Численные методы математической физики. Курс лекций

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Author: Гуржий А.

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ãàá «¥ªæ¨© ¯® ¤¨áæ¨¯«¨¥

¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ä¨§¨ª¨

£. ¨¥¢ - 2006 £.

:: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : 1.1. á®¢ë¥ ¯®«®¦¥¨ï : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : 1.2. « áá¨ä¨ª æ¨ï ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ¯®àï¤ª á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ :: : : : : : :: : : : : : :: : : : 1.3. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : 1.4. ¤¨áâ¢¥®áâì à¥è¥¨ï : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : 1.5. à ¢¥¨¥ ª®¢¥ªâ¨¢®-¤¨ääã§¨®®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 2. : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 2.1. §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤ë ¥©«®à : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 2.1.1. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®© : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : 2.1.2. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 2.2. ®«¨®¬¨ «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¯à®¨§¢®¤ëå : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: 2.3. ¬¥è ë¥ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 2.4. §¬¥¥¨¥ à §¬¥à®¢ á¥âª¨ :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : 2.4.1. ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®© : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : : 2.4.2. ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : 3. : : : : :: : : : : 3.1. ¢¥¤¥¨¥ § ¤ ç ª á¨áâ¥¬ ¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : 3.2. àï¬ë¥ ¬¥â®¤ë : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 3.2.1. à ¢¨«® à ¬¥à : : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : 3.2.2. ¥â®¤ ¨áª«îç¥¨ï ãáá : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : 3.2.3. «£®à¨â¬ ®¬ á : : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : 3.3. â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : 3.3.1. ¥â®¤ ¨â¥à æ¨© ãáá -¥©¤¥«ï : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : 3.3.2. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®© ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨ : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 3.4. ¥«¨¥©ë¥ á¨áâ¥¬ë : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 3.4.1. ¥â®¤ ¨â¥à æ¨© ìîâ® - äá® : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 4. : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : 4.1. ¨ääã§¨®ë¥ á¨áâ¥¬ë : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : 4.1.1. « áâ¨ : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 4.1.2. ¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : 4.1.3. ®«ë© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 5. : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : 5.1. à®áâ®© ï¢ë© ¬¥â®¤ : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : : 5.1.1. « áâ¨ : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 5.1.2. ¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : 5.1.3. ®«ë© æ¨é¨¤à ¨«¨ áä¥à : : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: 5.2. áâ®©ç¨¢®áâì ï¢®£® ¬¥â®¤ : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : 5.2.1. «¨ï¨¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ãáâ®©ç¨¢®áâì : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : 5.3. à®áâ®© ¥ï¢ë© ¬¥â®¤ : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : 5.3.1. áâ®©ç¨¢®áâì ¯à®áâ®© ¥ï¢®© áå¥¬ë :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : 5.3.2. ¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : 5.3.3. ®«ë© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 5.4. ¥â®¤ à ª -¨ª®«ìá® : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: 5.4.1. ¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : 5.4.2. ®«ë© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 5.5. à¥åãà®¢¥¢ë© ¯® ¢à¥¬¥¨ ¬¥â®¤ : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : : 5.6. à ¢¥¨¥ ª®¥ç®-à §®áâëå áå¥¬ :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 6. : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : : 6.1. à®áâ®© ï¢ë© ¬¥â®¤ : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : : 6.1.1. áâ®©ç¨¢®áâì ¯à®áâ®£® ï¢®£® ¬¥â®¤ :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: 6.2. ¥ï¢ë© ¬¥â®¤ ç¥à¥¤ãîé¨åáï ¯à ¢«¥¨© () : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : 6.3. ¢ë© ¬¥â®¤ ç¥à¥¤ãîé¨åáï ¯à ¢«¥¨© () :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : 6.3.1. áâ®©ç¨¢®áâì ¯à®áâ®£® ï¢®£® ¬¥â®¤ :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: 6.3.2. ¢ãå¬¥à ï ¥áâ æ¨® à ï â¥¯«®¯à®¢®¤®áâì : : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 1.

1

3 3 3 5 6 7 10 10 11 12 13 13 14 15 15 17 17 19 20 20 21 22 22 25 26 27 30 30 30 33 38 42 42 42 45 47 50 52 57 58 58 59 59 61 63 66 66 68 68 69 71 72 73 73

: : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : 7.1. â æ¨® à ï ¤¢ãå¬¥à ï â¥¯«®¯à®¢®¤®áâì : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : 7.1.1. ®ª «ìë¥ á¥âª¨ : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 7.1.2. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 7.2. à¨¡«¨¦¥¨¥ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : 7.3. ¢®©áâ¢® ª®á¥à¢ â¨¢®áâ¨ : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: 7.4. ®«¥ áª®à®áâ¨ ¤¢ãå¬¥à®£® ¥á¦¨¬ ¥¬®£® â¥ç¥¨ï :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : 7.4.1. ¥â®¤ § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : 7.4.2. â®£¨ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : 7.4.3. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª : : :: : : 7.4.4. ¥â®¤ à¥è¥¨ï ! ¨ : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : 7.4.5. ¥â®¤ à¥è¥¨ï ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 7.4.6. ®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨çëå ãá«®¢¨© : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : 7.5. ¢ãå¬¥à ï â¥¯«®¢ ï ª®¢¥ªæ¨ï : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : :

7.

2

75 75 76 78 80 82 85 85 86 87 89 91 92 96

1.

1.1.

¡®«ìè¨áâ¢¥ á«ãç ¥¢ ç¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë ®ª §ë¢ îâáï ¢¥áì¬ ¯®«¥§ë¬¨ ¯à¨ à¥è¥¨ï § ¤ ç ¤¨ ¬¨ª¨ ¦¨¤ª®áâ¨, â¥¯«®, ¬ áá®¯¥à¥®á ¨ ¤àã£¨å § ¤ ç ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ä¨§¨ª¨, ¢ ª®â®àëå ®á®¢®¯®« £ îé¨¥ ä¨§¨ç¥áª¨¥ ï¢«¥¨ï ®¯¨áë¢ îâáï á¨áâ¥¬®© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨, ª®£¤ â ª¨¥ § ¤ ç¨ ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì à¥è¥ë «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ ¯® ¯à¨ç¨¥ ¨å ¥«¨¥©®áâ¨, á«®¦®© £¥®¬¥âà¨¨ ¨«¨ á«®¦ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨©. §¢¨â¨¥ ¡ëáâà®¤¥©áâ¢ãîé¨å ª®¬¯ìîâ¥à®¢ § ç¨â¥«ì® ã¢¥«¨ç¨«® ¯à¨¬¥¥¨¥ ç¨á«¥ëå ¬¥â®¤®¢ ¢ à §«¨çëå ®âà á«ïå ãª¨ ¨ â¥å¨ª¨. ¥£®¤ï áãé¥áâ¢ã¥â ã¦¥ § ç¨â¥«ìë© ¯¥à¥ç¥ì ¯à¨ª« ¤ëå § ¤ ç ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ä¨§¨ª¨, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì à¥è¥ë § ¤®áâ â®ç® ¬ «ãî áâ®¨¬®áâì ¨ § ¤®áâ â®ç® ª®à®âª¨© ¯à®¬¥¦ãâ®ª ¢à¥¬¥¨ ¯à¨ ã¬¥à¥ëå ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå ¬®é®áâïå. áâ®ïé¥¥ ¢à¥¬ï ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨, ª®â®àë¥ ®¯¨áë¢ îâ ï¢«¥¨ï ¯¥à¥®á â¥¬¯¥à âãàë, ¬ ááë, ¬®¬¥â ¨ ¤à., è¨à®ª®¥ à á¯à®áâà ¥¨¥ ¯®«ãç¨«¨ ¬¥â®¤ ª®¥çëå à §®áâ¥© () ¨ ¬¥â®¤ ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢ (). á®¢à¥¬¥®© «¨â¥à âãà¥ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡è¨à®¥ ª®«¨ç¥áâ¢® à §®¢¨¤®áâ¥© íâ¨å ¬¥â®¤®¢ ¨ «£®à¨â¬¨ç¥áª¨å áå¥¬ ¤«ï à¥è¥¨ï â ª®£® à®¤ § ¤ ç. ¦¤ë© ¨§¢¥áâë© ¬¥â®¤ ¨¬¥¥â á¢®¨ ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢ ¢ § ¢¨á¨¬®áâ¨ ®â ®á®¡¥®áâ¥© à¥è ¥¬®© ä¨§¨ç¥áª®© § ¤ ç¨. ¤ ª®, çâ® ¨§¢¥áâ® â®ç®, ¢ áâ®ïé¥¥ ¢à¥¬ï ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ã¨¢¥àá «ì®£®, ¨«ãçè¥£® ¬¥â®¤ ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç, ¨¬¥îé¨å ¯à ªâ¨ç¥áªãî § ç¨¬®áâì. ®ç®áâì ¬®¦¥â ¡ëâì ¨áá«¥¤®¢ ¯® ¯®àï¤ªã ®è¨¡ª¨ ãá¥ç¥¨ï ¢ à §«®¦¥¨¨ àï¤ ¥©«®à . á«ãç ¥ à §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤ë ¥©«®à ¥ ¯à¨¬¥ï¥âáï. íâ®¬ á®áâ®¨â £« ¢®¥ ®â«¨ç¨¥ íâ¨å ¬¥â®¤®¢. §¬¥à®áâì § ¤ ç¨ { ¤àã£®© ä ªâ®à, ª®â®àë© § á«ã¦¨¢ ¥â ®¯à¥¤¥«¥®£® à áá¬®âà¥¨ï. ¯à¨¬¥à, íää¥ªâ¨¢ë© ¬¥â®¤ ¤«ï ®¤®¬¥àëå § ¤ ç ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì áâ®«ìª® ¦¥ íää¥ªâ¨¢¥ ¤«ï à¥è¥¨ï ¤¢ãå- ¨«¨ âà¥å¬¥àëå § ¤ ç. â¨ ®á®¡¥®áâ¨ ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå ¬¥â®¤®¢ ä®à¬¨àãîâ ®¤ã ¨§ £« ¢ëå âàã¤®áâ¥© ¢ ¢ë¡®à¥ ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ç¨á«¥ëå ¬¥â®¤®¢ ¯à¨ à¥è¥¨¨ § ¤ ç ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ä¨§¨ª¨. ®¥ç®-à §®áâë¥ ¬¥â®¤ë ï¢«ïîâáï ¯à®áâë¬¨ á â®çª¨ §à¥¨ï ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¤ ç¨ ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì áà §ã à áè¨à¥ë ¤¢ãå ¨«¨ âà¥å¬¥àë¥ § ¤ ç¨. ¨ âà¥¡ãîâ ¬¥ìè¥ ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå à¥áãàá®¢ ¯® áà ¢¥¨î á . à®¬¥ â®£®, ï¢«ï¥âáï ¤®áâ â®ç® ¯à®áâë¬ ¯à¨ ¨§ãç¥¨¨ ¨ ç é¥ ¢á¥£® ¯à¨¬¥ïîâáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨© á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨, á ª®â®àë¬¨ áâ «ª¨¢ îâáï ¨áá«¥¤®¢ â¥«¨ ¯à¨ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¨ â¥å¨ç¥áª¨å ¯à®¡«¥¬ ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¯à®áâëå (â.¥. ¥ ®ç¥ì ¥à¥£ã«ïà®©) £¥®¬¥âà¨©. «ï ¯à®¡«¥¬, á¢ï§ ëå á ¥à¥£ã«ïà®© £¥®¬¥âà¨¥© ¢ ®¡« áâ¨ à¥è¥¨ï, ¬®¦¥â ¨¬¥âì ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢®. â®â ¢ëç¨á«¨â¥«ìë© ¬¥â®¤ ®¡« ¤ ¥â ®¯à¥¤¥«¥®© £¨¡ª®áâìî, ¯®áª®«ìªã ®¡« áâì ®ª®«® £à ¨æë ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®áâ® à §¤¥«¥ ¯®¤®¡« áâ¨. « ¢ë¬ ¥¤®áâ âª®¬ ï¢«ï¥âáï, ¢¨¤¨¬®, á«®¦®áâì ä®à¬¨à®¢ ¨ï íää¥ªâ¨¢®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì® áä®à¬¨à®¢ ®© £¥®¬¥âà¨¨ ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå ¯®«¥©, ¯®áª®«ìªã ¨¬¥îâáï ®¯à¥¤¥«¥ë¥ âàã¤®áâ¨ ¢ ¨â¥à¯®«ïæ¨¨ ¯®«¥© ¬¥¦¤ã £à ¨æ ¬¨ ¨ ¢ãâà¥¨¬¨ â®çª ¬¨. áâ®ïé¥¥ ¢à¥¬ï, á ¯®ï¢«¥¨¥¬ ¬¥â®¤®¢ ç¨á«¥®© £¥¥à æ¨¨ á¥âª¨, áâ « á®¯®áâ ¢¨¬ë¬ á ¢ ®â®è¥¨¨ § ¤ ç á ¥à¥£ã«ïà®© £¥®¬¥âà¨¥©, á®åà ïï ¯à¨ íâ®¬ ¯à®áâ®âã áâ ¤ àâ®£® ¯®¤å®¤ ¬¥â®¤ ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢. íâ®¬ ªãàá¥ ¬ë áª®æ¥âà¨àã¥¬ á¢®¥ ¢¨¬ ¨¥ ¯à¨¬¥¥¨¨ ¨ ¬¥â®¤ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç ¯¥à¥®á â¥¯« , ¬ ááë ¨ ¬®¬¥â , á ª®â®àë¬¨ áâ «ª¨¢ îâáï ¨áá«¥¤®¢ â¥«¨ ¢ â¥å¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥¨ïå. ¥á¬®âàï ¯à®áâ®âã ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ª®¥çëå à §®áâ¥© ¤«ï ®á®¢ëå ãà ¢¥¨© á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨, íâ¨ ¬¥â®¤ë âà¥¡ãîâ ®¯à¥¤¥«¥®£® ®¯ëâ ¨ § ¨© ¯à¨ ¢ë¡®à¥ íää¥ªâ¨¢®© ª®¥ç®-à §®áâ®© áå¥¬ë ¤«ï ª®ªà¥â®© § ¤ ç¨. ¨¯ ãà ¢¥¨© á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨, ä¨§¨ç¥áª ï à §¬¥à®áâì § ¤ ç¨, ¢¨¤ ¨á¯®«ì§ã¥¬®© ª®®à¤¨ â®© á¨áâ¥¬ë, ï¢«ïîâáï «¨ ®á®¢ë¥ ãà ¢¥¨ï ¨«¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï «¨¥©ë¬¨ ¨«¨ ¥«¨¥©ë¬¨, ï¢«ï¥âáï «¨ § ¤ ç áâ æ¨® à®© ¨«¨ ¥áâ æ¨® à®© { ¢®â ¯¥à¥ç¥ì ä ªâ®à®¢, ª®â®àë¥ ¢«¨ïîâ ¢ë¡®à ç¨á«¥®© áå¥¬ë ¨§ ¡®«ìè®£® ç¨á« ¤®áâã¯ëå ¬¥â®¤®¢. â® ¯¥à¢ë© ¢ ¦ë© è £ ¯à¨ ç¨á«¥®¬ à¥è¥¨¨ § ¤ ç ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ä¨§¨ª¨. íâ®¬ ªãàá¥ ¬ë à áá¬®âà¨¬ ª« áá¨ä¨ª æ¨î ãà ¢¥¨© á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨, á ª®â®àë¬¨ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¤¥«® ¯à¨ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ § ¤ ç ¯¥à¥®á â¥¯« , ¬ ááë ¨ ¨¬¯ã«ìá , ¨ ®¡áã¤¨¬ ä¨§¨ç¥áª®¥ § ç¥¨¥ â ª®© ª« áá¨ä¨ª æ¨¨ ¢ ®â®è¥¨¨ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ä¨§¨ª¨. 1.2.

à¨ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨© á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ª®¥ç®-à §®áâë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¡à âì ª®¥ç®-à §®áâãî áå¥¬ã. à¨¬¥¥¨¥ â®© ¨«¨ ¨®© ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© áå¥¬ë ¯¥à¢ãî ®ç¥3

à¥¤ì § ¢¨á¨â ®â â¨¯ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï. ®®¡é¥, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ª« áá¨ä¨æ¨àãîâáï âà¨ £àã¯¯ë, §ë¢ ¥¬ë¥ í««¨¯â¨ç¥áª¨¥, ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¥ ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï. «ï ¨««îáâà æ¨¨ íâ®© ª« áá¨ä¨ª æ¨¨ à áá¬®âà¨¬ á«¥¤ãîé¥¥ ¨¡®«¥¥ ®¡é¥¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯® ¤¢ã¬ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ x ¨ y 2 @ 2 + C @ 2 + D @ + E @ + F + G(x; y) = 0 : A @@x2 + B @x@y (1.1) @y2 @x @y ¤¥áì ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¯à¨¢¥¤¥®¥ ãà ¢¥¨¥ ï¢«ï¥âáï «¨¥©ë¬ ãà ¢¥¨¥¬ (§ ¬¥â¨¬, çâ® íâ® ®£à ¨ç¥¨¥ ¥ ï¢«ï¥âáï ®¡ï§ â¥«ìë¬). àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ª®íää¨æ¨¥âë A, B , C , D, E F ¨ G ¢ (1.1) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ á®¡®© äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå x, y, ® ¥ ï¢«ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥®© . â ®¡®¡é¥ ï § ¢¨á¨¬ ï ¯¥à¥¬¥ ï ¢ § ¤ ç å ¯¥à¥¤ ç¨ â¥¯« , ¢ § ¤ ç å ¬¥å ¨ª¨ ¦¨¤ª®áâ¨ ¨ ¤àã£¨å ®¡« áâïå ä¨§¨ª¨ ®¡®§ ç ¥â ®¯à¥¤¥«¥ãî § ¢¨á¨¬ãî ¯¥à¥¬¥ãî, ¨«¨ ä¨§¨ç¥áª®¥ ¯®«¥. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯®¤ ¯¥à¥¬¥®© ¯®¨¬ îâ ¯®«¥ â¥¬¯¥à âãà, áª®à®áâ¨, ¯«®â®áâ¨, ¤ ¢«¥¨ï ¨ ¤à. â¥¬ â¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ (1.1) § ¢¨á¨â â®«ìª® ®â § ç¥¨© ª®íää¨æ¨¥â®¢ A, B ¨ C . ¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (1.1) ¢ â®çª¥ (x0, y0) §ë¢ ¥âáï: í««¨¯â¨ç¥áª¨© ¥á«¨ B 2 4AC < 0 ; ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© ¥á«¨ B 2 4AC = 0 ; (1.2) 2 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¥á«¨ B 4AC > 0 ; ¯à¨¬¥à: à ¢¥¨¥ áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¡¥§ £¥¥à æ¨¨ í¥à£¨¨ ¨ á ¯®áâ®ïë¬¨ ä¨§¨ç¥áª¨¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨ @ 2T + @ 2T = 0 ; (1.3) @x2 @y2 ï¢«ï¥âáï í««¨¯â¨ç¥áª¨¬. á®¢à¥¬¥®© «¨â¥à âãà¥ íâ® ãà ¢¥¨¥ ç áâ® §ë¢ îâ ãà ¢¥¨¥¬ ¯« á . â æ¨® à®¥ ãà ¢¥¨¥ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ (1.3) ¨¬¥¥â ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ x ¨ y. ®áâ®ï¨¥ ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ § ¤ ®¬ ¯®«®¦¥¨¨ (x0; y0) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§¬¥¥¨¥¬ ¢ á®áâ®ï¨ïå ¯® ®¡¥¨¬ áâ®à® ¬ íâ®£® ¯®«®¦¥¨ï (¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯à®¨§¢®¤ëå à §®£® ¯®àï¤ª ). ª¨¬ ®¡à §®¬, áâ æ¨® à®¥ ãà ¢¥¨¥ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ï¢«ï¥âáï í««¨¯â¨ç¥áª¨¬ ª ª ¯® ª®®à¤¨ â¥ x, â ª ¨ ¯® ª®®à¤¨ â¥ y, ¨ ¯®íâ®¬ã ¯à®áâ® §ë¢ ¥âáï í««¨¯â¨ç¥áª¨¬. à ¢¥¨¥ áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á £¥¥à æ¨¥© í¥à£¨¨ @ 2T + @ 2T + G(x; y) = 0 ; (1.4) @x2 @y2 â ª¦¥ ï¢«ï¥âáï í««¨¯â¨ç¥áª¨¬. áâ® ãà ¢¥¨¥ â ª®£® ¢¨¤ §ë¢ îâ ãà ¢¥¨¥¬ ã áá® . á®¡¥®áâìî í««¨¯â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ï¢«ï¥âáï â®, çâ® ®¨ âà¥¡ãîâ á¯¥æ¨ä¨ª æ¨¨ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¢á¥å £à ¨æ å (¢ ®£à ¨ç¥ëå ®¡« áâïå) ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®áâ¨ (¤«ï ¡¥§£à ¨ç®£® ¯à®áâà áâ¢ ). ¤®¬¥à®¥ ¥áâ æ¨® à®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¥¤ ç¨ â¥¯« @ 2T = 1 @T (1.5) @x2 @t ï¢«ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬. ¥áâ æ¨® à®¥ ãà ¢¥¨¥ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ (1.4) ¨¬¥¥â ç áâãî ¯à®¨§¢®¤ãî ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¯® ¯¥à¥¬¥®© x ¨ ç áâãî ¯à®¨§¢®¤ãî ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª ¯® ¯¥à¥¬¥®© t. ®áâ®ï¨¥ ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ § ¤ ®¬ ¯®«®¦¥¨¨ (x0) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§¬¥¥¨¥¬ ¢ á®áâ®ï¨ïå á ®¡®¨å áâ®à® § ¤ ®£® 4

¯®«®¦¥¨ï, á«¥¤®¢ â¥«ì® ãà ¢¥¨¥ ®áâ ¥âáï í««¨¯â¨ç¥áª¨¬ ¯® ¯¥à¥¬¥®© x. ¤ ª® ¯® ¯¥à¥¬¥®© t, á®áâ®ï¨¥ ¢ «î¡®© ¬®¬¥â ¯®¢«¨ïîâ â®«ìª® ¨§¬¥¥¨ï, ¨¬¥¢è¨¥ ¬¥áâ® ¢ ¯à¥¤è¥áâ¢ãîé¨å á®áâ®ï¨ïå. «¥¤®¢ â¥«ì® ãà ¢¥¨¥ ï¢«ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨ ¯® ¢à¥¬¥¨ ¨ ¯®íâ®¬ã §¢ ® ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬. ¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥, çâ®, ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤ ª®®à¤¨ â (â® ¥áâì, ¢à¥¬ï ¨«¨ ¯®«®¦¥¨¥), ¢ ª®â®à®© ãá«®¢¨ï ¢ «î¡®¬ § ¤ ®¬ ¯®«®¦¥¨¨ (â.¥. ¯® ¢à¥¬¥¨ ¨«¨ ¯® ¯®«®¦¥¨î) ¨§¬¥ïîâáï ¯®¤ ¢«¨ï¨¥¬ ¨§¬¥¥¨ï ¢ á®áâ®ï¨ïå â®«ìª® á ®¤®© áâ®à®ë (â.¥., ¡®«¥¥ à ¥£® ¯® ¢à¥¬¥¨ ¨«¨ ¢¢¥àå ¯® ¯®«®¦¥¨î). ®«®¢®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª @ 2 = 1 @ 2 T ; (1.6) @x2 c2 @t2 £¤¥ t - ¢à¥¬ï, x { ¯à®áâà áâ¢¥ ï ¯¥à¥¬¥ ï ¨ c - áª®à®áâì à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®«ë. â® ãà ¢¥¨¥ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® â¨¯ . ¥è¥¨¥ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï (1.6) ä®à¬¨àã¥âáï ¯® «®£¨¨ á à á¯à®áâà ïîé¥©áï ¢®«ë ¯®«ï â¥¬¯¥à âãà á ª®¥ç®© áª®à®áâìî ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¡¥áª®¥ç®© áª®à®áâ¨ à á¯à®áâà ¥¨ï, á¢ï§ ®© á ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ (1.5). ®íâ®¬ã, à¥è¥¨¥ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ âà¥¡ã¥â á¯¥æ¨ «ì®£® à áá¬®âà¥¨ï ¨ á¯¥æ¨ «ìëå ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå áå¥¬. «ï ¯à®áâ®âë, ¬ë à áá¬®âà¥«¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ (1.1) ¤«ï ¤¢ãå ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå, ¢ è¥¬ á«ãç ¥ (x, y). ¡®¡é¥¨¥ íâ®© ª« áá¨ä¨ª æ¨¨ ¤«ï âà¥å ¨«¨ ¡®«¥¥ ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå ¯à®¢®¤¨âáï «®£¨ç®. ¯à¨¬¥à: à¥å¬¥à®¥ áâ æ¨® à®¥ ãà ¢¥¨¥ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ @ 2T + @ 2T + @ 2T + G(x; y) = 0 ; (1.7) @x2 @y2 @z2 ï¢«ï¥âáï í««¨¯â¨ç¥áª¨¬. ¢ãå¬¥à®¥ ãà ¢¥¨¥ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ @ 2T + @ 2T + G(x; y) = 1 @T (1.8) @x2 @y2 @t ï¢«ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬. 1.3.

¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¥¤¨áâ¢¥®¥ à¥è¥¨¥ â®«ìª® ¢ â®¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¤«¥¦ é¨¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«¨âì £à ¨çë¥ ¨ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï. «ï â®£®, çâ®¡ë ¨¤¥â¨ä¨æ¨à®¢ âì à §«¨çë¥ â¨¯ë «¨¥©ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨©, ¢¢¥¤¥¬ á«¥¤ãîé¨¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï (á¬®âà¨ à¨á.1.1): à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ 1-£® à®¤ : = ®¯à¥¤¥«¥® ; @ = ®¯à¥¤¥«¥® ; à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ 2-£® à®¤ : (1.9) @n @ + h = ®¯à¥¤¥«¥® ; à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ 3-£® à®¤ : @n £¤¥ @=@n ®¡®§ ç ¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ª £à ¨ç®© ¯®¢¥àå®áâ¨. ®£¤ ¯à ¢ ï áâ®à® ãá«®¢¨© (1.9) ®¡ã«ï¥âáï, £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï §ë¢ âìáï ®¤®à®¤ë¬¨ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨. ¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¯à®¨§¢®¤®© ¯® ¯à ¢«¥¨î @=@n ¯®ïâì «¥£ç¥, ¥á«¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ! @ = n r = (in + j n + kn ) i @ + j @ + k @ = n @ + n @ + n @ ; (1.10) x x y z @n @x @y @z @x y @y y @y 5

¨á. 1.1: §«¨çë¥ ¢¨¤ë £à ¨çëå ãá«®¢¨©: a - ¯¥à¢®£® à®¤ , ¡ - ¢â®à®£® ¨á. 1.2: «¥¬¥â àë© ¯ à®¤ , ¢ - âà¥âì¥£® à®¤ . à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¢ãâà¨ á¯«®è®© â¥¯«®¯à®¢®¤ïé¥© áà¥¤ë.

£¤¥ n { ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥è¥© ®à¬ «¨; ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë i, j ¨ k ¯à ¢«¥ë ¯® ª®®à¤¨ âë¬ ®áï¬ x, y ¨ z, á®®â¢¥âáâ¢¥®. ¯à¨¬¥à, ¯®¤áâ ®¢ª ãà ¢¥¨ï (1.10) ¢ ãà ¢¥¨¥ (1.9,c) ¯à¨¤ ¥â £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î âà¥âì¥£® à®¤ á«¥¤ãîé¨© ¢¨¤ ! @ @ @ (1.11) nx @x + ny @y + nz @z + h = ®¯à¥¤¥«¥® : á«¨ ¨ h âà ªâãîâáï ª ª ª®íää¨æ¨¥âë, â® £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¢â®à®£® ¨ ¯¥à¢®£® à®¤®¢ ¯®«ãç îâáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (1.11) ¢ ¢¨¤¥ ç áâ®£® á«ãç ï, ¯à¨à ¢¨¢ ï h ¨«¨ ª ã«î, á®®â¢¥âáâ¢¥®. ¨§¨ç¥áª®¥ § ç¥¨¥ íâ¨å ¯ à ¬¥âà®¢ á®áâ®¨â ¢ â®¬, çâ®, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â â¥¯«®¢ãî ¯à®¢®¤¨¬®áâì ¨«¨ ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ääã§¨¨, h ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ª®íää¨æ¨¥â ¯¥à¥®á â¥¬¯¥à âãàë ¨«¨ ¬ ááë. á«¨ à áá¬ âà¨¢ ¥âáï ¥áâ æ¨® à ï § ¤ ç , â® ¤«ï ®¤®§ ç®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï à¥è¥¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¥®¡å®¤¨¬® § ¤ âì ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï. â® § ç¨â, çâ® ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨, ¯à¨¬¥à t = 0, à á¯à¥¤¥«¥¨¥ äãªæ¨¨ (x; y; z; t) ¢® ¢á¥© ®¡« áâ¨ à¥è¥¨ï áç¨â ¥âáï ¨§¢¥áâ®© (x; y; z; 0) = ®¯à¥¤¥«¥® : (1.12) 1.4.

§ãç¥¨¥ ¥¤¨áâ¢¥®áâ¨ ¨ áãé¥áâ¢®¢ ¨ï à¥è¥¨© ª ¤ ®© á¨áâ¥¬¥ ãà ¢¥¨© { ¢®¯à®á, ª®â®àë© ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯®«®áâìî ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®¬ã «¨§ã. ¤ ª®, ¯®ãç¨â¥«ì® ¨áá«¥¤®¢ âì ¥ª®â®àë¥ ¯à®áâë¥ á¨âã æ¨¨, çâ®¡ë ¯à®¨««îáâà¨à®¢ âì § ç¥¨ï íâ®£® ¢®¯à®á . áá¬®âà¨¬ áâ æ¨® àãî § ¤ çã â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¢ë¤¥«¥¨¥¬ í¥à£¨¨ ¢ ª®¥ç®© § ¬ªãâ®© ®¡« áâ¨ r2T + G = 0 ; ¢ ®¡« áâ¨ ; @T = 0 ; £à ¨æ å ; (1.13) @n £¤¥ @=@n ®§ ç ¥â ¯à®¨§¢®¤ãî ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ª £à ¨æ¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. ®«ìª® á«¥¤ãï ä¨§¨ç¥áª¨¬¨ á®®¡à ¦¥¨ï¬ ¬®¦® § ª«îç¨âì, çâ® â ª ï ¯à®¡«¥¬ ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì áâ æ¨® à®£® à¥è¥¨ï, â ª ª ª í¥à£¨ï, ¯à®¨§¢¥¤¥ ï ¢ áà¥¤¥ ¥ ¨¬¥¥â ¨ª ª®© ¢®§¬®¦®áâ¨ ¯®ª¨ãâì ®¡« áâì, ¯®áª®«ìªã ¢á¥ £à ¨æë â¥¯«®¨§®«¨à®¢ ë¥. ¤¥áì â¥¬¯¥à âãà ¢ëã¦¤¥ ¢á¥ ¢à¥¬ï ¥¯à¥àë¢® ã¢¥«¨ç¨âìáï. áá¬®âà¨¬ ¤àã£ãî áâ æ¨® àãî § ¤ çã â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ª®¥ç®© ®¡« áâ¨ ¡¥§ ¨áâ®ç¨ª í¥à£¨¨ ¢ áà¥¤¥, ® á £à ¨æ ¬¨, ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«¥ â¥¯«®¢®© ¯®â®ª. â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª íâ®© ¯à®¡«¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ r2 T = 0 ; ¢ ®¡« áâ¨ ; 6

k @T @n = f (rs ) ;

£à ¨æ å ;

(1.14)

®¢ , á«¥¤ãï ä¨§¨ç¥áª¨¬ à ááã¦¤¥¨¥¬, § ª«îç ¥¬, çâ® íâ ¯à®¡«¥¬ â ª¦¥ ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì áâ æ¨® à®£® à¥è¥¨ï, ¥á«¨ ¢¥«¨ç¨ â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª , ¢å®¤ïé¥£® ¢ áà¥¤ã ç¥à¥§ ç áâì £à ¨çëå ¯®¢¥àå®áâ¥© ¥ à ¢® áã¬¬¥ â¥¯«®¢ëå ¯®â®ª®¢, ¯®ª¨¤ îé¨å ®¡« áâì ç¥à¥§ ®áâ «ìãî ç áâì ¯®¢¥àå®áâ¥©. ¦¥, ¥á«¨ íâ® ãá«®¢¨¥ ã¤®¢«¥â¢®à¥®, áâ æ¨® à®¥ à¥è¥¨¥ íâ®© § ¤ ç¨ ï¢«ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ â®«ìª® ª ¢ ¯à¥¤¥« å ¤¤¨â¨¢®© ¯®áâ®ï®©, â® ¥áâì \T (r) + T0". ¤¥áì ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï T0 ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ª ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î, â ª ¨ £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î, § ¤ ®¬ã ãà ¢¥¨ï¬¨ (1.14). «¥¤®¢ â¥«ì®, íâ § ¤ ç ¨¬¥¥â ¡¥áç¨á«¥®¥ ç¨á«® áâ æ¨® àëå à¥è¥¨©. «ï ¬®¦¥áâ¢ ¤àã£¨å ä¨§¨ç¥áª¨å ¥«¨¥©ëå £à ¨çëå § ¤ ç, áãé¥áâ¢ãîâ ¬®£®ªà âë¥ à¥è¥¨ï, ¬®¦¥â á«ãç¨âìáï â ª, çâ® à¥è¥¨© ¥â ¢®®¡é¥. 1.5. -

®«¨ç¥áâ¢® â¥¯«®âë, ¯à®â¥ª îé¥© ¢ ¥¤¨¨æã ¢à¥¬¥¨ ç¥à¥§ í«¥¬¥â ¨§®â¥à¬¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨ ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®à¬ «¨ ª á ¬®© ¯®¢¥àå®áâ¨, §ë¢ ¥âáï â¥¯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ Q ¨ ¨§¬¥àï¥âáï ¢ â. ¥¯«®¢®© ¯®â®ª, ®â¥á¥ë© ª ¥¤¨¨æ¥ ¯®¢¥àå®áâ¨, §ë¢ ¥âáï ã¤¥«ìë¬ â¥¯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ q = dQ (1.15) dS : ® § ª®ã ãàì¥ ã¤¥«ìë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ¯à®¯®àæ¨® «¥ ¯à®¨§¢®¤®© ®â â¥¬¯¥à âãàë ¯® ®à¬ «¨ @T=@n ª ¨§®â¥à¬¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨ @T dS : ; ¨«¨ dQ = k (1.16) q = k @T @n @n ª ¬¨ãá ãª §ë¢ ¥â â®, çâ® ¢¥ªâ®àë q ¨ @T=@n ¯à ¢«¥ë ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¥ áâ®à®ë; k { ä¨§¨ç¥áª¨© ¯ à ¬¥âà, §ë¢ ¥¬ë© ª®íää¨æ¨¥â®¬ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨, ª®â®àë© å à ªâ¥à¨§ã¥â á¯®á®¡®áâì ¢¥é¥áâ¢ ¯à®¢®¤¨âì â¥¯«®âã. áá¬®âà¨¬ í«¥¬¥â àë© ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ á¯«®è®© â¥¯«®¯à®¢®¤ïé¥© áà¥¤ë (à¨á.1.2), ª®â®àë© ¤¢¨¦¥âáï ¢ ¯®«¥ áª®à®áâ¨ U á ª®¬¯®¥â ¬¨ u(x; y; z; t), v(x; y; z; t) ¨ w(x; y; z; t) ¢¤®«ì á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å ®á¥© ¯àï¬®ã£®«ì®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â. «¥¬¥â àë© ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ § ¨¬ ¥â ®¡ê¥¬ V = x y z ¨ ¨¬¥¥â ¬ ááã m = V , £¤¥ { ¯«®â®áâì áà¥¤ë, ª®â®àãî ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ¥¨§¬¥®©. ®«¨ç¥áâ¢® â¥¯«®âë, á®¤¥à¦ é¥©áï ¢ í«¥¬¥â à®¬ ®¡ê¥¬¥, ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï Q = CpT m = CpT V ; (1.17) £¤¥ T { ¡á®«îâ®¥ § ç¥¨¥ â¥¬¯¥à âãàë áà¥¤ë ¢ í«¥¬¥â à®¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤¥, Cp { ¬ áá®¢ ï â¥¯«®¥¬ª®áâì áà¥¤ë. íâ®¬ á«ãç ¥ ¨§¬¥¥¨¥ ª®«¨ç¥áâ¢ â¥¯«®âë ¢ íâ®¬ ®¡ê¥¬¥ § ¨â¥à¢ « ¢à¥¬¥¨ t á¢ï§ á ¨§¬¥¥¨¥¬ â¥¬¯¥à âãàë Q = Cp[T (x; y; z; t + t) T (x; y; z; t)]V : (1.18) â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ V ! 0 ¨ t ! 0, ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ @T dV dt : dQ = Vlim lim f C [ T ( x; y; z; t + t ) T ( x; y; z; t )] V g = C (1.19) p p !0 t!0 @t §¬¥¥¨¥ ª®«¨ç¥áâ¢ â¥¯«®âë ¢ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®¬ ®¡ê¥¬¥ á¯«®è®© áà¥¤ë ¬®¦¥â ¯à®¨áå®¤¨âì âà¥¬ï ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¯ãâï¬¨. ®¤®© áâ®à®ë ¯®¤¢¨¦®áâì á¯«®è®© áà¥¤ë ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®¨ª®¢¥¨î ¦¨¤ª®áâ¨ ç¥à¥§ ®¤¨ ¯®¢¥àå®áâ¨ ¨ ¢ëâ¥ª ¨î ¦¨¤ª®áâ¨ ç¥à¥§ ¤àã£¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. ¬¥â¨¬, çâ® ¢â¥ª ¥¬ ï ¨ ¢ëâ¥ª ¥¬ ï ¦¨¤ª®áâ¨ ¬®£ãâ ¨¬¥âì à §ë¥ â¥¬¯¥à âãàë ¨, á®®â¢¥âáâ¢¥®, à §®¥ ª®«¨ç¥áâ¢® â¥¯« . ®¢®àïâ, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ª®¢¥ªâ¨¢ë© â¥¯«®®¡¬¥, á¢ï§ ë© á ¯¥à¥®á®¬ áà¥¤ë. ¤àã£®© áâ®à®ë, à áá¬ âà¨¢ ¥¬ë© í«¥¬¥â àë© ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ª®â ªâ¨àã¥â á ¢¥è¥© áà¥¤®©, â¥¬¯¥à âãà ª®â®à®© ¬®¦¥â ®â«¨ç âìáï ®â â¥¬¯¥à âãàë ¢ë¤¥«¥®£® ®¡ê¥¬ . à¥§ã«ìâ â¥, á«¥¤ãï § ª®ã ãàì¥ (1.16), ¢®§¨ª ¥â â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ç¥à¥§ £à ¨ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ 7

¢ áâ®à®ë ¬¥ìè¨å â¥¬¯¥à âãà. àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤¨ääã§¨®ë© â¥¯«®®¡¬¥. ª®¥æ, ¨§¬¥¥¨¥ ª®«¨ç¥áâ¢ â¥¯«®âë ¢ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®¬ ®¡ê¥¬¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë§¢ ® ¢ë¤¥«¥¨¥¬ â¥¯« ¢ á ¬®¬ ®¡ê¥¬¥, £®¢®àïâ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ®¡ê¥¬®¥ â¥¯«®¢ë¤¥«¥¨¥. áá¬®âà¨¬ ª®¢¥ªâ¨¢ë© â¥¯«®®¡¬¥ ç¥à¥§ «¥¢ãî ¨ ¯à ¢ãî £à ¨ í«¥¬¥â à®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ (à¨á.1.2). §¬¥¥¨¥ ª®«¨ç¥áâ¢ â¥¯« , ¯à®â¥ª ¥¬®£® ç¥à¥§ £à ¨ ¬®¦® ®æ¥¨âì ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï Q(1) x = Cp[(uT )x+x;y;z;t (uT )x;y;z;t]yz t : ®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬, ¯®«ãç ¥¬, çâ®

(1.20)

@ (uT ) dV dt : dQ(1) lim f C [( uT ) ( uT ) ] yz t g = C p x + x;y;z;t x;y;z;t p x = Vlim !0 t!0 @x

(1.21)

«®£¨ç® ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¨§¬¥¥¨¥ ª®«¨ç¥áâ¢® â¥¯« ¢ ¢ë¤¥«¥®¬ ®¡ê¥¬¥ § áç¥â ¯¥à¥®á áà¥¤ë ¯® ¤¢ã¬ ¤àã£¨¬ ¯à ¢«¥¨ï¬. à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ @ (vT ) dQ(1) (1.22) y = Cp @y dV dt ; @ (wT ) dQ(1) (1.23) z = Cp @z dV dt :

§¬¥¥¨¥ ª®«¨ç¥áâ¢ â¥¯«®âë, ¢ë§¢ ®© ¤¨ääã§¨®ë¬ ¬¥å ¨§¬®¬, ¬®¦® ®æ¥¨âì ¥¯®áà¥¤áâ¢¥® ¨§ â¥¯«®¢®£® § ª® ãàì¥. ª, ¯à¨¨¬ ï ¢® ¢¨¬ ¨¥ ¤¨ääã§¨®ë© ¯®â®ª ç¥à¥§ «¥¢ãî ¨ ¯à ¢ãî £à ¨æë ®¡ê¥¬ , ¯®«ãç ¥¬ 2 3 @T @T 5 yzt : (1.24) dQ(2) x = [q (x + x; y; z; t) q (x; y; z; t)]yz t = k 4 @x @x x+x;y;z;t

x;y;z;t

®¢ , ãª § ë© à ¥¥ ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤, ¤ ¥â 8 2 9 3 2T < = @T @T @ (1) 4 5 dQx = Vlim lim k @x !0 t!0 : @x x;y;z;t yzt; = k @x2 dV dt : x+x;y;z;t

(1.25)

«®£¨ç® ¯®«ãç îâáï ¤¢ ¤àã£¨å ¢ëà ¦¥¨ï

@ 2T dV dt ; (1.26) dQ(2) = k y @y2 @ 2T dV dt : dQ(2) = k (1.27) z @z2 ª®¥æ, ®¡ê¥¬®¥ â¥¯«®¢ë¤¥«¥¨¥ ¢ ¢ë¤¥«¥®¬ ®¡ê¥¬¥ áà¥¤ë à ¢® dQ(3) = g(x; y; z; t)V t ; (1.28) £¤¥ g(x; y; z; t) { ®¡ê¥¬ ï ¬®é®áâì â¥¯«®¢ë¤¥«¥¨ï ¢ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤¥. à¨¬¥ïï ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ V ! 0 ¨ t ! 0, ¯®«ãç ¥¬ dQ(3) = Vlim lim fg(x; y; z; t)V tg = q(x; y; z; t) dV dt : (1.29) !0 t!0 ã¬¬¨àãï ¢á¥ ãª § ë¥ ¢ëè¥ â¥¯«®¢ë¥ ¯®â®ª¨, ¢ë§ë¢ îé¨¥ ¨§¬¥¥¨¥ ª®«¨ç¥áâ¢ â¥¯«®âë ¢ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®¬ ®¡ê¥¬¥ á¯«®è®© áà¥¤ë, á ãç¥â®¬ § ª®¢ â¥¯«®¢ëå ¯®â®ª®¢, ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥¨¥, ª®â®à®¥ ¯®á«¥ á®ªà é¥¨ï dV dt ¨ ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ª¨ á« £ ¥¬ëå, ¯à¨¨¬ ¥â á«¥¤ãîé¨© ¢¨¤ ) ( 2 ( 2 T @ 2T ) @ ( uT ) @ ( vT ) @ ( wT ) @ @ T @T (1.30) Cp @t + @x + @y + @z = k @x2 + @y2 + @z2 + g : 8

á«¨ ¢¢¥áâ¨ ®¡®§ ç¥¨¥

= Ck ; p

£¤¥ k { ª®íää¨æ¨¥â â¥¬¯¥à âãà®¯à®¢®¤®áâ¨, â® ãà ¢¥¨¥ (1.30) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª

ª®¢¥ªâ¨¢®-¤¨ääã§¨®®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨

(1.31) ãà ¢¥¨î

( ) 1 @T + @ (uT ) + @ (vT ) + @ (wT ) = @ 2T + @ 2T + @ 2T + g : (1.32) @t @x @y @z @x2 @y2 @z2 k ¬¥â¨¬, çâ® ¯®«¥ áª®à®áâ¨ U (x; y; z; t) = iu(x; y; z; t) + jv(x; y; z; t) + kw(x; y; z; t) â¥ç¥¨ï á¯«®è®© áà¥¤ë ¤®«¦® ¡ëâì § ¤ ® ¯à¨®à®. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ®® ¤®«¦® ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥® ¨§ ®â¤¥«ì®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ § ¤ ç¨ 1. á«¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® á¯«®è ï áà¥¤ ¥ ãç áâ¢ã¥â ¢ ¤¢¨¦¥¨¨ (à á¯à®áâà ¥¨¥ â¥¯« ®áãé¥áâ¢«ï¥âáï ¢ â¢¥à¤®¬ â¥«¥), â® áª®à®áâì U = 0. à¥§ã«ìâ â¥ ãà ¢¥¨¥ (1.32) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ª« áá¨ç¥áª®¬ã ãà ¢¥¨î â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ 1 @T = @ 2T + @ 2T + @ 2T + g : (1.33) @t @x2 @y2 @z2 k

1 ¥è¥¨¥ § ¤ ç £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¢ëå®¤¨â § à ¬ª¨ áâ®ïé¥£® ªãàá . ¤ ª®, á«¥¤ã¥â § ¬¥â¨âì, çâ® ç¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï â ª¨å § ¤ ç ¨¬¥îâ ¬®£® ®¡é¥£® á â¥¯«®¢ë¬¨ § ¤ ç ¬¨.

9

2.

á«¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ à¥è¥® «¨â¨ç¥áª¨ ¯® § ¤ ®© ®¡« áâ¨ ¨ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬, â® ¯®«ãç¥®¥ à¥è¥¨¥ ¤®«¦® ã¤®¢«¥â¢®àïâì ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ®¡« áâ¨. á«¨ ¯à®¡«¥¬ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥ «¨â¨ç¥áª¨, ¨«¨ å®¦¤¥¨¥ «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï ®ª §ë¢ ¥âáï çà¥§¢ëç ©® á«®¦ë¬, â® ¨áá«¥¤®¢ â¥«¨ ¯à¨¬¥ïîâ ç¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï. à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ª®¥ç®-à §®áâëå ¬¥â®¤®¢, ¨áá«¥¤®¢ â¥«¨ ¤¨áªà¥â¨§¨àãîâ ®¡« áâì § ¤ ç¨ â ª, çâ®¡ë § ç¥¨ï ¥¨§¢¥áâ®© § ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥®© à áá¬ âà¨¢ «¨áì â®«ìª® ¢ ª®¥ç®¬ ç¨á«¥ ¢ãâà¥¨å â®ç¥ª ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ®¡« áâ¨. á«¨ ¢ë¡à ® N ã§«®¢, â® ¥®¡å®¤¨¬® áä®à¬¨à®¢ âì N «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ¤¨áªà¥â¨§¨àãîé¨å ®á®¢ë¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¨ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï. àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, à¥è¥¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¢ ®¡ëçëå ¨«¨ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå á¢®¤¨âáï ª á¨áâ¥¬¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¨ ¯®¤¡®à ¯®¤å®¤ïé¥£® «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï. ®-¢¨¤¨¬®¬ã, íâ®â ¯à®áâ®© ¯®¤å®¤ ãá«®¦ï¥âáï â¥¬ ä ªâ®¬, çâ® å à ªâ¥à áä®à¬¨à®¢ ®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© § ¢¨á¨â ®â å à ªâ¥à ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨, ®¯¨áë¢ îé¨å ä¨§¨ç¥áªãî § ¤ çã. àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ï¢«ïîâáï «¨ ®¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬¨, í««¨¯â¨ç¥áª¨¬¨ ¨«¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬¨. à®¬¥ â®£®, ¨¬¥îâáï ¬®£®ç¨á«¥ë¥ áå¥¬ë ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨, á«¥¤®¢ â¥«ì® ã¦® ¢ë¡à âì â ªãî, ª®â®à ï ï¢«ï¥âáï ¨¡®«¥¥ ¯®¤å®¤ïé¥© ¤«ï á®®â¢¥âáâ¢ãîé¥£® å à ªâ¥à § ¤ ç¨. ¡ëç® ¯à¨¬¥ïîâáï âà¨ ®á®¢ëå ¯®¤å®¤ ª ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¯à®¨§¢®¤ëå ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨ïå á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨, ¨¬¥®, ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥: (i) à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤ë ¥©«®à , (ii) ¯®«¨®¬¨ «ì®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¨ (iii) ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ 2 . ¤¥ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¯à®¨§¢®¤®© ¬®¦¥â ¡ëâì £«ï¤® ¯®ª § , ¨á¯®«ì§ãï ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à®¨§¢®¤®© äãªæ¨¨ F (x; y) ¯® ¯¥à¥¬¥®© x ¢ â®çª¥ x = x0, y = y0 @F = lim F (x0 + x; y0) F (x0; y0) : (2.1) @x x !0 x á«¨ äãªæ¨ï F (x; y) ï¢«ï¥âáï ¥¯à¥àë¢®©, â® ¯à ¢ ï áâ®à® ¢ëà ¦¥¨ï (2.1) ¬®¦¥â ¡ëâì à §ã¬ë¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ ç áâ®© ¯à®¨§¢®¤®© @F=@x ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¬ «¥ìª®£®, ®, â¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ª®¥ç®£® x. 2.1.

®à¬ «ì®© ®á®¢®© ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ª ¯à®¨§¢®¤ë¬ à §®£® ¢¨¤ ¨ ¯®àï¤ª ï¢«ï¥âáï à §«®¦¥¨¥ äãªæ¨¨ ¢ àï¤ ¥©«®à . áá¬®âà¨¬ à §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤ ¥©«®à äãªæ¨¨ f (x) ¢ ®ªà¥áâ®áâ¨ â®çª¨ x0 ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¯¥à¥¤ (â.¥., ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ Ox) ¨ § ¤ (â.¥., ¢ ®âà¨æ â¥«ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ Ox), ª®â®àë¥ § ¤ îâáï ¢ ¢¨¤¥, á®®â¢¥âáâ¢¥®, 2 d3 f 2 f 3x + ::: ; d df x+ (2.2) f (x0 + x) = f (x0) + dx x + dx2 3 2! dx 3! x = x x = x x = x 0 2 3 0 3 0 2 d f df (2.3) f (x0 x) = f (x0) dx x + dx2 2!x ddxf3 3!x + ::: : x=x0 x=x0 x=x0 â¨ ¤¢ ¢ëà ¦¥¨ï ä®à¬¨àãîâ ®á®¢ã ¤«ï à §¢¨â¨ï ª®¥ç®-à §®áâëå ¯à¨¡«¨¦¥¨© ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®© df=dx ¢ â®çª¥ x = x0. ®ááâ ¢«¨¢ ï § ç¥¨ï ¯à®¨§¢®¤ëå ¢ ãà ¢¥¨ïå (2.2) ¨ (2.3), ¯¯à®ªá¨¬ æ¨¨ ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¢¯¥à¥¤ ¨ § ¤ ¤«ï ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®©, á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¯à¨¬ãâ ¢¨¤ df = f (x0 + x) f (x0) + O( ) (¢¯¥à¥¤) ; (2.4) x dx 0 x df = f (x0) f (x0 x) + O( ) ( § ¤) ; (2.5) x dx 0 x 2

à¨¡«¨¦¥¨¥ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ ¨ «¨§ á¢®©áâ¢ íâ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¡ã¤¥â à áá¬®âà¥ ¢ ¯®á«¥¤ãîé¨å à §¤¥« å ªãàá .

10

¨á. 2.1: à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¥¯à¥àë¢®© äãªæ¨¨ íª¢¨¤¨áâ â® à á¯®«®¦¥®© á¨áâ¥¬®© ã§«®¢ëå â®ç¥ª.

£¤¥ ®¡®§ ç¥¨¥ \¯®àï¤®ª" \O(x )" å à ªâ¥à¨§ã¥â ®è¨¡ªã ãá¥ç¥¨ï, á¢ï§ ãî á ª®¥ç®-à §®áâë¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬. ®¯à¥¤¥«ï¥â à §«¨ç¨¥ ¬¥¦¤ã ¯à®¨§¢®¤®© ¨ ¥¥ ª®¥ç®-à §®áâë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬. ¯à¨¬¥à, ¤«ï á«ãç ï, § ¤ ®£® ãà ¢¥¨¥¬ (2.4), ®è¨¡ª á®áâ ¢«ï¥â 2 (2.6) O(x ) = 2x f 00(x0) + 6x f 000(x0) + ::: ëç¨â ï ãà ¢¥¨¥ (2.3) ¨§ ãà ¢¥¨ï (2.2), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ æ¥âà «ìë¬¨ à §®áâï¬¨ df = f (x0 + x) f (x0 x) + O(2 ) ; (2.7) x dx x=x0 2x £¤¥ 2 4x f 00000(x ) + ::: (2.8) O(2x) = 6x f 000(x0) + 120 0 «¨§ ®è¨¡ª¨ ãá¥ç¥¨ï, á¢ï§ ®© á § ¯¨á ë¬¨ ¢ëè¥ à §«¨çë¬¨ ª®¥ç®-à §®áâë¬¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬¨, ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® æ¥âà «ì®¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ï¢«ï¥âáï ¢â®àë¬ ¯® ¯®àï¤ªã x. «¥¤®¢ â¥«ì®, ®® ï¢«ï¥âáï ¡®«¥¥ â®çë¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬, ç¥¬ à §®áâ¨ ¢¯¥à¥¤ ¨«¨ à §®áâ¨ § ¤. ¢ëè¥ã¯®¬ïãâëå á®®â®è¥¨ïå, ¨á¯®«ì§ã¥âáï â®«ìª® ¤¢¥ â®çª¨ á¥âª¨ ¤«ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®©. ¤ ª®, ç áâ® ¢áâà¥ç îâáï á¨âã æ¨¨, ¢ ª®â®àëå ¤®«¦® ¡ëâì á®åà ¥® ¡®«ìè¥¥ ª®«¨ç¥áâ¢® â®ç¥ª á¥âª¨ ¤«ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¯à®¨§¢®¤ëå ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ã«ãçè¨âì â®ç®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¯à®¨§¢®¤®©. 2.1.1. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®©

à¥¤áâ ¢¨¬ ¥¯à¥àë¢ãî ®¤®¬¥àãî äãªæ¨î f (x) ¢ ¢¨¤¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®áâ¨ íª¢¨¤¨áâ â® à á¯®«®¦¥®© á¨áâ¥¬ë ã§«®¢ëå â®ç¥ª (à¨á.2.1). ãáâì i ¡ã¤¥â ¨¤¥ªá á¥âª¨ ¢ â®çª¥ x = x0. ®£¤ ¨¤¥ªáë i +1 ¨ i 1 ®â®áïâáï ª â®çª ¬ á¥âª¨ á ª®®à¤¨ â ¬¨ x = x0 + h ¨ x = x0 h, á®®â¢¥âáâ¢¥®. ¤¥áì h { è £ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ äãªæ¨¨ f (x). ®ç® â ª ¦¥ ¨¤¥ªá æ¨ï i +2 ¨ i 2 ®â®á¨âáï ª â®çª ¬ á¥âª¨ x = x0 + 2h ¨ x = x0 2h, á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¨ â ª ¤ «¥¥. àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨ fi = f (x0 + ih) : (2.9) á¯®«ì§ãï íâ® ®¡®§ ç¥¨¥, ¯à¨¢®¤¨¬ ¨¦¥ ¤¢ãå-, âà¥å- ¨ ç¥âëà¥åâ®ç¥çë¥ ä®à¬ã«ë ª®¥ç®à §®áâ®© ¯¯à®ªá¨¬ æ¨¨ ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®©. ¢ãåâ®ç¥çë¥ ä®à¬ã«ë: fi0 = fi+1h fi + O(h) ; (¢¯¥à¥¤) ; (2.10) fi0 = fi hfi 1 + O(h) ; ( § ¤) ; fi0 = fi+1 2h fi 1 + O(h2 ) ; (æ¥âà «ìë¥) ; à¥åâ®ç¥çë¥ ä®à¬ã«ë: fi0 = 21h ( 3fi + 4fi+1 fi+2) + O(h2 ) ; fi0 = 21h (fi 2 4fi 1 + 3fi) + O(h2 ) ; (2.11) 11

¥âëà¥åâ®ç¥çë¥ ä®à¬ã«ë:

fi0 = 61h ( 11fi + 18fi+1 9fi+2 + 2fi+3 ) + O(h3) ; fi0 = 61h ( 2fi 1 3fi + 6fi+1 fi+2) + O(h3 ) ; fi0 = 61h (fi 2 6fi 1 + 3fi + 2fi+1 ) + O(h3) ;

(2.12)

®ïâ®, çâ® âà¥å ¨«¨ ç¥âëà¥åâ®ç¥çë¥ ä®à¬ã«ë ¯®«¥§® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®© ¢ ã§« å £à ¨æ å ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ®¡« áâ¨. à¨ íâ®¬ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤¢¥ ¨ ¡®«¥¥ ¢ãâà¥¨¥ â®çª¨ á¥âª¨ á ®¤®© áâ®à®ë £à ¨æë, çâ® ¢ ª®¥ç®¬ ¨â®£¥ ã«ãçè ¥â â®ç®áâì ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®©, ¢ëç¨á«¥®© á ¬®© £à ¨æ¥. à¨¬¥à 2-1. ãáâì T1 ¡ã¤¥â â¥¬¯¥à âãà®© â®çª¨ £à ¨æ¥ ä¨§¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨, T2, T3 , T4, ... { â¥¬¯¥à âãàë ¢ á®á¥¤¨å á ¥© â®çª å ¢¤®«ì ¯®«®¦¨â¥«ì®£® ¯à ¢«¥¨ï ®á¨ x, ª ª ¯®ª § ® à¨á.2.1. ¯à¥¤¥«¨â¥ â¥¯«®¢®© ¯®â®ª £à ¨æ¥ x = x1 ¢ á®®â¢¥âáâ¢¨¨ á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ qw = k(@T=@x)x=1. à¥¤áâ ¢ìâ¥ ¯à®¨§¢®¤ãî â¥¬¯¥à âãàë ¢ â®çª¥ x = x1 ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ¨á¯®«ì§ãîé¨¬¨ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï á ®è¨¡ª®© ¯®àï¤ª O(h), O(h2) ¨ O(h3). ¥è¥¨¥. ¥®¡å®¤¨¬® ¯à¨¬¥ïâì à §®áâë¥ áå¥¬ë ¢¯¥à¥¤, ¯®â®¬ã çâ® â®çª¨ á¥âª¨ 2, 3, 4, ... ¯® ®â®è¥¨î ª £à ¨ç®¬ã ã§«ã 1 à á¯®«®¦¥ë ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ Ox.2 ®¥ç®à §®áâë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®© ¢¯¥à¥¤ á ¯®àï¤ª ¬¨ â®ç®áâ¨ O(h), O(h ) ¨ O(h3), ¯®«ãç îâáï ¨§ ãà ¢¥¨© (2.10,a), (2.11,a) ¨ (2.12,a), á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¨ ¨¬¥îâ ¢¨¤ dT = T2 T1 + O(h) ; dx h dT = 1 ( 3T + 4T T ) + O(h2 ) ; (2.13) 1 2 3 dx 2h dT = 1 ( 11T + 18T 9T + 2T ) + O(h3 ) : 1 2 3 4 dx 6h 2.1.2. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®©

§«®¦¥¨ï ¢ àï¤ ¥©«®à ¥¯à¥àë¢®© äãªæ¨¨ f (x), § ¤ ë¥ ãà ¢¥¨ï¬¨ (2.2) ¨ (2.3), ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ¯à¨¡«¨¦¥¨© ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© f 00(x) ¢ ã§«®¢ëå â®çª å. «ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì æ¥âà «ì®¥ ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© á«®¦¨¬ ãà ¢¥¨ï (2.2) ¨ (2.3). ¥§ã«ìâ¨àãîé¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï (d2f=dx2 )x=x0 § ¯¨áë¢ ¥âáï á ¯à¨ïâë¬¨ ¢ëè¥ ®¡®§ ç¥¨ï¬¨ ¢ ¢¨¤¥ 2 O(h2) = h12 f00000 + ::: (2.14) f 00 = fi 1 2hf2i + fi+1 + O(h2 ) ; «ï ä®à¬¨à®¢ ¨ï ª®¥çëå à §®áâ¥© ¢¯¥à¥¤ ¨«¨ § ¤ ¢â®àëå ¯à®¨§¢®¤ëå äãªæ¨¨ f (x0 + 2h) ¨ f (x0 2h) â ª ¦¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï à §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤ ¥©«®à . íâ®¬ á«ãç ¥ § ç¥¨¥ f 0(x0) ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ à §«®¦¥¨¥ f (x0 +2h) ¨ à §«®¦¥¨ï, § ¤ ®£® ãà ¢¥¨¥¬ (2.2). ®«ãç¥®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ à §à¥è ¥âáï ®â®á¨â¥«ì® (d2f=dx2 )x=x0 . à¥§ã«ìâ â¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¢¯¥à¥¤ ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ fi00 = fi 2fih+12 + fi+2 + O(h) (¢¯¥à¥¤) : (2.15) ®ç® â ª ¦¥ § ç¥¨¥ f 0(x0) ¯®«ãç ¥âáï ¨áª«îç¥¨¥¬ ¢ à §«®¦¥¨¨ f (x0 2h) ¨ à §«®¦¥¨ï, § ¤ ®£® ãà ¢¥¨¥¬ (2.3). à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîé¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® 12

¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï § ¤ ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© fi00 = fi 2 2hf2i+1 + fi + O(h) ( § ¤) : (2.16) £¤¥ O(h) = hf0000 + ::: ®¥ç®-à §®áâë¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®©, § ¯¨á ë¥ ¢ëè¥, ¨á¯®«ì§ãîâ âà¨ â®çª¨ á¥âª¨. à¨¡«¨¦¥¨ï, ¨á¯®«ì§ãîé¨¥ ¡®«¥¥ ç¥¬ âà¨ â®çª¨ ¬®£ãâ ¡ëâì â ª ¦¥ ¯®«ãç¥ë «®£¨çë¬ ®¡à §®¬. à¥¤áâ ¢¨¬ ¨¦¥ ¥ª®â®àë¥ ¨§ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨© fi00 = 2fi 5fi+1 +h24fi+2 fi+3 + O(h2) ; fi00 = fi 3 + 4fi h2 2 5fi 1 + 2fi + O(h2) : (2.17) 2.2.

