Ф и зи ческ и й ф ак у л ьтет
К аф едра общ ей ф и зи к и
М ето д и ч еск и е у к а за ни я к ла бора торном у пра к т...
58 downloads
171 Views
169KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ф и зи ческ и й ф ак у л ьтет
К аф едра общ ей ф и зи к и
М ето д и ч еск и е у к а за ни я к ла бора торном у пра к ти к у м у пом ех а ни к е д ля сту д ентов 1 к у рса д невногои 2 к у рса веч ернегоотд елени й ф и зи ч еск огоф а к у льтета
С остави тел и : О .М . Гол и цына В.И. Носова
ВОРОНЕ Ж 2002
2 Ра бо ты 5Аи 5Б. И зу ч ени е геом етри и м а сс тверд ы х тел Ц ел ь работ: эк спери ментал ьнаяпроверк а зави си мости меж ду моментами и нерци и тел а относи тел ьно осей , пересек ающ и хся в одной точк е. О предел ени е гл авных моментов и нерци и си мметри чных тел методом к ру ти л ьного маятни к а. О бору довани е: к ру ти л ьный маятни к , ми л л и сек у ндомер сф отодатчи к ом, образцы. I. Введени е С вяж ем с твердым тел ом неразрывно нек отору ю прои звол ьно выбранну ю си стему к оорди нат XYZ, помести в ее начал о в прои звол ьной точк е O. Пространственное распредел ени е массы твердого тел а относи тел ьно этой си стемы мож ет быть опи сано шестью незави си мыми вел и чи нами J ik , совок у пность к оторых составл яет так называемый тензор и нерци и . Тензор и нерци и мож но представи ть в ви де си мметри чной ( J ik = J ki ) матри цы: J xx J yx J zx где
J xy J yy J zy
J xz J yz , J zz
J yy = Σm( x 2 + z 2 ) , = −Σmxz , J yz = J zy = −Σmyz .
J xx = Σm( y 2 + z 2 ) ,
J xy = J yx = −Σmxy , J xz = J zx
J zz = Σm( x 2 + y 2 ) ,
Здесь су мми ровани е прои зводи тся по всем эл ементарным массам, составл яющ и м твердое тел о. Д и агонал ьные к омпоненты тензора и нерци и , очеви дно, явл яются моментами и нерци и тел а относи тел ьно осей OX, OY и OZ. О ни всегда пол ож и тел ьны. В дал ьней шем бу дем обозначать и х J x , J y , J z . Неди агонал ьные эл ементы тензора называются центробеж ными моментами и нерци и . Э ти эл ементы могу т ок азатьсяк ак пол ож и тел ьными , так и отри цател ьными и равными ну л ю в зави си мости от выбора си стемы к оорди нат. В частности , направл ени е осей x, y, z всегда мож но подобрать так и м образом, чтобы все центробеж ные моменты и нерци и обрати л и сь в ну л ь. Тензор и нерци и бу дет и меть тогда ди агонал ьный ви д: Jx 0 0
0 Jy 0
0 0 Jz
3 Так и е оси к оорди нат называются гл авными осями и нерци и тел а, а моменты и нерци и J x , J y , J z относи тел ьно эти х осей – гл авными моментами и нерци и тел а. Нахож дени е гл авных осей очень у прощ ается в сл у чаях си мметри чных тел . Так , л егк о пок азать, что есл и тел о и меет ось си мметри и , то одна и з гл авных осей совпадает сэтой осью, а две дру ги е л еж ат в перпенди к у л ярной к ней пл оск ости , при чем ори ентаци я и х в этой пл оск ости прои звол ьна. Есл и тел о обл адает пл оск остью си мметри и , то две гл авные оси л еж ат в этой пл оск ости , а третьяк ней перпенди к у л ярна и т. д. К ак ова зави си мость меж ду моментами и нерци и тел относи тел ьно осей , пересек ающ и хся в одной точк е? Пу сть на ри с.1 оси XYZ выбраны так , что они совпадают сгл авными осями и нерци и тел а с начал ом в точк е O. Р ассмотри м прои звол ьну ю ось, так ж е проходящ у ю через эту точк у , направл ени е r n, к оторой задается еди ни чным век тором составл яющ и м с гл авными осями у гл ы α, β, γ соответственно. Тогда момент и нерци и тел а относи тел ьно этой оси мож ет быть представл ен в ви де (см. [2], [4] в спи ск е л и терату ры). J = J x cos2 α + J y cos2 β + J z cos2 γ , (1) Р и с. 1. где J x , J y , J z – гл авные моменты и нерци и . II. М етоди к а эк спери мента О предел ени е гл авных моментов и нерци и си мметри чных тел и проверк у равенства (1) л егк о осу щ естви ть при помощ и к ру ти л ьного маятни к а, схемати ческ и и зображ енного на ри с.2. Иссл еду емое тел о заж и мается в рамк е маятни к а, подвешенной к у пру гой верти к ал ьно натяну той r провол ок е (поэтому век тор n на нашей у становк е всегда направл ен по верти к ал и ). Пери од к ру ти л ьных к ол ебани й маятни к а равен T = 2π
Р и с. 2.
