Строение и свойства вещества

Г.А. Розман

Строение и свойства вещества (учебное пособие)

Издание 2-е, переработанное

Псков, 2001 г.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ББК 22.37 P-649 Работа издана в авторской редакции

Выход в свет данного учебного пособия стал возможен при благотворительной помощи Генерального директора ООО “ПО N-P-N”, депутата Псковского областного собрания депутатов Игоря Николаевича Савицкого. Автор выражает ему глубокую признательность.

Розман Г.А. Р-649 Строение и свойства вещества (учебное пособие), Изд. 2-е, переработанное. Псков, изд-во ПГПИ, 2001. - 292 с., рис. 131, табл 12. В книге изложены основы физики кристаллических твердых тел, рассматривается их строение и объясняется широкий круг вопросов как классической, так и современной физики, включая открытия, сделанные в последние 10-15 лет. Учебное пособие предназначено студентам, учителям и школьникам, а также всем, кто интересуется современным состоянием физической науки. P 649

ISBN 5-87854-130-0

© Г.А. Розман

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Памяти профессора Сергея Валентиновича Измайлова посвящяется

Предисловие Всё многообразие физических свойств материальных тел может объяснить лишь теория, учитывающая их микроскопическое строение, расположение и характер взаимодействия структурных частиц, составляющих эти тела. В данном пособии рассматривается строение и свойства твердых кристаллических тел. Устанавливается сложность строения атомов, строение и дефектность кристаллической решетки, вводятся элементы зонной теории твердого тела. На основе этих положений объясняются механические, тепловые, электрические, поляризационные, магнитные и оптические явления, происходящие в твердых телах. Первое издание книги «Строение и свойства твёрдых тел» вышло в 1975 году. За прошедшие годы физика твердого тела открыла много нового в свойствах твердых тел. Достаточно упомянуть о квантовом эффекте Холла, или о высокотемпературной сверхпроводимости, или об обнаружении новой модификации углерода-фуллеренов, или об активном изучении нанокристаллов и др., чтобы понять, что требуется новое, переработанное, дополненное издание учебного пособия. Текст, набранный мелким шрифтом, при первом чтении может быть опущен. Часть математических вычислений вынесена в Приложения, они будут полезны тем, кто интересуется строгим математическим обоснованием важных физических результатов. Материал данного учебного пособия может быть использован не только студентами, но и учителями и школьниками как при изучении программного материала школьного курса физики, так и при проведении факультатива по физике твердого тела. Автор признателен студентам- физикам ПГПИ выпуска 2000 года Ю. Иванову и В. Митьковскому, проделавшим огромную работу по составлению первой компьютерной версии книги. Неоценима помощь технического редактора А.А. Кирсанова и Г.Г. Сазанова, сделавших окончательную доработку издания. г. Псков

Профессор, д. ф. – м. н. Г.А. Розман. 3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Глава 1 Строение атома § 1. Сложность строения атома и его первые модели Огромное количество физических явлений сумела объяснить классическая физика XIX века, опираясь на две фундаментальные идеи: гипотезу об эфире и гипотезу об атомно-молекулярном строении вещества. Диалектическое преодоление трудностей, возникших перед этими гипотезами, привело физику в начале XX века к созданию теории относительности и квантовой теории. Рассмотрим наиболее важные этапы утверждения квантовой теории, применим ее к объяснению явлений, происходящих в твердых телах. Еще в древнем мире атомисты (Демокрит, Эпикур и их последователи) выдвигали гипотезу о структурном строении вещества. Мельчайшей неделимой частицей вещества считался атом. Такое представление об атоме сохранилось до конца XIX века, но изучение ряда физических явлений привело к необходимости пересмотреть это положение. Первым явлением, которое вызвало сомнения в неделимости атома, было явление электролиза. В речи, посвященной памяти М. Фарадея (1881 г.), Г. Гельмгольц утверждал, что из фарадеевских законов электролиза следует существование элементарного электрического заряда. Подобную же идею выдвигал один из создателей электродинамики В. Вебер. Используя законы электролиза, Дж. Стоней и Рихард в 1891 году определили величину элементарного электрического заряда 1,3 · 10-10 ед. CGSE (современное значение этой величины равно 4,8·10-10 ед. CGSE=1,6 ·10-19 кулон). Ирландский физик Дж. Стоней предложил назвать элементарный электрический заряд электроном. В 1869 году при изучении прохождения тока через газы были обнаружены так называемые катодные лучи, изучение которых явилось 4

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

вторым моментом, требовавшим пересмотра представлений о строении атома. Наблюдение поведения катодных лучей в электрических и магнитных полях позволило обнаружить, что они имеют отрицательный электрический заряд. Третьим явлением, указавшим на сложность строения атома, был фотоэффект, открытый в 1887 году Г. Герцем. Основные законы этого явления были установлены в 1888 году А.Столетовым. В 1895 году К.Рентген обнаружил в катодной трубке новое излучение-X-лучи, которые впоследствии получили название рентгеновских лучей. Рентгеновское излучениечетвертое явление, указавшее на сложность строения атома. В эти годы, несмотря на то, что сложность атома была еще не доказана и электрон экспериментально с полной достоверностью еще не изучен, происходит теоретическая разработка учения об электрических зарядах с использованием образа «электрон». В 1895-97 годах создается так называемая электронная теория, автором которой, в основном, был Г. Лоренц. Эта теория , используя понятие «электрон», не смогла, однако, объяснить его физическое существование. Лоренц предлагал различные модели электрона: диэлектрический шарик, равномерно заряженный по объему; шарик, подобный металлическому шару, на котором заряды располагаются по поверхности. К сожалению, природа электрона не установлена до сих пор. В1896 году А. Беккерель, а затем Мария и Пьер Кюри обнаружили, что некоторые вещества самопроизвольно (спонтанно) излучают новые, неизвестные до того времени, лучи, которые в электрическом или магнитном полях разделялись на три вида: α,β,γ - лучи. Явление стали называть радиоактивностью. Впоследствии установили, что α лучи - это поток ядер элемента гелия, β- лучи- поток электронов, а γлучи- электромагнитные волны большой частоты. Одни радиоактивные вещества излучали только α- лучи, другие – только β- частицы, γлучи могли сопровождать оба эти типа радиоактивного распада. Радиоактивность явилась пятым и, пожалуй, наиболее важным явлением, говорящим о сложном строении атома. В 1901 году на основании статистических расчетов Ф. Содди и Э. Резерфорд дали математическую теорию радиоактивного распада. Они исходили при этом из сложности строения атома. В 1902 году предлагается первая модель строения атома. Модель была предложена У. Кельвином (Томсон). Атом рассматривался в виде шара, равномерно заряженного положительным элекричеством. Внутри него статически располагались отрицательно заряженные частицы - электроны. Их реальное существование уже было подтверждено в 1897 г. Дж. Томсоном, 5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

который измерил отношение величины заряда электрона e к его массе m, так e . В 1902-1903 годах Дж. Томсон усовершенm ствовал модель У. Кельвина. Его расчеты показали, что наиболее благоприятное положение электронов в положительно заряженном облаке будет тогда, когда электроны будут двигаться по оболочкам. В течение 9 лет модель Кельвина - Томсона была единственной. С помощью этой модели удалось объяснить явление дисперсии, поляризацию атомов, электропроводность металлов и др. Однако эта модель не могла объяснить чрезвычайную устойчивость атома. Атом существует в свободном состоянии неограниченное время. Вместе с тем, в электродинамике (в науке о движении и взаимодействии электрических зарядов) была доказана теорема С. Ирншоу о неустойчивости статической системы электрических зарядов: если система зарядов при определённом их положении будет находиться в равновесии, то ничтожно малое смещение хотя бы одного заряда тотчас же нарушит устойчивость всей системы. Поэтому модель Кельвина – Томсона динамически была неустойчивой, реально не могла существовать. называемый удельный заряд

§ 2. Опыт Резерфорда В 1911 году Э. Резерфорд ставит опыт, целью которого было выяснить реальное расположение зарядов внутри атома. На тонкую металлическую пластинку направлялся пучок α - частиц от радиоактивного препарата (рис.1). Характер рассеяния существенно зависел от строения атомов металлической пластинки. Рассеянные α- частицы регистрировались по сцинтилляциям (свечению), которые они вызывали в веществе, покрывавшем экран. В другом варианте установРис.1. 6

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ки Резерфорда была использована камера Вильсона. В этой камере можно было сфотографировать треки рассеянных частиц, так как они, пролетая через переохлаждённые пары, заполнявшие камеру, ионизировали воздух и тем самым создавали центры конденсации. Возникшие на этих центрах капельки жидкости хорошо рассеивали свет и позволяли фиксировать траекторию частиц. Если исходить из модели атома Томсона – Кельвина, то рассеяние α- частиц должно быть изотропным, равномерным по всем направлениям. При некоторой, очень малой толщине металлической фольги, α- частицы вообще не могут пройти сквозь неё, т.к. положительно заряженные облака атомов составят сплошную стену для одноимённо заряженных α - частиц. Опыт Э. Резерфорда дал совершенно противоположный результат: α- частицы проникали через фольгу и рассеяние было анизотропным, преимущественно по направлению первоначального полёта. Отдельные частицы при этом отражались в обратном направлении. Исходя из гипотезы о том, что положительный заряд в атоме занимает не всё его пространство, а только центральную, очень малую часть и α - частица может пролететь сквозь фольгу, ни разу не испытав прямого столкновения с частями атома, а взаимодействуя с ними только благодаря электрическим зарядам, Э. Резерфорд установил следующее соотношение между углом рассеяния Θ и характеристиками α - частицы, её массой m , скоростью V, зарядом атома рассеивающего вещества Ze и прицельным расстоянием р, смысл которого ясен из рис.2: θ MV 2 = p, (1.2.1 ) 2 2 Ze 2 Из формулы (1.2.1) в полном соответствии с эксперементом следовало, что рассеяние α- частиц должно быть анизотропным, и чем больше прицельное расстояние, тем меньше угол рассеяния θ . Предыдущую формулу нельзя было проверить экспериментально, т.к. невозможно было определить прицельное расстояние p. Поэтому, считая что столкновение α - частиц с атомами фольги носят случайный, вероятностный характер, Резерфорд преобразует формулу, избавляясь от неизвестной величины p. В результате преобразований получилось следующее выражение (см. Прил.1): Ctg

 Ze 2 ∆N = nN  2  MV

2

  sin − 4 θ ∗ ∆Ω ,  2 

( 1.2.2 )

7

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рис. 2. где ∆Ω − элемент телесного угла, n – плотность центров рассеяния, ∆Ν и N – число α - частиц, рассеянных в угловом интервале ∆θ под углом θ, и излученных радиоактивным источником. В этой формуле все величины экспериментально определимы. Особенно просто можно было проверить соотношение, получающееся из выражения ( 1.2.2):

 θ ∆N  sin  = Const . 2  4

( 1.2.3 )

Опыт ( см. Табл. 1) подтвердил теоретические расчеты Э. Резерфорда,подтвердил его гипотезу о том , что положительный заряд занимает малую центральную часть атомного объема. Ученик Э.Резерфорда Дж. Чадвик использовал формулу (1.2.2) для определения заряда ядра атома. Он установил, что заряд ядра атома совпадает с порядковым номером элемента в таблице Д.Менделеева(1911-1912 Табл. 1 г.г.). На основании своих опытов Э.Резерфорд выдвигает «планетарную» модель

8

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

атома(1911г.): атом состоит из положительно заряженного ядра и электронной оболочки. Используя обе формулы, Э.Резерфорд смог определить наименьшее прицельное расстояние p, тем самым оценить размеры ядра ( 10 −12 см. ).

§ 3. Недостатки модели атома Резерфорда В первую очередь следует остановиться на названии модели. Название «планетарная» не соответствует физическому содержанию модели. Оно возникло из сопоставления атома с солнечной системой и отражает лишь их внешнее сходство. Все тела солнечной системы притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу. Электроны же атома притягиваются лишь к центру – ядру и отталкиваются друг от друга. Атом - чрезвычайно устойчивое образование. И если один или несколько электронов сместить из их положений, то рано или поздно они возвратятся на свои места. Если же хотя бы одну планету сместить с её траектории, то нарушится равновесие всей солнечной системы и самопроизвольно она не возвратиться в первоначальное состояние. Поэтому модель атома Резерфорда правильнее называть не «планетарной», а ядерной моделью атома, подчёркивая этим самую суть идеи Э. Резерфорда. Модель Э. Резерфорда – это значительный шаг вперёд по сравнению с моделью Кельвина - Томсона. Однако, она обладала тем же главным недостатком, что и первая модель: с точки зрения классической электродинамики такой атом должен быть энергетически неустойчивым. Действительно, по законам электродинамики всякий ускоренно движущийся заряд излучает энергию. Чтобы не упасть на ядро, электроны в модели Резерфорда должны двигаться вокруг ядра. Но теряя энергию на излучение, электроны будут приближаться к ядру, пока не «сядут» на его поверхность. Атом перестанет существовать, исчезнет его структура, обнаруженная в опытах Э. Резерфорда. Но в действительности атомы чрезвычайно устойчивые образования. Чтобы сохранить модель Резерфорда, объективно отображающую строение атома, Н. Бор в 1913 г. выдвигает два постулата, которые, однако, по своему духу не совместимы с положениями классической физики. 9

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 4. Постулаты Бора. Объяснение образования спектров Всякий раз, когда наука сталкивается с непреодолимыми трудностями, рождаются смелые, на первый взгляд «безумные» идеи, разрешающие тупик. Физика конца XIX в. и начала XX в. полна такими идеями. Одной из них была идея Н.Бора, объяснившая устойчивость атомов. Эта идея была выражена в двух утверждениях – постулатах Бора. Постулат 1. Электроны в атоме движутся по определённым стационарным орбитам. Находясь на этих стационарных орбитах электроны не излучают энергию. Этот постулат был принципиально новым положением в физике. Постулат 2. При переходе с одной стационарной орбиты на другую электрон поглощает или излучает энергию порциями – квантами: E n1 − E n2 = hν , где n1 и n2 – номера стационарных орбит, ν - частота света, h=6,62·10-34 Дж·с — постоянная Планка, которая является одной из универсальных постоянных в физике. Идея о квантах была высказана ещё в 1900 г. М. Планком для объяснения закономерностей излучения абсолютно чёрного тела, а затем использовалась А. Эйнштейном в 1905 г. для объяснения явления фотоэффекта. Однако, оба великих предшественника Н. Бора видели поначалу в идее квантования лишь удобный приём, разрешающий трудности классической физики. Первоначально он высказал ещё и третье положение: не только энергия, но и момент количества движения электрона должен изменяться порциями согласно равенству h = nh , (1.4.1) 2π где n=0,1,2 . . . называется главным квантовым числом, r – радиус электронной орбиты, V- скорость электрона. Но обычно говорят о двух постулатах Бора. Постулаты Бора, объясняя устойчивость атома, позволили объяснить также большую группу оптических явлений: поглощение, испускание света, характеристический рентгеновский спектр и др. Некоторые недостатки теории Н. Бора были устранены А. Зоммерфельдом, установившим, что возможны не только круговые, но и эллиптические орбиты электронов, в одном из фокусов которых нахо10 mVr = n

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

дится ядро. А. Зоммерфельд помимо главного квантового числа ввёл дополнительные квантовые числа. Теория атома Бора – Зоммерфельда, использованная для объяснения оптических спектров, давала лучшее соответствие с экспериментальными данными, чем первоначальная теория Н. Бора. Опытным путём В. Ритц и др. установили формулы для спектральных линий водорода и водородоподобных атомов и ионов. Частота спектральных линий водорода определялась по формуле:  1 1  ν = R  2 − 2  ,  n1 n 2 

(1.4.2)

где n1 = 1,2,3....., n2 = n1 + i, i = 1,2,3....., R- так называемая постоянная Ридберга, а величина

R n2

называется термом.

Если n1 = 1, а n2 = 2,3..... , то получается целая серия линий (серия Лаймана). Если n1 = 2 , а n2 = 3,4... , то линии получили название серии Бальмера. Часть линий этой серии находятся в видимой части спектра водорода. Если п1=3, а п2=4,5…, то серия называется серией Пашена и т. д. Покажем, что из постулатов Н. Бора можно получить формулу (1.4.2). Предположим, что электрон в атоме движется по круговой орбите, роль центростремительной силы выполняет кулоновская сила взаимодействия электрона с ядром, имеющим заряд Ze . Можно написать mV 2 Ze 2 = , r 4πε 0 r 2 откуда: mV 2 =

Ze 2 . 4πε 0 r

(1.4.3)

Но

11

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Ze 2 = −E пот. 4πε 0 r - есть потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром. За нулевой уровень энергии мы принимаем уровень, соответствующий энергии взаимодействия ядра с электроном, когда последний находится в бесконечности. По этой причине энергия взаимодействия электрона с ядром будет отрицательной величиной. С другой стороны,

mV 2 = 2 E кин. - есть удвоенная кинетическая энергия электрона на его орбите. Тогда Е полн. = Екин. + Е пот. = −

mV 2 1 Ze 2 =− . 2 2 4πε0 r

(1.4.4)

Воспользуемся условием квантования момента количества движения в первоначальном варианте теории Бора (формула 1.4.1). Из неё получаем: nh . (1.4.5) 2πmV Объединяя формулы (1.4.3), (1.4.4), (1.4.5), получим для полной энергии электрона следующее выражение: r=

2

E пол.

m = 2

 Ze 2  1   ′  2ε hn  = R ⋅ n 2 ,  0 

(1.4.6)

которое совпадает с термом Ритца. Поэтому, составляя разность двух термов (так называемый комбинационный принцип Ритца), мы можем получить энергию одной из спектральных линий, излучаемых или поглощаемых атомом:

ν n1n2 =

1  R '  1 −  h  n12 n22  .

(1.4.7)

Эта формула совершенно тождественна с эмпирической формулой (1.4.2). Из формулы (1.4.6) следует важный вывод, что энергия электрона в атоме определяется его квантовым числом n. Электроны, имеющие одно и то же квантовое число n, заполняют одну энергетическую 12

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

оболочку атома. В соответствии со значением n электронные оболочки получили названия, а именно: n=1,2,3,4…… оболочка K,L,M,N….. Ниже (гл.1§9) мы установим правило заполнения электронами энергетических обоолочек атома. Используя формулу (1.4.5), можно рассчитать радиус орбиты электрона в атоме водорода в его основном состоянии (при n=1)- радиус Боровской орбиты. Он равен r0 = 0.53 ⋅ 10 −10 м. Помимо основного наинизшего энергетического уровня в атоме, имеются уровни возбуждённых состояний. Из формулы (1.4.7) следует, что при

n1 = 1

и

n2 = ∞

hν = R , = E иониз. = −13,6 эВ .

Этот случай соответствует полному удалению электрона из атома водорода, а соответствующая величина энергии называется энергией ионизации атома водорода. На схеме энергетических уровней (рис. 3) нормальное состояние электрона в атоме водорода будет характеризоваться энергией –13.6 эВ, если отсчёт энергии производить от нулевого уровня, соответствующего ионизованному состоянию атома. На рис.3 изображена схема образования спектра испускания. Если стрелки линий перехода электрона с уровня на уровень направить в обратную сторону, то получится схема образования спектра поглощения. Однако, спектры испускания и поглощения не обязательно имеют одинаковое количество линий. В спектре испускания могут быть дополнительные линии, т.к. электрон может постепенно переходить с верхнего уровня на основной уровень данной серии линий (рис.3). Дадим объяснение возникновению рентгеновских лучей. Различают рентгеновский линейчатый или характеристический и сплошной спектры. Рентгеновское характеристическое излучение возникает при переходе электронов атома на внутреннюю Рис. 3. 13

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

электронную оболочку при наличии там свободного места. При этом освобождается энергия в виде квантов, которые называются рентгеновскими лучами. У атомов каждого химического элемента свои энергетические уровни, поэтому у каждого химического элемента своё характеристическое рентгеновское излучение и соответствующий спектр. Этот спектр состоит из отдельных линий. При помощи изучения характеристического рентгеновского спектра можно производить структурный анализ веществ. Возможен и другой путь возникновения рентгеновских лучей. Они возникают при резком торможении потока электронов, например, в результате столкновения с антикатодом в рентгеновской трубке. Это тормозное излучение, в отличие от характеристического, не определяется веществом антикатода, а зависит исключительно от энергии и быстроты торможения налетающих электронов. Тормозное излучение имеет сплошной спектр, так как состоит из очень большого числа близко расположенных линий. Если энергия электронов, испускаемых катодом в рентгеновской трубке, достаточна для вырывания электронов из K или L, M…-оболочки атомов антикатода, то наряду с тормозным излучением возникает и характеристическое излучение. Характеристический спектр у данного сорта атомов не меняется при вхождении их в какие-нибудь химические соединения. Этим отличается рентгеновский спектр от оптического: рентгеновское излучение возникает благодаря переходам электронов на внутренних оболочках атомов, оптическое излучение связано с переходами во внешней оболочке. Рентгеновский спектр сложного соединения есть наложение рентгеновских спектров атомов отдельных сортов. Это связано с тем, что при образовании химического соединения внутренние электронные оболочки не меняются. Во взаимодействие вступают лишь электроны внешних оболочек, происходит их перестройка у взаимодействующих атомов. По этой причине оптический спектр сложного соединения непохож на оптический спектр атомов, вступавших в соединение. Оптический спектр отдельных атомов – это линейчатый спектр; оптический спектр сложных молекулярных соединений (жидких и газообразных ) – полосатый спектр. Наличие полос обусловлено не только сложным движением электронов, но и движением молекул, их вращением и колебанием. Сплошной оптический спектр получается от раскалённых твёрдых тел, иногда – от жидких и газообразных веществ (многоатомных, высокомолекулярных ) в том случае, если отдельные полосы накладываются одна на другую. Раскалённые твёрдые тела 14

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

дают сплошной оптический спектр потому, что атомы твёрдого тела сильнее взаимодействуют друг с другом, чем атомы жидкости, а тем более – газов. Это приводит к усложнению (перестройке ) энергетического состояния оптических (внешних) электронов атомов твёрдых тел. Испускаемые кванты могут ничтожно мало отличаться по частоте, что приводит к образованию сплошного оптического спектра. В отличие от оптических спектров, которые могут быть спектрами и испускания и поглощения, рентгеновские спектры являются только спектрами испускания. Это объясняется тем, что атом может поглотить для образования вакантного места в оболочке только такой квант, энергия которого равна или больше энергии ионизации электрона из этой оболочки. Электрон покидает вообще этот атом или, в крайнем случае, «оседает» на одном из свободных уровней внешней электронной оболочки. Рентгеновские кванты обусловлены переходом электронов из L,M,N и т.д. оболочек на ниже лежащую оболочку атома. Поэтому энергия излучаемого кванта всегда будет меньше энергии, нужной для вырывания электрона из этой оболочки.

§ 5. Квантовые числа В теории атома Бора-Зоммерфельда наряду с квантовым числом n были введены ещё два квантовых числа: побочное или орбитальное квантовое число l и магнитное (азимутальное) квантовое число m l . Орбитальное квантовое число может иметь все целочисленные значения от 0 до (n-1). В современной квантовой теории атома это квантовое число сохранено. Но в отличие от теории атома Бора-Зоммерфельда, именно оно, а не главное квантовое число, определяет квантование момента количества движения. По современной теории момент количества движения M может принимать значения Ml =

h 2π

l ( l − 1) .

Если в теории Бора наименьший момент электрона равнялся

h , то в 2π 15

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

современной квантовой теории M=0 при l = 0 Орбитальное квантовое число связано с размерами орбиты электрона. Введена следующая символика обозначения орбит: орбита с l = 0 называется s-орбита, с l = 1 - p -орбита, с l = 2 - d -орбита и т. д. Электроны, заполняющие эти орбиты, соответственно называются s-,p-,d- и т. д. электронами. Каждая оболочка, соответствующая определённому главному квантовому числу содержит n орбит или подоболочек. Находясь в магнитном поле, орбита ориентируется определённым образом. Это происходит потому, что орбитальное движение электрона эквивалентно некоторому току. Орбитальный ток электрона можно характеризовать магнитным моментом, а всякий магнит ориентируется определённым образом в магнитном поле. Исходя из квантовых предпосылок, Н. Бор и А. Зоммерфельд квантуют ориентацию орбитального момента электрона и связанного с ним магнитного момента. Последний может ориентироваться по отношению к внешнему магнитному полю определённым, дискретным числом способов. Для характеристики этого свойства вводится третье, магнитное квантовое число m l , которое принимает все значения от - − l до +l т.е. всего различных ориентаций орбитального момента может быть 2l + 1 . Возможные значения проекций орбитального магнитного момента электрона выражаются равенством µ lz = m l µ Б , где µ Б =

ehµ 0 называется магнетоном Бора. Между проекциями мо4πm

1 eµ 0 Ml . 2 m Используя правило буравчика, с учётом знака заряда электрона, можно определить, что орбитальный магнитный момент электрона направлен противоположно его орбитальному моменту количества движения. Отношение величины магнитного момента к величине механического

мента имеется соотношение µ l =

16

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

eµ 0 называется гиромагнитным отношением. Для орби2m тального движения электрона это число равно единице. момента в единицах

С помощью трёх квантовых чисел n, l , m l удалось понять особенности оптических спектров водорода и водородоподобных атомов и ионов. В теории Бора-Зоммерфельда впервые было введено понятие о так называемом вырождении энергетического состояния. При данном главном квантовом числе n орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до (n-1). В это же время магнитное квантовое число при данном l может изменяться от − l до + l . Полное число возможных комбинаций при данном главном квантовом числе n и при различных l n −1

и ml равно

∑( 2l + 1) =n 2 . l =0

Это означает, что при данном n в электронной оболочке, соответствующей этому n, имеется n 2 электронных орбит. Но т.к. энергия электрона в оболочке определяется его главным квантовым числом n (формула 1.4.6), то говорят, что оболочка n 2 раз вырождена. Это вырождение энергетического уровня может быть «снято», т.е. состояние отдельных электронов в оболочке можно энергетически разделить, если на атом подействовать внешним магнитным или электрическим полями. Обнаружено влияние ядра атома на состояние электрона: его энергетический уровень разделяется на отдельные подуровни. Этим объясняется так называемая сверхтонкая структура спектральных линий, обнаруженная в 1928 г. нашими учёными Л. Добрецовым и А. Терениным.

§ 6. Опыты Франка и Герца Несмотря на то, что модель атома Бора-Зоммерфельда объясняла многие опытные факты, нужно было иметь прямое экспериментальное подтверждение наличия в атоме стационарных электронных состояний. Такой опыт был поставлен Дж. Франком и Г. Герцем в 1913г. Идея опыта заключалась в следующем: пучок электронов, имеющих определённую энергию, направлялся в сосуд А (рис.4), где в газообразном состоянии находилось некоторое вещество (например, пары ртути ). 17

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Сосуд А имел металлические стенки, поэтому внутри него отсутствовало внешнее электрическое поле и электроны могли менять свою скорость (и, следовательно, энергию) только в результате столкновений с атомами газообразного вещества. В сосуд B электроны попадали через отверстие b, находившееся в стороне от линии отверстия a, что сделано для того, чтобы избежать прямого попадания электронов от источника в сосуд B. Изменяя скорость влетающих электронов, удалось обнаружить следующий факт: Рис.4. пока энергия электронов была меньше 4,9 эВ, до тех пор электроны, попадавшие после многократных соударений с атомами ртути в сосуд B, имели ту же величину скорости, а следовательно и ту же энергию, которую они имели, влетая в сосуд A. Это можно объяснить тем, что соударения электронов с атомами ртути в сосуде A были упругими. Масса атома ртути во много раз больше массы электрона, поэтому при соударениях электроны изменяли лишь направление, но не величину своей скорости (упругий удар) . При достижении электронами энергии 4,9 эВ практически в сосуд B приходили электроны с нулевой скоростью. Это означало, что соударения стали носить резонансный неупругий характер: вся энергия электронов поглощалась атомами ртути. Возбуждённые атомы ртути испускали кванты, энергия которых соответствовала энергии 4,9 эВ. При увеличении энергии электронов до 9,8 эВ наступало новое резонансное поглощение электронов. Следующий пик поглощения наступал при энергии 14,7 эВ. Рассмотренный эксперимент убедительно показал, что электроны в атоме движутся по стационарным устойчивым орбитам и только при переходе с орбиты на орбиту поглощают или излучают энергию. Таким образом экспериментально были подтверждены постулаты Бора. Теория Бора, разрешившая ряд трудностей классической оптики, была внутренне противоречивой. С одной стороны она вводила совершенно чуждые старой физике понятия, с другой стороны опиралась на клас18

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

сическую механику. Объяснив спектр водорода, теория Бора встретилась с непреодолимыми затруднениями при объяснении спектра уже следующего элемента в таблице Менделеева – гелия. Эта теория давала правильные значения частот спектральных линий, и, вместе с тем, она оказалась бессильной при объяснении интенсивности этих линий. Можно перечислить и другие затруднения теории Бора. Поэтому возникла необходимость в создании новой, последовательной, внутренне непротиворечивой теории. Такой теорией для микроявлений стала квантовая механика (см.§§ 10 и 11 ).

§ 7. Опыт Штерна и Герлаха Экспериментальная проверка пространственного квантования орбитального и магнитного момента электрона была произведена в 1921 г. О.Штерном и В.Герлахом. Рассмотрим схему этого опыта (рис.5).

Слева в установке находится источник атомов. Пройдя ряд диафрагм, пучок атомов попадает в сильное неоднородное магнитное поле, а затем – на экран, где иРис. фиксируется. Если бы магнитные момен5. ты атомов ориентировались произвольным образом, то после прохождения через магнитное поле пучок развернулся бы в веер и на экране возникло бы размытое пятно. На экране же всегда получались дискретные полосы в том количестве, которое требовалось по условию квантования орбитального движения. Пространственное квантование было подтверждено экспериментально. Но в одном из опытов Штерн и Герлах использовали атомы серебра. Из многих соображений следовало, что орбитальный момент атома серебра равен нулю, т.е. валентный электрон находится в s-состоянии (l=0). Тогда и магнитный момент атома серебра должен был быть также равен нулю и расщепление пучка в магнитном поле 19

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

не должно было произойти. Опыт дал неожиданный результат: пучок атомов серебра после прохождения неоднородного магнитного поля расщепился на две части. Это можно было объяснить только так: магнитным моментом обладает сам электрон и это его свойство независимо от его орбитального движения. Из факта расщепления пучка атомов серебра всего на две части следовало, что собственный магнитный момент электрона может ориентироваться во внешнем магнитном поле только двумя способами. Оказалось, что собственный магнитный момент электрона равен магнетону Бора. Обнаружение магнитного момента у электрона позволило объяснить дублетный характер линий спектра щелочных металлов: собственный магнитный момент электрона ориентируется параллельно или антипараллельно по отношению к орбитальному магнитному моменту. Это приводит к расщеплению энергетического уровня электрона на два подуровня, что и сопровождается появлением двойных линий в спектре (тонкая структура спектра). В 1925 г. учёные Г. Юленбек и С. Гаудсмит, исходя из общих положений квантовой механики, предположили, что наряду с собственным магнитным моментом электрон обладает и собственным механическим моментом. Это свойство, названное спином, как было показано П. Дираком в его релятивистской (учитывающей результаты теории относительности) теории электрона, является первичным неотъемлемым свойством частицы, не сводящимся к чему-либо более простому. Поэтому неправильно, используя заведомо неверную модель для электрона, считать, что спин возникает вследствие вращения электрона – шарика вокруг собственной оси (см. Прил.2). Спин электрона однозначно связан с его собственным магнитным моментом. На направление внешнего магнитного поля спин может иметь лишь две проекции, которые выражаются при помощи постоянной Планка следующим образом:

PsH = ±

1 h . 2 2π

1 . Как и для ор2 битальных моментов, можно составить гиромагнитное отношение для Можно ввести спиновое квантовое число s = ±

eµ 0 . m Оно в 2 раза больше гиромагнитного отношения для орбитальных моментов. Этот факт позволяет однозначно решить, какие моменты (орбитальные или собственные) играют роль в том или ином явлении. Мы воспользуемся этим при рассмотрении ферромагнитных свойств твёрдых тел (гл.5 §8).

спинового состояния: Г s =

20

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Введённое выше спиновое квантовое число для электрона оказалось дробным числом. Позднее установили, что внутреннее состояние всех элементарных частиц можно описывать при помощи этого квантового числа. У одних частиц оно также дробное, у других – целочисленное. Элементарные частицы, спиновое квантовое число (кч) которых целое число, подчиняются особым законам, совокупность которых называется статистикой, отличным от законов (статистики) для частиц с дробным спиновым квантовым числом. Частицы, имеющие целое спиновое кч, (фотон, π -мезон, гравитон и др.), называются бозонами. Они подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, названной так в честь учёных, установивших эти законы. Частицы с полуцелым спиновым квантовым числом называются фермионами (электрон, протон, нейтрон и др.). Они подчиняются статистике Ферми-Дирака. Мы вернёмся к вопросу о статистиках в §§ 12,13 и 14 настоящей главы и в других главах этой книги.

§ 8. Принцип Паули С введением спинового квантового числа состояние электрона в атомной оболочке должно определяться четырьмя квантовыми числами: n, l, m l , s . Так как спиновое кч электрона имеет два значения ( ± 12 ) то, следовательно, каждое энергетическое состояние с данным главным квантовым числом n будет теперь «вырождено» 2n 2 раз (гл.1 §5). В 1925 г. В. Паули сформулировал правило заполнения орбит в электронных оболочках. Это правило – принцип Паули – читается так: с данным набором всех четырёх квантовых чисел в атоме может находиться только один электрон (есть и другие эквивалентные формулировки). Квантовая механика показала, что принципу Паули подчиняются не только электроны в атоме, но и все фермионы, образующие какойнибудь ансамбль взаимодействующих частиц.

§ 9. Заполнение электронных оболочек атомов в таблице Д. И. Менделеева Опыты Дж. Чадвика (гл.1, § 2) показали, что заряд ядра совпадает с порядковым номером элемента в таблице Д. И. Менделеева, а следовательно, и с числом электронов в электронной оболочке нейтрального атома. Воспользуемся принципом Паули и объясним закономер21

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ность заполнения электронных оболочек. Пусть главное квантовое число n=1. Соответствующая оболочка называется K-оболочкой (гл.1, § 4). Тогда орбитальное квантовое число l (гл.1, § 5) может иметь лишь одно значение l = 0 Магнитное квантовое число m l также в данном случае имеет только одно значение

ml =0 . Спиновое квантовое число электрона имеет дваа

1 . Следовательно, при n=1 в электронной оболочке может 2 находиться всего два электрона, спины которых противоположны. Полученный результат находится в соответствии с формулой (гл.1, § 5), указываюзначения s = ±

щей, что число электронов при n=1 равно: N = 2n 2 = 2 . Так как l = 0 , то это состояние электрона называется s-состоянием. Атом, у которого заряд ядра равен 1, должен иметь один электрон. Таким атомом в нормальном состоянии является атом водорода. Если в оболочке атома имеются всего два электрона, то оба будут находиться в s -состоянии, причем спины их направлены противоположно. Таким атомом является атом гелия. При главном квантовом числе, равном 1, в атоме не может быть больше двух электронов. Поэтому s -состояние с двумя электронами является полностью заполненным. В этом случае возникает устойчивая электронная оболочка инертного газа гелия. Символически состояние электронов в атоме записывается так: сначала главное квантовое число n, затем индекс состояния s ,p , d…, над ним в виде показателя степени число электронов в этом состоянии N. Символически энергетическое состояние электронов водорода и гелия 1

2

можно записать так: для Н- 1s , для Не- 1s . Рассмотрим главное квантовое число n=2. Соответствующая ему электронная оболочка называется L- оболочкой, орбитальное квантовое число может иметь значения l =0,1; а магнитное квантовое число ml = -1,0,1. Благодаря двум возможным ориентациям спина каждое квантовое состояние может быть заполнено двумя электронами. Всего электронов с главным квантовым числом n=2 может быть: N 2

= 2n 2 = 8 . Из этих восьми электронов 6

два будут находиться в 2s - состоянии, остальные шесть в состоянии 2 p (необходимо помнить, что атом имеет ещё и те электроны, которые соответствуют квантовому числу n=1 и находятся на K- оболочке). Рассмотрим эле22

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2

мент с порядковым номером 3 - Li . У него два электрона находятся в 1s состоянии, а третий электрон займёт следующее ближайшее свободное состояние -

2s 1 - состояние. Символическая запись состояния трёх электронов

лития такова:1s 2 2 s 1 (два электрона в 1s состоянии и один электрон в 2s со1

стоянии). Взаимодействие 2s электрона лития с ядром ослаблено тем, что между ним и ядром находятся два электрона в 1s – состоянии. Поэтому 2s – электрон лития слабо связан в атоме и легко может его покинуть. Именно поэтому Li – химически активный металл. Число электронов во внешней оболочке в простейшем случае характеризует валентность элемента. Таким образом, Li – одновалентен. Электроны в 1s – состоянии образуют устойчивую конфигурацию, они не могут самопроизвольно перейти в энергетически более высокое 2s состояние, хотя там и имеется одно вакантное место. Число валентных электронов не может самопроизвольно измениться. Поэтому Li всегда одновалентен. У следующих после берилия ( 1s 2 2 s 2 ) элементов (до 10- го) происходит заполнение 2p – состояния, десятый элемент – неон – имеет в 2p – состоянии 6 электронов. С учётом принципа Паули в 2p – состоянии нельзя поместить больше 6 электронов, поэтому 2p – состояние у неона полностью укомплектовано и он является по своим свойствам инертным веществом. Символика для состояния электронов неона такова:1s 2 2 s 2 2 p 6 . Следующий элемент Na имеет порядковый номер 11 , следовательно, в его оболочках находится одиннадцать электронов. Из них десять заполняют K и L – оболочки, согласно рассмотренной выше схеме, одиннадцатый электрон начинает заполнение очередной оболочки атома, соответствующей главному квантовому числу n=3 и обозначаемой индексом M. В этой оболочке имеется 3s состояние (для l=0 и ml = 0 ), валентный электрон Na располагается в этом состоянии. Символически состояния всех электронов Na запишутся так: 1s 2 2 s 2 2 p 6 3s 1 . Для последующих элементов таблицы Менделеева заполнение M – оболочки происходит по общему правилу. Сравнение электронных оболочек элементов второго и третьего периодов обнаруживает важную закономерность: число электронов на последней оболочке атома совпадает с номером группы. А так как в группе стоят элементы со сходными химическими свойствами, то можно сделать вывод, что эти свойства определяются 23

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

электронами, расположенными на последней, не полностью занятой оболочке – валентными электронами. Так объясняется периодичность свойств химических элементов (см. Табл.2). Табл. 2

При рассмотрении электронных оболочек атомов следующих периодов таблицы обнаруживается отступление от простого закона их заполнения. Так, у калия заполняется не 3d состояние, а 4s – состояние, которое оказывается энергетически более выгодным ( 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 4 s 1 ). Конфигурация следующего после калия элемента Ca есть 1s 2 2 s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 4 s 2 . Однако, затем снова энергетически более выгодным оказывается заполнение 3d состояния, которые оказались незаполненными. Например, у скандия Sc заполнение оболочек будет таким: 1s 2 2 s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 3d 1 4 s 2 . Современная квантовая теория атома дала теоретическое обоснование всем этим отступлениям от идеальной схемы заполнения. Можно сформулировать следующие два одновременно действующих правила заполнения электронных оболочек: 1) энергетическая выгодность; 2) соблюдение правила (принципа) Паули.

§ 10. Корпускулярные свойства света В середине 20-х гг. ХХ века была создана новая физическая теория – квантовая механика, разрешившая те проблемы, с которыми не справилась полуклассическая теория Н. Бора (см. последний абзац §6 гл.1) . В основу новой теории был положен не принцип квантования физических характеристик элементарных частиц, а принципиально новое их свойство – корпускулярно – волновой дуализм проявления физических свойств частиц. Квантование же, в частности энергии, следовало в этой теории как следствие. 24

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Автором идеи о корпускулярно – волновых проявлениях свойств элементарных частиц был французский физик Луи де Бройль. Занимаясь историей физики, де Бройль обратил внимание на то, что свет в одних опытах проявляет волновые свойства (интерференцию, дифракцию, поляризацию), в других – корпускулярные свойства (фотоэффект, Комптон – эффект). Причём, не было ни одного опыта, в котором одновременно проявились бы эти несовместимые свойства. Напомним суть фотоэффекта. Под действием света отрицательно заряженная пластинка становилась нейтральной (а нейтральная – приобретала положительный заряд). Явление было открыто в 1887 г. немецким физиком Генрихом Герцем, а детально исследовано русским физиком А. Столетовым. Только в1905 г. А. Эйнштейн, рассматривая свет как поток корпускул, дал объяснение всем установленным законам этого явления. Формула Эйнштейна, выражавшая закон сохранения и превращения энергии, записывается так:

hν = A + где

mV 2 , 2

(1.10.1)

hν - энергия кванта света (световой корпускулы), А- работа выхо-

да электрона из металла,

mV 2 - кинетическая энергия вылетевшего 2

электрона. В этом явлении свет проявляет только корпускулярные свойства, его энергия локализована, столкновение с электронами носит упругий характер. Ещё более «наглядно» свет проявил свои корпускулярные свойства в так называемом эффекте Комптона. Поток световых корпускул испытывает упругое столкновение с неподвижными свободными электронами (см. рис. 6) . В результате взаимодействия электрон приобретает кинетическую энергию, а рассеянный свет уменьшает свою частоту (см. Прил.3). И в этом явлении, которое имеет релятивистский характер, свет проявляет лишь корпускулярные свойства. Обнаружив корпускулярно – волновой дуализм света, Луи де Бройль перенёс подобное рассмотрение на свойства элементарных частиц, которых к этому времени было известно всего лишь три: электроны, протоны и кванты электромагнитного поля (света), получившие впоследствии имя «фотоны». 25

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 11. Волновые свойства элементарных частиц В 1900 г. Планк ввёл представление о световых квантах. На новой ступени развития науки возрождалось представление о световых корпускулах, которые впервые использовал И. Ньютон для объяснения законов геометрической оптики. Явления фотоэффекта и Комптона (рассеяние квантов света) подтвердили корпускулярную гипотезу. В науке утРис.6. вердился дуализм во взгляде на природу света. С одной стороны, такие явления, как интерференция и дифракция объяснялись волновой теорией, с другой – свет проявил корпускулярные свойства. К 1923 г. было известно 3 элементарные частицы: электрон, протон, фотон. Естественно было предположить, что и все частицы должны обладать не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Эту гипотезу и выдвинул в 1923 г. Луи де Бройль. Конечно, она требовала пересмотра классической модели элементарной частицы. Если частица имеет волновые свойства, то её нельзя рассматривать в виде шарика. Де – Бройль сопоставил каждой элементарной частице длину волны (так называемая длина волны де – Бройля):

λ=

h h = . p mV

(1.11.1)

Он, по сути дела, обобщил формулу, данную А. Эйнштейном для световых квантов. Действительно, по А. Эйнштейну импульс светового кванта равен:

p=

E hν = . c c

(1.11.2)

Если соотношение c = λν подставим в формулу (1.11.2), то по26

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

лучим

p=

E h = , откуда λ = h = h . , а это и есть формула (1.11.1) λν λ p mV

(см. Табл.3) . Следует сказать, что ещё в 1921 г. физики Рамзауэр и Таунсенд поставили опыт, истолковать который смогли лишь после утверждения гипотезы де – Бройля. Учёные наблюдали рассеяние электронов на атомах инертного газа (рис. 7). При уменьшении скорости электрона V, как и следовало по классическим представлениям, сечение рассеяния (т.е. число рассеянных электронов) σ росло. Однако при определённой скорости сечение рассеяния резко падало (участок ab). Из формулы (1.11.1) следовало, что длина волны λ, соответствующая этой критической скорости, становилась сравнимой с размерами инертных атомов. Наступало явление дифракции и число рассеянных электронов резко уменьшалось. К сожалению, этот опыт не был известен де Бройлю. Поэтому ему и пришлось ждать 1927 года….. Гипотеза де – Бройля находилась в противоречии с классическими взглядами на микрочастицу. И только эксперимент мог утвердить Табл. 3 Длина волны де-Бройля для некоторых тел

27

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

или опровергнуть её. Такой опыт был произведён в 1927 году. Американские физики Девиссон и Джермер обнаружили дифракцию электронов при прохождении их через кристаллическую решётку, электроны дифрагировали подобно рентгеновским лучам. В 1925-27 г. г. на основе идеи де - Бройля была создана квантовая или волновая механика. Корпускулярно – волновой дуализм элементарных частиц получил теоретическое рассмотрение. Каждому состоянию элементарной частицы в квантовой механике сопоставляется волновая функция Ψ . Волновая Рис. 7. функция элементарной частицы есть комплексная величина и непосредственного физического смысла не имеет. Имеет смысл квадрат модуля волновой функции

Ψ

2

. Эта величина пропорцио-

нальна вероятности нахождения частицы в данном состоянии. В 1949 году советские физики Биберман, Сушкин и Фабрикант ещё раз экспериментально подтвердили волновую природу не только совокупности электронов, но и каждого электрона в отдельности. В опыте этих учёных время полёта электронов через установку было в 30000 раз меньше времени чередования электронов друг за другом. Дифракционная картина получилась такой же, как при пропускании мощного потока электронов. Волновые свойства элементарных частиц находят практическое применение для анализа механических и других свойств кристаллов (электронография). Волновые свойства электронов лежат в основе работы электронного микроскопа. Воспользуемся формулой де – Бройля и покажем, что в ней содержится условие квантования движения электрона в атоме, в форме, данной в первоначальной теории Бора. Умножим формулу mV =

h λ

28

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

на радиус орбиты электрона: mVr =

h 2πr .Так как 2πr -это длина орби2π λ

ты электрона в атоме, то отношение

2πr есть число длин волн, укладываюλ

щихся в орбите электрона. Если это число целое, то на орбите электрона образуется стоячая волна

2πr h . А это и есть = n . Тогда можно записать : mVr = n λ 2π

условие Бора (формула (1.4.1)). В квантовой механике для величин, характеризующих состояние элементарной частицы, получено важное соотношение, которое непосредственно следует из признания дуализма свойств этих частиц. Это так называемое соотношение неопределённостей Гейзенберга . Оно записывается так:

∆p x ∆x ≥

h . 2π

(1.11.3)

где ∆p x и ∆x - неопределённости при одновременном определении проекций импульса и координаты. Соответственно записываются соотношения для других проекций. Неопределённости не связаны с неточностью измерения, а выражают корпускулярно- волновой дуализм. Наряду с соотношением неопределённостей Гейзенберга в форме (1.11.3),в квантовой механике получено аналогичное соотношение для энергии и времени: чем меньше промежуток времени нахождения системы в некотором состоянии, тем больше неопределённость значения энергии этого состояния:

∆E∆t ≥

h . 2π

(1.11.4)

Применим эту формулу для объяснения так называемой естественной ширины спектральных линий. Использование даже самой совершенной оптической аппаратуры не может устранить некоторую размытость, нечёткую очерченность линий в спектре. Это и есть так называемая естественная ширина спектральных линий. Будем понимать под ∆t время нахождения электрона в возбуждённом состоянии. Это 29

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

время ∆t ≈ 10 −8 с. Неопределённость энергетического состояния возбуж-

h ≈ 10 − 7 эВ . Такую же нео2π∆t пределёность в энергии будет иметь и излучаемый квант: ∆E = h∆ν , откуда дённого атома ∆E равна по формуле ∆E ≥

∆ν ≈ 10 +8 с −1 . Этим и объясняется естественная ширина спектральных линий. Соотношение неопределённостей Гейзенберга были использованы противниками научного мировоззрения для утверждения идеи непознаваемости мира. Природа, якобы, ограничивает нас этим соотношением, указывая на неполноту наших знаний. В действительности же соотношение неопределённостей Гейзенберга указывают нам на ограниченность применения моделей и образов классической физики к явлениям микромира . Используя понятия координаты, импульса, мы говорим языком классической физики. Классическая частица движется по строго определённой орбите и имеет вполне определённую координату и импульс. Признавая дуализм частиц, их волновые и корпускулярные свойства, мы должны отказаться от использования в абсолютном смысле таких понятий как траектория, координата, импульс. Если частица обладает волновыми свойствами, то у такого образования не может быть локализованной траектории , точного местонахождения, скорости в данном месте. Соотношение Гейзенберга ограничивает лишь область использования классических представлений. *

§ 12. Классификация элементарных частиц. Статистика Бозе – Эйнштейна. Бозоны Воспользуемся волновой функцией Ψ для выяснения некоторых общих свойств элементарных частиц. Ещё до рождения квантовой механики в работах Ш. Бозе и А. Эйнштейна возник раздел статистической физики, где были установлены законы, которым должны подчиняться световые кванты – фотоны. С рождением квантовой механики были установлены законы, которым должны были подчиняться ансамбли электронов и других элементарных частиц с полуцелым спином. Введение спина позволило разделить все элементарные частицы на две 30

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

группы: фермионы (с полуцелым спиновым квантовым числом) и бозоны (с целым спиновым квантовым числом). Каждому сорту частиц сопоставлялась волновая функция, обладавшая общими для этих частиц свойствами. Различают чётную (симметричную) и нечётную (антисимметричную) волновую функцию. В связи с этим в физике введён закон сохранения чётности: частица, которая описывается чётной (симметричной) волновой функцией, никогда не может описываться нечётной, антисимметричной волновой функцией. Чётность и нечётность волновых функций имеет следующее математическое выражение: если у всех аргументов, от которых зависит волновая функция, поменять знаки на обратные и при этом волновая функция не изменится, то такая функция называется чётной или симметричной:

Ψ ( x) = Ψ (− x ) . Если же Ψ ( x) = − Ψ ( − x) , то функция называется нечётной, антисимметричной. В квантовой физике введён принцип неразличимости элементарных частиц, в то время как в классической физике одинаковые частицы могли быть различимы и занумерованы различными индексами. Рассмотрим два тождественных бозона и введём для них общую волновую функцию Ψ (1,1) . Одинаковые индексы, взятые для всех параметров состояния бозонов (1,1) указывают, что частицы находятся в одном энергетическом состоянии. Если переставить эти частицы местами , то по законам статистики Бозе – Эйнштейна мы не получим нового состояния для них, т.е. та же волновая функция будет описывать состояние переставленных бозонов. Так как Ψ (1,1) = Ψ (1,1) , то Ψ (1,1) − Ψ (1,1) ≡ 0 . Из математической непротиворечивости полученного равенства следует возможность образования ансамбля бозонов, находящихся в одном и том же квантовом энергетическом состоянии. Подобную операцию можно провести для волновой функции любого числа бозонов. Отсюда получаем важный вывод: любое число бозонов может находиться в одном и том же квантовом энергетическом состоянии. Говорят, что бозоны могут конденсироваться. Бозоны не

* Следует предостеречь читателя от отождествления частицы и с корпускулой и с волной. Элементарные частицы обладают и корпускулярными и волновыми свойствами, но это не означает, что элементарные частицы – и корпускулы, и частицы одновременно . Обладать свойствами волны и корпускулы не означает быть и волной и частицей. Современное состояние физики не может дать ответа на вопрос: что такое, например, электрон? Но это не означает, что мы не можем использовать обнаруженные свойства элементарных частиц, и в том числе электронов, и в научных и в практических целях.

31

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

подчиняются принципу Паули. Вот почему в данном объёме может находиться неограниченное число фотонов с одной и той же частотой. К бозонам относятся не только указанные выше частицы (фотоны, π - мезон), но и целые системы микрочастиц. Например, ядро тяжёлого водорода дейтерия – дейтон, содержит в себе две частицы протон и нейтрон, имеющие общее название – нуклоны. Если их спины будут антипараллельны, то результирующий спин равен нулю. Если спины нуклонов параллельны, то результирующий спин дейтона равен 1. В обоих случаях такое ядро можно отнести к классу частиц – бозонов (в действительности в ядре дейтона спины нуклонов антипараллельны и результирующий спин равен нулю. Это энергетически выгодно). Рассмотрим атом водорода. У протона и электрона спины равны 1 , поэтому атом водорода в целом является бозоном. В 1957 г. эта 2

идея была использована советским физиком Н. Боголюбовым и американскими физиками Дж. Бардиным, Дж. Шриффером и Л. Купером для объяснения сверхпроводимости, экспериментально обнаруженной Камерлин – Онессом ещё в 1911г. Так как электроны обладают отрицательным электрическим зарядом, то они отталкиваются друг от друга. Однако при низких температурах вступает в действие квантовый эффект, состоящий в том, что наряду с силами отталкивания возникают силы притяжения. Оказывается, что при определённых условиях электронам в кристаллической решётке энергетически выгодно, через посредство кристаллической решётки, объединиться попарно. В результате такой комбинации образуется новая квантовая частица с противоположно направленными спинами составляющих её электронов – куперовская пара. Результирующий спин такой пары становится равным нулю и она проявляет свойства, присущие бозонам. Выше было показано, что бозоны способны конденсироваться, т.е. переходить все в одно и то же энергетическое состояние. При абсолютном нуле таким состоянием будет самое низкое энергетическое состояние. В ряде веществ и сплавов (ртуть, алюминий, свинец, олово, (CuS)) электроны проявляют способность объединяться в пары. В результате меняются их свойства, в частности, исчезает взаимодействие с кристаллической решёткой. Такие вещества при низких температурах проявляют свойства сверхпроводимости. В 1986 г. была открыта высокотемпературная сверхпроводимость. До сих пор нет теоретического обоснования этого явления. (Мы вернёмся к этим вопросам в главе 6). 32

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 13. Статистика Ферми – Дирака Частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, ионы гелия и другие) называются фермионами и подчиняются статистике Ферми – Дирака. Воспользуемся волновой функцией и выясним самое главное свойство фермионов. Они описываются антисимметричной,нечётной волновой функцией. Это значит, что если переставить местами две частицы ансамбля, то волновая функция всего ансамбля изменит знак. Пусть имеются два тождественных фермиона, например два электрона. Они не могут находиться в одном и том же энергетическом состоянии, т.е. иметь одинаковый набор всех квантовых чисел. Покажем, что это утверждение эквивалентно свойству антисимметричности общей волновой функции двух электронов. Допустим противное, т. е. что оба фермиона находятся в одном и том же квантовом состоянии. Обозначим одним индексом 1 все характеристики каждой частицы Ψ (1,1) . Совершим перестановку этих частиц местами. В силу антисимметричности волновой функции мы можем написать

Ψ (1,1) = − Ψ (1,1) . Од-

нако, это равенство не имеет физического смысла. Действительно, перенесём все члены в одну сторону равенства: Ψ (1,1) + Ψ (1,1)

= 0 или

2Ψ (1,1) = 0 . Но это возможно лишь при условии Ψ (1,1) ≡ 0 ,а волновая функция не может быть равной нулю. То есть сделанное нами допущение, что обе частицы могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, невозможно. А это и есть принцип Паули. В отличие от бозонов, фермионы не могут конденсироваться: в данном энергетическом состоянии может быть только одна частица. § 14. Наглядное представление статистик Выше были разобраны две квантовые статистики. Помимо них различают ещё классическую статистику – статистику Максвелла – Больцмана. В ней рассматриваются законы, которым подчиняются классические тождественные, различимые частицы. Частица называется классической, если можно пренебречь её квантовыми свойствами. Например, при высоких температурах электронный газ в металле можно грубо считать классическим газом. Составим следующую таблицу 33

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

для трёх статистик (Табл.4): Табл.4

Классическая статистика Максвелла – Больцмана. В силу различимости частиц одну частицу назовём a, другую b. Возможны следующие комбинации в случае двух состояний (см. табл.4). Согласно статистике Максвелла – Больцмана две частицы в двух состояниях могут разместиться четырьмя комбинациями. В статистике Бозе – Эйнштейна частицы имеют целочисленный спин, тождественные частицы считаются неразличимыми. Поэтому обозначим обе частицы одной буквой a. Статистика Бозе -–Эйнштейна для двух тождественных частиц предсказывает три комбинации размещения по двум состояниям. Рассмотрим статистику Ферми – Дирака. Оба тождественных фермиона неразличимы. Кроме того, в отличие от бозонов, они подчиняются принципу Паули. Учёт этих требований даёт лишь одну комбинацию, которую могут осуществить два тождественных фермиона, находясь в двух состояниях. Всё сказанное выше может быть кратко выражено при помощи так называемой функции распределения. По своему смыслу функция распределения пропорциональна плотности числа частиц, находящихся в данном энергетическом состоянии. Зная функцию распределения, можно определить наивероятнейшее значение физической величины, характеризующей данное состояние, например, энергию. Функция распределения в статистике Максвелла – Больцмана имеет вид: 3

ρМ −Д

 m 2  E   exp −  . =   2πk Б T   k БT 

Изобразим графически эту функцию распределения (рис. 8а ) 34

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

По классическим представлениям при абсолютном нуле температуры все частицы прекращают всякое движение, переходя в самое низкое энергетическое состояние с энергией равной нулю.Такое следствие классической физики находится в противоречии с научным положением о неуничтожимости движения. Лишь квантовая теория смогла устранить это затруднение классической физики. По квантовым представлениям даже при абсолютном нуле температуры частицы материи совершают так называемые нулевые колебания. Функция распределения Максвелла – Больцмана отражает всё сказанное выше о классической физике. Если устремить температуру к нулю, то максимум кривой смещается в сторону оси ординат и растёт по высоте. При T=0 и E=0 функция ρ М − Б стремиться к бесконечности. Это означает, что всее частицы классического газа при абсолютном нуле будут занимать единственное состояние с энергией E=0. Расчёты, проведённые на основании положений статистики Ферми –Дирака, дают для функции распределения этой статистики следуРис. 8а. −1

ющее выражение: ρ Ф − Д

  E−µ =  exp + 1 . kБT  

Интересно отметить закономерность, присущую всякой более общей теории, в том числе и квантовой теории, так называемый принцип соответствия: когда при рассмотрении явлений возможен классический подход, то все формулы квантовой теории переходят в форму35

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

лы классической физики. Например, функция

ρ Ф− Д распределения Ферми

– Дирака тотчас же переходит в функцию Максвелла – Больцмана, если пренебречь единицей в знаменателе. Очевидно, при выполнении условия exp

E−µ >>1 становится справедливой классическая физика: k БT

  E−µ ρ Ф − Д =  exp + 1 k БT  

−1

 E−µ  E   = Const ∗ exp −  = ρ М − Б ≈ exp −  k БT   kБT 

Величина µ ,входящая в формулу для ρ Ф− Д , имеет размерность энергии. Это следует из правила однородности физических величин: складывать или вычитать в физике можно только однородные величины. Ниже мы рассмотрим физический смысл величины µ , которую называют энергией Ферми, или химическим потенциалом. Построим график функции распределения Ферми – Дирака и выясним, например, поведение квантового электронного газа при различных температурах. Для дальнейших рассуждений важно понять, что энергия Ферми для электронного газа положительна: µ >0. Рассмотрим состояние электронного газа при температуре, близкой к абсолютному нулю. Пусть экспоненциальный вклад: exp

T ≈ 0 K . В области значений энергии E < µ множитель

E−µ  µ−E −∞ = exp −  = e =0. kБT 0  

Следовательно, ρ Ф − Д

даёт

нулевой

.