§®áâë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¯à®¨§¢®¤ëå à §«¨ç®£® ¯®àï¤ª ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë, ¥á«¨ ¯à¥¤áâ ¢¨âì äãªæ¨î f (x) ¢ ¢¨¤¥ ¯®«¨®¬ , ¢ ª®â®à®¬ ª®íää¨æ¨¥âë ®¯à¥¤¥«ïîâáï ç¥à¥§ § ç¥¨ï äãªæ¨¨ ¢ á®á¥¤¨å ã§«®¢ëå â®çª å. ¯à¨¬¥à, à áá¬®âà¨¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ f (x) ¢ ¢¨¤¥ ¯ à ¡®«ë, ¨«¨ ¯®«¨®¬®¬ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª f (x) = ax2 + bx + c ; (2.18) ¯à®å®¤ïé¨¥ ç¥à¥§ ã§«ë x1 = 0, x2 = h ¨ x2 = 2h. ®£¤ ¯à®¨§¢®¤ ï à ¢ f 0(x) = 2ax + b ¨ f 0(0) = b (2.19) ¯à¥¤¥«ïï äãªæ¨î f (x) ¢ ã§« å x = 0, h ¨ 2h, å®¤¨¬ f (0) = c ; f (h) = ah2 + bh + c ; f (2h) = 4ah2 + 2bh + c : (2.20) ¥è¥¨¥ ¯®á«¥¤¥© á¨áâ¥¬ë ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® b ¤ ¥â f 0(0) = b = fi0 = 21h ( 3fi + 4fi+1 fi+2) ; (2.21) ª®â®à®¥ ï¢«ï¥âáï ¨¤¥â¨çë¬ ãà ¢¥¨î (2.11,a). â®â ¯®¤å®¤ ®á®¡¥® ¯®«¥§¥ ¯à¨ ¯®«ãç¥¨¨ ª®¥ç®-à §®áâëå ¢ëà ¦¥¨© ª ª ¤«ï ¥íª¢¨¤¨áâ âëå á¥â®ª á ¥à ¢®¬¥àë¬¨ § ç¥¨ï¬¨ h, â ª ¨ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï £à ¤¨¥â®¢, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï â¥¯«®¢ëå ¯®â®ª®¢ â¢¥à¤ëå ¯®¢¥àå®áâïå. 2.3.

áâ®, ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¯à¨ª« ¤ëå § ¤ ç, ¥®¡å®¤¨¬® ¯à¥¤áâ ¢¨âì á¬¥è ë¥ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¢¨¤ d2f=dxdy ¨å ª®¥ç®-à §®áâë¬ «®£®¬. ª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®áâ¨£ãâ® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ìë¬ ¯à¨¬¥¥¨¥¬ à §®áâ®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ x ¨ y. ª ç¥áâ¢¥ ¨««îáâà æ¨¨, à áá¬®âà¨¬ ª®¥ç®-à §®áâãî ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î á¬¥è ®© ¯à®¨§2 ¢®¤®© d f=dxdy ¨ ¯à¨¬¥¨¬ æ¥âà «ìãî à §®áâãî ä®à¬ã«ã (2.10,c) ¤«ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®© ¯® ¯¥à¥¬¥®© x ¨ y. ç « ¯à®¢¥¤¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨î äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå. ¢¥¤¥¬ íª¢¨¤¨áâ âãî á¥âªã ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ á ®¡®§ ç¥¨¥¬ f (x; y) = f (ix; j y ) = fi;j : (2.22) 13

¯¨áë¢ ¥¬

1 @f A + O(2 ) ; (2.23) x @y i 1;j à¨¬¥¥¨¥ æ¥âà «ì®© à §®áâ®© ä®à¬ã«ë ¥é¥ à § ¤«ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ç áâ®© ¯à®¨§¢®¤®© ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥¬¥®© y ¢ ãà ¢¥¨¨ (2.23) ¯à¨¢®¤¨â ª ! ! @ @f = 1 fi+1;j+1 fi+1;j 1 fi 1;j+1 fi 1;j 1 + O[(2 )(2)] ; (2.24) x y @x @y 2x 2y 2y ª®â®à ï ï¢«ï¥âáï ª®¥ç®-à §®áâë¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ á¬¥è ®© ¯à®¨§¢®¤®© d2f=dxdy á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ æ¥âà «ìëå à §®áâ¥© ª ª ¤«ï ¯¥à¥¬¥®© x, â ª ¨ ¯¥à¥¬¥®© y. ®àï¤®ª ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ï¢«ï¥âáï ¥áãé¥áâ¢¥ë¬, ¥á«¨ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¥¯à¥àë¢ë. â® § ç¨â, çâ® d2f=dxdy ¨ d2f=dydx à ¢ë. è¥¬ ¯à¨¬¥à¥ ¡ë«¨ ¯à¨¬¥¥ë æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨ ¤«ï ®¡¥¨å ¯à®¨§¢®¤ëå ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ x ¨ y. á«¨ à áá¬®âà¥âì ¢á¥ ¢®§¬®¦ë¥ ª®¬¡¨ æ¨¨ à §®áâ¥© ¢¯¥à¥¤, § ¤ ¨ æ¥âà «ìë¥, â® ¯®«ãç¨¬ ¤¥¢ïâì à §«¨çëå á«ãç ¥¢ ¤«ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï d2f=dxdy, ª®â®àë¥ á¢¥¤¥ë ¢ â ¡«¨æ¥ 2-1. ®àï¤®ª ®è¨¡®ª ãá¥ç¥¨ï ¤«ï ª ¦¤®£® ¨§ íâ¨å 9 á«ãç ¥¢ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¢¥à¥ à §«®¦¥¨¥¬ ¢ àï¤ ¥©«®à ¯® ¤¢ã¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. 0 ! @ @f = 1 @ @f @x @y 2x @y i+1;j

¡«¨æ 2-1. ®¥ç®-à §®áâë¥ ¯¯à®ªá¨¬ æ¨¨ á¬¥è ®© ¯à®¨§¢®¤®© @ 2f=@x@y N å¥¬ ®¥ç®-à §®áâ ï ®àï¤®ª x y ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ®è¨¡ª¨ ! 1 fi+1;j+1 fi+1;j fi;j+1 fi;j 1 O[x; y ] x y y ! 1 fi+1;j fi+1;j 1 fi;j fi;j 1 2 O[x; y ] x y y ! 1 fi+1;j+1 fi+1;j 1 fi;j+1 fi;j 1 3 O[x; (y )2] x 2y 2y ! 1 fi;j+1 fi;j fi 1;j+1 fi 1;j 4 O[x; y ] x y y ! 1 fi;j fi;j 1 fi 1;j fi 1;j 1 5 O[x; y ] x y y ! 1 f i;j +1 fi;j 1 fi 1;j +1 fi 1;j 1 6 O[x; (y )2] x 2y 2y ! 1 f i+1;j +1 fi+1;j fi 1;j +1 fi 1;j 7 O[(x)2; y ] 2x y y ! 1 f i+1;j fi+1;j 1 fi 1;j fi 1;j 1 8 O[(x)2; y ] 2x y y ! f 1 i+1;j +1 fi+1;j 1 fi 1;j +1 fi 1;j 1 9 2 O[(x)2; (y )2] 2 2 x y y { à §®áâ¨ ¢¯¥à¥¤, { à §®áâ¨ § ¤, { æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨. 2.4.

áâ®, ¢ ¡®«ìè¨áâ¢¥ ¨¦¥¥àëå ¯à¨«®¦¥¨©, ¯®ï¢«ï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬®áâì ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¥íª¢¨¤¨áâ â®© á¥âª¨ (â.¥. á¥âª á ¥à ¢®¬¥àë¬ à ááâ®ï¨¥¬ ¬¥¦¤ã ã§« ¬¨) ®á®¡¥® ¢ â¥å ¬¥áâ å, £¤¥ äãªæ¨ï ¨á¯ëâë¢ ¥â ¢¥§ ¯®¥ ¨§¬¥¥¨¥. ®íâ®¬ã, ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¡®«¥¥ â®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¢ íâ®© ®¡« áâ¨, £¤¥ £à ¤¨¥âë, ª ª ®¦¨¤ ¥âáï, ¨§¬¥ïâáï ¡ëáâà®, ¦¥« â¥«ì® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡ãî ¤¨áªà¥â¨§ æ¨î ¯® áà ¢¥¨î á ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¥© ¢ ®áâ «ì®© ç áâ¨ 14

¨á. 2.2: §¬¥¥¨¥ à §¬¥à è £ ®â x1 ¤® x2 ¢ ã§«¥ i.

¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ®¡« áâ¨. «ï ¨««îáâà æ¨¨ íâ®£® ¬®¬¥â , à áá¬®âà¨¬ á ¬ãî ¯à®áâãî á¨âã æ¨î ¯à¨¬¥à¥ äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¯¥à¥¬¥®£® ¨â¥à¢ « ¬¥¦¤ã ã§« ¬¨ ¢ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ®¡« áâ¨. ¨á.2.2 ¯®ª §ë¢ ¥â ¨§¬¥¥¨¥ à §¬¥à è £ ®â x1 ¤® x2 ¢ ¥ª®â®à®¬ â¥ªãé¥¬ ã§«¥ i. íâ®¬ á«ãç ¥ ¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì à §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤ ¥©«®à äãªæ¨¨ f (x) ®â®á¨â¥«ì® ã§« i ¤«ï ¯®á«¥¤ãîé¥£® ¯®áâà®¥¨ï ª®¥ç®-à §®áâ®© ¯¯à®ªá¨¬ æ¨¨ ¯¥à¢ëå ¨ ¢â®àëå ¯à®¨§¢®¤ëå. 2.4.1. ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®©

§«®¦¨¬ äãªæ¨î f (x) ®â®á¨â¥«ì® ã§« i ¢ àï¤ë ¥©«®à ¢¯¥à¥¤ ¨ § ¤, á®®â¢¥âáâ¢¥® 2 d2 f x3 d3 f df x fi+1 = fi + x2 dx + 2! 2 dx2 + 3! 2 dx3 + O[x42] ; i i i 2 3 2 3 df + x1 d f + x1 d f + O[x4] ; (2.25) fi 1 = fi x1 dx 1 i 2! dx2 i 3! dx3 i

â¥¬ ¢ëç¨â ¥¬ ãà ¢¥¨¥ (2.25,b) ¨§ ãà ¢¥¨ï (2.25,a), ¯®«ãç¥®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ à §à¥è ¥¬ ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®© df=dxji . à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ df = fi+1 fi 1 1 (x2)2 (x1)2 d2 f + O(2 ) ; (2.26) x dx i x1 + x2 2 x1 + x1 dx2 i £¤¥ O(2x) ®§ ç ¥â ¨¡®«ìè¨© ¨§ O(x21) ¨«¨ O(x22). ®£¤ ª®¥ç®-à §®áâ ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®© ¢ ã§«¥ i, £¤¥ à §¬¥à è £ ¨§¬¥ï¥âáï ®â x1 ¤® x2, áâ ®¢¨âáï df = fi+1 fi 1 + O( ) ; (2.27) x dx i x1 + x2 § ãà ¢¥¨ï (2.26) ¥¯®áà¥¤áâ¢¥® á«¥¤ã¥â, çâ® ª®¥ç®-à §®áâ ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï (2.27) ¨¬¥¥â ¢â®à®© ¯®àï¤®ª â®ç®áâ¨ â®«ìª® ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® x2 ! x1 " 2 (x1)2 # ( x ) 2 O[x21] : (2.28) O x + x 2

1

¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ¥á«¨ à §¬¥à è £ ¨§¬¥ï¥âáï ®â x1 ¤® x2 à¥§ª®, áª ¦¥¬ x2 = 2x1, â® â®ç®áâì ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¢ ã§«¥ i ãåã¤è ¥âáï ¤® ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª . 2.4.2. ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®©

«ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì à §®áâãî ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© ¢ ã§«¥ i, ãà ¢¥¨¥ (2.25,b) ã¬®¦¨¬ (x2=x1)2, ¯®«ãç¥®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤®¡ ¢¨¬ ª ãà ¢¥¨î (2.25,a). ®«ãç ¥¬ 2 f df d 2 2 2 fi+1 + " fi 1 = (1 + " )fi + (1 ")x2 dx + x2 dx2 + i i 3 f x2 ; 1 d "= + 6 (x2 x1)x22 dx3 + O(4x) ; (2.29) x1 i 15

O(4x) ®§ ç ¥â á ¬ë© ¨¡®«ìè¨© ¨§ O(x41) ¨«¨ O(x42). ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© ¯®«ãç ¥âáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨ï (2.29) ®â®á¨â¥«ì® d2f=dx2ji. ª®¥ç®¬ ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥¨¥ d2f = fi+1 (1 + "2)fi + "2fi 1 1 " df + O[(x x )] : (2.30) 2 1 dx2 i (x2)2 x2 dx i â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¨¬¥¥â â®ç®áâì ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª ¢ ã§«¥ i, ¥á«¨ 1 " = O(x21) ¨ ¨¬¥¥â â®ç®áâì ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ª®£¤ x2 ! x1. àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ ¨â¥à¢ « è £ ¬¥ï¥âáï ¤®áâ â®ç® à¥§ª®, â® ®è¨¡ª ãá¥ç¥¨ï § ç¨â¥«ì® ã¢¥«¨ç¨¢ ¥âáï.

16

3.

¯à¥¤ë¤ãé¥© ç áâ¨ ¡ë« ®¯¨á ¤¨áªà¥â ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ¨á¯®«ì§ãï ¯à¨ íâ®¬ ª ª à §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤ ¥©«®à , â ª ¨ ¯®«¨®¬¨ «ì®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï äãªæ¨¨ ®â®á¨â¥«ì® â¥ªãé¥© â®çª¨ á¥âª¨. ª¨¬ ®¡à §®¬ § ¤ ç¨ â¥¯«® ¨ ¬ áá®¯¥à¥®á , ª®â®àë¥ ®¯¨áë¢ îâáï ®â¤¥«ìë¬ ¨«¨ á¨áâ¥¬®© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© á á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨¬¨ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨, ¬®¦¥â ¡ëâì á¢¥¤¥ ª á¨áâ¥¬¥ «¨¥©ëå, ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç ïå ¨ ¥«¨¥©ëå, «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. á«¨ à¥§ã«ìâ¨àãîé ï á¨áâ¥¬ ï¢«ï¥âáï «¨¥©®© ¨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ®ª §ë¢ ¥âáï ¥ â ª ã¦ ¨ ¬®£®, â® ®¨ ¬®£ãâ ¡ëâì à¥è¥ë, ¨á¯®«ì§ãï «î¡ãî ¨§ áâ ¤ àâëå ª®¬¯ìîâ¥àëå ¯®¤¯à®£à ¬¬ ¤«ï à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. ¤ ª®, ¥á«¨ ç¨á«® ãà ¢¥¨©, ª®â®àë¥ ¥®¡å®¤¨¬® à¥è¨âì, ®ª §ë¢ ¥âáï ®ç¥ì ¬®£® ¨«¨ á ¬¨ ãà ¢¥¨ï ®ª §ë¢ îâáï ¢ ª®¥ç®¬ ¨â®£¥ ¥«¨¥©ë¬¨, â® ¥®¡å®¤¨¬® á ç « ¨áá«¥¤®¢ âì å à ªâ¥à ¯®«ãç¥®© á¨áâ¥¬ë ãà ¢¥¨©. ¤«¥¦ é¨© ¢ë¡®à ª®¬¯ìîâ¥à®© ¯®¤¯à®£à ¬¬ë ¤«ï à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¢«¨ïîâ á«¥¤ãîé¨¥ ®á®¡¥®áâ¨: (a) ¢«ï¥âáï «¨ ¯à®¡«¥¬ «¨¥©®© ¨«¨ ¥«¨¥©®©, (b) ¢«ï¥âáï «¨ ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ âà¥å¤¨ £® «ì®©, ¯®«®© ¨«¨ à¥¤ª®© (â.¥., ¡®«ìè®© ¯à®æ¥â ã«¥¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢), (c) ¢«ï¥âáï «¨ ç¨á«® ¤¥©áâ¢¨©, ¢®¢«¥ç¥ëå ¢ «£®à¨â¬ áâ®«ì ¡®«ìè¨¬, çâ®¡ë ¢ë§¢ âì çà¥§¬¥à®¥ ª®¯«¥¨¥ ª®¯¨â¥«ìëå ®è¨¡®ª, (d) ¢«ï¥âáï «¨ ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ "¯® ¤¨ £® «¨ ¤®¬¨¨àãîé¥©", (e) ¢«ï¥âáï «¨ ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ãáâ®©ç¨¢®© (â.¥., ¯à¨¢®¤ïâ «¨ ¬ «ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ®è¨¡®ª ¢ ª®íää¨æ¨¥â å ãá¥ç¥¨ï ª ¡®«ìè¨¬ ¨§¬¥¥¨ï¬ ¢ à¥è¥¨¨). ¥«ì íâ®£® à §¤¥« ªãàá ª ª à § á®áâ®¨â ¢ â®¬, çâ®¡ë ¯®ª § âì ¯à®áâëå ¯à¨¬¥à å ®á®¢ë¥ è £¨ ¢ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ § ¤ ç ¯¥à¥®á , ®¯¨áë¢ ¥¬ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ á ¥ª®â®àë¬¨ § ¤ ë¬¨ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¢ á¨áâ¥¬ã «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. â¥¬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ªà âª¨© ®¡§®à à §«¨çëå ¬¥â®¤®¢ ¤«ï à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¨ ®¡áã¤¨¬ ¨å ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢ ¨ ¥¤®áâ âª¨. 3.1.

®«ìè®¥ ª®«¨ç¥áâ¢® ª®¥ç®-à §®áâëå áå¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¥® ¤«ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¯à®¨§¢®¤ëå ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨ïå. ë¡®à ç¨á«¥®© áå¥¬ë § ¢¨á¨â ®â å à ªâ¥à ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï, ®¯¨áë¢ îé¥£® ä¨§¨ç¥áªãî § ¤ çã, ¨ £à ¨çëå ¨, ¯à¨ ¥®¡å®¤¨¬®áâ¨, ç «ìëå ãá«®¢¨©. è æ¥«ì ¢ íâ®¬ à §¤¥«¥ á®áâ®¨â ¢ ¨««îáâà æ¨¨ ®á®¢ëå è £®¢ ¢ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¨ ¥£® £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¢ á¨áâ¥¬ã «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. áá¬®âà¨¬ á«¥¤ãîé¨© ¯à®áâ®© ¯à¨¬¥à. ãáâì ¢ ¯«¨â¥ â®«é¨®© L ¢ë¤¥«ï¥âáï í¥à£¨ï ¢ë¤¥«ï¥âáï á â¥¯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ g(x) â=¬3. ¥¯«® à áá¥¨¢ ¥âáï £à ¨çëå ¯®¢¥àå®áâïå á ª®®à¤¨ â ¬¨ x = 0 ¨ x = L ¯ãâ¥¬ ª®¢¥ªæ¨¨ ¢ ®ªàã¦ îéãî áà¥¤ã á â¥¬¯¥à âãà ¬¨ T1;0 ¨ T1;L á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨ h0 ¨ hL, á®®â¢¥âáâ¢¥®. â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª íâ®© ¯à®¡«¥¬ë ¤«ï áâ æ¨® à®£® á«ãç ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ d2T + g(x) = 0; 0 < x < L; dx2 k k dT x = 0; (3.1) dx + h0T (x) = h0T1;0 ; x = L: k dT dx + hLT (x) = hLT1;L ; á®¢ë¥ è £¨ ¢ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ íâ®© § ¤ ç¨ ®â ª®¥çëå à §®áâ¥© ª á¨áâ¥¬¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï â¥¬¯¥à âãà Ti ¢ ª®¥ç®¬ ç¨á«¥ â®ç¥ª á¥âª¨, i = 1; 2; :::; , ¢ë¡à ®© ¢ ®¡« áâ¨ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨, ¡ã¤ãâ á«¥¤ãîé¨¬¨: (I) ¡« áâì 0 x L à §¤¥«ï¥âáï à ¢ë¥ ¯®¤®¡« áâ¨, ª ¦¤ ï â®«é¨®© x = L=M , ª ª ¯®ª § ® à¨á.3.1. (II) ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (3.1, ) ¤¨áªà¥â¨§ã¥âáï ¢ á®®â¢¥âáâ¢¨¨ á ¯®¤å®¤ïé¥© ª®¥ç®à §®áâ®© áå¥¬®© ¢® ¢ãâà¥¨å â®çª å á¥âª¨, i = 1; 2; :::; M 1. ¤¥áì ã¤®¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì ª« áá¨ç¥áªãî ä®à¬ã«ã ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ á æ¥âà «ìë¬¨ à §®áâï¬¨, ¯à¨¢¥¤¥ãî ¢ ãà ¢¥¨¨ 17

¨á. 3.1: ¤®¬¥à ï á¥âª á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨.

(2.14) ¤«ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®©. à¥§ã«ìâ â¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (3.1, ) á¢®¤¨âáï ª ª®¥ç®-à §®áâ®¬ã «®£ã Ti 1 2Ti + Ti+1 + gi = 0 2x k á ®è¨¡ª®© ãá¥ç¥¨ï O(2x). â®â à¥§ã«ìâ â ¬®¦® ¯à¥®¡à §®¢ âì ª ¢¨¤ã 2 Ti 1 2Ti + Ti+1 + Gi = 0 ; i = 1; 2; :::; (M 1) ; Gi = (xk) gi : (3.2) ¨áâ¥¬ (3.2) ®¡à §ã¥â M 1 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨ï, ® ®¨ á®¤¥à¦ â M + 1 ¥¨§¢¥áâë¥ â¥¬¯¥à âãàë ¢ â®çª å á¥âª¨ T0, T1, ..., TM . ¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå á®®â®è¥¨ï, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ¤®áâ¨¦¥¨ï ç¨á« ãà ¢¥¨©, à ¢®£® ç¨á«ã ¥¨§¢¥áâëå, ¯®«ãç îâáï ¯®á«¥ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ «®¦¥ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨©. (III) à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, § ¤ ë¥ ãà ¢¥¨ï¬¨ (3.1, b,c) ¤®«¦ë ¡ëâì â®¦¥ ¯®¤¢¥à¦¥ë ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨, ¯®â®¬ã ®¨ á®¤¥à¦ â ¯¥à¢ãî ¯à®¨§¢®¤ãî ®â â¥¬¯¥à âãàë. á«¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ë ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¢¯¥à¥¤ ¨«¨ § ¤, § ¤ ë¥ ãà ¢¥¨ï¬¨ (2.10,a,b), â® à¥§ã«ìâ âë ¡ã¤ãâ ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨, â.¥. O(x). ¥« â¥«ì® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ â®çãî ä®à¬ã«ã ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ® ¡ë« á®¢¬¥áâ¨¬ á â®ç®áâìî ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® ¯®àï¤ª . ®ç ï ä®à¬ã« ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¤«ï ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®© § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ (2.10,c); ® ¨á¯®«ì§®¢ âì íâã ä®à¬ã«ã £à ¨æ¥ á¥âª¨ i = 0 ¨ i = M âà¥¡ã¥â § ç¥¨ï ¢ ¤®¯®«¨â¥«ì®© â®çª¥ á«¥¢ ¨ á¯à ¢ ®â £à ¨çëå ã§«®¢ i = 0 ¨ i = M , á®®â¢¥âáâ¢¥®. ®íâ®¬ã, à áá¬ âà¨¢ îâáï ä¨ªâ¨¢ë¥ ã§«ë, à á¯®«®¦¥ë¥ à ááâ®ï¨¨ x á «¥¢®© ¨ á ¯à ¢®© áâ®à®ë ®â £à ¨æ ¯à¨ x = 0 ¨ x = L á ä¨ªâ¨¢ë¬¨ â¥¬¯¥à âãà ¬¨ T 1 ¨ TM +1, á®®â¢¥âáâ¢¥®, ª ª ¯®ª § ® à¨á.3.2. ®£¤ ¯à¨¬¥¥¨¥ ä®à¬ã« á æ¥âà «ìë¬ à §®áâï¬¨ (2.10,c) £à ¨æ¥ ¯®§¢®«ïîâ ¯à®¢¥áâ¨ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨î ãà ¢¥¨© (3.1,b) ¨ (3.1,c), á®®â¢¥âáâ¢¥®. à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ k T12T 1 + h0T0 = h0T1;0 ; k TM +12 TM + hLTM = hLT1;L ; (3.3) x x

¨á. 3.2: ¨ªâ¨¢ë¥ ã§«ë á ä¨ªâ¨¢ë¬¨ â¥¬¯¥à âãà ¬¨ T 1 ¨ TM +1. áâà ïï ä¨ªâ¨¢ë¥ â¥¬¯¥à âãàë T 1 ¨ TM +1 ¢ ãà ¢¥¨ïå (3.3), ¯®«ãç ¥¬ ¤¢ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï (3.2,a) ¤«ï i = O ¨ i = M , á®®â¢¥âáâ¢¥®, 2 2 T 2T + T + (x) gM = 0 : (3.4) T 2T + T + (x) g0 = 0 ;

M 1 M M +1 k k áâà ¥¨¥ T0 ¨ TM +1 ¢ ãà ¢¥¨ïå (3.3) ¨ (3.4) ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãîé¨¬ ¤¢ã¬ ãà ¢¥¨ï¬ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ 2T1 2 0T0 + (2 0 + G0 ) = 0 ; x = 0 (i = 0) ; 2TM 1 2 LTM + (2 L + GM ) = 0 ; x = L (i = M ) ; (3.5)

1

0

1

18

£¤¥ 0 0 = 1 + xh k ; L L = 1 + xh k ; 2 G0 = (xk) g0 ;

0 = x(hk0T1;0) ;

L = x(hkLT1;L) ; 2 GM = (xk) gM ;

(3.6)

à ¢¥¨ï (3.2) ¨ (3.5) ä®à¬¨àãîâ M +1 á¨áâ¥¬ã «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Ti, (i = 0; 1; 2; :::; M ). â®£®¢ë¥ ãà ¢¥¨ï ¬®¦® ¯à¥®¡à §®¢ âì ª ¢¨¤ã 2T1 2 0T0 = (2 0 + G0) ; i = 0; (3.7) Ti 1 2Ti + Ti+1 = Gi ; i = 1; 2; :::; M 1 ; (3.8) 2TM 1 2 LTM = (2 L + GM ) ; i=M: (3.9) (IV) ¨áâ¥¬ã ãà ¢¥¨© (3.7) - (3.9) ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¬ âà¨ç®© ä®à¬¥ [A][T ] = [B ] ; (3.10) 2 2 0 2 0 ::: 0 0 0 3 8 9 £¤¥ 8 T0 9 > > ( G + 2

) 0 0 > > 66 1 2 1 > > 0 0 0 77 > > G < = = < T 1 1 0 1 2 1 0 0 0 6 7 ::: : (3.11) [A] = 66 ::: 77 ; [T ] = > ::: > ; [B ] = > > G T > > > > 4 0 5 M 1 M 1 : T ; 1 2 1 : (GM + 2 L) ; M 0 0 ::: ::: 0 2 L ª¨¬ ®¡à §®¬ § ¤ ç ®¤®¬¥à®© áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨, § ¤ ®© ãà ¢¥¨ï¬¨ (3.1) ¯à¥®¡à §®¢ ª à¥è¥¨î á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (3.10) ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Ti, £¤¥ i = 0; 1; :::; M . «ï ®¤®¬¥à®© ¯à®¡«¥¬ë, à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© §¤¥áì, ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ [A] ï¢«ï¥âáï âà¥å¤¨ £® «ì®©. § ¢¨á¨¬®áâ¨ ®â å à ªâ¥à ¯à®¡«¥¬ë, ¥¥ à §¬¥à®áâ¨ ¨ ¨á¯®«ì§ã¥¬®© áå¥¬ë ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¬®£ãâ ¯®ï¢¨âìáï ¬ã«ìâ¨¤¨ £® «ìë¥, ¯®«ë¥ ¨«¨ à¥¤ª¨¥ ¬ âà¨æë. ®ª çâ® ¯®ª § ë â®«ìª® ®á®¢ë¥ è £¨ ¢ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¨ ¥£® £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¢ á¨áâ¥¬ã «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï â ª®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®¬¥é¥ë ¢ ®¤ã ¨§ á«¥¤ãîé¨å ¤¢ãå ª â¥£®à¨©: (1) àï¬ë¥ ¬¥â®¤ë, ¢ ª®â®àëå ¯à¨ ¯®¨áª¥ à¥è¥¨ï ¨á¯®«ì§ã¥âáï ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¨â¥à æ¨©, ¨ (2) â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë, ¢ ª®â®àëå ¯®«ãç¥®¥ à¥è¥¨¥ áâ ®¢ïâáï ¡®«¥¥ â®çë¬¨ ¯® ¬¥à¥ ã¢¥«¨ç¥¨ï ¨â¥à æ¨© ¨ ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ªà¨â¥à¨© áå®¤¨¬®áâ¨, á¢ï§ ë© á ¤¨ £® «ìë¬ ¯à¥®¡« ¤ ¨¥¬ ¬ âà¨æë ª®íää¨æ¨¥â®¢ ã¤®¢«¥â¢®à¥. «¥¥ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ªà âª¨© ®¡§®à ¯àï¬ëå ¨ ¨â¥à æ¨®ëå ¬¥â®¤®¢ à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¨ ®¡áã¤¨¬ ¥ª®â®àë¥ ®á®¡¥®áâ¨ ¯®¨áª à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å á¨áâ¥¬. 3.2.

®®¡é¥, ¯àï¬ë¥ ¬¥â®¤ë ï¢«ïîâáï ¡®«¥¥ ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ìë¬¨ ¤«ï «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å á¨áâ¥¬ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¢ ¬ âà¨ç®© ä®à¬¥ ¨ ¤«ï § ¤ ç, ¨¬¥îé¨å ®â®á¨â¥«ì® ¯à®áâãî £¥®¬¥âà¨î ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï. àï¬ë¥ ¬¥â®¤ë ï¢«ïîâáï ¤®áâ â®ç® íää¥ªâ¨¢ë¬¨, ® âà¥¡ãîâ ¡®«ìè®© ¯ ¬ïâ¨ åà ¥¨ï ¢ ª®¬¯ìîâ¥à¥ ¨ ¢ë§ë¢ îâ ª®¯«¥¨¥ ®è¨¡®ª ãá¥ç¥¨ï, ¥á«¨ ç¨á«® ãà ¢¥¨© ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨¬. áâ®ïé¥¥ ¢à¥¬ï ¢ á®¢à¥¬¥®© «¨â¥à âãà¥ ¨¬¥¥âáï ¬®¦¥áâ¢® ¨áá«¥¤®¢ ¨©, á¢ï§ ëå á à¥è¥¨¥¬ á¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ¨§-§ ¢ ¦®áâ¨ íâ®£® ¢®¯à®á ¢ ãçëå ¨ ¨¦¥¥àëå ¢ëç¨á«¥¨ïå. íâ®¬ à §¤¥«¥ ªãàá à áá¬®âà¨¬ ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¯àï¬ëå ¬¥â®¤®¢, ª®â®àë¥ ç áâ® ¢áâà¥ç îâáï ¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥¨ïå. 19

3.2.1. à ¢¨«® à ¬¥à

¤¨¬ ¨§ ¨¡®«¥¥ ¯à®áâëå ¬¥â®¤®¢ à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ï¢«ï¥âáï ¬¥â®¤ . ¥â®¤ ¥ ï¢«ï¥âáï ¯à ªâ¨çë¬ ¯à¨ ¥£® ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¡®«ìè®¬ã ª®«¨ç¥áâ¢ã ãà ¢¥¨©, ¯®â®¬ã çâ® ¬¥â®¤ ¨á¯®«ì§ã¥â ¡®«ìè®¥ ª®«¨ç¥áâ¢® ®¯¥à æ¨©. ¯à¨¬¥à, ¤«ï â®£®, çâ®¡ë à¥è¨âì á¨áâ¥¬ã N ãà ¢¥¨©, ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¨âì ¯®àï¤ª N 4 ®¯¥à æ¨©. â® § ç¨â, çâ® ¯à¨ ã¤¢®¥¨¨ ç¨á« ãà ¢¥¨© ª®¬¯ìîâ¥à âà â¨â ¡®«ìè¥ ¢à¥¬¥¨ ¢ 24 (¨«¨ 16) à §. ¦¥ ¥á«¨ ¢à¥¬ï ¢ëç¨á«¥¨© ¤«ï ª®¬¯ìîâ¥à ¥ ï¢«ï¥âáï ¯à®¡«¥¬®©, â® â®ç®áâì ¢ëç¨á«¥¨© ¡ã¤¥â ãåã¤è âìáï ¨§-§ ®è¨¡®ª ãá¥ç¥¨ï. à®¬¥ â®£®, ¬¥â®¤ á¢ï§ á ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¬ âà¨æ, âà¥¡ã¥â ¡®«ìè¨¥ ®¡ê¥¬ë ¯ ¬ïâ¨. ®â ¯®ç¥¬ã ¬¥â®¤ à ¬¥à ¥ è¥« ¤®«¦®£® ¯à¨¬¥¥¨ï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¡®«ìè®£® ç¨á« ãà ¢¥¨©. à ¬¥à

3.2.2. ¥â®¤ ¨áª«îç¥¨ï ãáá

â® ¯àï¬®© ¬¥â®¤, ¤®áâ â®ç® ç áâ® ¯à¨¬¥ï¥¬ë© ¯à¨ à¥è¥¨¨ á¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. íâ®¬ ¬¥â®¤¥ ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¢ ¢¥àåîî âà¥ã£®«ìãî ¬ âà¨æã ¯®á«¥¤®¢ â¥«ìë¬ ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ¥ª®â®àëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ¤¥©áâ¢¨©, ¯à¨ ª®â®àëå à¥è¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ãà ¢¥¨© ®áâ ¥âáï ¨¢ à¨ âë¬. á¯®«ì§ã¥âáï ¤¢ ®á®¢ëå ¤¥©áâ¢¨ï: (1) ¬®¦¥¨¥ ¨«¨ ¤¥«¥¨¥ «î¡®£® ãà ¢¥¨ï ª®áâ âã, (2) ¬¥ «î¡®£® ãà ¢¥¨ï áã¬¬®© (¨«¨ à §¨æ¥©) íâ®£® ãà ¢¥¨ï á «î¡ë¬ ¤àã£¨¬ ãà ¢¥¨¥¬. ®áª®«ìªã ¢ ª®¥ç®¬ ¨â®£¥ á¨áâ¥¬ ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¢ ¢¥àåîî ¤¨ £® «ìãî ¬ âà¨æã ª®íää¨æ¨¥â®¢, ¯®¨áª à¥è¥¨ï ®áãé¥áâ¢«ï¥âáï ®â ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï ¨ ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¢¢¥àå ®¡à âë¬¨ § ¬¥ ¬¨. à®¨««îáâà¨àã¥¬ íâã ¯à®æ¥¤ãàã á«¥¤ãîé¨¬ ¯à®áâë¬ ¯à¨¬¥à®¬, á®¤¥à¦ é¨¬ â®«ìª® âà¨ ¥¨§¢¥áâëå T1, T2 ¨ T3. a11T1 + a12T2 + a13T3 = d1 ; a21T1 + a22T2 + a23T3 = d2 ; (3.12) a31T1 + a32T2 + a33T3 = d3 ; ë¡¨à ¥¬ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ ª ª "¨áå®¤®¥" ãà ¢¥¨¥ ¨ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¥£® ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ãáâà ¨âì T1 ¢® ¢â®à®¬ ¨ âà¥âì¥¬ ãà ¢¥¨ïå. ®«ãç ¥¬ a11T1 + a12T2 + a13T3 = d1 ; (3.13) a?22T2 + a?23T3 = d?2 ; ? ? ? a32T2 + a33T3 = d3 ; «ï â®£®, çâ®¡ë ãáâà ¨âì T2 ¨§ âà¥âì¥£® ãà ¢¥¨ï, â¥¯¥àì ¢â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ª ç¥áâ¢¥ "¨áå®¤®£®". ®£¤ á¨áâ¥¬ (3.13) ¯à¨®¡à¥â ¥â ¤¨ £® «ìãî ä®à¬ã a11T1 + a12T2 + a13T3 = d1 ; (3.14) ? ? ? a22T2 + a23T3 = d2 ; (3.15) 0 0 (3.16) a33T3 = d3 ; ¥¨§¢¥áâë¥ Ti ®¯à¥¤¥«ïîâáï áà §ã ¨§ íâ®© á¨áâ¥¬ë, ç¨ ï á ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï ¨ ¯à¨¬¥ïï ¤ «¥¥ ®¡à âãî § ¬¥ã. à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ T3 = d03=a033 ; (3.17) ? ? ? T2 = (d2 a23T3)=a22 ; (3.18) T1 = (d1 a13T3 a12T2)=a11 : (3.19) ëè¥ã¯®¬ïãâ ï ¯à®æ¥¤ãà ¬®¦¥â ¡ëâì ®¡®¡é¥ ª á¨áâ¥¬¥ ¨§ N ãà ¢¥¨©. ¨á«® ®¯¥à æ¨©, ¢ë¯®«ï¥¬ëå ¯à¨ à¥è¥¨¨ á¨áâ¥¬ë N «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© á ¯®«®áâìî 3 § ¯®«¥®© ¬ âà¨æ¥©, ¢ ¬¥â®¤¥ ãáá ¯à®¯®àæ¨® «ì® N , çâ® ¬®£® ¬¥ìè¥ ç¥¬ N 4, ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¤«ï à¥è¥¨ï ¬¥â®¤®¬ à ¬¥à .

20

3.2.3. «£®à¨â¬ ®¬ á

á«ãç ¥ âà¥å¤¨ £® «ì®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, á ª®â®àë¬¨ áâ «ª¨¢ îâáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ®¤®¬¥àëå ¯à®¡«¥¬ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨, ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¥ ¬¥â®¤ ¨áª«îç¥¨ï ãáá (Thomas,1949). â ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ï ¯à®æ¥¤ãà , ¢®®¡é¥ ã¯®¬¨ ¥¬ ï ª ª «£®à¨â¬ ®¬ á , ï¢«ï¥âáï çà¥§¢ëç ©® íää¥ªâ¨¢ë¬ ¬¥â®¤®¬ ¤«ï à¥è¥¨ï ¡®«ìè®£® ª®«¨ç¥áâ¢ â ª¨å ãà ¢¥¨©. áá¬®âà¨¬ á¨áâ¥¬ã N «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ¨¬¥îé¨å âà¥å¤¨ £® «ìãî ¬ âà¨æã ª®íää¨æ¨¥â®¢, § ¤ ãî ãà ¢¥¨ï¬¨ (3.10,3.11). «ï â®£®, çâ®¡ë à¥è¨âì íâã á¨áâ¥¬ã ãà ¢¥¨©, ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯®¬¥é ¥âáï ¢ âà¥å¤¨ £® «ìãî ä®à¬ã 2 b1 c1 0 0 ::: 0 0 3 2 T1 3 2 d1 3 66 a2 b2 c2 0 ::: 0 0 7 6 T2 7 6 d2 7 66 0 a3 b3 c3 ::: 0 0 777 666 T3 777 = 666 d3 777 : (3.20) ::: 64 ::: 75 64 ::: 75 64 ::: 75 TN 1 dN 1 0 0 0 ::: aN 1 bN 1 cN 1 TN dN 0 0 0 ::: 0 aN bN ¨ ¯à¨¬¥ï¥âáï ¯à®æ¥áá ¨áª«îç¥¨ï, ¯®á«¥¤®¢ â¥«ìë¥ è £¨ ª®â®à®£® ¯à¨¢¥¤¥ë ¨¦¥: (I) ¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ (¯¥à¢ë© àï¤) ¢ë¡¨à ¥âáï § \¨áå®¤®¥" ãà ¢¥¨¥, ®® ã¬®¦ ¥âáï a2=b1 ¨ ¢ëç¨â ¥âáï ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï (¢â®à®© àï¤) ¤«ï ãáâà ¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â a2. ¥§ã«ìâ¨àãîé¥¥ ¢â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â® § ¬¥¥ b2 b2 a2 c1 ; ¨ § ¬¥¥ d2 d2 a2 d1 : (3.21) b1 b1 (II) ¥¯¥àì ¯à¥®¡à §®¢ ®¥ ¢â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ë¡¨à ¥âáï § \¨áå®¤®¥" ãà ¢¥¨¥, ¯à¨¬¥ï¥âáï «®£¨ç ï ¨â¥à æ¨ï ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ãáâà ¨âì ª®íää¨æ¨¥â a3. ¥§ã«ìâ¨àãîé¥¥ âà¥âì¥ ãà ¢¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â® ¨ § ¬¥¥ d3 d3 ab 3 d2 : (3.22) § ¬¥¥ b3 b3 ab 3 c2 ; 2 2 (III) à®æ¥¤ãà ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¯®ª ¡ã¤¥â ãáâà ¥® aN ¨§ ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï. ª ï ¯à®æ¥¤ãà ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¤«ï ¢¥àå¥© ¤¨ £® «¨ ¬ âà¨æë (3.20) íª¢¨¢ «¥â ¤«ï â¥ªãé¥© áâà®çª¨ á ¨¤¥ªá®¬ i (i = 2; :::; N ) ¨ § ¬¥¥ di di bai di 1 : (3.23) § ¬¥¥ bi bi bai ci 1 ; i 1 i 1 ª â®«ìª® ¤®áâ¨£ãâ ¤¨ £® «ì ï ä®à¬ , ¥¨§¢¥áâë¥ Ti ®¯à¥¤¥«ïîâáï ®¡à â®© § ¬¥®©, ç¨ ï á ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï ¨ ¯¥à¥¡¨à ï ãà ¢¥¨ï ¢ ®¡à â®¬ ¯à ¢«¥¨¨ (3.24) TN = dbN ; ¨ Ti = di bciTi+1 ; ¯à¨ i = N 1; N 2; :::; 1 : N i «£®à¨â¬¥ ®¬ á ç¨á«® ®á®¢ëå à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¤¥©áâ¢¨© ¤«ï à¥è¥¨ï âà¥å¤¨ £® «ì®© á¨áâ¥¬ë ¯à®¯®àæ¨® «ì® N , ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â N 3, âà¥¡ã¥¬®£® ¤«ï à¥è¥¨ï á ¬¥â®¤®¬ ¨áª«îç¥¨ï ãáá . ®íâ®¬ã, ¢ «£®à¨â¬¥ ®¬ á ã¬¥ìè ¥âáï ¥ â®«ìª® ¢à¥¬ï ¢ëç¨á«¥¨©, ® ¨ áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ã¬¥ìè îâáï ª®¯«¥¨¥ ®è¨¡®ª ãá¥ç¥¨ï. à¨¬¥à 3-1. ®¥ç®-à §®áâ ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï áâ æ¨® à®© § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ¯«¨â¥ á ¢ë¤¥«¥¨¥¬ í¥à£¨© ¨ ãáâ ®¢«¥ë¬¨ â¥¯«®¢ë¬¨ ¯®â®ª ¬¨ ®¡¥¨å £à ¨æ å á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ç¥âëà¥å ã§«®¢ëå â®ç¥ª § ª ç¨¢ ¥âáï «¨¥©®© «£¥¡à ¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬®© ãà ¢¥¨©, ¬ âà¨ç ï ä®à¬ § ¯¨á¨ ª®â®à®© ä®à¬¨àã¥â âà¥å¤¨ £® «ìãî á¨áâ¥¬ã ª®íää¨æ¨¥â®¢ 2 1 1 0 0 3 2 T0 3 2 40 3 64 1 2 1 0 75 64 T1 75 = 64 30 75 : (3.25) 0 1 2 1 30 T2 0 0 1 2 30 T3

21

¥è¨â¥ íâã ¯à®¡«¥¬ã, ¨á¯®«ì§ãï «£®à¨â¬ ®¬ á . ¥è¥¨¥. àï¬ ï ¯à®£®ª , ®¯à¥¤¥«¥ ï ãà ¢¥¨ï¬¨ (3.21) ¤ ¥â b1 = 1 ; d1 = 40 ; a 1 2 b2 = b2 b c1 = 2 1 1 = 1 ; d2 = d2 ab 2 d1 = 30 11 ( 40) = 70 ; 1 1 1 a a 3 b3 = b3 b c2 = 2 1 1 = 1 ; d3 = d3 b 3 d2 = 30 11 ( 70) = 100 ; (3.26) 2 2 a a 1 4 b4 = b4 b c3 = 2 1 1 = 1 ; d4 = d4 b 4 d3 = 30 11 ( 100) = 130 ; 3 3 ¡à â ï ¯à®£®ª , ®¯à¥¤¥«¥ ï ãà ¢¥¨ï¬¨ (3.22), ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì â¥¬¯¥à âãàë ¢ ç¥âëà¥å ã§«®¢ëå â®çª å. 8 T = 130 ; > 3 > > > T = d3 b c3T3 = 100 11 130 = 230 ; 2 > < 3 (3.27) Ti : > T1 = d2 c2T2 = 70 1 230 = 300 ; > b2 1 > > d c T 40 1 300 = 340 : 1 1 1 > = : T0 = b 1 1 3.3.

®£¤ ç¨á«® ãà ¢¥¨© ®ª §ë¢ ¥âáï ®ç¥ì ¡®«ìè¨¬, ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ à¥¤ª ï ¨ ¥ ï¢«ï¥âáï ¤¨ £® «ì®© (âà¥å¤¨ £® «ì®©, ¯ïâ¨¤¨ £® «ì®©), åà ¥¨¥ § ç¥¨© ª®íää¨æ¨¥â®¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¢ ª®¬¯ìîâ¥à¥ ï¢«ï¥âáï ªà¨â¨ç¥áª¨¬, â® ¨â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë ï¢«ï¥âáï ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ìë¬¨ ¢ áà ¢¥¨¨ á ¯àï¬ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ à¥è¥¨ï. á«¨ ¨â¥à æ¨®ë© ¯à®æ¥áá ï¢«ï¥âáï áå®¤ïé¨¬áï, â® à¥è¥¨¥ ¯®«ãç ¥âáï ¢ ¯à¥¤¥« å ãª § ®© â®ç®áâ¨ § ª®¥ç®¥, ®, ª á®¦ «¥ìî, § ¥¯à¥¤áª §ã¥¬®¥ ç¨á«® ¨â¥à æ¨©. ¥â®¤ ï¢«ï¥âáï ¢ ®¯à¥¤¥«¥®¬ á¬ëá«¥ áå®¤ïé¨¬áï â®«ìª® ¤«ï á¨áâ¥¬, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¢ëà ¦¥ãî ¤¨ £® «ì. â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë ¨¬¥îâ ¤®¢®«ì® ¯à®áâë¥ «£®à¨â¬ë, «¥£ª¨ ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ¨ ¥ ®£à ¨ç¥ë ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¢ ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå ®¡« áâïå á ¯à®áâ®© £¥®¬¥âà¨¥© ¨ ãáâ ®¢«¥ë¬¨ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨. â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë ®ª §ë¢ îâáï ¡®«¥¥ ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ìë¬¨, ª®£¤ ç¨á«® ®¯¥à æ¨© ¢ ¢ëç¨á«¥¨ïå áâ®«ìª® ¡®«ìè®¥, çâ® ¯àï¬ë¥ ¬¥â®¤ë ¬®£ãâ ®ª § âìáï ¥ ¤¥ª¢ âë¬¨ ¨§-§ ª®¯«¥¨ï ®è¨¡®ª ãá¥ç¥¨ï. ¥â®¤ ¨â¥à æ¨© ãáá -¥©¤¥«ï (ç áâ® ¥£® §ë¢ îâ ¬¥â®¤ ¨â¥à æ¨© ¨¡¬ ) ï¢«ï¥âáï ®¤¨¬ ¨§ ¨¡®«¥¥ íää¥ªâ¨¢ëå ¯à®æ¥¤ãà ¤«ï à¥è¥¨ï ¡®«ìè¨å, ¯à®à¥¦¥ëå á¨áâ¥¬ ãà ¢¥¨©. å®¤¨¬®áâì íâ®£® ¬¥â®¤ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë¬ ®¡à §®¬ ãáª®à¥ ¢ á®®â¢¥âáâ¢¨¨ á ¯à®æ¥¤ãà®©, §¢ ®© ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®© ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨. íâ®© ç áâ¨ à áá¬ âà¨¢ îâáï ¬¥â®¤ ¨â¥à æ¨© ãáá -¥©¤¥«ï ¨ ¯à®æ¥¤ãà ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®© ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨. 3.3.1. ¥â®¤ ¨â¥à æ¨© ãá -¥©¤¥«ï

â® ®ç¥ì ¯à®áâ ï, íää¥ªâ¨¢ ï ¯®â®ç¥ç ï ¨â¥à æ¨® ï ¯à®æ¥¤ãà ¤«ï à¥è¥¨ï ¡®«ìè¨å, ¯à®à¥¦¥ëå á¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. â¥à æ¨¨ ãáá -¥©¤¥«ï ®á®¢ ë ¨¤¥¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ìëå ¯à¨¡«¨¦¥¨©. ® íâ®â ¬¥â®¤ íâ¨¬ ¨ ®â«¨ç ¥âáï ®â áâ ¤ àâëå ¨â¥à æ¨®ëå ¬¥â®¤®¢. íâ®¬ ¬¥â®¤¥ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ à ¥¥ § ç¥¨ï ¢¥ªâ®à à¥è¥¨ï ¨á¯®«ì§ãîâáï ª ¦¤®¬ ¯®á«¥¤ãîé¥¬ ¨â¥à æ¨®®¬ è £¥. á®¢ë¬¨ è £ ¬¨ ¨â¥à æ¨®®£® ¬¥â®¤ ãá -¥©¤¥«ï ï¢«ïîâáï: (1) ¯¨áë¢ ¥âáï à¥è¥¨¥ ª ¦¤®£® ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¤¨ £® «ì®© ¥¨§¢¥áâ®© ¨áå®¤®© á¨áâ¥¬ë ãà ¢¥¨©. (2) à®¢®¤¨âáï ç «ì®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤«ï ¢á¥å ¥¨§¢¥áâëå. (3) ëç¨á«¥¨ï ç¨ îâ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯¥à¢®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ª ¦¤®© ¤¨ £® «ì®© ¥¨§¢¥áâ®©, § ¯¨á ëå è £¥ 1. à¨ ª ¦¤®¬ ¢ëç¨á«¥¨¨, ¢¥§¤¥, £¤¥ ¢®§¬®¦®, ¨á¯®«ì§ãîâáï â®«ìª® çâ® ®¯à¥¤¥«¥ë¥ § ç¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå. ª®¥ç®¬ ¨â®£¥ áç¨â ¥âáï, çâ® ¯¥à¢ ï ¨â¥à æ¨ï áç¨â ¥âáï § ª®ç¥®©. 22

(4) ç¥¨ï, ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¯¥à¢®© ¨â¥à æ¨¨, ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢áïª¨© à § â ¬, £¤¥ ¢®§¬®¦®, ¤«ï â®£®, çâ®¡ë § ª®ç¨âì ¢â®à®© ªàã£ ¨â¥à æ¨®ëå ¢ëç¨á«¥¨©. (5) â¥à æ¨®ë¥ ¯à®æ¥¤ãàë ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ãª § ë¥ ªà¨â¥à¨¨ áå®¤¨¬®áâ¨ ¡ã¤ãâ ã¤®¢«¥â¢®à¥ë ¤«ï ¢á¥å ¥¨§¢¥áâëå ¢ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© «£¥¡à ¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬¥ ãà ¢¥¨©. ª ç¥áâ¢¥ ¯à¨¬¥à , ¨««îáâà¨àãîé¥£® ¨â¥à æ¨¨ ¬¥â®¤ ãáá -¥©¤¥«ï, à áá¬®âà¨¬ á«¥¤ãîé¨¥ âà¨ ãà ¢¥¨ï a11T1 + a12T2 + a13T3 = d1 ; a21T1 + a22T2 + a23T3 = d2 ; (3.28) a31T1 + a32T2 + a33T3 = d3 ; £¤¥ aii 6= 0 ¤«ï i = 1; 2; 3. ®á«¥¤®¢ â¥«ì® à¥è ¥¬ ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¤¨ £® «ìëå ¥¨§¢¥áâëå T1 = a1 (d1 a12T2 a13T3) ; 11 1 T2 = a (d3 a21T1 a23T3) ; (3.29) 22 T3 = a1 (d3 a31T1 a32T2) ; 33 â¥¬ ¢ë¡¨à ¥¬ ç «ìë¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ T1(0) ; T2(0) ; T3(0) : (3.30) â¨ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ìë¥ § ç¥¨ï ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢¬¥áâ¥ á ¯®«ãç¥ë¬¨ â¥ªãé¥© ¨â¥à æ¨¨ § ç¥¨ï¬¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï § ç¥¨© ¥¨§¢¥áâëå. àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¯¥à¢ë© ªàã£ ¨â¥à æ¨© ¨¬¥¥â ¢¨¤ T1(1) = a1 (d1 a12T2(0) a13T3(0)) ; 11 1 (1) (3.31) T2 = a (d3 a21T1(1) a23T3(0)) ; 22 T3(1) = a1 (d3 a31T1(1) a32T2(1)) ; 33 â¨ ¯¥à¢ë¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢¬¥áâ¥ á ¥¤ ¢® ¢ëç¨á«¥ë¬¨ § ç¥¨ï¬¨ ¤«ï â®£®, çâ®¡ë § ª®ç¨âì ¢â®à®© ªàã£ ¨â¥à æ¨© T1(2) = a1 (d1 a12T2(1) a13T3(1)) ; 11 1 (2) T2 = a (d3 a21T1(2) a23T3(1)) ; (3.32) 22 T3(2) = a1 (d3 a31T1(2) a32T2(2)) ; 33 ¤ «ì¥©è¥¬, ¨â¥à æ¨®ë¥ ¯à®æ¥¤ãàë ¯à®¤®«¦ ¥âáï «®£¨çë¬ ®¡à §®¬. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï \n+1"-®£® è £ ¨â¥à æ¨© ¢ëè¥ã¯®¬ïãâ®© á¨áâ¥¬ë ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ T1(n+1) = a1 (d1 a12T2(n) a13T3(n)) ; 11 1 (3.33) T2(n+1) = a (d3 a21T1(n+1) a23T3(n)) ; 22 T3(n+1) = a1 (d3 a31T1(n+1) a32T2(n+1)) ; 33 23

®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¤«ï á¨áâ¥¬ë ãà ¢¥¨©, \n+1"-ë© è £ ¨â¥à æ¨© ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ á«¥¤ãîé¥¬ ®¡®¡é¥®¬ ¢¨¤¥ 9 8 i1 M = < X X 1 Ti(n+1) = a :di i = 1; :::; M : (3.34) aij Tj(n); aij Tj(n+1) ii j =i+1 j =1 â® ª á ¥âáï ªà¨â¥à¨¥¢ áå®¤¨¬®áâ¨ ¨â¥à æ¨®®£® ¯à®æ¥áá , â® ® ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ «¨¡® ª ª ¡á®«îâë© ªà¨â¥à¨© áå®¤¨¬®áâ¨ ¢ ¢¨¤¥ (n+1) (n) T T " ¡á (3.35) i

i

«¨¡® ª ª ®â®á¨â¥«ìë© ªà¨â¥à¨© áå®¤¨¬®áâ¨ ¢ ¢¨¤¥ (n+1) (n) Ti T T (n+1) i "®â ; i

(3.36)

ª®â®àë© ¤®«¦¥ ¡ëâì ã¤®¢«¥â¢®à¥ ¤«ï ¢á¥å Ti. ¬¥â¨¬, çâ® § ç¥¨ï " ¡á, «¨¡® "®â ¤®«¦ë ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë § à ¥¥. à¨â¥à¨© áå®¤¨¬®áâ¨, § ¤ ë© ãà ¢¥¨¥¬ (3.36) ï¢«ï¥âáï á ¬ë¬ ¡¥§®¯ áë¬ ¢ë¡®à®¬, ¥á«¨ ¢¥«¨ç¨ë Ti ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áª § ë § à ¥¥. ® ¯à®¢¥àª (3.36) âà¥¡ã¥â ¡®«ìè¥£® ª®«¨ç¥áâ¢ ¨â¥à æ¨©, á«¥¤®¢ â¥«ì® ¨ ª®¬¯ìîâ¥à®£® ¢à¥¬¥¨, ç¥¬ ¯à®¢¥àª ¡á®«îâ®£® ªà¨â¥à¨ï áå®¤¨¬®áâ¨, § ¤ ®£® ãà ¢¥¨¥¬ (3.35). á«¨ ¯à¨¡«¨§¨â¥«ìë¥ ¢¥«¨ç¨ë Ti ¨§¢¥áâë § à ¥¥, â® ªà¨â¥à¨©, § ¤ ë© ãà ¢¥¨¥¬ (3.35) ï¢«ï¥âáï ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ìë¬. å®¤¨¬®áâì ¨â¥à æ¨®®£® ¬¥â®¤ ¯à®ï¢«ï¥â á« ¡ãî § ¢¨á¨¬®áâì ®â ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¤«ï ¥¨§¢¥áâëå, ® ® § ¢¨á¨â áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ®â å à ªâ¥à ¬ âà¨æë ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¢ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© á¨áâ¥¬¥ ãà ¢¥¨©. «ï áå®¤ïé¥©áï á¨áâ¥¬ë, å®à®è¥¥ ¯¥à¢®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤«ï ¥¨§¢¥áâëå § ç¨â¥«ì® ã¬¥ìè ¥â ç¨á«® ¨â¥à æ¨© ¤«ï ¢ë¡à ®£® ªà¨â¥à¨ï áå®¤¨¬®áâ¨. ¨áâ¥¬ ãà ¢¥¨©, ¢ ª®â®àëå ¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë ï¢«ïîâáï á ¬ë¬¨ ¡®«ìè¨¬¨ í«¥¬¥â ¬¨ (¯® ¬®¤ã«î) ¢ ª ¦¤®© áâà®çª¥, ï¢«ï¥âáï «ãçè¥© á¨âã æ¨¥© ¤«ï ¯à®¢¥¤¥¨ï ¨â¥à æ¨©. á¨âã æ¨ïå, ª®£¤ ¤¥«® ®¡áâ®¨â ¥ â ª, ãà ¢¥¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì à¥®à£ ¨§®¢ ë â ª, çâ®¡ë ¢¥áâ¨, ¯® ¢®§¬®¦®áâ¨, ¨¡®«ìè¨© í«¥¬¥â ¢ ª ¦¤®© áâà®çª¥ ¤¨ £® «ì. áç áâìî, ¢ ¡®«ìè¨áâ¢¥ § ¤ ç â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨, ¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë à §®áâëå ãà ¢¥¨© ¨¬¥îâ ¨¡®«ìè¨¥ ¯® ¬®¤ã«î § ç¥¨ï. ¥â «ìë¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¤®áâ â®çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¤«ï áå®¤¨¬®áâ¨ ¨â¥à æ¨®®£® ¬¥â®¤ ãáá -¥©¤¥«ï ï¢«ï¥âáï ¥à ¢¥áâ¢® M X jaij j i = 1; 2; :::; n ; (3.37) jaiij j =1;i6=j

àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, íâ® ãá«®¢¨¥ âà¥¡ã¥â, çâ®¡ë ¤«ï ª ¦¤®£® ãà ¢¥¨ï ¢¥«¨ç¨ ¤¨ £® «ì®£® í«¥¬¥â ¡ë« ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢ï« áì áã¬¬¥ ¡á®«îâëå ¢¥«¨ç¨ ¤àã£¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¢ ª ¦¤®¬ ãà ¢¥¨¨. ¤ ª®, ¯à ªâ¨ª¥, áå®¤¨¬®áâì ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®áâ¨£ãâ , ª®£¤ íâ® ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«ï¥âáï â®«ìª® ¤«ï ®â¤¥«ìëå áâà®ç¥ª. à¨¬¥à 3-2. à®¢¥¤¨â¥ ¯¥à¢ë¥ âà¨ ¨â¥à æ¨¨ ¬¥â®¤ ãáá -¥©¤¥«ï ¤«ï à¥è¥¨ï á«¥¤ãîé¥© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© 6T1 + T2 + 3T3 = 17 ; T1 10T2 + 4T3 = 7 ; (3.38) T1 + T2 + 3T3 = 12 : ¥è¥¨¥. à¥¦¤¥ ¢á¥£® ®¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ¢ ª ¦¤®¬ ãà ¢¥¨¨ á ¬ë© ¡®«ìè¨© ¯® ¬®¤ã«î í«¥¬¥â ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® å®¤¨âáï ¤¨ £® «¨. «¥¤®¢ â¥«ì® ¤®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ áå®¤¨¬®áâ¨ (3.37) ¢ë¯®«¥®.

