Механика. Молекулярная физика. Термодинамика: Учебное пособие по выполнению лабораторных работ

Министерство образования Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра общей и экспериментальной физики

531 (07) В672

С.Ю. Гуревич, Ю.В. Волегов, Е.Л. Шахин, В.Л. Ушаков

МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА Учебное пособие по выполнению лабораторных работ

Челябинск Издательство ЮУрГУ 2006

УДК 531 (076.5)+539.19 (076.5)+536 (076.5) Механика. Молекулярная физика. Термодинамика: Учебное пособие по выполнению лабораторных работ / С.Ю. Гуревич, Ю.В. Волегов, Е.Л. Шахин, В.Л. Ушаков; Под ред. С.Ю. Гуревича.— Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. — 97 с. Учебное пособие к лабораторным занятиям по физике предназначено для студентов I курса АК, АС, А, АТ, МТ, МВ, ТВ, С, З, Ком. факультетов. В пособии рассмотрены вопросы теории, приведены описания лабораторных установок, инструкции по выполнению лабораторных работ, обработке результатов измерений. Ил. 45, табл. 35. Одобрено объединенным научно-методическим советом по физике. Рецензенты: В.В. Викторов, В.Н. Барановский.

2

ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ 1. К лабораторным занятиям допускаются студенты, прошедшие инструктаж по безопасным методам проведения работ и расписавшиеся в журнале по технике безопасности. 2. Перед лабораторным занятием студенты обязаны изучить описание предстоящей работы. 3. При проведении работ в лаборатории студенты обязаны соблюдать следующие меры безопасности: а) не допускать применение неисправных электрических вилок, розеток, оголенных проводов для подключения электроприборов; б) работать на исправных приборах с заземлением; в) приборы и инструменты использовать по назначению; г) подвижные грузы закреплять надежно; д) не располагать голову в плоскости вращения подвижных частей установки; е) не загромождать проходы портфелями, сумками, стульями. 4. По окончании работы отключить приборы и привести в порядок рабочее место. ВЫПОЛНЕНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ До занятия 1. Изучить теоретический материал и методические указания к работе по учебнику, конспекту лекций. 2. Приготовить формуляр лабораторного отчета, содержащего: — оформленную титульную страницу (название работы, фамилию и группу, дату занятия); — цель работы, используемое оборудование; — краткое описание метода измерений с расчетными формулами, схемой установки; — таблицы для внесения результатов измерений. Во время занятия 3. Ответить на вопросы программированного контроля, получить допуск к выполнению работы. 4. Провести эксперимент. Результаты измерений записать в таблицы лабораторного отчета. 5. Проверить и подписать результаты измерений у преподавателя. 6. Провести расчеты, проанализировать результаты и сделать выводы. Оформить и сдать отчет.

3

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Цель занятия: изучить методы оценки погрешностей измерений и получить навыки обработки результатов измерений. Виды погрешностей измерений Измерением какой-либо физической величины называют процесс сравнения измеряемой величины с аналогичной, принятой за эталон (единицу измерения). Произвести абсолютно точные измерения величины в принципе невозможно, всякое измерение содержит погрешность. Абсолютной погрешностью называют разность между измеренным значением и истинным: ∆ = хизм – хист. Для оценки качества измерений служит относительная погрешность, определяемая отношением абсолютной погрешности к истинному значению: γ = (хизм–хист) /хист. На практике вместо хист берут среднее арифметическое значение измеренной величины, т.е. γ = (хизм – 〈х〉) / 〈х〉. Погрешности измерений могут быть обусловлены влиянием различных факторов. Часть суммарной погрешности, вызванная действием большого количества факторов, которые непредсказуемо влияют на результат измерения так, что при повторных измерениях результаты изменяются случайным образом, называют случайной погрешностью измерения. Например, при измерении длины полированного бруска микрометром результаты повторных измерений могут отличаться из-за разного усилия прижима, теплового расширения, места установки и т. д. Другая часть суммарной погрешности измерений — систематическая погрешность — обусловлена действием постоянных или закономерно изменяющихся факторов. Например, неточность нанесения шкалы или смещение нуля измерительного прибора, приближенный вывод или упрощение расчетных формул, несоответствие условий эксперимента правилам эксплуатации прибора и т.д. Систематические погрешности можно значительно уменьшить или исключить, применяя более точные приборы, более совершенный метод измерений, путем введения поправок. Трудность заключается в обнаружении факторов, приводящих к систематической погрешности. Существует еще один вид погрешности, обусловленной невнимательностью экспериментатора, — грубая погрешность (промах). Промах обнаруживается, если один-два результата повторных измерений сильно отличаются от других. Поэтому для обнаружения промаха должно быть не менее трех измерений. Промах из дальнейшего расчета исключается. Обработка результатов прямых измерений Прямые измерения — это измерения, при которых измеряемая величина определяется непосредственно по шкале прибора. 4

Оценка результата Пусть при одинаковых условиях проведены многократные измерения. Если все результаты одинаковы, то случайная погрешность отсутствует. В этом случае достаточно одного измерения, а истинное значение отличается от измеренного не более чем на величину систематической погрешности. Пусть результаты измерений различны: х1, х2 , х3 ,…, хn . В силу случайности величины и знака случайной погрешности положительные и отрицательные значения погрешности одинаковой величины равновероятны, и погрешности малой величины более вероятны, чем большой. Поэтому при бесконечно большом числе повторных измерений среднее арифметическое 〈х〉 совпадает с истинным значением (при отсутствии систематической погрешности) хист=lim 〈х〉 при n → ∞: 1 n 〈 х〉 = ∑ x i . (1) n i =1 На практике число измерений n конечно и среднее арифметическое может служить лишь оценкой результата измерений с некоторой погрешностью хист ≈ 〈х〉. Оценка случайной погрешности δх 1 способ Разность между истинным и средним арифметическим значениями также случайна и теория вероятности позволяет лишь оценить доверительный интервал — интервал значений, внутри которого находится истинное с некоторой вероятностью. А доверительная вероятность Р — это вероятность попадания истинного значения в доверительный интервал. Чем большую вероятность желает гарантировать экспериментатор, тем больше должна быть величина доверительного интервала. Истинное значение может находиться и вне доверительного интервала с вероятностью 1–Р (рис. 1).

Половина ширины доверительного интервала имеет смысл наибольшей разности между средним арифметическим и истинным значением при данной довери5

тельной вероятности. В дальнейшем эта величина будет являться оценкой случайной погрешности. Случайная погрешность зависит, во-первых, от разброса результатов измерений. В качестве меры разброса принимают среднеквадратичное отклонение S ре-

( x i − 〈 x〉 )2 ∑ зультатов измерений от среднего: S = (в интервал 2S попадает

n−1 68% числа измерений, при n → ∞). Во-вторых, с увеличением числа измерений 1 и при n→∞ δх→0. Отсюда среднее значение приближается к истинному как n понятна необходимость многократных измерений. Разумное наибольшее число опытов должно быть таким, чтобы случайная погрешность уменьшилась бы до величины систематической погрешности. В-третьих, чем большую доверительную вероятность желает гарантировать экспериментатор, тем больше должен быть доверительный интервал. Это учитывается коэффициентом Стьюдента tp, который возрастает с увеличением доверительной вероятности, и зависит от числа измерений. Таким образом, расчетная формула для оценки случайной погрешности принимает вид δx = t p

2 ∑ ( x i − 〈 x〉 ) ,

(2) n (n − 1 ) где n — число повторных измерений, xi — результат некоторого измерения с номером i, 〈х〉 — среднее арифметическое результатов измерений, tp — коэффициент Стьюдента, определяемый по табл. 1. 2 способ Простейшую оценку случайной погрешности выполняют по формуле x − x min δх = max . (3) 2 где x max и x min – максимальное и минимальное значения из ряда полученных при повторных измерениях. Интервал, записанный с такой погрешностью, содержит истинное значение с вероятностью P = 1 − ( 1 / 2 )n − 1 . (4) Эта доверительная вероятность Р зависит от числа измерений n. Оценка систематической погрешности При измерении с помощью прибора со шкалой систематическая погрешность состоит из погрешности отсчета и погрешности, обусловленной несовершенством измерительного прибора. Погрешность отсчета может стать незначительной при тщательном измерении. Тогда погрешность определяется по классу точности из6

мерительного прибора. Класс точности — это выраженное в процентах отношение систематической погрешности к пределу измерения. Например, предел измерения вольтметра 200 В, класс точности 0,5, тогда систематическая погрешность 0 ,5 ⋅ 200 = 1 В. θU = 100 Она одинакова как в начале шкалы, так и в конце. Поэтому измерения следует вести близко к пределу измерения, так как относительная погрешность будет при этом меньше, точность выше. Если класс точности или сама систематическая погрешность в паспорте прибора не указаны, то систематическую погрешность принимают равной половине или единице цены деления шкалы, а для цифровых приборов — единице последнего разряда измеряемой величины. Если в расчетах используют табличное или ранее измеренное значение, то погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда. Порядок обработки результатов При прямых многократных измерениях в соответствии с ГОСТ 8207-76 порядок обработки результатов измерений следующий. 1. Вычисляют среднее арифметическое значение измеряемой величины 〈х〉 (принимая его за оценку истинного значения) по формуле (1). 2. Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,90 или Р = 0,95 по табл. 1 определяют коэффициент Стьюдента. Оценивают случайную погрешность δх по формуле (2). Для удобства определения суммы квадратов разностей ∑(xi – 〈x〉)2 рекомендуется расчеты проводить в табл. 2. Таблица 1 Коэффициенты Стьюдента 3 4 5 6 8 10 20 n P = 0,90

2,9

2,4

2,1

2,0

1,9

1,8

1,7

P = 0,95

4,5

3,2

2,8

2,6

2,4

2,3

2,1

Таблица 2 Расчет суммы квадратов разностей xi

xi – 〈x〉

(xi – 〈x〉)

2

1 2 …

〈x〉 = …

∑(xi – 〈x〉)2= =… 7

3. Оценить систематическую погрешность θ х. 4. Оценить суммарную погрешность. Если одна из погрешностей меньше другой в три или более раз, то меньшей погрешностью следует пренебречь. Если обе погрешности сравнимы, то суммарная погреш-

ность оценивается по формуле

∆x = (δx ) 2 + (θx ) 2 . 5. Погрешность представляют числом, содержащим не более двух значащих цифр. 6. Записать результат измерений в виде x = 〈 x 〉 ± ∆x , P = …, который следует понимать так: истинное значение измеряемой величины находится в интервале от 〈х 〉 – ∆х до 〈х 〉 + ∆х с вероятностью Р. При записи среднее арифметическое округляют так, чтобы разряд последней цифры совпадал с разрядом погрешности. Обработка результатов косвенных измерений При косвенных измерениях значение измеряемой величины находят по функциональной зависимости через другие непосредственно измеряемые величины. Пусть величина z = f(x, y …) измеряется косвенно через величины x, y …, для которых по результатам прямых измерений определены их средние значения 〈x〉,〈y 〉 …, случайные погрешности δx, δy … с одинаковой вероятностью и систематические погрешности θx, θ y … По этим данным следует произвести оценку среднего значения 〈z 〉, случайной δz и систематической θz погрешностей. Оценка результата измерений Оценку результата измерений можно произвести двояко. Во-первых, как значение функции z при значении аргументов, равным средним значениям: 〈 z 〉 = f (〈 x 〉 , 〈 y〉 ...) . (5) Во-вторых, можно провести для каждого из n измерений расчет значений z1, z2, z3,… zn, найти среднее арифметическое по формуле (1) и принять его за оценку результата. Выбирается тот способ, который удобнее. Оценка систематической погрешности Между погрешностью измерения величины δz и дифференциалом dz существует аналогия — и та и другая являются малым приращением функции. Для функции z = f(x,y…) полный дифференциал ∂f ∂f dz = dx + dy + ... . ∂x ∂y Так как знак погрешностей измерения величин x, y… неизвестен, то систематическая погрешность оценивается как среднее квадратичное по формуле 8

2

2

 ∂f   ∂f  δz =  θx  +  θy  + ... ,  ∂x   ∂y 

(6)

∂f ∂f , … — частные производные, определяемые при средних значениях ∂x ∂y 〈x〉, 〈y 〉…; θx, θy… — систематические погрешности величин x, y, … Если функция z = f(x, y …) сложная, ее вначале логарифмируют, а затем дифференцируют, т.е. формула (6) принимает вид

где

2

2

 ∂ ln z   ∂ ln z  θz =  θx  +  θy  + ... . (6а) z ∂ y  ∂x    В данном пособии оценочные формулы (6) выведены в каждой лабораторной работе. Оценка случайной погрешности 1 способ. Если величину z измерить столько раз, сколько раз проведены измерения величин x, y…, то по результатам z1, z2 … можно оценить случайную погрешность по формулам (2) или (3), (4) как при прямых измерениях. 2 способ. Если функция z = kx + b линейная (или ее можно свести к линейной), то можно наиболее просто определить случайную погрешность графически. Пусть по экспериментальным точкам проведена прямая (рис.2) и нужно оценить случайную погрешность величины b. Проведем паралZA – ZB лельно экспериментальной прямой по обе стороны две линии по возможноА сти ближе так, чтобы большинство точек (кроме промахов) оказалось внутри. Тогда интервал (b A − b B ) В можно трактовать как интервал, рав3 ный 2S — двум среднеквадратичным погрешностям, внутрь которого попадает не менее 95% измерений. С другой стороны, случайная погрешность по формуле (2) 9

δb =

t pS

=

t p (b A − b B )

. (7) n 2 n Для оценки случайной погрешности углового коэффициента, среднее значение z − z1 которого из треугольника 123 (рис.3) 〈 k 〉 = 2 , также проводят параллельно x 2 − x1 экспериментальной прямой две линии так, чтобы большинство точек оказалось внутри (рис.3). Крайние точки 1а–2а, 1б–2б соединяют крест-накрест. Это экспериментальные прямые, проведенные под максимально и минимально возможными углами. Их угловые коэффициенты: z − z1δ , k max = 2δ x 2 − x1 (8) z 2a − z1a . k min = x 2 − x1 Их можно трактовать как наибольшее и наименьшее значения углового коэффициента, отличающегося от среднего на 2S. Тогда случайная погрешность аналогично (7) t p S t p (k max − k min ) δk = = . (9) n 2 n Можно еще упростить оценочную формулу, если подставить в (9) выражение (8), то получим t p ( z A − zB ) δk = , (10) n ( х 2 − х1 ) где zA – zB — расстояние между вспомогательными прямыми. 3 способ. Пользуются аналогией между дифференциалом функции и случайной погрешностью так же, как в случае оценки систематической погрешности. Оценка суммарной погрешности и запись окончательного результата производятся так же, как и при прямых измерениях. Из предложенных способов оценки случайной погрешности выбирают наиболее удобный. Доверительная вероятность графического способа Р = 0,95. Правила построения и обработки графиков График — самое наглядное представление результатов эксперимента. Графическое представление облегчает сравнение величин, позволяет легко обнаружить наличие характерных точек (экстремумов, точек перегиба), провести интерполяцию, экстраполяцию, обнаружить промах. График выполняется на миллиметровой бумаге. Вычерчиваются координатные оси, для независимой переменной чаще используют ось абсцисс, для функции — ось ординат. На осях наносят масштаб так, чтобы расстояние между деления10

ми, отмеченными на расстоянии 10 мм (20 мм) друг от друга, составляло 1,2,5,10 единиц измеряемой величины. В конце оси указывают откладываемую величину и ее единицу измерения, а также порядок масштаба (10 ± К, где k — целое число). Типичной ошибкой при построении графиков является нанесение экспериментальных значений на оси координат, что затрудняет работу с графиком. Масштаб нужно выбирать так, чтобы кривая заняла весь лист. Предпочтительный размер графика не менее 100 см2. Начало отсчета необязательно начинать с нуля; иногда удобнее выбрать округленное число, близкое к наименьшему результату, и таким образом увеличить масштаб. Точки на график нужно наносить тщательно и точно, обводя их каким-либо знаком (рис. 4): o,x,□ и т.д. По нанесенным на график точкам проводится плавная линия. При этом нужно руководствоваться следующими правилами: а) чем больше изгибов и неровностей имеет линия, тем она менее вероятна; б) сумма отрезков отклонений точек от линии в одну сторону должна быть равна сумме отрезков отклонений точек от этой же линии в другую сторону; в) по возможности не должно быть очень больших отклонений точек от линии; лучше иметь 2–3 небольших отклонения, чем одно большое. На графике пишут заголовок, содержащий точное и краткое описание того, что изображено. Если зависимость известна, то проводят теоретическую линию. Правила вычислений и запись результата При проведении расчетов или измерений необходимо ограничиться разумной точностью. Результат записать так, чтобы значащие цифры, стоящие перед последней, были достоверны, т.е. разряд последней цифры был равен разряду погрешности измерений. При округлении результата следует пользоваться следующими правилами. Если округляемая цифра меньше 5, то ее просто отбрасывают; если больше 5, то к последней неотбрасываемой цифре прибавляют единицу; если равна 5 и за ней нет значащих цифр, то округляют до ближайшего четного числа. При записи значения больших или малых по порядку величин общепринято k использовать множитель 10 ± , где k — целое число. Пример. Вычисление момента инерции тела по формуле

11

  ght 2 I = mr 2  − 1 ,  h0 ( h0 + h )  в которой значения величин m = 1,05 кг, r = 11,3 мм, g = 9,81 м/с2, h0 = 50,0 см, h = 38 см, t = 6,42 с. 2   − 2 2 9 ,81 ⋅ 0 ,38 ⋅ 6 ,42 − 1 = 0 ,0624 кг⋅м2. I = 1 ,05( 1 ,13 ⋅ 10 )   0 ,50( 0 ,50 + 0 ,38 )  Допустим, что суммарная абсолютная погрешность измерений включает в себя случайную и систематическую погрешности и равна 1,2⋅10–2 кг⋅м2. Случайная погрешность определена с доверительной вероятностью Р = 0,95. Результат запиn сывают в виде доверительного интервала, вынося за скобку множитель 10± , который показывает порядок измеряемой величины. При этом среднее значение величины округляют так, чтобы последние цифры величины и погрешности были в одном разряде. Так, в нашем примере I = ( 6 ,2 ± 1 ,2 )10 − 2 кг⋅м2.

