Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας

¶·ÓÂÈÛÙËÌȷο ª·ıËÌ·ÙÈο ∫›ÌÂÓ·

3 ∂È̤ÏÂÈ· ™ÂÈÚ¿˜: ¡›ÎÔ˜ ª·ÚÌ·Ú›‰Ë˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ πˆ·ÓÓ›ÓˆÓ

∞£∏¡∞ 2001

¶∞¡∂¶π™∆∏ªπ∞∫∞ ª∞£∏ª∞∆π∫∞ ∫∂πª∂¡∞

1 Rotman Joseph: £ÂˆÚ›· Galois, xii, 185 ÛÂÏ›‰Â˜, ¤ÙÔ˜ ÂΉfiÛˆ˜ 2000 2 Rudin Walter: ∞Ú¯¤˜ ª·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ∞ӷχÛˆ˜, xvi, 524 ÛÂÏ›‰Â˜, ¤ÙÔ˜ ÂΉfiÛˆ˜ 2000

Benjamin Fine Gerhard Rosenberger

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ªÂÙ¿ÊÚ·ÛË ·fi Ù· ·ÁÁÏÈο: ºÒÙ˘ §ÈÔ‡ÙÛ˘ ¡›ÎÔ˜ ª·ÚÌ·Ú›‰Ë˜

∞£∏¡∞ 2001

∆›ÙÏÔ˜ ¶ÚˆÙÔÙ‡Ô˘: ™˘ÁÁÚ·Ê›˜ : ŒÎ‰ÔÛË:

Copyright © 1997: Copyright © 2000 ÁÈ· ÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ÁÏÒÛÛ·: ªÂÙ¿ÊÚ·ÛË ·fi Ù· ·ÁÁÏÈο:

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e-mail: 1Ë ¤Î‰ÔÛË ÁÈ· ÙËÓ ∂ÏÏ¿‰·:

The Fundamental Theorem of Algebra Benjamin Fine Gerhard Rosenberger 1997 Springer – Verlag New York Berlin Heidelberg Springer – Verlag New York, Inc. Leader Books A.E. ºÒÙ˘ §ÈÔ‡ÙÛ˘ ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ¡›ÎÔ˜ ª·ÚÌ·Ú›‰Ë˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ πˆ·ÓÓ›ÓˆÓ ∫·ÙÂÚ›Ó· §·ÁÔ‡ ºÈÏfiÏÔÁÔ˜ ¶·ÓÂÈÛÙËÌȷο ª·ıËÌ·ÙÈο ∫›ÌÂÓ· ¡›ÎÔ˜ ª·ÚÌ·Ú›‰Ë˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ πˆ·ÓÓ›ÓˆÓ [email protected] 2001

ISBN 960 – 7901 – 20 – 7

∂ΉfiÛÂȘ LEADER BOOKS A.E. ¶·Ó·Á‹ ∫˘ÚÈ·ÎÔ‡ 17, ∞ÌÂÏfiÎËÔÈ, 115 21 ∞ı‹Ó· TËÏ.: 64.52.825-64.50.048, Fax.: 64.49.924

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Cosmosware ∞Á. πˆ¿ÓÓÔ˘ 53, ∞Á. ¶·Ú·Û΢‹ ∆ËÏ.: 60.13.922, Fax: 60.01.642

∞·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Î¿ı ÌÔÚÊ‹˜ ·Ó··Ú·ÁˆÁ‹ ̤ÚÔ˘˜ ‹ fiÏÔ˘ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ Ì ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ̤ÛÔ ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ¤ÁÁÚ·ÊË ¿‰ÂÈ· ÙÔ˘ ÂΉfiÙË Î·È ÙÔ˘ Û˘ÁÁڷʤ·.

¶ÚfiÏÔÁÔ˜ ÙÔ‡ ∂ÈÌÂÏËÙ‹ πÛÙÔÚÈÎfi ™ËÌ›ˆÌ· ∞Á·ËÙ¤ ∞Ó·ÁÓÒÛÙË, Û›ÁÔ˘Ú· ÁÓˆÚ›˙ÂȘ ˆ˜ οı ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰È·ı¤ÙÂÈ (‰‡Ô) ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∏ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÚfiÙ·ÛË ·ÔÙÂÏ› ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÓfi˜ Ôχ ÈÔ ÁÂÓÈÎÔ‡ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù‹˜ ÕÏÁ‚ڷ˜ Î·È ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ:

∫¿ı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÛÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∂› Ì·ÎÚfiÓ, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÓÙ¿ÛÛÂÙ·È ÛÙ· ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈο Ù‹˜ ∂ÈÛÙ‹Ì˘ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ‰ÂÓ ‰È¤ıÂÙ ÌÈ· ·˘ÛÙËÚ‹ ·fi‰ÂÈÍË. ∏ ÚÒÙË ·fi‰ÂÈÍË, Ô˘ ¤Ù˘¯Â ·Ô‰Ô¯‹˜ ·fi ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÎÔÈÓfiÙËÙ·, ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), Ô ÔÔ›Ô˜ ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·Û ÛÙË ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹ ÙÔÓ ∞‡ÁÔ˘ÛÙÔ ÙÔ‡ 1799 Ì ٛÙÏÔ:

Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secondi gradus resolvi posse. (ªÈ· Ó¤· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ‡ ıˆڋ̷ÙÔ˜ fiÙÈ Î¿ı ÚËÙ‹ ·Î¤Ú·È· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÌÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÌÔÚ› Ó· ·Ó·Ï˘ı› Û Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ÚÒÙÔ˘ Î·È ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡.) ¶ÔÏÏÔ› ÈÛÙÔÚÈÎÔ› ıˆÚÔ‡Ó fiÙÈ Ô ºÏ·Ì·Ó‰fi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Albert Girard (1595 – 1632) Â›Ó·È Ô ÚÒÙÔ˜ Ô˘ ‰È·Ù‡ˆÛ ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù‹˜ ÕÏÁ‚ڷ˜ ÙÔ 1629 ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ L' Invention en l' algèbre fiÔ˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÈ: ∫¿ı Â͛ۈÛË Ù‹˜ ¿ÏÁ‚ڷ˜ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÙfiÛ˜ χÛÂȘ, fiÛ˜ ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ Ô ÂÎı¤Ù˘ ÙÔ‡ ·ÓÒÙ·ÙÔ˘ fiÚÔ˘. √ Jean d' Alembert (1717 – 1783) Â›Ó·È Ô ÚÒÙÔ˜ Ô˘ ‰ÔΛ̷Û ÙÔ 1746 Ó· vii

viii ÂÎÙÂϤÛÂÈ ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘Ø ˆÛÙfiÛÔ ÙÔ ÌfiÓÔ Ô˘ ηٿÊÂÚ ‹Ù·Ó Ó· ÂÚÈÁÚ¿„ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ ı¤Û˘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ¯ˆÚ›˜ fï˜ Ó· ÂȂ‚·ÈÒÛÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍ‹ Ù˘. ∆Ú›· ¯ÚfiÓÈ· ·ÚÁfiÙÂÚ·, ÙÔ 1749, Ô Euler (1707 – 1783) ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ ÔÈ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ì Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ¿ÓÙÔÙ ˆ˜ √ ˙‡ÁË Û˘˙˘ÁÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ, fiÙ·Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ a + b −1, a, b ∈ R Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ≥ 2, ÙfiÙÂ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È Ì ÙÔÓ √ ·ÚÈıÌfi a − b −1 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, οı ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ ≥ 2 ‰È·ı¤ÙÂÈ ¤Ó·Ó ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈÔ ·Ú¿ÁÔÓÙ· Ì Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜. ™ÙÔÓ Ù›ÙÏÔ Ù‹˜ ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋˜ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹˜ Ô Gauss ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙÔÓ fiÚÔ «Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡», ÂÂȉ‹ ·ÎfiÌË Î·È ÛÙËÓ ÂÔ¯‹ ÙÔ˘ ÔÏÏÔ› Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ·ÓÙÈÌÂÙÒÈ˙·Ó Ì η¯˘Ô„›· ÙÔ˘˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∫·Ù' Ô˘Û›·Ó, Û' ·˘ÙfiÓ ÔÊ›ÏÂÙ·È Ë ·Ê·›ÚÂÛË ÙÔ‡ Ì˘ÛÙËÚ›Ô˘ Ô˘ ÙÔ˘˜ ÂÚȤ‚·Ï Ì ÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ Ù‹˜ ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ‹ÙÔÈ ÙÔ‡ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂÈ¤‰Ô˘. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù‹˜ ÕÏÁ‚ڷ˜, fiˆ˜ Â›Û˘ Î·È ÔÈ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÚÔÛ¿ıÂȘ ·fi‰ÂÈÍ‹˜ ÙÔ˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÛÙÂÓ¿ Ì ÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ. ™Â fiϘ ÙȘ ·fiÂÈÚ˜ Ô˘ ¤ÁÈÓ·Ó ÚÔ ÙÔ˘ Gauss ‰ÂÓ ÂÙ›ıÂÙÔ ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Ù‹˜ ‡·Ú͢ ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ·Ú¿ ÌfiÓÔÓ ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Ù‹˜ ÌÔÚÊ‹˜. ª¿ÏÈÛÙ·, ÁÈ· Ôχ ηÈÚfi ‹Ù·Ó ‰È·‰Â‰Ô̤ÓË Ë ÂÔ›ıËÛË ˆ˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ÈÂÚ·Ú¯›· Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ, Ù· ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Â›Ó·È ÔÈ √ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› a + b −1, a, b ∈ R. ªfiÏȘ ÙÔÓ ‰¤Î·ÙÔ fiÁ‰ÔÔ ·ÈÒÓ· ¤ÁÈÓ ۷ʤ˜ fiÙÈ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ C Î·È fi¯È Û ¤Ó· ˘ÂÚÛ‡ÓÔÏfi ÙÔ˘. ∆Ô Ó¤Ô ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ‡ 1799 Â›Ó·È fiÙÈ Ô Gauss ‰ÂÓ ˘ÔÏfiÁÈÛ οÔÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ·ÏÏ¿ ·¤‰ÂÈÍ ÙËÓ ‡·ÚÍ‹ Ù˘. ŒÎÙÔÙÂ Ô Gauss ÂÎÙ¤ÏÂÛ ¿ÏϘ ÙÚÂȘ ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ‡ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù‹˜ ÕÏÁ‚ڷ˜Ø ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·Û Û ËÏÈΛ· 70 ÂÙÒÓ. ™ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÙÔ˘ ·fi‰ÂÈÍË, ÙÔ 1816, ¯ÂÈÚ›˙ÂÙ·È Ì ٤ÙÔÈ· ‰ÂÍÈÔÙ¯ӛ· Ù· ÌÈÁ·‰Èο ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù·, ÒÛÙ ʷ›ÓÂÙ·È ¿ÌÂÛ· ÙÔ fiÛÔ Î·Ï¿ ÁÓÒÚÈ˙ ÙÔÓ ÙfiÙÂ Ó¤Ô ÎÏ¿‰Ô Ù‹˜ £ÂˆÚ›·˜ ÙˆÓ ªÈÁ·‰ÈÎÒÓ ∞ÚÈıÌÒÓ. ™ÙËÓ Ù¤Ù·ÚÙ‹ ÙÔ˘ ·fi‰ÂÈÍË, ÙÔ 1849, Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ÂÂÍÂÚÁ·Û›· Ù‹˜ ÚÒÙ˘, Ô Gauss ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› È· Ì ÌÂÁ¿ÏË ÂÏ¢ıÂÚ›· Ù· ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ «·˘Ù¿ Â›Ó·È ϤÔÓ ÁÓˆÛÙ¿ Û fiÏÔ˘˜». ™ÙËÓ ÚÒÙË ÙÔ˘ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ 1799 Ô Gauss ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ¤ÓÓÔȘ Î·È ÂȯÂÈÚ‹Ì·Ù· ·fi ÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›·. ™‡Ìʈӷ Ì fiÛ· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÒÚ·, Ë ·fi‰ÂÈÍË ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Î¿ÔÈ· Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο ÎÂÓ¿. ŒÓ· ·fi Ù· ÂȯÂÈÚ‹Ì·Ù¿ Ù˘ Â›Ó·È Î·È ÙÔ ÂÍ‹˜: «fiÙ·Ó ¤Ó·˜ (ÌË – Û˘Ì·Á‹˜) ÎÏ¿‰Ô˜ ÌÈ·˜ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ηÌ‡Ï˘ ÂÈÛ¤Ú¯ÂÙ·È Û ¤Ó·Ó ÊÚ·Á̤ÓÔ ¯ÒÚÔ (‰›ÛÎÔ), ÙfiÙ ÔÊ›ÏÂÈ Î¿ÔÙ ӷ ÂͤÏıÂÈ ·fi ·˘ÙfiÓ». ∏ ÚfiÙ·ÛË ·˘Ù‹, Ô˘ ‰ÂÓ ·ÌÊÈÛ‚ËÙ‹ıËΠÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ÂηÙfi ¯ÚfiÓÈ·, Â›Ó·È Ô˘ÛÈÒ‰Ô˘˜ ÛËÌ·Û›·˜ ÁÈ·

ix ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ‡ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù‹˜ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∞ÎfiÌË Î·È Û‹ÌÂÚ· Ë ÂȂ‚·›ˆÛ‹ Ù˘ ÂÎÙÂÏÂ›Ù·È ÂÚ›ÏÔη. √ Gauss ÁÓÒÚÈ˙ fiÙÈ Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÚfiÙ·ÛË ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ·‰‡Ó·ÌÔ ÎÚ›ÎÔ Ù‹˜ ·fi‰ÂÈ͢ Î·È ÁÈ' ·˘Ùfi Û ÌÈ· ˘ÔÛËÌ›ˆÛ‹ ÙÔ˘ ÁÚ¿ÊÂÈ: «£ÂˆÚÒ ˆ˜ ‚¤‚·ÈÔ fiÙÈ ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ηÌ‡ÏË ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ‰È·ÎÔ› ·ÈÊÓ›‰È· (fiˆ˜ Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ì ÙËÓ ˘ÂÚ‚·ÙÈ΋ ηÌ‡ÏË Ù‹˜ Â͛ۈÛ˘ y = 1/ log x) ‹ Ó· ·ÔÚÚÔÊËı›, ·˜ Ô‡ÌÂ, Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô Î·ÙfiÈÓ ÂÓfi˜ ¿ÂÈÚÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÛÂÈÚÒÓ (fiˆ˜ Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ì ÙË ÏÔÁ·ÚÈıÌÈ΋ Û›ڷ) Î·È ÂÍ fiÛˆÓ ÁÓˆÚ›˙ˆ ηÓ›˜ ‰ÂÓ ‰È·Ù‡ˆÛ ÔÙ¤ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ·ÌÊÈ‚ÔÏ›·. ∂ÓÙÔ‡ÙÔȘ, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ Ô˘ ÂÈ̤ÓÂÈ, ÙfiÙÂ, ‰Ôı›Û˘ Ù‹˜ ¢ηÈÚ›·˜, ı· ÂÎÙÂϤۈ ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË Ô˘ ‰ÂÓ ı· ÂÈÙÚ¤„ÂÈ Î·ÌÈ¿ ·ÌÊÈÛ‚‹ÙËÛË». ŸÌˆ˜ ÔÙ¤ ‰ÂÓ ·ÚÔ˘Û›·Û ÙË Û¯ÂÙÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË. ™ÙË ™‡Á¯ÚÔÓË ∞ÊËÚË̤ÓË ÕÏÁ‚ڷ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Û¯ÂÙÈÎÒ˜ ‡ÎÔÏ· fiÙÈ Î¿ı ÌË – ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ K ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Û ¤Ó· ˘¤Úۈ̷ L ÙÔ‡ K . ∞ÏÏ¿ ‰ÂÓ ÂÍËÁÂ›Ù·È ÁÈ·Ù› ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ÔÊ›ÏÔ˘Ó Ó· Â›Ó·È Î·È ¿ÏÈ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜. √È Emil Artin Î·È Otto Schreier ·¤‰ÂÈÍ·Ó ÙÔ 1927 fiÙÈ Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù‹˜ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ·ÔÙÂÏ› Ô˘ÛÈ·ÛÙÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ·fi‰ÂÈ͢.

∏ ‚ÈÔÁÚ·Ê›· ÙÔ‡ Gauss √ Carl Friedrich Gauss ÁÂÓÓ‹ıËΠÛÙȘ 30 ∞ÚÈÏ›Ô˘ 1777 ÛÙÔ Braunschweig Î·È ·‚›ˆÛ ÛÙȘ 23 ºÂ‚ÚÔ˘·Ú›Ô˘ 1855 ÛÙÔ Göttingen. ∂ÚÁ¿ÛÙËΠ۠ÔÏϤ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È Ù‹˜ º˘ÛÈ΋˜, fiˆ˜ ÛÙË £ÂˆÚ›· ∞ÚÈıÌÒÓ, ÙËÓ ∞Ó¿Ï˘ÛË, ÙË ¢È·ÊÔÚÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙË °Âˆ‰·ÈÛ›·, ÙÔÓ ª·ÁÓËÙÈÛÌfi, ÙËÓ ∞ÛÙÚÔÓÔÌ›· Î·È ÙËÓ √ÙÈ΋. ◊‰Ë ·fi ÙËÓ ËÏÈΛ· ÙˆÓ ÂÓÓ¤· ÂÙÒÓ ¤‰ÂÈÍ ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ¿ ÙÔ˘ ÛÙ· ª·ıËÌ·ÙÈο, fiÙ·Ó ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ·, Ô˘ ¤ıÂÛÂ Ô ‰¿ÛηÏfi˜ ÙÔ˘ J.G. Büttner, Ì ÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi ÈÛÔ‡Ù·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 1+2+· · ·+100, ·¿ÓÙËÛ ·Ì¤Ûˆ˜ fiÙÈ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 5050, ÂÂȉ‹ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙÔ 50 × 101, ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ ηٿÏÏËÏ· ·Ó¿ ‰‡Ô ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·fi ÙÔ 1 ¤ˆ˜ ÙÔ 100: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 Î.Ï. ™Ù· ‰Âη¤ÓÙ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÈ· ›ηÛ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ¶ÚÒÙˆÓ ∞ÚÈıÌÒÓ, ηÙfiÈÓ ÌÈ·˜ ··Ú›ıÌËÛ˘ Ô˘ ÂÎÙ¤ÏÂÛ Û ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘˜ ›Ó·Î˜ ÏÔÁ·Ú›ıÌˆÓ Î·È ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ›¯Â Ï¿‚ÂÈ ˆ˜ ‰ÒÚÔØ Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ‡ ·ÓˆÙ¤Úˆ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÎÙÂϤÛÙËΠ100 ¯ÚfiÓÈ· ·ÚÁfiÙÂÚ·. ∆Ô 1796 ηٷÛ··Û ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ‰ÂηÂÙ¿ÁˆÓÔ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· ÂÓÙ˘ˆÛȷ΋ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ù‹˜ ÎÏ·ÛÈ΋˜ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜ (‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙÔ‡ ·‚Ô˘, ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ÙÔ‡ ·ÎÏÔ˘, ÙÚȯÔÙfiÌËÛË ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙÂ

x ÁˆÓ›·˜). ∆Ô 1799 ‹Ú ÙÔ ‰È‰·ÎÙÔÚÈÎfi ÙÔ˘ ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ‡ Helmstedt ÙÔ‡ Braunschweig. ∆Ô 1801 ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ÙÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙ·ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ Â› Ù‹˜ £ÂˆÚ›·˜ ∞ÚÈıÌÒÓ «Disquisitiones Arithmeticae» (∞ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ŒÚ¢Ó˜). ∆Ô ÎÂÓÙÚÈÎfi ı¤Ì· ÙÔ‡ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 4 Â›Ó·È Ô ¡fiÌÔ˜ Ù‹˜ ∆ÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ ∞ÓÙÈÛÙÚÂÙfiÙËÙ·˜. ∆Ô ›‰ÈÔ ¤ÙÔ˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ Ì ÌÂÁ¿ÏË ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÙËÓ ÙÚԯȿ ÙÔ‡ ·ÛÙÂÚÔÂȉԇ˜ Ceres, ηÙfiÈÓ ÂÓfi˜ Û¯ÂÙÈÎÒ˜ ÌÈÎÚÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ ·Ú·ÙËÚ‹ÛˆÓ. √ÚÈṲ̂ÓÔÈ ÈÛÙÔÚÈÎÔ› ıˆÚÔ‡Ó ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÈÙ˘¯›· ÙÔ˘ ˆ˜ ¤Ó· Ôχ ·Ù˘¯¤˜ ÁÂÁÔÓfi˜ ÁÈ· ÙËÓ ÂͤÏÈÍË Ù‹˜ ª·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ∂ÈÛÙ‹Ì˘, ÂÂȉ‹ ¤ÙÛÈ ÙÔ‡ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËΠÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÁÈ· ÙËÓ ∞ÛÙÚÔÓÔÌ›· Ô˘ ·ÔÙ¤ÏÂÛ ÙËÓ Î‡ÚÈ· ÂÓ·Û¯fiÏËÛ‹ ÙÔ˘ ÁÈ· Ù· ÂfiÌÂÓ· ›ÎÔÛÈ ¤ÙË. ™ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ·˘Ù‹ ·Ó¤Ù˘Í ÙË ÁÂÓÈ΋ ıˆڛ· ÙˆÓ ÙÚÔ¯ÈÒÓ Ï·ÓËÙÒÓ Î·È ÎÔÌËÙÒÓØ ÙÔ 1809 ·ÚÔ˘Û›·Û ÙÔ Û˘Ó·Ê¤˜ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ «Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicus Solem Ambietium» (£ÂˆÚ›· Ù‹˜ ∫›ÓËÛ˘ ÙˆÓ √˘Ú·Ó›ˆÓ ™ˆÌ¿ÙˆÓ ¤ÚÈÍ ÙÔ‡ ∏Ï›Ô˘ ‰È¿ ∫ˆÓÈÎÒÓ ∆ÔÌÒÓ). ⁄ÛÙÂÚ· ·fi ÙÔ 1820 ¿Ú¯ÈÛ ӷ ÂӉȷʤÚÂÙ·È ÂÓÂÚÁ¿ ÁÈ· ÙË Áˆ‰·ÈÛ›·. ™ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ «Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae» ÙÔ 1823 Î·È ÛÙÔ Û˘Ìϋڈ̿ Ù˘ ÙÔ 1828 Ô Gauss ÂͤıÂÛ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·fi ÙË ª·ıËÌ·ÙÈ΋ ™Ù·ÙÈÛÙÈ΋ ‰›ÓÔÓÙ·˜ ȉȷ›ÙÂÚË ¤ÌÊ·ÛË ÛÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙˆÓ ÂÏ·¯›ÛÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ. ∆Ô 1827 ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ÙÔ ¤ÚÁÔ «Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas» (°ÂÓÈΤ˜ ŒÚ¢Ó˜ ÂÚ› ÙˆÓ ∫·Ì‡ÏˆÓ ∂ÈÊ·ÓÂÈÒÓ) ÛÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ë ıˆڛ· ÙˆÓ ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ÙËÓ ··Ú¯‹ Ù‹˜ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ ¢È·ÊÔÚÈ΋˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∆Ô 1825 Î·È ÙÔ 1831 ·ÚÔ˘Û›·Û ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ ÁÈ· Ù· ‰ÈÙÂÙÚ·ÁˆÓÈο ηٿÏÔÈ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÔÙÂÏ› ÙË Û˘Ó¤¯ÈÛË ÙˆÓ ÌÂÏÂÙÒÓ ÙÔ˘ Â› ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÒÓ Î·Ù·ÏÔ›ˆÓ Ô˘ ›¯Â ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÂÈ ÛÙÔ Disquisitiones Arithmeticae, ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·˜ Ӥ˜ ÌÂıfi‰Ô˘˜ ‚·ÛÈ˙fiÌÂÓ˜ ÛÙÔ˘˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∫·Ù¿ Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ›ÎÔÛÈ ¤ÙË Ù‹˜ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘ Ô Gauss ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ‰‡Ô ÌfiÓÔÓ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ ÂӉȷʤÚÔÓÙÔ˜: ÙËÓ Ù¤Ù·ÚÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ‡ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù‹˜ ÕÏÁ‚ڷ˜ ÙÔ 1849 Î·È Ì›· ÂÚÁ·Û›· Â› Ù‹˜ £ÂˆÚ›·˜ ¢˘Ó·ÌÈÎÔ‡ ÙÔ 1840. ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚÁ·Û›· ‰ËÌÔÛȇıËΠ۠¤Ó·Ó ÙfiÌÔ ÌÈ·˜ ¤Î‰ÔÛ˘ Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Û Áˆ̷ÁÓËÙÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Î·È Ù˘ ÔÔ›·˜ ‹Ù·Ó Û˘ÓÂÈÌÂÏËÙ‹˜ Ì·˙› Ì ÙÔÓ Ó·ÚfiÙÂÚÔ Û˘Ó¿‰ÂÏÊfi ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎfi Wilhelm Weber (1804 – 1891). ∆Ë ‰ÂηÂÙ›· ÙÔ‡ 1830 Î·È Ù· ÚÒÙ· ¤ÙË Ù‹˜ ‰ÂηÂÙ›·˜ ÙÔ‡ 1840 ·ÊȤڈÛ ÌÂÁ¿ÏÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘ ÙÔ˘ ÛÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ Áˆ̷ÁÓËÙÈÎÒÓ Ê·ÈÓÔ̤ӈÓ. √È Gauss Î·È Weber ‹Ù·Ó ÔÈ ÚÒÙÔÈ Ô˘ ηٿÊÂÚ·Ó Ó· ÂÈÎÔÈÓˆÓ‹ÛÔ˘Ó Ì¤Ûˆ ËÏÂÎÙÚÔÌ·ÁÓËÙÈÎÔ‡ ÙËÏÂÁÚ¿ÊÔ˘ ÙÔ 1833, Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·˜ Ì ηÏÒ‰ÈÔ ÙÔ ∞ÛÙÂÚÔÛÎÔÂ›Ô ÙÔ‡ Göttingen Ô˘ ÙÂÏÔ‡Û ˘fi ÙË ‰È‡ı˘ÓÛË ÙÔ‡ Gauss Ì ÙÔ ∂ÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ º˘ÛÈ΋˜ ÙÔ‡ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ÙÔ‡ Göttingen.

xi √ Gauss ›¯Â Û˘Ó¯‹ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ̤¯ÚÈ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘. ∞ÚÎÂÙ¿ ·fi Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο Ô˘ ·Ú‹Á·Á ·ÔÙ¤ÏÂÛ·Ó ÛËÌ›· ÂÎΛÓËÛ˘ ÔÏÏÒÓ ÂÚ¢ÓËÙÈÎÒÓ ÂÚÈÔ¯ÒÓ ÙˆÓ Û‡Á¯ÚÔÓˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. √ Gauss ·Û¯ÔÏ‹ıËΠηٿ Ù· ¤ÙË 1845 – 1851 Ì ÙÔÓ ÂÎÛ˘Á¯ÚÔÓÈÛÌfi ÙÔ‡ Ù·Ì›Ԣ ÙˆÓ ¯ËÚÒÓ ÙÔ‡ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ÙÔ‡ Göttingen. ÿÚȘ ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÓ·Û¯fiÏËÛ‹ ÙÔ˘ ·¤ÎÙËÛ ÂÌÂÈÚ›· ÛÙ· ÔÈÎÔÓÔÌÈο ˙ËÙ‹Ì·Ù· Î·È ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ ÌÂÁ¿ÏË ÂÚÈÔ˘Û›· οÓÔÓÙ·˜ ¤Í˘Ó˜ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂȘ ÙˆÓ ÔÈÎÔÓÔÌÈÒÓ ÙÔ˘ Û ȉȈÙÈΤ˜ ÂÙ·ÈÚ›˜. ªÂ ÂÍ·›ÚÂÛË ÙËÓ ÚÔÛˆÈ΋ ÙÔ˘ Ê‹ÌË Î·È ÙËÓ ÂÚÈÔ˘Û›· Ô˘ ·¤ÎÙËÛÂ, Ë ˙ˆ‹ ÙÔ˘ ΢ÏÔ‡Û ·ÚfiÌÔÈ· Ì ÙË ˙ˆ‹ ÔÏÏÒÓ ¿ÏÏˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ù‹˜ ÂÔ¯‹˜ ÂΛӢ. ∂›¯Â ÙË ÊÚÔÓÙ›‰· ÙÔ‡ ∞ÛÙÂÚÔÛÎÔ›Ԣ ÙÔ‡ Göttingen, ‰ÈÂÎÂÚ·›ˆÓ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ Ô˘ ÙÔ‡ ·Ó¤ıÂÙÂ Ë Î˘‚¤ÚÓËÛË Î·È ÂÈϤÔÓ ¤ÚÂ ӷ ‰È‰¿ÛÎÂÈ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ‡ Göttingen. ∞˘Ù‹Ó ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ˘Ô¯Ú¤ˆÛË ÙËÓ ·¤Ê¢Á fiÛÔ ‹Ù·Ó ‰˘Ó·ÙfiÓ ÌÈ·˜ Î·È ÔÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ·fi ÙÔ˘˜ ÛÔ˘‰·ÛÙ¤˜ ‰ÂÓ ‹Ù·Ó ηϿ ÚÔÂÙÔÈÌ·Ṳ̂ÓÔÈ. ∞ÚÎÂÙÔ› ·fi ÙÔ˘˜ ÈηÓfiÙÂÚÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ ¤ÁÈÓ·Ó ·ÛÙÚÔÓfiÌÔÈ Î·È Î¿ÔÈÔÈ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ›Ø ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›ˆÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÔÈ Augustus Möbius (1790 – 1868), Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) Î·È Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 – 1916).

µÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· [1] Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1991. [2] David M. Burton, The History of Mathematics, an Introduction, McGraw – Hill, 1997. [3] Barry Cipra, A Bicentennial for the Fundamental Theorem of Algebra, Math Horizons, Vol. 7, November 1999, pp. 5 – 7. [4] Victor J. Katz, A History of Mathematics: an introduction, Addison – Wesley, 1998. [5] R. Remmert, Fundamentalsatz der Algebra. In the Volume: Zahlen, edited by H.D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert, Springer – Verlag, 1983, sec. ed., 1988, pp. 79 – 99. [6] Dirk J. Struik, ™˘ÓÔÙÈ΋ πÛÙÔÚ›· ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ªÂÙ¿ÊÚ·ÛË: ÕÓÓ· ºÂÚÂÓÙ›ÓÔ˘ – ¡ÈÎÔÏ·ÎÔÔ‡ÏÔ˘, π. ∑∞Ã∞ƒ√¶√À§√™, 1982. ∂›Û˘ ÛÙËÓ ËÏÂÎÙÚÔÓÈ΋ ‰È‡ı˘ÓÛË http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/ ˘¿Ú¯ÂÈ ÏÔ‡ÛÈÔ ‚ÈÔÁÚ·ÊÈÎfi ˘ÏÈÎfi Û¯ÂÙÈÎfi Ì ÙÔÓ Gauss.

xii ∂˘¯·ÚÈÛٛ˜ £ÂˆÚÒ ˘Ô¯Ú¤ˆÛ‹ ÌÔ˘ Ó· ¢¯·ÚÈÛÙ‹Ûˆ ÙÔÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Î. ºÒÙË §ÈÔ‡ÙÛË ÁÈ· ÙȘ ÚÔÛ¿ıÂȘ Ô˘ η٤‚·Ï ηٿ ÙË ÌÂÙ¿ÊÚ·ÛË ÙÔ‡ ·ÚfiÓÙÔ˜ ‚È‚Ï›Ô˘. ¶ÔÏϤ˜ ¢¯·ÚÈÛٛ˜ ÔÊ›ψ Î·È ÛÙË ÊÈÏfiÏÔÁÔ Î. ∫·ÙÂÚ›Ó· §·ÁÔ‡ ÁÈ· ÙËÓ Ô˘ÛÈ·ÛÙÈ΋ Û˘Ì‚ÔÏ‹ Ù˘ ÛÙËÓ ÙÂÏÈ΋ ‰È·ÌfiÚʈÛË ÙÔ‡ ÎÂÈ̤ÓÔ˘. ∂˘¯·ÚÈÛÙÒ Â›Û˘ ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ‡ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ πˆ·ÓÓ›ÓˆÓ £Âfi‰ˆÚÔ ™. ªfiÏË Î·È ÙÔÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ¢Ú. ¢ËÌ‹ÙÚÈÔ ¡Ù·‹ ÁÈ· ÙȘ ÔχÙÈ̘ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜ Û¯ÂÙÈ˙fiÌÂÓ˜ Ì ٷ ª·ıËÌ·ÙÈο Î·È ÙË °ÏÒÛÛ·. ∆¤ÏÔ˜, ÂÈı˘ÌÒ Ó· ¢¯·ÚÈÛÙ‹Ûˆ ÙÔÓ ÂΉÔÙÈÎfi Ô›ÎÔ Leader Books ÁÈ· ÙË Û˘Ì‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ÛÙÔÓ ÂÌÏÔ˘ÙÈÛÌfi Ù‹˜ ÂÏÏËÓÈ΋˜ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·˜.

¡. ª·ÚÌ·Ú›‰Ë˜ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ πˆ·ÓÓ›ÓˆÓ

∞Ú›ÏÈÔ˜ 2001

™ÙȘ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂȤ˜ Ì·˜: Linda, Carolyn Î·È David Katariina, Anja Î·È Aila

¶ÚfiÏÔÁÔ˜ Ù˘ ·ÁÁÏÈ΋˜ ¤Î‰ÔÛ˘ ∆Ô ·ÚfiÓ ‚È‚Ï›Ô Â›Ó·È ÚÔ˚fiÓ ‰È‰·Ûηϛ·˜ ‰‡Ô Ì·ıËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ‰È‰¿¯ıËÎ·Ó ÛÙȘ ∏ӈ̤Ó˜ ¶ÔÏÈÙ›˜ Î·È ÛÙË °ÂÚÌ·Ó›· Ì ı¤Ì· ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∆· ÂÓ ÏfiÁˆ Ì·ı‹Ì·Ù· ·ÔÛÎÔÔ‡Û·Ó ÛÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÂÓfi˜ Â˘Ú¤Ô˜ Ê¿ÛÌ·ÙÔ˜ ÌË ™ÙÔȯÂȈ‰ÒÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ì Â›ÎÂÓÙÚÔ ¤Ó· Î·È ÌfiÓÔ ı¤Ì·. ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ‹Ù·Ó ÙÔ ϤÔÓ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÁÈ' ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÛÎÔfi. ™ÙËÓ ∞Ó¿Ï˘ÛË, ÛÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ Î·È ÛÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›· ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ù˘¯ı› ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ Ù¯ÓÈΤ˜ ÁÈ· ÙËÓ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜Ø Ù¯ÓÈΤ˜ Ô˘ Ô‰ËÁÔ‡Ó Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ԉ›ÍÂȘ Î·È Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ıˆڋÛÂȘ. ∂›Ó·È ÂÓÙ˘ˆÛÈ·Îfi ÙÔ Â‡ÚÔ˜ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ô˘ ÌÔÚ› ηÓ›˜ Ó· Ì¿ıÂÈ ‹ Ó· ‰È‰¿ÍÂÈ Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ. ∆Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Ì¿ıËÌ· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠÛÙȘ ∏ӈ̤Ó˜ ¶ÔÏÈÙ›˜ ˆ˜ ¤Ó· Ì¿ıËÌ· «ÎÔÚˆÓ›‰·» Ì ·ÎÚÔ·Ù‹ÚÈÔ ÙÂÏÂÈfiÊÔÈÙÔ˘˜ ÚÔÙ˘¯È·ÎÔ‡˜ ÊÔÈÙËÙ¤˜. ∆· ÔÈΛ· ÛÙÔ˘˜ ÊÔÈÙËÙ¤˜ ÂÚȯfiÌÂÓ· ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜ ‹Ù·Ó ÔÏÏ¿, ·ÏÏ¿ Â›Û˘ ÔÏÏ¿ ‹Ù·Ó Î·È Ù· ¿ÁÓˆÛÙ·. ∏ ÂÎÙ¤ÏÂÛË Ù˘ ÂοÛÙÔÙ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Ô‰‹ÁËÛ ÛÙË Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÂÓfi˜ Ê·ÈÓÔÌÂÓÈÎÒ˜ (ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÂÎ ÚÒÙ˘ fi„ˆ˜) ÌÂÁ¿ÏÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÌË Û˘ÁÁÂÓÔ‡˜ ˘ÏÈÎÔ‡. ∂ÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠÌÈ· ÏËıÒÚ· ÎÔÌ„ÒÓ ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ, fiˆ˜ Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ ÙÔ ·‰‡Ó·ÙÔ Ù˘ Â›Ï˘Û˘ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ¤ÌÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ÚÈ˙Èο Î·È Ë ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ e Î·È π. ∞ÈÛı·ÓfiÌ·ÛÙ fiÙÈ ÚÔÙ˘¯È·ÎÔ› ÊÔÈÙËÙ¤˜ Û ¤Ó· Ì¿ıËÌ· «ÎÔÚˆÓ›‰·» ·ÔÙÂÏÔ‡Ó È‰·ÓÈÎfi ·Ó·ÁÓˆÛÙÈÎfi ÎÔÈÓfi ÁÈ· ÙÔ ‚È‚Ï›Ô. ¶ÔÏÏ¿ ÙÌ‹Ì·Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙȘ ∏ӈ̤Ó˜ ¶ÔÏÈÙ›˜ ¤¯Ô˘Ó ˘ÈÔıÂÙ‹ÛÂÈ ÙËÓ È‰¤· ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜. ∂ÈϤÔÓ, ÙÔ ·ÚfiÓ ‚È‚Ï›Ô ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ˆ˜ ¤ÚÁÔ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ÁÈ· ÌÂÙ·Ù˘¯È·ÎÔ‡˜ ÊÔÈÙËÙ¤˜. ¶ÈÛÙ‡ԢÌ fiÙÈ Ù· ∫ÂÊ¿Ï·È· 2, 3, 4, 6 Î·È 7, Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ, Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó, Ì οÔÈ· ÂÈÚfiÛıÂÙ· ÛÙÔȯ›· ·fi Â͈ÙÂÚÈΤ˜ ËÁ¤˜, ˆ˜ ÌÈ· ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋ ÚfiÙ·ÛË ÁÈ· ¤Ó· ÚÔÙ˘¯È·Îfi Ì¿ıËÌ· ÕÏÁ‚ڷ˜ ‹ ˆ˜ Û˘Ìϋڈ̷ ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜. ∆Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ‡Ï˘ ÙˆÓ ∫ÂÊ·Ï·›ˆÓ 1 ¤ˆ˜ 7 ηχÊıËÎÂ, Ì οÔȘ ‚‚·›ˆ˜ ·Ú·Ï›„ÂȘ, ηٿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙˆÓ Ì·ıËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ¤ÁÈÓ·Ó ÛÙȘ ∏ӈ̤Ó˜ ¶ÔÏÈÙ›˜ xv

xvi

¶ÚfiÏÔÁÔ˜ Ù˘ ·ÁÁÏÈ΋˜ ¤Î‰ÔÛ˘

ÂÓÙfi˜ ÂÓfi˜ ÂÍ·Ì‹ÓÔ˘Ø ÙÔ fiÏÔ ‚È‚Ï›Ô ÌÔÚ› Ó· Î·Ï˘Êı› Ì ¤Ó·Ó Û¯ÂÙÈÎÒ˜ ̤ÙÚÈÔ Ú˘ıÌfi ‰È‰·Ûηϛ·˜ Û ‰‡Ô ÂÍ¿ÌËÓ·. ™ÙË °ÂÚÌ·Ó›· ÙÔ ˘ÏÈÎfi ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠ۠ÌÈ· Ù¿ÍË ÚÔÂÙÔÈÌ·Û›·˜ ηıËÁËÙÒÓ ¢Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘ Î·È Î·Ï‡ÊıËΠ۠‰‡Ô ÂÍ¿ÌËÓ· ÂÎÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ÛÎÔfi ÙÔ˘ ÁÈ· ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·ÎÚÔ·Ù‹ÚÈÔ. ªÂ ÙËÓ ÂÔ›ıËÛË fiÙÈ ÔÈ Î·ıËÁËÙ¤˜ Ù˘ ¢Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘ ÔÊ›ÏÔ˘Ó Ó· ¤ÏıÔ˘Ó Û Â·Ê‹ Ì ÔÏÏ¿ Ì·ıËÌ·ÙÈο ı¤Ì·Ù·, ¢ÂÏÈÛÙԇ̠fiÙÈ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ı· ˘ÈÔıÂÙËı› Û ·ÚfiÌÔÈ· Ì·ı‹Ì·Ù· ÚÔÂÙÔÈÌ·Û›·˜ ηıËÁËÙÒÓ ¢Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘ ÛÙȘ ∏ӈ̤Ó˜ ¶ÔÏÈÙ›˜ Î·È ·ÏÏ·¯Ô‡. £¤ÏÔ˘Ì ӷ ¢¯·ÚÈÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙË Nicole Isermann ÁÈ· ÙËÓ ÚÔÛÂÎÙÈ΋ ‰ÈfiÚıˆÛË ÙÔ˘ ¯ÂÈÚÔÁÚ¿ÊÔ˘, ηıÒ˜ Â›Û˘ ÙËÓ Kati Bencsath Î·È ÙÔÓ Bruce Chandler ÁÈ· ÙÔ ‰È¿‚·ÛÌ· ÙˆÓ ·Ú¯ÈÎÒÓ ‰ÔÎÈÌ›ˆÓ Î·È ÙȘ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜. ∆¤ÏÔ˜, ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ¢¯·ÚÈÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ Paul Halmos ÁÈ· ÙȘ Ôχ ¯Ú‹ÛÈ̘ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÙÔ˘. Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger,

Fairfield University, ∏¶∞ Universität Dortmund, °ÂÚÌ·Ó›·

¶ÂÚȯfiÌÂÓ· 1 ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ Î·È πÛÙÔÚÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

1

2 ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

7

3

2.1

™ÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ ™ÒÌ· ÙˆÓ ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ∞ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . .

7

2.2

∆Ô ™ÒÌ· ÙˆÓ MÈÁ·‰ÈÎÒÓ AÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3

°ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ∞Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ªÈÁ·‰ÈÎÒÓ ∞ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . .

16

2.4

¶ÔÏÈ΋ ªÔÚÊ‹ Î·È ∆·˘ÙfiÙËÙ· ÙÔ˘ Euler . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.5

£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ DeMoivre ÁÈ· ¢˘Ó¿ÌÂȘ Î·È ƒ›˙˜ . . . . . . . . . . . .

21

¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

27

3.1

√ ¢·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ™ÒÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . .

27

3.2

¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ· Î·È ¶ÂÚÈÔ¯¤˜ ªÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

£¤ÛÂȘ ªË‰ÂÓÈÛÌÔ‡ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Î·È ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.4

¶Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.5

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ¶ÚÒÙË ∞fi‰ÂÈÍË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

™˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.3

3.6

4 ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ

5

47

4.1

ªÈÁ·‰ÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ· . . . . . . . . . . . . . .

47

4.2

√È ∂ÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.3

™‡ÌÌÔÚʘ ∞ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ· . . . . . . . . . . . . . .

59

ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy xvii

67

xviii 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 6

7

8

¶ÂÚȯfiÌÂÓ·

∂ÈηÌ‡ÏÈ· √ÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy . . . . . . . √ ∆‡Ô˜ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy Î·È Ë Î·Ù¿ Cauchy ∂ÎÙ›ÌËÛË ∆Ô £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville Î·È ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ – ¢Â‡ÙÂÚË ∞fi‰ÂÈÍË . . . . . . . . . . . ∂ÈÚfiÛıÂÙ· ∞ÔÙÂϤÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∆ÂÏÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ Â› Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘ . . . . . . .

™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ 6.1 ∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . 6.2 ∂ÈÛ‡Ó·„Ë £¤ÛÂˆÓ ªË‰ÂÓÈÛÌÔ‡ Û ™ÒÌ·Ù· . . . . . 6.3 ™ÒÌ·Ù· ¢È¿Û·Û˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 ªÂٷٿÍÂȘ Î·È ™˘ÌÌÂÙÚÈο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· . . . . . . . 6.5 ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ∆Ú›ÙË ∞fi‰ÂÈÍË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ – ÀÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ e Î·È π . . . . . . . 6.7 ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ™˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ £ÂˆÚ›· Galois 7.1 ∂ÈÛÎfiËÛË Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois . . . . . . . . 7.2 ∞ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·fi ÙË £ÂˆÚ›· ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ √Ì¿‰ˆÓ . . . . . . . . 7.3 ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 ∞˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› Î·È √Ì¿‰· Galois . . . . . . . 7.5 ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois . 7.6 ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ∆¤Ù·ÚÙË ∞fi‰ÂÈÍË . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois 7.8 ∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ R ∆ÂÏÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ 8.1 ∞ÚÈıÌfi˜ ¶ÂÚȤÏÈ͢ Î·È ¶¤ÌÙË ∞fi‰ÂÈÍË 8.2 ∆ÔÔÏÔÁ›· – ÌÈ· ∂ÈÛÎfiËÛË . . . . . . . . 8.3 ™˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È ªÂÙÚÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ . . . . . . . 8.4 ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ Î·È √ÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . .

67 78 84

. . . . . . . . .

89 91 92

. . . .

. . . .

. . . .

95 95 104 108 110

. . . . . . . . . 117 . . . . . . . . . 121 . . . . . . . . . 127

133 . . . . . . . . . . . . . 133 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

135 143 147 153

. . . . . . . . . . . . . 157 . . . . . . . . . . . . . 159 . . . . . . . . . . . . . 166

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

171 171 174 176 184

xix

¶ÂÚȯfiÌÂÓ·

8.5

¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ∆ÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ÃÒÚˆÓ . . . . . . . . . . . . 186

9 ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË 9.1 ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ŒÓÓÔȘ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ ∞‚ÂÏÈ·Ó¤˜ √Ì¿‰Â˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 √ÌÔÙÔ›· Î·È £ÂÌÂÏÈ҉˘ √Ì¿‰· . . . . . . . . 9.4 £ÂˆÚ›· √ÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È ∆ÚÈÁˆÓÔÔÈ‹ÛÂȘ . . . . 9.5 √ÚÈṲ̂ÓÔÈ ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› √ÌÔÏÔÁÈÎÒÓ √Ì¿‰ˆÓ . 9.6 √ÌÔÏÔÁÈΤ˜ √Ì¿‰Â˜ ™Ê·ÈÚÒÓ Î·È µ·ıÌfi˜ Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ŒÎÙË ∞fi‰ÂÈÍË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8 ™˘ÌÂÚ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ . . . . . . . . .

193 . . . . . . . . . . . . 193 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

195 202 212 221

. . . . . . . . . . . . 226 . . . . . . . . . . . . 227 . . . . . . . . . . . . 230

A ªÈ· ∂Ήԯ‹ Ù˘ ∞Ú¯È΋˜ ∞fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ Gauss

233

B ∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

239

C ∆ÚÂȘ ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ·fi ÙË ™ÎÔÈ¿ Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘ 249 D ¢‡Ô ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ·fi ÙË ™ÎÔÈ¿ Ù˘ ∆ÔÔÏÔÁ›·˜ 255 1 ∞Ó·ÊÔÚ¤˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 2 ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ªÂϤÙË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1

∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ Î·È πÛÙÔÚÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÔÊ›ÏÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∆Ô ‚·ÛÈÎfi ·˘Ùfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, Ë ÚÒÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Gauss, ÂÓÙÔ›˙ÂÙ·È ÛÙË ‰È·ÛÙ·‡ÚˆÛË Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ∞ÚÈıÌÒÓ Î·È Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ∂ÍÈÛÒÛˆÓØ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ‰Â Û ÔÏϤ˜ ¿ÏϘ ÂÚÈÔ¯¤˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. ™ÙÔ ·ÚfiÓ ‚È‚Ï›Ô ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È ÙÚ›· ˙‡ÁË ·ԉ›ÍÂˆÓ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜. ∏ ÚÒÙË ·fi‰ÂÈÍË Î¿ı ˙‡ÁÔ˘˜ Â›Ó·È Û¯ÂÙÈÎÒ˜ ¿ÌÂÛË Î·È ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi fi,ÙÈ ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Ì·ıËÌ·ÙÈο. øÛÙfiÛÔ, ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂÓ ÏfiÁˆ ·ԉ›ÍÂȘ ÚÔÛʤÚÂÙ·È ÁÈ· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·, ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ˆ˜ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË. ∆· ÁÂÓÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ··ÚÙ›˙Ô˘Ó ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË Î¿ı ˙‡ÁÔ˘˜. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ¤Ó· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: P(z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 , fiÔ˘ ÔÈ a0 , a1 , . . . , an Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ô n Â›Ó·È Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ‹ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ P(z) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ z 0 Ô ÔÔ›Ô˜ ÏËÚÔ› ÙË Û¯¤ÛË P(z 0 ) = 0. ∏ ‡·ÚÍË ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ·ԉ›ÍÂˆÓ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙ· ȉȷ›ÙÂÚ· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÁÓˆÚ›ÛÌ·Ù· ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ. ∆· ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ‰ËÏ·‰‹ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ·fi ÙÔ C ÛÙÔ C. Ÿˆ˜ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î·È Ì ٷ Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, Ù· ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Â›Ó·È ·ÓÙÔ‡ 1

2

1. ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ Î·È πÛÙÔÚÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌ· ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÔÚÔÏÔÁ›· Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘, ϤÌ fiÙÈ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ÎÏ¿Û˘ ÙˆÓ ·Î¤Ú·ÈˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. ™Â ·˘Ùfi ÙÔ Ï·›ÛÈÔ, ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Â›Ó·È ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÂÓfi˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville. ∆Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ıÂÒÚËÌ· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ ÌÈ· ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. ™Ù· ∫ÂÊ¿Ï·È· 2 Î·È 3 ı· ÂÎı¤ÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ‚·ÛÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔ˘˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÛÙ· ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ٷ ÂÓ ÏfiÁˆ ÎÂÊ¿Ï·È· ÁÈ· Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, Ë ÔÔ›· ‚·Û›˙ÂÙ·È ÌfiÓÔÓ Û ∞ÓÒÙÂÚÔ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi Î·È ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville. ™Ù· ∫ÂÊ¿Ï·È· 4 Î·È 5 ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·fi ÙË £ÂˆÚ›· ªÈÁ·‰ÈÎÒÓ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ – ÂȉÈÎfiÙÂÚ· ·fi ÙËÓ ·Ú·ÁÒÁÈÛË ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ, ÙȘ ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy – ··Ú·›ÙËÙ· ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Liouville. ∫·ÙfiÈÓ ·˘ÙÒÓ ı· ÚԂԇ̠ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∂ÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·˜ Ù· ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ·fi ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÔÙÈ΋ ÁˆÓ›·, ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·ÏÁ‚ÚÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ·. Àfi ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ·, ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË: «ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi». ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6 ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Î·È, ÂÓ Û˘Ó¯›·, ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ë ÔÔ›· ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Î·È ·fi ÙÔ fiÙÈ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ·Ó¿ÁˆÁÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ f (x) ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F, Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ÛÒÌ·ÙÔ˜ F ∗ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ f (x) Ó· ¤¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ F ∗ . ∏ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı›۷ ·fi‰ÂÈÍË ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ÁÂӛ΢ÛË: Â¿Ó K Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Î·È √ i = −1, ÙfiÙ ÙÔ K (i) Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÁÂÓ›Î¢Û˘ ʤÚÓÂÈ ÛÙÔ ÚÔÛ΋ÓÈÔ ÙË £ÂˆÚ›· Galois. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 7 ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ٷ ‚·ÛÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ √Ì¿‰ˆÓ Î·È Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois Ô˘ ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË Ù˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ·fi‰ÂÈ͢. ∂Ó Î·Ù·ÎÏ›‰È, ¤Ó· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È ÌÈ· ÙÔÔÏÔÁÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË. ∂¿Ó ÂÈÛ˘Ó¿„Ô˘Ì ÙÔ Â¿ÂÈÚÔÓ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi Â›‰Ô, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ Ë ÏÂÁfiÌÂÓË ÛÊ·›Ú· ÙÔ˘ Riemann S 2 . ∂Âȉ‹ P(∞) = ∞ ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P(z), ÙÔ P(z) ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË P : S 2 → S 2 .

1. ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ Î·È πÛÙÔÚÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

3

∆¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÙÔÔÏÔÁÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È Ë ÂÈÎfiÓ· ÌÈ·˜ ηÌ‡Ï˘ γ Ù˘ S 2 ηٿ ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛ‹ Ù˘ ÛÙËÓ S 2 . ∞Ó¿ÏÔÁË Â›Ó·È Î·È Ë Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f (z) = z n Ô˘ ÚÔηÏ› ÌÈ· ÂÚȤÏÈÍË1 ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ z Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 8 ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÚˆÙ›ÛÙˆ˜ ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÂÚȤÏÈÍË Ù˘ f (z) = z n . ∂Ó Û˘Ó¯›·, ı· ÁÂÓÈ·ÛÔ˘Ì ÙË Ì¤ıÔ‰fi Ì·˜ ÛÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÂÚȤÏÈ͢ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ S 2 → S 2 , ·fi fiÔ˘ ı· ÚÔ·„ÂÈ Î·È ¿ÏÈ ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ·. °È· ÙËÓ Ú·ÁÌ¿Ù¢ÛË Ù˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›·˜ ·˘Ù‹˜ ÁÂÓ›Î¢Û˘ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË Ë ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ‚·ÛÈÎÒÓ ıÂÌ¿ÙˆÓ Î·È Ù¯ÓÈÎÒÓ ·fi ÙË ™˘ÓÔÏÔıˆÚËÙÈ΋ Î·È ÙËÓ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›·Ø ÔÈ Î·Ù¿ÏÏËϘ ÂÂÍËÁ‹ÛÂȘ ‰›‰ÔÓÙ·È ÛÙ· ∫ÂÊ¿Ï·È· 8 Î·È 9. ∏ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi‰ÂÈÍË ··ÈÙ› ¢ڇÙÂÚË ·Ó¿Ù˘ÍË Î·È, ÂÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·˘Ù¿Ú΢ ·fi ÏÂ˘Ú¿˜ ıˆڛ·˜. À¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏϤ˜ ·Ú·ÏÏ·Á¤˜ ÙˆÓ ·ԉ›ÍÂˆÓ Ô˘ ı· ÂÎı¤ÛÔ˘ÌÂ. ™Ù· ·Ú·ÚÙ‹Ì·Ù· ÂÌÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ¤ÍÈ ÂÈÚfiÛıÂÙ˜ ·ԉ›ÍÂȘ, ηıÂÌÈ¿ ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Â›Ó·È Î·Ù¿ ÙÈ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ·fi ÂΛӘ ÙÔ˘ ·ÚÈÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘. ™ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· ∞ ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ÌÈ· Û‡Á¯ÚÔÓË ÂΉԯ‹ Ù˘ ÚÒÙ˘ ·˘ıÂÓÙÈ΋˜ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ Gauss (‚Ϥ ηو٤ڈ). ™ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· C ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÚÂȘ ÂÈϤÔÓ ·ԉ›ÍÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙË ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ··ÈÙÔ‡Ó ÂÓ‰Âϯ¤ÛÙÂÚË ·Ó¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Cauchy ÂÓ Û˘ÁÎÚ›ÛÂÈ Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 5. ∏ ·Ó¿Ï˘ÛË ·˘Ù‹ ı· ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛÙ› ÛÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· µ. ∆¤ÏÔ˜, ÛÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· D ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÂÈÚfiÛıÂÙ˜ ·ԉ›ÍÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ ‚·Û›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ÂÍ·ÚÙÒÓÙ·È Â›Û˘ ·fi ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÚȤÏÈ͢, ·ÏÏ¿ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ·fi ÂΛӘ ÙˆÓ ∫ÂÊ·Ï·›ˆÓ 8 Î·È 9. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ ¤¯ÂÈ ¤ÏıÂÈ Û Â·Ê‹ Ì ÙÔÓ ∞ÓÒÙÂÚÔ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi, ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green, ¤¯ÂÈ ÌÂÏÂÙ‹ÛÂÈ ∞ÊËÚË̤ÓË ÕÏÁ‚ڷ, ÂȉÈÎfiÙÂÚ· ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Ù˘ ÔÌ¿‰·˜, ÙÔ˘ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, ηıÒ˜ Î·È °Ú·ÌÌÈ΋ ÕÏÁ‚ڷ, ÂȉÈÎfiÙÂÚ· ÙÔÓ ·ÊËÚË̤ÓÔ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÁÂÓÈÎÔ‡ ÛÒÌ·ÙÔ˜. Œ¯Ô˘Ì ÚÔÛ·ı‹ÛÂÈ Ó· οÓÔ˘Ì ÙÔ ·ÚfiÓ ‚È‚Ï›Ô Î·Ù¿ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ·˘ÙÔ‰‡Ó·ÌÔ. øÛÙfiÛÔ, ‚·ÛÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜ Ì·˜ Â›Ó·È Ë Î·Ù·ÓfiËÛË ÙˆÓ ·ԉ›ÍÂˆÓ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜. ø˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÚÔ¯ˆÚÒÓÙ·˜ ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ Î·Ù‡ı˘ÓÛË, ¤¯Ô˘Ì ·ԉ›ÍÂÈ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ·ÔÚÚ¤Ô˘Ó ¿ÌÂÛ· ·fi ÙË ıˆڛ·, ÂÓÒ ¤¯Ô˘Ì ·Ú·Ï›„ÂÈ ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙȘ ‰˘ÛÎÔÏfiÙÂÚ˜ ·ԉ›ÍÂȘ (fiˆ˜ Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois) οÓÔÓÙ·˜ ¯Ú‹ÛË ·Ó·ÊÔÚÒÓ ·fi ÙË ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·. 1 ™.Ù.ª.

ηٿ n – ÊÔÚ¤˜

4

1. ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ Î·È πÛÙÔÚÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

∏ ÚÒÙË ·Ó·ÊÔÚ¿ ÛÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ÛÙË ÌÔÚÊ‹ Ô˘ Ì·˜ ÏËÚÔÊÔÚ› fiÙÈ ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈ΋ Â͛ۈÛË ‚·ıÌÔ‡ n ¤¯ÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ n ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ¤ÁÈÓ ÙÔ 1608 ·fi ÙÔÓ Peter Roth ·fi ÙË ¡˘ÚÂÌ‚¤ÚÁË. øÛÙfiÛÔ, Ë ÂÈηۛ· ÂÚ› Ù˘ ÔÚıfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘ ·Ô‰›‰ÂÙ·È ÛÙÔÓ Girard, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È·Ù‡ˆÛ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ 1629. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ·˘Ùfi ‰È·Ù˘ÒıËΠ̠ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Û·Ê‹ÓÂÈ· ÙÔ 1637 ·fi ÙÔÓ Descartes, Ô ÔÔ›Ô˜ ¤Î·Ó ÙÔÓ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi ÌÂٷ͇ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎÒÓ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∏ ÚÒÙË ‰ËÌÔÛ›Â˘ÛË Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ¤ÁÈÓ ·fi ÙÔÓ D'Alembert ÙÔ 1746. ∂ÓÙÔ‡ÙÔȘ, ˘‹ÚÍ·Ó ÎÂÓ¿ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ D'Alembert Î·È Ë ÚÒÙË Ï‹Úˆ˜ ·Ô‰ÂÎÙ‹ ·fi‰ÂÈÍË ‰fiıËΠ·fi ÙÔÓ Gauss ÙÔ 1797 ÛÙË ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹ Ô˘ ‰ËÌÔÛȇıËΠÙÔ 1799. ∂›Ó·È ÂӉȷʤÚÔÓ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÔÈ Û‡Á¯ÚÔÓÔÈ ÌÂÏÂÙËÙ¤˜, ÂÚ¢ÓÒÓÙ·˜ ÙËÓ ·˘ıÂÓÙÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ Gauss, Ù›ÓÔ˘Ó Ó· Û˘ÌʈӋÛÔ˘Ó ÛÙÔ fiÙÈ Ù· ÎÂÓ¿ Ù˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ·fi‰ÂÈ͢ Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ ÙfiÛ·, fiÛ· Î·È Ù· ÎÂÓ¿ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ D'Alembert. O Gauss, ˆÛÙfiÛÔ, ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ÙÔ 1816 ÙÚÂȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ԉ›ÍÂȘ ¯ˆÚ›˜ Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÂÓ¿Ø Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÙÔ˘ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ1849 ‹Ù·Ó ηÙ' Ô˘Û›·Ó ÌÈ· ·Ú·ÏÏ·Á‹ Ù˘ ÚÒÙ˘. ™ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ·ÚfiÓÙÔ˜ ‚È‚Ï›Ô˘ ‰ÂÓ ı· ÚÔÛÂÁÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·˘ıÂÓÙÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ Gauss, Ë ÔÔ›· Û ÁÂÓÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ ϤÂÈ Ù· ÂÍ‹˜: ÂÂȉ‹ ÙÔ P(z) Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÁÈ· οı z ∈ C Î·È ÂÂȉ‹ z = x + i y Ì x, y ∈ R, ¤¯Ô˘Ì P(z) = u(x, y) + iv(x, y). √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ u(x, y) = 0 Î·È v(x, y) = 0 ·Ó··ÚÈÛÙÔ‡Ó Î·Ì‡Ï˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ R2 . √ Gauss ¤‰ÂÈÍÂ, ηÙfiÈÓ ÚÔÛÂÎÙÈ΋˜ ‰ÈÂÚ‡ÓËÛ˘ ÙˆÓ Èı·ÓÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ u(x, y) Î·È v(x, y), fiÙÈ ÁÈ· ¤Ó· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P(z) ÔÈ Î·Ì‡Ï˜ u(x, y) = 0 Î·È v(x, y) = 0 Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ χÛË (x0 , y0 ). ∆fiÙÂ Ô ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ z 0 = x0 + i y0 Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ P(z). ™ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· ∞ ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÂΉԯ‹ Ù˘ ·˘ıÂÓÙÈ΋˜ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ Gauss. ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ·ÔÙÂÏ› ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ·Ó·fiÛ·ÛÙÔ ÙÌ‹Ì· ÌÈ·˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˘ ·Ó¿Ù˘Í˘ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ∂ÍÈÛÒÛˆÓ. ∏ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Â›Ï˘Û˘ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Î·È Î·Ù' Ô˘Û›·Ó Ô Ù‡Ô˜ Â›Ï˘Û˘ Ù¤ÙÔÈˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙfi˜ ÛÙÔ˘˜ µ·‚˘ÏÒÓÈÔ˘˜ ÂÚ› Ù· 3600 ¯ÚfiÓÈ· ÓˆÚ›ÙÂÚ·. ªÂ ÙËÓ ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ÙˆÓ Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Ô Ù‡Ô˜ Â›Ï˘Û˘ ÌÈ·˜ ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ Ê·Ó¤ÚˆÛ fiÙÈ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C ¤¯ÂÈ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ C. ∆ÔÓ ‰¤Î·ÙÔ ¤ÎÙÔ ·ÈÒÓ· Ô πÙ·Ïfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Niccolo Tartaglia ·Ó·Î¿Ï˘„ ¤Ó·Ó ·ÚfiÌÔÈÔ Ù‡Ô ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË Î˘‚ÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ÚÈ˙Èο. øÛÙfiÛÔ, Ô Î˘‚ÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ Â›Ó·È ÙÒÚ· ÂÛÊ·Ï̤ӈ˜ ÁÓˆÛÙfi˜ ˆ˜ Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Cardano, ÚÔ˜ ÙÈÌ‹Ó ÙÔ˘ Cardano, ηıÒ˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È Ô ÚÒÙÔ˜ Ô˘ ÙÔÓ ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ÙÔ 1545. ªÈ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂȉÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘

1. ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ Î·È πÛÙÔÚÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

5

Ù‡Ô˘ ›¯Â ·Ó·Î·Ï˘Êı› ·fi ÙÔÓ Scipione del Ferro. √ Ferrari, Ì·ıËÙ‹˜ ÙÔ˘ Cardano, ÂÂͤÙÂÈÓ ÙÔÓ Ù‡Ô ÛÙË Ï‡ÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ÙÂÙ¿ÚÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ÚÈ˙Èο. √ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ Ù‡ˆÓ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙÂÙ¿ÚÙÔ˘ ‹ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘Ó ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∆ÔÓ ‰¤Î·ÙÔ ¤‚‰ÔÌÔ ·ÈÒÓ· η٤ÛÙË Û·Ê¤˜ ·fi ÙȘ ÛÙÔȯÂÈÒ‰ÂȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ fiÙÈ fiÏ· Ù· Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞˘Ù¿ Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÛÙÔ Û‡ÓÔÏfi ÙÔ˘˜ ÚÔÛ¤‰ˆÛ·Ó ·ÍÈÔÈÛÙ›· ÛÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó·Ê¤ÚıËΠÙÔ 1608 ·fi ÙÔÓ Roth Î·È ‰È·Ù˘ÒıËΠˆ˜ ÂÈηۛ· ÙÔ 1629 ·fi ÙÔÓ Girard. Afi ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ Cardano ̤¯ÚÈ ÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ‰¤Î·ÙÔ˘ ¤Ó·ÙÔ˘ ·ÈÒÓ· ¤ÁÈÓ·Ó ÚÔÛ¿ıÂȘ ÁÈ· ÙËÓ Â‡ÚÂÛË Ù‡ˆÓ Â›Ï˘Û˘ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ¤ÌÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡. ∆Ô 1805 Ô Ruffini ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ ¤ÌÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ‰ÂÓ ÂÈχÔÓÙ·È, ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÙÔ˘˜ ÌÔÚÊ‹, Ì ÚÈ˙Èο. ∂Ô̤ӈ˜, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ Ù‡Ô˜ Â›Ï˘Û˘ ÁÈ· ÙÔÓ ‚·ıÌfi 5. √ Abel ÙÔ 1825 – 1826 Î·È Ô Galois ÙÔ 1831 ÂÂͤÙÂÈÓ·Ó ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔ˘ Ruffini Î·È ·¤‰ÂÈÍ·Ó ÙÔ ·‰‡Ó·ÙÔ Ù˘ Â›Ï˘Û˘ ÁÂÓÈ΋˜ ÌÔÚÊ‹˜ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ÚÈ˙Èο fiÙ·Ó Ô ‚·ıÌfi˜ Â›Ó·È ¤ÓÙ ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜. ∫·Ù·Ê¤ÚÓÔÓÙ·˜ οÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ, Ô Galois ·Ó¤Ù˘Í ÌÈ· ÁÂÓÈ΋ £ÂˆÚ›· ∂ÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ™ˆÌ¿ÙˆÓ Î·È ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛ ÙË Û¯¤ÛË Ù˘ Ì ÙË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓØ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙË £ÂˆÚ›· Galois (ÙËÓ ÔÔ›· ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 7). ¶ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ÁÈ· ÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ ¿ÚıÚÔ ÙÔ˘ R. Remmert [Re].

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 2

ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ› 2.1

™ÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ ™ÒÌ· ÙˆÓ ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ∞ÚÈıÌÒÓ

ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ¤Ó· ÛÒÌ· F Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ‰‡Ô ‰ÈÌÂÏ›˜ Ú¿ÍÂȘ, ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Ô˘ ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì Ì + Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÙÔÓ ÔÔ›Ô Â›Ù ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì Ì · ›Ù ‰ËÏÒÓÔ˘Ì ̤ۈ ·Ï‹˜ Û˘Ì·Ú¿ıÂÛ˘ Û¯ÂÙÈÎÒÓ Û˘Ì‚fiψÓ, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈηÓÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù· ·ÎfiÏÔ˘ı· ·ÍÈÒÌ·Ù·: (1) ∏ ÚfiÛıÂÛË Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋: a + b = b + a ÁÈ· οı ˙‡Áo˜ a, b ÙÔ˘ F. (2) ∏ ÚfiÛıÂÛË Â›Ó·È ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋: a + (b + c) = (a + b) + c ÁÈ· a, b, c ∈ F. (3) À¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÚÔÛıÂÙÈÎfi ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔȯ›Ô, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì 0, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ a + 0 = a ÁÈ· οı a ∈ F. (4) °È· οı a ∈ F ˘¿Ú¯ÂÈ ÚÔÛıÂÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì −a, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ a + (−a) = 0. (5) √ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Â›Ó·È ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈÎfi˜: a(bc) = (ab)c ÁÈ· a, b, c ∈ F. (6) √ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Â›Ó·È ÂÈÌÂÚÈÛÙÈÎfi˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË: a(b + c) = ab + ac ÁÈ· a, b, c ∈ F. (7) √ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜: ab = ba ÁÈ· οı ˙‡Áo˜ a, b ÙÔ˘ F. (8) À¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔȯ›Ô, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì 1 (Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ 0), Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ a1 = a ÁÈ· οı a ÙÔ˘ F. (9) °È· οı a ∈ F Ì a = 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì a −1 , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ aa −1 = 1. 7

8

2. ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ G ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ̛· Ú¿ÍË, +, Ë ÔÔ›· ÈηÓÔÔÈ› Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· (1) ¤ˆ˜ (4) ηÏÂ›Ù·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·. ∆· ·ÍÈÒÌ·Ù· (1) ¤ˆ˜ (6) ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó·Ó ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ, ÂÓÒ Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· (1) ¤ˆ˜ (8) ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó·Ó ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔȯ›Ô. ∂Ô̤ӈ˜, ÂÓÙfi˜ ÌÈ·˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˘ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ıÂÒÚËÛ˘, ¤Ó· ÛÒÌ· ÌÔÚ› Ó· ÔÚÈÛÙ› ˆ˜ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô Î¿ı ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ¤¯ÂÈ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. ∆Ô ÛÒÌ· ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Ë ϤÔÓ ‚·ÛÈ΋ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ‰ÔÌ‹ ÛÙËÓ ÔÔ›· Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÂÎÙÂÏÂÛÙÔ‡Ó fiϘ ÔÈ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ: ÚfiÛıÂÛË, ·Ê·›ÚÂÛË (ÚfiÛıÂÛË ÙˆÓ ÚÔÛıÂÙÈÎÒÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔʈÓ), ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È ‰È·›ÚÂÛË (ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎÒÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔʈÓ). ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÛˆÌ¿ÙˆÓ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Q, ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ modulo ¤Ó·Ó ÚÒÙÔ ·ÚÈıÌfi p, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÔÓÙ·È Ì Z p , Î·È ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ R. ŒÓ· ¿ÏÏÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÛÒÌ·ÙÔ˜, ÙÔ ÔÔ›Ô ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ı· ‰Ô‡Ì ·ÚÁfiÙÂÚ·, Â›Ó·È ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ: ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.1.1. £ÂˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ: √ √ Q( 2) = {a + b 2; a, b ∈ Q}. √ ™ÙÔ Q( 2) ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ √ √ ¯ÂÈÚÈÛÌÒÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜: Â¿Ó x = a + b 2 Î·È y = c + d 2 , ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: √ x + y = (a + c) + (b + d) 2 Î·È √ x y = (ac + 2bd) + (bc + ad) 2. √ °È· Ó· Â·ÏËı‡ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Q( 2) Â›Ó·È ÛÒÌ· Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ (1) ¤ˆ˜ (9). ∞Ê‹ÓÔ˘Ì ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ‰È·‰Èηۛ·˜ ˆ˜ ¿ÛÎËÛË Î·È ‰Â›¯ÓÔ˘Ì ÌfiÓÔÓ fiÙÈ Ù· ÌË ÌˉÂÓÈο ÛÙÔȯ›· ¤¯Ô˘Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈο ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. √ ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ÙÔ Q ÌÔÚ› Ó· Ù·˘ÙÈÛÙ› Ì ÙÔ {a+0 2; a ∈ Q} ηÈ, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, √ Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Q( 2). ∞fi ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ Ù· 0 ∈ Q Î·È 1 ∈ Q Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ √ ÙÔ ÚÔÛıÂÙÈÎfi Î·È ÙÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÛÙÔ Q( 2). ∆ÒÚ· √ ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ x = a + b 2 Ì x = 0. ∆· a Î·È b Â›Ó·È ·ÌÊfiÙÂÚ· ÌË ÌˉÂÓÈο √ √ ηÈ, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ 2 Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜, a 2 − 2b2 = 0. ŒÛÙˆ x = a − b 2. ∫·ÙfiÈÓ ÂÓfi˜

2.1. ™ÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ ™ÒÌ· ÙˆÓ ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ∞ÚÈıÌÒÓ

9

¿ÌÂÛÔ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ: x x = a 2 − 2b2 . ŒÛÙˆ √ a b 2 x y= 2 = 2 − 2 . a − 2b2 a − 2b2 a − 2b2 ∏ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y Â›Ó·È Î·ÏÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓË, ÂÊfiÛÔÓ a 2 − 2b2 = 0. ªÂÙ¿ ÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË Ú¿ÍÂˆÓ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ x y = 1 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ y Â›Ó·È ÙÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ x. √ ∞˘Ùfi ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÌÔÚ› Ó· ÁÂÓÈ΢ı› ÛÙÔ Q( d), fiÔ˘ ÙÔ d Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. 2 ∂¿Ó ÙÔ F1 Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F Î·È Â¿Ó Â›Ó·È Î·È ·Ê' ·˘ÙÔ‡ ÛÒÌ· Ì ÙȘ ›‰È˜ Ú¿ÍÂȘ Î·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ì ÙÔ F, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ F1 Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ ÙÔ F Â›Ó·È ÛÒÌ· Â¤ÎÙ·Û˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F1 . ø˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· √ ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Q Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ Q( 2) fiˆ˜ Â›Û˘ Î·È ÙÔ˘ R. ∂¿Ó ÙÔ F1 Â›Ó·È ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F, ÙfiÙ ·˘ÙÔÌ¿Ùˆ˜ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋, ÙË ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ Î·È ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·. ∂Ô̤ӈ˜, ı· Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ F, Â¿Ó Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi, ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· ÛÙÔȯ›· 0 Î·È 1, fiˆ˜ Â›Û˘ ÙÔ ÚÔÛıÂÙÈÎfi Î·È ÙÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ ÙÔ˘. ∆Ô ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤Ó ÌÔÚ› Ó· ÂÎÊÚ·ÛÙ› ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›· ϤÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÙÔ F1 Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË, ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË, ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Î·È ÙË ‰È·›ÚÂÛË, ÔfiÙ ·˘ÙÔÌ¿Ùˆ˜ ı· ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· 0 Î·È 1. £ÂÒÚËÌ· 2.1.1. ∆Ô F1 ⊆ F Â›Ó·È ˘fiۈ̷, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ÙÔ F1 Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ = ∅ ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË, ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË, ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Î·È ÙË ‰È·›ÚÂÛË. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.1.2. √ ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ Q( 2) Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ R Î·È Û˘ÓÂÒ˜ ÛÒÌ·. √ ™ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2.1.1 ‰Â›Í·Ì ·¢ı›·˜ fiÙÈ ÙÔ Q( 2) Â›Ó·È ÛÒÌ·. ™ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 2.1.1 ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ Ú¿ÁÌ·ÙÔ˜. √ √ √ ∆ÒÚ·, Q ⊂ Q( 2) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Q( 2) = ∅. ŒÙÛÈ, ÁÈ· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Q( 2) Â›Ó·È ÛÒÌ· ·ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚÂȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜

10

2. ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

√ √ Ú¿ÍÂȘ. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ x = a + b 2 Î·È y = c + d 2 Ì y = 0 Î·È a, b, c, d ∈ Q. ∆fiÙÂ: √ √ x ± y =(a ± c) + (b ± d) 2 ∈ Q( 2), ÂÊfiÛÔÓ a ± c ∈ Q, b ± d ∈ Q, √ √ x y =(ac + 2bd) + (bc + ad) 2 ∈ Q( 2), ÂÊfiÛÔÓ ac + 2bd ∈ Q, bc + ad ∈ Q, √ √ 1 d 2 c − 2 ∈ Q( 2), = 2 2 2 y c − 2d c − 2d c d ÂÊfiÛÔÓ 2 ∈ Q, 2 ∈ Q. c − 2d 2 c − 2d 2 √ √ ∞fi Ù· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÙÔ x/y ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Q( 2)Ø ¿Ú·, ÙÔ Q( 2) Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi Î·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ. ∂Ô̤ӈ˜, Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ R. 2 ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ V ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÌÈ· ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· V Î·È ÌÈ· Ú¿ÍË ‚·ı̈ÙÔ‡ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÙÔ˘ F Ì ÙÔ V Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› Ù· ·ÎfiÏÔ˘ı·: (1) (2) (3) (4) (5)

f v ∈ V, Â¿Ó f ∈ F Î·È v ∈ V, f (u + v) = f u + f v ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ f ∈ F Î·È u, v ∈ V, ( f + g)v = f v + gv ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ f, g ∈ F Î·È v ∈ V, ( f g)v = f (gv) ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ f, g ∈ F Î·È v ∈ V, 1v = v ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ v ∈ V.

∂¿Ó ÙÔ F1 Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ F1 Ì ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ F. ∂Âȉ‹ ÙÔ F Â›Ó·È ÌÈ· ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË, ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F1 . ∂Ô̤ӈ˜, ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛÒÌ· Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ˘ÔÛÒÌ·Ùfi˜ ÙÔ˘. ∂¿Ó ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· Â¤ÎÙ·Û˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F1 , ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ˘¤Úۈ̷ ÙÔ˘ F1 , ÙfiÙÂ Ë ‰È¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ F, ˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F1 , ηÏÂ›Ù·È ‚·ıÌfi˜ Ù˘ Â¤ÎÙ·Û˘. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.1.3. √ √ (1) ∆Ô Q( 2) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 2 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {1, 2} ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ‚¿ÛË. (2) ∆Ô R ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ¿ÂÈÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. 2

2.1. ™ÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ ™ÒÌ· ÙˆÓ ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ∞ÚÈıÌÒÓ

11

∆Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Â‡ÎÔÏ· ÏfiÁˆ Ù˘ ‡·Ú͢ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ŒÓ· ÛÙÔÈ¯Â›Ô r ∈ R Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi (˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q), Â¿Ó ·ÔÙÂÏ› ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ οÔÈÔ˘ ÌË ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ·fi ÙÔ Q. ¢ËÏ·‰‹ P(r ) = 0, fiÔ˘: 0 = P(x) = a0 + a1 x + · · · + an x n Ì ai ∈ Q. ∫¿ı q ∈ Q Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi, ‰ÈfiÙÈ, Â¿Ó P(x) = x − q, ÙfiÙ P(q) = 0. ŸÌˆ˜ Î·È √ ÔÏÏÔ› ¿ÚÚËÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È Â›Û˘ ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ›, fiˆ˜ Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ Ô 2, √ ÂÊfiÛÔÓ Ë Â͛ۈÛË x 2 − 2 = 0 ¤¯ÂÈ ÙÔÓ 2 ˆ˜ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ŒÓ· ÛÙÔÈ¯Â›Ô r ∈ R ϤÁÂÙ·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi fiÙ·Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi. ∂Ó Á¤ÓÂÈ, Â›Ó·È Ôχ ‰‡ÛÎÔÏÔ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiØ ˆÛÙfiÛÔ, ˘¿Ú¯ÂÈ ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Ï‹ıÔ˜ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ). ™·Ê‹ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÔÈ ÁÓÒÚÈÌÔ› Ì·˜ ·ÚÈıÌÔ› e Î·È π , ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ‰›‰ÂÙ·È ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ {1, e, e2 , . . . , en } Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎÒ˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙÂ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi n, ÂÂȉ‹ Ô e Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜Ø Û ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË, ı· ˘‹Ú¯Â ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ô˘ ı· ÌˉÂÓÈ˙fiÙ·Ó ·ÔÙÈÌÒÌÂÓÔ ÛÙÔÓ e. ∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ¿ÂÈÚÔ Ï‹ıÔ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÒ˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ R ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ QØ Î¿ÙÈ Ô˘ ı· ‹Ù·Ó ·‰‡Ó·ÙÔÓ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ, Â¿Ó ÙÔ R ›¯Â ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ‰È¿ÛÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. £· ÂÈÛÙÚ¤„Ô˘Ì Û ·˘Ù¤˜ ÙȘ ȉ¤Â˜ ·ÚÁfiÙÂÚ·. ∂› ÙÔ˘ ·ÚfiÓÙÔ˜ ÔÊ›ÏÔ˘Ì ӷ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì ÚÔÛÂÎÙÈÎfiÙÂÚ· ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÛÒÌ· R, ÙÔ ÔÔ›Ô ÈηÓÔÔÈ› ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂȉÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜, ··Ú·›ÙËÙ˜ ÁÈ· ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∂Ó ÚÒÙÔȘ ÙÔ R Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ·. ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ fiÚÔ ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ Û‡ÓÔÏÔ ıÂÙÈÎÒÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì R+ , Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Î·È Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÙÔ R Ó· ÈηÓÔÔÈ› ÙÔÓ ÓfiÌÔ Ù˘ ÙÚȯÔÙÔÌ›·˜: Â¿Ó ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô r ∈ R, ÙfiÙ ‹ r ∈ R+ ‹ r = 0 ‹ −r ∈ R+ , fiÔ˘ ÌfiÓÔÓ Ì›· ·fi ÙȘ ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÈÛ¯‡ÂÈ. ∞˘Ùfi Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÌÈ· ‰È¿Ù·ÍË ÛÙÔ R ı¤ÙÔÓÙ·˜ x > y, fiÙ·Ó x − y ∈ R+ . ∞fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÔ R ·ÔÙÂÏ› ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÂÓfi˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÌË ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi: Â¿Ó r ∈ R+ , ÙfiÙ r 2 ∈ R+ , ÂÓÒ, Â¿Ó −r ∈ R+ , ÙfiÙ r 2 = (−r )2 ∈ R+ . ™˘ÓÂÒ˜, ÌfiÓÔÓ ıÂÙÈο ÛÙÔȯ›· ÌÔÚÔ‡Ó √ Ó· ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈΤ˜ Ú›˙˜. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, Ë −1 ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ R. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.1.4. ∆Ô Q, fiˆ˜ Î·È ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ¿ÏÏÔ ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ R, Â›Ó·È Â›Û˘ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ·. øÛÙfiÛÔ, ÔÈ ·Î¤Ú·ÈÔÈ modulo ¤Ó·Ó ÚÒÙÔ ·ÚÈıÌfi, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Z p ,

12

2. ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

‰ÂÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ·. ∏ ‡·ÚÍË ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ ıÂÙÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Î·È ÈηÓÔÔÈ› ÙÔÓ ÓfiÌÔ Ù˘ ÙÚȯÔÙÔÌ›·˜, ·Ó·Áο˙ÂÈ ÙÔ ÛÒÌ· Ó· ‰È·ı¤ÙÂÈ ¿ÂÈÚÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÛÙÔȯ›·. ∂Âȉ‹ ÏÔÈfiÓ ÙÔ Z p Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ÛÒÌ·, ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Î·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ. 2 ∆Ô R Â›Ó·È ¤Ó· ·Ú¯ÈÌ‹‰ÂÈ· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ·, ‰ËÏ·‰‹ ‰Ôı¤ÓÙˆÓ ‰‡Ô x, y ∈ R, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ n Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ nx > y. To Q Â›Ó·È Â›Û˘ ·Ú¯ÈÌ‹‰ÂÈ· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ. ∆¤ÏÔ˜, ÙÔ R Â›Ó·È Ï‹Ú˜, ÂÊfiÛÔÓ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜. π‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ∂Ï·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ºÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜ ∂¿Ó ÙÔ S ⊂ R Â›Ó·È ¤Ó· ‰È¿ÊÔÚÔ ÙÔ˘ ÎÂÓÔ‡ Î·È ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ, ÙfiÙ ·˘Ùfi ‰È·ı¤ÙÂÈ Î¿ÔÈÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· s0 , ‹ÙÔÈ s ≤ s0 ÁÈ· fiÏ· Ù· s ∈ S ηÈ, Â¿Ó s ≤ s1 ÁÈ· fiÏ· Ù· s ∈ S, ÙfiÙ s0 ≤ s1 . ∏ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË Ì ‰‡Ô ¿ÏϘ ȉÈfiÙËÙ˜, ÔÈ Ôԛ˜ ÌÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ˆ˜ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ÏËÚfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ R. π‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ ∞ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ÙÔ˘ Cauchy E¿Ó {xn } Â›Ó·È ÌÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÔ˘ Cauchy ÛÙÔ R, ÙfiÙÂ Ë {xn } Ú¤ÂÈ Ó· Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÔ˘ Cauchy Â›Ó·È ÌÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›· {xn } Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ÁÈ· οı  > 0 Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ N , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ |xn − xm | <  ÁÈ· fiÏ· Ù· m, n > N . π‰ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ∂ÁÎÈ‚ˆÙÈÛÌ¤ÓˆÓ ¢È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ ∂¿Ó {In } Â›Ó·È ÌÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÂÁÎÈ‚ˆÙÈÛÌ¤ÓˆÓ (‹ÙÔÈ In+1 ⊂ In ) ÎÏÂÈÛÙÒÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ù›ÓÔ˘Ó ÛÙÔ Ìˉ¤Ó, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô x0 ÎÔÈÓfi ÁÈ· fiÏ· Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù·. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ Q ‰ÂÓ Â›Ó·È Ï‹Ú˜. ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ·˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ S = {q ∈ Q; q 2 < 2}. ∆Ô S Â›Ó·È ÂÎ ÙˆÓ ¿Óˆ ÊÚ·Á̤ÓÔ ·fi ÙÔ 3, ÙÔ ÔÔ›Ô ‚‚·›ˆ˜ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Q. øÛÙfiÛÔ, ÙÔ S ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÛÙÔ Q, ‰ÈfiÙÈ, Â¿Ó Â›¯Â, ı· ¤ÚÂ ӷ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· ÙÔ˘ R, ‰ËÏ·‰‹ Ì ÙÔÓ √ ¿ÚÚËÙÔ ·ÚÈıÌfi 2.

2.2. ∆Ô ™ÒÌ· ÙˆÓ ªÈÁ·‰ÈÎÒÓ ∞ÚÈıÌÒÓ

13

∏ ÏËÚfiÙËÙ· ÙÔ˘ R Ì·˜ ·Ú¤¯ÂÈ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜ ÁÈ· Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f : R → R. £ÂÒÚËÌ· 2.1.2 (£ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜). ŒÛÙˆ f : [a, b] → R ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ∂¿Ó f (a) < k < f (b) ‹ f (a) > k > f (b), ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ c ∈ (a, b) Ì f (c) = k. (ªÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÔÔȈӉ‹ÔÙ ÙÈÌÒÓ Ù˘.) ™ËÌ·ÓÙÈÎfi ÁÈ· ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Â›Ó·È ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ fiÚÈÛÌ·: ¶fiÚÈÛÌ· 2.1.1. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f : [a, b] → R Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Î·È fiÙÈ f (a) f (b) < 0. ∆fiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ÙÈÌ‹ c Ì a < c < b Î·È f (c) = 0. ∆Ô ÛÎÂÙÈÎfi ÙÔ˘ ÔÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ fiÙÈ Ë Û˘Óı‹ÎË f (a) f (b) < 0 ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ ˆ˜ Ù· f (a) Î·È f (b) ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÚfiÛËÌ·. Èڛ˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (a) < 0 Î·È f (b) > 0. ∆fiÙ ÙÔ 0 ı· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ f (a) Î·È f (b) ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜. ∞˘Ù¤˜ ÔÈ Í¯ˆÚÈÛÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ R Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ R Î·È S Â›Ó·È ‰·ÎÙ‡ÏÈÔÈ. ªÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : R → S Â›Ó·È ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ fiÙ·Ó: (1) f (r1 + r2 ) = f (r1 ) + f (r2 ) ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ r1 , r2 ∈ R, (2) f (r1r2 ) = f (r1 ) f (r2 ) ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ r1 , r2 ∈ R. ∂¿Ó Ë f ›ӷÈ, ÂÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó· Î·È Â›), ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ Î·È ÔÈ R Î·È S Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. πÛfiÌÔÚʘ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ‰Ô̤˜ Â›Ó·È Î·Ù' Ô˘Û›·Ó ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ Ù·˘ÙfiÛË̘. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘Ì ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·: £ÂÒÚËÌ· 2.1.3. ŒÛÙˆ F ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· Ô˘ Â›Ó·È Ï‹Ú˜. ∆fiÙ ÙÔ F Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊÔ ÙÔ˘ R.

2.2

∆Ô ™ÒÌ· ÙˆÓ MÈÁ·‰ÈÎÒÓ AÚÈıÌÒÓ

√ √ ™ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ R ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ë −1. ∂ÈÙ‡ˆ˜ ÔÚ›˙Ô˘Ì i = −1, ‰ËÏ·‰‹ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ i ˆ˜ ¤Ó· Ó¤Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ i 2 = −1. °È· ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡˜

14

2. ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

ÏfiÁÔ˘˜ ÙÔ i ÔÓÔÌ¿ÛÙËΠʷÓÙ·ÛÙÈ΋ ÌÔÓ¿‰· ·ÏÏ¿, fiˆ˜ ı· ‰Ô‡Ì ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ·, ¤¯ÂÈ ÌÈ· Ôχ «Ú·ÁÌ·ÙÈ΋» ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÂÚÌËÓ›·. ∂Ô̤ӈ˜, ¤Ó·˜ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÈ· ¤ÎÊÚ·ÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ z = x + i y Ì x, y ∈ R. ∂¿Ó x = 0 Î·È y = 0, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ô z Ó· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ i y, ÙfiÙÂ Ô z ηÏÂ›Ù·È (ηı·ÚÒ˜) Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì C, Â›Ó·È Î·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó ÙÔ: C = {x + i y; x, y ∈ R}. ∂¿Ó Ù·˘Ù›ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x Ì ÙÔÓ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi x + 0 i, ÙfiÙ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ R ⊂ C ˆ˜ Û‡ÓÔÏ·. H ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÔ˘ C ÔÚ›˙ÂÙ·È ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ¯ÂÈÚÈÛÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ i 2 = −1. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, Â¿Ó z = x + i y Î·È w = a + ib, ÙfiÙÂ: (i) z ± w = (x ± a) + i(y ± b), (ii) zw = (xa − yb) + i(xb + ya), ÂÊfiÛÔÓ (x + i y)(a + ib) = xa + i(ya) + i(xb) + i 2 (yb) = (xa − yb) + i(xb + ya). ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.2.1. ŒÛÙˆ z = 3 + 4 i Î·È w = 7 − 2 i. ∆fiÙÂ: (1) z + w = 10 + 2 i, (2) z − w = −4 + 6 i, (3) zw = 29 + 22 i.

2

∂›Ó·È ‡ÎÔÏÔ Ó· ‰È·ÈÛÙˆı› (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ) fiÙÈ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÔÚÈÛÌÒÓ ·˘ÙÒÓ, ÙÔ C Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô Î·È ÙÔ R Â›Ó·È ˘Ô‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ÙÔ˘ C. ∆Ô Ô˘‰¤ÙÂÚÔ (ÌˉÂÓÈÎfi ) ÛÙÔÈ¯Â›Ô ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Â›Ó·È ÙÔ 0 ∈ R, ÙÔ ÔÔ›Ô Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ 0 + 0 i, Î·È ÙÔ Ô˘‰¤ÙÂÚÔ (ÌÔÓ·‰È·›Ô) ÛÙÔÈ¯Â›Ô ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Â›Ó·È ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô 1 ∈ R, ÙÔ ÔÔ›Ô Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ 1 + 0 i. °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ C ÛÒÌ· Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘Ì ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈο ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. ∆ÒÚ· ı· ‰Ô‡Ì Ò˜ ·˘Ù¿ ηٷÛ΢¿˙ÔÓÙ·È. √ÚÈÛÌfi˜ 2.2.1. ∂¿Ó Ô z ∈ C Ì z = x + i y, ÙfiÙÂ Ô ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ Û˘˙˘Á‹˜ ÙÔ˘ z, Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì z, Â›Ó·È Ô z = x − i y Î·È Ë ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹, ‹ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ, ÙÔ˘ z, Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì |z|,
ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ |z| = x 2 + y 2 .

2.2. ∆Ô ™ÒÌ· ÙˆÓ ªÈÁ·‰ÈÎÒÓ ∞ÚÈıÌÒÓ

15

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.2.2. √ ŒÛÙˆ z = 3 + 4 i. ∆fiÙ z = 3 − 4 i Î·È |z| = 9 + 16 = 5.

2

∆· ÂfiÌÂÓ· Ï‹ÌÌ·Ù· ·Ú¤¯Ô˘Ó ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ Û˘˙˘ÁÔ‡˜ Î·È Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜Ø ‚¿ÛÂÈ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈο ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. §‹ÌÌ· 2.2.1. ŒÛÙˆ z, w ∈ C. ∆fiÙÂ: (i) |z| ≥ 0 Î·È |z| = 0, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó z = 0, (ii) |zw| = |z||w|, (iii) |z + w| ≤ |z| + |w|. √È ·ԉ›ÍÂȘ ÙˆÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌÒÓ Â›Ó·È ¿ÌÂÛÔÈ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ› Î·È Ë ÂÎÙ¤ÏÂÛ‹ ÙÔ˘˜ ÚÔÙ›ÓÂÙ·È ˆ˜ ¿ÛÎËÛË. ¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ ·˘Ù¤˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Â›Ó·È ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ı· ÂÈÙÚ¤„Ô˘Ó ·ÚÁfiÙÂÚ· ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÂÓfi˜ ›‰Ô˘˜ ·ÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ Î·È Â› ÙÔ˘ C. §‹ÌÌ· 2.2.2. ŒÛÙˆ z, w ∈ C. ∆fiÙÂ: (1) z + w = z + w, (2) zw = (z)(w), (3) z = z, (4) |z| = |z|, (5) z = z, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ô z Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜. √È È‰ÈfiÙËÙ˜ (1) ¤ˆ˜ (4) Â›Ó·È ·ÏÔ› ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ›. °È· ÙËÓ (5) ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ z = x + i y. ∆fiÙ z = x − i y Î·È z = z, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó y = −y. ∞ÏÏ¿ ·˘Ùfi Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó y = 0, Î·È ¤ÙÛÈ z = x + 0 i Î·È Ô z Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜. ∆Ô ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ fiÙÈ: zz = (x + i y)(x − i y) = x 2 − i 2 y 2 = x 2 + y 2 = |z|2 . §‹ÌÌ· 2.2.3. ∂¿Ó z ∈ C, ÙfiÙ zz = |z|2 . ∞fi ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Ï‹ÌÌ· ÌÔÚԇ̠ӷ ‰Ô‡Ì fiÙÈ, Â¿Ó z = 0, ÙfiÙÂ: z ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜ ı¤ÙÔ˘ÌÂ:

z |z|2 = =1 |z|2 |z|2

16

2. ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

√ÚÈÛÌfi˜ 2.2.2. 1 z = 2 ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ z ∈ C Ì z = 0. z |z| ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.2.3. ŒÛÙˆ z = 3 + 4 i Î·È w = 7 − 2 i. ∆fiÙÂ: 1 3 − 4i 4 3 (1) = 2 − i, = 2 z 3 +4 25 25 z 1 7 + 2i 13 + 34 i 13 34 (2) = z = (3 + 4 i) = = + i. w w 53 53 53 53

2

∞fi ÙÔÓ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ· ÔÚÈÛÌfi ÚÔ·ÙÂÈ Ë ‡·ÚÍË Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ Î·È ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ C ·ÔÙÂÏ› ÛÒÌ·. £ÂÒÚËÌ· 2.2.1. ∆Ô C Â›Ó·È ÛÒÌ·, ÙÔ R Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ C Î·È Ô ‚·ıÌfi˜ Ùo˘ C ˆ˜ ÛÒÌ· Â¤ÎÙ·Û˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R Â›Ó·È 2. ∞ÎfiÌË, ÙÔ C ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ·. ∆Ô fiÙÈ Ô ‚·ıÌfi˜ Â›Ó·È 2 ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ Â˘Îfiψ˜ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÈÌÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÌÈ· ‚¿ÛË ÙÔ˘ C, fiÙ·Ó ·˘Ùfi ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R, Â›Ó·È ÙÔ {1, i}. ∆Ô C ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· ÁÈ· ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÏfiÁÔ: Û ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ· F ÈÛ¯‡ÂÈ 12 = 1 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ 1 Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜. ŸÌˆ˜ ÙfiÙÂ, ·fi ÙÔÓ ÓfiÌÔ Ù˘ ÙÚȯÔÙÔÌ›·˜, ÙÔ −1 Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ηÈ, fiˆ˜ ÂÍËÁ‹ıËΠÛÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÂÓfiÙËÙ·, ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙·.

2.3

°ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ∞Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ªÈÁ·‰ÈÎÒÓ ∞ÚÈıÌÒÓ

™Â οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z = x + i y Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (x, y) ÛÙÔ x y−Â›Â‰Ô ÙÔ˘ R2 . ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, Û οı ÛËÌÂ›Ô (x, y) ∈ R2 ÌÔÚԇ̠ӷ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z = x + i y. £ÂˆÚÒÓÙ·˜ ÙÔ R2 ηٿ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ, ‰ËÏ·‰‹ ˆ˜ ··ÚÙÈ˙fiÌÂÓÔ ·fi ÙÔ˘˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÌÈÁ·‰ÈÎfi Â›‰Ô. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈÎÒ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ‰Ô‡Ì ÙÔÓ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z = x + i y ˆ˜ ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· v = (x, y), ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, 0) Î·È ¤Ú·˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (x, y). Àfi ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚÌËÓ›·, ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ | | Â›Ó·È ·ÏÒ˜ ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ (x, y), ‹ÙÔÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ (x, y) ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. √ Û˘˙˘Á‹˜ z = x − i y Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (x, −y), ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (x, y) ·Ó·ÎÏÒÌÂÓÔ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ x. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.3.1. (‚Ϥ ∂ÈÎfiÓ· 2.1)

2.2. °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ∞Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ªÈÁ·‰ÈÎÒÓ ∞ÚÈıÌÒÓ

17

EÈÎfiÓ· 2.1: °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ∂Ó ÚÔÎÂÈ̤ӈ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ Ë ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ Ú¿ÍÂˆÓ ‚¿ÛÂÈ Ù˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ·Ó··Ú¿ÛÙ·Û˘. ∂Âȉ‹ Ë ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ·Ê·›ÚÂÛË ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ Á›ÓÔÓÙ·È Î·Ù¿ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜, Ë ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ·Ê·›ÚÂÛË ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ·˘Ù¤˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙȘ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ Ô˘ ·Ó··Ú›ÛÙ·ÓÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 2.2. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.3.2.

EÈÎfiÓ· 2.2: ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ √ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÙÔ˘˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ Â›Ó·È Ô ‚·ı̈-

18

2. ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

Ùfi˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Ì ٷ ‰ÈۉȿÛٷٷ ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· Ô ÔÔ›Ô˜, ıˆÚÔ‡ÌÂÓÔ˜ ·fi ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¿Ô„Ë, ·ÔÙÂÏ› ‰È¿Ù˘ÍË. ¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó z ∈ C Î·È r ∈ R, ÙfiÙÂ: (1) Â¿Ó r ≥ 0, ÙfiÙ r z = w, fiÔ˘ w Â›Ó·È ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ì ÊÔÚ¿ Ù·˘ÙfiÛËÌË Ì ÂΛÓË ÙÔ˘ z Î·È Ì ̤ÙÚÔ |r ||z|, (2) Â¿Ó r < 0, ÙfiÙ r z = w, fiÔ˘ w Â›Ó·È ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ì ÊÔÚ¿ ·ÓÙ›ıÂÙË ·fi ÂΛÓË ÙÔ˘ z Î·È Ì ̤ÙÚÔ |r ||z|. ∂¿Ó z = x + i y, ÙfiÙ i z = −y + i x. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ì i ÌÂٷʤÚÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (x, y) ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (−y, x). ∆Ô ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÂÓ ÏfiÁˆ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì < (x, y), (−y, x) >= −x y + x y = 0 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·. ∂ÊfiÛÔÓ 1i = i, Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ì i ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ÌÈ· ÛÙÚÔÊ‹ ηٿ 90 ÌÔ›Ú˜ Ì ÊÔÚ¿ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂΛӢ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ i ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù' Ô˘Û›·Ó «Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎfi˜», ·ÏÏ¿ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ÌÈ· ÛÙÚÔÊ‹. ™˘Ó‰˘¿˙ÔÓÙ·˜ fiÏ· Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰ÒÛÔ˘Ì ÌÈ· Ï‹ÚË ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÂÚÌËÓ›· ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ z, w ∈ C Ì z = x + i y. Œ¯Ô˘Ì zw = (x + i y)w = xw + i yw. ∂Ô̤ӈ˜, ·fi ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÛÎÔÈ¿, ÂÓ ÚÒÙÔȘ ‰È·Ù‡ÛÛÔ˘Ì ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· w ηٿ x ÊÔÚ¤˜, ÂÓ Û˘Ó¯›· ÙÔ ‰È·Ù‡ÛÛÔ˘Ì ηٿ y ÊÔÚ¤˜ Î·È Î·ÙfiÈÓ ÛÙÚ¤ÊÔ˘Ì ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ‰ÈÂÙ˘Á̤ÓÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· ηٿ 90 ÌÔ›Ú˜ Î·È Ì ÊÔÚ¿ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂΛӢ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡. ∆¤ÏÔ˜ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ٷ ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· Ô˘ ÚԤ΢„·Ó ηٿ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ (‚Ϥ ∂ÈÎfiÓ· 2.3).

EÈÎfiÓ· 2.3: ªÈÁ·‰ÈÎfi˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜

2.3. ¶ÔÏÈ΋ ªÔÚÊ‹ Î·È ∆·˘ÙfiÙËÙ· ÙÔ˘ Euler

2.4

19

¶ÔÏÈ΋ ªÔÚÊ‹ Î·È ∆·˘ÙfiÙËÙ· ÙÔ˘ Euler

∂¿Ó ÙÔ P ∈ R2 ¤¯ÂÈ ÙȘ ηÚÙÂÛÈ·Ó¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ (x, y), ÙfiÙ ÙÔ P ¤¯ÂÈ Â›Û˘ ÙȘ ÔÏÈΤ˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ (r, θ ), fiÔ˘ ÙÔ r Â›Ó·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ O ¤ˆ˜ ÙÔ −→ P Î·È ÙÔ θ Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· O P Ì ÙÔ ıÂÙÈÎfi ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ x (‚Ϥ ∂ÈÎfiÓ· 2.4).

EÈÎfiÓ· 2.4: ¶ÔÏÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ¶ÂÚÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ θ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [0, 2π ) ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ R2 Ó· ‰È·ı¤ÙÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ ÔÏÈÎÒÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. √È Î·ÚÙÂÛÈ·Ó¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ (x, y) ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ P Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙȘ ÔÏÈΤ˜ ÙÔ˘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ (r, θ) ̤ۈ ÙˆÓ: (i) x = r cos θ, (ii) y = r sin θ,
(iii) r = x 2 + y 2 , (2.4.1) (iv) θ = arctan(y/x) ÂÈÏÂÁ̤ÓÔ ÛÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÙÂÙ·ÚÙËÌfiÚÈÔ. ∂¿Ó ÙÔ z = x + i y ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (x, y) Ì ÔÏÈΤ˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ (r, θ ), ÙfiÙ ·fi ÙËÓ (2.4.1) ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ z ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ˆ˜: z = r (cos θ + i sin θ)

(2.4.2)

∞˘Ùfi ηÏÂ›Ù·È ÔÏÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ zØ Ë ÁˆÓ›· θ Â›Ó·È ÙÔ fiÚÈÛÌ· ÙÔ˘ z, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì Argz, Î·È ÂÓÙfi˜ Ù˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ıÂÒÚËÛ˘, ÙÔ |z| ηÏÂ›Ù·È Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘ z.

20

2. ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.4.1. √ ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ z = 1 − i. ∆fiÙ |z| = 2 Î·È Argz = arctan(−1) = 7π/4, ÂÊfiÛÔÓ √ ÙÔ (1, −1) ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Ù¤Ù·ÚÙÔ ÙÂÙ·ÚÙËÌfiÚÈÔ. ∂Ô̤ӈ˜, z = 2(cos(7π/4) + i sin(7π/4)). 2 °È· ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÌÔÚÊ‹˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ Ôχ fiÌÔÚÊÔ˜ ÂÎıÂÙÈÎfi˜ ÙÚfiÔ˜ Ô˘ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Euler. ¶ÚÈÓ ÙÔÓ ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘ÌÂ, ı· Ú¤ÂÈ Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì ÚÔÛÂÎÙÈÎfiÙÂÚ· ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ i. Œ¯Ô˘Ì i 2 = −1 Î·È Û˘ÓÂÒ˜ i 3 = i 2 i = −i. ∆fiÙ i 4 = i 3 i = −i 2 = 1 Î·È ¿Ú· i 5 = i. Afi ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ i Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È Î˘ÎÏÈο ˆ˜ {1, i, −1, −i} Î·È i m = i n , Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó n ≡ m (mod 4). ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, i 51 = i 3 = −i. ∂ÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, ÙÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÌÈ·˜ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ i Â›Ó·È ÌÈ· ¿ÏÏË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ i ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÔÈ ÂÓ ÏfiÁˆ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÌ¿‰· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi. §‹ÌÌ· 2.4.1. √È ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ i Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Î˘ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ 4 Ì Ú¿ÍË ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi. ∆Ô ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤Ó ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÓfi˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ˘ ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜ ÁÈ· ÙȘ ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜, ÙÔ ÔÔ›Ô ı· Û˘˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ·. ŒÛÙˆ fiÙÈ t Â›Ó·È ÌÈ· ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ et , sin t, cos t Âȉ¤¯ÔÓÙ·È ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ·Ó¿Ï˘ÛË Ì¤Ûˆ ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚÒÓ: (1) et = 1 + t + t 2 /2! + · · · + t n /n! + · · · , (2) sin t = t − t 3 /3! + t 5 /5! − · · · + (−1)n t 2n+1 /(2n + 1)! + · · · , (2.4.3) 2 4 n 2n (3) cos t = 1 − t /2! + t /4! − · · · + (−1) t /(2n)! + · · · . ∆ÒÚ· ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ t = iθ Ì ÙÔÓ θ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi. ∞ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙÔ t ÛÙËÓ (2.4.3) ÁÈ· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ eiθ . (ªÔÏÔÓfiÙÈ ÙÔ t ‰ÂÓ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹, Ë ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û‹ ÙÔ˘ ÌÔÚ› Ó· ÂÎÙÂÏÂÛÙ› ÂÈÙ‡ˆ˜.) ∆fiÙÂ: eiθ = 1 + (iθ ) + (iθ)2 /2! + . . . = 1 + (iθ) − θ 2 /2! − iθ 3 /3! + · · · ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ηÓfiÓ˜ ÁÈ· ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ i Î·È Û˘ÓÂÒ˜: eiθ = (1 − θ 2 /2! + θ 4 /4! + · · · ) + i(θ − θ 3 /3! + θ 5 /5! + · · · ) = cos(θ ) + i sin(θ ). ∞˘Ùfi Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ˆ˜:

2.5.

£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ DeMoivre ÁÈ· ¢˘Ó¿ÌÂȘ Î·È ƒ›˙˜

21

∏ ∆·˘ÙfiÙËÙ· ÙÔ˘ Euler eiθ = cos(θ ) + i sin(θ ) ÁÈ· θ ∈ R. ∆ÒÚ·, Â¿Ó r = |z| Î·È θ = Argz, ¤¯Ô˘ÌÂ: z = r (cos θ + i sin θ) = r eiθ .