= 1 . Функция распределения, дающая нам

число частиц в данном состоянии, говорит, вместе с тем, о вероятности заполнения этого состояния. Полученный результат можно истолковать так: при абсолютном нуле все энергетические состояния с энергией E < µ заняты с вероятностью, равной 1. При этом в соответствии с принципом Паули (гл.1, §8) в каждом энергетическом состоянии будет не более двух электронов с противоположными спинами. Рассмотрим состояние электронного газа при той же температуре, но для случая, когда E > µ . Величина

(E − µ )

>0 и экспоненциальное слагае-

36

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

мое в знаменателе стремится к бесконечности. В этом случае функция ρ Ф− Д

1 = 0 . Это означает, что все энергетические со∞ +1 стояния, удовлетворяющие неравенству E > µ , свободны. Построим гра-

равна нулю: ρ Ф − Д

=

фик нашей функции для условия T=0 К (рис. 8б). Из графика следует, что квантовый электронный газ – газ, подчиняющийся статистике Ферми – Дирака, в отличие от классического электронного газа не находится весь в одном энергетическом состоянии, а заполняет в соответствии с принципом Паули при абсолютном нуле все энергетические состояния, вплоть до максимального состояния с энергией E = µ . Все более высокие энергетические состояния при абсолютном нуле свободны. Отсюда можно дать физическое толкование понятия «уровень Ферми» («энергия Ферми») – это та максимальная энергия, которой обладают электроны при абсолютном нуле. Проведём анализ поведения функции распределения Ферми- Дирака при температурах, отличных от нуля, но близких к ней. 1) Если T > 0 K , то в области, где E< µ величина exp

E−µ < 0 и в k БT

этом случае снова ρ Ф − Д ≈ 1 .

Рис.8б. 37

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2) Если T > 0 K , но E = µ да ρ Ф − Д =

, то величина exp

E−µ = 1 и тогkБT

1 1 = . 1+1 2

3) Если T > 0 K и E > µ , то ρ Ф − Д ≈ 0 . На графике (рис. 8б ) этот случай изменения ρ Ф− Д при T > 0 K изображён тонкой линией. В результате нагрева, т.е. когда электронному газу извне будет сообщена дополнительная энергия, происходит энергетическое возбуждение электронов. В первую очередь возбуждаются те электроны, которые находятся вблизи уровня Ферми. Для их перехода на свободные выше расположенные энергетические состояния требуется меньше энергии. Из графика (рис. 8б ) видно, что число состояний, которые будут заняты выше уровня Ферми, равно числу состояний, освободившихся ниже уровня Ферми. Заштрихованные области по площади численно равны друг другу. Расчёты показывают, что возбуждаются, в основном, электроны, расположенные вблизи уровня Ферми, на расстоянии ≈ k Б T . Так как для комнатной температуры k Б T ≈ 0.02 эВ , то, сопоставляя эту энергию с энергией уровня Ферми, которая для металлов порядка 5эВ , можно сделать вывод: при комнатной температуре в возбуждённом состоянии будет находиться ничтожное количество электронов, около 1% от общего числа электронов в металле. Подсчитаем, до какой температуры надо нагреть тело, чтобы возбудились все электроны, занимающие энергетические уровни от самого нижнего до уровня Ферми. Для этого составим равенство что T

=

µ = k Б T . Для металлов ( µ = 5эВ ) получим,

µ ≈ 50000 К . Только при такой температуре весь электронный kБ

газ твёрдого тела получит возможность участвовать в физических процессах. Но при этих температурах нельзя говорить о твёрдом состоянии тела в обычном смысле. Следовательно, когда мы выше анализировали поведение функции ρ Ф− Д при T > 0 K , то практически нужно было иметь в виду не толькоо область близкую к абсолютному нулю, но и обычные температуры: они слиш38

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ком малы по сравнению с 50000 К. Малое количество электронов при обычных температурах обладает энергией, большей энергии Ферми. Именно это обстоятельство позволяет квантовой теории объяснить затруднения, возникшие в классической электронной теории, в частности, в вопросах теплоёмкости и теплопроводности (см. Гл.2,§11).

§ 15. Два вида материи. Черты сходства и различия двух видов материи До М. Фарадея в теории электричества основным понятием был заряд. Считалось, что взаимодействие между электрическими зарядами осуществляется на расстоянии, мгновенно, промежуточная среда при этом не играет никакой роли. М. Фарадей обратил внимание на существенную роль среды в осуществлении взаимодействия между заряженными телами. Он ввёл понятие «поле», а заряды при этом рассматривал как особые точки этого поля. Под полем он понимал особое состояние электромагнитного эфира – особой материи, движения напряжений в которой осуществляют передачу энергии и импульса от одного заряженного тела к другому. М. Фарадей различал электромагнитный и светоносный эфир, хотя и высказывал догадку о возможном влиянии электромагнитного поля на свет. Математически идеи М. Фарадея оформил Дж. Максвелл. Он доказал тождество электромагнитного и светового эфира и тем самым утвердил электромагнитную природу света. Наряду с током проводимости он рассмотрел так называемый ток смещения, благодаря которому электромагнитные процессы способны возникать и распространяться не только в вещественной среде, но и вакууме. Из теории Максвелла следовало: в случае нестационарных, переменных во времени процессов вокруг электрических цепей должны возникать электромагнитные волны. Через 20 лет после предсказания электромагнитные волны были обнаружены Г. Герцем в 1887г. , а в 1896 г. А.С. Попов нашёл практическое применение этим волнам в радиоустройствах. Во второй половине XIX в. ставятся опыты по обнаружению электромагнитного эфира. Как известно, явление аберрации объяснялось волновой природой света на основе гипотезы об абсолютной неподвижности эфира. Опыт И. Физо по распространению света в движущейся воде мог быть объяснён на основе гипотезы частично увлекаемого эфира. В 1881 г. А. Майкельсон ставит опыт, результат которого можно объяснить , исходя из гипотезы абсолютно увлекаемого эфира. Эти противоречия в теории эфира заставили А. Эйнштейна в 1905 г. по 39

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

новому взглянуть на природу электромагнитного поля, по новому оценить свойства пространства и времени. В основу рассуждений он взял два постулата: 1) во всех инерциальных системах отсчёта все физические процессы протекают одинаково при одинаковых условиях; 2) в однородной изотропной среде свет распространяется с одной и той же скоростью по всем направлениям. Скорость света максимальна в вакууме. А. Эйнштейн отказался от гипотетического эфира и одновременно признал реальность электромагнитного поля. Начиная с 1905 г. физики и философы различают два вида материи: вещество и поле. С развитием общей теории относительности было введено понятие гравитационного поля, в ядерной физике – ядерного поля. Когда в 1923 г. де – Бройль высказал гипотезу о том, что частицы вещества могут характеризоваться длиной волны, чёткая грань различия между веществом и полем стала стираться. Квантовая механика теоретически утвердила волны де – Бройля, а опыты Девиссона по дифракции электронов в 1927 г. экспериментально подтвердили корпускулярно – волновую природу элементарных частиц. В 1932 г. было обнаружено явление «аннигиляции», состоящее в том, что при встрече электрона (частицы) с позитроном (античастицей) они превращались в кванты электромагнитного поля: e −1 + e +1 → 2hν . Аннигиляция подтвердила научное положение о единстве материального мира. Процесс оказался обратимым. Это означало, что высказанная в теории относительности идея о материальности поля имеет экспериментальные доказательства. В настоящее время аннигиляция наблюдается при встрече любой частицы с соответствующей античастицей. Если энергия кванта достаточна ( с точки зрения закона сохранения и превращения энергии), то такой γ- квант способен породить пару: частица + античастица: p +1 + p −1 → 2hν и наоборот: 2hν → p +1 + p −1 . Множитель 2 в формуле следует из закона сохранения количества движения. Перечислим общие черты и различия вещественных тел и полей. 1) В настоящее время под полем понимают вид материи, существующей в пространстве и времени. Таким образом, первое что объединяет вещество и поле, это то, что и вещество и поле являются видами материи. 2) Поле подобно веществу имеет различные формы и состояния; электромагнитная, гравитационная, ядерная формы. 3) Как вещественные тела, так и поля обладают количеством движения, моментом количества движения, энергией, т. е. всеми основны40

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ми характеристиками материальных тел. 4) Элементарные частицы вещества и поле обладают волновыми свойствами. 5) Элементарные частицы вещества и поле, его кванты, проявляют корпускулярные свойства. 6) Вещество и поле подчиняются общим законам сохранения. 7) Вещественные объекты могут превращаться в полевые и наоборот. Но у них есть и различия. 1) Вещественные тела ограничены в пространстве. В месте нахождения одного вещественного тела не может находиться другое вещественное тело. Для полей же справедлив принцип суперпозиции: в одной пространственной области возможна локализация множества одинаковых и различного типа полей. 2) Все вещественные тела обладают массой. Полевые объекты, например, фотоны, не имеют массы. 3) Вещественные тела могут двигаться и равномерно и ускоренно, в то время как изученные достаточно хорошо электромагнитные волны распространяются в однородной изотропной среде всегда с постоянной скоростью. 4) У вещественных частиц (микрообъектов) обнаружены специфические свойства: странность, изотопический спин и другие, отсутствующие у квантов электромагнитного поля. Существование двух видов материи, их взаимная превращаемость, подтверждают единство и неисчерпаемость материального мира.

41

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

42

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Глава 2 Кристаллическая решётка § 1. Различные состояния материи Выше мы установили, что материя существует в двух видах: в виде вещества и в виде поля ( гравитационного, электромагнитного, ядерного и т. д.). Рассмотрим различные агрегатные состояния материи. Газообразное состояние. Структурные частицы вещества находятся на больших расстояниях друг от друга, слабо взаимодействуют друг с другом, в результате чего вещество не имеет ни собственной формы, ни собственного объёма, нет ни ближнего, ни дальнего порядка в расположении частиц газа. При сближении частиц газообразного вещества начинают проявляться силы притяжения. Обнаруживается ближний порядок в расположении частиц, хотя отдельные группы ещё располагаются хаотично. Переход из газообразного состояния к жидкому происходит при постоянстве температуры и сопровождается скачкообразным изменением некоторых свойств. Внутренняя энергия жидкости меньше, чем у газа, поэтому при конденсации происходит выделение так называемой энергии конденсации. Такой процесс называется фазовым переходом 1-го рода. Благодаря наличию притяжения между частицами, жидкость обладает собственным объёмом, но не имеет собственной формы и лишь занимает в поле тяжести Земли нижнюю часть сосуда. Дальнейшее сближение частиц жидкости, которое можно получить путём охлаждения или сжатия, или и того и другого вместе, приводит к переходу в третье агрегатное состояние – твёрдое состояние. Этот переход также сопровождается скачкообразным изменением некоторых свойств и также является фазовым переходом 1- го рода. Вещество в твёрдом состоянии обладает собственной формой и объёмом (внешние признаки), имеет ближний и дальний порядок в расположении частиц, составляющих это тело (внутренний признак), т.е. правильное расположение структурных частиц по узлам воображаемой пространственной кристаллической решётки. 43

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Четвёртым агрегатным состоянием вещества является плазма. Плазма – это совокупность положительно и отрицательно заряженных частиц. В отдельных своих проявлениях плазма ведёт себя подобно газам, жидкостям и, даже, твёрдым телам. Например, плазма оказывает внешнему магнитному полю очень большое противодействие, подобно тому, как твёрдое вещество противодействует внешней механической силе. Пятым агрегатным состоянием является нейтронное состояние вещества. Его предсказывал советский физик Ландау. При гигантских давлениях, например, в звёздах, возможно вхождение электронной оболочки в ядро. Произойдёт нейтрализация протонов и электронов. Вещество будет состоять из одних нейтронов. Плотность такого вещества в миллион раз больше плотности его в обычном «земном» состоянии. Есть доказательства существования таких нейтронных звёзд.* Шестым состоянием является состояние эпи – плазмы (сверхплазмы). При ещё более высоких давлениях, чем в нейтронных звёздах, при всяком столкновении двух частиц должны рождаться пары: частица + античастица. В целом система будет нейтральной, но с другими свойствами, чем в нейтронном состоянии. Так как вещество будет состоять из заряженных частиц, то его назвали эпиплазмой, по сходству с плазмой. Это состояние экспериментально ещё не обнаружено. Учёные предполагают, что в мировом пространстве могут происходить процессы с гигантской концентрацией энергии. Тогда при взаимодействии сталкивающихся частиц возможно рождение не только электронно – позитронных, нуклонно – антинуклонных пар, но и пар из частица + античастица, масса которых превышает массу нуклона, протона или нейтрона. Такие частицы обнаружены на Земле и получили название гиперонов. Состояние вещества, при котором в нём будут рождаться гипероновые пары, назвали гиперонным или седьмым состоянием. Гиперонные звёзды также ещё не обнаружены. У электромагнитного, ядерного и других полей помимо обычно * Считается, что нейтронные звёзды образуются на последнем этапе эволюции обычных звёзд при условии, что их масса не менее 8 масс Солнца. Радиус нейтронных звёзд порядка 10 километров, а температура ~ 10 4 K , но быстро уменьшается из –за мощного нейтронного излучения внутренних слоёв. Предполагается, что вещество нейтронной звезды находится в сверхтекучем состоянии. Только этим можно объяснить малый ( 10 −2 с ) период обращения звезды вокруг своей оси. Эти звёзды являются мощными источниками радио – и рентгеновского излучения.

44

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

наблюдаемого состояния обнаружено ещё одно – так называемый физический вакуум. В классической физике под вакуумом понимали пустое пространство. В современной физике под ним понимают особое нулевое, энергетически наинизшее состояние различных полей (электромагнитного, электронно – позитронного, ядерного и т. д.). Это состояние материи экспериментально проявляет себя в ряде явлений микромира. Теоретически физический вакуум был предсказан английским физиком П. Дираком в его релятивистской теории электрона. Является ли это состояние последним ? Открытые в 60 –х гг. XX века непонятной природы звёздные образования – квазары – дают возможность ответить на этот вопрос отрицательно.

§ 2. Структура твёрдого тела. Кристаллическая решётка Наличие ближнего и дальнего порядков в расположении структурных частиц внутри твёрдого тела обнаруживается следующим образом. 1) Правильность и повторяемость внешней формы естественных или искусственно выращенных кристаллов указывает на правильность внутреннего расположения частиц, образующих твёрдое тело. Правильная внешняя форма монокристаллов определяется углами между его гранями. Каждое вещество имеет характерные для него углы. Это позволяет производить кристаллографический анализ различных веществ. 2) Анизотропия физических свойств указывает на определённый порядок в расположении частиц тела. Анизотропия свойств твёрдого тела проявляется в том, что электропроводность, теплопроводность, механические и другие свойства его по разным направлениям могут оказаться разными. Если бы в твёрдом теле отсутствовал ближний и дальний порядок, как, например, в газах, то физические свойства по разным направлениям усреднялись бы. Если же предположить какое – то организованное расположение частиц твёрдого тела, то сразу же объясняется анизотропность его свойств. Пусть внешнее механическое действие приложено так, как показано на рисунке 9. В отличие от газов и жидкостей, твёрдые тела передают производимое на них давление по направлению действия силы. Так как между частицами А и Д, С и Д разные расстояния, то и силы взаимодействия между соответствующими парами частиц не равны. Поэтому величины деформаций в этих направлениях будут неодинаковы. Подобно же объясняется анизотропность и других свойств. Говоря об анизотропии твёрдого тела, мы имеем в виду анизотропию монокристаллического образца этого тела. Его можно вырастить из расплава или раствора при оп45

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ределённых физических условиях. (Встречаются монокристаллические образцы твёрдых тел и в природе). Трудность выращивания монокристалла заключается в том, что в различных частях расплава практически одновременно возникают центры кристаллизации. Под центрами кристаллизации понимаем правильное расположение частиц расплава в области порядка нескольких атомРис. 9. ных расстояний. Так как отдельные центры кристаллизации расположены относительно друг друга произвольно, то вместо монокристалла из расплава выделяется поликристалл. Он состоит из отдельных блоков монокристаллического строения. Монокристалл обладает анизотропными свойствами, поликристалл, в силу хаотичного расположения блоков, имеет изотропные свойства. 3) Следующее подтверждение наличия порядка внутри твёрдого тела находят в явлении полиморфизма, которое состоит в том, что одно и то же вещество может находиться в состояниях с различной внутренней структурой, что и проявляется в различии свойств этих состояний. Примером могут служить α и γ- железо, белое и серое олово, алмаз, графит, карбин и фуллерены.* Приведём пространную справку о фуллеренах, так как на примере открытия, изучения свойств и применения их можно увидеть неисчерпаемость физики твёрдого тела. Теоретически фуллерены были предсказаны в 1970 г. японскими учёными Е. Осава и З. Иошида, экспериментально фуллерены были получены в 1985 г. английским учёным Крото. В отличие от графита * Алмаз – уникальное вещество. Он имеет самую большую теплопроводность (в 5 раз превосходящую теплопроводность меди и серебра), самую высокую упругость, что обуславливает наибольшую скорость звука в нём, самый низкий коэффициент теплового расширения; чистый алмаз - прекрасный изолятор. При введении примесей может быть полупроводником как электронного, так и дырочного типа; он устойчив к воздействию агрессивных сред; прозрачен для электромагнитного излучения в диапазоне длин от 225 нм до 1 мм; биологически инертен.

46

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

фуллерены хорошо растворяются в органических растворителях, это позволяет выделить фуллерены из сажи. В 1992 г. это вещество было обнаружено и в природном углеродном минерале – шунгите, у посёлка Шуньга в Карелии. Наиболее изучен фуллерен C 60 . Атомы углерода располагаются на поверхности шара в вершинах пятиугольников (пентагонов) и шестиугольников (гексагонов). Молекула C 60 напоминает футбольный мяч, имеющий 12 чёрных пентагонов и 20 белых гексагонов. Молекулы

C60 могут кристаллизоваться , образуя кубическую решётку. Меж-

ду атомами фуллерена проявляются ковалентные связи, между молекулами в кристалле – Ван дер Ваальсова связь, а в фуллеренах щелочных металлов A3 C 60 (АєК, Rb, Cs ) – связь ионная. Существуют фуллерены

C36 (12 пентагонов, 2 гексагона), C70 , C72 , C78 , C82 , предсказано

существование кристаллов из молекул

C168 , C192 , C 216 .

В 1991 г. было установлено, что фуллерен, легированный калием, становится сверхпроводником ( Tкр ми металлами (кроме Na) -

~ 18K ), с другими щелочны-

Tкр ~ 42 K , а легированные медью имеют

Tкр > Tжид. азота. В 1991-1992 г. было установлено, что фуллерены, легированные йодом и бромом, становятся ферроматнетиками. Благодаря своим уникальным свойствам, фуллерены представляют большой интерес как в теоретическом, так и в практическом плане. 4) Ряд веществ имеют одинаковый состав, но различные физические и химические свойства. Это явление изомерии можно объяснить только различием в расположении структурных частиц. Рассмотрим изомерию на примере бутана и изобутана. Их структурные формулы соответственно Отсюда различны и все другие свойства, в частности температура плавления и кипения у бутана t пл

= −138.9 0 C и t кип = −0.5 0 C , а у изобута47

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

CH 3 − CH 2 − CH 2 − CH 3 и CH 3 − CH − CH 3

.

CH 3 на они равны

t пл = −139.4 0 C , t кип = −11.7 0 C .

5) Рентгено-, электроно-, нейтроно – структурные анализы также свидетельствуют о наличии дальнего и ближнего порядков в твёрдом теле. Благодаря определённому расположению структурных частиц при облучении твёрдого тела рентгеновскими лучами, потоками электронов или нейтронов получается специфическая дифракционная картина, которой не было при хаотичном расположении составляющих тело частиц. В физической химии возникло направление – кристаллохимия. С помощью методов этой науки удаётся определить пространственное положение частиц в твёрдом теле, расстояние между ними и другие характеристики кристаллической решётки. Все предыдущие рассуждения относились к истинно твёрдым, т. е. к кристаллическим телам. Их надо отличать от аморфных твёрдых тел, которые являются, по сути дела, переохлаждёнными жидкостями. Энергетически состояние таких веществ (стекло, вар и т. д.) неустойчиво, поэтому с течением времени они самопроизвольно превращаются в кристаллические твёрдые тела. По одним свойствам (текучесть, изотропность) аморфные тела похожи на жидкость, по другим – на твёрдые тела (они проявляют к кратковременным механическим воздействиям свойства твёрдости, подобно кристаллическим твёрдым телам). Говоря о правильном расположении структурных частиц кристаллического твёрдого тела, мы понимаем под этим то, что внутреннюю структуру кристаллического твёрдого тела можно воспроизвести, если мысленно переносить на определённые расстояния структурные элементы твёрдого тела. В одних случаях такими элементами могут быть отдельные атомы или ионы какого-нибудь вещества. В других случаях структурные элементы образуют определённые конфигурации, получившие название «элементарных ячеек». Говорят, что кристаллическая решётка обладает симметрией относительно отражений, поворотов и трансляций (переносов). Таким образом с помощью этих трёх элементов симметрии можно, имея одну «элементарную ячейку», воспроизвести внутреннюю структуру всего кристалла. Структурные частицы решётки чрезвычайно плотно заполняют внутреннюю полость ячейки, на долю пустот между атомами, 48

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ионами или молекулами, которые мы представляем себе шарами, остаётся минимальный объём. Если вещество состоит из частиц разного размера, то частицы меньшего размера располагаются в пустотах плотной упаковки частиц большего размера. Так, например, возникает плотная упаковка в кристалле NaCl. Образованием различных плотных упаковок структурными элементами одного сорта объясняется явление полиморфизма. При сближении структурных элементов друг к другу наряду с силами притяжения проявляются и силы отталкивания. Силы взаимодействия частиц решётки по-разному зависят от расстояния между ними. Существует определённое расстояние, так называемая постоянная кристаллической решётки, на котором силы притяжения и отталкивания уравновешивают друг друга. Оно зависит не только от характера взаимодействия частиц в элементарной ячейке, но и от числа их в этой ячейке, от их расположения в ней. Из всевозможных случаев расположения частиц осуществляются только те, которые при данной конфигурации, характере взаимодействия и числе частиц дают наибольший выигрыш во внутренней энергии системы. Поэтому важной характеристикой кристаллической решётки является координационное число. Это число показывает , сколько ближайших соседей имеется у данного структурного элемента решётки. Например в решётке германия около каждого атома имеется четыре ближайших соседа, координационное число для данной решётки равно 4. В кристаллической решётке NaCl около каждого иона располагаются шесть ближайших соседей – ионов разноимённого знака заряда, в решётке NaCl координационное число равно 6. В кристаллической решётке меди координационное число равно 12 и т.д. В триаде «состав – строение – свойства» исключительно важную роль играет строение, поскольку даже при идентичном химическом составе вследствие изомерии или полиморфизма вещества могут иметь различное строение. Наличие химических связей между структурными частицами выясняют, анализируя расстояния между ними. Прочным связям соответствуют короткие межатомные расстояния. Именно это является критерием установления координационного числа. В тех случаях , когда атомы обладают постоянной валентностью (например C,H,N,O и др.), определение координационного числа не представляет затруднений. Но существуют элементы, способные проявлять переменную валентность, поэтому и координационное число меняется у этих элементов от соединений к соединению. Например, атомы двухвалентной меди по отношению к атомам кислорода могут проявлять координационное число 4, 5, 6, и 7, из которых наиболее часто встречается координационное число 6. 49

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Образуя кристаллическую решётку, структурные элементы (атомы, молекулы, ионы) теряют свою индивидуальность. Например, у отдельного атома спектр испускания или поглощения – линейчатый спектр, у твёрдого же тела сплошной (гл.1 § 4). Каждый атом в свободном состоянии характеризуется радиусом сферы электронной оболочки. Когда атомы вступают во взаимодействие, образуя элементарную ячейку, то происходит взаимное проникновение электронных оболочек взаимодействующих атомов (ионов, молекул). Поэтому эффективный радиус структурных частиц меньше радиуса свободных атомов. Например, изолированный атом водорода имеет радиус 0

R H = 0.53 A , расстояние же между ядрами в молекуле водорода 0

R H 2 = 0.75 A , следовательно, на каждый атом приходится в сред0

0

−10

нем 0.38 A ( 1 A = 10 м ). Различные вещества обладают различными типами кристаллических решёток и элементарных ячеек. Наиболее распространена кубическая элементарная ячейка, структурные элементы в ней расположены по вершинам куба; гранецентрическая элементарная ячейка, в которой имеются ещё дополнительные структурные элементы в местах пересечения диагоналей боковых граней; объёмно-центрированная элементарная ячейка, в такой ячейке дополнительный структурный элемент находится в месте пересечения объёмных диагоналей. Элементарные ячейки характеризуются шестью элементами: тремя углами между сходящимися рёбрами и тремя отрезками – рёбрами элементарной ячейки (рис.10). Если a = b = c и

α = β = γ = 90 0 , то

имеем кубическую элементарную ячейку. Придавая α , β , γ и a, b, c возможные значения, можно получить разные элементарные ячейки [Рис.10, Табл.5, Прил.5] В сложных соединениях отдельные химические элементы или их группы могут образовать в кристаллической решётке дополнительное упорядоченное расположение. В этом случае говорят о подрешётках кристаллической решётки. Например, в кристалле NaCl имеется две подрешётки; подрешётка ионов натрия и подрешётка ионов хлора, которые вдвинуты одна на другую. 50

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Табл. 5

Если один какой-нибудь узел пространственной решётки, в котором находится структурный элемент тела, принять за начало координатной системы, то положение всех остальных структурных элементов будет определено заданием их координат. В этом смысле также понимают правильность ближнего и дальнего порядка в кристаллическом теле. Положение любого узла кристаллической решётки можно определить тремя координатами: am, bn, ck , где

Рис. 10.

a, b, c - длина рёбер элементарной ячейки. Если длину в соответствующих направлениях измерять в единицах а, b, c, то положение узла определится заданием целых чисел m, n, k. Символически индексы узла записываются так: [[m, n, k]]. Очень важно определить в кристаллической решётке или элементарной ячейке направление, которое имеет линия, проходящая через начало координат и данный узел. Символически направление линий за-

[

]

писывается так: m, n, k , где m, n, k – есть индексы первого узла, через который проходит линия данного направления (m, n, k – индексы Вейсса, для эквивалентных направлений используется символика < m, n, k >). Положение плоскости, проходящей через какой-нибудь узел решётки, определяется отрезками, которые она отсекает на осях коорди51

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

нат A, B, C. Обычно в качестве индексов плоскости берут целые числа h, f, l ,которые относятся между собой также, как относятся между собой величины

1 1 1 : : . Символически индексы плоскости записываются так: (h, f, l) A B C

(h, f, l – индексы Миллера) . Для эквивалентных плоскостей используется символика {h, f, l }. * Дополнение: Квазикристаллы. В 1984 году был обнаружен сплав алюминия с марганцем

Al0,86 Mn0,14 , образец которого, рассеивая пучок электронов, давал на фотопластинке ярко выраженную дифракционную картину с симметрией 5-го порядка в расположении дифракционных максимумов (симметрия икосаэдра – многогранника, имеющего 20 граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник, 12 вершин и 30 рёбер (см. рис.11); икосаэдры нельзя упаковать так, чтобы они плотно, без зазоров, заполняли всё пространство, поэтому они не могут служить ячейками кристаллов). Наличие резких дифракционных максимумов свидетельствует о наличии в структуре дальнего порядка в расположении атомов, характерного для кристаллов. Однако симметрия 5-го порядка невозможна, именно поэтому обнаруженное вещество (и обнаруженные впосРис.11. ледствии) получили название квазикристаллов. У других квазикристаллов были установлены оси симметрии 7, 8, 10, 12 и т.д. порядков, запрещённые для кристаллов. Поэтому ныне под квазикристаллами принято понимать твёрдые металлические сплавы с дальним порядком, дифракционные пики которых обладают некристаллографической симметрией. Открытие квазикристаллической фазы в системе Al – Cu – Li и других показало, что квазикристаллы могут быть устойчивыми вплоть до температуры плавления и расти практически при равновесных условиях, как и обычные кристаллы. Физические свойства квазикристаллов отличаются от свойств других металлических систем. Квазикристаллы не изоляторы и не по-

* Дополнительный материал помещён в Прил.4.

52

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

лупроводники, но в отличии от металлов их сопротивление при низких температурах аномально велико. С другой стороны, электроны дают линейный в зависимости от температуры вклад в теплоёмкость, он меньше, чем у металлов (у диэлектриков подобного вклада в теплоёмкость нет), но указывает на наличие свободных носителей заряда (как в металлах) . Практически все квазикристаллы – диамагнетики, исключение составляют сплавы с марганцем, являющиеся парамагнетиками. В настоящее время открыто более 200 квазикристаллов. Эти объекты пока не нашли практического применения, природа квазикристаллов – ещё неразрешённая задача.

§ 3. Типы связи структурных элементов кристаллической решётки Различают пять типов взаимодействий структурных элементов кристаллической решётки, с помощью которых образуется всё великое многообразие твёрдых тел. 1. Ван- дер-Ваальсова связь. Она присутствует во всех кристаллических решётках, хотя не во всех случаях является преобладающей. При помощи этой связи взаимодействуют атомы инертных элементов, эта связь проявляется при образовании твёрдого водорода. Различают три части этой связи. а) У атома водорода или инертного элемента нет электрического момента, т. к. электронная оболочка обладает сферической симметрией. Однако, в каждый момент времени электрон имеет отличный от →

нуля электрический момент

→

→

p = −e r , где r - радиус-вектор электро-

на относительно ядра. При сближении двух атомов они вступают во взаимодействие. Это проявляется том, что электроны изменяют характер своего движения, они начинают двигаться согласованно, синхронно. Атомы превращаются в диполи (диполь – совокупность двух равных, но разноимённых зарядов, находящихся близко друг от друга; произведение заряда диполя на расстояние между зарядами называется электрическим моментом диполя ). Этот тип связи имеет чисто квантовое происхождение. Возникающие силы взаимодействия называются дисперсионными силами, а энергия – дисперсионной энергией взаимодействия (см. Прил.6). 53

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

б) Ориентационная часть связи Ван-дер-Ваальса. Если атомы уже обладают отличным от нуля электрическим моментом, то дипольное взаимодействие атомов создаёт силы сцепления. В отличие от предыдущего случая ориентационные силы ослабевают при повышении температуры из-за разориентирующего действия теплового движения. в) Индукционная часть связи Ван-дер-Ваальса. Если атомы не обладают постоянным электрическим моментом, но легко поляризуются, то при их сближении возникают индукционные электрические моменты, взаимодействие которых порождает силы притяжения. Такой случай встречается в решётке NaCl, где структурные частицы Clлегко поляризуются. Все три части взаимодействия Ван-дер-Ваальса имеют один и тот же закон убывания с увеличением расстояния:

F~

1 . R7

Первая и третья части Ван-дер-Ваальсова взаимодействия не зависят от температуры. В силу быстрого убывания Ван-дер-Ваальсовых сил, взаимодействие структурных частиц решётки в этом случае очень слабо. Поэтому твёрдые тела, в которых основными силами взаимодействия между частицами являются силы Ван-дер-Ваальса ,мягки, слоисты, имеют низкую температуру плавления (нафталин). 2. Ионная связь. Этот тип связи возникает между такими структурными элементами решётки, которые диаметрально противоположны по своим физическим и химическим свойствам. Например, щелочные металлы и галогены образуют кристаллическую решётку, основной связью в которой являются силы ионного происхождения. Один элемент такой решётки должен легко отдавать валентные электроны, другой должен иметь большое химическое сродство к электрону, он принимает электроны в свою оболочку, достраивая её до оболочки инертного элемента. Образовавшиеся ионы взаимодействуют согласно закону Кулона. Ионная связь в сотни раз превышает силы Ван-дерВаальса. Так как электронные оболочки ионов совпадают с оболочками инертных элементов, то ионы слабо взаимодействуют с видимым светом, кристаллы с ионной связью прозрачны для видимого света. Каждая элементарная ячейка в ионной решётке окружена подобными же ячейками, поэтому невозможно однозначно указать, от какого атома металла к какому атому галоида происходит переход валентного электрона. В случае ионной связи невозможно говорить о молекуле ионного соединения в обычном смысле этого слова. Фактически весь 54

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

кристалл является единой большой молекулой. 3. Атомная связь. Атомная или валентная связь также имеет квантовое происхождение. Она обладает направленностью и насыщением. Только такой связью можно объяснить существование соединений типа H2 , O2 , N2 и т.д. , а также атомных кристаллов типа алмаза, германия. При сближении структурных частиц происходит обобществление валентных электронов. Два атома осуществляют валентную связь, превращая два валентных электрона в общие электроны. Именно благодаря этому связь имеет направленный характер: от атома к атому (рис.12). При образовании элементарной ячейки во взаимодействие вступают столько близлежащих атомов, сколько необходимо благодаря коллективизации электронов, чтобы превратить валентную электронную оболочку атома в оболочку инертного элемента. Координационное Рис. 12. число в случае валентной связи, как правило, определяется разностью 8-N , где N- валентность структурного элемента. Например, германий – 4-х валентный, его координационное число =4; мышьяк находится в 5 группе таблицы Менделеева, имеет координационное число 3; селен - 2 и т.д. Четыре атома германия образуют четыре направленные валентные связи (рис.12). Таким образом эта связь обладает свойством насыщения, каждый атом может взаимодействовать лишь с определённым числом окружающих атомов. Атомная связь несколько сильнее ионной связи, поэтому валентные кристаллические решётки являются очень устойчивыми, кристаллы очень тверды (алмаз), имеют высокую температуру плавления. Изобразим графически образование валентной связи при помощи изменения конфигурации электронного облака (рис.13). Для изолированных атомов изолированные облака распределены как показано на рис.13а. Наибольшую плотность электронное облако имеет вблизи ядра. После образования валентной связи оно принимает вид рис.13б (сплошная линия). Наличие электронного облака между ядрами создаёт условия для осуществления притяжения ядер атомов. Электронное облако компенсирует электростатическое отталкивание положительно заряженных ядер. Рассмотрим более сложный вариант возникновения ковалентной связи, так называемую донорно-акцепторную связь: Д:+ТА=Д:А, где Д: - атом (донор), отдающий сразу два электрона(:), спины которых антипараллельны; ТА – атом (акцептор), принимающий эту пару электронов. Трихлорид вольфрама с хлоридом калия образует комплекс 55

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2WCl3 ⋅ 3KCl ≡ K 3 [W2 Cl9 ]. Из структуры кластера (аниона [ W2Cl 9] ) видно, что каждый атом вольфрама со степенью окисления W3+ характеризуется девятью ковалентными связями, из которых три образованы по обменному механизму, а шесть валентных связей с шестью атомами хлора – по донорно-акцепторному способу. 4. Металлическая связь. При наличии так называемой металлической связи происходит Рис. 13. обобществление валентных электронов не парой атомов, а всеми атомами кристалла. Кристалл металла можно рассматривать в виде совокупности положительно заряженных ионов, расположенных по узлам кристаллической решётки, внутри которой движется отрицательно заряженный электронный газ. Металлическая связь по силе равна валентной связи, поэтому металлы тверды, тугоплавки. Так как валентные электроны свободны, то они активно взаимодействуют с электромагнитным излучением, поглощая его. Свободные валентные электроны создают большую электропроводность металлов. На основании рентгеноструктурного анализа можно представить следующую примерную картину распределения электронного облака в металлах (рис.13б (пунктирная линия)). Из рисунка видно, что в основном свободные валентные электроны находятся в междуузельном пространстве, где плотность электронного облака почти постоянна. Во всех кристаллических решётках структурные частицы взаимодействуют с помощью рассмотренных выше четырёх типов связи. Обычно один из типов взаимодействия является преобладающим. Однако всегда присутствуют другие виды связи, их вклад может быть немалым. На примере кристаллической решётки графита можно убедиться в этом. Подобно атому углерода в алмазе, атом углерода в графите имеет также четыре ближайших соседа, три из них расположены в одной плоскости с данным, а четвёртый находится в соседней параллельной атомной плоскости (рис.14). Из четырёх 56

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

валентных электронов три участвуют в атомной связи в данной плоскости, четвёртый обладает большей свободой, так как связь его с четвёртым координационным атомом, который находится в соседней атомной плоскости, слаба. Этот электрон способен перемещаться вдоль атомной плоскости и осуществлять тем самым металлическую связь. Именно поэтому графит является хорошим проводником электрического тока. Атомные плоскости графита взаимодействуют при помощи Ван-дерВаальсовой связи, она слаба, в силу чего Рис. 14. графит легко расслаивается, он мягок, чешуйчат. Вместе с тем, из-за сильной валентной и металлической связей графит имеет высокую температуру плавления – 38500С. 5. Водородная связь. Этот тип связи не является самостоятельным. Он, в основном, носит характер взаимодействия электрических зарядов. Однако эта связь не ионного и не Ван-дер-Ваальсова характера, не является она и ковалентной. Такая сложность толкования водородной связи определяется тем, что образование её обусловлено не только «отходом» электрона атома водорода от своего ядра к соседнему атому (как, например, в молекуле воды H2O), но и тем, что «оголённый» протон сам проявляет свои электрические «способности», имея положительный электрический заряд (см.рис.15). Всё это и создаёт ту связь, которую принято называть водородной. Из всех видов связей водородная связь самая слабая. Именно этому виду связи обязаны свойства воды: её температуры плавления и кипения, её большая диэлектрическая проницаемость и т. д.

§ 4. Графическое изображение сил и энергий взаимодействия между частицами вещества В предыдущем параграфе мы выяснили, что в твёрдом теле меж57

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ду структурными частицами (атомами, молекулами и ионами) возможны пять типов взаимодействий, осуществляющих притяжение частиц друг к другу. Но почему же частицы тела не сближаются вплотную? Что препятствует этому? Рис.15. Объясняется это тем, что наряду с силами притяжения между частицами тела одновременно действуют и силы отталкивания, обусловленные, в основном, электрическим взаимодействием электронных оболочек сближающихся частиц. На определённом расстоянии между взаимодействующими частицами, характерном для каждого типа взаимодействия, силы отталкивания уравновешивают силы притяжения. Это расстояние является характеристикой кристаллической решётки, построенной из данных частиц, взаимодействующих по данному типу связи и называется постоянной кристаллической решётки. Изобразим графически взаимодействие двух соседних структурных частиц решётки (рис.16). Силы притяжения и силы отталкивания по разному изменяются с расстоянием. Условно будем считать силы притяжения отрицательными, тогда силы отталкивания будут положительными силами. Результирующая сила взаимодействия получается алгебраическим сложением этих составляющих сил. На расстоянии, меньшем постоянной решётки преобладают силы отталкивания, на большем расстоянии – силы притяжения. В пределе, когда расстояние между частицами увеличивается до бесконечности (практически, до нескольких постоянных решётки), результирующая сила взаимодействия асимптотически стремится к нулевому значению. На основании графика результирующей силы (рис.16а) можно построить качественную кривую изменения энергии взаимодействующих структурных частиц решётки. Наименьшей энергией они будут обладать в состоянии равновесия, когда расстояние между ними равно постоянной кристаллической решётки r0 . На больших или меньших расстояниях, чем r0 , система из двух взаимодействующих частиц будет находиться в менее устойчивом состоянии, а следовательно она будет обладать большей энергией. Учитывая, что на бесконечно большом 58

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

а

б Рис.16.

расстоянии энергия частиц равна нулю, мы получаем такой ход кривой энергии, какой изображён на рис. 16б: энергия имеет минимум, причём ход кривой несимметричен относительно равновесного положения. Это оказывается чрезвычайно важным обстоятельством, так как позволяет понять многие свойства твёрдых тел.

§ 5. Качественное объяснение линейного расширения твёрдого тела Для объяснения линейного расширения твёрдого тела воспользуемся графиком энергии взаимодействия двух структурных частиц твёрдого тела (рис.17). Учтём несимметричный ход этой кривой вблизи минимума, так называемого «дна» потенциальной кривой или потенциальной «ямы». При абсолютном нуле температуры вторая частица должна находиться в точке А (мы пренебрегаем нулевыми квантовыми колебаниями) на расстоянии ОА от первой частицы. При сообщении твёрдому телу некоторого количества энергии увеличивается внутренняя энергия структурных частиц. Обладая 59

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

большей энергией по сравнению с её равновесным значением, частицы могут совершить работу по преодолению сил притяжения и разойдутся на расстояние, большее чем r0 . В результате притяжения частицы остановятся, начнут сближаться и, пройдя по инерции положение равновесия, они окажутся на таком расстоянии друг от друга, на котором силы отталкивания смогут остановить частицы и повернуть их движение в обратную сторону. При температуре выше 0К структурные частицы решётки находятся в постоянном колебательном движении относительно друг друга. Если бы колебание носило гармонический характер и кривая потенциРис.17. альной энергии была симметрична относительно линии АВ, то никакого линейного расширения кристаллическая решётка не испытывала бы. Действительно, при температуре Т1≠0К вторая частица будет колебаться вблизи первой частицы , перемещаясь в направлении оси r так, что её крайние состояния на потенциальной кривой изобразятся точками C и Е . При температуре Т=0К вторая частица находилась в точке А, что соответствовало точке В на потенциальной кривой. При температуре Т1≠0К вторая частица будет колебаться около нового среднего положения – точки А1 (середина отрезка СЕ). При температуре Т2 >Т1 крайние состояния второй частицы на потенциальной кривой изобразятся точками С2 и E2. Точка А2 – это середина отрезка С2Е2 , в пределах которого будет колебаться вторая частица. При нагревании среднее расстояние между частицами ОА, ОА1, ОА2 ј увеличивается. Этим объясняется обычное линейное расширение твёрдого тела. Однако известно, что ряд веществ (в том числе чугун) ведут себя аномально: вместо расширения при нагревании сжимаются. Зная структуру твёрдого тела, мы можем объяснить это явление перестройкой кристаллической решётки, увеличением плотности упаковки. В результате конкуренции обычного процесса расширения и сжатия при увеличении плотности упаковки, может оказаться преобладающим 60

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

второй процесс. И тело при нагревании будет не расширяться, а сжиматься. Подобно же объясняется особенность расширения воды при нагревании от 0°С до 4°С. Образовавшаяся при таянии вода сохраняет ещё рыхлую упаковку, присущую льду. При нагревании до 4°С плотность упаковки молекул воды увеличивается и это оказывается преобладающим фактором в поведении воды при нагревании от 0°С до 4°С.

§6. Количественное объяснение линейного расширения твёрдого тела Учитывая негармонический характер движения частиц в решётке, составим с точностью до членов второго порядка малости выражение для результирующей силы взаимодействия этих частиц:

F = − βx + bx 2 . Коэффициент b не равен нулю, иначе получилась бы обычная гармоническая сила F = − βx , но, как было показано в Гл.2 § 5, при таком законе изменения силы решётка не расширялась бы при нагревании. В формуле под x мы понимаем расстояние между взаимодействующими частицами. В состоянии равновесия средняя результи−

−

−

рующая сила равна 0, т.е. F ср = − β x+ b x 2 , откуда −

−

b x2 x= . β

(2.6.1)

Потенциальная энергия взаимодействия частиц также с точностью до членов второго порядка малости представится формулой: W =

βx 2 ; ус2

редняя её, получим: −

β x2 . (2.6.2) 2 Воспользуемся теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы (подробнее об этой теореме см. в Гл.2 §11) . Мы рассматриваем одномерное движение, т.е. у нас одна степень свободы. Поэтому на основании указанной теоремы −

W =

61

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

−

W =

1 kБT , 2

(2.6.3)

где k Б - постоянная Больцмана. Приравняем правые части равенств (2.6.2) и (2.6.3) : −

β x2 1 = kБT , 2 2 откуда −

kБT . (2.6.4) β Подставим выражение (2.6.4) в формулу (2.6.1). Получаем, что x2 =

−

x=

b k Б T bk Б T = . β β β2

(2.6.5)

Из формулы видно, что среднее расстояние между взаимодействующими частицами кристаллической решётки линейно растёт с ростом температуры. Мы получили закон линейного расширения твёрдых тел: величину коэффициента линейного расширения определим по общему правилу: −

bk Б x α= = . r0T r0 β 2

В нашем приближении коэффициент линейного расширения оказывается постоянной величиной.

§ 7. Расчёт энергии связи в кристаллической решётке Рассмотрим кристаллическую решётку алюминия. Опытным путём определено, что для полного разрушения кристалла Al , взятого в количестве одного кило-моля требуется энергии 29.4 · 10

7

Дж . кмоль

Элементарная ячейка алюминия является гранецентрированной ячейкой. Это означает, что каждый ион Al окружён 12-ю ближайшими соседями. Если энергию W разделим на число ионов в 1к-моле, то 62

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

узнаем энергию, приходящую на один ион решётки.

W1 =

W Дж ≈ 5 ⋅ 10 −19 . N ион

Эта энергия возникает благодаря взаимодействию иона с окружающими его ближайшими соседями. Подсчитаем энергию, приходящую на одну связь. Для этого разделим W1 на число связей: W1 / св

=

W1 . 12

Если учесть, что каждый ближайший из 12 ионов даёт свой вклад в эту энергию (мы учитываем парные взаимодействия), то нужно последнее выражение умножить на 2. Тогда полная энергия, приходящая на одну связь будет равна

W1св =

W1 Дж ≈ 0.83 ⋅ 10 −19 . 6 ион ⋅ связь

Взаимодействие между атомами (ионами)простирается на рассто−10

янии порядка постоянной кристаллической решётки l ~ 10 м. Можно считать, что силы сцепления производят работу на этом пути, возникает энергия взаимодействия, энергия связи: сила связи

Fсв =

W1св = Fсв ⋅ l. Откуда

W1св Н = 0.83 ⋅ 10 −9 . l ион ⋅ связь

Энергия связи (и соответственно, сила связи) является одной из основных характеристик решётки. Она определяет термохимические условия образования кристаллов, устойчивость решётки и связана со многими её свойствами.

§ 8. Расчёт прочности металла Воспользуемся полученными в Гл.2 §7 результатами для подсчёта прочности металла. Разрыв металла означает разрыв связей между ионами. При этом между ними образуются две новые поверхности кристалла. Поэтому сначала подсчитаем поверхностную энергию и коэффициент поверхностного натяжения кристалла. Как в жидкости, по-

63

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

верхностные ионы твёрдого тела также находятся в особых условиях. Можно провести все рассуждения, которые проводятся при рассмотрении поверхностной плёнки жидкости. Как и для жидкости, для характеристики состояния поверхности твёрдого тела можно ввести величины: энергию поверхности и коэффициент поверхностного натяжения. Для их подсчёта нужно знать силу, приходящую на одну связь и число связей, выходящих на 1 м2 поверхности. Определим объём 1 к-моля вещества в твёрдом состоянии (для алюминия):

Al V моль

µ = = ρ

кг 3 к ⋅ моль = 0.01 м . кг к ⋅ моль 2700 3 м

27

Если разделить полученное выражение на число ионов в к-моле, то получим объём одного иона:

ν=

V м3 = 0.16 ⋅ 10 −28 . N0 ион

Для упрощения последующих расчётов предположим, что ион имеет форму куба. Определим ребро такого кубика:

a = 3 ν = 2.5 ⋅ 10 −10 м . Тогда площадь одной грани:

S = a 2 ≈ 6 ⋅ 10 −20 м 2 . Определим число ионов, приходящихся на 1м2 поверхности кристалла:

N1м 2 =

1м 2 = 1.7 ⋅ 1019 (ионов) . − 20 2 6 ⋅ 10 м

В среднем у каждого поверхностного атома алюминия будут нескомпенсированы только три связи. Таким образом всего нескомпенсированных связей, выходящих на 1м2, будет:

N = 3N1 м 2 = 5 ⋅ 1019 (связей ) . На каждую связь приходится энергии:

W1св = 0.83 ⋅ 10 −19

Дж . ион ⋅ связь 64

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

На все нескомпенсированные связи придётся:

Wнеск = W1св ⋅ N = 4.1 Дж. При образовании поверхности нужно учесть, что образуется две поверхности у двух отделившихся друг от друга частей кристалла. Поэтому полную энергию нескомпенсированных связей, которая как раз и будет энергией поверхностного натяжения, можно выразить через коэффициент поверхностного натяжения

Wпов = α ⋅ 2S . Это ра-

венство позволяет нам рассчитать коэффициент поверхностного натяжения для алюминия

α=

Wпов 4.1 Дж Дж = ≈2 2 . 2 2S 2 ⋅ 1м м

Теперь подсчитаем модуль Юнга. Для этого предположим, что вплоть до разрыва наше тело подчинялось закону Гука.Силы связи действуют на расстоянии постоянной решётки.Поэтому для разрыва тела необходимо совершить работу по преодолению сил сцепления на расстоянии, равном постоянной решётки. С одной стороны работа равна F ⋅ l . С другой стороны, благодаря разрыву образуются две новые поверхности и затраченная работа пойдёт на создание этих поверхностей, они будут обладать поверхностной энергией, величина которой равна

α ⋅ 2 S . Откуда F ⋅ l = 2αS или F =

2αS . По определеl

нию, предел прочности σ равен:

σ =

F . S

Подсчитаем его значение:

Дж 2αS 2α 2 ⋅ 2 м 2 = 4 ⋅ 1010 Н . σ = = = −10 lS l 10 м м2 Воспользуемся формулой, справедливой в пределах упругости:

65

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

σ =Е

∆x . x

Из неё можно выразить и рассчитать модуль Юнга:

E= где x

σx Н ≈ 8 ⋅ 1010 2 , ∆x м

= a = 2.5 ⋅ 10 −10 м , ∆x =

a = 1.2 ⋅ 10 −10 м . Экспериментальное 2

же значение модуля Юнга для алюминия 7 ⋅ 10

10

Н . м2

Как видно из приведённых расчётов, даже грубый подход к свойствам кристаллической решётки даёт очень хорошее совпадение с экспериментальными данными. Это говорит о правильности наших представлений относительно строения кристаллической решётки и сил взаимодействия между её структурными частицами.

§ 9. Динамика частиц кристаллической решётки Микроскопическая теория рассматривает свойства физических систем, состоящих из большого числа структурных частиц. Согласно положениям молекулярно-кинетической теории, структурные частицы вещества совершают непрерывные тепловые движения, которые по квантово-механическим представлениям не исчезают и при приближении температуры тела к абсолютному нулю Кельвина. При решении ряда задач физики твёрдого тела делается важное, но оправдываемое экспериментально предположение, что атомы или ионы совершают тепловые движения независимо от движения свободных электронов, образующих в твёрдых телах «электронный газ». Такое приближение в теории называется адиабатическим. В этом приближении можно

66

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

объяснить такие явления, как тепловое расширение твёрдых тел (см. Гл.2,§6), их теплоёмкость, теплопроводность и ряд других важных свойств кристаллов. В динамике кристаллической решётки в гармоническом приближении смещения атомов (молекул, ионов) из их положения равновесия считаются малым по сравнению с постоянной решётки.

Мы получим основные результаты динамики кристаллической решётки, рассматривая её упрощённый вариант – одномерную решётку (рис.18), содержащую тождественные частицы массы m , расположенных вдоль прямой линии на расстоянии a друг от друга (в состоянии равновесия). За начало отсчёта энергии примем энергию в состоянии равновесия и условно припишем этой энергии нулевое значение (задача решается в классическом приближении). Пусть

U n - смещение n - го атома из его положения равновесия.

Будем учитывать взаимодействие лишь ближайших соседей. Тогда равнодействующая сила, которую испытывает n -й атом, равна: F = − β U − U Рис.−18. β U −U , (2.9.1)

(

n

где

n

n +1

)

(

n

n −1

)

β - силовая постоянная, постоянная квазиупругой силы. Классическое уравнение движения n -го атома запишется в виде: mU&& = F = β (U + U − 2U ) . (2.9.2) n

n

n +1

n −1

n

По внешнему виду уравнение (2.9.2) напоминает уравнение плоской волны. Поэтому будем искать его решение в виде:

= A ⋅ exp [i (ω t + qna )] , (2.9.3) где q - волновое число, a - постоянная линейной цепочки, n - целое положительное число, произведение na играет роль расстояния в плосU

n

67

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

кой волне и учитывает дискретность в расположении атомов. Комплексная форма решения выбрана для математического удобства, в конечном результате мнимость будет отсутствовать.

&& = −ω 2U и учесть, что Если составить U n n

U n +1 = A ⋅ exp[i{ω ⋅ t + q (n + 1)}] = U n e iqa и

U n −1 = U n e −iqa ,

то уравнение (2.9.2) запишется так:

(

)

− ω 2 mU n = βU n e iqa + e −iqa − 2 , или 2

− iqa iqa  β β β qa ω = − e iqa + e −iqa − 2 = −  e 2 − e 2  = 4 sin 2 , m m m 2  2

(

)

 4β  откуда ω = ±   m 

1

2

sin

qa . 2

(2.9.4)

Подобную формулу, устанавливающую зависимость частоты колебаний от волнового числа q , в физике называют дисперсионной формулой. Её график (график дисперсионного закона) представлен на рис.19. Как видно из формулы (2.9.4) максимальная частота волн, распространяющихся в рассматриваемой решётке, равна

ω max =

4β . m

Эта частота соответствует таким значениям множитель sin

(2.9.5)

q max , при которых

qa принимает значение 1, то есть 2

68

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рис.19 .

q max a π =± , 2 2 откуда

q max = ±

π . a

(2.9.6)

При получении интервала значений волнового числа (2.9.6) не была учтена периодичность тригонометрической функции синуса, так как новую информацию эта периодичность не даёт. Область значений волнового числа

π  π q − ÷ +  называется первой зоной Бриллюэна. a  a

Заметим, что при

ω = ω max решение (2.9.3) будет описывать не

бегущую, а стоячую волну:

Re U n = Ae iωt ⋅ Re⋅ e inπ = Ae iωt cos nπ . В этом прослеживается аналогия с брегговским отражением рентгеновских лучей, когда выполняется условие Брегга-Вульфа. Максимальной частоте

ω max соответсвует минимальная длина

волны λ min = 2a . В случае длинных волн (и малых волновых чисел) можно воспользоваться приближённым соотношением

69

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

sin

qa qa ≈ 2 2

и условие дисперсии (2.9.4) принимает вид:

ω≅

где V0

=

4 β qa ⋅ = V0 q , m 2

4β a ⋅ = m 2

(2.9.7)

βa 2 - скорость распространения упругих (звуm

ковых, акустических) колебаний в рассматриваемой одномерной ре-

  βa 2  м    =  .В этом случае (в случае длинных волн) диспершётке   m   c   сия отсутствует. Таким образом, атомная структура вещества оказывает влияние на распространение упругих волн тогда, когда волновое число q сравнимо (близко) с

q max .

Определим фазовую скорость распространения упругих волн в одномерной решётке, содержащей частицы одного сорта:

V ср

ω V qa = = 0 sin = V0 a q 2 2

В реальных кристаллах qmax =

qa 2 . qa 2

sin

π ≈ 1010 м −1 , V0 ≈ 3 ⋅ 10 3 м с , поэтоa

му ω max = V0 ⋅ q max = 3 ⋅ 1013 с −1 , что соответствует инфракрасноой области частот и наблюдается в реальных кристаллах. Математически более трудной является задача о динамике частиц одномерной решётки, содержащей частицы двух сортов (см.рис.20). 70

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Поэтому мы обсудим решение лишь качественно. В рассматриваемой решётке возможны колебания двух типов. Одни колебания подобны тем, что рассмотрены выше: соседние атомы колеблятся в одной фазе и при q = 0 ω = 0 . Такие колебания определяют распрстранение звуковых волн и поэтому называются акустическими колебаниями. Вместе с тем, в решётке возможны движения, когда соседние структурные частицы движутся в противофазе, то есть частицы колеблются относительно друг друга в противоположных направлениях. Если частицы обладают электрическими зарядами противоположного знака, то такому движению можно сопоставить электрический момент, величина которого изменяется во времени. Легко связать такое движение электрического диполя с переменным во времени моментом с излучением электромагнитных волн. Именно поэтому этот вид колебаний одномерной решётки, содержащей атомы двух Рис.20. сортов, называются оптическими колебаниями. На рис.21 показаны дисперсионные кривые для акустических и оптических колебаний. Для последних максимальная частота достигается при q = 0 и уменьшается с увеличением волнового числа.