12

ВВОДНАЯ РАБОТА ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ Цель работы: получить навыки в обработке результатов измерений, оценке погрешностей, определить ускорение свободного падения. Оборудование: маятник, секундомер, линейка. Описание метода Математический маятник представляет собой точечное тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити. Его период колебаний определяется формулой Гюйгенса l T = 2π , (1) g где l — длина нити, g — ускорение свободного падения. Формулу (1) можно использовать для экспериментального определения ускорения свободного падения по результатам прямых измерений расстояния l и периода колебаний Т для шарика на нити: g=

4π 2 l T

2

.

(2)

Описание установки Маятник представляет собой шарик, подвешенный на нити к кронштейну на стойке. На стойке установлен фотоэлемент. На основании стойки расположен электронный секундомер. Период колебаний рекомендуется определять, для повышения надежности и точности, по времени 10 колебаний Т = t /10. Для этого отвести шарик на небольшой угол, в пределах 50 и отпустить. При нажатии кнопки “Сброс“ электронного секундомера, начинается отсчет времени и числа колебаний. В момент, когда происходит десятое колебание, а на табло еще светится цифра 9, нажать кнопку “Стоп“. Тогда после окончания десятого колебания секундомер остановит счет. Длину нити можно изменять, наматывая ее на барабанчик. Расстояния от точки подвеса до центра шарика можно измерить по шкале на стойке или линейкой. Выполнение работы 1. Включить секундомер. Установить некоторую длину нити. Подвести фотоэлемент так, чтобы риски на фотоэлементе или центр луча совпали с риской центра шарика. Измерить расстояние от точки подвеса нити, где она выходит из кронштейна, до центра шарика по шкале на стойке. Оценить систематическую 13

погрешность измерения как точность установки центра луча на центр шарика. Результаты записать в таблицу. 2. Отклонить шарик от положения равновесия на небольшой угол и отпустить. Проследить, чтобы шарик качался перпендикулярно лучу и не задевал за фотоэлемент. Измерить период колебаний по времени 10 колебаний Т=t / 10. Оценить погрешность измерения θ Т = = θ t /10, где θ t — единица последнего разряда табло секундомера. Повторить опыт не менее 5 раз, изменяя длину нити от наибольшей, по шкале стойки, до наименьшей, равной примерно 10 диаметрам шарика (чтобы маятник еще можно было считать математическим). Результаты записать в лицу. таблицу. Таблица 2 2 2 l, м T, c g, м/с (gi–〈g〉), м/с (gi–〈g〉) , (м/с2)2 0,518 0,459 0,386 0,299 0,190

1,4382 1,3534 1,2478 1,1063 0,8707

9,87 9,89 9,77 9,65 9,88

+0,06 +0,08 – 0,04 – 0,15 +0,07

θ l = 0,001

θТ = 0,0001

〈g〉 = 9,81

∑(g–〈g〉) = =0,02

36⋅10–3 64⋅10–3 16⋅10–3 225⋅10–3 49⋅10–3 ∑(g–〈g〉)2 = =390⋅10–4

Обработка результатов измерений 1.Для каждого опыта рассчитать по формуле (2) ускорение свободного падения. Принять π = 3,141. Результат округлить до трех значащих цифр и записать в таблицу. 2.Определить среднее значение ускорения свободного падения с точностью до трех значащих цифр, 〈g〉 = 9,81 м/с2. 3.Получить формулы для оценки систематической погрешности, используя аналогию дифференциала функции (2) dg и погрешности θ g. Вначале формулу (2) прологарифмируем, а затем продифференцируем: lng = ln4 + 2lnπ + lnl – 2lnT, (3) 14

dg 2dπ dl 2dT . (4) = + − g π l T Заменим знак дифференциала на знак систематической погрешности, приняв значение ускорения равным среднему, преобразуем формулу (4) к виду 2

2

2

 2θ π  θ l   2θ T  θ g = 〈 g〉  (5)  +  +  .  π   l   T  4. Оценить систематическую погрешность θ g, приняв θ π = 0,001 как погрешность округления и θ Т = 0,0001 с. Тогда относительная погрешность измерения расстояния θ l/l оказывается на порядок выше, чем θ π / π и θ Т/Т, которыми можθl 9,81 ⋅ 1 но пренебречь. В результате получим θg = 〈 g 〉 = = 0,0255 м/с2. Округляl 386 2 ем до одной значащей цифры: θ g = 0,03 м/с . 5. Оценим случайную погрешность измерения ускорения свободного падения. Ее можно определить методом сведения к прямым измерениям: δg = t p

2 ∑ ( g i − 〈 g〉 ) .

n(n − 1)

(6)

Для удобства оценки суммы ∑(gi – 〈g〉 )2 расчеты сведены в таблицу. Сначала находят разности между каждым измеренным значением ускорения и средним (gi – 〈g〉). Причем их сумма должна быть близка к нулю. Затем находят квадраты разностей (gi – 〈g〉)2. Приняв значение коэффициента Стьюдента из табл. 1 (с. 7) при пяти измерениях и доверительной вероятности 0,9 равным 2,1, получим: δg = 2,1

390 ⋅ 10 − 4 = 9,3 ⋅ 10 − 2 = 0,09 м/с2. 5⋅4

6. В суммарной погрешности ∆g = (δg )2 + (θ g ) 2 систематическая погрешность в три раза меньше случайной (а ее квадрат — в девять раз) и ей можно пренебречь. В итоге ∆g = 0,09 м/с2. 7. Сделать выводы: ознакомились с методами обработки результатов измерений, определили ускорение свободного падения g = 9,81 ± 0,09 м/с2, Р = 0,90. Следовательно, истинное значение ускорения находится внутри доверительного интервала от 9,72 м/с2 до 9,90 м/с2 с доверительной вероятностью 90%. Это соответствует ускорению 9,80 м/с2 для Челябинска. Для уменьшения случайной погрешности следует увеличить число измерений.

15

МЕХАНИКА РАБОТА № 1 ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ УДАРА ТЕЛ Цель работы: проверить выполнение закона сохранения импульса при ударе тел, определить коэффициент восстановления энергии при упругом и неупругом ударах. Оборудование: баллистический маятник, весы. Описание метода Удар — это процесс кратковременного взаимодействия тел, при котором происходит значительное изменение скоростей тел, rсравнимое с их скоростями до r удара. Согласно второму закону Ньютона ∆ m V = F∆t вследствие кратковременности удара (∆t → 0) силы взаимодействия могут быть очень велики. Поэтому на время удара можно пренебречь внешними силами по сравнению с внутренними ударными силами и считать систему соударяющихся тел замкнутой. В замкнутой системе тел выполняется закон сохранения импульса: суммарный импульс тел со временем не изменяется: r r (1) ∑ m iVi = ∑ m i U i , r r где V i и U i — скорости тел до и после взаимодействия. Различают два предельных вида, две идеализации реального удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. При абсолютно упругом ударе тела в первой фазе упруго деформируются. При этом часть кинетической энергии превращается в потенциальную энергию упругой деформации. Затем во второй фазе тела под действием упругих сил расходятся, форма тел восстанавливается, и потенциальная энергия деформации тел полностью превращается обратно в кинетическую. В результате кинетическая энергия тел до и после удара одинакова. Таким образом, механическая энергия в процессе абсолютно упругого удара сохраняется. При абсолютно неупругом ударе тела деформируются неупруго, пластически. Тела после удара движутся совместно, их скорости одинаковы и это является признаком абсолютно неупругого удара. Часть кинетической энергии частично превращается в работу неупругого пластического деформирования тел, во внутреннюю энергию. Поэтому механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется, происходит ее диссипация (рассеяние). Диссипацию механической энергии при реальном ударе характеризуют коэффициентом восстановления энергии k, который определяется как отношение суммарной кинетической энергии тел после удара к их энергии до удара:

( )

16

E1′ + E 2′′ . E1 + E 2 Величина коэффициента восстановления энергии зависит от упругих свойств соударяющихся тел, их скоростей и масс. Для абсолютно упругого удара, при котором механическая энергия сохраняется, k = 1. В других реальных случаях k < 1. Рассмотрим прямой, центральный удар двух шаров, при котором скорости шаров перед ударом направлены вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Центры масс лежат на линии удара, т.е. на нормали к поверхности шаров в точке соприкосновения. k=

Упругий удар

Неупругий удар

До удара

После удара До удара После удара Схема соударения шаров Рис. 1 Пусть правый шар массой m1 со скоростью V1 налетает на покоящийся левый шар массой m2, V2 = 0. Запишем закон сохранения импульса для упругого и неупругого ударов в проекции на ось, направленную по скорости V1: m1V1 = – m1U1 + m2U2 , m1V1 = (m1 + m2)U12 .

(2) (3)

Здесь U1 и U2 — скорости правого и левого шаров после упругого удара, U12 —скорость шаров, движущихся совместно после неупругого удара. Для проверки выполнения закона сохранения импульса по уравнениям (2) и (3) определим скорости шаров через легко измеряемые углы отклонения нитей, от положения равновесия. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то при движении, например, правого шара, висящего на нити длиной l, по закону сохранения механической энергии m1V1 2 m 1 gh1 = ⇒ V1 = 2 gh1 . 2 17

(4)

Высота падения шара h1 = l(1 – cosβ 1). Для малых углов отклонения cosβ 1 = l = 1 – β 12/2 и h= β 1 2 . Следовательно, скорость шара в момент перед ударом 2 V1 = gl β 1 пропорциональна углу отклонения его от положения равновесия. Аналогично можно определить U 1 = gl γ 1 , U 2 = gl γ 2 , U 12 = gl γ 12 . Подставив формулы для скоростей в уравнение закона сохранения импульса (2) и (3), получим уравнения, которые можно проверить на опыте и сделать выводы о сохранении импульса при упругом и неупругом ударах: m1β1 = – m1γ1 + m2 γ2 , (5)* m1β1 = (m1 + m2) γ12 . (6)* Для получения формулы коэффициента восстановления энергии при ударе подставим сначала формулы для скоростей в выражения кинетической энергии. Например, m 1V1 2 gl E1 = = m1 2 β 1 , 2 2 а затем выражения для кинетической энергии в формулы коэффициентов восстановления энергии для упругого и неупругого ударов: 2 2 Е1′ + Е 2′ m1γ 1 + m 2γ 2 k упр = = , Е1 m1 β 12

(7)*

2 (m1 + m 2 )γ 12 ′ Е12 k неупр = = . 2 Е1 m β

(8)*

1 1

В уравнениях (5) – (8) β 1 — угол отклонения правого шара перед ударом, γ1 и γ2 — углы отклонения правого и левого шаров после упругого удара, γ12 — угол отклонения обоих шаров после неупругого удара (рис. 1). Теоретическое значение коэффициентов восстановления энергии для упругого m1V1 удара k = 1, а для неупругого при U 12 = m1 + m 2 m1 k неупр = . (9)* m1 + m 2 Получим формулу для оценки случайной погрешности среднего значения коэффициента восстановления энергии, например, для неупругого удара. Для этого вначале уравнение (8) прологарифмируем, а затем продифференцируем: ln〈kнеупр〉 = ln(m1 + m2) + 2lnγ12 – lnm1 – 2lnβ1,

18

dk k неупр

=

2dγ 12 γ 12

(m1, m2, β1 – величины постоянные). Заменим знак дифференциала на знак погрешности: δk = k неупр

2δγ 12 . γ 12

(10)*

Описание установки Баллистический маятник представляет собой два шара, подвешенных на нитях к кронштейну, и шкалу, по которой измеряются углы отклонения шаров. Для правого шара углы отклонения отсчитываются по правой части шкалы и считаются положительными, а для левого шара — по левой части шкалы. Для удержания правого шара перед ударом в отклоненном положении на шкале установлен электромагнит, который включается при нажатии на кнопку. На левом шаре приклеен кусочек пластилина. Для осуществления неупругого удара левый шар следует подвесить пластилином к точке удара, а для упругого удара — отвернуть. Центровка шаров производится перемещением нити в узле подвеса или изменением длины нитей. Выполнение работы 1. Определить взвешиванием на весах массы шаров. Оценить систематическую погрешность взвешивания. Результаты записать в табл. 1. Форма отчета приведена в приложении. 2. Произвести пробный удар. Для этого отвести правый шар к магниту и отпустить. Если шары движутся не параллельно плоскости шкалы, произвести центровку шаров. 3. Произвести серию опытов по упругому соударению шаров. Для этого левый шар отвернуть пластилином от точки удара. Отвести правый шар к магниту и включить магнит. Измерить угол отклонения правого шара β 1 и выключить магнит. После первого удара измерить углы отклонения левого γ2 и правого γ1 шаров. Типичной ошибкой является измерение угла γ2 для правого шара после того, как его вторично ударит левый шар. Если правый шар после удара отклоняется в левую часть шкалы, то при измерении γ1 считать отрицательным. В этом случае угол измерять после отклонения шара в правую часть шкалы. Опыт провести 5 – 8 раз при одном значении β1. Оценить погрешность измерения углов. Результаты измерений углов записать в табл. 1. 19

4. Произвести серию опытов по неупругому удару шаров. Для этого левый шар повернуть пластилином к точке удара. Отвести правый шар к магниту на тот же угол β 1 и произвести удар. Угол отклонения шаров в их совместном движении измерять по отклонению левого шара по левой шкале. Опыт повторить 5 – 8 раз. Результаты записать в табл. 1. Таблица 1 m1 ±θ m = …кг

m2 ±θ m2 = …кг

β1 ±θβ1 = …град

γ1 , град

〈γ1〉 =… рад 〈γ2〉 =… рад 〈γ12〉 = ... рад

γ2 , град γ12 , град

Обработка результатов 1. Вычислить среднее значение углов отклонения шаров после удара 〈γ1〉, 〈γ2〉, 〈γ12〉 и перевести в систему СИ. Записать в табл. 1. 2. Проверить выполнение закона сохранения импульса при упругом и неупругом ударах. Для этого по углу отклонения β 1 определить левую часть равенств (5) и (6), а по средним значениям углов отклонения шаров после удара — правую. Результаты записать в табл. 2. Убедиться в приближенном равенстве левых и правых частей уравнений. Таблица 2 Упругий удар

m1β1,

кг⋅рад

– m1〈γ1〉 + +m2〈γ2〉, кг⋅рад

〈kупр〉 ±∆k

Неупругий удар

m1β1,

kтеор

кг⋅рад

(m1+m2)х х〈γ12〉, кг⋅рад

〈kнеkтеор упр〉±∆k

1

3. Определить средние значения коэффициентов восстановления энергии для упругого и неупругого ударов по формулам (7) и (8), подставив в них средние значения углов отклонения шаров после удара. Сравнить с теоретическим значе20

нием коэффициенты восстановления энергии для упругого удара kупр = 1 и для неупругого, рассчитанного по формуле (9). Убедиться в их приближенном равенстве. Результаты записать в табл. 2. 4. Оценить погрешность измерений. Систематические погрешности измерения массы шаров и углов отклонения много меньше случайных ошибок опыта и ими можно пренебречь. Так как массы шаров и первоначальный угол отклонения измеряются один раз, случайные погрешности их измерения равны нулю. Определить случайную погрешность измерения, например угла γ12, полагая, что измерения равноточные и погрешности измерений углов отклонения одинаковы. Согласно формуле (2) раздела «Методы обработки результатов измерений» (с. 6) δγ 12 = δγ 1 = δγ 2 = t p

2 ∑ (γ 12 − 〈γ 12 〉 ) .

n(n − 1)

(11)

5. Оценить случайную погрешность измерения среднего значения коэффициента восстановления энергии, полагая ее одинаковой для обоих видов удара и равной абсолютной погрешности этого коэффициента. Так как систематическими погрешностями пренебрегаем, согласно формуле (10) ∆k = δk = 〈 k неупр 〉

2δγ 12 . 〈γ 12 〉

Результаты записать в табл.2. 6. Сделать вывод о законе сохранении импульса (см. п.2). 7. Сделать вывод о том, какая часть механической энергии сохраняется при упругом и неупругом ударах (см. п.3).

21

РАБОТА №2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ Цель работы: ознакомиться с баллистическим методом измерения скорости пули, с методом измерения момента инерции, с законом сохранения момента импульса. Оборудование: крутильно-баллистический маятник, секундомер, пружинный пистолет. Описание метода Одним из методов определения скорости пули является баллистический метод с применением крутильно-баллистического маятника. Маятник представляет собой крестовину, подвешенную на упругой нити, которая совпадает с осью вращения (см. рисунок). Когда пуля m попадает в мишень М, расположенную на краю стержня, то вследствие удара маятник отклоняется от положения равновесия на угол, пропорциональный скорости пули.

