Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2005. Том 46, № 6
УДК 517.55
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОШИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ И ПРОЕКТОРЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян Аннотация: При общих предположениях на весовую функцию дается полная характеризация преобразования Коши линейных непрерывных функционалов на весовых пространствах голоморфных в шаре функций. Строится интегральный проектор, отображающий весовые пространства измеримых и n-гармонических в шаре функций на соответствующие пространства голоморфных функций. Ключевые слова: линейный функционал, преобразование Коши, весовое пространство, голоморфная функция.
Введение Пусть Bn — открытый единичный шар в n-мерном комплексном пространстве, Sn — его граница, 0 < p, q < +∞. Обозначим через множество всех положительных функций ω, суммируемых на интервале (0, 1), для которых существуют положительные числа mω , Mω , qω , причем mω , qω ∈ (0, 1), такие, что mω ≤
ω(λr) ≤ Mω ω(r)
∀r ∈ (0, 1), λ ∈ [qω , 1].
Важным частным случаем таких функций являются функции вида ω(t) = tα . Свойства функций из хорошо изучены в монографии [1]. Обозначим через Lp,q (ω) пространство измеримых в Bn функций f , для которых 1 q1 Z pq Z kf kLp,q (ω) = ω(1 − r) |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr < +∞, 0
Sn
где dσ(ζ) — нормированная мера Лебега на сфере Sn , а через H(Bn ) — множество всех голоморфных в Bn функций. Положим также Ap,q (ω) = H(Bn ) ∩ Lp,q (ω). Подпространство Lp,q (ω), состоящее из n-гармонических функций, обозначим через hp,q (ω). В этой статье мы построим ограниченный линейный проектор, отображающий пространство Lp,q (ω) при 1 ≤ p, q < +∞ на пространство Ap,q (ω) и пространство hp,q (ω) на Ap,q (ω) при всех 0 < p, q < +∞, ω ∈ . Указанные результаты позволяют охарактеризовать все голоморфные в шаре Bn функции g, 1 допускающие представление g(z) = (ez ), где ez (ζ) = (1−hζ,¯ z i)n , — линейный c 2005 Антоненкова О. Е., Шамоян Ф. А.
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1209
непрерывный функционал на Ap,q (ω), 0 < p, q < +∞, и тем самым получить полное описание линейных непрерывных функционалов при всех p и q. Важность рассматриваемых вопросов для решения ряда задач комплексного анализа хорошо известна, для примера укажем работы [2–8]. В связи с полученными в статье результатами отметим также работу [9], в которой установлено существование ограниченного проектора из Lp,q (ω) на Ap,q (ω) при ω(t) = tβ , β > −1, и 1 < p, q < +∞. Там же получено другое представление линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q (ω) при ω(t) = tβ , −1 < β < +∞, и то лишь в случае 1 < p < +∞, max(1, 1 + β) < q < +∞. При остальных p, q метод, предложенный в этой работе, не проходит. В § 1 установлены вспомогательные результаты, на наш взгляд, имеющие самостоятельный интерес. В § 2 в явном виде строится ограниченный линейный интегральный проектор из пространств Lp,q (ω) и hp,q (ω) на Ap,q (ω) при условии, log Mω < 1. Если же βω ≥ 1, то указанное утверждение не верно даже что βω = log(1/q ω) в случае ω(t) = tα . В § 3 дано описание линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q (ω) при ω ∈ . § 1. Обозначения и вспомогательные сведения mω tα q Для удобства обозначим αω = log log qω , ωα (t) = ω(t) ω(t) , t ∈ (0, 1). Опре1 0 делим функцию χγ (z) = (1−|z|) γ/pp0 , z ∈ Bn , где 0 ≤ γ < pp , 1 ≤ p < +∞, p . p0 = p−1 Следующая лемма установлена в работе [3]. Лемма 1. Пусть ω ∈ . Тогда найдутся измеримые ограниченные функции η(x) и ε(x) такие, что Z1 ε(x) ω(x) = exp η(x) + du , x ∈ (0, 1). (1) u x
При этом
и
log mω log Mω ≤ ε(u) ≤ , u ∈ (0, 1), log(1/qω ) log(1/qω ) αω x ω(x) y βω ≤ ≤ , 0 < x ≤ y < 1. y ω(y) x
(2)
(3)
В дальнейшем при ω ∈ всегда будем предполагать, что 0 < βω < 1, и, не ограничивая общность, η(x) = 0, x ∈ (0, 1). Лемма 2. Пусть 0 < p ≤ 1, f ∈ H p (Bn ). Тогда справедлива следующая оценка: Z p1 Z 1 (1 − r2 )( p −1)n |f (r2 ζ)| dσ(ζ) ≤ c |f (rζ)|p dσ(ζ) . Sn
Sn
Здесь и в дальнейшем через c, c1 , . . . , cn (α, β, . . . ) будем обозначать произвольные положительные константы, зависящие от α, β, . . . , конкретные значения которых не играют никакой роли. Доказательство. Для классов Харди хорошо известна оценка (см. [10]) n
n
|f (z)| ≤ 2 p kf kH p (Bn ) (1 − |z|)− p .
1210
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
Учитывая ее, имеем Z Z |f (r2 ζ)| dσ(ζ) = |f (r2 ζ)|p |f (r2 ζ)|1−p dσ(ζ) Sn
Sn
Z Z p1 (1−p) n 2 p p (1 − r2 )− p (1−p) ≤c |f (r ζ)| dσ(ζ) |f (rζ)| dσ(ζ) Sn
Sn
Z p1 (1−p)+1 n (1 − r2 )− p (1−p) . ≤c |f (rζ)|p dσ(ζ) Sn
Отсюда Z
1
(1 − r2 )( p −1)n
p1 Z |f (rζ)|p dσ(ζ) . |f (r2 ζ)| dσ(ζ) ≤ c Sn
Sn
Лемма 3. Пусть 0 < q ≤ 1, 0 < p < +∞, f ∈ hp,q (Bn ). Тогда Z1
1 q
ω(1 − r) (1 − r)
1 q −1
Z
0
p1 |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr p
Sn
Z1
≤ c
q1 pq Z |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr . ω(1 − r)
0
Sn 1 ,1 2k
Доказательство. Пусть k = 1 −
−
1 2k+1
+∞ S , тогда (0, 1) = k . k=0
Следовательно, Z1
1 q
ω(1 − r) (1 − r)
I=
1 q −1
Z
0
p1 |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr p
Sn
=
+∞ X k=0
1−
1 2k+1
Z 1−
1
1
ω(1 − r) q (1 − r) q −1
1 2k
Z
p1 |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr.
Sn
Используя свойства функции ω (см. (2), (3)), легко показать, что Z p1 +∞ X 1 1 p q q I ≤ c1 ω(1 − rk ) (rk+1 − rk ) max |f (rζ)| dσ(ζ) rk
k=0
≤ c2
Sn +∞ X
1 q
ω(1 − rk ) (rk+1 − rk )
1 q
Z
k=0
p1 |f (rζ)| dσ(ζ) , p
r ∈ [rk+1 , rk+2 ].
Sn
Последнее неравенство при 1 ≤ p < +∞ хорошо известно, а при 0 < p < 1 используется следующий результат (см. [11]): так как f — гармоническая функция, то Z Z p max |f (rζ)| dσ(ζ) ≤ c3 |f (rζ)|p dσ(ζ) ∀r ∈ (rk+1 , rk+2 ). rk
Sn
Sn
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1211
Учитывая, что 0 < q ≤ 1, будем иметь I ≤ с4
+∞ X
Z pq ! q1 p ω(1 − rk )(rk+1 − rk ) |f (rζ)| dσ(ζ)
k=0
Sn
≤ с
+∞ X
q1 Z pq ω(1 − r) |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr
rZk+2
k=0r k+1
Sn
Z1
≤ с
q1 pq Z |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr . ω(1 − r)
0
Sn
В последнем неравенстве мы использовали оценку (3), положив x = 1 − rk+1 , y = 1 − r при rk+1 ≤ r ≤ rk+2 . Лемма 4. Пусть 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ 1, f ∈ Ap,q (Bn ). Тогда справедлива оценка Z1
1
1
Z
1
ω(1 − r) q (1 − r) q −1+n( p −1)
0
|f (rζ)| dσ(ζ)r2n−1 dr
Sn
Z1
≤ c
q1 pq Z |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr . ω(1 − r)
0
Sn
Доказательство. Так как f ∈ Ap,q (Bn ), применив лемму 2, будем иметь Z1
1
1
1
ω(1 − r) q (1 − r) q −1 (1 − r2 )n( p −1)
0
Z
|f (r2 ζ)| dσ(ζ)r2n−1 dr
Sn
Z1 ≤ с1
1 q
ω(1 − r) (1 − r)
1 q −1
0
Z
p1 |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr p
Sn
Z1
≤ с2
q1 Z pq ω(1 − r) |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr .
0
Sn
В последнем неравенстве мы воспользовались леммой 3. Учитывая (3), имеем √ ω(1− ρ) c3 ≤ ω(1−ρ) ≤ c4 , ρ ∈ (0, 1). Получаем Z1
1 q
ω(1 − ρ) (1 − ρ)
Z
1 1 q −1+n( p −1)
0
|f (ρζ)| dσ(ζ)ρ2n−1 dρ
Sn
Z1
≤ c 0
q1 Z pq ω(1 − r) |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr .
Sn
Следующая лемма установлена в работах [12, 3] в случае поликруга. Приведем ее аналог в случае единичного круга. Пусть U — единичный круг, k —
1212
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
неотрицательное целое число, l — целое число, удовлетворяющее условию −2k ≤ l ≤ 2k − 1. Положим k,l = {z : 1 − 1/2k ≤ |z| < 1 − 1/2k+1 , πl/2k ≤ arg z < π(l + 1)/2k }. Лемма 5. Пусть V ∈ C(U ), причем для любого круга Uρ (w) = {z : |w−z| < ρ} ⊂ U , w ∈ U , выполняется неравенство Z A |V (ζ)| dm2 (ζ). |V (w)| ≤ |Uρ (w)| Uρ (w)
Тогда имеет место оценка k
+∞ 2X −1 X
Z
1 2
{ max |V (ζ)|ω(|k,l | )|k,l |} ≤ c(A)
k=0 l=−2k
|V (ζ)|ω(1 − |ζ|) dm2 (ζ).
ζ∈k,l
U
Здесь A — положительное число, зависящее только от V. Используя эти результаты, легко доказать справедливость следующего утверждения (см. [12, 3]). Лемма 6. Пусть 0 < p ≤ 1, f ∈ hp (Bn ), ω ∈ , причем Z1
ω p (1 − r)(1 − r)(n+1)(p−1) r2n−1 dr < +∞.
0
Тогда имеет место неравенство p Z Z ω(1 − |z|)|f (z)| dm2n (z) ≤ c ω p (1 − |z|)|f (z)|p (1 − |z|2 )(n+1)(p−1) dm2n (z). Bn
Bn
Лемма 60 . Пусть 0 < p ≤ 1, f ∈ hp (Bn ), α > n p1 − 1 − 1, тогда имеет место неравенство Z p Z (1 − |z|2 )α |f (z)| dm2n (z) ≤ c (1 − |z|2 )αp+(n+1)(p−1) |f (z)|p dm2n (z). Bn
Bn
Лемма 7. Пусть α
f ∈ H(Bn ),
D f (z) =
+∞ X k=0
где f (z) =
+∞ P
(α + 1 + k) fk (z), (α + 1) (k + 1)
fk (z) — однородное разложение функции f . Тогда
k=0
D
α+1
1 (1 − hz, ζi)n
c(n, α) = + (1 − hz, ζi)α+n+1
Z1
φ(u) du , (1 − uhz, ζi)α+n+1
0
где φ(u) — непрерывная на [0, 1] функция. В ходе доказательства данного утверждения использовались свойства гамма-функции Эйлера и метод интегрирования по частям.
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1213
Лемма 8. Справедливо следующее равенство: Z1
Z1
c(α, n)ρn (1 − r)α r2n−1 dr = + α+n+1 (1 − λρr) (1 − ρλ)n
(1 − r)α+1 P (ρ, r) dr , (1 − λrρ)α+n+1
0
0
где P (ρ, r) — некоторый многочлен от ρ и r. Доказательство. Имеем Z1 I=
(1 − r)α r2n−1 dr c(α, n) = n−1 α+n+1 (1 − λρr) ρ
0
Z1
dn−1 (1 − r) r dλn−1 α n
1 (1 − λρr)α+2
dr
0 n−1
c(α, n) d = n−1 ρ dλn−1
Z1
α n
c(α, n) dn−1 (1 − r) r dr = − (1 − λρr)α+2 ρn−1 dλn−1
0
Z1
(1 − r)α (1 − rn ) dr (1 − λρr)α+2
0
c(α, n) dn−1 + n−1 ρ dλn−1
Z1
(1 − r)α dr . (1 − λρr)α+2
0
Представляя подынтегральное выражение в виде суммы степенного ряда, легко получить утверждение леммы. Используя лемму 8, несложно доказать следующее утверждение. Лемма 80 . Справедливо равенство Z1
(1 − r)α dr c(α, n)ρn = + (1 − λρr)α+n+1 (1 − ρλ)n
0
Z1
(1 − r)α+1 Pe(ρ, r) dr , (1 − λrρ)α+n+1
0
где Pe(ρ, r) — некоторый многочлен от ρ и r, где λ ∈ B = B1 , ρ ∈ (0, 1). 0 0 0 tα q Лемма 9. Если Dα+1 g ∈ Ap ,q (ωα ), где ωα (t) = ω(t) ω(t) , t ∈ (0, 1), 1 < p0 , q 0 < +∞, то Z (1 − |ζ|)α |Dα+1 g(ζ)| dν(ζ) < +∞, Bn
где dν(ζ) — нормированная мера Лебега на шаре Bn . Доказательство. Применяя неравенство Г¨ельдера с показателем p0 = p p−1 , будем иметь Z
α
(1 − |ζ|) |D
α+1
Z1
α
(1 − r)
g(ζ)| dν(ζ) = c 0
Bn
Z1 ≤ c1
α
Z
(1 − r) 0
|D
α+1
Z
|Dα+1 g(rζ)| dσ(ζ)r2n−1 dr
Sn
10 Z p1 p g(rζ)| dσ(ζ) dσ(ζ) r2n−1 dr p0
Sn
Sn
Z1 ≤ c2
α
Z
(1 − r) 0
|D Sn
α+1
10 p g(rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr. p0
1214
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян 1 0
1
Учитывая, что (1 − |ζ|)α = ωαq (1 − |ζ|)ω q (1 − |ζ|), и применяя неравенство q , получим Г¨ельдера с показателем q 0 = q−1 Z (1 − |ζ|)α |Dα+1 g(ζ)| dν(ζ) Bn
Z1
≤ c3
10 q Z q00 p 0 2n−1 α+1 p r dr ωα (1 − r) |D g(rζ)| dσ(ζ)
0
Sn
q1 1 Z × ω(1 − r)r2n−1 dr ≤ c4 kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) .
0 0
0
Лемма 10. Пусть f ∈ Ap,q (ω), 1 < p, q < +∞, Dα+1 g ∈ Ap ,q (ωα ), где p q p = p−1 , q 0 = q−1 . Тогда 0
Z
Z
2 α
g (ρz) dσ(z) = c f (ρz)¯ Sn
(1−|ζ| )
Dα+1 g(ζ)
Bn
Z1
Z f (ρz)
0
Sn +∞ P
Доказательство. Так как g(z) =
(1 − r)α drdσ(z) dν(ζ). ¯ α+n+1 (1 − rρh¯ z , ζi)
gk (z) — однородное разложение
k=0
функции g и D
α+1
g(z) =
+∞ X k=0
то
(α + k + 2) gk (z), (α + 2) (k + 1)
Z1 g(z) = (α + 1)
(1 − r)α Dα+1 g(rz) dr.
0 0
α+1
0
Далее, поскольку функция D g принадлежит Ap ,q (ωα ) и, следовательно, по лемме 9 Z (1 − |ζ|)α |Dα+1 g(ζ)| dν(ζ) < +∞, Bn
то для нее справедливо представление (см. [10]) Z (1 − |ζ|)α Dα+1 g(ζ) dν(ζ) Dα+1 g(z) = c(n, α) , (1 − hz, ζi)α+n+1
(4)
Bn
где c(n, α) =
(n+α+1) (n+1) (α+1) .
Тогда Z1
g(z) = c(n, α)(α + 1)
(1 − r)α
0
(1 − |ζ|)α Dα+1 g(ζ) dν(ζ) dr. (1 − rhz, ζi)α+n+1
Z
Bn
Отсюда получаем Z f (ρz)g(ρz) dσ(z) = c Sn
Z1
Z Sn
α
Z
(1 − r)
f (ρz) 0
Bn
(1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) dν(ζ) drdσ(z) ¯ α+n+1 (1 − rρh¯ z , ζi)
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов Z =c
Z
2 α
(1 − |ζ| ) Dα+1 g(ζ)
f (ρz)
Sn
0
Bn
Z =c
Z1
2 α
(1 − |ζ| )
Dα+1 g(ζ)
Bn
Z1
Z f (ρz)
0
Sn
1215
(1 − r)α drdν(ζ) dσ(z) ¯ α+n+1 (1 − rρh¯ z , ζi) (1 − r)α drdσ(z) dν(ζ). ¯ α+n+1 z , ζi) (1 − rρh¯
Следующая лемма устанавливается стандартным образом (см. [2, 3, 5]). Лемма 11. Пусть 0 < p, q < +∞, f ∈ Ap,q (ω), положим fρ (z) = f (ρz). Тогда kf − fρ kAp,q (ω) → 0 при ρ → 1 − 0. § 2. Ограниченные проекторы в пространствах Ap,q (ω) Теорема 1. Пусть ω ∈ , 1 ≤ p, q < +∞, α > αω . Тогда оператор Z (1 − |ζ|2 )α f (ζ) dν(ζ) Aα (f )(z) = c(n, α) , z ∈ Bn , (1 − hz, ζi)α+n+1 Bn
где c(n, α) — константа из (4), отображает пространство Lp,q (ω) на пространство Ap,q (ω), при этом справедлива оценка kAα (f )kAp,q (ω) ≤ ckf kLp,q (ω) . Доказательство. Равенство Aα (f )(z) = f (z), z ∈ Bn , f ∈ Ap,q (ω), устанавливается стандартным образом с помощью теоремы вложения и интегрального представления из [10]. Предположим теперь, что f ∈ Lp,q (ω). Тогда, применяя неравенство Минковского, будем иметь p p1 1 p1 Z Z Z Z α (1 − r) f (rζ) dσ(ζ) 2n−1 |Aα (f )(ρz)|p dσ(z) r dr dσ(z) = c1 (1 − rρhz, ζi)α+n+1 Sn 0 Sn
Sn
Z1 Z
Z p1 (1 − r)α f (rζ) dσ(ζ) p dσ(z) r2n−1 dr. (1 − rρhz, ζi)α+n+1
≤ c2 0
Sn Sn
Применим теперь неравенство Г¨ельдера с показателем p0 = Z
p p−1 .