24

¯¨è¥¬ à¥è¥¨ï ¤«ï ª ¦¤®£® ¤¨ £® «ì®£® ¥¨§¢¥áâ®£® T1 = 61 (17 T2 3T3) ; T2 = 101 (7 + T1 + 4T3) ; T3 = 31 (12 T1 T2) ; ¨ ¢ë¡¥à¥¬ ç «ìë¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¤«ï ¥¨§¢¥áâëå ¢ ¢¨¤¥

(3.39)

T1(0) = T2(0) = T3(0) = 1 : (3.40) ¥à¢ë© ¨â¥à æ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥â T1(1) = 61 (17 T2(0) 3T3(0)) = 2:167 ; 1 (7 T (1) 3T (0)) = 1:317 ; (3.41) T2(1) = 10 1 3 T3(1) = 31 (12 T1(1) 3T2(1)) = 2:839 ; â®à®© ªàã£ ¨â¥à æ¨© ¤ ¥â T1(2) = 61 (17 T2(1) 3T3(1)) = 1:194 ; 1 (7 T (2) 3T (1)) = 1:955 ; T2(2) = 10 (3.42) 1 3 T3(2) = 31 (12 T1(2) 3T2(2)) = 2:950 ; ¨ âà¥âìï ¨â¥à æ¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª T1(3) = 61 (17 T2(2) 3T3(2)) = 1:032 ; 1 (7 T (3) 3T (2)) = 1:999 ; (3.43) T2(3) = 10 1 3 T3(3) = 31 (12 T1(3) 3T2(3)) = 2:989 ; ç¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ § ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ âà¨ ¨â¥à æ¨¨ ï¢«ïîâáï ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª¨¬¨ ª â®ç®¬ã ®â¢¥âã T1 = 1, T2 = 2 ¨ T3 = 3. àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨ à¥è¥¨¥ «£¥¡à ¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¤®áâ â®ç® ¡ëáâà® áå®¤¨âáï ª â®ç®¬ã à¥è¥¨î. 3.3.2. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®© ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨

¯ëâ ¯®¤áª §ë¢ ¥â, çâ® ¬¥â®¤ ãáá -¥©¤¥«ï, ®¯¨á ë© à ¥¥, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥ áå®¤¨âáï ¤®áâ â®ç® ¡ëáâà®. ®á«¥¤®¢ â¥«ì ï ¢¥àåïï à¥« ªá æ¨ï ï¢«ï¥âáï ¬¥â®¤®¬, ª®â®àë© ¬®¦¥â ãáª®à¨âì áå®¤¨¬®áâì. «ï â®£®, çâ®¡ë ¯à®¨««îáâà¨à®¢ âì ®á®¢ãî ¨¤¥î ¢ íâ®£® ¬¥â®¤ ¤®¡ ¢¨¬ ¢ ¯à ¢ãî áâ®à®ã ãà ¢¥¨© (3.33) â®¦¤¥áâ¢ 0 = T1(n) T1(n), 0 = T2(n) T2(n) ¨ 0 = T3(n) T3(n) ¨ § â¥¬ ¯¥à¥£àã¯¯¨àã¥¬ ¨å i h T1(n+1) = T1(n) + a1 d1 a11T1(n) a12T2(n) a13T3(n) ; 11 h i 1 (3.44) T2(n+1) = T2(n) + a d2 a21T1(n+1) a22T2(n) a23T3(n) ; 22 h i T3(n+1) = T3(n) + a1 d3 a31T1(n+1) a32T2(n+1) a33T3(n) : 33 ®áª®«ìªã ¯® ¬¥à¥ ¯à®¢¥¤¥¨ï ¨â¥à æ¨© à¥è¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ãà ¢¥¨© ¯à¨¡«¨¦ ¥âáï ª â®ç®¬ã à¥è¥¨î, â® à¥è¥¨¥ Ti(n+1) ¯à¨¡«¨¦ ¥âáï ª Ti(n). «¥¤®¢ â¥«ì® á« £ ¥¬ë¥ ¢ãâà¨ ª¢ ¤à âëå 25

áª®¡®ª áâ ãâ ã«¥¢ë¬¨ â®¦¤¥áâ¢¥®. ®íâ®¬ã, á« £ ¥¬ë¥ ¢ãâà¨ ª¢ ¤à âëå áª®¡®ª ¬®£ãâ ¡ëâì à áæ¥¥ë ª ª á« £ ¥¬ë¥ ª®àà¥ªæ¨¨, ¤¥©áâ¢ãîé¨¥ Ti(n) ¯à¨ i = 1; 2; 3 ¤«ï ª ¦¤®© ¨â¥à æ¨¨. ¬¥â®¤¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®© ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨ á« £ ¥¬ë¥ ¢ áª®¡ª å ã¬®¦¥ë ¬®¦¨â¥«ì !, §ë¢ ¥¬ë© ¯ à ¬¥âà®¬ à¥« ªá æ¨¨ ¨ ãà ¢¥¨ï (3.44) ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ i h T1(n+1) = T1(n) + a! d1 a11T1(n) a12T2(n) a13T3(n) ; 11 h i ! ( n+1) ( n) T2 = T2 + a d2 a21T1(n+1) a22T2(n) a23T3(n) ; (3.45) 22 h i T3(n+1) = T3(n) + a! d3 a31T1(n+1) a32T2(n+1) a33T3(n) : 33

«ï ¤®áâ¨¦¥¨ï áå®¤¨¬®áâ¨ § ç¥¨ï à¥« ªá æ¨®®£® ¯ à ¬¥âà ¤®«¦ë «¥¦ âì ¢ ¤¨ ¯ §®¥ 0 < ! < 2. ¨ ¯ §® 0 < ! < 1 á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ¨¦¥© à¥« ªá æ¨¨, 1 < ! < 2 á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨, à¨ ! = 1 à¥« ªá æ¨®ë© ¬¥â®¤ ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¨â¥à æ¨®ë© ¬¥â®¤ ãá ¥©¤¥«ï. ëè¥ã¯®¬ïãâë¥ ¨â¥à æ¨¨ ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®© ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¡®¡é¥ë ¤«ï á«ãç ï ãà ¢¥¨© ¢ ¢¨¤¥ 9 8 i1 M = < X (n+1) X ! ( n ) ( n +1) ( n ) i = 1; :::; M : (3.46) aij Tj ; aij Tj Ti = Ti + a :di ii

j =i

j =1

ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ ë ¢ ¢¨¤¥ 9 8 i1 M = < X X ! Ti(n+1) = a :di aij Tj(n); + (1 !)Ti(n) ; aij Tj(n+1) ii j =i+1 j =1

i = 1; :::; M :

(3.47)

¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® áâàãªâãà á« £ ¥¬ëå ¢ãâà¨ ä¨£ãà®© áª®¡ª¨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (3.47) ï¢«ï¥âáï «®£¨ç®© áâàãªâãà¥ á« £ ¥¬ëå ¢ ä¨£ãàëå áª®¡ª å ¢ ¨â¥à æ¨ïå ãáá -¥©¤¥«ï (3.34). ë¡®à ¯ à ¬¥âà à¥« ªá æ¨¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â áª®à®áâì áå®¤¨¬®áâ¨, ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®¯â¨¬ «ì®£® § ç¥¨© ! ï¢«ï¥âáï âàã¤ë¬ ¢®¯à®á®¬. ®£¤ ¥®¡å®¤¨¬® ¯à®¢¥áâ¨ ¤ ¦¥ ®¯à¥¤¥«¥ë© ç¨á«¥ë© íªá¯¥à¨¬¥â ¤«ï ¢ë¡®à ¤«¥¦ é¥£® § ç¥¨ï ¯ à ¬¥âà à¥« ªá æ¨¨ ¢ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© § ¤ ç¥. ¤«¥¦ é¨¬ ¢ë¡®à®¬ !, ¬®¦® ã¬¥ìè¨âì ¢à¥¬ï ¢ëç¨á«¥¨© ¯®àï¤®ª. ®íâ®¬ã, ª®£¤ ç¨á«® ãà ¢¥¨© ¡®«ìè®¥ ¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥®¡å®¤¨¬®áâì á®ªà é¥¨ï ç¨á« ¢ëç¨á«¥¨©, ¡ë¢ ¥â ¯®«¥§® ¯à®¢¥¤¥¨¥ ¥ª®â®àëå ¯à®¡ëå ¢ëç¨á«¥¨© á à §«¨çë¬¨ § ç¥¨ï¬¨ !. ¨§¨ç¥áª®¥ § ç¥¨¥ ¯ à ¬¥âà à¥« ªá æ¨¨ ! á«¥¤ãîé¥¥. «ï ! = 1, ¢ëç¨á«¥ë¥ § ç¥¨ï ¬¥â®¤®¬ ãáá -¥©¤¥«ï § ®áïâáï ¢ ª ç¥áâ¢¥ â¥ªãé¨å § ç¥¨©. «ï ¤®à¥« ªá æ¨®®£® à¥¦¨¬ , ª®£¤ 0 < ! < 1, áà¥¤¥¥ ¢¥á®¢®¥ § ç¥¨¥ ¬¥â®¤ ©áá -¥©¤¥«ï ¨ § ç¥¨ï ®â ¯à¥¤ë¤ãé¥© ¨â¥à æ¨¨ § ®áïâáï ª ª â¥ªãé¥¥ § ç¥¨¥. «ï á¢¥àåà¥« ªá æ¨¨, ª®£¤ 1 < ! < 2 § ¯®¬¥ë¥ § ç¥¨ï ä ªâ¨ç¥áª¨ íªáâà ¯®«¨àãîâáï ¢¥ § ç¥¨© ¬¥â®¤ ãáá -¥©¤¥«ï. «ï ! > 2, ¢ëç¨á«¥¨ï ¯à¥â¥à¯¥¢ îâ ¢®§¡ã¦¤¥¨¥. 3.4.

® ¬®£¨å, ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ ¦ëå á«ãç ïå, ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ áâ ®¢ïâáï ¥«¨¥©ë¬¨ ¨§-§ ¥«¨¥©®áâ¨ à áá¬ âà¨¢ ¥¬ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ¨«¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨©, ¨«¨ ¯® ®¡¥¨¬ ¯à¨ç¨ ¬. ªâ¨ç¥áª¨ ¡®«ìè¨áâ¢® ä¨§¨ç¥áª¨å ¯à®¡«¥¬ ï¢«ïîâáï ¥«¨¥©ë¬¨. ¡®«ìè¨áâ¢¥ á«ãç ¥¢ ¯à¨ ¯à®¢¥¤¥¨¨ ª®¥ç®-à §®áâëå ¯¯à®ªá¨¬ æ¨© ª ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¥«¨¥©®© ¯à®¡«¥¬ë âàã¤®áâ¨ ¥ ¢áâà¥ç îâáï. ¯à¥¤¥«¥ë¥ á«®¦®áâ¨ ¯®ï¢«ïîâáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¯®«ãç¥®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. ®áª®«ìªã á¨áâ¥¬ «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥ á ¨§¢¥áâë¬¨ «£®à¨â¬ ¬¨, â® ¨¬¥¥â á¬ëá« ¯à®¢¥¤¥¨ï «¨¥ à¨§ æ¨¨ ¥«¨¥©ëå á¨áâ¥¬ ãà ¢¥¨©. ¤ ª®, ®¯ëâ ¯®¤áª §ë¢ ¥â, çâ® ¢® ¬®£¨å á«ãç ïå â ª ï «¨¥ à¨§ æ¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª áãé¥áâ¢¥®¬ã ã¢¥«¨ç¥¨î ¯à®¤®«¦¨â¥«ì®áâ¨ ¢ëç¨á«¥¨©. ® íâ®© ¯à¨ç¨¥ ¬¥â®¤ë «¨¥ à¨§ æ¨¨ ¯à¨¬¥ïîâáï à¥¤ª® ¨ â®«ìª® ¤«ï á¯¥æ¨ «ì®£® ª« áá § ¤ ç. ¨¡®«ìè¥¥ à á¯à®áâà ¥¨¥ ¤«ï à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå á¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯®«ãç¨« ¬¥â®¤ ìîâ® - äá® . «¥¥ ®¡áã¤¨¬ £« ¢ë¥ ®á®¡¥®áâ¨ ¯à®¢¥¤¥¨ï ¨â¥à æ¨© ¢ ¬¥â®¤¥ ìîâ® - äá® . 26

3.4.1. ¥â®¤ ¨â¥à æ¨© ìîâ® - äá®

¥â®¤ ìîâ® - äá® { ¨â¥à æ¨®ë© «£®à¨â¬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®à¥© á¨áâ¥¬ë ¥«¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. áá¬®âà¨¬, ¯à¨¬¥à, á«¥¤ãîéãî á¨áâ¥¬ã N «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© F1(x1; x2; ::::; xN ) = 0 ; F2(x1; x2; ::::; xN ) = 0 ; ::: (3.48) Fn(x1; x2; ::::; xN ) = 0 : ¥®¡å®¤¨¬® ©â¨ x1, x2, ... xN â ª¨¬¨, çâ®¡ë íâ á¨áâ¥¬ ¥«¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¡ë« ã¤®¢«¥â¢®à¥ . «ï ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¨â¥à æ¨®®© áå¥¬ë, ãà ¢¥¨ï ã¤®¡® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¥ªâ®à®© ä®à¬¥ F (x) = 0 (3.49) «¥¥ à áá¬ âà¨¢ ¥âáï ¨å à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤ ¥©«®à ¢ ¢¨¤¥ ! @ F k +1 k F (x ) = F (x ) + @ x (xk+1 xk ) + ::: (3.50) ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë F (xk ) = 0. ï¤ ¥©«®à ãá¥ª ¥âáï ¨ ª« ¤ë¢ ¥âáï ãá«®¢¨¥ ! @ F k (3.51) F (x ) + @ x (xk+1 xk ) = 0 ; ª®â®à®¥ à¥è ¥âáï ®â®á¨â¥«ì® ¢¥ªâ®à xk+1 !1 @ F (3.52) xk+1 = xk @ x F (xk ) ; £¤¥ (@ F =@ x) { ïª®¡¨ ¬ âà¨æë J , ®¯à¥¤¥«¥ë© ª ª 2 @F1 @F1 3 ::: k) 6 66 @x1 ::: @xn 777 @ F ( x J = @x = 6 (3.53) 7: 4 @Fn @F n 5 @x ::: @x 1

n

à ¢¥¨ï (3.52) ®¯à¥¤¥«ïîâ ¨â¥à æ¨®ë© ¬¥â®¤ ìîâ® - äá® . ¤¥áì ¨¤¥ªá k ®¡®§ ç ¥â § ç¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ k-®© ¨â¥à æ¨¨, k + 1 ãª §ë¢ ¥â § ç¥¨ï k + 1-®© ¨â¥à æ¨¨.

¯¥æ¨ «ìë© «ãç © n=2. «ï ¨««îáâà æ¨¨ à áá¬®âà¨¬ ¬¥â®¤ ìîâ® - äá® ¤«ï á«ãç ï ¤¢ãå ãà ¢¥¨©, § ¤ ë¬¨ ¢ ¢¨¤¥ F1(x; y) = 0 ; F2(x; y) = 0 : (3.54) ¥â®¤ ìîâ® - äá® , § ¤ ë© ãà ¢¥¨ï¬¨ (3.52) á¢®¤¨âáï ª xk+1 xk F (xk ; yk ) 1 1 (3.55) [J ] yk+1 = yk F2(xk ; yk ) ; £¤¥ J { ¬ âà¨æ ª®¡¨ , ®¯à¥¤¥«¥ ï ª ª 2 @F @F 3 66 @x1 @y1 77 (3.56) J = 64 @F2 @F2 75 : @x @y

27

á«¨ â®ç ï ¨¢¥àá¨ï ¬ âà¨æë ª®¡¨ J ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥ ç¨á«¥® ¨«¨ ¢ «¨â¨ç¥áª®© ä®à¬¥, â® ãà ¢¥¨ï (3.55) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ 0 2 1 @F1 3 xk+1 xk B 1 6 @F2 k k @y 775 F1(xk ; yk) C B@ 64 @y C = (3.57) k +1 k y y F2 ( x ; y ) A ; D @F2 @F1 @x @x £¤¥ ¤¥â¥à¬¨ â @F1 @F1 @x @y : D = @F (3.58) 2 @F2 @x @y ¯¥æ¨ «ìë© á«ãç © n=1. íâ®¬ á¯¥æ¨ «ì®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ â®«ìª® ®¤® ãà ¢¥¨¥ F (x) = 0 (3.59) ¨ ¬¥â®¤ ìîâ® - äá® á¢®¤¨âáï ª k (3.60) xk+1 = xk FF0((xxk)) ; £¤¥ èâà¨å ®¡®§ ç ¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® x. á«¨ á¤¥« ® å®à®è¥¥ ç «ì®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥, â® ¨â¥à æ¨®ë© ¯à®æ¥áá ìîâ® -ä á® áå®¤¨âáï çà¥§¢ëç ©® ¡ëáâà®. â¥à æ¨¨ § ª ç¨¢ îâáï, ª®£¤ ¢ëç¨á«¥ë¥ ¨§¬¥¥¨ï ¢ § ç¥¨ïå jxk+1 xk j áâ «¨ ¬¥ìè¥ ç¥¬ ¥ª®â®à®¥ ãª § ®¥ § ç¥¨¥ " ¡á. ¤ ¨¥ å®à®è¥£® ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ï¢«ï¥âáï áãé¥áâ¢¥ë¬ ¤«ï ãá¯¥è®© áå®¤¨¬®áâ¨ íâ®£® ¬¥â®¤ . «ï ¥¤¨áâ¢¥®£® ãà ¢¥¨ï, å®à®è ï ¯à¨®à ï ¨ä®à¬ æ¨ï ®â®á¨â¥«ì® ¯®«®¦¥¨ï ª®à¥© ç áâ® ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâã¯®©. ¤ ª®, ¢ á«ãç ¥ á¨áâ¥¬ ãà ¢¥¨© ¢¥áì¬ âàã¤® ©â¨ å®à®è¨¥ ç «ìë¥ § ç¥¨ï ¢ ®ªà¥áâ®áâïå à¥è¥¨ï, á«¥¤®¢ â¥«ì® áå®¤¨¬®áâì à¥è¥¨ï ¬®¦¥â á®áâ ¢¨âì á¥àì¥§ãî ¯à®¡«¥¬ã. à®¡«¥¬ ®¡ àã¦¥¨ï å®à®è¥£® ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¤«ï ¬¥â®¤ ìîâ® - äá® ï¢«ï¥âáï ¯à¥¤¬¥â®¬ ¬®£®ç¨á«¥ëå ¨áá«¥¤®¢ ¨©. à¨¬¥à 3-3.

¤ ë ¤¢ ¥«¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨ï F1(x; y) = x2 2y + 2 = 0 ; F2(x; y) = 2x2 y 5 = 0 : (3.61) ¯¨è¨â¥ «£®à¨â¬ ìîâ® - äá® ¤«ï à¥è¥¨ï íâ¨å ¤¢ãå ãà ¢¥¨© ¨ ¢ë¯®«¨â¥ ¯¥à¢ãî ¨â¥à æ¨î. ¥è¥¨¥. â® á¨áâ¥¬ á ¤¢ã¬ï ãà ¢¥¨ï¬¨. à¨¬¥¨¬ ï¢ãî ä®à¬ã «£®à¨â¬ , § ¤ ãî ãà ¢¥¨ï¬¨ (3.57). ¥â¥à¬¨ â D à ¢¥ 2xk 2 D = 4xk 1 = 6xk ; (3.62) £¤¥ ¨¤¥ªá k ®¡®§ ç ¥â k-ãî ¨â¥à æ¨î. ¯¨è¥¬ 2 @F2 @F1 66 @y 1 +2 @y (3.63) 4 @F2 @F1 = 4xk 2xk : @x @x ®¤áâ ®¢ª íâ¨å à¥§ã«ìâ â®¢ ¢ ãà ¢¥¨¥ (3.57) ¤ ¥â á«¥¤ãîé¨© «£®à¨â¬ ¤«ï ¯à®¢¥¤¥¨ï ¨â¥à æ¨© xk+1 xk 1 1 2 (xk )2 2yk + 2 : (3.64) yk+1 = yk 2(kk ) yk 5 6kk 4xk 2xk 28

«ï â®£®, çâ®¡ë ¢ë¯®«¨âì ¨â¥à æ¨¨, ¥®¡å®¤¨¬® § ¤ âì ç «ìë¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï. ãáâì x0 = = 1:0. ®£¤ ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ ãà ¢¥¨ï ¤ îâ á«¥¤ãîé¨¥ § ç¥¨ï ¯®á«¥ ¯¥à¢®© ¨â¥à æ¨¨ (x1; y1) x1 1 1 1 2 1 2:5 (3.65) 4 = 3:0 : y1 = 1 6 4 2 â¨ § ç¥¨ï ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ ¢ëè¥ã¯®¬ïãâ®¬ ¢ëà ¦¥¨¨ ¯®á«¥¤ãîé¨å ¨â¥à æ¨ïå ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ x(2), y(2). à®æ¥¤ãà ¯à®¤®«¦ ¥âáï, ¯®ª ¦¥« â¥«ì ï áå®¤¨¬®áâì ¥ ¡ã¤¥â ¤®áâ¨£ãâ .

y0

29

4.

íâ®© ç áâ¨ ªãàá ¨áá«¥¤ã¥¬ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¨ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®¤®¬¥à®© áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¯«®áª®© £¥®¬¥âà¨¥© á æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© á¨¬¬¥âà¨ï¬¨. ã¤ãâ ®¡áã¦¤¥ë ¢®¯à®áë ç¨á«¥®© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯®«ãç¥ëå ª®¥ç®-à §®áâëå ãà ¢¥¨©. 4.1.

áá¬®âà¨¬ ®¤®¬¥àãî áâ æ¨® àãî â¥¯«®¢ãî ¤¨ääã§¨î ¢ áà¥¤¥ á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨, á ¯«®áª®© £¥®¬¥âà¨¥©, á æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© á¨¬¬¥âà¨ï¬¨. á®¢®¥ ãà ¢¥¨¥, ®¯¨áë¢ îé¥¥ à á¯à®áâà ¥¨ï â¥¯« ¢ à §«¨çëå á¨áâ¥¬ å ª®®à¤¨ â, § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ! 1 d rp dT + g(r) = 0 ; r 6= 0 ; (4.1) rp dr dr k ¨«¨ d2T + p dT + g(r) = 0 ; r 6= 0 ; dr2 r dr8 k £¤¥ < 0 { ¯àï¬®ã£®«ì ï p = : 1 { æ¨«¨¤à¨ç¥áª ï 2 { áä¥à¨ç¥áª ï ¯à¨¢¥¤¥ëå ¢ëà ¦¥¨ïå p ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ç¨á«®, ª®â®à®¥ ¢ à §«¨çëå ª®®à¤¨ âëå á¨áâ¥¬ å ¯à¨¨¬ ¥â à §«¨çë¥ § ç¥¨ï ¨ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨¬ ®¡à §®¬ ¯à¥®¡à §ã¥â ¨áå®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ (4.1) ¢ à §«¨çëå ª®®à¤¨ âëå á¨áâ¥¬ å: p = 0 ¤«ï ®¤®¬¥à®© § ¤ ç¨ ¢ ¯àï¬®ã£®«ì®© á¨áâ¥¬¥ ª®®à¤¨ â (¯à¨ íâ®¬ r x), p = 1 ¤«ï æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¯à¨ «¨ç¨¨ ®á¥¢®© á¨¬¬¥âà¨¥© ¢ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¯®«¥©, ¨ p = 2 ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â â ª ¦¥ ¯à¨ «¨ç¨¨ ®á¥¢®© á¨¬¬¥âà¨¨ ¢ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¯®«¥©. á«ãç ¥ â¥¯«®¢®© ¤¨ääã§¨¨, T ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á®¡®© ¯®«¥ â¥¬¯¥à âãà (£à ¤), á« £ ¥¬®¥ g(r) ¨¬¥¥â á¬ëá« ®¡ê¥¬®© ¯«®â®áâ¨ ¢ë¤¥«¥¨ï í¥à£¨¨ (â=¬3), k { ª®íä¨¨æ¨¥â â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ áà¥¤ë. á«ãç ¥ ¬ áá®¢®© ¤¨ääã§¨¨, T ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á®¡®© ®¡ê¥¬ãî ¬ áá®¢ãî ª®æ¥âà æ¨î (£=á¬3), g(r) á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ®¡ê¥¬®© £¥¥à æ¨¨ ¬ ááë (ª£=(¬3 á)), k § ¬¥ï¥âáï ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¤¨ääã§¨¨ D (á¬2=á). 4.1.1. « áâ¨

íâ®¬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (4.1) ã¯à®é ¥âáï ¤® d2T + g(x) = 0 ; 0xb (4.2) dx2 k «ï ¯à®¢¥¤¥¨ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ íâ®£® ãà ¢¥¨ï ¢¢¥¤¥¬ á¨áâ¥¬ã M íª¢¨¤¨áâ âëå ã§«®¢ëå â®ç¥ª á à ááâ®ï¨¥¬ ¬¥¦¤ã á®á¥¤¨¬¨ ã§« ¬¨ (4.3) = Mb ¨ ®¡®§ ç¥¨¥, á¢ï§ ®¥ á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ § ç¥¨ï ¯®«ï â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§«®¢ëå â®çª å T (x) = T (i) Ti ; i = 0; 1; :::; M : (4.4) á¯®«ì§®¢ ¨¥ ª®¥ç®-à §®áâ®© ä®à¬ã«ë ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãîé¥¬ã ¤¨áªà¥â®¬ã «®£ã ãà ¢¥¨ï ®¤®¬¥à®© áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ Ti 1 2Ti + Ti+1 + gi = 0 : (4.5) 2 k ®á«¥¤¥¬ã ãà ¢¥¨î ¬®¦® ¯à¨¤ âì ¡®«¥¥ ª®¬¯ ªâë© ¢¨¤, ª®â®àë© ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ 2 Ti 1 2Ti + Ti+1 = gik : (4.6) 30

¬¥â¨¬, çâ® ¯®«ãç¥®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¥® â®«ìª® ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© ®¡« áâ¨, i = 1; 2; :::; M 1. «¥¤®¢ â¥«ì®, ãà ¢¥¨¥ (4.6) ¯®§¢®«ï¥â áä®à¬¨à®¢ âì ¢á¥£® M 2 ¥§ ¢¨á¨¬ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï M ¥¨§¢¥áâëå (T0, T1, ..., TM 1, TM ). àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¥®¡å®¤¨¬® áä®à¬¨à®¢ âì ¥é¥ ¤¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãà ¢¥¨ï, ª®â®àë¥ ¥¯®áà¥¤áâ¢¥® á«¥¤ãîâ ¨§ ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï £à ¨çëå ãá«®¢¨©. áá¬®âà¨¬ ®â¤¥«ì® ª ¦¤®¥ ¨§ £à ¨çëå ãá«®¢¨©, ¯à¨¬¥ïï ¥£® á ç « ª «¥¢®© (x = 0), ¯®â®¬ ª ¯à ¢®© (x = b) £à ¨æ ¬ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®£® ¯®«ï â¥¬¯¥à âãà. 1. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¢®£® à®¤ . íâ®¬ á«ãç ¥ ®¯à¥¤¥«¥ â¥¬¯¥à âãà £à ¨æ¥ ®¡« áâ¨. â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¯¥à¢®£® à®¤ ¨¬¥¥â ¢¨¤ T (0) = Ta ; (4.7) £¤¥ Ta { § ¤ ï ¢¥«¨ç¨ , â¥¬¯¥à âãà «¥¢®© £à ¨æë ®¡« áâ¨. ®£¤ ¬®¦® ãâ¢¥à¦¤ âì, çâ® T0 = Ta : (4.8) á«¨ ¢ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© â¥¯«®¢®© á¨áâ¥¬¥ «¥¢®© £à ¨æ¥ § ¤ ® £à ¨ç®¥ ¯¥à¢®£® à®¤ , ãà ¢¥¨¥ (4.8) ¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ª ª ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãà ¢¥¨¥, á¢ï§ë¢ îé¥¥ § ç¥¨ï â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§«®¢ëå â®çª å. á«ãç ¥ ¯à ¢®© £à ¨æë ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãîéãî ¬ â¥¬ â¨ç¥áªãî ä®à¬ã«¨à®¢ªã £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï T (b) = Tb ; (4.9) £¤¥ Tb { § ¤ ï ¢¥«¨ç¨ , â¥¬¯¥à âãà ¯à ¢®© £à ¨æë ®¡« áâ¨. ® «®£¨¨, ¨ íâ®¬ á«ãç ¥ ¬®¦® § ¯¨á âì, çâ® TM = Tb ; (4.10) ª®â®à®¥ ¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ª ª ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ª «£¥¡à ¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬¥ ãà ¢¥¨© (4.6). 2. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ âà¥âì¥£® à®¤ . íâ®¬ á«ãç ¥ ®¯à¥¤¥«¥ ª®¢¥ªæ¨®ë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª £à ¨æ å ®¡« áâ¨. â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï âà¥âì¥£® à®¤ «¥¢®© £à ¨æ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ @T k @x + haT (0) = haT1;a ; (4.11) x=0 £¤¥ ha { ª®íää¨æ¨¥â â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨ «¥¢®© £à ¨æ¥ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© ®¡« áâ¨ â=(¬2 £à ¤), k { ª®íää¨æ¨¥â â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ áà¥¤ë â=(¬ £à ¤), T1;a { â¥¬¯¥à âãà ¢¥è¥© áà¥¤ë, ®â¢®¤ïé¥© â¥¯«® «¥¢®© £à ¨æ¥. «ï â®£®, çâ®¡ë ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ âì ãà ¢¥¨¥ (4.11) ®â®á¨â¥«ì® £à ¨ç®£® ã§« á ¨¤¥ªá®¬ 0 æ¥âà «ì®© à §®áâ®© ä®à¬ã«®© ¢â®à®£® ¯®àï¤ª , ¢¢¥¤¥¬ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ã§¥«, à á¯®«®¦¥ë© «¥¢¥¥ ã§« á ¨¤¥ªá®¬ 0. â® ¬®¦® à¥ «¨§®¢ âì, ¥á«¨ à áá¬ âà¨¢ âì ¯à®¤«¥¨¥ ®¡« áâ¨ à ááâ®ï¨¥ «¥¢® ®â ã§« á ¨¤¥ªá®¬ 0, ä®à¬¨àãï ä¨ªâ¨¢ë© ã§¥« á ¨¤¥ªá®¬ 1 ¨ á ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà®© T 1 â ª, ª ª ¯®ª § ® à¨á.4.1. ®£¤ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨ï ãà ¢¥¨ï (4.11) ®â®á¨â¥«ì® ã§« á ¨¤¥ªá®¬ 0 æ¥âà «ì®© à §®áâ®© ä®à¬ã«®© ¤ ¥â (4.12) k T1 2T 1 + haT0 = haT1;a : ®¯®«¨â¥«ì®¥ á®®â®è¥¨¥, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï T 1, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (4.6) ¤«ï i = 0. ®«ãç ¥¬ 2 T 1 2T0 + T1 = g0k : (4.13) 31

¨á. 4.1: ®à¬¨à®¢ ¨¥ ä¨ªâ¨¢ëå ã§«®¢ 1 ¨ M + 1 á ä¨ªâ¨¢ë¬¨ â¥¬¯¥à âãà ¬¨ T 1 ¨ TM +1.

áª«îç¥¨¥ T 1 ¢ ãà ¢¥¨ïå (4.12) ¨ (4.13) ¤ ¥â 0T0 + 2T1 = 0 G0 ; £¤¥ 2ha T ; a ;

= 0 = 2 + 2h 0 k k 1;a ª®â®à®¥ ï¢«ï¥âáï â®çë¬ ¢¯«®âì ¤® O(2).

2

(4.14)

G0 = kg0 ;

â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï âà¥âì¥£® à®¤ ¯à ¢®© £à ¨æ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ @T (4.15) k @x + hbT (b) = hbT1;b ; x=b £¤¥ hb { ª®íää¨æ¨¥â â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨ ¯à ¢®© £à ¨æ¥ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© ®¡« áâ¨ â=(¬2 £à ¤), k { ª®íää¨æ¨¥â â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ áà¥¤ë â=(¬ £à ¤), T1;b { â¥¬¯¥à âãà ¢¥è¥© áà¥¤ë, ®â¢®¤ïé¥© â¥¯«® £à ¨æ¥. «ï â®£®, çâ®¡ë ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ âì ãà ¢¥¨¥ (4.15) ®â®á¨â¥«ì® ¯à ¢®£® £à ¨ç®£® ã§« M æ¥âà «ì®© à §®áâ®© ä®à¬ã«®© ¢â®à®£® ¯®àï¤ª , ¢¢¥¤¥¬ ¯® «®£¨¨ á ¯à¥¤ë¤ãé¨¬ á«ãç ¥¬ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ã§¥«, à á¯®«®¦¥ë© ¯à ¢¥¥ £à ¨ç®£® ã§« M , à¨á.4.1. â®â ä¨ªâ¨¢ë© ã§¥« á ¨¤¥ªá®¬ M + 1 ¨¬¥¥â ä¨ªâ¨¢ãî â¥¬¯¥à âãàã TM +1. íâ®¬ á«ãç ¥ ¤¨áªà¥âë© «®£ ãá«®¢¨ï (4.15) ®â®á¨â¥«ì® ã§« M æ¥âà «ì®© à §®áâ®© ä®à¬ã«®© ¤ ¥â k TM +1 2 TM 1 + hbTM = hbT1;b : (4.16) ®¯®«¨â¥«ì®¥ á®®â®è¥¨¥, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï TM +1, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (4.6) ¤«ï i = M . à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ 2 TM 1 2TM + TM +1 = gMk : (4.17) áª«îç¥¨¥ TM +1 ¢ ãà ¢¥¨ïå (4.16) ¨ (4.17) ¯®§¢®«ï¥â § ¯¨á âì ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãà ¢¥¨¥, á¢ï§ë¢ îé¥¥ â¥¬¯¥à âãàã ¢ £à ¨ç®¬ ã§«¥ á ¯®«¥¬ â¥¬¯¥à âãà ¢ ¨áá«¥¤ã¥¬®© ®¡« áâ¨ 2TM 1 M TM = M GM ; (4.18) £¤¥ 2hb T ; 2 gM ; b ;

G M = 2 + 2h M= 1;b M= k k k ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ®è¨¡ªã ãá¥ç¥¨ï ¯®àï¤ª O(2). 3. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ . íâ®¬ á«ãç ¥ § ä¨ªá¨à®¢ â¥¯«®¢®© ¯®â®ª £à ¨æ å ®¡« áâ¨. â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï «¥¢®© £à ¨æ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ @T k @x = Qa ; (4.19) x=0 32

£¤¥ Qa { ¢¥«¨ç¨ â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª «¥¢®© £à ¨æ¥ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© ®¡« áâ¨ â=¬2, k { ª®íää¨æ¨¥â â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ áà¥¤ë â=(¬ £à ¤). ¤¥áì, ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ § ç¥¨ï Qa ¨«¨ Qb ¯®¤à §ã¬¥¢ îâ, çâ® â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ¯à ¢«¥ ¢ áà¥¤ã, ¢ãâàì ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ®¡« áâ¨. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (4.19) á«¥¤ã¥â ¥¯®áà¥¤áâ¢¥® ¨§ ãá«®¢¨ï (4.11) ¯à¨ § ¬¥¥ haT (0) = 0 ¨ haT1;a = Qa. ®£¤ ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ (4.14), á¢ï§ë¢ îé¥¥ § ç¥¨ï â¥¬¯¥à âãà £à ¨æ¥ i = 0 ¨ ¡«¨§«¥¦ é¥¬ ª £à ¨æ¥ ã§«¥ i = 1, ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ 2T0 + 2T1 = 0 G0 ; (4.20) 2 £¤¥

0 = 2k Qa ; G0 = kg0 ; ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¯®àï¤®ª â®ç®áâ¨ O(2). «®£¨ç® ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¢â®à®£® à®¤ ¯à ¢®© £à ¨æ¥ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© ®¡« áâ¨. â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ @T k @x = Qb ; (4.21) x=b

£¤¥ Qb { ¢¥«¨ç¨ â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª ¯à ¢®© £à ¨æ¥ à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© ®¡« áâ¨ â=¬2, k { ª®íää¨æ¨¥â â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ áà¥¤ë â=(¬ £à ¤). ®« £ ï ¢ (4.15) haT (0) = 0 ¨ haT1;a = Qa, ®ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬ 2TM 1 2TM = M GM ; (4.22) 2 £¤¥

M = 2k Qb ; GM = kgM ; ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ®è¨¡ªã ãá¥ç¥¨ï ¯®àï¤ª O(2). 4.1.2. ¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à

«ï á¯«®è®£® æ¨«¨¤à ¨ áä¥àë ãà ¢¥¨¥ (4.1) ¨¬¥¥â ®ç¥¢¨¤ãî ®á®¡¥®áâì ¯à¨ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ª r = 0. ¤ ª®, «¨§ ãà ¢¥¨ï (4.1,b) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ª ª r, â ª ¨ dT=dr áâà¥¬ïâáï ª ã«î ¯à¨ r = 0, á«¥¤®¢ â¥«ì®, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ®á®¡¥®áâì ¢¨¤ \0=0" ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. à¨¬¥¥¨¥ ¯à ¢¨« ®¯¨â «ï ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® íâ® ®â®è¥¨¥ ¨¬¥¥â á«¥¤ãîé¨© ¤¥â¥à¬¨¨à®¢ ë© ¢¨¤ ! dT d ! 2 T d dr dr 1 dT (4.23) r dr r=0 = d (r) = dr2 r=0 : r=0 dr ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (4.1,b) ¯à¨ r = 0 ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ¢¨¤ã 2 T (r ) g (r ) (1 + p) d dr r = 0: (4.24) 2 + k = 0; «ï ¯à®¢¥¤¥¨ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ãà ¢¥¨ï (4.1) ¢¢¥¤¥¬ á¨áâ¥¬ã M íª¢¨¤¨áâ âëå ã§«®¢ëå â®ç¥ª á à ááâ®ï¨¥¬ ¬¥¦¤ã á®á¥¤¨¬¨ ã§« ¬¨ (à¨á.4.2) (4.25) = Mb ; £¤¥ b { à ¤¨ãá æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥àë. ¤ «ì¥©è¥¬ ¯®«¥§® ¢¢¥áâ¨ ®¡®§ ç¥¨¥ T (x) = T (i) Ti ; i = 0; 1; :::; M : (4.26) 33

¨á. 4.2: á®¡¥®áâ¨ ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¤«ï æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© á¨¬¬¥âà¨©.

¨á. 4.3: ¨ªâ¨¢ëå ã§¥« M + 1 á ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà®© TM +1.

®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ª®¥ç®-à §®áâãî ä®à¬ã«ã ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¤«ï ¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤ëå, ¯à®¢¥¤¥¬ ¯à®æ¥¤ãàã ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ãà ¢¥¨ï (4.1,b). ®«ãç¥®¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ áâ ®¢¨âáï Ti 1 2Ti + Ti+1 + p Ti+1 Ti 1 + gi = 0 ; i = 1; 2; :::; M 1 : (4.27) 2 i 2 k à ¢¥¨¥ (4.27) ¬®¦® â¥¯¥àì ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ âì ¨ § ¯¨á âì ¢ ¡®«¥¥ ã¤®¡®¬ ¢¨¤¥ p p 2 (4.28) 1 2i Ti 1 2Ti + 1 + 2i Ti+1 = kgi ; 1 { æ¨«¨¤à p = 2 { áä¥à i = 1; 2; :::; M 1 : â á¨áâ¥¬ ä®à¬¨àã¥â M 1 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å T0, T1, ... , TM 1, TM . ®¯®«¨â¥«ìë¥ ®â®è¥¨ï ¯®«ãç îâáï ¯®á«¥ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ãà ¢¥¨ï (4.24) ¯à¨ r = 0 ¨ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¢¥è¥© £à ¨æ¥ ¯à¨ r = b. «ï â®£®, çâ®¡ë ¨á¯®«ì§®¢ âì æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¯à¨ r = 0, ¥®¡å®¤¨¬ ã§¥« á«¥¢ ®â ç « ª®®à¤¨ â r = 0. â® ¤®áâ¨£ ¥âáï, à áá¬ âà¨¢ ï ä¨ªâ¨¢ë© ã§¥« \-1" á ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà®© T 1, à á¯®«®¦¥ë© à ááâ®ï¨¨ ¢«¥¢® ®â â®çª¨ i = 0. à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥âáï á«¥¤ãîé¥¥ à¥§ã«ìâ¨àãîé¥¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (4.24) ¯à¨ r = 0 (i = 0) (1 + p) T 1 2T2 0 + T1 + gk0 = 0 ; (4.29) £¤¥ ä¨ªâ¨¢ ï â¥¬¯¥à âãà T 1 ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ãá«®¢¨ï á¨¬¬¥âà¨¨ ¢ ã§«¥ i = 0 dT = T 1 T1 = 0 ; ) T = T : (4.30) 1 1 dr r=0 2

®¤áâ ®¢ª à¥§ã«ìâ â (4.30) ¢ ãà ¢¥¨¥ (4.29) ¤ ¥â ¯¥à¢®¥ ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ (4.31) 2(1 + p) T1 2 T0 + gk0 = 0 : ®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¡®«¥¥ ¯à¨¢ëç®¬ ¢¨¤¥ 2 æ¨«¨¤à 2(1 + p)(T1 T0) = kg0 ; p = 21 {{ áä¥à (4.32) ¥®¡å®¤¨¬® ¥é¥ ®¤® ãà ¢¥¨¥, çâ®¡ë ç¨á«® ãà ¢¥¨© á®¢¯ «® á ç¨á«®¬ ¥¨§¢¥áâëå. â® ¤®áâ¨£ ¥âáï ¯à¨ à áá¬®âà¥¨¨ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¢¥è¥© £à ¨æ¥, ¢ ã§«¥ i = M (¯à¨ r = b). 34

1. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¢®£® à®¤ .

íâ®¬ á«ãç ¥ ®¯à¥¤¥«¥ â¥¬¯¥à âãà Tb £à ¨æ¥ r = b. «¥¤®¢ â¥«ì® TM = Tb (4.33) ¨ á¨áâ¥¬ ãà ¢¥¨© (4.28), (4.32) ¨ (4.33) ®¡¥á¯¥ç¨â M + 1 ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§«®¢ëå â®çª å à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© ®¡« áâ¨. 2. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ âà¥âì¥£® à®¤ . à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ âà¥âì¥£® à®¤ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á®¡®© ª®¢¥ªæ¨î ¢ ®ªàã¦ îéãî áà¥¤ã á â¥¬¯¥à âãà®© T1;b ¨ ª®íää¨æ¨¥â®¬ â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨ hb. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ k dT (4.34) dr + hbT (b) = hbT1;b ; «ï â®£®, çâ®¡ë ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ âì íâ® ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® £à ¨ç®£® ã§« æ¥âà «ì®© à §®áâ®© ä®à¬ã«®© ¢â®à®£® ¯®àï¤ª , ¢¢¥¤¥¬ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ã§¥« ¯à ¢¥¥ ã§« . â® ¯®«ãç¨âáï, ¥á«¨ à áá¬ âà¨¢ âì ¯à®¤«¥¨¥ ®¡« áâ¨ à ááâ®ï¨¥ ¯à ¢® ®â ã§« , ä®à¬¨àãï ä¨ªâ¨¢ë© ã§¥« á ¨¤¥ªá®¬ M +1 ¨ á ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà®© TM +1, ª ª ¯®ª § ® à¨á.4.3. ®£¤ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨ï ãà ¢¥¨ï (4.34) ®â®á¨â¥«ì® ã§« á æ¥âà «ì®© à §®áâ®© ä®à¬ã«®© ¤ ¥â k TM +1 2 TM 1 + hbTM = hbT1;b : (4.35) ®¯®«¨â¥«ì®¥ á®®â®è¥¨¥, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï TM +1 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (4.28) ¤«ï i = M . ®«ãç ¥¬ 2 p p 1 2M TM 1 2TM + 1 + 2M TM +1 + kgM = 0 : (4.36) áª«îç¥¨¥ TM +1 ¢ ãà ¢¥¨ïå (4.35) ¨ (4.36) ¤ ¥â 2TM 1 M TM = M GM ; (4.37) 2hb 2hb 2 £¤¥ p p M = 2 + 1 + 2M k ; M = 1 + 2M k T1;b ; GM = kgM ; ª®â®à®¥ ï¢«ï¥âáï â®çë¬ ¢¯«®âì ¤® O(2). à ¢¥¨ï (4.28), (4.32) ¨ (4.37) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ M + 1 ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å ¤«ï ãá«®¢¨ï ª®¢¥ªæ¨¨ ¢¥è¥© £à ¨æ¥. 3. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ . à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯à¥¤¯¨á ®¥ § ç¥¨¥ ¯®â®ª â¥¯« ç¥à¥§ ¢¥èîî £à ¨æã, r = b. «ï íâ®£® á«ãç ï, ãáâ ®¢¨¢è¥¥áï à¥è¥¨¥ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¥á«¨ í¥à£¨ï, ¯à®¨§¢¥¤¥ ï ¢ áà¥¤¥ ¥ ¡ã¤¥â à ¢ï¥âáï ¯®â®ªã ã¤ «¥¨ï â¥¯« ®â ¥£® ¢¥è¥© £à ¨æë. ¦¥ ¤«ï â ª®£® ¯à¥¤¥«ì®£® á«ãç ï (¡ « á í¥à£¨¨ á®¡«î¤ ¥âáï), áâ æ¨® à®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï á¯«®è®£® æ¨«¨¤à ¨«¨ á¯«®è®© áä¥àë ¥ ï¢«ïîâáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬. ªãî á¨âã æ¨î ¢ áâ®ïé¥¬ ªãàá¥ à áá¬ âà¨¢ âì ¥ ¡ã¤¥¬. à¨¬¥à 4-1. â «ì®© ¡àãá 10 á¬ ¢ ¤¨ ¬¥âà¥ á â¥¯«®¢®© ¯à®¢®¤¨¬®áâìî k = 40 â=(¬ £à ¤) £à¥¢ ¥âáï í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬ â®ª®¬, ª®â®àë© ¢ë¤¥«ï¥â í¥à£¨î ¢ ¯à¥¤¥« å ¡àãá á ¬®é®áâìî g = 4:0 106 â=¬3. ¥¯«® à áá¥¨¢ ¥âáï ®â ¯®¢¥àå®áâ¨ ¡àãá ª®¢¥ªæ¨¥© á ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¯¥à¥¤ ç¨ h = 400 â=(¬ C 0) ¢ ®ªàã¦ îéãî áà¥¤ã â¥¬¯¥à âãà®© T1 = 20 C 0. ®¤¥«¨¢ à ¤¨ãá 5 à ¢ëå ç áâ¥©, ®¯à¥¤¥«¨â¥ ª®¥ç®-à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï ¤«ï íâ®© áâ æ¨® à®© § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨. à ¢¨â¥ à¥è¥¨¥, ¯®«ãç¥®¥ ç¨á«¥® ¬¥â®¤®¬ ª®¥çëå à §®áâ¥©, á â®çë¬ «¨â¨ç¥áª¨¬ à¥è¥¨¥¬ ¤«ï á«ãç ¥¢, ª®£¤ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ä®à¬ã«ë ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ ª ª ¯à¨

35

¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¨ ®á®¢®£® ãà ¢¥¨ï â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨, â ª ¨ ¤«ï ãá«®¢¨ï ª®¢¥ªæ¨¨ ¢¥è¥© £à ¨æ¥. ¥è¥¨¥. ¤ ç ¢ª«îç ¥â 6 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å, Ti , i = 0; 1; :::; 5, ¢ ®¡« áâ¨ 0 r b, à §¤¥«¥®© ¯ïâì à ¢ëå ç áâ¥©. ¥®¡å®¤¨¬® áä®à¬¨à®¢ âì è¥áâì ãà ¢¥¨© á ª®¥çë¬ à §®áâï¬¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà. «ï æ¥âà «ì®£® ã§« ãà ¢¥¨¥ (4.32) ¯à¨ p = 1 ¤ ¥â 2 4(T1 T0) + g0k = 0 ; i = 0 ; (4.38) «ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢, ãà ¢¥¨¥ (4.28) ¯à¨ p = 1 ¤ ¥â 1 1 2 1 2i Ti 1 2Ti + 1 + 2i Ti+1 + kgi = 0 ; i = 1; 2; 3; 4 : (4.39) «ï £à ¨ç®£® ã§« á ª®¢¥ªæ¨¥© i = 5 ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨© (4.37), ¯à¨à ¢¨¢ ï M = 5 2T4 5T5 + 2 5 + G5 = 0 ; i = 5 ; (4.40) 1 1 2h 2 £¤¥ (4.41) 5 = 2 + 1 + 10 k ; 5 = 1 + 10 k hT1;b ; G5 = kg5 : ª¨¬ ®¡à §®¬, ãà ¢¥¨ï (4.38 - 4.41) ä®à¬¨àãîâ 6 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï 6 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Ti, i = 0; 1; :::; 5. á«¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì ª®¥ç®-à §®áâãî ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª , â® ãá«®¢¨ï ª®¢¥ªæ¨¨ £à ¨æ¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãîé¨¬ ª®¥ç®-à §®áâë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ! 1 h T5 = T4 + k T1 ; i = 5 ; (4.42) 1 + h k ª®â®à®¥ ï¢«ï¥âáï ¬¥¥¥ â®çë¬, ç¥¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ à §®áâï¬¨ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª , § ¯¨á ®¥ ¢ (4.40). ¤ «ì¥©è¥¬ ¯à¨¬¥ï¥¬ á«¥¤ãîé¨¥ ç¨á«®¢ë¥ § ç¥¨ï: b = 0:05 ¬ ; M = 5 ; g5 = 4:0 106 â=¬3 ; h = 400 â=(¬ C 0) ; k = 40 â=(¬ C 0) ; T1 = 20 C 0 : (4.43) ®£¤ , ¤àã£¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ¯à¨¨¬ îâ á«¥¤ãîé¨¥ § ç¥¨ï 2h = (0:01)2 4:0 106 = 10 ; = Mb = 0:01 ¬ ; k 40 h = 0:01 400 = 0:1 ; h T = 0:1 20 = 2 : (4.44) k 40 k 1 ª®¥ç®-à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï (4.38) ¨ (4.39), á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¯à¨¬ãâ ¢¨¤ 4(1 T1 T0) + 10 =0 ; 1 1 2i Ti 1 2Ti + 1 + 2i Ti+1 + 10 = 0 ; i = 1; 2; 3; 4:

(4.45) (4.46)

«ï £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¯à¨ i = M = 5, ¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì «¨¡® ä®à¬ã«ã ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ (4.42) (4.47) T5 = 11:1 (T4 + 2) ; i = 5 ; 36

¨«¨ ä®à¬ã«ã ¢â®à®£® ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ (4.40) T4 1:11 T5 + 7:2 = 0 ; i = 5 : (4.48) ®¤¨â®¦¨¢ ï, ¢¨¤®, çâ® ãà ¢¥¨ï (4.45), (4.46), (4.47) ¨«¨ ãà ¢¥¨ï (4.45), (4.46), (4.48) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ è¥áâì «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï è¥áâ¨ ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ã§«®¢. ®ç®¥ à¥è¥¨¥ íâ®© ¯à®¡«¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ 2 " r 2# gb gb T (r ) = T 1 + 2h + 4k 1 b ; (4.49) £¤¥ gb 4:0 106 5:0 10 2 gb2 = 4:0 106 25 10 4 = 62:5 : (4.50) 0 = 250 ; T = 20 C ; 1 2h 2 400 4k 4 40 ®£¤ â®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ " 2 # (4.51) T (r) = 20 + 250 + 62:5 1 rb : â ¡«¨æ¥ 4-1 ¯à¨¢¥¤¥® áà ¢¥¨¥ ª®¥ç®-à §®áâëå à¥è¥¨© á â®çë¬¨ à¥§ã«ìâ â ¬¨ ¤«ï á«ãç ¥¢, ª®£¤ ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ä®à¬ã«ë á ¯¥à¢ë¬ ¨ ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª ¬¨ â®ç®áâ¨ ¤«ï ª®¢¥ªæ¨®®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï. á¯®«ì§®¢ «áï ¬¥â®¤ ¨áª«îç¥¨ï ãáá ¤«ï à¥è¥¨ï ¯®«ãç¥®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. ¨á«¥ë¥ à¥§ã«ìâ âë, ¯®«ãç¥ë¥ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ å®¤ïâáï ¢ å®à®è¥¬ á®®â¢¥âáâ¢¨¨ á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬. ¥è¥¨¥ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ä®à¬ã«ë ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª ¥ áâ®«ìª® å®à®è®. è¨¡ª ¢ ¯à¥¤áª § ¨¨ â¥¬¯¥à âãàë á®áâ ¢«ï¥â ¢¥«¨ç¨ã ¯®àï¤ª ®â 7 ¤® 9 ¯à®æ¥â®¢. ¢¥«¨ç¥¨¥ ç¨á« ã§«®¢ ®â M = 5 ¤® M = 10 ã«ãçè ¥â â®ç®áâì à¥§ã«ìâ â®¢ á ä®à¬ã« ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® 4 ¯à®æ¥â . ¡«¨æ 4-1. à ¢¥¨¥ à¥§ã«ìâ â®¢ á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬ ¤«ï ¯à¨¬¥à 4-1. M =5 M = 10 r=b â®çë¥ 1-© ¯®àï¤®ª 2-© ¯®àï¤®ª 1-© ¯®àï¤®ª â®ç®áâ¨ â®ç®áâ¨ â®ç®áâ¨ 0.0 332.50 307.50 332.50 320.00 0.2 330.00 305.00 330.00 317.50 0.4 322.50 297.50 322.50 310.00 0.6 310.00 285.00 310.00 297.00 0.8 292.50 267.50 292.50 280.00 1.0 270.00 245.00 270.00 257.50 à¨¬¥à 4-2.

®¢â®à¨â¥ ¯à¨¬¥à 4-1 ¤«ï á«ãç ï á¯«®è®© áä¥àë. ¥è¥¨¥. ¨§¨ç¥áª ï ¯à®¡«¥¬ «®£¨ç®© § ¤ ç¥, ª®â®à ï à áá¬ âà¨¢ « áì ¢ ¯à¨¬¥à¥ 4-1, ® ¤«ï á¯«®è®© áä¥àë ¤¨ ¬¥âà®¬ D = 10 á¬ ¢¬¥áâ® á¯«®è®£® æ¨«¨¤à . íâ®¬ á«ãç ¥ ª®¥ç®-à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï «®£¨çë ãà ¢¥¨ï¬, ¯à¨¢¥¤¥ë¬ ¢ à¨¬¥à¥ 4-1, ® §¤¥áì p = 2. ª®ç â¥«ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ T1 T0) + 10 = 0 ; i = 0 ; (4.52) 6( 1 1i Ti 1 2Ti + 1 + 1i Ti+1 + 10 = 0 ; i = 1; 2; 3; 4: (4.53) «ï £à ¨ç®£® ã§« i = 5 ¨á¯®«ì§ã¥¬ ª ª ä®à¬ã«ë ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª T5 = (T4 + 2)=1:1 ; i = M = 5; â ª ¨ ä®à¬ã«ë ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ T4 1:12T5 + 7:4 = 0 ; i = M = 5; 37

(4.54) (4.55)

íâ®© § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ 2 " r 2# gb gb (4.56) T (r ) = T 1 + 3h + 6k 1 b ; £¤¥ gb 4:0 106 5:0 10 2 500 gb2 = 4:0 106 25 10 4 = 125 : (4.57) 0 = ; T = 20 C ; 1 3h 3 400 3 6k 4 40 3 ®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ " 2# 125 500 (4.58) T (r) = 20 + 3 + 3 1 rb : â ¡«¨æ¥ 4-2 ¯à¨¢¥¤¥® áà ¢¥¨¥ ª®¥ç®-à §®áâëå à¥è¥¨© á â®çë¬¨ à¥§ã«ìâ â ¬¨ ¤«ï á«ãç ¥¢, ª®£¤ ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ä®à¬ã«ë á ¯¥à¢ë¬ ¨ ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨. á¯®«ì§®¢ «áï ¬¥â®¤ ¨áª«îç¥¨ï ãáá ¤«ï à¥è¥¨ï ¯®«ãç¥®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. ¨á«¥ë¥ à¥§ã«ìâ âë, ¯®«ãç¥ë¥ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ å®¤ïâáï ¢ å®à®è¥¬ á®®â¢¥âáâ¢¨¨ á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬. ¤ ª® à¥è¥¨¥ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ä®à¬ã«ë ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª ¥ áâ®«ìª® å®à®è®. è¨¡ª ¢ ¯à¥¤áª § ¨¨ â¥¬¯¥à âãàë á®áâ ¢«ï¥â ¢¥«¨ç¨ã ¯®àï¤ª ®â 7 ¤® 9 ¯à®æ¥â®¢. ¢¥«¨ç¥¨¥ ç¨á« ã§«®¢ ®â M = 5 ¤® M = 10 ã«ãçè ¥â â®ç®áâì à¥§ã«ìâ â®¢ á ä®à¬ã« ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® 5 ¯à®æ¥â®¢. ¡«¨æ 4-2. à ¢¥¨¥ à¥§ã«ìâ â®¢ á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬ ¤«ï ¯à¨¬¥à 4-2. M =5 M = 10 r=b â®çë¥ 1-© ¯®àï¤®ª 2-© ¯®àï¤®ª 1-© ¯®àï¤®ª â®ç®áâ¨ â®ç®áâ¨ â®ç®áâ¨ 0.0 228.333 211.667 228.333 220.000 0.2 226.667 210.000 226.667 218.333 0.4 221.667 205.000 221.667 213.333 0.6 213.333 196.667 213.333 205.000 0.8 201.667 185.000 201.667 193.333 1.0 186.667 170.000 186.667 178.333 ®ç®¥ à¥è¥¨¥

4.1.3. ®«ë© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à

áá¬®âà¨¬ â¥¯¥àì § ¤ çã â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ¯®«®¬ æ¨«¨¤à¥ ¨ áä¥à¥ á ¢ãâà¥¨¬ à ¤¨ãá®¬ r = a ¨ ¢¥è¨¬ à ¤¨ãá®¬ r = b. «ï â®£®, çâ®¡ë à¥è¨âì íâã § ¤ çã á ¯®¬®éìî ª®¥çëå à §®áâ¥©, áä®à¬¨àã¥¬ á¥âì ¯® ®¡« áâ¨, ª ª ¯®ª § ® à¨á.4.4. á®¢ë¥ ãà ¢¥¨ï â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ § ¤ îâáï ¢ ¢¨¤¥ d2T + p dT + g(r) = 0 ; a < r < b : (4.59) dr2 r dr k

¨á. 4.4: á®¡¥®áâ¨ ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¤«ï ¯®«®© áä¥àë ¨«¨ æ¨«¨¤à . «ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï íâ®£® ãà ¢¥¨ï, ®¡« áâì a r b à §¤¥«ï¥âáï ¯®¤®¡« áâ¥©, ª ¦¤ ï â®«é¨®©

= bMa : 38

(4.60)

«¥¥, ª ª ®¡ëç®, ¤¨áªà¥â¨§¨àã¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥, ¨á¯®«ì§ãï æ¥âà «ìë¥ ª®¥ç®-à §®áâë¥ ä®à¬ã«ë ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¤«ï ¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤ëå Ti 1 2Ti + Ti+1 + p Ti+1 Ti 1 + gi = 0 ; (4.61) 2 a + i 2 k ª®â®àë¥ ¬®¦® ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ âì ¢ ¢¨¤¥ # " # " 2 p p 1 2(a= + i) Ti 1 2Ti + 1 + 2(a= + i) Ti+1 + kgi = 0 ; 1 æ¨«¨¤à ; i = 1; 2; :::; M 1 : (4.62) p = 2 áä¥à ; à ¢¥¨ï (4.62) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ M 1 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ® ¨á¯®«ì§ãîâ M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Ti, i = 0; 1; 2; :::; . ¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå á®®â®è¥¨ï ¯®«ãç îâáï ¨§ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¯à¨ r = a ¨ r = b. áá¬®âà¨¬ á«¥¤ãîé¨¥ ¢®§¬®¦ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï: 1. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¢®£® à®¤ . ¥¬¯¥à âãàë Ta ¨ Tb ®¯à¥¤¥«¥ë £à ¨æ å r = a ¨ r = b. ®£¤ á¨áâ¥¬ ãà ¢¥¨© (4.62) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â M 1 á®®â®è¥¨ï ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M 1 â¥¬¯¥à âãà ¢® ¢ãâà¥¨å ã§« å, ¯®áª®«ìªã T0 = Ta ; ¨ TM = Tb (4.63) ï¢«ïîâáï ¨§¢¥áâë¬¨. 2. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ âà¥âì¥£® à®¤ . à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¢ íâ®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ r = a ¨ r = b ï¢«ïîâáï ãá«®¢¨¥ â¥¯«®¢®© ª®¢¥ªæ¨¨ ¢ á¢®¡®¤®¥ ¯à®áâà áâ¢® ¯à¨ â¥¬¯¥à âãà å T1;a ¨ T1;b á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨ h ¨ hb, á®®â¢¥âáâ¢¥® dT dT k dr + haT (a) = haT1;a ; k dr + hb T (b) = hbT1;b : (4.64) r =a r =b

¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ®â®è¥¨ï ¯®«ãç îâáï ¯à¨ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ íâ¨å ¤¢ãå £à ¨çëå ãá«®¢¨©. ¤¥áì æ¥«¥á®®¡à §® ¨á¯®«ì§®¢ âì æ¥âà «ìãî ä®à¬ã«ã ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¤«ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®©. â®¡ë ¯à¨¬¥ïâì æ¥âà «ìãî à §®áâãî ä®à¬ã«ã ¯® ¯à¨ïâ®© ®¡« áâ¨, ¢¢¥¤¥¬ ®¤¨¬ ã§¥« à ááâ®ï¨¨ ¢«¥¢® ®â £à ¨ç®£® ã§« \0", ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ä¨ªâ¨¢®£® ã§« \M+1" á ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà¥ TM +1 ¢¢¥¤¥¬ ¤®¯®«¨â¥«ìë© ã§¥«, à á¯®«®¦¥ë© à ááâ®ï¨¨ ¢¯à ¢® ®â £à ¨ç®£® ã§« \" á ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà®© TM +1. â¥¬ ãà ¢¥¨ï ¤«ï £à ¨çëå ãá«®¢¨© (4.64) ¤¨áªà¥â¨§¨àã¥¬ ®â®á¨â¥«ì® ã§«®¢ \0" ¨ \", á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¨á¯®«ì§ãï æ¥âà «ìãî à §®áâãî ä®à¬ã«ã. ®«ãç¥ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¡ã¤ãâ á®¤¥à¦ âì ¥¨§¢¥áâë¥ ä¨ªâ¨¢ë¥ â¥¬¯¥à âãàë T 1 ¨ TM +1. â¨ ¥¨§¢¥áâë¥ â¥¬¯¥à âãàë ãáâà ïîâáï, ¨á¯®«ì§ãï ¢ëà ¦¥¨ï (4.63), ª®â®àë¥ ®æ¥¨¢ îâáï ¤«ï i = 0 ¨ i = M . ª®¥ç®¬ ¨â®£¥, £à ¨çë¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ (4.64) ¯à¨®¡à¥â îâ ¢¨¤, á®®â¢¥âáâ¢¥® 0T0 + 2T1 = 0 G0 ; 2TM 1 + M TM = M GM ; (4.65) ! ! £¤¥ 2 h p p a b M = 2 1 + 2[a= + M ] 2h ; 0 = 2 1 2a= k ; k ! ! p 2 h p a b

0 = 1 2a= k T1;a ;

M = 2 + 2[a= + M ] 2h k T1;b ; 2 2 GM = kgM : (4.66) G0 = kg0 ; ª¨¬ ®¡à §®¬, ãà ¢¥¨ï (4.63) ¨ (4.65) ä®à¬¨àãîâ M + 1 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨ï ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Ti, i = 0; 1; 2; :::; M . 39

3. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ .

íâ®¬ á«ãç ¥ £à ¨æë «®¦¥ ãáâ ®¢«¥ë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª dT dT k dr = Qa ; k dr = Qb : (4.67) r =a r =b ¤¥áì, ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ § ç¥¨ï Qa ¨«¨ Qb ¯®¤à §ã¬¥¢ îâ, çâ® â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ¯à ¢«¥ ¢ áà¥¤ã, ¢ãâàì ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ®¡« áâ¨. «ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ª®¥ç®-à §®áâãî ä®à¬ã £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¤«ï â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª (4.67), áà ¢¨¬ ¢ëà ¦¥¨ï á ª®¢¥ªâ¨¢ë¬¨ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨, § ¤ ë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ (4.64). ®ç«¥®¥ áà ¢¥¨î ¤ ¥â ha = 0 ; haT1;a = Qa = hb = 0 ; hbT1;b = Qb = : (4.68) «¥¤®¢ â¥«ì®, ª®¥ç®-à §®áâ ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ ¤«ï ®¯¨á ¨ï â¥¯«®¢ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨© (4.67) ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨© (4.65) ¯®á«¥ § ¬¥, ãª § ëå ¢ (4.68). à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ ! 2 p 2T0 + 2T1 = 1 2a= 2k Qa kg0 ; (4.69) ! 2 p 2TM 1 2TM = 1 + 2[a= + M ] 2k Qb kgM : (4.70) «ãç ©, ãç¨âë¢ îé¨© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª á ®¡¥¨å £à ¨æ ¥ ¨¬¥¥â áâ æ¨® à®£® à¥è¥¨ï, ¥á«¨ ¢¥«¨ç¨ ¯®â®ª ¢ãâàì â¥« ¥ à ¢ï¥âáï ¯®â®ªã ã¤ «¥¨ï ¨§ £à ¨æ. ¦¥ ¤«ï â ª®£® ¯à¥¤¥«ì®£® á«ãç ï à¥è¥¨¥ ¥ ï¢«ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬. ® íâ®© ¯à¨ç¨¥, ¢ â¥¯«®¢ëå ®¤®¬¥àëå áâ æ¨® àëå § ¤ ç å ¢ ¯®«®¬ æ¨«¨¤à¥ ¨«¨ áä¥à¥ à áá¬ âà¨¢ îâ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ â®«ìª® ®¤®© ¨§ £à ¨æ, ¤àã£®© £à ¨æ¥ ¤®«¦ë ¡ëâì § ¤ ë ¤àã£¨¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï. à¨¬¥à 4-3. áá¬®âà¨â¥ áâ æ¨® àãî à ¤¨ «ìãî § ¤ çã â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ¯®«®© áä¥à¥ á ¢ãâà¥¨¬ à ¤¨ãá®¬ a = 2 á¬6 ¨ ¢¥è¨¬ à ¤¨ãá®¬ b = 7 á¬. ¥¯«®¢ ï í¥à£¨ï £¥¥à¨àã¥âáï á 3 ã¤¥«ì®© ¬®é®áâìî g = 5:0 10 â=¬ o, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢ãâà¥ïï ¯®¢¥àå®áâì ¯®¤¤¥à¦¨¢ ¥âáï ¯à¨ ¯®áâ®ï®© â¥¬¯¥à âãà¥ Ta = 100 C , ¢¥èïï ¯®¢¥àå®áâì à áá¥¨¢ ¥â â¥¯«® ª®¢¥ªæ¨¥© á ¯®áâ®ïë¬ ª®íää¨æ¨¥â®¬ â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨ hb = 500 â=(¬2 £à ¤) ¢ ®ªàã¦ îéãî áà¥¤ã á ã«¥¢®© â¥¬¯¥à âãà®©, T1;b = 0o C . ¥¯«®¢ ï ¯à®¢®¤¨¬®áâì â¢¥à¤®£® â¥« k = 50 â=(¬ £à ¤). §¤¥«ïï ®¡« áâì \b a" 5 à ¢ëå ç áâ¥©, ¯®«ãç¨â¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤«ï íâ®© § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨. à ¢¨â¥ ¯®«ãç¥®¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ à¥è¥¨¥ á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨. ¥è¥¨¥. ¤ ç ¢ª«îç ¥â 5 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Ti, i = 1; 2; :::; 5, ¯®áª®«ìªã â¥¬¯¥à âãà ¢ãâà¥¥© £à ¨ç®© ¯®¢¥àå®áâ¨ ¯®¤¤¥à¦¨¢ ¥âáï ¥¨§¬¥®© T0 = Ta = 100 C 0 (4.71) ¨ ï¢«ï¥âáï ¨§¢¥áâ®©. ¡« áâì ¤¥«¨âáï 5 à ¢ëå ç áâ¥©. íâ®¬ á«ãç ¥ = 1 á¬. ®¥ç®-à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ ¯®«ãç îâáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (4.62), ¯à¨¨¬ ï p = 2 " # " # 1 1 2gi = 0 : 1 T 2 T + 1 + T + (4.72) i 2(a= + i) i 1 2(a= + i) i+1 k ®¥ç®-à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ã§« i = = 5 ¢¥è¥© £à ¨æ¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨© (4.65,b), ¯à¨à ¢¨¢ ï M = 5 ¨ p = 2 2T4 + 5T5 = 5 G5 ; (4.73)

40

£¤¥

! ! 1 2 h 1 b 5 = 2 1 + 2[a= + 5] k ; 5 = 1 + 2[a= + 5] 2h k T1;b ; áá¬®âà¨¬ á«¥¤ãîé¨¥ ç¨á«®¢ë¥ § ç¥¨ï a = 0:02 ¬ b = 0:07 ¬ ; M = 5 ; g = 5:0 106 â=¬3 ; hb = 500 â=(¬2 £à ¤) ; k = 50 â=(¬ £à ¤) ; T1;b = 0 o C : ®£¤ ¤àã£¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ¯à¨¨¬ îâ § ç¥¨ï a = 0:02 = 2 ; = b M a = 0:07 5 0:02 = 0:01 ¬ ; 0:01 2 6 2 hb = 0:1 0 = 0 : g = 0:01 5:0 10 = 10 ; k 50 k

2 G5 = kg5 :

(4.74)

(4.75)

(4.76)

«¥¥ ª®¥ç®-à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï (4.72) ¨ (4.73), á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¯à¨¨¬ îâ ¢¨¤ " # " # 1 1 1 2 + i) Ti 1 2Ti + 1 + 2 + i) Ti+1 + 10 = 0 ; (4.77) T4 1:1143 T5 + 5 = 0 : (4.78) ª¨¬ ®¡à §®¬, ãà ¢¥¨ï (4.77) ¨ (4.78) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ 5 ãà ¢¥¨© ¤«ï 5 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Ti, i = 1; 2; :::; 5, ¯®áª®«ìªã â¥¬¯¥à âãà T0 = 100 o C ï¢«ï¥âáï ¨§¢¥áâ®©. ®ç®¥ à¥è¥¨¥ ª íâ®© ¯à®¡«¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ 2 C1 (4.79) T (r) = T0 gr 6k + r + C2 ; #) ( " £¤¥ 2 2 C1 ab g h b 2 2 C1 = ak + bh (b a) hb(Ta T1) 3 b + 2k (b a ) ; C2 = ga 6k a ; (4.80) b ¤àã£¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ®¯à¥¤¥«¥ë à ¥¥. â ¡«¨æ¥ 4-3 ¯à¨¢¥¤¥® áà ¢¥¨¥ ª®¥ç®-à §®áâ®£® à¥è¥¨ï á â®çë¬¨ à¥§ã«ìâ â ¬¨. «ï ¨««îáâà æ¨¨ ª®¥ç®-à §®áâë¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¢ë¯®«¥ë á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¬¥â®¤ ¨áª«îç¥¨ï ãáá . ¥§ã«ìâ âë å®¤ïâáï ¢ å®à®è¥¬ á®®â¢¥âáâ¢¨¨ á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬. ¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ¢ ã§«¥ i = 0, á®®â¢¥âáâ¢ãîé¥¬ã ¢ãâà¥¥© £à ¨æ¥, â¥¬¯¥à âãà ®¯à¥¤¥«¥ . ¡«¨æ 4-3. à ¢¥¨¥ ª®¥ç®-à §®áâ®£® à¥è¥¨ï á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬ ¯à¨¬¥à 4-3. ®¬¥à ¥¬¯¥à âãà ã§« Ti ã§« ®ç®¥ ®¥çë¥ à §®áâ¨ 0 100.00 100.00 1 153.54 153.07 2 172.80 172.11 3 176.36 175.53 4 170.40 169.47 5 157.58 156.58

41

5.

¯à¥¤ë¤ãé¨å ç áâïå ªãàá ¡ë«® à áá¬®âà¥® ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¨ à¥è¥¨¥ ®¤®¬¥àëå áâ æ¨® àëå á¨áâ¥¬. ¥©ç á á®áà¥¤®â®ç¨¬ á¢®¥ ¢¨¬ ¨¥ ª ª®¥ç®-à §®áâ®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥, à¥è¥¨î ¨ «¨§ã ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ®¤®¬¥àëå ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨å á¨áâ¥¬. à®æ¥ááë ¯¥à¥¤ ç¨ â¥¯« ¨«¨ ¤¨ääã§¨¨ ¬ ááë, ¢ à¥§ã«ìâ â¥ ª®â®àëå ¬¥ï¥âáï â¥¬¯¥à âãà ¨«¨ ¬ áá®¢ ï ª®æ¥âà æ¨ï ¢ ¯à¥¤¥« å â¥« á â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨, ®¯¨áë¢ îâáï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® â¨¯ . ¥áâ æ¨® àë¥ § ¤ ç¨ ¨¬¥îâ ¬®£®ç¨á«¥ë¥ ¢ ¦ë¥ ¯à¨¬¥¥¨ï ¢ à §«¨çëå ®âà á«ïå ãª¨ ¨ â¥å¨ª¨. ®çâ¨ ¢á¥ ¨¤ãáâà¨ «ìë¥ ¯à®æ¥ááë ¨á¯ëâë¢ îâ ¯¥à¥å®¤ë¥ ¯à®æ¥ááë à §«¨çëå áâ ¤¨ïå. ¯à¨¬¥à, â¥¯«®¢ë¥ ¯¥à¥å®¤ë¥ ¯à®æ¥ááë ¢ ¯à¥¤¥« å â¥« ¢®®¡é¥ ç¨ îâáï ¢¥§ ¯ë¬ ¨§¬¥¥¨¥¬ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¨«¨ ¢ë¤¥«¥¨ï í¥à£¨© ¢ áà¥¤¥. ¯ãáª ¨«¨ § ªàëâ¨¥ ï¤¥àëå à¥ ªâ®à®¢, ¤ãå®¢®ª, ¯¥ç¥©, ¨ â.¤., ï¢«ïîâáï â¨¯¨çë¬¨ ¯à¨¬¥à ¬¨ ªâ¨¢ æ¨¨ ¯¥à¥å®¤ëå ¯à®æ¥áá®¢ ¢ à¥§ã«ìâ â¥ ¨§¬¥¥¨© ¢ ¢ë¤¥«¥¨¨ í¥à£¨¨. å« ¦¤¥¨¥ £®àïç¨å â¥«, ¢¥§ ¯® ¯®¤¢¥à£ãâë¥ å®«®¤®¬ã ¢®§¤¥©áâ¢¨î, ï¢«ï¥âáï â¨¯¨çë¬ ¯à¨¬¥à®¬ ¯¥à¥å®¤ëå ¯à®æ¥áá®¢ ¯® ¯à¨ç¨¥ ¨§¬¥¥¨ï £à ¨çëå ãá«®¢¨©. «¥¤ãï ãç¥¡ë¬ æ¥«ï¬, á ç « ®¡à â¨¬áï ª ®¤®¬¥à®© â¥¯«®¢®© ¨«¨ ¬ áá®¢®© ¤¨ääã§¨ï¬, ª®â®àë¥ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ®¯¨áë¢ îâáï «¨¥©ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® â¨¯ 1 @T (x; t) = @ 2T (x; t) + g(x; t) (5.1) @t @x2 k á®¢¬¥áâ® á «¨¥©ë¬¨ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¤«ï ¤¥¬®áâà æ¨¨ ¯à¨¬¥¥¨ï à §«¨çëå áå¥¬ á ª®¥çë¬ à §®áâï¬¨ ¨ ®¡é¨å «£®à¨â¬®¢ à¥è¥¨ï. â¥¬ à áá¬®âà¨¬ ®â¤¥«ì® § ¤ ç¨ á æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© á¨¬¬¥âà¨ï¬¨ ¤«ï ¨««îáâà æ¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¤«ï â ª¨å ¯à®áâà áâ¢¥ëå £¥®¬¥âà¨©. 5.1. 5.1.1. « áâ¨

«ï ¯à®áâ®âë ¨§«®¦¥¨ï ®á®¢ëå ¯®«®¦¥¨© ¨ «¨§ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ç¨á«¥®© áå¥¬ë à áá¬®âà¨¬ ¥áâ æ¨® àãî ®¤®¬¥àãî § ¤ çã â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¤«ï ¯®«ï â¥¬¯¥à âãà T (x; t) ¢ ª®¥ç®© ®¡« áâ¨ 0 x L, ª®â®à ï § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ 1 @T = @ 2T + g(x; t) ; 0 x L; t > 0: (5.2) @t @x2 k ä®à¬¨àã¥¬ ¤¢ãå¬¥àãî á¥âªã ã§«®¢ ¯®«¥ â¥¬¯¥à âãà. «ï íâ®£® ®¡« áâì 0 x L à §¤¥«ï¥¬ à ¢ëå ç áâ¥© á è £®¬ L x = M (5.3) ¨ ¢¢¥¤¥¬ ®¡®§ ç¥¨¥ T (x; t) = T (ix; nt) Tin : (5.4) ¥¯¥àì ¯à®¢¥¤¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨î ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (5.2), ¨á¯®«ì§ãï æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© ¨ à §®áâ¨ ¢¯¥à¥¤ ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª ¤«ï ¯à®¨§¢®¤®© ¯® ¢à¥¬¥¨. ®«ãç ¥¬ 1 Tin+1 Tin = Tin 1 2Tin + Tin+1 + gin + O[ ; 2 ] ; (5.5) t x t 2x k à ¢¥¨¥ (5.5) ¯¥à¥£àã¯¯¨àã¥¬ ¨ § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥ Tin+1 = Tin 1 + (1 2 )Tin + Tin+1 + Gni ; (5.6) 42

¨á. 5.1: ¡«® áå¥¬ë á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤«ï ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë.

£¤¥

n 2 Gni = gi kx ;

= 2t ; x

¨á. 5.2: ¡à §®¢ ¨¥ ä¨ªâ¨¢ëå ã§«®¢ 1¨ n . M +1 á ä¨ªâ¨¢ë¬¨ â¥¬¯¥à âãà ¬¨ T n1 ¨ TM +1

n = 0; 1; ::: i = 1; 2; :::; M 1 :

á ®è¨¡ª®© ãá¥ç¥¨ï ¯®àï¤ª O[t; 2x]. à ¢¥¨¥ (5.6) §ë¢ ¥âáï ¯à®áâ®© ï¢®© ä®à¬®© ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï (5.2), ¯®â®¬ã çâ® ®® ¢ª«îç ¥â â®«ìª® ®¤® ¥¨§¢¥áâ®¥ § ç¥¨¥ Tin+1 ¤«ï ¢à¥¬¥®£® ãà®¢ï n + 1, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì ¥¯®áà¥¤áâ¢¥® à ááç¨â ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.6), ª®£¤ ã§«®¢ë¥ § ç¥¨ï Tin 1, Tin ¨ Tin+1 ï¢«ïîâáï ¨§¢¥áâë¬¨ ¯à¥¤ë¤ãé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ á«®¥ n. ¨á.5.1 áå¥¬ â¨ç® ¨««îáâà¨àã¥â à á¯®«®¦¥¨¥ ã§«®¢ ¢ ï¢®© ª®¥ç®-à §®áâ®© áå¥¬¥, ¯à¨¬¥ï¥¬®© ¤«ï ®¤®¬¥à®£® ¥áâ æ¨® à®£® ãà ¢¥¨ï â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨. á®, çâ® á¨áâ¥¬ (5.6) ä®à¬¨àã¥â M 1 «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥, i = 1; 2; :::; M 1, ® á®¤¥à¦ â M + 1 ¥¨§¢¥áâëå § ç¥¨© ¢ ã§« å Tin+1 (i = 0; 1; 2; :::; M ). ®ïâ®, çâ® ¥®¡å®¤¨¬® ¤®¡ ¢¨âì ¤¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå á®®â®è¥¨ï ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ç¨á«® ãà ¢¥¨© ¡ë«® à ¢® ç¨á«ã ¥¨§¢¥áâëå. â¨ ¤¢ ãà ¢¥¨ï ¥¯®áà¥¤áâ¢¥® ¯®«ãç îâáï ¨§ ¤¢ãå £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¤«ï i = 0 ¨ i = M . á«¨ â¥¬¯¥à âãàë £à ¨æ å ¨§¢¥áâë ¨ ä¨ªá¨à®¢ ë, â® ç¨á«® ãà ¢¥¨© à ¢ï¥âáï ç¨á«ã ¥¨§¢¥áâëå. ¤ ª®, ¤«ï ª®¢¥ªæ¨®®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¨«¨ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï á ãáâ ®¢«¥ë¬ â¥¯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ § ç¥¨ï â¥¬¯¥à âãà £à ¨æ å ï¢«ïîâáï ¥¨§¢¥áâë¬¨. â ª¨å á«ãç ïå, ¤¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãà ¢¥¨ï ¯®«ãç îâáï ¯ãâ¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨©. 1. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¢®£® à®¤ . à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯¥à¢®£® à®¤ ¯à¥¤¯®« £ îâ, çâ® § ç¥¨ï â¥¬¯¥à âãàë ï¢«ïîâáï ¨§¢¥áâë¬¨ £à ¨æ å i = 0 ¨ i = M (5.7) TMn = Tb : T0n = Ta ; ®£¤ á¨áâ¥¬ ãà ¢¥¨© (5.6) ä®à¬¨àã¥â M 1 ï¢ëå ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M 1 ¥¨§¢¥áâëå § ç¥¨© â¥¬¯¥à âãà ¢® ¢ãâà¥¨å ã§« å Tin+1, i = 1; 2; :::; M 1, ¯®áª®«ìªã £à ¨çë¥ n n ¯®â¥æ¨ «ë T0 ¨ TM ®áâ îâáï ¢á¥£¤ ¨§¢¥áâë¬¨. ®¦® ¯à¥¤«®¦¨âì á«¥¤ãîé¨© ¢ëç¨á«¨â¥«ìë© «£®à¨â¬: (1) ç¨ ¥¬ ¢ëç¨á«¥¨ï á n = 0. ëç¨á«ï¥¬ Ti1, i = 1; 2; :::; M 1 ¤® ª®æ ¯¥à¢®¬ ¢à¥¬¥®¬ è £¥ ãà ¢¥¨ï (5.6), ¯®áª®«ìªã ¯à ¢ ï áâ®à® íâ®£® ãà ¢¥¨ï ¨§¢¥áâ ¨§ ç «ìëå ãá«®¢¨©. (2) áâ ¢«¨¢ ¥¬ n = 1 ¨ ¢ëç¨á«ï¥¬ Ti2, i = 1; 2; :::; M 1 ¤® ª®æ ¢â®à®£® ¢à¥¬¥®£® è £ ãà ¢¥¨ï (5.6), ¯®â®¬ã çâ® ¯à ¢ ï áâ®à® íâ®£® ãà ¢¥¨ï ï¢«ï¥âáï ¨§¢¥áâ®© ¨§ ¯à¥¤ë¤ãé¥£® è £ ¢ëç¨á«¥¨© ¯® ¢à¥¬¥¨. (3) à®æ¥¤ãà ¯®¢â®àï¥âáï ¤«ï ª ¦¤®£® ¯®á«¥¤ãîé¥£® è £ ¯® ¢à¥¬¥¨, ¯®ª ãª § ®¥ ¢à¥¬ï ¨«¨ ¤àã£®¥ ä¨ «ì®¥ ãá«®¢¨¥ ¥ ¡ã¤¥â ¤®áâ¨£ãâ®. 2. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ âà¥âì¥£® à®¤ . áá¬®âà¨¬ £à ¨çë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ ¯à¨ x = 0 ¨ x = L, ¯®¤¢¥à£ãâë¥ ª®¢¥ªæ¨¨ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨ h0 ¨ hL ¢ ®ªàã¦ îéãî áà¥¤ã á â¥¬¯¥à âãà ¬¨ T1;0 ¨ T1;L, á®®â¢¥âáâ¢¥®. 43

â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨çëå ãá«®¢¨© âà¥âì¥£® à®¤ ¨¬¥¥â ¢¨¤ @T @T k @x + h0T (0) = h0T1;0 ; k @x + hLT (L) = hLT1;L ; (5.8) x=0 x=L £¤¥ â¥¬¯¥à âãàë ¢ £à ¨çëå ã§« å á ¨¦¨¬¨ ¨¤¥ªá ¬¨ i = O ¨ i = M ï¢«ïîâáï ¥¨§¢¥áâë¬¨. ¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ®â®è¥¨ï ¯®«ãç îâáï ¯ãâ¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ íâ¨å ¤¢ãå £à ¨çëå ãá«®¢¨©. ãé¥áâ¢ã¥â ¤®áâ â®ç® ¯à®áâ®© ¯®¤å®¤ ª ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ íâ¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨©: à §®áâ¨ ¢¯¥à¥¤ ¤«ï ãà ¢¥¨ï (5.8,a) ¨ à §®áâ¨ § ¤ ¤«ï ãà ¢¥¨ï (5.8,b). ® íâ¨ à¥§ã«ìâ âë á â®ç®áâìî â®«ìª® ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª , â.¥. O(x) ¨ ¯à¨ ç¨á«¥®¬ à¥è¥¨¨ § ¤ ç¨ ¨§ª ï â®ç®áâì ¢ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥¨î áãé¥áâ¢¥ëå ®è¨¡®ª ¬¥â®¤ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨. ®¦® â ª¦¥ ¯à¨¬¥¨âì ¢â®à®© ¯®àï¤®ª â®ç®áâ¨, â.¥. O(2x ), ¤¨ää¥à¥æ¨àãï íâ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ æ¥âà «ìëå à §®áâ¥©, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¡®«¥¥ ¯à¨¢ëçë¬¨ ¤«ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤®© ¢ ãª § ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå. â®¡ë ¯à¨¬¥ïâì næ¥âà «ìë© à §®áâ¨, à áá¬®âà¨¬ ä¨ªâ¨¢ë¥ ã§«ë á ¨¤¥ªá®¬ \-1" ¨ ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà®© T 1 ¨ ¨¤¥ªá®¬ \M+l" á ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà®© TMn +1, ª®â®àë¥ ¯®«ãç îâáï à áè¨à¥¨¥¬ ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ®¡« áâ¨ x «¥¢® ¨ ¯à ¢®, á®®â¢¥âáâ¢¥®, ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.2. á¯®«ì§ãï íâ¨ ä¨ªâ¨¢ë¥ ã§«ë, æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨ ª £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ (5.8) ¯à¨¨¬ îâ ¢¨¤ n n n n k T1 2T 1 + h0T0n = h0T1;0 ; k TM +12 TM 1 + hLTMn = hLT1;L ; (5.9) x x £¤¥ T n1 ¨ TMn +1 { ä¨ªâ¨¢ë¥ â¥¬¯¥à âãàë ¢ ä¨ªâ¨¢ëå ã§« å \-1" ¨ \M+1", á®®â¢¥âáâ¢¥®. ¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ®â®è¥¨ï, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ãáâà ¥¨ï íâ¨å ä¨ªâ¨¢ëå â¥¬¯¥à âãà ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯®á«¥ § ¯¨áë¢ ï ãà ¢¥¨ï (5.6) ¤«ï i = 0 ¨ i = M . ®«ãç ¥¬, á®®â¢¥âáâ¢¥® T0n+1 = T n1 + (1 2 )T0n + T1n + Gn0 ; TMn+1 = rTMn 1 + (1 2 )TMn + rTMn +1 + GnM : (5.10) ¥¯¥àì, T n1 ãáâà ï¥âáï á ¯®¬®éìî ãà ¢¥¨© (5.9,a) ¨ (5.10,a), ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª TMn +1 ãáâà ï¥âáï á ¯®¬®éìî ãà ¢¥¨© (5.9,b) ¨ (5.10,b). à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ T0n+1 = (1 2 Z0)T0n + 2 T1n + 2 0 + Gn0 ; (5.11) TMn+1 = 2 TMn 1 + (1 2 ZL)TMn + 2 L + GnM ; n 2 £¤¥ Z0 = 1 + xkh0 ; 0 = xkh0 T1;0 ; Gn0 = g0kx ; n 2 ZL = 1 + xkhL ; L = xkhL T1;L ; GnM = gMkx ; = 2t : (5.12) x

à ¢¥¨ï (5.11) ¨ (5.12) ï¢«ïîâáï ª®¥çë¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ § ¤ ç¨ á ª®¢¥ªâ¨¢ë¬¨ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨, ãà ¢¥¨ï (5.8,a) ¨ (5.8,b), á®®â¢¥âáâ¢¥®. à ¢¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ (5.6) ¢¬¥áâ¥ á ¢ëè¥ã¯®¬ïãâë¬ ¤¢ã¬ï ãà ¢¥¨ï¬¨ (5.11) ä®à¬¨àãîâ M + 1 ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å ª ¦¤®¬ ¯®á«¥¤ãîé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ á«®¥. ¤® ®â¬¥â¨âì, çâ® ª®¥ç®-à §®áâë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï, § ¤ ë¥ ãà ¢¥¨ï¬ (5.11), ¬®¦® à §¢¨âì, § ¯¨áë¢ ï ¡ « á í¥à£¨¨ ¤«ï ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ â®«é¨®© x=2, á¬¥¦ë© á £à ¨çë¬¨ ã§« ¬¨ i = 0 ¨ i = M , á®®â¢¥âáâ¢¥®. â®â ¬¥â®¤ ¡ã¤¥â à áá¬®âà¥ ¥áª®«ìª® ¯®§¤¥¥. 3. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ . áá«¥¤ã¥¬ â¥¯¥àì ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© á § ¤ ë¬ â¥¯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ £à ¨æ å. â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¢â®à®£® à®¤ ¨¬¥¥â ¢¨¤ @T = Q ; = Q k (5.13) k @T 0 L @x @x 44

£¤¥ Q0 ¨ QL ®¯à¥¤¥«ïîâ â¥¯«®¢ë¥ ¯®â®ª¨, ª« ¤ë¢ ¥¬ë¥ £à ¨çë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ ¯à¨ x = 0 ¨ x = L, á®®â¢¥âáâ¢¥®. à ¢¥¨¥ íâ¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© á ª®¢¥ªâ¨¢ë¬¨ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (5.8) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ ¥¯®áà¥¤áâ¢¥® á«¥¤ã¥â ¨§ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï âà¥âì¥£® à®¤ ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ á«¥¤ãîé¨å § ¬¥ h0 = hL = 0 ; h0T1;0 = Q0 ; hLT1;L = QL : (5.14) ®£¤ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ ª £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ á ä¨ªá¨à®¢ ë¬ â¥¯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ (5.13) áà §ã ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨© (5.11) ¢ ¢¨¤¥ n 2 T0n+1 = (1 2 )T0n + 2 T1n + 2 xkQ0 + g0kx ; n 2 (5.15) TMn+1 = 2 TMn 1 + (1 2 )TMn + 2 xkQL + gMkx : ®¢¬¥áâ®¥ à¥è¥¨¥ (5.6) á (5.15) ¯®§¢®«ï¥â áä®à¬¨à®¢ âì ¯®«ãî á¨áâ¥¬ã ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï § ç¥¨ï ¯à®ä¨«ï â¥¬¯¥à âãà á«¥¤ãîé¥¬ \n + 1" ¢à¥¬¥®¬ á«®¥. 5.1.2. ¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à

¯à¥¤ë¤ãé¥© ç áâ¨ ¡ë« à áá¬®âà¥ ª®¥ç®-à §®áâë¥ áå¥¬ ¤«ï ®¤®¬¥àëå ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨å á¨áâ¥¬, ¢ ª®â®àëå, ¢ ª ç¥áâ¢¥ ¯à¨¬¥à , à áá¬ âà¨¢ « áì ®¤®¬¥à®¥ ãà ¢¥¨¥ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ¯àï¬®ã£®«ì®© á¨áâ¥¬¥ ª®®à¤¨ â. íâ®© ç áâ¨ ¡ã¤¥â ¯®ª § ® ¯à¨¬¥¥¨¥ íâ¨å ª®¥ç®à §®áâëå áå¥¬ ¤«ï æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© á¨¬¬¥âà¨© 1 { æ¨«¨¤à 1 @T = @ 2T + p @T + g(r; t) ; r 6= 0 ; p = 2 { áä¥à : (5.16) @t @r2 r @r k ®£¤ ®¡« áâì à¥è¥¨ï ¢ª«îç ¥â ç «® ª®®à¤¨ â r = 0, â® ¯® «®£¨¨ á® á«ãç ¥¬ á¯«®è®£® æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥àë, ¨¬¥¥âáï ®ç¥¢¨¤ ï ®á®¡¥®áâì ¯à¨ r = 0, ª®â®àãî ¬®¦® ¨§¡¥¦ âì, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯à ¢¨«®¬ ®¯¨â «ï. à¥§ã«ìâ â¥ ãà ¢¥¨¥ (5.16) § ¬¥ï¥âáï 1 @T = (1 + p) @ 2T + g(r; t) ; r = 0: (5.17) @t @r2 k áá¬®âà¨¬ á¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥àã à ¤¨ãá r = b. ¡« áâì à¥è¥¨ï 0 r b à §¤¥«¨¬ á«®¥¢ â®«é¨®© (5.18) = Mb ; ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.3. à ¢¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ i = 1; 2; :::; M 1 ¯®«ãç îâáï ¯®á«¥ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (5.17), ¤«ï æ¥âà «ì®£® ã§« x = 0 { ¯®á«¥ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ãà ¢¥¨ï (5.18). à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ Tin+1 Tin = Tin 1 2Tin + Tin+1 + p Tin+1 Tin 1 + gin ; i = 1; 2; :::; M 1 (5.19) t 2 i 2 k " # ¨ T0n+1 T0n = 1 2(1 + p)(T n T n) + 2gin ; i = 0: (5.20) 1 0 t 2 k @ 2T = 2(T1 T0) : ¯®áª®«ìªã (5.21) @r2 r=0 2 à ¢¥¨ï (5.19) ¨ (5.20) ¬®£ãâ ¡ëâì ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ ë, á®®â¢¥âáâ¢¥® p p 2 n n +1 n n Ti = 1 2i Ti 1 + (1 2 )Ti + 1 + 2i Tin+1 + kgi ; i = 1; 2; :::; M 1 (5.22) 45

¨á. 5.3: ®à¬¨à®¢ ¨¥ ã§«®¢ ¢ ®¡« áâ¨ à¥è¥¨ï ¤«ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¤«ï á¯«®è®£® æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥àë.

¨á. 5.4: ¡à §®¢ ¨¥ ä¨ªâ¨¢®£® ã§« ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà®© TM +1.

M

+1 á

2 n

i = 0; (5.23) T0n+1 = [1 2 (1 + p)]T0n + 2 (1 + p)T1n + kgi ; 1 { æ¨«¨¤à b t £¤¥ (5.24) =M; p = 2 { áä¥à ; = 2 ; ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ â®ç®áâì ¯®àï¤ª O[t; 2]. à ¢¥¨ï (5.22 - 5.24) ä®à¬¨àãîâ á®®â®è¥¨©, ® ®¨ á®¤¥à¦ â M +1 ¥¨§¢¥áâë¥ § ç¥¨ï â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Tin+1, i = 0; 1; 2; :::; ¤«ï ¢à¥¬¥®£® ãà®¢ï n + 1. ¥®¡å®¤¨¬® áä®à¬¨à®¢ âì ¥é¥ ®¤® ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãà ¢¥¨¨, ¨á¯®«ì§ãï £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢¥è¥© ¯®¢¥àå®áâ¨ ¯à¨ r = b. 1. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¢®£® à®¤ . â® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ á®¤¥à¦¨â ¯à¥¤¯¨á ®¥ § ç¥¨¥ â¥¬¯¥à âãàë Tb £à ¨æ¥ r = b. «ï â ª®£® á«ãç ï ¨¬¥¥¬ TM = Tb : (5.25) ¤«ï ¢á¥å ¢à¥¬¥ëå ãà®¢¥©. ®£¤ , ãà ¢¥¨ï (5.22), (5.23) ¨ (5.24), ¢¬¥áâ¥ á ãà ¢¥¨¥¬ (5.25) ï¢«ïîâáï ¤®áâ â®çë¬¨ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ¢ãâà¥¨å â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Tin+1, (i = 0; 1; :::; M 1) ¤«ï ¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å ¤«ï ¢à¥¬¥®£® ãà®¢ï n. 2. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ âà¥âì¥£® à®¤ . â® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ª®¢¥ªâ¨¢ãî â¥¯«®¯¥à¥¤ çã £à ¨æ¥ r = b. â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï âà¥âì¥£® à®¤ § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ @T k @r + hbT (b; t) = hbT1;b ; (5.26) r =b ¨

£¤¥ T1;b { â¥¬¯¥à âãà ®ªàã¦ îé¥© áà¥¤ë, hb { ª®íää¨æ¨¥â â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨. «ï â®£®, çâ®¡ë ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ âì ¯à®¨§¢®¤ãî ¢ íâ®¬ ãà ¢¥¨¨ æ¥âà «ì®-à §®áâ®© ä®à¬ã«®© á® ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨, à áá¬®âà¨¬ ä¨ªâ¨¢ë© ã§¥« \M+1" á ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà®© TM +1, à á¯®«®¦¥ë¬ à ááâ®ï¨¨ ¯à ¢¥¥ ã§« , ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.4. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (5.26) ¬®¦¥â ¡ëâì ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ ®, ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã á æ¥âà «ìë¬¨ à §®áâï¬¨ n n T T M +1 M 1 + h Tn = h T : k (5.27) b M b 1;b 2 «ï â®£®, çâ®¡ë ãáâà ¨âì ä¨ªâ¨¢ãî â¥¬¯¥à âãàã TMn +1 ¨§ íâ®£® ¢ëà ¦¥¨ï, ¥®¡å®¤¨¬® ¯®«ãç¨âì ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ á®®â®è¥¨¥, ®æ¥¨¢ ï ¢ëà ¦¥¨¥ (5.22) ¤«ï i = M 2 n p p n n n +1 (5.28) TM = 1 2M TM 1 + (1 2 )TM + 1 + 2M TMn +1 + 2gM : 46

áâà ¥¨¥ TMn +1 ¨§ ãà ¢¥¨© (5.27) ¨ (5.28) ¯à¨¢®¤¨â ª

TMn+1 = 2 TMn 1 + (1 2 ZM )TMn + 2 M + GnM ; (5.29) p hb ; G = 2gMn ; £¤¥ ZM = 1 + 1 + 2M (5.30) M k k hb 1 { æ¨«¨¤à p

M = 1 + 2M k T1;b ; p = 2 { áä¥à : ®£¤ , ãà ¢¥¨ï (5.22) ¨ (5.23) ¢¬¥áâ¥ á ãà ¢¥¨¥¬ (5.29) ä®à¬¨àãîâ M + 1 ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Tin+1, i = 0; 1; 2; :::; , ª®£¤ â¥¬¯¥à âãàë ã§«®¢ n Ti ¯à¥¤ë¤ãé¥¬ ãà®¢¥ ï¢«ïîâáï ¨§¢¥áâë¬¨. ®ïâ®, çâ® ¢ëç¨á«¥¨ï ç¨ îâáï á ç «ì®£® á®áâ®ï¨ï. 3. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ . â® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ä¨ªá¨àã¥â â¥¯«®¢®© ¯®â®ª £à ¨æ¥ r = b. «ï íâ®£® á«ãç ï £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ @T (5.31) k @r = Qb : r =b

á®, íâ® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ª®¢¥ªæ¨®®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ª ª ç áâë© á«ãç © ãà ¢¥¨ï (5.26), ¯à¨¨¬ ï á«¥¤ãîé¨¥ ®¡®§ ç¥¨ï hb = 0 ; hbT1;b = Qb : (5.32) ®£¤ ª®¥ç®-à §®áâ ï ä®à¬ ãà ¢¥¨ï (5.31) áà §ã ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.29), ãç¨âë¢ ï § ¬¥ë, ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ãà ¢¥¨¥¬ (5.32). ®«ãç ¥¬ 2 n p n +1 n n TM = 2 TM 1 + (1 2 ZM )TM + 2 1 + 2M k Qb + kgM : (5.33) ®£¤ ãà ¢¥¨ï (5.22) ¨ (5.23) ¢¬¥áâ¥ á ãà ¢¥¨¥¬ (5.33) ä®à¬¨àãîâ M + 1 á®®â®è¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ã§«®¢ Tin+1, i = 0; 1; :::; ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n + 1 ¯à¨ ¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà å ¢ ã§« å ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n. ¤® ¯à¨§ âì ®£à ¨ç¥¨ï à¥è¥¨©, ¯®«ãç¥ëå á ¯à¥¤¯¨á ë¬¨ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¯® ¯®â®ªã. ®£¤ á¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à ¯®¤¢¥à£ãâë ®¤®à®¤®¬ã ¯®â®ªã í¥à£¨¨ £à ¨çëå ¯®¢¥àå®áâïå, â¥¬¯¥à âãà â¢¥à¤ëå ¯®¢¥àå®áâ¥© ¥¯à¥àë¢® ¯®¢ëè ¥âáï, ¯®â®¬ã çâ® ¥â ¨ª ª®£® ®ââ®ª â¥¯« ¢ áà¥¤ã. ®íâ®¬ã, ¯à¨ â ª¨å ãá«®¢¨ïå, ¨ª ª®¥ áâ æ¨® à®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï § ¤ ç¨ ¥ ¤®áâ¨¦¨¬®. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ¢®á¨âáï ¢ ¨§ãç ¥¬ãî ®¡« áâì ¨ ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¥£® ª®«¨ç¥áâ¢® ã¤ «ï¥âáï ®â £à ¨æ. à¨ â ª¨å ãá«®¢¨ïå ¬®¦® ®¦¨¤ âì áâ æ¨® à®¥ à¥è¥¨¥, ® à¥è¥¨¥ ¡ã¤¥â ¥¤¨áâ¢¥ë¬ â®«ìª® ¢ ¯à¥¤¥« å ¯à®¨§¢®«ì®© ¯®áâ®ï®©. 5.1.3. ®«ë© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à

á«ãç ¥ ¯®«®£® æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥àë á ¢ãâà¥¨¬ à ¤¨ãá®¬ a ¨ ¢¥è¨¬ à ¤¨ãá®¬ b, á ç « , ¯® «®£¨¨ á ¯à¥¤ë¤ãé¨¬ á«ãç ¥¬, à §¤¥«¨¬ ®¡« áâì à¥è¥¨ï a r b á«®¥¢ à ¢®© â®«é¨ë = bMa ; (5.34) ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.5. ®£¤ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥, ®¯¨áë¢ îé¥¥ ¯à®æ¥áá â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨, § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ 1 { æ¨«¨¤à 1 @T = @ 2T + p @T + g(r; t) ; a < r < b; p = 2 { áä¥à : (5.35) @t @r2 r @r k 47

¨á. 5.5: ®à¬¨à®¢ ¨¥ ã§«®¢ ¢ ®¡« áâ¨ à¥è¥¨ï ¤«ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¤«ï ¯®«®£® æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥àë.

â¥¬ ¯à¨¢¥¤¥®¥ ¢ëè¥ ãà ¢¥¨¥ ¤¨áªà¥â¨§ã¥âáï, ¨á¯®«ì§ãï ¯à®áâãî ï¢ãî áå¥¬ã. ®«ãç¥®¥ ª®¥ç®-à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢, ¨¬¥îâ ¢¨¤ Tin+1 Tin = Tin 1 2Tin + Tin+1 + p Tin+1 Tin 1 + gin ; i = 1; 2; :::; M 1 : (5.36) t 2 a + i 2 k à ¢¥¨¥ (5.36) à¥è ¥âáï ®â®á¨â¥«ì® Tin+1 " # " # 2 n p p n +1 n n Ti = 1 2(a= + i) Ti 1 + (1 2 )Ti + 1 + 2(a= + i) Tin+1 + kgi ; i = 1; 2; :::; M 1 ; (5.37) æ¨«¨¤à : £¤¥ = bMa ; p = 21 {{ áä¥à = 2 t ; ¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ¤«ï a = 0, ãà ¢¥¨¥ (5.37) ã¯à®é ¥âáï ¤® ãà ¢¥¨ï (5.22), ª ª íâ® ¡ë«® ¤«ï á¯«®è®£® æ¨«¨¤à ¨«¨ á¯«®è®© áä¥àë. à ¢¥¨ï (5.37) ä®à¬¨àãîâ M 1 á®®â®è¥¨©, ® ¯à®¡«¥¬ á®¤¥à¦¨â M + 1 ¥¨§¢¥áâë¥ â¥¬¯¥à âãàë ¢ ã§« å Tin+1, i = 0; 1; :::; ª ¦¤®¬ ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥. ¥®¡å®¤¨¬ë ¥é¥ ¤¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¢ëà®¢ïâì ç¨á«® ãà ¢¥¨© ¨ ç¨á«® ¥¨§¢¥áâëå. «ï íâ®£® ¨á¯®«ì§ãîâáï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯®¢¥àå®áâïå r = a ¨ r = b. á«¨ â¥¬¯¥à âãàë § ä¨ªá¨à®¢ ë ®¡¥¨å £à ¨æ å, â® ãà ¢¥¨ï (5.37) ¤®áâ â®ç® à¥è¨âì ¤«ï ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Tin+1, i = 1; 2; :::; M 1. á«ãç ¥ ª®¢¥ªæ¨¨ ¨«¨ ä¨ªá¨à®¢ ®£® â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª £à ¨æ å, â¥¬¯¥à âãàë £à ¨æ å ï¢«ïîâáï ¥¨§¢¥áâë¬¨. íâ®¬ á«ãç ¥ ¤®¡ ¢«ïîâáï ¤¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå á®®â®è¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ ¯®á«¥ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨©. «ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì â®çë© à¥§ã«ìâ â á ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨, ¨á¯®«ì§ãîâ ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨, à áá¬ âà¨¢ ï ä¨ªâ¨¢ë¥ ã§«ë T 1 ¨ TM +1, «¥¢¥¥ ®â £à ¨æë r = a ¨ ¯à ¢¥¥ £à ¨æë r = b, á®®â¢¥âáâ¢¥®. ¨ªâ¨¢ë¥ â¥¬¯¥à âãàë ¢ íâ¨å ã§« å T 1 ¨ TM +1, ¯®ï¢«ïîé¨¥áï ¢ ¯®«ãç¥ëå ãà ¢¥¨ïå, ãáâà ïîâáï ¯®áà¥¤áâ¢®¬ ¢ëà ¦¥¨©, ¯®«ãç¥ëå ¯à¨ ®æ¥ª¥ ¢ëà ¦¥¨© (5.37) ¤«ï ã§«®¢ i = 0 ¨ i = M , á®®â¢¥âáâ¢¥®, ª ª íâ® ¡ë«® ¯®ª § ® ¢ëè¥. 1. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¢®£® à®¤ . â® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ á®¤¥à¦¨â ¯à¥¤¯¨á ®¥ § ç¥¨¥ â¥¬¯¥à âãà Ta ¨ Tb £à ¨æ å r = a ¨ r = b. «ï â ª®£® á«ãç ï ¨¬¥¥¬ T0 = Ta ; TM = Tb (5.38) ¤«ï ¢á¥å ¢à¥¬¥ëå ãà®¢¥©. ®£¤ , ãà ¢¥¨ï (5.37) ¨ (5.38) ï¢«ïîâáï ¤®áâ â®çë¬¨ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ¢ãâà¥¨å â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Tin+1, (i = 0; 1; :::; M 1) ¤«ï ¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å ¤«ï ¢à¥¬¥®£® ãà®¢ï n. 48

2. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ âà¥âì¥£® à®¤ .

â® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ª®¢¥ªâ¨¢ãî â¥¯«®¯¥à¥¤ çã £à ¨æ å r = a ¨ r = b. â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï âà¥âì¥£® à®¤ § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ @T @T k @r + hbT (b; t) = hb T1;b ; (5.39) k @r + hbT (a; t) = haT1;a ; r =a r =b £¤¥ T1;a ¨ T1;b { â¥¬¯¥à âãàë ®ªàã¦ îé¨å áà¥¤ ®¡¥¨å £à ¨çëå ¯®¢¥àå®áâïå, ha ¨ hb { ª®íää¨æ¨¥âë â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨. «ï â®£®, çâ®¡ë ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ âì ¯¥à¢ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¢ íâ¨å ãà ¢¥¨ïå æ¥âà «ì®-à §®áâë¬¨ ä®à¬ã« ¬¨ á ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨, à áá¬®âà¨¬ ä¨ªâ¨¢ë¥ ã§«ë \-1" ¨ \M+1" á ä¨ªâ¨¢ë¬¨ â¥¬¯¥à âãà ¬¨ T 1 ¨ TM +1, à á¯®«®¦¥ë¬¨ à ááâ®ï¨¨ «¥¢¥¥ ã§« á ¨¤¥ªá®¬ 0 ¨ ¯à ¢¥¥ ã§« á ¨¤¥ªá®¬ M , ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.4. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (5.39) ¬®¦¥â ¡ëâì ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ ®, ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã á æ¥âà «ìë¬¨ à §®áâï¬¨ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª n n n n k T1 2T 1 + haT0n = haT1;a ; k TM +1 2 TM 1 + hbTMn = hbT1;b : (5.40) «ï â®£®, çâ®¡ë ãáâà ¨âì ä¨ªâ¨¢ë¥ â¥¬¯¥à âãàë T n1 ¨ TMn +1 ¨§ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨©, ¥®¡å®¤¨¬® ¯®«ãç¨âì ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ á®®â®è¥¨ï, ®æ¥¨¢ ï ãà ¢¥¨ï (5.37) ¤«ï i = 0 ¨ i = M ! ! 2g n p p n n n n +1 T0 = 1 2(a=) T 1 + (1 2 )T0 + 1 + 2(a=) T1 + k 0 : (5.41) ! ! 2 n p p n +1 n n TM = 1 2(a= + M ) TM 1 + (1 2 )TM + 1 + 2(a= + M ) TMn +1 + kgM : (5.42) áâà ¥¨¥ T n1 ¨§ ãà ¢¥¨© (5.40) ¨ (5.41), â ª ¦¥ TMn +1 ¨§ ãà ¢¥¨© (5.40) ¨ (5.42) ¯à¨¢®¤¨â ª ¤¢ã¬ ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ T0n+1 = (1 2 Z0)T0n + 2 T1n + 2 0 + Gn0 ; (5.43) n +1 n n n TM! = 2 TM 1 + (1 2 ZM )TM + 2 M + GM ; ! (5.44) 2 n p ha T ; p ha ; n = g0 ; £¤¥ Z0 = 1 + 1 G

= 1 0 0 2(a=) k ! k 2(a=) k !1;a 2 n ZM = 1 + 1 + 2(a=p+ M ) hk b ; GnM = kgM ; M = 1 + 2(a=p+ M ) hk b T1;b : (5.45)

®£¤ , ãà ¢¥¨ï (5.37) ¢¬¥áâ¥ á ãà ¢¥¨ï¬¨ (5.43) (5.44) ä®à¬¨àãîâ M + 1 ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Tin+1, i = 0; 1; 2; :::; , ª®£¤ â¥¬¯¥à âãàë ã§«®¢ n Ti ¯à¥¤ë¤ãé¥¬ ãà®¢¥ ï¢«ïîâáï ¨§¢¥áâë¬¨. ®ïâ®, çâ® ¢ëç¨á«¥¨ï ç¨ îâáï á ç «ì®£® á®áâ®ï¨ï, n = 0. 3. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ . â® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ä¨ªá¨àã¥â â¥¯«®¢®© ¯®â®ª £à ¨æ å r = a ¨ r = b. «ï íâ®£® á«ãç ï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ @T @T k @r = Qb : (5.46) k @r = Qa ; r =a r =b á®, íâ® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ª®¢¥ªæ¨®®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ª ª ç áâë© á«ãç © ãà ¢¥¨ï (5.39), ¯à¨¨¬ ï á«¥¤ãîé¨¥ ®¡®§ ç¥¨ï ha = hb = 0 ; haT1;a = Qa ; hbT1;b = Qb : (5.47) ®£¤ ª®¥ç®-à §®áâ ï ä®à¬ ãà ¢¥¨© (5.46) áà §ã ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨© (5.43, 5.44), ãç¨âë¢ ï § ¬¥ë, ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ãà ¢¥¨¥¬ (5.47). ®«ãç ¥¬ T0n+1 = (1 2 )T0n + 2 T1n + 2 0 + Gn0 ; (5.48) n +1 n n n TM = 2 TM 1 + (1 2 )TM + 2 M + GM ; (5.49) 49

£¤¥

2g0n ; = 0 k 2 n GnM = kgM ; Gn

! p

0 = 1 2(a=) k Qa ; ! p

M = 1 + 2(a= + M ) k Qb :

(5.50)

®£¤ ãà ¢¥¨ï (5.48) ¨ (5.49) ¢¬¥áâ¥ á ãà ¢¥¨¥¬ (5.37) ä®à¬¨àãîâ M + 1 á®®â®è¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ã§«®¢ Tin+1, i = 0; 1; :::; ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n + 1 ¯à¨ ¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà å ¢ ã§« å ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n. ¤® ¯à¨§ âì ®£à ¨ç¥¨ï à¥è¥¨©, ¯®«ãç¥ëå á ¯à¥¤¯¨á ë¬¨ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¯® ¯®â®ªã. ®£¤ á¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à ¯®¤¢¥à£ãâë ®¤®à®¤®¬ã ¯®â®ªã í¥à£¨¨ £à ¨çëå ¯®¢¥àå®áâïå, â¥¬¯¥à âãà â¢¥à¤ëå ¯®¢¥àå®áâ¥© ¥¯à¥àë¢® ¯®¢ëè ¥âáï, ¯®â®¬ã çâ® ¥â ¨ª ª®£® ®ââ®ª â¥¯« ¢ áà¥¤ã. ®íâ®¬ã, ¯à¨ â ª¨å ãá«®¢¨ïå, ¨ª ª®¥ áâ æ¨® à®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï § ¤ ç¨ ¥ ¤®áâ¨¦¨¬®. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ¢®á¨âáï ¢ ¨§ãç ¥¬ãî ®¡« áâì ¨ ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¥£® ª®«¨ç¥áâ¢® ã¤ «ï¥âáï ®â £à ¨æ. à¨ â ª¨å ãá«®¢¨ïå ¬®¦® ®¦¨¤ âì áâ æ¨® à®¥ à¥è¥¨¥, ® à¥è¥¨¥ ¡ã¤¥â ¥¤¨áâ¢¥ë¬ â®«ìª® ¢ ¯à¥¤¥« å ¯à®¨§¢®«ì®© ¯®áâ®ï®©. 5.2.

«ï â®£®, çâ®¡ë ®à£ ¨§®¢ âì à¥è¥¨¥ ®¤®¬¥à®© ¥áâ æ¨® à®© § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ª®¥ç®-à §®áâë¬ ¬¥â®¤®¬ ¯® ï¢®© áå¥¬¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¡à âì â ª¦¥ ¨ è £ ¢à¥¬¥®© ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨, ¢¥«¨ç¨ ª®â®à®£® ®¯à¥¤¥«ï¥â § ç¥¨¥ ¯ à ¬¥âà = 2 t ; (5.51) £¤¥ t { è £ ¢à¥¬¥®© ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨, 2 { è £ ¯à®áâà áâ¢¥®© ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ § ¤ ç¨, { ª®íää¨æ¨¥â â¥¬¯¥à âãà®¯à®¢®¤®áâ¨. áá«¥¤®¢ ¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¨¬¥® íâ®â ¯ à ¬¥âà ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥â ãáâ®©ç¨¢®áâì ¢ëç¨á«¥¨©. ¢¥«¨ç¥¨¥ íâ®£® ¯ à ¬¥âà ¯à¨¢®¤¨â ª ã¬¥ìè¥¨î ®¡é¥£® ª®«¨ç¥áâ¢ ¨â¥à æ¨¨ ¤«ï ¤®áâ¨¦¥¨ï ä¨ «ì®£® ¢à¥¬¥¨, ¥®¡å®¤¨¬®£® ¤«ï à¥è¥¨ï ¥áâ æ¨® àëå § ¤ ç â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨. ¤ ª®, ¥á«¨ § ç¥¨¥ ¡®«ìè¥ ¥ª®â®à®£® ªà¨â¨ç¥áª®£® § ç¥¨ï ªà, â® ¢ëç¨á«¨â¥«ìë¥ áå¥¬ë ¯® ¬¥à¥ ¯à®¢¥¤¥¨ï ¨â¥à æ¨© ç¨ îâ ¯à®ï¢«ïâì ¥ãáâ®©ç¨¢®áâì, ª®â®à ï ¢ëà ¦ ¥âáï ¢ à¥§ª®¬ ã¢¥«¨ç¥¨¨ ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå ®è¨¡®ª, ª®â®àë¥ ¯®á«¥ ¥áª®«ìª¨å ¨â¥à æ¨© ¬®£ãâ ¯à¥¢ëá¨âì ¯®àï¤®ª à¥è¥¨ï, § â¥¬ ¨ ¯¥à¥¯®«¥¨¥. à®¢¥¤¥¬ «¨§ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë ¯à¨¬¥à¥ ®¤®¬¥à®© ¥áâ æ¨® à®© § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ¯àï¬®ã£®«ì®© á¨áâ¥¬¥ ª®®à¤¨ â, ª®¥ç®-à §®áâ ï áå¥¬ ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¢¨¤ n 2 Gni = gi kx : Tin+1 = Tin 1 + (1 2 )Tin + Tin+1 + Gni ; (5.52) ¥á¥¬ ¢ ¥ª®â®àë© ã§¥« á ¨¤¥ªá ¬¨ (i; n) ¥ª®â®à®¥ ¬ «®¥ ¢®§¬ãé¥¨¥ "ni (á¬®âà¨ à¨á.5.5). ®£¤ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© áå¥¬ë (5.52) ¯à¨¢¥¤¥â ª â®¬ã, çâ® ¯®á«¥ ¯à®¢¥¤¥¨ï ¨â¥à æ¨© ¢ ã§«¥ á ¨¤¥ªá ¬¨ (i; n + 1) ¯®ï¢¨âáï § ç¥¨¥, ®â«¨ç îé¥¥áï ®â à¥è¥¨ï, ª®â®à®¥ ¯®ï¢¨«®áì ¡ë ¢ á«ãç ¥ ®âáãâáâ¢¨ï ¢®§¬ãé¥¨ï "ni . ¥«¨ç¨ã ¢®§¬ãé¥¨ï, ¢¥á¥®£® ¢ ã§¥« (i; n) ¬®¦® ®æ¥¨âì ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (Tin+1 + "ni +1 ) = Tin 1 + (1 2 )(Tin + "ni) + Tin+1 + Gni : (5.53) ®á«¥ ¢ëç¨â ¨ï ãà ¢¥¨ï (5.52) ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.53) ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¥«¨ç¨ã ¢®§¬ãé¥¨ï, ¯®ï¢¨¢éãîáï á«¥¤ãîé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ á«®¥ "ni +1 = (1 2 )"ni : (5.54) ®ïâ®, çâ® ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ç¨á«¥ ï áå¥¬ à ¡®â « ãáâ®©ç¨¢®, ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¯® ¬¥à¥ ¯à®¢¥¤¥¨ï ¨â¥à æ¨© ¢¥«¨ç¨ ¢®§¬ãé¥¨ï ¤®«¦ ã¬¥ìè âìáï. â¥¬ â¨ç¥áª¨ íâ® ãá«®¢¨¥ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ n+1 "i < 1 ; ¨«¨ j1 2 j < 1 : (5.55) "ni 50

¨á. 5.6: §¢¨â¨¥ ç¨á«¥ëå ¢®§¬ãé¥¨© ¯à¨ à¥è¥¨¨ ®¤®¬¥àëå ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨å § ¤ ç ¯à®áâë¬ ï¢ë¬ ¬¥â®¤®¬.

¨á. 5.7: «¨ï¨¥ ¯ à ¬¥âà ãáâ®©ç¨¢®áâì à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¯à®áâë¬ ï¢ë¬ ¬¥â®¤®¬ á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬.

àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ãá«®¢¨¥ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë âà¥¡ã¥â ®¤®¢à¥¬¥®£® ¢ë¯®«¥¨ï ¤¢ãå ¥à ¢¥áâ¢ 1 2 < 1 ; 1 + 2 < 1 : (5.56) ¥à¢®¥ ¥à ¢¥áâ¢® âà¥¡ã¥â ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨ï > 0; ¨«¨ t > 0 ; (5.57) çâ® ¢ë¯®«ï¥âáï ¢á¥£¤ . â® ãá«®¢¨¥ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯®«ãç¨«® §¢ ¨¥ áâ â¨ç¥áª®© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë. â®à®¥ ¥à ¢¥áâ¢® ¢ (5.56) âà¥¡ã¥â 2 (5.58) < 1; ¨«¨ t < ; çâ®, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ª« ¤ë¢ ¥â ¯¥à¢®¥ ¥áâà®£®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¢¥«¨ç¨ã ¯à®áâà áâ¢¥®£® è £ . â® ãá«®¢¨¥ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯®«ãç¨«® §¢ ¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë. ¤® § ¬¥â¨âì, çâ® ç «ì®¥ ¢®§¬ãé¥¨¥, ¢¥á¥®¥ ¢ ã§¥« (i; n) ¯¥à¥¤ ¥âáï ¥ â®«ìª® ¢ ã§¥« á ¨¤¥ªá ¬¨ (i; n + 1). ç¥¢¨¤®, çâ® ç «ì®¥ ¢®§¬ãé¥¨¥ ¯¥à¥¤ ¥âáï â ª ¦¥ ¨ ¢ ã§«ë (i + 1; n + 1) ¨ (i 1; n + 1). æ¥¨¬ ¢¥«¨ç¨ã íâ®£® ¢®§¬ãé¥¨ï. +1 ) = (T n + "n ) + (1 2 )T n + T n + Gn : (Tin+1+1 + "ni+1 (5.59) i i i+1 i+2 i+1 á«¨ ¯®«®¦¨âì, çâ® Gni Gni+1 , â® à §®áâì ãà ¢¥¨© (5.59) ¨ (5.52) ¤ ¥â +1 = "n : "ni+1 (5.60) i +1 , á¬®âà¨ à¨á.5.6. ç¥¢¨¤®, çâ® "ni +11 = "ni+1 ª¨¬ ®¡à §®¬, ç «ì®¥ ¢®§¬ãé¥¨¥, ¢¥á¥®¥ ¢ ã§¥« á ¨¤¥ªá ¬¨ (i; n) ¯®á«¥ ®¤®© ¨â¥à æ¨¨ ¯¥à¥¤ ¥âáï âà¥¬ ã§« ¬ á«¥¤ãîé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ á«®¥: (i 1; n +1), (i; n +1) ¨ (i +1; n +1). ®ïâ®, çâ® ¯®á«¥ ¯à®¢¥¤¥¨ï á«¥¤ãîé¥© ¨â¥à æ¨¨, ª®â®à ï á¢ï§ á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¯à®ä¨«ï â¥¬¯¥à âãà ¢à¥¬¥®¬ á«®¥ n + 2, ¢¥«¨ç¨ ç «ì®£® ¢®§¬ãé¥¨ï ¯à¥â¥à¯¥¢ ¥â ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¨§¬¥¥¨ï. ¥«¨ç¨ã ¢®§¬ãé¥¨ï ¬®¦® ®æ¥¨âì ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (5.61) (Tin+2 + "ni +2) = (Tin 1 + "ni) + (1 2 )(Tin + (1 2 )"ni) + (Tin+1 + "ni) + Gni +1 : §¨æ ãà ¢¥¨© (5.61) ¨ (5.52) ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì § ç¥¨¥ ¢®§¬ãé¥¨ï, ª®â®à®¥ ¯¥à¥¤ ¥âáï ç¥à¥§ ¤¢ ¢à¥¬¥ëå á«®ï. ®«ãç ¥¬ (5.62) "ni +2 = "ni(1 4 + 2) "ni (1 4 ) ; 51

¯®áª®«ìªã ãá«®¢¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ âà¥¡ã¥â, çâ®¡ë < 1. «¥¤®¢ â¥«ì®, ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¢ëç¨á«¨â¥«ì ï áå¥¬ ¡ë« ãáâ®©ç¨¢®© ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨ï n+2 "i < 1 ; ¨«¨ j1 4 j < 1 : (5.63) "ni àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢â®à®¥ ãá«®¢¨¥ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë âà¥¡ã¥â ®¤®¢à¥¬¥®£® ¢ë¯®«¥¨ï ¤¢ãå ¥à ¢¥áâ¢ 1 4 < 1 ; 1 + 4 < 1 : (5.64) ¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ â®ç®áâ¨ á®¢¯ ¤ ¥â á® áâ â¨ç¥áª¨¬ ãá«®¢¨¥¬ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë (5.57). â®à®¥ ¥à ¢¥áâ¢® ¢ (5.64) ª« ¤ë¢ ¥â ¡®«¥¥ ¦¥áâª®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¢¥«¨ç¨ã ¢à¥¬¥®£® è £ 2 < 12 ; ¨«¨ t < 2 ; (5.65) â® ãá«®¢¨¥ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯®«ãç¨«® §¢ ¨¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï â®£®, çâ®¡ë à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ (5.6) ®áâ ¢ « áì ãáâ®©ç¨¢ë¬ (â.¥., ¥à áå®¤ïé¨¬áï ¨«¨ ¥ª®«¥¡ â¥«ìë¬), ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¯ à ¬¥âà , ¨á¯®«ì§ã¥¬ë© ¢ íâ¨å ãà ¢¥¨ïå, ¡ë«® «®¦¥® ®£à ¨ç¥¨¥ 0 < 0:5 ; = ()t2 : (5.66) x â®â ªà¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥â, çâ®, § ¤«ï ¤ ëå § ç¥¨© ¨ x, ¢¥«¨ç¨ è £ ¯® ¢à¥¬¥¨ t ¥ ¬®¦¥â ¯à¥¢ëè âì ¯à¥¤¥«, «®¦¥ë© ãà ¢¥¨¥¬ (5.66). ¨á.5.7 ¨««îáâà¨àã¥â ¢«¨ï¨¥ § ç¥¨ï ãáâ®©ç¨¢®áâì à¥è¥¨ï ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤«ï ¯à®áâ®£® ï¢®£® ¬¥â®¤ . ®áª®«ìªã ªà¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ àãè¥ ¤«ï = (5=9) > 0:5, â® à¥è¥¨¥ ç¨ ¥â ª®«¥¡ âìáï ¨ ®âª«®ïâìáï, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª à¥§ã«ìâ âë, ¯®«ãç¥ë¥ á = (5=11) < 0:5 ï¢«ïîâáï ãáâ®©ç¨¢ë¬¨ ¨ å®¤ïâáï ¢ å®à®è¥¬ á®®â¢¥âáâ¢¨¨ á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨. 5.2.1. «¨ï¨¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ãáâ®©ç¨¢®áâì

à¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨, § ¤ ë© ãà ¢¥¨ï¬¨ (5.66) ¬®¦® à §¢¨âì, à áá¬ âà¨¢ ï ª®¥ç®à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï (5.6) ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ ®¡« áâ¨. á«¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï § ¤ ç¨ ¢ª«îç îâ ãª § ë© â¥¬¯¥à âãàë© ¨/¨«¨ â¥¯«®¢®© ¯®â®ª ¨ ¨ª ª¨¥ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ®£à ¨ç¥¨ï ¥ «®¦¥ë £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, â® ªà¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨, § ¤ ë© ãà ¢¥¨¥¬ (5.66) ®áâ îâáï ¯à¨¥¬«¥¬ë¬¨ ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© á ª®¥çë¬ à §®áâï¬¨. ¤ ª®, ¢ á«ãç ¥ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ãá«®¢¨ï £à ¨æ¥ á ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ ª®¥ç®-à §®áâ®© ¯¯à®ªá¨¬ æ¨¨, § ¤ ®© ãà ¢¥¨ï¬¨ (5.15), « £ ¥âáï ¡®«¥¥ á¥àì¥§®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¯ à ¬¥âà , ç¥¬ «®¦¥®¥ ¢ á®®â¢¥âáâ¢¨¨ á ªà¨â¥à¨¥¬ 1=2. à®¢¥¤¥¬ «¨§ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï âà¥âì¥£® à®¤ ¢ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬¥ ¯à¨¬¥à¥ ®¤®¬¥à®© ¥áâ æ¨® à®© § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ¯àï¬®ã£®«ì®© á¨áâ¥¬¥ ª®®à¤¨ â, ª®¥ç®-à §®áâ ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¢¨¤ T0n+1 = (1 2 Z0)T0n + 2 T1n + 2 0 + Gn0 : (5.67) ¥á¥¬ ¢ ¥ª®â®àë© £à ¨çë© ã§¥« á ¨¤¥ªá ¬¨ (0; n) ¬ «®¥ ¢®§¬ãé¥¨¥ "n0 (á¬®âà¨ à¨á.5.8). ®£¤ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© áå¥¬ë (5.67) ¯à¨¢¥¤¥â ª â®¬ã, çâ® ¯®á«¥ ¯à®¢¥¤¥¨ï ¨â¥à æ¨© ¢ ã§«¥ á ¨¤¥ªá ¬¨ (0; n + 1) ¯®ï¢¨âáï § ç¥¨¥, ®â«¨ç îé¥¥áï ®â à¥è¥¨ï, ª®â®à®¥ ¯®ï¢¨«®áì ¡ë ¢ á«ãç ¥ ®âáãâáâ¢¨ï ¢®§¬ãé¥¨ï "n0 . â® ¢®§¬ãé¥¨¥ ¬®¦® ®æ¥¨âì ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (5.68) T0n+1 + "n0 +1 = (1 2 Z0)(T0n + "n0 ) + 2 T1n + 2 0 + Gn0 : 52

¨á. 5.8: §¢¨â¨¥ ç¨á«¥ëå ¢®§¬ãé¥¨© £à ¨æ¥ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ®¤®¬¥àëå ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨å § ¤ ç ¯à®áâë¬ ï¢ë¬ ¬¥â®¤®¬.

âáî¤ ¢¨¤®, çâ® á«¥¤ãîé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ ¢®§¨ª«® ¢®§¬ãé¥¨¥, ª®â®à®¥ á¢ï§ ® á ç «ìë¬ ¢®§¬ãé¥¨¥¬ á«¥¤ãîé¨¬ á®®â®è¥¨¥¬ (5.69) "n0 +1 = (1 2 Z0)"n0 ; Z0 = 1 + xkh0 : «ï â®£®, çâ®¡ë ç¨á«¥ ï áå¥¬ à ¡®â « ãáâ®©ç¨¢®, ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¯® ¬¥à¥ ¯à®¢¥¤¥¨ï ¨â¥à æ¨© ¢¥«¨ç¨ ¢®§¬ãé¥¨ï ã¬¥ìè « áì. â¥¬ â¨ç¥áª¨ íâ® ãá«®¢¨¥ ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ n+1 "0 < 1 ; ¨«¨ j1 2 Z0j < 1 : (5.70) "n0 àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ãá«®¢¨¥ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë âà¥¡ã¥â ®¤®¢à¥¬¥®£® ¢ë¯®«¥¨ï ¤¢ãå ¥à ¢¥áâ¢ 1 2 Z0 < 1 ; 1 + 2 Z0 < 1 : (5.71) ¥à¢®¥ ¥à ¢¥áâ¢® âà¥¡ã¥â > 0; ¨«¨ t > 0 ; (5.72) çâ® ¢ë¯®«ï¥âáï ¢á¥£¤ . â® áâ â¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë. â®à®¥ ¥à ¢¥áâ¢® ¢ (5.71) âà¥¡ã¥â 2 (5.73) ¨«¨ t < 2(1 + h =k) ; < 2Z1 ; 0 x 0 çâ®, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ª« ¤ë¢ ¥â ¡®«¥¥ áâà®£®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¢¥«¨ç¨ã ¯à®áâà áâ¢¥®£® è £ ¯® áà ¢¥¨î á ãá«®¢¨¥¬ ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë. ç¥¢¨¤®, çâ® ç «ì®¥ ¢®§¬ãé¥¨¥, ¢¥á¥®¥ ¢ ã§¥« (0; n) ¯¥à¥¤ ¥âáï ¢ ã§¥« (1; n + 1). ¥«¨ç¨ã ¢®§¬ãé¥¨ï, ¢¥á¥®£® ¢ íâ®â ã§¥«, ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (5.60). ª¨¬ ®¡à §®¬, ç «ì®¥ ¢®§¬ãé¥¨¥, ¢¥á¥®¥ ¢ ã§¥« á ¨¤¥ªá ¬¨ (0; n) ¯®á«¥ ®¤®© ¨â¥à æ¨¨ ¯¥à¥¤ ¥âáï ¤¢ã¬ ã§« ¬ á«¥¤ãîé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ á«®¥: (0; n + 1), ¨ (i + 1; n + 1). ®ïâ®, çâ® ¯®á«¥ ¯à®¢¥¤¥¨ï á«¥¤ãîé¥© ¨â¥à æ¨¨, ª®â®à ï á¢ï§ á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¯à®ä¨«ï â¥¬¯¥à âãà ¢à¥¬¥®¬ á«®¥ n + 2, ¢¥«¨ç¨ ç «ì®£® ¢®§¬ãé¥¨ï ¯à¥â¥à¯¥¢ ¥â ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¨§¬¥¥¨ï. ¥«¨ç¨ã ¢®§¬ãé¥¨ï ¬®¦® ®æ¥¨âì ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï T0n+2 + "n0 +2 = (1 2 Z0)[T0n+1 + (1 2 Z0)"n0 ] + 2 (T1n + "n0 ) + 2 0 + Gn0 : (5.74) §¨æ ãà ¢¥¨© (5.74) ¨ (5.67) ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì § ç¥¨¥ ¢®§¬ãé¥¨ï, ª®â®à®¥ ¯¥à¥¤ ¥âáï ç¥à¥§ ¤¢ ¢à¥¬¥ëå á«®ï. ®«ãç ¥¬ "n0 +2 = "n0 (1 4 Z0 + 4 2Z02 + 2 2) "ni(1 4 Z0) ; (5.75) 53

¯®áª®«ìªã ãá«®¢¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ âà¥¡ã¥â, çâ®¡ë < 1. «¥¤®¢ â¥«ì®, ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¢ëç¨á«¨â¥«ì ï áå¥¬ ¡ë« ãáâ®©ç¨¢®© ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨ï n+2 "i < 1 ; ¨«¨ j1 4 Z0j < 1 : (5.76) "ni àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢â®à®¥ ãá«®¢¨¥ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë, ¢ë§¢ ®¥ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨, âà¥¡ã¥â ®¤®¢à¥¬¥®£® ¢ë¯®«¥¨ï ¤¢ãå ¥à ¢¥áâ¢ 1 4 Z0 < 1 ; 1 + 4 Z0 < 1 : (5.77) ¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ â®ç®áâ¨ á®¢¯ ¤ ¥â á® áâ â¨ç¥áª¨¬ ãá«®¢¨¥¬ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë (5.57). â®à®¥ ¥à ¢¥áâ¢® ¢ (5.77) ª« ¤ë¢ ¥â ¬¥¥¥ ¦¥áâª®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¢¥«¨ç¨ã ¢à¥¬¥®£® è £ ¯® áà ¢¥¨î á ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬ ãá«®¢¨¥¬ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯à®áâ®£® ï¢®£® ¬¥â®¤ (5.65) 2 < 2Z1 ; (5.78) ¨«¨ t < 2(1 + h =k) : 0 x 0 áá«¥¤®¢ ¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, ¥á«¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì â®çë¥ ä®à¬ã«ë ¢¯¥à¥¤ ¨ § ¤ ¤«ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¯à®¨§¢®¤ëå ä®à¬ã« ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª £à ¨æ å ¢ ãá«®¢¨ïå ª®¢¥ªæ¨¨ (5.10), â® ªà¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¤«ï ®ª®ç â¥«ìëå ª®¥ç®-à §®áâëå ãà ¢¥¨© ¡ã¤¥â 0:5. à¨¬¥à 5-1. áá¬®âà¨â¥ á«¥¤ãîéãî ¥áâ æ¨® àãî § ¤ çã â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ¯«¨â¥, ª®â®à ï § ¤ ¥âáï ¢ ¡¥§à §¬¥à®¬ ¢¨¤¥ á«¥¤ãîé¨¬ ®¡à §®¬ @ 2T = @T ; 0 < x < 1; t > 0; (5.79) @x2 @t @T = 0 ; x = 0; t > 0; @x T = 0; x = 1; t > 0; x T = 100 cos 2 ; t = 0 ; 0 x 1:

¥è¨â¥ íâã ¯à®¡«¥¬ã ¢ ç¨á«¥® ª®¥ç®-à §®áâ®© áå¥¬®©, à §¡¨¢ ï ®¡« áâì 0 x 1 5 à ¢ëå ç áâ¥©, ¨á¯®«ì§ãï (a) à §®áâë¥ áå¥¬ë ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨, ¨ (b) à §®áâë¥ áå¥¬ë ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¯à¨ x = 0. ®ç®¥ à¥è¥¨¥ íâ®© ¯à®¡«¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ x 2 ! T (x; t) = 100 cos 2 exp 4 t : (5.80) à ¢¨â¥ â¥¬¯¥à âãàã ¨§®«¨à®¢ ®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¯®«ãç¥®© ¢ á ¯®¬®éìî à¥è¥¨ï ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬, § ¤ ë¬ ¢ëè¥. ë¡¥à¨â¥ = 1=5 ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨©. ¥è¥¨¥. ¡« áâì 0 x 1 à §¤¥«ï¥¬ 5 à ¢ëå ç áâ¥©. à®¡«¥¬ á®¤¥à¦¨â 5 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Tin, i = 0; 1; 2; 3; 4, â ª ª ª â¥¬¯¥à âãà ¯®¢¥àå®áâ¨ £à ¨æë ¯à¨ x = 1 n ®¯à¥¤¥«¥ T5 = 0. Tin+1 = 0:2Tin+1 + 0:6Tin + 0:2Tin+1 ; i = 1; 2; 3; 4 ; T5n = 0 : (5.81) ®¥ç®-à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ ¯®«ãç îâáï ¨§ ãà ¢¥¨© (5.6), ¯à¨¨¬ ï = 0:2. ®¯®«¨â¥«ì®¥ á®®â®è¥¨¥ ¯®«ãç¥® ¯ãâ¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ãá«®¢¨ï â¥¯«®¨§®«¨à®¢ ®© £à ¨æ¥. 54

(a) á«¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª , ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á ª®¥çë¬ à §®áâï¬¨ ¤«ï â¥¯«®¨§®«¨à®¢ ®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï áâ ®¢¨âáï T1n T0n = 0 ; ¨«¨ ; T0n = T1n ; i = 0 : (5.82) x (b) á«¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢â®à®© ¯®àï¤®ª â®ç®áâ¨, â® ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ â¥¯«®¨§®«¨à®¢ ®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.11,a), ¯à¨¨¬ ï h0 = 0, = 0:2 ¨ h 0T1;0 = 0, ¢ ¢¨¤¥

T0n+1 = 0:6T0n + 0:4T1n ; i = 0: (5.83) ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ § ¤ ç¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ x 0 Ti = 100 cos 2 ; i = 0; 1; :::; 5: (5.84) à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ â ¡«¨æ¥ 5-1 áà ¢¥¨¥ à¥è¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ á â®çë¬¨ à¥§ã«ìâ â ¬¨ ¤«ï â¥¬¯¥à âãàë ¤«ï â¥¯«®¨§®«¨à®¢ ®© £à ¨æë. á®, çâ® à¥è¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ¨á¯®«ì§ãîé¥¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ ¤«ï £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ï¢«ï¥âáï ®ç¥ì ¡«¨§ª¨¬ ª â®ç®¬ã à¥è¥¨î, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª à¥è¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ¨á¯®«ì§ãîé¥¥ ¯¥à¢ë© ¯®àï¤®ª â®ç®áâ¨ ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ®âª«®ï¥âáï ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® ®â 5% ¤® 10% ®â â®çëå à¥§ã«ìâ â®¢. ¡«¨æ 5-1. à ¢¥¨¥ à¥è¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬ ¤«ï ¯à¨¬¥à 5-1. à¥¬ï t 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

®ç®¥ 61.0498 37.2708 22.7537 13.8911 8.4805 5.1773 3.1607 1.9296

T (0; t) ®¥çë¥ à §®áâ¨ 1-£® ¯®àï¤ª 2-£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ â®ç®áâ¨ 55.0210 61.0004 31.4255 37.2105 17.9513 22.6986 10.2544 13.8462 5.8577 8.4463 3.3461 5.1523 1.9114 3.1429 1.0919 1.9172

à¨¬¥à 5-2. áá¬®âà¨â¥ á«¥¤ãîéãî ¥áâ æ¨® àãî § ¤ çã â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨, § ¤ ãî ¢ ¡¥§à §¬¥à®© ä®à¬¥ @ 2T = @T ; 0 < x < 1; t > 0; (5.85) @x2 @t T = 0; x = 0; t > 0; T = 0; x = 1; t > 0; T = 100 sin(2x) ; t = 0; 0 x 1: ®ç®¥ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ íâ®© ¯à®¡«¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤

T (x; t) = 10e 42 t sin 2x : (5.86) ¥è¨â¥ íâã ¯à®¡«¥¬ã á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ¨á¯®«ì§ãï à §®áâë© ¬¥â®¤, ¯à¨¨¬ ï: (a) x = 0:1 ; = 0:25 ; t = 0:0025 ; (5.87) (b) x = 0:1 ; = 0:50 ; t = 0:0050 ; 55

¨ áà ¢¨â¥ â¥¬¯¥à âãàã ¢ ¯®«®¦¥¨¨ x = 0:3 á â®çë¬¨ à¥§ã«ìâ â ¬¨. ¥è¥¨¥ ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.6) ¢ ¢¨¤¥ Tin+1 = rTin 1 + (1 2r)Tin + rTin+1 ; i = 1; 2; :::; 9: (5.88) ¥¬¯¥à âãà ¢ £à ¨çëå ã§« å ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª T0n = 0 ; T10n = 0 ; (5.89) ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ Ti0 = 10 sin(0:2i) ; i = 0; 1; :::; 10: (5.90) ëè¥ã¯®¬ïãâ ï á¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥ ¯à¨ ãª § ®¬ § ç¥¨¨ , ã¤®¢«¥â¢®àïï ªà¨â¥à¨î ãáâ®©ç¨¢®áâ¨. ¤¥áì à áá¬ âà¨¢ ¥¬ ¤¢ á«ãç ï: (a) = 0:25 ; Tin+1 = 0:25Tin 1 + 0:5Tin + 0:25Tin+1 ; (b) = 0:50 ; Tin+1 = 0:5(Tin 1 + Tin+1) : (5.91) ¡«¨æ 5-2 ¯®ª §ë¢ ¥â áà ¢¥¨¥ à¥è¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ á â®çë¬¨ à¥§ã«ìâ â ¬¨ ¤«ï á«ãç ¥¢ r = 0:5 ¨ r = 0:25. á®, çâ® ¬¥ìè¥¥ § ç¥¨¥ r ¯à®¨§¢®¤¨â ª ¡®«¥¥ â®çë¬ à¥§ã«ìâ â ¬. ¡«¨æ 5-2. à ¢¥¨¥ à¥è¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ á â®çë¬¨ à¥§ã«ìâ â ¬¨ ¢ ¯®«®¦¥¨¨ x = 0:3 ¯à¨ ¤¢ãå à §«¨çëå § ç¥¨ïå r T (0:3; t) r ¢à¥¬ï ª®¥çë¥ â®ç®¥ ®è¨¡ª , % à §®áâ¨ 0.5 0.0050 7.6942 7.8070 -1.444 0.0150 5.0359 5.2605 -4.269 0.0250 3.2960 3.5447 -7.014 0.0350 2.1573 2.3884 -9.679 0.0450 1.4120 1.6094 -12.268 0.25 0.0025 8.6024 8.6167 -0.167 0.0075 7.0379 7.0732 -0.499 0.0125 5.7580 5.8062 -0.830 0.0175 4.7108 4.7661 -1.160 0.0225 3.8541 3.9112 -1.489 à¨¬¥à 5-3.

í¥à£¨¨

áá¬®âà¨â¥ á«¥¤ãîéãî ¥áâ æ¨® àãî § ¤ çã â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¢ë¤¥«¥¨¥¬

2 0 < x < L; t > 0; (5.92) @@xT2 + k g = @T @t ; x = 0; t > 0; k @T @x + h0T = h0T1 ; T = 0; x = L; t > 0; T = F (x) ; t = 0; 0 x L: §¤¥«¨¢ ®¡« áâì 0 x L à ¢ëå ç áâ¥©, ¯®«ãç¨â¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ íâ®© § ¤ ç¨, ¨á¯®«ì§ãï ï¢ë© ¬¥â®¤. ¥è¥¨¥. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤«ï íâ®© ¯à®¡«¥¬ë áà §ã ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.4,a) á ãç¥â®¬ ¢ª« ¤ ¨áâ®ç¨ª í¥à£¨¨ Tin+1 Tin = Tin 1 2Tin + Tin+1 + gn : (5.93) t 2x k i

56

¥è¥¨¥ ¤«ï Tin+1 ¯®«ãç ¥âáï ¢ ¢¨¤¥

Tin+1 = rTin 1 + (1 2r)Tin + rTin+1 + kt gin ;

i = 1; 2; :::; M 1 :

(5.94)

®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¤«ï ª®¢¥ªâ¨¢®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¯à¨ x = 0 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.15) ¤®«¦ë¬ ®¡à §®¬ ¤®¡ ¢«ïï ¢ª« ¤ ¨áâ®ç¨ª í¥à£¨¨. å®¤¨¬ i = 0; (5.95) T0n+1 = (1 2 Z0)T0n + 2 T1n + 2 0 + kt g0n ; £¤¥ t ; 0T ; Z0 = 1 + xkh0 ;

0 = xh = 1 k (x)2 ª¦¥ ¨¬¥¥¬ TMn = 0 ¤«ï i = M , ¨ ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ ¤ ¥â Ti0 = F (ix) ; i = 0; 1; :::; M: (5.96) â®£®¢®¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ íâ®© § ¤ ç¨ ¯®«ãç ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ T0n+1 = (1 2 Z0)T0n + 2 T1n + 2 0 + kt g0n ; i = 0; (5.97) i = 1; 2; :::; M 1 Tin+1 = Tin 1 + (1 2 )Tin + Tin+1 + kt gin ; TMn+1 = 0 ; i=M; ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï Ti0 = F (ix) ; i = 0; 1; :::; M: (5.98) ¤¥áì 0 ¨ 0 ®¯à¥¤¥«¥ë ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì®. à¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.78) ¢ ¢¨¤¥ !1 xh 0 0
à®áâ®© ï¢ë© ¬¥â®¤, ®¡áã¦¤¥ë© ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¥© ç áâ¨, ®ç¥ì ¯à®áâ ¢ ¢ëç¨á«¨â¥«ì®¬ ®â®è¥¨¨, ® ¬ ªá¨¬ «ìë© à §¬¥à è £ ¯® ¢à¥¬¥¨ ®£à ¨ç¥ á®®¡à ¦¥¨ï¬¨ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨. á«¨ ¢ëç¨á«¥¨ï ¤®«¦ë ¡ëâì ¢ë¯®«¥ë ¢ â¥ç¥¨¥ ¡®«ìè®£® ¯¥à¨®¤ ¢à¥¬¥¨, ç¨á«® è £®¢, á«¥¤®¢ â¥«ì®, ¨ ç¨á«® ¥®¡å®¤¨¬ëå ¢ëç¨á«¥¨©, ¬®¦¥â áâ âì ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨¬. â®¡ë ¯à¥®¤®«¥âì íâã âàã¤®áâì, ¯à¨¬¥ïîâ áå¥¬ë á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ª®â®àë¥ ¥ ®£à ¨ç¨¢ îâ à §¬¥à è £ ¯® ¢à¥¬¥¨ t. ¤¨¬ ¨§ â ª¨å ¬¥â®¤®¢ ï¢«ï¥âáï ¯à®áâ®© ¥ï¢ë© ¬¥â®¤. áá¬®âà¨¬ ®¤®¬¥à®¥ ãà ¢¥¨¥ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ 1 @T = @ 2T + g(x; t) : (5.100) @t @x2 k à®áâà áâ¢¥ ï ¯à®¨§¢®¤ ï ¤¨áªà¥â¨§¨àã¥âáï n + 1 ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ ¢ ¢¨¤¥ @ 2T = Tin+11 2Tin+1 + Tin+1+1 + O(2 ) ; (5.101) x @x2 i;n+1 2x ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® ¢à¥¬¥¨ ¢ ¢¨¤¥ @T = Tin+1 Tin 1 + O( ) : (5.102) t @t i;n+1 t 57

¨á. 5.9: §¬¥é¥¨¥ ã§«®¢ ¤«ï ¯à®áâ®© ¥ï¢®© áå¥¬ë á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨.

¨á. 5.10: §¬¥é¥¨¥ ã§«®¢ ¤«ï ª®¥ç®-à §®áâ®© áå¥¬ë à ª -¨ª®«ìá® .

®¤áâ ¢«ïï ãà ¢¥¨ï (5.101 - 5.102) ¢ ãà ¢¥¨¥ (5.100), ¯®«ãç ¥¬ ¯à®áâ®¥ ¥ï¢®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤«ï ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ Tin+1 Tin 1 = Tin+11 2Tin+1 + Tin+1+1 + gin+1 ; (5.103) t 2x k ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï â®çë¬ ¯®àï¤ª O[2x; t] ¨ ï¢«ï¥âáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢ë¬. â® ¥ï¢ ï áå¥¬ , ¯®â®¬ã çâ® ª ¦¤ë© à § ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ ¥®¡å®¤¨¬® à¥è âì ®¤®¢à¥¬¥® ãà ¢¥¨ï ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï â¥¬¯¥à âãà ¢ ¥áª®«ìª¨å æ¥âà «ìëå ã§« å. ¨á.5.9 ¨««îáâà¨àã¥â à áá¬ âà¨¢ ¥¬ãî â®çªã (i; n + 1) ¨ ®ªàã¦ îé¨¥ ã§«ë ¢ ª®¥çëå à §®áâïå. á«¨ ¯à®¡«¥¬ ¢ª«îç ¥â ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å, â® ¥®¡å®¤¨¬® ®¤®¢à¥¬¥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© ª ¦¤ë© à § ®¢®¬ ãà®¢¥ ¯® áà ¢¥¨î á® áå¥¬®© ï¢®£® ¬¥â®¤ . ® ¬¥â®¤ ¨¬¥¥â â® ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢®, çâ® ® ¥ ª« ¤ë¢ ¥â ¨ª ª¨å ®£à ¨ç¥¨© à §¬¥à è £ ¯® ¢à¥¬¥¨ t ¨§ á®®¡à ¦¥¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨. 5.3.1. áâ®©ç¨¢®áâì ¯à®áâ®© ¥ï¢®© áå¥¬ë

ª ¡ë«® ®¡áã¦¤¥® à ¥¥, ç¨á«¥®¥ à¥è¥¨¥ TE ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á®¡®© áã¬¬ã â®ç®£® à¥è¥¨ï TE ¯à®¡«¥¬ë ¯«îá ®è¨¡ª " TN = TE + " : (5.104) ®¤áâ ¢«ïï ãà ¢¥¨¥ (5.104) ¢ (5.103), ®â¬¥ç ¥¬, çâ® TE ¤®«¦® â ª¦¥ ã¤®¢«¥â¢®àïâì à §®áâ®¬ã ãà ¢¥¨î. ®«ãç ¥¬ +1 "nj +1 "nj 1 "nj +11 2"nj +1 + "nj+1 = ; (5.105) t (x)2 à®áâ®¥ ¥ï¢®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ï¢«ï¥âáï ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¯à¨ ¢á¥å § ç¥¨ïå ¢à¥¬¥®£® è £ t. ¤ ª®, t ¤®«¦¥ ®áâ ¢ âìáï à §ã¬® ¬ «¥ìª¨¬ ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì à¥§ã«ìâ âë ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª¨¬¨ ª â®ç®¬ã à¥è¥¨î ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå, ¯®áª®«ìªã íâ®â ¬¥â®¤ ¨¬¥¥â ¯®àï¤®ª O(t). 5.3.2. ¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à

áá¬®âà¨¬ á¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥àã à ¤¨ãá r = b. «ï â®£®, çâ®¡ë à §¢¨âì ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ®¡« áâì à¥è¥¨ï 0 r b à §¤¥«¨¬ á«®¥¢, ª ¦¤ ï â®«é¨®© = b=M , ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.3. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ãà ¢¥¨© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¤«ï æ¨«¨¤à ¨ áä¥àë (5.16, 5.17) á ¯®¬®éìî ¯à®áâ®© ¥ï¢®© áå¥¬ë, á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¤ ¥â ) ( Tin+1 Tin = 1 1 p T n T n + 1 + p T n + 2gin+1 ; i = 1; 2; :::; M 1 : (5.106) t 2 " 2i i 1 i 2i i+1 k # n +1 n +1 n 2 T0 Ti = 1 2(1 + p)(T n+1 T n+1) + g0 ; i = 0; (5.107) 1 0 t 2 k 58

= Mb :

£¤¥

â¨ ãà ¢¥¨ï ï¢«ïîâáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢ë¬¨ á â®ç®áâìî ¯®àï¤ª O[2; t] ¨ á®¤¥à¦ â ¢ëà ¦¥¨©, ® M +1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å. ®¦® ¯®«ãç¨âì ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥, ¨á¯®«ì§ãï £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯à¨ r = b. á«¨ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á®¡®© ãª § ãî â¥¬¯¥à âãàã, â® ãà ¢¥¨© (5.106) ¨ (5.107) ¤®áâ â®ç® ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢® ¢ãâà¥¨å ã§« å ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n +1 ¯à¨ ¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà å ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n. â àâãîâ ®¡ëç® á ç «ì®£® â¥¬¯¥à âãà®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï. á«ãç ¥ ª®¢¥ªæ¨¨ ¨«¨ ãª § ®£® â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª £à ¨æ¥ r = b, ¯®«ãç îâ ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ á®®â®è¥¨¥ ¯ãâ¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï. ãçè¥ ¢á¥£® ¯à¨¬¥ïâì æ¥âà «ìë¥ ª®¥çë¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¯à¨ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ª®¥ç®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï á ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨. 5.3.3. ®«ë© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à

á«ãç ¥ ¯®«®£® æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥àë á ¢ãâà¥¨¬ à ¤¨ãá®¬ a ¨ ¢¥è¨¬ à ¤¨ãá®¬ b, ®¡« áâì à¥è¥¨ï a r b à §¤¥«¨¬ à ¢ëå á«®¥¢, ª ¦¤ë© â®«é¨®© = (b a)=M , ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.5, ®á®¢®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (5.16) ¤¨áªà¥â¨§ã¥¬, ¨á¯®«ì§ãï ¯à®áâãî ¥ï¢ãî áå¥¬ã, ¢ à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ (" # " # 2g n+1 ) Tin+1 Tin = 1 1 p p i n +1 n +1 n +1 ; (5.108) t 2 2(a= + i) Ti 1 2Ti + 1 + 2(a= + i) Ti+1 + k i = 1; 2; :::; M 1 ; £¤¥ = bMa :

â¨ ãà ¢¥¨ï ï¢«ïîâáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢ë¬¨ á â®ç®áâìî ¯®àï¤ª O[2; t] ¨ ä®à¬¨àãîâ M 1 ¢ëà ¦¥¨©, ® § ¤ ç á®¤¥à¦¨â M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å. ¥®¡å®¤¨¬® ¯®«ãç¨âì ¥é¥ ¤¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ¢ëà ¦¥¨ï ¨§ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¯à¨ r = a ¨ r = b. á«¨ â¥¬¯¥à âãàë ãª § ë £à ¨æ å, ãà ¢¥¨ï (5.108) ï¢«ïîâáï ¤®áâ â®çë¬¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ¢® ¢ãâà¥¨å ã§« å, ç¨ ï á ç «ì®£® ãá«®¢¨ï. á«¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ á®¡®© ª®¢¥ªæ¨®ë¥ ãá«®¢¨ï ¨«¨ ãá«®¢¨ï á ä¨ªá¨à®¢ ë¬ â¥¯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, â® ¯®«ãç îâ ¤¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ¢ëà ¦¥¨ï ¯à¨ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ íâ¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨©. ¥®¡å®¤¨¬® ¯à¨¬¥ïâì æ¥âà «ì®¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ª íâ¨¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¤«ï £à ¨çëå ãá«®¢¨©. 5.4. -

á®¢ ï ¨¤¥ï ¢ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¥ï¢®© áå¥¬ë ¡ë« ¤ «¥¥ à §¢¨â ¬®£®ç¨á«¥ë¬¨ ¨áá«¥¤®¢ â¥«ï¬¨ á æ¥«ìî ®¡ àã¦¥¨ï íää¥ªâ¨¢ëå áå¥¬, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¡®«¥¥ â®çë¬¨ ¨ â ª¦¥ ¥ ¨¬¥îâ ¨ª ª®£® ®£à ¨ç¥¨ï à §¬¥à è £ ¯® ¢à¥¬¥¨. ¤ ¨§ â ª¨å áå¥¬, §ë¢ ¥¬ ï ¬¥â®¤®¬ à ª -¨ª®«á® , ï¢¨« áì ãá¯¥è®© ¯à¨ ¤®áâ¨¦¥¨¨ â ª®© æ¥«¨. â «ìâ¥à â¨¢ ï ¥ï¢ ï áå¥¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï, ¯à¥¤«®¦¥ ï Crank and Nicolson (1947), á®åà ï¥â «¥¢ãî áâ®à®ã ¥ï¢®£® ãà ¢¥¨ï (5.103), ® ¨§¬¥ï¥â ¯à ¢ãî áâ®à®ã, ¯à¨¨¬ ï áà¥¤¥¥ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥ ¯à ¢ëå áâ®à® ï¢®£® ãà ¢¥¨ï (5.5) ¨ ¥ï¢®£® ãà ¢¥¨ï (5.103). ®£¤ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï (5.1) ¬¥â®¤®¬ à ª -¨ª®«á® áâ ®¢¨âáï " # 1 Tin+1 Tin = 1 Tin+11 2Tin+1 + Tin+1+1 + Tin 1 2Tin + Tin+1 + gin + gin+1 : (5.109) t 2 2x 2x k §« £ ï ¢ àï¤ ¥©«®à ®â®á¨â¥«ì® ã§« (i; n), ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¬¥â®¤ à ª -¨ª®«á® ï¢«ï¥âáï ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ ª ª ¯® ¢à¥¬¥¨, â ª ¨ ¯® ¯à®áâà áâ¢ã, O[2t ; 2x]. â® ï¢«ï¥âáï ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢®¬ ¯® ®â®è¥¨î ª ¯à®áâ®© ¥ï¢®© áå¥¬¥, ª®â®à ï ï¢«ï¥âáï â®ç®© â®«ìª® ¯® ¯®àï¤ªã O[t; 2x]. à®¬¥ â®£®, ª ª ¢ á«ãç ¥ á ¯®«®áâìî ¥ï¢®© áå¥¬®©, íâ áå¥¬ ¢® ¢à¥¬ï ¨â¥à æ¨© ¥ ¨¬¥¥â ¨ª ª®£® ®£à ¨ç¥¨ï à §¬¥à è £ ¯® ¢à¥¬¥¨ t. ãç¥¡®© â®çª¨ §à¥¨ï ®¡áã¦¤¥¨¥ § ç¥¨ï áå¥¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï à ª -¨ª®«ìá® ï¢«ï¥âáï ¯®ãç¨â¥«ì®©. à ¢ ï áâ®à® ãà ¢¥¨ï (5.109) ï¢«ï¥âáï áà¥¤¨¬ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬ æ¥âà «ìëå à §®áâëå ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© @ 2T=@x2 ®â®á¨â¥«ì® ã§« i ¢à¥¬¥ëå 59

á«®ïå n + 1 ¨ n. ª ï á®áâ ¢ ï ¢ áà¥¤¥¬ áå¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì à áæ¥¥ ª ª ®æ¥ª ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© ¢ ã§«¥ i ®â®á¨â¥«ì® ¢à¥¬¥®£® á«®ï n + 1=2. ®£¤ «¥¢ ï áâ®à® ãà ¢¥¨ï (5.109) ¬®¦¥â ¡ëâì à áæ¥¥ ª ª æ¥âà «ì®-à §®áâ®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ @T=@t ®â®á¨â¥«ì® â®çª¨ A (à¨á.5.10). «¥¤®¢ â¥«ì®, ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯à®¨§¢®¤ëå ®â®á¨â¥«ì® ¯à®áâà áâ¢¥®© ¨ ¢à¥¬¥®© ¯¥à¥¬¥®©, ï¢«ï¥âáï áå¥¬®© á æ¥âà «ìë¬¨ à §®áâï¬¨, ®è¨¡ª¨ ãá¥ç¥¨ï, ª ª ¨ ®¦¨¤ ¥âáï, ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢â®à®© ¯®àï¤®ª ª ª ¯® t, â ª ¨ ¯® x. à ¢¥¨¥ (5.109) â¥¯¥àì ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ n+1 2 n Tin+11 + (2 + 2 )Tin+1 Tin+1+1 = Tin 1 (2 2 )Tin + Tin+1 + (gi +k gi ) : (5.110) â® ãà ¢¥¨¥ ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢® ¡¥§ ®£à ¨ç¥¨ï § ç¥¨¥ ¯ à ¬¥âà = t=2. ¬¥¥âáï â®«ìª® ä®à¬ «ì®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ : ¤«ï ¤ ®£® ¨ x, ¯à¨¬¥ï¥¬ë© è £ ¯® ¢à¥¬¥¨ t ¥ ¤®«¦¥ ¡ëâì ¡®«ìè¨¬ ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¥ ¢à¥¤¨âì â®ç®áâ¨ ¢ëç¨á«¥¨©. 1. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¢®£® à®¤ . á«¨ â¥¬¯¥à âãàë § ¤ ë £à ¨çëå ¯®¢¥àå®áâïå r = 0 ¨ r = L, â® â¥¬¯¥à âãàë ã§«®¢ T0 ¨ TM ¨§¢¥áâë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤ë© à § ãà®¢¥ n ãà ¢¥¨ï (5.110) ä®à¬¨àãîâ M 1 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢® ¢ãâà¥¨å ã§« å ¤«ï á«¥¤ãîé¥£® ¢à¥¬¥®£® è £ n + 1. 2. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ âà¥âì¥£® à®¤ . ®£¤ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨¥ ¯à¨ x = 0 ¨ x = L ï¢«ï¥âáï ª®¢¥ªæ¨®ë¬, â®£¤ â¥¬¯¥à âãàë ã§«®¢ T0 ¨ TM £à ¨æ å ï¢«ïîâáï ¥¨§¢¥áâë¬¨. ®íâ®¬ã, ¥®¡å®¤¨¬® ¤¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå á®®â®è¥¨ï. ®à¬ã«ë ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï £à ¨çëå ãá«®¢¨© á ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ä®à¬ã« á æ¥âà «ìë¬¨ à §®áâï¬¨ ®â®á¨â¥«ì® £à ¨çëå ã§«®¢ i = 0 ¨ i = M . áá¬®âà¨¬ ª®¢¥ªæ¨®ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ®¡¥¨å £à ¨æ å ¯à¨ x = 0 ¨ x = L, § ¤ ë¥ ¢ ¢¨¤¥ x = 0; (5.111) k @T @x + h0T = h0T1;0 ; k @T x = L: (5.112) @x + hL T = hLT1;L ; ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á æ¥âà «ìë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤«ï íâ¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© ®â®á¨â¥«ì® ã§«®¢ i = 0 ¨ i = M á® ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ ¨¬¥îâ ¢¨¤ n n k Ti 2T 1 + h0T0n = h0T1;0 ; (5.113) x n n (5.114) k TM +12 TM 1 + hLTMn = hLT1;L ; x £¤¥ T n1 ¨ TMn +1 { ä¨ªâ¨¢ë¥ â¥¬¯¥à âãàë ¢ ä¨ªâ¨¢ëå ã§« å, ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.2. à ¢¥¨ï (5.113) ¨ (5.114) ¬®£ãâ â ª¦¥ ¡ëâì ¯¨á ë ¤«ï ¢à¥¬¥®£® ãà®¢ï n +1, ¯à®áâ® § ¬¥ïï ¨¤¥ªáë n n n n + 1. â®¡ë ãáâà ïâì ä¨ªâ¨¢ë¥ â¥¬¯¥à âãàë T 1 ¨ TM +1 ¨¬¥¥âáï ¤¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå á®®â®è¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.110), ®æ¥¨¢ ï â¥¬¯¥à âãàë ¤«ï i = 0 ¨ i = M , á®¤¥à¦ é¨¥, á®®â¢¥âáâ¢¥® n+1 2 n T n1+1 + (2 + 2 )T0n+1 T1n+1 = T n1 + (2 + 2 )T0n + T1n + (gi +k gi ) ; (5.115) n+1 2 n TMn+11 + (2 + r)TMn+1 TMn+1+1 = TMn 1 + (2 + 2 )TMn + TMn +1 + (gi +k gi ) ; (5.116) ¨ªâ¨¢ë¥ â¥¬¯¥à âãàë T n1 ¨ T n1+1 ãáâà ïîâáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.115) ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ãà ¢¥¨ï (5.113) ¤«ï ¢à¥¬¥ëå á«®¥¢ n ¨ n + 1. ®ç® â ª ¦¥ TMn +1 ¨ TMn+1 +1 ãáâà ïîâáï ¨§ ãà ¢¥¨ï 60

(5.116) ¯®áà¥¤áâ¢®¬ ãà ¢¥¨ï (5.114). ®£¤ ¯®«ãç îâáï á«¥¤ãîé¨¥ ¤¢ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ¯à¨¡«¨¦¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ª®¢¥ªæ¨®ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¢ £à ¨çëå ã§« å i = 0 ¨ i = M , á®®â¢¥âáâ¢¥® (2 + 2 Z0)T0n+1 2 T1n+1 = (2 2 0)T0n + 2 T1n + 4 0 + (Gn0 + Gn0 +1 ) ; (5.117) n +1 n +1 n n n n +1 2 TM + (2 + 2 L)TM 1 = 2 TM +1 + (2 2 ZL)TM + 4 L + (GM + GM ) ; (5.118) £¤¥ n 2 Z0 = 1 + xkh0 ; 0 = xkh0 T1;0 ; Gn0 = g0kx ; n 2 (5.119) ZL = 1 + xkhL ; L = xkhL T1;L ; GnM = gMkx ; = 2t : x

ª¨¬ ®¡à §®¬, á¨áâ¥¬ ãà ¢¥¨© (5.117) ¨ (5.118), ¢¬¥áâ¥ á ãà ¢¥¨ï¬¨ (5.110), ï¢«ï¥âáï ¯®«ë¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ãà ¢¥¨ï â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¯« áâ¨¥ ¬¥â®¤®¬ à ª -¨ª®«ìá® , ¯®¤¢¥à£ãâ®£® ª®¢¥ªæ¨¨ á ®¡¥¨å £à ¨çëå ¯®¢¥àå®áâ¥©. ¨ ä®à¬¨àãîâ M + 1 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ã§«®¢. ¨áâ¥¬ ï¢«ï¥âáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢®©. 3. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ . áá¬®âà¨¬ «®¦¥ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯® â¥¯«®¢®¬ã ¯®â®ªã ¯®¢¥àå®áâïå x = 0 ¨ x = L @T (5.120) k @x = Q0 ; x=0 @T k @x = QL ; (5.121) x=L

£¤¥ Q0 ¨ QL ï¢«ïîâáï «®¦¥ë¬¨ â¥¯«®¢ë¬¨ ¯®â®ª ¬¨ ¯®¢¥àå®áâïå ¯à¨ x = 0 ¨ x = L, á®®â¢¥âáâ¢¥®. à ¢¥¨¥ íâ®£® £à ¨ç®£® â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª á ª®¢¥ªæ¨®ë¬ £à ¨çë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨, § ¤ ë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ (5.111) ¨ (5.112) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ®, ¢â®àë¥ á«¥¤ãî ¨§ ¯¥à¢ëå ¯à¨ á«¥¤ãîé¨å § ¬¥ å h0hl = 0 ; h0T1;0 = Q0 ; hLT1;L = QL : (5.122) ®£¤ ãà ¢¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤«ï «®¦¥ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¯® â¥¯«®¢®¬ã ¯®â®ª ï¢«ïîâáï ¤®áâã¯ë¬¨ ¨§ ãà ¢¥¨© (5.117) ¨ (5.118), á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¨, ãç¨âë¢ ï § ¬¥ë, ¢¢¥¤¥ë¥ ãà ¢¥¨ï¬¨ (5.122), ¯®«ãç ¥¬ (5.123) (2 + 2 )T0n+1 2 T1n+1 = (2 2 )T0n + 2 T1n + 4 xkQ0 + (Gn0 + Gn0 +1 ) ; 2 TMn+11 + (2 + 2 )TMn+1 = 2 TMn 1 + (2 2 )TMn + 4 xQL + (GnM + GnM+1 ) : (5.124) k

ª¨¬ ®¡à §®¬, ãà ¢¥¨ï (5.123, 5.124) ¢¬¥áâ¥ á ãà ¢¥¨¥¬ (5.110), ¤«ï i = 1; 2; :::; M 1 ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ ¯®«®áâìî ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤¨ääã§¨®®© § ¤ ç¨ ¢ ¯«¨â¥ ¬¥â®¤®¬ à ª -¨ª®«ìá® , ¯®¤¢¥à£ãâ®£® «®¦¥®¬ã â¥¯«®¢®¬ã ¯®â®ªã £à ¨æ å. ¨ ä®à¬¨àãîâ M + 1 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ã§«®¢. ¨áâ¥¬ ï¢«ï¥âáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢®©. 5.4.1. ¯«®è®© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à

®ª ¦¥¬ â¥¯¥àì ¯à¨¬¥¥¨¥ ¬¥â®¤ à ª -¨ª®«ìá® ¤«ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¯à¨ æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ¨ áä¥à¨ç¥áª®© á¨¬¬¥âà¨ïå. áá¬®âà¨¬ ®¤®¬¥à®¥ ¤¨ääã§¨®®¥ ãà ¢¥¨¥ á ¨áâ®ç¨ª®¢ë¬ á« £ ¥¬ë¬ ¤«ï á¯«®è®£® æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥àë à ¤¨ãá r = b. ¡« áâì à¥è¥¨ï 0 r b à §¤¥«¨¬ á«®¥¢ â®«é¨®© = b=M , ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.5. à ¢¥¨ï 61

á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ¯à¨¬¥¥ë¥ ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ i = 1; 2; :::; M 1, ¯®«ãç îâáï ¯ãâ¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ãà ¢¥¨© (5.16) ¬¥â®¤®¬ à ª -¨ª®«ìá® . à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ Tin+1 Tin = 1 1 p T n+1 2T n+1 + 1 + p T n+1 + 1 p T n 2T n + i i t 22 2i i 1 2i i+1 2i i 1 ) 2 + 1 + 2pi Tin+1 + k (gin+1 + gin) (5.125) ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ i = 1; 2; :::; M 1. à ¢¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤«ï æ¥âà «ì®£® ã§« i = 0 ¯®«ãç ¥âáï ¯ãâ¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ãà ¢¥¨ï (5.17) ¬¥â®¤®¬ à ª -¨ª®«ìá® ( ) T0n+1 T0n = 1 2(1 + p)(T n+1 T n+1) + 2(1 + p)(T n T n) + 2 (gn+1 + gn ) ; i = 0 : (5.126) 1 0 1 0 0 t 2 2 k 0 à ¢¥¨ï (5.125) ¨ (5.126) ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ ë, á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¢ ¢¨¤¥ p p p p n +1 n +1 n +1 n n 1 2i Ti 1 + (2 + 2 )Ti 1 + 2i Ti+1 = 1 2i Ti+1 + (2 2 )Ti + 1 + 2i Tin 1 + 2 + (gin+1 + gin ) ; i = 1; 2; :::; M 1: ; (5.127) k 2 [2 + 2 (1 + p)]T0n+1 2 (1 + p)T1n+1 = [2 2 (1 + p)]T0n 2 (1 + p)T1n + k (g0n+1 + g0n ) ; (5.128) £¤¥ = Mb ; = 2 t :

à ¢¥¨ï (5.127) ¨ (5.128) ï¢«ïîâáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢ë¬¨ á â®ç®áâìî ¯®àï¤ª O[2; 2t ] ¨ ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ® á®¤¥à¦ â M +1 ¥¨§¢¥áâë¥ â¥¬¯¥à âãàë ¢ ã§« å. ®¯®«¨â¥«ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¯à¨ r = b. 1. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¢®£® à®¤ . â® ãá«®¢¨¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥â «¨ç¨¥ ä¨ªá¨à®¢ ®© â¥¬¯¥à âãàë Tb ¢ £à ¨æ¥ r = b. «ï â ª®£® á«ãç ï ¨¬¥¥¬ TM = Tb (5.129) ¤«ï ¢á¥å ¢à¥¬¥ëå ãà®¢¥©. ®£¤ ãà ¢¥¨© (5.127) ¨ (5.128) ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç® ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å, Tin+1, i = 0; 1; :::; M 1 ¤«ï ¢à¥¬¥®£® á«®ï n +1 ®á®¢¥ n ¨§¢¥áâëå Ti ¯à¥¤ë¤ãé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥. 2. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ âà¥âì¥£® à®¤ . â® ãá«®¢¨¥ ¢ëà ¦ ¥â â¥¯«®¢ãî ª®¢¥ªæ¨î ¢ £à ¨æ¥ r = b. «ï íâ®£® á«ãç ï £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯à¨ r = b § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ @T (5.130) k @x + hbT (b; t) = hbT1;b : r =b â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤®«¦® ¡ëâì ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ ® æ¥âà «ì®© à §®áâ®© ä®à¬ã«®© ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨, à áá¬ âà¨¢ ï ä¨ªâ¨¢ë© ã§¥« M + 1 á ä¨ªâ¨¢®© â¥¬¯¥à âãà®© TM +1, à á¯®«®¦¥ë© ¯à ¢¥¥ à ááâ®ï¨¨ ®â ã§« , ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.4. ¨áªà¥â¨§ æ¨ï ãà ¢¥¨ï (5.130) ¢à¥¬¥ëå ãà®¢ïå n ¨ n + 1, á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¤ ¥â n+1 T n+1 n n T T T M +1 M 1 M +1 M 1 + h Tn = h T : n k + h k (5.131) b TM = hb T1;b b M b 1;b 2 2 62

¥¯¥àì ®æ¥¨¬ ãà ¢¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ (5.127) ¤«ï i = M . ®«ãç ¥¬ p T n+1 + (2 + 2 )T n+1 1 + p T n+1 = 1 p T n + 1 2M M +1 M 2M M +1 2M M 1 p T n + 2 (gn+1 + gn ) ; (5.132) +(2 2 )TMn + 1 + 2M M +1 M k M £¤¥ = (t)=2. ¨ªâ¨¢ë¥ â¥¬¯¥à âãàë TMn +1, ¨ TMn +1, ¯®ï¢¨¢è¨¥áï ¢ íâ®¬ ¢ëà ¦¥¨¨, ¨áª«îç îâáï, ¨á¯®«ì§ãï ãà ¢¥¨ï (5.131). ®£¤ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï (5.130) 2 TMn+1+1 + (2 + 2 ZM )TMn+1 = 2 TMn 1 + (2 2 ZM )TMn + 4 M + GM ; (5.133) p h T ; p hb ; £¤¥

ZM = 1 + 1 + 2M M = 1+ k 2M k b 1;b 2 = 2 t : (5.134) GnM = k (gMn+1 + gMn ) ;

®¤¢®¤ï ¨â®£¨, áª ¦¥¬, çâ® ãà ¢¥¨ï (5.127), (5.128) ¨ (5.133) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ M + 1 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨ï ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Tin+1, i = 0; 1; :::; ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n + 1 ¯à¨ ¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà å ¢ ã§« å ¯à¥¤ë¤ãé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n, ç¨ ï á ç «ì®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï. ¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨¥ § ç¥¨ïå ãà ¢¥¨¥ (5.133) á¢®¤¨âáï ¤® ãà ¢¥¨ï (5.118) ¤«ï ¯«®áª®© £¥®¬¥âà¨¨. 3. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ . íâ®¬ á«ãç ¥ ãª §ë¢ ¥âáï ä¨ªá¨à®¢ ë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª £à ¨æ¥ r = b. íâ®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ @T k @r = Qb : (5.135) r =b

à ¢¥¨¥ íâ®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª á ª®¢¥ªæ¨®ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¤«ï ãà ¢¥¨ï (5.130) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®® ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ª®¢¥ªæ¨®®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ª ª ç áâë© á«ãç ©, ¯à¨¨¬ ï á«¥¤ãîé¨¥ § ¬¥ë: hb = 0 ; hbT1;b = Qb : (5.136) ®£¤ , ª®¥ç®-à §®áâ ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¢® ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ ª ãª § ®¬ã ¯®â®ªã £à ¨æ¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (5.133), ¤¥« ï § ¬¥ã, ãª § ãî ¢ ãà ¢¥¨¨ (5.136). å®¤¨¬ 2 2 TMn+1+1 + (2 + 2 )TMn+1 = 2 TMn 1 + (2 + 2 )TMn + 4 1 + p Qb + gMn : (5.137) 2M k k ¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ¤«ï ¡®«ìè®£® ¨ ®âáãâáâ¢¨ï ¢ë¤¥«¥¨ï í¥à£¨¨, íâ® ãà ¢¥¨¥ á¢®¤¨âáï ¤® ãà ¢¥¨ï (5.124) ¤«ï ¯«®áª®© £¥®¬¥âà¨¨. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¬¥â®¤®¬ à ª -¨ª®«ìá® ï¢«ï¥âáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢ë¬, á«¥¤®¢ â¥«ì® ¥â ¨ª ª®£® ®£à ¨ç¥¨ï ¬ ªá¨¬ «ì®¥ § ç¥¨¥ ¯ à ¬¥âà . 5.4.2. ®«ë© æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à

áá¬®âà¨¬ ®¤®¬¥à®¥ ¤¨ääã§¨®®¥ ãà ¢¥¨¥ á ¨áâ®ç¨ª®¢ë¬ á« £ ¥¬ë¬ ¤«ï ¯®«®£® æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥àë á ¢ãâà¥¨¬ à ¤¨ãá®¬ r = a ¨ ¢¥è¨¬ à ¤¨ãá®¬ r = b. ¡« áâì à¥è¥¨ï a r b à §¤¥«¨¬ á«®¥¢ â®«é¨®© = (b a)=M , ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.5. à ¢¥¨ï á ª®¥çë¬¨ 63

à §®áâï¬¨, ¯à¨¬¥¥ë¥ ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ i = 1; 2; :::; M 1, ¯®«ãç îâáï ¯ãâ¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ãà ¢¥¨© (5.16) ¬¥â®¤®¬ à ª -¨ª®«ìá® . à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ # " # " # (" Tin+1 Tin = 1 1 p p p n +1 n +1 n +1 n t 2"2 2(a=#+ i) Ti 1 2Ti +) 1 + 2(a= + i) Ti+1 + 1 2(a= + i) Ti 1 2 p n n 2Ti + 1 + 2(a= + i) Ti+1 + k (gin+1 + gin ) (5.138) ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ i = 1; 2; :::; M 1. à ¢¥¨ï (5.138) ¬®£ãâ ¡ëâì ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ ë ¢ ¢¨¤¥ p p p p n +1 n +1 n +1 n n 1 + 2i Ti+1 = 1 2i Ti+1 + (2 2 )Ti + 1 + 2i Tin 1 + 1 2i Ti 1 + (2 + 2 )Ti 2 i = 1; 2; :::; M 1: ; (5.139) + k (gin+1 + gin ) ; £¤¥ = bM a ; = 2 t : à ¢¥¨ï (5.139) ï¢«ïîâáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢ë¬¨ á â®ç®áâìî ¯®àï¤ª O[2; 2t ] ¨ ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ 1 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ® á®¤¥à¦ â M + 1 ¥¨§¢¥áâë¥ â¥¬¯¥à âãàë ¢ ã§« å. ®¯®«¨â¥«ìë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¯®«ãç îâáï ¨§ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¯à¨ r = a ¨ r = b. 1. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¢®£® à®¤ . â® ãá«®¢¨¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥â «¨ç¨¥ ä¨ªá¨à®¢ ëå â¥¬¯¥à âãà Ta ¨ Tb £à ¨æ å r = a ¨ r = b. «ï â ª®£® á«ãç ï ¨¬¥¥¬ T0 = Ta ; TM = Tb (5.140) ¤«ï ¢á¥å ¢à¥¬¥ëå ãà®¢¥©. ®£¤ ãà ¢¥¨© (5.139) ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç® ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å, Tin+1, i = 1; :::; M 1 ¤«ï ¢à¥¬¥®£® á«®ï n +1 ®á®¢¥ ¨§¢¥áâëå n Ti ¯à¥¤ë¤ãé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥. 2. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ âà¥âì¥£® à®¤ . â® ãá«®¢¨¥ ¢ëà ¦ ¥â â¥¯«®¢ãî ª®¢¥ªæ¨î ¢ £à ¨æ å r = a ¨ r = b. «ï íâ®£® á«ãç ï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ @T @T k @r + hbT (b; t) = hb T1;b : (5.141) k @r + haT (a; t) = haT1;a ; r =a r =b â¨ ¢ëà ¦¥¨ï ¤®«¦ë ¡ëâì ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ ë æ¥âà «ìë¬¨ à §®áâï¬¨ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨, à áá¬ âà¨¢ ï ä¨ªâ¨¢ë¥ ã§«ë 1 ¨ M + 1 á ä¨ªâ¨¢ë¬¨ â¥¬¯¥à âãà ¬¨ T 1 ¨ TM +1, á®®â¢¥âáâ¢¥®, à á¯®«®¦¥ë¥ «¥¢¥¥ ¨ ¯à ¢¥¥ à ááâ®ï¨¨ ®â ã§«®¢ 1 ¨ , ª ª ¯®ª § ® à¨á.5.4. ¨áªà¥â¨§ æ¨ï ãà ¢¥¨© (5.141) ¢à¥¬¥ëå ãà®¢ïå n ¨ n + 1, á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¤ îâ n+1 T n+1 n Tn T T 1 1 + h Tn = h T ; 1 1 n k 2 + haT0 = haT1;a k (5.142) a 0 a 1;a 2 n+1 n+1 n n k TM +1 2 TM 1 + hb TMn = hb T1;b : (5.143) k TM +1 2 TM 1 + hbTMn = hbT1;b ¥¯¥àì ®æ¥¨¬ ãà ¢¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ (5.139) ¤«ï i = 0 ¨ i = M . ®«ãç ¥¬, á®®â¢¥âáâ¢¥® # " # " # " p p p 1 2(a=) T n1+1 + (2 + 2 )T0n+1 1 + 2(a=) T1n+1 = 1 2(a=) T1n + 64

# 2 p n + (g n+1 + g n ) ; T (5.144) +(2 1 + 1 0 0 0 2( a= ) k " # " # " # p p p n +1 n +1 n +1 1 2(a= + M ) TM 1 + (2 + 2 )TM 1 + 2(a= + M ) TM +1 = 1 2(a=) TMn +1 + # " 2 p n (5.145) +(2 2 )TM + 1 + 2(a= + M ) TMn 1 + k (gMn+1 + gMn ) ; £¤¥ = (t)=2. ¨ªâ¨¢ë¥ â¥¬¯¥à âãàë T n1, T n1+1, TMn +1, ¨ TMn +1, ¯®ï¢¨¢è¨¥áï ¢ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨ïå, ¨áª«îç îâáï, ¨á¯®«ì§ãï ãà ¢¥¨ï (5.142) ¨ (5.143). ®£¤ ª®¥ç®-à §®áâë¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï á ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨© (5.141) (2 + 2 Z0)T0n+1 2 T1n+1 = (2 2 Z0)T0n + 2 T1n + 4 0 + G0 ; (5.146) n +1 n +1 n n 2 TM +1 + (2 + 2 ZM )TM = 2 TM 1 + (2 2 ZM )TM + 4 M + GM ; (5.147) ! ! hb ; p p ha ; £¤¥ Z Z0 = 1 + 1 + 2(a= M =1+ 1+ 2(a= +!M ) k ! ) k p h T ; h T ; p

0 = 1 + 2(a=

a 1;a M = 1+ ) k 2(a= + M ) k b 1;b 2 2 GnM = k (gMn+1 + gMn ) ; = 2 t : (5.148) Gn0 = k (g0n+1 + g0n ) ; 2 )T n +

"

®¤¢®¤ï ¨â®£¨, áª ¦¥¬, çâ® ãà ¢¥¨ï (5.146), (5.147) ¨ (5.139) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ M + 1 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨ï ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï M + 1 ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å Tin+1, i = 0; 1; :::; ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n + 1 ¯à¨ ¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà å ¢ ã§« å ¯à¥¤ë¤ãé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n, ç¨ ï á ç «ì®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï. 3. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢â®à®£® à®¤ . íâ®¬ á«ãç ¥ ãª §ë¢ ¥âáï ä¨ªá¨à®¢ ë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª £à ¨æ å r = a ¨ r = b. íâ®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ @T @T k @r = Qb : (5.149) k @r = Qa ; r =a r =b à ¢¥¨¥ íâ®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª á ª®¢¥ªæ¨®ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¤«ï ãà ¢¥¨ï (5.141) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®® ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ª®¢¥ªæ¨®®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ª ª ç áâë© á«ãç ©, ¯à¨¨¬ ï á«¥¤ãîé¨¥ § ¬¥ë: ha = hb = 0 ; haT1;a = Qa ; hbT1;b = Qb : (5.150) ®£¤ , ª®¥ç®-à §®áâ ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¢® ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ ª ãª § ®¬ã ¯®â®ªã £à ¨æ¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨© (5.146) ¨ (5.147), ¤¥« ï § ¬¥ã, ãª § ãî ¢ ãà ¢¥¨¨ (5.150). å®¤¨¬ " # 2 p n +1 n +1 n n (2 + 2 )T0 2 T1 = (2 2 )T0 + 2 T1 + 4 1 + 2(a=) k Qb + k g0n ; (5.151) " # 2 p 2 TMn+1+1 + (2 + 2 )TMn+1 = 2 TMn 1 + (2 2 )TMn + 4 1 + 2(a= + M ) k Qb + k gMn ; (5.152) ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¬¥â®¤®¬ à ª -¨ª®«ìá® ï¢«ï¥âáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢ë¬, á«¥¤®¢ â¥«ì® ¥â ¨ª ª®£® ®£à ¨ç¥¨ï ¬ ªá¨¬ «ì®¥ § ç¥¨¥ ¯ à ¬¥âà . 65

5.5.

