный объемF=можно взять из любой части образцаK=СледоJ вательноI= исследуемая система является статистически однородJ

T= =

нойK= Трансляция на такое расстояние возможнаI= т.еK= импульс для= достаточно длинных волн=– достаточно хорошее квантовое числоK= Виды беспорядка в конденсированных системах:= Ячеистый беспорядок= – =возникает в той ситуацииI =когда= узлы решетки остаются в исходных положенияхI= но атомы в узлах= случайно замещаются атомами другого сортаK= Пример= –= сплав заJ мещенияK=Трансляция на вектор=l= дает попадание на узел решеткиI= но не обязательно на такой же атомK== Топологический беспорядок=–=сорт атомов может не менятьJ сяI= но атомы статически или динамически смещены из узлов реJ шеткиK= Пример=–= жидкостьK= Ближний порядок может иметь местоI= но дальнего порядка и трансляционной симметрии нетK= Континуальный беспорядок= – =такая модель возникает в= случаеI= если удается использовать континуальное представление о= веществеI=т.еKI=игнорировать атомную структуру веществаK==Пример== –==атмосфераI=океанI=флуктуации плотности которых имеют размерI= значительно больший межатомного расстоянияK=

8= =

РАЗДЕЛ=N= НЕУПОРЯДОЧЕННАЯ КОНДЕНСИРОВАННАЯ= СИСТЕМА С ВЫСОКОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ== ДЕФЕКТОВ= = Неупорядоченные системы можно определить следующим= образом:= макроскопическая система называется неупорядоченнойI= если в расположении частиц отсутствует дальний порядок= (отсутствие трансляционной симметрииFK= Следует заметитьI=что периодическое расположение атомов= в идеальном твердом теле приводит к периодическому потенциалу= для электроновK= Из этого следует второе определение:= неупорядоченной называется конденсированная системаI=в которой= потенциальная энергия носителей является= непериодической= функцией координатK= Нужно отметитьI=что:= - как правилоI= такие системы не находятся в термодинамичеJ ском равновесииX= - второе определение является общим в большей степениI= так= как существуют примерыI=когда работает только это определеJ ниеK= Система будет находиться в равновесии при условии миниJ мального значения свободной энергии= cmin K= При= q= ®= M= система= стремится к упорядоченному состояниюI=характеризующемуся миJ нимальным значением потенциальной энергии== r M =EрисKNKNFK=Этот= минимум можно назвать глобальнымK=Состояние системы в другом= минимуме с потенциальной энергией= rN называется локальным= минимумомK= Это состояние является метастабильнымK= Оно также= может быть упорядоченнымK= Примером может быть сравнение= между алмазной структурой=E rN F=и графитом=E r M F=для углеродаK== Как для глобального минимумаI=так и для локального можно= ввести понятия элементарных возбуждений= –= фононыI= электроныK= Эти возбуждения будут иметь разные свойстваK=Переход из одного=

9= =

состояния в другое происходит через изменение атомных конфигуJ рацийK=Переходная стадия обладает большей степенью беспорядкаI= чем в минимумахK= Такой переход иногда проходит в виде волны= переупорядоченияK= Изменения происходят в виде локальных переJ скоков отдельных атомовI=и потенциальная энергия системы станоJ вится случайной величиной конфигурационной координатыK= При= достаточно низкой температуре систему можно заморозить в таком= состоянииK=При этом система не является метастабильнойI=но время= релаксации= Eвремя жизниF= в таком состоянии может быть велико= (оно зависит от температуры и свойств самой системыFK=Примером= может быть аморфная фаза некоторых веществK=

= РисKNKNK= Глобальный и локальный минимумы потенциальной= энергии= –= r M и= rN соответственноK= Флуктуации потенциальной= энергии при перестройке конфигурации системы= Пусть разброс потенциальной энергии системыI=связанный с= нарушением дальнего порядка= Eт.еK= с нарушением периодичности= потенциалаFI=равен= Dt K= Если выполняются условия== ìq - для невырожденных систем I== ENKNF= Dt << í î b c - для вырожденных систем

NM= =

где=q=–=температураI= bc =–=энергия ФермиI=то эти нарушения счиJ таются малымиK= На этих условиях строится теория идеального= твердого телаK== Напомним основные положения теории кристаллического= твердого телаK= NK= Гамильтониан кристалла учитывает все виды энергии= электронов и ядер:=кинетическую энергию электронов и ядерI=энерJ гию взаимодействия частиц и энергию всех частиц во внешнем поJ леK=Уравнение Шредингера для кристалла содержит=PEz=HNFk=переJ менных и в общем виде не решаетсяK= OK= Адиабатическое приближение позволяет разделить коорJ динаты электронов и ядерI=что упрощает уравнениеK=Гамильтониан= кристалла разбивается на электронную= Не= = и ядерную= ez= частиI= а= волновая функция кристалла представляется в виде произведения= волновой функции ядер и электроновK=По энергии при этом достиJ гается точность порядка= me j K=Из теоретического рассмотрения= выпадают некоторые процессыI= связанные с тепловым колебанием= решеткиK= PK= Волновая функция ядер определяется усредненным двиJ жением электроновI=а волновая функция электронов=зависит только= от мгновенного положения ядерK= 4K= Движение некоторого электрона зависит от состояния= движения всех остальных электроновI=но поскольку оно само влияJ ет на движение остальных электроновI= то движение всех электроJ нов является взаимосогласованнымK= Это позволяет ввести величиJ нуI=представляющую собой энергию=электрона в поле всех остальJ ных электронов с учетом его воздействия на их движениеK=Это поле= носит название самосогласованногоK= RK= Благодаря введению самосогласованного поля уравнение= для системы электронов сводится к системе уравнений для одного= электронаK=Самосогласованное поле в принципе может быть найдеJ но из решения системы уравнений Хартри или Хартри-Фока= EволJ новая функция выражается через определитель СлэтераFK= SK= Введение самосогласованного поля позволяет рассматриJ вать электроны как частицы невзаимодействующиеK= Тем самым=

NN= =

квантовая механика подтверждает представление об электронном= газеI=как газе идеальномI=но только в периодических системахK= TK=Решение уравнения Шредингера для электрона в периодиJ ческом поле имеет вид волны или функции БлохаK= Энергия элекJ трона является функцией волнового вектораK= 8K= Трансляционной симметрии поля решетки должна соотJ ветствовать сохраняющаяся физическая величинаI=называемая кваJ зиимпульсомK= 9K= Оператор квазиимпульса коммутирует с гамильтонианом= поля решеткиX=его собственные функции есть функции БлохаI=собJ ственные значения импульса= p связаны с волновым вектором= kK= Энергия является функцией квазиимпульса и волнового вектораI= а= уравнение определяет в пространстве=p или=k поверхностьI=называJ емую изоэнергетическойK= NMK= Если кристалл поместить в полеI= не обладающее периоJ дичностью решеткиI=то квазиимпульс меняется во времени в соотJ ветствии с минус градиентом этого поляK== NNK= Важнейшим понятиемI= используемым для описания двиJ жения электрона в твердом телеI= является понятие эффективной= массы= mGK= Она определяется как тензорI= обратный тензору обратJ ной эффективной массыK=Тензор обратной эффективной массы==есть= величинаI= равная второй производной от энергии по квазиимпульJ суK= В окрестности экстремума энергия является квадратичной= функцией по отклонениям от точки экстремумаI= поэтому масса=не= зависит от импульса и обратно пропорциональна второй производJ ной энергии в точке экстремумаK= NOK= В окрестности минимума энергии компоненты массы= меньше массы свободного электронаK= В окрестности максимума= энергии==–==тG=Y=MK=В окрестности экстремума энергии изоэнергетиJ ческие поверхности являются эллипсоидамиK=Электрон испытывает= ускорение только под действием внешней силыI=поля решетки проJ являют себя темI=что ускорение определяется эффективной массойK= В случае скалярной эффективной массы электрон движется против= электрического поляI= если он находится в окрестности минимума= энергииK=Если же он находится в окрестности максимума энергииI= то его ускорение направлено по направлению электрического поляI=

NO= =

т.еK=он движется как частица с положительной эффективной массой= и=положительным зарядомK= NPK= При действии внешней силы= c квазиимпульс электрона= меняетсяK=Если сила=c=не зависит от времениI=то траекторией элекJ трона в пространстве квазиимпульса=Eи волнового вектораF=являетJ ся прямая линияI= определяемая направлением силы= cK= Движение= электрона в=k-пространстве означаетI= что энергия электрона меняJ етсяI=и он переходит с одной поверхности энергии на другую в реJ зультате работы внешних силK= N4K= Обратное= k-пространство разбивается на эквивалентные= областиI=содержащие все различные состоянияK=Эти области назыJ ваются зонами БриллюэнаK= ЗонаI= симметричная относительно= начала координатI= называется основной зоной БриллюэнаK= Она= определяет набор возможных различных значений волнового векJ тора= В идеальном кристалле удается ввести одноэлектронное приJ ближение:= это квазичастицыI= которые между собой не взаимоJ действуют=(фононы тоже не взаимодействуютFK= ИтакI=если условия=ENKNF=не выполняютсяI=то= - при нарушении периодичности потенциала все виды квазичаJ стиц взаимодействуютX= - возможно образование= «примесных»= областей спектра возJ буждений системыI= напримерI= локализованных электронных= (дырочныхF=уровней или локальных мод колебанийI=связанных= с локальными нарушениями периодичностиK= =

N.N.=Основные примеры однородно== неупорядоченных конденсированных систем= = NK= ЖидкостьK Нарушения дальнего порядка обусловлены= тепловым движением атомовI= динамические отклонения которых= носят нерегулярный характерK= Описание системы статистическоеI= зависящее от времениK= Любой элемент жидкости с течением= времени будет проходить через множество состоянийK=

NP= =

OK=АморфныеI=стеклообразные состояния конденсированного= веществаK=Нарушения носят= «биографический»=характерI= они стаJ тические и случайныеK=Двигаясь от одного элемента макросистемы= к другомуI= будем встречать разные конфигурации с вероятностьюI= которая допускается данной системойK= Описание системы статиJ стическоеK= PK=Сильнолегированные полупроводникиK=Нарушения дальнего= порядка периодичности потенциала для носителей связаны с хаоJ тическим пространственным расположением примесных заряженJ ных центровK= В большинстве случаевI= условия= ENKNF= при низких= температурах не выполняютсяK= Возникает потенциалI= обусловленJ ный суммой дальнодействующих кулоновских потенциалов примеJ сей и не имеющий отношения к матрицеK=Концентрация же носитеJ лей мала= EполупроводникF= для тогоI= чтобы создать эффективную= экранировку дальнодействия таких центровK== 4K=Поверхность материалаK Структурные дефекты поверхноJ сти обусловлены адсорбциейI= закономерностями роста поверхноJ сти кристаллита=Eступеньки ростаFK=Потенциал вблизи поверхности= сильно флуктуируетK= RK= Неупорядоченные сплавыK= Расположение узлов в ячейках= структуры более или менее упорядоченоI= но вероятность найти= определенный тип атомовI= находящихся в этих узлахI= случайнаяK= Вероятность встретить ту или иную конфигурацию зависит от стеJ пени упорядоченностиK= Примером могут быть облученные быстJ рыми частицами пленки сверхпроводящих соединений со структуJ рой=^NRK= SK=Кристаллы с неупорядоченным расположением структурJ ных вакансийK=Примером могут быть облученные быстрыми частиJ цами пленки сверхпроводящих соединений со структурой ВТСПK= TK=Кристаллы с большим значением времени Максвелловской= релаксацииK ИзвестноI= что длинноволновые флуктуации объемной= плотности носителей заряда и соответственно электростатического= потенциала экспоненциально затухают с характерным временем:== oe ( e ) tj = I= 4psN

N4= =

где= sN –=проводимость на частоте= t-jN I= oe ( e ) =–=вещественная часть= диэлектрической проницаемостиK== Если характерное время задачи= tM < t j I=то при пропускании= через вещество сильных токов они сами будут формировать флукJ туацию электроновI= что приводит к созданию неупорядоченного= потенциалаK=Это среда с нелинейным откликом на импульсный токK= Рассмотрим вопрос о томI= что такое много или мало дефекJ товK= Пусть потенциальная энергия носителей состоит из периодиJ r ческой части и непериодической добавки= t = t рег + s% ( r ) K= ПоJ следнее слагаемое создается в материале хаотическим распределеJ нием примесей= nd K=Эти примеси создают дальнодействующий куJ лоновский потенциалK= Потенциальная энергия электронов в полеI= созданном дефектами:== r r r s% ( r ) = v r - o I==============================ENKOF=

å ( i

i

)

здесь суммирование проводится по всем примесямK== Суммарное поле оказывается хаотичным по пространствуI= uur поскольку совокупность= oi –== случайное множествоK= В веществе=

{ }

с небольшой концентрацией носителей длина экранировки зарядов= может быть достаточно большойK== Обозначим характерную длину падения потенциала= –= rM K= g -N –= радиус локализации электронаI= занимающего примесный= уровень= Eв среде орбита связанного электрона увеличивается в деJ сятки раз по сравнению с боровским радиусомFK== Рассмотрим два случая для пробной частицыI= которой соотJ ветствует волна де Бройля= l K==

NK=Пусть= nd-N P –=среднее расстояние между примесямиK=Тогда=

{

}

условию= nd-N P >> x = m~x =rM I lI g -N соответствует условие малого= количества дефектов=EрисKNKOFK=

NR= =

= РисKNKOK=Соотношение между характерными длинамиI=соотJ ветствующее малой концентрации дефектов= ДействительноI=в таком случае в электронных характеристиJ ках системы в каждом акте рассеяния пробной частицы фигурирует= r r r только один центр рассеянияK= В выражении= s% ( r ) = v r - o в=

å ( i

i

)

сумме по=i реализуется только одно слагаемоеI= поскольку частица= (электронF=в каждый данный момент эффективно взаимодействует= только с одним ближайшим центромI= и это взаимодействие не заJ висит от расположения всех остальных центровK= Потенциальная= энергия электрона фактически оказывается неслучайнойI=несмотря= на случайный характер элементов структурыK=

{

}

OK=Рассмотрим условие= nd-N P << x = m~x =rM I lI g -N (рисKNKPFK=

= РисKNKPK=Соотношение между характерными длинамиI=соотJ ветствующее большой концентрации дефектов=

NS= =

Тогда электрон взаимодействует одновременно с несколькими ценJ трами рассеянияI= его потенциальная энергия зависит от конфигуJ рации этой группыI=т.еK=она случайная функцияK=В этом случае высок= вклад корреляционных эффектовK=

N.O.=Некоторые экспериментальные данные по= неупорядоченным системам= = Зонная структура идеального полупроводника содержит заJ полненную валентную зону и зону проводимостиI=разделенные заJ прещенной зоной Dbg (рисKNK4FK==

= РисKNK4K= Схематическое изображение зонной структуры= полупроводникаK= Показаны прямые и непрямые переходы между= зонами при поглощении фотонов=EаFX= плотность числа состояний= (бFX= зависимость коэффициента поглощения от частоты для= идеального и неидеального полупроводника=EвF= = К полупроводникам относят веществаI= проводимость котоJ рых в сильной степени зависит от составаI=структуры кристалла и= внешних условийK= Проводимость полупроводниковI= как правилоI= возрастает при сообщении им энергии путем нагреваI= освещенияI= облучения ядерными частицамиI=она зависит от давленияI=внешних= электрических и магнитных полейK= В полупроводниках существуют два механизма проводимоJ сти:= носителями заряда являются свободные электроны и свободJ

NT= =

ные дыркиK= В чистом полупроводнике число дырок равно числу= электроновI=такой полупроводник называется собственнымK== ПримесьI= поставляющая свободные электроныI= называется= донорнойX= примесьI= поставляющая свободные дыркиI= называется= акцепторнойK=Носители зарядаI=имеющиеся в большем количествеI= называются основнымиX= носители зарядаI= имеющиеся в меньшем= количествеI=называются неосновнымиK= Полупроводниковое веществоI= в котором концентрации акJ цепторной и донорной примеси равныI= называется скомпенсироJ ванным полупроводникомK= Для неупорядоченных полупроводников можно отметить чеJ тыре результатаK= NK=Спектр поглощения электромагнитного излученияK== Для= полупроводника он зависит частоты= wK= Если= hw < Db g I= то вещество прозрачноI=если= hw > Dbg I=то происходит поглощениеI=

с забросом электрона в зону проводимости и образованием дырки в= валентной зоне= EрисK =NK4FK =В случае идеальной структуры спектр= поглощения имеет вид резкой пороговой зависимостиK= В= неупорядоченном полупроводнике эта зависимость размываетсяK= OK=Фотоэлектронная эмиссия=Eвнешний фотоэффектFK=Это исJ пускание электронов твёрдыми телами или жидкостями под дейJ ствием электромагнитного излучения в вакуум или другую средуK== Напомним основные закономерности этого явления для идеJ ального полупроводника=Eзаконы фотоэффектаFK= - Количество эмитируемых электронов= Eвеличина фототокаF= пропорционально интенсивности падающего излученияK== - Для каждого вещества при определённом состоянии его поJ верхностиI= обусловливающем его работу выходаI= существует= длинноволновая граница фотоэффекта= –= lMI= за которой= Eпри===== l=[=lMF=фотоэффект не наблюдаетсяK=Длинноволновой границе= lM соответствует пороговая энергия фотонов=hnM=EnM=Z=сLlMFK= - Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно= возрастает с частотой=n падающего излучения и не зависит от= его интенсивности:=

N8= =

Emu O L OF m~x = hn - hn M K= Эти законы строго выполняются лишь при температуре=Т=Z=MКK= При= q= [M =К наблюдается фотоэффект и при= l= Y= lMI =но при этом= квантовый выход малK== В полупроводниках порог фотоэффекта определяется выраJ жением:= hnM ==Db g + c I==============================================ENKPF

где= Dbg = –= ширина запрещенной зоныI= c –= электронное сродствоI= равное высоте потенциального барьера на границе образца для= электронов проводимостиK= Величина= hnM иногда называется для= полупроводников фотоэлектрической работой выходаK== Для большинства чистых полупроводников= hnM = [ =PIR =эВI =и= фотоэффект наблюдается только в УФ-области спектраK=

= РисKNKRK= Квантовый выход в запрещенной области фотоJ эффекта= N= –= = чистый полупроводникI= O= –= = полупроводник= = с приJ месями= В неупорядоченном полупроводнике можно наблюдать фоJ тоэффектI=связанный с возбуждением электронов с уровней примеJ сейI= дефектов и поверхностных состоянийI= расположенных в заJ

N9= =

прещённой зонеI= при= hn =Y= hnM с небольшим квантовым выходом= (рисKNKRFK= PK=Статическая проводимость полупроводниковK== Для температурной зависимости проводимости неидеальных= полупроводников можно выделить четыре областиK= Во всех= случаях она имеет термоактивируемый характерI= но с разными= энергиями активацииK= PKNK=Если рассмотреть чистый полупроводникI=с запрещенной= зоной= DE g I= то следует отметить следующееK= При высоких= температурах основным процессом является заброс носителей= через запрещенную зонуK= В этом температурном интервале= проводимость имеет температурную зависимость:= -Db

O hq

g s » sNe I=======================ENK4F= определяемуюI= в основномI= температурной зависимостью= концентрации носителейK= PKOK= При комнатной температуре и более низкой= температурах= Eq= YY= DE g F= на первое место выходит наличие=

примесейI=которые создают локальные уровни в запрещенной зонеK= * P Если концентрация примесей мала= k d × EaÁ F << N I= то примесное= состояние сохраняет свою индивидуальностьK= æ -b ö s » s O exp ç O ÷ I== bO » MKN ¸ MIMN эВ===Eсотни градусовF=ENKRF= è hq ø Проводимость таких слаболегированных систем= осуществляется за счет заброса электрона с примесных уровней в= зону проводимостиK= PKPK= При температурах= q << bO такие процессы= «вымораживаются»I=и существенным становится вклад от прыжков= электронов по примесям за счет малогоI= но конечного перекрытия= волновых функций примесных состоянийK=Здесь:== æ -E ö s = sP exp ç P ÷ I========================ENKSF= è q ø

OM= =

где сомножитель= sP очень сильно зависит от концентрации= примесей= k d K= PK4K= Об электронных состояниях в аморфных= полупроводникахI= по которым происходят прыжкиI= известно= значительно меньшеI= чем об электронных состояниях в= кристаллических полупроводникахK= Эти состояния связаны не с= примесямиI= а с флуктуациями структуры и стехиометрического= составаK= Как для аморфныхI= так и для кристаллических= полупроводниковI= при температурах= = T= Y= Nh= обнаруживается= зависимость вида== ìï æ q öN 4 üï s = sM exp í- ç M ÷ ý =K=======================ENKTF= q îï è ø þï Можно показатьI=что области=PKP=и=PK4==описываются теорией= перколяцииK= 4K=Рентгеновская дифракцияK= Из данных рентгеновского спектра может быть получена так= называемая радиальная функция распределения=EрисKNKSF:= c(R)

R1

R2

R

=

РисKNKSK= Качественные изменения радиальной функции расJ пределения при введении беспорядка=Eсплошная линияF= Радиальная функция распределения содержит интегральную= информацию о потенциале взаимодействия атомовK= ТакI= атомы не=

ON= =

заполняют интервал расстояний меньших=oNI=характерного расстоJ яния для первой координационной сферыK= Для неидеального тверJ дого тела информация о второй и следующих координационных= сферах частично потерянаI=та какK=максимумы==cEoF=размазаныK== Общие особенности неупорядоченных системK= Все перечисленные неупорядоченные системы обладают обJ щими свойствами силового поляI=а именно:= Отсутствием пространственной периодичности поJ тенциальной энергии носителей заряда и наличием в ней слуJ чайного слагаемогоK= Для описания последнего необходимо задать вероятность= = Á[s ] реализации того или иного значения потенциальной энергии= r r носителей заряда= s Er F как функцию координаты= r K= Функционал= = Á[s ] =– новая характеристика системы в сравнении с теорией идеJ ального кристаллаK= =

N.P.=Эргодическая==теорема.== Физически достоверный объем= В макроскопическом опыте имеем дело с полным объемом= образца или с его большой макроскопической частьюK=Таким обраJ зомI= все наблюдаемые в эксперименте величины получались в реJ зультате усреднения по объему образцаK= Макроскопически больJ шой образец можно представить как совокупность большого числа= макроскопических подобластейK=Физически ясноI=что значения поJ тенциальной энергии электронов в случайном полеI=в окрестностях== точекI= значительно удаленных друг от другаI= не будут связаны= между собой= Eмежду ними не будет корреляционной связиFK= ДейJ ствительноI= при значительном удалении в каждом подобразце буJ дет наблюдаться своя случайная реализация случайного поляI= т.еK= свое расположение примесейK= Усреднение по объему сведется к усреднению по различным= реализациям случайного поляI= т.еK= по всем возможным конфигураJ

OO= =

циям атомов примесейK=Такая процедура усреднения не имеет анаJ логов в обычной=EзоннойF=теории идеального кристаллаK= Усреднение по объему образца==эквивалентно==усреднению по= функционалу вероятности= = Á[s ] K= Поскольку потенциальная энергия= –= случайная величинаI=то= задача об энергетическом спектре частицы в случайном поле= должна иметь вероятностный характерK= Нет смысла спрашивать= дозволено или нет то или иное значение энергииI=принадлежит оно= дискретному или непрерывному спектруK= Ответ должен носить= вероятностный характерK= Можно говорить об энергетическом= спектре только с точки зрения теории вероятностейK=Обязательным= является предельный переход= k ln = ` Y ¥ I= W W ® ¥ I= k ® ¥ = –= объем и число частиц в этом объемеI= константа=С не является функцией объемаK= =

= РисKNKTK= Качественная картина к определению физически= достоверного объема образца= =

OP= =

ПредположимI= что прошлись по малому образцу:= встретились только три конфигурации дефектов=Eслучайного поляF= (рисKNKTFK= Если рассмотреть больший образецI=то там может встретитьJ ся больше конфигурацийK== Физически достоверный объем= –= объемI= в котором вероятJ ность встретить все возможные конфигурации соответствует= представительности конфигураций в бесконечном объемеK= = Краткие выводы:= В силу отсутствия==дальнего порядкаI=квазиимпульсI=характеJ ризующий состояние системыI= не является хорошим квантовым= числомK= Такое состояние с каким-либо значением= k= –= нестациоJ нарноеI= оно разрушаетсяK= Рассеяние заряда на непериодическом= поле столь интенсивноI= что квазиимпульс не сохраняется даже= приближенно:== - закон дисперсии= e Ek F теряет смыслX= - энергия Ферми= ec не определяетсяK= В ФТТ все измеряемые веJ личины определяются их значением на уровне ФермиX= - эффективная масса носителей= m

*-N

=

дO Е дк O

теряет смыслX=

- понятие зоны Бриллюэна отсутствуетX= - в основе физики идеального твердого тела лежит одноэлекJ тронное приближениеK= Задача сводится к квазичастицамI= диJ намической характеристикой которых становится эффективная= масса= = EэлектронаI= дыркиFK= В идеальном кристалле инкремент= затухания одноэлектронного представления стремится к нулю= вблизи поверхности ФермиI= что обусловлено совместным выJ полнением принципа ПаулиI= законами сохранения энергии и= квазиипмульсаK= Когда поле непериодичноI=то инкремент затухания одноэлекJ тронного представления оказывается ненулевымK=Таким образомI=в= непериодических системахI= по сравнению с идеальным кристалJ ломI=возрастает роль многочастичных эффектовK=

O4= =

В неидеальном кристалле= EнепериодическомF= –= необходимо= решать многочастичную задачуK= УтверждениеW для любой системыI =как угодно взаимодейJ ствующих частицI= можно ввести понятие плотности числа состояJ нийI=и дать рецепт ее вычисленияK=Если плотность числа состояний= известнаI= то все термодинамические величины могут быть вычисJ лены и в общем случаеK= Как известноI= для электронов= EфермионовF= вероятность засеJ ления состояний с энергией=b определяется распределением Ферми:= N f=c ( b=) Z= = = = = K==============ENK8F= æb-c ö N + exp ç ÷ è hq ø Функция плотности числа состояний дает информацию о= томI=существует ли такое состояние в системеI=т.еK=представлено ли= это состояниеK= НапомнимI= вывод формулы для плотности элекJ тронного газа= N r n= dp × f c éë b ( pI s ) ùû I= P åò ( Oph ) s здесь сумма по=s есть суммирование по спиновым состояниямK=ПеJ реход от интегрирования по импульсному пространству к интегриJ рованию по энергии:== переход

p x I p y I p z s ¾¾¾¾® b I nI n¢I s = проводится с якобианом перехода= w s ( b I nI n¢ ) = é N ù n = å ò f p EbF ê d nd n¢ × w s ( EI nI n¢ ) ú d E = å ò f c ( E )r ( E ) d E I== ò P êë EOphF úû s s N где= r ( b ) = ò d nd n¢ × ws ( EI nI n¢) =–= плотность состоянийK= EOphFP В случае газа свободных квазичастиц= EэлектроновF= закон= дисперсии:= b E pF = bM +

OR= =

pO = Om G

w s ( EI qI j ) = EOm* FP L O E - EM sin q I= а для плотности числа состояний= ì mPL O OPL O × × b - bM X=====b > bM ï I================ENK9F= =rEbF=Z= í pO hP= OP = = ïMX====================================b < b î M

где= bM = –= дно зоны проводимостиI= от которого проводится отсчет= энергии=bK= Вся конкретная информацияI= необходимая для вычисления= термодинамических величинI=содержится в=rEbFK= Этот результат может быть обобщен на случай наличия в сиJ стеме локальных уровнейK=Пусть= kt =–=общее число примесей в соJ стоянии с энергией= bt I= kN = –= число заселенных состоянийI= kM = –= число пустых состоянийK=Тогда= kN N f = K====================ENKNMF= I===где==== f = b-c kM N - f N + expE F kq Обобщая на случай кратности вырождения заполненных и пустых= состояний==gNI=gMI=получим= kN g æc -bö = gt × exp ç I===== gt = N K= ÷ kM gM è kq ø УчитываяI=что= kN + kM = kt I=получим= nE bt F =

kt

bt - c ö æ çN + gt × expE kq F ÷ è ø

K===============ENKNNF=

Если ввести энергию= btG = bt + q × ln gt I= то можно обобщить= плотность числа состояний на локализованные== rt E b F = kt × dE b - bt F K= Тогда плотность числа электронов= n = å ò db × f c ( b ) rS ( b ) I== rS ( b ) = r ( b ) + rt ( b ) ======ENKNOF= s

OS= =

учитывает наличие не только непрерывного спектраI= но дискретJ ных уровнейK= Полная энергия электронов равна= å ò b × f c E b F × rS E b F × db K================ENKNPF= s

Это термодинамические величиныK= Как известноI= система= также характеризуется кинетическими величинамиI= определяющиJ ми отклик системы на внешнее воздействиеI=напримерI=проводимоJ стьюK= В теории идеального твердого тела существует три теоремы о= связи плотности числа состояний=rEЕF=и отклика системы на внешJ нее воздействиеK= Напомним основные моментыI= определяющие проводимость= системы для твердого телаK= Если имеется электрическое полеI= то= расселение электронов по энергии меняетсяK= Меняется и функция= распределения:= из равновесной= fMc ( b ) она становится неравноJ весной=gEbF:= rr æ ¶f ö g E k F = fM c E b F - ebs × t × ç - M ÷ K= è ¶b ø Плотность тока определяется соотношением= r r d Pk r à = -e ò ×s E k F × g Ek F º s × b K= 4pP Используя этот подход для кристаллического твердого телаI=можно= показать= df E b F s ~ ò rE b FtE b Fs O E b F M c × db K=====================ENKN4F= db Из этого следуетI= что кинетический коэффициент=s также опредеJ ляется плотностью числа состояния= rE b F K= Пусть= rE b F ¹ M в области непрерывного спектраI= имеет осоJ бенности в точках дискретного спектра и обращается в нуль в точJ ках запрещенных значений энергииK= Отметим следующее:=

OT= =

NK Если электроны и дырки в равновесных условиях занимаJ ют дискретные уровни в запрещенной зонеI= то они могут участвоJ вать в переносе заряда только путем перескока по уровням или за= счет заброса с уровня примеси в зону проводимости или валентную= (для дырокFX= OK Вероятность таких перескоков падаетI=при=Т=®=MK= PK Если=Т=®=M=и проводимость остается= s ¹ M I=то в зоне проJ водимости остается конечное число носителейK= Существуют доказательства трех теорем о корреляциях для= кристаллического твердого тела:= Теорема=NK= Проводимость не равна нулю при=Т=Z=MI=если уровень Ферми= принадлежит областиI=где= r ¹ M и непрерывнаK= Теорема=OK= Если уровень Ферми попадает в областьI=где=r===MI=то при доJ статочно низких температурах проводимость= ì c - bM ü s ~ exp íý I= q þ î где= bM =–=ближайшая к уровню Ферми=c граница области спектраI= для которой= r ¹ M и непрерывнаK= Теорема=PK=Eо поглощении электромагнитного излученияF= Коэффициент поглощения κ электромагнитного излучения с= частотой= w не равен нулюI =если частота электромагнитного излуJ чения соответствует условию:== Shw = bO - bN I= где= bN I= bO = –=значения энергийI= для которых= r ( bN ) ¹ M I= r ( bO ) ¹ M =

(непрерывность=r необязательнаFK= Можно сделать следующее обобщение на случай некристалJ лического твердого телаK== В любой системе как угодно взаимодействующих частиц= можно ввести понятие плотности числа состояний и дать реJ цепт ее вычисленияK= При этом связь системы с термодинамичеJ

O8= =

скими величинами сохранитсяK= Теоремы= NI= OI= P= о корреляциях= остаются применимымиK= Подводя итогI=можно сказать следующееK= Запрещенной зоной называется область энергийI= где= r = M = или= r ¹ M в отдельных точкахI=где она имеет= d -образные особенJ ностиK= Этим точкам отвечают дискретные уровни= Eт.еK= локалиJ зованные состояния электронаFK=Термин="запрещенная зона"=меняJ ется на более общее понятие=="щель для подвижности"K= Для опиJ сания беспорядка в системе вводят различные модели беспорядкаK= Модели вводятся с некоторыми предположения о вероятности= тех или иных событийK=

= =

O9= =

РАЗДЕЛ=O= МОДЕЛИ И МЕТРИКА= ЯЧЕИСТОГО БЕСПОРЯДКА= =

O.N.=Беспорядок замещения= Простейший тип беспорядка реализуется в сплаве замещеJ нияK= В идеальном кристалле часто оказывается возможным замеJ нить атом элемента=А=EнапримерI= серебраF= атомом другого элеменJ та=В=EнапримерI=золотаF=почти без всякого искажения кристалличеJ ской решеткиK=Если узлыI=в которых происходит замещение атомов= А атомами= ВI =сами по себе не образуют регулярную решеткуI =то= имеем пример беспорядка замещенияK= Это явлениеI=которое наблюдается для различных элементов= в металлахI= полупроводниках и ионных кристаллахI= играет очень= важную роль в металлургии и в других областях материаловеденияK= Иными словамиI=не выясняяI=откуда это известноI=примемI=что при= замене атома=А атомом=В в данном узле решетки изменяются знаJ чения характерных для данного атома параметров= – =массыI =конJ стант упругой связи с соседямиI=волновых функций и энергий свяJ занных электроновI=поперечного сечения рассеяния и тK=дK=Все эфJ фектыI=связанные с локальным искажением решетки или с экраниJ рованием электронамиI=считаются уже учтенными в самом опредеJ лении понятия=«замещения»K= Эта модель снимает вопросI=будут ли упомянутые параметры= зависеть от типа атомовI =находящихся в соседних узлах: =атом= АI= окруженный атомами того же типаK=Это отнюдь не то же самоеI=что= атом= А в окружении атомов= ВK= НапримерI= хорошо известноI= что= эффективная энергия межатомной связи типа= А= –= АI= как правилоI= отличается от таковой для связей типа=А=–=В или=В=–=ВK=Для сплава= большой концентрацииI= когда нельзя пренебрегать вероятностью= найти много пар атомов примесиI= соседствующих друг с другомI= предположение об аддитивности атомных величин не выполняетсяK= ВидимоI= лучше говорить о ячеистом беспорядкеI= подчеркивая тем= самым изменение топологических свойств упорядоченной решетки= при переходе от ячейки к ячейкеX= при этом обходится вопрос об=

PM= =

идеальном физическом замещении одной компоненты сплава друJ гойK= ДалееI=надо задать статическое распределение узловI=в котоJ рых произошли замены атомов=А атомами=ВK=Проще всего предпоJ ложитьI=что эти узлы распределены в пространстве случайноI=тогда= вероятность найти в любом данном узле атом= В будет равна= сБ= –= атомной доле атомов данного типаK= Однако на самом деле предпоJ ложение о статистической независимости заполнения соседних узJ лов не реалистичноI= так как энергия связи имеет составляющуюI= обусловленную взаимодействием соседних атомовK== Роль примеси замещения может играть и точечный дефект= решеткиI=например вакансияK= Хотя при высокой концентрации ваJ кансий физически невозможно добиться случайного их распредеJ ления в кристаллическом твердом телеI =такая система часто исJ пользовалась в качестве грубой модели жидкостиK =Дырочная теоJ рия жидкости основана на модели решеточного газаI= в котором= межатомные силыI= разумеетсяI= вынуждают атомы занять узлы гиJ потетической исходной решеткиK= Статистические свойства системы с ячеистым беспорядком= зачастую можно свести к таковым в модели ИзингаK =В случае биJ нарного сплаваI=напримерI=вводится переменная= st I=принимающая= значения=HN=и=JN=на узлахI=занятых соответственно атомами=А и=ВK= В модели Изинга все характерные свойства компонент сплава= определяются знаком= st K=ПустьI=напримерI= t A и= t B суть амплитуJ ды рассеяния электронов атомами= А и= ВK= Тогда узлу с номером= k= приписывается амплитуда рассеяния= N N tk = (N + st ) × t A + (N - st ) tB K= EOKNF= O O Зная функцию распределения чисел= st = no= узлам решеткиI= можно описать все эффектыI= связанные с беспорядкомK= ПеременJ ную= st называют изинговским спиномK= = = =

PN= =

O.O.=Магнитный беспорядок= = В предложенной Гейзенбергом модели магнитного материала= с= à-м узлом идеального кристалла связан локализованный магнитJ ный моментI= пропорциональный локализованной же спиновой пеJ ременной= p à K=Если этот момент случайно изменяется от узла к узJ луI=то имеем систему с магнитным беспорядкомK= При исследовании магнитных систем пренебрегать энергией= взаимодействия между соседями можно лишь в редких случаяхK= Истинный парамагнитный беспорядокI= без корреляций на малых= или больших расстояниях удается наблюдать только при высоких= температурахI=когда выполняется закон КюриK=ЛегкостьI=с которой= могут поворачиваться отдельные спиныI= не позволяет= «замороJ зить»= этот тип магнитного беспорядкаX= приходится довольствоJ ваться тепловым равновесным распределениемI= соответствующим= температуре наблюденияK= Желая понизить температуруI= при котоJ рой появляются упомянутые выше корреляционные эффектыI= необходимо работать с магнитно разбавленным кристаллом или= даже с магнитными моментами ядерX=при этом влияние магнитного= беспорядка на другие физические характеристики системы будет= невеликоK= РазумеетсяI=при низких температурах взаимодействие между= спинами приводит к появлению магнитного порядкаK= Так обстоит= дело в ферромагнетикахI= антиферромагнетиках и ферритахK= Из= дальнейшего будет видноI=что этот тип порядка имеет аналоги среJ ди сплавовK= Однако тот фактI= что= p à –= есть векторная величинаI= приводит к большему разнообразию типов упорядоченияK=В самом= делеI=может иметь место не только простой ферромагнитный поряJ докI=когда все магнитные моменты вытянуты в одном направленииI= или антиферромагнитный порядок= xмагнитные моменты двух влоJ женных одна в другую подрешеток направлены в противоположJ ные стороны=EрисKOKNFzK=

PO= =

= РисKOKNK=Различные типы антиферромагнитного упорядочения= в ГЦК решетке= = Может наблюдаться также сложное геликоидальное упоряJ дочениеI= при котором магнитные моменты последовательных узJ ловI=расположенных вдоль некоторой линииI=лежат на поверхности= конусаI= будучи повернуты друг относительно друга на один и тот= же угол=EрисKOKOFK= В каждом случае геликоидального упорядочения= EрисKOKOF= кристалл представляет собой последовательность слоев гексагоJ нальной структурыK= Магнитные моменты одного и того же слоя= параллельны друг другуK= Стрелки указывают направления магнитJ ных моментов последовательных слоевK= Тепловые флуктуации в таких системах могут привести к поJ явлению того или иного магнитного беспорядкаI= который можно= определить лишь по отношению к соответствующей упорядоченJ ной фазеK= =

