Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания по высшей математике для всех специальностей

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для всех специальностей

Составители: Постникова Л.С. Субанова Э.В.

г. Улан-Удэ,1998 г.

2

Данные методические указания содержат индивидуальные задания, состоящие из 25 вариантов. Студент выполняет одну задачу из каждого задания с номером, соответствующим его варианту. По своему усмотрению преподаватель может использовать задания для проведения контрольных работ, самостоятельных работ, для домашних заданий. Методические указания содержат краткие теоретические сведения. Теоретические вопросы могут быть использованы студентами для подготовки к экзамену.

Рецензенты: Мижидон А.Д., д.т.н. Гармаев В.Д., к.э.н.

Содержание

3

1. Краткие теоретические сведения для выполнения каждого задания. 2. Теоретические вопросы для защиты типового расчета. 3. Литература. 4. Индивидуальные задания.

Краткие теоретические сведения

4

⎛ a11 a12 ⎜ a a 1. A = ⎜ 21 22 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ an1 an2

... a1m ⎞ ⎟ ... a2m ⎟ - матрица размерности n x m. Если n=m, то А ... ... ⎟ ⎟ ... anm ⎠

квадратная матрица порядка n. 0 ... 0 ⎞ ⎛ d11 0 ⎜ ⎟ 0 d22 0 ... 0 ⎟ ⎜ 2. Д = - диагональная матрица. Если в матрице ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ... dnn ⎠ ⎝ 0 Д d11 = d22 =... = dnn = 1 , то получится единичная матрица Е. 3. А - квадратная матрица порядка n. Если в А строки заменить столбцами, то полученная матрица AT называется транспонированной с матрицей А. 4. Определителем матрицы А n-го порядка называется сумма всех n! произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строчки и по одному из каждого столбца; при этом каждое произведение снабжено знаком плюс или минус по правилу: пусть Р - фиксированное произведение, входящее в состав определителя матрицы А n-го порядка. Выпишем сомножители в порядке следования строчек P = a1α a2 β ... anω . Тогда номера столбцов дадут пере-

становку (α , β ...ω ) . Р берется со знаком +, если эта перестановка четная, и со знаком -, если она нечетная.

⎛ a11 a12 ⎜ Пример. A = ⎜ a21 a22 ⎜ ⎝ a31 a32

a13 ⎞ ⎟ a23⎟ - матрица 3-го порядка. Определитель мат⎟ a33⎠

рицы А, который обозначается ΔА или A или det A = a11a22a33 + a13a21a32 +

+ a12a23a31 − a13a22a32 − a12a21a33. a11 a12 ⎛ a11 a12 ⎞ B=⎜ = a11a22 − a12a21. ⎟ ΔB = B = a21 a22 ⎝ a21 a22 ⎠

5

5. Пусть задана матрица А n- го порядка. Вычеркнем в ней i-ую строку и k-й столбец и сдвинем, не нарушая порядка, оставшиеся элементы. Определитель полученной матрицы (n-1)-го порядка называется минором элемента i-ой строки и k- го столбца. Обозначим его Mik 6. Пусть А - матрица n-го порядка. Минор Mik , взятый со знаком ( −1)i + k , называется алгебраическим дополнением элемента aik . Обозначается Aik . 7. Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь фиксированной строчки или фиксированного столбца на их алгебраические дополнения, т.е. A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 +...+ ain Ain . 8. Рангом матрицы А называется наивысший порядок минора, составленного из элементов А, отличный от нуля. ⎛ 3 1 7 − 1⎞ Например, A ⎜ ⎟ . Наивысший порядок минора для матрицы А ра2 × 4⎝ 4 3 0 3 ⎠ 3 1 вен 2. M 2 = = 9−4 =5≠ 0 4 3

R( A) = rangA = 2.

⎧a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 ⎪a x + a x +...+ a x = b 2n n 2 ⎪⎪ 21 1 22 2 9. ⎨a31x1 + a32 x2 +...+ a3n xn = b3 ⎪. . . . . . . . ⎪ ⎪⎩an1x1 + an2 x2 +...+ ann xn = bn (1) - неоднородная система n линейных уравнений с n неизвестными, если хотя бы один из свободных членов bi ≠ 0, i = 1,2,..., n. 10. Если все bi = 0, то система (1) однородная. 11. Теорема Кронеккера -Капелли (об исследовании решений системы (1)). A(aik ), i = 1,2,..., n; k = 1,2,..., n - матрица системы. С - расширенная матрица, полученная из матрицы А присоединением столбца свободных членов. I. Если R(A)=R( C )=r, то система (1) совместна, т.е. имеет решение. II. Если r = n, то система (1) имеет единственное решение.

6

III. Если r < n, то система (1) имеет множество решений. IV. Если R( A) ≠ R(C ) , то система несовместна, т.е. не имеет решений. 12. Следствие 1. (для однородной системы) I. Однородная система всегда совместна. II. Если r = n, то система имеет единственное нулевое решение. III. Если r < n, то система имеет множество решений. 13. Решение системы (1) матричным способом. а) Система (1) записывается в виде матричного уравнения AX = B , где A(aik ) ; ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ X = ⎜ . ⎟ - матрица - столбец. ⎜ ⎟ ⎜ .⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠

⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ B = ⎜ . ⎟ , i = 1,2,..., n. k = 1,2,..., n ⎜ ⎟ ⎜ .⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bn ⎠

б) решение системы запишется в виде матричного уравнения X = A−1B , где A−1 - обратная матрица для матрицы А. A−1 =

1 ( A ) , где ( Aki ) - матрица, ΔA ki

составленная из алгебраических дополнений для элементов матрицы AT . 14. Решение системы (1) по формулам Крамера. Решения системы имеют вид , где Δ- определитель матрицы А; ΔXi - определитель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов. x1 =

Δx1 Δx Δx ; x2 = 2 ,..., xn = n - формулы Крамера. Δ Δ Δ

15.

⎧a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = 0 ⎪a x + a x +...+ a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪. . . . . . . . . . . ⎪⎩am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = 0

(2),

m
R(A) = r, r ≤ m, k = n - r - число свободных неизвестных. Систему (2) записать в виде

7

⎧a11x1 + a12 x2 +...+ a1r xr = − a1r +1xr +1 −...− a1n xn , ⎪a x + a x +...+ a x = − a ⎪ 21 1 22 2 2r r 2 r +1 xr +1 −...− a2 n xn , ⎨ ⎪. . . . . . . . . . . ⎪⎩ar1x1 + ar 2 x2 +...+ arr xr = − arr +1xr +1 −...− arn xn .

(3)

Систему (3) решить по формулам Крамера. 16. Множество R элементов x,y,z,... называются линейным, или векторным, пространством, если для любых двух его элементов х, у определена сумма x + y ∈ R и для каждого элемента x ∈ R и каждого вещественного числа α определено произведение αx ∈ R так, что выполнены следующие условия: 1) x + y = y + x для всех x , y ∈ R 2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) для всех x , y , z ∈ R 3) Существует такой (нулевой) элемент O ∈ R , что x + 0 = x для всех x ∈ R 4) Для каждого элемента x ∈ R существует такой элемент -х ( называемый противоположным к х), что х+(-х)=0. 5) 1 ⋅ x = x 6) α ( β x ) = (α β ) x 7) (α + β ) x = α x + β x 8) α ( x + y ) = α x + α y Элементы векторного пространства называются векторами. 17. Векторы a1 , a2 ,..., ak линейного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа α1 ,α 2 ,...,α k , не равные одновременно нулю, что α1a1 + α 2a2 +...+α k ak = 0 . Например, αk ≠ 0 , то ak = −

α1 α α a1 − 2 a2 −...− k −1 ak −1 αk αk αk

18. Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. 19. Совокупность n линейно независимых векторов n - мерного пространства R называется его базисом.

8

20. Число базисных векторов определяет размерность векторного пространства. 21. Каждый вектор х линейного n - мерного пространства R можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса. Например, l1 , l2 ,..., ln - базис. X = α1l1 + α2l2 +...αnln 22. Пусть в пространстве Rn имеются два базиса l1 , l2 ,..., ln и l1′′ , l2 ′ ,..., ln ′ . Пусть первый называется старым базисом, второй - новым. Каждый из элементов нового базиса можно линейно выразить через векторы старого базиса:

l1′ = a11l1 + a21l2 +...+ an1ln l ′ = a l + a l +...+ a l 2

.

12 1

.

.

n2 n

22 2

.

.

.

.

(1)

ln ′ = a1nl1 + a2 nl2 +...+ annln Можно сказать, что новые координатные векторы получаются из старых с помощью матрицы ⎛ a11 a12 ⎜ a21 a22 A=⎜ ⎜ ... ... ⎜ ⎝ an1 an 2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ ... ... ⎟ ⎟ ... ann ⎠

Матрица А называется матрицей перехода от базиса l1 , l2 ,..., ln к базису l1′′ , l2 ′ ,..., ln ′ . Определитель матрицы А не равен нулю, т.к. в противном случае

ее столбцы, а следовательно, и векторы l1′′ , l2 ′ ,..., ln ′ были бы линейно зависимы. 23. Пусть X = x1l1 + x2l2 +... xn ln и в то же время X = x1′ l1′ + x2 ′l2 ′ +... xn′ ln ′ . Подставляя вместо l1′′ , l2 ′ ,..., ln ′ их выражения (1), получим X = x1′ ( a11l1 + a21l2 +...+ an1ln ) + x2′ (a12l1 + a22l2 +...+ an 2ln ) +...+ xn′ ( a1nl1 + a2 nl2 +...+ annln ) = = (a11x1′ + a12 x2′ +...+ a1n xn′ )l1 + (a21x1′ + a22 x2′ +...+ a2 n xn′ )l2 +...+ (an1x1′ + an12 x2′ +...+ ann xn′ )ln .