Получим
p1 Z1 Z Z (1 − r)α |f (rζ)|p dσ(ζ) |Aα (f )(ρz)| dσ(z) ≤ c3 |1 − rρhz, ζi|α+n+1 p
0
Sn
Z ×
Sn
α
Sn
(1 − r) dσ(ζ) |1 − rρhz, ζi|α+n+1
p0 p
p1 dσ(z) r2n−1 dr
Sn
Z1 Z ≤ c4 0
p1 Z (1 − r)α dσ(ζ)r2n−1 dr |f (rζ)| dσ(ζ) |1 − rρhz, ζi|α+n+1 p
Sn
Sn
Z1 ≤ c5 0
(1 − r)α (1 − rρ)α+1
Z Sn
p1 |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr. p
1216
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
В последнем неравенстве мы воспользовались оценкой (см. [10]) Z c(n) dσ(ζ) ≤ , λ > 0. n+λ |1 − hz, ζi| (1 − |z|2 )λ
(5)
Sn
Далее, Z pq Z1 p ω(1 − ρ) |Aα (f )(ρz)| dσ(z) ρ2n−1 dρ 0
Sn
1 Z ω(1 − ρ)
Z1 ≤ c6 0
(1 − r)α (1 − rρ)α+1
q p1 |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr ρ2n−1 dρ.
Z
0
Sn
Умножив и разделив правую часть данного неравенства на функцию χγ (ζ) и q применив затем неравенство Г¨ельдера с показателем q 0 = q−1 , получаем Z1
Z pq p ω(1 − ρ) |Aα (f )(ρz)| dσ(z) ρ2n−1 dρ
0
Sn
1 Z ω(1 − ρ)
Z1 ≤ c7 0
α
(1 − r) (1 − rρ)α+1 χqγ (r)
Z
0
Z1
pq |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr
Sn
q0 q
0
(1 − r)α χqγ (r)r2n−1 dr ρ2n−1 dρ ≤ c8 (1 − rρ)α+1
× 0
Z1
ω(1 − ρ)χqγ (ρ)
0
Z1
(1 − r)α q χγ (r)(1 − rρ)α+1
× 0
Z
pq |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 drρ2n−1 dρ. p
Sn
Меняя порядок интегрирования и применяя к внутреннему интегралу оценку (см. [3]) Z1 ω(1 − ρ)χpγ (ρ)dρ ω(1 − r)χpγ (r) ≤ c(α) , (6) (1 − rρ)α+1 (1 − r)α 0
имеем kAα (f )kqAp,q (ω) Z1 ≤ c8
(1 − r)α χqγ (r)
0
Z
pq Z1 ω(1 − ρ)χqγ (ρ)ρ2n−1 dρ 2n−1 |f (rζ)| dσ(ζ) r dr (1 − rρ)α+1 p
0
Sn
Z1 ≤ c9
Z pq ω(1 − r)χqγ (r) 2n−1 (1 − r)α p |f (rζ)| dσ(ζ) r dr q χγ (r) (1 − r)α
0
Sn
Z1 = c9
Z pq p ω(1 − r) |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr = c9 kf kqLp,q (ω) .
0
Sn
Таким образом, kAα (f )kAp,q (ω) ≤ ckf kLp,q (ω) . Аналогично устанавливается
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1217
Следствие 1. Пусть ω ∈ , 1 ≤ p, q < +∞, α > αω . Тогда оператор Z ω(1 − |ζ|)f (ζ) dν(ζ) , z ∈ Bn , Tα (f )(z) = с(n, ω) (1 − hz, ζi)α+n+1 Bn p,q
отображает пространство L (ω) в пространство Ap,q (ωα ), при этом справедлива оценка kTα (f )kAp,q (ωα ) ≤ ckf kLp,q (ω) . Теорема 2. Пусть ω ∈ , 0 < p, q ≤ 1, α > αωq+1 + n p1 − 1 − 1. Тогда оператор Z (1 − |ζ|2 )α f (ζ) dν(ζ) , z ∈ Bn , Aα (f )(z) = c(n, α) (1 − hz, ζi)α+n+1 Bn
где c(n, α) — константа из (4), отображает пространство hp,q (ω) на пространство Ap,q (ω), причем kAα (f )kAp,q (ω) ≤ ckf khp,q (ω) . Доказательство. Равенство Aα (f )(z) = f (z), z ∈ Bn , f ∈ Ap,q (ω), устанавливается, как выше. Предположим теперь, что f ∈ hp,q (ω). Так как 0 < p ≤ 1, применяя лемму 60 , будем иметь Z p (1 − |ζ|2 )α |f (ζ)| dν(ζ) p |Aα (f )(z)| ≤ c1 |1 − hz, ζi|α+n+1 Bn
Z ≤ c2
(1 − |ζ|2 )αp+(n+1)(p−1) |f (ζ)|p dν(ζ) . |1 − hz, ζi|(α+n+1)p
Bn
Тогда Z |Aα (f )(ρz)|p dσ(z) Sn
Z Z1 Z ≤ c3
(1 − r)αp+(n+1)(p−1) |f (rζ)|p dσ(ζ) 2n−1 r drdσ(z) |1 − rρhz, ζi|(α+n+1)p
Sn 0 Sn
Z1 Z ≤ c3
αp+(n+1)(p−1)
(1 − r)
p
Z
|f (rζ)|
0 Sn
dσ(z) dσ(ζ)r2n−1 dr. |1 − rρhz, ζi|(α+n+1)p
Sn
Используя оценку (5), получим Z
|Aα (f )(ρz)|p dσ(z) ≤ c4
Z1 Z
(1 − r)αp+(n+1)(p−1) |f (rζ)|p dσ(ζ)r2n−1 dr. (1 − rρ)(α+n+1)p−n
0 Sn
Sn
Рассмотрим теперь все возможные случаи. 1. Пусть
q p
≤ 1. Тогда, применяя лемму 3, приходим к неравенствам
kAα (f )kAp,q (ω)
1218
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
q1 1 1 pq Z Z αp+(n+1)(p−1) Z (1 − r) ≤ c4 ω(1 − ρ) |f (rζ)|p dσ(ζ)r2n−1 dr ρ2n−1 dρ (1 − rρ)(α+n+1)p−n 0
0
Sn
1 q1 q q pq Z Z1 )+ p −1 Z αq+(n+1)(q− p (1 − r) ≤c5 ω(1 − ρ) |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 drρ2n−1 dρ . q (1 − rρ)(α+n+1)q−n p 0
0
Sn
Меняя порядок интегрирования и применяя к внутреннему интегралу оценку (6), получим 1 Z pq Z q αq+(n+1)q− p n−1 p kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c6 (1 − r) |f (rζ)| dσ(ζ) 0
Z1 ×
Sn
q1
ω(1 − ρ) q
(1 − rρ)(α+n+1)q−n p
0
×
ρ
2n−1
dρr
q
(1 − r)(α+n+1)q−n p −1 q p
Z1 q dr ≤c (1 − r)αq+(n+1)q− p n−1 0
Z
ω(1 − r)
2. Пусть
2n−1
q1 pq |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr = ckf khp,q (ω) .
Sn
> 1. Тогда
1 q1 pq Z Z ω(1 − ρ) |Aα (f )(ρz)|p dσ(z) ρ2n−1 dρ 0
Sn
pq 1 1 q1 Z Z αp+(n+1)(p−1) Z (1 − r) |f (rζ)|p dσ(ζ)r2n−1 dr ρ2n−1 dρ . ≤ c7 ω(1−ρ) (1 − rρ)(α+n+1)p−n 0
0
Sn
Умножив и разделив правую часть данного неравенства на χγ (r) и применив q неравенство Г¨ельдера с показателем q−p , будем иметь 1 1 Z Z (1 − r)αp+(n+1)(p−1) kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c7 ω(1 − ρ) q (1 − rρ)(α+n+1)p−n χγp (r) 0 0 1 q Z pq Z (1 − r)αp+(n+1)(p−1) χγq−p (r) p 2n−1 × |f (rζ)| dσ(ζ) r dr (1 − rρ)(α+n+1)p−n 0
Sn q q−p q p
×r
2n−1
dr
q1 2n−1
ρ
Z1
dρ ≤ c8
q
ω(1 − ρ)χγp (ρ)
0
Z1
(1 − r)αp+(n+1)(p−1)
0
(1 − rρ)(α+n+1)p−n χγp (r)
×
Z
q
q1 pq |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 drρ2n−1 dρ .