J + Jo f
,
(2)
где J – момент и нерци и тел а относи тел ьно верти к ал ьной оси , J o – момент и нерци и рамк и , f – моду л ь к ру чени я провол ок и . Пери од к ол ебани й рамк и без гру за:
4 To = 2π
Jo f
(3)
Иск л ючая f и з (2) и (3), находи м J = J o (T 2 − To2 ) / To2
(4)
Зак репл яя тел о в рамк е при помощ и при ж и мной пл анк и так , чтобы с верти к ал ьной осью вращ ени я поочередно совпал и гл авные оси и нерци и тел а, пол у чи м дл ягл авных моментов и нерци и J x = J o (Tx2 − To2 ) / To2 , J y = J o ( Ty2 − To2 ) / To2 , J z = J o ( Tz2 − To2 ) / To2 ,
(5)
где Tx , Ty , Tz – пери оды к ол ебани й маятни к а, к огда его ось вращ ени ясовпадает с одной и з гл авных осей X, Y, Z. Подстави в (4) и (5) в соотношени е (1), пол у чи м T 2 = Tx2 cos2 α + Ty2 cos2 β + Tz2 cos2 γ
(6)
Ф орму л а (6) связывает пери оды к ру ти л ьных к ол ебани й тел а Tx , Ty , Tz относи тел ьно его гл авных осей спери одом к ол ебани й вок ру г прои звол ьной оси , составл яющ ей сгл авными осями у гл ы α, β, γ. Замети м, что зату хани е к ол ебани й при этом предпол агал ось достаточно мал ым. Д л я определ ени я момента и нерци и J o рамк и воспол ьзу емся этал онным тел ом, момент и нерци и к оторого J э и звестен. Из ф орму л ы (4) и меем
To2 , Jo = Jэ 2 Tэ − To2 где Tэ – пери од к ол ебани й рамк и сэтал онным тел ом. Подстави в J o ф орму л у (5), пол у чаем ок ончател ьно
5 Ty2 − To2 Tx2 − To2 Tz2 − To2 J x = Jэ 2 J = J , J J = , y э 2 z э 2 Tэ − To2 Tэ − To2 Tэ − To2
(7)
В данной работе дл я и ссл едовани я и спол ьзу ются три масси вных метал л и ческ и х тел а: а) к у б со стороной a; б) прямоу гол ьный парал л ел епи пед, у к оторого a = b
пол у чаем J = J x = const и , сл едовател ьно, T = Tx = const
(8)
6 Так и м образом, момент и нерци и к у ба относи тел ьно л юбой оси , проходящ ей через его центр, оди нак ов. О ди нак овы дол ж ны быть и пери оды к ол ебани й к у ба вок ру г так и х осей . 2. Парал л ел епи пед, a = b
cos2 α + cos2 β = 1 − cos2 γ ,
то и з ф орму л ы (6) пол у чаем T 2 = Tx2 (1 − cos2 γ ) + Tz2 cos2 γ
О тсюда ви дно, что пери од к ру ти л ьных к ол ебани й зави си т тол ьк о от у гл а γ, к оторый ось вращ ени я составл яет с гл авной осью OZ, парал л ел ьной бол ьшому ребру парал л ел епи педа, и не зави си т от у гл ов α и β. В частности , дол ж ны быть оди нак овыми пери оды к ол ебани й относи тел ьно л юбой оси , л еж ащ ей в пл оск ости XOY (то есть, при γ=π/2 ). В этом сл у чае T = Tx = const
(9)
Провери ть соотношени е (9) мож но, зак репл яя образец в рамк е так и м образом, чтобы ось вращ ени я был а перпенди к у л ярна его бол ьшому ребру . Пери оды к ру ти л ьных к ол ебани й при л юбом так ом пол ож ени и тел а дол ж ны совпадать в предел ах погрешности и змерени й . 3.Парал л ел епи пед, a
cos2 α = a 2 / (a 2 + b2 + c2 ) , Р и с. 3.