¯à¥¤ë¤ãé¨å ç áâïå ¡ë«¨ à áá¬®âà¥ë â®«ìª® ¤¢ãåãà®¢¥¢ë¥ ¯® ¢à¥¬¥¨ ª®¥ç®-à §®áâë¥ áå¥¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï, ª®â®àë¥ ¢ëç¨á«ïîâ ®¢ë¥ § ç¥¨ï á«®¥ n +1, ¨á¯®«ì§ãï § ç¥¨ï ¢à¥¬¥®¬ á«®¥ n. à¥åãà®¢¥¢ë¥ (¨«¨ ¡®«¥¥) áå¥¬ë ¯® ¢à¥¬¥¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®áâà®¥ë ¤«ï ¤®áâ¨¦¥¨ï ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢ íâ¨å áå¥¬ ¯® áà ¢¥¨î á ¤¢ã¬ï ãà®¢ï¬¨. â ª¨¬¨ ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢ ¬ ®â®áïâ ¬¥ìè ï «®ª «ì ï ®è¨¡ª ãá¥ç¥¨ï, ¡®«ìè ï ãáâ®©ç¨¢®áâì, ¨«¨ ¢®§¬®¦®áâì ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥«¨¥©®© ¯à®¡«¥¬ë ª «¨¥©®©. âà¥åãà®¢¥¢®© ¯® ¢à¥¬¥¨ áå¥¬¥ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ®¢ëå § ç¥¨© ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ (n + 1), ¥®¡å®¤¨¬ë § ç¥¨ï ¢® ¢à¥¬¥¨ ãà®¢ïå n, ¨ n 1. ®íâ®¬ã, ¤«ï ç « ¢ëç¨á«¥¨© á âà¥åãà®¢¥¢®© ¯® ¢à¥¬¥¨ áå¥¬¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¯à¨¬¥¨âì ¤¢ãåãà®¢¥¢ãî ¯® ¢à¥¬¥¨ áå¥¬ã ¢ ª ç¥áâ¢¥ áâ àâ®¢®©. áá¬®âà¨¬, ¢ ª ç¥áâ¢¥ ¯à¨¬¥à , ®¤®¬¥à®¥ ¤¨ääã§¨®®¥ ãà ¢¥¨¥ 1 @T = @ 2T + g(x; t) : (5.153) @t @x2 k ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¯® âà¥åãà®¢¥¢®© ¯® ¢à¥¬¥¨ áå¥¬¥ ¯à¨¢®¤¨â ª 3 Tin+1 Tin + 1 Tin Tin 1 = Tin+11 2Tin+1 + Tin+1+1 + gin ; (5.154) 2 t 2 t 2x k ª®â®à ï ï¢«ï¥âáï ¢â®àë¬ ¯®àï¤ª®¬ â®ç®áâ¨ ¯® ¢à¥¬¥®© ¨ ¯à®áâà áâ¢¥®© ¯¥à¥¬¥ë¬, â.¥., 2 2 O[t ; x]. â® ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¨¬¥¥â ®è¨¡ªã ãá¥ç¥¨ï â®£® ¦¥ á ¬®£® ¯®àï¤ª , ª ª ¨ áå¥¬ à ª -¨ª®«ìá® , ® ® ¡®«¥¥ â®ç ¢ á«ãç ïå, ª®£¤ ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ § ¤ ç¨ ï¢«ï¥âáï à §àë¢ë¬ ¨«¨ ¡ëáâà® ¨§¬¥ï¥âáï á ¨§¬¥¥¨¥¬ x. ¤ ª®, ª®£¤ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¨ ¥£® ¯à®¨§¢®¤ë¥ ï¢«ïîâáï ¥¯à¥àë¢ë¬¨, ¬®¦® ¯®«ì§®¢ âìáï ¬¥â®¤®¬ à ª -¨ª®«ìá® . «ï â®£®, çâ®¡ë ç âì ¢ëç¨á«¥¨ï (5.154), ¥®¡å®¤¨¬ë ç «ìë¥ ¤ ë¥ ¤¢ãå ¢à¥¬¥ëå ãà®¢ïå, n = 0 ¨ n = 1 (â.¥., t = 0 ¨ t = t). ®íâ®¬ã, ¥®¡å®¤¨¬ ¤¢ãåãà®¢¥¢ ï ¯® ¢à¥¬¥¨ áå¥¬ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï Ti1. ®£¤ ç «ìë¥ ¤ ë¥ Ti0 ¨ Ti1 ï¢«ïîâáï ã¦¥ ¨§¢¥áâë, ¬®¦® ¯à¨¬¥ïâì ãà ¢¥¨¥ (5.154) ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï Ti2, ¨ ¢ëç¨á«¥¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¯® «®£¨¨ ¯à®¤®«¦¥ë. 5.6. -

íâ®© ç áâ¨ à áá¬®âà¨¬ à §«¨çë¥ ª®¥ç®-à §®áâë¥ áå¥¬ë, ¢ª«îç ï ¯à®áâãî ï¢ãî, ¯à®áâãî ¥ï¢ãî, à ª -¨ª®«ìá® ¨ âà¥åãà®¢¥¢ãî ¯® ¢à¥¬¥¨ áå¥¬ã ¨ ¯à®¨««îáâà¨àã¥¬ ¨å ¯à¨¬¥¥¨¥ ®¤®¬¥à®¬ ¤¨ääã§¨®®¬ ãà ¢¥¨¨ @T (x; t) = @ 2T (x; t) : (5.155) @t @x2 ¢ ª ç¥áâ¢¥ ®¡à §æ®¢®£® ãà ¢¥¨ï. ®ãç¨â¥«ì® ¨¬¥âì ªà âª¨© ®¡§®à ¢á¥å íâ¨å ¬¥â®¤®¢ ¤«ï â®£®, çâ®¡ë áà ¢¨âì ¨å áãé¥áâ¢¥ë¥ ®á®¡¥®áâ¨. â ¡«¨æ¥ 5-4 ¯à¨¢¥¤¥ë ª®¥ç®-à §®áâë¥ áå¥¬ë, ãà ¢¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ªà¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¨ ¯®àï¤®ª â®ç®áâ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® ¨§ íâ¨å ¬¥â®¤®¢, ¯®«ãç¥ë¥ ¯®á«¥ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï (5.155). â ¡«¨æ¥ 5-4, á«ãç © #1 ¤«ï ¯à®áâ®© ï¢®© áå¥¬ë ãª §ë¢ ¥â æ¥âà «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤®© ¯® ¯à®áâà áâ¢ã ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¢¯¥à¥¤ ¤«ï ¯à®¨§¢®¤®© ¯® ¢à¥¬¥¨. â áå¥¬ á â®ç®áâìî O[2x; t]. «ãç © #2 ¤«ï ¯à®áâ®© ¥ï¢®© áå¥¬ë ¢ª«îç ¥â æ¥âà «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯à®áâà áâ¢ã2 ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ § ¤ ¯® ¢à¥¬¥¨. å¥¬ ¢á¥£¤ ãáâ®©ç¨¢ ¨ ¨¬¥¥â â®ç®áâì ¯®àï¤ª O[x; t]. å¥¬ à ª -¨ª®«ìá® ¯®ª § ª ª á«ãç © # 3. à®áâà áâ¢¥ ï ¯à®¨§¢®¤ ï ¤¨áªà¥â¨§¨àã¥âáï, ¡¥àï áà¥¤¥¥ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥ æ¥âà «ìëå à §®áâ¥© ¢à¥¬¥ëå á«®ïå n ¨ n + 1, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯à®¨§¢®¤®© ¯® ¢à¥¬¥¨ ¬®¦¥â ¡ëâì à áæ¥¥® ª ª æ¥âà «ìë¥2 ¯à®-2 ¨§¢®¤ë¥ ®â®á¨â¥«ì® ¢à¥¬¥®£® á«®ï n + 1=2. ®íâ®¬ã, áå¥¬ ¨¬¥¥â â®ç®áâì ¯®àï¤ª O[x; t ] ¨ ¢á¥£¤ ï¢«ï¥âáï ãáâ®©ç¨¢®©. 66

á«ãç ¥ # 4, âà¥åãà®¢¥¢ ï ¯® ¢à¥¬¥¨ áå¥¬ ¨á¯®«ì§ã¥â æ¥âà «ìë© ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯à®áâà áâ¢¥®© ¯¥à¥¬¥®© ¯® ¢à¥¬¥®¬ã ãà®¢î n + 1 ¨ áà¥¤¥¥ ¢¥á®¢®¥ ç¨á«® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¢¯¥à¥¤ 3=2 ¨ § ¤ 1=2, á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¯® ¢à¥¬¥®© ¯¥à¥¬¥®©. â áå¥¬ ¨¬¥¥â â®ç®áâì ¯®àï¤ª O[2x; 2t ] ¨ ¢á¥£¤ ãáâ®©ç¨¢ ï. ¡«¨æ 5-4. à ¢¥¨¥ à §«¨çëå ª®¥ç®-à §®áâëå áå¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï (5.155) ®¥ç®-à §®áâ ï à¨â¥à¨© ®àï¤®ª áå¥¬ ãáâ®©ç-â¨ â®ç®áâ¨ ¯à®áâ ï ï¢ ï Tin+1 Tin = T n < 0:5 O[2x; t] xx i t ¯à®áâ ï ¥ï¢ ï Tin+1 Tin = T n+1 ¢¥§¤¥ O[2x; t] xx i t à ª -¨ª®«ìá® Tin+1 Tin = t = xxTin+1 ¢¥§¤¥ O[2x; 2t ] âà¥åãà®¢¥¢ ï ¯® t 3 Tin+1 Tin 1 Tin Tin 1 = T n ¢¥§¤¥ O[2x; 2t ] xx i 2 t 2 t ¯à¨¢¥¤¥®© â ¡«¨æ¥ xxTi = Ti 1 2T2i + Ti+1 = 2t : x x ¥¯®áâ®ïë¥ ¨ ¥¯®á«¥¤®¢ â¥«ìë¥ áå¥¬ë. ª®¥æ, ¯®ãç¨â¥«ì® ¨áá«¥¤®¢ âì á¨âã æ¨¨, ¢ ª®â®àëå áå¥¬ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ï¢«ï¥âáï ¨«¨ ¡¥§®£®¢®à®ç® ¥¯®áâ®ï®©, ¨«¨ ® ï¢«ï¥âáï ¥á®¢¬¥áâ¨¬®© á ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬, ª®â®à®¥ ¯à¥¤ § ç¥® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì. áá¬®âà¨¬, ¯à¨¬¥à, á«¥¤ãîéãî âà¥åãà®¢¥¢ãî ¯® ¢à¥¬¥¨ áå¥¬ã ¤«ï ¯à¨¡«¨¦¥¨ï á ª®¥çë¬ à §®áâï¬¨ ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï, Richardson(1910) Tin+1 Tin 1 = Tin 1 2Tin + Tin+1 ; (5.156) 2t 2x ª®â®à ï ¨¬¥¥â â®ç®áâì ¯®àï¤ª O(2x; 2t ). á®¦ «¥¨î, íâ®â ¬¥â®¤ ï¢«ï¥âáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ¥ãáâ®©ç¨¢ë¬, ¯®íâ®¬ã íâ® ¥ ¬®¦¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¥£® ¤àã£¨å ¢ë£®¤ëå ç¨á«¥ëå á¢®©áâ¢. â®¡ë áâ ¡¨«¨§¨à®¢ âì íâã áå¥¬ã, DuFort and Frankel (1953) § ¬¥¨«¨ á« £ ¥¬®¥ Tin (Tin+1 Tin 1)=2 ¢ ãà ¢¥¨¨ (5.156) ¨ ¯à¥¤«®¦¨«¨ á«¥¤ãîé¥¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤«ï ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï Tin+1 Tin 1 = Tin 1 Tin Tin+1 + Tin+1 ; (5.157) 2t 2x ª®â®à®¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ ® (1 + 2 )Tin+1 = Tin 1 + 2 (Tin 1 Tin 1 + Tin+1) : (5.158) å¥¬ ï¢ ï, ¯®â®¬ã çâ® ® á®¤¥à¦¨â â®«ìª® ®¤ã ¥¨§¢¥áâãî, Tin+1, ®è¨¡ª ãá¥ç¥¨ï ¨¬¥¥â ¯®àï¤®ª O(2x; 2t ) ¨ áå¥¬ ï¢«ï¥âáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢®©. ¥á¬®âàï íâ¨ ¯à¨¢«¥ª â¥«ìë¥ ®á®¡¥®áâ¨, ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¬¥â®¤ á®¢¬¥áâ¨¬ë¬ á à¥è¥¨¥¬ ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï, ¥á«¨ ¨¬¥¥â (t=x)2 ¯à¨¡«¨¦ îé¥¥áï ª ã«î ¨ x ¨ t, áâà¥¬ïé¨¥áï ª ã«î.

67

6.

®£¤ â¥¬¯¥à âãàë¥ £à ¤¨¥âë ¢ ¯à¥¤¥« å â¥« áâ ®¢ïâáï ®¯à¥¤¥«ïîé¨¬¨ ¢ ¡®«ìè¥ ç¥¬ ®¤®¬ ¨§¬¥à¥¨¨, ¨«¨ ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¯à®áâà áâ¢¥ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, â® ¢ «¨§ § ¤ ç ¤®«¦¥ ¢ª«îç âì ¬®£®¬¥àë¥ íää¥ªâë. «ï â¥«, ¨¬¥îé¨å ¯à®áâë¥ ä®à¬ë â¨¯ ¯àï¬®ã£®«ì¨ª, ¯àï¬®ã£®«ìë© ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤, æ¨«¨¤à ¨«¨ áä¥à , ¬®£®¬¥àë¥ «¨¥©ë¥ ¤¨ääã§¨®ë¥ § ¤ ç¨ ¬®£ãâ ¡ëâì à¥è¥ë «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨. ¤ ª®, ¤«ï â¥«, ¨¬¥îé¨å ¥à¥£ã«ïàë¥ ä®à¬ë, á«®¦ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï â¥¬¯¥à âãàë ¨«¨ ¥à¥£ã«ïàë¥ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª®æ¥âà æ¨¨, ¯®«ãç¥¨¥ «¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨© áâ ®¢¨âáï ®ç¥ì âàã¤ë¬ ¨«¨ ¨å ¢®®¡é¥ ¥¢®§¬®¦® ¯®«ãç¨âì. à®¬¥ â®£®, ¢ ¥ª®â®àëå á¨âã æ¨ïå ®æ¥ª à¥è¥¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì â ª®© á«®¦®©, çâ® ç¨á«¥®¥ à¥è¥¨¥ áâ ®¢¨âáï ¯à¥¤¯®çâ¥ë¬. íâ®© à §¤¥«¥ ¨áá«¥¤ã¥¬ ç¨á«¥®¥ à¥è¥¨¥ ¬®£®¬¥àëå ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨å á¨áâ¥¬ ª®¥ç®à §®áâë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨. ¬¥¥âáï ¡®«ìè®¥ à §®®¡à §¨¥ â¥¯«®¢ëå ¨«¨ § ¤ ç ¤¨ääã§¨¨, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬¨ ¯® á¢®¥© ¯à¨à®¤¥. ¯à¨¬¥à, ¯à®¡«¥¬ë ¤¨ääã§¨¨ ¨«¨ à á¯à®áâà ¥¨ï ¬ ááë ¢ â¢¥à¤ëå â¥« å, ¥áâ æ¨® àë¥ â¥¯«®¢ë¥ § ¤ ç¨ á ¯à¨ã¤¨â¥«ìë¬ â¥¯«®¢ë¬ ¯®â®ª®¬, £à ¨çë¥ § ¤ ç¨ ¤¨ääã§¨¨ ¢ á«®¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ë¤¥«¥ë ¢ ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¥ á¨áâ¥¬ë. à®áâ®© ï¢ë© ¬¥â®¤ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¥ ¤«ï à¥è¥¨ï ¬®£®¬¥àëå ¯à®¡«¥¬. ¤ ª® íâ®â ¬¥â®¤ ¨¬¥¥â ®£à ¨ç¥¨¥, «®¦¥®¥ ¤®¯ãáâ¨¬ë© ¢à¥¬¥®© è £ ¨ ª®«¨ç¥áâ¢® â®ç¥ª á¥âª¨, ª®â®àë¥ ¢¥¤ãâ ª çà¥§¢ëç ©®¬ã ã¢¥«¨ç¥¨î ¯à®¤®«¦¨â¥«ì®áâ¨ ¢ëç¨á«¥¨©. «ï à¥è¥¨ï ¤¢ãå ¨ âà¥å¬¥àëå ¯à®¡«¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¥ ¬¥â®¤ à ª -¨ª®«ìá® , ® ¯®«ãç¥ ï á¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ã¦¥ ¥ ï¢«ï¥âáï âà¥å¤¨ £® «ì®©. áâ®ïé¥¬ à §¤¥«¥ à áá¬ âà¨¢ îâáï ¥ï¢ë¥ ¨ ï¢ë¥ ¬¥â®¤ë ç¥à¥¤ãîé¨åáï ¯à ¢«¥¨©, ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ë¥ ¬¥â®¤ë ¤«ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï â¨¯¨çëå ¤¢ãå ¨ âà¥å¬¥àëå ¯à®¡«¥¬. 6.1.

áá¬®âà¨¬ ¢ ª ç¥áâ¢¥ ¬®¤¥«ì®© § ¤ ç¨ ¤¢ãå¬¥àãî «¨¥©ãî § ¤ çã â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ¨§®âà®¯®¬ â¢¥à¤®¬ â¥«¥. ¥¬¯¥à âãàë¥ ¯®«ï ¢ áà¥¤¥ ®¯¨áë¢ îâáï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¢ ¯àï¬®ã£®«ì®© á¨áâ¥¬¥ ª®®à¤¨ â ! @T = @ T + @ T + g(x; y; t) ; (6.1) @t @x2 @y2 k £¤¥ T = T (x; y; t) ¯®¤ç¨ï¥âáï ¥ª®â®àë¬ ãª § ë¬ £à ¨çë¬ ¨ ç «ì®¬ã ãá«®¢¨ï¬, g = g(x; y; t) { ®¡ê¥¬ ï ¯«®â®áâì ¨áâ®ç¨ª â¥¯«®¢ë¤¥«¥¨ï. «ï â®£®, çâ®¡ë ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ âì íâ® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢¢¥¤¥¬ ®¡®§ ç¥¨¥ T (x; y; t) = T (ix; j x; nt) Ti;jn : (6.2) ®£¤ , ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (6.1) ¯à®áâë¬ ï¢ë¬ ¬¥â®¤®¬ ¢ â®çª¥ á¥âª¨ (x; y), ¨á¯®«ì§ãîé¨¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨î à §®áâï¬¨ ¢¯¥à¥¤ ¯® ¢à¥¬¥¨ ¨ æ¥âà «ìë¥ ¯à®áâà áâ¢¥ë¥ à §®áâ¨, ¤ ¥â # " n Ti 1;j 2Ti;jn + Tin+1;j Ti;jn 1 2Ti;jn + Ti;jn +1 gi;jn Ti;jn+1 Ti;jn (6.3) + + k : = t 2x 2y â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¬®¦® ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ âì t gn ; Ti;jn+1 = Ti;jn + x(Tin 1;j 2Ti;jn + Tin+1;j ) + y (Ti;jn 1 2Ti;jn + Ti;jn +1) + (6.4) k i;j £¤¥ x = 2t ; y = 2t : x

y

«ï íª¢¨¤¨áâ â®© á¥âª¨ x = y = , ãà ¢¥¨¥ (6.4) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¤® Ti;jn+1 = (Tin 1;j + Tin+1;j + Ti;jn 1 + Ti;jn +1) + (1 4 )Ti;jn + Gni;j ; 68

(6.5)

2gi;jn t n = 2 ; Gi;j = k : à ¢¥¨¥ (6.4) ¨«¨ (6.5) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ ï¢®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï Ti;jn+1 á«¥¤ãîé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ á«®¥ n + 1 ¨§ § ç¥¨© â¥¬¯¥à âãà ¢ â®çª å Ti;jn ¯à¥¤ë¤ãé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ á«®¥ n. á«¨ â¥¬¯¥à âãà ¯à¥¤¯¨á ¢á¥å £à ¨æ å, ç¨á«® ãà ¢¥¨© à ¢ï¥âáï ç¨á«ã ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà á¥âª¨, á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯à®¡«¥¬ ï¢«ï¥âáï à §à¥è¨¬®©. «ï £à ¨çëå ãá«®¢¨© á ¯à®¨§¢®¤ë¬¨, â¨¯ ª®¢¥ªæ¨¨ ¨«¨ ä¨ªá¨à®¢ ®£® â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª , â¥¬¯¥à âãàë ¢ £à ¨çëå ã§« å ï¢«ïîâáï ¥¨§¢¥áâë¬¨. «ï â ª¨å á«ãç ¥¢, ¨á¯®«ì§ãîâáï ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ á®®â®è¥¨ï ¤¨áªà¥â¨§¨àãîé¨¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï. ¨áªà¥â¨§ æ¨ï á« £ ¥¬®£® á ¯à®¨§¢®¤®© ¢ £à ¨ç®¬ ãá«®¢¨¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¢¥¤¥ ¨«¨ ®¤®áâ®à®¨¬¨ à §®áâï¬¨, ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã ¢¯¥à¥¤ ¨«¨ § ¤, ª®â®à ï ï¢«ï¥âáï ä®à¬ã«®© â®«ìª® ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨. ®§¬®¦ ¡®«¥¥ â®ç ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨ï £à ¨çëå ãá«®¢¨© ä®à¬ã« ¬¨ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª , ¯à¥¤áâ ¢«ïï ä¨ªâ¨¢ë© ã§¥« ¨ ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã á æ¥âà «ìë¬ à §®áâï¬¨. £¤¥

6.1.1. áâ®©ç¨¢®áâì ¯à®áâ®£® ï¢®£® ¬¥â®¤

«ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì à¥è¥¨¥ ª®¥ç®-à §®áâ®£® ãà ¢¥¨ï (6.4), ¤® ãáâ ®¢¨âì ªà¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨. ¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (6.4) ¢ ¢¨¤¥ (6.6) Ti;jn+1 = Ti;jn + x(Tjn 1;k 2Tj;kn + Tjn+1;k ) + y (Tj;kn 1 2Tj;kn + Tj;kn +1) ; t ; t : £¤¥ x = ( y= 2 x) (y)2 ¤¥áì ®¯ãé¥® á« £ ¥¬®¥ £¥¥à æ¨¨ í¥à£¨¨, ¯®â®¬ã çâ® ®® ¥ ¢«¨ï¥â à®áâ ¨ à á¯à®áâà ¥¨¥ ®è¨¡®ª. «ï á«ãç ï x = y = , ªà¨â¥à¨© áâ â¨ç¥áª®© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ âà¥¡ã¥â (6.7) = 2 t > 0 ; çâ® ¢ë¯®«ï¥âáï ¢á¥£¤ , ¯®áª®«ìªã t > 0. ¨ ¬¨ç¥áª¨© ªà¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ª« ¤ë¢ ¥â ãá«®¢¨¥ 2 = 2 t < 21 ; t = 2 : (6.8) ª®¥æ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨© ªà¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ âà¥¡ã¥â 2 t = 4 : (6.9) = 2 t 41 ; ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¢¤¢®¥ ®£à ¨ç¨â¥«ìë¬ ¯® áà ¢¥¨î á ®¤®¬¥àë¬ á«ãç ¥¬, ª®â®àë© âà¥¡ã¥â 0:5. à¨¬¥à 6-1. ®«ãç¨â¥ ªà¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¤«ï ¯à¨¡«¨¦¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¯à®áâ®£® ï¢®£® ¬¥â®¤ âà¥å¬¥à®£® «¨¥©®£® ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ¯àï¬®ã£®«ì®© á¨áâ¥¬¥ ª®®à¤¨ â (x; y; z). ¥è¥¨¥. à ¢¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ (6.6) ¨ á®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ®è¨¡ª ¬®£ãâ ¡ëâì ®¡®¡é¥ë âà¥å¬¥àë© á«ãç ©. « £ ¥¬®¥ ®è¨¡ª¨ § ¬¥ï¥âáï ¢ ãà ¢¥¨¨ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ®¯¨á ®¬ à ¥¥. à¥§ã«ìâ â¥ ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãîé¨¥ à¥§ã«ìâ âë ¤«ï ªà¨â¥à¨ï ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ [ x + y + z ] 21 ; (6.10) ¨«¨

69

"

# t + t + t 1 : (6.11) 2x 2y 2z 2 «ï á«ãç ï x = y z = , ªà¨â¥à¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ áâ ®¢¨âáï (6.12) = 2 t 61 ; ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¢âà®¥ ®£à ¨ç¨â¥«ìë¬ ¯® ®â®è¥¨î ª ®¤®¬¥à®¬ã ®£à ¨ç¥¨î 0:5. à¨¬¥à 6-2. á¯®«ì§ãï ¯à®áâ®© ï¢ë© ¬¥â®¤, § ¯¨è¨â¥ ª®¥ç®-à §®áâãî ä®à¬ã á«¥¤ãîé¥£® ¤¢ãå¬¥à®£® ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï ¢ æ¨«¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å. 1 @T = @ 2T + 1 @T + 1 @ 2T + g ; (6.13) @t @r2 r @r r2 @ k £¤¥ T = T (r; t), g = g(r; ; t). ¥è¥¨¥. à¨¨¬ ¥¬ ®¡®§ ç¥¨¥ T (r; ; t) = T (ir; j ; nt) = Ti;jn : (6.14) á¯®«ì§ãï à §®áâ¨ ¢¯¥à¥¤ ¯® ¢à¥¬¥¨ ¨ æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨ ¯® ¯à®áâà áâ¢ã, ¯®«ãç ¥¬ Ti;jn+1 Ti;jn Tin 1;j 2Ti;jn + Tin+1;j 1 Ti;jn 1 Ti;jn 1 1 Ti;jn 1 2Ti;jn + Ti;jn +1 gi; jn = + i2 + i + k : (6.15) t 2r 2r 2 r r â® ãà ¢¥¨¥ â¥¯¥àì ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ 1 1 n +1 n Ti;j = 1 2i Ti;j + 1 + 2i Tin+1;j + ri2 Ti;jn 1 + ri2 Ti;jn +1 + ! 2 2 (6.16) + 1 2 i2 Ti;jn + kr gi;jn ;

t : = ( r )2 r à ¢¥¨¥ (6.16) ¯à¨¬¥¨¬® ¢® ¢á¥å ¢ãâà¥¨å ã§« å i = 1; 2; :::; M 1 ¨ j = 1; 2; ::: ªà®¬¥ ¢ ç « ª®®à¤¨ â i = 0, ª®â®àë© ¨áá«¥¤®¢ ¢ á«¥¤ãîé¥¬ ¯à¨¬¥à¥.

£¤¥

= 2t ;

à¨¬¥à 6-3. à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¯à®áâ®£® ï¢®£® ¬¥â®¤ § ¯¨è¨â¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á«¥¤ãîé¥£® ¤¨ääã§¨®®£® ãà ¢¥¨ï 1 @T = @ 2T + 1 @T + 1 @ 2T + g(r; ; t) ; (6.17) @t @r2 r @r r2 @ k ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â r = 0. ¥è¥¨¥. ¯« á¨ ¨¬¥¥â ®ç¥¢¨¤ãî ®á®¡¥®áâì ¯à¨ r = 0. ®íâ®¬ã, ¯à¨ r = 0, ®® § ¬¥ï¥âáï ¥£® ¤¥ª àâ®¢®¬ íª¢¨¢ «¥â®¬ ¢ ¢¨¤¥ 2 2 1 @T = r2T (r; ; t) + g ; 2T = @ T + @ T ; r r = 0 : (6.18) @t k @x2 @y2

70

â®¡ë ¯®áâà®¨âì ª®¥ç®-à §®áâãî ä®à¬ã ¤«ï r2T ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â ¯®áâà®¨¬ ªàã£ á à ¤¨ãá®¬ r ¨ æ¥âà®¬ ¢ r = 0. â®â ªàã£ ¯¥à¥á¥ª ¥â ®á¨ ox ¨ oy ¢ â®çª å 1, 2, 3 ¨ 4. ãáâì â¥¬¯¥à âãà T0 ¡ã¤¥â ¢ æ¥âà¥ r = 0, â¥¬¯¥à âãàë T1, T2, T3 ¨ T4 ¡ã¤ãâ ¢ ¢ëè¥ã¯®¬ïãâëå ç¥âëà¥å â®çª å. ®£¤ , ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ®¯¥à â®à ¯« á r2T jr=0 áâ ¥â r2T r=0 = T1 + T2 +(T3 )+2 T4 4T0 + O[2r ] : (6.19) r à é¥¨¥ ®á¥© ¬ «¥ìª¨© ã£®« ¢¥¤¥â ª «®£¨çë¬ à¥§ã«ìâ â ¬. ®¢â®à¥¨¥ íâ®£® ¢à é¥¨ï ¨ á«®¦¥¨¥ íâ¨å à¥§ã«ìâ â®¢ ¢¥¤¥â ª á®®â®è¥¨î ^ r2T r=0 = 4(T( )T2 0) + O[2r ] : (6.20) r £¤¥ T^ { áà¥¤¥¥ § ç¥¨¥ T ¯® ªàã£ã à ¤¨ãá r . 6.2. ()

¥â®¤ à ª -¨ª®«ìá® ¨ ¯à®áâë¥ ¥ï¢ë¥ ¬¥â®¤ë, ®¡áã¦¤¥ë¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å à §¤¥« å ªãàá , ¨¬¥îâ â® ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢®, çâ® ¢á¥ ®¨ ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢ë, ® ¯à¨ íâ®¬ ¤«ï ¤¢ãå- ¨ âà¥å¬¥àëå § ¤ ç ¢ëç¨á«¥¨ï áâ ®¢ïâáï £à®¬®§¤ª¨¬¨. ¯à¨¬¥à,3 âà¥å¬¥à ï § ¤ ç á N ¢ãâà¥¨¬¨ ã§« ¬¨ ¢ ª ¦¤®¬ ¢à¥¬¥®¬ ¯à ¢«¥¨¨ ®¡à é ¥âáï ª N ¢ãâà¥¨¬ â®çª ¬. ®íâ®¬ã, ¬ âà¨æ N 3 N 3 ¤®«¦ ¡ëâì à¥è¥ ¤«ï ª ¦¤®¬ ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®æ¥¤ãà áâ ®¢¨âáï ¥íää¥ªâ¨¢®© ¤«ï ¡®«ìè®£® N . à¥®¤®«¥«¨ â ª¨¥ âàã¤®áâ¨ Peaceman and Rachford (1955) ¨ Douglas (1955), à §¢¨¢è¨¥ ¥ï¢ë© ¬¥â®¤ ç¥à¥¤ãîé¨åáï ¯à ¢«¥¨© ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç, ¢ª«îç îé¨å ¡®«ìè®¥ ª®«¨ç¥áâ¢® ¢ãâà¥¨å ã§«®¢. à¨æ¨¯¨ «ì®¥ ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢® â ª¨å ¬¥â®¤®¢ § ª«îç ¥âáï ¢ â®¬, çâ® à §¬¥à ¬ âà¨æë, ª®â®à ï ¡ã¤¥â à¥è¥ ª ¦¤ë© à § ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ ã¬¥ìè ¥âáï § áç¥â ¬®£®ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï ã¬¥ìè¥®© ¬ âà¨æë. ¯à¨¬¥à, ¤«ï âà¥å¬¥à®© ¯à®¡«¥¬ë, á®¤¥à¦ é¥© N ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ¯à ¢«¥¨©, ¯à¥®¡à §ã¥â § ¤ çã ª à¥è¥¨î ¬ âà¨æë N N ª ¦¤®¬ ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥, çâ® ï¢«ï¥âáï ¬®£® «¥£ç¥, ç¥¬ à¥è¥¨¥ ¬ âà¨æë N 3 N 3. à®¬¥ â®£®, âà¥¡ã¥â ¬¨¨¬ «ì®© ¯ ¬ïâ¨ ¤«ï åà ¥¨ï ç¨á¥« ¨ ¬¥â®¤ ï¢«ï¥âáï ¢¥áì¬ â®çë¬. áá¬®âà¨¬ ¤¢ãå¬¥à®¥ ¥áâ æ¨® à®¥ ãà ¢¥¨¥ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ 1 @T = @ 2T + @ 2T + g(x; y; t) ; (6.21) @t @x2 @y2 k ¯®¤ç¨¥®¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨¬ £à ¨çë¬ ¨ ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬. ¢®¤¨¬ ®¡®§ ç¥¨¥ T (x; y; t) = T (ix; j x; nt) Ti;jn : (6.22) ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (6.21) á ®á®¢ ® á«¥¤ãîé¨å ª®æ¥¯æ¨ïå. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¢ëç¨á«¥¨ï ¤®«¦ë ¡ëâì ¯à®¢¥¤¥ë á n-®£® ¢à¥¬¥®£® ãà®¢ï (n + 1)-© ¢à¥¬¥®© ãà®¢¥ì. á¯®«ì§ã¥¬ ¯à®áâ®© ¥ï¢ë© ¬¥â®¤ ¤«ï ®¤®£® ¨§ ¯à®áâà áâ¢¥ëå ¯à ¢«¥¨©, áª ¦¥¬ x, ¨ ¯à®áâ®© ï¢ë© ¬¥â®¤ ¤«ï ¤àã£®£® ¯à ¢«¥¨ï, áª ¦¥¬ y. ®£¤ , ¯à®¤¢¨¦¥¨¥ ®â (n + 1)-£® ãà®¢ï ª (n + 2)-¬ã ãà®¢î ¡ã¤¥â á¤¥« ®, ¥ï¢ë© ¨ ï¢ë© ¬¥â®¤ë ¬¥ïîâ ¯à ¢«¥¨ï. ¤ «ì¥©è¥¬ ¢ëç¨á«¨â¥«ì ï ¯à®æ¥¤ãà ¯à®¤®«¦ ¥âáï, ¯®®ç¥à¥¤® ¬¥ïï ¯à ¢«¥¨ï ï¢ëå ¨ ¥ï¢ëå ¬¥â®¤®¢. ¥¯¥àì ¯®ª ¦¥¬ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¬¥â®¤ ¤«ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ãà ¢¥¨ï (6.21). à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¥ï¢ ï áå¥¬ ¢ ¯à ¢«¥¨¨ x ¨ ï¢ ï áå¥¬ ¢ ¯à ¢«¥¨¨ y, çâ®¡ë ¯¥à¥©â¨ ®â n-£® ¢à¥¬¥®£® á«®ï ª (n + 1)-¬ã á«®î. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (6.21) ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ Ti;jn+1 Ti;jn Tin+11;j 2Ti;jn+1 + Tin+1+1;j Tin 1;j 2Ti;jn + Tin+1;j gi;jn+1 (6.23) + + k : t = 2x 2y 71

«ï á«¥¤ãîé¥£® ¢à¥¬¥®£® ãà®¢ï ¨á¯®«ì§ã¥âáï ï¢ ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ¤«ï ¯à ¢«¥¨ï x ¨ ¥ï¢®© ä®à¬ã«¨à®¢ª ¤«ï ¯à ¢«¥¨ï y. ®£¤ , ª®¥ç®-à §®áâ ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ãà ¢¥¨ï (6.21) ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â (n + 1)-£® á«®ï (n + 2)-© ¢à¥¬¥®© è £ áâ ®¢¨âáï Ti;jn+2 Ti;jn+1 Tin+11;j 2Ti;jn+1 + Tin+1+1;j Tin+21;j 2Ti;jn+2 + Tin+1+2;j gi;jn+1 = + + (6.24) t 2x 2y k : â® ãà ¢¥¨¥ ¨á¯®«ì§ã¥â à¥§ã«ìâ âë ¯à¥¤ë¤ãé¥£® ¢à¥¬¥®£® è £ n +1 ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï â¥¬¯¥à âãàë ¢à¥¬¥®¬ è £¥ n + 2. «ï ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå æ¥«¥©, ã¤®¡® ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ âì ãà ¢¥¨ï (6.23) ¨ (6.24) â ª, çâ®¡ë ª ¦¤®¬ ãà®¢¥, ¥¨§¢¥áâë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¯®ï¢«ï«¨áì ®¤®© áâ®à®¥ à ¢¥áâ¢ , áª ¦¥¬, á«¥¢ , ¨§¢¥áâë¥ ¢¥«¨ç¨ë á ¤àã£®© áâ®à®ë, â.¥. á¯à ¢ . à ¢¥¨ï (6.23) ¨ (6.24), á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¯à¨¬ãâ ¢¨¤ xTin+11;j + (1 + 2 x)Ti;jn+1 xTin+1+1;j = y Ti;jn 1 + (1 2 y )Ti;jn + y Ti;jn +1 + kt gi;jn+1 (6.25) ¤«ï ¢à¥¬¥®£® è £ n + 1, ¨ y Ti;jn+21 + (1 + 2 y )Ti;jn+2 y Ti;jn+2+1 = xTin+11;j + (1 2 x)Ti;jn+1 + xTin+1+1;j + kt gi;jn+2 (6.26) ¤«ï ¢à¥¬¥®£® á«®ï n + 2, £¤¥ y = 2t : (6.27) x = 2t ; x y à¨ à¥è¥¨¨ ¯à®¡«¥¬ë, ãà ¢¥¨ï (6.25) ¨ (6.26) ¯®¢â®àïîâáï «ìâ¥à â¨¢®. à¥¨¬ãé¥áâ¢®¬ íâ®£® ¯®¤å®¤ ¯® áà ¢¥¨î á ¯®«®áâìî ¥ï¢®© áå¥¬®© ¨«¨ ¬¥â®¤®¬ à ª ¨ª®«ìá® á®áâ®¨â ¢ â®¬, çâ® ª ¦¤®¥ ãà ¢¥¨¥, å®âï ¨ ï¢«ï¥âáï ¥ï¢ë¬, ® ¢á¥ à ¢® ®áâ ¥âáï âà¥å¤¨ £® «ì®©. àã£¨¬ á«®¢ ¬¨, ãà ¢¥¨¥ (6.25) ¥ï¢® á®¤¥à¦¨â ¥¨§¢¥áâë¥ Ti;jn+1, Tin+11 ¨ Tin+1+1;j , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ãà ¢¥¨¥ (6.26) ¥ï¢® á®¤¥à¦¨â ¥¨§¢¥áâë¥ Ti;jn+2, Ti;jn+21 ¨ Ti;jn+2+1. ®íâ®¬ã, ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ï¢«ï¥âáï âà¥å¤¨ £® «ì®© ¤«ï ª ¦¤®£® ãà ¢¥¨ï. «¥¤®¢ â¥«ì®, ¢ëç¨á«¨â¥«ì ï áå¥¬ ï¢«ï¥âáï ¡®«¥¥ íää¥ªâ¨¢®© ç¥¬ ¯à®æ¥¤ãà ¤«ï ¥ âà¥å¤¨ £® «ìëå á¨áâ¥¬. á«¨ â¥¬¯¥à âãàë ãª § ë ¢á¥å £à ¨æ å, â® ãà ¢¥¨© (6.25) ¨ (6.26) ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢® ¢ãâà¥¨å ã§« å. «ï ª®¢¥ªæ¨¨ ¨ ãáâ ®¢«¥ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¤«ï â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª â¥¬¯¥à âãàë £à ¨çëå ã§« å ï¢«ïîâáï ¥¨§¢¥áâë¬¨. «ï â ª¨å á«ãç ¥¢, ¯®«ãç îâ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ á®®â®è¥¨ï. ¥â®¤ ¯®«ãç¥¨ï íâ¨å ãà ¢¥¨© ¯®¤à®¡® ®¯¨á ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¥¬ à §¤¥«¥. 6.3. ()

¢ë¥ ¬¥â®¤ë ç¥à¥¤ãîé¨åáï ¯à ¢«¥¨© ¥ â®«ìª® ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ ¢ëç¨á«¨â¥«ìãî ¯à®áâ®âã, ® â ª¦¥ ¨ ®¡« ¤ îâ ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢ ¬¨ ¯¥à¥¤ ¥ï¢ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ ¢ â®¬, çâ® ¨ª ª¨¥ á¥àì¥§ë¥ ®£à ¨ç¥¨ï ¥ ª« ¤ë¢ îâáï ¢à¥¬¥®© è £. «ï â®£®, çâ®¡ë ¯à®¨««îáâà¨à®¢ âì ®á®¡¥®áâ¨ , à áá¬®âà¨¬ ®¤®¬¥àãî ¥áâ æ¨® àãî â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ª ç¥áâ¢¥ ¬®¤¥«ì®© § ¤ ç¨ ¯¥à¥¤ à áá¬®âà¥¨¥¬ ¤¢ãå¬¥à®© á¨âã æ¨¨. ¤®¬¥à ï § ¤ ç ¥áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ¯«¨â¥ â®«é¨®© L ®¯¨áë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ 1 @T = @ 2T + g(x; t) ; (6.28) @t @x2 k ¯®¤ç¨¥®¥ ä¨ªá¨à®¢ ë¬ â¥¬¯¥à âãà ¬ ®¡¥¨å £à ¨æ å ¨ ç «ì®¬ã ãá«®¢¨î. «ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ãà ¢¥¨© ¢¢¥¤¥¬ ®¡®§ ç¥¨¥ T (x; t) = T (j x; nt) Tjn : (6.29) 72

ãáâì Ujn ¨ Vjn ¡ã¤ãâ à¥è¥¨ï¬¨ á«¥¤ãîé¨å ¤¢ãå ãà ¢¥¨© á ª®¥çë¬ à §®áâï¬¨, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¬®£®¬¥àë¬¨ ª®¥ç®-à §®áâë¬¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (6.28). Ujn+1 Ujn Ujn+11 Ujn+1 Ujn + Ujn+1 (gn+1 + gn ) ; = (6.30) + + j t 2x 2k j Vjn+1 Vjn Vjn 1 Vjn Vjn+1 + Vjn+1+1 n+1 n = j = 1; 2; :::; M 1 (6.31) + 2k (gj + gj ) ; t 2x à ¢¥¨ï (6.30) ¨ (6.31) ¬®¦® ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ âì ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ï¢ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï Ujn+1 ¨ Vjn+1 . ¨, á®®â¢¥âáâ¢¥®, áâ ãâ

Ujn+1 = aUjn + b(Ujn+11 + Ujn+1 ) + bG?j ; (6.32) n +1 n n n +1 ? Vj = aVj + b(Vj 1 + Vj+1 ) + bGj ; j = 1; 2; :::; M 1 ; (6.33) 2 £¤¥ (6.34) a = 11 + ; b = 1 + ; G?j = (2kx) (gjn+1 + gjn ) ; = 2t : x ëç¨á«¨â¥«ì ï ¯à®æ¥¤ãà ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï Ujn+1 ¨ Vjn+1 ¨§ ãà ¢¥¨© (6.32) ¨ (6.33) á«¥¤ãîé ï: 1. à ¢¥¨¥ (6.32) ¯à®å®¤¨â ¤«ï à¥è¥¨ï á«¥¢ ¯à ¢®, ç¨ ï ¢ ã§«¥ i = 1 á U0n+1 , ï¢«ïîé¨¬áï ¢á¥£¤ ¤®áâã¯ë¬ ®â ãª § ®© â¥¬¯¥à âãàë «¥¢®© £à ¨æ¥. ®ç® â ª ¦¥ ãà ¢¥¨¥ (6.33) ¯à®£®ï¥âáï ¯à ¢ «¥¢®, ç¨ ï ¢ ã§«¥ j = M 1, ¯®ª Vjn+1 ï¢«ï¥âáï ¢á¥£¤ ¤®áâã¯ë¬ ®â ãª § ®© â¥¬¯¥à âãàë ¯à ¢®© £à ¨æ¥. â¨ ¤¢ à¥è¥¨ï ¢ë¯®«ïîâáï ®¤®¢à¥¬¥®. 2. ª â®«ìª® Ujn+1 ¨ Vjn+1 ®¯à¥¤¥«¥ë ¨§ íâ¨å ¢ëç¨á«¥¨©, â¥¬¯¥à âãàë Tjn+1 ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n + 1 ¢® ¢ãâà¥¨å ã§« å j ¢ëç¨á«ïîâáï ®â áà¥¤¥£® à¨ä¬¥â¨ç¥áª®£® ç¨á« Ujn+1 ¨ Vjn+1 ª ª (6.35) Tjn+1 = 21 Ujn+1 + Vjn+1 : à¥¨¬ãé¥áâ¢® íâ®£® ¬¥â®¤ ¢ ¤¢ãå ¯®«®¦¥¨ïå. à¥¦¤¥ ¢á¥£® íâ áå¥¬ ï¢«ï¥âáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢®, ¨ ¢â®à®¥, ®è¨¡ª ãá¥ç¥¨ï ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® O(2t ; 2x), ¯®â®¬ã çâ® á®áâ®¨â ¢ áà¥¤¥¬ ¨§ ¤¢ãå ¯®«ãç¥ëå à¥è¥¨© (6.35) ¨¬¥¥â â¥¤¥æ¨î á®ªà é âì ®è¨¡ª¨ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ëå § ª®¢. 6.3.1. áâ®©ç¨¢®áâì ¯à®áâ®£® ï¢®£® ¬¥â®¤

áá¬®âà¨¬, ¯à¨¬¥à, ãà ¢¥¨¥ (6.30) ¡¥§ £¥¥à æ¨¨ í¥à£¨¨, § ¯¨á ®£® ¢ ¢¨¤¥ = 2t : Ujn+1 Ujn = Ujn+1+1 Ujn+1 Ujn + Ujn+1 ; (6.36) x à¥¤è¥áâ¢ãîé¨© «¨§ ®á®¢ ãá«®¢¨¨, çâ® â¥¬¯¥à âãàë ãª § ë ¢á¥å £à ¨æ å, á«¥¤®¢ â¥«ì® â¥¬¯¥à âãàë £à ¨çëå ã§« å ï¢«ïîâáï ¨§¢¥áâë¬¨. á«ãç ¥ ª®¢¥ªæ¨¨ ¨«¨ ¯à¥¤¯¨á ëå â¥¯«®¢ëå ¯®â®ª å, «¨§ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®£à ¨ç¥¨ï à §¬¥à è £ ¯® ¢à¥¬¥¨ ¥ ¨¬¥îâ ¬¥áâ . 6.3.2. ¢ãå¬¥à ï ¥áâ æ¨® à ï â¥¯«®¯à®¢®¤®áâì

¥¯¥àì ®¡®¡é¨¬ ¬¥â®¤ ¤«ï ¤¢ãå¬¥à®£® á«ãç ï, à áá¬ âà¨¢ ï ¥áâ æ¨® àãî â¥¯«®¯à®¢®¤®áâì ¢ ª ç¥áâ¢¥ ¬®¤¥«ì®© § ¤ ç¨. á®¢®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ 1 @T = @ 2T + @ 2T + g(x; y; t) ; (6.37) @t @x2 @y2 k 73

¯®¤ç¨¥®¥ ª ãª § ë¬ â¥¬¯¥à âãà ¬ ¢á¥å £à ¨æ å ¨ ç «ì®¬ã ãá«®¢¨ï¬. «ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¢¢¥¤¥¬ ®¡®§ ç¥¨¥ T (x; y; t) = T (ix; j y ; nt) Ti;jn : (6.38) ãáâì Ui;jn ¨ Vi;jn ¡ã¤ãâ à¥è¥¨ï¬¨ á«¥¤ãîé¨å ¤¢ãå ãà ¢¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬¨ ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (6.37) Ui;jn+1 Ui;jn Uin+11;j Ui;jn+1 Ui;jn + Uin+1;j Ui;jn+11 Ui;jn+1 Ui;jn + Ui;jn +1 gjn+1 + gjn + + 2k ; (6.39) t = 2x 2y Vi;jn+1 Vi;jn Vin 1;j Vi;jn Vi;jn+1 + Vin+1+1;j Vi;jn 1 Vi;jn Vi;jn+1 + Vi;jn+1 gjn+1 + gjn +1 + + 2k ; (6.40) t = 2x 2y à ¢¥¨ï (6.39) ¨ (6.40) ¬®¦® ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ ë ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ï¢ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï Ui;jn+1 ¨ Vi;jn+1 . ¨, á®®â¢¥âáâ¢¥®, ¯à¨¬ãâ ¢¨¤

Ui;jn+1 = AUi;jn + B (Uin+11;j + Uin+1;j ) + C (Ui;jn+11 + Ui;jn 1) + G?i;j ; (6.41) n +1 n n n +1 n n +1 ? Vi;j = AVi;j + B (Vi 1;j + Vi+1;j ) + C (Vi;j 1 + Vi;j 1) + Gi;j ; (6.42) £¤¥ i = 1; 2; :::; M 1 ¨ j = 1; 2; :::; N 1. ¯à¨¢¥¤¥ëå ¢ëà ¦¥¨ïå ¨á¯®«ì§®¢ ë ®¡®§ ç¥¨ï A = 11 + rrx + rry ; B = 1 + rrx + r ; C = 1 + rry + r ;(6.43) x y x y x y t G?i;j = 2(1 + r + r ) gi;jn+1 + gi;jn ; x y x = 2t ; y = 2t ; (6.44) x y ëç¨á«¨â¥«ì ï ¯à®æ¥¤ãà ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï Ui;jn+1 ¨ Vi;jn+1 ¨§ ãà ¢¥¨© (6.41) ¨ (6.42) á«¥¤ãîé ï: 1. áá¬®âà¨¬, ¯à¨¬¥à, ¢ëç¨á«¥¨¥ Ui;jn+1 ¨§ ãà ¢¥¨ï (6.41). ëç¨á«¥¨ï ç¨ îâáï ®â á¥âª¨, á ¬®© ¡«¨§ª®© £à ¨æ¥ x = 0 ¨ y = 0 (â.¥., i = 1, j = 1) ¨ ¢ë¯®«ïîâáï ¢ ¯à ¢«¥¨¨ n+1 ã¢¥«¨ç¥¨ï i ¨ j , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª U0n;+1 1 ¨ U1;0 ï¢«ïîé¨¥áï ¢á¥£¤ ¤®áâã¯ë¬¨ ¨§ £à ¨çëå ãá«®¢¨©. 2. «®£¨ç® ¢ëç¨á«ïîâáï Vi;jn+1 ¨§ ãà ¢¥¨© (6.42), ç¨ ï ¢ëç¨á«¥¨ï ®â ã§« , á ¬®£® ¡«¨§ª®£® ª £à ¨æ ¬ x = a ¨ y = b ¨ ¢ë¯®«ïîâáï ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ã¬¥ìè¥¨ï i ¨ j , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª n+1 ¨ V n+1 ï¢«ïîé¨¥áï ¢á¥£¤ ¤®áâã¯ë¬¨ ¨§ £à ¨çëå ãá«®¢¨©. VM;N 1 M 1;N ¤ ¦¤ë ¢ëç¨á«¥ë¥ Ui;jn+1 ¨ Vi;jn+1, ®¯à¥¤¥«ïîâ â¥¬¯¥à âãàë Ti;jn+1 ¢® ¢ãâà¥¨å ã§« å (i; j ) Ti;jn+1 = 12 Ui;jn+1 + Vi;jn+1 : (6.45) è¨¡ª ãá¥ç¥¨ï á®áâ ¢«ï¥â ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® O(2t ; 2x; 2y ), ¯®â®¬ã çâ® á« £ ¥¬ë¥ á ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¬¨ ¯® § ªã ®è¨¡ª ¬¨ ®â«¨ç îâáï â®«ìª® á«¥£ª ¯® ¢¥«¨ç¨¥ ¨ ¨¬¥îâ â¥¤¥æ¨î á®ªà é âì ¤àã£ ¤àã£ . «¨§ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¤¢ãå¬¥àë© â ª¦¥ ï¢«ï¥âáï ¡¥§®£®¢®à®ç® ãáâ®©ç¨¢ë¬.

74

7.

¨§¨ç¥áª¨¥ ¯à®æ¥ááë, â ª¨¥ ª ª áâ æ¨® à ï â¥¯«®¢ ï ¨«¨ ¬ áá®¢ ï ¤¨ääã§¨¨ á ¨«¨ ¡¥§ ¨áâ®ç¨ª®¢ ¢ ¯à¥¤¥« å ¡¥§¢¨åà¥¢®£® ¯®â®ª ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨, ¬¥¤«¥®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¢ï§ª®© ¦¨¤ª®áâ¨ ¨ ¬®£¨¥ ¤àã£¨¥ ®¯¨áë¢ îâáï í««¨¯â¨ç¥áª¨¬¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ á ç áâë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨. ¯à¨¬¥à, ãà ¢¥¨¥ ¯« á r2T = 0 (7.1) ï¢«ï¥âáï å®à®è® ¨§¢¥áâë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¤«ï ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¡¥§ ¨áâ®ç¨ª®¢ ¢ á¯«®è®© áà¥¤¥. à ¢¥¨¥ ã áá® r2T + f (r) = 0 (7.2) ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¨áâ®ç¨ª ¬¨ ¢ãâà¨ áà¥¤ë. ¡ëç® ¢ â ª¨å § ¤ ç å ¨á¯®«ì§ã¥¬ë¥ «¨¥©ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ á®¤¥à¦ â ®¯à¥¤¥«¥ë¥ § ç¥¨ï äãªæ¨¨ (â.¥., ãª § ãî â¥¬¯¥à âãàã) ¨«¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ãî (â.¥., ãª § ë© â¥¯«®¢®© ¯®â®ª) ¨«¨ «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î § ç¥¨ï ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤®© (â.¥., ª®¢¥ªæ¨ï). á«¨ ®¡« áâì à¥è¥¨ï ª®¥ç ¨, ¯à®¨§¢®¤ ï äãªæ¨¨ ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ª ¦¤®¬ â®çª¥ â ª, çâ® áã¬¬ ¯®áâã¯ îé¥£® â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª à ¢ï¥âáï ¯®â®ªã ®â¢¥¤¥®¬ã ®â â¥« ç¥à¥§ ¥£® £à ¨æë, â® à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ï¢«ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ â®«ìª® ª ¯à¥¤¥« å ¤¤¨â¨¢®© ¯®áâ®ï®©. àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ T { à¥è¥¨¥, â® T + const ï¢«ï¥âáï â ª¦¥ à¥è¥¨¥¬. á«¨ áã¬¬ ¯®áâã¯ îé¥£® ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥®£® â¥¯« ¥ à ¢ ®â¢®¤¨¬®¬ã â¥¯«ã ¨§ áà¥¤ë, â® â ª ï § ¤ ç ¥ ¨¬¥¥â áâ æ¨® à®£® à¥è¥¨ï. ¢ãå¬¥àë¥ ¥á¦¨¬ ¥¬ë¥ ãà ¢¥¨ï ¢ì¥-â®ª ¤«ï ¯®â®ª á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨ ¡¥§ ¢¥è¨å á¨« ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ á¨áâ¥¬ã í««¨¯â¨ç¥áª¨å ¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. á¯®«ì§ãï ¯®¤å®¤ § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª , íâ¨ ãà ¢¥¨ï ¯à¥®¡à §ãîâáï ¢ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨, ª®â®à®¥ ï¢«ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¢® ¢à¥¬¥¨ ¨ ãà ¢¥¨¥ § ¢¨åà¥®áâ¨, ª®â®à®¥ ï¢«ï¥âáï í««¨¯â¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ã áá® . «ï ¥á¦¨¬ ¥¬®£® ¯®â®ª á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨ ¨ ¢ ®âáãâáâ¢¨¨ ¢¥è¨å á¨«, § ¤ ç ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®«ï áª®à®áâ¨ ¨ ¯®«ï â¥¬¯¥à âãàë ï¢«ïîâáï ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨. ®íâ®¬ã, ª ª â®«ìª® ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ ®¯à¥¤¥«¥ë ¨§ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï, ®¨ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ ª ç¥áâ¢¥ ¨áå®¤ëå ¤ ëå ¤«ï ãà ¢¥¨ï â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨, ª®â®à®¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥® ¯à¨ ã¤®¢«¥â¢®à¥¨¨ â¥¯«®¢ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨©. íâ®¬ à §¤¥«¥ ªãàá ¨áá«¥¤ã¥¬ ª®¥ç®-à §®áâë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï áâ æ¨® à®£® ãà ¢¥¨ï ¤¨ääã§¨¨, ¤¢ãå¬¥à®£® ãà ¢¥¨ï ¢ì¥-â®ªá ¤«ï â¥ç¥¨ï ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨ á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨. 7.1.

¢ãå¬¥à ï áâ æ¨® à ï â¥¯«®¯à®¢®¤®áâì ¨«¨ ¤¨ääã§¨ï ¬ ááë ¢ áà¥¤¥ á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨ á ¨áâ®ç¨ª ¬¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯« á @ 2T + @ 2T = 0 ; (7.3) @x2 @y2 ¯®¤ç¨¥®¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨¬ â¥¯«®¢ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬. «ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ íâ®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¨¨¬ ¥¬ ®¡®§ ç¥¨¥ T (x; y) = T (ix; j y ) Ti;j : (7.4) á¯®«ì§ãï áâ ¤ àâãî ª®¥ç®-à §®áâãî áå¥¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¢â®à®£® ¯®àï¤ª , ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï à §®áâï¬¨ ãà ¢¥¨ï (7.3) ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ Ti+1;j 2Ti;j + Ti 1;j + Ti;j+1 2Ti;j + Ti;j 1 = 0 ; (7.5) x y ª®â®à ï ï¢«ï¥âáï â®ç®© ¯®àï¤ª O[2x; 2y ]. 75

¨á. 7.1: ®âà®«ìë© ®¡ê¥¬ ®â®á¨â¥«ì® ã§« \A" £à ¨æ¥ á ª®¢¥ªæ¨¥©.

¨á. 7.2: ®ª «ì ï á¥âì ¨ â¨¯¨çë¥ ª®âà®«ìë¥ ®¡ê¥¬ë.