Sn
Поменяем порядок интегрирования и оценим внутренний интеграл: 1 Z pq Z (1 − r)αp+(n+1)(p−1) p kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c9 |f (rζ)| dσ(ζ) q χγp (r) 0 Sn
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов Z1 ×
1219
q1 q ω(1 − ρ)χγp (ρ) ρ2n−1 dρr2n−1 dr (1 − rρ)(α+n+1)p−n
0
1 q1 q Z pq Z p αp+(n+1)(p−1) (1 − r) ω(1 − r)χ (r) γ ≤ c |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr q p (α+n+1)p−n−1 χγ (r)(1 − r) 0 Sn = ckf khp,q (ω) .
Таким же образом устанавливается Следствие 2. Пусть ω ∈ удовлетворяет условию Z1
ω p (1 − r)(1 − r)(n+1)(p−1) dr < +∞,
0 αω +1 q
1 p
− 1 − 1. Тогда оператор Z ω(1 − |ζ|)f (ζ) dν(ζ) , Tα (f )(z) = с(n, ω) (1 − hz, ζi)α+n+1
0 < p, q ≤ 1, α >
+n
z ∈ Bn ,
Bn
отображает пространство hp,q (ω) в пространство Ap,q (ωα ), причем kTα (f )kAp,q (ωα ) ≤ ckf khp,q (ω) . Теорема 3. Пусть ω ∈ . Предположим, что 1) если 1 < p < +∞, 0 < q ≤ 1, то α > αωq+1 − 1, 2) если 0 < p ≤ 1, 1 < q < +∞, то α > αqω + n p1 − 1 − q10 , где q 0 = Тогда оператор Z (1 − |ζ|2 )α f (ζ) dν(ζ) Aα (f )(z) = c(n, α) , z ∈ Bn , (1 − hz, ζi)α+n+1
q q−1 .
Bn
где c(n, α) — константа из (4), отображает пространство hp,q (ω) на пространство Ap,q (ω), причем kAα (f )kAp,q (ω) ≤ ckf khp,q (ω) . Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Запишем норму функции Aα (f ) в пространстве Ap,q (ω). Так как 1 < p < +∞, воспользовавшись p неравенством Г¨ельдера с показателем p0 = p−1 , будем иметь 1 1 p Z Z Z Z α 2n−1 (1 − r) |f (rζ)| dσ(ζ)r dr kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c1 ω(1 − ρ) |1 − rρhz, ζi|α+n+1 0
pq
q1
dσ(z) ρ2n−1 dρ ≤ c2
0 Sn
Sn
Z1
Z
ω(1−ρ) 0
Z1 Z
Sn
α
p
2n−1
(1 − r) |f (rζ)| dσ(ζ)r dr χpγ (r)|1 − rρhz, ζi|α+n+1
0 Sn
1 p0 pq q1 1 p Z Z Z α p0 2n−1 (1 − r) χγ (r) dσ(ζ)r dr 2n−1 × dσ(z) ρ dρ ≤ c3 ω(1 − ρ) |1 − rρhz, ζi|α+n+1 0 Sn
0
1220
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян × χpγ (ρ)
Z Z1 Z
q1 pq (1 − r)α |f (rζ)|p dσ(ζ)r2n−1 dr dσ(z) ρ2n−1 dρ . χpγ (r)|1 − rρhz, ζi|α+n+1
Sn 0 Sn q p
≤ 1, используя лемму 3, имеем 1 q q Z Z1 αp +p −1 (1 − r) q kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c4 ω(1 − ρ)χγ (ρ) χqγ (r)
Так как
0
0
Z
pq Z p |f (rζ)| dσ(ζ)
Sn
Sn
×
dσ(z) |1 − rρhz, ζi|α+n+1
pq
q1 r2n−1 drρ2n−1 dρ .
Применяя к внутреннему интегралу лемму 2, получаем 1 Z q kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c5 ω(1 − ρ)χqγ (ρ)(1 − ρ)n( p −1) 0
Z1 ×
q q αp +p −1
(1 − r) χqγ (r)
Z
pq Z |f (rζ)|p dσ(ζ)
Sn
Sn
0
dσ(z) q
|1 − rρhz, ζi|(α+n+1) p
q1
1 q q pq Z Z (1 − r)α p + p −1 2n−1 2n−1 p ×r drρ dρ |f (rζ)| dσ(ζ) ≤ c6 χqγ (r) 0
Z1 Z ×
Sn
q
0 Sn
q1
q
ω(1 − ρ)χqγ (ρ)(1 − ρ)n( p −1) |1 − rρhz, ζi|(α+n+1) p
dσ(z)ρ2n−1 dρr2n−1 dr
1 q1 q q pq Z αp +p −1 ω(1 − r)χq (r) Z (1 − r) γ ≤ c |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr q q χqγ (r) (1 − r)α p + p −1 0
Sn
= ckf khp,q (ω) . Докажем вторую часть теоремы. Так как 0 < p ≤ 1, 1 < q < +∞, то > 1 и, следовательно, утверждение п. 2 теоремы вытекает из соответствующих рассуждений, приведенных при доказательстве теоремы 2. q p
С помощью таких же рассуждений получаем Следствие 3. Пусть ω ∈ . Предположим, что 1) если 1 < p < +∞, 0 < q ≤ 1, то α > αωq+1 − 1, 2) если 0 < p ≤ 1, 1 < q < +∞, то α > αqω + n p1 − 1 − q10 , где q 0 = Тогда оператор Z ω(1 − |ζ|)f (ζ) dν(ζ) Tα (f )(z) = c(n, ω) , z ∈ Bn , (1 − hz, ζi)α+n+1 Bn
отображает пространство h
p,q
(ω) в пространство Ap,q (ωα ), причем
kTα (f )kAp,q (ωα ) ≤ ckf khp,q (ω) .
q q−1 .
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1221
§ 3. Описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой Заметим, что если min(p, q) < 1, то каждый линейный непрерывный функционал на Lp,q (ω) нулевой. В то же время, например, z0 (f ) = f (z0 ), z0 ∈ Bn , является линейным непрерывным функционалом на Ap,q (ω). В этом параграфе, используя результаты § 2, мы получим полное описание линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q (ω) в том случае, когда ω принадлежит классу функций , правильно изменяющихся на интервале (0, 1), а 0 < p, q < +∞. Для изложения результатов сначала введем следующие определения. Пусть 0 < p, q ≤ 1, обозначим через λp,q ω класс аналитических в Bn функций g, для которых 1 1 (1 − |z|)α−n( p −1)− q +1 α+1 |D g(z)| < +∞, kgkλp,q = sup 1 ω z∈Bn ω q (1 − |z|) где α > αωq+1 + n p1 − 1 − 1. ˜ p,q обозначим множество всех Если же 0 < p ≤ 1, 1 < q < +∞, то через λ ω голоморфных в Bn функций g, для которых 10 1 q 1 Z −1) αq 0 −nq 0 ( p (1 − r) α+1 q 0 2n−1 p,q ( sup |D g(rz)|) r dr < +∞, kgkλ˜ ω = q0 z∈Sn ω q (1 − r) 0 где 1q + q10 = 1, α > αqω + n p1 − 1 − q10 . ˜˜ p,q множество голоморфЕсли 1 < p < +∞, 0 < q ≤ 1, то обозначим через λ ω ных в Bn функций g таких, что 10 1 Z p (1 − r)α+1− q α+1 p0 kgkλ˜˜ p,q = sup < +∞, |D g(rz)| dσ(ζ) 1 ω 0
где p1 + p10 = 1, α > αωq+1 − 2. Нетрудно заметить, что определение этих классов ˜ p,q не зависит от α, при этом относительно указанных норм множества λp,q ω , λω и ˜˜ p,q превращаются в банаховы пространства. λ ω 1 Пусть z, ζ ∈ Bn , положим ez (ζ) = (1−hζ,¯ z i)n . Следующая лемма в случае поликруга в Lp -пространствах установлена в работе [3]. Лемма 12. Пусть 1 < p, q < +∞, ω ∈ , ψ(ζ) ∈ Lp,q (ω) и Z ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) g(z) = . ¯ n (1 − hz, ζi) Bn
Тогда D
α+1
p,q
g∈A
(ωα ), причем справедлива оценка kDα+1 gkAp,q (ωα ) ≤ ckψkLp,q (ω) .