§10. Нормальные колебания

Из-за сильного взаимодействия между структурными частицами твёрдого тела колебания, возникшие в одной части кристалла, передаются соседним частицам и в кристалле возникает коллективное движение. Такое коллективное движение всех связанных между собой частиц кристалла называется нормальным колебанием. Использование этого подхода к рассмотрению динамики частиц твёрдого тела существенно упрощает описание их движений. Мы убедимся в этом ниже. Но сначала выясним некоторые свойства нормальных колебаний. Решим следующую задачу: сколько различных значений может принимать волновое число (и, значит, частота) в Рис.21. системе нормальных колебаний,

71

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

устанавливающихся в одномерной решётке конечной длины ?

L = Na , она содержит ( N + 1)

Пусть длина решётки

на расстоянии a друг от друга, крайние частицы при этом ( n

частицу, расположенных

=0

и

n = N ) закреп-

лены и не могут перемещаться. Как показано в Гл.2 § 9, любая волна, распространяющаяся в такой цепочке атомов, может быть представлена в виде суперпозиции волн вида (2.9.3). Эту формулу для данной задачи мы запишем так:

U n ,q = Aq e

iω q t

⋅ sin qna .

Покажем, что волновое число

(2.10.1)

q может принимать лишь конечное число диск-

ретных значений. Действительно, в силу закрепления концов цепочки

U 0,q = U N ,q = 0 . На

ос-

новании (2.10.1) это возможно, если волновое число принимает конечное число значений, а именно:

q= Значение q

=

U n,

и при n

π 2π Nπ ; ;L . L L L

π L

π L

(2.10.2)

соответствует волне

~ sin

π na , L

= 0 иn = N U 0,

π L

≅U

N,

≅ 0,

π L

где учтено, что L = na . Максимум смещения получается при

n=

N 2

, то есть

посередине цепочки. Решению

q=

Nπ Nπ π = = = q max , L na a соответствует смещение

U N ,qmax ~ sin

π na = sin πn , a

то есть вообще не допускает никакого смещения для любой (n ) частицы цепочки. Таким

образом, имеется (N − 1) допустимых значений волнового числа q. Число этих допустимых значений q равно числу частиц, способных смещаться. Так как волновое число q

72

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

может принимать лишь ограниченный набор значений, то и частота (в соответствии с

законом дисперсии) то же может принимать лишь ( N − 1) дискретных значений соответственно числу степеней свободы цепочки (именно по этой причине в формуле (2.10.1) у

ωq .

частоты стоит индекс q:

Поскольку каждая частица участвует во всех допустимых движениях, то общее решение задачи можно получить на основании принципа суперпозиции:

U n = ∑ Aq e

(

i ω qt + qna

) .

q

(2.10.3)

Запишем это выражение по-другому:

U n = ∑ Qq e iqna q

где величина

Qq = Aq e

iω qt

,

называется нормальной координатой, соответственно

mQ& q = Pq - нормальным импульсом. Составим уравнение для нормальной координаты

dQQ dt

= Q& q и

d 2 Qq

&& = −ω 2 A e =Q q q q

dt 2

iω q t

Qq : = −ω q2 Qq ,

откуда

&& + ω 2 Q = 0 . Q q q q

(2.10.4)

Уравнение (2.10.4) внешне подобно уравнению для гармонического осцилятора, колеблющегося с частотой ω q . Таким образом, наша исходная задача о связанных колебаниях частиц линейной цепочки свелась к задаче нахождения колебаний независимых осциляторов. А эта задача имеет строгое решение как в классической, так и в квантовой механике . При квантово-механическом рассмотрении необходимо составить и решить уравнение Шредингера. Для этого нормальным координатам Qqi и импульсам Pqi (индексс i относится к проекциям на оси координат,) следует сопоставить операторы: ∧

^

Q qi

и

P qi = −ih

∂ ∂Qqi

,

и уравнение Шредингера запишется так:

73

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∧  h2 ∂2  1 H Ψ = ∑ − + mω q2 Qqi Ψ = EΨ , 2 qi   2m ∂Qqi 2 

где Ψ

= П Ψqi qi

и

E = ∑ E qi

(2.10.5)

, причём, уравнение (2.10.5) имеет решение, если

qi

1  E qi = hω qi  nqi +  2 

.

(2.10.6)

Формулы (2.10.5) и (2.10.6) относятся к квантовой механике и определяют состояния квантового гармонического осцилятора. Формула (2.10.6) содержит представление о нулевых колебаниях и нулевой энергии при n qi = 0 - энергетически наинизшем состоянии осцилятора. Именно эта формула имеется в виду, когда утверждают, что даже при T = 0 K движение не прекращается. Следует отметить, что так называемые нормальные осциляторы не имеют ничего общего с реальными атомами. Каждому осцилятору сопоставляется одно из нормальных колебаний решётки, в котором участвуют все реальные атомы кристалла, совершая его с одной и той же частотой

ω qi .

Минимальная порция энергии, которую может поглотить или испустить решётка при тепловых колебаниях, соответствует переходу возбуждаемого нормального колебания с данного энергетического уровня на близлежащий соседний уровень и равна:

Eф = hω q .

(2.10.7)

Эту порцию, или квант энергии тепловых колебаний решётки называют фононом. По анологии с газом фотонов вводится газ фононов, квантов нормальных колебаний решётки. Фононы-бозоны и описываются функцией распределения Бозе-Эйнштейна (см.Гл.1,§12):

ρ Б −Э =

1 hω q

.

(2.10.8)

e kБT − 1 В зависимости от степени возбуждения нормального колебания оно может «испускать» то или иное число одинаковых фононов. Так, если нормальное колебание возбуждено до третьего уровня, то его энергия равна

74

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1  E q ,3 =  3 + hω q 2 

.

Это означает, что данное нормальное колебание «породило» три одинаковых фонона с энергией

hω q каждый. Так как функция распределения ρ Б − Э

выражает

среднее число фононов, обладающих энергией hω q , поэтому, умножая ρ на hω q , получим среднюю энергию возбуждённого нормального колебания, имеющего частоту

ωq :

E н .к

hω q   = hω q  exp − 1 k БT  

−1

.

(2.10.9)

Рассмотрим энергетический спектр фононов, распределение нормальных колебаний по частотам. Решим эту задачу на примере линейной цепочки атомов. В одномерной решётке конечной длины L число любых разрешимых полуволн:

L=n где

λn 2

= Na

должно укладываться целое

,

n = 1,2, L N - число полуволн с длиной волны λ n . Очевидно, что число нормаль-

ных колебаний

Z

с длиной волны λ n равно

Z =n=

L λn

=

2

2L λn

n:

.

Для трёхмерного кристалла, в котором можно ввести три независимых направления распространения волн, число нормальных колебаний, обладающих длиной волны

λ n , рассчитывается так : 3

 2L  8V Z =   = 3 λn  λn 

,

75

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

где

V = L3 .

Более точный расчёт даёт

Z=

4πV λ3

λ=

v 2πv 2πv = = , v 2 πv ω

Z=

V ω3 . 2π 2 v 3

.

Так как

то

На интервал частоты dω приходится стоячих волн

dZ =

3V 2π v

2 3

ω 2 dω = g (ω)dω .

(2.10.10)

Функция

g (ω) =

dZ 3V = 2 3 ω2 dω 2π v

(2.10.11)

определяет плотность заполнения спектрального участка dω нормальными колебаниями, а, следовательно, и частотный спектр этих колебаний. Функция (2.10.11) называется функцией распределения нормальных колебаний по частотам. Ниже мы применим полученные результаты для объяснения ряда свойств твёрдых тел.

§11. Теплоёмкость и теплопроводность кристаллической решётки Теплоёмкость является важной физической характеристикой вещественных тел. Её значение непосредственно связано со структурой тела, с характером взаимодействия его частиц, с их нормальными колебаниями. Впервые теплоёмкость твёрдых тел экспериментально была измерена в 1818 г. французскими физиками П. Дюлонгом и А. Пти. Классическая теория теплоёмкости

76

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

основывалась на теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы: на одну степень свободы в среднем приходится энергии

1 k Б T , где k Б - постоянная 2

Больцмана, T - абсолютная температура кристалла. Так как атом (ион, молекула) рассматривается как классический гармонический осцилятор, то его средняя энергия теплового движения равна

kБT .

Если взять один моль вещества, содержащего N 0 ато-

мов ( N 0 - число Авогадро), то их средняя энергия теплового движения равна 3 N 0 k Б T , откуда молярная теплоёмкость (по определению) равна

3 N 0 k Б = 3R ,

где

R-

уни-

версальная газовая постоянная. Получается, что теплоёмкость твёрдых тел не должна зависеть от температуры. Для многих твёрдых тел это подтверждается, но в пределах комнатных температур. Исследование тепловых свойств при низких температурах показало, что тепло3

ёмкость убывает пропорционально T при понижении температуры. Классическая теория не могла объяснить такого поведения теплоёмкости твёрдых тел. Возникшее затруднение в толковании зависимости теплоёмкости от температуры удалось преодолеть, опираясь на квантовые представления. В 1905 году А. Эйнштейн предложил следующую модель твёрдого тела: все атомы тела колеблются с одной и той же частотой, но вместо классической теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы необходимо использовать формулу Планка (которая для энергии колебаний частиц твёрдого тела совпадает с формулой (2.10.9)). Составляя выражение для теплоёмкости

C=

∂E ∂T

,

легко установить, что теплоёмкость оказывается функцией температуры . Однако вместо степенного закона изменения теплоёмкости, что показывает эксперимент, теория А. Эйнштейна даёт экспоненциальный закон её изменения. Вместе с тем, в согласии с принципом соответствия*, при высоких температурах формула Эйнштейна снова приводит к закону Дюлонга и Пти. В 1912 году американский физик П. Дебай подошёл к решению данной задачи, предложив другую модель твёрдого тела: твёрдое тело- это непрерывная среда, в которой могут возникать всевозможные колебания вплоть до некоторой максимальной частоты

ω Д - частоты Дебая. Дискретность строения твёрдого тела Дебай учитывает тем,

что полное число нормальных колебаний, возникающих в твёрдом теле, приравнивает к 3 N , где N - число одноатомных частиц тела, цифра 3 учитывает число степеней свободы отдельной частицы. Рассмотрим эту теорию подробнее. Энергия тепловых колебаний частиц решёт* Принцип соответствия один из основополагающих принципов современной физики – утверждает, что более общая физическая теория содержит в себе как предельный случай предшествующую теорию.

77

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ки складывается из энергии нормальных колебаний этих частиц (см.гл.2,§10). Число нормальных колебаний, приходящаяся на интервал частот dω , равно:

dZ = g (ω)dω =

3V 2π 2 v 3

ω 2 dω .

(2.10.10)

Умножая это число на среднюю энергию E н. к нормального колебания (формула 2.10.9), получим суммарную энергию нормальных колебаний (иначе их называют «модами»), заключённых в интервале частот от ω до

dE реш = E н.к g (ω)dω =

ω + dω , получим

3Vhω3 dω   hω 2π 2 v 3  exp − 1 k T Б  

Проинтегрировав это выражение в пределах от 0 до

.

(2.11.1)

ω Д , получим энергию теп-

ловых колебаний решётки твёрдого тела во всём дозволенном интервале частот: ωД

E реш =

∫ Eн.к g (ω)dω . 0

По определению

C=

∂E реш ,

∂T

и производя дифференцирование, получим искомую величину. Но мы применим метод качественной оценки. В области низких температур (по сравнению с температурой Дебая, которая определяется из соотношения hω Д

= k БTД

), когда

T << T Д

, возбуждаются в ос-

новном низкочастотные нормальные колебания (моды), кванты энергии которых

hω << k Б T .

В этом случае среднюю энергию мод можно определить следующим об-

разом: экспоненту в выражении для E н.к можно разложить в ряд Тейлора и, ограничиваясь двумя членами разложения, получим:

hω

Eн.к = e

hω kБT

hω ≈ kБT . hω 1 + − 1 −1 k БT ≈

Следовательно, в области низких температур средняя энергия моды пропорцио-

78

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

нальна абсолютной температуре решётки T . Этот рост обусловлен тем, что с повышением температуры происходит увеличение степени возбуждения нормального колебания, которое и приводит к росту его средней энергии. Помимо этого, в области низких температур повышение температуры вызывает возбуждение новых мод с более высокими частотами. Их можно вычислить, используя формулу (2.10.10) и считая, что при, температуре лебания вплоть до частоты ω

=

k БT h

T возбуждаются все

нормальные ко-

.

Итак, kБT h

kБT h

0

0

Z = ∫ g(ω)dω ≈ ∫ω 2 dω ~ T 3 . 3

Число возбуждаемых нормальных колебаний растёт пропорционально T . Таким образом, в области низких температур энергия кристалла с повышением температуры увеличивается вследствие действия двух механизмов: 1) роста средней энергии E н. к каждой моды из-за повышения степени его возбуждения; 2) роста числа возбуждённых мод. В целом с повышением температуры энергия решётки растёт про4

порционально T , а теплоёмкость ющийся экспериментально.

T 3 , то есть мы получаем закон Дебая, наблюда-

Рассмотрим теперь область высоких температур

T >> T Д .

Как указывалось

выше, при температуре Дебая возбуждаются все возможные моды и дальнейшее повышение температуры не может привести к увеличению их числа. Поэтому в области высоких температур изменение энергии твёрдого тела может происходить только за счёт повышения их средней энергии

E н.к .

А так как

E н.к пропорциональна

температуре,

то и изменение энергии тела в целом с ростом температуры должно происходить пропорционально первой степени температуры

E реш ~ T , следовательно теплоёмкость тела не должна зависеть от температуры. Мы получили закон Дюлонга и Пти. По сути дела слова «мода» и «фонон» в наших рассуждениях оказываются эквивалентными. Поэтому мы получим предыдущие результаты, если будем считать, что при

T

<<

T Д концентрация

фононов пропорциональна

T 3,

а при

T >> T Д

их кон-

центрация пропорциональна T . Нам потребуются эти оценки при рассмотрении задачи о теплопроводности кристаллической решётки. Рассмотрим теплопроводность, обусловленную участием в этом процессе лишь

79

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

структурных частиц решётки. Значительно сложнее теплопроводность осуществляется в металлах, в которых, наряду с рассматриваемым механизмом процесса, существенную роль играют свободные электроны – электроны проводимости. Их вклад мы рассмотрим отдельно. В гармоническом приближении кристалл можно рассматривать как полость, заполненную невзаимодействующими фононами. Только в ангармоническом приближении вводится взаимодействие фононов при столкновении. Говорят о фонон - фононном рассеянии, основной характеристикой которого является эффективное сечение рассеяния фононов

σф

. Поскольку ангармоничность определяется коэффициентом b

(см.гл.2, §6), то можно считать, что и эффективное сечение фонон - фононного рассеяния будет пропорционально этой величине. Положим, что σ ф

~ b2

. Введём по об-

щему правилу молекулярно - кинетической теории длину свободного пробега фононов (рассматривая их как «частицы», вернее как «квазичастицы» (см.гл.2,§§12,13):

λф = где

1 1 ~ nфσ ф nф b 2

,

nф - концентрация фононов, для которой

выше мы установили зависимость от

температуры. Отождествляя фононы с частицами газа, воспользуемся формулой для теплопроводности:

1 κ = λνc , 3 где

λ ≡ λф - длина свободного пробега фононов, ν -скорость движения фононов (со-

впадающая со скоростью звука в твёрдом теле, о чём говорилось в гл.2 §9), с – теплоёмкость единицы объёма газа фононов. Таким образом, для коэффициента теплопроводности решётки (обусловленной фононным газом) получаем:

κ~

cν . nф b 2

(2.11.2)

Формула (2.11.2) удовлетворительно подтверждается на опыте как при высоких, так и при низких температурах. И это несмотря на то приближение, с которым было получено соотношение (2.11.2). Очевидно в нашей модели правильно отражено то, что соответствует действительности. Чтобы закончить рассмотрение вопроса о теплопроводности твёрдых тел, нужно коснуться роли в этом процессе свободных электронов металлов. Мы сделаем это в главе 4 , §2.

80

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§12. Дефекты кристаллической решётки, их классификация Практически всякий кристалл, хотя бы в небольших количествах, содержит инородные примеси. Так, например, самые чистые кристаллы германия или кремния содержат в 1см 10 9 − 1011 инородных атомов. Дефектом кристаллической решётки является также нарушение правильного чередования структурных элементов этой решёт3

ки. Даже если кристалл не содержит других дефектов, то при T ≠ 0 K в нём всегда будут распространяться тепловые колебания, называемые фононами, которые также считаются дефектами. Нельзя сказать, что дефект кристаллической решётки всегда является её недостатком – дефектом. Ниже мы узнаем, что многие свойства твёрдого тела обусловлены именно дефектностью его строения. Отсюда следует важность изучения дефектов решётки. Все дефекты кристаллического строения можно условно разделить по геометрическому признаку на три группы: 1)точечные, 2)линейные и 3)объёмные дефекты. §12.1. Точечные дефекты решётки К точечным дефектам относятся следующие нарушения кристаллической решётки: 1) фононы, 2) электроны и дырки, 3)поляроны, 4) экситоны, 5)дефекты по Шоттки, 6) дефекты по Френкелю, 7) диполоны и др. комплексы из дефектов, 8) примесные чужеродные атомы или ионы. Дадим краткое описание этих дефектов. Фононы. Согласно квантовой механике, даже при температуре T = 0 K структурные элементы кристаллической решётки обладают отличной от нуля энергией (нулевой энергией) и совершают так называемые нулевые колебания (см.§10 гл.2). При нагревании структурные элементы кристалла начинают совершать более сильные колебания. Возбуждённое состояние структурных частиц не остаётся на месте нагрева, а передаётся вдоль кристаллической решётки в виде волн возбуждения. По квантовой теории рассмотрение всякого волнообразного процесса можно заменить рассмотрением эквивалентной совокупности частиц. Эти частицы называют квазичастицами. Волнам возбуждения сопоставляются квазичастицы – фононы. Подобно фотонам, они обладают энергией, количеством движения. Так как фононы возникают в нагретом кристалле, то они являются его дефектом. С помощью фононов удаётся правильно объяснить такие свойства кристаллической решётки, как теплоёмкость, теплопроводность (см. §11 гл.2). Рассматривая фононы как совокупность частиц, движущихся в кристаллической решётке, следует ожидать их влияния и на другие свойства решётки, например, электропроводность. Фононы могут рождаться в кристалле в результате нагревания обычным способом, а также при облучении γ- квантами, потоком заряженных частиц и т.д. По своим статистическим свойствам фононы – это бозоны, со всеми вытекающими отсюда свойствами. Электроны и дырки. В результате возбуждения структурных элементов решётки возможен отрыв от них электронов. Освободившиеся электроны будут двигаться по кристаллической решётке, вызывая своим полем её деформацию. Вследствие этого изменяются свойства решётки. Поэтому свободные электроны можно считать дефектом кристалла. Рождение свободных электронов можно осуществить любым физическим

81

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

воздействием: нагреванием, деформацией, облучением элементарными частицами и т.д. Электроны – это фермионы, они подчиняются принципу Паули и другим свойствам частиц с полуцелым спином. Освободившаяся связь у структурной частицы решётки после ухода электрона также является дефектом кристаллической решётки. Она получила название дырки. Дырка в результате воздействия фононного газа может переместиться. В действительности происходит переход электрона от соседних структурных элементов на эту свободную связь. Однако, такое перемещение связанных электронов происходит по иным законам, нежели движение свободных электронов. Поэтому выгоднее вместо истинного движения связанных электронов вводить в рассмотрение движение свободных дырок. Дырки являются фермионами, но в отличие от реальных частиц они являются квазичастицами. Для их описания вводят понятие энергии, количества движения, эффективной массы. Несмотря на то, что движение дырки обусловлено движением действительного электрона, эффективная масса дырки, её подвижность не совпадает с массой и подвижностью свободного электрона. Объяснение этому будет дано ниже (гл.3). В зависимости от чисто квантовых условий масса и подвижность дырки может оказаться больше или меньше массы и подвижности свободного электрона. Это очень важно иметь ввиду при объяснении свойств полупроводников. Поляроны. В диэлектрических средах свободный электрон оказывает поляризующее действие на окружающие его ионы. В результате этого вокруг электрона образуется поляризационная «яма». Электрон уже не свободен – поляризованные ионы препятствуют свободному движению электрона. За ним перемещается поляризованная область кристалла. В результате такого тормозного воздействия подвижность электрона изменяется. Электрон в диэлектрической среде вместе с окружающими его ионами образует квазичастицу – полярон. Впервые идею о поляроне высказали наши учёные Я. Френкель и Л. Ландау, теоретическую разработку теории полярона осуществил С. Пекар. Полярон является фермионом. Он может превратиться в свободный электрон, если получит каким-либо образом добавочную энергию. Тогда, придя в более быстрое движение, он покинет окружающие его поляризованные им ионы. Другие же ионы, мимо которых он будет проходить, не смогут поляризоваться, так как на этот процесс требуется определённое время. Но при замедлении движения он снова может быть захвачен поляризованной областью – «потенциальной ямой». Экситоны. Возникшие в кристалле электроны и дырки обладают эффективными электрическими зарядами. Благодаря кулоновскому воздействию электрон и дырка могут оказаться связанными. Электрон будет перемещаться по окружающим дырку структурным частицам решётки. Возникает нечто похожее на водородный атом. Обнаружено, что у такого дефекта спектр действительно напоминает водородный спектр. Экспериментально изучил экситоны ленинградский физик Е. Гросс (1951г.). Теоретически существование экситонов предсказал Я. Френкель. Экситоны позволяют понять многие явления, происходящие в кристаллах. Например, перенос энергии из одной области в другую и освобождение её при распаде экситона. Экситон позволил понять бестоковый внутренний фотоэффект. Обычно при облучении кристалла возникали свободные носители зарядов. Однако были получены экспериментальные факты, противоречащие этой простой теории внутреннего фотоэффекта: несмотря на освещение фотоэлемента, ток в электрической цепи отсутствовал. Возникшее затруднение было разрешено благодаря привлечению для объяснения явления экситонов: электрон локализовался возле дырки и возникал бестоковый дефект решётки – экситон. Только при последующем прогреве кристалла экситоны разрушались и в цепи обнаруживался ток.. Академик Е. Гросс сравнивал роль экситона в познании свойств кристалла с ролью

82

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

атома водорода в спектроскопии. Дефект по Шоттки. Структурная частица решётки взаимодействует с окружающими частицами. В результате тепловой флуктуации, при которой на одном из ионов сосредотачивается энергия больше той, что соответствует равновесному тепловому движению, ион имеет вероятность порвать свои силовые связи с ближайшими соседями и покинуть узел решётки. Если внутреннему иону при этом приходится порвать все связи, например в решётке NaCl шесть связей, то поверхностному иону в той же самой решётке при полном испарении – лишь пять связей (рис.22), а при переходе в новую атомную плоскость – не более четырёх. Очевидно, более вероятен выход из равновесного положения именно поверхностного иона: при его переходе совершается наименьшая работа (гл.2, §7). Покинувший своё место ион окажется над поверхностью кристалла и явится началом построения нового слоя решётки, новой атомной плоскости. Образовавшееся свободное место в узле кристаллической решётки начнёт диффундировать внутрь её, благодаря последовательному перескоку ионов в свободное место. Узел, свободный от иона, называется вакансией или дефектом по Шоттки. Число вакансий зависит от температуры кристалла и определяется по формуле

 W   , n = Const ⋅ exp −  k БT  где

W - энергия,

необходимая для образования ва-

кансии, k Б - постоянная Больцмана, T - абсолютная

температура.

при 300 K и W

Можно

что

≈ 1 − 2 эВ число вакансий в 1см 3 12

кристалла порядка 10 нагреть до T

рассчитать,

= 1000 K

вится равным 10

17

− 1014

. Если же кристалл

, то число вакансий стано-

− 10 см −3 . Вблизи темпера18

Рис. 22.

−3

туры плавления n ~ 10 см . Если вещество состоит из ионов двух сортов, например, щёлочно-галоидные кристаллы, то возникают вакансии в обеих подрешётках. Кристалл в равновесном состо20

янии в целом должен быть электро-нейтральным. Поэтому в веществах типа NaCl число вакансий разного знака должно быть одинаково. Вакансия обладает эффективным электрическим зарядом по знаку противоположным тому, какой имел ион, покинувший узел решётки. Это вытекает из условия электронейтральности кристалла: число узлов, занятых положительными ионами, должно равняться числу узлов, принадлежащих отрицательным ионам. При выходе поверхностного иона в новую атомную плоскость на единицу увеличивается число узлов одной подрешётки кристалла, вакансия, обладая противоположным зарядом, увеличивает число мест, занятых зарядами иного знака. Дефекты по Шоттки экспериментально обнаружены с помощью рентгеноструктурного анализа, оптических наблюдений, при изучении прохождения тока через кристалл.

83

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Так, напрмер, в ионных кристаллах NaCl, KCl , обычно являющихся диэлектиками, проводимость, возникающая при нагревании, осуществляется при помощи движения вакансий. Экспериментально установлено, что ионная проводимость щёлочно-галоидных кристаллов имеет характер, изображённый на рис.23. Наличие на графике двух участков свидетельствует о том, что при нагревании в решётке возникают новые дополнительные носители зарядов. Это приводит к увеличению проводимости. Под действием рентгеновского облучения или обстрела элементарными частицами в кристалле возникают свободные электроны и дырки. Блуждая по кристаллу, эти дефекты решётки могут встретить разноимённые с ними вакансии, например, в NaCl : электрон – вакансию иона хлора, дырка – вакансию иона натрия. В результате кулоновского воздействия электрона или дырки с соответствующими вакансиями, благодаря тому, что последние обладают эффективными зарядами, возникают сложные дефекты, так называемые центры окраски. Они получили такое название потому, что некоторые кристаллы при возникновении в них таких дефектов приобретают видимую окраску. Так как часть вакансий оказывается связанной, то при окрашивании кристаллов уменьшается их электропроводность. Дефекты по Шоттки оказывают влияние и на другие свойства твёрдого тела. Расчёт их концентрации n(T ) дан в Прил.7. Дефекты по Френкелю. Если размеры иона таковы, что он может поместиться в междуузельном пространстве и при этом на образоРис.23. вание такого дефекта требуется меньше энергии, чем на образование дефекта по Шоттки, то в кристаллической решётке могут возникать дефекты другого сорта. Выйдя из своего положения равновесия, ион перейдёт в междуузельное пространство (рис.24). Возникают сразу и междуузельный ион и его вакансия. Это и есть дефект по Френкелю. Концентрация таких дефектов растёт с увеличением температуры кристалла (см. Прил. 8). Экспериментально установлено, что в щёлочно-галоидных кристаллах преимущественно образуются дефекты по Шоттки, а в серебряно-галоидных ( AgCl и др.) дефекты по Френкелю. В металлических кристаллах существуют и те и другие дефекты. Экспериментально вопрос о том, какой тип дефекта возникает в данном кристалле решается, например, путём измерения плотности кристалла. При образовании дефекта по Шоттки объём кристалла увеличивается, т.к. эти дефекты образуются на поверхности кристалла. При образовании дефекта по Френкелю плотность кристалла не изменяется. Дефекты по Френкелю влияют на свойства твёрдого тела подобно дефектам по Шоттки. Комплексные дефекты. Так как вакансии и междуузельные ионы обладают электрическими зарядами, то между ними возможно кулоновское взаимодействие с образованием точечного дефекта – комплекса. Простейшими комплексами являются парные

84

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

образования из одиночных разноимённых вакансий – диполоны. Компоненты этого комплекса могут находиться на расстоянии не более нескольких постоянных решётки. В противном случае связь между ними окажется очень слабой и они разрушаются. Эти дефекты играют важную роль в диффузионных процессах решётки. Они электрически нейтральны, поэтому для их движения требуется меньше энергии, чем для движения двух изолированных вакансий. Значительна роль такого комплекса в электропроводности при высоких температурах. Хотя при этих температурах они энергетически неустойчивы, но при движении разноимённых вакансий возникают временные комплексы, способствующие более быстрой диффузии одиночных вакансий. Они Рис.24. участвуют в образовании сложных центров окраски, в диэлектрических потерях, в ряде кинетических процессов, происходящих в кристаллах.* При наличии большого количества вакансий внутри решётки им энергетически выгодно образовать скопления – полости (подобно тому, как пузырьки воздуха под водой слипаются в один большой пузырь). Быстрота соединения вакансий, в частности, определяется наличием в кристалле диполонов. Примесные ионы и атомы. К дефектам кристаллической решётки относятся примеси чужеродных ионов или атомов. Примесные ионы или атомы могут располагаться в узлах кристаллической решётки (в этом случае имеем примесь замещения) или в междуузельном пространстве (примесь внедрения). Даже ничтожно малое количество примеси может существенно изменить свойства кристаллической решётки. Всё это хорошо видно на примере изменения электропроводности полупроводников. Примеси резко изменяют механические свойства кристаллической решётки, на этом основано легирование сталей. Если примесь имеет иную валентность чем ионы кристалла, то в случае замещения она нарушит его электронейтральность. Например, двухвалентный ион свинца, заняв вакантный узел +

в решётке NaCl , имеет один избыточный заряд по сравнению с зарядом иона Na . Для восстановления электронейтральности решётки в ней должна возникнуть ещё одна дополнительная вакансия щелочного металла с отрицательным зарядом. Таким образом, общее число положительных и отрицательных зарядов в решётке с учётом зарядов вакансий снова станет одинаковым. Так как ионная проводимость осуществляется движением вакансий, то внесение иновалентной примеси приводит, как правило, к изменению ионной проводимости. Такая примесь может образовывать с вакансиями сложные комплексы, влияя тем самым на число свободных вакансий. А это, в свою очередь, изменяет характер ионной проводимости. Примесные ионы влияют и на оптические свойства твёрдых тел: изменяют природу центров окраски. Обычно примесный ион имеет иные размеры, чем соб-

* Детальному изучению свойств этого дефекта (в частности, дал ему «имя») посвятил свою научную деятельность автор данного пособия.

85

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ственный ион решётки. Поэтому вокруг примесного иона решётка сильно деформируется, что приводит к изменению её тепловых свойств, так как фононы испытывают дополнительное сопротивление со стороны искаженного участка. В металлах примесные ионы оказывают добавочное сопротивление движению электронов.

§ 12.2. Линейные дефекты решётки К линейным дефектам кристаллической решётки относятся дислокации. Рассмотрим два простейших типа дислокаций: краевую (линейную) и винтовую. Краевая дислокация возникает, если внутри кристалла имеется незаконченная атомная плоскость (рис.25а, 26а). В случае образования так называемой винтовой дислокации (рис.26) атомные плоскости постепенно переходят одна в другую, оказываясь лишь приближённо параллельными. Кристалл по сути дела представляет собой одну атомную плоскость, изогнутую по винтовой поверхности. Установлено, что дислокация играет важную роль в процессе роста кристаллов, в образовании точечных дефектов, в тепловых и механических явлениях. Например, остаточную деформацию сдвига можно объяснить с помощью перемещения дислокации. В реальном кристалле она возникает при напряжениях на несколько порядков ниже сдвиговой прочности идеальных кристаллов. Процесс переползания линейной дислокации и образования остаточной деформации сдвига изображён на рис.25. Последовательное пересоединение связей осуществляется небольшими перемещениями ионов. Именно поэтому для переползания дислокации требуются небольшие напряжения. Наличие дислокаций меняет и электрические свойства решётки, так как они создают добавочное сопротивление движению электронов и вакансий. В месте нахождения дислокаций кристаллическая решётка особенно сильно нарушена. Поэтому к дислокациям перемещаются другие дефекты кристаллической решётки: примесные ионы и пр. С другой стороны. при облучении или нагревании кристаллической решётки возможно разрушение дислокаций и существенное изменение её свойств.

б

a

в

Рис.25.

г 86

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Дислокации возникают как при выращивании, так и при деформации кристаллов. Они возникают также в местах скопления вакансий и других нарушений решётки.

§ 12.3. Объёмные дефекты решётки a)

Обычно кристаллическое тело не является монокристаллом, а состоит из множества кристаллических зёрен, блоков, соприкасающихся по многим поверхностям. Тело имеет поликристаллическую структуру. Поверхности отдельных блоков являются пространственными (объёмными) дефектами кристаллического строения. Они существенно изменяют все физические свойства твёрдого тела. Например, при ковке искусственно нарушается целостность кристаллической решётки, создаются дополнительные поверхности, в результате этоб) го металл приобретает большие упругие свойства. Упругость здесь обусловлена проявлением огромных поРис.26. верхностных сил, возникающих на гранях кристаллических блоков. К объёмным дефектам относятся и другие нарушения кристаллического строения, например, скопления вакансий, дислакаций. Из краткого рассмотрения свойств дефектов кристаллической решётки следует чрезвычайно интересный вывод: почти все свойства твёрдых тел обусловлены их дефектностью. Поэтому важно знать условия зарождения и взаимодействия дефектов, их влияние на определённые физические свойства твёрдого тела. Ниже при изучении полупроводников и магнитных свойств вещества мы вернёмся к дефектам, пополним их состав и дадим их моделям «зонные изображения».

§13. Описание энергетического состояния кристалла при помощи «газа» квазичастиц В силу сложного взаимодействия структурных частиц твёрдого тела учёные вынуждены использовать приближённые методы решения физических задач. Одним из них является метод квазичастиц (в главе 4, §3 будет описан ещё один метод приближённого решения задач физики твёрдого тела – метод эффективной массы). Впервые название «квазичастица» ввёл в 1940г. советский физик – теоретик Л. Ландау при создании теории сверхтекучести гелия. Выше в §10 данной главы было показано, как вводится в теории квазичастица «фонон». Подобна схема введения и других квазичастиц. Анализируя содержание §10 можно установить, что метод квазичастиц применим к слабо возбуждённому состоянию твёрдого тела, что является результатом применения гармонического приближения. Сопоставляемые такому состоянию твёрдого тела квазичастицы (в частности, фононы) образуют идеальный газ (мы не учитываем взаимодействие квазичастиц между собой). Важно помнить, что введение независимых квазичастиц (фононов) заменяет описание движения всех частиц твёрдого тела, а не отдельных его частиц. В силу независимости квазичастиц друг от друга (идеальный

87

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

газ!) энергию слабо возбуждённого состояния твёрдого тела можно составить в виде суммы энергий отдельных квазичастиц:

r E = ∑ е(p) n pr ,

(2.13.1)

r p

где

n

r p

- число квазичастиц, имеющих импульс (квазиимпульс)

r p

r

и энерию ε ( p ) .

Главным признаком любого сорта квазичастиц является то, что они не существуют вне твёрдого тела. Причём, при фазовых переходах происходит смена или исчезновение квазичастиц. Если T ≠ 0 K , то энергия «газа» квазичастиц определяется выражением:

E = ∫ ε ⋅ f (ε ; T )Z (ε )dε ,

(2.13.2)

где f (ε ; T ) - функция распределения, равная среднему числу частиц в данном состоянии

(ε ;T ) ;

1 Z (ε ) - плотность состояний. Величина Z (ε )dε определяет число состояV

ний системы в интервале энергий от ε до ε + dε . Скорость квазичастиц определяется выражением:

r r ν = grad pr ε ( p ) .

(2.13.3)

Поток квазичастиц определяется суммой

r r j = ∑ n pr ⋅ grad rpε ( p ) . r

(2.13.4)

p

Полный импульс газа квазичастиц равен

r r p = ∑ pn pr . r

(2.13.5)

p

Перемещаясь по кристаллу, квазичастицы переносят энергию

r r U = ∑n prε ( p)gradprε ( p) . r p

(2.13.6)

В твёрдом теле могут существовать различные типы квазичастиц. В этом случае в формулах (2.13.2) – (2.13.6) нужно ввести суммирование по всем сортам квазичастиц. Нужно иметь при этом ввиду, что области существования разного сорта квазичастиц не всегда совпадают. Полное число фононов в данном состоянии не является постоянной величиной. Однако закон сохранения энергии выполняется строго. А так как число фононов не является константой, то закон сохранения импульса отсутствует в системе фононов. Действительно, при слиянии двух фононов можно записать для закона сохранения энергии:

hω qr1 + hω qr2 = hω qr

(2.13.7)

88

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

и для закона сохранения импульса:

r r r r hq1 + hq 2 = hq + hg

,

(2.13.8)

где второй член справа в (2.13.8) определяет изменения импульса кристаллической решётки. Если столкновение фононов не сопровождается передачей импульса решётке

r r r hq1 + hq 2 = hq ,

(2.13.9)

то закон сохранения импульса выполняется. Такие столкновения называются нормальными ( N - процесс). В случае выполнения соотношения (2.13.8) – процесс называется процессом переброса ( U - процесс). Только благодаря таким процессам осуществляется теплопроводность. Нормальные процессы не создают теплосопротивления, т.е. в таких процессах не происходит передача энергии от фононов решётке. Сформулируем ещё раз кратко суть «метода квазичастиц». В твёрдых телах возможны разные коллективные колебания структурных частиц. Этим физическим процессам, носящим волнообразный характер, квантовая теория сопоставляет кванты соответствующих возбуждений. Именно эти физические объекты получили название квазичастиц. Выясним происхождение этого названия и установим общие свойства квазичастиц. Главным отличием реальных частиц (электронов, протонов и т.д.) от квазичастиц состоит в том, что реальные частицы могут существовать и в вакууме. Квазичастицы – кванты возбуждённого состояния макросистемы – существуют только в объёме кристалла и не могут быть вынуты из него. Таким образом, кристалл является выделенной системой отсчёта для квазичастиц, а это означает, что принцип относительности Галилея не выполняется для квазичастиц. Выше мы рассмотрели свойства одной из квазичастиц – фонона. Было установлено, что только в нормальных N – процессах выполняются и закон сохранения энергии, и закон сохранения импульса. Однако в прцессах переброса второй закон в системе фононов уже не выполняется, часть количества движения от фононов передаётся кристаллической решётке, причём это может происходить только определёнными порциями. У реальных свободных частиц ни энергия, ни импульс не зависят от направления движения частицы. В этом проявляется однородность и изотропность свободного пространства. Периодическое расположение структурных частиц в кристалле вводит анизотропию в свойствах внутри кристалла. Это проявляется в периодической зависимости энергии и импульса квазичастиц от периода решётки и направления движения, в зависимости энергии квазичастицы от её импульса. Эта зависимость называется законом дисперсии для данного сорта квазичастиц. Метод квазичастиц применим в том случае, когда можно принебречь взаимодействием этих частиц и применять к квазичастицам понятие «идеальный газ», что существенно упрощает энергетическое описание кристалла: энергия кристалла равна сумме энергий квазичастиц, сопоставляемых возбуждённому состоянию кристалла. Однако ряд явлений невозможно объяснить, не учитывая взаимодействия квазичастиц, например. все кинетические процессы обусловлены взаимодействием квазичастиц. (см. Гл.4, §7). До сих пор мы предполагали, что квазичастицы образуют идеальный газ, т.е. не испытывают силового взаимодействия друг от друга (но принцип Паули – это несиловое взаимодействие!). Однако в действительности взаимодействие квазичастиц должно быть. Это проявляется в теплоёмкости, в существовании диффузии и теплопроводности. в столкновении друг с другом, что приводит к возникновению равновесного

89

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

состояния. Если энергия квазичастиц сохраняется в результате взаимодействия, то импульс (квазиимпульс!) может и не сохраняться в процессах «переброса», когда определённая порция импульса взаимодействующих частиц передаётся кристаллической решётке. Если у реальных частиц взаимопревращения возможны лишь при больших энергиях, то у квазичастиц такие процессы происходят при любых энергиях. Концентрация квазичастиц изменяется и растёт с ростом температуры. Благодаря столкновению квазичастиц только и возможно наступление релаксации. Одной из характеристик квазичастиц, определяющей релаксационные процессы, является длина свободного пробега. До сих пор нет полной теории участия квазичастиц в фазовых переходах. Выше отмечалось, что метод квазичастиц позволяет объяснить множество физических явлений, происходящих в твёрдом теле. Естественно, это связано не только с взаимодействием квазичастиц с внешними полями, но и в результате взаимодействия их между собой. Остановимся на этом вопросе ещё раз. Главная причина рассеяния электронов в процессе электропроводности – столкновение с фононами. Так как фонон – бозон, то он может рождаться и погибать в одиночку. Из энергетических соображений следует, что скорость электрона должна быть больше скорости фонона. А так как скорость электрона, энергия которого близка к энергии Ферми (как известно, только такие электроны участвуют в физических процессах – см. график ρ Ф− Д рис.8), равна

10 8 см/с , а скорость звука - 10 5

см/с , то очевид-

но, что главный механизм взаимодействия между электронами и фононным газом в металле – это рождение и поглощение фононов электронами. При температуре ниже T Д импульс фононов значительно ниже импульса электронов и требуется несколько соударений для полной передачи импульса от электрона к фонону. При высоких температурах импульсы электронов и фононов - одного порядка, поэтому даже при однократном соударении произойдёт резкое изменение направления движения электрона. Именно это определяет длину свободного пробега электронов в металлах: с понижением Т длина свободного пробега электронов возрастает и рассеяние определяется не фононами, а другими дефектами кристаллической решётки. Помимо фононов квазичастицами в твёрдых телах являются и электроны и «дырки», поляроны, и экситоны. В сильномагнитных веществах магнитные спиновые моменты имеют определённую ориентацию, что и обуславливает постоянный магнитный момент ферромагнетика. В результате флуктуации какой – либо магнитный спиновый момент меняет свою ориентацию. Возникает неравновесное , возбуждённое состояние кристалла. В силу взаимодействия структурных частиц твёрдого тела, возбуждение не остаётся локализованным, а виде «спиновой волны» распространяется по кристаллу. Этому волновому процессу в квантовой теории сопоставляется квант возбуждения – магнон. В дальнейшем мы неоднократно будем использовать метод «квазичастиц» и объясним, почему электроны, например, являются в полупроводниках не истинными, а квазичастицами. Представление о «дырках» как квазичастицах также будет обсуждено подробнее.

§ 14. Аморфное состояние вещества Энергетически выгодным состоянием твёрдого тела является кристаллическое.

90

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Однако возможно и другое, аморфное его состояние. Поскольку книга посвящена описанию строения и свойств первого состояния, то очень кратко расскажем об аморфном состоянии. Оно обладает двумя основными особенностями: 1) в отличие от анизотропии монокристалла, в аморфном состоянии любой образец твёрдого тела обладает изотропией физических свойств; 2) при фазовом переходе первого рода все кристаллические тела плавятся при определённой постоянной температуре, у тел в аморфном состоянии переход «твёрдое тело – жидкость» происходит при постепенно, непрерывно изменяющейся температуре. Обе особенности имеют одно и то же физическое объяснение: имея ближний порядок в расположении частиц (что сближает аморфное тело с жидкостью), аморфное тело лишено дальнего порядка. Часто аморфные тела называют переохлаждёнными жидкостями с очень большим коэффициентом вязкости. Аморфное состояние можно получить, если охлаждать жидкость так быстро, что для кристаллизации требовалось бы в несколько раз большее время. Типичным аморфным телом является обыкновенное стекло, поэтому часто аморфное тело называют стеклом. Таковы опал, обсидан, янтарь, смолы и т.д. К аморфным телам относятся высокомолекулярные соединения, или полимеры. Аморфные тела обладают рядом важных свойств (стекло!), и являются объектами как научного, так и практического интереса. При наличии кристаллических зародышей возможен переход тела из аморфного состояния в кристаллическое.

91

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Глава 3 Элементы зонной теории твёрдого тела §1. Затруднения классической электронной теории К концу XIX в. в физике накопились экспериментальные данные (законы электролиза Фарадея, поведение катодных лучей в электрических и магнитных полях, фотоэффект, радиоактивность и др.), которые свидетельствовали о наличии элементарной порции электрического заряда. В 1897 г. английский физик Дж. Томсон экспериментально измерил удельный заряд

e той частицы, которая обладала этим m

элементарным зарядом. Но ещё за несколько лет до этого элементарной порции электрического заряда было дано имя – «электрон» («крёстным отцом» был ирландский физик Стоун (1891 г.)), а голландский физик Г. Лоренц на основе представлений о существовании такой частицы построил физическую теорию, обычно называемую классической электронной теорией (КлЭТ). В этой теории все вещества разделялись на два класса в отношении их электрических свойств: проводники (металлы) и непроводники (диэлектрики). В первых средах предполагалось, что электроны отрываются от атомов и существуют в веществе в виде свободного «газа» – электронного газа, частицы которого не взаимодействуют между собой и перемещаются в междуузлиях кристаллической решётки в поле положительно заряженных ионов. Это движение хаотично, но если к образцу приложить внешнее электрическое поле, то возникнет направленное движение электронов – электрический ток. В диэлектриках электроны сильно связаны с атомами и поэтому не могут участвовать в электропроводности. КлЭТ удалось теоретически сделать вывод закона Ома, т.е. связать плотность тока проводимости с напряжённостью электрического поля в проводнике.* * См. Прил. 9

92

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Однако оказалось, что температурная зависимость полученного выражения не соответствует эксперименту. Большую трудность, так и не преодолённую КлЭТ, представляла проблема не участия электронного газа в создании теплоёмкости металлов при комнатных температурах. Не могла КлЭТ объяснить и существование большой группы веществ, названных полупроводниками. Были затруднения в объяснении и других физических явлений и свойств. Всё это требовало создания новой теории твёрдого тела. И такая теория возникла в 1927 – 1928 гг. в результате использования положений только что созданной квантовой механики, в которой элементарной частице приписывались не только корпускулярные, но и волновые свойства. Новая теория твёрдых тел получила название квантовой электронной теории твёрдого тела (КвЭТ), или зонной теории твёрдого тела. Последнее название связано с новым физическим образом, который КвЭТ ввела при описании свойств валентных электронов атомов твёрдых тел. Зонная теория твёрдого тела по сути дела является теорией валентных электронов кристаллической решётки. Если классическая теория рассматривает кристалл в виде однородной полости, в которой движется электронный газ, то зонная теория учитывает наличие периодической кристаллической решётки.

§2. Энергетические состояния электрона в атоме. Образование энергетических зон В 1911 г. на основании своих многочисленных опытов по рассеянию альфа – частиц (ядер атомов гелия) на тонких металлических фольгах, английский физик Э. Резерфорд выдвинул гипотезу: почти вся масса атома сосредоточена в его ядре, имеющем положительный электрический заряд, вокруг которого по орбитам вращаются электроны. Из аналогии со строением солнечной системы такая модель атома получила название «планетарной». И хотя она соответствовала эксперименту, физически планетарная модель атома была несостоятельной. Дело в том, что по законам классической электродинамики ускоренно движущийся электрон (при круговом движении электрон имеет центростремительное ускорение) должен непрерывно излучать электромагнитные волны, терять энергию и упасть на ядро. Всё это должно длиться всего лишь 10 −10 с. Но атомы существуют миллиарды лет… 93

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Выход из кризисной ситуации нашёл молодой датский физик Н. Бор. В 1913 году, он выдвигает «безумные» (на то состояние науки) постулаты: 1) в атоме имеются устойчивые, стационарные орбиты, двигаясь по которым, электрон не излучает электромагнитные волны; 2)только, при переходе с одной орбиты на другую электрон может освободиться от излишней энергии или поглотить её. Планетарная модель атома была «спасена», но с помощью постулатов, несовместимых с положениями классической физики. Потребовалось более 10 лет, чтобы понять постулаты Н. Бора. Но это смогли сделать, лишь построив новую, более общую физическую теорию – квантовую механику, в основе которой лежит экспериментально наблюдаемый дуализм элементарных частиц, т. е. обладание ими как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Из этой теории естественно вытекает существование в атомах дискретных энергетических состояний. В квантовой механике нет такого понятия как «орбита», можно лишь говорить об энергетических состояниях электронов в атомах. В связи с этим на смену «планетарной» схеме строения атома приходит представление о «потенциальной яме» с дискретными энергетическими состояниями в ней. Будем называть «потенциальной ямой» ограниченную область пространства, в которой энергия частицы меньше, чем вне её. Такой «потенциальной ямой» для электрона является область вокруг ядра атома, где проявляется кулоновское взаимодействие положительно заряженного ядра и отрицательно заряженных электронов. Как показывается в квантовой механике (путём решения основного уравнения этой теории – уравнения Шредингера), у электрона в потенциальной яме атома могут быть только дискретные энергетические состояния. Графически предыдущие рассуждения можно представить так (рис.27). (В дальнейшем мы постоянно будем использовать это плоское изображение потенциальной ямы, помня при этом, однако, что «яма» является Рис.27. «объёмной», но не в обычном трёхмерном пространстве декартовых координат X, Y, Z, а в особом «пространстве», в котором координатами являются энергия Е и расстояние r. С подобными рисунками мы часто встречаемся в других разделах физики, например, в термодинамике при построении графиков в осях P-V, или P-T.) Расчёты показывают, что в атоме водорода (это 94

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

самый простой атом, он содержит помимо ядра ещё лишь один электрон) энергия электрона зависит от некоторого целого положительного числа:

E~−

1 , n2

число n называется главным квантовым числом, так как оно определяет важнейшую характеристику системы (атома) – её энергию. Знак (-) обусловлен тем, что взаимодействуют разноимённо заряженные элементарные частицы: положительно заряженное ядро, и отрицательно заряженный электрон. Поскольку число n может принимать любые (не равные нулю) положительные значения, то, таким образом, в атоме имеется бесчисленное число энергетических состояний ( n

= 1,2,3..... ), которые асим-

птотически подходят к области E ≥ 0 . Обладая энергией E > 0 , электрон становится свободным и покидает потенциальную яму атома. Наинизшим, основным состоянием электрона в атоме является состояние с n = 1 . Чтобы «освободить» электрон из атома, ему надо сообщить энергию, не меньшую (по модулю), чем энергия основного состояния. Как известно из курса химии, взаимодействие двух атомов (например, в молекуле водорода) осуществляется путём обмена ими внешними, валентными электронами. Чтобы графически изобразить этот процесс, воспользуемся потенциальными ямами двух атомов (рис. 27), приведём их в «соприкосновение», что будет символизировать взаимодействие атомов. Но чтобы осуществлялось обменное взаимодействие путём перехода электронов из одной потенциальной ямы в другую, необходимо понизить высоту барьерной стенки со стороны соседнего атома так, как это показано на рис. 28. Так как уровень АА (рис. 28) и все выше расположенные уровни простираются через обе потенциальные ямы, становятся общими, то электроны, расположенные на этих уровнях, могут переходить из одной потенциальной ямы в другую и тем самым осуществлять взаимодействие атомов. Но обратим внимание на то, что уровень АА (и все выше расположенные общие уровни) изображены на рисунке двойными. Это связано с требованием важного в микромире квантово-механического принципа, так называемого принципа Паули. Этому принципу подчиняются электроны при 95

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

заполнении энергетических состояний в атоме. Применительно к нашей задаче этот принцип можно сформулировать так: в определённом энергетическом состоянии в атоме может находиться только один электрон (у принциРис. 28. па Паули имеется несколько эквивалентных формулировок, мы воспользовались одной из них). Среди различных характеристик, определяющих состояние электрона, есть одна, являющаяся векторной величиной, к тому же не имеющая классического аналога. Эта характеристика получила название «СПИН». Модуль проекции вектора спина электрона на некоторое направление (и протона, и нейтрона, и некоторых других элементарных частиц, имеющих общее название – фермионы) равен

1 h , где h - так называемая постоянная Планкаа 2

h = 6.626 ⋅10 −34 Дж ⋅ с ). Так как спин является векторной величиной, то он может иметь определённое направление. Как показывается в квантовой механике, относительно некоторого направления спин может принимать лишь два дискретных положения: по или против этого направления. Но эти две ориентации спина определяют два разных состояния электрона. Поэтому в атоме на одном энергетическом уровне могут расположиться два электрона, состояния которых отличаются только ориентацией спина. Именно поэтому уровень АА на рис.28 изображён двойным. Таким образом, если на одном исходном уровне находилось два электрона (с противоположно направленными спинами), то на объединённом уровне могут расположиться четыре электрона (по два на каждом уровне).Говорят, что каждый энергетический уровень оказывается дважды вырожденным. Именно всё это представлено на рис. 28, благодаря удвоению каждого объединённого уровня. Но это расщепление энергетического уровня на два подуровня происходит при взаимодействии двух атомов. А что произойдёт с энергетическим уровнем, если во взаимодействие придут три, четыре ….. N атомов? Очевидно, что при объединении трёх атомов каждый общий уровень оказывается трижды вырожденным (рис. 29), и на нём могут расположиться 6 электронов (это максимальное число, а в реальных случаях 96

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

может быть и меньшее число электронов), не приходя в противоречие с принципом Паули. Представим себе что сблизились N атомов, образовав кристаллическую решётку. На основании предыдущих рассуждений можем утверждать, что объединившиеся энергетические состояния окажутся уже N – кратно вырожденными, состоящими из N подсостояний. А на схеме это изобразится расщеплением каждого уровня на N подуровней. Именно эти N

Рис.29. – кратно вырожденные состояния (N – кратно вырожденные уровни, состоящие из N подуровней) получили название «ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН». С учётом принципа Паули, в полностью заполненной зоне могут расположиться 2N электронов. Энергетические зоны разделены запретными зонами, в которых нет дозволенных энергетических состояний тех атомов, из которых «построена» кристаллическая решётка. В силу чисто квантовых свойств энергетический уровень электрона в атоме имеет некоторую «размытость», так называемую «естественную ширину». Её существование непосредственно следует из соотношения неопределённостей Гейзенберга вида ∆E ⋅ ∆t = h , где ∆E «размытость» энергетического состояния, ∆t - время пребывания в данном состоянии, h – постоянная Планка. В атоме возбуждённое состояние электрона (пребывание его в состоянии выше основного) длится

10 −8 с, а затем, если этому ничто не препятствует, электрон возвращается в исходное состояние. Элементарный расчёт даёт для естественной ширины возбуждённого состояния в изолированном атоме величину порядка 10 −7 эВ. Как мы видели выше, при образовании кристаллической решётки свойства атомов изменяются, изменяется и естественная ширина коллективного уровня 97

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

– энергетической зоны. Расчёты показывают, что в этом случае ширина энергетической зоны оказывается порядка 1 эВ, так что на каждый подуровень «приходится»10 −23 эВ. *) Образование объединённых энергетических состояний, называемых нами «энергетическими зонами», подтверждается не только совпадением предсказаний зонной теории с экспериментом, но и возможностью измерить ширину этих зон. Если облучать кристалл мягкими рентгеновскими лучами, то электроны вырываются не из внутренних глубже расположенных электронных оболочек (о классификации электронных оболочек см. ниже в § 3), а из наружных электронных оболочек атома. Пусть при образовании кристаллической решётки так называемая М-оболочка превращается в энергетическую зону (рис. 30). Если под действием рентгеновских лучей электроны выбиваются из предыдущей оболочки, то на их место могут перейти электроны из М – оболочки. Если бы М – оболочка не превратилась в энергетическую зону, то характеристический рентгеновский спектр состоял бы из тонких линий естественной ширины. Опыт же даёт «уширение» линий в соответствии с предсказаниями зонной теории. Вместе с тем следует иметь в виду, что, понятие «энергетическая зона» является исключительно образным, модельным представлением состояний ваРис. 30. лентных электронов в твёрдом теле. И под «энергетической зоной» не следует понимать нечто существующее в обычном трёхмерном геометрическом пространстве. Здесь можно провести аналогию с электромагнитной волной, распространение которой мы изображаем так, как представлено на рис. 31. Но никто из физиков не представляет себе синусоиды, по закону которых происходят изменения векторов поля, реально существующими в окружающем пространстве.

*) Математическое обоснование образования энергетических зон дано в главе 4 ,§ 2.

98

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 3. Примеры «построения» энергетических зон Построить энергетические зоны данного вещества – это в значительной степени решить вопрос о Рис.31. строении этого твёрдого тела, понять многие его свойства. Действительно, характер деформации потенциальных ям атомов кристаллической решётки при их взаимодействии зависит не только от свойств самих структурных частиц, но и от их взаимодействия, от типа сил взаимодействия между структурными частицами твёрдого тела. Известно пять типов взаимодействий: 1) Ван-дер-Ваальсово, 2) ионное, 3) металлическое, 4) ковалентное, 5) водородное. Именно от этого и возникает различие физических и химических свойств веществ, особенно, если они состоят из одних и тех же частиц. Например, алмаз и графит состоят из атомов углерода, существует белое и серое олово, альфа- и гамма-железо и т. д. В настоящее время не для всех твёрдых тел удалось построить зонные схемы, однозначно решить, какие уровни при образовании кристаллической решётки становятся общими, как они заполняются коллективизированными электронами. Да и не все построенные схемы имеют простой вид. Поэтому ниже мы рассмотрим наиболее типичные и, вместе с тем, простые случаи построения энергетических зон. Для понимания дальнейших рассуждений нам необходимо познакомиться со структурными формулами записи заполнения электронами электронных оболочек атомов. Впервые такие обозначения были введены в теории атома Бора, они сохранились и в последующих теориях. Считается, что электроны в атоме располагаются по электронным оболочкам, которые получили условные названия K- , L- , M- и т. д. оболочки. Каждой оболочке сопоставляется определённое число: 1, 2, 3 … - это значения так называемого квантового числа n, оно определяет энергию электрона в атоме. Но в каждой оболочке могут быть орбиты разного профиля (круговые, эллиптические) и разной ориентации. Например, в K- оболочке может быть только круговая орбита, в L – оболочке – круговая и эллиптическая и т. д. Круговые орбиты получили обозначение – s , эллиптические – p, d , в зависимости от вытяну-

99

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

тости (эксцентриситета), причём размеры и формы орбит строго определённые и во всех одинаковых атомах в соответствующих оболочках – одинаковые. На каждой орбите, в каждой оболочке может находиться определённое максимальное число электронов. Например, в K – оболочке имеется лишь одна орбита – s – орбита, на которой в согласии с принципом Паули может расположиться не более двух электронов; на L – оболочке имеется как s – орбита, на которой также могут находиться не более 2-х электронов, так и p – орбита, на которой уже могут расположиться шесть электронов, движение которых происходит по орбитам одинакового размера, но разной ориентации ( p – орбита имеет три возможные расположения в пространстве). Других орбит в L – оболочке нет. В теории показывается , что с данным главным квантовым числом n возможно 2n2 различных состояний и, следовательно, по принципу Паули может быть не более 2n2 электронов. В следующей М – оболочке снова имеется s – и p – орбиты и, кроме того, возможна орбита с символическим обозначение d – это эллипс с большими размерами, чем эллипсы p – орбиты. С помощью введённых чисел и букв можно кратко записывать заполнение электронных оболочек химических элементов*. Например, для электрона атома водорода символическая запись основного состояния такова: 1s1, где цифра впереди указывает на номер оболочки (это главное квантовое число), в данном случае это К – оболочка, буква s – вид орбиты (в данном случае – круговая), показатель степени указывает на число электронов, располагающихся на данной орбите (у атома водорода всего один электрон, он и располагается в 1s 1 состоянии). Символически запись расположения электронов в атоме Na : 1s12s22p63s 1. Все состояния на К – и L – оболочках полностью заполнены в атоме Na, на М – оболочке находится лишь один электрон в наинизшем состоянии – на s – орбите. Ниже мы приведём ещё несколько символических записей. А теперь мы можем приступить к рассмотрению процесса образования коллективных уровней в кристалле натрия, символическая формула заполнения электронных оболочек атомов которого была приведена выше. Эксперимент убеждает, что при образовании кристаллической ре* Количество электронов в нейтральном атоме равно заряду ядра, а он равен порядковому номеру элемента в таблице Д. И. Менделеева.