9

Т.к. разложение любого вектора по базису - единственное, то следует,

x1 = a11x1′ + a12 x2′ +...+ a1n xn′ x2 = a21x1′ + a22 x2′ +...+ a2 n xn′ что . . . . . . . xn = an1x1′ + an12 x2′ +...+ ann xn′ Таким образом, старые координаты вектора X получаются из новых с помощью той же матрицы А, только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы. 24. В линейном пространстве R задано преобразование A∗ , если каждому вектору x ∈ R поставлен в соответствие определенный вектор A∗ х. Вектор A∗ х называется образом вектора х. 25. Преобразование A∗ называется линейным, если для любых двух векторов х и у из R и произвольного действительного числа α выполняются свойства 1) A∗ ( x + y ) = A∗ x + A∗ y 2) A∗ (α x ) = αA∗ x 26. Выберем в пространстве R базис l1 , l2 ,..., ln . Если X = x1l1 + x2l2 +... xnln , то в силу линейности преобразования A∗ имеем A∗ X = x1 Al1′ + x2 Al2′ +...+ xn Aln′ . Но так как Ali - тоже вектор из R, то A∗li можно разложить по базису l1 , l2 ,..., ln . A∗li = a1i l1 + a2i l2 +...+ ani ln Тогда A∗ X = x1′l1 + x2′ l2 +...+ xn′ ln Ввиду единственности разложения вектора по базису имеем x1′ = a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn x2′ = a21x1 + a22 x2 +...+ a2 n xn . . . . . . . . xn′ = an1x1 + an 2 x2 +...+ ann xn

10

Таким образом, каждому линейному преобразованию A∗ в заданном базисе l1 , l2 ,..., ln отвечает матрица

⎛ a11 a12 ⎜ a21 a22 A=⎜ ⎜ ... ... ⎜ ⎝ an1 an 2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ ... ... ⎟ ⎟ ... ann ⎠

Справедливо обратное утверждение, каждая квадратная матрица А порядка n может рассматриваться как матрица некоторого линейного преобразования. 27. Если преобразование A∗ таково, что A∗ x = 0 только при х = 0, то оно называется невырожденным; в противном случае преобразование A∗ - вырожденное. 28. Для того, чтобы преобразование A∗ было невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А этого преобразования был отличен от нуля. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной матрицей. 29. Если A∗ и В* - два линейных преобразования линейного пространства R, то суммой A∗ +В* называется такое преобразование С* , что для любого x ∈ R C∗ x = A∗ x + B∗ x . Сумма двух линейных преобразований тоже линейное преобразование. Матрица С называется суммой матриц А и В. 30. Если A∗ - линейное преобразование пространства R и α - число, то произведением A∗ на α называется такое преобразование α A∗ , что для каждого вектора x ∈ R (αA∗ ) x = αA∗ x . αA∗ - тоже линейное преобразование. Матрица αА называется произведением матрицы А на число α. 31. Произведением A∗ В* преобразований A∗ и В* называется такое преобразование С* , что для каждого вектора x ∈ R C∗ x = A∗ ( B∗ x )

11

Таким образом, перемножение преобразований состоит в последовательном их выполнении одного за другим; при этом сначала производится преобразование В*, а затем полученный вектор В*х подвергается преобразованию А*. Произведение линейных преобразований тоже будет линейным преобразованием. Матрица С называется произведением матриц А и В. 32. Для каждого невырожденного линейного преобразования А* существует такое линейное преобразование (А*)-1 , что A∗ ( A∗ )−1 = ( A∗ )−1 A∗ . Преобразование (А*)-1 - обратное к А* преобразование. Существует

матрица

А-1

обратная

для

матрицы

А

такая,

что

AA−1 = A−1 A = E , где Е - единичная матрица. 33. Если преобразования А* и В* невырожденные, то невырожденным будет их произведение. 34. Пусть линейное преобразование Ах в базисе l1 ,l2 ,...,ln имеет матрицу А, а в базисе l1′ ,l2′ ,...,ln ′ другую матрицу А/. Обозначим через С матрицу перехода от базиса li к базису li ′ , где

i = 1,2 ,...,n C = ( Cik ) . Тогда li ′ = C1i l1 + C2i l2 + ...+ Cni ln . Будем рассматривать матрицу С как матрицу линейного преобразования С* в базисе l1 ,l2 ,...,ln . Тогда C∗li = C1i l1 + C2i l2 + ...+ Cni ln = li ′ . Значит, линейное преобразование С* переводит

векторы l1 ,l2 ,...,ln соответственно в векторы l1′ ,l2 ′ ,...,ln ′ . Для преобразования С*

существует

обратное

преобразование

(С*)-1

,

при

котором

( C* )−1 l1′ = l1 ;( C* )−1 l2′ = l2 ,...,( C* )− 1 ln ′ = ln .

По условию, A∗li ′ = a1′i l1′ + a2′ i l2 ′ + ...+ ani′ ln ′ . Применяя к обеим частям этого равенства преобразование (С*)-1, получим A′ = C −1 AC .

12

35. Вектор X ≠ 0 называется собственным вектором линейного преобразования А*, если найдется такое число λ, что A∗ X = λX . λ называется собственным значением преобразования А*( матрицы А). 36. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования. Выбирается в пространстве R базис l1 ,l2 ,...,ln . Пусть X = x1l1 + x2l2 + ...+ xnln , а матрица преобразования А* в этом базисе А(аik). То-

гда A∗ X = ( a11 x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn )l1 + ( an1 x1 + an 2 x2 + ...+ ann xn )ln = λ ( x1l1 + x2l2 + ...+ xnln ) Откуда получим систему ⎧( a11 − λ )x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn = 0 ⎪a x + ( a − λ )x + ...+ a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ . . . . . . ⎪. ⎪⎩an1 x1 + an 2 x2 + ...+( ann − λ )xn = 0 Для существования ненулевого решения этой системы ее определитель должен быть равен нулю. a 11 − λ a 12 ... a 1n a 21 a 22 − λ ... a 2n =0 ... ... ... ... a n1 a n2 ... a nn − λ

(2)

Это равенство называется характеристическим уравнением, а левая часть его характеристическим многочленом преобразования А*. Этот многочлен не зависит от выбора базиса. Каждый корень характеристического многочлена будет собственным значением. Соответствующие собственные векторы находятся из системы (1). 37. Квадратичной

формой

называется

однородный

многочлен

f = f ( x1 , x2 ,..., xn ) второй степени от n переменных. Укажем для квадратичной формы одну специальную форму записи

13

f = f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + ...+ a1n x1 xn + a21 x2 x1 + a22 x22 ...+ a2 n x2 xn + .

.

.

.

.

.

.

(1)

an1 xn x1 + an 2 xn x2 + ...+ ann xn2 Матрица, составленная из коэффициентов формы ⎛ a11 a12 ⎜ a21 a22 A=⎜ ⎜ ... ... ⎜ ⎝ an1 an 2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ называется матрицей квадратичной формы. Элементы ... ... ⎟ ⎟ ... ann ⎠

матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой, т.е. А - симметричная матрица. Справедлива теорема: если в квадратичной форме с матрицей А сделано линейное преобразование переменных с матрицей С, то полученная квадратичная форма будет, иметь матрицу С/ АС, которая является диагональной матрицей. Пример. Квадратичная форма 7 x12 + 5 x22 + 2 x32 − 8 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3 ⎛ 7 −4 1 ⎞ ⎜ ⎟ имеет матрицу A = ⎜ − 4 5 − 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −3 2 ⎠ После преобразования

x1 = y1 + y2 + y3 x2 = y1 + 2 y2 + 2 y3 x3 = y1 + y2 + 2 y3 ⎛ 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ 1 2 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 2⎠

с матрицей

данная квадратичная форма перейдет в форму с матрицей

⎛ 1 1 1⎞ ⎛ 7 − 4 1 ⎞ ⎛ 1 1 1⎞ ⎛ 2 0 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C ′AC = ⎜ 1 2 1⎟ ⎜ − 4 5 − 3⎟ ⎜ 1 2 2⎟ = ⎜ 0 3 0 ⎟ , ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 2 2⎠ ⎝ 1 − 3 2 ⎠ ⎝ 1 1 2⎠ ⎝ 0 0 − 1⎠

14

т.е. в форму 2 y12 + 3 y22 − y32 38. Квадратичная форма вида α1 x12 + α 2 x22 + ...+α n xn2 не содержащая членов с произведениями различных переменных и имеющая поэтому диагональную матрицу, называется диагональной квадратичной формой. Диагональную квадратичную форму называют канонической. 39. Квадратичная форма f ( x , y ) = α1 x 2 + β xy + γ y 2 в пространстве R2 с помощью ортогонального преобразования приводится к сумме квадратов. Например, f ( x , y ) = 66 x 2 − 24 xy + 59 y 2 . Составляется характеристический многочлен матрицы этой формы

ϕ( λ ) =

66 − λ − 12 = λ2 − 125λ + 3750 . − 12 59 − λ

Находятся корни многочлена: λ1 = 75 ,λ2 = 50 . В новом базисе, состоящем из собственных векторов, соответствующих собственным значениям λ1 и λ2 , квадратичная форма примет вид

f ( x , y ) = 75 x12 + 50 y12 .