cos2 β = b 2 / ( a 2 + b 2 + c 2 ) ,
7
cos2 γ = c2 / (a 2 + b2 + c2 ) , то соотношени е (6) дает 2 TAB (a 2 + b2 + c2 ) = Tx2a 2 + Ty2b2 + Tz2c2
(10)
А нал оги чно дл яосей EF, MN, PQ, совпадающ и х сосью вращ ени я, и меем: 2 TEF (b2 + c2 ) = Ty2b2 + Tz2c2
(11)
2 TMN ( a 2 + c2 ) = Tx2a 2 + Tz2c2
(12)
2 TPQ ( a 2 + b2 ) = Tx2a 2 + Ty2b2
(13)
Так и м образом, проверк а соотношени я (1) своди тся к проверк е равенств (10) – (13). По у к азани ю преподавател я к аж дый сту дент выпол няет одно и з задани й – 5А и л и 5Б.
III. Задани е 5А . Проверк а равенства (1) методом к ру ти л ьного маятни к а. 1. О предел и ть пери оды к ол ебани й к у ба, и змеряявремя10 к ол ебани й дл я сл еду ющ и х пол ож ени й к у ба: а) ось вращ ени я проходи т через центры к ак и х-л и бо дву х проти вопол ож ных граней ( T1 ) ; б) ось вращ ени япроходи т по к ак ой -л и бо и з гл авных ди агонал ей к у ба ( T2 ) ; в) ось вращ ени япроходи т через середи ны проти вол еж ащ и х ребер к у ба ( T3 ) . Все и змерени я повтори ть 3 раза, резу л ьтаты занести в табл и цу . Вычи сл и ть средни е значени я пери одов, оцени ть и х погрешности . Провери ть справедл и вость равенства (8) в предел ах допу щ енных погрешностей . 2. Д л я парал л ел епи педа с дву мя оди нак овыми ребрами a = b
8 а) ось проходи т через середи ны дву х проти вол еж ащ и х бол ьши х ребер ( T4 ) ; б) ось проходи т через середи ны дву х проти вол еж ащ и х граней ( T5 ) . Повтори ть и змерени я 3 раза, запол ни ть табл и цу , най ти < T1 > и и и х погрешностей . Пок азать равенство эти х пери одов (соотношени е (9)) в предел ах погрешностей и змерени й . 3. А нал оги чные и змерени я продел ать дл я парал л ел епи педа с ребрами a
К уб T1
T2
Парал л ел епи пед a = b
T4
T5
Парал л ел епи пед a
TEF TMN
TPQ
Р азмеры парал л ел епи педа a
IV. Задани е 5Б. О предел ени е гл авных моментов и нерци и тел а при помощ и к ру ти л ьного маятни к а. 1. Выбрав в к ачестве этал онного тел а к у б массы m с дл и ной ребра a, най ти его момент и нерци и по ф орму л е 1 J э = ma 2 , 6 где m = (962 ± 1) г ; a = (50,1 ± 0,1) м м . Вычи сл и ть погрешность момента и нерци и J э . 2. Зак репи в к у б в рамк е так , чтобы верти к ал ьная ось вращ ени я проходи л а через его центр, определ и ть 5 раз по времени 10 к ол ебани й пери од Tэ к ол ебани й рамк и сэтал онным тел ом. Най ти средни й пери од и его погрешность.