(2.4.4)

∏ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ·ÏÔÔÈ› Û ÌÂÁ¿ÏÔ ‚·ıÌfi ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ z = r1 eiθ1 Î·È w = r2 eiθ2 . ∆fiÙ zw = r1r2 ei(θ1 +θ2 ) Î·È ‰È·ÛÒÓÙ·˜ ÙÔ ÛÙ· Û˘ÛÙ·ÙÈο ÙÔ˘ ÛÙÔȯ›· ¤¯Ô˘Ì |zw| = |z||w| Î·È Arg(zw) = Argz + Argw. §‹ÌÌ· 2.4.2. ∂¿Ó z, w ∈ C, ÙfiÙ |zw| = |z||w| Î·È Arg(zw) = Argz + Argw. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Argi = π/2 Î·È fiÙÈ Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ i z ÛÙÚ¤ÊÂÈ ÙÔ z ηٿ 90 ÌÔ›Ú˜. ¢ËÏ·‰‹ Arg(i z) + π/2 + Argz = Argi + Argz, ÙÔ ÔÔ›Ô ÚÔ·ÙÂÈ Â˘ı¤ˆ˜ ·fi ÙÔ Ï‹ÌÌ·. ∏ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ÙÔ˘ Euler Ô‰ËÁ› ¿ÌÂÛ· ÛÙÔÓ ÔÓÔÌ·˙fiÌÂÓÔ Ì·ÁÈÎfi Ù‡Ô ÙÔ˘ Euler. ∂¿Ó θ = π ¤¯Ô˘ÌÂ: eiπ = cos(π ) + i sin(π ) = −1 + 0 i = −1 ‹, ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›·, eiπ + 1 = 0. √ ª·ÁÈÎfi˜ ∆‡Ô˜ ÙÔ˘ Euler: eiπ + 1 = 0. √ Ù‡Ô˜ ·˘Ùfi˜ ¤¯ÂÈ ÔÓÔÌ·ÛÙ› «Ì·ÁÈÎfi˜», ‰ÈfiÙÈ ÔÈ ¤ÓÙ ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ – 0, 1, e, i, π – Û˘Ó˘¿Ú¯Ô˘Ó Û ÌÈ· Ôχ ·Ï‹ ÈÛfiÙËÙ·. ∂¿Ó ÛÎÂÊı› ηÓ›˜ fiÛÔ ÔÈÎÈÏÔÙÚfiˆ˜ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔÈ ·ÚÈıÌÔ› – ÙÔ 0 ˆ˜ Ù·˘ÙÔÙÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË, ÙÔ 1 ˆ˜ Ù·˘ÙÔÙÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi, ÙÔ e ˆ˜ Ê˘ÛÈ΋ ÂÎıÂÙÈ΋ ‚¿ÛË, ÙÔ π ˆ˜ Ô ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ÂÚÈʤÚÂÈ·˜ ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ i ˆ˜ Ë Ê·ÓÙ·ÛÙÈ΋ ÌÔÓ¿‰· – , ÙfiÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È fiÓÙˆ˜ ·ÍÈÔı·‡Ì·ÛÙÔ.

2.5

£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ DeMoivre ÁÈ· ¢˘Ó¿ÌÂȘ Î·È ƒ›˙˜

∂¿Ó z = r eiθ ∈ C Î·È n ∈ N, ÙfiÙ z n = r n einθ . ¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÏÔÈfiÓ fiÙÈ |z n | = |z|n Î·È fiÙÈ Arg(z n ) = nArg(z), ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ DeMoivre ÁÈ· ¢˘Ó¿ÌÂȘ.

22

2. ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ DeMoivre ÁÈ· ¢˘Ó¿ÌÂȘ ∂¿Ó z = r eiθ ∈ C Î·È n ∈ N, ÙfiÙ z n = r n einθ . ∂ȉÈÎfiÙÂÚ· |z n | = |z|n Î·È Arg(z n ) = nArg(z). ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.5.1. ŒÛÙˆ fiÙÈ z = 1 − i Î·È fiÙÈ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ z 10 . √ √ ∆ÒÚ· |z| = 2 Î·È Argz = 7π/4, ¿Ú· z = 2ei7π/4 . ∂Ô̤ӈ˜, z 10 = √ √ ( 2)10 ei70π/4 . ∂Í¿ÏÏÔ˘ ( 2)10 = 32, ÂÓÒ 70π/4 = 16π + 3π/2 ≡ 3π/2 (ˆ˜ ÁˆÓ›Â˜), ·fi fiÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ z 10 = 32ei3π/2 = 32(cos(3π/2) + i sin(3π/2)) = −32 i. 2 ¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ ÏfiÁˆ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ Arg(z n ) = nArgz Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (z) = z n ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÈ ÙÔÓ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi z Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 8 ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ‚·ÛÈ˙fiÌÂÓË ÛÙËÓ ÚÔËÁËı›۷ ·Ú·Ù‹ÚËÛË. ∂¿Ó n ∈ N, z ∈ C Î·È wn = z, ÙfiÙ ÙÔ w Â›Ó·È ÌÈ· n – ÔÛÙ‹ Ú›˙· ÙÔ˘ z, ÙËÓ ÔÔ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì z 1/n . ∂¿Ó r ∈ R, r > 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ì›· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ n – ÔÛÙ‹ Ú›˙· ÙÔ˘ r . ∂¿Ó z = r eiθ , ÙfiÙ ÙÔ w = r 1/n eiθ/n ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· wn = z Î·È Â›Ó·È Ì›· ·fi ÙȘ n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ z. ŸÌˆ˜, Â¿Ó θ +2π k ÈÛ¯‡ÂÈ θ+2πk < 2π ÁÈ· οÔÈÔÓ k ∈ N, ÙfiÙ ÙÔ wk = r 1/n ei n ·ÔÙÂÏ› Â›Û˘ n n – ÔÛÙ‹ Ú›˙· ÙÔ˘ z ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ·fi ÙÔ w. À¿Ú¯Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ n ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ k Ô˘ ·Ú¿ÁÔ˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ ÙÔ˘ zØ Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ ÔÈ k = 0, 1, . . . , n−1. ∂Ô̤ӈ˜, ÔÈ n ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ Ú›˙˜ ÙÔ˘ z Â›Ó·È ÔÈ: wk = r 1/n ei

θ +2π k n

, k = 0, 1, . . . , n − 1.

ŒÙÛÈ, ¤¯Ô˘Ì ·ԉ›ÍÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜ ıÂÒÚËÌ·, ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ DeMoivre ÁÈ· ƒ›˙˜. £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ DeMoivre ÁÈ· ƒ›˙˜ ∂¿Ó z ∈ C, z = 0, ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ n ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ ÙÔ˘ z. ŒÛÙˆ fiÙÈ z = r eiθ . √È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ ‰›‰ÔÓÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô: wk = r 1/n ei

θ +2π k n

, k = 0, 1, . . . , n − 1.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2.5.2. ŒÛÙˆ z = 1 + i. ¡· ¢ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ¤ÎÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ú›˙˜ ÙÔ˘ z. √ √ πÛ¯‡Ô˘Ó |z| = 2, Argz = arctan 1 = π/4 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ z = 2eiπ/4 . ™˘ÓÂÒ˜, ÔÈ ¤ÍÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘ z Â›Ó·È ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜:

2.5.

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ DeMoivre ÁÈ· ¢˘Ó¿ÌÂȘ Î·È ƒ›˙˜

w1 w2 w3 w4 w5 w6

23

π/4

= 21/12 ei 6 = 21/12 (cos(π/24) + i sin(π/24)), π/4+2π = 21/12 ei 6 = 21/12 (cos(9π/24) + i sin(9π/24)), π/4+4π = 21/12 ei 6 = 21/12 (cos(17π/24) + i sin(17π/24)), π/4+6π = 21/12 ei 6 = 21/12 (cos(25π/24) + i sin(25π/24)), π/4+8π = 21/12 ei 6 = 21/12 (cos(33π/24) + i sin(33π/24)), π/4+10π = 21/12 ei 6 = 21/12 (cos(41π/24) + i sin(41π/24)).

2

∂¿Ó z = 1, ÙfiÙ ÌÈ· n – ÔÛÙ‹ Ú›˙· w ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È n – ÔÛÙ‹ Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. ∂ÊfiÛÔÓ ÈÛ¯‡ÂÈ |z| = 1, ¤¯Ô˘Ì |w| = 1 ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ n – ÔÛÙ‹ Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ ηÈ, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ ı· ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ÌfiÓÔÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜. ¶fiÚÈÛÌ· 2.5.1. À¿Ú¯Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ n ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ ÚÔ·ÙÔ˘Û˜ ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô:     2π k 2π k i 2πn k wk = e + i sin , k = 0, 1, . . . , n − 1. = cos n n ∂Ô̤ӈ˜, ·fi ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¿Ô„Ë, fiϘ ÔÈ n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Â› ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ 1 Î·È ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÓfi˜ ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ n – ÁÒÓÔ˘, Ë ÌÈ· ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔÓ ıÂÙÈÎfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ¿ÍÔÓ·. ™ÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 2.5 ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙȘ ¤ÍÈ ¤ÎÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ú›˙˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÂÍ·ÁÒÓÔ˘. °È· z = 0 Ì |z| = 1, ÔÈ n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ n – ÁÒÓÔ˘ Â› ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ |z|1/n . ŒÛÙˆ w = ei2π/n Ë n – ÔÛÙ‹ Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ Ì ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ıÂÙÈ΋ ÁˆÓ›·, Ë ÔÔ›· ηÏÂ›Ù·È Î‡ÚÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ n – ÔÛÙ‹ Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. √È ˘fiÏÔÈ˜ n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤Ó˜ Ú›˙˜ ÙÔ˘ w, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ {w, w 2 , w 3 , . . . , wn = 1}. ∞ÎfiÌË, ÔÈ ÂÓ ÏfiÁˆ n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÔÌ¿‰· Ì Ú¿ÍË ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi. (¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ fiÙÈ ÙÔ w ‰ÂÓ Â›Ó·È Ë ÌÔÓ·‰È΋ ÚˆÙ·Ú¯È΋ n – ÔÛÙ‹ Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ – ‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ.) ¶fiÚÈÛÌ· 2.5.2. √È n – ÔÛÙ¤˜ Ú›˙˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ n Ì Ú¿ÍË ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi. °ÂÓÓ‹ÙÔÚ·˜ Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ Â›Ó·È Ë n – ÔÛÙ‹ Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ w Ì ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ıÂÙÈ΋ ÁˆÓ›·. ∆Ô ÚÔËÁËı¤Ó ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Û ÛÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ i, Â›Ó·È ·ÏÒ˜ ÌÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÚ›ÛÌ·ÙÔ˜, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ i Â›Ó·È Ë Î‡ÚÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ ÙÂÙ¿ÚÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜.

24

2. ªÈÁ·‰ÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ›

EÈÎfiÓ· 2.5: √È ¤ÎÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ú›˙˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜

∞Û΋ÛÂȘ √ 2.1. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ Q( 2) Â›Ó·È ÛÒÌ·. 2.2. ¡· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË 3x + 7 = 6 ÛÙÔ Z13 . (Àfi‰ÂÈÍË: Ó· ¢ÚÂı› Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ 1/3 ÛÙÔ Z13 .) 2.3. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ Zn Â›Ó·È ÛÒÌ·, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ô n Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. 2.4. ∂¿Ó ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô d ∈ Q Î·È Â¿Ó ·˘Ùfi ‰ÂÓ Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ √ √ ÙÔ Q( d) Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ R. (∂¿Ó ÙÔ d Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ÙfiÙ Q( d) = Q.) 2.5. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó w 3 = 1, w = 1. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ 1 + w + w 2 = 0. (Àfi‰ÂÈÍË: Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËı› Ë ÈÛfiÙËÙ· w 3 − 1 = 0.) 2.6. ∂¿Ó w3 = 1 Î·È w = 1, ÙfiÙÂ, ÏfiÁˆ Ù˘ ÕÛÎËÛ˘ 2.5, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ 1+w+w2 = 0 ‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· w 2 = −1 − w. ŒÛÙˆ fiÙÈ Q(w) = {a + bw; a, b ∈ Q}. ¡· ÔÚÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ ÛÙÔ Q(w) ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ¯ÂÈÚÈÛÌÒÓ. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ Q(w) Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ C. (Àfi‰ÂÈÍË: Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ w2 = −1 − w.) ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ Q(w) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q; 2.7. √ ÛÎÔfi˜ Ù˘ ¿ÛÎËÛ˘ Â›Ó·È Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ¿ÂÈÚÔ. (i) °È· οı n ∈ N ÔÚ›˙Ô˘Ì Pn =[fiÏ· Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Ì ÚËÙÔ‡˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ‚·ıÌÔ‡ ≤ n]. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ Pn Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. (Àfi‰ÂÈÍË: ÙÔ Pn ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ (n + 1) – ¿‰ˆÓ Ì ÛÙÔȯ›· ·fi ÙÔ Q.

25

∞Û΋ÛÂȘ

ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó Ù· A, B Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌ· Û‡ÓÔÏ·, ÙfiÙ ÙÔ Î·ÚÙÂÛÈ·Ófi ÙÔ˘˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ A × B Â›Ó·È Â›Û˘ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ.) (ii) °È· οı n ∈ N ÔÚ›˙Ô˘Ì Qn =[fiϘ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ Pn ]. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Qn Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. (Àfi‰ÂÈÍË: Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÙÔ fiÙÈ ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ n ¤¯ÂÈ ÙÔ Ôχ n ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Î·È ÙÔ fiÙÈ ·ÚÈıÌ‹ÛÈ̘ ÂÓÒÛÂȘ ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Û‡ÓÔÏÔ.) (iii) ŒÛÙˆ A ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ  ÙÔ A Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. (Àfi‰ÂÈÍË: A = ∞ 1 Qn .) (iv) ŒÛÙˆ T ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ T ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ. (Àfi‰ÂÈÍË: R = A ∪ T . ∂¿Ó ‹Ù·Ó ÙÔ T Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ, ÙfiÙ ı· ...) 2.8. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·ÙÔ˜ ÁÈ· ÙÔ R ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÂÁÎÈ‚ˆÙÈÛÌ¤ÓˆÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ. 2.9. ŒÛÙˆ z = 4 + 7 i, w = 6 − i. ¡· ¢ÚÂıÔ‡Ó Ù·: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

z, w, |z|, |w|, z + w, zw, z/w, √ z (‰‡Ô χÛÂȘ), z Û ÔÏÈ΋ ÌÔÚÊ‹, z5. ¡· Ï˘ı› Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË Â͛ۈÛË ˆ˜ ÚÔ˜ Z : z Z + 6w = 1 − i.

2.10. ¡· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ §‹ÌÌ· 2.2.1. 2.11. ¡· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ §‹ÌÌ· 2.2.2. 2.12.  ™ÙËÓ ÕÛÎËÛË 2.9 Ó· ÂÎÙÂÏÂÛÙ› Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ zw = 4w + i7w Î·È Ó· ÛÎÈ·ÁÚ·ÊËıÔ‡Ó Ù· ÁˆÌÂÙÚÈο ‚‹Ì·Ù· Â› ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ w. 2.13. ™ÙËÓ ÕÛÎËÛË 2.9 Ó· ÂÎÙÂÏÂÛÙ› Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙˆÓ z Î·È w ı¤ÙÔÓÙ¿˜ Ù· Û ÔÏÈ΋ ÌÔÚÊ‹. ¡· ÂÎÙÈÌËıÔ‡Ó Ù· Argz Î·È Argw Ì ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ¯ÂÈÚfi˜. √ 2.14. ŒÛÙˆ z = 1 + 3 i. ¡· ¢ÚÂıÔ‡Ó Ù· ·ÎfiÏÔ˘ı·: (i) z 26 , (ii) ÔÈ ¤ÓÙ ‰È·ÎÚÈÙ¤˜ ¤ÌÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ú›˙˜ ÙÔ˘ z. (iii) ¡· Á›ÓÂÈ Ë ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ÂÚˆÙ‹Ì·ÙÔ˜ (ii). 2.15. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ù· ÛÙÔȯ›· 1, w, w2 , . . . , wn−1 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· G Ù¿Í˘ n. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ w k Â›Ó·È Â›Û˘ ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ·˜ Ù˘ G, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó (k, n) = 1. (Àfi‰ÂÈÍË: Â¿Ó (k, n) = 1, ‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó ÔÈ k Î·È n Â›Ó·È ÚÒÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ÙfiÙÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1 ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ k Î·È n.) 2π

2.16. ŒÛÙˆ w = e 8 Ë Î‡ÚÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. ¶ÔȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ w Â›Ó·È Â›Û˘ ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ˜ Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ÙˆÓ ÔÁ‰fiÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÚÈ˙ÒÓ;

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3

¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· 3.1

√ ¢·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ™ÒÌ·ÙÔ˜

∂¿Ó ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· Î·È Ô n Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ n ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F οı Â›Ù˘Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: P(x) = a0 + a1 x + · · · + an x n

(3.1.1)

Ì ai ∈ F ÁÈ· i = 0, . . . , n, an = 0 Î·È x ÌÈ· ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹. ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P(x) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Â›Ó·È ‹ ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î¿ÔÈÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ‹ Ë ¤ÎÊÚ·ÛË P(x) = 0 Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌˉÂÓÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î·È ‰ÂÓ ‰È·ı¤ÙÂÈ ‚·ıÌfi. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ‚·ıÌfi οı ÌË – ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ P(x) Ì degP(x). ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ Ìˉ¤Ó ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ P(x) = a0 , ηÏÂ›Ù·È ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î·È ÌÔÚ› Ó· Ù·˘ÙÈÛÙ› Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ F. ∆· ÛÙÔȯ›· ai ∈ F ηÏÔ‡ÓÙ·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘ P(x), ÂÓÒ ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô an Â›Ó·È Ô ÂÈÎÂÊ·Ï‹˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜. ŸÙ·Ó an = 1, ÙÔ P(x) ηÏÂ›Ù·È ÌÔÓÔÛÙfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ¢‡Ô ÌË ÌˉÂÓÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Â›Ó·È ›Û·, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ‚·ıÌfi Î·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÔ˘˜ ›‰ÈÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜. ∆· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‚·ıÌÔ‡ 1 ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÁÚ·ÌÌÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, ÂÓÒ Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‚·ıÌÔ‡ 2 ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì F[x] ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È Ì Fn [x] ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Ì ‚·ıÌfi ›ÛÔ ‹ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ 27

28

3. ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

ÙÔ˘ n, Û˘ÌÂÚÈÏ·Ì‚·ÓÔ̤ÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘: F[x] = {P(x); P(x) Â›Ó·È ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F}.

(3.1.2)

Fn [x] = {P(x) ∈ F[x]; deg P(x) ≤ n ‹ P(x) = 0}.

(3.1.3)

£· ‰Ô‡Ì ÂÓ Û˘Ó¯›· fiÙÈ ÙÔ F[x] ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ, ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ ›‰È˜ Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Z. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË, ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÛÙÔ F[x] ̤ۈ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ¯ÂÈÚÈÛÌÒÓ. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ P(x) = a0 + a1 x + · · · + an x n Î·È Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm x m . ∆fiÙÂ: P(x) ± Q(x) = (a0 ± b0 ) + (a1 ± b1 )x + · · · ,

(3.1.4)

‰ËÏ·‰‹ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x i ÛÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P(x) ± Q(x) Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ai ± bi . P(x)Q(x) = (a0 b0 ) + (a1 b0 + a0 b1 )x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x 2 + · · · + (an bm )x n+m ,

(3.1.5)

‰ËÏ·‰‹ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x i ÛÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P(x)Q(x) Â›Ó·È Ô (a0 bi + a1 bi−1 + · · · + ai b0 ). ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 3.1.1. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ù· P(x) = 3x 2 + 4x − 6 Î·È Q(x) = 2x + 7 ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ Q[x]. ∆fiÙÂ: P(x) + Q(x) = 3x 2 + 6x + 1 Î·È P(x)Q(x) = (3x 2 + 4x − 6)(2x + 7) = 6x 3 + 29x 2 + 16x − 42.

2

√È ÂfiÌÂÓ˜ Û¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‚·ıÌÒÓ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó›˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ Î·È ÔÈ ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘˜ ÚÔÙ›ÓÔÓÙ·È ˆ˜ ¿ÛÎËÛË. §‹ÌÌ· 3.1.1. ŒÛÙˆ P(x) = 0, Q(x) = 0 ∈ F[x]. ∆fiÙÂ: (1) deg P(x)Q(x) = deg P(x) + deg Q(x), (2) deg (P(x) ± Q(x)) ≤ max(deg P(x), deg Q(x)). ™Â ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ R ¤Ó·˜ ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˘ Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô r ∈ R, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô s ∈ R, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ r s = 0. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ ¯¿ÚÈÓ, ÛÙÔÓ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ modulo 6, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙÔ Z6 , ÌÔÏÔÓfiÙÈ Ù· ÛÙÔȯ›· 2 Î·È 3 Â›Ó·È ÌË ÌˉÂÓÈο, ¤¯Ô˘Ì (2)(3) = 0 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Â›Ó·È ·ÌÊfiÙÂÚ· ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˜. ŒÓ·˜ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ÌÂ

3.1. √ ¢·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ™ÒÌ·ÙÔ˜

29

ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔȯ›Ô, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˜, ϤÁÂÙ·È ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ·Î¤Ú·ÈˆÓ ÂÚÈÔ¯ÒÓ Â›Ó·È Ù· Z, Q, R, C, ηıÒ˜ Î·È ÙÔ Z p , fiÙ·Ó Ô p Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ¤Ó· ÛÒÌ· Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹, fiˆ˜ ı· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÛÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Ï‹ÌÌ·. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ, fiÙ·Ó ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÂÓfi˜ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘ ¤¯ÂÈ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ÙfiÙ ηÏÂ›Ù·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÛÙÔȯ›Ô. §‹ÌÌ· 3.1.2. ∂¿Ó Ô R Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô Î·È ÙÔ r ∈ R Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÛÙÔȯ›Ô, ÙfiÙ ÙÔ r ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˘. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, Â¿Ó ÙÔ R Â›Ó·È ÛÒÌ·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Ù·˘ÙÔ¯ÚfiÓˆ˜ Î·È ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô r ∈ R Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô Î·È fiÙÈ r s = 0. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ r Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÛÙÔȯ›Ô, ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔÈ¯Â›Ô r −1 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ r −1r = 1. ∆fiÙ r −1 (r s) = r −1 0 = 0, ÂÓÒ r −1 (r s) = (r −1r )s = 1s = s. ∂Ô̤ӈ˜ s = 0 Î·È ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô r ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˘. ŒÓ· ÛÒÌ· F Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔȯ›Ô, οı ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ. §fiÁˆ ÙˆÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ, ηӤӷ ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˘ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÛÒÌ· F Â›Ó·È ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹. £ÂÒÚËÌ· 3.1.1. ∂¿Ó ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ·, ÙfiÙ ÙÔ F[x] Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¤Ó·Ó ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô (ηÙ' Ô˘Û›·Ó ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹). ∆Ô ÛÒÌ· F ÂÌÊ˘Ù‡ÂÙ·È Î·Ù¿ ¤Ó·Ó ÂÓÙÂÏÒ˜ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi ÙÚfiÔ ÛÙÔ F[x] Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·˜ οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ F Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∆· ÌfiÓ· ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F[x] Â›Ó·È Ù· ÌË ÌˉÂÓÈο ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F. TÔ Fn [x] Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ ‰È¿ÛÙ·Û˘ n + 1 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∞fi‰ÂÈÍË. H Â·Ï‹ı¢ÛË ÙˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘ Â›Ó·È ·ÏÒ˜ ı¤Ì· Ú¿ÍÂˆÓ Î·È ·Ê‹ÓÂÙ·È ˆ˜ ¿ÛÎËÛË. ∂Âȉ‹ deg P(x)Q(x) = deg P(x) + deg Q(x), ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ, Â¿Ó P(x) = 0 Î·È Q(x) = 0, ÙfiÙ P(x)Q(x) = 0. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ F[x] Â›Ó·È ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹. ∂¿Ó ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ G(x) Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ F[x], ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ H (x) ∈ F[x] Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· G(x)H (x) = 1. µ¿ÛÂÈ fiÛˆÓ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÁÈ· ÙÔ˘˜ ‚·ıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, ¤¯Ô˘Ì deg G(x)+deg H (x) = 0 Ì deg G(x) ≥ 0

30

3. ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

Î·È deg H (x) ≥ 0. ∂Ô̤ӈ˜, Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û¯¤ÛË ÌÔÚ› Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ÌfiÓÔÓ fiÙ·Ó deg G(x) = deg H (x) = 0 Î·È ¿Ú· G(x) ∈ F. ∂Ó Î·Ù·ÎÏ›‰È, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ §‹ÌÌ· 3.1.1, ÙÔ Fn [x] Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË Î·È, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·. √ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ì ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F ‰ÂÓ ·Ó˘„ÒÓÂÈ ÙÔÓ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ Fn [x] Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¤Ó·Ó ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ {1, x, x 2 , . . . , x n } ·ÔÙÂÏ› ‚¿ÛË ÁÈ· ÙÔÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó dim(Fn [x]) = n + 1. ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P(x) ∈ F[x] ÌÔÚ› Â›Û˘ Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Ì›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË P : F → F ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÌÈ·˜ ‰È·‰Èηۛ·˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó P(x) = a0 + a1 x + · · · + an x n ∈ F[x] Î·È t ∈ F, ÙfiÙÂ: P(t) = a0 + a1 t + · · · + an t n ∈ F, ‰ÈfiÙÈ ÙÔ F Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ‡˜ ¯ÂÈÚÈÛÌÔ‡˜ Ô˘ ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È ÛÙ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. ∂¿Ó ÙÔ ÛÒÌ· F Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ηٿ οÔÈ· ¤ÓÓÔÈ· – fiˆ˜ Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ Â¿Ó Î¿ı ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÔ˘ Cauchy Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ – ÙfiÙÂ Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, Ù· Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ·fi ÙÔ R ÛÙÔ R Î·È ·fi ÙÔ C ÛÙÔ C ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ∂¿Ó r ∈ F, P(x) ∈ F[x] Î·È P(r ) = 0 ̤ۈ Ù˘ ‰È·‰Èηۛ·˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ r ·ÔÙÂÏ› ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ P(x). ™ÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ı· ‰Ô‡Ì fiÙÈ Ë È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ r ˆ˜ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÎÏËÚÔ‰ÔÙ› ηٿ οÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÌÈ· ȉÈfiÙËÙ· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ ÛÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ.

3.2

¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ· Î·È ¶ÂÚÈÔ¯¤˜ ªÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

°È· ¤Ó· ÛÒÌ· F, Ë ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ‰ÔÌ‹ ÙÔ˘ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ F[x] ÌÔÈ¿˙ÂÈ ÂÎÏËÎÙÈο Ì ·˘Ù‹Ó ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Z. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ Z ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ‚·ÛÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·, Ë ÔÔ›· ηÏÂ›Ù·È £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∞ÚÈıÌËÙÈ΋˜. £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∞ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ∂¿Ó z ∈ Z, ÙfiÙ ÙÔ z ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ. ∂ÈϤÔÓ, ·˘Ù‹ Ë ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋, Ì ÌfiÓË Èı·Ó‹ ÂÍ·›ÚÂÛË ÙË ‰È¿Ù·ÍË ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ Î·È ÙËÓ ¤ÓıÂÛË ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.

3.2. ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ· Î·È ¶ÂÚÈÔ¯¤˜ ªÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘

31

∂Ó Á¤ÓÂÈ, ÌÈ· ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹ R Ô˘ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ (Ì ÌfiÓË Èı·Ó‹ ÂÍ·›ÚÂÛË ÙË ‰È¿Ù·ÍË ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ Î·È ÙËÓ ¤ÓıÂÛË ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÚÈÔ¯‹ ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ Î·È ÂÊÂÍ‹˜ ı· ‰ËÏÒÓÂÙ·È ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›· ˆ˜ ¶ª¶. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∞ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ‰È·‚‚·ÈÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Z Â›Ó·È ÌÈ· ¶ª¶. ∆ÒÚ· ı· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛÒÌ· F Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ F[x] Â›Ó·È ÌÈ· ¶ª¶. ¶ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ fï˜ ı· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË Î·È ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ÁÈ· Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. √ÚÈÛÌfi˜ 3.2.1. ∂¿Ó f (x), g(x) ∈ F[x] Ì g(x) = 0, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ g(x) ‰È·ÈÚ› ÙÔ f (x) ‹ fiÙÈ ÙÔ g(x) Â›Ó·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ f (x), Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ q(x) ∈ F[x], Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ f (x) = q(x)g(x). ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÂÓ ÏfiÁˆ ‰È·›ÚÂÛË Ì g(x)| f (x). ∂¿Ó ÙÔ f (x) = 0 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ˘˜, ÌË ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ (Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËı› Û ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡), ÙfiÙ ÙÔ f (x) Â›Ó·È ¤Ó· ·Ó¿ÁˆÁÔ ‹ ÚÒÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Â¿Ó deg g(x) = 1, ÙfiÙ ÙÔ g(x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ. ∆Ô ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ô F[x] Â›Ó·È ÌÈ· ¶ª¶ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔÓ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ ÙÔ˘ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ·ÎÂÚ·›ˆÓ. ∞ÏÁfiÚÈıÌÔ˜ ¢È·›ÚÂÛ˘ ÛÙÔÓ F[x] ∂¿Ó 0 = f (x), 0 = g(x) ∈ F[x], ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÌÔÓ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· q(x), r (x) ∈ F[x] Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ f (x) = q(x)g(x)+r (x), fiÔ˘ r (x) = 0 ‹ deg r (x) < deg g(x). (∆· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· q(x) Î·È r (x) ηÏÔ‡ÓÙ·È ËÏ›ÎÔ Î·È ˘fiÏÔÈÔ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.) ∆Ô ·ÓˆÙ¤Úˆ ıÂÒÚËÌ· ηÙ' Ô˘Û›·Ó ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙË ‰È·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ. ªÈ· ·˘ÛÙËÚ‹ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÎÙÂÏÂ›Ù·È Ì¤Ûˆ Â·ÁˆÁ‹˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ g(x)Ø ˆÛÙfiÛÔ, ·˘Ù‹ ·Ú·Ï›ÂÙ·È Î·È ‰›‰ÔÓÙ·È ·ÏÒ˜ οÔÈ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ·fi ÙÔÓ Q[x]. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 3.2.1. (·) ŒÛÙˆ f (x) = 3x 4 − 6x 2 + 8x − 6 Î·È fiÙÈ g(x) = 2x 2 + 4. ∆fiÙÂ: 3x 4 − 6x 2 + 8x − 6 3 = x 2 − 6 Ì ˘fiÏÔÈÔ 8x + 18. 2x 2 + 4 2 ∂Ô̤ӈ˜, Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË q(x) = 32 x 2 − 6 Î·È r (x) = 8x + 18.

32

3. ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

(‚) ŒÛÙˆ f (x) = 2x 5 + 2x 4 + 6x 3 + 10x 2 + 4x Î·È fiÙÈ g(x) = x 2 + x. ∆fiÙÂ: 2x 5 + 2x 4 + 6x 3 + 10x 2 + 4x = 2x 3 + 6x + 4. x2 + x ™˘ÓÂÒ˜, q(x) = 2x 3 + 6x + 4 Î·È r (x) = 0.

2

ªÂ ÙË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ·ÏÁÔÚ›ıÌÔ˘ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘, Ë ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ ÚÔ·ÙÂÈ fiˆ˜ ÛÙÔ Z. ÃÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÌÂÁ›ÛÙÔ˘ ÎÔÈÓÔ‡ ‰È·ÈÚ¤ÙË, ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›· ÌΉ, ηıÒ˜ Î·È Ù· ÂfiÌÂÓ· Ï‹ÌÌ·Ù·: √ÚÈÛÌfi˜ 3.2.2. (1) ŒÛÙˆ fiÙÈ f (x), g(x) ∈ F[x]. ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ d(x) ∈ F[x] Â›Ó·È Ô Ì¤ÁÈÛÙÔ˜ ÎÔÈÓfi˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ (‹ ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›· ÌΉ) ÙˆÓ f (x) Î·È g(x), Â¿Ó ÙÔ d(x) Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ÌÔÓÔÛÙfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ô˘ ‰È·ÈÚ› Ù· g(x) Î·È f (x) ηÈ, ÂÈϤÔÓ, Â¿Ó ÁÈ· οı ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ d1 (x) Ô˘ ‰È·ÈÚ› Ù· g(x) Î·È f (x), ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ d1 (x) ‰È·ÈÚ› ÙÔ d(x). ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì d(x) = (g(x), f (x)). ∂¿Ó ( f (x), g(x)) = 1, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ Ù· f (x) Î·È g(x) Â›Ó·È ÚÒÙ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. (2) ªÈ· ¤ÎÊÚ·ÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ f (x)h(x) + g(x)k(x) ηÏÂ›Ù·È ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ f (x), g(x). §‹ÌÌ· 3.2.1. ¢Ôı¤ÓÙˆÓ ÙˆÓ f (x), g(x) ∈ F[x], Ô ÌΉ ˘¿Ú¯ÂÈ, Â›Ó·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi˜ Î·È ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÌÔÓÔÛÙfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ f (x), g(x). √ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÌΉ ‰‡Ô ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Á›ÓÂÙ·È Î·Ù¿ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ fiˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ‰‡Ô ·ÎÂÚ·›ˆÓ, ‰ËÏ·‰‹ ‰È¿ ÙÔ˘ ¢ÎÏ›‰ÂÈÔ˘ ·ÏÁÔÚ›ıÌÔ˘ Î·È Ë ‰È·‰Èηۛ· ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ 0 = f (x), 0 = g(x) ∈ F[x]. ∂Ê·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ Â·ÓÂÈÏËÌ̤ӈ˜ ÙÔÓ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›·: f (x) = q(x)g(x) + r (x), g(x) = q1 (x)r (x) + r1 (x), r (x) = q2 (x)r1 (x) + r2 (x), ··· ··· rk−1 (x) = qk+1 (x)rk (x). ∂Âȉ‹ οı ‰È·›ÚÂÛË ÌÂÈÒÓÂÈ ÙÔÓ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Î·È Ô ‚·ıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˜, Ë ‰È·‰Èηۛ· ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÙ·È Î·ÙfiÈÓ ÂÓfi˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡

33

3.2. ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ· Î·È ¶ÂÚÈÔ¯¤˜ ªÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘

Â·Ó·Ï‹„ˆÓ. ŒÛÙˆ rk (x) ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈÎfi ËÏ›ÎÔ Î·È c Ô ÂÈÎÂÊ·Ï‹˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ rk (x). ∆fiÙ ÙÔ c−1rk (x) Â›Ó·È Ô ÌΉ. ŒÂÙ·È ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 3.2.2. ∂ÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ ÛÙÔÓ Q[x], Ó· ¢ÚÂı› Ô ÌΉ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ f (x) = x 3 − 1 Î·È g(x) = x 2 − 2x + 1 Î·È Ó· ÂÎÊÚ·ÛÙ› ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔÓ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë ¤¯Ô˘ÌÂ: x 3 − 1 = (x 2 − 2x + 1)(x + 2) + (3x − 3),   1 1 2 x − 2x + 1 = (3x − 3) x− . 3 3 ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈÎfi ËÏ›ÎÔ Â›Ó·È ÙÔ 13 x − ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ô ÌΉ Â›Ó·È ÙÔ x − 1. ∂ÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ:

1 3

ηÈ, ˆ˜

3x − 3 = (x 3 − 1) − (x 2 − 2x + 1)(x + 2) Î·È Î·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó: x −1=

1 3 1 (x − 1) − (x 2 − 2x + 1)(x + 2). 3 3

ŒÙÛÈ ÂÎÊÚ¿Û·Ì ÙÔÓ ÌΉ ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi Û˘Ó‰˘·ÛÌfi ÙˆÓ ‰‡Ô ‰Ôı¤ÓÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ. 2 §‹ÌÌ· 3.2.2 (§‹ÌÌ· ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë). ∂¿Ó ÙÔ p(x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î·È ‰È·ÈÚ› ÙÔ f (x)g(x), ÙfiÙ ›Ù ÙÔ p(x) ‰È·ÈÚ› ÙÔ f (x) ›Ù ÙÔ p(x) ‰È·ÈÚ› ÙÔ g(x). ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ p(x) ‰ÂÓ ‰È·ÈÚ› ÙÔ f (x). ∆fiÙÂ, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ p(x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ, Ù· p(x) Î·È f (x) ı· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÚÒÙ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ™˘ÓÂÒ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· h(x) Î·È k(x) Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙÂ: f (x)h(x) + p(x)k(x) = 1. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì Ì g(x) Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ: g(x) f (x)h(x) + g(x) p(x)k(x) = g(x). ∆ÒÚ·, ÙÔ p(x) ‰È·ÈÚ› οı fiÚÔ ÙÔ˘ ·ÚÈÛÙÂÚÔ‡ ̤ÏÔ˘˜ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘, ÂÊfiÛÔÓ p(x)|g(x) f (x) Î·È ¿Ú· p(x)|g(x).

34

3. ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 3.2.3. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ x 2 + x + 1 Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q[x] Î·È ÙÔ˘ R[x] ·ÏÏ¿ fi¯È ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C[x]. ∂¿Ó ÙÔ f (x) = x 2 + x + 1 ‰È¤ıÂÙ ¤Ó·Ó ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÛÙÔ R[x], ÙfiÙ ·˘Ùfi˜ Ô ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ı· ¤ÚÂ ӷ ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 1, ÂÊfiÛÔÓ deg f (x) = 2 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ı· ˘‹Ú¯Â οÔÈ· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ f (x) Û ‰‡Ô ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜: f (x) = x 2 + x + 1 = (ax + b)(cx + d). ∆fiÙ fï˜ ÙÔ f (x) ı· ›¯Â ¤Ó· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÙÔ −b/a. øÛÙfiÛÔ, ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô Â‡ÚÂÛ˘ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÁÈ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡, ¤¯Ô˘Ì ˆ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙȘ: √ √ −1 + 3i −1 − 3i ω1 = , ω2 = , 2 2 ÔÈ Ôԛ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ f (x) ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ÙfiÛÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R[x], fiÛÔ Î·È ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q[x]. ŒÓ·˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÛÙÔÓ C[x] ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ f (x) = (x − ω1 )(x − ω2 ) ηÈ, ηÙ' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, ·˘Ùfi ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ C[x]. 2 £ÂÒÚËÌ· 3.2.1. ∂¿Ó 0 = f (x) ∈ F[x], ÙfiÙ ÙÔ f (x) ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË Û ·Ó¿ÁˆÁ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋ Ì ÌfiÓË Èı·Ó‹ ÂÍ·›ÚÂÛË ÙË ‰È¿Ù·ÍË Î·È ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜. ªÂ ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ· Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ F[x] Â›Ó·È ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ·Ó¿Ï˘Û˘. ∏ ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È Û¯Â‰fiÓ ›‰È· Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÁÈ· ÙÔ Z ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ·ÏÒ˜ ı· ÙË ÛÎÈ·ÁÚ·Ê‹ÛÔ˘ÌÂ. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠Â·ÁˆÁ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ f (x) ÁÈ· Ó· Û˘Ó·Á¿ÁÔ˘Ì ÌÈ· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË Û ·Ó¿ÁˆÁ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. ∂¿Ó deg f (x) = 1, ÙfiÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ deg f (x) = n > 1. ∂¿Ó ÙÔ f (x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ, ÙfiÙÂ Ë ·Ó¿ÁˆÁË ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ·˘Ùfi ÙÔ ›‰ÈÔ. ∂¿Ó ÙÔ f (x) ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ, ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ f (x) = h(x)g(x) Ì deg g(x) < n Î·È deg h(x) < n. §fiÁˆ Ù˘ Â·ÁˆÁÈ΋˜ ˘fiıÂÛ˘, Ù· g(x) Î·È h(x) ¤¯Ô˘Ó ·Ó¿ÁˆÁ˜ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂȘ. ∆Ô ›‰ÈÔ ‚‚·›ˆ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x). ∆ÒÚ· ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ f (x) ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂȘ Û ·Ó¿ÁˆÁ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·: f (x) = p1 (x)n 1 . . . pk (x)n k = q1 (x)m 1 . . . qt (x)m t ,

3.3. £¤ÛÂȘ ªË‰ÂÓÈÛÌÔ‡ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Î·È ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË

35

fiÔ˘ Ù· pi (x) Ì i = 1, . . . , k Î·È q j (x) Ì j = 1, . . . , t Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. ∂ÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ pi (x), ¤¯Ô˘Ì pi (x)|q1 (x)m 1 . . . qt (x)m t ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ·fi ÙÔ Ï‹ÌÌ· ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë ÈÛ¯‡ÂÈ pi (x)|q j (x) ÁÈ· οÔÈÔ j. ∂Âȉ‹ ·ÌÊfiÙÂÚ· Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁ·, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ pi (x) = cq j (x) ÁÈ· οÔÈÔ ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô c. ªÂ Â·Ó·Ï·Ì‚·ÓfiÌÂÓË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ÚÔËÁËı¤ÓÙÔ˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÂÍ¿ÁÂÙ·È Ë ÈÛfiÙËÙ· n i = m j . ™˘ÓÂÒ˜, ¤¯Ô˘ÌÂ Î·È ÛÙȘ ‰‡Ô ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂȘ Ù· ›‰È· ·Ó¿ÁˆÁ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Ì ÙȘ ›‰È˜ ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ˜, Ù· ÔÔ›· Èı·ÓfiÓ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ÌfiÓÔÓ ˆ˜ ÚÔ˜ οÔÈÔ˘˜ ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜. ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·Ú·Ù‹ÚËÛË ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ·. ŸÏË ·˘Ù‹ Ë ÂȯÂÈÚËÌ·ÙÔÏÔÁ›· ı· ÌÔÚÔ‡Û Â›Û˘ Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ıÂÒÚËÛ˘ ÂÓfi˜ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘ R ·ÓÙ› ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F. ∂›Ó·È Ì¿ÏÈÛÙ· ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó ÙÔ R Â›Ó·È ÌÈ· ¶ª¶, ÙfiÙ ÙÔ R[x] ı· Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÈ· ¶ª¶Ø Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÙÔ Z[x] Â›Ó·È ÌÈ· ¶ª¶. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÂÓ ÚÔÎÂÈ̤ӈ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ Î·È Î¿ˆ˜ ÈÔ ÂÚ›ÏÔÎË ·fi ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Ô˘ ÂÎÙÂÏÂ›Ù·È ÁÈ· Ù· ÛÒÌ·Ù·.

3.3

£¤ÛÂȘ ªË‰ÂÓÈÛÌÔ‡ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Î·È ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË

∆ÒÚ· ı· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ f (x) ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Î·È deg f (x) > 1, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ ÙÔ f (x) ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ. §‹ÌÌ· 3.3.1. ∂¿Ó c Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ P(x), ÙfiÙ ÙÔ (x − c) ‰È·ÈÚ› ÙÔ P(x), ‰ËÏ·‰‹ P(x) = (x − c)Q(x) Ì deg Q(x) = deg P(x) − 1. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ P(c) = 0. ∆fiÙ ·fi ÙÔÓ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ı· ¤¯Ô˘Ì P(x) = (x − c)Q(x) + r (x), fiÔ˘ r (x) = 0 ‹ r (x) = f ∈ F, ÂÊfiÛÔÓ deg r (x) < deg(x − c) = 1. ∂Ô̤ӈ˜: P(x) = (x − c)Q(x) + f. £¤ÙÔÓÙ·˜ fiÔ˘ x ÙÔ c Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ: P(c) = 0 + f = 0. ÕÚ· f = 0 Î·È P(x) = (x − c)Q(x).

36

3. ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

¶fiÚÈÛÌ· 3.3.1. ŒÓ· ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ ÙÔ˘ 1 ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ·fi ÙÔ F. ∞fi ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ıÂÒÚËÌ·: £ÂÒÚËÌ· 3.3.1. ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ n ÛÙÔ F[x] ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ Ôχ n ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ P(x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi n Î·È fiÙÈ c1 , . . . , cn Â›Ó·È n ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘. ∫·ÙfiÈÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 3.3.1 ¤ÂÙ·È: P(x) = k(x − c1 ) . . . (x − cn ), fiÔ˘ k ∈ F. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë c Â›Ó·È ÌÈ· ¿ÏÏË ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∆fiÙ P(c) = 0 = k(c − c1 ) . . . (c − cn ). ∂Âȉ‹ ¤Ó· ÛÒÌ· F ‰ÂÓ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˜, οÔÈÔ˜ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÓˆÙ¤Úˆ fiÚÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Î·Ù' ·Ó¿ÁÎËÓ Ì Ìˉ¤Ó, ‰ËÏ·‰‹ c − ci = 0 ÁÈ· οÔÈÔ i. ∂Ô̤ӈ˜ c = ci . ¢È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ (‚·ıÌÔ‡ n) Â›Ó·È ÙÔ Ôχ n ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ï‹ıÔ˜Ø ÂÈϤÔÓ Â›Ó·È Û·ÊÒ˜ ηıÔÚÈṲ̂Ó˜. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ P(x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi n Î·È ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙȘ c1 , . . . , ck Ì k ≤ n, ÙfiÙ ÏfiÁˆ Ù˘ ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ ÛÙÔ F[x] ¤¯Ô˘ÌÂ: P(x) = (x − c1 )m 1 . . . (x − ck )m k Q 1 (x) . . . Q t (x), fiÔ˘ Ù· Q i (x) Ì i = 1, . . . , t Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁ· Î·È ‚·ıÌÔ‡ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ ·fi 1. √È ÂÎı¤Ù˜ m i ηÏÔ‡ÓÙ·È ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ci . ŒÛÙˆ c ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∆fiÙÂ, fiˆ˜ Î·È ·ÓˆÙ¤Úˆ, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ: (c − c1 )m 1 . . . (c − ck )m k Q 1 (c) . . . Q t (c) = 0. ∆ÒÚ· Q i (c) = 0 ÁÈ· i = 1, . . . , t, ‰ÈfiÙÈ ÙÔ Q i (x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ‚·ıÌÔ‡ > 1. ™˘ÓÂÒ˜ (c − ci ) = 0 ÁÈ· οÔÈÔ i Î·È ¿Ú· c = ci . ¶fiÚÈÛÌ· 3.3.2. ∂¿Ó P(x) ∈ F[x], Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ deg P(x) = 2, ÙfiÙ ÙÔ P(x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·fi ÙÔ F.

3.4. ¶Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

37

∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ P(x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ. ∂Âȉ‹ deg P(x) > 1, ÙÔ P(x) ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ·fi ÙÔ F. ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ P(x) ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ì›· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ·fi ÙÔ F. ∂¿Ó ÙÔ P(x) ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ, ÙfiÙ ı· ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ: P(x) = (ax + b)(cx + d). ∞ÏÏ¿ ÙfiÙ ̛· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ P(x) Â›Ó·È Ë −b/a ∈ F.

3.4

¶Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

∂ÊÂÍ‹˜ ı· ıˆÚԇ̠ÌfiÓÔÓ Ù· R Î·È C Î·È ı· ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ Ì Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, ‰ËÏ·‰‹ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙ· R[x] Î·È C[x] ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ∫·Ù' ·Ú¯¿˜, ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙԇ̠ٷ ·ÎfiÏÔ˘ı· ÛËÌ·ÓÙÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·: £ÂÒÚËÌ· 3.4.1. ∫¿ı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ P(x) ∈ R[x] Ì deg P(x) = n = 2k + 1 Î·È fiÙÈ Ô ÂÈÎÂÊ·Ï‹˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Ô an > 0 (Ë ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È Û¯Â‰fiÓ Ù·˘ÙfiÛËÌË ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ an < 0). ∆fiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: P(x) = an x n + (ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ fiÚÔÈ) Ì ÙÔÓ n ÂÚÈÙÙfi Î·È ÂÈϤÔÓ (1) limx→∞ P(x) = limx→∞ an x n = ∞, ÂÊfiÛÔÓ an > 0, (2) limx→−∞ P(x) = limx→−∞ an x n = −∞, ÂÊfiÛÔÓ an > 0 Î·È Ô n Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜. ∞fi ÙËÓ (1) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ x1 Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· P(x1 ) > 0 Î·È ·fi ÙË (2) fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ x2 Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· P(x2 ) < 0. ŒÓ· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ ÁÈ· fiÏ· Ù· x ∈ R. ∂Âȉ‹ ÈÛ¯‡ÂÈ P(x1 )P(x2 ) < 0, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ x1 Î·È x2 ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô x3 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ P(x3 ) = 0. ÕÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ˘Ì¤ÓÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ÂÍ‹˜:

38

3. ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

¶fiÚÈÛÌ· 3.4.1. ∂¿Ó ÙÔ P(x) ∈ R[x] Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ Î·È ÌË ÁÚ·ÌÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜. (£· ‰Ô‡Ì ÂÓ Û˘Ó¯›· fiÙÈ Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛÔ‡Ù·È Ì 2.) ∆ÒÚ· ı· ÛÙÚ·Êԇ̠ÛÙËÓ ÂͤٷÛË ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ. §‹ÌÌ· 3.4.1. ∫¿ı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ 2 ¤¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ C. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ ¿ÌÂÛ· ·fi ÙÔÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi Ù‡Ô. ∂¿Ó P(x) = ax 2 + bx + c, ÙfiÙ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÂÓ ÏfiÁˆ Ù‡Ô Â›Ó·È ÔÈ ÂÍ‹˜: √ √ −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac x1 = Î·È x2 = . 2a 2a ∞fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ DeMoivre οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ù· x1 , x2 ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ C. ∂¿Ó b2 − 4ac = 0, ÙfiÙ ‚‚·›ˆ˜ x1 = x2 . °È· Ó· ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Û˘˙˘ÁÔ‡˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘, ηıÒ˜ Î·È Î¿ÔȘ ¿ÌÂÛ˜ Û˘Ó¤ÂȤ˜ Ù˘. √ÚÈÛÌfi˜ 3.4.1. ∂¿Ó ÙÔ P(x) = a0 + · · · + an x n Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, ÙfiÙ ÙÔ Û˘˙˘Á¤˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P(x) = a0 + · · · + an x n . ¢ËÏ·‰‹ ÙÔ Û˘˙˘Á¤˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘˜ Û˘˙˘Á›˜ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ ÙÔ˘ P(x). §‹ÌÌ· 3.4.2. °È· οı P(x) ∈ C[x] ÈÛ¯‡ÂÈ: (1) P(z) = P(z), Â¿Ó z ∈ C, (2) ÙÔ P(x) Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó P(x) = P(x), (3) Â¿Ó P(x)Q(x) = H (x), ÙfiÙ H (x) = (P(x))(Q(x)). ∞fi‰ÂÈÍË. (1) ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ z ∈ C Î·È P(z) = a0 + · · · + an z n . ∆fiÙÂ: P(z) = a0 + · · · + an z n = a0 + a1 z + · · · + an z n = P(z). (2) ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ P(x) Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∆fiÙ ai = a i ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘. ∂Ô̤ӈ˜ P(x) = P(x). ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘ÌÂ

3.4. ¶Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

39

fiÙÈ P(x) = P(x). ∆fiÙ ai = a i ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Î·È ¿Ú· ai ∈ R ÁÈ· οı ai . ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ P(x) Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. (3) ∏ ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È ˙‹ÙËÌ· Ú¿ÍÂˆÓ Î·È ÚÔÙ›ÓÂÙ·È ˆ˜ ¿ÛÎËÛË.

§‹ÌÌ· 3.4.3. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ G(x) ∈ C[x]. ∆fiÙ ÙÔ H (x) = G(x)G(x) ∈ R[x]. ∞fi‰ÂÈÍË. H (x) = G(x)G(x) = G(x)G(x) = G(x)G(x) = G(x)G(x) = H (x). ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÙÔ H (x) Â›Ó·È ¤Ó· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ.

§‹ÌÌ· 3.4.4. ∂¿Ó f (x) ∈ R[x] Î·È Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ f (z 0 ) = 0, ÙfiÙ f (z 0 ) = 0 Î·È ¿Ú· ÔÈ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ˘fi ÙË ÌÔÚÊ‹ Û˘˙˘ÁÒÓ ˙¢ÁÒÓ. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· f (z 0 ) = 0 Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ f (z 0 ) = 0. ∞ÏÏ¿ ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ f (z 0 ) = 0 ηÈ, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ f (x) Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi, f (x) = f (x). ∂Ô̤ӈ˜ f (z 0 ) = 0. ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ fiÙÈ, Â¿Ó z 0 Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ f (x) ∈ R[x], ÙfiÙ ٷ (x − z 0 ) Î·È (x − z 0 ) ‰È·ÈÚÔ‡Ó ÙÔ f (x). §‹ÌÌ· 3.4.5. (x − z)(x − z) ∈ R[x] ÁÈ· οı z ∈ C. ∞Ê‹ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ˆ˜ ¿ÛÎËÛË. ™˘ÓÂÒ˜, οı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ ≤ 3 ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Ï‹Úˆ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C. ∆¤ÏÔ˜, Û˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ÂÓfiÙËÙ· Ì ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ ÂÍ‹˜: ÁÈ· Ó· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Â›Ó·È Â·Ú΋˜ Ë ‰È·›ÛÙˆÛË fiÙÈ Ù· Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. £ÂÒÚËÌ· 3.4.2. ∂¿Ó οı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÙfiÙ οı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡.

40

3. ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ P(x) ∈ C[x] Î·È ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ŒÛÙˆ H (x) = P(x)P(x). ∞fi ÙÔ §‹ÌÌ· 3.4.3 ¤¯Ô˘Ì H (x) ∈ R[x]. ∞fi ÙËÓ ˘fiıÂÛË, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ z 0 ∈ C Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· H (z 0 ) = 0. ∆fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ P(z 0 )P(z 0 ) = 0 ηÈ, ÂÂȉ‹ ÙÔ C ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˜, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ Â›Ù P(z 0 ) = 0 ›Ù P(z 0 ) = 0. ™ÙËÓ ÚÒÙË ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ z 0 Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ P(x). ™ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÂÚ›ÙˆÛË P(z 0 ) = 0, ·ÏÏ¿ ‚¿ÛÂÈ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 3.4.2 ¤¯Ô˘Ì 0 = P(z 0 ) = P(z 0 ) = P(z 0 ). ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ z 0 ·ÔÙÂÏ› ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ P(x). ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ fiÙÈ ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ıÂÒÚËÌ· ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∞ÏÒ˜ ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ·ÚΛ Ó· Á›ÓÂÈ ÌfiÓÔÓ ÁÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·.

3.5

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ¶ÚÒÙË ∞fi‰ÂÈÍË

∆ÒÚ· ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÚÒÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ‚·ÛÈ˙fiÌÂÓÔÈ ·ÔÎÏÂÈÛÙÈÎÒ˜ ÛÙÔÓ ∞ÓÒÙÂÚÔ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi, ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·: §‹ÌÌ· 3.5.1. ∂¿Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : D → R Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ D, fiÔ˘ ÙÔ D Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ (Û˘Ì·Á¤˜) ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R2 , ÙfiÙÂ Ë f (x, y) Ï·Ì‚¿ÓÂÈ Î·È ÙËÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙË Î·È ÙË Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ Â› ÙÔ˘ D. ∞˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ‰ÈۉȿÛÙ·ÙË ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ ∞ÎÚfiÙ·ÙˆÓ ∆ÈÌÒÓ ÙÔ˘ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ, Â¿Ó Ë f : [a, b] → R Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÙfiÙÂ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (x) ¤¯ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ Î·È Ì¤ÁÈÛÙÔ ÛÙÔ [a, b]. °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ÙÔ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤Ó ıÂÒÚËÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙÂ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f : Rn → R Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÂ Û˘Ì·Á‹ Û‡ÓÔÏ· Î·È ÁÈ· οı n ≥ 1. ∞ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 3.5.1 ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û οı ‚È‚Ï›Ô ∞ÓÒÙÂÚÔ˘ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. £ÂÒÚËÌ· 3.5.1 (£ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜). ∂¿Ó ÙÔ f (x) ∈ C[x] Î·È Â›Ó·È ÌË ÛÙ·ıÂÚfi, ÙfiÙ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∏ ·fi‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi Ù· ÂfiÌÂÓ· ‰‡Ô Ï‹ÌÌ·Ù·:

3.5. ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ – ¶ÚÒÙË ∞fi‰ÂÈÍË

41

§‹ÌÌ· 3.5.2. ŒÛÙˆ f (x) ∈ C[x]. ∆fiÙ ÙÔ | f (x)| ÚÔÛÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 ∈ C. ∞fi‰ÂÈÍË. ∂›Ó·È ¿ÌÂÛÔ fiÙÈ, fiÙ·Ó |x| → ∞, ÙfiÙ | f (x)| → ∞. ∂Âȉ‹ ÙÔ | f (x)| Á›ÓÂÙ·È ÌÂÁ¿ÏÔ ÁÈ· ÌÂÁ¿Ï· |x|, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· m ÙÔ˘ | f (z)| ÁÈ· z ∈ C, Â›Ó·È Â›Û˘ ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ· Û οÔÈÔÓ ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ ‰›ÛÎÔ |z| ≤ r . ∂Âȉ‹ Ë | f (x)| Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜, ·fi ÙÔ §‹ÌÌ· 3.5.1 Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ | f (x)| ı· ·ÔÎÙ¿ ÙËÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ÂÓ ÏfiÁˆ ‰›ÛÎÔ˘. §‹ÌÌ· 3.5.3. ŒÛÙˆ fiÙÈ f (x) ∈ C[x] Ì ÙÔ f (x) ÌË ÛÙ·ıÂÚfi. ∂¿Ó f (x0 ) = 0, ÙfiÙÂ Ë | f (x0 )| ‰ÂÓ Â›Ó·È Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ | f (x)|. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ f (x) ¤Ó· ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ x0 Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô Ì f (x0 ) = 0. ∂¿Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ x Ì ÙÔ x + x0 , ÙfiÙ ÙÔ x0 ÌÂÙ·Ù›ıÂÙ·È ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Î·È, ÂÔ̤ӈ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (0) = 0. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ f (x) Ì f (0)−1 , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (0) = 1. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ 1 ‰ÂÓ Â›Ó·È Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ | f (x)|. ŒÛÙˆ k Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÌË ÌˉÂÓÈ΋ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ x Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙÔ f (x). ∆fiÙ ÌÔÚ› Ó· ˘Ôı¤ÛÂÈ Î·Ó›˜ fiÙÈ ÙÔ f (x) ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹: f (x) = 1 + ax k + (fiÚÔÈ ‚·ıÌÔ‡ > k). ∆ÒÚ· ¤ÛÙˆ α Ì›· k – ÔÛÙ‹ Ú›˙· ÙÔ˘ −a −1 , Ë ÔÔ›· ˘¿Ú¯ÂÈ ÏfiÁˆ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ DeMoivre. ∫¿ÓÔÓÙ·˜ ÌÈ· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·ÏÏ·Á‹ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜, ıˆÚԇ̠ÙÔ αx ·ÓÙ› ÙÔ˘ x Î·È ¤ÙÛÈ ÙÔ f (x) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: f (x) = 1 − x k + x k+1 g(x) ÁÈ· οÔÈÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ g(x). Afi ÙËÓ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÁÈ· ıÂÙÈΤ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x ¤¯Ô˘ÌÂ: | f (x)| ≤ |1 − x k | + x k+1 |g(x)|. ∞ÏÏ¿ x k < 1 ÁÈ· ÌÈÎÚ¿ x ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ ÈÛfiÙËÙ· ·ÔÎÙ¿ ÙË ÌÔÚÊ‹: | f (x)| ≤ 1 − x k + x k+1 |g(x)| = 1 − x k (1 − x|g(x)|).

42

3. ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

°È· ÌÈÎÚ¿ Ú·ÁÌ·ÙÈο x, ÙÔ x|g(x)| Â›Ó·È ÌÈÎÚfi ηÈ, ¿Ú·, ÙÔ x0 ÌÔÚ› Ó· ÂÈÏÂÁ› ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ x0 |g(x0 )| < 1 Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ x0k (1 − x0 |g(x0 )|) > 0. ™˘ÓÂÒ˜ | f (x0 )| < 1 = | f (0)|, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. √ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ‰‡Ô ÏËÌÌ¿ÙˆÓ ·Ú¤¯ÂÈ ÙËÓ ÚÒÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ f (x) ¤Ó· ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∞fi ÙÔ §‹ÌÌ· 3.5.2 ÙÔ | f (x)| Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô x0 ∈ C. ∆fiÙÂ, ·fi ÙÔ §‹ÌÌ· 3.5.3 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ | f (x0 )| = 0 Î·È ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ f (x0 ) = 0, ÂÊfiÛÔÓ Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ x0 ‰ÂÓ ı· ‹Ù·Ó Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÙÔ f (x) ‰È·ı¤ÙÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡.

3.6

™˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜

™ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÂÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ·ÚfiÓÙÔ˜ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÌÂÚÈΤ˜ ·fi ÙȘ Û˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜. ¶fiÚÈÛÌ· 3.6.1. ŒÓ· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Ï‹Úˆ˜ Û ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ f (x) ∈ C[x]. £· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì Â·ÁˆÁ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ f (x). ∆Ô fiÚÈÛÌ· Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙ·Ó deg f (x) = 1, ÂÊfiÛÔÓ ÙfiÙ ÙÔ f (x) Â›Ó·È ·Ê' ·˘ÙÔ‡ ÁÚ·ÌÌÈÎfi. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ deg f (x) = n. ∞fi ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ x0 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ (x − x0 ) ‰È·ÈÚ› ÙÔ f (x). ÕÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ f (x) = (x − x0 )g(x) Ì deg g(x) < n. µ¿ÛÂÈ Ù˘ Â·ÁˆÁÈ΋˜ ˘fiıÂÛ˘, ÙÔ g(x) ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ ˆ˜ Î·È ÙÔ f (x) Â›Ó·È ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÈÌÔ. ¶fiÚÈÛÌ· 3.6.2. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (x) ∈ C[x] Ì deg f (x) = n Î·È fiÙÈ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ f (x) Â›Ó·È ÔÈ x1 , x2 , . . . , xn (fi¯È ηÙ' ·Ó¿ÁÎËÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜). ∆fiÙÂ: f (x) = α(x − x1 ) . . . (x − xn ), α ∈ C.

43

∞Û΋ÛÂȘ

¶fiÚÈÛÌ· 3.6.3. ŒÓ· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ‚·ıÌÔ‡ 1 Î·È ‚·ıÌÔ‡ 2. πÛÔ‰‡Ó·Ì·, Ù· ÌfiÓ· ·Ó¿ÁˆÁ· Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Â›Ó·È Ù· ÁÚ·ÌÌÈο Î·È Ù· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ fiÙÈ P(x) ∈ R[x]. ∆fiÙ P(x) ∈ C[x]. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ z 1 , . . . , z n Â›Ó·È ÔÈ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ Î·È ¤ÙÛÈ: P(x) = α(x − z 1 ) . . . (x − z n ), fiÔ˘ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË α ∈ R, ‰ÈfiÙÈ Ô α Â›Ó·È Ô ÂÈÎÂÊ·Ï‹˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ P(x). ∂¿Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ z i Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi, ÙfiÙ ÙÔ (x − z i ) Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜. ∂¿Ó ÙÔ z i ∈ R, ÙfiÙÂ Ô ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ Û˘˙˘Á‹˜ ÙÔ˘ z i Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡Ø ·ÏÏ¿ ÙfiÙ ÙÔ (x − z i )(x − z i ) Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ‚·ıÌÔ‡ 2. ¶fiÚÈÛÌ· 3.6.4. ŒÓ· ·Ó¿ÁˆÁÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi ‹ 1 ‹ 2. ∏ ÚÔËÁËı›۷ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ı· ·ÔÙÂϤÛÂÈ Î›ÓËÙÚÔ ÁÈ· ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘, Ë ÔÔ›· ı· ‚·ÛÈÛÙ› ÛÙÔ ÈÔ ÁÂÓÈÎfi £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville. ∆Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ıÂÒÚËÌ· ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÌÈ· ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô Â›Ó·È Î·Ù' ·Ó¿ÁÎËÓ ÛÙ·ıÂÚ‹. ªÈ· ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈÁ·‰È΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ C. °È· ÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË ÙÔ˘ ÂÓ ÏfiÁˆ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÚÔ··ÈÙÂ›Ù·È Ë ·Ó¿Ù˘ÍË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ ·fi ÙË ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË, ‰ËÏ·‰‹ ÂÓÓÔÈÒÓ ·fi ÙÔÓ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙȘ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ∞˘Ùfi ·ÎÚÈ‚Ò˜ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ÙˆÓ ÂfiÌÂÓˆÓ ‰‡Ô ÎÂÊ·Ï·›ˆÓ.

∞Û΋ÛÂȘ 3.1. ¡· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ §‹ÌÌ· 3.1.1, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ, Â¿Ó P(x), Q(x) ∈ F[x], ÙfiÙ deg P(x)Q(x) = deg P(x) + deg Q(x) Î·È deg(P(x) ± deg Q(x)) ≤ max(deg P(x), deg Q(x)).

44

3. ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Î·È ªÈÁ·‰Èο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

3.2. ¡· Â·ÏËı¢ı› fiÙÈ Ô F[x] Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ‰Â›¯ÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘. 3.3. ŒÛÙˆ S ˘Ô‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F (fiˆ˜ Ô Z ÛÙÔ R). ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ô S[x] ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙÔ˘ F[x] ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ S. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ô S[x] Â›Ó·È ˘Ô‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ÙÔ˘ F[x]. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È ˘Ô‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜, fiÙ·Ó Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi Î·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi. 3.4. ∂‰Ò ˆ˜ ·ÊÂÙËÚ›· ı· ¤¯Ô˘Ì ÙÔ ÂÍ‹˜: £ÂÒÚËÌ·. ¢Ôı¤ÓÙˆÓ (n + 1) ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ x0 , x1 , . . . , xn ·fi ¤Ó· ÛÒÌ· F Î·È (n + 1) ÂÈϤÔÓ ÙÈÌÒÓ y0 , y1 , . . . , yn ·fi ÙÔ F, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x) ∈ F[x] ‚·ıÌÔ‡ ≤ n Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ f (xi ) = yi ÁÈ· i = 0, 1, . . . , n. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÂÎÙÂÏÂ›Ù·È Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÛÙÔȯ›ˆÓ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ ¿ÏÁ‚ڷ˜. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (x) = a0 + a1 x + · · · + an x n , fiÔ˘ Ù· ai ıˆÚÔ‡ÓÙ·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜. ∞fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ f (xi ) = yi ÚÔ·ÙÂÈ ¤Ó· (n + 1) × (n + 1) Û‡ÛÙËÌ· ÂÍÈÛÒÛˆÓ: a0 + a1 x0 + · · · + an x0n = y0 a0 + a1 x1 + · · · + an x1n = y1 ··· ··· a0 + a1 xn + · · · + an xnn = yn . √ ›Ó·Î·˜ ÙÔ˘ ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ (fiÔ˘ Ù· ai Â›Ó·È ÔÈ ¿ÁÓˆÛÙÔÈ) ηÏÂ›Ù·È ›Ó·Î·˜ ÙÔ˘ Vandermonde ηÈ, ÂÂȉ‹ Ù· xi Â›Ó·È ·Ó¿ ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈο, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Ô ›Ó·Î·˜ ¤¯ÂÈ ÌË ÌˉÂÓÈ΋ ÔÚ›˙Ô˘Û·. ∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· Î·È ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ˆ˜ ÚÔ˜ Ù· a0 , a1 , . . . , an . (a) ¡· ¢ÚÂı› ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P(x) ∈ R[x] ‚·ıÌÔ‡ deg ≤ 2, ÙÔ ÔÔ›Ô ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ P(0) = 1, P(1) = 2 Î·È P(2) = 2. (b) ¡· ¢ÚÂı› ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P(x) ∈ Z7 [x] ‚·ıÌÔ‡ deg ≤ 2, ÙÔ ÔÔ›Ô ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ P(0) = 1, P(1) = 2 Î·È P(2) = 2. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ Z7 Â›Ó·È ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ modulo 7. 3.5.

(a) ¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÛÎËÛ˘ 3.4 ÁÈ· Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó ÙÔ F Â›Ó·È ÛÒÌ· Ì ¿ÂÈÚÔ Ï‹ıÔ˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ Î·È f (x), g(x) ∈ F[x], Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (s) = g(s) ÁÈ· οı s ∈ F, ÙfiÙ ٷ f (x) Î·È g(x) Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È. (b) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÓfi˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ·ÏËı¤˜. (Àfi‰ÂÈÍË: ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ ¯¿ÚÈÓ, ÂÍÂÙ¿ÛÙ ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· f (x) = x + 1, g(x) = x 2 + 1 ÛÙÔ Z2 [x].)

∞Û΋ÛÂȘ

45

3.6. ¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ô ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˜ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÁÈ· Ó· ¢ÚÂı› ÙÔ ËÏ›ÎÔ Î·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÛÙ· ·ÎfiÏÔ˘ı· ˙‡ÁË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, ÔÚÈ˙fiÌÂÓ· ‚‚·›ˆ˜ ÛÙÔ˘˜ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ô˘ Ù· Û˘Óԉ‡ԢÓ: (a) f (x) = x 3 + 5x 2 + 6x + 1, g(x) = x − 1 ÛÙÔÓ R[x], (b) f (x) = x 3 + 5x 2 + 6x + 1, g(x) = x − 1 ÛÙÔÓ Z5 [x], (c) f (x) = x 3 + 5x 2 + 6x + 1, g(x) = x − 1 ÛÙÔÓ Z13 [x]. 3.7. ¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ô Â˘ÎÏ›‰ÂÈÔ˜ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˜ ÁÈ· Ó· ¢ÚÂı› Ô ÌΉ ÙˆÓ ˙¢ÁÒÓ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Î·È Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ӷ ÛÙÔÓ Q[x]: (a) f (x) = 2x 3 − 4x 2 + x − 2, g(x) = x 3 − x 2 − x − 2, (b) f (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, g(x) = x 3 − 1. 3.8. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ K . ∆fiÙÂ, ÏfiÁˆ Ù˘ ÕÛÎËÛ˘ 3.3, Ô F[x] Â›Ó·È ˘Ô‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ÙÔ˘ K [x]. ŒÛÙˆ f (x), g(x), h(x) ∈ K [x] Î·È ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (x) = g(x)h(x). ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó ‰‡Ô ·fi Ù· ÙÚ›· ·˘Ù¿ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔÓ F[x], ÙfiÙÂ Î·È ÙÔ ÙÚ›ÙÔ ı· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔÓ F[x]. 3.9. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ f (x) = x 2 + x + 4 Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ÛÙÔÓ R[x], ·ÏÏ¿ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Ï‹Úˆ˜ ÛÙÔÓ C[x]. ¡· ‰Ôı› Ë ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘. ∆Ô ›‰ÈÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Ï‹Úˆ˜ ÛÙÔÓ Z3 [x]. ¡· ‰Ôı› Ë ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘ Î·È Û ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ. 3.10. ¡· ÂÎÙÂÏÂÛÙ› ÌÈ· ‰ÈÂÍÔ‰È΋ ·fi‰ÂÈÍË ÁÈ· ÙÔÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi Ù‡Ô Î·È Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ Ù‡Ô˜ ÈÛ¯‡ÂÈ ˘ÂÚ¿Óˆ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋˜ = 2. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ 2 = 0 ÛÙÔ F. ( ¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.) ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ÛÙ· ÛÒÌ·Ù· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋˜ 2; 3.11. ¡· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (3) ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 3.4.2 : Â¿Ó Ù· P(x) Î·È Q(x) Â›Ó·È ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, ÙfiÙ P Q(x) = P(x)Q(x). 3.12. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó z ∈ C, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ (x − z)(x − z) ∈ R[x].

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 4

ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ 4.1

ªÈÁ·‰ÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ·

∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ‚·Û›ÛÙËΠ·ÔÎÏÂÈÛÙÈÎÒ˜ ÛÙÔÓ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓØ ˆÛÙfiÛÔ, ·ÔÙÂÏ› ÙÔÓ ÚÔÔÌfi ÂÓfi˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ˘ ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜ ÁÓˆÛÙÔ‡ ˆ˜ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville, ÙÔ ÔÔ›Ô Î·È ı· ·ԉ›ÍÔ˘ÌÂ. ∞fi ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ı· ÚÔ·„ÂÈ ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ˆ˜ ·Ïfi fiÚÈÛÌ·. °È· ÙËÓ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ ··ÈÙÂ›Ù·È Ë ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘, ‹ÙÔÈ Ù˘ ·Ó¿Ï˘Û˘ Ô˘ ·ÊÔÚ¿ ÛÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ë ÔÔ›· ÂÂÎÙ›ÓÂÈ ÙÔÓ ÁÓˆÛÙfi ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi ÛÙȘ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. √È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f : C → C, w → f (w) = z ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ∆· w, z ∈ C ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÂÓ ÚÔÎÂÈ̤ӈ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜. ∂¿Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ ÛÒÌ· C ˆ˜ ÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi Â›‰Ô, ÙfiÙ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ÌÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË, ‹ ¤Ó·˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜, ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂÈ¤‰Ô˘ ÛÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘. ∂¿Ó z = x + i y = (x, y) Î·È w = u + iv, ÙfiÙ ÔÈ u = u(x, y) Î·È v = v(x, y) ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ. ø˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Û οı ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÂÈÛ˘Ó¿ÙÔÓÙ·È ·˘Ù¤˜ ÔÈ ‰‡Ô Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ: w = f (z) = u(z) + iv(z) 47

(4.1.1)

48

4. ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË u(z) ηÏÂ›Ù·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ Ù˘ f (z) Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì Re f (z), ÂÓÒ Ë v(z) ηÏÂ›Ù·È Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ Ù˘ f (z) Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì I m f (z). ™Â ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· ·ÙfiÌÂÓ· Ù˘ ÌÈÁ·‰È΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f (z) ·Ó¿ÁÔÓÙ·È Û ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÛÙȘ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ u(x, y) Î·È v(x, y). ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 4.1.1. ŒÛÙˆ Ë ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (z) = z 2 , Ù˘ ÔÔ›·˜ ı· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ٷ Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È ÌÈÁ·‰Èο ̤ÚË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ z = x +i y. ∆fiÙ z 2 = (x +i y)2 = (x 2 − y 2 )+i(2x y). ∂Ô̤ӈ˜, ÛÙËÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘Ì Re f (z) = x 2 − y 2 , ÂÓÒ I m f (z) = 2x y. √È ‚·ÛÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ÙÔ˘ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡ – Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ·Ú·ÁÒÁÈÛË Î·È ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË – ‚·Û›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘ ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, Ë ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘ ÂÈ‚¿ÏÏÂÙ·È Ó· ·Ú¯›ÛÂÈ Ì ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ¤ÓÓÔÈ·. øÛÙfiÛÔ, ·Ú¯ÈÎÒ˜ ı· ÂÈÛ·Á¿ÁÔ˘Ì ÌÂÚÈΤ˜ ··Ú·›ÙËÙ˜ ¤ÓÓÔȘ ·fi ÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›· ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂÈ¤‰Ô˘, ÔÈ Ôԛ˜ ÂӉ¯Ô̤ӈ˜ Ó· Â›Ó·È ‹‰Ë ÁÓˆÛÙ¤˜ ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ·fi ÙoÓ ∞ÓÒÙÂÚÔ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi. ∂¿Ó z 0 ∈ C, ÙfiÙÂ Ë ·ÓÔÈÎÙ‹ (΢ÎÏÈ΋)  – ÁÂÈÙÔÓÈ¿ ÙÔ˘ z0 , ÙËÓ ÔÔ›· ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì N (z 0 ), ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÂΛӷ Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fiÛÙ·ÛË  ·fi ÙÔ z 0 : N (z 0 ) = {z ∈ C; |z − z 0 | < }. ªÈ· ÂÚÈÔ¯‹ Â›Ó·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÌË – ÎÂÓfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ C. ªÈ· ÂÚÈÔ¯‹ U ⊂ C Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ‹, fiÙ·Ó ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô z 0 ∈ U ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ·  – ÁÂÈÙÔÓÈ¿ ÙÔ˘ z 0 Ë ÔÔ›· ÂÚȤ¯ÂÙ·È Ï‹Úˆ˜ ÛÙÔ U . ªÈ· ÂÚÈÔ¯‹ C ⊂ C ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏÂÈÛÙ‹, fiÙ·Ó ÙÔ Û˘Ìϋڈ̿ Ù˘ C  Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. πÛÔ‰‡Ó·Ì·, Ë C Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹, fiÙ·Ó ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙÂ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÛËÌ›ˆÓ {z n } ⊂ C Ì z n → z, ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ z ∈ C. ªÈ· ÂÚÈÔ¯‹ U ⊂ C ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÊÚ·Á̤ÓË, fiÙ·Ó Ë U ÂÚȤ¯ÂÙ·È Û ¤Ó·Ó ‰›ÛÎÔ ·ÎÙ›Ó·˜ r Ì ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ, ‰ËÏ·‰‹ U ⊂ {z; |z| ≤ r } ÁÈ· οÔÈÔ r ∈ R. ªÈ· ÎÏÂÈÛÙ‹ Î·È ÊÚ·Á̤ÓË ÂÚÈÔ¯‹ ÛÙÔ C ηÏÂ›Ù·È Û˘Ì·Á‹˜ ÂÚÈÔ¯‹. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì ·fi ÙÔÓ ∞ÓÒÙÂÚÔ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi fiÙÈ, Â¿Ó ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ ‰È·ı¤ÙÂÈ ¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ D, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ D Î·È ·ÔÎÙ¿ ÙȘ ·ÎÚ·›Â˜ ÙÈ̤˜ Ù˘ (ÙË Ì¤ÁÈÛÙË Î·È ÙËÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙË) Â› ÙÔ˘ D. ∆¤ÏÔ˜, ÌÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÂÚÈÔ¯‹ U Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈ΋, fiÙ·Ó ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· Ù˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘Ó‰ÂıÔ‡Ó Ì ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÂÍ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÛÙË U , ÂÓÒ Â›Ó·È ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈ΋, fiÙ·Ó Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈ΋ Î·È ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ·Ï‹˜ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ηÌ‡Ï˘ Ô˘ ÎÂ›Ù·È ÂÍ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÛÙË

4.1. ªÈÁ·‰ÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ·

49

U ¤¯ÂÈ fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÛÙË U . ªÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ Î·È Û˘ÓÂÎÙÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ C ηÏÂ›Ù·È ¯ˆÚ›Ô1 . ™ÙȘ ∂ÈÎfiÓ˜ 4.1 Î·È 4.2 ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ Ù‡Ô˘˜ ÂÚÈÔ¯ÒÓ.

EÈÎfiÓ· 4.1: ¶ÂÚÈÔ¯¤˜ ÙÔ˘ C ∏ ÂfiÌÂÓË ÂÚÈÔ¯‹ (‚Ϥ ∂ÈÎfiÓ· 4.2) ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈ΋, ÂÊfiÛÔÓ ÔÈ ÎÏÂÈÛÙ¤˜ ηÌ‡Ï˜ Ô˘ ÂÚÈÎÏÂ›Ô˘Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ·fi ÙȘ ‰‡Ô «ÙÚ‡˜» ÂÚȤ¯Ô˘Ó Î·È ÛËÌ›· Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹.

EÈÎfiÓ· 4.2: ÕÏϘ ÂÚÈÔ¯¤˜ ÙÔ˘ C ∆ÒÚ· ı· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘ ÁÈ· ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ηÙ' Ô˘Û›·Ó fiˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÌÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ (ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ ÙÔ˘ ™ÙÔȯÂÈÒ‰Ô˘˜ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡). √ÚÈÛÌfi˜ 4.1.1. limz→z0 f (z) = w0 , fiÙ·Ó ÁÈ· οı  > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ | f (z) − w0 | <  1 ™.Ù.ª.

√ÚÈṲ̂ÓÔÈ Û˘ÁÁÚ·Ê›˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ·ÓÙ' ·˘ÙÔ‡ ÙÔÓ fiÚÔ «ÙfiÔ˜», ·Ó Î·È ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·˘ÙÔ‡˜ fiÚÔ˘˜ ÂÓ›ÔÙ ·Ô‰›‰ÔÓÙ·È Î·È ¿ÏϘ, ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÂÓÓÔÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ. ¶ÈÛÙ‡ԢÌ ˆ˜ Ë Ï¤ÍË «ÙfiÔ˜» ·Ô‰›‰ÂÈ Î¿ÏÏÈÛÙ· ÌfiÓÔÓ ÙË Ï¤ÍË «locus».

50

4. ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ

οı ÊÔÚ¿ Ô˘ |z − z 0 | < δ. ∂‰Ò ‚‚·›ˆ˜ ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ | f (z) − w0 | Î·È |z − z 0 | Â›Ó·È ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ C Î·È ÙÔ fiÚÈÔ ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÙ·È ÂÓÙfi˜ ÌÈ·˜ ΢ÎÏÈ΋˜ ÁÂÈÙÔÓÈ¿˜ ÙÔ˘ z 0 . ∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ˜ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ‰È·‰Èηۛ˜ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘. ŸÏ· Ù· ‚·ÛÈο ıˆڋ̷ٷ ÔÚ›ˆÓ ÙÔ˘ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡ – Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó Û ÁÈÓfiÌÂÓ·, ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·, ÛÙ·ıÂÚ¤˜ Î.Ï. – ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË. °È· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙˆÓ ÔÚ›ˆÓ ıˆÚԇ̠ٷ Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È Ê·ÓÙ·ÛÙÈο ̤ÚË. §‹ÌÌ· 4.1.1. ŒÛÙˆ fiÙÈ f (z) = u(z) + iv(z). ∆fiÙÂ: lim f (z) = lim u(z) + i lim v(z).

z→z 0

z→z 0

z→z 0

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 4.1.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ f (z) = (x 2 + y 2 ) + i(2x y). ¡· ¢ÚÂı› ÙÔ limz→1+i f (z). ∆fiÙÂ: lim f (z) =

z→1+i

lim

(x,y)→(1,1)

(x 2 + y 2 ) + i

lim

(x,y)→(1,1)

(2x y) = 2 + 2i.

ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘ ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ÛÙȘ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Î·È Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÈÛ˘. 2 √ÚÈÛÌfi˜ 4.1.2. ∏ w = f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘, fiÙ·Ó limz→z0 f (z) = f (z 0 ). H f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ U , fiÙ·Ó Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û fiÏ· Ù· ÛËÌ›· Ù˘ U . ∆· ‚·ÛÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÁÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÌÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ (Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÛÙ· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·, ÁÈÓfiÌÂÓ· Î.Ï.) ÂÍ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÛÙÔ Û‡ÓÔÏfi ÙÔ˘˜ Ó· ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ, fiˆ˜ Î·È ÛÙ· fiÚÈ·, ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· ·ÙfiÌÂÓ· Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘Á¯¿ÓÔ˘Ó ··ÓÙ‹ÛÂˆÓ Ì ÙËÓ ÂͤٷÛË ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎÒÓ ÌÂÚÒÓ. §‹ÌÌ· 4.1.2. ∏ f (z) = u(z) + iv(z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ z 0 = (x0 , y0 ), Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ u(x, y), v(x, y) Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ ÛÙÔ (x0 , y0 ). ∞fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ù· ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÔÈÎÔ‰ÔÌÔ‡ÓÙ·È ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ¯ÂÈÚÈÛÌÒÓ Î·È ÌfiÓÔÓ ¤ÂÙ·È fiÙÈ, ıˆÚÔ‡ÌÂÓ· ˆ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ C → C, ›ӷÈ

4.1. ªÈÁ·‰ÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ·

51

Û˘Ó¯‹ Û ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ C. ∂Âȉ‹ Ë |z n | → ∞, ηıÒ˜ Ë |z| → ∞, ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ Ë | f (z)| → ∞, ηıÒ˜ Ë |z| → ∞, ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÌË ÛÙ·ıÂÚfi f (z) ∈ C[z]. ∞ÎfiÌË, ÂÂȉ‹ Ë | f (z)| Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ, Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙÂ Û˘Ì·Á‹ ÂÚÈÔ¯‹. ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·ÈÒÓÔÓÙ·˜ Ù· ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ· ‰Â‰Ô̤ӷ, ÂÊÂÍ‹˜ ıˆÚԇ̠οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˆ˜ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ C. §‹ÌÌ· 4.1.3. ∂¿Ó ÙÔ f (z) ∈ C[z], ÙfiÙÂ: (1) Ë f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ C, (2) ÙÔ limz→∞ | f (z)| = ∞, Â¿Ó Ë f (z) ‰ÂÓ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, (3) Ë | f (z)| Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙÂ Û˘Ì·Á‹ ÂÚÈÔ¯‹ ÛÙÔ C. ∆ÒÚ· ı· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙË ÌÈÁ·‰È΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ì ÙËÓ ›‰È· ·ÎÚÈ‚Ò˜ Â›Ù˘Ë ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ ÂÊ·ÚÌfiÛ·ÌÂ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘. √ÚÈÛÌfi˜ 4.1.3. ∂¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÙfiÙÂ Ë ·Ú¿ÁˆÁfi˜ Ù˘ f  (z 0 ) ÛÙÔ z 0 ∈ C Â›Ó·È Ë: f  (z 0 ) = lim

z→0

f (z 0 + z) − f (z 0 ) , z

οı ÊÔÚ¿ Ô˘ ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ fiÚÈÔ ˘¿Ú¯ÂÈ. ∂¿Ó ÙÔ fiÚÈÔ f  (z 0 ) ˘¿Ú¯ÂÈ, ÙfiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi, ÂÓÒ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û ÌÈ· ÔÏfiÎÏËÚË ÂÚÈÔ¯‹, fiÙ·Ó Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û οı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÂÚÈÔ¯‹˜. Ÿˆ˜ Î·È ÛÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÙˆÓ ÔÚ›ˆÓ Î·È Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜, Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ fiÏÔÈ ÔÈ ‚·ÛÈÎÔ› ηÓfiÓ˜ ·Ú·ÁÒÁÈÛ˘ ÙÔ˘ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡ – ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·, ÁÈÓfiÌÂÓ·, Ëϛη, ηÓfiÓ˜ Û‡ÓıÂÙ˘ ·Ú·ÁÒÁÈÛ˘ Î.Ï. – ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· ÙȘ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, Ô Î·ÓfiÓ·˜ ·Ú·ÁÒÁÈÛ˘ ‰˘Ó¿ÌˆÓ, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ fiÙÈ ·fi f (z) = z n ¤ÂÙ·È f  (z) = nz n−1 , fiÔ˘ n Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÚÔ·ÙÂÈ ¿ÌÂÛ· ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi. ∂Ô̤ӈ˜, ¤Ó· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰È·ı¤ÙÂÈ ·Ú¿ÁˆÁÔ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ C. §‹ÌÌ· 4.1.4. ∂¿Ó f (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n ∈ C[z], ÙfiÙÂ Ë f  (z) ˘¿Ú¯ÂÈ Û οı ÛËÌÂ›Ô z 0 ∈ C Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ f  (z 0 ) = a1 + · · · + nan z 0n−1 . ™Â ÈÔ Ù˘È΋ ÔÚÔÏÔÁ›·, Â¿Ó f (z) ∈ C[z] Î·È deg f (z) ≥ 1, ÙfiÙ f  (z) ∈ C[z] Î·È deg f  (z) = deg f (z) − 1. ∂¿Ó ÙÔ f (z) = a0 Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ f  (z) = 0.

52

4. ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ

ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ y = f (x) Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÌÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜, ÙfiÙÂ Ë ·Ú¿ÁˆÁfi˜ Ù˘ f  (x0 ) ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ÎÏ›ÛË Ù˘ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Ù˘ ÛÙÔ x0 . ∏ ÌÈÁ·‰È΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÌÔÚ› Â›Û˘ Ó· ÂÚÌËÓ¢ı› ÁˆÌÂÙÚÈÎÒ˜, ı¤Ì· Ô˘ ı· Ì·˜ ··Û¯ÔÏ‹ÛÂÈ ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 4.3. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ı· ÂÈÛ·Á¿ÁÔ˘Ì ÌÂÚÈΤ˜ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ. √ÚÈÛÌfi˜ 4.1.4. ∏ w = f (z) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ (‹ ÔÏfiÌÔÚÊË) ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 , fiÙ·Ó Ë f (z) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ ÁÂÈÙÔÓÈ¿ ÙÔ˘ z 0 . ∏ f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ U , Â¿Ó Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û οı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ U . ŸÙ·Ó Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û fiÏÔ ÙÔ C, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ∞fi ÙÔ §‹ÌÌ· 4.1.4 Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ Î¿ı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ™ÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ı· ·Ó·Ù‡ÍÔ˘ÌÂ Û˘Óı‹Î˜ Â› ÙˆÓ Re f (z) Î·È I m f (z) Ô˘ ı· ‰È·ÛÊ·Ï›˙Ô˘Ó ÙËÓ ·Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜. ¶ÚÈÓ fï˜ ·fi ·˘Ùfi ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ÌÈÁ·‰È΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 ÌÔÏÔÓfiÙÈ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ z 0 . °È· ÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË ÙÔ˘ ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ¤ÓÓÔȘ: ŒÛÙˆ f (z) = u(z) + iv(z). √Ú›˙Ô˘ÌÂ: ∂f ∂u ∂v ∂f ∂u ∂v = +i Î·È = +i . ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y §‹ÌÌ· 4.1.5. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë w = f (z) Â›Ó·È ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ. ∂¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ f  (z 0 ), ÙfiÙ f  (z 0 ) = ∂∂ xf (z 0 ) = ∂∂ yf (z 0 ). ∞fi‰ÂÈÍË. ∞fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ¤¯Ô˘ÌÂ: f  (z 0 ) = lim

z→0

f (z 0 + z) − f (z 0 ) . z

∂Âȉ‹ Ë f (z) Ï·Ì‚¿ÓÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜, Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ f (z) = u(z), Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Ù˘ ̤ÚÔ˜. ™˘ÓÂÒ˜: f  (z 0 ) =

lim

(x,y)→(0,0)

u(x0 + x, y0 + y) − u(x0 , y0 ) . z

∞ÊÔ‡ ÙÔ f  (z 0 ) ˘¿Ú¯ÂÈ, ÙÔ fiÚÈÔ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Ù˘ ÌÂıfi‰Ô˘ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ‹˜ ÙÔ˘. ¶ÚÔÛÂÁÁ›˙ÔÓÙ¿˜ ÙÔ Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ·Ú¿ÏÏËÏ˘ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ

4.2. √È ∂ÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann

53

Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ¤¯Ô˘Ì z = x, y = 0 Î·È Ì ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË ÛÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÈÛfiÙËÙ· Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ: u(x + x, y) − u(x, y) ∂u ∂f = = . x→0 x ∂x ∂x

f  (z 0 ) = lim

√ÌÔ›ˆ˜, ÚÔÛÂÁÁ›˙ÔÓÙ¿˜ ÙÔ Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ·Ú¿ÏÏËÏ˘ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 4.1.3. ŒÛÙˆ f (z) = |z|2 . £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë f  (0) ˘¿Ú¯ÂÈ, ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë f (z) ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô z = 0. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ z 0 = 0 Î·È f (z) = |z|2 . ∆fiÙÂ: lim

z→0

f (z 0 + z) − f (z 0 ) |z|2 = lim = 0. z→0 z z

∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f  (0) Î·È Â›Ó·È f  (0) = 0. ∂ÓÙÔ‡ÙÔȘ, ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ 0. ŒÛÙˆ z = x + i yØ ÙfiÙ |z|2 = x 2 + y 2 . ∂¿Ó ÙÔ fiÚÈÔ f  (z 0 ) ˘¿Ú¯ÂÈ, ÙfiÙ ‚¿ÛÂÈ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 4.1.5 ÈÛ¯‡ÂÈ f  (z 0 ) = ∂∂ xf (z 0 ) = 2x0 = ∂∂ yf (z 0 ) = 2y0 . ∞˘Ùfi fï˜ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÌfiÓÔÓ fiÙ·Ó x0 = y0 ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Èı·ÓfiÓ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ y = x ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Û η̛· ΢ÎÏÈ΋ ÁÂÈÙÔÓÈ¿ ÙÔ˘ 0. ÕÚ· Ë f ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ 0. ™ÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÌfiÓÔÓ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô 0. 2

4.2

√È ∂ÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann

∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (z) = u(z) + iv(z) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ z 0 . ∆fiÙÂ: f  (z 0 ) = lim

z→0

u(z 0 + z) + iv(z 0 + z) − (u(z 0 ) + iv(z 0 )) . z

∂Âȉ‹ ·˘Ùfi ÙÔ fiÚÈÔ ˘¿Ú¯ÂÈ, Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ‹˜ ÙÔ˘. ∫·Ù' ·Ú¯¿˜, ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÙÔ z Ó· ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂÈ ÙÔ 0 ηٿ Ì‹ÎÔ˜ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ·Ú¿ÏÏËÏ˘ ÚÔ˜ ÙÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ¿ÍÔÓ·. ™ÙËÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË z = x Î·È y = 0.

54

4. ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ

∂¿Ó z 0 = (x0 , y0 ), ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: u(x0 + x, y0 ) + iv(x0 + x, y0 ) − (u(x0 , y0 ) + iv(x0 , y0 )) x u(x0 + x, y0 ) − u(x0 , y0 ) = lim x→0 x v(x0 + x, y0 ) − v(x0 , y0 ) + i lim x→0 x ∂u ∂v = (z 0 ) + i (z 0 ). ∂x ∂x

f  (z 0 ) = lim

x→0

∂Ó Û˘Ó¯›·, ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÙÔ z Ó· ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂÈ ÙÔ 0 ηٿ Ì‹ÎÔ˜ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ ·Ú¿ÏÏËÏ˘ ÚÔ˜ ÙÔÓ Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎfi ¿ÍÔÓ·. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË z = iy Î·È x = 0Ø ¿Ú· ¤¯Ô˘ÌÂ: u(x0 , y0 + y) + iv(x0 , y0 + y) − (u(x0 , y0 ) + iv(x0 , y0 )) y→0 iy u(x0 , y0 + y) − u(x0 , y0 ) = lim y→0 iy v(x0 , y0 + y) − v(x0 , y0 ) + i lim y→0 iy ∂v ∂u = (z 0 ) − i (z 0 ). ∂y ∂y

f  (z 0 ) = lim

∂ÊfiÛÔÓ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ˘¿Ú¯ÂÈ, ÔÈ ‰‡Ô ÚÔËÁËı›Û˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ı· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ›Û˜. ∂Ô̤ӈ˜, ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 ÈÛ¯‡ÂÈ: ∂u ∂v ∂u ∂v = Î·È =− . ∂x ∂y ∂y ∂x

(4.2.1)

√È ·ÓˆÙ¤Úˆ Û¯¤ÛÂȘ ηÏÔ‡ÓÙ·È ∂ÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann ‹ ™˘Óı‹Î˜ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann ÚÔ˜ ÙÈÌ‹Ó ÙÔ˘ A.L. Cauchy, Ô ÔÔ›Ô˜ ÙȘ ·Ó·Î¿Ï˘„ ÛÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ‰¤Î·ÙÔ˘ ¤Ó·ÙÔ˘ ·ÈÒÓ·, Î·È ÙÔ˘ B. Riemann, Ô ÔÔ›Ô˜ ÙȘ η٤ÛÙËÛ ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ÂÓÙfi˜ ÙˆÓ Ï·ÈÛ›ˆÓ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ·ÈÒÓ·. ™Â Ù˘È΋ ÔÚÔÏÔÁ›·, Â¿Ó u(x, y) Î·È v(x, y) Â›Ó·È ‰‡Ô Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ, ÙfiÙ ı· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÔÚÈÛÌfi: √ÚÈÛÌfi˜ 4.2.1. √È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ u(x, y) Î·È v(x, y) ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann, ¿Ó: ∂u ∂v ∂u ∂v = Î·È =− . ∂x ∂y ∂y ∂x

4.2. √È ∂ÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann

55

™˘ÓÂÒ˜, ·ԉ›ͷÌ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ·: £ÂÒÚËÌ· 4.2.1. ∂¿Ó Ë f (z) = u(z) + iv(z) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ z 0 , ÙfiÙ fiϘ ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ ∂∂ux , ∂u , ∂v , ∂v ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ z 0 Î·È ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ ∂y ∂x ∂y Cauchy Î·È Riemann. ∂ÈÚÔÛı¤Ùˆ˜: f  (z 0 ) =

∂u ∂v ∂v ∂u (z 0 ) + i (z 0 ) = (z 0 ) − i (z 0 ). ∂x ∂x ∂y ∂y

°ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Â¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û οÔÈÔ ¯ˆÚ›Ô U , ÙfiÙ ٷ Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È Ê·ÓÙ·ÛÙÈο Ù˘ ̤ÚË Ú¤ÂÈ Ó· ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann Û ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ U . ∂›Û˘, Â¿Ó f (z) = u(z) + iv(z) Î·È ÔÈ u(z), v(z) ¤¯Ô˘Ó Û˘Ó¯›˜ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ ÛÙÔ U Î·È ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann Û ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ U , ÙfiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ U , fiˆ˜ ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ·Ì¤Ûˆ˜. ŒÛÙˆ z 0 ∈ U . ¶Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë f  (z 0 ) ˘¿Ú¯ÂÈ. £ÂˆÚԇ̠ÙÔ: u(z 0 + z) + iv(z 0 + z) − (u(z 0 ) + iv(z 0 )) z u + iv u v = lim = lim + i lim . z→0 z→0 z z→0 z z

lim

z→0

∂ÊfiÛÔÓ ÔÈ u(x, y) Î·È v(x, y) ¤¯Ô˘Ó Û˘Ó¯›˜ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ ÛÙÔ (x0 , y0 ), ¤¯Ô˘ÌÂ: u =

∂u ∂u x + y + 1 x + 2 y ∂x ∂y

v =

∂v ∂v x + y + 3 x + 4 y, ∂x ∂y

ηÈ

fiÔ˘ Ù· 1 , 2 , 3 , 4 → 0, ηıÒ˜ Ù· x → 0, y → 0. ∂Ô̤ӈ˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann: lim

z→0

u + iv = z

  1 ∂u ∂v (x + iy) + i (x + iy) + δ1 x + δ2 y . z→0 z ∂ x ∂x lim

∆ÒÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ z = x + iy ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ Û¯¤ÛË Á›ÓÂÙ·È:   x y ∂u ∂v lim +i + δ1 + δ2 , z→0 ∂ x ∂x z z

56

4. ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ

fiÔ˘ Ù· δ1 , δ2 → 0, ηıÒ˜ ÙÔ z → 0. ∂Âȉ‹ |x| ≤ |z| Î·È |y| ≤ |z|, ¤¯Ô˘Ì | x | ≤ 1, | y | ≤ 1 Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÙÂÏÈÎÔ› z z fiÚÔÈ ÛÙÔ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤Ó fiÚÈÔ Ù›ÓÔ˘Ó ÛÙÔ Ìˉ¤Ó, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ z Ù›ÓÂÈ ÛÙÔ Ìˉ¤Ó. ∞fi ·˘Ù¿ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÛÙÔ z 0 Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ: f  (z 0 ) =

∂u ∂v (z 0 ) + i (z 0 ), ∂x ∂x

ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, Ë f (z) Â›Ó·È Ú¿ÁÌ·ÙÈ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ z 0 . ™˘ÓÔ„›˙Ô˘Ì ٷ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Î·È ÙÔ fiÚÈÛÌ¿ ÙÔ˘. £ÂÒÚËÌ· 4.2.2. (1) ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (z) = u(z) + iv(z). ∂¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f  (z 0 ) Ì z 0 = (x0 , y0 ), ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ ÙˆÓ u(x, y) Î·È v(x, y) ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (x0 , y0 ) Î·È ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann. (2) ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (z) = u(z) + iv(z). ∂¿Ó ÔÈ u(x, y), v(x, y) Î·È ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ z 0 = (x0 , y0 ) Î·È ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann ÛÙÔ (x0 , y0 ), ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f  (z 0 ), ‰ËÏ·‰‹ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ z 0 . ¶fiÚÈÛÌ· 4.2.1. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (z) = u(z) + iv(z) Ì ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ u(x, y), v(x, y) Î·È ÙȘ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ ·˘ÙÒÓ Û˘Ó¯›˜ Û οÔÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÂÚÈÔ¯‹ U ⊂ C. ∆fiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ U , Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ u Î·È v ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 4.2.1. ŒÛÙˆ f (z) = e x cos y + ie x sin y. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ·ÓÙÔ‡ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Î·È fiÙÈ f  (z) = f (z). ™ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¤¯Ô˘Ì u(x, y) = e x cos y Î·È v(x, y) = e x sin y. √È ÂÓ ÏfiÁˆ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Â›Ó·È ·ÓÙÔ‡ Û˘Ó¯›˜ Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘. ∂Ô̤ӈ˜, ÁÈ· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋, ·ÚΛ Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann. ∆ÒÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ: ∂u ∂u ∂v ∂v = e x cos y, = −e x sin y, = e x sin y, = e x cos y. ∂x ∂y ∂x ∂y ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó ∂∂ux = ∂v Î·È ∂∂vx = − ∂u ÁÈ· fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ C. ÕÚ· Ë f (z) Â›Ó·È ∂y ∂y ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ C. ∂›Û˘, f  (z) = ∂∂ux + i ∂∂vx = e x cos y + ie x sin y = f (z). 2

4.2. √È ∂ÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann

57

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠÛÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Â›Ó·È Î·Ù' Ô˘Û›·Ó Ë ÌÈÁ·‰È΋ ÂÎıÂÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (z) = e z , ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ‰È·ÈÛÙÒÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ z = x + i y Ø ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ e z = e x+i y Ì x, y ∈ R. ÕÚ· e z = e x ei y = e x (cos y + i sin y) = e x cos y + ie x sin y ÏfiÁˆ Ù˘ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ Euler. ∞fi ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ, Â¿Ó f (z) = e z , ÙfiÙ Â›Û˘ f  (z) = e z , fiˆ˜ ı· ÂÚÈ̤ӷÌ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÙËÓ ÂÎıÂÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 4.2.2. ¢È¿ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë f (z) = z 2 Â›Ó·È ·ÓÙÔ‡ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Î·È fiÙÈ f  (z) = 2z. ∂¿Ó z = x + i y, ÙfiÙ f (z) = z 2 = (x + i y)2 = x 2 − y 2 + i(2x y) Î·È u(x, y) = x 2 − y 2 , v(x, y) = 2x y. ∫·ÙfiÈÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ÌÂÚÈÎÒÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ ¤¯Ô˘ÌÂ: ∂u ∂u ∂v ∂v = 2x, = −2y, = 2y, = 2x. ∂x ∂y ∂x ∂y ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ Î·È ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann Û ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ C. ∂Ô̤ӈ˜, Ë f (z) Â›Ó·È ·ÓÙÔ‡ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋. ∞ÎfiÌË ÈÛ¯‡ÂÈ: f  (z) =

∂u ∂v +i = 2x + i(2y) = 2(x + i y) = 2z. ∂x ∂x 2

¶fiÚÈÛÌ· 4.2.2. (1) √È ÌfiÓ˜ ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ÌfiÓÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜, Â›Ó·È ÔÈ ÛÙ·ıÂÚ¤˜. (2) ∂¿Ó f  = 0 Û ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ U , ÙfiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. ∞fi‰ÂÈÍË. (1) ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (z) Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÌfiÓÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜. ∆fiÙ f (z) = u(z) Ì v(z) = 0. ∂¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋, ÙfiÙ Ú¤ÂÈ Ó· ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ∂∂ux = ∂v = 0 Î·È ∂u = − ∂∂vx = 0. ∂Ô̤ӈ˜ ∂y ∂y ∂u = ∂u = 0. ÕÚ·, Ë u(x, y) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Î·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙËÓ f (z). ∂x ∂y (2) ∂¿Ó f  = 0, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ f  = ∂∂ux + i ∂∂vx = ∂v − i ∂u = 0. ∞fi ·˘Ùfi Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È ∂y ∂y ∂v ∂v fiÙÈ ∂∂ux = ∂u = = = 0 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÔÈ u(x, y) Î·È v(x, y) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ¤˜. ∂y ∂x ∂y ™˘ÓÂÒ˜, Ë f (z) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. ™ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4.1.2 ηٷ‰Â›Í·Ì fiÙÈ, ÌÔÏÔÓfiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (z) = |z|2 Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ 0, ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ 0. ∞fi ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·

58

4. ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ

ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô˘ıÂÓ¿ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋, ‰ÈfiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· ÌË ÛÙ·ıÂÚ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ. √ÚÈÛÌfi˜ 4.2.2. ªÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË u(x, y) Â›Ó·È ·ÚÌÔÓÈ΋, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ Û˘Ó¯›˜ ‰Â‡ÙÂÚ˜ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ Î·È ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ Â͛ۈÛË ÙÔ˘ Laplace: ∂ 2u ∂ 2u + = 0. ∂x2 ∂ y2 √ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÚÈÛÌfi˜ Û˘Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ٷ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ· ˆ˜ ÂÍ‹˜: §‹ÌÌ· 4.2.1. ∂¿Ó Ë f (z) = u(z) + iv(z) Â›Ó·È ÌÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÙfiÙ ÔÈ u(x, y) Î·È v(x, y) Â›Ó·È ·ÚÌÔÓÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ∞fi‰ÂÈÍË. √ ¤ÏÂÁ¯Ô˜ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÙˆÓ ‰Â‡ÙÂÚˆÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ ı· ÂÎÙÂÏÂÛÙ› ·ÚÁfiÙÂÚ·. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋. ∆fiÙ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann, ‰ËÏ·‰‹ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ∂∂ux = ∂v Î·È ∂u = − ∂∂vx . ∂Âȉ‹ ∂y ∂y ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û˘Ó¯›˜ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ù¿Í˘, Ë ‰È¿Ù·ÍË Ù˘ ÌÂÚÈ΋˜ ·Ú·ÁÒÁÈÛ˘ ÌÔÚ› Ó· ÂÓ·ÏÏ·¯ı›, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘ÌÂ: ∂ 2u ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2v = = − 2. = 2 ∂x ∂ x∂ y ∂ y∂ x ∂y ∂Ô̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ ∂∂ xu2 = − ∂∂ yu2 ‹ ∂∂ xu2 + ∂∂ yu2 = 0 Î·È ¤ÙÛÈ Ë u(x, y) Â›Ó·È ·ÚÌÔÓÈ΋. ∞Ó·ÏfiÁˆ˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Ë v(x, y) Â›Ó·È ·ÚÌÔÓÈ΋. 2

2

2

2

ŸÙ·Ó ÏËÚÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜, ÔÈ u Î·È v ϤÁÔÓÙ·È Û˘˙˘Á›˜ ·ÚÌÔÓÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 4.2.3. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë u(x, y) = y 3 − 3x 2 y Â›Ó·È ·ÚÌÔÓÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·È Ó· ¢ÚÂı› Ì›· Û˘˙˘Á‹˜ ·ÚÌÔÓÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË v(x, y) Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙÂ Ë f (z) = u + iv Ó· Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋. 2 2 Œ¯Ô˘Ì ∂∂ux = −6x y Î·È ∂u = 3y 2 − 3x 2 . ÕÚ· ∂∂ xu2 = −6y Î·È ∂∂ yu2 = 6y. ∂Ô̤ӈ˜ ∂y ∂2u ∂x2

+ ∂∂ yu2 = 0 Î·È ¤ÙÛÈ Ë u(x, y) Â›Ó·È ·ÚÌÔÓÈ΋. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë v(x, y) Â›Ó·È Ì›· Û˘˙˘Á‹˜ ·ÚÌÔÓÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ∆fiÙ ·fi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann ¤ÂÙ·È: 2

∂u ∂v ∂u ∂v = , =− . ∂x ∂y ∂y ∂x

4.3. ™‡ÌÌÔÚʘ ∞ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ·

∂Ó ÚÒÙÔȘ, ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ y Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ:

∂v ∂y

=

∂u ∂x

59

= −6x y Î·È ÔÏÔÎÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË

v(x, y) = −3x y 2 + g(x), fiÔ˘ Ë g(x) (Ë ÛÙ·ıÂÚ¿ Ù˘ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ë ÔÔ›· ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙË ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ x. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘ÌÂ: ∂v ∂u = −3y 2 + g  (x) = − = −3y 2 + 3x 2 . ∂x ∂y ŒÙÛÈ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ g  (x) = 3x 2 . ∆ÒÚ·, ÔÏÔÎÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ x, ¤¯Ô˘Ì g(x) = x 3 + c. √ÔÈ·‰‹ÔÙ ÛÙ·ıÂÚ¿ c Â›Ó·È Î·Ù¿ÏÏËÏË Î·È, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ı¤ÙÔÓÙ·˜ c = 0, ¤¯Ô˘Ì v(x, y) = x 3 − 3x y 2 , ‹ÙÔÈ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û˘˙˘Á‹˜ ·ÚÌÔÓÈ΋ Ù˘ u(x, y), Î·È Ë f (z) = (y 3 − 3x 2 y) + i(x 3 − 3x y 2 ) 2

Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋.