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Матрицы. Виды матриц. 2. Линейные операции над матрицами. 3. Умножение матриц. 4. Обратная матрица. Существование обратной матрицы. 5. Ранг матрицы.

15

6. Матричная запись системы линейных уравнений, решение системы матричным способом. 7. Теорема Кронекера-Капелли. 8. Определители. Свойства. Вычисление определителей. 9. Формулы Крамера. 10. Решение однородных систем линейных уравнений. 11. Линейное пространство. 12. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. 13. Базис линейного пространства. 14. Размерность линейного пространства. 15. Разложение вектора по базису. 16. Матрица перехода от одного базиса к другому. 17. Преобразования. Линейные преобразования. Матрица линейного преобразования. 18. Линейные операции над линейными преобразованиями. 19. Умножение линейных преобразований. 20. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. 21. Нахождение собственных векторов. 22. Квадратичная форма. 23. Приведение квадратичной формы к диагональному виду или каноническому виду. 24. Приведение общего уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду с помощью квадратичных форм.

ЛИТЕРАТУРА 1. Л.И. Головина. Линейная алгебра и некоторые ее приложения.

16

2. З.И. Доревич. Определители и матрицы. 3. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 4. О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. Курс высшей математики. 5. И.В. Проскуряков. Сб. задач по линейной алгебре.

Задание 1а

Решить систему по формулам Крамера. 1

⎧3 x1 + 2 x2 + x3 = 5 ⎪ ⎨2 x1 + 3 x2 + x3 = 1 ⎪2 x + x + 3 x = 11 3 ⎩ 1 2

2

⎧ x1 − 2 x2 + 3 x3 = 6 ⎪ ⎨2 x1 + 3 x2 − 4 x3 = 20 ⎪3 x − 2 x − 5 x = 6 2 3 ⎩ 1

3

⎧4 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 ⎪ ⎨2 x1 + 5 x2 − 3 x3 = 4 ⎪5 x + 6 x − 2 x = 18 2 3 ⎩ 1

4

⎧ x1 + x2 + 2 x3 = −1 ⎪ ⎨2 x1 − x2 + 2 x3 = −4 ⎪4 x + x + 4 x = −2 3 ⎩ 1 2

17

5

⎧2 x1 − x2 − x3 = 4 ⎪ ⎨3 x1 + 4 x2 − 2 x3 = 11 ⎪3 x − 2 x + 4 x = 11 2 3 ⎩ 1

6

⎧3 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 8 ⎪ ⎨2 x1 − x2 − 3 x3 = −4 ⎪x + 5 x + x = 0 2 3 ⎩ 1

7

⎧ x1 + x2 − x3 = 1 ⎪ ⎨8 x1 + 3 x2 − 6 x3 = 2 ⎪4 x + x − 3 x = 3 3 ⎩ 1 2

8

⎧ x1 − 4 x2 − 2 x3 = −3 ⎪ ⎨3 x1 + x2 + x3 = 5 ⎪3 x − 5 x − 6 x = −9 2 3 ⎩ 1

9

⎧ x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31 ⎪ ⎨5 x1 + x2 + 2 x3 = 20 ⎪3 x − x + x = 9 3 ⎩ 1 2

10

⎧2 x1 + x2 − 2 x3 = −5 ⎪ ⎨ x1 − 3 x2 − 2 x3 = −2 ⎪3 x − 2 x + x = 8 2 3 ⎩ 1

11

⎧2 x1 − 4 x2 + 3 x3 = 1 ⎪ ⎨ x1 − 2 x2 + 4 x3 = 3 ⎪3 x − x + 5 x = 2 3 ⎩ 1 2

12

⎧2 x1 − 3 x2 + x3 = 2 ⎪ ⎨ x1 + 5 x2 − 4 x3 = −5 ⎪4 x + x − 3 x = −4 3 ⎩ 1 2

13

⎧ x1 + 2 x2 + 3 x3 = 5 ⎪ ⎨2 x1 − x2 − x3 = 1 ⎪x + 3 x + 4 x = 6 2 3 ⎩ 1

14

⎧2 x1 − x2 + x3 = 2 ⎪ ⎨3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = −2 ⎪x − 2 x + x = 1 2 3 ⎩ 1

15

⎧ x1 + x2 − 2 x3 = −6 ⎪ ⎨2 x1 − x2 + 3 x3 = 8 ⎪3 x + x − x = −8 3 ⎩ 1 2

16

⎧ x1 − 2 x2 + 3 x3 = −6 ⎪ ⎨2 x1 + x2 − x3 = 5 ⎪ x − x + 2 x = −3 3 ⎩ 1 2

17

⎧2 x1 − x2 + 4 x3 = −3 ⎪ ⎨ x1 + 3 x2 − x3 = 1 ⎪3 x + 2 x + 3 x = −2 2 3 ⎩ 1

18

⎧2 x1 − x2 + 4 x3 = 1 ⎪ ⎨ x1 + 3 x2 − x3 = −10 ⎪3 x + 2 x + 3 x = −9 2 3 ⎩ 1

19

⎧3 x1 − 2 x2 + x3 = −10 ⎪ ⎨ x1 − x2 + 4 x3 = −16 ⎪2 x − x − 2 x = 3 3 ⎩ 1 2

20

⎧5 x1 − x2 − x3 = 6 ⎪ ⎨− 2 x1 + x2 + 3 x3 = −7 ⎪3 x + 2 x − x = 7 2 3 ⎩ 1

21

⎧2 x1 + 3 x2 − x3 = 2 ⎪ ⎨ x1 − x2 + 5 x3 = −13 ⎪4 x + 2 x − x = 5 2 3 ⎩ 1

22

⎧2 x1 + 3 x2 − x3 = −4 ⎪ ⎨ x1 − x2 + 5 x3 = 12 ⎪4 x + 2 x − x = −9 2 3 ⎩ 1

23

⎧2 x1 + 3 x2 − 2 x3 = −13 ⎪ ⎨− x1 − 2 x2 + 3 x3 = 10 ⎪3 x + x + 2 x = −4 3 ⎩ 1 2

24

⎧5 x1 − 3 x2 + x3 = 7 ⎪ ⎨ x1 + x2 + 3 x3 = −13 ⎪2 x − x − 2 x = 12 3 ⎩ 1 2

18

25

⎧− 2 x1 + 3 x2 − x3 = −4 ⎪ ⎨ x1 − 2 x2 − 2 x3 = 13 ⎪− x + 2 x + 3 x = −17 2 3 ⎩ 1

Задание 1б

Исследовать и решить систему матричным способом. 1

⎧ x1 + x2 − x3 + x4 = −3 ⎪2 x − x + x = 3 ⎪ 1 2 4 ⎨ ⎪2 x1 + 5 x2 − 6 x3 + x4 = −15 ⎪⎩− x1 − x2 + 3 x3 − 4 x4 = 6

2

⎧2 x1 + 3 x2 + x3 − 5 x4 = 8 ⎪− x − 2 x + 3 x + x = 8 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪5 x1 − x2 − x3 − 2 x4 = −1 ⎪⎩3 x1 + 8 x2 − 6 x3 − 8 x4 = −10

3

⎧6 x1 + 2 x2 − x4 = 6 ⎪ x + 2 x − x + 4 x = −6 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪2 x1 − x2 + 9 x3 − 5 x4 = 3 ⎪⎩ x1 + 3 x2 + x3 + x4 = −2

4

⎧ x1 + x2 − 3 x3 − 4 x4 = −2 ⎪3 x − x + 3 x + x = −1 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪− 2 x1 + 4 x2 − 7 x3 − x4 = 2 ⎪⎩ x1 + 8 x3 + 9 x4 = 1

5

⎧3 x2 + x3 − 5 x4 = −2 ⎪2 x − x − x + 2 x = −2 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ x1 + 2 x2 + 3 x3 − x4 = 0 ⎪⎩3 x1 − x2 + 4 x3 + x4 = 2

6

⎧7 x1 − x2 + 3 x3 − 5 x4 = 11 ⎪x + 4 x − x − x = 6 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪2 x1 − 2 x2 + x3 + 3 x4 = −3 ⎪⎩− x1 + x2 − 3 x3 + 2 x4 = 3

7

⎧ x1 + x2 + x3 − 5 x4 = 4 ⎪2 x − 3 x + x + 2 x = −8 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪− x1 − x2 + 7 x3 − 3 x4 = 4 ⎪⎩3 x1 + x2 − 9 x3 + 4 x4 = −6

8

⎧9 x1 − x2 − x3 + 2 x4 = 7 ⎪ − x + 5 x + x − x = −4 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ x1 + 2 x2 − 4 x3 + x4 = −6 ⎪⎩2 x1 − x2 + 2 x3 − 5 x4 = 10

9

⎧− x1 − x2 + 3 x3 − 4 x4 = −10 ⎪2 x + 5 x − 6 x + x = 16 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪2 x1 − x2 + 3 x4 = 6 ⎪⎩ x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 6

10

⎧2 x1 + 3 x2 + x3 − 5 x4 = 5 ⎪3 x + 8 x − 6 x − 8 x = −15 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪5 x1 − x2 − x3 − 2 x4 = 2 ⎪⎩− x1 − 2 x2 + 3 x3 + x4 = 8

