Нелинейные волны : Учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по физ. специальностям

-1

Введем безразмерные переменные v = v/U, p — р/ро, tp = eip/mU2, £ = uje£/U. Тогда уравнение нелинейного осциллятора принимает вид (черту над безразмерными переменными будем опускать) 1

у/Г+^р

"

(8.33)

<Для потенциальной энергии имеем следующее выражение где ро — средняя плотность заряда электронов. На таких временных масштабах ионную компоненту можно рассматривать как неподвижный ионный фон, плотность заряда которого равна — ро. Тогда потенциал ip подчиняется уравнению Пуассона <Рхх =

Р- Ро

(8.30)

Уравнения (8.28)-(8.30) уже встречались в гл. 2 при рассмотрении волн в электронном потоке. В данном случае считается, что невозмущенное движение электронов со скоростью VQ отсутствует, т.е. рассматривается холодная неподвижная плазма. Будем искать решения в виде стационарных волн. Уравнения (8.28) и (8.29) дают

(v-U)v'=

±<рГ,

[(v - U)p}' = 0. Как и прежде, штрихи означают дифференцирование по £ = x—Ut. Проинтегрируем полученные уравнения, считая, что v = 0, ip = 0 там, где р — ро (невозмущенное состояние). Тогда получаем

W = 1 + (р - у/ТТЪр.

(8.34)

Постоянная интегрирования в соотношении (8.34) выбрана так, чтобы W(0) = 0. Форма потенциальной ямы и фазовый портрет осциллятора приведены на рис. 8.14а, б. Заметим, что должно выполняться нераи4 венство ---Щ

нарушение которого соответствует опрокидыванию волны. Физически это объясняется тем, что дисперсия в системе слаба и может остановить укручение лишь в случае, когда энергия возмущения не слишком велика 2 ). Для нахождения точного решения следует проинтегрировать уравнение (8.33) один раз и получить закон сохранения энергии

(8.35)

Рис. 8.14. Потенциальная энергия (о) и фазовый портрет (б) для стационарных ленгмюровских волн

Знак «+» соответствует движению в верхней полуплоскости, знак *~* ;— в нижней. Уравнение (8.31) в безразмерных переменных

(8.32)

) Как и в случае волн пространственного заряда (задача 2.2).

Гл. 8. Стационарные нелинейные волны

148

имеет вид

2

(v - I ) 1 ^ 2 2" Подстановка данного выражения в соотношение (8.35) приводит к уравнению (u-l)t/ = ±\/2E-v2, откуда получаем

J V2E

Таким образом, длина стационарной ленгмюровской волны не заисит от ее амплитуды и равна 2тг в используемых безразмерных временных. 8.7. Стационарные ионно-звуковые волны В отличие от ленгмюровских волн, ионно-звуковые волны свя(аны с медленными движениями ионов [8, 9, 11]. Характерные истоть^при этом не превосходят ионной плазменной частоты u>i u}{ <SC bje). В таком случае можно пренебречь инерцией электроюв, т. е. считать, что при изменении потенциала их концентрация вменяется мгновенно. Тогда для электронной плотности заряда шраведливо распределение Больцмана

(

Вычисляя интеграл, находим решение в неявном виде - vv2 2 -- arcsin

-L= J .

(8.36)

Решение (8.36) представляет собой периодическую нелинейную волну, амплитуда которой равна \рШ (рис. 8.15). Знак «+» соот-

где кв — постоянная Больцмана, Те — температура электронов. Таким образом, система уравнений, описывающая ионно-звуковые волны, состоит из уравнения движения vt + vvx = - — (рх, уравнения непрерывности Pt + {vp)x = О

(8.37)

(8.38)

и уравнения Пуассона, которое теперь принимает вид 4>хх =

-0,5Ь

-i,oL

2л

Зл

4л

Рис. 8.15. Профили стационарных ленгмюровских волн при IE = 0 , 2 5 (1), 0,5 (2), 0,75 (3)

ветствует той части профиля, где v' < 0, «—» — той, где и' > 0. Любопытно, что колебания нелинейного осциллятора (8.33) являются изохронными, т.е. {v - l)dv = /7Г.

Ро ехр

(8.39)

£0

Здесь v, р и М — скорость, плотность заряда и масса ионов. Ионно-звуковые волны уже рассматривались в § 4.4, где полагалось, что концентрация электронов приближенно равна концентрации ионов, что позволило приближенно считать, что левая часть уравнения (8.39) равна нулю; последнее равносильно пренебрежению дисперсией. Поэтому была получена система гиперболических уравнений, имеющая решения в виде простых волн. Теперь исследуем ионно-звуковые волны с учетом дисперсии и покажем, что возможно существование уединенных волн. Переходя к стационарным волнам и интегрируя уравнения (8.37), (8.38), находим (ср. с (8.31), (8.32)) {у - U)2 еу _U2 + 2 М~ 2' U -v

150

Гл. 8. Стационарные нелинейные волны

8.7. Стационарные ионно-звуковые волны

Подставляя эти выражения в уравнение Пуассона (8.39), получаем уравнение нелинейного осциллятора и

Ро

ионного звука6) cs = y~jjr,

(

о н о

151

примет вид (8.43)

U > са,

.е. уединенные волны распространяются быстрее фазовой скорости линейных волн (как следует из линейной теории, vph < cs). г

2

Вводя безразмерные переменные v = v/U, p = р/ро, <р = e(p/MU , £ = &i£/U, T — k'sTe/MU2, приходим к уравнению (черту над безразмерными переменными будем опускать): = ехр

(8-40)

Потенциальная энергия осциллятора равна W = - у/1 - 2ip - Т ехр (<р/Т) +Т+1.

1/2 f

W

(8.41)

j£_

Константа интегрирования выбрана так, чтобы W(0) = 0. Из уравнений (8.40) и (8.41) следует, что должно выполняться неравенство

1/2 ^

А^ 1/2

Рис. 8.16. а — графическое решение уравнение (8.42) при Т > 1; б— потенциальная энергия (8.41) для этого случая Нарушение этого условия, как и в предыдущем случае, означает опрокидывание волны. Исследуем структуру выражения для потенциальной энергии (8.41) подробнее. Состояния равновесия определяются из условия экстремума функции W(tp) и находятся из уравнения l-2ip = ехр (-2(р/Т).

(8.42)

Одно из решений полученного уравнения очевидно: <р — 0. Ответим на вопрос, могут ли быть другие экстремумы. Производная функции ехр( 1 графики функций, стоящие в правой и левой частях уравнения (8.42), пересекаются в некоторой точке ip* < 0, а при Т < 1 в точке (р* > 0. Графические решения уравнения (8.42) и соответствующие формы потенциальной ямы представлены на рис. 8.16, 8.17. В обоих случаях структура потенциальной ямы такова, что возможны решения в виде уединенных волн, которым соответствует движение осциллятора по сепаратрисе седла. Однако при Т > 1 такое решение не будет удовлетворять граничному условию <р —> 0 при £ —> ±оо. Таким образом, следует рассматривать уединенные волны лишь в случае Т < 1. Отметим, что если переписать последнее неравенство в размерных переменных и ввести скорость

Рис. 8.17. a — графическое решение уравнение (8.42) при Г < 1; б— потенциальная энергия (8.41) для этого случая Случаю Т > 1 соответствуют периодические стационарные волны, когда осциллятор колеблется около положения равновесия ip = 0. Однако для существования уединенных волн условия (8.43) еще недостаточно. Необходимо, чтобы W((p = 1/2) > 0. В противном случае происходит опрокидывание волны. Отсюда следует, что 1 + Т(1-ехр(1/2Т)) > 0 . Таким образом, скорость уединенной волны должна лежать в пределах cs < U < Uc, где Uc удовлетворяет уравнению cs

откуда можно найти, что Uc ~ 1, 6c s . ) Это скорость, с которой распространяются линейные волны в динноволновом пределе, когда дисперсия отсутствует (§4.4).

Гл. 8. Стационарные нелинейные

152

8.7. Стационарные ионно-звуковые волны

волны

З а д а ч а 8.1. Рассмотрите задачу о взаимодействии электромагнитного излучения с ансамблем невзаимодействующих идентичных электронов-осцилляторов, движение которых под действием внешнего электромагнитного поля Е подчиняется уравнению е т

(8.44)

153

Оно уже встречалось в § 8.2 при исследовании стационарных решений уравнения мКдВ. Поэтому не будем подробно его анализировать, а сразу найдем решение в виде уединенной волны. Заметим, что для существования таких решений необходимо, чтобы коэффициент при Р в уравнении (8.47) был отрицателен. Таким образом, скорость уединенной волны 'лежит в пределах ,2 „2
Полагая осцилляторы нелинейными, т.е. считая, что

где wo, се = const's, Р — поляризация среды, исследуйте возможные типы стационарных волн 4 ). Решение: Умножая уравнение (8.44) на (—eN), где N — число осцилляторов в единице объема, получаем для поляризации уравнение Дуффинга

скорость линейных волн Будем искать решение в виде

Подставляя его в уравнение (8.47), после несложных вычислений получаем 2U2

2

дР где ft2 =

(8.45)

{e2N)/(me0).

Поле электромагнитной волны в поляризующейся среде подчиняется волновому уравнению Максвелла 2

Э2Е

82Р

дЕ

2

(8.46)

2

с2 dt

дх

(8.48)

(8.49)

2

?-•

З а д а ч а 8.2. Исследуйте возможные типы стационарных волн в нелинейной линии передачи, одно звено которой представлено на рис. 8.18,

Решения в виде стационарных волн зависят от £ = х - Ut и уравнение (8.46) дает ' П2\

'"' \ 77.// _ PI

1

Интегрируя это уравнение с нулевыми граничными условиями на бесконечности, получаем соотношение р

Е

которое после подстановки в уравнение (8.45) приводит к уравнению нелинейного осциллятора U22P TJII 4

пи2 и2-,

Р+

= 0.

(8.47)

) В линейном случае данная задача возникает при построении простейшей классической теории дисперсии света [8; 73, т. 3] Разнообразные нелинейные волновые процессы в данной системе, включая образование и распространение уединенных волн, рассматривались в работе [74].

Рис. 8.18. Звено нелинейной радиотехнической линии передачи причем Q(V) — C§V - СчУ2. Такая зависимость характерна, например, для р — n-диода при обратном смещении. Решение: Обозначая заряд на n-й емкости через Qn, напряжение на ней через Vn, а токи, втекающие в n-й узел и вытекающие из него, через In и 7 п + 1 соответственно, запишем уравнения Кирхгофа

-±

154

Гл. 8. Стационарные нелинейные

волны

Исключая отсюда ток и подставляя зависимость Q{V), ние ние

получаем

уравне-

Со д* В длинноволновом приближении перейдем к непрерывной функции V(x, t) и, разлагая ее в ряд в (n ± 1)-м узлах 22

Vn±1 = V[(n ± IK t) « V(nd) ±d~8V + dd-

2

8

УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА В КОНКРЕТНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ d3 d3V

dA +

~6 & ? 24 (d — период цепочки), приходим к дифференциальному 2

дУ 2

dt

2

2

8V

уравнению

2

д {У )

2

2

дх

dt2

дх

Здесь с 2 = d2/LQC0, a = 2С2/С0, 0 = d2/l2LoCo. волн получаем уравнение

/3V1V + (all2 Y

V

)

Для стационарных

=

которое уже встречалось в § 8.3, где исследовалось уравнение Буссинеска у Поэтому можно сразу записать решение решение в в виде виде уединенной уединенной волны волны 2

V = asech (£/A), где a = 2,{U2 - c2)/aU2, A2 = 120/a.

Глава 9

Уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ), первооткрывателями которого считают обычно Кортевега и де Вриза..., описывает распространение волн на воде при малой дисперсии и малой нелинейности. Оно служит модельным уравнением для любой физической системы с приближенным дисперсионным соотношением между частотой и волновым числом вида ш/к = со(1 — /ЗА:2) и слабой квадратичной нелинейностью. ...найдено много родственных эволюционных уравнений, каждое из которых соответствует балансу между некоторого вида дисперсией (или изменением дисперсии в случае эволюции волнового пакета) и слабой нелинейностью в подходящей системе отсчета. Эти уравнения имеют свойства, аналогичные свойствам уравнения КдВ. Дж. Майлс. Уравнение Кортевега-де Вриза (исторический очерк).—В кн.: «Современная гидродинамика. Успехи и проблемы» (М.: Мир, 1984. С. 186)

Как уже не раз отмечалось, уравнения типа КдВ или Бюргерса играют в теории нелинейных волн чрезвычайно важную роль при изучении слабонелинейных длинноволновых процессов в средах с дисперсией и (или) диссипацией. Многие системы самой разной физической природы в определенном приближении описываются подобными уравнениями. В этой главе будет подробно изложен метод, позволяющий регулярным образом получать «длинноволновые» уравнения в конкретных задачах. Он является разновидностью теории возмущений и известен как редуктивный метод возмущений (reductive perturbation method) l ). В отечественной литературе иногда используется более содержательное название «метод медленно меняющегося профиля» [10]. Его сущность состоит 1 ) Это название связано с тем, что он позволяет редуцировать исходную систему уравнений к более простому эталонному уравнению.

156

9.1. Ионно-звуковые волны в плазме

Гл. 9. Уравнение Кортевега-де Вриза

во введении новых пространственного и временного масштабов позволяющих естественным образом описывать длинноволновые процессы. Разнообразные примеры можно найти, в частности, в книгах [13, 75], а более подробную информацию о методах возмущений — в [76]. Ниже получение уравнения КдВ, а также некоторых других «длинноволновых» уравнений (мКдВ и Бюргерса) будет рассмотрено на конкретных физических примерах, относящихся к физике плазмы, газо- и гидродинамике, радиофизике.

дисперсионное соотношение (9.4) становится таким: ш

что

9.1. Ионно-звуковые волны в плазме

vt

(9.1)

vvx =

4>xx = — U e x p e0 I

fc3

, U

L

(9.8)

Случай, когда к настолько мало, что можно ограничиться лишь первым членом этого разложения (ионно-звуковые волны распространяются бездисперсно), был рассмотрен в §4.4. Покажем, что учет эффектов дисперсии в первом приближении приводит к уравнению КдВ. Полагая нелинейность слабой, будем искать решения в виде рядов по степеням малого параметра е

(9.2)

Pt + (pv)x = О,

If

2

" l + fc '

В области длинных волн (малых к) его правую часть можно разложитьТряд и получить для волн, распространяющихся вправо,

U)

Начнем с примера, который уже рассматривался в §8.7, где исследовались уединенные ионно-звуковые волны. Покажем, что в определенном приближении они описываются уравнением КдВ. Исходная система уравнений, которая была получена в § 8.7, имеет вид

157

1=1

-P

(9.3)

v =

(9.9)

Нетрудно показать, что линейные ионно-звуковые волны описываются дисперсионным соотношением (9.4) где cs = ^/к-вТе/М — скорость ионного звука, го = \/еоквТе/еро — радиус Дебая, определяющий характерный масштаб, в пределах которого плазму уже нельзя считать квазинейтральной. Отметим, что cs = Ш{Гп, где U{ = л/epo/soM — ионная плазменная частота. Введем безразмерные переменные t' = ш$, х' — x/rv, v' = = v/cs, p' = р/ро, ip' = е<р/квТе. Тогда уравнения (9.1)-(9.3) принимают вид (штрихи над безразмерными переменными будем опускать) vt + vvx = -<рх,

(9.5)

Pt + {pv)x - О,

(9.6)

<рхх = exp (ip) - р,

(9.7)

причем

-> оо при |х| -> оо. Это означает, что на беско-

afiiS. граничные 'условия в виде ™™Ч£££°

£

стояния. Рассмотрим длинные волны, т.е. будем с ч и т а т ь ' ^ т 0 к = £*>х, где х - величина порядка единицы. Показатель , определим позднее. Подсчитаем фазу волны в = ut - кх. L учетом дисперсионного соотношения (9.8) получим, что k3t

в = k{t - х) - — = e p x { t - x ) -

(9.10)

Выражение (9.10) подсказывает, каким образом ввести новые пространственную и временную переменные, а именно т=

(9.11)

158

Заметим, что при этом осуществляется переход в систему координат, движущуюся со скоростью cs (в принятой нормировке она равна единице). Следовательно, новую пространственную переменную нужно вводить таким образом, чтобы совершался переход в систему отсчета, которая движется с фазовой скоростью линейных волн в пределе к —>• 0. Это преобразование гарантирует медленность изменения профиля волны. Подставим соотношения (9.9), (9.11) в уравнения (9.5)-(9.7) и выделим члены одинаковых порядков малости. Обратимся вначале к уравнению (9.5). Получим cP+l

•

159

9.2. Ленгмюровские волны

Гл. 9. Уравнение Кортевега-де Вриза

_ ,

(9.12)

яия и подстановки соотношений (9.15) приводит к уравнениям «1

-V2 + ¥>2 + у = О, -Р2 + V2 + v\ = О,

~¥»2 + Р2 - у = 0. Отсюда находим, что v\ = 0. Следовательно, единственный вариант, дающий нетривиальное решение в первом порядке, состоит в том, чтобы выбрать З р + 1 = р + 2, 2 р + 1 = 2, т. е. р = 1/2. Тогда из уравнений (9.12)—(9.14), выражая р\ и щ через v\ с помощью (9.15), получаем

Зр+1

=0,

f)

(9.16)

Уравнение (9.6) дает (9.17) (9.13)

~P2i3p+1

e

:

Pw

= 0.

Остается исключить отсюда i>2, P2 и <^2- Продифференцируем уравнение (9.18) по £ и сложим полученное с (9.16). Будем иметь

Из уравнения (9.7) получаем

= 0.

+ Ри

-2 . £2р+1

••

(9.14)

Складывая это уравнение с (9.17), получаем уравнение КдВ 1

¥>i«.

Очевидно, что p > 0. Тогда понятно, что члены порядка ep+l в выражениях (9.12), (9.13) и члены порядка е в выражении (9.14) не могут быть одного порядка малости с какими-либо другими членами в этих уравнениях. Следовательно, их необходимо приравнять к нулю, что после интегрирования с учетом граничных условий дает pi=vx=

(9.18)

ipi.

(9.15)

Если предположить, что Зр -I- 1 > р + 2, 2р + 1 > 2, то необходимо приравнять к нулю члены порядков ер+2 в выражениях (9.12), (9.13) и члены порядка е 2 в (9.14), что после интегрирова-

(9.19)

солитоны которого приближенно соответствуют уединенным волнам, рассмотренным в § 8.7, в случае, когда нелинейность является слабой, а скорость U незначительно превышает cs.