Доказательство. Используя лемму 7, имеем D
α+1
Z g(z) = c1 Bn
ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) + ¯ α+n+1 (1 − hz, ζi)
Z1
Z φ(u)
0
Bn
ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) du, ¯ α+n+1 (1 − uhz, ζi)
1222
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
где φ(u) ∈ C[0, 1]. Заметим, что Z Tα (ψ)(uz) =
ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) , ¯ α+n+1 (1 − uhz, ζi)
Bn
где Tα — оператор из следствия 1. Кроме того, kTα (ψ)(u·)kAp,q (ωα ) ≤ c2 kTα (ψ)kAp,q (ωα ) при 0 ≤ u ≤ 1, тогда по следствию 1 kTα (ψ)(u·)kAp,q (ωα ) ≤ c2 kTα (ψ)kAp,q (ωα ) ≤ c3 kψkLp,q (ω) . Применяя неравенство Минковского, будем иметь kD
α+1
Z1 gkAp,q (ωα ) ≤ с1 kTα (ψ)kAp,q (ωα ) +
|φ(u)|kTα (ψ)(u·)kAp,q (ωα ) du 0
Z1
≤ c4 kψkLp,q (ω) 1 +
|φ(u)| du = ckψkLp,q (ω) < +∞.
0
Теорема 4. Пусть — линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω), 1 < p, q < +∞, и g(z) = (ez ), z ∈ Bn . Тогда g голоморфна в Bn и Dα+1 g ∈ 0 0 0 q p tα q , q 0 = q−1 , ωα (t) = ω(t) ω(t) , t ∈ (0, 1). Ap ,q (ωα ) при α > αω , где p0 = p−1 Функционал представ´ им в виде Z (7) (f ) = lim f (ρζ)g(ρζ) dσ(ζ), ρ→1−0 Sn
и справедливы оценки c1 kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) ≤ kk ≤ c2 kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) . 0
(8)
0
Верно и обратное: любая функция g такая, что Dα+1 g ∈ Ap ,q (ωα ), по формуле (7) порождает линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω), для которого справедливы оценки (8). Доказательство. Предположим, что — линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω) и g(z) = (ez ), z ∈ Bn . Продолжим на Lp,q (ω) с сохранением 0 0 нормы. По теореме Бенедека — Понцоне [13] существует функция ψ ∈ Lp ,q (ω) такая, что Z (f ) = f (ζ)ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ), Bn
причем kk = kψkLp0 ,q0 (ω) . Тогда Z g(z) =
ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) . ¯ n (1 − hz, ζi)
Bn
Отсюда по лемме 12 kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) ≤ ckψkLp0 ,q0 (ω) = сkk.
(9)
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1223
Далее, разлагая ez (ζ) в ряд и учитывая, что он сходится в Ap,q (ω), получим Z Z X +∞ ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) (k + n) ¯ k g(z) = (ez ) = = (hz, ζi) ¯ n (n) (k + 1) (1 − hz, ζi) Bn k=0
Bn
× ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) =
+∞ X k=0
(k + n) (n) (k + 1)
Z
¯ k ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) (hz, ζi)
Bn
=
+∞ X k=0
(k + n) ¯ k ). (hz, ζi (n) (k + 1)
p,q
Пусть f ∈ A (ω) и 0 < ρ < 1, положим fρ (z) = f (ρz), z ∈ Bn . Тогда по лемме 11 kf − fρ k −→ 0 при ρ → 1 − 0, и так как fρ ∈ H 1 (Bn ), то p,q A
(ω)
(f ) = lim (fρ ) = lim (fρ2 ) ρ→1−0
ρ→1−0
+∞ Z X f (ρζ) (k + n) k ¯ (ρhz, ζi) dσ(ζ) = lim ρ→1−0 (n) (k + 1) k=0
Z = lim
ρ→1−0 Sn
f (ρζ)
+∞ X k=0
Sn
(k + n) ((hρζ, z¯i)k ) dσ(ζ) = lim ρ→1−0 (n) (k + 1)
Z f (ρζ)g(ρζ) dσ(ζ).
Sn
При этом согласно (9) имеет место левая оценка в (8). Для установления правой оценки докажем обратное утверждение теоремы. Пусть g — голоморфная в Bn 0 0 функция такая, что Dα+1 g ∈ Ap ,q (ωα ). Докажем, что по формуле (7) порождается линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω), при этом справедливы оценки (8). Пусть f ∈ Ap,q (ω), 0 < ρ < 1. Тогда по лемме 10 Z Z Z f (ρz)g(ρz) dσ(z) ≤ c3 (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) f (ρz) Bn
Sn
Sn
Z1 × 0
(1 − t)α dtdσ(z) dν(ζ) . α+n+1 ¯ z , ζi) (1 − tρh¯
0
Применяя теперь лемму 8 , получим Z Z Z f (ρz)g(ρz) dσ(z) ≤ c4 (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) f (ρz) dσ(z) dν(ζ) ¯ n (1 − ρh¯ z , ζi) Sn
Bn
Sn
α+1 e (1 − t) P (t, ρ) dtdσ(z) 2 α α+1 + (1 − |ζ| ) D g(ζ) f (ρz) dν(ζ) α+n+1 ¯ z , ζi) (1 − tρh¯ 0 Bn Sn Z Z 2 2 α α+1 ¯ ≤ c5 (1 − |ζ| ) D g(ζ)f (ρ ζ) dν(ζ) + (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) Bn Bn Z1 Z f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) × dσ(z) dtdν(ζ) = c5 (I1 + I2 ), ¯ n (1 − tρh¯ z , ζi) Z
Z
0 Sn
Z1
1224
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
где γ(t, ρhζ, zi) =
(1 − t)α+1 Pe(t, ρ) (1 − t)α+1 Pe(t, ρ) . = ¯ α+1 (1 − tρhζ, zi)α+1 (1 − tρh¯ z , ζi)
Очевидно, что |γ(t, ρhζ, zi)| ≤ c(n, α). Следовательно, Z1 |I1 | ≤ c6
α
(1 − r) 0
Z1
Z |D
α+1
10 Z p1 p 2 p |f (ρ rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr g(rζ)| dσ(ζ) p0
Sn
Sn
p1 Z 10 Z 1 p 1 q0 2 p α+1 p0 q |f (ρ rζ)| dσ(ζ) |D g(rζ)| dσ(ζ) ωα (1 − r)ω (1 − r)
= c6 0
Sn
Sn
×r
2n−1
dr ≤ c7 kD
α+1
gkAp0 ,q0 (ωα ) kf kAp,q (ω) ,
здесь мы дважды воспользовались неравенством Г¨ельдера с p0 = Для оценки I2 поступим следующим образом: Z1 Z
(1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ)
I2 = 0 Bn
Z
p p−1
и q0 =
q q−1 .
f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) dσ(z) dν(ζ) dt. ¯ n (1 − tρh¯ z , ζi)
Sn
Положим
Z ψt,ρ (ζ) =
f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) dσ(z). ¯ n z , ζi) (1 − tρh¯
Sn
По теореме М. Рисса (см. [10]) Z Z |f (ρζ 0 )|p |γ(t, ρhz, ζ 0 i)|p dσ(ζ 0 ) |ψ(ρζ 0 )|p dσ(ζ 0 ) ≤ c(p) Sn
Sn
Z ≤ c(p, n)
|f (ρζ 0 )|p dσ(ζ 0 ),
Sn
где ζ 0 = ρζ , |ζ 0 | = 1. Поэтому, применяя неравенство Г¨ельдера, будем иметь Z1 Z |I2 | ≤ c8
(1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ)|ψt,ρ (ζ)| dν(ζ)r2n−1 dt
0 Bn
Z1 ≤ c9
α
(1 − r) 0
Z1 = c9
Z |D
α+1
10 Z p1 p 2 p g(rζ)| dσ(ζ) |ψ(rρ ζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr p0
Sn
Sn
Z 10 Z p1 p α+1 p0 2 p |f (rρ ζ)| dσ(ζ) ωα (1 − r)ω (1 − r) |D g(rζ)| dσ(ζ) 1 q0
1 q
0
Sn
Sn
×r
2n−1
dr ≤ c10 kD
α+1
gkAp0 ,q0 (ωα ) kf kAp,q (ω) .