Так как в момент удара пули маятник должен быть в положении равновесия, то момент упругих сил подвеса равен нулю, а другие силы, кроме внутренних сил удара, отсутствуют, поэтому система “пуля – маятник“ замкнута. В замкнутой системе тел выполняется закон сохранения момента импульса: суммарный момент импульса тел остается постоянным. То есть момент импульса пули относительно оси маятника до удара как материальной точки m V r будет равен моменту импульса маятника с застрявшей в мишень пулей сразу же после удара:

(

)

mVr = I 0 + mr 2 ω 0 . 22

(1)

Момент инерции маятника специально выбран большим, по сравнению с моментом инерции пули: I >> mr2. Тогда из закона сохранения момента импульса скорость пули можно определить по формуле Iω V = 0 0. (2)* mr Если массу пули m можно определить взвешиванием на весах, расстояние от оси до точки удара пули r — прямым измерением линейкой, то момент инерции I и угловую скорость маятника ω0 приходится определять косвенно. Сразу же после удара маятник, получив угловую скорость ω0, начинает совершать гармонические колебания с амплитудой, равной наибольшему отклонению ϕ0, и периодом Т0 по закону 2π ϕ = ϕ 0 sin t. (3) T0 ∂ϕ Угловая скорость ω = изменяется соответственно по закону ∂t 2π 2π ω = ϕ0 cos t. (4) T0 T0 Амплитуда угловой скорости и является искомой угловой скоростью маятника после удара: 2πϕ 0 ω0 = . (5)* Т0 Момент инерции крутильно-баллистического маятника в данной работе предлагается определить по периоду колебаний: I Т 0 = 2π 0 , (6) k где k — неизвестный коэффициент упругости нити подвеса. Для его исключения сместим подвижные цилиндры массой m0 на стержне маятника от расстояния l0 до l1, изменив тем самым момент инерции маятника на известную величину ∆I = 2m0(l12 – l02). Тогда период колебаний станет Т 1 = 2π

(

)

I 0 + 2m 0 l 12 − l 02 . k

(7)

Решая совместно уравнения (6) и (7), получаем формулу для косвенного измерения момента инерции: 2m 0 l 12 − l 02 I0 = . (8)* 2  T1    − 1  T0 

(

23

)

С учетом формул (5) и (8) формула (2) примет вид

(

)

4πm 0 l 12 − l 02 T0ϕ 0 V= , 2 2 T1 − T0 mr

(

)

(9)

Описание установки Установка состоит из крутильно-баллистического маятника, подвешенного на кронштейнах стойки и помещенного в прозрачный кожух, пружинного пистолета и электронного секундомера. Пулей служит либо шарик, либо отрезок трубки. Для выстрела трубка одевается на стержень пистолета, рычагом перемещается, сжимая пружину до упора. Поворотом рычага по часовой стрелке пружина освобождается и происходит выстрел. Угол отклонения маятника измеряется по шкале в градусах либо, что более предпочтительно, в радианах. Счет времени и числа колебаний осуществляется электронным секундомером и начинается по сигналу фотоэлемента после нажатия на кнопку “Сброс“, когда флажок маятника пересечет луч фотоэлемента. Счет заканчивается после нажатия на кнопку “Стоп“ в момент окончания совершающегося колебания. Например, если нажать на кнопку, когда совершается десятое колебание и на табло светится число 9, то счет прекратится, когда произойдет десять полных колебаний. Выполнение работы 1. Определить взвешиванием на лабораторных весах массу пули m. Оценить систематическую погрешность взвешивания. Записать результат в табл. 1. Форма отчета приведена в приложении. 2. Произвести выстрел. Измерить угол первого отклонения ϕ0 . Измерить расстояние r от оси маятника до центра удара пули. Оценить систематические погрешности: θ r — как радиус пятна на мишени от удара пули, θϕ0 — как половину цены деления шкалы. При выстреле следить, чтобы маятник покоился в положении равновесия, указатель поворота был против нуля, пружина пистолета была бы сжата до упора, спуск происходил без толчка установки. При этом ось маятника должна быть вертикальна, а подвижные цилиндры находились бы на одинаковом, желательно небольшом расстоянии от оси и закреплены. Опыт повторить не менее пяти раз. Результаты записать в табл. 2. 3. Измерить расстояние между подвижными цилиндрами и осью маятника l0. Записать результат измерения l0 и массу цилиндра m0, указанную на нем, и систематические погрешности измерения θ l0 и θ m в табл.1. Отклонить маятник от положения равновесия на угол, примерно равный ϕ0 и отпустить. Маятник начнет совершать колебания. Включить секундомер и измерить время десяти колебаний 24

t0. Тогда период колебаний Т0 = t0/10. Оценить систематическую погрешность θ Т0=t0/10, где θ t0 — единица последнего разряда секундомера. Результаты записать в табл. 1. 4. Сместить цилиндры от оси маятника на одинаковое расстояние l1 и измерить его. Для повышения точности определения момента инерции по формуле (8) желательно, чтобы разность l1 – l0 была бы как можно больше. Результат записать в табл. 1. Отклонить маятник от положения равновесия и измерить период колебаний Т1 = t1/10. Результаты записать в табл. 1. Таблица 1 m±θm, кг

r±θr, м

m0±θm, кг

l0±θl, м

l1±θl, м

T0, с

Т1, с

Таблица 2 ϕ0, град

〈ϕ0〉±θϕ= = …, рад

ϕ0, рад

Обработка результатов 1. Вычислить среднее значение угла отклонения маятника ϕ0. Результат записать в табл. 2. 2. Определить по среднему значению угла поворота 〈ϕ0〉 и периодов Т0, Т1 средние значения угловой скорости 〈ω0〉 по формуле (5) и момента инерции 〈I0〉 по формуле (8). 3. Определить по средним значениям угловой скорости 〈ω0〉 и момента инерции 〈I0〉 среднее значение скорости пули 〈V〉 по формуле (2). 4. Оценить погрешность измерения скорости пули. Для этого оценить случайную погрешность измерения угла поворота маятника по формулам (3), (4) раздела «Методы обработки результатов измерений» (с. 6) δϕ =

( ϕ max − ϕ min ) , Р = 1 – (0,5)n – 1 2

(10)*

и систематические погрешности всех измерений. Результаты занести в табл. 3. 25

Таблица 3 Измеряемая величина Название Масса цилиндра m0 Расстояние l Расстояние l1 Период Т0 Период Т1 Угол отклонения ϕ0 Масса пули m Расстояние r

Погрешность

Среднее системат. значение θ кг м м с с рад кг м

случайная δ — — — — — …, Р = …

относительная γ системат. случайная — — — — — …, Р = … — —

Относительную погрешность полученного результата γV принять равной относительной погрешности той величины, которая измерена менее точно и рассчитать абсолютную погрешность измерения скорости пули ∆V = V γV. 5. Записать результат измерения скорости пули в виде V=〈V 〉 ± ∆V, P=…%. Сделать выводы. Если погрешность измерений превышает 20%, то работу следует провести повторно, более тщательно. Сделать вывод о реальности рассчитанного значения скорости пули.

26

РАБОТА №3 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА Цель работы: ознакомиться с основным законом динамики вращательного движения и динамическим методом определения момента инерции тел. Оборудование: маятник Обербека, секундомер, штангенциркуль, линейка, набор грузов. Описание метода измерений Согласно основному закону динамики вращательного движения для твердого тела угловое ускорение ε пропорционально моменту силы М и обратно пропорционально моменту инерции тела I : r r М ε = . (1) I Моментом силы называют физическую величину, равную векторному произr r r ведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы: М = r , F . Моментом инерции тела относительно данной оси называют величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния до оси:

[ ]

I = ∑ m i ri2 . Физический смысл момента инерции тела становится понятным из i

сравнения основного r закона динамики вращательного движения со вторым закоr F ном Ньютона: a = . Как и масса тела при поступательном движении, так и моm мент инерции при вращательном движении являются мерой инертности тела. Однако величина момента инерции за–2 висит не только от массы тела, но и от , с ее распределения: чем дальше от оси расположены части тела, тем больше моменты инерции. Экспериментально момент инерции твердого тела можно определить из основного закона динамики вращательного движения (1). Графически зависимость углового ускорения от момента силы изображается прямой в координатах ε(М) (рис.1, теор.), угловой коэффициент которой равен 1/I. Но обычно существует трудно учитываемый мо, Н⋅м 27

мент сил трения Мтр и зависимость ε(М) не проходит через начало координат. Однако, если данные измерений М и соответствующего углового ускорения тела могут быть представлены линейной зависимостью (рис. 1, эксп.), то основной закон динамики вращательного движения справедлив. При этом момент инерции может быть определен как отношение изменения момента силы к соответствующему изменению углового ускорения тела (рис. 1): M − M1 I= 2 . (2)* ε 2 − ε1 Экспериментально основной закон динамики вращательного движения проверяется на установке (рис. 2), которая представляет собой крестовину, приводимую во вращение грузом m. Приняв, что нить невесома, нерастяжима, считаем движение грузов равноускоренным. Ускорение груза a определяют, измерив время его движения и пройденный путь h: (3) a = 2h / t 2 . Угловое ускорение маятника ε выразим через линейное ускорение и радиус шкива r: а 2h ε = = . (4)* r rt 2 Силу натяжения нити Т можно определить, применив к движению груза массой m закон Ньютона (пренебрегая при этом сопротивлением воздуха): T = m ( g − a ) ≅ mg , так как обычно а << g . Таким образом, измерив для груза массой m время t прохождения им расстояния h, можно рассчитать угловое ускорение ε (формула 4) маРис. 2 ятника и определить момент силы, действующий на маятник: M = Tr = mgr . (5) При вращении маятника на него действует также тормозящий момент сил трения Mтр, и поэтому закон динамики принимает вид Iε = M − M тр . (6)* Это уравнение позволяет найти момент инерции блока Ι динамическим методом, измерив ряд величин ε и М. Для более точного определения величины Ι в опыте получают зависимость ε = f ( M ) , линейный характер которой (при Мтр=const) позволяет рассчитать среднее значение Ι по угловому коэффициенту опытной прямой. Для маятника Обербека, состоящего из тел простой геометрической формы, момент инерции можно рассчитать теоретически как сумму моментов инерции 28

стержней и грузов m0. При этом грузы можно принять за материальные точки, а моментом инерции шкивов пренебречь. Относительно оси вращения О

I = I кр + 4m 0 l 2 , где I кр – момент инерции крестовины.

(7)*

Описание установки Основной частью установки является крестообразный маятник Обербека, который может вращаться вокруг оси О (рис. 2). По стержням крестовины могут перемещаться подвижные цилиндры 3 массой m0. На одной оси с крестовиной насажены шкивы 1 и 2 разного радиуса r. К концу нити, намотанной на один из шкивов и перекинутой через невесомый блок 4, прикрепляется груз 5 массой m, приводящий маятник во вращательное движение. Время прохождения грузом расстояния h измеряют секундомером. Маятник в исходном положении удерживается электромагнитом, при нажатии клавиши «Пуск» секундомера электромагнит отключается, груз начинает двигаться и одновременно включается секундомер. Счет времени заканчивается при достижении грузом нижнего положения. Для того, чтобы секундомер сработал, необходимо установке с помощью винтов в основании платформы придать такое положение, при котором груз опускался бы точно в отмеченный круг. В этот круг вмонтирован датчик, выключающий секундомер. Расстояние h отмечается по линейке, установленной в верхней части установки, на которой указывается расстояние груза в начальном положении от основания установки. Выполнение работы Задание 1. Изучение закона вращения маятника. 1.Определить массу грузов m, установить центры подвижных цилиндров m0 на одинаковом расстоянии l от оси вращения и измерить радиусы шкивов r1 и r2. Результаты записать в табл. 1. Таблица 1 mст = … кг; h ± θ h = …м; l = …м; r, м r1 =

r2 = θr=…

№

m, кг

t, c

θm = …

θt=…

1 … 4 5 … 8 29

M, Н⋅м

ε, с–2

2. Прикрепить к нити один из грузов m. Вращая маятник, намотать нить на малый шкив r1 в один слой и включить электромагнит красной кнопкой, расположенной в верхней части установки. Записать расстояние h, проходимое грузом при падении. Убедиться, что нить и груз во время движения не задевают неподвижные части установки или другие предметы. Устранить качание груза и нажать кнопку «Пуск» секундомера. Записать время t движения груза до нижней точки. 3. С тем же шкивом, увеличивая массу груза m (не менее 4-х раз), измерить время t движения груза на пути h. Все результаты по мере их получения записать в табл. 1. 4. Аналогичные измерения провести, используя шкив радиусом r2. Задание 2. Измерение динамическим методом момента инерции крестовины маятника. 1. Закрепить подвижные цилиндры на минимальном и одинаковом расстоянии l от оси вращения. Прикрепить к нити груз массой m. Выбрать для эксперимента один шкив, измерить его радиус r и записать в табл. 2 значения m, r и h. Таблица 2 h = …м; m = …кг; r = …м № l, м t, c l2, м2 I, кг⋅м2 1 2 … 5 〈l〉2 〈I〉 2. Вращая маятник, намотать нить на шкив в один слой и измерить время движения t. 3. Провести 5 опытов с тем же грузом m, уменьшая всякий раз на 2 см расстояние цилиндров l от оси вращения. Результаты измерений l и t внести в табл. 2. Обработка результатов Задание 1 1. По экспериментальным значениям для каждого опыта рассчитать угловые ускорения маятника по формуле (4) и момента силы натяжения нити по формуле (6). Результаты в системе СИ записать в табл. 1. 2. Построить график линейной зависимости ε(М) (см. с. 11 и рис.1), нанеся точки для обоих шкивов на один график. Если отклонение экспериментальных точек от проведенной по ним средней линии невелико, то можно сделать вывод, что основной закон динамики вращательного движения подтвержден. Если разброс точек велик, то допущен промах в эксперименте или в расчетах. При необходимости опыты провести более тщательно. 30

3. Определить среднее значение момента инерции маятника графическим методом. Для этого выбрать на экспериментальной прямой две возможно более удаленные точки и определить их координаты. Их значения указать на графике и подставить в расчетную формулу (2). 4. По графику определить момент сил трения (см. рис. 1), сравнив его с моментами, создаваемыми грузами и сделать вывод. 5. Оценить погрешности измерений. Опыт показывает, что систематические погрешности невелики по сравнению со случайными и ими можно пренебречь. Определить случайную погрешность измерения момента инерции графическим методом. Для этого провести на графике ε(М) две линии, параллельные экспериментальной прямой так, чтобы большинство точек было внутри них. Графическим методом (см. с. 9–10 и рис. 1), рассматривая полученный график как зависимость М(ε) в соответствии с формулой (10) (с. 10), получаем t ( MB − M A ) δI = P , (8)* ( ε 2 − ε1 ) n где интервал МВ – МА определяется по графику как расстояние между вспомогательными прямыми, внутри которых находятся экспериментальные точки, за исключением промахов, а n – число измерений. 6. Записать результат в виде I = 〈I〉 ± δI, P = 0,95. Сделать вывод о выполнении основного закона динамики вращательного движения Задание 2 1. Вычислить для каждого опыта величины l2 и момент инерции маятника по формуле, полученной с учетом выражений (3) – (6): 2  M 2  gt (9)* I= = mr − 1 .  2h  ε   Результаты записать в табл. 2. 2. Построить график зависимости момента инерции маятника I от l2 (см. рекомендации с. 10–11). Сделать вывод о характере полученной зависимости I = f(l2). 3. Определить с помощью графика (динамическим методом) момент инерции крестовины Iкр, который согласно (7) равен параметру b линейной зависимости I = = f(l2). 4. Рассчитать массу подвешенных грузов m0. 5. Сравнить полученную массу грузов с указанной на установке. Сделать вывод о выполнении теоремы Штейнера.

31

РАБОТА № 4 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА Цель: исследовать соударение тел, проверить выполнение законов сохранения импульса и энергии. Оборудование: специальная установка, набор тел (шайб), весы Описание установки Установка состоит из горизонтально расположенного рабочего поля 3 (рис. 1) с нанесенной координатной сеткой, по которому перемещаются взаимодействующие тела 1 и 2. Начальную скорость телу 1 в направлении оси Х сообщает ударный пружинный механизм 5. Перед выстрелом тело 1 фиксируется между направляющими 6. Ударный механизм снабжен винтом 4, изменяя положение которого можно изменять начальный импульс тела 1.

6 4

У

5

1

2

3

20 10 Х

10

20

10

20

30

40

Рис. 1 Описание метода Боёк ударного пружинного механизма, ударяя по телу 1 (рис. 2), сообщает ему начальный импульс r r P0 = m1υ 0 , (1) где m1 – масса первого тела, r υ 0 – начальная скорость тела. 32

Начальную скорость тела υ0 можно оценить по длине пути lо, пройденному телом по рабочему полю до остановки при свободном движении. Работа силы трения равна Аmp = − µ mgl . По теореме об изменении кинетической энергии эта работа равна приращению энергии тела 2 mυ0 Атр = ∆Е = 0 − , (2) 2 откуда начальная скорость υ 0 = 2 gµ l 0 . (3) Следует отметить, что υ0 – скорость шайбы в момент соударения, когда она находится на расстоянии l0 до точки, где остановится. r r После взаимодействия тела начинают двигаться со скоростями υ1 и υ 2 соответственно. Их суммарный импульс: r r r P = m1υ1 + m2υ 2 , (4) где

υ1 = 2 gµ l1

– скорость 1 тела после взаимодействия,

υ 2 = 2 gµ l 2

– скорость 2 тела после взаимодействия,

(5)

l1, l2 – расстояния, проходимые телами после взаимодействия. Длину пути l0 при свободном движении тела 1 (в отсутствие второго тела), а также после соударения l1 и l2, определяют по изменению координат x и y крайних точек тел (рис. 2). l 0 = ∆ x = x − x 01

l1 =

(∆x1 )2 + (∆у1 )2 =

( x1 − x01 )2 + ( у1 − у01 )2

l2 =

(∆x2 )2 + (∆у2 )2 =

( x2 − x02 )2 + ( у2 − у02 )2

у2

х02

У

(6)

х2

l2

у02

l0

0

Х

у01

у1

l1

х01

х1 Рис. 2 33

х

В случае нецентрального удара, первое тело продолжит движение под углом α к направлению оси Х. При этом:

sinα =

∆y1

l1

cosα =

,

∆x1

l1 .

(7)

Второе тело начнет двигаться под углом β к оси Х

sinβ =

∆ y2

l2

cosβ =

,

∆x2

l2 .

(8)

Закон сохранения импульса в проекции на оси координат Х и У принимает вид: на ось X m1υ 0 = m1υ1cosα + m2υ 2cosβ , на ось У 0 = m1υ1sinα − m 2υ 2sinβ . С учетом (6)–(8) закон сохранения импульса принимает вид: m1 l 0 =

на ось X(проекция) на ось У(проекция)

0=

m1∆x1 m 2 ∆x 2 + , l1 l2

m1∆y1 m 2 ∆y2 − . l1 l2

(9)*

До взаимодействия кинетическая энергия системы m1υ 02 = µ m1 g l 0 , 2 а после взаимодействия энергия системы: E нач =

E конеч

m1υ12 m 2υ 22 = + = µ m1 g l1 + µ m 2 g l 2 . 2 2

(10)*

(11)*

При абсолютно упругом ударе энергия системы не меняется: E нач = E конеч , k=

и коэффициент восстановления энергии

E конеч = 1. E нач

E нач > E конеч ,

При неупругом ударе и коэффициент восстановления энергии

k < 1.