9 Замети м, что согл асно (8), пери оды к ол ебани й к у ба относи тел ьно л юбой оси , проходящ ей через центр к у ба, оди нак овы, поэтому в опыте мож но и спол ьзовать л юбу ю так у ю ось. 3. О предел и ть, прои зводя анал оги чные и змерени я, средни й пери од To к ол ебани й пу стой рамк и и его погрешность. 4. Зак репл яя в рамк е парал л ел епи пед с разл и чными дл и нами ребер (a
Э тал онное тел о
Пу стаярамк а
Tэ , с
Tc , c
Парал л ел епи пед, a
Ty , c
Tz , c
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
V. К онтрол ьные вопросы Тензор и нерци и . О севые и центровые моменты и нерци и . Ч то так ое гл авные оси и гл авные моменты и нерци и ? Вывести ф орму л у (1). К ак определ и ть гл авные моменты и нерци и си мметри чных тел при помощ и к ру ти л ьного маятни к а? К ак определ и ть равенство (1) дл я к у ба? Парал л ел епи педа с дву мя равными ребрами ? парал л ел епи педа стремяразными ребрами ? К ак вычи сл и ть погрешность момента и нерци и в работе 5Б? К ак овы ф орму л ы дл я подсчета погрешностей л евых и правых частей равенств (10) – (13) в работе 5А ?
VI.Л и терату ра 1. К ал енк ов С . Г., С ол омахо Г. И. Прак ти к у м по ф и зи к е. М ехани к а. – М ., 1990. – С . 95-102.
10 2. Ф и зи ческ и й прак ти к у м. М ехани к а и мол ек у л ярная ф и зи к а /Под. ред. В. И. Ивероновой . – М ., 1967. – С . 102-105. 3. М атвеев А . Н. М ехани к а и теори яотноси тел ьности . – М ., 1986. – С .173 –177. 4. А й зерман М . А . К л асси ческ аямехани к а. – М ., 1974. – С .168-173.
Ра бота 8А. И зу ч ени е у пру ги х свойств тверд ы х тел Ц ел ь работы: определ ени е моду л яЮ нга и з деф ормаци и и зги ба. О бору довани е: у становк а, и нди к атор проги ба, ми л л и метровая л и ней к а, штангенци рк у л ь, ми к рометр, и ссл еду емый стерж ень. I. Введени е Изменени е ф ормы и размеров тел а под дей стви ем при л ож енных внешни х си л называетсядеф ормаци ей тел а. Д еф ормаци и , и счезающ и е посл е прек ращ ени я дей стви яси л , называютсяу пру ги ми . Е сл и при сняти и внешнего воздей стви я деф ормаци ясохраняетсяхотябы части чно, говорят о неу пру гой (пл асти ческ ой ) деф ормаци и . Р ассмотри м у пру гу ю деф ормаци ю растяж ени я (сж ати я) однородного и и зотропного стерж ня. При деф ормаци и тел а в л юбом его поперечном сечени и возни к ают вну тренни е си л ы, с к оторыми разл и чные части деф орми рованного тел а дей ству ют дру г на дру га. Е сл и матери ал однороден, мож но счи тать, что так ая си л а равномерно распредел ена по пл ощ ади поперечного сечени я. С и л а, дей ству ющ ая на еди ни цу пл ощ ади поперечного сечени я, называется напряж ени ем: δ = F/S С тепень деф ормаци и тел а мож ет быть у довл етвори тел ьно охарак тери зована не абсол ютным у дл и нени ем (и л и сж ати ем) ∆l, а отношени ем этой вел и чи ны к ∆l называется относи тел ьной первоначал ьной дл и не l образца. Вел и чи на ε = l деф ормаци ей . Э к спери ментал ьно у становл ено, что при мал ых деф ормаци ях напряж ени е пропорци онал ьно относи тел ьной деф ормаци и (зак он Гу к а): δ=Еε. К оэф ф и ци ент пропорци онал ьности Е, зави сящ и й тол ьк о от ви да вещ ества и его температу ры, называется моду л ем Ю нга. Р азмерность его совпадает с размерностью напряж ени я ( Н / м 2 ).
