Задачи гидроупругости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.М. Александров, Б.И. Сметанин

Задачи гидроупругости

Методические указания для студентов механико-математического факультета

г. Ростов на - Дону 2003

2

Печатается по решению кафедры теоретической гидроаэромеханики РГУ, протокол N 9 от 23 мая 2003 г.

3

Введение Задачи гидроупругости представляют большой теоретический и практический интерес. Исследование этих задач позволяет выявить взаимное влияние жидкости и контактирующей с ней упругой конструкции. К числу таких задач относятся задачи расчета гидротурбин, виброисточников, емкостей, трубопроводов, инженерных сооружений в прибрежной зоне, либо в открытом море, задачи удара упругих тел о жидкость, движения упругих тел в жидкости, задачи биомеханики и многие другие задачи. В [1] даны постановки и методы решения широкого круга задач гидроупругости, приведен список литературы, отражающий положение дел в рассматриваемой области. Трудность решения задач гидроупругости состоит в необходимости совместно интегрировать уравнения теории упругости и гидромеханики. В данных методических указаниях рассматриваются простейшие модельные задачи гидроупругости. Полученные решения подобных задач могут быть использованы для качественных оценок в случае реальных конструкций. Для удобства исследования задач функции представляются в комплексной форме с выделенным множителем e −iω t , где ω - круговая частота, t - время. Если совершаются линейные операции над величинами в комплексной форме, то вещественная часть результата будет равна результату тех же операций над вещественной частью величин. Поэтому вещественная часть решения задачи с функциями, представленными в комплексной форме, будет соответствовать решению исходной линейной задачи. Применение метода интегральных преобразований приводит каждую из рассматриваемых задач к системе дифференциального и интегрального уравнений. Для решения этой системы применяется метод ортогональных многочленов. 1 Плоская задача о собственных колебаниях упругой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости Пусть в идеальной несжимаемой жидкости расположена тонкая упругая пластинка бесконечной длины, постоянной ширины 2a и постоянной толщины h . Координатные оси x, y и z декартовой прямоугольной системы координат расположим так, чтобы координаты точек срединной плоскости пластинки удовлетворяли условиям: | x |≤ a, y = 0, | z |< ∞. Плоская задача о взаимодействии пластинки с жидкостью в линейной постановке сводится к решению следующих уравнений.

4

∂4 f ∂2 f D 4 = − ρ 0 h 2 + ∆p (| x |≤ a) , ∂x ∂t

D=

E h3 12(1 − ν 2 )

(1.1)

Здесь f = f ( x, t ) – прогиб срединной плоскости пластинки, D жесткость пластинки при изгибе, E - модуль Юнга, ν -коэффициент Пуассона, ρ 0 - плотность пластинки [2]. Силами, влияющими на изгиб пластинки, являются силы инерции - ρ 0 h∂ 2 f / ∂t 2 и давление жидкости на пластинку ∆p . Движение жидкости считается потенциальным. Потенциал скоростей точек жидкости ϕ = ϕ ( x, y, t ) удовлетворяет уравнению Лапласа [3] ∂ 2ϕ ∂x2

+

∂ 2ϕ ∂ y2

=0

(1.2)

Гидродинамическое давление p связано с функцией ϕ интегралом Коши, который в линеаризованной форме имеет вид

∂ϕ p = p∞ − ρ , ∂t

(1.3)

где ρ -плотность жидкости, p - давление на бесконечности. ∞ Изгибающие моменты и поперечные силы на краях пластинки отсутствуют, следовательно, граничные условия для уравнения (1.1) можно представить в виде [2] ∂2 f ∂x

2

=

∂3 f ∂x

3

= 0 ( x = ± a)

(1.4)

Из условия безотрывности обтекания пластинки жидкостью следует, что

∂ϕ ∂ f = ∂ y ∂t

( y = ±0, | x |≤ a)

(1.5)

С удалением от пластинки скорость точек жидкости должна исчезать, тогда

∂ϕ ∂ϕ = = 0 при ∂x ∂ y

r → ∞ (r = x 2 + y 2 )

(1.6)