34

(12)

Выполнение работы 1. Выбрать два тела примерно одинаковой массы, определить её и записать значения m1 и m2 в табл. 1. 2. Определить скорость тела 1 при свободном движении. Для этого взвести пружинный механизм, зафиксировав его в первом пазу. Шайбу 1 вставить в направляющие до упора. Записать её начальные координаты (см. рис. 2). Произвести выстрел и занести в табл. 1 координату х крайней точки шайбы. Таблица 1 Начальные координаты и массы тел

m1 =

(кг)

m2 =

(кг)

х01 =

(мм)

х02 =

(мм)

у01 =

(мм)

у02 =

(мм)

Конечные координаты тел при свободном

после взаимодействия

движении № п/п

х, мм

х1,

мм

у1,

мм

х2,

мм

у2,

мм

1 2 3 4 5 6 7 Среднее Приращение координаты ∆ Расстояние

〈х〉 =

〈х1〉 =

∆х = х − х 01 ∆х1 = х 1 − х 01

l 0 = ∆х

l1 =

〈у1〉 =

〈х2〉 =

〈у2〉 =

∆у1 = у1 − у 01

∆х 2 = х 2 − х 02

∆у 2 = у 2 − у 02

(∆x1 )2 + (∆у1 )2

l2 =

(∆x2 )2 + (∆у2 )2

3. При тех же условиях повторить опыт еще 6 раз. Результаты занести в табл. 1 и рассчитать среднее значение расстояния l0 . 35

4. Установить тело 1 в исходное положение. Тело 2 установить в одном из закрашенных кругов. Записать начальные координаты крайних точек второго тела (рис. 2). Произвести выстрел и занести в табл. 1 координаты крайних точек тел. 5. При тех же условиях повторить опыт еще 6 раз. Результаты занести в табл. 1. Рассчитать средние значения х1 , у1 , х2 , у2 ; приращения координат ∆х1, ∆у1, ∆х2, ∆у2 и перемещения тел l1 и l2 . 6. Рассчитать по формуле (9) величины, пропорциональные проекциям импульсов тел на оси координат до и после соударения и занести результаты в табл. 2. Таблица 2 Импульс Вдоль

До удара

После удара

m1 lo , кг мм1/2

m1

∆x1 ∆x + m 2 2 , кг мм1/2 l1 l2

0

m1

∆у1 ∆у − m 2 2 , кг мм1/2 l1 l2

оси Х

Вдоль оси У

7. Рассчитать величины, пропорциональные энергиям до и после соударения (см. формулы (10 и 11)) и занести результаты в табл. 3. Таблица 3 До удара Энергия

Коэффициент восстановления

m1 l0 , кг мм

[m1l1 + m2 l2 ]

m1l 0

После удара m1l1 + m 2 l 2 , кг мм

=

8. Повторить опыт по п.п. 1–7 для тел разной массы. Результаты занести в таблицы, аналогичные табл. 1–3. 9. Сравнить результаты до и после удара и сделать выводы. 10. Произвести простейшую оценку погрешности измерений. В качестве систематической погрешности в данных опытах следует взять приборную погрешность, равную половине цены деления измерительного прибора. 36

Случайная погрешность определяется по разбросу выборки: ( х − xmin ) , δх = max 2 где хmax и хmin – максимальное и минимальное значение измеряемой величины в серии из n повторных измерений. Этой границе доверительного интервала, совпадающего с δх, соответствует доверительная вероятность n −1

1 P = 1−  .  2 В табл. 4 занести средние значения прямых измерений, выполненных в одном из упражнений и значения погрешностей этих величин – систематической и случайной. Таблица 4 Абсолютная Относительная погрешность Величина Значение погрешность γ систематич. θ cлучайная δ m1 (кг)

––

m 2 (кг)

––

х01 (мм)

––

у01 (мм)

––

х02 (мм)

––

у02 (мм)

––

х1 (мм) у1 (мм) х2 (мм) у2 (мм) Для каждой величины выбрать наибольшую из погрешностей, рассчитанных в п. 1 и определить наибольшую относительную погрешность γ измерения каждой величины. В окончательном выводе следует отметить для каких величин желательно увеличить (и как?) точность измерений, а для каких её можно и уменьшить без ущерба для конечного результата. Погрешность измерения величины импульса и энергии в первом приближении можно считать равной (во всяком случае не выше) относительной погрешности менее точно измеренной величины (в табл. 4). С учетом этого сделать вывод о выполнении законов сохранения импульса и энергии либо о причинах их невыполнении в проведенных опытах. 37

РАБОТА № 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА, СКАТЫВАЮЩЕГОСЯ С НАКЛОННОЙ ПОВЕРХНОСТИ Цель: определить момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения расчётным и экспериментальным методом. Оборудование: установка, набор тел, секундомер. Описание установки В работе используются тела, осью которых является цилиндрический стержень радиусом r. Одно из тел 1 (рис. 1) помещают на параллельные направляющие 2, образующие с горизонтом углы α1 и α2.

Рис. 1 Если тело отпустить, то оно, скатываясь, достигнет нижней точки и, двигаясь далее по инерции, поднимется вверх по направляющим. Движение тела, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, называется плоским. Плоское движение можно представить двумя способами: либо как совокупность поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс; либо как только вращательное движение вокруг мгновенной оси вращения (МОВ), положение которой непрерывно изменяется. В нашем случае эта мгновенная ось Z проходит через точки касания направляющих с движущимся стержнем. Описание метода измерений При скатывании тело, опускаясь с высоты h0 = l 0sinα 1 ≅ l 0α 1 , проходит путь l0, а поднимаясь по инерции на высоту h ≅ lα 2 , проходит путь l. В нижней точке скорость поступательного движения центра масс υ = 2l0 / t , а угловая скорость тела ω = υ / r = 2l0 / (rt ) , (1) где t – время движения от верхней точки до нижней, r – радиус стержня (оси). 38

На скатывающееся тело действует момент сил сопротивления Мтр. Работа его на пути l0 равна А = Мтрϕ0, где угловой путь ϕ0 = l0/r. Закон сохранения энергии на отрезке пути l0 имеет вид Iω 2 mgh0 = + М трϕ , (2) 2 где Ι – момент инерции скатывающегося тела относительно МОВ, m – масса тела, включающая в себя массу стержня. При движении тела вниз с высоты h0 и вкатывании его на высоту h работа сил сопротивления на пути (l + l0) равна убыли потенциальной энергии, так как кинетическая энергия в крайних точках равна нулю: l +l М тр 0 = mgh0 − mgh . (3) r Решая совместно (1) – (3), получаем формулу для определения момента инерции динамическим методом: mgr 2 ( α 1 + α 2 ) lt 2 . (4)* I= 2 l0 l0 + l Здесь величина (α1+ α2) является константой для данной установки. Задание 1. Определение момента инерции тела динамическим методом 1. Определить массу т тела, записать ее значение, а также постоянную установки (α1 + α2) в табл. 1. 2. Проверить правильность положения установки. Для регулировки использовать винты основания. При скатывании тело не должно смещаться к одной из направляющих. Измерить штангенциркулем диаметр d стержня в тонкой части, определить его радиус r. 3. Включить секундомер. Установить тело на направляющие на расстоянии l0 от нижней точки, прижав его к упорам. Положение тела фиксируется магнитом по нажатию кнопки электромагнита. 4. Нажать кнопку секундомера «Пуск». При этом электромагнит отключится и тело начнет двигаться. Когда тело достигнет нижней точки, секундомер автоматически выключится. Записать время движения тела до нижней точки в табл. 1. 5. Наблюдая далее за движением тела по инерции, отметить расстояние l, на которое оно поднимется до остановки. 6. Опыт повторить еще четыре раза при том же расстоянии l0, записывая результаты в табл. 1.

39

Таблица 1 №

t, с

l, м

α1+α2=

рад

1 …

m=

кг

l0 = 0,51

м

5

r= Ι=

Среднее значение

d = 2

м кг⋅м2

7. Найти средние значения величин t, l и по формуле (4) рассчитать момент инерции тела Ι относительно МОВ. 8. Рассчитать теоретическое значение момента инерции тела относительно центра масс. Так как момент инерции любого тела равен сумме моментов инерции отдельных его элементов, мысленно разделить исследуемое тело на простые элементы, для которых формулы расчета величины момента инерции известны: 1 I i = mr 2 (5)* а) диск, цилиндр 2 1 б) пластина (6)* Ii = ( а 2 + b2 ). 12 Записать в табл. 2 массы элементов (указаны на элементах), их размеры. Таблица 2 № Элемент тела вращения Масса, Диаметр d, м Момент инерп/п mi, кг размеры а, b, м ции Ii, кг⋅м2 1. Диск 2. Стержень 3. Пластина Ic = I1+I2+I3 Тело m = ∑ mi Iz = Ic+ma2 Момент инерции тела относительно МОВ определяется теоремой Штейнера I z = I c + ma 2 , (7)* где Ic – момент инерции, относительно центра масс; a – расстояние от центра масс тела до оси вращения (в этом опыте a = r). Рассчитать момент инерции тела Iz относительно МОВ по формуле (7) и записать в табл. 2. 9. Оценить суммарную относительную погрешность определения момента инерции I − I эксп γ = z 100% . (8)* Iz 10. Записать окончательный результат с учетом погрешности. 11. Сделать вывод. 40

Задание 2. Изучение зависимости момента инерции от распределения массы относительно оси вращения В этом задании используется тело в виде крестовины, по которой могут перемещаться грузы – цилиндры. Все результаты измерений занести в табл. 3. 1. Определить массу т тела и радиус r оси тела, и записать постоянную установки (α1 + α2). 2. Установить подвижные цилиндры на минимальном расстоянии b от оси вращения и измерить это расстояние. Примечания. 1. Когда грузы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, тело должно находиться в безразличном положении равновесия на горизонтальных направляющих. 2. Так как цилиндры имеют одинаковый размер, расстояние между центрами грузов равно расстоянию между их торцами, которое можно измерить значительно точнее (рис. 2).

2b r 2b 2b

Рис. 2 № 1

b, м

t, c

2

b,м

2

l, м

I, кг⋅м

…

2

Таблица 3 α1 + α2 = рад m= кг m0 = 0,135 кг r= м l0 = 0,51 м

5 3. Установить тело на направляющие на расстоянии l0 от нижней точки, прижав его к упорам. Положение тела фиксируется магнитом нажатием кнопки электромагнита. 4. Нажать кнопку секундомера «Пуск». При этом электромагнит отключится и тело начнет двигаться. Когда тело достигнет нижней точки, секундомер автоматически выключится. Записать время движения тела до нижней точки в табл. 3. 5. Отметить расстояние l, на которое продвинется тело, поднимаясь по инерции. 6. Повторить измерения п.п. 3–5 при других расстояниях b цилиндров, относительно оси вращения. 7. Рассчитать b2 и момент инерции тела I (формула 4) для каждого опыта. 8. Построить график зависимости (см. стр. 11) I = f(b2). 41

9. Экстраполируя график I = f(b2) на ось ординат, определить момент инерции крестовины Iкр. 10. Выбрать на концах экспериментальной прямой две точки 1 и 2 и рассчитать среднее значение углового коэффициента, т.е. массу грузов. I −I 2m 0 эксп = 22 12 . (9)* b2 − b1 11. Оценить суммарную относительную погрешность, которая характеризует точность выполнения теоремы Штейнера m − m 0 эксп γ = 0 . (10)* m0 12. Рассчитать теоретическое значение момента инерции крестовины относительно оси симметрии и относительно МОВ аналогично п. 8 задания 1. Момент инерции стержня при вращении вокруг оси, проходящей через середину стержня, перпендикулярно его оси, рассчитывается по формуле 1 I = ml 2 . (11)* 12 13. Сделать выводы.

42

РАБОТА № 6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА Цель: определить момент инерции маховика, проверить теорему Штейнера. Оборудование: специальная установка, набор гирь, штангенциркуль, секундомер 5

Описание установки

Диск 1 с резьбовыми отверстиями насажен на ось (рис. 1) и может вращаться с малым трением. На той же 4 оси находится шкив 2 радиусом r, на который наматывается нить. К другому концу нити привязан груз 4 массой m, под действием которого система приводится во вращение. Путь, пройденный грузом до своего нижнего положения (когда нить полностью размотается), определяется по шкале 3, вдоль которой груз движется. В резьбовые отверстия диска могут вворачиваться дополнительные грузы 5 цилиндрической формы (радиуса R) и массы т0. В установке предусмотрено автоматическое измереРис. 1 ние времени движения груза до нижней точки и расстояния h, на которое поднимается груз по инерции после прохождения нижнего положения. Описание метода измерений Если намотать нить на шкив, подняв на высоту h0 груз m, то он будет обладать потенциальной энергией W0=mgh0. При падении груза его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения груза mυ 2 / 2 и энергию вращения диска Ιω2/2. Зная время t падения груза до нижней точки, можно определить конечную скорость движения груза υ = 2h0 / t и угловую скорость вращения диска ω = υ / r = 2h0 / (r t ) , где r – радиус шкива. При движении в подшипниках действует момент сил трения Мтр, для преодоления которого на пути h0 = ϕ0 r совершается работа h А = М трϕ 0 = М тр 0 , (1) r где ϕ0 – угол поворота диска (угловое перемещение). Работа сил трения равна изменению механической энергии системы А = W0 – W. 43

(2)

В соответствии с законом сохранения энергии и равенством (2) h m υ 2 Iω 2 mgh0 = + + М тр 0 . (3) 2 2 r Момент сил трения Мтр находится из следующих соображений. После того, как груз опустится до нижней точки, маховик, продолжая вращение по инерции, поднимет груз на высоту h; там его потенциальная энергия mgh меньше, чем начальная, на величину работы, совершенной против сил трения на всём пути (h0 + h) = ϕ r. Из закона сохранения энергии и формулы (2) следует h +h М тр 0 = mgh0 − mgh . (4) r Решая совместно уравнения (3) и (4), получим расчётную формулу для момента инерции вращающегося тела:  ght 2 2 I = mr  − 1 . (5)* ( ) h h + h 0 0   Задание 1. Определение момента инерции диска 1. Снять дополнительные грузы с диска. 2. Измерить штангенциркулем диаметр шкива d в нескольких местах, записывая результаты в табл. 1, и определить среднее значение 〈d〉. Таблица 1 № п.п. d, м t, с h, м r = d / 2= м 1 … m= кг, 5 h0 = м Ιд =

Среднее значение

кг⋅м2

3. Вращая диск, намотать нить в один слой на шкив и включить электромагнит красной кнопкой, расположенной в верхней части установки. Измерить и записать расстояние h0 от груза до нулевой отметки шкалы. 4. Определить массу груза m, подвешенного к нити, включить секундомер. 5. В момент прохождения грузом нижнего положения секундомер выключается. Продолжая дальше наблюдение за движением груза m, заметить высоту h, на которую поднимется груз, двигаясь по инерции. Показание секундомера t и высоту h записать в табл. 1. 6. Повторить измерения еще четыре раза при тех же значениях m и h0. 7. Вычислить среднее значение момента инерции диска Ιд по формуле (5).

44

Задание 2. Проверка теоремы Штейнера 1. Определить массу т0 и радиус R дополнительных грузов. Закрепить их на одинаковом расстоянии от оси вращения на диске установки и замерить расстояние l1 от оси вращения до центра грузов. Результаты этих измерений и число дополнительных грузов k занести в табл. 2. Таблица 2 m0=

№

кг

п.п.

k= R=

м

1

r=

м

2

h0=

м

3

Iд=

кг м2

4

l1 = t, с

м h, м

l2 = t, с

м h, м

l3 = t, с

м h, м

l4 = t, с

м h, м

5 Среднее

Iэксп I Г = 1 m0 R 2 + m0 l 2 2 I расч = I Д + k I Г 2. Занести в табл. 2 результаты измерений, полученных в задании 1: радиус шкива r, массу груза т, расстояние, проходимое грузом до нулевой отметки h0, момент инерции диска Iд и число дополнительных грузов k. 3. Провести измерения (см. п.п. 2–6 задания 1) и результаты занести в табл. 2. 4. Рассчитать момент инерции Iэксп диска с дополнительными грузами (формула 5). 5. Рассчитать момент инерции дополнительных грузов IГ, используя теорему Штейнера I Г = ( 0 ,5m 0 R 2 + m 0 l 2 )k и результат занести в табл. 2. 6. Рассчитать момент инерции системы «диск–дополнительные грузы» I расч = I д + kI Г . 7. Провести подобные измерения и расчеты с другим положением дополнительных грузов на диске (п.п. 3–6 задания 1). 8. Сравнить полученное экспериментально значение момента инерции Iэксп и расчетное значение момента инерции системы Iрасч и сделать выводы. 45

Задание 3. Оценка погрешности измерений 1. Оценить случайные погрешности измеряемых величин по разбросу полученных значений ( δх = ( хmax − xmin ) / 2 ) и приборные (систематические) погрешности всех измерений. Результаты занести в табл. 3. Таблица 3 Погрешность Измеряемая величина наибольшая системат. θ случайная δ средн. относительная γ Название значение Масса груза т кг –– Высота ho

м

Высота h

м

Время t

с

Радиус r

––

мм

Масса m0

г

––

Радиус R

м

––

Расстояние l

м

––

2. Относительную погрешность полученного результата γ I принять равной погрешности той величины, которая измерена менее точно и рассчитать абсолютную погрешность величины момента инерции ∆I = γ I I . Записать результат в виде: I = I ± ∆I , P = 1 − ( 0 ,5 )n − 1 . 3. Сравнить расчетные значения момента инерции и полученные экспериментально и сделать выводы.