Таким образом, Z f (ρz)g(ρz) dσ(z) ≤ c11 kDα+1 gk p0 ,q0 A (ωα ) kf kAp,q (ω) . Sn
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1225
Отсюда легко видеть, что существует предел Z (f ) = lim f (ρz)g(ρz) dσ(z), ρ→1−0 Sn
при этом |(f )| ≤ c11 kf kAp,q (ω) kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) , т. е. — линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω) и kk ≤ c2 kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) . В то же время нетрудно заметить, что (ez ) = g(z), z ∈ Bn . Отсюда и из первой части теоремы следует, что имеют место все оценки в (8). Теорема 5. Пусть 0 < p, q ≤ 1, ω ∈ . Тогда если — линейный непрерывим ный функционал на Ap,q (ω) и g(z) = (ez ), z ∈ Bn , то g ∈ λp,q ω и представ´ в виде Z (f ) = lim
ρ→1−0 Sn
f (ρζ)g(ρζ) dσ(ζ),
(10)
при этом справедливы оценки c1 kk ≤ kgkλp,q ≤ c2 kk. ω
(11)
Обратно, любая функция g ∈ λp,q ω по формуле (10) порождает линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω), для которого справедливы оценки (11). Доказательство. Предположим, что — линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω) и g(z) = (ez ), z ∈ Bn . Тогда с учетом леммы 4 будет непрерывен в пространстве A1,1 (ω ∗ ), где 1
1
1
ω ∗ (1 − |z|) = ω q (1 − |z|)(1 − |z|2 ) q −1+n( p −1) , с нормой Z
ω ∗ (1 − |z|)|f (z)| dν(z) ≤ ckf kAp,q (ω) .
kf kA1,1 (ω∗ ) = Bn
Продолжим с A (ω ) на вс¨е L1 (ω ∗ ) = L1,1 (ω ∗ ) с сохранением нормы. По теореме Ф. Рисса (см. [14]) существует функция ψ ∈ L∞ (Bn ) такая, что Z (f ) = ω ∗ (1 − |z|)f (z)ψ(z) dν(z), 1,1
∗
Bn
причем kk = kψkL∞ (Bn ) . Тогда, используя лемму 7, будем иметь Z1 c φ(u) du 3 Dα+1 g(z) = + ¯ α+n+1 (1 − uhz, ζi)α+n+1 (1 − hz, ζi) 0
Z = c3
ω ∗ (1 − |ζ|)ψ(ζ) dν(ζ) + ¯ α+n+1 (1 − ρhz, ζi)
Z Z1
Bn 0
Bn
ω ∗ (1 − |ζ|)φ(u)ψ(ζ) dν(ζ) du . ¯ α+n+1 (1 − uρhz, ζi)
Оценим Dα+1 g по модулю и, учитывая, что 1
1
1
ω ∗ (1 − |ζ|) = ω q (1 − |ζ|)(1 − |ζ|2 ) q −1+n( p −1) ,
1226
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
получим
1
1
1
ω q (1 − |ζ|)(1 − |ζ|2 ) q −1+n( p −1) dν(ζ) ¯ α+n+1 |1 − ρhz, ζi|
Z
|Dα+1 g(z)| ≤ c4 kψkL∞ (Bn )
Bn
1 1 ω (1 − |ζ|)(1 − |ζ|2 ) q −1+n( p −1) |φ(u)| dudν(ζ) + ¯ α+n+1 |1 − uρhz, ζi| Bn 0 1 1 1 1 Z ω q (1 − r)(1 − r) q −1+n( p −1) 2n−1 r dr ≤ c5 kψkL∞ (Bn ) (1 − rρ)α+1 Z
Z1
1 q
0
Z1 Z1 + 0
1 1 1 ω q (1 − r)(1 − r) q −1+n( p −1) |φ(u)| dur2n−1 dr . (1 − ruρ)α+1
0
Так как α > αωq+1 + n p1 − 1 − 1, то, оценив первый интеграл и применив затем (6), получим 1 ω q (1 − ρ) α+1 ∞ |D g(z)| ≤ c6 kψkL (Bn ) 1 1 (1 − ρ)α− q +1−n( p −1) Z1 Z1 1 1 1 |φ(u)| du . + ω q (1 − r)(1 − r) q −1+n( p −1) (1 − ruρ)α+1 0
0
Поскольку 1 Z c7 φ(u) du (1 − ruρ)α+1 ≤ (1 − rρ)α ,
α > 0,
0
в итоге приходим к неравенствам |Dα+1 g(z)| ≤ c8 kψkL∞ (Bn ) Z1 +
1
ω q (1 − ρ) 1
1
(1 − ρ)α− q +1−n( p −1) 1 1 q −1+n( p −1)
1 q
ω (1 − r)(1 − r) (1 − rρ)α
r
2n−1
dr
0 1
≤ c9 kψkL∞ (Bn )
1
ω q (1 − ρ) 1
1
(1 − ρ)α− q +1−n( p −1)
+
ω q (1 − ρ) 1
1
(1 − ρ)α− q −n( p −1) 1
≤ c10
kψkL∞ (Bn ) ω q (1 − ρ) 1
Окончательно 1
sup z∈Bn
1
(1 − |z|)α− q +1−n( p −1) 1
ω q (1 − ρ)
|Dα+1 g(z)| ≤ c2 kψkL∞ (Bn ) = c2 kk.
p,q Следовательно, g ∈ λp,q ω , причем kgkλω ≤ c2 kk.
1
(1 − ρ)α− q +1−n( p −1)
.
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1227
Докажем обратное утверждение. Используя леммы 10, 11 и рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве теоремы 5, получим Z Z Z1 α (1 − t) dtdσ(z) dν(ζ) . |(f )| ≤ c11 (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) f (ρz) ¯ α+n+1 (1 − tρh¯ z , ζi) Bn
0
Sn
По лемме 80 Z Z f (ρz) dσ(z) |(f )| ≤ c12 (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) dν(ζ) ¯ n z , ζi) (1 − ρh¯ Bn
Sn
α+1 e (1 − t) P (t, ρ) dtdσ(z) 2 α α+1 g(ζ) f (ρz) dν(ζ) + (1 − |ζ| ) D α+n+1 ¯ (1 − tρh¯ z , ζi) 0 Sn Bn Z Z 2 α 2 α+1 ≤ c13 (1 − |ζ| ) D g(ζ)f (ρ ζ) dν(ζ) + (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) Bn Bn Z1 Z f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) = c13 (|I1 | + |I2 |), × dσ(z) dtdν(ζ) (1 − tρhζ, zi)n Z1
Z
Z
0 Sn
e(t,ρ) (1−t)α+1 P (1−tρhζ,zi)α+1 ,
где γ(t, ρhζ, zi) = и 3, получим Z1 |I1 | ≤ c14
причем |γ(t, ρhζ, zi)| ≤ c(n). Применяя леммы 2
p1 Z 1 |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr (1 − r)α−n( p −1) sup |Dα+1 g(rζ)| ζ∈Sn
0
Sn 1 1 2 α−n( p −1)− q +1
≤ c15 sup ζ∈Bn
(1 − |ζ| )
1
ω q (1 − r)
|Dα+1 g(ζ)|
q1 1 Z pq Z × ω(1 − r) |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr ≤ c16 kgkλp,q kf kAp,q (ω) . ω 0
Sn
Рассмотрим Z1 Z
2 α
(1 − |ζ| )
I2 = 0 Bn
Dα+1 g(ζ)
Z
f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) dσ(z) dν(ζ) dt. (1 − tρhζ, zi)n
Sn
Так как f · γ — голоморфная функция, то Z f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) dσ(z) = f (ρ2 tζ)γ(t, ρhζ, ζi). (1 − tρhζ, zi)n Sn
Тогда Z1 Z I2 = 0 Bn
(1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ)f (tρ2 ζ)γ(t, ρhζ, ζi) dν(ζ) dt.
1228
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
Оценим I2 по модулю: Z1 Z |I2 | ≤ c17
(1 − |ζ|2 )α |Dα+1 g(ζ)||f (tρ2 ζ)||γ(t, ρhζ, ζi)| dν(ζ) dt
0 Bn
Z
(1 − |ζ|2 )α |Dα+1 g(ζ)||f (tρ2 ζ)| dν(ζ).
≤ c18 Bn
Применим лемму 2: Z1 |I2 | ≤ c19
1 −1)n α−( p
(1 − r)
sup |D
α+1
ζ∈Sn
0
p1 Z p |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr. g(ζ)| Sn
Далее, применяя лемму 3, будем иметь 1
1
|I2 | ≤ c20 sup
(1 − |ζ|)α−n( p −1)− q +1 1
ω q (1 − |ζ|)
ζ∈Bn
|Dα+1 g(ζ)|
1 q1 pq Z Z |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr = c21 kgkλp,q × ω(1 − r) kf kAp,q (ω) . ω 0
Sn
Окончательно получаем |(f )| ≤ c22 kgkλp,q kf kAp,q (ω) . ω
Положим I = (0, 1], J = (1, +∞). Пусть пространство p,q ω , где p, q ∈ I ∪ J, p,q ˜ ˜ , если p ∈ J, q ∈ I, с пространством λ ˜ p,q , если совпадает с пространством λ ω ω p,q = p ∈ I, q ∈ J, и с пространством λω , если p, q ∈ I. Если же p, q ∈ J, то kgkp,q ω kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) . Тогда справедливо следующее утверждение. Теорема 6. Пусть ω ∈ , p, q ∈ I ∪ J. Тогда если — линейный непрерывим ный функционал на Ap,q (ω) и g(z) = (ez ), z ∈ Bn , то g ∈ p,q ω и представ´ в виде Z (f ) = lim
ρ→1−0 Sn
f (ρζ)g(ρζ) dσ(ζ),
(12)
при этом существуют положительные константы c1 , c2 > 0 такие, что c1 kgkp,q ≤ kk ≤ c2 kgkp,q . ω ω
(13)
Обратно, любая функция g ∈ p,q ω по формуле (12) порождает линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω), для которого справедливы оценки (13). Доказательство. Очевидно, что, когда p, q ∈ J и p, q ∈ I, утверждение теоремы совпадает соответственно с теоремами 4 и 5. Поэтому остается доказать утверждение теоремы лишь в тех случаях, когда либо p ∈ I, q ∈ J, либо p ∈ J, q ∈ I. 1. Докажем теорему сначала при p ∈ J, q ∈ I. В этом случае пространство ˜˜ p,q . Пусть — линейный непрерывный функp,q ω совпадает с пространством λ ω ционал на Ap,q (ω). Тогда по лемме 3 непрерывен в пространстве Ap,1 (ω ∗ ), где 1 1 ω ∗ (1 − |z|) = ω q (1 − |z|)(1 − |z|) q −1 , с нормой Z1 kf kAp,1 (ω∗ ) = 0
Z p1 p ω (1 − r) |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr ≤ ckf kAp,q (ω) . ∗
Sn
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1229
Продолжим на вс¨е Lp,1 (ω ∗ ) с сохранением нормы. По теореме Бенедека — Понцоне (см. [13]) существует функция ψ такая, что Z 10 p 0 |ψ(rζ)|p dσ(ζ) < +∞, sup 0
причем 10 p |ψ(rζ)| dσ(ζ) ,
Z
Z
p0
kk = sup
(f ) =
ω ∗ (1 − |ζ|)f (ζ)ψ(ζ) dν(ζ).