9.2. Ленгмюровские волны в тонком плазменном цилиндре Следующий пример также позаимствован из физики плазмы. В § 8.6 рассматривались плоские ленгмюровские волны в безграничной плазме, когда единственно возможным типом стационарных решений являются периодические волны с укрученным передним фронтом. Выясним, к каким эффектам может привести поперечная ограниченность системы.

160

Гл. 9. Уравнение Кортевега-де Вриза

9.2. Ленгмюровские волны

Будем рассматривать тонкий плазменный цилиндр, располагающийся вдоль оси цилиндрической металлической трубы, радиус которой R много больше радиуса плазмы. Плазма помещена в сильное продольное магнитное поле, препятствующее поперечному движению электронов. Нелинейные волны в такой системе исследовались теоретически и экспериментально в работе [77]. На металлической поверхности, которая считается идеально проводящей, продольная компонента электрического поля должна равняться нулю. Ограничимся рассмотрением аксиально-симметричных возмущении. Тогда решение для потенциала в области свободной от плазмы можно представить в виде разложения по собственным модам системы <р(г,х) = где х — продольная координата, г — радиальная, Jo — функция Бесселя нулевого порядка, к±п — корни уравнения Jo {k±nR) = 0. Следуя авторам [77], предположим, что в слабонелинейном случае доминирует низшая поперечная мода (p(r, x) «
(9.20)

где к}_ и 2,405/i?. Такое предположение, в общем, согласуется с экспериментальными данными. Запишем уравнение Пуассона внутри плазменного цилиндра в виде d2ip(r,x) 1 2 дх ' £о где Aj_ — оператор Лапласа по поперечным координатам, ро — плотность заряда неподвижных положительных ионов (ионного фона). Подставляя сюда соотношение (9.20) и учитывая, что внутри плазмы г -С R, так что JQ (k±r) « 1, получим (9.21) Таким образом, исходная система уравнений состоит из уравнения (9.21), а также уравнений движения и непрерывности, которые остаются без изменений, т.е. vt

vvx = — <рх, m

pt + (pv)x = 0.

(9.22) (9.23)

161

приводит к качественным изменениям в поведении системы. Прежде всего заметим, что линейные волны описываются дисперсионным соотношением (9.24) где u>e — электронная плазменная частота. В области к переходит в дисперсионное соотношение

к±_ оно

ш2 = ш2е для ленгмюровских колебаний в холодной безграничной плазме. Нас интересует, наоборот, область длинных волн к <S k±, где можно разложить правую часть уравнения (9.24) в ряд и получить, что

ш

о 1.3

(9.25)

Такой закон дисперсии характерен для уравнения КдВ. Введем безразмерные переменные v = V/VQ, p' = р/ро, ' — = e(p/mvQ, t' = u>et, x' — uex/vo, где VQ = и)е/к± — фазовая скорость в пределе к -¥ 0. Тогда уравнения (9.21)-(9.23) примут вид vt + vvx =
(9.26)

Pt + {pv)x = 0,

(9.27)

(рхх-Ч> = р-1,

(9.28)

а дисперсионное соотношение совпадает с соотношением (9.8). Как и прежде, будем искать решение в виде рядов (9.9). Соображения, в соответствии с которыми вводятся новые пространственный и временной масштабы, в данном случае ничем не отличаются от приведенных в § 8.2. Поэтому сразу запишем т

_

3 е

/2£

£ = ell'i{x — t).

(9.29)

Перейдем в уравнениях (9.26)-(9.28) к переменным (9.29) и подставим туда разложения (9.9). Тогда члены порядка е 3 / 2 в уравнениях (9.26), (9.27) и члены порядка е в (9.28) приводят к уравнениям

Единственное отличие от уравнений, рассмотренных в § 8.6, состоит в наличии члена — к\<р в уравнении Пуассона. Однако это 6 H.M. Рыскин, Д.И. Трубецков

162

Гл. 9. Уравнение Кортевега-де Вриза

Проинтегрировав первые два уравнения с нулевыми граничными условиями на бесконечности, получим vi=pi

Коэффициент /3 выберем так, чтобы дисперсионное уравнение системы (9.34), (9.35) совпадало с точным соотношением

Члены порядка е 5 / 2 в уравнениях (9.26), (9.27) и члены порядка е 2 в (9.28) дают

(9.36)

= gkth(kH)

(9.30)

= -
163

9.3. Гравитационные волны на мелкой воде

при кН <С 1 с точностью до членов второго порядка малости. Разлагая в уравнении (9.36) ih(kH) в ряд и извлекая корень, получаем

(9.37)

и) и у/д~Н [ к -

+ PIT

= о,

(9.31)

= 0,

(9.32)

- ^2 - Р2 = 0.

(9.33)

Выражая tp\, p\ через v\ с помощью соотношений (9.30), дифференцируя уравнение (9.33) по £ и вычитая результат из уравнения (9.31), получим

Теперь линеаризуем уравнения (9.34) и (9.35), полагая v — v, h = = Н + h, где v, h — малые возмущения: щ + ghx + f3hxxx

= 0,

ht + Hvx = 0. Полагая v, h ~ exp \i(ujt — kx)], находим дисперсионное соотношение 9 Извлекая корень, приближенно получаем следующее выражение:

Складывая получившееся уравнение с уравнеием (9.32), приходим к уравнению КдВ 3 «1т + -j,

U)

Сопоставляя его с соотношением (9.37), находим, что

В экспериментах, описанных в [77], наблюдались уединенные ленгмюровские волны, поведение которых находилось в качественном соответствии с поведением решений уравнения КдВ.

Введем безразмерные переменные = 77,

9.3. Гравитационные волны на мелкой воде Вывод уравнения КдВ для волн на поверхности воды является довольно громоздким, так как требуется выполнить большую предварительную работу, чтобы привести исходные уравнения к виду, удобному для применения методов теории возмущений. Кроме того, эта задача достаточно подробно описана в литературе [13, 25]. Поэтому поступим следующим образом. Рассмотрим уравнения «мелкой воды», полученные в § 4.3, и добавим в первое уравнение член, пропорциональный hxxx. Тогда vvx

ghx + /3hxxx = 0,

ht + {hv)x = 0.

(9.34) (9.35)

*' — 4/77*'

х

— и-

Тогда уравнения (9.34) и (9.35) принимают вид щ + wx + hx + - hxxx

= 0,

(9.38)

О

Ы + {hv)x = 0.

(9.39)

Введем новые независимые переменные £ = е ' {х — t), т = е и будем искать решение в виде рядов

г=1

t

9.4. Волны в нелинейной линии передачи

Гл. 9. Уравнение Кортевега-де Вриза

164

где wo = 1/>/ЕоЦ), d — расстояние между узлами цепочки. В длинноволновом пределе (Ы < 1)

Подставляя их в уравнения (9.38), (9.39), получаем З/2

е

{

_

щ

+

ы

165

£5/2 f w

+ . . . = О, . . . = 0.

« u* (kd -

(9-43)

24

Таким образом, дисперсия в данной цепочке действительно характерна для уравнений КдВ и мКдВ. Переходя к длинноволновому пределу, введем непрерывные функции Цх,£), V(x,t) и запишем уравнения (9.41), (9.42) в виде

Приравнивая к нулю члены порядка £ 3 ' 2 , находим, что (9.40)

Члены порядка £5//2 дают VXT

C0Vt - {CjVJ)t = -dlx - у Ixx - у

+/ + ^

+ ?

°

где j ; = 2 или 3. Удобно исключить отсюда / перекрестным дифференцированием, что дает

- h2t + V2l = 0.

Складывая эти уравнения, с учетом (9.40) получаем уравнение КдВ 3

+

a - {CjV')tt

2

= -г- (d Vxx + ^ Vxxxx + ...Y

(9.44)

1

+

Членами, содержащими производные шестого порядка и выше, будем пренебрегать в силу их малости. Введем безразмерные переменные

°

9.4. Волны в нелинейной линии передачи Радиотехнические линии передачи, содержащие нелинейные элементы, являются весьма удобными объектами для изучения различных нелинейных волновых процессов [8]. Вернемся к модели, которая обсуждалась в гл. 8 (задача 8.2). Рассмотрим цепочки с квадратичной (Q{V) = CQV — C2V2) и кубичной (Q{V) = = CQV — C3V3) нелинейностями и покажем, что длинноволновые возмущения описываются, соответственно, уравнениями КдВ и мКдВ. Уравнения Кирхгофа, описывающие данную систему, имеют вид Q -Q^-

Ixxx

= Vn-i — Vn,

dQn _ dt = In~

vtt-vxx-{v^)tt--vxxxx

(9.42)

= o,

(9.45)

а закон дисперсии (9.43) описывается соотношением

(9.41)

Нетрудно показать, что линейные возмущения распространяются в соответствии с дисперсионным соотношением

J2 = \w\ sm2(kd/2),

для j = 2 или 3 соответственно. Тогда уравнение (9.44) принимает вид (штрихи у безразмерных переменных опускаем)

24' Как обычно, перейдем в уравнении (9.45) к новым переменным 3p

т = e t, £ = ep{x-t), тогда -2

%

+ y2 Vm)

s 6 p (V - Vi)TT = 0. (9.46)

166

9.4. Волны в нелинейной линии передачи

Гл. 9. Уравнение Кортевега-де Вриза

Будем искать решение в виде ряда (9.47) Начнем со случая j = 2. Подстановка (9.47) в уравнение (9.46) дает

167

,». З а д а ч а 9.1. В задаче 8.1 рассматривалось распространение электромагнитной волны в среде из нелинейных осцилляторов. Получите для этой системы уравнение мКдВ в длинноволновом приближении и сравните его солитонные решения с уединенными волнами, найденными в задаче 8.1. Решение: Исходные уравнения, описывающие данную систему, были получены в гл. 8: Ехх-с-2Еи

= 1л0Рп,

(2Vi Va)

> = U2e0E,

(9.48) (9.49)

2 п о = e N , N — число осцилляторов в единице объема. Вначале

•

(V2 - V?)TT

- . . . = 0.

Для получения нетривиального решения в первом порядке, очевидно, необходимо положить Ар + 1 = 2р + 2, что дает р = 1/2. Таким образом,

7Л 7Л.С0 7Л.С0

рассмотрим линейные волны (а = 0). Выбирая Е, Р ~ exp [i(u>t — kx)], из уравнений (9.48), (9.49) получим дисперсионное соотношение

{ь? - ul) {J1 - с2к2) =

(9.50)

Дисперсионная диаграмма представлена на рис. 9.1. Очевидно, что интересующий нас характер дисперсии имеет нижняя ветвь. Найдем фачто после интегрирования по £ приводит к уравнению КдВ

*т + £ W V ^ Vi«< = 0. Перейдем теперь к случаю j = 3. Из уравнения (9.46) получаем

Рис. 9.1. Дисперсионная диаграмма задачи о распространении электромагнитной волны в среде из электронов-осцилляторов зовую скорость в длинноволновой области, считая w2 « WQ. Тогда из уравнения (9.50) получаем

- ... = 0. В данном случае необходимо положить 2р + 3 = 4р + 1, что дает р = 1. Тогда для Vi получается уравнение мКдВ

\

= 0-

и «

Шоск

= = Uck.

Из результатов § 9.3 следует, что для получения уравнения мКдВ нужно выбрать р = 1. Таким образом, новые пространственная и временная переменные имеют вид € = £ ( * - Uct),

т = e3t.

168

Гл. 9. Уравнение Кортевега-де Вриза

9.5. Газовая динамика и уравнение Бюргерса

Переходя в уравнениях (9.48) и (9.49) к переменным £, т и отыскивая решение в виде рядов

t=i

Решение уравнения мКдВ в виде солитона было получено в § 8.3. В данных обозначениях оно имеет вид

где

получаем

2

U)

-.2 _ ^

)

2

ш

2

2

169

2

((С/ - с ) Еш + £ РШ - 2UcElTi - El

)

PlTi

+ ... =

-

(9.56)

0

(9.51)

3

Uc(c2

(9.55)

2

+ wfcP + t/ Pi«) + ... = 0. (9.52) Члены порядка е 3 в (9.51) и порядка е в (9.52) дают связь между £, и Pi, а именно:

Здесь U = const — скорость солитона. Нетрудно показать, что полученные в задаче 8.1 выражения (8.49), (8.50) для амплитуды и ширины уединенной волны переходят в (9.55), (9.56), если в них положить U -4 Uc + U', U' •€. Uc. Таким образом, уравнение (9.54) справедливо в случае, когда скорость уединенной волны незначительно превышает критическую. Сравнение решений исходных уравнений (9.48), (9.49) и уравнения мКдВ (9.54) при помощи численного моделирования проведено в статье [74].

9.5. Газовая динамика и уравнение Бюргерса (9.53) Члены порядка е 5 в (9.51) и порядка е 3 в (9.52) приводят к следующим уравнениям: 2

(U? - с ) ЕШ +

- 2UcElri

- Ш PlTi = 0,

и>%Р3 - е0П2Е3 + u20aPf + U2Pm

= 0.

Первое уравнение проинтегрируем по £ с учетом нулевых граничных условий на бесконечности, а второе — продифференцируем. Кроме того, выразим Ei через Pi при помощи соотношения (9.53). Тогда получим

Рассматриваемый в настоящей главе метод медленно меняющегося профиля применим не только к диспергирующим системам, но и к системам с диссипацией. В последнем случае он приводит к уравнению Бюргерса. Различные решения этого уравнения подробно обсуждались в гл. 5, где, однако, не было показано, как оно возникает в конкретных физических задачах. Обратимся к уравнениям газовой динамики, которые уже рассматривались в §4.3. Система уравнений, которую примем в качестве исходной, будет состоять из уравнения движения с учетом вязкости (Vt + VVX) =

Исключая отсюда Е 3 , Рз при помощи несложных алгебраических преобразований, получаем уравнение мКдВ

T]VXX,

(9.57)

и непрерывности Pt + {pv)x

= 0.

-

= 0.

(9.58)

Здесь р — плотность газа, v — скорость, р — давление, г\ — коэффициент вязкости. Давление связано с плотностью уравнением состояния р = хр<.

(9.59)

Конечно, в данном случае течение нельзя считать изэнтропийным. Однако в акустической волне изменения энтропии малы и в рамках интересующего нас приближения можно воспользоваться уравнением (9.59) [37]. Ограничиваясь слабонелинейными

170

9.5. Газовая динамика и уравнение Бюргерса

Гл. 9. Уравнение Кортевега-де Вриза

процессами, разложим давление в ряд Тейлора вблизи невозмущенного состояния р = ро с точностью до квадратичных членов 2

(р - р 0 ) + ... ,

2

V = Ро + с (р - р 0 ) +

( = ер{х -t),

(9.60)

где cs = dp/dp — скорость линейных звуковых волн. Вначале рассмотрим распространение линейных волн. Линеаризуя уравнения (9.57), (9.58) по малым возмущениям v, р и полагая, что v, р ~ exp [i{u>t — kx)],

2

= с23к2 + ^-шк2.

(9.61)

Таким

т = e2pt.

Подставляя в уравнения (9.64), (9.65) разложения

г=1

и переходя к переменным ^, т, получаем

ep+1

получаем дисперсионное соотношение ш

Полагая к = ерх, получаем 9 = epx{t - х) + ie2px2t/2. образом, новые переменные следует выбрать в виде

171

{- iz + Рц) + ер+2

{-

(7 ~

Ро Рассмотрим случай слабой диссипации, когда второй член в правой части уравнения (9.61) мал, тогда для волн, распространяющихся вправо, получим, что

. . . = 0,

2

iuk IV

csk

(9.62)

2 '

где v ~ т\1'ро — кинематическая вязкость. Чтобы выяснить, как в данном случае следует ввести переменные £, т, подсчитаем фазу

в = wt — кх = к (cst — х) +

iukH

(9.63)

Введем безразмерные переменные v =

cs ро v и Тогда уравнения (9.57) и (9.58) с учетом (9.60) принимают вид

Pt + (Р«)х = 0, а соотношение (9.63) запишется так:

Pi

(9.66)

Для получения нетривиального решения в первом порядке необходимо выбрать р = 1, чтобы 2р + 1 = р + 2. Таким образом, члены порядка е 3 с учетом (9.66) дают

(7 -

t' = —

р (Vt + vvx) = - \р + ( 7 -

Члены порядка e p + 1 после интегрирования с нулевыми граничными условиями на бесконечности дают

(9.64) (9.65)

V\T + 2У1Уц - P2Z. + «2« = 0,

Складывая эти уравнения, получаем уравнение Бюргерса «1т

(9.67)

Более строгий вывод, учитывающий, в частности, непостоянство энтропии, дан в книге [12]. Заметим, что вместо дисперсионного соотношения (9.63) можно с той же степенью точности записать

172

* Гл. 9. Уравнение Кортевега~де Вриза

Тогда в = (j(t- x/c) координату и время т =

- ivu2x/2c3s. ecs{cst-x)

Если ввести безразмерные v 2

e csx

то можно получить уравнение Бюргерса в иной форме

'7+Л

1

Глава 10 (9.68)

В таком виде уравнение более удобно для анализа задачи с граничным условием (задачи о распространении сигнала).

ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ ... хотелось бы ...отметить замечательную изобретательность различных исследователей, которым мы обязаны достижениями последних лет. Полученные результаты в огромной степени способствовали изучению нелинейных волн и нелинейных процессов в целом. Различные подходы уже внесли ценнейший вклад в арсенал «математических методов», но главные открытия, несомненно, еще впереди. Немаловажный урок состоит в том, что точные решения все еще окружают нас со всех сторон и не всегда следует сразу устремляться на поиски малого е. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны (М.: Мир, 1977. С. 591)

Нелинейные уравнения в частных производных, на которых основывается математическое описание процессов распространения волн, являются весьма сложными для исследования объектами. Тем не менее, для большинства эталонных уравнений, таких как уравнения КдВ, мКдВ, Буссинеска, Sin-Гордона, нелинейное уравнение Шрёдингера и др., оказалось возможным разработать чрезвычайно мощные методы аналитического решения, которые позволяют, по крайней мере, в принципе, получать точные решения при произвольных начальных условиях. Данная глава кратко знакомит с этими методами, центральное место среди которых занимает метод обратной задачи рассеяния. Конечно, наше изложение будет довольно поверхностным. Для более глубокого ознакомления с математическими методами решения «солитонных» уравнений можно порекомендовать такие книги, как [13-15, 25, 78]. Следуя исторической традиции, основные идеи продемонстрируем на примере уравнения КдВ щ + 6гшх + иххх

= 0.

Такая форма записи наиболее удобна для наших целей.