100

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

шётки натрия возникает лишь одна заполненная электронами энергетическая зона, соответствующая 3s – состоянию, так как другие уровни находятся глубоко в потенциальных ямах и не коллективизируются. Конечно, происходит объединение и выше расположенных 3p и следующих состояний, но все валентные электроны в атоме Na в нормальных состояниях располагаются в 3s – состоянии. Поэтому зоны, соответствующие 3p и т. д. выше расположенным состояниям, пусты и нет смысла говорить о соответствующих зонах для атомов, находящихся в нормальном состоянии. При объединении N атомов натрия возникает N раз вырожденная зона. На отдельном энергетическом уровне, согласно принципу Паули, могут находиться два электрона, поэтому на подуровнях образовавшейся зоны могут расположиться 2N электронов. У взаимодействующих же N атомов натрия имеется всего лишь N электронов на 3s – уровнях. Следовательно, не все, а только половина всех возникших, причём нижних (это энергетически выгодно) состояний в зоне будет занята валентными электронами. На рис. 32 дано графическое изображение 3s энергетической зоны в кристалле натрия. Рассмотрим образование энергетических зон в твёрдом неоне. Символическая запись заполнения энергетических оболочек неона такова: 1s2s22p6 . Напомним, что в p – состоянии может находиться не более шести электронов. Таким образом, все возможные p - состояния у неона заняты. При объединении N атомов неона образуется одна коллективная зона из 2p6- состояний. На всех подуровнях этой зоны могут расположиться 6N электронов (2p состояние отдельного атома содержит три подуровня, на каждом из которых находятся по 2 электрона). Но у N атомов неона в 2p– состоянии как раз и имеется 6N электронов. Таким образом, все подуровни в образовавшейся Рис.32. зоне заняты. Проведённые рассуждения графически представлены на рис. 33. Дадим названия образовавшимся зонам: полностью заполненная валентными электронами зона получила название валентной зоны (ВЗ), выше расположенная зона (у неона она совершенно пуста, в случае на101

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

трия – она заполнена наполовину ) называется зоной проводимости (ЗП). Между этими зонами находится так называемая запретная зона (ЗЗ). Смысл этих названий будет раскрыт в следующем параграфе. Процесс образования энергетической зоны можно представить в виде следующей графической картины (рис.34), на которой видна зависимость между шириной зоны и расстоянием между двумя взаимодействующими атомами. Из рисунка видно, что на расстояниях, превышающих во много раз постоянную решётки кристалла r0 , атомы практически не взаимодействуют друг с другом. Энергетический уровень в каждом атоме имеет естественную ширину (участок ав), зоны нет. При сближении атоРис.33. мов на расстояние порядка постоянной решётки r0 уровни атомов коллективизируются, возникает зона (в данном случае она двукратно вырождена, в этой зоне могут располагаться четыре электрона). Мы рассмотрели два наиболее простых случая образования энергетических зон. Рассмотрим более сложный случай их образования в алмазе. Электронная конфигурация электронов в атоме углерода записывается так: 1s2 2s2 2p2. В алмазе мы имеем пример сложной перестройки энергетических уровней взаимодействующих атомов. На рис. 35 показано, что при сближении атомов углерода в алмазе происходит не только образование зон и соответствующих одинаковых состояний, но, перекрытие зон, образованРис.34. ных из разных энергетических состояний. Это приводит к тому , что изменяется число подуровней в зоне. Если до образования решётки у N атомов углерода на 2s уровнях могло находиться 2N электронов, то в результате перекрытия зон, число подуровней удваивается, удваивается и число электронов, которые могут находиться в нижней зоне, соответствующей 2s- состояниям: максимальное число электронов в этой зоне может быть равно 4N. Но именно столько электронов имеется у N атомов углерода в 2s- и 2p – состояниях вместе. Следовательно, все 2s и 2p электроны окажутся в нижней зоне, заполняя её полностью. Зона, соответствующая коллективизиро102

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ванным 2р- уровням, окажется пустой. Ещё один случай построения энергетических зон можно наблюдать в кристалле NaCl. Запишем электронную конфигурацию изолированных атомов Na и галоида Cl ; для Na – 1s2 2s2 2p6 3s1 , для Cl -1s22s22p63s23p5. В результате взаимодействия сближающихся атомов Na и Cl, происходит изменение в расположении уровней (рис. 36): уровень атома Рис. 35. хлора 3p оказывается ниже 3s - уровня атома натрия. В силу энергетической выгодности валентный электрон 3s атома натрия переходи на 3p - уровень атома хлора и превращает его электронную оболочку в оболочку инертного иона. Таким образом, создаваемая 3s- уровнями атомов натрия энергетическая зона оказывается полностью пустой (а сам атом натрия превращается в положительно заряженный ион). Зона же, соответствующая 3p - состояниям галоида - полностью заполненной (а атом хлора превращается в отрицательно заряженный ион). Между этими энергетическими зонами располагается широкая запретная зона, в которой нет энергетических состояний тех структурных частиц, которые образуют кристаллическую решетку поваренной соли.

§4. Деление твёрдых тел на диэлектрики, полупроводники и проводники Классическая электронная теория могла разделить все твёрдые тела по их электрическим свойствам лишь на два класса: диэлектрики и проводники (металлы). Считалось, что в проводниках валентные электроны свободны и при включении внешнего электрического поля могут приобрести направленное движение. Поэтому металлы являются хорошими проводниками электрического тока. В диэлектриках же валентные электроны сильно связаны со своими атомами и поэтому не способны коллективизироваться и участвовать в макроскопическом направленРис. 36. ном движении при действии внешнего электрического поля. Огромная группа веществ – полупроводники – не находила себе 103

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

места в этой классификации. Зонная же теория позволяет провести деление всех твёрдых тел на три класса: диэлектрики, полупроводники и металлы. По зонной теории все валентные электроны у всех твёрдых тел являются общими, коллективизированными. Именно благодаря этому и возникают энергетические зоны при объединении атомов (ионов) в кристаллическую решётку. Поэтому говорить о свободных и связанных валентных электронах с точки зрения зонной теории неправильно. Если валентная зона у данного твёрдого тела полностью заполнена, а зона проводимости – пуста (см. рис. 33), то такое тело при низких температурах ведёт себя как хороший диэлектрик. Если ширина запретной зоны очень велика (порядка 5-10 эВ), то при нагревании (или в слабом внешнем электрическом поле) это вещество по-прежнему будет проявлять диэлектрические свойства, так как электроны не будут обладать достаточной энергией, чтобы преодолеть запретную зону и оказаться в зоне проводимости. При ширине же запретной зоны порядка 0,1-1,5 эВ отдельные электроны из валентной зоны будут уже способны переходить в зону проводимости (для сравнения: при Т=300К средняя энергия теплового движения kT = 0,025 эВ, а это уже сравнимо с шириной ЗЗ). Если такое вещество составляет участок замкнутой цепи, то при включении внешнего электрического поля электроны, оказавшиеся в зоне проводимости, и «дырки», возникшие в валентной зоне, способны будут переходить на более высокие энергетические уровни в соответствующих зонах. К скорости беспорядочного теплового движения прибавится скорость направленного движения: электронов – против направления электрического поля, «дырки»* – по полю. Такие вещества получили название полупроводников. При низких температурах эти вещества подобны диэлектрикам, при нагревании и во внешнем поле они ведут себя как проводники. Естественный критерий отнесения вещества либо к диэлектрику, либо к полупроводнику – это ширина запретной зоны (у диэлектрика она порядка 5-10 эВ, у полупроводника – 0,1-1,5 эВ, разница на порядок, а это в микромире очень большая разница). Если при образовании кристалла зона проводимости окажется частично заполненной (рис.37) или валентная зона наложится на зону проводимости (рис.38), то такое вещество в отношении электрических свойств проявит металлические качества. Когда в замкнутой цепи включается внешнее электрическое поле, электроны в зоне проводимости металла получают добавочную энергию, возбуждаются, переходят на более высокие энергетические уровни и приобретают скорость направленного движения. В цепи возникает электрический ток. Может возникнуть естественный вопрос: не будет ли скорость 104

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

электронов возрастать до бесконечности? Ответ будет отрицательным, так как наряду с ускоряющим действием внешнего поля, электроны будут испытывать торможение при упругом и неупругом взаимодействии с узлами кристаллической решётки и её многочисленными дефектами разных типов. Известно, что средняя скорость направленного движения электронов в металлах составляет десятую долю миллиметра в секунду. Введём понятие об эффективной массе электрона, находящегося в энергетической зоне.* Расчёты показывают (и эксперимент подтверждает эти расчёты), что только у дна энергетической зоны масса электрона численно совпадает с инертной

Рис. 37.

Рис. 38.

* Образование «дырок» в валентной зоне можно объяснить так. При возбуждении электрона из ВЗ в ЗП одно из энергетических состояний в ВЗ оказывается свободным, оно условно и названо «дыркой». При включении внешнего электрического поля электроны в ВЗ, расположенные на нижних, чем дырка, подуровнях, имеют возможность возбудиться в пределах самой же ВЗ. На переместившееся свободное состояние снова может переместиться другой, той же зоны, электрон, получивший от поля достаточную для этого процесса добавочную энергию. Такое перемещение электронов в ВЗ удобнее описать, рассматривая перемещение самого свободного состояния, т. е. «дырки», т. к. электроны движутся против направления поля, то «дырка» перемещается по полю, как если бы она обладала положительным электрическим зарядом. Но при этом всегда нужно помнить, что и в ЗП, и в ВЗ реальными частицами являются электроны. Поэтому дырку называют квазичастицей (как бы частицей). Мы вернёмся к этому вопросу в дальнейшем.

105

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

массой свободного электрона. Где-то в середине зоны эффективная масса (так будем называть массу зонного электрона) становится бесконечно большой. Это означает, что эффективная масса не эквивалентна инертной массе, которая является инвариантной, абсолютной характеристикой любого вещественного тела или частицы. При дальнейшем перемещении электрона к верху зоны эффективная масса изменяется не только по величине, но и по знаку (а инертная масса всегда положительная величина!). В верхней части зоны электрон ведёт себя как частица с отрицательной массой. В классической физике таких свойств у частиц не существовало. Эффективная масса – это чисто квантовое понятие и имеет математический смысл, оно вводится для того, чтобы понять некоторые явления, происходящие в твёрдых телах. (Напомним, что и энергетическая зона – это понятие, которое также помогает нам понять, что происходит с энергетическими состояниями атомов при объединении их в твёрдое тело, увидеть зону нельзя никакими приборами. Вместе с тем, использование такого образа позволяет не только понять свойства электронов в твёрдых телах, но и предсказать новые эффекты, в этом смысл введения подобных понятий в современной физике.) Частица с отрицательной эффективной массой и отрицательным электрическим зарядом эквивалентна по своим свойствам частице с положительной массой и положительным электрическим зарядом: у них одинаков удельный заряд

e −e = . Можно говорить о «мутациm −m

ях» электрона при движении его в зоне. Такое поведение электрона при движении через зону объясняет, например, так называемый аномальный эффект Холла, который наблюдается в некоторых твёрдых телах (бериллий, цинк, кадмий, хром, железо, кобальт, свинец и др.). У этих веществ зонная схема соответствует случаю, изображённому на рис. 38. Свободными оказываются уровни, расположенные в верхней части зоны проводимости. Именно там электрон ведёт себя как частица с отрицательным электрическим зарядом и отрицательной эффективной массой. При включении внешнего магнитного поля перпендикулярно (это даст максимальный эффект) направлению тока движущиеся электрические заряды под действием силы Лоренца отклоняются в сторону, противоположную той, куда бы отклонялись обычные электроны, если бы они были носителями заряда. Этот эф-

* Математическое обоснование понятия «эффективная масса» дано в Гл.4, §3.

106

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

фект можно обнаружить, определяя направление электрического поля, возникающего в проводнике между его боковыми гранями (участок цепи берётся в форме прямоугольного бруска), если при прохождении тока этот участок электрической цепи поместить в поперечное магнитное поле (в этом и состоит эффект Холла).*

§5. Зонные модели некоторых дефектов кристаллической решётки 5.1 Зонная теория твёрдого тела позволяет относительно «наглядно» представить механизм различных физических процессов, происходящих в кристаллической решётке. Выше уже отмечалось, что многие свойства твёрдых тел обусловлены дефектами структуры. Рассмотрим зонные модели некоторых дефектов кристаллической решётки и используем их затем для объяснения кинетики ряда электрических, механических, оптических и магнитных процессов. При нагревании твёрдого тела в нём возникают возбуждённые состояния структурных частиц. Это возбуждение не остаётся локализованным , а передаётся от одной частицы к другой благодаря смещению частиц около своих положений равновесия. Можно говорить, что по кристаллической решётке перемещаются возбуждения в виде упругих волн. Это приводит к нарушению идеального расположения частиц в твёрдом теле. Рассматриваемое дефектное образование в кристаллической решётке назвали «фононом» .Одним из способов создания фононов является процесс нагревания твёрдого тела, что сопровождается увеличением его размеров, удалением структурных частиц друг от друга, ослаблением связи между ними. И как результат этого – уменьшение ширины энергетических зон (рис. 34). 5.2 Если электроны валентной зоны в результате какого-либо физического воздействия получат добавочную энергию, равную или большую ширины запретной зоны, то они способны будут преодолеть эту запретную зону и перейти в зону проводимости. При этом в кристаллической решётке образуются дефекты: свободные электроны в ЗП и «дырки» в ВЗ (рис. 39). Электроны, оказавшиеся в зоне проводимости, имеют возможность * В §15 данной главы будет представлена теория классического эффекта Холла, в главе 4, §14 рассматривается теория квантового эффекта Холла.

107

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

при последующем возбуждении, например, во внешнем электрическом поле, прийти в направленное движение, получая дополнительный импульс от внешнего поля. Аналогично и электроны в ВЗ способны при возбуждении перемещаться по свободным состояниям, по «дыркам». Как уже говорилось выше (см. примечание на стр.105), вместо движения электронов в ВЗ удобнее говорить об эквивалентном движении «дырок». Если электроны движутся в направлении против внешнего поля, то «дырки» перемещаются в противоположную сторону, по полю. «Дырка» ведёт себя, как будто она является частицей, это позволяет приписать дырке положительный заряд, ввести эффективную массу и ряд других физических характеристик. И всё же «дырка» – это свободное состояние в ВЗ. Поэтому «дырка» – это не реальная частица, а так называемая квази-частица (как бы частица). Только вводя это понятие, мы сможем в дальнейшем объяснить ряд физических явлений, в том числе электропроводность полупроводников. 5.3. Под воздействием электрического поля электрона структурные частицы кристаллической решётки в той или иной степени поляризуются. Таким образом, вокруг электрона возникает поляризованная область, обращённая к электрону положительным эффективным Рис. 39. зарядом. В зависимости от свойств структурных частиц, эта поляризованная область может своим полем захватить тот самый электрон, который создал эту поляризованную область внутри твёрдого тела. Возникает особое, поляризованное состояние, включающее в себя как электрон, так и некоторую область самой решётки. Это состояние получило название поляризованного состояния, а локализованный поляризованной областью решётки, выполняющий роль «потенциальной ямы», электрон – поляроном. Такой электрон не является свободным, т.е. его нельзя считать находящимся в зоне проводимости. Вместе с тем, он не находится и в валентной зоне. Поэтому, его состояние изображается в запретной зоне так, как это сделано на рис. 40: поляронные состояния находятся в ЗЗ вблизи её верха. Но эти состояния не образуют зон, так как поляроны находятся далеко друг от друга и практически не взаимодействуют между собой. Говорят, что поляронные состояния – это локальные (местные) состояния. В силу близости поляронного уровня к дну зоны проводимости, полярон может под воздействием внешнего электрического поля порвать связь с «поляронной ямой» и перейти в зону проводимости и участвовать в электропроводности (рис.40а). И всё-таки такой элект108

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

рон нельзя считать (при малых внешних полях) свободным, так как вслед за движущимся поляроном будет перемещаться и поляризованная область. При выключении внешнего электрического поля, электрон снова «втянется» в поляризованную область. На зонной схеме этот процесс можно изобразить переходом электрона из ЗП в ЗЗ на поляронный уровень (рис.40б). Таким образом, полярон может излучать и поглощать энергию. Полярон - одно из основных представлений современной теории полупроводников и диэлектриков с ионной решёткой, позволившее по-новому истолковать электрические, фотоэлектрические и оптические явления в этих веществах. Теоретически поляроны были предсказаны советскими физиками Л. Ландау (1933г.) и Я. Френкелем (1936г.). Поляроны обнаружены экспериментально в щёлочно-галоидных кристаллах, BaO, NiO, PlS, JnSb, GaAs и др. 5.4. В ряде кристаллов при возбуждении электрона из валентной зоны возможно образование энергетической связи между электроном и «дыркой», возникшей в валентной зоне. В первую очередь такое состояние возникает благодаря кулоновскому притяжению разноименно заряженных электрона и «дырки». Образуется сложный дефект кристаллической решётки, названный экситоном. Как и в случае полярона, электрон Рис. 40. экситона оказывается связанным (в случае полярона – поляронной потенциальной ямой, в экситоне – электростатическим полем «дырки»), поэтому его энергетические состояния располагаются в запретной зоне. (рис. 41). Экситон по своей структуре напоминает водородный атом, роль ядра (положительно заряженного протона) выполняет «дырка». Возбужденные уровни экситона вплотную подходят к дну зоны проводимости. При дополнительном возбуждении экситон может распасться, и тогда его электрон, перейдя в ЗП, становится свободным. Именно такой механизм объясняет один из интересных этапов так называемого внутреннего фотоэффекта, когда фототок появляется не вовремя освещения фотоэлемента светом, а некоторое время спустя: в результате облучения сначала возникают нейтральные экситоны, не участвующие 109

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

в электропроводности, и только затем, в результате их распада, образуются свободные носители заряда – электроны в ЗП и «дырки» в ВЗ. Впервые экситоны экспериментально были обнаружены советским физиком Е.Ф. Гроссом (1951г.) в Cu2O. 5.5. Дефектом кристаллической решетки является нарушение ее регулярности (правильности) как при выходе структурной частицы из узла в междоузлие или на поверхность кристалла, так и внедрение в междоузельное пространство или замещение в узле структурной частицы чужеродным атомом или ионом. Свободные узлы кристаллической решетки получили название вакансий. Подобные дефекты (вакансии, междоузельные частицы, собственные или чужеродные) оказывают существенное влияние практически на все свойства твердых тел, на их механические, тепловые, электрические и оптические свойства. Подобные дефекты обладают своими энергетическими состояниями, некоторые из них (и это самый важный случай) на зонной схеме попадают в запретную зону, где у идеальной кристаллической решётки никаких состояний не моРис. 41. жет быть. При этом различаются два крайних случая. Если дефектный уровень располагается в запретной зоне вблизи ее дна и, притом, на нём нет электрона, то на этот уровень могут перейти электроны валентной зоны и закрепиться на нем. Возникшая же в ВЗ «дырка» может принять участие в электропроводности. Такой дефектный уровень получил название акцепторного, а дефект, его создающий – акцептора (рис.42). Акцептором может быть примесь замещения с валентностью, меньшей, чем валентность структурных частиц решетки (например, трехвалентный индий в узле вместо четырехвалентного германия). Но это условие не обязательно, чтобы дефект оказался акцептором. Если же примесный уровень располагается в ЗЗ вблизи ее верха и на нем есть электрон, то последний может возбудиться и перейти в ЗП. А там, этот электрон свободен и может участвовать в электропроводности. Такой дефект (примесный атом или ион) называется донором, а его уровень - донорным (рис. 43). Донором будет пятивалентный мышьяк в решётке – четырехвалентного германия. Однако, как и в случае с определением акцептора, примесь и с иной валентностью, чем указано выше, может проявлять донорные свойства. Это зависит как от свойств кристаллической решётки, так и от места расположения примесного уровня в ЗЗ. Если же примесный уровень оказывается в области ЗП. или ВЗ. основной решётки, то соответствующая при110

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

месь не является ни донором, ни акцептором. Вероятность перехода электрона из ВЗ на акцепторный уровень, или электрона с донорного уровня в ЗП больше вероятности перехода электрона непосредственно из ВЗ в ЗП во столько раз, во сколько раз значение

 ∆E ′  exp −  больше величины  kT 

 ∆E  exp −  , где Т – абсолютная температура  kT 

кристалла, ∆Е - ширина запретной зоны, ∆Е’ - расстояние (в энергетической шкале) от донорного (акцепторного) уровня до дна зоны проводимости (верха валентной зоны). Именно поэтому присутствие донорной или акцепторной примеси в кристалле может существенно изменить свойства этого Рис. 42. кристалла (об этом будет идти речь далее при рассмотрении свойств полупроводников). Донорные и акцепторные уровни являются локальными, они не трансформируются в энергетические зоны. Причиной этого является значительная (по масштабам кристаллической решётки) удаленность одного примесного атома (иона) от другого. Если в одном кубическом сантиметре твердого тела содержится около 1023 структурных частиц, то при максимальной концентрации примеси порядка 10171018 1/см3, атомы ее в среднем удалены друг от друга на сотни и тысячи постоянных решётки. Практически между этими примесными атомами нет взаимодействия, а именно сильное взаимодействие Рис. 43. структурных частиц твердого тела приводит к коллективизации энергетических состояний, к образованию энергетических зон. 5.6. Как было указано выше, вакансии в ионных кристаллах обладают эффективными электрическими зарядами (можно провести аналогию с возникновением эффективного заряда у «дырки»). Так галоидная вакансия в щелочно-галоидных кристаллах проявляет себя так, как если бы она имела положительный электрический заряд. Соответственно, вакансия щелочного металла имеет отрицательный эффективный заряд. Благодаря кулоновскому взаимодействию, разноименные 111

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

вакансии могут образовать сложный нейтральный дефект - диполон, также оказывающий значительное влияние на многие свойства щелочно-галоидных кристаллов. С другой стороны, вакансия иона галоида, также благодаря кулоновскому взаимодействию, может образовать с электроном нейтральный дефект, получивший название F- центра окраски. Это название связано с оптическими свойствами F-центра: при наличии в кристаллической решётке F-центров щелочно-галоидные кристаллы приобретают видимую окраску. Облучая кристалл даже белым светом, можно его обесцветить: в результате поглощения энергии света электрон F-центра возбуждается и переходит в зону проводимости, F-центр разрушается, кристалл обесцвечивается, возникает электронная проводимость. 5.7. Используя зонную схему, объясним явление люминесценции в твердых телах. Явление люминесценции заключается в том, что в результате облучения светом, рентгеновскими или гамма - лучами, потоком частиц, при трении, под воздействием электрического поля и т.д. ряд веществ испускает электромагнитное излучение (иногда в видимой части спектра), не будучи нагретыми. Это холодное свечение и названо люминесценцией, оно детально изучено советским физиком С.И. Вавиловым. Рассмотрим зонную схему явления люминесценции (рис. 44). В результате внешнего физического воздействия электрон примеси (рис.44а) возбуждается и переходит в зону проводимости. Блуждая по кристаллу (на схеме – перемещаясь в зоне проводимости по направлению стрелки), он может встретить примесь и перейти на её уровень. При этом излучается квант света. Такой процесс обычно завершается за миллиардную долю секунды. Поэтому свечение является кратковременным, т.е. практически прекращается вслед за прекращением внешнего воздействия. Этот случай люминесценции имеет свое название – флуоресценция. Длительная люминесценция (называемая фосфоресценцией) возникает тогда, когда в запретной зоне есть дополнительные, дефектные уровни между дном зоны проводимости и уровнем чужеродного атома, называемого в данном явлении активатором (рис.44б). Электрон чужеродного иона, оказавшись в ЗП, имеет возможность закрепиться на одном из промежуточных уровней (их называют уровнями ловушек). Только в результате взаимодействия с фононами (см. выше) такой электрон получает возможность вернуться в зону проводимости, а затем или снова повторится его захват ловушкой, или он перейдет на уровень активатора. В последнем случае рождается квант света. Длительность всего процесса определяется продолжительностью пребывания электронов на уровнях ловушек. 112

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

5.8. Воспользуемся зонной схемой диэлектрика и объясним возникновение электретного состояния под действием света и сильного внешнего электрического поля. В результате поглощения кванта света электрон, из валентной зоны переходит в зону проводимости, а оттуда на один из дополнительных уровней примеси в запретной зоне. (рис. 45). Под действием электрического поля электрон, находясь в зоне проводимости, переместится в кристалле против поля. Одновременно по направлению поля произойдет перемещение «дырки» и затем переход её на уровень примеси, создавшей локальное состояние в запретной зоне. На противоположных сторонах кристалла возникают не скомпенсированные разноименные электрические заряды. Диэлектрик окажется в поляризованном состоянии, такое состояние и называется электретным. Благодаря тому, что примесные уровни в ЗЗ являются локальными, это состояние может сохраняться долго. Однако, как в результате нагрева, так и при освещении светом электретное состояние может быть разрушено. 5.9. Зонная схема позволяет «наглядно» представить работу квантового усилителя, например, в котором рабочим «телом» служит кристалл рубина Al2O3 + Cr3 (рис.46). Внешне зонная схема рубинового лазера напоминает зонную схему фоса б форесцирующего вещества (см. рис.45). Рис. 44. Примесные уровни хрома располагаются в запретной зоне Al2O3. Эти уровни являются ловушками. Если после возбуждения электронов Al2O3 из валентной зоны в зону проводимости и последующего перехода их на локальные уровни хрома в ЗЗ, через кристалл пропустить фотон, энергия которого как раз равна энергии перехода электрона с уровня ловушки в валентную зону, в кристалле произойдет индуцированный, вынужденный одномоментный переход (размеры рабочего тела малы и квант пролетит его, за ничтожно малое время) почти всех электронов с уровней ловушек в валентную зону. Из кристалла выйдет многократно усиленный практически монохроматический луч. Мы ещё вернемся к вопросу о квантовом усилителе и рассмотрим другой процесс получения монохроматического излучения.

113

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 6. Собственная проводимость полупроводников В середине XX в. полупроводники нашли широкое практическое применение в электротехнике, радиотехнике, электронике, химической промышленности, в технике люминофоров и лазеров и т.д. Их теоретическое изучение способствовало развитию физики твердого тела, обогатило физическую науку новыми представлениями и новым толкованием целого ряда физических явлений. Остановимся на электрических Рис. 45. свойствах полупроводников и дадим объяснение этим свойствам на основе зонной теории. Как уже было сказано выше, только в этой теории удалось объяснить сам факт существования такого вида веществ, и, соответственно, истолковать их свойства. К полупроводникам относятся тела*, имеющие сравнительно узкую запрещенную зону (0,1-1,5 эВ) при полностью пустой зоне проводимости (так, у германия ЗЗ – 0,66 эВ, у кремния – 1,08 эВ, у антимода индия – 0,17 эВ, у серого олова – 0,08 эВ). Удельное сопротивление полупроводников имеет значение в Рис. 46. интервале 103-109 Ом·см, в то время как у диэлектриков оно порядка 1022 Ом·см, у металлов – 10-6 Ом·см. Под влиянием внешнего воздействия электроны валентной зоны полупроводника могут приобрести достаточную энергию для преодоления ЗЗ и перехода из ВЗ в ЗП. В качестве внешнего воздействия может быть использовано нагревание, облучение светом или ионизирующими излучениями, механическое воздействие (деформация) и т.д. При переходе части электронов из ВЗ в ЗП в первой возникают свободные состояния (рис. 47). Электроны ВЗ имеют возможность переходить в пределах этой зоны в 114

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

свободные состояния, и при действии внешнего электрического поля – участвовать в направленном движении (двигаясь против поля), т.е. будет возникать электрический ток (об этом мы уже говорили в § 5 при рассмотрении зонных схем некоторых дефектов кристаллической решётки). Рассмотрим этот вопрос подробнее, чем это сделано в § 5. Для упрощения задачи рассмотрим движение в ВЗ одного электрона. Это, означает, что в ЗП возбудился лишь один электрон, а в ВЗ возникло лишь одно свободное состояние. Фактически в движение придет множество электронов в ВЗ, но эти переходы будут происходить последовательно на перемещающееся свободное состояние. Именно поэтому допустимо говорить об электрическом токе, создаваемом одним электроном:

J s = −evs , где

(− e ) – заряд электрона с учётом его знака, v – скорость направлен-

ного движения электрона, s – его номер. Переход всех электронов в единицу времени породит ток:

I p = −∑ evi , i ≠s

где суммирование производится по номерам всех электронов за вычетом номера S электрона, который перешёл в ЗП (если в ВЗ будет полностью заполнена электронами, то в этом случае Ip = 0 по, определению, т.к. в силу заполненности зоны всякому электрону, движущемуся со скоростью vi ,будет соответствовать электрон со скоростью vk , причём vi = - vk , и суммарное направленное движение всех электронов заполненной ВЗ равно нулю, тока нет). Проведём элементарные арифметические действия, добавив и вычтя

* К полупроводникам относятся элементы 4-й группы таблицы Менделеева (углерод, кремний, германий, серое олово) и их химические соединения, химические соединения элементов 3-й группы с элементами 5-й группы таблицы Менделеева (соединения индия и галлия с фосфором, мышьяком и сурьмой), химические соединения элементов 2-й группы (цинк, кадмий) с элементами 6й группы (селен, сера, теллур) и т.д. К полупроводникам относится большое число кислородных соединений элементов (окиси железа, закись меди и т.д.), соединений с серой, селеном, ряд органических веществ (например, нафталин), некоторые полимеры, стекла (халькогенидные) и т.д.

115

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

из суммы J p , отсутствующее слагаемое

Js :

J p = −e ∑ vi − (− ev s ) = −e∑ vi + ev s = evs , i

т.к. слагаемое − e

i

∑v

i

на основании предыдущих

i

рассуждений равно нулю. Поэтому при наличии в ВЗ лишь одного свободного состояния – «дырки» – в кристалле возникает электрический ток (естественно, при соблюдении необходимых условий), который эквивалентен току, обусловленному дви-

Рис. 47.

жением в зоне одной частицы с положительным зарядом + e , которая отождествляется с вакантным состоянием. Для описания свойств этой квазичастицы (как бы частицы) – «дырки» – используют те же физические характеристики, что и для описания электронов: массу (её называют «эффективной» массой, т.к. она не всегда численно, совпадает с массой свободного электрона), импульс (также обычно называемый квазиимпульсом), энергию, спин, электрический заряд. Таким образом, в чистом полупроводнике результирующий ток образует движение электронов как в ЗП, так и в ВЗ (эта составляющая полного тока обычно называется «дырочным» током):

J полн = J эл + J дыр . Рассмотренная электропроводность чистого полупроводника, обусловленная возбуждением электронов из ВЗ в ЗП, называется собственной проводимостью. Сделаем несколько замечаний о J полн . Этот ток равен арифметической сумме электронного (в ЗП) и «дырочного» (в ВЗ) токов. И это несмотря на то, что «дырки» движутся по направлению внешнего электрического поля, а электроны – в противоположном направлении. Дело в том, что обе составляющие полного тока порождены движением реальных частиц одного сорта – электронов, а понятия «дырка» и «дырочный» ток введены для удобства, упрощения рассуждений о движении электронов в ВЗ. На зонной схеме (рис. 47) движение электронов в зонах будет происходить снизу вверх, что соответствует переходу электронов за счет энергии электрического поля 116

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

на более высокие энергетические уровни. В идеально чистом полупроводнике число «дырок» равно числу электронов (в ЗП). И все же слагаемые полного тока J эл и J дыр могут быть не равны друг другу. Дело в том, что о средняя скорость упорядоченного движения электронов не всегда равна средней скорости движения «дырок». Это обусловлено тем, что движение «дырок» в ВЗ сопряжено фактически с перемещением электронов в этой почти заполненной зоне, а это как показывают расчеты, не равносильно движению электронов в почти свободной ЗП (см.таб.6.)

Введенная в зонной теории величина – «эффективная масса» обладает рядом уникальных свойств. В частности, она может быть как больше, так и меньше нуля, и даже быть бесконечно большой по величине. Поэтому «эффективная масса» по сути дела не является физической величиной в обычном понимании. Для примера укажем «эффективные массы» электрона у дна ЗП в германии mэфэл = 0,56 me, «дырки» у верха валентной зоны mэфдыр = - 0,59 me соответственно в кремнии mэфэл = 1,08 me, mэфдыр = -0,37 me где me – масса свободного электрона. Строгая теория (и эксперимент это подтверждает) предсказывает изменение «эффективной массы»электрона (и «дырки») в зависимости от его местонахождения в зоне. С повышением температуры собственная проводимость чистого полупроводника возрастает по экспоненциальному

 −kT∆E   ≈ e  закону, так как по такому закону растет кон   

центрация электронов в ЗП и, соответственно, «дырок» в ВЗ ( в показателе экспоненты величина ∆E - ширина запретной зоны, k - постоянная Больцмана). Как известно, в металлах с увеличением температуры проводимость уменьшается *. Если чистый полупроводник облучать монохромати117

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ческим светом меняющейся частоты и наблюдать за электрическим током в той цепи, в которую включен последовательно исследуемый полупроводник, то можно заметить, что при определенной энергии фотонов Eф = hv ток начинает возрастать. Наблюдаемое явление называется фотопроводимостью. Очевидно, исходя из зонной схемы чистого полупроводника, что этот процесс начинается тогда, когда энергия световых квантов становится равной ширине запретной зоны. Так определяют одну из важнейших характеристик зонных схем чистых полупроводников. Табл. В заключение рассмотрим физическую сущность одного из 6. способов получения чистых веществ. Он получил название метода -2зонной очистки. В м / с * Вещество Подвижность 10 основе его лежит явление меньшей растворимости примесей в твердой фазе В/ м вещества, чем в его жидком состоянии.электронов Поэтому, если произвести «дырок»нагрев кристалла вплоть до плавления отдельными тонкими слоями, Германий 36 19то при затвердевании одного слоя примеси будут перемещаться в соседний Кремний 6,5 18 разогреваемый слой. Поэтому, перемещая стержень материаСернистый свинец 18 из полупроводникового 5 ла через печь специальной конструкции, можно сконцентрировать примеси Углерод (алмаз,Т=500 К) 8 12 на одном конце стержня. Эту процедуру повторяют сотни раз. В результате один конец полупроводникового стержня становится пригодным для использования в научных и технических целях как практически чистый полупроводник.

§ 7. Примесная проводимость полупроводников Выше уже неоднократно отмечалось, что, дефекты кристаллической решётки очень часто просто необходимы, чтобы получить твердые тела с определенными нужными свойствами. Наличие дефектов, в том числе чужеродных примесей, может, например, очень сильно изменить электрические свойства полупроводника. Так, добавление в чистый кремний одного атома бора в расчете на 105 атомов кремния увеличивает его проводимость при комнатной температуре в 1000 раз. В § 5 мы рассмотрели зонные схемы таких дефектов кристаллической решётки, которые были названы донорами и акцепторами (рис. 42 и 43). Дефектные уровни могут располагаться и в ЗП, и в ВЗ. Но * Подвижность – это физическая характеристика движущихся зарядов, численно равная отношению скорости направленного движения к напряженности электрического поля.

118

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

особый интерес в рассматриваемом вопросе представляют такие дефектные уровни, которые располагаются там, где нет собственных энергетических состояний, т.е. в запретной зоне, именно эти уровни и были названы донорными и акцепторными. Так как примесных атомов на несколько порядков (105-1010) меньше, чем собственных структурных частиц, то примесные атомы не взаимодействуют между собой и поэтому не образуют примесные энергетические зоны. Уровни чужеродной примеси, оказавшиеся в области запретной зоны, остаются изолированными, локальными. Это наглядно представлено на рисунках 42 и 43. Следует подчеркнуть, что возникновение примесных состояний не обязательно связано с различной валентностью атомов примеси и основного вещества. Так, в ионных полупроводниках дополнительные энергетические состояния в ЗЗ могут возникнуть не только от присутствия инородной примеси, но также и от избытка каких-нибудь из основных, структурных частиц. Например, избыток атомов свинца в сернистом свинце действует как донорная примесь. Главным критерием того, будет ли примесь донором или акцептором, является то, где расположится примесный уровень: в ЗЗ или в ВЗ, или в ЗЗ (рис. 48, масштаб на рисунке умышленно нарушен для достижения наглядности). Рассмотрим, как влияют акцепторы и доноры на электропроводность полупроводника. Пусть имеется лишь один, акцепторный уровень (рис. 42). Он располагается вблизи верха ВЗ в ЗЗ. Между верхом В.З. и акцепторным энергетическим уровнем расстояние ( в энергетическом масштабе) порядка 0,1 эВ и меньше. Поэтому электронам валентной зоны с энергетической точки зрения легче перейти на акцепторный уровень, нежели возбудиться в зону проводимости (напомним, что на –акцепторном уровне должно быть вакантное энергетическое состояние, только в этом случае примесь может называться акцептором). Конечно, определенная доля электронов, обладая избыточной (флуктуационной) энергией теплового движения, может перейти и в зону проводимости, но преобладающее большинство их задержится на * Если температурный коэффициент сопротивления у металлов – величина положительная; то у полупроводников он – отрицательная величина. Именно такую аномалию обнаружил М.Фарадей в 1833 г.; измеряя температурную зависимость сопротивления у сульфида серебра. Эту дату можно считать моментом обнаружения полупроводников. Но систематическое изучение и практическое применение полупроводников началось лишь спустя более 100 лет.

119

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

акцепторных уровнях (ведь их всё-таки 1013-1017 в одном кубическом сантиметре!). Последующий переход электронов с акцепторных уровней в ЗП требует дополнительной энергии – энергии активации (энергии перехода). Вероятность таких переходов без интенсивного внешнего воздействия будет мала. Поэтому, если рассматриваемый полупроводник поместить во внешнее электрическое поле, замкнуть электрическую цепь, то полный ток в полупроводнике, как и в случае собственной проводимости, будет слагаться из электронного тока в ЗП и «дырочного» тока в ВЗ Но носителей тока в ЗП буде т очень мало по сравнению с их числом в В.З. Поэтому практически полный ток при наличии акцепторных уровней будет совпадать с током в ВЗ, т.е. с «дырочным» током: J полн ≈ J дыр . В этом случае говорят, что полупроводник обладает дырочной проводимостью, или проводимостью p-типа (p-первая буква слова positiv – положительный). Это означает, что основными носителями зарядов в этом полупроводнике являются «дырки», электроны же, оказавшиеся в ЗП, являются не основными носителями. Проанализируем зависимость сопротивления полупроводника (с дырочной проводимостью) и металла при изменении температуры образца (рис. 49). В металле число носителей заряда, участвующих в электропроводности, вплоть до температуры плавления практически остается постоянным. Решающим фактором, влияющим на величину сопротивления, является возрастающее с увеличением температуры колебательное движение структурных частиц в узлах кристаллической решётки, мешающее направленному движению электронов. Сопротивление металла с возрастанием температуры приблизительно пропорционально первой степени температуры. Иначе обстоит дело в полупроводнике. Здесь решающим фактором является увеличение числа носителей заряда по экспоненциальному закоРис. 48. 120

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ну (за счет притока энергии при теплопередаче электроны ВЗ получают необходимую энергию для преодоления запретной зоны). При высоких температурах (3000 С и выше) электроны валентной зоны способны возбуждаться не только до акцепторных уровней, но и вплоть до уровней зоны проводимости. Наряду с дырочной проводимостью, возникает равновеликая электронная проводимость, и проводимость полупроводника приобретает характер собственной проводимости. Поэтому при нагревании полупроводника его сопротивление убывает почти по экспоненциальному закону (небольшое влияние все же оказывает состояние решётки). Эта зависимость полупроводниковой проводимости от температуры используется при градуировке полупроводниковых термометров сопротивления – термисторов (терморезисторов). В качестве датчика в термисторах служит кристаллик полупроводника, электрическая цепь содержит, помимо датчика, еще источник тока и гальванометр. Чувствительность термистора настолько велика, что, поместив датчик в фокус параболического зеркала, можно обнаружить тепловое излучение (например человека) на расстоянии сотни метров. Термисторы можно использовать не только для определения температуры, но и для определения других характеристик, например, определять расход жидкостей или газов по изменению температуры обтекающих датчик жидкостей или газов. Рассмотрим влияние донорных примесей на проводимость полупроводника (рис. 43). При возбуждении электронов донорной примеси они могут перейти в ЗП При включении внешнего электрического поля электроны, оказавшиеся в ЗП, получат направленное движение, создавая электрический ток J эл . Дырочный ток в валентной зоне и на донорных уровнях практически равен нулю. Поэтому полупроводник с донорными уровнями будет проявлять электронную проводимость, или проводимость n типа (n – первая буква слова negativ – отрицательный). В таком полупроводнике электроны являются основными носителями заряда, а «дырки» – не основными. Зависимость сопротивления полупроводника n – типа при изменеРис. 49. 121

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

нии температуры качественно такая же, как и в полупроводниках с проводимостью p – типа. При значительных повышениях температуры проводимость полупроводников n – и p – типа изменяется и становится не примесной, а собственной. Это объясняется тем, что энергии теплового движения становится уже достаточно, чтобы возбудить электроны ВЗ и переводить их в ЗП. А так как концентрация примеси на несколько порядков меньше концентрации собственных структурных частиц, то именно «свои» электроны и «дырки» определяют проводимость полупроводника. Так, у кремния, легированного фосфором, температура перехода от примесной проводимости к собственной лежит в интервале 130-2000 С (при концентрации примеси порядка 1017 см-3). В слабых электрических полях, пока концентрация электронов и «дырок», а также их подвижности, не зависят от напряженности внешнего поля, в примесных полупроводниках выполняется закон Ома:

r r j = σE . В сильных электрических полях порядка 103 В/см эти условия

нарушаются, обнаруживается отступление от закона Ома. Увеличение скорости направленного движения носителей заряда под действием внешнего электрического поля эквивалентно повышению температуры носителей заряда. Поэтому такой эффект называется разогревом электронного («дырочного») газа, а электроны (« дырки»), имеющие среднюю кинетическую энергию выше средней кинетической энергии атомов решётки, - горячими электронами («дырками»). Под действием сильных электрических полей могут произойти новые физические процессы, благодаря которым изменяется и концентрация носителей зарядов. К этим явлениям можно отнести: 1) термоэлектрическую эмиссию (переход электронов в зону проводимости через запретную зону за счет работы внешнего поля); 2) ударную ионизацию электронами зоны проводимости атомов решётки; 3) электростатическую ионизацию благодаря туннелированию электронов валентной зоны в зону проводимости через запретную зону (это явление называется эффектом Зинера).

§8. Контакт двух полупроводников различного типа проводимости. Кристаллический диод Широкое использование полупроводников обусловлено, в основном, теми физическими процессами, которые происходят на контакте примесных полупроводников с различным типом проводимости. Та122

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

кой контакт называют электронно-дырочным переходом, или p-n переходом. Под контактом двух полупроводников понимают не механическое соприкосновение полупроводников n-, и p- типов, а создание внутри кристалла резкой границы этих областей. Существует несколько методов формирования p-n – переходов. Рассмотрим их суть с физической точки зрения. Метод сплавления. На примесный кристалл германия n- типа накладывается кусочек кристалла индия, затем производится прогрев до температуры 500-6000 С. Расплавившийся индий растворяет в себе германий, в результате чего образуется полупроводник, который после отвердевания будет обладать проводимостью p- типа. На границе двух кристаллов с различной проводимостью образуется p-n – переход (конечно, весь технологический процесс происходит более сложно, здесь намечена лишь его основная схема). Метод диффузии. В этом методе используется процесс диффузии одного вещества в другое через границу их соприкосновения. При нагреве полупроводника p- типа через одну из его поверхностей происходит диффузия примеси (можно взять кристалл с n-типом проводимости и диффундировать в него акцепторную примесь). В зависимости от температуры процесса и его длительности, на определенной глубине кристалла возникает p-n-переход. Используется также эпитаксиальный метод, суть которого заключается в осаждении на кристалл с помощью химических реакций из окружающей газообразной или жидкой среды тонкого слоя пленки того же полупроводника, но с другой, примесной проводимостью. Наконец, широкое применение нашел метод ионного легирования, когда необходимая примесь внедряется с помощью ионного пучка. Практически все технологические процессы весьма сложны и доступны не всем промышленным странам. От качества изготовления p-n-переходов во многом зависит и качество радиоэлектронной полупроводниковой аппаратуры. В нашей стране все эти методы разработаны в промышленных масштабах. Получив одним из указанных способов p-n-переход, рассмотрим его равновесное (не рабочее) состояние (рис. 50). Так как в полупроводнике n-типа имеется избыток электронов (по отношению к полупроводнику p-типа), а в полупроводнике p-типа – «дырок», поэтому электроны из полупроводника n-типа сразу же начинают диффундировать в полупроводник p-типа. А из этого полупроводника возникает 123

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

диффузия «дырок» в полупроводник n-типа. В приграничной области со стороны полупроводника p-типа появляются электроны, а по другую сторону контакта, в полупроводнике n-типа – «дырки». В результате граничная область со стороны полупроводника p-типа получает избыточный отрицательный заряд, а со стороны полупроводника n-типа - положительный (рис. 50а). На рисунке (50б) изображено для упрощения картины перемещение лишь одного электрона, который, попав в «дырку», аннигилирует (исчезает как свободный заряд). Но так как обе части кристалла в исходном состоянии были нейтральны, то уход электрона из полупроводника n-типа нарушает эту нейтральность, и полупроводник n-типа вблизи контакта приобретает локализованный положительный объемный заряд. Аналогичные рассуждения можно провести относительно появления объемного отрицательного заряда в приконтактной области полупроводника p-типа. Локализация объемных зарядов обусловлена тем, что эти заряды связаны с локализованными в кристаллической решётке донорами и акцепторами. В контактном поле возникает двойной электрический слой, возникает

r

контактное электрическое поле Ek , на рис. 50а оно направлено слева направо, из полупроводника n–типа в полупроводник p-типа. Но это контактное поле, само порожденное диффузионным потоком основных носителей заряда, будет тормозить их движение, и даже может вызвать появление дрейфового тока неосновных носителей заряда из полупроводника p-типа – электронов- в полупроводник n-типа (соответственно из полупроводника n-типа – «дырок» – в полупроводник p-типа). Когда эти два встречных потока уравновесят друг друга, говорят о наступлении динамического равновесия на pn-переходе. При этом в приконтактной области по обе стороны контакта образуются слои, обедненные основными носителями заряда (ведь часть их продиффундировала в соседнюю область). Эта переходная область получила название запорного слоя, её ширина ∆x порядка 10-5 см. А если учесть, что контактная разность потенциалов ∆ϕ достигает величины 0,1-0,5 В, то о напряженность контактного поля оказывается очень большой величиной

Ek =

∆ϕ ≈ 105 В / см . ∆x

Как видно из рис.50 возникновение p-n-перехода сопровождается поднятием уровней (зон) в полупроводнике p-типа по отношению к уровням (зонам) полупроводника n-типа. Разберемся в этом явлении, 124

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

так как такие сдвиги энергети- à) ческих состояний постоянно будут встречаться нам в дальнейшем. á) Дело в следующем. Диффузия каждого последующего электрона из полупроводника n-типа в полупроводник p-типа требует преодоления отталкивающего электрического поля ранее продиффундировавших электронов. Поэтому электроны, перешедшие в полупроводник p-типа по отношению к Рис. 50. своему первоначальному состоянию будут обладать избыточной энергией, что на зонной схеме и изображается относительным поднятием всех уровней в полупроводнике p-типа по отношению к уровням в полупроводнике n-типа. Рассмотрим теперь, что произойдет на p-n-переходе, если он окажется во внешнем электрическом поле. Можно выделить два крайних случая: 1) внешнее поле направлено в ту же сторону, что и контактное поле ; 2) внешнее поле направлено навстречу контактному полю. Случай 1. Запорное состояние p-n-перехода. Если внешнее поле , направлено в ту же сторону, что и контактное поле, то под его воздействием «дырки» из граничного слоя полупроводника n-типа будут возвращены в полупроводник p-типа и отодвинуты далее внутрь этого полупроводника. Аналогично и электроны, оказавшиеся в результате диффузии из полупроводника n-типа в полупроводнике p-типа, будут возвращены в полупроводник n-типа и отодвинуты от границы раздела полупроводников (напомним: электроны движутся в направлении против внешнего поля!). Переходная область обедняется носителями заряда, это равноценно увеличению омического сопротивления p-n-перехода, электрический ток практически не будет проходить через p-n-переход. Такое состояние p-n-перехода называют запорным (рис. 51). На рисунке 51 изображена вольтамперная характеристика p-n- перехода, обсуждаемый участок обозначен буквами Оа. Наличие хотя и малого, но все же отличного от нуля тока, обусловлено движением не основных носителей, т.е. диффузией через p-n-переход «горячих» электронов и «дырок», ко125

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

торые в результате тепловой флуктуации могут приобрести достаточную энергию, чтобы преодолеть внешнее поле. Но таких «горячих» зарядов очень мало, поэтому и говорят, что p-n-переход в рассматриваемом случае заперт. Но, как ясно из предыдущих рассуждений, нагрев p-n-перехода разрушит его запорное состояние. Так для германиевого p-n-перехода достаточно нагреть кристалл до температуры 1500 С, чтобы разрушить запорное состояние p-n-перехода. Отсюда следует очевидный практический совет: полупроводниковые устройства – транзисторы, телевизоры и т.д., нельзя располагать вблизи нагревательных устройств, на прямом пути солнечных лучей. На рис. 52 представлена зонная схема p-n-перехода, находящегося в запорном состоянии. При сравнении с равновесным состоянием p-n-перехода (рис.50) обнаруживается изменение положения энергетических зон в полупроводниках разной проводимости. Это есть результат воздействия внешнего электрического поля на энергетические состояния: электронам энергетически «выгодно» перейти из полупроводника p-типа в полупроводник n-типа, такой переход приводит к уменьшению их энергии, так как переход совершается в более низкие энергетические состояния. Случай 2. Пропускное состояние p-n-перехода. Если внешнее электрическое поле приложено к p-n-переходу в направлении, противоположном контактному полю, то состояние p-nперехода существенно изменяется по сравнению с его запорным состоянием (рис. 53). Уровни и зоны в полупроводнике p-типа оказываются существенно ниже уровней и зон в полупроводнике n-типа (ср. с рис. 50), что символизирует энергетическую выгодность движения электронов слева направо. Под действием внешнего электрического поля такого направления основные носители заряда в каждом полупроводнике приобретают направленное движение к границе соприкосновения полупроводников. Область перехода обогащается носителями заряда, что эквивалентно уменьшению омического сопротивления. В результате этого ток через p-n-переход, - пропускной ток – будет возрастать с увеличением внешнего электрического поля по сложному закону, отличному от закона Ома (на рис. 51 вольт-амперная характеристика пропускного тока изображена участком ОВ). Объективной характеристикой p-n-перехода является коэффициент усиления, который определяется как отношение пропускного тока к запорному. Обычно он имеет величину порядка 109, т.е. p-n - переход практически обладает односторонней проводимостью. И в этом его основное применение как выпрямителя переменного тока (кристаллический диод). Очевидны и физические, и экономические преимущества кристаллического диода перед вакуумным: значительные 126

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

меньшие габариты, относительная дешевизна, долговечность, механическая прочность (но – боязнь перегрева!!!). О влиянии повышения температуры на p-n-переход говорилось выше. Возможен и пробой pn-перехода при увеличении обратного поля. Хотя это и сужает область использования p-n-перехода в качестве выпрямителя, вместе с тем, его же можно использовать в качестве физической основы работы полупроводникового прибора – стабилитрона, служащего для стабилизации (ограничения верхнего значения) напряжения. На рис. 51 участок ас соответствует пробою p-n-перехода.

Рис. 51.

§ 9. Туннельный диод В туннельных диодах (ТД) концентрация как акцепторных, так и донорных примесей в полупроводниках около p-n- перехода в тысячи раз больше, чем в обычных диодах ~ 1019 см −3 . В результате этого энергетические уровни в таких участках оказываются в одной части близкими к энергетическому уровню акцепторной примеси, а в другой – к донорной. Если сильно легированный участок имеет ширину, близкую к ширине p-n- перехода в обычных диодах (порядка 0.02

Рис. 52. 127

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

мм), то никаких особых эффектов не возникает. Однако при ширине этого 0

участка порядка 150 A и менее возникает так называемый туннельный переход, когда электрону не требуется дополнительной энергии. Поэтому (ТД) могут работать при более низких температурах, чем обычные диоды, в которых возбуждение электронов с донорных уровней в ЗП и с уровней ВЗ на акцепторные происходит за счёт энергии теплового движения (~kT ). Туннельные диоды работают лучше обычных в области высоких и сверхвысоких частот. На рис. 54 изображена вольтамперная характеристика туннельного диода. На участке АВ при увеличении U ток уменьшается, т.е. на этом участке диод имеет отрицательное сопротивление. Благодаря этому ТД используется в качестве переключателей, усилителей или генераторов колебаний. Последнее объясняется тем, что у обычных диодов быстродействие ограничивается временем дрейфа носителей. В ТД переход электронов происходит почти мгновенно и быстродействие их ограничивается паразитными ёмкостью и индуктивностью вводов. У ТД обратный ток достигает большой величины уже при малом обратном напряжении из-за увеличения числа электронов, способных совершать туннельный переход. Туннельный эффект в полупроводниках был открыт в 1958 г. японским физиком Л.Эсаки.

§ 10. Диоды Ганна В 1963 г. американский физик Дж. Ганн обнаружил явление генерации электромагнитных сверхвысокочастотных колебаний в кристалле арсенида галлия GaAs под действием сильного постоянного электрического поля. В кристалле GaAs имеются две зоны проРис. 53. водимости п- типа, сдвинутые относительно друг друга на величину энергии 0.36 эВ. Рассмотрим физику работы диода Ганна, анализируя вольтамперную характеристику, изображённую на рис. 55. При отсутствии внешнего напряжения электроны находятся в нижней ЗП, где они обладают повышенной подвижностью. При увеличении напряжения на участке Оа под-

128

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

вижность электронов возрастает, увеличивается и ток – это соответствует участку ОВ вольтамперной характеристики. При дальнейшем увеличении внешнего постоянного напряжения происходит возбуждение электронов и переход их в верхнюю ЗП. В этой зоне подвижность электронов уменьшается, уменьшается и ток, протекающий через кристалл (участок ВС). Участок с отрицательным динамическим сопротивлением (участок ВС) появляется лишь при динамических режимах в СВЧ диапазоне. Период колебаний тока Т зависит от дрейфовой скорости V электрона и длины образца L:

T =L

V

=

1 . ν

Так в GaAs длиной 50-30 мкм частота колебаний оказывается в интервале 0.3-2 ГГц. Диоды Ганна используются для генерации сверхвысокочастотных колебаний при прохождении постоянного тока.

§ 11. Кристаллический триод - транзистор Интенсивное развитие полупроводниковой электроники началось с 1948 г., когда был создан полупроводниковый усилительный прибор – транзистор (его, создателями были ученые Дж. Бардин, В.Браттейн и В.Шокли, удостоенные за это изобретение Нобелевской премией), аналог вакуумного триода, но обладающего всеми преимуществами полупроводниковых приборов: миниатюрность, экономичность, долговечность. Транзистор состоит из кристалла, в котором имеются три области: по краям кристалла находятся премесные полупроводники одного типа проводимости, между ними – чрезвычайно тонкий слой полупроводника другого типа проводимости. Существуют транзисторы как (n-p-n)-, так и (p-n-p)- типов. Формально кристаллический триод можно рассматривать как парный диод. На рис. 56 представлена зонная схема транзистора, не включенного в электрическую цепь. Зонное объяснение работы транзистора основано на объяснении работы двух диодов, находящихся в разных состояниях: один диод – левый на схеме – находится в пропускном состоянии, другой – правый на схеме в запорном (рис. 57). Малая толщина полупроводника p-типа (рассматривается работа транзистора n-p-n –типа) позволяет носителям заряда, прошедших переход ЭБ (левый n-p-переход), по инерции пройти полупроводник Б и попасть через переход БК ( правый p-n-переход) в правый полупроводник К и резко изме129

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

нить там концентрацию носителей заряда синхронно с изменением тока в переходе ЭБ, который, в свою очередь, синхронно изменяется с изменением напряженияU1 на входе схемы. Принято называть левый полупроводник эмиттером, правый – коллектором, средний – базой, что отчасти указывает на функциональную роль этих частей. На сопротивлении R2 будет Рис. 54. происходить падение напряжения U2. Подбором батарей Е1 и Å2 и сопротивлений R1 и R2 можно добиться того, что напряжение U2 будет больше U1, (это следует из соотношения U2=I2·R2 ). Данный транзистор работает как усилитель напряжения (и мощности), коэффициент усилителя может достигать нескольких сотен. Аналогично можно рассматривать работу транзистора p-n-p-типа.