PP= =

= РисKOKOK=Различные типы геликоидального упорядочения== = Парамагнитный беспорядок можно также рассматривать как= тип ячеистого беспорядкаI= который влияет и на другие возбуждеJ ния решеткиK=ТакI=перемещающийся по кристаллу электрон провоJ димости с поляризованным спином будет= «чувствовать»= влияние= вариаций спиновI= локализованных на атомахK= Этот эффект может= играть существенную роль в теории электропроводности переходJ ных металловI= а также при рассмотрении переходов металл=–=изоJ лятор в некоторых окислах переходных металловK= Строго говоряI= символ= p означает квантовомеханический= операторK= Однако для многих практических целей можно с хороJ шей точностью аппроксимировать= pI= классическим векторомI= направленным вдоль локального вектора намагниченностиK= Это= особенно оправданоI= когда полный магнитный момент отдельного= атома достаточно великK=При учете взаимодействия между соседяJ ми правила квантования уже нельзя применять к каждому отдельно= взятому локальному спинуI= при этом замена вектора= p набором=

P4= =

дискретных значений= p Eà z F =Eкомпонент спина вдоль некоторой оси=zF= может привести к совершенно неправильным результатамK= Тем не менее модель ИзингаI=в которой числа= st принимают= значения только=–NI=часто применяется к магнитным системамI=при= этом напрашивается непосредственное сопоставление последних со= сплавамиK=Однако этой аналогией следует пользоваться с осторожJ ностьюK= В сплавеI= напримерI= относительные концентрации компоJ нент могут быть любыми в пределах ограниченийI= налагаемых= условиями растворимостиI= и далее путем быстрого закаливания= можно получить систему с замороженным почти полным беспоJ рядкомK =С другой стороныI =в магнитной модели Изинга атом= «A»= превращается в атом= «B»= простым переворотом спинаI= поэтому в= парамагнитной области концентрации узлов со спинами=«вверх»=и= «вниз»=почти одинаковыK== При первом взгляде на задачу возникает искушение рассматJ ривать тепловые флуктуации локальной намагниченностиI=скажемI= в ферромагнитном кристалле как форму ячеистого беспорядкаI=тK=еK= как нечто вроде разреженного газа перевернутых спиновK =В этом= случаеI= однакоI= модель Изинга может вызвать особенно сильную= путаницу при попытке разобраться в сути дела=EрисK=OKP=вFK=ВекторJ ный характер спиновой переменной=p дает себя знать=J=вместо полJ ных переворотов спина в некоторых узлах имеем локально корреJ лированные изменения ориентации спина в довольно больших обJ ластях пространства=EрисK= OKP= бFK=Возбуждение почти независимых= спиновых волн приводитI=следовательноI=к появлению совершенно= иного типа беспорядкаK= При увеличении температуры этот беспоJ рядок усиливаетсяI=причем возбуждаются все более и более коротJ кие волныK==

PR= =

= РисKOKPK=Спиновый беспорядок в парамагнетике=Eа=FX=беспоJ рядок в ферромагнетике= –= спиновая волна= EбFX= = беспорядок в сиJ стеме спинов Изинга=EвF= = Эти качественные соображенияI= относящиеся к хорошо изJ вестным физическим явлениямI=позволяют обнаружить недостатки= модели Изинга даже в применении к парамагнетикамK=Пренебрегая= квантованиемI=мыI=в сущностиI=получаем в каждом узле три непреJ рывные переменные= p Eà xF I= p Eà y F I= p Eà z F X= они могут принимать слуJ чайные значенияI= подчиненные лишь условию= Eпри всех номерах= узла=àF= p O = p Eà x FO + p Eà y FO + p Eà z FO K======================EOKOF= С точки зренияI= скажемI= электрона проводимостиI= взаимоJ действующего с подобными объектамиI=это отнюдь не то же самоеI= что случайный набор дискретно изменяющихся величин= st = Z =–N = (рисKOK4FK= РезультатыI= которые приносит модель Изинга в статистичеJ ской механике фазовых переходовI=еще не доказываютI=что эта моJ дель точно воспроизводит другие физические свойства реальных= магнитных системK= =

PS= =

= РисKOK4K= Распределения вероятностей для компонент= p Eà z F = случайных спиновых векторов и случайных спинов Изинга= st = = В некоторых твердых телахI= например в твердом водородеI= дейтерииI=азоте наблюдаются переходы порядок=–=беспорядокI=при= которых упорядоченное состояние характеризуется регулярным= распределением направлений молекулярных осей= Eречь может идJ тиI=напримерI=о продольных осях молекул НOI=aO или=kOF=в различJ ных узлах кристаллической решетки= EрисKOKRFK= Переход к ориентаJ ционному порядку в таких системах осложняется сопутствующими= эффектамиI=например перестройкой решетки из кубической гранеJ центрированной в гексагональную плотно упакованнуюK= Однако в= принципе явленияI= здесь наблюдаемыеI= явно аналогичны темI= что= имеем в магнитных системахK= Фазы=aI=bI=dI=eI=zI=q=EрисKOKSF=–=молекулярный твердый азот с= разным ориентационным порядкомK= h= –= твердая атомарная фаза= азотаK= Сплошные линии представляют прямые переходыK= РомбыI= кружки и квадраты представляют экспериментальные переходыK= Стрелки показывают термодинамические путиI=а пунктиры=–=облаJ сти метастабильныеK== =

PT= =

= РисKOKRK= Кубическая структура молекулярного азотаK= КружJ ками= EсферамиF= в углах и центре кубической ячейки показаны полоJ жения молекул=kO со сферически симметричным распределением ориJ ентацииK= Дважды перечеркнутые окружностиI= ориентированные в= плоскостях соответствующих граням кубаI= O= J= местоположение= молекул азота с однородным в данной плоскости ориентационным= беспорядком=

РисKOKSK=Фазовая диаграмма азота под давлением=

P8= =

=

O.P.=«Ледовый»=беспорядок= = Другой тип ячеистого беспорядка наблюдается в некоторых= кристаллических фазах водыK= Структура льда= f= –= обычного атмоJ сферного льда= J= показана на рисK= OKTK= Атомы кислородаI= которые= гораздо больше протоновI= образуют регулярную гексагональную= решетку=Eструктуру вюрцитаFI=каждый атом в ней имеет по четыре= ближайших соседаI= тетраэдрически расположенных вокруг негоK= Связи между соседними атомами кислорода заняты протонамиK= Каждый протонI=однакоI=приближен к одному из двух атомов кисJ лородаI=которые он связываетI=и каждый атом кислорода принимаJ ет по два таких протонаK=Таким образомI=возникает локальная конJ фигурацияI=очень близкая к расположению атомов в свободной моJ лекуле НOОK=

= РисK= OKTK= Структура льда= fK= На каждой связи расположен= один протонI= каждый атом кислорода соединяется с двумя проJ тонами= Однако расположение протонов отнюдь не обязательно одно= и то же во всех элементарных ячейках кристаллаK=Указанным выше= условиям можно удовлетворить многими различными способамиI= не обязательно с образованием идеальной периодической структуJ рыK=В кристалле с=Ok=связями протоны можно разместить=OOk споJ собамиK=При этомI=однакоI=отнюдь не всегда будет удовлетворяться= условие образования молекул НOОK= ДействительноI= из=O4=Z=NS=споJ собов расположения протонов в вершинах тетраэдра связей вокруг=

P9= =

данного атома кислорода только шесть способов удовлетворяют= условию льда=EрисK=OK8FK=Полное число разрешенных конфигураций= во всем кристалле должно составлять около= ESLNSFk=OOk=Z=EPLOFkK= EOKPF= Тот фактI= что распределение протонов действительно беспоJ рядочноI= подтверждается экспериментальными данными:= остаточJ ная энтропия льда оказывается очень близкой к указанному только= что теоретическому значению:= pM = kk ln ( P O ) K= EOK4F=

РисKOK8K=Ледовый беспорядок в двух измерениях=EаFX=условие= льда выполняетсяI=если в каждой вершине на диаграмме со стрелJ ками соответствуют две входящие и две выходящие стрелки=EбF= = Подобные соображения применимы и к другим фазам льдаI=в= которых атомы кислорода могут образовывать структуру алмаза= или даже две взаимодействующие решетки с тетраэдрической коJ ординациейK== Тем не менееI =ячеистый беспорядок у льдаI =строго говоряI = нельзя считать совершенно случайнымK=При выводе формулы=EOK4F= предполагалосьI= что в каждой элементарной ячейке протоны расJ пределяются статистически независимо от тогоI=что делается в соJ седних ячейкахK= Рассмотрим замкнутое кольцо из шести связейK= Если расположение протонов вблизи каждого из первых пяти атоJ мов кислорода в этом кольце задано заранееI= то около шестого= атома протоны уже не могут размещаться как попало=EрисKOK9FK=ТаJ

4M= =

=

ким образомI= рассматриваемый тип беспорядка подчиняется топоJ логическим ограничениямK= Последние несколько изменяют статиJ стические свойства распределения протонов вблизи любого данноJ го узлаK==

= РисKOK9K= «Прямоугольная вода»K= Конфигурация протонов в= узле с координатами=EuIvF=определяется конфигурациями на строJ ке=u=и в столбце=v= = Данная модель для льда представляет собой частный случай= целого класса систем с водородными связямиK=Ионные соединения= –=гомологи КНOРО4=EhamF=J=кристаллизуются в сложной структуреI= в которой ионы= EРО4FJP занимают узлы тетрагональной решетки= алмазаK=Каждый ион фосфата связан с четырьмя ближайшими сосеJ дями при помощи протонаI=который может находиться на том или= другом конце связиK=Как и у льдаI=неупорядоченным конфигурациJ ям протоновI= удовлетворяющим условию льдаI= соответствует= большая остаточная энтропияK= Значение последней для топологии= алмаза точно такое жеI=как и для гексагональной решетки льда со= структурой вюрцита=EрисKOKNMFK=

4N= =

= РисK=OKNMK=Структура дигидрофосфата калия=EhamFK= КажJ дый тетраэдр= EmlQF= связан с каждым из четырех его соседей с= помощью протонаI= который может смещаться к любому концу= связиK= Двухямная потенциальная поверхность= –= одна из моделей= сегнетоэлектриков= =

O.4.=Метрика ячеистого беспорядка= = Идеальный ячеистый беспорядок встречается редкоK=Для того= чтобы это понять достаточно рассмотреть обычный сплав= замещения:=здесь на фоне ячеистого беспорядкаI=связанного с= присутствием атомов разных сортов в узлах решеткиI=всегда= присутствует элемент топологического беспорядкаI=связанный с= темI=что атомы разных сортов имеют разный размерI=что в свою= очередь вносит искажения в структуру самой решеткиK= Рассмотрим неупорядоченный сплав=^BK=Пусть= k AB =–=число= пар=АВ в сплавеK=Тогда вероятность== =m=AB Z= lim k AB L E N wk F = O k ®¥ –= есть вероятностьI= с которой можно встретить в сплаве смешанJ ную пару=ABK=

(

4O= =

)

Если корреляции не учитываютсяI=то= m=ABG Z=O × ` A × `=B =Eтак= называемая модель случайной засыпкиFK=Коэффициент=O=возникает= из-за тогоI= что рассматривается возможность расположения пары= AB сначала на одной подрешеткеI=затем на другойK= Меру наличия корреляций можно определить следующей= функцией:== N G AB =Z= РАВ - С АС В K=======================EOKRF= O Функция= G AB показываетI= насколько величина= mAB отличаJ ется от соответствующей величины в модели случайной засылкиK= Величину ближнего порядка ранее определили как== NР АВ - С АСВ = s= Z= O K= N Р m~x - ` ` A B O АВ ОтметимI=что= G AB отличается от=s лишь перенормировкойK= Если попытаться рассматривать корреляции за пределами=NJй= корреляционной сферыI= то можно ввести корреляционную функJ цию как= N G ( o=) Z= Р ( R ) - С АСВ K==============================EOKSF= O Следует ожидатьI =что она будет спадать до нуля при увелиJ чении расстояния=oK= Чтобы выражение типа=EOKSF=имело смыслI=надо взять среднее= по ансамблюI= составленному из квазибесконечного числа копий= рассматриваемой системы= Eэти средние будем обозначать угловыJ ми скобками= FK= Далее надо воспользоваться какой-нибудь из= эргодических теорем и приравнять результат усреднения по анJ самблю среднему по времени или по пространству для данного= макроскопического образцаK== НапримерI= рассматривая магнитную системуI= можно ввести= корреляционную функцию для направлений спинов в узлах= l и= l¢ I= разделенных расстоянием= olIl¢ Ее удобно записать в виде=

4P= =

G E olIl¢ F = pl × pl¢ - pl × pl¢ ===============================EOKTF=

=

O.R.=Применение модели Изинга для различных= неупорядоченных систем ячеистого беспорядка= = Рассматривая эти переменные= pl I pl¢ как спины ИзингаI= поJ лучаем удобный аппаратI=который можно применить к случаю биJ нарного сплаваK=ТакI=отрицательное значение= GE olIl¢ F соответствуJ

ет избытку атомов с противоположными= «спинами»= EтK= еK= атомов= противоположного типаF= в рассматриваемых узлахX= в противном= случае преобладают атомы того же самого типа=EрисKOKNNFK== = O.R.N.=Магнетики= = Ближний порядок возникает за счет короткодействующих= сил взаимодействия между атомами или спинамиK= НапримерI= в= случае магнетика вводится гамильтониан ГейзенбергаI= состоящий= из суммы слагаемых вида= HlIl¢ = - g lIl¢ × pl × pl¢ K=

Они описывают взаимодействие между спинамиI= располоJ женными в узлах l и= l¢ K=По условию при обменном интеграле= g lIl¢ =

стоит знак минусI= так что случаю ферромагнитного упорядочения= (тK= еK= параллельным спинамF= соответствует положительное значеJ ние=gK=В полный гамильтониан системы вводится и слагаемоеI=опиJ сывающее влияние внешнего магнитного поля на магнитный моJ мент каждого спина== uur N H = - å g l Il¢ × pl × pl¢ - må pl × e K==============EOK8F= O l Il¢ l

44= =

= РисK= OKNNK= Конфигурация частиц в модели Изинга= EаFK= Она= может описыватьW=расположение спинов=EбFX=расположение атоJ мов в бинарном сплаве= EвFX= расположение частиц в решеточном= газе=EгF= = В общем случае обменный интеграл= g lIl¢ может как угодно= зависеть от направления и длины вектора= olIl¢ K=Однако чаще всего=

имеют дело с моделямиI=в которых этот интеграл считается отличJ ным от нуля только для ближайших или ближайших и следующих= за ними соседейK= Для некоторых особых типов кристаллов можно= ввести анизотропное взаимодействиеI= рассматривая= g как тензорK = При этом= H l Il¢ = - gP × plE z F × plE¢z F - g ^ × E plE xF × plE¢xF + plE y F × plE¢xF F K= EOK9F=

Гамильтониан модели Изинга получается отсюдаI=если налоJ жить на спины условие квантования= pl E z F и пренебречь величиной= g ^ K=Переобозначив соответствующие переменныеI=получим=

4R= =

H=-

=

N å g lIl¢ × sl × sl¢ - m × e E z F × å sl K= O lIl¢ l

EOKNMF=

O.R.O. Сплавы= = Модель Изинга можно использовать для описания межатомJ ных взаимодействий в бинарном сплавеK= ДопустимI= напримерI= что= парам атомов=ААI=АВ и=ВВ отвечают соответственно энергии= f AA I= f AB I= fBB K=Тогда полная энергия системы запишется в виде= b = k AA × f AA + k BB × fBB + k AB × f AB = При этом числа пар каждого типа ограничены соотношениями= O k AA + k AB = z × k A = и== O k BB + k AB = z × k B K= ДалееI=по условиюI=число=s=равно=HN=или=JN=в зависимости от тогоI= занят ли данный узел атомом типа=А=или=BK=Отсюда вытекает дальJ нейшее соотношение:= å sl = k A - k B I= åå sl × sl¢ = O ( k AA + k BB - k AB ) = l

l l¢

Соответственно для энергии получаем:= Næ N N ö b = - ç fAB - fAA - fBB ÷ × åå sl × sl¢ 4è O O ø l l¢

= EOKNNF= N N z zæ ö - (fBB - fAA ) × å sl + ç fAB - fAA - fBB ÷ K 4 4è O O ø l С точностью до постоянного слагаемого это выражение совJ падает с правой частью формулы= EOKNMFK= Таким образомI= ближний= порядок в сплаве будет таким жеI =как и в магнетике ИзингаI =если= роль= «обменного интеграла»= и напряженности магнитного поля= играют соответственно выражения= Næ N N z ö g = ç fAB - fAA - fBB ÷ I= m × e E z F = (fBB - fAA ) K= Oè O O 4 ø НапримерI=если=g=[=MI=то атомы данного сорта стремятся объJ единиться в кластерыI= подобно томуI= как в ферромагнетике предJ

4S= =

почтительной оказывается параллельная ориентация спиновK= С= другой стороныI= при= g= Y=M=наблюдается тенденция к образованию= пар неодинаковых атомов= J= соответственно противоположным= спинам в антиферромагнетикеK=ОднакоI=если энергияI=необходимая= для замещения атома= А= атомом= ВI= не зависит от состояния блиJ жайших соседей и величина= g обращается в нульI =то система окаJ зывается совершенно неупорядоченнойK= В случае=«решеточного газа» выражение для энергии дается= по-прежнему формулой= EOKNNFI= только под= f AA теперь надо пониJ мать энергию взаимодействия между атомамиI= а равенство= f AB = Z= fBB =Z=M=обозначает энергииI=связанные с наличием=«дырок»K== = O.R.P. Сегнетоэлектрики= = Аппарат теории спинов Изинга можно также использовать в= теории сегнетоэлектриков и антисегнетоэлектриковI=но в этом слуJ чае необходимо описывать как минимум тетрагональную решетку= и взаимодействие четырех протоновK= Опуская выкладкиI=приведем= вид получаемого гамильтониана:= H l = - g M - å å g ià × sli × s là - g T × slN × sl O × s lP × sl 4 K======EOKNOF= à iY à

Параметры= g M I= g ià I= g T можно выразить через энергииI=соотJ ветствующие различным локальным конфигурациямK= ОчевидноI= что взаимодействие между четырьмя спинами= Eс параметром= g T F= учитывать необходимоI= в его отсутствие модель становится физиJ чески неправдоподобнойK= К сожалениюI= именно это слагаемое и= мешает созданию точной теории перехода порядок= –= беспорядок= даже для плоской решеткиK= =

O.S.=Дальний порядок= = Рассмотрим некоторые обобщения ранее представленных реJ зультатовK= НапримерI= классическую магнитную систему с гамильJ

4T= =

тонианом=EOK8FK= Если обменный интеграл=g положителенI= то миниJ мум энергии системы соответствует ферромагнитному основному= uur состоянию:=все спиновые векторы= pl ориентированы в направлеJ нии внешнего магнитного поля=НK= С другой стороныI=при отрицаJ тельном=Eдля ближайших соседейF=обменном интеграле=g основное= состояние оказывается антиферромагнитнымK= Аналогично в случае сплава одинаковым атомам энергетичеJ ски выгодно сгруппироваться в большие кластерыI= в результате= чего возникает разделение фаз чистого металла=А и чистого металJ ла= ВK= Рассмотрим объемно-центрированную кубическую решеткуI= узлы которой образуют две взаимопроникающие простые кубичеJ ские подрешетки= a и= b такI =что каждый узел подрешетки= a окруJ жен узлами подрешетки= b и наоборотK= Энергия будет минимальJ нойI=если во всех узлах=a спины равныI=скажемI= p a I=а во всех узлах= b локализованы противоположные спины= pb =Z=J p a K=В сплаве этоJ му аналогична упорядоченная фаза с одинаковой концентрацией= компонентI=в которой атомы=А образуют подрешетку=aI=а атомы=В=–= подрешетку=bK= Первичная задача здесь состоит в определении наиболее веJ роятного типа упорядочения для системы с заданными силами= взаимодействияK= Эта задача отнюдь не тривиальнаI= так как её= решение зависит от природы сил взаимодействийI=от концентраJ ций компонент и от геометрии исходной кристаллической решетJ киK== ТакI= чтобы возникла упорядоченная фаза сплава= CuP^uI= осJ новная гранецентрированная кубическая решетка должна раздеJ литься на четыре взаимопроникающие простые кубические решетJ киX =три из них должны состоять из атомов медиI =а четвертая= J =из= атомов золотаK= Возможности образования все более и более сложJ ных упорядоченных фаз в металлических сплавах почти безграJ ничныK= Не тривиальна также роль взаимодействия данного атома со= следующими ближайшими соседямиK= В магнитной системе может= наблюдаться геликоидальное или спиральное упорядочениеK= При=

48= =

этом векторы спинов поворачиваются вокруг винтовой осиI= когда= происходит перемещение вдоль нормали к ферромагнитно упоряJ доченным плоскостямK= ОтметимI= что шаг винта не имеет ничего= общего с постоянной решетки исходного кристалла:= магнитное= упорядочение представляет собой новую структуру с другой групJ пой симметрииK= Более тогоI= векторы намагниченности отдельных= слоев не обязаны лежать в плоскостях этих слоев=J=надо лишьI=чтоJ бы угол между векторамиI= принадлежащими последовательным= слоямI= оставался постояннымK= Какая именно упорядоченная конJ фигурация возникнет на самом делеI=зависит от других слагаемых в= гамильтонианеI= напримерI= от энергии магнитной анизотропии в= каждом узлеK= Так может возникнуть конфигурацияI= соответствуюJ щая винтовой фигуре на поверхности конусаI= ось которого совпаJ дает с осью винта=EсмK=рисKOKOFK= Если= первичную задачу удается решить или угадатьI =то возJ никает вопрос:=как описывать отклонения от некоторой предполаJ гаемой картины дальнего порядка?= В случае ферромагнетика этоI= казалось быI=достаточно простоK=Можно думатьI=напримерI=что векJ тор спина= p k принимает некоторое среднее значениеI= меньшееI= чем максимальная компонента= p K=Этот эффект можно было бы изJ мерить как уменьшение полного магнитного момента кристалла=j= по сравнению с максимальным его значением= k × m × p K= СоответJ ственно параметр дальнего порядка запишется в виде= o =M

( k × m × p) =

pk

p K==============EOKNPF=

Для простого антиферромагнетика или ферромагнетика роль= аналогичных параметров будут играть средние значения намагниJ ченности подрешетокK= В теории бинарных сплавов обычно вводят параметр порядка= Брэгга=–=Вильямса:=

(

o = ( ra - ` A ) ` A = rb - `B

)

(N - `B ) I=======================EOKN4F=

здесь через= ra обозначена доля узлов подрешетки= aI= занятых= «только»=атомами=АI=и тK=дK=На языке модели Изинга это выражение= для=o можно переписать в виде:=

49= =

{

}

N sa - sb o= O K==================EOKNRF= N Nsa + sb O Эти параметрыI= однакоI= определяются неоднозначноK= В слуJ чае антиферромагнетика надо сначала определить подрешеткиI=что= предполагает выполнение некоторой нефизической операции= Eили= наблюденияFI=нарушающей симметриюK=Выражение для=o оказываJ ется несостоятельнымI=если в кристалле нашлась хотя бы одна граJ ница между встречными доменамиI= пересекающая весь образец= (рисKOKNOFK= В случае бинарного сплава с положительным значением инJ теграла= g величина= sl вообще не содержит информации о дальJ нем порядкеK= ДействительноI= это есть просто разность концентраJ ций двух компонентI= не зависящая от тогоI= происходит лиI=наприJ мерI =в кристалле образование кластеров и выделение фаз отдельJ ных компонент или нетK =Более тогоI =можно ожидатьI =что даже в= простом ферромагнитном образце результирующая намагниченJ ность будет очень невеликаK= ДействительноI= порядокI= дальний в= микроскопическом масштабеI= будет на самом деле иметь место в= нескольких больших доменахI= векторы намагниченности последJ них будут в значительной мере взаимно уничтожатьсяK== В отсутствие сильного магнитного поляI= задающего физичеJ ски выделенное направлениеI=среднее значение= p l в равновесном= ансамбле частиц будет равно нулюK= Таким образомI= гораздо= удобнее характеризовать дальний= порядокI= задавая пределI= к которому стремится корреляционная= функция на больших расстоянияхK Рассмотрим общее выражение= uuuur G ¥ = lim G olIl¢ I====================================EOKNSF=

{

ol Il¢ ®¥

(

}

)

uuuur где функция= G olIl¢ определена так жеI =как и в= EOKSFI =EOKTFK =Если=

(

)

указанный здесь предел не равен нулюI=то в системе имеется дальJ ний порядокK==

RM= =

= РисK=OKNOK=Граница встречных доменов=Eпунктирная линияF= =

O.T. Размер и области упорядочения и= упорядоченные домены= = Из вышесказанного следуетI= что числа заполнения узлов заJ мещаемой решетки не полностью определяются параметрами= ближнего и дальнего порядков=EOKSFI=EOKTF=и=EOKNSFK=СистемаI=в котоJ рой происходят кооперативные явленияI= обладает следующим хаJ рактерным свойством:= даже очень короткодействующие силы моJ гут привести к распространению порядка на довольно большие= расстоянияK=ОднакоI=надо сказатьI=что при данной температуре эти= расстояния могут быть и не бесконечно большимиK= Для описания= таких состояний с промежуточным порядком необходимо изучить= uuuur поведение корреляционной функции= G olIl¢ в зависимости от=

(

)

расстояния между узлами решетки=EрисKOKNPFK= Как можно видеть в= дальнейшемI= различные теории критических явлений приводят к= различным типам зависимости этой функции от расстояния=oI=темJ пературы и обменного параметра= gK= На больших расстоянияхI= одJ накоI=всегда получаются выражения вида=

G ( o ) ~ o - n × exp ( - o x ) ========================EOKNTF=

RN= =

= РисK=OKNPK= Функция ГEoF= J= характеристика ближнего порядкаI= рассчитанная для последовательных координационных сфер в биJ нарном сплавеK= Кривая хорошо описывается плавной функцией вида= EOKNTF= = Показатель степени= n зависит от размерности решетки и от= природы сил взаимодействияX= главную рольI= однакоI= здесь играет= показательная функцияI= которая очень быстро убывает на расстояJ нияхI=превышающих корреляционную длину=xK=Последняя величиJ наI=или связанная с ней длина=iI=определяемая соотношением= iO = ò o O × G ( o ) × d P o

ò G(o) × d

P

o I=

EOKN8F=

как раз и характеризуют размер области упорядочения в рассматJ риваемом материалеK= Таким образомI= температурная зависимость= x описывает изJ менение=«хаотичности»=магнитной системы или сплаваK=При очень= высоких температурахI= когда= x стремится к нулюI= рассматриваеJ мый ансамбль совершенно неупорядоченK= При понижении темпеJ ратуры возникает ближний порядок= Eв пределах одной= –= двух поJ

RO= =

стоянных решеткиFK= При более низких температурах величина= x= становится очень большой и описывает критические флуктуации= спина или концентрацииK=ТемператураI=при которой длина=x обраJ щается в бесконечностьI= соответствует установлению дальнего поJ рядка=–=это есть критическая температура перехода порядок=–=бесJ порядок= qc = Eв ферромагнетике это температура КюриI =в антиферJ ромагнетике= –= = температура НееляFK= При температурах ниже= qc = предельное значение= G¥ =оказываетсяI=отличным от нуляI=и система= находится в упорядоченном состоянииK= Размер области упорядочения можно непосредственно измеJ рить дифракционными методамиK=Температурная зависимость корJ реляционной длины=x вблизи температуры= qc исследовалась весьJ ма тщательно=EрисKOKN4FK==

= РисKOKN4K= Температурная зависимость параметров типичJ ного ферромагнетикаW= G¥ = –= параметр дальнего порядкаX= G p I o = –= параметр ближнего порядкаX= `m = –= удельная теплоемкостьI= c= –= восприимчивость= = Вместе с тем одной лишь скалярной корреляционной функJ ции= EOKNTF =еще не достаточно для описания локального порядка в= uuuur классической системе спиновых векторовK=Пусть величина= G olIl¢ =

(

)

для ближайших соседей оказалась лишь немного меньше своего= максимально возможного значения= p l × pl¢ K =Зная только этоI =

RP= =

нельзя сделать выбор между двумя возможностями:=в системе есть= лишь малое число соседних атомов с перевернутыми спинамиI=лиJ бо темI= что спины всех соседних узлов слегка отклонились от= направления вектора= p l =EрисK=OKNRFK= В действительности интересующая нас информация содерJ жится в двухузельной функции распределения= mO ( p l I p l¢ ) K= ПоJ следняя определяет вероятность найти два спина= p l и= p l¢ в двух= указанных узлахI= принадлежащих любой системе из данного анJ самбляK== =

= РисK= OKNRK= Одно и то же значение локального параметра=

uuuur G olIl¢ может описывать почти упорядоченное состояние с неJ

(

)

сколькими перевернутыми спинами= EаF= или с большим числом отJ клоненных спинов=EбF= = Даже в простейшем случаеI =когда эта вероятность зависит= только от угла= q между направлениями спиновI= корреляционная= функция дает лишь среднее значение=cosq:= p l I p l¢ = òò p l × p l¢ × mO ( p l I p l¢ ) dp l × dp l¢ ~ = EOKN9F= ~ p O ò cos q × mO Ecos qF × d Ecos qFK

Т.еK= функция корреляции= ГEoFI= представляющая собой интеграл= mO I=содержит менее подробное описание системыI=чем функция= mO K=

R4= =

При температурах, близких к критической температуре Tc , когда размер области упорядочения достаточно велик, длину ξ можно рассматривать как характерный размер кластера одинаковых атомов или упорядоченного домена. Однако при более скромной степени локального порядка ошибочно представлять себе образец как совокупность упорядоченных областей в неупорядоченной матрице. Как это ни парадоксально, но, обратившись к изучению упорядоченных доменов, можем вместе с тем убедиться, что почти каждый атом принадлежит бесконечному домену с идеальным АBупорядочением (рис. 2.16).

Рис. 2.16. К чему относится выделенный атом: к кластеру, состоящему из атомов только типа А, или к области идеального порядка типа АВ

Такие «кластеры» или «домены» взаимно проникают друг в друга, образуя очень сложную топологическую структуру. Бесконечная система полностью описывается только значением функционалом распределения бесконечного порядка. Для описания доменной границы нужно знать как минимум 4-частичную функцию распределения ℑ4 ( S A , SA′ , S A′′ , SA′′′ ) .

2.8. Спектральный беспорядок JJG Пусть произвольная случайная переменная uA соответствует узлу решетки с номером A . Роль этой переменной может играть,

55

например, магнитный момент локализованного спина или смещение атома из своего узла. Предположим, что рассматриваемая физическая модель обладает трансляционной инвариантностью решетки. Тогда можно ввести новые переменные с помощью преобразования Фурье: G

G 1 G 1 U (q ) = uA eiq A , uA = ∑ N A N

∑

G q (по значениям в зоне Бриллюэна)

Рассмотрим статистическую корреляционную G Γ h = uA*uA + h . Для нее можно получить:

( )

G 1 Γ h ≡ uA*uA+ h = ∑ uA*uA + h = N A

G

G G U ( q ) e −iq A .

функцию:

( )

G

G G

G 1 1 G iqG′A 1 ∗ G′′ −iq′′( A + h ) ′ = ∑ U q e U q e = ( ) ( ) ∑ ∑ N A N qG′ N qG′′ G G G G 1 G −iqG′′h 1 i A( q′− q′′ ) ∗ G′ . ′′ = ∑∑U ( q )U ( q ) e e = ∑ N qG′ qG′′ N A G

G 1 G G = ∑U ∗ ( q ) ⋅U ( q ) e −iqh . N qG

Корреляционная функция представляет собой фурье-образ квадрата спектральной амплитуды возбуждения. (Эта теорема оказывается верной и в общем случае). При соответствующих условиях спектральное представление беспорядка заметно упрощает задачу. Введем дополнительную гипотезу: пусть амплитуды мод G G U ( q ) статистически независимы для разных q . Такую систему можно рассматривать как спектрально неупорядоченную. Действительно, статистические свойства ее определяются скорее перемен-

56

ными в обратном пространствеI=а не в пространстве узловK== Рассмотрим модель спектрального беспорядка на примере= задачи о спиновых волнах в ферромагнетикеK= Будем исходить из= системы с гамильтонианом:= r r r r N e = - å g ( oll ¢ ) pl pl ¢ - m å pl e I= O lI l¢ l предполагаяI= что она близка к идеально упорядоченному состояJ ниюI=когда параметр дальнего порядка близок к единицеK= r Переменная= ul будет обозначать амплитуду отклонения спиJ

( z)

на от максимального значения= pl = pM K= Введем операторы рожJ дения и уничтожения спиновой волны=–= aq+ I aq K= Продольная спиновая корреляционная функция задается выJ ражением:== rr N ( z) ( z) pl pl + o » pMO - OpM å aq+ aq eiqo K= k q С помощью стандартных линейных преобразований можно= привести гамильтониан к виду:= e = å hwq aq+ aq K= q

Пусть обменное взаимодействие распространяется только на= z= ближайших соседейI= находящихся на расстоянии= aK= Далее запиJ шем выражение для спектра магнонов:== rr r hwq = å Opg h N - e -iqh + mep K=

( )(

r h

)

Поскольку в последующих выкладках будем работать в облаJ сти малых=qI=то можем разложить экспоненту по аргументу и расJ крыть сумму по взаимно противоположным соседям:= z z hwq » Op N - N + iqa + q O a O + O p N - N - iqa + q Oa O + mep = O O =

(

)

(

= Opzga O q O + mep K

RT= =

)

Средний квадрат амплитуды илиI= что то же самоеI= магнонное= число заполнения выражается через обычную функцию распредеJ ления:==

(

)

aq+ aq = nq = éexp hwq kq - Nù ë û В приближении= hwq << kq получим=

-N

K=

nq » kq hwq K= Рассмотрим корреляционную функцию при больших=oK=СумJ му теперь можно заменить интеграломK= УчитываяI= что основной= вклад дадут слагаемые с малым=qI=получим:=

( z) ( z ) pl pl + o e

~ò

rr iqo

O

q + cO

где= c O =

rr

rr kq s eiqo d Pq N ~ å aq+ aq eiqo » ~ ò k q ( Op )P k Opgza O q O + mep

I= EOKOMF=

d PqI

mep

K= O gza O В последнем интегралеI= переходя к сферическим координаJ тамI=запишем:= rr

eiqo

ò q O + cO =

Op io

= Op

+¥

ò

d Pq =

O p p ¥ iqo cos q

e

ò ò ò qO + cO

q O dq sin qd qd j =

M MM

e

iqo

O O -¥ q + c -co Oe

qdq = -

Op ¶ o ¶o

¥

Op eiqo - e -iqo qdq = io ò q O + cO M

+¥

ò

-¥ q

e

iqo

O

+ cO

dq = -

Op ¶ e -co Opi = Oic o ¶o

K o Таким образомI=продольная спиновая корреляционная функция= rr N ( z) ( z) pl pl + o ~ aq+ aq eiqo = k q

å

R8= =

пропорциональна=

e-co I=причем характерная длина ее изменения= o

(длина корреляцииF= l хар ~

N Ogza O = K=============================EOKONF= c mep

При= e ® M I= l хар ® ¥ K=ВидноI=чтоI=поскольку= l хар ~ g I=то чем= больше взаимодействие между спинамиI=тем дальше в системе расJ пространяется корреляцияK= =

O.9.=Термодинамика ячеистого беспорядка= = Рассмотрим магнетик==в модели Изинга= { r r r r N H = - åå g × pl × pl¢ - e å pl I= O l¢ l l

r где= e –=внешнее полеX=g=–=интеграл перекрытия характеризует взаJ имодействие спиновK= Простейший феноменологический подход к этой проблеме:= априори предполагаетсяI= что среднее значение каждого спина= r p ¹ M I= а затем показываютI= что этой величине отвечает самосоJ гласованное полеI=действующее на каждый спинK=Эффективное поле= ® r r e эф = z × g × p + e I= здесь=z=–= координационное число решеткиK= В результате получаем= приближение среднего поля:= { ® r H = -å e эф × pl K=

В приближении термодинамического равновесия среднее= значение спина равно=

R9= =

® ì b pr e ü ï l эф ï pp í pl e ý r ïî ïþ N p = I== b = K= ® r kq ì bp e ü ï эф ï pp íe ý ïî ïþ Если рассмотреть упрощенную модель ИзингаI=то= r ENF p l = ±N = r EOF e Z=MI== тогда=EрисKOKNTF= r ebzg - e -bzg æ zg ö p =i= = th ç ÷ K==========EOKOOF= bzg -bzg è kq ø e +e

= РисK=OKNTK=Температурная зависимость параметра порядJ ка Изинга в приближении среднего поля= = Теория среднего поля= –= приближение когерентного поля= ®

e эф =–=когерентная=часть статических флуктуационных полейI=дейJ

ствующих на каждый спин со стороны ближайших соседейK= Это= обменное взаимодействиеK=Это приближение полностью описывает=

SM= =

дальний порядокI=а мелкомасштабные флуктуации в нем=не учитыJ ваютсяK=Это приближение предсказывает резкий переход порядокJ беспорядок с повышением температурыK= =

O.NM.=Ближний порядок и корреляции= = Основной недостаток приближения среднего поля= –= полное= пренебрежение корреляциями между спинами на соседних узлахK= Это особенно существенно несколько выше критической точкиI=так= как выше рассмотренное приближение не позволяет принять во= внимание возрастание размеров областей упорядоченностиK=ОтсюJ даI=напримерI= теплоемкость системы в этом приближении при=Т=[= ТM равна нулюK= Оценим данную корреляциюK= Приближение=MK= Рассмотрим изолированную пару изинговых спинов= sN и= sOI= прямое взаимодействие между которыми равно=gNOK=Среднее по анJ самблю=OJх спинов= sNs O =

å sNsO å

gNOsNsO е hq

gNOsNs O е hq

g = th NO K= hq

EOKOPF=

Возможные конфигурацииI= по которым проводится суммиJ рованиеI=показаны ниже:= ­­==¯­===­¯===¯¯= N======O======P======4= Для этой простой системы= полная коррекция совпадает с= прямойK= Приближение=N= Рассмотрим системы спинов= Eт.еK= число спинов отлично от= двухFI=обобщая выражение для эффективного поляK=А именноI=выJ числим=«эффективный обменный интеграл»==gэфENIOF=между спином= sNI= находящимся в узле= NI= и спином= sOI= находящимся в соседнем= узлеK=ПолеI=действующее на спин=NI=обусловлено как прямым взаиJ

SN= =

модействием со спином=sOI=так и всеми эффектамиI=обусловленныJ ми другими спинами=sk=Ek=¹=NI=OFI=в известной мере=«поляризованJ ными»=спинами=sN и=sOK==Можно записать для спина=N=

== Будем считать= gNl ¹ M только для ближайших соседей к узлу=NK=

Заменим= sl Þ s l K=Такая замена относится только к третьим соJ седямI= т.еK= не= N= и= O= –= приближение по косвенным корреляциямK= Чтобы придать величине= sl точный смыслI=надо ввести функции=

распределения спинов= g O EsN I sO F I= gP EsNI sO I sP F и тK =дKI =с учетом= прежде всего вероятности= g O EsN I sO F найти данные значения спина= sNI sO и определить интересующее нас среднее равенством=

å

sl =

sl ¹±N

sl gP ( sNsOsl )

K= g O ( sNsO ) Учитывая это приближение и умножив равенство= EOKO4F=на= спин sO I=найдем обменный интеграл= g эф ENI OF := g эф ENIOF = gNO + sO × å gNIl sl K= lNO