4.3

™‡ÌÌÔÚʘ ∞ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ·

ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘ÌÂ, ·fi ÙÔÓ ™ÙÔȯÂÈÒ‰Ë ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi, fiÙÈ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ g  (x0 ) ÌÈ·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌ˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ÌÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ y = g(x) ¯ÔÚËÁ› ÙËÓ ÎÏ›ÛË Ù˘ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Ù˘ ηÌ‡Ï˘ y = g(x) ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (x0 , g(x0 )). EÔ̤ӈ˜ Ë g  (x0 ) ·Ú¤¯ÂÈ ÙËÓ ÂÍ‹˜ ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÏËÚÔÊÔÚ›·: ÂÓ ÚÒÙÔȘ, ÔÚ›˙ÂÈ ÙË ‰È‡ı˘ÓÛË, (‹ ÁˆÓ›·), ÚÔ˜ ÙËÓ ÔÔ›· ÎÈÓÂ›Ù·È Ë Î·Ì‡ÏË ÛÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ ÛËÌ›Ô. ∫·ÙfiÈÓ, ÙÔ Ì¤ÁÂıfi˜ Ù˘ ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙÔÓ ÛÙÈÁÌÈ·›Ô Ú˘ıÌfi ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ηÌ‡Ï˘. ∏ ÌÈÁ·‰È΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Î·È Û˘ÓÂÒ˜ Î·È Ë ·Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ· Âȉ¤¯ÔÓÙ·È Â›Û˘ ÌÈ· ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÂÚÌËÓ›·, ÙËÓ ÔÔ›· ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ηو٤ڈ. √ÚÈÛÌfi˜ 4.3.1. ªÈ· ηÌ‡ÏË γ ÛÙÔ C Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË γ : [a, b] → C Ô˘ Ô Ù‡Ô˜ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹: γ (t) = x(t) + i y(t),

(4.3.1)

fiÔ˘ ÔÈ x(t) Î·È y(t) Â›Ó·È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÌÈ·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÛÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b]. ∂¿Ó ÔÈ x(t) Î·È y(t) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ÛÙÔ t0 ,

60

4. ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ

ÙfiÙÂ Ë γ ηÏÂ›Ù·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË ÛÙÔ t0 Î·È Ë ·Ú¿ÁˆÁfi˜ Ù˘ Â›Ó·È Ë γ  (t0 ) = x  (t0 ) + i y  (t0 ). ªÈ· ηÌ‡ÏË Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, Â¿Ó Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÁÈ· fiÏ· Ù· t ∈ [a, b], Î·È Â›Ó·È Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, Â¿Ó Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·È ÂÈϤÔÓ Ë ·Ú¿ÁˆÁfi˜ Ù˘ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [a, b]. ∏ ηÌ‡ÏË γ (t) Â›Ó·È ÔÌ·Ï‹ ÛÙÔ t0 , Â¿Ó γ  (t0 ) = 0. ∏ ‰È‡ı˘ÓÛË Ù˘ γ (t) Û ¤Ó· ÔÌ·Ïfi ÛËÌÂ›Ô t0 Â›Ó·È ÙÔ Argγ  (t0 ). ªÈ· ηÌ‡ÏË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌ·Ï‹, fiÙ·Ó Â›Ó·È ÔÌ·Ï‹ Û fiÏ· Ù˘ Ù· ÛËÌ›·. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 4.3.1. ∏ ηÌ‡ÏË γ (t) = r cos t + ir sin t = r eit ÁÈ· 0 ≤ t ≤ 2π ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ r Ì ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ∏ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ ηÌ‡Ï˘ Â›Ó·È Ë γ  (t) = −r sin t + ir cos t, Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÙ¤ Ìˉ¤Ó. ∂Ô̤ӈ˜, Ë γ (t) Â›Ó·È ÔÌ·Ï‹ Û fiÏ· Ù· t. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô t = 0 ÈÛ¯‡ÂÈ γ  (0) = ir . ∂Âȉ‹ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È ¤Ó·˜ ηı·Ú¿ Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙÔ fiÚÈÛÌ· Ù˘ ηÌ‡Ï˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì π/2, fiˆ˜ ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Î·È ·fi ÙË ıÂÒÚËÛË Ù˘ ∂ÈÎfiÓ·˜ 4.3.

EÈÎfiÓ· 4.3: ∫‡ÎÏÔ˜ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ C °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ·ÎÙ›Ó·˜ r Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 ·Ó··Ú›ÛÙ·Ù·È ·fi ÙËÓ Î·Ì‡ÏË: γ (t) = z 0 + r eit , 0 ≤ t ≤ 2π. ∏ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ·˘Ù‹ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ·ÚÁfiÙÂÚ·.

(4.3.2)

4.3. ™‡ÌÌÔÚʘ ∞ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ·

61

∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ γ1 Î·È γ2 Â›Ó·È ‰‡Ô ηÌ‡Ï˜ ÙÔ˘ C Ì γ1 (t1 ) = γ2 (t2 ) Ô̷Ϥ˜ ÛÙ· ÛËÌ›· t1 Î·È t2 ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ∆fiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ·fi ÙÔ γ1 ÛÙÔ γ2 ÛÙÔ ÎÔÈÓfi ·˘Ùfi ÛËÌÂ›Ô Â›Ó·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÔÚÈÛÌ¿ÙˆÓ Argγ2 (t2 ) − Argγ1 (t1 ). ∂ÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë γ Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË Ì ÙÈ̤˜ Û ¤Ó· ¯ˆÚ›Ô U ⊂ C Î·È fiÙÈ F : U → C. ∆fiÙÂ Ë F ◦ γ Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÈ· ηÌ‡ÏË. ∂¿Ó Ë F ¤¯ÂÈ ÌÈÁ·‰È΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ Î·È Ë γ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ t0 , ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì (F ◦ γ ) (t0 ) = F  (γ (t0 ))γ  (t0 ). ∂¿Ó Ë Î·Ì‡ÏË γ Â›Ó·È ÔÌ·Ï‹ ÛÙÔ t0 Î·È F  (γ (t0 )) = 0, ÙfiÙÂ Ë F ◦ γ Â›Ó·È ÔÌ·Ï‹ ÛÙÔ t0 . 2 √ÚÈÛÌfi˜ 4.3.2. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ U ⊂ C Î·È F : U → C. ∏ F Â›Ó·È Û‡ÌÌÔÚÊË, ‹ ÈÛÔÁÒÓÈ·, ÛÙÔ z 0 ∈ U , Â¿Ó ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ηÌ‡ÏË γ ÔÌ·Ï‹ ÛÙÔ t0 , fiÔ˘ γ (t0 ) = z 0 , Ë Û‡ÓıÂÛË F ◦ γ Â›Ó·È Â›Û˘ ÔÌ·Ï‹ ÛÙÔ t0 Î·È Ë F ‰È·ÙËÚ› ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÛÙÔ z 0 . ∏ ‰È·Ù‹ÚËÛË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, Â¿Ó γ1 (t) Î·È γ2 (t) Â›Ó·È ‰‡Ô ηÌ‡Ï˜ Ì ÙÈ̤˜ ÛÙÔ U Î·È γ1 (t1 ) = γ2 (t2 ) = z 0 , ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ·fi ÙËÓ Î·Ì‡ÏË γ1 ÛÙËÓ γ2 ÛÙÔ z 0 Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ÁˆÓ›· ·fi ÙËÓ F ◦ γ1 ÛÙËÓ F ◦ γ2 ÛÙÔ F(z 0 ). ∂¿Ó Ë F Â›Ó·È Û‡ÌÌÔÚÊË Û fiÏÔ ÙÔ U , ÙfiÙ ηÏÂ›Ù·È Û‡ÌÌÔÚÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË. ∏ Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ Ù˘ Û˘ÌÌÔÚÊfiÙËÙ·˜ Î·È Ù˘ ·Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Î·È ÛÙÔ fiÚÈÛÌ¿ ÙÔ˘. £ÂÒÚËÌ· 4.3.1. (1) ∂¿Ó ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (z), Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË Û οÔÈÔ ¯ˆÚ›Ô U ⊂ C, ¤¯ÂÈ ÌË ÌˉÂÓÈ΋ ÌÈÁ·‰È΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ ÛÙÔ z 0 , ÙfiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È Û‡ÌÌÔÚÊË ÛÙÔ z 0 . (2) ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ¤Ó· ¯ˆÚ›Ô U ⊂ C Î·È Û‡ÌÌÔÚÊË ÛÙÔ z 0 ∈ U . ∂›Û˘, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó fiϘ ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔ› Ù˘ Î·È fiÙÈ Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ z 0 . ∆fiÙÂ Ë f  (z 0 ) ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È Â›Ó·È ÌË ÌˉÂÓÈ΋. ∞fi‰ÂÈÍË. £· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ÙÔ ÚÒÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Î·È ı· ÛÎÈ·ÁÚ·Ê‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ ÛÙȘ ·Û΋ÛÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ ¢ڛÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÌË ÌˉÂÓÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ ÛÙÔ z 0 . £· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û‡ÌÌÔÚÊË ÛÙÔ z 0 . ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ γ1 Î·È γ2 Â›Ó·È ‰‡Ô Ô̷Ϥ˜ ηÌ‡Ï˜ Ì ÙÈ̤˜ ÛÙÔ U Î·È γ1 (t1 ) = γ2 (t2 ) = z 0 . ∂Âȉ‹ f  (z 0 ) = 0, ÔÈ f ◦ γ1 Î·È f ◦ γ2 Â›Ó·È Ô̷Ϥ˜ ÛÙ· ÛËÌ›·

62

4. ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ

t1 Î·È t2 . ∆fiÙ fï˜ Ë ÁˆÓ›· ·fi ÙÔ f ◦ γ1 ÛÙÔ f ◦ γ2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô f (z 0 ) ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ: Arg(( f ◦ γ2 ) (t2 ))−Arg(( f ◦ γ1 ) (t1 )) =Arg( f  (γ2 (t2 ))γ2 (t2 )) − Arg( f  (γ1 (t1 ))γ1 (t1 )). ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÁÈ· z, w ∈ C ÈÛ¯‡ÂÈ Arg(zw) = Argz + Argw. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ Á›ÓÂÙ·È: Arg( f  (γ2 (t2 ))) + Arg(γ2 (t2 ))) − Arg( f  (γ1 (t1 )) − Arg(γ1 (t1 )). øÛÙfiÛÔ, γ2 (t2 ) = γ1 (t1 ) ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ·˘Ùfi Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘ Á›ÓÂÙ·È: Arg(γ2 (t2 )) − Arg(γ1 (t1 )), ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙË ÁˆÓ›· ·fi ÙË γ1 ÛÙË γ2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 . ÕÚ·, Ë f (z) ‰È·ÙËÚ› ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÛÙÔ z 0 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Â›Ó·È Û‡ÌÌÔÚÊË ÛÙÔ z 0 . ¶fiÚÈÛÌ· 4.3.1. ªÈ· Û˘Ó¯‹˜ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (z), ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· fiϘ ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜, Â›Ó·È ÌÈ· Û‡ÌÌÔÚÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË Û οÔÈÔ ¯ˆÚ›Ô U ⊂ C, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ U Î·È f  (z) = 0 ÛÙÔ U . ∞fi‰ÂÈÍË. ∂¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Î·È f  (z) = 0, ÙfiÙ Û οı ÛËÌÂ›Ô z 0 ∈ U ÈÛ¯‡ÂÈ f  (z 0 ) = 0. ∞fi ÙÔ ÚÒÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 4.3.1, Ë f (z) Â›Ó·È Û‡ÌÌÔÚÊË ÛÙÔ z 0 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È Û‡ÌÌÔÚÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÛÙÔ U . ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, Â¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Î·È Û‡ÌÌÔÚÊË Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ U , ÙfiÙÂ, ·fi ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜, Ë f  (z 0 ) ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È Â›Ó·È ÌË ÌˉÂÓÈ΋ ÁÈ· οı z 0 ∈ U . ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ U Î·È f  (z) = 0. ∏ Û˘ÌÌÔÚÊfiÙËÙ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ›ٷÈ, fiˆ˜ Î·È Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜, ˆ˜ ¤Ó· ›‰Ô˜ ̤ÙÚÔ˘ Ù˘ ‰È‡ı˘ÓÛ˘. ∂Í¿ÏÏÔ˘, ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ¤ÓÓÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÙÔ˘ ÛÙÈÁÌÈ·›Ô˘ Ú˘ıÌÔ‡ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Î·È ÁÈ· ÙȘ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. √ÚÈÛÌfi˜ 4.3.3. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f : U → C, U ⊂ C, z 0 ∈ U Î·È M ≥ 0. ∏ f (z) ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÛÙÔ z 0 ηٿ M, ¿Ó: lim

z→0

| f (z 0 + z) − f (z 0 )| = M. |z|

4.3. ™‡ÌÌÔÚʘ ∞ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ·

63

¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f  (z 0 ), ÙfiÙÂ Ë f (z) ·ÔÙÂÏ› ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÛÙÔ z 0 ηٿ | f  (z 0 )|. ∂ÈϤÔÓ, ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÙÔ ÌÂÚÈÎÒ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ·˘ÙÔ‡, ÙÔ ÔÔ›Ô ı· ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂfiÌÂÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜. £ÂÒÚËÌ· 4.3.2. (1) ∂¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ z 0 , ÙfiÙ ·ÔÙÂÏ› ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 ηٿ | f  (z 0 )|. (2) ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ U Â›Ó·È ¤Ó· ¯ˆÚ›Ô ÙÔ˘ C Î·È fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ U . ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ z 0 ∈ U , fiÙÈ M ≥ 0 Î·È fiÙÈ Ë f (z) ·ÔÙÂÏ› ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÛÙÔ z 0 ηٿ M. ∂ÈϤÔÓ, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ fiϘ ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ Î·È fiÙÈ Ë f ◦ γ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ t0 ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ηÌ‡ÏË γ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ t0 , fiÔ˘ z 0 = γ (t0 ). ∆fiÙ ›ÙÂ Ë f (z) ›ÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ z0. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 4.3.2. ŒÛÙˆ f (z) = e z . ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· Û‡ÌÌÔÚÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË Û fiÏÔ ÙÔ C. ∏ f (z) = e z = e x cos y + ie x sin y ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ÔÙ¤ ÛÙÔ C. ∞fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì Â›Û˘ fiÙÈ f  (z) = e z . ∂Ô̤ӈ˜ f  (z) = 0 ÛÙÔ C Î·È ¿Ú· Ë f (z) Â›Ó·È Û‡ÌÌÔÚÊË. ∂ÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, Ë f (z) = e z ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÂÓÚÈÙÈÎÒ˜ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó·) Î·È Û‡ÌÌÔÚÊ· ÙË ÏˆÚ›‰· −π < y < π ÛÙÔ ‰È·¯ˆÚÈṲ̂ÓÔ Â›‰Ô, ÙÔ ÔÔ›Ô ÚÔ·ÙÂÈ ·ÔÌ·ÎÚ‡ÓÔÓÙ·˜ ÙÔ 0 Î·È ÙÔÓ ·ÚÓËÙÈÎfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ¿ÍÔÓ· ·fi ÙÔ Û‡ÓËı˜ Â›Â‰Ô (‚Ϥ ∂ÈÎfiÓ· 4.4). 2

EÈÎfiÓ· 4.4: ∏ e z ˆ˜ Û‡ÌÌÔÚÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË

64

4. ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ

∞Û΋ÛÂȘ 4.1. ŒÛÙˆ fiÙÈ f (z) = z 3 . (a) ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È ÌÈÁ·‰Èο ̤ÚË Ù˘ f (z). (b) ¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann ÁÈ· Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ·ÓÙÔ‡ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Î·È fiÙÈ f  (z) = 3z 2 . (c) ¡· ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› Ô Ù˘ÈÎfi˜ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ (fiˆ˜ ÛÙÔÓ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi) ·¢ı›·˜ ÛÙÔ z 3 ÁÈ· Ó· ‰Âȯı› fiÙÈ f  (z) = 3z 2 . 4.2. ¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ Ù˘ Â·ÁˆÁ‹˜ Î·È Ô Î·ÓfiÓ·˜ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÁÈ· Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó f (z) = z n Ì n ∈ N, ÙfiÙ f  (z) = nz n−1 . 4.3. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (z) = z ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô˘ıÂÓ¿ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË. 4.4. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë g(z) = f (z) ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋, ÂÎÙfi˜ Â¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. 4.5. ŒÛÙˆ fiÙÈ f (z) = (2x 2 + y) + i(x 3 − y 3 ). (a) ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ f (1 + 2i); (b) ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ limz→3−i f (z). (c) ™Â ÔÈ· ÛËÌ›· (Â¿Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó) Â›Ó·È Ë f (z) ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË; (d) ∂›Ó·È Ë f (z) ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ·ÓÙÔ‡; °È·Ù›; 4.6. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Â›Ó·È ·Î¤Ú·È˜: (a) f (z) = (3x + y) + i(3y − x), (b) f (z) = e−y cos x + ie−y sin x. 4.7. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ ÂfiÌÂÓ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô˘ıÂÓ¿ ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜: (a) f (z) = x y + i y, (b) f (z) = e y cos x + ie y sin x. ∂‰Ò ÚÔÛ¤ÍÙ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ Ì ÙËÓ ÕÛÎËÛË 4.6 Î·È Ì ÙË ÌÈÁ·‰È΋ ÂÎıÂÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. 4.8. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Â›Ó·È ·ÚÌÔÓÈ΋ Î·È Ó· ¢ÚÂı› Ë ·ÚÌÔÓÈ΋ Û˘˙˘Á‹˜ Ù˘: (a) u(x, y) = 2x − 2x y, (b) u(x, y) = 2x − x 3 + 3x y 2 . 4.9. ¡· ÂÚÈÁÚ·Ê› Ë ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ ÂfiÌÂÓˆÓ Î·Ì˘ÏÒÓ: (a) γ (t) = (3 + i) + 4eit ÁÈ· 0 ≤ t ≤ 2π, (b) γ (t) = t + it 2 ÁÈ· 0 ≤ t ≤ 1,

65

∞Û΋ÛÂȘ (c) γ (t) = t 2 + i(ln(t)) ÁÈ· 1 ≤ t ≤ 2.

4.10. ŒÛÙˆ fiÙÈ γ1 (t) = t + it 2 ÁÈ· 0 ≤ t ≤ 1 Î·È γ2 (t) = 12 + 14 eit ÁÈ· 0 ≤ t ≤ 2π. ∆fiÙ ¤¯Ô˘Ì γ1 (1/2) = γ2 (0) = z 0 . ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰‡Ô ηÌ˘ÏÒÓ Û ·˘Ùfi ÙÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô; 4.11.

(a) ¡· ·Ô‰Âȯı› Ì ·˘ÛÙËÚfiÙËÙ· fiÙÈ, Â¿Ó limz→z0 f (z) = w1 Î·È limz→z0 g(z) = w2 , ÙfiÙ limz→z0 ( f (z) + g(z)) = w1 + w2 . (b) ¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (a) ÁÈ· Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó ÔÈ f (z) Î·È g(z) Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ z 0 , ÙfiÙÂ Î·È Ë f (z) + g(z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ z 0 .

4.12. √È ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: sin z =

ei z − e−i z , 2i

cos z =

ei z + e−i z . 2

(a) ¡· ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› Ë Ù·˘ÙfiÙËÙ· ÙÔ˘ Euler eit = cos t + i sin t Û ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ z ÁÈ· Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁËıÔ‡Ó ÔÈ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÚÈÛÌÔ›. (b) ¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ ÂÎıÂÙÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ÁÈ· Ó· ¢ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ Î·È Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó f (z) = sin z, ÙfiÙ f  (z) = cos z ηÈ, Â¿Ó f (z) = cos z, ÙfiÙ f  (z) = − sin z. ™ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ·Û΋ÛÂȘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›· Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 4.3.1, ÙÔ fiÙÈ ‰ËÏ·‰‹, Â¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È Û‡ÌÌÔÚÊË ÛÙÔ z 0 , ÙfiÙ ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ z 0 Î·È f  (z 0 ) = 0. 4.13. √Ú›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ÙÂÏÂÛÙ‹

∂ ∂z

ˆ˜ ÂÍ‹˜:   ∂ 1 ∂ ∂ = +i . ∂z 2 ∂x ∂y

∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (z) = u(z) + iv(z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹, ÂÓÙfi˜ Ù˘ ÔÔ›·˜ ¢ڛÛÎÂÙ·È ÙÔ z 0 , ηıÒ˜ Î·È fiÙÈ ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 . ¡· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ ÂÍ‹˜: Ë f (z) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ z 0 ÙfiÙÂ Î·È ÌfiÓÔÓ ÙfiÙÂ, fiÙ·Ó ∂∂zf = 0 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 . (Àfi‰ÂÈÍË: Ó· ·Ó·Ï‡ÛÂÙ ÙÔ ∂∂zf Î·È Ó· ÙÔ Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann.) 4.14. ŒÛÙˆ fiÙÈ γ Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË ÔÌ·Ï‹ ÛÙÔ t0 , fiÔ˘ γ (t0 ) = z 0 , Î·È fiÙÈ f (z) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ z 0 , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë f ◦ γ Â›Ó·È Â›Û˘ ÔÌ·Ï‹ ÛÙÔ t0 . ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: ( f ◦ γ ) (t0 ) = ∂‰Ò Ô ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ

∂ ∂z

∂f ∂f (z 0 )γ  (t0 ) + (z 0 )γ  (t0 ). ∂z ∂z

= 12 ( ∂∂x − i ∂∂y ).

∆ÒÚ· ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÎÙÂϤÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜: ÔÚ›˙Ô˘Ì ÁÈ· οı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi θ ÙËÓ Î·Ì‡ÏË γθ (t) = z 0 + teiθ Ø ÙfiÙ z 0 = γθ (0) ÁÈ· οı θ Î·È γθ  (t) = eiθ . ∂ÈϤÔÓ, ÁÈ· fiÏ· Ù· Ú·ÁÌ·ÙÈο θ Î·È φ, Ë ÁˆÓ›· ·fi ÙÔ γθ ÛÙÔ γφ ÛÙÔ z 0 Â›Ó·È φ − θ.

66

4. ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ∞Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ∂ÊfiÛÔÓ Ë f (z) Â›Ó·È Û‡ÌÌÔÚÊË ÛÙÔ z 0 , ¤ÂÙ·È: φ − θ = Arg( f ◦ γφ ) (t0 ) − Arg( f ◦ γθ ) (t0 ). ∞Ó·Ù‡ÛÛÔÓÙ·˜ ÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÈÛfiÙËÙ· Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÕÛÎËÛ˘ 4.14 Î·È ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ·Ó·‰È·Ù¿ÛÛÔÓÙ·˜ Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ:     ∂f ∂f −2iφ ∂ f −2iθ ∂ f +e − Arg +e . φ − θ = φ − θ + Arg ∂z ∂z ∂z ∂z ∂Ô̤ӈ˜, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ:     ∂f ∂f ∂f ∂f + e−2iφ = Arg + e−2iθ . Arg ∂z ∂z ∂z ∂z £¤ÙÔÓÙ·˜ θ = 0, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ·ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ∂∂zf Î·È ·ÎÙ›Ó· | ∂∂zf | ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Arg(z) = Arg( ∂∂zf + ∂∂zf ). ∞˘Ùfi fï˜ ÈÛ¯‡ÂÈ ÌfiÓÔÓ fiÙ·Ó Ë ·ÎÙ›Ó· ÈÛÔ‡Ù·È Ì Ìˉ¤Ó Î·È ÂÔ̤ӈ˜ | ∂∂zf | = 0. ÕÚ·, ÏfiÁˆ Ù˘ ÕÛÎËÛ˘ 4.13 Ë f (z) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË.

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 5

ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy 5.1

∂ÈηÌ‡ÏÈ· √ÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green

™ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÂÂÎÙ›ӷÌ ÙËÓ ·Ú·ÁÒÁÈÛË ÛÙȘ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ∂‰Ò ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙË £ÂˆÚ›· ªÈÁ·‰È΋˜ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ Î·È Ì¤Ûˆ ·˘Ù‹˜ ı· ÂÎÙÂϤÛÔ˘Ì ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó z = f (x, y) Â›Ó·È ÌÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ, ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ›‰Ë ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘. ∫·Ù' ·Ú¯¿˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ ‰ÈÏfi  ÔÏÔÎϋڈ̷ ˘ÂÚ¿Óˆ ÌÈ·˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ R, R f (x, y)d A. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ¤Ó· ÔÏÔÎϋڈ̷ ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, ‹ÙÔÈ ÁÈ· ¤Ó· ÔÏÔÎϋڈ̷ ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ‰ÈۉȿÛÙ·ÙÔ˘ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈÎÒ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÂÈηÌ‡ÏÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù·, ‹ÙÔÈ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙÔ˘ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ ˘ÂÚ¿Óˆ ÌÈ·˜ ηÌ‡Ï˘. ∆Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ Â›‰Ô˜ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘, ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷, Â›Ó·È ÙÔ ϤÔÓ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÁÈ· ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ™ÙËÓ ˘fiÏÔÈË ÂÓfiÙËÙ· ı· Â·Ó·Ï¿‚Ô˘Ì ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ÙˆÓ ÂÈηÌ‡ÏÈˆÓ ÔÏÔÎÏËڈ̿وÓ. √ÚÈÛÌfi˜ 5.1.1. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ U Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ¯ˆÚ›Ô ÙÔ˘ x y – ÂÈ¤‰Ô˘, fiÙÈ Ë γ Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ U Î·È fiÙÈ Ë f (x, y) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ U . ∂› Ù˘ γ ÂÈϤÁÔ˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· P0 = (x0 , y0 ), P1 = 67

68

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

(x1 , y1 ), . . . , Pn = (xn , yn ) ‰È·ÌÂÚ›˙ÔÓÙ¿˜ ÙËÓ, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 5.1.

EÈÎfiÓ· 5.1: ∂ÈηÌ‡ÏÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ∆fiÙ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Ù· f (Pi ) = f (xi , yi ). £¤ÙÔ˘Ì xi = xi − xi−1 Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ n ¿ıÚÔÈÛÌ· Riemann i=1 f (xi , yi )xi . ™ÙËÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÙÔ˘ f (x, y) ˘ÂÚ¿Óˆ Ù˘ γ ˆ˜ ÚÔ˜ x, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì  γ f (x, y)d x, ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜:  γ

f (x, y)d x =

lim

maxi xi →0

n 

f (xi , yi )xi ,

(5.1.1)

i=1

fiÙ·Ó ÙÔ fiÚÈÔ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ·ÓˆÙ¤Úˆ ‰È·ÌÂÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ηÌ‡Ï˘. ∫·Ù' ·Ó·ÏÔÁ›·Ó, ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÙÔ˘ f (x, y) ˘ÂÚ¿Óˆ Ù˘ γ ˆ˜ ÚÔ˜ y Â›Ó·È ÙÔ:  n  f (x, y)dy = lim f (xi , yi )yi , (5.1.2) γ

maxi yi →0

i=1

fiÔ˘ yi = yi − yi−1 . ∆ÂÏÈÎÒ˜, Â¿Ó si Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ ·fi ÙÔ Pi−1 ÛÙÔ Pi ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ γ , ÙfiÙ ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f (x, y) ˘ÂÚ¿Óˆ Ù˘ γ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙfiÍÔ˘ ›ӷÈ:  n  f (x, y)ds = lim f (xi , yi )si . (5.1.3) γ

maxi si →0

i=1

∏ Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù˘ f (x, y) ˘ÂÚ¿Óˆ Ù˘ ÂÚÈÔ¯‹˜ U Î·È Ë Û˘Ó¯‹˜ ·Ú·ÁˆÁÈÛÈÌfiÙËÙ· Ù˘ ηÌ‡Ï˘ γ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙Ô˘Ó ÙËÓ ‡·ÚÍË ÙˆÓ ÂÈηÌ‡ÏÈˆÓ ÔÏÔÎÏËڈ̿وÓ.

69

5.1. ∂ÈηÌ‡ÏÈ· √ÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green

§‹ÌÌ· 5.1.1. ∂¿Ó Ë f (x, y) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ U Î·È Ë Î·Ì‡ÏË γ ⊂ U Â›Ó·È Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ· ÂÈηÌ‡ÏÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù·. √ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÂÈηÌ‡ÏÈˆÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÌ¿ÙˆÓ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙË Û˘Ó‹ıË ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË. ŒÛÙˆ fiÙÈ γ (t) = x(t) + i y(t) = (x(t), y(t)) Ì t0 ≤ t ≤ t1 . ∆fiÙÂ
d x = x  (t)dt, dy = y  (t)dt, ds = x  (t)2 + y  (t)2 dt. ŒÙÛÈ, ·ÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ ¤¯Ô˘ÌÂ: 



γ



γ



t0



t0

t1

f (x, y)dy =



γ

t1

f (x, y)d x =

t1

f (x, y)ds =

f (x(t), y(t))x  (t)dt,

(5.1.1 )

f (x(t), y(t))y  (t)dt,

(5.1.2 )


f (x(t), y(t)) x  (t)2 + y  (t)2 dt.

(5.1.3 )

t0

∂ÈϤÔÓ, Â¿Ó Ë Î·Ì‡ÏË γ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·Ó·Ï˘ÙÈÎÒ˜ ˆ˜ y = g(x) ·fi ÙÔ x = a ¤ˆ˜
ÙÔ x = b, ÙfiÙ d x = d x, dy = g  (x)d x, ds = 1 + g  (x)2 d x ηÈ, ¤ÙÛÈ, ÔÈ ·ÓˆÙ¤Úˆ Û¯¤ÛÂȘ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: 



γ

f (x, y)d x =  f (x, y)dy =

(5.1.1 )

b

f (x, g(x))g  (x)d x,

(5.1.2 )


f (x, g(x)) 1 + g  (x)2 d x.

(5.1.3 )

a



γ

f (x, g(x))d x,

a



γ

b

 f (x, y)ds =

b

a

™ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ·ÚfiÓÙÔ˜ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ıˆÚԇ̠ÌfiÓÔÓ Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ηÌ‡Ï˜ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ë Ï¤ÍË Î·Ì‡ÏË ÛËÌ·›ÓÂÈ ¿ÓÙÔÙ ÌÈ· Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË. ∞ÔÛ·ÊËÓ›˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÓˆÙ¤Úˆ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 5.1.1.  ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ γ 2x yd x + (x 2 − y 2 )dy, fiÔ˘ γ Â›Ó·È Ë Î·Ì‡ÏË x(t) = t 2 − 1, y(t) = t 2 + 1 ÁÈ· 0 ≤ t ≤ 1.

70

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘Ì d x = 2tdt, dy = 2tdt. ÕÚ·: 



γ

1

2x yd x + (x − y )dy = 2

2

2(t 2 − 1)(t 2 + 1)2tdt

0

 +

1

((t 2 − 1)2 − (t 2 + 1)2 )2tdt = −

0

10 . 3 2

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 5.1.2.  ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ γ (y 3 − 3x y 2 )dy, fiÔ˘ γ Â›Ó·È Ë Î·Ì‡ÏË y = 2x 2 Ì 0 ≤ x ≤ 1. ∂‰Ò ¤¯Ô˘Ì dy = 4xd x Î·È Û˘ÓÂÒ˜:   1 (y 3 − 3x y 2 )dy = ((2x 2 )3 − 3x(2x 2 )2 )4xd x γ

0



1

=

(32x 7 − 48x 6 )d x = −

0

20 . 7 2

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 5.1.3.  ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ γ yds, fiÔ˘ γ Â›Ó·È Ë Î·Ì‡ÏË √ y = g(x) = x Ì 0 ≤ x ≤ 6.
d x Î·È ÂÔ̤ӈ˜: EÓ ÚÔÎÂÈ̤ӈ ÈÛ¯‡ÂÈ ds = 1 + g  (x)2 d x = 12 1+4x x  γ

1 yds = 2 =

1 2

 

6 0 6 0

√

x

1 + 4x dx x 1

(1 + 4x) 2 d x =

31 . 3 2

∆· ÂÈηÌ‡ÏÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙË º˘ÛÈ΋ ˆ˜ Â› ÙÔ Ï›ÛÙÔÓ Û −−−−→ Û¯¤ÛË Ì ÙËÓ ÂfiÌÂÓË ıÂÒÚËÛË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y) j Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ë ÔÔ›· ‰Ú· ˆ˜ ‰‡Ó·ÌË ÛÙÔ Â›Â‰Ô (Â‰Ò Ù· i Î·È j Â›Ó·È Ù· Û˘Ó‹ıË ÌÔÓ·‰È·›· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù·). ∆fiÙ ÙÔ ¤ÚÁÔ Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È ÁÈ· ÙËÓ Î›ÓËÛË ÂÓfi˜ ۈ̷Ùȉ›Ô˘ ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ηÌ‡Ï˘ γ Î·È ˘fiÎÂÈÙ·È ÛÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ‰‡Ó·ÌË ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ:  W = P(x, y)d x + Q(x, y)dy. (5.1.4) γ

5.1. ∂ÈηÌ‡ÏÈ· √ÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green

71

ªÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ P(x, y)d x + Q(x, y)dy, fiÔ˘ Ù· P(x, y) Î·È Q(x, y) Â›Ó·È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ, ηÏÂ›Ù·È ÚÒÙ˘ Ù¿Í˘ ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó Ë f (x, y) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ Ì ÚÒÙ˘ Ù¿Í˘ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜, ÙfiÙ ÙÔ ÔÏÈÎfi ‰È·ÊÔÚÈÎfi Ù˘ ›ӷÈ: df =

∂f ∂f dx + dy. ∂x ∂y

(5.1.5)

∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ÔÏÈÎfi ‰È·ÊÔÚÈÎfi ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Â›Ó·È ÌÈ· ÚÒÙ˘ Ù¿Í˘ ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹. ¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ, Â¿Ó γ Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË Ì ·Ú¯ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô P0 Î·È ÙÂÏÈÎfi P1 , ÙfiÙÂ, ηÙfiÈÓ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ ÛÙÔ˘˜ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜, ÚÔ·ÙÂÈ:  d f = f (P1 ) − f (P0 ). γ

∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÂÓfi˜ ÔÏÈÎÔ‡ ‰È·ÊÔÚÈÎÔ‡ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi Ù· ¿ÎÚ· Ù˘ ηÌ‡Ï˘, ‰ËÏ·‰‹ ·fi ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Î·È ÙÔ ÙÂÏÈÎfi Ù˘ ÛËÌ›Ô.  ™ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË Ï¤Ì fiÙÈ ÙÔ γ d f Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘, ¤ÓÓÔÈ· ÛÙËÓ ÔÔ›· ı· Â·Ó¤ÏıÔ˘Ì ·ÚÁfiÙÂÚ·. ∂Ó Á¤ÓÂÈ, ÌÈ· ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÚÒÙ˘ Ù¿Í˘ Pd x + Qdy Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜, fiÙ·Ó ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ÔÏÈÎfi ‰È·ÊÔÚÈÎfi οÔÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f (x, y). ∆fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ P(x, y) = ∂∂ xf Î·È Q(x, y) = ∂∂ yf . ÀÔı¤ÙÔÓÙ·˜ fiÙÈ Ù· P Î·È Q Â›Ó·È Û˘Ó¯‹, ¤¯Ô˘ÌÂ: ∂P ∂2 f ∂2 f ∂Q = = = . ∂y ∂ x∂ y ∂ y∂ x ∂x ¢È·ÈÛÙÒÓÂÙ·È fiÙÈ Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘Óı‹ÎË Â›Ó·È ÈηӋ ÁÈ· ÙËÓ ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÌÈ·˜ ‰È·ÊÔÚÈ΋˜ ÌÔÚÊ‹˜ ÚÒÙ˘ Ù¿Í˘. §‹ÌÌ· 5.1.2. ∂¿Ó ÔÈ P(x, y) Î·È Q(x, y) Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜, ÙfiÙÂ Ë Pd x + Qdy Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ∂∂Py = ∂∂Qx . ∆Ô ÂfiÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌÔ‡ ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f (x, y) Ì d f = Pd x + Qdy, fiÙ·Ó Ë Pd x + Qdy Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜. ªÈ· ·˘ÛÙËÚ‹ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 5.1.2 ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Ù¯ÓÈ΋. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 5.1.4. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë (x 3 + 3x 2 y)d x + (x 3 + y 3 )dy Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ Î·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (x, y), ÙÔ ÔÏÈÎfi ‰È·ÊÔÚÈÎfi Ù˘ ÔÔ›·˜ Â›Ó·È Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ ÌÔÚÊ‹.

72

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

∂‰Ò ¤¯Ô˘Ì P(x, y) = (x 3 + 3x 2 y), Q(x, y) = (x 3 + y 3 ) Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ∂∂Py = 3x 2 , ∂∂Qx = 3x 2 . ™˘ÓÂÒ˜, ·fi ÙÔ §‹ÌÌ· 5.1.2 ¤ÂÙ·È fiÙÈ ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÌÈ· ·ÎÚÈ‚‹˜ ÚÒÙ˘ Ù¿Í˘ ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ: d f = Pd x + Qdy = (x 3 + 3x 2 y)d x + (x 3 + y 3 )dy =

∂f ∂f dx + dy. ∂x ∂y

∆fiÙÂ: ∂f ∂f = (x 3 + 3x 2 y) Î·È = (x 3 + y 3 ). ∂x ∂y ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ÔÏÔÎÏËÚÒÓÔ˘Ì ÙËÓ P(x, y) =

∂f ∂x

ˆ˜ ÚÔ˜ x Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ:

 (x 3 + 3x 2 y)d x = x 4 /4 + x 3 y + g(y). ∂Ô̤ӈ˜, f (x, y) = x 4 /4 + x 3 y + g(y), fiÔ˘ Ë g(y) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÌfiÓÔÓ ÙÔ˘ y. ∞fi ÙËÓ ·Ú·ÁÒÁÈÛË Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ˆ˜ ÚÔ˜ y ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ∂∂ yf = x 3 +g  (y) = Q(x, y) = x 3 + y 3 . ∞fi ·˘Ùfi Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ g  (y) = y 3 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ g(y) = y 4 /4 + c. ™˘ÁÎÂÊ·Ï·ÈÒÓÔÓÙ·˜ Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ ¤¯Ô˘ÌÂ: f (x, y) = x 4 /4 + x 3 y + y 4 /4 + c. 2 ∆ÒÚ· ı· ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green, ÙÔ ÔÔ›Ô ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ¤Ó· ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙËÓ ˘¿Ú¯Ô˘Û· Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰‡Ô Ù‡ˆÓ (‰ÈÏ‹˜ Î·È ÂÈηÌ‡ÏÈ·˜) ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ. ∂Ó Á¤ÓÂÈ, ı· ϤÁ·Ì fiÙÈ Û οı ‰È¿ÛÙ·ÛË (Ï‹ıÔ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ) ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁ· ›‰Ë ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ Î·È Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Green. √ÚÈÛÌfi˜ 5.1.2. ªÈ· ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË γ (t) : [a, b] → C Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ γ (a) = γ (b) ·ÏÏ¿ γ (t1 ) = γ (t2 ) ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ¿ÏÏÔ ˙‡ÁÔ˜ ÛËÌ›ˆÓ t1 , t2 ∈ [a, b]. ∫·Ù¿ ‚¿ÛÈÓ, ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· ηÌ‡ÏË Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ¤ÓˆÛË ‰‡Ô ηÌ˘ÏÒÓ, Ù· ¿ÎÚ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Î·È ÌfiÓÔÓ ·˘Ù¿ Â›Ó·È ÎÔÈÓ¿. ªÂ ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ·˘ÙԉȷÙÔÌ‹˜ ÛÙ· ÙÂÏÈο ÛËÌ›· ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÔÚÈÛÌÔ‡ (‚Ϥ ∂ÈÎfiÓ· 5.2).

5.1. ∂ÈηÌ‡ÏÈ· √ÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green

73

EÈÎfiÓ· 5.2: ∫ÏÂÈÛÙ¤˜ ηÌ‡Ï˜

∆Ô £ÂÒÚËÌ· ∫·Ì˘ÏÒÓ ÙÔ˘ Jordan Ì·˜ ÏËÚÔÊÔÚ› fiÙÈ ÌÈ· ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ Â›Â‰Ô Û ‰‡Ô ÂÚÈÔ¯¤˜, Ì›· ÂÛˆÙÂÚÈ΋ Î·È Ì›· Â͈ÙÂÚÈ΋. ∞˘Ùfi ÙÔ ÂÎ ÚÒÙ˘ fi„ˆ˜ ÚÔÊ·Ó¤˜ ÁÂÁÔÓfi˜ Â›Ó·È ÂÍ·ÈÚÂÙÈÎÒ˜ ‰‡ÛÎÔÏÔ Ó· ·Ô‰Âȯı›. £ÂÒÚËÌ· 5.1.1 (£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green). ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë R Â›Ó·È ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ C, ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂ R Ù˘ ÔÔ›·˜ Â›Ó·È ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘ÌÂ, ÂÈϤÔÓ, fiÙÈ ÔÈ P(x, y) Î·È Q(x, y) Â›Ó·È Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û οÔÈÔ ¯ˆÚ›Ô U Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· R Î·È ∂ R. ∆fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ:   

 ∂R

Pd x + Qdy = R

 ∂Q ∂P − d A, ∂x ∂y

fiÔ˘ ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂ R Ì ÊÔÚ¿ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂΛӢ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡1 . ∏ ÈÛ¯‡˜ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Green ÌÔÚ› Ó· ÂÂÎÙ·ı› Î·È Û ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˜ ÙˆÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÂÚÈÔ¯¤˜, ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Â›Ó·È ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË2 . ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ Ì ۇÓÔÚÔ ∂G ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓÔ ·fi ¤Ó·Ó ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ·ÚÈıÌfi ·ÏÒÓ ÎÏÂÈÛÙÒÓ Î·Ì˘ÏÒÓ, fiÔ˘ ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ‰‡Ô ÂÍ ·˘ÙÒÓ ∆Ô γ Â›Ó·È ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ Ù˘ ÂÈηÌ‡ÏÈ·˜ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÌÈ·˜ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ηÌ‡Ï˘ γ Ì ÊÔÚ¿ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂΛӢ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡. 2 ™.Ù.ª. °È· ÌÈ· ÏÂÙÔÌÂÚ‹ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Green Ô ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ ·Ú·¤ÌÂÙ·È ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 10.45 (ÛÂÏ. 431) ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÙÔ˘ W. Rudin: «∞Ú¯¤˜ ª·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ∞ӷχÛˆ˜» (Û ÌÂÙ¿ÊÚ·ÛË ¢. ™Ù·Ï›‰Ë, Leader Books, ∞ı‹Ó· 2000). 1 ™.Ù.ª.

74

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

‰ÂÓ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, ÙfiÙ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green ÈÛ¯‡ÂÈ. ¢ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:      ∂Q ∂P Pd x + Qdy = − d A, ∂y ∂G G ∂x fiÔ˘ ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ˘ÂÚ¿Óˆ ÂοÛÙ˘ Û˘ÓÔÚȷ΋˜ ηÌ‡Ï˘, Ë ÊÔÚ¿ Ù˘ ÔÔ›·˜ ¤¯ÂÈ ÂÈÏÂÁ› ηٿ Ù¤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙÂ Ë ÂÚÈÔ¯‹ G Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Ù˘. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 5.1.5. ∆Ô £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ R Ù˘ ∂ÈÎfiÓ·˜ 5.3, fiÔ˘ ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ Û˘ÓÔÚȷ΋ ηÌ‡ÏË Ì ÊÔÚ¿ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂΛӢ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡ Î·È Á‡Úˆ ·fi ÙȘ ÂÛˆÙÂÚÈΤ˜ Û˘ÓÔÚȷΤ˜ ηÌ‡Ï˜ Ì ÊÔÚ¿ Ù·˘ÙfiÛËÌË ÂΛӢ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡. 2

EÈÎfiÓ· 5.3: ªÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÛÙËÓ ÔÔ›· ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green, fiÙ·Ó Ë ÂÚÈÔ¯‹ R Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·, Î·È ÂÓ Û˘Ó¯›· ÂÎı¤ÙÔ˘Ì ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ R Â›Ó·È Ë ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÂÚÈÔ¯‹ a ≤ x ≤ b Î·È c ≤ y ≤ d, fiˆ˜ ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 5.4. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ¯ˆÚÈÛÙ¿ fiÙÈ:    ∂P P(x, y)d x = − dA ∂R R ∂y

75

5.1. ∂ÈηÌ‡ÏÈ· √ÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green

EÈÎfiÓ· 5.4: ªÈ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÂÚÈÔ¯‹

Î·È 

 

∂R

Q(x, y)dy = R

∂Q d A. ∂x

∫·Ù' ·Ú¯¿˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:   R

∂P dA = ∂y

 a

b

 c

d

∂P d yd x = ∂y



b

(P(x, d) − P(x, c))d x.

a

∫·ÙfiÈÓ:  ∂R

 P(x, y)d x =

 P(x, y)d x +

C1

 P(x, y)d x +

C2

P(x, y)d x C3

 +

P(x, y)d x, C4

fiÔ˘ C1 Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ·fi ÙÔ (a, c) ÛÙÔ (b, c), C2 Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ·fi ÙÔ (b, c) ÛÙÔ (b, d), C3 Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ·fi ÙÔ (b, d) ÛÙÔ (a, d) Î·È C4 Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ·fi ÙÔ (a, d) ÛÙÔ (a, c). ∆ÒÚ·, ηٿ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ C2 Î·È C4 ¤¯Ô˘Ì d x = 0, ÂÓÒ Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ C1 ¤¯Ô˘Ì y = c Î·È Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ C3 ¤¯Ô˘Ì y = d.

76

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

∂Ô̤ӈ˜:   P(x, y)d x = ∂R

=

 P(x, y)d x +

C1  b a

P(x, c)d x +

P(x, y)d x C3  a

 P(x, d)d x =

b



b

=−

b

(P(x, c) − P(x, d))d x

a

 

(P(x, d) − P(x, c))d x = −

a

R

∂P d A. ∂y

ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌfi ÌÔÚԇ̠ӷ ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ:    ∂Q Q(x, y)dy = d A. ∂R R ∂x

∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Green, ÛÙË ÁÂÓÈ΋ Ù˘ ÂÚ›ÙˆÛË, ÌÔÚ› Ó· Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈËı› Ì ‰È·›ÚÂÛË Ù˘ ÂÚÈÔ¯‹˜ R Û ¤Ó· ϤÁÌ· ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÂÈ¤‰ˆÓ. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 5.1.6. ¡· ÂȂ‚·Èˆı› ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green, fiÙ·Ó P(x, y) = 4y, Q(x, y) = 5x Î·È R Â›Ó·È Ë ÂÚÈÔ¯‹ Ì ۇÓÔÚÔ ÙÔÓ ÌÔÓ·‰È·›Ô ·ÎÏÔ, ΤÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Â›Ó·È Ë ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ¢ËÏ·‰‹ ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂ R ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Î·Ì‡ÏË γ (t) = eit = cos t + i sin t Ì 0 ≤ t ≤ 2π. ™ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘Ì ∂∂Qx = 5, ∂∂Py = 4 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ∂∂Qx − ∂∂Py = 1. ŒÙÛÈ ¤ÂÙ·È:       ∂Q ∂P d A = ∂Ì‚·‰fiÓ(R) = π. − dA = ∂y R ∂x R ∆ÒÚ·, ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂ R Â›Ó·È Ô ÌÔÓ·‰È·›Ô˜ ·ÎÏÔ˜. ÕÚ· x(t) = cos t, d x = − sin t dt, y(t) = sin t Î·È dy = cos t dt. ∫·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó ¤¯Ô˘ÌÂ:   2π Pd x + Q dy = 4 sin t (− sin t) dt + 5 cos t cos t dt ∂R

0

 =

2π



0

2π

(5 cos t − 4 sin t) dt = 2

2

(5 − 9 sin2 t) dt = π.

0

2 ∆Ô £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green Î·È Ë ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÙˆÓ ÚÒÙ˘ Ù¿Í˘ ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÌÔÚÊÒÓ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÛÙÂÓ¿ Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›·˜ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘, Ë ÔÔ›· ‰È·‰Ú·Ì·Ù›˙ÂÈ ÚˆÙ‡ÔÓÙ· ÚfiÏÔ Î·È ÛÙË ÌÈÁ·‰È΋ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË.

5.1. ∂ÈηÌ‡ÏÈ· √ÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green

77

√ÚÈÛÌfi˜ 5.1.3. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ P(x, y) Î·È Q(x, y) Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔ ¯ˆÚ›Ô U ÙÔ ÔÔ›Ô  ÂÚȤ¯ÂÈ ÌÈ· ηÌ‡ÏË γ . ∆Ô γ Pd x + Qdy ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘, fiÙ·Ó Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi Ù· ¿ÎÚ· Ù˘ γ Î·È fi¯È ·fi ÙËÓ ›‰È· ÙËÓ Î·Ì‡ÏË. £ÂÒÚËÌ· 5.1.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ P(x, y) Î·È Q(x, y) Â›Ó·È Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û οÔÈÔ ¯ˆÚ›Ô U . ∆· ·ÎfiÏÔ˘ı· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: (1) ∏ P(x, y)d x + Q(x, y)dy Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜.  (2) ∆Ô γ Pd x + Qdy Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ηÌ‡ÏË γ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U .  (3) ∆Ô γ Pd x + Qdy = 0 ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë P(x, y)d x + Q(x, y)dy Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜. ∆fiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (x, y) Ì d f = Pd x + Qdy. ∂¿Ó P0 Î·È P1 Â›Ó·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔ˘ U Î·È γ Â›Ó·È ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ηÌ‡ÏË ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U Ì ¿ÎÚ· Ù· P0 Î·È P1 , ÙfiÙÂ:   Pd x + Qdy = d f = f (P1 ) − f (P0 ). γ



γ

ÕÚ· ÙÔ γ Pd x + Qdy Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘. ∂Ô̤ӈ˜, Ë ÚfiÙ·ÛË (1) ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È ÙË (2).  ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ γ Pd x + Qdy Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ηÌ‡ÏË γ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U . ŒÛÙˆ γ1 ÌÈ· ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË Î·È P0 , P1 ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘. ŒÛÙˆ γ11 Ë Î·Ì‡ÏË Ô˘ ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ ÙËÓ γ1 ·fi ÙÔ P0 ÛÙÔ P1 Î·È γ12 Ë Î·Ì‡ÏË Ô˘ ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ ÙËÓ γ1 ·fi ÙÔ P0 ÛÙÔ P1 , fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 5.5. ∞fi ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›·˜ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ ¤¯Ô˘ÌÂ:   Pd x + Qdy = Pd x + Qdy γ11

‹

γ12

 γ11

 Pd x + Qdy −

γ12

Pd x + Qdy = 0.

∂Í¿ÏÏÔ˘, Ë ·Ú¯È΋ ηÌ‡ÏË γ1 Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ë Î·Ì‡ÏË γ11 − γ12 Î·È ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘:    Pd x + Qdy = Pd x + Qdy − Pd x + Qdy = 0. γ1

γ11

γ12

78

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

EÈÎfiÓ· 5.5: ∏ ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›· ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ ∂Ô̤ӈ˜, ·fi ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË (2) ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È Ë (3).  ∆¤ÏÔ˜, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ γ Pd x + Qdy = 0 ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ ÛÙÔ U . ∆fiÙ ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green ¤¯Ô˘ÌÂ: 

  ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ γ

 ∂Q ∂P − d A = 0. ∂x ∂y

∂ÊfiÛÔÓ Î¿ÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂÚÈÔ¯‹  ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U , Ë ÔÔ›· ÊÚ¿ÛÛÂÙ·È ·fi ÌÈ· ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË Ô˘ ÎÂ›Ù·È ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U . øÛÙfiÛÔ, ·˘Ùfi Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÌfiÓÔÓ fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ: ∂Q ∂P ∂Q ∂P − =0‹ = . ∂x ∂y ∂x ∂y ∂Ô̤ӈ˜, Ë Pd x + Qdy Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ Î·È ¤ÙÛÈ Û˘ÌÏËÚÒÓÂÙ·È Ë ·fi‰ÂÈÍË.

5.2

ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙË £ÂˆÚ›· ¶Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ∂ÈηÌ‡ÏÈ·˜ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏÔÎϋڈ̷. √ÚÈÛÌfi˜ 5.2.1. (1) ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (t) = u(t) + iv(t) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË

5.2. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· t0 ≤ t ≤ t1 . ∆fiÙ ÔÚ›˙Ô˘ÌÂ:  t1  t1  f (t)dt = u(t)dt + i t0

t0

t1

v(t)dt.

79

(5.2.1)

t0

(2) ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (z) = u(z) + iv(z) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·È fiÙÈ γ (t) = x(t) + i y(t) Ì t0 ≤ t ≤ t1 Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË Ô˘ ÎÂ›Ù·È ÛÙÔ ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f (z). ∆fiÙÂ Ë f (γ (t)) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ t. √Ú›˙Ô˘Ì ÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ (‹ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÂÚÈÁÚ·ÌÌÈÎfi ÔÏÔÎϋڈ̷) ˆ˜:   t1 f (z)dz = f (γ (t))γ  (t)dt. (5.2.2) γ

t0

√ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ˜ ·fi ÙËÓ ·Ú·ÌÂÙÚÈÎÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ Ù˘ ηÌ‡Ï˘ ˘fi ÙËÓ ÂÍ‹˜ ¤ÓÓÔÈ·: ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ γ1 : [t0 , t1 ] → C Ì t0 ≤ t1 Î·È γ2 : [s0 , s1 ] → C Ì s0 ≤ s1 . ∏ γ1 Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË Ù˘ γ2 , Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó· Î·È Â›) Û˘Ó¿ÚÙËÛË φ : [t0 , t1 ] → [s0 , s1 ] Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ γ2 = γ1 ◦ φ Î·È φ  (t) > 0 ÁÈ· fiÏ· Ù· t ∈ [t0 , t1 ]. ∂¿Ó ÔÈ γ1 Î·È γ2 Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜ ηÌ‡Ï˜ Ì ÙÈ̤˜ ÂÓÙfi˜ ÌÈ·˜ ·ÓÔÈÎÙ‹˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ U ⊂ C Î·È Ë f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ U , ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:   f (z)dz = f (z)dz, γ1

γ2

ÂÊfiÛÔÓ γ2 (t) = γ1 (φ(t))φ  (t). °Ú¿ÊÔÓÙ·˜ Ù· f (z), γ (t) ˆ˜ f (z) = u(z)+iv(z) Î·È γ (t) = x(t)+i y(t) Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì  γ (t)dt = x  (t)dt + i y  (t)dt = d x + idy = dz. ªÂ ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË ÚÔ·ÙÂÈ: f (z)dz = (u + iv)(d x + idy) = ud x − vdy + i(udy + vd x). ∂Ô̤ӈ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ Í·Ó·ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ˆ˜:    f (z)dz = (ud x − vdy) + i (vd x + udy). (5.2.3) γ

γ

γ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 5.2.1.  ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ γ z 3 dz, fiÔ˘ γ Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ (0, 0) ÛÙÔ (1, 1).

80

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

°ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ z 3 = (x + i y)3 = x 3 − 3x y 2 + i(3x 2 y − y 3 ) Î·È fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ (0, 0) ÛÙÔ (1, 1) ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Î·Ì‡ÏË γ (t) = t + it Ì 0 ≤ t ≤ 1. ™˘ÓÂÒ˜, ¤¯Ô˘ÌÂ:    f (z)dz = (ud x − vdy) + i (vd x + udy) γ γ γ   = (x 3 − 3x y 2 )d x − (3x 2 y − y 3 )dy + i (3x 2 y − y 3 )d x γ

γ

+ (x − 3x y )dy  1  1 = (t 3 − 3t 3 )dt − (3t 3 − t 3 )dt + i (3t 3 − t 3 )dt + (t 3 − 3t 3 )dt 3

2

0

 =

0 1

−4t dt = −1. 3

0

2 ∞fi Ù· ‚·ÛÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ ÂÈηÌ‡ÏÈ·˜ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ¤ÂÙ·È fiÙÈ fiϘ ÔÈ Û˘Ó‹ıÂȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· ÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏÔÎϋڈ̷. §‹ÌÌ· 5.2.1. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ f (z), g(z) Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Î·È fiÙÈ α, β ∈ C. ∆fiÙÂ:    (1) γ α f (z) + βg(z)dz = α γ f (z)dz + β γ g(z)dz,   (2) | γ f (z)dz| ≤ γ | f (z)||dz|,  (3) γ |dz| = ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙfiÍÔ˘ Ù˘ γ , (4) Â¿Ó Â› Ù˘ ηÌ‡Ï˘ γ ÈÛ¯‡ÂÈ | f (z)| ≤ M Î·È Â¿Ó L Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘  ÙfiÍÔ˘ Ù˘ γ , ÙfiÙ | γ f (z)dz| ≤ M L. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë F(z) = U (z) + i V (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÌÈ· ηÌ‡ÏË γ Î·È fiÙÈ f (z) = F  (z). ∆fiÙ f (z) = ∂U + i ∂∂Vx Î·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË (5.2.3) ∂x Â¿ÁÂÙ·È:  

 γ

f (z)dz =

γ

    ∂U ∂V ∂V ∂U dx − dy + i dx + dy ∂x ∂x ∂x ∂x γ

∞fi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann ¤¯Ô˘Ì ∂Ô̤ӈ˜:

∂U ∂x

=

∂V ∂y

ηÈ

∂ 2U ∂2V ∂ 2U ∂2V ∂2V ∂ 2U . = = − 2 Î·È = = ∂ x∂ y ∂ y∂ x ∂x ∂ x∂ y ∂ y∂ x ∂x2

(5.2.4) ∂U ∂y

= − ∂∂Vx .

5.2. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

81

ŒÙÛÈ ·ÌÊfiÙÂÚ· Ù· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ÛÙÔ ‰ÂÍÈfi ̤ÏÔ˜ Ù˘ (5.2.4) Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘. ø˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, fiÙ·Ó Ë γ ËÁ·›ÓÂÈ ·fi ÙÔ z 0 ÚÔ˜ ÙÔ z 1 , ÙfiÙÂ:   f (z)dz = F  (z)dz = F(z 1 ) − F(z 0 ). (5.2.5) γ

γ

∞˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÌÈÁ·‰È΋ ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. §‹ÌÌ· 5.2.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë F(z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û οÔÈ· ÂÚÈÔ¯‹ U Î·È fiÙÈ f (z) = F  (z). ∂¿Ó γ Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U Ì ¿ÎÚ· Ù· z 0 Î·È z 1 , ÙfiÙÂ:  f (z)dz = F(z 1 ) − F(z 0 ). γ

¶fiÚÈÛÌ· 5.2.1.  n z 1n+1 z n+1 z 1 γ z dz = n+1 |z 0 = n+1 − γ Ì ¿ÎÚ· Ù· z 0 , z 1 .

z 0n+1 n+1

ÁÈ· οıÂ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi n Î·È ÁÈ· οı ηÌ‡ÏË

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 5.2.2.  ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ γ z 3 dz, fiÔ˘ γ Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ (0, 0) ÛÙÔ (1, 1). ™ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË, Ù· ¿ÎÚ· Ù˘ γ Â›Ó·È Ù· 0 Î·È 1 + i. ™˘ÓÂÒ˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ¶fiÚÈÛÌ· 5.2.1, ¤¯Ô˘ÌÂ:  γ

z 3 dz =

1+i z 4

(1 + i)4 = −1. =

4 0 4

¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ Ú¿ÁÌ·ÙÈ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Û˘ÌʈÓ› Ì ·˘Ùfi Ô˘ ˘ÔÏÔÁ›Û·Ì ·¢ı›·˜ ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5.2.1. ø˜ ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 5.2.2 Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ:  F  (z)dz = 0 γ

ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ . £· ÁÂÓÈ·ÛÔ˘Ì ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Û ·Ó·Ï˘ÙÈÎÔ‡˜ ÔÏÔÎÏËÚˆÙ¤Ô˘˜. ∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ:    f (z)dz = (ud x − vdy) + i (vd x + udy), γ

γ

γ

82

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

fiÔ˘ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ U Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ Î·Ì‡ÏË γ . ∞fi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ Cauchy Î·È Riemann ¤ÂÙ·È: ∂u ∂v ∂u ∂v = , =− . ∂x ∂y ∂y ∂x ŒÙÛÈ, Â¿Ó ÔÈ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ U , ÙfiÙ ηıÂÌ›· ·fi ÙȘ ‰È·ÊÔÚÈΤ˜ ÌÔÚʤ˜ ÛÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÏÔÎϋڈ̷ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚‹˜ Î·È Ù· ÂÈηÌ‡ÏÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘. Àfi ·˘Ù¤˜ ÙȘ Û˘Óı‹Î˜ ÈÛ¯‡ÂÈ:  f (z)dz = 0 (5.2.6) γ

ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙË U . ∆Ô ·ÓˆÙ¤Úˆ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠÚˆÙ›ÛÙˆ˜ ·fi ÙÔÓ Cauchy ÛÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ‰¤Î·ÙÔ˘ ¤Ó·ÙÔ˘ ·ÈÒÓ·. √ Goursat, Ï›ÁÔ ·ÚÁfiÙÂÚ·, ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ Ë ·Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ· Î·È ÌfiÓÔÓ Ù˘ f (z) Â›Ó·È Â·Ú΋˜ ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË (Ë ·fi‰ÂÈÍË ‰ÂÓ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙˆÓ ÌÂÚÈÎÒÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È ÈÛ¯˘ÚfiÙÂÚË ·fi ÂΛÓË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Green). ∆Ô ÂÓ ÏfiÁˆ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy ‹ £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Cauchy Î·È Goursat. ™ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· µ ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ̛· ·˘ÛÙËÚ‹ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ˘ ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Goursat. 2 £ÂÒÚËÌ· 5.2.1 (£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy). ŒÛÙˆ fiÙÈ f (z) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·Ó·Ï˘ÙÈÎÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓË Û ¤Ó· ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi ¯ˆÚ›Ô U Î·È fiÙÈ γ Â›Ó·È ÌÈ· ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÂÍ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U . ∆fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ:  f (z)dz = 0. γ

£· ·ÔÂÚ·ÙÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ÂÓfiÙËÙ· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·˜ fiÙÈ ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy ¤ÂÙ·È ˆ˜ οı ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È Î·È Ë ›‰È· ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ οÔÈ·˜ ¿ÏÏ˘ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. £ÂÒÚËÌ· 5.2.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ U Â›Ó·È ¤Ó· ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi ¯ˆÚ›Ô Î·È fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ U . ∆fiÙ f (z) = F  (z), ÁÈ· οÔÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË F(z) Ô˘ Â›Ó·È Â›Û˘ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ U . ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ z 0 ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ U Î·È γ ÌÈ· ηÌ‡ÏË ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U Ì ·Ú¯ÈÎfi ÛËÌ›Ô

5.2. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

83

ÙÔ z . ∞fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜  0 γ f (z)dz ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙÔ ÙÂÏÈÎfi ¿ÎÚÔ Ù˘ γ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ٤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ηÌ‡ÏË γ . ¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì ÙÔ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤Ó, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ γ Î·È γ1 Â›Ó·È ‰‡Ô ηÌ‡Ï˜ Ô˘ ÍÂÎÈÓÔ‡Ó ·fi ÙÔ z 0 Î·È ·ÔÏ‹ÁÔ˘Ó ÛÙÔ z 1 , fiˆ˜ ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 5.6.

EÈÎfiÓ· 5.6: ∏ ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›· ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ ŒÛÙˆ γ2 Ô ÎÏÂÈÛÙfi˜ ‰ÚfiÌÔ˜ Ô ÔÔ›Ô˜ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙÔ z 0 , Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙË γ ¤ˆ˜ ÙÔ z 1 Î·È ÂÓ Û˘Ó¯›· ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÛÙÔ z 0 ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ γ1 . ∂Âȉ‹ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ U , ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy ¤ÂÙ·È fiÙÈ:    f (z)dz = 0 = f (z)dz − f (z)dz. γ2

∫·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ:

γ

 γ

γ1

 f (z)dz =

γ1

f (z)dz.

z ∆ÒÚ·, ¤ÛÙˆ fiÙÈ F(z) = z0 f (w)dw. ∞fi Ù· ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ· Â¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ F(z) Â›Ó·È Î·ÏÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓÔ. ÀÔÏ›ÂÙ·È ÏÔÈfiÓ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ F  (z) = f (z). Œ¯Ô˘ÌÂ:  z+z   z F(z + z) − F(z) 1 F  (z) = lim = lim f (w)dw − f (w)dw z→0 z→0 z z z0 z0  z+z 1 f (w)dw. = lim z→0 z z

84

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

∂Âȉ‹ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋, Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ) fiÙÈ: 

z+z

f (w)dw = ( f (z) + )z,

z

fiÔ˘ ÙÔ  → 0, ηıÒ˜ ÙÔ z → 0. ∂Ô̤ӈ˜: 1 lim z→0 z



z+z

f (w)dw = f (z),

z

Î·È ¤ÙÛÈ F  (z) = f (z).

5.3

√ ∆‡Ô˜ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy Î·È Ë Î·Ù¿ Cauchy ∂ÎÙ›ÌËÛË

ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Cauchy Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÌÂÏÈ҉˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ Ù‡Ô˜ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy. £ÂÒÚËÌ· 5.3.1 (∆‡Ô˜ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy). ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ¤Ó· ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi ¯ˆÚ›Ô, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÌÈ· ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ . ∂¿Ó z 0 Â›Ó·È ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ γ , ÙfiÙÂ:  f (z) 1 f (z 0 ) = dz, 2πi γ z − z 0 fiÔ˘, ÁÈ· ÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË Ù˘ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘, Ë ÊÔÚ¿ Ù˘ γ ıˆÚÂ›Ù·È ·ÓÙ›ıÂÙË ÂΛӢ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡. ¶ÚÈÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 5.3.1, ·Í›˙ÂÈ Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì ˆ˜ ·fi ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ıÂÒÚËÌ· Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÔÈ ÙÈ̤˜ ÌÈ·˜ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ÛÙÔ U , ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÌÈ·˜ ηÌ‡Ï˘ γ ÙÔ˘ U , ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÔÓÙ·È Ï‹Úˆ˜ ·fi ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ Â› ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘ Ù˘ γ . ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Ë ·Ó·Ï˘ÙÈÎfiÙËÙ· Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ô˘ ÂÈ‚¿ÏÏÂÈ ÙËÓ ÂÓ ÏfiÁˆ ÈÛ¯˘Ú‹ ·ÏÏËÏÔÛ˘Û¯¤ÙÈÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘ Î·È ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù¤ÙÔÈˆÓ Î·Ì˘ÏÒÓ. ∞fi‰ÂÈÍË. (£ÂÒÚËÌ· 5.3.1) ŒÛÙˆ C0 Ô Î‡ÎÏÔ˜ ·ÎÙ›Ó·˜ r0 Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 . ∂¿Ó ÙÔ r0

5.3. √ ∆‡Ô˜ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy Î·È Ë Î·Ù¿ Cauchy ∂ÎÙ›ÌËÛË

85

EÈÎfiÓ· 5.7: ¢·ÎÙ˘ÏÈfiÛ¯ËÌË ÂÚÈÔ¯‹ Â›Ó·È ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÈÎÚfi, ÙfiÙÂ Ô Î‡ÎÏÔ˜ C0 ÎÂ›Ù·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ γ , fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 5.7. f (z) ∆fiÙÂ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË g(z) = z−z ı· Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙË ‰·ÎÙ˘ÏÈfiÛ¯ËÌË ÂÚÈÔ¯‹, Ë 0 ÔÔ›· ÊÚ¿ÛÛÂÙ·È ·fi ÙËÓ Î·Ì‡ÏË γ Î·È ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ C0 . ÕÚ·, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È:   f (z) f (z) dz − dz = 0, (5.3.1) z − z z − z0 0 γ C0 ηÈ

 γ

∞ÎÔÏÔ‡ıˆ˜:

 γ

f (z) dz = z − z0

f (z) dz = f (z 0 ) z − z0

 C0

 C0

f (z) dz. z − z0

dz + z − z0

 C0

f (z) − f (z 0 ) dz. z − z0

(5.3.2)

∆ÒÚ·, Â› ÙÔ˘ C0 ¤¯Ô˘Ì z = z 0 + r0 eit Î·È dz = ir0 eit dt. ∂Ô̤ӈ˜:   2π dz =i dt = 2πi. C0 z − z 0 0 ∂Âȉ‹ Ë f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ z 0 , Â¿Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì ÙÔ r0 ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÈÎÚfi, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ | f (z) − f (z 0 )| <  ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ‰›ÛÎÔ˘ |z − z 0 | ≤ r0 (‰ËÏ·‰‹ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒ˜ ÙÔ˘ C0 ). ∆fiÙÂ:





 f (z) − f (z 0 )

| f (z) − f (z 0 )|

|dz| < 2πr0 = 2π . dz

≤ z − z |z − z | r 0 0 0 C0 C0

86

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

™˘ÓÂÒ˜, Ë ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ÛÙË Û¯¤ÛË (5.3.2) ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ÔÛÔÓ‰‹ÔÙ ÌÈÎÚ‹. ŒÙÛÈ, Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Ìˉ¤Ó Î·È Û˘ÌÂÚ·ÛÌ·ÙÈÎÒ˜:  f (z) dz = 2πi f (z 0 ). z − z0 γ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 5.3.1.  ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ γ z 2dz−9 , fiÔ˘ Ë γ Â›Ó·È ÌÈ· ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË Ô˘ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ z = −3 ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘. 1 ŒÛÙˆ f (z) = z+3 . ∂¿Ó Ë γ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ z = −3 ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘, ÙfiÙÂ Ë f (z) ı· Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Â› Ù˘ γ fiˆ˜ Â›Û˘ Î·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘. ∂Ô̤ӈ˜, ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy ¤ÂÙ·È:    dz dz f (z) = = dz = 2πi f (3) 2 γ z −9 γ (z + 3)(z − 3) γ z−3 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 2πi/6. ∞fi ÙÔÓ ∞ÓÒÙÂÚÔ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi ˘ÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó Ë g(x, t) Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Î·È Â¿Ó  b f (t) = g(x, t)dt, a

ÙfiÙÂ: f  (t) =

 a

b

∂g (x, t)dt. ∂t

¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤Ûˆ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÌÈ·˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌ˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË Ì›· ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹, ÙfiÙÂ Ë ·Ú¿ÁˆÁfi˜ Ù˘ Â›Ó·È ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ ÌÂÚÈ΋˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÂÓ ÏfiÁˆ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹. ∂Ó ÚÔÎÂÈ̤ӈ, ·˜ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ ‰Â‰Ô̤ÓÔ ÛÙÔÓ Ù‡Ô ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy ÁÈ· Ó· Û˘Ó·Á¿ÁÔ˘Ì ̛· ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÁÈ· ÙËÓ ·Ú¿ÁˆÁÔ ÌÈ·˜ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. Œ¯Ô˘ÌÂ:  f (z) 1 f (z 0 ) = dz. 2πi γ z − z 0 ¶·Ú·ÁˆÁ›˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ˆ˜ ÚÔ˜ z 0 ÚÔ·ÙÂÈ:  f (z) 1 f  (z 0 ) = dz. 2πi γ (z − z 0 )2

(5.3.3)

5.3. √ ∆‡Ô˜ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy Î·È Ë Î·Ù¿ Cauchy ∂ÎÙ›ÌËÛË

87

∂·ÁˆÁÈÎÒ˜, ‰È¿ Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÈÛ˘ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ z 0 , Û˘Ó¿ÁÂÙ·È Ô Ù‡Ô˜:  f (z) n! f (n) (z 0 ) = dz. (5.3.4) 2πi γ (z − z 0 )n+1 2 ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ·ԉ›ͷÌ ÙÔ ÂÍ‹˜ fiÚÈÛÌ· ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy. ¶fiÚÈÛÌ· 5.3.1. ŒÛÙˆ f (z) ÌÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó· ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi ¯ˆÚ›Ô U Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÌÈ· ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ . ∂¿Ó ÙÔ z 0 Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Î›ÌÂÓÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒ˜ Ù˘ γ , ÙfiÙ ÌÈ· ¤ÎÊÚ·ÛË ÁÈ· ÙËÓ n – ÔÛÙ‹ ·Ú¿ÁˆÁÔ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜:  f (z) n! (n) f (z 0 ) = dz. 2πi γ (z − z 0 )n+1 ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, ·fi ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ fiÚÈÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜: ¶fiÚÈÛÌ· 5.3.2. ∂¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó· ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi ¯ˆÚ›Ô U , ÙfiÙ ‰È·ı¤ÙÂÈ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ fiÏˆÓ ÙˆÓ Ù¿ÍÂˆÓ ÛÙÔ U . ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÌÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·ÔÙÂÏ› ¿ÓÙÔÙ ÙËÓ ·Ú¿ÁˆÁÔ ÌÈ·˜ ¿ÏÏ˘ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. ø˜ Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ¶ÔÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ 5.3.2 ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜: ¶fiÚÈÛÌ· 5.3.3. ∏ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ οı ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋. ™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÔÊ›ÏÔ˘Ì ӷ ÙÔÓ›ÛÔ˘Ì ÙË Û·Ê¤ÛÙ·ÙË ‰È·ÊÔÚÔÔ›ËÛË Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·Ó·Ï˘ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ R. ªÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = f (x) Ì x, y ∈ R ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ·ÏÏ¿ fi¯È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË. °ÂÓÈÎÒ˜, ϤÌ fiÙÈ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : [a, b] → R ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ÎÏ¿ÛË C n , fiÙ·Ó Â›Ó·È n – ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË. °È· οı n, ÙÔ C n+1 Â›Ó·È ÁÓ‹ÛÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ C n , ‰ËÏ·‰‹ ˘¿Ú¯Ô˘Ó n – ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È (n + 1) – ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘. ∏ ÎÏ¿ÛË C ∞ ··ÚÙ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ ·›ڈ˜ ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. √È e x Î·È sin x ·Ó‹ÎÔ˘Ó Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÎÏ¿ÛË. ∆Ô

88

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

¶fiÚÈÛÌ· 5.3.2 ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ Û ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È ÛÙËÓ ÎÏ¿ÛË C ∞ Ù˘ ÂÚÈÔ¯‹˜ ·˘Ù‹˜. ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒ˜ ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Â›Ó·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ·Ó··Ú›ÛÙ·ÓÙ·È ‰È·Ì¤ÛÔ˘ Û˘ÁÎÏÈÓÔ˘ÛÒÓ ÛÂÈÚÒÓ Taylor. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ ÎÏ¿ÛË C ∞ . ∂ÓÙÔ‡ÙÔȘ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙË C ∞ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒ˜ ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜Ø οÙÈ Ô˘ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. ∂¿Ó ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹, ÙfiÙ ¤ÂÙ·È Î·È Ë ·Ó¿Ï˘Û‹ Ù˘ Û ÛÂÈÚ¿ Taylor ÛÙËÓ ›‰È· ÂÚÈÔ¯‹. £ÂÒÚËÌ· 5.3.2. ∂¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ C0 ·ÎÙ›Ó·˜ r0 Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ z 0 , ÙfiÙÂ Ë f (z) ·Ó··Ú›ÛÙ·Ù·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ C0 ̤ۈ ÌÈ·˜ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Û·˜ ÛÂÈÚ¿˜ Taylor Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ z 0 , ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· fiÏ· Ù· z ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ C0 ÈÛ¯‡ÂÈ: f (z) = f (z 0 ) + f  (z 0 )(z − z 0 ) + . . . +

f (n) (z 0 ) (z − z 0 )n + . . . n!

∆¤ÏÔ˜, Ô Ù‡Ô˜ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy Ì·˜ Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ Î·Ù¿ Cauchy ÂÎÙ›ÌËÛË, Ë ÔÔ›· ı· ·Ԃ› ηıÔÚÈÛÙÈ΋ ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. £ÂÒÚËÌ· 5.3.3 (∫·Ù¿ Cauchy ∂ÎÙ›ÌËÛË). ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ¤Ó· ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi ¯ˆÚ›Ô U ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ C0 ·ÎÙ›Ó·˜ r0 Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ z 0 . ∂¿Ó M Â›Ó·È Ë Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ | f (z)| ÛÙÔÓ C0 , ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: | f (n) (z 0 )| ≤

n!M . r0n

∂ȉÈÎfiÙÂÚ· 3 , Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ | f (z)| < M ÙfiÛÔ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi, fiÛÔ Î·È Â› ÙÔ˘ C0 , ÙfiÙÂ: | f  (z)| <

M r0

ÁÈ· fiÏ· Ù· z Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ C0 . 3 ™.Ù.ª.

™ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ‰ÂÓ ·Ú·Ù›ıÂÙ·È Ë ·fi‰ÂÈÍË ÁÈ· ÙË ÁÓ‹ÛÈ· ·ÓÈÛfiÙËÙ·. ∂Í ¿ÏÏÔ˘ Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·ÓÈÛfiÙËÙ· ‰ÂÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Liouville.

5.4.

∆Ô £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville Î·È ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜

89

∞fi‰ÂÈÍË. ∞fi ÙÔ ¶fiÚÈÛÌ· 5.3.1 ¤ÂÙ·È:



 

n!

Mn! f (z) dz

.

≤

| f (n) (z 0 )| ≤

dz

n+1 n+1 2πi C0 (z − z 0 ) 2π C0 (z − z 0 ) ∂› ÙÔ˘ C0 ÈÛ¯‡ÂÈ z = z 0 + r0 eit Î·È dz = ir0 eit dt. ÕÚ·:



 2π



dz −n −int

= r0 e dt

= 2πr0−n

n+1 (z − z ) 0 0 C0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ | f n (z 0 )| ≤

5.4

Mn! . r0n

∆Ô £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville Î·È ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ – ¢Â‡ÙÂÚË ∞fi‰ÂÈÍË

™ÙËÚÈ˙fiÌÂÓÔÈ ÛÙËÓ Î·Ù¿ Cauchy ÂÎÙ›ÌËÛË ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville, ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ı· ÚÔ·„ÂÈ Â˘Îfiψ˜ Ë ‰Â‡ÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. £ÂÒÚËÌ· 5.4.1 (£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville). (1) ∂¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·È Ë | f (z)| Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ z ∈ C, ÙfiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. (2) °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Â¿Ó Ë | f (n) (z)| Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË Û fiÏÔ ÙÔ C, ÙfiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ ≤ n + 1. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·È fiÙÈ | f (z)| ≤ M ÁÈ· fiÏ· Ù· z ∈ C. ∆fiÙÂ, ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ Î·Ù¿ Cauchy ÂÎÙ›ÌËÛË Û ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Î·È ·ÎÙ›Ó· r , Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ: | f  (z)| <

M . r

∂ÊfiÛÔÓ Ë f (z) Â›Ó·È ·Î¤Ú·È·, ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ r → ∞. ∂Ô̤ӈ˜ | f  (z)| = 0 Î·È ¤ÙÛÈ f  (z) = 0. ∞fi ·˘Ùfi Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È ‚‚·›ˆ˜ fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ (1). °È· ÙÔ (2) ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ, Â¿Ó | f n (z)| ≤ M ÁÈ· fiÏ· Ù· z ∈ C, ÙfiÙ ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ Î·È ¿ÏÈ ÙËÓ Î·Ù¿ Cauchy ÂÎÙ›ÌËÛË ¤¯Ô˘ÌÂ: | f (n+1) (z)| ≤

M r

90

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

Â› ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ·ÎÏÔ˘ Ì ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Î·È ·ÎÙ›Ó· r . ÀÔı¤ÙÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÙÔ r → ∞ Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì f (n+1) (z) = 0 ηÈ, ¿Ú·, Ë f (n) (z) ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. ŒÙÛÈ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ·ÓÙÈ·Ú·ÁÒÁÈÛ˘, ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (z) ı· Â›Ó·È Î·Ù' ·Ó¿ÁÎËÓ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ ≤ n + 1. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ P(z) Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∂¿Ó deg P(z) ≥ 1, ÙfiÙ ÙÔ P(z) Â›Ó·È ÌÈ· ÌË ÛÙ·ıÂÚ‹ ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· |P(z)| → ∞, ηıÒ˜ |z| → ∞. ∞fi ÙÔÓ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Liouville Î·È Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ·Ú·Ù‹ÚËÛ˘ ÚÔ·ÙÂÈ ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. £ÂÒÚËÌ· 5.4.2 (£ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜). ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ P(z) Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ ≥ 1. ∆fiÙ ÙÔ P(z) ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞fi‰ÂÈÍË. 1 ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ P(z) Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î·È ·˜ ı¤ÛÔ˘Ì f (z) = P(z) . ∂¿Ó ÙÔ P(z) ‰ÂÓ Â›¯Â η̛· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÙfiÙÂ Ë f (z) ı· ‹Ù·Ó Â›Û˘ ÌÈ· ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ∞ÊÔ‡ |P(z)| → ∞, ηıÒ˜ |z| → ∞, ˘¿Ú¯Ô˘Ó M Î·È r > 0 Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ 1 |P(z)| > M, fiÙ·Ó |z| > r . ∞fi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÁÈ· |z| > r ¤¯Ô˘Ì | f (z)| = |P(z)| < M1 . ∂¿Ó fï˜ Ë f (z) ‹Ù·Ó ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÙfiÙ ı· ¤ÚÂ ӷ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙÔ Û˘Ì·Á¤˜ Û‡ÓÔÏÔ |z| ≤ r . ŒÙÛÈ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ, Â¿Ó Ë f (z) ‹Ù·Ó ·Î¤Ú·È·, ı· ‹Ù·Ó Î·È ÊÚ·Á̤ÓË Û fiÏÔ ÙÔ C. ŸÌˆ˜ ÙfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville, Ë f (z) ı· fiÊÂÈÏ ӷ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Î·È ¤ÙÛÈ ÙÔ P(z) ı· ‹Ù·Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ¤Ú¯ÂÙ·È Û ·ÓٛʷÛË ÚÔ˜ ÙËÓ ˘fiıÂÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ P(z) ˘Ô¯ÚÂÔ‡Ù·È Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÁÈ· οÔÈÔ z ∈ C. ∫·Ù' Ô˘Û›·Ó ·˘Ùfi Ô˘ ·ԉ›ͷÌÂ Â›Ó·È fiÙÈ, Â¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· ÌË ÛÙ·ıÂÚ‹ ·Î¤Ú·È· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· | f (z)| → ∞, ηıÒ˜ |z| → ∞, ÙfiÙ ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ C, ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô z 0 ∈ C Ì f (z 0 ) = 0. øÛÙfiÛÔ, ÌÈ· ÚÔÛÂÎÙÈ΋ ÌÂϤÙË ÙˆÓ ·Î¤Ú·ÈˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ ÌÈ· Ù¤ÙÔÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È Î·Ù' ·Ó¿ÁÎËÓ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, fiÏ· Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÔ‡Ó ˆ˜ ÔÈ ·Î¤Ú·È˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ·ÂÈÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ¿ÂÈÚÔ. °È· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ Î·Ù‡ı˘ÓÛË ·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Ahlfors [A].

91

5.5. ∂ÈÚfiÛıÂÙ· ∞ÔÙÂϤÛÌ·Ù·

5.5

∂ÈÚfiÛıÂÙ· ∞ÔÙÂϤÛÌ·Ù·

∫Ï›ÓÔ˘Ì ÙÔ ·ÚfiÓ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ÂÈϤÔÓ ıˆڋ̷ٷ, Ù· ÔÔ›· ‰ÂÓ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È ¿ÌÂÛ· Ì ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ·ÏÏ¿ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ›‰È·˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÙÈ΋˜. ∆Ô ÚÒÙÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Morera Î·È ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ÂÓ Ì¤ÚÂÈ ·ÓÙÈÛÙÚÔÊ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Cauchy. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, Â¿Ó ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÌÈ·˜ Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÏÒÓ ÎÏÂÈÛÙÒÓ Î·Ì˘ÏÒÓ Û οÔÈ· ÂÚÈÔ¯‹, ÙfiÙÂ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋. £ÂÒÚËÌ· 5.5.1 (£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Morera). ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ¤Ó· ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi ¯ˆÚ›Ô U Î·È  fiÙÈ γ f (z)dz = 0 ÁÈ· οı ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ Ë ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ U . ∆fiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ U . ∞fi‰ÂÈÍË. ∏ ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È Î·Ù' Ô˘Û›·Ó Ù·˘ÙfiÛËÌË Ì ÂΛÓË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 5.2.2. ŒÛÙˆ z 0 ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ U . °È· οı ηÌ‡ÏË γ1 Ì ·Ú¯‹ ÙÔ z 0 , Ë  ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ γ1 f (z)dz ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙÔ ÙÂÏÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ γ1 , ÂÊfiÛÔÓ ÈÛ¯‡ÂÈ  γ f (z)dz = 0 ÁÈ· οı ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ U . ∂Ô̤ӈ˜, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË  z F(z) = f (w)dw z0

Â›Ó·È Î·ÏÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓË. Ÿˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 5.2.2, ÌÔÚԇ̠ӷ ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ F  (z) = f (z). ∂ÊfiÛÔÓ Ë F(z) Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ U , Â›Ó·È Î·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋. ŒÙÛÈ, Ë f (z) Â›Ó·È ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÌÈ·˜ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. ∆fiÙ fï˜ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ¶fiÚÈÛÌ· 5.3.3. ∆Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ ıÂÒÚËÌ· Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ì ηÏÂ›Ù·È £ÂÒÚËÌ· ªÂÁ›ÛÙÔ˘ ª¤ÙÚÔ˘ Î·È Ì·˜ ÏËÚÔÊÔÚ› fiÙÈ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÌÈ·˜ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ÔÚÈṲ̂Ó˘ Û ¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ ¯ˆÚ›Ô ÚÔÛÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÙË Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Â› ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘ ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘. £ÂÒÚËÌ· 5.5.2 (£ÂÒÚËÌ· ªÂÁ›ÛÙÔ˘ ª¤ÙÚÔ˘). ∂¿Ó f (z) Â›Ó·È ÌÈ· ÌË ÛÙ·ıÂÚ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û οÔÈÔ ÊÚ·Á̤ÓÔ ¯ˆÚ›Ô D Î·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ D, ÙfiÙÂ Ë | f (z)| Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙË Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ ÛÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ D Î·È ÔÙ¤ Û ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌ›Ô.

92

5. ªÈÁ·‰È΋ √ÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÌÂÁ›ÛÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘, Ë ÔÔ›· ϤÂÈ Ù· ÂÍ‹˜: ∂¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· ÌË ÛÙ·ıÂÚ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ¤Ó· ¯ˆÚ›Ô U , ÙfiÙ οı ÁÂÈÙÔÓÈ¿ ÙÔ˘ z 0 ∈ U ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U , ÂÚȤ¯ÂÈ ÛËÌ›· z Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· | f (z)| > | f (z 0 )|. ™ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· C ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÓ ÏfiÁˆ ·Ú¯‹ ÁÈ· ÌÈ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜.

5.6

∆ÂÏÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ Â› Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘

™Ù· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÎÂÊ¿Ï·È· ·Ó·هͷÌ ÔÏϤ˜ ȉ¤Â˜ Î·È Ù¯ÓÈΤ˜ Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘, ÙȘ Ôԛ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ÁÈ· ÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∆Ô Î‡ÚÈÔ ‚Ô‹ıËÌ¿ Ì·˜ Û' ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÔÚ›· ˘‹ÚÍ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy, ‚¿ÛÂÈ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÚԤ΢„ ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ Ô˘ Ô‰‹ÁËÛ·Ó ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville Î·È ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË. Ÿˆ˜ ÚԷӷʤÚıËÎÂ Î·È ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 5.2, Ô Goursat ·¤‰ÂÈÍ ηÙ' Ô˘Û›·Ó ÌÈ· ÈÛ¯˘ÚfiÙÂÚË ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Cauchy. ™ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· µ ı· Â·Ó¤ÏıÔ˘Ì ÛÙË ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ı· ‰Ô‡Ì ÂÎÙÂÓ¤ÛÙÂÚ· ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy Î·È ÙËÓ ·Ú¯‹ ÌÂÁ›ÛÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘. ™ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· C ı· ‰ÒÛÔ˘ÌÂ, ‚¿ÛÂÈ ·˘ÙÒÓ, ÙÚÂȘ ÂÈÚfiÛıÂÙ˜ ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Ô˘ ‚·Û›˙ÔÓÙ·È ÛÙË ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË. ™Ù· ÂfiÌÂÓ· ‰‡Ô ÎÂÊ¿Ï·È· ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠·ÌÈÁÒ˜ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜.

∞Û΋ÛÂȘ 5.1. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· ÂfiÌÂÓ· ÂÈηÌ‡ÏÈ· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù·:  (a) γ (x 2 + y) d x + (x − y 2 ) dy, fiÔ˘ γ Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ (0, 0) ÛÙÔ (2, 3),  (b) γ (x 2 − 2y)d x + (2x + y 2 )dy, fiÔ˘ γ Â›Ó·È Ë Î·Ì‡ÏË y 2 = 4x − 1 ·fi ÙÔ (1/2, 1) ÛÙÔ (3/4, 2),  5 (c) γ x + (3y) 3 ds, fiÔ˘ γ Â›Ó·È Ë Î·Ì‡ÏË y = 13 x 3 ·fi ÙÔ x = 0 ÛÙÔ x = 3,  (d) γ (x 2 + y 2 )d x + (x 2 − y 2 )dy, fiÔ˘ γ Â›Ó·È Ë Î·Ì‡ÏË γ : x(t) = t 2 + 3, y(t) = t − 1 Ì 1 ≤ t ≤ 2,  yd x+xdy , fiÔ˘ γ Â›Ó·È Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ : x = cos t, y = sin t Ì 0 ≤ t ≤ 2π. (e) γ √ 2 2 x +y

5.2. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ·ÎfiÏÔ˘ı· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·ÎÚȂ›˜ ‰È·ÊÔÚÈΤ˜ ÌÔÚʤ˜ ÚÒÙ˘ Ù¿Í˘ Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ì ÙËÓ Â‡ÚÂÛË ÌÈ·˜ ηٿÏÏËÏ˘ ·ÓÙÈ·Ú·ÁÒÁÔ˘.

93

∞Û΋ÛÂȘ (a) (b)

 

γ

(x 2 + 2y)d x + (2x + 2y)dy, fiÔ˘ γ Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË ·fi ÙÔ (1, 1) ÛÙÔ (5, 3),

γ

(e x cos y)d x − (e x sin y)dy, fiÔ˘ γ Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË ·fi ÙÔ (0, 0) ÛÙÔ (π, π).

5.3. ¡· Â·ÏËı¢ı› ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green fiÙ·Ó: (a) P(x, y) = −y, Q(x, y) = x Î·È R Â›Ó·È Ë ÌÔÓ·‰È·›· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÂÚÈÔ¯‹ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, (b) P(x, y) = x y, Q(x, y) = −2x y Î·È R Â›Ó·È Ë ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÂÚÈÔ¯‹ 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3. 5.4. ¡· Â·ÏËı¢ı› (¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green) fiÙÈ, Â¿Ó R Â›Ó·È ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÊÚ·Á̤ÓË ·fi οÔÈ· ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË ∂ R, ÙfiÙÂ:  xdy. ∂Ì‚·‰fiÓ(R) = ∂R

5.5. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· ÂfiÌÂÓ· ÌÈÁ·‰Èο ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù·:  (a) γ f (z)dz, fiÔ˘ f (z) = (y − x) − 3x 2 i Î·È γ Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ z = 0 ÛÙÔ z = 1 + i,  Î·È γ (t) = 2eit Ì 0 ≤ t ≤ π. (b) γ f (z)dz, fiÔ˘ f (z) = z+2 z 5.6. ¡· ·Ô‰Âȯı› ·¢ı›·˜ fiÙÈ:   dz dz = 2πi Î·È fiÙÈ = 0, Â¿Ó n = 2, 3, . . . , z − z (z − z 0 )n 0 C0 C0 fiÔ˘ Ô C0 Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ γ (t) = z 0 + r eit Ì 0 ≤ t ≤ 2π. (¢Â›Ù Ò˜ ÌÔÚ› ·˘Ùfi Ó· Û˘ÁÎÚÈı› Ì ÙÔÓ Ù‡Ô ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy.) 5.7. ŒÛÙˆ γ ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ Ù˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2, Ë ÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙË ÂΛӢ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡. ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·ÎfiÏÔ˘ıˆÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÌ¿ÙˆÓ Î·È Ò˜ ÂÍËÁÔ‡ÓÙ·È;  ez dz, (a) γ z−πi/2  5 (b) γ z(zz2 +8) dz,  z dz, (c) γ 2z+1  z4 (d) γ (z−(1+i))2 dz. 5.8. ∂¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û ÌÈ· ηÌ‡ÏË γ ηıÒ˜ Â›Û˘ Î·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ηÈ, Â¿Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ:   f  (z) f (z) dz = dz. 2 γ z − z0 γ (z − z 0 ) 5.9. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (x) = e Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒ˜ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ x = 0.

− 12 x

Â›Ó·È C ∞ ÛÙÔ x = 0, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 6

™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ 6.1

∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

ª¤¯ÚÈ ÙÒÚ· ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·Ì ‰‡Ô ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜Ø ·ÌÊfiÙÂÚ˜ ÂÌÂÚÈ›¯·Ó ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ¤ÓÓÔȘ ·fi ÙËÓ ∞Ó¿Ï˘ÛË (∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi) ·Ú¿ ·fi ÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ. ∏ ÚÒÙË ·fi‰ÂÈÍË ‚·ÛÈ˙fiÙ·Ó ÛÙȘ ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ, ÁÓˆÛÙ¤˜ ·fi ÙÔÓ ∞ÓÒÙÂÚÔ ∞ÂÈÚÔÛÙÈÎfi §ÔÁÈÛÌfi, ηıÒ˜ Â›Û˘ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, ÂÓÒ Ë ‰Â‡ÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË ÚԤ΢„ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘. £· ÂȯÂÈÚ‹ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ÌÈ· ÈÔ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ÔÚÔÏÔÁ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠ˆ˜ ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÛÒÌ· C Â›Ó·È ¤Ó· ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi ÛÒÌ·Ø ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ·. ∂¿Ó Ù· F Î·È F  Â›Ó·È ‰‡Ô ÛÒÌ·Ù·, fiÔ˘ ÙÔ F Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ F  , ÙfiÙ ÙÔ F  Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ÛÒÌ·ÙÔ˜ ‹ ÛÒÌ· Â¤ÎÙ·Û˘ ‹, ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ·, ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. To F  Â›Ó·È ÙfiÙ ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F (‚Ï. ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2) Î·È Ô ‚·ıÌfi˜ Ù˘ Â¤ÎÙ·Û‹˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Ë ‰È¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ F  ˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì |F  : F|. ∂¿Ó Ô ‚·ıÌfi˜ Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó |F  : F| < ∞, Ô˘ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ F  Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ÙÔ F  ηÏÂ›Ù·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. 95

96

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

∞fi ÙË £ÂˆÚ›· ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ ÃÒÚˆÓ ÚÔ·ÙÂÈ Â˘Îfiψ˜ fiÙÈ ÔÈ ‚·ıÌÔ› Û˘ÌÂÚÈʤÚÔÓÙ·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈο. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ: §‹ÌÌ· 6.1.1. ∂¿Ó Ù· F ⊂ F  ⊂ F  Â›Ó·È ÛÒÌ·Ù· Î·È Â¿Ó ÙÔ F  Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ÔÈ ‚·ıÌÔ› |F  : F| Î·È |F  : F  | Â›Ó·È Â›Û˘ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔÈ. ∂ÈϤÔÓ, ÈÛ¯‡ÂÈ |F  : F| = |F  : F  ||F  : F|. ∞fi‰ÂÈÍË. ∆Ô Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ ÔÈ ‚·ıÌÔ› |F  : F| Î·È |F  : F  | Â›Ó·È Â›Û˘ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔÈ ÚÔ·ÙÂÈ ¿Ó¢ ‰˘ÛÎÔÏ›·˜ ·fi ÙË °Ú·ÌÌÈ΋ ÕÏÁ‚ڷ, ÂÊfiÛÔÓ Ë ‰È¿ÛÙ·ÛË ÂÓfi˜ ˘Ô¯ÒÚÔ˘ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÔÏfiÎÏËÚÔ˘ ÙÔ˘ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. ∂¿Ó |F  : F| = n, fiÔ˘ Ù· ÛÙÔȯ›· α1 , . . . , αn ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÌÈ· ‚¿ÛË ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, Î·È Â¿Ó |F  : F  | = m, fiÔ˘ Ù· ÛÙÔȯ›· β1 , . . . , βm ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÌÈ· ‚¿ÛË ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F  , ÙfiÙ ٷ mn ÁÈÓfiÌÂÓ· {αi β j } Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ‚¿ÛË ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ). ∂ÈϤÔÓ, ¤¯Ô˘ÌÂ: |F  : F| = mn = |F  : F  ||F  : F|.

ŸÙ·Ó ÏËÚÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ·ÓˆÙ¤Úˆ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜, ÙÔ F  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ· (fiÙ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ٷ F Î·È F  ), ÂÓÒ ÙÔ F ηÏÂ›Ù·È ÛÒÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.1.1. (µÏ¤ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2.1.3) ∆Ô C Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R, ÂÓÒ ÙÔ R Â›Ó·È ¿ÂÈÚË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. 2 ∏ ‚·ÛÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ‹ Ì·˜ ı· Â›Ó·È Ë ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ, Ù· ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Â›Ó·È ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·Ó·ÊÔÚ¿˜. ¶ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ Î·Ù‡ı˘ÓÛË ÎÈÓÂ›Ù·È Ô ÂfiÌÂÓÔ˜ ÔÚÈÛÌfi˜: √ÚÈÛÌfi˜ 6.1.1. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë F  Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ α ∈ F  . ∆Ô α ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 0 = p(x) ∈ F[x] Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· p(α) = 0. (∆Ô α Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ·fi ÙÔ F.) ∂¿Ó οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ F  Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ÙÔ F  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∂¿Ó ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô α ∈ F  ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ÙÔ α ηÏÂ›Ù·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ŸÙ·Ó ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈ΋, ηÏÂ›Ù·È ˘ÂÚ‚·ÙÈ΋.

6.1. ∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

97

§‹ÌÌ· 6.1.2. ∫¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ F Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∞fi‰ÂÈÍË. ∂¿Ó f ∈ F, ÙfiÙ ÙÔ p(x) = x − f ∈ F[x] Î·È p( f ) = 0. √È ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙȘ ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˜ ̤ۈ ÙÔ˘ ÂfiÌÂÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜. £ÂÒÚËÌ· 6.1.1. ∂¿Ó Ë F  Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Î·È ·ÏÁ‚ÚÈ΋. ∞fi‰ÂÈÍË. ∂¿Ó α ∈ F  , ÙfiÙ ı· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË ÂÓfi˜ ÌË ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ 0 = p(x) ∈ F[x] Ì p(α) = 0. ∂Âȉ‹ ÙÔ F  Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË, ı· ¤¯Ô˘Ì |F  : F| = n < ∞. ™˘ÓÂÒ˜, οı ‚¿ÛË ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ‰È·ı¤ÙÂÈ n ÛÙÔȯ›· ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ۇÓÔÏÔ ·fi (n + 1) ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F  ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎÒ˜ ÂÍ·ÚÙË̤ÓÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∞˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ٷ 1, α, α 2 , . . . , α n Ø ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· (n + 1) ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F  ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎÒ˜ ÂÍ·ÚÙË̤ӷ. ∫·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, ˘¿Ú¯Ô˘Ó f 0 , f 1 , . . . , f n ∈ F fi¯È fiÏ· Ìˉ¤Ó, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ: f 0 + f 1 α + · · · + f n a n = 0.

(6.1.1)

ŒÛÙˆ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ p(x) = f 0 + f 1 x + · · · + f n x n Ø ÙfiÙ ÙÔ p(x) ∈ F[x] Î·È ·fi ÙËÓ (6.1.1) ¤¯Ô˘Ì p(α) = 0. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.1.2. ∆Ô C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R, ·ÏÏ¿ ÙÔ R Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ∂ÊfiÛÔÓ |C : R| = 2, ÙÔ C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.1.1. ¶ÈÔ ¿ÌÂÛ·, Â¿Ó z ∈ C, ÙfiÙ p(x) = (x − z)(x − z) ∈ R[x] Î·È p(z) = 0. ∆Ô Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ ÙÔ R (ÂÔ̤ӈ˜ Î·È ÙÔ C) Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi ÛÒÌ· ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ ‡·ÚÍË ˘ÂÚ‚·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ fiˆ˜ ÔÈ e Î·È π (‚Ϥ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2). ∂¿Ó ÙÔ α Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ÌˉÂÓ›˙ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÌˉÂÓ›˙ÂÈ Î·È Î¿ÔÈÔ ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ

98

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∂Âȉ‹ fï˜ ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ·, fiÙ·Ó ÙÔ f ∈ F Î·È ÙÔ p(x) ∈ F[x], ÙfiÙÂ Î·È ÙÔ f −1 p(x) ∈ F[x]. ∞fi ·˘Ùfi ¤ÂÙ·È fiÙÈ, Â¿Ó p(α) = 0, fiÔ˘ an Â›Ó·È Ô ÂÈÎÂÊ·Ï‹˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ p(x), ÙfiÙ ÙÔ p1 (x) = an−1 p(x) Â›Ó·È ÌÔÓÔÛÙfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙÔ˘ F[x] Ô˘ Â›Û˘ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ α. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Â¿Ó ÙÔ α Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÌÔÓÔÛÙfi ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ô˘ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ α. ∆Ô ÂfiÌÂÓÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi. 2 §‹ÌÌ· 6.1.3. ∂¿Ó ÙÔ α ∈ F  Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÌÔÓÔÛÙfi Î·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ p(x) ∈ F[x] Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ p(α) = 0. ∞˘Ùfi ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÌÔÓÔÛÙfi ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì irr(α, F). ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (α) = 0 Î·È fiÙÈ 0 = f (x) ∈ F[x]. ∆fiÙ ÙÔ f (x) ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û ·Ó¿ÁˆÁ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. ∞ÊÔ‡ ¤Ó· ÛÒÌ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˜, Ú¤ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ÙÔ˘ f (x), ·˜ ÙÔÓ ԇ̠p1 (x), Ó· ¤¯ÂÈ Â›Û˘ ÙÔ α ˆ˜ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∂¿Ó Ô ÂÈÎÂÊ·Ï‹˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ p1 (x) ÈÛÔ‡Ù·È Ì an , ÙfiÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ p(x) = an−1 p1 (x) Â›Ó·È ¤Ó· ÌÔÓÔÛÙfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙÔ˘ F[x] Ì ÙÔ α Â›Û˘ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘. ∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÌÔÓÔÛÙ¿ ·Ó¿ÁˆÁ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Ì ÙÔ α ˆ˜ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ŒÛÙˆ p(x) ¤Ó· ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÌÂٷ͇ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ. ÀÔÏ›ÂÙ·È Ë ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ p(x). ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ g(x) Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ÌÔÓÔÛÙfi ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ p(x) Ì g(α) = 0. ∂Âȉ‹ ÙÔ p(x) Â›Ó·È ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡, ı· ¤¯Ô˘Ì deg p(x) ≤ deg g(x). ∞fi ÙÔÓ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ¤ÂÙ·È: g(x) = q(x) p(x) + r (x),

(6.1.2)

fiÔ˘ ‹ r (x) ≡ 0 ‹ deg r (x) < deg p(x). ™ÙË Û¯¤ÛË (6.1.2) ı¤ÙÔÓÙ·˜ fiÔ˘ x ÙÔ α Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ: g(α) = q(α) p(α) + r (α), ·fi fiÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ r (α) = 0, ÂÂȉ‹ g(α) = p(α) = 0. ∂¿Ó fï˜ ÙÔ r (x) ‰ÂÓ Â›Ó·È Ù·˘ÙÔÙÈÎÒ˜ 0, ÙÔ α Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ r (x), ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ¤Ú¯ÂÙ·È Û ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÙÔ˘ p(x). ∂Ô̤ӈ˜ r (x) = 0 Î·È g(x) = q(x) p(x). ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ q(x) Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi (·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜), ÂÂȉ‹ ÙÔ g(x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔØ fï˜ ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ q(x) = 1, ÂÊfiÛÔÓ Ù·

6.1. ∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

99

g(x) Î·È p(x) Â›Ó·È ÌÔÓÔÛÙ¿. ŒÙÛÈ, ÚÔ·ÙÂÈ g(x) = p(x) ηÈ, Û˘ÌÂÚ·ÛÌ·ÙÈÎÒ˜, ÙÔ p(x) Â›Ó·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ α ∈ F  Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ p(x) = irr(α, F). ∆fiÙÂ, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ· E Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· F ⊂ E ⊂ F  , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ α ∈ E. ™ÙËÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË Ï¤ÁÔÓÙ·˜ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ, Â¿Ó E  Â›Ó·È ·ÎfiÌË ¤Ó· ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ· Ì α ∈ E  , ÙfiÙ E ⊂ E  . ∏ ‡·ÚÍË ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ‰ÈηÈÔÏÔÁÂ›Ù·È ·fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ˘ÔÛÒÌ·Ù· E  ÙÔ˘ F  , ÁÈ· Ù· ÔÔ›· α ∈ E  (Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ F  ). ŒÛÙˆ E Ë ÙÔÌ‹ fiÏˆÓ ÙˆÓ ˘ÔÛˆÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ F  Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó Ù· α Î·È F. ∆Ô E Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ F  (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ) Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· α Î·È F. ∂ÈϤÔÓ, Ë ÙÔÌ‹ ·˘Ù‹ ÂÚȤ¯ÂÙ·È Û ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ¿ÏÏÔ ˘fiۈ̷ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· α Î·È F. ∞˘Ùfi ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ˘fiۈ̷ ¤¯ÂÈ ÌÈ· Ôχ ÂÍÂȉÈÎÂ˘Ì¤ÓË ÌÔÚÊ‹. √ÚÈÛÌfi˜ 6.1.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ α ∈ F  Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ p(x) = irr(α, F) = a0 + a1 x + · · · + an−1 x n−1 + x n . ŒÛÙˆ F(α) = { f 0 + f 1 α + · · · + f n−1 α n−1 ; f i ∈ F}. ™ÙÔ F(α) ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË Î·Ù¿ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ηٿÏÏËÏˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ¯ÂÈÚÈÛÌÒÓ, ‹ÙÔÈ ·ÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ ÙȘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ ÙÔ˘ α n ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ α Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÂfiÌÂÓ˘ Û¯¤Û˘: α n = −a0 − a1 α − · · · − an−1 α n−1 . £ÂÒÚËÌ· 6.1.2. ∆Ô F(α) ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· |F(α) : F| = deg(irr(α, F)). To F(α) Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ F  Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙË ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ α. ªÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ÛÒÌ·ÙÔ˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ F(α) ÁÈ· οÔÈÔ α ηÏÂ›Ù·È ·Ï‹ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∞fi‰ÂÈÍË. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ Fn−1 [x] Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ‚·ıÌÔ‡ ≤ n − 1 Ì·˙› Ì ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∆Ô ÂÓ ÏfiÁˆ Û‡ÓÔÏÔ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ ‰È¿ÛÙ·Û˘ n ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi 6.1.2, ÙÔ F(α) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË Û˘ÌÂÚÈʤÚÂÙ·È ·ÚÔÌÔ›ˆ˜ Ì ÙÔ Fn−1 [x] ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÙÔ F(α) Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ‰È¿ÛÙ·Û˘ deg(irr(α, F)) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·.