19

11

⎧ x1 + 2 x2 − x3 − x4 = 5 ⎪3 x + 5 x + 3 x = 18 ⎪ 1 2 4 ⎨ ⎪2 x1 − x2 + 2 x3 + x4 = −2 ⎪⎩4 x1 + x2 + x3 − 5 x4 = −2

12

⎧ x1 + x2 − 3 x3 − 4 x4 = −5 ⎪3 x − x + 3 x + x = 6 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ x1 + 8 x3 + 9 x4 = 18 ⎪⎩− 2 x1 + 4 x2 − 7 x3 − x4 = −6

13

⎧2 x1 + 3 x2 + x3 − x4 = 1 ⎪ x − x + 5 x + 2 x = −4 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪3 x1 + x2 + x3 − 3 x4 = −3 ⎪⎩ x1 + x2 − x3 + 5 x4 = 7

14

⎧7 x1 − x2 + 8 x3 − x4 = −1 ⎪2 x + 2 x + x − 9 x = 12 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ x1 + x2 − 3 x3 + 5 x4 = 0 ⎪⎩ x1 − 2 x2 + 4 x3 + x4 = −6

15

⎧3 x1 + x2 − x3 + 4 x4 = 6 ⎪ x − x + x − x = −3 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪2 x1 + 5 x2 + 3 x3 − x4 = 9 ⎪⎩ x1 + 5 x3 + x4 = 1

16

⎧ x1 − 3 x2 + x3 + x4 = −2 ⎪− 2 x + 5 x − 3 x − 2 x = 1 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ x1 − x2 + 4 x3 + x4 = 6 ⎪⎩5 x1 + 6 x2 − x3 − 4 x4 = 8

17

⎧− 5 x1 + 4 x2 − x3 + 3 x4 = −8 ⎪ x − 2 x + 5 x − x = 12 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪2 x1 + x2 + x3 − 2 x4 = 1 ⎪⎩6 x1 + 5 x2 − 4 x3 + 2 x4 = −5

18

⎧ x1 − 10 x2 + 9 x3 − x4 = 0 ⎪5 x + 3 x + 2 x = 8 ⎪ 1 3 4 ⎨ ⎪ x1 − x2 + x3 + x4 = 1 ⎪⎩2 x1 + x2 − 3 x3 − x4 = 0

19

⎧2 x1 + x2 + 5 x3 + x4 = −12 ⎪3 x − 2 x + 4 x − 4 x = −18 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪− 2 x1 + 5 x2 − x3 + 5 x4 = 18 ⎪⎩ x1 − 6 x2 − 7 x3 + x4 = 3

20

⎧ x1 + 4 x2 − 4 x3 + x4 = −8 ⎪5 x + 11x − x − x = −6 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ x1 − x2 + 5 x3 + 2 x4 = 5 ⎪⎩2 x1 − x2 − x3 − x4 = 3

21

⎧ x1 + 2 x2 − x3 − x4 = −8 ⎪3 x + 5 x + 3 x = −14 ⎪ 1 2 4 ⎨ ⎪2 x1 − x2 + x3 + 5 x4 = 11 ⎪⎩ x1 − x2 − x3 + 2 x4 = 7

22

⎧4 x1 + 5 x2 + 3 x3 − x4 = 7 ⎪x + x + x + x = 0 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪2 x1 − 3 x2 − 4 x3 + x4 = −5 ⎪⎩ x1 + 5 x2 − x3 − 2 x4 = −2

23

⎧2 x1 + 3 x2 − 3 x3 + 2 x4 = −2 ⎪5 x − x − x + 7 x = −9 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ x1 + 5 x2 + 4 x3 − x4 = 10 ⎪⎩2 x1 − 2 x2 + 7 x3 + x4 = 4

24

⎧ x1 − 8 x2 + 9 x3 − x4 = 28 ⎪2 x + x + 10 x = −10 ⎪ 1 2 4 ⎨ ⎪2 x1 − 3 x2 − x3 − 2 x4 = −1 ⎪⎩ x1 + 5 x2 + 6 x3 − 3 x4 = 21

20

25

⎧ x1 + 4 x2 − x3 − x4 = 3 ⎪6 x − 7 x + x + x = 1 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ x1 − x2 + 2 x3 + 3 x4 = 5 ⎪⎩5 x1 + 7 x3 − 2 x4 = 10

Задание 1в

Исследовать и решить однородную систему. 1

2 ⎧3 x1 + x2 − 8 x3 + 2 x4 + x5 = 0 ⎪ ⎨2 x1 − 2 x2 − 3 x3 − 7 x4 + 2 x5 = 0 ⎪ x + 11x − 12 x + 34 x − 5 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

⎧7 x1 + 2 x2 − x3 − 2 x4 + 2 x5 = 0 ⎪ ⎨ x1 − 3 x2 + x3 − x4 − x5 = 0 ⎪2 x + 5 x + 2 x + 4 x + x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

3

⎧ x1 + x2 + 10 x3 + x4 − x5 = 0 ⎪ ⎨5 x1 − x2 + 8 x3 − 2 x4 + 2 x5 = 0 ⎪3 x − 3 x − 12 x − 4 x + 4 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

4

⎧6 x1 − 9 x2 + 21x3 − 3 x4 − 12 x5 = 0 ⎪ ⎨− 4 x1 + 6 x2 − 14 x3 + 2 x4 + 8 x5 = 0 ⎪2 x − 3 x − 7 x − x − 4 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

5

⎧2 x1 − x2 + 2 x3 − x4 + x5 = 0 ⎪ ⎨ x1 + 10 x2 − 3 x3 − 2 x4 − x5 = 0 ⎪4 x + 19 x − 4 x − 5 x − x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

6

⎧5 x1 − 2 x2 + 3 x3 − 4 x4 − x5 = 0 ⎪ ⎨ x1 + 4 x2 − 3 x3 + 2 x4 − 5 x5 = 0 ⎪6 x + 2 x − 2 x − 6 x = 0 2 4 5 ⎩ 1

7

8 ⎧12 x1 − x2 + 7 x3 + 11x4 − x5 = 0 ⎪ ⎨24 x1 − 2 x2 + 14 x3 + 22 x4 − 2 x5 = 0 ⎪x + x + x − x + x = 0 3 4 5 ⎩ 1 2

⎧ x1 + 2 x2 + x3 + 4 x4 + x5 = 0 ⎪ ⎨2 x1 − x2 + 3 x3 + x4 − 5 x5 = 0 ⎪x + 3 x − x − 6 x − x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

9

⎧2 x1 − x2 + 3 x3 − x4 − x5 = 0 ⎪ ⎨ x1 + 5 x2 − x3 + x4 + 2 x5 = 0 ⎪ x + 16 x − 6 x + 4 x + 7 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

10

⎧ x1 − x2 + x3 − 2 x4 + 6 x5 = 0 ⎪ ⎨ x1 + x2 − 2 x3 − x4 + 2 x5 = 0 ⎪x − 3 x + 4 x − 3 x = 0 2 3 4 ⎩ 1

11

⎧8 x1 + x2 + x3 − x4 + 2 x5 = 0 ⎪ ⎨3 x1 − 3 x2 − 2 x3 + x4 − 3 x5 = 0 ⎪5 x + 4 x + 3 x − 2 x + 5 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

12

⎧ x1 + 3 x2 − x3 + 12 x4 − x5 = 0 ⎪ ⎨2 x1 − 2 x2 + x3 − 10 x4 + x5 = 0 ⎪3 x + x + 2 x = 0 4 ⎩ 1 2

13

⎧7 x1 − 14 x2 + 3 x3 − x4 + x5 = 0 ⎪ ⎨ x1 − 2 x2 + x3 + 5 x4 + 7 x5 = 0 ⎪5 x − 10 x + x + 5 x − 13 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

14

⎧ x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 − x5 = 0 ⎪ ⎨2 x1 − 2 x2 − 5 x3 − 3 x4 + x5 = 0 ⎪3 x − 2 x + 3 x + 2 x − x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

21

15

⎧ x1 + x2 + x3 − x4 − x5 = 0 ⎪ ⎨2 x1 + x2 − 2 x3 − x4 − 2 x5 = 0 ⎪x + 2 x + 5 x − 2 x − x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

16

⎧2 x1 + x2 − 3 x3 + x4 − x5 = 0 ⎪ ⎨3 x1 − x2 + 2 x3 − x4 − 2 x5 = 0 ⎪x − 2 x + 5 x − 2 x + 3 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

17

⎧ x1 + 2 x2 − 3 x3 + 10 x4 − x5 = 0 ⎪ ⎨ x1 − 2 x2 + 3 x3 − 10 x4 + x5 = 0 ⎪ x + 6 x − 9 x + 30 x − 3 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

18

⎧2 x1 + x2 − x3 + 7 x4 + 5 x5 = 0 ⎪ ⎨ x1 − 2 x2 + 3 x3 − 5 x4 − 7 x5 = 0 ⎪3 x − x + 2 x + 2 x − 2 x = 0 3 4 5 ⎩ 1 2

19

20 ⎧2 x1 − 2 x2 − 3 x3 − 7 x4 + 2 x5 = 0 ⎪ ⎨ x1 + 11x2 − 12 x3 + 34 x4 − 5 x5 = 0 ⎪ x − 5 x + 2 x − 16 x + 3 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

⎧3 x1 + x2 − 8 x3 + 2 x4 + x5 = 0 ⎪ ⎨ x1 + 11x2 − 12 x3 − 34 x4 − 5 x5 = 0 ⎪ x − 5 x + 2 x − 16 x + 3 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