§ 12. Классификация транзисторов Полупроводниковая электроника является основной частью современных устройств от карманного приёмника до современных компьютеров. Поэтому целесообразно рассмотреть различные варианты транзисторов. Слово транзистор составлено из двух английских слов: transfer – переносить, преобразовать и resistor – сопротивление. В качестве исходного кристалла используется германий или кремний. Диапазон рабочих частот – от низкой Рис. 55. до высокой, по мощности – от малой до большой. Рассмотренный выше (§11) транзистор п-р-п- типа , как и транзистор р-п-р- типа относятся к биполярным транзисторам. В них, как правило, имеется два взаимодействующих п-р перехода, усилительные свойства этих транзисторов обусловлены явлением инжекции неосновных носителей заряда. Постоянные напряжения к электродам транзистора подводятся от внешних источников. Возможны три схемы подключения транзистора к источникам питания (рис.58) в зависимости от того, какой из электродов является общим для входной и выходной цепей: с общей базой ОБ (58а), общим эмиттером ОЭ (58б) и общим коллектором ОК (58в).

130

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

На схемах (рис.58) применены транзисторы р-п-р- типа, во всех случаях коллектор имеет отрицательный, а эмиттер – положительный потенциал по отношению к базе. При включении транзистора по схеме (58а) происходит усиление сигнала по напряжению и мощности; по схеме (58б) – достигается усиление по току. Все усиления происходят за счёт энергии подключённых источников. Помимо биполярных транзисторов, существует класс полевых транзисторов. Если в первых физические процессы связаны с движением носителей заряда обоих знаков, то в полевых транзисторах принцип их работы основан на управлении движением носителей заряда только одного знака (основных носителей). Элементы полевого транзистора (см. рис. 59) получили иное название, нежели элементы биполярного транзистора. Канал – это область полупроводникового кристалла, в которой поток носителей заряда регулируется изменением её поперечного сечения. Истоком называется электрод полевого транзистора, через который в канал втекают носители заряда, коллектируемые при выходе из канала другим электродом – стоком. Электрод, к которому прикладывается управляющее напряжение, называется затвором. Различают два типа полевых транзисторов: полевые транзисторы с управляющими р-п- переходами и полевые транзисторы с изолированным затвором (МДП- транзисторы). Аббревиатура МДП означает структуру металл - диэлектрик – полупроводник. Очень часто в качестве диэлектрика используется окисел (в частности, двуокись кремния SiO 2 ), поэтому в литературе нередко встречается термин МОП транзистор (металл – окисел – полупроводник). МДП транзисторы в свою очередь подразделяются на транзисторы со встроенным (собственным) каналом и транзисторы с индуцированным каналом. Все полевые транзисторы различают также по виду проводимости канала: транзисторы с каналом р- или п- типа. Устройство полевых транзисторов трёх типов показано на рис. 60. В транзисторе с управляющим р-п- переходом канал образован частью кристалла п- полупроводника, с меньшим поперечным сечением. В п- полупроводнике созданы р- области, на границе которых с п- кристаллом образуется рп- переход.

В МДП транзисторе со встроенным каналом (рис.60b) р- канал и области стока и истока (р+ - области) выполнены в процессе изготовления при-

Рис. 56. 131

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

бора. В МДП транзисторе с индуцированным каналом (рис. 60с) сам канал не создаётся технологическим путём. Под действием электриче ского поля, возникающего в результате приложения напряжения к затвору, в части п- полупроводника, вблизи поверхности, между стоком и истоком образуетРис. 57. ся тонкий инверсный слой с дырочной проводимостью – р- канал. Транзистор с управляющим р-п- переходом может быть выполнен также на основе р- полупроводника (с каналом р- типа), а транзисторы с изолированным затвором – с областями стока и истока п- типа, образованными в кристалле с дырочной проводимостью. Как видно из рис.60 b) и с), затвор в МДП транзисторах отделён от кристалла полупроводника слоем диэлектрика. Поэтому такие приборы и называют транзисторами с изолированным затвором. МДП – транзисторы – четырёхэлектродные приборы: четвёртым электродом – подложкой – служит кристалл полупроводника, на основе которого выполнен транзистор. Как уже отмечалось выше, ток в полевых транзисторах в отличие от биполярных обусловлен лишь движением основных носителей заряда, причём движение это имеет дрейфовый характер. В связи с этим частотные свойства полевых приборов и особенности их работы в импульсных режимах зависят от иных физических параметров и процессов, чем в биполярных транзисторах. Вторая особенность, отличающая полевые транзисторы от биполярных, - это принцип управления током в приборе с помощью электрического поля. Это поле создаётся обратным напряжением на управляющем р-п- переходе или напряжением на затворе в МДП транзисторах. И в том и в другом случае токи в управляющей цепи (цепи затвора) весьма малы, и входное дифференциальное сопротивление прибора велико: 10 8 − 1010 Ом в транзисторах с управляющим р-п- переходом и 10 10 − 1012 Ом в МДП транзисторах. В этом отношении полевые транзисторы близки к электронным лампам. Поэтому усилительные свойства полевых транзисторов принято оценивать не коэффициентом передачи тока, как в биполярных транзисторах, а, как в электронных лампах, крутизной характеристики, определяющей зависимость тока стока (тока в выходной цепи) от напряжения, приложенного ко входной цепи (цепи затвора).

§ 13. Фотоэлектрические приборы Кристаллические диоды и транзисторы являются основными элементами современной электронной техники в силу их дешевизны, миниатюрности, прочности и долговечности. Помимо прямого назначения (диоды для выпрямления переменных импульсов, транзисторы - для усиления электрических сигналов), диоды и транзисторы используются и для многих других целей. Рассмотрим использование кристаллического диода для превра132

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

щения энергии электромагнитных волн в электрическую энергию. Среди разных путей использования этого эффекта – фотогенераторы, преобразующие энергию видимого света в электрическую (фото-ЭДС) (рис.61). Фотоэлектрический эффект (вырывание электронов из металлического образца под действием светового потока) à) был открыт Г. Герцем в 1887 г. Законы этого явления детально изучил наш соотечественник А. Г. Столетов. На основе классических представлений о волновой природе света не удалось обосновать все законы фо- á) тоэффекта. Лишь в 1905 году великий физик ХХ века А. Эйнштейн, исходя из представлений о существовании квантов (корпускул, частиц) электромагнитного поля, обосновал эти законы, установив формуâ) лу hv

= A+

mν 2 , где hv - энергия 2

Рис. 58. кванта, падающего на тело, A - работа выхода, работа, которую необходимо совершить по удалению электрона с поверхности облучаемого металла (мы рассматриваем так называемый внешний фотоэффект),

Рис. 59.

mν 2 - кинетическая 2

энергия, которой будет обладать электрон на выходе из 133

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

тела. Наряду с внешним фотоэффектом в полупроводниках обнаружен внутренний фотоэффект, при котором электроны, получившие энергию фотона. не покидают тело, но отрываются от своей структурной частицы. Очевидно, что в этом случае энергия квантов может быть меньше работы выхода A . Но, вместе с тем, достаточной, чтобы возбудить электроны из валентной зоны полупроводника в зону проводимости. На рис. 61а изображена принципиальная схема полупроводникового фотоэлемента. При отсутствии освещения p-n-переход находится в равновесном состоянии, возникает контактная разность потенциаb) c) p-типа. Мелов, а) направленная от полупроводника n-типа к полупроводнику таллическая подложка М берется очень тонкой, чтобы световые лучи могли Рис. 60. проникнуть до полупроводника p-типа. При освещении энергия кванта передается электронам валентной зоны полупроводника, котоpые, поглащая энергию, возбуждаются, переходя в зону проводимости (рис. 61б). Эти электроны из зоны проводимости пролупроводника p-типа могут перейти в металлическую пластинку. В результате динамическое равновесие, возникшее на p-n-переходе, нарушается. Электроны из полупроводника n-типа снова получают возможность переходить в полупроводник p-типа, так как там в валентной зоне возникли свободные места («дырки»). Разность потенциалов на p-n-переходе увеличивается благодаря световому воздействию, и если цепь фотоэлемента замкнута, то в ней возникает фототок, соответствующая ЭДС – называется фотоэлектродвижущей силой (фото-ЭДС). Лучшие фотоэлементы (кремниевые) могут иметь высокий КПД преобразования лучистой энергии в электрическую – 22 – 23%. Помимо кремниевых, используются германиевые,меднозакисные, селеновые и др. полупроводниковые фотоэлементы. Они более чувствительны, чем фотоэлементы с внешним фотоэффектом (вакуумные фотоэлементы). Основным недостатком полупроводниковых фотоэлементов является их большая инертность, т.е. запаздывание появления фототока от начала облучения p-n-перехода, что связано с временным процессом диффузии электронов и «дырок», возникших на p-n-переходе при облучении его светом. P-n-переход является основной частью фотодиодов (рис.62). Как видно из принципиальной схемы включения фотодиода, он включается в цепь в запорном направлении последовательно с внешним источником тока (рис.62а). При отсутствии светового потока через фотодиод протекает незначительный ток обратного, запорного направления – темновой ток. При осве134

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

щении p-n-перехода возникают дополнительные носители заряда, обратный ток увеличивается в зависимости от интенсивности освещения. На нагрузочном сопротивлении увеличивается падение напряжения, что регистрируется дополнительными устройствами. У полупроводниковых фотодиодов перед вакуумными фотодиодами те же преимущества, что и у других полупроводниковых приборов: относительная дешевизна в изготовлении, миниатюрность, высокая чувствительность и возможность использования источников тока с малым рабочим напряжением. Если вместо одиночного p-n-перехода использовать двойной pn-переход (транзистор), то можно значительно усилить фототок. Этот эффект используется в управляющих системах. На рис. 63 изображен фототранзистор p-n-p-типа. При изображенном способе включения вывод базы фототранзистора остается свободным. При освещении базы (полупроводник n-типа) в ней появляются свободные электроны и «дырки». Последние, продиффундировав к правому p-n-переходу, подхватываются внешним электрическим полем (создаваемым батареей ), в результате чего возрастает коллекторный ток, возрастает и выходное напряжение , которое подается в следующие элементы схемы (они не изображены на рис.63). Если вместо освещения p-n-перехода видимым светом использовать гамма-, рентгено- или радиоактивное излучение, то можно получить датчики соответствующих излучений-дозиметры. При прохождении электрического тока через p-n-переход происходит инжектирование в полупроводник p-типа не основных носителей заряда - электронов (аналогично, в полупроводник n-типа инжектируются не основные в нем носители заряда – «дырки»), которые встречаясь с основными носителями в данном полупроводнике, рекомбинируют с ними. В ряде полупроводников выделяющаяся энергия не передается кристаллической решётке, а выделяется в виде квантов излучения – фотонов. В таких полупроводниках, как SiC, GaAs, InAs, InSb, пропускание тока в прямом направлении через p-n-переход, сопровождается свечением. Такие диоды получили название светодиодов. Они нашли применение в световых табло, в счётно-решающих устройствах для ввода и вывода информации, там, где требуются долговечные и потребляющие малую мощность световые индикаторы. Особенно перспективно использование полупроводника с p-n-переходом в качестве рабочего тела квантового генератора. Впервые такое устройство было изготовлено в 1951 г. двумя российскими учёными А.М. Прохоровым и Н.Г. Басовым и американским учёным 135

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Ч. Таунсом. За это изобретение все трое были удостоены Нобелевской премией. Но ещё в 1916 г. А. Эйнштейн теоретически предсказал возможность работы такого устройства, в котором каким-то образом большая часть атомов должна быть переведена в возбужденное состояние (инверсное состояние). Если в объеме такого вещества окажется квант излучения с энергией, равной разности энергий возбужденного и основного состояний структурных частиц рабочего тела, то возникнет процесс индуциро- а) ванного (вынужденного) перехода возбужденных частиц в основное состояние с испусканием огромного числа фотонов с одной и той же частотой – возникает мощный поток монохроматического излучения. Благодаря особому устройству квантового генератора (эти детали выходят за рамки данного пособия), излучение выходит остро направленным. В полупроводниковых б) квантовых генераторах (лазерах – испускающих видимый свет, мазерах – испускающих радиоволны) используется свойство p-n-перехода пропускать электрический ток в одном направлении. Инверсное состояние электронов создается при пропускании тока в прямом направлении через p-nпереход. Энергия электрического поля, создаваемого внешним источником тока, приводит к возбуждению электронов из валентной зоны в зону проводимости (рис.64). При рекомбинации хотя Рис. 61. 136

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

бы одной пары электрон + «дырка» рождается квант с а) энергией , равной ширине запретной зоны. Повторное поглощение этого кванта практически невозможно, так как этой энергии было бы достаточно для возбуждения электрона из верха валентной зоны на дно зоны проводимости. Но эти состояния или уже свободны от электронов (в ВЗ), или уже заняты (в ЗП). Поэтому б) родившийся квант станет затравкой для индуцированной рекомбинации электронов ЗП с «дырками» ВЗ. Рождается мощное монохроматическое излучение. Полупроводниковые генераторы монохроматического излучения (лазеры и мазеры) обладают практически КПД=100%. Это обусловлено тем, что в полупроводниковом генераторе проРис. 62. исходит прямое преобразование электрической энергии в энергию когерентного (монохроматического) излучения. Они могут работать и при очень низких температурах, так как инверсия в них создаётся не тепловыми процессами.

§14. «Зонная схема» физического вакуума В 1928 г. английский физик П. Дирак объеденил квантовую механику и специальную теорию относительности, построив новую физическую теорию – квантовую электродинамику. В своей теории П. Дирак получил необычный результат: полная энергия электрона может быть как положительной, так и отрицательной. Последний результат никак не укладывался в представления физиков. Согласно специальной теории относительности, наименьшей положительной энергией, которой может обладать элементарная час137

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

тица – это энергия покоя этой частицы E 0 = mc 2 . Теория П.Дирака утверждала, что могут быть состояния с энергией Е<-mc2. Таким образом, интервал значений энергии2 − mc 2 < ∆E < + mc

запрещён. Если изобразить это утверждение графически (рис.65), то мы получим нечто, что напоминает нам зонную схему диэлектрика. Согласно Дираку, все состояния с отрицательной энергией заполнены электронами, причём, этот фон не проявляет себя непосредственно (этот фон получил название «море Дирака»). Но если на «море Дирака» воздействовать жёсткими гамма-лучами, то электроны фона могут возбудиться и перейти в состояние с положительной энергией. Очевидно, что энергия гамма-квантов должна быть не меньше 2mc 2 (см. рис65). Освободившееся место, в «море Дирака» было названо «дыркой», которая, совпадая с электроном по всем своим свойствам, должна отличаться от него знаком заряда. В 1932 г. в космических лучах (частицах, приходящих на Землю из космоса) были обнаружены частицы, во всём подобные электронам, но отличающиеся от них знаком заряда. Эти частицы, получившие название «позитроны», стали сопоставлять «дыркам» в «море Дирака». Впоследствии было установлено, что у всех частиц имеются античастицы. И каждой частице можно сопоставить своё «море Дирака». Вся эта сложная система из «морей Дирака» получила в современной физике название «физический вакуум». Эта специальная физическая система проявляет себя в ряде экспериментов, что говорит о её реальности, но со свойствами, существенно отличающимися от свойств известных видов материи (вещества и различных полей). Но более подробный разговор о физическом вакууме выходит за пределы возможностей данной книги. Для первоначального ознакомления с этим физическим объектом читателя можно отослать к интересной книге Р. Подольного «Нечто по имени Ничто».

§ 15. Эффект Холла (классический) Добавление к названию параграфа «классический» оказалось чрезвычайно важным спустя 100 лет после открытия

Рис. 63. 138

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

обсуждаемого эффекта в 1879 г. физиком Е. Холлом. Никто не подозревал, что в этом явлении могут проявиться квантовые законы. Но сначала рассмотрим классический эффект Холла, который находит большое практическое (и, как оказалось) научное применение. Например, мы неоднократно говорили о том, что «дырки» обладают положительным эффективным зарядом. Эффект Холла позволяет определить это экспериментально. Рассмотрим схему опыта по обнаружению эффекта Холла. Имеется проводник прямоугольного сечения, по нему идёт ток (рис. 66). Перпендикулярно току (и боковым граням проводника) приложено магнитное поле – это простейший вариант расположе-

r j и r магнитного поля индукции B . ния векторов плотности тока

Дадим сначала качественное опиРис. 64. сание явления. Пусть для определённости носители заряда имеют положительный знак (технический ток). Тогда, учитывая направление тока – слева направо – и магнитного поля (перпендикулярно чертежу), по правилу «левой руки» устанав-

r

ливаем, что на заряды будет действовать дополнительная сила F - магнитная составляющая силы Лоренца, которая отклонит положительные заряды к верхней грани проводника. Между верхней и нижней гранями возникает разность потенциалов – ЭДС Холла. В данном случае эта ЭДС направлена сверху вниз (рис. 66а). Пусть теперь носители заряда заряжены отрицательно (рис. 66 б). В том же внешнем электрическом поле, которое определяет ток в цепи, отрицательно заряженные частицы будут двигаться против поля. Так как изменились знаки и у заряженных частиц, и у скорости, то направr ление F , действующей на движущиеся частицы, имеющие отрицательный заряд, по-прежнему будет направлена снизу вверх. На верхней грани теперь накопятся отрицательно заряженные частицы (рис. 66 б). Теперь 139

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ЭДС Холла (разность потенциалов, возникающая между верхней и нижней гранями) будет направлена снизу вверх. Таким образом, по направлению ЭДС Холла можно установить, какой знак имеют носители заряда. Дадим теперь математическое описание явления Холла. Будем исходить из экспериментально полученной формулы для ЭДС Холла:

∆ϕ = R Н Bja , (3.15.1) где В – индукция поперечного магнитного поля, j – плотность тока (технического), а – высота образца, R Н - постоянная Холла – коэффициент пропорциональноРис. 65. сти. На положительно заряженную частицу, движущуюся слева направо со скоростью v, действует сила

Fл = eνB.

Под действием этой силы заряженные частицы будут отклоняться к верхней грани, на противоположной грани таких зарядов будет меньше, между гранями возникает разность потенциалов, соответствующее ей электрическое поле будет направлено сверху вниз, его напряжённость равна

E =

∆ϕ , a

где а – высота образца. Это поле будет действовать на положительно заряженные частицы с силой F, направленной сверху вниз:

F = eE =

e∆ϕ , a

она будет противодействовать накоплению положительно заряженных частиц у верхней грани проводника. В состоянии динамического рав140

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

новесия сила F уравновесит силу

Fл :

F = Fл , или eνB = откуда

e∆ϕ , a

∆ϕ = νBa .

Учитывая, что

j = enν и ν = для ∆ϕ можно написать:

∆ϕ =

j , en

1 jBa . en

(3.15.2)

1 . en

(3.15.3)

Сравнивая формулы (3.15.1) и (3.15.2), получаем для постоянной Холла (если движутся положительно заряженные частицы)

RН =

Зная R Н , можно определить как концентрацию носителей заряда, так и знак их заряда (при отрицательно заряженных носителях заряда

R Н <0 ). Если применить полученный результат к полупроводникам, то в полупроводниках п- типа постоянная Холла отрицательна (исторически сложилось так, что этот эффект Холла назвали нормальным), у дырочных полупроводников R Н > 0 . Так как удельная проводимость σ = enU , где U – подвижность носителей заряда, то, используя формулу (3.15.3), получаем возможность определить подвижность носителей заряда:

U = RН ⋅ σ . В предыдущих рассуждениях предполагалось, что все носители заряда имеют одну и ту же скорость v. Но это справедливо лишь для металлов и вырожденных полупроводников. В невырожденных полупроводниках скорости носителей заряда распределены по Максвеллу. 141

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Поэтому для невырожденных полупроводников более строгие расчёты дают следующую формулу для постоянной Холла:

RН =

A, en

где А порядка единицы, например, для германия, кремния и серого олова А=1.17 при рассеянии на фононах (рассеяние на фононах определяет величину σ ). В полупроводниках со смешанной проводимостью постоянная Холла меньше, чем в полупроводниках с одним типом носителей заряда. В этом случае а)

RН =

2 2 A U p p −Un n ⋅ , e (U p p + U n n )2

б) Рис. 66.

(3.15.4) где п и р – концентрация носителей заряда, U n и U p - их подвижности. В зависимости от величины членов в числителе (3.15.4) постоянная Холла будет больше или меньше нуля. Для собственных полупроводников, для которых п=р , имеем:

RН =

A U ⋅ en U

p

−Un

p

+Un

.

У полупроводников постоянная Холла больше, чем у металлов, что связано с меньшей концентрацией заряда в полупроводниках, а подвижность их, наоборот, в полупроводниках значительно выше, чем в металлах. У большинства металлов R H колеблется в пределах от 10 -11 до10

−10

м3

Кл

. Аномально высокое значение RH имеют элементы пя-

той группы в таблице Менделеева:

Bi, Sb, As. У висмута, напри142

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

мер, лов

RH почти в 10 4 раз больше, чем у меди. У ряда метал-

( Na, Cs, Cu , Ag )

постоянная Холла имеет отрицательное значе-

ние (нормальный эффект Холла), у других ( Be, Cd , Zn и др.) – положительное. Нормальный эффект Холла (то есть RH <0 ) будет у тех металлов, у которых зона проводимости меньше чем наполовину заполнена электронами, которые ведут себя как отрицательно заряженные частицы с положительной эффективной массой. Если же ЗП заполнена почти полностью, то на оставшихся в ней незаполненных уровнях носители заряда ведут себя как частицы, обладающие положительной эффективной массой и положительным зарядом. Такие металлы имеют дырочную проводимость, поэтому RH >0. Такой эффект Холла называют аномальным. Он обнаружен у цинка, кадмия, бериллия, висмута и др. Эффект Холла получил практическое применение для измерения магнитной индукции постоянных и переменных полей, знака, подвижности, концентрации носителей заряда.

§16. Термомагнитные и термоэлектрические явления 1) Эффект Эттингаузена (1884 г.). При выводе условия равенства силы Лоренца и силы Холла (см.§15): eνB = eE H , предполагалось, что все электроны имеют одну и ту же скорость. В действительности это соотношение справедливо для некоторой средней скорости ν . Более быстрые электроны отклоняются к одной грани и нагревают этот край образца, медленные электроны отклоняются к другой и забирают энергию у решётки , охлаждая эту грань. В результате в проводнике возникает градиент температуры. Этот эффект получил название эффекта Эттингаузена. Он используется для понижения темпера0 туры одной грани проводника (более чем на 100 C ). 2) Эффект Нернста (1884 г.). Так как в магнитном поле движущиеся электроны закручиваются (сила FЛ

= eνB выполняет роль центростремительной силы) с ра-

диусом окружности: 143

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

R=

mν , eB

то чем больше скорость электронов, тем больше и радиус закручивания. В результате одна грань (передняя) обогащается быстрыми электронами, она нагревается, соответственно задняя грань охлаждается (туда «добираются» медленные электроны. Возникает градиент температуры. Этот эффект получил название эффекта Нернста. 3)Эффект Зеебека (1823 г.). Электроны играют роль не только в электропроводности, но и в переносе энергии. Поэтому естественна связь между электрическими явлениями и термической неоднородностью металла или полупроводника. Пусть электрическая цепь состоит из двух неоднородных проводников, контакты которых поддерживаются при разных температурах. При малой разности температур термоЭДС, возникающая в этой цепи, будет равна

∆ϕ = α (T2 − T1 ) ,

где α

=

d (∆ϕ ) называется дифференциальной, или удельной термоdT

электродвижущей силой. Естественно, что эффект Зеебека зависит от свойств соприкасающихся проводников и температуры. Существуют три причины, обуславливающие эффект Зеебека: 1) наличие градиента температуры, вызывающего движение носителей заряда (объёмная составляющая ∆ϕ ); 2) изменение положения уровня Ферми при нагревании, то есть изменение максимальной энергии электронов при нагревании (контактная составляющая ∆ϕ , обусловленная переходом электронов из металла с большей энергией Ферми в металл с меньшей энергией Ферми); 3) увлечение электронов фононами (эффект, предсказанный советским физиком Л. Гуровичем в 1945 г.). В полупроводниках термоЭДС может на несколько порядков быть выше,чем у металлов. Это видно из следующей формулы, связывающей дифференциальный коэффициент термоЭДС с теплоёмкостью электронного газа

144

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

α~

Ce . ne

Действительно в металлах теплоёмкость электронов очень мала (вплоть до самых низких температур, см.Гл.1 §14) и на несколько порядков выше концентрация носителей заряда, чем в полупроводниках. При низких температурах существенен вклад эффекта Гуревича. 4.Эффект Пельтье (1834 г.) В результате различия средних энергий электронов в разных проводниках, составляющих электрическую цепь, при прохождении тока в месте контакта разнородных проводников помимо «джоулева тепла» выделяется (поглощается) дополнительное количество теплоты. Из опыта следует, что это количество энергии Пельтье равно: где

QП = ПJt , П - коэффициент Пельтье.

Между эффектами Пельтье и Зеебека существует непосредственная связь: в цепи из разнородных проводников разность температур вызывает появление электрического тока, а проходящий термоток создаёт дополнительную разность потенциалов. Дж. Томсон установил связь между этими коэффициентами

α=

П . Т

5. Эффект Томсона (1854 г.). Этот эффект был предсказан теоретически. Если в однородном проводнике существует градиент температуры, то при пропускании тока помимо «джоулева тепла» происходит поглощение или выделение дополнительного «количества энергии». Этот эффект линейный в зависимости от тока J , поэтому его знак зависит от направления тока по отношению к направлению градиента температуры где

QT = τJ (T2 − T1 )t , τ носит название коэффициента Томсона.

Явление объясняется тем, что носители заряда переносят не только электрический заряд, но и энергию.

145

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

146

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

147

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Глава 4 Кинетические явления в кристалле §1.Закон дисперсии свободных электронов Уже неоднократно объяснялось, что функциональная связь между энергией и импульсом называется законом дисперсии, или дисперсионным соотношением. Установим этот закон для простейшей электронной системы – для свободных электронов, их движение определяется уравнением Шредингера, которое в данном случае имеет вид (для одномерного движения):

d 2 Ψ 2mE + 2 Ψ = 0, dx 2 h где E

=

(4.1.1)

p2 и представляет собой дисперсионное соотношение для 2m

электронов. Преобразуем этот закон, используя формулу де Бройля

p= где k

=

h = hk , λ

r 2π называется волновым числом электрона, а вектор k , соλ

впадающий по направлению с направлением распространения электронной волны, называется волновым вектором. Через волновое число закон дисперсии запишется так:

E=

h 2k 2 . 2m

(4.1.2) 148

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

откуда

k 02,max =

2m µФ . h2

(4.1.5)

Энергия электронов является квадратичной функцией волнового

r

вектора k , так что в пространстве волнового вектора ( k x

,ky ,kz)

она является сферически симметричной функцией (если пространство k -

r

r

чисел однородно и изотропно). Векторы k 0, max определяют сферу в k пространстве, на поверхности которой энергия электрона принимает максимальное значение. Всевозможные волновые векторы выходят из

r

начала координат в k - пространстве и заканчиваются в какой-либо точке внутри этой сферы. Эта сфера носит название сферы Ферми, а её поверхность – поверхность Ферми.

§2. Электрон в периодическом поле кристаллической решётки Иначе обстоит дело для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, образованного правильно расположенными ионами кристаллической решётки. Вероятность обнаружения его в кристалле должна быть периодической функцией координат, так как положения, отличающиеся друг от друга на величину, кратную постоянной решётки

a , для электрона являются одинаково вероятными. Раз-

личными будут только положения в пределах одного периода a . Квантово - механическое рассмотрение данной задачи не решается строго. Поэтому рассмотрим два приближённых метода решения задачи. Приближение сильной связи. В этом методе считается, что энергия связи электронов со своими атомами больше их кинетической энергии, поэтому большую часть времени электроны локализованы и лишь время от времени переходят от одного атома к другому. Волновые функции электронов строятся из волновых функций изолированных атомов. Так как энергия электронов в изолированном атоме определяется квантовыми числами n и

l , то каждый уровень вырожден 2(2l + 1) раз. Во внешнем поле, на150

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

( )

Функция U x является периодической, и в этом поле движутся квазисвободные электроны. Уравнение Шредингера для волновой функции Ψ

d 2Ψ dx

2

+

2m h2

( x ) имеет вид

(E − U )Ψ = 0

(4.2.1) Как показал немецкий физик Ф. Блох, решением этого уравнения является волновая функция следующего типа

Рис. 68.

Ψ(x) = u(x )eikx.

(4.2.2)

Она представляет собою произведение бегущей волны e ikx , описывающей движение свободного электрона в поле с постоянным потенциалом, на периодическую функцию

u ( x ) , зависящую от волново-

го числа k и имеющей тот же период, что и период потенциала

U (x) ,

то есть период решётки a . Рассмотрим характерные черты поведения электрона в периодическом поле кристаллической решётки на простейшем примере одномерной цепочки атомов (модель Кронига – Пенни). В этой модели каждый атом представлен прямоугольной потенциальной ямой ширины а, на протяжении ямы потенциальная энергия электрона

U = 0 . Ато-

мы отделены друг от друга потенциальным барьером высотой U 0 и шириной b . Длина цепочки атомов L . Движение электронов описывается уравнением Шредингера (4.2.1), его решением по Блоху является функция (4.2.2).

152

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Определим постоянные A, B, C и D и соотношение между

α и k,

используя непрерывность функции u и её первой производной на границах потенциальной ямы, в точках x = 0, x = a, x = −b. Кроме того, воспользуемся периодичностью амплитуды волновой функции по периоду линейной решётки: на правом краю потенциальной ямы амплитуда должна иметь то же значение, какое она имеет в предыдущей яме на её правом краю:

u x=a = u x=−b .

(4.2.6) Как известно из теории решения системы алгебраических уравнений, нетривиальное решение для коэффициентов A,B,C,D существует только в том случае, когда детерминант, составленный из коэффициентов в системе полученных уравнений для нахождения этих коэффициентов, отличен от нуля. Разрешение этой задачи приведёт к следующему выражению:

β 2 +α2 Sh(βb )sin αa + Ch(βb ) cos αa = cos k (a + b ) . 2αβ Проведём упрощение этого равенства. Рассмотрим предельный случай, когда ширина потенциального барьера

b → 0 , а высота его

U → ∞ , но таким образом, чтобы площадь барьера постоянной. Введём

обозначение P =

maUb h2

и

учтя,

(Ub )

что

оставалась

при b → 0

Ch (βb ) → 1, Sh( βb ) → βb , получаем следующее упрощённое выраже-

ние

P (4.2.7) sin αa + cos αa = cos ka . αa Величина P всегда положительна и определяет высоту барьера, разделяющего две соседние потенциальные ямы. При

b → 0 расстояние a 154

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

представлено графическое решение уравнения (4.2.7). Возможные значения αa обозначены через ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3 , причём ∆1 < ∆ 2 < ∆ 3 …. Из рис.70 видно, что с увеличением αa увеличивается длина ∆ i . Это означает, что чем выше расположена энергетическая зона, тем она шире. Напри-

Рис.70.

мер, у натрия зона 1s имеет ∆ 1s ~ 10 −18 эВ , то есть тот же порядок, что и естественная ширина уровня. Уровню же 3s соответствует зона шириной

∆ 3 s ~ 1эВ . Зоны разрешенных энергий отделены друг от друга полосами запрещённых состояний. Эти состояния соответствуют тем значениям αa ,

при которых левая часть уравнения становится по модулю больше единицы. Внут-

ри первой полосы разрешённых состояний ∆ 1, величина cos ak изменяется в пределах от +1 до -1, этому соответствуют изменение (αk ) в пределах от 0 до

± π , откуда −

π π ≤k≤+ . a a

Ранее этот интервал изменения волнового числа мы назвали первой зоной Бриллюэна (см. Гл.2, §9,10). Внутри второй зоны Бриллюэна cos (ka ) изменяется в пределах от -1 до +1, что соответствует изменению (ka ) в пределах от − π до

− 2π и от π до 2π . Тогда волновое

число изменяется в пределах  − π ,− 2π  и  π , 2π  . Подобные рас-



a

a 

a

a 

суждения можно провести и для следующих зон. На рис.71 изображена зависимость Е от k и области разрешённых и

156

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

При выполнении условия Вульфа - Брегга. то есть в точках k n

=n

π , a

наступает отражение электроныых волн вероятности от атомных плоскостей, интерференция отражённых волн с бегущими и образование стоячих волн. Поэтому в точках k n

=n

π электроны следует представлять уже не a

бегущими волнами, а стоячими, состоящими из двух одинаковых бегущих волн e ikx и

e −ikx . Они дают два решения уравнения Шредингера. Для k =

решения имеют вид:

Ψ1 = e

π i x a

−e

π −i x a и

Ψ2 = e

π i x a

+e

π a

π −i x a .

Этим решениям соответствуют два значения энергии при

k=

π : a

верхняя граница нижней зоны и нижняя граница следующей зоны. В

промежутке между E min и E max нет разрешённых состояний - это область запрещённой зоны. В трёхмерной решётке периодичность по разным направлениям может быть разная, поэтому

k a = ±n

π π π . ; k b = ±n ; k c = ±n a b c

В случае, если область запрещённых значений энергии в одном направлении является разрешённой для других направлений, то энергетический спектр в целом оказывается квазинепрерывным. Благодаря такому эффекту элементы второй группы таблицы Д. И. Менделеева обладают металлической проводимостью, а не являются изоляторами. Рассмотрим вопрос о структуре энергетических зон. Внутри зоны волновое число k меняется от −

π π до + . Наложение периодических a a 158

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

h 2π p h ⋅k ⋅ = h ⋅k и V = = .. λ 2π m m Как показывает эксперимент, последние две формулы справедливы не только для движения свободного электрона, они справедливы и для электронов, движущихся в периодическом поле кристаллической решётки. Пусть на электрон, находящийся в решётке, действует внешнее электрическое поле с силой, которая вызывает движение электрона с p=

dV . dt Проведём элементарные преобразования:

ускорением a =

a= =

{

}

( )

( )

dV d 1 d Ek 1 d d Ek 1 d d Ek dk = = = = dt dt h dk h dt dk h dk dk dt

1 d 2 E k dk ⋅ .. h d k 2 dt

(4.3.1)

dk и подставим его в (4.3.1). dt Для этого поступим так. Внешнее электрическое поле, воздействуя на электрон с силой F = −e ⋅ E , совершает работу. За время dt будет совершена следующая работа: Найдём значение производной

dA= F ⋅V ⋅ dt = F ⋅

1 d Ek dt, h dk

где использовано значение скорости, полученное выше. Эта работа пойдёт на увеличение кинетической энергии электрона. На основании закона сохранения и превращения энергии имеем: dA = d E k . Распишем это равенство подробно:

F⋅

1 d Ek dt = d Ek , h dk 160

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

фика, а также формул, полученных выше для скорости V=

1 d Ek h d k2

и

импуль-

m dE = hk и свойств проh dk изводных в точках минимума, максимума и перегиба. Когда касательная к кривой горизонтальна, то первая са p =

d Ek равна нулю. dk Поэтому в т.О и в т.В скорость электрона равна нулю (нижний график). При движении по графику от т.О к т.В скорость электрона сначала (вблизи дна зоны) увеличивается почти пропорционально увеличению волнового вектора. Ускорение, а значит, и эффективная масса, положительны. В точке перегипроизводная

d Ek Рис.73. dk достигает максимума, следовательно, и скорость будет максимальной ба первая производная

в этой точке, а затем скорость (то есть первая производная

d Ek ) наdk

чинает убывать до нулевого значения в т.В. Вторая производная

d 2 Ek d k2

в точке перегиба становится равной нулю. Поэтому эффективная масса стремится к бесконечности. За точкой перегиба

d 2 Ek 〈 0 , поэтому d k2 162

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2). В 1913г. Л.Мандельштам и Н.Папалекси (а в 1916г. Р.Толмен и Т.Д.Стюарт) наблюдали изменение показаний гальванометра при изменении направления колебаний многовитковой катушки, присоединенной к этому гальванометру: это электроны продолжали движение по инерции. 3). В 1944 г Кеттеринг и Скотт произвели опыт, являющийся обращением опытов Мандельштама-Папалекси. При изменении направления тока в катушке, она приходила в колебательное движение. Это объяснялось тем, что в замкнутой системе суммарный момент количества движения электронов и решетки должен оставаться неизменным. Но в начале опыта вся система находилась в покое. Следовательно, ДLэл. = −Lреш. . Отношение

e также соответствоm

вало электронам. Основываясь на модели свободных электронов, можно объяснить ряд важных физических свойств металлов и в особенности простых одновалентных металлов. Согласно этой модели, валентные электроны атомов металла могут перемещаться почти свободно в пределах объёма образца. Именно валентные электроны обуславливают электропроводность и по этой причине их называют электронами проводимости и отличают от электронов, заполняющих оболочки ионных остовов. Взаимодействие электронов проводимости с ионными остовами атомов металла считается малым, и в приближенной теории, базирующейся на модели свободных электронов, им пренебрегают. Однако, даже для тех металлов, применение к которым модели свободных электронов было наиболее успешным (например, для натрия, меди, серебра), было бы неправильно пренебрегать полем положительно заряженных ионов. Успех же рассматриваемой модели обусловлен двумя обстоятельствами: 1) энергия электронов проводимости может иногда зависеть просто от квадрата скорости (так же, как в пустоте); 2) сечение рассеяния при электрон-электронных столкновениях сравнительно мало, кулоновское взаимодействие в значительной степени ослаблено за счет электростатического экранирования, а число разрешенных столкновений значительно уменьшено в силу принципа Паули. Теория свойств металлов, исходящая из модели свободных электронов, появилась задолго до разработки квантовой механики. Эта ранняя теория имела ряд успехов и одновременно ряд серьезных неудач. К успехам следует отнести вывод формулы закона Видемана- Франца, 164

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Опыт же даёт

σопыт

~

1 . Т

Согласно квантовым представлениям (см. гл.1, §13), электроныфермионы, их концентрация и средняя скорость не зависят от температуры (см. гл.4, §5 “Закон Видемана-Франца”). Длина же свободного пробега λ эл ~

1 , откуда и Т

σ~

1 , что соответствует эксперименту. Т

§5. Закон Видемана-Франца Наличие в металлах электронного газа обуславливает не только перенос электрического заряда под действием внешнего электрического поля, но и перенос энергии при наличии градиента температуры. Поэтому естественно ожидать, что между электропроводностью σ и электронной теплопроводностью ℵэл должна существовать связь. Экспериментально эта связь была установлена Г. Видерманом и П.Францем, а теоретически обоснована Л. Лоренцом. Суть закона состоит в том, что отношение коэффициентов теплопроводности ℵэл и проводимости пропорционально температуре:

ℵэл

σ

= LT ,

(4.5.1)

где L – коэффициент пропорциональности носит название коэффициента Лоренца. Для установления этого соотношения воспользуемся формулой, которую получают для коэффициента теплопроводности на основе положений молекулярно кинетической теории (выше мы использовали такую формулу для фононного газа при расчёте коэффициента теплопроводности решётки ℵреш. ) (гл.2, §11):

ℵэл =

1 C элVэл λ 'эл , 3

(4.5.2)

где Cэл – удельная теплоемкость электронного газа, Vэл и λ эл - скорость теплового движения и длина свободного пробега электронов.

166

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ℵэл =

3Nk 2 Nk 2 Vф λ ф T = Vф λ фT , где Vф – скорость электронов, 3µ µ

соответствующая энергии Ферми, λ ф – длина свободного пробега электронов при тех же условиях. Заменим тогда

ℵ

ЭЛ

=

µ ≈ mVф2 , Nk 2 λcрT mVф

..

С другой стороны, удельная проводимость σ

эл

(мы получим ее, рассматривая

решение кинетического уравнения Больцмана, см. гл.4 §6) равна

σ=

e 2 nλф m*Vф

.

Составим отношение

ℵ k2 T. = σ e2 Более точные расчеты вносят лишь поправку в коэффициент при Т-коэффициент Лоренца. Закон Видельмана-Франца подтверждается экспериментально, что свидетельствует о достоверности проведенных рассуждений.

§6. Кинетическое уравнение Больцмана Большой теоретический и практический интерес представляет изучение электронов (дырок) проводимости в неравновесном состоянии, когда они движутся в кристалле под действием приложенных внешних полей: электрического, магнитного, температурного, диффузионного и др. Такие процессы называются явлениями переноса или кинетическими эффектами. Для стационарных процессов (не зависящих от времени) необходимо, чтобы электроны отдавали накопленную энергию, взаимодействуя с дефектами кристаллической решётки. Поэтому одной из характеристик процесса будет средняя скорость электронов в направлении процесса. Её значение определяется механизмом взаимодействия. Введём неравновесную функцию распределения (в равновесном состоянии в классической статистике – это функция Гиббса, для квантовых частиц - функция Бозе-Энштейна для бозонов и функция Ферма-Дирака для фермионов):

f ( x , y , z , Vx ,V y , Vz , t ) dxdydzdV x dV y dV z = r = f ( r , V , t ) d 3 rd 3V .

(4.6.1)

По определению функция f определяет число электронов в момент времени t в точке, определяемой радиус-вектором

r r в объёме:

f ( x , y , z, Vx ,Vy , Vz , t ) dxdydzdV x dV y dVz = f ( r ,V , t ) d 3 rd 3V . 168

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Выведем уравнение, которому удовлетворяет функция

r r f (r , V , t )

Рассмотрим изменение числа V − электронов за время dt в результате их движения в обычном пространстве n. Воспользуемся рис. 75. Через левую грань объема dv=dx·dy·dz зайдут электроны:

r f ( x, y, z ,V , t )dydz ⋅Vx dt ⋅ d 3V

..

Через правую грань уходят электроны

r f ( x + dx, y, z,V , t )dydz ⋅Vx dt.⋅ d 3V (При этом предполагается, что

Vx > 0 ) В результате в объеме dv произойдет изменение числа электронов:

r r t )dydzV f ( x + dxf ,(yx,, zy,,Vz,V t ),dydz ⋅Vx dt ⋅ d 3V =− x dtd

Рис.75.

r r = −Vx [ f ( x + dx, y , z , t ,V ) − f ( x, y , z , V , t )]dydzd 3V ⋅ dt = = −Vx

∂f dxdydzd 3V ⋅ dt , ∂x

(4.6.4)

где произведено разложение в ряд Тэйлора функции

r f ( x + dx, y, z , V , t )

и

оставлены первые два члена разложения.

r V − электронов в объеме r V − пространстве со «скоро-

Аналогично можно определить изменение числа

d 3V = dVx ⋅ dVy ⋅ dVz •

стями»

•

в результате их движения в

•

Vx V y Vz

. Это изменение равно

170

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

r r ∂f r r r r r r r r f ( r ,V , t + dt )d 3 r ⋅ d 3V − f ( r ,V , t ) d 3r ⋅ d 3V = d 3r ⋅ d 3V ⋅ dt ∂t r есть возрастание числа V - электронов за время dt, то мы получаем следуюr r щее уравнение, которому удовлетворяет функция f ( r ,V , t ) : ∂f

r 1 r = − (V∇ r f ) − ( F∇V f ) + m ∂t r/ r r r r r/ r r/ / + ∫ [W (V V ) f ( r , V t ) − f (V , r , t )W (V , V )]dΩ .

(4.6.9)

Уравнение (4.6.9) называется кинетическим уравнением Больцмана для нахождения неравновесной функции распределения

r r f ( r , v , t ).

Первые два слагаемых справа образуют так называемый полевой член уравнения Больцмана:

 ∂f     ∂t пол

(

)

1 r r = − V∇ f − ( F∇ f ) r V m

.

Он определяет скорость изменения функции распределения зультате непрерывного движения электронов в

r r rи V−

(4.6.10)

r r f ( r , V , t ) в ре-

пространствах. Последнее

слагаемое в (4.6.9) называется членом столкновений:

 ∂f    r /   / r  r r  r r /  /   = ∫ f  r , V , t WV , V  − f (r , V, t )WV, V ∂Ω . (4.6.11)       ∂t ст   Он определяет скорость изменения функции f в результате столкновений (рассеяния при V ≡ V ) электронов. В стационарном случае: /

172

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

r E ≡ Ex . Функцию распределения запишем так:

f = f 0 + f1 = f 0 − где

χ (ε )

∂f 0 χ (ε )V , x ∂ε

(4.6.14)

- некоторая функция энергии

е = m (V

2 x

2

+ V y2 + Vz2

).

Подставляя (4.6.14) в (4.6.11), учитывая, что столкновения упругие принцип детального равновесия выполняется, получаем

v v  ∂f    = − f1 ∫ W (V ,V ′)⋅ (1 − cos Θ ) ⋅ dΩ′ ,  ∂t ст где

V ′ cos Θ = x V x

Так как

(

ε′ = ε

и

(4.6.15)

(см. рис. 76).

) имеет размерность, обратную времени (это следует из опре-

r r W V ,V '

деления величины W , данного выше), то можно ввести время релаксации щим образом:

(

)

r r 1 = ∫ W V , V / ⋅ (1 − cos Θ ) ⋅ dΩ′ . τ

τ

следую-

(4.6.16)

Рис.76.

Из (4.6.15) и (4.6.16) следует, что:

f f − f0  ∂f    =− 1 =− τ τ .  ∂t ст r Полагая, ∇ r f = 0 и F = 0 , имеем:

(4.6.17)

174

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

=

2e 2 Eф mV x2 f 0 dVx , ⋅G ⋅ ∫ kTm 2

где множитель G получается от интегрирования по

Интеграл

mV x2 ∫ 2 f 0dVx

Vy

и

Vz

.

по своему статистическому смыслу дает среднюю

кинетическую энергию, которая на основании классической теоремы о равномерном

1 кТ . 2

распределении энергии по степеням свободы будет равна

Итак,

2 j = e 2τ E = e l E =σ E , x x x m mV

а это есть закон Ома в дифференциальной форме. Предыдущие расчеты проводились для движения одного электрона. Учитывая, что в единице объема содержится n0 электронов, получаем

r e 2 ln0 r . σ= mV

(4.6.22)

Применяя формулу (4.6.22) к полупроводникам, необходимо различать две составляющие их электропроводности: электронную и дырочную. Тогда результирующая проводимость собственного полупроводника будет

σ = σ эл + σ дыр =

e 2 nе−τ − e 2 nе+τ + + . m− m+

Хотя у собственного полупроводника −

ne− = ne+

+

(4.6.23)

, однако массы

m − и m+ ,

а также времена τ и τ не равны друг другу попарно. Под m и m надо понимать эффективные массы электрона и дырки. Но эффективная масса – понятие квантомеханическое, а все предыдущие расчеты проводились в классическом приближении. По определению ные

τ=

функциональные

−

+

l . И здесь классический и квантовый подходы дают разV зависимости.

С

классической

точки

зрения

176

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

тельно, удельное сопротивление

ρ ~ Т 5 . Действительно, в области низких темпера-

тур столкновение электрона с одним фононом не может существенно изменить импульс электрона. Поэтому так называемая транспортная длина свободного пробега

L~

nст где n , ф nф

- концентрация фононов,

nст

- число столкновений, которые при-

водят к изменению импульса электрона. Очевидно, что температур

L = nст ⋅ l . В области низких

nф ~ Т 3 .

Рис.77. На рис.77 изображено изменение импульса электрона при поглощении фонона с импульсом

hq ≈

kT . V

В области низких температур hq << pф . Поэтому после по-

глощения фонона импульс электрона нию от импульса электрона

p ф/

мало отличается по модулю и по направле-

r pф до поглощения фонона.

Изменение импульса электрона вдоль первоначального направления определяется равенством:

∆p х = рф − рф cos ϕ = рф (1 − cos ϕ ) ≈ pф где

cos ϕ ≈ 1 −

ϕ2 , 2

ϕ2 +K 2

С другой стороны, из рис.77 видно, что

hq ∼ pф ⋅ ϕ .

Исключая из последних

равенств величину ϕ, получаем:

∆p x =

(hq )2 . 2 pф

Отсюда видно, что для изменения импульса электрона на величину ~ рф необходим целый ряд столкновений, число ncт которых может быть определено из условия

178

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§7. Электрон-фононные столкновения Выше уже отмечалась важность подобных взаимодействий между электронами и колебаниями структурных частиц кристаллической решётки. Рассмотрим два случая таких процессов, которые графически представлены на рис.78, где прямыми линиями изображены движения электронов, волнистыми – фононов. На рис.78а) изображен процесс «рождения» фонона, на рис.78б) - процесс поглощения. Установим, возможны ли данные процессы с точки зрения законов сохранения энергии и импульса. В обоих случаях можно составить следующее условие:

(

)

r r r е(p) + hщ = е p + hk .

a)

б)

(4.7.1)

Так как почти у всех электронов

Рис.78.

ε = ε ф >> hω max = kT Д ,

то можно пре-

дыдущее равенство записать так:

r r r ε ф ( p) ≈ ε ф ( p + hk ).

(4.7.2)

Из соотношения (4.7.2) следует, что процесс может осуществиться, если поверхность Ферми на

r hk

r ε ( p) = ε ф

аналог

(

и ее «сдвинутый»

)

r r ε p + hk ≈ ε ф

пересекают-

ся (рис.79). При

hk < 2 pф предыдущее

условие

выполняется – «рождение» и «гибель» фонона возможны. Воспользуемся принципом соответствия и получим дополнительную информацию об условиях рассматриваемых процессов. Устремим

h → 0,

Рис.79.

тогда из (4.7.2) следует:

(Vr kr ) = 0. ф

180 «

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Это означает что в процессе «рождения» («гибели») фононов принимают участие электроны, скорости которых перпендикулярны волновому вектору. Поскольку энергия Ферми не влияет на смысл полученного условия, то лучше не отбрасывать малую по сравнению с

εф

величину

hω .

В результате получаем:

(Vr k ) = ω или cos Θ = Vs , ∠Θ = Vr r

ф

ф

ф

∧

r k , то есть Vф > s, где s – скорость фоно

нов (звуковых волн). Но это условие всегда выполняется,

8 так как Vф ≈ 10 см с , а

s ≈ 105 см . с Образно можно сказать, что рождение (гибель) фонона – квантовый аналог черенковского излучения звука (напомним, что оптический черенковский эффект связан с излучением света). Рассмотрим роль столкновений электронов между собой. При уменьшении температуры T →0K длина свободного пробега в чистом кристалле l → ∞ , так как число фононов стремится к нулю. На первый взгляд кажется, что электроны перестают рассеиваться друг на друге. На самом деле все гораздо сложнее (и интереснее). В действительности электроны сталкиваются, но результат столкновения не обнаруживается, так как все состояния с энергией меньше энергии Ферми заняты. Причем, какие электроны оказались в состояниях с энергиями < ε ф неизвестно, так как электроны неразличимы в силу своей квантовой природы (фермионы!). Итак, окончательно можно записать, что полное удельное сопротивление равно:

ρ = ρ прим + ρ фон + ρ эл . В идеально чистом проводнике удельное сопротивление должно стремится к нулю при T →0K , а длина свободного пробега достигает «гигантской» величины - несколько миллиметров (для сравнения при Т~300К, l ~10 -6 СМ!). §8. Металлы с большой длиной пробега электронов Выше мы установили, что при высокой температуре основной вклад во взаимодействие с электронами вносят фононы. При T →0K это взаимодействие также стремится к нулю. И длина свободного пробега l определяется как дефектностью решетки (без учета вклада фононов), так и электрон-электронными столкновениями. Наличие дефектов создает так называемое остаточное сопротивление, которое можно уменьшить, очищая кристалл от примесей. Так что в идеальном кристалле при T →0K длина свободного пробега l определяется исключительно электрон-электронными столкновениями (см. гл.2, §13, формулы (2.13.7) - (2.13.9)), которые сопровождаются процессами переброса. Советскими физиками Л. Ландау и Я. Померанчуком получена формула

181

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

pф  е 2  1   ≈ lЭ h  hV ф  из которой следует, что при

2

2

 кТ    ,  εф   

T →0K

(4.8.1)

длина свободного пробега электронов

l эл → ∞. Так как

ρ∼

1 l

,то следовательно,

ρ ЭЛ ∼ Τ 2 .

Итак, при высоких температурах основной вклад в возникновение сопротивления металлов вносит рассеяние электронов на тепловых колебаниях решётки (на фононах). Электроны практически подчиняются классической статистике, и закон Фидемана-Франца выполняется хорошо. При низких температурах Т<<ТД вклад в возникновение сопротивления вносят все его причины:

ρ = ρ прим + ρ фон + ρ эл . Первое слагаемое не зависит от температуры, второе

(4.8.2)

∼ Ф5 ,

третье

∼ Ф2 .

Следовательно, истинные свойства металлов можно определить, изучая идеальную решетку и при низких температурах:

ρ ид = ρ ф + ρ э . Сейчас создаются настолько чистые металлы, что длина свободного пробега электронов перестает быть микроскопическим параметром. Вблизи Ф≈ 0K она достигает нескольких миллиметров. Это гигантское расстояние для микромира. В этом случае говорят о металлах с большой длиной пробега электронов.

§9. Аномальный скин-эффект Скин-эффект – это поверхностное распределение переменного тока и электромагнитного поля в проводнике. Скин-эффект проявляется и в плазме, и в ионосфере, на поверхности моря и в других средах, обладающих заметной проводимостью. Толщина скин-слоя δ зависит от частоты тока и свойств проводника. В зависимости от соотношения между δ и длиной свободного пробега l электронов различают нормальный l<<δ и аномальный l>>δ скин-эффект. В области ультрафиолетовых частот δ быстро растет, металл оказывается прозрачным и скин-эффект исчезает. В достаточно чистых металлах (см. предыдущий параграф §8) длина свободного пробега l определяется взаимодействием электронов с фононами и зависит от Т5 , благодаря чему при низких температурах существует область частот (сантиметровой и инфракрасной части спектра), в которой l>>δ, что соответствует определению аномального скин-эффекта. Границей обоих эффектов в этом случае служит температура Т≈ 100К , при которой l=1 см.

182

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Изучение скин-эффекта позволяет получить широкую информацию об электронных свойствах проводника, так как является структурно-чувствительным свойством (см. Прил.14). На границе металла происходит разделение электромагнитной волны на проходящую внутрь и поглощаемую в нем и на отраженную, большую часть, которая и дает блеск поверхности металла. Вторая часть электромагнитной волны связана с возникающим в поверхностном слое сопротивлении - поверхностном сопротивлении-импедансом. Если электроны движутся под большими углами к поверхности металла, то лишь небольшую часть своего свободного пробега они будут находится под воздействием электромагнитной волны, их вклад в отражении волны незначителен. Те же электроны, которые движутся параллельно поверхности, подвергаются воздействию со стороны электромагнитной волны. Это особенно действенно в случае аномального скин-эффекта, когда l>>δ.

§ 10. Циклотронный резонанс (Азбель-Канер-эффект) Как отмечалось выше, при низкой температуре глубина проникновения радиоволны в металл столь мала, что большую часть своего свободного пробега электроны проводят вне действия электромагнитного поля (аномальный скин-эффект). Но электроны можно возвратить в скин-слой при помощи магнитного поля, параллельного поверхности металла. Тогда электроны будут двигаться вокруг направления магнитного поля, периодически приближаясь к поверхности металла. Чтобы обнаружить это движение, надо так подобрать частоту электромагнитной волны ω, чтобы каждый раз, когда электрон пролетает через скин-слой, его встречало поле в одной и той же фазе. При этом электроны будут оптимально взаимодействовать с волной, что отразится на величине поверхностного сопротивления, т.е. на коэффициенте отражения. Итак,

ω =q

где

m* =

eH * ф , extr

m

⋅с

,

1 dS (ε , p z ) ; q = 1,2,3... 2π ∂ε

Все предыдущие рассуждения применимы и для полупроводников. Рассмотренное явление получило название диамагнитного резонанса. Оно служит методом исследования структуры электронных и дырочных зон в полупроводниках. В металлах явление усложняется аномальным скин-эффектом, резонанс может наступать и при кратных частотах волны. В металлах рассмотренное явление называется циклотронным резонансом, или Азбель-Канер-эффектом. В экспериментах обычно частоту не меняют, а изменяют величину магнитного поля Н. При резонансе резко убывает поверхностное сопротивление. Используя пре-

183

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

дыдущую формулу, определяют

* * m . Так как m выражается через производную отт *

сечения поверхности Ферми по энергии, то ясно, что m характеризует не только саму Ферми-поверхность, но и распределение скоростей электронов на ней.

