Расчет переходных процессов в длинных линиях: Методические указания для самостоятельной работы по курсу ''Теоретические основы электротехники''

Министерство общего и профессионального образования Российской федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Псковский политехнический институт

Солнышкин Н. И.

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ Методические указания для самостоятельной работы по курсу «Теоретические основы электротехники».

ПСКОВ 1999 год

Рекомендовано к изданию научно-методическим Советом ППИ СПбГТУ

Рецензент - доцент, к. т. н. Иванов Александр Анатольевич

Автор - Солнышкин Николай Иванович

Утверждено на заседании кафедры ТОЭ Протокол №4 от 27 мая 1999

УКД 621.3 Расчет переходных процессов в длинных линиях. Методическое указание для самостоятельной работы по курсу «Теоретические основы электротехники» Псковский политехнический институт СПбГТУ-П. 1999,28с. В пособии дается общая методика расчета переходных процессов в цепях содержащих однородные длинные линии. Приведен пример расчета переходных процессов в двух однородных линиях при наличии схем в месте сопряжения линий и на оконечных зажимах второй линии.

2

1. Допущение теории электрических цепей с распределенными параметрами (длинных линий). Среди цепей с распределенными параметрами одно из главных значений имеют длинные линии (ДЛ): линии электропередачи, линии связи, коаксиальные линии радиотехнических устройств. Здесь рассматривается только этот тип цепей с распределенными параметрами. Критерием необходимости рассматривать линию как длинную, является соотношение между интервалом времени распространения электромагнитной волны вдоль линии и интервалом времени, в течении которого токи и напряжения изменяются на величину, составляющую заметную долю от полного их изменения в рассматриваемом процессе. Так как электрическое и магнитное поле распределены между проводами и внутри проводов, то для исследования электромагнитных процессов в линиях необходимо, строго говоря, пользоваться не теорией электрических цепей, а теорией электромагнитного поля. Однако далеко не во всех случаях необходимо рассматривать всю сложность процессов, происходящих, в длинных линиях. В большинстве случаях можно сделать ряд допущений, существенно упрощающих задачу и вместе с тем не приводящих к заметным отклонениям от действительности. Для анализа процессов в длинных линиях пользуются упрощенной теорией, которая не затрагивает исследования электромагнитного поля между проводами, а основывается на известных понятиях о напряжениях, токах, сопротивлениях, проводимостях, индуктивностях и емкостях. Основное допущение теории длинных линий заключается в том, что считается, что в образовании магнитного (электрического) поля в точке практически участвует только ток (электрический заряд) только того участка линии, который расположен вблизи рассматриваемой точки. Это положение точно выполняется для случая, когда источники поля постоянные величины вдоль линии. Во всех остальных случаях это положение является допущением и нужно отдавать себе отчет о границах правомерности принимаемого допущения. В данном случае применение упрощенной теории длинных линий правомерно, когда расстояние между проводами линии много меньше длины электромагнитной волны, распространявшейся вдоль линии, т. к. при этом в образовании магнитного (электрического ) поля практически участвует только ток (электрический заряд) того участка линии, который лежит вблизи рассматриваемой точки. Для исследования процессов в линии обычно вводится условие однородности линии, т. е. условие равномерного распределения вдоль линии ее параметров: сопротивления, индуктивности, проводимости, емкости. С учетом принятых допущений выводится система дифференциальных уравнений длинной линии с потерями:

−

∂u ∂i = r i+L 0 ∂t ∂x 0

−

∂i ∂u = g 0u + C 0 ∂x ∂t

−

∂u ∂i = L0 ∂x ∂t

и для линии без потерь:

−

∂i ∂u = C0 ∂t ∂x

3

Здесь r0, L0, g0, C0 - соответственно продольное сопротивление, индуктивность и поперечные проводимость и емкость на единицу длины линии. Для анализа переходных процессов обычно принимается, что линия является неискажающей или линией без потерь. Рассмотрим условия, при которых линия является неискажающей. В общем случае волны напряжения и тока (сигналы) являются апериодическими функциями. Апериодические сигналы могут быть представлены в виде сплошного частотного спектра с помощью преобразования Фурье. Сигналы не искажаются, если будут одинаковыми затухание (а) и фазовая скорость (v) отдельных гармоник сигналов. Условием неискажающей линии с потерями является выполнение равенства:

r0 g = 0 L0 C0 При этом условии коэффициент затухания коэффициент фазы и фазовая скорость будут равны: ω 1 α = r0 g 0 , β = ω L0 C 0 , v = = β L0 C 0 Волновое сопротивление такой линии часто активное и не зависит от частоты: L0 Z c = zc = C0 Линия без потерь является неискажающей линией.