5

Функции f и ϕ представим в виде

f ( x , t ) = f * ( x )e

− iω t

, ϕ ( x , y , t ) = ϕ * ( x, y ) e

− iω t

(1.7)

Из (1.1) – (1.7) могут быть получены следующие уравнения, граничные условия и условия на бесконечности для функций f и ϕ : * * D

d 4 f* ( x ) dx

4

− ρ 0 hω 2 f* ( x ) = iωρ [ϕ* ( x,−0) − ϕ* ( x,+0)]

∂ 2ϕ* ∂x2

∂ 2ϕ*

+

∂ y2

=0

(1.8)

(1.9)

″

f* (± a) = f*′′′(± a) = 0

(1.10)

∂ϕ * = −iω f * ∂y

( y = ±0; | x |≤ a)

(1.11)

∂ϕ * ∂ϕ * = =0 ∂x ∂y

при r → ∞

(1.12)

Решение уравнения (1.9) удобно строить отдельно в верхней и нижней полуплоскостях. Используя интегральное преобразование Фурье с учетом (1.12), будем иметь [4]

ϕ * ( x , y ) = ϕ1 ( x , y ) =

1 ∞ − |ξ | y − iξ x dξ ∫ A(ξ )e 2π − ∞

ϕ * ( x, y ) = ϕ 2 ( x , y ) =

1 2π

∞

∫ B(ξ )e

|ξ | y − iξ x

dξ

( y ≥ 0)

( y ≤ 0)

(1.13)

(1.14)

−∞

В этих формулах A(ξ ) и B(ξ ) - достаточно произвольные функции. Из (1.11) и условия непрерывности давления и скорости при y = 0, | x |> a вытекают следующие зависимости между функциями ϕ1 и ϕ 2

ϕ1 = ϕ 2

( y = 0, | x |> a )

(1.15)

6

∂ϕ1 ∂ϕ 2 = ∂y ∂y

( y = 0, | x |< ∞)

(1.16)

Введем обозначение

γ ( x ) = ϕ 2 ( x ,0 ) − ϕ 1 ( x ,0 )

(1.17)

Тогда из (1.13), (1.14), (1.16) и (1.17) с использованием свойств интегрального преобразования Фурье может быть получена следующая система уравнений, связывающая функции A(ξ ) и B(ξ ) ⎧⎪ B(ξ ) − A(ξ ) = Γ(ξ ) , ⎨ ⎪⎩ A(ξ ) + B(ξ ) = 0

(1.18)

где Γ (ξ ) дается формулой a

Γ(ξ ) = ∫ γ (η )eiξη dη −a

(1.19)

Решая систему уравнений (1.18) относительно A(ξ ) и B(ξ ) , определим

1 1 A(ξ ) = − Γ(ξ ), B(ξ ) = Γ(ξ ) 2 2

(1.20)

Из (1.11), (1.13) и (1.20) будем иметь ∞

∫ | ξ | Γ(ξ )e

−∞

− iξ x

dξ = −4π iω f* ( x)

(| x |≤ a )

(1.21)

Проинтегрируем по x левую и правую части уравнения (1.21). Учитывая далее (1.19) и обобщенное значение интеграла ∞

1 ∫ sin ξtdξ = , t 0

(1.22)

получим сингулярное интегральное уравнение, связывающее функции γ ( x) и f ( x) *

7

x γ (η ) dη = 2π iω ∫ f* (η )dη + const ∫ −a η − x 0 a

(| x |≤ a)

(1.23)

Формула обращения интегрального оператора, стоящего в левой части уравнения (1.23), приведена в [5]. Применяя к (1.23) эту формулу при условии ограниченности функции γ ( x) , выразим γ ( x) через f ( x) *

γ ( x) = −

ξ a dξ a2 − x2 ∫ ∫ f* (η )dη 2 2 − a a − ξ (ξ − x) 0

2iω

π

(1.24)