Мы отделили спины= sN и= sO от остальной решеткиI=следоваJ тельноI=в формуле только для двух спинов=EOKOPF=под= gNO надо поJ нимать тот самый обменный параметр= g эф ENI OF I= который нужно= подставитьI=чтобы вычислить истинную корреляционную функцию= в полном ансамблеK=Из формулы=EOKOPF=получаем=

SO= =

kq × ^rth ( sNs O Заменяя== gNO на= g эф ENI OF I=получим=

kq ^rth sNsO = gNO + å gNl × s O

) = gNO K=

å sl gP ( sNsOsl )

× l¹O

l ¹N

g O ( sNsO )

=K========EOKORF=

Поскольку= sNsO = åå sNsO g O ( sNsO ) I =то уравнение было бы= sN s O

замкнутымI= если бы= g O I= gP были известныK= Можно было бы поJ смотреть еще более высокую цепочку уравненийI= связывающую= gP с= g 4 K= Пусть=kq=[[=gI=раскладывая=^rth=по малому параметруI=полуJ чим:== å sl gP K==========EOKOSF= kq åå sNs O g O ( sNsO ) = gNO + å gNl¢s O gO l¢¹NIO s s N

O

Если использовать приближение= gP (NIOIP) @ gO (NI O ) × g O ( OIP ) × g O (NIP) = (это приближение из теории вероятностейFI=то получим нелинейное= уравнениеK=Применим еще более грубое приближение:= gP ( sNsOsl ) » g O ( s Os l ) K==================EOKOTF= g O ( sNsO ) Здесь игнорируется возможное влияние величины= sN на корреляJ цию между спинами= sO и= sl K= В отсутствие дальнего порядка= можно линеаризовать левую часть формулы=EOKOSFI=при этом полуJ чается соотношение= kq åå sNsO g O ( sNsO ) = gNO + å gNl¢s Osl g O ( s Osl ) K=EOKO8F= sN sO

l¢¹NIO

Это уравнение уже является линейнымI=описывающим распростраJ r r нение параметра ближнего порядка= sNsO º G ( o ) = G oN - oO K=

(

)

Последнее условие= –= = приближение однородного поляI= т.еK= все= определяется разностью координатK= Тогда получим замкнутое= уравнение=

SP= =

kq × G ( oN - oO ) = g ( oN - oO ) +

r

r

r

r

å g ( ol - oN ) × G ( ol - oO ) K=EOKO9F=

l ¹N l¹O

Нам нужно найти Г корреляционную функциюK= Поскольку все= вышесказанное относится к ячеистому беспорядкуI= то введем= фурье-преобразование= r r r g E qF = å gNO exp iq oN - oO I===

{ (

oN ¹ oO

G Eq F =

)}

r

r

r å G ( oN - oO ) exp{iq ( oN - oO )} K===========EOKPMF=

oN - oO

Обратное преобразование определим как== N GE o F = å GEq F × e -iqo K= k Исходное уравнение= r r r r kq × G ( oN - oO ) = g ( oN - oO ) + å g ol - oN × G ol - oO = l ¹N l¹O

(

преобразуется в уравнение для фурье-образов= r r kq × G ( q ) = g ( q ) +

å

å

o O¹ oN ol¹ oNI o O

) (

)

r r r r r g ol - oN × G ( ol - oO ) × exp iq oN - oO K=

(

)

( (

))

Если снять ограничение= ol ¹ oO в соответствующей суммеI=то поJ r r явившееся дополнительное слагаемое с= ol = oO просто будет поJ стояннымI=т.кK=при=Т=®=Тс длина корреляции=x возрастаетI=а радиус= r r соответствующего интеграла перекрытия= g E ol - oO F остается поJ стояннымK= Влиянием этого добавленного постоянного слагаемого= можно пренебречьK=Двойную сумму можно разбить на две части:= r r r r r r r r r r iq ( o - o ) iq ( ol - oO ) r r g ol - oN × e N l × å G ol - oO × e = g ( q ) G ( q ) IEOKPNF=

å (

ol ¹ oN

)

oO

(

)

тогда уравнение для фурье-образов== kq × G ( q ) = g ( q ) + G ( q ) × g ( q ) I=

S4= =

G(q) =

g ( q ) / kq

K========================EOKPOF= N - g ( q ) / kq Спектральная плотность флуктуаций связанна с корреляцияJ r r ми ближнего порядка для малых=qK=Пусть= h = oN - oO = a =–=радиус= ближайших соседейK= Поскольку взаимодействие локализовано и= распространяется только на ближайших соседейI= представим его в= виде:= rr æ N ö g ( q ) = å g hr eiqh » zg çN - q O a O ÷ I= P è ø h¹M тогда= bzg M N I==========EOKPPF= G(q) » » æN O ö O N + xO q O (N - bzg M ) + ç bzg M a ÷ q èP ø N N qс bzg M O P P где= x = º × а O I==а=–=параметр решетки=EрисKOKN8FK= (N - bzg M ) Т - Т с

= РисK=OKN8K=Температурная зависимость длины когерентности= x = = Обратное преобразование Фурье дает корреляционную функцию=

SR= =

-o

N x(q ) ×e K================EOKP4F= o Это выражение легко получить преобразованием== N N é N N ù º ×ê ú K= N + xO × q O iq ëN x - iq N x + iq û Выражение для корреляционной функции может быть расJ пространено на случай дальнего порядка=i=¹=M:= G(o) =

N -o x e I= o но меняется корреляционная длина:== ì N Тс ï O ï P x =í Т ïТ с ïî N - i Eq FO где=iEqF=–=дальний порядокK= = G(o) =

ü ï ï O ý a I==========EOKPRF= ï ïþ

O.NN.=Подобие и группа перенормировки= в теории критических явлений= = При= q ® qc = x :

N

® ¥ I=и тогда об отдельных спинах= N q - qc O можно сказатьI=что они локально сильно коррелированныI=и внутри= некоторого блока= i = x все спины ориентированы почти одинакоJ воI =т.еK =спины внутри блока ведут себяI =как единое целоеK =Тогда= можно не учитывать внутреннюю структуру такого блока и расJ сматривать фазовый переходI=как коллективное явление в ансамбле= блоковI=взаимодействующих через крупномасштабные корреляцииK= Имеется решётка размерности=dI=каждому из узлов сопоставJ

ляется спиновая переменная= pl K=Разделим решетку на блоки по= id = спинов=EрисKOKN9FK=

SS= =

РисK=OKN9K=Спиновые блокиK= p%a =–==средняя поляризованность= блока= = Исходный гамильтониан:= N EOKPSF= -b e ( p ) = å h% ll ¢ p l p l ¢ + h å p l I= O l Il¢ l где= h= –= напряжённость внешнего магнитного поляK= СоответствуюJ щий гамильтониан системы блоков:= N EOKPTF= -b e% E p% F = å h% ab p%a p%b + h% å p%a K== O a Ib a

Параметры= h% ab I h% определены такI= чтобы термодинамичеJ ские функцииI= соответствующие гамильтониану= e% I= были такими= жеI =как и для= eK= Если рассматривать взаимодействие между блиJ жайшими соседямиI=то= hll¢ ® hближ.сосK I= h% ® h% K= ab

ближ.блоки

Отсюда свободные энергииI= приходящиеся на спин и на блокI= должны иметь подобный вид=

ST= =

=

c ( h I h) =

N d

c E h% I h% F K=

EOKP8F=

æ iö ç ÷ èaø Аналогично для корреляционных длин= x ( h I h ) = ix h% I h% K=

(

)

EOKP9F=

Это справедливо при= = ~F= q ® qc = (появление блоковFX= бF= i = x = (блоков многоFK= Введем параметр приведенной температуры:== q - qc h c - h tº » K= qc hc Чтобы условия=EOKP8IOKP9F=удовлетворялисьI=положим= h -h º t% = iyt K= h% = ix h I= c hc Тогда вблизи критической точки свободная энергияI=приходящаяся= на один спин:= c (t I h ) = t Корреляционная длина:=

-d

y

- N

y

f E t L h x F K==============EOK4MF= y

y x (t I h ) = t F E t L h x F I================EOK4NF= здесь=x и=y=–=неизвестные числаI=независящие от=iK= Можно утверждатьI= что критические индексы данной систеJ мы зависят только от размерности=d решётки и числа компонент=a= спинового вектораK=

S8= =

РАЗДЕЛ=P= МОДЕЛИ И МЕТРИКА ТОПОЛОГИЧЕСКОГО= БЕСПОРЯДКА= P.N.=Беспорядок на уровне атомной структуры= Чтобы узнатьI= имеет ли место беспорядок замещенияI= необхоJ димо определить исходную кристаллическую решеткуK=В идеально= упорядоченном кристалле все физические характеристики по опреJ r делению строго периодичныK=Для всех векторов решетки= l и для=

{}

любой точки= r= любая наблюдаемая величинаI= например плотность= электронов или одноэлектронный потенциалI= должна удовлетвоJ рять условию:= r r r c ( r ) = c r H l K= EPKNF=

(

)

Вся совокупность узлов решетки может быть получена путем= r rr r трансляции на вектор= l ® {аNаO аP} K= Создание в кристалле случайJ ные= «замещения»I= = нарушает это соотношение:= некоторые физичеJ ские параметры становятся уже не инвариантными относительно= группы трансляцийI=т.еK=если условие=EPKNF=не выполняетсяI=то нужно= задавать всю совокупность= { o} K= В данном разделе рассматриваются системыI=в которых распоJ ложение атомов не соответствует упорядоченной решеткеK= Введем=

r

r

{ }

набор векторов= oi X=вектор= oi =–== указывает положение ядра====iJ ro= атома в конфигурационном пространствеK= Для простоты будем= считатьI=что все атомы химически одинаковы или образуют одинаJ ковые молекулярные группировкиK= Другими словамиI= для каждого= r вектора= oi =J=при= r Y w × rc рассматриваемая функция удовлетворяJ ет некой=«ослабленной»=форме равенства=ENFI=например= r r r c ( r ) » c r H oi K= EPKOF=

(

)

Теоретические модели топологических неупорядоченных сиJ стем обычно основываются на тех или иных произвольных предпоJ

S9= =

ложенияхI= призванных отразить указанные выше обстоятельства= без детального анализа совокупности физических условийI=которые= фактически могут реализоваться в окрестности каждого атома=EрисKPKNFK= Итак:= NF пусть все атомы в нашей модели одинаковыX= OF будем рассматривать конденсированнуюI=неупорядоченную сиJ стемуI=подчиняющуюся принципу плотной упаковкиK= Разрешенные значения векторовI=характеризующих положения=

r

{ }

атомов= oi I= безусловноI= ограничены жесткими условиямиI= свяJ занными с физической природой=«атомов»=образцаK=Есть лишь неJ много системI=в которыхI=как в идеальном газеI=можно рассматриJ

r

вать векторы= oi =как независимые случайные переменныеI=изменяJ ющиеся в пределах всего объема образцаK= Если материал состоит= из довольно плотно упакованных атомов или ионовI=то статистичеJ ские свойства такой структуры будут в основном определяться= жесткостьюI= непроницаемостью частиц и взаимодействием между= нимиK= Основная задача состоит в рассмотрении физических ограJ ничений упаковки на вероятность реализации того или иного набоJ

r

{ }

ра векторов= oi K=

= а б= в РисKPKNK=Топологический порядок=EаFI=топологический=====бесJ порядок=EбFI==континуальный беспорядок=EвF=

TM= =

P.O.=Размерность и порядок= Как известноI= одномерная решетка будет термически неJ устойчиваK= В самом делеI= принимая во внимание довольно общие= условияI=которым удовлетворяет радиус действия межатомных силI= можно показатьI=что в одноJ=или двухмерных системах спонтанный= кристаллический порядок существовать не можетK== Воспользуемся моделью гармонических колебаний решетки= и произведем обычные Фурье преобразования к фононным переJ меннымK= Тогда кроме формулы для корреляционной функции= = можно получить еще следующее соотношение:= Oh N (N - cos qo ) O : K= ul - ul + o ×å × kj q wq expE hw F - N kq Нас интересует поведение суммы в правой части этого соотJ ношения при больших значениях= oK= Знаменатель можно заменить= hw на= и положить=E ws = sq I==где=s==–== скорость звукаFK=Интересуясь===== kq d-мерной решеткойI=получим:=

(N - cos qo ) d K= æ a ö d q × × O çè Op ÷ø ò j ×s qO При=d=Z=N=этот интеграл пропорционален=oX=при=d=Z=O=он ведет себя= асимптотически как= lnoK= В обоих случаях флуктуации расстояния= между атомами в удаленных друг от друга узлах неограниченно= возрастают по мере увеличения этого расстоянияK= С другой стороJ ныI=при=d=Z=P=интеграл сходится к малой величинеI=не зависящей от= oI= так что предполагаемый порядок в решетке оказывается стаJ бильнымK= Очень сходный с этим результат легко получить для спиноJ ul - u l + o

O

:

d

Oh

вой корреляционной функции= pl - pl + o

O

I= где=o==–== расстояние=

между удаленными узлами в упорядоченной ферромагнитной цеJ почкеK= Таким образомI= в одноJ= или двухмерной системе в отсутJ ствие факторовI=изменяющих спектр магнонов=Eконечного магнитJ

TN= =

ного поля или магнитной анизотропииFI=спонтанный ферромагнитJ ный или антиферромагнитный порядок возникнуть не можетK= В одномерной модели Изинга состояние спонтанного упоряJ дочения термодинамически неустойчиво=EрисKPKOFK= = = = = РисK=PKOK= Дальний порядок в линейной цепочке= EаF= разрушаJ ется в результате одного единственного разрыва=EбF= =

P.P.=Неупорядоченные линейные цепочки= = Однако рассмотрение моделей топологического беспорядка= начнем с одномерных моделейK= Если набор скалярных величин=

r

{oi } описывает расположение атомов на некоторой линииI=то имеJ

ем одномерную цепочкуK= Упорядоченная цепочка будет опредеJ ляться набором величин=

oi = l × a I==============================================EPKPF= где= l = = –== целое числоK= Если величины= oi = – =случайныеI =то имеем= дело с одномерной жидкостью или одномерным стекломK= Относительно расположения атомов в такой системе можно= выдвигать различные статистические гипотезыK=В простейшем слуJ чае величины= oi =–=независимые переменныеI=с постоянной вероятJ ностью распределенные по всей длине цепочкиK= Это одномерный= газK= Для характеристики его нужен лишь один статистический паJ раметр= –= плотность упаковки или обратное ей среднее расстояние= между частицами:= a = i k K====================================EPK4F=

TO= =

Предел выражения= EPK4F= при неограниченном возрастании= длины=i и числа атомов=k есть некоторая постояннаяK= Поскольку абсолютная координата атома в цепочке не играет= существенной ролиI= лучше задать статистические характеристики= относительных координат атомовK= В модели одномерного газа поJ следовательные межатомные расстояния= xi = oi +N - oi ===================================EPKRF= распределены независимо и подчиняются распределению Пуассона== N m ( x ) d x = × e -x a × d x K========================EPKSF= a Распределение Пуассона не подходит для конденсированных= системI= поскольку не учитывается конечный размер атомов= = –=== принцип плотной упаковкиK=Этой модели можно придать известное= правдоподобиеI= допустивI= что атомы непроницаемы и не могут= сблизиться на расстояниеI=меньшее некоторого минимального диаJ метра=aX=вместе с тем любой свободный зазорI= превышающий неJ которую длину=dI=будет занят другим атомомK=В этом и заключаетJ ся физическое обоснование модели БорландаI= согласно которой= межатомное расстояние должно лежать в некоторых фиксированJ ных пределах= a £ xi £ d K===============================EPKTF= Согласно вычислениям по методу Монте-КарлоI=отрезки равJ ной длины могут быть случайно и без перекрытия распределены= вдоль некоторой линииI= пока их концентрация не превышает= MITR= концентрации в соответствующей регулярной плотно упакованной= структуреK= Другими словамиI= в рамках данной модели жидкости= разумен выбор=ac=Z=NLOd=»=MITR=аK=Фактически результат=MIT4TS=был= получен еще в=N9S4=гK=в так называемой=«задаче о стоянке автомоJ билей»K= Сходный результат получается и с помощью= «оборванноJ го»=распределения Пуассона для величин зазоров=EрисK=PKPFK=

TP= =

= РисKPKPK=Модель Борланда= = В некоторых случаях удобно рассматривать одномерную= гауссову жидкостьI= в которой каждая величина= xi подчиняется= O нормальному распределению с дисперсией= s a = и= средним значениJ ем= аI= хотя на самом деле такой физической системыI= видимоI= не= существуетK=

P.P.N.=Модель Кронига=–=Пенни для неупорядоченной цепочки= Задав расположение атомовI=нужно определить другие сущеJ ственные параметры моделиK= НапримерI= для изучения динамики= решетки одномерного стекла постулируемI= что межатомные силы= должны изменяться в зависимости от расстояния между соседними= атомамиK= ДалееI= учет изменений интегралов перекрытияI= содержаJ щих волновые функции электроновI= локализованных на соседних= атомахI=приводит к модели сильно связанных электронов в неупоJ рядоченных системахK== = = = = = = = = = РисK=PK4K=Модель беспорядка Кронига=– Пенни=EаFI=обобщение= на суперпозицию потенциалов случайно расположенных атомов=EбF=

T4= =

= В теории движения электронов в жидких металлах часто исходят= из неупорядоченной модели Кронига=–=ПенниI=в которой потенциJ альная энергия электрона в поле отдельного атома описывается= дельта-функцией=EрисKPK4F:= s Er F = å dEr - oi F K= i

P.4. Приводимый и неприводимый= топологический беспорядок= = Одномерная система не может быть топологически неупоряJ доченнойK= Почти во всех случаях можно построить регулярную= структуру с беспорядком замещенияI= математически эквивалентJ ную модели=«одномерной»=жидкостиK=

РисKPKRK= Неупорядоченная линейная цепочка= EаFI= однозначное= упорядочение путем пересчета= EбFI= эквивалентная упорядоченная= решетка со средней постоянной решетки=EвFI==цепочка теперь тоJ пологически упорядоченаI= однако смещения атомов не упорядочеJ ны=EгF= = Относительные смещенияI= межатомное расстояние явно игJ рают роль случайных переменных замещения в= i-м узле эквиваJ лентной упорядоченной системыI=т.еK=можно расположить в возрасJ

TR= =

тающем порядке и с запретом на перескок атома через другой= (рисKPKRFK= В одномерном случае можно всегда существовавший= беспорядок= {xi } переместить на силовые константы= {h i } =Eмодуль= упругостиFK= ¶F j i && xi = = - {hi } × ( oi - oi +N ) + {h i -N} × ( oi -N - oi ) K= ¶xi Приводимый беспорядок может существовать= = в= OJмерных= (рисKPKSF=и в=PJмерных случаяхK=

= РисK=PKSK=«Горячее твердое тело»=нельзя назвать топологиJ чески неупорядоченным= =

P.R.=Физическая реализация одномерных систем= Для создания магнитной цепочки необходимо найти материJ алI= в котором магнитные ионы взаимодействуют друг с другом= вдоль цепочекI= почти изолированных одна от другой большими= немагнитными ионамиI= радикалами или молекулярными группиJ ровкамиK= Такие материалы были найденыK= НапримерI= в бензоате= меди= EСuEСSНRСООFOJPНOОF= –= моноклинная решетка= –= большие= плоские бензоатные группы упакованы такI= чтоI= с одной стороныI=

TS= =

магнитные ионы СuHH могут сблизиться по оси=с на расстояниеI=где= обменное взаимодействие уже существенноK= А с другой стороныI=в= направлениях осей=а и=b цепочки удерживаются достаточно далеко= друг от друга= EрисK= PKTFK= Этот материал считается простым одноJ мерным антиферромагнетикомI= описываемым моделью ГейзенберJ га= Очень сходные свойства обнаруживает и дипири– диндихлорид меди= ECuClO= –= OkCReRF =Eпример смK =на рисK =PK8FK =В= немI= по всей видимостиI= обменное взаимодействие между ионами= СuHH в цепочкахI=вытянутых вдоль оси=сI=осуществляется через свяJ зи Сu=–=Сl=–=СuK== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = РисKPKTK= Магнитные цепочкиI= возникающие в бензоате меJ диK= Остальная часть цепочки заполнена ионами бензоата и молеJ кулами воды=

TT= =

= Первым примером электронной одномерной системы могла бы= служить длинная полимерная цепьK= Однако в таких соединениях= связи почти всегда полностью насыщеныI=в результате чего поведеJ ние электронов в них определяется в основном корреляционными= эффектамиK= С равным правом здесь можно считатьI= что электроны= либо заполняют локализованные= EсвязывающиеF= орбиталиI= либо= делокализованные состоянияI=описываемые функциями БлохаK= = = = = = =

РисK= PK8K= Часть структуры ТММСI= содержащая магнитJ ную цепочку== = = = = = = РисKPK9K= В полинитриде серы цепочкиI= соединенные ненасыJ щенными связямиI= вытянуты вдоль кристаллографического= направления= =

T8= =

С другой стороныI= в= «неорганическом»= полимере= EрисKPK9FI= поJ ли(нитриде серыF= EpkFuI= наблюдается настоящая металлическая= проводимостьK= Она обусловлена переносом электронов вдоль проJ тяженных цепочекI= составленных из химически насыщенных свяJ зейI=т.еK=здесь имеет место нечто близкое к одномерному металлуK= =

P.S.=Дислокационный==беспорядок= Случай неприводимого топологического беспорядка в криJ сталле лучше всего описывается на языке теории дислокацийK= В= идеальном кристалле каждому атому соответствует однозначно= определенный набор координатK= Это просто целые числаI= кратные= векторам трансляции решеткиI= показывающиеI= как достичь данноJ го атомаI=исходя из некоторого фиксированного узлаI=принятого за= начало отсчетаK= Точное число шагов вдоль каждого основного= направления не зависит от пути перехода иI= следовательноI= предJ ставляет собой топологический инвариант решетки= Eпри этом шаJ гам вперед и назад отвечают соответственно положительные и отJ рицательные числаFK=ОднакоI=если в кристалле есть дислокацияI=то= нумерация атомов оказывается уже неоднозначной:= число шаговI= совершаемых на пути между узлами= А и= ВI =зависит теперь от выJ бранного пути=EрисKPKNMFK= = = = = = РисK=PKNMK=Неэквивалентные пути в решетке с дислокациейI======= A=®=m=®=B=º=A=®=n=®=B=¹==A=®=o=®=B=¹=A=®=p=®=B= =

T9= =

Всякий разI=когда траектория обходит линию дислокацииI=это= число меняется на единицуK=Таким образомI=кристалл с дислокациJ ями топологически не эквивалентен идеальной решетке=EрисKPKNNFK= = = = = = = = = РисK=PKNNK=Дислокационный беспорядок в решетке с локальJ ным кристаллическим порядком= =

P.T.=Поликристаллический беспорядок= Другим примером топологического беспорядка может быть= поликристаллK= В этом случае удобно рассматривать каждый отJ дельный кристаллитK= Каждый из них= –= почти идеальный образец= конечных размеровI=причем такихI=что для каждого из них размер= заметно больше средней длины свободного пробегаI=описывающей= микроскопические процессы релаксацииK= ДействительноI= в такой= системе атомы расположены беспорядочно лишь в тонких припоJ верхностных областях вблизи границ зеренK= Задачи о рассеянии= электроновI= фононовI= магнонов и тK= дK= на границах зерен можно= при этом рассматривать независимоK= ОднакоI= если макроскопичеJ ские характеристики кристалла не полностью изотропныI= то проJ хождение возмущений через такие границы определяется не столь=

8M= =

нетипичным расположением атомов в контактной областиI= сколь= рассогласованием в ориентациях кристалловK=Расчет объемных хаJ рактеристик такого материала отнюдь не тривиаленI=однако теория= ориентационного беспорядка обычно формулируется в терминах= классической непрерывной средыI= при этом не обращается внимаJ ния на отсутствие дальнего топологического порядка и расположеJ нии атомовK= P.T.N.=Атомные функции распределения= = Кристаллическую структуру легко описать аналитическиI= пользуясь общей формулой для узлов решеткиK= В отсутствие дальJ него топологического или ориентационного порядка требуется ноJ вый языкK=При этом попытка просто задать координаты всех=k атоJ мов=olI=oOI=KKKI=oN бесполезнаI=так как число=k сколь угодно великоK= С чем бы ни имели дело=–=с одной большой системой или с ансамJ блем похожих системI= –= характеристики такого набора материала= надо выражать через статистические функции вероятностейK= Названные функции представляют собой не что иноеI=как одJ ночастичнуюI= двухчастичнуюI= трехчастичную и тK= дK= плотности= вероятностиI=nENFI=nENIOFI=nENI=OI=PFKKKK=Формально они определяются= соотношением:= dm=ENI=OI=KKKI=sF=Z=nENI=OI=KKKI=sF=dN=dO=KKK=dsK========================EPK8F= Здесь= dm есть вероятность найти атом в объеме= dN= вблизи= точки= NI= в объеме= dO =вблизи точки= O =и тK =дK =В большинстве задач= достаточно считатьI= что рассматриваемые функции не зависят от= времениI= описывая лишь статическую конфигурацию атомовK= При= этом выборка производится такI= что один и тот же атом можно= считать дваждыI= только если вновь попасть в одну и ту же точку= пространстваK= Из основного предположения о макроскопической однородJ ности образца следуетI= что средняя плотность атомов в единице= объема должна быть постояннойI=тK=еK=nENF=Z=n=Z=kLs независимо от= положения точки=NK== Интегрируя теперь выражение= EPK8F= по всем координатамI= получаем=

8N= =

s -s × ò dNò d OK ò ds × nENIOIK s F = n s s

s

s

=

EPK9F=

s

g ENIOIK sF º nENI OIK sF L n K ВидноI= что вычисления упрощаютсяI= если ввести каноническую= функцию распределения=gK= Интеграл кратности=s от функции=g=ENI=OI=KKKI=sF=по единичному= объему равен единицеK= Другими словамиI= величина================ g=ENI=OI=KKKI=sF=dN=KKK=K=K=Kds даст нам вероятность найти именно такой= тип расположения= sJатомов из всех других возможных способов= размещения их в пространстве при одной и той же средней плотноJ стиK=Эти определения общепринятыеX=они приводятся лишь для тоJ гоI=чтобы стандартизовать наши обозначенияK= Почти все данные прямых измеренийI= относящиеся к распоJ ложению атомов в конденсированной средеI= описываются бинарJ ной функцией распределения=gENI=OFK=В силу пространственной одJ нородности системы эта функция может зависеть только от вектора= oNO I=соединяющего точки=N=и=OI=тK=еK= gElIOF=Z=gE oNO FK=======================================EPKNMF= Для идеального монокристалла эта функция=gE oNO F=сводится= к набору дельта-функций в узлах решетки:= r r r g E o=NO F Z=n=JN= =× dE o=NO J=lF K=================================EPKNNF= Отсутствие дальнего топологического порядка= Eкак в криJ сталле с дислокациямиF=приведет в основном к уширению и размыJ тости далеких пиков этой функции в однородный континуум= (рисKPKNOFK= Масштаб локального порядка можно определить как расJ r стояниеI=за пределами которого функция= g oNO становится близJ

( )

кой к единицеK== =

8O= =

= = = = = = = = РисK= PKNOK= Бинарная функция распределения для модели реJ шеткиI=в которой дислокации разрушают дальний порядок= = В поликристаллическом образце этот масштаб характеризует разJ мер кристаллитовK= ОднакоI= вводя статистические функции распреJ деленияI= необходимо учесть и ориентационный беспорядокI= котоJ рый делает такой образец макроскопически изотропнымK=Как бы ни= был велик каждый кристаллитI= гипотетически бесконечный обраJ зец или ансамбль будет содержать такие кристаллиты со всеми= возможными ориентациямиK= Парную функцию распределения= EPKNNF=надоI=следовательноI=усреднить по всем направлениям вектоJ r ров решетки= l K= Иными словамиI= в конце концовI= приходим к=

{}

набору концентрических сферических оболочекI= радиусы которых= равны длинам всех возможных векторов решетки:= uuur g E oNO F º g E oF = n-N × k ElF × dE o - lF K= EPKNOF= =

8P= =

= РисKPKNPK=Радиальная функция распределенияW=а=–=для идеальJ ного кристаллаX=б=–=для поликристалла=Eс уширением за счет тепJ лового движенияF= = Здесь=k=ElF=есть число векторов решетки с одной и той же длиной= l K= Вся информация о структуре изотропного материала часто соJ держится только в виде радиальной функции распределения=gEoFK=В= случае идеального поликристаллаI= содержащего лишь простые= комбинации одного==–==двух химических компонентовI=бывает возJ можно восстановить структуру трехмерной локальной решетки по= наблюдаемым на опыте пикам функции= EPKNOF= EрисKPKNPFK= ОднакоI=

84= =

если эти пики сильно размыты из-за локального беспорядка теплоJ вых колебаний или из-за недостаточного разрешения аппаратурыI= то возникают неопределенностиI=и однозначное решение найтиI=как= правилоI=не удаетсяK=В этом и состоит фундаментальная трудность= физики топологически неупорядоченных материалов:= картины лоJ кального расположения атомов в пространстве невозможно поJ строить чисто аналитическим путем с помощью только ряда форJ мальных операций над радиальной функцией распределенияK= Эти= картины можно только угадать и убедитьсяI=что догадка согласуетJ ся с данным видом функции распределенияK= Таким образомI= неупорядоченную систему нельзя адекватно= описать аналитическиI= не поднимаясь вверх по иерархической= лестнице функций распределенияK= Оценим трехJ=и четырехчастичJ ные функции распределения для поликристаллического образцаK= = = = = = = = = РисK= PKN4K= В поликристалле тройную функцию распределеJ ния= gENIOIPF= можно ввести только для треугольниковI= принадлеJ жащих кристаллической решетке= = В соответствии с принципом однородности функция=g=ENI=OI=PF= зависит только от относительных координат= oNO I= oNP K=В монокриJ сталле эти векторы должны совпадать с векторами решеткиI=т.еK=

8R= =

r r r r g ENIOIPF = n -O × dE oNO - lF × dE oNP - lF K==================EPKNPF= Желая сделать это выражение симметричным относительно= точек= NI =OI =PI =необходимо ввести еще одну дельта-функцию для= третьей стороны треугольникаI= вершины которого расположены в= данных точках=EрисKPKN4FK= r r r r r r r r r g ENI OIPF = n -P × dE oNO - l¢F × dE o OP - l¢¢F × d E o PN - l¢¢F × dE l + l¢ + l¢¢F KEPKN4F= Недостатком этого выражения является тоI=что эта функция не удоJ влетворяет суперпозиционному приближению:=

g ENIOIPF » g ENI OF × g EOIPF × g EPINF K================EPKNRF= = P.T.O.=Аморфный или поликристаллический?== = Задача состоит в томI= чтобы выяснитьI= чем физически отлиJ чается та или иная модель от другихI =ей альтернативныхK =Самые= точные данные получаются при исследовании дифракции нейтроJ нов и рентгеновских лучейI=однако эти данные никогда не удается= интерпретировать однозначноK= В тех случаяхI= когда в рассеяние= вносят вклад несколько различных химических элементов= EкакI= напримерI=в кварцевых стеклахFI=«распутать»=эти вклады оказываJ ется необычайно трудно и получить вполне определенный ответ= обычно не удаетсяK= Однако даже в лучшем случае моноатомного= материала типа аморфного кремния или германия всеI=что нам удаJ ется измеритьI=это радиальная функция распределения=gEoFK== Что можно извлечь из этой функции?= Как видно из рисK= PKNRI= она имеет некоторые= «черты»I= допускающие физическую инJ терпретациюK= В частностиI= эта функция должна обратиться в нуль= на расстоянииI= равном диаметру атомного остоваX= затем она возJ растаетI=достигая максимума=EпикаF=на некотором характерном расJ стоянии= oM K= Последнее обычно отождествляют с радиусом первой= координационной сферы атомов=EрисKPKNRFK=

8S= =

= = = = = = = = = = РисKPKNRK=Характерный вид радиальной функции распределения= Площадь под этим пиком= z=ò

первый пик

g E oF × 4p × o O do =

есть координационное число данной структурыI= напримерI= z= Z =4K = Аналогично следующий пик обусловлен второй координационной= сферой и тK= дK=Однако фактически координационное число точно не= определено и число атомов внутри каждой сферы становится все= более и более неопределенным по мере тогоI=как пики уширяютсяI= сливаются друг с другомI=а затем вообще теряются на фоне контиJ нуумаI= где=gEoF=®=NK=Для многих теоретических задач удобнее изJ мерять функцию=g=EoF=по отношению к этому фону:=полная корJ реляционная функция= h ( o ) = g ( o ) - N ====================== EPKNSF= характеризует степень локального отклонения от статической одJ нородности вблизи любого данного атомаK= Размер области упоряJ

8T= =

дочения=i в этом случае определяется эмпирически как расстояниеI= на котором функция=hEoF=обращается в нуль:=hEoF=»=M=при=o=[=iK= Эти общие характерные черты радиальной функции распреJ деления естественным образом возникают в модели случайной сетJ ки в аморфных полупроводникахK= НапримерI= в тетраэдрической= сетке первая и вторая координационные сферы почти идентичны= соответствующим координационным сферам в идеальной решетке= алмазаX=однако вращение тетраэдров вокруг соединяющей их связи= изменяет расстояния до третьих соседейK= В этом состоит простое= физическое объяснение тогоI= почему в радиальной функции расJ пределения при переходе от кристаллического кремния к аморфJ ному исчезает третий пик радиальной функции распределенияK= Вместе с тем трудно доказать с полной убедительностьюI=что= эти черты не согласуются с моделью горячего кристалла или возJ мущенного поликристаллического беспорядкаK= ПустьI= напримерI= в= результате тепловых колебаний атомы идеального кристалла отJ клонились случайным образом от узлов идеальной решеткиI=может= быть такI=как показано на рисK=PKNRK==

P.8.=Жидкие кристаллы,=состоящие из== несферических молекул= = Форма молекул жидкости должна заметно влиять на их= структурное расположениеK= Однако статистические теории жидкоJ го состояния почти всегда имеют дело с приблизительно сферичеJ скими молекуламиI= взаимодействующими посредством центральJ ных силK= ПожалуйI= исключая расчеты структуры воды по методу= молекулярной динамикиI=вряд ли можно найти надежные теоретиJ ческие результаты для жидкостейI= состоящих из несферических= молекулK=Тот фактI=что вблизи точки плавления плотность упаковJ ки= h для большинства молекулярных жидкостей по порядку велиJ чины составляет= MIR= –= MISI= означаетI= что пространство довольно= сильно заполненоK= Однако это мало что говорит о статистических= характеристиках системыK= Теория термодинамических свойств= жидкости до сих пор носитI= в сущностиI= феноменологический хаJ

88= =

рактер и не вносит ничего существенного в математическую теоJ рию беспорядкаK= Введем упрощающее предположениеI= состоящее в томI= что= каждая молекула считается идеально твердой и аксиально симметJ ричнойI= наподобие эллипсоида или гантелиK= Для статистического= описания жидкостиI=состоящей из таких молекулI=надо знать функJ ции распределения относительных ориентации осей двух или= большего числа молекул в любой данной пространственной конфиJ гурацииK=ЯсноI=что это гораздо более сложная геометрическая задаJ чаI=чем расчет радиальной функции распределения=gEВF=для сфериJ ческих атомовK= = = = =

РисK=PKNSK=Нематический порядок в жидких кристаллах= = Из опыта известноI=что очень длинные твердые молекулы не= могут упаковываться вместе без тогоI= чтобы не возникли корреляJ ции в их относительных ориентацияхK=Именно таково происхождеJ ние многочисленных захватывающих эффектовI= наблюдаемых в= жидких кристаллахK= ТакI= в нематической жидкости=EрисKPKNSF=ценJ тры молекул не образуют регулярную решеткуI= однако существует= дальний порядок в ориентации их продольных осейK= = = =

89= =

P.9.=Беспорядок газового типа= = Предельную степень топологического беспорядка имеем в= идеальном газеI=в котором атомы или молекулы случайно и незавиJ симо друг от друга распределены по всему объему образцаK= НекоJ торые геометрические особенности такой структуры уже отмечаJ лись ранееK= Случайное пространственное распределение атомов в обычJ ном газе или паре близко к идеальномуK=Однако это достигается за= счет уменьшения плотности вещества= J= при этом молекулы столь= отделены друг от другаI= что их можно считать физически незавиJ симымиK=В реальных газахI=как нейтральныхI=так и ионизованныхI= особый интерес представляют динамические эффектыI= обусловJ ленные влиянием дальнодействующих сил на слагаемые с кинетиJ ческой энергией в полном гамильтонианеI=эти эффекты слабо завиJ сят от любых остаточных корреляций между расположениями атоJ мов в пространствеK== Вместе с тем в ряде опытов оказалось возможным прослеJ дить за изменением свойств вещества от собственно жидкости=EмеJ таллическойF=до пара при переходе через сверхкритический режимK= С теоретической точки зрения трудность интерпретации таких= опытов состоит не в томI=что существует тепловое движение ионовI= а в томI= что отсутствуют достаточно точные сведения о природе= межатомных силK= По мере изменения плотности вещества взаимоJ действие между электронами может привести к возникновению= атомных или молекулярных связанных состоянийI=в результате чеJ го эффективная потенциальная энергия ионов может радикальным= образом изменитьсяK=Это довольно тонкий вопросI=и без надежных= данныхI= характеризующихI= напримерI= тенденцию к образованию= молекул или кластеровI= можем только предполагатьI= что рассматJ риваемая структура просто= «раскрывается»I= становясь все более= случайнойK= Самый чистый пример плотной системы с беспорядком газоJ вого типа дают нам примеси замещения= EнапримерI= фосфорF=в коJ валентном полупроводнике типа кремния=EрисKPKNTFK==

9M= =

= = = = = = = = = = РисK=PKNTK=Примесные центры в полупроводнике= = Если нет заметной химической тенденции к сегрегации приJ месей или к образованию кластеров при кристаллизации образцаI= то примеси будут случайно распределяться по узлам решеткиI=как в= любом сильно разбавленном сплавеK= Для электронов проводимоJ стиI=однакоI=роль=«размера»=примесного атома играет эффективный= боровский радиус= аeI= отвечающий низшему примесному уровнюK= Этот= = радиус может в= NM =или= NMM =раз превышать постоянную реJ шетки исходного кристаллаK=Соответственно концентрацию примеJ сей в= NMJ4= –= NMJO= атK =B =следует считать очень= «большой»I =так как= здесь оказывается несправедливым предположение о независимоJ сти электронных процессовI=протекающих на отдельных примесяхK= = = = = = = =