(10.1)

174

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений

Весьма важную информацию о свойствах нелинейных волновых уравнений можно почерпнуть, анализируя их законы сохранения, которые представляют собой соотношения вида Pt + Qx = 0, причем Р называется сохраняющейся плотностью, a Q — соответствующим потоком. Мы уже неоднократно обращались к этой теме в предыдущих главах. Рассмотрим для уравнения КдВ (10.1) задачу с нулевыми граничными условиями на бесконечности. Очевидно, что оно само по себе представляет закон сохранения

± 7 w dx = 0,

(10.4)

dt J

—оо оо —оо

разим теперь w через и в виде ряда по степеням е: 2

w = u)o(«) + ewi(u) + e w2{u) + ...

(10.5)

3

+ \2и + иихх - ^-) =0.

Подстановка выражения (10.5) в (10.2) дает

Физический смысл этих соотношений понятен: например, применительно к волнам на поверхности воды они означают сохранение массы и импульса. В середине 60-х годов различными исследователями было обнаружено более десяти независимых законов сохранения, большинство из которых не имело очевидной физической интерпретации [79], и было высказано предположение, что их число неограниченно. Подтвердить эту гипотезу удалось Р. Миуре [80], который обнаружил, что преобразование приводит к модифицированному уравнению КдВ для функции v 2

vt + 6v vx + vxxx = 0. Заметим, что обратное утверждение несправедливо. Этот факт, сам по себе достаточно примечательный, имеет ряд удивительных следствий. Мы рассмотрим здесь несколько более общий вариант преобразования Миуры, предложенный Гарднером: 2

2

и - w + iewx + e w ,

(10.2)

где е — произвольный параметр. Нетрудно показать, что подстановка выражения (10.2) в уравнение (10.1) дает 2

wo = и, wi — — ш х ,

w2 - -ихх

- и2,

-k = 0.

Wn+2 к=0

Очевидно, что в силу произвольности е из условия (10.4) следует

2

и — v - ivx

щ + 6иих + иххх =

(10.3) ги + e2w2)wx + wxxx = 0. wt Поскольку для функции w граничные условия на бесконечности также нулевые, интегрирование уравнения (10.3) по всей оси х приводит к закону сохранения

т.е. величина I = f w dx является интегралом движения. Вы-

= 0.

Можно найти и другие законы сохранения. Например, умножив уравнение (10.1) на и, нетрудно получить

yj

175

Итак, функция w удовлетворяет уравнению

10.1. Законы сохранения уравнения КдВ и преобразование Миуры

щ + (Зь2 + uxx)x

10.1. Законы сохранения уравнения КдВ

А

оо Г

— / wn{u)dx = 0 —00 для всех степеней е. Поскольку ряд (10.5) бесконечен, один закон сохранения для уравнения (10.3) дает бесконечное число интегралов движения для уравнения КдВ (10.1) оо

1п=

wn{u)dx.

д\

1 + е w + ie— x ох )

х (wt + 6(w + £2w2)wx + wxxx) = 0.

Для нечетных п интегралы тождественно равны нулю, однако четные приводят к нетривиальным сохраняющимся величинам, не-

176

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений

сколько первых из которых имеют вид

00

/ 0 = / udx, -00 00

-f.

dx,

оо

Из классической механики известно, что гамильтонова система с N степенями свободы, имеющая N независимых интегралов движения, является интегрируемой и допускает точное решение путем введения переменных «действие-угол». Естественно возникает вопрос: что означает наличие бесконечного числа законов сохранения для системы с бесконечным числом степеней свободы*)? Оказалось, что в этом случае имеется возможность получения точного аналитического решения уравнения (10.1) при помощи метода, открытого в 1967 г. Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [82] и получившего название метода обратной задачи рассеяния.

10.2. Метод обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ

177

утвердился термин «метод обратной задачи рассеяния». Аналогия с квантовой механикой является чисто формальной, носит математический, а не физический характер. Последующие обобщения Метода обратной задачи на широкий класс нелинейных волновых уравнений оказались свободными от квантовомеханической интерпретации. Тем не менее, именно эта аналогия позволила авторам [82] преодолеть существенные математические трудности, встретившиеся на их пути. Итак, уравнение (10.6) представляет задачу на собственные значения для оператора d2/dx2 + u(x), причем ее нетривиальное решение ф(х) называется собственной функцией, а соответствующее А — собственным значением оператора. Подобные задачи играют большую роль в квантовой механике, так как собственные значения интерпретируются как значения, которые может принимать физическая величина [83]. Совокупность всех возможных собственных значений называется спектром оператора. С точки зрения квантовой механики функция ф(х) в уравнении (10.6) представляет собой волновую функцию частицы, движущейся в силовом поле с потенциалом V = —и(х), или, как говорят, рассеивающейся на потенциале V. Далее ограничимся рассмотрением случая, когда и{х) достаточно быстро стремится к нулю на бесконечности. Более строго, необходимо выполнение условия (см., например, [13]) оо

10.2. Метод обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ

x2)u2{x)dx

Вернемся к преобразованию (10.2). При помощи подстановки еф оно приводится к виду

Фх

Х)ф = О,

< оо.

/

(10.6)

где А = 1/4е2. Уравнение (10.6) аналогично стационарному квантовомеханическому уравнению Шрёдингера с потенциалом V = = — u(x, t) и энергией А, причем время t входит в него просто как параметр. Используя идеи и математический аппарат квантовой механики, авторы [82] разработали метод точного решения уравнения КдВ, названный ими обратным преобразованием рассеяния (inverse scattering transform). В отечественной литературе ') Интерпретация уравнения КдВ как полностью интегрируемой бесконечномерной гамильтоновой системы принадлежит В.Е. Захарову и Л. Д. Фаддееву [81].

В этом случае спектр отрицательных собственных значений будет дискретным, а соответствующие собственные функции на бесконечности также обращаются в нуль. Такие состояния называются связанными, поскольку частица локализована в потенциальной яме V(x). Спектр положительных собственных значений непрерывен и соответствует инфинитному движению [83]. Принципиальный интерес представляет вопрос о том, каким образом зависят от t функции ф и А, если функция u(x,t) эволюционирует согласно уравнению КдВ (10.1). Выразив из уравнения (10.6) и через ф и А и подставив полученное в уравнение (10.1), находим:

= о,

(10.7)

где Q = фг + фххх - 3(А - и)фх. Рассмотрим вначале некоторое дискретное собственное значение А„ и соответствующую ему собственную функцию фп{х,*), на которую наложим условие норми-

178

10.2. Метод обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений

179

Часть волны проходит сквозь потенциал с коэффициентом прохождения Т, часть отражается с коэффициентом отражения R, причем имеет место соотношение

ровки

00

J\TPn\2dx = l.

(10.8)

—оо

Тогда из уравнения (10.7) следует важный результат dXn = 0, (10.9) dt т.е. дискретные собственные значения являются интегралами движения. Как будет показано далее, каждому дискретному собственному значению соответствует один солитон в решении уравнения (10.1). Поэтому соотношение (10.9) выражает свойство устойчивости солитонов, их неуничтожимость при любых взаимодействиях. Уравнение (10.7) после двукратного интегрирования принимает вид оо

dx /

ф?:

—оо

(10.10) где Ап, Вп — константы интегрирования. В силу того что \фп\ стремится к нулю на бесконечности, необходимо положить Вп = 0. Выберем фп таким образом, чтобы фп ~ ехр(х п х) при х —¥ —оо, 2 где х = —Ап. Отсюда следует, что Ап = 4х^. Запишем Vn при х —> оо в виде Подстановка этого выражения в уравнение (10.10) дает (cn)t 3 = 8х с„, откуда 8х^).

=

(10.11)

Теперь рассмотрим собственные значения непрерывного спектра А = к2 > 0. Решение уравнения Шрёдингера (10.6) при \х\ -> оо представляет собой линейную комбинацию экспонент exp (±ikx). Наложим следующие граничные условия: •ф ~ exp (—ikx) + R(k, t) exp (ikx),

x —t oo,

•ф ~ T(k,t) exp (—ikx),

x —> o o .

Поскольку А принадлежит непрерывному спектру, можно попрежнему положить At = 0 и получить аналог уравнения (10.10). Подставив в него выражения (10.12), найдем, что А = 4ik3, a R и Г подчиняются уравнениям

Следовательно, коэффициент прохождения является интегралом движения, а коэффициент отражения изменяется во времени как

Непрерывный спектр соответствует несолитонной части решения, представляющей собой слабонелинейные возмущения, называемые иногда осциллирующими хвостами. Величину |Л(А;)| можно интерпретировать как амплитуду группы волн, связанную с волновым числом к. Таким образом, можно предложить следующую схему построения решения уравнения (10.1) с начальным условием u(x,0)

=щ(х).

Вначале решается задача на собственные значения для уравнения (10.6) с потенциалом щ(х) и определяется совокупность величин, которая в квантовой механике называется данными рассеяния 2

S = {Ап, с п , п = 1,... , N; R{k), к > 0} . Затем по формулам (10.11), (10.13) находятся cn(t), R(k,t) в произвольный момент времени t. Остается восстановить потенциал уравнения Шрёдингера по данным рассеяния S(t), т.е. решить обратную задачу. По счастью, в квантовой механике решение было найдено еще в конце 50-х годов. Для этой цели служит линейное интегральное уравнение оо

(10.12)

Соотношения (10.12) означают, что ф выбирается в виде гармонической волны, набегающей на потенциал V = — и(х) из х = оо.

(10.13)

R{k,t) =R{k,0)exp{8ikh).

К{х,y;

I B{y + z)K{x,z\t)dz

= 0,

(10.14)

180

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений

называемое уравнением Гельфанда-Левитана-Марченко. Здесь

10.3. Многосолитонные решения

181

10.3. Многосолитонные решения Рассмотрим задачу с начальным условием

u(x,0) =

71 = 1

oo

-^ I R(k,t)exp{ikx)dk,

(10.15)

причем t выступает просто как параметр. Из уравнения (10.14) находится функция K(x,y;t), по которой восстанавливается потенциал u(x,t) = 2 — K(x,x;t).

(10.16)

Наглядное представление описанной выше процедуры дает схема, представленная на рис. 10.1, которая напоминает решение линейных волновых уравнений при помощи преобразования Фурье.

Уравн Шреди

£к


Формулы (10.11), (10.13) *

S(t)

и

I

а)

*

S §

о

и

«2

54 я С S

1

и(х, 0)

Решение задачи на собственные значения для уравнения (10.6) с потенциалом (10.17) приводится в литературе по квантовой механике (см., например, [83]). Уровни энергии дискретного спектра даются формулой (s - п ) 2

Хп = —

Д2

;

n<s,

где s = (—1 + \/1 + 4аД 2 ) /2. Отсюда следует, что при а Д 2 = 2 (именно это соотношение соответствует солитону уравнения (10.1)) s = 1, п = 0 и имеется единственное собственное значение Ао = = - 1/Д2. Наиболее важным в этом случае является то, что R(k, 0) = 0, т.е. потенциал (10.17) является безотражательным. Таким образом, соотношение (10.15) принимает вид

В(х\ i) = CQ exp (8xjJ£ - XQX),

Левит рченко

S(0)

(10.17)

сЬ 2 (х/Д)

«(Л

где хо = A/—AO = 1/Д, a = 2xg. Подставляя B(x;t) (10.14), получаем K(xt у; t) + c§ exp (8xjjt - xo{x + y)) +

oo

+ eg exp (8XQ£ - щу)

В действительности между этими методами существует глубокая аналогия, и можно строго показать, что уравнения метода обратной задачи в линейном пределе переходят в уравнения метода Фурье [14, 15]. Разумеется, не всегда возможно найти решение в явном виде. Однако это удается сделать для ряда важных частных случаев, например, для многосолитонных решений, которым посвящен следующий параграф.

I K(x, z; t) exp {-XQZ) dz — 0. i

, ft

Рис. 10.1. Схема решения методом обратной задачи рассеяния

в уравнение

Это уравнение решается при помощи разделения переменных. Полагая К{х, у; t) = К0{х; t) exp (-x o y), приводим его к виду

Ко(х', t) + cl exp oo

exp

t)K0(x; t) / exp (-2x0z) dz = 0,

182

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений Snm — символ Кронекера, а Р — вектор, состоящий из правых частей уравнений (10.18). Решение этой системы имеет вид

откуда без труда находим решение w

2х 0

.^\ ' ' '

х v

х

g) ехр (2х0х - 8xgi

1

Kn{x;t) = ±

Тогда формула (10.16) дает

где D = det[D], a [D^n^] — матрица, полученная заменой п-го столбца матрицы [D] на вектор Р . Отсюда находим, что где введено обозначение CQ/2XO = exp(2$o)- Таким образом, решение представляет собой солитон с правильными соотношениями между скоростью, шириной и амплитудой. Теперь рассмотрим общий случай чисто дискретного спектра с N собственными значениями. Решение теперь будет описывать iV взаимодействующих солитонов. Из уравнения (10.15) следует, что

1

I dD

N

K(x,x;t) = 1 п=1

Итак, окончательный вид многосолитонного решения таков:

N

(10.20)

ctx

2

B{x;t) = ^c (i)exp(-x n x),

В частности, для взаимодействия двух солитонов имеем

71=1

где зависимость коэффициентов сп от времени определяется формулой (10.11). Уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко принимает вид N

D = 1 + ехр (20Х) + ехр (2в2) + ехр [2(0! + 0 2 - «w)], где 9i =

К(х,y;t) + ^2cl(*)ехр [-хп(х + у)] +

i, ехр

(Ю.21)

- для г = 1,2; ехр ( -

71=1

N

.

,

£(i)exp(-xny) / K{x,z;t)exp(-xnz)dz\ Полагая K(x,y;t)

= 0.

= *Y^Kn{x;t)exp (—xny), приходим к системе п •Km(x;t)\

линейных алгебраических уравнений

Kn(x;t)

(t)^

—

Перепишем ее в виде + C n

^

х и Ax\t - — . Х\

(10.18)

D& l + e x p ( 2 0 i ) . Таким образом, при t —> —оо вдоль линии (10.22) имеем

[D]K = Р , где К — вектор с компонентами К\, if2, . . . , KN, [D] — матрица размера N х N, элементы которой определяются выражением П

-Л

|

o m e x p [ - ( x n + x m )x]

•L>nm = дпт + Cn(t)

—

хп т x m

,

(10.22)

Тогда нетрудно подсчитать, что 0 2 к 4х 2 (х^ — x?,)t — x\b\jx-i + <52При t —> —оо видно, что ехр0 2 стремится к нулю, следовательно, третий и четвертый члены в выражении (10.21) малы и

=

= -c2n{t) ехр ( - x n x ) .

х2 Проанализируем это выражение подробнее. Пусть х\ > х 2 . Рассмотрим на плоскости (x,t) область, в которой в\ « 0, т.е.

(ЮЛУ]

т. е. одиночный солитон.

184

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений

С другой стороны, при t -4 оо, когда ехр #2 велико, в уравнении (10.21) доминируют третий и четвертый члены:

D « ехр (202) + ехр [2{вх + в2- Sl2)]. Подставляя это выражение в формулу (10.20), после несложных вычислений находим

Вновь получено решение в виде одиночного солитона, который, однако, приобрел сдвиг вперед на величину 5\2/х\ в процессе взаимодействия. Аналогично, в области, где х и т. е. 92 ~ 0, имеем

u(x,t)

2*2

2x1

- sl2)

оо •

/

Для уравнения Шрёдингера (10.6) это соответствует ситуации, когда существует большое число близко расположенных дискретных энергетических уровней, т. е. свойства квантовой системы близки к классическим. Тогда можно воспользоваться правилом квантования Бора-Зоммерфельда [83], которое в данных обозначениях имеет вид /

г

при t -)• -сю, при t -> оо,

откуда видно, что меньший солитон приобрел сдвиг назад на величину 5\2/ х2. Итак, решение описывает столкновение двух солитонов, которые меняются местами в процессе взаимодействия, полностью восстанавливая свою форму и скорость. При t -» ±оо солитоны на-

185

сдвиг. Траектории солитонов на плоскости {x,t) приведены на рис. 10.2. Двухсолитонное взаимодействие уже обсуждалось в § 7.4, где были приведены данные компьютерного эксперимента. Теперь эти результаты получили строгое обоснование. В заключение приведем полезную формулу, позволяющую оценить число образующихся солитонов в случае, когда начальное возмущение щ(х) велико в том смысле, что

2х\

u(x,t)

u(x,t)

10.4. Обратная задача рассеяния в формулировке Лакса

]

/

р dx = Ф \/\п + uo(x) dx = 2тг ( п + Максимальное значение п = N соответствует Адг и 0. Таким образом, мы получаем простую оценку числа образующихся солитонов [84] оо •^

N = —

г оо

g

v/uo(ar) dx = —. 7Г

ТГ J

10.4. Обратная задача рассеяния в формулировке Лакса Существенное обобщение метода обратной задачи было сделано Лаксом [85]. Прежде чем перейти к изложению его результатов, заметим, что нам удалось проинтегрировать уравнение КдВ, представив его в виде условия совместности двух линейных уравнений

t- 6 2 /х2 + 6i 2 /х2

Lip = A^,

(10.23)

ipt = Аф,

(10.24)

где линейные операторы L и А имеют вид

Рис. 10.2. Траектории двух взаимодействующих солитонов на плоскости (х, i)

ходятся далеко друг от друга и u(x,t) можно представить в виде суперпозиции двух невзаимодействующих солитонов. Единственным свидетельством столкновения остается небольшой фазовый

(10.25) А = - 4 D 3 - 3ux - 6uD + С,

(10.26)

186

Гл. 10. Точные методы интегрирования

волновых

D = d/дх, С = const. Продифференцируем уравнение (10.23) по t. Поскольку собственные значения оператора L не зависят от t, получим Lt\p + Ltpt = tyt • С учетом уравнения (10.24) это уравнение принимает вид Ltip + ЬАф = ХА-ф = А\ф = А1ф. Итак, имеем уравнение

где [A, L] = AL-LA — коммутатор операторов Аи L. Уравнение (10.27) следует рассматривать как оператор, действующий на функцию ц). Оно называется уравнением Лакса, a L и А — операторной парой Лакса. Представляет интерес следующий вопрос: существуют ли другие операторы А, кроме (10.26), сохраняющие спектр оператора L? Для каждого такого оператора уравнение (10.27) приводило бы к уравнению в частных производных, интегрируемому методом обратной задачи. Лаксу удалось отыскать целое семейство подобных операторов

Ап = - с ( D

b

( jD

2j+1

+D

2j+1

bj)

1 + С,

(10.28)

обобщение метода обратной задачи

10.5. Дальнейшее обобщение метода обратной задачи Несмотря на результаты Лакса, полная интегрируемость уравнения КдВ некоторое время воспринималась как случайность, своего рода математический курьез. Положение изменилось, когда В.Е. Захаровым и А. Б. Шабатом было проинтегрировано нелинейное уравнение Шрёдингера [86], а затем и ряд других эталонных уравнений [87]. Наконец, важное обобщение было сделано Абловицем и др. в работе [88], основные идеи которой изложены ниже. Рассмотрим уравнение (10.29) V = PV, x

г д е

у — вектор с компонентами (vi,v2), Р =

где bj — функционалы от и и ее производных по х, которые выбираются так, чтобы уравнение Лакса (10.27) не содержало оператора D. Постоянная интегрирования С (которая, в принципе, может зависеть от t), очевидно, коммутирует с оператором L и не дает вклада в уравнение (10.27). Она находится из условия нормировки собственных функций (см. § 10.2). Далее будем полагать С = 0. В простейшем случае п = 0 из уравнения (10.28) получаем

Выбор п = 1, Ь\ = Зи/4, с\ = 4 приводит к уравнению КдВ (10.1). При п — 2 можно получить следующее уравнение: щ + — (их

Ьи\ + 10гшХ

= 0.