11 При растяж ени и стерж ня прои сходи т у меньшени е его поперечного размера ∆a a (ε′ = - относи тел ьное поперечное сж ати е). Вел и чи на так ж е явл яется a харак тери сти к ой вещ ества и называется к оэф ф и ци ентом Пу ассона. М ож но пок азать, что µ < 1/2. М оду л ь Ю нга и к оэф ф и ци ент Пу ассона пол ностью харак тери зу ют у пру ги е свой ства и зотропного вещ ества. Все прочи е у пру ги е постоянные могу т быть выраж ены через Еи µ.. II. Э к спери ментал ьнаячасть В данной работе при менен метод определ ени ямоду л яЮ нга, основанный на и змерени и стрел ы проги ба при и зги бе однородного стерж ня1, л еж ащ его на дву х парал л ел ьных опорах 2, при подвеши вани и к его середи не гру за 3 на пл атф орме 4 (ри с. 1). Е сл и мысл енно разби ть стерж ень на тонк и е продол ьные сл ои , то ок аж ется, что при и зги бе верхни е сл ои у к орачи ваются, а ни ж ни е у дл и няются. С редни й сл ой сохраняет свою дл и ну . С л едовател ьно, деф ормаци яи зги ба своди тсяк неоднородной деф ормаци и растяж еня-сж ати ясл оев стерж ня, что позвол яет най ти моду л ь Ю нга по вел и чи не проги ба данного стерж ня. Д л яи змерени ястрел ы проги ба и спол ьзу етсяспеци ал ьный и нди к атор 5, состоящ и й и з щ у пового механи зма и ци ф ербл ата. Инди к атор у к репл яют в специ ал ьной стой к е, подводяего щ у повой механи зм к середи не стерж нядо сопри к основени я. При сняти и с пл атф ормы гру за 3 стерж ень выпрямл яетсяи дей ству ет на щ у повой механи зм и нди к атора. О ди н пол ный оборот стрел к и и нди к атора соответству ет стрел е проги ба равной 1 м м , а цена Р и с. 1. наи меньшего дел ени ясоставл яет 0,01 м м . Р асчет дает сл еду ющ у ю ф орму л у дл ястрел ы проги ба λ однородного стерж ня:
λ = Pl 3 / 4 Eab 3 ,
12
где Р – веснагру зк и , l – расстояни е меж ду опорами , a и b – ши ри на и тол щ и на стерж нясоответственно. О тсюда дл яопредел ени ямоду л яЮ нга и меем
E=
Pl 3 4λab3
Измерени я 1. О предел и ть расстояни е l меж ду опорами , пол ьзу ясь ми л л и метровой л и ней к ой . 2. 5 раз и змери ть штангенци рк у л ем ши ри ну стерж ня а в разл и чных точк ах стерж ня. 3. Ш тангенци рк у л ем и л и ми к рометром (по у к азани ю преподавател я) 5 раз и змери ть тол щ и ну стерж няb. 4. Пол ож и ть стерж ень на опоры, подвеси в к его середи не пл атф орму снагру зк ой P1 . У к репи ть и нди к атор на стой к е, подвеси в его щ у повой механи зм до сопри к основени я с середи ной стерж ня. Вращ ени ем ци ф ербл ата у станови ть стрел к у и нди к атора на ну л ь шк ал ы. 5. С нять гру з спл атф ормы и отсчи тать пок азани яи нди к атора. 6. Измери ть стрел к у проги ба снагру зк ой P2 и P3 . Все резу л ьтаты и змерени й дол ж ны быть занесены в табл и цу :
№
l, м м
a, м м
b, м м
P1 =4,90 Н
P2 =9,81 Н
P3 =14,72 Н
λ1, м м
λ2, м м
λ3, м м
С реднее
1. Пол ьзу ясь Э ВМ , рассчи тать средни е значени я размеров стерж ня и стрел проги ба, а так ж е и х погрешностей . Выпи сать эти значени я совместно с погрешностями . Продол ж ая расчет на Э ВМ , най ти средни е значени я моду л я Ю нга E1 , E 2 , E 3 дл я к аж дой и з трех нагру зок , вычи сл и ть погрешности эти х вел и чи н и представи ть резу л ьтаты с у к азани ем погрешностей . Проанал и зи ровать вк л ад к аж дой и з непосредственно и змеряемых вел и чи н в погрешности моду л я Ю нга. С равни ть три пол у ченных значени я моду л я Ю нга меж ду собой .