21

⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 + 9 x4 − x5 = 0 ⎪ ⎨2 x1 − 2 x2 − 3 x3 − 7 x4 + 2 x5 = 0 ⎪ x − 5 x + 2 x − 16 x + 3 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

22

⎧5 x1 + 2 x2 − x3 + 3 x4 + 4 x5 = 0 ⎪ ⎨3 x1 + x2 − 2 x3 + 3 x4 + 5 x5 = 0 ⎪6 x + 3 x − 2 x + 4 x + 7 x = 0 2 3 4 5 ⎩ 1

23

⎧3 x1 + 2 x2 − 2 x3 − x4 + 4 x5 = 0 ⎪ ⎨7 x1 + 5 x2 − 3 x3 − 2 x4 + x5 = 0 ⎪x + x + x + 7 x = 0 3 5 ⎩ 1 2

24

⎧6 x1 + 3 x2 − 2 x3 + 4 x4 + 7 x5 = 0 ⎪ ⎨7 x1 + 4 x2 − 3 x3 + 2 x4 + 4 x5 = 0 ⎪x + x − x − 2 x − 3 x = 0 3 4 5 ⎩ 1 2

25

⎧3 x1 − 5 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 0 ⎪ ⎨7 x1 − 4 x2 + x3 + 3 x4 = 0 ⎪5 x + 7 x − 4 x − 6 x = 0 2 3 4 ⎩ 1

Задание 2

Решить матричные уравнения. 1

1 − 3⎞ ⎛1 − 2 3 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 2 − 4⎟ ⋅ X = ⎜ 0 10 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝2 − 1 3 ⎠ ⎝ 10 − 1 2 ⎠

2

⎛ 1 4 − 7⎞ ⎛ − 8 3 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ X ⋅⎜ 2 1 3 ⎟ = ⎜− 5 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ − 2 1 − 1⎠ ⎝ 1 0 − 1⎠

3

⎛ 3 2⎞ ⎛ 1 6 ⎞ ⎛ 12 13⎞ ⎜ ⎟ ⋅ X⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ − 1 5⎠ ⎝ 1 8⎠ ⎝ 9 10⎠

4

⎛ 9 1⎞ ⎛ 1 − 8⎞ ⎛ − 1 2⎞ X ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ − 2 4⎠ ⎝ 1 3 ⎠ ⎝ − 5 6 ⎠

22

5

⎛ 1 1⎞ ⎛ 8 − 5⎞ X ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ − 3 4⎠ ⎝ 4 − 3⎠

6

1 1⎞ ⎛ 2 ⎛ 9 0 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 1 2 4 ⎟ ⋅ X = ⎜ − 1 − 6 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 7 0⎠ ⎝ 3 ⎝ 1 1 − 2⎠

7

⎛ 2 − 2⎞ ⎛ − 1 3 ⎞ ⎛ 10 ⎜ ⎟ ⋅ X ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎝−1 6 ⎠ ⎝ 5 − 4⎠ ⎝ − 7

8

⎛ 4 9 − 7⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 0 3 ⎟ ⋅ X = ⎜ 3 6⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝7 3 − 2⎠ ⎝ 10 0 ⎠

9

⎛ 11 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ − 3 7 − 8⎞ X ⋅ ⎜ 2 3 − 4⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1 4 1 ⎠ ⎝ 3 2 − 2⎠

10

1⎞ ⎛3 1 ⎛ 1 3 − 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ X ⋅ ⎜ 2 − 4 1 ⎟ = ⎜0 − 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 4 0 − 6⎠ ⎝1 − 1 0 ⎠

11

⎛ 3 − 1⎞ ⎛ 0 5⎞ ⎛ 3 7⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅X =⎜ ⎟ ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ − 4 2⎠ ⎝ − 1 2⎠

12

⎛ 3 1 1⎞ ⎛ − 15 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1⎞ − 1 0 2 0 4 ⋅ = X ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 5⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 2 1 0⎠ ⎝ − 1 1⎠

13

3⎞ ⎛ 9 ⎛ 3 − 1⎞ X ⋅ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ − 3 − 1⎠ ⎝4 1 ⎠

14

0 0⎞ ⎛ 1 ⎛0 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 1 3 − 1⎟ ⋅ X = ⎜ 9 − 7 4⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ − 5 1 3⎠ ⎝2 5 4 ⎠

15

⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 11 4⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟ ⎟ =⎜ ⎟ ⋅ X ⋅⎜ ⎜ ⎝ 1 − 3⎠ ⎝ − 4 5⎠ ⎝ 5 − 1⎠

16

⎛ 3 − 2 − 1⎞ ⎛ 1 − 3 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ X ⋅ ⎜ 4 − 2 − 3⎟ = ⎜ 10 2 7 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 − 2⎠ ⎝ 10 7 8⎠

17

4⎞ 4⎞ ⎛ 3 ⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⋅ X ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ − 1 − 2⎠ ⎝ − 3 1⎠ ⎝ − 2 − 1⎠

18

⎛ 9 2 1⎞ ⎛ 0 3 − 5⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 2 0 − 1⎟ ⋅ X = ⎜ 1 − 1 0⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 1 7 2⎠ ⎝ 4 1 − 2⎠

19

⎛ 14 16 ⎞ ⎛ 3 − 1⎞ ⎛ 5 6 ⎞ ⎟ ⎟⋅X =⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎝ 9 10 ⎠ ⎝ 5 − 2⎠ ⎝7 8⎠

20

⎛ 3 X ⋅⎜ ⎝−7

21

⎛ 4 − 4 2⎞ ⎟ ⎛7 − 7 0⎞ ⎜ X ⋅ ⎜ 1 − 6 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 3 − 2 4⎠ ⎜ ⎝ 3 − 5 1⎠

22

⎛ 3 − 5⎞ ⎛ 1 − 3⎞ ⎛ 3 7 − 1 − 2⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅X =⎜ ⎟ ⎝ 4 − 1⎠ ⎝ 2 0 ⎠ ⎝− 1 5 − 6 3 ⎠

23

⎛ 7 − 4⎞ ⎛ 3 − 2⎞ ⎟ ⎜ 1⎟ X ⋅⎜ ⎟ =⎜ 2 ⎝ 2 − 5⎠ ⎟ ⎜ ⎝− 4 3 ⎠

24

⎛ 3 − 2⎞ ⎛ − 1 2⎞ X ⋅⎜ ⎟ ⎟ =⎜ ⎝ 5 − 4⎠ ⎝ − 5 6 ⎠

2

10 ⎞ ⎟ − 9⎠

2

2

2

4 ⎞ ⎛ 9 2⎞ ⎛ 3 0 ⎞ ⎟ =⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ − 6 ⎠ ⎝ − 1 1⎠ ⎝ 4 − 7 ⎠

2

23

25

1 3⎞ ⎛ 5 ⎜ ⎟ ⎛−7 X ⋅ ⎜ 1 − 3 − 2⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 4 1⎠ ⎝− 5 2