46

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ РАБОТА № 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ Цель: ознакомиться с закономерностями колебаний физического маятника, определить ускорение свободного падения. Оборудование: оборотный (физический) маятник, секундомер. Описание установки 2

Физический маятник – любое тело, имеющее ось вращения не проходящую через центр его масс. В нашем случае это стальная полоса 1 переменного сечения, на протяжении которой имеется несколько отверстий для крепления маятника на оси вращения. На одном конце полосы имеется отверстие 2, а на другом ряд отверстий 3, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Это позволяет получать физический маятник с различными периодами колебаний. Изменить положение центра масс маятника можно с помощью дополнительного груза 4.

1

l1

l 3 l2 4 5

Рис. 1 Описание метода В большинстве методов измерения ускорения свободного падения g используется зависимость периода T колебаний маятника от величины g, так как период колебаний можно измерить с высокой точностью. Оборотный маятник является физическим, и период его колебаний T = 2π

I / mg I c = 2π 47

(I

c

)

+ mI c2 / mgI c ,

(1)

где Ι – момент инерции маятника относительно точки подвеса, Ιс – момент инерции относительно центра масс, m – масса маятника, lc – расстояние от центра масс маятника до точки подвеса. Для физического маятника не удаётся измерить с той же точностью, как период Т, необходимые для расчёта g величины Ι, lc. Поэтому разработан метод, позволяющий с помощью оборотного маятника исключить эти величины из расчётной формулы. Допустим, что удалось найти такое положение осей вращения, что периоды колебаний маятника относительно этих осей совпадают: Т1 = Т2 = Т0. Тогда с учётом формулы (1) получим:

(

)

T02 = 4π 2 I с + ml12 / mgl 1 ;

(

)

T02 = 4π 2 I с + ml 22 / mgl 2 .

(2)

Здесь l1 и l2 – расстояния от первой и второй осей до центра масс маятника, а их сумма l1 + l2 = l0 есть расстояние между осями, которое можно измерить достаточно точно. Исключая из уравнений (2) величину Ic, получим расчётную формулу для ускорения g: 4π 2 l 0 g= . (3)* T02 Этот метод позволяет с высокой точностью определить величину g, если найти такое расположение осей на стержне, при котором периоды колебаний маятника совпадают (Т не изменяется при смене оси, поэтому маятник и называется оборотным). Порядок выполнения работы Форма отчета приведена в приложении. 1. Повесить маятник на отверстие (2), расположенное вблизи конца полосы. 2. Отклонить маятник на 50…100 от положения равновесия и отпустить. Измерив время t для n (десяти) колебаний, определить период Т1 колебаний. Результаты записать в таблицу. 3. Снять маятник и измерить расстояние l между центрами отверстия (2) и крайним из отверстий (3). 4. Повесить маятник на крайнее из отверстий 3. Измерить время t2 для 10 колебаний и определить период колебаний Т2. 5. Повторить измерение l и периода Т2 ещё несколько раз, перемещая ось каждый раз на 1 отверстие. 6. Построить график (рис. 2) зависимости периодов колебаний Т1 и Т2 от расстояния между осями на миллиметровке. Определить координаты Т0 и l0 точки пересечения графиков. l0 и есть то самое расстояние между осями, при котором периоды колебаний оборотного маятника вокруг осей одинаковы, т. е. Т1 = Т2 = Т0. 48

Таблица t1, с

T1, с

№

l, м

t2, с

T2, с n = 10

1 2 3

l0 =

см

4

Т0 =

с

5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. Рассчитать среднее значение 〈g〉 по формуле (3). 8. Оценить систематическую погрешность измерения g, используя аналогию дифференциала функции (3) dg и погрешности θg, (см с. 6 и формулу (5) на с. 15):

Т, с 1,3

Т0

1,2

Т1

1,1 1,0

l0

2

2  2 θ T  θ l   0 0,2 0,4  +   θg = 〈 g 〉  T Рис. 2  l   0  Погрешностью округления числа π пренебрегаем. Поскольку точность измерения Т0 определяется графиком, то принять θТ равной цене малого деления шкалы на графике. 9. Записать результат в виде интервала g = g ± θg . 10. Оценить отклонение найденной величины g от табличного значения для Челябинска (g = 9,80 м/с2). 0

l, м

49

РАБОТА № 8 ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Цель: проверить закон сохранения момента импульса и энергии при неупругом взаимодействии маятников, оценить погрешность измерений. Оборудование: специальная установка, секундомер, линейка. Описание установки

l1

lГ

l2

М М

ц. м. ц. м. Г

М М

(1)

(2) 20

20 15

15 10

0

5

Винт

5

Ш

10

Установка состоит из двух физических маятников (1) (масса m1) и (2) (масса m2), которые независимо могут вращаться вокруг общей оси О (рис. 1). Маятники снабжены магнитами М, с помощью которых они стягиваются и могут вращаться вокруг оси О, как единое целое. Для изменения момента инерции к маятнику 1 может быть прикреплен добавочный груз Г (масса mГ). На каждом маятнике красной меткой указано положение центра масс (ц.м.), расстояние которого от оси вращения равны, соответственно, l1 и l2.

Винт

Рис. 1 Очевидно, центр масс маятника с добавочным грузом находится от оси вращения на расстоянии m l + m Г lГ l1Г = 1 1 , m1 + m Г где lГ – расстояние центра груза от оси вращения. 50

Центр масс двух маятников с добавочным грузом находится от оси вращения на расстоянии m l + m2 l 2 + mГ lГ . l12 Г = 1 1 m1 + m 2 + m Г Если добавочный груз отсутствует, то это расстояние m1l1 + m 2 l 2 . m1 + m 2 Угол отклонения маятника от положения равновесия определяется по шкале Ш. В положении равновесия маятники располагаются так, чтобы их визиры находились против нулевой отметки шкалы Ш. Это достигается с помощью винтов В в основании установки. Если отклонить один из маятников, и закрепить в отклоненном положении, а второй отклонить и отпустить, то он будет совершать колебательное движение около положения равновесия. Если же один из маятников отклонить из положения равновесия на угол α (второй при этом оставить в положении равновесия) и отпустить, то после столкновения маятников они начнут двигаться как одно целое и отклонятся от положения равновесия на угол β. l12 =

Описание метода измерений Два физических маятника, имеющие общую горизонтальную ось вращения образуют замкнутую систему в момент прохождения ими положения равновесия (в этом положении моменты сил тяжести равны нулю, а других моментов относительно оси вращения просто нет). Следовательно, при прохождении положения равновесия для этой системы выполняется закон сохранения момента импульса: r r r r I1ω 1 + I 2ω 2 = I1ω 1′ + I 2ω 2′ , где

I1 и I2 – моменты инерции маятников относительно оси вращения; r r ω 1 и ω 2 – их угловые скорости в положении равновесия до их соударения; r r ω 1′ и ω 2′ – их угловые скорости после взаимодействия. r До взаимодействия второй маятник покоится ( ω 2 = 0), а после взаимодейстr r вия оба маятника движутся как единое целое ( ω 1′ = ω 2′ =ω ) и поэтому закон сохранения момента импульса в проекции на ось вращения принимает вид: I 1ω 1 = ( I 1 + I 2 )ω . (1) Моменты инерции маятников можно найти, зная их периоды колебаний I T = 2π , mgl где l – расстояние от оси вращения до центра масс маятника. 51

Таким образом, момент инерции маятника 1 I1 =

m1 gl1T12

(без добавочного груза); 4π 2 2 ( m1 + m Г ) gl1 Г Т1 Г (с грузом), I1 Г = 4π 2 момент инерции системы из двух маятников 2 ( m1 + m 2 ) gl12Т 12 I12 = (без груза); 4π 2 2 ( m1 + m 2 + m Г ) gl12 Г Т 12 Г (с грузом), I12 Г = 2 4π

(2)*

(3)*

где l12 , l12 Г − расстояние от оси до центра масс системы из двух маятников без дополнительного груза и с грузом; Т 12 , Т12 Г – период колебания системы из двух маятников (без груза и с грузом). При отклонении маятника от положения равновесия на угол α центр масс его поднимется на высоту (рис. 2) h = l (1 − cosα ) . Так как до взаимодействия и после взаимодействия на маятник действует только сила тяжести (консерl вативная), а момент силы сопротивления достаточно мал, из закона сохранения механической энергии α Iω 2 h mgh = ц.м. 2 можно найти угловую скорость маятника в момент прохождения положения равновесия: 2mg l ( 1 − cosα ) Рис. 2 ω= , I Iω 2 – энергия колеблющегося маятника при прохождении положения 2 равновесия, mgh – энергия маятника, отклоненного на угол α (при этом его центр масс поднят на высоту h). В наших опытах первоначально маятник 1 отклоняется от положения равновесия на угол α и, следовательно, его угловая скорость при прохождении положения равновесия (т.е. перед взаимодействием (столкновением) с маятником В)): где

52

ω1 =

2m1 gl1 ( 1 − cosα ) (без добавочного груза); I1

ω1 Г =

2( m1 + m Г ) gl1 Г ( 1 − cosα ) (с грузом). I1 Г

(4)*

После столкновения система из двух маятников отклоняется на угол β, и следовательно, их начальная угловая скорость в положении равновесия: ω 12 = ω 12 Г =

2( m1 + m 2 )gl12 ( 1 − cos β ) I12

(без добавочного груза); (5)* 2( m1 + m 2 + m Г ) gl12 Г ( 1 − cos β ) (с грузом). I12 Г Выполнение работы

1. С помощью винтов В (рис. 1) установить маятники в свободном положении на нулевую отметку шкалы. 2. Измерить расстояние l1, l2 и lГ и записать их значение в табл. 1. Записать также значения m1, m2 и mГ. 3. Рассчитать расстояние от оси вращения до центра масс маятников l1Г, l12 и l12Г. 4. Отвести в сторону маятник 2, закрепить его. Определить время десяти колебаний t1 маятника 1 и время 10 колебаний маятника 1 с добавочным грузом t1Г. Определить время 10 колебаний системы, состоящей из двух маятников, без дополнительного груза t12 и с грузом t12Г. Полученные значения занести в табл. 1. 5. Рассчитать периоды колебаний Т1, Т1Г, Т12, Т12Г и моменты инерции маятников I1, I1Г, I12, I12Г. 6. Отклонить маятник 1 (без груза) на угол α 1 (по указанию преподавателя) и записать его значение в табл. 1. Маятник 2 при этом находится в положении равновесия. Опустить маятник 1 и отметить угол β, на который отклонится система из двух маятников после взаимодействия. Опыт повторить не менее 5 раз и рассчитать среднее значение угла β . 7. Повторить опыт (п. 6), прикрепив к маятнику 1 добавочный груз Г. 8. Рассчитать угловые скорости маятников до взаимодействия ω 1 и после ω 12 , ω 1 Г и ω12 Г .

53

Таблица 1 Опытные данные

Величина Расстояние до центра масс

1

2

m1=

,

m2=

,

mГ=

,

системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l1Г = системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

l2=

,

lГ=

,

N=10

l1=

l12 = системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l12 Г =

t1= c T1= t1Г= c T1Г=

c c

t12= c T12= t12Г= c T12Г=

c c

Без груза α1 = № 1

,

β1,

Момент инерции

I1 = системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 1Г = системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I12 =

2 системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

I12 Г =

4 5

Угловая скорость

Среднее С грузом α2 = № 1

β2,

, системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ω1 Г =

2 3 4 5

системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ω12 = 54

Значение

3

1

2

3

системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Среднее Проверьте: все ли обведенные графы заполнены

ω12 Г = Обработка результатов

1. Рассчитать моменты импульсов и энергию маятников в первом и во втором опытах. Результаты занести в табл. 2. Таблица 2 Отклонение Моменты импульсов Без груза

С грузом

I 1ω 1

I12ω 12

I1 Г ω 1 Г

I12 Г ω 12 Г

Абсолютное ∆

Относительное γ

Отклонение γ

∆

2. Рассчитать энергию маятников до и после взаимодействия. Рассчитать коэффициент восстановления кинетической энергии Е k = конеч Е нач для первого и второго случаев и результаты занести в табл. 3. Таблица 3 Енач Еконеч k1 Без груза 0,5 I ω 2 0,5 I ω 2 12 12

1 1

С грузом

0,5 I1 Г ω 12Г

2 0,5 I12 Г ω 12 Г

k2

3. Оценить погрешности измерений. В качестве систематической погрешности в данных опытах следует взять приборную погрешность, равную половине цены деления измерительного прибора. Случайная погрешность определяется по разбросу выборки: 55

δх =

( хmax − xmin ) ,

2 где хmax и хmin – максимальное и минимальное значения измеряемой величины в серии из n повторных измерений. Этой границе доверительного интервала соответствует доверительная вероятность n −1

1 P = 1−  .  2 3.1. В табл. 4 занести средние значения прямых измерений, выполненных в одном из упражнений и значения погрешностей этих величин – систематической и случайной. 3.2. Для каждой величины выбрать наибольшую из погрешностей и рассчитать наибольшую относительную погрешность γ измерения каждой величины. Таблица 4 Измеряемая величина обозначение

среднее значение

Абсолютная погрешность систематич. θ

Относительная

cлучайная δ

l1

м

––

l2

м

––

lГ

м

––

t1

с

––

t12

с

––

t1 Г

с

––

t12 Г с

––

α1

––

α2

––

погрешность δ

β1 β2 3.3. Погрешность измерения величины момента импульса и энергии в первом приближении можно считать равной (во всяком случае не выше) относительной погрешности менее точно измеренной величины (в табл.4). С учетом этого сделать вывод о выполнении законов сохранения импульса и энергии в проведенных опытах. 56

РАБОТА № 9 ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы: изучить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы, явление резонанса. Определить коэффициент затухания собственных колебаний. Оборудование: маятник, звуковой генератор. Описание метода Если маятник вывести из положения равновесия и отпустить, то он будет совершать колебания. Собственные колебания всегда являются затухающими. Чтобы колебания маятника стали незатухающими, необходимо пополнять энергию колебаний. Одним из способов является воздействие внешней периодической силой F = F0 cosω t, под действием которой маятник начинает совершать вынужденные колебания. Тогда уравнение движения, второй закон Ньютона, с учетом действия внутренних сил упругости Fупр = – k x и силы сопротивления, которую dx , примет вид будем считать пропорциональной скорости движения Fсопр = − r dt d2x dx m = − kx − r + Fo cos ω t (1) 2 dt dt или F d2x dx + 2β + ω o2 х = o cos ω t , (2) 2 m dt dt r k — коэффициент затухания собственных колебаний, ω o = — 2m m циклическая частота свободных колебаний. Как показывает опыт, вначале, после приложения внешней периодической силы, маятник совершает сложное движение, которое является суперпозицией собственных и вынужденных колебаний. Со временем собственные колебания затухают, и маятник будет совершать только вынужденные колебания с частотой внешней силы. То есть решение уравнения (2) следует искать в виде гармонической функции x = A cos(ω t − ϕ ) . (3) Подстановкой можно убедиться, что функция (3) будет решением, если амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешней силы по закону: Fo A= , (4) где β =

(

m ω o2 − ω 2 57

)2 + 4β 2ω 2

т.е. зависит от соотношения между частотами ω и ω0, а также от коэффициента затухания β. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы представлен на рис. (1). Как видно, при некоторой частоте амплитуда колебаний сильно возрастает, достигая максимума тем более высокого, чем меньше сила сопротивления. Максимум амплитуды соответствует частоте ω рез = ω о2 − 2β 2 . Это явление называют резонансом. Амплитуда колебаний при резонансе, если подставить в (4) ω рез ≈ ω о : Fo (5) 2m βω и тем больше, чем меньше коэффициент затухания β 0. При малой частоте внешней силы амплитуда колебаний уменьшается и стремится к смещению маятника из положения равновесия под действием постоянной силы: F Астат = o . k Форма резонансной кривой зависит от величины коэффициента затухания: резонансная кривая тем уже, чем меньше коэффициент затухания. Если обозначить частоты, при которых амплитуды колебаний в 2 раз меньше резонансной ω1 и ω2 (рис.1) и решить совместно уравнения (4) и (5), то можно получить формулу для определения коэффициента затухания по ширине резонансной кривой F0 F0 = Рис. 1 2 2m βω 2 m ω 02 − ω 2 + 4 β 2ω 2 А рез =

(

или

)

(ω 02 − ω 2 ) = 4β 2ω 2 .

Это биквадратное уравнение эквивалентно двум квадратным уравнениям: Решая их, находим:

ω 02 − ω 2 = 2 βω

и

ω 02 − ω 2 = −2 βω .

ω 1 = − β ± β 2 + ω 02 , ω 2 = β ± β 2 + ω 02 . Тогда 58

β=

ω 2 − ω1 . 2

(6)*

Описание установки Установка состоит из маятника и звукового генератора. Маятник представляет собой грузик, закрепленный на упругой стальной пластинке (рис. 2). Внешняя периодическая сила создается при взаимодействии постоянного магнита на пластинке с электромагнитом, по которому протекает переменный ток от звукового генератора. Частота колебаний определяется по индикаторам генератора и устанавливается поворотом переключателей. Амплитуду колебаний определяют по шкале. Выполнение работы 1. Отвести маятник от положения равновесия и отпустить. Маятник начнет совершать колебания. Оценить порядок частоты собственных колебаний. Для используемых установок — это несколько колебаний в секунду. 2. Включить звуковой генератор. С помощью переключателя диапазонов “х1“ и переключателей частоты установить небольшую частоту, меньше частоты собственных колебаний. После установления вынужденных колебаний измерить амплитуду колебаний. Повторить опыт 8–10 раз, изменяя частоту от наименьшей до частоты в 2–3 раза выше частоты собственных колебаний через 1…2 Гц. 3. Оценить по измерениям диапазон частот вблизи резонанса и повторить не менее 5 раз измерения амплитуды при изменении частоты генератора в этом диапазоне через 0,1 Гц. Оценить систематическую погрешность установки частоты и измерения амплитуды. Результаты измерений записать в таблицу. Форма отчета приведена в приложении.