2. Общий вид решения уравнений неискажающей линии. Общий вид решения уравнений неискажающей линии, определяющих характер функциональной зависимости напряжения и тока от времени t и координаты х, отсчитываемой вдоль линии, может быть представлен следующим образом [1, 2]:

u = ϕ ( x − vt ) e − α x + ψ ( x + vt ) e α x i=

[

C0 ϕ ( x − vt ) e − α x − ψ ( x + vt ) e α x L0

]

где напряжение и ток в линии рассматриваются, как суммы прямой и обратной волн, распространяющихся вдоль линии со скоростью v в противоположных направлениях. Наличие в выражениях для u и i множителей e-ax и еах показывает, что обе волны по мере продвижения их вдоль линии затухают по показательному закону. Причиной затухания волн является постепенное превращение начального запаса энергии электрического и магнитного полей, связанных с линией, в тепло, выделяющееся в проводах, и в среде, окружающей провода. Конкретный вид функций ϕ ( x − vt ) ψ ( x + vt ) определяется конкретными условиями задачи. При исследовании волн в линиях без потерь удобно выражать каждую из волн как функцию времени, находя эту функцию в какой-либо точке линии, например с координатой x1 и принимая за начало отсчета времени момент, когда фронт волны дойдет до этой точки. Зная напряжение в точке с координатой x1 можно определить значение напряжения в любой момент времени в любой точке с координатой x2>x1 (при наличии только одной рассматриваемой волны), так как в точке с координатой x 2 = x1 + Δx напряжение описываетΔx ся той же функцией, но с запаздыванием во времени на величину , то есть v x − x1 Δx u ( x 2 , t ) = u ( x1 , t − 2 ) = u ( x1 , t − ) v v 4

Сказанное можно пояснить следующим образом. Пусть имеется в линии без потерь волна напряжения, перемещающаяся вдоль линии, и распределение напряжения вдоль линии в некоторый момент времени t представляется графиком, изображенном на рис.1. Поставим в точке А прибор, записывающий мгновенное значение напряжения. Этот прибор запишет кривую 1, изображенную на рис.2. Прибор, установленный в точке В, запишет такую же кривую 2, однако она будет смещена в сторону возрастания времени на величину: x 2 − x1 Δx = v v То есть x − x1 u ( x 2, t ) = u ( x1 , t − 2 ). v Значит, если мы найдем закон изменения напряжения и тока волны в функции времени в какой-нибудь точке линии, то сможем определить эти величины в функции времени в любой другой точке линии. Замечания. В линиях с физической точки зрения могут существовать только прямые и обратные волны. Прямая волна распространяется в сторону возрастания значений х, отсчитываемых вдоль линий; обратная волна распространяется в сторону убывающих значений х. Можно, наряду с этим, называть волну, набегающую на неоднородность (нагрузку, стык линий, источник напряжения ) - падающей, волну, появившуюся в результате отражения от неоднородности - отраженной, а волну, прошедшую через неоднородность - преломленной. Удобно для обратных волн отсчитывать координату х в обратном направлении.

3. Возникновение и движение волн Для уяснения физической стороны возникновения и движения волн в линиях рассмотрим незаряженную линию без потерь, которая подключается в момент времени t = 0 к идеальному источнику постоянной э.д.с. (внутреннее сопротивление равно нулю, напряжение на зажимах - U0). Замечание. Для источника синусоидальной э.д.с. промышленной частоты ( λ = 6000 км) за время прохождения волной расстояния в пределах одной-двух сотен километров его напряжение практически можно считать постоянным и равны напряжению в момент включения. 5

3.1. Возникновение и движение прямой (падающей) волны прямоугольной формы После подключения источника к линии линия начинает заряжаться до напряжения U0. Накопление зарядов на проводах сопровождается токами электрического смещения между проводами, а, следовательно, переменным электрическим полем, которое вызывает появление переменного магнитного поля. Волна электромагнитного поля, а соответственно, этому волны напряжения между проводами и тока проводимости в проводах линии начинают распространяться вдоль линии. Пусть в момент времени t волна достигла сечения ab (рис.3). Тогда во всех точках левее сечения ab напряжение между проводами равно U0, а правее этого сечения напряжение равно нулю. На поверхности верхнего провода происходит накопление положительного заряда и левее сечения ab заряд на единицу длины равен q = С U0 , а правее равен нулю. Процесс распространения зарядов можно представить себе, таким образом, что по мере перемещения волны слева направо элементы верхнего провода один за другим приобретают некоторый положительный заряд и такой же положительный заряд отнимается от элементов нижнего провода. Противоположные заряды образуют электрическое поле между проводами на всей длине участка линии, по которому уже прошла волна. При возникновении электрического поля у фронта волны между вновь заряжаемыми элементами проводов (ас и bd) протекает ток (рис. 3) смещения: dg dx i = = g0 = C0 U0 v = I0 dt dt Получается замкнутая цепь тока. От положительного полюса источника ток идет по верхнему проводу, замыкается у фронта волны током смешения и затем идет по нижнему проводу к отрицательному полюсу источника. По мере движения цепь удлиняется, но ток остается в цепи неизменным I0 = Со Uo v. В контуре, образуемом этой цепью, возникает магнитный поток, линии которого лежат в плоскостях, перпендикулярных к осям проводов. При перемещении волны на расстояние dx = vdt магнитный поток увеличивается на величину dФ = L0Iodx = L0Iovdt . При возникновении потока в контуре abcd наводится э.д.с. самоиндукции dx − dФ = −L 0 I 0 = − L 0 I 0 v, dt dt действующая против движения стрелки часов. Таким образом, э.д.с. самоиндукции у фронта волны, направленная по линии dx, равна и противоположна напряжению: u=L0I0v = Uo.