100

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

√ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÂÎÙÂÏÂ›Ù·È ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Î·È ¤ÙÛÈ ÚÔ·ÙÂÈ ¿ÌÂÛ· fiÙÈ ÙÔ F(α) Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔȯ›Ô. ∆ÒÚ· Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÛÒÌ·, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ Î¿ı ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ F(α) ‰È·ı¤ÙÂÈ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ 0 = g(x) ∈ F[x]. ∂¿Ó deg(g(x)) < n = deg(irr(α, F)), ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì g(α) = 0, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ irr(α, F) Â›Ó·È ÙÔ ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ÙÔ α ˆ˜ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∂¿Ó h(x) ∈ F[x] Ì ‚·ıÌfi deg(h(x)) ≥ n, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ h(α) = h 1 (α), fiÔ˘ ÙÔ h 1 (x) Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ ≤ n − 1, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ·ÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ ÙȘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ ÙÔ˘ n ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ α ÌÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌÔ‡˜ Î·ÙˆÙ¤ÚˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ‚¿ÛÂÈ Ù˘ Û¯¤Û˘: α n = −a0 − a1 α − · · · − an−1 α n−1 . ∆ÒÚ·, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ g(α) ∈ F(α) Ì g(α) = 0. ∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ g(x) ∈ F[x] ‚·ıÌÔ‡ ≤ n − 1. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ p(x) = irr(α, F) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ, Ù· g(x) Î·È p(x) Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÚÒÙ·, ‰ËÏ·‰‹ Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ (g(x), p(x)) = 1. ∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó h(x), k(x) ∈ F[x] Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙÂ: g(x)h(x) + p(x)k(x) = 1. ∫·ÙfiÈÓ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ ÙÔ˘ x Ì α ÛÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ Û¯¤ÛË, ÚÔ·ÙÂÈ: g(α)h(α) + p(α)k(α) = 1. ∂Âȉ‹ fï˜ p(α) = 0 Î·È h(α) = h 1 (α) ∈ F(α), ¤ÂÙ·È: g(α)h 1 (α) = 1. ŒÙÛÈ, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ h 1 (α) Â›Ó·È ÙÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ g(α) ÛÙÔ F(α). ∂Âȉ‹ οı ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ F(α) ‰È·ı¤ÙÂÈ ¤Ó· Ù¤ÙÔÈÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ÙÔ F(α) ¤¯ÂÈ ÙË ‰ÔÌ‹ ÛÒÌ·ÙÔ˜. ∆Ô ÛÒÌ· F ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ F(α) Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·˜ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F Ì ٷ ÛÙ·ıÂÚ¿ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ F(α) Â›Ó·È Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ F(α), ÙÔ {1, α, α 2 , . . . , α n−1 } ·ÔÙÂÏ› ‚¿ÛË Î·È ¿Ú· ÙÔ F(α) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi n ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ F(α) Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË Î·È, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË. ∂¿Ó F ⊂ E ⊂ F  Î·È ÙÔ E ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ α, ÙfiÙ ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÙÔ E ı· ÂÚȤ¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ α, ÂÂȉ‹ ÙÔ E Â›Ó·È ˘fiۈ̷. ÕÚ·, ÙÔ E ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ F(α) Î·È ¤ÙÛÈ ÙÔ F(α) Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ˘fiۈ̷ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· F Î·È α.

6.1. ∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

101

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.1.3. ∞˜ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ p(x) = x 3 − 2 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ∆Ô p(x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q, ·ÏÏ¿ ¤¯ÂÈ ÙË ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ α = 21/3 ∈ R. ∆fiÙ ÙÔ ÛÒÌ· Q(α) = Q(21/3 ) Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ R ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ Ù· Q Î·È 21/3 . ™ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË ÈÛ¯‡ÂÈ: Q(α) = {q0 + q1 α + q2 α 2 ; qi ∈ Q Î·È a 3 = 2}. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ı· ‰Ô‡Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÛÙÔ Q(α). ŒÛÙˆ fiÙÈ g = 3 + 4α + 5α 2 Î·È h = 2 − α + α 2 . ∆fiÙÂ: g + h = 5 + 3α + 6α 2 Î·È gh = 6 − 3α + 3α 2 + 8α − 4α 2 + 4α 3 + 10α 2 − 5α 3 + 5α 4 = 6 + 5α + 9α 2 − α 3 + 5α 4 . ŸÌˆ˜ α 3 = 2, ¿Ú· α 4 = 2α Î·È ÙfiÙÂ Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ Û¯¤ÛË Á›ÓÂÙ·È: gh = 6 + 5α + 9α 2 − 2 + 5(2α) = 4 + 15α + 9α 2 . ∆ÒÚ· ı· ‰Â›ÍÔ˘Ì Ò˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ h ÛÙÔ Q(α). ŒÛÙˆ h(x) = 2 − x + x 2 Î·È p(x) = x 3 − 2. ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ Â˘ÎÏ›‰ÂÈÔ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ, fiˆ˜ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3, ÁÈ· Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ 1 ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi Û˘Ó‰˘·ÛÌfi ÙˆÓ h(x) Î·È p(x): x 3 − 2 = (x 2 − x + 2)(x + 1) + (−x − 4), x 2 − x + 2 = (−x − 4)(−x + 5) + 22. ∏ ÚÔËÁËı›۷ Û¯¤ÛË Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ: 22 = (x 2 − x + 2)(1 + (x + 1)(−x + 5)) − ((x 3 − 2)(−x + 5)) ‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· fiÙÈ: 1=

1 [(x 2 − x + 2)(−x 2 + 4x + 6)] − [(x 3 − 2)(−x + 5)]. 22

∂Ó Û˘Ó¯›·, ı¤ÙÔÓÙ·˜ fiÔ˘ x ÙÔ α Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· α 3 = 2 Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ: 1=

1 [(α 2 − α + 2)(−α 2 + 4α + 6)] 22

102

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ¤¯Ô˘ÌÂ: h −1 =

1 (−α 2 + 4α + 6). 22 2

∆¤ÏÔ˜, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ù· α, β ∈ F  Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈο ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È Â›Û˘ fiÙÈ irr(α, F) = irr(β, F). §fiÁˆ Ù˘ ηٷÛ΢‹˜ ÙÔ˘, ÙÔ F(α) Â›Ó·È Î·Ù' Ô˘Û›·Ó Ù·˘ÙfiÛËÌÔ Ì ÙÔ F(β). £· ‰È¢ÎÚÈÓ›ÛÔ˘Ì ÏËÚ¤ÛÙÂÚ· ÙËÓ ÂÓ ÏfiÁˆ ȉ¤·. √ÚÈÛÌfi˜ 6.1.3. ŒÛÙˆ F  Î·È F  ‰˘Ô ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ŒÓ·˜ F – ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ σ : F  → F  Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ σ ( f ) = f ÁÈ· fiÏ· Ù· f ∈ F. ¢ËÏ·‰‹ ¤Ó·˜ F – ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È·ÙËÚ› ÛËÌÂÈ·ÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚfi οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·Ó·ÊÔÚ¿˜. ∂¿Ó Ù· F  Î·È F  Â›Ó·È F – ÈÛfiÌÔÚÊ·, ÙfiÙÂ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÂÓ ÏfiÁˆ Û¯¤ÛË ÙÔ˘˜ ˆ˜ F  ∼ = F  . F

§‹ÌÌ· 6.1.4. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ù· α, β ∈ F  Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈο ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ irr(α, F) = irr(β, F). ∆fiÙ ÙÔ F(α) Â›Ó·È F – ÈÛfiÌÔÚÊÔ ÙÔ˘ F(β). ∞fi‰ÂÈÍË. ∆· Û‡ÓÔÏ· {1, α, . . . , α n−1 } Î·È {1, β, . . . , β n−1 } ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ‚¿ÛÂȘ ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ F(α) Î·È F(β)Ø Û˘ÓÂÒ˜, Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË α i → β i , 0 ≤ i ≤ n−1 ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Û ¤Ó·Ó F–ÁÚ·ÌÌÈÎfi ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi σ : F(α) → F(β). ∞fi ÙËÓ ˘fiıÂÛË irr(α, F) = irr(β, F) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ô σ Â›Ó·È ¤Ó·˜ F – ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜1 . ∂¿Ó α, β ∈ F  Â›Ó·È ‰‡Ô ·ÏÁ‚ÚÈο ÛÙÔȯ›· ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi F(α, β) ÁÈ· Ó· ˘Ô‰ËÏÒÛÔ˘Ì ÙÔ ÛÒÌ· (F(α))(β). ∆· F(α, β) Î·È F(β, α) Â›Ó·È F – ÈÛfiÌÔÚÊ· Î·È Û˘ÓÂÒ˜ ıˆÚÔ‡ÓÙ·È ˆ˜ Ù·˘ÙfiÛËÌ·. ∆ÒÚ· ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ ηÈ, ¤ÙÛÈ, ı· Û˘Ó·Á¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ·ÏÁ‚ÚÈο ÛÙÔȯ›· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ˘fiۈ̷. 1 ™.Ù.ª. √ σ ‰È·ÙËÚ› ÛËÌÂÈ·ÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚ¿ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F, ·ÊÔ‡ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· F–ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË. ŒÙÛÈ ÙÔ ÌfiÓÔ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ·Ô‰Âȯı› Â›Ó·È fiÙÈ σ (gh) = σ (g)σ (h), ÁÈ· οı g, h ∈ F(α). ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÛÙ· ÛÒÌ·Ù· F(α) Î·È F(β), ‚Ϥ √ÚÈÛÌfi 6.1.2.

6.1. ∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

103

§‹ÌÌ· 6.1.5. ∂¿Ó Ù· α, β ∈ F  Â›Ó·È ‰˘Ô ·ÏÁ‚ÚÈο ÛÙÔȯ›· ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ٷ α ± β, αβ Î·È α/β Â›Ó·È Â›Û˘ ·ÏÁ‚ÚÈο ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∞fi‰ÂÈÍË. ∂ÊfiÛÔÓ Ù· α Î·È β Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈο, ÙÔ ˘fiۈ̷ F(α, β) Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∆ÒÚ·, Ù· α, β ∈ F(α, β) ηÈ, ÂÂȉ‹ ÙÔ F(α, β) Â›Ó·È ˘fiۈ̷, Ù· α ± β, αβ Î·È α/β Â›Ó·È Â›Û˘ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F(α, β). ∂Âȉ‹ ÙÔ F(α, β) Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ηı¤Ó· ·fi Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ ÛÙÔȯ›· Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. £ÂÒÚËÌ· 6.1.3. ∂¿Ó ÙÔ ÛÒÌ· F  Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ·ÔÙÂÏ› ˘fiۈ̷ Î·È Î·ÏÂ›Ù·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ· ÙÔ˘ F ÛÙÔ F  . ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ A F (F  ) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∆Ô A F (F  ) = ∅, ÂÊfiÛÔÓ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ F. µ¿ÛÂÈ ÙÔ˘ ÚÔËÁËı¤ÓÙÔ˜ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜ ÙÔ A F (F  ) Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË, ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË, ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Î·È ÙË ‰È·›ÚÂÛË Î·È, Û˘ÓÂÒ˜, Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ˘fiۈ̷. √ÏÔÎÏËÚÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ÂÓfiÙËÙ· Ì ¤Ó· ÙÂÏÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ Î¿ı ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ÚÔ·ÙÂÈ Î·ÙfiÈÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÒÓ ·ÏÒÓ ÂÂÎÙ¿ÛˆÓ. £ÂÒÚËÌ· 6.1.4. ∂¿Ó Ë F  Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ α1 , . . . , αn Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ F  = F(α1 , . . . , αn ). ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ |F  : F| = k < ∞. ∆fiÙ ÙÔ F  Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∂ÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô α1 ∈ F  , α1 ∈ F Î·È ¤¯Ô˘Ì F ⊂ F(α1 ) ⊂ F  Ì |F  : F(α1 )| < k. ∂¿Ó Ô ‚·ıÌfi˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ Â¤ÎÙ·Û˘ Â›Ó·È 1, ÙfiÙ F  = F(α1 ) Î·È Ë ·fi‰ÂÈÍË ÔÏÔÎÏËÚÒıËÎÂ. ∂¿Ó fi¯È, ÙfiÙ ÂÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô α2 ∈ F  , α2 ∈ F(α1 ) ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ F ⊂ F(α1 ) ⊂ F(α1 , α2 ) ⊂ F  Ì |F  : F(α1 , α2 )| < |F  : F(α1 )|. Ÿˆ˜ Î·È ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, Â¿Ó Ô ‚·ıÌfi˜ Ù˘ Â¤ÎÙ·Û˘ Â›Ó·È 1 ÙfiÙÂ Ë ·fi‰ÂÈÍË ¤¯ÂÈ Û˘ÌÏËÚˆıÂ›Ø Â¿Ó fi¯È, Û˘Ó¯›˙Ô˘ÌÂ. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ k Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ, Ë ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ ÂÚ·ÙÒÓÂÙ·È Î·ÙfiÈÓ ÂÓfi˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ‚ËÌ¿ÙˆÓ.

104

6.2

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

∂ÈÛ‡Ó·„Ë £¤ÛÂˆÓ ªË‰ÂÓÈÛÌÔ‡ Û ™ÒÌ·Ù·

™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ıˆڋ۷Ì ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ÛÒÌ·ÙÔ˜ ηÈ, ÂÓ Û˘Ó¯›·, ÂÍÂÙ¿Û·Ì ٷ ·ÏÁ‚ÚÈο ÛÙÔȯ›· Ù˘ Â¤ÎÙ·Û˘. ∆Ô ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Kronecker, Â›Ó·È ıÂÌÂÏÈ҉˜, ‰ÈfiÙÈ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ·Ó¿ÁˆÁÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ f (x) ∈ F[x], ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, fiÔ˘ ÙÔ f (x) Ó· ‰È·ı¤ÙÂÈ Ì›· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. £ÂÒÚËÌ· 6.2.1 (£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Kronecker). ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· Î·È fiÙÈ ÙÔ f (x) ∈ F[x] Â›Ó·È ¤Ó· ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∆fiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, fiÔ˘ ÙÔ f (x) ¤¯ÂÈ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∂ÈϤÔÓ, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË F  Î·È α ∈ F  Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ f (x) = irr(α, F), ÙfiÙ ÙÔ ÛÒÌ· F  Â›Ó·È F – ÈÛfiÌÔÚÊÔ ÙÔ˘ F(α). ∞fi‰ÂÈÍË. ∏ ηٷÛ΢‹ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F  Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË ÂΛӢ ÙÔ˘ F(α) ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ·. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ f (x) = a0 + a1 x + · · · + an x n Ì an = 0. √Ú›˙Ô˘Ì ÙÔ α ηٿ Ù¤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ӷ ÈηÓÔÔÈ› ÙË Û¯¤ÛË: a0 + a1 α + · · · + an α n = 0. √Ú›˙Ô˘Ì ÙÔ F  = F(α) fiˆ˜ ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ·, ‰ËÏ·‰‹: F(α) = { f 0 + f 1 α + · · · + f n−1 α n−1 ; f i ∈ F}. ∫·ÙfiÈÓ, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË ÛÙÔ F(α) ηٿ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ηٿÏÏËÏˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ¯ÂÈÚÈÛÌÒÓ, ‹ÙÔÈ ·ÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÂfiÌÂÓ˘ Û¯¤Û˘ ÂΛӘ ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ α Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ ÙÔ˘ α n : αn =

−a0 − a1 α − · · · − an−1 α n−1 . an

∆fiÙ ÙÔ F  = F(α) Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¤Ó· ÛÒÌ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiˆ˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Î·È ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ·. ∏ ‰È·ÊÔÚ¿ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ηٷÛ΢‹˜ ·fi ÂΛÓË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.1.2 ¤ÁÎÂÈÙ·È ÛÙÔ fiÙÈ ÛÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ηٷÛ΢‹ ÙÔ α ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ f Î·È ÙÔ ÛÒÌ· ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔ α, ÂÓÒ ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÙÔ α ˘ÔÙ¤ıËΠfiÙÈ ÈηÓÔÔÈÔ‡Û ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î·È ÙÔ F(α) ‹Ù·Ó ‹‰Ë οÔÈÔ ÚÔ¸¿Ú¯ÔÓ ÛÒÌ· Ô˘ ÂÚÈ›¯Â ÙÔ α.

6.2. ∂ÈÛ‡Ó·„Ë £¤ÛÂˆÓ ªË‰ÂÓÈÛÌÔ‡ Û ™ÒÌ·Ù·

105

∆Ô ÛÒÌ· F  Ô˘ ηٷÛ΢¿ÛÙËΠÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ϤÌ fiÙÈ ÚԤ΢„ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÂÈÛ‡Ó·„˘ Ù˘ ı¤Û˘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ α ÛÙÔ F. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.2.1. ŒÛÙˆ f (x) = x 2 + 1 ∈ R[x]. ∆Ô ÂÓ ÏfiÁˆ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R. £· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÛÒÌ· ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ı· ‰È·ı¤ÙÂÈ Ì›· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ŒÛÙˆ α Ë ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙÔ˜ Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· α 2 + 1 = 0 ‹ α 2 = −1. ∏ Â¤ÎÙ·ÛË ÛÒÌ·ÙÔ˜ R(α) ı· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹: R(α) = {x + αy; x, y ∈ R, α 2 = −1}. ∂›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ (‚Ϥ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2) fiÙÈ ÙÔ ÛÒÌ· ·˘Ùfi Â›Ó·È R – ÈÛfiÌÔÚÊÔ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ C, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì R(α) ∼ 2 = R(i) ∼ = C. ™ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.2.1 Ë Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F(α) ·ÔÙÂÏ› ηÙ' Ô˘Û›·Ó ̤ÚÔ˜ ÌÈ·˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˘ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘. ¶·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÛÙÔ ·ÚfiÓ ‚È‚Ï›Ô ‰ÂÓ ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· ¯ÚÂÈ·ÛÙԇ̠·˘Ù‹Ó ÙË ÁÂÓÈÎfiÙÂÚË ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË, ı· ÙËÓ ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘ÌÂ Î·È ÂÓ Û˘Ó¯›· ı· ηٷ‰Â›ÍÔ˘Ì Ò˜ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.2.1. √ÚÈÛÌfi˜ 6.2.1. ŒÛÙˆ R ¤Ó·˜ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ (*). ŒÓ·˜ ˘Ô‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ I ⊂ R Â›Ó·È ¤Ó· ȉÂ҉˜, Â¿Ó r I ⊂ I ÁÈ· οı r ∈ R. (*) (∆· ȉÂÒ‰Ë ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÔÚÈÛÙÔ‡Ó Î·È ÁÈ· ÌË ÌÂÙ·ıÂÙÈÎÔ‡˜ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘˜Ø fï˜ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ Ï·ÈÛ›Ô˘ Ù˘ ·ÚÔ‡Û·˜ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ οÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ.) ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.2.2. £ÂˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Z Î·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ nZ = {nz; z ∈ Z} fiÏˆÓ ÙˆÓ ÔÏÏ·Ï·Û›ˆÓ ÙÔ˘ n. ∆fiÙ ÙÔ nZ Â›Ó·È ˘Ô‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ηÈ, Â¿Ó m ∈ Z, ÙfiÙ m(nz 1 ) = n(mz 1 ) ∈ nZØ ¿Ú· ÙÔ nZ Â›Ó·È È‰Â҉˜. 2 ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.2.3. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ô R Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Î·È fiÙÈ r ∈ R. ŒÛÙˆ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ (r ) = {r1r ; r1 ∈ R} = fiÏ· Ù· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ r ÛÙÔ R. ∆fiÙ ÙÔ (r ) Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¤Ó· ȉÂ҉˜ (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ) ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Î‡ÚÈÔ È‰Â҉˜ Ô˘ ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi ÙÔ r . ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÚÈÛÌfi, ÙÔ nZ Â›Ó·È ·ÏÒ˜ ÙÔ Î‡ÚÈÔ È‰Â҉˜ (n) ÙÔ˘ Z. 2

106

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.2.4. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ô R Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜, fiÙÈ ÙÔ I ⊂ R Â›Ó·È È‰Â҉˜ Î·È fiÙÈ r ∈ R. √Ú›˙Ô˘ÌÂ: (r, I ) = {r1r + i 1 ; r1 ∈ R, i 1 ∈ I }. ∆fiÙ ÙÔ (r, I ) Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¤Ó· ȉÂ҉˜ (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ) ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ È‰Â҉˜ Ô˘ ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi Ù· r Î·È I . 2 √ÚÈÛÌfi˜ 6.2.2. ŒÛÙˆ I ⊂ R ¤Ó· ȉÂ҉˜. ªÈ· Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË ÙÔ˘ I ÛÙÔ R Â›Ó·È ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ r + I , fiÔ˘ ÙÔ r Â›Ó·È ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ R. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Ï¢ÚÈÎÒÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ȉÂÒ‰Ô˘˜ I ⊂ R Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì R/I . §‹ÌÌ· 6.2.1. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ R/I ÙˆÓ Ï¢ÚÈÎÒÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ I ÛÙÔ R ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ‰È·ÌÂÚÈÛÌfi ÙÔ˘ R. ∞fi‰ÂÈÍË. √Ú›˙Ô˘Ì ÛÙÔ R ÙË Û¯¤ÛË r1 ∼ r2 , Â¿Ó r1 − r2 ∈ I Ø ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· Û¯¤ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÔÈ ÎÏ¿ÛÂȘ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ Ù˘ ‰È·ÌÂÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ R. °È· ¤Ó· r ∈ R Ë ÎÏ¿ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ [r ] Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ë Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË r + I . ¢Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ȉÂÒ‰Ô˘˜ I ⊂ R, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÛÙÔ R/I : (1) (r1 + I ) ± (r2 + I ) = (r1 ± r2 ) + I, (2) (r1 + I )(r2 + I ) = (r1r2 ) + I. ∏ Â·Ï‹ı¢ÛË ÙÔ˘ ÂfiÌÂÓÔ˘ ıÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¿ÌÂÛË: £ÂÒÚËÌ· 6.2.2. ¢Ôı¤ÓÙˆÓ ÂÓfi˜ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎÔ‡ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘ R Î·È ÂÓfi˜ ȉÂÒ‰Ô˘˜ I ⊂ R, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ï¢ÚÈÎÒÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ R/I Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¤Ó·Ó ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ô˘ ÔÚ›ÛÙËÎ·Ó ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. ∏ Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË 0 + I Â›Ó·È ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ R/I ηÈ, Â¿Ó Ô R ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ 1, ÙfiÙÂ Ë Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË 1 + I Â›Ó·È ÙÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ R/I . √ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ R/I ηÏÂ›Ù·È ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ËÏ›ÎˆÓ (‹ ·Ú·ÁÔÓÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜) ÙÔ˘ R ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ È‰Â҉˜ I .

6.2. ∂ÈÛ‡Ó·„Ë £¤ÛÂˆÓ ªË‰ÂÓÈÛÌÔ‡ Û ™ÒÌ·Ù·

107

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.2.5. ∞˜ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Z Î·È ÙÔ È‰Â҉˜ nZ. ŒÛÙˆ Z/nZ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ï¢ÚÈÎÒÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ nZ ÛÙÔ Z. ŒÛÙˆ fiÙÈ x1 , x2 ∈ Z. Œ¯Ô˘Ì x1 ∼ x2 , Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x1 − x2 ∈ nZ, ‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó n | x1 − x2 . ∂Ô̤ӈ˜, Ù· x1 Î·È x2 ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÙfiÙÂ Î·È ÌfiÓÔÓ ÙfiÙ Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ Ï¢ÚÈΤ˜ ÎÏ¿ÛÂȘ, fiÙ·Ó ‰È·ÈÚÒÓÙ·˜ Ù· Ì ÙÔ n ÚÔ·ÙÔ˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ˘fiÏÔÈ·. ™˘ÓÂÒ˜, οı ÎÏ¿ÛË ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· Î·È ÌfiÓÔÓ ¤Ó· ·fi Ù· x ∈ Z, fiÔ˘ 0 ≤ x ≤ n − 1. ∞fi Ù· ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ· ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÚfiÛıÂÛË Î·È Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÈÎÒÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ Á›ÓÂÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ηٿ modulo n, ‹ÙÔÈ Z/nZ ∼ 2 = Zn Ø ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÎÂÚ·›Ô˘˜ modulo n. √ÚÈÛÌfi˜ 6.2.3. ŒÓ· ȉÂ҉˜ I ⊂ R Â›Ó·È ÌÂÁÈÛÙÔÙÈÎfi ȉÂ҉˜, Â¿Ó I = R Î·È (r, I ) = R ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ r ∈ R, r ∈ I . §‹ÌÌ· 6.2.2. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ô R Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔȯ›Ô. ∆fiÙÂ Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ËÏ›ÎˆÓ R/I Â›Ó·È ÛÒÌ·, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ I Â›Ó·È ÌÂÁÈÛÙÔÙÈÎfi ȉÂ҉˜. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ I Â›Ó·È ¤Ó· ÌÂÁÈÛÙÔÙÈÎfi ȉÂ҉˜. ∆Ô R/I ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô Î·È Û˘ÓÂÒ˜ ·ÚΛ Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ‰È·ı¤ÙÂÈ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. °È· r ∈ R ¤ÛÙˆ r = r + I Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË. ∆ÒÚ· ¤ÛÙˆ r ∈ R/I Î·È r = 0. ∆fiÙ r = r + I Ì r ∈ I , ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ 0 = I Â›Ó·È ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ R/I . ¢Â‰Ô̤ÓÔ˘ fiÙÈ ÙÔ I Â›Ó·È ÌÂÁÈÛÙÔÙÈÎfi, ÈÛ¯‡ÂÈ (r, I ) = R Î·È ÂÔ̤ӈ˜ 1 ∈ (r, I ). ÕÚ· ˘¿Ú¯Ô˘Ó r1 ∈ R Î·È i 1 ∈ I Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ r1r + i 1 = 1. ™ÙËÓ ÔÚÔÏÔÁ›· ÙˆÓ Ï¢ÚÈÎÒÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ¤¯Ô˘ÌÂ: r1r ∈ 1 + I ‹ r1r = 1 = 1 ÛÙÔ R/I. ŒÙÛÈ ÙÔ r 1 Â›Ó·È ÙÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ r ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ R/I Â›Ó·È ÛÒÌ·. ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ R/I Â›Ó·È ÛÒÌ·Ø ı· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ I Â›Ó·È ÌÂÁÈÛÙÔÙÈÎfi. ∂¿Ó r ∈ R Î·È r ∈ I , ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ r = 0 ηÈ, ¿Ú·, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô r1 ∈ R Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· rr1 = 1 ÛÙÔ R/I . ∂Í ·˘ÙÔ‡ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ r1r ∈ 1 + I ‹ r1r + i 1 = 1 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÙÔ 1 ∈ (r, I ). ∂¿Ó s ∈ R, ÙfiÙÂ

108

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

s · 1 = s ∈ (r, I ), ÂÂȉ‹ ÙÔ (r, I ) Â›Ó·È È‰Â҉˜. ™˘ÓÂÒ˜, R ⊂ (r, I ) ηÈ, ÂÂȉ‹ (r, I ) ⊂ R, ¤¯Ô˘Ì (r, I ) = R. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ I Â›Ó·È ÌÂÁÈÛÙÔÙÈÎfi ȉÂ҉˜. ∆ÒÚ· ı· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·Ó¿Ù˘ÍË Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ô˘ ·ÊÔÚ¿ ÛÙȘ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ۈ̿وÓ. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· Î·È ÙÔ f (x) ∈ F[x] ¤Ó· ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. O F[x] Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔȯ›Ô. £· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ( f (x)), ÙÔ Î‡ÚÈÔ È‰Â҉˜ ÙÔ˘ F[x] Ô˘ ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi ÙÔ f (x). ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ g(x) ∈ ( f (x)), ÁÂÁÔÓfi˜ ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ g(x) ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ f (x). ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ f (x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ, ¤¯Ô˘Ì ( f (x), g(x)) = 1. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ˘¿Ú¯Ô˘Ó h(x), k(x) ∈ F[x] ÌÂ: h(x) f (x) + k(x)g(x) = 1. ∆Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ È‰Â҉˜ (g(x), f (x))Ø ¿Ú· Î·È ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔȯ›Ô, 1, ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ È‰Â҉˜. ∂Ô̤ӈ˜, ÔÏfiÎÏËÚÔ˜ Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ F[x] ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ È‰Â҉˜. ∂Âȉ‹ ÙÔ g(x) Â›Ó·È ·˘ı·›ÚÂÙÔ, ÙÔ Î‡ÚÈÔ È‰Â҉˜ ( f (x)) Â›Ó·È ÌÂÁÈÛÙÔÙÈÎfi. ŒÛÙˆ F  = F[x]/( f (x)). ∞fi ÙÔ §‹ÌÌ· 6.2.2, ÙÔ F  Â›Ó·È ÛÒÌ· ηÈ, ÂÊfiÛÔÓ F ⊂ F[x], ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ F ⊂ F  . ŒÛÙˆ x Ë Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË ÙÔ˘ x. ∆fiÙ ¤¯Ô˘Ì f (x) = f (x) = 0 ÛÙÔ F  Ø ¿Ú· ÙÔ x ·ÔÙÂÏ› ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ F  . ™ÙËÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ Ï¢ÚÈΤ˜ ÎÏ¿ÛÂȘ ÛËÌÂÈÒıËÎ·Ó Ì ÌÈ· ·‡Ï· Â¿Óˆ ·fi ÙÔ ÂοÛÙÔÙ ÛÙÔȯ›Ô. ∂Ô̤ӈ˜, ηٷÛ΢¿Û·Ì οÔÈÔ ÛÒÌ· F  ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÙÔ ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x) ¤¯ÂÈ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡.

6.3

™ÒÌ·Ù· ¢È¿Û·Û˘

¶ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ›‰·Ì fiÙÈ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ·Ó¿ÁˆÁÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F, ˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ οÔÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ÛÒÌ·ÙÔ˜, fiÔ˘ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∆Ô Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·˘Ùfi ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ·ÎfiÌË Î·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ, Ù· ÔÔ›· Ó· ÂÚȤ¯Ô˘Ó fiϘ ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘. √ÚÈÛÌfi˜ 6.3.1. ∂¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ 0 = f (x) ∈ F[x] Î·È ÙÔ F  Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ f (x) ‰È·Û¿Ù·È ÛÙÔ F  , Â¿Ó ÙÔ f (x) ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ÛÙÔ F  [x] (ÙÔ F  Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ F). ªÂ ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, fiϘ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ f (x) ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ F  .

6.3. ™ÒÌ·Ù· ¢È¿Û·Û˘

109

∆Ô F  ηÏÂ›Ù·È ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ÙÔ˘ f (x) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, Â¿Ó ÙÔ F  Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÛÒÌ· Â¤ÎÙ·Û˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÙÔ f (x) ‰È·Û¿Ù·È. (ŒÓ· ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ÙÔ˘ f (x) Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÙÔ f (x) ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘.) ∆Ô F  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, Â¿Ó Â›Ó·È ÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ÂÓfi˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. £ÂÒÚËÌ· 6.3.1. ∂¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ 0 = f (x) ∈ F[x], ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ÙÔ˘ f (x) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∞fi‰ÂÈÍË. ∆Ô ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È Ì Â·Ó·Ï·Ì‚·ÓfiÌÂÓË ÂÈÛ‡Ó·„Ë ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘ÌÂ, ¯ˆÚ›˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜, fiÙÈ ÙÔ f (x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ‚·ıÌÔ‡ n ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∞fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 6.2.1 ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛÒÌ· F  Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ α Ì f (α) = 0. ∆fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ f (x) = (x − a)g(x) ∈ F  [x] Ì deg g(x) = n − 1. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ¤Ó· Â·ÁˆÁÈÎfi Âȯ›ÚËÌ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ‰Â¯ıԇ̠fiÙÈ ÙÔ g(x) ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘. ∂Ô̤ӈ˜ Î·È ÙÔ f (x) ı· ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘. ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ÂÈϤÔÓ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÌfi ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Â¤ÎÙ·Û˘. ∆ÒÚ· ı· ÂÈÛÙÚ¤„Ô˘Ì Û ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÂÈÛ‹¯ıËÛ·Ó ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 6.1. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó ÙÔ F  Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¤Ó· ˘fiۈ̷ ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ· ÙÔ˘ F ÛÙÔ F  . °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ¤Ó· ÛÒÌ· F  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi, Â¿Ó Î¿ı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÛÙÔ F  [x] ¤¯ÂÈ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ F  . ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ˆ˜ Ì ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÔÚÔÏÔÁ›· ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi. ∆Ô ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ·Ú¤¯ÂÈ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜ Û˘Óı‹Î˜, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi. £ÂÒÚËÌ· 6.3.2. ŒÛÙˆ F ¤Ó· ÛÒÌ·. √È ÂfiÌÂÓ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜: (1) To F Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi. (2) ∫¿ı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x) ∈ F[x] ‰È·Û¿Ù·È ÛÙÔ F[x]. (3) ∆Ô F ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÁÓ‹ÛȘ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ, ‰ËÏ·‰‹ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ÛˆÌ¿ÙˆÓ E Ù¤ÙÔȘ, ÒÛÙ F ⊂ E Î·È F = E.

110

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

√ÚÈÛÌfi˜ 6.3.2. ªÈ· Â¤ÎÙ·ÛË F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ· ÙÔ˘ F, Â¿Ó ÙÔ F  Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È ÙÔ F  Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.3.1. ™ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰Â¯fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ‰Â‰Ô̤ÓÔ ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ ÙÔ C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ C ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ· ÙÔ˘ Q, ·ÊÔ‡ ÙÔ C ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. øÛÙfiÛÔ, ÔÈ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› A, ‹ÙÔÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Â›Ó·È ÙÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ· ÙÔ˘ Q. ∞˘Ùfi ÂÍ·ÎÚÈ‚ÒÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ÙÔ A Â›Ó·È ÂÍ ÔÚÈÛÌÔ‡ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ QØ ı· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi. ŒÛÙˆ f (x) ∈ A[x]. ∂¿Ó ÙÔ α Â›Ó·È ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ f (x), ÙfiÙ α ∈ C. ∂›Û˘ ÙÔ α Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q, ·ÊÔ‡ οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ A Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ α ∈ A Î·È ÙÔ A Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi. °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Â¿Ó ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È ÙÔ K Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi, ÙfiÙ ÙÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ·2 ÙÔ˘ F ÛÙÔ K Â›Ó·È ÙÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ· ÙÔ˘ F. 2 ¢È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ f (x) ∈ F[x], ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì οÔÈÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û‹˜ ÙÔ˘. ∆Ô ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ ·Í›ˆÌ· Ù˘ ÂÈÏÔÁ‹˜, ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ ·˘Ù‹ Ë ‰È·‰Èηۛ· ÌÔÚ› Ó· ÂÂÎÙ·ı› ηٿ Ù¤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„ÂÈ ¤Ó· ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ· ÁÈ· οı ÛÒÌ·. £ÂÒÚËÌ· 6.3.3. ∫¿ı ÛÒÌ· F ‰È·ı¤ÙÂÈ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ· Î·È ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·ÏÁ‚ÚÈο ÂÁÎÏ›ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ F Â›Ó·È F – ÈÛfiÌÔÚÊ·.

6.4

ªÂٷٿÍÂȘ Î·È ™˘ÌÌÂÙÚÈο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

°È· ÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ··ÈÙÂ›Ù·È Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ˘ÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì οÔȘ ‚·ÛÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ·fi ÙË ™ÙÔȯÂÈÒ‰Ë £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ. 2 ™.Ù.ª.

¢ËÏ·‰‹ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ K Ô˘ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈο ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F.

6.4. ªÂٷٿÍÂȘ Î·È ™˘ÌÌÂÙÚÈο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

111

√ÚÈÛÌfi˜ 6.4.1. ªÈ· ÔÌ¿‰· G Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ÌÈ· ‰ÈÌÂÏ‹ Ú¿ÍË Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È ‰È·ı¤ÙÂÈ ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (1) ∏ Ú¿ÍË Â›Ó·È ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋, ‰ËÏ·‰‹ (g1 g2 )g3 = g1 (g2 g3 ) ÁÈ· fiÏ· Ù· g1 , g2 , g3 ∈ G. (2) À¿Ú¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÁÈ· ÙËÓ Ú¿ÍË, ‹ÙÔÈ ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô 1, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ 1g = g ÁÈ· οı g ∈ G. (3) ∫¿ı g ∈ G ¤¯ÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ú¿ÍË ·˘Ù‹, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· οı g ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔÈ¯Â›Ô g −1 Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· gg −1 = 1. ŸÙ·Ó Ë Ú¿ÍË Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ (g1 g2 = g2 g1 ÁÈ· οı g1 , g2 ∈ G), ÙfiÙÂ Ë G ηÏÂ›Ù·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ‹ ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ÔÌ¿‰·. ∏ Ù¿ÍË Ù˘ G Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ G, Ô ÔÔ›Ô˜ ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È Ì |G|. ∂¿Ó |G| < ∞, ÙfiÙÂ Ë G Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰·. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ H ⊂ G Â›Ó·È ˘ÔÔÌ¿‰·, fiÙ·Ó ÙÔ H Â›Ó·È Â›Û˘ ÔÌ¿‰· Ì Ú¿ÍË ÙËÓ Ú¿ÍË Ù˘ G. ªÂ ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, ÙÔ H Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰·, Â¿Ó H = ∅ Î·È ÙÔ H Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ú¿ÍË Î·È ÙÔÓ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ. ™˘¯Ó¿ ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ˆ˜ ·ÓÙÈÛÙÚ¤„È̘ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÛÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘. ∆¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ηÏÔ‡ÓÙ·È ÌÂٷٿÍÂȘ 3 . √ÚÈÛÌfi˜ 6.4.2. ∂¿Ó ÙÔ T Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ, ÙfiÙ ÌÈ· ÌÂٿٷÍË ÙÔ˘ T Â›Ó·È ÌÈ· ÂÓÚÈÙÈ΋ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó·) ·ÂÈÎfiÓÈÛË ·fi ÙÔ T Â› ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÌÂٷٿÍÂˆÓ ÙÔ˘ T ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È Ì ST . £ÂÒÚËÌ· 6.4.1. °È· οı ۇÓÔÏÔ T , ÙÔ ST Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÌÈ· ÔÌ¿‰· Ì Ú¿ÍË ÙË Û‡ÓıÂÛË Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÔÌ¿‰· ÙÔ˘ T . ∂¿Ó Ù· Û‡ÓÔÏ· T Î·È T1 ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ï‹ıÔ˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ (̤ÁÂıÔ˜), ÙfiÙÂ4 ST ∼ = ST1 . ∂¿Ó ÙÔ T Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Ì |T | = n, ÙfiÙÂ Ë ST Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰· Î·È |ST | = n!. 3 ™.Ù.ª.

¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÔÛË ÙÔ˘ fiÚÔ˘ «permutation». ™ÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ ÔÚÔÏÔÁ›· ÂÈÎÚ·Ù¤ÛÙÂÚÔ˜ Â›Ó·È Ô fiÚÔ˜ «ÌÂÙ¿ıÂÛË»Ø fiÚÔ˜ ·‰fiÎÈÌÔ˜, ‰ÈfiÙÈ ÁÂÓÈÎÒ˜ ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜ Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ·fi «ÌÂÙ·ı¤ÛÂȘ» ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈΤ˜. 4 ™.Ù.ª. ŒÛÙˆ φ : G → G ÌÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÔÌ¿‰ˆÓ. ∏ φ ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi, 1 2 Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ∀a, b ∈ G 1 fiÙÈ φ(ab) = φ(a)φ(b). ŒÓ·˜ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÔÌ¿‰ˆÓ ηÏÂ›Ù·È ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ Â¿Ó Â›Ó·È ÂÈϤÔÓ ÌÈ· ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó· Î·È Â›) ·ÂÈÎfiÓÈÛËØ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì G 1 ∼ = G2.

112

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

∞fi‰ÂÈÍË. ∂¿Ó ÙÔ ST Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÌÂٷٿÍÂˆÓ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ T , ÙfiÙ Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û‡ÓıÂÛË Â›Ó·È ÌÈ· Ú¿ÍË Â› ÙÔ˘ ST Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋, ¤¯ÂÈ Ù·˘ÙÔÙÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô Î·ıÒ˜ Â›Û˘ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ· ÛÙÔȯ›·. ŒÛÙˆ f, g ∈ ST . ∆fiÙ ÔÈ f Î·È g Â›Ó·È ·ÌÊÈÚÚÈÙÈΤ˜ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó· Î·È Â›) ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ·fi ÙÔ T Â› ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘. ∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙË Û‡ÓıÂÛË f ◦ g : T → T . ∂¿Ó f ◦ g(t1 ) = f ◦ g(t2 ), ÙfiÙ f (g(t1 )) = f (g(t2 )) Î·È g(t1 ) = g(t2 ), ÂÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È ÂÓÚÈÙÈ΋. ŸÌˆ˜ ÙfiÙ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ t1 = t2 , ÂÂȉ‹ Ë g Â›Ó·È ÂÓÚÈÙÈ΋. ∂¿Ó t ∈ T , ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó t1 ∈ T Ì f (t1 ) = t, ‰ÈfiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÂÈÚÚÈÙÈ΋ (‹ÙÔÈ Im f = T ), Î·È t2 ∈ T Ì g(t2 ) = t1 , ‰ÈfiÙÈ Ë g Â›Ó·È Â›. ™˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·˜ ÈÛ¯‡ÂÈ f (g(t2 )) = t ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ë f ◦ g Â›Ó·È ÂÈÚÚÈÙÈ΋. ÕÚ·, Ë f ◦ g Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÂٿٷÍË Î·È Ë Û‡ÓıÂÛË Â›Ó·È ÌÈ· ‰ÈÌÂÏ‹˜ Ú¿ÍË Â› ÙÔ˘ ST . ∏ Ù·˘ÙÔÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË 1(t) = t ÁÈ· fiÏ· Ù· t ∈ T ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ST , ÂÓÒ Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î¿ı ÌÂٿٷ͢ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ ÌÂٿٷ͢ ÛÙÔ ST . ∏ ‡·ÚÍË ÙˆÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Î¿ı ÌÂٿٷÍË Â›Ó·È ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó· Î·È Â›). ∂Ó Ù¤ÏÂÈ, Ë Û‡ÓıÂÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ST Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÔÌ¿‰·. ∂¿Ó Ù· T Î·È T1 ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ï‹ıÔ˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì›· ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË σ : T → T1 . √Ú›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË F : ST → ST1 Ì ÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÙÚfiÔ: Â¿Ó Ë f ∈ ST , ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ F( f ) ÙË ÌÂٿٷÍË Â› ÙÔ˘ T1 , Ë ÔÔ›· ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË F( f )(t1 ) = σ ( f (σ −1 (t1 ))). ¶ÚÔ·ÙÂÈ ÏÔÈfiÓ ¿ÌÂÛ· fiÙÈ Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË F Â›Ó·È ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÔÌ¿‰ˆÓ. ∆¤ÏÔ˜, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ |T | = n < ∞. ∆fiÙ T = {t1 , . . . , tn }. ∫¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô f ∈ ST ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÛÙ·ı› ˆ˜:  f =

t1 f (t1 )

... ...

 tn . f (tn )

∏ ÂÈÎfiÓ· ÙÔ˘ t1 ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ Ì›· ·fi ÙȘ ÙÈ̤˜ t1 , . . . , tn , ‰ËÏ·‰‹ ˘¿Ú¯Ô˘Ó n ÂÈÏÔÁ¤˜ ÁÈ· ÙÔ f (t1 ). °È· ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ ÙÔ˘ t2 ˘¿Ú¯Ô˘Ó n − 1 ÂÈÏÔÁ¤˜, ÂÊfiÛÔÓ Ë f Â›Ó·È ÂÓÚÈÙÈ΋ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó·). ∆Ô Â‡ÚÔ˜ ÙˆÓ ÂÈÏÔÁÒÓ ÁÈ· ÙȘ ‰˘Ó·Ù¤˜ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÂÈÎfiÓˆÓ ÌÂÈÒÓÂÙ·È Û˘Ó¯Ҙ ηٿ ¤Ó· ηÈ, ηٷϋÁÔÓÙ·˜ ÛÙÔ tn , ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ì›· ÂÈÏÔÁ‹ ÁÈ· ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ ÙÔ˘. ªÂ ‚¿ÛË ÙËÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈ΋ ·Ú¯‹ Ù˘ Û˘Ó‰˘·ÛÙÈ΋˜, Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÂÈÏÔÁÒÓ ÁÈ· ÙËÓ f ηÈ

113

6.4. ªÂٷٿÍÂȘ Î·È ™˘ÌÌÂÙÚÈο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ ST ›ӷÈ: n(n − 1) · · · 1 = n!. °È· ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ì n ÛÙÔȯ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙÔ ST Ì Sn Î·È ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÔÌ¿‰· Â› ÙˆÓ n Û˘Ì‚fiψÓ. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.4.1. ¡· ¢ÚÂıÔ‡Ó Ù· ¤ÍÈ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ S3 Î·È Ó· ‰Ôı› Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi˜ ›Ó·Î·˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ ÔÌ¿‰·˜. ∞˜ Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ٷ ÙÚ›· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ T Ì 1, 2, 3. ∆fiÙ ٷ ¤ÍÈ ÛÙÔȯ›· Ù˘ S3 ı· ›ӷÈ:       1 2 3 1 2 3 1 2 3 1= ,a = ,b = 1 2 3 2 3 1 3 1 2       1 2 3 1 2 3 1 2 3 c= ,d = ,e = . 2 1 3 3 2 1 1 3 2 √ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi˜ ›Ó·Î·˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ S3 ÁÚ¿ÊÂÙ·È ¿ÌÂÛ· ÂÎÙÂÏÒÓÙ·˜ ÙËÓ ··ÈÙÔ‡ÌÂÓË Û‡ÓıÂÛË. ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ:      1 2 3 1 2 3 1 2 3 ac = = = d. 2 3 1 2 1 3 3 2 1 °È· Ó· ÙÔ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘ÌÂ, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: a : 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1 Î·È c : 1 → 2, 2 → 1, 3 → 3 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ac : 1 → 3, 2 → 2, 3 → 1. ∏ ηٷÛ΢‹ ÙÔ˘ ›Ó·Î· ÂÎÙÂÏÂ›Ù·È Â˘ÎÔÏfiÙÂÚ·, Â¿Ó Á›ÓÔ˘Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÁÂÓÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘ ÂÈÛËÌ¿ÓÛÂȘ. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, a 2 = b Î·È a 3 = 1Ø ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ c2 = 1, d = ac, e = a 2 c Î·È Ù¤ÏÔ˜ ac = ca 2 . ∞fi ·˘Ù¿ ÚÔ·ÙÂÈ Ô ›Ó·Î·˜:

1 a a2 c ac a2c

1 1 a a2 c ac a2c

a a a2 1 a2c c ac

a2 a2 1 a ac a2c c

c c ac a2c 1 a a2

ac ac a2c c a2 1 a

a2c a2c c ac a a2 1

114

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ·˜ ‰Ô‡Ì Ò˜ ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ: (ac)a 2 = a(ca 2 ) = a(ac) = a 2 c. °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ Ë S3 ¤¯ÂÈ ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ë ÔÔ›· ‰›‰ÂÙ·È ˆ˜: S3 =< a, c; a 3 = c2 = 1, ac = ca 2 > . ªÂ ·˘Ùfi ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ Ë S3 ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi Ù· a Î·È c ‹ fiÙÈ Ë S3 ¤¯ÂÈ ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ˜ Ù· a, c Î·È fiÙÈ Ë fiÏË ÔÌ¿‰·, fiˆ˜ Â›Û˘ Î·È Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi˜ Ù˘ ›Ó·Î·˜, ÌÔÚ› Ó· ·Ú·¯ı› ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ a 3 = c2 = 1 Î·È ac = ca 2 . 2 ŒÓ· ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, ÌÈ· ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ı· ··ÓÙËı› ηٿ ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ, Â›Ó·È ÙÔ ÂÍ‹˜: §‹ÌÌ· 6.4.1. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ T Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ Û‡ÓÔÏÔ Î·È ÙÔ T1 ⊂ T Â›Ó·È ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏfi ÙÔ˘. ŒÛÙˆ H ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ST ÙÔ ÔÔ›Ô ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ T1 , ‰ËÏ·‰‹ f ∈ H , Â¿Ó f (t) = t ÁÈ· οı t ∈ T1 . ∆fiÙ ÙÔ H ·ÔÙÂÏ› ˘ÔÔÌ¿‰· ÙÔ˘ ST . ∞fi‰ÂÈÍË. ∆Ô H = ∅, ÂÊfiÛÔÓ 1 ∈ H . ŒÛÙˆ fiÙÈ Ù· h 1 , h 2 ∈ H Î·È fiÙÈ t1 ∈ T1 . ∞˜ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ h 1 ◦ h 2 (t1 ) = h 1 (h 2 (t1 )). Œ¯Ô˘Ì h 2 (t1 ) = t1 , ÂÊfiÛÔÓ h 2 ∈ H Ø ·ÏÏ¿ ÙfiÙ h 1 (t1 ) = t1 , ÂÊfiÛÔÓ h 1 ∈ H . ∂Ô̤ӈ˜, h 1 ◦ h 2 ∈ H Î·È ÙÔ H Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ú¿ÍË Ù˘ Û‡ÓıÂÛ˘. ∂¿Ó ÙÔ h 1 ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ t1 , ÙfiÙÂ Î·È ÙÔ h −1 1 ı· ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ t1 . ÕÚ·, ÙÔ H Â›Ó·È Â›Û˘ ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ· ÛÙÔȯ›· ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È ˘ÔÔÌ¿‰·. ∆ÒÚ· ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙˆÓ ÌÂٷٿÍÂˆÓ ÛÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜. √ÚÈÛÌfi˜ 6.4.3. ŒÛÙˆ y1 , . . . , yn (·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ˜) ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F. ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (y1 , . . . , yn ) ∈ F[y1 , . . . , yn ] Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ y1 , . . . , yn , Â¿Ó ÙÔ f (y1 , . . . , yn ) ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ ·fi ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÂٿٷÍË σ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ {y1 , . . . , yn }, ‰ËÏ·‰‹ f (y1 , . . . , yn ) = f (σ (y1 ), . . . , σ (yn )). ŒÛÙˆ fiÙÈ Ù· F ⊂ F  Â›Ó·È ‰‡Ô ÛÒÌ·Ù· Î·È fiÙÈ α1 , . . . , αn Â›Ó·È ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F  . ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (α1 , . . . , αn ) ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÛÙÔ F ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙˆÓ α1 , . . . , αn , fiÙ·Ó ÙÔ f (α1 , . . . , αn ) ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ ·fi ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÂٿٷÍË σ ÙÔ˘ {α1 , . . . , αn }.

6.4. ªÂٷٿÍÂȘ Î·È ™˘ÌÌÂÙÚÈο ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

115

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.4.2. ŒÛÙˆ F ÛÒÌ· Î·È f 0 , f 1 ∈ F. ŒÛÙˆ h(y1 , y2 ) = f 0 (y1 + y2 ) + f 1 (y1 y2 )Ø Â› ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ {y1 , y2 } ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÌÂٷٿÍÂȘ: Ë σ1 : y1 → y1 , y2 → y2 Î·È Ë σ2 : y1 → y2 , y2 → y1 . ∂Ê·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ÌÂٷٿÍÂȘ σ1 Î·È σ2 Â› ÙÔ˘ {y1 , y2 }, ÙÔ h(y1 , y2 ) ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ h(y1 , y2 ) Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. 2 √ÚÈÛÌfi˜ 6.4.4. ŒÛÙˆ x, y1 , . . . , yn ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F (‹ ÛÙÔȯ›· ÌÈ·˜ Â¤ÎÙ·Û˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F). ™¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ: p(x, y1 , . . . , yn ) = (x − y1 ) . . . (x − yn ). ∆Ô i – ÔÛÙfi ÛÙÔȯÂÈ҉˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ si ÙˆÓ ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ y1 , . . . , yn ÁÈ· i = 1, . . . , n Â›Ó·È ÙÔ (−1)i ai , fiÔ˘ ai Â›Ó·È Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x n−i ÛÙÔ p(x, y1 , . . . , yn ). ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 6.4.3. ∞˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙȘ y1 , y2 , y3 . ∂Ó ÚÔÎÂÈ̤ӈ ¤¯Ô˘ÌÂ: p(x, y1 , y2 , y3 ) = (x − y1 )(x − y2 )(x − y3 ) = x 3 − (y1 + y2 + y3 )x 2 + (y1 y2 + y1 y3 + y2 y3 )x − y1 y2 y3 . ∂Ô̤ӈ˜, Ù· ÙÚ›· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙˆÓ y1 , y2 , y3 ˘ÂÚ¿Óˆ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ›ӷÈ: (1) s1 = y1 + y2 + y3 , (2) s2 = y1 y2 + y1 y3 + y2 y3 , (3) s3 = y1 y2 y3 . ∆Ô ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÁÂÓÈ·ÂÙ·È ÁÈ· y1 , . . . , yn Ø ‹ÙÔÈ: s1 = y1 + y2 + . . . + yn , s2 = y1 y2 + y1 y3 + . . . + yn−1 yn , s3 = y1 y2 y3 + y1 y2 y4 + . . . + yn−2 yn−1 yn , .. . sn = y1 . . . yn .

2

116

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

∏ ·Í›· ÙˆÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÔÈÎÔ‰ÔÌÂ›Ù·È ·fi Ù· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. ∂ÎÊÚ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÚfiÙ·ÛË Ì ̷ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜ ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ™˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ. £· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ ıÂÒÚËÌ· ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Î·È ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÔÏÔÎÏËڈ̤ÓË ·fi‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 6.7. £ÂÒÚËÌ· 6.4.2 (£ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ™˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ). ∂¿Ó ÙÔ P Â›Ó·È ¤Ó· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ y1 , . . . , yn ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ‰ËÏ·‰‹, Â¿Ó P ∈ F[y1 , . . . , yn ] Î·È Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi g ∈ F[y1 , . . . , yn ] Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ P(y1 , . . . , yn ) = g(s1 , . . . , sn ). ªÂ ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, ÔÔÈÔ‰‹ÔÙÂ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ y1 , . . . , yn Â›Ó·È ÌÈ· ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈ΋ ¤ÎÊÚ·ÛË ˆ˜ ÚÔ˜ Ù· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙˆÓ y1 , . . . , yn . ∆· ÂfiÌÂÓ· ‰‡Ô Ï‹ÌÌ·Ù· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Û˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.4.2. ∆· Ï‹ÌÌ·Ù· ·˘Ù¿ Â›Ó·È È‰È·ÈÙ¤Úˆ˜ ÛËÌ·ÓÙÈο ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Ô˘ ı· Â·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÂÈ. §‹ÌÌ· 6.4.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ p(x) ∈ F[x] Î·È fiÙÈ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ p(x) Â›Ó·È ÔÈ α1 , . . . , αn Û οÔÈÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û‹˜ ÙÔ˘ F  . ∆fiÙ ٷ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙˆÓ α1 , . . . , αn ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ F. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ p(x) = f 0 + f 1 x +. . .+ f n x n ∈ F[x]. ∆Ô p(x) ‰È·Û¿Ù·È ÛÙÔ F  [x] ηÈ, ÂÂȉ‹ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÔÈ α1 , . . . , αn , ÌÈ· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘ ÛÙÔ F  [x] Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: p(x) = f n (x − α1 ) . . . (x − αn ). ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘ p(x) ·›ÚÓÔ˘Ó ÙË ÌÔÚÊ‹ f n (−1)i si (α1 , . . . , αn ), fiÔ˘ Ù· si (α1 , . . . , αn ) Â›Ó·È Ù· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙˆÓ α1 , . . . , αn . ∂Âȉ‹ ÙÔ p(x) ∈ F[x], οıÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ·Ó‹ÎÂÈ Â›Û˘ ÛÙÔ F. ŒÙÛÈ, ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ f n (−1)i si (α1 , . . . , αn ) ∈ F ÁÈ· οı i ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ù· si (α1 , . . . , αn ) ∈ F, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ f n ∈ F. §‹ÌÌ· 6.4.3. ŒÛÙˆ fiÙÈ p(x) ∈ F[x] Î·È fiÙÈ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ p(x) Â›Ó·È ÔÈ

6.5. ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ – ∆Ú›ÙË ∞fi‰ÂÈÍË

117

α1 , . . . , αn Û οÔÈÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û‹˜ ÙÔ˘ F  . ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì ÂÈϤÔÓ fiÙÈ ÙÔ g(x) = g(x, α1 , . . . , αn ) ∈ F  [x]. ∂¿Ó ÙÔ g(x) Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ α1 , . . . , αn , ÙfiÙ ÙÔ g(x) ∈ F[x]. ∞fi‰ÂÈÍË. ∂¿Ó ÙÔ g(x) = g(x, α1 , . . . , αn ) Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙˆÓ α1 , . . . , αn , ÙfiÙÂ, ÏfiÁˆ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.4.2, ı· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ÙˆÓ α1 , . . . , αn . ∞fi ÙÔ §‹ÌÌ· 6.4.2, Ù· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ÛÒÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜ FØ ÂÔ̤ӈ˜ Î·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘ g(x) ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ F. ÕÚ· ÙÔ g(x) ∈ F[x].

6.5

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ∆Ú›ÙË ∞fi‰ÂÈÍË

∆ÒÚ· ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÚ›ÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜. £ÂÒÚËÌ· 6.5.1 (£ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜). √ÔÈÔ‰‹ÔÙ ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ªÂ ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙ· Ù¤ÛÛÂÚ· ÂfiÌÂÓ· Ï‹ÌÌ·Ù·, Ù· ÙÚ›· ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ¤¯Ô˘Ó Û˘˙ËÙËı› ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. ∆Ô ϤÔÓ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ·fi ·˘Ù¿ Â›Ó·È ÙÔ Ù¤Ù·ÚÙÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô Î·Ù·‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. §‹ÌÌ· 6.5.1. √ÔÈÔ‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞fi‰ÂÈÍË. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.4.1, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÔÙÂÏ› Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜. ŒÛÙˆ ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ P(x) ∈ R[x] ‚·ıÌÔ‡ deg P(x) = n = 2k + 1. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô ÂÈÎÂÊ·Ï‹˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ an Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ (Ë ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È Û¯Â‰fiÓ Ù·˘ÙfiÛËÌË Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ an < 0). ∆fiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: P(x) = an x n + (fiÚÔÈ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡) Ì ÙÔÓ n ÂÚÈÙÙfi Î·È Û˘ÓÂÒ˜:

118

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

(1) limx→∞ P(x) = limx→∞ an x n = ∞, ÂÊfiÛÔÓ an > 0, (2) limx→−∞ P(x) = limx→−∞ an x n = −∞, ÂÊfiÛÔÓ an > 0 Î·È Ô n Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜. §fiÁˆ Ù˘ Û¯¤Û˘ (1), ÙÔ P(x) ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ¤Ó·˜ ÔÛÔ‰‹ÔÙ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ıÂÙÈÎfi˜Ø ÂÔ̤ӈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ x1 Ì P(x1 ) > 0. ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, ·fi ÙË Û¯¤ÛË (2) ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ x2 Ì P(x2 ) < 0. ŒÓ· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ ÁÈ· fiÏ· Ù· x ∈ R. ∞ÊÔ‡ P(x1 )P(x2 ) < 0, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜ ÚÔ·ÙÂÈ Ë ‡·ÚÍË Î¿ÔÈÔ˘ x3 ÌÂٷ͇ ÙˆÓ x1 Î·È x2 Ì P(x3 ) = 0. §‹ÌÌ· 6.5.2. ∫¿ı ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞fi‰ÂÈÍË. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙÔ §‹ÌÌ· 3.4.1, Ô˘ ·ÔÙÂÏ› Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ fiÙÈ ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙·. ∂¿Ó P(x) = ax 2 + bx + c Ì a = 0, ÙfiÙ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ÙË ÌÔÚÊ‹: √ √ −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac x1 = , x2 = . 2a 2a ∞fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ DeMoivre, οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· Î·È ¿Ú· Ù· x1 , x2 ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ C. ∂Ó‰¤¯ÂÙ·È ‚‚·›ˆ˜ Ó· Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÛÙÔȯ›Ô, fiÙ·Ó b2 − 4ac = 0. §‹ÌÌ· 6.5.3. ∂¿Ó οı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÙfiÙ οı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˘Ùfi Â›Ó·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 3.4.2 Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ‚·Û›ÛÙËΠÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Û˘˙˘ÁÔ‡˜ ÂÓfi˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 3.4). ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ P(x) ∈ C[x] Î·È fiÙÈ Î¿ı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ŒÛÙˆ H (x) = P(x)P(x). §fiÁˆ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 3.4.3, ÙÔ H (x) ∈ R[x]. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ˘fiıÂÛË ÙÔ˘ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ z 0 ∈ C Ì H (z 0 ) = 0. ∆fiÙ ¤¯Ô˘Ì P(z 0 )P(z 0 ) = 0 ηÈ, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ

6.5. ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ – ∆Ú›ÙË ∞fi‰ÂÈÍË

119

C ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˜, ‹ P(z 0 ) = 0 ‹ P(z 0 ) = 0. ™ÙËÓ ÚÒÙË ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ z 0 ·ÔÙÂÏ› ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ P(x), ÂÓÒ ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘Ì P(z 0 ) = 0. ∆fiÙ ·fi ÙÔ §‹ÌÌ· 3.4.2 ¤ÂÙ·È fiÙÈ P(z 0 ) = P(z 0 ) = P(z 0 ) = 0. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ z 0 Â›Ó·È ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ P(x). ∆ÒÚ· ÂÚ¯fiÌ·ÛÙ ÛÙÔ ϤÔÓ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Ï‹ÌÌ· Ô˘ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜. §‹ÌÌ· 6.5.4. ∫¿ı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x) = a0 + a1 x + . . . + an x n ∈ R[x] Ì n ≥ 1 Î·È an = 0. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ı· ÂÎÙÂÏÂÛÙ› Ì Â·ÁˆÁ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ‚·ıÌfi n ÙÔ˘ f (x). ŒÛÙˆ fiÙÈ n = 2m q, fiÔ˘ ÙÔ q Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜. ∂ÎÙÂÏԇ̠Â·ÁˆÁ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ m. ∂¿Ó ÙÔ m = 0, ÙfiÙ ÙÔ f (x) Â›Ó·È ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ Î·È ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÏËı‡ÂÈ ÏfiÁˆ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 6.5.1. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‚·ıÌÔ‡˜ d = 2k q  , fiÔ˘ ÙÔ k < m Î·È ÙÔ q  Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜. ∆ÒÚ· ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ f (x) Â›Ó·È n = 2m q. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ F  Â›Ó·È ÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ÙÔ˘ f (x) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R Î·È fiÙÈ ÔÈ α1 , . . . , αn Â›Ó·È ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ f (x) ÛÙÔ F  . ∆Ô F  ˘¿Ú¯ÂÈ Û‡Ìʈӷ Ì fiÛ· ÂϤ¯ıËÛ·Ó ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 6.3. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ·fi ·˘Ù¤˜ ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Ú¤ÂÈ Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ C. (™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· fiϘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ C, ·ÏÏ¿ Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜ ··ÈÙ› ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· Ó· ¤¯ÂÈ ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË È‰ÈfiÙËÙ·.) ŒÛÙˆ h ∈ Z. ™¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ:  H (x) = (x − (αi + α j + hαi α j )). i< j

∆Ô H (x) ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ F  [x]. ∫·Ù¿ ÙÔÓ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ÙÔ˘ H (x) ÂÈϤÁÔ˘Ì ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ·Ó¿ ˙‡ÁË {αi , α j }Ø ¿Ú·, ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ˙¢ÁÒÓ ·˘ÙÒÓ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ÙÚfiˆÓ ÂÈÏÔÁ‹˜ ‰‡Ô ÛÙÔȯ›ˆÓ ·fi n = 2m q. ∆Ô Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÂÈÏÔÁÒÓ ‰›‰ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: (2m q)(2m q − 1) = 2m−1 q(2m q − 1) = 2m−1 q  , 2 fiÔ˘ ÙÔ q  Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜. ∂Ô̤ӈ˜, Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ H (x) Â›Ó·È 2m−1 q  . ∆Ô H (x) Â›Ó·È ¤Ó· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ α1 , . . . , αn ηÈ, ÂÈϤÔÓ, ·˘Ù¤˜ ÔÈ α1 , . . . , αn ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Â›Û˘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘. ∞fi ÙÔ §‹ÌÌ· 6.4.3 ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÂÓfi˜

120

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ F  ÙÔ˘ f (x) Î·È Â¿Ó ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ÂÓ ÏfiÁˆ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÙfiÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, H (x) ∈ R[x] Î·È ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi ›ÛÔ Ì 2m−1 q  . ∞fi ÙËÓ Â·ÁˆÁÈ΋ ˘fiıÂÛË ÙÔ H (x) Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∂Í ·˘ÙÔ‡ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË ÂÓfi˜ ˙‡ÁÔ˘˜ {αi , α j } ÌÂ: αi + α j + hαi α j ∈ C. ∂Âȉ‹ ÙÔ h Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·˘ı·›ÚÂÙÔ˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜, ÁÈ· οı ·Î¤Ú·ÈÔ h 1 ˘¿Ú¯ÂÈ Î·Ù' ·Ó¿ÁÎËÓ ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ {αi , α j } ÌÂ: αi + α j + h 1 αi α j ∈ C. ∆ÒÚ· ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÙÔ h 1 Ó· ‰È·ÙÚ¤ÍÂÈ fiϘ ÙȘ ·Î¤Ú·È˜ ÙÈ̤˜. ∂Âȉ‹ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ˙¢ÁÒÓ {αi , α j } Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ, Ú¤ÂÈ Ó· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ h 1 Î·È h 2 Ù¤ÙÔÈÔÈ, ÒÛÙÂ: z 1 = αi + α j + h 1 αi α j ∈ C Î·È z 2 = αi + α j + h 2 αi α j ∈ C. ∆fiÙ ¤¯Ô˘Ì z 1 − z 2 = (h 1 − h 2 )αi α j ∈ C ηÈ, ÂÊfiÛÔÓ Ù· h 1 , h 2 ∈ Z ⊂ C, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ù· αi α j ∈ C. ∞˘Ùfi fï˜ ÂÌÊ·›ÓÂÈ fiÙÈ h 1 αi α j ∈ C Î·È ¿Ú· αi + α j ∈ C. ™˘ÓÂÒ˜: p(x) = (x − αi )(x − α j ) = x 2 − (αi + α j )x + αi α j ∈ C[x]. ™ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË fï˜ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ p(x) Â›Ó·È ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î·È ÂÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ §‹ÌÌ· 6.5.2, ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÌÈÁ·‰ÈΤ˜. ÕÚ· Ù· αi , α j ∈ C ηÈ, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÙÔ f (x) ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∫·ÙfiÈÓ ÙÔ‡ÙÔ˘, ›̷ÛÙ Û ı¤ÛË Ó· ÚԂԇ̠ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∞fi ÙÔ §‹ÌÌ· 6.5.4 ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. µ¿ÛÂÈ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 6.5.3, Â¿Ó Î¿ı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÙfiÙ οı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ÕÚ·, οı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Î·È ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ·ԉ›¯ıËÎÂ.

6.6. ∏ ÀÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ e Î·È π

6.6

121

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ – ÀÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ e Î·È π

ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ α ∈ C ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ˜ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÚËÙfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 0 = p(x) ∈ Q[x] Ì p(α) = 0. ™ÙÔ ·ÚfiÓ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ A ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¤Ó· ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ C. ŒÓ·˜ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ C − A. ™ÙËÓ ÕÛÎËÛË 2.7 ÙÔ˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 2, ·ԉ›ͷÌ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ˘ÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ŸÌˆ˜ Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ ·fi‰ÂÈÍË ‹Ù·Ó ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË ‡·Ú͢ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Û ıˆÚËÙÈ΋ ‚¿ÛË. ∏ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÂÓfi˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ˘¤Ú ÙÔ ‰¤ÔÓ ‰‡ÛÎÔÏË. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Î·È ÙȘ Ù¯ÓÈΤ˜ Ô˘ ·Ó·هͷÌ ÛÙÔ ·ÚfiÓ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÁÈ· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› e Î·È π Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎÔ›. ∏ ‡·ÚÍË ˘ÂÚ‚·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·ԉ›¯ıËΠÚˆÙ›ÛÙˆ˜ ·fi ÙÔÓ Liouville ÙÔ  − j! 1844. √ Liouville ¤‰ÂÈÍ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ β = ∞ Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜. √ Hermite j=1 10 ÙÔ 1873 ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ Ô e Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜, ÂÓÒ Ô Lindemann ¤Î·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÁÈ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi π ÙÔ 1882. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ··ÈÙÂ›Ù·È ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÚÔηٷÚÎÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi. ∂¿Ó ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ô α ∈ C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ 0 = f (x) ∈ Q[x] Ì f (α) = 0. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ Q Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ f (x) Â›Ó·È ¤Ó· ÌÔÓÔÛÙfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ·Ó¿ÁˆÁÔ ÌÔÓÔÛÙfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ pα (x) ∈ Q[x] ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ÙÔ α ˆ˜ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∆Ô ÂÓ ÏfiÁˆ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÏ·¯ÈÛÙÔÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙÔ˘ α ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ŒÓ· ÚˆÙfiÁÔÓÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ·Î¤Ú·ÈÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x) = an x n + · · · + a0 , fiÔ˘ n ≥ 1, an = 0 Î·È ai ∈ Z Ì ÌΉ(a1 , . . . , an ) = 1. ∂¿Ó o α Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ Ì f (α) = 0 Î·È f (x) ∈ Q[x], ÙfiÙÂ, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ηÙ' ·Ú¯¿˜ ÙÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘ f (x) Ì ¤Ó·Ó ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ ·Î¤Ú·ÈÔ, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÌÂÙ·ÙÚ·Ô‡Ó fiÏÔÈ Û ·ÎÂÚ·›Ô˘˜, Î·È ÂÓ Û˘Ó¯›· ‰È·ÈÚÒÓÙ·˜ Ì ÙÔÓ ÌΉ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ, ÚÔ·ÙÂÈ ¤Ó· ÚˆÙfiÁÔÓÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ p(x) Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· p(α) = 0. ŒÙÛÈ, ¤ÂÙ·È ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Ï‹ÌÌ·: §‹ÌÌ· 6.6.1. √ α ∈ C Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÚˆÙfiÁÔÓÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ p(x) ∈ Z[x] Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· p(α) = 0. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ p(x) = x n + an−1 x n−1 + · · · + a0 , fiÔ˘ n ≥ 1 Î·È ai ∈ Q, Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ·¯ÈÛÙÔÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙÔ˘ α ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ∆fiÙÂ, ·fi ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜

122

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

£ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ pα (x) ‰È·Û¿Ù·È ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C ˆ˜: pα (x) = (x − α1 ) . . . (x − αn ), αi ∈ C ÁÈ· i = 1, . . . , n. Œ¯Ô˘Ì α = α j ÁÈ· οÔÈÔ j ∈ {1, . . . , n}. ∂Âȉ‹ ÙÔ pα (x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q, ÈÛ¯‡ÂÈ pα (x) = pαi (x) ÁÈ· i = 1, . . . , n Î·È αi = α j ÁÈ· i = j. ∂¿Ó οÔÈo αi Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ pα (x) Ì ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÙÔ˘ 1, ÙfiÙ ÙÔ αi ı· Â›Ó·È Â›Û˘ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Ù˘ Ù˘È΋˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ pα (x) ηÈ, ηÙ' Â¤ÎÙ·ÛÈÓ, Î·È ÙÔ˘ ÌÂÁ›ÛÙÔ˘ ÎÔÈÓÔ‡ ‰È·ÈÚ¤ÙË d(x) ∈ Q[x] ÙˆÓ pα (x) Î·È pα (x). √ ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ d(x) Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÏÏ¿ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ·˘ÙfiÓ ÙÔ˘ pα (x), ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ d(x) ‰È·ÈÚ› ÙÔ pα (x)Ø ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ¤Ú¯ÂÙ·È Û ·ÓٛʷÛË Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ pα (x) ˆ˜ ·Ó¿ÁˆÁÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘. √È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› α1 , . . . , αn ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ α ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. §‹ÌÌ· 6.6.2. ∂¿Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ α ∈ C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜, ÙfiÙ ÔÈ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ› α1 , . . . , αn Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ·Ó¿ÁˆÁÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘: qα (x) = bn x n + · · · + b1 x + b0 ∈ Z[x], Ì ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜, fiÔ˘ n ≥ 1, bn > 0 Î·È ÌΉ(b0 , . . . , bn ) = 1. ∂ÈϤÔÓ, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ n = deg pα (x). ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ qα (x) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ·Î¤Ú·ÈÔ ÂÏ·¯ÈÛÙÔÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙÔ˘ α ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ™ËÌÂȈ٤ÔÓ fiÙÈ qα (x) = r pα (x) ÁÈ· οÔÈÔ r ∈ Q. √ÚÈÛÌfi˜ 6.6.1. ŒÓ·˜ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ α ∈ C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÌÔÓÔÛÙfi ·Î¤Ú·ÈÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì ÙÔ α ˆ˜ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘, ‹ÙÔÈ, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· f (x) ∈ Z[x] Ì f (x) = x n + bn−1 x n−1 + · · · + b0 , fiÔ˘ bi ∈ Z, n ≥ 1 Î·È f (α) = 0. §‹ÌÌ· 6.6.3. ∂¿Ó Ô α ∈ C Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜, ÙfiÙ fiÏÔÈ ÔÈ Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ α1 , . . . , αn Â›Ó·È Â›Û˘ ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ f (x) ∈ Z[x] ¤Ó· ÌÔÓÔÛÙfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì f (α) = 0. ∂ÊfiÛÔÓ pα (x) = pai (x) ÁÈ· i = 1, . . . , n, ¤¯Ô˘Ì pai (x) | f (x) ÁÈ· i = 1, . . . , n. ∂Ô̤ӈ˜ f (αi ) = 0 ÁÈ· i = 1, . . . , n.

6.6. ∏ ÀÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ e Î·È π

123

¶fiÚÈÛÌ· 6.6.1. ∂¿Ó Ô α ∈ C Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜, ÙfiÙ ÙÔ ·Î¤Ú·ÈÔ ÂÏ·¯ÈÛÙÔÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘Ìfi ÙÔ˘ Â›Ó·È ÌÔÓÔÛÙfi. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ f (x) ∈ Z[x] ¤Ó· ÌÔÓÔÛÙfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì f (α) = 0. ∆fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Â›Û˘ f (αi ) = 0 ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Û˘˙˘Á›˜. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÚˆÙfiÁÔÓÔ ·Î¤Ú·ÈÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ h(x) ∈ Z[x] Î·È Î¿ÔÈÔ r ∈ Q Ì rqα (x)h(x) = f (x). ÕÓ¢ ‰˘ÛÎÔÏ›·˜ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ r = ±1, ÂÊfiÛÔÓ Ù· qα (x) Î·È h(x) Â›Ó·È ÚˆÙfiÁÔÓ· Î·È ÙÔ f (x) Â›Ó·È ÌÔÓÔÛÙfi. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ qα (x) Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÔÓÔÛÙfi. ∂¿Ó ÙÔ α ∈ C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Î·È Ù· α1 , . . . , αn Â›Ó·È ÔÈ Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: (x − α1 ) . . . (x − αn ) = x n − s1 x n−1 + · · · + (−1)n sn ∈ Z[x], fiÔ˘ ÙÔ si = si (α1 , . . . , αn ) Â›Ó·È ÙÔ i – ÔÛÙfi ÛÙÔȯÂÈ҉˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ α1 , . . . , αn (‚Ϥ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ·). ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Ù· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Â›Ó·È ·Î¤Ú·È·. ∞fi ÙÔ Î‡ÚÈÔ £ÂÒÚËÌ· ™˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Â¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÛÙÔ˘˜ Û˘˙˘Á›˜ ÂÓfi˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ‡ ·ÎÂÚ·›Ô˘ Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi, fiˆ˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î·È Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. §‹ÌÌ· 6.6.4. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ α, β ∈ C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ. ∆fiÙ ÔÈ α ± β Î·È αβ Â›Ó·È Â›Û˘ ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ α1 = α, . . . , αn ÔÈ Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ α Î·È β1 = β, . . . , βm ÔÈ Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ β. ŒÛÙˆ f (x) =

m n  

(x − (αi + β j )) = x n+m + dn+m−1 x n+m−1 + · · · + d0 .

i=1 j=1

√È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ dk Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙˆÓ αi , β j Î·È ·fi Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ¤ÂÙ·È fiÙÈ dk ∈ Z. (¶ÚÔÛ¤ÍÙ ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ· Ì ÙÔ Âȯ›ÚËÌ· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ÛÙÔ §‹ÌÌ· 6.5.4.) ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ α + β Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜. √ÌÔ›ˆ˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì fiÙÈ Ù· α −β Î·È αβ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ.

124

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

¶fiÚÈÛÌ· 6.6.2. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¤Ó·Ó ˘Ô‰·ÎÙ‡ÏÈÔ ÙÔ˘ C. ∂ÈϤÔÓ, ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ÙÔ ÛÒÌ· ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ. £ÂÒÚËÌ· 6.6.1. √ ·ÚÈıÌfi˜ e Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‰ËÏ·‰‹ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x) ∈ R[x] ‚·ıÌÔ‡ m ≥ 1. ŒÛÙˆ z 1 ∈ C, z 1 = 0 Î·È γ : [0, 1] → C, γ (t) = t z 1 . √Ú›˙Ô˘ÌÂ:    z1  I (z 1 ) = e z1 −z f (z)dz = e z1 −z f (z)dz.  z1

γ

0

γ

√ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ( 0 )γ ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ·fi ÙÔ 0 ÛÙÔ z 1 ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ γ . ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ:   z1    z1  e z1 −z f (z)dz = − f (z 1 ) + e z1 f (0) + e z1 −z f  (z)dz. 0

γ

0

γ

∂Ô̤ӈ˜, Ì Â·Ó·Ï·Ì‚·ÓfiÌÂÓË ÌÂÚÈ΋ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ:   (1) I (z 1 ) = e z1 mj=1 f ( j) (0) − mj=0 f ( j) (z 1 ). √Ú›˙Ô˘Ì ÙÔ | f |(x) ˆ˜ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â¿Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘ f (x) Ì ÙȘ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜. ∂Âȉ‹ |e z1 −z | ≤ e|z1 −z| ≤ e|z1 | , ÈÛ¯‡ÂÈ: (2) |I (z 1 )| ≤ |z 1 |e|z1 | | f |(|z 1 |). ∆ÒÚ·, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ô e Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‹ÙÔÈ: (3) q0 + q1 e + · · · + qn en = 0 ÁÈ· n ≥ 1 Î·È ·ÎÂÚ·›Ô˘˜ q0 = 0, q1 , . . . , qn Î·È fiÙÈ Ô Ì¤ÁÈÛÙÔ˜ ÎÔÈÓfi˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙˆÓ q0 , q1 , . . . , qn ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1. ∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x) = x p−1 (x −1) p . . . (x −n) p Ì ÙÔÓ p ¤Ó·Ó ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ ÚÒÙÔ ·ÚÈıÌfi. £· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ I (z 1 ) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ŒÛÙˆ: J = q0 I (0) + q1 I (1) + · · · + qn I (n). ∞fi ÙȘ (1) Î·È (3) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È: J =−

m  n  j=0 k=0

qk f ( j) (k),

6.6. ∏ ÀÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ e Î·È π

125

 fiÔ˘ m = (n + 1) p − 1, ÂÂȉ‹ (q0 + q1 e + · · · + qn en )( mj=0 f ( j) (0)) = 0. ∆ÒÚ·, f ( j) (k) = 0, fiÙ·Ó j < p Î·È k > 0. ∂¿Ó j < p − 1, ÙfiÙ k = 0 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ f ( j) (k) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ p! ÁÈ· οı j, k ÂÎÙfi˜ ·fi j = p − 1 Î·È k = 0. ∂ÈϤÔÓ, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ f ( p−1) (0) = ( p − 1)!(−1)np (n!) p ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Â¿Ó p > n, ÙfiÙ ÙÔ f ( p−1) (0) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ ( p − 1)! ·ÏÏ¿ fi¯È ·fi ÙÔ p!. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÙÔ J Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÌË ÌˉÂÓÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ ( p − 1)!, fiÙ·Ó p > |q0 | Î·È p > n. ŒÛÙˆ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ p > n Î·È p > |q0 | Ì |J | ≥ ( p − 1)!. ∆ÒÚ· | f |(k) ≤ (2n)m Î·È ÛÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi Ì ÙË Û¯¤ÛË (2) Â¿ÁÂÙ·È: |J | ≤ |q1 |e| f |(1) + · · · + |qn |nen | f |(n) ≤ c p , ÁÈ· οÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi c Ô˘ ‰ÂÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔÓ p. ∂Ô̤ӈ˜, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ: ( p − 1)! ≤ |J | ≤ c p ‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· fiÙÈ: 1≤

|J | c p−1 ≤c . ( p − 1)! ( p − 1)!

∞˘Ùfi ÂÌÂÚȤ¯ÂÈ ÌÈ· ·ÓٛʷÛË, ηıfiÙÈ ÙÔ Ô ·ÚÈıÌfi˜ e Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜.

c p−1 ( p−1)!

→ 0, ηıÒ˜ ÙÔ p → ∞. ™˘ÓÂÒ˜,

∆ÒÚ· ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ π . ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ Ï‹ÌÌ·: §‹ÌÌ· 6.6.5. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ α ∈ C Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, fiÙÈ f (x) = an x n + · · · + a0 Ì n ≥ 1 Ì an = 0, fiÔ˘ οı ai ∈ Z, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ f (x) ∈ Z[x], Î·È fiÙÈ f (α) = 0. ∆fiÙÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ an α Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜. ∞fi‰ÂÈÍË. ann−1 f (x) = ann x n + ann−1 an−1 x n−1 + · · · + ann−1 a0 = (an x)n + an−1 (an x)n−1 + · · · + ann−1 a0 = g(an x) = g(y) ∈ Z[y], fiÔ˘ ÙÔ y = an x Î·È ÙÔ g(y) Â›Ó·È ÌÔÓÔÛÙfi. ÕÚ· g(an α) = 0 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ô an α Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜.

126

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

£ÂÒÚËÌ· 6.6.2. √ π Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‰ËÏ·‰‹ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ∞fi‰ÂÈÍË. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô π Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∆fiÙÂ Ô θ = iπ Â›Ó·È Â›Û˘ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜. ŒÛÙˆ θ1 = θ, θ2 , . . . , θd ÔÈ Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ θ . ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ: p(x) = q0 + q1 x + · · · + qd x d ∈ Z[x], qd > 0 Ì ÌΉ(q0 , . . . , qd ) = 1 Â›Ó·È ÙÔ ·Î¤Ú·ÈÔ ÂÏ·¯ÈÛÙÔÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙÔ˘ θ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ∆fiÙ ٷ θ1 = θ, θ2 , . . . , θd ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘. ŒÛÙˆ t = qd Ø ÙfiÙÂ, ·fi ÙÔ §‹ÌÌ· 6.6.5, Ô tθi Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ÁÈ· fiÏ· Ù· i. ∞fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ eiπ + 1 = 0 Î·È θ1 = iπ ¤ÂÙ·È: (1 + eθ1 )(1 + eθ2 ) . . . (1 + eθd ) = 0. ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÛÙËÓ ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ¿ıÚÔÈÛÌ· 2d fiÚˆÓ eφ , fiÔ˘ φ = 1 θ1 +· · ·+d θd Ì  j = 0 ‹ 1. ŒÛÙˆ n ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ fiÚˆÓ 1 θ1 +· · ·+d θd Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó Î·È ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì α1 , . . . , αn . ∆fiÙ ÚÔ·ÙÂÈ Ë Â͛ۈÛË: (4)

q + eα1 + · · · + eαn = 0

Ì q = 2d − n > 0. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ fiÏÔÈ ÔÈ tαi Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ. ∞˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ: f (x) = t np x p−1 (x − α1 ) p . . . (x − αn ) p , fiÔ˘ Ô p Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ÚÒÙÔ˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜. Œ¯Ô˘Ì f (x) ∈ R[x], ‰ÈfiÙÈ Ù· αi Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ù· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙˆÓ α1 , . . . , αn Â›Ó·È ÚËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ŒÛÙˆ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ I (z 1 ), ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÚ›˙ÂÙ·È fiˆ˜ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.6.1, Î·È fiÙÈ: J = I (α1 ) + · · · + I (αn ). ∞fi ÙË Û¯¤ÛË (1) Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.6.1 Î·È ÙËÓ (4) Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ: J = −q

m  j=0

f ( j) (0) −

m  n  j=0 k=1

f ( j) (αk )

6.7.

127

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ™˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

Ì m = (n + 1) p − 1. n ( j) ∆ÒÚ·, ÙÔ (αk ) Â›Ó·È ¤Ó· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ tα1 , . . . , tαn k=1 f Ì ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜, ÂÊfiÛÔÓ Ù· tαi Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ. ∞fi ÙÔ   ·ÚÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÁÈ· Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ô mj=0 nk=1 f ( j) (αk ) Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜. ∂ÈϤÔÓ f ( j) (αk ) = 0 ÁÈ· j < p. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· m n ( j) (αk ) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ p!. j=0 k=1 f ( j) √ f (0) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ p!, fiÙ·Ó j = p − 1, Î·È ÙÔ ( p−1) f (0) = ( p − 1)!(−t)np (α1 . . . αn ) p Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ ( p − 1)! ·ÏÏ¿ fi¯È ·fi ÙÔ p!, ηٿ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÙÔ p Â›Ó·È ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, ·˘Ùfi ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙ·Ó p > |t n (α1 . . . αn )| Î·È Â›Û˘ fiÙ·Ó p > q. ∞fi ÙË Û¯¤ÛË (2) Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.6.1 ¤¯Ô˘ÌÂ: |J | ≤ |α1 |e|α1 | | f |(|α1 |) + · · · + |αn |e|αn | | f |(|αn |) ≤ c p ÁÈ· οÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi c ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ p. Ÿˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 6.6.1, ·fi ÙÔ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤Ó ÚÔ·ÙÂÈ Ë Û¯¤ÛË: ( p − 1)! ≤ |J | ≤ c p ‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: 1≤

|J | c p−1 ≤c . ( p − 1)! ( p − 1)!

∞˘Ùfi, fiˆ˜ Î·È ÚˆÙ‡ÙÂÚ·, ÂÌÂÚȤ¯ÂÈ ÌÈ· ·ÓٛʷÛË, ‰ÈfiÙÈ p → ∞. ∂Ô̤ӈ˜, Ô ·ÚÈıÌfi˜ π Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜.

6.7

c p−1 ( p−1)!

→ 0, ηıÒ˜ ÙÔ

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ™˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

™ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙÂ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ n ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Â›Ó·È ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ÙˆÓ ÂÓ ÏfiÁˆ ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ. ∆Ô ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ·˘Ùfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ™˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÛÙȘ ·ԉ›ÍÂȘ ÁÈ· ÙËÓ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ e Î·È π . ™ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ÂÓfiÙËÙ· ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜.

128

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

ŒÛÙˆ fiÙÈ R Â›Ó·È ÌÈ· ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹, fiÙÈ ÔÈ x1 , . . . , xn Â›Ó·È (·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ˜) ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R Î·È fiÙÈ R[x1 , . . . , xn ] Â›Ó·È Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Û ·˘Ù¤˜ ÙȘ ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜. √ÔÈÔ‰‹ÔÙ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x1 , . . . , xn ) ∈ R[x1 , . . . , xn ] Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ax1i1 . . . xnin Ì a ∈ R. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÌÈ· ‰È¿Ù·ÍË Â› ÙˆÓ ÌÔӈӇ̈Ó. ∆Ô ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ax1i1 . . . xnin Ì a = 0 ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÒÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ j j bx11 . . . xnn Ì b = 0, Â¿Ó Ë ÚÒÙË ÌË ÌˉÂÓÈ΋ ‰È·ÊÔÚ¿ ÂÎ ÙˆÓ: i 1 − j1 , i 2 − j2 , . . . , i n − jn , Â›Ó·È ıÂÙÈ΋. ∆Ô ·ÓÒÙ·ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ f (x1 , . . . , xn ) Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì H G( f ). §‹ÌÌ· 6.7.1. °È· Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· f (x1 , . . . , xn ), g(x1 , . . . , xn ) ∈ R[x1 , . . . , xn ] ¤¯Ô˘ÌÂ: H G( f g) = H G( f )H G(g). ∞fi‰ÂÈÍË. H ·fi‰ÂÈÍË ı· ÂÎÙÂÏÂÛÙ› Ì Â·ÁˆÁ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ n ÙˆÓ ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ÙÔ Ï‹ÌÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· n = 1. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· fiÏ· Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, fiÔ˘ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Â›Ó·È k < n Ì n ≥ 2. ¢È·Ù¿ÛÛÔ˘Ì ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙȘ ηÙÈÔ‡Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ù˘ ÚÒÙ˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ x1 : f (x1 , . . . , xn ) = x1r φr (x2 , . . . , xn ) + x1r −1 φr −1 (x2 , . . . , xn ) + · · · + φ0 (x2 , . . . , xn ), g(x1 , . . . , xn ) = x1s ψs (x2 , . . . , xn ) + x1s−1 ψs−1 (x2 , . . . , xn ) + · · · + ψ0 (x2 , . . . , xn ). ∆fiÙ ¤¯Ô˘Ì H G( f g) = x1r +s H G(φr ψs ) ηÈ, ÏfiÁˆ Ù˘ Â·ÁˆÁÈ΋˜ ˘fiıÂÛ˘, ¤ÂÙ·È fiÙÈ H G(φr ψs ) = H G(φr )H G(ψs ). ∂Ô̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ·: H G( f g) = x1r +s H G(φr )H G(ψs ) = (x1r H G(φr ))(x1s H G(ψs )) = H G( f )H G(g).

6.7.

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ™˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

129

ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 6.4.) fiÙÈ Ù· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙˆÓ ·ÚÔÛ‰ÈfiÚÈÛÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ x1 , . . . , xn Â›Ó·È Ù· ÂÍ‹˜: s1 = x1 + x2 + . . . + xn , s2 = x1 x2 + x1 x3 + . . . + xn−1 xn , s3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . . . + xn−2 xn−1 xn , .. . sn = x1 . . . xn . ∂¿Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ p(x, x1 , . . . , xn ) = (x − x1 ) . . . (x − xn ), ÙfiÙ ÙÔ i – ÔÛÙfi ÛÙÔȯÂÈ҉˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ si ÙˆÓ x1 , . . . , xn Â›Ó·È ÙÔ (−1)i ai , fiÔ˘ ÙÔ ai Â›Ó·È Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x n−i ÛÙÔ p(x, x1 , . . . , xn ). °ÂÓÈÎÒ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ:  sk = xi1 xi2 . . . xik , 1≤i 1
 fiÔ˘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘ÂÚ¿Óˆ fiÏˆÓ ÙˆÓ nk ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ ‰ÂÈÎÙÒÓ i 1 , . . . , i k Ì i 1 < i 2 < · · · < i k . ∂ÈϤÔÓ, ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ s(x1 , . . . , xn ) Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, fiÙ·Ó ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ ·fi ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÂٿٷÍË σ ÙÔ˘ {x1 , . . . , xn }Ø ‰ËÏ·‰‹ fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ s(x1 , . . . , xn ) = s(σ (x1 ), . . . , σ (xn )). §‹ÌÌ· 6.7.2. ™ÙÔ ·ÓÒÙ·ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ax1k1 . . . xnkn Ì a = 0, ÂÓfi˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ s(x1 , . . . , xn ) ¤¯Ô˘Ì k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn . ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ fiÙÈ ki < k j ÁÈ· οÔÈÔ i < j. ø˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, ÙÔ s(x1 , . . . , xn ) k Ú¤ÂÈ Ó· ÂÚȤ¯ÂÈ Î·È ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ax1k1 . . . xi j . . . x kj i . . . xnkn , ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ·ÓÒÙÂÚÔ k

·fi ÙÔ ax1k1 . . . xiki . . . x j j . . . xnkn , ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ. §‹ÌÌ· 6.7.3. kn−1 −kn kn ∆Ô ·ÓÒÙ·ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ s1k1 −k2 s2k2 −k3 . . . sn−1 sn , fiÔ˘ k1 ≥ k2 ≥ k1 k2 kn . . . ≥ kn , Â›Ó·È ÙÔ x1 x2 . . . xn . ∞fi‰ÂÈÍË. ∞fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ô˘˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¤¯Ô˘ÌÂ: H G(skt ) = (x1 x2 . . . xk )t , 1 ≤ k ≤ n, t ≥ 1.

130

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

§fiÁˆ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 6.7.1, ÈÛ¯‡ÂÈ: n−1 H G(s1k1 −k2 s2k2 −k3 . . . sn−1

k

−kn kn sn )

n−1 = x1k1 −k2 (x1 x2 )k2 −k3 . . . (x1 . . . xn−1

k

−kn

)

(x1 . . . xn )kn = x1k1 x2k2 . . . xnkn .

£ÂÒÚËÌ· 6.7.1. ŒÛÙˆ s(x1 , . . . , xn ) ∈ R[x1 , . . . , xn ] ¤Ó· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∆fiÙ ÙÔ s(x1 , . . . , xn ) ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Î·Ù¿ ÙÚfiÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ˆ˜ ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (s1 , . . . , sn ) ÙˆÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ s1 , . . . , sn ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ·fi ÙÔ R. ∞fi‰ÂÈÍË. £· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ f Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ Â·ÁˆÁ‹˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ ÙˆÓ ·ÓÒÙ·ÙˆÓ ÌÔӈӇ̈Ó. ∂¿Ó ÛÙÔ ·ÓÒÙ·ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ÂÓfi˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ fiÏÔÈ ÔÈ ÂÎı¤Ù˜ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó, ÙfiÙ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ R ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ‰ÂÓ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ٛÔÙÂ. ∆ÒÚ·, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì ·ÓÒÙ·ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ·˘Ùfi ÙÔ˘ s(x1 , . . . , xn ) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ. ŒÛÙˆ ax1k1 . . . xnkn Ì a = 0 ÙÔ ·ÓÒÙ·ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ÙÔ˘ s(x1 , . . . , xn ). √Ú›˙Ô˘ÌÂ: n−1 t (x1 , . . . , xn ) = s(x1 , . . . , xn ) − as1k1 −k2 . . . sn−1

k

−kn kn sn .

¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ t (x1 , . . . , xn ) Â›Ó·È Î·È ·˘Ùfi Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ηÈ, ÏfiÁˆ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 6.7.3, ÙÔ ·ÓÒÙ·ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ÙÔ˘ t (x1 , . . . , xn ) Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ·˘Ùfi ÙÔ˘ s(x1 , . . . , xn ). ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ t (x1 , . . . , xn ) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙˆÓ s1 , . . . , sn ηÈ, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÙÔ ›‰ÈÔ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î·È Ì ÙÔ s(x1 , . . . , xn ) = kn−1 −kn kn t (x1 , . . . , xn ) + as1k1 −k2 . . . sn−1 sn . ¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙË ÌÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ· ÌÈ·˜ Ù¤ÙÔÈ·˜ ¤ÎÊÚ·Û˘, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ s(x1 , . . . , xn ) = f (s1 , . . . , sn ) = g(s1 , . . . , sn ). ∆fiÙ ÙÔ f (s1 , . . . , sn ) − g(s1 , . . . , sn ) = h(s1 , . . . , sn ) = φ(x1 , . . . , xn ) Â›Ó·È ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˆ˜ ÚÔ˜ Ù· x1 , . . . , xn . ÕÚ·, Â¿Ó ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔ h(s1 , . . . , sn ) ˆ˜ ¤Ó· ¿ıÚÔÈÛÌ· ÁÈÓÔÌ¤ÓˆÓ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙˆÓ s1 , . . . , sn , ÙfiÙ fiÏÔÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ··Ï›ÊÔÓÙ·È, ÂÂȉ‹ ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÁÈÓfiÌÂÓ· ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙˆÓ s1 , . . . , sn ı· ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ·ÓÒٷٷ ÌÔÓÒÓ˘Ì·. ∞˘Ùfi ·ÔÙÂÏ› Û˘Ó¤ÂÈ· ÙˆÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓˆÓ ÏËÌÌ¿ÙˆÓ. ø˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ù· f Î·È g Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ·.

∞Û΋ÛÂȘ

131

∞Û΋ÛÂȘ 6.1. ŒÛÙˆ p(x) = x 2 + x + 1. (a) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ p(x) Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. (b) ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ α Â›Ó·È ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ p(x) Î·È fiÙÈ Ù· g = 2 + α, h = 1 − α ∈ Q(α). ¡· ¢ÚÂıÔ‡Ó Ù· g + h, gh Î·È h −1 . (c) ¡· Ï˘ı› Ë ÁÚ·ÌÌÈ΋ Â͛ۈÛË 2gx + h = 5 ÛÙÔ ÛÒÌ· Q(α) ˆ˜ ÚÔ˜ x. 6.2. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ù· α, β Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈο ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ irr(α, F) = irr(β, F). ¡· Â·ÏËı¢ı› fiÙÈ Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ô˘ ÔÚ›ÛÙËΠÛÙÔ §‹ÌÌ· 6.1.4 Â›Ó·È fiÓÙˆ˜ F – ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜. 6.3. ŒÛÙˆ R ¤Ó·˜ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Î·È r ∈ R. √Ú›˙Ô˘Ì (r ) = {r1 r ; r1 ∈ R}. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ (r ) Â›Ó·È È‰Â҉˜. 6.4. ŒÓ· ȉÂ҉˜ I ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÚÒÙÔ È‰Â҉˜ fiÙ·Ó I = R ηÈ, οı ÊÔÚ¿ Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ r1 r2 ∈ I , ¤ÂÙ·È Â›Ù r1 ∈ I ›Ù r2 ∈ I . (a) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ mZ Â›Ó·È ÚÒÙÔ È‰Â҉˜ ÛÙÔ Z, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ô m Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. (b) °È· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ R Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó ÙÔ I Â›Ó·È ÚÒÙÔ È‰Â҉˜, ÙfiÙÂ Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ËÏ›ÎˆÓ R/I Â›Ó·È ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹. 6.5. ŒÛÙˆ F ¤Ó· ÛÒÌ·. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ÌfiÓ· ȉÂÒ‰Ë ÙÔ˘ F Â›Ó·È ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ ÛÒÌ· Î·È ÙÔ (0). 6.6. ŒÛÙˆ I ⊂ R ¤Ó· ȉÂ҉˜ Î·È ¤Ó· r ∈ R, r ∈ I . (r, I ) = {r1 r + i 1 ; r1 ∈ R, i 1 ∈ I } Â›Ó·È È‰Â҉˜ ÙÔ˘ R.

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ

6.7. ŒÛÙˆ F ⊂ E ⊂ F  . ∂¿Ó Ë {α1 , . . . , αn } Â›Ó·È ÌÈ· ‚¿ÛË ÙÔ˘ E ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È {β1 , . . . , βm } Â›Ó·È ÌÈ· ‚¿ÛË ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E, ÙfiÙ ٷ mn ÁÈÓfiÌÂÓ· {αi β j } ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ‚¿ÛË ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. Àfi‰ÂÈÍË: ÁÈ· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ù· {αi β j } ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ‚¿ÛË ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì (1) fiÙÈ ·Ú¿ÁÔ˘Ó ÙÔ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È (2) fiÙÈ Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎÒ˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ·. °È· ÙÔ (1): ¤ÛÙˆ g ∈ F  Ø ÙfiÙ g = e1 β1 + · · · + em βm , fiÔ˘ ei ∈ E, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ {β1 , . . . , βm } Â›Ó·È ÌÈ· ‚¿ÛË ÙÔ˘ F  ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E. ∆ÒÚ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙË ÁÚ·ÌÌÈ΋ ¤ÎÊÚ·ÛË ÂοÛÙÔ˘ ei ˆ˜ ÚÔ˜ Ù· {α1 , . . . , αn } Î·È Û˘ÏϤÁÔ˘Ì fiÚÔ˘˜. °È· ÙÔ (2): ¤ÛÙˆ fiÙÈ f 1 α1 β1 +· · ·+ f ji α j βi +· · ·+ f nm αn βm = 0. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, Û˘Ó‰˘¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ˆ˜ ÚÔ˜ βi Ø ÂÓ Û˘Ó¯›·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙËÓ ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›· ÙˆÓ {βi } Î·È Î·ÙfiÈÓ ÙˆÓ {α j } Û οıÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹.

132

6. ™ÒÌ·Ù· Î·È ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

6.8. ŒÛÙˆ K ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E Î·È E ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∆fiÙÂ Ë K Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. 6.9. ŒÛÙˆ F  ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ŒÛÙˆ α ∈ F  Ì n = deg irr(α, F). ∆fiÙ ÙÔ n ‰È·ÈÚ› ÙÔ |F  : F|. 6.10. ŒÛÙˆ fiÙÈ F ⊂ D, fiÔ˘ ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· Î·È ÙÔ D ÌÈ· ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ D Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∂¿Ó ÙÔ D ¤¯ÂÈ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ‰È¿ÛÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ D Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ·. 6.11. ¡· ÁÚ·ÊÔ‡Ó Ù· ¤ÓÙ ÚÒÙ· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. 6.12. ŒÛÙˆ D3 Ë ÔÌ¿‰· ÙˆÓ Û˘ÌÌÂÙÚÈÒÓ ÙÔ˘ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. (1) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ |D3 | = 6. (2) ¡· ÁÚ·Ê› Ô ›Ó·Î·˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ D3 Î·È Ó· ¢ÚÂı› ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·Û‹ Ù˘5 . (3) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ S3 ∼ = D3 . 6.13. ŒÛÙˆ D4 Ë ÔÌ¿‰· ÙˆÓ Û˘ÌÌÂÙÚÈÒÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ |D4 | = 8 Î·È  S4 . °ÂÓÈÎÒ˜, ÔÈ· ÓÔÌ›˙ÂÙ fiÙÈ Ó· ¢ÚÂı› ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·Û‹ Ù˘. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ D4 ∼ = Â›Ó·È Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ÙˆÓ Û˘ÌÌÂÙÚÈÒÓ ÙÔ˘ ηÓÔÓÈÎÔ‡ n – ÁÒÓÔ˘;

5 ™.Ù.ª.

¢ËÏ·‰‹ Ó· ¢ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ˜ Î·È ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ D3 .

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 7

£ÂˆÚ›· Galois 7.1

∂ÈÛÎfiËÛË Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois

™ÙÔ ÚÔËÁËı¤Ó ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ‰ÒÛ·Ì ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ‚·ÛÈ˙fiÙ·Ó ÛÙÔ fiÙÈ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘, ÌÔÚԇ̠¿ÓÙÔÙ ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û‹˜ ÙÔ˘, ÛÙÔ fiÙÈ ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Ú›˙˜ Î·È ÛÙÔ fiÙÈ fiÏÔÈ ÔÈ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈΤ˜ Ú›˙˜ ηÈ, ¿Ú·, fiÏ· Ù· ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Â›Ó·È ÂÈχÛÈÌ· ÛÙÔ C. ™ÙÔ ·ÚfiÓ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ÂȯÂÈÚ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË Ë ÔÔ›· ‰ÈÂÊ¿ÓË ÛÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ Î·È ÂÌÂÚȤ¯ÂÈ ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˜ ȉ¤Â˜ ÚÔÂÚ¯fiÌÂÓ˜ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· Galois. ∏ £ÂˆÚ›· Galois ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ÎÏ¿‰Ô ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÙËÓ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ £ÂˆÚ›· ™ˆÌ¿ÙˆÓ, ÙË £ÂˆÚ›· ∂ÍÈÛÒÛÂˆÓ Î·È ÙË £ÂˆÚ›· ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ √Ì¿‰ˆÓ. ∞ÚÎÂÙ¤˜ ·fi ÙȘ ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois, fiˆ˜ ÔÈ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ۈ̿وÓ, ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËÎ·Ó ÛÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ. ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ıˆڛ· ÂÈÛ‹¯ıË ·fi ÙÔÓ Evariste Galois ÂÚ› ÙÔ 1830 ÛÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ ÙË Û¯ÂÙÈ΋ Ì ÙË ÌË ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ· ÙˆÓ ÂÌÙÔ‚¿ıÌÈˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ì ÚÈ˙ÈÎ¿Ø ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ¤Ó· ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ô˘ ›¯Â ·Ô‰Âȯı› Ï›ÁÔ ÓˆÚ›ÙÂÚ· ·fi ÙÔÓ Ruffini Î·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙÔÓ Abel. O Galois ‹Ù·Ó Ô ÚÒÙÔ˜ Ô˘ ·ÓÙÂÏ‹ÊıË ÙË ÛÙÂÓ‹ Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Î·È ÔÌ¿‰ˆÓ ÌÂٷٿ͈ÓØ ·Ó·Î¿Ï˘„Ë Ô˘ ¿ÓÔÈÍ ÙÔÓ ‰ÚfiÌÔ ÁÈ· ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ. ◊Ù·Ó Â›Û˘ Ô ÚÒÙÔ˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÙÔÓ fiÚÔ ÔÌ¿‰· ˆ˜ ÌÈ· ·ÊËÚË̤ÓË ¤ÓÓÔÈ·, ·Ó Î·È Ô ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ÂÚÈÔÚ›ÛÙËΠ۠¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÌÂٷٿ͈Ó. ∏ ̤ıÔ‰Ô˜ Ô˘ ·Ó¤Ù˘ÍÂ Ô Galois ·ÊÂÓfi˜ ‰È¢ÎfiÏ˘Ó ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÌË ÂÈÏ˘133

134

7. £ÂˆÚ›· Galois

ÛÈÌfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÂÌÙÔ‚¿ıÌÈˆÓ Î·È ÙˆÓ ·ÓÒÙÂÚÔ˘ ÙÔ˘ ¤ÌÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ì ÚÈ˙Èο Î·È ·ÊÂÙ¤ÚÔ˘ Ô‰‹ÁËÛ Û ¿ÏϘ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Î·È Û ÌÈ· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚË Î·È Â˘Ú‡ÙÂÚË ıˆڛ·. ™ÙÔ ·ÚfiÓ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ fï˜ ı· ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠ÛÙË ÌÂϤÙË ÂÎÂ›ÓˆÓ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ıˆڛ·˜ Ô˘ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∏ ·ÚÈ· ȉ¤· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois Â›Ó·È Ë Û‡Ó‰ÂÛË Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ÂȉÈÎÒÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ, ÔÈ Ôԛ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ Galois, Ì ÌÈ· ÔÌ¿‰· ·ÔηÏÔ‡ÌÂÓË ÔÌ¿‰· Galois. √È È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ ·Ó·ÎÏÒÓÙ·È Û ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÔÌ¿‰·˜, ÔÈ Ôԛ˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÍÂÙ·ÛÙÔ‡Ó Ì ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Â˘ÎÔÏ›·. ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ë ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ· Ì ÚÈ˙Èο ÌÂÙ·ÊÚ¿˙ÂÙ·È Û ÌÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ·. ¢Â›¯ÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ ÁÈ· οı ‚·ıÌfi ›ÛÔ ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙÔ˘ ¤ÓÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Â¤ÎÙ·ÛË ÛÒÌ·ÙÔ˜, Ë ÔÌ¿‰· Galois ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ·˜, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÁÂÓÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ Â›Ï˘Û˘ Ì ÚÈ˙Èο. ∏ Û‡Ó‰ÂÛË Ì ÙË £ÂˆÚ›· ∂ÍÈÛÒÛÂˆÓ Á›ÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: Â¿Ó f (x) = 0 Â›Ó·È ÌÈ· ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈ΋ Â͛ۈÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ F, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ K . ∞˘Ùfi ·ÔÙÂÏ› Û˘Ó‹ıˆ˜ ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· ÔÌ¿‰· Galois Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌ¿‰· Galois Ù˘ Â͛ۈÛ˘. Ÿˆ˜ ÚԷӷʤڷÌÂ, ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ÔÌ¿‰·˜ ·Ó·ÎÏÔ‡Ó È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘. ∏ £ÂˆÚ›· Galois ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÂÓ Ì¤ÚÂÈ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ √Ì¿‰ˆÓ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÛÙËÓ ÂÔ̤ÓË ÂÓfiÙËÙ· ı· ÚԂԇ̠ÛÙËÓ ·Ó·ÛÎfiËÛË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ Ù˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ıˆڛ·˜. ™ÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 7.3 ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÔÚıÔıÂÙfiÙËÙ·˜ Î·È Ù˘ ‰È·¯ˆÚÈÛÈÌfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ, ÔÈ Ôԛ˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ Galois, Î·È ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ı· ÂÎı¤ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÌ¿‰· Galois Î·È ÙÔÓ ÙÚfiÔ Î·Ù·Û΢‹˜ Ù˘. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ı· Û˘ÓÔ„›ÛÔ˘Ì ٷ ÚÔϯı¤ÓÙ· ÛÙÔ ÏÂÁfiÌÂÓÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÙËÓ ·ÏÏËÏÂ›‰Ú·ÛË ÌÂٷ͇ Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ Galois Î·È ÙˆÓ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ Galois. µ¿ÛÂÈ Ù˘ ıˆڛ·˜ ·˘Ù‹˜, ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 7.6 ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ Ù¤Ù·ÚÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∂Ó Î·Ù·ÎÏ›‰È, ı· ÔÏÔÎÏËÚÒÛÔ˘Ì ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ÂÈϤÔÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois. ∏ ÚÒÙË ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ fiÙÈ Ë ÂÌÙÔ‚¿ıÌÈ· Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ÂÈχÂÙ·È Ì ÚÈ˙Èο Î·È Ë ‰Â‡ÙÂÚË ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Û ÔÚÈṲ̂Ó˜ ηٷÛ΢¤˜ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË Î·È ÛÙÔ Ò˜ ·˘Ù¤˜ ÂÚÌËÓ‡ÔÓÙ·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜. ¢Â‰Ô̤ÓÔ˘ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ˆ˜ ÛÙfi¯Ô ÙÔ Ó· Êı¿ÛÔ˘ÌÂ Û˘ÓÙfï˜ ÛÙ· ‚·ÛÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois Î·È Î·ÙfiÈÓ Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ Ù¤Ù·ÚÙË ·fi‰ÂÈÍË

7.2.