1 1⎞ ⎟ − 2 8⎠

Задание 3

Найти координаты вектора x в базисе ( l1′ ,l2 ′ ,l3 ′ ) , если он задан в базисе

( l1 ,l2 ,l3 ) 1

l1′ = l1 + l2 + 2l3 l ′ = 2l − l 2

1

2

3 l2 ′ = l1 − l2 2 l ′ = −l + l + l

2

l3 ′ = − l1 + l2 + l3 x = {6 ;−1;3}

3

3

4

4 l2 ′ = l1 − l2 3 l ′ = −l + l + l 1

2

x = {1;3;6 }

5

1

6

1

2

l3 ′ = − l1 + l2 + l3 x = {8 ;4;1}

2

l1′ = l1 + l2 + 5l3 5 l2 ′ = l1 − l2 4 l ′ = −l + l + l 3

x = {6 ;3;1}

2

1

x = {2;4;1}

2

5 l1′ = l1 + l2 + l3 4 l ′ = 5l − l

3

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

7

2

3 l1′ = l1 + l2 + l3 2 l ′ = 3l − l 2

3

4 l1′ = l1 + l2 + l3 3 l ′ = 4l − l 2

1

x = {1;2;4}

l1′ = l1 + l2 + 4l3

3

l1′ = l1 + l2 + 3l3

1

2

x = {1;4;8}

8

3

l1′ = l1 + l2 + 6 l3 l2 ′ =

6 l1 − l2 5

l3 ′ = − l1 + l2 + l3 x = {2;5;10}

24

9

6 l1′ = l1 + l2 + l3 5 l ′ = 6l − l 2

1

10

l2 ′ =

2

l3 ′ = − l1 + l2 + l3 7 l1′ = l1 + l2 + l3 6 l ′ = 7l − l 2

1

x = {1;6 ;12}

12

2

x = {− 1;7 ;14}

14

1 l2 ′ = l1 − l2 2 l ′ = −l + l + l 3

1

2

x = {− 3;2;4}

15

1

2

x = {2;6 ;−3}

17

2

x = {2;4;3}

16

2 l1′ = l1 + l2 + l3 3 l ′ = −2 l − l 2

1

2

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

3

l1′ = l1 + l2 − 3l3

1

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

2 l2 ′ = l1 − l2 3 l ′ = −l + l + l 3

1 l1′ = l1 + l + l3 2 l ′ = −l − l 2

3

l1′ = l1 + l2 − 2l3

8 l1 − l2 7

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

x = {− 12;6 ;1}

l1′ = l1 + l2 − l3

l1′ = l1 + l2 + 8 l3 l2 ′ =

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

13

7 l1 − l2 6

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

x = {10 ;5;1}

11

l1′ = l1 + l2 + 7 l3

x = {12;3;−1}

18

l1′ = l1 + l2 − 3l3

3 l2 ′ = l1 − l2 4 l ′ = −l + l + l

3 l2 ′ = l1 − l2 4 l ′ = −l + l + l

x = {1;−4;8}

x = {1;4;−8}

3

1

2

3

3

1

2

3

25

19

l1′ = l1 + l2 − 4l3

20

4 l2 ′ = l1 − l2 5 l ′ = −l + l + l 3

1

2

x = {7 ;−5;10}

21

2

2

x = {5;−5;−4}

22

5 l1 − l2 6

5 l1′ = l1 + l2 + l3 6 l ′ = −5 l − l

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

2

x = {1;−6 ;6 }

1

2

x = {6 ;6 ;2}

l1′ = l1 + l2 − 6 l3

24

6 l1 − l2 7

6 l1′ = l1 + l2 + l3 7 l ′ = −6 l − l

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

l2 ′ =

2

x = {1;7 ;−7 }

25

1

l3 ′ = − l1 + l2 + l3

3

l1′ = l1 + l2 − 5l3 l2 ′ =

23

4 l1′ = l1 + l2 + l3 5 l ′ = −4 l − l

1

2

x = {7 ;7 ;2}

l1′ = l1 + l2 − 7 l3 l2 ′ =

7 l1 − l2 8

l3 ′ = − l1 + l2 + l3 x = {3;−8 ;8}

Задание 4

Пусть x = ( x1 , x2 , x3 ) . Являются ли линейными следующие преобразования: Ax = ( 6 x1 − 5 x2 − 4 x3 ,−3 x1 − 2 x2 − x3 , x2 + 2 x3 )

1.

Bx = ( 6 − 5 x2 − 4 x3 ,3 x1 − 2 x2 − x3 , x2 + 2 ) Cx = ( x34 ,3 x1 − 2 x2 − x3 , x2 + 2 x3 )

26

Ax = ( 5 x1 − 4 x2 − 3 x3 ,2 x1 − x2 , x2 + 2 )

2. Bx = ( 5 x1 − 4 x2 − 3 x3 ,0 , x24 + 2 x3 ) Cx = ( 5 x1 − 4 x2 − 3 x3 ,2 x1 − x2 , x2 + 2 x3 ) Ax = ( 4 x1 − 3 x2 − 2 x3 , x1 , x1 + 2 x24 + 3 x3 )

3.

Bx = ( 4 x1 − 3 x2 − 2 x3 , x1 , x1 + 2 x2 + 3 x3 ) Cx = ( 4 x1 − 3 x2 − 2 x3 , x1 , x1 + 2 x2 + 3 ) Ax = ( 3 x1 + 2 x2 + x3 , x3 ,2 x1 − 3 x2 − 4 x3 )

4.

Bx = ( 3 x1 + 2 x2 + x3 ,1,2 x1 − 3 x2 − 4 ) Cx = ( 3 x1 + 2 x2 + x3 , x3 ,2 x14 − 3 x2 − 4 x3 ) Ax = ( x1 , x1 − 2 x2 − 3 ,4 x1 − 5 x2 − 6 )

5.

Bx = ( x1 , x1 − 2 x2 − 3 x3 ,4 x14 − 5 x2 − 6 x3 ) Cx = ( x1 , x1 − 2 x2 − 3 x3 ,4 x1 − 5 x2 − 6 x3 ) Ax = ( 2 x1 + x2 , x2 − 2 x3 ,3 x1 − 4 x22 − 5 x3 )

6.

Bx = ( 2 x1 + x2 , x2 − 2 x3 ,3 x1 − 4 x2 − 5 x3 ) Cx = ( 2 x1 + x2 , x2 − 2 ,3 x1 − 4 x2 − 5 ) Ax = ( x1 , x1 + 2 x2 + 3 x3 ,4 x1 + 5 x2 + 6 x3 )

7.

Bx = ( x1 , x1 + 2 x2 + 3 ,4 x1 + 5 x2 + 6 ) Cx = ( x1 , x1 + 2 x2 + 3 x3 ,4 x14 + 5 x2 + 6 x3 )

Ax = ( 3 x1 − 2 x2 − x3 ,1, x1 + 2 x2 + 3 )

8.

Bx = ( 3 x1 − 2 x2 − x3 ,0 , x13 + 2 x2 + 3 x3 ) Cx = ( 3 x1 − 2 x2 − x3 , x3 , x1 + 2 x2 + 3 x3 ) Ax = ( 2 x1 − x2 , x3 , x1 + 2 x2 + 3 x34 )

9.

Bx = ( 2 x1 − x2 , x3 , x1 + 2 x2 + 3 x3 ) Cx = ( 2 x1 − x2 ,1, x1 + 2 x2 + 3 ) Ax = ( x3 ,2 x1 + 3 x2 + 4 x3 ,5 x1 + 6 x2 + 7 x3 )

10.

Bx = ( x3 ,2 x1 + 3 x2 + 4 ,5 x1 + 6 x2 + 7 ) Cx = ( x3 ,0 ,5 x14 + 6 x2 + 7 x3 )

27

Ax = ( 6 x1 − 5 x2 − 4 x3 ,3 x1 − 2 x2 − x3 ,0 )

11.

Bx = ( 6 x1 − 5 x2 − 4 ,3 x1 − 2 x2 − x3 ) Cx = ( 6 x1 − 5 x2 − 4 x3 ,3 x1 − 2 x2 − x3 2 ,0 ) Ax = ( 5 x1 − 4 x2 − 3 ,2 x1 − 2 x2 , x32 )

12.

Bx = ( 5 x1 − 4 x2 − 4 x3 ,2 x1 − x2 ,1 ) Cx = ( 5 x1 − 4 x2 − 3 x3 ,2 x1 − x2 , x3 ) Ax = ( 4 x1 − 3 x2 − 2 x3 , x12 , x2 + 2 x3 )

13.

Bx = ( 4 x1 − 3 x2 − 2 x3 , x1 , x2 + 2 x3 ) Cx = ( 4 x1 − 3 x2 − 2 , x1 , x2 + 2 ) Ax = ( 3 x1 + 2 x2 + x3 ,0 , x1 − 2 x2 − 3 x3 )

14.

Bx = ( 3 x1 + 2 x2 + 1,0 , x1 − 2 x2 − 3 ) Cx = ( 3 x1 + 2 x2 + x3 ,0 , x12 − 2 x2 − 3 x3 ) Ax = ( x1 , x2 − 2 x3 ,3 x1 − 4 x2 − 5 )

15.

Bx = ( x1 , x2 2 − 2 x3 ,3 x1 − 4 x2 − 5 ) Cx = ( x1 , x2 − 2 x3 ,3 x1 − 4 x2 − 5 x3 ) Ax = ( 2 x1 + x2 , x32 ,2 x1 − 3 x2 − 4 x3 )

16.

Bx = ( 2 x1 + x2 , x3 ,2 x1 − 3 x2 − 4 x3 ) Cx = ( 2 x1 + x2 , x3 ,2 x1 − 3 x2 − 4 ) Ax = ( x1 , x2 + 2 x3 ,3 x1 + 4 x2 + 5 x3 )

17.

Bx = ( x1 , x2 + 2 x3 ,3 x1 + 4 x2 + 5 ) Cx = ( x1 , x2 2 + 2 x3 ,3 x1 + 4 x2 + 5 x3 ) Ax = ( 3 x1 − 2 x2 − 1,0 , x1 + 2 x2 + 3 x3 )

18. Bx = ( 3 x12 − 2 x2 − x3 ,0 ,0 ) Cx = ( 3 x1 − 2 x2 − x3 ,0 , x1 + 2 x2 + 3 x3 ) Ax = ( 2 x12 − x2 , x3 ,2 x2 + 3 x3 )

19.

Bx = ( 2 x1 − x2 , x3 ,2 x2 + 3 x3 ) Cx = ( 2 x1 − x2 , x3 ,2 x2 + 3 )

28

Ax = ( 0 , x1 + 2 x2 + 3 x3 ,4 x1 + 5 x2 + 6 x3 )

20.

Bx = ( 0 , x1 + 2 x2 + 3 x3 ,4 x1 + 5 x2 + 6 ) Cx = ( 0 , x12 + 2 x2 + 3 x3 ,4 x1 + 5 x2 + 6 x3 ) Ax = ( 6 x1 − 5 x2 − 4 x3 ,3 x1 − 2 x2 − x3 , x2 )

21.

Bx = ( 6 x1 − 5 x2 − 4 ,3 x1 − 2 x2 − x3 , x2 ) Cx = ( 6 x1 − 5 x2 − 4 x3 3 ,3 x1 − 2 x2 − x3 ,0 ) Ax = ( 5 x1 − 4 x2 − 3 ,2 x1 − x2 + 3 x3 )

22.

Bx = ( 5 x1 − 4 x2 − 3 x3 3 ,2 x1 − x2 , x1 + 2 x2 + 3 x3 ) Cx = ( 5 x1 − 4 x2 − 3 x3 ,2 x1 − x2 , x1 + 2 x2 + 3 x3 ) Ax = ( 4 x1 − 3 x2 2 − 2 x3 , x1 + x3 ,0 )

23.