13 2. Р ассчи тать < E >= 1 / 3 ⋅ ( E1 + E2 + E3 ) и его погрешность. Запи сать ок ончател ьный резу л ьтат. С ф орму л и ровать выводы, сдел анные в процессе выпол нени яработы и анал и за резу л ьтатов. III. К онтрол ьные вопросы 1. Ф орму л и ровк а зак она Гу к а. М оду л ь Ю нга. Е го ф и зи ческ и й смысл и размерность. 2. Изобрази ть граф и к зави си мости напряж ени я, возни к ающ его в твердом тел е, от относи тел ьной деф ормаци и тел а. О тмети ть все харак терные точк и на этой к ри вой и поясни ть и х смысл . 3. Ч то так ое к оэф ф и ци ент Пу ассона? 4. К ак определ и ть моду л ь Ю нга, и спол ьзу ядеф ормаци ю и зги ба? 5. Вывести ф орму л у дл ярасчета погрешности моду л яЮ нга. К ак и е вел и чи ны в опыте сл еду ет определ ять наи бол ее точно и почему ?
IV. Л и терату ра 1. С трел к ов С . П. М ехани к а. – М ., 1975. – С .282-291. 2. С и ву хи н Д . В. О бщ и й к у рсф и зи к и . – М ., 1989. – Т.1. – С .416-421.
14
Ра бо та 8Б. И зу ч ени е у пру ги х свойств тверд ы х тел Ц ел ь работы: определ ени е моду л ясдви га и з деф ормаци и к ру чени я. О бору довани е: к ру ти л ьный маятни к , сек у ндомер, освети тел ь, шк ал а. I. Введени е Р ассмотри м к у б и з однородного и и зотропного вещ ества, одна грань к оторого зак репл ена. На ри с. 1 и зображ ено одно и з сечени й так ого к у ба. При л ож и м к к у бу си л у , парал л ел ьну ю зак репл енной грани AD. С оответству ющ ее напряж ени е τ=F/S,
Р и с. 1.
где S – пл ощ адь грани к у ба, называется к асател ьным напряж ени ем. Под дей стви ем так ой си л ы к вадрат ABCD переходи т в ромб AB’C’D. С л едовател ьно, рассматри ваемая деф ормаци ясостои т в том, что все сл ои к у ба, парал л ел ьные основани ю AD, сдви гаютсяв
15 направл ени и , парал л ел ьном этому основани ю. Поэтому так аядеф ормаци я называетсядеф ормаци ей сдви га. У гол θ меж ду AB и AB’ называетсяу гл ом сдви га и мож ет сл у ж и ть харак тери сти к ой относи тел ьно деф ормаци и тел а при сдви ге. Д ей стви тел ьно, в к ачестве относи тел ьной деф ормаци и к у ба сл еду ет взять отношени е BB’/AB, равное tgθ, но при мал ых θ (а при у пру ги х деф ормаци ях у гол сдви га, к онечно ж е, мал ) tgθ ≈θ. О пыт пок азывает, что связь меж ду у гл ом сдви га θ и к асател ьным напряж ени ем τ и меет так ой ж е харак тер, к ак и зави си мость меж ду относи тел ьным у дл и нени ем и нормал ьным напряж ени ем при деф ормаци и растяж ени я-сж ати я. В зоне у пру гости так ж е и меетсял и ней ный у часток , на к отором справедл и в зак он, анал оги чный зак ону Гу к а: τ=Gθ К оэф ф и ци ент пропорци онал ьности G, зави сящ и й , к ак и моду л ь Ю нга, тол ьк о от ви да вещ ества и его тепл ового состояни я, называетсямоду л ем сдви га. Р азмерность его Н / м 2 . Р и с. 2.