9N= =

РАЗДЕЛ=4= МОДЕЛИ И МЕТРИКА КОНТИНУАЛЬНОГО= БЕСПОРЯДКА= =

4.N.=Континуальные модели= = Атомная структура конденсированной среды часто приводит= к осложнениям в математической теории неупорядоченных системK= Такие важные физические характеристики системыI= как электронJ ная плотность и масса ядраI= сконцентрированы в очень малых обJ ластяхK=Поэтому их трудно описать при помощи линейных комбиJ наций гладкихI= делокализованных функцийK= В ряде случаев на= практике выясняетсяI= что= «глубокие»= внутренние свойства атомов= не так уж важныK= Эффекты упорядоченияI= беспорядка замещения= или топологического беспорядка возникают скорее благодаря маJ лым вариациям плотности заряда во всем объеме материалаI=нежеJ ли за счет больших и сильно локализованных ее изменений в преJ делах атомных остововK= Таким образомI=при построении феноменологических теорий= часто бывает удобно воспользоваться континуальным представлеJ ниемI=игнорируя атомную структуру веществаK== РазумеетсяI= именно так следует поступатьI= рассматривая исJ тинно макроскопические процессыI= например распространение= звука в океане или прохождение света звезд через атмосферу и раJ диоволн в ионосфереK= Материал рассматривается при этом как неJ прерывная средаI=состав которой определяет локальную плотностьI= упругостьI= коэффициент отраженияI= диэлектрическую проницаеJ мость и тK =дKI =тK =еK =параметрыI =фигурирующие в волновом уравнеJ нииK=Такой подход оправданI=так как здесь имеют место==возмущеJ нияI=длина волны которых значительно превышает типичное расJ стояние между атомамиK== С другой стороныI=в приложении к тепловым колебаниям или= к движению электронов в неупорядоченной конденсированной= среде континуальная трактовка редко бывает оправданаK= Тем не= менееI= математическое сходство этих задач с соответствующими=

9O= =

задачами макроскопической физики наводит на мысль о томI= что= небесполезными могут оказаться и моделиI=в которых флуктуации= плотности или вариации локального кристаллического порядка= рассматриваются просто как физические причины изменений лоJ кального потенциалаI=плотностиI=скорости фононов и тK=дK= Тем не менееI=иногда удается в простой форме отразить влиJ яние довольно сложных структурных характеристик беспорядкаK= РассмотримI= напримерI= эффективную потенциальную энергию= электрона в жидком металлеK= Эта функция характеризует многоJ электронную системуI=иI=строго говоряI=соответствующий потенциJ ал нельзя представить в виде простой суперпозиции атомных поJ тенциалов:= он может зависеть от многоатомных характеристик= структуры жидкостиI= например от средней локальной концентраJ ции атомовK= Аналогичные соображения можно использовать и для опреJ деления эффективной потенциальной энергии носителей заряда= вблизи края зоны в аморфном полупроводнике или для вычисления= локальных упругих постоянных в стеклеK= Вкратце остановимся на статистических характеристиках= случайной функции= xE oF в пространстве=o одноI=двух или трех изJ мерений и покажемI= чем обусловлены некоторые геометрические= ее свойстваK= Пусть= o есть вектор координат на плоскостиK= Тогда= функция= xE oF определяет высоту случайной поверхностиK= =

4.O.=Однородные случайные поля== =

Случайное поле= xE oF можно определитьI= только задавая его= статистические характеристикиK= Введем различные функции расJ пределения для величин= xE oF K= ТакI= функция= m ( xI o ) определяет= плотность вероятности найти случайную величину= x в интервале= x ® x + d x точке= oK= В силу предполагаемой однородности расJ сматриваемого поля эта функция не должна зависеть от=oK== Предположим для простотыI= что любая постоянная компоJ нента поляI= например среднее значение потенциалаI= исключена из=

9P= =

рассмотренияI= тK= еK= среднее значение= x равно нулюK= Это среднее= значение можно представить:= NF в виде интеграла по большомуI=но конечному объему=sI=в= котором определен вектор=oX= OF в виде интеграла по статистическому ансамблю очень= большого числа одинаковых объемовX=в таком ансамбле величина= x в любой точке пространства принимает все возможные свои знаJ ченияK== Утверждение о равенстве двух указанных интегралов осноJ вывается на существовании эргодической гипотезы:= r r N x = × ò xE oF × do = ò x × mExF × d x K= E4KNF= s На первый взглядI= функцией= m ( x ) может быть любая полоJ жительная функцияI=удовлетворяющая условию нормировки=EинтеJ грал от нее по всему объему должен быть равен единицеFK== Однако этого еще недостаточно для адекватной характериJ стики случайного поляK= Говоря математическим языкомI= статистиJ ческие характеристики случайного поля можно полностью опредеJ r литьI= только задавая функционал m xI o I= представляющий собой=

( )

предельный случай=s-точечной функции распределения при= s ® ¥ K== Надо ввести двухточечныеI= трехточечные и тK= дK= функции= распределения:=в общем случае=sJточечная функция распределения=

r r r ms xN I oN X xO I oO XK xs I os определяет вероятность тогоI=что= x приJ

(

)

нимает значение= xN в точке= oN I= xO =J=в точке= oO и тK=дK=Только в неJ физическом случае патологически разрывного поля можно предпоJ ложитьI= что величины= x в= «соседних»=точках распределены незаJ висимоK== Функции распределения должны удовлетворять ряду соотJ ношений:==

94= =

- интегрируя величину= ms по любой пространственной переJ менной=EнапримерI= oN F=или усредняя ее по всему ансамблю полеJ вой переменной= xN I==должны получить функцию= ms -N X== - значения случайного поля= xN и= xO в двух точках= oN и= oO = при= o = oN - oO ® ¥ должны быть статистически независимыX= - если поле не только однородноI=но и изотропноI=то двухтоJ чечная функция распределения заметно упрощается:=она непреJ r r менно должна иметь вид:= mO ExNI oNX x O I oO F º mO ExN I x O X oF X= - неявно принятое предположение о кусочной непрерывности= функции= x ( o ) приводит к томуI=что величины= xN и= xO стремятся к= одному и тому же значениюI=когда= oN стремится к= oO K= Таким образомI=имеем:= ur ìdEx - x F × mExF====при===o ® MI ====E4KOF= mO ExNI xO X oF ® í N O î mEx O F × mExN F====при===o ® ¥K С учетом этих ограничений функция= mO I= описывая распредеJ ление двух величин= xN и= xO I=зависит от трех переменных и ее трудJ но выразить в простом видеK =Здесь опять теория беспорядка замеJ щения в решетке указывает нам подходящий способ описания осJ новных характеристик функции= mO K= Введем автокорреляционную= функцию поля следующим образом:= ur G xG EMF × xE o F ò ò xN × xO × mO ExN I xO X oFd xN × d xO K====E4KPF= GEo F = = O xO ò x × mN ExF × d x В выражениях такого типа удобно рассматривать=x как комJ плексную переменнуюI= вещественность которой в дальнейшем= легко будет обеспечить с помощью тривиальных дополнительных= условийK=Как видноI=функция= G ( o ) будет монотонно уменьшаться= при увеличении=oI=изменяясь в следующих пределах:=

9R= =

ìN====при===o ® MI GE o F ® í ===============================E4K4F= îM===при===o ® ¥K Здесь ясно видна аналогия с параметром порядка и с полной= корреляционной функциейK= Длина= i будет определять типичный= пространственный размер любой= топологической черты поля= x ( o ) I=будь то=«пик»=или=«долина»K=

Однородность поля= x ( o ) можно интерпретировать как= трансляционную инвариантность в статистическом смыслеK= Для= описания такого поля естественно воспользоваться плоскими волJ r ur

нами= eiqo I= для которых волновые векторы=q выбираются такI=чтоJ бы удовлетворить соответствующим граничным условиям в больJ шом объеме= sK= Для любого компонента данного=ансамбля случайJ ных полей=Eлюбой реализацииF=можно ввести представление Фурье:= r ur ur xE oF = å X Eq F ×eiq o K= r q

Комплексная амплитуда= XEq F явно определяется обратным= r ur ur ur - iqo -N интегральным преобразованием:===== X Eq F = s ò xE o F ×e d o K= Вычислим теперь автокорреляционную функциюK= Пользуясь= эргодической гипотезойI= можем выполнить следующие стандартJ ные преобразования:= GE o F =

r xG ( M ) × x o

( )

xO

G

òx = r

r r r × x o + o ¢ do ¢

(

)

s xO r r

r r r i×( - qo¢+ q¢( o + o¢ ) ) r G r ¢ X × X × q q e do ¢ ( ) ( ) òå r r q Iq¢

s x

=

O

=

år

=E4KRF=

r

r O r X ( q ¢ ) ×ei×q×o

q

xO

K

Этот результат совершенно аналогичен ранее полученному и= справедлив для любого члена ансамбляK= Определим спектральную= плотность поля=Eили спектр мощностиF=равенством:=

9S= =

r r O b ( q ) = X ( q¢ ) K=

E4KSF=

Основную роль для дальнейшего играет теорема Винера= – = Хинчина:= для любого случайного поля спектральная плотность= есть фуръе-образ автокорреляционной функцииK= Зная общие свойства функции= G ( o ) I= можем сделать опредеJ ленные выводы и о соответствующих свойствах= b ( q ) K=Последняя= функция должна быть положительно определеннойX= для изотропJ ного поля она может зависеть только от волнового числа=qI=а не от= направления в обратном пространствеK= Исходя из условий= E4KSF= и= пользуясь стандартными приемами исследования интегралов= ФурьеI= можно показатьI= что= b ( q ) стремится к нулюI =когда число=

q Op становится больше обратной длины корреляции= i-N =EрисK4KNF= ОчевидноI= спектральная плотность составляет необходимый элеJ мент описания любого случайного поляK= В какой мере она достаJ точна для этой цели?=Перепишем равенство=E4KSF=в виде:= r r ij q X ( q ) = b ( q ) × e ( ) K= E4KTF= = = = = = = = = = = а=======================================================б= РисK=4KNK=Автокорреляционная функция=EаFI=спектральная= плотность=EбF= = Видно теперьI=что это равенство определяет амплитуду кажJ дой= EкомплекснойF= фурье-компонента поляK= Если бы были известJ

9T= =

ны еще и все фазы= j ( q ) I =то= = поле= x ( o ) определялось бы одноJ значноK= Можно думатьI= что случайный характер поля проявляется= как раз в статистических свойствах фаз различных компонент= ФурьеI=фигурирующих в формуле=E4KTFK= =

4.P.=Гауссовы случайные поля== = Простейшее предположениеI=которое можно сделать относиJ тельно фазовых переменных= f ( q ) I= состоит в их статистической= независимости для различных величин= qI= изменяющихся в интерJ вале= -p до= p K= Это предположение точно совпадает с концепцией= спектрального беспорядка в решеткеI= использованной ранее для= описания спиновых волн и фононовK=Однако там речь шла о динаJ мических модахI= можно было предположитьI= что взаимодействие= между ними невеликоK= В данном случае непрерывное случайное= поле представляет собой=статическую характеристику беспорядкаI= «замерзшего»=в системе в процессе ее образованияX=представление= о спектральном беспорядке здесь уже не обязательноK= Более тогоI= заметимI=что фазовый угол= f ( q ) в действительности может выстуJ пать в роли измеряемой на опыте локальной характеристики поляK= ДействительноI=эта величина зависит от объема образца и от некоJ торых незаданных граничных условийI=определяющих квантование= q в данном объемеK= Искусственность упомянутого требования осоJ бенно подчеркивается тем обстоятельствомI= что фазовая переменJ ная= f ( - q ) должна быть равна= f ( q ) для каждого значения=qI=коль= скоро требуемI=чтобы функция= x ( o ) была вещественнойK= Преимущество этого метода реализуются в построении каноJ нической формы случайного поляI= статистические свойства котоJ рого определены для всех порядков функций распределенияK= ДействительноI=распределение= x само по себе очень простоеK= Из выражений==

98= =

rr r r r ij q x o = å X ( q ) ×eiqo I==== X ( q ) = b ( q ) × e ( ) ===

( )

r q

в=EпроизвольнойF= точке=o=Z=M=получаем для вещественной величиJ ны= x := x = å O × cos éf ë ( q ) ùû × X ( q ) I=

E4K8F=

q

где фазы= f ( q ) распределены случайно в интервале от= -p до= p K= Поскольку число членов этой суммы стремится к бесконечностиI= выражение=E4K8F=удовлетворяет условиям применимости=центральJ ной предельной теоремы теории вероятностиK= Указанное здесь условие необходимоI= но еще недостаточно= для тогоI= чтобы была справедлива центральная предельная теореJ маK=Нужно ещеI=чтобы дисперсия каждого слагаемого была ограниJ ченнойI= а сумма этих дисперсий неограниченно возрастала при= стремлении числа членов суммы к бесконечностиK= В теории вероятностей показываетсяI =что в этом случае пеJ ременная= x подчиняется стандартному нормальному или гауссову= распределению:= N mN ( x ) = × exp -x O L O p O I= E4K9F= p × Op

(

)

где= p O есть дисперсия случайного поляI=тK=еK p O º xO = å b ( q ) K= q

Таким образомI= рассматриваемое случайное поле определяJ ется величиной= p и видом автокорреляционной функции= G ( o ) I= в= данном случае не приходится обращаться к спектральному предJ ставлениюK= Многоточечные распределения и более высокие моменты= случайного поля также можно явно вычислить с помощью станJ дартных методов теории вероятностейK== ТакI=напримерI=двухточечное распределение должно бытьI=по= сути делаI= не чем инымI= как совместным распределением Гаусса= для переменных с корреляционной функцией= G ( o ) I=тK=eK=

99= =

æ ö xNO + xO O - OxNxO GE oF ÷ KE4KNMF= ç mO ExNX xO X oF = × exp ç ÷ ç ( Op ) p O éN - G O E oF ù ÷ ( Op) p O éëN - GO E oF ùûN O ë û ø è N

Из выражения=E4KNMF=видноI=что функция= mO удовлетворяет условию= ur ìdEx - x F × m ExF====при===o ® M mO ExNI xO X oF ® í N O K= î mExO F × mExN F====при===o ® ¥ Поскольку многие физические свойства системI= обусловленJ ные случайными полямиI= зависят от этой функцииI= то формула= E4KNMF=оказывается очень полезнойK= Однако условие спектрального беспорядка для гауссовой= статистики очень=искусственноK=Возникает вопросI=при каких друJ гих общих условиях будут справедливы соотношения=E4K9F=и=E4KNMFK= В соответствии с центральной предельной теоремой это возJ можно в случаеI= когда функцию= x ( o ) удается представить в виде= суммы большого числа независимых случайных переменных=EприJ мер смK=на рисK4KOFK= В качестве примера применения этого правила к стационарJ ной случайной функции времени можно привести теорему КэмпJ беллаK=Дробовой шум тока в электрической цепи можно записать в= виде суммы функций отклика= c ( t ) := f Et F =

¥

å

à =-¥

c Et - t à F I===========================E4KNNF=

где времена прихода электронов=tà случайны и независимыK=ТеореJ ма Кэмпбелла гласитI= что распределение=fEtF= переходит в гауссово= распределениеI= если скорость прихода электронов неограниченно= возрастаетK== АналогичноI= в трехмерном случае поле должно быть предJ ставлено в виде суперпозиции= «потенциалов»I= центрированных в= случайных точках= o à с объемной плотностью= kI= тK= еK= r r r xE oF = å v E o - o à F K= à

NMM= =

r r Из соотношения= E4KNF= следует условие:= n º k ò v o ×do K= Обобщая=

( )

доказательство теоремы Кэмпбелла= Eили любой другой эквиваJ лентный пример применения центральной предельной теоремыFI= можно убедитьсяI= что при= k ® ¥ распределение= x стремится к= r O r гауссовому с дисперсией:= p O = v O = k × ò v o ×do K=

( )

РазумеетсяI=полученный результат имеет смыслI=только если= величина= p O остается ограниченной в пределе при= k ® ¥ K=ФизиJ чески этот предел недостижимI= но в ряде случаев обращение к= нему дает вполне реалистичную аппроксимациюK= В суперпозиционном приближении корреляционная функция= оказывается просто автокорреляционной функцией потенциала= n I= нормированной на единицу:= r r r r r xG EMF × xE o F v* E o¢F × v E o¢ + o F × do¢ K= GEo F = = kò xO vO = = = = = = = = = РисK=4KOK=Суперпозиция случайно разбросанных потенциаловI= создающих гауссов беспорядок== = Возникает вопрос:= при каких условиях гауссов предел дает= хорошую аппроксимацию?== Основное условие применимости этого приближения состоJ ит в томI= чтобы величина= x в каждой точке поля представляла= собой сумму достаточно большого числа независимых слагаемыхK=

NMN= =

Чтобы понятьI= как может возникнуть негауссово полеI= расJ смотрим ступенчатую поверхность=EрисK4KPFK=

РисK=4KPK=Ступенчатая поверхность= = Двухточечная функция этого распределения:= mO ExNX xO X oF = mN ExN F × dExN - xO F × GE oF + mN ExN F × mN ExO F × EN - GE oFF = Эта функция удовлетворяет всем условиямI= независимо от вида= m ( x ) или= G ( o ) I= однакоI= даже если функция= m ( x ) намеренно выJ бирается в гауссовом видеI= то и тогда двухточечная функция расJ пределения не совпадает с совместным гауссовым распределением= E4KNMFK= Говоря топографическим языкомI= рассматриваемая поверхJ ность состоит из набора горизонтальных платоI= разделенных резJ кими уступамиI=причем расстояния между плато по порядку велиJ чины равны корреляционной длине= iK =По аналогии с телеграфной= функциейI=удобно предположитьI=что корреляционная и спектральJ ной плотности функции в данном случае имеют соответственно= вид:= N G E o F ~ e - o L i X== b Eq F : I= N + q O × iO как будто интервалы между ступеньками распределены случайным= образомK= Однако только этого предположения недостаточно для= адекватного определения топологии= «скачков»= между соседними=

NMO= =

платоI=вследствие чего модель нуждается в дальнейшем аналитичеJ ском исследованииK= Из-за разрывов в функции= x ( o ) здесь возникает слишком= много коротковолновых компонентK= Ответ заключается в томI= что= фазы= f ( q ) оказываются коррелированнымиI= связь между ними= должна обеспечивать горизонтальность поверхностей ступенекK= Эти ограничения бесконечно сложныI=и их никогда не удается выJ разить в явном видеI=вместе с тем о них нельзя забывать при статиJ стическом описании поляK=

= =

NMP= =

РАЗДЕЛ=R= НАБЛЮДЕНИЕ БЕСПОРЯДКА= = Как экспериментально получить информацию для тогоI=чтобы== установить расположение атомов в неупорядоченной системе?=Если= попробуем= «увидеть»= беспорядок на атомном уровнеI= пользуясь= пучком нейтроновI= рентгеновских лучей или электроновI= то просто= обнаружим диффузное рассеяние от некоторых участков образцаI= содержащих большое число атомовK== СведенияI= получаемые из дифракционных опытовI= носят= статистический характер и на практике ограничены= двухчастичными структурными характеристиками того же типаI=что= и радиальная функция распределенияK== Сделать выбор между микрокристаллической модельюI= моJ делью случайной динамических смещений и моделью случайных= скоплений можноI= лишь исследуя макроскопические физические= свойства материалаI= либо исходя из определенных химических= принципов=EнапримерI=условий возникновения валентной связиFK= В настоящее время имеется ряд прямых экспериментальных= методов наблюдения атомов или кластеров в конденсированной= упорядоченной среде=Eатомный полевой микроскопFI=но нет методаI= который позволил бы получить недостающую информацию отноJ сительно функций распределения высших порядков и тK=дK=в неупоJ рядоченной средеK=Поэтому в данном разделе не будем заниматься= выбором= обоснованных моделей реальных неупорядоченных сиJ стемK= Представляется уместным представить основные принципы= теории дифракцииI= которая играет столь важную роль в экспериJ ментальном изучении атомного беспорядка и позволяет заложить= основы дальнейшего развития теории неупорядоченных системK== В основе дифракционного опыта лежит измерение= интенсивности= f ( n I n ¢ ) излученияI=рассеянного в состояниеI=описываеJ мое функцией= y n¢ ( o ) I=из падающего пучка==частицI=находящихся= в исходном состоянии= y n ( o ) K==

NM4= =

Поскольку падающий и рассеянный пучки соответственно= формируются и собираются в свободном пространствеI=обе указанJ ные выше функции можно аппроксимировать плоскими волнами:==

yn ( o ) : eino K= При упругом рассеянии волновые векторы начального и коJ нечного состоянийI= n и= n'I= должны иметь одинаковую величинуI= определяемую энергиейI= или частотойI= падающего излученияK= По= отношению к падающему пучку образец играет роль=«потенциала»= r ( o ) I= зависящего от координатI= напримерI= в случае рентгеновJ ских лучей такой величиной будет электронная плотностьK=АмплиJ туду рассеяния можно найти с помощью борновского рядаI=первым= членом которого служит просто матричный элементI= нормированJ ный на объем образца:= rr r r r r r N r Jiqo r N * r n¢ r n == =× ò Y n o × r o × Y o × do = r o × e × do K==ERKNF= ¢ n ò s s

( ) ( )

( )

( )

Этот матричный элемент зависит только от вектора рассеяния:= r r r q = n - n¢ I= величина которого в случае=упругого рассеяния определяется углом= рассеяния= q между векторами=n и=n':= q = On × sinEq L OF K= Следующие члены борновского ряда соответствуют виртуJ альным процессам многократного рассеянияI= при которых падаюJ щее излучение переходит в конечное состояние через одно или неJ сколько промежуточных состоянийI= описываемых плоскими волJ нами и соответствующих произвольным значениям энергииK=ОднаJ ко при постановке дифракционных опытов умышленно избегают= реальных процессов многократного рассеянияI=ибо они лишь=«разJ мазывают»=искомую информацию относительно функции= r ( o ) K=В= таких условиях справедливо борновское приближениеI= описываеJ мое формулой=ERKNFK= Матричный элемент= ERKNF= есть не что иноеI= как фурье-образ= «потенциала»= r ( o ) K= Если бы можно было измерить непосредJ ственно саму амплитуду рассеяния при всех значениях вектора= qI=

NMR= =

тоI= применяя фурье-синтезI= можно было бы восстановить этот поJ тенциалK= Однако дифракционная аппаратура измеряет= интенсивJ ностьI которая не содержит информации о фазе рассеянного излуJ ченияK=Для упругого рассеянияI=опуская геометрические факторы:=

r r O f ( q ) = r ( q ) K=

Можно сказатьI= что= распределение интенсивности дифрагиJ рованного излучения дает меру спектральной плотности==«потенJ циала»=в неупорядоченной системеK= Если говорить о= «структуре»I= то необходимо уметь опредеJ лять положения атомных узлов= oi K=В большинстве случаев можно= принятьI= что= r ( o ) есть суперпозиция одинаковых= «атомных поJ тенциалов»=с центрами в указанных точкахI=тK=еK==

r r r r o = å u o - oi K=

( )

i

(

)

Исходя из выражения=ERKNFI=можно путем элементарных преJ образований привести формулу для интенсивности рассеяния к виJ ду:= r N f (q) = s =

N k

O

O

rr r r r iqo × × = u o o e do å i ò

× åe

(

i

r r r -iq oi - o à

(

iI à

)

rr r O N r r O ) × k u or ¢ × e-iqo ¢ × do¢ = × p ( q ) × u ( q ) K ò s k

=

( )

r Здесь= u ( q ) есть фурье-образ=«потенциала»=отдельного атомаK== Мы получили элементарную формулу для дифракции рентJ геновских лучей или нейтронов на любой системе атомовI=будь то= кристаллI= аморфное вещество или жидкостьK= Атомный формJ

фактор= u ( q )

O

предполагается известным из независимых измереJ

нийI= это есть не более чем сечение рассеяния рассматриваемого= излучения отдельным атомомK= Тогда измерение величины= f ( q ) = можно интерпретировать как определение функции интерференции= или=структурного фактора неупорядоченного вещества:=

NMS= =

r r

r

-iq ( oi - o à ) N r K= p (q) = × åe k iI à

ERKOF=

NK=В частном случае газового беспорядка=EрисK=RKNFI=когда поJ ложения атомов= oi =и= o à I=статистически независимыI=имеем= r r p ( q ) = N для всех= q K=Отклонение структурного фактора от единиJ цы может служитьI=таким образомI=мерой остаточной упорядоченJ ности в расположении атомовK== = = = = = = = = = = = = = = = = = = РисK=RKNK=Качественная картина газового беспорядка= = r OK=Для идеального кристалла функция= p ( q ) представляется= r r суммой дельта-функцийI=взятых в узлах обратной решеткиI= q º g K= r r

r

r

r r

r

r -iq ( oi - o à ) -iq ( oi - a ) N r -iqo à K= pide~l ( q ) = å e = åe º åe k iI à à à

NMT= =

Отсюда следует известная цепочка соотношений для идеальJ ного кристалла= rr Opk rr Þ e -iqa = N Þ qa = Opk Þ qm = = Opbm X am = r r pide~l ( q ) = å dqr IOpb K Определение= ERKOF= предполагает суммирование по всем узлам реJ шетки макроскопического образца с плотностью узлов= n = k s K= Основные допущения=–=однородности и эргодичности=–=позволяют= заменить это суммирование усреднением по ансамблю координат= узловI=отсчитанных от некоторого стандартного узла в точке=o=Z=MK= Выделяя диагональные членыI=для которых= i = à I=получаем= r r r rr r -iqo r -iq ( oi - o à ) N r à p (q) = åe ® N + nò g o × e × do K= ERKPF= k iI à r Здесь= g o описывает статистические свойства ансамбляI= по котоJ

( )

( )

рому проводится усреднениеI =и= = есть не что иноеI =как= бинарная= функция распределенияK= Это основной результатK= Дифракционный= эксперимент позволяет определить только бинарную функцию расJ пределения атомов в данном образцеI=ничего большеK= Операция обращения формулы=ERKPF=Eс целью найти функJ r r цию g o по измеряемым на опыте значениям= p ( q ) F =проста в=

( )

принципеI=но совсем не проста практическиK=Обычно образец макJ r роскопически изотропенI= так что= g o сводится к радиальной=

( )

функции распределения= g ( o ) K=При этом структурный фактор моJ жет зависеть только от модуля вектора=qI=тK=еK=от угла рассеяния=qI= определяемого равенством= q = On × sinEq L OF K= В результате формуJ ла=ERKPF=принимает вид:= ¥

p Eq F = N + n ò g E o F × M

sinEq × oF 4po O × do K= q×o

NM8= =

ERK4F=

При больших значениях= o радиальная функция распределеJ ния стремится к единицеK=При=q=®=M=интеграл расходитсяI=как легJ ко видеть из=ERKOFI=при этом возникает сингулярность типа дельтаJ r функции= d ( q ) K= Вычитая эту сингулярность как фурье-образ едиJ ницы из правой части равенства=ERK4F=Eпренебрегая этим в обознаJ чении структурного фактораFI=получаем:= ¥

p (q) = N+ n ò h(o) × M

sin ( qo ) qo

× 4p o O × do K=

ERKRF=

Здесь= h ( o ) = g ( o ) - N есть полная корреляционная функцияK= При больших значениях=o интеграл в правой части=ERKRF=сходитсяI= иI=следовательноI=его можно обратить стандартными методами:= g (o) = N+

N O

¥

× ò {p ( q ) - N} ×

8p n M

sinE qoF × 4pq O × dq K= qo

ERKSF=

= = = = = = = = = = = = = РисK=RKOK=Типичный вид структурного фактора жидкости= = Из формулы= ERKRF =следуетI =что= p ( q ) ® N при= q ® ¥ I =так что= интграл в правой части=ERKSF=сходится=Eпри исключении сингулярJ r ности= d ( q ) FK=

NM9= =

Пользуясь формулой= ERKRFI= легко установить характерные= особенности структурного фактора жидкости или стекла=EрисK=RKOFK= Малым значениям= q= соответствуют флуктуации плотностиI= имеюJ r щие значительную протяженностьI=поэтому величина= p ( q ) малаK=С= ростом= q вклад флуктуации возрастаетI= пока эффективная длина= волны не станет сравнимой с расстоянием между атомамиK= Тогда= пики функции= g ( o ) I= отвечающие различным координационным= сферамI= в результате конструктивной интерференции дают высоJ r кий пик функции= p ( q ) K=При переходе через эту точку структурный= фактор падает до минимумаI= а затем осциллирует вокруг единичJ ного значенияK= Основная причина этих осцилляции состоит в томI= что функция= g ( o ) = резко обрывается на расстоянияхI= меньших= ближайшего расстояния между атомамиK= Другими словамиI= диJ фракционная картина состоит из одного довольно резко очерченноJ го кольца и менее четких колец вокруг негоK= r В случае поликристаллического образца функция= p ( q ) имеJ ет вид последовательности пиковI= соответствующих различным= векторам обратной решетки рассматриваемой кристаллической= структурыK=В идеале дифракционная картина должна быть набором= четких концентрических колецK= Однако для очень малых кристалJ литов эти пики уширяются и размазываютсяI= так что по виду= структурного фактора становится трудно установитьI=имеем ли деJ ло с поликристаллом или с аморфным веществомK= Несмотря на аналитическую простоту формулы=ERKSFI=фурьеJ обращение измеренного на опыте структурного фактора= Eс целью= найти радиальную функцию распределенияF= на практике встречаJ r ется с рядом трудностейK=Измерить функцию= p ( q ) для всех значеJ ний аргумента=q=невозможноI= поэтому возникают ошибкиI= связанJ ные с обрывом интеграла на больших и малых значениях=qK=ИскусJ ству минимизации таких ошибок посвящена обширная экспериJ ментальная литератураK= Тем не менееI= многие формулыI= описываJ ющие характеристики неупорядоченных системI=записаны в фурьеJ r представленииI=в котором сама функция= p ( q ) может служить меJ

NNM= =

рой= «структуры»= средыK= Поэтому удобнее представить данные по= дифракции именно в этой формеI= чем производить сначала преобJ разование к функции= g ( o ) I=заданной в пространстве координатI=а= затем обратноK=

=

NNN= =

РАЗДЕЛ=S= ВОЗБУЖДЕНИЯ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ= СИСТЕМАХ= = S.N.=Возбуждения в неупорядоченных системах= Рассмотрим характерные колебательныеI= магнитные и элекJ тронные возбуждения в таких системахK= В описании этих возбужJ дений имеется много общих математических чертK= NK == Фононная системаK ПустьI= напримерI= конфигурация сиJ стемы соответствует минимуму потенциальной энергииI=причем=à-й= атом располагается в точке= o à K=Как и в обычной теории колебаний= решеткиI= допустимI= что при малом смещении этого атома= u à возJ никают возвращающие силыI= линейные по относительным смещеJ ниям соседних атомовK= Тогда классические уравнения движения= для таких смещений запишутся в виде:= KKr r j à × u à = -å F àl ¢ × ul ¢ K= ESKNF= l¢

Здесь= j à есть масса=à-го атомаI=тензор= F àl¢ описывает сиJ лыI=возникающие в узле= o à при смещении атома в узле= ol D K= В периодической решетке одинаковых атомов силовые поJ стоянные обладают трансляционной симметрией:=

r r F àl ¢ = F o à - ol ¢ K=

(

)

ESKOF=

Тогда все=k уравнений=ESKNF=становятся эквивалентнымиI=пеJ реходя одно в другое при сдвиге решеткиK=Это свойство симметрии= позволяет упростить рассматриваемую систему уравнений с помоJ щью преобразования ФурьеK= В результате получаются фононные= моды кристаллаK =В неупорядоченных системахI =где различные коJ эффициенты могут быть случайными переменнымиI= такой общей= симметрии нетI=и уравнение=ESKNF=надлежит решать другими спосоJ бамиK=

NNO= =

Простейший пример составляет случай идеального изотопиJ ческого беспорядкаI= когда массы= j à в эквивалентных узлах реJ шетки не одинаковыK=ОчевидноI=это есть лишь очень частный слуJ чай беспорядка замещенияI= вместе с тем такой подход часто исJ пользуетсяI=чтобы описать влияние различия масс на динамику реJ шетки сплава замещенияK= В принципе надо было бы включить в= рассмотрение и корреляцииI= связанные с ближним и дальним поJ рядком в пространственном распределении различных типов атоJ мовK= Однако большое внимание уделяется и модели бинарного= сплаваI=в которой атомы типов=А и=В с массами= j A = и= j B распреJ делены в правильной решетке случайным образомK =Интересуясь в= основном спектром нормальных колебанийI= допустимI= что все= смещения= u à изменяются во времени с одной и той же частотой=wK= Тогда систему=ESKNF=можно переписать в виде=

( F àà - wO × j à ) × u à + l墹 à F àl¢ × u

l¢

= M K=

ESKPF=

ОчевидноI= при наличии изотопического беспорядка изменяJ ются лишь диагональные элементы матрицыI= соответствующей= уравнениям=ESKPFK=Однако в настоящем сплаве=«химические»=разлиJ чия между компонентами приводят и к изменению силовых постоJ янныхI= что ведет к нарушению условия симметрии= ESKOFK= В этом= случае нельзя пренебречь и недиагональным беспорядкомK= В общем случае= Eв жидкости или газеF =положения равновеJ сияI=характеризуемые векторами= o à I=не соответствуют периодичеJ ской решеткеK= В такой системе не только все компоненты тензора= сил= F àl суть случайные величиныI=но даже само понятие= «близоJ сти»= узла= à к данному узлу= l можно определить лишь статистичеJ скиK= Именно поэтому так трудно построить теорию возбуждений в= топологически неупорядоченных системахK= OK=Магнитная системаK Благодаря известной аналогии между= фононами и магнонами сразу ясноI= что уравненияI= описывающие= отклонения спиновI= можно записать по образцу системы= ESKPFK=

NNP= =

НапримерI= для спинового гамильтониана в условиях ферромагнеJ тизма можно записать= pl E z F £ p K=

ESK4F=

Воспользуемся гейзенберговским представлением и запишем= уравнения движения для каждого из операторов спиновых отклоJ нений= p ±l = p E z Fl ± i × p E y Fl =

в следующем виде:= ih

¶p à E - F ¶t

= -O å é g P ( àI l ) × p à E -F × pl E z F - g ^ ( à I l ) × pl E -F × p à E z F ù K= ë û l¹ à

( - ) изменяются с одинаJ

Если допуститьI=что все величины= p à

ковой частотой= w и что система почти упорядочена= Eусловие= SK4FI = то получим систему уравнений= éì ù ü ê ïí Op å g P ( à I l ) ïý - hwú × p Eà-F - O p å é g ^ ( à I l ) × p E -F ù = M KESKRF= l û ë êï l ¹ à ú l¹ à þï ëî û Эта система уравнений аналогична по структуре системе=ESKPFK= PK= Электронная системаK Вполне естественноI= что похожие= уравнения получаются и при описании электронных состояний= конденсированной среды в модели= сильно связанных электроновK= Пусть потенциальная энергия электрона в изолированном=à-м атоме= r есть= v à ( r ) K= В этом поле существуют атомные уровни энергии=

(a )

b à I= которым соответствуют различные= атомные орбитали=

( a ) rr K= Допустим далееI= что потенциальная энергия электрона в= ( )

yà

рассматриваемой системе дается просто суммой энергийI=которыми= он обладал бы в системе отдельных атомах:= r r r r ( r ) : å v à r - o à K============================ESKSF= à

(

NN4= =

)

Тогда естественно предположитьI=что решение уравнения ШрединJ гера== ìï hO r üï r r ESKTF= × ÑO + r ( r ) ý Y ( r ) = E × Y ( r ) = íïî Om ïþ можно представить в виде линейной комбинации атомных орбитаJ лей=EЛКАОF:= r r r Y ( r ) = å u à E a F × y à E aF r - o à K= ESK8F=

(

à Ia

)

Подставляя разложение= ESK8F= в уравнение= ESKTF= и используя= r r свойства атомных орбиталей y à EaF r - o à = Eортогональность и=

(

)

нормированностьFI= получаем систему линейных уравнений для= определения коэффициентов=uK= Для больших систем различные интегралы перекрытияI= вхоJ дящие в эти уравненияI=сложны и неопределенныK=Они могут быть= вычислены из первых принципов только численными методами с= использованием принципа минимизации полной энергии системыK= Иногда используют упрощенную форму указанных уравнений:=

( b ( ) - E ) × u ( ) + å ås ( à

a

a à

l¹ à b

ab ) (b ) × ul àl

= M K=

ESK9F=

( ab )

Здесь матричные элементы= s àl модельного гамильтониаJ на подбираются эмпирически с таким расчетомI= чтобы воспроизвеJ сти структуру электронных зон в данном кристаллеK= Отметим еще= раз близкую аналогию между полученными уравнениями и системой= ESKPFK== ==ИтакI== можно сказатьI=что уравнения=ESKPFI=ESKRFI= ESK9F=имеют= один и тот же вид:=

( b à - l ) × u à + å s àl × ul = M =============================ESKNMF= l¹ à

(здесь=a=–=фиксированоI=рассматриваем одну энергетическую зонуFI= где переменная= u à соответствует амплитуде возбуждения на= à-м=

NNR= =

узлеI= а переменная=lI= характеризующая спектр возбужденийI= соотJ ветствует:= J=либо квадрату частоты колебаний= wO I== J=либо энергии=hw магнона или экситонаI== J=либо собственному значению энергии= b=электронного гаJ мильтониана всей системыK== Статистические характеристики диагональных элементов= b à = и недиагональных элементов= s àl можно установитьI= сопоставляя= системы уравнений=ESKPFI=ESKRF=или=ESK9FK=В задаче о колебаниях реJ шетки такое сопоставление дает=

b à ® j -à NF àà I== s àl ® j -à NF àl K=

ESKNNF=

Если=«исходные»=узлы образуют периодическую решеткуI=то= естественно заменить индекс= à= вектором решетки= o à K= В упорядоJ ченной системе энергия= b à = не зависела бы от= àI= а величины= s àl = удовлетворяли бы условию трансляционной симметрии= ESKOFK= При= этом уравнения=E9F=можно было бы сразу решитьI=пользуясь теореJ мой Блоха= u à = å wE qF × e

iqo à

K= Совершив преобразования ФурьеI=

получим:= rr ù r iqh é r ESKNOF= ê e à - l + å s h × e ú × w ( q ) = M K======== êë úû h¹M Параметр= l здесь оказывается собственным значением матJ рицы в правой части выраженияK== При рассмотрении колебаний решетки это является обычной=

(

)

( )

O

динамической матрицей для квадратов частот= éw ë ( q )ùû = нормальJ ных колебаний с волновым вектором=qK== В простейшей модели металла с сильной связьюI=когда кажJ дому узлу соответствует один атомный уровень энергииI= получим= типичную зону разрешенных состояний с энергиями=

NNS= =

r l ( q ) = bM +

rr r iqh å s h × e K====================ESKNPF=

h ¹M

( )

r Если=«интеграл перекрытия»= s h =отличен от нуля лишь для=

( )

ближайших= z= соседей данного узла= Eон тогда равен= sFI= то центру= зоны соответствует энергия= bM I=а полная ширина зоны дается выJ ражением= O B = O zs I=================================ESKN4F= где В=–=ширина зоныK= Энергия электрона в зоне достигает минимума и максимуJ мов соответственно в центре=Eq=Z=MF=и на границах зоны БриллюJ энаK=Параметр В удобно использовать в качестве энергетического= масштаба системыW= он характеризует величину взаимодействия= между соседними узлами решеткиK== РазумеетсяI= сделанные замечания совершенно тривиальны с= точки зрения обычной физики твердого телаI=а модель электронной= или фононной зоныI= записанная в виде= ESKNPFI= очень далека от= настоящих системK== Однако в теории неупорядоченных систем зачастую только= такие простые модели и удается рассматривать с известным успеJ хомK= =

S.O.=Возбуждения в одномерных системах== = Рассмотрим возбуждения в неупорядоченной одномерной= цепочкеK== NK Диагональный беспорядок уровней энергии= e à и недиаJ гональный беспорядок матричных элементов= s àl потенциальной= энергии могут быть связаны с двумя причинами:== - во-первыхI=могут иметь место физические или химические= различия между компонентами периодически расположенных ячеJ ек периодической цепочкиX=