6

3.2. Возникновение отраженной и преломленной волны прямоугольной формы. Пусть волна, бегущая от источника э.д.с. по однородной линии без потерь, имеющей волновое сопротивление zcl, достигла в момент времени t1 конца этой линии, где последняя соединена с другой однородной незаряженной линией без потерь, имеющей волновое сопротивление zc2> zc2. Непосредственно после прихода волны к месту сопряжения линий во второй линии возникает преломленная волна, бегущая в том же направлении, что и волна падающая, в то время как в первой линии возникает отраженная волна, так как иначе не могут быть удовлетворены условия равенства напряжений и токов в узле сопряжения линий. Рассмотрим физическую сторону этого процесса. В момент времени, когда падающая волна достигает стыка линий имеем: u u u1=u2=U0 и i1 = 1 > i 2 = 2 . z c1 z c2

Так как i, = I0>i2 , то происходит накопление заряда в месте стыка линий, увеличение напряжения между проводами линии и в соответствии с этим увеличению тока ь и уменьшению по мере увеличения заряда первой линии тока i2. Практически мгновенно устанавливается состояние, когда выполняются условия на стыке линий: 7

u1= u2= uϕ 2 и i1= i2= iϕ 2 .

При этом устанавливается режим, когда во второй линии движется преломленная волна, приводящая к накоплению заряда на единицу длины g 2 = C 02 uϕ 2 (рис.4), а в первой линии возникает отраженная волна, приводящая к дополнительному заряду, который теперь будет на единицу длины линии равен q1 = C01(U0 + uϕ1). Пусть в момент времени t отраженная волна: достигла сечения cd, a преломленная волна - сечения mn. Тогда во всех точках первой линии левее сечения cd заряд на единицу длины линии будет прежним g 0 = C 01U 0 = C 01uϕ1 , a правее увеличится и будет

g1 = C 01 (uϕ1 + uψ 1 ) . Во всех точках второй линии левее сечения mn заряд на единицу длины линии будет g 2 = C 02 uϕ 2 , а правее сечения mn нулю. Процессы при распространении волн аналогичны предыдущему, то есть по мере перемещения волн элементы верхних проводов линий один за другим приобретают положительный заряд и такой же отрицательный заряд отнимается от нижнего провода. Изменяется электрическое поле между проводами и при этом у фронтов волн между вновь заряженными элементами проводов (ac-bd) и (mp-ng) протекают токи электрического смещения: dg в первой линии: 1 = C 01uψ 1v1 = iψ 1 ; dt dg 2 во второй линии: = C 02 uϕ 2 v 2 = iϕ 2 . dt Получается замкнутая цепь тока. От положительного полюса источника ток In идет по верхнему проводу, частично замыкается у фронта отраженной волны цепь током смещения, затем ток (I0 - iψ 1 ) идет по верхнему проводу первой и второй линии и замыкается у фронта преломленной волны током электрического смещения. По нижнему проводу токи протекают к отрицательному полюсу источника. При движении волн изменяется магнитный поток, сцепляющийся с контуром тока. При изменении потока фронта отраженной волны наводится э.д.с. самоиндукции, направленная по линии bа, равная и противоположная напряжению: uψ 1 = L01iψ 1v1 При изменении потока у фронта преломленной волны возникает э.д.с. самоиндукции, направленная по линии gp, равная и противоположная напряжению: uϕ 2 = L02 iϕ 2 v 2 Аналогично, можно рассмотреть случай, когда z c1 〉 z c 2 . При этом процесс качественно изменится. Преломленная волна напряжения будет меньше падающей, а преломленная волна тока будет больше падающей волны тока. Вид графиков для q и и (рис.4) примут графики соответственно для Ф и i и наоборот. Процесс образования и движения прямоугольной отраженной волны в конце второй линии при активном характере нагрузки аналогичный рассмотренному. При наличии в месте сопряжения линий электрических цепей, содержащих реактивные элементы с сосредоточенными параметрами, а также нагрузки с реактивными элементами, формирование фронта волны происходит в результате переходного процесса. Для определения закона изменения напряжений и токов в переходном процессе составляются эквивалентные схемы с сосредоточенными параметрами и рассчитывается переходный процесс. Волны будут иметь апериодический характер. Явления в линиях будут более сложными, но иметь то же физическое содержание, что и при прямоугольных волнах.