Рис. 2 59

Таблица ν

Обработка результатов 1. Построить график зависимости амплитуды колебаний от частоты генератора (см. с.11). 2. Определить частоты ν1 и ν2 (рис. 1), при которых амплитуды колебаний меньше максимальной в 2 раз. 3. Определить коэффициент затухания. При ω = 2πν формула (6) примет вид 〈 β эксп 〉 = π (ν 2 − ν 1 ) . 4. Оценить систематическую погрешность измерения коэффициента затухания θβ = 2θν . 5. Измерить по графику значение резонансной частоты колебательной системы ωрез. 6. Поскольку точность измерения ωрез определяется графиком, то принять θ ωрез равной цене малого деления на графике (цена 1 мм на графике). 7. Записать результат: β = 〈βэксп〉 ± θβ, ωрез = ωрез эксп ± θ ωрез. 8. Сделать выводы.

60

РАБОТА № 10 ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Цель работы: определить собственные частоты и формы собственных колебаний струны, скорость волны в струне. Оборудование: струна, груз, генератор электрических колебаний, магнит, линейка. Описание метода Колебания, возникнув в какой-либо точке среды, не остаются локализованными, а распространяются в среде благодаря наличию упругих сил связи между частицами. Процесс распространения колебаний в среде называют волной. Уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси ОХ, может быть записано в виде x  ξ 1 = Ao cos 2π ν t −  , (1) λ  где ξ — смещение колеблющейся точки от положения равновесия, А0 — амплитуда колебаний, ν — частота, х — координата колеблющейся точки, λ — длина волны. Если навстречу данной волне против оси ОХ распространяется плоская волна той же частоты и амплитуды x  ξ 2 = Ao cos 2π ν t +  , (2) λ  то в результате интерференции возникает стоячая волна, в которой смещение частиц происходит по закону x ξ = ξ 1 + ξ 2 = 2 Ao cos 2π cos 2πν t . (3) λ Сомножитель cos2πνt зависит от времени и показывает, что частицы среды совершают колебания с той же частотой, что и источник. Сомножитель 2π A = 2 Ao cos x λ имеет смысл амплитуды колебаний частиц. Как видно, амплитуда колебаний частиц в стоячей волне неодинакова. Точки, в которых амплитуда колебаний равна λ 3 5 нулю (х = , λ , λ и т.д.), называются узлами стоячей волны. Между узлами 4 4 4 находятся частицы, которые совершают колебания в одной фазе и с амплитудой, возрастающей к середине отрезка между соседними узлами. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна А = 2А0, называются пучностями стоячей волны 61

λ 3 λ , λ, λ ). Расстояние между соседними узлами или пучностями равно . 2 2 2 На рис. 1 указано положение точек в стоячей волне и направление их движения.

(х = 0,

Рис.1

Рис. 2

В данной работе стоячая волна создается в струне. Если в натянутой струне в каком-либо месте возбудить колебания, возникнет бегущая волна. Достигнув точки закрепления, волна отразится. При наложении бегущей и отраженной волн может возникнуть стоячая волна, но при условии, что в местах закрепления струны будет узел (рис.2). Как видно, в этом случае на длине струны должно уложитьλ ся целое число k полуволн, т.е. l = k k . Одна полуволна и наименьшая частота 2 соответствуют k = 1 (основной тон). Числу полуволн k = 2, k = 3 и т.д. соответствуют более высокие частоты собственных колебаний струны, называемые обертонами. Наблюдая форму стоячей волны на струне, можно определить длину волны и, зная частоту колебаний, определить экспериментально скорость волны в струне: U = λν . (4)* Скорость волны в струне можно определить теоретически. При воздействии на струну с некоторой силой от места возмущения бежит “горбик“ со скоростью волны (рис. 3). Для наблюдателя, движущегося вместе с “горбиком“, малые элементы струны движутся по дугам окружности. Рис. 3 dmV 2 Согласно второму закону Ньютона = F , где F — результирующая сил R натяжения, F = Ndα. Тогда с учетом, что Rdα = dl, а масса элемента dm = σ dl, где σ — линейная плотность массы, получим 62

U=

N , σ

(5)*

где N — сила натяжения струны, σ — линейная плотность, т.е. масса единицы длины струны. Описание установки

Струна натягивается между стойками. Один конец закреплен неподвижно, а к другому концу, перекинутому через блок, прикреплен груз массой m, создающий натяжение N = mg (рис. 4). От генератора электрических колебаний на струну подается переменный ток. В поле постоянного магнита на струну действует периодическая сила Ампера, частота которой равна частоте электрических колебаний генератора. При совпадении частоты генератора с одной из собственных частот струны в ней устанавливается стоячая волна. Частота генератора устанавливается вращением ручки “Частота“ и переключателем диапазонов. Частота определяется произведением показаний по шкале лимба на множитель диапазона. Выполнение работы 1. Измерить длину l струны. Оценить систематическую погрешность ее измерения. Результаты записать в таблицу. Форма отчета приведена в приложении. 2. Включить генератор. Вращая плавно лимб генератора в области частот основного тона (20…60 Гц), добиться максимальных колебаний струны. Определить по лимбу частоту. Оценить систематическую погрешность измерения частоты θν как цену деления лимба генератора. Увеличивая частоту генератора, получить на струне устойчивые собственные колебания последующих обертонов (k = 2, k = 3 и т.д.). 63

Результаты измерений и параметры установки записать в таблицу. Зарисовать формы наблюдаемых колебаний струны. l ±θl = …м Форма колебания

σ = …кг/м

N = …H k

λ, м

Таблица θν = …Гц

ν, Гц

U, м/с

U – 〈U〉, м/с

〈U〉 =

(U – 〈U〉)2, (м/с)2 ∑(U–〈U〉)2 =

Обработка результатов 1. Определить длины волн, соответствующие разным формам стоячей волны: 2l λ= . k 2. Определить скорость распространения волны в струне для каждого собственного колебания по формуле (4). 3. Определить среднее арифметическое значение скорости волны 〈U〉. 4. Оценить случайную погрешность измерения скорости по методу оценки погрешностей при прямых измерениях, см. формулу (2) на с. 6: δU = t p

2 ∑ (U i − 〈U 〉 ) .

n(n − 1) 5. Оценить суммарную погрешность измерения скорости волны в струне в соответствии с формулами (4а) и (10) на с. 8, 10: 2

2

2

 δU   θl   θν  ∆U = 〈U 〉   +   +   . 〈 U 〉  l  ν    6. Записать результат в виде U = 〈U〉 ± ∆U, P = 0,95. Сделать выводы. Сравнить экспериментальное значение скорости с теоретическим, рассчитанным по формуле (5). Если совпадение отсутствует, то проверить расчеты. При необходимости произвести более тщательные измерения.

64

РАБОТА №11 ИЗУЧЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ВОЗДУХЕ Цель работы: определить скорость звука в воздухе методом стоячих волн, определить показатель адиабаты для воздуха. Оборудование: звуковой генератор, телефон, микрофон, стеклянная труба, электронный осциллограф. Описание метода В звуковой волне, распространяющейся в газах, вследствие кратковременности процессы сжатия — разрежения происходят адиабатически, без теплообмена. Поэтому скорость звука зависит от показателя адиабаты γ: γRT V = , (1) М где R — универсальная газовая постоянная; Т — абсолютная температура; М — масса моля газа. На использовании этой формулы основан акустический метод определения показателя адиабаты: МV 2 γ = . RT Скорость звука можно определить по длине волны и ее частоте:

V = λν .

(2)*

(3)*

Для определения длины звуковой волны можно использовать метод стоячих волн. Стоячая волна образуется при интерференции двух когерентных волн, распространяющихся навстречу друг другу, например бегущей волны и волны, отраженной от границы раздела сред. В этом случае волны имеют одинаковую частоту и направление колебаний и постоянную во времени разность фаз, т.е. когерентны. В результате интерференции прямой и обратной волн возникает стоячая волна. Колебания частиц среды будут происходить по закону x x   ξ = ξ 1 + ξ 2 = Ao sin 2π νt −  + Ao sin 2π νt +  = λ λ   x = 2 Ao cos 2π sin 2πνt λ

(4)

Сомножитель sin 2πνt показывает, что частицы среды совершают колебания с той же частотой, что и источник.

65

x является амплитудой колебаний частиц в стояλ чей волне. Как видно, амплитуда колебаний частиц различна. Точки, где амплитуда колебаний достигает максимума 2А0, называют пучностями стоячей волны. Точки, где амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами стоячей волны. Расстояние между двумя соседними узлами или между двумя соседними пучностями, как видно из выражения для амплитуды стоячей волны, равно половине длины волны. Среда, в которой возникла стоячая волна, разделена узлами на участки, в каждом из которых частицы совершают колебания в одной фазе. Если на одном участке сжатие через полпериода сменяется разрежением, то в соседней пучности — наоборот. В работе стоячую звуковую волну создают в столбе воздуха между телефоном Т и микрофоном М внутри стеклянной трубы. При этом должно выполняться условие резонанса: расстояние между Т и М должно быть кратно половине длины волны: λ l=k . (5)* 2 Выражение A = 2 Ao cos 2π

Это обусловлено тем, что около телефона и микрофона может возникнуть только узел смещения частиц воздуха в стоячей волне (рис. 1). Рис. 1 Описание установки Установка состоит из звукового генератора, стеклянной трубы с телефоном Т и микрофоном М, осциллографа, предназначенного для регистрации колебаний мембраны микрофона (рис. 2). Звуковой генератор создает электрические колебания частотой 20 … 20000 Гц. Телефон Т превращает их в звуковые. Колебания от телефона распространяются в воздухе трубы, отражаются от микрофона М. Если расстояние между Т и М кратно половине длины волны, то в трубе возникает стоячая волна. На слух воспринимается усиление звука в трубе, а объективно это регистрируется увеличением амплитуды колебаний на экране осциллографа, соединенного с микрофоном. Микрофон перемещается совместно с трубкой, на которой он установлен. Расстояние между микрофоном и телефоном измеряется линейкой. 66

Рис. 2 Выполнение работы 1. Пододвинуть микрофон к телефону. 2. Включить генератор. Установить частоту генератора в пределах 900…1500 Гц. Для этого ручку переключателя диапазонов поставить в положение х10, переключателями частоты установить 90…150. Должен быть слышен звук. При необходимости увеличить напряжение на выходе. Измерить установленную частоту. Оценить погрешность θν. 3. Включить осциллограф ручкой “Яркость“. Переключателем “Частота“ добиться развертки. Переключатель “Усиление“ — в положение “max“. На экране должна быть видна осциллограмма электрических колебаний от микрофона. 4. Перемещая микрофон от телефона, отметить не менее четырех координат, при которых наблюдается усиление звука, высота изображения на экране осциллографа максимальна. Оценить погрешность измерения θх. Опыт повторить не менее трех раз при других частотах, результаты опытов записать в таблицу. Форма отчета приведена в приложении. Измерить температуру воздуха по термометру лаборатории: Т = 273 + t. µ = 28,9⋅10 кг/моль –3

Т = …К ν, Гц

x1, м, k=1

θν =

θx =

x2, м, k=2

x3, м, k=3

x4, м, k=4

67

〈λ〉, м

Таблица R = 8,31 Дж/(моль⋅К) V, м/с

(V–〈V〉), м/с

(V–〈V〉)2, (м/с)2

〈V〉 =

—

∑(V – –〈V〉)2=

Обработка результатов 1. Построить графики прямо пропорциональной зависимости расстояний между телефоном и микрофоном х, при которых возникает стоячая волна, от числа пучностей k для всех частот (рис. 3 и см. с. 11). 2. Определить среднее значение длины волны звука в воздухе для каждой из частот по графику, как удвоенное значение углового коэффициента экспериментальных прямых. Для этого выбрать на концах прямых по две точки (например, начало координат и k = 4). Определить ординаты этих точек l1, l2 и l3. Рис. 3 l l l Рассчитать средние значения длины волны 〈λ1 〉 = 2 1 , 〈λ 2 〉 = 2 2 , 〈λ 3 〉 = 2 3 . k k k 3. Определить скорость звука для каждой частоты по формуле (3). 4. Определить среднее арифметическое значение скорости звука 〈V〉. 5. Определить по формуле (2) среднее значение показателя адиабаты 〈γ〉. 6. Оценить случайную погрешность косвенного измерения скорости звука как при прямых измерениях, см. формулу (2) на с. 6: δV = t p

2 ∑ (V i − 〈V 〉 ) ,

n(n − 1)

убедиться, что относительные систематические погрешности

θ l θν , незначиl1 ν

δV и ими можно пренебречь. 〈V 〉 7. Оценить случайную погрешность измерения показателя адиабаты в соответствии с формулой (4а) на с. 8: 2δ V . δγ = 〈γ 〉 〈V 〉

тельны по сравнению с

8. Записать результаты: V = 〈V〉 ± δV; γ = 〈γ〉 ± δγ; Р = 0,95. Сделать выводы. Сравнить найденное значение показателя адиабаты с теоретичеi+2 ским γ теор = , где число степеней свободы двухатомных молекул воздуха i i = 5. Сравнить измеренную скорость звука с табличной (340 м/с). Если совпадение отсутствует, то следует повторить расчеты или измерения более тщательно.

68

РАБОТА № 12 ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы: изучить затухающие колебания, определить коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания. Оборудование: физический маятник, секундомер. Описание метода Если маятник вывести из положения равновесия и отпустить, то он будет совершать свободные колебания под действием возвращающей силы. При малых колебаниях, в первом приближении, возвращающую силу можно считать пропорциональной смещению маятника F = – kx. Здесь k — коэффициент упругости. Собственные колебания являются затухающими, т.е. их амплитуда со временем уменьшается. Это обусловлено действием сил сопротивления движению. Примем, что сила сопротивления пропорциональна скорости тела: dx Fсопр = − rV = − r . Так бывает при движении тел с малой скоростью в жидкоdt сти или газе. Тогда уравнение движения маятника, второй закон Ньютона будет иметь вид m

d2x

= −r

dx − kx , dt

dt 2 r k или, обозначив β = и ω o2 = , получим: 2m m d2x

dx + ω o2 x = 0 . dt dt 2 Решением этого дифференциального уравнения является функция + 2β

x = Ao e − β t sin(ω t + ϕ ) .

(1)

(2)

(3)

Это уравнение затухающих колебаний. Здесь β — коэффициент затухания, ω — циклическая частота затухающих колебаний, которая при малом затухании близка к частоте ω0 незатухающих колебаний ω = ω o2 − β 2 . Выражение перед функцией синуса имеет смысл амплитуды затухающих колебаний: A = Ao e − β t . 69

(4)

Со временем амплитуда затухающих колебаний уменьшается по экспоненциальному закону (рис.1).

В качестве меры затухания колебаний применяют несколько параметров. Во-первых, коэффициент затухания β, который характеризует уменьшение амплитуды колебаний со временем: за время τ = 1/β, называемое временем релаксации, амплитуда, как видно из (4), уменьшается в е = 2,72 раза. Другим параметром затухания является логарифмический декремент затухания, который по определению равен натуральному логарифму отношения амплитуды некоторого колебания к амплитуде последующего: At κ = ln . (5) At + T Если подставить в (5)уравнение амплитуд двух следующих друг за другом колебаний, то получим κ = ln

Ao e − β t

Ao e − β (t +T )

= βT ,

(6)

где Т — период колебаний. Уравнение для амплитуды (4) можно переписать как функцию числа колебаκ ний при β = : Т −κ

t T = A e −κN , o

A = Ao e (7) так как N = t /T — это число колебаний. Логарифмический декремент затухания характеризует затухание в зависимости от числа совершенных колебаний. За число колебаний Np = 1/κ амплитуда уменьшается в е = 2, 72 раза. Логарифмический декремент затухания можно экспериментально определить по уравнению (7). Если его прологарифмировать, то оно сводится к линейному: ln A = ln Ao − κN 70

(8)

с угловым коэффициентом, равным логарифмическому декременту затухания (рис. 2): ln A1 − ln A2 κ= . (9)* N 2 − N1 Зная логарифмический декремент затухания и измерив период колебаний Т, можно определить величину коэффициента затухания по формуле (6). Описание установки Установка состоит из двух физических маятников (1) и (2), которые независимо могут вращаться вокруг общей оси О (рис. 1). Для изменения момента инерции и, следовательно, периода колебаний к маятнику 1 прикрепляется добавочный груз Г, положение которого может меняться. Если отклонить один из маятников и закрепить в отклоненном положении, а второй отклонить и отпустить, то он будет совершать затухающие колебания около положения равновесия.

О

l1

lГ

l2 М М ц. м. ц. м.

Г М М

(1)

(2) 20

20 15

15 10

5

Винт

0

5

Винт

Рис. 3

71

10

Ш

Выполнение работы Форма отчета приведена в приложении. 1. Отклонить маятник 2 на максимальный угол и закрепить его с помощью магнита. 2. Закрепить добавочный груз в положении, указанном преподавателем. 3. Отвести маятник от положения равновесия на угол, указанный преподавателем, замерить его и отпустить. Записать значение угла и положение груза в таблицу. Маятник начнет совершать колебания. Измерить амплитуды последующих колебаний через каждые 2 колебания пока колебания не прекратятся. При измерении амплитуды долю неполного деления определять на глаз. Записать в таблицу число колебаний N от момента пуска и соответствующие амплитуды А. Оценить систематическую погрешность измерения амплитуды θА. 4. Отклонить шарик от положения равновесия и отпустить. Измерить время большого, например 10, числа колебаний. Определить период колебаний Т = t/10. Оценить систематическую погрешность θТ = θ t/10, где θ t = 0,1…0,2 секунды — время реакции при включении и выключении секундомера. Результаты записать в таблицу. Таблица α = … град Положение добавочного груза: … Т ± θТ = … с θА = …дел. N

0

A, дел. ln A Обработка результатов 1. Вычислить натуральные логарифмы значений амплитуд. Записать в таблицу. 2. Построить график линейной зависимости логарифмов амплитуд от числа колебаний, см. с. 11 и рис. 2. 3. Выбрать на концах экспериментальной прямой две точки 1 и 2. Определить их координаты и указать на графике. Определить среднее значение логарифмического декремента колебаний 〈κ〉 графическим методом как углового коэффициента по формуле (9) по координатам точек 1 и 2. 4. Опыт показывает, что систематические погрешности малы по сравнению со случайными и ими можно пренебречь. Оценить случайную погрешность измерения логарифмического декремента графическим методом, см. формулу (10) на с. 10: t (ln AA − lnAB ) δκ = Р , (10) (N 2 − N1 ) n 72

где n — число измерений. 5. Определить среднее значение коэффициента затухания колебаний 〈β〉 = δκ = 〈κ〉Т. Оценить случайную погрешность измерения δβ = 〈 β 〉 . 〈κ 〉 6. Записать результаты измерений κ = 〈κ〉 ± δκ, Р = 0,95 и β = 〈β〉 ± δβ, Р = 0,95. Сделать выводы. Проверить, соответствует ли время релаксации и число колебаний за это время τ = 1/〈β〉 и Np = 1/〈κ〉 используемому маятнику.