Соотношение (1.24) позволяет исключить из рассмотрения функцию γ ( x) и свести задачу к решению одного интегро-дифференциального уравнения относительно функции f ( x) : * D

d 4 f* ( x ) dx 4

2

2

2

2

− ρ 0 hω f * ( x ) − ω ρ a − x π

2

dξ

a

ξ

∫ ∫ f* (η )dη = 0 − a a 2 − ξ 2 (ξ − x ) 0 (1.25) (| x |≤ a )

В уравнении (1.25) введем безразмерные переменные и новые обозначения по формулам

~ x = ax′,ξ = aξ ′, η = aη ′, f ( x) = hf ( x′), ω 2 =

D

ρ 0 ha

4

ω~ 2, β =

2 ρa πρ 0 h

(1.26)

Уравнение (1.25) и граничные условия (1.10) с использованием формул (1.26) примут вид d 4 f ( x) dx 4

ξ 1 dξ − ω 2 f ( x) − βω 2 1 − x 2 ∫ ∫ f (η )dη (| x |≤ 1) −1 1 − ξ 2 (ξ − x) 0

f ′′(±1) = f ′′′(±1) = 0

(1.27) (1.28)

В уравнении (1.27) и далее знаки «штрих» и «волна» опущены. Вторую производную функции f ( x) представим в виде следующего разложения по многочленам Якоби Pn( 4, 4) ( x ) :

8

∞

f ′′( x ) = (1 − x 2 ) 2 ∑ Yn Pn(−4,24) ( x) n=2

(1.29)

Здесь Ym - коэффициенты, подлежащие определению. Из (1.29) легко установить, что граничные условия (1.28) будут выполняться при любых значениях коэффициентов Ym . Из (1.29) следует представление функции f ( x) : ∞

f ( x) = ∑ Yn Qn ( x ), Q0 ( x) = 1, Q1 ( x) = x n=0

Qn ( x) = ∫∫ (1 − x 2 ) 2 Pn(−4,24) ( x)dxdx

(1.30)

(n = 2,3,4,...)

(1.31)

(m, n = 2,3,4,...) ,

(1.32)

Многочлены Qn (x) удовлетворяют условию 1

∫ −1

где

d 4Qm ( x)

δ mn

dx 4

Qn ( x)dx = Cnδ mn

⎧1, m = n =⎨ , ⎩0, m ≠ n

512 [(n + 2)!]2 Cn = (n − 2)!(n + 6)!(2n + 5)

(1.33)

Значение интеграла (1.32) получено из условия ортогональности многочленов Якоби Pn( 4, 4) ( x ) [6]. С целью сведения интегро-дифференциального уравнения (1.27) к системе уравнений относительно Ym ( m = 0,1,2,...) функцию f ( x) в форме (1.30) внесем в (1.27). В результате получим

⎧ d 4Qn ( x) ⎫ 2 [ ] − + ω Q ( x ) β H ( x ) Y ∑ n⎨ ⎬=0 n n 4 dx n=0 ⎩ ⎭ ∞

1

H n ( x) = ∫

−1

1 − x 2 dξ 2

ξ

∫ Qn (η )dη

1 − ξ (ξ − x ) 0

(n = 0,1,2,...)

(1.34)

(1.35)

При вычислении интегралов (1.35) целесообразно использовать значение следующего сингулярного интеграла [7]

9

1

0 ( m = 0) ⎧ ⎪ = ⎨ Rn ( x) (m = 2n + 1) 1 − ξ 2 (ξ − x) ⎪ xR ( x) (m = 2n + 2) ⎩ n

ξ m dξ

1

∫

π −1

Rn ( x) =

(1.36)

(2k − 1)!! 2 n − 2 k x k = 0 ( 2k )!! n

∑

Далее последовательно умножим уравнение (1.34) на Q j ( x) ( j = 0,1,2,...). Полученные соотношения проинтегрируем по x в пределах от − 1 до 1. В результате, с учетом (1.32), придем к следующей системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно Ym : ∞ ⎧ ∑ Yn L jn + βS jn = 0 ( j = 0,1) ⎪⎪ n=0 ⎨ ∞ ⎪Y j C j − ω 2 ∑ Yn L jn + βS jn = 0 ( j = 2,3,4,...) ⎪⎩ n=0