8

4. Методика расчета переходных процессов в цепях, содержащих длинные линии Напряжение и ток в длинных линиях при переходных процессах определяются совокупностью прямых и обратных волн, возникших к заданному моменту времени. Поэтому возникает необходимость рассчитывать волны, возникающие при коммутации или падении движущейся волны на место соединения линии с другими участками цепи.

4.1. Общий метод расчета волн, возникающих при переключениях Подключение к незаряженной линии активного двухполюсника При подключении к линии активного двухполюсника (рис.5) в линии возникает прямая волна, напряжение и ток которой связаны через волновое сопротивление u1 = uϕ1 = z c iϕ1 = z c i1 .

9

Поэтому расчет прямой волны в начале линии сводится к расчету расчетной схемы с сосредоточенными параметрами (рис.5б). Пример. Найти волну, возникающую в линии без потерь с волновым сопротивлением Zc= zc при подключении к ней источника с постоянной э.д.с. Е0, внутренним сопротивлением г и индуктивностью L .

Составив расчетную схему с сосредоточенными параметрами (рис.6а), находим выражение для тока волны в начале линии

i1

− E0 = i ϕ1 ( t ) = (1 − e r + zc

r+zc t L

)

График тока в начале линии изображен на рис.66. x В любой точке линии для t ≥ , введя запаздывание, имеем v − E0 x x iϕ ( x , t ) = iϕ ( 0 , t − ) = iϕ 1 ( t − ) = (1 − e v v r + zc

r + zc x (t − ) L v

);

uϕ ( x, t ) = z c iϕ ( x, t ). На рис. бв изображено распределение тока вдоль линии в определенный момент времени t>0 . Переключения в цепях с заряженными линиями

Токи и напряжения волн, возникающих в заряженных линиях (ненулевые начальные условия) при подключении и отключении ветвей можно определить путем сведения схемы к нулевым начальным условиям. При этом определяют установившиеся токи и напряжения в линии до коммутации, а в случае включению ветви и напряжению на ключе (до замыкания). Рассматривают переходный протесе в эквивалентной схеме с сосредоточенными параметрами при нулевых начальных условиях и при отсутствии основных источников энергии. Линии заменяют сосредоточенными сопротивлениями, равными волновым, а в ветвь с ключом вводят э.д.с., равную по величине и совпадающую по направлению с напряжением на ключе. Если решается задача на отключение, то вместо отключаемой ветви включают источник тока с током равным по величине и противоположным по направлению тому току, который протекал в ветви до отключения. Пример. Подключение незаряженного конденсатора к стыку двух заряженных линий без потерь (рис.7а). Расчетная схема для расчета отраженной и преломленной волн изображена на рис. 76.

10

Пользуясь классическим методом расчета переходного процесса, находим z + zc2 u c (t ) = U 0 (1 − e pt ), p = − c1 ; z c1 z c 2 C uψ 1 = uϕ 2 (t ) = u c − U 0 = −U 0 e pt ;

iψ 1 = −uψ 1 (t ) / z c1 ;

iϕ 2 = uϕ 2 (t ) / z c 2 ;

Введя запаздывание, получим для любой точки линий uψ 1 ( x, t ) = −U 0 e

x p (t − ) v

uϕ 2 ( x, t ) = −U 0 e

; iψ 1 ( x, t ) = −uψ 1 ( x, t ) / z c1 ;

x p (t − ) v

; iϕ 2 ( x, t ) = uϕ 2 ( x, t ) / z c 2 ;

Замечание. Отсчет координаты х ведется в направлении движения волн. На рис.8 изображены качественно графики распределения напряжения и тока вдоль линий спустя некоторое время после подключения конденсатора. Принято zc1=zc2 ; v1=v2.

Рис. 8

11

4.2. Общий метод расчета волн при падении движущейся волны на узлы соединения линии с другими участками схемы Распределение волн напряжения и тока вдоль линий можно определить по найденному закону изменения напряжения и тока в узлах линий. Рассмотрим некоторые примеры. Общий метод расчета отраженной волны в узле сопряжения линии и нагрузки

Рис. 9

Прямая волна (uф, iф) движется по линии с волновым сопротивлением Zc при t=0 волна падает на узел (2-2)(рис. 9а). Запишем уравнения для места сопряжения линии и нагрузки

u 2 = u H = uф2 + u ψ 2 ;

i2 = iH =

uф2 zc

−

uψ2 zc

Отсюда получаем уравнение

2u ф 2 = z c i 2 + u 2 Такое же уравнение будет и для цепи на рис.9б.

Итак, при падении на узел (2-2) волны напряжения uф2 , движущейся по линии с волновым сопротивлением zc , напряжение и ток в этом узле будут такими же как при подключении источника с э.д.с. 2uф2 и внутренним сопротивлением zc к рассматриваемому узлу. Можно рекомендовать следующую последовательность расчета. 1. Составляется расчетная схема для места соединения линии и нагрузки. 2. По расчетной схеме определяются законы изменения тока и напряжения в узле как функции времени. 3. Определяются выражения напряжения и тока отраженных волн в узле как функции времени. 4. Введением запаздывания t→ t-x/v решение распространяется на всю линию (для отраженных волн х отсчитывается от конца линии к началу). Для линии с потерями вводится затухание е-α x. Общий метод расчета отраженных и преломленных волн в месте сопряжения линий

Имеем соединение двух линий (рис. 10). На стыке линий включена цепь с сосредоточенными параметрами (четырехполюсник).