Выбирая операторы (10.28) со все более высокими номерами п, будем получать эволюционные уравнения, содержащие производные по а; и нелинейности все более высоких порядков. Таким образом, с задачей на

P

квадратная матрица вида

-ik, q(x,t) r(x,t), ik

(10.30)

Пусть вектор V эволюционирует во времени согласно уравнению Vt = QV, (10.31)

о-(г -.)•

(10.32)

где а, Ь, с — функционалы от q, r и их производных по х. Записывая условие совместности уравнений (10.29) и (10.31), т.е. условие равенства смешанных производных Vxt — Vtx, и требуя, чтобы спектральный параметр к не зависел от времени, получаем Pt-Qx

и уравнение (10.27) дает линейное уравнение переноса

щ + их = 0.

187

собственные значения (10.23) ассоциируется целое семейство интегрируемых уравнений, называемое иерархией уравнения КдВ. Можно пойти и на дальнейшие обобщения. Не обязательно ограничиваться оператором L вида (10.25). Любое уравнение, представимое в виде (10.27), т.е. в виде условия совместности уравнений (10.23) (задача на собственные значения) и (10.24), которое определяет эволюцию собственных функций во времени, будет полностью интегрируемым. Исходная аналогия с квантовой механикой, которая играла важную роль в работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры, таким образом, явно отходит на второй план.

(10.27)

Lt = [A,L],

2n+1

10.5. Дальнейшее

уравнений

+ [P,Q) = O.

(10.33)

Уравнение (10.33) должно приводить к полностью интегрируемым эволюционным уравнениям относительно функций q и г. Заметим, что нетрудно переписать уравнения (10.29) и (10.32) в виде задачи на собственные значения и уравнения Лакса соответственно. Записывая матричное уравнение (10.33) покомпонентно, приходим к следующим уравнениям: ax - qc + rb = 0, (10.34) q - 2aq - b - 2ikb = 0, t

x

Tt + lar - cx + 2ikc = 0.

188

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых

уравнений

Будем искать решения этой системы в виде рядов по степеням парамеп

тра к: a = ]Г кпап

и т.д. В простейшем случае п = 1, приравняв в

i=0

уравнениях (10.34) члены при одинаковых степенях к, найдем Ь\ — с\ = 0,

Ьо = iaiq,

10.5. Дальнейшее обобщение метода обратной задачи Рассмотрим случай п = 3. (10.37) можно сразу записать

По аналогии с выражениями (10.35),

*->-«•(S; Л)-*•(?; l)-{U-t

S)+o.

Тогда из уравнений (10.34) находим, что

Со = iaxr,

= (ао)х = 0,

(ах)х

189

Ьо = ^ (д^х - 2? 2 г) ,

со = - (rxx - 2qr2) ,

qt - 2aoq - iaxqx = 0, (оо)х = ^ {rxq - 9хг),

- iaxrx = 0.

rt +2aor

Выбирая a0 = 0, ax = i, приходим к линейному уравнению переноса qt + qx = 0. При этом матрицу Q можно представить в виде

J)

Ьх =

ia2q,

. 1 со = iaxr + -a2rx,

Ы х = (Ol)x = 0,

(Оо)х ~ у (дг)х = О,

qt - 2aoq - iaxqx + - a2qxx

= О,

rt + 2aor - iaxrx - - a2rxx

qt = ^ (бдд* + д^хх),

= 0.

а выбор г = ±7 — к уравнению мКдВ qt = ^ (<7zxz T 6g 2 g x ) . Наконец, необязательно ограничиваться положительными степенями к. Выбирая получаем следующие уравнения:

2t

(a-i)x

Выбор ao = iqr/2, ax = 0, a2 = i дает

qt - iqr + \qxx rt - iqrr

= gc-! - rb_i,

-2ga_! = (b-X)x,

qt = 2ib-i,

2

22

Выбор г = - 1 , очевидно, приводит к уравнению КдВ

m 2 r,

1 bQ = iaiq - -a2qx,

- 7) ц •г

= 0,

(10.36)

=0,

<-»>=*»(5; Л ) - * ( ! : о ) - И - I ; ? ) • <10-37> Если положить г = ±9*,.уравнения (10.36) превращаются в нелинейное уравнение Шрёдингера 2

iQt ± Qxx - - q Q* - 0.

qxxx),

П + j (69ГГ* ~ rxzi)•

(ю.35)

К нетривиальному результату приводит выбор п = 2. В этом случае из уравнений (10.34) получаем Ь2 = с2 = 0,

9t + - (6qrqx -

2ra_i

rt = -2ic_i.

Подстановка q = —r = ux/2 дает ,

1.

o-i = c_i = - ^ i u l t ,

(c_i) x = - a - n i » ,

(10.38)

( a _ ! ) s = c_iux,

(10.39)

Из уравнений (10.38), (10.39) следует, что

190

Это условие удовлетворяется, если выбрать c_i = С sin u, a_i = С cos и, где С — константа. Полагая С = -г/4, получаем уравнение Sin-Гордона

Аналогично можно ввести оператор Dt и операторы более высокого порядка. В этих обозначениях уравнение (10.41) принимает вид

Pf.f=

uxt = sin и. Таким образом, получаем бесконечную последовательность (иерархию) интегрируемых уравнений, в которую входят сразу несколько эталонных уравнений. Другой вид матрицы Р, соответственно, приведет к другой иерархии. Например, уравнение Буссинеска и уравнения трехволнового взаимодействия интегрируются при помощи матричной задачи рассеяния (3 х 3) [89]. Завершая этот параграф, дадим определение полностью интегрируемого уравнения. Под этим термином будем подразумевать уравнение, которое можно представить в виде (10.33), т. е. в виде условия совместности системы линейных уравнений (10.29), (10.31). Эквивалентное определение можно дать, основываясь на уравнении Лакса. Можно также дать строгое определение солитона, как решения полностью интегрируемого уравнения, которому соответствует спектр, состоящий из единственного дискретного собственного значения. Заметим, что существование бесконечного набора законов сохранения, обсуждавшееся в § 10.1, не является синонимом полной интегрируемости. Более того, полностью интегрируемые системы не обязательно являются гамильтоновыми. Наиболее интересным примером такого рода являются уравнения самоиндуцированной прозрачности, которые будут обсуждаться в гл. 12.

10.6. Метод Хироты и многосолитонные решения Кроме метода обратной задачи рассеяния существует ряд других способов получения точных решений интегрируемых уравнений. В частности, оригинальный метод был предложен Р. Хиротой [90]. Продемонстрируем его применение на примере уравнения КдВ. Хирота использовал преобразование

Dxf • 9 = Jim [f(x + e)g(x - e)] = fxg

-

fgx.

(10.42)

n

следовательно, P e x p ( 0 i ) -ехр(0 2 ) = P{h

- h\u\

-u> 2 )exp(0i + 0 2 ) ,

4

где 0i = ш$ + kix, P(k;uj) = кш + fc . Более того, аналогичное соотношение справедливо, вообще говоря, для любого оператора вида Р = P(Dx;Dt), где P(Dx;Dt) — некий полином. Заметим также, что Р(0;0) = 0, Р(к;и) = Р(-к;-ш). Таким образом, g PgfБудем искать решение в виде ряда / = 1 + еД + е 2 /2 + • • • , где е — произвольный параметр. Подставляя это разложение в уравнение (10.42) и приравнивая к нулю члены при разных степенях е, получаем (10.43)

= 0,

(10.44)

Lh =

ГПР

Уравнение (10.41) выглядит гораздо сложнее исходного уравнения (10.1), однако ему можно придать более изящную форму. Введем оператор Dx, действующий на упорядоченную пару функций f{x),

0.

Z)" ехр (к\х) • ехр (/с2а;) = (fci - /c 2 ) exp [(к\ -f /02)2],

напоминающее преобразование Коула-Хопфа для уравнения Бюргерса, которое приводит уравнение КдВ к билинейной форме (10.41)

4

{bxt)t + D x)f-f =

Отметим некоторые важные свойства операторов Хироты. Прежде всего рассмотрим, как они действуют на экспоненты. Очевидно, что

(10.40)

ffxt ~ fxft + 3/2 - 4fxfxxx + ffxxxx = 0.

191

10.6. Метод Хироты и многосолитонные решения

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений

f _

где ь

d2

, &

(10.45)

/2.

Решение уравнения (10.43) выберем в виде

~ dxdt ^ а ? "

Д = ехр (0), 0 = u)t + кх, причем ш = -к3.

Тогда

Р е х р (0) • ехр (0) = Р(0; 0) ехр (20) = 0. Таким образом, правая часть уравнения (10.44) р а в н а H J D O J M * * довательно, можно положить все /„ = 0 при п > 1. В результате получим решение уравнения (10.42) в виде / = l + e x p ( f o : - / c 3 t + ¥>),

192

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений

где ip = lne. Без ограничения общности можно положить эту величину равной нулю. Пользуясь соотношением (10.40), нетрудно показать, что оно соответствует односолитонному решению уравнения КдВ. Следует еще раз отметить сходство с преобразованием Коула-Хопфа, которое придает аналогичную форму решению уравнения Бюргер са в виде стационарной ударной волны (§5.6). Выберем теперь f\ в виде суммы двух экспонент

10.6. Метод Хироты и многосолитонные решения

хотя по мере увеличения N выкладки становятся все более громоздкими. При помощи метода Хироты можно исследовать и многие другие интегрируемые уравнения (см., например, [13, 91]). В частности, модифицированное уравнение КдВ щ + 6и2их + иххх

=О

заменой и = д// приводится к системе билинейных уравнений 92 = ffxx-fx = \D2xf-f,

где Qi — Wit + kiX, uji = —kf. Подставляя это выражение в уравнение (10.44), получаем

= ( A + £>£) gf = 0. (10.49)

- к2]ил - ш2) ехр (0Х + 0 2 ).

Отсюда легко находится решение f2 — А ехр (0i + 0 2 ), где

А =—

P{ki

- k2;uJi - ш2) _ (fci -

—

Р{к1 + к2;ш1+ш2)

Теперь уравнение (10.46) принимает вид

Подставляя в уравнения (10.48), (10.49) g и / в виде д = £01 + £303 + . . . ,

= 1 + £2/2

2

k2)

(10.46) 2

получаем

{кх+к2) '

9

\

=

/2Х.,

L/ 3 = -А ( р е х р ( 0 0 • ехр(0 г + 0 2 ) + Р е х р ( 0 2 ) • ехр(0j0 2 )) = = -A{P(k2;u2)

(10.52)

e x p ( 2 0 i + 0 2 ) + P(fcx;wi) ехр (0 г + 20 2 )).

(10.47)

Нетрудно убедиться, что оно в точности соответствует двухсолитонному решению (10.21), полученному в § 10.3 методом обратной задачи рассеяния. Таким образом, метод Хироты позволяет, в принципе, находить в явном виде точные iV-солитонные решения, выбирая N

(10.53)

gxt + 9ixxx = 0,

Но в силу выбора иц = —kf P(kf,u>i) = 0 и правая часть этого уравнения обращается в нуль. Следовательно, начиная с п = 3 можно положить / п = 0 и получить решение / = 1 + ехр (0i) + ехр (0 2 ) + А ехр (0i + 0 2 ).

(10.48)

9tf ~ 9ft + f9xxx — 3/i0xx + 3/ I X 0 x ~ 9fxxx —

• ехр (0i) + 2Рехр (0Х) • ехр (0 2 )+ + Р е х р (0 2 ) • ехр (0 2 )) = -P(ki

193

+ 95X

= - ( A + Dl) gi-h-

( A + Dl) 9z • /2, (10.55)

Выберем решения уравнений (10.50), (10.53) следующим образом: / 2 = ехр (20),

9\-1к

ехр 0,

где 0j = kx — k3t. Тогда нетрудно показать, что уравнения (10.51), (10.54) принимают вид 20193 = /4хх! 9Ш + 93ххх = 0. 7 Н.М. Рыскин, Д.И. Трубецков

194

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений

Следовательно, можно положить дз, дь, • • • , fi, /б> • • • равными нулю и получить односолитонное решение / = 1 + ехр(20),

д=

2кехрв;

Аналогичным образом, выбирая д\ = 2к\ exp (0i)+2£;2 exp (02), можно после некоторых вычислений получить двухсолитонное решение: g = 2fci exp (0i) + 2/с2 exp (0 2 )+ / = l + exp(20i)+exp(20 2 ) +

+ j ^ exp(2fl r )J Гсов6tЬЪ(0т

где <р = \n(ki/kr).

Таким образом, решение имеет вид sin6i + (кг / ki) cos в ith(e r + ip) 1 + (кт/ki)2 cos 2 6i sech2(6»r +
(10.56)

где А по-прежнему определяется формулой (10.46). Анализируя его подобно тому, как это было сделано в § 10.3 для уравнения КдВ, нетрудно показать, что в результате взаимодействия больший солитон приобретает сдвиг вперед на величину ln(^/A;i), а меньший — назад на величину 1п(А//с2) (для определенности считаем, что k\ > &2). Многосолитонные решения уравнения r~~tv мКдВ более разнообразны, поскольку солитоны г—"7^ I могут иметь различную полярность, когда к\^. имеют разные знаки. В частности, большую роль играют так называемые бризеры: взаимодействующие солитон и антисолитон с одиРис. 10.3. Бризернаковыми амплитудами. Вид этого решения ное решение уравнения мКдВ приведен на рис. 10.3. З а д а ч а 10.1. Найдите явный вид бризерного решения модифицированного уравнения КдВ, полагая в формулах (10.56) fci и fc2 комплексно сопряженными.

— sin

f = ( 1 + g exp (2вг) ) (1 + § cos2 0 iS ech 2 (0 r + ф)) ,

9

+2(1 - A) exp [0i + 02] + A2 exp [2(в1 + 0 2 )],

195

где <5r,t — произвольные константы. Формулы (10.56) после некоторых вычислений дают g = -AkTexp(eT)(l

и = к sech 0.

+2А [k2 exp (20! + 0 2 ) + fei exp (202 + 0i)],

10.7. Преобразования Бэклунда

Оно представляет собой осциллирующий волновой пакет, модулированный огибающей в форме гиперболического секанса.

10.7. Преобразования Бэклунда Еще один способ построения многосолитонных решений интегрируемых уравнений дают преобразования, названные в честь шведского математика А. Бэклунда, который впервые построил подобное преобразование для уравнения Sin-Гордона и^т — sin и. Точнее, им были установлены соотношения, связывающие между собой два решения этого уравнения и и п:

(10.57)

2

" кs

где к — параметр. Соотношения (10.57) позволяют конструировать новые решения из уже известных. Выберем, например, в качестве п тривиальное решение и = 0. Тогда будем иметь следующие уравнения:

Решение: Пусть к\$ = kr ± iki, где fcr>j — вещественные. Тогда нетрудно найти, что

1

ит

Интегрирование полученных соотношений приводит к односолитонному решению и = 4arctg(exp0), ,

Sit

т

в =Н +ъ ' 7*

(10.58)

196

10.7. Преобразования Бэклунда

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений

что совпадает с найденным в гл. 8. Положительные значения к соответствуют кинкам, отрицательные — антикинкам. - *2 Теперь найдем двухсолитонное решение, используя свойство коммутативности преобразова" 2 ний Бэклунда, которое состоит в следующем. Ес, ли выбрать некоторое решение u = tip, которое ' связано соотношениями (10.57) с параметрами ч г "3 к\ и к2 с решениями tii и и2 соответственно, то Рис. 10.4. Диаг- применение к щ преобразования с к = к2, а к рамма, иллюст- щ преобразования с к — к\ приводит к одному и хГо^ммутахив: ТОМ У ж е Результату щ (рис. 10.4). Запишем прености преобразо- образования (10.57) для пар (щ,щ) и {и2,щ) в ваний Бэклунда виде (tip - щ)т _ J^ о;.

Записывая сумму тригонометрических функций через произведение, будем иметь .

к\ sm |

'щ -tii +и2 -щ\

~Y

sin

Сложим первое соотношение с третьим, а четвертое вычтем из второго, тогда =

(ц 0 - u i

-ц2 2

_

h

1

~ jfci

s i n

•„

s m

^

2

У

SSl lnn

Ai A

^

к2

)

S

щ-щ-щ

tg

-к2

tg

щ -

(10.59)

Если выбрать в качестве tip тривиальное решение щ = 0, то и\>2 являются односолитонными решениями (10.58) и уравнение (10.59) дает

'kL+k2 sh[{el-e2)/2]\ h-k2 ch[(6i+62)/2]J"

(10.60)

Это решение описывает взаимодействие двух кинков, когда к\ 2 имеют одинаковые знаки, и взаимодействие кинка и антикинка, если знаки разные. Подобно уравнению мКдВ уравнение Sin-Гордона также имеет бризерные решения, которые можно найти в явном виде, полагая в формуле (10.60) к\ = kr+iki, k2 = kr — iki. Тогда после несложных преобразовании получаем (к si и = 4 arctg [ т— где

i

_

а. — и.с _ "г — "•гч

«2 Вычитая полученные уравнения друг из друга так, чтобы уничтожились производные, получаем к\ | sin (

.

Отсюда после некоторых тригонометрических преобразований находим, что

2

Аналогично, преобразования для пар (ttp,U2) и (111,^3) дают

.