«ï ãª § ®© â¥¬¯¥à âãàë ¢á¥å £à ¨æ å, ç¨á«® ãà ¢¥¨©, ®¡¥á¯¥ç¥ëå á¨áâ¥¬®© (7.5), à ¢® ç¨á«ã ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¤«ï ¢ãâà¥¨å ã§«®¢. «¥¤®¢ â¥«ì® ãà ¢¥¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì à¥è¥ë. «ï £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¢â®à®£® ¨«¨ âà¥âì¥£® à®¤ , â¥¬¯¥à âãàë £à ¨çëå ã§« å ï¢«ïîâáï ¥¨§¢¥áâë¬¨. à¨¬¥ïîâáï ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ á®®â®è¥¨ï, ®á®¢ ë¥ ¯à¨æ¨¯¥ á®åà ¥¨ï ¤«ï á®®â¢¥âáâ¢ãîé¥£® ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ ®â®á¨â¥«ì® ª ¦¤®£® £à ¨ç®£® ã§« . áá¬®âà¨¬, ¯à¨¬¥à, ã§¥« \A" ¯à¨ ª®¢¥ªâ¨¢®¬ ãá«®¢¨¨ £à ¨æ¥, ª ª ¯®ª § ® à¨á.7.1. à¨æ¨¯ á®åà ¥¨ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¯« á ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ ãà ¢¥¨¥¬ Z q n ds = 0 ; (7.6) (S )

£¤¥ q { ¢¥ªâ®à â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª , n { ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à ®à¬ «¨, ¯à ¢«¥ë© àã¦ã ¯® ®â®è¥¨î ª £à ¨æ¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯à®¢®¤¨âáï ¯® ¢á¥© ¯®¢¥àå®áâ¨ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ . ¯à¥¤¥«¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (7.6) ª ª®âà®«ì®¬ã ®¡ê¥¬ã ®â®á¨â¥«ì® ã§« \A" à¨á.7.1 ¤ ¥â @T x @T x @T + k 2 @y k 2 @y = 0; (7.7) hy (T1 Ti;j ) + ky @x i+1=2;j i;j +1=2 i;j 1=2 ª®£¤ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¡ã¤ãâ ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ ë, ¯®«ãç¨¬ Ti+1;j Ti;j x Ti;j+1 Ti;j ! x Ti;j 1 Ti;j ! hy (T1 Ti;j ) + ky +k 2 +k 2 = 0 : (7.8) x y y «®£¨çë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ãà ¢¥¨î (7.6) ¯à¨¬¥ïîâáï ¤«ï ¢á¥å ã§«®¢ á ª®¢¥ªæ¨¥© ¨«¨ ãª § ëå â¥¯«®¢ëå ¯®â®ª å £à ¨æ å. á«ãç ¥ ãà ¢¥¨ï ã áá® , ¢ëà ¦¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ á®¤¥à¦¨â ¢ª« ¤ ¨áâ®ç¨ª®¢®£® á« £ ¥¬®£® f (x; y). ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯« á ¨«¨ ãà ¢¥¨ï ã áá® ¯à®¢®¤¨âáï «®£¨çë¬ ®¡à §®¬. à®æ¥¤ãà ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¢¥¤¥â ª á¨áâ¥¬¥, ª®â®à ï á®¤¥à¦¨â ¡®«ìè®¥ ª®«¨ç¥áâ¢® «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ¯®íâ®¬ã ¢ ¦¥ ¢ë¡®à ¤«¥¦ é¥£® «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï. 7.1.1. ®ª «ìë¥ á¥âª¨

® áâ®ïé¥£® ¬®¬¥â ¬ë ®¡áã¦¤ «¨ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤¢ãå¬¥àëå áâ æ¨® àëå ¯à®¡«¥¬ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¤«ï â¥«, ¨¬¥îé¨å à¥£ã«ïàë¥ ä®à¬ë (â¨¯ ¯àï¬®ã£®«ì¨ª ) ¨ à áá¬®âà¥«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ á¥â®ª á ®¤¨ ª®¢ë¬ è £®¬ ¯® ¢á¥© ®¡« áâ¨. ¬¥ìè¥¨¥ à §¬¥à è £ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ã¢¥«¨ç¨¢ ¥â â®ç®áâì à¥§ã«ìâ â®¢ § áç¥â ã¢¥«¨ç¥¨ï ®¡ê¥¬ ¢ëç¨á«¥¨©. ®£ãâ â ª¦¥ ¢áâà¥â¨âìáï á¨âã æ¨¨, ª®£¤ à §¬¥à è £ ¤®«¦¥ ¡ëâì ã¬¥ìè¥ â®«ìª® ¢ ®¤®© ç áâ¨ ®¡« áâ¨, á¢ï§ ®© á® á¯¥æ¨ä¨ª®© ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ®¡« áâ¨. áá¬®âà¨¬, ¯à¨¬¥à, ¡®«ìèãî ®¡« áâì 76

¨á. 7.3: ®ïáïîé¨© à¨áã®ª ª ¯à¨¬¥àã 7-1.

¨á. 7.4: ¡®§ ç¥¨ï ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¯« á .

á ª¢ ¤à âë¬ ¢ëáâã¯®¬ à §¬¥à L L, ª ª ¯®ª § ® à¨á.7.2. ãáâì ª¢ ¤à âë© è £ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ x = y = L=2 ï¢«ï¥âáï ¤®áâ â®çë¬ ¤«ï ¡®«ìè¥© ç áâ¨ ®¡« áâ¨. á®, íâ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨ï ¡ã¤¥â ®ç¥ì £àã¡®© ¤«ï ¢ëáâã¯ , ¯®â®¬ã çâ® á íâ®© ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¥© ¨¬¥¥¬ â®«ìª® ¥¤¨áâ¢¥ë© ã§¥« ¢ ¢ëáâã¯¥. ¤¨¬ ¨§ á¯®á®¡®¢ ¯à¥®¤®«¥¨ï íâ®© âàã¤®áâ¨ ¡¥§ â®£®, çâ®¡ë ã¢¥«¨ç¨¢ âì ç¨á«® ã§«®¢ ¢ ¡®«ìè®© ç áâ¨ ®¡« áâ¨ á®áâ®¨â ¢ â®¬, çâ®¡ë ¨§¬¥¨âì à §¬¥à è £ ¢ ¢ëáâã¯¥, ¨á¯®«ì§ãï «®ª «ìãî á¥âì, ª ª ¯®ª § ® à¨á.7.2. ¨á«® ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ ¢ ¢ëáâã¯¥ ã¢¥«¨ç¥® ®â ®¤®£® ¤® ¤¥¢ïâ¨. ª¦¥ à¨á.7.2 ¯®ª § ë â¨¯¨çë¥ ª®âà®«ìë¥ ®¡ê¥¬ë, ª®â®àë¥ ã¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ãà ¢¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ¤«ï ¤®¯®«¨â¥«ìëå â®ç¥ª á¥âª¨, á«¥¤ãîé¨å ¨§ ¤®¯®«¨â¥«ì®© ®¡à ¡®âª¨ á¥âª¨. ¤ ¨§ âàã¤®áâ¥© ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ «®ª «ì®© á¥â¨ { ç áâ¨ç®¥ ¯¥à¥ªàë¢ ¨¥ ¥ª®â®àëå ¨§ ª®âà®«ìëå ®¡ê¥¬®¢ ¤«ï ã§«®¢ ¨«¨ ¢ ¥¯®áà¥¤áâ¢¥®© ¡«¨§®áâ¨ ª ¯®¢¥àå®áâ¨. ª« ¤ë¢ ¨¥ ã¢¥«¨ç¨¢ ¥â â¥¯«®¢®¥ á®¯à®â¨¢«¥¨¥ ¨ â¥¯«®¢ãî ¥¬ª®áâì. ¤ ª®, ¥á«¨ ¯¥à¥ªàë¢ ¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ¬ «® ¯® áà ¢¥® á® ¢á¥© ®¡« áâìî, ¢®á¨¬ ï ®è¨¡ª ®ª §ë¢ ¥âáï ¥§ ç¨â¥«ì®©. à¨¬¥à 7-1. §à ¡®â ©â¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤«ï áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ á¯«®è®¬ æ¨«¨¤à¥ à ¤¨ãá r = b á ¢ë¤¥«¥¨¥¬ í¥à£¨© g(r; ) â=¬3 ¨ ãª § ®© â¥¬¯¥à âãà®© £à ¨æ å. ¥è¥¨¥ á®¢®¥ ãà ¢¥¨¥ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ íâ®¬ á«ãç ¥ § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ @ 2T + 1 @T + 1 @ 2T + g(r; ) = 0 ; 0 r b; 0 2 : (7.9) @x2 r @r r2 @2 k «ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ íâ®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¨¨¬ ¥¬ ®¡®§ ç¥¨¥ T (r; ) = T (ir; j ) Ti;j ; (7.10) ¯à¨ i = 0; 1; :::; I ¨ j = 0; 1; :::; J . ¡« áâì 0 r b à §¤¥«ï¥¬ I à ¢ëå ç áâ¥©, 0 2 J à ¢ëå ç áâ¥©, ª ª ¯®ª § ® ¯®ïáïîé¥¬ à¨á.7.3. ¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (7.9) ¤¨áªà¥â¨§¨àã¥âáï, ¨á¯®«ì§ãï æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨ ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨ Ti+1;j 2Ti;j + Ti 1;j + 1 Ti+1;j Ti 1;j + 1 Ti+1;j 2Ti;j + Ti 1;j + 2r gi;j = 0 ; (7.11) 2r ir 2r i2r 2 k ª®â®àë¥ ¬®¦® ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ âì ¢ ¢¨¤¥ ! 1 1 1 + Ti;j+1 + 2r ri;j = 0 (7.12) 1 2i Ti 1;j + 1 + 2i Ti+1;j 2 1 + (i )2 Ti;j + Ti;j 1i 2 k

77

¤«ï i = 1; 2; :::; I 1 ¨ j = 0; 1; :::; J 1. à ¨çë¥ § ç¥¨ï ¤«ï i = 1 ï¢«ïîâáï ¨§¢¥áâë¬¨, ® â¥¬¯¥à âãàë ¢ æ¥âà¥ T0;j = T0 ï¢«ïîâáï ¥¨§¢¥áâë¬¨. ¥®¡å®¤¨¬® ¯®«ãç¨âì ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ á®®â®è¥¨¥, § ¬¥ïï á« £ ¥¬®¥ á « ¯« á¨ ®¬ ¢ ãà ¢¥¨¨ (7.9) ¥£® íª¢¨¢ «¥â®¬ ¢ ¯àï¬®ã£®«ì®© á¨áâ¥¬¥ ª®®à¤¨ â â ª, çâ®¡ë ãà ¢¥¨¥ (7.9) ¯à¨ï«® ¢¨¤ @ 2T + @ 2 T + g = 0 ; r ! 0 ; (7.13) @x2 @y2 k ¥¯¥àì áâà®¨¬ ªàã£ à ¤¨ãá r á æ¥âà®¬ ¢ r = 0. ãáâì ¢ æ¥âà¥ r = 0 ¡ã¤¥â â¥¬¯¥à âãà T0, T1, T2, T3 ¨ T4 ¡ã¤ãâ â¥¬¯¥à âãàë ¢ ç¥âëà¥å ã§« å, ¯¥à¥á¥ª îé¨å ªàã£ ®áï¬¨ x ¨ y. ®£¤ ª®¥ç®-à §®áâ ï ä®à¬ ãà ¢¥¨ï (7.13) ¯à¨ r = 0 áâ ®¢¨âáï T1 + T2 + T3 + T4 4T0 + g0 = 0 ; (7.14) 2r k á ®è¨¡ª®© ãá¥ç¥¨ï ¯®àï¤ª 2r . à é¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ®á¥© ox ¨ oy ¯à¨ r = 0 â ª¦¥ ¢¥¤¥â ª ¯®¤®¡®¬ã à §®áâ®¬ã ãà ¢¥¨î. «¥¤®¢ â¥«ì®, ãà ¢¥¨¥ (7.13) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ¢¨¤¥ (7.15) 4 T 12 T0 + gk0 = 0 ; r £¤¥ T 1 { à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥ áà¥¤¥¥ § ç¥¨© Ti;j ¢®ªàã£ ªàã£ à ¤¨ãá r á æ¥âà®¬ ¢ r = 0, T0 { § ç¥¨¥ â¥¬¯¥à âãàë ¯à¨ r = 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¬¥áâ¥ á ãà ¢¥¨¥¬ (7.15), ç¨á«® ãà ¢¥¨© à ¢® ç¨á«ã ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢ ã§« å. 7.1.2. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï

¥¥ ®¡áã¦¤ «¨áì ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯àï¬ë¬¨ ¨ ¨â¥à æ¨®ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨. àï¬ë¥ ¬¥â®¤ë ¤«ï ¬®£®¬¥àëå áâ æ¨® àëå § ¤ ç â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¡®«¥¥ íää¥ªâ¨¢ë¬¨ ç¥¬ ¨â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë ¤«ï ¯à®áâëå ª®ä¨£ãà æ¨© ¨ «¨¥©ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨©. ¤àã£®© áâ®à®ë, ¨â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë ï¢«ïîâáï ¯à®áâë¬¨ ¯à¨ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨¨ ¨ ¥ ®£à ¨ç¨¢ îâáï ¯à®áâë¬¨ £¥®¬¥âà¨ï¬¨. á«¨ âà¥¡®¢ ¨ï áå®¤¨¬®áâ¨, § ¤ ë¥ ãà ¢¥¨ï¬¨ (3.37), ã¤®¢«¥â¢®à¥ë, ¨ ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ï¢«ï¥âáï à¥¤ª®©, â® ¨â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë ï¢«ïîâáï ¯à¥¤¯®çâ¥ë¬¨. ¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, á«¥¤ãîé ï ¨§ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ãà ¢¥¨ï ¯« á ¨«¨ ãà ¢¥¨ï ã áá® , ã¤®¢«¥â¢®àï¥â â ª®¬ã ãá«®¢¨î, â®£¤ â ª¨¥ ¬¥â®¤ë, ª ª ¨â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë ãáá -¥©¤¥«ï ¨«¨ ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®© ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨ å®à®è® ¯®¤å®¤ïâ ¤«ï ¨å à¥è¥¨©. ¯ëâ ¯®¤áª §ë¢ ¥â, çâ® áå®¤¨¬®áâì ã«ãçè ¥âáï ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¬¥â®¤ ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨. ¥¯¥àì ¯à®¨««îáâà¨àã¥¬ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¨â¥à æ¨®ëå ¬¥â®¤®¢ à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (7.5), ¯®«ãç¥®© ¨§ ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¯« á . 1. â¥à æ¨®ë© ¬¥â®¤ ãáá -¥©¤¥«ï.

áá¬®âà¨¬ § ¤ çã áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ ¢ ¯àï¬®ã£®«ì®© ®¡« áâ¨, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ãà ¢¥¨¥¬ ¯« á ¨ ¯®¤¢¥à£ãâ®© ®¯à¥¤¥«¥®© â¥¬¯¥à âãà¥ ¢á¥å £à ¨æ å. ¨á.7.4 ¯®ª §ë¢ ¥â £¥®¬¥âà¨î ¨ ª®¥ç®-à §®áâãî á¥âªã ®¡« áâ¨. ¤ ç á®¤¥à¦¨â (I 2)(J 2) ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà ¢® ¢ãâà¥¨å ã§« å, ãà ¢¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ (7.5) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ (I 2)(J 2) «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï íâ¨å ¥¨§¢¥áâëå. «ï â®£®, çâ®¡ë à¥è¨âì íâã á¨áâ¥¬ã ãà ¢¥¨© ¨â¥à æ¨ï¬¨ ãáá -¥©¤¥«ï, ãà ¢¥¨¥ (7.5) à¥è ¥âáï ¤«ï £« ¢®£® ¤¨ £® «ì®£® í«¥¬¥â Ti;j ¨ § â¥¬ £àã¯¯¨àã¥âáï ¢ ¢¨¤¥ Tik+1;j + Tik+11;j 2(Ti;jk +1 + Ti;jk+11) k +1 Ti;j = ; (7.16) 2(1 + 2) £¤¥ = x=y, ¨¤¥ªá k ®¡®§ ç ¥â ãà®¢¥ì ¨â¥à æ¨¨, ¨¦¨¥ ¨¤¥ªáë i ¨ j ®¡®§ ç îâ áâà®ªã ¨ àï¤, á®®â¢¥âáâ¢¥®. ®á«¥ â®£®, ª ª á¤¥« ® ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¤«ï ¥¨§¢¥áâëå â¥¬¯¥à âãà 78

¢ãâà¥¨å ã§«®¢, ¯à®å®¦¤¥¨¥ ¯® á¥âª¥, ª ª ãª § ® à ¥¥, ¯à®¨áå®¤¨â àï¤ ¬¨, ç¨ îé¥£®áï á àï¤ , à á¯®«®¦¥®£® ª £à ¨æ¥ á ã¢¥«¨ç¥¨¥¬ j ¯®á«¥ ª ¦¤®£® ¯à®å®¦¤¥¨ï. ®íâ®¬ã, â¥¬¯¥à âãàë Tik+11;j ¨ Ti;jk+11 ¨â¥à â¨¢®¬ ãà®¢¥ k + 1 ¯®ï¢«ïîé¨¥áï ¢ ¯à ¢®© áâ®à®¥ ãà ¢¥¨ï (7.16) ï¢«ïîâáï ä ªâ¨ç¥áª¨ ¨§¢¥áâë¬¨, ¯®áª®«ìªã ¯à¥¤ë¤ãé¨¥ § ç¥¨ï â¥¬¯¥à âãà ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ ¯à ¢®© áâ®à®¥ ãà ¢¥¨ï. 2. ®á«¥¤®¢ â¥«ì ï ¢¥àåïï à¥« ªá æ¨ï ().

ª®à®áâì áå®¤¨¬®áâ¨ ã«ãçè ¥âáï ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®© ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨ (). à¨¬¥¥¨¥ à¥« ªá æ¨®®© ä®à¬ã«ë, ¨â¥à â¨¢®© ä®à¬ã« ãáá -¥©¤¥«ï (7.16), ¤ ¥â h i Ti;jk+1 = (1 k)Ti;jk + 2(1 +! 2) Tik+1;j + Tik+11;j + 2 Ti;jk +1 + Ti;jk+11 ; (7.17) £¤¥ ! = 1 á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ¨â¥à æ¨ï¬ ãáá -¥©¤¥«ï, 0 < ! < 1 á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ¬¥â®¤ã ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®© ¨¦¥© à¥« ªá æ¨¨, 1 < ! < 2 { ¬¥â®¤ã ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®© ¢¥àå¥© à¥« ªá æ¨¨. ®ªà é¥¨¥ ª®¬¯ìîâ¥à®£® ¢à¥¬¥¨ à¥è¥¨ï ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¬¥â®¤ § ¢¨á¨â ®â ¤«¥¦ é¥£® ¢ë¡®à § ç¥¨ï ¯ à ¬¥âà !. áâ®ïé¥¥ ¢à¥¬ï ¥â ¨ª ª®£® ®¡é¥£® ¯à ¢¨« ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¯â¨¬ «ì®£® § ç¥¨ï !opt. ¤ ª® ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¯« á ¢ ¯àï¬®ã£®«ì®© ®¡« áâ¨, ¯®¤ç¨¥®© ª £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î ¯¥à¢®£® à®¤ ¢á¥å £à ¨æ å, â¥®à¥â¨ç¥áª¨ ¯®«ãç¥ á«¥¤ãîé¥¥ ®¯â¨¬ «ì®¥ § ç¥¨¥ !opt p1 2 ! 1 cos + 2 cos ; = x ; 1 ; = !opt = 2 (7.18) 2 1 + 2 I 1 J 1 y I ¨ J { ¯®áâ®ïë¥ ç¨á« ¤¥«¥¨ï ¯àï¬®ã£®«ì®© ®¡« áâ¨ ¢ ¯à ¢«¥¨ïå x ¨ y, á®®â¢¥âáâ¢¥®. ëè¥ã¯®¬ïãâë¥ à¥§ã«ìâ âë ¯à¨¬¥¥ë ¤«ï ¯àï¬®ã£®«ì®© ®¡« áâ¨, ¯®¤ç¨¥®© ª £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î ¯¥à¢®£® à®¤ ¢á¥å £à ¨æ å. «ï ¤àã£¨å ª®ä¨£ãà æ¨© ¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨©, !opt ¬®¦¥â ¡ëâì ®æ¥¥®, ¨áá«¥¤ãï áª®à®áâì áå®¤¨¬®áâ¨ à¥è¥¨ï ¯à¨ ¥áª®«ìª¨å à §«¨çëå § ç¥¨ïå ! ¢ ¤¨ ¯ §®¥ 1 < ! < 2. ¯ëâ ¯®¤áª §ë¢ ¥â, çâ® ¢ ¡®«ìè¨áâ¢¥ á«ãç ¥¢ á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢¥àåîî à¥« ªá æ¨î, ¯®â®¬ã çâ® áå®¤¨¬®áâì ¬¥â®¤ ¢ëá®ª ï ¯® áà ¢¥¨î á ¤àã£¨¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨, ª®¬¯ìîâ¥à®¥ ¢à¥¬ï ¢ëç¨á«¥¨© § ç¨â¥«ì® ¬¥ìè¥. 3. ®á«¥¤®¢ â¥«ì ï ¢¥àåïï à¥« ªá æ¨ï ¯® àï¤ ¬.

®¢ à áá¬®âà¨¬ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯« á ¢ ¯àï¬®ã£®«ì®© ®¡« áâ¨, ¯®¤ç¨¥®© ãª § ë¬ â¥¬¯¥à âãà ¬ ¢á¥å £à ¨æ å, ª ª ¯®ª § ® à¨á.7.3. â¥à â¨¢ ï ä®à¬ã« ¬¥â®¤ (7.18) ¨§¬¥ï¥âáï, ®æ¥¨¢ ï ª ª Ti+1;j , â ª ¨ Ti;j 1 ãà®¢¥ \k+1". à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ i h (7.19) Ti;jk+1 = (1 k)Ti;jk + 2(1 +! 2) Tik+1+1;j + Tik+11;j + 2 Ti;jk +1 + Ti;jk+11 ; £¤¥ 0 ! 2. íâ®¬ ãà ¢¥¨¨ ¨¬¥¥âáï â®«ìª® âà¨ ¥¨§¢¥áâëå, Ti;jk+1, Tik+11;j ¨ Tik+1+1;j , ¯®áª®«ìªã Ti;jk+11 ï¢«ï¥âáï ¨§¢¥áâë¬ ¨«¨ ®â ¨¦¥£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï, ª®£¤ § ª®ç¥ ¯¥à¢ ï ¯à®£®ª , ¨«¨ ®â à¥è¥¨ï, ã¦¥ ¯®«ãç¥®£® ¨§ àï¤ j 1 ãà®¢¥ k + 1, ¯®â®¬ã çâ® ¢ëç¨á«¥¨¥ ¢ë¯®«ïîâáï ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ã¢¥«¨ç¥¨ï j . â¨ ãà ¢¥¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì à¥è¥ë «£®à¨â¬®¬ ®¬ á ¤«ï ª ¦¤®£® àï¤ , â ª ª ª ª ¦¤®¥ ãà ¢¥¨¥ á®¤¥à¦¨â â®«ìª® âà¨ ¥¨§¢¥áâëå, ¨ ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ï¢«ï¥âáï âà¥å¤¨ £® «ì®©. ¥à¥¤ ¯à¨¬¥¥¨¥¬ «£®à¨â¬ ®¬ á , ãà ¢¥¨ï (7.19) ¤®«¦ë ¡ëâì á£àã¯¯¨à®¢ ë ¢ ä®à¬ã, § ¤ ãî ãà ¢¥¨ï¬¨ (3.20). ¤ ¯à®£®ª áç¨â ¥âáï ¢ë¯®«¥®©, ª®£¤ âà¥å¤¨ £® «ì ï ¨¢¥àá¨ï ¯à¨¬¥ï¥âáï ª ¢á¥¬ àï¤ ¬. à®æ¥¤ãà ¯à®¤®«¦ ¥âáï, ¯®ª ¦¥« â¥«ì ï áå®¤¨¬®áâì ¡ã¤¥â ¤®áâ¨£ãâ . ¥®¡å®¤¨¬® ¯à®ï¢«ïâì ®áâ®à®¦®áâì ¤«ï â®£®, çâ®¡ë £ à â¨à®¢ âì, çâ® ! 1 + 2, ¤«ï ¯®¤¤¥à¦ ¨ï ¤¨ £® «ì®£® £®á¯®¤áâ¢ ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ «£®à¨â¬ ®¬ á . 79

7.2.

¯à¥¤è¥áâ¢ãîé¨å à §¤¥« å ªãàá ¡ë«® ¯à¨ïâ®, çâ® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ï¢«ï¥âáï ª®àà¥ªâë¬ ¨ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨¬ ®¡à §®¬ ®âà ¦ ¥â ä¨§¨ç¥áª¨¥ § ª®ë á®åà ¥¨ï, á«¥¤®¢ â¥«ì® ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤ ¥©«®à ï¢«ï¥âáï ¯à¨¥¬«¥¬®© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ¯à®æ¥¤ãà®© ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ª®¥ç®-à §®áâëå ¯¯à®ªá¨¬ æ¨© à §ëå ¯à®¨§¢®¤ëå. «ìâ¥à â¨¢®¬ ¯®¤å®¤¥, §¢ ®¬ ¬¥â®¤ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ , ª®¥ç®-à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï § ¯¨áë¢ îâáï ¤«ï ª®¥ç®£® ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ , ¢ë¯®«ïï ¯à¨ íâ®¬ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ä¨§¨ç¥áª¨¥ § ª®ë á®åà ¥¨ï, â ª¨¥ ª ª á®åà ¥¨¥ ¬ ááë, ¨¬¯ã«ìá ¨«¨ í¥à£¨¨ ¯® ª®âà®«ì®¬ã ®¡ê¥¬ã. áá¬®âà¨¬ ¬ «¥ìª¨© ª®âà®«ìë© ®¡ê¥¬ ¨ ¢¥à¥¬áï ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå, ®¯¨áë¢ îé¥¬ ¨§¬¥¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¥®© ä¨§¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë. ª ç¥áâ¢¥ ¨««îáâà æ¨¨ à áá¬®âà¨¬ ãà ¢¥¨¥ â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ Cp @T (7.20) @t = r q + g ; £¤¥ ¢¥ªâ®à â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª q á¢ï§ á â¥¬¯¥à âãà®© T (r; t) ¢ á®®â¢¥âáâ¢¨¨ á § ª®®¬ ãàì¥ q = k rT ; (7.21) g { ®¡ê¥¬ë© ¨áâ®ç¨ª í¥à£¨¨. â¥£à¨à®¢ ¨¥ ãà ¢¥¨ï (7.20) ¯® ¬ «¥ìª®¬ã ä¨ªá¨à®¢ ®¬ã ®¡ê¥¬ã V ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãîé¥¬ã ¢ëà ¦¥¨î Z Z Z @T Cp @t dV = rqdV + gdV : (7.22) V V V â¥£à « ¢ «¥¢®© áâ®à®¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥ ¯®áà¥¤áâ¢®¬ ¨â¥£à «ì®© â¥®à¥¬ë ® áà¥¤¥¬. ®ç® â ª ¦¥ ¬®¦® ¨§¡ ¢¨âìáï ®â á« £ ¥¬®£® á g. ¡ê¥¬ë© ¨â¥£à « ¯® ¤¨¢¥à£¥æ¨¨ ¢¥ªâ®à â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª ¬®¦® ¯à¥®¡à §®¢ âì ª ¯®¢¥àå®áâ®¬ã ¨â¥£à «ã ¢ á®®â¢¥âáâ¢¨¨ á â¥®à¥¬®© áâà®£à ¤áª®£®- ãáá . íâ®¬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (7.22) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ¢¨¤ã Z = q ndS + gV : (7.23) CpV @T @t S £¤¥ S | ¯®¢¥àå®áâì ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ . ®¤áâ ®¢ª ¢¥ªâ®à â¥¯«®¢®£® ¯®â®ª q ¨§ ãà ¢¥¨ï (7.20) ¢ ãà ¢¥¨¥ (7.23) ¯à¨¢®¤¨â ª Z @T @T : = k dS + gV ; r T n = (7.24) CpV @T @t S @n @n

¤¥áì V { ¬ «¥ìª¨© ª®âà®«ìë© ®¡ê¥¬; n ¨ @T=@n { ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ¨ ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®áâ¨ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ , á®®â¢¥âáâ¢¥®, T ¨ g { áà¥¤¨¥ § ç¥¨ï â¥¬¯¥à âãàë ¨ ®¡ê¥¬®£® ¨áâ®ç¨ª í¥à£¨¨, á®®â¢¥âáâ¢¥®. ª¨¬ ®¡à §®¬, ãà ¢¥¨¥ (7.23) ¨«¨ (7.24) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¯à¨æ¨¯ á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ ¯® ª®¥ç®¬ã ª®âà®«ì®¬ã ®¡ê¥¬ã V . â® § ç¨â, çâ® ¢¥«¨ç¨ í¥à£¨¨, ¯®áâã¯ îé ï ¢ ª®âà®«ìë© ®¡ê¥¬ ç¥à¥§ ¥£® £à ¨çë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ S ¨ ¢¥«¨ç¨ í¥à£¨¨, ¯à®¨§¢¥¤¥®© ¢ í«¥¬¥â¥ ®¡ê¥¬ , à ¢ ¢¥«¨ç¨¥ ã¢¥«¨ç¥¨ï ª®¯«¥®© í¥à£¨¨ ¢ ª®âà®«ì®¬ ®¡ê¥¬¥. ®«¥¥ â®£®, ¯®áª®«ìªã â¥¯«®¢ë¥ ¯®â®ª¨ á®åà ïîâáï ¬¥¦¤ã á®á¥¤¨¬¨ ª®âà®«ìë¬¨ ®¡ê¥¬ ¬¨, ¯à¨æ¨¯ á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ â ª¦¥ ã¤®¢«¥â¢®àï¥âáï ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®£® ¡®à ª®âà®«ìëå ®¡ê¥¬®¢. àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ç¨á«¥®¥ à¥è¥¨¥ â ª¨å ãà ¢¥¨© ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ª ª ¬¥áâë¬, â ª ¨ £«®¡ «ìë¬ á¢®©áâ¢ á®åà ¥¨ï. ¢ëè¥ã¯®¬ïãâ®¬ ãà ¢¥¨¨ á®åà ¥¨ï ä¨§¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë ¢ ª®âà®«ì®¬ ®¡ê¥¬¥ (7.23) è¥© ®â¯à ¢®© â®çª®© ¡ë«® ãà ¢¥¨¥ ¤¨ääã§¨¨, ª®â®à®¥ ¡ë«® ¯à®¨â¥£à¨à®¢ ® ¯® ª®âà®«ì®¬ã ®¡ê¥¬ã. ®ïâ®, çâ® íâ®â «ìâ¥à â¨¢ë© ¯®¤å®¤ á®áâ®¨â ¢ ãç¥â¥ â®£® ä ªâ , çâ® á ¬® ãà ¢¥¨¥ ¤¨ääã§¨¨ ®¡ëç® ¯®«ãç ¥âáï ¨§ § ª® á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ ¯® ª®âà®«ì®¬ã ®¡ê¥¬ã, á«¥¤®¢ â¥«ì® ª ¥¬ã ¬®¦® ¥¯®áà¥¤áâ¢¥® ¯à¨¬¥ïâì á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨© ¯à¨æ¨¯ á®åà ¥¨ï ¯® ª®âà®«ì®¬ã ®¡ê¥¬ã. 80

¨á. 7.5: ®âà®«ìë© ®¡ê¥¬ ¤«ï ®¤®¬¥à®© á¨âã æ¨¨.

¯®¬ïãâë¥ ¢ëè¥ ãà ¢¥¨ï á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ ¢ ª®âà®«ì®¬ ®¡ê¥¬¥ ¡ë«¨ § ¯¨á ë ¤«ï ä¨§¨ç¥áª¨å ï¢«¥¨©, ãç¨âë¢ îé¨å â¥¯«®¯à®¢®¤®áâì. ®¤®¡ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë ¤«ï á®åà ¥¨ï ¬ ááë ¨«¨ ¨¬¯ã«ìá , ¨ ¬®£ãâ ¢ª«îç âì á¨âã æ¨¨, ¢ ª®â®àëå ãç¨âë¢ îâáï ª®¢¥ªâ¨¢ë¥ ï¢«¥¨ï. ª â®«ìª® ¯®«ãç¥® ãà ¢¥¨¥ á®åà ¥¨ï ¢ ª®âà®«ì®¬ ®¡ê¥¬¥, ¬®¦® ¯à¨áâã¯ âì ª ¯®«ãç¥¨î á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å ª®¥ç®-à §®áâë¥ ãà ¢¥¨© ¯® ª®âà®«ì®¬ã ®¡ê¥¬ã ¯ãâ¥¬ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ¯à®¨§¢®¤ëå ¢ ãà ¢¥¨¨ á®åà ¥¨ï. ®¤å®¤ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ª®¥ç®-à §®áâëå ãà ¢¥¨© ¨¬¥¥â ®â«¨çë¥ ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢ . ¬®¦¥â áà §ã ¯à¨¬¥ïâìáï ª ¬®£®¬¥àë¬ ¯à®¡«¥¬ ¬, ª á«®¦ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¨ ª á¨âã æ¨ï¬, á¢ï§ ë¬ á ¯¥à¥¬¥ë¬¨ è £ ¬¨ á¥âª¨. ¤àã£®© áâ®à®ë, ¯à®¢¥¤¥¨¥ ®æ¥ª¨ â®ç®áâ¨ ¯®¤å®¤ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ ®ª §ë¢ ¥âáï âàã¤ë¬ ¯® áà ¢¥¨î á ¬¥â®¤®¬ à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤ë ¥©«®à , ª®â®àë© ®¡« ¤ ¥â ¨ä®à¬ æ¨¥© ®â®á¨â¥«ì® ¯®àï¤ª ¯®ï¢«ïîé¥©áï ®è¨¡ª¨ ãá¥ç¥¨ï. ¬¥â®¤¥ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ãà ¢¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ á ç « ¤® ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®«®¦¥¨¥ ã§«®¢, § â¥¬ ¥®¡å®¤¨¬® ¨¤¥â¨ä¨æ¨à®¢ âì ª®âà®«ìë¥ ®¡ê¥¬ë. «ï ¨««îáâà æ¨¨ íâ®£® ¢®¯à®á , ®¡à â¨¬áï ª à¨á.7.5, £¤¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥ ®¤®¬¥à®© ®¡« áâì á â®çª ¬¨ á¥âª¨. ®á«¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¡ê¥¬®¢ ãáâ ¢«¨¢ ¥¬ ¢ â®çª å á¥âª¨ § ç¥¨ï ¯®â¥æ¨ « T . ®çª¨ á¥âª¨ ¥®¡å®¤¨¬® â ª¦¥ ¯®¬¥áâ¨âì £à ¨æã, ¯®â®¬ã çâ® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï âà¥¡ã¥âáï § ç¥¨ï ¯®â¥æ¨ « £à ¨æ¥. íâ®¬ ¯à¨¬¥à¥ ã§«ë ¯®¬¥é¥ë á à ¢ë¬ ¨â¥à¢ «®¬ x (§ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ íâ®¬ á«ãç ¥ ¥íª¢¨¤¨áâ â®¥ ¬¥¦ã§«®¢®¥ à ááâ®ï¨¥ ¥ ¢®á¨â âàã¤®áâ¥© ¢ ¯®á«¥¤ãîé¨¥ à ááã¦¤¥¨ï). à¨áãª¥ ¯®ª § â¨¯¨ç ï ¢ãâà¥ïï â®çª á¥âª¨ i, § ç¥¨¥ ¯®â¥æ¨ « ¢ íâ®© â®çª¥ ®¡®§ ç¥® Ti. à ¨çë© ã§¥« ¨¤¥â¨ä¨æ¨à®¢ ª ª B , á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨© ¯®â¥æ¨ « ª ª TB . â®â ¯à®áâ®© ¯à¨¬¥à ¨««îáâà¨àã¥â ®á®¢ë¥ ª®æ¥¯æ¨¨ ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ¯®¤å®¤ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ª®¥ç®-à §®áâëå ãà ¢¥¨©. à¨¬¥à 7-2. á¯®«ì§ãï ãà ¢¥¨¥ á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ ¢ ª®âà®«ì®¬ ®¡ê¥¬¥ (7.24, ¯®«ãç¨â¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ ã§«¥ i ¤«ï ®¤®¬¥à®© áâ æ¨® à®© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¯¥à¥¬¥®© â¥¯«®¢®© ¯à®¢®¤¨¬®áâìî k ¨ ¢ë¤¥«¥¨¥¬ í¥à£¨¨ g. ¯¨è¨â¥ â ª¦¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï £à ¨ç®£® ã§« B , ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® £à ¨æ ¯®¤¢¥à£ãâ ª®¢¥ªæ¨¨ á ª®íää¨æ¨¥â®¬ â¥¯«®¯¥à¥¤ ç¨ h ¨ ®ªàã¦ îé¥© â¥¬¯¥à âãà®© T1 ¢¥è¥© áà¥¤ë. ¥è¥¨¥. à¨¬¥¥¨¥ ãà ¢¥¨ï á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ ª®âà®«ì®£® ®¡ê¥¬ (7.24) ª ã§«ã i, ¯®ª § ®£® à¨á.7.5, ¤ ¥â 2 ! ! 3 dT dT 5 S + giV : 0 = 4 k dx k dx (7.25)

i+1=2

i 1=2

«¥¢®© áâ®à®¥ áâ®¨â ®«ì, ¯®â®¬ã çâ® ¤«ï áâ æ¨® à®£® ¯®â®ª á« £ ¥¬®¥ dT=dt ¨áç¥§ ¥â. «ï ®¤®¬¥à®© ¯à®¡«¥¬ë, à áá¬ âà¨¢ ¥¬®© §¤¥áì, ¯à¨¨¬ ¥¬ ¥¤¨¨çë¥ ¤«¨ë ¯® ¯à ¢«¥¨î ®á¥© y ¨ z, á«¥¤®¢ â¥«ì® S =11 = ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« ; 81

V = x 1 1 = ®¡ê¥¬ ª®âà®«ì®£® í«¥¬¥â : (7.26) ¨¦¨© ¨¤¥ªá i +1=2 ®â®á¨âáï ª ¯®«®¦¥¨î £à ¨æë ¬¥¦¤ã ã§« ¬¨ i ¨ i +1, «®£¨ç® i 1=2 ®â®á¨âáï ª ¯®«®¦¥¨î £à ¨æë ¬¥¦¤ã ã§« ¬¨ i ¨ i 1. «ï ¯®«ãç¥¨ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ãà ¢¥¨ï ¤«ï ã§« i, ¤¨áªà¥â¨§¨àã¥¬ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (7.25), ¯à¨¨¬ ï ¢® ¢¨¬ ¨¥ ªãá®ç®-«¨¥©ë© ¯à®ä¨«ì ¤«ï â¥¬¯¥à âãàë ¬¥¦¤ã á®á¥¤¨¬¨ ã§« ¬¨, ª ª íâ® ¯®ª § ® à¨á.7.5 ¨ ãç¨âë¢ ï ¢ëè¥ã¯®¬ïãâë¥ § ç¥¨ï S ¨ V . ®¥ç®à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ á ¤«ï ¢ãâà¥¥£® ã§« i áâ ¥â ki+1=2 Ti+1 Ti ki 1=2 Ti Ti 1 + xgi = 0 ; (7.27) x x £¤¥ gi { áà¥¤¥¥ § ç¥¨¥ g ¯® ª®âà®«ì®¬ã ®¡ê¥¬ã, á¢ï§ ®¬ã á ã§«®¬ i. ª á«¥¤ã¥â ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (7.27), ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ¯¥à¥¬¥®£® ¨â¥à¢ « ¬¥¦¤ã ã§« ¬¨ ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª áãé¥áâ¢¥ë¬ ¯à®¡«¥¬ ¬, ¯®áª®«ìªã á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨© ¨â¥à¢ « ¢ ã§«¥ x ¬®¦® § ¬¥¨âì ¢ ãà ¢¥¨¨ (7.27) xj . «ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï £à ¨ç®£® ã§« B , ¯®¤¢¥à£ãâ®£® ª®¢¥ªæ¨¨, ¯à¨¬¥¨¬ ãà ¢¥¨ï (7.24) ¢ ã§«¥ B ! ! dT dT k dx = h(T1 TB ) ; k dx = k1=2 T1 TB ; x B 1=2 S = 1 1 ¨ V = 1 1=2 (7.28) ®£¤ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï £à ¨ç®£® ã§« B ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ (7.29) h(T1 TB ) + k1=2 T1 TB + 2x gB = 0 ; x £¤¥ gB { áà¥¤¥¥ § ç¥¨¥ g ¯® ª®âà®«ì®¬ã ®¡ê¥¬ã, á¢ï§ ®¬ã á £à ¨æ¥© ¢ ã§«¥ B . 7.3.

®¥ç®-à §®áâë© ¬¥â®¤ ï¢«ï¥âáï ª®á¥à¢ â¨¢ë¬, ¥á«¨ ® ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¢ë¯®«¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¥ëå ¨â¥£à «ìëå § ª®®¢ á®åà ¥¨ï, á¯à ¢¥¤«¨¢ëå ¤«ï ¨áå®¤ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©. áá¬®âà¨¬ ãà ¢¥¨¥ ¥áâ æ¨® à®© ª®¢¥ªæ¨¨ (1.32), ¯®« £ ï = 1=(Cp ), @T = r (U T ) + r2T: (7.30) @t à®¨â¥£à¨àã¥¬ íâ® ãà ¢¥¨¥ ¯® ¥ª®â®à®© ¯à®áâà áâ¢¥®© ®¡« áâ¨ R: Z Z Z @T dR = r ( U T ) dR + r2TdR: (7.31) @t R R R ®áª®«ìªã t ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯à®áâà áâ¢¥ëå ¯¥à¥¬¥ëå, ¨¬¥¥¬ Z @T @ Z TdR: dR = @t @t R R á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã áâà®£à ¤áª®£® - ãáá , ¯®«ãç ¥¬ Z Z r (U T )dR = (U T ) nds; R

@R

82

(7.32)

(7.33)

£¤¥ @R { £à ¨æ R, n { ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à ª ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ¯®¢¥àå®áâ¨ (¯®«®¦¨â¥«ì®¥ ¯à ¢«¥¨¥ á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ¢¥è¥© ®à¬ «¨) ¨ ds { ¤¨ää¥à¥æ¨ « ¤«¨ë ¤ã£¨ £à ¨æë @R. «®£¨ç®, ¯® â®© ¦¥ ä®à¬ã«¥ Z Z r2TdR = (rT ) nds: (7.34) R

@R

®£¤ ãà ¢¥¨¥ (7.31) ¯à¨¬¥â ¢¨¤ @ Z TdR = Z (U T ) n + Z (rT ) nds: @t R @R @R

(7.35)

à ¢¥¨¥ (7.35) ª®áâ â¨àã¥â, çâ® áª®à®áâì ª®¯«¥¨ï ¢¥«¨ç¨ë T ¢ ®¡« áâ¨ R à ¢ áã¬¬¥ ª®¢¥ªâ¨¢®£® ¨ ¤¨ääã§¨®®£® ¯à¨â®ª®¢ ¢¥«¨ç¨ë T ¢ R ç¥à¥§ @R § ¥¤¨¨æã ¢à¥¬¥¨3. à¥¡®¢ ¨¥ ª®á¥à¢ â¨¢®áâ¨ § ª«îç ¥âáï ¢ â®¦¤¥áâ¢¥®¬ á®åà ¥¨¨ ¢ ª®¥ç®-à §®áâ®© áå¥¬¥ íâ®£® ¨â¥£à «ì®£® á®®â®è¥¨ï. à®áâ®âë à ¤¨ à áá¬®âà¨¬ ®¤®¬¥à®¥ ¬®¤¥«ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¯à¥¤¥«ì®£® á«ãç ï ¡¥§¤¨ääã§¨®®£® â¥¯«®¯¥à¥®á ( = 0), ª®â®à®¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (7.30) ¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ @T = r (U T ): (7.36) @t (á«¨, á ¤àã£®© áâ®à®ë, ¢¥«¨ç¨ã T , âà ªâ®¢ âì ª ª ¬ áá®¢ãî ¯«®â®áâì, â® ãà ¢¥¨¥ (7.36) ¡ã¤¥â ãà ¢¥¨¥¬ ¥à §àë¢®áâ¨ ¤«ï á¦¨¬ ¥¬®© áà¥¤ë.) á¯®«ì§ãï à §®áâ¨ ¢¯¥à¥¤ ¯® ¢à¥¬¥¨ ¨ æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨ ¯® ¯à®áâà áâ¢¥®© ¯¥à¥¬¥®©, ¬®¦® § ¯¨á âì ª®¥ç®-à §®áâë© «®£ ãà ¢¥¨ï (7.36) ¢ ¢¨¤¥ Tin+1 Tin = Uin+1Tin+1 Uin 1Tin 1 : (7.37) t 2x áá¬®âà¨¬ â¥¯¥àì ®¤®¬¥àãî ®¡« áâì R (¯à¨ç¥¬ i ¬¥ï¥âáï ®â I1 ¤® I2) ¨ ¢ëç¨á«¨¬ áã¬¬ã I2 1 X t i=I1 Tix ; R á®®â¢¥âáâ¢ãîéãî ¨â¥£à «ã @=@t R TdR ¢ ãà ¢¥¨¨ (7.35): 2 I2 3 I2 I2 n Tn n Tn ! X X U U 1 4X i +1 i +1 i 1 i 1 x = n+1 n 5 = T T x x i i 2 t i = I1

= 12

I2 X

i=I1

i=I1

x

i=I1

[(UT )i 1 (UT )i+1] = (UT )I1 1 + (UT )I1 (UT )I2 (UT )I2+1 =

= (UT )I1 1=2 (UT )I2+1=2 : (7.38) ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® áª®à®áâì ª®¯«¥¨ï ¢¥«¨ç¨ë Ti ¢ ®¡« áâ¨ R ¢ â®ç®áâ¨ à ¢ 4 ¯®â®ªã ¢¥«¨ç¨ë T , ¢ ®¡« áâì R ç¥à¥§ £à ¨æë I1 1=2 ¨ I2 + 1=2 (íâ® á«¥¤ã¥â â ª¦¥ ¨§ ãà ¢¥¨ï (7.35) ¯à¨ = 0). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç¥ë© ª®¥ç®-à §®áâë© «®£ á®åà ï¥â ¨â¥£à «ì®¥ á¢®©áâ¢®, ª®â®à®¥ ¢ëà ¦ ¥â ä®à¬ã« áâà®£à ¤áª®£®- ãáá ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï, ¨ ¬ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® íâ®â «®£ ®¡« ¤ ¥â á¢®©áâ¢®¬ ª®á¥à¢ â¨¢®áâ¨. 3 ë ¢ë¢¥«¨ (7.35) ¨§ (7.30), çâ®¡ë ¯®ª § âì á¢ï§ì íâ¨å ãà ¢¥¨©, ® á ¬®¬ ¤¥«¥ ãà ¢¥¨¥ (7.35) ï¢«ï¥âáï ¡®«¥¥ ®¡é¨¬, ç¥¬ (7.30). ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ = 0, { ¬ áá®¢ ï ¯«®â®áâì, â® ®¡ íâ¨ ãà ¢¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ á®¡®© ãà ¢¥¨¥ ¥à §àë¢®áâ¨, ¢ëà ¦ îé¨¥ § ª® á®åà ¥¨ï ¬ ááë. ¤ ª® ãà ¢¥¨¥ (7.35) ®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¤ ¦¥ ¢ â®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¢ ¥ª®â®àëå ¢ãâà¥¨å â®çª å ®¡« áâ¨ ¯à®¨§¢®¤ë¥, ¢å®¤ïé¨¥ ¢ (7.30), ¥ áãé¥áâ¢ãîâ. 4 ¤¥áì ¨¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ à ¢¥áâ¢® ¡¥§ ãç¥â ®è¨¡®ª ®ªàã£«¥¨ï ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ¬ è¨¥.

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83

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¢¨åàï ¤®¯®«¨â¥«ì ï à ¡®â § ª«îç ¥âáï ¢ ¢ë¯®«¥¨¨ ¤¢ãå «¨è¨å ª®¥ç®-à §®áâëå ®¯¥à æ¨© ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï á®áâ ¢«ïîé¨å áª®à®áâ¨ ¨§ à¥è¥¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ â®ª ¨ ¤¢ãå «¨è¨å ã¬®¦¥¨©. § ¤ ç å ® ¤¢¨¦¥¨¨ á¦¨¬ ¥¬®© áà¥¤ë ¤®¯®«¨â¥«ì®© à ¡®âë ¡®«ìè¥, çâ® ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç ïå ¬®¦¥â ®ª § âìáï ¯à¨ç¨®© ®âª § ®â ¯à¨¬¥¥¨ï ª®á¥à¢ â¨¢®© áå¥¬ë. «ï â®£® çâ®¡ë ¯à¥¤®áâ¥à¥çì ®â ä¥â¨è¨§ æ¨¨ ª®á¥à¢ â¨¢ëå áå¥¬, § ¬¥â¨¬ ¢ § ª«îç¥¨¥, çâ® ¥ª®á¥à¢ â¨¢ ï ä®à¬ ¤«ï ç«¥ @ (@T=@x)=@x á ¯¥à¥¬¥ë¬ ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¤¨ääã§¨¨ ¬®¦¥â ¯à¨¢¥áâ¨ ª ¡®«¥¥ â®çë¬ à¥§ã«ìâ â ¬, ç¥¬ ª®á¥à¢ â¨¢ ï. 7.4.

áá¬®âà¨¬ ¤¢ãå¬¥àãî ®¡« áâì ¥á¦¨¬ ¥¬®£® ¯®â®ª ¦¨¤ª®áâ¨ á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬ ¡¥§ ã¯à®é¥¨ï ¯®£à ¨ç®£® á«®ï. ¨¯¨çë¬¨ ¯à¨«®¦¥¨ï¬¨ ï¢«ïîâáï ¯®â®ª ¢® ®£à ¨ç¥ëå ®¡« áâïå, ¯®â®ª ®ª®«® ¤¢¨¦ãé¥£®áï ª®æ ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë, ¯®â®ª ¢ á«¥¤¥, £¤¥ ¨ª ª¨¥ ã¯à®é¥¨ï ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ï¢«ïîâáï ¥¯à¨¬¥¨¬ë¬¨. ¥®¡å®¤¨¬® ¢ëç¨á«¨âì áª®à®áâì ¨ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¯®â®ª¥ ¢ â ª¨å á¨âã æ¨ïå ¨§ ¯®«ëå ãà ¢¥¨© ¢ì¥-â®ªá . á®¢ë¬¨ ¤¢ãå¬¥àë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ï¢«ïîâáï ãà ¢¥¨¥ ¥à §àë¢®áâ¨ ¨ ãà ¢¥¨ï ¨¬¯ã«ìá . ¯àï¬®ã£®«ì®© á¨áâ¥¬¥ ª®®à¤¨ â ®¨ ¨¬¥îâ ¢¨¤ ¥à §àë¢®áâì: @u + @v = 0 ; (7.43) @x @y ! @u + v @u = 1 @p + @ 2u + @ 2u ; x-¨¬¯ã«ìá: @u (7.44) + u @t @x @y @x @x2 @y2! @v + v @v = 1 @p + @ 2v + @ 2v ; y-¨¬¯ã«ìá: @v + u (7.45) @t @x @y @y @x2 @y2 £¤¥ { ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì, p { ¯«®â®áâì, p { ¤ ¢«¥¨¥. «ï ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨ á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨ ¡¥§ ¢¥è¨å á¨« ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¥á¢ï§ ë á ãà ¢¥¨¥¬ í¥à£¨¨, ¯®íâ®¬ã ®¨ ¬®£ãâ ¡ëâì à¥è¥ë ®â¤¥«ì® ¤«ï ¥¨§¢¥áâëå u(x; y; t), v(x; y; t) ¨ p(x; y; t). ®âï ¨ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ç¨á«¥ë¥ à¥è¥¨ï ¢ëè¥ã¯®¬ïãâëå ãà ¢¥¨©, ¯®¤ç¨¥ëå á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬, ¨¡®«¥¥ ãá¯¥èë¬ ç¨á«¥ë¬ ¬¥â®¤®¬ ¤«ï à¥è¥¨ï â ª®© á¨áâ¥¬ë ï¢«ï¥âáï ¯®¤å®¤ § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª , ª®â®àë© ¡ã¤¥â ®¡áã¦¤¥ ¤ «¥¥. ¤ ª®, íâ®â ¯®¤å®¤ ¯à¨¬¥¨¬ £« ¢ë¬ ®¡à §®¬ ¤«ï ¤¢ãå¬¥àëå á«ãç ¥¢, ¯®â®¬ã çâ® áª «ïà ï äãªæ¨ï â®ª ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¤«ï âà¥å¬¥àëå § ¤ ç. 7.4.1. ¥â®¤ § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª

â®â ¯®¤å®¤, ®¡ëç® ¯à¨¬¥ï¥¬ë© ¤«ï à¥è¥¨ï ¤¢ãå¬¥à®£® â¥ç¥¨ï ¦¨¤ª®áâ¨ á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨, ®¯¨áë¢ ¥¬®£® ãà ¢¥¨ï¬¨ ¢ì¥-â®ªá , ®á®¢ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ § ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå ®â (u; v) ª (!; ), £¤¥ ! { § ¢¨åà¥®áâì, { äãªæ¨ï â®ª . ¢¨åà¥®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ! = r u; (7.46) £¤¥ u { ¢¥ªâ®à áª®à®áâ¨. «ï ¤¢ãå¬¥à®© ¯àï¬®ã£®«ì®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â x; y, ¢¥«¨ç¨ ¢¥ªâ®à § ¢¨åà¥®áâ¨ § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ @v @u ; (7.47) ! = @x @y äãªæ¨ï â®ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ @ = u; @ = v; (7.48) @y @x íâ¨¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ äãªæ¨¨ â®ª , ãà ¢¥¨¥ ¥à §àë¢®áâ¨ (7.43) â®¦¤¥áâ¢¥® ã¤®¢«¥â¢®àï¥âáï. à¥®¡à §®¢ ¨¥ § ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå ®â (u; v) ª (!; ) ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®áâ¨£ãâ®, ãáâà ïï á« £ ¥¬®¥ á ¤ ¢«¥¨¥¬ ¢ ãà ¢¥¨ïå á®åà ¥¨ï ¨¬¯ã«ìá (7.44) ¨ (7.45). àã£¨¬¨ á«®¢ ¬¨, ãà ¢¥¨¥ 85

(7.44) ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥âáï ¯® y, ãà ¢¥¨¥ (7.45) ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥âáï ¯® ¯¥à¥¬¥®© x, à¥§ã«ìâ âë ¢ëç¨â îâáï, ¨, ãç¨âë¢ ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ! ¨ , ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîé¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï § ¢¨åà¥®áâ¨, !, ! @! + u @! + v @! = @ 2! + @ 2! ; (7.49) @t @x @y @x2 @y2 ª®â®à®¥ ¬®¦® ¯¨á âì ¢ ª®á¥à¢ â¨¢®© ä®à¬¥ ! @! + @ (u!) + @ (v!) = @ 2! + @ 2! : (7.50) @t @x @y @x2 @y2 ª¢¨¢ «¥â®áâì ¨§ íâ¨å ¤¢ãå ãà ¢¥¨© áâ ¥â ®ç¥¢¨¤®© ¥á«¨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (7.49) ª®¢¥ªâ¨¢ë¥ á« £ ¥¬ë¥ ¨§¬¥¥ë á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ãà ¢¥¨ï ¥à §àë¢®áâ¨. à ¢¥¨¥ (7.49) ¨«¨ (7.50) §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨, ª®â®à®¥ ï¢«ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯® ®â®è¥¨î ª® ¢à¥¬¥¨. ®¯®«¨â¥«ìë¥ á®®â®è¥¨ï ¬®¦® ¯®«ãç¨âì, ¯®¤áâ ¢«ïï ãà ¢¥¨ï (7.48) ¢ ãà ¢¥¨¥ (7.47). ®«ãç ¥¬ @2 + @2 = ! ; (7.51) @x2 @y2 ª®â®à®¥ ï¢«ï¥âáï í««¨¯â¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ã áá® ¤«ï äãªæ¨¨ â®ª . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤¢ ãà ¢¥¨ï ¨¬¯ã«ìá (7.44) ¨ (7.45) ¢ ¯¥à¥¬¥ëå (u; v) ¯à¥®¡à §®¢ ë ª ãà ¢¥¨ï¬ (7.49) ¨ (7.51) ¢ ¯¥à¥¬¥ëå (!; ). ¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ u ¨ v ¢ ãà ¢¥¨¨ (7.49) á¢ï§ ë á äãªæ¨¥© ¯®â®ª ¯®áà¥¤áâ¢®¬ ¢ëà ¦¥¨© (7.48). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨á¯®«ì§ãï ¯®¤å®¤ § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª , ¬ë ¯à¥®¡à §®¢ «¨ á¬¥è ãî í««¨¯â¨ç¥áª¨-¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¥ ¤¢ãå¬¥àë¥ ãà ¢¥¨ï ¢ì¥-â®ªá ¤«ï ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨ á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨ ¢ â¥à¬¨ å (u; v) ª ¯¥à¥¬¥ë¬ § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª , ª®â®à®¥ ï¢«ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬¨ ¯® ¢à¥¬¥¨ ¨ ãà ¢¥¨¥ í««¨¯â¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ã áá® ¢ â¥à¬¨ å (!; ). ®¯®«¨â¥«ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï ¢ ®¡« áâ¨ ¯®â®ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï ¢ì¥â®ªá (7.43) ª (7.45) ª ª ¡ã¤¥â ®¯¨á ® ¨¦¥. ¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãîé¨¬ ®¡à §®¬. à ¢¥¨¥ ¨¬¯ã«ìá ¢¤®«ì ®á¨ x (7.44) ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥âáï ¯® ¯¥à¥¬¥®© x, ãà ¢¥¨¥ ¨¬¯ã«ìá ¢¤®«ì ®á¨ y (7.45) ¯® ¯¥à¥¬¥®© y, à¥§ã«ìâ âë áª« ¤ë¢ îâáï, ¨, ¨á¯®«ì§ãï ãà ¢¥¨¥ ¥à §àë¢®áâ¨ (7.43), ¯®«ãç ¥¬ ! @ 2p + @ 2p = 2 @u @v @u @v : (7.52) @x2 @y2 @x @y @y @x â®â à¥§ã«ìâ â ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥ ¢ â¥à¬¨ å äãªæ¨¨ â®ª ¢ ¢¨¤¥ 3 2 2 ! 2 ! 2 !2 @ 2p + @ 2p = s ; @ @ @ 5 (7.53) s = 2 4 @x2 @y2 @x2 @y2 @x@y : ª¨¬ ®¡à §®¬, ãà ¢¥¨¥ (7.53) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â á¢ï§ì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï ¢ ®¡« áâ¨ ¯®â®ª , ª®£¤ äãªæ¨ï â®ª ï¢«ï¥âáï ¨§¢¥áâ®©. 7.4.2. â®£¨ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª

¥¯¥àì ¯®¤¢¥¤¥¬ ¨â®£¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ á ®á®¢ë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¢ â¥à¬¨ å § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª . à ¢¥¨¥ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ ¤«ï ! § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ! @! + u @! + v @! = @ 2! + @ 2! ; (7.54) @t @x @y @x2 @y2 86

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@2 + @2 = ! ; @x2 @y2 ¨ ãà ¢¥¨¥ ã áá® ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï p

@ 2p + @ 2p = s ; @x2 @y2

2 2 ! 2 ! s = 2 4 @@x2 @@y2

(7.55)

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â¨ ãà ¢¥¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ëà ¦¥ë ¢ ¡¥§à §¬¥à®© ä®à¬¥ ¢ ¢¨¤¥ ! @ + U @ + V @ = 1 @ 2 + @ 2 ; @ @X @Y Re @X 2 @Y 2 @ 2 + @ 2 = ; @X 2 @Y 2 3 2 2 ! 2 ! 2 !2 @ @ @ @ 2P + @ 2P = S ; 5: S = 2 4 @X 2 @Y 2 @X 2 @Y 2 @X@Y

(7.56)

(7.57) (7.58) (7.59)

à §«¨çë¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãîé¨¬ ®¡à §®¬ U = uu ; X = Lx ; P = up 2 ; 0 0 u t u v 0 V =u ; Y = L; = L ; 0 !L

= u ; Re = u0L ; (7.60) = u L; 0 0 £¤¥ u0 { å à ªâ¥à ï áª®à®áâì, L { å à ªâ¥à ï ¤«¨ , ¨ Re = u0L= { ç¨á«® ¥©®«ì¤á . ®á¥à¢ â¨¢ ï ä®à¬ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ! @ + @ (U ) + @ (V ) = 1 @ 2 + @ 2 : (7.61) @ @X @Y Re @X 2 @Y 2 ¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ¢ ãà ¢¥¨¨ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ u ¨ v ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ëà ¦¥ë ¢ â¥à¬¨ å äãªæ¨¨ â®ª , á®£« á® ®¯à¥¤¥«¥¨î äãªæ¨¨ â®ª , § ¤ ®© ãà ¢¥¨ï¬¨ (7.48). 7.4.3. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª

®à¬ã«¨à®¢ª § ¢¨åà¥®áâì-äãªæ¨ï â®ª , ®¯¨á ï à ¥¥, á®áâ®¨â ¨§ âà¥å à §ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¤«ï § ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå !, ¨ p. à ¢¥¨¥ ¯¥à¥®á § ¢¨à¥®áâ¨ ¤«ï ! ï¢«ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯® ¢à¥¬¥¨, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ãà ¢¥¨¥ (7.55) ï¢«ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¤«ï (7.56) ¨ ¤«ï p ¯à¨¬¥ï¥âáï ãà ¢¥¨ï ã áá® , ¢ ª®â®à®¬ ¢à¥¬ï ¢ëáâã¯ ¥â ¯à®áâ® ª ª ¯ à ¬¥âà. «ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì áâ æ¨® àë¥ à¥è¥¨ï, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ®¡ëç® ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨â¥à¥á, ãà ¢¥¨¥ ¤«ï !, ª®â®à®¥ ï¢«ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯® ¢à¥¬¥¨, à¥è ¥âáï á®¢¬¥áâ® á ãà ¢¥¨¥¬ ¤«ï , ¯®ª á¨¬¯â®â¨ç¥áª ï áâ ¤¨ï ¥ ¡ã¤¥â ¤®áâ¨£ãâ . ª â®«ìª® ãáâ ®¢«¥ë¥ § ç¥¨ï ! ¨ ¡ã¤ãâ ¤®áâ¨£ãâë, ¬®¦® ¯à¨áâã¯ âì ª à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï. «ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï íâ¨å ãà ¢¥¨©, ¯à¨¨¬ ¥¬ á«¥¤ãîé¥¥ ®¡®§ ç¥¨¥ F (x; y; t) = F (ix; j y; nt) Fi;jn ; F = f! ; ¨«¨ pg : (7.62) 87

à ¢¥¨¥ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨.