NNT= =

- во-вторыхI=возможны флуктуации относительных расстоJ яний= x à между атомными центрами в цепочкеI=а беспорядок полуJ чается как следствие этих флуктуацииK== OK Наиболее серьезное ограничение полезности одномерных= моделей с теоретической точки зрения связано с обязательной тоJ пологической их упорядоченностьюK=Это означаетI=напримерI=что= «индекс узла»=à=в уравнениях=ESKNMF=всегда эквивалентен=«вектору»= периодической решеткиI=в которой среднее межатомное расстояние= такое жеI=как и в настоящей системеK== Говоря математическим языкомI= нет возможности отлиJ чить беспорядок замещения в=«одномерном сплаве»=от эффектовI= связанных со случайным характером расстояний между атомами= в=«одномерном стекле»=или=«одномерной жидкости»K Физические= допущенияI=лежащие в основе моделиI=влияют лишь на статистичеJ ские характеристики величинI= фигурирующих в качестве диагоJ нальных и недиагональных элементов в уравнениях=ESKNMFK= PK= Неизбежность последовательности атомов=Eв случае одноJ мерной моделиF=позволяет сформулировать==другой поход к поиску= метода решения уравнений=ESKNMFK= Мы не сильно потеряем в общностиI= если допустимI= что веJ личины= s àl отличны от нуля лишь для ближайших соседейK=Тогда= система=ESKNMF=принимает вид:= ( el - l ) ul + sl Il +Nul +N + sl Il -Nul -N = M K=

ESKNRF=

Введем матрицу переносаI= которая генерирует последоваJ тельные дифференциальные уравнения вида=ESKNMFK= N ù é M r r æ ul ö ê ú æ ul -N ö $ ç ÷ = ê - sl Il -N - e l - l ú × ç ÷ ==или= r l +N = Tl × r l K= = ESKNSF= u è ul +N ø ê s ú è l ø s l l l l I + N I + N ë û

NN8= =

r æ ul ö Здесь= r l +N º ç ÷ =–==вектор амплитуд двух соседних ячеек= è ul +N ø r æu ö l I l + N I =а вектор= r l º ç l -N ÷ = – = =амплитуды в предыдущей паре узJ è ul ø ловK=

r Отсюда следуетI=что возбуждение= r l в= l -м узле порождается= соответствующим возбуждением в предыдущем узлеI=умноженным= $ l-N K=В простейшем случае= T $ l =–=это матрица= на матрицу переноса= T

O=×=OI=компоненты которой даются выражением=ESKNSFK== Таким образомI=матрица переноса однозначно связана с кажJ дой ячейкой решеткиK= Распространение возбуждения вдоль цепочJ ки можно изобразить в виде матричного произведения последоваJ тельности соответствующих матрицK= Пользуясь соотношением= ESKNSFI=получаем:=

r r $ l +l¢D -N × T $ l +l¢-O × KKKT $ l¢ × r K= r l +l ¢ = T l¢

ESKNTF= Для упорядоченной системыI= в которой все матрицы переJ носа одинаковыI=можно записать= r r $ ù l ×r r l +l ¢ = é T l ¢ K=================================================ESKN8F= ë û Влияние беспорядка сводится к томуI=что матрицы переноJ са меняются от ячейки к ячейке за счет случайных вариаций элеJ $ есть= ментов матрицы=ESKNSFK=Другими словамиI=матрица переноса= T случайная функция номера узла= l X=функция распределения ее знаJ чений определяется физическими особенностями данной моделиK== Рассмотрим более конкретную задачу о движении электроJ на в поле одномерного случайного потенциалаI=имея в виду беспоJ рядок замещенияI=можно построить модель сплава Кронига=–=ПенJ ни=EрисK=SKNI=аFK=Узлам решетки в этой модели приписываются дельJ тообразные потенциалы с различными=«силами»= dl K=

NN9= =

Можно ввести и модель жидкости Кронига= –= Пенни= (рисKSKNIбFI= в которой случайной переменной служит расстояние= = между соседними дельта-функциями xN K== В обоих случаях обычная теория модели Кронига= –= Пенни= для периодической цепочки подсказывает намI= что решение уравJ нения Шредингера при энергии= b = c O строится из волновых= функций свободного электрона с волновыми числами= ±c K= Пусть координата= x принадлежит= l-му= «открытому промеJ жутку»= E M £ x £ xl FK= Тогда указанную функцию можно записать в= виде:= u¢ y l E x F = ul × cosEc × x F + l × sinEc × x F K= ESKN9F= c = = = = == = = = = = = = = = РисKSKNK= = Модели Кронига= –= ПенниW= а= –= «сплав»X= б= –= «жидJ кость»= = Коэффициенты здесь пока произвольныK= Однако функцию= ESKN9F= по прохождении через сингулярность= dl надо= «сшить»= с= волновой функцией= y l+N из соседнего промежуткаK =Условия сшиJ вания при таком переходе имеют вид:=

NOM= =

y l +N EMF = y l Exl FX N ¶yl +N N ¶y l K= ESKOMF= × × = dl yl +N ¶x x =M y l ¶x x=x l Подставляя выражение= ESKN9F=в условия= ESKOMFI= получаем лиJ нейные уравнения для последовательных амплитуд возбуждения== Eul I ul¢ FX Eul +N I ul¢+N F K== В матричной форме эти уравнения имеют вид:= é

N ù × sinE cxl F ú æu ö c ú × ç l ÷ K==ESKONF= dl ú è ul¢ ø ê -c sinEcxl F + dl cosEcxl FX cosEcxl F + c × sinEcxl F ú ë û

æ ul +N ö ê ç ¢ ÷=ê è ul +N ø ê

cosEcxl FX

Если отвлечься от физического смысла возбуждения= r à I= то= полученное выражение имеет такую же формуI=что и соотношение= ESKNSFK=Для упорядоченной системы все матрицы переноса= T были= быI=как и в формуле= ESKN8FI=одинаковы для всех узловK=Для наших= неупорядоченных моделей элементы матриц= T надо определять= статистическиI= задавая функцию распределения случайных переJ менных=x и/или=dK= RK=Рассмотренная модель есть достаточно частный случайK=ЛюJ бую одномерную потенциальную энергию= s ( x ) можно представить в= виде одномерной последовательности=«атомных потенциалов»= vl ( x ) I= разделенных участками=Eможет бытьI=бесконечно узкимиFI=на которых= потенциальная энергия равна нулю= EрисK= SKNFK= Таким образомI= матеJ матическая задача сводится к исследованию возбужденийI= распроJ странение которых вдоль цепочки описывается уравнениями типа= ESKNSFX= при этом элементы матрицы= T à суть случайные переменJ ныеK= Метод матрицы переноса=ESKNSF=можно использовать для люJ бых теоретических моделей возбуждений в одномерной цепочкеK= СлучайI= когда возбуждение= r имеет только две компонентыI =обJ ладает достаточной общностьюK= Он описывает большинство модеJ лей колебательных или электронных возбуждений в цепочке=

NON= =

«сплава»=или=«жидкости»=EрисKSKOFK=Эти физические задачи матемаJ тически сводятся к изучению результатов преобразования двухJ мерного вектора= r при последовательном умножении его на матJ рицы= T à =J=матрицы=O=×=O=со случайными элементамиK== = = = = = = = = = = = = = РисKSKOK=Непрерывная случайная потенциальная энергия= s ( x ) =EаFI=ее= разбиение в= нулевых точках=Eсо случайными расстояниями= x между= нимиF= на одномерную цепочку случайных ячеистых= «потенциалов»= vl (бF= = ЗаметимI= что в двухJ= и трехмерном случаях все рассмотренJ ные выше обобщения оказываются несправедливыми из-за возJ можности обхода некоторого узлаK= =

S.P.=Фазовое представление= =

При изучении спектральных свойств системы нас интересуJ ют= стационарные= возбужденные состоянияI= волновые функции= которых удовлетворяют заданным граничным условиям на концах= цепочкиK=При этом циклические граничные условияI=когда цепочка= как бы соединяется в замкнутую петлюI= оказываются неудобными= для неупорядоченных системK=

NOO= =

Более естественно считатьI= напримерI= что крайние атомы= неподвижны= EилиI= при рассмотрении электронного спектраI= что= волновые функции обращаются в нуль на концах цепочкиF=такI=что= амплитуды= uM = и= u k равны нулюK =Это можно рассматривать как= частный случай более общего условияI= согласно которому при= l = M и= l = k =степень возбуждения= zl =EтK=еK=отношение двух комJ понент= r l FI= должна принимать наперед заданные значения= zM и= z k =соответственноK=Из общей теории задач на собственные значеJ ния известноI=что если число=k достаточно великоI=то точные знаJ чения= zM и= z k I= как бы их ни выбралиI= мало влияют на спектрK= СледовательноI= можно без особой ошибки использовать простыеI= хотя и несколько нефизические условия= z M = M и= z k = M K== С геометрической точки зрения эти условия означаютI= что= при= l = M и= l = k двухмерный вектор= r l должен располагаться в= заданном направленииK== Рассматривая только=стационарное состояниеI=можно не обJ ращать внимания на величины последовательных амплитуд возJ бужденияI=а сосредоточиться лишь на исследовании фазы:= ul ì ïO~rctgE u F для ESKNSFX ï l -N = ESKOOF= ql º O~rctg ( z l ) = í ïO~rctgE ul F для ESKONFK ïî ul¢ Фаза меняется вдоль цепочки от ячейки к ячейкеI=удовлетвоJ ряя при этом граничным условиям:= æq ö æq ö tg ç M ÷ = tg ç k ÷ = M K====================ESKOPF= è O ø è O ø Умножение на матрицу переноса= Τl эквивалентно вращению= вектора= r l K=Пользуясь соотношением=ESKNSFI=можно найти изменеJ ние фазы:= ql +N - ql = hl Eql +NI l F ==================ESKO4F=

NOP= =

через элементы матрицы= Tl иI=если аккуратно следовать алгебраиJ ческим формулам=ESKNTF=и=ESKOOFI=то можноI=начав с заданного знаJ чения= qM = M на одном конце цепочкиI=вычислить величину= q k =на= другом концеI=последовательно суммируя выражения=ESKO4FK= Вообще говоряI= определенный таким путем конечный фазоJ вый угол не будет удовлетворять граничному условию= ESKOPF= на= конце цепочкиK= Однако всякая матрица переноса зависит еще от= спектральной переменной= lK= Последняя может входить в= Τ l либо= явноI=как в формуле=ESKNSFI=либо по определению переменной=l=как= энергия=«свободного электрона»= c O =в формуле=ESKONFK= Иначе говоJ ряI=конечную фазу надо написать в виде= q k El F I=указывая на завиJ симость ее от= lK= Тогда спектр стационарных состояний системы= дается набором значений= l k I=удовлетворяющих условию= q k El F = Opk I= ESKORF= где= k = –= целое числоK= Лишь для этих значений= l= можно одновреJ менно удовлетворить оба граничных условия=ESKOPFK= Можно доказать общее положение:= если собственное значеJ ние матрицы переноса вещественныI= то в спектре идеальной цеJ почки имеется=«запрещенная зона»K= НапримерI= для регулярной модели Кронига= – Пенни можно= получить неравенство= N d ESKOSF= cosEc × xM F + × M × sinEc × xM F > N I= O c которое соответствует обычному утверждению:= в одномерной цеJ почке дельта-функций с мощностью= dM I разнесенных на расстояJ ния xM I= не существует стационарных состояний с энергией= c O = (показать самостоятельноFK= РазумеетсяI= здесь элементы матрицыI= переноса содержат пеJ риодическую функцию спектральной переменной= c K=СледовательJ ноI= областиI= в которых удовлетворяется условие=ESKOSFI= выступают= как промежутки между различными= разрешенными зонамиK= Из=

NO4= =

условия=ESKOSF=явствует такжеI=что эти запрещенные зоны сужаются= по мере роста= c K= =

S.4.=Запрещенные зоны в спектрах== неупорядоченных цепочек= = Неупорядоченная цепочка= математически характеризуется= случайной последовательностью неодинаковых матриц переноса= T à I= произведение которых= ESKNTF= описывает распространение возJ буждения= вдоль цепочкиK= Для каждой такой цепочки при помощи= численных расчетов можно= найти стационарные состоянияI= удоJ влетворяющие граничным условиям вида= ESKOPFK= Однако главная= задача состоит в отыскании спектрального распределения для анJ самбля цепочекI =в котором различные типы матриц переноса расJ пределены случайно с какими-то заранее заданными вероятностяJ миK= NK= Наиболее прост пример случайного бинарного сплаваI= в= котором матрицы переноса= T A и= T B =распределены вдоль цепочки= случайным образом с относительными концентрациями= c A =и= cB K= OK=Все типы одномерного=«пространственного»=беспорядка=–= «одномерное стекло»I=«одномерная жидкость»=и тK=дK=–=можно опиJ сать единым образомI=последовательно выбирая матрицы переноса=

{ }

x из множества= T( ) I= в котором задана функция распределения=

m ( x ) межатомных расстояний= xK= НапримерI= теория электронных= состояний в= «одномерном жидком= металле»= основывается на изуJ чении цепочкиI=матрицы переноса для которой даются выраженияJ ми аналогичными=ESKONFK=При этом элементы матриц зависят от выJ бора чисел= x à на каждом шагеK=

Как отмечалосьI= в спектре= периодической= цепочки имеется= запрещенная зонаI= если собственные значения матрицы переноса= вещественныK= Пусть условие возникновения запрещенной зоны= EORF= выполняетсяI= когда спектральная переменная= c= принадлежит=

NOR= =

области= L( ) ( c ) K=Для различных значений параметра= x I=(илиI=моJ жет бытьI=для разных типов атомовF=указанные области будут разJ нымиK= Допустим далееI =что все эти области в какой-то мере переJ x

{

x крываются:= существует область= L ( l ) I= общая для всех= L( ) ( l ) ==

при любых физически возможных значениях=x=Eили для всех сортов= атомов в сплавеFK= Тогда на каждом шаге вдоль любой неупорядоJ

{ }

x ченной цепочкиI= построенной из матриц= T( ) I= возбуждениеI= коJ

торому отвечает спектральная переменная= lI= лежащая в области= {

L ( l ) I=будет наталкиваться на матрицы перехода с=вещественными= собственными значениямиK=При этом вектор возбуждения=«застреJ {

вает»K=Таким образомI=область= L ( l ) оказывается запрещенной зоJ ной в спектре любой цепочкиK= В общем случае может быть доказана теорема:= любой облаJ сти спектраI= которой отвечают запрещенные зоны в спектрах= как беспримесной цепочки типа АI= так и беспримесной цепочки= типа ВI= соответствует и запрещенная зона в спектре решеткиI= построенной из произвольной смеси атомов А и ВK== НапримерI= частоты колебаний изотопически неупорядоченJ ного сплаваI =представляющего собой смесь легких= EMF =и тяжелых= атомов= ENF= с массами соответственно= j M и= jN K= НапримерI= для= беспримесных цепочек из атомов типа=EMFI=фононный спектр имеет= вид:= wO º l = O (Ф j M ) × (N - cos ObM ) K= ESKOTF= Здесь константа Ф=выражается через силовые постоянныеI= а= величине= ObM =можно сопоставить волновой вектор возбуждения=qK= NO

Максимальная частота= wm~x =в этой зоне равна= éë O ( Ф j M ) ùû I=она= лежит выше соответствующего предельного значения для бесприJ

NOS= =

месной цепочки атомов с массами= jN K=Тогда из доказанной выше= теоремы следует толькоI=что в смешанной цепочке запрещены чаJ стоты колебанийI= превышающие оба эти предельные значенияK= Иначе говоряI= не существует нормальных колебаний с частотойI= превышающей максимальную частоту колебаний периодической= цепочкиI=составленной из самых легких атомов смесиK= Эта общая теорема применима и к=жидкости Кронига=–=ПенJ ниI= в которой одинаковые дельтообразные пики потенциальной= энергии= di = dM отстоят друг от друга на разных расстояниях= xi K= ОказываетсяI= однакоI= что если отношение масс достаточно= великоI=то для некоторых волновых чисел возникают дополнительJ ные узкие запрещенные зоны в спектре фононовK=ДопустимI=прежJ де всегоI =что концентрация тяжелых атомов столь высокаI =что= априорная= вероятность встретить длинную непрерывную последоJ вательность легких атомов очень малаK= Исключим произвольно из= статистического ансамбля все цепочкиI=в которых подряд располоJ жены более=E p - N F=атома массы= j M K=ТогдаI=любую неупорядоченJ ную цепочку можно рассматривать как случайную совокупность= элементовI= выбранных из множества отрезков= { A ( s )} = переменной= длиныI=каждый из которых содержит один атом массы= jN =и=Es=JNF=

Z=MI=NI=OI=K=K=KI=EрJNF=атомов массы= j M K=Пусть= T( ) ( l ) =–=матрица пеJ реноса для такого отрезкаI=тогда в периодической цепочке из таких= s

отрезков возникнет запрещенная зона= L( ) ( l ) K Теорема утверждаJ етI= что в неупорядоченной цепочке также возникнет запрещенная= s

{

зона в области= L ( l ) I= которая является общей для всех областей= L( ) ( l ) =при= N £ s £ p K СледовательноI=запрещенная зона в спектре= рассмотренного ограниченного ансамбля неупорядоченных цепоJ чек может иметь вид как на рисKSKPK= s

NOT= =

= РисK=SKPK=Общие запрещенные зоны для сплавовI=не содержаJ щих более четырех легких атомовK=Отношение масс=–= jN j M = 4 = = Для совершенно неупорядоченной цепочкиI=в которой нельзя= полностью исключить вероятность обнаружения бесконечной поJ следовательности атомов только с массой= j M I=каждая из этих заJ прещенных зон должна быть в принципе бесконечно узкойK=Однако= более детальный анализ показываетI= что выше каждой исключенJ ной особой частоты лежит некоторая область настоящих уровнейI= соответствующих связанным=примесным модамK=Эти моды порожJ даются= «островками»= легких атомовI= отделенных друг от друга= «морем»=тяжелых атомовK=Островок из=р=легких атомов обладает=р= различными модамиK =Каждая из них уширяется в узкую зону за= счет взаимодействия=Eчерез тяжелые атомыF=с другими подобными= островками в цепочкеK=Результирующий колебательный спектр сиJ стемы представляет собой просто сумму всех таких вкладовK=ОднаJ коI= так как вероятность обнаружить цепочку с очень длинной неJ прерывной последовательностью легких атомов очень малаI= то= наблюдению доступно лишь несколько модI= лежащих непосредJ ственно под особой частотойK=Таким образомI=плотность состояний= в этой точке меняется почти скачком=EрисK=SK4FK=

NO8= =

= = = = = = = = = = = = = = = = РисK= SK4K= Спектр неупорядоченной цепочки при отношении= масс атомов в сплавеI=равном трем= = Физическая интерпретация этого явления в рамках представJ ления об=«островках»=примеси наводит на мысльI=что похожие эфJ фекты можно наблюдать и в энергетическом спектре электронов в= неупорядоченных одномерных сплавахI=компоненты которых резко= различныK=НапримерI=в модели Кронига=– Пенни это означаетI=что= «силы»= дельта-функций= dl должны быть достаточно большими и= достаточно сильно отличающимися друг от другаK== =

S.R.=Плотность состояний= = Фазовое представление лежит в основе математической теоJ рии= плотности состояний= N ( l ) = = для возбуждений в цепочкеK= По= определению= N ( l ) d l есть число дозволенных состояний= E«уровJ ней»F=в интервале=ElI=l=H=dlF=в расчете на единичную ячейку цепочJ киK=Сама функция= N ( l ) определяется как пределI=к которому стреJ

NO9= =

мится распределение уровней для одной цепочки при=k®=¥ или=Eв= неудобных случаяхF=как среднее по ансамблю таких цепочекK= Как отмечалосьI= новое стационарное состояние возникает= всякий разI=когда фаза= q k ( l ) удовлетворяет условию=ESKORFK=Тогда= по определению= N N ( l ) d l = lim ESKO8JNF= × [ q k El + d lF - q k ElF ] I= k ®¥ Opk или== N ¶q k El F N ( l ) d l = lim × K= ESKO8JOF= ¶l k ®¥ Opk Чтобы избавиться от вычисления производной от функцииI= которая может и не быть непрерывнойI= удобно ввести= интегральJ ную плотность состоянийW=

D El F =

l

N

× q k ElF I= ò N El¢Fd l¢ = klim ®¥ Opk

ESKO9F=

-¥

q k E-¥F = M K= = = = = = = = = = = = РисKSKRK= Интегральная плотность состояний в неупорядоJ ченной цепочкеI= в которой силовые постоянные распределены по= экспоненциальному закону= =

NPM= =

Дайсон рассмотрел модельI= в которой силовые постоянные= Fl Il+N I= фигурирующие в уравнении колебанийI= подчиняются эксJ поненциальному или гауссову распределениюK= В этом случае для= интегральной плотности состояний удается получить аналитичеJ ское решениеK =Для простоты изложения опустим выкладкиK =В реJ зультате получается плотность состояний с= «хвостом»I= простираJ ющимся в областьI =которая в упорядоченной системе была бы заJ прещена=EрисK=SKRFK== =

S.S.=Приближение локальной плотности= =

Если функция распределения= m ( x ) непрерывно зависит от= параметра беспорядка=xI=то спектр возбуждений можно найти приJ ближенноK=Если степень беспорядка не слишком великаI=то спектр= бесконечной цепочкиI= по-видимомуI= можно рассматривать как= сумму независимых вкладов от различных коротких отрезков цеJ почкиI=концентрации компонентов сплава в которых различныK=ТаJ ким образомI= концепция=«островков»I= уже позволившая дать качеJ ственную трактовку происхождения особых частот и запрещенных= областей энергии в бинарном сплавеI=обобщается на предмет полуJ количественного описания полного спектраK= Пусть требуется вычислить= EинтегральнуюF= плотность соJ стояний= a(λF= для неупорядоченной цепочкиI= в которой= среднее= межатомное расстояние равно= x¥ K= В самом грубом приближении= можно взять плотность состояний для=регулярной=цепочки с таким= же межатомным расстояниемI=тK=еK=принять:= D ( l ) » DM ( lX x¥ ) K= ESKPMF= Не следует думатьI=что такая оценка бесполезнаK=НапримерI=в= случае жидкости Кронига= – Пенни это приближение подскажет= намI=где искать главные=«разрешенные»=зоны и где могут быть заJ прещенные области энергииK== Выберем теперь случайным образом конечный отрезок расJ сматриваемой цепочкиI= состоящий из= i= ячеекK= Если среднее межJ

NPN= =

атомное расстояние в нем равно= xi I= то функция= DM ( lX xi ) дает= нам плотность состояний в идеальной цепочке с таким межатомJ ным расстояниемK= Будем далее рассматривать цепочку как послеJ довательность отрезков идеальной цепочкиK= Пусть длины этих отJ резков одинаковы и равны=iI=но средние межатомные расстояния в= них= xi случайно изменяются от отрезка к отрезкуI= и вероятность= реализации того или иного значения xi задается функцией распреJ

деления= mi ( xi ) K= Полученная таким путем плотность состояний= для всей совокупности отрезков называется=приближением локальJ ной плотности:= Di ( l ) = ò mi ( xi ) × DM ( lX xi ) × d xi K= ESKPNF= Эта аппроксимация дает гораздо более точные результатыI= чем простая формула=ESKPMFK=Если функция= m ( x ) достаточно регуJ лярнаI=а длина=i=не слишком малаI=то функция распределения расJ стояний= xi удовлетворяет центральной предельной теореме и= стремится к гауссовой форме:= ì i x -x Oü N ¥) ï ï ( i ESKPOF= mi ( xi ) = × exp íý I= O Opi × s Os ï ï î þ O где= s есть средний квадрат флуктуации межатомного расстояния= при переходе от отрезка к отрезкуK== Точная форма функции= DM ( lX x ) I= фигурирующей в формуле= ESKPMFI=зависит от конкретных свойств данной физической системыK= Особенно интересныI= однакоI= те области спектраI= которые лежат= вблизи точекI= соответствующих краям зон в идеальной цепочкеK= Согласно теории функцийI= эти края зон должны совпадать с= осоJ бенностями Ван ХоваK= Рассмотрим простую задачу для плотности числа колебаний= в регулярной решетке с периодом= aK= Пусть= g – жесткость связей= атомовI=имеющих массу=jK= Спектр колебаний определяется выраJ жением:=

NPO= =

w=O

ka O w g sin K= или== k = ~rcsin a wM М O

Тогда== w a ka d w = M cos dk K= O O O ka ka Но так какK= cos = N - sin O = N - w L wM I=то можно сказатьI= O O что= O dw N = dk I= O a wM N - w L wM

(

(

)

)

т.еK=находим якобиан перехода от интегрирования по пространству= æ dk ö K к интегрированию по=w: ç ÷ = k ( w ) K= è dw ø

= = РисK=SKSK==Графики плотности числа состояний и интегральJ ной плотности состояний в одномерных системах= = = Особенность Ван-Хова=EрисKSKSF:= N = k EwF = O a × wM O N - w L wM

(

NPP= =

)

(корневой характер плотности числа состояний в одномерных сиJ стемахI=в двухмерных системах=–==логарифмическая особенностьFK= ИтакI= в одномерной регулярной решетке интегральная плотJ ность состояний вблизи потолка первой зоны приближается к едиJ нице по закону== NO

DM ( l ) : N - ( lM - l )

===для= =l= Y l M X

DM ( l ) : 1===для= =l= [ l M K

==

ESKPPF=

Однако при изменении межатомного расстояния= xi = точка= l M I=соответствующая потолку указанной зоныI= должна сдвигаться= по какому-нибудь закону типа=

(

)

lС ( xi ) = l ¥ + a x i - x¥ + KKK I= ESKP4F= здесь= l ¥ = – =потолок данной зоны для среднего= Eпо всей цепочкеF =

межатомного расстояния= x¥ I=а коэффициент= a определяется конJ кретными параметрами моделиK=ПредположимI=что отклонения буJ дут малыI=поэтому оставим только линейный членK= Подставляя соотношения=ESKPOF=–=ESKP4F=в формулу=ESKPNFI=поJ лучаем выражение для интегральной плотности состояний в неупоJ рядоченной цепочкеK=ИтакI== ìï N - l - l )N O I l Y l M I= DM ( l ) = í ( M NI l [ lM ïî NO ì ïN - él + a ( xi - x¥ ) - l ùû D%i ( lI x n ) = í ë ¥ I= ïî N O NO D%i ( l ) : ò e- x éêN - ( a + bx ) ùú dx I= ë û

где====== x O = i ( xi - x¥ ) O I====== a = l¥ - l I== b = a Os K========ESKPRF= Os i Под интегралом в= ESKPRF= стоит произведение двух функций:= плавной и с острым пикомK= Для интегрирования используем метод=

NP4= =

перевала= –== в точке максимума плавная функция= fl ( x ) заменяется=

на= fl ( A) и выносится за интегралI=а резкая функция интегрируетсяK= НапримерI= достаточно далеко в запрещенной области энерJ гии= Eвыше= l ¥ F= обнаруживается экспоненциально затухающий= хвост плотности состоянийI=описываемый выражением вида=

D (l) : N - e

-

( l-l ¥ )O b

O

=N- e

-

( l-l¥ )O ×i O O

Os a

K=

ESKPSF=

= = = = = = = = = = = = = = = = РисK= SKTK= Сравнение интегральной плотности состояний в= модели= «жидкости»= Кронига= –= = ПенниI= вычисленной в приближеJ нии локальной плотности и путем расчета по методу МонтеJ Карло= = В действительности модель=«одномерной жидкости»=вряд ли= заслуживает столь утонченного расчетаI=хотя следует отметитьI=что= результаты таких вычислений совпадают с численными расчетами= по методу Монте-Карло=EрисK=SKTF=в пределах ошибкиK== Таким образомI= метод приближения локальной плотности= очень полезен как эвристическийI= полуколичественный подход к=

NPR= =

расчету спектра неупорядоченной системыK= Вместе с тем данный= подход по-видимому не может служить исходной точкой для строJ го определенного ряда последовательных приближенийI=сходящихJ ся к истинной плотности состоянийK=Это приближение совершенно= не годится для исследования= «патологических»= характеристик= спектра вроде особых запрещенных областей энергии в модели биJ нарного сплаваK= =

S.T.=Квазиклассические электроны= в случайном потенциальном рельефе= = В случае=плотного газа=центров=Eисточников=слабого=рассеяJ нияF= потенциальная энергия электрона в поле каждого центра хаJ рактеризуется радиусом действия= rp K=Последний достаточно велик= для тогоI= чтобы охватить много атомных сфер радиуса= rs I= однако= глубина ямы здесь недостаточна для образования связанного соJ стояния электронаK= Полная потенциальная энергия теперь предJ ставляет собой результат суперпозиции многих= перекрывающихся= вкладовI= и потому ведет себя подобно= гауссову случайному полюK= Будем считатьI=что среднее значение потенциальной энергии элекJ r трона в отдельном атоме равно нулю=–= V o = M K=ТогдаI=как и в=

( )

разделе= «континуальный беспорядок»I= можно рассматривать велиJ r чину= V o как непрерывную случайную функциюI=значения котоJ

( )

рой распределены с вероятностью= ìï V O üï N = P( V ) = exp íOý OpW îï O W þï

ESKPTF=

r относительно единого начала отсчета энергии V o

( )

= M K= r Исходя из формы атомных потенциальных ям= v Er F I= можно= найти ширину распределенияI= W K Она получается из соотношения:=

NPS= =

WO = u

O

r r r º k ò u* o × u o × do K=

( ) ( )

ESKP8F=

Вид потенциальной энергии электрона в поле отдельного= атома определяет также и автокорреляционную функцию:= r r r uG o + o¢ × u o¢ r I= ESKP9F= Г o = O u

( )

(

) ( )

с помощью которой можно найти бинарную функцию распределения= æ ö xNO + xO O - OxNxO GE o F ÷ ESK4MF= ç mO ExNX xO X o F = × exp NO ç ÷ ç ( Op ) p O éN - G O E o F ù ÷ ( Op) p O éëN - G O E oF ùû ë û ø è N

r и другие статистические характеристики поля= V o K==

( )

В выражении= ESKP9F= для нас существенно тоI= что функция= r GE o F удовлетворяет обычным предельным соотношениям и харакJ теризуется=длиной корреляции= i : rp : N gc I= ESK4MF= которая= i по порядку величины сравнима с= «радиусом действия»= каждого отдельного атомаK= Того же порядка будет и минимальная= длина волныI= соответствующая= спектральной области= M= Y= q= Y= qc = волновых чисел в фурье-представлении потенциальной энергииK= Рассмотрим теперь электрон с энергией=bI=перемещающийJ r ся в случайном поле= V o K Если= b ? W I=то электрон всегда проJ

( )

летает над горбами потенциального рельефаK=В этих условиях можJ но с достаточной точностью решить уравнение ШредингераI= расJ сматривая=s==как возмущениеI=искажающее волновые функции своJ бодных электроновK= Этот подходI= однакоI= неправомерен при более= r низких энергияхI= когда в некоторых областях величина= V o моJ

( )

жет фактически превосходить=bK=Если рассматривать электрон как= классическую=частицуI=то при движении его на=«высоте»=b=над=«реJ r льефом»= V o он не сможет проникнуть под вершиныI=оказавшиJ

( )

NPT= =

еся выше занимаемого им уровня= EрисK =SK8FK =Таким образомI =при= решении уравнения=Шредингера важную роль будет играть=топоJ r графия= случайной функции= V o I= и результаты его решения в=

( )

классическом предельном случае должныI= по принципу соответJ ствияI=согласовываться с ходом классических траекторийK=

РисK= SK8K= Квазиклассический электрон в случайном потенJ циале не способен проникнуть сквозь потенциальные барьеры= = Если на каждом отрезке классической траектории укладываJ ется много длин волн электронаI= то можно воспользоваться= кваJ зиклассическим приближением=для решения уравнения ШредингеJ раK= В рамках разумных допущений относительно вида функции= r GE o F можно показатьI= что характерный размер= «топографических= r деталей»= V o есть длина корреляции= iK= В типичной= «долине»= с=

( )

«энергетической глубиной»= W квазиклассическое приближение= оправданоI= когда= i= превосходит характерную длину волны де= h Бройля= D » I= тK= еKI= если воспользоваться атомными единиJ Om W цами= ( h = m = e = N) I=когда выполняется неравенство==

W iO ? N K= ESK4NF= В указанных условиях плотность состояний электрона с хоJ рошей точностью дается= приближением Томаса= –= ФермиW= в той= областиI=где потенциальная энергия электрона есть=sK=

NP8= =

Плотность числа состояний= электронов выражается следуJ ющим образом:= NO

k ( b IV ) : ( b - V ) K= СоответственноI= интегральная плотность состояний= выраJ жается следующим образом:= PO D ( b IV ) = NO éë O ( b -V ) ùû K= ESK4OF= Pp Учтем теперьI= что значения= V распределены с вероятностью= P ( V ) K= Поэтому интегральная плотность состояний с энергиейI= не= превышающей=bI=для системы в целом должна быть равна=

D Eb F =

b

N

PO ò éë O ( b - V )ùû × m ( V ) × d V K=

ESK4PF= Pp -¥ СоответственноI= в квазиклассическом предельном случае плотJ r ность состояний электрона в случайном гауссовом поле= V o даJ O

( )

ется выражением:= kqc E b F = p-R L O × W -N ×

b

ò

NL O

(b - V)

V2

F × d V K==ESK44F= O W O -¥ Поведение этой величины как функции энергии= Eее можно= выразить аналитически с помощью функции параболического циJ линдраF=изображено на рисK=SK9=сплошной кривойK=В области высоJ ких энергий= b ? W она приближается к обычной зависимостиI= характерной для свободных электронов=Eштриховая криваяFK= O NO kqc E b F » × b K= ESK4RF= O p Однако при энергиях ниже уровняI= принятого нами за нулеJ войI= плотность состояний не обращается в нульX= асимптотическиI= при= b = -W I=она описывается выражением:= æ VO ö WO -PL O ESK4SF= × exp ç kqc E b F » O × ( - b ) ÷ K= ç O WO ÷ Op è ø

NP9= =

× expE-

= = = = = = = = = = = = = = = = РисK= SK9K= Плотность состояний в приближении Томаса= –= Ферми для гауссова случайного потенциала= = Иначе говоряI= у плотности состояний появляется модифиJ цированный гауссов= хвостI= отвечающий электронным уровням в= глубоких потенциальных ямахK= В этом приближении кинетические характеристики электроJ нов в рассматриваемой системе определяются главным образом= темI= что классический электрон не способен проникнуть внутрь= r любой областиI=в которой потенциальная энергия= V o превосхоJ

( )

дит=bK== Интуитивно ясноI= что при переходе от низких энергий к боJ лее высоким топология=«дозволенных»=областей должна изменятьJ сяK=Представим себе=«рельеф»I=заливаемый водойK=Для малых энерJ гий= b заполнены лишь самые глубокие минимумыI= образующие= изолированные= «пруды»= или= «озера»= EрисKSKNMFK= При таких значеJ ниях энергииI=следовательноI=все классические или квазиклассичеJ ские электроны будут= локализованыK= Однако с подъемом уровня=

N4M= =

воды эти озера начнут разрастаться и смыкаться друг с другомI =в= конечном счетеI=образуя связный океанI=омывающий всю системуK==

=

=

РисK=SKNMK=Изоэнергетические контуры в случайном потенциале= (аFX=разрез АА потенциального рельефаI= на котором видны обJ ласти локализованных состояний=EбF= = Выше критического уровня= b = Vc в системе имеются= делоJ кализованные= электронные состоянияI= и она способна проводить= электрический ток по цепи дозволенных для движения каналовK= Задача об определении порогового значения= Vc для= протеJ кания по континууму= точно решается в случае пространства двух= r измеренийK= Поскольку потенциальная энергия= V o симметрична=

( )

по отношению к положительным и отрицательным отклонениям от= нулевого среднего значенияI= топология= «разрешенных»= областей= при энергии=b должна быть такой жеI=как и топология=«запрещенJ ных»=областей при энергии=–bK=

N4N= =

Аналогично решению=порога протекания= pc = N O в задаче о= протекании по узлам плоской сетки с треугольными ячейками= можно сказатьI= что одновременное протекание по областям обоих= указанных типов невозможноK=Таким образомI=уровень протекания= должен быть= Vc = M K=Это соответствует ситуацииI=в которой разреJ шенная область занимает точно половину всего объемаK== Это рассуждение не удается обобщить на случай трех измеJ ренийK= Но вполне правдоподобноI= что в континуальной модели= протекание становится возможнымI= когда= «разрешенные»= области= заполняют ту же= критическую долю объемаI= что и в случае регуJ лярных решетокI=составленных из шаровK=В дальнейшем будет поJ казаноI= что эта величина оказывается приблизительно одинаковой= для нескольких решеток различной структурыK=Кроме тогоI=гипотеJ за о томI=что для трехмерных случайных полей= hc » MKNR =========================================ESK4TF= согласуется с результатом численного расчета по методу МонтеJ КарлоK=Если теперь проинтегрировать распределение=ESK4SFI=выбрав= верхний предел интегрирования такI= чтобы объем разрешенных= областей под соответствующим уровнем составлял указанную доJ лю полного объемаI=то получим= Vc » -W K==================================ESK48F= Это соотношение дает приближенный рецепт определения порога= протекания в гауссовом случайном поле с дисперсией= WO K= Его= можно рассматривать и как оценку положения=края подвижности= для электронов в такой системеK=

=

N4O= =

РАЗДЕЛ=T=== ПЕРКОЛЯЦИЯ= =

T.N=Введение.=Терминология= = Термин= «перколяция»= использовался для противопоставлеJ ния диффузииK=Если в случае диффузии имеем дело со случайным= блужданием частицы в регулярной средеI= то в случае перколяции= речь идет о регулярном движении= EнапримерI= течении жидкости= или токаF =в случайной средеK =ОказалосьI =что перколяция является= удобной моделью для описания широкого класса явленийI=которые= принято называть критическимиK=В химии теория перколяции приJ меняется для описания процессов полимеризации или связывания= маленьких молекул в макромолекулы= EгелиFK= В биологии распроJ странение эпидемий можно описать с помощью модели связейK=Эта= же модель описывает пожар в лесуI=если вероятность передачи инJ фекции от больного животного к здоровому заменить на вероятJ ность распространения огня от горящего дерева к соседнемуK=КроJ ме тогоI= теория находит широкое применение для описания разJ личных неупорядоченных систем в химии и физике:= пористые и= аморфные материалыI=включая и тонкие пленкиX=неупорядоченные= ионные проводникиX=галактические структурыK==С другой стороныI= задача оказалась весьма интересной и с точки зрения чистой матеJ матикиK= Большинство результатов теории перколяции получено в реJ зультате компьютерного моделированияK= ВыяснилосьI= что теория= перколяции имеет точки соприкосновения с рядом новых и перJ спективных направлений наукиI= напримерI= перколяционные проJ цессы могут приводить к самоорганизации и образованию струкJ турK= ОбъектыI= которые образуются при перколяцииI= являются= фракталамиK= Несмотря на тоI=что в теории перколяции получен ряд строJ гих результатовI=а в ее применении достигнуты значительные успеJ хиI= она находится еще в процессе становленияI= многое еще предJ стоит понятьI=доказатьI=применитьK=