∞ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·fi ÙË £ÂˆÚ›· ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ √Ì¿‰ˆÓ

135

ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ı· ·Ú·Ï›„Ô˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙȘ ‰˘ÛÎÔÏfiÙÂÚ˜ ·ԉ›ÍÂȘ Ô˘ ı· Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÔ˘ÌÂ.

7.2

∞ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·fi ÙË £ÂˆÚ›· ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ √Ì¿‰ˆÓ

™ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ÂÓfiÙËÙ· ı· οÓÔ˘Ì ÌÈ· ·Ó·ÛÎfiËÛË Î¿ÔÈˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ √Ì¿‰ˆÓ. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 6.4) fiÙÈ ÌÈ· ÔÌ¿‰· G Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ÌÈ· ‰ÈÌÂÏ‹ Ú¿ÍË (ÙËÓ ÔÔ›· ı· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi), Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ: (1) Ë Ú¿ÍË Ó· Â›Ó·È ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋, (2) Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÁÈ· ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Ú¿ÍË, (3) οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô g ∈ G Ó· ¤¯ÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ú¿ÍË ·˘Ù‹. ∂¿Ó ÂÈÚÔÛı¤Ùˆ˜ Ë Ú¿ÍË Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋, ÙfiÙÂ Ë G ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·. ∏ Ù¿ÍË Ù˘ G Â›Ó·È ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ G Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì |G|. ∂¿Ó |G| < ∞, ÙfiÙÂ Ë G ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰·. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ H ⊂ G ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰·, fiÙ·Ó ÙÔ H = ∅ Î·È Â›Ó·È ÔÌ¿‰· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ú¿ÍË Ù˘ G. πÛÔ‰‡Ó·Ì·, ÙÔ H Â›Ó·È ˘ÔÔÌ¿‰·, fiÙ·Ó H = ∅ Î·È Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ú¿ÍË Î·È Ù· ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ· ÛÙÔȯ›· Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û' ·˘Ùfi. Ÿˆ˜ ‰Â›Í·Ì ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 6.4, ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Û˘¯Ó¿ ·fi ÙȘ ·ÓÙÈÛÙÚ¤„È̘ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ Â› ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘. ∆¤ÙÔȘ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÌÂٷٿÍÂȘ. ∏ ÔÌ¿‰· fiÏˆÓ ÙˆÓ ÌÂٷٿÍÂˆÓ Â› ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ n ÛÙÔȯ›ˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÔÌ¿‰· Â› ÙˆÓ n Û˘Ì‚fiÏˆÓ Î·È ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Ì Sn . √È ÔÌ¿‰Â˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·Ú·ÏÏ·Á‹ ÙˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ ÌÂٷٿ͈Ó. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó R Î·È S Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ‰Ô̤˜ (ÔÌ¿‰Â˜, ‰·ÎÙ‡ÏÈÔÈ, ÛÒÌ·Ù·, ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î.Ï.), ÙfiÙ ÌÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË F : R → S Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜, fiÙ·Ó ‰È·ÙËÚ› ÙȘ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ. ªÂ ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘ÌÂ: (1) f (r1r2 ) = f (r1 ) f (r2 ), fiÙ·Ó Ù· R Î·È S Â›Ó·È ÔÌ¿‰Â˜, (2) f (r1 + r2 ) = f (r1 ) + f (r2 ) Î·È f (r1r2 ) = f (r1 ) f (r2 ), fiÙ·Ó Ù· R Î·È S Â›Ó·È Â›Ù ‰·ÎÙ‡ÏÈÔÈ Â›Ù ÛÒÌ·Ù·, (3) f (r1 + r2 ) = f (r1 ) + f (r2 ) Î·È f (cr1 ) = c f (r1 ), fiÔ˘ c Â›Ó·È ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ·fi ÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ ‚·ı̈ÙÒÓ, fiÙ·Ó Ù· R Î·È S Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ.

136

7. £ÂˆÚ›· Galois

ŒÓ·˜ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ f : R → S Ô˘ Â›Ó·È Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ·ÌÊ›ÚÚÈ„Ë (‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó· Î·È Â›) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜. √ÚÈÛÌfi˜ 7.2.1. ∂¿Ó Ë R Â›Ó·È ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ‰ÔÌ‹, ÙfiÙ ¤Ó·˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ R Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ σ : R → R ·fi ÙËÓ R ÛÙÔÓ Â·˘Ùfi Ù˘. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì Aut(R) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ ÙÔ˘ R. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.2.1. ŒÛÙˆ G ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ n. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ g Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ·˜, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ G = {1, g, g 2 , . . . , g n−1 }. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì ˆ˜, Â¿Ó (k, n) = 1, ÙfiÙÂ Ô g k Â›Ó·È Â›Û˘ ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ·˜ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË: σ : g → gk ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ù˘ G Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜. ∂ÈϤÔÓ, ÁÈ· οı ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi σ , Ô ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ·˜ g ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ g1 , Ô ÔÔ›Ô˜ g1 Â›Ó·È Â›Û˘ ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ·˜. ÕÚ·, ¤¯Ô˘ÌÂ: Aut(G) = {σ ; σ : g → g k Ì (n, k) = 1}. ™˘ÓÂÒ˜, |Aut(G)| = φ(n), Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ·fi n Î·È Û¯ÂÙÈÎÒ˜ ÚÒÙÔÈ Ì ÙÔ n. 2 ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.2.2. ∞˜ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ C. ŒÛÙˆ σ ¤Ó·˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ C ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R. °È· οı ٤ÙÔÈÔÓ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ σ (0) = 0, σ (1) = 1 Î·È σ (−1) = −1. ∂Ô̤ӈ˜ σ (i 2 ) = (σ (i))2 = −1 Î·È ¤ÙÛÈ σ (i) = ±i. ∂Âȉ‹ Ù· 1 Î·È i Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ‚¿ÛË ÙÔ˘ C ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R, ÔÈ ÂÈÎfiÓ˜ Ùo˘˜ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ó Ï‹Úˆ˜ ¤Ó·Ó ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi. ™˘ÓÂÒ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ ‰‡Ô ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› ÙÔ˘ C, ÔÈ: σ1 : 1 → 1, i → i, Ô Ù·˘ÙÔÙÈÎfi˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜, Î·È σ2 : 1 → 1, i → −i. 2 ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.2.3. £· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ÛÒÌ· Z p , fiÔ˘ Ô p Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜. ∆fiÙ Z p =

7.2.

∞ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·fi ÙË £ÂˆÚ›· ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ √Ì¿‰ˆÓ

137

{0, 1, . . . , p − 1} Î·È ÔÈ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ ÂÎÙÂÏÔ‡ÓÙ·È Î·Ù¿ modulo p. ŒÛÙˆ σ ¤Ó·˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜. ∞ÊÔ‡ σ (1) = 1, ¤ÂÙ·È fiÙÈ σ (n) = n ÁÈ· fiÏ· Ù· ·Î¤Ú·È· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ 1Ø ¿Ú·, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ σ (x) = x ÁÈ· fiÏ· Ù· x ∈ Z p . ∂Ô̤ӈ˜, Ô ÌfiÓÔ˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ Z p Â›Ó·È Ô Ù·˘ÙÔÙÈÎfi˜ Î·È Ë ÔÌ¿‰· ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË. 2

£ÂÒÚËÌ· 7.2.1. °È· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ‰ÔÌ‹ R, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Aut(R) Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÌÈ· ÔÌ¿‰· Ì Ú¿ÍË ÙË Û‡ÓıÂÛË Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌ¿‰· ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ ÙÔ˘ R. ∂¿Ó ÙÔ S Â›Ó·È ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ˘Ô‰ÔÌ‹ ÙÔ˘ R, ÙfiÙ ÔÈ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› σ ∈ Aut(R) Ô˘ ‰È·ÙËÚÔ‡Ó ÛËÌÂÈ·ÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ S, ‰ËÏ·‰‹ σ (s) = s ÁÈ· fiÏ· Ù· s ∈ S, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰·.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.2.4. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ô p Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜ Î·È fiÙÈ Ë G Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ p. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë Aut(G) Â›Ó·È Â›Û˘ ΢ÎÏÈ΋ Î·È ¤¯ÂÈ Ù¿ÍË p − 1. ŒÛÙˆ Z p ÙÔ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ÛÒÌ· Ù¿Í˘ p, fiˆ˜ ÛÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·. ∏ ÚÔÛıÂÙÈ΋ ÙÔ˘ ÔÌ¿‰· Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋ Ù¿Í˘ p Î·È Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË G → Z p , 1 → g, fiÔ˘ ÙÔ g Â›Ó·È ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ·˜ Ù˘ G, ÔÚ›˙ÂÈ ¤Ó·Ó ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi ÔÌ¿‰ˆÓ ·fi ÙËÓ G ÛÙËÓ Z p . ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ Z p Â›Ó·È ÛÒÌ·, Ù· ÌË ÌˉÂÓÈο ÙÔ˘ ÛÙÔȯ›· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÌ¿‰· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi, Ë ÔÔ›· ı· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È U . ∞fi ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.2.1, οı ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ G ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· ÂÓfi˜ ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ·: σ : g → g k , fiÔ˘ (k, p) = 1. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi ·fi ÙËÓ G ÛÙËÓ ÚÔÛıÂÙÈ΋ ÔÌ¿‰· Z p , Ô σ Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹: σ : 1 → k, fiÔ˘ k = 0. √ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ Û˘ÌÂÚÈʤÚÂÙ·È fiˆ˜ Î·È Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ì k ÛÙÔ Z p ηÈ, ¿Ú·, Ë Aut(G) Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊË Ù˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈ΋˜ ÔÌ¿‰·˜ U ÙÔ˘ Z p . £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë U Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋. Œ¯Ô˘Ì |U | = p − 1Ø ¿Ú· y p−1 = 1 ÁÈ· fiÏ· Ù· y ∈ U . ŒÛÙˆ m ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ ÙˆÓ Ù¿ÍÂˆÓ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ U . ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ m ≤ p − 1. ∂¿Ó ÙÔ y ∈ U ¤¯ÂÈ Ù¿ÍË q,

138

7. £ÂˆÚ›· Galois

ÙfiÙÂ1 q|m. ∂Ô̤ӈ˜, Â¿Ó y q = 1, ÙfiÙÂ Î·È y m = 1 Î·È Û˘ÓÂÒ˜ y m = 1 ÁÈ· fiÏ· Ù· y ∈ U . ∫·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, οı y ∈ U Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ P(x) = x m − 1. ∂ÊfiÛÔÓ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÛÒÌ·ÙÔ˜, ı· ‰È·ı¤ÙÂÈ ÙÔ Ôχ m ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ŸÌˆ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ p − 1 ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡Ø ¿Ú· m ≥ p − 1. ∂Ô̤ӈ˜ m = p − 1 Î·È Ë U ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù¿Í˘ p − 1. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Ë U Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋. 2 ∆ÒÚ· ı· Û˘˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì ÙË ‰ÔÌ‹ ˘ÔÔÌ¿‰·˜ ÌÈ·˜ ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ÔÌ¿‰·˜. ŒÛÙˆ G ÔÌ¿‰· Î·È H ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÌÈ· ·ÚÈÛÙÂÚ‹ Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË Ù˘ H ÛÙËÓ G Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ g H = {gh; h ∈ H } ÁÈ· οÔÈÔ g ∈ G. √ÌÔ›ˆ˜, ÌÈ· ‰ÂÍÈ¿ Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ H g = {hg; h ∈ H } ÁÈ· οÔÈÔ g ∈ G. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÚÈÛÙÂÚÒÓ (‰ÂÍÈÒÓ) Ï¢ÚÈÎÒÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ‰È·ÌÂÚ›˙ÂÈ ÙËÓ G Î·È fiÙÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ οı Ï¢ÚÈ΋˜ ÎÏ¿Û˘ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ Ù¿ÍË Ù˘ ˘ÔÔÌ¿‰·˜ H . ∫·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ·ÚÈÛÙÂÚÒÓ Î·È ‰ÂÍÈÒÓ Ï¢ÚÈÎÒÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ Â›Ó·È Ô ›‰ÈÔ˜, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰Â›ÎÙ˘ Ù˘ H ÛÙËÓ G Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì |G : H |. ∞fi ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙˆÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ Û ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˜ ÔÌ¿‰Â˜ ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Lagrange. £ÂÒÚËÌ· 7.2.2 (£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Lagrange). ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰· Î·È Ë H ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘. ∆fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ |G| = |G : H ||H |. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, Ë Ù¿ÍË Î·È Ô ‰Â›ÎÙ˘ οı ˘ÔÔÌ¿‰·˜ ÌÈ·˜ ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ÔÌ¿‰·˜ ‰È·ÈÚÔ‡Ó ÙËÓ Ù¿ÍË Ù˘ ÚÔÎÂÈ̤Ó˘ ÔÌ¿‰·˜. ∂›Ó·È ·ÍÈÔÚfiÛÂÎÙÔ fiÙÈ Ô Lagrange ¤ı·Ó ÂÚ›Ô˘ ›ÎÔÛÈ ¯ÚfiÓÈ· ÚÈÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ë Ï¤ÍË «ÔÌ¿‰·». ∫·Ù' Ô˘Û›·Ó, ·˘Ùfi Ô˘ ·¤‰ÂÈÍÂ Ô Lagrange ‹Ù·Ó ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ·˘ÙÔ‡ Ô˘ Û‹ÌÂÚ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Lagrange ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÊÔÚÔ‡Û ÛÙ· ÎÏÂÈÛÙ¿ Û‡ÓÔÏ· ÌÂٷٿ͈Ó. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.2.5. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ ÚÒÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋. ŒÛÙˆ p ¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È G ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ p. ŒÛÙˆ x ∈ G, x = 1 Î·È ¤ÛÙˆ H = < x > Ë Î˘ÎÏÈ΋ ˘ÔÔÌ¿‰· Ô˘ ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi ÙÔ x. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Lagrange, Ë Ù¿ÍË Ù˘ H ‰È·ÈÚ› ÙËÓ Ù¿ÍË Ù˘ G. ∂Ô̤ӈ˜ |H | = 1 ‹ p, ÂÊfiÛÔÓ Ô p Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∂¿Ó |H | = 1, ÙfiÙÂ Î·È 1 ™.Ù.ª. ŒÛÙˆ z ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ì¤ÁÈÛÙ˘ Ù¿Í˘ m. ∂¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô w Ù˘ U ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë Ù¿ÍË n ‰ÂÓ ‰È·ÈÚ› ÙÔ m, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ ÚÒÙÔ˜ p, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ m = pi q, n = p j r , fiÔ˘ i ÌΉ( p, q) = 1, ÌΉ( p, r ) = 1 Î·È i < j. ∆fiÙÂ Ë Ù¿ÍË ÙÔ˘ z p Â›Ó·È q, Ë Ù¿ÍË ÙÔ˘ wr Â›Ó·È p j Î·È Ë Ù¿ÍË i r p j ÙÔ˘ w z ÈÛÔ‡Ù·È Ì p q > m, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÔÙÂÏ› ·ÓٛʷÛË ÛÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ Ù˘ Ù¿Í˘ m ÙÔ˘ z.

7.2.

∞ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·fi ÙË £ÂˆÚ›· ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ √Ì¿‰ˆÓ

139

x = 1, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÓÙÈÊ¿ÛÎÂÈ Ì ÙÔ x = 1. ™˘ÓÂÒ˜, |H | = p Î·È H = GØ ¿Ú·, Ë G Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋. ªÂ ÙËÓ ÚÔËÁËı›۷ Û˘ÏÏÔÁÈÛÙÈ΋ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Â›Û˘ fiÙÈ ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰· Ì ٿÍË Î¿ÔÈÔÓ ÚÒÙÔ ·ÚÈıÌfi ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜ ÁÓ‹ÛȘ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜. 2 ∆ÒÚ· ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Â›‰Ô˜ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ, ÙȘ ÔÚıfiıÂÙ˜, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ı· ÚÔ·„Ô˘Ó ÔÈ ÏÂÁfiÌÂÓ˜ ÔÌ¿‰Â˜ ËϛΈÓ. ™ÙË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ, ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜ ËÏ›ÎˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÔ˘˜ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘˜ ËÏ›ÎˆÓ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ¢·ÎÙ˘Ï›ˆÓ (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 6.2). √ÚÈÛÌfi˜ 7.2.2. ∂¿Ó G Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌ¿‰·, Ë H ⊂ G Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Î·È ÙÔ g ∈ G, ÙfiÙ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ g −1 H g Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘˙˘Á‹˜ Ù˘ H . ∆Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô g ÔÚıÔıÂÙ› ÙËÓ H , fiÙ·Ó g −1 H g = H . ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ô˘ ÔÚıÔıÂÙ› ÙËÓ H ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚıÔı¤Ù˘ Ù˘ H ÛÙËÓ G Î·È ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Ì NG (H ). ∏ ˘ÔÔÌ¿‰· H Ù˘ G Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË2 Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì H  G, fiÙ·Ó Î¿ı g ∈ G ÔÚıÔıÂÙ› ÙËÓ H , ‰ËÏ·‰‹ fiÙ·Ó g −1 H g = H ÁÈ· οı g ∈ G. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ, Â¿Ó H  G, ÙfiÙ g −1 H g = H . ∞fi ·˘Ùfi Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ H g = g H ‹, Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, fiÙÈ Ë ·ÚÈÛÙÂÚ‹ Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË g H Â›Ó·È ›‰È· Ì ÙË ‰ÂÍÈ¿ Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË H g. ™˘ÓÔ„›˙Ô˘Ì οÔȘ ·fi ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ Û˘˙˘Á›·˜, ÙÔ˘ ÔÚıÔı¤ÙË Î·È ÙˆÓ ÔÚıfiıÂÙˆÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· Ï‹ÌÌ·Ù·: §‹ÌÌ· 7.2.1. ∆· ÂÍ‹˜ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: (1) H  G. (2) ∏ ˘ÔÔÌ¿‰· H Â›Ó·È Ë ÌÔÓ·‰È΋ ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G Ô˘ Â›Ó·È Û˘˙˘Á‹˜ Ù˘ H. (3) ∫¿ı ·ÚÈÛÙÂÚ‹ Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË Ù˘ H Â›Ó·È Â›Û˘ ‰ÂÍÈ¿ Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË. (4) NG (H ) = G. §‹ÌÌ· 7.2.2. ŒÛÙˆ H ⊂ G ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰·. ∆fiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ÂfiÌÂÓ·: (1) ∫¿ıÂ Û˘˙˘Á‹˜ Ù˘ H Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊË Ù˘ H . (2) ∆Ô NG (H ) Â›Ó·È ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G Î·È H  NG (H ). 2 ™.Ù.ª.

∞fi‰ÔÛË ÙÔ˘ fiÚÔ˘ «normal subgroup» Ô˘ ÛÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÔÚÔÏÔÁ›· ··ÓÙ¿Ù·È ˆ˜ «Î·ÓÔÓÈ΋ ˘ÔÔÌ¿‰·». ŸÚÔ˜ ·‰fiÎÈÌÔ˜ ηٿ ÙË ÁÓÒÌË Ì·˜. ¶·Ú¿‚·Ï «canonical», «normal», «regular».

140

7. £ÂˆÚ›· Galois

(3) ∆Ô Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Ù˘ G Ô˘ Â›Ó·È Û˘˙˘Á›˜ Ù˘ H ÈÛÔ‡Ù·È Ì |G : NG (H )|. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.2.6. ™Â ÌÈ· ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· G οı ˘ÔÔÌ¿‰· H Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË, ÂÊfiÛÔÓ ¤¯Ô˘Ì g −1 H g = H (g −1 g) = H . ™Â ·ÓÙȉȷÛÙÔÏ‹ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ ÏÂÁfiÌÂÓ˜ ·Ϥ˜ ÔÌ¿‰Â˜Ø ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÔÌ¿‰Â˜ Ô˘ ‰ÂÓ ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó ÁÓ‹ÛȘ ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜ ÔÚıfiıÂÙ˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜. ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ ÚÒÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ·Ï‹, ÂÂȉ‹ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·ıfiÏÔ˘ ÁÓ‹ÛȘ ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ô‡Ù ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜ ÔÚıfiıÂÙ˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜. √È ·Ϥ˜ ÔÌ¿‰Â˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ˘˜ ‰ÔÌÈÎÔ‡˜ Ï›ıÔ˘˜ ÙˆÓ ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ, ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È ÌÈ· ¢Ú›· ıˆڛ·. ŒÓ· ÌÂÁ¿ÏÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ÌÂϤÙ˘ ÙˆÓ ·ÏÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ ÂÌÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÏÂÁfiÌÂÓÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ∆·ÍÈÓfiÌËÛ˘ ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ ∞ÏÒÓ √Ì¿‰ˆÓ. ∆Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ì·˜ ·Ú¤¯ÂÈ ¤Ó·Ó Ï‹ÚË Î·Ù¿ÏÔÁÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ ·ÏÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ. ∂Ó Ù¤ÏÂÈ, ·ԉ›¯ıËΠfiÙÈ ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ·Ï‹ ÔÌ¿‰· ·Ó‹ÎÂÈ ‹ Û ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂȘ Ì ¿ÂÈÚÔ Ï‹ıÔ˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ, ÔÈ Ôԛ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÂÎÙÂÓÒ˜, ‹ Û ¤Ó·Ó ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ·ÚÈıÌfi ÌÂÌÔÓˆÌ¤ÓˆÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ ÌÈ·˜ ȉȷ›ÙÂÚ˘ ηÙËÁÔÚ›·˜ ÔÌ¿‰ˆÓ Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÛÔÚ·‰ÈΤ˜ ÔÌ¿‰Â˜. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜, ̤¯ÚÈ ÙË Û˘ÁÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ ·ÚfiÓÙÔ˜ ‚È‚Ï›Ô˘, ηχÙÂÈ ϤÔÓ ÙˆÓ ‰Ò‰Âη ¯ÈÏÈ¿‰ˆÓ ¤ÓÙ˘ˆÓ ÛÂÏ›‰ˆÓ. 2 ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.2.7. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ |G : H | = 2. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ H  G. À¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÚÈÛÙÂÚ¤˜ Ï¢ÚÈΤ˜ ÎÏ¿ÛÂȘ, ÔÈ H = 1H Î·È g H , fiÔ˘ g ∈ H . ∞˘Ù¤˜ ‰È·ÌÂÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ G ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ: G = H ∪ g H, fiÔ˘ Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ¤ÓˆÛË Â›Ó·È ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ‹ 3 . ŒÓ· ·Ó¿ÏÔÁÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙȘ ‰ÂÍȤ˜ Ï¢ÚÈΤ˜ ÎÏ¿ÛÂȘ. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ: G = H ∪ H g. ∂ÊfiÛÔÓ ÔÈ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÂÓÒÛÂȘ Â›Ó·È ÂÓÒÛÂȘ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ Û˘ÓfiψÓ, ¤ÂÙ·È fiÙÈ g H = H g ‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· fiÙÈ g −1 H g = H . 3 ™.Ù.ª.

∞fi‰ÔÛË ÙÔ˘ fiÚÔ˘ «disjoint union» Ô ÔÔ›Ô˜ ÛÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÔÚÔÏÔÁ›· ··ÓÙ¿Ù·È Û˘¯Ó¿ ˆ˜ «Í¤ÓË ¤ÓˆÛË».

7.2.

∞ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·fi ÙË £ÂˆÚ›· ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ √Ì¿‰ˆÓ

141

ø˜ ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ıˆÚԇ̠ÙËÓ S3 , ‰ËÏ·‰‹ ÙË Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÔÌ¿‰· Â› ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Û˘Ì‚fiψÓ. ™ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 6.4.1 ›‰·Ì fiÙÈ |S3 | = 6 Î·È fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù¿Í˘ 3. §fiÁˆ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Lagrange, ÔÈ Î˘ÎÏÈΤ˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ Ô˘ ·Ú¿ÁÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ¤¯Ô˘Ó ‰Â›ÎÙË ‰‡Ô Î·È Â›Ó·È, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ηÓÔÓÈΤ˜. ∏ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı›۷ ˘ÔÔÌ¿‰· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È A3 Î·È ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Û· ÔÌ¿‰· Â› ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ Û˘Ì‚fiψÓ. ∫·Ù' ·Ó·ÏÔÁ›·Ó, ÁÈ· οı n ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Sn Ì ‰Â›ÎÙË ‰‡Ô (Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋ ÁÈ· n > 3) Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È An Î·È Â›Ó·È Ë ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Û· ÔÌ¿‰· Â› ÙˆÓ n Û˘Ì‚fiψÓ. H An ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiϘ ÙȘ ¿ÚÙȘ ÌÂٷٿÍÂȘ (‚Ϥ ÕÛÎËÛË 7.18). √È ÔÚıfiıÂÙ˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó ÙÔÓ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ÙˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ ËϛΈÓ. ŒÛÙˆ fiÙÈ H  G Î·È fiÙÈ ÙÔ G/H Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ï¢ÚÈÎÒÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ Ù˘ H ÛÙËÓ G. ∂ÊfiÛÔÓ Î¿ı ·ÚÈÛÙÂÚ‹ Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË Â›Ó·È Î·È ‰ÂÍÈ¿, ‰ÂÓ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ηıÔÚ›˙Ô˘ÌÂ Â¿Ó Â›Ó·È ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ‹ ‰ÂÍÈ¿ fiÙ·Ó ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ Û Ï¢ÚÈΤ˜ ÎÏ¿ÛÂȘ. ∂› ÙÔ˘ G/H ÔÚ›˙Ô˘ÌÂ: (g1 H )(g2 H ) = g1 g2 H. ∂Âȉ‹ H g2 = g2 H Î·È H H = H , Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Ú¿ÍË Â›Ó·È Î·ÏÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓË Î·È ÂÈÙÚ¤ÂÈ ÙÔÓ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ÔÌ¿‰·˜. §‹ÌÌ· 7.2.3. ∂¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ H  G, ÙfiÙ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ G/H Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÔÌ¿‰· Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌ¿‰· ËÏ›ÎˆÓ Ù˘ G modulo H . √È ÔÚıfiıÂÙ˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ Î·È ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜ ËÏ›ÎˆÓ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì¤Ûˆ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ. √ÚÈÛÌfi˜ 7.2.3. ∂¿Ó Ë f : G → H Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜, ÙfiÙÂ Ô ˘Ú‹Ó·˜ Ù˘ f , Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ker f , Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {g ∈ G; f (g) = 1}. ∏ ÂÈÎfiÓ· Ù˘ f , Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì Im f , Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {h ∈ H ; f (g) = h ÁÈ· οÔÈÔ g ∈ G}. √È ¤ÓÓÔȘ ÙÔ˘ ˘Ú‹Ó·, Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜, Ù˘ ÔÚıfiıÂÙ˘ ˘ÔÔÌ¿‰·˜ Î·È Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ËÏ›ÎˆÓ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, fiˆ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¶ÚÒÙÔ £ÂÒÚËÌ· πÛÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ. £ÂÒÚËÌ· 7.2.3 (¶ÚÒÙÔ £ÂÒÚËÌ· πÛÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ). (1) ∂¿Ó Ë f : G → H Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜, ÙfiÙÂ Ô ker f  G, Ë ÂÈÎfiÓ· I m f Â›Ó·È ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ H Î·È G/ker f ∼ = I m f.

142

7. £ÂˆÚ›· Galois

∼ H Î·È Ë H ηÏÂ›Ù·È (™ËÌ›ˆÛË: Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ÂÈÚÚÈÙÈ΋, ÙfiÙ G/ker f = ÔÌÔÌÔÚÊÈ΋ ÂÈÎfiÓ· Ù˘ G.) (2) ∂¿Ó H  G, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ f : G → G/H Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ ker f = H Î·È I m f = G/H . ∆¤ÏÔ˜, ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙԇ̠οÔȘ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙȘ p – ÔÌ¿‰Â˜ Î·È ÛÙȘ p – ˘ÔÔÌ¿‰Â˜, fiÙ·Ó Ô p Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. √ÚÈÛÌfi˜ 7.2.4. ŒÛÙˆ p ¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. ªÈ· ÔÌ¿‰· G ηÏÂ›Ù·È p – ÔÌ¿‰·, fiÙ·Ó Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ Ù¿ÍË ÙÔ˘ ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ p. ∞fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·˘ÙfiÓ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ, Â¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË p – ÔÌ¿‰·, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ |G| = p n ÁÈ· οÔÈÔ n. §‹ÌÌ· 7.2.4. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË p – ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ p n , ÙfiÙÂ Ë G ¤¯ÂÈ ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ p n−1 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ‰Â›ÎÙË p. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ Ï‹ÌÌ· ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Lagrange ÁÈ· ÙȘ p – ÔÌ¿‰Â˜. ∂Ó Á¤ÓÂÈ, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Lagrange ϤÂÈ fiÙÈ Ë Ù¿ÍË ÌÈ·˜ ˘ÔÔÌ¿‰·˜ ‰È·ÈÚ› ÙËÓ Ù¿ÍË Ù˘ ÔÌ¿‰·˜. ŸÌˆ˜ ·˘Ùfi ‰ÂÓ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ‰È·ÈÚ¤ÙË Ù˘ Ù¿Í˘ Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ì ٿÍË ÙÔÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ‰È·ÈÚ¤ÙË. ø˜ Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 7.2.4, ÙÔ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤Ó Â›Ó·È ·ÏËı¤˜ ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˜ p – ÔÌ¿‰Â˜. ¶fiÚÈÛÌ· 7.2.1. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË p – ÔÌ¿‰·, ÙfiÙ ÁÈ· οı ‰È·ÈÚ¤ÙË d Ù˘ |G| ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G Ù¿Í˘ d. £· ¯ÚÂÈ·ÛÙԇ̠Â›Û˘ ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Sylow Ô˘ ·Ú¤¯ÂÈ ¤Ó· ÂÓ Ì¤ÚÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Lagrange. √ÚÈÛÌfi˜ 7.2.5. ŒÛÙˆ G ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ |G| = p m α, fiÔ˘ ÙÔ p Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È ( p, α) = 1. ∆fiÙ ÌÈ· p – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰· Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ p m (‹ÙÔÈ ÌÈ· ÌÂÁÈÛÙÔÙÈ΋ p – ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G). £ÂÒÚËÌ· 7.2.4 (£ÂÒÚËÌ· Sylow). ŒÛÙˆ G ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ p m α, fiÔ˘ ÙÔ p Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜

7.3. ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ Galois

143

·ÚÈıÌfi˜ Î·È ( p, α) = 1. ∆fiÙÂ: (1) ∏ G ¤¯ÂÈ ÌÈ· p – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰·. (2) ŸÏ˜ ÔÈ p – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ Ù˘ G Â›Ó·È Û˘˙˘Á›˜. (3) ∫¿ı p – ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G ÂÚȤ¯ÂÙ·È Û ÌÈ· p – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰·. (4) √ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ p – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ˜ ÙÔ˘ 1 mod p Î·È ‰È·ÈÚ› ÙËÓ |G|Ø ÂÔ̤ӈ˜, ·˘Ùfi˜ ‰È·ÈÚ› Î·È ÙÔ α. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.2.8. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ 12 Ë ÔÔ›· Ó· Â›Ó·È ·Ï‹. ªÈ· Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 7.2.4 Â›Ó·È fiÙÈ, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ Ì›· p – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰· ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ G, ÙfiÙ ·˘Ù‹ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË. ∂‰Ò |G| = 12 = 22 3. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ‹ ÌfiÓÔÓ Ì›· 3 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰· ‹ ÌfiÓÔÓ Ì›· 2 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰·. √ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ 3 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 1 + 3k Î·È ‰È·ÈÚ› ÙÔ 4Ø Û˘ÓÂÒ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‹ Ì›· 3 – Sylow ‹ Ù¤ÛÛÂÚÂȘ 3 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰Â˜. ∂¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ Ì›·, ÙfiÙ ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù¤ÛÛÂÚÂȘ. ∫·ıÂÌÈ¿ ·fi ·˘Ù¤˜ ¤¯ÂÈ Ù¿ÍË 3 ηÈ, ¿Ú·, ¤¯Ô˘Ó ˆ˜ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô. ŒÙÛÈ, ÔÈ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ Ù¤ÛÛÂÚÂȘ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ ηχÙÔ˘Ó Ù· ÔÎÙÒ ÛÙÔȯ›· Ù˘ G, ¤Ú·Ó ÙÔ˘ ÌÔÓ·‰È·›Ô˘. ∫¿ı 2 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰· ¤¯ÂÈ Ù¤ÛÛÂÚ· ÛÙÔȯ›·. ∆Ô ÌfiÓÔ ÎÔÈÓfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙˆÓ 2 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙˆÓ 3 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Â›Ó·È ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô. ∂¿Ó ÏÔÈfiÓ ˘‹Ú¯·Ó ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi Ì›· 2 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰Â˜, ÙfiÙ ı· ˘‹Ú¯·Ó ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fi ÙÚ›· ÂÈÚfiÛıÂÙ· ÛÙÔȯ›·, ¤Ú·Ó ÙˆÓ ÔÎÙÒ, Ô˘ ı· ·Ó‹Î·Ó ÛÙȘ 3 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰Â˜. ŸÌˆ˜ οÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ, ÂÊfiÛÔÓ Ë G ÂÚȤ¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ 12 ÛÙÔȯ›·. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ˘¿Ú¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ Ì›· 2 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰·, Ë ÔÔ›· ‚‚·›ˆ˜ Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË. 2

7.3

∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ Galois

∏ £ÂˆÚ›· Galois ·Û¯ÔÏÂ›Ù·È Ì ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘˜ ÂȉÈÎÔ‡˜ Ù‡Ô˘˜ ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÂÂÎÙ¿ÛˆÓ. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ‰‡Ô ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, Ë ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË Î·È Ë ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË. ∏ ÔÚıfiıÂÙË Â›Ó·È ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË Î·È ı· ÂÍÂÙ·ÛÙ› ÚÒÙË. ™ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ fiϘ ÔÈ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ıˆÚÔ‡ÓÙ·È ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˜. √ÚÈÛÌfi˜ 7.3.1. ŒÓ· ÛÒÌ· K ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ F,

144

7. £ÂˆÚ›· Galois

fiÙ·Ó ÙÔ K Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. √ÚÈṲ̂ӷ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ·Ó·ÊÂÚfiÌÂÓ· ÛÙȘ ÔÚıfiıÂÙ˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ, Ù· ÔÔ›· ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ·ÚÁfiÙÂÚ·, ÂÌÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ·: £ÂÒÚËÌ· 7.3.1. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ F ⊂ E ⊂ K ⊂ F, fiÔ˘ ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ· ÙÔ˘ F. ∆fiÙÂ: (1) ∫¿ı ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ F Ô˘ ·Ê‹ÓÂÈ ÙÔ F ÛÙ·ıÂÚfi ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ K ÛÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘ ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ K Ô˘ ·Ê‹ÓÂÈ ÙÔ F ÛÙ·ıÂÚfi. ∂Ô̤ӈ˜, ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ K ÂÓÙfi˜ Ù˘ F Ô˘ ·Ê‹ÓÂÈ ÙÔ F ÛÙ·ıÂÚfi Â›Ó·È ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ¤Ó·˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜. (2) ∫¿ı ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÙÔ˘ F[x] Ì ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ·fi ÙÔ K ‰È·Û¿Ù·È ÛÙÔ K . (3) ∆Ô K ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E. ∏ ¿ÏÏË Î‡ÚÈ· ¤ÓÓÔÈ·, Ë ÔÔ›· Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ÙȘ ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, Â›Ó·È Ë ‰È·¯ˆÚÈÛÈÌfiÙËÙ·. √ÚÈÛÌfi˜ 7.3.2. ∂¿Ó ÙÔ α Â›Ó·È ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ f (x), ÙfiÙ ÙÔ α ¤¯ÂÈ ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ· m ≥ 1, fiÙ·Ó f (x) = (x − α)m g(x), fiÔ˘ ÙÔ g(α) = 0. ∂¿Ó m = 1, ÙfiÙ ϤÌ ˆ˜ ÙÔ α Â›Ó·È ÌÈ· ·Ï‹ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡Ø ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ϤÌ ˆ˜ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· ÔÏÏ·Ï‹ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∆ÒÚ·, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ K Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ ÙÔ α ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ K . ∆Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô α Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, fiÙ·Ó ÙÔ α Â›Ó·È ÌÈ· ·Ï‹ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ irr(α, F). To K ηÏÂ›Ù·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË Â¤ÎÙ·ÛË, fiÙ·Ó Î¿ı α ∈ K Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∂Ô̤ӈ˜, Â¿Ó ÙÔ α Â›Ó·È ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÌÈ·˜ ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌ˘ Â¤ÎÙ·Û˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Ì α ∈ F, ÙfiÙ ÙÔ α ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï‹ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ·Ó¿ÁˆÁÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∏ ‰È·¯ˆÚÈÛÈÌfiÙËÙ· ·ÔÙÂÏ› ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ Galois. øÛÙfiÛÔ, ‰ÂÓ ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· Û˘Ì‚¿ÏÂÈ Ô˘ÛȈ‰Ò˜ ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ‰ÈfiÙÈ Ù· ÛÒÌ·Ù· ·Ó·ÊÔÚ¿˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔ ·ÚfiÓ Î›ÌÂÓÔ Â›Ó·È ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ Q, R ‹ C. ∆· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ÛÒÌ·Ù· Â›Ó·È ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋˜ Ìˉ¤Ó ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÔÔÈ·‰‹ÔÙ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 6.6).

7.3. ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ Galois

145

√ÚÈÛÌfi˜ 7.3.3. ŒÓ· ÛÒÌ· F ¤¯ÂÈ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ n, fiÙ·Ó Ô n Â›Ó·È Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ (n)(1) = 0 ÛÙÔ F. ∏ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì char F = n. ∂¿Ó ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ n, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ F ¤¯ÂÈ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ Ìˉ¤Ó Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì char F = 0. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.3.1. Œ¯Ô˘Ì char Q = char R = char C = 0 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÔÔÈ·‰‹ÔÙ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ ÂÓ ÏfiÁˆ Û˘ÓfiÏˆÓ ¤¯ÂÈ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ Ìˉ¤Ó. ∞fi ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ char Z p = p ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÔÔÈ·‰‹ÔÙ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Z p ¤¯ÂÈ Â›Û˘ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ p. 2 ∞ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ·Ï¿ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÛÙË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋: §‹ÌÌ· 7.3.1. ∏ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ‹ Ìˉ¤Ó ‹ ¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ char F = n = 0. ∂¿Ó ÙÔ n ‰ÂÓ Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› ˆ˜ n = mk, Ì m < n Î·È k < n. ™ÙËÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘Ì (n)(1) = (mk)(1) = ((m)(1))((k)(1)) = 0. ŒÓ· ÛÒÌ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤ÙÂ˜Ø ÂÔ̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ Â›Ù (m)(1) = 0 ›Ù (k)(1) = 0, ÁÂÁÔÓfi˜ ÙÔ ÔÔ›Ô ¤Ú¯ÂÙ·È Û ·ÓٛʷÛË ÚÔ˜ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ n ˆ˜ ÙÔ˘ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ô˘ ÏËÚÔ› ·˘Ù‹Ó ÙË Û¯¤ÛË.

§‹ÌÌ· 7.3.2. ∂¿Ó char F = 0, ÙfiÙ ÙÔ F ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ˘fiۈ̷ ÈÛfiÌÔÚÊÔ ÙÔ˘ Q. ∂¿Ó char F = p, ÙfiÙ ÙÔ F ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ˘fiۈ̷ ÈÛfiÌÔÚÊÔ ÙÔ˘ Z p . ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ¤Ó· ÛÒÌ· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋˜ Ìˉ¤Ó Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ· ÛÙÔȯ›·. ∞fi‰ÂÈÍË. £· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Î·Ù¿ ÙËÓ ÔÔ›· Ë ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ηıÒ˜ Ë ¿ÏÏË ÂÚ›ÙˆÛË Â›Ó·È ·ÚfiÌÔÈ·. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ char F = p. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ F Â›Ó·È ÛÒÌ· ı· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô 1. ŒÛÙˆ E = {(n)(1); n ∈ Z}. ∂ÊfiÛÔÓ Ë char F = p, ÙÔ E = {0, 1, (2)(1), . . . , ( p − 1)(1)}. ¢È·ÈÛÙÒÓÂÙ·È Â˘Îfiψ˜ fiÙÈ Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË (k)(1) → k ·fi ÙÔ E ÛÙÔ Z p Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜.

146

7. £ÂˆÚ›· Galois

∏ Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ Ì ÙË ‰È·¯ˆÚÈÛÈÌfiÙËÙ· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·4 . £ÂÒÚËÌ· 7.3.2. √ÔÈ·‰‹ÔÙ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋˜ Ìˉ¤Ó Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, οı ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È Â›Û˘ ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË Î·È ¤ÙÛÈ, ÔÈ ÌfiÓ˜ ·ÔÎÏ›ÓÔ˘Û˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÛÙ· ¿ÂÈÚ· ÛÒÌ·Ù· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋˜ p. ∂Ó ÚÔÎÂÈ̤ӈ, Â›Ó·È Â·ÚΤ˜ ÙÔ fiÙÈ ÔÔÈ·‰‹ÔÙ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ Q, R ‹ C Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË. √È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈ̘ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ Û fi,ÙÈ ·ÊÔÚ¿ ÛÙËÓ ·ÏÏËÏÂ›‰Ú·ÛË ÌÂٷ͇ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Î·È ÔÌ¿‰ˆÓ ÏfiÁˆ ÙˆÓ ‰‡Ô ÂfiÌÂÓˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ. £· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ÂÍ ·˘ÙÒÓ. £ÂÒÚËÌ· 7.3.3. ∂¿Ó ÙÔ ÛÒÌ· K Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË Î·È ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ ÙÔ˘ K ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˜ Î·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔÓ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ |K : F|. £ÂÒÚËÌ· 7.3.4 (£ÂÒÚËÌ· ¶ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÔ‡ ™ÙÔÈ¯Â›Ô˘). ∂¿Ó ÙÔ ÛÒÌ· K Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË Î·È ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ÙÔ K ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ·Ï‹ Â¤ÎÙ·ÛË. ◊ÙÔÈ K = F(α) ÁÈ· οÔÈÔ α ∈ K . ∞fi‰ÂÈÍË. ∂Âȉ‹ ÙÔ K Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË, ÈÛ¯‡ÂÈ K = F(α1 , . . . , αn ) ÁÈ· οÔÈ· ÛÙÔȯ›· α1 , . . . , αn ∈ K . ∞ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì ̤ۈ Â·ÁˆÁ‹˜ fiÙÈ, Â¿Ó K = F(α, β), ÙfiÙ K = F(γ ) ÁÈ· οÔÈÔ γ ∈ K . ŒÛÙˆ n = |K : F|. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.3.3, ˘¿Ú¯Ô˘Ó n ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› σ1 , . . . , σn ÙÔ˘ K ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ·Ê‹ÓÔ˘Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ F. ™¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ:  p(x) = (σi (α) + xσi (β) − σ j (α) − xσ j (β)). i= j

∆Ô ·ÓˆÙ¤Úˆ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ÕÚ·, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ c ∈ K Ì p(c) = 0 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ù· ÛÙÔȯ›· σi (α + cβ), i = 1, . . . , n Â›Ó·È ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ. ∂Ô̤ӈ˜, Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ F(α + cβ) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Â›Ó·È ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ n. øÛÙfiÛÔ, 4 ™.Ù.ª.

µÏ¤Â Î·È J. Rotman: «£ÂˆÚ›· Galois» ÛÂÏ›‰Â˜ 64 – 65 (Û ÌÂÙ¿ÊÚ·ÛË ¡. ª·ÚÌ·Ú›‰Ë, Leader Books, ∞ı‹Ó· 2000).

7.4. ∞˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› Î·È √Ì¿‰· Galois

147

F(α +cβ) ⊂ F(α, β) Î·È ÙÔ F(α, β) Â›Ó·È ‚·ıÌÔ‡ n ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ¤¯Ô˘Ì F(α, β) = F(α + cβ). ŸÙ·Ó K = F(α), ÙfiÙ ÙÔ α ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÚˆÙ·Ú¯ÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ K ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∫·ÙfiÈÓ ·˘ÙÒÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙȘ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ Galois. √ÚÈÛÌfi˜ 7.3.4. ªÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË, Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, ¤Ó· ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Ì ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ‚·ıÌfi. ¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ, Â¿Ó ÙÔ F ¤¯ÂÈ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ Ìˉ¤Ó, ÙfiÙ ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois Â›Ó·È ·ÏÒ˜ ¤Ó· ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Ì ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ‚·ıÌfi. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋˜ Ìˉ¤Ó, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ fiϘ ÔÈ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ˘ÂÚ¿Óˆ ·˘ÙÔ‡ Ó· Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈ̘, Î·È fiÙÈ f (x) ∈ F[x] Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∂¿Ó ÙÔ K Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ÙÔ˘ f (x) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ÙÔ K ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ùo K ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ˆ˜ ÚÔ˜ f (x). √ÏÔÎÏËÚÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ÂÓfiÙËÙ· Û˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·˜ fiÛ· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ¤ˆ˜ ÙÒÚ· ÁÈ· ÙȘ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ Galois. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ F ⊂ E ⊂ K ⊂ F Ì ÙÔ K ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È ÙÔ F ÙÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ· ÙÔ˘ F. ∆fiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· οوıÈ: (1) ∆Ô K Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E. (2) √ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ ÙÔ˘ K Ô˘ ‰È·ÙËÚÔ‡Ó ÙÔ F ÛÙ·ıÂÚfi Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔÓ ‚·ıÌfi Ù˘ Â¤ÎÙ·Û˘ |K : F|. (3) √ÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ K ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ F Ô˘ ‰È·ÙËÚ› ÙÔ F ÛÙ·ıÂÚfi Â›Ó·È ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ¤Ó·˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ K . (4) ∆Ô K ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ·Ï‹ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F.

7.4

∞˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› Î·È √Ì¿‰· Galois

∆ÒÚ· ı· ÂÈÛ·Á¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ ÔÌ¿‰· Galois Î·È ı· Û˘˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·ÏÏËÏÂ›‰Ú·ÛË ÌÂٷ͇ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ √Ì¿‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì ·fi ÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 7.2 fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Aut(K ) ÙˆÓ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ ÙÔ˘ K Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÌÈ· ÔÌ¿‰· Î·È fiÙÈ Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ Aut(K ) Ô˘ ‰È·ÙËÚÔ‡Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ F Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘

148

7. £ÂˆÚ›· Galois

Aut(K ). ∂¿Ó Ë K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙÂ Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ˘ÔÔÌ¿‰· ·ÔÙÂÏ› ÙËÓ ÔÌ¿‰· Galois. √ÚÈÛÌfi˜ 7.4.1. ŒÛÙˆ K ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ë ÔÌ¿‰· ÙˆÓ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ ÙÔ˘ K Ô˘ ‰È·ÙËÚ› ÛËÌÂÈ·ÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ F ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌ¿‰· Galois ÙÔ˘ K ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì Gal(K /F). ∂¿Ó H Â›Ó·È Î¿ÔÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Gal(K /F), ÙfiÙÂ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì K H Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ K Ô˘ ‰È·ÙËÚÔ‡ÓÙ·È ÛËÌÂÈ·ÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚ¿ ·fi ÙËÓ H . ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ K Â›Ó·È Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ Î·È, ÙfiÙÂ, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.3.3 ¤¯Ô˘ÌÂ: §‹ÌÌ· 7.4.1. |Gal(K /F)| = |K : F|. ∂¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È ¤Ó· ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ·, ÙfiÙ ÙÔ K Â›Ó·È Â›Û˘ Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E. √È ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ Gal(K /F) Ô˘ Â›Û˘ ‰È·ÙËÚÔ‡Ó ÛËÌÂÈ·ÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ E Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Gal(K /F). ∂Ô̤ӈ˜, Ë Gal(K /E) ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Gal(K /F). ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, Â¿Ó H Â›Ó·È Î¿ÔÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Gal(K /F), ÙfiÙ ÙÔ K H Â›Ó·È ¤Ó· ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ· Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ: Gal(K /K H ) = H . §‹ÌÌ· 7.4.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ F ⊂ E ⊂ K , fiÔ˘ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∆fiÙÂ: (1) To K Â›Ó·È Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E Î·È Ë Gal(K /E) Â›Ó·È ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Gal(K /F). (2) ∂¿Ó Ë H Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Gal(K /F), ÙfiÙ ÙÔ E = K H Â›Ó·È ¤Ó· ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ· Î·È Gal(K /E) = H . ∞fi‰ÂÈÍË. ∆Ô Ì¤ÚÔ˜ (1) Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜, ÂÓÒ ÁÈ· ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ (2) Ú¤ÂÈ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ K H Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ·, fiÙÈ F ⊂ K H Î·È fiÙÈ Gal(K /K H ) = H . ∂Âȉ‹ ¤¯Ô˘Ì H ⊂ Gal(K /F), οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ F ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ÛËÌÂÈ·ÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚfi ·fi οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ H . ∂Ô̤ӈ˜, ¤¯Ô˘Ì F ⊂ K H ηÈ, ¿Ú·, ÙÔ K H ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÂÓfiØ ÁÈ· Ó· ‰Âȯı› fiÙÈ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÛÒÌ·, ·ÚΛ Ó· ‰Âȯı› fiÙÈ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ù· k1 , k2 ∈ K H Î·È fiÙÈ ÙÔ σ ∈ H . ∆fiÙ ¤¯Ô˘Ì σ (k1 ) = k1 , σ (k2 ) = k2 Î·È Î·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó σ (k1 ± k2 ) = σ (k1 ) ± σ (k2 ) = k1 ± k2 . ™˘ÓÂÒ˜,

7.4. ∞˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› Î·È √Ì¿‰· Galois

149

k1 ± k2 ∈ K H . √ÌÔ›ˆ˜ σ (k1 k2±1 ) = σ (k1 )(σ (k2 ))±1 = k1 k2±1 ÁÈ· k2 = 0. ÕÚ· ÙÔ k1 k2±1 ∈ K H ÁÈ· k2 = 0 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÙÔ K H Â›Ó·È ¤Ó· ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ·. ∂Ó Ù¤ÏÂÈ, Â¿Ó E = K H , ÙfiÙÂ Ë Gal(K /E) ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡˜ ÙÔ˘ K Ô˘ ‰È·ÙËÚÔ‡Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ E. ∂Í ÔÚÈÛÌÔ‡ fï˜ ÙÔ E ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ K Ù· ÔÔ›· ‰È·ÙËÚÔ‡ÓÙ·È ÛÙ·ıÂÚ¿ ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ H . ∂Ô̤ӈ˜ Gal(K /E) = H . ¶fiÚÈÛÌ· 7.4.1. ∏ ·ÂÈÎfiÓÈÛË τ : H → K H ·fi ÙȘ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ H Ù˘ Gal(K /F) ÛÙ· ÂӉȿÌÂÛ· ÛÒÌ·Ù· Â›Ó·È ÌÈ· ·ÌÊ›ÚÚÈ„Ë (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó· Î·È Â›). Afi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ, Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ F ⊂ E ⊂ K , fiÔ˘ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ÙfiÙ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E. ŒÙÛÈ, Â›Ó·È Â‡ÏÔÁÔ Ó· ·Ó·ÚˆÙËıÔ‡ÌÂ Â¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È Â›Û˘ Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. To E Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ¿Ú· ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙË ÌÂϤÙË ÙÔ˘ fiÙ ÙÔ E Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË. ∏ ·¿ÓÙËÛË ÛÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÂÚÒÙËÌ· Â›Ó·È ·Ï‹ Î·È ÎÔÌ„‹: ÙÔ E Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Gal(K /F) Â›Ó·È ÌÈ· ÔÚıfiıÂÙË ˘ÔÔÌ¿‰·. §‹ÌÌ· 7.4.3. ŒÛÙˆ fiÙÈ F ⊂ E ⊂ K , fiÔ˘ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ E = K H . ∆Ô E Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó H  Gal(K /F). ™ÙËÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘ÌÂ: Gal(E/F) ∼ = G/H ∼ = Gal(K /F)/Gal(K /E). √È ·ԉ›ÍÂȘ ÙˆÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓˆÓ ÏËÌÌ¿ÙˆÓ ÂÎÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ·¢ı›·˜Ø ˆÛÙfiÛÔ, Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ Ï‹ÌÌ·Ù· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·È Â˘ÎÔÏfiÙÂÚ· ‰È¿ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Artin: £ÂÒÚËÌ· 7.4.1 (£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Artin). ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· Î·È fiÙÈ Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰· ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ ÙÔ˘ K Ì |G| = n. ∆fiÙ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F = K G Î·È Ë ÔÌ¿‰· Galois ÙÔ˘ K Â›Ó·È Ë ›‰È· Ë G. ∞fi‰ÂÈÍË. √È ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Â›Ó·È ·Ϥ˜. ∂¿Ó α Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ f (x), ÙfiÙ ÙÔ irr(α, F) ‰È·ÈÚ› ÙÔ f (x) ηÈ, ¿Ú·, ÙÔ α Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ŒÛÙˆ fiÙÈ F = K G Î·È α ∈ K . ŒÛÙˆ {g1 , . . . , gr } ¤Ó· ÌÂÁ›ÛÙÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ Û‡ÓÔÏÔ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ G Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ fiÏ· Ù· g1 (α), . . . , gr (α) Ó· Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈο. ∂¿Ó g ∈

150

7. £ÂˆÚ›· Galois

G, ÙfiÙ ÙÔ {gg1 (α), . . . , ggr (α)} ·ÔÙÂÏ› ÌÂٿٷÍË ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ {g1 (α), . . . , gr (α)}, ‰ÈfiÙÈ ÙÔ g Â›Ó·È ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ Î·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {g1 , . . . , gr } Â›Ó·È ÌÂÁ›ÛÙÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ α Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘: f (x) =

r 

(x − gi (α)).

i=1

∂ÈϤÔÓ, ÙÔ f (x) ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ÛÙ·ıÂÚfi ·fi οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô g ∈ G. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘ f (x) ·Ó‹ÎÔ˘Ó fiÏÔÈ ÛÙÔ F = K G . ∂ÊfiÛÔÓ Ù· gi (α) Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈο, ÙÔ f (x) Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ Î·È, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, οı α ∈ K ·ÔÙÂÏ› ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ≤ n ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÛÙÔ F. ∫·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, ÙÔ K Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∂›Û˘, ÂÂȉ‹ ÙÔ f (x) ‰È·Û¿Ù·È Û ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜, ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË. ÕÚ·, ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∂Âȉ‹ ÙÔ K Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, ı· ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ·Ï‹ Â¤ÎÙ·ÛËØ ¤ÛÙˆ K = F(γ ). ∆Ô γ ·ÔÙÂÏ› ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ≤ n Î·È ÂÔ̤ӈ˜ |K : F| ≤ n. ŸÌˆ˜ G ⊂ Gal(K /F), ηıfiÙÈ ÙÔ G ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡˜ ÙÔ˘ K Ô˘ ‰È·ÙËÚÔ‡Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ F. ∂Í ·˘ÙÔ‡ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ |K : F| = |Gal(K /F)| ≥ |G| = nØ Û˘ÓÂÒ˜ |K : F| = n Î·È ÙÔ G ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È ÔÏfiÎÏËÚË Ë ÔÌ¿‰· Galois. ∆· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ÛÎÈ·ÁÚ·Ê‹Û·ÌÂ Â›Ó·È Ù· ‚·ÛÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois, Ù· ÔÔ›· ı· Û˘ÓÔ„›ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ·, fiÔ˘ ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÔÚÈṲ̂ӷ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. ∆ÒÚ· ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ÔÌ¿‰· Galois ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ¤ˆ˜ ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ÂÓfiÙËÙ·˜ fiÙÈ ÙÔ F ¤¯ÂÈ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ Ìˉ¤Ó ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, fiϘ ÔÈ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈ̘. √ÚÈÛÌfi˜ 7.4.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ f (x) Â›Ó·È ¤Ó· ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È ÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ÙÔ˘ f (x). ∆fiÙ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÌ¿‰· Galois ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌ¿‰· Galois ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘. £· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÌ¿‰· Galois ÂÓ‰Âϯ¤ÛÙÂÚ·. ŒÛÙˆ K ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ α ∈ K , fiÔ˘ irr(α, F) Â›Ó·È ÙÔ ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘Ìfi ÙÔ˘. ∫¿ı ¿ÏÏË ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ α ÙÔ˘ irr(α, F) ηÏÂ›Ù·È Û˘˙˘Á‹˜ ÙÔ˘ α. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È fiÙÈ σ ∈ Gal(K /F). ∂Âȉ‹ ÙÔ σ ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ F, ‰È·ÙËÚ› Â›Û˘ ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ irr(α, F) ∈ F[x] ηÈ, ¿Ú·, ÙÔ σ (α) Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Ì›· ÂÈϤÔÓ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ irr(α, F). ∂Ô̤ӈ˜, ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ σ ∈ Gal(K /F) ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ Ù· ÛÙÔȯ›· ÛÙ· Û˘˙˘Á‹ ÙÔ˘˜.

151

7.4. ∞˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› Î·È √Ì¿‰· Galois

∆ÒÚ·, ¤ÛÙˆ f (x) ∈ F[x] ¤Ó· ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ α1 , . . . , αn ÛÙÔ K . ∂¿Ó σ ∈ Gal(K /F), ÙfiÙ ÙÔ σ ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ f (x) ηÈ, ηÙ' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÛÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘. ™˘ÓÂÒ˜, ‰‡Ô Ú¿ÁÌ·Ù· ÈÛ¯‡Ô˘Ó: (i) οı σ ∈ Gal(K /F) ÌÂٷٿÛÛÂÈ ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ·Ó¿ÁˆÁˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Î·È (ii) Ù· Û˘˙˘Á‹ ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ·Ó¿ÁˆÁˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Â›Û˘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∂ÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, ¤¯Ô˘Ì ÙÔ ÂÍ‹˜ Ï‹ÌÌ·: §‹ÌÌ· 7.4.4. ∂¿Ó ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Ì |K : F| = n, ÙfiÙÂ Ë Gal(K /F) Â›Ó·È ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋˜ ÔÌ¿‰·˜ Sn . ∂Âȉ‹ Ë Gal(K /F) ¤¯ÂÈ Ù¿ÍË ›ÛË Ì n, ÙfiÙ ۇÌʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Cayley ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· ÔÌ¿‰· ÌÂٷٿÍÂˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Ù˘ ηÈ, ¿Ú·, ÁÈ· ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Sn . ∆Ô ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË Â›Ó·È Ô ÙÚfiÔ˜ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ÌÂٷٿÍÂȘ ·fi ÙËÓ Gal(K /F). ∂Âȉ‹ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË, ¤¯Ô˘Ì K = F(α1 , . . . , αn ), fiÔ˘ α1 , . . . , αn ∈ K . √È ÌÂٷٿÍÂȘ ÂΛӘ Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙Ô˘Ó Ù· α1 , . . . , αn ÛÙ· Û˘˙˘Á‹ ÙÔ˘˜ Ô‰ËÁÔ‡Ó Û ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡˜ Î·È ‰›‰Ô˘Ó Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ Galois. ∞ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙËÓ ˆ˜ ¿Óˆ ‰È·‰Èηۛ· Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜: ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.4.1. ∞˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ÙÔ˘ x 4 + 1 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ™ÙÔ C ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ·˘Ùfi ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ (x 2 + i)(x 2 − i)Ø ¿Ú·, ‰È·ı¤ÙÂÈ ÙȘ ÂÍ‹˜ Ù¤ÛÛÂÚÂȘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ C: √ 1+i ω1 = √ = i, 2 −1 + i ω3 = √ = iω1 , 2

1−i ω2 = √ = ω 1 , 2 −1 − i ω4 = √ = ω3 . 2

¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ω1 Â›Ó·È ÌÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ fiÁ‰ÔË Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ Î·È fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ ω13 = ω3 , ω15 = ω4 , ω17 = ω2 , ω18 = 1. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ω1 Â›Ó·È ¤Ó· ÚˆÙ·Ú¯ÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ K ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q, ÙÔ irr(ω1 , Q) = x 4 + 1 Î·È ÙÔ K = Q(ω1 )Ø ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ |K : Q| = 4. ∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÒÚ· ÙËÓ ÔÌ¿‰· Galois. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ ω1 Â›Ó·È ÌÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜, ¤Ó·˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ σ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È Ï‹Úˆ˜ ·fi ÙË ‰Ú¿ÛË ÙÔ˘ Â› ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ ω1 . À¿Ú¯Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ù¤ÛÛÂÚ· ÛÙÔȯ›· ÛÙËÓ ÔÌ¿‰· Galois Î·È Ù¤ÛÛÂÚÂȘ Èı·ÓÔ› Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ ω1 . ªÂ ÙËÓ

152

7. £ÂˆÚ›· Galois

·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙÔ˘ ω1 Û ηı¤Ó·Ó ·fi ·˘ÙÔ‡˜, ηıÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ Ù¤ÛÛÂÚÂȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ› ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ›. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ σ1 (ω1 ) = ω1 . ∆fiÙÂ Ë σ1 ‰È·ÙËÚ› ÛËÌÂÈ·ÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚ¿ Ù· ω13 , ω15 Î·È ω17 Ø ¿Ú·, Ë σ1 ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ K ηÈ, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙËÓ Ù·˘ÙÔÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË. ŒÛÙˆ fiÙÈ σ2 (ω1 ) = ω2 = ω17 . ∆fiÙ σ2 (ω2 ) = σ2 (ω17 ) = ω149 = ω1 . √ÌÔ›ˆ˜, σ2 (ω3 ) = ω4 Î·È σ2 (ω4 ) = ω3 . ∂Ô̤ӈ˜, Ô ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ σ2 ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË ÌÂٿٷÍË: ω1 → ω2 , ω2 → ω1 , ω3 → ω4 , ω4 → ω3 . ªÂ ÙËÓ ›‰È· Û˘ÏÏÔÁÈÛÙÈ΋ Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ‰‡Ô ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡˜, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ ÌÂٷٿÍÂȘ: σ3 : ω1 → ω3 , ω2 → ω4 , ω3 → ω1 , ω4 → ω2 , σ4 : ω1 → ω4 , ω2 → ω3 , ω3 → ω2 , ω4 → ω1 . ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÌÂٷٿÍÂȘ Â›Ó·È Ù¿Í˘ 2. ∏ ÔÌ¿‰· G = Gal(K /Q) ‰È·ı¤ÙÂÈ ÙËÓ ÂÍ‹˜ ·Ú¿ÛÙ·ÛË: G =< σ2 , σ3 ; σ22 = σ32 = (σ2 σ3 )2 = 1 > . ∂›Ó·È ‡ÎÔÏÔ Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ Î·Ó›˜ fiÙÈ ·˘Ù‹ Ë ÔÌ¿‰· Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹ Î·È ÈÛfiÌÔÚÊË Ù˘ Z2 × Z2 , ‰ËÏ·‰‹ ÈÛfiÌÔÚÊË Ì ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Ù¿Í˘ 2. ∏ ÂÓ ÏfiÁˆ ÔÌ¿‰· Û˘Ó‹ıˆ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌ¿‰· ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ Klein. ŒÓ·˜ ¿ÏÏÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ÁÈ· Ó· ·ÓÙÈÏËÊıԇ̠ÙË ‰ÔÌ‹ Ù˘ Gal(K /Q) Â›Ó·È Ô ÂÍ‹˜: √ ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ, Â¿Ó ÙÔ ω1 = i ∈ K , ÙfiÙ ÙÔ i ∈ K . ∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ 1 + i ∈ K Î·È ¤ÙÛÈ √ √ √ ÙÔ 1+i = 2 ∈ K . ÕÚ· ÙÔ Q(i, 2) ⊂ K . ∂Âȉ‹ ÙÔ |Q(i, 2) : Q| = 4, ¤¯Ô˘Ì ω1 √ K = Q(i, 2). ∆Ô irr(i, Q) = x 2 + 1 ηÈ, Û˘ÌÂÚ·ÛÌ·ÙÈÎÒ˜, ÔÈ Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ i Â›Ó·È √ √ ÔÈ ±i, ÂÓÒ irr( 2, Q) = x 2 − 2 ηÈ, ηÙ' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, ÔÈ Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ 2 Â›Ó·È ÔÈ √ ± 2. ™˘ÓÂÒ˜, ÔÈ Ù¤ÛÛÂÚÂȘ ‰˘Ó·ÙÔ› ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Gal(K /Q) Â›Ó·È ÔÈ: √ √ σ1 : i → i, 2 → 2, Ô Ù·˘ÙÔÙÈÎfi˜ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜, √ √ σ2 : i → −i, 2 → 2, √ √ σ3 : i → i, 2 → − 2, √ √ σ4 : i → −i, 2 → − 2. ∂‰Ò Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ Î¿ı ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ¤¯ÂÈ Ù¿ÍË 2.

2

7.5.

7.5

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois

153

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois

∆ÒÚ· Û˘ÁÎÂÊ·Ï·ÈÒÓÔ˘Ì ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›ˆÓ ÂÓÔÙ‹ÙˆÓ Û ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ÂÎı¤ÙÔ˘Ì οÔȘ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Î·È ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ÙËÓ Ù¤Ù·ÚÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. £ÂÒÚËÌ· 7.5.1 (£ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois). ŒÛÙˆ K ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Ì ÔÌ¿‰· Galois G = Gal(K /F). °È· οı ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ· E, ·˜ Â›Ó·È τ (E) Ë ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G Ô˘ ‰È·ÙËÚ› ÙÔ E ÛÙ·ıÂÚfi. ∆fiÙÂ: (1) H τ ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÂӉȿÌÂÛˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔ F Î·È ÙˆÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Ù˘ G. (2) ∂¿Ó Ë H Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G Î·È E = K H , ÙfiÙ τ (E) = H . (3) ∆Ô K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ E Î·È Gal(K /E) = τ (E). (4) |G| = |K : F|. (5) |E : F| = |G : τ (E)|. ¢ËÏ·‰‹ Ô ‚·ıÌfi˜ ÂÓfi˜ ÂӉȿÌÂÛÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ Â›Ó·È Ô ‰Â›ÎÙ˘ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ˘ÔÔÌ¿‰·˜ ÛÙËÓ ÔÌ¿‰· Galois. (6) To E Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ τ (E)  G. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘ÌÂ: Gal(E/F) ∼ = G/τ (E) ∼ = Gal(K /F)/Gal(K /E). (7) √ Û‡Ó‰ÂÛÌÔ˜5 ÙˆÓ ˘ÔÛˆÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ K Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔ F Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔÓ ·ÓÙÂÛÙÚ·Ì̤ÓÔ Û‡Ó‰ÂÛÌÔ ÙˆÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Ù˘ Gal(K /F). √È ÚÔÙ¿ÛÂȘ (1) ¤ˆ˜ (6) ¤¯Ô˘Ó ‹‰Ë Û˘˙ËÙËı›. ∞˜ ‰Ô‡Ì ÙÒÚ· ÔÚÈṲ̂ӷ ÛÙÔȯ›· Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË (7). §¤ÁÔÓÙ·˜ «Û‡Ó‰ÂÛÌÔ˜ ÙˆÓ ˘ÔÛˆÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ K Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔ F» ÂÓÓÔԇ̠ÙË Û˘ÏÏÔÁ‹ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÂӉȿÌÂÛˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Î·È ÙˆÓ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Û¯¤ÛˆÓ. √ÌÔ›ˆ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ô Û‡Ó‰ÂÛÌÔ˜ ÙˆÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ. √ ¤Ó·˜ Û‡Ó‰ÂÛÌÔ˜ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔÓ ·ÓÙÂÛÙÚ·Ì̤ÓÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘, ‰ÈfiÙÈ ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ Ù› Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ì ÙÔÓ Û‡Ó‰ÂÛÌÔ ÙˆÓ ˘Ôۈ̿وÓ, ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó ÙÔ E Â›Ó·È ¤Ó· ˘fiۈ̷, Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ |K : E| ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ Ù¿ÍË Ù˘ Gal(K /E), ÂÓÒ Ô ‰Â›ÎÙ˘ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔÓ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ |E : F|. ∂Ô̤ӈ˜, Ù· ˘ÔÛÒÌ·Ù· ÙÔÔıÂÙÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔÓ Û‡Ó‰ÂÛÌÔ ÙÔ ¤Ó· Â¿Óˆ ÛÙÔ ¿ÏÏÔ, ÂÓÒ ÔÈ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ ÙÔÔıÂÙÔ‡ÓÙ·È Ë ÌÈ· ŒÛÙˆ fiÙÈ M Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Î·È fiÙÈ « ≤ » Â›Ó·È ÌÈ· Û¯¤ÛË Â› ÙÔ˘ M, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·Ó·ÎÏ·ÛÙÈ΋, ·ÓÙÈÛ˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Î·È ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋. ∆Ô ˙‡ÁÔ˜ (M, ≤) ηÏÂ›Ù·È Û‡Ó‰ÂÛÌÔ˜, Â¿Ó Î¿ı ˙‡ÁÔ˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÛÙÔ M ¤Ó· ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ· Î·È ¤Ó· ̤ÁÈÛÙÔ Î¿Ùˆ ÊÚ¿ÁÌ·. 5 ™.Ù.ª.

154

7. £ÂˆÚ›· Galois

οو ·fi ÙËÓ ¿ÏÏË. ŒÙÛÈ, ¤¯Ô˘Ì ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·, fiÔ˘ Gal(K /K ) = {1} Ë ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË ÔÌ¿‰·: K ←→ Gal(K /K ) ∪

∩

E ←→ Gal(K /E) ∪

∩

F ←→ Gal(K /F) £· ÂȯÂÈÚ‹ÛÔ˘Ì ӷ ·ÔÛ·ÊËÓ›ÛÔ˘Ì ٷ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÚÈÒÓ ·Ú·‰ÂÈÁÌ¿ÙˆÓ. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.5.1. £· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ K ÙÔ˘ x 4 + 1 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. Ÿˆ˜ ›‰·Ì √ ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7.4.1, ÙÔ K = Q(i, 2). ∆fiÙ |K : Q| = 4 Î·È Ë ÔÌ¿‰· Galois Â›Ó·È Ë Z2 × Z2 . ∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù¤ÛÛÂÚÂȘ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› Ù˘ Gal(K /Q) Ô˘ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi: √ √ 1 : i → i, 2 → 2, √ √ σ : i → i, 2 → − 2, √ √ τ : i → −i, 2 → 2, √ √ σ τ : i → −i, 2 → − 2. ∫·ı¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÓˆÙ¤Úˆ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡˜ ¤¯ÂÈ Ù¿ÍË 2 ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÂÓ Û˘Ófiψ ÔÈ ÂÍ‹˜ ¤ÓÙ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ Ù˘ G = Gal(K /Q): {1}, H1 = {1, τ }, H2 = {1, σ τ }, H3 = {1, σ }, G. £· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ٷ ¤ÓÙ ÂӉȿÌÂÛ· ÛÒÌ·Ù·. ∆Ô ÛÒÌ· Ô˘ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ÛÙ·ıÂÚfi ·fi ÙËÓ G Â›Ó·È ÙÔ Q, ÂÓÒ, ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙÔ ÛÒÌ· Ô˘ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ·fi ÙËÓ {1} Â›Ó·È ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ K . ∂Ó Û˘Ó¯›· ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ H3 . ∂Âȉ‹ ÙÔ i ∈ K Î·È Q(i) ⊂ K , |K : Q(i)| = 2, ÙÔ Q(i) ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û οÔÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· ‰Â›ÎÙË 2 Î·È ¿Ú· √ Î·È Ù¿Í˘ 2. ∆ÒÚ·, ÙÔ σ ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ i ·ÏÏ¿ fi¯È ÙÔ 2. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ σ ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ Q(i) ·ÏÏ¿ fi¯È ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ K ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÙÔ ÛÒÌ· Ô˘ ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ H3 Â›Ó·È ÙÔ Q(i). √ √ √ÌÔ›ˆ˜, Q( 2) ⊂ K ηÈ, ÙfiÙÂ, ÙÔ Q( 2) Â›Ó·È ÙÔ ÛÒÌ· Ô˘ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ÛÙ·ıÂÚfi ·fi ÙÔ H1 . √ √ √ ∆¤ÏÔ˜, ÂÂȉ‹ Ù· i, 2 ∈ K , ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ i 2 ∈ K Ø ¿Ú· ÙÔ Q(i 2) ⊂ K . ∂Âȉ‹ √ √ irr(i 2, Q) = x 2 + 2, ¤¯Ô˘Ì |Q(i 2) : Q| = 2. √ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ σ τ ‰È·ÙËÚ›

7.5.

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois

155

√ √ ÛÙ·ıÂÚfi ÙÔ i 2 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ Q(i 2) Â›Ó·È ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Ù˘ H2 . √È Û¯¤ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È ÛÙȘ ∂ÈÎfiÓ˜ 7.1 Î·È 7.2 2

EÈÎfiÓ· 7.1: √ Û‡Ó‰ÂÛÌÔ˜ ÙˆÓ ˘Ôۈ̿وÓ

EÈÎfiÓ· 7.2: √ Û‡Ó‰ÂÛÌÔ˜ ÙˆÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.5.2. √ √ ŒÛÙˆ K = Q( 2, 3)Ø ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ ÙÔ˘ (x 2 − 2)(x 2 − 3) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q ηÈ, ¿Ú·, ÙÔ K Â›Ó·È Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ √ √ √ |Q( 2) : Q| = 2 Î·È ÙÔ 3 ∈ Q( 2), ¤¯Ô˘Ì |K : Q| = 4. ∂Ô̤ӈ˜, Ë ÔÌ¿‰· Galois ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜ ÂfiÌÂÓÔ˘˜ Ù¤ÛÛÂÚÂȘ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡˜: √ √ √ √ 1 : 2 → 2, 3 → 3, √ √ √ √ σ : 2 → 2, 3 → − 3, √ √ √ √ τ : 2 → − 2, 3 → 3, √ √ √ √ σ τ : 2 → − 2, 3 → − 3.

156

7. £ÂˆÚ›· Galois

∂›Ó·È ‡ÎÔÏÔ Ó· ‰Ô‡Ì fiÙÈ Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÔÌ¿‰· Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊË ·ÊÂÓfi˜ Ù˘ Z2 ×Z2 Î·È ·ÊÂÙ¤ÚÔ˘ Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ Galois ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜. ™˘ÓÂÒ˜, ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ÛˆÌ¿ÙˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¤¯Ô˘Ó ÈÛfiÌÔÚʘ ÔÌ¿‰Â˜ Galois. √È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ Î·È Ù· ÛÙ·ıÂÚ¿ ÛÒÌ·Ù· ‰›‰ÔÓÙ·È Î·ÙˆÙ¤Úˆ: √ √ H0 = {1} ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ K = Q( 2, 3), √ H1 = {1, σ } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q( 2), √ H2 = {1, τ } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q( 3), √ √ √ H3 = {1, σ τ } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q( 2 3) = Q( 6), H4 = G ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q.

2

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.5.3. ø˜ ¤Ó· ÈÔ ÂÚ›ÏÔÎÔ Úfi‚ÏËÌ·, ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ K ÙÔ˘ x 4 − 2 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. √ √ ÀÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C ¤¯Ô˘Ì x 4 − 2 = (x 2 − 2)(x 2 + 2)Ø ¿Ú·, ı¤ÙÔÓÙ·˜ ω = 21/4 Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Ù¤ÛÛÂÚÂȘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Â›Ó·È ω, iω, −ω, −iω. ∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ iω/ω = i ∈ K Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó ÙÔ Q(i, ω) ⊂ K . ŸÌˆ˜ ÙÔ x 4 − 2 ‰È·Û¿Ù·È ÛÙÔ Q(i, ω) Î·È ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ K = Q(i, ω). ∆ÒÚ·, Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ Q(ω) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q Â›Ó·È 4 Î·È ÙÔ i ∈ Q(ω), ‰ÈfiÙÈ ÙÔ ω ∈ R. ∫·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó |K : Q(ω)| = 2, ηıfiÙÈ ÂÈÛ˘Ó¿ÊıËΠÙÔ i. ÕÚ· |K : Q| = 8. √È Ù¤ÛÛÂÚÂȘ Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ ω Â›Ó·È ÔÈ ω, iω, −ω, −iω, ÂÓÒ ÔÈ Û˘˙˘Á›˜ ÙÔ˘ i Â›Ó·È ÔÈ ±i. ∂Ô̤ӈ˜, ÔÈ ÔÎÙÒ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÔ› Ù˘ Gal(K /Q) Â›Ó·È ÔÈ: 1 : ω → ω, i → i, σ : ω → iω, i → i, σ 2 : ω → −ω, i → i, σ 3 : ω → −iω, i → i, τ : ω → ω, i → −i, σ τ : ω → iω, i → −i, σ 2 τ : ω → −ω, i → −i, σ 3 τ : ω → −iω, i → −i. √ Û¯ÂÙÈÎfi˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÂÌÊ·›ÓÂÈ fiÙÈ σ 4 = 1, τ 2 = 1 Î·È σ τ = τ σ 3 . ∏ ÔÌ¿‰· ÙˆÓ ÔÎÙÒ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ Â›Ó·È Ë D4 , Ë ‰È‰ÚÈ΋ ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ 8 Ë ÔÔ›· ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ÙȘ

157

7.6. ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ – ∆¤Ù·ÚÙË ∞fi‰ÂÈÍË

Û˘ÌÌÂÙڛ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È ¤¯ÂÈ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË: D4 =< σ, τ ; σ 4 = 1, τ 2 = 1, σ τ = τ σ 3 > . À¿Ú¯Ô˘Ó ÂÓ Û˘Ófiψ ‰¤Î· ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ Ù˘ D4 , ÙȘ Ôԛ˜ ·Ú·ı¤ÙÔ˘Ì ηو٤ڈ Ì·˙› Ì ٷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÒÌ·Ù· Ô˘ ‰È·ÙËÚÔ‡ÓÙ·È ÛÙ·ıÂÚ¿. ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ fiÙÈ ÙÔ √ √ ω2 = 2 ∈ K Î·È ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ Q(i, 2) ⊂ K : H1 = {1} ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ K = Q(i, ω), H2 = {1, σ, σ 2 , σ 3 } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q(i), √ H3 = {1, σ 2 } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q(i, 2), H4 = {1, τ } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q(ω), H5 = {1, σ τ } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q(ω + iω), H6 = {1, σ 2 τ } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q(iω), H7 = {1, σ 3 τ } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q(ω − iω), √ H8 = {1, σ 2 , τ, σ 2 τ } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q( 2), √ H9 = {1, σ 2 , σ τ, σ 3 τ } ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q(i 2), H10 = D4 ⇒ ÛÙ·ıÂÚfi ÛÒÌ· Â›Ó·È ÙÔ Q.

7.6

2

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ∆¤Ù·ÚÙË ∞fi‰ÂÈÍË

∆ÒÚ· ÛÎÔ‡ԢÌ ӷ ÂÎÙÂϤÛÔ˘Ì ÙËÓ Ù¤Ù·ÚÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ηٿ ÙËÓ ÔÔ›· ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ˘ÏÈÎfi Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠÛÙȘ ÚÔËÁËı›Û˜ ÂÓfiÙËÙ˜. £ÂÒÚËÌ· 7.6.1 (£ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜). ∆Ô ÛÒÌ· ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ C Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi, ‰ËÏ·‰‹ οı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ C. ∞fi‰ÂÈÍË. ∂¿Ó f (x) ∈ C[x], ÙfiÙ ıˆÚԇ̠ÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ K ÙÔ˘ f (x) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C ηÈ, ÂÂȉ‹ ÙÔ C Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R, ÙÔ K Â›Ó·È Î·È Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R. To £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ K Û˘Ì›ÙÂÈ Î·Ù' ·Ó¿ÁÎËÓ Ì ÙÔ

158

7. £ÂˆÚ›· Galois

C ηÈ, ¿Ú·, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Î¿ı ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÙÔ C. ŒÛÙˆ K ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R ‚·ıÌÔ‡ |K : R| = m 2 q, fiÔ˘ (2, q) = 1. ∂¿Ó m = 0, ÙfiÙ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÛÒÌ· K Â›Ó·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R, ı· Â›Ó·È ÌÈ· ·Ï‹ Â¤ÎÙ·ÛË Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ı· ¤¯Ô˘Ì K = R(α), fiÔ˘ ÙÔ irr(α, R) Â›Ó·È ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡. ŸÌˆ˜ Ù· ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó ¿ÓÙÔÙ ̛· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÙÔ irr(α, R) ı· Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ¤Ó·Ø ·ÏÏ¿ ÙfiÙ α ∈ R Î·È K = R. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Â¿Ó ÙÔ ÛÒÌ· K Â›Ó·È ÌÈ· ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R, ÙfiÙ m > 0Ø ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÂÌÊ·›ÓÂÈ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C Ì ‚·ıÌfi 2. ∆fiÙ K = C(α) Ì deg irr(α, C) = 2. ŸÌˆ˜ fiÏ· Ù· ÌÈÁ·‰Èο ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ¤¯Ô˘Ó ¿ÓÙÔÙ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ CØ ¿Ú· ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÓٛʷÛË. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ C ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ‚·ıÌÔ‡ 2. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ¤ÛÙˆ K ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C. ∆fiÙ ÙÔ K Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ |K : R| = 2m q Ì (2, q) = 1. §fiÁˆ ÙÔ˘ ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘Ì m > 0. ŒÛÙˆ G = Gal(K /R) Ë ÔÌ¿‰· Galois. ∆fiÙ |G| = 2m q Ì m > 0 Î·È (2, q) = 1. ∫·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, Ë G ¤¯ÂÈ ÌÈ· 2 – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ 2m Î·È ‰Â›ÎÙË q, Ë ÔÔ›· ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ¤Ó· ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ· E Ì |K : E| = 2m Î·È |E : R| = q. ŸÌˆ˜ ÙfiÙ ÙÔ E Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡. ŒÙÛÈ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ q = 1 Î·È E = R. ™˘ÓÂÒ˜ |K : R| = 2m Î·È |G| = 2m . ∂Ó Ù¤ÏÂÈ, |K : C| = 2m−1 Î·È ¤ÛÙˆ fiÙÈ G = Gal(K /C), Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÌÈ· 2 – ÔÌ¿‰·. ∂¿Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË, ÙfiÙÂ, ÏfiÁˆ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 7.2.4, ı· ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ 2m−2 Î·È ‰Â›ÎÙË 2 Ô˘ ı· ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ¤Ó· ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ· E ‚·ıÌÔ‡ 2 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C. ŸÌˆ˜, ·fi Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ, ÙÔ C ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ‚·ıÌÔ‡ 2. ∂Ô̤ӈ˜, Ë G Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË, Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ· |G| = 1. ÕÚ· |K : C| = 1 Î·È K = C, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Û˘ÌÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. Ÿˆ˜ Û ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, ·ԉ›ͷÌÂ Î·È Â‰Ò ¤Ó· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. ∂ÎÙfi˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·fi‰ÂÈÍË ‰‡Ô ÂÈϤÔÓ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù·: fiÙÈ ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ¤¯Ô˘Ó ¿ÓÙÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Î·È fiÙÈ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ¤¯Ô˘Ó ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ˆ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷϋÍÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ÁÂӛ΢ÛË:

7.7. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois

159

£ÂÒÚËÌ· 7.6.2. ŒÛÙˆ K ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ·, fiÏ· Ù· ıÂÙÈο ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈΤ˜ Ú›˙˜. ∂ÈϤÔÓ, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÛÙÔ K [x] ¤¯ÂÈ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ K . ∆fiÙ ÙÔ K (i) √ Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi, fiÔ˘ ÙÔ i = −1 Â›Ó·È ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·Ó¿ÁˆÁÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ x 2 + 1 ∈ K [x].

7.7

∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois

∏ £ÂˆÚ›· Galois ·Ó·Ù‡¯ıËΠ΢ڛˆ˜ ˆ˜ ¤Ó· ÂÚÁ·ÏÂ›Ô ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÌË ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ·˜ ÂÌÙÔ‚¿ıÌÈˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ì ÚÈ˙Èο. ™ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ÂÓfiÙËÙ· ı· ÛÎÈ·ÁÚ·Ê‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÓ ÏfiÁˆ ·fi‰ÂÈÍË. Ÿˆ˜ ·Ó·Ê¤ÚıËΠÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1, ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ·˜ Ì ÚÈ˙Èο ¤¯ÂÈ ÌÈ· Ì·ÎÚ¿ Î·È ÂӉȷʤÚÔ˘Û· ÈÛÙÔÚ›·. ∏ Â›Ï˘ÛË ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Î·È, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Î·È Ô ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙfi˜ ÛÙÔ˘˜ B·‚˘ÏÒÓÈÔ˘˜ ÂÚ› Ù· 3600 ¯ÚfiÓÈ· ÚÈÓ. ªÂ ÙËÓ ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ ‰È·‚‚·ÈÒÓÂÈ fiÙÈ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ C ¤¯ÂÈ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ C. ∆ÔÓ ‰¤Î·ÙÔ ¤ÎÙÔ ·ÈÒÓ· Ô πÙ·Ïfi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Niccolo Tartaglia ·Ó·Î¿Ï˘„ ¤Ó·Ó ·ÚfiÌÔÈÔ Ù‡Ô ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÙÚÈÙÔ‚¿ıÌÈˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ¯Ú‹ÛË ÚÈ˙ÈÎÒÓ. ∞˘Ùfi˜ Ô Î˘‚ÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ Â›Ó·È Û‹ÌÂÚ· ÂÛÊ·Ï̤ӈ˜ ÁÓˆÛÙfi˜ ˆ˜ Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Cardano ÚÔ˜ ÙÈÌ‹Ó ÙÔ˘ Cardano, Ô ÔÔ›Ô˜ ÙÔÓ Âͤ‰ˆÛ ÚÒÙÔ˜ ÙÔ 1545. ¡ˆÚ›ÙÂÚ·, ÌÈ· ÂȉÈ΋ ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ ÂÓ ÏfiÁˆ Ù‡Ô˘ ›¯Â ·Ó·Î·Ï˘Êı› ·fi ÙÔÓ Scipione del Ferro. √ Ferrari, Ì·ıËÙ‹˜ ÙÔ˘ Cardano, ÂÂͤÙÂÈÓ ÙÔÓ Ù‡Ô ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÙÂÙ·ÚÙÔ‚¿ıÌÈˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ Ì ÚÈ˙Èο. ªÂÙ¿ ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ Cardano Î·È Ì¤¯ÚÈ ÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ‰¤Î·ÙÔ˘ ¤Ó·ÙÔ˘ ·ÈÒÓ· ¤ÁÈÓ·Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÚÔÛ¿ıÂȘ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÍ¢ÚÂıÔ‡Ó ·ÚfiÌÔÈÔÈ Ù‡ÔÈ ÁÈ· Ù· ÂÌÙÔ‚¿ıÌÈ· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·. ∆Ô 1805 o Ruffini ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ ¤ÌÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ‰ÂÓ ÂÈχÔÓÙ·È, ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÙÔ˘˜ ÌÔÚÊ‹, Ì ÚÈ˙Èο. ∂Ô̤ӈ˜, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Ó¿ÏÔÁÔ˜ Ù‡Ô˜, fiÙ·Ó Ô ‚·ıÌfi˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ¤ÓÙÂ. √ ∞bel ÙÔ 1825 – 1826 Î·È Ô Galois ÙÔ 1831 ÂÂͤÙÂÈÓ·Ó ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔ˘ Ruffini Î·È ·¤‰ÂÈÍ·Ó ÙË ÌË ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ· Ì ÚÈ˙Èο ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ‚·ıÌÔ‡ ›ÛÔ˘ ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ ·fi ¤ÓÙÂ. °È· Ó· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙË £ÂˆÚ›· Galois ÛÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ Úfi‚ÏËÌ· ÂÈ‚¿ÏÏÂÙ·È Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ· Ì ÚÈ˙Èο ˆ˜ ÌÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ, Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, ˆ˜ ÌÈ· ȉÈfiÙËÙ· Ë ÔÔ›· Ú¤ÂÈ Ó· ÈηÓÔÔÈÂ›Ù·È ·fi ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÌ¿‰· Galois.

160

7. £ÂˆÚ›· Galois

√ÚÈÛÌfi˜ 7.7.1. ∏ ÔÌ¿‰· G ηÏÂ›Ù·È ÂÈχÛÈÌË ÔÌ¿‰·, fiÙ·Ó ‰È·ı¤ÙÂÈ Î¿ÔÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ: G = G1 ⊃ G2 ⊃ G3 . . . ⊃ Gn = 1 Ì G i+1  G i Î·È Ì ÙȘ G i /G i+1 ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ÔÌ¿‰Â˜. ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚıfiıÂÙË ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ù˘ G, ÂÓÒ ÔÈ fiÚÔÈ G i /G i+1 ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜. √ ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Û˘ÓÔÙÈÎfiÙÂÚ· ˆ˜ ÂÍ‹˜: ÌÈ· ÔÌ¿‰· G Â›Ó·È ÂÈχÛÈÌË, Â¿Ó ‰È·ı¤ÙÂÈ Î¿ÔÈ· ÔÚıfiıÂÙË ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ì ·‚ÂÏÈ·ÓÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Ë ÎÏ¿ÛË ÙˆÓ ÂÈχÛÈÌˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜, ÙȘ ÔÌ¿‰Â˜ ËÏ›ÎˆÓ Î·È Ù· ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ ¢ı¤· ÁÈÓfiÌÂÓ·. ¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó ÔÈ G Î·È H Â›Ó·È ÂÈχÛÈ̘ ÔÌ¿‰Â˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÂÈχÛÈ̘ Î·È ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ ‹ ÔÌ¿‰Â˜ ËÏ›ÎˆÓ ÙˆÓ G Î·È H , ηıÒ˜ Â›Û˘ ÂÈχÛÈÌÔ Â›Ó·È Î·È ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ G × H . ∆ÒÚ· ı· Û˘Û¯ÂÙ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ· ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ Ì ÚÈ˙Èο Ì ÙȘ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ۈ̿وÓ. √ÚÈÛÌfi˜ 7.7.2. ∆Ô K ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ̤ۈ ÚÈ˙ÈÎÒÓ, Â¿Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔȯ›· α1 , . . . , αr ∈ K Î·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ n 1 , . . . , n r Ù¤ÙÔÈÔÈ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ K = F(α1 , . . . , αr ) Ì α1n 1 ∈ F Î·È αini ∈ F(α1 , . . . , αi−1 ) ÁÈ· i = 2, . . . , r . ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x) ∈ F[x] Â›Ó·È ÂÈχÛÈÌÔ Ì¤Ûˆ ÚÈ˙ÈÎÒÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F, Â¿Ó ÙÔ ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘ K ÙÔ˘ f (x) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Ì¤Ûˆ ÚÈ˙ÈÎÒÓ. ∆Ô ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙȘ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ¤ÓÓÔȘ, ‹ÙÔÈ ÙËÓ ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ· ÔÌ¿‰ˆÓ Î·È ÙËÓ ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ· ̤ۈ ÚÈ˙ÈÎÒÓ. £ÂÒÚËÌ· 7.7.1. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Ì ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ char F = 0. ∂¿Ó ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ̤ۈ ÚÈ˙ÈÎÒÓ, ÙfiÙÂ Ë ÔÌ¿‰· Gal(K /F) Â›Ó·È ÌÈ· ÂÈχÛÈÌË ÔÌ¿‰·. ∂Ô̤ӈ˜, ÁÈ· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤ÌÙÔ˘ ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ‰ÂÓ ÂÈχÂÙ·È, ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÙÔ˘ ÌÔÚÊ‹, ̤ۈ ÚÈ˙ÈÎÒÓ, ·ÚΛ Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· οı n ≥ 5 ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ n, Ë ÔÌ¿‰· Galois ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÈχÛÈÌË. ∂›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ Ë ÔÌ¿‰· Galois ÂÚȤ¯ÂÙ·È ¿ÓÙÔÙ Û ÌÈ· Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÔÌ¿‰·Ø ÂÈϤÔÓ, ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜ ıÂÒÚËÌ·:

7.7. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois

161

£ÂÒÚËÌ· 7.7.2. °È· οı n ≥ 5 Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÔÌ¿‰· Sn ‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÈχÛÈÌË ÔÌ¿‰·. ™˘ÓÂÒ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙË ÌË ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ· ̤ۈ ÚÈ˙ÈÎÒÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·˜ ÁÈ· οı n ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÔÌ¿‰· Galois Â›Ó·È ÔÏfiÎÏËÚË Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÔÌ¿‰· Sn , οÙÈ Ô˘ ı· ÂȯÂÈÚ‹ÛÔ˘Ì ÂÓ Û˘Ó¯›·. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ù· y1 , . . . , yn Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ˘ÂÚ‚·ÙÈο ÛÙÔȯ›· ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q Î·È fiÙÈ K = Q(y1 , . . . , yn ). ŒÛÙˆ fiÙÈ Ù· s1 , . . . , sn Â›Ó·È Ù· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙˆÓ y1 , . . . , yn (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 6.4) Î·È fiÙÈ F = Q(s1 , . . . , sn ). ∆fiÙ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È Gal(K /F) ∼ = Sn . £ÂÒÚËÌ· 7.7.3. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ù· y1 , . . . , yn Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ˘ÂÚ‚·ÙÈο ÛÙÔȯ›· ˘Ân Ú¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ∆fiÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (x) = i=1 (x − yi ) ‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÈχÛÈÌÔ Ì¤Ûˆ ÚÈ˙ÈÎÒÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F = Q(s1 , . . . , sn ), fiÔ˘ s1 , . . . , sn Â›Ó·È Ù· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙˆÓ y1 , . . . , yn . ø˜ ÙÂÏÈ΋ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ηٷ‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ÙÔ ·‰‡Ó·ÙÔ Ù˘ Â›Ï˘Û˘ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Î·Ù·Û΢ÒÓ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË. ™ÙËÓ ÎÏ·ÛÈ΋ ÂÔ¯‹, ÔÈ ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ¤ıÂÛ·Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Î·Ù·Û΢ÒÓ, fiˆ˜ Ô ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜ ·‚Ô˘, Ë ÙÚȯÔÙfiÌËÛË ÁˆÓ›·˜ Î·È Ô ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ·ÎÏÔ˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÌfiÓÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË. ¢ÂÓ Î·Ù¿ÊÂÚ·Ó ÔÙ¤ Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ó fiÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ηٷÛ΢¤˜ ‹Ù·Ó ·‰‡Ó·ÙÔÓ Ó· Á›ÓÔ˘Ó Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙËØ ˆÛÙfiÛÔ, ηÙfiÚıˆÛ·Ó Ó· χÛÔ˘Ó Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ¿ÏÏˆÓ Ù¯ÓÈÎÒÓ ÔÈ Ôԛ˜ ÂÌÂÚÈ›¯·Ó Î·È ÙË ¯Ú‹ÛË ÎˆÓÈÎÒÓ ÙÔÌÒÓ6 . ∆Ô 1837 Ô Pierre Wantzel, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ÌÂıfi‰Ô˘˜, ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË Ë ÙÚȯÔÙfiÌËÛË ÁˆÓ›·˜ Î·È Ô ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜ ·‚Ô˘ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË. ∫·ÙfiÈÓ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ Ù˘ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ π , Ë ÔÔ›· ÂÂÙ‡¯ıË ·fi ÙÔÓ Lindemann ÙÔ 1882 (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 6.6), Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ ÙÔ˘ Pierre Wantzel ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Î·È ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ fiÙÈ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ˜ Ô ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË. °È· Ó· ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ̤ıÔ‰Ô, Ú¤ÂÈ Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ۈ̿وÓ, fiˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ Ù˘ ÌË ÂÈÏ˘ÛÈÌfiÙËÙ·˜ Ù˘ ÂÌÙÔ‚¿ıÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘. ¶ÚˆÙ›ÛÙˆ˜, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ÏÂÁfiÌÂÓÔ˘˜ ηٷÛ΢¿ÛÈÌÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. 6 ™.Ù.ª. °È· ÙÔ˘˜ ·Ó·ÁÓÒÛÙ˜ Ô˘ ÂӉȷʤÚÔÓÙ·È ÁÈ· ÙȘ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ Ù˘ ÈÛÙÔÚÈ΋˜ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ ÙˆÓ ·Ú¯·ÈÔÂÏÏËÓÈÎÒÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ, Ù· ÔÔ›· Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙËÓ ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË Î·ÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ ª.∞. ªڛη: ∆· ÂÚ›ÊËÌ· ¿Ï˘Ù· ÁˆÌÂÙÚÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜, ∞ı‹Ó· 1970.

162

7. £ÂˆÚ›· Galois

√ÚÈÛÌfi˜ 7.7.3. ŒÛÙˆ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÌÔÓ·‰È·›Ô˘ Ì‹ÎÔ˘˜. ŒÓ·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ α ∈ R ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ˜, ¿Ó, ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÙÌ‹Ì· Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÌfiÓÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ηٷÛ΢¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ |α|, ¤ÂÈÙ· ·fi ¤Ó·Ó ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ·ÚÈıÌfi ‚ËÌ¿ÙˆÓ. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì ·fi ÙË ™ÙÔȯÂÈÒ‰Ë °ÂˆÌÂÙÚ›· fiÙÈ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ÂÎÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÂÍ‹˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜: ¯¿Ú·ÍË Â˘ı›·˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜, ·Ú¿ÏÏËÏ˘ ÚÔ˜ ‰Ôı¤Ó ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰Ôı¤Ó ÛËÌ›ÔØ Â¤ÎÙ·ÛË ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜Ø ¯¿Ú·ÍË Î·ı¤ÙÔ˘ Û ‰Ôı›۷ ¢ı›· ÁÚ·ÌÌ‹ Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰Ôı¤Ó ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜. ∆Ô ÚÒÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ô˘ ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·ÔÙÂÏ› ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ R. £ÂÒÚËÌ· 7.7.4. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ C fiÏˆÓ ÙˆÓ Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ R. ∂ÈϤÔÓ, Q ⊂ C. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ C ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∂Âȉ‹ ÙÔ ‰Ôı¤Ó ÌÔÓ·‰È·›Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ, ¤¯Ô˘Ì 1 ∈ C. ∂Ô̤ӈ˜ C = ∅ Î·È ÁÈ· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ C Â›Ó·È ÛÒÌ·, ·ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ α Î·È β Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔÈ. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ α ± β, αβ Î·È α/β ÁÈ· β = 0 Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔÈ. ∂¿Ó α, β > 0, ÙfiÙ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ |α| Î·È ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ηٿ ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ |β|. ŒÙÛÈ Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ |α + β|. √ÌÔ›ˆ˜, Â¿Ó α > β, ÙÔÔıÂÙԇ̠¤Ó· ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ |β| Â› Ù˘ ·Ú¯‹˜ ÂÓfi˜ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì‹ÎÔ˘˜ |α|. ∆Ô ˘fiÏÔÈÔ ÙÌ‹Ì· ı· ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ |α − β|. ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜ ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙÂ Î·È ÛÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋˜ ·ÔÙ›ÌËÛ˘ ÙÔ˘ ÚfiÛËÌÔ˘ ÙˆÓ α Î·È β. √È ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ηٷÛ΢¤˜ ‰Â›¯ÓÔÓÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 7.3. ™˘ÓÂÒ˜, ÔÈ α ± β Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔÈ.

EÈÎfiÓ· 7.3: ∏ ηٷÛ΢‹ ÙˆÓ α ± β ™ÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 7.4 ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ αβ. ŒÛÙˆ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· O A Ì‹ÎÔ˘˜ |α|. º¤ÚÔ˘Ì ÌÈ· ¢ı›· L Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi

7.7. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois

163

ÙÔ O Î·È Ó· ÌË Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· O A. ŒÛÙˆ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· O B Ì‹ÎÔ˘˜ |β|, fiˆ˜ ÂÈÎÔÓ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. ŒÛÙˆ P ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Â› ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ O B Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÙÔ O P Ó· Â›Ó·È Ì‹ÎÔ˘˜ 1. º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ A P ηÈ, ÂÓ Û˘Ó¯›·, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÛËÌÂ›Ô Q Â› ÙÔ˘ O A Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÙÔ B Q Ó· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙÔ A P. ∞fi ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ¤¯Ô˘ÌÂ: |O P| |O B|

=

|O A| |O Q|

⇒

1 |α| . = |β| |O Q|

TfiÙ |O Q| = |α||β| ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ô αβ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜.

EÈÎfiÓ· 7.4: ∏ ηٷÛ΢‹ ÙÔ˘ αβ ªÂ ÌÈ· ·ÚfiÌÔÈ· ηٷÛ΢‹, ÙËÓ ÔÔ›· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 7.5, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì fiÙÈ Ô α/β ÁÈ· β = 0 Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ˜. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ٷ O A, O B, O P fiˆ˜ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ÂÓÒÓÔ˘Ì ÙÔ A Ì ÙÔ B Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÛËÌÂ›Ô Q Â› Ù˘ ¢ı›·˜ O A Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÙÔ P Q Ó· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÙÔ˘ AB. ∞fi ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÚÔ·ÙÂÈ Í·Ó¿: 1 |O Q| |α| = ⇒ = |O Q|. |β| |α| |β| ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Ô α/β Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ˜. ÕÚ·, ÙÔ C Â›Ó·È ˘fiۈ̷ ÙÔ˘ R. ∂Âȉ‹ char C = 0, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Q ⊂ C. ∆ÒÚ·, ·˜ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ·Ó·Ï˘ÙÈÎÒ˜ Ò˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó·Ó ηٷÛ΢¿ÛÈÌÔ ·ÚÈıÌfi ÛÙÔ Â›‰Ô. •ÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÙȘ ·ÓˆÙ¤Úˆ ηٷÛ΢¤˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ

164

7. £ÂˆÚ›· Galois

EÈÎfiÓ· 7.5: ∏ ηٷÛ΢‹ ÙÔ˘ α/β Â›Â‰Ô Ì ÚËÙ¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜, ‰ËÏ·‰‹ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô P = (q1 , q2 ) Ì q1 , q2 ∈ Q. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ·ÔÎÏÂÈÛÙÈÎÒ˜ ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ÂfiÌÂÓÔ˘˜ ÙÚÂȘ ÙÚfiÔ˘˜: (1) ˆ˜ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ, ÂοÛÙË ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÁÓˆÛÙ¿ ÛËÌ›· Ì ÚËÙ¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜, (2) ˆ˜ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÁÓˆÛÙ¿ ÛËÌ›· Ì ÚËÙ¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ Î·È ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ¤¯ÂÈ ÚËÙ¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ Î·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, (3) ˆ˜ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ¤¯Ô˘Ó ÚËÙ¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ Î·È ÔÈ ·ÎÙ›Ó˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Â›Ó·È Ú›˙˜ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ¢ÈÂÍÔ‰ÈÎfiÙÂÚ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ Ë ÚÒÙË ÂÚ›ÙˆÛË Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ÙË Ï‡ÛË ÂÓfi˜ ˙‡ÁÔ˘˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÚËÙÔ‡˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÌfiÓÔÓ ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ˆ˜ χÛË. √È ÂÚÈÙÒÛÂȘ ‰‡Ô Î·È ÙÚ›· Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙË Ï‡ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Ì ٷ a, b, c ∈ Q. ∂Ó Û˘Ó¯›·, ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ, ‰ËÏ·‰‹ ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌȘ, ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÔÈ Ï‡ÛÂȘ ÙÔ˘˜ ı· ·Ó‹ÎÔ˘Ó Â›Ù ÛÙÔ Q ›Ù Û ÌÈ· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ √ Â¤ÎÙ·ÛË Q( α) ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. ∞fi ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ ÂÓÙÔ›ÛÙËΠÌÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q, Ë ‰È·‰Èηۛ· ÌÔÚ› Ó· Â·Ó·ÏËÊı›. ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó Ô α Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ˜, ÙfiÙ √ Î·È Ô α Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ˜. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ·ԉ›¯ıËΠÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·. £ÂÒÚËÌ· 7.7.5.