Bx = ( 4 x1 − 3 x2 − 2 x3 , x1 + x3 ,2 x1 + 3 x2 + 4 x3 ) Cx = ( 4 x1 − 3 x2 − 2 , x1 + x3 ,2 x1 + 3 x2 + 4 x3 ) Ax = ( 3 x1 + 4 x2 + 5 x3 ,6 x1 + 7 x2 + 8 x3 ,9 x1 + x3 )

24.

Bx = ( 3 x1 + 4 x2 + 5 ,6 x1 + 7 x2 + 8 ,9 x1 + x3 ) Cx = ( 3 x1 + 4 x2 + 5 x3 3 ,6 x1 + 7 x2 + 8 x3 ,0 ) Ax = ( 2 x1 + 3 x2 + 4 ,5 x1 + 6 x2 + 7 ,8 x1 + x3 )

25.

Bx = ( 2 x1 + 3 x2 + 4 x33 ,5 x1 + 6 x2 + 7 x3 ,0 ) Cx = ( 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 ,5 x1 + 6 x2 + 7 x3 ,8 x1 + x3 )

Задание 5

Даны два линейных преобразования: ⎧ x1′ = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ⎪ ⎨ x2′ = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ⎪x′ = a x + a x + a x 31 1 32 2 33 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = b11 x1′ + b12 x2′ + b13 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = b21 x1′ + b22 x2′ + b23 x3′ ⎪ x ′′ = b x ′ + b x ′ + b x ′ ⎩ 3 31 1 32 2 33 3

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x1′′, x2′′, x3′′ через x1 , x2 , x3

29

1

⎧ x1′ = 4 x1 + 3 x2 + 5 x3 ⎪ ⎨ x2′ = 6 x1 + 7 x2 + x3 ⎪x′ = 9 x + x + 8 x ⎩ 3 1 2 3

⎧ x1′′ = − x1′ + 3 x2′ − 2 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = −4 x1′ + x2′ + 2 x3′ ⎪ x ′′ = 3 x ′ − 4 x ′ + 5 x ′ 1 2 3 ⎩ 3

2

⎧ x1′ = x1 − x2 − x3 ⎪ ⎨ x2′ = − x1 + 4 x2 + 7 x3 ⎪x′ = 8 x + x − x 1 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 9 x1′ + 3 x2′ + 5 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 2 x1′ + 3 x3′ ⎪ x ′′ = x ′ − x ′ 2 3 ⎩ 3

3

⎧ x1′ = 7 x1 + 4 x3 ⎪ ⎨ x2′ = 4 x2 − 9 x3 ⎪x′ = 3 x + x 1 2 ⎩ 3

⎧ x1′′ = x2′ − 6 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 3 x1′ + 7 x3′ ⎪ x ′′ = x ′ + x ′ − x ′ 1 2 3 ⎩ 3

4

⎧ x1′ = 2 x2 ⎪ ⎨ x2′ = −2 x1 + 3 x2 + 2 x3 ⎪x′ = 4 x − x + 5 x 1 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = −3 x1′ + x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 2 x2′ + x3′ ⎪ x ′′ = − x ′ + 3 x ′ 2 3 ⎩ 3

5

⎧ x1′ = 3 x1 − x2 + 5 x3 ⎪ ⎨ x2′ = x1 + 2 x2 + 4 x3 ⎪x′ = 3 x + 2 x − 5 x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 4 x1′ + 3 x2′ + x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 3 x1′ + x2′ + 2 x3′ ⎪ x ′′ = x ′ − 2 x ′ + x ′ 1 2 3 ⎩ 3

6

⎧ x1′ = 4 x1 + 3 x2 + 2 x3 ⎪ ⎨ x2′ = −2 x1 + x2 − x3 ⎪x′ = 3 x + x + x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = x1′ − 2 x2′ − x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 3 x1′ + x2′ + 2 x3′ ⎪ x ′′ = x ′ + 2 x ′ + 2 x ′ 1 2 3 ⎩ 3

7

⎧ x1′ = 4 x1 + 3 x2 + 8 x3 ⎪ ⎨ x2′ = 6 x1 + 9 x2 + x3 ⎪x′ = 2 x + x + 8 x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = − x1′ + 8 x2′ − 2 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = −4 x1′ + 3 x2′ + 2 x3′ ⎪ x ′′ = 3 x ′ − 8 x ′ + 5 x ′ 1 2 3 ⎩ 3

8

⎧ x1′ = x1 − 3 x2 + 4 x3 ⎪ ⎨ x2′ = 2 x1 + x2 − 5 x3 ⎪ x ′ = −3 x + 5 x + x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 4 x1′ + 5 x2′ − 3 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = x1′ − x2′ − x3′ ⎪ x ′′ = 7 x ′ + 4 x ′ 1 3 ⎩ 3

9

⎧ x1′ = 3 x1 + 5 x3 ⎪ ⎨ x2′ = x1 + x2 + x3 ⎪x′ = 3 x − 6 x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 2 x1′ − x2′ − 5 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 7 x1′ + x2′ + 4 x3′ ⎪ x ′′ = 6 x ′ + 4 x ′ − 7 x ′ 1 2 3 ⎩ 3

30

10

⎧ x1′ = x1 + 2 x2 + 2 x3 ⎪ ⎨ x2′ = −3 x2 + x3 ⎪x′ = 2 x + 3 x ⎩ 3 1 3

⎧ x1′′ = 3 x1′ + x2′ ⎪ ⎨ x2′′ = x1′ − 2 x2′ − x3′ ⎪ x ′′ = 3 x ′ + 2 x ′ 2 3 ⎩ 3

11

⎧ x1′ = 9 x1 + x2 + 8 x3 ⎪ ⎨ x2′ = 4 x1 + 3 x2 + 5 x3 ⎪x′ = 6 x + 7 x + x 1 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 3 x1′ − 4 x2′ + 5 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = − x1′ + 3 x2′ − 2 x3′ ⎪ x ′′ = −4 x ′ + x ′ + 2 x ′ 1 2 3 ⎩ 3

12

⎧ x1′ = 8 x1 + x2 − x3 ⎪ ⎨ x2′ = x1 − x2 − x3 ⎪x′ = − x + 4 x + 7 x ⎩ 3 1 2 3

⎧ x1′′ = x2′ − x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 9 x1′ + 3 x2′ + 5 x3′ ⎪ x ′′ = 2 x ′ + 3 x ′ 1 3 ⎩ 3

13

⎧ x1′ = 3 x1 + x2 ⎪ ⎨ x2′ = 7 x1 + 4 x3 ⎪x′ = 4 x − 9 x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = x1′ + x2′ − x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = x2′ − 6 x3′ ⎪ x ′′ = 3 x ′ + 7 x ′ 1 3 ⎩ 3

14

⎧ x1′ = 4 x1 − x2 + 5 x3 ⎪ ⎨ x2′ = x2 ⎪ x ′ = −2 x + 3 x + 2 x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = − x2′ + 3 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = −3 x1′ + x3′ ⎪ x ′′ = 2 x ′ + x ′ 2 3 ⎩ 3

15

⎧ x1′ = 3 x1 + 2 x2 − x3 ⎪ ⎨ x2′ = 3 x1 − x2 + 5 x3 ⎪x′ = x + 2 x + 4 x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = x1′ − 2 x2′ + x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 4 x1′ + 3 x2′ + x3′ ⎪ x ′′ = 2 x ′ + x ′ + 2 x ′ 1 2 3 ⎩ 3

16

⎧ x1′ = 3 x1 + x2 + x3 ⎪ ⎨ x2′ = 4 x1 + 3 x2 + 2 x3 ⎪ x ′ = −2 x + x − x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = x1′ + 2 x2′ + 2 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = x1′ − 2 x2′ − x3′ ⎪ x ′′ = 3 x ′ + x ′ + 2 x ′ 1 2 3 ⎩ 3

17

⎧ x1′ = 2 x1 + x2 + 8 x3 ⎪ ⎨ x2′ = 6 x1 + 9 x2 + x3 ⎪x′ = 4 x + 3 x + 8 x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 3 x1′ − 8 x2′ + 5 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = −4 x1′ + 3 x2′ + 2 x3′ ⎪ x ′′ = − x ′ + 8 x ′ − 2 x ′ 1 2 3 ⎩ 3

18

⎧ x1′ = −3 x1 + 5 x2 + x3 ⎪ ⎨ x2′ = x1 − 3 x2 + 4 x3 ⎪x′ = 2 x + x − 5 x 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 7 x1′ + 4 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 4 x1′ + 5 x2′ − 3 x3′ ⎪ x ′′ = x ′ − x ′ − x ′ 1 2 3 ⎩ 3

19

⎧ x1′ = 3 x2 − 6 x3 ⎪ ⎨ x2′ = 3 x1 + 5 x3 ⎪x′ = x + x + x 1 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 6 x1′ + 4 x2′ − 7 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 2 x1′ + x2′ − 5 x3′ ⎪ x ′′ = 7 x ′ + x ′ + 4 x ′ 1 2 3 ⎩ 3

31

20

⎧ x1′ = 2 x1 + 3 x2 ⎪ ⎨ x2′ = x1 + 2 x2 + 2 x3 ⎪ x ′ = −3 x + x ⎩ 3 2 3

⎧ x1′′ = 3 x2′ + 2 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 3 x1′ + x2′ ⎪ x ′′ = x ′ − 2 x ′ − x ′ 1 2 3 ⎩ 3