N4P= =

Слово= перколяция= (регсоl~tionF= означает протеканиеK= В русJ ской литературе можно встретить различные названия этой теории:= теория перколяции или теория протекания и даже теория просачиJ ванияK= ПожалуйI= наиболее распространенными задачами теории= перколяции являются= решеточные задачи: задача узлов и задача== связейK= Решеточные модели в первую очередь представляют интерес= с теоретической точки зренияI=именно для них доказан ряд строгих= утверждений и соотношенийK= К настоящему времени процессы= протекания на решетках изучены и поняты достаточно хорошоK== Рассмотрим бесконечную квадратную сеткуK==

= РисKTKNK=Задача узлов=EаF=и задача связей=EбF=на квадратJ ной решетке= Назовем точки пересечения линий=узлами=(в математических= работах их обычно называют=вершинамиI= в старых статьях можно= встретить термин=атомFK=Сами линии будем называть=связями=(маJ тематики используют термин=реброFK= В задаче связей ищут ответ на вопрос: =какую долю связей= нужно удалить=EперерезатьFI=чтобы сетка распалась на две части?=В= задаче узлов блокируют узлы= Eудаляют узелI= перерезают все вхоJ дящие в узел связиF= и ищутI= при какой доле блокированных узлов= сетка распадется=EрисK=TKNFK=ПонятноI=что квадратная сетка является= только одной из возможных моделейK=Можно рассматривать перкоJ

N44= =

ляцию на треугольнойI= шестиугольной сеткахI= деревьяхI= трехмерJ ных решеткахI= напримерI= кубическойI= в пространстве с размерноJ стью больше трехK=Сетка не обязательно должна быть регулярнойK= Рассматриваются процессы и на случайных решеткахK= Цепочка связанных объектовI= напримерI= черных квадратовI= называется в теории перколяции= кластерK= КластерI= соединяющий= две противоположные стороны системыI= называется= перколяционJ нымI=бесконечнымK==Изучение свойств бесконечного кластера=J еще= одна из задач теории перколяцииK=Ниже порога перколяции имеютJ ся только=кластеры конечного размераK= В теории перколяции расJ сматриваются также следующие вопросы=EрисKTKOF:= - структура субкритической и суперкритической фазX= - что происходит вблизи порога перколяцииX= - какова структура перколяционного кластераX= - каковы значения и свойства различных макроскопических веJ личинI=какI=напримерI=средний размер кластераX= - что происходит при изменении структуры решетки и размерJ ности пространстваK=

а==============================================б===========================================в= РисK= TKOK= Перколяционная задача узлов на квадратной решеткеW= = = = = = а=J= x Y xc X=б=J= x » xc X=в=J= x [ xc = В=континуальной перколяции=рассматриваются задачи жестJ ких и пересекающихся сфер или эллипсоидовI=положения которых= в пространстве не ограничены жесткими рамками периодической= решеткиK= ПустьI= напримерI= на проводящей плоскости вырезаны= круглые дырыI=центры которых распределены по плоскости хаотичеJ

N4R= =

скиK= При некоторой критической концентрации дыр проводящая= плоскость станет изоляторомK= Модели такого рода позволяют опиJ сатьI=напримерI=прыжковую проводимость в полупроводникахK=

T.O.=Задачи перколяции на регулярных решетках= = Пример=NK=NPT×NPT=решетка=EmhysKoevK=N9T4=ВатсонI=ЛисF= В этом эксперименте= EрисKTKPF= определялосьI= при каком коJ личестве светлых узлов прекратится протекание тока по системеK= На рисKTKP= блокированные узлы показаны черными кружкамиI= а= неблокированные= –= светлымиK= Черный узел означает разрыв конJ такта между четырьмя проволокамиI= которые связывают узелI= светлый узел сохраняет контактK=Через черные узлы электрический= ток не течет ни в каком направленииI=через светлые узлы ток течет= в любом направленииK= uc =

k св число неблокированных узлов = K= полное число узлов kм

= РисK= TKPK= Схема эксперимента Ватсона и ЛисаI= исходная= сеткаI= количество узлов на рисунке сильно уменьшено= EаFX= кусок= сетки с блокированными узлами=EбF=

N4S= =

ЗначениеI= вычисленное в результате нескольких испытанийI= оказалось равно u c » MIR9 K= ОднакоI= очевидноI= что на конечной реJ шетке значение порога= –=величина случайнаяK= НапримерI= на конечJ ной решетке всегда существует конечная вероятность появления миJ N нимального значения порога= Eдля решетки= NPT×NPT= u сmin = FI= NPT одна линия осталась неповрежденнойK= Можно сделать следующие выводы:== - в данной задаче порог был случайной величинойX== - необходимо усреднение по реализациям разрезанияK= - порог зависит от полного числа узлов системеK= Если система бесконечнаI=то предел= lim @ MIR9 оказывается= k ®¥

достоверной величинойK== Рассмотрим это на решетке=O×O=EрисKTK4FK= = = = = = = = = = = = = РисK=TK4K=Расчет сетки=O×OW=а=–=исходная сеткаX=б=–=блокироJ ван один узелX=вI=гI=д=–=блокированы два узла= В случае=вF=ток прерывается после тогоI=как блокирован треJ тий узелI=так что= xc = N 4 K=В случаях=гF=и=дF=ток прерывается после= тогоI=как блокирован второй узелI=так что= xc = N O K=Три случая=вFI=гF= и=дF=равновероятныK=

N4T= =

рога=

Легко понятьI=что в этой задаче вероятность реализации поJ равна= t ( xc = N 4 ) = N P I= а= xc = N 4 xc = N O = –=

t ( xc = N O ) = O P K=

Среднее значение вероятности: u c = å u ct ( u c ) = R L NO = MK4 I= дисперсия=J d EO ´ OF = O

åE

O

u c O - u c FX d O E u c F = NL TO K=

Пример= OK= Рассмотрим еще одну модель= –= магнетикK= На= рисKTKR==представлен разбавленный магнетик=Eатомы со спином буJ дем называть светлымиI=а без спинов=–=темнымиFK=Будем называть= два магнитных атома=связанными друг с другомI=если они стоят ряJ домI=или если они соединены цепочкой стоящих рядом магнитных= атомовK=На рисKTKR=магнитные атомы образуют один кластер из чеJ тырех атомовI=один кластер из двух атомов и пять кластеров из одJ ного атомаK= Границы кластеров показаны штриховыми линиямиK= Моменты разных кластеров могут быть направлены в разные стоJ роныK=

= РисK=TKRK=Кусок плоской решетки с магнитными=EсветлымиF=и= немагнитными=EтемнымиF=атомами= В нарисованной реализации системы протекания не будетK== kˆ светл ( k ) m ( u ) = lim K= k k ®¥

N48= =

Здесь= kˆ светл =–=количество светлых узловI=принадлежащих самому= k св большому кластеруK= По определению= u = K= ОчевидноI= что= k полн при=u=Z=N=вероятность существования бесконечного кластера равна= единице====mENF=Z=N=EрисKTKSFK=При определенной концентрации светJ лых узлов возникает бесконечный кластерI =т.еK =существует порог= u c K=Здесь следует отметить несколько моментовK= NK Существует порог= ucI= при котором возникает= = бесконечJ ный кластерK= OK ПредположимI=что= u c ~NK=ПричинI=по которым некоторый= узел не принадлежит бесконечному кластеруI=может быть две:= аF=если он темныйI=то вероятность такого события= tN : (N - u ) X= бF=если он светлыйI=то вокруг него должны быть только темные= z

узлыI=т.еK= tO : (N - u ) I= здесь=z=–=число ближайших соседейK= ПолJ ная вероятность событияI=что данный узел принадлежит бесконечJ ному кластеру:= mE u F = N - nE u F или= mE u F = N - EN - u F - EN - u F z » u K= PK При= u Y u c в системе существуют только конечные= кластерыK=Бесконечных кластеров нетK= 4K При= u = u c светлые узлы изолированыK= Кратность= кластера=К=»=NK= RK При= kполн ® ¥ = Eбесконечная системаF= справедливо= представление о достоверном значении порога протеканияI=тK=еK=это= значение не зависит от той последовательностиI= в которой= происходит случайная расстановка магнитных и немагнитных= атомов= Eсуществует маловероятная реализация прямого путиI= но= вероятность эта крайне малаFK =В конечной системе четко= определенного порога нетK=Есть область шириной= dE k F I=в которую= попадают пороги протекания при разных реализацияхK=Увеличение= размеров системы приводит к стягиванию этой критической= области в точку=

N49= =

u c = lim ( u c ( k ) ) = MIR9 K= k ®¥

=

= = = = = = = РисKTKSK= Фрагмент плоской решетки с магнитными= EсветJ лыеF= и немагнитными= EтемныеF= атомами в случае большой конJ центрации магнитных атомовK=Все магнитные атомы за исключеJ нием атома В принадлежат одному кластеру и имеют одинаковое= направление магнитных моментов= SK Из обобщения результатов численного моделирования на= ` = dE k F I=здесь=k=J=число узлов в системеI= ЭВМ полученоI=что== kv O ν=–=индекс радиуса корреляцииI=С=Z=MKR4I=ν=Z=NKPK= TK Порог протекания является самоусредняющейся= величинойK= =

T.P.=Перколяция на решетке Бёте= = Рассмотрим решётку БётеI= представляющую собой= искусственную математическую модельI= для которой можно= получить точное решениеK= Решётка Бёте представляет собой= регулярное деревоI= одним из свойств её является тоI= что веточки= связей не пересекаются=EсмK=рисK=TKTFK=

NRM= =

Пусть= mEuF= –= вероятность принадлежности произвольного= узла бесконечному кластеруI= т.еK= это вероятность прохождения от= одного узла к произвольно выбранному другому по= неразрушенному путиK=Вероятность разрушения пути:= n ( u ) = N - m ( u ) K=

Причин невозможности уйти к бесконечному кластеру из= некоторого узла двеK= NKПроизвольно взятый узел принадлежит к категории темных= узловI=здесь вероятность попасть на темный узел:== t f E u F = N - u I=

где=Х=–=концентрация светлых=EнеповрежденныхF=узловK=

=

=

РисK=TKTK=Решётка Бёте с координационным числом=q=Z=PK= Светлые кружки=–=категория СI=темные=–=категория Т= = OK=Выбранный узел=–=светлыйI=но из него нельзя выйтиI= поскольку далее все каналы прерываются= t ¢ = ut I= q

где= t = éën ( x ) ùû –= вероятность перекрытия всех каналовK=ТогдаI= полная вероятность== n E u F = EN - u F + u × n q E u F I=или=

NRN= =

[N - mE u F]q u + mE u F - u = M K======================ETKNF= ОтметимI=что это уравнение всегда имеет одно тривиальное= решение= РEХF =Z =M =для любого= uK Рассмотрим решётки Бёте с= разными координационными числамиK= NK= Если= q= Z =NI = mE u F = M I= т.еK= бесконечный кластер в= одномерной решётке Бёте не возникаетI= поскольку один темный= узел перекрывает всю цепочкуK= OK= Если= q= Z =OI = mE u F = M и существует второе решение= mE u F = O - NL u I=т.еK=uc=Z=½=EрисKTK8FK= PK= Если= q ³ OI= то существует несколько нетривиальных= решенийI= но для анализа нужно отобрать только действительные= корниK=Рассмотрим область вблизи порогаI=т.кK=при этом=m малоI=то= справедливо разложение:= qE q - NF O EN - mF q » N - qm + m K= O Подставляя==это разложение в уравнение=ETKNFI=получим= q Eq - NF E u - N qF × O um O » qmu - m I============ m » K= u E q - NF O Из условияI= что на пороге протекания= mEuFZMI= следуетI= что= æ N ö Oq N порог равен= u c = K=Тогда:===== m ( u ) K= = ç u - ÷× x x ® c q q ø Eq - NF è Можно сделать вывод:=чем больше веточек=Eвеличина=qFI=тем= меньше порогI= т.еK= тем меньше нужно светлых неповрежденных= узловI=чтобы образовался бесконечный кластерK= =

NRO= =

PExF 1

K=

xc

1

x

=

РисK=TK8K==Качественный вид вероятности образования== бесконечного кластера для решетки Бете= =

T.4. Регулярные решетки:= плоские и пространственные= = Двухмерное пространство можно заполнить квадратнойI= шестиугольной и треугольной решеткой= EрисK= TK9FK= Может быть= поставлена задача узловK=

= РисK=TK9K=Плоские решеткиW=а=–=квадратнаяI=б=–= треугольнаяI=в=–=шестиугольная= = Можно также поставить задачу связейI= где рассматривается= разрушение связей по однойK=

NRP= =

= = = = = = = РисK=TKNMK=Фрагмент квадратной решетки с разорванными связями= На рисK= TKNM= изображены три кластера из двух связанных= узлов=ENI=OI=PFI=один кластер из четырех узлов=E4FI=один кластер из= шести узлов=ERF=и один кластер из десяти узлов=ESFK= Пусть= v= –= отношение количества правильных узлов к= полному числу узлов=kI=а== u=–=отношение количества правильных= связей к полному числу связей= jK =Тогда можно показатьI =что= m yз (v ) £ mсв ( u ) K = =В задаче связей существует также иерархия= соотношений:= m св ( u I q ) ³ mсв ( u I h ) ³ m св ( u I Ø ) I= Т h Ø Х св £ Х св £ u св K=

Смысл этих соотношений нетрудно понятьI= имея в виду= различное число связей у одного узла в квадратнойI=шестиугольной= или треугольной решеткахK= Значения порогов протекания для= плоских решеток приведены в таблK=TKNK== = Таблица=TKN=Пороги протекания для плоских решеток= Тип решетки= u св = u узельн = Треугольная= Квадратная= Шестиугольная=

MIPT4= MIR= MISRP=

NR4= =

MIR= MIR9= MIT=

= = = = = = = = РисK=TKNNK=Порог протекания в задаче связей всегда меньше= порога протекания задачи узлов= = = = = = = = = РисK=TKNOK=Функция= mk ( x ) для задачи связей на двухмерной= квадратной решеткеW=N=–=k=Z=SSTI=O=–=k=Z=NMMMI===P=–=k=Z=OMMMI== Q=–=k=Z=SMMMI=R=–=k=Z=∞= = Для квадратной и шестигранной решеток они получены= приближенными методамиK=Все остальные представляют собой реJ зультаты точных решенийK=Порог протекания в задаче связей всегда= меньше порога протекания задачи узлов= EсмK= рисKTKNNFK= Функция= распределения для решеток различного типа для решеток различJ ного типа представлены на рисK=TKNOJTKNPK=

NRR= =

= РисKTKNPK=Функция распределения в задаче о протекании по===узлам= для решеток различного типа=

=

T.R.=Пороги протекания для объемных решеток= Задачи связей и узлов ставятся для объемных решеток точно= так жеI =как для плоскихK =По-прежнему предполагаетсяI =что связи= имеются только между узламиI= являющимися ближайшими сосеJ дямиK== В таблK =TKO =дана сводка порогов протекания задач узлов и= связей для описанных выше объемных решетокK= Как уже говориJ лосьI=в трехмерном случае не существует ни одного точного решеJ нияK=Все результатыI=приведенные в таблK=TKO=получены различныJ ми приближенными методамиI=как правилоI=использующими ЭВМK== = Таблица==TKO=Пороги протекания для объемных решеток= Тип решетки= xу = xсв = Простая кубическая== Объемноцентрированная кубическая== Гранецентрированная кубическая== Типа алмаза== =

NRS= =

MIOR= MIN8= MINO= MIP9=

MIPN= MIOR= MIOM= MI4P=

Задача состоит в томI=чтобы используя данные таблKTKN=и=TKO= понятьI=почему для одних решеток пороги протекания сравнительJ но большиеI=а для других=–=маленькиеK=Начнем с задачи связейK== Если все связи= – =целыеI =то каждый узел связан с= z другими= узламиI=где число ближайших соседей=z сильно меняется от решетJ ки к решеткеK =При заданной доле целых связей= x каждый узел в= среднем связан с=zx другими узламиK= Попробуем проверить следуJ ющую гипотезу:= может ли величина= zxI= представляющая среднее= число узловI=с которыми связан каждый узелI=содержать информаJ циюI=достаточную для определения наличия в решетке протеканияK= ВозможноI= что никакой другой информации о свойствах решеткиI= кроме числа= zI =и не надоI =и протекание возникает у всех решеток= при одном и том же значении величины=zx?=ЯсноI=что эта гипотеза= не может быть точнойK= Но может бытьI= она справедлива приблиJ женно?== Проверить это очень простоK =Нужно для всех решеток с изJ вестными порогами протекания задачи связей вычислить произвеJ дение=zxсвK=Если оно окажется универсальнымI=т.еK=одинаковым для= всех решеток или хотя бы приближенно одинаковымI= значитI= выJ сказанная гипотеза верна или верна приближенноK== Соответствующие данные собраны в таблK =TKPK =ВидноI =что с= погрешностью меньше чем=NMBI=для плоских решеток справедлива= формула:= zxсв = O I=======================================================ETKOF= а для объемных решеток=–=

zxсв = NIR K===================================================ETKPF= =

Таким образомI=гипотеза об универсальности среднего числа= связей на узелI=требуемого для возникновения протеканияI=не являJ ется точнойI= но приближенно выполняетсяK= Если принять во вниJ маниеI=что как в группе плоских решетокI=так и в группе объемных= решеток каждая из величин=z и=xсв меняется по крайней мере в два= разаI=то точностьI=с которой в каждой группе величина=zxсв постоJ яннаI=следует признать высокойK== =

NRT= =

Таблица=TKP==Произведение= zxсв для разных решеток= Тип решетки= z= xсв = zxсв = Плоские решетки= Квадратная== 4= MIRM= OIM= Треугольная== S= MIPR= OIN= Шестиугольная== P= MISR= OIM= Объемные решетки= Простая кубическая== S= MIOR= NIR= Объемноцентрированная кубическая== 8= MIN8= NI4= Гранецентрированная кубическая== NO= MINO= NI4= Типа алмаза== 4= MIP9= NIS= =

ИтакI= чтобы приближенно оценить порог протекания задачи= связейI= достаточно знать число ближайших соседей и воспользоJ ваться формулой=ETKOF=в случае плоских решеток и формулой=ETKPF=в= случае объемных решетокK=Порог протекания задачи связей наибоJ лее чувствителен к числу ближайших соседей и значительно менее= чувствителен ко всем прочим свойствам решеток=EнапримерI=к чисJ лу вторых соседейI= т.еK= соседейI= следующих по удаленности от= данного узлаFK== Таким образомI= получен очень простой и относительно точJ ный способ оценки порогов протекания задачи связейI= пригодный= для любой решеткиK== =

T.S.=Оценка порога протекания задачи узлов= Разберем теперь схему такого же типа для задачи узловK = Естественно сначала испробовать предыдущий вариантI= т.еK= поJ смотретьI= как меняется от решетки к решетке величина= zxу Легко= убедитьсяI=что она меняется почти так жеI=как каждая из величин=z= и=xу по отдельностиK=Этому не следует удивляться:=в случае задачи= связей произведение=zxсв имеет четкий физический смысл=–=среднее= число целых связейI= приходящееся на один узелK= В случае задачи= узлов связь работаетI=если она соединяет два белых узла и не рабоJ

NR8= =

тает во всех прочих случаяхK= Поэтому произведение= zxу никакого= особого смысла не имеетK== Был предложен иной метод оценки порога протекания задачи= узловK= Идея состоит в томI= чтобы сопоставить каждому узлу опреJ деленную долю пространстваK= После этого утверждаетсяI= что проJ текание по белым узлам возникаетI=когда доля пространстваI=заняJ тая этими узламиI= превышает некоторое критическое значениеI= слабо зависящее от типа решеткиK== Вообразим вокруг каждого узла решетки шар= Eили круг в= случае плоской решеткиF=с радиусомI=равным половине расстояния= до ближайшего соседаK= При этом шары= EкругиFI= построенные воJ круг соседних узловI= касаются друг друга=EрисK= TKN4FK= Белому узлу= припишем белый шарI= а черному узлу= –= черныйK= Если два белых= узла связаны друг с другомI =то между ними есть путь по касаюJ щимся друг друга белым шарам= EрисK= TKN4FK= Поэтому возникновеJ ние протекания означает появление путей бесконечной длины по= касающимся друг друга белым шарамK==

= РисK=TKN4K=Построение касающихся друг друга окружностей в= случае шестиугольной решеткиK=Окружности имеют радиусI=равный= половине расстояния до ближайшего соседаK=Белым узлам= соответствует белаяI=а черным=–=черная окружностиK=Пути протекания= по белым окружностям показаны жирными линиями= =

NR9= =

Предположим теперьI= что протекание возникаетI= когда доля= полного объема=EплощадиFI=занимаемая белыми шарами=Eв плоском= случае кругамиFI=превысит некоторое критическое значениеI=не заJ висящее от типа решеткиK= Чтобы проверить это предположениеI= нужно вычислить доли объемаI= занимаемые белыми шарами при= = = = x=Z=xуI=для различных решеток с известным значением=xу и сравнить= их друг с другомK=Сначала необходимо сосчитать долю объемаI=заJ нимаемого белыми шарами при=x=Z=NI=т.еK=в случаеI=когда все шары= –=белыеK=Эту величину обозначают буквой=f и называют=коэффициJ ентом заполненияK= Коэффициент заполнения равен доле объемаI= занятой шарамиI= построенными вокруг каждого узла решетки и= имеющими радиусI= равный половине расстояния до ближайшего= соседаK== Коэффициент заполнения существенно зависит от типа реJ шеткиI=и для каждой решетки его нужно считать отдельноK=Чтобы= узнать долю объемаI=заполненного белыми шарами при=x=Y=NI=нужJ но умножить коэффициент заполнения на долю белых шаровI= т.еK= на= xK= Таким образомI= доля объемаI= заполненного белыми шарамиI= равна=fxK=На пороге протекания она равна=fxyK=Если предположение= об универсальности доли объемаI= при которой возникает протекаJ ниеI= правильноI= то величина=fxy должна быть одинаковой для всех= решетокK== Коэффициенты заполнения для различных решеток даны во= втором столбце таблK= TKPK= Чтобы представитьI= как они полученыI= вычислим величину= f для шестиугольной решеткиI= изображенной= на рисKTKN4K= pa O P Pa O p = » MISMR K= 4 4 P P Аналогично вычисляются коэффициенты заполнения и для= других решетокI =причемI =как видно из таблK =TK4I =они меняются в= широких пределахK== Произведения= fxy представлены в последнем столбце= таблKTK4K= ВидноI= что предположение о томI= что= fxy не зависит от= типа решеткиI= не выполняется точноK= Однако и в группе плоских= f =

NSM= =

решеток и в группе объемных решеток это произведение меняется= малоK= = Таблица=TK4K=Произведение=f·xy=для разных решеток=

Тип решетки= f= Плоские решетки= Квадратная== MIT9= Треугольная== MI9N= Шестиугольная== MISN= Объемные решетки= Простая кубическая== MIRO= Объемноцентрированная кубичеJ MIS8= ская== Гранецентрированная кубическая== MIT4= Типа алмаза== MIP4=

xy=

f·xy=

MIR9= MIRM= MITM=

MI4T= MI4S= MI4P=

MIPN=

MINS=

MIOR=

MINT=

MIOM= MI44=

MINR= MINS=

=

Отсюда следуетI=что с точностью порядка=NM=–=NRB=справедJ ливы формулы:== f·xy = 0,5 ETK4F для плоских решетокI=и== f·xy = 0,16 =ETKRF для объемных решетокK== Так как вычислить коэффициент заполнения= f сравнительно= простоI= формулы= ETK4F= и= ETKRF= дают возможность оценить порог= протекания задачи узлов для любой решеткиK== Легко понятьI=что критическая доля объемаI=заполненная беJ лыми шарамиI= при которой возникает протеканиеI= монотонно= уменьшается с увеличением размерности пространстваK= В одноJ мерном пространствеI=т.еK=в линейной цепочке узловI=протекание по= белым узлам невозможно при сколь угодно малой концентрации= черных узловK= Даже один черный узел запирает путь протеканияI= так как обойти его невозможноK= В плоской= EдвухмернойF= решетке= появляется возможность обхода черных узловI= а в трехмерной=

NSN= =

(объемнойF=решетке таких возможностей большеI=так как обходные= пути не ограничены плоскостьюK== Идея критического объема оказывается плодотворной не= только для решеточных задачK=Далее столкнемся с задачейI=в котоJ рой белые и черные шары вообще не находятся в узлах решеткиI=а= просто беспорядочно насыпаны в банкуK= Нас будет интересовать= вопрос о протекании по касающимся друг друга белым шарамK= ОказываетсяI= это протекание тоже возникаетI= когда объемI= заполJ ненный белыми шарамиI= составляет примерно= MINS= полного объеJ маK=Этот результат слабо меняетсяI=если шары отличаются друг от= друга радиусомK= Может быть рассмотрена задача о пространствеI= которое раскрашено случайным образом белой и черной краскойK= ОказываетсяI=что протекание по областям одного цвета возникает в= плоском случаеI= когда доля поверхностиI= выкрашенной этим цвеJ томI= точно равна= MIRI= а в трехмерном случаеI= когда доля объемаI= выкрашенного этим цветомI=примерно равна=MINSK== = Таблица=TKR=Пороги протекания= Тип решетки= Задача связей= Задача узлов= с с с w= u = wu = u = f = fu с = св

св

узл

узл

Плоские решетки= Квадратная= MIR= 4= OIM= MIR9= MIT9= MI4T= Шестиугольная== MISR= P= NI9R= MIT= MISN= MI4P= Треугольная= MIPR= S= OIN= MIR= MI9N= MI4S= Объемные решетки= ПК= MIOR= S= NIR= MIPN= MIRO= MINS= ОЦК= MIN8= 8= NI4= MKOR= MIS8= MINT= ГЦК= MIN4= NO= NI4= MIOM= MIT4= MINR= = Обобщенные результаты представлены в таблK =TKRK = Существуют некоторые приближенные интегралыI= зависящие от= типа задачи= Eзадача узлов или задача связейF= и от размерности=

NSO= =

пространстваK= Значения этих интегралов получены в множестве= с численных экспериментов:=================линейные=– f × u узл = N K= с плоские=– f × u узл = MIR = с объемные=– f × u узл = MINS ========================ETKSF=========

Гипотеза критического объема в задаче узлов позволяет= отказаться от регулярности решеткиK== =

T.T.=Задача координационных сфер= = Обобщение состоит в томI =что связь распространяется на= узлыI=расположенные не только в первой координационной сфереK= На рисK= TKNR= показан путь протекания по охватывающим= окружностямI= построенным на квадратной решеткеK= Взаимодействие учитывается на расстоянии втрое большемI= чем= между ближайшими соседямиK= Путь протекания показан ломаной= линиейK=Результаты были получены только путем расчетов на ЭВМ= (таблKTKSFK=

= РисKTKNRK= Путь протекания по охватывающим= окружностямI=построенным на квадратной решетке==

NSP= =

Таблица=TKSK======Пороги протекания для плоских решеток= Тип решетки= Z= u скс = wu кс = Шестиугольная однократная= Eсвязаны= узлы только первой координационной= P= MITMM= OINM= сферыF== Треугольная однократная=Eсвязаны узлы= S= MIRMM= PIMM= только первой координационной сферыF= Шестиугольная=NIOIP=Eсвязаны узлы перJ N войI= второй и третьей координационных= MIPMM= PIO8= O= сферF= Треугольная=NIOIP=Eсвязаны узлы первойI= N MIOOR= 4IMR= второй и третьей координационных сферF= 8= = Эти результаты могут быть обобщены на случай= w ® ¥ K= А= именно:= p × n × o O » 4IN = – = =условие на порог протеканияK =Если= o= увеличитсяI= то нужна меньшая плотность окружностейI= что бы= реализовать протекание=En=–=средняя плотность в единицу площади= поверхностиFK= = Таблица=TKTK=Пороги протекания для объемных решеток= Тип решетки= u скс = Z= wu кс = Типа алмаза=

4=

MI4ORM=

NITM=

ПК=N=

S=

MIPMTM=

NI84=

ОЦК=N=

8=

MIO4PM=

NI94=

ГЦК=N=

NO=

MIN9TR=

OIP4=

ПК=NIOIP=EGF=

OS=

MIM9TM=

OIRO=

ОЦК=NIOIP=EGF=

OS=

MIM9RM=

OI4T=

ГЦК=NIOIP=EGF= 4O= MIMSNM= OIRS= Примечание= EGF:= все сферы= NIOIP= = используются для связиI= следовательноI=число связей увеличиваетсяK=

NS4= =

В случае объемных решеток все также может быть обобщено= для= w ® ¥ K================== lim ( w × u c ) = B » OIT = w ®¥

Рассмотрим задачу о вложенных сферах=EрисKTKNSF= 4p P o k = OIT I= ETKTF= P где=o=–=радиус сферI=k=–=плотность центров в единице объема= Смысл соотношения в следующем:= число центровI= попадающих в= зону влияния должно достичь определенного значения= Eконкретно= OITFK= = = = = = = = = = = = = РисK= TKNSK= Пути протекания по охватывающим окружноJ стям= Eпоказаны ломаными линиямиI= точки= –= центры окружноJ стейF= = Сделаем следующие обобщенияK= NK=В случае произвольной формы вложенных объектов= 4p P o k c = OIT I======следовательноI= sNkl Z=OITK== P Условие образования бесконечного кластера выполняется с= хорошей точностьюK= МожноI= напримерI= заменить сферу оваломK= ОказываетсяI= интеграл сохраняется для всех выпуклых фигурK= Существенным является критическое заполнение объемаI= а чем= – =

NSR= =

не важноK= Когда концентрация достигнет критической величины= для объектов данного размераI=тогда появится протеканиеK= OK Можно ввести понятие= касающихся сфер= Eили= проводимость по белым сферамI=а черные сферы того же радиуса=–= диэлектрикиF=EрисKTKNTFK= = = = = = = = = = = = РисK=TKNTK=Смесь проводящих и непроводящих частиц= = Для= касающихся сфер критическим условием является= следующее:=== u c × f = MINS K==Если эффективный объем проводящих= Pa

шаров=~MINSI=возникает бесконечный кластерK= = Рассмотрим пример физической задачиK= Наличие примеси= создает в запрещенной зоне полупроводника локализованные= состоянияK= Как отмечалосьI= если атом помещается в среду с= диэлектрической проницаемостью= e I=то его боровский радиус:= -8 аБ* = MIRP ´ NM3 ´ e m I===где=e=»=NM=¸=NR=I=mG=»=MKNmeI= 1424 mG aБM

( )

æ *ö G bB = NPIS × ç m ÷ × N I= è m ø e т.еK= электрон примесного атома в среде имеет большой радиус= орбиты и небольшую энергию связиK=

NSS= =

При введении примесейI= они распределяются хаотическиK= Однако эксперимент показываетI= что при увеличении= концентрации примесей происходит переход к металлической= проводимостиI= т.еK= имеет место переход диэлектрик= –= металлK= ПокажемI =что в определенных условиях это т переход= соответствует образованию связанных примесей и создание= бесконечного кластераK= По бесконечному кластеру примесей= возможна проводимостьK= ДействительноI= эксперимент показалI= что переход= происходит при выполнении условия= nd ´ aБ*P Z= MIMOI= где= aБ*P = –= эффективный объемI=занимаемый волновой функцией примесиK= G

Пусть= e -Or / aБ =–=волновая функция=pJтипаI=где= a*B =–=большоеK= Концентрация примеси является заданной=EETKTFI=где=k-заданоFK= * ДалееI=пусть= rM = q ´ aB =–=необходимый эффективный радиус= перекрытия волновых функций примесных атомовI= достаточный= для переходов электрона с атома на атомI= тем самымI= создающих= бесконечный кластерK= Пусть выполняется соотношение= критического условия для трехмерного случай перекрывающихся= сферK= 4p k Or P = B = OKT I= ( ) P c M

тогда после подстановки= e Z= NM= ÷= NRI= m* = MIN × mM можно найти= параметр перекрытия=?хвостов?=волновых функций= q = NIS K= На этих= "хвостах"= волновых функций происходит= перекрытие и образование бесконечного кластераK= =

T.8.=Структура бесконечного кластера.= Модель Шкловского=–=де Жена= = Рассмотрим задачу узловI=допускаяI=что концентрация неблоJ кированных узлов немного выше пороговойI= так что существует= бесконечный кластерK=Он представляет собой бесконечные цепочки=

NST= =

из связанных друг с другом узловK= Если соединить все связанные= узлы бесконечного кластера отрезками прямыхI=то получится набор= пересекающихся друг с другом ломаных линий= EсмK= рисKTKN8I= где= показана одна такая линияFK= Структурой бесконечного кластера называют его геометрию= в масштабахI=гораздо большихI=чем период решеткиK=В таких масJ штабах изломыI=происходящие в отдельных узлах решеткиI=не восJ принимаются глазомI= и цепочка представляется плавно изогнутой= линиейK==

РисK=TKN8K=Фрагмент бесконечного кластера с мертвыми концами= = На рисK= TKN8= изображен небольшой фрагмент бесконечного= кластераK=На концах=A и=B кластер не кончается=–=он уходит налево= и направо на бесконечное расстояниеK= Введем теперь следующую= классификацию точек и линий бесконечного кластераK= Участки= бесконечного кластера делятся на=скелет и=мертвые концыK== СчитаетсяI=что точка принадлежит скелету бесконечного клаJ стераI=если по крайней мере два путиI=выходящие из нее в разные= стороныI=позволяют уйти на бесконечное расстояниеK=Такой точкой= являетсяI=напримерI=точка=С на рисKTKN8K=Из этой точки можно уйти= на бесконечное расстояниеI =двигаясь как в правуюI =так= = в левую= стороныK= Если только один путьI= выходящий из точкиI= ведет на= бесконечное расстояниеI= то эта точка принадлежит мертвому конJ цуK=НапримерI=из точки=a на рисK=TKN8=можно уйти на бесконечное=

NS8= =

расстояниеI= двигаясь только вверхK= Движение вниз приводит в туJ пикK=Поэтому считаетсяI=что точка=a лежит на мертвом концеK== Отбросим мысленно все мертвые концы и постараемся предJ ставить как устроен скелет бесконечного кластераK= Простейшая= модель скелета была предложена независимо друг от друга ШкловJ ским и де ЖеномK=Для плоской задачи эта модель представляет соJ бой нечто вроде очень большой рыболовной сетиI=старой и изрядно= потрепаннойK=Она уже потеряла строгую периодичностьI=ее веревки= не натянутыK =некоторые узлы в ней порваныI =другие съехали со= своего местаI=но тем не менее=«в среднем»=–=это сеть=EрисKTKN9FK==

РисK=TKN9K=Скелет бесконечного кластера= Характерный линейный размер ячейки этой сети=o называетJ ся=радиусом корреляции бесконечного кластераK=Он резко возрастаJ ет с приближением к порогу протекания:== l o= . ETK8F x - xc

n

Здесь=l=–=длинаI=равная по порядку величины периоду решеткиI==v=–= положительное числоI= которое называется= индексом радиуса корJ реляцииK= Таким образомI= по мере приближения к порогу протекаJ ния сетка становится все более и более редкойK== Существование обращающегося в бесконечность радиуса= корреляции является общим свойством всех критических явленийK= ТоI= что он обращается в бесконечность именно но степенному заJ кону= ETK8FI =не является строго доказаннымI =но лежит в основе соJ

NS9= =

временных представлений о критических явлениях иI=по-видимомуI= хорошо подтверждается экспериментальными даннымиK== Радиус корреляции имеет смысл и при=x=Y=xcI=т.еK=ниже пороJ гаK= В этой области он описывает= максимальный размер конечных= кластеровK= Если=x →=xc со стороны меньших значений=Ex=Y=xcFI= то= радиус корреляции тоже обращается в бесконечность по закону= ETKTFK=Это означаетI=что при подходе к порогу протекания снизу коJ нечные кластеры неограниченно увеличивают свои размеры и при======= x= Z= xc сливаются в бесконечный кластерK =Таким образомI =зависиJ мость=oExF=имеет видI=схематически показанный на рисKTKOMK== В случае объемных задач модель Шкловского=J=де Жена имеJ ет аналогичный видK= Она похожа на сильно испорченный провоJ лочный каркас трехмерной решеткиI= причем средняя длина одной= ячейки выражается формулой= ETK8FK= Следует только иметь в видуI= что численные значения индексов радиуса корреляции для плоских= и объемных задач разныеK=Рассмотрим теперьI=к каким следствиям= приводит представление о сеточной структуре бесконечного клаJ стераK== =

РисK= TKOMK= Зависимость радиуса корреляции от= xK= Показана= ширина критической области δ для квадрата=i=×=i=EсмK=следующий= разделF= =

NTM= =

T.9.=Роль размеров системы= Ранее подчеркивалосьI=что понятие порога протекания имеет= смысл лишь в бесконечной системеK= В конечной системе порог= протекания меняется от образца к образцуI=т.еK=является величиной= случайнойK= ОднакоI= значенияI= которые принимает эта случайная= величинаI= с подавляющей вероятностью попадают в некоторую= область с шириной= d ( η ) I= которая называется= критической облаJ стьюK=При увеличении числа узлов в системе= h ширина этой облаJ сти уменьшается по степенному законуI= так что при= h ® ¥ порог= протекания приобретает четкий смыслI= превращаясь из случайной= величины в величину достовернуюK== Рассмотрим эксперимент с экранной сеткойI= имеющей разJ меры=i=×=iI=схема которого изображена на рисKTKONK=ДопустимI=что= сделано много опытовI= использующих разные случайные последоJ вательности блокируемых узловI= результатом которых явился= набор порогов протеканияK=НапомнимI=что конфигурации блокироJ ванных узловI= полученные в разных опытахI= совершенно не похоJ жи друг на другаK== Удобный способ рассуждения состоит в следующемK=ВообраJ зим= бесконечную экранную сетку с заданной долей= x неблокироJ ванных узловK== ПредставимI= что на разные участки этой сетки накладываетJ ся:=квадратI=имеющий размеры=i=×=iI=и изучается протекание с леJ вой стороны этого квадрата на правую по неблокированным узламI= оказавшимся внутри этого квадрата=EрисKTKONFK=Накладывая квадрат= на разные участки бесконечной сеткиI=можно перебрать результаты= разных опытов с конечной сеткойK== В бесконечной экранной сетке протекание возникает точно= при=x=Z=xcI=ноI=как можно увидетьI=это совершенно не означаетI=что= при=x=[=xc обязательно есть протекание в квадрате=i=×=iK== При= x= [= xc в бесконечной системе существует бесконечный= кластерK=Изобразим его скелет в виде рыболовной сетиI=показанной= на рисKTKONK= Для дальнейшего крайне важно соотношение между=

NTN= =

радиусом корреляции=o и длиной квадрата=iK=Примем сначалаI=что= i значительно превосходит=oK=Тогда=EсмK=рисKTKONF=внутри квадрата= находится много ячеек сети бесконечного кластераI= который обесJ печивает протекание между сторонами квадратаK=Эти ячейки могут= иметь разные размерыI =в сети бесконечного кластера могут быть= большие дырыI= но если в квадрате в среднем должно быть много= ячеекI=то вероятность тогоI=что в кластере имеется дыра размером в= целый квадратI= ничтожно малаK= Поэтому делается следующий выJ вод:= ENF= Если= x= [= xcI= то порог протекания квадрата не может= находиться в области значений= xI= удовлетворяющей сильному неJ равенству=i=[[=oExFK=Эта область должна быть выше порогаK= Согласно формуле=ETK8F=при стремлении=x к=xc радиус корреJ ляции неограниченно возрастает и при каком-то значении= x неизJ бежно сравнивается с=iK=Теперь о протекании внутри квадрата ниJ чего определенного сказать нельзяK= Все зависит от конкретной= конфигурации блокированных узлов внутри негоK==

= РисK= TKONK= Большие кластерыI= заданные компьютером на= квадратной решетке при=p=Z=MIRPI=т.еK=ниже порога протекания по= узлам= E pcp = MIR9F K= Эти кластеры соединены в основном одноJ кратно= =

NTO= =

Пусть теперь= x= Y= xc и радиус корреляции значительно меньJ шеI=чем=iK=При=x=Y=xc и радиус корреляции представляет собой макJ симальную длину конечных кластеровK= Если= o= YY= iI =то не сущеJ ствует такого кластераI=который мог бы связать стороны квадратаK== Поэтому делается еще один определенный выводK== EOF= Если=x=Y=xcI=то порог протекания квадрата тоже не моJ жет находиться в области значений=xI=удовлетворяющей сильному= неравенству=i=?=oExFK=Эта область должна быть ниже порогаK= Если=x=Y=xc=I=но величина=x очень близка к=xcI=то радиус корJ реляции становится большеI= чем= iK =В этом случае о протекании в= квадрате нельзя сказать ничего определенногоK= В бесконечной сиJ стеме существуют конечные кластеры размераI=большегоI=чем=iI=но= внутри них есть дыры такого же размераI=и все зависит от конкретJ ной конфигурации блокированных узлов внутри квадратаK== Теперь можно оценить размер критической области в котоJ рой могут находиться значения порога протекания квадрата=i=×=iK= Согласно выводам=ENF и=EOF эта область должна определяться услоJ вием=i ≤=oK=Как видно из рисK=TKOMI=чем больше=iI=тем уже эта обJ ласть и тем теснее она прижата к порогу протекания для бесконечJ ной системыK=Ширина области==определяется условием=o(δF=Z=iK=С= помощью формулы=ETK8F=получаем= l dn =Z=i или== NL n

d = (l L i )

.