7.7. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois

165

∂¿Ó Ô γ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ˜ Î·È γ ∈ Q, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ α1 , . . . , αr ∈ R Ì αr = γ , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ Q(α1 , . . . , αi ) Ó· Â›Ó·È ÌÈ· ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q(α1 , . . . , αi−1 ), ÁÈ· i = 1, . . . , r . ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, |Q(γ ) : Q| = 2n ÁÈ· οÔÈÔ n ≥ 1. ÕÚ·, ÔÈ Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÂΛÓÔÈ ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È Û Â·Ó·Ï·Ì‚·ÓfiÌÂÓ˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. £· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË È‰¤· ÁÈ· Ó· ηٷ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË Ë Â›Ï˘ÛË ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙˆÓ Î·Ù·Û΢·ÛÙÈÎÒÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.7.1. ∂›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ˜ Ô ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·‚Ô˘. ªÂ ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔÓ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ·‚Ô˘ ÔÚÈṲ̂Ó˘ ÏÂ˘Ú¿˜, Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË Ë ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ·‚Ô˘ Ì ‰ÈÏ¿ÛÈÔ fiÁÎÔ ·fi ÙÔÓ ·Ú¯ÈÎfi. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë ‰Ôı›۷ ÏÂ˘Ú¿ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 1Ø ÂÔ̤ӈ˜, Ô ·Ú¯ÈÎfi˜ fiÁÎÔ˜ Â›Ó·È 1. °È· Ó· ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÙ› Ô fiÁÎÔ˜, Ú¤ÂÈ Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ·‚Ô˜ Ì ̋ÎÔ˜ ÏÂ˘Ú¿˜ 21/3 . øÛÙfiÛÔ, ÈÛ¯‡ÂÈ |Q(21/3 ) : Q| = 3, ÂÂȉ‹ irr(21/3 , Q) = x 3 − 2. ∆Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ‰ÂÓ 2 Â›Ó·È ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 2 ηÈ, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÙÔ 21/3 ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.7.2. ∂›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË Ë ÙÚȯÔÙfiÌËÛË ÁˆÓ›·˜. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÁÂÓÈÎÒ˜ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔÓ Ó· ÙÚȯÔÙÔÌËı› ‰Ôı›۷ ÁˆÓ›· Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË. ªÈ· ÁˆÓ›· θ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌË, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ì‹ÎÔ˘˜ | cos θ| Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ. ∂Âȉ‹ cos(π/3) = 1/2, Ë ÁˆÓ›· π/3 Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌË. £· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÁˆÓ›· ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÙÚȯÔÙÔÌËı› Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈ΋ Ù·˘ÙfiÙËÙ·: cos(3θ ) = 4 cos3 (θ ) − 3 cos(θ ). ™ÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ı¤ÙÔ˘Ì θ = π/9, α = cos(π/9) Î·È Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ: 4α 3 − 3α −

1 = 0. 2

∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 4x 3 − 3x − 12 Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q Î·È ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ irr(α, Q) = x 3 − 34 x − 18 . ÕÚ· |Q(α) : Q| = 3 ηÈ, ¤ÙÛÈ, ÙÔ α ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ. ∂Ô̤ӈ˜, Î·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÁˆÓ›· θ = π/9 ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌË. ™˘ÓÂÒ˜, Ë ÁˆÓ›· π/3 Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌË, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ÙÚȯÔÙÔÌ›ٷÈ. 2

166

7. £ÂˆÚ›· Galois

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 7.7.3. ∂›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ˜ Ô ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ¢ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ÁÂÓÈÎÒ˜ ·‰‡Ó·ÙÔÓ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô ‰Ôı›˜ ·ÎÏÔ˜ ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· 1Ø Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ˜ Î·È ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ π . ∆fiÙ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ √ √ ÏÂ˘Ú¿ Ì ̋ÎÔ˜ π. ŸÌˆ˜ Ô π Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ηÈ, ¿Ú·, Ô π ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ˜. 2 ŒÓ· Â›Û˘ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· ηٷÛ΢‹˜ Ô˘ χıËΠ̠ÙË £ÂˆÚ›· Galois Â›Ó·È Ë Î·Ù·Û΢‹ ηÓÔÓÈÎÒÓ n – ÁÒÓˆÓ. ŒÓ· ηÓÔÓÈÎfi n – ÁˆÓÔ Ì n ≥ 3 Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë ÁˆÓ›· 2π Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌË, ‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó n 2π Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ cos n Â›Ó·È Î·Ù·Û΢¿ÛÈÌÔ. ∏ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ÌÂϤÙË Ù˘ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ·˜ ηٷÛ΢‹˜ ÙˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ n – ÁÒÓˆÓ ¿Ú¯ÈÛ ·fi ÙÔÓ Gauss ÛÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ‰¤Î·ÙÔ˘ ¤Ó·ÙÔ˘ ·ÈÒÓ·.

7.8

∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ R ∆ÂÏÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ F Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ R. ∞fi ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ‹ F = R ‹ |F : R| = 2 Î·È F ∼ = C. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ·Ó·‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: £ÂÒÚËÌ· 7.8.1. ∂¿Ó ÙÔ ÛÒÌ· F Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Â¤ÎÙ·ÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ R Ì |F : R| > 1, ÙfiÙ |F : R| = 2 Î·È F ∼ = C. ∂ÂÎÙ›ÓÔÓÙ·˜ οˆ˜ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ÌÈ· ÂÈϤÔÓ Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ÙˆÓ ÂÂÎÙ¿ÛÂˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ŒÓ·˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ‰È·›ÚÂÛË Â›Ó·È ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ‰ÔÌ‹ Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, fiÔ˘ fï˜ Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó·ÁηÛÙÈο ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜. ¢ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔȯ›Ô, fiÔ˘ οı ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ¤¯ÂÈ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. ™˘ÓÂÒ˜, οı ÛÒÌ· Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ‰È·›ÚÂÛË, ·ÏÏ¿, fiˆ˜ ı· ‰Ô‡Ì ηو٤ڈ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÌË ÌÂÙ·ıÂÙÈÎÔ› ‰·ÎÙ‡ÏÈÔÈ Ì ‰È·›ÚÂÛË. ŒÓ·˜ ÌË ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ‰È·›ÚÂÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛÙÚ‚Ïfi ÛÒÌ·. ∂¿Ó ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ· Î·È F ⊂ D, fiÔ˘ Ô D Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ‰È·›ÚÂÛË, ÙfiÙÂ Ô D Â›Ó·È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F ηÈ, ÂÈϤÔÓ, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜

7.8. ∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ∂ÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ R – ∆ÂÏÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

167

ÛÙÔÓ D, fiÔ˘ οı ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ¤¯ÂÈ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÈÎfi ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. ∆Ô ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ F Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Î·È ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘ Ì ‰È·›ÚÂÛË. ™ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË, Ô D ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¿ÏÁ‚ڷ Ì ‰È·›ÚÂÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Î·È Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ F ÌÂÙ·Ù›ıÂÓÙ·È Ì fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ D. ∆ÒÚ· ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ÙÚfiÔ Î·Ù·Û΢‹˜ ÌÈ·˜ ÎÏ¿Û˘ ÛÙÚ‚ÏÒÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ F Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ·, ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ηӤӷ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ‰ÂÓ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì Ìˉ¤Ó. ¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó x12 + · · · + xn2 = 0 Ì x1 , . . . , xn ∈ F, ÙfiÙ xi = 0 ÁÈ· i = 1, . . . , n. ŒÓ· ÛÒÌ· Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘Óı‹ÎË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÏÈÎÒ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÛÒÌ·. ŒÛÙˆ ÙÒÚ· ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ HF ‰È¿ÛÙ·Û˘ 4 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F Ì ‚¿ÛË ÙÔ˘ Ù· 1, i, j, k. ∆·˘Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ 1 Ì ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ F ηÈ, ÂÓ Û˘Ó¯›·, ÔÚ›˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Â› ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ HF ÔÚ›˙ÔÓÙ·˜ Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ· ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ ‚¿Û˘. ŒÛÙˆ fiÙÈ i 2 = j 2 = k 2 = −1 Î·È i jk = −1. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘' fi„ÈÓ Î·È ÙËÓ ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÔÚ›˙ÂÙ·È ¤ÙÛÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ÔÔȈӉ‹ÔÙ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ ‚¿Û˘. ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ·fi ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ i jk = −1 ¤¯Ô˘Ì i j = −k −1 = k, ÂÊfiÛÔÓ k 2 = −1. ∫·ÙfiÈÓ ik = i(i j) = (ii) j = − j. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ¿Ó¢ ‰˘ÛÎÔÏ›·˜ fiÙÈ i j = − jiØ ÂÔ̤ӈ˜, Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜. ∆Ô ÁÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ HF Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ f 0 + f 1 i + f 2 j + f 3 k. √ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ Á›ÓÂÙ·È Ì¤Ûˆ ηٿÏÏËÏˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ¯ÂÈÚÈÛÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ‹‰Ë ÔÚÈṲ̂ӷ ÁÈÓfiÌÂÓ· ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ ‚¿Û˘. ŒÙÛÈ, ÚÔ·ÙÂÈ ¤Ó·˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Â› ÙÔ˘ HF Î·È Î·ÙfiÈÓ ÂÓfi˜ ¿ÌÂÛÔ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ¤ÂÙ·È ÙÔ ÂÍ‹˜ ıÂÒÚËÌ·: £ÂÒÚËÌ· 7.8.2. °È· ¤Ó· ÔÏÈÎÒ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÛÒÌ· F, ÙÔ HF ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ¿ÏÁ‚ڷ Ì ‰È·›ÚÂÛË ‚·ıÌÔ‡ 4 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. To HF ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¿ÏÁ‚ڷ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·Ó›ˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∏ ÌfiÓË ‰˘ÛÎÔÏ›· ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È Ó· ηٷ‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈÓ. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÂÎÙÂÏÂ›Ù·È fiˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÂÌÂÚȤ¯ÂÙ·È ÙȘ ·Û΋ÛÂȘ. ŒÛÙˆ H Ë ¿ÏÁ‚ڷ ÙÂÙÚ·Ó›ˆÓ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ‰ËÏ·‰‹ H = HR . ∏ ÂÓ ÏfiÁˆ ¿ÏÁ‚ڷ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ r0 + r1 i + r2 j + r3 k, fiÔ˘ ri ∈ R. ∫·ÙfiÈÓ Ù·‡ÙÈÛ˘ ÙÔ˘ R Ì ÙËÓ ÚÒÙË Û˘ÓÈÛÙÒÛ· ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ H , ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ R ⊂ H . ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ H Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÛÙÚ‚ϋ Â¤ÎÙ·ÛË ÛÒÌ·ÙÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R. ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Â›Ó·È Ë ÌÔÓ·‰È΋ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ Â¤ÎÙ·ÛË.

168

7. £ÂˆÚ›· Galois

£ÂÒÚËÌ· 7.8.3 (£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Frobenius). ŒÛÙˆ D ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ‰È¿ÛÙ·Û˘ ¿ÏÁ‚ڷ Ì ‰È·›ÚÂÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R ‚·ıÌÔ‡ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ ÙÔ˘ 1. ∂¿Ó Ë D Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ·, ÙfiÙ |D : R| = 2 Î·È D∼ = C. ∂¿Ó Ë D Â›Ó·È ¤Ó· ÛÙÚ‚Ïfi ÛÒÌ·, ÙfiÙ |D : R| = 4 Î·È D ∼ = H. ∞fi‰ÂÈÍË. ∂¿Ó Ë D Â›Ó·È ¤Ó· ÛÒÌ·, ÙfiÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È ·ÏÒ˜ ÌÈ· Â·Ó·‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÌfiÓÔÓ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ Ë D Â›Ó·È ¤Ó· ÛÙÚ‚Ïfi ÛÒÌ·. £· ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË, ÂÓÒ ÔÈ ÏÂÙÔ̤ÚÂȤ˜ Ù˘ ÂÌÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙȘ ·Û΋ÛÂȘ. (1) ∂¿Ó Ë D Â›Ó·È ÛÙÚ‚ϋ Â¤ÎÙ·ÛË ÛÒÌ·ÙÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R, ÙfiÙ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ 4. Ÿˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ·ÔÙÂÏ› ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ·fi ÙÔ R. ∂¿Ó Ô ‚·ıÌfi˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 3, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÂÓÒ, Â¿Ó Ô ‚·ıÌfi˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 2, ÙfiÙÂ Ë ÚÔ·ÙÔ˘Û· Â¤ÎÙ·ÛË Â›Ó·È Î·Ù' ·Ó¿ÁÎËÓ ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÈÛfiÌÔÚÊË ÙÔ˘ C. (2) ∂¿Ó Ë D ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 4 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R, ÙfiÙ ÌÈ· ‚¿ÛË Ù˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· 1, e1 , e2 , e3 . ªÔÚԇ̠ӷ ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ÌË Ú·ÁÌ·ÙÈο ÛÙÔȯ›· Ù˘ ‚¿Û˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R ηÈ, ¿Ú·, Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÂÈÏÂÁÔ‡Ó Î·Ù¿ Ù¤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ӷ Û˘ÌÂÚÈʤÚÔÓÙ·È ˆ˜ Ë Ê·ÓÙ·ÛÙÈ΋ ÌÔÓ¿‰· i. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó e12 = e22 = e32 = −1. ∞fi ÙË ÌË ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfiÙËÙ· Ù˘ D ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ e1 e2 = e3 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ D ∼ = H. (3) ∂¿Ó Ë D Â›Ó·È ÌÈ· ¿ÏÁ‚ڷ Ì ‰È·›ÚÂÛË ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ R ‚·ıÌÔ‡ n + 1, ÙfiÙÂ, fiˆ˜ Î·È ·ÓˆÙ¤Úˆ, ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ‚¿ÛË 1, e1 , . . . , en Ì ei2 = −1 Î·È i = 1, . . . , n. ¢˘Ó¿ÌÂı· ÂÓ ÚÔÎÂÈ̤ӈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· οı ˙‡ÁÔ˜ i, j Ì i = j ¤¯Ô˘Ì ei e j + e j ei ∈ R. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÚÔËÁËı›۷ ·Ú·Ù‹ÚËÛË ÌÔÚԇ̠ӷ ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÂÈÙÚ¤ÂÙ·È Ë ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË ÙÔ˘ e2 Ì ÙÔ e2 , fiÔ˘ e1 e2 + e2 e1 = 0. √ (∂¿Ó e1 e2 +e2 e1 = 2c ∈ R, ÙfiÙ ı¤ÙÔ˘Ì e2 = (e2 +ce1 )/ 1 − c2 .) ∫·ÙfiÈÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ùfi Ô‰ËÁ› Û ¿ÙÔÔ, fiÙ·Ó ÙÔ n > 3. (ªÔÚԇ̠ӷ ÂÈϤÍÔ˘Ì e3 = e1 e2 Î·È ¤ÛÙˆ fiÙÈ ai j = ei e j + e j ei Ø ÙfiÙ a12 = 0. ŸÌˆ˜ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÈÛ¯‡ÂÈ −2e4 = a14 e1 + a24 e2 + a34 e3 , ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·Ú·‚È¿˙ÂÈ ÙËÓ ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›· Ù˘ ‚¿Û˘.) √ÏÔÎÏËÚÒÛ·Ì ¤ÙÛÈ ÙËÓ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ıÂÒÚËÛË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ¶ÚÔÛÂÁÁ›˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ì ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ùfi Ô˘ÛÈ·ÛÙÈÎÒ˜ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙȘ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ. ¶·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÔÈ ·ԉ›ÍÂȘ Ô˘ ÂÎÙÂϤÛÙËÎ·Ó Â›Ó·È ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜, ÂÍ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Ó· Â›Ó·È ÂÍ·ÚÙË̤Ó˜ ·fi ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ

∞Û΋ÛÂȘ

169

ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ηÈ, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ·fi ÙËÓ ÏËÚfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ. ™Ù· ÂfiÌÂÓ· ‰‡Ô ÎÂÊ¿Ï·È· ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÈϤÔÓ ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ÔÊ›ÏÔÓÙ·È Û ÌÈ· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ·fi ÙË ÛÎÔÈ¿ Ù˘ ∆ÔÔÏÔÁ›·˜.

∞Û΋ÛÂȘ 7.1. ¡· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 7.2.1. ∂¿Ó Ë R Â›Ó·È ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ‰ÔÌ‹, ÙfiÙ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ Aut(R) Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÌÈ· ÔÌ¿‰·. ∂ÈϤÔÓ, Â¿Ó Ë S Â›Ó·È ÌÈ· ˘Ô‰ÔÌ‹, ÙfiÙ ÙÔ Aut(S) Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· ÙÔ˘ Aut(R). 7.2. ŒÛÙˆ G ΢ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ 6. ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› Ë ‰ÔÌ‹ Ù˘ Aut(G). 7.3. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰· Î·È fiÙÈ Ë H Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ NG (H ) Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G Î·È fiÙÈ ÙÔ | G : NG (H ) | ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ Û˘˙˘ÁÒÓ Ù˘ H ÂÓÙfi˜ Ù˘ G. 7.4. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë G Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹ Î·È fiÙÈ Ë H Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë G/H Â›Ó·È Â›Û˘ ·‚ÂÏÈ·Ó‹. 7.5. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ p Î·È q Â›Ó·È ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ÓÔÈ ÚÒÙÔÈ Ì p > q. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ pq, ÙfiÙÂ Ë G ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÔÚıfiıÂÙË p – Sylow ˘ÔÔÌ¿‰·. 7.6. ŒÛÙˆ F ¤Ó· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ÛÒÌ·. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ F ¤¯ÂÈ p n ÛÙÔȯ›· ÁÈ· οÔÈÔÓ ÚÒÙÔ ·ÚÈıÌfi p. (Àfi‰ÂÈÍË: ÂÂȉ‹ |F| < ∞, ¤¯Ô˘Ì char F = 0 ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÚÒÙÔ ˘fiۈ̿ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ Z p . To F Â›Ó·È ÙfiÙ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Z p .) √ 7.7. (a) ŒÛÙˆ α = i + 2. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ù· irr(α, Q) Î·È |Q(α) : Q|; √ √ (b) ŒÛÙˆ α = 3 + 7. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ù· irr(α, Q) Î·È |Q(α) : Q|; √ √ √ √ 7.8. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Q( 3 + 7) = Q( 3, 7). (Àfi‰ÂÈÍË: ˘ÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ˘˜ ‚·ıÌÔ‡˜.) 7.9. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ |E : F| = n Î·È fiÙÈ ÙÔ p(x) ∈ F[x] Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. ∂¿Ó oÈ deg p(x) Î·È n Â›Ó·È ÚÒÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ÙfiÙ ÙÔ p(x) ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ E. 7.10. ∂¿Ó |E : R| < ∞, ÙfiÙ ‹ E = R ‹ E = C. 7.11. ¡· ¢ÚÂı› Ë ÔÌ¿‰· Galois Î·È Ô Û‡Ó‰ÂÛÌÔ˜ ÙˆÓ ˘ÔÛˆÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ‰È¿Û·Û˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ x 3 − 6 ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ Q. 7.12. ŒÛÙˆ G ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰·. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ G = Gal(K /F), ÁÈ· οÔÈ· ÛÒÌ·Ù· F Î·È K , fiÔ˘ ÙÔ K Â›Ó·È ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Galois ˘ÂÚ¿Óˆ ÙÔ˘ F. 7.13. ∂¿Ó G Â›Ó·È ÔÌ¿‰· Î·È g1 , g2 ∈ G, ÙfiÙÂ Ô ÌÂÙ·ı¤Ù˘ ÙˆÓ g1 Î·È g2 , Ô ÔÔ›Ô˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì [g1 , g2 ], Â›Ó·È ÙÔ g1 g2 g1−1 g2−1 . ∏ ÌÂÙ·ı¤ÙÚÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G, Ë ÔÔ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì G  , ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G Ô˘ ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÌÂÙ·ı¤Ù˜. (a) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë G  Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G.

170

7. £ÂˆÚ›· Galois (b) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë G/G  Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹. (c) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó Ë G/H Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹, ÙfiÙ G  ⊂ H .

7.14. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÂÈχÛÈÌË Î·È Ë H Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G, ÙfiÙÂ Ë H Â›Ó·È Â›Û˘ ÂÈχÛÈÌË. ∂¿Ó Ë H Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË ÛÙËÓ G, ÙfiÙÂ Ë G/H Â›Ó·È Î·È ·˘Ù‹ ÂÈχÛÈÌË. 7.15. ŒÛÙˆ α = r0 + r1 i + r2 j + r3 k ¤Ó· Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÙÂÙÚ¿ÓÈÔ, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ α ∈ H . OÚ›˙Ô˘Ì ÙÔÓ Û˘˙˘Á‹ ÙÔ˘ ˆ˜ α = r0 − r1 i + r2 j + r3 k. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ αα Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ηÈ, ÂÓ Û˘Ó¯›·, Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ÁÈ· Ó· ÔÚÈÛÙ› Ô ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˜ οı ÌË ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ÙÂÙÚ¿ÓÈÔ˘. 7.16. ¡· Û˘ÌÏËÚˆıÔ‡Ó ÔÈ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ fiÙÈ, ÁÈ· ¤Ó· ÔÏÈÎÒ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÛÒÌ· F, Ë HF Â›Ó·È ÌÈ· ¿ÏÁ‚ڷ Ì ‰È·›ÚÂÛË. 7.17. ¡· Û˘ÌÏËÚˆıÔ‡Ó ÔÈ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 7.8.3. 7.18. ŒÛÙˆ Sn Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ˘ÔÔÌ¿‰· Â› ÙˆÓ n Û˘Ì‚fiψÓ. ∏ Sn ÌÔÚ› ÙfiÙ ӷ ıˆÚËı› ˆ˜ Ë ÔÌ¿‰· ÌÂٷٿÍÂˆÓ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ {1, 2, . . . , n}. ªÈ· ÌÂٿٷÍË σ ∈ Sn Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ Ù¿Í˘ k, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ {i 1 , i 2 , . . . , i k } ÙÔ˘ {1, 2, . . . , n} Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ σ (i 1 ) = i 2 , σ (i 2 ) = i 3 , . . . , σ (i k ) = i 1 (Ô σ ÍÂÎÈÓ¿ Ì ÙÔ i 1 , ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ , . . . , i k } Î·È Î·ÙfiÈÓ ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÛÙÔ i 1 ). ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ë ‰È·‰Ô¯ÈοÙÔ {i 1 , i 2  3 4 6 ÌÂٿٷÍË Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ Ù¿Í˘ 3 Ô ÔÔ›Ô˜ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ S6 . ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì 4 6 3 ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ·Ú¯›˙ÔÓÙ·˜ Ì ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·Î¤Ú·ÈÔ Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈÛ ·˘ÙfiÓηÈ, ÂÓ Û˘Ó¯›·, 3 4 6 ÙÔÔıÂÙԇ̠ÛÙË ÛÂÈÚ¿ ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ ÙÔ˘. ŒÙÛÈ Ô 3 – ·ÎÏÔ˜ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ˆ˜ 4 6 3 (346). (a) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÌÂٿٷÍË ÛÙÔ Sn Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ7 ·ÎψÓ. (Àfi‰ÂÈÍË: ¤ÛÙˆ fiÙÈ σ ∈ Sn . •ÂÎÈÓ‹ÛÙ Ì ÙÔ 1 Î·È ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ‰È·ÈÛÙÒÛÙ ÙÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÛÙ· σ (1) Î·È σ (σ (1)). ∂Ó Ù¤ÏÂÈ ı· Ú¤ÂÈ Ó· Â·Ó·Î˘ÎÏÒÓÔÓÙ·È ÛÙÔ 1. ∫·ÙfiÈÓ Ó· ıˆڋÛÂÙ ÙÔÓÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·Î¤Ú·ÈÔ  Ô ÔÔ›Ô˜ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ Û ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ 1 2 3 4 5 ·ÎÏÔ.) ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, = (123)(45). 2 3 1 5 4 (b) ªÈ· ·ÓÙÈÌÂÙ¿ıÂÛË Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ Ù¿Í˘ 2. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÌÂٿٷÍË ÛÙÔ Sn ÌÔÚ› Ó· ÂÎÊÚ·ÛÙ› ˆ˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·ÓÙÈÌÂÙ·ı¤ÛÂˆÓ (fi¯È ··Ú·Èًو˜ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ). (Àfi‰ÂÈÍË: Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ·ÎÏÔ˜ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·ÓÙÈÌÂÙ·ı¤ÛˆÓ.) (c) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÌÂٷٿÍÂˆÓ ÙÔ˘ Sn Ô˘ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ˆ˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ ¿ÚÙÈÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ·ÓÙÈÌÂÙ·ı¤ÛÂˆÓ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· ÙÔ˘ Sn Ì ‰Â›ÎÙË 2. ∞˘Ù‹ Ë ˘ÔÔÌ¿‰· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Û· ÔÌ¿‰· Â› ÙˆÓ n Û˘Ì‚fiÏˆÓ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì An . °ÂÓÈÎÒ˜ ÌÈ· ÌÂٿٷÍË Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·, Â¿Ó ÌÔÚ› Ó· ÂÎÊÚ·ÛÙ› ˆ˜ ¿ÚÙÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·ÓÙÈÌÂÙ·ı¤ÛˆÓ, Î·È ÂÚÈÙÙ‹, Â¿Ó ‰ÂÓ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î¿ÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ. ∂Ô̤ӈ˜, Ë ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Û· ÔÌ¿‰· Â›Ó·È Ë ˘ÔÔÌ¿‰· ÙˆÓ ¿ÚÙÈˆÓ ÌÂٷٿ͈Ó. 7 ™.Ù.ª.

∞fi‰ÔÛË ÙÔ˘ fiÚÔ˘ «disjoint»Ø ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ·ÎÏÔ˘˜ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ÛÙÔȯ›·.

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 8

∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ 8.1

∞ÚÈıÌfi˜ ¶ÂÚȤÏÈ͢ Î·È ¶¤ÌÙË ∞fi‰ÂÈÍË

Œˆ˜ ÙÒÚ· ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·Ì ٤ÛÛÂÚÂȘ ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. √È ‰‡Ô ÚÒÙ˜ ÛÙËÚ›¯ıËÎ·Ó ·ÔÎÏÂÈÛÙÈÎÒ˜ ÛÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË, ÂÓÒ ÔÈ ¿ÏϘ ‰‡Ô ÂÚÈ›¯·Ó ÌÈ· ¢Ú›· Û˘ÏÏÔÁ‹ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ. øÛÙfiÛÔ, Ú¤ÂÈ Ó· ÂÈÛËÌ¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ Î·È ·fi ·˘Ù¤˜ ·ÎfiÌË ÙȘ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·ԉ›ÍÂȘ ‰ÂÓ ·Ô˘Û›·˙ ÂÓÙÂÏÒ˜ Ë £ÂˆÚ›· ∞Ó¿Ï˘Û˘. √È ·ÓˆÙ¤Úˆ ·ԉ›ÍÂȘ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏfi ÙÔ˘˜ ÛÙËÚ›˙ÔÓÙ·Ó ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜ ÙÔ ÔÔ›Ô ‚·Û›˙ÂÙ·È Û ÌÈ· ÙÔÔÏÔÁÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·, ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·. ∆ÒÚ·, Û˘ÌÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ ÙÔ ·ÚfiÓ Î›ÌÂÓÔ, ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÂÏÈÎfi ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ ·ԉ›ÍÂˆÓ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔÔÏÔÁÈο ÂȯÂÈÚ‹Ì·Ù·. ∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Î·Ì‡ÏË: γ (t) = z 0 + r eit , 0 ≤ t ≤ 2nπ. ∞fi ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¿Ô„Ë ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ô˘ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È n ÊÔÚ¤˜ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 . ªÂ ·˘Ùfi ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ Î·ÙfiÈÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ¤ÂÙ·È: 1 2πi

 γ

dz 1 = z − z0 2πi 171

 0

2nπ

ir eit dt = n. r eit

172

8.

∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

∆Ô n ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÚÈıÌfi˜ ÂÚȤÏÈ͢ Ù˘ ηÌ‡Ï˘ γ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ z 0 . °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Â¿Ó Ë γ Â›Ó·È ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÎÏÂÈÛÙ‹ Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË ÛÙÔ C Î·È z 0 ∈ C − Imγ , ÙfiÙ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ:  dz 1 n(γ , z 0 ) = 2πi γ z − z 0 Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜, Ô ÔÔ›Ô˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÚÈıÌfi˜ ÂÚȤÏÈ͢ Ù˘ γ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ z 0 . ∞˜ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË g(z) = z n . ŒÛÙˆ Cr Ô Î‡ÎÏÔ˜ z = r eit , fiÔ˘ 0 ≤ t ≤ 2π , Ì ·ÎÙ›Ó· r Î·È Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ∆fiÙÂ, Â› ÙÔ˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ¤¯Ô˘Ì z n = r n eint . ∫·ıÒ˜ ÙÔ t ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ ÙȘ ÙÈ̤˜ ·fi ÙÔ 0 ¤ˆ˜ ÙÔ 2π, ÙÔ z ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È Ì›· ÊÔÚ¿ Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. ™˘Á¯ÚfiÓˆ˜, ÙÔ nt Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÈ̤˜ ·fi ÙÔ 0 ¤ˆ˜ ÙÔ 2nπ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ z n ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È n ÊÔÚ¤˜ Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ r n . ŒÙÛÈ, ϤÌ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÂÚȤÏÈ͢ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ z n ÈÛÔ‡Ù·È Ì n. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÚȤÏÈ͢ ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÌÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. ∂Ó ÚÒÙÔȘ fï˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÁÂÓÈ·ÛÔ˘Ì ÙËÓ È‰¤· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÚȤÏÈ͢ ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. ∂¿Ó γ Â›Ó·È ÌÈ· ÎÏÂÈÛÙ‹ Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË Î·È Ë f : C → C ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÙfiÙÂ Ë f (γ ) Â›Ó·È Â›Û˘ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, Â¿Ó Ë f (γ ) ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ n Á‡Úˆ ·fi ÙÔ z 0 , Ë f ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÈ n ÊÔÚ¤˜ ÙËÓ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ z 0 . H ϤÔÓ ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÁÈ· ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È ·˘Ù‹ ηٿ ÙËÓ ÔÔ›· Ë γ ·ÔÙÂÏ› ·ÎÏÔ. ∂¿Ó ÙÒÚ· ÔÈ f (z) Î·È g(z) Â›Ó·È ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÎÔÓÙ¿ Û ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Cr Ì ·ÎÙ›Ó· r Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ, ÙfiÙ ·ÌÊfiÙÂÚ˜ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f (z) Î·È g(z) ı· ÂÚÈÂÏ›ÛÛÔ˘Ó ÙÔÓ Cr ÈÛ¿ÚÈı̘ ÊÔÚ¤˜ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó | f (z) − g(z)| <  ÁÈ· ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÈÎÚ¿  Â› ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ r , ÙfiÙ ÔÈ f (Cr ) Î·È g(Cr ) ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ¶·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÌÔÚ› Ó· ·Ô‰Âȯı› Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·, ı· ÚԂԇ̠ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÌÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ Û˘ÓÙ·ÍȉÈÒÙË. ∆ÂÏ›ˆ˜ ·ÚfiÛÌÂÓ·, Ë È‰ÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ·¤ÎÙËÛ Ôχ ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ı¤ÛË ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚÈ΋ £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ. ∞˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ‰‡Ô Ù·ÍȉÈÒÙ˜ ‰Â̤ÓÔ˘˜ Ì ÛÎÔÈÓ›. ∂¿Ó Ô ¤Ó·˜ Ù·ÍȉÈÒÙ˘ { f (z)} ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ ÙËÓ ÂÚÈʤÚÂÈ· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, ÙfiÙÂ Ô Û˘ÓÙ·ÍȉÈÒÙ˘ ÙÔ˘ {g(z)} ı· ‰È·ÁÚ¿„ÂÈ Â›Û˘ ÌÈ· ÙÚԯȿ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ·ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ Èı·ÓfiÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ‰ÚfiÌÔ, ·ÚΛ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ {} ÙÔ˘ ÛÎÔÈÓÈÔ‡ Ó· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ∏ ÂÓ ÏfiÁˆ ȉÈfiÙËÙ· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 8.1. ∆ÒÚ· ·ÎÔÏÔ˘ı› Ë ¤ÌÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜.

8.1.

∞ÚÈıÌfi˜ ¶ÂÚȤÏÈ͢ Î·È ¶¤ÌÙË ∞fi‰ÂÈÍË

173

EÈÎfiÓ· 8.1: ∏ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ Û˘ÓÙ·ÍȉÈÒÙË £ÂÒÚËÌ· 8.1.1 (£ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜). ∫¿ı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∞fi‰ÂÈÍË. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ f (z) = an z n + . . . + a0 Ì an = 0 Î·È n ≥ 1. ∞Ó·˙ËÙÒÓÙ·˜ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÌÔÚÔ‡ÌÂ, ¯ˆÚ›˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜, Ó· ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ an = 1, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ: f (z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a0 . ∂¿Ó ÙÔ a0 = 0, ÙfiÙ ÙÔ z = 0 Â›Ó·È ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ a0 = 0. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË C → C Î·È fiÙÈ ÙfiÙÂ: lim

z→∞

zn = 1. f (z)

™˘ÓÂÒ˜, ÁÈ· ¤Ó·Ó ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ Î‡ÎÏÔ Cr ¤¯Ô˘ÌÂ: |z n − f (z)| ≤ λr n ,

(8.1.1)

fiÔ˘ 0 < λ < 1 Î·È ÙÔ z ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Â› ÙÔ˘ Cr . °È· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ r > 0, ÙÔ z n ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÈ ÙÔÓ Cr Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ n ÊÔÚ¤˜. ∂Ô̤ӈ˜, ·fi ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ Û˘ÓÙ·ÍȉÈÒÙË, Ë f (z) ı· ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÈ ¤Ó·Ó ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ Î‡ÎÏÔ Cr Â›Û˘ n ÊÔÚ¤˜ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ.

174

8.

∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

°È· ÌÈ· ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÈÎÚ‹ ·ÎÙ›Ó· r , Ë f (z)
a0 Â› ÙÔ˘ Cr ηÈ, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Ë f (Cr ) ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ¤Ó·Ó ‚Úfi¯Ô Á‡Úˆ ·fi ÙÔ a0 Î·È ‰ÂÓ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È Î·ıfiÏÔ˘ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ1 . ∂Âȉ‹ Ë f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, Ë f (Cr ) ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È Î·Ù¿ Û˘Ó¯‹ ÙÚfiÔ ·fi ÙÔ r . ∂ÊfiÛÔÓ Ë f (Cr ) ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ 0 ÁÈ· ÌÈÎÚ‹ ·ÎÙ›Ó· r Î·È ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È n ÊÔÚ¤˜ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ ÁÈ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ· r , Ú¤ÂÈ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ÂӉȿÌÂÛË ·ÎÙ›Ó· r1 , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ë f (Cr1 ) Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ∂Ô̤ӈ˜, Ú¤ÂÈ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô z 0 Â› ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Cr1 Ì f (z 0 ) = 0, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ·. ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ·fi‰ÂÈÍË Û ÌÈ· ÁÂÓÈ΋ ÙÔÔÏÔÁÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜. °È· ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛË ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˘ ·fi‰ÂÈ͢ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË Ë ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Î·È ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ ·fi ÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›·.

8.2

∆ÔÔÏÔÁ›· – ÌÈ· ∂ÈÛÎfiËÛË

∏ ∆ÔÔÏÔÁ›· Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi˜ ÎÏ¿‰Ô˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ÌÂÁ¿ÏÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÚԤ΢„ ·fi ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ, fiˆ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È, ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂÈ¤‰Ô˘. ∞fi ÊÈÏÔÏÔÁÈ΋ ¿Ô„Ë, Ë Ï¤ÍË ÙÔÔÏÔÁ›· ÛËÌ·›ÓÂÈ ÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË (‹ ÙËÓ ÂÈÛÙ‹ÌË) Ù˘ ı¤Û˘ Î·È Û ·Ï·ÈfiÙÂÚ· ΛÌÂÓ· ··ÓÙ¿ Ô fiÚÔ˜ analysis situs ˆ˜ Û˘ÓÒÓ˘ÌÔ˜ Ù˘ Ϥ͢ ÙÔÔÏÔÁ›·. ∆ÔÔÏÔÁÈΤ˜ Â›Ó·È ÂΛӘ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ Î·ÙËÁÔÚ›· ·Ó‹ÎÔ˘Ó ¤ÓÓÔȘ fiˆ˜ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ, ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ, Û˘Ì·Á¤˜ Û‡ÓÔÏÔ Î·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ. ∂Ô̤ӈ˜, Ë ∆ÔÔÏÔÁ›· ·Û¯ÔÏÂ›Ù·È Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙ˜ ·fi ÙȘ Û˘Ó¯›˜ ·ÌÊÈÚÚÈÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, fiÔ˘ ‚‚·›ˆ˜ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ˜ ¤Ó·˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ˜ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜. ∂Ó Á¤ÓÂÈ, ∆ÔÔÏÔÁ›· Â›Ó·È Ë ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÓÓÔËıÔ‡Ó ˆ˜ ÔÈ ϤÔÓ ÁÂÓÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ ÛÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÔÚÈÛÙ› Ë Û˘Ó¤¯ÂÈ·. ∆· ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘ÁÎÂÎÚÈÌÂÓÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 8.4. πÛÙÔÚÈÎÒ˜ Ë ∆ÔÔÏÔÁ›· ·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ‰‡Ô ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ÔÚ›˜ ·Ó¿Ù˘Í˘, ÔÈ Ôԛ˜ ÂÈηχÙÔÓÙ·È. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÚÒÙË ·fi ·˘Ù¤˜, Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¯ÚÔÈ¿, ¤Ó·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ¤Ó·˜ ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓÔ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜. ¢‡Ô Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ› Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ› ÏÔÁ›˙ÔÓÙ·È ˆ˜ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔÈ, fiÙ·Ó Ô ¤Ó·˜ ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ Î·ÙfiÈÓ Û˘Ó¯ԇ˜ ·Ú·ÌfiÚʈÛ˘ ÙÔ˘ 1 ™.Ù.ª.

∆Ô Û‡Ì‚ÔÏÔ «
» ÛËÌ·›ÓÂÈ « ηٿ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË » .

8.2.

∆ÔÔÏÔÁ›· – ÌÈ· ∂ÈÛÎfiËÛË

175

¿ÏÏÔ˘. ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂͤÏÈÍË ·¤‰ˆÛ ÛÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›· ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· «ÁˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ ÂÏ·ÛÙÈÎÔ‡ ʇÏÏÔ˘» ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ Ô˘ ıˆÚÔ‡ÓÙ·È ÙÔÔÏÔÁÈÎÒ˜ Ù·˘ÙfiÛËÌ·, fiÙ·Ó ÙÔ ¤Ó· ÌÂÙ·Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ¿ÏÏÔ ¯ˆÚ›˜ Ó· ÌÂÛÔÏ·‚‹ÛÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛΛÛÈÌÔ. ŒÙÛÈ, ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ Â›Ó·È Î·Ù¿ Ì›· ¤ÓÓÔÈ· ÙÔÔÏÔÁÈÎÒ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË, ÂÓÒ ¤Ó·˜ ÙfiÚÔ˜ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È ÙÔÔÏÔÁÈÎÒ˜ Ì ÌÈ· ÛÊ·›Ú· Ì ¯ÂÚÔ‡ÏÈ. ™ÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 8.2 ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ ηٿÛÙ·ÛË.

EÈÎfiÓ· 8.2: πÛÔ‰‡Ó·ÌÔÈ ¯ÒÚÔÈ ÛÙËÓ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· ∏ ™‡Á¯ÚÔÓË ∆ÔÔÏÔÁ›· ˘ÂÚ‚·›ÓÂÈ ÙË ÁˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ ÂÏ·ÛÙÈÎÔ‡ ʇÏÏÔ˘Ø ÙÔ ÛΛÛÈÌÔ, ÙÔ Îfi„ÈÌÔ Î·È Ë ÂÈÎfiÏÏËÛË ÂÈÙÚ¤ÔÓÙ·È ·ÚΛ Ó· ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È Î·Ù¿ Û˘Ó¯‹ ÙÚfiÔ. øÛÙfiÛÔ, ÔÈ È‰¤Â˜ Ù˘ ÁˆÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ÂÏ·ÛÙÈÎÔ‡ ʇÏÏÔ˘ ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó. ™ÙË ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ‰›‰ÂÙ·È ¤ÌÊ·ÛË ÛÙÔ˘˜ ¯ÒÚÔ˘˜ ·˘ÙÔ‡˜ ηı·˘ÙÔ‡˜, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Ô‰‹ÁËÛ ÛÙË ıÂÌÂÏ›ˆÛË Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ √ÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È √ÌÔÙÔ›·˜ (Ô˘ ı· Û˘˙ËÙËı› ÂÎÙÂÓÒ˜ ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ), ηıÒ˜ Î·È ÛÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁÈ΋ £ÂˆÚ›· ¶ÔÏ˘Ù˘ÁÌ¿ÙˆÓ (‰ËÏ·‰‹ ¯ÒÚˆÓ ÔÈ ÔÔ›ÔÈ «ÙÔÈÎÒ˜» ÌÔÈ¿˙Ô˘Ó Ì ÙÔÓ Â˘ÎÏ›‰ÂÈÔ ¯ÒÚÔ). √ ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ‰ÚfiÌÔ˜ Ù˘ ∆ÔÔÏÔÁ›·˜ ÁÂÓÈ·ÂÈ ÙËÓ ∞Ó¿Ï˘ÛË. ∂‰Ò ‰›‰ÂÙ·È È‰È·›ÙÂÚË ‚·Ú‡ÙËÙ· ÛÙȘ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Î·È ÛÙȘ ȉÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜. √È ›‰ÈÔÈ ÔÈ ¯ÒÚÔÈ ıˆÚÔ‡ÓÙ·È ·ÏÒ˜ ˆ˜ ‰›· ÔÚÈÛÌÔ‡ Î·È ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. ∞˘Ù‹ Ë ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË Ô‰‹ÁËÛ ÛÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË «ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓˆÓ» ¢ÎÏ›‰ÂȈÓ

176

8.

∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

¯ÒÚˆÓ (fiˆ˜ Â›Ó·È ÔÈ ¯ÒÚÔÈ Banach Î·È Hilbert), ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ‰È·ÊfiÚÈÛ˘ Î·È Ù˘ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘. ∏ ∆ÔÔÏÔÁ›· ‰È·ı¤ÙÂÈ Ï›ÛÙ˜ ˘ԉȷÈÚ¤ÛÂȘ, ·ÏÏ¿ ÂÓ Á¤ÓÂÈ ‰È·Û¿Ù·È Û ‰‡Ô ΢ڛˆ˜ ÎÏ¿‰Ô˘˜. √ ÚÒÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ™˘ÓÔÏÔıˆÚËÙÈ΋, ‹ °ÂÓÈ΋, ∆ÔÔÏÔÁ›· (ÛÙËÓ ÔÔ›· ı· ˘ÂÈÛ¤ÏıÔ˘Ì ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›· ÛÙÔ ·ÚfiÓ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ) Î·È ·Û¯ÔÏÂ›Ù·È ¿ÌÂÛ· Ì ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ. √ ‰Â‡ÙÂÚÔ˜, ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÌÂÏÂÙÒÓÙ·È ÔÈ ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î·È ÔÈ ÙÔÔÏÔÁÈΤ˜ ‰Ô̤˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ, fiˆ˜ Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜ Î·È ÔÈ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔÈ, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›·. √ÚÈṲ̂ӷ ‚·ÛÈο ÂÚÁ·Ï›· Ù˘, Ù· ÔÔ›· Ì¿ÏÈÛÙ· ı· Ô‰ËÁ‹ÛÔ˘Ó Î·È ÛÙËÓ ÙÂÏÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ.

8.3

™˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È ªÂÙÚÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

Ÿˆ˜ ÚԷӷʤڷÌÂ, Ë ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ÔÈ ÙÔÔÏÔÁÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜. ™ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ÂÓfiÙËÙ· ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ı· ÁÂÓÈ·ÛÔ˘Ì ÙȘ ¤ÓÓÔȘ ·˘Ù¤˜. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÌÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÌÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ y = f (x) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x0 , Â¿Ó ÁÈ· οı  > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· δ > 0 (ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ  Î·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0 ) Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ | f (x) − f (x0 )| <  οı ÊÔÚ¿ Ô˘ |x − x0 | < δ. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = f (x) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b], Â¿Ó Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ [a, b]. ™ÙÔÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÚÈÛÌfi ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÌÂÙÚÔ‡Ó ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ¢ı›·˜Ø ¤ÙÛÈ, Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜  > 0, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ δ > 0, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ, fiÙ·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ x Î·È ÙÔ˘ x0 Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi δ, Ë ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ f (x) Î·È f (x0 ) Ó· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi . Ÿˆ˜ ›‰·Ì ÛÙȘ ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4, Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Û¯Â‰fiÓ Ï¤ÍË ÚÔ˜ ϤÍË ÛÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔ R2 ˆ˜ ÂÍ‹˜: ¤ÛÙˆ P0 = (x0 , y0 ) ∈ R2 Ø Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ z = f (x, y) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ P0 , Â¿Ó ÁÈ· οı  > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ δ > 0 (ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ  Î·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô P0 ) Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ | f (x, y) − f (x0 , y0 )| <  οı ÊÔÚ¿ Ô˘ |(x, y) − (x0 , y0 )| < δ. ∏ ·ÓˆÙ¤Úˆ ‰Â‡ÙÂÚË ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÛÙÔ R2 . £· ·Ó·‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÁÈ· Ó· ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì Û ÌÈ· Â¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ı· ‰ËÏÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ x Î·È y Ì d(x, y) ›Ù ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¢ı›· R ›Ù ÛÙÔ Â›Â‰Ô R2 . ∆fiÙÂ, ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË z = f (P) ·fi

8.3.

177

™˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È ªÂÙÚÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

ÙÔ R2 ÛÙÔ R Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ P0 ∈ R2 , Â¿Ó ÁÈ· οı  > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· δ > 0 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ d( f (P), f (P0 )) <  οı ÊÔÚ¿ Ô˘ d(P, P0 ) < δ. (¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ ÙÔ ÚÒÙÔ d ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ R, ÂÓÒ ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ R2 .) ∂ÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, fiˆ˜ Î·È ÛÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÌÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜, Ë z = f (P) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οÔÈÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R2 , Â¿Ó Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘. ∂Ô̤ӈ˜, Â›Ó·È Û·Ê¤˜ fiÙÈ ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ› Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÛÙ· R Î·È R2 ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÂÎÙ·ıÔ‡Ó Û ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ n – ‰È¿ÛÙ·ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ Rn , ˘fi ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙÚËı›. √ÚÈÛÌfi˜ 8.3.1. ŒÛÙˆ P1 = (x1 , . . . , xn ) Î·È P2 = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn . ∆fiÙÂ Ë ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ P1 ÛÙÔ P2 , Ë ÔÔ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì d(P1 , P2 ), ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜:   n  d(P1 , P2 ) =  (xi − yi )2 . i=1

¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ ·˘Ùfi ·ÔÙÂÏ› ·ÏÒ˜ ÁÂӛ΢ÛË ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÛÙÔ R2 . ªÔÚԇ̠¿ÌÂÛ· (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ) Ó· Â·ÏËı‡ÛÔ˘Ì ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ô ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÈηÓÔÔÈ› fiϘ ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÛÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË. §‹ÌÌ· 8.3.1. ŒÛÙˆ d : Rn × Rn → R Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·fiÛÙ·Û˘ Â› ÙÔ˘ Rn , fiˆ˜ ·˘Ù‹ ÔÚ›ÛÙËΠÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. ∆fiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: (1) d(P1 , P2 ) ≥ 0 ÁÈ· οı P1 , P2 ∈ Rn Î·È d(P1 , P2 ) = 0, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó P1 = P2 , (2) d(P1 , P2 ) = d(P2 , P1 ) ÁÈ· fiÏ· Ù· P1 , P2 ∈ Rn , (3) d(P1 , P2 ) ≤ d(P1 , P3 ) + d(P3 , P2 ) ÁÈ· fiÏ· Ù· P1 , P2 , P3 ∈ Rn (ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ·). ∂ÊfiÛÔÓ ÔÚ›ÛÙËÎÂ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘, ÔÚ›˙ÂÙ·È Î·È Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÌÈ·˜ Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ‰ÂÓ ··ÈÙÂ›Ù·È ϤÔÓ Ó· Â›Ó·È ÙÔ R. √ÚÈÛÌfi˜ 8.3.2. ŒÛÙˆ f : Rn → Rm . ∏ f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ P0 ∈ Rn , Â¿Ó ÁÈ· ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ  > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· δ > 0 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ·fi d(P, P0 ) < δ Ó· Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ d( f (P), f (P0 )) < . H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ U ⊂ Rn , Â¿Ó Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ U .

178

8.

∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

™Ù· ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ·, ÌÔÓ·‰È΋ ÚÔ¸fiıÂÛË ÁÈ· ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ‹Ù·Ó Ë ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ̤ÙÚËÛ˘ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘. ∆ÒÚ· ÁÂÓÈ·ԢÌ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË Î·È ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ¯ÒÚÔ˘˜ Ì ÌÂÙÚ‹ÛÈÌË ·fiÛÙ·ÛË. √ÚÈÛÌfi˜ 8.3.3. ŒÛÙˆ M ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ. ªÈ· ÌÂÙÚÈ΋, ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·fiÛÙ·Û˘, Â› ÙÔ˘ M Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË d : M × M → R Ë ÔÔ›· ÈηÓÔÔÈ› Ù· ÂÍ‹˜: (1) d(x, y) ≥ 0 ÁÈ· οı x, y ∈ M Î·È d(x, y) = 0, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x = y, (2) d(x, y) = d(y, x) ÁÈ· fiÏ· Ù· ˙‡ÁË x, y ∈ M, (3) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ x, y, z ∈ M (·˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ·). ŒÓ·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ (M, d) ··ÚÙÈ˙fiÌÂÓÔ ·fi ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ M Î·È ÌÈ· ÌÂÙÚÈ΋ d Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Â› ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘. ∆· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ M ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 8.3.1. (1) °È· οı n ≥ 1, Ô n – ‰È¿ÛÙ·ÙÔ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Rn ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Ì ÙË ÌÂÙÚÈ΋ ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ 8.3.1. √ ¯ÒÚÔ˜ Rn , ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ˜ Ì ·˘Ù‹Ó ÙË ÌÂÙÚÈ΋, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È n – ‰È¿ÛÙ·ÙÔ˜ ¢ÎÏ›‰ÂÈÔ˜ ¯ÒÚÔ˜. (2) ŒÛÙˆ C 0 [a, b] ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b]. ŒÛÙˆ f (x), g(x) ∈ C 0 [a, b]. £¤ÙÔ˘ÌÂ:  d( f (x), g(x)) =

b

1/2 | f (x) − g(x)| d x 2

.

a

∏ ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ÌÂÙÚÈ΋ Â› ÙÔ˘ C 0 [a, b] (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ), ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ÙËÓ ÂÓ ÏfiÁˆ ÌÂÙÚÈ΋ Á›ÓÂÙ·È ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. (3) ŒÛÙˆ C 0 [a, b] ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b]. ∂¿Ó f (x), g(x) ∈ C 0 [a, b], ÙfiÙ ı¤ÙÔ˘ÌÂ: d( f (x), g(x)) = max[a,b] | f (x) − g(x)|. ∏ Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ÔÚ›˙ÂÈ Â›Û˘ ÌÈ· ÌÂÙÚÈ΋ Â› ÙÔ˘ C 0 [a, b], ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ÙËÓ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı›۷ ÌÂÙÚÈ΋ Á›ÓÂÙ·È ÔÌÔ›ˆ˜ ¤Ó·˜ (‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi˜) ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ∆· ·ÓˆÙ¤Úˆ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ηٷ‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó fiÙÈ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÂÓ‰¤¯ÂÙ·È Ó· ‰È·ı¤ÙÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi Ì›· ÌÂÙÚÈΤ˜. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ۇÓÔÏÔ M ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·˜ d(x, y) = 0, Â¿Ó x = y, Î·È d(x, y) = 1, Â¿Ó x = y. ŸÌˆ˜, ÛÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, Ë ÌÂÙÚÈ΋ ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÂӉȷʤÚÔÓ. 2

8.3.

179

™˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È ªÂÙÚÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

√È ‰‡Ô ÌÂÙÚÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ ÙÔ˘ ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ 8.3.1 ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÌÈ·˜ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ˘ ηÙËÁÔÚ›·˜ ¯ÒÚˆÓ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È Û ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ. ∞˘ÙÔ› η٤¯Ô˘Ó ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ı¤ÛË ÛÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË Î·È, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ı· ÙÔ˘˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›·. √ÚÈÛÌfi˜ 8.3.4. ŒÛÙˆ V ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ R. ∂ÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ Â› ÙÔ˘ V Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË  ,  : V × V → R Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (1) x, x ≥ 0 ÁÈ· οı x ∈ V Î·È x, x = 0, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x = 0 (ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ‰È¿Ó˘ÛÌ·), (2) x, y = y, x ÁÈ· fiÏ· Ù· ˙‡ÁË ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ x, y ∈ V , (3) x + y, z = x, z + y, z ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ x, y, z ∈ V , (4) αx, y = αx, y ÁÈ· οı x, y ∈ V Î·È α ∈ R. ÃÒÚÔ˜ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ V Ì οÔÈÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÔÚÈṲ̂ÓÔ Â› ·˘ÙÔ‡. ™Ù¿ıÌË Â› ÙÔ˘ V Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË | |: V → R Ë ÔÔ›· ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜: (1) |x| ≥ 0 ÁÈ· οı x ∈ V Î·È |x| = 0, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x = 0, (2) |αx| = |α||x| ÁÈ· fiÏ· Ù· x ∈ V Î·È α ∈ R, (3) |x + y| ≤ |x| + |y| ÁÈ· fiÏ· Ù· ˙‡ÁË ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ x, y ∈ V . ™Ù·ıÌÈṲ̂ÓÔ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ V ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ˜ Ì ÌÈ· ÛÙ¿ıÌË. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 8.3.2. √ Rn Â›Ó·È ¤Ó·˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ: P1 , P2  =

n 

xi yi ,

i=1

fiÔ˘ P1 = (x1 , . . . , xn ) Î·È P2 = (y1 , . . . , yn ). ∂ÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, Ô Rn Â›Ó·È ¤Ó·˜ n ÛÙ·ıÌÈṲ̂ÓÔ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì |P1 | = ( i=1 xi2 )1/2 . ∂›Ó·È ¿ÌÂÛË Ë ‰È·›ÛÙˆÛË fiÙÈ ÔÈ ·ÓˆÙ¤Úˆ Û¯¤ÛÂȘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î·È ÌÈ· ÛÙ¿ıÌË Â› ÙÔ˘ Rn . ∫·Ù¿ οÔÈÔÓ ÙÚfiÔ Ô Rn ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· ηıÔÏÈÎfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·. ∂ÈϤÔÓ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ, Â¿Ó P1 , P2 ∈ Rn , ÙfiÙ d(P1 , P2 ) = 2 |P1 − P2 | ÁÈ· ÙË ÛÙ¿ıÌË Ô˘ ÔÚ›ÛÙËΠ·ÓˆÙ¤Úˆ. √È ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔ ı¤Ì· ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ÏfiÁˆ ÙˆÓ ÏËÌÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó.

180

8.

∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

§‹ÌÌ· 8.3.2. √ÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ÛÙ·ıÌÈṲ̂ÓÔ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ V Â›Ó·È ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, fiÔ˘ d(x, y) = |x − y| ÁÈ· οı x, y ∈ V . ∞fi‰ÂÈÍË. √Ú›˙Ô˘Ì d(x, y) = |x − y|. TfiÙ d(x, y) ≥ 0 Î·È d(x, y) = 0, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó x = y, ÙÔ ÔÔ›Ô ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ ÚÒÙË È‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ ÛÙ¿ıÌ˘. √ÌÔ›ˆ˜, d(x, y) = |x − y| = | − 1||y − x| = d(y, x). ∆¤ÏÔ˜ d(x, y) = |x − y| = |x − z + z − y| ≤ |x − z| + |y − z| = d(x, z) + d(y, z). §‹ÌÌ· 8.3.3. ŒÛÙˆ V ¤Ó·˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ. °È· οı v ∈ V ÔÚ›˙Ô˘Ì |v| = (v, v)1/2 . ∏ Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ÛÙ¿ıÌË Â› ÙÔ˘ V . ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, ¤Ó·˜ ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ¯ÒÚÔ˜ Ì ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÛÙ·ıÌÈṲ̂ÓÔ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È ÂÈϤÔÓ Î·È ÌÂÙÚÈÎfi˜. ∞fi‰ÂÈÍË. Ÿˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 8.3.2, ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÁÈ· Ó· Û˘Ó·Á¿ÁÔ˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÛÙ¿ıÌ˘: |v| = (v, v)1/2 , ¿Ú· |v| ≥ 0 (ÂÊfiÛÔÓ v, v ≥ 0) Î·È |v| = 0, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó v = 0, |αv| = (αv, αv)1/2 = (α 2 v, v)1/2 = |α|(v, v)1/2 = |α||v|. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›·˜ ȉÈfiÙËÙ·˜ ··ÈÙÂ›Ù·È Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË ·ÓÈÛfiÙËÙ·, Ë ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ Û fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘˜ Ì ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î·È Ë ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÔÔ›·˜ ı· ÛÎÈ·ÁÚ·ÊËı› ÛÙȘ ·Û΋ÛÂȘ. ∏ ∞ÓÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ Cauchy Î·È Schwarz ™Â ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ¯ÒÚÔ V Ì ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ ¤¯Ô˘ÌÂ: |u, v| ≤ |u||v| ÁÈ· οı u, v ∈ V . ∆ÒÚ·: |u + v|2 = u + v, u + v = u, u + 2u, v + v, v ≤ u, u + 2|u, v| + v, v ≤ |u|2 + 2|u||v| + |v|2 = (|u| + |v|)2 . ∞fi ÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ·, ηÙfiÈÓ ÂÍ·ÁˆÁ‹˜ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÒÓ ÚÈ˙ÒÓ, ÚÔ·ÙÂÈ: |u + v| ≤ |u| + |v|,

8.3.

181

™˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È ªÂÙÚÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÈ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË. ∞ÌÊfiÙÂÚÔÈ ÔÈ ¯ÒÚÔÈ Rn Î·È C 0 [a, b] Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËÎ·Ó ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 8.3.1 Â›Ó·È ¯ÒÚÔÈ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘. £ÂÒÚËÌ· 8.3.1. ŒÛÙˆ C 0 [a, b] ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b]. °È· ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f (x), g(x) ∈ C 0 [a, b] ÔÚ›˙Ô˘ÌÂ:   f, g =

b

f (x)g(x)d x.

a

∆fiÙ ÙÔ C 0 [a, b] Â›Ó·È ¤Ó·˜ ¯ÒÚÔ˜ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘. EÔ̤ӈ˜, Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÛÙ·ıÌÈṲ̂ÓÔ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÌÂÙÚÈÎfi˜. ∞fi‰ÂÈÍË. ∏ ÚfiÛıÂÛË, Ë ·Ê·›ÚÂÛË Î·È Ô ‚·ı̈Ùfi˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ‰È·ÙËÚÔ‡Ó ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·. ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ C 0 [a, b] Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. °È· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Î·È ¯ÒÚÔ˜ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ·ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘: b b (1)  f, f  = a ( f (x))2 d x ≥ 0. ∂¿Ó  f, f  = 0, ÙfiÙ a ( f (x))2 d x = 0, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ f (x) ≡ 0, ÂÊfiÛÔÓ Ë f (x) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, b b (2)  f, g = a f (x)g(x)d x = a g(x) f (x)d x = g, f , b b (3) α f, g = a α f (x)g(x)d x = α a f (x)g(x)d x = α f, g, b b b (4)  f + g, h = a ( f (x) + g(x))h(x)d x = a f (x)h(x)d x + a g(x)h(x)d x =  f, h + g, h. ∂·Ó·Î¿ÌÙÔÓÙ·˜ ÛÙÔ Î‡ÚÈÔ ı¤Ì· Ù˘ Û˘˙‹ÙËÛ‹˜ Ì·˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘ÌÂ Û˘Ó¤¯ÂÈ· Û ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ, ÂÊfiÛÔÓ ·˘Ù‹ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË. √ÚÈÛÌfi˜ 8.3.5. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ (M1 , d1 ) Î·È (M2 , d2 ) Â›Ó·È ‰˘Ô ÌÂÙÚÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ. ªÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : M1 → M2 Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0 ∈ M1 , Â¿Ó ÁÈ· οı  > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· δ > 0 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ d( f (x), f (x0 )) <  οı ÊÔÚ¿ Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ d(x, x0 ) < δ. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ M1 , Â¿Ó Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ M1 . °È· Ó· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Û ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ˘˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜, Ú¤ÂÈ Ó· ¿ÚÔ˘Ì ÙËÓ ÂÍ¿ÚÙËÛË Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ·fi ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘. ø˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ¤ÓÓÔȘ:

182

8.

∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

√ÚÈÛÌfi˜ 8.3.6. ŒÛÙˆ (M, d) ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ∂¿Ó x0 ∈ M, ÙfiÙ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {x; d(x, x0 ) < } ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÔÈÎÙ‹ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ ·ÎÙ›Ó·˜  > 0 Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0 Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì S (x0 ). ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ S ⊂ M ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ, Â¿Ó ÁÈ· οı x0 ∈ S ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ x0 Ë ÔÔ›· ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ S. ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ C ⊂ M ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ, Â¿Ó ÙÔ Û˘Ìϋڈ̿ ÙÔ˘ C  Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ› ·˘ÙÔ› ÁÂÓÈÎÂ‡Ô˘Ó ÙȘ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ ·ÓÔÈÎÙ‹˜ Î·È ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂÈ¤‰Ô˘, fiˆ˜ ÔÚ›ÛÙËÎ·Ó ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4. £ÂÒÚËÌ· 8.3.2. ŒÛÙˆ (M, d) ¤Ó·˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ∆fiÙÂ: (1) √ÔÈ·‰‹ÔÙ ¤ÓˆÛË ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ. (2) √ÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÔÌ‹ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ. ∫·Ù' Ô˘Û›·Ó, ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ ıÂÒÚËÌ· ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ Û ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Ë ÎÏ¿ÛË ÙˆÓ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ Ï‹ıÔ˘˜ ÂÓÒÛÂȘ Î·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÙÔ̤˜. £· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ ¤ÓÓÔȘ ÁÈ· Ó· ÂÍ·Ï›„Ô˘Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, Â¿Ó x ∈ S, fiÔ˘ ÙÔ S Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ, ÙfiÙ ÙÔ S ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÔÈÎÙ‹ ÁÂÈÙÔÓÈ¿ ÙÔ˘ x. ∆Ô ÂfiÌÂÓÔ Ï‹ÌÌ· Â›Ó·È ·ÏÒ˜ ÌÈ· ·Ó·‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ·ÓÔÈÎÙ‹˜ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÚÈÔ¯‹˜. §‹ÌÌ· 8.3.4. ªÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : M1 → M2 , ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÌÂÙÚÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ M1 Î·È M2 , Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0 ∈ M1 , Â¿Ó ÁÈ· οı ·ÓÔÈÎÙ‹ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ S ( f (x0 )) Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ f (x0 ) ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ Sδ (x0 ) Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ f (Sδ (x0 )) ⊂ S ( f (x0 )). πÛÔ‰‡Ó·Ì·, ÁÈ· οı ·ÓÔÈÎÙ‹ ÁÂÈÙÔÓÈ¿ S ÙÔ˘ f (x0 ) Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÂÈÎfiÓ· f −1 (S) Â›Ó·È ÌÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÁÂÈÙÔÓÈ¿ ÙÔ˘ x0 . ∆ÒÚ· ı· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÓˆÙ¤Úˆ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜. §‹ÌÌ· 8.3.5. ªÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : M1 → M2 , ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÌÂÙÚÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ M1 Î·È M2 , Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ M1 , Â¿Ó ÙÔ f −1 (O) Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÛÙÔ M1 ÁÈ· οı ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ O ⊂ M2 .

8.3.

™˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È ªÂÙÚÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

183

™ÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ı· ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ §‹ÌÌ· 8.3.5 ˆ˜ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜. ¶ÚÈÓ Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ì ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ÂÈı˘Ìԇ̠ӷ ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ¤ÓÓÔȘ ÂӉ¯Ô̤ӈ˜ ÁÓˆÛÙ¤˜ ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ·fi ÙËÓ ∞Ó¿Ï˘ÛË. ªÔÏÔÓfiÙÈ ·˘Ù¤˜ ‰ÂÓ Û˘Ì‚¿ÏÏÔ˘Ó Ô˘ÛȈ‰Ò˜ ÛÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÛÎfiÈÌÔ Ó· ÙȘ Û˘Ó‰¤ÛÔ˘Ì Ì ÙËÓ ÚÔËÁËı›۷ Û˘˙‹ÙËÛË. √Ú›Û·Ì ٷ ÎÏÂÈÛÙ¿ Û‡ÓÔÏ· ˆ˜ Ù· Û˘ÌÏËÚÒÌ·Ù· ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiψÓ. ™Â ÌÈ· ÚÒÙË ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË, Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏÂÈÛÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ Á›ÓÂÙ·È ·ÓÙÈÏËÙ‹ ˆ˜ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ Û‡ÓÔÚfi ÙÔ˘. √È ·ÓˆÙ¤Úˆ ¤ÓÓÔȘ Á›ÓÔÓÙ·È Û˘Ì‚·Ù¤˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ·ÎfiÏÔ˘ıˆÓ ÔÚÈÛÌÒÓ Î·È ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ: √ÚÈÛÌfi˜ 8.3.7. ŒÛÙˆ (M, d) ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È (xn ) ÌÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ M. ∂¿Ó ÁÈ· οı  > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ N Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÁÈ· fiÏ· Ù· n ≥ N Ó· ¤¯Ô˘Ì xn ∈ S (x0 ), ÙfiÙ ÙÔ xn → x0 . ∂¿Ó S ⊂ M, ÙfiÙ ÙÔ x ∈ M Â›Ó·È ¤Ó· ÔÚÈ·Îfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ S, Â¿Ó xn → x ÁÈ· οÔÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÔ˘ S. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô x0 ∈ S Â›Ó·È ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌ›Ô, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·  > 0 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ S (x0 ) ⊂ S. ∆Ô Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ S ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiÏ· Ù· ÔÚȷο ÛËÌ›· ÙÔ˘ S Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÛˆÙÂÚÈο. £ÂÒÚËÌ· 8.3.3. ŒÛÙˆ (M, d) ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ∆Ô C ⊂ M Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ C ÂÚȤ¯ÂÈ fiÏ· Ù· ÔÚȷο ÙÔ˘ ÛËÌ›·. ∆¤ÏÔ˜, ÛÙÔÓ ‰Ôı¤ÓÙ· ÔÚÈÛÌfi Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÙÔ δ ÂÍ·ÚÙÈfiÙ·Ó ·fi ÙÔ  Î·È ·fi ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÛËÌÂ›Ô x0 . ™ÙÔ˘˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ÈÛ¯˘ÚÔÔÈÂ›Ù·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ. √ÚÈÛÌfi˜ 8.3.8. ªÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : M1 → M2 Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ M1 , Â¿Ó ÁÈ· οı  > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· δ > 0 ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙÔ , Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ d( f (x1 ), f (x2 )) <  οı ÊÔÚ¿ Ô˘ d(x1 , x2 ) < δ. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Â¿Ó ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Î·È Û˘Ó¯‹˜. ™ÙÔÓ ¯ÒÚÔ Rn ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÈÛ¯‡ÂÈ ˘ÂÚ¿Óˆ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ «Î·Ù¿ÏÏËψӻ ¯ˆÚ›ˆÓ. £ÂÒÚËÌ· 8.3.4. ŒÛÙˆ f : Rn → Rm ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ M ⊂ Rn . ∂¿Ó ÙÔ M Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ (Û˘Ì·Á¤˜), ÙfiÙÂ Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ M.

184

8.

∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, Ë ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘. ∂¿Ó ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙË ÌÂÙÚÈ΋, fiˆ˜ ı· οÓÔ˘Ì ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ·, ÙfiÙ ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û˘Ó¤¯ÂÈ·.

8.4

∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ Î·È √ÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌÔ›

™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ÂÍÂÙ¿Û·Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ·fi ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Û οÔÈÔÓ ¿ÏÏÔ. √ ÔÚÈÛÌfi˜ ‰È·Ù˘ÒıËΠ·Ú¯ÈÎÒ˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ÌÂÙÚÈ΋˜, ·ÏÏ¿ ÂÓ Û˘Ó¯›· ·Ó·‰È·Ù˘ÒıËΠ‚¿ÛÂÈ ÙˆÓ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiψÓ. ∆ÒÚ· ı· ·ÔÛ˘Ó‰¤ÛÔ˘Ì ÙË ÌÂÙÚÈ΋ ÔÚ›˙ÔÓÙ·˜ ηٿ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÚfiÔ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ··ÈÙ› ÙËÓ ‡·ÚÍË ÌÈ·˜ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiψÓ. ŒÙÛÈ Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ ÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. √ÚÈÛÌfi˜ 8.4.1. ŒÛÙˆ X ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ. ªÈ· ÙÔÔÏÔÁ›· Â› ÙÔ˘ X Â›Ó·È ÌÈ· Û˘ÏÏÔÁ‹ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ T Ô˘ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ˜: (1) ∆Ô ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ ∅ Î·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ X ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ T . (2) ∏ ¤ÓˆÛË ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙÂ Û˘ÏÏÔÁ‹˜ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ Ù˘ T ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ T . (3) ∏ ÙÔÌ‹ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ Ù˘ T ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ T . ∂Ô̤ӈ˜, Ë ÙÔÔÏÔÁ›· Â›Ó·È ÌÈ· Û˘ÏÏÔÁ‹ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÎÏÂÈÛÙ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ Ï‹ıÔ˘˜ ÂÓÒÛÂȘ Î·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÙÔ̤˜. ŒÓ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Ù˘ T ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ, ÂÓÒ ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ. ∆ÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ X ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ÌÈ· ÙÔÔÏÔÁ›· Â› ·˘ÙÔ‡. ∆· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ X ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÛËÌ›· Î·È Ë Û˘ÏÏÔÁ‹ ÙˆÓ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ X Â›Ó·È Ë ÙÔÔÏÔÁ›· ÙÔ˘. ™Â ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ Ë Û˘ÏÏÔÁ‹ ÙˆÓ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ Ï‹ıÔ˘˜ ÂÓÒÛÂȘ Î·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÙÔ̤˜ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ÙÔÔÏÔÁ›·. §‹ÌÌ· 8.4.1. ∫¿ı ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, Ô Rn Î·È ÂÓ Á¤ÓÂÈ Î¿ı ¯ÒÚÔ˜ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ∆Ô ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ, ‰ËÏ·‰‹ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù' ·Ó¿ÁÎËÓ ÌÂÙÚÈÎÔ›2 . ¶·Ú·ı¤ÙÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ÂÈÚfiÛıÂÙ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·: 2 ™.Ù.ª.

∂ÈϤÔÓ, ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÌÂÙÚÈΤ˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÙÔÔÏÔÁ›·.

8.4.

∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ Î·È √ÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌÔ›

185

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 8.4.1. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ X Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ Î·È fiÙÈ ÙÔ T Â›Ó·È Ë Û˘ÏÏÔÁ‹ fiÏˆÓ ÙˆÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ X . ∏ Û˘ÏÏÔÁ‹ T ·ÔÙÂÏ› ÙfiÙ ÌÈ· ÙÔÔÏÔÁ›· Â› ÙÔ˘ X Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È·ÎÚÈÙ‹ ÙÔÔÏÔÁ›·. 2 ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 8.4.2. ŒÛÙˆ X ¤Ó· ÌË ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ Î·È ¤ÛÙˆ T = {∅, X }. ∏ T Â›Ó·È ÙfiÙ ÌÈ· ÙÔÔÏÔÁ›· Â› ÙÔ˘ X . 2 ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 8.4.3. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ X Â›Ó·È ¤Ó· ¿ÂÈÚÔ Û‡ÓÔÏÔ Î·È fiÙÈ ÙÔ T Â›Ó·È Ë Û˘ÏÏÔÁ‹ Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ ∅ Î·È ·fi Ù· ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ X Ì ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û˘Ìϋڈ̷. ∏ T Â›Ó·È ÙfiÙ ÌÈ· ÙÔÔÏÔÁ›· (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ) Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÌÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÙÔÔÏÔÁ›·. 2 ªÈ· ÚÔÊ·Ó‹˜ ÂÚÒÙËÛË Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ÙÂı›, ·Ó Ï¿‚Ô˘Ì ˘' fi„ÈÓ Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ‰Ôı¤ÓÙ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ, Â›Ó·È ÔÈÔÈ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ Î·È ÔÈÔÈ fi¯È. ŒÓ·˜ ÁÂÓÈÎfi˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X Â›Ó·È ÌÂÙÚÈÎÔÔÈ‹ÛÈÌÔ˜, fiÙ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÌÂÙÚÈ΋ Â› ÙÔ˘ X , Ù· ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· Ù˘ ÔÔ›·˜ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó Ì ÙËÓ ÙÔÔÏÔÁ›· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘. ™ÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ÈηÓÔÔÈËÙÈΤ˜ Û˘Óı‹Î˜ ÁÈ· ÙË ÌÂÙÚÈÎÔÔÈËÛÈÌfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ¯ÒÚÔ˘. ∆ÒÚ· ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜. √ÚÈÛÌfi˜ 8.4.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ‰‡Ô ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î·È fiÙÈ Ë f : X → Y Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ∏ f ηÏÂ›Ù·È Û˘Ó¯‹˜, fiÙ·Ó Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÂÈÎfiÓ· f −1 (O) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X , οı ÊÔÚ¿ Ô˘ ÙÔ O Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Y . ∂Ô̤ӈ˜, ÔÈ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Â·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ó ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· Û ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : X → Y ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÓÔÈÎÙ‹, Â¿Ó ÙÔ f (V ) Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Y οı ÊÔÚ¿ Ô˘ ÙÔ V Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X . ™˘ÓÂÒ˜, ÔÈ ·ÓÔÈÎÙ¤˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ‰È·ÙËÚÔ‡Ó Ù· ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. √ÚÈÛÌfi˜ 8.4.3. ªÈ· ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ (‰ËÏ·‰‹ ÌÈ· ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó· Î·È Â›) Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·fi ÙÔÓ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi ¯ÒÚÔ X ÛÙÔÓ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi ¯ÒÚÔ Y Ô˘ Â›Ó·È ÂÈϤÔÓ ·ÓÔÈÎÙ‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜. ∫·Ù¿ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ, ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌfi ˆ˜ ÌÈ· Û˘Ó¯‹ ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Ù˘ ÔÔ›·˜ Â›Ó·È Â›Û˘ Û˘Ó¯‹˜.

186

8.

∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

∂¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ f : X → Y , ÙfiÙ ÔÈ X Î·È Y ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ. ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡ ÛÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË ÚÔ˜ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡ ÛÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ. ¢ËÏ·‰‹ ÔÈ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Â›Ó·È Î·Ù' Ô˘Û›·Ó «ÙÔÔÏÔÁÈÎÒ˜ ›‰ÈÔÈ». ∆Ô ‚·ÛÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· Ù·ÍÈÓfiÌËÛ˘ ÛÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›· Â›Ó·È Ë Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Â˘Ú¤ˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌfi.

8.5

¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ∆ÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ÃÒÚˆÓ

¶ÚÈÓ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ÛÙËÓ ÙÂÏÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì οÔÈ· ÂÈϤÔÓ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ™˘ÓÔÏÔıˆÚËÙÈ΋˜ ‹ °ÂÓÈ΋˜ ∆ÔÔÏÔÁ›·˜. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ٤ÛÛÂÚÂȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÚÔÂÚ¯fiÌÂÓ˜ ·fi ·Ó¿ÏÔÁ˜ ¤ÓÓÔȘ ÙˆÓ Â˘ÎÏ›‰ÂÈˆÓ ¯ÒÚˆÓ Rn : ‰È·¯ˆÚÈÛÈÌfiÙËÙ·, ÌÂÙÚÈÎÔÔÈËÛÈÌfiÙËÙ·, Û˘Ì¿ÁÂÈ· Î·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfiÙËÙ·. ∫¿ı ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ M ¤¯ÂÈ ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË È‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ ‰È·¯ˆÚÈÛÈÌfiÙËÙ·˜. £ÂˆÚԇ̠‰‡Ô Û·ÊÒ˜ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ ÛËÌ›· x, y ∈ M. ∆fiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· O1 Î·È O2 , fiÔ˘ x ∈ O1 Î·È y ∈ O2 , (‚Ϥ ∂ÈÎfiÓ· 8.3). ¶ÚÔ˜ ÙÔ‡ÙÔ Â›Ó·È ·ÚÎÂÙfi Ó· ıˆڋÛÔ˘Ì ·ÓÔÈÎÙ¤˜ ÛÊ·ÈÚÈΤ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ Ì ΤÓÙÚ· Ù· x Î·È y Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ·ÎÙÈÓÒÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x Î·È y, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ‰ÂÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì Ìˉ¤Ó, ηıfiÙÈ Ù· x Î·È y Â›Ó·È Û·ÊÒ˜ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ.

EÈÎfiÓ· 8.3: ∞ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· ∞fi Ù· ÚÔϯı¤ÓÙ· Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È ·Ê' ·˘ÙÔ‡ ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ. ∂ÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ) ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·˘Ùfi ÛÙËÓ ÂÍ‹˜ ȉÈfiÙËÙ·: ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ M Î·È ‰‡Ô ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ ÎÏÂÈÛÙÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ F1 , F2 ÙÔ˘ M, ˘¿Ú¯Ô˘Ó

8.5.

¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ∆ÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ÃÒÚˆÓ

187

·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· O1 , O2 Ì F1 ⊂ O1 Î·È F2 ⊂ O2 . ∆ÒÚ· ı· ÁÂÓÈ·ÛÔ˘Ì ÙȘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Û ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ ηÈ, ¤ÙÛÈ, ı· ¤¯Ô˘Ì ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û˘Óı‹Î˜ Ô˘ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙Ô˘Ó ÙË ÌÂÙÚÈÎÔÔÈËÛÈÌfiÙËÙ·. √ÚÈÛÌfi˜ 8.5.1. (1) ŒÓ·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È T1 – ¯ÒÚÔ˜, fiÙ·Ó Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÔÙÂÏ› ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ. (2) ŒÓ·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¯ÒÚÔ˜ Hausdorff (‹ T2 – ¯ÒÚÔ˜), fiÙ·Ó, ‰Ôı¤ÓÙˆÓ ‰‡Ô Û·ÊÒ˜ ‰È·ÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ (·ÏÏ¿ ·˘ı·ÈÚ¤Ùˆ˜ ÂÈϯı¤ÓÙˆÓ) ÛËÌ›ˆÓ x Î·È y ÙÔ˘ X , ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· Ox , O y Ì x ∈ Ox Î·È y ∈ O y . (3) ŒÓ·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ï‹Úˆ˜ ηÓÔÓÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ (‹ T3 – ¯ÒÚÔ˜), fiÙ·Ó Ô X Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ˜ T1 – ¯ÒÚÔ˜ Ì ÙËÓ ÂÈϤÔÓ È‰ÈfiÙËÙ· fiÙÈ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ÎÏÂÈÛÙÔ‡ Û˘ÓfiÏÔ˘ F Î·È ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ x ∈ F, ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : X → [0, 1] Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ f (x) = 0 Î·È f ≡ 1 Â› ÙÔ˘ F. (4) ŒÓ·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ (‹ T4 – ¯ÒÚÔ˜), fiÙ·Ó Ô X Â›Ó·È ¤Ó·˜ T1 – ¯ÒÚÔ˜ Ì ÙËÓ ÂÈϤÔÓ È‰ÈfiÙËÙ· fiÙÈ, ‰Ôı¤ÓÙˆÓ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ ÎÏÂÈÛÙÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ F1 Î·È F2 ÙÔ˘ X , ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· O1 , O2 Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ F1 ⊂ O1 Î·È F2 ⊂ O2 . £ÂÒÚËÌ· 8.5.1. ∂¿Ó ¤Ó·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Ï‹Úˆ˜ ηÓÔÓÈÎfi˜Ø Û˘ÓÂÒ˜, Â›Ó·È ¯ÒÚÔ˜ Hausdorff ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, T1 – ¯ÒÚÔ˜. ∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô fiÔ˘ Ô ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È Ï‹Úˆ˜ ηÓÔÓÈÎfi˜ Î·È ÂÍ‹˜, ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ· ÚÔ·ÙÂÈ ¿ÌÂÛ·. ∆Ô Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ Ô Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È Î·È Ï‹Úˆ˜ ηÓÔÓÈÎfi˜ ·ÔÙÂÏ› fiÚÈÛÌ· ÙÔ˘ ÏÂÁfiÌÂÓÔ˘ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Urysohn (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ). ∂ÈϤÔÓ, ·fi ÙËÓ ÚÔËÁËı›۷ Û˘˙‹ÙËÛË ¤ÂÙ·È fiÙÈ Î¿ı ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ï‹Úˆ˜ ηÓÔÓÈÎfi˜ Î·È Hausdorff. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ‰È·¯ˆÚÈÛÙÈÎÒÓ ·ÍÈˆÌ¿ÙˆÓ ı· ıÂÛ›ÛÔ˘Ì ÎÚÈÙ‹ÚÈ· Ù· ÔÔ›· ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙Ô˘Ó ÙË ÌÂÙÚÈÎÔÔÈËÛÈÌfiÙËÙ·. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì ·fi ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· fiÙÈ ¤Ó·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X Â›Ó·È ÌÂÙÚÈÎÔÔÈ‹ÛÈÌÔ˜, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ì›· ÌÂÙÚÈ΋ Â› ÙÔ˘ X , Ë ÙÔÔÏÔÁ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙË ‰Ôı›۷ ÙÔÔÏÔÁ›· Â› ÙÔ˘ X . √ÚÈÛÌfi˜ 8.5.2. ∂¿Ó Ô X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, ÙfiÙ ÌÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ‚¿ÛË ÁÈ· ÙÔÓ X Â›Ó·È ÌÈ· Û˘ÏÏÔÁ‹ B ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ

188

8.

∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

Ó· ÚÔ·ÙÂÈ ˆ˜ ¤ÓˆÛË Û˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ B. ŒÓ·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ηÏÂ›Ù·È ‰Â˘ÙÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ˜, fiÙ·Ó ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌË ·ÓÔÈÎÙ‹ ‚¿ÛË. ∂¿Ó ¤Ó·˜ ‰Â˘ÙÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Î·È ÌÂÙÚÈÎÔÔÈ‹ÛÈÌÔ˜. £ÂÒÚËÌ· 8.5.2 (£ÂÒÚËÌ· ∂ÌʇÙ¢Û˘ ÙÔ˘ Urysohn). ∂¿Ó Ô X Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜ ‰Â˘ÙÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ˜ ¯ÒÚÔ˜, ÙfiÙ ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È Î·È ÌÂÙÚÈÎÔÔÈ‹ÛÈÌÔ˜. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 8.5.2 ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÌʇÙ¢ÛË ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÛÙÔÓ ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ R∞ . ∞˘Ùfi˜ Ô ¯ÒÚÔ˜ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙȘ ·ÎÔÏÔ˘∞ 2 ı›Â˜ {x1 , . . . , xn , . . . } Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ Ë ÛÂÈÚ¿ i=1 |x i | Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ. ∂› ÙÔ˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÌÈ· ÌÂÙÚÈ΋ ˆ˜ ÂÍ‹˜: Â¿Ó ∞ x = {x1 , . . . , xn , . . . } Î·È y = {y1 , . . . , yn , . . . }, ÙfiÙ d(x, y) = ( i=1 |xi − yi |2 )1/2 . ∏ ÂÓ ÏfiÁˆ ÌÂÙÚÈ΋ ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÁÂÓÈ·ÂÈ ÙË ÌÂÙÚÈ΋ Â› ÙÔ˘ Rn ÁÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ӷ n. ∂¿Ó ¤Ó·˜ ¯ÒÚÔ˜ ÂÌÊ˘Ù‡ÂÙ·È Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Î·È Ô ›‰ÈÔ˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜. ∏ ÙÚ›ÙË È‰ÈfiÙËÙ· Ô˘ ÂÍÂÙ¿˙Ô˘ÌÂ Â›Ó·È Ë Û˘Ì¿ÁÂÈ·. ∆Ô £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Heine Î·È Borel ÁÈ· ÙÔÓ R2 ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ, Â¿Ó ÙÔ C Â›Ó·È ¤Ó· ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R2 , ÙfiÙ ÔÔÈÔ‰‹ÔÙÂ Î¿Ï˘ÌÌ· ÙÔ˘ C Ì ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· ÂÌÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ˘ÔÎ¿Ï˘ÌÌ·. ™˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÔÈ Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ Û ÎÏÂÈÛÙ¿ Î·È ÊÚ·Á̤ӷ ¯ˆÚ›· Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌfiÚʈ˜ Û˘Ó¯›˜. ∆Ô £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Heine Î·È Borel Î·È Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û˘Ó¤ÂÈ¿ ÙÔ˘ ÁÂÓÈ·ÔÓÙ·È Û ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ Rn ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ‰È¿ÛÙ·Û˘. ∏ ÁÂӛ΢ÛË ·˘Ù‹˜ Ù˘ ȉÈfiÙËÙ·˜ ÛÙÔ˘˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ì¿ÁÂÈ·. ™Â ¤Ó·Ó ÙÔÔÏÔÁÈÎfi ¯ÒÚÔ X ÌÈ· Û˘ÏÏÔÁ‹ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ {Oi } ·ÔÙÂÏ› ·ÓÔÈÎÙfi Î¿Ï˘ÌÌ· ÙÔ˘ X , Â¿Ó X ⊂ ∪i Oi . ÀÔÎ¿Ï˘ÌÌ· Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÛ˘ÏÏÔÁ‹ Ô˘ ·ÔÙÂÏ› Â›Û˘ ¤Ó· Î¿Ï˘ÌÌ· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ Ì·˜. √ÚÈÛÌfi˜ 8.5.3. ŒÓ·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X ‹, ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ X ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ì·Á¤˜, Â¿Ó Î¿ı ·ÓÔÈÎÙfi Î¿Ï˘ÌÌ¿ ÙÔ˘ ‰È·ı¤ÙÂÈ Î¿ÔÈÔ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ˘ÔÎ¿Ï˘ÌÌ·. ∆Ô £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Heine Î·È Borel ·Ó·‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: £ÂÒÚËÌ· 8.5.3 (£ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Heine Î·È Borel). ŒÓ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Rn Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ. √È Û˘Ì·Á›˜ ¯ÒÚÔÈ Î·Ù¤¯Ô˘Ó ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ı¤ÛË ÛÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›·. ∞ӷʤÚÔ˘Ì ‰‡Ô Ôχ fiÌÔÚÊ· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·.

8.5.

¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ∆ÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ÃÒÚˆÓ

189

£ÂÒÚËÌ· 8.5.4. ∫¿ıÂ Û˘Ì·Á‹˜ ¯ÒÚÔ˜ Hausdorff Â›Ó·È Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜. £ÂÒÚËÌ· 8.5.5. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ X Â›Ó·È ¤Ó·˜ Û˘Ì·Á‹˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È fiÙÈ f : X → Y Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ∆fiÙÂ Ë ÂÈÎfiÓ· ÙÔ˘ X ̤ۈ Ù˘ f Â›Ó·È Û˘Ì·Á‹˜ ÛÙÔ Y . ∂Âȉ‹ Ù· ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ Rn Â›Ó·È Û˘Ì·Á‹, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ¿ Î·È ÊÚ·Á̤ӷ, ·fi ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ ıÂÒÚËÌ· Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÔÔÈ·‰‹ÔÙÂ Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÈÌÒÓ Â› Û˘Ì·ÁÔ‡˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, Â¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ÙfiÙ ÔÈ ÙÈ̤˜ | f (z)| Â›Ó·È ÊÚ·Á̤Ó˜ Â› ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ∏ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ȉÈfiÙËÙ· Ô˘ ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘ÌÂ Â›Ó·È Ë Û˘ÓÂÎÙÈÎfiÙËÙ·. ¢È·ÈÛıËÙÈÎÒ˜, ¤Ó·˜ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ¯ÒÚÔ˜ ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓÔ˜ ·fi ¤Ó· Î·È ÌfiÓÔ ÎÔÌÌ¿ÙÈ. ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË È‰ÈfiÙËÙ· Û˘Ó‰¤ÂÙ·È ÛÙÂÓ¿ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ó¤‚·Ï ԢÛȈ‰Ò˜ Û ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. √ÚÈÛÌfi˜ 8.5.4. ŒÓ·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X ‹, ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Y ÙÔ˘ X Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi, Â¿Ó ·fi X = O1 ∪ O2 Î·È O1 ∩ O2 = ∅, fiÔ˘ Ù· O1 Î·È O2 Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ·, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Â›Ù ÙÔ O1 ›Ù ÙÔ O2 Â›Ó·È ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ. ¢ËÏ·‰‹ ÙÔ X Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi, Â¿Ó ‰ÂÓ ·ÔÛ˘ÓÙ›ıÂÙ·È ÁÚ·ÊfiÌÂÓÔ ˆ˜ ÌÈ· ¤ÓˆÛË ‰‡Ô ÌË ÎÂÓÒÓ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiψÓ. ªÈ· ·ÔÛ‡ÓıÂÛË Û ‰‡Ô ÌË ÎÂÓ¿ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ·, fiÙ·Ó Â›Ó·È ÂÊÈÎÙ‹, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÔÛ‡Ó‰ÂÛË. ∆Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘ÓÂÎÙÈÎfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜ ˆ˜ ÂÍ‹˜: £ÂÒÚËÌ· 8.5.6. ŒÓ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Y ⊂ R Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ Y Â›Ó·È ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ·. £ÂÒÚËÌ· 8.5.7. ∂¿Ó ÙÔ X Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi Î·È Ë f : X → Y Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÙfiÙ ÙÔ f (X ) Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi.

190

8. ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ∆ÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÃÒÚÔÈ

¶fiÚÈÛÌ· 8.5.1. ∂¿Ó Ë f : R → R Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÙfiÙÂ Ë ÂÈÎfiÓ· ÂÓfi˜ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ‰È¿ÛÙËÌ·. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ¶fiÚÈÛÌ· 8.5.1 Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜ Î·È ÌÔÚ› Ó· ÁÂÓÈ΢ı›. ¶fiÚÈÛÌ· 8.5.2. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë f : D → R Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, fiÔ˘ ÙÔ D Â›Ó·È ¤Ó· Û˘ÓÂÎÙÈÎfi ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Rn . ∆fiÙÂ Ë f ÚÔÛÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÔÔȈӉ‹ÔÙ ÙÈÌÒÓ Ù˘.

∞Û΋ÛÂȘ 8.1. ¡· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ §‹ÌÌ· 8.3.1, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÛÙÔÓ Rn ÈηÓÔÔÈ› ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÌÂÙÚÈ΋˜. 8.2. ŒÛÙˆ C 0 [a, b] ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b]. ∂¿Ó f (x), g(x) ∈ C 0 [a, b], ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘ÌÂ:  b 1/2 d( f (x), g(x)) = | f (x) − g(x)|2 d x . a

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ Û¯¤ÛË ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ÌÂÙÚÈ΋ Â› ÙÔ˘ C 0 [a, b] (¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 8.3.1) ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, fiÙÈ ÙÔ C 0 [a, b], ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ÙË ÌÂÙÚÈ΋ ·˘Ù‹, Â›Ó·È ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. 8.3. ŒÛÙˆ C 0 [a, b] ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙÔ ÎÏÂÈÛÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b]. ∂¿Ó ÙÒÚ· ÔÈ f (x), g(x) ∈ C 0 [a, b], ÔÚ›˙Ô˘ÌÂ: d( f (x), g(x)) = max[a,b] | f (x) − g(x)|. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î·È ·˘Ù‹ Ë Û¯¤ÛË ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ÌÂÙÚÈ΋ Â› ÙÔ˘ C 0 [a, b] ηÈ, ¤ÙÛÈ, ÙÔ C 0 [a, b] Â›Ó·È Î·È ¿ÏÈ ¤Ó·˜ (‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi˜) ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÌÂÙÚÈ΋. 8.4. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ô n – ‰È¿ÛÙ·ÙÔ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Rn ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ¯ÒÚÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘, fiÔ˘, ‰Ôı¤ÓÙˆÓ P1 = (x1 , . . . , xn ) Î·È P2 = (y1 , . . . , yn ), ÈÛ¯‡ÂÈ: P1 , P2  =

n 

xi yi .

i=1

8.5. ¡· ·Ô‰Âȯı› Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ Cauchy – Schwarz, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ ÁÈ· οı ¯ÒÚÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ V Î·È Î¿ı u, v ∈ V ÈÛ¯‡ÂÈ: |u, v| ≤ |u||v|.

∞Û΋ÛÂȘ

191

(Àfi‰ÂÈÍË: ÂÍÂÙ¿ÛÙ ÙÔ u − tv, u − tv Ì t ∈ R Î·È ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ıˆڋÛÙ ÙËÓ ÙÈÌ‹ .) t = u,v v,v 8.6. ¡· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 8.3.2, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ Û ¤Ó·Ó ÌÂÙÚÈÎfi ¯ÒÚÔ (M, d) ÈÛ¯‡ÂÈ: (1) ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¤ÓˆÛË ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ Î·È (2) ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÔÌ‹ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ. 8.7. ŒÛÙˆ (M, d) ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ∆Ô C ⊂ M Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÙÔ C ÂÚȤ¯ÂÈ fiÏ· Ù· ÔÚȷο ÙÔ˘ ÛËÌ›· (£ÂÒÚËÌ· 8.3.3). 8.8. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ X Â›Ó·È ¤Ó· ¿ÂÈÚÔ Û‡ÓÔÏÔ Î·È fiÙÈ Ë Û˘ÏÏÔÁ‹ T ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ ∅ ηıÒ˜ Î·È ·fi οı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë T ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ÙÔÔÏÔÁ›· (¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 8.4.3). ∏ T ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÌÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÙÔÔÏÔÁ›· Â› ÙÔ˘ X . 8.9. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÌÂÙÚÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ M Î·È ‰‡Ô ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ ÎÏÂÈÛÙÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ F1 , F2 ÙÔ˘ M, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· O1 , O2 Ì F1 ⊂ O1 Î·È F2 ⊂ O2 . (Àfi‰ÂÈÍË: ·ԉ›ÍÙ ÚÒÙ· fiÙÈ, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ M οÔÈÔ x ∈ F, fiÔ˘ ÙÔ F Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ  > 0 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ d(x, y) >  ÁÈ· fiÏ· Ù· y ∈ F.) 8.10. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ Ï‹Úˆ˜ ηÓÔÓÈÎfi˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È ¯ÒÚÔ˜ Hausdorff, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Â›Ó·È T1 – ¯ÒÚÔ˜. 8.11. ∆Ô Ï‹ÌÌ· ÙÔ˘ Hausdorff ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ Û οıÂ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi ¯ÒÚÔ X , ‰Ôı¤ÓÙˆÓ ‰‡Ô ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÒÓ ÎÏÂÈÛÙÒÓ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ A Î·È B, ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : X → [0, 1] Ì f (A) ≡ 0 Î·È f (B) ≡ 1. ¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÙÔ Ï‹ÌÌ· ÙÔ˘ Hausdorff ÁÈ· Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È Î·È ÙËÓ Ï‹ÚË Î·ÓÔÓÈÎfiÙËÙ¿ ÙÔ˘. 8.12. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Û ¤Ó·Ó ¯ÒÚÔ Hausdorff, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ x Î·È ÂÓfi˜ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ ˘ÔÛ˘ÓfiÏÔ˘ F ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙÔ‡ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô x, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ F Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô x ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‰È·¯ˆÚÈÛÙÔ‡Ó ·fi ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ·. (Àfi‰ÂÈÍË: ÁÈ· οı f ∈ F ηٷÛ΢¿ÛÙ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· Ox , O f Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ x ∈ Ox Î·È f ∈ O f . ∆fiÙ ÙÔ F ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙËÓ ¤ÓˆÛË ÙˆÓ O f . ∫·ÙfiÈÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ì¿ÁÂÈ·˜.) 8.13. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ıÂ Û˘Ì·Á‹˜ ˘fi¯ˆÚÔ˜ ÂÓfi˜ ¯ÒÚÔ˘ Hausdorff Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi˜. (Àfi‰ÂÈÍË: ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÙ ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ¿ÛÎËÛË.) 8.14. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ R Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ·ÔÙÂÏ› ‰È¿ÛÙËÌ·. 8.15. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ÚfiÙ·ÛË, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÔÔ›· Ë ÂÈÎfiÓ· ÂÓfi˜ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ R ̤ۈ ÌÈ·˜ Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È Â›Û˘ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ·, Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜. 8.16. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë ÂÈÎfiÓ· ÂÓfi˜ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ ̤ۈ ÌÈ·˜ Û˘Ó¯ԇ˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ Â›Ó·È Û˘Ì·Á‹˜ (£ÂÒÚËÌ· 8.5.5).

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 9

∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË 9.1

∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›·

™ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·Ì ÙËÓ ¤ÌÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÂÚȤÏÈ͢ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ. ŒÙÛÈ Ô‰ËÁËı‹Î·Ì Û ÌÈ· Û˘˙‹ÙËÛË Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Û ÛÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È ÛÙÔ˘˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜. ™ÙÔ ·ÚfiÓ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ÂÎı¤ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË Ô˘ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙȘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Â˜ ·˘Ù¤˜ ¤ÓÓÔȘ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ı· ÂÈÛ·Á¿ÁÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ȉ¤Â˜ Î·È Ù¯ÓÈΤ˜ Ù˘ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ∆ÔÔÏÔÁ›·˜. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ›, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó· Î·È Â›) Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : X → Y , fiÔ˘ ·ÌÊfiÙÂÚ˜ ÔÈ f Î·È f −1 Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. ∆Ô Î‡ÚÈÔ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ∆ÔÔÏÔÁ›·˜ Â›Ó·È Ë Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡˜. ∏ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Â›Ó·È Ô ÎÏ¿‰Ô˜ Ù˘ ∆ÔÔÏÔÁ›·˜ Ô˘ ÂȉÈÒÎÂÈ ÙË Ï‡ÛË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ù·ÍÈÓfiÌËÛ˘ ÂÈÛ˘Ó¿ÙÔÓÙ·˜ ·ÏÁ‚ÚÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ·, ΢ڛˆ˜ ÔÌ¿‰Â˜, Û ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜. ∏ ÂÈÛ‡Ó·„Ë ·˘Ù‹ Á›ÓÂÙ·È Î·Ù¿ Ù¤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Ó· ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ÈÛfiÌÔÚÊ· ·ÏÁ‚ÚÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ·. ŒÙÛÈ ÏÔÈfiÓ, Û ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ù· ·ÏÁ‚ÚÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊ·, ÙfiÙ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ› Ô‡Ù ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯÔÈ ¯ÒÚÔÈ. ∆Ô ·ÏÁ‚ÚÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· Â›Ó·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ¢ÎÔÏfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙÔÔÏÔÁÈÎfi ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÌÂÙ·‚·›ÓÔÓÙ·˜ ·fi ¤Ó· ÙÔÔÏÔÁÈÎfi ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ Û ¤Ó· ·ÏÁ‚ÚÈÎfi, ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ 193

194

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

Ù·ÍÈÓfiÌËÛ˘ Á›ÓÂÙ·È ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ. ∏ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· ·Û¯ÔÏÂ›Ù·È Ì ÙÔÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ·Ó·ÏÏÔÈÒÙˆÓ. ∆ÔÔÏÔÁÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜ Â›Ó·È ÌÈ· Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· (·ÓÙÈΛÌÂÓÔ, ·ÚÈıÌfi˜, ȉÈfiÙËÙ·) Ô˘ ÂÈÛ˘Ó¿ÙÂÙ·È Û ¤Ó·Ó ÙÔÔÏÔÁÈÎfi ¯ÒÚÔ Î·È ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙË Î·ÙfiÈÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡. ™˘ÓÂÒ˜, ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜ Â›Ó·È ¤Ó· ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Ô˘ ÂÈÛ˘Ó¿ÙÂÙ·È Û ¤Ó·Ó ÙÔÔÏÔÁÈÎfi ¯ÒÚÔ Î·È ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡. À¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁÂÓÈΤ˜ ̤ıÔ‰ÔÈ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌÔ‡ ÔÌ¿‰ˆÓ, ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÂÈÛ˘Ó·ÊıÔ‡Ó Û ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿„·Ì ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. √È ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ̤ıÔ‰ÔÈ ÂÓÙ¿ÛÛÔÓÙ·È ÛÙË £ÂˆÚ›· √ÌÔÙÔ›·˜ Î·È ÛÙË £ÂˆÚ›· √ÌÔÏÔÁ›·˜ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙË £ÂˆÚ›· √ÌÔÙÔ›·˜. ∂¿Ó X, Y Â›Ó·È ‰‡Ô ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î·È f : X → Y, g : X → Y Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ, ÙfiÙ Û ÁÂÓÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ g, fiÙ·Ó ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÌÔÚʈı› ηٿ Û˘Ó¯‹ ÙÚfiÔ, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„ÂÈ Ë g. £· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÚÈÛÌfi Ì ̷ıËÌ·ÙÈÎfi ÙÚfiÔ ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 9.3. √È ¯ÒÚÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ› ‹ ÔÌÔÙÔÈÎÒ˜ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔÈ, fiÙ·Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û˘Ó¯›˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ f : X → Y Î·È g : Y → X Ù¤ÙÔȘ, ÒÛÙÂ Ë f ◦ g Ó· Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ Ù·˘ÙÔÙÈ΋˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ Â› ÙÔ˘ Y Î·È Ë g ◦ f Ó· Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ Ù·˘ÙÔÙÈ΋˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ Â› ÙÔ˘ X . ∂Ó Á¤ÓÂÈ, Ë ÔÌÔÙÔ›· ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÁˆÌÂÙÚÈÎÒ˜ ˆ˜ ÂÍ‹˜: Ô X Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÙÔ˘ Y , fiÙ·Ó ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÌÔÚʈı› ηٿ Û˘Ó¯‹ ÙÚfiÔ, ‰ËÏ·‰‹ Ó· Û˘ÚÚÈÎÓˆı›, Ó· ÙÂÓÙˆı› ‹ Ó· ÙÛÈÌËı›, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„ÂÈ Ô Y . ∂¿Ó ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ›, ÙfiÙ ηٿ ÚÔÊ·Ó‹ ÙÚfiÔ Â›Ó·È Î·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ›. ∂Ó‰¤¯ÂÙ·È fï˜ ‰‡Ô ¯ÒÚÔÈ Ó· Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ› ¯ˆÚ›˜ ··Ú·Èًو˜ Ó· Â›Ó·È Î·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ›. ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, Ë ‰·ÎÙ˘ÏȈً ÂÚÈÔ¯‹ Ù˘ ∂ÈÎfiÓ·˜ 9.1 Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ¯ˆÚ›˜ fï˜ Ó· Â›Ó·È Î·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈ΋ ·˘ÙÔ‡. √ÌÔÙÔÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ Ô˘ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È Ì¤Ûˆ ÔÌÔÙÔ›·˜. ™ÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 9.3 ı· ÂÈÛ·¯ı› ÌÈ· ÔÌ¿‰· ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ ıÂÌÂÏÈ҉˘ ÔÌ¿‰·, Ë ÔÔ›· Û˘ÏϤÁÂÈ ÙȘ ÔÌÔÙÔÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÂÓfi˜ ¯ÒÚÔ˘ Î·È Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜. ∏ £ÂˆÚ›· √ÌÔÏÔÁ›·˜ ÌÂÏÂÙ¿ ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ ·ÓÙÈÂÙˆ›˙ÔÓÙ¿˜ ÙÔ˘˜ ˆ˜ Û˘Ó‰˘·ÛÙÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÌÔÓÔÏÂÎÙÈο Û˘ÌϤÁÌ·Ù· Î·È ÚÔ·ÙÔ˘Ó Ì ÂȉÈÎfi ÙÚfiÔ ·fi Ù· ÏÂÁfiÌÂÓ· ÌÔÓfiÏÔη (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 9.4). ∂Ó Á¤ÓÂÈ, ¤Ó· n – ÌÔÓfiÏÔÎÔ Â›Ó·È ¤Ó· Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Ô˘ ÌÔÈ¿˙ÂÈ Ì ¤Ó· Ôχ‰ÚÔ ÙÔ˘ n – ‰È¿ÛÙ·ÙÔ˘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. ∏ ‰È·‰Èηۛ· ηٿ ÙËÓ

9.2. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ŒÓÓÔȘ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ – ∞‚ÂÏÈ·Ó¤˜ √Ì¿‰Â˜

195

EÈÎfiÓ· 9.1: √ÌÔÙÔÈÎÔ› ·ÏÏ¿ fi¯È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ ÔÔ›· ¤Ó·˜ ÁÂÓÈÎfi˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÔÚÈṲ̂ӷ ÙÌ‹Ì·Ù¿ ÙÔ˘ ηٿ Ù¤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiÌÔÚÊÔ˜ ÂÓfi˜ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎÔ‡ Û˘ÌϤÁÌ·ÙÔ˜, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË, ‹ ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË, ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘. ∏ ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘Ó‰˘·ÛÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ¿Ú¯ÈÛ Ì ÙÔ ÚˆÙÔÔÚÈ·Îfi ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ Henri Poincaré ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ 19Ô˘ ·ÈÒÓ·. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋˜ ·ÔÛ‡ÓıÂÛ˘ ÚÔ·ÙÂÈ ÌÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·‚ÂÏÈ·ÓÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÌÔÏÔÁÈΤ˜ ÔÌ¿‰Â˜. ∂Ó Á¤ÓÂÈ, Ë ÔÌÔÙÔ›· Â›Ó·È ÌÈ· ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜ ÈÛ¯˘ÚfiÙÂÚË Ù˘ ÔÌÔÏÔÁ›·˜ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÔÌÔÙÔÈÎÒ˜ Ù·˘ÙfiÛËÌÔÈ ¯ÒÚÔÈ ‰È·ı¤ÙÔ˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÔÌÔÏÔÁ›·. ∏ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÚfiÙ·ÛË ı· ‰È·Ù˘ˆı› Ì ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Û·Ê‹ÓÂÈ· ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 9.4.

9.2

∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ŒÓÓÔȘ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ ∞‚ÂÏÈ·Ó¤˜ √Ì¿‰Â˜

∆· ·ÏÁ‚ÚÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Â›Ó·È Î˘Ú›ˆ˜ ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜. ¶ÚÈÓ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ, ÎÚ›ÓÂÙ·È ÛÎfiÈÌÔ Ó· ‰Ô‡Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ÂÈϤÔÓ ÛÙÔȯ›· ·fi ÙË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· ıÂÒÚËÌ· ‰ÔÌ‹˜ Ô˘ ·ÊÔÚ¿ ÛÙȘ ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ·Ú·ÁfiÌÂÓ˜ ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ÔÌ¿‰Â˜ Î·È ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙˆÓ Â˘ı¤ˆÓ ÁÈÓÔÌ¤ÓˆÓ ÙˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ. √ÚÈÛÌfi˜ 9.2.1. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ H Î·È K Â›Ó·È ÔÌ¿‰Â˜. ∆fiÙ ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜, ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì H × K , Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {(h, k); h ∈ H, k ∈ K } Ì Ú¿ÍË ÙËÓ (h 1 , k1 )(h 2 , k2 ) = (h 1 h 2 , k1 k2 )Ø ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ¿ÌÂÛ· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ ÙÔ H × K Â›Ó·È ÔÌ¿‰·.