) = к2 sm

;

= 4 arctg

_

197

) + sin

, , . ,щ -и2 \ , .

= к2 I sin (

) + sin

^г,г — произвольные константы. Вид бризерного решения приведен на рис. 10.5. Дадим теперь определение преобразований Бэклунда, следуя [14]. Пусть u(x,t) и u(x,t) удовлетворяют уравнениям в частных производных Р{и) = 0,

(10.61)

Q(u) = 0.

(10.62)

198

Гл. 10. Точные методы интегрирования волновых уравнений

Тогда соотношения

где (и) и (п) обозначают наборы (не обязательно одинаковой длины), состоящие из и, п и их различных частных производных, (к) — набор параметров, называются преобразованиями Бэклунда уравнений (10.61) и (10.62), если они гарантируют, что и удовлетворяет уравнению (10.61), когда п удовлетворяет уравнению (10.62), и наоборот. В случае, когда и и п удовлетворяют одному и тому же уравнению, говорят об автопреобразовании Бэклунда. В §10.1 рассматривалось преобразование Миуры u = v2 - ivx,

(10.63)

которое переводит решение уравнения КдВ u(x,t) в решение уравнения мКдВ v(x,t). Обратное утверждение в общем случае неверно: не для всякого v, удовлетворяющего уравнению мКдВ, и является решением уравнения КдВ. Следовательно, преобразование Миуры само по себе еще не является преобразованием Бэклунда. Необходимо добавить к нему уравнение Рис. 10.5. Бризерное решение уравнения Sin-Гордона

= — iuxx

— 2(uv)c

(10.64)

которое гарантирует, что u(x, t) будет удовлетворять уравнению КдВ. Итак, соотношения (10.63), (10.64) составляют преобразования Бэклунда для уравнений КдВ и мКдВ. Более подробную информацию о преобразованиях Бэклунда можно найти, например, в книгах [14, 25].

Глава 11 МОДУЛИРОВАННЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ Л. И. Мандельштам понимал под модуляцией всякий процесс медленных изменений в высокочастотной колебательной системе, «при котором она успевает совершить много свободных колебаний прежде, чем их амплитуда, частота и фаза изменятся сколько-нибудь заметным образом»; т. е. модулированные колебания в классической теории — это квазипериодическое колебание с достаточно медленно меняющимися параметрами. ... Наиболее важной отличительной чертой современной теории является, по существу, расширение понятия модуляции, включаюшее не только преобразования модуляции, но и процессы их рождения — самомодуляции.

А. В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович.

Л. И. Мандельштам и современная теория нелинейных колебаний (УФН. 1979. Т. 128, № 4. С. 611, 612)

В предыдущих главах основное внимание было уделено анализу слабонелинейных длинноволновых возмущении, описываемых уравнениями типа КдВ или Бюргерса. Перейдем к изучению другого важного класса задач, связанного с распространением квазигармонических волновых пакетов. Подобные процессы играют большую роль в различных областях физики. Например, передача информации в оптическом, микроволновом или радиодиапазоне осуществляется посредством модуляции высокочастотной несущей волны низкочастотным информационным сигналом. Временной спектр модулированного сигнала сосредоточен вблизи несущей частоты wo- В этом случае переменные, характеризующие волновое движение, можно представить в виде

и(х, t) = A(x, t) exp (i6) + к.с, где в — ujot — кох — быстро меняющаяся фаза, А(х, t) — медленно меняющаяся амплиуда (огибающая), к. с. — комплексно

200

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

11.2. Критерий Лайтхилла и модуляционная неустойчивость 201

сопряженные члены. Условие медленности изменения амплитуды (и, следовательно, узости спектра волнового пакета) означает, что |A t | < |iw 0 A|,

\AX\ < |

-ikQA\.

Таким образом, представляется разумным выделить уравнения, описывающие динамику огибающей волнового пакета, что существенно упрощает задачу. На этом принципе основаны методы теоретического анализа квазигармонических волн в нелинейных средах, которые будут рассмотрены ниже. Отметим, что квазигармонические волновые процессы характерны прежде всего для сред с сильной дисперсией, когда фазовые скорости различных гармоник отличаются значительно.

11.1. Теория Уизема Первая попытка систематического изучения модулированных нелинейных волн была предпринята Дж. Уиземом в середине 60-х годов. В своих работах он исходил из представления уравнений в лагранжевой форме [6], однако это не является обязательным. Продемонстрируем основные идеи теории Уизема на примере нелинейного уравнения Клейна-Гордона с кубичной нелинейностью (см. п. 1.4.2) utt - с2ихх + ш2и - (Зиг = 0.

(11.1)

Заметим, что уравнение (11.1) можно рассматривать как слабонелинейный вариант уравнения Sin-Гордона, полученный разложением sin u в ряд (/3 = Wg/6). Будем искать решение уравнения (11.1) в виде 2

и = щ + en 1 + е и2 + • • • ,

щ = А(х, t) exp (i6(x, t)) + к.с, где е -С 1, и введем величины u)(x,t) = 9t, k(x,t) = —0х, которые получили название мгновенных частоты и волнового числа. Прежде всего заметим, что в силу определения шик будет выполняться соотношение

Ь + шх = 0 (11.2) — так называемый закон сохранения волнового числа. Будем считать, что функции Л, ш и к меняются медленно (At, Ах ~ £ и т.д.). Тогда можно рассматривать их как функции медленных переменных Т = et, X = ex. Нетрудно подсчитать, что щ = (шА + еАт) exp (i9) + к.с, uu = {—ш2А + ге(штА + 2шАт) + е2Атт) exp (i0) + к.с. Аналогичные выражения можно получить для ux,

uxx.

Подставим полученные соотношения в уравнение (11.1), умножим на ехр(-г#) и усредним по периоду 2тг/и. Тогда для членов порядка 1 и £ соответственно получим уравнения ш2 = и2 + с2к2 - ЩА\2,

)

= 0.

(11.3) (11.4)

Уравнение (11.3) называется нелинейным дисперсионным соотношением. Из него следует, что в первом приближении нелинейные эффекты выражаются в зависимости частоты волны от амплитуды. Здесь прослеживается аналогия с колебаниями нелинейного осциллятора, период которых зависит от энергии [8, 9]. Изменение различных характеристик распространения волны в нелинейной среде при изменении ее амплитуды называют самовоздействием. Некоторые явления, связанные с самовоздействием (самомодуляция, самофокусировка), будут рассмотрены в последующих параграфах. Уравнение (11.4) с учетом соотношений (11.2), (11.3) можно записать в виде ( A 2 ) r + ( u / A 2 ) x = 0,

(11.5)

где о/ = дш/дк — групповая скорость. Оно носит название закона сохранения волнового действия и аналогично закону сохранения энергии. 11.2. Критерий Лайтхилла и модуляционная неустойчивость Система уравнений Уизема состоит из законов сохранения волнового числа (11.2) и волнового действия (11.5), а также нелинейного дисперсионного соотношения

ш = ш {к, \А\2) ,

(11.6)

в котором содержится специфика конкретной задачи. Например, для волн на поверхности глубокой воды соотношение такого типа 2

2

2

и = дк(1 + к \А\ )

(11.7)

было получено Стоксом, который нашел решение в виде периодической стацинарной волны, период которой зависит от амплитуды 2 (волна Стокса). Очевидно, что в линейном пределе (|А| —> 0) уравнение (11.6) должно переходить в линейное дисперсионное 'соотношение ш = и>о(к). Таким образом, в случае слабой нелинейности можно представить соотношение (11.6) в виде 2

ш « wo(fc) + w2(fc)|A| + ...

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

11.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера

Важный результат был получен Лайтхиллом [92], который поал, что в случае где WQ = d2w0/dk2, система уравнений (11.2), (11.5), (11.6) является гиперболической, а в случае W0V2 < 0

(11-8)

— эллиптической. Условие (11.8) будем называть критерием Лайтхилла. Применительно к задачам распространения волн эллиптичность системы свидетельствует о наличии неустойчивости, поскольку задача Коши для эллиптических уравнений является некорректной. Такая неустойчивость была обнаружена Бенджаменом и Фейром в результате неудачных попыток экспериментально реализовать волну Стокса на поверхности глубокой воды. В работе [93] было показано, что неустойчивость вызвана взаимодействием несущей волны с частотой шо и возмущений, называемых сателлитами с близкими частотами, симметрично отстоящими от несущей (ш± = u>o ± До;, причем Дш <£. шо)- Если выполнен критерий Лайтхилла (11.8), сателлиты нарастают, черпая энергию из основной волны. Этот процесс можно рассматривать как четырехволновой резонанс = ш + + и;_,

2к(ш0) = к{ш+) + к(ш-).

11.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и метод многих масштабов Другой подход к исследованию динамики огибающей волновых пакетов связан с получением нелинейного параболического уравнения, называемого нелинейным уравнением Шрёдингера (НУШ). В гл. 1 было показано, как оно получается из нелинейного дисперсионного соотношения при помощи эвристического подхода. Существует более строгий метод получения НУШ (и других уравнений для огибающей), называемый методом многих масштабов, который аналогичен одноименному методу в теории колебаний [76]. Вернемся к нелинейному уравнению Клейна-Гордона (11.1). Будем искать решение в виде ряда

причем щ будут функциями нескольких пространственных и временных переменных Хп = епх, Т„ = ent. При этом производные преобразуются следующим образом:

д

(11.10)

2

Acos (w(k,A )t-kx) ,

д ,

д . 1

dt

(11.9)

Поскольку До; мало, можно разложить дисперсионное соотношение в ряд к(ш) = к(шо) + к'(шо) (w — а»о) + • • •, откуда видно, что равенство (11.10) выполняется с точностью до членов второго порядка малости. Если умножить соотношения (11.9) и (11.10) на постоянную Планка, то видно, что они выражают законы сохранения энергии и импульса в процессе распада двух квантов несущей волны на кванты волн-сателлитов. Возмущения с частотами, близкими к шо, для которых выполнены условия резонанса, можно рассматривать как модуляцию основной волны. Поэтому неустойчивость Бенджамена-Фейра получила название модуляционной. Для волн на воде решение в виде ряда, главный член которого имеет вид

203

е дХ2

а

т

Подставим эти соотношения в уравнение (11.1) и выделим члены одинаковых порядков малости. Члены порядка е дают 0, г д е L

=

-с"

(11.11)

+ и>2 — оператор, соответствующий линей-

ной части уравнения Клейна-Гордона. Решение уравнения (11.11) выберем в виде квазигармонической волны с амплитудой, зависящей от медленных переменных: щ -A(Xi,X2... ; Ti,T2...)exp(i0) + к . с , где в = U>QT — коХо, причем wo и ко связаны дисперсионным соотношением ш2 = и2 + с2к2. (11.12) 0

Члены порядка е 2 приводят к уравнению

2

где ш(к, А ) определятся соотношением (11.7), было найдено Дж. Стоксом еще в 1849 г. Сходимость этого ряда доказал Т. ЛевиЧивитта в 1925 г. Однако сходимость еще не означает устойчивость решения. Потребовалось, таким образом, более 120 лет, чтобы понять, что волна Стокса на глубокой воде неустойчива.

e x p

к

-с-

204

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

Поскольку действие оператора L на функцию exp (W), где LJ0 И &О удовлетворяют соотношению (11.12), дает нуль, решение уравнения (11.13) будет носить секулярный характер (^2 ~ 0ехр(г0)). Единственный способ избежать этого состоит в том, чтобы приравнять к нулю члены, стоящие в правой части

дА дТх

= 0.

С учетом дисперсионного соотношения (11.12) это уравнение можно переписать в виде

дА

дА д~Х~л

= 0,

(11.14)

где vg = duo/dk — групповая скорость. Таким образом, в первом приближении возмущения огибающей распространяются с груповой скоростью. Теперь уравнение (11.13) принимает вид

11.4. Неустойчивость пространственно-однородного решения

205

счета, движущуюся с групповой скоростью, приходим к НУШ

_.дА г 9Т

2

+

ц{,' Э Л 2

п

= 0,

(11.16)

где Т = Т 2 , X = Xuq Для волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости это уравнение впервые получил В. Е. Захаров [94] при помощи разработанного им гамильтоновского формализма. Позднее НУШ независимо было получено в работах [95, 96] для случая произвольной глубины, где было показано, что критерий Лайтхилла выполнен при коН > 1,36, где Н — глубина слоя. Таким образом, данное условие можно рассматривать как своего рода границу между приближениями «мелкой» и «глубокой» воды. Заметим, что для НУШ (11.16) критерий (11.8) принимает вид

> 0.

(11.17)

Lu2 = 0,

Поскольку согласно дисперсионному соотношению (11.12) Шд > 0 в случае /3 > 0 условие (11.17) выполнено, что свидетельствует о модуляционной неустойчивости. Рассмотрим эту неустойчивость подробнее.

следовательно, можно положить и2 = 0. Тогда для членов порядка е 3 получаем

11.4. Неустойчивость пространственно-однородного решения

(д2А

f

2

д2А

2

Разделим в уравнении (11.16) вещественную и мнимую части, полагая А = а ехр (гф), где a vnp вещественны. После несложных преобразований получаем

дА

2

3

+2гс к0 1гтГ + ЩА\ А ) ехр (г0) + (ЗА ехр (Ш) + к.с. (11.15) ол2 ) Члены, пропорциональные ехр(г#), по-прежнему будут приводить к секулярному решению, следовательно, их нужно положить равными нулю:

дА

дА дТ2+

2

дА

2

дА

-снрт +

~ а(<Рх)2) +
ат + -£• {2ах<Рх + а(рхх)

Разделим первое уравнение на а и продифференцируем по X, a второе умножим на а. Тогда, обозначая К = ipx, будем иметь

""дХ2

\

а

J x

С учетом соотношений (11.12) и (11.14) получаем

•А где

U)Q

= d2ujo/dk2 =

ал\ ,<4&А C2U)2/U>Q.

, з/з ...

Наконец, переходя в систему от-

(11.18)

+2qaax,

(11.19) (11.20)

Уравнение (11.19) является аналогом закона сохранения волнового числа (11.2). Ему можно придать вид

Кт

= 0,

206

Гл. 11, Модулированные волны в нелинейных средах

207

Очевидно, что существует аналогия между НУШ и уравнениями Уизема. Однако они не являются эквивалентными, так как

где и'о'ахх 2а

П=

11.5. Стационарные решения НУШ

Очевидно, что это уравнение играет роль нелинейного дисперсионного соотношения. Уравнение (11.20) имеет вид закона сохранения волнового действия (11.4). Полагая ах = О, К = О, найдем пространственно-однородное решение уравнений (11.18): а = UQ = const, ipT

-ко

Итак, имеем решение

Рис. 11.1. Зависимость инкремента модуляционной неустойчивости А от волнового числа к А = aQ exp

(11.21)

которое описывает периодическую стационарную волну с нелинейным сдвигом частоты, аналогичную волне Стокса. Исследуем решение (11.21) на устойчивость, для чего положим а = UQ + a, К = К, где а, К — малые возмущения. Линеаризуя уравнения (11.19), (11.20), получаем

.и \ 2

у ) аХххх = 0.

Подставляя решение в виде а ~ exp (AT + mX), приходим к уравнению А2 =

к -» ко + eipx» ш где е — малый параметр, а а>о и ко связаны нелинейным дисперсионным соотношением (11.12). При этом в уравнение (11.3) следует добавить члены, пропорциональные Атт/А, Ахх/А, которые теперь имеют одинаковый порядок малости с величиной |А|

11.5. Стационарные решения НУШ. «Светлые» и «темные» солитоны

Исключим отсюда К перекрестным дифференцированием: aXx

еА,

(см. [6, 14]).

ах XX + 2qaoax-

атт + u'o'qal

теория Уизема не требует малости амплитуды. Тем не менее, можно получить предельный переход между двумя теориями, сделав в уравнениях (11.3) и (11.4) замены

(11.22)

Очевидно, что если выполнен критерий Лайтхилла (11.17), имеются вещественные и положительные значения А, следовательно, решение (11.21) неустойчиво. Зависимость А(к) для этого случая представлена на рис. 11.1. Инкремент неустойчивости достигает максимума Am = qa^ при к2 = к2п = 2qal/cjQ и обращается в нуль при к2 = к% = Aqa^/uiQ. Таким образом, неустойчивыми оказываются возмущения в диапазоне волновых чисел — KQ < к < «о-

Исследуем стационарные решения уравнения (11.16), которые будем искать в виде а = а(£), tp = ¥>(О> г Д е £ = % ~ UT, £ = X — VT. Строго говоря, их нельзя назвать стационарными в смысле того определения, которое было дано в гл. 8, поскольку они характеризуются двумя скоростями U, V. Уравнения (11.18) принимают вид aVip' + ^ (а" - а(<^')2) + qa3 = 0,

(11.23)

-U {а2)' + w{{(aV)' = °-

(11.24)

Интегрируя уравнение (11.24) с нулевыми граничными условиями, получаем, что ip1 = U/UJQ, откуда

208

Гл. 11, Модулированные волны в нелинейных средах

Подставляя это решение в уравнение (11.23), приходим к уравнению нелинейного осциллятора

„

а"-

U{U-2V) \

,,.2

И) Г

2q з

Q+4Q ш

0

=0,

(11.25)

которое уже встречалось в §8.2 при анализе уравнения мКдВ. Поэтому, не приводя подробных выкладок, сразу запишем выражение для солитона: а = a TO sech(£/A), где А 2 = (u>o)2/U{U - 2V), a2m = u^/qA2. Отметим, что солитонные решения существуют лишь при U > 2V. Окончательный вид решения в виде солитона огибающей таков (см. рис. 1.12) А = аехр [гф) =

209

11.5. Стационарные решения НУШ

также объясняется образованием солитона огибающей на глубокой воде. Теперь рассмотрим случай, когда to^q < 0 и модуляционной неустойчивости нет. Для определенности будем считать, что ш0 > > 0, q = —\q\ < 0. Потенциальная энергия осциллятора (11.25) имеет вид 2V)a2 \q\a4 W = -•U(U-

2К

)2

В случае U > 2V существует единственное неустойчивое состояние равновесия a = 0 и стационарных решений нет. Иная ситуация реw ализуется при U < 2V: имеется

(11.26)

Выражение (11.26) описывает медленное изменение амплитуды и фазы волнового пакета. При наличии модуляционной неустойчивости малые модуляции пространственно-однородного цуга волн постепенно нарастают, т. е., как говорят, происходит самомодуляция. В результате волновой пакет разбивается на последовательность НУШ-солитонов.