§11. Размерные эффекты Размерными эффектами называют методы, в которых определяют диаметры поверхности Ферми путем сравнения их с фиксированной длиной L согласно формуле ф сDextr = L, еН

(4.11.1)

где L – некоторая фиксированная длина. Известно, что сопротивление металлической пластины (и статическое, и высокочастотное) в магнитном поле существенно зависит от соотношения между размерами траектории электронов и толщиной пластины. Если поместить пластину в магнитное поле, параллельное границе образца, то некоторые электроны будут двигаться по своим сложным спиралям, вовсе не замечая границ, а другие, пройдя меньше одного витка, обязательно столкнутся со стенкой пластины изнутри. В силу однородного распределения электронов внутри образца, ось движения можно выбрать произвольно, так как всегда найдутся электроны с данной осью движения. Размеры траектории тоже произвольны, так как в зависимости от проекции импульса электрона на магнитное поле pz, сечения поверхности Ферми существенно различны. А так как именно сечения определяют размеры траектории в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, то разным p z соответствуют разные траектории. Однако, не все электроны, не все сечения поверхности Ферми равноценны. Суммируя вклад различных электронов в проводимость, нужно учесть разные pz, то есть учесть различные сечения поверхности Ферми, электроны с различными траекториями. Пусть вклад от электронов из интервала ∆pz равен χ ⋅ ∆ p z. Будем нумеровать электроны не по величине pz, а по непосредственно интересующей нас величине Dф – по диаметру поверхности Ферми. Тогда вклад электронов с данным значением Dф можно записать так:

χ ⋅ ∆D ф

dp ф . dD z

Отсюда видно, что наибольший вклад в электрический ток дают те электроны, которым соответствуют экстремальные (max или min) диаметры Ферми-поверхности, так как для них

dD ф = 0. dp z 184

«»

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Этими рассуждениями мы несколько ликвидировали ту неоднозначность, которая была в формуле (4.11.1): нужно рассматривать только те траектории, у которых экстремальные диаметры – эффективные диаметры. Уменьшая Н, можно обнаружить момент, когда проявится зависимость ρ(Η): в этот момент ни одна эффективная траектория не поместится в образце. Обозначим эту

напряженность магнитного поля через Нкр. Тогда соотношение

позволяет непосредственно измерить

ф сDextr = L, еН кр

eH кр ф ф Dextr : Dextr = ⋅ L, где L – толщина c

пластины. Теория и опыт показывают, что ρ(Η) проявляет периодичность, когда в толщине пластины размещается целое число орбит. Очевидно, что Нкр равна:

H кр =

ф сDextr eL

.

(4.11.2)

r

Для «прощупывания» поверхности Ферми надо менять направление Н и выращивать монокристаллы по разному ориентированными осями. Другим примером «работы» размерного эффекта является поглощение звука металлом в магнитном поле (в сверхпроводнике поглощение резко падает в момент фазового перехода). При прохождении звуковой волны через кристалл ионы решетки сдвигаются, электроны же несколько отстают, возникает электрическое поле, действующее на электроны. Это поле колеблется со звуковой частотой и имеет ту же длину волны, что и звук. Так как скорость электронов V

ф

>> V звук , то поле квазистатич-

но. Электроны пролетают это поле. Возможны два случая: 1.

λ зв >> l эл ,

2.

λ зв << l эл .

Для

λ уз ∼ 10

ультразвука

−3

8 −1 υ уз ≈ 10 с ,

−1 5 V уз ∼ 10 см ⋅ с ,

тогда

см .

Поэтому условие

l >> λ

не очень жесткое и при Т~ 4,2К в чистых металлах

(l ~1см) выполняется. В этом случае большая часть электронов не взаимодействует со звуком, вернее, электроны будут то ускоряться, то замедляться, при этом средний эффект равен нулю.

185

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

С другой стороны, эффективно будут взаимодействовать те электроны, которые летят перпендикулярно направлению распространения волны, то есть

(nr Vr ) = 0 . Их коэффициент поглощения звука пропорционален частоте ν, не заф

висит от длины свободного пробега l и определяется только свойствами электронов. Мы снова получаем возможность изучать энергетический спектр электронов. Если поместить кристалл в сильное магнитное поле, то возникает магнито-акустический резонанс. Магнито-акустический резонанс проявляется в зависимости коэффициента поглощения звука от

1 (при l >> λ зв ). Н

Магнит-

Рис.80.

ное поле направлено перпендикулярно распространению звуковой волны (рис.80). При каждом обороте

ной. Когда

1 электрон подгоняется (либо тормозится) звуковой волН

1 1 eλ изменяется на величину ∆ = , это приводит к повторению ф Н cDextr Н

состояния электрона. Поэтому коэффициент поглощения звука будет зависеть от

1 . Н

Магнито-акустический резонанс – это явление имеет классическую природу. Однако, электроны поглощают не любые фононы. В этом случае резкую зависимость коэффициента поглощения звука от величины магнитного поля. Н называют гигантскими квантовыми осцилляциями (они, в отличие от магнито-акустического резонанса, имеют квантовую природу).

§12. Проникновение электромагнитных волн в металл.Геликоны Газообразная плазма наполняет собой весь мир, но изучать ее свойства в лаборатории достаточно сложно. Электроны и положительно заряженные ионы в твердом теле образуют так называемую твердотельную плазму. Изучать ее свойства значительно проще, на ней можно проверять общие теоретические предсказания. Ведь именно изучение газообразной плазмы привело к открытию электрона.

186

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Когда на плазму действуют электрическое и магнитное поля, движение частиц в ней не беспорядочно. Так, если плазма находится в магнитном поле, в ней могут существовать определенные виды волн, которые являются электромагнитными, они обладают уникальными и любопытными свойствами. (Приложение 15). Движение электрона в плазме может быть подвержено влиянию четырех сил:

r

1) Е электромагнитной волны или внешнего поля; 2) замедление из-за столкновений; 3) сила Лоренца (если есть

r Н

);

r

4) инерционная, ~m и a и направленная противоположно а . В некоторых полупроводниках и металлах (при Т~ОК) сила трения может быть очень малой. Если силой трения можно пренебречь, то электрическая сила будет уравновешена суммой сил Лоренца и инерционной силой , наибольший вклад в сумму дает сила Лоренца. Оказывается, что единственной волной, которая может сообщить электрону необходимое движение, и, следовательно, распространяться, является волна, у которой электрическое поле и связанное с ним направление тока, вращаются относительно магнитного поля с определенной частотой. Закон дисперсии имеет вид:

щ=

π cH cos И 1 e(n 1 − n 2 ) л 2

,

(4.12.1)

где n1 и n2 – концентрации носителей заряда, ∠Θ

r r = k €H .

(

)

Все множители (H,e,n) определяют силу Лоренца. Поэтому неудивительно, что волна будет распространяться только в том случае, если направление вращения вектора электрического поля в ней совпадает с вращением электронов, движущихся в магнитном поле. Эта низкочастотная электромагнитная волна получила название геликон. 1

То обстоятельство, что частота геликона ~ 2 , наделяет волну необычным свой-

л

ством: ее скорость возрастает вместе с увеличением частоты. Обычно

λν = c = const . В случае же геликона при увеличении частоты длина волны λ уменьшается, но только как квадратный корень из частоты. Например, если частота увеличивается в 100 раз, длина волны падает только в 10 раз, а, следовательно, скорость возрастает в 10 раз. Детектор (см. рис.81) показывает пик напряжения при определенных частотах, когда система резонирует. Это происходит тогда, когда в длине образца в направлении

r Н

укладывается целое число полуволн геликона.

187

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

A

A K Д

ε

~

r Н Рис. 81.

r

A- управляющие обмотки, K - кристалл, Д - обмотки детектора, Н - постоянное магнитное поле, ε − высокочастотный генератор. Геликоны были открыты дважды: в 1960 г. французским физиком Пьером Агрейном с сотрудниками и в 1961 г. Р.Бауэрсом. Первый работал с полупроводниками при частоте ν=1010МГц., второй – с металлом при ν=10-100Гц. Табл. 6.

Среда И оносфера Па ра метры -3 Концентра ция см 103-105 М а гнитное поле Гс 0,2 Ч а стота Гц 5000 Длина волны см 400000 Скорость см/c 2·109

Полупроводник 14

М ета лл

16

1022 104 1-104 0,5 20

10 -10 104 1010 0,3 3·109

§13. Электрон проводимости в магнитном поле Важной задачей физики твердого тела является исследование энергетического спектра электронов проводимости в металле. Ниже мы рассмотрим эту задачу, исследуя воздействие на электрон внешнего магнитного поля. Пусть металл помещен в магнитное поле индукции ствует сила Лоренца:

[ ]

r rr F = e VB

.

r В,

на его электроны дей-

(4.13.1)

Несмотря на внешнее совпадение формулы (4.13.1) для электрона проводимости с формулой силы Лоренца свободного электрона, имеется принципиальное отличие.

188

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Дело в том, что для электрона проводимости неверна формула классической механики

r pr V= . m

Согласно методу эффективной массы (см. гл.4, §3) связь между принципиально другой характер:

и

r р

имеет

1 dE k и р = hk . h dk

V= У верха зоны

r V

dE k = 0, dk

достигает максимума: при

k=

поэтому и

р a

V =0, в то время как импульс у верха зоны p=

импульс

рh . a

Все это существенным обра-

зом сказывается на всей динамике электрона проводимости, в частности, на характер его движения в магнитном поле. Обратим внимание, что энергия электрона и проекция импульса на направление поля p z не изменяются при движении в магнитном поле. Если есть составляющие импульса (скорости) перпендикулярная и параллельная полю, то первая составляющая приведет к вращению электрона вокруг направления вектора

r B , а вторая составляю-

щая – не влияет на его поступательное движение. В результате – электрон будет двигаться по винтовой траектории. Радиус спирали можно найти из равенства

m *V ⊥2 = eV ⊥ B , rB откуда

rB =

p⊥ m*V⊥ = , eB eB

(4.13.2)

где m*- эффективная масса. Определим период обращения электрона:

T =

2рrB V⊥

=

* 2рm eB

* , где m = m эф =

h

2

2

d Ek dk

и ω = 2πν =

2π Т

=

eB . * m

(4.13.3)

2

Как показывается в квантовой механике (см. гл.2, §10), у частицы, совершающей периодическое движение (так называемый «квантовый осциллятор»), могут существовать лишь дискретные значения энергии. Поэтому у заряженных частиц в магнитном поле появляются уровни энергии, называемые уровнями Ландау (1930 г.):

189

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1  E n =  n +  hω , 2 

(4.13.4)

где n=0,1,2 … . Особенности движения электрона в магнитном поле проявятся только в том случае, если между двумя столкновениями электрон успевает пройти значительную часть траектории, то есть должно выполняться условие

rB ≤ l , где

(4.13.5)

rB - радиус орбиты электрона в магнитном поле, l - длина свободного пробега.

В простейшем случае, когда Ферми-поверхность – сфера, из формулы (4.3.2) следует:

rB = где

pФ , еВ

pФ - радиус Ферми-сферы в пространстве импульсов.

Из соотношения неопределенностей Гейзенберга

pФ ≈

∆x ⋅ ∆p x ≈ h следует, что

h , a

где а - межатомное расстояние в кристалле. Следовательно, при комнатной температуре

l << rB

вплоть до гигантских

магнитных полей прядка 104 Тл. Однако при понижении температуры l резко возрастает и можно использовать достижимые поля (0.1 – 1 Тл при

Т ≤ 4,2K

).

Если учесть, что разным направлениям спина, то есть разным значениям спинового квантового числа s = ± 1 в магнитном поле соответствуют разные энергии, то

2

вместо формулы (4.13.4) следует применять выражение:

1  En = E0 +  n + hω + sgµ Б В, 2  где n=0,1,2 … ,

hω =

heB m*

- циклотронная энергия, g – фактор Ланде,

µБ

-

магнетон Бора. Таким образом, мы получаем набор дискретных уровней для электронов. В отличие от энергетических зон, возникающих из-за квантования в электрическом поле,

190

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

число мест NB на каждом из уровней Ландау ограничено и равно eB

h

.

Смысл этогоо

выражения установим так. Радиусы орбит электронов i-го уровня можно определить из формулы для уровней Ландау, если учесть, что

Fц.с. = m* щ2rВ = откуда

Но

2 m*V 2 = m* щ2 rB2 и тогда rB =

m*V 2 . m* щ2

m*V 2 = En . 2

Тогда

и

m*V 2 , rB

1  2 E n = 2 n + hω 2 

1 1   2 n + hω 2 n + h 2 2 =  rB2 =  * 2 . mω eB

Соотношение неопределенностей запрещает существование точных значений координаты, так что эти окружности размыты, а электроны движутся где-то вблизи них. Рассмотрим орбиты для электронов с n=0 и n=1. Граница между этими состояниями проходит примерно посредине между окружностями. Электрон с n=0 «заперт» на участке с площадью

рrB2 =

h . Другие электроны здесь уже разместиться не могут, eB

не позволяет принцип Паули. Поэтому на 1м2 можно разместить

NB =

eB 1 = 2 рr h

электронов в состоянии n=0. Таким образом, мы установили смысл величины

eB . h

191

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§14. Квантовый эффект Холла В течение 100 лет с 1879 г. по 1980 г. считалось, что природа открытого американским ученым Е.Холлом явления, названного в честь этого ученого эффектом Холла, познана, и величина сопротивления Холла установлена (см. гл.3, §15):

RH =

A Дϕ = . ne BI

(4.14.1)

Однако в 1980 г. немецкий физик Клаус фон Клитцинг установил новое в эффекте Холла: холловское сопротивление квантуется, если эффект наблюдать в двумерном электронном газе. В действительности двумерный электронный газ не является двумерным в полном смысле этого слова. Он двумерен в том смысле, что движение вдоль одного из направлений запрещено (ось Oz), вдоль других координатных осей Ox и Oy электроны движутся как свободные частицы (см. рис. 82). Обычно двумерный электронный газ создают, прижимая электроны в металле к границе с диэлектриком с помощью электрического поля. Электроны не могут отойти от диэлектрика – мешает электрическое поле, они не могут и войти в диэлектрик. Схема рис.82 называется МОП: металл-окисел-полупроводник. Рис.82. Из-за соотношения неопределенностей Гейзенберга

∆x ⋅ ∆p x = h

слой электронов размазан в некоторой толщине ∆х. В возникшей потенциальной яме согласно законам квантовой механики возникают дискретные состояния – уровни Ландау. Кроме того, у электронов есть кинетическая энергия вдоль границы, которая из-за соотношения неопределенностей Гейзенберга не может равняться нулю 2 ( ∆p ) ∆E = ; ∆p ≠ 0

2m

.

При исследовании двумерных электронных слоев в полупроводниках измеряют их сопротивление электрическому току, изменяя условия наблюдения. Электрическая схема напоминает устройство полевого транзистора. (Рис.83, см. гл.3, §12). Изменяя напряжение на затворе, можно изменить концентрацию электронов в двумерном слое, что приведет к изменению сопротивления между истоком и стоком. Напомним кратко суть обычного, классического эффекта Холла (см. гл.3, §15). Пусть через двумерный электронный газ (рис.83) течет ток I в направлении оси Ох. Средняя скорость направленного движения электронов равна

192

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

V =

I , Nea

где а – ширина канала. Если на электрон будет действовать поперечное их скорости магнитное поле, то возникнет дополнительная сила – сила Лоренца:

F = e V B. Под действием этой силы, направленной перпендикулярно скорости движения электронов

V,

нач-

нется перемещение электронов вдоль оси Oy. В результате накопления электронов на стороне канала возникает новое электрическое поле – холловское поле E H, которое будет препятствовать дальнейшему смещению электронов вдоль оси Oy. Это холловское поле характеризуется

Рис.83.

разностью потенциалов ∆ϕ H :

EH = откуда

F eV B IB ∆ϕ H = = VB = = , e e Nea a

∆ϕ H =

IB . Ne

(4.14.2)

Для количественного описания эффекта Холла вводится символическая величина – холловское сопротивление, которая определяется как отношение холловского напряжения (направленного вдоль оси Oy) к величине тока, текущего вдоль оси Ox:

RH =

∆ϕ H IB B = = . I INe Ne

Если воспользоваться формулой

l R=ρ , s

и допустить, что длина канала l=1

ед. длины и s=1 ед. площади, то получится, что

193

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

RH ≡ ρ xy .

(4.14.3)

Двойной индекс у ρ свидетельствует о том, что величина RH связана с характеристиками, имеющими отношение к разным направлениям Ox и Oy. В течение 100 лет с момента открытия эффекта Холла в 1879 г. и до 1980 г. формула

RH =

B Ne

не вызывала сомнений. Исследования показали зависимость эффекта

Холла от эффективной массы носителей заряда, обнаружен аномальный эффект, обусловленный носителями противоположного знака, чем у электронов, влияние столкновений носителей заряда и т.д. Эффект Холла считался классическим. Однако в 1980 г. группа исследователей во главе с Клаусом фон Клитцингом (в 1985 г. Клаусу фон Клитцингу присуждается Нобелевская премия по физике) обнаруживает, что в двумерном электронном слое зависимость RH от B и N перестает быть аналитически простой. Существуют некоторые особые значения R H, которые не изменяются при изменении N или В. При этом, и это очень важно, значения RH представляются через комбинацию фундаментальных физических постоянных. Действительно, подставим в формулу RH (4.14.3) поверхностную концентрацию электронов

N = iN B =

RH =

ieB : h

B B⋅h h = = 2, Ne ieBe ie

(4.14.4)

где h – постоянная Планка, е – заряд электрона, i – целое число. Так было открыто новое макроскопически наблюдаемое квантовое явление. Ниже мы рассмотрим использование формулы (4.14.4) в метрологии. Чтобы понять смысл выражения (4.14.4), выясним, откуда вообще возникает сопротивление току в проводнике. Как известно, при своем движении электроны взаимодействуют как с узлами кристаллической решетки, с примесями, с фононами, а также взаимодействуют между собой. В результате происходит обмен энергией и количеством движения, изменяется направление движения электрона. Все это и обуславливает то, что мы называем сопротивлением. Если на уровне Ландау (мы рассматриваем двумерный электронный газ, для которого справедлива формула (4.14.4)) есть свободные места, то рассеяние электронов возможно в пределах одного энергетического уровня без существенного изменения энергии электрона. Если же уровень Ландау заполнен полностью, то изменение состояния носителя заряда возможно при переходе его на незаполненный (свободный) уровень Ландау. Однако, при достаточно низких температурах вероятность такого перехода мала, так как она пропорциональна множителю

 ∆ε  exp  − ,  2kT 

где ∆ε – расстояние

(по энергии) между рассматриваемыми уровнями Ландау. Поэтому при понижении температуры уменьшается и сопротивление току. При Т=ОК, если заполнено целое число уровней Ландау, сопротивление (в том числе и удельное) в направлении оси Ох должно

194

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

быть равно нулю: ρхх=0. Это означает, что ток течет вдоль линий постоянного потенциала – вдоль так называемых эквипотенциалей. Следовательно, в широком интервале изменения концентраций носителей заряда или магнитного поля холловское сопротивление RH остается постоянным. Учтем неидеальность двумерного слоя, выясним, к какому эффекту это может привести. Мы считали, что электрическое поле, прижимающее электроны в двумерном слое к диэлектрику, однородным. Но в реальных случаях это поле в действительности всегда оказывается неоднородным по нескольким причинам: 1) неоднородна толщина слоя окисла в МОП – структуре; 2) неоднородно распределение положительного заряда в структуре; 3) наличие заряженных ионов на границе раздела и т.д. В результате этих причин энергия электрона в одних точках двумерного слоя оказывается больше, в других – меньше. На рис. 84 представлена «пространственная» картина энергии электрона. Она имеет вид не плоскости (как в идеальном случае), а «холмистой» местности с «горами» и «ямами». Если ρхх=0, то ток может течь вдоль эквипотенциалей. Ток через слой течет между истоком и стоком. Следовательно, он может течь лишь по эквипотенциалям, соединяющим исток и сток. Но таких эквипотенциалей, нам видно из рис.84, очень немного. Основная масса эквипотенциалей замыкается внутри слоя, охватывая «горы» и «ямы». Поэтому электроны, находящиеся в «ямах» или на «горах», не могут переносить ток – они не могут покинуть своих «ям» и своих «гор». Итак, все электроны разделяются на два вида: электроны, переносящие ток, эти электроны находятся на эквипотенциальных «дорожках» с потенциалами, близкими к среднему значению потенциала слоя, и на локализованные электроны. Теперь рассмотрим ситуацию, когда уровни Ландау до (i – 1)-го включительно заполнены полностью, а следующие пусты. Добавим в слой некоторое количество электронов (или неРис.84. много уменьшим магнитное поле, что и приведет к уменьшению числа мест на уровнях Ландау). Излишек электронов располагается на i-м уровне, причем электроны займут состояния в «ямах», так как там их энергия будет наименьшей. Следовательно, и концентрация изменится лишь в «ямах» потенциального рельефа, где ток не течет. Это, конечно же, не изменит ни ρхх, ни ρхy на дорожках, по которым течет ток. Это будет продолжаться до тех пор, пока все места в «ямах» не окажутся занятыми, и не начнет изменяться концентрация на токовых дорожках. Пока остается хотя бы одна дорожка, на которой концентрация точно равна iN B, весь ток будет течь по ней, так как ее сопротивление равно нулю и, следовательно, холловское напряжение меняться не будет. Но когда концентрация изменится, и холловское сопротивление перестанет сохранять свое квантовое значение, ρхх станет отлично от нуля. Если число электронов будет увеличиваться далее, то рано или поздно на одной из токовых дорожек концентрация электронов станет равна (i+1)N H. Сопротивление этих дорожек станет

195

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

равным нулю, весь ток потечет по ней, а холловское сопротивление примет следующее квантованное значение, которое будет оставаться неизменным при увеличении концентрации электронов на других «дорожках» и «горах». Так можно объяснить наблюдаемый в двумерной электронной системе эффект квантования холловского сопротивления и возникновение плато квантового холловского сопротивления. Однако, не все так просто на самом деле. В квантованном эффекте Холла еще много проблем. До сих пор не существует теории, которая смогла бы предсказать поправки к величине квантованного холловского сопротивления, связанные, например, с влиянием величины тока, текущего через образец, качеством образца или какими-либо другими факторами. О сопротивлении, проводимости и потенциале в условиях квантования холловского сопротивления. Рассмотрим еще некоторые неочевидные свойства двумерного электронного газа в условиях квантования его холловского сопротивления. В этих условиях, например, связь между удельным сопротивлением и проводимостью оказывается несколько неожиданной. Казалось бы, что в условиях, когда удельное сопротивление текущему в канале току ρхх, обращается в нуль, проводимость должна быть бесконечно велика, ведь мы привыкли, что σ и ρ обратно пропорциональны друг другу. Но в данном случае это не так. Равенство нулю ρхх при конечном значении ρхy означает, что если мы пропускаем ток через двумерный электронный газ, то возникает электрическое поле, перпендикулярное току, то есть направленное по оси y, а поле вдоль тока равно нулю. Чтобы определить в этом случае проводимость, надо величину тока вдоль электрического поля разделить на напряженность поля. Электрическое поле направлено по оси y, а ток вдоль этой оси не течет. Поэтому σyy=0, то есть из условия ρхх= ρyy=0 следует, что σхх= σхy=0. Математически ρ хх, ρхy, ρyx и ρ yy можно представить как компоненты матрицы удельного сопротивления, а σ хх, σ хy и т.д. – как компоненты матрицы проводимости. Переход от одной матрицы к другой осуществляется с помощью операции обращения:

 σ xx σ xy   ρ xx ρ xy   =  σ σ   ρ ρ   yx yy   yx yy 

−1

.

Из этого равенства, и также из равенства ρхх = ρyy, σхх= σyy, очевидно, справедливых в силу симметрии, сразу следуют соотношения:

у xx =

с xx с + с xy2 2 xx

,

у xy = −

с xy с + с xy2 2 xx

.

Для случая ρхх=0 из этих равенств получаем:

у xx =

с xx −1 с xy2 ; σ xy = − ρ xy . 196

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Теперь попробуем определить полное сопротивление нашего прибора проникающему через него электрическому току, или, другими словами, определить падение напряжения между контактами истока и стока. Первый ответ, который сразу приходит в голову, - напряжение равно нулю, т.к. ρхх=0, неверен. Чтобы это доказать, рассмотрим, как распределен потенциал в канале при протекании там тока. Вдали от контактов истока и стока линии равного потенциала направлены вдоль тока, т.е. вдоль оси Ox. Это следует из равенства ρ хх=0. Но вблизи контакта ситуация существенно изменяется. Концентрация электронов в контакте очень велика, так что контакт можно считать хорошим металлом. А это значит, что все точки контакта имеют один и тот же потенциал. Поэтому эквипотенциалы не могут пересечь границу контакта, и они вблизи контакта изогнутся так, как это показано на рис.85. Ток же течет через контакт, так что вблизи контакта он уже не будет течь вдоль эквипотенциалей и здесь уже ρхх не может быть равно нулю. Кроме того факта, что вблизи истока и стока ρ хх не равно нулю, из рис. 85 можно определить и напряжение между истоком и стоком. Для этого надо сосчитать количество эквипотенциалей, которые мы пересечем, переходя от истока к стоку по любому Рис.85. пути внутри канала. Оно точно равно количеству эквипотенциалей, пересекаемых при переходе с одного берега канала на другой в средней части канала. Отсюда следует, что и напряжение между истоком и стоком равно напряжению между берегами канала, т.е. холловскому напряжению UH, а сопротивление между ними равно R H. Повторив это рассуждение для любой другой пары контактов к двумерному слою, мы получим тот же результат – сопротивление, измеренное между любой парой контактов к двумерному слою, равно

RH =

h ie 2

не-

зависимо от размеров контактов, их расположения и расстояния между ними. Напомним, что это справедливо лишь при ρхх=0. Проверка точности равенства

RH =

h . ie 2

Опыты свидетельствуют, что это соотношение выполняется с относительной точностью не хуже 10-7 (измерения проводятся в достаточно сильном магнитном поле и при достаточно низкой температуре). Эталон R имеет точность ~10-7, то же и для правой стороны. Величина

α=

e2 ≈ 137,035965 ± 0,000012 - постоянная тонкой hc

структуры,

играющая важную роль в электромагнитных взаимодействиях, известна с точностью 10-7 . Таким образом, прямой путь проверки точности квантования холловского сопротивления уже достигнут.

197

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Дробное квантование холловского сопротивления. Дробное квантование – открытие более сенсационное, чем открытие квантового эффекта Холла. Если увеличивать магнитное поле, то сначала появится плато квантового холловского сопротивления, затем новое третье, второе, первое… По теории дальше ничего нового не должно было появиться. Но вот появляется еще одно плато, за ним еще и еще… Так был открыт эффект дробного квантования холловского сопротивления. В прежнем эффекте, который мы будем называть целочисленным квантованием, горизонтальные участки на зависимости ρхy от B или N и минимумы ρхх были связаны с окончанием заполнения одного уровня Ландау и началом заполнения следующего. Плато в дробном эффекте квантования холловского сопротивления соответствуют частичным заполнениям уровней Ландау. Одновременно с этим плато наблюдаются и минимумы ρхх. В начале были обнаружены аномалии, соответствующие заполнению уровней Ландау на 1/3 и 2/3. Затем к этим числам прибавились еще 4/3, 5/3, 2/5, 3/5, 2/7. Объединяющим признаком всех этих чисел является нечетный знаменатель. В начале дробное квантование холловского сопротивления наблюдалось лишь на отдельных образцах, но затем было установлено, что этот эффект – общий эффект полевых транзисторов, то есть двумерного электронного газа. Для его наблюдения действительно требуется более чистые образцы и более низкие температуры, так как между уровнями, обуславливающими этот эффект, расстояния малы. При объяснении целочисленного квантования не учитывалось взаимодействие электронов двумерного газа между собой. Возможно, что учет этого взаимодействия проявляется в новых особенностях квантового эффекта Холла. Однако, окончательного объяснения дробного квантования еще нет.

§15. Проблема плотностей состояний электронов в квантующем магнитном поле Речь идет о распределении по энергиям разрешенных состояний двумерного электронного газа в сильном магнитном поле. Знание распределения позволяет вычислить практически все характеристики двумерного электронного газа, например, его проводимость, теплоемкость, магнитную восприимчивость и т.д. В теории квантового эффекта Холла также необходимо знать, сколь глубоки потенциальные «ямы» и высоки потенциальные «горы», на которых электроны локализованы. Согласно теоретическим представлениям энергетическая плотность состояний D(ε) (т.е. количество состояний на единицу энергии) должна быть максимальна вблизи середины уровня Ландау, а по мере удаления от середины она должна экспоненциально быстро спадать. Действительно, потенциальные «горы» и «ямы» на уровнях Ландау образовались из-за случайных неоднородностей потенциала. Это означает, что и высота этих «гор» (и глубина «ям») является случайной величиной. Отсюда можно сделать вывод, что распределение плотности D по энергии ε подчиняется гауссовому закону распреде-

(е − еi )   Г 

ления случайных величин D ∼ exp

2 , где εi – энергия середины уровня Лан-

198

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

дау, Г- характерный размер неоднородностей (так называемая гауссова полуширина уровней). Все измерения D(ε) были основаны на определении (прямом или косвенном) зависимости энергии Ферми ЕФ двумерного электронного газа от концентрации электронов или от магнитного поля. Энергия Ферми – это статистическая характеристика коллектива частиц. Ясен ее физический смысл при T=0K . Распределение электронов по энергиям при Т≠ОК определяется функцией Ферми-Дирака

  (ε − EФ )   ∼ exp   + 1 .   кТ   −1

ρФ − Д

Выясним, как знание ЕФ позволяет определить D(ε) . Будем постепенно изменять концентрацию электронов в двумерном газе. Если расстояния по энергии между электронными состояниями вблизи энергии Ферми велики, то небольшое изменение концентрации приведет к значительному изменению ЕФ. Чем больше D(ε) , тем слабее будет зависимоть Е Ф от величины магнитного поля B. Она оказывается немонотонной. Чтобы понять это, рассмотрим сначала систему идеальных уровней Ландау. Пусть заполнены все уровни Ландау до i-го, а сам i-й уровень заполнен частично. Тогда энергия Ферми (при Т=ОК) совпадает с энергией i-го уровня Ландау ЕФ = εi . При увеличении магнитного поля εi увеличивается, но увеличивается и число мест на уровнях Ландау N B . Электроны с i-го уровня переходят на уровень с меньшими энергиями, занимая образовавшиеся вакантные места. Наконец, на i-м уровне электронов не остается, и начинает опустошаться (i-1)-й уровень. Когда последний электрон покинет i-й уровень, энергия Ферми резко уменьшится от εi до εi-1 , а затем опять начнет расти вместе с εi. Таким образом, при нулевой темпе1 ратуре и идеально ровных уровнях Ландау зависимость ЕФ от магнитного поля В должна иметь вид пилы с участками постепенного возрастания Рис.86. ЕФ, сменяющимися резкими падениями (рис.86). Если уровни Ландау не идеальны, то углы сгладятся (на рис. 86 пунктир). Исследуя отклонение формы кривой Е Ф(В), можно определить распределение электронных состояний по энергиям. Как же измеряется ЕФ ? Можно поступить так. Измерить ρхх(Т). Выше говорилось, что ρхх в области min пропорционально вероятности появления «лишних» электронов (или свободных мест) на дорожке, по которой течет ток. Если ЕФ лежит в промежутке между εi-1 и εi токовых дорожек на (i-1)-м и i-м энергетических уровнях, то при Т=ОК ρхх=0. При этом все электронные состояния с ε=εi-1 заполнены, а с ε=εi пусты. Вероятность появления электрона с εi при Т=ОК определяется по формуле Ферми-Дирака. По этой же формуле можно определить и вероятность

199

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

появления свободных мест при εi-1. В результате удельное сопротивление окажется пропорциональным выражению:

   (ε − EФ )    (ε − EФ )   + 1 + 1 − exp  i −1 ρ хх ∼ exp  i   + 1 кТ  кТ        −1

−1

.

Измерив ρхх при нескольких значениях Т, из этого соотношения, можно определить ЕФ. Эксперимент дал некоторое несовпадение с теорией: плотность состояний убывала медленнее при удалении от середины уровня Ландау. По-видимому, здесь снова проявляется электрон-электронное взаимодействие, которое не мало, и порядка самой энергии Ферми.

§16. Эффект де-Гааза-ван Альфена (1931г.) Магнитные свойства металлов весьма разнообразны. И все же, несмотря на это разнообразие, существует такое магнитное свойство, которое, пожалуй, более металлическое, так как присуще всем металлам. Это - эффект де-Гааза-ван Альфена, который позволяет изучать поверхность Ферми, находя площади экстремальных сечений этих поверхностей Ферми, имеющих нередко (часто) очень сложную форму. В этом методе исследуется электронный спектр, устанавливая осциллирующую зависимость магнитного момента от магнитного поля. В последние годы было показано, что осцилляционные эффекты наблюдаются у большинства металлов, они являются общеметаллическим свойством. Под осцилляцией понимается не какой-либо колебательный процесс, а просто периодическая зависимость магнитного момента от индукции магнитного поля. Но эта зависимость наблюдается только у монокристаллов при низких температурах, и только в таких магнитных полях, в которых радиус орбиты электрона значительно меньше длины свободного пробега (r << l). Обычно Н~104 эрстед (~1Тл). Теория эффекта де-Гааза-ван Альфена была построена в 1954г. И.М.Лифшицем и А.М.Косевичем. Экспериментально измеряется магнитный момент образца при гелиевых температурах в магнитных полях, изменяющихся как по величине, так и по направлению. Поясним происхождение периодической зависимости магнитного момента от

 1  . Это следствие квантования уровней энерН 

обратной величины магнитного поля 

гии электронов, а также вырождения электронного газа. Мысленно представим себе схематическое изображение энергетических уровней электрона в магнитном поле. Жирными линиями отметим уровни энергии при p z=0 (в направлении оси Z движения электронов нет в двумерном электронном газе!). Тогда нам придется заштриховать область над жирными линиями, что будет означать наличие разрешенных уровней энергии с pz≠0 над уровнями с pz=0. Пунктирной линией обозначим энергию Ферми. Расстояние между квантованными уровнями энергии окажется (во всяком случае, в условиях наблюдения эффекта де-Гааза-ван Альфена), значительно меньше, чем энергия Ферми. (При Н=104 эрстед ∆ε~10-16 эрг, εф ~10-12-10-11 эрг).

200

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Поэтому над энергией Ферми находится очень много уровней. Но, как мы уже знаем, главную роль играют «жители поверхности» – электроны с энергией, равной энергии Ферми. Электроны с данным значением числа n (с данным номером подзоны) участвуют в «игре» или нет в зависимости от того, находится ли εn(0) под энергией Ферми или над ней. Будем теперь изменять магнитное поле (для определенности – увеличивать). Тогда вся система уровней начнет двигаться вверх и периодически будут выходить из «игры» подзоны – одна за другой. Период легко подсчитать из условия квантования:

1  S(е,p z ) = 2рehB  n + . 2  При изменении обратного значения магнитного поля на величину

1 2рe h Д = Ф число подзон, донья B S extr ется на единицу. Здесь

которых расположены ниже энергии Ферми, меня-

Ф S extr , так как вблизи экстремальных сечений располагается

больше электронов с данным значением площади. Точное рассмотрение вопроса показывает, что перед периодической функцией стоит маленький множитель, приблизительно равный 1

 м B 2 nмБ  Б  ,  еФ  трона.

где n –число электронов в единице объема, µБ - магнитный момент одного элекЕсли бы магнитное поле упорядочило магнитные моменты всех электронов, то

магнитный момент металла был бы равен

µБ n

, но магнитное поле для этого слиш-

ком мало µ Б n << εФ. Отсюда – малый множитель

 µБ Н   εФ

1

 2  . Это характерное свой

ство квантовых осцилляционных эффектов: амплитуда осцилляций мала в меру малости отношения

µБ Н . Характерное εФ

свойство, но необязательное.

Вот коэффициент поглощения звука в квантовом магнитном поле такого множителя не имеет. Поэтому осцилляции коэффициента поглощения величают «гигантскими». Эффект де-Гааза-ван Альфена исследован не до конца. Совсем недавно обнаружено явление, когда обычный металл в магнитном поле при низких температурах разбивается на систему доменов.

201

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Глава 5 Магнитные и поляризационные свойства твердых тел § 1. Классификация твердых тел по их магнитным свойствам В течение тысячелетий человек использовал магнитные свойства твердых тел, не понимая физической природы этого явления. В начале XIX в., в 1820 г., Эрстед обнаруживает магнитное поле вокруг проводника с током. Это был важный момент не только магнетизма, но и всей физики. Через 11 лет Фарадей “преобразует” магнетизм в электричество. Внутреннее единство двух физических явлений было установлено. Появляется первая научная теория магнитных свойств – теория “молекулярных” токов Ампера. Теория Дж. Максвелла показала, что ток проводимости, конвекционный ток и ток смещения обладают магнитным действием. Ток проводимости связан с движением электрических зарядов внутри проводника. Конвекционный ток порождается движением заряженных тел. Ток смещения возникает при всяком изменении во времени электрического поля, его специфической особенностью является то, что он не обязательно связан с движением электрических зарядов, и может существовать в вакууме. Микроскопическая электронная теория Г. Лоренца позволила провести некоторые количественные теоретические расчеты по магнетизму. Большой вклад в экспериментальное изучение магнитных свойств железа внес А. Столетов. Наряду с веществами, обладающими такими же магнитными свойствами, как железо, кобальт, никель и другие, обнаруживаются вещества, магнитные свойства которых существенно отличаются. Оказалось, что принципиально все вещества в той или иной степени магнитны. Их разделили на три группы: 1) ферромагнетики – железо, кобальт, никель, гадолиний, тербий, диспрозий, гольмий и ряд сплавов; 2) парамагнетики – платина, кислород,

Fe 2O3 , NiSO4 и др.;

3) диамагнетики – медь, висмут, алмаз, германий, кремний, селен и др. Только квантовая теория могла дать обоснование существованию трех групп магнитных веществ и вскрыть природу магнетизма. Познакомимся кратко с некоторыми экспериментальными дан202

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ными, введем характеристики магнитного состояния вещества. Поместим однородное (для упрощения дальнейших рассуждений) твердое тело во внешнее магнитное поле напряженностью Н и, соответственно, индукции:

B0 = µ 0 H ,

(5.1.1)

где коэффициент пропорциональности µ0=12,6·10 Гн/м, называется магнитной постоянной вакуума. Тело намагнитится. Для характеристики этого состояния тела введем следующие величины: M – магнитный момент тела. Эта характеристика намагниченного тела возникла в результате последовательного проведения идеи о тесной связи электрических и магнитных явлений: каждый замкнутый ток характеризуется магнитным моментом, пропорциональным произведению величины тока, идущего по контуру, на площадь контура. Очевидно, если предполагать, следуя Амперу, что магнетизм создается “молекулярными токами”, то магнитный момент тела равен сумме (геометрической) моментов всех эквивалент-7

ных токов. Отношение

M = I m характеризует магнитный момент V

единицы объема и называется намагниченностью тела. Намагниченное тело окружено своим собственным магнитным полем, его будем характеризовать величиной Bi.Определим магнитную восприимчивость вещества при помощи отношения

ℵ=

Im , B0

где В0 – индукция внеш-

него магнитного поля (в вакууме). Из приведенных соотношений можно получить следующую формулу для намагниченности тела:

I m = ℵB0 = ℵµ 0 H .

(5.1.2)

Характер намагничения определяется не только напряженностью внешнего магнитного поля, но и характеристикой вещества, его магнитной восприимчивостью. В зависимости от величины и знака ℵ все вещества так разделяются по указанным выше трем группам: 1) если ℵ величина малая (~10-5) и отрицательна, то вещества с такими ℵ называются диамагнетиками; 2) если ℵ больше нуля, но также малая величина, то соответствующие

203

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

вещества относятся к парамагнетикам. И диа-, и парамагнитные вещества относятся к слабо магнитным веществам; 3) если ℵ положительное и очень большое число (~102-103), то вещества с таким ℵ называются ферромагнетиками. Такие тела относятся к сильномагнитным материалам. У диамагнетиков магнитная восприимчивость не зависит ни от температуры, ни от напряженности внешнего магнитного поля. У пара- и ферромагнетиков ℵ является функцией температуры и внешнего поля. Изобразим графически зависимость намагничения веществ от внешнего магнитного поля (рис.87). Для диамагнетиков ℵ<0, поэтому намагничение диамагнетиков происходит в направлении, противоположном внешнему полю. Рис. 87. В силу линейной зависимости намагничения от внешнего поля (см. формулу (5.1.2)), график будет являться прямой линией, расположенной под осью абсцисс. У парамагнетиков намагничивание пропорционально внешнему полю (в области малых значений этого поля). График намагничивания парамагнетиков изобразится отрезком прямой, расположенной над осью абсцисс. Магнитная восприимчивость парамагнетиков изменяется в зависимости от температуры по закону Кюри:

ℵ=

С . Следовательно, при повышении температуры ℵ будет Т

уменьшаться. В сильном внешнем магнитном поле парамагнетик приобретает состояние магнитного насыщения. Кривая будет ассимптотично приближаться к некоторому значению I max. Для характеристики состояния намагничивания вводится величина индукции внутреннего магнитного поля B i. Расчеты показывают, что числовое значение B i совпадает с числовым значением намагничивания I m. Результирующая индукция внутри намагниченного тела будет складываться из индукции внешнего поля и индукции внутреннего поля: B= B0+ Bi. Преобразуем это выражение, используя формулы (5.1.1) и (5.1.2). 204

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

B = µ 0 H + I m = µ 0 H + ℵµ 0 H = (1 + ℵ)µ 0 H . Введем обозначение

(5.1.3)

1 + ℵ = µ r и назовем эту величину магнит-

ной проницаемостью данного тела. Табл. 7

Эта величина позволяет дать другой критерий деления магнитных веществ: для диамагнетиков µr<1, для парамагнетиков µr>1, для ферромагнетиков µr>>1 (см. табл.VII). К ферромагнитным веществам относится группа веществ, у которых µr (или ℵ) имеет сложную зависимость от напряженности внешнего поля Н и от температуры Т. Графически зависимость ℵ от Н для таких веществ изображена на рис.88. Используя этот график, можно понять ход намагничения ферромагнетиков. Благодаря возРис. 88. растанию Н и ℵ (при малых значениях Н), кривая намагничения растет с увеличением Н. Это продолжается до

205

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

значения НА, затем, в силу конкуренции двух процессов (см. формулу (5.1.2)), намагничение перестает изменяться, принимая значение I max , равное техническому насыщению (рис.89). Построим график зависимости результирующей индукции В от величины внешнего поля Н (рис.90). Такой ход кривой следует из формулы (5.1.3):

B = µ 0 H + ℵµ 0 H . При больших Н в силу малости ℵ величина индукции будет увеличиваться лишь за счет возрастания Н (второй член формулы практически не будет давать вклада). Если рассмотреть более детально кривую намагничивания ферромагнетика, то на участке наиболее быстрого намагничивания обнаруживается ступенчатый ход кривой (рис. 91). Этот эффект называется эффектом Баркгаузена. Он является проявлением квантовой природы ферромагнетизма и будет объяснен ниже. При нагревании ферромагнетика он превращается в парамагнетик. Соответствующая температура Θк называется ферромагнитной температурой Кюри (для Fe Θк=7700C, для Ni Θк=3600C, для пермаллоя Θк=700С). В парамагнит-

Рис.89.

Рис.90.

Рис.91. 206

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ном состоянии магнитная восприимчивость ферромагнетиков при изменении температуры подчиняется закону Кюри-Вейса:

ℵ=

С , где Θ -парамагТ −Θ

нитная температура Кюри. Ее положение относительно ферромагнитной температуры Кюри Θк видно из рис.92. У ферромагнетиков обнаружена зависимость величины намагничения от направления внешнего поля по отношению к кристаллографическим осям. Найдены направления легкого и трудного намагничения. Например, у железа направления легкого намагничения Рис.92. является направление [100] (см.гл.2, §2). Обнаружено, что при намагничении ферромагнетиков происходит изменение их формы и размеров. Это так называемая магнитострикция. Если вещество при намагничении сжимается, то, оказывая на него давление в направлении этого сжатия, мы будем облегчать его намагничение и наоборот. Обратный эффект называется магнито-упругим эффектом. Эти свойства используются в приборах, регистрирующих деформации ферромагнитных веществ. У диа- и парамагнитных тел при нагревании происходит обычное расширение, которое, как было показано ранее, определяется ангармоничностью колебаний (гл.2, §§5, 6). У ферромагнетиков же при нагревании может наблюдаться как расширение, так и сжатие. Это объясняется тем, что помимо обычного ангармоничного расширения, у ферромагнетиков наблюдается специфический термострикционный эффект. Некоторые ферромагнетики в результате этого дополнительного эффекта при нагревании не только не расширяются, но даже сжимаются. Результирующий коэффициент объемного расширения αрез определяется по формуле: αрез= αанг+ αтерм. Если α термострикционный αтерм<0, то возможны два случая: 1) αрез>0 при αанг> αтерм; 2) αрез<0 при αанг< αтерм. 207

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

У ферромагнетиков наблюдается сложное явление при перемагничивании. Обнаруживается отставание изменения намагничения от изменений внешнего поля. Это явление получило название магнитного гистерезиса. Графически процесс перемагничения изображен на рис. 93. Площадь петли гистерезиса численно равна энергии, затрачиваемой при одном цикле перемагничения 1 м3 ферромагнетика. По форме и площади петли гистерезиса ферромагнетики делятся на “мягкие” (узкая петля, малая коэрцитивная сила) и “жесткие” (широкая петля, и большая коэрцитивная сила). Очевидно, что мягкие ферромагнетики целесообразно использовать в конструкциях (например, в сердечниках Рис. 93. трансформаторов), где они подвергаются периодическому перемагничиванию. Жесткие ферромагнетики находят применение при изготовлении постоянных магнитов.

§2. Общая теория магнетизма Для полного объяснения природы магнетизма одной гипотезы “молекулярных” токов Ампера, конечно, недостаточно. И все же многие стороны этого явления она позволяет понять, если истолковать ее в свете современных представлений о строении атома, дополнить открытым уже в ХХ в. сложным движением электронов: их орбитальным и спиновым движением (гл.1). В последующих рассуждениях будем использовать полуклассическую модель атома Н.Бора, считая, что электрон движется вокруг ядра по замкнутым орбитам. Каждому виду движения электрона (и орбитальному, и спиновому) помимо механической характеристики – механического момента, - будем сопоставлять магнитную характеристику –магнитный момент (гл. 1, §7). Если пренебречь магнитным моментом ядра, который для рассматриваемого явления не играет роли, то суммарный магнитный момент атома складывается из суммарного орбитального и суммарного спинового моментов всех электронов атома. Сложение производится 208

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

с учетом квантовых свойств этих движений электронов. Если результирующий магнитный момент атома окажется равным нулю, то тело, состоящее из таких атомов, будет являться диамагнетиком. Если результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, то тела, состоящие из таких атомов, будут проявлять в зависимости от характера взаимодействия магнитных моментов или парамагнитные, или ферромагнитные свойства. В особых случаях взаимодействия нескомпенсированных магнитных моментов атомов образуются магнитные вещества, называемые антиферромагнетиками и ферримагнетиками. Объясним существование указанных выше всех групп магнитных веществ.

§3. Природа диамагнетизма Как уже было отмечено выше, к диамагнитным веществам относятся такие вещества, атомы которых имеют нулевой результирующий магнитный момент. Но посмотрим, что происходит с орбитальным движением электронов, когда вещество помещается во внешнее магнитное поле. Совершая вращательное движение вокруг ядра, электрон находится под действием кулоновской силы, являющейся центростремительной силой: Fц .с.

= mω 02 r , где m – масса электрона, r – радиус его орбиты, ω0 –

угловая скорость. При включении внешнего магнитного поля (рассмотрим наиболее простой случай, когда плоскость электронной орбиты перпендикулярна этому полю (рис.94)) в момент его нарастания возникает вихревое электрическое поле, которое вызовет увеличение частоты обращения электрона вокруг ядра. Со стороны установившегося магнитного поля на электрон будет действовать дополнительная сила, называемая силой Лоренца:

Fл = eV0 µ 0 H . Используя правило левой руки (с учетом знака заРис.94. 209

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ряда электрона), убеждаемся, что эта сила направлена по радиусу орбиты к ядру (рис.94). Результирующая центростремительная сила в новом состоянии электрона будет равна mω 2 r = mω 02 r + eω 0 rµ 0 H . Полагая, что о

щ ≈ щ0 , после простых преобразований получим ω − ω 0 =

е µ 0 H или 2m

е µ0 H . 2m Добавочная частота ∆ω (так называемая Ларморова угловая

ω = ω 0 + ∆ω , где ∆ω =

частота) приведет к увеличению частоты обращения электрона вокруг ядра и соответственно к увеличению орбитального электронного тока. Это будет соответствовать одновременному увеличению орбитального магнитного момента электрона, направление которого можно определить по правилу буравчика (с учетом знака заряда электрона): магнитный момент электрона будет направлен против направления внешнего магнитного поля. В более сложном расположении внешнего поля по отношению к плоскости орбиты все предыдущие рассуждения принципиально сохраняются, дополняясь новым явлением: перемещением плоскости орбиты вокруг направления внешнего магнитного поля (прецессией орбиты). Таким образом, индуцированный внешним магнитным полем дополнительный магнитный момент электронов, пропорциональный этому полю, направлен противоположно этому полю, ослабляя его (рис.94). Рассмотренный эффект присущ электронам всех веществ, т.е. диамагнетизм является общим свойством, но у пара- и ферромагнетиков он перекрывается другими явлениями. Следует отметить, что диамагнитный эффект возникает в соответствии с законом Ленца, позволяющим определить направление индукционного тока и его магнитного поля. Под индукционным током в рассмотренном явлении нужно понимать тот добавочный орбитальный электронный ток, который возникает благодаря изменению частоты электрона на величину

∆ω .

§4. Диамагнитные свойства электронного газа Известно, что диамагнетизмом обладают атомы всех веществ (см.гл.5, §3), но в ряде случаев, особенно если результирующий маг210

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

нитный момент атома отличен от нуля, преобладают другие магнитные эффекты – пара- или ферромагнетизм. Диамагнетизм является проявлением закона сохранения и превращения энергии, так как диамагнитный эффект есть не что иное, как суммарное макроскопическое проявление явления электромагнитной индукции, возникающее при изменении орбитального движения электронов атомов, помещенных во внешнее магнитное поле. Направление индуцированного магнитного момента определяется по правилу Ленца. Дадим элементарный вывод формулы магнитной восприимчивости диамагнетиков (на уровне полуклассической теории Н. Бора). Электроны атома, двигаясь вокруг ядра, создают элементарные круговые токи I = −eν , где ( − e ) - заряд электрона, ν - частота обращения его вокруг ядра, причем н =

V . 2рr

Круговой ток обладает магнитным моментом:

µ = µ o IS , где µ o - магнитная постоянная вакуума, S - площадь кругового L

тока. Составим магнитный момент электрона в его орбитальном движении:

µ где

L

= −µ

eνS = −µoe o

L = mVr

Отношение

Vπr 2 eVr µ oeL = −µ =− , o 2πr 2 2m

(5.4.1)

- орбитальный механический момент электрона.

µL L

=

eµ o 2m

называется гиромагнитным отношением.

Оно позволило однозначно установить, что электрический ток в металле обусловлен электронами (опыт Эйнштейна - де Гааза, в 1916г.), это же отношение стало критерием того, орбитальное или собственное (внутреннее) движение обуславливает парамагнетизм свободных электронов – парамагнетизм Паули (см.гл.5, §6). При внесении атома во внешнее магнитное поле на электрон начнет действовать дополнительное вихревое электрическое поле, ко211

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

торое изменит количество движения электрона. Как известно из механики, скорость изменения момента количества движения равна моменту внешней силы. В нашей задаче этот закон запишется так: − eE инд r =

∆L ∆t

,

(5.4.2)

где E инд - напряженность вихревого электрического поля. Для работы вихревого электрического поля за время одного оборота можно написать следующее выражение:

E 2π r = инд

∆B ∆t

S,

(5.4.3)

где ∆t - время изменения поля. Объединяя формулы (5.4.2) и (5.4.3), получаем: ∆L =

1 2 er ∆B. 2

(5.4.4)

Используя формулы (5.4.1) и (5.4.4), можно рассчитать добавочный орбитальный магнитный момент электрона:

µ oe µo e2 2 ∆µ = − ∆L = − r ∆B. 2m 4m

(5.4.5)

L

Если в атоме имеется Z электронов, то индуцированный момент всего атома равен:

a

=−

__

µoe2 µ e2 2 ∆B Σ r 2 = − o a Z ∆B , i =1 i 4m 4m Z

∆M

(5.4.6)

____

n

где a 2 - средний квадрат радиуса электронных орбит атома. Для атомов, находящихся в единице объёма, магнитный момент равен:

212

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

__

µ e2 a 2 ∆I = − o Zn ∆ B m 4m

(5.4.7)

Следовательно, диамагнитная восприимчивость ℵ, определяемая равенством ℵ =

∆I ∆B

ℵ = −

, равна: __ 2

µ oe a nZ 4m 2

.

(5.4.8)

Из (5.4.8) видно, что ℵ не зависит от температуры. Знак «–» указывает, что индуцированное диамагнитное намагничивание происходит против внешнего поля. В металлах и полупроводниках наряду с диамагнетизмом атомов (ионов) существует диамагнетизм свободных электронов, так называемый диамагнетизм Ландау. Этот диамагнетизм обычно перекрывается в несколько раз большим спиновым парамагнетизмом тех же свободных электронов (см. ниже). Он возникает в результате искривления траектории свободных электронов во внешнем магнитном поле, заставляющем их двигаться по винтовой линии с осью вдоль поля.

§5. Природа парамагнетизма Рассмотрим упрощенную классическую теорию парамагнетизма – явления намагничения веществ, у которых результирующий магнитный момент атомов имеет отличное от нуля постоянное значение. Каждый атом представляет собой магнитный диполь, который во внешнем магнитном поле будет ориентироваться вдоль направления этого поля, подобно тому, как ориентируются вдоль поля магнитные стрелки. Это энергетически выгодно, так как уменьшает общий запас энергии взаимодействующих тел. Однако, тепловое движение атомов будет нарушать полную ориентацию магнитных диполей. Расчеты французского физика П.Ланжевена показали, что при малых полях и в области комнатной температуры намагничение парамагнетиков пропорционально напряженности поля и обратно пропорционально абсолютной температуре (закон Кюри). В очень сильных полях или в области 213

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

низких температур намагничение парамагнетика стремится к насыщению, достигая максимального значения в силу малости дезориентирующего действия теплового движения (рис.87). Квантовая теория, приводя к тем же результатам, учитывает, что возможны лишь дискретные ориентации магнитных моментов атомов во внешнем поле. Как классический, так и квантовый подход проводится без учета взаимодействия магнитных моментов между собой. Очевидно, в силу совпадения данных теории и эксперимента, такой подход оправдан для парамагнитных веществ. Если же учесть это взаимодействие, то расчеты приводят к совершенно новым результатам. Об этом будет идти речь ниже в §8. Рассмотрим так называемый парамагнетизм щелочных металлов. Оказалось, что их парамагнетизм не зависит от температуры. Дадим качественное объяснение этому факту, используя зонную модель металла (см. также §6). В зоне проводимости щелочного металла на каждом уровне, согласно принципу Паули, может находиться по два электрона с противоположными спинами. При включении внешнего магнитного поля энергия электронов, спиновый магнитный момент которых параллелен полю, уменьшится на величину

µ Б Н , где мБ =

м0еh - магнетон Бора. Энергия 4рm

же электронов с противоположной ориентацией спинового магнитного момента увеличится на ту же величину. В силу энергетической выгодности электроны будут переходить в состояние с параллельной внешнему полю ориентацией спинового магнитного момента. В результате возникнет нескомпенсированный магнитный момент, так как число электронов, спиновые магнитные моменты которых ориентированы противоположно, теперь уже не одинаково. Это явление называется парамагнетизмом свободных электронов.

§6. Парамагнетизм свободных электронов Эксперимент и теория указывает, что парамагнетизм атомов (и по классической и квантовой теориям) зависит от температуры. Он связан с ориентацией суммарного орбитального момента атомов вдоль поля, чему постоянно мешает тепловое движение структурных частиц решетки. Изучение магнитных свойств щелочных металлов, однако, показало, что их магнитный момент не зависит от температуры. Эту проблему разрешил В. Паули, по этой причине парамагнетизм щелочных металлов получил название парамагнетизма Паули. 214

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Паули показал, что аномалия в магнитных свойствах щелочных металлов обусловлена не орбитальными магнитными моментами электронов в атомах, а спиновыми магнитными моментами валентных электронов, которые в щелочных металлах слабо связаны с ионными остовами и образуют в кристаллической решетке свободный электронный газ. Построим теорию парамагнетизма Паули. Каждый электрон обладает собственным спиновым магнитным моментом, который может ориентироваться внешним магнитным полем. Однако, полной ориентации будет препятствовать тепловое движение. Согласно квантовомеханическим представлениям спиновый магнитный момент может иметь во внешнем поле лишь две ориентации: по полю и против поля. Используя распределение Больцмана, можно составить выражение для вероятности ориентации магнитного момента по полю:

W↑↑ = C exp

мБ Hмо , kT

(5.6.1)

где − µ Б Н = ∆Ε - энергия электрона во внешнем поле, W ↑↑ - вероятность ориентации магнитного момента по полю:

µБ =

ehµ0 2m

(5.6.2)

магнитон Бора – магнитный момент свободного электрона. Вероятность ориентации магнитного момента электрона против поля равна:

W↑↓

µ Hµ − Б о kT . = C ⋅е

(5.6.3)

Согласно теореме сложения вероятностей полная вероятность какой-либо ориентации магнитного момента относительно направления поля равна:

W = W↑↑ +W↑↓.