196

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

™ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Ï‹ÌÌ· ÂÌÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÔÚÈṲ̂ӷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÛÙ· ¢ı¤· ÁÈÓfiÌÂÓ· ηÈ, ηÙ' Â¤ÎÙ·ÛÈÓ, ÛÙÔ ı¤Ì· Ô˘ ÂÍÂÙ¿˙Ô˘ÌÂ. √È ·ԉ›ÍÂȘ Â›Ó·È ¿ÌÂÛ˜ Î·È ÚÔÙ›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ˆ˜ ·Û΋ÛÂȘ. §‹ÌÌ· 9.2.1. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ G = H × K . ∆fiÙÂ: (1) √È H1 = H × {1} Î·È K 1 = {1} × K Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙ˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ Ù˘ G, ÈÛfiÌÔÚʘ ÙˆÓ H Î·È K ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ∂ÈϤÔÓ, G = H1 K 1 Î·È H1 ∩ K 1 = {1}. (2) ∏ H × K Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ H Î·È K Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˜. (3) ∏ H × K Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÔÈ H Î·È K Â›Ó·È Â›Û˘ ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ÔÌ¿‰Â˜. ∞fi ÙÔ ÚÒÙÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ·ÓˆÙ¤Úˆ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜ ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÔÈ H Î·È K ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ıˆÚËıÔ‡Ó ˆ˜ ÔÚıfiıÂÙ˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ Ù˘ H × K . ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ‰È·‰Èηۛ· ÌÔÚ› Ó· ·ÓÙÈÛÙÚ·Ê›, ·Ú¯›˙ÔÓÙ·˜ Ì ÔÚıfiıÂÙ˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ G. ∂¿Ó ·˘Ù¤˜ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 9.2.1, ÙfiÙÂ Ë G Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÂÓ ÏfiÁˆ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ. §‹ÌÌ· 9.2.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌ¿‰· Î·È ÔÈ H, K ‰‡Ô ÔÚıfiıÂÙ˜ ˘ÔÔÌ¿‰Â˜ Ù˘ G Ô˘ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó Ù· ÂÍ‹˜: (1) G = H K , ‰ËÏ·‰‹ Ë G ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi fiÏ· Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ· {hk; h ∈ H, k ∈ K }, (2) H ∩ K = {1}. ∆fiÙ G ∼ = H × K Î·È Ë G Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Ù˘ H Î·È K. £· ·Û¯ÔÏËıԇ̠ÙÒÚ· Ì ÙȘ ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ÔÌ¿‰Â˜. ¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ, ÏfiÁˆ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ 9.2.1, Ù· ¢ı¤· ÁÈÓfiÌÂÓ· ·‚ÂÏÈ·ÓÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó¿. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÌÈ· ÔÌ¿‰· G Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ ¤Ó·Ó ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ· g. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ë G ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiϘ ÙȘ Û·ÊÒ˜ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤Ó˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ g. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ÔÈ Î˘ÎÏÈΤ˜ ÔÌ¿‰Â˜ Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ù· ¢ı¤· ÁÈÓfiÌÂÓ· ΢ÎÏÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Â›Ó·È Â›Û˘ ·‚ÂÏÈ·Ó¿. (∞˘Ù¿ ÂÓ‰¤¯ÂÙ·È Ó· Â›Ó·È ‹ Ó· ÌËÓ Ó· Â›Ó·È Î˘ÎÏÈο – ‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ.) ∂¿Ó ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚË Ù¿ÍË, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊË Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Z Ì Ú¿ÍË ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË. £· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Z ÁÈ· Ó· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· ¿ÂÈÚ˘ Ù¿Í˘. ∂¿Ó ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· ¤¯ÂÈ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Ù¿ÍË n, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊË Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ modulo n, ‰ËÏ·‰‹ Ù˘ Zn Ì Ú¿ÍË

9.2. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ŒÓÓÔȘ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ – ∞‚ÂÏÈ·Ó¤˜ √Ì¿‰Â˜

197

ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË. £· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Zn ÁÈ· Ó· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Î˘ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰· Ù¿Í˘ n. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌ¿‰· Î·È Ô n ¤Ó·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì G n ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ n ·ÓÙÈÁÚ¿ÊˆÓ Ù˘ G, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ G × G . . . × G. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ Zn Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ n ΢ÎÏÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ ηıÂÌ›· ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ‰È·ı¤ÙÂÈ ¿ÂÈÚÔ Ï‹ıÔ˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ. ∆· ¢ı¤· ÁÈÓfiÌÂÓ· ΢ÎÏÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Ì ¿ÂÈÚÔ Ï‹ıÔ˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ ¤¯Ô˘Ó ȉȷ›ÙÂÚË ÛËÌ·Û›· ÁÈ· ÙË ‰ÔÌ‹ ÙˆÓ ·‚ÂÏÈ·ÓÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ù· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ·Ô‰›‰ÔÓÙ¿˜ ÙÔ˘˜ ÂȉÈ΋ ÔÓÔÌ·Û›·. √ÚÈÛÌfi˜ 9.2.2. ªÈ· ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· F ‚·ıÌ›‰·˜ n Â›Ó·È ¤Ó· ¢ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ n ·ÓÙÈÁÚ¿ÊˆÓ ÙÔ˘ Z. ◊ÙÔÈ: F = Z × . . . × Z = Zn . ∂¿Ó Ë F Â›Ó·È ÌÈ· ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· Î·È Ù· g1 , . . . , gn Â›Ó·È ÛÙÔȯ›· Ù˘ F Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ F = g1  × g2  × . . . × gn , ÙfiÙ ٷ g1 , . . . , gn ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‚¿ÛË Ù˘ F. √È fiÚÔÈ ‚¿ÛË Î·È ‚·ıÌ›‰· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁÔÈ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ fiÚˆÓ Ô˘ Û˘Ó·ÓÙԇ̠ÛÙË ıˆڛ· ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ. ∆Ô ÂfiÌÂÓÔ Ï‹ÌÌ· ÁÂÓÈ·ÂÈ ÔÚÈṲ̂Ó˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ Û ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÂχıÂÚˆÓ ·‚ÂÏÈ·ÓÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ. §‹ÌÌ· 9.2.3. ŒÛÙˆ F ÌÈ· ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ‚·ıÌ›‰·˜ n. ∆fiÙÂ: (1) √ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ‚¿Û˘ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi˜ Î·È ›ÛÔ˜ Ì n. (2) ∂¿Ó ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {g1 , . . . , gn } ·ÔÙÂÏ› ‚¿ÛË, ÙfiÙ οı f ∈ F ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· ÌÔÓ·‰È΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË: f = g1m 1 . . . gnm n , fiÔ˘ ÔÈ m i Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›. (3) ∂¿Ó Ë H Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ F, ÙfiÙÂ Ë H Â›Ó·È Â›Û˘ ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ Ì ‚·ıÌ›‰· ≤ Ù˘ ‚·ıÌ›‰·˜ Ù˘ F.

198

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

√ fiÚÔ˜ ÂχıÂÚË ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ £ÂÒÚËÌ· ∆·ÍÈÓfiÌËÛ˘ ÙˆÓ ∂χıÂÚˆÓ ∞‚ÂÏÈ·ÓÒÓ √Ì¿‰ˆÓ. ∆Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ıÂÒÚËÌ· ηÙ' Ô˘Û›·Ó ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÌÈ· ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· Ì ‚¿ÛË g1 , . . . , gn Â›Ó·È Ë ϤÔÓ ÂχıÂÚË (·˘Ù‹ Ô˘ ˘fiÎÂÈÙ·È ÛÙȘ ÏÈÁfiÙÂÚ˜ ‰ÂÛ̇ÛÂȘ) ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·¯ı› ·fi Ù· g1 , . . . , gn . £ÂÒÚËÌ· 9.2.1. ŒÛÙˆ {g1 , . . . , gn } ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÌÈ·˜ ·‚ÂÏÈ·Ó‹˜ ÔÌ¿‰·˜ G. ∏ ÔÌ¿‰· G Â›Ó·È ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ Ì ‚¿ÛË {g1 , . . . , gn }, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Î¿ı ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙˆÓ g1 . . . , gn Û ÌÈ· ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· H ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Î·Ù¿ ÙÚfiÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi Û ¤Ó·Ó ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi ÔÌ¿‰ˆÓ ·fi ÙËÓ G ÛÙËÓ H . ªÈ· ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂχıÂÚË ÛÙÚ¤„˘, fiÙ·Ó ‰ÂÓ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÛÙÔȯ›· ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ Ù¿Í˘. ªÈ· ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌ¿‰· ÛÙÚ¤„˘, fiÙ·Ó Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ Ù¿Í˘. ™Â ÌÈ· ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· G fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ Ù¿Í˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ˘ÔÔÌ¿‰·, ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÔÚıfiıÂÙË, ·ÊÔ‡ Ë G Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹. ∞˘Ù‹ Ë ˘ÔÔÌ¿‰· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÔÔÌ¿‰· ÛÙÚ¤„˘ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì t G. §‹ÌÌ· 9.2.4. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹, ÙfiÙ fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ Ù¿Í˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰·. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ t G = {g ∈ G; g ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ Ù¿Í˘}. ∆ÒÚ· 1 ∈ t G Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ t G Â›Ó·È ÌË ÎÂÓfi. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ g1 , g2 ∈ t GØ ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó n 1 Î·È n 2 Ì g1n 1 = g2n 2 = 1. ∂Ó Û˘Ó¯›·, (g1 g2 )n 1 n 2 = (g1n 1 )n 2 (g2n 2 )n 1 = 1, ÂÊfiÛÔÓ Ë G Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹. ∫·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, ÙÔ g1 g2 ¤¯ÂÈ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Ù¿ÍË Î·È, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ g1 g2 ∈ t G. √ÌÔ›ˆ˜, (g1−1 )n 1 = (g1n 1 )−1 = 1 Î·È ¿Ú· g1−1 ∈ t G. ™˘ÓÂÒ˜, Ë t G Â›Ó·È ˘ÔÔÌ¿‰·. ªÈ· ÔÌ¿‰· G ·ÔηÏÂ›Ù·È ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ·Ú·ÁfiÌÂÓË, fiÙ·Ó ‰È·ı¤ÙÂÈ Î¿ÔÈÔ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ÁÂÓÓËÙfiÚˆÓ. °È· ÙȘ ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ÔÌ¿‰Â˜ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ÂÍ‹˜: §‹ÌÌ· 9.2.5. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ·Ú·ÁfiÌÂÓË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ÛÙÚ¤„˘, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰·. ∞fi‰ÂÈÍË. £· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙÔ Ï‹ÌÌ· ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ˜, ηıÒ˜ Ë ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÚÔ·ÙÂÈ ·Îfiˆ˜ ̤ۈ Â·ÁˆÁ‹˜.

9.2. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ŒÓÓÔȘ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ – ∞‚ÂÏÈ·Ó¤˜ √Ì¿‰Â˜

199

ŒÛÙˆ fiÙÈ Ù· g1 Î·È g2 ·Ú¿ÁÔ˘Ó ÙËÓ G. ∂ÊfiÛÔÓ Ë G Â›Ó·È ÔÌ¿‰· ÛÙÚ¤„˘, Ù· g1 Î·È g2 ¤¯Ô˘Ó ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Ù¿ÍË, ¤ÛÙˆ n 1 Î·È n 2 ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ∆ÒÚ·, Â¿Ó g ∈ G, ÙfiÙ ÙÔ g ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ g = g1t1 g2s1 . . . g1tk g2sk , ÂÂȉ‹ Ù· g1 Î·È g2 ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ˜ Ù˘ G. ∂Âȉ‹ Ë G Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹, ÌÔÚԇ̠ӷ Û˘ÁÎÂÓÙÚÒÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‚¿ÛË ÙÔ g1 Î·È ÂΛÓÔ˘˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‚¿ÛË ÙÔ g2 . ŒÙÛÈ Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ: g = g1t g2s , ÁÈ· οÔÈÔ˘˜ ·ÎÂÚ·›Ô˘˜ t Î·È s. ∂Âȉ‹ Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ Û¯¤ÛË ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı g ∈ G, Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù˘ G ÂÚÈÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÙˆÓ ÂÈÏÔÁÒÓ ÁÈ· ÙÔ t Î·È ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÙˆÓ ÂÈÏÔÁÒÓ ÁÈ· ÙÔ s. ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ g1 ¤¯ÂÈ Ù¿ÍË n 1 Î·È ÙÔ g2 ¤¯ÂÈ Ù¿ÍË n 2 , ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÈÛÔ‡Ù·È Ì n 1 n 2 . ∂Ô̤ӈ˜ |G| ≤ n 1 n 2 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ë G Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË. ™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ·Ó¿ÏÔÁÔ Ï‹ÌÌ· ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ÌË ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ÔÌ¿‰Â˜. ¢ËÏ·‰‹ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ·Ú·ÁfiÌÂÓ˜ ÔÌ¿‰Â˜, οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ Ù¿Í˘, ÂÓÒ ÔÈ ›‰È˜ Â›Ó·È ¿ÂÈÚ˘ Ù¿Í˘. ∆Ô Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ Burnside ı¤ÙÂÈ ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· ÙÔ˘ ηٿ fiÛÔÓ ÌÈ· ÔÌ¿‰· Ì n ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ˜ ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ Ù¿Í˘, fiÙ·Ó Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ ¤¯ÂÈ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË Ù¿ÍË Î·È fiÙ·Ó fiϘ ·˘Ù¤˜ ÔÈ Ù¿ÍÂȘ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤Ó˜ ·fi οÔÈÔÓ ¿ÏÏÔÓ ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi m. ∂Ó Á¤ÓÂÈ, ·˘Ùfi Â›Ó·È Â›Û˘ ·Ó·ÏËı¤˜. ¶·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË Û ¤Ó· ¿ÚıÚÔ ÙÔ˘ Gupta [G] ÁÈ· ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ Û˘˙‹ÙËÛË Â› ÙÔ˘ ı¤Ì·ÙÔ˜. ™ÙËÚÈ˙fiÌÂÓÔÈ ÛÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ¤ÓÓÔȘ ı· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ¶ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ¶·Ú·ÁfiÌÂÓˆÓ ∞‚ÂÏÈ·ÓÒÓ √Ì¿‰ˆÓ Î·È ı· ÛÎÈ·ÁÚ·Ê‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘ Û ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ÏËÌÌ¿ÙˆÓ. £· ·Ú·Ï›„Ô˘ÌÂ, ˆÛÙfiÛÔ, ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ ÏÂÙÔÌÂÚÂÈÒÓ. ªÈ· Ï‹Úˆ˜ ηٷÓÔËÙ‹ Î·È ÂÓ‰Âϯ‹˜ Û˘˙‹ÙËÛË Û¯ÂÙÈ΋ Ì ÙÔ ·ÚfiÓ ı¤Ì· ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Rotman [Ro]. ªÂÙ¿ ÙË ÛÎÈ·ÁÚ¿ÊËÛË Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ ıÂÒÚËÌ·. £ÂÒÚËÌ· 9.2.2. (£ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ¶ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ¶·Ú·ÁfiÌÂÓˆÓ ∞‚ÂÏÈ·ÓÒÓ √Ì¿‰ˆÓ). ŒÛÙˆ G ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ·Ú·ÁfiÌÂÓË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·. ∏ G ·ÔÛ˘ÓÙ›ıÂÙ·È Î·Ù¿ ÙÚfiÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi (Ì ÂÍ·›ÚÂÛË ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ) ˆ˜ ¢ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌÈ·˜ ÂχıÂÚ˘ ·‚ÂÏÈ·Ó‹˜ ÔÌ¿‰·˜ ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ‚·ıÌ›‰·˜ Î·È ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ, ÔÈ Ù¿ÍÂȘ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Â›Ó·È ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∏ ‚·ıÌ›‰· ÙÔ˘ ÂχıÂÚÔ˘ ·‚ÂÏÈ·ÓÔ‡ ·Ú¿ÁÔÓÙ· Ù˘ G Â›Ó·È ÌÈ· ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜ Ù˘ G Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÚÈıÌfi˜ Betti.

200

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

Ÿˆ˜ ÚԷӷʤڷÌÂ, Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.2.2. ı· ÛÎÈ·ÁÚ·ÊËı› ÛÙ· §‹ÌÌ·Ù· 9.2.6 ¤ˆ˜ Î·È 9.2.10. §‹ÌÌ· 9.2.6. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ·Ú·ÁfiÌÂÓË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·, ÙfiÙÂ Ë G Â›Ó·È Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ. §‹ÌÌ· 9.2.7. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂχıÂÚË ÛÙÚ¤„˘ ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ·Ú·ÁfiÌÂÓË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·, ÙfiÙÂ Ë G Â›Ó·È ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ‚·ıÌ›‰·˜. §‹ÌÌ· 9.2.8. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ·Ú·ÁfiÌÂÓË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·, ÙfiÙ G = t G×(ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹). §‹ÌÌ· 9.2.9. ∫¿ı ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· G ÈÛÔ‡Ù·È Ì οÔÈÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ, ÔÈ Ù¿ÍÂȘ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Â›Ó·È ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∂¿Ó Ô p Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙ ÌÈ· p – ÔÌ¿‰· Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌ¿‰· οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ ÔÔ›·˜ ¤¯ÂÈ Ù¿ÍË Î¿ÔÈ· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ p. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Lagrange ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ, Â¿Ó ÌÈ· ÔÌ¿‰· ¤¯ÂÈ Ù¿ÍË Î¿ÔÈ· ‰‡Ó·ÌË ÚÒÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡, ÙfiÙ ·˘Ù‹ ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È ÌÈ· p – ÔÌ¿‰·. §‹ÌÌ· 9.2.10. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ p – ÔÌ¿‰·, ÙfiÙÂ Ë G Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î˘ÎÏÈÎÒÓ p – ÔÌ¿‰ˆÓ. ∂ÈϤÔÓ, Ë ·ÔÛ‡ÓıÂÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋ Ì ÂÍ·›ÚÂÛË ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ∞ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ·Ú·Ù›ıÂÙ·È ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÁÈ· ÙÔ Ò˜ ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ıÂÒÚËÌ·. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.2.1. £· Ù·ÍÈÓÔÌ‹ÛÔ˘Ì fiϘ ÙȘ ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ÔÌ¿‰Â˜ Ì ·ÚÈıÌfi ÙÔ˘ Betti ›ÛÔÓ Ì 3 Î·È ÔÌ¿‰· ÛÙÚ¤„˘ Ì ٿÍË 180. ŒÛÙˆ G ÌÈ· Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·. ∆fiÙÂ: G∼ = t G × (ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹) = t G × Z3 ,

9.2. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ŒÓÓÔȘ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ – ∞‚ÂÏÈ·Ó¤˜ √Ì¿‰Â˜

201

‰ÈfiÙÈ Ô Î·Ù¿ Betti ·ÚÈıÌfi˜ Ù˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 3. ∂Âȉ‹ |t G| = 180, Ú¤ÂÈ Ó· Ù·ÍÈÓÔÌ‹ÛÔ˘Ì fiϘ ÙȘ ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˜ ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ÔÌ¿‰Â˜ Ù¿Í˘ 180. ∏ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ 180 Û ÚÒÙÔ˘˜ Â›Ó·È 22 32 5. ∂Ô̤ӈ˜, ÔÈ ‰˘Ó·Ù¤˜ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂȘ Ù˘ G ˆ˜ ¢ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Ì ٿÍÂȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ÔÈ ÂÍ‹˜: (1) (2) (3) (4)

Z22 × Z32 × Z5 , Z2 × Z2 × Z32 × Z5 , Z22 × Z3 × Z3 × Z5 , Z2 × Z2 × Z3 × Z3 × Z5 .

™˘ÓÂÒ˜, Û˘ÓÂÓÒÓÔÓÙ·˜ Ù· ‰‡Ô ÙÌ‹Ì·Ù· Ù˘ G ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ù¤ÛÛÂÚÂȘ ‰˘Ó·Ù¤˜ ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ÔÌ¿‰Â˜ Ì ٷ ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο, ÔÈ ÂÍ‹˜: (1) (2) (3) (4)

Z22 × Z32 × Z5 × Z3 , Z2 × Z2 × Z32 × Z5 × Z3 , Z22 × Z3 × Z3 × Z5 × Z3 , Z2 × Z2 × Z3 × Z3 × Z5 × Z3 . 2

∞ӷʤÚÔ˘Ì ÌÈ· ÂÈϤÔÓ ÛÂÈÚ¿ ÂÓÓÔÈÒÓ ·fi ÙË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ, ÚÈÓ Â·Ó¤ÏıÔ˘Ì ÛÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›·. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·, ÙfiÙ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ghg −1 h −1 Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ÙÔ Ù·˘ÙÔÙÈÎfi ÛÙÔȯ›Ô, ·ÓÂÍ·Úًو˜ ÙÔ˘ ÔÈ· Â›Ó·È Ù· ÛÙÔȯ›· g, h ∈ G. ∆Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÔÌ¿‰·. ∂¿Ó Ë G ‰ÂÓ Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹, fiÔ˘ g, h ∈ G Î·È ghg −1 h −1 = 1, ÙfiÙ gh = hg Î·È ÛÙËÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË Ï¤Ì fiÙÈ Ù· g Î·È h ÌÂÙ·Ù›ıÂÓÙ·È. ∏ Û˘ÏÏÔÁ‹ ÙˆÓ ÁÈÓÔÌ¤ÓˆÓ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÂÌÊ·›ÓÂÈ ÙÔ Î·Ù¿ fiÛÔÓ ·¤¯ÂÈ Ë ÔÌ¿‰· G ·fi ÙÔ Ó· Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹. ∏ ÛΤ„Ë ·˘Ù‹ ÂÎÙ›ıÂÙ·È ÛÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÔÚÈÛÌfi: √ÚÈÛÌfi˜ 9.2.3. ŒÛÙˆ G ÌÈ· ÔÌ¿‰·. ∂¿Ó g, h ∈ G, ÙfiÙÂ Ô ÌÂÙ·ı¤Ù˘ ÙÔ˘˜, Ô ÔÔ›Ô˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì [g, h], Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ghg −1 h −1 . ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Ù· g Î·È h ÌÂÙ·Ù›ıÂÓÙ·È, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ô ÌÂÙ·ı¤Ù˘ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÙÔ Ù·˘ÙÔÙÈÎfi ÛÙÔȯ›Ô. ∏ ÌÂÙ·ı¤ÙÚÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G, Ë ÔÔ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì [G, G] ‹ G  , ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G Ô˘ ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÌÂÙ·ı¤Ù˜ Ù˘ G. ∂›Ó·È Úfi‰ËÏÔ fiÙÈ Ë G Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó Ë ÌÂÙ·ı¤ÙÚÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Â›Ó·È ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË.

202

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

£ÂÒÚËÌ· 9.2.3. ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌ¿‰·, ÙfiÙÂ Ë G  Â›Ó·È ÌÈ· ÔÚıfiıÂÙË ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G Î·È Ë ÔÌ¿‰· ËÏ›ÎˆÓ G/G  Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹. ∂ÈϤÔÓ, Â¿Ó H Â›Ó·È ÌÈ· ÔÚıfiıÂÙË ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G Ì ÙËÓ G/H ·‚ÂÏÈ·Ó‹, ÙfiÙ G  ⊂ H . ∂Ô̤ӈ˜, Ë G/G  Â›Ó·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÔÌ¿‰· ËÏ›ÎˆÓ Ù˘ G, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹. ∏ G/G  ·ÔηÏÂ›Ù·È Ë ·‚ÂÏÈ·ÓÔÔ›ËÛË Ù˘ G Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì G ab . ∞fi‰ÂÈÍË. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi, Ë G  ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ GØ Ú¤ÂÈ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ G. ŒÛÙˆ x ∈ G. Œ¯Ô˘ÌÂ: x −1 [g, h]x = x −1 ghg −1 h −1 x = x −1 gx x −1 hx x −1 g −1 x x −1 h −1 x = [x −1 gx, x −1 hx] ∈ G  . ∂Ô̤ӈ˜, οıÂ Û˘˙˘Á‹˜ ÂÓfi˜ ÌÂÙ·ı¤ÙË Â›Ó·È Î·È ¿ÏÈ ÌÂÙ·ı¤Ù˘ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ë G  Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË. ∞˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙËÓ ÔÌ¿‰· ËÏ›ÎˆÓ G/G  . ŒÛÙˆ u = gG  Î·È v = hG  . ∆fiÙ ¤¯Ô˘Ì uvu −1 v −1 = ghg −1 h −1 G  = [g, h]G  = G  , ÂÊfiÛÔÓ [g, h] ∈ G  . øÛÙfiÛÔ, ·˘Ùfi Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÛÙËÓ G/G  Ô ÌÂÙ·ı¤Ù˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì [u, v] = uvu −1 v −1 = 1 ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, Ë G/G  Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹. ∆¤ÏÔ˜, ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë G/H Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹. ŒÛÙˆ g, h ∈ G Î·È ·˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ÚÈΤ˜ ÎÏ¿ÛÂȘ g H, h H . ∆fiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: gh H = hg H, ÂÂȉ‹ Ë G/H Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹. ŸÌˆ˜ Û ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ghg −1 h −1 H = H ‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· [g, h]H = H , ÁÂÁÔÓfi˜ ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ [g, h] ∈ H ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÌÂÙ·ı¤Ù˜ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ G  ⊂ H .

9.3

√ÌÔÙÔ›· Î·È £ÂÌÂÏÈ҉˘ √Ì¿‰·

£· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙË £ÂˆÚ›· √ÌÔÙÔ›·˜ ‰È¿ Ù˘ ÔÔ›·˜ ı· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÚÒÙË ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ, ‹ÙÔÈ ÙË ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÔÌ¿‰·. ∂¿Ó ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ‰‡Ô ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î·È ÔÈ f : X → Y, g : X → Y Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÙfiÙ ‰È·ÈÛıËÙÈÎÒ˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ g, Â¿Ó Ë f ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÌÔÚʈı› Û˘Ó¯Ҙ, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„ÂÈ Ë g. £· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘ÌÂ

9.3. √ÌÔÙÔ›· Î·È £ÂÌÂÏÈ҉˘ √Ì¿‰·

203

Ì ̷ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ‰È·ÈÛıËÙÈÎfi ÔÚÈÛÌfi. °È· ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ I = [0, 1] Â›Ó·È ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ ¢ı›·˜ R. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠Â›Û˘ fiÙÈ, Â¿Ó ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ, ÙfiÙ ÙÔ Î·ÚÙÂÛÈ·Ófi ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜ X × Y ÌÔÚ› Â›Û˘ Ó· ÂÎÏËÊı› ˆ˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ıˆÚÒÓÙ·˜ ˆ˜ ‚¿ÛË ÙˆÓ ·ÓÔÈÎÙÒÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ÙÔ˘ X × Y Ù· Û‡ÓÔÏ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Ox × O y , fiÔ˘ Ù· Ox Î·È O y Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙ¿ Û‡ÓÔÏ· ÛÙÔ˘˜ ¯ÒÚÔ˘˜ X Î·È Y ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ).

√ÚÈÛÌfi˜ 9.3.1. ¢Ôı¤ÓÙˆÓ ‰‡Ô ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ X, Y Î·È ‰‡Ô Û˘Ó¯ÒÓ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂˆÓ f : X → Y , g : X → Y , ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ f ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ g, fiÙ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈ· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË H : X × I → Y Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ H (x, 0) = f (x) ÁÈ· fiÏ· Ù· x ∈ X Î·È H (x, 1) = g(x) ÁÈ· fiÏ· Ù· x ∈ X . ∏ ·ÂÈÎfiÓÈÛË H ηÏÂ›Ù·È ÔÌÔÙÔ›·. ™ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË Ë g Â›Ó·È Â›Û˘ ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ f ̤ۈ Ù˘ ÔÌÔÙÔ›·˜ H1 (x, t) = H (x, 1 − t) ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f Î·È g ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÌÔÙÔÈΤ˜.

°È· Ó· ·ÓÙÈÏËÊıԇ̠ηχÙÂÚ· ÙÔÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÚÈÛÌfi, ·˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· I ˆ˜ ¤Ó·Ó ¯ÒÚÔ ¯ÚÔÓÈ΋˜ ·Ú·Ì¤ÙÚÔ˘. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Û οı ÛËÌÂ›Ô t ∈ [0, 1] ıˆÚԇ̠ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ht (x) = H (x, t) ˆ˜ ÌÈ· Û˘Ó¯‹ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ·fi ÙÔ X ÛÙÔ Y ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ t. ∫·Ù¿ ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t = 0 ¤¯Ô˘Ì H0 (x) = f (x), ÂÓÒ Î·Ù¿ ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t = 1 ¤¯Ô˘Ì H1 (x) = g(x). ∏ Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù˘ H (x, t) ·Ó··Ú›ÛÙ·Ù·È ·fi ÙË Û˘Ó¯‹ ÌÂÙ¿ÏÏ·Í‹ Ù˘ Ô˘ Û˘ÓÙÂÏÂ›Ù·È Ì ÙËÓ ¿ÚÔ‰Ô ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘. ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ X = [a, b] ⊂ R Î·È Y = R2 . ∆fiÙ ÔÈ f Î·È g ·Ó··ÚÈÛÙÔ‡Ó ‰È·‰ÚÔ̤˜ ÛÙÔÓ R2 . ∂¿Ó ÔÈ f, g Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈΤ˜, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· ÂÈÎfiÓ· ·Ó¿ÏÔÁË Ù˘ ∂ÈÎfiÓ·˜ 9.2, fiÔ˘ ÔÈ ‰È·ÎÂÎÔÌ̤Ó˜ ÁÚ·Ì̤˜ ·Ó··ÚÈÛÙÔ‡Ó ÙȘ ‰È·‰ÚÔ̤˜ ηٿ ÙȘ ÂӉȿÌÂÛ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘. ∂›‰·Ì fiÙÈ, Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ g, ÙfiÙÂ Î·È Ë g Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ f . ∂Ô̤ӈ˜, Ë ÔÌÔÙÔ›· Â›Ó·È ÌÈ· Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Û¯¤ÛË Â› ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ·fi ÙÔ X ÛÙÔ Y . ∂ÈϤÔÓ, Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Û¯¤ÛË Â›Ó·È ÌÂÙ·‚·ÙÈÎ‹Ø ‰ËÏ·‰‹, Â¿Ó Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ g Î·È Ë g Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ h, ÙfiÙÂ Î·È Ë f Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ h. ∞˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ H0 Â›Ó·È Ë ÔÌÔÙÔ›· ·fi ÙËÓ f ÛÙËÓ g Î·È H1 Ë ÔÌÔÙÔ›· ·fi ÙËÓ g ÛÙËÓ h. ∆fiÙÂ Ë H2 : X × I → Y Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ

204

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

EÈÎfiÓ· 9.2: √ÌÔÙÔÈΤ˜ ‰È·‰ÚÔ̤˜ Î·È ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Û¯¤ÛÂȘ: H2 (x, t) = H0 (x, 2t), Â¿Ó 0 ≤ t ≤ H2 (x, t) = H1 (x, 2t − 1), ¿Ó

1 2

1 ≤t ≤1 2

ÔÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ÔÌÔÙÔ›· ·fi ÙËÓ f ÛÙËÓ h. ∂Âȉ‹, ÚÔÊ·ÓÒ˜, ÌÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Ù˘, Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó fiÙÈ Ë ÔÌÔÙÔ›· Â›Ó·È ÌÈ· Û¯¤ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ Â› ÙˆÓ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂˆÓ ·fi ÙÔÓ X ÛÙÔÓ Y . √È ÎÏ¿ÛÂȘ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ Ù˘ Û¯¤Û˘ ·˘Ù‹˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÎÏ¿ÛÂȘ ÔÌÔÙÔ›·˜ ÙˆÓ ·ÂÈÎÔÓ›ÛˆÓ. ∞ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ı· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÔÌÔÙÔ›·˜ ·fi ÙȘ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÛÙÔ˘˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜. √ÚÈÛÌfi˜ 9.3.2. ¢˘Ô ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÒ˜ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔÈ ‹ ÔÌÔÙÔÈÎÔ›, Â¿Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û˘Ó¯›˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ f : X → Y Î·È g : Y → X Ù¤ÙÔȘ, ÒÛÙÂ Ë Û‡ÓıÂÛË g f Ó· Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ Ù·˘ÙÔÙÈ΋˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ Â› ÙÔ˘ X Î·È Ë f g Ó· Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ Ù·˘ÙÔÙÈ΋˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ Â› ÙÔ˘ Y . ™Â ·‰Ú¤˜ ÁÚ·Ì̤˜, ‰˘Ô ¯ÒÚÔÈ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ› fiÙ·Ó ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ú·ÌÔÚʈıÔ‡Ó Î·Ù¿ ÙÚfiÔ Û˘Ó¯‹, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„ÂÈ Ô ¤Ó·˜ ·fi ÙÔÓ ¿ÏÏÔÓ. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ÔÈ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ›, ·ÏÏ¿ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÌÔÙÔÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ›. ªÈ· Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÂÚ›ÙˆÛË ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.1. ªÈ· ‰·ÎÙ˘ÏȈً ÂÚÈÔ¯‹ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈ΋ ·˘ÙÔ‡.

205

9.3. √ÌÔÙÔ›· Î·È £ÂÌÂÏÈ҉˘ √Ì¿‰·

∏ ÔÌÔÙÔ›· Â›Ó·È ÌÈ· Û¯¤ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ Â› ÙˆÓ ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ, fiˆ˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Î·È Â› ÙˆÓ ·ÂÈÎÔÓ›ÛˆÓ. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ÎÏ¿ÛÂȘ ÔÌÔÙÔ›·˜ ¯ÒÚˆÓ. √ÌÔÙÔÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜ Â›Ó·È ÌÈ· ÙÔÔÏÔÁÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ô˘ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ·fi ÙËÓ ÔÌÔÙÔ›·. ∂Ô̤ӈ˜, fiÏÔÈ ÔÈ ¯ÒÚÔÈ ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÎÏ¿ÛË ÔÌÔÙÔ›·˜ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ›‰È˜ ÔÌÔÙÔÈΤ˜ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙ˜. ŒÓ·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÛÙ·ÏÙfi˜, fiÙ·Ó Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ, fiˆ˜ Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÌÔÓ·‰È·›Ô˘ ‰›ÛÎÔ˘ ÛÙÔÓ R2 . ŸÏÔÈ ÔÈ Û˘ÛÙ·ÏÙÔ› ¯ÒÚÔÈ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ› Ô ¤Ó·˜ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. ∆ÒÚ· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙË ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÔÌ¿‰· ÂÓfi˜ ¯ÒÚÔ˘, Ë ÔÔ›· ı· Â›Ó·È ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ÔÌÔÙÔÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜. ŒÓ·˜ ‰ÚfiÌÔ˜ Û ¤Ó·Ó ÁÂÓÈÎfi ÙÔÔÏÔÁÈÎfi ¯ÒÚÔ X Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË α : [0, 1] → X . ∂¿Ó x0 ∈ X , ÙfiÙ ¤Ó·˜ ‚Úfi¯Ô˜ ‹ ÎÏÂÈÛÙfi˜ ‰ÚfiÌÔ˜ ‚·ÛÈṲ̂ÓÔ˜ ÛÙÔ x0 Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‰ÚfiÌÔ˜ α Ì α(0) = α(1) = x0 , ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó·˜ ‰ÚfiÌÔ˜ Ì ·Ú¯ÈÎfi Î·È ÙÂÏÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ x0 . ŒÛÙˆ fiÙÈ x0 Â›Ó·È Î¿ÔÈÔ ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ X Î·È fiÙÈ C(X, x0 ) Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‚Úfi¯ˆÓ Ô˘ Â›Ó·È ‚·ÛÈṲ̂ÓÔÈ ÛÙÔ x0 . £· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÌÈ· Ú¿ÍË Â› ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÔÌÔÙÔ›·˜ ÙÔ˘ C(X, x0 ) ηٿ Ù¤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ Â›Ó·È ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ÙËÓ Ú¿ÍË ·˘Ù‹ Ó· ·ÔÙÂÏ› ÔÌ¿‰·. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, Â¿Ó α Î·È β Â›Ó·È ‚Úfi¯ÔÈ ‚·ÛÈṲ̂ÓÔÈ ÛÙÔ x0 , ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ˆ˜ ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜ αβ ÙÔÓ ‚Úfi¯Ô Ô˘ ηÙ' ·Ú¯¿˜ ËÁ·›ÓÂÈ Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ ÙÔ˘ α (·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚ· ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ ÙÔ˘ α) Î·È ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ËÁ·›ÓÂÈ Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ ÙÔ˘ β. ∞˘Ùfi ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·Ù¿ ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÙÚfiÔ: αβ(x) = α(2x), Â¿Ó 0 ≤ t ≤ αβ(x) = β(2x − 1), ¿Ó

1 , 2

1 ≤ t ≤ 1. 2

ŒÓ·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ‚Úfi¯Ô˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.3. ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‚Úfi¯ˆÓ Ô˘ ‚·Û›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ x0 ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ·fi ÙËÓ ÔÌÔÙÔ›·. ¢ËÏ·‰‹, Â¿Ó Ô α Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÙÔ˘ α1 Î·È Ô β Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÙÔ˘ β1 , ÙfiÙÂ Ô αβ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÙÔ˘ α1 β1 . ∂ÈϤÔÓ, ÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Â›Ó·È ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÔÌÔÙÔ›·. ªÂ ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, Â¿Ó ÔÈ α, β Î·È γ Â›Ó·È ‚Úfi¯ÔÈ Ô˘ ‚·Û›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ x0 , ÙfiÙ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ (αβ)γ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi ÙÔ˘ α(βγ ). ™˘ÁÎÂÊ·Ï·ÈÒÓÔ˘Ì ٷ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÛÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Ï‹ÌÌ·: §‹ÌÌ· 9.3.1. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ α, β Î·È γ Â›Ó·È ‚Úfi¯ÔÈ ‚·ÛÈṲ̂ÓÔÈ ÛÙÔ x0 . ∆fiÙÂ: (1) ∂¿Ó Ô α Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÙÔ˘ α1 Î·È Ô β ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÙÔ˘ β1 , ÙfiÙÂ Ô αβ

206

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

EÈÎfiÓ· 9.3: °ÈÓfiÌÂÓÔ ‚Úfi¯ˆÓ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÙÔ˘ α1 β1 . (2) √ ‚Úfi¯Ô˜ (αβ)γ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÙÔ˘ α(βγ ). ŒÛÙˆ fiÙÈ α Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‚Úfi¯Ô˜ ‚·ÛÈṲ̂ÓÔ˜ ÛÙÔ x0 Î·È fiÙÈ Ë [α] Â›Ó·È Ë ÎÏ¿ÛË ÔÌÔÙÔ›·˜ ÙÔ˘. ∏ [α] ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‚Úfi¯Ô˘˜ Ô˘ ‚·Û›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ x0 Î·È Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ› ÙÔ˘ α. √Ú›˙Ô˘Ì [α][β] = [αβ], ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÔÌÔÙÔ›·˜ ‚Úfi¯ˆÓ Â›Ó·È Ë ÎÏ¿ÛË ÔÌÔÙÔ›·˜ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙˆÓ ·ÓÙÈÚÔÛÒˆÓ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛˆÓ. ∞fi ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÓˆÙ¤Úˆ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜ ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Ú¿ÍË, Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È Â› ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÔÌÔÙÔ›·˜, Â›Ó·È ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋. ŒÛÙˆ 1 (X, x0 ) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÔÌÔÙÔ›·˜ ÙˆÓ ‚Úfi¯ˆÓ Ô˘ ‚·Û›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ x0 . ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· ηÏÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓË ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ Ú¿ÍË Â› ÙÔ˘ 1 (X, x0 ). ŒÛÙˆ fiÙÈ e Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÈ ÙÔÓ Ù·˘ÙÔÙÈÎfi ‚Úfi¯Ô Â› ÙÔ˘ x0 , ‹ÙÔÈ e(t) = x0 ÁÈ· οı t ∈ [0, 1]. ∆fiÙ eα = αe = α ÁÈ· ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ¿ÏÏÔÓ ‚Úfi¯Ô Ô˘ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙÔ x0 . ∂Ô̤ӈ˜ [e][α] = [α][e] = [α] ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ë ÎÏ¿ÛË [e] ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ 1 (X, x0 ). ∆¤ÏÔ˜, Â¿Ó Ô α Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‚Úfi¯Ô˜ ‚·ÛÈṲ̂ÓÔ˜ ÛÙÔ x0 , ÙfiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì α −1 (t) = α(1 − t), ‰ËÏ·‰‹ Ô α −1 Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‚Úfi¯Ô˜ Ô˘ ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ ÙÔÓ α ηٿ ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË Î·Ù‡ı˘ÓÛË. ªÔÚԇ̠ӷ ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ αα −1 Î·È α −1 α Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ› ÙÔ˘ e Î·È ¤ÙÛÈ ¤¯Ô˘Ì [αα −1 ] = [α −1 α] = [e]. ∂Ô̤ӈ˜, οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ 1 (X, x0 ) ‰È·ı¤ÙÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. ∞fi Ù· ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Â› ÙÔ˘ 1 (X, x0 ) ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ηÏÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓË Ú¿ÍË Ô˘ Â›Ó·È ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋, ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È·›Ô ÛÙÔÈ¯Â›Ô Î·È ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÔÔ›· οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ‰È·ı¤ÙÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. µ¿ÛÂÈ ÙˆÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ, ÙÔ 1 (X, x0 ) ·ÔÙÂÏ› ÔÌ¿‰·. £ÂÒÚËÌ· 9.3.1. ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ 1 (X, x0 ) ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÔÌÔÙÔ›·˜ ÙˆÓ ‚Úfi¯ˆÓ ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ‚·Û›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ x0 ∈ X Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÔÌ¿‰· Ì Ú¿ÍË ÙËÓ [α][β] = [αβ]. ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË

9.3. √ÌÔÙÔ›· Î·È £ÂÌÂÏÈ҉˘ √Ì¿‰·

207

ÔÌ¿‰· ηÏÂ›Ù·È ıÂÌÂÏÈ҉˘ ÔÌ¿‰· ÙÔ˘ X Ô˘ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙÔ x0 . √ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ıÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ ÔÌ¿‰·˜ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0 . øÛÙfiÛÔ, Û ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ùfi˜ Ô ÂÚÈÔÚÈÛÌfi˜ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ··ÏÂÈÊı›. ŒÛÙˆ fiÙÈ x1 ∈ X Î·È fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ X οÔÈÔ˜ ‰ÚfiÌÔ˜ p ·fi ÙÔ x0 ÛÙÔ x1 . ¢ËÏ·‰‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË p : [0, 1] → X Ì p(0) = x0 Î·È p(1) = x1 . ∆fiÙÂ Ë ÔÌ¿‰· 1 (X, x0 ) Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚÊË Ù˘ 1 (X, x1 ), fiÔ˘ Ô ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË [α] → [ p −1 αp]. ™ÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.4 ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜.

EÈÎfiÓ· 9.4: √ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ 1 (X, x0 ) Î·È 1 (X, x1 ) £ÂÒÚËÌ· 9.3.2. ∂¿Ó Ù· x0 Î·È x1 Â›Ó·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ X , Ù· ÔÔ›· Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ¤Ó·Ó ‰ÚfiÌÔ p, ÙfiÙ 1 (X, x0 ) ∼ = 1 (X, x1 ). ŒÓ·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X Â›Ó·È ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎfi˜, fiÙ·Ó ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· x0 , x1 ∈ X ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘Ó‰ÂıÔ‡Ó Ì¤Ûˆ ÂÓfi˜ ‰ÚfiÌÔ˘. ∫·ÙfiÈÓ ·˘ÙÒÓ ¤ÂÙ·È ÙÔ ÂÍ‹˜ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi fiÚÈÛÌ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.3.2.: ¶fiÚÈÛÌ· 9.3.1. ∂¿Ó Ô X Â›Ó·È ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎfi˜, ÙfiÙ 1 (X, x0 ) ∼ = 1 (X, x1 ) ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ˙‡ÁÔ˜ ÛËÌ›ˆÓ x0 , x1 ∈ X Î·È Ì¿ÏÈÛÙ·, ÛÙËÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË, ˘¿Ú¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ Ì›· ıÂÌÂÏÈ҉˘ ÔÌ¿‰· Û˘ÓËÌ̤ÓË ÛÙÔÓ X . ∏ ÔÌ¿‰· ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ıÂÌÂÏÈ҉˘ ÔÌ¿‰· ÙÔ˘ X Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì 1 (X ). ™ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ·ÚÔ‡Û·˜ ÂÓfiÙËÙ·˜ ıˆÚԇ̠ÌfiÓÔÓ ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜. ∂¿Ó Ô ¯ÒÚÔ˜ X Â›Ó·È Û˘ÛÙ·ÏÙfi˜, ÙfiÙ 1 (X ) = {1}. ∂ÈϤÔÓ, Â¿Ó 1 (X ) = {1}, ÙfiÙ οı ‚Úfi¯Ô˜ ÛÙÔÓ X ÌÔÚ› Ó· Û˘ÚÚÈÎÓˆı› Û ¤Ó· ÛËÌ›Ô. ŒÓ·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜. ∞˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·:

208

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.3.1. (1) √ ÌÔÓ·‰È·›Ô˜ ‰›ÛÎÔ˜ ÙÔ˘ R2 ‹, ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛÙÂÚ¿ ÛÊ·›Ú· ÛÙÔÓ Rn Â›Ó·È Û˘ÛÙ·ÏÙ‹ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈ΋. (2) ∏ n – ÛÊ·›Ú· S n ⊂ Rn+1 Â›Ó·È ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈ΋ ÁÈ· n > 1, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘ÛÙ·ÏÙ‹. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë n – ÛÊ·›Ú·, fiÔ˘ n ≥ 0, Â›Ó·È Ë 2 S n = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 ; x12 + x22 + . . . + xn+1 = 1}.

2 ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.3.2. ŒÛÙˆ Ô Î‡ÎÏÔ˜ S 1 ⊂ R2 . ™Ù·ıÂÚÔÔÈԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ‚¿Û˘ Â› ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ¤Ó·Ó ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi Â› ÙˆÓ ‰ÚfïÓ. ∫¿ı ‚Úfi¯Ô˜ Ô˘ ‰ÂÓ ÂÚÈÙÚ¤¯ÂÈ ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ. ∂¿Ó fï˜ Ô ‚Úfi¯Ô˜ ÂÚÈÙÚ¤¯ÂÈ ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ·fi Ì›· ÊÔÚ¿ ·ÏÏ¿ fi¯È ‰‡Ô, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÂÓfi˜ ‚Úfi¯Ô˘ Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÚÈÙÚ¤¯ÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ì›· ÊÔÚ¿. ∂ÈϤÔÓ, fiÏÔÈ ÔÈ ‚Úfi¯ÔÈ Ô˘ ÂÚÈÙÚ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ì›· ÊÔÚ¿ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ› ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ∂Ó Á¤ÓÂÈ, Â¿Ó ¤Ó·˜ ‚Úfi¯Ô˜ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÂÓfi˜ ‚Úfi¯Ô˘ Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÚÈÙÚ¤¯ÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·ÎÚÈ‚Ò˜ n ÊÔÚ¤˜, ÙfiÙÂ Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ ‚Úfi¯Ô˜ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ n. ŸÏÔÈ ÔÈ ‚Úfi¯ÔÈ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ› ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. µ·ÛÈṲ̂ÓÔÈ ÛÙ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ÎÏ¿ÛÂȘ ÔÌÔÙÔ›·˜ ÙˆÓ ‚Úfi¯ˆÓ Â› ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙÔ˘˜ ‚Úfi¯Ô˘˜ Ì ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ n = 0, 1, 2, . . . Î·È ÛÙÔ˘˜ ·ÓÙÈÛÙÚfiÊÔ˘˜ ÙÔ˘˜. √ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˜ ÂÓfi˜ ‚Úfi¯Ô˘ Ì ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ n ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È Â›Û˘ n ÊÔÚ¤˜ ·ÏÏ¿ Ì ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi. ™Â ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô ‚Úfi¯Ô˜ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ (−n). ∂ÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ‚Úfi¯ˆÓ Â›Ó·È ·ÏÒ˜ ÚfiÛıÂÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÂÚȤÏÈÍ‹˜ ÙÔ˘˜. ∂Ô̤ӈ˜, Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÔÌÔÙÔ›·˜ Û˘ÌÂÚÈʤÚÂÙ·È fiˆ˜ Ë ÚfiÛıÂÛË ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ηÈ, ¤ÙÛÈ, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ıÂÌÂÏÈ҉˘ ÔÌ¿‰· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋ ¿ÂÈÚ˘ Ù¿Í˘: 1 (S 1 ) = Z. 2 ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.3.3. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ÙfiÚÔ T fiˆ˜ ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.5. √È ‚Úfi¯ÔÈ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ› ÙˆÓ ‚Úfi¯ˆÓ Ô˘ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÔÓÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ·ÎÏÔ M Î·È Î·ÙfiÈÓ Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ Â͈ÙÂÚÈÎfi ·ÎÏÔ O. ∂Ô̤ӈ˜, Ù¤ÙÔÈÔ˘

209

9.3. √ÌÔÙÔ›· Î·È £ÂÌÂÏÈ҉˘ √Ì¿‰·

EÈÎfiÓ· 9.5: ∆fiÚÔ˜ ›‰Ô˘˜ ‚Úfi¯ÔÈ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ÂÚȤÏÈÍË Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ M Î·È ¤Ó·Ó Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ÂÚȤÏÈÍË Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ O. ∂ÈϤÔÓ, ÔÈ ‚Úfi¯ÔÈ Ô˘ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÔÓÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ M Î·È ÂΛÓÔÈ Ô˘ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÔÓÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ O ÌÂÙ·Ù›ıÂÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ÕÚ·, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë 1 (T ) Â›Ó·È ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ‚·ıÌ›‰·˜ ‰‡Ô, ‰ËÏ·‰‹: 1 (T ) = Z × Z. ∆Ô ·ÓˆÙ¤Úˆ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈ Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÂÍ‹˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡: Ô ÙfiÚÔ˜ T ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ¯ÒÚÔ˜ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ T = S 1 × S 1 . ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ, Â¿Ó ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ, ÙfiÙÂ: 1 (X × Y ) = 1 (X ) × 1 (Y ). ∂Ô̤ӈ˜:

1 (T ) = 1 (S 1 ) × 1 (S 1 ) = Z × Z.

2

∞˜ ‰Ô‡ÌÂ Î·È ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô˘ ·ÔηχÙÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ÔÌ¿‰Â˜ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.3.4. ŒÛÙˆ ÌÈ· ηÌ‡ÏË ÙÔ˘ R2 , ÙÔ Û¯‹Ì· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÌÔÈ¿˙ÂÈ Ì ÙÔ Û¯‹Ì· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÎÙÒ (‚Ϥ ∂ÈÎfiÓ· 9.6). Ÿˆ˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ÙfiÚÔ˘, ÔÈ ‚Úfi¯ÔÈ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ› οÔÈÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ‰‡Ô ‚Úfi¯ˆÓ, ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ô ÚÒÙÔ˜ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ ÚÒÙÔ Î‡ÎÏÔ Î·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ ‰Â‡ÙÂÚÔ. ŸÌˆ˜, ÂÂȉ‹ Ë Î·Ì‡ÏË Â›Ó·È Â›Â‰Ë Î·È ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙË, ÔÈ ‚Úfi¯ÔÈ Ô˘ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÔÓÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ Â¿Óˆ ·ÎÏÔ ‰ÂÓ

210

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

EÈÎfiÓ· 9.6: «ªԢΤÙÔ» ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ ÌÂÙ·Ù›ıÂÓÙ·È Ì ÙÔ˘˜ ‚Úfi¯Ô˘˜ Ô˘ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÔÓÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ Î¿Ùˆ ·ÎÏÔ. ŒÛÙˆ α ¤Ó·˜ ‚Úfi¯Ô˜ Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È Ì›· ÊÔÚ¿ Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ Â¿Óˆ ·ÎÏÔ Î·È β ¤Ó·˜ ‚Úfi¯Ô˜ Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È Ì›· ÊÔÚ¿ Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ Î¿Ùˆ ·ÎÏÔ Ì ÚÔηıÔÚÈṲ̂Ó˜ ηÙ¢ı‡ÓÛÂȘ. ∆fiÙ ¤Ó·˜ ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ‚Úfi¯Ô˜ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÂÓfi˜ ‚Úfi¯Ô˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: α n 1 β m 1 . . . α n k β m k ÁÈ· ·ÎÂÚ·›Ô˘˜ n 1 , m 1 , . . . , n k , m k . ŒÓ·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ‚Úfi¯Ô˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ï¤ÍË ÙˆÓ α, β Î·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÌ¿‰· ηÏÂ›Ù·È ÂχıÂÚË ÔÌ¿‰· ‚·ıÌ›‰·˜ 2. ∏ ÂÓ ÏfiÁˆ ÔÌ¿‰· ‰ÂÓ Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹ Î·È ‰ÂÓ Ú¤ÂÈ Ó· Û˘Á¯¤ÂÙ·È Ì ÙËÓ ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ‚·ıÌ›‰·˜ 2. ¢ÂÓ ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠ÂÎÙÂÓ¤ÛÙÂÚ· Ì ٤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÔÌ¿‰Â˜, ·ÏÏ¿ ·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÛÙÔ [Ro] ÁÈ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ. °ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, ¤Ó· Â›Â‰Ô Û¯‹Ì· ·ÔÙÂÏÔ‡ÌÂÓÔ ·fi n ·ÎÏÔ˘˜ ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È «ÌԢΤÙÔ» n ·ÎÏˆÓ Î·È Ë ÚÔ·ÙÔ˘Û· ıÂÌÂÏÈ҉˘ ÔÌ¿‰· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂχıÂÚË ÔÌ¿‰· ‚·ıÌ›‰·˜ n. 2 ∏ ıÂÌÂÏÈ҉˘ ÔÌ¿‰· Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌÔÙÔÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, Â¿Ó ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î·È Ë h : X → Y Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË, ÙfiÙ ÁÈ· οı ‚Úfi¯Ô α ÙÔ˘ X , o h(α) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‚Úfi¯Ô˜ ÙÔ˘ Y . ∂Ô̤ӈ˜, Ë h ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË h ∗ : 1 (X ) → 1 (Y ) Ì h ∗ [α] = [h(α)], Ë ÔÔ›· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Â›Ó·È ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÔÌ¿‰ˆÓ. £ÂÒÚËÌ· 9.3.3. ∂¿Ó ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ‰‡Ô ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Î·È Ë h : X → Y Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË, ÙfiÙÂ Ë h ∗ : 1 (X ) → 1 (Y ) Â›Ó·È ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜. ∂¿Ó Ë h

211

9.3. √ÌÔÙÔ›· Î·È £ÂÌÂÏÈ҉˘ √Ì¿‰·

Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜, ÙfiÙÂ Ë h ∗ Â›Ó·È ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜. ∂ÈϤÔÓ, Â¿Ó ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ›, ÙfiÙÂ Ë 1 (X ) Â›Ó·È Â›Û˘ ÈÛfiÌÔÚÊË Ù˘ 1 (Y ).

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.3.5. ŒÛÙˆ ÌÈ· ‰·ÎÙ˘ÏȈً ÂÚÈÔ¯‹ A fiˆ˜ ·˘Ù‹ Ù˘ ∂ÈÎfiÓ·˜ 9.1. ∂Âȉ‹ Ë A Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, ¤¯Ô˘ÌÂ: 1 (A) = 1 (S 1 ) = Z.

2

∞ӷʤÚÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ÔÌ¿‰· G ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Ë ıÂÌÂÏÈ҉˘ ÔÌ¿‰· ÂÓfi˜ ‰ÈۉȿÛÙ·ÙÔ˘ Û˘ÌϤÁÌ·ÙÔ˜. ∂Ô̤ӈ˜, ηٿ ÌÈ· ¤ÓÓÔÈ· Ë ÌÂϤÙË Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ √Ì¿‰ˆÓ Â›Ó·È Î·Ù' Ô˘Û›·Ó Ë ÌÂϤÙË ÙˆÓ ıÂÌÂÏȈ‰ÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ. ¶·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ÛÙ· [Ro] ‹ [M] ÁÈ· ÌÈ· ÂÓ‰Âϯ‹ ¤ÎıÂÛË ÙÔ˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ı¤Ì·ÙÔ˜. √ÏÔÎÏËÚÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ ¤¯ÂÈ ·Ó·Ù˘¯ı› ¤Ó· ›‰Ô˜ £ÂˆÚ›·˜ Galois Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙȘ ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ÔÌ¿‰Â˜ ¯ÒÚˆÓ Î·È Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ Galois ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·Ì ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 7. ™ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÁÚ·Ì̤˜ ı· ·Ó·Ù‡ÍÔ˘Ì ÂÓ Û˘ÓÙÔÌ›· ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ıˆڛ·. √ÚÈÛÌfi˜ 9.3.3. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ B Î·È X Â›Ó·È ‰˘Ô ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ. √ B Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÂÈÎ·Ï˘ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ X , fiÙ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË p : B → X , ηÏÔ‡ÌÂÓË ÂÈÎ·Ï˘ÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË, Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ÁÈ· οı x ∈ X Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÁÂÈÙÔÓÈ¿ U ÙÔ˘ x, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ οıÂ Û˘ÓÂÎÙÈ΋ Û˘ÓÈÛÙÒÛ· Ù˘ p −1 (U ) Ó· Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈ΋ Ù˘ U ‰È·Ì¤ÛÔ˘ Ù˘ p. ∂Ó ÚÔÎÂÈ̤ӈ, Ë p : B → X ÔÚ›˙ÂÈ ¤Ó·Ó ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi p ∗ : 1 (B) → 1 (X ). ∞fi ÙË Û˘Óı‹ÎË Ù˘ ÂÈÎ·Ï˘ÙÈ΋˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë p ∗ Â›Ó·È ÌÈ· ÂÓÚÈÙÈ΋ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó·) ·ÂÈÎfiÓÈÛË, ¿Ú· Ë 1 (B) Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ 1 (X ). ∂¿Ó ÙÒÚ· ÙÔ x Â›Ó·È ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ‚·ÛÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ X , ÙfiÙ ÌÔÚ› Ó· ·ÂÈÎÔÓ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ x ÔÏÏ¿ (Èı·ÓfiÓ ¿ÂÈÚ·) ÛËÌ›· bi . √È ÔÌ¿‰Â˜ 1 (B, bi ) Â›Ó·È fiϘ ÈÛfiÌÔÚʘ Î·È ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ¤Ó· Ï‹Ú˜ Û‡ÓÔÏÔ Û˘˙˘ÁÒÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Ù˘ 1 (X ). ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ Ï‹ÚÔ˘˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ {Hi } Û˘˙˘ÁÒÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ ÙÔ˘ 1 (X ), ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎfi ÂÈÎ·Ï˘ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ B Ì 1 (B) ∼ = Hi . √ ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜ ÂÈÎ·Ï˘ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ V ÙÔ˘ X , Ô ÔÔ›Ô˜ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË ˘ÔÔÌ¿‰· {1}, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·ıÔÏÈÎfi˜ ÂÈÎ·Ï˘ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ X . ™ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.3.4. Û˘ÓÔ„›˙Ô˘Ì ٷ ·ÓˆÙ¤Úˆ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·, ÁÓˆÛÙ¿ ˆ˜ «£ÂˆÚ›· Galois ÙˆÓ ÂÈÎ·Ï˘ÙÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ».

212

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

£ÂÒÚËÌ· 9.3.4. (1) ŒÛÙˆ B ¤Ó·˜ ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎfi˜ ÂÈÎ·Ï˘ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÂÓfi˜ ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Ì ÂÈÎ·Ï˘ÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË p. ∆fiÙÂ: (i) ∏ p ∗ : 1 (B) → 1 (X ) Â›Ó·È ÂÓÚÈÙÈ΋ ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ë 1 (B) ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· ÙÔ˘ 1 (X ). (ii) ∂¿Ó ÙÔ x ∈ X Î·È ÙÔ p −1 (x) = {bi } ⊂ B, ÙfiÙ ÙÔ p ∗ (1 (B, bi )) Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ¤Ó· Ï‹Ú˜ Û‡ÓÔÏÔ Û˘˙˘ÁÒÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Ù˘ 1 (X ). (2) ¢Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ Ï‹ÚÔ˘˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ {Hi } Û˘˙˘ÁÒÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ Ù˘ 1 (X ), ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ B ÙÔ˘ X Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ 1 (B) ∼ = Hi .

9.4

£ÂˆÚ›· √ÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È ∆ÚÈÁˆÓÔÔÈ‹ÛÂȘ

™ÙÔÓ Â˘ÎÏ›‰ÂÈÔ n – ¯ÒÚÔ Rn ıˆÚԇ̠ٷ Û˘Ó‹ıË ÌÔÓ·‰È·›· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1). ŒÛÙˆ 0 = (0, 0, . . . , 0) Ë ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Î·È ¤ÛÙˆ q , ÁÈ· 1 ≤ q < n, Ë Î˘ÚÙ‹ ı‹ÎË ÙˆÓ e1 , . . . , eq+1 . ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ Rn Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜:  u ∈ Rn :u = a1 e1 + . . . + aq+1 eq+1 , ai ∈ R, 0 ≤ ai ≤ 1, 1 ≤ i ≤ q + 1 ηÈ

q+1 

 ai = 1 .

i=1

∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ 0 Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌ›Ô, ÙÔ 1 ¤Ó· ÌÔÓ·‰È·›Ô ‰È¿ÛÙËÌ·, ÙÔ 2 ÌÈ· ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹, ÙÔ 3 ¤Ó· Û˘Ì·Á¤˜ ÙÂÙڿ‰ÚÔ Î·È Ô‡Ùˆ ηıÂÍ‹˜. ŒÓ· q – ‰È¿ÛÙ·ÙÔ ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÙÔ˘ Rn Â›Ó·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎfi ÙÔ˘ q . ™Â ¤Ó·Ó ÁÂÓÈÎfi ÙÔÔÏÔÁÈÎfi ¯ÒÚÔ X ¤Ó· q – ‰È¿ÛÙ·ÙÔ ÌÔÓfiÏÔÎÔ Â›Ó·È ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ D ⊂ X ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎfi ÙÔ˘ q . °È· Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ ·fi Ù· ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ· ÌÔÓfiÏÔη Ú¤ÂÈ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì Â› ·˘ÙÒÓ ¤Ó·Ó ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ù· P0 , P1 , . . . , Pn Â›Ó·È n + 1 ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ÛËÌ›· ÙÔ˘ Rn Ø Ï¤ÁÔÓÙ·˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ÂÓÓÔ−−→ −−→ −−→ ԇ̠fiÙÈ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· u 1 = P0 P1 , u 2 = P0 P2 , . . . , u n = P0 Pn Â›Ó·È ÁÚ·ÌÌÈÎÒ˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù·. ŒÓ· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ 0 – ÌÔÓfiÏÔÎÔ Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Î·È, Û˘ÓÂÒ˜, Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎfi ÙÔ˘ 0 . ŒÓ· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ 1 – ÌÔÓfiÏÔÎÔ Â›Ó·È ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· P0 P1 , ‰Â¯fiÌÂÓÔÈ fiÙÈ

9.4. £ÂˆÚ›· √ÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È ∆ÚÈÁˆÓÔÔÈ‹ÛÂȘ

213

P0 P1 = −P1 P0 . ∞˘Ùfi ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÂÓfi˜ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌÔ‡ Â› ÙÔ˘ 1 . ¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ӷ ÌÔÓfiÏÔη ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚˆÓ ‰È·ÛÙ¿ÛˆÓ,¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ οÔÈÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÛÙȘ ÌÂٷٿÍÂȘ. ªÈ· ÌÂÙ¿ 1 2 ... n Ù·ÍË Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·, fiÙ·Ó ·ÔÛ˘ÓÙ›ıÂÙ·È Û ¤Ó·Ó ¿ÚÙÈÔ ·ÚÈıÌfi ·ÓÙÈi1 i2 . . . in ÌÂÙ·ı¤ÛÂˆÓ (‚Ϥ ÕÛÎËÛË 7.18)Ø Û ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË Ï¤ÁÂÙ·È ÂÚÈÙÙ‹. ∆Ô‡ÙÔ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙÔ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÂοÛÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì›ÔÓ ¤Ó· (·Ú·¤ÌÔ˘ÌÂ Î·È ¿ÏÈ ÛÙËÓ ÕÛÎËÛË 7.18) ÈÛÔ‡Ù·È   Ì ¿ÚÙÈÔ ‹, ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, Ì  ÂÚÈÙÙfi·ÚÈıÌfi. 1 2 3 1 2 3 ∂Ô̤ӈ˜, Ë ÌÂٿٷÍË = (123) Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·, ÂÓÒ Ë = (12) 2 3 1 2 1 3   1 2 3 4 5 Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹. √ÌÔ›ˆ˜, Ë ÌÂٿٷÍË = (123)(45) Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹, 2 3 1 5 4 ·ÊÔ‡ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì›ÔÓ ¤Ó· Â›Ó·È 2 Î·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì›ÔÓ ¤Ó· Â›Ó·È 1. ÕÚ·, ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ 3 Ô˘ Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∆ÒÚ· ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ 2 – ÌÔÓfiÏÔÎÔ Â›Ó·È ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Rn ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎfi ÙÔ˘ 2 ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎfi ÌÈ·˜ ÙÚÈÁˆÓÈ΋˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ Ì ÚÔηıÔÚÈṲ̂ÓÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi Â› ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ Ù˘. ∆Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÌÈ· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙÚÈÒÓ ÛËÌ›ˆÓ P0 P1 P2 . ∂Ó Û˘Ó¯›·, Ë P1 P2 P0 ·Ú¤¯ÂÈ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi Ì ÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ·ÎÔÏÔ˘ı›·,  ÂÓÒ Ë P0 P2 P1 1 2 3 ÙÔÓ ·ÓÙ›ıÂÙÔ. °ÂÓÈÎÒ˜, P0 P1 P2 = Pi P j Pk , Â¿Ó Ë ÌÂٿٷÍË Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·, i j k Î·È P0 P1 P2 = −Pi P j Pk , Â¿Ó Ë ÌÂٿٷÍË Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹. ∂Ô̤ӈ˜: P0 P1 P2 = P1 P2 P0 = P2 P0 P1 = −P0 P2 P1 = P1 P0 P2 = −P2 P1 P0 . ∂Ó Á¤ÓÂÈ, ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ q – ÌÔÓfiÏÔÎÔ Â›Ó·È ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Rn , ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎfi ÙÔ˘ q , Ì ηıÔÚÈṲ̂ÓÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi Â› ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘. ∞˘Ùfi ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ ˆ˜ ÌÈ· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓË ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÛËÌ›ˆÓ P0 P1 . . . Pq , fiˆ˜ ·ÓˆÙ¤Úˆ, Ì P0 P1 . . . Pq = ±Pi1 . . . Piq , fiÔ˘ ÙÔ ÚfiÛËÌÔ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ Â¿Ó Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÌÂٿٷÍË Â›Ó·È ¿ÚÙÈ· ‹ ÂÚÈÙÙ‹. ∆ÒÚ· ÔÚ›˙Ô˘Ì ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ q – ÌÔÓfiÏÔÎÔ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÌÈ·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ ÛËÌ›ˆÓ fiˆ˜ Â›Ó·È Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ Ë P0 P1 . . . Pq . ™Â ¤Ó·Ó ÁÂÓÈÎfi ÙÔÔÏÔÁÈÎfi ¯ÒÚÔ ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ q – ÌÔÓfiÏÔÎÔ ·ÔÙÂÏ› ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈ΋ ÂÈÎfiÓ· ÂÓfi˜ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ˘ q – ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ ÙÔ˘ Rn Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi. °È· ÙÔ q – ÌÔÓfiÏÔÎÔ P0 P1 . . . Pq ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙËÓ P0 P1 . . . P i . . . Pq ÛËÌÂÈÔÁÚ·Ê›· ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ÙÔ (q − 1) – ÌÔÓfiÏÔÎÔ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ÌÂ

214

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

··ÏÔÈÊ‹ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ Pi . µ¿ÛÂÈ ·˘Ù‹˜ ‰È·Ù˘ÒÓÔ˘Ì ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÔÚÈÛÌfi: √ÚÈÛÌfi˜ 9.4.1. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ P0 P1 . . . Pq Â›Ó·È ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ q – ÌÔÓfiÏÔÎÔ. ∏ i – ÔÛÙ‹ ÙÔ˘ ¤‰Ú·, i = 0, . . . , q, Â›Ó·È ÙÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ (q − 1) – ÌÔÓfiÏÔÎÔ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: (−1)i P0 P1 . . . P i . . . Pq . ∂Ô̤ӈ˜, οı q – ÌÔÓfiÏÔÎÔ ‰È·ı¤ÙÂÈ (q + 1) ¤‰Ú˜. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ ¯¿ÚÈÓ, ÙÔ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ 3 – ÌÔÓfiÏÔÎÔ P0 P1 P2 P3 ¤¯ÂÈ 4 ¤‰Ú˜, ÙȘ P1 P2 P3 , −P0 P2 P3 , P0 P1 P3 , −P0 P1 P2 . √Ú›˙Ô˘Ì ÙÔ ÎÂÓfi ÌÔÓfiÏÔÎÔ ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂0 ÂÓfi˜ 0 – ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ Î·È ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì 0. ™˘ÓÂÒ˜ ∂0 (P0 ) = 0. °È· q ≥ 1 ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂q ÙÔ˘ q – ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ P0 P1 . . . Pq ˆ˜ ÙÔ Ù˘ÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÙÔ˘. ŒÙÛÈ ÚÔ·ÙÂÈ Ô ·ÎfiÏÔ˘ıÔ˜ ÔÚÈÛÌfi˜: √ÚÈÛÌfi˜ 9.4.2. ∂¿Ó ÙÔ P0 P1 . . . Pq Â›Ó·È ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ q – ÌÔÓfiÏÔÎÔ Ì q ≥ 1, ÙfiÙ ÙÔ Û‡ÓÔÚfi ÙÔ˘ ∂q ›ӷÈ: ∂q (P0 P1 . . . Pq ) =

q 

(−1)i P0 P1 . . . P i . . . Pq .

i=1

°È· ÙȘ ÚÒÙ˜ Ù¤ÛÛÂÚÂȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ¤¯Ô˘ÌÂ: (1) (2) (3) (4)

∂0 (P0 ) = 0, ∂1 (P0 P1 ) = P1 − P0 , ∂2 (P0 P1 P2 ) = P1 P2 − P0 P2 + P0 P1 , ∂3 (P0 P1 P2 P3 ) = P1 P2 P3 − P0 P2 P3 + P0 P1 P3 − P0 P1 P2 .

ŸÙ·Ó ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì οÔÈÔÓ ÙÂÏÂÛÙ‹ Û˘ÓfiÚÔ˘ Û ¤Ó· Ù˘ÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰ÚÒÓ, ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ÚÔÛıÂÙÈÎÒ˜. ŒÙÛÈ, Â› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, ¤¯Ô˘ÌÂ: ∂1 (P1 P2 − P0 P1 ) = ∂1 (P1 P2 ) − ∂1 (P0 P1 ) = P2 − P1 − (P1 − P0 ) = P2 − 2P1 + P0 . ∆Ô ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Ï‹ÌÌ· Û˘Ì‚¿ÏÏÂÈ Ô˘ÛȈ‰Ò˜ ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙˆÓ ÔÌÔÏÔÁÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ, ÂÊfiÛÔÓ Ì·˜ ÏËÚÔÊÔÚ› fiÙÈ, Â¿Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÙÂÏÂÛÙ‹ Û˘ÓfiÚÔ˘ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ¿ÓÙÔÙ ÙÔ 0.

9.4. £ÂˆÚ›· √ÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È ∆ÚÈÁˆÓÔÔÈ‹ÛÂȘ

215

§‹ÌÌ· 9.4.1. °È· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ q – ÌÔÓfiÏÔÎÔ ¤¯Ô˘Ì ∂q−1 ∂q = 0. ∂Ô̤ӈ˜, ¯¿ÚȘ ÛÙËÓ ÚÔÛıÂÙÈÎfiÙËÙ·, ÙÔ ∂q−1 ∂q ÂÊ·ÚÌÔ˙fiÌÂÓÔ Û ÔÔÈÔ‰‹ÔÙÂ Ù˘ÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· q – ÌÔÓÔÏfiΈÓ, ‰›‰ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ÙÔ 0. ∞fi‰ÂÈÍË. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ÙÔ Ï‹ÌÌ· ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÓfi˜ 2 – ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘. √ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ 3 – ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ ÚÔÙ›ÓÂÙ·È ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ˆ˜ ¿ÛÎËÛË Î·È Ë ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Â›Ó·È ·ÚfiÌÔÈ·. ŒÛÙˆ P0 P1 P2 ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ 2 – ÌÔÓfiÏÔÎÔ. ∆fiÙÂ: ∂1 ∂2 (P0 P1 P2 ) = ∂1 (P1 P2 − P0 P2 + P0 P1 ) = ∂1 (P1 P2 ) − ∂1 (P0 P2 ) + ∂1 (P0 P1 ) = P2 − P1 − P2 + P0 + P1 − P0 = 0.

¶ÔÏÏ¿ ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· ÛÙÔÓ Rn , ÌÂٷ͇ ·˘ÙÒÓ Î·È Ù· Ôχ‰ڷ, ÚÔ·ÙÔ˘Ó Ì Ôχ fiÌÔÚÊÔ ÙÚfiÔ ·fi Ù· ÌÔÓfiÏÔη. ∆· Û¯‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÌÔÓÔÏÂÎÙÈο Û˘ÌϤÁÌ·Ù· Î·È ı· Ù· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ηو٤ڈ Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ q – ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘, ÔÚ›˙Ô˘Ì ٷ ˘ÔÌÔÓfiÏÔο ÙÔ˘ ˆ˜ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÙÔ˘, fiÏˆÓ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÙÔ˘, fiÏˆÓ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ ÙÔ˘ Î.Ï., ¯ˆÚ›˜ Ó· Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ˘' fi„ÈÓ ÙÔÓ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi ÙÔ˘˜. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ ¯¿ÚÈÓ, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ˘ÔÌÔÓÔÏfiÎˆÓ ÙÔ˘ P0 P1 P2 P3 ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù·: P1 P2 P3 , P0 P2 P3 , P0 P1 P3 , P0 P1 P2 , P0 P1 , P0 P2 , P0 P3 , P1 P2 , P1 P3 , P2 P3 , P0 , P1 , P2 . √ÚÈÛÌfi˜ 9.4.3. ŒÓ· ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ· ÙÔ˘ Rn Â›Ó·È ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ Û˘Óı‹Î˜: (1) ∞ÔÙÂÏ› ¤ÓˆÛË ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌ¤ÓˆÓ ÌÔÓÔÏfiΈÓ. ∞˜ ÛËÌÂȈı› fiÙÈ ÛÙÔÓ Rn Ë Ì¤ÁÈÛÙË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÂÓfi˜ Èı·ÓÔ‡ ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì n − 1. (2) ∫¿ı ÛËÌÂ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ Û ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÌÔÓfiÏÔη. (3) ∏ ÙÔÌ‹ ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ (·ÓÂÍ·Úًو˜ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌÔ‡) ÌÔÓÔÏfiÎˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È ‹ Ì ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ ‹ Ì ¤Ó· ·fi Ù· ÌÔÓfiÏÔο ÙÔ˘ ‹ Ì ¤Ó· ˘ÔÌÔÓfiÏÔÎÔ ·ÌÊÔÙ¤ÚˆÓ.

216

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

EÈÎfiÓ· 9.7: ªÔÓÔÏÂÎÙÈο Û˘ÌϤÁÌ·Ù· ™ÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.7 ÙÔ (∞) ·ÔÙÂÏ› ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ· ÙÔ˘ R2 , ÂÓÒ ÙÔ (µ) fi¯È, ‰ÈfiÙÈ ·Ú·‚È¿˙ÂÈ ÙË Û˘Óı‹ÎË (3). £· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙÔÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÔÚÈÛÌfi Û ÁÂÓÈÎÔ‡˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜. Ÿˆ˜ ÚԷӷʤڷÌÂ, ¤Ó· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ q – ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÂÓfi˜ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓÔ˘ q – ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ Û οÔÈÔÓ ¯ÒÚÔ Rn+1 , Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È·ÙËÚ› ÙÔÓ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi. √È ¤‰Ú˜ Î·È Ù· ˘ÔÌÔÓfiÏÔη ÙÔ˘ ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÔÓÙ·È ÛÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ¤‰Ú˜ Î·È ÛÙ· ˘ÔÌÔÓfiÏÔη ÙÔ˘ X . ¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ, ÂÓ Á¤ÓÂÈ, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÊÚ¿ÁÌ· ÁÈ· ÙË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÂÓfi˜ Èı·ÓÔ‡ ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘. √ÚÈÛÌfi˜ 9.4.3' ŒÛÙˆ X ¤Ó·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜. ŒÓ· ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ· ÙÔ˘ X Â›Ó·È ¤Ó· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ Y Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› Ù· ÂÍ‹˜: (1) ∞ÔÙÂÏ› ¤ÓˆÛË ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌ¤ÓˆÓ ÌÔÓÔÏfiΈÓ. (™Â ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ Rn Â‰Ò ‰ÂÓ ÚÔηıÔÚ›˙ÂÙ·È Ì¤ÁÈÛÙË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÁÈ· Ù· Èı·Ó¿ ÌÔÓfiÏÔη.) (2) ∫¿ı ÛËÌÂ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ ÌfiÓÔÓ Û ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÌÔÓfiÏÔη. (3) ∏ ÙÔÌ‹ ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ (·ÓÂÍ·Úًو˜ ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌÔ‡) ÌÔÓÔÏfiÎˆÓ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È ‹ Ì ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ ‹ Ì οÔÈÔ ·fi Ù· ÌÔÓfiÏÔο ÙÔ˘ ‹ Ì οÔÈÔ ˘ÔÌÔÓfiÏÔÎÔ ·ÌÊÔÙ¤ÚˆÓ. ∂¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈ· ̤ÁÈÛÙË ‰È¿ÛÙ·ÛË q ÁÈ· Ù· ÌÔÓfiÏÔη ÙÔ˘ Y , ÙfiÙ ÙÔ Y ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È q – ‰È¿ÛÙ·ÙÔ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ·. ∂¿Ó ¤Ó·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ X ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÈ· Û˘ÏÏÔÁ‹ ˘ÔÛ˘ÓfiÏˆÓ S, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙÂ Ô X Ó· ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ S ˆ˜ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ·, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ÛÙË ‰È¿ıÂÛ‹ Ì·˜ ÌÈ· ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË, ‹ ÌÈ· ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË, ÙÔ˘ X . ™ÙËÚÈ˙fiÌÂÓÔÈ ÛÙË ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË ÂÓfi˜ ¯ÒÚÔ˘ X , ı· ÚԂԇ̠ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÂfiÌÂÓ˘ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ·Ó·ÏÏÔÈÒÙÔ˘. ŸÌˆ˜ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ‰‡Ô ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛ˘ ÂÓfi˜ ¯ÒÚÔ˘ ÙÔ˘ Rn :

9.4. £ÂˆÚ›· √ÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È ∆ÚÈÁˆÓÔÔÈ‹ÛÂȘ

217

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.4.1. £ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ ÌÔÓ·‰È·›Ô ·ÎÏÔ S 1 ÙÔ˘ R2 . ªÈ· ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘ ˆ˜ ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙÔ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.8. ∆· 0 – ÌÔÓfiÏÔη Â›Ó·È Ù· P0 , P1 Î·È P2 , ÂÓÒ Ù· 1 – ÌÔÓfiÏÔη Â›Ó·È Ù· P0 P1 , P1 P2 Î·È P2 P0 . 2

218

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

EÈÎfiÓ· 9.8: ªÈ· ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘

EÈÎfiÓ· 9.9: ∆fiÚÔ˜ ÛÙÔ Â›‰Ô

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.4.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ô T Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÙfiÚÔ˜ Ô ÔÔ›Ô˜ ·Ó··Ú›ÛÙ·Ù·È ÛÙÔ Â›Â‰Ô ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ηÙfiÈÓ Ù·‡ÙÈÛ˘ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ηٿ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ÂÌÊ·›ÓÂÈ Ë ∂ÈÎfiÓ· 9.9. °È· Ó· ·Ó·ÎÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÙfiÚÔ ·fi ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘, ‰ÈÏÒÓÔ˘Ì ÙËÓ Â¿Óˆ ÏÂ˘Ú¿ Ì ÙËÓ Î¿Ùˆ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÒÓÙ·˜ ¤Ó·Ó ·ÏÈÓ‰ÚÔ Î·È ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ Ù·˘Ù›˙Ô˘Ì ÙËÓ ¿Óˆ ‚¿ÛË (·ÎÏÔ) ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Ì ÙËÓ Î¿Ùˆ. ™ÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.10 ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÌÈ· ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÙfiÚÔ˘. ∂‰Ò ÙÚÈÁˆÓÔÔÈԇ̠·Ú¯ÈÎÒ˜ ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÊÚ¿ÛÛÔÓÙ˜ ·ÎÏÔ˘˜, fiˆ˜ οӷÌ ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 9.4.1, Î·È ÂÓ Û˘Ó¯›· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ٷ ÚÔ·ÙÔÓÙ· ÙÚ›ÁˆÓ·. ∆ÒÚ· ÌÔÚԇ̠̤ۈ ÙˆÓ ÙÚÈÁˆÓÔÔÈ‹ÛÂˆÓ Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ÔÌ¿‰Â˜. °È· ÙÔÓ ÛÎÔfi ·˘ÙfiÓ ı· ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ X , ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Â›Ó·È ÌÔÓÔÏÂÎÙÈο Û˘ÌϤÁÌ·Ù· Ì ÙËÓ ÂÍ‹˜ ÂÈÚfiÛıÂÙË Û˘Óı‹ÎË ÂÚ·ÙfiÙËÙ·˜: Û οı ‰È¿ÛÙ·ÛË q ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÌfiÓÔÓ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ q – ÌÔÓfiÏÔη ÙÔ˘ X . ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Û˘Óı‹ÎË ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô˘ÛÈÒ‰Ë˜Ø ˆÛÙfiÛÔ, Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË ÛÙȘ ÂÈΛÌÂÓ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜

9.4. £ÂˆÚ›· √ÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È ∆ÚÈÁˆÓÔÔÈ‹ÛÂȘ

219

EÈÎfiÓ· 9.10: ªÈ· ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÙfiÚÔ˘

ηıÒ˜ Â›Û˘ Î·È ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜. ŒÙÛÈ ÏÔÈfiÓ ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô ¯ÒÚÔ˜ X Â›Ó·È ¤Ó· ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ· Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û˘Óı‹ÎË ÂÚ·ÙfiÙËÙ·˜. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë Cn (X ) Ì n = 0, 1, 2, . . . Â›Ó·È Ë ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ‚·ıÌ›‰·˜ ›Û˘ Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ n – ÌÔÓÔÏfiΈÓ. ∏ Cn (X ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È n – ‰È¿ÛÙ·ÙË ÔÌ¿‰· ·Ï˘Û›‰ˆÓ Î·È Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È n – ‰È¿Ûٷ٘ ·Ï˘Û›‰Â˜. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô X ‰È·ı¤ÙÂÈ t Ï‹ıÔ˘˜ n – ÌÔÓfiÏÔη Dn1 , Dn2 , . . . , Dnt . ∞˘Ù¿ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ıˆÚËıÔ‡Ó ˆ˜ ‚¿ÛË Ù˘ Cn (X ) ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ Cn (X ) Â›Ó·È ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: m 1 Dn1 + m 2 Dn2 + . . . + m t Dnt ,

(9.4.1)

fiÔ˘ Ù· m i Â›Ó·È ÔÔÈÔȉ‹ÔÙ ·Î¤Ú·ÈÔÈ. (¶ÚÔÛ¤ÍÙ fiÙÈ Â‰Ò Û˘ÓËı›˙ÂÙ·È Ë ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÚÔÛıÂÙÈ΋˜ ÛËÌÂÈÔÁÚ·Ê›·˜, ‰ÈfiÙÈ Ë Cn (X ) Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·, ‰ËÏ·‰‹ Ë Ú¿ÍË Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È Ì ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘.) ŒÙÛÈ, ÌÈ· n – ‰È¿ÛÙ·ÙË ·Ï˘Û›‰· Â›Ó·È ¤Ó· ¿ıÚÔÈÛÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (9.4.1). ∂¿Ó ÙÔ Dnk Â›Ó·È ¤Ó· n – ÌÔÓfiÏÔÎÔ ÙÔ˘ X , ÙfiÙ ÙÔ Û‡ÓÔÚfi ÙÔ˘ ∂n Dnk , fiˆ˜ ·˘Ùfi ÔÚ›ÛÙËΠÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ· (n − 1) – ÌÔÓÔÏfiÎˆÓ Î·È Û˘ÓÂÒ˜ ÙÔ ∂n Dnk ∈ Cn−1 (X ). √ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘ ∂n ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ‚¿Û˘ ηÈ, ηÙ' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Û ¤Ó·Ó ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi ÔÌ¿‰ˆÓ. ∂Ô̤ӈ˜, Ô Û˘ÓÔÚÈ·Îfi˜ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜: ∂n : Cn (X ) → Cn−1 (X )

220

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: ∂n (m 1 Dn1 + m 2 Dn2 + . . . + m t Dnt ) = m 1 ∂n (Dn1 ) + . . . + m t ∂n (Dnt ). ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ §‹ÌÌ· 9.4.1, Ô ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ∂n−1 ∂n : Cn (X ) → Cn−2 (X ) Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ÙÂÙÚÈÌ̤ÓÔ˜. √ ˘Ú‹Ó·˜ ÙÔ˘ ∂n ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiϘ ÙȘ n – ·Ï˘Û›‰Â˜ ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì Ìˉ¤Ó. √È ÂÓ ÏfiÁˆ ·Ï˘Û›‰Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È n – ‰È¿Ûٷٷ ΢ÎÏ‹Ì·Ù·. √ ˘Ú‹Ó·˜ ÙÔ˘ ∂n Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Cn (X ) Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È n – ‰È¿ÛÙ·ÙË ÔÌ¿‰· ΢ÎÏËÌ¿ÙˆÓ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ Z n (X ). ∏ ÂÈÎfiÓ· Ù˘ Cn+1 (X ) ÛÙË Cn (X ) ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÙÔ˘ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡ ∂n+1 ηÏÂ›Ù·È n – ‰È¿ÛÙ·ÙË ÔÌ¿‰· Û˘ÓfiÚˆÓ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì Bn (X ). ™˘ÓÂÒ˜, ÌÈ· n – ·Ï˘Û›‰· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Bn (X ), fiÙ·Ó ·ÔÙÂÏ› Û‡ÓÔÚÔ ÌÈ·˜ (n+1) – ·Ï˘Û›‰·˜. ∂Âȉ‹ ∂n ∂n+1 = 0, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë Bn (X ) Â›Ó·È ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Z n (X ), ‰ËÏ·‰‹ οı n – ‰È¿ÛÙ·ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ Â›Ó·È ¤Ó· n – ‰È¿ÛÙ·ÙÔ Î‡ÎÏËÌ·. ŸÏ˜ ÔÈ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı›Û˜ ÔÌ¿‰Â˜ Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ηÈ, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, οı ˘ÔÔÌ¿‰· ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÔÚıfiıÂÙË. ∂Ô̤ӈ˜, Ë Bn (X ) Â›Ó·È ÌÈ· ÔÚıfiıÂÙË ˘ÔÔÌ¿‰· Ù˘ Z n (X ) ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë ÔÌ¿‰· ËÏ›ÎˆÓ Z n (X )/Bn (X ), Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È n – ‰È¿ÛÙ·ÙË ÔÌ¿‰· ÔÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì Hn (X ). ∆· ·ÓˆÙ¤Úˆ Û˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÔÚÈÛÌfi: √ÚÈÛÌfi˜ 9.4.4. ∂¿Ó ÙÔ X Â›Ó·È ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ· Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û˘Óı‹ÎË ÂÚ·ÙfiÙËÙ·˜, ÙfiÙÂ: (1) ∏ Cn (X ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È n – ‰È¿ÛÙ·ÙË ÔÌ¿‰· ·Ï˘Û›‰ˆÓ Î·È Â›Ó·È ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· Ì ‚¿ÛË Ù· n – ÌÔÓfiÏÔη ÛÙÔ X . (2) ∏ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ∂n : Cn (X ) → Cn−1 (X ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘ÓÔÚÈ·Îfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ ‹ Û˘ÓÔÚÈ·Îfi˜ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ Î·È ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ô ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Î·ÙfiÈÓ Â¤ÎÙ·Û˘ ÙÔ˘ Û˘ÓÔÚÈ·ÎÔ‡ ÙÂÏÂÛÙ‹ Â› ÙˆÓ ÌÔÓÔÏfiΈÓ. (3) ∏ Z n (X ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È n – ‰È¿ÛÙ·ÙË ÔÌ¿‰· ΢ÎÏËÌ¿ÙˆÓ Î·È ·ÔÙÂÏ› ÙÔÓ ˘Ú‹Ó· ÙÔ˘ Û˘ÓÔÚÈ·ÎÔ‡ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡ ∂n : Cn (X ) → Cn−1 (X ). (4) ∏ Bn (X ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È n – ‰È¿ÛÙ·ÙË ÔÌ¿‰· Û˘ÓfiÚˆÓ Î·È ·ÔÙÂÏ› ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· ÙÔ˘ Û˘ÓÔÚÈ·ÎÔ‡ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡ ∂n+1 : Cn+1 (X ) → Cn (X ). (5) ∏ Hn (X ) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È n – ‰È¿ÛÙ·ÙË ÔÌ¿‰· ÔÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È ·ÔÙÂÏ› ÙËÓ ÔÌ¿‰· ËÏ›ÎˆÓ Z n (X )/Bn (X ). ¢‡Ô ΢ÎÏ‹Ì·Ù· Ù˘ Cn (X ) Ô˘ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó· Û‡ÓÔÚÔ, Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ‰ËÏ·‰‹ ÛÙËÓ ›‰È· Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË ˆ˜ ÚÔ˜ Bn (X ), ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÔÌfiÏÔÁ·.

9.5. √ÚÈṲ̂ÓÔÈ ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› √ÌÔÏÔÁÈÎÒÓ √Ì¿‰ˆÓ

221

∏ ‰È·Ù‡ˆÛË ÙˆÓ ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙˆÓ ÔÚÈÛÌÒÓ Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ X . ¢ËÏ·‰‹, fiÙÈ Â¿Ó Ô X ‰È·ı¤ÙÂÈ ¤Ó· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ·, ÙfiÙ ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜ ÔÌÔÏÔÁ›·˜ ÂÓ‰¤¯ÂÙ·È Ó· Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜. ∆Ô ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi £ÂÒÚËÌ· Ù˘ π‰ÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ∞Ó·ÏÏÔÈÒÙÔ˘ ‰È·‚‚·ÈÒÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ Î·È Û' ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤ÁÎÂÈÙ·È Î·È Ë ÈÛ¯‡˜ Ù˘ Û˘Ó‰˘·ÛÙÈ΋˜ ÙÔÔÏÔÁÈ΋˜ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘. £ÂÒÚËÌ· 9.4.1 (£ÂÒÚËÌ· Ù˘ π‰ÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ∞Ó·ÏÏÔÈÒÙÔ˘). ŒÛÙˆ fiÙÈ Ô X Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì ÌÈ· ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË. √È ÔÌ¿‰Â˜ ÔÌÔÏÔÁÈÒÓ Ô˘ ηıÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ·˘Ù‹Ó ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚʘ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Ô˘ ηıÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¿ÏÏË ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË ÙÔ˘ X . ∏ ÔÌÔÏÔÁ›· Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÈ· ÙÔÔÏÔÁÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜ Ô˘, ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜. ∫¿ıÂ Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË f : X → Y ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË Â› ÙˆÓ ÌÔÓÔÏfiΈÓ, Ë ÔÔ›· ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Û ¤Ó·Ó ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÔÌÔÏÔÁÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ. ∏ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ‰È·‰Èηۛ· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË ÂΛӢ Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·Ì ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ÁÈ· ÙË ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÔÌ¿‰·. ∂¿Ó Ë Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜, ÙfiÙÂ Ô ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜. £ÂÒÚËÌ· 9.4.2. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ‰‡Ô ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Ì ÌÔÓÔÏÂÎÙÈΤ˜ ·ÔÛ˘Óı¤ÛÂȘ Î·È fiÙÈ Ë h : X → Y Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË. ∆fiÙ ·fi ÙËÓ h Â¿ÁÂÙ·È ¤Ó·˜ ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ h ∗ : Hn (X ) → Hn (Y ) ÁÈ· οı n. ∂¿Ó Ë h Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜, ÙfiÙÂ Ô h ∗ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜. ∂¿Ó ÂÈϤÔÓ ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ›, ÙfiÙÂ Î·È ÔÈ ÔÌÔÏÔÁÈΤ˜ ÔÌ¿‰Â˜ Â›Ó·È ÈÛfiÌÔÚʘ. ∏ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÚfiÙ·ÛË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 9.4.2 ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ Ë ÔÌÔÙÔ›· Â›Ó·È ÈÛ¯˘ÚfiÙÂÚË ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜ ·fi ÙËÓ ÔÌÔÏÔÁ›·, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ ÔÌÔÙÔÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ ‰ÂÓ ‰È·¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·È ‚¿ÛÂÈ Ù˘ ÔÌÔÏÔÁ›·˜.

9.5

√ÚÈṲ̂ÓÔÈ ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› √ÌÔÏÔÁÈÎÒÓ √Ì¿‰ˆÓ

¶ÚÈÓ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ÔÌÔÏÔÁ›· ÙˆÓ ÁÂÓÈÎÒÓ ÛÊ·ÈÚÒÓ Î·È ÛÙÔÓ ‚·ıÌfi Brouwer, Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙË ‚¿ÛË ÁÈ· ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÔÌÔÏÔÁÈÎÒÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÒÓ. °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙËÓ ÔÌÔÏÔÁ›· ÂÓfi˜ ¯ÒÚÔ˘ X ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ÌÈ· ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË, ¯ˆÚ›˜ Ó· ¤¯ÂÈ ÛËÌ·Û›· ÔÈ· ·fi fiϘ ¯¿ÚȘ ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ·

222

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

9.4.1. ™ÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÙˆÓ ÂÚÈÙÒÛˆÓ, Ë Â‡ÚÂÛË Ù˘ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋˜ ·ÔÛ‡ÓıÂÛ˘ Â›Ó·È ÌÈ· ·ÚÎÂÙ¿ ‰‡ÛÎÔÏË ˘fiıÂÛË Î·È, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ù˘¯ı› ÔÏϤ˜ Ù¯ÓÈΤ˜ Î·È ıˆڋ̷ٷ Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ ÔÌÔÏÔÁ›·˜ ÂÓfi˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. ∞ӷʤÚÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ·fi ·˘Ù¿, Ù· ÔÔ›· Ì¿ÏÈÛÙ· ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó Û ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. ∂¿Ó Ô X ¤¯ÂÈ ÌÈ· q – ‰È¿ÛÙ·ÙË ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË, ‰ËÏ·‰‹ Â¿Ó ‰ÂÓ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌÔÓfiÏÔη Ì ‰È¿ÛÙ·ÛË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi q, ÙfiÙ ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ Hn (X ) = 0 ÁÈ· n > q. ∞ÎÔÏÔ‡ıˆ˜, Â¿Ó Ô X Â›Ó·È Û˘ÛÙ·ÏÙfi˜ ¯ÒÚÔ˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ. ∂ÊfiÛÔÓ Ë ÔÌÔÙÔ›· ‰È·ÙËÚ› ÙËÓ ÔÌÔÏÔÁ›·, Ë ÔÌÔÏÔÁ›· ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ·ÏÙÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ ÔÌÔÏÔÁ›· ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ P. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ Z 0 (P) = Z, ÂÓÒ B0 (P) = 0, ÂÂȉ‹ ÙÔ P Â›Ó·È ÌˉÂÓԉȿÛÙ·ÙÔ. ∂Ô̤ӈ˜, H0 (P) = Z Î·È Hn (P) = 0, fiÙ·Ó n ≥ 1. £ÂÒÚËÌ· 9.5.1. ∂¿Ó Ô X Â›Ó·È ¤Ó·˜ Û˘ÛÙ·ÏÙfi˜ ¯ÒÚÔ˜, ÙfiÙ H0 (X ) = Z Î·È Hn (X ) = 0 ÁÈ· n ≥ 1. ∂¿Ó ÙÒÚ· Ô ¯ÒÚÔ˜ X ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜, ÙfiÙ ·ÔÛ˘ÓÙ›ıÂÙ·È ÁÚ·ÊfiÌÂÓÔ˜ ˆ˜ ·ÔÛ˘Ó‰ÂÙ‹ ¤ÓˆÛË Û˘ÓÂÎÙÈÎÒÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘ÓÂÎÙÈΤ˜ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ ÙÔ˘ X . ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ô X ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË. ∆fiÙ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ηıÂÌÈ¿˜ ·fi ÙȘ Û˘ÓÂÎÙÈΤ˜ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ ÙÔ˘, οı ÎÔÚ˘Ê‹ P Â›Ó·È ¤Ó· ·ÎÏËÌ·. ∂ÈÚÔÛı¤Ùˆ˜, Â¿Ó ÔÈ P0 , P1 , . . . , Pt Â›Ó·È ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÌÈ·˜ Û˘ÓÈÛÙÒÛ·˜, ÙfiÙÂ: Pk = P0 + (P1 − P0 ) + . . . + (Pk − Pk−1 ). ∆ÒÚ· οı Pi − P j Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÚÔ Î·È, Û˘ÓÂÒ˜, ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ B0 (X ). ∂Ô̤ӈ˜, οı ÎÔÚ˘Ê‹ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ›‰È· Ï¢ÚÈ΋ ÎÏ¿ÛË ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ B0 (X ). ∫·ÙfiÈÓ ·˘ÙÒÓ ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë H0 (X ) = Z 0 (X )/B0 (X ) Â›Ó·È ÌÈ· ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ‚·ıÌ›‰·˜ ¤Ó· Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ‚¿ÛË Ì›· Î·È ÌfiÓÔÓ ÎÔÚ˘Ê‹. ∆· ›‰È· ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· οı ¿ÏÏË Û˘ÓÂÎÙÈ΋ Û˘ÓÈÛÙÒÛ·. ŒÙÛÈ, ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ·: £ÂÒÚËÌ· 9.5.2. ∂¿Ó ÙÔ X Â›Ó·È ¤Ó· ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ· Ì n Û˘ÓÂÎÙÈΤ˜ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜, ÙfiÙÂ: H0 (X ) = ÌÈ· ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ‚·ıÌ›‰·˜ n ∼ = Zn . ∆¤ÏÔ˜, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ÙÔ ÂÍ‹˜ ıÂÒÚËÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÊÂÓfi˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ H1 fiÙ·Ó Ë 1 Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ Î·È ·ÊÂÙ¤ÚÔ˘ ¯ÔÚËÁ› ÌÈ· Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇

9.5. √ÚÈṲ̂ÓÔÈ ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› √ÌÔÏÔÁÈÎÒÓ √Ì¿‰ˆÓ

223

ÔÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È ÔÌÔÙÔ›·˜. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ, Â¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌ¿‰·, ÙfiÙÂ Ë ·‚ÂÏÈ·ÓÔÔ›ËÛ‹ Ù˘ Â›Ó·È Ë G ab = G/G  (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 9.2). ∂¿Ó Ë G Â›Ó·È ÌÈ· ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·, ÙfiÙÂ Ë ·‚ÂÏÈ·ÓÔÔ›ËÛ‹ Ù˘ Â›Ó·È Ë G ab = G. £ÂÒÚËÌ· 9.5.3. ∂¿Ó ÙÔ X Â›Ó·È ¤Ó· ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎfi ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ·, ÙfiÙÂ: H1 (X ) ∼ = 1 (X )ab . ∂¿Ó Ë 1 (X ) Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹, ÙfiÙ H1 (X ) ∼ = 1 (X ). ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.5.1. £· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÌÔÏÔÁ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ S 1 , ÌÈ· ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.8. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Ë ÔÌÔÏÔÁ›· ÙÔ˘ S 1 Â›Ó·È ›‰È· Ì ÙËÓ ÔÌÔÏÔÁ›· ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÂÓfi˜ 2 – ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘. √ S 1 ‰È·ı¤ÙÂÈ ÌfiÓÔÓ Ì›· Û˘ÓÂÎÙÈ΋ Û˘ÓÈÛÙÒÛ·, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜. ∂Ô̤ӈ˜, ¤¯Ô˘Ì H0 (S 1 ) = Z Î·È ·ÎfiÌË, ÂÂȉ‹ Ô S 1 Â›Ó·È ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙÔ˜, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Hn (S 1 ) = 0 ÁÈ· n > 1. ™ÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 9.3 ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ 1 (S 1 ) = Z. ∏ ÔÌ¿‰· ·˘Ù‹ Â›Ó·È ·‚ÂÏÈ·Ó‹. ™˘ÓÂÒ˜ H1 (S 1 ) ∼ = 1 (S 1 ) = Z. ∆Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ Î·È ·¢ı›·˜ ·fi ÙËÓ ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË. ∏ C1 (S 1 ) Â›Ó·È ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ Ì ‚¿ÛË Ù˘ Ù· P0 P1 , P1 P2 , P2 P0 . ÕÚ·, ÌÈ· 1 – ·Ï˘Û›‰· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹: m 1 P0 P1 + m 2 P1 P2 + m 3 P2 P0 , fiÔ˘ ÔÈ m 1 , m 2 Î·È m 3 Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›. ∏ ÎÔÚ˘Ê‹ P1 ··Ï›ÊÂÙ·È Î·Ù¿ ÙÔÓ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘, ÌfiÓÔÓ fiÙ·Ó m 1 = −m 2 . ¶·ÚÔÌÔ›ˆ˜, Ë ÎÔÚ˘Ê‹ P2 ··Ï›ÊÂÙ·È Î·Ù¿ ÙÔÓ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘, ÌfiÓÔÓ fiÙ·Ó m 3 = −m 2 . ŒÙÛÈ, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÙÔ 1 – ·ÎÏËÌ· ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È Ù˘ ÂÍ‹˜ ÌÔÚÊ‹˜: m(P0 P1 − P1 P2 + P2 P0 ), m ∈ Z. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, οı ·ÎÏÔ˜ ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ Ù˘ 1 – ·Ï˘Û›‰·˜ P0 P1 − P1 P2 + P2 P0 ηÈ, ¤ÙÛÈ, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Z 1 (S 1 ) ∼ = Z. ∂Í¿ÏÏÔ˘ B1 (S 1 ) = 0, 1 1 ÂÂȉ‹ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 2 – ·Ï˘Û›‰Â˜. ÕÚ· H1 (S ) = Z 1 (S )/B1 (S 1 ) = Z. 2 ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.5.2. £ÂˆÚԇ̠ÙË 2 – ÛÊ·›Ú· S 2 . Ÿˆ˜ Ô Î‡ÎÏÔ˜ S 1 ÙÚÈÁˆÓÔÔÈ›ٷÈ, ÒÛÙ ӷ ÌÔÈ¿˙ÂÈ

224

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

EÈÎfiÓ· 9.11: ∆ÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË ÌÈ·˜ 2 – ÛÊ·›Ú·˜

Ì ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, ¤ÙÛÈ ÌÔÚ› Ó· ÙÚÈÁˆÓÔÔÈËı› Î·È Ë ÛÊ·›Ú· S2 , ÒÛÙ ӷ ÌÔÈ¿˙ÂÈ Ì ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘. ∞˘Ùfi ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.11. ∂Âȉ‹ Ë S 2 Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈ΋, ¤ÂÙ·È fiÙÈ H0 (S 2 ) = Z. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, οı ‚Úfi¯Ô˜ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ ÌÔÚ› Ó· Û˘ÚÚÈÎÓˆı› Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Î·È ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ 1 (S 2 ) = 0. ŒÙÛÈ, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.5.3 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ H1 (S 2 ) = 0 ηÈ, ÂÂȉ‹ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ‰ÈۉȿÛÙ·ÙÔ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ·, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Hn (S 2 ) = 0, fiÙ·Ó n > 2. ∆ÒÚ· ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ H2 (S 2 ). ªÈ· 2 – ·Ï˘Û›‰· ¤¯ÂÈ ÌÔÚÊ‹: m 1 P0 P1 P2 + m 2 P1 P2 P3 + m 3 P2 P3 P0 + m 4 P3 P0 P1 , m i ∈ Z. ∂¿Ó Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·Ï˘Û›‰· Â›Ó·È ¤Ó· ·ÎÏËÌ·, ÙfiÙ Ú¤ÂÈ Ó· ··Ï›ÊÂÙ·È Ë ÎÔÈÓ‹ ·ÎÌ‹ P1 P2 ÙˆÓ Â‰ÚÒÓ P0 P1 P2 Î·È P1 P2 P3 Î·È Û˘ÓÂÒ˜ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ m 2 = −m 1 . ∞Ó·Ù‡ÛÛÔÓÙ·˜ ·Ó¿ÏÔÁÔ˘˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ Î·È ÁÈ· ÙȘ ¿ÏϘ ·Î̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı ·ÎÏËÌ· ÔÊ›ÏÂÈ Ó· Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜: m(P0 P1 P2 − P1 P2 P3 + P2 P3 P0 − P3 P0 P1 ), m ∈ Z, ‰ËÏ·‰‹ Ó· Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÌÈ·˜ 2 – ·Ï˘Û›‰·˜. ÕÚ· Z 2 (S 2 ) = Z. ∞ÎfiÌË ÈÛ¯‡ÂÈ B2 (S 2 ) = 0, ηıfiÙÈ Ë ÛÊ·›Ú· Â›Ó·È ‰ÈۉȿÛÙ·ÙÔ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ· Î·È ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 3 – ·Ï˘Û›‰Â˜. ∂Ô̤ӈ˜ H2 (S 2 ) = Z 2 (S 2 )/B2 (S 2 ) = Z.

9.5. √ÚÈṲ̂ÓÔÈ ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› √ÌÔÏÔÁÈÎÒÓ √Ì¿‰ˆÓ

225

™˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·˜ ¤¯Ô˘ÌÂ: H0 (S 2 ) = Z, H2 (S 2 ) = Z, Hn (S 2 ) = 0, fiÙ·Ó n = 0, 2. 2

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.5.3. £ÂˆÚԇ̠¤Ó·Ó ÙfiÚÔ T , ÌÈ· ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.10. √ T Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜Ø ¿Ú· H0 (T ) = Z. ∏ ÔÌ¿‰· 1 (T ) Â›Ó·È ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ‚·ıÌ›‰·˜ 2Ø Û˘ÓÂÒ˜ H1 (T ) ∼ = 1 (T ) = Z × Z. ªÈ· 2 – ·Ï˘Û›‰· Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰ÂηÂÙ¿ ÙÚÈÁÒÓˆÓ (2 – ÌÔÓÔÏfiΈÓ), (‚Ϥ ∂ÈÎfiÓ· 9.10). ∏ ÎÔÈÓ‹ ·ÎÌ‹ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1 Î·È 2, ηÙ' ·Ó·ÏÔÁ›·Ó Ì ÙËÓ ÂȯÂÈÚËÌ·ÙÔÏÔÁ›· Ô˘ ·Ó·هͷÌ ÁÈ· ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Î·È ÙË ÛÊ·›Ú·, ··Ï›ÊÂÙ·È Î·Ù¿ ÙÔÓ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘, ÌfiÓÔÓ fiÙ·Ó ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ·ÏÏ¿ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÚfiÛËÌÔ. ∂¿Ó Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì Ì T1 , . . . , T17 ·˘Ù¿ Ù· 2 – ÌÔÓfiÏÔη, ÙfiÙÂ Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌfi˜ Ô‰ËÁ› ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ Î¿ı 2 – ·ÎÏËÌ· ÙÔ˘ T Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ T1 − T2 + T3 − . . . + T17 . ŒÙÛÈ, ¤ÂÙ·È fiÙÈ Z 2 (T ) = Z ηÈ, ÂÊfiÛÔÓ B2 (T ) = 0, ÂÂȉ‹ Ô ÙfiÚÔ˜ Â›Ó·È ‰ÈۉȿÛÙ·ÙÔ˜, ¤¯Ô˘Ì H2 (T ) = Z. ∆ÂÏÈÎÒ˜ Hn (T ) = 0, fiÙ·Ó n > 2.

2

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 9.5.4. ŒÛÙˆ fiÙÈ Ô ¯ÒÚÔ˜ X ¤¯ÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÎÙÒ, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ÙÔ «ÌԢΤÙÔ» ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ (‚Ϥ ∂ÈÎfiÓ· 9.6.). ∂¿Ó ÙÚÈÁˆÓÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ¤Î·ÛÙÔÓ ÙˆÓ Î‡ÎψÓ, fiˆ˜ ÛÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 9.5.1, ÙfiÙÂ Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÚÈÁˆÓÔÔÈÂ›Ù·È Ì¤Ûˆ ÂÓfi˜ ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙÔ˘ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎÔ‡ Û˘ÌϤÁÌ·ÙÔ˜. ∂Âȉ‹ Ô ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜, ÈÛ¯‡ÂÈ H0 (X ) = Z. ∏ 1 (X ) Â›Ó·È ÌÈ· ÂχıÂÚË ÔÌ¿‰· ‚·ıÌ›‰·˜ 2 (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 9.3). ∏ ·‚ÂÏÈ·ÓÔÔ›ËÛË ÌÈ·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ ÔÌ¿‰·˜ Â›Ó·È ÌÈ· ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· ‚·ıÌ›‰·˜ 2. ∂Ô̤ӈ˜ H1 (X ) = 2 1 (X )ab = Z × Z. ∆¤ÏÔ˜ Hn (X ) = 0, fiÙ·Ó n > 1.

