Метод Ньютона: знакомый и неожиданный

Àìïèëîâà Í.Á. Àìïèëîâà Íàòàëüÿ Áîðèñîâíà

ÌÅÒÎÄ ÍÜÞÒÎÍÀ: ÇÍÀÊÎÌÛÉ È ÍÅÎÆÈÄÀÍÍÛÉ ËÎÊÀËÜÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÍÜÞÒÎÍÀ

Ïðîäîëæàÿ ðàçãîâîð î ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóðàõ è ïðèâîäÿùèõ ê ïîÿâëåíèþ òàêèõ ñòðóêòóð ïðîöåññàõ, ìû îáðàòèìñÿ ê õîðîøî èçâåñòíîìó â ìàòåìàòèêå ìåòîäó Íüþòîíà. Ýòîò àëãîðèòì ïîçâîëÿåò ïðèáëèæåííî íàõîäèòü êîðíè óðàâíåíèÿ f ( x ) = 0 , ãäå â ëåâîé ÷àñòè ñòîèò ôóíêöèÿ âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé x, çàäàííàÿ è íåïðåðûâíàÿ âìåñòå ñ ïðîèçâîäíîé íà íåêîòîðîì îòðåçêå. Ðàññìîòðèì òàêóþ ôóíêöèþ f ( x ) íà îòðåçêå [a, b]. Ïóñòü êîðåíü x* îòäåëåí íà ýòîì îòðåçêå, òî åñòü íà ýòîì îòðåçêå äðóãèõ êîðíåé íåò. Íàéäÿ êàêîå-íèáóäü ïðèáëèæåíèå ê êîðíþ, ìû ìîæåì çàäàòü èòåðàöèîííûé ïðîöåññ, ñõîäÿùèéñÿ ê êîðíþ, ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé ôîðìóëû

x n +1 = x n −

f ( xn ) f ′( x n )

(*)

Ãåîìåòðè÷åñêè ìåòîä Íüþòîíà ýêâèâàëåíòåí çàìåíå íåáîëüøîé äóãè êðèâîé y = f ( x ) êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé â íåêîòîðîé òî÷êå ýòîé äóãè. Ïîýòîìó ìåòîä Íüþòîíà òàêæå èçâåñòåí êàê ìåòîä êàñàòåëüíûõ.  [1] ïðèâåäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ (ïðè óäà÷íîì âûáîðå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ) ìåòîä Íüþòîíà ñõîäèòñÿ ê êîðíþ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå êîðíÿ â ñëó÷àå, êîãäà îí îòäåëåí îò îñòàëüíûõ êîðíåé, ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìåòîäîì Íüþòîíà. Ðàññìîòðèì òåïåðü âñþ âåùåñòâåííóþ ïðÿìóþ è íàõîäÿùèåñÿ íà íåé êîðíè èñêîìîãî óðàâíåíèÿ. Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ, êàê íàéòè íà÷àëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ê êîðíÿì è ÷òî áóäåò, åñëè îíè âûáðàíû ïðîèçâîëüíî. Èíà÷å ãîâîðÿ, ãäå ëåæàò òî÷êè, êîòîðûå ìîãóò áûòü âçÿòû çà íà÷àëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ê êîðíÿì óðàâíåíèÿ.

70

Äàâàéòå îáðàòèìñÿ ê ôîðìóëå (*). Ýòî ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà, îïèñûâàþùàÿ íåêîòîðûé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ. Ìû óæå çíàêîìèëèñü ñ òàêèìè îáúåêòàìè. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñîîòíîøåíèå (*) êàê äèñêðåòíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, äëÿ êîòîðîé ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ. Îáîçíà÷èì f ( x) Nf ( x ) = x − , òî åñòü Nf – ôóíêöèÿ f ′( x ) Íüþòîíà äëÿ èñõîäíîé ôóíêöèè f. Ïîâåäåíèå òàêîé ñèñòåìû â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îïðåäåëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèåì ó íåå íåïîäâèæíûõ è ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê. Çàìåòèì, ÷òî êîðíè óðàâíåíèÿ f ( x ) = 0 ñîîòâåòñòâóþò íåïîäâèæíûì òî÷êàì îòîáðàæåíèÿ Nf. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâà S1 , S 2 , S 3 ñëåäóþùèì îáðàçîì: S1 = Nf n ( x ) – ýòî ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå òî÷êè, èòåðàöèè êîòîðûõ ñõîäÿòñÿ ê íóëÿì ôóíêöèè f ( x ) . S 2 – ìíîæåñòâî òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ m-ÿ èòåðàöèè íà íåêîòîðîì øàãå ïðèâîäÿò ê íóëÿì ôóíêöèè f ′( x ) . S 3= R \ ( S1 ∪ S 2 ) , òî åñòü âñå îñòàëüíûå òî÷êè. Áàðíà óñòàíîâèë ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà [2]. Ïóñòü f (x) ïîëèíîì ñòåïåíè n, n>3, ïðè÷åì âñå åãî êîðíè âåùåñòâåííû è ðàçëè÷íû. Òîãäà S 3 êàíòîðîâî ìíîæåñòâî. Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî ÷àñòî ñâÿçàíî ñ õàîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì (êàê ìû âèäåëè ïðè èçó÷åíèè ëîãèñòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ). Òàê ÷òî ìåòîä Íüþòîíà êàê äèñêðåòíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìîæåò ïðîÿâëÿòü è õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà. Áàðíà ïîëó÷èë è äðóãèå íå ìåíåå èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Íàïðèìåð, îí ïî-