(5.6.4)

Пусть в единице объема имеется ∆N электронов. Тогда число электронов с ориентацией магнитного момента по полю равна:

215

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∆N

↑↑

W↑↑ . W↑↑ +W↑↓

= ∆N

(5.6.5)

Аналогично число электронов с магнитными моментами, ориентированными против поля, определится формулой:

∆N

↑↓

= ∆N

W↑↓ . W↑↑ +W↑↓

(5.6.6)

Результирующий магнитный момент, создаваемый свободными электронами, находящимися в единице объёма, получим, объединяя формулы (5.6.4 – 5.6.6):

I = µБ (∆N↑↑ − ∆N↑↓ ) = µ Б ∆N

W↑↑ −W↑↓ . W↑↑ +W↑↓

(5.6.7)

Рассмотрим случай высоких температур или слабых магнитных полей, при этом выполняется условие:

µ Б µо H << 1. kT Воспользуемся разложением экспонент в ряд Тейлора и ограничимся двумя первыми членами разложения:

I = µ ∆N Б

µ Б Hµо . кT

(5.6.8)

Согласно свойствам распределения Ферми-Дирака (см. гл.1, §13) лишь малая доля всех электронов может участвовать в физических процессах, в том числе и в создании парамагнетизма Паули. Известно, что ∆N =

N⋅

кT

µф

,

где N – полная концентрация электронов,

(5.6.9)

µф - энергия Ферми. 216

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Таким образом, из выражений (5.6.8) и (5.6.9) получаем:

I=

Nµ Б2 Hµ о , µф

(5.6.10)

то есть, действительно, намагничение свободных электронов не зависит от температуры.

§7. Парамагнетизм атомов В §6 мы рассмотрели природу парамагнетизма свободных электронов. Практически все рассуждения, приведенные для таких электронов, вплоть до формулы (5.6.7) справедливы и для электронов, находящихся в оболочках парамагнитных атомов (напомним, что парамагнитные атомы содержат нечетное число электронов на внешней оболочке с валентными электронами, в результате чего атомы в отсутствии внешнего магнитного поля обладают постоянным магнитным моментом). Используя (5.6.5), (5.6.6) и (5.6.7), можно записать: µ Б µо H

I = µ ∆N

kT

e

−e

µ Б µо H

Б

e

kT

+e

−

µ Б µо H

−

µ Б µо H .

kT (5.7.1)

kT

Введём обозначение:

Рис.95. 217

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

µ Б µо H kT

= х,

e x −e− x e x +e− x

тогда величина

есть не что иное, как гиперболический

тангенс. Формула (5.7.1) принимает вид:

I = µ ∆Nthх = I maxthx ,

(5.7.2)

Б

где

I max - максимально возможный момент системы, когда все

атомные магнитные моменты ориентированы по полю и наступает магнитное насыщение. Это осуществляется или при низких температурах или в очень сильном магнитном поле, когда выполняется условие:

µ Б µо H

>> 1.

kT

При обычных условиях

µ Б µо H kT

<< 1 и выражение (5.7.1) мож-

но упростить, раскладывая экспоненты в ряд Тейлора: ∆Nµ Б µ о H 2

I=

kT

.

(5.7.3)

Откуда коэффициент намагничивания ℵ равен: ℵ=

2 ∆Nµ Б

kT

.

(5.7.4)

Из выражения (5.7.4) следует, что магнитная восприимчивость парамагнетика обратно пропорционально абсолютной температуре. Это утверждение носит название закона Кюри для парамагнетиков. Рассмотренная нами теория парамагнетизма построена П. Ланжевеном. Будучи классической, теория Ланжевена не учитывает квантование ориентаций магнитных моментов атомов. Это сделано квантовой теорией парамагнетизма, которая более точно, чем классическая, совпадает с экспериментом. 218

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Поскольку парамагнетизм атомов связан с температурой кристалла, то размагничивая вещество без притока энергии извне, мы заставим парамагнитные атомы заимствовать энергию у решетки, что приведет к охлаждению образца. Путём этого метода адиабатического размагничивания парамагнетиков удалось достигнуть температуры порядка 0.001 K.

§8. Природа ферромагнетизма Антиферромагнетизм. Ферриты Если проанализировать структуру электронных оболочек ферромагнитных веществ, то можно заметить очень важную их особенность: у всех ферромагнетиков полностью заполнена внешняя электронная оболочка, но недостроены внутренние электронные оболочки. У переходных металлов группы железа недостроена 3d-оболочка, у редкоземельных элементов недостроена 4f-оболочка. Магнитные моменты заполненных электронных оболочек равны нулю в силу четного числа электронов в них. Каждая пара электронов из-за антипараллельности спинов, и, следовательно, магнитных моментов, дает нулевой вклад в общий магнитный момент оболочки. Напрашивается вывод, что ферромагнетизм обусловлен магнитными моментами электронов незаполненных оболочек. Для решения вопроса о том, играет ли при этом роль орбитальный или спиновый момент, были поставлены оригинальные по своей идее опыты. Рассмотрим три таких опыта. Так как с магнитным моментом всегда связывается механический момент, то в состоянии размагниченности результирующий механический момент тела также равен нулю. А.Эйнштейн и де Гааз произвели опыт по намагничению ферромагнитного цилиндра, подвешенного на тонкой упругой нити. Возникновение магнитного момента сопровождалось поворотом цилиндра (магнитомеханический эффект). Барнет произвел обратный опыт: он намагничивал железный цилиндр при быстром его нагреве выше температуры Кюри. Цилиндр, как и должно быть, приходил во вращение. Все эти опыты, будучи проанализированы количественно (гл.1, §7, гиромагнитное число), давали один и тот же вывод: за явление ферромагнетизма ответственен не орбитальный, а спиновый магнитный момент электрона. Природа ферромагнетизма еще не расшифрована до конца и в наше время. Но применение квантовой механики позволило понять многие его закономерности. Не все химические элементы с недостроенными оболочками об219

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ладают ферромагнитными свойствами. Расчеты Я.И.Френкеля показали, что необходимо еще наличие так называемого обменного взаимодействия между электронами недостроенных оболочек соседних атомов. При определенных условиях выгодным оказывается или параллельная или антипараллельная ориентация спинов электронов, участвующих в обмене. В первом случае параллельное расположение спинов способствует самопроизвольному намагничению, т.е. возникновению ферромагнетизма. Во втором случае возникает явление, получившее название антиферромагнетизма. Почему же ферромагнетик в обычном состоянии немагнитен, несмотря на свойство самопроизвольного намагничения? Оказалось, что все ферромагнитное тело состоит из чрезвычайно малых областей размером в несколько микрон, намагниченных до полного насыщения. Это так называемые домены Вейса, теоретически существование которых объяснили Л.Ландау и Е.Лифшиц. Каждый домен подобен постоянному магниту. В силу энергетической выгодности домены образуют замкнутые магнитные цепи (рис.96). Это было обнаружено экспериментально. Такое состояние ферромагнетика до внесения его во внешнее магнитное поле позволяет понять рост намагничения при включении и возрастании этого поля (большая доля доменов ориентируется по направлению внешнего поля), и эффект Баркгаузена – ступенчатость роста намагничения (рис.91) (домены возникают преимущественно по направлению легкого намагничения, разворот доменов Рис.96. по направлению внешнего поля имеет чисто квантовый характер и поэтому происходит прерывно). Когда максимальное число доменов сориентируется вдоль поля, наступает момент магнитного насыщения. Процесс намагничения ферромагнетика делится на три стадии: 1) процесс смещения границ доменов (рис. 97б.); 2) процесс вращения вектора намагничения (рис.97в.); 3) парапроцесс. Рис.97.

220

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

То, что присходит в первые две стадии, ясно из рис.97. На первой стадии увеличивается объем домена 1 за счет смещения его границ, направление намагничения этого домена наиболее близко к направлению внешнего поля; на второй стадии происходит поворот вектора намагничения к направлению внешнего поля. Процесс смещения происходит не плавно, а скачкобразно, т.к. величина и направление домена не может изменяться непрерывно (эффект Баркгаузена). На второй стадии намагничение растет медленнее, чем на первой, т.к. оно происходит исключительно за счет поворота вектора намагничения. В конце этого процесса достигается техническое насыщение. Однако, дальнейшее увеличение напряженности внешнего магнитного поля все же приводит к малому увеличению намагничения. Это объясняеся тем, что из-за теплового движения в состоянии насыщения не все магнитные моменты были ориентированы по полю. Этот этап намагничения называется парапроцессом. Ферромагнитное состояние возникает, если спиновые магнитные моменты взаимодействующих электронов орентируются параллельно друг дугу (рис.98б.) Если же эти моменты ориентируются антипараллельно, то вещество при абсолютном нуле температуры совершенно немагнитно из-за компенсации магнитных полей в парных взаимодействиях. При нагревании такая ориентация спинов нарушается и некоторые пары приобретают параллельную ориентацию спинов, появляется намагничение вещества. Рис.98. 221

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Это происходит вплоть до некоторой температуры – температуры Нееля или антиферромагнитной температуры Кюри (рис.98в.). Выше этой температуры вещество проявляет обычные парамагнитные свойства. Рассмотренное состояние вещества называют состоянием антиферромагнетизма. Антиферромагнетики (например, MnO ) так же, как и ферромагнетики, обладают доменной структурой и испытывают явление гистерезиса при перемагничении. Особый случай антиферромагнетиков представляют собой так называемые ферримагнетики или ферриты (рис.98г.). К ним относятся вещества, в соседних узлах решетки которых находятся разнородные по своим магнитным свойствам атомы. В результате обменного взаимодействия полной компенсации магнитных моментов не происходит. Это явление и называется ферримагнетизмом, а соответствующие вещества ферритами. К ним относятся: магнитный железняк то

FeO ⋅ Fe 2 O 3

Me может быть один в: Mg , Ni, Co, Mn, Cu, Zn и т.д.

из

или

сMeO ⋅ Fe 2 O3 , где вмес-

следующих

элементо-

Ферриты нашли широкое применение в электро- и радиотехнике благодаря сочетанию очень хороших магнитных свойств широкого диапазона и большого электрического сопротивления. Из ферритов изготавливают, в частности, стержни магнитных антенн, сердечники высокочастотных трансформаторов и т.д. (см. Прил. 16).

§9. Поляризация диэлектриков Большая группа веществ, которые являются плохими проводниками электрического тока, была названа Фарадеем диэлектриками. Рассмотрим поведение диэлектриков, когда они вносятся во внешнее электрическое поле. Совокупность процессов, происходящих в диэлектрике при помещении его во внешнее электрическое поле, получило название поляризации диэлектриков. Для объяснения происходящих при этом явлений необходимо исходить из сложного строения атомов (гл.1). Электроны совершают в атомах сложное движение вокруг ядер. Обладая отрицательным электрическим зарядом, они окружены как электрическим, а благодаря спин-орбитальному движению и магнитным полями. Электрическое поле электронов атомов на расстояниях, во много раз превышающих размеры атомов, тождественно с полем некоторого заряда, которым можно заменить всю совокупность движущихся электронов. 222

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Так как атом нейтрален, то величина эквивалентного заряда должна быть равна суммарному заряду всех электронов атома. Местоположение эквивалентного заряда внутри атома должно быть таким, чтобы его поле было равноценным полю всех электронов. Это место является центром масс всей системы электронов атома. Если оно не совпадает с местом нахождения ядра атома, то, хотя система электрических зарядов будет нейтральной (заряд ядра = заряду электронов оболочки), она будет обладать электрическим моментом, подобно электрическому диполю из двух равных, но разноименных зарядов, расположенных на малом расстоянии друг от друга. Определим величину электрического момента равенством: (5.9.1) p = ql, где q – абсолютная величина одного из зарядов диполя, l- расстояние между зарядами. Электрический момент – вектор, он условно направлен от отрицательного заряда к положительному. Если в молекуле при образовании связей происходит смещение электронов в сторону одного атома, то такая молекула подобно рассмотренному выше атому будет эквивалентна некоторому диполю и будет обладать электрическим моментом. Такую молекулу называют полярной молекулой. Существуют атомы и молекулы с равным нулю электрическим моментом. В этом случае у атомов заряд, эквивалентный электронной оболочке, совпадает по своему местонахождению с положением ядра. В этом случае говорят о сферической симметрии электронной оболочки атома. У молекулы электрический момент будет равен нулю при симметричном распределении обменных электронов между взаимодействующими атомами. Молекулы с p = 0 называются неполярными молекулами. Рассмотрим поляризацию вещества, состоящего из неполярных молекул. Разноименные электрические заряды этих молекул в результате воздействия на них электрического поля, сместятся в противоположные направления: положительно заряженные ядра – по полю, электроны – против поля. Молекула (атом) приобретает индуцированный (его называют упругим) электрический момент, величина которого пропорциональна внешнему полю:

r r pинд = ε 0 βЕ ,

где ε 0 = 8,8 ⋅10

−12

(5.9.2)

Ф - диэлектрическая постоянная, β - коэфм 223

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

фициент поляризуемости молекулы (атома). Из формулы (5.9.2) видно, что направление

r pинд

совпадает с

r направлением внешнего поля Е . При выключении поля упругая поляризация исчезает. В зависимости от доли участия в рассмотренном процессе различных частиц, упругая (индукционная) поляризация слагается из электронной, атомной и ионной частей (см. также гл.2,§3). Изучение явления поляризации позволяет глубже понять природу связей между структурными частицами кристаллической решетки. Электронная поляризация осуществляется за счет смещения электронов относительно ядер. Она устанавливается за чрезвычайно малое время порядка 10 −14 − 10 −15 с после включения поля. Этот вид поляризации возникает во всех диэлектриках. Атомная поляризация сопровождается смещением во внешнем поле электронов, участвующих в создании ковалентной связи. В результате этого происходит перераспределение зарядов в молекуле, один из атомов, принимая смещенные электроны, будет иметь отрицательный эффективный заряд, а другой – положительный. Возникший диполь испытывает дополнительную упругую поляризацию под действием внешнего электрического поля. Если решетка состоит из положительно и отрицательно заряженных ионов, то в таком веществе наряду с электронной поляризацией возникает ионная поляризация, обусловленная расхождением ионов друг от друга под действием электрического поля. Ионная поляризация устанавливается за время 10 −12 − 10 −13 с. При повышении температуры связь ионов ослабевает, и поляризация увеличивается. Действие внешнего электрического поля на полярную молекулу (или атом, имеющий отличный от нуля электрический момент) сводится в основном к ориентации электрического момента молекулы (атома) по направлению внешнего поля. Ориентационная поляризация зависит как от сорта дипольных молекул, величины их электрического момента, так и от температуры тела. При низких температурах и сильных полях происходит почти полная ориентация электрических моментов молекул (атомов) вдоль направления поля, поляризация достигает насыщения. Повышение температуры уменьшает степень ориентации диполей, поляризация уменьшается обратно первой степени температуры (в слабых элект224

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

рических полях) – это так называемый закон Кюри. В создании поляризованного состояния диэлектрика принимают участие и дефекты кристаллической решетки (гл.2, §12). Примесные атомы (ионы) могут испытывать как индукционную, так и ориентационную поляризацию. Некоторые иновалентные примеси могут образовывать с вакансиями решетки дипольные образования. Подобны диполям и комплексы из двух разноименных вакансий – диполоны. Все эти образования могут ориентироваться вдоль внешнего электрического поля. Этому процессу способствует одновременное нагревание диэлектриков. При повышении температуры возможна миграция (движение) заряженных дефектов под действием электрического поля. Это также вызовет поляризацию диэлектрика, так называемую тепловую поляризацию диэлектрика. Учитывая различие диэлектриков и полупроводников с точки зрения зонной теории (гл.3, §4) можно понять, почему не происходит поляризации полупроводников во внешнем постоянном (стационарном) электрическом поле. Однако, полупроводники испытывают поляризацию в высокочастотном электрическом поле. В этом случае свободные носители зарядов (электроны и дырки) не успевают заэкранировать возникающие атомные, ионные или молекулярные диполи. В полупроводниках, находящихся во внешнем высокочастотном электрическом поле, возникают все случаи поляризации вещества: ориентационная, индукционная и тепловая поляризации. Поляризация всех веществ в высокочастотном электрическом поле сопровождается новым явлением по сравнению с поляризацией диэлектриков в постоянном электрическом поле: часть энергии внешнего поля поглощается телом и превращается во внутреннюю энергию релаксирующих (меняющих свою ориентацию из-за изменения направления внешнего поля) диполей. Особенно велико это поглощение энергии при совпадении частоты внешнего поля с частотой собственных колебаний диполей. В этом случае говорят о диэлектрических потерях в веществе, помещенном в высокочастотное внешнее электрическое поле. Из предыдущего ясно, что вещество, состоящее из неполярных молекул, в отсутствии поля не может находиться в поляризованном состоянии. Иначе обстоит дело с веществом, молекулы которого имеют постоянный электрический момент. Только в случае, если суммарный электрический момент всех молекул равен нулю, вещество в обычном состоянии не поляризовано. При поляризации диэлектрика возникает отличный от нуля электрический момент. Для описания такого состояния диэлектрика вво225

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

дится величина, численно равная результирующему электрическому моменту единицы объема диэлектрика – вектор поляризации нию и с учетом формулы (5.9.1), вектор

r Р . По определе-

r Р можно представить так:

r N r Р = ∑ Pi , где i=1,2,3…N, N – число диполей в единице объема. i =1

Для большинства однородных диэлектриков между векторами

r r Р и Е установлена простая связь r r Р = ℵε 0 Е ,

(5.9.3)

где ℵ называется диэлектрической восприимчивостью и является безразмерным числом. Из рисунка 99 видно, что при поляризации диэлектрика на его поверхностях, не параллельных внешнему полю, появляются так называемые связанные заряды: там, где линии напряженности электрического поля входят в диэлектрик, появляются отрицательные заряды, где выходят – положительные. Для описания электрического поля в присутствии вещества вводят вектор электрической индукции согласно равенству

r r r D = ε 0 E + P.

(5.9.4) С другой стороны экспериментально установлена пропорциональность величин r r D = ее 0 E .

r r Dи Е:

Рис.99. (5.9.5)

Объединяя формулы (5.9.3), (5.9.4) и (5.9.5), получаем: е = еr =1+ ℵ. Величину ε

r

= 1+ℵ

называют относительной диэлектрической

проницаемостью. Для всех веществ ℵ>1, следовательно,

ε r > 1 (табл.VIII). Табл. 8

226

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Это означает, что поляризуемость диэлектрика происходит всегда так, что вектор поляризации

r Р ориентируется вдоль внешнего поля

r Е (в однородных диэлектриках). Возникновение связанных зарядов

на поверхности диэлектрика приводит к возникновению внутреннего поля в нем. Из рис.100 видно, что внутреннее поле направлено против внешнего поля. Поэтому результирующее поле внутри диэлектрика ослаблено в

ε r раз.

§10. Поляризационные эффекты в диэлектриках При поляризации некоторых диэлектриков обнаружено интересное явление – электрострикция: поляризованный диэлектрик деформируется. В некоторых диэлектриках возможен внешне обратный эффект, при котором деформированный диэлектрик поляризуется. Это явление называется пьезоэлектрическим эффектом. Последний обнаружен, например, в кварце, сегнетовой соли, метатиРис.100. тане бария и др. Пьезоэлектрический эффект нашел важное применение в регистрирующих устройствах, основной частью которых является пьезоэлемент – это диэлектрический кристалл, зажатый между металлическими обкладками. При деформации кристалла на его поверхностях возникают связанные электрические заряды, в результате чего в соприкасающихся металлических пластинках изменяется электрический потенциал. Если металлические пластинки включить в электрическую цепь, то деформации кристалла можно зарегистрировать. На подобном принципе основана работа пьезоэлектрического микрофона. Вещества, проявляющие пьезоэлектрические свойства, имеют сложную, анизотропную кристаллическую решетку, состоящую из нескольких более простых подрешеток. При деформации происходит 227

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

сдвиг этих подрешеток относительно друг друга, что и сопровождается возникновением отличного от нуля электрического момента, диэлектрик поляризуется. Обнаружено и обратное явление рассмотренному выше пьезоэлектрическому эффекту. Если на металлические обкладки, между которыми зажат пьзокристалл, подать переменное напряжение, кристалл начнет совершать вынужденные механические колебания, которые будут иметь максимальную амплитуду, если частота электрических колебаний совпадает с собственной частотой колебания кристалла. (Эта частота зависит от размеров кристалла, его упругих свойств, но имеет постоянное значение для данного образца кристалла). Разобранное явление нашло применение для возбуждения ультразвуковых колебаний и т.д. Внешне обратный пьезоэлектрический эффект совпадает с явлением электрострикции. Но между ними есть различие как в количественной зависимости от внешнего поля, так и в качественно ином поведении кристаллов при изменении направления внешнего поля. Электрострикция не зависит от направления внешнего поля и возникает во всех диэлектриках. Пьезоэлектрический эффект присущ отдельным веществам и при изменении направления поля изменяется знак деформации. Некоторые пьезокристаллы могут обладать постоянным электрическим моментом и в отсутствии внешних воздействий. Такие кристаллы называются пироэлектриками. Чтобы проявить свойство таких веществ, их нагревают. В результате на поверхности пироэлектрика появляются связанные заряды. Объясняется пироэлектричество строением пироэлектриков: они состоят из микроскопических областей (доменов), спонтанно поляризованных в результате сильного взаимодействия электрических моментов структурных частиц решетки. При нагревании возникают условия для переориентации доменов вдоль определенного направления. Произвести поляризацию пироэлектрика по другому кристаллографическому направлению нельзя, в этом особенность строения пироэлектрика. Не следует смешивать пироэлектрики с электретами – см. ниже, §11. Пироэлектрическое состояние является энергетически устойчивым. Наблюдается и обратный пироэлектрический эффект – изменение температуры пироэлектрика при внесении его в электрическое поле. К пироэлектрикам относятся турмалин, сегнетова соль и др. Нужно иметь в виду, что ряд кристаллов обладают целым набором электри228

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ческих свойств, и в определенных условиях преимущественным является одно из них. Пироэлектрический эффект используется, например, для обнаружения инфракрасного излучения. С его помощью можно обнаружить изменение температуры кристалла на величину ~ 10 −6 °С. Высокой поляризуемостью обладает и другая группа диэлектриков – сегнетоэлектрики, также имеющая доменное строение. В отличие от пироэлектриков, направление поляризации сегнетоэлектриков можно изменять во внешнем электрическом поле. Изменение направления поляризации по замкнутому циклу обнаруживает явление диэлектрического гистерезиса: отставание состояния поляризации от изменения величины внешнего электрического поля. Из-за подобия в поведении с ферромагнетиками сегнетоэлектрики иногда называют ферроэлектриками. При нагревании свойства сегнетоэлектричества исчезают при определенной для каждого вещества температуре – температуре Кюри (у сегнетоэлектрика метатитаната бария температура Кюри равна 125 °С ). Сегнетоэлектрики обладают огромной диэлектрической постоянной (у сегнетовой соли

ε r = 140 , у титаната бария

ε r = 1200 при T ≈ 300K ), которая изменяется при изменении температуры и величины внешнего электрического поля. Сегнетоэлектрики нашли широкое применение в конденсаторостроении. Большой вклад в изучение этих веществ внесли советские физики И.Курчатов, П.Кобеко, Б.Вул и др.

§11. Электреты Целый ряд искусственно изготовленных и естественных диэлектриков (пчелиный воск, парафин, эбонит, слюда, сера, хлористое серебро и др.) обладают способностью длительное время сохранять наэлектризованное состояние. Такие вещества получили название электретов. Чтобы проявить указанное свойство, электретный диэлектрик подвергают тепловому, световому или радиационному воздействию в очень сильном электрическом поле. После удаления внешнего воздействия и выключения внешнего поля электреты остаются поляризован-

229

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ными в течение нескольких дней, месяцев и даже лет. Их особое состояние является энергетически невыгодным (в отличие от состояния сегнетоэлектриков) и с течением времени исчезает. В последние годы электреты нашли широкое применение в устройствах, где необходимо создать постоянное электрическое поле. В электретных микрофонах и телефонах, вибродатчиках, благодаря колебанию в электрическом поле электрета металлических частей, возникают переменные электрические потенциалы, что вызывает соответствующий импульс тока в электрической цепи. Уменьшая свое поляризованное состояние под действием света или ядерного излучения, электреты способны служить индикаторами этих действий. Свойство электретов менять свою поляризацию под действием света используется в электрофотографии. Объясним возникновение электретного состояния. При внешнем воздействии на электрет увеличивается внутренняя энергия структурных частиц тела. Тепловой нагрев улучшает условия для переориентации дипольных (связанных) зарядов диэлектрика, заряженные примеси получают возможность перемещаться под действием внешнего электрического поля. Кроме того, электрет осуществляет захват зарядов извне. Все это приводит к тому, что электрет оказывается заряженным и, притом, неоднородно. Возможен случай, когда заряды, адсорбированные извне при содействии внешнего поля и связанных поверхностных поляризационных зарядов, по величине окажутся преобладающими и электрет будет неоднородно заряженным зарядом одного знака. При охлаждении электрета неоднородность распределения зарядов окажется замороженной, и вещество некоторое время (дни или годы) будет проявлять электретные свойства. Воспользуемся зонной схемой диэлектрика и объясним возникновение электретного состояния под действием света и сильного внешнего электрического поля (рис.101). В результате поглощения кванта света электрон из валентной зоны переходит в зону проводимости, а оттуда на один из дополнительных уровней примеси в запретной зоне. Причем под действием электрического поля электрон, находясь в зоне проводимости, продиффундирует по направлению против поля. Одновременно произойдет перемещение дырки в противоположном направлении и переход на ее уровень электрона примеси, создавшей локальное состояние в запретной зоне. На противоположных сторонах диэлектрика возникнут нескомпенсированные разноименные электричес230

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

кие заряды. Диэлектрик окажется в поляризованном состоянии и благодаря тому, что примесные уровни в запретной зоне являются локальными, это состояние может сохраниться долго. Диэлектрик придет в электретное состояние. Однако, как в результате нагрева, так и в результате освещения электретное состояние может быть разрушено. Рис.101.

§12. Сопоставление поляризационных и магнитных свойств твердых тел Приводимая ниже таблица IX позволяет обнаружить удивительное сходство поляризационных и магнитных свойств твердых тел. Это, а также симметрия уравнений Максвелла для вакуума, позволило Дираку высказать пока еще экспериментально не подтвержденную идею о существовании, наряду с элементарным электрическим зарядом, элементарного магнитного заряда – монополя Дирака.

231

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Табл. 9 Поляризационные свойства

Магнитные свойства твердых тел Сходство

1. Диэлектрик с неполярными молекулами (атомами) Поляризация во внешнем поле. Снятие поляризации при выключении поля. 2. Диэлектрик с полярными молекулами. Возможность поляризации до насыщения. 3. Ферроэлектрики. Доменное строение. Наблюдается явление диэлектрического гистерезиса. Исчезновение специфического состояния при нагревании выше температуры Кюри. Существуют антиферроэлектрики. Зависимость поляризации от кристаллографических осей (пироэлектрики). Электрострикция и обратный пьезоэффект. Пьезоэлектрический эффект. Пироэлектрики. Сегнетоэлектрики. Электреты

1. Диамагнетики Намагничение во внешнем поле. Снятие намагничения при выключении поля. 2. Парамагнетики. Возможность намагничения до насыщения. 3. Ферромагнетики. Доменное строение. Наблюдается явление магнитного гистерезиса. Исчезновение специфического состояния при нагревании выше температуры Кюри. Существуют антиферромагнетики. Зависимость намагничения от кристаллографических осей. Магнитострикция. Магнитоупругий эффект. Антиферромагнетики (при температуре ниже температуры Кюри ) и ферриты. Постоянные магниты.

Различия. 1. Есть электрические заряды. 2. Диэлектрическая поляризуемость всегда положительная величина. 3. Поляризация устраняется в результате исчезновения связанных зарядов.

1. Нет магнитных зарядов. 2. Магнитная восприимчивость может быть и больше и меньше нуля. 3. Намагничение устраняется,но магнитный момент может оказаться равным нулю только в среднем. Но данные современной науки говорят, что обнаруженное сходство является чисто внешним, так как в основе сопоставляемых процессов лежат разные, хотя и имеющие между собой связь, физические явления.

232

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Глава 6 Квантовые макроскопические эффекты §1. Свойства вещества при сверхнизких температурах В главе 2 мы рассмотрели свойства агрегатных состояний вещества. Было установлено, что при понижении температуры (если она ниже критической) газ можно перевести в жидкое состояние, а дальнейшее охлаждение приводит к отвердеванию вещества. Но чтобы охладить вещество, его нужно привести в равновесное состояние с охлаждающей средой. Долгое время в качестве охлаждающих сред использовали жидкий кислород водород

(Т ж = 20,3К ).

(Т ж = 90,2 К ), азот (Т ж = 77,4 К ),

Для получения этих веществ в жидком состо-

янии использовали методы, связанные с адиабатическим расширением и совершением газом работы (метод Линде, метод Капицы и др.). Значительный прогресс в изучении свойств вещества при низких температурах достигли, когда в 1908 г. Х.Камерлинг-Оннесу удалось сжижить гелий

(Т ж = 4,2 К ).

В предыдущих главах мы рассматривали изменение свойств вещества при низких и сверхнизких температурах: уменьшение омического сопротивления металлов, уменьшение вклада решетки в теплоемкость твердых тел (закон Дебая), относительное увеличение вклада электронов в эту теплоемкость, наличие нулевых колебаний в твердых телах при

Т → ОК , конденсация Бозе-газа, заполнение энергетичес-

ких состояний свободными электронами при Т → ОК (при соблюдении принципа Паули) до некоторой максимальной энергии, называемой энергией Ферми и т.д. И хотя низкие и сверхнизкие температуры «далеки» от комнатных условий, но уже перечисленный выше список физических явлений, наблюдаемых в этих условиях, говорит о важности изучения вещества при таких параметрах температуры как для научных исследований, позволяющих познать свойства вещества, так и для практических целей. Более подробно мы будем говорить об этом далее. 233

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§2. Открытие и свойства низкотемпературной сверхпроводимости. Сверхпроводники 2-го рода Прорыв в рассматриваемой области был сделан тем же Х.Камерлинг-Оннесом, который в 1908 г. сумел превратить в жидкость последнее газообразное на земле вещество – гелий. Камерлинг-Оннес занимался изучением остаточного сопротивления металлов в зависимости от их чистоты (см. рис. 102). Экспериментируя с ртутью (которую методом возгонки можно получить практически чистой), Камерлинг-Оннес в 1911 г. открыл то явление, которое мы называем сверхпроводимостью. В очень узком интервале температуры ~0,01К (в зависимости от чистоты) ртуть теряла свое сопротивление. Была установлена критическая температура для ртути Рис. 102.

Т кр = 4,15К . Оказалось, что лучшие по электрическим параметрам проводники – платина, золото, медь – не являются сверхпроводниками. За почти семидесятилетний период изучения сверхпроводимости были получены сплавы, у которых

Т кр ≈ 23К . *

В 1933 г. было открыто одно из удивительных свойств сверхпроводников – эффект Мейснера: не очень сильное магнитное поле (меньше так называемого

Н кр , при котором сверхпроводимость разруша-

ется) выталкивается из сверхпроводящего образца, то есть сверхпроводники являются идеальными диамагнетиками (см. гл. 5, §3) (Рис.103).

* Установлено, что низкотемпературной сверхпроводимосью обладают 25 химических элементов и более 400 сплавов и химических соединений.

234

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Два проявления низкотемпературной сверхпроводимости – исчезновение сопротивления и эффект Мейснера – главные, одновременно присутствующие (если есть внешнее магнитное поле) признаки этого явления. С точки зрения термодинамики переход проводника в сверхпроводящее состояние является Рис. 103. фазовым переходом. Но, в отличие, например, от процесса кристаллизации, при котором происходит выделение некоторого количества энергии и поэтому фазовый переход называется фазовым переходом 1-го рода, переход в сверхпроводящее состояние не сопровождается выделением энергии. Такой фазовый переход называется фазовым переходом 2-го рода, энергия образца изменяется непрерывно. Однако, теплоемкость металла при переходе в сверхпроводящее состояние изменяется скачком, причем в момент перехода возрастает в 2.5-3 раза (см. рис.104). С другой стороны, если переход в сверхпроводящее состояРис.104. ние происходит во внешнем магнитном поле, то такой переход возможен, если напряженность магнитного поля меньше

Н кр . При этом, для выталкивания магнитного поля из объема

образца потребуется затрата энергии. А это означает, что мы имеем дело не с фазовым переходом 2-го рода, а с фазовым переходом 1-го рода (см. рис.105). Только в т. А мы снова имеем фазовый переход 2-го рода. Приведем некоторые критические величины: (Табл.10).

235

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рис.105. Табл. 10

Вещество

Критическа я Н кр.эрстед темпера тура Ткр.K

Ртуть 4,15 411 Свинец 7,2 803 Аллюминий 1,19 99 Ва на дий магнитное5,3 1370 напряженность Для ориентировки: поле Земли имеет

Н з = 0,5Э, вокруг провода с током в 1 А Н I = 2Э. Так как вокруг проводника с током существует его магнитное поле, то только в том случае, если ток меньше определенной критической величины, данный образец может стать сверхпроводником. Отметим еще раз, что в сверхпроводнике ток течет лишь в тонком поверхностном слое. Только в этом случае будет наблюдаться эффект Мейснера – второй обязательный признак сверхпроводимости. Толщина приповерхностного слоя (а, следовательно, глубина проникновения внешнего магнитного поля представлена в таблице 11. Табл. 11

236

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Вещество

Глубина проникновения A

Олово 510 Аллюминий 500 Свинец 390 Особое состояние сверхпроводимости 1A=10-8 см Ртуть 380-450 названо промежуточным. Представим себе пластину проводника, расположенную перпендикулярно магнитному полю и имеющую сечение, значительно меньше размеров пластины. Магнитное поле не может обогнуть пластину, да и остановиться на поверхности пластины оно не может – магнитных зарядов не существует. В пластине, находящейся в сверхпроводящем состоянии, возникают каналы нормального состояния проводника, в которых магнитное поле сгущается, достигает критического значения и тем самым в этих каналах разрушается сверхпроводящее состояние. Все обсужденные выше свойства принадлежат сверхпроводникам 1-го рода. Но в 1957 г. советский физик А.А Абрикосов предсказал существование сверхпроводников 2-го рода, как правило, соответствующие вещества являются сплавами ( Nb3Ti , V3Ga,

Nb3 Sn и др.). Осо-

бенностью таких сверхпроводников является то, что внутри них среднее магнитное поле не равно нулю. При достижении внешнего магнитного поля величины H кр1 ≤ H кр внутри проводника, находящегося в сверхпроводящем состоянии, возникают токовые вихри. Их магнитное поле внутри «вихревого столба» разрушает сверхпроводимость и только тогда, когда напряженность внешнего магнитного поля достигнет величины H кр2 >> H кр весь проводник теряет сверхпроводящее состояние. Если придать сверхпроводнику форму кольца, то в нем будет циркулировать незатухающий ток. В момент перехода проводника в сверхпроводящее состояние внешнее магнитное поле сосредотачивается внутри выреза кольца. Установлено, что величина захваченного магнитного потока может принимать только определенные значения: 0,1,2 … вели-

237

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

чины

Ф0 = 2,07 ⋅ 10 −15 Вб. Оказалось, что этот квант магнитного потока

Ф0 связан с дру-

гими фундаментальными постоянными:

Ф0 =

рhс , е

где h - постоянная Планка, с – скорость света, е – заряд электрона. Вихри в сверхпроводниках 2-го рода несут ровно один квант магнитного потока. В 1950 г. был открыт «изотоп-эффект»: оказалось, что кристаллическая решетка влияет на сверхпроводимость. Замена элемента на более легкий изотоп поднимает

Т кр , т.е. эта температура зависит от

частоты колебаний структурных частиц решетки. В 1962 г. английский физик Б. Джозефсон предсказал так называемую слабую сверхпроводимость: при контакте двух разнородных сверхпроводников через него самопроизвольно течет сверхпроводящий ток. Если же к контакту приложить постоянное напряжение, то контакт обретет активное сопротивление и индуктивность, причем ток оказывается переменным. При напряжении в несколько милливольт частота тока составляет сотни и тысячи Гигагерц

(1ГГц = 10

9

)

Гц .

Эффект Джозефсона нашел широкое практическое применение. В силу дороговизны получения и удержания сверхнизких температур, сверхпроводимость пока нашла свое применение, в основном, в научных исследованиях, в частности, для получения сверхсильных магнитов для работы в ускорителях элементарных частиц.

§3. Теория низкотемпературной сверхпроводимости Для объяснения явления низкотемпературной сверхпроводимости нам необходимо использовать материал, изложенный в гл.1, §12, 13 и 14 (поэтому читателю целесообразно прочитать указанные параграфы вторично). В обычных проводниках носителями заряда являются электроны. Во многих явлениях электроны ведут себя как классические части238

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

цы. Например, при таком подходе к носителям заряда в проводниках удалось объяснить закон Ома. Однако, квантовая природа электронов все же проявилась в том, что температурная зависимость удельной проводимости, а, значит, и плотности тока объяснима только с учетом того, что электроны – это фермионы, т.е. обладают специфическими квантовыми свойствами. Точно так же, из-за квантовых свойств электронов, их вклад в теплоемкость при комнатных температурах ничтожно мал. Неучастие электронов в создании теплоемкости в металлах – одно из больших затруднений классической электронной теории, разрешить которое смогла лишь квантовая электронная теория. В обычных условиях электроны, будучи одноименно заряженными, отталкиваются друг от друга. Но при понижении температуры проводника в процессе взаимодействия электронов все существенней сказывается присутствие кристаллической решетки, в узлах которой находятся положительно заряженные ионы. В 1957 году американские физики Л.Купер, Дж.Бардвин, и Дж. Шриффер (и одновременно с ними советский физик Н.Н.Боголюбов -–старший) построили квантовую теорию явления сверхпроводимости. Они показали, что благодаря участию кристаллической решетки, между электронами возникает и притяжение: каждый электрон вокруг себя поляризует кристаллическую решетку, возникает своеобразная потенциальная яма, попав в которую другой электрон оказывается связанным с первым электроном. При определенной критической температуре для каждого сверхпроводника кинетической энергии уже оказывается недостаточно, чтобы вырваться из этой специфической потенциальной ямы, образуются так называемые – «куперовские пары» – динамические системы, содержащие по два электрона. Но у системы из двух электронов результирующий спин оказывается целочисленным (в «куперовской паре» спины электронов – это векторные характеристики – направлены противоположно, поэтому спин пары равен нулю). А это означает, что «куперовская пара» по своим свойствам будет относиться к классу бозонов. Но бозоны не подчиняются принципу Паули и могут «собираться» в любом количестве в одном энергетическом состоянии. В этом случае говорят, что происходит «конденсация» бозе-частиц. Естественно, в силу энергетической выгодности все «куперовские пары» «соберутся» на самом нижнем энергетическом уровне (рис.106). Но, обладая наименьшей возможной энергией, «куперовские пары» не будут взаимодействовать ни между собой, ни с кристаллической решет239

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

кой. Действительно, при взаимодействии участники его должны обмениваться энергией и количеством движения. Находясь на нижнем энергетическом уровне, «куперовские пары» не могут отдавать ни энергии, ни количества движения, так как они (энергия и количество движения) у пары минимальные, меньше быть не могут. Не могут «куперовские пары» и принять энергию, если она меньше, чем ∆Е (см. рис.106). Вот и получается, что после охлаждения проводника ниже критической температуры, его электроны (объединенные Рис. 106. в «куперовские пары») перестают взаимодействовать как между собой, так и с кристаллической решеткой. Последний эффект и проявляется как отсутствие сопротивления у проводника (вспомним: физической природой омического сопротивления является обмен энергией между носителями заряда и кристаллической решеткой). Сверхпроводящее состояние, т.е. образование «куперовских пар» и их «конденсация», возможны не во всяком проводнике. Необходимо выполнение некоторых условий, которым должна удовлетворять кристаллическая решетка. Если поднять температуру сверхпроводника так, чтобы средняя энергия теплового движения кТ стала больше, чем ∆Е , то сверхпроводящее состояние исчезает, так как разрушаются все «куперовские пары» и электроны переходят на более высокие энергетические состояния. В теории сверхпроводимости интервал энергии «энергетическая щель».

∆Е носит специфическое название –

§4. Высокотемпературная сверхпроводимость В октябре 1986 г. была опубликована статья двух физиков, работавших в Швейцарии Г.Беднорца и К.Мюллера. Они сообщали, что получили сверхпроводящее вещество с

Т кр ~30К. Через несколько ме-

сяцев результат был улучшен в несколько раз. Основой всех веществ было соединение, содержащее лантан, стронций, медь и кислород

(La − Sr − Cu − O ) , затем появились сведения, что сверхпроводимостью

обладают

и

соединения иттрия,

бария,

меди

и кислорода 240

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

(I − Ba − Cu − O ) при температуре выше температуры кипения жидкогоо азота (77 K ) , затем была достигнута Т кр ~125К и выше. А это действительно уже «комнатные» температуры. Причем, если литр жидкого гелия стоит около 10 руб, то литр жидкого азота всего лишь 4 коп. (по ценам 80-х гг ХХв.). В настоящее время во многих научных лабораториях мира (в том числе, и в нашей стране) идет интенсивное изучение высокотемпературной сверхпроводимости. Трудно переоценить значение этого явления для человечества: известно, что потери на «джоулево тепло» составляют почти 30% от вырабатываемой в мире электроэнергии. Однако, не создана еще теория высокотемпературной сверхпроводимости. А, главное – высокотемпературные сверхпроводники – это керамические соединения. И возникают трудности в изготовлении протяженных гибких проводников…

§5. Сверхтекучесть. Теория явления Сверхтекучесть, как и сверхпроводимость – это чисто квантовые процессы, наблюдаемые макроскопически. Выше уже рассказывалось, что гелий был последним газом, который был сжижен лишь в 1908 г. при температуре 4,2К и нормальном давлении. И это единственное вещество, которое не удалось отвердить при нормальных условиях. В 1938 г. советский физик П.Капица обнаружил у жидкого гелия новое явление – сверхтекучесть: при температуре 2,19К гелий испытывает фазовый переход 2-го рода, что проявляется в его способности вытекать из сосуда через любое малое отверстие без всякого трения. Сверхтекучий гелий – это еще одна квантовая жидкость (первой являются куперовские электронные пары). Поэтому логично объяснить свойства сверхтекучего гелия на той же основе, как и объяснение сверхпроводимости. Атом гелия

2

Не 4 как единая сложная система является бозоном. Дей-

ствительно, в атоме гелия ядро содержит два протона и два нейтрона, а в электронной оболочке - два электрона, всего в атоме шесть частиц и все фермионы. Их суммарный спин будет целочисленным. И все, что мы гово-

241

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

рили выше о «куперовских парах», применимо к отдельным атомам гелия, которые при температуре 2,19К все переходят в нижнее энергетическое состояние, т.е. происходит «конденсация» и наступает сверхтекучее состояние. Только теперь исчезает не взаимодействие с кристаллической решеткой, а со стенками сосуда. Именно поэтому сверхтекучий гелий способен вытечь из сосуда через любое малое отверстие. Мы рассмотрели возникновение сверхтекучести у одного изотопа Не. Но у этого элемента есть и еще один изотоп

3 2

Не, в ядре которого имеется

не два, а один нейтрон. А это означает, что изотоп

3 2

Не, не является бозо-

ном. Однако, эксперимент показывает, что при очень низкой температуре (вблизи абсолютного нуля) и этот изотоп гелия обнаруживает сверхтекучее состояние. Исходя из предыдущего, мы должны предположить, что происходит «куперизация» двух атомов гелия

3 2

Не, и образуется система из двух

атомов, а это уже сложный бозон и все, сказанное выше о «куперовских парах», снова можно повторить. Чтобы не было недоразумения, отметим, что слово «конденсация», которое мы использовали при объяснении сверхпроводимости и сверхтекучести, не имеет никакого отношения к конденсации обычных газов при переходе их из газообразного в жидкое состояние. Именно поэтому слово «конденсация» мы брали в кавычках. Под процессом «конденсация» в рассматриваемой теории понимается лишь переход «куперовских пар» и подобных им систем в одно, самое нижнее энергетическое состояние. Рассмотрим один характерный опыт со сверхтекучим гелием. В сосуд (см. рис.107) со сверхтекучим гелием помещена колба (сосуд Дюара – аналог термоса), в которую встроена нагревательная спираль, благодаря которой можно нагревать жидкий гелий только внутри колбы. Перед открытым отверстием колбы расположено легкое крылышко, отклонение которого при движении жидкости можно наблюдать. При подаче напряжения на спираль крылышко отклоняется, свидетельствуя об истечении гелия из колбы. Но количество гелия в колбе не уменьшается. Это означает, что на смену вышедшему гелию столько же жидкости втекает из большого сосуда. Причем эта входящая в колбу сверхтекучая Рис. 107. 242

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

жидкость не оказывает воздействия на крылышко, т.е. эта жидкость ведет себя так, как положено «сконденсировавшимся» бозонам – атомам гелия при температуре Т ≤ 2,19 К . Нагретая же жидкость становится гелием, находящимся в нормальном состоянии. И только поток этой жидкости несет энергию, которую этот поток может передать крылышку. Пока явление сверхтекучести не нашло практического применения. Вместе с тем ряд явлений, наблюдаемых в состоянии нейтронных звезд (см. гл.2, §1), свидетельствуют, что вещество этих звезд находится в сверхтекучем состоянии (более подробно о свойствах сверхтекучести читатель узнает, познакомившись с указанной в конце книги литературой).

Заключение Наука о строении и свойствах твердых тел – физика твердого тела (ФТТ) – несмотря на свою давнюю историю, испытывает новый подъем. Об интенсивности развития этого раздела физической науки говорит хотя бы тот факт, что примерно треть всех публикуемых по физике работ в той или иной степени связана с ФТТ. Влияя на содержание и темп научно-технической революции, ФТТ оказывает огромное воздействие на другие отрасли естествознания, дает начало новым направлениям в науке, непосредственно связана с мировыми экологическими проблемами. Исключительно велик и общепризнан вклад наших ученых в эту область познания природы. Развитие современной науки и техники требовало как удешевления электронных устройств, так и уменьшения их габаритов. Это вызвало появление микроэлектроники, основной задачей которой является создание высоконадежных, экономичных микроминиатюрных электронных схем и устройств. Решение этих задач привело к разработке качественно новых принципов изготовления электронных схем, к отказу от использования дискретных радиодеталей и к изготовлению микросхем в микрообъемах полупроводникового монокристалла. Такие схемы получили название интегральных схем. В них все детали (транзисторы, диоды, емкости, резисторы) составляют единое целое, изготовленное в едином технологическом процессе. Размеры интегральной схемы порядка 10-6 м, число элементов в ней по243

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

рядка 109 м-3 и более, потребляемая мощность от сотен милливатт до единиц микроватт. Широкое применение нашли гетероструктурные элементы, представляющие собой микрокристалл из двух областей с одним и тем же типом проводимости, но разной шириной запретных зон. Именно за разработку гетеросистем российский физик академик РАН Ж.И. Алферов получил в 2000 году Нобелевскую премию по физике. В процессе изложения материала автор постоянно обращал внимание читателя на огромное число нерешенных задач, на обнаружение у «классических» объектов принципиально новых свойств. Все это свидетельствует, что и новому поколению физиков-исследователей осталась возможность продолжить развитие физической науки и, в том числе, физики твердого тела. Прочитанная читателем данная книга – это только начало большого пути в процессе познания свойств твердого состояния вещества.

Приложения 1. Вывод формулы Резерфорда Задача о рассеянии частицы на силовом центре является главной задачей классической теории рассеяния и имеет строгое решение (так называемая задача Кеплера). В нашем случае отличие одно – потенциальная энергия – положительная величина, так как и центр рассеяния (ядро атома) и рассеиваемая частица (α-частица) имеют одинаковый по знаку заряд. Законы сохранения энергии и момента количества движения запишутся (в по-

244

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

лярных координатах) так:

(

)

M 2 2 Ze 2 r& + r 2ϕ& 2 + = E, и Mr 2ϕ& = P = MpV 2 r

,

где М – масса α-частицы, Е - ее полная энергия. Эти уравнения движения позволяют составить уравнение траектории:

Сtg

ϑ MV 2 p = . 2 Ze 2

Эту формулу непосредственно сопоставить экспериментальным данным невозможно, так как неизвестно прицельное расстояние р. Поэтому применим методы статистики, считая, что р меняется случайным образом. Число α-частиц, имеющих прицельное расстояние в интервале р, р+dp, пропорционально площади кольца

2рpdp .

Из предыдущей формулы находим:

 MV 2  dp. = − 2  ϑ  Ze  4 sin 2 2 dϑ

Тогда можно составить эффективное сечение рассеяния:

dу = n ⋅ 2рpdp, где n – число рассеивающих центров на единице площади металлической фольги. Все dN рассеянных α-частиц отклоняются на угол

ϑ ϑ Рис.1.1.

ϑ и попадут в уг-

ловой интервал dЩ= 2р sin ϑd ϑ . С другой стороны, по определению

dσ =

dN , N

где N – число α-частиц в падающем потоке. Тогда

245

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ϑ Ctg n2р  Ze 2  dN 2 dϑ =   = dу = n ⋅ 2рpdp = − N 4  MV 2  sin 2 ϑ 2  Ze 2  dЩ  . = −nр  2   MV  sin 4 ϑ 2 2

Можно сделать постоянными величины

 Ze 2   , dΩ  2   MV 

n, N и предыдущее вы-

ражение принимает вид:

dN ⋅ sin 4

ϑ = const . 2

Это и есть та формула (Резерфорда), которая хорошо соответствовала эксперименту. Таким образом, Резерфорд подтвердил свою гипотезу, что в атоме есть ядро, в котором заключена основная масса атома. Кроме того, результат опытов Резерфорда подтвердил гипотезу, что закон Кулона справедлив и на расстояниях порядка

10 −13 м.

2.Доказательство того, что электрон нельзя рассматривать как классический шарик, который вращается вокруг своей оси Квантовая механика приписывает элементарным частицам (в том числе и электрону) корпускулярно-волновой дуализм. Но обладать, например, волновыми свойствами, не означает, что электрон является волной. Воспользуемся формулой Н.Бора, которая первоначально рассматривалась как выражение 3-го постулата о квантовании момента количества движения:

mVr = nh. Пусть

n = 1, m = 9,1 ⋅ 10 − 31 кг , r = 0,5 ⋅ 10 −15 м , h = 6,62 ⋅ 10 − 34 Дж ⋅ с. Тогда

V=

h 6,62 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с = ≈ 1,46 ⋅1012 м . с mr 9,1⋅10 −31 кг ⋅ 0,5 ⋅ 10−15 м

Но этот результат противоречит второму постулату специальной теории относительности: в природе невозможно движение вещественных тел со скоростью, боль-

246

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

шей скорости света в вакууме

3 ⋅ 10 8 м . с

Следовательно, сделанное предположение, что электрон – шарик с радиусом ~ 10 −15 м, физически абсурдно. Полученный результат показывает, что спин нельзя рассматривать как классический механический момент. Спин – чисто квантовая характеристика, характеризующая внутреннее состояние элементарной частицы, которое не сводимо к классическому движению.

3. Эффект Комптона Этот эффект связан с рассеиванием фотона на свободном электроне. Он имеет чисто релятивистское объяснение, приписывая и электрону, и фотону корпускулярные свойства.

В процессе рассеяния выполняются законы сохранения энергии и импульса:

+Е , е γ, r r r р +0= р + р , γ е γ , Рис.3.1.

Е

где

γ

+Е

ео

= Е

Еγ = hω - энергия фотона до рассеяния,

Еγ , = hω / - энергия фотона после рассеяния,

Е ео = mc 2 - энергия электрона до столкновения с фотоном,

247

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Ее =

mc 2 2 1− u

- полная энергия электрона отдачи.

c2

В результате элементарных алгебраических действий (с использованием чертежа), получаем:

ω/ =

ω < ω. hω ( ) 1+ 1 − cos Θ mc 2

Это соотношение соответствует эксперименту.

4. Простые и сложные кристаллические решетки I. Ранее отмечалось, что кристаллическая решетка обладает трансляционной симметрией. Очевидно, что выбор основных векторов, а, следовательно, и элементарной ячейки, неоднозначен. Будем обозначать тройку некомпланарных векторов

r r r а1 , а 2 , а3 .

Смеще-

ние кристалла как целого на любой из этих векторов, приводит его к совпадению с самим собой (предполагается, что кристалл неограничен). Легко показать, что объем элементарной ячейки можно рассчитать с помощью произведения векторов

r r r а1 , а 2 , а 3

(см. Прил.5):

r r r V0 = (a1 [a 2 a3 ]).

Причем, величина

V0

не зависит от выбора этих трансляционных векторов.

Элементарная ячейка в простейшем случае содержит по одному атому каждого типа, входящего в состав кристалла. Действительно, доля каждого атома (иона), расположенного в вершине ячейки, равна на грани

−1 . 2

1 , 8

находящегося на ребре

−1 , 4

расположенного

В общем случае элементарная ячейка даже чистого вещества может

содержать больше одной структурной частицы. В первом случае элементарная ячейка называется простой, во втором – сложной. Не всегда элементарная ячейка обладает всеми элементами симметрии, что и весь кристалл. Однако в простой решетке всегда можно выбрать такую ячейку, которая будет обладать всеми элементами симметрии кристалла. Строится эта ячейка так. Из одного из

248

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

атомов проводится линия к ближайшему соседнему атому. Через середину этого отрезка строится плоскость ему перпендикулярно. Аналогичная операция повторяется со всеми соседями. Совокупность получившихся плоскостей выделит вблизи избранного атома некоторую область пространства. Называется эта область ячейкой Вигнера-Зейтца Оказывается (это можно показать для плоской решетки), что объем ячейки ВигнераЗейтца равен объему элементарной ячейки. Ячейка Вигнера-Зейтца в общем случае не будет параллелепипедом, но она обязательно содержит в центре одну структурную частицу. Вместе с тем, эта ячейка обладает всеми элементами симметрии кристалла. II. В связи с симметрией кристалла как целого введем еще понятие о решетке Браве: это совокупность всех атомов (ионов) в кристалле, которые могут быть совмещены друг с другом путем параллельного переноса на основные векторы элементарной ячейки. Об этом мы уже говорили в Гл.2, §2. В случае простой ячейки решетка Браве совпадает с последней. Если же решетка сложная, то она состоит из нескольких решеток Браве, вставленных друг в друга (в §2 в качестве примера мы приводили сложную решетку поваренной соли). Классификация решеток Браве производится по отношению к симметрии поворотов и отражений. Различают семь различных типов кристаллических систем (сингоний). Каждая из решеток данной сингонии обладает центром инверсии и определенной совокупностью осей и плоскостей симметрии. Каждой сингонии сопоставляется некоторая геометрическая фигура (см. таблицы 5,12): либо параллелепипед, либо призма. Возможно дополнительное подразделение в зависимости от того, находятся атомы решетки только в вершинах упомянутой фигуры или еще на ее гранях, на основаниях, в центре. Поэтому решетки Браве получают дополнительное название: примитивная решетка данной сингонии (П), базоцентрированная (БЦ), гранецентрированная (ГЦ) и объемноцентрированная (ОЦ) (см. табл.12). Табл.12

Из табл. 12 видно, что существует 14 типов решеток Браве. Симметрия кристалла определяет ряд его физических свойств. Возможны следующие элементы макроскопической симметрии: 1) центр симметрии (центр инверсии), 2) плоскость симметрии (зеркальная плоскость), 3) оси симметрии 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков, 4) инверсионные оси 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков. Возможные комбинации макроскопических элементов симметрии образуют точечные группы. Эти точечные группы позволяют выделить 32 кристаллографических класса.

249

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

III. Наряду с элементарной ячейкой кристаллической решетки в теории рассматривается так называемая обратная решетка. Ее векторы трансляции определяются по формулам:

r [ar ar ] b1 = 2 3 ; V0

где

r [ar ar ] b2 = 3 1 ; V0

r r r V 0 = (a 1 [a 2 a 3 ])

r [ar ar ] b3 = 1 2 , V0

- объем элементарной ячейки.

Очевидно соотношение

( [ ])

r r r 1 Ω 0 = b1 b2 b3 = , V0 где

Ω0 - объем элементарной

ячейки обратной решетки.

Можно показать, что простые решетки всех систем решеток Браве имеют обратными также простые решетки тех же систем. Обратная решетка гранецентрированных решеток Браве (ромбической, тетрагональной и кубической) является объемноцентрированной решеткой той же системы и наоборот. Решетке с центрированным базисом соответствует решетка также с центрированным базисом. Аналогом ячейки ВигнераЗейтца в обратной решетке является зона Бриллюэна. Введение обратной решетки позволяет математически проще установить свойства физических величин, характеризующих идеальный кристалл. Например, известно, что все эти величины описываются функциями с той же периодичностью, что и сама решетка. Пусть

U (r )

- одна из таких величин. Очевидно, что

(

)

r r r U r + R = U (r ),

где

r R=

3

∑n a =1

α

r aα ,

трансляции решетки. Разложим функцию

r U (r ) = Значения вектора

∑U r q

r q

e

r n = (n1 , n 2 , n3 ), − nα

r U (r )

∑U r q

r q

- целые числа,

r aα

- вектор

в тройной ряд Фурье: rr

r q

e 2π iq r .

определяются требованием периодичности:

rr 2 πi q r

rr r

rr

⋅ e 2πiq r R = ∑ U qr e 2 πiq r . r q

Это соотношение будет выполняться, если

250

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

rr r rr rr e 2πiqr R = 1, q R = p; q aα = pα ,

где

p и pα - целые числа.

Последнее условие будет удовлетворено, если положить

r r r r q = m1b1 + m 2 b2 + m 3 b3 .

Но это означает, что вектор

r q

совпадает с вектором обратной решетки:

r r r 3 q = B = ∑ mα bα , и вектор

r q

α =1

пробегает все узлы обратной решетки.

Функцию U (r ) можно разложить в ряд Фурье несколько иначе:

U (r ) =

∑ϕ r k

rr

r k

e ik r

.

Очевидно, что между векторами

r r k = 2πq .

r r kи q

имеется простое соотношение:

Соответствующее пространство называется

r k - пространством.