226

9.6

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

√ÌÔÏÔÁÈΤ˜ √Ì¿‰Â˜ ™Ê·ÈÚÒÓ Î·È µ·ıÌfi˜ Brouwer

™ÙÔ ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 9.5.2 ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ, Â¿Ó n ≥ 1, ÙfiÙ Hn (S 2 ) = 0, fiÙ·Ó n = 2 Î·È H2 (S 2 ) = Z. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· ÁÂÓÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÛÊ·ÈÚÒÓ Î·›ÚÈ· ÁÈ· ÙËÓ ÙÂÏÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÌÈ· n – ÛÊ·›Ú· Â›Ó·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎfi ÙÔ˘ S n = {(x0 , . . . , xn ) ∈ Rn+1 ; x02 + . . . + xn2 = 1}. ∂Ó Á¤ÓÂÈ, ÌÈ· n – ÛÊ·›Ú· Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈ΋ Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÂÓfi˜ (n + 1) – ÌÔÓÔÏfiÎÔ˘. ∂Ô̤ӈ˜, Ë 1 – ÛÊ·›Ú· S 1 Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈ΋ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ë 2 – ÛÊ·›Ú· S 2 Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈ΋ Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·¤‰ÚÔ˘ Î·È Ô‡Ùˆ ηıÂÍ‹˜. ∂ÂÎÙ›ÓÔÓÙ·˜ Î·È ÂÎÏÂÙ‡ÓÔÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ÙˆÓ ·Ú·‰ÂÈÁÌ¿ÙˆÓ 9.5.1 Î·È 9.5.2 ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ıÂÒÚËÌ·, ÌÈ· ÏÂÙÔÌÂÚ‹˜ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ [Ar]. £ÂÒÚËÌ· 9.6.1. ŒÛÙˆ S n ÌÈ· n – ÛÊ·›Ú· Ì n ≥ 1. ∆fiÙ H0 (S n ) = Z Î·È ÁÈ· q ≥ 1 ¤¯Ô˘ÌÂ: Hn (S n ) = Z, Hq (S n ) = 0, fiÙ·Ó n = q. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ S n Î·È  n Â›Ó·È ‰‡Ô n – ÛÊ·›Ú˜. ŒÛÙˆ ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË f : S n →  n Ë ÔÔ›· Â¿ÁÂÈ ¤Ó·Ó ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi f ∗ : Hn (S n ) → Hn ( n ). ∞fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.6.1, Ë Hn (S n ) Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋ ¿ÂÈÚ˘ Ù¿Í˘. ŒÛÙˆ α ¤Ó·˜ ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ·˜ Ù˘ Hn (S n ). √ÌÔ›ˆ˜, Ë Hn ( n ) Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋ ¿ÂÈÚ˘ Ù¿Í˘ Î·È ¤ÛÙˆ β ¤Ó·˜ ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ·˜. ∂ÊfiÛÔÓ Ë f ∗ Â›Ó·È ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜, Ë ÂÈÎfiÓ· f ∗ (α) ·ÔÙÂÏ› ·Î¤Ú·ÈÔ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ β. ¢ËÏ·‰‹: f ∗ (α) = mβ ÁÈ· οÔÈÔÓ ·Î¤Ú·ÈÔ m. √ ·ÚÈıÌfi˜ m ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‚·ıÌfi˜ Brouwer, ‹ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ· ‚·ıÌfi˜, Ù˘ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ f Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì deg( f ). ¢È·ÈÛıËÙÈÎÒ˜, Ô deg( f ) Â›Ó·È Ô ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÌÂÙÚ¿ fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ÂÚÈÂÏ›ÛÛÂÙ·È Ë ÂÈÎfiÓ· f (S n ) Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ  n . ∆· ·ÎfiÏÔ˘ı· ÙÚ›· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·, Ù· ÔÔ›· ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ‚·ıÌfi ÌÈ·˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘, Â›Ó·È Ô˘ÛÈ·ÛÙÈ΋˜ ÛËÌ·Û›·˜ ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜. √È ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ì·ÎÚÔÛÎÂÏ›˜ Î·È ‰ÂÓ ı· ÙȘ ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì (‚Ϥ ÛÙ· [H-Y] Î·È [Ar]). §‹ÌÌ· 9.6.1. O ‚·ıÌfi˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó¯ԇ˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ ‰ÂÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙȘ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈΤ˜ ·ÔÛ˘Óı¤ÛÂȘ ÙˆÓ S n Î·È  n .

9.7. ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ – ŒÎÙË ∞fi‰ÂÈÍË

227

∆Ô ·ÓˆÙ¤Úˆ Ï‹ÌÌ· Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ, ‰ÈfiÙÈ ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ·ÌÊfiÙÂÚ˜ ÔÈ Hn (S n ) Î·È Hn ( n ) Â›Ó·È Î˘ÎÏÈΤ˜ ¿ÂÈÚ˘ Ù¿Í˘, Ë ‰Ú¿ÛË Ù˘ f Â› ÂÓfi˜ ΢ÎÏ‹Ì·ÙÔ˜ α Ô˘ ·Ú¿ÁÂÈ ÙËÓ Hn (S n ) ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÁÈ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÌÔÓÔÏÂÎÙÈΤ˜ ·ÔÛ˘Óı¤ÛÂȘ. ∆Ô Ï‹ÌÌ· fï˜ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ Î·Ù¿ ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ù˘ ÌÈ·˜ ÛÊ·›Ú·˜ ÛÙËÓ ¿ÏÏË Î¿ÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ ‰ÂÓ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ (Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÔÌÔÏÔÁ›·˜). §‹ÌÌ· 9.6.2. (1) √ ‚·ıÌfi˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó¯ԇ˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ f ·fi ÌÈ· n – ÛÊ·›Ú· S n Û ÌÈ· n – ÛÊ·›Ú·  n ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙËÓ ÎÏ¿ÛË ÔÌÔÙÔ›·˜ Ù˘ f . ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, ‰‡Ô ÔÌÔÙÔÈΤ˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ f : S n →  n Î·È g : S n →  n ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ‚·ıÌfi. (2) ∂¿Ó ÔÈ f : S n →  n Î·È g : S n →  n Â›Ó·È ‰˘Ô Û˘Ó¯›˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ Ì deg( f ) = deg(g), ÙfiÙ ÔÈ f Î·È g Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈΤ˜. ∆Ô ·ÚfiÓ Ï‹ÌÌ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· ÙËÓ Ï‹ÚË Ù·ÍÈÓfiÌËÛË (Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÔÌÔÙÔ›·˜) ÙˆÓ Û˘Ó¯ÒÓ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂˆÓ ÌÂٷ͇ n – ÛÊ·ÈÚÒÓ. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·ÌÊ›ÚÚÈ„Ë ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÔÌÔÙÔ›·˜ Î·È ÙˆÓ ·Î¤Ú·ÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. £ÂÒÚËÌ· 9.6.2. ∂¿Ó f : S n →  n Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ì deg( f ) = 0, ÙfiÙ οı ÛËÌÂ›Ô Ù˘  n ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ÂÈÎfiÓ· f (S n ) Ù˘ S n ̤ۈ Ù˘ f . ∆Ô ·ÓˆÙ¤Úˆ ıÂÒÚËÌ· Â›Ó·È Î·›ÚÈ·˜ ÛËÌ·Û›·˜ ÁÈ· ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi‰ÂÈÍË. ¶ÚÈÓ ÔÏÔÎÏËÚÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ·, ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ¤Ó· ÊËÌÈṲ̂ÓÔ ıÂÒÚËÌ· Ô˘ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ Brouwer, ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ™Ù·ıÂÚÔ‡ ™ËÌ›Ԣ ÙÔ˘ Brouwer, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Û˘ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ‰È¿ ÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Brouwer. ∂¿Ó Ë f : X → X Â›Ó·È ÌÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË, ÙfiÙ ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô ÁÈ· ÙËÓ f Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x0 ∈ X Ì f (x0 ) = x0 . £ÂÒÚËÌ· 9.6.3 (£ÂÒÚËÌ· ™Ù·ıÂÚÔ‡ ™ËÌ›Ԣ ÙÔ˘ Brouwer). ŒÛÙˆ fiÙÈ D n Â›Ó·È Î¿ÔÈ· n – Ì¿Ï·, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Î·È ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ Ù˘ ÌÔÓ·‰È·›·˜ ÛÊ·›Ú·˜ S n−1 ⊂ Rn . ∂¿Ó Ë f : D n → D n Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË, ÙfiÙ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌ›Ô.

9.7

∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ŒÎÙË ∞fi‰ÂÈÍË

∆ÒÚ· ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ÌÈ· ÌÔÓ·‰È·›· ÛÊ·›Ú· S 2 ÂÊ·ÙfiÌÂÓË ÛÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi Â›Â‰Ô C ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ (0, 0, 0), fiˆ˜ ÛÙËÓ

228

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

∂ÈÎfiÓ· 9.12.

EÈÎfiÓ· 9.12: ™ÙÂÚÂÔÁÚ·ÊÈ΋ ÚÔ‚ÔÏ‹ ∏ ÛÊ·›Ú· ·˘Ù‹ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÙ·È Â› ÙÔ˘ C ηٿ ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÙÚfiÔ: ıˆÚԇ̠ÙÔÓ ‚fiÚÂÈÔ fiÏÔ N = (0, 0, 1) ηÈ, ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ w ∈ S 2 − N , ¯·Ú¿ÛÛÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ÁÚ·ÌÌ‹  Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ÙÔ w Ì ÙÔ N . ∏ ÁÚ·ÌÌ‹  Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ C Û ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô p(w). ∏ ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÙÔÈÔ˘ÙÔÙÚfiˆ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛÙÂÚÂÔÁÚ·ÊÈ΋ ÚÔ‚ÔÏ‹1 . √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÚÔ·„Ô˘Ó Î·È ·Ó·Ï˘ÙÈÎÒ˜ (‚Ϥ [A])Ø ÙÔ ÌfiÓÔ Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È Â›Ó·È Ë p Ó· ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· Û˘Ó¯‹ ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ (‹ÙÔÈ ¤Ó· – ÚÔ˜ – ¤Ó· Î·È Â›) ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ C Î·È S 2 − N . ∂¿Ó Ù·˘Ù›ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ‚fiÚÂÈÔ fiÏÔ N Ì ÙÔ ∞, ÙfiÙÂ Ë p ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÌÈ· ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ·fi ÙËÓ S 2 Â› ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ C ∪ ∞. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Ë p Â›Ó·È ÌÈ· Û‡ÌÌÔÚÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË Î·È Û˘ÓÂÒ˜ Ë ÛÊ·›Ú· S 2 ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· Û‡ÌÌÔÚÊÔ ÚfiÙ˘Ô ÙÔ˘ ÂÂÎÙÂٷ̤ÓÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ÂÈ¤‰Ô˘ C ∪ ∞. ∏ S 2 ıˆÚÔ‡ÌÂÓË Î·Ù' ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ™Ê·›Ú· ÙÔ˘ Riemann. £ÂÒÚËÌ· 9.7.1. ∏ ÛÙÂÚÂÔÁÚ·ÊÈ΋ ÚÔ‚ÔÏ‹ p ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· Û‡ÌÌÔÚÊË ·ÌÊÈÚÚÈÙÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ S 2 Î·È C ∪ ∞. 1 ™.Ù.ª.

ªÈ· Ôχ ÎÔÌ„‹ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Ô˘ ‚·Û›˙ÂÙ·È, fiˆ˜ Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.7.2., ÛÙË ÛÙÂÚÂÔÁÚ·ÊÈ΋ ÚÔ‚ÔÏ‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙË ÌÔÓÔÁÚ·Ê›· ÙÔ˘ John M. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville, 1972.

9.7. ∆Ô £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ – ŒÎÙË ∞fi‰ÂÈÍË

229

∆ÒÚ·, ¤ÛÙˆ P(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n Ì an = 0 οÔÈÔ ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ n. ∫·Ù¿ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌÔ‡ ÌÈ·˜ ı¤Û˘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ P(z) ÌÔÚÔ‡ÌÂ, ¯ˆÚ›˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜, Ó· ‰Â¯ıԇ̠fiÙÈ an = 1, ÂÂȉ‹ an = 0. ™˘ÓÂÒ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ P(z) = a0 + a1 z + . . . + z n Ì n ≥ 1. ∂Âȉ‹ P(∞) = ∞, ÙÔ P(z) ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ·fi ÌÈ· ÛÊ·›Ú· ÙÔ˘ Riemann Û οÔÈ· ¿ÏÏË ÛÊ·›Ú· ÙÔ˘ Riemann, ‰ËÏ·‰‹ Ë P(z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË S 2 → S 2 Î·È ˆ˜ Ù¤ÙÔÈ· ‰È·ı¤ÙÂÈ Î¿ÔÈÔÓ ‚·ıÌfi Brouwer m. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ô ‚·ıÌfi˜ Brouwer ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔÓ ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈÎfi ‚·ıÌfi ÙÔ˘ P(z). §‹ÌÌ· 9.7.1. ∏ P(z) Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘ f (z) = z n . ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ H (z, t) = z n + (1 − t)(a0 + a1 z + . . . + an−1 z n−1 ), fiÔ˘ z ∈ C, t ∈ [0, 1] Î·È H (∞, t) = ∞, fiÔ˘ t ∈ [0, 1]. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Ë H (z, t) : C × I → C Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË. ∂Âȉ‹ ÙÒÚ· limz→∞ H (z, t) = ∞ = H (∞, t) ÁÈ· οı t ∈ [0, 1], Ë H (z, t) : (C ∪ ∞) × I → C ∪ ∞ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. ™˘ÓÂÒ˜, Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Î·È ·fi ÙÔ S 2 × I ÛÙËÓ S 2 . ∂Âȉ‹ H (z, 0) = P(z) Î·È H (z, 1) = z n ÙÔ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ÔÌÔÙÔ›·. §‹ÌÌ· 9.7.2. √ ‚·ıÌfi˜ Brouwer Ù˘ f (z) = z n ÈÛÔ‡Ù·È Ì n. ∂Ô̤ӈ˜, ÁÈ· Ù· ÌÈÁ·‰Èο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Ô ‚·ıÌfi˜ Brouwer Î·È Ô ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈÎfi˜ ‚·ıÌfi˜ Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È. ∞fi‰ÂÈÍË. £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ‰‡Ô ÙÚÈÁˆÓÔÔÈ‹ÛÂȘ Ù˘ S 2 (ÙËÓ ÔÔ›· Ù·˘Ù›˙Ô˘Ì Ì ÙÔ C ∪ ∞), fiˆ˜ ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 9.13. ∫·ÙfiÈÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ Ù˘ f (z) = z n , Ù· n – ÔÛÙ¿ ÁÚ·ÌÌÔÛÎÈ·Ṳ̂ӷ ÙÌ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ (∞) ·ÂÈÎÔÓ›˙ÔÓÙ·È Â› ÙÔ˘ ÌÔÓ·‰ÈÎÔ‡ ÁÚ·ÌÌÔÛÎÈ·Ṳ̂ÓÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ (B) ηٿ Ù¤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ӷ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È Ô ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜. ∂Ô̤ӈ˜, Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ Ë f ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ù˘ ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛ˘ (∞) n ÊÔÚ¤˜ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ù˘ ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛ˘ (µ). ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Ô ‚·ıÌfi˜ Ù˘ z n Â›Ó·È n. £ÂÒÚËÌ· 9.7.2 (£ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜). ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ P(z) Â›Ó·È ¤Ó· ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∆fiÙ ÙÔ P(z) ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡.

230

9. ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· Î·È Ë ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ∞fi‰ÂÈÍË

EÈÎfiÓ· 9.13: ¶ÂÚȤÏÈÍË Ù˘ f (z) = z n ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ P(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n . ∞fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÙÔ P(z) ‰ÂÓ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤ÂÙ·È fiÙÈ n > 0 Î·È an = 0. ÕÚ·, fiˆ˜ Î·È ÚÈÓ, ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ an = 1. ∞fi Ù· §‹ÌÌ·Ù· 9.7.1, Ë P(z) Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈ΋ Ù˘ f (z) = z n ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ·fi ÙÔ §‹ÌÌ·Ù· 9.7.2 Î·È 9.6.2, Ë P(z) ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ‚·ıÌfi Brouwer n = 0. ∞fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· 9.6.2 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ S 2 ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ÂÈÎfiÓ· ÙÔ˘ P(z). ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô z 0 ∈ S 2 Ì P(z 0 ) = 0. ∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· P(∞) = ∞ ¤ÂÙ·È fiÙÈ z 0 ∈ C.

9.8

™˘ÌÂÚ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

ŒÙÛÈ ÔÏÔÎÏËÚÒıËÎÂ Î·È Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÙÔÔÏÔÁÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË, Ë ÔÔ›· ‹Ù·Ó Î·È Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi Ù· ÙÚ›· ˙‡ÁË ÙˆÓ ·ԉ›ÍÂˆÓ Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Û·Ó ÙÔÓ ÛÎÔfi ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘. ∞Í›˙ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ Ï·ÈÛ›Ô˘ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÙÔÔÏÔÁÈÎÒÓ ıˆڋÛˆÓ, ÙfiÛÔ Ë ¿ÌÂÛË ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ∂ÓfiÙËÙ·˜ 8.1, fiÛÔ Î·È Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ÂÓfiÙËÙ·˜ ÂÌÂÚÈ›¯·Ó ÙË ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÂÚȤÏÈ͢. ∫Ú›ÓÂÙ·È ÛÎfiÈÌÔ Â›Û˘ Ó· ÂÈÛËÌ·Óı› fiÙÈ ÁÈ· ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ‰ÂÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÏ‹Úˆ˜ Ë ÈÛ¯‡˜ ÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Brouwer ·ÏÏ¿ ÌfiÓÔÓ Ô ‚·ıÌfi˜ Brouwer ÙˆÓ 2 – ÛÊ·ÈÚÒÓ. ™ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· D ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÈÚfiÛıÂÙ˜ ÙÔÔÏÔÁÈΤ˜ ·ԉ›ÍÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·Ú·ÏÏ·Á¤˜ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ı¤Ì·ÙÔ˜.

∞Û΋ÛÂȘ

∞Û΋ÛÂȘ

231

9.1. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó ÔÈ H Î·È K Â›Ó·È ÔÌ¿‰Â˜, ÙfiÙ ÙÔ Î·ÚÙÂÛÈ·Ófi ÙÔ˘˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ H × K Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÈ· ÔÌ¿‰· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ú¿ÍË (h, k)(h 1 , k1 ) = (hh 1 , kk1 ). 9.2. ¡· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ §‹ÌÌ· 9.2.1. 9.3. ¡· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ §‹ÌÌ· 9.2.2. 9.4. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó ÔÈ p Î·È q Â›Ó·È ÚÒÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔÈ, ÙfiÙÂ Ë Z p × Zq Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋. ∞˘Ùfi ÂÌÊ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰·. 9.5. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë Z2 × Z2 ‰ÂÓ Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋. ∞˘Ùfi ÂÌÊ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰·. 9.6. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÂÂÚ·Ṳ̂ӈ˜ ·Ú·ÁfiÌÂÓË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· Â›Ó·È Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Î˘ÎÏÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ. (Àfi‰ÂÈÍË: ‰Â›ÍÙ ÙËÓ ¿ÛÎËÛË ÁÈ· ‰‡Ô ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ˜.) 9.7. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÌÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰· Â›Ó·È Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·‚ÂÏÈ·ÓÒÓ p – ÔÌ¿‰ˆÓ. (Àfi‰ÂÈÍË: ÛÙËÓ G ÂÍÂÙ¿ÛÙ fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· Ì ٿÍË Î¿ÔÈ· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ p, fiÔ˘ Ô p Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜ Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È·ÈÚ› ÙËÓ Ù¿ÍË Ù˘ G. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ÛÙÔȯ›· ·˘Ù¿ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÌÈ· ˘ÔÔÌ¿‰· Î·È fiÙÈ Ë G Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ˘ÔÔÌ¿‰ˆÓ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ‰È·ÈÚÔ‡Ó ÙËÓ Ù¿ÍË Ù˘ G.) 9.8. ¡· Ù·ÍÈÓÔÌËıÔ‡Ó ÔÈ ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˜ ·‚ÂÏÈ·Ó¤˜ ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ·ÎfiÏÔ˘ıˆÓ ٿ͈Ó: (i) 25, (ii) 45, (iii) 37, (iv) 1284. 9.9. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ, Â¿Ó ÔÈ X Î·È Y Â›Ó·È ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÎÔ›, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Î·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ›. 9.10. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ fiÏÔÈ ÔÈ Û˘ÛÙ·ÏÙÔ› ¯ÒÚÔÈ Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎÔ›. 9.11. ¡· ÂÚÈÁÚ·Ê› ¤Ó· ÁÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ ıÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ ÔÌ¿‰·˜ ÂÓfi˜ «ÌԢΤÙÔ˘» n ·ÎψÓ. 9.12. ŒÛÙˆ fiÙÈ 1 (X ) = Z2 × Z2 . ¶fiÛÔÈ Â›Ó·È ÔÈ Èı·ÓÔ›, Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÔÌÔÙÔ›·˜, ÂÈÎ·Ï˘ÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ ÙÔ˘ X ; 9.13. ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› Ë ÔÌÔÏÔÁ›· ÂÓfi˜ «ÌԢΤÙÔ˘» n ·ÎψÓ. 9.14. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ P0 P1 P2 P3 Â›Ó·È ¤Ó· 3 – ÌÔÓfiÏÔÎÔ. ¡· Â·ÏËı¢ı› fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ: ∂2 ∂3 (P0 P1 P2 P3 ) = 0. 9.15. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÔÌÔÏÔÁ›· ‰‡Ô ÂÊ·ÙfiÌÂÓˆÓ 2 – ÛÊ·ÈÚÒÓ.

¶·Ú¿ÚÙËÌ· A

ªÈ· ∂Ήԯ‹ Ù˘ ∞Ú¯È΋˜ ∞fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ Gauss ∏ ÚÒÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Ô˘ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ‹ıËΠ·fi ÙÔÓ Gauss ‰È¤ÊÂÚ ԢÛȈ‰Ò˜ ·fi Î·È ·fi ÙȘ ¤ÍÈ ·ԉ›ÍÂȘ Ô˘ ›‰·Ì ̤¯ÚÈ ÙÒÚ·. ∏ ·Ú¯È΋ ·˘Ù‹ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ Gauss ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠÛÙË ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹ ÙÔ 1799 Î·È Ë Ù¤Ù·ÚÙË ·fi‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘ ÁÈ· ÙÔ ›‰ÈÔ ıÂÒÚËÌ·, ‰ËÌÔÛÈ¢ı›۷ ÙÔ 1849, ·ÔÙÂÏÔ‡Û ÌÈ· ÂΉԯ‹ Ù˘ ÚÒÙ˘. ™ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ÂÓfiÙËÙ· ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ÌÈ· Û¯ÂÙÈÎÒ˜ Û‡Á¯ÚÔÓË ÂΉԯ‹ Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ GaussØ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÂχıÂÚË ·fi‰ÔÛË Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ·fi‰ÂÈ͢ Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Uspensky [U]. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ f (z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a0 Â›Ó·È ¤Ó· ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ªÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘ÌÂ, fiˆ˜ Î·È ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, fiÙÈ Ô ÂÈÎÂÊ·Ï‹˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1 Î·È fiÙÈ Ô ÛÙ·ıÂÚfi˜ ÙÔ˘ fiÚÔ˜ a0 ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô ÌˉÂÓÈÎfi˜. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì ÂÈϤÔÓ fiÙÈ n > 2. ∏ ÂÚ›ÙˆÛË Î·Ù¿ ÙËÓ ÔÔ›· n = 1 ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙ· ÁÚ·ÌÌÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Ô˘, ÚÔÊ·ÓÒ˜, ¤¯Ô˘Ó ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÂÓÒ ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ n = 2 ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙÔÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi Ù‡Ô. ª·˙› Ì ÙË Û˘Óı‹ÎË n > 2 ‰Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ‰›‰ÔÓÙ·È Û ÔÏÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ˆ˜: an−1 = A(cos α + i sin α), an−2 = B(cos β + i sin β), . . . , a0 = L(cos λ + i sin λ) 233

234

¶·Ú¿ÚÙËÌ· A. ªÈ· ∂Ήԯ‹ Ù˘ ∞Ú¯È΋˜ ∞fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ Gauss

Î·È fiÙÈ Ë ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ z ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ z = r (cos φ + i sin φ). ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (z) ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ì ‚¿ÛË ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Î·È Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎfi ÙÔ˘ ̤ÚÔ˜ (‚Ϥ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4) ˆ˜: f (z) = T (z) + iU (z).

(A.1)

¢È¿ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ DeMoivre Î·È Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ·Ó··Ú¿ÛÙ·Û˘ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ, Ù· T Î·È U ÂÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·È ·Ó·Ï˘ÙÈÎÒ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ r Î·È φ ηٿ ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÙÚfiÔ: T = r n cos nφ + Ar n−1 cos((n − 1)φ + α) + . . . + L cos λ,

(A.2)

U = r sin nφ + Ar

(A.3)

n

n−1

sin((n − 1)φ + α) + . . . + L sin λ.

°È· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ·ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 , ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ù· T (z 0 ) Î·È U (z 0 ) ¤¯Ô˘Ó Ù·˘ÙÔ¯ÚfiÓˆ˜ ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ìˉ¤Ó. ∫·Ù¿ ÚÒÙÔÓ, ÌÔÚ› Ó· ¢ÚÂı› ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ R Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ ÁÈ· r > R Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ: √ r n − 2(Ar n−1 + Br n−2 + . . . + L) > 0. (A.4) ∆Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÚÔ·ÙÂÈ Î·Ù¿ ÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÙÚfiÔ: ¤ÛÙˆ S ÌÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ √ ÛÙ·ıÂÚ¿ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi fiÏ· Ù· ÌÂÁ¤ıË A,√B, . . . , L Î·È R = 1 + 2S. ∂¿Ó r > R, √ 2S ÙfiÙ r > 1 + 2S Î·È ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ 1 − r −1 > 0. ∂ÊfiÛÔÓ r > R > 1, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ 1 1 1 1 + r 2 + . . . + r n < r −1 . ŒÙÛÈ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ: r r n (1 −

√

1 1 1 2S( + 2 + . . . + n )) > 0 Ø r r r

ÂÔ̤ӈ˜: rn −

√

2S(r n−1 + . . . + 1) > 0

Î·È Û˘ÓÂÒ˜: rn −

√

2(Ar n−1 + Br n−2 + . . . + L) > 0.

∫·Ù¿ ‰Â‡ÙÂÚÔÓ, Ë ÂÚÈʤÚÂÈ· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ r > R ı· ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 2n ÙfiÍ·, ÂÓÙfi˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÙÔ T Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈÎÒ˜ ıÂÙÈΤ˜ Î·È ·ÚÓËÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· A.1. ∆Ô ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤Ó ÚÔ·ÙÂÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜: Û ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ r > R ıˆÚԇ̠4n Ï‹ıÔ˘˜ ÛËÌ›· P0 , P1 , . . . , P4n−1 Ì ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÔÚ›ÛÌ·Ù· θ, 3θ , . . . , (8n − 3)θ , (8n − 1)θ, fiÔ˘ θ = 4π . n

¶·Ú¿ÚÙËÌ· A. ªÈ· ∂Ήԯ‹ Ù˘ ∞Ú¯È΋˜ ∞fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ Gauss

235

EÈÎfiÓ· A.1: ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ T Â› ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ r π ∆· ÔÚ›ÛÌ·Ù· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÛËÌ›· P2k , P2k+1 Â›Ó·È φ = (4k + 1) 4n Î·È π  φ = (4k + 2) 4n . ∫·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó, ¤¯Ô˘ÌÂ:

1 1 cos(nφ) = (−1)k √ Î·È cos(nφ  ) = (−1)k+1 √ . 2 2 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ T Ì (−1)k Î·È (−1)k+1 Û˘Ó¿ÁÔ˘ÌÂ: rn (−1)k T = √ + (−1)k Ar n−1 cos((n − 1)φ + α) + . . . + (−1)k L cos λ 2 n r (−1)k+1 T = √ + (−1)k+1 Ar n−1 cos((n − 1)φ  + α) 2 + . . . + (−1)k+1 L cos λ. ∞ÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ −1 Ù· (−1)k cos((n − 1)φ + α), . . . , (−1)k cos λ Î·È (−1)k+1 cos((n − 1)φ  + α), . . . , (−1)k+1 cos λ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜: rn (−1)k T ≥ √ − A R n−1 − . . . − L , 2 rn k+1 (−1) T ≥ √ − A R n−1 − . . . − L . 2 ∏ ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ ·ÌÊÔÙ¤ÚˆÓ ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙ‹ÙˆÓ Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ÏfiÁˆ Ù˘ ÂÈÏÔÁ‹˜ ÙÔ˘ R, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙËÓ ·Ú¯È΋ ÚfiÙ·ÛË. ∆Ô T ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Û˘Ó¯Ҙ Ì·˙› Ì ÙË φ ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ 2n ÊÔÚ¤˜ Â› ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ŒÛÙˆ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 2n ÌˉÂÓÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÛÙ·

236

¶·Ú¿ÚÙËÌ· A. ªÈ· ∂Ήԯ‹ Ù˘ ∞Ú¯È΋˜ ∞fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ Gauss

ÛËÌ›· Q 0 , Q 1 , . . . , Q 2n−1 Ì ÔÚ›ÛÌ·Ù· θ, 3θ, 5θ, 7θ, . . . , (8n − 3)θ Î·È (8n − 1)θ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. £¤ÙÔÓÙ·˜ ζ = tan(φ/2) ¤¯Ô˘ÌÂ: cos φ =

1 − ζ2 2ζ , sin φ = . 2 1+ζ 1 + ζ2

2

2ζ £¤ÙÔ˘Ì z = r ( 1−ζ + i 1+ζ 2 ) Î·È ıˆÚԇ̠ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ f (z). ∆ÒÚ· ÙÔ 1+ζ 2 Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÙÔ˘ ̤ÚÔ˜ T Á›ÓÂÙ·È:

∆=

p2n (ζ ) , (1 + ζ 2 )n

fiÔ˘ ÙÔ p2n (ζ ) Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì ‚·ıÌfi ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 2n. ∂Âȉ‹ ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ 2n ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 2n ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÏϘ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. ∂Ô̤ӈ˜, Ù· Q 0 , Q 1 , . . . , Q 2n−1 Â›Ó·È Ù· ÌÔÓ·‰Èο ÛËÌ›· Â› ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ fiÔ˘ ÙÔ T ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Î·È, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÔÈ ıÂÙÈΤ˜ Î·È ·ÚÓËÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ T ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔÓÙ·È Â› ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· ∞.1. K·Ù¿ ÙÚ›ÙÔÓ, ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎÔ‡ ̤ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ U Â›Ó·È ıÂÙÈΤ˜ ÛÙ· ÛËÌ›· Q 0 , Q 2 , . . . , Q 2n−2 Î·È ·ÚÓËÙÈΤ˜ ÛÙ· ÛËÌ›· Q 1 , Q 3 , . . . , Q 2n−1 . ∆Ô fiÚÈÛÌ· φ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ Q k ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ (4k + 1)π/4n Î·È (4k + 3)π/4n. ∂Ô̤ӈ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ: (−1)k sin(nφ) ≥ √12 . ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ U Ì (−1)k Î·È ·ÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ Ù· (−1)k sin((n − 1)φ + α), . . . , (−1)k sin λ Ì ÙÔ −1 Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ·: (−1)k U ≥ r n (−1)k sin(nφ) − A R n−1 − . . . − L Î·È Î·Ù' ·ÎÔÏÔ˘ı›·Ó ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ·: rn (−1)k U ≥ √ − A R n−1 − . . . − L . 2 ∏ ‰ÂÍÈ¿ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ÏfiÁˆ Ù˘ ÂÈÏÔÁ‹˜ ÙÔ˘ R ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÙÔ ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ U ÛÙÔ Q k ÈÛÔ‡Ù·È Ì (−1)k . ∆ÒÚ·, ÂÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ  ·ÎÙ›Ó·˜ r > R. ∆· ÛËÌ›· Q 0 , . . . , Q 2n−1 ‰È·ÈÚÔ‡Ó ÙËÓ ÂÚÈʤÚÂÈ¿ ÙÔ˘ Û 2n ÙfiÍ· Î·È ÙÔ ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ T ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÂÙ·È ·fi ÙfiÍÔ Û ÙfiÍÔ. ∫·ıÒ˜ ·˘Í¿ÓÂÙ·È Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ , Ù· ÙfiÍ· Q 0 Q 1 , Q 1 Q 2 , . . . Û·ÚÒÓÔ˘Ó 2n ÂÚÈÔ¯¤˜ Ô˘ ÂÎÙ›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ¿ÂÈÚÔ, ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÙÔ T Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÂÓ·ÏÏ¿Í ıÂÙÈΤ˜ Î·È ·ÚÓËÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜. √È ÂÓ ÏfiÁˆ ÂÚÈÔ¯¤˜ ‰È·¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·È Ì ηÌ‡Ï˜ Â› ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÙÔ T Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙËÓ ÙÈÌ‹ 0. ¢·ÓÂÈ˙fiÌÂÓÔÈ ÙȘ ÔÓÔ̷ۛ˜ ·fi Ù· ÔÓ‹Ì·Ù· ÙˆÓ Gauss Î·È Uspensky, ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙȘ ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘  ÂÚÈÔ¯¤˜ ı¿Ï·ÛÛ˜, fiÙ·Ó T > 0, Î·È ÛÙÂÚȤ˜, fiÙ·Ó T < 0. √È Î·Ì‡Ï˜ Â› ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÈÛ¯‡ÂÈ

¶·Ú¿ÚÙËÌ· A. ªÈ· ∂Ήԯ‹ Ù˘ ∞Ú¯È΋˜ ∞fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ Gauss

237

T = 0 ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÎÙ¤˜. √È n ı¿Ï·ÛÛ˜ Î·È ÔÈ n ÛÙÂÚȤ˜ ÂÎÙ›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘  ηٿ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ Ùfi͈Ó. •ÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔ Q 1 ÎÈÓԇ̷ÛÙ ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ·ÎÙ‹˜ Ì ηÙ‡ı˘ÓÛË ÚÔ˜ ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ÛÙÂÚÈ¿ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ‰ÂÍÈ¿ Ì·˜. ∂›Ó·È Èı·ÓfiÓ Î¿ÔÈ· ÛÙÈÁÌ‹ Ó· ‚Áԇ̠¤Íˆ ·fi ÙÔÓ Ø fiÙ·Ó fï˜ ÙÔÓ ‰È·Û¯›ÛÔ˘Ì ͷӿ, ı· Ú¤ÂÈ Î·È ¿ÏÈ Ë ÛÙÂÚÈ¿ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ‰ÂÍÈ¿ Ì·˜. ∂¿Ó ‰È·Ó‡ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÚÈʤÚÂÈ· Ì ÊÔÚ¿ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂΛӢ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡, ÙfiÙ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ÛÙÂÚȤ˜ Î·È ÔÈ ı¿Ï·ÛÛ˜ ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔÓÙ·È. ∂Ô̤ӈ˜, ı· ‚Áԇ̠·fi ÙÔÓ  ηÙ¢ı˘ÓfiÌÂÓÔÈ ÚÔ˜ Ù· ¤Íˆ Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô Ì ¿ÚÙÈÔ ‰Â›ÎÙË Q 2k , ‰ËÏ·‰‹ Q 2 , Q 4 . . . . ™˘ÓÂÒ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ Û˘Ó¯‹˜ ‰ÚfiÌÔ˜ γ Ô ÔÔ›Ô˜ Ô‰ËÁ› ·fi ÙÔ Q 1 ÛÙÔ Q 2k Î·È Â› ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ¤¯Ô˘Ì T = 0. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Q 1 ÈÛ¯‡ÂÈ U < 0, ÂÓÒ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Q 2k ¤¯Ô˘Ì U > 0. ∂Âȉ‹ Ë U Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ γ , Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô Â› ÙÔ˘ γ Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙËÓ ÙÈÌ‹ 0. ™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·ÌÊfiÙÂÚ· Ù· T Î·È U ·›ÚÓÔ˘Ó ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ìˉ¤Ó, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË ÌÈ·˜ ı¤Û˘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡.

EÈÎfiÓ· A.2: ™ÙÂÚȤ˜ Î·È ı¿Ï·ÛÛ˜ ÂÓfi˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ÂÌÙÔ‚¿ıÌÈÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘

238

¶·Ú¿ÚÙËÌ· A. ªÈ· ∂Ήԯ‹ Ù˘ ∞Ú¯È΋˜ ∞fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ Gauss

∏ ·ÓˆÙ¤Úˆ ‰È·‰Èηۛ· ·Ô‰›‰ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· A.2 ÁÈ· ¤Ó· ÂȉÈÎfi ÂÌÙÔ‚¿ıÌÈÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›¯Â ÌÂÏÂÙËı› ·fi ÙÔÓ Gauss. •ÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔ Q 1 ÎÈÓԇ̷ÛÙ ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ·ÎÙ‹˜ ÚÔ˜ ÙÔ Q 2 . ™ÙÔ Q 1 ÈÛ¯‡ÂÈ U < 0, ÂÓÒ ÛÙÔ Q 2 ÈÛ¯‡ÂÈ U > 0. ∫·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ·ÎÙ‹˜ ¤¯Ô˘Ì T = 0Ø ¿Ú·, Ú¤ÂÈ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛËÌ›Ô, ÛËÌÂÈÔ‡ÌÂÓÔ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ì A, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯Ô˘Ì U = 0. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ÌÈ· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, fiˆ˜ Î·È Ù· ÛËÌ›· B, C Î·È D. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô C ·Ó··ÚÈÛÙ¿ Ì›· ‰ÈÏ‹ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÂÓÒ Ù· ˘fiÏÔÈ· ·Ó··ÚÈÛÙÔ‡Ó ·Ϥ˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡.

¶·Ú¿ÚÙËÌ· B

∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5 ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·Ì ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Ô˘ ‚·ÛÈ˙fiÙ·Ó ÛÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Liouville ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ Ï·ÈÛ›Ô˘ Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘. ∞˘Ùfi Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘ ÛÙËÚÈ˙fiÙ·Ó ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ, Â¿Ó Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û οÔÈÔ ¯ˆÚ›Ô  U , ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ γ f (z)dz = 0 ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÎÏÂÈÛÙ‹, Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·Ì‡ÏË γ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U . ™ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÛËÌÂ›Ô ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·Ì ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË ‚·ÛÈṲ̂ÓË ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green, ÙÔ ÔÔ›Ô Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘ ‰ڿ˙ÂÙÔ ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë f  (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. ∞˘Ù‹ ‹Ù·Ó Ë ·Ú¯È΋ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ Cauchy. øÛÙfiÛÔ, fiˆ˜ ·Ó·Ê¤Ú·ÌÂ, Ô Goursat ·Ê·›ÚÂÛ ÙÔÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi. ™ÙËÓ ·ÚÔ‡Û· ÂÓfiÙËÙ· ÂÈÛÙÚ¤ÊÔ˘Ì ÛÙÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ·˘Ùfi ıÂÒÚËÌ· Î·È ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ Cauchy Î·È Goursat ÁÈ· ·ÛÙÚfiÌÔÚÊ· ¯ˆÚ›·. ™ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· C, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ οÔȘ ·fi ÙȘ ȉ¤Â˜ Ô˘ ı· ·Ó·Ù‡ÍÔ˘Ì ‰Ò, ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ÙÚÂȘ ÂÈÚfiÛıÂÙ˜ ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ÚÔÂÚ¯fiÌÂÓ˜ ·fi ÙË ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË. ŒÓ· ¯ˆÚ›Ô U ÙÔ˘ C ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎfi, Â¿Ó ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· z 1 , z 2 ∈ U ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘Ó‰ÂıÔ‡Ó Ì¤Ûˆ ÌÈ·˜ ηÌ‡Ï˘ Ë ÔÔ›· ÎÂ›Ù·È ÂÍ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U . ∂ÈϤÔÓ, ÌÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÂÚÈÔ¯‹ U ⊂ C Â›Ó·È ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈ΋, Â¿Ó Î·È ÌfiÓÔÓ Â¿Ó ÁÈ· ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· z 1 , z 2 ∈ U ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ηÌ‡ÏË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ z 1 Î·È z 2 . (§¤ÁÔÓÙ·˜ ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ηÌ‡ÏË ÂÓÓÔԇ̠ÌÈ· ηÌ‡ÏË Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÂÚÈÔ¯‹, Ë ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ·˘Ù‹ ηÌ‡ÏË ÌÔÚ› Ó· ÂÈϯı› 239

240

¶·Ú¿ÚÙËÌ· B. ∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ó· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ· ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ.) ∞·ÈÙÂ›Ù·È Ó· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì οˆ˜ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙˆÓ ÂÈηÌ‡ÏÈˆÓ ÔÏÔÎÏËڈ̿وÓ. ŒÛÙˆ U ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ C Î·È ¤ÛÙˆ γi : [ai , bi ] → U ⊂ C Ì ai ≤ bi Î·È i = 1, 2 ‰‡Ô ηÌ‡Ï˜ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U Ù¤ÙÔȘ, ÒÛÙ γ1 (b1 ) = γ2 (a2 ). ∆fiÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· γ = γ1 + γ2 Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U , Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜: γ : [a1 , b2 − a2 + b1 ] → U, fiÔ˘: γ (t) = γ1 (t), Â¿Ó t ∈ [a1 , b1 ] Î·È γ (t) = γ2 (t + a2 − b1 ), fiÙ·Ó t ∈ [b1 , b2 − a2 + b1 ]. ªÂ ·ÚfiÌÔÈÔ ÙÚfiÔ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· γ1 + γ2 + . . . + γm ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ηÌ˘ÏÒÓ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U . ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ηÌ˘ÏÒÓ ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ Ú¿ÍË Â› ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ Î·Ì˘ÏÒÓ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U . ªÈ· ηÌ‡ÏË γ : [a, b] → C Ì a ≤ b ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·Ù¿ ÙÌ‹Ì·Ù· Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, Â¿Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ηÌ‡Ï˜ γ1 , . . . , γm Ù¤ÙÔȘ, ÒÛÙÂ Ë γ Ó· ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· γ = γ1 + . . . + γm Ø ‰ËÏ·‰‹, Â¿Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· a1 , a2 , . . . , am+1 Ì a = a1 < a2 < . . . < am+1 = b Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙÂ Ë γi Ó· Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ [ai , ai+1 ], fiÔ˘ 1 ≤ i ≤ m. ∂› ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÈ, οı ÔÏ˘ÁˆÓÈ΋ ηÌ‡ÏË Â›Ó·È Î·Ù¿ ÙÌ‹Ì·Ù· Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË. ∆ÒÚ·, ¤ÛÙˆ fiÙÈ U Â›Ó·È ÌÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ C Î·È fiÙÈ Ë γ : [a, b] → U Â›Ó·È ÌÈ· ηÌ‡ÏË Ë ÔÔ›· ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· γ = γ1 + . . . + γm ÂÓfi˜ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌˆÓ Î·Ì˘ÏÒÓ γ1 , . . . , γm . ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë f : U → C Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ∆fiÙ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ˆ˜:  m   f (z)dz = f (z)dz. γ

i=1

γi

∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙfiÍÔ˘ ÌÈ·˜ ηÌ‡Ï˘ γ = γ1 + . . . + γm , fiˆ˜ Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË, ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ L(γ ) = L(γ1 ) + . . . + L(γm ) ηÈ, ηÙ' ·Ó·ÏÔÁ›·Ó ÚÔ˜ ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5, ¤¯Ô˘ÌÂ:  L(γi ) = |dz| ÁÈ· i = 1, . . . , m. γi

∂¿Ó ÈÛ¯‡ÂÈ | f (z)| ≤ M Â› Ù˘ γ , ÙfiÙ ·fi ÙÔ §‹ÌÌ· 5.2.1 Î·È ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ:





f (z)dz ≤ M L(γ ).

γ

¶·Ú¿ÚÙËÌ· B. ∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

241

™ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙˆÓ ¶·Ú·ÚÙËÌ¿ÙˆÓ B Î·È C ˘Ôı¤ÙÔ˘Ì ¿ÓÙÔÙ fiÙÈ ÌÈ· ηÌ‡ÏË Â›Ó·È Î·Ù¿ ÙÌ‹Ì·Ù· Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, fiˆ˜ ·˘Ùfi ÔÚ›ÛÙËΠÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. √ÚÈÛÌfi˜ B.1. ŒÓ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ M ⊂ C Â›Ó·È ·ÛÙÚfiÌÔÚÊÔ, fiÙ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô z 1 ∈ M Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÁÈ· οı z ∈ M ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· z 1 z Ó· ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ M. To z 1 ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ M. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Ù· ·ÛÙÚfiÌÔÚÊ· Û‡ÓÔÏ· Â›Ó·È ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈο. ∆Ô U ⊂ C ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÛÙÚfiÌÔÚÊÔ ¯ˆÚ›Ô, Â¿Ó ÙÔ U Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Î·È ·ÛÙÚfiÌÔÚÊÔ. ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ B.1. ∆· ·ÎfiÏÔ˘ı· Û‡ÓÔÏ· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·ÛÙÚfiÌÔÚÊ· ¯ˆÚ›·: (a) ÙÔ C ‹ ÙÔ R Ì ΤÓÙÚÔ 0, (b) ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·ÓÔÈÎÙ‹ ΢ÎÏÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹, (c) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ H = {z; Imz > 0} Ì ΤÓÙÚÔ i, (d) ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ C− = {z; z ∈ R ‹ z ∈ R, z > 0}. √ÚÈÛÌfi˜ B.2. ŒÛÙˆ U ⊂ C ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ Î·È f : U → C ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ªÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË F : U → C ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ f ÛÙÔ U fiÙ·Ó F  = f . ∞fi ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5 Î·È ÙÔ˘˜ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ ¤ÂÙ·È fiÙÈ, Â¿Ó Ë F Â›Ó·È ÌÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ f ÛÙÔ U , ÙfiÙÂ:   f (z)dz = F  (z)dz = F(γ (t1 )) − F(γ (t0 )), γ

γ

fiÔ˘ Ù· γ (t1 ) Î·È γ (t0 ) Â›Ó·È Ù· ÙÂÏÈο ÛËÌ›· Ù˘ ηÌ‡Ï˘ γ . ∂Ô̤ӈ˜, fiÙ·Ó ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‰È·ı¤ÙÂÈ Î¿ÔÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ U , ÙfiÙ ÈηÓÔÔÈ› ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy. ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ Goursat ηÙ' Ô˘Û›·Ó ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Î¿ı ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó· ·ÛÙÚfiÌÔÚÊÔ ¯ˆÚ›Ô ‰È·ı¤ÙÂÈ Î¿ÔÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, Ú¤ÂÈ Ó· Û˘Û¯ÂÙ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. √ÚÈÛÌfi˜ B.3. ŒÛÙˆ U ⊂ C ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ. ∏ f : U → C ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ U , fiÙ·Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ U Î·È ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ U .

242

¶·Ú¿ÚÙËÌ· B. ∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

£ÂÒÚËÌ· B.1 (∫ÚÈÙ‹ÚÈ· √ÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ·˜). ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ U Â›Ó·È ¤Ó· ¯ˆÚ›Ô Î·È fiÙÈ Ë f : U → C Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙÔ U . ∆· ÂfiÌÂÓ· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: (1) ∏ f Â›Ó·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ U .  (2) °È· οı ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U ¤¯Ô˘Ì γ f (z)dz = 0. ∂¿Ó ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ (2) ÈηÓÔÔÈ›ٷÈ, ÙfiÙ ·ÁÈÒÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô z 1 ∈ U Î·È ÁÈ· οı z ∈ U ÂÈϤÁÔ˘Ì οÔÈ· ηÌ‡ÏË γ ·fi ÙÔ z 1 ÛÙÔ z. √Ú›˙Ô˘ÌÂ:  F(z) = f (z)dz, z ∈ U. γ

∆fiÙÂ Ë F(z) Â›Ó·È ÌÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ f (z) ÛÙÔ U . ∞fi‰ÂÈÍË. ∞fi ÙÔ (1) ÚÔÊ·ÓÒ˜ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È ÙÔ (2). ŒÙÛÈ, ·Ô̤ÓÂÈ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ·fi ÙÔ (2) Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È ÙÔ (1) Î·È ÁÈ· Ó· Á›ÓÂÈ ·˘Ùfi ·ÚΛ Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë F(z) Ô˘ ÔÚ›ÛÙËΠÛÙËÓ ÂÎÊÒÓËÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ f (z). ¢ËÏ·‰‹ Ú¤ÂÈ Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ F  (z) = f (z) ÁÈ· οı z ∈ U .  ∂Âȉ‹ γ f (z)dz = 0 ÁÈ· οı ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U , ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË F(z) Â›Ó·È Î·ÏÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓË (‚Ϥ £ÂÒÚËÌ· 5.2.2). ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÂÓ Û˘Ó¯›· Â›Ó·È ›‰È· Ì ·˘Ù‹Ó ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ 5.2.2. F(z + z) − F(z) z→0 z   z+z  z 1 = lim f (w)dw − f (w)dw z→0 z z0 z0  z+z 1 = lim f (w)dw. z→0 z z

F  (z) = lim

∂Âȉ‹ Ë f (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÌÔÚ› Ó· ·Ô‰Âȯı› (‚Ϥ ·Û΋ÛÂȘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 5) fiÙÈ:  z+z f (w)dw = ( f (z) + )z, z

fiÔ˘ ÙÔ  → 0, ηıÒ˜ ÙÔ z → 0. ∂Ô̤ӈ˜: 

z+z

lim

z→0

Î·È Û˘ÓÂÒ˜ F  (z) = f (z).

z

f (w)dw = f (z),

243

¶·Ú¿ÚÙËÌ· B. ∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

∆ÒÚ· ı· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Û ¤Ó· ·ÛÙÚfiÌÔÚÊÔ ¯ˆÚ›Ô U Ë ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ· Ù˘ f (z)  ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ∂ f (z)dz = 0 ÁÈ· ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÙÚÈÁÒÓÔ˘  ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U . £ÂÒÚËÌ· B.2 (∆ÚÈÁˆÓÈÎfi ∫ÚÈÙ‹ÚÈÔ √ÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ·˜). ŒÛÙˆ fiÙÈ U Â›Ó·È ¤Ó· ·ÛÙÚfiÌÔÚÊÔ ¯ˆÚ›Ô ΤÓÙÚÔ˘ z 0 Î·È fiÙÈ Ë f : U → C Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ∂¿Ó  f (z)dz = 0 ∂

fiÔ˘ ∂ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÙÚÈÁÒÓÔ˘  ⊂ U Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ z 0 , ÙfiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ U . ∂ÈϤÔÓ, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË:  F(z) = f (z)dz z0 z

Â›Ó·È ÌÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ f (z) ÛÙÔ U Î·È ÂȉÈÎfiÙÂÚ· ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U .

 γ

f (z)dz = 0

∞fi‰ÂÈÍË. ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË F(z) Â›Ó·È Î·ÏÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓË, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ z 1 z ⊂ U ÁÈ· οı z ∈ U . ™Ù·ıÂÚÔÔÈԇ̠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô c ∈ U Î·È ÂÈϤÁÔ˘Ì οÔÈÔ z ∈ U Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ  Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ z 1 , z, c Ó· ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ U Ø ·˘Ùfi ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· B.1.  ∂Âȉ‹ ∂ f (z)dz = 0, ¤¯Ô˘ÌÂ:  F(z) = F(c) + f (w)dw. cz

∆fiÙ ÚÔ·ÙÂÈ, fiˆ˜ Î·È ÛÙȘ ·ԉ›ÍÂȘ ÙˆÓ £ÂˆÚËÌ¿ÙˆÓ 5.2.2 Î·È µ.1, fiÙÈ Ë F Â›Ó·È ÌÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì F  (c) = f (c) ÁÈ· c ∈ U . ∆ÒÚ· ÌÔÚԇ̠ӷ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ‚·ÛÈÎfi ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ Goursat ÁÈ· ÙÔ ∂ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy. £ÂÒÚËÌ· B.3 ( √ÏÔÎÏËÚˆÙÈÎfi §‹ÌÌ· ÙÔ˘ Goursat). ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ U ⊂ C Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi Î·È fiÙÈ Ë f : U → C Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋. ŒÛÙˆ  ⊂ U ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ. ∆fiÙÂ:  f (z)dz = 0. ∂

244

¶·Ú¿ÚÙËÌ· B. ∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

EÈÎfiÓ· B.1: ∆ÚÈÁˆÓÈÎfi ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ∞fi‰ÂÈÍË. ∂Ó ÚÒÙÔȘ, ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ÛÙÔȯÂÈÒ‰ÂȘ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ¤ÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ  Â›Ó·È ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È fiÙÈ Ë L Â›Ó·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜. (1) maxw,z∈ |w − z| ≤ L(∂), (2) L(∂ ) = 12 L(∂) ÁÈ· ηı¤Ó· ·fi Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ·  Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ÂÓÒÓÔÓÙ·˜ Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ . ∆· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ˘ÔÙÚ›ÁˆÓ· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· B.2.

EÈÎfiÓ· B.2: ÿÛ· ˘ÔÙÚ›ÁˆÓ·  ∆ÒÚ· ı¤ÙÔ˘Ì v() = ∂ f (z)dz Î·È ÂÓÒÓÔ˘Ì ٷ ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ , Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ν Ì ν = 1, 2, 3, 4, fiˆ˜ ÛÙËÓ

¶·Ú¿ÚÙËÌ· B. ∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

245

∂ÈÎfiÓ· B.2. ∞ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ: v() =

4   ν=1

∂

f (z)dz =

4 

v(ν ),

ν=1

‰ÈfiÙÈ Ù· ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ˘ÂÚ¿Óˆ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó Ù· ̤۷ ÙÔ˘  ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ Ì ·ÓÙ›ıÂÙ· ÚfiÛËÌ· ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ··Ï›ÊÔÓÙ·È. ∏ ηٿÛÙ·ÛË ·˘Ù‹ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· B.3.

EÈÎfiÓ· B.3: ÿÛ· ˘ÔÙÚ›ÁˆÓ· ªÂٷ͇ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÌ¿ÙˆÓ ÂÈϤÁÔ˘Ì ·˘Ùfi Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Î·È ¤ÛÙˆ 1 ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ ÂÈÏÂÁ̤ÓÔ ÔÏÔÎϋڈ̷. ∆fiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: |v()| ≤ 4|v(1 )|. ∆ÒÚ·, Ì ÙËÓ ›‰È· ‰È·‰Èηۛ· ÂÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó· ‰Â‡ÙÂÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ 2 ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ: |v()| ≤ 4|v(1 )| ≤ 42 |v(2 )|. ∂¿Ó Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ì Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ, ÂÓÒÓÔÓÙ·˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ, ÙfiÙ ηٷϋÁÔ˘Ì Û ÌÈ· Êı›ÓÔ˘Û· ·ÎÔÏÔ˘ı›·: 1 ⊃ 2 ⊃ · · · ⊃ n ⊃ · · · ÊÚ·ÁÌ¤ÓˆÓ ÎÏÂÈÛÙÒÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ¤¯Ô˘ÌÂ: |v()| ≤ 4n |v(n )|, n = 1, 2, . . .

246

¶·Ú¿ÚÙËÌ· B. ∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

∞fi ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÛÙÔȯÂÈ҉˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Ô˘ ‰ËÏÒıËΠÛÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ¤ÂÙ·È fiÙÈ: L(∂n ) =

1 L(∂), n = 1, 2, . . . 2n

∞fi ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÂÁÎÈ‚ˆÙÈÛÌ¤ÓˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ R2 ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ÙÔÌ‹ n ∩∞ n=1  ÂÚȤ¯ÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô c ∈ . ∂Âȉ‹ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈ· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË g : U → C Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙÂ: f (z) = f (c) + f  (c)(z − c) + (z − c)g(z), fiÔ˘ z ∈ U Î·È g(c) = 0. ∞fi ÙËÓ ‡·ÚÍË ÙˆÓ ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ:   f (c)dz = 0 Î·È f  (c)(z − c)dz = 0 ÁÈ· οı n ≥ 1. ∂n

∂n

∂Ô̤ӈ˜, ¤¯Ô˘ÌÂ:  v(n ) =

∂n

(z − c)g(z)dz ÁÈ· n ≥ 1.

∞fi ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ: v(n ) ≤ maxz∈∂n (|z − c||g(z)|)L(∂n ). §fiÁˆ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ô˘˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·ÙÔ˜, Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ηٷϋÁÂÈ ÛÙËÓ: v(n ) ≤ L(∂n )maxz∈∂n |g(z)|, n = 1, 2, . . . ∂Ó Ù¤ÏÂÈ, ¤¯Ô˘ÌÂ: |v()| ≤ 4n |v(n )| ≤ L(∂)2 maxz∈∂n |g(z)|, n = 1, 2, . . . ∞ÊÔ‡ g(c) = 0 Î·È Ë g(z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ c, ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÁÈ· οı  > 0 ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· δ > 0 Ì |g(z)| ≤  Â› Ù˘ ÛÊ·ÈÚÈ΋˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ Bδ (c) ·ÎÙ›Ó·˜ δ Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ c. °È· ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ δ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ n 0 Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ n ⊂ Bδ (c) ÁÈ· n ≥ n 0 . ™˘ÓÂÒ˜, ÛÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ n ÈÛ¯‡ÂÈ |g(z)| ≤  ÁÈ· οı n ≥ n 0 Î·È ¤ÙÛÈ: |v()| ≤ (L(∂))2 . ∂Âȉ‹ ÙÔ L(∂) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi Î·È  > 0 Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi˜, ¤ÂÙ·È fiÙÈ v() = 0, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ·.

¶·Ú¿ÚÙËÌ· B. ∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

247

∂Ó Û˘Ó¯›·, ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙÔ °ÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy ÁÈ· ·ÛÙÚfiÌÔÚÊ· ¯ˆÚ›·Ø ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ·˘Ùfi Â›Ó·È Î·Ù' Ô˘Û›·Ó ›‰ÈÔ Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙÔ˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 5. øÛÙfiÛÔ, ÛÙË ÛÎÈ·ÁÚ·ÊËı›۷ ÂΛ ·fi‰ÂÈÍË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Green Ô˘ ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ fiÙÈ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ f  (z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. ∂Ó Ù¤ÏÂÈ ·˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ¿ÓÙÔÙÂØ ·ÔÙÂÏ› fï˜ Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ °ÂÓÈÎÔ‡ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ Cauchy Î·È Goursat Ô˘ ı¤ÙÂÈ ˆ˜ ÌfiÓË ÚÔ¸fiıÂÛË ÙÔ fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋. £ÂÒÚËÌ· B.4. (£ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ Cauchy Î·È Goursat ÁÈ· ∞ÛÙÚfiÌÔÚÊ· Èڛ·). ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ U ⊂ C Â›Ó·È ·ÛÙÚfiÌÔÚÊÔ ¯ˆÚ›Ô Ì ΤÓÙÚÔ z 0 Î·È fiÙÈ Ë f : U → C Â›Ó·È ÌÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. ∆fiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ U Î·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË:  F(z) = f (z)dz z0 z

Â›Ó·È ÌÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ f (z) ÛÙÔ U . ∂ÈϤÔÓ ¤¯Ô˘ÌÂ:  f (z)dz = 0 γ

ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË γ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U . ∞fi‰ÂÈÍË.  °È· ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂ οı ÙÚÈÁÒÓÔ˘  ⊂ U ÈÛ¯‡ÂÈ ∂ f (z)dz = 0 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈ ·¢ı›·˜ ·fi ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ·˜. ŒÂÙ·È ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Cauchy ÁÈ· ·ÛÙÚfiÌÔÚÊ· ¯ˆÚ›·. ŒÛÙˆ C− = {z ∈ C; z ∈ R ‹ z > 0}. ∆Ô C− Â›Ó·È ¤Ó· ·ÛÙÚfiÌÔÚÊÔ ¯ˆÚ›Ô  ΤÓÙÚÔ˘ 1. ŒÛÙˆ f (z) = 1z Ø ÙfiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ C− Î·È ÙÔ 1,z (1/z)dz Â›Ó·È ÌÈ· ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ f (z). ∂ÈϤÁÔ˘Ì ÌÈ· ηÌ‡ÏË ·fi ÙÔ 1 ÛÙÔ z = r eiθ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ηÙ' ·Ú¯¿˜ ıˆÚԇ̠Â› ÙÔ˘ R ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ 1 ¤ˆ˜ ÙÔ r ηÈ, ηÙfiÈÓ, ÙÔ Î˘ÎÏÈÎfi ÙfiÍÔ Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ z = r eiφ ·fi ÙÔ r ¤ˆ˜ ÙÔ z. ∆fiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:   r  θ dz dt ir eit = + dt = log r + iθ, it t 1 0 re 1,z z ‰ËÏ·‰‹ Ë ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔÓ Î‡ÚÈÔ ÎÏ¿‰Ô Ù˘ ÌÈÁ·‰È΋˜ ÏÔÁ·ÚÈıÌÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ÛÙÔ C− . ¢È¿ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ Cauchy Î·È Goursat ÚÔ·ÙÔ˘Ó Ô ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Cauchy Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville fiˆ˜ Î·È ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5. ∞fi ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ıÂÒÚËÌ· ÚԤ΢„Â Ë ‰Â‡ÙÂÚË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘

248

¶·Ú¿ÚÙËÌ· B. ∆Ô ∞Ó·ıˆÚË̤ÓÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy

ÕÏÁ‚ڷ˜. ™ÙÔ ¶·Ú¿ÚÙËÌ· C ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ÂÈϤÔÓ ıˆڋ̷ٷ Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘ ÁÈ· Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÚÂȘ ÂÈÚfiÛıÂÙ˜ ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ·ԉ›ÍÂȘ.

¶·Ú¿ÚÙËÌ· C

∆ÚÂȘ ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ·fi ÙË ™ÎÔÈ¿ Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘ ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, ·fi ÙË ÛÎÔÈ¿ Ù˘ ªÈÁ·‰È΋˜ ∞Ó¿Ï˘Û˘, Ô˘ ‰fiıËΠÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5 ‚·ÛÈ˙fiÙ·Ó ÛÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Liouville (£ÂÒÚËÌ· 5.4.1). ™ÙÔ ·ÚfiÓ ·Ú¿ÚÙËÌ· ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÚÂȘ ÂÈϤÔÓ ·ԉ›ÍÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ ‰ÂÓ ‚·Û›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ ıÂÒÚËÌ·. £· ¯ÚÂÈ·ÛÙԇ̠‰‡Ô ÚÔηٷÚÎÙÈο Ï‹ÌÌ·Ù·, ÙÔ ÚÒÙÔ ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÚÔ·ÙÂÈ ·¢ı›·˜ ·fi ÙÔÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎfi Ù‡Ô ÙÔ˘ Cauchy (£ÂÒÚËÌ· 5.3.1). §‹ÌÌ· C.1. (£ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜ Î·È Ù˘ ∞ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ù˘ ÈÛ¯‡Ô˘Û·˜ ÁÈ· Ù· ªÈÁ·‰Èο √ÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù·). ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ U ⊂ C Â›Ó·È ¤Ó· ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ, fiÙÈ f : U → C Â›Ó·È ÌÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·È fiÙÈ B = Br (z 0 ) Â›Ó·È ¤Ó·˜ ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ ·ÎÙ›Ó·˜ r > 0 Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ z 0 Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ U . ∆fiÙ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÁÈ· ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ∂ B ÙËÓ ·Ú·ÌÂÙÚÈÎÔÔ›ËÛË γ (t) = z 0 + r eit Ì 0 ≤ t ≤ 2π ¤¯Ô˘ÌÂ: 1 f (z 0 ) = 2π



2π

f (z 0 + r eit )dt

(£ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜)

0

249

250

¶·Ú¿ÚÙËÌ· C. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ·fi ÙË ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË

Î·È | f (z 0 )| ≤ max∂ B | f |

(∞ÓÈÛfiÙËÙ· Ù˘ ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜).

∆Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ ÚÔηٷÚÎÙÈÎfi Ï‹ÌÌ· Ô˘ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ï‹ÌÌ· Ù˘ ·‡ÍËÛ˘. §‹ÌÌ· C.2 (§‹ÌÌ· Ù˘ ∞‡ÍËÛ˘). ŒÛÙˆ p(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n ¤Ó· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ n ≥ 1 (¿Ú· an = 0). ∆fiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ R ≥ 1 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÁÈ· οı z ∈ C Ì |z| ≥ R ÈÛ¯‡ÂÈ: 1 |an ||z n | ≤ | p(z)| ≤ 2|an ||z|n . 2 ∂ȉÈÎfiÙÂÚ· ¤ÂÙ·È fiÙÈ | p(z)| → ∞, ηıÒ˜ |z| → ∞. ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ r (z) = |a0 | + |a1 ||z| + . . . + |an−1 ||z|n−1 . ∆fiÙÂ: |an ||z|n − r (z) ≤ | p(z)| ≤ |an ||z|n + r (z) ÏfiÁˆ Ù˘ ÙÚÈÁˆÓÈ΋˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜. ∂¿Ó |z| ≥ 1, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì r (z) ≤ k|z|n−1 , fiÔ˘ n−1 k = i=0 |ai |, ‰ÈfiÙÈ |z|i ≤ |z|n−1 ÁÈ· i < n Î·È |z| ≥ 1. ∂Ô̤ӈ˜, Û˘Ó¿ÁÔ˘Ì ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔ˘ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜ ı¤ÙÔÓÙ·˜: R = max{1, 2k|an |−1 }.

∆ÒÚ· ÌÔÚԇ̠ӷ ÚԂԇ̠۠ÙÚÂȘ Ӥ˜ ·ԉ›ÍÂȘ. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ·˘Ùfi Ô˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ·ԉ›ÍÔ˘ÌÂ Â›Ó·È ˆ˜ οı ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰È·ı¤ÙÂÈ Î¿ÔÈ· ÌÈÁ·‰È΋ ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡. Œ‚‰ÔÌË ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ p(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n ¤Ó· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ n ≥ 1. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ p(z) ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ C. Ÿˆ˜ Î·È ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3 (‚Ϥ ∂ÓfiÙËÙ· 3.4.) ıˆÚԇ̠ÙÔ: p(z) = a 0 + a 1 z + . . . + a n z n . ∆fiÙ p(z) = p(z) ÁÈ· οı z ∈ C ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÙÔ g(z) = p(z) p(z) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 2n Î·È Î·Ì›· ı¤ÛË ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ C. ∂ÈϤÔÓ, ¤¯Ô˘Ì g(x) = | p(x)|2 > 0 ÁÈ· x ∈ R.

¶·Ú¿ÚÙËÌ· C. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ·fi ÙË ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË

251

1 ∂ÊfiÛÔÓ Ë g(z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ C, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Cauchy ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÁÈ· οı r > 0 ÈÛ¯‡ÂÈ:  r  dx dz 0= + , (C.1) 2 | p(x)| g(z) −r γr

fiÔ˘ γr (t) = r eit ÁÈ· 0 ≤ t ≤ π Â›Ó·È ÙÔ ËÌÈ·ÎÏÈÔ ·ÎÙ›Ó·˜ r Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ 0, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· C.1.

EÈÎfiÓ· C.1: ∆Ô ËÌÈ·ÎÏÈÔ Ù˘ ¤‚‰ÔÌ˘ ·fi‰ÂÈ͢ §fiÁˆ ÙÔ˘ Ï‹ÌÌ·ÙÔ˜ ·‡ÍËÛ˘ ¤¯Ô˘ÌÂ: |g(z)|−1 ≤ M|z|−2n , fiÔ˘ M = 2|an |−2 ÁÈ· |z| ≥ r Ì ÙÔ r ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ. ∆fiÙ fiÙÈ ÁÈ· Ù¤ÙÔÈÔ˘ ›‰Ô˘˜ r ÈÛ¯‡ÂÈ:





1 dz

−(2n−1)

,

≤ maxγr g(z) πr ≤ π Mr γr g(z) ‰ËÏ·‰‹:  lim

r →∞ γ r

dz = 0, g(z)

ÂÊfiÛÔÓ n ≥ 1. ŸÌˆ˜ ÙfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙË Û¯¤ÛË (C.1), Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘ÌÂ:  r dx lim = 0, r →∞ −r | p(x)|2 Ô˘ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔÓ, ‰ÈfiÙÈ | p(x)|2 > 0. ŸÁ‰ÔË ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ p(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n ¤Ó· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ n ≥ 1 Î·È ¤ÛÙˆ

252

¶·Ú¿ÚÙËÌ· C. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ·fi ÙË ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË

1 fiÙÈ ÙÔ p(z) ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔ C. ∆fiÙÂ Ë | f (z)| = p(z) Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ÛÙÔ C ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÏfiÁˆ Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ù˘ ÂӉȿÌÂÛ˘ ÙÈÌ‹˜ ÈÛ¯‡ÂÈ:

f (0) ≤ max∂ Br | f (z)| ÁÈ· οı ΢ÎÏÈÎfi ‰›ÛÎÔ Br (0), r > 0, ΤÓÙÚÔ˘ 0. §fiÁˆ ÙÔ˘ §‹ÌÌ·ÙÔ˜ ∞‡ÍËÛ˘ ¤¯Ô˘Ì limz→∞ | f (z)| = 0 Î·È Û˘ÓÂÒ˜ f (0) = 0, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÓÙ›ÎÂÈÙ·È ÛÙÔ fiÙÈ f (0) = p(0)−1 = 0. H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ·ÚÔ‡Û·˜ ÂÓfiÙËÙ·˜ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ÌÂÁ›ÛÙÔ˘ Î·È ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚıËÎ·Ó ÛÙËÓ ∂ÓfiÙËÙ· 5.5 Î·È ÔÈ Ôԛ˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÌÈ· ·ÎfiÌË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Cauchy. ™Â ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ı· Â·Ó·Ï¿‚Ô˘Ì ÙȘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ ·Ú¯¤˜, ηıÒ˜ Â›Û˘ Î·È ‰‡Ô ÛËÌ·ÓÙÈο ÔÚ›ÛÌ·Ù¿ ÙÔ˘˜ ηÈ, ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜, ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ¤Ó·ÙË ·fi‰ÂÈÍË. £ÂÒÚËÌ· C.1 (∞Ú¯‹ ªÂÁ›ÛÙÔ˘ ª¤ÙÚÔ˘). ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· ÌË – ÛÙ·ıÂÚ‹ Î·È ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó· ¯ˆÚ›Ô U Î·È fiÙÈ z 0 ∈ U . ∆fiÙ οı ÁÂÈÙÔÓÈ¿ ÙÔ˘ z 0 Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÂÍ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ U ÂÚȤ¯ÂÈ Î·È ÛËÌ›· z Ì | f (z)| > | f (z 0 )|. ¶fiÚÈÛÌ· C.1 (∞Ú¯‹ ªÂÁ›ÛÙÔ˘). ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó· ¯ˆÚ›Ô U Î·È fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 ∈ U Ô˘ Â›Ó·È ÙÔÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ Ù˘ f (z), ‰ËÏ·‰‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ B (z 0 ) ⊂ U Ì | f (z)| ≤ | f (z 0 )| ÁÈ· fiÏ· Ù· z ∈ B (z 0 ). ∆fiÙÂ Ë f (z) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ ÛÙÔ U . ¶fiÚÈÛÌ· C.2 (∞Ú¯‹ ∂Ï·¯›ÛÙÔ˘). ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë f (z) Â›Ó·È ÌÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û ¤Ó· ¯ˆÚ›Ô U Î·È fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô z 0 ∈ U Ô˘ Â›Ó·È ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ Ù˘ f (z), ‰ËÏ·‰‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ B (z 0 ) ⊂ U Ì | f (z 0 )| ≤ | f (z)| ÁÈ· fiÏ· Ù· z ∈ B (z 0 ). ∆fiÙ ‹ f (z 0 ) = 0 ‹ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f (z) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Â› ÙÔ˘ U . ÃÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ¤Ó· ÂÈϤÔÓ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÁÈ· ÙËÓ ¤Ó·ÙË ·fi‰ÂÈÍË: ÂÂȉ‹ ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˘ÂÚ¿Óˆ ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ (‚Ϥ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3), ¤ÂÙ·È fiÙÈ ¤Ó· ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ p(z) ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ô˘ıÂÓ¿ ÙÔÈÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚfi. ¢ËÏ·‰‹ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·ÓÔÈÎÙ‹ ÂÚÈÔ¯‹ U ⊂ C Ì ÙÔ p(z) ÛÙ·ıÂÚfi Â› Ù˘ U , ‰ÈfiÙÈ, Â¿Ó ›Û¯˘Â p(z) = c ÁÈ· fiÏ· Ù· z ∈ U , ÙfiÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ g(z) = p(z) − c ı· ›¯Â ¿ÂÈÚÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡.

¶·Ú¿ÚÙËÌ· C. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ·fi ÙË ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË

253

ŒÓ·ÙË ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ p(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n ¤Ó· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‚·ıÌÔ‡ n ≥ 1. °È· οı r > 0 ıˆÚԇ̠ÙËÓ ÎÏÂÈÛÙ‹ Ì¿Ï· Ur = Br (0) ·ÎÙ›Ó·˜ r Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ 0. ∫¿ı Ur Â›Ó·È Û˘Ì·Á¤˜ Û‡ÓÔÏÔ Î·È, ÂÂȉ‹ Ë p(z) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÙÔ | p(z)| ¤¯ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô zr ∈ Ur . ∞ÊÔ‡ ÙÔ | p(z)| → ∞, ηıÒ˜ ÙÔ |z| → ∞, ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÈϤÍÔ˘Ì οÔÈÔ R ·ÚÎÔ‡ÓÙˆ˜ ÌÂÁ¿ÏÔ Î·Ù¿ Ù¤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ z R Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ U R . ¶ÚÔ˜ ‰È·›ÛÙˆÛË ·˘ÙÔ‡ ÂÈϤÁÔ˘Ì οÔÈÔ s > 0 Ì | p(z)| > |a0 | = | p(0)| ÁÈ· |z| > s Î·È Î·ÙfiÈÓ Î¿ÔÈÔ R > s. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â› ÙÔ˘ Û˘ÓfiÚÔ˘ ÙÔ˘ U R ÈÛ¯‡ÂÈ | p(z)| > | p(0)| ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ Â› ÙÔ˘ Û˘Ì·ÁÔ‡˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ U R Ú¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘. ∂Ô̤ӈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ z R Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ Ur Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ | p(z R )| ≤ | p(z)| ÁÈ· fiÏ· Ù· z ∈ U R . ∂ÊfiÛÔÓ ÙÔ z R ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi, ı· ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ  > 0 Ì U1 = B (z R ), ‰ËÏ·‰‹ Ë ÎÏÂÈÛÙ‹ Ì¿Ï· ·ÎÙ›Ó·˜  Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ z R ı· ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔ U R . ∂Âȉ‹ fï˜ ÙÔ p(z) Â›Ó·È ·ÓÙÔ‡ ·Ó·Ï˘ÙÈÎfi, ı· Â›Ó·È ·Ó·Ï˘ÙÈÎfi Î·È Â› ÙÔ˘ U1 Î·È ÂÈϤÔÓ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ | p(zr )| ≤ | p(z)| ÁÈ· fiÏ· Ù· z ∈ U1 . ∞fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙÔ˘ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ ¤¯Ô˘Ì ‹ fiÙÈ p(z R ) = 0 ‹ fiÙÈ ÙÔ p(z) Â›Ó·È ÙÔÈÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚfi Â› ÙÔ˘ U1 . ŸÌˆ˜, fiˆ˜ ÚԷӷʤڷÌÂ, ¤Ó· ÌË ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ô˘ıÂÓ¿ ÙÔÈÎÒ˜ ÛÙ·ıÂÚfi Î·È ÂÔ̤ӈ˜ p(z R ) = 0.

¶·Ú¿ÚÙËÌ· D

¢‡Ô ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ·fi ÙË ™ÎÔÈ¿ Ù˘ ∆ÔÔÏÔÁ›·˜ ™ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ·˘Ùfi ·Ú¿ÚÙËÌ· ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÈϤÔÓ ÙÔÔÏÔÁÈΤ˜ ·ԉ›ÍÂȘ, ÔÈ Ôԛ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÚȤÏÈ͢. ∏ ÚÒÙË Â›Ó·È ÌÈ· ÂΉԯ‹ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ Ô˘ ‚·ÛÈ˙fiÙ·Ó ÛÙÔÓ ‚·ıÌfi Brouwer Î·È Ë ÔÔ›· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËΠÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 9. ∏ ‰Â‡ÙÂÚË Â›Ó·È ÌÈ· ÈÔ Ù˘È΋ ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙˆÓ Û˘ÌÂÚ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÂÚ› ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÚȤÏÈ͢ Ù· ÔÔ›· Û˘Ó·ÓÙ‹Û·Ì ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ÙÔ˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ 8. ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ¤Ó·˜ ‚Úfi¯Ô˜ ÙÔ˘ ÌÔÓ·‰È·›Ô˘ ·ÎÏÔ˘ S 1 Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f : [0, 1] → S 1 , ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ f (0) = f (1). Ÿˆ˜ ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 9, Ë ıÂÌÂÏÈ҉˘ ÔÌ¿‰· 1 (S 1 ) Â›Ó·È Î˘ÎÏÈ΋ ¿ÂÈÚ˘ Ù¿Í˘ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Û οı ‚Úfi¯Ô ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ S 1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ¤Ó·˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ m Ô ÔÔ›Ô˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‚·ıÌfi˜, ‹ ·ÚÈıÌfi˜ ÂÚȤÏÈ͢, ÙÔ˘ ‚Úfi¯Ô˘. ∆Ô ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤Ó ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È Â›Û˘ ˆ˜ Ë Î·Ù¿ 1/2π ÊÔÚ¤˜ ·ÏÏ·Á‹ ÙÔ˘ ÔÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÙÔ˘ z, ηıÒ˜ ÙÔ z ÎÈÓÂ›Ù·È Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· Ù˘ f ÛÙÔÓ S 1 . ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ë f Â›Ó·È ÔÌ·Ï‹, Ô ·ÚÈıÌfi˜  ÂÚȤÏÈ͢ ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1/2π Im( f ) dzz . ∂¿Ó Ô g Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ‚Úfi¯Ô˜ ÙÔ˘ S 1 , ÙfiÙ ÔÈ f Î·È g ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ‚·ıÌfi ηÈ, Â¿Ó h = f g, ÙfiÙ ‚·ıÌfi˜(h) = ‚·ıÌfi˜( f ) + ‚·ıÌfi˜(g). ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, Ë ·ÂÈÎfiÓÈÛË S 1 → S 1 , fiÔ˘ z → z n , ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi n. 255

256

¶·Ú¿ÚÙËÌ· D. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ·fi ÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›·

∆Ô Û‡ÓÔÏÔ C − {0} Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi ÌÈ·˜ ‰·ÎÙ˘ÏȈً˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ Ë ÔÔ›· ÌÔÚ› ·ÎÔÏÔ‡ıˆ˜ Ó· ·Ú·ÌÔÚʈı› Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ӷ ·ÔÎÙËı› Ô ÌÔÓ·‰È·›Ô˜ ·ÎÏÔ˜ S 1 . ∂Ô̤ӈ˜, οı ‚Úfi¯Ô˜ ÙÔ˘ C − {0} Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈÎfi˜ ÂÓfi˜ ‚Úfi¯Ô˘ ÙÔ˘ S 1 ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ¤¯ÂÈ Î¿ÔÈÔÓ ‚·ıÌfi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ‚·ıÌfi, ‹ ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢, ÙÔ˘ ‚Úfi¯Ô˘ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ 0. °ÂÓÈÎÒ˜, Â¿Ó z 0 ∈ C − {0}, ÙfiÙÂ Ô ‚·ıÌfi˜, ‹ ·ÚÈıÌfi˜ ÂÚȤÏÈ͢, ÂÓfi˜ ‚Úfi¯Ô˘ f (t) Á‡Úˆ ·fi ÙÔ z 0 Â›Ó·È Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ ‚Úfi¯Ô˘ g(t) = f (t) − z 0 . ∆· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Û¯fiÏÈ· ÂÚ› Ù˘ ÔÌÔÙÔ›·˜ Î·È Ù˘ ÚÔÛıÂÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ‚·ıÌÒÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ˘˜ ‚Úfi¯Ô˘˜ ÛÙÔ C − {0}. ™ÙË ‰¤Î·ÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ £ÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ıÂÒÚËÌ·: £ÂÒÚËÌ· D.1 (£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Rouché). ŒÛÙˆ fiÙÈ ÔÈ f, g : [0, 1] → C Â›Ó·È ‰‡Ô ‚Úfi¯ÔÈ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ |g(t)| < | f (t)| ÁÈ· οı t. ∆fiÙ ÔÈ ‚Úfi¯ÔÈ f Î·È f + g ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ‚·ıÌfi. ∞fi‰ÂÈÍË. √È ˘Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙Ô˘Ó fiÙÈ ·ÌÊfiÙÂÚÔÈ ÔÈ ‚Úfi¯ÔÈ f Î·È f + g ·ÂÈÎÔÓ›˙ÔÓÙ·È Â› ÙÔ˘ C−{0}. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË H (t, u) = f (t)+ug(t). ∆fiÙÂ Ë H (t, u) Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌÔÙÔ›· ÙÔ˘ C ·fi ÙÔ H (t, 0) = f (t) ÛÙÔ H (t, 1) = f (t) + g(t). √È Û˘Óı‹Î˜ Â› ÙˆÓ f (t) Î·È g(t) ÂÁÁ˘ÒÓÙ·È ÂÈϤÔÓ fiÙÈ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ÂÈÏÔÁ‹ (t, u) Ì H (t, u) = 0. ∂Ô̤ӈ˜, Ë H (t, u) Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌÔÙÔ›· ÙÔ˘ C − {0}. ∫·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, ÔÈ f Î·È f + g Â›Ó·È ÔÌÔÙÔÈΤ˜ ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ‚·ıÌfi. ¢¤Î·ÙË ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ p(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n ¤Ó· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì an = 0. £ÂˆÚԇ̠ÁÈ· οı r ≥ 0 ÙËÓ ·ÂÈÎfiÓÈÛË pr : S 1 → C Ì pr (z) = p(r z). ∏ ·ÂÈÎfiÓÈÛË H (z, u) = p(zr u) Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌÔÙÔ›· ÙÔ˘ C ·fi ÙÔ pr ÛÙÔ p0 ÁÈ· οı r . ∂¿Ó ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ p(z) ‰ÂÓ Â›¯Â ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÙfiÙ ı· ‹Ù·Ó Î·È ÌÈ· ÔÌÔÙÔ›· ÙÔ˘ C − {0} ηÈ, ¤ÙÛÈ, Ù· pr Î·È p0 ı· ›¯·Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ‚·ıÌfi. ŸÌˆ˜ ÙÔ p0 Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î·È, ¿Ú·, ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 0. £· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ R Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÙÔ p R Ó· ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi n. ∞ÎÔÏÔ‡ıˆ˜, ı· ÚÔ·„ÂÈ fiÙÈ n = 0 ηÈ, Û˘ÓÂÒ˜, ÙÔ p(z) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi.  |ak | ŒÛÙˆ R > max(1, n−1 k=0 |an | ). ∆fiÙ ÁÈ· fiÏ· Ù· z Ì |z| = R ¤¯Ô˘ÌÂ: |

n−1  k=0

ak z k | ≤

n−1  k=0

|ak ||z|k ≤ (

n−1  k=0

|ak |)|z|n−1 < |an ||z|n .

¶·Ú¿ÚÙËÌ· D. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ·fi ÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›·

257

∞fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Rouché ¤ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ p R ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ‚·ıÌfi Ì ÂΛÓÔÓ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ z → an R n z n Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È Â› ÙÔ˘ S 1 . ∞˘Ù‹ Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi n. ∂Âȉ‹ fï˜ Ù· p R Î·È p0 ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ‚·ıÌfi, Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ n = 0. ø˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Â¿Ó ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ p(z) ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÙfiÙ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∏ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È ·ÚfiÌÔÈ· Ì ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ fiÙÈ ÂΛÓË ‰ÂÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Rouché. ∂Ó‰¤Î·ÙË ∞fi‰ÂÈÍË. ŒÛÙˆ fiÙÈ p(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n Â›Ó·È ¤Ó· ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì an = 0. Èڛ˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ an = 1. °È· οı r ≥ 0 ÔÚ›˙Ô˘ÌÂ: pr (t) =

| p(r )| p(r e2πit ) . p(r ) | p(r e2πit )|

(D.1)

∂¿Ó ÙÔ p(z) ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, ÙfiÙ ηı¤Ó· ·fi Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÛÙË Û¯¤ÛË (D.1) Â›Ó·È Î·ÏÒ˜ ÔÚÈṲ̂ÓÔ Î·È ¤¯ÂÈ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ 1. ∂Ô̤ӈ˜, pr (t) ∈ S 1 ÁÈ· οı r ≥ 0 Î·È Î¿ı t ∈ [0, 1]. ∆ÒÚ·, ÙÔ p0 (t) Â›Ó·È Ô ÛÙ·ıÂÚfi˜ ‚Úfi¯Ô˜ ÙÔ˘ S 1 . ∆Ô ÚÒÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ·Ú¤¯ÂÈ ¤Ó· ·Ú¯ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Â› ÙÔ˘ ‚Úfi¯Ô˘ pr (t), ÂÓÒ ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÚÔ‚¿ÏÏÂÈ ÙÔÓ ‚Úfi¯Ô p(r e2πit ) ÙÔ˘ C − {0} Â› ÙÔ˘ S 1 . ŒÛÙˆ fiÙÈ H (t, u) = pr u (t). ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ¯ÔÚËÁ› ÌÈ· ÔÌÔÙÔ›· ÙÔ˘ S 1 ·fi ÙÔ pr (t) ÛÙÔ p0 (t) ηÈ, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ·Ó, Ù· pr Î·È p0 ¤¯Ô˘Ó ‚·ıÌfi 0 ÁÈ· οı r . ∂Ó Û˘Ó¯›· ı· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈ· ÙÈÌ‹ R, Ô‡Ùˆ˜ ÒÛÙ ÙÔ p R (t) Ó· ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi n. ŒÛÙˆ fiÙÈ S = max(1, |a1 |, . . . , |an−1 |) Î·È fiÙÈ R = (n + 1)S. ŒÛÙˆ Â›Û˘ fiÙÈ f (t) = Re2πit Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ·ÎÙ›Ó·˜ R Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ 0 Î·È fiÙÈ q(z) = z n . ∆fiÙÂ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË q( f (t)) = R n e2π nit Â›Ó·È ¤Ó·˜ ‚Úfi¯Ô˜ Ì ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ n Â› ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. £· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ q( f (t)) ·fi ÙÔ p( f (t)) ÁÈ· οı t. Œ¯Ô˘ÌÂ: |q( f (t)) − p( f (t))| = | f (t)n − ( f (t)n + an−1 f (t)n−1 + · · · + a0 )| ≤ |an−1 f (t)n−1 | + · · · + |a0 | ≤ |an−1 || f (t)n−1 | + · · · + |a0 | ≤ |an−1 |R n−1 + · · · + |a0 | ≤

R n R R n−1 + · · · + ≤ Rn < Rn . n+1 n+1 n+1

258

¶·Ú¿ÚÙËÌ· D. ∂ÈÚfiÛıÂÙ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ·fi ÙËÓ ∆ÔÔÏÔÁ›·

∞fi ·˘Ùfi Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È fiÙÈ ÁÈ· οı t ÙÔ p( f (t)) ÎÂ›Ù·È Â› ÂÓfi˜ ‰›ÛÎÔ˘ ·ÎÙ›Ó·˜ R n Î·È Î¤ÓÙÚÔ˘ q( f (t))Ø Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ˘¿Ú¯ÂÈ ÙfiÙ οÔÈÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ·fi ÙÔ p( f (t)) ÛÙÔ q( f (t)) ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È Î·Ù' Ô˘Û›·Ó ÁÈ· Â·Ó·‰È·Ù‡ˆÛË Ù˘ ȉÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ Û˘ÓÔ‰ÔÈfiÚÔ˘, ÙËÓ ÔÔ›· ·Ó·Ê¤Ú·Ì ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 8 Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÔÔ›· Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË K (t, u) = uq( f (t)) + (1 − u) p( f (t)) ‰ÂÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ÔÙ¤ ÁÈ· u ∈ [0, 1], t ∈ [0, 1]. ŒÛÙˆ fiÙÈ: H (t, u) =

|K (0, u)| K (t, u) . K (0, u) |K (t, u)|

∫·ÙfiÈÓ ÂÓfi˜ ¿ÌÂÛÔ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ H (t, 0) = p R (t), fiÙÈ Ô H (t, 1) Â›Ó·È Ô ‚Úfi¯Ô˜ r (t) = e2πint Ì ·ÚÈıÌfi ÂÚȤÏÈ͢ n Î·È fiÙÈ H (0, u) = 1 ÁÈ· οı u. ∂Ô̤ӈ˜, Ë H (t, u) Â›Ó·È ÌÈ· ÔÌÔÙÔ›· ÙÔ˘ S 1 ·fi ÙÔ H (t, 0) = p R (t) ÛÙÔ H (t, 1) = r (t). ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ p R (t) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi n. ∂Âȉ‹ fï˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Â›Ó·È ‚·ıÌÔ‡ 0, ¤ÂÙ·È fiÙÈ n = 0 ηÈ, ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, fiÙÈ ÙÔ p(z) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi.

µÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· Î·È ∞Ó·ÊÔÚ¤˜ 1

∞Ó·ÊÔÚ¤˜

[A] [Ar]

L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw – Hill, 1966. M.A. Armstrong, Basic Topology, UTM, Springer – Verlag, 1983. (∂›ÎÂÈÙ·È Ë ¤Î‰ÔÛ‹ ÙÔ˘ ÛÙ· ÂÏÏËÓÈο ÛÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ «¶ª∫» ·fi ÙÔÓ ÂΉÔÙÈÎfi Ô›ÎÔ Leader Books.) [G] N. Gupta, On groups in which every element has finite order, American Mathematical Monthly Vol. 96, No 4, (1989), pp. 297–308. [H-Y] J.G. Hocking and G.S. Young, Topology, Addison – Wesley, 1961. (À¿Ú¯ÂÈ Î·È ÌÈ· ÚfiÛÊ·ÙË ·Ó·Ù‡ˆÛ‹ ÙÔ˘ ÙÔ 1988 Ì οÔȘ ‰ÈÔÚıÒÛÂȘ, ·fi ÙÔÓ ÂΉÔÙÈÎfi Ô›ÎÔ Dover Publ., Inc, New York.) [M] W.S. Massey, Algebraic Topology: an Introduction, Harcourt, Brace and World, 1967. (À¿Ú¯ÂÈ Î·È ·Ó·Ù‡ˆÛ‹ ÙÔ˘ ·fi ÙÔÓ ÂΉÔÙÈÎfi Ô›ÎÔ Springer – Verlag ÛÙ· GTM Vol. 56 ÙÔ ¤ÙÔ˜ 1977.) [Re] R. Remmert, Fundamentalsatz der Algebra. In the Volume: Zahlen, edited by H.D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert, Springer – Verlag, 1983, sec. ed., 1988, pp. 79–99. [Ro] J. Rotman, Theory of Groups, W.C. Brown – 3rd Edition, 1988. [U] J.V. Uspensky, Theory of Equations, McGraw – Hill, 1948.

259

260

2 ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ªÂϤÙË ªÈÁ·‰È΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw – Hill, 1966. E.A. Grove and G. Ladas, Introduction to Complex Variables, Houghton-Mifflin, 1974. R. Remmert, Funktionentheorie 1 Î·È 2, Springer – Verla (1984, 1991).

∞ÊËÚË̤ÓË ÕÏÁ‚ڷ Î·È £ÂˆÚ›· Galois M. Artin, Algebra, Prentice – Hall, 1991. H. Edwards, Galois Theory, Springer – Verlag, 1984. J.B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison – Wesley, 5th Edition, 1993. (À¿Ú¯ÂÈ Î·È ÛÙ· ÂÏÏËÓÈο ·fi ÙȘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌȷΤ˜ ∂ΉfiÛÂȘ ∫Ú‹Ù˘ Û ÌÂÙ¿ÊÚ·ÛË ∞. °È·ÓÓfiÔ˘ÏÔ˘ Î·È ÂÈ̤ÏÂÈ· ¡. ª·ÚÌ·Ú›‰Ë.) S. Lang, Algebra, Addison – Wesley, 1984. P.J. McCarthy, Algebraic Extensions of Fields, Dover, 1976. J.Rotman, Galois Theory, Springer – Verlag, 2nd Edition, 1998. (À¿Ú¯ÂÈ Î·È ÛÙ· ÂÏÏËÓÈο ÛÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ «¶ª∫» ·fi ÙÔÓ ÂΉÔÙÈÎfi Ô›ÎÔ Leader Books Û ÌÂÙ¿ÊÚ·ÛË Î·È ÂÈ̤ÏÂÈ· ¡. ª·ÚÌ·Ú›‰Ë.) B.L. Van Der Waerden, Modern Algebra, Ungar Publishing, New York third printing, 1964.

°ÂÓÈ΋ Î·È ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›· J.G. Hocking and G.S. Young, Topology, Addison – Wesley, 1961. J.L. Kelley, General Topology, Van Norstrand, 1955. K.H. Mayer, Algebraische Topologie, Birkhäuser, 1989. J.R. Munkres, Topology: A First Course, Prentice – Hall, 1975. R. Stöcker and H. Zieschang, Algebraische Topologie, B.G. Teubner, 1988.

√È ∞Ú¯ÈΤ˜ ∞ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘ Gauss C.F. Gauss, First Proof, doctoral thesis Helmstadt - (Werke, 3, 1-30), 1799. C.F. Gauss, Second Proof, Comm. Soc. Goett. 3, 1814/15, 107-142.

2.

¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ∂ÈϤÔÓ ªÂϤÙË

C.F. Gauss, Third Proof, Comm. Soc. Goett. 3 - (Werke, 3), 1816, 59-64. C.F. Gauss, Fourth Proof, Abhand. der Ges. der Wiss. zu GÔett. 4, 1848/50, 3-34.

261

E˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ ‚·ıÌfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘, 27 ‚Úfi¯Ô˜, 205

·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·, 8, 111, 195–202 ·‚ÂÏÈ·ÓÔÔ›ËÛË, 202 ·Î¤Ú·È· ÂÚÈÔ¯‹, 29 ·ÎÚÈ‚‹˜ ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹, 71 ¿ÏÁ‚ڷ Ì ‰È·›ÚÂÛË, 167 ¿ÏÁ‚ڷ ÙÂÙÚ·Ó›ˆÓ, 167 ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË, 96 ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¤ÁÎÏÂÈÛÌ·, 103, 109 ·ÏÁ‚ÚÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜, 122 ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi, 109 ·ÏÁ‚ÚÈÎÒ˜ ÎÏÂÈÛÙfi ÛÒÌ·, 95 ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˜ ‰È·›ÚÂÛ˘, 31 ·Ó¿ÁˆÁÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, 31 ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, 52–93 ·ÓÔÈÎÙ‹ ‚¿ÛË, 187 ·ÓÔÈÎÙ‹ ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹, 182 ·ÓÔÈÎÙfi Û‡ÓÔÏÔ, 182, 184 ·ÓÙÈÛÙÚ¤„ÈÌÔ ÛÙÔȯ›Ô, 29 ·Ï‹ Â¤ÎÙ·ÛË, 99 ·Ï‹ ÎÏÂÈÛÙ‹ ηÌ‡ÏË, 72 ·Ï‹ ÔÌ¿‰·, 139 ·Ï¿ Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 207 ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹, 14 ·ÚÈıÌfi˜ ÂÚȤÏÈ͢, 172 ·ÚÌÔÓÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, 57–59 ·Ú¯‹ ÌÂÁ›ÛÙÔ˘, 91 ·Ú¯ÈÌ‹‰ÂÈ· ȉÈfiÙËÙ·, 12

ÁÂÈÙÔÓÈ¿, 48 ÁÂÓÓ‹ÙÔÚ˜ ÔÌ¿‰·˜, 113 ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜, 161–166 ÁÚ·ÌÌÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, 27 ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜, 8 ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ì ‰È·›ÚÂÛË, 166 ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ËϛΈÓ, 106 ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, 27 ‰Â˘ÙÂÚ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ˜ ¯ÒÚÔ˜, 187 ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 10 ‰È¿Û·ÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘, 108 ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ÛÒÌ·, 11 ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹, 71 ‰È·¯ˆÚ›ÛÈÌË Â¤ÎÙ·ÛË, 144 ‰È·¯ˆÚÈÛÈÌfiÙËÙ·, 186 ‰ÈÏfi ÔÏÔÎϋڈ̷, 67 ‰ÚfiÌÔ˜, 205 ÂÈÎfiÓ· ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌÔ‡, 141 ÂÏ·¯ÈÛÙÔÙÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, 121 ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ¿Óˆ ÊÚ¿ÁÌ·, 12 ÂχıÂÚË ·‚ÂÏÈ·Ó‹ ÔÌ¿‰·, 197 ÂχıÂÚË ÔÌ¿‰·, 210 ÂӉȿÌÂÛÔ ÛÒÌ·, 96 Â͛ۈÛË Laplace, 57 ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ Galois, 143–152

‚·ıÌfi˜ Â¤ÎÙ·Û˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, 10 263

264 ÂÈÎ·Ï˘ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 211 ÂÈηÌ‡ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷, 67–79 ÂÈχÛÈÌË ÔÌ¿‰·, 159 ÂÈχÛÈÌÔ Ì¤Ûˆ ÚÈ˙ÈÎÒÓ, 160 ÂÈÛ‡Ó·„Ë ı¤ÛÂˆÓ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡, 104–108 ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ, 179 ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ¯ÒÚÔ˜, 179–181 ¢ı‡ ÁÈÓfiÌÂÓÔ, 195 ¢ÎÏ›‰ÂÈÔ˜ ¯ÒÚÔ˜, 178 ıÂÌÂÏÈ҉˘ ÔÌ¿‰·, 206–212 ı¤ÛÂȘ ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, 30, 35–37 £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ÕÏÁ‚ڷ˜, 1 ·ԉ›ÍÂȘ ÙÔ˘, 40–41, 90, 117–120, 157–158, 173–174, 226–229, 231–236, 248–249, 251, 254–256 £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· ∞ÚÈıÌËÙÈ΋˜, 30 £ÂˆÚ›·˜ Galois, 152 £ÂÒÚËÌ· ∞ÎÚfiÙ·ÙˆÓ ∆ÈÌÒÓ, 40 £ÂÒÚËÌ· ∞Ó·ÏÏÔÈÒÙÔ˘, 220 £ÂÒÚËÌ· DeMoivre, 21–23 £ÂÒÚËÌ· ∂ӉȿÌÂÛ˘ ∆ÈÌ‹˜, 13 £ÂÒÚËÌ· Frobenius, 167 £ÂÒÚËÌ· Green, 73 £ÂÒÚËÌ· πÛÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ, 141 £ÂÒÚËÌ· ∫·Ì˘ÏÒÓ Jordan, 73 £ÂÒÚËÌ· Kronecker, 104 £ÂÒÚËÌ· Lagrange, 138 £ÂÒÚËÌ· Liouville, 89–90 £ÂÒÚËÌ· ªÂÁ›ÛÙÔ˘ ª¤ÙÚÔ˘, 91 £ÂÒÚËÌ· Morera, 91 £ÂÒÚËÌ· ¶ÚˆÙ·Ú¯ÈÎÔ‡ ™ÙÔÈ¯Â›Ô˘, 146

£ÂÒÚËÌ· Rouché, 254 £ÂÒÚËÌ· Sylow, 142 £ÂÒÚËÌ· ™˘ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ¶ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, 115 £ÂˆÚ›· Galois, 133–171 £ÂˆÚ›· √ÌÔÏÔÁ›·˜, 194, 212–229 £ÂˆÚ›· √ÌÔÙÔ›·˜, 194 ȉÂ҉˜, 105 ȉÈfiÙËÙ· ÂÁÎÈ‚ˆÙÈÛÌ¤ÓˆÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ, 12 Û˘ÓÙ·ÍȉÈÒÙË, 172 ÈÛÔÁÒÓÈ· ·ÂÈÎfiÓÈÛË, 60 ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ‰·ÎÙ˘Ï›ˆÓ, 13 ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÔÌ¿‰ˆÓ, 136 ÈÛÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ۈ̿وÓ, 136 ηıÔÏÈÎfi˜ ÂÈÎ·Ï˘ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 211 Î¿Ï˘ÌÌ·, 188 ηÌ‡ÏË, 59 ÔÌ·Ï‹, 59 Û˘Ó¯Ҙ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, 59 ηٿ ÙÌ‹Ì·Ù·, 238 ηٷÛ΢¿ÛÈÌÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, 162–166 ÎÏÂÈÛÙfi Û‡ÓÔÏÔ, 184 ΢ÎÏÈ΋ ÔÌ¿‰·, 23, 196 ·ÚÈÔ È‰Â҉˜, 105 Ï‹ÌÌ· ·‡ÍËÛ˘, 248 Ì·ÁÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Euler, 21 ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË, 62 ÌÂÁÈÛÙÔÙÈÎfi ȉÂ҉˜, 107 ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ÔÌ¿‰·, 111 ÌÂÙ·ıÂÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜, 8 ÌÂÙ·ı¤ÙÚÈ· ˘ÔÔÌ¿‰·, 201 ÌÂٿٷÍË, 111–114 ÌÂÙÚÈÎÔÔÈ‹ÛÈÌÔ˜ ¯ÒÚÔ˜, 187

265 ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 178 ̤ÙÚÔ, 14 ÌˉÂÓԉȷÈÚ¤Ù˘, 28 ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜, 47–93 ÌÈÁ·‰È΋ ·Ó¿Ï˘ÛË, 47–93 ÌÈÁ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, 47 ÌÈÁ·‰ÈÎfi Â›‰Ô, 16 ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏÔÎϋڈ̷, 78 ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, 1, 37–40 ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, 14–25 ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ Û˘˙˘Á‹˜, 14 ÌÔÓÔÏÂÎÙÈ΋ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË, 216 ÌÔÓÔÏÂÎÙÈÎfi Û‡ÌÏÂÁÌ·, 215–216 ÌÔÓfiÏÔÎÔ, 212–213 ÓfiÌÔ˜ ÙÚȯÔÙÔÌ›·˜, 11 ÔÏÈÎÒ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÛÒÌ·, 167 ÔÏfiÌÔÚÊË Û˘Ó¿ÚÙËÛË, 52 ÔÌ¿‰·, 110 ÔÌ¿‰· ·Ï˘Û›‰ˆÓ, 219 ÔÌ¿‰· ·˘ÙÔÌÔÚÊÈÛÌÒÓ, 137 ÔÌ¿‰· Galois, 147–152 ÔÌ¿‰· Galois ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘, 150 ÔÌ¿‰· ΢ÎÏËÌ¿ÙˆÓ, 219–224 ÔÌ¿‰· ÔÌÔÏÔÁ›·˜, 219–224 ÔÌ¿‰· ËϛΈÓ, 141 ÔÌ¿‰· ÛÙÚ¤„˘, 198 ÔÌ¿‰· Û˘ÓfiÚˆÓ, 219 ÔÌÔÈÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜, 185 ÔÌfiÏÔÁ· ΢ÎÏ‹Ì·Ù·, 219 ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ‰·ÎÙ˘Ï›ˆÓ, 13 ÔÌÔÌÔÚÊÈÛÌfi˜ ÔÌ¿‰ˆÓ, 135 ÔÌÔÙÔÈΤ˜ Û˘Ó¯›˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ, 194 ÔÌÔÙÔÈ΋, 203 ÔÌÔÙÔÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜, 194, 204

ÔÌÔÙÔÈÎÒ˜ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔÈ, 194, 204 ÔÚıfiıÂÙË Â¤ÎÙ·ÛË, 143 fiÚÈÛÌ·, 19 ·Ú·ÁÔÓÙÈÎfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜, 106 ÂÂÚ·Ṳ̂ÓË ÔÌ¿‰·, 111 ÂÚÈÔ¯‹ ÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘, 31 ¶ª¶, 31 ÔÏÈ΋ ÌÔÚÊ‹, 19 ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, 27 Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi, 114–120, 127–130 ÛÙÔȯÂÈ҉˜, 115 Ú·ÁÌ·ÙÈο ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, 37–40 Úfi‚ÏËÌ· Ù·ÍÈÓfiÌËÛ˘, 186 ÚˆÙ·Ú¯È΋ Ú›˙· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜, 23 ÚˆÙ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, 239 ÚˆÙfiÁÔÓÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, 121 ˘Ú‹Ó·˜, 141 Ú›˙˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜, 23 ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, 27 ÛÙ·ıÌÈṲ̂ÓÔ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 179 ÛÙÂÚÂÔÁÚ·ÊÈ΋ ÚÔ‚ÔÏ‹, 227 ÛÙÚ‚Ïfi ÛÒÌ·, 166 Û˘˙˘Á¤˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘, 38 Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÔÌ¿‰·, 111–112 Û‡ÌÌÔÚÊË ·ÂÈÎfiÓÈÛË, 59–63 Û˘Ì·Á‹˜ ÂÚÈÔ¯‹, 48 Û˘Ì·Á‹˜ ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 188 Û˘ÓÂÎÙÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹, 48 Û˘ÓÂÎÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 189 Û˘Ó¯‹˜, 50 Û˘ÓÔÏÔıˆÚËÙÈ΋ ÙÔÔÏÔÁ›·, 176–191 Û‡ÓÔÚÔ, 214 Û˘ÛÙ·ÏÙfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 205

266 ÛÊ·›Ú· Riemann, 227 Û¯¤ÛÂȘ ÔÌ¿‰·˜, 113 ÛÒÌ·, 7 ÛÒÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜, 96 ÛÒÌ· ‰È¿Û·Û˘, 108–110 ÛÒÌ· Â¤ÎÙ·Û˘, 9 Ù¿ÍË ÔÌ¿‰·˜, 111 Ù·˘ÙfiÙËÙ· ÙÔ˘ Euler, 21 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, 27 ÙÔÔÏÔÁ›· Â› Û˘ÓfiÏÔ˘, 184 ÙÔÔÏÔÁÈ΋ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙÔ˜, 194 ÙÔÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 184 ‰ÚÔÌÔÛ˘ÓÂÎÙÈÎfi˜, 207 ÙÚÈÁˆÓÔÔ›ËÛË, 216 T1 – ¯ÒÚÔ˜, 187 T2 – ¯ÒÚÔ˜, 187 T3 – ¯ÒÚÔ˜, 187 ∆ÔÔÏÔÁ›·, 171–230 ˘ÂÚ‚·ÙÈ΋ Â¤ÎÙ·ÛË, 96 ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi ÛÙÔȯ›Ô, 11 ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· e Î·È π, 120–127 ˘ÔÎ¿Ï˘ÌÌ·, 188 ˘ÔÔÌ¿‰·, 111 Sylow, 142 ÔÚıfiıÂÙË, 139 Û˘˙˘Á‹˜, 139 ˘fiۈ̷, 9 Ê·ÓÙ·ÛÙÈ΋ ÌÔÓ¿‰·, 14 Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜, 187 ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ÛÒÌ·ÙÔ˜, 144 ¯ˆÚ›Ô, 49 ·ÛÙÚfiÌÔÚÊÔ, 239 ¯ÒÚÔ˜ Hausdorff, 187

Abel, 133, 159 Betti ·ÚÈıÌfi˜, 199 Brouwer ‚·ıÌfi˜, 225 ıÂÒÚËÌ· ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛËÌ›Ԣ, 226 Burnside Úfi‚ÏËÌ·, 199 Cardano, 4, 159 Cauchy, 54, 80, 237 ÂÎÙ›ÌËÛË, 88 ȉÈfiÙËÙ· ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜, 12 ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎfi˜ Ù‡Ô˜, 84–89 Cauchy ıÂÒÚËÌ·, 82–89 Cauchy – Goursat ıÂÒÚËÌ·, 82–89 Cauchy – Riemann ÂÍÈÛÒÛÂȘ, 53–59 Cauchy – Schwarz ·ÓÈÛfiÙËÙ·, 180 D'Alembert, 4 Galois , 133 Gauss, 3 Girard, 4 Goursat, 82 Lagrange, 138 Lindemann, 161 Riemann, 54 Ruffini, 5 Sylow, 142 Wantzel, 161