0
Bn
Тогда Z g(z) =
ω ∗ (1 − |ζ|)ez (ζ)ψ(ζ) dν(ζ).
Bn
Используя лемму 7, получим D
α+1
ω ∗ (1 − |ζ|)ψ(ζ) dν(ζ) + ¯ α+n+1 (1 − hz, ζi)
Z g(z) = c3
Z Z1
Bn 0
Bn
ω ∗ (1 − |ζ|)ψ(ζ)φ(u) dudν(ζ) . ¯ α+n+1 (1 − uhz, ζi)
0
Запишем норму Dα+1 g в пространстве Lp (Sn ) и, применяя неравенства Минp ковского и Г¨ельдера с показателем p0 = p−1 , получим 10 10 Z Z Z ∗ 0 p p ω (1 − |ζ|)ψ(ζ) dν(ζ) p α+1 p0 |D g(ρz)| dσ(z) ≤ c4 dσ(z) α+n+1 ¯ (1 − hz, ζi) Sn
Bn
Sn
Z +
p0 1 10 p Z Z1 ∗ Z ω (1 − |ζ|)ψ(ζ)φ(u) dudν(ζ) ≤ c5 ω ∗ (1 − r) dσ(z) ¯ α+n+1 (1 − uhz, ζi)
S n Bn 0
|ψ(rζ)|p dσ(ζ) ¯ α+n+1 |1 − ρhz, ζi|
× Sn
0
0
Z Z Sn
Z
dσ(ζ) ¯ α+n+1 |1 − ρhz, ζi|
∗
Z1
ω (1 − r)
+ 0
0
0
|ψ(rζ)|p dσ(ζ) ¯ α+n+1 |1 − uρhz, ζi|
Z Z |φ(u)| Sn
10 p dσ(z) dur2n−1 dr
dσ(ζ) ¯ α+n+1 |1 − uρhz, ζi| Sn Z 10 Z1 Z p 0 p ∗ |ψ(rζ)| dσ(ζ) ω (1 − r) sup ×
dσ(z)r2n−1 dr ¯ α+n+1 |1 − ρhz, ζi|
0
0
Sn
+
ω ∗ (1 − r)
0
Z1 Z 0 Sn
Z1
× c7 0
Sn
|φ(u)| dσ(z) dur2n−1 dr ≤ sup ¯ α+n+1 |1 − uρhz, ζi| 0
ω ∗ (1 − r)r2n−1 dr + (1 − rρ)α+1
Sn
pp0
Z
Z1
10 p dσ(z) r2n−1 dr
Sn
Z1
≤ c6
pp0
Z
10 p 0 |ψ(rζ)|p dσ(ζ)
Sn
Z1 0
ω ∗ (1 − r)
Z1 0
|φ(u)| du r2n−1 dr. (1 − urρ)α+1
1230
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
Оценивая каждый из полученных интегралов, имеем Z |D
α+1
10 Z 10 p p ω ∗ (1 − ρ) p0 sup g(ρz)| dσ(z) ≤ c8 |ψ(rζ)| dσ(ζ) . (1 − ρ)α 0
Sn
Sn
Отсюда 1
(1 − ρ)α− q +1
sup
10 Z 10 p p 0 0 |Dα+1 g(ρz)|p dσ(z) ≤ c8 sup , |ψ(rζ)|p dσ(ζ)
Z
1
0<ρ≤1
ω q (1 − ρ)
0
Sn
˜ ˜ p,q . Легко заметить, что таким образом, g ∈ λ ω Z f (ρζ)g(ρζ) dν(ζ), (f ) = lim ρ→1−0 Sn
при этом Z kgkλ˜˜ p,q ≤ c9 sup ω
10 p |ψ(rζ)| dσ(ζ) = c9 kk. p0
0
˜˜ p,q , Докажем обратное утверждение теоремы при p ∈ J, q ∈ I. Пусть g ∈ λ ω f ∈ Ap,q (ω). Как и выше, используя леммы 10 и 11, имеем Z Z Z1 α (1 − t) dtdσ(z) 2 α α+1 |(f )| ≤ c10 (1 − |ζ| ) D g(ζ) f (ρz) dν(ζ) . α+n+1 (1 − tρh¯ z , ζi) Bn
0
Sn
0
Применив лемму 8 , будем иметь |(f )| ≤ c11 (|I1 | + |I2 |), где Z Z1 Z 2 2 α α+1 2 α α+1 g(ζ)f (ρ ζ) dν(ζ), I2 = (1−|ζ| ) D g(ζ) ψt,ρ (ζ) dtdσ(ζ), I1 = (1−|ζ| ) D Bn
0
Bn
здесь Z
f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) dσ(z), (1 − tρhζ, zi)n
ψt,ρ (ζ) =
γ(t, ρhζ, zi) =
(1 − t)α+1 Pe(t, ρ) , (1 − tρhζ, zi)α+1
Sn
причем |γ(t, ρhζ, zi)| ≤ c(n). Для оценки I1 применим неравенство Г¨ельдера с p показателем p0 = p−1 . Имеем Z1 |I1 | ≤ c12
(1 − r)α
Z
0
10 Z p1 p 0 |Dα+1 g(rζ)|p dσ(ζ) |f (ρ2 rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr
Sn
Sn
α− q1 +1
≤ c13 sup 0
(1 − r)
Z |D
1
ω q (1 − r)
Sn
Z ×
α+1
10 Z1 p 1 1 g(rζ)| dσ(ζ) ω q (1 − r)(1 − r) q −1 p0
0
p1 2 p |f (ρ rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr ≤ c14 kgkλ˜˜ p,q kf kAp,q . ω ω
Sn
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1231
В последнем неравенстве мы воспользовались леммой 3. Оценим I2 : Z1 Z |I2 | ≤ c15 (1 − |ζ|2 )α |Dα+1 g(ζ)||ψt,ρ (ζ)| dν(ζ) dt 0 Bn
Z1 Z1 ≤ c16 0
0
Z1
Z1
≤ c17
(1 − r)α
Z
0
Sn
Sn α
Z
(1 − r) 0
10 Z p1 p 0 |ψ(tr2 ζ)|p dσ(ζ) r2n−1 drdt |Dα+1 g(rζ)|p dσ(ζ)
|D
α+1
1 p0
Z p1 2 p g(rζ)| dσ(ζ) |f (tr ζ)| dσ(ζ) r2n−1 drdt. p0
Sn
Sn
p Здесь мы применили неравенство Г¨ельдера с показателем p0 = p−1 , а также теорему М. Рисса (см. [10]). Далее, учитывая лемму 3, получим Z 10 Z1 1 p 1 1 (1 − r)α− q −1 α+1 p0 ω q (1 − r)(1 − r) q −1 |I2 | ≤ c18 sup |D g(rζ)| dσ(ζ) 1 0
Sn
Z ×
p1 p |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr ≤ c19 kgkλ˜˜ p,q kf kAp,q (ω) . ω
Sn
Первый случай доказан. ˜ p,q 2. Перейдем к случаю p ∈ I, q ∈ J, тогда p,q ω = λω . Пусть — линейный p,q непрерывный функционал на A (ω), тогда по лемме 2 он будет непрерывен в 1 пространстве A1,q (ω ∗ ), где ω ∗ (1 − |z|) = ω(1 − |z|)(1 − |z|)nq( p −1) , с нормой 1 q1 q Z Z kf kA1,q (ω∗ ) = ω ∗ (1 − r) |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr ≤ ckf kAp,q (ω) . 0
Sn
Продолжим на вс¨е L1,q (ω ∗ ) с сохранением нормы. По теореме Бенедека — Понцоне существует функция ψ такая, что 1 10 q Z 0 ∗ q 2n−1 ω (1 − r) sup |ψ(rζ)| r dr < +∞, ζ∈Sn
0
где q 0 =
q q−1 ,
причем Z1
∗
ω (1 − r)
(f ) =
Z
f (rζ)ψ(rζ)dσ(ζ)r2n−1 dr,
0 Sn 10 q Z1 0 kk = ω ∗ (1 − r) sup |ψ(rζ)|q r2n−1 dr . 0
ζ∈Sn
Применяя лемму 7, будем иметь Z1 c3 φ(u) du Dα+1 g(z) = + (1 − hz, ζi)α+n+1 (1 − uhz, ζi)α+n+1 0 Z1 Z Z1 Z ψ(rζ) dσ(ζ) ψ(rζ) dσ(ζ) du r2n−1 dr. = ω ∗ (1−r)c3 + φ(u) ¯ α+n+1 ¯ α+n+1 (1 − ρhz, ζi) (1 − uρhz, ζi) 0
Sn
0
Sn
1232
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
Оценим Dα+1 g по модулю: 1 Z Z |Dα+1 g(z)| ≤ c4 ω ∗ (1 − r) sup |ψ(rζ)| ζ∈Sn
0
Z1 Z + 0 Sn
dσ(ζ) ¯ α+n+1 |1 − ρhz, ζi|
Sn
1 Z |φ(u)| dσ(ζ) du 2n−1 ω ∗ (1 − r) sup |ψ(rζ)|r2n−1 dr r dr ≤ c5 α+1 α+n+1 ¯ (1 − rρ) |1 − uρhz, ζi| ζ∈Sn 0
Z1
Z1
0
0
+
ω ∗ (1 − r)|φ(u)| sup |ψ(rζ)| dur2n−1 dr. (1 − ruρ)α+1 ζ∈Sn
Далее, учитывая, что Z1
|φ(u)| du c6 ≤ , α+1 (1 − ruρ) (1 − rρ)α+1
0
получаем
|D
α+1
Z1 g(z)| ≤ c7 0
ω ∗ (1 − r) sup |ψ(rζ)|r2n−1 dr. (1 − rρ)α+1 ζ∈Sn 1