12

Рис. 10 Пусть по первой линии движется прямая волна (uф1, iф1) . В момент времени t1 эта волна достигает узла (1'-1'). Запишем уравнения электрического состояния для этого узла. u 1' = u ф1' + u ψ1' i1' =

u ф1' z c1

−

u ψ1' z c1

Отсюда имеем 2uф1' = zcii1'+u1'. Для второй линии имеем: u2=uф2=zс2iф2 Такие же уравнения будут иметь место и для цепи рис.11 после замыкания ключа.

Рис. 11 Можно сделать вывод. При падении на узел (1' -1') волны напряжения uф1', движущейся по линии с волновым сопротивлением zc1 , напряжение и ток в узлах будут такими же как при подключении источника с э.д.с. 2uф1' и внутренним сопротивлением zc1 к узлу (1'-1'). Так как во второй линии будет только преломленная волна, то вторая линия заменяется сопротивлением zc2. Последовательность расчета такая же как и при расчете отраженной волны от нагрузки.

4.3. Пример Пусть две однородные неискажающие линии длиной l1 и l2 с волновыми сопротивлениями Zc1= zcl и Zc2 = zc2 (рис.12) включаются под постоянное напряжение U. Определить закон распределения напряжения и тока вдоль линий в момент времени, когда отразившаяся от оконечных зажимов второй линии волна пройдет половину второй линии.

Рис. 12 Решение. Определяем интервалы времени: в течении которого фронт волны движется вдоль первой 13

l1 . v1 Определяем интервалы времени: в течении которого фронт волны движется вдоль второй l линии от начала линии до ее конца, t 2 = 2 . v2 Определяем интервалы времени: в течение, которого фронт отраженной волны от оконечных t зажимов пройдет половину длины второй линии t 3 = 2 . 2 Фронт отраженных от оконечных зажимов первой линии волн напряжения и тока в соответствии с условиями задачи перемещается в течение промежутка времени t4=t3+t2 и проходит путь l4=v1t4. Обозначая индексами ϕ1, ψ1, ϕ2 соответственно падающие, отраженные и преломленные волны, в месте сопряжения линий имеем следующие условия равенства напряжений и токов:

линии от начала линии до ее конца, t1 =

u1' = u φ1' + u ψ1 = u c = ri 2 + u 2 ; i1' = i ϕ1' + i ψ1' = i c + i 2 , = i ϕ2 , u 2 = u ϕ2 = i 2 z c 2 . Расчетная схема приведена на рис.13. Из расчетной схемы видно, что приемник, включенный в конце второй линии, не оказывает влияния ни на структуру расчетной схемы, ни на распределение токов и напряжений. Это объясняется тем, что, пока волны не достигнут конца второй линии и, отразившись от этого конца, не дойдут до точки сопряжения линий, распределение токов и напряжений в первой линии не зависит от нагрузки в конце второй линии. где i 2

Рис. 13 Рассчитав схему (рис.13), найдем закон изменения токов и напряжений в месте сопряжения линий в функции времени. Время t'=t-t1 отсчитывается от момента прихода падающей волны в точку сопряжения линий (момент замыкания рубильника в расчетной схеме. При расчете схемы рис.13 следует для uф1 взять его значения в точках 1'-1' (оконечной точке первой линии ). Если рассматривается линия без потерь, то uф1 =U . Рассматриваем включение неискажающей линии с потерями под постоянное напряжение U=const, поэтому в любой точке линии uф1=Uе-а1х , где х- расстояние, отсчитываемое от начала первой линии. Следовательно, в оконечных точках 1'-1' первой линии uф1=Ue-a1t1 Расчет токов и напряжений можно производить любым из известных методов расчета переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами. Выполним расчет схемы рис.13 классическим методом. Составим уравнение цепи:

14

zc1i1' + u c = 2u ϕ1' ; u c = i 2 (r + z c 2 );

i1' = i 2 + i c = i 2 + C

du c dt

Выражаем в первом уравнении ток i1' через напряжение uс:

⎛ uc du ⎞ z c1 ⎜⎜ + C c ⎟⎟ + u c = 2u ϕ1' ; dt ⎠ ⎝ r + z c2 du z + z c2 + r z c1C c + c1 u c = 2u ϕ1 dt r + z c2 Решение последнего уравнения можно записать в виде:

uc = uc где

α=−

пр + u c

св

2u ϕ1' (r + z c 2 )