ETK9F

Внутри критической областиI=т.еK=при=|x=–=xc|=пороги протекаJ ния квадратов с длиной= i распределены однородноK= Точка= x= Z= xc= внутри этой области ничем не выделенаK=ДействительноI=это точкаI= в которой наступает протекание в бесконечной системеK=Но устаноJ витьI=есть такое протекание или нетI=работая с квадратом конечноJ го размераI=невозможноK=Если=i=Y=oI=то накладывая квадрат на разJ ные участки бесконечной сеткиI=нельзя сказатьI=существуют в этой= сетке только конечные кластеры или они уже слились и образуют= бесконечный кластерK= Изучение протекания в квадрате конечного= размера позволяет лишь определить ширину критической областиK==

NTP= =

В этом разделе обсуждались лишь плоские задачиK= Однако= все сказанное полностью переносится на задачи объемныеK= ШириJ на критической области для объемных задач также определяется= формулой=ETK9FK=Небольшая разница возникаетI= если выразить шиJ рину δ не через размер системы=iI= а через полное число узлов= h K= d

Дело в томI =что= h = ( i a ) I= где= a= – =период решеткиI =d= –= размерJ ность пространстваK=Поэтому согласно=ETK9F== d ( h ) = ` I======================================ETKNMF= hNL n где= `= –= численный коэффициентI= который не может быть опредеJ лен из столь простых соображенийK= Именно с помощью этой форJ мулыI= в результате исследования найденной на ЭВМ зависимости= d ( h) I=был впервые определен индекс радиуса корреляции плоской= задачиK=ОказалосьI=что= n O Z=NIPPK=Eчисло=O=–=индекс двухмерной сиJ стемыKF=Для трехмерных задач индекс= n иной:= nP =Z=MI8=÷=MI9K== =

T.NM.=Электропроводность вблизи порога протекания= =

Рассмотрим двухмерные или трехмерные сетки с блокироJ ванными узламиK= Как говорилось в начале главыI= электропроводJ ность таких сеток отлична от нуля при=x=[=xc и обращается в нуль= на пороге протекания=xcK=Экспериментальные данныеI=а также данJ ныеI= полученные с помощью расчета на ЭВМI= показываютI= что= удельная электропроводность сеток обращается в нуль по закону== t

s ( x ) = sM ( x - xc ) I===============================ETKNNF= где множитель= sM по порядку величины равен удельной электроJ проводности сетки без блокированных узловK=Величина=t называетJ ся=критическим индексом электропроводности и является предмеJ том очень тщательного изученияI= преимущественно с помощью= расчетов на ЭВМK=EВ одном из последних расчетовI=напримерI=исJ пользовалась квадратная сеткаI= имеющая= 8MM= ×= 8MM= узловKF= УстаJ

NT4= =

новленоI=что для двухмерных сеток= tO =Z=NKPI=а для трехмерных== tP = Z=NKS=÷=NKTK== Сеточная модель бесконечного кластера позволяет вывести= формулу=ETKNNF=и связать индекс=t с индексом радиуса корреляцииK= Электрический ток течет только по бесконечному кластеруI=причем= именно по его скелетуK=В мертвых концахI=прикрепленных к скелеJ ту лишь с одной стороныI=тока нетK=Если сделать электрический ток= достаточно сильнымI= так чтобы проволокаI= по которой он течетI= светиласьI= то в темноте скелет бесконечного кластера можно= наблюдать визуально освещенные каналы на темном фонеK= Вдали= от порога вся сетка светится более или менее равномерноI= вблизи= порога расстояние между освещенными каналами увеличивается иI= наконецI=на самом пороге свечение совсем прекращается=–=ток чеJ рез систему прервалсяK== Вычислим удельную электропроводность скелета бесконечJ ного кластераK=Следует иметь в видуI=что это вычисление не может= претендовать на правильный учет численных множителейK= Оно= позволяет лишь получить зависимость= s от=x=–=xcK=Эта зависимость= не изменитсяI=если мысленно заменить неправильную и нерегулярJ ную сеть идеальной сеткой с периодомI= равным= oK=

= РисK=TKOOK=К оценке проводимости скелета бесконечного кластера= = Рассмотрим сначала плоский случай=EрисKTKOOFK=Удельное соJ противление равно сопротивлению квадрата с единичной длинойK= Число проволочекI= пересекающих этот квадратI=равно=NLoI= где=o=–= расстояние между проволочкамиI= которое выражается формулой= ETKTFK=Обозначим сопротивление одной проволочкиI=имеющей едиJ

NTR= =

ничную длинуI= через= rM K= Все проволочки включены параллельноK= СледовательноI=удельное сопротивление= r r = M = rM × o I= NL o а удельная электропроводность== s = r-N = r-M N × o -N K========================ETKNOF==

Подставляя=ETK8FI=получим== n

s = sO ( x - xc ) I=========================ETKNPF= где= s O = r-M N × l -N K== В трехмерном случае нужно вычислить удельное сопротивJ ление проволочного каркасаI= изображающегоI= напримерI= простую= кубическую решетку с периодом=o=Eот типа решетки зависит лишь= численный коэффициентFK= Удельное сопротивление равно сопроJ тивлению кубика с единичной длиной ребраK= Число параллельно= соединенных проволочекI= проходящих через грань такого кубикаI= равно=NLoOK=Поэтому удельное сопротивление== rM r= = rM × o O ==============================ETKN4F= O (NL o ) и удельная электропроводность равна:=

s = rM-N × o -O = sP ( x - xc )

On

I=========================ETKNRF=

где= sP = rM-N × l -O K== Следует обратить внимание на тоI= что удельная электропроJ водность= s в двухмерном и трехмерном случаях имеет разную= N размерностьK= В двухмерном случае она измеряется в Ом– I =а в= N N трехмерном=–=в Ом– ·см– K== Множители= sO и= sP по порядку величины представляют соJ бой удельные электропроводности двухмерной и трехмерной сеток= без блокированных узловK= ДействительноI= как видно из формул= ETKNOF=и=ETKN4FI= удельная электропроводность= sE xF превращается в= sO или в= sP при=o=Z=lI=т.еK=когда сетка бесконечного кластера совJ

NTS= =

падает с исходной сеткойI=на которой ставится задачаK=Таким обраJ зомI=величина= sM в формуле=ETKNNF=в двухмерном случае равна= sO I= а в трехмерном=–= sP K== Сравнивая формулы= ETKNOF= и= ETKNPF= с формулой= ETKNNFI= полуJ чаемI= что в двухмерном случае= t = n I= а в трехмерном= t = On K= ИсJ пользуя= n O = NIP и= nP = MIS ¸ MI9 I= получим= tO = NIP I= tP = NIS ¸ NI8 I= что очень близко к приведенным выше даннымK= Это совпадение= свидетельствует в пользу модели Шкловского=–=де ЖенаK== =

T.NN.=Мощность скелета бесконечного кластера= вблизи порога протекания.=Роль мертвых концов= Как и электропроводностьI= функция= mExFI= представляющая= долю узловI=принадлежащих бесконечному кластеруI=обращается в= нуль при= x= Z= xcK= Исследования показалиI= что вблизи порога эта= функция имеет вид== mE x F = aE x - xc Fb I==================================ETKNSF= где=a=–=численный коэффициент порядка единицыI=а= b =–=еще один= критический индексK= УстановленоI= что для двухмерных задач= bO = MIN4 I= а для трехмерных= bP = MI4 K= Эти результаты получены= главным образом с помощью ЭВМK== В функцию=mExF=дают вклад все узлы бесконечного кластера=–= и принадлежащие скелетуI= и принадлежащие мертвым концамK= С= помощью модели бесконечного кластера можно определитьI=каких= узлов большеK= Допустим сначалаI= что мертвых концов совсем нетI= и вычислим вклад в=mExF=от скелета бесконечного кластераK== В двухмерном случае на каждую ячейку бесконечного кластеJ ра приходится порядка=oLa узловI= принадлежащих скелетуI= где=a=–= период решетки=Eкак и в предыдущем разделеI=здесь делается оценJ каI=не претендующая на установление численных коэффициентовFK= Площадь ячейки порядка= o O иI=следовательноI=полное число всех=

NTT= =

узлов в ячейке порядка= o O a O K =Отсюда следуетI =что доля узловI = принадлежащих скелету бесконечного кластераI== n mск ( x ) : a : ( x - xc ) K=============================ETKNTF= o Здесь знак=«~»=означает равенство по порядку величины=Eбез= учета численных коэффициентов порядка единицыFK== В трехмерном случае на каждую ячейку бесконечного клаJ стера тоже приходится= EoLaF= узловI= принадлежащих скелетуI= но= полное число узлов в ячейке порядка=EoLaFPK=Поэтому в трехмерном= случае==

( )

O

On mск ( x ) : a : ( x - xc ) K==========================ETKN8F= o Сравнивая формулы= ETKNTF= и= ETKN8F= с формулами= ETKNPF= и= ETKNRFI=можно видетьI=что доля узловI=принадлежащих скелету бесJ конечного кластераI= по порядку величины совпадает с функцией=

t

s ( x ) sM = ( x - xc ) K== Сравнивая=ETKNTF=и=ETKN8F=с формулой=ETKNSFI=видимI=что== mск ( x ) m ( x) n -b On -b : ( x - xc ) O O =========и======== ск : ( x - xc ) P P = m ( x) m ( x) в двухмерном случае и трехмерном случаях соответственноK== ВспомнимI= что= n O = NIP I= а= nP » MI9 K= СледовательноI= n O - bO = NIO I=~= OnP - bP » NI 4 K=Таким образомI=и в двухмерномI=и в=

трехмерном случаях отношение= mск ( x ) m ( x ) быстро стремится к= нулю при=x →=xcK=Это значитI=что узлыI=образующие скелет бескоJ нечного кластераI= составляют ничтожную долю от полного числа= узловI= принадлежащих бесконечному кластеруK= Основная= «масса»= бесконечного кластера сосредоточена в мертвых концах и соверJ шенно бесполезна с точки зрения электропроводностиK= Поэтому= вблизи порога протекания= s ( x ) sM = m ( x ) K= Однако именно мертJ вые концы определяют спонтанную намагниченность ферромагнеJ тика с примесями вблизи порога протеканияK=

NT8= =

РАЗДЕЛ=8= ТЕОРИЯ ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ== = Прыжковой проводимостью называют перенос тока за счет= перескоков носителей между локализованными состояниямиK= Это= явление можно наблюдать в полупроводниках с примесями и в= аморфных телахI= в которых она существует в большом= температурном интервале= EM= ÷= NM= КFI= в полупроводниках этот= температурный интервал= –= EM= ÷= N= КFK= Обычно рассматриваются= четыре температурных интервала для проводимости= полупроводниковK= NK= В чистом полупроводнике с запрещенной зоной= Dbg = удельная электропроводимость= = = = s » sNM × e

-

DE g O hq

I= что означает=

заброс через зонуK= OK=При комнатной температуре и более низких температурах=== ET= YY= Dbg F =эта часть не проявляетсяI =и на первое место выходит= наличие примесейI= которые создают локальные уровни в= запрещенной зонеK= Отдельный атом можно характеризовать= энергией ионизации= = и размером волновой функции внешнего= электрона== æ *ö æ ö -8 bGB = NPKS × ç m ÷ × N I======== аБG = MIRP ´ NM3 ´ e ç m ÷ I= 1424 * m e èm ø è ø M aБ

где= e » NM ¸ NR I= m* » MINme K= Если

концентрация

примесей

мала=

( )

k d aB*

P

примесное состояние сохраняет свою индивидуальностьK= æ -b ö s » s OM exp ç O ÷ I= è hq ø где= bO ~ MIN ¸ MIMN эВ=Eсотни градусовFK=

NT9= =

= N I= то=

Проводимость таких слаболегированных систем= осуществляется за счет заброса электрона в зону проводимости= (рисK8KNFK= =

= РисK8KNK= Проводимость за счет заброса электронов в зону= проводимости= = PK= При температурах= q= YY= bO такие процессы= «вымораживаются»=и существенным становится вклад от прыжков= электронов по примесямI= за счет малого конечного перекрытия= волновых функций примесных состояний=EрисK8KOFK= æ b ö Здесь= s = sPM exp ç - P ÷ I=где сомножитель= sPM очень сильно= è q ø зависит от концентрации примесей=kdK= Следует помнитьI= что необходимым условием прыжка= является наличие свободных мест на донорах= Eдва электрона на= узле= – невыгодноFK =При низких температурах это можно= обеспечить только компенсацией полупроводникаI= т.еK= присутствием некоторой части неосновных примесей= EнапримерI= акцепторовFK==

N8M= =

= РисK=8KOK==Прыжки электронов по примесямI=за счет малого= конечного перекрытия волновых функций примесных состояний= = В результате:= - возникает переход части электронов с донорных примесей= на акцепторные и освобождение части мест на первыхX= - появление положительно заряженных донорных примесей= и отрицательно заряженных акцепторныхK= Второй факторI= в силу дальнодействия кулоновских полей и= хаотичного расположения в пространстве как техI= так и другихI= приводит к возникновению флуктуирующего в пространстве поJ тенциала для донорных уровнейK= Создается разброс этих уровней= по энергииI= который значительно превышает малое расщепление= уровней соседних доноровI= связанное с перекрытием волновых= функций=EрисK8KPFK=На рисK=8KP=сплошная линия=–=зона проводимоJ стиI=штрих-пунктирная=–=уровень ФермиK=Короткие черточки изобJ ражают уровни доноровI=а темные кружки=–=занимающие их элекJ троныK= Справа изображена плотность состояний на донорных= уровняхK= Заполненные состояние заштрихованыK= Валентная зона и= акцепторные уровни не показаныK= Разброс примесных уровней= EрисK8K4F= по энергии= препятствует делокализации донорных электронов по примесям и= приводит к локализации состояния на отдельных донорахK=

N8N= =

Вследствие разброса уровней по энергии нужен захват или= испускание фонона для перескокаK =Этот факт отражается в= æ b ö выражении= s = sPM exp ç - P ÷ наличием термоактивационной= è q ø зависимости проводимостиK= sPM : d E k d F = –= сильная функция= концентрации примесейK= = = = = = = = = = = = = = = РисK= 8KPK= Энергетические схемы слабо и сильно компенсироJ ванных полупроводников в пренебрежении крупномасштабным= потенциальным рельефом=

РисK=8K4K=Перекрытие потенциалов примесных центров ведет= к разбросу энергий связанных состояний= =

N8O= =

На рис=8KR=представлена зависимость удельного сопротивлеJ ния от обратной температуры для= de =p-типа со степенью компенJ сации====К=Z=MI4K=для различных значений концентраций примесейK= ХарактерноI= что при изменении= = концентрация увеличивается в= O= разаI=а сопротивление изменилось в=NMM=разK= Концентрация= k уменьшаетсяI= следовательно расстояние= между примесями в среднем увеличиваетсяI= значит интеграл= перекрытия экспоненциально уменьшаетсяK= Тогда вероятность= перескока падаетI=а сопротивление растетK= = = = = = = = = = = = = = = = = РисK= 8KRK= Зависимость удельного сопротивления от темпеJ ратуры для=de=pJтипа со степенью компенсации====К=Z=MIQK== Концентрация акцепторов=N=–=NN=равны=Eв см=JPFW= N=–=TIR·NMNQX=O=–=NIQ·NMNRX=P=–=NIR·NMNRX=Q=–=OISS·NMNRX== R=–=PIS·NMNRX=S=–=QIU·NMNRX=T=–=TIO·NMNRX=U=–=VIM·NMNRX== V=–=NIQ·NMNSX=NM=–=OIQ·NMNSX=NN=–=PIR·NMNS= = 4K= В аморфных и органических полупроводниках об= электронных состоянияхI= по которым происходят прыжкиI= известно значительно меньшеI= чем в кристаллическихK= Эти= состояния связаны не с примесямиI=а с флуктуациями структуры и=

N8P= =

стехиометрического составаK= Но и для аморфныхI= и для= кристаллических конденсированных тел при температурах=T=Y=N=h= возникает==зависимость вида== Nü ì ï æ qM ö 4 ï s = s4M exp í- ç ÷ ý = ï èq ø ï î þ Мы покажемI=что третья и четвертая области проводимости= могут быть описаны в рамках перколяцииK= = 8.N.=Прыжковая проводимость= = Миллер и Абрахамсон показалиI= что задачу о прыжковой= проводимости можно свести к задаче о= случайной сетке= сопротивленийK== Напомним результатI= полученный для задачи= перекрывающихся сфер радиуса= oc= –= бесконечный кластер= возникает при выполнении условия===

4p × k × oc P ; OKTR K= P

Рассмотрим два уровня примесей=iI=àK= Разность энергий этих= уровней= ei - e à = q =–=температуры ДебаяK=Перескок происходит с= поглощением или испусканием одного фонона=EрисK8KSFK= =

= РисK=8KSK==Перескок носителя по примесным центрам= =

N84= =

=

Пусть N

волновая функция электрона имеет= pJтип:= æ r ö y i= exp ç - ÷ K== N è àG ø P * O O p a Число переходов с=ίJго узла на=àJй в единицу времени:= = = =поглощение ïü æ Orià ö ïì k Ee à - e i F= = = = = =® G ià : g ià × exp ç - G ÷ × f i × EN - f à F × í ý K= = = испускание=== == è a ø îï k Ee i - e à F + N ® þï æ Orià ö Здесь сомножитель= exp ç - G ÷ пропорционален интегралу= è a ø перекрытия волновых функций на узлахI=а число необходимых= фононов=~=kK== Для тогоI= чтобы произошел прыжокI= вероятность электрона= на= i-м уровне= = – = fi I= à-й уровень= должен быть пустымI= иначе= прыгать некудаI=т.еK=используется вероятность=–= EN - f à F K=В простом=

вариантеI=когда вырождение уровней равно=NLO= -N

é æe -mö ù fi = fM ( e ) = ê N exp ç i ÷ + Nú K= è q ø û ëO Нужно найти фононI=т.кK=электрон=должен изменить энергию=

на величину= e i - e à I= испустив или поглотив соответствующий= фонон= k=

N

ei -e à e q

K= -N

Рассмотрим два случаяK= r NK= Пусть электрическое поле= b = M K =Система находится в= равновесииI= что в соответствии с принципом детального= равновесия означаетI= что число переходов на= à-м уровне равно= числу переходов обратноI=i ↔=àK= Поскольку электрического поля нет=Eb=Z=MFI= число переходов= должно быть одинаковым:==Ei=Þ=àF=Z=Eà=Þ=iFK=

N8R= =

r малое электрическое поле= b ¹ M K= Ток= N предполагается малымI=тогда===== k = I= OK= Приложим

ei -e à e q

-N т.еK=при малых токах фононы остаются в равновесииI=а функция их= распределения невозмущеннаяI=т.еK=–=функция ПланкаK== r Наличие поля= b ¹ M приводит к двум изменениям в числе= переходов с=iJго узла на=àJй= Già :=

NF= изменяется энергия донорных уровней во внешнем= потенциальном поле= Eони находятся в разных пространственных= точкахFI=т.еK=меняется энергия участвующих в перескоке фононовX=в= rr планковском распределении добавляется слагаемое= ~ eErià = –= изменение разности энергий уровней= Eпоскольку температуры= малыI=то фононы соответствующей энергии нужно еще поискатьFX= OF= происходит также перераспределение электронов во= внешнем электрическом поле=–=функция распределения электронов= возмущаетсяI= поскольку происходит изменение их химического= потенциалаK= -N

é æ e - mi - dmi ö ù fi ( e ) = fM ( ei ) + dfi = êN + N exp ç i ÷ ú K= q è øû ë O ДействительноI=поскольку существует токI=то его возникноJ вение может быть обусловлено только нарушением баланса переJ ходов==между==состояниями= i « / à K= По определению= g = s × E K= Ток пропорционален разности= числа переходов:= r r g : e × éGià b - G ài b ù K= ë û Если использовать разложение по малым добавкамI= то полуJ чим= rr GMià g» × ebr + dmi - dm à K= q

( )

(

)

N8S= =

( )

rr Выражение= ebr + dmi - dm à можно рассматривать как разJ

ность электрохимических потенциалов=–=напряжениеK=Тогда сопроJ тивление между= i-м и= à-м узлами= Eс точки зрения электротехничеJ ской задачиF=равно= q oià = K= O M e Già Запишем это сопротивление в виде:= Orià eià oià = oiàM exp xià I=где= xià = + K= = = = = = = = E8KNF= q a*

( )

ДействительноI=

oià ~ N ~ GiàM æeà -mö N + exp ç q ø÷ æ æ ei - e à ö ö æ æ ei - m ö ö è ´ ´ : çN + exp ç exp ç ç ÷ - N÷ : ÷ ÷ ç q ø ÷ = æeà -mö è q øø è è è ø exp ç ÷ è q ø æ ei - m + e i - e à ö exp ç ÷I q (если пренебречь= è ø :

чем-то малымF

здесь температура=Т считается малым параметромK=Недостаток поJ лученного выражения заключается в его несимметричности отноJ сительно=iI=àK=Чтобы от этого избавитьсяI=в качестве меры разности= энергий берут симметричное по индексам выражение:= eià = N ei - m + e à - m + ei - e à K= O

(

)

( )

Итак:= oià = oiàM exp xià I=где= xià определено согласно формуле=E8KNFI= выражениемI=симметричным по= eià K=

N8T= =

В принципеI= локализованных примесных узлов многоI= они= разбросаны в пространствеK= У каждого узла своя реализация слуJ чайного потенциалаI=создаваемого заряженными примесями иI=слеJ довательноI=свой сдвиг по энергииK=У соседа может быть=«плохое»= окружениеI= которое сильно изменило энергетическое положение= его уровняI=а дальше в пространстве может оказаться примесьI=уроJ вень которой возмущен менееI= но==расстояние до него оказывается= большеK= Получена сетка сопротивлений= oià I= соединяющая узлы приJ месиK=Причем= oià меняется в чрезвычайно широком интервале знаJ ченийK= Неизвестное= Dm == может быть найдено из первого и второго= законов Кирхгофа=Eравенство входящих=–=выходящих токов в кажJ дый узел и равенство суммы электрохимических потенциалов по= любому замкнутому контуруFK= В слабо легированном полупроводнике среднее расстояние= можно оценить как= k d-N P I= что соответствует расстоянию между= примесями=»=S=–=NO=боровских радиусовK== -N

P a xià ~ k I==== M ~ N I= * a a* NMM при этом сопротивление из-за экспоненциальной зависимости отJ личается в=NMNO=JNMO4 разK=Это объясняет экспериментальный график= æ -N ö r ç k P ÷ =EрисK8KTFK= è ø Нужно произвести оценку в соответствии с теорией перколяJ цииK=Рассмотрим относительно большие температурыI=когда можно= eià Orià пренебречь= по сравнению с== величиной= K= Теперь условно= q a*

разорвем все сопротивления нашей системы и включим все= xià < x I=

N88= =

постепенно увеличивая величину=xK= Две точки=EцентраF= считаются= Orià eià связаннымиI=если= xià = + £ x K== q a*

= = РисK8KTK=Проводимость= sP =pJгермания с примесью галлия как= функция концентрации галлияK=Степень компенсации всех образцов= К=Z=MIQ= = При определенной концентрации примесей будет возможно= протекание по системеK= Существует критический уровень заливки= xc I=при котором будет наблюдаться проводимость по всей системеI= т.еK=образуется бесконечный кластерK=Можно провести аналогию с= повышением уровня воды до возникновения некоторого уровняI= когда все пруды=EсопротивлениеF=соединятся и создадут бесконечJ ный океан=EкластерFK= = 8.O.=Концентрационная зависимость= прыжковой проводимости= = Для третьего интервала температур проводимость имеет вид== æ -e ö s = sP exp ç P ÷ I= è q ø

N89= =

т.еK= это термоактивированная проводимостьK= ПредэкпоненциальJ ный множитель= sP имеет сильную концентрационную зависиJ мостьK=Для данной температурной области характерно тоI=что=Т отJ носительно великаI=т.еK=всегда можно найти фонон для прыжка= eià K= СледовательноI=основной вклад связан со слагаемым=

Orià

K= a* Данный= i-й узел связан со всеми другими узлами= àI= находяJ щимися внутри сферы некоторого радиуса=oI=описанной вокруг=i-го= узлаK= При некотором= o= Z= ocI как следует из= задачи о вложенных= сферах=EсмK= рисKTKNSFI= будет образовываться бесконечный кластерI= в котором каждый следующий узел лежит внутри сферыI= описанJ ной вокруг предыдущегоK=Тогда критическое значение параметра=x= O × oc K= Результат= определяется через критический радиус как= xc = a задачи о вложенных сферах:== 4p kocP = OITR I==т.еK=в радиусе влияJ P ния= oc должно быть=OITR=соседейI=или= -N

oc = MI8T k P K=

Отсюда= æ -O oc sP = sM exp ç è a

-N æ P ö -a k ÷ ==или== sP = sM exp çç * ø è a

ö ÷ I= ÷ ø

где= a = NIT4 K= Способы проверки следующие:= NK=ЭВМ и использование=NJго и=OJго законов КирхгофаI=точJ

( )

ное решение для сопротивления= oià = oM exp eià I=где= eià =–=случайJ ная величинаI==разбросанная в широком интервалеI=дает практичеJ ское совпадение результатовK= OK= Экспериментальные результаты для= pJde= –= германиевый= полупроводник=р-типаK=Здесь задача является частично перколяциJ

N9M= =

оннойI=связаны те узлыI=которые попадают в область влияния друJ гого узлаK= =

8.P.=Температурная зависимость прыжковой= проводимости= = Температурная зависимость особенно существенно для= аморфных полупроводниковI= где уровни созданы не примесьюI= а= искажениями самой структурыK= = Температура такая низкаяI= что= eià Orià ³ I=т.еK=система настолько замороженаI=что фононов с необJ kq a ходимой энергии нетK=Теперь все определяется температурным слаJ гаемымI=но в первом приближенииI=поскольку=eià= разбросаны=Eиз-за= флуктуацийF=в некоторой полосеI= то всегда можно найти какие-то= узлы с малым отличием по энергииI=пусть и далекие друг от друга= (напримерI= с одинаковым окружением заряженных центровFK= Для= таких выделенных центров по-прежнему главным будет не темпеJ eià Orià ратурное слагаемое I=а= K== kq a NK=Таким образом можно отбросить вопрос разности уровней= и построить скелет по принципу=выделенных соседей= æ -O oi - o à ö s æ -OaNrs ö ÷I = 4p rsP I s ~ exp ç sià ~ exp ç ÷ I=где= aN = MI8T K= P ç ÷ k è a ø a* è

ø

OK=Пусть скелет бесконечного кластера будет как в=8KOK== æ Dià ö D ià ³ N K= fià ~ exp ç ÷ I= è hq ø q = = = = = =

N9N= =

= = ======= = = = = = РисK=8K8K=Система с прыжками переменной длины== = При высоких температурах=EрисK=8K8F=путь протекания может= проходить через центры с любыми примесными уровнямиK= При= низких температурах электрон может совершить прыжок только на= примесный уровень с той же энергиейK= На рисK= 8K8= это показано= кружкамиI=одинаково густо заштрихованнымиK=

= РисK=8K9K=Уровни энергий примесей== = Уровни энергий примесейI=показанные на рисK8K9==в интерваJ ле=DI=создают зону= = æ -Oars ö s ~ exp ç - b t ÷ K= a q è ø Это соответствует зависимости== æ e ö sP = sP ( k d ) exp ç - P ÷ I= è q ø но при более низких температурах это не такK=

N9O= =

Величина= t определяется количеством примесейI =так как= именно они определяют разброс энергетических уровней в энергеJ тическом пространствеK= k t ~ d ~ nd ~ rs-P I====где= rs ® nd K= s В бесконечном кластере= EсмK= подраздел= K8KOF= задействованы= не все примесные центрыI=а только теI=которые имеют небольшой= разброс по энергииK= Их концентрация= nd¢ I =т.еK =выбраны только те= примесиI= которые удобны= nd¢ ® rs¢ K=Такие примеси имеют разброс= D I=меньшийI=чем=t:= N D = gt ~ ndD ~ I= rs¢P r где= nd¢ = g × nd I= следовательно= rs¢ = s NL P K= Т.еK= в случае возможноJ g сти оптимизации по энергетической размазке= D проводимость= можно записать в виде== æ ö ç -Oar - N bt ÷ æ Oa r D b t g ö s s ~ exp ç g ÷ K= ÷ ===или== s ( g ) = exp ç * s g P ç a* q ÷ q ÷ { a3 ç 12 è ø ç ÷ c è d ø ИнтерпретацияW выбрали в физическом пространстве облаJ стиI= имеющие определенное выгодное окружение= (оптимальный= разброс по энергии и расстояниюFK= Функция= f ( g ) имеет минимум по параметру=g==

f ( g ) = -d g

-

N P

- c gI P

df æ d ö4 = M ®® g* = ç ÷ K dg è Pc ø

N9P= =

=

P æ Nö æ ars ö 4 t 4 ÷ ç P f g = ====== ® =========== s ~ exp - ç K============E8KOF= ç 4 è a* ÷ø q ÷ ç ÷ è ø Нужно найти соседа в многомерном пространствеI=оптимальJ ного и по энергииI=и по расстояниюK= = ПримечаниеW= оказывается в тонких пленках проводимость= также может иметь перколяционный характер= Eчерез скелет= кластераFI=поскольку их поверхность не сплошнаяI=а островковаяK=

( )

( ) *

=

N94= =

РАЗДЕЛ=9= ЛОКАЛИЗАЦИЯ И ДЕЛОКАЛИЗАЦИЯ== НОСИТЕЛЕЙ.=АНАЛИЗ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ== ПЕРКОЛЯЦИОННОГО ПОДХОДА= 9.N.=Локализация электронов в неупорядоченных= системах= Из эксперимента следует:= - при малой концентрации примесей состояние электрона=локаJ лизованоX= - при большой концентрации примесей состояние электрона=деJ локализованоX= Можно предположитьI=что при определенных концентрациях= примесей= nd* в примесной зоне появляется полоса энергийI=для коJ торой соответствующие состояния электронов делокализованыI=т.еK= наличие трансляционной симметрии не обязательноK= Будем рассматривать кристаллI= в который введена примесьI= создающая электронное состояние с энергией=bM внутри запрещенJ ной зоныK= При увеличении концентрации= nd плотность уровней с энерJ гией порядка= bM возрастает и при некоторой конечной концентраJ ции= nd* возникает примесная зонаI=имеющая конечную ширинуK= Если примеси расположены регулярноI= то можно использоJ вать результаты решенияI= напримерI= задачи Кронига-Пенни для= любой концентрации примесей:= - действительноI=возникает размытие уровня в зону шириной=tX= - состояниеI= принадлежащее этой зонеI= характеризуется волноJ r вым вектором= k и волновые функции близки к плоским волJ намI=тK=еK=делокализованыK= Однако качественно очевидноI= что если= nd малоI= то состояJ ние должны быть локализованыK=

N9R= =

Казалось быI= что причина локализации в хаотичном распоJ ложении примесейK= Если примеси расположены хаотичноI= то отJ r сутствует трансляционная симметрияI= следовательно= k = – плохое= квантовое число и зона не обладает стандартными свойствамиK=Это= значитI=что электронная волновая функция не расплывается по зоне= (центрамFI=т.еK=состояние оказывается локализованнымK= Переход от локализации к делокализацииI= происходящей при= изменении концентрации примесей=Eизменении энергииFI=называетJ ся переходом АндерсонаK== Учет сколь угодно слабых флуктуацийI= рассматриваемый в= одноэлектронном приближенииI–=переход АндерсенаK= Учет электрон-электронного взаимодействия в идеальных= периодических системах=–=переход МоттаK= =

9.O.=Узкие зоны и переход Мотта= = Из предыдущего ясноI= что задачи типа Кронига–Пенни не= описывают переход локализация=–=делокализацияK= ДействительноI= допустимI= что примесные атомы располагаJ ются периодически в матрице основного материалаK= Матрица= A= имеет период решетки= аI =и в нее внедрены примеси со своей реJ шеткой=BI=обладающей периодом=bK= Потенциал примесной подрешетки можно записать как= r s% ( r ) =

å u ( r - r à ) I=

àÎB

где суммирование идет по узлам подрешетки= BK= Пусть известны= волновые функции= jn и энергии= bn электронов на одном примесJ ном атомеI=находящемся в матрицеK= é hO ù D + u r - r à ú jn = bn jn K=======================E9KNF= êëê Om G ûú

(

)

N9S= =

Мы учли потенциал матрицы= AI =введя эффективную массу= носителей=mGK=ДействительноI= если атом помещается в среду с диJ электрической проницаемостью εI= то его боровский радиус увелиJ чивается в сотни раз== æ m ö -8 NM аБG = MIRP ´ ´ e 14243 ç * ÷ I= èm ø M aБ

где=e=»=NM=¸NRI=mG=»=MINmeK= Ограничимся случаемI=когда состояния=n невырожденыK= Для простоты будем считатьI= что= tI= ширина примесной зоJ ныI= меньше расстояния между уровнями= bn и будем рассматриJ вать энергетический интервал в окрестности одного из уровней= bn º eM K= Искомая волновая функция является решением электронной= задачи для подрешетки=B= é hO r ù D + s% ( r ) ú Y = E × Y K= êêë Om G úû и конструируется из волновых функций для примесного атома=E9KNF= r uur O Y = å a à × jEr - r=à FI = = = = =å a à = N K= à

à

Такое стандартное разложение по атомным волновым функJ циям= jn должно быть хорошим приближениемI= если радиус локаJ лизации волновых функций= j мал по сравнению с периодом подJ решетки= В= –= bMK= ДействительноI= основной вклад в энергию дают= области пространстваI=в которых волновая функция=Y великаI т.еK=в= сфере действия одного из примесных центровI= где и= «работает»= уравнение=E9KNFK= Значение коэффициентов= aà= следует искать из принципа миJ нимума полной энергии=bK ОтметимI=что среднее значение энергии= r uur не является квадратичной формой коэффициентов=aàI=т.кK= jE r - r à F I= соответствующие разным узламI=неортогональныK=

N9T= =

b = YG e Y = ò Y G -

hO

G

Om

D+

r

å u ( r - r à ) Yd t K=

àÎB

Подставляя= Y = å a k j ( r - rk ) и= Y = å al j ( r - rl ) I= с условием= *

*

G

нормировки получим=Eкак в методе сильной связиF:= G

ò Y × e ×Y×d t = b= G ò Y ×Y×d t

r r ìï

r r

r

r r üï

ò å ak j Er - rk F íïeM å al jEr - rl F + å al ëés% (r ) -u (r - rl )ûù jEr - rl Fýï d t * *

î

= k

l

òå

l r r * * r r ak × al ×j Er - rk F×jEr - rl F× d t

þ

= K

k Il

УчитываяI=что= å k Il

ak*

r r r r × al × ò j* Er - rk F × jE r - rl F × d t = k =–=число узлов=

подрешетки=BI=получим= *

å ak* × al × ò j b = eM +

k Il

r r r r r r r Er - rk F × ëés% ( r ) - u ( r - rl )ûù × jE r - rl F × d t

K= k В силу трансляционной симметрии подрешетки=В:= N b = eM + å ak* × ak +m × f m I=====================E9KOF= k k Im

где= eM = –= уровень примесного атома в матрицеI= fm = –= энергетичеJ ский интеграл перекрытия== r fm = ò j*m éës% - ue ùû je dr K= Выделяя в=E9KOF=слагаемое с=m=Z=MI=получим= N b = eM - ` + ak* × ak + m × f m K= å k k ImE m ¹MF

N98= =

ОчевидноI= что= fm

- b* :e a

= EпредполагаемI= что волновая функция= - r* e a

примесного атома имеет простейший вид= FK= Можно показатьI= что набор=ak минимизирует значение энергииI= если коэффициенты= имеют вид== r r a=k Z=k JNL O × expEi × k × rm F K= Тогда в приближении ближайших соседей по подрешетке= В= (кубическойFI=получим известный результат приближения сильной= связи:=

(

)

b = O f ( bM ) × cos k x bM + cos k y bM + cos k z bM I= т.еK=ширина подзоны= Db = O z f (bM ) K=В частности для простой кубиJ ческой решеткиI=где=z=Z=S=и для малых=k== b = S f ( bM ) - f ( b ) × k O × bO K= **

Введем обозначение= m

º

hO

O hk ) ( I=тогда=== b = K=

O f Mb OM Om** Величина= mGG играет роль эффективной массы электронов в= образовавшейся энергетической зоне для примесной подрешетки=BK= С ростом периода этой подрешетки=bM эффективная масса=mGG= эксJ поненциально растетK=Действительно== m=** :

N

expEbM L a* F

K==================E9KPF= f MbMO bMO При этомI=каким бы большим не было=bMI=состояние электроJ на в этой примесной зоне является модулированной плоской волJ нойI=и электрон остается делокализованнымK== ОтметимI=что зонаI=образованная примесямиI=заполнена не боJ лее чем наполовинуI=поскольку каждая примесь дает=Eили забираетF= один электронI= а каждый уровень дважды вырожден по спинуK= ТаJ ким образомI= получаетсяI= чтоI= если примеси действительно распоJ ложены периодическиI= то проводимость электронов в этой зоне меJ таллическая при сколь угодно малой концентрации примесейK= Z