Рис. 11.3. Потенциальная энергия (а) и фазовый портрет (б) нелинейного осциллятора (11.25) при Jiq < 0, U < 2V Рис. 11.4. Решение в виде «темного» солитона огибающей

одно состояние равновесия типа центр (а = 0) и два состояния типа седло, т. е. а± =

IU{2V.-U)

Форма потенциальной ямы и фазовый портрет осциллятора представлены на рис. 11.3. Решения в виде солитонов, которые соответствуют сепаратрисам, идущим из седла в седло, имеют вид a = amth(£/A), где А 2 = (UJ%) /U{2V - U), а2т = u£/\q\A2. солитона огибающей получаем

Окончательно для

А = amexv[iU{X - VT)/u%] th \a

- UT)

2

Рис. 11.2. Осциллограммы напряжения в нелинейной радиотехнической линии передачи, иллюстрирующие развитие модуляционной неустойчивости

Хорошей иллюстрацией этого процесса служит рис. 11.2, где приведены осциллограммы напряжения в нелинейной радиотехнической линии передачи [97]. Считается, что поверье «девятого вала»

Соответствующий профиль волны u — Re (Aexp (id)) приведен на рис. 11.4. Поскольку это решение соответствует локальному

210

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных

средах

уменьшению интенсивности, оно называется «темным» солитоном в противоположность «светлому» солитону, описываемому соотношением (11.26). З а д а ч а 11.1. Получите нелинейное уравнение Шрёдингера и исследуйте его на наличие модуляционной неустойчивости для систем, которые описываются следующими уравнениями: а) уравнением КдВ щ + uux + (luxxx = 0; б)) уравнением мКдВ щ + u2uxx + 0uxxx = 0; xxx в)) уравнением Буссинеска utt - c2 uxx - (u2/2)xx - (5uxxxx = 0. Б Решение. Начнем с уравнения КдВ (а). Подставим решение в виде ряда и - ещ + е2и2 + е3и3 ...

211

11.5. Стационарные решения НУШ

Здесь вещественная функция В возникает как постоянная интегрирования, но может зависеть от медленных переменных. Теперь запишем уравнение для членов порядка е 3 :

д

du2

Подставим сюда выражения (11.27) и (11.30) и исключим секулярные члены. В данном случае таковыми будут как слагаемые, пропорциональные ехр (19), так и слагаемые, зависящие только от медленных переменных. Приравнивая последние к нулю, получаем

и введем новые пространственно-временные переменные ТЬд,2, Тогда для членов порядка е будем иметь

dTi '

д3щ

9Ul

f

dXi

С учетом уравнения (11.29) отсюда находим, что

Решение этого уравнения выберем в виде

щ = A(X1,T1,X2,T2)exp(i9)

+к.с,

(11.27)

где в — LJTQ — kXo, ui = —j3k . Члены порядка е дают

дА дТ2

Подставляя сюда выражение (11.27) и требуя уничтожения членов, пропорциональных exp(i#), которые приводят к секулярному росту, получаем уравнение

дА 2

Тогда члены, пропорциональные ехр (i6) в уравнении (11.31), дают НУШ:

2

3

дА

где vs = -3f3k — групповая скорость. (11.28) принимает вид

дА

2

+ З/Зк

(11.29)

т Lu 2

= 0.

Таким образом, уравнение Условие уничтожения секулярных членов приводит к уравнению (11.29) для амплитуды |Л|. Таким образом,

и его решение легко находится и может быть представлено следующим образом:

В{ХиТиХ2,Т2)

(11.32)

2

Ъх

Поскольку коэффициенты при нелинейном и дисперсионном членах имеют разные знаки, то модуляционной неустойчивости нет. Перейдем теперь к модифицированному уравнению КдВ (б). Очевидно, что решение для и\ вновь будет иметь вид (11.27). Поскольку нелинейное слагаемое кубическое, то в порядке е2 нелинейные члены не появятся и вместо уравнения (11.28) будем иметь

Ьи2 = гкА2 ехр (2гв) + к.с,

и2 =

дА

+к

.с.

Lu2 = 0, что позволяет выбрать решение в виде и2 = 0. Тогда члены порядка е3 дают

(Ц.30)

дТ2

дХ0 \3 )

+

Р

\дХ28Х2

= 0.

212

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных

средах

Приравнивая к нулю в правой части члены, пропорциональные ехр(г#), после некоторых преобразований приходим к НУШ:

нению Lu3 + 2

Теперь, в отличие от уравнения (11.32), знаки коэффициентов при нелинейном и дисперсионном членах совпадают (если /3 > 0), следовательно, пространственно-однородное решение неустойчиво. Это, в частности, означает, что неустойчивыми будут решения в виде периодических стационарных волн (см. §8.2). Для уравнения Буссинеска (в) оператор L есть

д2щ дТ0Т2

а дисперсионное соотношение имеет вид

J1 = с2к2 - 0к4

+

_ 2 (2 д2щ С V дХ0Х2

д2щ дХ2 .Я

д2и2 \ дХ0Хг)

(А

3

дх дх2

d2(ulU2) дХ2

+

2

2

дх дх

д2{и\) дХХ д*и2

+

Подставляя сюда соотношения (11.27) и (11.36) и приравнивая к нулю члены, пропорциональные ехр(г#), получаем

(11.33)

гдеи>о = (c2—v2—60k2)/u). Чтобы определить В, необходимо обратиться к членам порядка е 4 и выделить медленно меняющиеся слагаемые. В результате будем иметь уравнение

Э2В

2

Для членов порядка е получаем уравнение

дТ2

2

д

^ ) - 40 V2

дХ2

3

дХ дХх

-0

2

+

3

с к-2{3к 2

2

Lu2 = -2к А

ЗА _

2

(11.35)

Уравнение (11.34), как обычно, означает, что возмущения огибающей в первом приближении распространяются с групповой скоростью, поскольку из дисперсионного соотношения (11.33) нетрудно найти, что v& = (с2к — 2(3к3)/и). Из уравнения (11.35) можно получить решение для U2 в виде 2

В(Х1,ТиХ2,Т2)

А ехр {2гв)

2

дт

К

+ к.с,

(11.36)

что совпадает с выражением (11.30). Члены порядка е3 приводят к урав-

д2В

(11.38)

2

"2 дХ2

~дХ2 '

2

2

д

|2 _ („2 _ Л\

2

" дх )

•"•

v

"

g

2

• ' дх

'

уравнение (11.38) можно проинтегрировать, получив

(11.34)

ехр {216) + к.с.

_

Поскольку из уравнения (11.34) следует, что

д

которое после подстановки выражения (11.27) и приравнивания к нулю секулярных членов, пропорциональных ехр(г#), дает

=

д2и2

д2щ дТ2

д2 2 - <г дХ

L=

дА д

213

11.5. Стационарные р ешения НУШ

В =

\А? vj-c2'

Таким образом, уравнение (11.37) принимает вид (дА l

\m

дА + Ч

Ob)

2

2

. (

9Л 2

,

к 2

2

2 дХ ^ VMv g - с )

х

ь

„ 2 _ \А\| А2 4 = 0.

Подсчитав произведение коэффициентов при нелинейном и дисперсионном членах, убеждаемся, что оно равно 2

{v\ - с +

следовательно, модуляционная неустойчивость невозможна.

214

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

11.6. Электромагнитные волны в нелинейном диэлектрике. Солитоны в волоконных световодах Для анализа распространения электромагнитных волн в нелинейном диэлектрике воспользуемся моделью среды из слабонелинейных осцилляторов, которая уже обсуждалась в задачах 8.1, 9.1. Электромагнитное поле описывается при помощи волнового уравнения Э2Е

1 02Е _

11.6. Электромагнитные волны в нелинейном диэлектрике

215

причем частота и и волновое число к должны быть связаны дисперсионным соотношением (ы2 - с2А:2)(ц;2 - и20) = и2п2.

(11.44)

В формуле (11.43) введена линейная диэлектрическая восприимчивость Xl( w ) = ^ 2 / ( w o —w2)- Соотношение (11.44) полезно переписать в виде

ч>2п1 = с2к2,

Э2Р

(11.45)

где щ{ш) — линейный показатель преломления, для которого имеем формулу Зельмейера

а поляризация Р подчиняется уравнению 2

дР

2

(11.40)

W

где wo — собственная частота линейных колебаний осцилляторов, а — положительная константа,

о2 Гг

2

=

eN ^^-,

еит

— заряд и масса

электрона соответственно, N — объемная концентрация осцилляторов. Получим нелинейное уравнение Шрёдингера для огибающей квазигармонического волнового пакета. Будем искать решение в виде рядов

е2Р2 + е 3 Р 3 2

е Е2

Щ =

Э2Е2

1 д2Е2

m

2

Ei = Аехр {19) + к.с,

Выразив из второго уравнения Е2 и подставив в первое, получим,

что

(11.43)

1 д2 2

ex , 2

= \дТ£ -

где 9 = UJTQ — kXo и амплитуда А зависит от медленных переменных, находим, что

п

= 0.

&Г2

где

(11.42)

д2Р1 \ _

д2Р2

+2

Отыскивая Е\ в виде

Р\ =

д2Р2 Э2ЕХ

7 =е0П Е1.

(П-46)

Члены порядка е 2 в уравнениях (11.39) и (11.40) имеют вид

(11.41)

и введем новые пространственные и временные масштабы -X"o,i,2j B To,i,2 соответствии с формулами §11.3. В порядке е, очевидно, получим линеаризованный вариант системы (11.39), (11.40), а именно:

- o ^ U = l + Xi-

(д

• V \дХо

1 д2 2

2

с ujL0

а 2 лi _ = 0 , п2 д2 2

с

(11.48)

2

9Т "

Подставляя сюда соотношения (11.42), (11.43) для Е\ и Pi и требуя уничтожения секулярных членов, находим, что А удовлетворяет уравнению (11.49)

216

11.6. Электромагнитные волны в нелинейном диэлектрике

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

где

-

Подставляя сюда соотношения (11.42), (11.43), (11.49) и (11.51) и приравнивая к нулю секулярные члены, получаем НУШ

1

U сI Теперь уравнение (11.48) следовательно, Е2,Р2 (11.47) находим

(11.50) принимает вид

а также уравнение для функции В

дВ_ , и, д дХх

~ ехр(г'б). В таком случае из уравнений В уравнении (11.52)

Е2 = Вехр{гв) + к.с,

+ п2) - шА 2

(( .2. .2г>2

1

ЭХ2

с2 +2

-Мо

Из этих соотношений следует, что модуляционная неустойчивость возможна на верхней ветви дисперсионной характеристики (см. рис. 9.1), где к" < 0, т. е. в области аномальной дисперсии груповой скорости (u g растет с ростом к). Если из уравнения (11.40) приближенно выразить поляризацию в виде

Э2Р3

д2Е2

д2Е2

82ЕХ 2

ЭХ0дХ2

д2Ех

с

2

д Ех

(11.53) (11.54)

7 =

где В = В(ХХ,ТХ). Наконец, выделим в уравнениях (11.39), (11.40) члены порядка е3. Имеем Э2Е3

217

= 0,

Р « еох(Е) Е = ео(х\Е +

+ ...),

(11.55)

то можно найти, что

-ufaPi = 0 .

(11.56)

ХЗ

Теперь, если ввести нелинейный показатель преломления

Исключая из этих уравнений Е%, получаем

2

п = по + п2\А\ ,

(11.57)

2

то, учитывая, что п = 1 + х{Е), и полагая нелинейную добавку в формуле (11.57) малой, будем иметь

_ 2

2

• -2

\дх

д Ех

1 д Ех

дХ\

с2~Щ

1 д \\2 2

2

2

2

д рх 2

дт

п2

Зхз

Таким образом, выражение (11.54) можно переписать в виде

2

д Рх

с ат ) [ дтйет2

i n

7=

(11.58)

218

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

Уравнение (11.52), очевидно, несправедливо вблизи резонансной частоты ш. Более того, в реальном диэлектрике таких частот несколько и вместо формулы (11.46) следует записать

11.7. Самофокусировка света

219

близка к Ао- Выражение (11.58) модифицируется следующим образом [98, 99]:

_ шп2 // \F\4 dydz

7 = с ff\F\*dydzПоэтому дисперсионная диаграмма имеет вид, подобный изображенному на рис. 11.5 (ср. рис. 9.1), и область частот, в которой к" < 0, ограничена. Длину волны Ао, на которой к" = 0, называют длиной волны нулевой дисперсии. Например, для кварцевого стекла Ао = 1,3 мкм, а резонансные длины волн равны 0,068, 0,116 и 9,869 мкм. Рассмотренная задача имеет большое практическое значение, так как дает простейшее описание распространения электромаг-

Рис. 11.5. Дисперсионные кривые электромагнитной волны в среде из электронов-осцилляторов при наличии двух резонансных частот. Модуляционная неустойчивость реализуется в области шт\п < ш < и)т&х

нитных солитонов в диэлектрических волноводах (волоконных световодах) 1). Именно уникальные свойства солитонов, такие, как их способность распространяться без искажений на большие расстояния, позволили значительно улучшить характеристики волоконно-оптических линий связи [98]. Разумеется, волну в волоконном световоде нельзя считать плоской. Вместо соотношения (11.42) следует записать

Е\ = F(y, z) Aexp (id) + к.с, где функция F описывает поперечное распределение волноводной моды. Однако величины к', к" при этом изменяются незначительно, по крайней мере, если длина несущей волны не слишком ') Поэтому уравнение (11.52) записано в виде, более удобном для анализа распространения сигналов, когда имеется производная по координате лишь первого порядка.

В волоконно-оптических системах связи информация передается в виде закодированной последовательности импульсов. Длительность импульсов определяет скорость передачи информации В (бит/с). В линейных световодах дисперсионное расплывание импульсов ограничивает величину В и максимально возможную длину системы L (точнее, произведение BL). Так, согласно [98], для типичных параметров световодов В к, 100Мбит/с при L = = 50 км. При работе вблизи длины волны нулевой дисперсии можно увеличить В до 2 Гбит/с. В связи с этим весьма выгодным представляется использование для передачи информации именно солитонов, для которых дисперсионные эффекты в точности компенсируются нелинейными. Эта идея была выдвинута в работе [100] и реализована экспериментально в [101], где впервые наблюдалось устойчивое распространение оптических солитонов длительностью 7 пс на расстояние 700 м. Конечно, реальные импульсы в оптическом волокне все-таки расплываются. За это ответственны факторы, которые не были учтены при выводе уравнения (11.52), в первую очередь — затухание. Поэтому наиболее выгодно использовать длину волны 1,55 мкм (для кварцевого стекла), на которой потери минимальны. Можно также применять специальные методы усиления солитонов, среди которых наиболее перспективным представляется использование вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР) [98]. Теоретические оценки показывают, что солитонные линии связи способны передавать информацию на расстояния порядка 1000 км со скоростью до 100 Гбит/с. Весьма впечатляющие результаты были получены в работе [102], где за счет ВКР-усиления было обеспечено распространение солитонов на расстояние свыше 4000 км без заметного увеличения их длительности. 11.7. Самофокусировка света Модуляционная неустойчивость может проявляться по отношению не только к продольным, но и поперечным возмущениям. В последнем случае возникает явление самофокусировки. В этом параграфе будет рассмотрена самофокусировка электромагнитной волны в нелинейном диэлектрике. Пусть показатель преломления зависит от интенсивности в соответствии с формулой (11.57), причем п2 > 0. Тогда фазовая скорость vph = с/п(Е) уменьшается с ростом амплитуды поля. Рассмотрим распространение ограниченного волнового пучка с коло-

220

колообразным распределением интенсивности, подобным изображенному на рис. 11.6 а. Так как на оси пучка, где интенсивность максимальна, vph меньше, чем на краях, первоначально плоский \А\

221

11.7. Самофокусировка света

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

Э2

д2

где z — продольная координата, Дх = ^ т + ^~7

оператор

Лапласа по поперечным координатам. Используем стандартный аппарат метода многих масштабов, однако разложения будем вести по всем трем пространственным переменным. Поле Ь, как обычно, представим в виде Е = е Е 1 + е 2 Е 2 + е * Е 3 + •••

Рис.

11.6. Искажение фронта волнового пучка при самофокусировке

фронт пучка деформируется, как это показано на рис. 11.6 6. Эффективная ширина пучка уменьшается, т. е. происходит его самофокусировка. В случае п2 < 0 среда, наоборот, является дефокусирующей. Это явление было предсказано Г. А. Аскарьяном в 1962 г. из весьма простых соображений [103]. Он предположил, что в оптически прозрачной среде распространяется мощный луч лазера. Такой луч за счет целого ряда эффектов (нелинейной поляризуемости, электрострикции, разогрева и т. п.) немного изменяет показатель преломления среды. Если среда становится оптически более плотной (показатель преломления увеличивается), то луч создает сам себе нечто вроде линзы, которая будет его фокусировать. Поэтому центральная часть волнового фронта несколько отстает от периферических, и волна становится сходящейся 2 ). При описании оптической самофокусировки будем предполагать, что дисперсионными эффектами можно пренебречь. Тогда можно считать, что поляризация среды связана с напряженностью поля алгебраическим соотношением (11.55), где коэффициенты Xi,3 есть константы. Запишем неодномерное волновое уравнение Максвелла

1 д2Е с

2

z

ot

д2Р 1

at

Подставив в него выражение (11.55), получим

,д2Е (! + Xi) -^г 2 8t

д2Е „ 2 д т г т2 - с2АхЕ •

с2

dz

at2

(11.59)

2 ) Согласно формуле Диплома на открытие № 67 с приоритетом от 22.12.1961 г., выданного Аскарьяну: «Установлено неизвестное ранее явление самофокусировки электромагнитных и звуковых лучей, заключающееся в уменьшении расходимости (или увеличении сходимости) лучей из-за появления поперечного градиента нелинейного показателя преломления и возникновения нелинейного волновода, уменьшающего сечение пучка».