=

r + z c1 + z c 2

+ Aeαt ;

z c1 + zc 2 + r z c1 (r + z c 2 )C

Постоянная А определяется из начальных условий. Мы будем вести отсчет времени с момента подхода волны к оконечным зажимам первой линии 1'-1' , т.е. от момента замыкания рубильника в расчетной схеме, введя для обозначения времени переменную t'. При этом t=t1+t'. Если считать, что к моменту подхода волны к зажимам l'-1' напряжения во второй линии не было, то при t'= 0 uс(0) = 0 и

A=−

2u ϕ1' (r + z c 2 ) r + z c1 + z c 2

Тогда зависимости напряжений и токов в функции времени для места сопряжения однородных линий будут:

2u ϕ1' (r + z c 2 )

uc = i2 =

r + z c1 + z c 2

(1 − e ) = u αt '

= u ϕ1' + u ψ1' ;

1'

2u ϕ1' uc = 1 − e αt ' = i ϕ 2 ; r + z c 2 r + z c1 + z c 2

(

u 2 = i 2zc2 =

2u ϕ1' z c 2 r + z c1 + z c 2

u ψ1' = u1' − u ϕ1' = i ϕ1' = i ψ1' =

u ϕ1'

(1 − e ) = u αt '

u ϕ1' r + z c1 + z c 2 i ψ1' =

z c1

)

[(r + z

u ψ1' z c1

ϕ2

c2

;

]

− z c1 ) − 2(r + z c 2 )e αt ' ;

;

⎛ r + z c 2 − z c1 r + z c 2 αt ' ⎞ ⎜ − e ⎟⎟ r + z c1 + z c 2 ⎜⎝ 2z c1 z c1 ⎠ 2u ϕ1'

Волны, отраженные от места сопряжения \'-V, и преломленные волны придут в любую точку линии, отстоящую на расстоянии х от места сопряжения 15

с запаздыванием во времени на величину x/v. Следовательно, чтобы получить закон изменения токов в любой точке линий без потерь, отстоящей от места сопряжения на расстоянии х, необходимо в выражениях соответствующих величин, полученных для места сопряжения линий, заменить t' на t'- x/v

u ψ1'' =

u ϕ1' r + z c1 + z c 2

i ψ1' = −

u ψ1' z c1

;

2u ϕ1' z c 2

u ϕ2 =

t ' − x / v1 − ⎤ ⎡ τ ⎥; ⎢(r + z c 2 − z c1 ) − 2(r + z c 2 )e ⎦ ⎣

r + z c1 + z c 2

t '− x / v2 − ⎡ ⎤ τ ⎢1 − e ⎥; ⎣ ⎦

u j2

i ϕ2 =

zc2

Здесь и далее τ = −

1

α

.

Если рассматривается линия с потерями, то выражения для напряжений и токов будут иметь вид:

u ψ1' =

u ϕ1' r + z c1 + z c 2

i ψ1' = − u ϕ2 =

i ϕ2 =

u ψ1' z c1

t ' − x / v1 − ⎡ ⎤ −α1x τ ⎢(r + z c 2 − z c1 ) − 2(r + z c 2 )e ⎥e ; ⎣ ⎦

;

2u ϕ1' z c 2 r + z c1 + z c 2

(1)

(2) t '− x / v2 − ⎡ ⎤ −α 2 x τ 1 e − ⎢ ⎥e ; ⎣ ⎦

(3)

u ϕ2 (4)

zc2

Нам необходимо определить uψ 1 и iψ 1 в каждой точке первой линии для момента t = t1= t2+ t3. Выражения (1) и (2) справедливы для любой точки линии при х ≤ v1t1. В точках х > v1t4 имеют место только падающие волны uϕ1 и iϕ1 : uϕ1 = Ue −α1 x ,

iϕ1 =

uϕ1

zc1 На рис.14 показан характер распределения uф1 , uΨ1 , iΨ1 , iф1 , uф2 , iф2 вдоль линии для рассматриваемого случая. Расчет распределения напряжения uф2 и тока iф2 вдоль второй линии следует производить по выражениям (3) и (4) также для момента времени t = t4.

16

Рис. 14

Отражение волн от оконечных зажимов второй линии 2-2' может быть рассмотрено аналогично предыдущему путем построения расчетной схемы для оконечных зажимов 2'-2'' и определения по ней функциональных зависимостей от времени напряжений и токов для оконечных точек второй линии 2'-2'. Для напряжения на оконечных зажимах 2'-2' цепи uпр и тока iпp в ней получим следующие условия:

u 2 ' = u ϕ 2 ' + u ψ 2 ' = u пр ;

i 2 ' = i ϕ 2 ' + i ψ 2 ' = i пр , причем лучим:

u пр = rпр i 2 ' + L пр

di L , dt

L пр

di L = r2 пр i' dt

Выражая iф2 и iΨ2 через uф2 и иΨ2 в уравнении (6) и складывая уравнения (5) и (6), поu ϕ 2 ' + u ψ 2 ' = u пр u ϕ2 − u ψ 2 = i 2' z c 2 2u ϕ 2 = i 2' z c 2 + u пр