N99= =

ЗаметимI= что при увеличении= bM ширина зоны будет уменьJ шаться==

(

)

Db = O z f ( bM ) : exp J bM= L a* I========================E9K4F=

и задача рассматривается как одноэлектронная для примесного= центраK= Именно в этом причина противоречия с вопросом о делоJ кализацииK= Одноэлектронное приближение хорошо работает при расчете= широких зон металлов и оказывается недопустимым в случае узких= зонK= Уже отмечалосьI= что волновая функция электрона= Y вблизи= каждого=à-го узла слабо отличается от узельной=jàK==Оценим ситуаJ циюI= когда на одном примесном центре находятся два электронаK= Энергия такого состояния порядка= r M » e O aБ* : MIN эВI= боровский= æ m ö -8 радиус:= аБ* = MIRP ´ NM3 ´ eç ÷ K= 1424 è m* ø M aБ

Если эта энергия меньше ширины зоныI=т.еK==

(

)

r M << t » Db » O z f ( bM ) : exp J bM= L a* I=

то перестройка волновой функции связанная с взаимодействием= электронов незначительна=Eтак обстоит в хороших металлахFK= В нашем случае?=При больших значениях=bM==

(

)

r M >> t » Db » O z f ( bM ) : exp J bM= L a* K=

Пусть=bM великоK=На каждом узле примесной подрешетки разJ решены два уровня= bM и= bM +rM K=Если на узле один электронI=то из= этих двух уровней будет заполнен только нижнийK==

OMM= =

= РисK=9KNK=Электронные зоны в зависимости от периода приJ месной подрешетки=bMK= Слева от точки А=–= диэлектрикI= справа=–= металл= = При конечном значении= bM= оба уровня расплываются в зону= шириной порядка=fEbMFK=В всех зонах может быть не более=k элекJ троновI=посколькуI=напримерI=в нижней зоне на одном узле не моJ жет быть двух электроновK= Таким образомI= при достаточно больJ ших расстояниях между примесями= bM нижняя зона должна быть= полностью заполненаI=а верхняя=–=пустаK= При некотором значении= bMI которое определяется условием= fE bM* F= »= rMI= верхняя граница= нижней зоны пересечет нижнюю границу верхней= EрисK9KNFK= КачеJ ственноI=до этой точки система будет изоляторомI=после нее=–=меJ талломK= Существует переход в регулярной системе от локализованноJ го состояния в делокализованноеK=Это переход МоттаK== Более последовательное изучение такого перехода может= быть проведено в модели ХаббарадаK=ДействительноI=в рамках этоJ го приближения два электрона со спином=sI=находящиеся на одном= узлеI=отталкиваютсяK=Система описывается уравнением:=

OMN= =

µ= e

r f E mF × a +à Is × a à + mIs + M × å n +à Is ×n à Is I= O à Is à Im ¹ MIs

å

где= n à Is = a +à Is × a à Is =–=оператор заполнения состояния на=à-м уровне= со спином= sK= Последнее слагаемое описывает отталкивание элекJ троновI=имеющих разный спин и находящихся на одном узлеK== Модель Хаббарда допускает аналитическое решение только в= одномерном случаеK= Результатом этого решения является щель= между верхней и нижней зонойI= которое сохраняется при любых= значениях отношения=fEbMFL=rMI=т.еK=в одномерном случае всегда сиJ стема является изоляторомK=В двухJ=и трехмерном случаях возможJ ны численные решенияI=из которых следует==качественный резульJ татI=полученный вышеK==

9.P.=Модель Андерсона= = Разрушение порядкаI= как известноI= может осуществляться= разными способами:= - расположение узлов примесей=–= случайное положение атомов= {oà}X= - при правильном расположении узлов примесной решеткиI= но= энергетический уровень=eà для электрона на узлах=–=различный= (рисK9KOFK== = = РисK=9KOK=Потенциальные ямы в модели Андерсона= Такие задачи следует рассматривать в узельном приближеJ нииK=Основной гамильтониан имеет вид:= µ = e × a+ × a + e E9KRF= å à à à å f EmF × a +à × a à + m K= à

à Im ¹M

Энергии=eà считаются случайными величинамиI= между котоJ рыми нет корреляцийI=т.еK=значение=eà в=à-м узле не зависит от знаJ

OMO= =

чений в соседних узлахK=Распределение случайной величины=eà буJ дем предполагать равномерным в некотором энергетическом инJ тервале=t:= ìï N X= = = =e= <= t O K= m E e F = ít ïîMX= = = = = =e= =>= t O Основной вопрос:= является ли волновая функция локализоJ ванной в окрестности некоторого узла или распространяется на= всю системуK=Важно понять следующее:= - образуется ли когерентное состояниеI=являющееся суперпозиJ цией бесконечного числа узельных функций=jI=входящих с приJ мерно одинаковым весомI=которые простираются на макроJ скопическое расстояние=Eметаллическая проводимостьF= или== - узельные функции входят в суперпозицию с весомI=экспоненциJ ально убывающим по мере удаления от некоторого узлаK=Такое= состояние является локализованным вблизи этого узлаK=Если= все состояния локализованыI=то проводимость системы при= температуре=q=Z=M равна нулю=EдиэлектрикFK= Даже при всех представленных выше упрощениях модели= аналитического решения её нетK= Численный анализ дает следуюJ щую картинуK= NK Вблизи каждого узла примеси волновая функция похожа= на узельную=jI=коль скоро интеграл перекрытия=f малK== OK ДопустимI=в нулевой момент времени волновая функция= совпадает с узельной функцией=jiI=соответствующей узлу=iK=ПоJ скольку эта функция не является собственной функцией полного= гамильтониана системы=E9KNFI=то она будет меняться со временемK= O

Приходится решать нестационарную задачу и искать= Y Et F на=iJм= узле при больших временахK= PK Если состояния не локализованыI=то начальный волновой= пакет расплывается по всей системеI=поэтому в бесконечной систеJ

OMP= =

O

ме= lim Y Et F = M K=Если разброс уровней=e отсутствует=Eт.еK=t маJ t ®¥

лоFI=то расплывание происходит за= t = h L sb X= sb = O z × f EbM F K= 4K Если же состояния локализованыI=то расплывания начальJ ного волнового пакета не произойдет:=волновая функция приобреJ тает со временем некоторую конечную плотность на соседних узJ лах=E«хвосты»F=с экспоненциально малой амплитудой и будет соJ O

средоточена в одном и том же объеме= lim Y Et F ¹ M K= t ®¥

RK Определяющим фактором исхода таких численных экспеJ риментов является значение параметра=h=J=отношение:== h º t L sb = t L O z × f EbM F K=

9.4.=Связь плотности числа состояний с критерием= локализации= = Важнейшей характеристикой примесной зоны является плотJ ность числа состоянийK=Эта величина определяется как число уровJ нейI= попадающих в малый энергетический интервалI= отнесенная к= этому интервалу и к объему системыK= Следует иметь в видуI=что в макроскопической системе плотJ ность числа состояний является непрерывной функцией энергии в= некотором интервалеI=даже если речь идет о примесной зонеI=котоJ рая представляет собой набор дискретных уровнейK=Таким образомI= плотность числа состояний не содержит информациюI= позволяюJ щую отличить истинную зону от набора дискретных уровнейI= не= связанных друг с другом и случайно разбросанных в энергетичеJ ском пространствеK== Модель Андерсона содержит безразмерный параметр= –= отJ ношение= h º t L sb = t L O z × f EbM F I= здесь= f EbM F = –= интеграл переJ крытияI=t=–=ширина зоныK= Результат исследований=Eявляется ли данное состояние локаJ лизованным или нетF=состоит в следующем=Eкритерий АндерсонаF:=

OM4= =

- при больших значениях= h º t O z × f EbM F все состояния лоJ кализованыX= - существует критическое значение h* º tc O z × f EbM F I=при коJ тором в центре зоны впервые появляются нелокализованные= состоянияX= - при дальнейшем уменьшении==h=YYhG область делокализации= разрастаетсяI=захватывая практически всю зонуX= - все сказанное не относится к одномерным системам=–=локаJ лизация для них имеет место всегдаK= Для примера рассмотрим две одинаковые потенциальные= ямы на большом удалении друг от друга= EрисK9KPFK= Здесь= bN - bO : O × f E i F =–=интеграл перекрытия двух функцийK=Как ни веJ лико конечное значение=iI= электрон в равной степени в обоих соJ стояниях= YN = N ( jN + j O ) I= Y O = N ( jN - jO ) == O O принадлежит обеим ямам с одинаковой вероятностьюK= Характер= решения мало меняетсяI=если ямы исходно слабо различаютсяI=т.еK= если= eN - e O < O f E i F K= В обратном случаеI= eN - e O [ O f E i F =Eпервоначальный энергеJ тический сдвиг в ямахI= напримерI= обусловлен хаотическим потенJ циалом других примесейF=картина другая=EрисK9K4FK= Волновые функции имеют вид:= YN = `NjN + `OjO I=======Y O = `OjN + `NjO = В первой яме энергия== bf » eN X=волновая функция= y f » jN K= Во втоJ рой яме энергия== bff » eO X=волновая функция= y ff » jO K=ОбобществJ ление электронов здесь не происходитK= =

OMR= =

L==¥

eN

eN = e O

e1

jN

2

jO

eO

L===const

E2 E1

E2 E1

y f = f= = O × ( jN + j O ) X y ff = f= = O × ( jN - j O ) X bN - bO = O × f

= РисK= 9KPK= Две квантовые потенциальные ямы при различном= взаимном расположении друг от друга= L===const

E1

E2

yf = ( `NjN + `O jO ) X= y ff= =( `NjN - `O jO ) K

= РисK9K4K==Две различные квантовые потенциальные ямы= Согласно изложенным выше результатам исследований моJ дели Андерсона при определенном значении параметра= h внутри= зоны шириной= t образуется энергетическая полоса шириной= D = (рисK9KRFK= Состояния принадлежащие= D называются= резонансно свяJ заннымиI=а не принадлежащие= D –=резонансно=несвязаннымиK= Резонансные узлы связаны друг с другомK=Это те узлыI=котоJ рые являются ближайшими соседями или соединяются друг с друJ

OMS= =

гом через резонансных соседейI= которые по цепочке являются= ближайшими соседямиK= Совокупность таких резонансных узлов образует кластер с= единой волновой функциейK= Квадрат волновой функции электрона= на узлах кластера:=одного порядка на всех узлах кластера и мал=–= вне этого кластераK= Выбросим из рассмотрения нерезонансные узлыK= Доля= резонансных узлов оценим как=g=Z= D LtI=предполагая равномерную= плотность уровней внутри зоныK= При малых значениях= g резонансных атомов малоI= они= располагаются малыми изолированными группамиK== При больших значениях= g резонансные узлы образуют= бесконечный кластерI =т.еK =образуются путиI =уходящие в= бесконечностьI= по которым исходный волновой пакет= расплываетсяK= Существует пороговое значение= gс= Z= D Ltс= для образования= бесконечного кластераK= ОчевидноI= что= gс= –= аналог порога= x c= соответствующей задачи перколяцииK==

= РисK=9KRK=Плотность состояний в модели АндерсонаK=ЛокалиJ зованные состояния заштрихованыK=Энергии Ес и=–ЕсI=отделяющие= области локализованных и делокализованных состоянийI=являются= порогами подвижности= =

OMT= =

Различие уровней энергии в модели Андерсона=EрисK9KSF=приJ водит к разделению узлов на несколько типовK= Если уровни энерJ гии электрона на узлах разных типов отличаются друг от друга боJ лееI=чем на величину γsI=то переход электрона между такими узлаJ ми невозможенK= Состояния локализованы или делокализованы в= зависимости от тогоI= возможно ли протекание по узлам данного= типаK= = = = = = = = РисK9KSK=Различие уровней энергии в модели Андерсона== = Если воспользоваться моделью де Жена для бесконечного= кластераI =то он состоит из скелета и мертвых концовK =Новая фаза= зарождается не как сплошностьI=а как одномерные ниточкиK=ИтакI= D nD = » u c K= tc n Это задача вложенных= сферI= а= Хc= –= доля резонансных узJ ловI==ЕN=–=ЕO=Z=OzfI=а резонансные узлы принадлежат ниточкам бесJ конечного кластераI= у которых число ближайших соседей= z= Z =OK = СледовательноI= D » O × z × f » 4 × f I=f=–=интеграл перекрытияK= tc » 4 I====================================E9KSF= f uc где=Хс=–=порог протекания по сетке данного типаK=

OM8= =

Если= t= Y=tc= I= т.еK= имеем примесную зонуI= плотную по конJ центрации уровнейI= то возникает делокализация электронного соJ стоянияK= Если наоборот=t=[=tc== (рыхлая зонаFI= то все состояния остаJ нутся локализованнымиK= ПроверимI= используя результаты численных экспериментов= для различных решетокK= В таблK9KN=представлены:=== Хс=–=результат= расчетов порогового значения образования бесконечного кластераX= tc –= результат оценок порога образования делокализованного= f электронного состояния из решений численных задачK= Можно видетьI= что численные значения двух последних= столбцов совпадают с точностью=NMJNRBK= Такой подход позволяет= утверждать следующееK= = Таблица=9KN=Результаты расчетов порога образования делокаJ лизованного электронного состояния= Тип решетки=

Хс=

4

uc

=

tc

f

=

OJмерная решетка= Шестиугольная=

MITM=

RIT=

4IP=

Квадратная решетка=

MIR9=

SI8=

SIN=

MIRM= 8IM= PJмерная решетка= Простая кубическая= MIPN= NOI9= Типа алмаза= MI4P= 9IP=

9I4=

Треугольная решетка=

N4I4= 8IM=

= Случайный потенциал приводит к разбросу уровней примесJ ных центровI=и в то же время примесные центры обладают опредеJ ленным перекрытием волновых= функцийK= Был рассмотрен случайI= когда эти две величины задаются независимо и заданыK= Если разброс больше определенной величиныI=то состояния= остаются локализованыK=Если меньше=–=происходит делокализацияK=

OM9= =

Плотная зона дает делокализациюI=в рыхлой=–=все состояния= локализованыK=Однако это модельI=где на самом деле и интеграл= перекрытия=f=и уширение=t связаныK=

ONM= =

РАЗДЕЛ=NM= ГРАНУЛИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ= = NM.N.=Гранулированные материалы= = Все предыдущие разделы были посвящены в основном одJ нородным неупорядоченным конденсированным системамK= ГрануJ лированным будем называть неоднородный материалI= состоящий= из случайно расположенных мелких областей= EгранулF= с сущеJ ственно различной проводимостьюI=в пределе смесью областей меJ талла и изолятораK=Случайный потенциал в таком материале обязаJ тельно имеет характерные длиныI= существенно большие межатомJ ных расстоянийI=вплоть до макроскопическихK== Данный раздел является кратким изложением соответствуJ ющей главы==книги=xOzK==== Пусть=х=– доля пространства с размерностью=d=I=занятая меJ талломK= Сама по себе величина= x еще ни о чем не говоритK =ЯсноI = что проводимость материала с металлическими включениями в виJ де шариков или в виде тонких нитей совершенно различна при одJ ном и том же= xK= Морфология материалаI= под которой понимаем= здесь форму включенийI=зависит от множества факторов и чрезвыJ чайно разнообразнаK= В качестве примера на рисKNMKN= приведены= сделанные на сканирующем электронном микроскопе фотографии= пленок=fnI=напылявшихся на подложку=pilO при комнатной темпеJ ратуре= xTzK= fn= не смачивает поверхностьI= на которую происходит= напылениеK= Сначала попавшие на подложку атомыI= обладающие теплоJ вой энергиейI= двигаясь вдоль поверхностиI= собираются в маленьJ кие случайно разбросанные капельки=EрисKNMKNIаFK=При дальнейшем= напылении капельки растут иI= соприкасаясьI= сливаются в капли= большего диаметра=EрисKNMKNIбFK=Затем металлические области приJ обретают продолговатую формуK= По-видимомуI= при увеличении= площади контактов капель с подложкой в их центре возникают= участки с сильным сцеплениемK= При слиянии таких укрупненных= капель эти участки играют роль центров пиннинга для перемещаJ

ONN= =

ющейся массы веществаI= понижая симметрию образующихся меJ таллических областей= EрисKNMKNIвFK= НаконецI= на последней стадии= перед образованием сплошной пленкиI= когда относительная плоJ щадь зазоров= (1-x)= = между металлическими областями малаI= эти= зазоры приобретают форму относительно тонких ветвящихся нитей= (рисKNMKNIгFK=На это тоже есть свои причины в виде каких-то комбиJ наций законов смачивания и сцепления напыляемого материала с= подложкойI= но ограничимся констатацией этих морфологических= особенностей структурыK=

= РисKNMKNK==fnI=напыленный на=pil при комнатной температуре= O

xTzK=Микрофотографии различных стадий напыленияW=аI=бI=вI=г=EсмK= текстF= =

ONO= =

Разобьем=d-мерное пространство на элементарные объемы= ~= a и будем считатьI=что свойства среды внутри объема не меняютJ сяI=а свойства двух разных объемов независимы друг от другаK=Это= означает сведение пространственной задачи к задаче на решетке с= периодом= a и возможность использования простейших моделей= теории перколяцииK= Для структуры на рисKNMKNIа характерный масштаб= a меJ таллических капель порядка=MKMRm=I=на рисKNMKNIб он порядка=MKOm=K= ТоI=что вместе с долей=x металлического объема меняется масштабI= мало существенноK= Гораздо важнееI= что на рисKNMKNIв средний поJ перечный размер металлических областей==меньшеI=чем их средний= продольный размер= b»= (O¸P) =a= K= Это означаетI= что на квадратной= решетке с периодом порядка=a=(»=1m=) появилась корреляция между= свойствами=b/a соседних узловK= Математически уменьшение локальной симметрии струкJ туры описывается специфическими корреляторамиI=введение котоJ рых должно сильно усложнить картинуI= так что простейшие модеJ ли теории перколяции:= задача связей и задача узлов= – становятся= неприменимымиK=В этом одно из объяснений того экспериментальJ ного фактаI= что критическое значение= xc= Z= MK8O±MKMO= = относительJ ной площади покрытия индием поверхности= pilO= I= при которой= возникает перколяцияI=гораздо большеI=чем известные критические= значения для этих задачK=Вторая причина в потере симметрии межJ ду металлическими и неметаллическими областями:= если для= структур на рисKNMKNIа и=NMKNIб можно считатьI= что области между= каплями имеют тот же порядок величиныI=что и сами каплиI=то на= рисKNMKNIг изолирующие области явно гораздо уже металлическихK= При этомI=однакоI=они продолжают успешно справляться со своими= изолирующими функциямиK= Таким образомI=критическое значение сильно зависит от таJ ких физических факторовI= как коэффициент аккомодации падаюJ щих на поверхность атомовI=величины поверхностного натяженияI= сил сцепления и т.дK= Поэтому при напылении в тех же условиях= других металлов получаются другие значения=:=при напылении=pn= получилось=xc=Z=MK8S±MKMO==I=а=mb=–=xc===MKST±MKMOK== d

ONP= =

ЗамечаниеW Наряду с металлическими гранулами в изолиJ рующей матрицеI =можно представить себе и гранулы изолятора в= металлической матрицеK= НоI= употребляя термин= ?гранула?I= будем= подразумевать=?металлическая гранула?K=Кроме тогоI=как уже говоJ рилосьI=гранулированным называем также материал со структуройI= показанной на рисKNMKNIгI== в котором самих гранулI= строго говоряI= нетK== ======В системеI= представленной на рисKNMKNI роль изолятораI= раздеJ ляющего металлические гранулы=Eили наоборотI=соединяющего ихF== играет вакуумK=Но эту роль может играть и изоляторK=Если какие-то= металл и изолятор не растворяются друг в другеI= то они образуют= смесь мелких металлических и изолирующих областей= EгранулFK= Такая смесьI=получившая название керметаI=получаетсяI=напримерI= при совместном напылении обоих компонент на изолирующую= подложкуK= Масштаб образующейся структуры контролируется фиJ зико-химическими факторами в процессе напыленияX= в зависимоJ сти от нихI=а также от времени напыления и толщины пленки могут= получаться как двухJI= так и трехмерные структурыK= На рисKNMKO= представлена электронная фотография кермета= ^u=H=^lOlP в облаJ сти существования бесконечного металлического кластера= Eзнак= H= использован для тогоI= чтобы отличать такую гранулированную сиJ стему от системы= ?пленка= ^uI =напыленная на= ^l =l?FK =Здесь также= заметна разница в ширинах металлических и изолирующих облаJ стейK== Иногда удается сохранить сферическую форму гранул вплоть= до большой концентрации металлаK= Рис= NMKPI~= демонстрирует поJ лученную на просвечивающем электронном микроскопе структуру= пленки гранулированного= ^l=в матрице аморфного= de=при объемJ ной концентрации металла=xc=»=MKSSK=ВидноI=что металлически комJ понент материала состоит из сферических гранулK= Специальные= измерения позволили определить распределение гранул по диаметJ рам=EрисKNMKPIбF=– оно оказалось довольно узкимK=

ON4= =

= РисK= NMKOK= Гранулированная пленка= EкерметF= состава= Au= H= AlOlPK=Темные области=–=металлK=Светлая линия=J=перколяционный= путь=Eлиния токаF=xUz = = = Во всех упомянутых выше системах на каком-то этапе увеJ личения относительного объема металла у материала появляется= конечная проводимостьI=т.еK=происходит переход металл–изоляторK= Такой переход часто называют перколяционнымX=это название неJ явно подразумеваетI=что в основе такого перехода лежат чисто геоJ метрические факторыI =так что он является чисто классическим и= макроскопическимK= ДействительноI= перколяционные законы инваJ риантны относительно масштабаI= так что можно себе представить= перколяциюI= напримерI= в системе металлических шариков от подJ шипниковI= случайным образом расположенных на плоскости и заJ фиксированных застывшим парафиномK= =

ONR= =

= РисKNMKPK== Пленка гранулированного= Al= в матрице аморфного= deK=Металл=–=светлые областиI=концентрация металла=–=SSB=xVz = = = Но если среди характерных длин в системе есть и достаточно маJ лыеI=то могут появиться и оказаться определяющими и специфичеJ ские физические факторыK= Будем интересоваться именно такими= системамиK= С другой стороныI= если все характерные длины слишJ ком малыI= порядка межатомныхI= то возвращаемся к однородно= разупорядоченному материалуK= Границы между различными класJ сами разупорядоченных систем зависят от тогоI= какими физичеJ скими свойствами интересуютсяK= ======Поясним это примеромI=используя важный количественный паJ раметр гранулированной системы:=величину размерного расщеплеJ ния= = de между размерно квантованными уровнями электронов= внутри гранул=EрисKNMK4F=

de = N L E g c a P F ,==============================ENMKNF=

ONS= =

где= g c – плотность состояний на ферми-уровне в массивном меJ таллеFK=Для оценок можно считатьI=что de » NMh =h=при=~Z=RMÅK== =

= РисKNMK4K= = Размерное квантование уровней электронов= внутри гранул = Если массивный металл= – это сверхпроводник с критичеJ ской температурой= qc и сверхпроводящей щелью= DI= то соотношеJ ние==

de » D = qc ==============================ENMKOF= определяет минимальный размер изолированной гранулы= asc= I =для= которой имеет смысл понятие сверхпроводящего состоянияK=Если=a= >=asc=I=то сверхпроводящий переход в гранулах происходит при той= же температуреI =что и в массивном металлеI =а тоI =как ведет себя= весь материал в целомI= зависит от силы взаимодействия между= грануламиK=Именно так ведут себя тонкие пленки=mbI=напылявшиеJ ся на зеркальную поверхность=pilO=– смK= рисKNMKRбK= При обратном= неравенстве материал с точки зрения сверхпроводящего перехода= является однородно упорядоченнымI=температура определяется его= средними характеристиками и может плавно меняться вместе с ниJ миK=Пленки=mbI=напылявшиеся в другомI=внешне похожем экспериJ

ONT= =

=

ментеI= на поверхность= pilOI= демонстрируют корреляцию между= температурой и сопротивлением пленки=EрисKNMKRFK==

=

РисK=NMKRK=К критерию гранулярности=xNMz= = = Для нормального металла критерий гранулярности иной и= зависит от температурыK=Соотношение=

de » qc =============================ENMKPF= определяет минимальный размер гранулыI= для которой сохраняет= смысл понятие делокализованного электронаK=Если в интервал тепJ лового размытия попадает только один электронный уровеньI= то= вообще говоря правильнее его считать локализованнымI= а величиJ ну=a=– размером волновой функцииI=т.еK=длиной локализацииK=УмоJ зрительно можно представить себе два типа эволюции гранулироJ ванных системK= Первый тип обусловлен изменением величины= xK= РисK= NMKN= –= NMKP = =иллюстрируют именно такие системыK =Переход= металл–изолятор в таких системах имеет как бы перколяционную= основуK= Поскольку вместе с== x меняется средняя концентрация деJ локализованных электронов в материалеI=уместно также вспомнить=

ON8= =

и о переходе МоттаK =Другой тип эволюции выглядит так: =при доJ статочно большом фиксированном= x меняются свойства барьеров= между грануламиI =напримерI =их высотаK =Здесь тоже можно сфорJ мулировать критерий кроссовера от гранулированной к однородно= разупорядоченной системеK= Это можно сделать на основе сравнеJ ния расщепления= de с интегралом перекрытия волновых функций= электронов соседних гранулI= который количественно описывает= эффективность изолирующих барьеровK=В связи с таким типом эвоJ люции уместно вспомнить о переходе АндерсонаK== На практике произвести такое разделение очень трудноI=но= условно можно считатьI= что в следующем разделе будут рассматJ риваться системы первого типаI= а в последнем= – системы второго= типаK== =

NM.O.=Кулоновская блокада и переход металлизолятор= ======На рисKNMKSI~=приведены зависимости сопротивления от= относительной концентрации металла в керметах системы= ^uH^lOlP=EсмK=рисKNMKOFI=измеренные при двух существенно разных= температурахK== На графике явно видны две области концентраций== xK=Область== N ³ x ³ MK4 является металлической:=сопротивление= r = сравнительно малоI= сравнительно слабо зависит от температуры и= постепенно растет с уменьшением= = xX= где-то вблизи значения= x = xc » MKP8 ==находится граница двух областейX=наконецI= для диJ электрической области характерен очень резкий рост сопротивлеJ ния с уменьшением==x= и очень сильная температурная зависимость= rEq F K=

ON9= =

= РисK= NMKSK= Переход металл–изоляторK= Зависимость сопротивJ ления гранулированных пленок от концентрации металла=x ОбраJ = K=

тите внимание на шкалу на оси ординатW=диапазон изменения соJ противления больше=NO=порядков=xUz= =

Аналогичный график= rEq F в другой системеI=kiHpilO=I=приJ веден на рисKNMKSIбK= Качественно система ведет себя так жеK= В= частностиI= и здесь вблизи критического значения= xc производная= функции rEq F меняет знакK= Однако само критическое значение= xc= другоеK= О подобном разнобое значений на островковых пленках= уже упоминалосьK= ======Стандартное описание в терминах перколяционной моJ дели предполагаетI=что при концентрациях=x=>=xc линии тока целиJ ком проходят внутри металлического кластераI =а при= x =< =xc ток= должен хотя бы частично проходить через изоляторK=Тогда темпеJ ратурную зависимость= rEq F в области= x =< =xc должны были бы= определять свойства изолятораK= Но это верно лишь отчастиK= =

OOM= =

======На рисKNMKT=приведены температурные зависимости материалов= гранулированных систем= ^uH^lOlP и= kiHpilO в изолирующем реJ жимеI=т.еK=при=x=<=xcK=Благодаря томуI=что в измеряемом интервале= температур сопротивление изменяется на много порядковI= удается= надежно определить функциональную зависимость удельного соJ противления= rEq F :==

rEq F = rM gexpEqM L q FNL O =================ENMK4F= надежно отличая ее и от rEq F : expEqM L q F =I=и от rEq F : expEqM L q FNL 4 K==

= РисKNMKTK=Температурная зависимость удельного сопротивJ ления гранулированных систем=xUz= = Функциональной зависимости= ENMK4F= нет у соответствуюJ щих массивных изоляторовI =ни у= ^lOlP= I =ни у= pilO= K =К тому же= наклон прямых на рисKSI=определяемый величиной= qMNLO =I=зависит от= величины=x=K=СледовательноI=транспорт в обсуждаемых материалах= контролируется не только изоляторомI= но и металлическими граJ нуламиK=Это и есть тот экспериментальный фактI=который необхоJ димо осмыслить и объяснитьK==

OON= =

Теоретическая модель исходит из двух фундаментальных= предположенийK= NK= Между соседними гранулами возможно туннелированиеK= Здесь теряется инвариантность относительно масштаба решеткиI= характерная для перколяционных задачI= и исключаются системы= типа совокупности металлических шариков от подшипниковK= Не= обязательноI=чтобы из каждой гранулы было возможно туннелироJ вание во все соседние гранулыK= Точнее можно сказать так:= совоJ купность гранулI= между которыми возможен обмен носителями= посредством туннелированияI= должна представлять собой развиJ тый бесконечный кластерK= Это предположение определяет тоI= что= обычно называют подвижностью носителей= m = et L mG =X=здесь под= t следует понимать времяI=за которое происходит туннелирование= заряда= e с эффективной массой mG K=ДействительноI=раз туннелироJ вание= = это основной механизм передвижения зарядов в пространJ ствеI= то подвижность зарядов пропорциональна вероятности тунJ нелирования==

m : expE -b a FI= = = = = =b= === OEOmGr FNLO L h =I==========ENMKRF= где= a и= r – ширина и высота барьераK== OK= Каждая заряженная металлическая гранула создает элекJ трическое поле в зазоре между собой и соседними грануламиI =явJ ляясь таким образом обкладкой локального микроконденсатораK= Емкость такого конденсатора порядка произведения радиуса граJ нулы= a на диэлектрическую проницаемость k = = окружающего его= изолятора=Eемкость уединенного шараF== ` » ka =K===============================ENMKSF= Если заряд в конденсаторе=qI=то энергия поля в нем= q O L O` =K= Поэтому для размещения на грануле одного избыточного электроJ наI=q=e=I=требуется кулоновская энергия== e` » e O L ka K=Отсюда слеJ дуетI=что концентрация зарядов пропорциональна==

n : expE-e` L q F » expE-e O L kaq F K===========ENMKTF=

OOO= =

ЗамечаниеW Материал остается при этом электрически= нейтральнымI=поскольку число электронов и дырок=Eположительно= и отрицательно заряженных гранулF=примерно одинаковоK=Энергия= и тех и других отсчитывается от уровня ФермиK== Энергия= e` отнюдь не малаK =Для гранулы размером= RMÅ= X= при= k @ NM она порядка=PMMhK=Это означаетI=что при низких темпеJ ратурах туннелирующих носителей экспоненциально малоK=Именно= это обстоятельство лимитирует проводимостьK= Отсюда название= кулоновская блокадаK= Оно употребляется чаще применительно к= изолированыым наноструктурамI=такимI=как пары туннельных конJ тактов малой емкостиI=когда величина e` описывает какую-то конJ кретную конфигурациюK=Однако неравенство==

e` ? q ==============================ENMK8F= может определять и свойства материала как целогоK= = ======Формально формулы=ENMKRF=и=ENMKTF=позволяют выделить самые= существенныеI= экспоненциальные множителиI= входящие в выраJ жение для сопротивления= rEq F = s -N Eq F K=Поскольку проводимость= s пропорциональна произведению концентрации на подвижностьI= получаем==

r µ EnmF-N µ expEeO L kaq + ba F K==============ENMK9F= Поскольку в показателе экспоненты в выражении=ENMK9F=имеJ ется два слагаемых и длина=a в одном из них входит в числительI=а= в другом в знаменательI=существует значение==

amin = e L Eb q FNL O =I=======================ENMKNMF= при котором показатель имеет минимумK= Значение длины= a в реJ альном материале наверняка имеет дисперсиюK=Существование миJ нимума означаетI=что ток в основном будет идти вдоль цепочек из= гранул с выделенным значением= a = amin I=а сопротивление материJ ала будет описываться формулой=ENMK4F=со значением=qMK=

qM = OebNL O ============================ENMKNNF=

OOP= =

ПреждеI= чем обсуждать полученный результатI= следует сдеJ лать существенную оговоркуK= Длина= a в формулах= ENMKRF= и= ENMKTF= имеет разный смысл:=это зазор между гранулами в=ENMKRF=и размер= гранул в=ENMKTFFK=На фотографиях на рисKNMKN=–=NMKP= видноI= что они= не равныK=Но вместо фактически сделанного предположения об их= равенстве можно ограничиться гораздо более реалистичным предJ положением об их пропорциональностиK=Это означаетI=что различJ ные участки после масштабирования становятся статистически= одинаковымиK=В такой модели основной вывод останется прежнимI= лишь в выражении= ENMKNNF= появится в качестве дополнительного= множителя корень из коэффициента пропорциональностиK= Более= тогоI=основной вывод сохранится при любой функциональной свяJ зи= при данном= x= между размерами гранул= a и зазорами= a' между= нимиX=лишь бы эти две величины не были статистически независиJ мымиK= ИтакI=выясняетсяI=что при низких концентрациях металличеJ ской фазы=x=<=xc ток течет по гранулированному материалу неравJ номерноI= концентрируясь в областях с оптимальным средним разJ мером гранулK= Этот оптимальный размер зависит от температурыK= Поэтому при изменении температуры распределение тока по матеJ риалу должно менятьсяK== Сравните туннельную проводимость в гранулированной= системе с прыжковой проводимостью при наличии кулоновской= щелиK=Одинаковая функциональная зависимость= ln r µ q -NLO I=одно= и то же исходное взаимодействие= J= кулоновскоеI= схожие механизJ мы смены с температурой основных тунннельных=EтоковыхF=путейK== Сходство между этими двумя задачами не случайноK= Если= устремить размер гранул к нулюI= то они превратятся в примесные= центрыI= которые могут быть либо заряженыI= либо электронейJ тральныK=При таком предельном переходе одна задача должна естеJ ственно перейти в другуюK=Но в изоляторе с примесными центрами= есть кулоновская щельI=а в металле с большим количеством примеJ сей из-за кулоновского электрон-электронного взаимодействия поJ является минимум плотности состояний на ферми-уровнеK= Чего-то= аналогичного следует ожидать и в гранулированном материалеK=

OO4= =

Справедливость этих ожиданий демонстрирует туннельный экспеJ риментK== ======На рисKNMK8I~= представлены туннельные характеристики струкJ туры=^lJJ^lOlP=JJkiHpilO=I=в которой одним из берегов туннельного= контакта является пленка гранулированного металлаI= в данном= случае смесь нерастворяющихся друг в друге= ki =EметаллF =и= pilO= (изоляторFK=

= РисKNMK8= Туннельные характеристики системы= AlJAlOlPJ= EkiHpilOF=xUz= = В эксперименте были использованы пленки толщиной=NMMÅK= Поскольку при всех значениях характерные размеры металличеJ ских гранул были меньше=RMÅXI=с точки зрения процессовI=формиJ рующих электронный спектрI= пленка= kiHpilO представляет собой= трехмерную структуруK= Плоскость контакта является ее срезомK= Процесс туннелирования может происходить только в выходяшие=

OOR= =

на плоскость контакта металлические гранулыK= Они занимают на= этой плоскости ту же долю=xI=что и в объемеK== При больших значениях=xI=а именно уже при=x=MKSS==EверхJ няя криваяFI=наличие диэлектрических вкраплений несущественноI= kiHpilO ведет себя как обычный металлI =а структура на кривой= dg L ds появляется из-за сверхпроводимости контрэлектрода= ^lK= Изменения в кривых при меньших полностью контролируются= гранулированным электродомI= поскольку с= ^l= ничего не происхоJ дитK=Абстрагируясь от его неоднородностиI=можно извлечь из кажJ дой экспериментальной кривой функцию плотности числа состояJ ний для гранулированного электродаK= Результат представлен на= рисKNMK8IбK== Как видно из рисKNMI8I= эволюция функции плотности соJ стояний по мере изменения управляющего параметра вблизи переJ хода металл-изолятор в гранулированном и негранулированном= материалах практически неразличимы:= в обоих случаях на металJ лической стороне появляется минимум плотности состояний= g Ee c F на ферми-уровнеI= который превращается в мягкую щельK= Согласно рисKNMK8I=критическое значение управляющего параметра= в системе= kiHpilO равно= xс=MKRSK= То же значение получается и из= кривых рисKREbF:= именно при этом= x меняет знак производная= d r L dq K== Таким образомI=хотя туннелирование происходит в отдельJ ные гранулыI=извлекаемая из эксперимента функция g Ee c F отражаJ ет состояние всего материала в целом и даже фиксирует происхоJ дящий при изменении=x=переход металл-изоляторK== В= xOz= вопрос об обработке данныхI= представленных на= рисKNMK8I= рассмотрен детально и показаноI= что при исчезновении= бесконечного кластераI=когда происходит перколяционный переход= и доля= p принадлежащая бесконечному кластеру обращается в= нульI= становится нулем и плотность состояний на ферми-уровнеK= = ======Таким образомI= ни транспортные измерения в окрестности пеJ рехода металл-изоляторI=ни туннельные эксперименты не позволяJ ют различить перколяционный переход в гранулированной системе=

OOS= =

иI=напримерI= переход Мотта в однородно разупорядоченной систеJ меK=Из самых общих соображений этого следовало ожидать:=на пеJ реходе расходится корреляционная длина=xX=когда находимся столь= близко от переходаI=что==

x > a I==================================ENMKNOF= то гранулярность становится несущественнойK= ВажноI= конечноI= чтобы не было слишком большим= Eкак в системе из шариков от= подшипниковFI= иначе окрестность перехода станет нереализуемо= малойK=

= СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ= NK OK PK 4K RK SK TK 8K 9K NMK

= Займан ДжK=J=Модели беспорядка:=теоретическая физика одноJ родно неупорядоченных системX=Пер.с англK=J=МK=:=МирI=N98OK=J= R9O=сK== Гантмахер ВK=ФK=J=Электроны в неупорядоченных средах=J=МK=:= ФизматлитI=OMMRK=J=OPO=сK= Эфрос А.ЛK=Физика и геометрия беспорядкаK=МK:=НаукаI=N98OK= Бонч-Бруевич В.ЛK=и дрK=Электронная теория неупорядоченных= полупроводниковK=МK:=НаукаI=N98NK= Комник Ю.ФK= Физика металлических пленокK= МK:= АтомиздатI= N9T9K= Б.И.ШкловскийI= А.Л.ЭфросI= Электронные свойства легироJ ванных полупроводниковK=МK=:=НаукаI=N9T9K=J=4NS=сK= uKvuI=MKBKauxburyI=dKgeffersI=MK^KaubsonI==mhysKoevK=B=44I= NPNSPI=N99N= BK^beles=et=~lKI==^dv~nces=in=mhysics=O4I=4MTI=N9TR= vKph~pir~I=dKaeutcherI==mhysKoevK=B=OTI=44SPI=N98P= ^K=crydm~nKI=mhysic~=C=P9NI=N89I=OMMP= = = = = = = =

OOT= =