М оду л ь сдви га связан смоду л ем Ю нга Е и к оэф ф и ци ентом Пу ассона µ соотношени ем E=2G(1+µ).
Д л яэк спери ментал ьного определ ени ямоду л ясдви га чащ е всего и спол ьзу ют не деф ормаци ю сдви га, а деф ормаци ю к ру чени я, к отору ю мож но рассматри вать к ак неоднородный сдви г. Р ассмотри м однородну ю провол ок у , верхни й к онец к оторой зак репл ен, а к ни ж нему к онцу при л ож ен вращ ающ и й момент относи тел ьно продол ьной оси провол ок и . Под дей стви е этого момента си л провол ок а зак ру ти тся. К аж дый ради у сее ни ж него основани яповернетсявок ру г оси на оди н и тот ж е у гол ϕ. При этом возни к нет проти водей ству ющ и й момент вну тренни х си л , вел и чи на к оторого пропорци онал ьна у гл у зак ру чи вани я:
16 M = fϕ,
(1)
где постояннаяf называетсямоду л ем к ру чени я. Л егк о у ви деть, что деф ормаци як ру чени ясводи тсяк деф ормаци и сдви га эл ементарных сл оев, на к оторые мож но разби ть провол ок у . Ч ем дал ьше находи тсясл ой от зак репл енного основани япровол ок и , тем бол ьши й сдви г он и спытывает. Так и м образом, к ру чени е относи тсяк неоднородным деф ормаци ям, то есть деф ормаци ям, к оторые меняютсяв объеме тел а от одного сечени як дру гому . Из ск азанного ясно, что моду л ь к ру чени яf дол ж ен быть связан нек оторым соотношени ем смоду л ем сдви га G. Вывод этого соотношени ядаетсяв предл агаемой л и терату ре. В резу л ьтате пол у чаетсяф орму л а
f =
πr 4 G , 2L
(2)
где r и L - ради у си дл и на провол ок и соответственно. Из ф орму л ы (2) ви дно, что моду л ь к ру чени язави си т не тол ьк о от матери ал а провол ок и , но и от ее геометри ческ и х параметров. На прак ти к е моду л ь к ру чени янаходят, и змеряяпери од к ру ти л ьных к ол ебани й тяж ел ого тел а, подвешенного к ни ж нему к онцу и ссл еду емой провол ок и (к ру ти л ьный маятни к ). II. Э к спери ментал ьнаячасть Испол ьзу емый в работе к ру ти л ьный маятни к (ри с.2) представл яет собой масси вный гори зонтал ьный стерж ень 1 сзару бк ами , на к оторые си мметри чно подвеши ваютсяци л и ндри ческ и е гру зы 2 оди нак овой массы m. На середи не стерж няи меетсязерк ал ьце 3, направл яющ ее л у чи света от освети тел яна гори зонтал ьну ю шк ал у , размещ енну ю на стене за при бором (освети тел ь и шк ал а на ри су нк е не пок азаны). М аятни к подвешен на провол ок е и з и ссл еду емого матери ал а. Верхни й к онец провол ок и зак репл ен в заж и ме к ронштей на 4, при чем заж и м при помощ и шну ра 5 мож но поворачи вать на небол ьши е у гл ы вок ру г верти к ал ьной оси и тем самым сообщ ать маятни к у к ру ти л ьные к ол ебани я.