73

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА РАБОТА №13 ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ГАЗАХ Цель работы: изучить процесс теплопроводности в газах, определить коэффициент теплопроводности воздуха. Оборудование: трубка с проволокой накала, блок питания. Описание метода Существуют три способа передачи теплоты. Тепловое излучение, играющее главную роль при высоких температурах, конвекция, при относительно больших перепадах температур. При сравнительно низких температурах и перепадах температур главную роль играет процесс теплопроводности. Теплопроводность газов обусловлена процессом переноса энергии молекулами при их хаотическом движении из слоя с более высокой температурой в менее нагретый слой (рис. 1). Экспериментально установлено, что поток тепла, т.е. энергия, переносимая за единицу времени, согласно закону Фурье пропорционален градиенту температуры и площади соприкосновения слоев: dT q = −χ S, (1) dx dT где χ — коэффициент теплопроводности, — градиент температуры, равный dx наибольшей скорости возрастания температуры. Знак “минус“ обусловлен тем, что поток тепла направлен против градиента температуры.

Рис. 1

Рис.2

Экспериментально коэффициент теплопроводности можно определить по уравнению (1) методом нагретой нити. Поток тепла распространяется от нагретой до температуры ТН нити в радиальном направлении к стенкам трубки с темпера74

турой ТТР (рис. 2). Через любую цилиндрическую поверхность радиуса х поток тепла одинаков. Подставив площадь S = 2π l х , где l — длина нити, в уравнение (1) и перенеся переменные х и Т под разные стороны знака равенства, получим дифференциальное уравнение: q dх ⋅ = − χ dT . (2) 2π l х Интегрируя левую и правую части в пределах по радиусу от х = rН до х = rТР и по температуре от ТН до ТТР, получаем уравнение: q = χС (Т Н − Т ТР ) , 2πl — параметр установки. rтр ln rн В данной работе изменение температуры воздуха невелико и поэтому коэффициент теплопроводности практически можно считать постоянным. Тогда зависимость теплового потока от перепада температур является прямо пропорциональной с угловым коэффициентом χС (рис. 3). Это позволяет определить коэффициент теплопроводности воздуха, пренебрегая потерями тепла через пробки.

где С =

Описание установки Основной частью установки является алюминиевая трубка, по оси которой натянут жгут из медной проволоки. С торцов трубка закрыта пробками и установлена вертикально на блоке питания. Проволока нагревается электрическим током. Тепловой поток равен мощности и может быть определен по закону Джоуля – Ленца q = I U . Сила тока I и напряжение U измеряются амперметром и вольтметром, расположенными на лицевой панели блока, и регулируются поворотом ручки переменного сопротивления. 75

(3)

Температуру медной проволоки по шкале Цельсия определяют по прилагаемому к установке графику температурной зависимости сопротивления U R = Ro (1 + α t Н ) . Сопротивление рассчитывается по закону Ома R = . ТемпеI ратуру трубки tТР принимают равной температуре в лаборатории. Выполнение работы 1. Записать в таблицу параметры установки и температуру воздуха в лаборатории. Форма отчета приведена в приложении. 2. Включить блок питания. Установить небольшой накал проволоки. Выждать не менее 2 минут для установления теплового равновесия и измерить силу тока и падение напряжения на проволоке. Измерение производить очень тщательно, с точностью до десятой доли деления. Опыты провести не менее 8 раз во всем диапазоне регулирования силы тока. Оценить систематические погрешности измерения силы тока и напряжения по классу точности приборов, (см. с. 6). Результаты измерений записать в таблицу. Таблица I, A

С = …м U, B

θI=

θU=

α = 0,0043 1/К

0

ТТР = … С q, Вт R, Ом

—

—

ТНi,0С

ТНi – ТТР, 0 С

—

—

〈χ〉,

Вт м⋅К

Обработка результатов 1. Определить в каждом опыте тепловой поток q = I U. Определить сопротивU ление проволоки R = с точностью до трех значащих цифр. Записать в таблицу. I 2. По графику температурной зависимости сопротивления определить температуру медной проволоки в каждом опыте. Определить разность температур между проволокой и трубкой. Записать в таблицу. 3. Построить график зависимости теплового потока q от перепада температур (ТНi – ТТР) (см. рис. 3 и на с. 11 рис. 4). 4. Определить по угловому коэффициенту прямой линии (см. рис. 3) среднее значение коэффициента теплопроводности воздуха: q − q1 1 χ= 2 ⋅ . (4)* T Н − Т ТР С 76

5. Оценить случайную погрешность измерения коэффициента теплопроводности графическим методом, см. формулу (8) на с. 10 и рис. 3: δχ =

q A − qB 1 ⋅ . (Т Н − Т ТР ) n C

(5)

Убедиться, что относительные систематические погрешности измерения силы тоδχ ка, напряжения меньше, чем относительная случайная погрешность , и ими χ можно пренебречь. 6. Записать результат χ = 〈 χ 〉 ± δχ , Р = 0,95. Сделать выводы. Можно ли считать, что коэффициент теплопроводности не зависит от температуры в измеренном интервале температур. Сравнить полученное значение коэффициента теплопроводности χ с табличным, которое при 200С составляет 0,034 Вт/м⋅К.

77

РАБОТА № 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ Цель работы: познакомиться с явлением вязкости жидкости и закономерностями движения тел в вязкой среде. Оборудование: два цилиндра с исследуемыми жидкостями, секундомер, индикатор или штангенциркуль, масштабная линейка, свинцовые шарики. Описание метода Внутреннее трение возникает при движении одного слоя жидкости относительно другого в результате межмолекулярного взаимодействия слоев жидкости. Закон внутреннего трения для ламинарного течения установлен Ньютоном: сила dU и внутреннего трения (вязкости) F пропорциональна градиенту скорости dx площади трущихся слоев S (рис. 1): dU F =η S, (1) dx где η — коэффициент внутреннего трения исследуемой жидкости (коэффициент вязкости). Коэффициент вязкости может быть определен различными методами. Один из них, метод Стокса, основан на измерении скорости падения тяжелого шарика в исследуемой жидкости. Рис. 1 К поверхности шарика, падающего в жидкости, прилипает слой жидкости, который неподвижен относительно поверхности шарика. Поэтому при движении в жидкости возникает трение не между шариком и жидкостью, а между слоями жидкости. Стокс, применяя закон (1), установил, что при движении шара в жидкости сила трения пропорциональна скорости движения V, радиусу r и зависит от рода жидкости: r r F = −6πη rV . (2) Знак «минус» показывает, что сила внутреннего трения направлена в сторону, противоположную скорости шарика. При больших скоростях, когда ламинарное слоистое обтекание шарика сменяется турбулентным, вихревым, закон Стокса нарушается. На шарик, движущийся в жидкости, действуют сила тяжести mg, выталкивающая сила Архимеда FA, и сила сопротивления F. В начале, когда трение еще невелико, движение шарика будет ускоренным. По мере роста скорости движения увеличивается и сила сопротивления. При некоторой скорости силы, действую78

щие на шарик, уравновешиваются и, начиная с этого момента, движение его становится равномерным. При этом (рис. 2) mg – FA – F = 0. (3) Подставляя в уравнение (3) выражения для соответствующих сил (mg = 4/3 π r3ρ1g; FA = 4/3 π r3 ρ2g; F = 6πη r V) и решая его относительно скорости, получаем 21 (ρ 1 − ρ 2 )gr 2 , V= (4) 9η где ρ1 и ρ2 — плотности материала шарика и жидкости; r — радиус шарика. Рис. 2 Теоретически зависимость скорости падения шарика от квадрата радиуса — 2 1 прямо пропорциональная (рис. 3) с угловым коэффициентом k = ( ρ 1 − ρ 2 )g . 9 η Из формулы (4) коэффициент вязкости жидкости 2( ρ 1 − ρ 2 ) gr 2 η= . 9V

(5)

Описание установки Для определения коэффициента вязкости используется установка, содержащая две стеклянные трубы, заполненные исследуемыми жидкостями (глицерин, касторовое масло). Сверху трубы закрыты крышками, в которых имеются отверстия для опускания шарика. Для фиксации пройденного шариком расстояния на каждую трубу установлены кольца-метки. Рис. 3 Время падения измеряется электрическим секундомером. Чтобы избежать ошибок на параллакс в момент включения и выключения секундомера, глаз наблюдателя, шарик и кольцо должны находиться на одном уровне. Электрический секундомер включается и выключается тумблером. Время определяется как сумма показаний малой стрелки — в секундах, и большой — в сотых долях секунды. Установка на ноль производится нажатием на штифт до упора.

79

Выполнение работы 1. Измерить линейкой расстояние между кольцами на одной из труб. Верхнее кольцо должно быть ниже уровня жидкости не менее чем на 5 см. Оценить погрешность измерения θ l. 2. Измерить индикатором или штангенциркулем диаметр небольшого шарика. d Записать радиус в таблицу r = . Оценить погрешность θ r. 2 При измерении штангенциркулем десятые доли миллиметра определяются по шкале нониуса там, где деление нониуса точно совпадает с каким-либо делением основной шкалы. 3. Опустить шарик в трубу с исследуемой жидкостью, измерить секундомером время t прохождения шариком расстояния между кольцами. Оценить погрешность измерения θ t = 0,1…0,2 секунды как время реакции человека. Опыт провести не менее пяти раз для одной из жидкостей с различными шариками, размеры которых отличаются от самых маленьких, до самых больших. Результаты измерений, плотность свинца и исследуемой жидкости записать в таблицу. Форма отчета приведена в приложении. Таблица Жидкость — … l ± θ l = …м 3 ρ1 = …, кг/м ρ2 = …, кг/м3 r, м t, c V, м/с r2, м2 θr

θt Обработка результатов

1. Определить скорость падения шариков по формуле V = l/t в каждом опыте. 2. Построить график зависимости V(r2), см. с. 11. 3. Определить среднее значение коэффициента вязкости графическим методом. Для этого выбрать на концах экспериментальной прямой две точки. Определить по графику и указать на нем координаты этих точек (рис. 3). Рассчитать по формуле среднее значение коэффициента вязкости жидкости 2 2 2( ρ 1 − ρ 2 )g r2 − r1 〈η 〉 = ⋅ . (6)* 9 V 2 − V1 Расчеты провести в системе СИ. 4. Оценить случайную погрешность измерения коэффициента вязкости графическим методом (рис. 3). По аналогии с формулой (7) на с. 10, после преобразований получаем

80

V − VB 1 δη = 〈η 〉 A ⋅ . (V2 − V1 ) n

(7)

5. Оценить систематическую погрешность коэффициента вязкости для одного из опытов. Из формулы (5) согласно формуле (10) на с. 10 следует 2

2

2

θ t   2θ r  θ l  θη = 〈η 〉   +   +  .  t   r   l  6. Оценить суммарную погрешность ∆η = (θη ) 2 + (δη )2 . Если одна из погрешностей меньше другой более чем в три раза, то меньшей пренебречь. 7. Записать ответ в виде η = 〈η 〉 ± ∆η , Р = 0,95.

81

РАБОТА № 15 ИЗУЧЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА Цель: определение коэффициента вязкости воздуха и исследование зависимости объёма воздуха, протекающего через капилляр, от его размеров. Оборудование: набор капилляров, стеклянный баллон, насос, манометр, барометр, секундомер.

Описание метода измерений Явления переноса – это процессы установления равновесия в системе путём переноса массы (диффузия), энергии (теплопроводность) и импульса молекул (внутреннее трение или динамическая вязкость). В явлении вязкости наблюдается перенос импульса от более быстрых участков потока к менее быстрым. При течении газа или жидкости, например внутри трубы, скорости слоев различны: их распределение при ламинарном течении показано на рис. 1 (длина стрелки показывает скорость данного слоя). Причиной этого является хаотическое тепловое движение Рис. 1 молекул, при котором они непрерывно переходят из слоя в слой и в соударениях с другими молекулами обмениваются импульсами. Так, молекулы второго слоя, попадая в слой 1, переносят свой импульс направленного движения m 0 u2 , а в слой 2 приходят молекулы с меньшим импульсом m 0 u1 . В результате второй слой тормозится, а первый – ускоряется. Опыт показывает, что импульс dp, передаваемый от слоя к слою через поверхность S, пропорционален градиенту скорости du/dx, площади S и времени переноса dt: du dp = −η Sdt . dx В результате между слоями возникает сила внутреннего трения (закон Ньютона) r dp du F= =η S, (1) dt dx где η – коэффициент вязкости среды. 82

Для идеального газа коэффициент вязкости 1 η = λv ρ . 3 Средняя длина свободного пробега молекул kT , λ= 2πd 2 P где k = 1,38⋅10–23 Дж/К – постоянная Больцмана, d – эффективный диаметр молекул (для воздуха d ≅ 4⋅10–10 м), Т, Р – температура и давление газа. Средняя скорость теплового движения молекул

(2)

(3)

8 RT , (4) πM где R = 8,31 Дж/моль⋅К – универсальная газовая постоянная, М – масса одного моля газа (для воздуха М = 28,9 г/моль). Плотность газа согласно уравнению состояния идеального газа PM ρ= . (5) RT При ламинарном течении через трубу круглого сечения радиусом r (капилляр) и длиной L за время t протекает газ или жидкость, объём V которых определяется по формуле Пуазейля: 1 π r4 ∆Pt , (6) V= η 8L где ∆Р – разность давлений на концах капилляра. v=

ние

Если в баллоне создать избыточное над атмосферным Р0 давле-

∆Р = Р – Р0 = ρжgh (ρж – плотность жидкости в манометре, h – разность уровней жидкости) и соединить капилляр с атмосферой, то за время dt через капилляр вытечет некоторое количество воздуха, масса которого dm = ρdV, (7) где ρ – плотность воздуха в капилляре, зависящая (см. формулу (5)) от давления воздуха, dV – объём вышедшего воздуха. Давление воздуха в капилляре изменяется от Р0 до Р0 + ρgh, но так, как ρgh << Р0, то с достаточной точностью можно принять давление воздуха в капилляре равным атмосферному Р0. Тогда плотность воздуха (из уравнения Менделеева–Клапейрона) Р М ρ= 0 . (8) RT Объём воздуха dV, прошедшего через капилляр за время dt, описывается формулой Пуазейля (6): 83

πr 4 πr 4 dV = ∆P∆t = ρ ж ghdt , (9) 8η L 8η L а масса воздуха, вытекающего из баллона, с учётом формул (8) и (9) P0 Mπr 4 dm = ρdV = ρ ж gh dt . (10) 8 RTηL Из уравнения состояния идеального газа выразим изменение массы газа dm в баллоне через уменьшение давления в нём. Так как dP = ρжgdh, то MVб MVб dm = dP = ρ ж g dh . (11) RT RT Исключая dm из уравнений (10) и (11), получаем dh P0πr 4 dt . − = (12) h Vб 8 Lη Решая это дифференциальное уравнение при условии, что за время опыта давление в баллоне уменьшится от ρжgh0 до ρжgh, получаем πr 4 P0 lnh = lnh0 − (13)* t. 8 LηVб Таким образом, формула (13) связывает разность давлений h на концах капилляра с временем t истечения воздуха, его вязкостью η и размерами капилляра r и L. Описание установки Установка состоит из баллона Б, жидкостного манометра М и набора капилляров (1–5), соединенных с баллоном кранами (К1 – К5). Давление воздуха в баллоне до необходимого можно повысить с помощью компрессора при открытом кране К и закрытых кранах (К1 – К5) и К0. Кран К0 используется для практически мгновенного выпускания воздуха из баллона. В установках капилляры соединены параллельно различного сечения (рис. 2). Если при закрытых кранах К и К0 открыть кран К1 (при закрытых кранах К2 – К5), то воздух из баллона будет вытекать через первый капилляр. Если открыть кран К2 (при закрытых кранах К1, К3, К4 и К5), то воздух будет вытекать через второй капилляр и т.д.

84

Рис. 2 Примечание: сечение соединительных трубок много больше сечения капилляра и их сопротивление практически равно нулю, так как сопротивление пропорционально r4 (формула Пуазейля (6)). Выполнение работы 1. Внести в таблицу параметры установки: объем баллона Vб, длину капилляра L, радиусы капилляров и атмосферное давление Р0. 2. Закрыть краны (К1–К5) и К0. Открыть кран К, включить компрессор. Когда давление в баллоне достигнет 200…250 мм водяного столба, выключить компрессор и закрыть кран К. 3. Выждав 1–2 мин, открыть кран К1. Когда установится стационарный режим течения воздуха через капилляр и избыточное давление в баллоне снизится до выбранного вами давления h0 (скажем, 150 мм водяного столба), включить секундомер. 4. Когда давление в баллоне уменьшится в 3–5 раза (станет, скажем, 30 мм водяного столба) выключить секундомер и одновременно закрыть кран К1. В таблицу записать показания секундомера t, h0 и h. Примечание. Во всех последующих опытах начальные h0 и конечные h давления должны быть точно такими же (их разброс будет определять систематическую погрешность опыта). 5. Повторить этот опыт еще дважды и найти среднее значение t1. 6. Провести аналогичные измерения (п.п. 2–5) для капилляров различного радиуса. Полученные результаты внести в таблицу. Таблица 4 4 tср, c r ,м № r, м t, c η 〈η〉 V = 0,021 м3 б

1 2 3 85

P0 =

Па

h0 =

м

4

h =

м

5

L =

м

7. Определить коэффициент вязкости воздуха для каждого значения радиуса по формуле (13): πr 4 P0 t η= h 8 LVб ln 0 h и записать в таблицу. 8. Рассчитать среднее значение коэффициента вязкости 〈η〉 и записать в таблицу. 9. Оценить случайную погрешность измерения коэффициента вязкости воздуха (см. формулу (2) на с. 6): δη = t p

∑ (ηi − η

)2 .

n( n − 1 ) 10. Записать ответ в виде η = η ± δη , Р = 0,95. 11. Сравнить коэффициент вязкости воздуха с табличным значением. Сделать вывод.