(

)

(

)

(1.37)

В (1.37) введены обозначения 1

1

−1

−1

L jn = ∫ Q j ( x )Qn ( x)dx, S jn = ∫ Q j ( x ) H n ( x)dx

Легко установить, что функции Qn (x) и H n (x) при четных значениях индекса n являются четными функциями, а при нечетных значениях индекса – нечетными функциями. Отсюда следует, что система уравнений (1.37) распадается на две независимые системы уравнений с неизвестными Y2 m и, соответственно, Y2 m+1 ( m = 0,1,2,...) . Исследование полученных систем удобно проводить методом редукции. Для существования нетривиального решения каждой из этих систем их определители должны равняться нулю. Это условие приводит к двум независимым уравнениям, определяющим собственные частоты для симметричных колебаний, либо антисимметричных колебаний пластинки. В качестве примера рассмотрим симметричные колебания пластинки. Из (1.37) для этого случая получим следующую урезанную систему M уравнений

10

M −1 ⎧ ∑ Y2 n ( L0, 2 n + β S 0, 2 n ) = 0 ⎪⎪ n=0 ⎨ M −1 2 ⎪Y C − ω ∑ Y ( L2 j , 2 n + β S 2 j , 2 n )= 0 ( j = 1,2,..., M − 1) 2n ⎪⎩ 2 j 2 j n=0

(1.38)

В таблице 1 указаны значения приведенной частоты, вычисленные при β = 30 для системы (1.38), состоящей, соответственно, из двух, трех, четырех, пяти или шести уравнений Таблица 1 Значения приведенной частоты при β = 30

M 2 3 4 5 6

ω1 1.265 1.261 1.261 1.261 1.261

ω2 8.504 8.304 8.303 8.303

ω3 25.76 23.88 23.86

ω4 58.57 50.48

Из таблицы 1 видно, что при рассмотренном значении параметра β для определения трех наименьших по величине собственных частот с достаточной для практического использования точностью можно ограничиться решением системы (1.38) из пяти уравнений. С ростом номера собственной частоты эффективность примененного метода падает.

Упражнение 1. Вывести формулы (1.13) и (1.14). Упражнение 2. Используя формулы (1.37), выписать систему уравнений для определения Ym ( m = 1,3,..., 2 M − 1) в случае антисимметричных колебаний пластинки. Упражнение 3. Проведя соответствующие вычисления по формулам, полученным в упражнении 2, составить таблицу значений собственных частот антисимметричных колебаний пластинки, аналогичную таблице 1. 2 Осесимметричная задача о взаимодействии цилиндрической оболочки конечных размеров с идеальной несжимаемой жидкостью Пусть упругая круговая цилиндрическая оболочка длины 2a , радиуса R помещена в идеальную несжимаемую жидкость, занимающую безграничный объем. Ось Oz цилиндрической системы координат r ,θ , z направим

11

вдоль оси оболочки. Уравнение движения оболочки, взаимодействующей с жидкостью, для случая осевой симметрии будем брать в виде [2]

∂4w

∂2w

Eh

+ w + ρ o h 2 = q ( z ) cos ωt + ∂t ∂z 4 R 2 + p ( R + 0, z , t ) − p ( R − 0, z , t ) D

( | z |≤ a )

(2.1)

Здесь w = w( z , t ) - радиальное перемещение точек оболочки, q ( z ) cos ω t - интенсивность распределенной по поверхности оболочки нормальной нагрузки, ω - круговая частота колебаний, E - модуль Юнга, ν - коэффициент Пуассона, h - толщина оболочки, ρ 0 - плотность оболочки, p = p (r , z , t ) гидродинамическое давление. Жесткость оболочки при изгибе D связана с параметрами E , ν и h формулой (1.1). Перемещения, направленные к оси оболочки, считаются положительными. Условия отсутствия на торцах оболочки сосредоточенных усилий имеют вид ∂2w ∂z 2

=

∂3w ∂z 3

=0

( z = ± a)

(2.2)