5. Расчет объема элементарной ячейки Основные векторы решетки гранецентрированного куба могут быть выбраны следующим образом:

(

)

r a r r a1 = i + k 2 r a r r a2 = (i + j ) 2 r a r r a3 = j + k 2

(

(*)

) 251

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рис. 5.1. Векторы

r r r а1 , а2 , и а3

Рис. 5.2. проведены из начала координат O к ближайшим ато-

мам (рис 5.1). Из формул (*) непосредственно следует:

r r r ( i − j +k) 4

[ar2 ar3 ] = a

2

и, следовательно, объем элементарной ячейки

r r r а3 V0 = (а1 [a 2 a3 ]) = , 4 т.е. составляет

1

4

(**)

объема всего куба.

Построим обратную решетку. Используя (*) и (**), имеем:

[

]

[

]

r 1 r r 1 r r r b1 = [a 2 a3 ] = i − j + k , V0 a аналогично

r 1 r r 1 r r r b2 = [a 3 a1 ] = i + j − k , V0 a

[

(***)

]

r 1 rr 1 r r r b3 = [a1a2 ] = − i + j + k , V0 a Таким образом, для гранецентрированной кубической решетки обратной будет

252

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

объемноцентрированная. Рассчитаем период решетки

NaCl . Всего в элементарном кубе будет 4 иона 3

натрия и 4 иона хлора, его объем равен d . На один моль кристалла придется объем

Vµ = d 3

NA , 4

Vµ - молярный объем, N A - число Авогадро. С другой стороны, молярный объем можно найти, если массу моля µ разделить на плотность кристалла ρ : где

Vµ =

µ , ρ

следовательно,

d3

NA µ = 4 ρ

и

d =3

4µ N Aρ

.

Подставив численные значения

µ = 58,45 кг кмоль , ρ = 2,17 ⋅ 10 3 кг

м3

,

получим

d =3

0 4 ⋅ 58,45кг ⋅ кмоль −1 = 5,64 ⋅ 10 −10 м = 5,64 А . 3 −3 26 −1 2,17 ⋅ 10 кг ⋅ м ⋅ 6,02 ⋅ 10 кмоль

6. Расчет дисперсионных сил Расчет дисперсионных сил был дан в 1930 г. Поясним особенности этих сил на примере взаимодействия двух осцилляторов, в которых положительные заряды закреплены неподвижно, а отрицательные заряды перемещаются вдоль линии, соединяющей положительные заряды, как около положений равновесия (см. рис.6.1), при этом

253

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

возникают электрические моменты

р1 = ех1

и

р2 = ех 2 .

Рис. 6.1. Уравнение движения электрона под действием квазиупругой силы

m

кх

имеет вид

d 2x = −kx. dt 2 Решением этого уравнения является функция

где

ω 0 = 2πν 0 =

x = x0 sin ω 0t ,

k . m

В любой момент времени осциллятор обладает потенциальной энергией

U=

1 2 kx . 2

Рассмотрим движение того же электрона с квантово-механической точки зрения. Для этого необходимо решить составленное для этой цели уравнение Шредингера

− ih где

dψ h2 = ∆ψ − U (x, y, z, t )ψ , dt 2m

U ( x , y , z , t ) = U (x , y , z ). .

Волновую функцию необходимо взять в виде

ψ ( x, y, z, t ) = ϕ (x, y, z ) f (t ).

Тогда уравнение Шредингера распадается на два уравнения

d 2ϕ 2m + (E − U )ϕ = 0 dx 2 h 2

и

df i = − Ef . dt h

Первое из этих уравнений (координатное уравнение Шредингера) в нашей задаче

254

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

принимает вид:

d 2ϕ 2m  1 2 +  E − кх ϕ = 0 . dx 2 h 2  2  Это уравнение имеет решение только в том случае, если энергия осциллятора принимает дискретные значения:

1  Еn = hν 0  n + , 2  где

n = 0,1, 2 ...

Минимальная энергия осциллятора как она не исчезает и при

1 hν 0 2

называется нулевой энергией, так

T = OK . Существование этой энергии является главной

особенностью квантово-механического рассмотрения состояния осциллятора. При сближении осцилляторов изменяется характер их колебания. Движение каждого осциллятора можно представить состоящим из двух гармонических колебаний с частотами:

ν1 = ν 0 1 −

е2 2πε 0 кr 3

и

ν2 =ν0 1+

е2 . 2πε 0 кr 3

Суммарную нулевую энергию взаимодействующих осцилляторов в этом случае можно рассчитать так:

  1 1 е4 , E0вз = hν 1 + hν 2 = hν 0 1 − 2 2 2 6  2 2  32π ε 0 к r  где использовано разложение в ряд Тейлора и оставлены члены до третьего порядка малости. Если сравнить это выражение с суммарной энергией невзаимодействующих осцилляторов

Е0 =

1 1 hν 0 + hν 0 = hν 0 , 2 2

то обнаруживаем, что взаимодействие приводит к уменьшению нулевой энергии на величину

255

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

U вз = E0вз − E0 ≈ −

е 4 hν 0 . 32π 2ε 02 к 2 r 6

Это соответствует возникновению сил притяжения между осцилляторами

F =−

dU вз 3е 4 hν 0 1 =− ⋅ . dr 16π 2ε 02 к 2 r 7

7. Расчет концентрации дефектов по Шоттки Вычислим равновесную концентрацию дефектов Шоттки. Поясним чертежом процесс образования этих дефектов (см. рис.7.1). Для описания физических процессов используются разные термодинамические функции. Каждая из них «удобна» при определенных условиях. В данной задаче воспользуемся так называемой свободной энергией F , которая определяется так:

Рис. 7.1.

F = E − TS , где

n

E = nU , U

- энергия, необходимая для образования одного дефекта Шоттки,

- число вакантных узлов при данной температуре

Т; S - энтропия кристалла с n

дефектами. Согласно формуле Больцмана

S = k lnW ,

( N + n )! k - постоянная Больцмана, W = n! N! - число перестановок узлов решетки (свободных n и занятых N ), осуществляющих одно и то же состояние кристалла. При N >> n можно воспользоваться приближенной формулой Стирлинга где

256

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ln x! ≅ x ln x − x . Итак,

F = nU − kT {(N + n ) ln (N + n )− n ln n − N ln N }.

В состоянии равновесия свободная энергия минимальна, т.е. выполняется условие

dF = 0. dn Составим это условие:

dF N+n = 0 = U − kT ln , dn n откуда (при n<
n  U  = C exp − . N  kT 

Рис. 7.2. Концентрация дефектов

n N

растет экспоненциально с ростом температуры

T.

Если решетка состоит из 2-х подрешеток (как, например, в NaCl ), то в каждой подрешетке возникают свои вакансии. При равенстве зарядов ионов подрешеток, концентрация вакансий в чистых кристаллах в подрешетках одинакова. В этом случае

W=

( N + n )!(N + n )! n! N ! n! N!

.

257

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Расчеты, аналогичные вышепроведенным, дают:

 U  n = N exp  − ,  2 kT  где

n

- число пар разноименных невзаимодействующих вакансий,

пар узлов решетки,

U

N

- число

- энергия образования невзаимодействующей пары вакансий.

8. Расчет концентрации дефектов по Френкелю Вычислим равновесную концентрацию дефектов Френкеля. Приводимый рисунок схематически иллюстрирует образование дефекта такого типа. Как и в случае расчета концентрации дефектов Шоттки, воспользуемся свободной энергией кристалла с дефектами:

F = E − TS , где

Е = nU , U - энергия об-

разования одного дефекта Френкеля. Эти дефекты могут занять

N/

междуузельных положений. Если полное число узлов решетки

N,

то энт-

ропия образования дефектов Френкеля запишется так:

S = k ln W = k ln

Рис. 8.1.

N! N /! ⋅ , n!( N − n )! n! N / − n !

(

)

где учтены перестановки как вакантных узлов /

N , так и узлов кристаллической решетки одному и тому же состоянию кристалла. При

n << N

и

N

n , междуузельных положений

, перестановки которых приводят к

n << N / можно воспользоваться формулой Стирлинга

258

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ln x! ≅ x ln x − x . В состоянии термодинамического равновесия свободная энергия минимальна, т.е.

dF = 0. dn Составляя это выражение, получаем:

n2  U  = exp  −  (N − n ) N / − n  kT 

(

или при

n << N

и

)

n << N / формула упрощается:

n2  U  = exp − . / NN  kT  В кубических кристаллах

N ≈ N / , поэтому

 U  n = N ⋅ exp − .  2kT  Подойдем к расчету концентрации вакансий по Френкелю с иной точки зрения. Пусть τ - период тепловых колебаний ионов решетки. В каждом узле решетки

1 τ

раз в секунду возмо-

жен «отрыв» атома от его ближайших соседей и переход в междуузлие при условии, что имеется локальная флюктуация энергии величины

ϕ0

(см. рис.

Рис. 8.2.

8.2), достаточная, чтобы перевести атом на «вершину потенциального барьера», отделяющего узел от междуузлия. Таким образом, число образующихся в одну секунду в единице объема новых вакансий есть

N  ϕ  exp − 0 , τ  kT  где N - число узлов решетки в единице объема, экспоненциальный множитель учитывает вероятностный характер дефектообразования.

259

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

С другой стороны, каждая из имеющихся вакансий может «исчезнуть», если она расположена по соседству с атомом, находящимся в междуузлии и при наличии флюктуации энергий

ϕ1 , достаточной, чтобы перевести атом из междуузлия на «вершину

потенциального барьера», отделяющего позицию в междуузлии от узловой. Следовательно, число исчезающих в одну секунду в единице объема вакансий есть:

N 0/ N 0/  ϕ  ⋅ exp − 1 , τ N  kT  где

N 0/ - число имеющихся вакансий (и атомов в междуузлиях).

Суммрное изменение числа вакансий по Френкелю в одну секунду в единице объема равно:

dN 0/ N  ϕ = exp − 0 dt τ  kT

/2  N 0  ϕ − ϕ 0  1 − 2 exp − 1 . N kT   

Равновесная концентрация дефектов по Френкелю

c0 =

N0 N

определится из

условия

dN 0/ = 0, dt где

или

c0 =

U = ϕ 0 − ϕ1

N0  ϕ − ϕ1   U  = exp  − 0  = exp  − , N 2 kT    2 kT 

есть разность значений потенциальной энергии атома при

нахождении его в узле и в междуузлии, т.е. изменение потенциальной энергии при образовании дефекта по Френкелю.

9. Контакт двух металлов Если привести в соприкосновение два разнородных металла, то между ними возникает обмен электронами. Существует, в основном, две причины, обуславливающие этот переход. Поэтому различают внешнюю и внутреннюю контактную разность потенциалов. Рассмотрим их поочередно. Воспользуемся зонной схемой для изображения состояния валентных электронов двух металлов (см. рис.9.1).

260

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рис. 9.1. В заштрихованной части зоны проводимости находятся валентные электроны. Из рисунка видно, что для вырывания электрона из металла 1 (для перевода его за пределы верха зоны проводимости) необходимо совершить работу металла – работу

А1 ,

из второго

А2 . Допустим, что А1 > А2 , тогда преимущественно электроны

из металла 2 начнут переходить в металл 1. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока возникшая контактная разность потенциалов не установит динамическое равновесие. Процесс установления равновесия будет протекать так. В результате ухода части электронов из металла 2 его электронейтральность в месте контакта нарушится. Можно сказать, что металл 2 будет иметь положительный потенциал по отношению к металлу 1, а последний, приняв дополнительные электроны, будет иметь отрицательный потенциал по отношению к металлу 2. Контактное электрическое поле между свободными поверхностями соприкасающихся металлов будет направлено от металла 2 к металлу 1 (см. рис.9.2). Рис. 9.2. Именно это поле и будет способствовать установлению динамического равновесия, так как оно направлено против преимущественного направления движения электронов. Максимальная разность потенциалов, которая возникает между металлами, определится равенством

∆ϕ =

A1 − A2 , e

где

e - заряд электрона.

Эта контактная разность потенциалов называется внешней контактной разностью потенциалов. Ее величина зависит не только от разнородности соприкасающихся металлов, но особенно сильно от чистоты и состояния поверхности металлов. Для разных пар металлов внешняя контактная разность потенциалов достигает величины от нескольких десятых долей до единиц вольта. По величине этой разности потенциалов металлы можно расположить в так называемый ряд Вольта:

Al , Zn, Sn, Cd , Pb, Sb, Bi, Hg , Fe, Cu, Ag , Pt , Pd .

Каждый предыду-

щий элемент приобретает положительный потенциал с любым последующим. В замкнутой цепи из металлических проводников результирующая контактная разность потенциалов равна нулю.

261

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Внутренняя контактная разность потенциалов возникает из-за того, что энергия электронов, находящихся на верхних уровнях зоны проводимости может оказаться разной в металле 1 и металле 2. Это создаст дополнительный диффузный поток электронов. Возникающее благодаря этому переходу электронов электрическое поле не обязательно будет того же направления, какое имеет поле внешней контактной разности потенциалов. Внутренняя контактная разность потенциалов сильно зависит от температуры контакта, определяя тем самым термоэлектрические явления. Поле внутренней контактной разности потенциалов возникает лишь в тонком пограничном слое двух соприкасающихся металлов. Именно этим (и в силу относительной малости этого поля) можно объяснить тот факт, что внутренняя контактная разность потенциалов практически не влияет на прохождение тока через контакт двух металлов.

10. Внутренний фотоэффект Устройство полупроводникового фотоэлемента схематически изображено на рис.10.1.

б)

a) Рис. 10.1. Основной его частью является

p−n

ка в фотоэлементе не освещена, на границе мическое равновесие. Полупроводник

n

- переход. Когда металлическая пластин-

p−n

- перехода устанавливается дина-

- типа получает положительный потенциал,

полупроводник p - типа – отрицательный потенциал и дальнейший переход электронов через границу перехода прекращается (см. §8 главы 3). В отличие от внешнего фотоэффекта, при внутреннем фотоэффекте электроны не покидают освещаемое тело. Поэтому энергия кванта гии

W

должна быть меньше энер-

ионизации, но вместе с тем достаточной, чтобы возбудить электроны из вален-

тной зоны полупроводника ложка

hν

М

р

- типа в его зону проводимости. Металлическая под-

берется очень тонкой, чтобы световые лучи могли проникнуть до полупро-

262

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

водника

р

- типа. Она наносится при помощи катодного распыления. При освещении

энергия квантов передается электронам валентной зоны полупроводника

р

- типа,

которые, поглощая энергию, возбуждаются, переходя в зону проводимости (см. рис.10.1). Эти электроны из зоны проводимости полупроводника

р

- типа могут перейти в ме-

таллическую пластинку. В результате динамическое равновесие, возникшее на - переходе, нарушается. Электроны из полупроводника ность опять переходить в полупроводник

p

n

p−n

- типа получают возмож-

- типа, так как там, в валентной зоне,

возникли свободные места (на рис. 10.1 б) сплошные линии). Разность потенциалов в

p−n

- переходе увеличивается благодаря световому

воздействию, и, если цепь фотоэлемента замкнута, то в ней возникает фототок. Его величина пропорциональна световому потоку, так как чем больше квантов падает на полупроводник

р

- типа, тем больше электронов переходит в зону проводимости.

Такие фотоэлементы непосредственно преобразуют световую энергию в электрическую (солнечные батареи); на том же принципе основана работа фотосопротивлений.

11. Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

Химический потенциал µ , вводимый в термодинамике при рассмотрении равновесия фаз, играет большую роль при описании свойств полупроводников. В применении к электронному и дырочному газам в полупроводнике его называют уровнем Ферми. В металлах уровень Ферми определяет максимальную энергию электронов при абсолютном нуле температуры. Концентрация электронов в металлах сравнима по порядку величины с числом состояний в зоне проводимости, вследствие этого электронный газ в металлах является вырожденным и описывается статистикой Ферми-Дирака. Концентрация электронов в зоне проводимости металлов практически не зависит от температуры. Иначе обстоит дело в полупроводниках. Будем рассматривать беспримесные полупроводники. В этом случае концентрация электронов в зоне проводимости и концентрация дырок в валентной зоне, очевидно, одинакова. Такие полупроводники называются собственными полупроводниками. В силу относительно малой концентрации электронов в зоне проводимости и, естественно, дырок в валентной зоне в собственных полупроводниках электронный и дырочный газ является невырожденным и распределение по энергетическим состояниям описывается классической статистикой Максвелла-Больцмана. Для таких полупроводников концентрация свободных носителей заряда зависит как от положения уровня Ферми, так и от температуры. Установим эту связь. Будем отсчитывать энергию от дна зоны проводимости. Воспользуемся формулой, с помощью которой можно рассчитать число электронов, которые могут разместиться в интервале энергии от

Е

до

E + dE : 263

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

µ

Е

ф 3 − 4π dn = 3 (2mn )2 e кТ e кТ Е 2 dE. h

1

(11.1)

Установим, какого знака химический потенциал в невырожденном полупроводнике. Условием невырождения является неравенство: Е − µф

>> 1,

кТ

e

(11.2)

при выполнении которого распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Максвелла-Больцмана (см.Гл.1, §13). Так как

Е - кинетическая энергия электронов, то Е ≥ 0,

должно выполняться и при

e

−

µф кТ

Е = 0,

поэтому условие (11.2)

то есть

>> 1.

(11.3)

Но условие (11.3) выполняется только, если

µ < 0:

энергия Ферми

для невырожденного полупроводника является величиной отрицательной. Поэтому уровень Ферми располагается ниже дна зоны проводимости (см. рис.11.1). Из рисунка видно, что

µ ф + µ ф/ = − ∆Е ,

откуда

µ ф/ = − ∆Е − µ ф .

Мы воспользу-

емся этим значением

Рис. 11.1.

µ ф/ при подсчете концентрации дырок. Теперь же, используя фор-

мулу (11.1), найдем полное число электронов в зоне проводимости 3

µ ф Eверх

 2m  2 n = 4π  2  e kT h 

∫

e

−

E kT

1

⋅ E 2 dE.

0

Учитывая, что при больших значениях энергии основной вклад вносит экспонента, заменим верхний предел на бесконечность. В этом случае мы имеем аналог интеграла Пуассона. В результате интегрирования получаем для концентрации электронов в зоне проводимости следующее выражение:

264

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3

µф

 2m πkT  2 n = 2 n 2  e kT .  h 

(11.4)

Аналогичный расчет концентрации дырок (при замене

mn

эффективной массы электрона

µ ф на (− Е − µ ф )

на эффективную массу дырки

и

m p ) в валентной

зоне приводит к следующему выражению

 2πm р kT р = 2 2  h

3

2  ∆E + µ ф   exp  − . kT   

(11.5)

Составим произведение выражений (11.4) и (11.5): 3  2πkT   ∆E  р ⋅ n = 4 2  (mn ⋅ m p )2 exp − .  h   kT  3

Отсюда следует, что при данной температуре произведение

(11.6)

n⋅ p

является ве-

личиной постоянной. Формула (11.6) является выражением так называемого закона действующих масс. Определим положение уровня Ферми в собственном (чистом) полупроводнике, когда концентрации электронов и дырок равны друг другу:

n = p.

(11.7)

Используя соотношения (11.4), (11.5) и (11.7), получаем для уровня Ферми в чистом полупроводнике следующее значение:

µф = − При

Т = ОК, а

m ∆Е 3 + kT ln p . mn 2 4

также в случае

mn = m p

(11.8)

уровень Ферми располагается по-

среди запретной зоны:

µф = −

∆Е 2

.

(11.9)

При повышении температуры уровень Ферми смещается от середины ко дну зоны проводимости, если

m p > mn , и к верху валентной зоны, если m p < mn . 265

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Из формул (11.4), (11.5) и (11.8) получаем: 3

 2π mn ⋅ m p ⋅ kT  2  exp − ∆E . n = p = 2 2   h  kT   

(11.10)

Из (11.10) видна зависимость концентраций электронов и дырок в зоне проводи-

∆Е (чем ∆Е больше, тем меньше концентрация электронов и дырок, причем изменение происходит по экспоненциальному закону) и от температуры кристалла Т (определяющую

мости и в валентной зоне соответственно от ширины запретной зоны

роль играет экспонента, концентрация тем больше, чем выше температура кристалла).

∆Е от 1,12 эВ (кремний) до 0,08 эВ (серое олово) приводит Т = 300 К к увеличению концентрации электронов и дырок на 9 порядков. Увеличение температуры от 100 К до 600 К увеличивает концентра-

Например, уменьшение при температуре

цию электронов и дырок на 17 порядков. Таким образом, полупроводники высокой степени очистки в области комнатных температур обладают электрической проводимостью, обусловленной наличием в них собственных носителей тока – электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне:

σ = σ n + σ p = qni (un + u p ),

σ ni = nn = n p , u n

где

(11.11)

- удельная проводимость полупроводника, и

u p - соответствующие подвижности, которые не обяза-

тельно равны друг другу. Установим зависимость подвижности от температуры. При высоких температурах рассеяние, а, следовательно, и длина свободного пробега электронов, зависит от концентрации фононов, которая (см. гл.2) пропорциональна температуре

λ эл ~

Так как

λ и~ V

1

~

nфон ,

то

1 . Т

и~

(11.12)

Т −1 Т

1

2

~

Т

−

3 2

.

(11.13)

В области низких температур рассеяние в основном происходит на ионизованных примесях. Если воспользоваться классической формулой для столкновений Резерфорда, то из нее следует, что частота столкновений пропорциональна четвертой степе-

266

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

V . А так как подвижность и ~

ни скорости электрона

V ~Т

1 2

н , V

то о

и ~ V 3.

Учитывая, чтоо

, получаем: 3

и ~ Т 2.

(11.14)

А так как концентрация электронов (см. 11.10)

n ~T

3

2

 ∆E  ⋅ exp − ,  2kT 

то в области высоких температур

 ∆E  σ = σ 0 ⋅ exp − .  2kT 

(11.15)

В области низких температур

 ∆E  3 σ = σ 0 ⋅ exp − Т .  2kT 

(11.16)

Функция (11.15) позволяет по экспериментальным данным построить график

∆E , 2kT

а тангенс угла наклона оп-

∆E k

, отсюда можно определить

ширину запрещенной зоны

∆E . График (см. рис.11.2)

ln σ = ln σ 0 −

ределяет отношение

Рис. 11.2.

267

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

отсекает на оси ординат

ln σ 0 .

12. Примесная проводимость полупроводников Наличие примесей сильно влияет на концентрацию носителей зарядов в полупроводнике и, следовательно, на их проводимость. Например, добавление в кремний бора в 5

количестве одного атома на 10 атомов кремния увеличивает проводимость при ком3

натной температуре в 10 раз по сравнению с чистым кремнием. Температурная же зависимость электропроводности невырожденных примесных полупроводников, как и собственная, определяется в основном температурной зависимостью концентраций носителей. Поэтому качественный характер кривой вой зависимости когда

n(T ).

кТ << ∆ Е .

σ (Т )

должен быть аналогичен кри-

Рассмотрим эту зависимость в области низких температур,

В этом случае собственных носителей заряда мало, ионизируются в

основном примеси: энергия связи примесного электрона ослабляется в ε раз, изменяется также эффективная масса, поэтому оказывается достаточно небольшой энергии, чтобы перевести электрон из связанного состояния в зону проводимости, то есть донорные уровни лежат близко ко дну зоны проводимости. Аналогично, акцепторные уровни лежат чуть выше верха валентной зоны. Расчет концентрации электронов проводимости в донорном полупроводнике при низких температурах дает следующую температурную зависимость: 3

n=

 2π m n kT  2 − 2 kT 2N Д  .  e 2   h EД

(12.1)

Аналогичный расчет для акцепторного полупроводника приводит к следующему выражению:

 2πm р kT р = 2 N А  2  h где

NД

и

NА

3

 2 − 2EkTА  e . 

(12.2)

- концентрации доноров и акцепторов,

ЕД

и

ЕА

- энергии,

соответствующие донорным и акцепторным уровням. С дальнейшим ростом температуры происходит уменьшение высвобождаемых электронов и дырок, и затем их концентрация перестает зависеть от температуры. И основной вклад в проводимость дают собственные электроны и дырки. Поскольку обычно в полупроводнике преобладают или доноры, или акцепторы, то в примесных полупроводниках при низких температурах проводимость осуществляется в основном или электронами, или дырками. Говорят о n − и p − проводимости, а соответствующие полупроводники называются полупроводниками

p − типа.

n−

и

268

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Выясним, выполняется ли в полупроводниках закон Ома, дифференциальная форма которого для участка цепи, несодержащего сторонней силы, запишется так:

r r j = σЕ .

(12.3)

Так как по формуле

σ = е(nun + pu p ),

то закон Ома будет выполняться,

если концентрация электронов и дырок, а также их подвижность не будут зависеть от напряженности внешнего поля

r Е.

л , а V r u не будет зависеть от E (от

Рассмотрим случай слабого поля. Так как подвижность

u~

r r r V = V0 тепл. движ. + Vдрейфа ≅ V0 , то подвижность r r E зависит Vдрейфа - скорость направленного движения под действием электрическоr го поля). Не зависит от E и концентрация носителей заряда n. Следовательно, при слабых электрических полях закон Ома выполняется. В случае сильного электрического поля скорость дрейфа

r Vдрейфа

может срав-

r V0 . Отсюда следует, что результирующая r напряженности внешнего поля Е , а тогда и

ниться со скоростью теплового движения

V r u =u E

скорость

является функцией

( ) и σ = σ (E ). То есть закон Ома в этом случае не выполняется. Расчеr

ты дают, что

r1 r j ≅ E 2. Увеличение результирующей скорости носителей заряда под действием внешнего электрического поля эквивалентно повышению температуры электронного газа. Поэтому такой эффект называется разогревом электронного газа, а электроны, имеющие среднюю кинетическую энергию выше средней кинетической энергии атомов решетки, - горячими электронами. Под действием сильных электрических полей могут произойти новые физические процессы, благодаря которым изменится и концентрация носителей зарядов n. К этим явлениям можно отнести: 1) термоэлектронную эмиссию (переход электронов в зону проводимости через запретную зону за счет работы внешнего поля); 2) ударную ионизацию электронами зоны проводимости атомов решетки;

269

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

13. Построение зонных схем диода и транзистора с использованием уровня Ферми 3) электростатическую ионизацию благодаря туннелированию электронов валентной зоны в зону проводимости через запретную зону (эффект Зинера). Сделанные построения энергетических состояний кристаллического диода и транзистора в §§8 и 11 гл.3 формально правильны, однако лишь качественно. Используя же уровень Ферми, эти схемы можно сделать более точными. Напомним, что энергия Ферми в термодинамике называется химическим потенциалом и в состоянии термодинамического равновесия двух гомогенных фаз имеет одно и то же числовое значение. Именно это свойство химического потенциала (энергии Ферми) мы используем при рассмотрении равновесного состояния n − p -перехода. Напомним, что при наличии донорной примеси уровень Ферми располагается между донорным уровнем и дном зоны проводимости (см. рис.13.1). В полупроводнике с акцепторной примесью уровень Ферми располагается между акцепторным уровнем и верхом валентной зоны (см. рис.13.2). Приведем в физический контакт два полупроводника разной проводимости. Начнем рисовать n − p -переход через

Рис. 13.1.

Рис. 13.2.

изображение уровня Ферми, который должен простираться на одной высоте, проходя через запретные зоны обоих полупроводников, а затем дорисуем остальные уровни Д, А, границ зон (см. рис.13.3). В результате диффузии электронов

Рис. 13.3.

270

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

из полупроводника

p

n -типа в полупроводник

-типа первый полупроводник заряжается

положительно, а второй – отрицательно. Возникает контактная разность потенциалов, направленная слева направо. Это поле достигнет определенной величины, так как наступает динамическое равновесие между двумя потоками электронов: слева направо в силу разной концентрации электронов в контактирующих полупроводниках; справа налево под воздействием контактного электрического поля. Последнее не может исчезнуть, так как первый Рис. 13.4. процесс его восстанавливает. Как и полагается по определению, химический потенциал располагается на одной высоте, символизируя наступление динамического равновесия. Рассмотрим запорное состояние n − p -перехода. Оно возникает, когда к

n − p -переходу

приложено

внешнее поле того же направления, что и контактное поле (см. рис. 13.5). Под воздействием добавочного поля динамическое равновесие нарушается, новый поток электронов возникнет справа налево, этим же полем электроны будут отодвинуты от границы

n − p -перехода. Контакт обедня-

ется носителями заряда, что эквивалентно возрастанию омического сопротивления участка

n − p -переход

n − p -контакта.

оказывается запер-

тым, ничтожно малый ток обусловлен неосновными носителями заряда. Зонная схема отражает трудность перехода электронов из полупроводника n -

Рис. 13.5. типа в полупроводник p -типа тем, что уровни в правом полупроводнике оказываются приподнятыми по отношению их положения в состоянии динамического равновесия (см. рис. 13.3), уровень Ферми отражает это неравновесное, запорное состояние тем, что в полупроводнике

p -типа под-

n -типа.

Возможность

нимается по отношению к его положению в полупроводнике отхода электронов в полупроводнике

n -типа от n − p -контакта обусловлена

вне-

шним электрическим полем и осуществляется благодаря тому, что зона проводимости

271

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

«простирается» через весь кристалл, и электроны в зоне проводимости являются свободными и, обладая одной и той же энергией, способны перемещаться по уровню от контакта влево. Если внешнее поле направлено противоположно контактному полю (см. рис.13.6), то оно будет способствовать обогащению

n − p -перехода

электронами. Это эквивалентно уменьшению омического сопротивления контакта и возрастанию тока. На зонной схеме

n − p -перехода это отображено по-

нижением уровней в полупроводнике p -типа ниже их положения в равновесном состоянии. Соответственно и уровень Ферми понижается при переходе через

n − p -переход

(см. рис.

13.6). Поскольку транзистор рассматривается как система из двух диодов, имеющих общий элемент (базу), то мы Рис. 13.6. изобразим лишь равновесное состояние транзистора (рис. 13.7.), так как состояние его частей легко восстановить, используя предыдущие схемы n − p -переходов.

272

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рис. 13.7.

14. Теория скин-эффекта Если постоянный ток распределен равномерно по поперечному сечению проводника, то в случае переменного тока картина изменяется: из-за электромагнитного взаимодействия элементов тока плотность тока у поверхности проводника увеличивается, а в центре – уменьшается. Это явление называется скин-эффектом («skin» в переводе с английского «кожа»). Физической причиной скин-эффекта является электромагнитная индукция (см. рис.14.1). Вихревое электрическое поле, порожденное меняющимся магнитным полем, усиливает ток у поверхности проводника и уменьшает его к центру. Математическое обоснование скин-эффекта следует из решения уравнений Максвелла, записанных для рассматриваемого случая. Отправляя читателя к учебникам по электродинамике, проанализируем решение задачи:

Е = Е0 е −γr cos (ωt − kr ),

Рис. 14.1.

− γr

где благодаря экспоненте е происходит убывание амплитуды поля при удалении от поверхности проводника. Поэтому и плотность тока убывает к оси проводника

j = j0 е −γr cos (ωt − kr ).

15. Колебания и волны в плазме В плазме могут возникать коллективные колебания и распространяться волны различной физической природы. Различают электрические, электромагнитные и магнитогидродинамические колебания и волны. Рассмотрим возникновение электростатических, или плазменных колебаний. Воспользуемся следующими упрощенными рассуждениями, приводящими к правильному результату. Выделим в объеме плазмы две параллельно расположенные площадки стояние между которыми

Z.

S,

Пусть плазма состоит из однозаряженных частиц

рас-

±e, 273

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

концентрация которых

N 0 . Предположим, что удалось разделить заряды по их знаку в

объеме между «пластинами» и поместить все положительные заряды на одну «пластину», а все отрицательные – на другую. По существу, мы получили заряженный плоский конденсатор, на пластинах которого сосредоточены заряды

± N 0 eSZ , его емкость

C=

ε 0S . Поделив заряд на емкость, определим разность потенциалов между пластиZ

нами

∆ϕ =

N 0 eZ 2 . ε0

С другой стороны,

E=

∆ϕ , Z

откуда

E=

N 0 eZ . ε0

Есте-

ственно, в реальной плазме никаких «пластин» не существует, но ясно, что взаимное смещение зарядов разных знаков приводит к появлению сил, стремящихся это смещение ликвидировать. Сила, действующая на одну частицу с массой m , равна

F = eE = a=

N 0 e2 Z . ε0

F N 0e 2 Z = . ε 0m m

Под действием этой силы частица приобретает ускорение

Обратим внимание на то, что сила

F

и ускорение

a

частиц

плазмы пропорциональны их смещению, а направлены они так, чтобы восстановить равновесие в плазме. Мы получили типичные условия возникновения гармонических колебаний с частотой

ω л2 =

N 0e 2 ε 0m

.

(15.1)

Частоту (15.1) называют также ленгмюровой частотой. Она является характеристической частотой плазмы. За время порядка периода

Т=

2π ω

плазма практически

восстанавливает свою нейтральность. Это время также является характеристикой плаз-

274

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

−9

−13

мы ~ 10 ÷ 10 с. Плазменные волны, распространяющиеся с частотой (15.1), получили название плазмоны.

16. Математическое обоснование спонтанного намагничения В отличие от парамагнетизма, когда нет необходимости учитывать взаимодействие магнитных моментов соседних структурных частиц, в природе ферромагнетизма заложен факт сильного обменного чисто квантового характера взаимодействия магнитных моментов атомов твердого тела. Только квантовая теория объяснила все особенности ферромагнетиков. Экспериментально (опыт Эйнштейна – де – Гааза) и теоретически установлено, что ферромагнетизм обусловлен не орбитальным, а спиновым моментом электронов. Для возникновения ферромагнитного состояния необходимы следующие условия: 1) вещество должно быть в твердом состоянии; 2) атомы тела должны содержать недостроенные внутренние электронные оболочки; 3) между постоянной решетки и диаметром недостроенной оболочки должно существовать определенное соотношение

a = 1,5; d

4) обменный интеграл, составленный для взаимодействующих электронов, должен быть больше нуля. Именно в этом случае магнитные моменты электронов устанавливаются параллельно, что и обуславливает спонтанное намагничение в так называемых областях Вейса. В этих областях магнитные моменты электронов оказываются в сильном магнитном поле, создаваемом всеми остальными магнитными моментами. Поэтому помимо внешнего магнитного поля

В0

необходимо учитывать и это внутреннее («молекулярное»)

поле:

Вэф = В0 + λI ,

(16.1) 2

3

где λ - постоянная Вейса, которая имеет порядок 10 ÷ 10 . Введение эффективного поля, автоматически учитывающее сильное обменное взаимодействие магнитных моментов электронов, позволяет воспользоваться формулой (5.7.2), подставляя в нее вместо

I = I нас th

µ 0 Н = В0

µ Б (В0 + Iλ ) . kT

эффективную индукцию

Вэф .

(16.2)

В случае слабой намагниченности разлагаем гиперболический тангенс в ряд Тейлора и ограничимся одним членом

275

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

I = I нас

µ Б (В0 + Iλ ) , kT

(16.3)

откуда

I=

I нас µ Б ⋅ В0 . kT − I нас µ Б λ

(16.4)

Введем обозначение

I нас µ Б λ = Тк. k

(16.5)

и назовем температурой Кюри. Формула (16.4) запишется так:

I=

I нас ⋅ µ Б ⋅ В0 . k (Т − Т к )

(16.6)

Эта формула удовлетворительно соответствует эксперименту при

Т > Тк ,

когда ферромагнетик проявляет парамагнетизм. При температуре

Т = ТК

дит фазовый переход. Рассмотрим состояние ферромагнетика при

Т < Т к . Преобра-

происхо-

зуем формулу (16.2), введя обозначение

х=

µ Б (В0 + Iλ ) . kT

(16.7)

Тогда вместо одной формулы (16.2) получаем систему двух связанных уравнений (16.7) и (16.2):

I = I нас thx.

(16.8)

Уравнение (16.8) называется трансцедентным, его обычно решают графически (см. рис.16.1). Уравнение (16.7) – линейное, его график – прямая.

276

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рис. 16.1. Для совместного решения этих уравнений необходимо найти точку пересечения обоих графиков (см. рис.16.1). Используя выражение (16.1), представим

х=

µ Б В0 µ Б λI µ Б В0 µ Б λI нас + = + kT kT kT kT I

При

I нас

=0

величина

коэффициентом при величине

tgα =

х=

х=

µ Б λI нас kT

Наклон прямой (16.9) определяется

kT . µ Б λI нас

Пусть внешнее поле

(16.9)

 I    :  I нас 

Для любого частного значения

так:

µ Б В0 . kT

 I   .  I нас 

В0

 I   .  I нас 

(16.10)

Вэф

график – прямая, подобная построенной.

равно нулю. Тогда формула (16.9) запишется

(16.11)

График уравнения (16.11) – прямая, проходящая через начало координат, а угол наклона к оси

Ох

по-прежнему определяется соотношением (16.10). Угол наклона

пропорционален температуре

Т,

α

поэтому возможны два случая, когда график урав-

нения (16.11) не пересекает график уравнения (16.8), за исключением случая, когда

I I нас

=0

при

х = 0 . Это область высоких температур. Вещество не проявляет маг-

нитные свойства (при

В0 = 0, I = 0 ), нет намагничивающего поля, нет и намагни277

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ченности. При низких температурах график уравнения (16.11) пересекает график уравнения (16.8) не только в точке

I I нас

= 0 , но и еще в одной точке, в которой

I I нас

≤ 1.

Представляет интерес лишь второе решение. Оно означает, что при низких температурах магнитное вещество должно намагничиваться спонтанно, в отсутствии внешнего поля

В0 .

Если перемещаться на графике от высоких температур к низким, то постепенно график совместится с касательной. Это произойдет при температуре, которую мы выше назвали температурой Кюри. Ниже этой температуры появляется спонтанная намагниченность. Составим производную от функции (16.8) по делить этим значение

tgα T =Tk .

d  I  dx  I нас =

   

х =0

х при х = 0.

Можно опре-

Простой расчет дает:

=





ch 2 x − sh 2 x ch 2 x



d (thx ) х =0 = d  shx  х =0 = dx dx  chx 

х =0



= 1 − th 2 x х =0 = 1 .

(16.12)

Условие (16.12) означает, что спонтанное намагничивание наступает при температуре, определяемой критическим значением

tgα = 1.

Это очень жесткое условие.

В действительности осуществляется более мягкое требование:

tgα ≤ 1,

или

кТ к ≤ 1, µ Б λI нас

(16.13)

откуда находят значение температуры Кюри. Используя (16.13), уравнение (16.9) можно записать так:

х=

µ Б В0 Т к  I  . +  kT T  I нас 

(16.14)

Рассмотрим теперь случай слабых внешних полей, то есть нужно снова рассмотреть графическое решение уравнения (16.8). График этого уравнения остается без изменения, а график уравнения (16.14), в отличие от графика функции (16.11) сместится вправо. При низких температурах точка пересечения рассматриваемых графиков смес-

278

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

17. Квантовые ямы, нити, точки При переходе к микроскопическим полупроводниковым структурам – нанокристаллам (размеры кристаллов порядка нескольких нанометров = 10-9 м, отсюда и название – нанокристаллы) принципиально изменяются свойства электронного газа. Электроны проявляют квантовые свойства, проявляется их корпускулярно-волновой дуализм. На использовании квантовых свойств носителей заряда в полупроводниках возникло новое направление в физике твердого тела – наРис. 17.1. ноэлектроника. В основе физики наноэлектроники лежат представления о квантовых нитях, ямах, точках (последние имеют и второе название –искусственные атомы). На рис.17.1 представлена схема двух гетеропереходов. Электроны с энергией меньшей E1 оказываются в потенциальной яме – это и есть модель квантовой ямы. Электроны оказываются запертыми в одном направлении. И согласно выводам квантовой механики энергетические состояния их оказываются дискретными. В то же время в двух других направлениях (перпендикулярно чертежу и вверх) движение будет свободным. Именно поэтому электронный газ называется двумерным. Если на поверхности кристалла при выращивании возникают островки атомов, то в этом “наросте” электроны оказываются уже запертыми в трех измерениях. Такое образование получило название “квантовой точки” или искусственного атома. Однако нужно иметь в виду, что каждая такая “квантовая точка” содержит сотни атомов. Если в двумерном электронном газе создать дополнительный барьер, то электроны смогут перемещаться лишь в одном направлении. Мы получаем то, что названо “квантовой нитью”. На рис. 17.1 показано, как “работает” квантовая яма в качестве лазера. В главе 3 §9 был рассмотрен туннельный диод, который стал первым реальным устройством, использующим квантовую яму (Эсаки, 1958 г.). На свойства двумерного электронного газа возникает и квантовый эффект Холла (глава 4, §14). В нанокристаллическом состоянии принципиально изменяются и свойства вещества. Так у металлов обнаружены полупроводниковые свойства, нанотрубки (протяженные в одном направлении) углерода могут быть одновременно и проводниками и полупроводниками. Благодаря наноэлекронике создаются сверхминиатюрные сверхбыстродействующие системы обработки информации. В 2000 году Нобелевская премия по физике была присуждена ученым (в том числе академику РАН Ж. Алферову), внесшим фундаментальный вклад в развитие наноэлектроники. Наноэлектроника имеет большое будущее – она будет основой информационных систем XXI века. Показательно, что Организация Объединенных Наций (ООН) включила нанотехнологию в список наиболее перспективных технологий в наступающем веке.

279

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

тится вправо по почти горизонтальной части графика уравнения (16.8). В проведенных рассуждениях по сути дела рассматривается один домен. Реальный ферромагнетик состоит из множества подобных спонтанно намагниченных областей, магнитные моменты которых расположены, вообще говоря, хаотично. Поэтому в отсутствии внешнего поля

В

образец ненамагничен.

18. Основные физические постоянные

280

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

19. Алфавиты Латинский алфавит AaBbCcDdEeFfGgHhIi-

а бе це де е эф ге аш и

J j - йот K k - ка L l - эль M m - эм N n - эн Oo- о P p - пэ Q q - ку R r - эр

S s - эс T t - тэ Uu- у V v - ве W w - дубль-ве X x - икс Y y - игрек Z z - зет

Греческий алфавит альфа бета гамма дльта эпсилон дзэта эта тэта йота

Κ eΛλΜµΝν ΞζΟοΠπΡρΣσ-

e

ΑαΒβΓγ∆δΕεΖζΗηΘϑΙι-

каппа лямбда мю ню кси омикрон пи ро сигма

ΤτΥ υΦϕΧχΨψ Ωω-

тау ипсилон фи хи пси омега

281

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Преметно-именной указатель

А Агрегатные состояния материи 43 Акцептор 111 Алферов Ж.И. 244 Аморфное тело 48, 91 Ампера гипотеза 202 Анализ кристаллографический 48 Аннигиляция 41 Антиферромагнетики 219

Б Бардин Дж. 32 Басов Н.Г. 138 Беккерель А. 5 Беднорц Г. 240 Боголюбов Н.Н. 32 Бозоны 21 Бор М. 10 Бройль Л. 26

В Вакуум физический 45, 139 Вакансии 112 Вейс П. 220 Виды материи 43 Вильсона камера 7 Волновая функция 28 Вул Б.М. 229 Вырождение 101

Г Гаудсмит С. 20 Гейзенберга соотношения 29, 151, 190 Гельмгольц Г. 4 Геликон 186 Герц Г. 5 Гетероструктуры 244

Гиромагнитное число 17, 21 Горячие электроны 123 График сил взаимодействия 58 Гросс Е.Ф. 82

Д Дефекты

комплексные 85 линейные 86 объемные 87 точечные 81 Дефекты по Шотки 83, 256 по Френкелю 87, 258 Джозефсон Б. 238 Диамагнетизм электронного газа 211 Диамагнетики 209 Диамагнитный эффект 209 Диод туннельный 129 Диод Ганна 130 Дирак П. 139 Дислокация линейная 86 Диод кристаллический 124 Диполон 85, 112, 225 Дислокация винтовая 87 Дисперсии закон 68, 148 Диффузии метод 124 Диэлектрики 222 Донор 111, 120 Дробное квантование 198 Дуализм микрочастиц 25 Дырка 105, 108, 117 Дырочная проводимость 117

З Закон Видемана –Франца 166 Звезда нейтронная 243 Зоммерфельд А. 11 Зона Бриллюэна 69

282

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

энергетическая 98 запретная 102 проводимости 102 Зонная модель натрия 101 каменной соли 103 неона 102 алмаза 103 квантового усилителя 114 Зонная теория 98 Зоны естественная ширина 97

Купер Л. 32 Куперовская пара 33, 239 Курчатов И.В. 229 Кюри температура 276

И

М

Зона

Л Ландау Л.Д. 110 Ландау уровни 194 Лоренц Г. 5 Лоренца сила 188 Люминесценция 113

Изомерия 47 Интегральные схемы 244 Ионного легирования метод 124 Изотоп-эффект 238 Квантовые ямы, точки, нити 279

Магнетон Бора 16 Масса эффективная 159 Максвелла-Больцмана статистика 35 Менделеев Д.И. 22 Метод сплавления 124

К

О

Капица П.Л. 248 Камерлинг-Оннес К. 234 Квазичастицы 87 Квазикристаллы 52 Квант магнитного потока 238 Квантовое число 15 Клитцинг К. 194 Кобеко П. 229 Колебания акустические 71 нормальные 72 оптические 71 Комптон эффект 26, 247 Контактная разность потенциалов 125, 260, 270 Корпускулярно-волновой дуализм 25 Координационное число 49 Кристаллическое тело 43 Кристаллическая решетка 45, 248 индексы 51 подрешетка 51 постоянная 50 Критическая температура 234

Опыт Бибермана-СушкинаФабриканта 28 Джермера-Девиссона 28 Рамзауэра-Таунсенда 28 Резерфорда 5 Рике 163 Мандельштама и Папалекси 164 Толмена и Стуарта 164 Каттеринга и Скотта 164 Франка и Герца 17 Штерна и Герлаха 19 Эйнштейна-де Гааза 219 Барнета 219

П Парамагнетизм 213, 217 Парамагнетизм электронов 214 Поверхность (сфера) Ферми 21, 150, 184 Принцип Паули 12, 150, 184 Переход p-n 126 Планк М. 10

283

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Полупроводник

n-типа 125 p-типа 126 Поляризация диэлектрика 227 Полярон 82, 109 Проводимость примесная 119, 268 собственная 115 Прочность металла 64 Прохоров А.М. 138 Плазма 273 Плазмон 274

Р Работа выхода 25, 135 Размерные эффекты 184 Резерфорда опыт 6, 245 Рентгеновский спектр 5, 13 Ритца комбинационный принцип 12 Расширение решетки 60

С Сверхпроводимость 32, 234, 238 Сверхпроводимость высокотемпературная 33, 240 Сверхпроводники 2-го рода 237 Сверхтекучесть 241 Связь атомная 55 Ван-дер-Вальса 53, 253 водородная 57 ионная 54 металлическая 56 Скин-эффект 182, 273 Спин 20, 96 Спектр акустических колебаний 70 оптических колебаний 71 Соответствия принцип 36, 77 Статистика Ферми-Дирака 33 Бозе-Эйнштейна 31 Стоней Дж. 4 Столетов А.Г. 5, 25 Столкновения элктрон-фононные 180 Сопротивление полупроводников 121

Т Таунс Ч. 138 Теплопроводность решетки 80 Теплоемкость решетки 77 Теплоемкость электронная 39 Терм 11 Томсон Дж. 5, 6 Томсон У. 5,6 Транзистор 131 Транзистор полевой 133

У Уравнение Больцмана 168 Уровень Ферми в полупроводниках 263

Ф Фазовая скорость 70 Фарадей М. 4 Ферромагнетизм 219, 235, 275 Фермион 21 Фонон 74, 108 Фотон 74 Фотоэлемент полупроводниковый 135 Фотоэффект внешний 5, 25 внутренний 136, 262 Френкель Я.И. 84, 258 Фуллерены 46

Х Холловское сопротивление 193

Ш Шриффер Дж. 32 Шоттки дефекты 256 Центры окраски 112 Циклотронный резонанс 183

284

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Зеебека 146 Пельтье 147 Томсона 147 Зинера 124 Гааза-Ван Альфена 200 Баркгаузена 206 Мейнснера 235 Комптона 26, 247 Азбель-Канера 183 туннельный 130

Ч Чадвик Дж. 9

Э Эйнштейн А. 10 Экситон 82, 110 Электрет 114, 230 Электронная теория 92 Электронный газ двумерный 192 Энергия нулевых колебаний 74, 265 Энергия связи кристалла 63 Энергетическая щель 240 Эсаки Л. 130 ЭффектХолла-классический 141, 163 квантовый 192 Эттингауза 145 Нернста 146

Ю Юленбек Дж. 20

Я Яма потенциальная 94

Литература 1. У. Киттель. Введение в физику твёрдого тела. М. Физматгиз 1983. 2. Ю. Сиротин, М. Шаскольская. Основы кристаллофизики. М. Наука, 1979. 3. Л. Ландау, Е. Лифшиц. Статистическая физика. М. Наука, 1976. 4. М. Каганов, А. Филатов. Поверхность Ферми. М. Знание, 1969. 5. В. Кресин. Сверхпроводимость и сверхтекуческть. М. Просвещение, 1968. 6. Физическая энциклопедия. Т.1-5. 7. А. Холден. Что такое ФТТ. М. Мир, 1971. 8. Е. Бормонтов. Квантовый эффект Холла. Сорос. обр. ж-л, 1999., №9, с. 81. 9. О. Кибис. Квантовый эффект Холла. Сорос. обр. ж-л, 1999, №9, с. 89. 10. К. фон Клитцинг. Квантовый эффект Холла: Нобелевская лекция 1985 г. // УФН. 1986. Т. 150, №1. с. 107-126. 11. М. Брандт. Сверхпроводимость // Сорос. Обр. Ж-л. 1996. №1. с.100-107. 12. М. Каганов, И. Лифшиц. Квазичастицы. М. Наука, 1989. 13. Сб. “Открытие высокотемпературной сверхпроводимости” М. Знание, 1989, №1. 14. Б. Иванов. Законы физики. М. ВШ. 1986. 15. А. А. Боярчук, Л. В. Келдыш. От физического кабинета до отделения общей физики и астрономии (в РАН) УФН, 1999, т.169, №12, с. 1289-1298. 16. М. С. Свирский. Электронная теория вещества. М., Просвещение, 1980, 288 с. 17. Соросовский образовательный журнал 1996-2000 гг.

285

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Оглаление Предисловие ................................................................................................ 3 Глава 1. Строение атома § 1. Сложность строения атома и его первые модели ........................... 4 § 2. Опыт Резерфорда ................................................................................ 6 § 3. Недостатки модели атома Резерфорда ............................................ 9 § 4. Постулаты Бора. Объяснение образования спектров .................. 10 § 5. Квантовые числа ............................................................................... 15 § 6. Опыты Франка и Герца ................................................................... 17 § 7. Опыт Штерна и Герлаха .................................................................. 19 § 8. Принцип Паули ................................................................................ 21 § 9. Заполнение электронных оболочек атомов в таблице Д.И.Менделеева ................................................................................. 22 § 10 Корпускулярные свойства света .................................................... 25 § 11. Волновые свойства элементарных частиц ................................... 26 § 12. Классификация элементарных частиц.Статистика БозеЭйнштейна. Бозоны ........................................................................... 31 § 13. Статистика Ферми – Дирака ......................................................... 33 § 14. Наглядное представление статистик ............................................ 34 § 15. Два вида материи. Черты сходства и различия двух видов материи ............................................................................................... 39 Глава 2. Кристаллическая решётка § 1. Различные состояния материи ........................................................ 43 § 2. Структура твёрдого тела. Кристаллическая решётка .................. 45 § 3. Типы связи структурных элементов кристаллической решётки ... 53 § 4. Графическое изображение сил и энергий взаимодействия между частицами вещества ............................................................... 58 § 5. Качественное объяснение линейного расширения твёрдого тела ... 60 § 6. Количественное объяснение линейного расширения твёрдого тела . 61 § 7. Расчёт энергии связи в кристаллической решётке ........................ 63 § 8. Расчёт прочности металла ............................................................... 64 § 9. Динамика частиц кристаллической решётки ................................ 67 § 10. Нормальные колебания ................................................................. 72 § 11 Теплоёмкость и теплопроводность кристаллической решётки . 77

286

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 12. Дефекты кристаллической решётки, их классификация .................... 81 §12.1. Точечные дефекты решётки ..................................................... 81 § 12.2. Линейные дефекты решётки ................................................... 86 § 12.3. Объёмные дефекты решётки ................................................... 87 § 13. Описание энергетического состояния кристалла при помощи «газа» квазичастиц .......................................................................................... 87 § 14 Аморфное состояние вещества ......................................................... 91 Глава 3. Элементы зонной теории твёрдого тела § 1. Затруднения классической электронной теории ........................... 92 § 2. Энергетические состояния электрона в атоме. Образование энергетических зон ............................................................................ 93 § 3. Примеры «построения» энергетических зон ................................. 99 § 4. Деление твёрдых тел на диэлектрики, полупроводники и проводники ....................................................................................... 104 § 5. Зонные модели некоторых дефектов кристаллической решётки .. 107 § 6. Собственная проводимость полупроводников ........................... 115 § 7. Примесная проводимость полупроводников .............................. 119 § 8. Контакт двух полупроводников различного типа проводимости. Кристаллический диод .................................................................... 124 § 9. Туннельный диод ............................................................................ 129 § 10. Диоды Ганна ................................................................................. 130 § 11. Кристаллический триод - транзистор ........................................ 131 § 12. Классификация транзисторов ..................................................... 132 § 13. Фотоэлектрические приборы ...................................................... 135 § 14. «Зонная схема» физического вакуума ........................................ 139 § 15. Эффект Холла (классический) ..................................................... 141 § 16. Термомагнитные и термоэлектрические явления ..................... 145 Глава 4. Кинетические явления в кристалле § 1.Закон дисперсии свободных электронов ...................................... 148 § 2. Электрон в периодическом поле кристаллической решётки ..... 150 § 3. Метод эффективной массы ............................................................ 159 § 4. Электроны в металлах .................................................................... 163 § 5. Закон Видемана-Франца ................................................................ 166 § 6. Кинетическое уравнение Больцмана ............................................ 168 § 7. Электрон-фононные столкновения .............................................. 180 § 8. Металлы с большой длиной пробега электронов ....................... 181 287

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 9. Аномальный скин-эффект ................................................................. 182 § 10. Циклотронный резонанс (Азбель-Канер-эффект) ............................ 183 § 11. Размерные эффекты ......................................................................... 184 § 12. Проникновение электромагнитных волн в металл.Геликоны ............. 186 § 13. Электрон проводимости в магнитном поле ..................................... 188 § 14. Квантовый эффект Холла ................................................................. 192 § 15. Проблема плотностей состояний электронов в квантующем магнитном поле .................................................................................. 198 §16. Эффект де-Гааза-ван Альфена (1931г.) .............................................. 200 Глава 5. Магнитные и поляризационные свойства твердых тел § 1. Классификация твердых тел по их магнитным свойствам ........ 202 § 2. Общая теория магнетизма ............................................................. 208 § 3. Природа диамагнетизма ................................................................ 209 § 4. Диамагнитные свойства электронного газа ................................ 211 § 5. Природа парамагнетизма .............................................................. 213 § 6 Парамагнетизм свободных электронов ........................................ 214 § 7. Парамагнетизм атомов .................................................................. 217 § 8. Природа ферромагнетизма. Антиферромагнетизм. Ферриты .... 219 § 9. Поляризация диэлектриков ........................................................... 222 § 10. Поляризационные эффекты в диэлектриках ............................. 227 § 11. Электреты ...................................................................................... 230 § 12. Сопоставление поляризационных и магнитных свойств твердых тел ....................................................................................... 231 Глава 6. Квантовые макроскопические эффекты § 1. Свойства вещества при сверхнизких температурах § 2. Открытие и свойства низкотемпературной сверхпроводимости. Сверхпроводники 2-го рода ...................... 234 § 3. Теория низкотемпературной сверхпроводимости ...................... 238 § 4. Высокотемпературная сверхпроводимость ................................. 240 § 5. Сверхтекучесть. Теория явления ................................................... 241 Заключение ............................................................................................ 243

288

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Приложения 1. Вывод формулы Резерфорда ............................................................ 245 2. Доказательство того, что электрон нельзя рассматривать как классический шарик, который вращается вокруг своей оси ... 246 3. Эффект Комптона ............................................................................. 247 4. Простые и сложные кристаллические решетки. ............................ 248 5. Расчет объема элементарной ячейки .............................................. 251 6. Расчет дисперсионных сил ............................................................... 253 7. Расчет концентрации дефектов по Шоттки ................................... 256 8. Расчет концентрации дефектов по Френкелю ............................... 258 9. Контакт двух металлов .................................................................... 260 10. Внутренний фотоэффект ................................................................ 262 11. Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике ............................................. 263 12. Примесная проводимость полупроводников .............................. 268 13. Построение зонных схем диода и транзистора с использованием уровня Ферми ...................................................... 270 14. Теория скин-эффекта ...................................................................... 273 15. Колебания и волны в плазме ......................................................... 273 16. Математическое обоснование спонтанного намагничения ....... 275 17. Квантовые ямы, нити, точки ......................................................... 279 18. Основные физические постоянные ................................................ 280 19. Алфавиты ......................................................................................... 281 Преметно-именной указатель .............................................................. 282 Литература ............................................................................................. 285

289

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

290

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

291

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Герман Аронович Розман

Строение и свойства вещества (учебное пособие) Издание 2-е, переработанное

Издательская лицензия ЛР №020029 от 16.10.1996 года. Подписано в печать 04.01.2001 г. Формат 60х84/16. Объем издания в усл.печ.л.18,25. Тираж 450. Заказ № 1 Псковский государственный педагогический институт им.С.М.Кирова, 180760, г. Псков, пл. Ленина, 2. Редакционно-издательский отдел ПГПИ им. С.М.Кирова, 180760, г. Псков, ул. Советская, 21, телефон 2-86-18. 292

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com