86

ТЕРМОДИНАМИКА РАБОТА №16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА Цель работы: изучить процессы, протекающие в газе при определении отношения теплоемкостей методом Клемана — Дезорма и измерить отношение Ср/СV для воздуха. Оборудование: установка, состоящая из стеклянного баллона, манометра, компрессора, секундомер. Описание метода Приращение внутренней энергии идеального газа при изменении его температуры на dT dU = 0,5iνRdT. (1) Число степеней свободы i молекулы – это число независимых координат, определяющих положение молекулы в пространстве: i = 3 для одноатомной, i = 5 для двухатомной, i = 6 для трех- и многоатомной; ν = m/M – количество вещества (число молей). Молярная теплоемкость С – величина, равная количеству тепла, которое нужно сообщить молю вещества, чтобы увеличить его температуру на один кельвин: dQ С= . νdT Если газ нагревать при постоянном объеме, то подводимое тепло расходуется только на увеличение его внутренней энергии dQV = dU и поэтому теплоемкость газа при постоянном объеме CV = 0 ,5 Ri . (2) При нагревании газа в условиях свободного расширения при постоянном давлении Р = const подводимое тепло расходуется как на приращение внутренней энергии, так и на совершение работы. Работа расширения одного моля газа в этих условиях при нагревании его на 1 К равна R. Таким образом, теплоемкость газа при постоянном давлении определяется соотношением i+2 C p = CV + R = R. (3) 2 Отношение теплоемкостей γ называется показателей адиабаты: Ср i+2 γ = = . (4) СV i

87

Адиабатическим называют процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой: dQ = 0. Из первого начала термодинамики для адиабатического процесса m i RdT = − PdV M 2 следует, что адиабатическое расширение (dV > 0) сопровождается охлаждением (dT < 0) газа, а сжатие (dV < 0) – его нагреванием (dT > 0). Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона) PV γ = const . Уравнение изотермического процесса PV = const.

(5) (6)

Описание установки и метода измерений Измерения выполняют на установке (рис. 1), состоящей из большого стеклянного баллона Б, насоса Н и водяного манометра 1. Баллон соединяют краном К с насосом, а краном К0 – с атмосферой. Краны К1 ÷ К5 в данной работе не используются и должны быть закрыты. Метод, предложенный Клеманом и Дезормом (1819 г.) основан на изучении параметров некоторой массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя последовательными процессами: адиабатическим и изохорическим. Эти процессы на диаграмме P–V (рис. 2) представлены кривыми 1–2 и 2–3 соответственно. Если накачать воздух в баллон и выдержать до установления теплового равновесия с окружающей средой, то в этом начальном состоянии 1 газ имеет параметры Р1, V1, T1, причем температура газа в баллоне равна температуре окружающей среды, а давление Р1 = Р0 + Р′ немного больше атмосферного Р0.

Рис. 1

Рис. 2 При открывании крана К0 воздух в баллоне перейдет в состояние 2. Его давление снизится до атмосферного Р2 = Р0. Оставшаяся масса воздуха, которая зани88

мала в состоянии 1 часть объема баллона, расширяясь, займет весь объем V2. При этом температура воздуха, оставшегося в баллоне, уменьшится. При быстром расширении газа можно пренебречь его теплообменом с окружающей средой через стенки баллона и считать процесс 1–2 адиабатическим: Р1V1γ = Р 2V2γ = Р0V2γ . (7) После закрытия крана К0 охлажденный адиабатическим расширением воздух в баллоне будет нагреваться (процесс 2–3) до температуры окружающей среды Т3 = Т1 при постоянном объеме V2 = V3. При этом давление в баллоне возрастет до Р3 = Р2 + Р′′. Избыточное давление воздуха Р′ и Р′′ измеряют с помощью U-образного манометра по разности уровней жидкости с плотностью ρ: Р′ = ρgH, Р′′ = ρgh, где H и h – показания манометра в состояниях 1 и 3 соответственно. Тогда Р1 = Р0 + ρgH, Р3 = Р0 + ρgh. (8) Состояния воздуха 1 и 3 принадлежат изотерме, поэтому Р1V1 = P3V3.

(9)

Исключив отношение объемов из уравнений (7) и (9), найдем связь давлений газа: γ

γ

Р / P  Р1  Р1   =  1 0  . =  Р0  Р3   P3 / P0  Выразим давление Р1 и Р2 через Р0 с учетом (8) и прологарифмируем:     ρgH  ρgH  ρgh    = γ  ln  1 +  − ln 1 +   . ln 1 +   P P P  0  0   0    С учетом того, что если х << 1, то ln(1 + x) = х, получим расчетную формулу в следующем виде: H γ = . (10)* H −h Таким образом, для определения отношения теплоемкостей воздуха достаточно осуществить процессы (1–2–3) и измерить показания манометра H и h в состояниях газа 1 и 3 соответственно. Но осуществить равновесный адиабатический процесс сложно: если проводить расширение газа быстро, то процесс не будет равновесным, так как температура и давление газа не успевают выравниваться по объему. Для проведения медленного адиабатического процесса нужна тепловая изоляция баллона. В данной установке за время t расширения газа подводится тепло. Поэтому при последующем изохорическом нагревании давление поднимается меньше, т.е. измеряемое h′ < h, необходимого для расчета γ. По мере увеличения времени расширения газа 89

значение h′ снижается, приближаясь к нулю при t → ∞ (изотермическое расширение 1–3). Опытным путем установлено, что h′ = he − at . Логарифмируя эту функцию, получаем зависимость: (11) ln h′ = lnh − at , где а – постоянная установки, t – время протекания процесса, в течение которого баллон сообщается с атмосферой. lnh′ График зависимости (11) конечного lnh max избыточного давления воздуха в баллоне lnh от времени контакта его с атмосферой поlnhmin казан на рис. 3. Построив по данным эксперимента такой график, можно путем экстраполяции опытной прямой до t = 0 определить значение lnh, а по нему значение h, необходимое для расчета γ по формуле (10). t 0 Рис. 3 Выполнение работы 1. Закрыть кран К0, открыть кран К, включить компрессор и накачать воздух в баллон до избыточного давления 230…250 мм рт.ст. 2. При закрытых кранах К0 и К выждать 2…3 мин, пока установится постоянное давление в баллоне (отсчет Н), это состояние воздуха 1 (см. график рис. 2). 3. Открывая кран К0, соединить баллон с атмосферой и одновременно включить секундомер. Оставить кран К0 открытым в течение t = 5 с и затем быстро закрыть его. 4. Выждать 2–3 мин, пока в баллоне установится постоянное давление, и сделать отсчет по манометру h′. 5. Провести аналогичные измерения с различным временем сообщения баллона с атмосферой (t = 10, 15, 20 и 25 с), но при одинаковом начальном значении H. Для его получения воздух накачивать медленно, приближаясь к нужной величине со стороны меньших значений давления. Результаты всех измерений H и h′ записывать в табл. Таблица t, c 5 10 15 20 25 0 H±θH = h= … h′, мм мм.вод. lnh = lnh′ ст 90

Обработка результатов 1. Определить логарифмы h′ и записать в таблицу. 2. Построить график линейной зависимости lnh′(t). Для увеличения точности графических измерений рекомендуется начало отсчета lnh′ начинать не с нуля, а с округленного числа, чуть меньше самого малого значения lnh′. Масштаб выбрать так, чтобы прямая была расположена под углом, близким к 450, к оси абсцисс (см. рис. 2 и на с. 11 рис. 4). 3. Продолжить прямую lnh′ до пересечения с осью ординат. Определить ординату точки пересечения lnh, потенцируя, найти h. Рассчитать по формуле (10) среднее значение показателя адиабаты 〈γ〉. 4. Оценить случайную погрешность измерения δγ графическим методом. Для этого на графике провести две прямые, параллельные экспериментальной прямой, так, чтобы экспериментальные точки оказались между ними. Определить ординаты точек пересечения прямых с осью lnh′. Потенцируя, определить hmax и hmin. Случайная погрешность измерения h согласно формуле (7) на с. 10 t (h − hmin ) . δh = P max 2 n Логарифмируя и дифференцируя формулу (10) в соответствии с формулой (6а) на с. 8, получаем: − hmin ) t (h δγ = 〈γ 〉 P max . 2 n ( H − h) θh Убедитесь, что относительная систематическая погрешность незначительна h δγ и ею можно пренебречь. по сравнению с 〈γ 〉 5. Записать результат: γ = 〈γ 〉 ± δγ , Р = 0,95. Сделать выводы. Сравнить экспериментальный результат с теоретическим, рассчитанным по формуле (1) для воздуха как для двухатомного газа.

91

РАБОТА № 17 ИЗУЧЕНИЕ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА РЕАЛЬНОГО ГАЗА Цель работы: изучить зависимость давления реального газа от объема при постоянной температуре, определить упругость насыщенного пара. Оборудование: стеклянная трубка с исследуемым веществом, манометр, насос. Описание метода Газы не идеальны. При сравнительно высоких давлениях и низких температурах их состояние не подчиняется уравнению Менделеева–Клапейрона. Из большого числа уравнений состояния реальных газов уравнение Ван-дер-Ваальса отличается тем, что оно описывает переход газа в жидкое состояние и что поправки, введенные в уравнение состояния идеального газа Менделеева–Клапейрона, имеют физический смысл. Для одного моля оно имеет вид  а   Р + (V − b ) = RT , 2  V 

(1)

где b — учет собственного объема молекул, (V – b) — пустой объем, доступный а для движения молекул; — добавочное давление, обусловленное взаимным 2 V притяжением молекул. Слой молекул около стенки сосуда притягивается к внутренним молекулам под действием сил Ван-дер-Ваальса. В результате давление в газе выше, чем на стенку. Сила добавочного давления пропорциональна произведению числа молекул N (или их концентрации n) у поверхности и внутри газа. N Так как n = , то добавочное давление обратно пропорционально квадрату объV ема газа. Изотермы Ван-дер-Ваальса представлены на P–V-диаграмме (рис. 1). Среди них есть особая изотерма при температуре, равной так называемой критической Ткр. Если Т>Ткр, то сжатием газ нельзя перевести в жидкое состояние. В этой области состояние газа удовлетворительно описывается уравнением Менделеева–Клапейрона.

92

При температурах меньше критической Т< Ткр газ из состояния ненасыщенного пара можно сжатием перевести в жидкое состояние. По мере уменьшения объема (рис. 1) давление пара вначале возрастает и при давлении, равном упругости насыщенного пара Рнас начинается конденсация (рис. 1, т. А). Обычно S-образная часть изотермы, соответствующая метастабильным состояниям перенасыщенного пара и перегретой жидкости, экспериментально не реализуется. Поэтому изотерма представляет собой горизонтальный участок, конденсация газа происходит при постоянном давлении Рнас. После полной конденсации (т. В) дальнейшее сжатие приводит к резкому повышению давления, так как жидкости мало сжимаемы. Колоколообразная область на P–V-диаграмме (рис. 1) соответствует области совместного существования жидкости в равновесии со своим насыщенным паром. Вершина колоколообразной кривой соответствует особому состоянию вещества — критическому, при котором физические свойства жидкости и насыщенного пара одинаковы, между ними исчезает граница раздела, теплота парообразования равна нулю. Область на P–V-диаграмме слева от колоколообразной кривой и под критической изотермой соответствует жидкому состоянию, справа — состоянию ненасыщенного пара, а над критической изотермой — состоянию идеального газа. В данной работе в качестве исследуемого вещества используется пентан С5Н10. Критическая температура пентана 1960С и поэтому при комнатной температуре он может находиться как жидком, так и в газообразном состоянии в зависимости от давления. Описание установки Основным элементом установки (рис. 2) является стеклянная трубка, заполненная водой. В верхней части трубки на поверхности воды находится тонкий слой пентана и над ним небольшой пузырек воздуха. Пузырек воздуха выделяется из растворенного в воде воздуха, его присутствие вносит погрешность при измерении объема пара. При откачивании насосом воздуха из баллона создается разрежение. С понижением давления в трубке из-за увеличения объема пузырька воздуха часть пентана испаряется. 93

Когда давление понизится до давления насыщенного пара, начинается кипение пентана и, если процесс идет медленно, весь пентан испарится, а объем пара резко возрастет. Дальнейшее понижение давления приводит к тому, что пар становится ненасыщенным и расширяется постепенно (рис. 3). Измерение абсолютного давления пентана производится манометром. Объем пара пентана можно измерить по длине столбика пара, отсчитанному от исходного уровня воды V = S l, где S — площадь сечения трубки. В исходное состояние установка возвращается при открытии крана. Выполнение работы 1. Убедиться, что пузырек воздуха небольшой, не более 1 см по длине. Записать его длину l0 в табл. 1. Форма отчета приведена в приложении. 2. Определить температуру окружающего воздуха по термометру. Записать в табл. 1. 3. Убедиться, что кран закрыт. Небольшими порциями откачивать воду насосом так, чтобы давление от опыта к опыту понижалось на 0,05…0,1 атм. Выждать около минуты, измерить давление и длину столбика пара пентана. При некотором давлении, равном или чуть меньше Рнас длина столбика пара растет при неизменном давлении. Следует отметить несколько длин столбика от начального до конечного. В этой области давление изменять на одно малое деление. Измерения повторить 10–15 раз, пока пар не займет всю трубку. Оценить систематические погрешности измерения θ l и θP. Результаты измерений записать в табл. 1. Таблица 1 Твозд ± θТ = …

l0 = …, мм

Р, атм

θР =

l, мм

θl=

Обработка результатов 1. Построить график зависимости давления пара пентана от длины столбика пара, который пропорционален его объему (см. с. 11). 2. Определить среднее значение давления насыщенного пара пентана 〈Рнас〉 при данной температуре как ординату горизонтального или середины чуть наклонного участка изотермы (рис. 3). 94

3. Определить случайную погрешность измерения давления насыщенного пара пентана. Для этого на графике провести две прямые, параллельные горизонтальному участку изотермы (рис. 3), так, чтобы большинство точек горизонтального участка были между ними Случайная погрешность согласно формуле (5) на с. 9 Р − Pmin δР = max , 2 n где n — число измерений, соответствующих горизонтальному участку изотермы. 4. Проверить несоответствие экспериментальной изотермы закону Бойля– Мариотта для идеального газа. Для этого построить на графике изотерму идеального газа так, чтобы совпадали параметры при наибольшем объеме (рис. 3). Для построения изотермы идеального газа вычислить координаты ее точек по формуле Бойля–Мариотта, записанной в данном случае в виде Р l = Pa l a . Определить давление Ра и длину столбика пара la для крайней точки графика и их произведение Раla. Затем, задаваясь, например, давлением Р через 0,1 атм от миниP l мального Ра до атмосферного, вычислить длину столбика газа l = a . РезультаP ты записать в табл. 2. Значение Р и l нанести на график и провести плавную линию изотермы идеального газа. Таблица 2 Ра = …атм

la = … мм

Раla = … атм⋅мм

Р, атм l, мм

5. Записать результат измерения: Р нас = 〈 Р нас 〉 ± δР , атм, Р = 0,95. Сделать выводы о несоответствии изотерм пентана и идеального газа. 95

ПРИЛОЖЕНИЕ ОТЧЕТ по лабораторной работе __________________________________________________________ (название работы) студента (студентки) гр. _____________ Цель работы:

_____________________________________________

Оборудование: ______________________________________________ Краткое описание метода исследования. Схема установки. Расчетные формулы (объяснить входящие в формулы физические величины и указать единицы их измерения в СИ). В описании расчетные формулы помечены звездочкой. Таблица результатов измерений. Вычисление искомых величин (если физическая величина вычисляется несколько раз, достаточно показать расчет одного значения, остальные значения занести непосредственно в таблицу). Указать единицы измерений величин. Оценка погрешностей измерений. Запись окончательного результата (с указанием погрешностей и единиц измерения). Вывод.

96

ОГЛАВЛЕНИЕ Правила техники безопасности ………………………………………………... Выполнение лабораторных работ……………………………………………… Методы обработки результатов измерений……………………………………. Вводная работа. Определение ускорения свободного падения……………… МЕХАНИКА Работа №1. Изучение явления удара тел………………………………………. Работа №2. Определение скорости пули………………………………………. Работа №3. Изучение закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека ………………….……………………………… Работа №4. Закон сохранения импульса ……………………………………… Работа №5. Определение момента инерции тела, скатывающегося с наклонной поверхности …………………………………..……………………. Работа №6. Определение момента инерции маховика………………………... КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Работа №7. Определение ускорения свободного падения……………………. Работа №8. Проверка закона сохранения момента импульса………………... Работа №9. Изучение вынужденных колебаний………………………………. Работа №10. Изучение собственных колебаний струны……………………… Работа №11. Изучение звуковых волн в воздухе……………………………… Работа №12. Изучение затухающих колебаний ………………………………. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Работа №13. Изучение процесса теплопроводности в газах…………….…… Работа №14. Определение коэффициента вязкости жидкости ………………. Работа №15. Изучение вязкости воздуха ……………………………………… ТЕРМОДИНАМИКА Работа №16. Определение отношения теплоемкостей воздуха……….….….. Работа №17. Изучение изотермического процесса реального газа………….. Приложение ……………………………………………………………………...

97

3 3 4 13 16 22 27 32 38 43 47 50 57 61 65 69 74 78 82 87 92 96