Движение жидкости предполагается потенциальным. Потенциал скоростей точек жидкости ϕ = ϕ (r , z , t ) удовлетворяет уравнению Лапласа [3]

∂ 2ϕ

1 ∂ϕ ∂ 2ϕ =0 + + ∂r 2 r ∂r ∂z 2

(2.3)

Гидродинамическое давление p в предположении малости вносимых оболочкой возмущений связано с функцией ϕ интегралом Коши (1.3). Занимаемую жидкостью область разобьем на две области, которые определяются условиями 1) 0 ≤ r ≤ R , 0 ≤ θ < 2π , | z |< ∞ 2) R ≤ r < ∞ , 0 ≤ θ < 2π , | z |< ∞

(2.4)

Функции ϕ и p в этих областях будем обозначать с индексом 1 или 2. На границе областей 1) и 2) вне оболочки должны выполняться условия непрерывности движения жидкости

p1 = p2 ,

∂ϕ1 ∂r

=

∂ϕ 2 ∂r

( r = R, | z |> a )

(2.5)

12

На оболочке должны выполняться условия безотрывности ее обтекания жидкостью

∂ϕ1 ∂ϕ 2 ∂w = =− ( r = R, | z |≤ a ) ∂r ∂r ∂t

(2.6)

С удалением от оболочки вносимые ею возмущения движения жидкости должны затухать. Будем рассматривать комплексную форму q ( z )e −iω t приложенной к оболочке нагрузки. Очевидно, что

{

}

Re q ( z )e −iω t = q ( z ) cos ω t

Поэтому вещественная часть решения задачи с нагрузкой в комплексной форме будет соответствовать решению исходной задачи с нагрузкой q ( z ) cos ω t . Будем предполагать справедливым следующее представление функций w , ϕ1 и ϕ 2 w( z , t ) = w* ( z )e −iω t

ϕ j (r , z, t ) = ϕ* j (r , z )e −iω t ( j = 1,2)

(2.7)

Функции ϕ *1 и ϕ*2 должны удовлетворять уравнению (2.3). Из (2.1), (1.3) и (2.7) может быть получено уравнение, связывающее функции w* , ϕ *1 и ϕ*2 D

d 4 w* ( z ) 4

+(

Eh 2

− ρ o hω 2 ) w* ( z ) = q ( z ) +

dz R + iωρ [ϕ * 2 ( R, z ) − ϕ *1 ( R, z )]

(| z |≤ a )

(2.8)

С учетом представлений (2.7) граничные условия (2.2), (2.5) и (2.6) принимают вид w*′′ ( ± a ) = w*′′′ ( ± a ) = 0

ϕ*1 = ϕ *2 ,

∂ϕ *1 ∂r

=

∂ϕ *2 ∂r

(2.9) ( r = R , | z |> a )

(2.10)

13

∂ϕ *1 ∂ϕ *2 = = iω * w ∂r ∂r

( r = R , | z |≤ a )

(2.11)

Применение интегрального преобразования Фурье к уравнению (2.3) позволяет получить следующее представление функций ϕ *1 и ϕ*2 с учетом их ограниченности в области определения [4]

ϕ *1 (r , z ) = 1 ϕ *2 (r , z ) = 2π

1 2π

∞

∫ A(ξ ) I 0 (| ξ | r )e

−i ξ z

dξ

−∞

∞

∫ B(ξ ) K 0 (| ξ | r )e

−i ξ z

dξ

(2.12)

−∞

Здесь A(ξ ) и B(ξ ) - произвольные достаточно гладкие функции, I n ( z ) и K n ( z ) - цилиндрические функции мнимого аргумента [6]. Введем в рассмотрение функцию γ ( z ) формулой

⎧∂ ⎪ [ϕ ( R, z ) − ϕ *1 ( R, z )] , | z |≤ a γ ( z ) = ⎨ ∂z *2 ⎪⎩0 , | z |> a

(2.13)

Из (2.10) – (2.13) после исключения из рассмотрения функций A(ξ ) и B(ξ ) может быть найдено следующее уравнение, связывающее функции γ и w* ∞

a

ω

∫ γ (η )dη ∫ ξI1 (ξR)K1 (ξR) sin ξ (η − z )dξ = π i R w* ( z )