и будем искать решение в виде квазиплоской волны, т. е. выберем в порядке е Ei = Aexp [i{wt - fez)] + к.с, где амплитуда А зависит от медленных переменных Т\, Х\, Y\, Zi, ... Частота ш и волновое число к связаны дисперсионным соотношением

ск

ш = —. п0 Напомним, что в рамках сделанных приближений по = \Л + Xi — = const (дисперсии нет). Выделяя из уравнения (11.59) члены порядка е2, находим (11.60)

где L = (1 +

2

2 я2

- с -^-7- Условие уничтожения секулярных - dzi dZ членов, как обычно, приводит к уравнению с ЗА дА (11.61) п0

'&т£

и уравнение (11.60) принимает вид LE2 = 0, что позволяет выбрать Е2 = 0. 3 Члены порядка е в уравнении (11.59) дают

д2Ех

-с'

д2ЕЛ

222

Гл.11. Модулированные волны в нелинейных средах

Подставляя сюда Е\ и приравнивая нулю секулярные члены, получаем

А

, 2 дА\

где Д_|_ =

д2

•+ Щ

этой величины обращается в нуль, так как А(х,у Следовательно, dI\/dZ = 0, где

„ —с

h

\2 Нетрудно заметить, что

(11.62)

где 7 по-прежнему описывается формулой (11.58). Уравнение (11.62) описывает процесс стационарной самофокусировки и позволяет найти пространственное распределение интенсивности волнового пучка. В плоском двумерном случае

следовательно, интегрирование по поперечному сечению приводит к уравнению dI2jdZ = 0, где

д2 \

(11.64)

) о н о превращается в обычное НУШ, имеющее решения в виде солитонов (11.26). Процесс образования солитонов из начального возмущения теперь соответствует распаду волнового пучка на несколько более узких самофокусированных пучков, форма которых в дальнейшем не изменяется. Их стабильность вызвана взаимной компенсацией нелинейных и дифракционных эффектов. Отметим, что характерная ширина пучка обратно пропорциональна амплитуде солитона ат в формуле (11.26), а скорость U теперь определяет угол между направлением его распространения и осью z. Более интересной представляется ситуация, когда пучок является не плоским, а цилиндрическим. В общем случае уравнение (11.62) не является интегрируемым и его точное решение найти не удается. Однако оно обладает двумя важными интегралами движения, которые помогают выяснить характер эволюции волнового пучка. Первый можно найти, умножая уравнение (11.62) на А* и вычитая из комплексно-сопряженного, что дает i

(11.63)

Чтобы найти другой интеграл, умножим уравнение (11.62) на дА* /8Z и сложим с комплексно-сопряженным выражением. В результате получим

dZ\

жащие производные по Z\ и Т\, взаимно уничтожаются. Это обусловлено тем, что не учитываются дисперсионные эффекты (dvg/dk = 0). Перейдя к новым переменным Z = Z2, T = Т2 — — noZ2/c, получим неодномерный вариант НУШ: 1

= ±оо) = 0.

= f\A?

силу соотношения (11.61) члены, содер-

ЗА

223

11.7. Самофокусировка света

1 +

Проинтегрируем это соотношение по поперечному сечению. Поскольку АА±А* — А*А±А = V±(AV]_A* - А*Ч±А), интеграл от

Если использовать аналогию с квантовой механикой, то интегралы (11.63) и (11.64) имеют смысл соответственно числа квазичастиц и полной энергии. Далее, можно ввести величину J = f r2\A\2 ds±_ (при этом, очевидно, величина Jjl\ будет иметь смысл эффективной ширины пучка) и, используя так, называемый метод моментов [104, 105], показать, что

Дважды интегрируя это соотношение, получаем где 6*1,2 — постоянные интегрирования. Видно, что если начальные условия таковы, что 12 < 0, то на достаточно больших расстояниях правая часть данного выражения становится отрицательной, в то время как J по определению положительная величина. Это говорит о том, что в точке Zc, где J изменяет знак, эффективная ширина волнового пучка обращается в нуль, а амплитуда поля на оси — в бесконечность, т. е. происходит его коллапс. При

224

этом уравнение (11.62), очевидно, теряет справедливость. В действительности процесс самофокусировки продолжается до тех пор, пока не происходит пробой диэлектрика. Разумеется, явление самофокусировки наблюдается не только в нелинейной оптике. Например, активно исследуется самофокусировка различных типов волн в акустике и физике плазмы. Имеется обширная литература, в которой подробно обсуждаются различные вопросы, связанные с нелинейной дифракцией волновых пучков (см., например, [6, 10]). В частности, можно порекомендовать недавно вышедшую книгу [105], целиком посвященную проблеме самофокусировки. 11.8. Трехволновое взаимодействие в квадратично-нелинейной среде Предыдущие параграфы были посвящены явлениям, связанным с нелинейным самовоздействием волновых пакетов в сильно диспергирующих средах. Именно при сильной дисперсии, когда фазовые скорости основной и высших гармоник отличаются значительно, волну с полным основанием можно считать квазигармонической. Однако даже в этом случае важную роль могут играть эффекты резонансного взаимодействия квазигармонических волновых пакетов. Наиболее существенным среди них является взаимодействие трех волн, частоты и волновые числа которых связаны соотношениями

+ к2 =

(11.65)

которые называются условиями трехволнового резонанса. Заметим, что модуляционную неустойчивость можно рассматривать как предельный случай четырехволнового резонанса (11.9), (11.10) (u)± близки к ц ) . Рассмотрим распространение трех волновых пакетов с частотами и волновыми числами, удовлетворяющими условиям (11.65), в квадратично-нелинейной среде. Тогда, применяя метод многих масштабов, нетрудно убедиться, что в порядке е 2 возникнут члены, пропорциональные exp [i(9j ± Ok)], где 0j = Wjt — kjX, j = 1,2,3. Поскольку соотношения (11.65) можно переписать в виде

де Aj — амплитуды взаимодействующих волн, Vj — их группоые скорости, будем иметь систему связанных нелинейных урав[ений

(11.66)

Здесь (Tj — коэффициенты нелинейного взаимодействия, которые в консервативной среде являются вещественными. Поскольку в данном случае уравнения возникают в порядке е 2 и требуется лишь одна пара медленных переменных, индексы у них будем опускать: Т = 7\, X = Х\. Уравнения (11.66) называются уравнениями трехволнового взаимодействия и являются одной из эталонных систем теории нелинейных волн. Они описывают широкий круг явлений в различных областях физики [8, 15]. В частности, трехволновым взаимодействиям для поверхностных волн на воде посвящена статья [106], для волн в плазме — книга [107]. Подобно многим другим эталонным уравнениям, система (11.66) интегрируема методом обратной задачи рассеяния [15, 89, 108]. Обсудим основные свойства этих уравнений. 11.8.1. Параметрическая (распадная) неустойчивость. Вначале остановимся на взаимодействии волн с положительной энергией. В этом случае все коэффициенты o~j имеют одинаковые знаки (для определенности будем считать их положительными). Прежде всего отметим, что уравнения (11.66) имеют пространственно-однородные решения вида A{j = 0, Ак — AQ, где Ао = const, г ф j ф к. Исследуем эти решения на устойчивость. Рассмотрим ситуацию, когда отлична от нуля амплитуда одной из низкочастотных волн. Положим Ai = AQ + ai(X,Т), А2,з = о,2,з{Х,Т), где а ^ з — малые возмущения. Тогда, линеаризуя второе и третье уравнения (11.66), находим дао ,

даз , +щ

в качестве условия уничтожения секулярных членов вместо уравнений типа

dA

,

даз

~дТ Ш d

225

11.8. Трехволновое взаимодействие

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

аг

~~

0 2

°"

Отыскивая решение в виде ач,з ~ ехр [г(Г2Т — КХ)], получаем дисперсионное соотношение связанных волн, которое имеет вид (О - v2K)(U 8 Н.М. Рыскин, Д.И. Трубецков

- v3K) =

2

226

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

Поскольку правая часть этого уравнения положительна, связь является пассивной [8, 109] и малые возмущения с течением времени не нарастают. Теперь рассмотрим решение А\$. = 0, Аз = AQ = const, когда отлична от нуля амплитуда высокочастотной волны. В этом случае линеаризация первого и второго уравнений (11.66) дает

da\ ~дТ

да2

11.8. Трехволновое взаимодействие где i ф j ф к, и опуская штрихи, получим

dM _ ~d~X ~

dAz

да2 ~дХ

2

3

'

— - А*А ~dX ~ 1 3 '

х

.

227

(11.67) (11.68) (11.69)

=

Уравнения (11.67)—(11.69) описывают стационарный режим параметрического усиления. Умножим уравнение (11.67) на А* и сложим с комплексно сопряженным. Тогда

откуда следует дисперсионное соотношение

- viK)(U - v2K) = Таким образом, в данном случае связь активная и пространственно-однородное решение неустойчиво: малые возмущения низкочастотных волн нарастают экспоненциально, черпая энергию из высокочастотной волны. Разумеется, экспоненциальный рост имеет место лишь на начальном этапе, когда возмущения все еще можно считать малыми. Такая неустойчивость называется параметрической, так как ее можно трактовать как неустойчивость волн, распространяющихся в периодически-неоднородной среде, промодулированной волной Аз [8, 67, 109]. Отметим, что параметрическая неустойчивость может быть как конвективной (v\^ имеют одинаковые знаки), так и абсолютной (знаки разные). Важно также подчеркнуть, что эта неустойчивость является нелинейной так как тривиальное решение А ^ з = 0, очевидно, устойчиво. Высокочастотная волна Аз называется волной накачки, а из низкочастотных волн одна представляет собой полезный сигнал, а другая называется холостой. На языке квазичастиц соотношения (11.65) можно рассматривать как законы сохранения энергии и импульса в процессе распада кванта волны накачки на кванты сигнальной и холостой волн. Поэтому параметрическую неустойчивость часто называют распадной. Уравнения трехволнового взаимодействия позволяют проанализировать стадию насыщения неустойчивости. Для этого рассмотрим стационарный вариант уравнений (11.66) (д/дТ = 0). Вводя в уравнениях (11.66) переменные

Аналогично из уравнений (11.68) и (11.69) находим d\A2\2 = A1A2A3 + K.C, dX d\A3\2 = -A1A2A3 + К.С. dX Из этих соотношений нетрудно получить три закона сохранения, два из которых являются независимыми: | А 1 | 2 - | А 2 | 2 = 71,

(11.70)

где 7^2 — интегралы движения. Уравнения (11.70)—(11.72) показывают, как перераспределяется мощность накачки между сигнальной и холостой волнами. В теории параметрических колебаний они носят название соотношений Мэнли-Роу [8, 109]. Разделим в уравнениях (11.67)-(11.69) вещественные и мнимые части, полагая Aj = a,jexp(i
cos Ф,

ф=

(11.73)

a3 = (£152 _ £203 _

\ аз

а\

а2

228

11.8. Трехволновое взаимодействие

Гл. 11. Модулированное волны в нелинейных средах

где Ф = <р3 — (f2 — Pi, а точка обозначает дифференцирование по X. Последнее уравнение приводится к виду

Ф=-

I QJ\

0*2

п3

\

d

— + — + — tgФ = - — (lnola2aз)tgФ. \а\ а,2 аз/ аХ

229

тотной волны в низкочастотные и обратно, представлены на рис. 11.7а. На рис. 11.75 изображены аналогичные зависимости в 1, 2, з1

, 2, 3

Интегрируя это уравнение, находим еще один закон сохранения в виде = G. Тогда система (11.73) упрощается. Вводя Nj = а2, получаем уравнения N3 - G2.

2

случае, когда вначале доминирует одна из низкочастотных волн и эффективное усиление невозможно.

С учетом соотношений (11.70)—(11.72) для N3 будем иметь - N3){I2 - h - N3) - G2.

(11.74)

Подкоренное выражение представляет собой полином с тремя нулями, который в общем случае можно записать в виде (N3 - Na)(N3 - Nb){N3 - Nc), причем 0 < Na < Nb < Nc. Вводя новую переменную У =

Рис. 11.7. Стационарные пространственные распределения амплитуд волн при трехволновом параметрическом взаимодействии, когда оз(0) » ai,2(0) (о) и а 1 ( 0 ) > а 2 , з ( 0 ) (б)

11.8.2. Взрывная неустойчивость. Перейдем к рассмотрению трехволновых взаимодействий, в которых участвуют волны с энергиями разных знаков. В общем случае уравнения (11.66) принимают вид

N3-Na

(11.76)

приведем уравнение (11.74) к виду

2

где т

= -jrr- г#- < 1. Решение этого уравнения выражается

через эллиптические функции Якоби следующим образом:

у = sn (\/Nc - NaX; rnj .

где Sj = ± 1 — знаки энергий взаимодействующих волн, а коэффициенты aj по-прежнему считаются положительными. Особый интерес представляет ситуация, когда отрицательной энергией обладает либо высокочастотная, либо обе низкочастотные волны. Рассмотрим для простоты пространственно-однородный вариант уравнений (11.76) (д/дХ = 0). Переходя к переменным А[ = А{у/ЩаЦ и разделяя вещественные и мнимые части, получим

Окончательно находим, что N3 = Na + {Nb - Nc) sn 2 ^Nc

швФ,

0,2 =

- NaX; m ) .

Далее при помощи соотношений (11.70)—(11.72) нетрудно найти зависимости амплитуд волн от координаты. Типичные зависимости Ait2i3{X) при параметрической неустойчивости, иллюстрирующие процесс периодической перекачки энергии из высокочас-

(11.77)

аз =

(11.75) Ф= -

V

п\

0,2 )

где по-прежнему Ф = цз3 — ф2 —
230

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

теперь будем иметь

231

11.8. Трехволновое взаимодействие

Интегрируя его с начальным условием а (Г = 0) = ао, получаем

4-4 = /2,

4-4

=

h-

(11-78)

Из соотношений (11.78) следует, что, в отличие от параметрической неустойчивости, амплитуды всех трех волн в данном случае будут нарастать одновременно. Однако тут нет противоречия с законом сохранения энергии, поскольку когда амплитуда волны с отрицательной энергией растет, энергия уменьшается. Заметим, что если при Т = 0 амплитуды всех волн были одинаковыми: а\ = а.2 = аз = а, то это условие будет выполнено и в любой последующий момент времени. Тогда уравнения (11.77) сводятся к системе уравнений второго порядка а = a2cos,

(11.79)

Ф = - З а sin Ф,

(11.80)

которую несложно пронализировать на фазовой плоскости. Как следует из уравнения (11.80), фазы волн остаются постоянными, если Ф = 0, ±7г (очевидно, что достаточно ограничиться областью —тг < Ф < 7г) и соответствующие фазовые траектории на плоскости (а, Ф) есть вертикальные прямые. При Ф = ±7г уравнение (11.79) принимает вид а = -а2. Решение этого уравнения с начальным условием а(Т = 0) = ао есть а0 а= а Т' 0

откуда видно, что на прямых Ф = ±7г амплитуда монотонно уменьшается, стремясь к нулю как 1/Т при Т —• оо. Однако полученное решение является неустойчивым. В этом легко убедиться, линеаризовав уравнение (11.80), полагая Ф = ±тг + Ф, где |Ф| <S 1, что дает Ф = ЗаФ. Поскольку а — положительная величина, малые возмущения Ф с течением времени нарастают. Напротив, решение с Ф = 0, очевидно, является устойчивым. В этом случае уравнение (11.79) принимает вид

а =

1-аоГ"

Отсюда следует, что амплитуда нарастает, обращаясь в бесконечность при Т = Т* = UQ"1. Фазовый портрет системы (11.79) и (11.80) приведен на рис. 11.8. Видно, что при любых начальных условиях быстро устанавливается состояние с Ф, близким к нулю. После этого фазы взаимодействующих волн уже практически не меняются, т. е. происходит синхронизация фаз. Далее амплитуды волн начинают быстро нарастать, обращаясь в бесконечность за конечный про-

-л

0

л Ф

Рис. 11.8. Фазовый портрет системы (11.79), (11.80)

межуток времени. Такая неустойчивость называется взрывной. Взрывная неустойчивость реализуется, например, при взаимодействии некоторых типов волн в плазме [107], а также в системах типа электронный поток — электромагнитная волна [ПО, 111]. Более сложный характер носит динамика пространственно-неоднородных возмущений. Анализ показывает, что взрывная неустойчивость возможна лишь если энергия начального возмущения достаточно велика, т. е. существует порог неустойчивости. Рассмотрим, например, ситуацию, когда в начальный момент времени возбуждена одна из волн, для определенности — А\, причем возмущение имеет вид прямоугольного импульса: Lo = const,

0 < X < 1, X <0,

Х>1,

а = а2. Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью v\. Тогда

232

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

уравнения трехволнового взаимодействия принимают вид -Tjy- -

Уравнение (11.82) описывает линейное взаимодействие встречных волн с энергиями разных знаков. Его решение с граничными условиями (11.83) подробно описано в литературе, в основном в связи с задачами сверхвысокочастотной электроники (см., например, [26, 112]). Анализ показывает, что малые возмущения начинают экспоненциально нарастать во временем при выполнении условия

А3А2,

дА2 ,

дА2

дА3

дА3

где и2 = v2 — vi, щ = «з — «1. На начальной стадии развития неустойчивости, когда амплитуду Ai можно считать постоянной, эти уравнения становятся такими:

дА2 , дА2 ~дТ+Н2~дХ= дА3 ,

, . оЛз'

л А

В этом случае по мере нарастания возмущений неустойчивость будет выходить на нелинейную (взрывную) стадию. Если же условие (11.84) не выполнено, то с течением времени импульсы будут разбегаться за счет различия групповых скоростей.

Ч -2

\df + U3dx)

A2

= \Ao\2^-

^ 1 , 2,3 /

(и.81)

Отсюда видно, что если щ и из имеют одинаковые знаки, то неустойчивость носит конвективный характер. Следовательно, с течением времени возмущения волн А2>3 покидают область, в которой локализовано возмущение волны л ь и взрывной рост амплитуд не наблюдается. Таким образом, для возбуждения взрывной неустойчивости необходимо вносить возмущение волны, имеющей промежуточную групповую скорость. Если это условие выполнено, то неустойчивость является абсолютной. Без ограничения общности положим и2 = и, щ = —и. Тогда уравнение (11.81) принимает вид неустойчивого уравнения Клейна-Гордона и

2

д2А2

=

'

о|

2

2

(11.82)

'

причем граничные условия имеют вид А2(Х

= 0) = 0,

(дА2

+и

дА2

\~дт ~дх

Х=1

= 0.

(11.83)

2Х

-2

2Х

-1

42,3'

Полагая А2 ~ ехр[г(ПТ - КХ)], получаем дисперсионное соотношение {П-и2К)(п-щК) = -\А0\2.

д2А2

Г-0

4 2,3'

Исключая отсюда А3, будем иметь

&r + U2dx)

233

11.8. Трехволновое взаимодействие

- 2 - 1

0

Т-1,7

1

/

2 А"

-2

А -1

Г-2,0 \ \

0

1

\

\ 2Х

а Г-0

42,3'

- 2 - 1

0

1

2 А"

-2

Ч 2,3'

-3

-2

-1

Г-1,8

^1,2,3'

0

-1

0

1

2А-

Г-3,0 ЗА:

Рис. 11.9. Эволюция амплитуд волн при взрывной неустойчивости: а — амплитуды импульсов превышают критическое значение — импульсы сливаются; б — амплитуды меньше критических — импульсы разбегаются

Аналогичные оценки порога взрывной неустойчивости в несколько иной форме были получены в работах [113, 114] и подтверждены результатами численных экспериментов [111, 113, 114].