®áª®«ìªã íâ® ãà ¢¥¨¥ ï¢«ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯® ¢à¥¬¥¨ ¨ á®¤¥à¦¨â ª®¢¥ªâ¨¢ë¥ á« £ ¥¬ë¥, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¥áª®«ìª® ¢®§¬®¦®áâ¥© ¤«ï ¥£® ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨. ¯à¨¬¥à, ¬®£ãâ ¯à¨¬¥ïâìáï ï¢ë¥ ¨«¨ ¥ï¢ë¥ ¬¥â®¤ë. ¨áªà¥â¨§ æ¨ï æ¥âà «ìë¬¨ à §®áâï¬¨ ¨ ¤¨áªà¥â¨§ æ¨ï ¯à®â¨¢ ¯®â®ª ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¨¬¥¥ë ª ª®¢¥ªâ¨¢ë¬ á« £ ¥¬ë¬. «ï ¯à®áâ®âë à áá¬®âà¨¬ â®«ìª® ¯à®áâãî ï¢ãî áå¥¬ã á ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¥© ¢¯¥à¥¤ ¯® ¢à¥¬¥¨. ®¥ç®-à §®áâ ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨ï ª®¢¥ªâ¨¢ëå á« £ ¥¬ëå ¨ æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨ ¢â®àëå ¯à®¨§¢®¤ëå ®â®á¨â¥«ì® ¯à®áâà áâ¢¥ëå ¯¥à¥¬¥ëå ¡ã¤¥â â ª ¦¥ ¨á¯®«ì§®¢ âìáï. ®£¤ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ (7.54) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ !n !n # " n !i;jn+1 !i;jn !i+1;j 2!i;jn + !in 1;j !i;jn +1 2!i;jn + !i;jn 1 @! @! n n ;(7.63) vi;j @y + = ui;j @x + t (x)2 (x)2 i;j i;j £¤¥ ¯¥à¢ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¢ ª®¢¥ªâ¨¢ëå á« £ ¥¬ëå ¤¨áªà¥â¨§ãîâáï áå¥¬®© ¯à®â¨¢ ¯®â®ª á«¥¤ãîé¨¬ ®¡à §®¬ ! ! @! n = !i;jn !in 1;j ; u > 0 ; @! n = !in+1;j !i;jn ; u < 0 ; i;j i;j @x i;j x @x i;j x ! ! @! n = !i;jn !i;jn 1 ; v > 0 ; @! n = !i;jn +1 !i;jn ; v < 0 ; (7.64) i;j i;j @y i;j y @y i;j y å¥¬ ¨¬¥¥â ®è¨¡ªã ãá¥ç¥¨ï ¯®àï¤ª O[x; y; t]. ª®à®áâ¨ ui;j ¨ vi;j á¢ï§ ë á äãªæ¨¥© â®ª ãà ¢¥¨© (7.48) ¨ ¢ ä®à¬¥ ª®¥çëå à §®áâ¥© § ¤ îâáï ¢ ¢¨¤¥ n n i 1;j + O[2 ] : n = i+1;j v (7.65) i;j x 2y 2x á«¨ ¡ë ¡¥§à §¬¥à®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ (7.57) ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ ®, ¯®«ãç¥®¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡ë«® ¡ë ¯®¤®¡® ¤ ®¬ã ãà ¢¥¨î (7.63) á® á«¥¤ãîé¨¬¨ ¨§¬¥¥¨ï¬¨ ¢ ¯¥à¥¬¥ëå: 1 ; x ! X ; u ! U ; ! Re y ! Y ; v ! V ; t ! ; ! ! : (7.66) ®¦¥â â ª ¦¥ ¨á¯®«ì§®¢ âìáï æ¥âà «ì ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨ï ¢á¥å ¯à®áâà áâ¢¥ëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¢ ãà ¢¥¨¨ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨. «ï â ª®£® á«ãç ï, á« £ ¥¬ë¥ á ¯¥à¢ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ (@!=@x)ni;j ¨ (@!=@y)ni;j ¢ ãà ¢¥¨¨ (7.63) ¤¨áªà¥â¨§¨àãîâáï á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ æ¥âà «ì®© à §®áâ®© ä®à¬ã«ë. «ï â ª®£® á«ãç ï, ¯®«ãç¥®¥ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â â®çãî ®è¨¡ªã ãá¥ç¥¨ï ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¯® ¯à®áâà áâ¢¥ë¬ ¯¥à¥¬¥ëå, â.¥., O(2x; 2y ), ® ®£à ¨ç¥¨¥ ãáâ®©ç¨¢®áâì áâ ®¢¨âáï ¡®«¥¥ áâà®£¨¬ ¤«ï ¡®«ìè¨å ç¨á¥« ¥©®«ì¤á . ®íâ®¬ã, ¤«ï ¬ «ëå ç¨á¥« ¥©®«ì¤á ¤¨ääã§¨ï ¤®¬¨¨àã¥â ¨ æ¥âà «ìë¥ à §®áâ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë ¤«ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ª®¢¥ªâ¨¢ëå á« £ ¥¬ëå, ¯®áª®«ìªã íâ áå¥¬ ¡®«¥¥ â®ç ï. ¤ ª®, ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å ¥©®«ì¤á ª®¢¥ªæ¨ï ¤®¬¨¨àã¥â, ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ áå¥¬ë ¯à®â¨¢ â¥ç¥¨ï ï¢«ï¥âáï ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ì®© ¨§ á®®¡à ¦¥¨© ãáâ®©ç¨¢®áâ¨. ®¥ç®-à §®áâ ï áå¥¬ , à áá¬ âà¨¢ ¥¬ ï §¤¥áì, ï¢«ï¥âáï ï¢®©, è £ ¯® ¢à¥¬¥¨ t ¤®«¦¥ ã¤®¢«¥â¢®àïâì ®£à ¨ç¥¨î ãáâ®©ç¨¢®áâ¨, ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ( #) 1 " j u j 1 j v j 1 t + + 2 2 + (2 : (7.67) x y x y â® ¢ëà ¦¥¨¥ ï¢«ï¥âáï ¤¢ãå¬¥à®© ¢¥àá¨¥© ®£à ¨ç¥¨ï, § ¤ ®£® ãà ¢¥¨¥¬ (7.63) á ¢¬¥áâ® .

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n i;j 1

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88

à ¢¥¨¥ ã áá® ¤«ï äãªæ¨¨ â®ª .

à ¢¥¨¥ ã áá® (7.55) ¤«ï äãªæ¨¨ â®ª ¤¨áªà¥â¨§¨àã¥âáï, ¨á¯®«ì§ãï æ¥âà «ìë¥ à §®áâë¥ ä®à¬ã«ë. ®«ãç ¥¬ n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 i+1;j 2 i;j + i 1;j + i;j +1 2 i;j + i;j 1 = ! n+1 (7.68) i;j (x)2 (y)2 ¤«ï á«ãç ï x = y = , íâ® ãà ¢¥¨¥ à¥è ¥âáï ¤«ï i;jn+1. à¥§ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ i h n+1 = 1 n+1 + n+1 + n+1 + n+1 + 2! n+1 : (7.69) i;j i;j 4 i+1;j i 1;j i;j+1 i;j 1 á ®è¨¡ª®© ãá¥ç¥¨ï O(2x; 2y ). à ¢¥¨¥ ã áá® ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï.

à ¢¥¨¥ ã áá® (7.56) ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï ¤¨áªà¥â¨§¨àã¥âáï ¢ ¢¨¤¥ pi+1;j 2pi;j + pi 1;j + pi;j+1 2pi;j + pi;j 1 = S ; i;j 2x 2y ! ! " £¤¥ i;j +1 2 i;j + i;j 1 i+1;j 2 i;j + i 1;j Si;j = 2i;j 2x 2y !23 i+1;j +1 i+1;j 1 i 1;j +1 + i+1;j +1 5 4xy

(7.70)

¨ á« £ ¥¬®¥ á® ¢§ ¨¬®© ¯à®áâà áâ¢¥®© ¯à®¨§¢®¤®©, ¯®ï¢«ïîé¥©áï ¢ S ¤¨áªà¥â¨§¨àã¥âáï, ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã ¢â®à®£® ¯®àï¤ª â®ç®áâ¨, § ¤ ®© ãà ¢¥¨¥¬ (2.15). ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®¥ç®à §®áâ ï áå¥¬ ¨¬¥¥â ®è¨¡ªã ãá¥ç¥¨ï ¯®àï¤ª O(2x; 2y ). «ï áâ æ¨® àëå § ¤ ç, ãà ¢¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï à¥è ¥âáï â®«ìª® ®¤¨ à §, ¯®á«¥ â®£®, ª ª ãáâ ®¢¨¢è¨¥áï § ç¥¨ï ! ¨ ¡ë«¨ ¢ëç¨á«¥ë. ®íâ®¬ã, ¢ ¢ëè¥ã¯®¬ïãâëå ãà ¢¥¨ïå ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï ®¯ãé¥ ¨¤¥ªá n + 1. 7.4.4. ¥â®¤ à¥è¥¨ï

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¯à¥¤ë¤ãé¥© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ ï¢«ï¥âáï ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯® ¢à¥¬¥¨, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ãà ¢¥¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ ¯®â®ª ¨ ¤ ¢«¥¨ï ï¢«ïîâáï áâ æ¨® àë¬¨. ¬®£¨å ç¨á«¥ëå ¨áá«¥¤®¢ ¨ïå, â ª ï áâ æ¨® à ï á¨áâ¥¬ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì áâ æ¨® à®¥ à¥è¥¨¥ ! ¨ , ®¯¨áë¢ ï ¥áâ æ¨® àãî § ¤ çã, ¯®ª á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨© ¯à¥¤¥« ¥ ¡ã¤¥â ¤®áâ¨£ãâ. ª®© ¯®¤å®¤ ¯à¥¤¯®çâ¥ ¨§-§ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® å à ªâ¥à ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ ¢® ¢à¥¬¥¨. â® ¯®§¢®«ï¥â à¥è âì ¬ àè¥¢ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ ¢® ¢à¥¬¥¨ ª ãáâ ®¢¨¢è¥¬ãáï à¥è¥¨î. â ¯à®æ¥¤ãà âà¥¡ã¥â, çâ®¡ë ¢ ª ¦¤®¬ è £¥ í««¨¯â¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ã áá® (7.55) ¡ë«® à¥è¥®. ® ¥®¡å®¤¨¬® â®«ìª® ª®¥ç®¥ ¢ëç¨á«¨â¥«ì®¥ ¢à¥¬ï ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¤®áâ¨£ãâì á¨¬¯â®â¨ç¥áªãî áâ ¤¨î. á«¨ ¥áâ æ¨® à®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ âà¥¡ã¥â ¡®«ìè®£® ¢ëç¨á«¨â¥«ì®£® ¢à¥¬¥¨ ¤«ï ¤®áâ¨¦¥¨ï á¨¬¯â®â¨ç¥áª®© áâ ¤¨¨, § ¤ ç ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥ ¥¯®áà¥¤áâ¢¥® ¢ áâ æ¨® à®© ä®à¬¥ ¨â¥à æ¨®ë¬ ¬¥â®¤®¬, ® áâ æ¨® àë© ¯®¤å®¤ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢ ª ¥ãáâ®©ç¨¢®áâï¬. «¥¥ ®¯¨è¥¬ ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ ª ª ¤«ï ¥áâ æ¨® à®£®, â ª ¨ ª ª ¤«ï áâ æ¨® à®£® á«ãç ¥¢. ¥è¥¨¥ ¤«ï ¥áâ æ¨® à®© § ¤ ç¨.

á®¢ë¬¨ è £ ¬¨ ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ (7.63) ¨ (7.68) ª ª ¯¥à¥å®¤ ï ¯à®¡«¥¬ ¤«ï § ¢¨åà¥®áâ¨ ¨ äãªæ¨¨ â®ª ï¢«ïîâáï: à¥¤¯®«®¦¨¬ § ç¥¨ï !i;jn ¨ i;jn ï¢«ïîâáï ¨§¢¥áâë¬¨ ¢à¥¬¥®¬ è £¥ n, â®£¤ ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ uni;j ¨ vi;jn ¯®«ãç îâáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (7.65). 89

1. ¢¨åà¥®áâì !i;jn+1 ¢à¥¬¥®¬ è £¥ n + 1 ¢ëç¨á«ïîâáï ¨§ ãà ¢¥¨ï (7.63). 2. ï !i;jn+1 ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ á¥âª¨, ¨â¥à æ¨®® à¥è ¥âáï ãà ¢¥¨¥ ã áá® (7.68) ¤«ï äãªæ¨¨ â®ª , ãç¨âë¢ ï á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï i;jn+1 ¢ â®çª å á¥âª¨ ¯® ¢á¥© ®¡« áâ¨ ¯®â®ª . 3. ®¢ë¥ § ç¥¨ï äãªæ¨¨ â®ª i;jn+1 ¨á¯®«ì§ãîâáï ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¢ëç¨á«¨âì á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨¥ ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ ui;j ¨ vi;j ¨§ ãà ¢¥¨© (7.65) á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ á ¬ëå ¯®á«¥¤¨å § ç¥¨© !i;jn+1 ¨ i;jn+1 ¢® ¢ãâà¥¨å ã§« å ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ¢ëç¨á«¨âì ®¢ë¥ § ç¥¨ï ! £à ¨æ å. á«¨ à¥è¥¨¥ ª § ¢¨åà¥®áâ¨ !i;jn+1 ¥ áå®¤¨âáï, ¢ëç¨á«¥¨ï ¯®¢â®àïîâáï, ¯®ª ¦¥« â¥«ì ï áå®¤¨¬®áâì ¥ ¡ã¤¥â ¤®áâ¨£ãâ ¢à¥¬¥®¬ ãà®¢¥ n + 1. ¥â ¨ª ª®£® ª â¥£®à¨ç¥áª®£® ªà¨â¥à¨ï ¤«ï ¤®áâ¨¦¥¨ï áå®¤¨¬®áâ¨ áâ æ¨® à®£® à¥è¥¨ï. ¡ëçë¬ ªà¨â¥à¨¥¬ ¤«ï áå®¤¨¬®áâ¨ ª áâ æ¨® à®£® § ç¥¨ï !i;j ï¢«ï¥âáï ¯à®¢¥àª ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì®áâ¨ ¤«ï (7.71) ¨«¨ max !n+1 !n =!n " max !n+1 !n " ; i;j

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¨ «®£¨ç® ¤«ï i;j . ç¥¨ï ", á®®¡é¥ë¥ ¢ ®âªàëâ®© «¨â¥à âãà¥ ¨§¬¥ïîâáï ®â " = 10 3 ¤® 10 8 . ®£¤ ¯®«¥§® ¨áá«¥¤®¢ âì ¨â¥à æ¨®®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ à¥è¥¨ï, «¨§¨àãï maxj!i;jn+1 !i;jn ji;j ¯® n ¨ ¢® ¢à¥¬¥¨. ¥è¥¨¥ ¤«ï áâ æ¨® à®© § ¤ ç¨.

á«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ¯¥à¥å®¤®£® ¯®¤å®¤ âà¥¡ã¥â, çâ®¡ë ¡ë«® ¤®áâ¨£ãâ® ãáâ ®¢¨¢è¥¥áï à¥è¥¨¥ § ¡®«ìè®¥ ¢ëç¨á«¨â¥«ì®¥ ¢à¥¬ï, â® ¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì áâ æ¨® à®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¤«ï à¥è¥¨ï íâ®© § ¤ ç¨. áá¬®âà¨¬ ¡¥§à §¬¥à®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ (7.57) ¨ ãà ¢¥¨¥ ã áá® (7.58) ¤«ï äãªæ¨¨ â®ª . «ï áâ æ¨® à®© § ¤ ç¨ à¥è¥¨¥ ¯®«ãç ¥âáï ¯ãâ¥¬ ¯à®¯ãáª á« £ ¥¬ëå á ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¢ ãà ¢¥¨¨ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ (7.57). 2 @ 2 ! @ @

1 @

(7.72) U @X + V @Y = Re @X 2 + @Y 2 ; @ 2 + @ 2 = ; (7.73) @X 2 @Y 2 â¨ ãà ¢¥¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ëà ¦¥ë ¢ ª®¥ç®-à §®áâ®© ä®à¬¥, ª ª íâ® ®¡áã¦¤¥® à ¥¥. ®«ãç¥ ï á¨áâ¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥ ¨â¥à æ¨ï¬¨. à¥¤áâ ¢¨¬ ¨¦¥ ®á®¢®© «£®à¨â¬ ¤«ï à¥è¥¨ï â ª®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. à¨¨¬ ¥¬ ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ®¡®§ ç¥¨¥ m(x; y) = m(ix; j y) mi;j (7.74) £¤¥ ¨¤¥ªá m ®¡®§ ç ¥â m-ãî ¨â¥à æ¨î, ¨¦¨¥ ¨¤¥ªáë (i; j ) ®¡®§ ç îâ ¤¨áªà¥âë¥ â®çª¨ á¥âª¨. à®¬¥ â®£® ¯ãáâì fi;j = £à ¨çë¥ § ç¥¨ï i;j ; Fi;j = £à ¨çë¥ § ç¥¨ï i;j ; (7.75) ¨ ¯®« £ ¥¬, çâ® ª®«¨ç¥áâ¢ i;j ¨ i;j ï¢«ïîâáï ¨§¢¥áâë¬¨ m-®© ¨â¥à æ¨¨ mi;j mi;j ; (7.76) mi;j+1 ¨ mi;j+1 ¡ã¤ãâ ®¯à¥¤¥«¥ë¬. à¥¤áâ ¢¨¬ â ª¦¥ ®¡®§ ç¥¨¥ ~ mi;j+1 ~ mi;j+1 ; £¤¥ â¨«ì¤ ®¡®§ ç ¥â ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì®¥ ¯à®¬¥¦ãâ®ç®¥ § ç¥¨¥. 90

(7.77)

á®¢ë¬¨ è £ ¬¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï mi;j+1 ¨ mi;j+1 ï¢«ïîâáï: 1. à®¬¥¦ãâ®çë¥ § ç¥¨ï ~ mi;j+1 ¢ëç¨á«ïîâáï ¨§ à¥è¥¨ï ª®¥ç®-à §®áâ®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ãà ¢¥¨ï ã áá® (7.73). ãáâì ª®¥ç®-à §®áâ ï ä®à¬ ãà ¢¥¨ï (7.73) ¡ã¤¥â ¯¨á ä®à¬ «ì® ¢ ¢¨¤¥ ! @ 2 ~ + @ 2 ~ m+1 = m ; ¢ ®¡« áâ¨ ; ~ mi;j+1 = fi;j ; £à ¨æ¥ : (7.78) i;j @X 2 @Y 2 i;j 2. ®«ãç¥ë¥ § ç¥¨ï mi;j+1 ®¯à¥¤¥«ïîâáï, ¨á¯®«ì§ãï à¥« ªá æ¨®ãî ä®à¬ã«ã mi;j+1 = ~ mi;j+1 + (1 ) mi;j ;

(7.79)

£¤¥ ¯ à ¬¥âà à¥« ªá æ¨¨ ¨¬¥¥â § ç¥¨ï ¢ ¯à¥¤¥« å 0 < 1. 3. à®¬¥¦ãâ®çë¥ § ç¥¨ï ~ mi;j+1 ¢ëç¨á«ïîâáï ¨§ ª®¥ç®-à §®áâ®© ä®à¬ë ãà ¢¥¨ï (7.72), § ¤ ë© ¢ ¢¨¤¥ " ~ ~ 1 @ 2 ~ @ 2 ~ !#m+1 @

@

U @X + V @Y Re @X 2 + @Y 2 = 0; ¢ ®¡« áâ¨ ; (7.80) i;j

~ )i; j m+1 = Fi;j ; £à ¨æ å ; £¤¥ ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ U ¨ V á¢ï§ ë á äãªæ¨¥© â®ª ãà ¢¥¨ï¬¨ (7.48,a,b) ¨«¨ (7.65). 4. ®«ãç¥ë¥ § ç¥¨ï mi;j+1 ®¯à¥¤¥«ïîâáï á ¯®¬®éìî á«¥¤ãîé¨å à¥« ªá æ¨®ëå ä®à¬ã«:

mi;j+1 = ~ mi;j+1 + (1 ) mi;j ; ¢ ®¡« áâ¨ ; (7.81)

mi;j+1 = ~ mi;j+1 + (1 ) mi;j ; £à ¨æ å ; (7.82) £¤¥ ¯ à ¬¥âàë à¥« ªá æ¨¨ «¥¦ â ¢ ¯à¥¤¥« å 0 < ; 1. â¥à æ¨¨ ¯à®¤®«¦ îâáï, ¯®ª ¦¥« â¥«ìë¥ ªà¨â¥à¨¨ áå®¤¨¬®áâ¨ ¥ ¡ã¤ãâ ¤®áâ¨£ãâë. ®¦® ¯à¨ïâì ¯à®áâ®© ªà¨â¥à¨¨ áå®¤¨¬®áâ¨ max ni;j+1 ni;j i;j " ; max ni;j+1 ni;j i;j " : (7.83) 7.4.5. ¥â®¤ à¥è¥¨ï ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï

ª â®«ìª® ¯®«ãç¥ äãªæ¨ï â®ª ¢ â®çª å á¥âª¨, ¨áâ®ç¨ª®¢®¥ á« £ ¥¬®¥ s ¢ ãà ¢¥¨¨ ¤ ¢«¥¨ï (7.56) áâ ®¢¨âáï ¨§¢¥áâë¬. ®¥ç®-à §®áâ®¥ ãà ¢¥¨¥ (7.70) ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥® «î¡ë¬ ¨§ ¨â¥à æ¨®ëå ¬¥â®¤®¢, ¯à¨¬¥¨¬ëå ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ã áá® , ¨ ¤ ¢«¥¨ï pi;j ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ â®çª å á¥âª¨ ¯® ¢á¥© ®¡« áâ¨ ¯®â®ª . à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ç áâ® ãá«®¢¨î ¢â®à®£® à®¤ (â.¥., @p=@n ãª § ® £à ¨æ¥). á«¨ ¤ ¢«¥¨¥ ¥®¡å®¤¨¬® â®«ìª® ¤«ï ãáâ ®¢¨¢è¥£®áï á®áâ®ï¨ï, ãà ¢¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï à¥è ¥âáï â®«ìª® ®¤¨ à §, ¨á¯®«ì§ãï ãáâ ®¢¨¢è¨¥áï § ç¥¨ï . á«¨ ¤ ¢«¥¨¥ âà¥¡ã¥âáï ©â¨ â®«ìª® áâ¥ª¥, ¥â ¨ª ª®© ¯®âà¥¡®áâ¨ à¥è¨âì ãà ¢¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢á¥© ®¡« áâ¨ ¯®â®ª . â ª¨å á«ãç ïå, ¯à¨¬¥ï¥âáï ¯à®áâ®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï áâ¥ª¥, ¨á¯®«ì§ãï â £¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¨¬¯ã«ìá ¢ ¦¨¤ª®áâ¨ ¯® ®â®è¥¨î ª ¯®¢¥àå®áâ¨ áâ¥ª¨. «ï â®£®, çâ®¡ë ¯à®¤¥¬®áâà¨à®¢ âì ¯®¤å®¤, à áá¬®âà¨¬ áâ¥ªã, ¯à ¢«¥ãî ¯® ®á¨ x, ª ª ¯®ª § ® à¨á.7.6. à ¢¥¨¥ ¬®¬¥â ¨¬¯ã«ìá ¢¤®«ì ®á¨ x ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ¦¨¤ª®áâ¨, á¬¥¦®© á® áâ¥ª®©. ¬¥¥¬ @p = @ 2u : (7.84) @x y=0 @y2 y=0 91

¨á. 7.6: ¡®§ ç¥¨¥ ¤«ï â®ç¥ª á¥âª¨ ¢ ¦¨¤ª®áâ¨ ¨ áâ¥¥, ¯à ¢«¥®© ¯® ®á¨ x.

¨á. 7.7: à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ®áâàëå ã£« å.

¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® v = 0, á«¥¤®¢ â¥«ì® @v=@x = 0 ¯®¢¥àå®áâ¨ áâ¥ª¨. â¥¬ íâ®â à¥§ã«ìâ â ¯à¨¬¥ï¥âáï ª ®¯à¥¤¥«¥¨î § ¢¨åà¥®áâ¨, ! = @v=@x @u=@y, ¨ ¯®«ãç ¥¬ ! = @u=@y. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (7.84) § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ â¥à¬¨ å § ¢¨åà¥®áâ¨ ¢ ¢¨¤¥ @p = @! : (7.85) @x y=0 @y y=0 â® ãà ¢¥¨¥ ¤¨áªà¥â¨§¨àã¥âáï, ¨á¯®«ì§ãï æ¥âà «ìãî à §®áâãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ¯à®¨§¢®¤®© ¯® x, ¨ ®¤®áâ®à®¥© ä®à¬ã«®© ¯® âà¥¬ â®çª ¬, § ¤ ®© ãà ¢¥¨¥¬ (2.11) ¤«ï ¯à®¨§¢®¤®© ¯® y. ®«ãç ¥¬ pi+1;0 pi 1;0 = 3!i;0 + 4!i;1 !i;2 : (7.86) 2x 2y ¢¨åà¥®áâ¨ ¢ ¯à ¢®© áâ®à®¥ íâ®£® ¢ëà ¦¥¨ï ï¢«ïîâáï ¨§¢¥áâë¬¨ ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨. ®«ìª® â®£¤ ¬®¦¥â ¡ëâì à ááç¨â ® ¤ ¢«¥¨¥ áâ¥ª å ¨§ ãà ¢¥¨ï (7.86). ¤ ª®, ª®£¤ ¢á¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯® ¤ ¢«¥¨î ï¢«ïîâáï ãá«®¢¨ï¬¨ ¢â®à®£® à®¤ , ª ª ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯®«®áâ¨, £¤¥ áª®à®áâ¨ «®¦¥ë £à ¨æã, ¤®«¦ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ , ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥, ®¤® § ç¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï; ¨«¨ ¤ ¢«¥¨¥ ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«¥® á â®ç®áâìî ¤® ¤¤¨â¨¢®© ¯®áâ®ï®©. 7.4.6. ®à¬ã«¨à®¢ª £à ¨çëå ãá«®¢¨©

â®¡ë à¥è¨âì ãà ¢¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, à áá¬®âà¥ë¬¨ à ¥¥, ¥®¡å®¤¨¬® § ¤ âì £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¥®¡å®¤¨¬ë ¤«ï ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ¯à®æ¥¤ãàë ! ¨ , â ª¦¥ ¨ ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï p. ®ª çâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ãà ¢¥¨ï á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ª®â®àë¥ ¯à¨¬¥ïîâáï ¢ ®¡« áâ¨ ¯®â®ª , ® ¥ ¨áá«¥¤®¢ ë £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï. íâ®© ç áâ¨ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯® ª®¬¯®¥â ¬ áª®à®áâ¨ ¨ ®¡áã¤¨¬ § ¤ ¨¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¯® ¨ !. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯® áª®à®áâ¨. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯® áª®à®áâ¨ § ¢¨áïâ ®â à¥ «ìëå ä¨§¨ç¥áª¨å á¨âã æ¨© ¢ ®¡« áâ¨ ¯®â®ª . «ï ¯®â®ª ¢¤®«ì ¥¯®¤¢¨¦®© ¥¯à®¨æ ¥¬®© áâ¥ª¨, ãá«®¢¨ï ¯à¨¨¬ îâáï ¢ ¢¨¤¥ u = v = 0 ; ¯®¢¥àå®áâ¨ áâ¥ª¨. (7.87) á«¨ áâ¥ ¯¥à¥¬¥é ¥âáï á § ¤ ®© áª®à®áâìî ¨«¨ ï¢«ï¥âáï ¯®à¨áâ®© á ®¯à¥¤¥«¥ë¬ ¢á áë¢ ¨¥¬, ¨«¨ ¦¨¤ª®áâì ¯®áâã¯ ¥â ¢ ¯®â®ª, â® ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï á®®â¢¥âáâ¢¥®. ®á¨ á¨¬¬¥âà¨¨ ¨«¨ ¢ æ¥âà¥ ¯®â®ª , à §¢¨â®£® ¢¤®«ì ®á¨ x, v à ¢® ã«î ¢áî¤ã ¯® ®á¨, á«¥¤®¢ â¥«ì® @v=@x = 0. ª¦¥ u, ¢ á¨«ã á¨¬¬¥âà¨¨, ¨¬¥¥â @u=@y = 0. . ãªæ¨ï â®ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ¨ ¥¥ § ç¥¨¥ ¤®«¦® ã¤®¢«¥â¢®àïâì ãà ¢¥¨î ã áá® (7.55) ¤«ï , â.¥. @2 + @2 = ! ; (7.88) @x2 @y2 à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯®

92

®íâ®¬ã, £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ â®ª ¤®«¦ë ¬®¤¥«¨à®¢ âìáï á®¢¬¥áâ® á ä¨§¨ç¥áª¨¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨, ¨á¯®«ì§ãï ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨§ ãà ¢¥¨© (7.84). ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤«¥¦ é¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© çà¥§¢ëç ©® ¢ ¦®, ¯®â®¬ã çâ® ®¨ ï¢«ïîâáï £à ¨çë¬ ¨ ç «ìë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢¬¥áâ¥ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¯®â®ª , ª®â®àë© ¢ë¤¥«ï¥â á ¬ã ®¡« áâì ¯®â®ª . ¬¥îâáï ¬®£®ç¨á«¥ë¥ ä¨§¨ç¥áª¨¥ á¨âã æ¨¨ â¨¯ ¥¯à®¨æ ¥¬®© áâ¥ª¨, áª®«ì¦¥¨¥ ¢¤®«ì áâ¥ª¨, á¨¬¬¥âà¨¨ £à ¨æë ¨ ãá«®¢¨¥ ¯à¨â®ª , ª®â®àë¥ âà¥¡ãîâ á¯¥æ¨ «ì®£® ¢¨¬ ¨ï. ë ¨áá«¥¤ã¥¬ ¨¦¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ â ª¨å ä¨§¨ç¥áª¨å á¨âã æ¨© ¢ ¢¨¤¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© äãªæ¨î â®ª . (i) ¥¯à®¨æ ¥¬ ï, ¡¥§ áª®«ì¦¥¨ï áâ¥ª ¢¤®«ì ®á¨ x: «ï â ª®© á¨âã æ¨¨ ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ áâ¥ª¥ ¨áç¥§ îâ v = u = 0 ; áâ¥ª¥. (7.89) ¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ â¥à¬¨ å äãªæ¨¨ â®ª § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ¢ëà ¦¥¨ï @ (x; 0) = v(x; 0) = 0 ; (x; 0) = const (7.90) @x ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®áâ¨ áâ¥ª¨ ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ãá«®¢¨¥ ¥¯à®¨æ ¥¬®áâ¨ áâ¥ª¥. ®áâ â ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨à ¢¥ ã«î ¡¥§ ¯®â¥à¨ ®¡é®áâ¨. â®à®¥ ãá«®¢¨¥ u = 0 áâ¥ª¥, ¢ â¥à¬¨ å ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ @ (x; 0) = u(x; 0) = 0 ; (7.91) @y ª®â®àë© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ãá«®¢¨¥ ®âáãâáâ¢¨ï áª®«ì¦¥¨ï áâ¥ª¥. î¡®¥ ¨§ ãá«®¢¨©, § ¤ ëå ãà ¢¥¨ï¬¨ (7.90,b) ¨«¨ (7.90,c) ¬®£ãâ ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ª ª £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï ¢ ãà ¢¥¨¨ ã áá® (7.88); ®, ®¡ ãá«®¢¨ï = 0 ¨ @ =@y = 0 ¥ ¬®£ãâ ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¢¤®«ì â®© ¦¥ á ¬®© £à ¨æë, â ª ª ª íâ® ¡ë ¯¥à¥®¯à¥¤¥«¨«® § ¤ çã. á«®¢¨¥ (@ =@y)wall = 0 âà¥¡ã¥âáï ¤«ï £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï § ¢¨åà¥®áâì !; â®£¤ ª ª ãá«®¢¨¥ wall = 0 ¯à¨ ¤«¥¦¨â ãà ¢¥¨î ã áá® ¤«ï . â® ¥¤¨áâ¢¥®¥ ¯à ¢¨«ì®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ íâ¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨©. (ii) á¨¬¬¥âà¨ç ï £à ¨æ ¢¤®«ì ®á¨ x: ®à¬ «ì ï áª®à®áâì v à ¢ ã«î ¢áî¤ã £à ¨æ¥ á¨¬¬¥âà¨¨. â¥à¬¨ å ¨¬¥¥¬ @ = v = 0; (x; 0) = const (7.92) @x ¢áî¤ã á¨¬¬¥âà¨ç®© £à ¨æ¥. (iii) à¨â®ª (¢¢¥àå ¯® â¥ç¥¨î) £à ¨æë á ¯®áâ®ï®© áª®à®áâìî u0 ¯® ®á¨ y : áª®à®áâì ¯à¨â®ª u0 ¢ â¥à¬¨ å äãªæ¨¨ â®ª § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ @ =u (7.93) @y 0 ¯à¨ x = 0 (â.¥., ¢¢¥àå ¯® â¥ç¥¨î). â¥£à¨à®¢ ¨¥ ãà ¢¥¨ï (7.93) ®â®á¨â¥«ì® y ¨ ¯à¨¨¬ ï ª®áâ âã ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯®áâ®ï®© ¨ à ¢ë© ã«î, ãá«®¢¨¥ ¯à¨â®ª ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ (0; y) = u0y : (7.94) ¤¥áì ¢¥«¨ç¨ u0y ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯®â®ª ¦¨¤ª®áâ¨.

!. à®áâà áâ¢¥®¥ ¨ ¢à¥¬¥®¥ ¨§¬¥¥¨¥ § ¢¨åà¥®áâ¨ ¯® ®¡« áâ¨ ¯®â®ª ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ (7.90). ¢¨åà¥®áâì £¥¥à¨àã¥âáï £à ¨æ å ¡¥§ áª®«ì¦¥¨ï. â® ¤¨ääã§¨®ë© ¯à®æ¥áá á ¯®á«¥¤ãîé¥© ª®¢¥ªæ¨¥© £¥¥à¨àã¥â § ¢¨åà¥®áâì, ª®â®à ï ä ªâ¨ç¥áª¨ ¨ ä®à¬¨àã¥â á ¬ã ¯à®¡«¥¬ã. à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯®

93

«ï áâ¥ë, à®¢®© ¢¤®«ì ®á¨ x á u(x; y) ¨ v(x; y), ®¡®§ ç îé¨¥ ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ ¢¤®«ì ¯à ¢«¥¨© x ¨ y, á®®â¢¥âáâ¢¥®, § ¢¨åà¥®áâì !(x; y) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ x; y) @u(x; y) ; !(x; y) = @v(@x (7.95) @y £¤¥ ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ á¢ï§ ë á äãªæ¨¥© â®ª ¢ ¢¨¤¥ (x; y) : (x; y) ; v(x; y) = @ @x (7.96) u(x; y) = @ @y ¨¬¬¥âà¨çë¥ ¥¯à®¨æ ¥¬ë¥, ¡¥§ ¯à®áª «ì§ë¢ ¨ï, ãá«®¢¨ï áâ¥ª¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë, ä®à¬¨àãï «¨â¨ç¥áª¨¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï. ®£ãâ ¨á¯®«ì§®¢ âìáï à §«¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ¢¢¥àå ¯® â¥ç¥¨î (¯à¨â®ª), ¢¨§ ¯® â¥ç¥¨î (®ââ®ª) ¨ ®áâàë¥ ã£«®¢ë¥ £à ¨. ¤¥áì á ç « ®¡áã¤¨¬ ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¢®§¬®¦®áâ¥© ¤«ï ãá«®¢¨ï ¢¢¥àå ¯® â¥ç¥¨î, ¢¨§ ¯® â¥ç¥¨î ¨ ãá«®¢¨© ®áâàëå £à ïå ã£« ¨ § â¥¬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ à §¢¨â¨¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¤«ï á¨¬¬¥âà¨¨ ¨ ¤¢¨£ îé¥©áï áâ¥ª¨. (i) à¨â®ª £à ¨æ¥ (¢¢¥àå ¯® â¥ç¥¨î). ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¯®¤å®¤®¢ ¨¬¥îâ ®¡ëª®¢¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïâì £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¢¢¥àå ¯® â¥ç¥¨î, ª®â®à®¥ ¢ª«îç ¥â: ®«®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à¨â®ª , ¯à¨¬¥à, ¯à¨¨¬ ï ¯®«®áâìî à §¢¨âë© ¯®â®ª ã §¥©«ï, ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥â ª ª , â ª ¨ !. ®£¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ! = O ¨ § â¥¬ ãáâ ®¢«¨¢ ¥âáï @ =@y = u0, â ª¨¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ! = @ 2 =@y2. ¨ªá¨àã¥âáï , ¯à¨¨¬ ï @v=@x = 0. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬ ! = @ 2 =@y2. (ii) ââ®ª £à ¨æ¥ (¢¨§ ¯® â¥ç¥¨î). á«¨ à áá¬ âà¨¢ ¥¬ë© ãç áâ®ª ¯®¢¥àå®áâ¨ ¤«¨ë©, â® ãá«®¢¨¥ ®ââ®ª ¥ ï¢«ï¥âáï ¢ ¦ë¬; ® ¤«ï ¬ «ëå à ááâ®ï¨© ¬¥¦¤ã ®ââ®ª®¬ ¨ ¯à¨â®ª®¬, ¢ëç¨á«¥¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¬®¦¥â à §¢¨âìáï ¥ãáâ®©ç¨¢®áâì ®â ®ââ®ª ¤® ¯à¨â®ª . ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¯®¤å®¤®¢ ¨¬¥«¨ ®¡ëª®¢¥¨¥ ¬®¤¥«¨à®¢ âì ãá«®¢¨¥ £à ¨æë ®ââ®ª ¢ ¢¨¤¥: ®« ï á¯¥æ¨ä¨ª æ¨ï ãá«®¢¨© ®ââ®ª . â® á ¬®¥ ¡¥§®¯ á®¥ á â®çª¨ §à¥¨ï áâ ¡¨«ì®áâ¨, ® ¥ ¯®¤å®¤ïé¥¥ ¤«ï ®â¤¥«¥ëå â¥ç¥¨©. ¯à¨¬¥à, ¬®¦® ãª § âì ®¤®à®¤ë© ®ââ®ª (¨ ¯à¨â®ª) á® áª®à®áâìî u = const ¨ v = 0. ®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¬¥¥¥ ®£à ¨ç¨â¥«ìë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, ãáâ ®¢¨¢ v = @ =@x = 0 ¨ @!=@x = 0. ®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¬¥¥¥ ®£à ¨ç¨â¥«ìë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ®ââ®ª , ¯®« £ ï @v=@x = 0 2 ¨ @!=@x = 0. á®, çâ® ¯¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥â @ =@x2 = 0 ¯®ª v = @ =@x. (iii) áâàë¥ ã£«ë. à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨© äãªæ¨î â®ª ¨ § ¢¨åà¥®áâì ¢ ®áâà®¬ ã£«¥, à áá¬®âà¨¬ á«ãç ¨ ®áâà®£® ¢®£ãâ®£® ¨ ®áâà®£® ¢ë¯ãª«®£® ã£« , ª ª ¯®ª § ® à¨á.7.7,a,b. «ï ®áâà®£® ¢®£ãâ®£® ã£« C1, ¯®ª § ®£® à¨á.7.7,a, c = 0 ¨ !c = 0, ¥§ ¢¨á¨¬® ®â â®£®, ï¢«ïîâáï «¨ ®¡¥ £à ¨æë áâ¥ª¨ £à ¨æ¥© ¡¥§ ¯à®áª «ì§ë¢ ¨ï ¨«¨ ï¢«ï¥âáï «¨¨¥© á¨¬¬¥âà¨¨. á«ãç ¥ ®áâà®£® ¢ë¯ãª«®£® ã£« C2, ¯®ª § ®£® à¨á.7.7,b, äãªæ¨ï â®ª c = 0 ¨«¨ à ¢ ª®áâ â¥; ¤ ª® § ¬¥â¨¬, çâ® ¢ áâ®ïé¥¥ ¢à¥¬ï áãé¥áâ¢ã¥â ¥áª®«ìª® ¯ãâ¥© ®æ¥ª¨ § ç¥¨© !: ¢¨åà¥®áâì ¢ C2 ¯à¨¨¬ ¥âáï â ª®©, çâ®¡ë ¡ëâì à §àë¢®© (0; y) ; áâ¥ª¥ A ; !c = !A = ( y )2 (x; 0) ; áâ¥ª¥ B : (7.97) !c = !B = ( x)2

¢¨åà¥®áâì ¢ C2 ¯à¨¨¬ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®£® áà¥¤¥£® ¨§ ¤¢ãå § ¢¨åà¥®áâ¥©, § ¤ ëå ãà ¢¥¨ï¬¨ (7.97,a,b), â.¥. (0; y) + (x); 0 : (7.98) !c = ( y )2 (x)2 94

(iv) á¨¬¬¥âà¨ï £à ¨æ¥ ¢¤®«ì ®á¨ x. ®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ v ¢áî¤ã ®«ì £à ¨æ¥ á¨¬¬¥âà¨¨, ¨¬¥¥¬ @v=@y = 0. ®¬¯®¥â áª®à®áâ¨ u á¨¬¬¥âà¨¨ ¨¬¥¥â @u=@y = 0. ®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î § ¢¨åà¥®áâ¨, § ¤ ®© ãà ¢¥¨¥¬ (7.95,a), ¨¬¥¥¬ ! = 0 ; ¢¤®«ì ®á¨ á¨¬¬¥âà¨¨ : (7.99)

à¨¬¥à 7-3. ®«ãç¨â¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï § ¢¨åà¥®áâ¨ ¥¯à®¨æ ¥¬®© áâ¥ª¥, ¯¥à¥¬¥é îé¥©áï á ¯®áâ®ï®© áª®à®áâìî u0 ¯à ¢«¥¨¨ x. ¥è¥¨¥. «ï ¥¯à®¨æ ¥¬®© áâ¥ë ¨¬¥¥¬ v (x; 0) = 0, á«¥¤®¢ â¥«ì® @v (x; 0)=@x = 0. ®£¤ , ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï § ¢¨åà¥®áâ¨, § ¤ ®£® ãà ¢¥¨¥¬ (7.95,a), ¯¨è¥¬ (x; 0) ; (7.100) !(x; 0) = @u@y ¨«¨ ¢ â¥à¬¨ å äãªæ¨¨ â®ª 2 !(x; 0) = @ @y(x;2 0) ; (7.101) «ï â®£®, çâ®¡ë ®æ¥¨âì @ 2 (x; 0)=@y2, à §«®¦¨¬ (x; y) ®â®á¨â¥«ì® â®çª¨ (x; 0) ¢ àï¤ ¥©«®à 2 (x; 0) 1 @ @ ( x; 0) 2 + (7.102) (x; y) = (x; 0) + y @y 2 y @y2 + ::: ª®â®àë© ¯¥à¥£àã¯¯¨àã¥âáï ¢ ¢ëà ¦¥¨¥ @ 2 (x; 0) = 2 [ (x; y) (x; 0) yu ] + O(y) ; (7.103) 0 @y2 (y)2 ¯®áª®«ìªã @ (x; 0)=@y = u0. ®¤áâ ®¢ª ãà ¢¥¨ï (7.103) ¢ (7.101), ¯à¨áâ¥®ç ï § ¢¨åà¥®áâì !(x; O) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª !(x; 0) = (2y)2 [ (x; y) (x; 0) yu0] + O(y) : (7.104) á¯®«ì§ãï ª®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥, ¯®ª § ®¥ à¨á.7.7, ãà ¢¥¨¥ (7.104) áâ ®¢¨âáï !i;0 = (2y)2 [ i;1 i;0 yu0] + O(y) : (7.105) «ï ¥¯®¤¢¨¦®© áâ¥ª¨, íâ®â à¥§ã«ìâ â ã¯à®é ¥âáï (7.106) !i;0 = (2y)2 [ i;1 i;0] : â®â ¯à¨¬¥à â ª¦¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® § ç¥¨¥ áâ¥ª¥ ¥ ¤®áâ â®ç® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï § ¢¨åà¥®áâ¨ áâ¥ª¥; ¥®¡å®¤¨¬ â ª¦¥ ¨ä®à¬ æ¨ï ®â®á¨â¥«ì® @ =@y áâ¥ª¥. à ¨çë¥ á«®¢¨ï ¯® ¤ ¢«¥¨î.

à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯® ¤ ¢«¥¨¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï á ®æ¥ª®© ãáâ ®¢¨¢è¥£®áï ¨¬¯ã«ìá , ãà ¢¥¨ï (7.81) ¨ (7.82) £à ¨çëå ¯®¢¥àå®áâïå. ®à¬ «ìë© £à ¤¨¥â ¤ ¢«¥¨ï @p=@n ®¯à¥¤¥«¥ áâ¥ª¥ ¤«ï ¢á¥å £à ¨çëå ¯®¢¥àå®áâ¥©. ¤ ª®, ãà ¢¥¨¥ ã áá® ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï á £à ¨çë¬ 95

ãá«®¢¨¥¬ ¢â®à®£® à®¤ ¢á¥å ¯®¢¥àå®áâïå áâ ®¢¨âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ â®«ìª® ª ¢ ¯à¥¤¥« å ¤¤¨â¨¢®© ¯®áâ®ï®©; á«¥¤®¢ â¥«ì®, ¥®¡å®¤¨¬®, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥, ®¤® § ç¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï ¤«ï â®£®, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï ¯® ®¡« áâ¨ à¥è¥¨ï. ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥.

à ¢¥¨¥ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ (7.90) ï¢«ï¥âáï § ¢¨á¨¬ë¬ ®â ¢à¥¬¥¨, ¯®íâ®¬ã ¤®«¦® ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥® ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï !. ¤ ª®, ¤«ï ¯à®¡«¥¬, ã ª®â®àëå ãáâ ®¢¨¢è¥¥áï à¥è¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨â¥à¥á, ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ ¬®¦¥â áâ âì ¯à®¨§¢®«ìë¬. ç¥¨ï ª ¦¤ë© à § ¨á¯®«ì§ãîâáï ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®¬¯®¥â áª®à®áâ¨ u ¨ v, ª®â®àë¥ â®«ìª® ¯®â®¬ ¯®¤áâ ¢«ïîâáï ¢ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï á«¥¤ãîé¥¬ ¢à¥¬¥®¬ è £¥. 7.5.

«ï ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨ á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨ ¯à¨ ¨§¢¥áâ®¬ ¯®«¥ áª®à®áâ¨, ¯®«ãç¥®¬ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï, â¥¬¯¥à âãà®¥ ¯®«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï í¥à£¨¨. ¤¥áì à áá¬ âà¨¢ ¥¬ ¥áâ æ¨® à®¥ ãà ¢¥¨¥ í¥à£¨¨ ¤«ï ¤¢ãå¬¥à®£® ¥á¦¨¬ ¥¬®£® ¯®â®ª á ¯®áâ®ïë¬¨ á¢®©áâ¢ ¬¨ ¡¥§ ¢¥è¨å á¨«, § ¤ ëå ¢ ¥ª®á¥à¢ â¨¢®© ä®à¬¥ " # 2T @ 2T ! @T @ @T @T Cp @t + u @x + v @y = k @x2 + @y2 + ; (7.107) £¤¥ { äãªæ¨ï ¤¨áá¨¯ æ¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ¨§ 2 !2 !23 !2 @v @u @u @v (7.108) = 2 4 @x + @y 5 + @x + @y : â¨ ãà ¢¥¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ëà ¦¥ë ¢ ¡¥§à §¬¥à®© ä®à¬¥ # " 2 @ 2 ! E @ @ 1 @ @ Cp @ + U @X + V @Y = Pe @X 2 + @Y 2 + Re ? ; 2 !2 !23 !2 £¤¥ @V @U @V @U ? = 2 4 @X + @Y 5 + @X + @Y ;

(7.109) (7.110)

à §«¨çë¥ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ª U = uu ; X = Lx ; = TT ; = uL0t ; V = uv ; Y = Ly ; Re = u0L ; (7.111) 0 0 ! 0 2 Pe = Re Pr = u0L Ckp = ç¨á«® ¥ª«¥ ; E = C u0T = ç¨á«® ªª à¤ ; p 0 T0 = ¬ áèâ ¡ â¥¬¯¥à âãàë ; L = ¬ áèâ ¡ ¤«¨ë ; u0 = ¬ áèâ ¡ áª®à®áâ¨ : ®á¥à¢ â¨¢ ï ä®à¬ ãà ¢¥¨ï (7.109) ¨¬¥¥â ¢¨¤ # " 2 @ 2 ! E @ @ @ 1 @ (7.112) Cp @ + U @X (U ) + V @Y (V ) = Pe @X 2 + @Y 2 + Re ? ; £¤¥ ? § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (7.110). à ¢¥¨¥ ãà ¢¥¨ï í¥à£¨¨ (7.109) á ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ (7.25) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ®, § ¨áª«îç¥¨¥¬ ¤¨áá¨¯ â¨¢®£® á« £ ¥¬®£®, íâ¨ ¤¢ ãà ¢¥¨ï ¨¬¥îâ âã ¦¥ á ¬ãî ä®à¬ã, á § ¬¥®© ¨ Pe Re. ®íâ®¬ã, ¢á¥ ª®¥ç®-à §®áâë¥ ¢ëà ¦¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ à ¥¥ ¤«ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ ¯à¨¬¥¨¬ë ¤«ï ãà ¢¥¨ï í¥à£¨¨, à áá¬ âà¨¢ ¥¬®£® §¤¥áì. à®¬¥ â®£®, ¯®áª®«ìªã ¤¨áá¨¯ â¨¢ ï äãªæ¨ï ? ¥ § ¢¨á¨â ®â â¥¬¯¥à âãàë, «¨§ ãáâ®©ç¨¢®áâ¨, à §¢¨âë© ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ â ª¦¥ ®áâ ¥âáï ¢ á¨«¥. 96

¤ ç â¥ç¥¨ï, á®¢¬¥áâ® á § ¤ ç¥© â¥¯«®¯à®¢®¤®áâ¨, ª®¬¯®¥â áª®à®áâ¨ U ¨ V , ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ § ¤ ç¨ â¥ç¥¨ï ¨ áâ ¥â ¢å®¤®© ¤«ï ãà ¢¥¨ï í¥à£¨¨. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ í¥à£¨¨ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥® ¤«ï à §®®¡à §ëå â¥¯«®¢ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¨ ¯à¨ à §«¨çëå § ç¥¨ïå Pe ¨ E . á¯®¬¨¬, çâ® § ç¥¨¥ ç¨á« ¥©®«ì¤á ¢«¨ï¥â ¢ëç¨á«¨â¥«ìë© ¬¥â®¤, ª®â®àë© ã¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨. á«ãç ¥ ãà ¢¥¨ï í¥à£¨¨, ç¨á«® ¥ª«¥ ¨£à ¥â âã ¦¥ á ¬ãî à®«ì, ª ª ¨ ç¨á«® ¥©®«ì¤á ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨. á«ãç ¥ £ §®¢, Pr 1, á«¥¤®¢ â¥«ì® Pe = Re Pr = Re, â®£¤ â®â ¦¥ á ¬ë© ¬¥â®¤ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¨¬ ¤«ï à¥è¥¨ï ª ª ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨, â ª ¨ ãà ¢¥¨© í¥à£¨¨. «ï ¥äâ¨ Pr >> 1, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤«ï ¦¨¤ª¨å ¬¥â ««®¢ Pr << 1. ®£¤ à §«¨çë¥ ¢ëç¨á«¨â¥«ìë¥ ¬¥â®¤ë ¢ â ª¨å á«ãç ïå ¤®«¦ë à áá¬ âà¨¢ âìáï ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨ ¨ ãà ¢¥¨ï í¥à£¨¨ ¤«ï ¤ ®£® ç¨á« ¥©®«ì¤á . ®áª®«ìªã ãà ¢¥¨¥ í¥à£¨¨ «¨¥©® ¨ ¥ âà¥¡ã¥â à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ã áá® ¤«ï äãªæ¨¨ â®ª ª ¦¤®¬ ¢à¥¬¥®¬ è £¥, â® ¥®¡å®¤¨¬® ¬®£® ¬¥ìè¥ ¢ëç¨á«¨â¥«ì®£® ¢à¥¬¥¨ ¯® áà ¢¥¨î á à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¥®á § ¢¨åà¥®áâ¨. ª®¥æ, ãà ¢¥¨¥ í¥à£¨¨, ¯à¨¢¥¤¥®¥ ¢ëè¥ ¡¥§ ¤¨áá¨¯ â¨¢®£® á« £ ¥¬®£®, ¬®¦¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì § ¤ çã ¤¨ääã§¨¨ ¬ ááë, ¥á«¨ â¥¬¯¥à âãà § ¬¥ï¥âáï ¬ áá®¢®© ª®æ¥âà æ¨¥© C , ¨ ç¨á«® ¥ª«¥ Pe § ¬¥ï¥âáï ç¨á«®¬ ¬¨¤â Sc. à¨¬¥à 7-4. áá¬®âà¨¬ â¥¬¯¥à âãà®¥ ¯®«¥ ¤«ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨ ¨ â¥à¬ «ì® à §¢¨¢ îé¥£®áï « ¬¨ à®£® ¯®â®ª ¢ãâà¨ ªàã£«®© âàã¡ë ¯à¨ áâ æ¨® àëå ãá«®¢¨ïå. á¥¢ë¥ ¨ à ¤¨ «ìë¥ ª®¬¯®¥âë áª®à®áâ¨ u ¨ v áç¨â îâáï ¨§¢¥áâë¬¨ ¨§ à¥è¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨. ¤ ç ®¡« ¤ ¥â æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© á¨¬¬¥âà¨¥©, ®á¥¢ ï ¯à®¢®¤¨¬®áâì ¢ ¦¨¤ª®áâ¨ ï¢«ï¥âáï ¢ ¦®©, ¢ï§ª ï ¤¨áá¨¯ æ¨ï ¯à¨¨¬ ¥¬ ¥§ ç¨â¥«ì®©. ¯®«ãç¨â¥ ª®¥ç®-à §®áâãî ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î ¤«ï ãà ¢¥¨ï í¥à£¨¨. ¥è¥¨¥. â æ¨® à®¥ ãà ¢¥¨¥ í¥à£¨¨ ¢ æ¨«¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ¨ ¢ ª®á¥à¢ â¨¢®© ä®à¬¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ! @ (uT ) + 1 @ (rvT ) = @ r @T + @ 2T ; (7.113) @x r @r r @r @r @x2

¨«¨ à §«®¦¥¨¥ à ¤¨ «ì®£® ¤¨ääã§¨®®£® á« £ ¥¬®£® ¤ ¥â ! @ (uT ) + 1 @ (rvT ) = @ 2T + 1 @T + @ 2T : (7.114) @x r @r r @r2 r @r @x2 à¨¨¬ ¥¬ ®¡®§ ç¥¨¥ F (x; r) = F (ix; j r ) Fi;j (7.115) £¤¥ F = (T , uT ¨«¨ rvT ). ®¥ç®-à §®áâ®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (7.115) c ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ æ¥âà «ìëå à §®áâ¥© 1 [(uT ) 1 [(rvT ) i+1;j (uT )i 1;j ] + i;j +1 (rvT )i:j 1] = 2x 2j 2r = 2 [Ti;j+1 + Ti;j 1 2Ti;j ] + 2j2 [Ti;j+1 Ti;j 1] + r r + 2 [Ti+1;j + Ti 1;j 2Ti;j ] ; j 6= 0 ; (7.116) x ¡¥ áâ®à®ë íâ®£® ãà ¢¥¨ï ã¬®¦ îâáï 2x=, à¥§ã«ìâ â ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ . ®«ãç ¥¬ ! ! x x 2 2(1 + )Ti;j 1 2 ui+1;j Ti+1;j 1 + 2 ui 1;j Ti 1;j " " ! ! # # 1 1 rj+1 rj 1 2 2 1 + 2j 2 j vi;j+1 Ti;j+1 1 2j 2 j vi;j 1 Ti;j 1 = 0 (7.117) 97

¤®¯ãáâ¨¬ë ¤«ï ¢á¥å ¢ãâà¥¨å ã§«®¢, ¨áª«îç ï j = 0 (â.¥., ®áì á¨¬¬¥âà¨¨) £¤¥ = x=r . à¨ ¡®«ìè¨å § ç¥¨ïå u ¨ v, ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ Ti+1;j ¨ Ti;j+1 áâ ãâ ¯®«®¦¨â¥«ìë¬¨. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (7.116) àãè ¥â íªáâà¥¬ «ì®¥ ¯®«®¦¥¨¥ ¨ ¢ë§ë¢ ¥â ç¨á«®¢ãî ¥ãáâ®©ç¨¢®áâì. «ï â®£®, çâ® ¯à¥®¤®«¥âì íâ¨ âàã¤®áâ¨, á¢ï§ ë¥ á â ª®© ¥ãáâ®©ç¨¢®áâìî, ¬®¦¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï áå¥¬ ¯à®â¨¢ ¯®â®ª ¤«ï ¤¨áªà¥â¨§ æ¨¨ ª®¢¥ªâ¨¢ëå á« £ ¥¬ëå. à ¢¥¨¥ á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨ (7.116) ¥ ¯à¨¬¥¨¬® æ¥âà «ì®© «¨¨¨, j = 0, ¯®â®¬ã çâ® j ¯®ï¢«ï¥âáï ¢ § ¬¥ â¥«¥. â âàã¤®áâì ï¢«ï¥âáï à¥§ã«ìâ â®¬ â®£® ä ªâ , çâ® ª®¢¥ªæ¨ï ¨ ¤¨ääã§¨ï ¢ë§ë¢ ¥â ¢ ãà ¢¥¨¨ í¥à£¨¨ (7.113) ®á®¡¥®áâì ¯à¨ r = 0. â âàã¤®áâì ¬®¦® ¯à¥®¤®«¥âì, ®æ¥¨¢ ï â ª¨¥ á« £ ¥¬ë¥ á ¯®¬®éìî ¯à ¢¨« ®¯¨â «ï á«¥¤ãîé¨¬ ®¡à §®¬. ¤¨ «ìë© ª®¢¥ªâ¨¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ãà ¢¥¨¨ (7.113) à áª« ¤ë¢ ¥âáï 1 @ (rvT ) = T @v + v @T + vT ; r @r @r @r r @v = 0 ; @T = 0 ; ¯à¨ r = 0 ; £¤¥ @r @r vT = lim @ (vT ) = 0 ; ¯®áª®«ìªã ®á¨ v = 0 : (7.118) lim r!0 @r r!0 r ª¨¬ ®¡à §®¬ à ¤¨ «ìë© ª®¢¥ªâ¨¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¨áç¥§ ¥â ¯à¨ r = 0, â.¥. 1 @ (rvT ) = 0 ; ¯à¨ r = 0 : (7.119) r @r « £ ¥¬®¥ (@T=@r)=r, ª®â®à®¥ ¯®ï¢«ï¥âáï ¢ à ¤¨ «ì®© ¤¨ääã§¨¨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (a), ®æ¥¨¢ ¥âáï ¯à¨ r = 0 ª ª: ! 2 1 @ T ; r = 0: @T lim = (7.120) r!0 r @r @r2 ®¤áâ ¢«ïï ãà ¢¥¨© (7.119) ¢ (7.113), ãà ¢¥¨¥ í¥à£¨¨, ¯à¨¬¥¨¬®¥ ¯à¨ r = 0 ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ @ (uT ) = 2 @ 2T + @ 2T ; r = 0 : (7.121) @x @r2 @x2 ®¥ç®-à §®áâ ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ãà ¢¥¨ï (7.121) ¤ ¥â 1 [(uT ) 2 (7.122) i+1;0 (uT )i 1;0] = 2 (Ti;1 + Ti; 1 2Ti;0 ) + 2 (Ti 1;0 + Ti+1;0 2Ti;0) ; 2x r x £¤¥ Ti; 1 { ä¨ªâ¨¢ ï â¥¬¯¥à âãà ¢ ä¨ªâ¨¢®¬ ã§«¥ \-1", ¨ ® à ¢ Ti;1, ¨§-§ á¨¬¬¥âà¨¨. ®íâ®¬ã ¤ «¥¥ § ¬¥ï¥¬ Ti; 1 Ti;1, ã¬®¦ ¥¬ ®¡¥ áâ®à®ë ãà ¢¥¨ï (7.122) 2x= ¨ ¯¥à¥£àã¯¯¨à®¢ë¢ ¥¬ ¢ ¢¨¤¥ ! ! x x 2 (2 + 4 )Ti;0 1 2 ui+1;0 Ti+1;0 1 + 2 ui 1;0 Ti 1;0 4 2Ti;1 = 0 : (7.123) ª¨¬ ®¡à §®¬, ãà ¢¥¨ï (7.117) ¨ (7.123) ®¡à §®¢ë¢ îâ á¨áâ¥¬ã ¢ëà ¦¥¨© á ª®¥çë¬¨ à §®áâï¬¨, ¯à¨¬¥¨¬ë¥ ¤«ï ¢á¥å ¢ãâà¥¨å ã§«®¢ ¢ ®¡« áâ¨ ¯®â®ª .

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Численные методы математической физики. Курс лекций

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