Так как ω ∗ (1 − r) = ω(1 − r)(1 − r)nq( p −1) , то, записав норму функции g в ˜ p,q и снова использовав функцию χγ (r), а также применив нерапространстве λ ω q венство Г¨ельдера с показателем q 0 = q−1 , будем иметь 1 10 q 1 Z αq 0 −nq 0 ( p −1) 0 (1 − ρ) α+1 q 2n−1 kgkλ˜ p,q sup |D g(ρz)| ρ = dρ q0 ω z∈Sn q (1 − ρ) ω 0 1 1 1 1 Z αq 0 −nq 0 ( p −1) Z ω(1 − r)(1 − r)nq( p −1) (1 − ρ) ≤ c8 q0 (1 − rρ)α+1 ω q (1 − ρ) 0
0
q0 × sup |ψ(rζ)|r ζ∈Sn
2n−1
dr ρ
10 q
2n−1
dρ
1 1 1 1 Z αq 0 −nq 0 ( p −1) Z nq( p −1) 0 (1 − ρ) ω(1 − r)(1 − r) 0 ≤ c9 sup |ψ(rζ)|q r2n−1 dr q0 q α+1 ζ∈S (1 − rρ) χ (r) n γ ω q (1 − ρ) 0 0 0 q 1 q 10 q 1 Z ω(1 − r)(1 − r)nq( p −1) χqγ (r) 2n−1 2n−1 ρ dρ × r dr (1 − rρ)α+1 0 1 q0 0 0 1 0 Z (1 − ρ)αq −nq ( p −1) ω q (1 − ρ)χqγ (ρ) ≤ c10 q0 αq 0 0 1 q (1 − ρ)(1 − ρ) q −nq ( p −1) ω 0 10 q 1 Z1 0 ω(1 − r)(1 − r)nq( p −1) q 2n−1 2n−1 × sup |ψ(rζ)| r drρ dρ . 0 (1 − rρ)α+1 χqγ (r) ζ∈Sn 0
Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
1233
Поменяем порядок интегрирования и оценим внутренний интеграл: 1 1 Z nq( p −1) ω(1 − r)(1 0− r) kgkλ˜ p,q ≤ c 11 ω χqγ (r) 0 10 q Z1 α q0 (1 − ρ) χ (ρ) 0 γ q 2n−1 2n−1 × sup |ψ(rζ)| ρ dρr dr (1 − rρ)α+1 ζ∈Sn 0 1 10 q Z 0 1 nq( p −1) q 2n−1 ≤ c12 ω(1 − r)(1 − r) sup |ψ(rζ)| r dr ζ∈Sn
0
1 10 q Z 0 ∗ q 2n−1 = c12 ω (1 − r) sup |ψ(rζ)| r dr < +∞. ζ∈Sn
0
˜ p,q . Следовательно, g ∈ λ ω Докажем обратное утверждение. Учитывая леммы 80 и 10, будем иметь Z 2 α α+1 2 |(f )| ≤ c13 (1 − |ζ| ) D g(ζ)f (ρ ζ) dν(ζ) Bn Z Z1 Z f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) = c13 (|I1 |+|I2 |), + (1−|ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) dσ(z) dtdν(ζ) n (1 − tρhζ, zi) 0 Sn
Bn
здесь функция γ(t, ρhζ, zi) определяется, как и выше. Оценим каждый из этих интегралов: Z1 Z |I1 | ≤ c14 (1 − r)α |Dα+1 g(ζ)||f (ρ2 rζ)| dσ(ζ)r2n−1 dr 0
Sn
Z1 ≤ c15
(1 − r)α sup |Dα+1 g(rζ)| ζ∈Sn
0
Z
|f (rζ)| dσ(ζ)r2n−1 dr.
Sn
Применяя лемму 2, получим Z p1 Z1 1 |I1 | ≤ c16 (1 − r)α−n( p −1) sup |Dα+1 g(rζ)| |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr. ζ∈Sn
0
Sn
q Далее, используя неравенство Г¨ельдера с показателем q 0 = q−1 , приходим к оценке 1 10 q 1 Z αq 0 −nq 0 ( p −1) 0 (1 − r) α+1 q 2n−1 |I1 | ≤ c17 sup |D g(rζ)| r dr q0 ζ∈Sn q (1 − r) ω 0 1 q1 Z pq Z × ω(1 − r) |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr = c17 kgkλ˜ p,q kf kAp,q (ω) . ω 0
Sn
При оценивании I2 заметим, что Z f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) dσ(z) = f (tρ2 ζ)γ(t, ρhζ, ζi). (1 − tρhζ, zi)n Sn
1234
О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян
Тогда Z1 Z |I2 | ≤ c18
(1 − |ζ|2 )α |Dα+1 g(ζ)||f (tρ2 ζ)||γ(t, ρhζ, ζi)| dν(ζ) dt
0 Bn
Z1 Z ≤ c19
(1 − |ζ|2 )α |Dα+1 g(ζ)||f (tρ2 ζ)| dν(ζ)dt.
0 Bn
Рассуждая, как при оценке I1 , получим |I2 | ≤ c20 kgkλ˜ p,q kf kAp,q (ω) . ω p,q Таким образом, |(f )| ≤ c21 kgkλ˜ p,q kf k A (ω) , поэтому верна также и правая ω оценка в (13). ЛИТЕРАТУРА 1. Сенета Е. Правильно изменяющиеся функции. М.: Наука, 1985. 2. Шамоян Ф. А. Об ограниченности одного класса операторов, связанных с делимостью аналитических функций // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1973. Т. 8, № 6. С. 474–494. 3. Шамоян Ф. А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сиб. мат. журн.. 1990. Т. 31, № 2. С. 197–215. 4. Хавин В. П. Пространства аналитических функций // Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1966. С. 76–164. (Итоги науки техники). 5. Djrbashian M. M., Shamoyan F. A. Topics in the theory of Apα spaces. Leipzig: Teubner-Texte, 1988. 6. Пеллер В. В., Хрущев С. В. Операторы Ганкеля. Наилучшие приближения и стационарные гауссовские процессы // Успехи мат. наук. 1982. Т. 38, № 1. С. 53–124. 7. Nikolski N. K. Operators, functions, and systems. Providence RI: Amer. Math. Soc., 2002. (AMS. Math. Surv. and Monograph; V. 92). 8. Айзенберг Л. Двойственность в комплексном анализе // Israel Math. Conf. Proc.. 1997. V. 11. P. 27–35. 9. Gadbois S. Mixed norm generalization of Bergman spaces and duality // Proc. Amer. Math. Soc.. 1988. V. 104, N 4. P. 1171–1180. 10. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из C n . М.: Мир, 1984. 11. Aleksandrov A. B. On the boundary decay in the mean of harmonic functions // Алгебра и анализ. 1995. V. 7, N 4. P. 507–541. 12. Шамоян Ф. А. Теоремы вложения и характеристика следов в пространствах H p (U n ), 0 < p < +∞ // Мат. сб.. 1978. Т. 107, № 3. С. 446–466. 13. Benedek A., Panzone R. The spaces Lp with mixed norm // Duke Math. J.. 1961. V. 28, N 3. P. 301–324. 14. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. Статья поступила 13 июля 2004 г. Антоненкова Ольга Евгеньевна, Шамоян Файзо Агитович Брянский гос. университет, кафедра математического анализа, ул. Бежицкая, 14, Брянск 241036
[email protected],
[email protected]