−a

( | z |≤ a )

(2.14)

0

Введем безразмерные переменные и новые обозначения по формулам

q0 a 4 ~ R w( z ′) , η = aη ′ , z = az ′ , u = ξR , λ = , w* ( z ) = D a ~ iωqo a 4 ~ D ω γ (η ) = γ (η ′) , ω = , D ρoh a 2

α=

12(1 − ν 2 )a 2

λ2 h 2

, β =

ρa , q ( z ) = q0 g~ ( z ′) ρoh

(2.15)

14

Здесь q0 – параметр, имеющий размерность распределенной нагрузки. Из (2.8), (2.9), (2.14) с учетом (2.15) получим d 4 w( z ) dz

4

+ (α − ω 2 ) w( z ) + βω 2ψ ( z ) = g ( z ) ( | z |≤ 1) w′′ ( ±1) = w′′′ ( ±1) = 0

1

⎛η − z ⎞ ⎟dη = 2π λ w( z ) ⎠

∫ γ (η )l ⎜⎝ λ −1

(2.16) (2.17)

( | z |≤ 1)

(2.18)

∞

l (t ) = ∫ L(u ) sin(ut )du , L(u ) = 2uI1 (u ) K1 (u ) 0

(2.19)

γ ( z ) = ψ ′( z )

(2.20)

В формулах (2.16) – (2.20) и далее знаки «штрих» и «волна» опущены. Функцию w′′(z ) представим в следующем виде ∞

w′′( z ) = (1 − z 2 ) 2 ∑ X n Pn(−4,24) ( z )

( | z |≤ 1)

(2.21)

n=2

Здесь X n – подлежащие определению коэффициенты. Из (2.21) следует, что функция w( z ) может быть выражена через введенные в п. 1 многочлены Qn (z ) формулой, аналогичной (1.30)

w( z ) =

∞

∑ X n Qn ( z )

(2.22)

n=0

Легко установить на основании (2.21), что граничные условия (2.17) будут выполняться при любых значениях коэффициентов X n . Пусть γ n (z ) – решение интегрального уравнения 1

⎛η − z ⎞ ( | z |≤ 1; n = 0,1,2,...) (2.23) ⎟dη = 2π λ Qn ( z ) λ ⎝ ⎠ −1 Тогда в соответствии с формулами (2.18), (2.22) и (2.23) функция γ ( z ) представима в виде

∫ γ n (η )l ⎜

15

∞

∑ X nγ n ( z )

γ ( z) =

(2.24)

n =0

При использовании для решения интегрального уравнения (2.23) метода ортогональных многочленов с учетом структуры его решения функции γ n ( z ) следует искать в форме [8]

γ n ( z) =

∞

1

∑Y

T ( z ) ( n = 0,1,2,... ),

nm m z 2 m =1

1−

(2.25)

где Tm (z ) – многочлены Чебышева первого рода. В (2.25) учтено, что 1

∫ γ ( z )dz = ψ (1) − ψ (−1) = 0

(2.26)

−1

Реализация процедуры метода ортогональных многочленов сводит решение уравнения (2.23) к решению следующих систем уравнений относительно коэффициентов Ynm ∞

∑ d mjYn,2 j +1

Yn, 2 m +1 = σ n, 2 m +

Yn, 2 m + 2 = σ n, 2 m +1 −

σ nm =

( n, m = 0,1,2,... )

j =0

∞

∑ ς mjYn,2 j

( n, m = 0,1,2,... )

(2.27)

j =0

4

1

Q ( z )U m ( z ) π −∫1 n

1 − z 2 dz

∞ u u du d mj = (−1) m + j 2(2m + 1) ∫ [1 − L(u )]J 2 m +1 ( ) J 2 j +1 ( ) λ λ u 0

ς mj = (−1)

m+ j

∞

u u du 4(m + 1) ∫ [1 − L(u )]J 2 m + 2 ( ) J 2 j ( ) λ λ u 0

Здесь U m (z ) – многочлены Чебышева второго рода, J m (z ) – функция Бесселя. Из (2.20), (2.24) и (2.25) следует представление функции ψ ( z )