Расчетная схема для расчета токов и напряжений в месте сопротивлений второй линии и нагрузки изображена на рис. 15

17

Рис. 15 В рассматриваемом случае значение иф2' может быть получено из выражения (2) и будет равно

uϕ 2 '

t '−l2 / v ⎡ ⎤ −α l − = ⎢1 − e τ ⎥ e 2 2 , если время t отсчитывается от момента начала r + zc1 + zc 2 ⎣⎢ ⎦⎥

2uϕ1' zc 2

движения преломленных волн от места сопряжения двух линий. Будем отсчитывать время от момента подхода преломленных волн к оконечным зажимам 2'-2' второй линии, введя для обозначений времени переменную t'' При этом t"=0 в момент замыкания рубильника в эквивалентной схеме. Тогда в точках 2'-2' будет uф2' иметь вид:

uϕ 2 '

t '' t '' − ⎤ − ⎤ ⎡ D⎡ −α 2 l 2 τ = = ⎢1 − e τ ⎥ ⎢1 − e ⎥ e r + zc1 + zc 2 ⎢⎣ 2 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦

2uϕ1' zc 2

Так как преломленная волна является функцией времени, то для расчета последней схемы, включаемой под действие напряжения 2uф2' , воспользуемся интегралом Дюамеля в форме: Тогда t ''

i(t ' ') = u (0 )y(t ' ') + ∫ u ' (z )y(t ' '− z )dz 0

t ''

i 2 (t ' ') = 2u ϕ 2 ' (0 )y 2 (t ' ') + ∫ 2u 'ϕ 2 ' (z )y 2 (t ' '− z )dz 0

Можно также воспользоваться и другими известными методами расчета переходных процессов. Для применения интеграла Дюамеля необходимо найти переходную проводимость у2(t'') расчетной схемы. Для этого рассмотрим включение этой схемы под постоянное напряжение U. Выполним расчет операторным методом. Операторная схема изображена на рис. 16

Рис. 16

18

Операторное сопротивление этой цепи равно: r2 пр pL r2 пр (r1пр + z c 2 ) + pL пр (r1пр + r2 пр + z c 2 ) Z(p ) = z c 2 + r1пр + = r2 пр + pL r2пр + pL пр Операторное изображение тока имеет вид :

I 2 (p ) =

U(r2 пр + pL пр )

[

]=

p r2 пр (r1пр + z c 2 ) + pL пр (r1пр + r2 пр + z c 2 ) r1пр + z c 2

Ur2 пр

r1пр + z c 2

pL пр (r1пр + r2 пр + z c 2 )(p + β)

(

r2пр r1пр + z c 2

)

где β = L r + r + z 1пр 2 пр c2

(

+

UL пр

L пр (r1пр + r2 пр + z c 2 )(p + β )

)

Тогда

i 2 (t ' ') =

⎛ ⎞ r2 пр U U U ⎜1 − 1 − e − β t '' + e − β t '' = e − β t '' ⎟ ⎟ r1пр + z c 2 r1пр + r2 пр + z c 2 r1пр + z c 2 ⎜⎝ r1пр + r2 пр + z c 2 ⎠

(

Откуда y 2 (t ' ') = где A =

)

i 2 (t ' ') = A 1 − Be −βt '' U

(

1 ; r1пр + zc 2

B=

) r2 пр

r1пр + r2 пр + zc 2

Определим выражения других величин, входящих в формулу (7). Из формулы (3): z − ⎞ ⎛ τ 2uϕ 2 ( z ) = D⎜⎜1 − e ⎟⎟; ⎝ ⎠ 4uϕ1' zc 2 D= e −α 2 l 2 ; zc1 + zc 2 + r

[

y2 (t ' '− z ) = A 1 − Be − β (t ''− z )

2u 'ϕ 2 =

D

τ

−

z

τ

e ;

uϕ 2' (0 ) = 0;

]

Определим согласно формуле (7) ток в функции времени на оконечных зажимах 2'-2' второй линии (ток в приемнике): z

t ''

i 2 = i пр t ''

(

)

z t ''

z

− AD − τ AD (− τ) e τ e dz = +∫ τ τ 0

+ ADB

⎛1

t ''

⎞

D − ADB −βt '' −z ⎜⎝ τ −β ⎟⎠ e e dz + = ∫ e τ A 1 − Be −βt '' e βz dz = − ∫ τ τ 0 0

⎡ ⎛ ⎞ B ⎞ ⎟⎟e − e −βt '' ⎟⎟ = AD⎢1 − ⎜⎜1 − 1 − βτ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎞ − Ne −βt '' ⎟⎟, ⎠

1 ⎛⎜ e 1 − βτ ⎜⎝

t '' − ⎛ ⎜ = AD⎜ − Me τ ⎝

0

⎛1

t '' − τ

⎞

ADBτ −βt '' −z ⎜⎝ τ −β ⎟⎠ e e + τ(1 − βτ ) t '' − τ

−

t ''