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.

Ìåòîä Íüþòîíà: çíàêîìûé è íåîæèäàííûé íóþ òî÷êó â òàêîé îáëàñòè, ìû ñ ïîìîùüþ èòåðàöèé ïî ìåòîäó Íüþòîíà ïðèøëè áû ê òî÷êå A, òàêîé, ÷òî p(A)=0.

...êàê íàéòè íà÷àëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ê êîðíÿì... ñòðîèë ïðèìåðû ïîëèíîìîâ ñ êîìïëåêñíûìè êîðíÿìè, äëÿ êîòîðûõ ìíîæåñòâî S 3 ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì èíòåðâàëîì. Âîîáùå, òåìàòèêå èññëåäîâàíèÿ ìåòîäà Íüþòîíà ïîñâÿùåíî äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî ðàáîò. Ê ñîæàëåíèþ, èõ ïîíèìàíèå òðåáóåò áîëåå îñíîâàòåëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè.Òåì íå ìåíåå, èíòåðåñíî ïðèâåñòè ïðèìåðû ôóíêöèé (ñì. [3]), äëÿ êîòîðûõ èõ ôóíêöèè Íüþòîíà èìåþò ïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû (òî åñòü ìåòîä Íüþòîíà öèêëèòñÿ). Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíû f ( x) = 3 x 5 − 10 x 3 + 23x è g ( x) = 11x 6 − 34 x 4 + 39 x 2 . Äëÿ íèõ ôóíêöèè Íüþòîíà èìåþò ïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû (-1, 1), òî åñòü Nf (−1) = 1, Nf (1) = −1 . Äåéñòâèòåëüíî, ýòî íåòðóäíî ïðîâåðèòü. Íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè f (x) ôóíêöèÿ Íüþòîíà èìååò âèä

3x 5 − 10 x 3 + 23x , 15 x 4 − 30 x 2 + 23 è ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî Nf (−1) = 1, Nf (1) = −1 . Nf ( x) = x −

Îòâåò èçâåñòåí òîëüêî äëÿ ïîëèíîìà âòîðîé ñòåïåíè. Çàìåòèì, ÷òî ïîëèíîì âèäà az 2 + bz + d ñ ïîìîùüþ ïðîñòîé çàìåíû ïåðåìåííîé ïðèâîäèòñÿ ê âèäó z 2 − c , òàê ÷òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìû ñðàçó èìååì äåëî ñ óæå ïðèâåäåííûì ìíîãî÷ëåíîì. Èòàê, êîðíè ïîëèíîìà p ( z ) = z 2 − c ðàâíû ± c . Ñîåäèíèì ýòè êîðíè îòðåçêîì è ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð ÷åðåç åãî ñåðåäèíó. Òîãäà âñå òî÷êè, ëåæàùèå ñëåâà îò ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðè äåéñòâèè ôóíêöèè Íüþòîíà ïðèòÿãèâàþòñÿ ê êîðíþ − c , âñå òî÷êè, ëåæàùèå ñïðàâà, ñòðåìÿòñÿ ê êîðíþ c . Îäíàêî óæå äëÿ ïîëèíîìà òðåòüåé ñòåïåíè òàêîå êðàñèâîå ðåøåíèå ïîëó÷èòü íå óäàåòñÿ. Òåì íå ìåíåå, ìîæíî ïðîìîäåëèðîâàòü ýòó çàäà÷ó è ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà èñêîìûå îáëàñòè. Ðàññìîòðèì ïîëèíîì f ( z ) = z 3 − 1 . Åãî êîðíè ëåãêî îïðåäåëÿþòñÿ è ðàâíû −1± i 3 1, , ñîîòâåòñòâåííî. Òàê êàê 2 f ′( z ) = 3 z 2 , èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ïî ìåòîäó Íüþòîíà ïðèíèìàåò âèä z 3 − 1 2z 1 z n +1 = z n − n 2 = n + 2 . Ïîëàãàÿ 3 3z n 3z n z = x + iy è ðàçäåëÿÿ âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äâóõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ x n , y n ñëåäóþùåãî âèäà