16

ψ ( z) =

∞

∑ X nbn ( z )

(2.28)

n =0

bn ( z ) = − 1 − z 2

∞

∑

Ynm

m =1

m

U m −1 ( z )

(2.29)

Подставив разложения функций w( z ) и ψ ( z ) в ряд в (2.16), найдем ∞

∑ X n[

n=0

d 4Qn ( z ) dz

4

+ (α − ω 2 )Qn ( z ) + βω 2bn ( z )] = g ( z )

( 2.30)

Умножим соотношение (2.30) на Q j (z ) ( j = 0,1,2,... ) и затем проинтегрируем по z в пределах от -1 до 1. В результате, с учетом (1.32), получим следующую линейную алгебраическую систему уравнений относительно X n

⎧∞ ( j = 0,1) ⎪ ∑ X n D jn = g j ⎪n = 0 ⎨ ∞ ⎪X C + X n D jn = g j ( j = 2,3,4,...) ⎪⎩ j j n∑ =0

(2.31)

1

g j = ∫ g ( z )Q j ( z )dz −1

2

1

D jn = (α − ω ) ∫ Q j ( z )Qn ( z )dz + βω −1

2

1

∫ bn ( z )Q j ( z )dz

−1

Легко убедиться, что система (2.31) распадается на две независимые системы уравнений. В одну из них входят неизвестные X n с четными значениями индекса, определяющие симметричные колебания оболочки, в другую – неизвестные X n с нечетными значениями индекса. Условием существования нетривиального решения соответствующих однородных систем является равенство нулю их определителей. Выполнение этих условий приводит к двум независимым уравнениям, определяющим собственные частоты симметричных колебаний и, соответственно, антисимметричных колебаний. Непосредственные вычисления были проведены с использованием метода редукции. При этом для получения решения с достаточной для практического использования точностью при 2 ≤ λ < ∞ можно ограничиться решением урезанных систем (2.27), состоящих из пяти уравнений. В таблице 2

17

приведены значения функции w( z ) ⋅ 10 3 на частоте ω = 10 при g ( z ) = 1 ( M – порядок урезанной системы (2.31)). Таблица 2 Значения функции w( z ) ⋅ 10 3 при α = 1000 , β = 30 , λ = 2 , ω = 10

z M 3 4 5

0

0.25

0.5

0.75

1

1.177 1.176 1.178

0.4734 0.4761 0.4720

-0.8710 -0.8705 -0.8699

-1.504 -1.504 -1.504

-1.254 -1.254 -1.252

В таблице 3 приведены значения собственных частот ω для разного порядка M урезанной системы (2.31). Таблица 3 Значения собственных частот ω в случае симметричных колебаний при α = 1000 , β = 30 , λ = 2

M

ω1

ω2

ω3

ω4

3 4 5

4.173 4.173 4.173

8.926 8.926 8.925

15.64 15.23 15.23

34.01 32.02

Упражнение 4. Вывести формулы (2.12). Упражнение 5. Используя формулы (2.31), получить урезанную сисM, определяющую коэффициенты тему уравнений порядка X m (m = 0,2,..., 2 M − 2) для симметричных колебаний оболочки при g ( z) = 1. Упражнение 6. Используя формулы (2.31), получить урезанную сисM, определяющую коэффициенты тему уравнений порядка X m (m = 1,3,..., 2 M − 1) для антисимметричных колебаний оболочки при g ( z) = z .

Литература

18

1. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. – М.: Физматлит, 2000. – 592 с. 2. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Физматгиз, 1963. – 636 с. 3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. – М.: Физматгиз, 1963. – 228 с. 4. Снеддон И. Преобразования Фурье. – М.: Изд-во иностр. лит., 1955. – 660 с. 5. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. – М. –Л.: Гостехиздат, 1953. – 264 с. 6. Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 с. 7. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. – М.: Наука, 1986. – 336 с. 8. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. – М.: Наука, 1993. – 224 с.