= AD − ADe

−

t '' τ

+

0

B −βt '' ⎤ e ⎥= 1 − βτ ⎦

19

где M = 1 −

B ; 1 − βτ

N=

B 1 − βτ

Используя условия для напряжений и токов на оконечных зажимах второй линии получим: − D⎛ = uϕ 2 − i2 zc 2 = ⎜⎜1 − e τ 2⎝

t ''

uψ 2 '

iψ 2 = −

t '' − ⎞ ⎞ ⎛ ⎟ − AD⎜1 − Me τ − Ne − βt '' ⎟ zc 2 ; ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝

uψ 2 zc 2

Чтобы получить выражение для iΨ2 и uΨ2 в любой точке второй линии, отстоящей на расстоянии х ≤ vt3 от оконечных зажимов второй линии в момент времени t3, необходимо в выражениях iΨ2 и uΨ2 полученных для оконечных зажимов, заменить t" на t3-x/v и умножить (для линии с потерями) на е-а2х. Тогда t −x / v t −x / v ⎧⎪ D ⎛ ⎤ ⎫ ⎞ ⎡ − 3 − 3 τ ⎟ − AD ⎢1 − Me τ − Ne − β (t 3 − x / v ) ⎥ zc 2 ⎪⎬e −α 2 x ; uψ 2 = ⎨ ⎜1 − e ⎟ ⎪⎩ 2 ⎜⎝ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎢⎣ ⎠ u iψ 2 = − ψ 2 zc 2

Последнее выражение справедливо для точек; где х ≤ vt3 , так как в точках, где х > vt3, отраженные волны отсутствуют и имеют место только преломленные волны iф2 и uф2. На рис.17 показано распределение волн напряжения и тока вдоль линий для рассматриваемого примера в случае: -3 -3 ZC1=ZC2=400 OM, Α1= 0,82·10 1/км; Α2=3·10 1/км; r = 100 Ом; С = 3,6 мкФ; r1пр= 600 Ом; r2пр= 1000 Ом; Lпр=2 Гн; l1 = 800 км; l2 = 400 км; v = 3·105 км/с. Примечание. При некоторых значениях параметров элементов нагрузки постоянная цепи в переходном режиме будет очень малой и переходный процесс заканчивается за относительно малый промежуток времени по сравнению с временем t3 движения волны до середины второй линии. Отраженные волны тока или напряжения будут импульсами малой длительности. В этом случае необходимо для наглядности изобразить на отдельном рисунке фронт волны, применив удобный масштаб. Пример. Во второй линии без потерь длиной 20 км с волновым сопротивлением zc2 = 600 Ом движется прямоугольная волна напряжения 70 В со скоростью света. В конце линии включен конденсатор емкостью С = 800 пФ. Построить график распределения напряжений во второй линии, когда отраженная волна дойдет до ее середины t −x / v ⎡ ⎤ − 3 zc 2C u 1 2 e = ⎢ − ⎥; Решив задачу, получим: ψ 2 ⎢⎣ ⎥⎦ t −x / v ⎤ ⎡ − 3 zc 2C ⎥ для х ≤ vt3, u2 = 2uϕ 2 ⎢1 − e ⎥⎦ ⎢⎣

На рис.18 изображено распределение напряжений во второй линии в момент времени t3. На рис.19 - напряжение в интересующей области.

20

Рис. 17

Рис. 18

21

Рис. 19

22

Список литературы. 1. Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В Нетушил, С. В. Страхов. Основы теории цепей, М. «Энергия», 1975, 752 с. 2. Контрольное задания и методические указания по расчету переходных процессов в однородных линиях при включение под постоянное напряжение. Ленининград. ЛПИ, 1973, 23с.

23

Содержание 1. ДОПУЩЕНИЕ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ДЛИННЫХ ЛИНИЙ). .................................................................................................................................................. 3 2. ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НЕИСКАЖАЮЩЕЙ ЛИНИИ. .................................................... 4 3. ВОЗНИКНОВЕНИЕ И ДВИЖЕНИЕ ВОЛН ......................................................................................................... 5 3.1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ И ДВИЖЕНИЕ ПРЯМОЙ (ПАДАЮЩЕЙ) ВОЛНЫ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ ................................... 6 3.2. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОТРАЖЕННОЙ И ПРЕЛОМЛЕННОЙ ВОЛНЫ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ......................................... 7 4. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ, СОДЕРЖАЩИХ ДЛИННЫЕ ЛИНИИ ............................................................................................................................................................................ 9 4.1. ОБЩИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ВОЛН, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯХ................................................................ 9 4.2. ОБЩИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ВОЛН ПРИ ПАДЕНИИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ВОЛНЫ НА УЗЛЫ СОЕДИНЕНИЯ ЛИНИИ С ДРУГИМИ УЧАСТКАМИ СХЕМЫ ..................................................................................................................................................... 12 4.3. ПРИМЕР.................................................................................................................................................................. 13 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. ......................................................................................................................................... 23

24