17 При зак ру чи вани и провол ок и возни к ает вну тренни й момент у пру ги х си л , проти вопол ож ных зак ру чи вающ ему внешнему моменту : M = − fϕ У равнени е вращ ател ьного дви ж ени ямаятни к а: Jϕ&& = − fϕ , где J – момент и нерци и маятни к а относи тел ьно оси вращ ени яси стемы. Перепи сав посл еднее у равнени е в ви де
ϕ&& +
f ϕ = 0, J
пол у чаем у равнени е дви ж ени я, опи сывающ ее гармони ческ и й к ол ебател ьный процесс, частота к оторого, очеви дно, равна
ω=
J . f
О тсюда и меем дл япери ода мал ых к ол ебани й к ру ти л ьного маятни к а
T = 2π
J f
(3)
М омент и нерци и J ск л адываетсяи з момента и нерци и дву х ци л и ндри ческ и х гру зов и момента и нерци и Jo всех остал ьных частей си стемы. Пренебрегая размерами гру зов по сравнени ю срасстояни ями и х до оси вращ ени я, мож ем напи сать моменты и нерци и гру зов к ак моменты и нерци и матери ал ьных точек . Тогда J = Jo + 2ml 2 ,
18 где l – расстояни е от к аж дого гру за до оси вращ ени я. Е сл и l = l1 (гру зы у становл ены на нек оторых си мметри чных зару бк ах), то пери од к ру ти л ьного к ол ебани яси стемы, согл асно ф орму л е (3), равен Jo + 2ml12 T1 = 2π f
(4)
При перевеши вани и гру зов на дру гу ю пару си мметри чных зару бок ( l = l2 ) Jo + 2ml22 T2 = 2π f
(5)
Иск л ючаяи з (4) и (5) неи звестну ю вел и чи ну Jo , находи м моду л ь к ру чени яf: 8π 2m(l12 − l22 ) f = T12 − T22
(6)
С равни ваяф орму л ы (2) и (6), пол у чи м ок ончател ьно дл яопредел ени ямоду л я сдви га сл еду ющ у ю рабочу ю ф орму л у
G=
m=(320,0±0,1) г
16πmL (l12 − l22 ) r 4 ( T12 − T22 )
(7)
2l=(12,0±0,1) см
L=(144±1) см
(16,0 ±0,1) см
r=(0,785±0,005) мм
(20,0 ±0,1) см (25,0±0,1) см (30,0±0,1) см
19 Параметры 2 l1 и 2 l2 задаютсяпреподавател ем. Измерени я 1. У станови ть гру зы 2 на расстояни и l1 от оси вращ ени яси стемы. 2. При помощ и шну ра 5 осторож но сообщ и ть маятни к у небол ьшое у гл овое 3.
4.
5. 6.
1. 2. 3. 4.
отк л онени е и создать мал ые к ру ти л ьные к ол ебани я. Набл юдая дви ж ени е светового зай чи к а в предел ах шк ал ы, и змери ть сек у ндомером время 30-50 пол ных к ол ебани й (по у к азани ю преподавател я). Измерени яповтори ть 5 раз. У станови ть гру зы на расстояни ях l2 от оси вращ ени я. Провести анал оги чные и змерени я. Все резу л ьтаты запи сываются в заранее подготовл енну ю сту дентом табл и цу . Провести расчет моду л ясдви га и его погрешности на Э ВМ . О предел и ть по справочным табл и цам, и з к ак ого вещ ества сдел ана провол ок а. Проанал и зи ровать вк л ад погрешностей всех вел и чи н, входящ и х в рабочу ю ф орму л у (7), в общ у ю погрешность моду л я сдви га. Представи ть ок ончател ьный резу л ьтат и змерени й совместно с погрешностью. С ф орму л и ровать выводы, сдел анные при выпол нени и работы. III. К онтрол ьные вопросы. У пру ги е деф ормаци и сдви га и к ру чени я. М оду л ь сдви га и моду л ь к ру чени я. Вывод ф орму л ы (2). К ак связаны моду л ь Ю нга, моду л ь сдви га и к оэф ф и ци ент Пу ассона? М етод к ру ти л ьных к ол ебани й дл я определ ени я моду л я сдви га. Вывод рабочей ф орму л ы. О собенности метода. Вывод ф орму л ы погрешности моду л ясдви га.
IV. Л и терату ра. 1. С трел к ов С . П. М ехани к а. – М ., 1975 – С .293-296. 2. С и ву хи н Д . В. О бщ и й к у рсф и зи к и . – М .,1989. – Т.1. – С .428-432.
С остави тел и : Гол и цына О л ьга М и хай л овна, Носова Вал енти на Ивановна
20 Р едак тор Ти хоми рова О .А .