ÎÁËÀÑÒÈ ÏÐÈÒßÆÅÍÈß Ê ÍÅÏÎÄÂÈÆÍÛÌ ÒÎ×ÊÀÌ

Ñ ìåòîäîì Íüþòîíà ñâÿçàíî ìíîãî ãëóáîêèõ è èíòåðåñíûõ ïðîáëåì. Îäíà èç íèõ – çàäà÷à Êýëè. Çàäà÷à Êýëè. Ðàññìîòðèì êîìïëåêñíûé ïîëèíîì p(z). Òðåáóåòñÿ ðàçäåëèòü ïëîñêîñòü íà îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ ê êîðíÿì ïîëèíîìà, òî åñòü íà òàêèå ÷àñòè, ÷òî, âçÿâ ïðîèçâîëü-

ÌÓÇÅÉ ÇÀÍÈÌÀÒÅËÜÍÎÉ ÍÀÓÊÈ

Ðèñóíîê 1

71

Àìïèëîâà Í.Á. xn +1 =

2 xn 1 xn2 − yn2 + , 3 3 ( xn2 + y n2 ) 2

2 yn x (1 − 2 n 2 2 ) . 3 ( xn + y n ) Òåïåðü âîçüìåì íà ïëîñêîñòè îáëàñòü, ñîäåðæàùóþ åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü, è ïîñòðîèì íà íåé äîñòàòî÷íî ìåëêóþ ñåòêó (òî åñòü ðàçîáüåì åå íà ìàëåíüêèå êâàäðàòèêè èëè ïðÿìîóãîëüíèêè ñ äëèíîé ñòîðîíû ≤ h, ãäå h – çàäàííîå ÷èñëî). Äëÿ êàæäîé âåðøèíû ïîëó÷åííîé ñåòêè ïîñòðîèì åå èòåðàöèè ïî ìåòîäó Íüþòîíà. Åñëè ÷åðåç îïðåäåëåííîå ÷èñëî øàãîâ ðàññòîÿíèå ìåæäó î÷åðåäíîé èòåðàöèåé âûáðàííîé òî÷êè è êàêèì-ëèáî êîðíåì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ ñòàíîâèòñÿ äîñòàòî÷íî ìàëûì, çíà÷èò, âûáðàííàÿ òî÷êà ëåæèò â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ ýòîãî êîðíÿ. Ïðîäåëàåì ýòó ïðîöåäóðó äëÿ êàæäîé òî÷êè ñåòêè. Ïîñêîëüêó íàøå óðàâíåíèå èìååò 3 êîðíÿ, âûáðàííàÿ îáëàñòü ðàçîáüåòñÿ íà îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ ê ýòèì êîðíÿì. Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàíî ïîëó÷åííîå ðàçáèåíèå. Õîðîøî âèäíî, êàê ñëîæíî ðàñïîëîæåíû ýòè îáëàñòè. Ïî òàêîìó æå ñïîñîáó ðåøàåòñÿ çàäà÷à äëÿ n êîðíåé. y n +1 =

...ðàçäåëèòü ïëîñêîñòü íà îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ ê êîðíÿì ïîëèíîìà...

Ëèòåðàòóðà. 1. Á.Ï.Äåìèäîâè÷, È.À.Ìàðîí. Îñíîâû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè. Ì., 1966ã. 2. D.Saari, J.Urenko. Newton’s method, circle maps and chaotic motion. Amer.Math.Monthly 91(1984), 3-17. 3. M.Hurley and C.Martin. Newtom’s algorithm and chaotic dynamical systems. SIAM J.Math.Anal. 15(1984), 238-252.

Àìïèëîâà Íàòàëüÿ Áîðèñîâíà, äîöåíò êàôåäðû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìàò.-ìåõ. ôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓ.

72

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.