21

⎧ x1′ = 6 x1 + 7 x2 + x3 ⎪ ⎨ x2′ = 4 x1 + 3 x2 + 5 x3 ⎪x′ = 9 x + x + 8 x 1 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = −4 x1′ + x2′ + 2 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = −2 x1′ + 3 x2′ − 2 x3′ ⎪ x ′′ = 3 x ′ − 4 x ′ + 5 x ′ 1 2 3 ⎩ 3

22

⎧ x1′ = − x1 + 4 x2 + 7 x3 ⎪ ⎨ x2′ = x1 − x2 − x3 ⎪x′ = 8 x + x − x ⎩ 3 1 2 3

⎧ x1′′ = 2 x1′ + 3 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 9 x1′ + 3 x2′ + 5 x3′ ⎪ x ′′ = x ′ − x ′ 2 3 ⎩ 3

23

⎧ x1′ = 4 x2 − 9 x3 ⎪ ⎨ x2′ = 7 x1 + 4 x3 ⎪x′ = 3 x + x 1 2 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 3 x1′ + 7 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = x2′ − 6 x3′ ⎪ x ′′ = x ′ + x ′ − x ′ 1 2 3 ⎩ 3

24

⎧ x1′ = −2 x1 + 3 x2 + 2 x3 ⎪ ⎨ x2′ = x2 ⎪x′ = 4 x − x + 5 x 1 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 2 x2′ + x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = −3 x1′ + x3′ ⎪ x ′′ = − x ′ + 3 x ′ 2 3 ⎩ 3

25

⎧ x1′ = x1 + 2 x2 + 4 x3 ⎪ ⎨ x2′ = 3 x1 − x2 + 5 x3 ⎪x′ = 3 x + 2 x − x 1 2 3 ⎩ 3

⎧ x1′′ = 3 x1′ + x2′ + 2 x3′ ⎪ ⎨ x2′′ = 4 x1′ + 3 x2′ + x3′ ⎪ x ′′ = x ′ − 2 x ′ + x ′ 1 2 3 ⎩ 3

Задание 6

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей А. 1

⎛ 4 − 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 1 3 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −2 2 ⎠

2

⎛ 2 − 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 1 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 1 1⎠

3

⎛3 − 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 2 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 − 1 2 ⎠

4

⎛ 5 − 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 4 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 − 1 4 ⎠

32

5

⎛ 6 −2 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 1 5 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −2 4 ⎠

6

⎛ 3 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 2 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝− 2 1 4 ⎠

7

⎛ 2 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 4 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 − 1 4 ⎠

8

⎛ 2 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 1 1 3⎠

9

⎛ 4 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 4 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 1 1 5⎠

10

⎛ 5 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 4 − 1⎟ ⎜ ⎟ 1 6⎠ ⎝ 2

11

⎛ 5 − 4 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 0 3⎠

12

⎛ 3 − 2 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 − 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 2 3⎠

13

⎛ 3 − 2 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 3 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 2 1⎠

14

⎛ 5 − 2 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 5 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 2 3⎠

15

⎛7 − 4 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 3 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 0 5⎠

16

⎛7 − 6 6 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 − 1 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 2 5⎠

17

⎛7 − 6 6 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 3 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 3⎠

18

⎛ 1 − 3 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 − 7 8⎟ ⎜ ⎟ ⎝6 − 7 7 ⎠

19

⎛ 2 6 − 15⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜1 1 − 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 2 − 6 ⎠

20

⎛1 − 3 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 − 3 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 − 5 1 ⎠

21

⎛ 2 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 2 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 1 ⎠

22

2⎞ ⎛6 2 ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 3 − 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 − 4 3 ⎠

23

0⎞ ⎛5 0 ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 4 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 − 1 4 ⎠

24

⎛ 6 −2 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 1 5 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −2 4 ⎠

33

25

⎛ 2 0 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 − 4 4⎠

Задание 7

а) С помощью квадратичных форм привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду; б) построить кривую. 1. − x 2 − y 2 + 4 xy + 2 x − 4 y + 1 = 0 2. 2 x 2 + 2 y 2 − 2 xy − 2 x − 2 y + 1 = 0 3. 4 xy + 4 x − 4 y = 0 4. − 2 x 2 − 2 y 2 + 2 xy − 6 x + 6 y + 3 = 0 5. − 3 x 2 − 3 y 2 + 4 xy − 6 x + 4 y + 2 = 0 6. − 2 xy − 2 x − 2 y + 1 = 0 7. − x 2 − y 2 − 4 xy − 4 x − 2 y + 2 = 0 8. − 4 x 2 − 4 y 2 + 2 xy + 10 x − 10 y + 1 = 0 9. 4 xy + 4 x − 4 y − 2 = 0 10. x 2 + y 2 + 2 xy − 8 x − 8 y + 1 = 0 11. 4 x 2 + 4 y 2 + 2 xy + 12 x + 12 y + 1 = 0 12. 3 x 2 + 3 y 2 + 4 xy + 8 x + 12 y + 1 = 0 13. x 2 + y 2 − 8 xy − 20 x + 20 y + 1 = 0 14. 3 x 2 + 3 y 2 − 2 xy − 6 x + 2 y + 1 = 0 15. 3 x 2 + 3 y 2 − 4 xy + 6 x − 4 y − 7 = 0 16. 5 x 2 + 5 y 2 − 2 xy + 10 x − 2 y + 1 = 0 17. − x 2 − y 2 + 2 xy + 2 x − 2 y + 1 = 0

34

18. 2 x 2 + 2 y 2 + 4 xy + 8 x + 8 y + 1 = 0 19. 3 x 2 + 3 y 2 + 2 xy − 12 x − 4 y + 1 = 0 20. 2 x 2 + 2 y 2 − 4 xy − 8 x + 8 y + 1 = 0 21. − 4 xy + 8 x + 8 y + 1 = 0 22. 2 x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 6 x − 6 y − 6 = 0 23. x 2 + y 2 + 4 xy + 4 x + 2 y − 5 = 0 24. 4 xy + 4 x − 4 y + 4 = 0 25. 3 x 2 + 3 y 2 − 4 xy + 4 x + 4 y + 1 = 0 Задание 8

Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого на любое число α. 1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых - целые числа; сумма a + b , произведение α a . 2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма a + b , произведение α a . 3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей; сумма a + b , произведение α a . 4. Множество всех векторов трехмерного пространства; сумма [ a ⋅ b]

,

произведение α a . 5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма a + b , произведение α a . 6. Множество

всех векторов, являющихся линейными комбинациями

векторов х, у, z; сумма a + b , произведение α a . 7. Множество всех функций a = f ( t ),b = g( t ) принимающих положительные значения; сумма f ( t ) ⋅ g( t ) , произведение f α ( t ) .

35

8. Множество всех непрерывных функций a = f ( t ),b = g( t ) , заданных на [0;1]; сумма f ( t ) + g( t ) , произведение α f ( t ) . 9. Множество всех нечетных функций a = f ( t ),b = g( t ) , заданных на отрезке [-1; +1]; сумма f ( t ) ⋅ g( t ) , произведение α f ( t ) . 10. Множество всех нечетных функций

a = f ( t ),b = g( t ) , заданных на

отрезке [-1; +1]; сумма f ( t ) + g( t ) , произведение α f ( t ) . 11. Множество всех линейных функций a = f ( x1 , x2 ),b = g( x1 , x2 ) ; сумма

f ( x1 , x2 ) + g( x1 , x2 ) , произведение α f ( x1 , x2 ) . 12. Множество всех многочленов третьей степени от переменной х; сумма a + b , произведение α a . 13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от переменных х, у; сумма a + b , произведение α a . 14. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел a = { x1 , x2 ,..., xn },b = { y1 , y2 ,..., yn } ; сумма { x1 + y1 , x2 + y1 ,..., xn + yn } , произведе-

ние { α x1 ,α x2 ,...,α xn } . 15. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел a = { x1 , x2 ,..., xn },b = { y1 , y2 ,..., yn } ; сумма { x1 y1 , x2 y1 ,..., xn yn } , произведение

{ α x1 ,α x2 ,...,α xn } . 16. Множество всех сходящихся последовательностей a = {un } ,b = {vn } ; сумма {un + vn } , произведение α un . 17. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или равной n; сумма a + b , произведение α a . 18. Множество всех многочленов от одной переменной степени n; сумма a + b , произведение α a .

19. Множество всех диагональных матриц a = aik ,b = bik ,i , k = 1,2 ,...,n ; сумма aik + bik , произведение α aik .

36

20. Множество всех невырожденных матриц a = aik ,b = bik ,i , k = 1,2 ,...,n ; сумма aik ⋅ bik , произведение α aik . 21. Множество всех квадратных матриц

a = aik ,b = bik ,i , k = 1,2 ,...,n ;

сумма aik + bik , произведение α aik . 22. Множество всех диагональных матриц a = aik ,b = bik размера n × n : сумма aik bik , произведение α aik . 23. Множество всех прямоугольных матриц a = aik ,b = bik ,i = 1,2 ,...,m; k = 1,2 ,...,n ; сумма aik + bik , произведение α aik .

24. Множество всех симметричных матриц a = aik (aki = aik ),b = bik (bki = bik ),i , k = 1,2 ,...,n ; сумма aik + bik , произведение

α aik . 25. Множество всех целых чисел; сумма a + b , произведение [α a ] .

37