234

Гл. 11. Модулированные волны в нелинейных средах

На рис. 11.9 приведены пространственные распределения амплитуд взаимодействующих волн в различные моменты времени, иллюстрирующие процессы разбегания импульсов, когда порог неустойчивости не достигнут, и слияния с последующим развитием взрывной неустойчивости, когда этот порог превышен [113]. Более строгое аналитическое исследование распадной и взрывной неустойчивостей возможно на основе метода обратной задачи рассеяния [15, 108].

Глава 12 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С НЕУСТОЙЧИВОСТЯМИ Устойчивость можно определить как свойство системы быть невосприимчивой к малым возмущениям. Вообще говоря, возмущения не обязательно должны быть бесконечно малыми по величине, однако, всегда принципиальное значение имет вопрос об их нарастании. ... для сплошной среды число степеней свободы является бесконечно большим, и задача становится ...трудной. К тому же основные уравнения представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Р. Бетчов, В. Криминале. Вопросы гидродинамической устойчивости (М.: Мир, 1971. С. 12)

Волновые процессы в средах, в которых возникают и развиваются различные неустойчивости, играют важную роль в различных областях физики и техники. Как было показано в § 11.6, можно выделить два типа подобных неустойчивостей. К первому типу следует отнести неустойчивости в активных средах, в которых диссипация может быть как положительной, так и отрицательной. В качестве примеров можно привести рабочее вещество оптического квантового генератора, состоящее из частиц с инверсной заселенностью (число атомов или молекул на верхних энергетических уровнях больше, чем на нижних), полупроводники с отрицательным дифференциальным сопротивлением, некоторые химические и биологические системы. Универсальной моделью для описания этих неустойчивостей служит уравнение ГинзбургаЛандау. Неустойчивости второго типа вызваны взаимодействием волн с положительной и отрицательной энергиями. Они характерны для так называемых неравновесных сред, в которых имеются нескомпенсированные потоки вещества или энергии, например, гидродинамические течения или электронные потоки. Такие неустойчивости описываются нелинейными волновыми уравнениями типа Клейна-Гордона.

236

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

12.1. Уравнение Гинзбурга-Ландау

В гл. 11 уже рассматривались некоторые волновые неустойчивости: модуляционная, параметрическая, взрывная. Следует, однако, подчеркнуть, что все они являются нелинейными в том смысле, что возмущения малой амплитуды устойчивы, а неустойчивость является следствием нелинейного взаимодействия волн. В настоящей главе рассматриваются системы, в которых неустойчивы уже линейные возмущения. Впрочем, учет нелинейных эффектов и здесь носит принципиальный характер, так как позволяет ответить на вопрос, чем завершится развитие неустойчивости. 12.1. Уравнение Гинзбурга-Ландау Обратимся вначале к активным средам, в которых неустойчивость связана с наличием отрицательной диссипации. Такие среды описываются комплексными нелинейными дисперсионными соотношениями вида u = u>r{k,\A\2)+iul{k,\A\2,v),

(12.1)

где u}r>i являются вещественными функциями от волнового числа к и медленно меняющейся амплитуды волны A, a v — некоторый управляющий параметр, в зависимости от которого диссипация может быть как положительной, так и отрицательной. В § 1.6 при помощи эвристического подхода из соотношения (12.1) было получено уравнение Гинзбурга-Ландау: * {At + vgAx)

2

+ (ЗАХХ + -у\А\ А = iaA.

(12.2)

Это уравнение справедливо вблизи точки бифуркации v = vc, к = = кс, в которой Ш{ меняет знак, т. е. появляется отрицательная диссипация. В уравнении (12.2) v g = dujr/dk — групповая скорость,

.д2ыЛ

+ дк* Г

= 0г + Фг = 2

1

7 = 7г + hi = -

3|a|

оо 2

Аь = аА-Ъ\А\ А

- i/3Axx = aA.

Общее решение этого уравнения можно представить в виде

.

причем все призводные вычисляются в точке и = vc, к = кс, \А\ = = 0. Напомним, что в этой точке щ = dtOi/dk = 0. В пространственно-однородном случае (д/дх = 0) уравнение (12.2) сводится к укороченному уравнению Ван-дер-Поля 2

которое описывает процесс установления колебаний в широком классе автоколебательных систем [8, 16]. Очевидно, что при положительных а (т. е. при v > vc) малые возмущения являются нарастающими, при отрицательных — затуающими. Член —7г|-А|2А в правой части уравнения (12.3) характеризует эффекты нелинейного затухания. Поэтому следует ограничиться рассмотрением случая 7г > 0. В противном случае чтобы описать стадию насыщения неустойчивости, необходимо включить в уравнение высшие нелинейности (например, члены, пропорциональные |А| 4 А). Член г-у,-1Aj2А описывает нелинейный сдвиг частоты колебаний. Таким образом, уравнение Гинзбурга-Ландау можно рассматривать как простейшее обобщение уравнения Ван-дер-Поля на распределенные системы. Члены, пропорциональные Ах, Ахх в уравнении (12.2), очевидно, описывают эффекты пространственного распространения волны. При этом член f3rAxx характеризует дисперсию, а i(3iAxx — высокочастотную диссипацию, если Pi < 0. В дальнейшем будем предполагать это условие выполненным. Можно показать, что если /% > 0 или 7г < 0, решения уравнения Гинзбурга-Ландау «взрываются» , т. е. обращаются в бесконечность за конечное время. Уравнение Гинзбурга-Ландау играет большую роль в нелинейной динамике неравновесных сред [115, 119, 120]. Оно описывает, в частности, вихри Тейлора в течении Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами [22], плоское течение Пуазейля [21], концентрационные волны в химических системах типа реакциядиффузия [23]. Конкретный пример: образование конвективных валов в слое жидкости, подогреваемом снизу [20], будет подробно рассмотрен в § 12.2. 12.1.1. Анализ на абсолютную и конвективную неустойчивости. При a > 0 тривиальное решение уравнения (12.2) А = 0 неустойчиво: малые возмущения нарастают во времени и в пространстве. Покажем, следуя работе [22], что эта неустойчивость может быть как абсолютной, так и конвективной. Рассмотрим линеаризованный вариант уравнения (12.2), а именно: At + vgAx

. dui

237

2

+ 1ъ\А\ А,

(12.3)

A{x,t)=

Akexp[i{kx-w{k)t)]dk,

(12.4)

где шик связаны дисперсионным соотношением

ш = kvR + (Зк2 + ш,

(12.5)

238

а фурье-амплитуды Аь определяются из начальных условий. В уравнении (12.5) частота и волновое число полагаются комплексными: UJ = шг + Ш{, к = kr + iki. Асимптотическую форму возмущения при t —> оо можно определить, вычисляя интеграл (12.4) методом перевала: 2тг

A(x,t)

.д\

12.1.2. Модуляционная неустойчивость. В пространственно-однородном случае уравнение Гинзбурга-Ландау сводится к укороченному уравнению Ван-дер-Поля (12.3). Разделим в этом уравнении вещественную и мнимую части, полагая А = а ехр (iip), где а и у> вещественны. Получим at = aa — 7*0°,

A{ks)exp(f{ks)t),

X

Тt'

дкг

Из соотношения (12.5) находим, что

где ks = kST + ikSi. Величина а[к3) = Re(/(A;S)) = Wi{ks) — ksix/t представляет собой инкремент неустойчивости. Понятно, что неустойчивость является абсолютной, если сг| , t _ 0 > 0, т. е.

Щ = 7га -

а =

=

(=0= -PrVg/2\fi\2. Отсюда получаем, что

О-гп

Сехр(-а*)'

где С — постоянная интегрирования, ат = ^а/л. Таким образом, решение (12.6) описывает процесс установления стационарного состояния = J— ехр(ш7г*/7г)(12-7) V7i Исследуем это решение на устойчивость. Перейдя в уравнении (12.2) в систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью, и разделив вещественную и мнимую части, приходим к уравнениям А = ат ехр (гуг^

fa {atpxx + 2axipx) + fa (axx - a(ipx)2) = aa - 7iO3,

at

2axipx) - 7 r a 3 = 0. - a(ipx)2) aipt Обозначим К = (рх и линеаризуем эти уравнения вблизи решения (12.7), полагая а = ат + а, К — К, где а и К — малые возмущения. Получим

pfaxx = aa -

at где

(12.6)

2

Решение первого из этих уравнений имеет вид

где f(k) = i(kx/t — ш(к)), ks — точка перевала, определяемая из условия df/dk\, = 0, т. е.

дкг

239

12.1. Уравнение Гинзбурга-Ландау

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

(12.8)

= 0.

Kt-pr — + PiKx а

« > - 7777^ = «о-

Итак, неустойчивость является конвективной при

0 < a < aa и абсолютной при

a > aa. Напомним, что коэффициент /3; считается отрицательным.

т Будем искать решение в виде а, К ~ ехр (At + ixx). нения (12.8) принимают вид (А - Pi*2 + 2ца2п)а = (А -

Тогда урав-

-ЫРгатК,

2

ргн )К

откуда следует характеристическое уравнение (А - PiX2)(X - Pix2 + 2Ъа2т)

= Ргх2(2Ъа2т

-

ргх2).

240

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

Корни этого уравнения есть А± =

(12.9)

Выясним, возможно ли существование корней с положительной вещественной частью. В пределе малых х, т. е., когда волновое число возмущения близко к волновому числу несущей волны, можно пренебречь в выражении (12.9) членом порядка х 4 и получить А+ Полагая второе слагаемое под корнем малым по сравнению с единицей, будем иметь

Д-7г + РПг X2. Ъ Поскольку 7г > 0, условие неустойчивости имеет вид РгЪ+&Ъ>0.

,

Л+ ~

12.2. Конвекция Рэлея-Бенара,

(z = 0) — температура Т2 = T\ + AT (рис. 12.1). В отсутствие конвекции, когда теплоотвод осуществляется только за счет теплопроводности, v = 0. Тогда, считая, что равновесное распределение температуры Те зависит только от вертикальной координаты z, можем написать Te = Ti + AT (1 - 7 ) • V IJ Будем считать задачу двумерной. Это означает, что все переменные зависят только от горизонтальной координаты х и вертикальной z. Введем функцию тока ф, определяемую соотношениями дф _ дф z dz' дх' а также переменную в = Т — Те — отклонение температуры от равновесного значения. Кроме того, используем приближение Бус-

т-т.

(12.10)

••>

II гI

Эта неустойчивость является аналогом модуляционной неустойчивости для консервативных сред (гл. 11), а критерий (12.10), полученный в работе [116], очевидно, играет роль критерия Лайтхилла.

t

t

Продемонстрируем получение уравнения Гинзбурга-Ландау на конкретном физическом примере. Рассмотрим задачу о тепловой конвекции в плоском слое идеальной жидкости, подогреваемом снизу, следуя работе [20] Исходная система уравнений, состоящая из уравнений Эйлера, непрерывности и теплопроводности, в предположении, что жидкость несжимаема, имеет вид (см. например, [33])

ж

+ (vV)v

=

(ж

v

||

.. -

-

V

T

)

( -

11 II II Iг t

n

t

..

||

., — • т> II

-

-

t

t

Рис. 12.1. Образование валов при тепловой конвекции

синеска, т. е. всюду, где р не стоит под знаком дифференциала, будем считать р = ро = const. При дифференцировании положим

р = ро[1-а{Т-То)}, где а — коэффициент объемного расширения, То = (Ti + Тг)/2. Тогда система уравнений (12.11) принимает вид

72Ф)

divv = 0, рСр

,,

T - Tx + AT

12.2. Конвекция Рэлея-Бенара

р

241

(12.11) =

Здесь р — плотность жидкости, v — скорость, г/ и х — коэффициенты динамической вязкости и теплопроводности соответственно, Ср — теплоемкость, Т — температура. На верхней границе слоя (z = /) поддерживается постоянная температура Т\, на нижней

dt

(x,z)

„л , . •и v

дв

" у дх'

(12.•12) 2 AT dip 7в dt д(х,.г) ~ ~ где и = rj/po — кинематическая вязкость , X = х/роСр — температуропроводность, да db d(a, Ь) _ da db dz dx d(x, z) ~ dx dz

dO +,д(ф,

9 Н.М. Рыскин, Д.И. Трубецков

й-

242

Введем безразмерные переменные t' = xV 2 > х> = х/^ z' = ZIU = = Ф' Ф1х-> &' О/AT. Подставляя эти выражения в систему (12.12) и опуская штрихи, получим

ее

Это квадратное уравнение относительно ш, корни которого легко находятся в следующем виде:

(12.13)

_дф

~7 ~Г

V

2

4а 2

PrRa+7r 4 (Pr-l) 2 (a

С/.

Здесь Рг = и/х — число Прандтля, Ra = agATl3/и\ — число Рэлея. Будем искать решение системы (12.13) в виде рядов по степеням малого параметра е:

Поскольку подкоренное выражение всегда положительно, оба корня дисперсионного соотношения (12.15) являются чисто мнимыми. Стационарное состояние теряет устойчивость, когда корень а>_ меняет знак. Разрешая уравнение oi_ = 0 относительно числа Рэлея, которое выберем в качестве управляющего параметра, получаем „

•0 =

Ra=

9= Тогда в порядке е получим линеаризованный вариант уравнений (12.13) в виде

7г4(а2 + 1) 3 а22

(12.14)

= 0.

Для простоты выберем свободные граничные условия на обеих граничных поверхностях: •ф = V 2 ^ = 0 при z = 0 и z = 1. Чтобы удовлетворить этим условиям, будем искать решение уравнений (12.14) в виде

Положим к = па. Тогда из системы (12.14) следует дисперсионное соотношение \ш - тг2 Рг(а 2 + 1)1 \ш - тг2(а2 + 1)1 = Pr Ra -^—. az + 1

(12.15)

•

Нетрудно найти, что это выражение имеет минимум, когда а = = 1/\/2- Итак, при

Ra > Ra, =

дх

243

12.2. Конвекция Рэлея-Бенара

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

27тг4

(12.16)

возникает конвекция: более теплая жидкость поднимается к верхней границе, где охлаждается и опускается вниз. В результате образуется система конвективных валов (рис. 12.1), причем отношение их продольного размера к поперечному определяется величиной а. По мере увеличения градиента температуры (т. е. числа Рэлея) первой теряет устойчивость мода с к = тт/л/2. При этом зависимость ш-(к) имеет вид, полностью аналогичный изображенному на рис. 1.13. Получим уравнение Гинзбурга-Ландау, описывающее динамику амплитуды возмущения в окрестности точки бифуркации (А; = = 7г/\/2, Ra = Ra c ). Используем обычный аппарат метода многих масштабов. Введем медленные координату X = ех и время Т = £2£ (позволим себе несколько упростить выкладки, оставив лишь «нужные» масштабы, которые войдут в окончательное уравнение). Положим также Ra = Ra c +£ 2 . Таким образом, малый параметр е имеет смысл превышения бифуркационным параметром критического значения. В порядке е будем искать решение в виде 1

) = ( 0 1 1 ) A(X,T)exp{mx/V2)smKZ

+ K.c.

(12.17)

244

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

Подставляя эти выражения в уравнения (12.14), найдем, что Фп = - ^ = ,

011 = 1.

12.2. Конвекция Рэлея-Бенара

245

где

(12.18)

В порядке е2 получим уравнения

dt

дх

- Pr дОх

= Рг(4 а^2 _ dt

Rac ^dX ] -

dxdX *

dx

су

dxdX

d(x,z)

dX

,

дв, &т^ dx2

(12.19)

Т"

d(x,z)

Исключая 0з из уравнений (12.22), имеем

d(x,z) '

Решение уравнений (12.19) будем искать в виде

dt

t

) =

дх2

dt

д

e x p

С учетом соотношений (12.17), (12.18) нетрудно найти, что V2^i) \—

= 0

д(фъвх) ~я7 Г

п

'

=

~

37Г

2

^

2

Для того чтобы решение не было секулярным, необходимо в правой части этого уравнения приравнять к нулю члены, пропорциональные ехр (гтпг/\/2) SHITTZ. Это дает бгтг^

Подставляя эти выражения в уравнения (12.19) и выделяя члены, пропорциональные sin27r;z, получим Зтг

(12.20)

Для коэффициентов ф2\ и 92Х, очевидно, будем иметь неопределенную систему уравнений. Из нее удается найти лишь одно соотношение, связывающее эти величины: 3J7T ^21 = 1 - ^ = 0 2 1 -

(12.21)

(12.22)

-^ ~ v

вз

~ ~В~х~

&Г Згтг 3

2^2

dA

~72

d2A

•021

2гтг

in

= 0.

75'

Подставляя сюда соотношения (12.16), (12.17), (12.20) и (12.21), после ряда вычислений получаем уравнение Гинзбурга-Ландау в виде

РГ дТ ~ Рг+1 | 3

Уравнения порядка е 3 имеют вид

dG

+

йА-^А?А

(12.23)

При этом члены, содержащие неизвестную величину в2\, взаимно уничтожаются. Слагаемые в правой части уравнения (12.23) отвечают за вязкую диссипацию, неустойчивость и нелинейное насыщение соответственно.

246

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

12.3. Об автоколебаниях в распределенных системах. Динамическая модель пространственного развития турбулентности Распределенные автоколебательные системы (РАС) весьма распространены и в природе, и в технике [8, 117]. К ним относятся функциональные системы живого организма (системы кровообращения, дыхания, речи), духовые и струнные музыкальные инструменты, приборы вакуумной и квантовой электроники — генераторы электромагнитного излучения микроволнового и оптического диапазонов, переменные звезды (цефеиды), автокаталитические химические реакции. Некоторые процессы, связанные с существованием различных биологических видов, также носят автоколебательный характер. Не претендуя на чрезмерную строгость, дадим определение РАС, предложенное М. И. Рабиновичем. Автоколебательной назовем неконсервативную систему, в которой в результате развития неустойчивости возможно установление незатухающих волновых или колебательных движений, параметры которых (амплитуда и форма колебаний или волн, частота, а в более общем случае — спектр колебаний) определяются самой системой и не зависят от конечного изменения начальных условий. Уравнение Гинзбурга-Ландау является эталонной моделью широкого класса распределенных авткоколебательных систем 1 ). Особый интерес представляет тот факт, что решения этого уравнения могут иметь характер не только периодических или квазипериодических, но и хаотических автоколебаний, аналогичных детерминированным хаотическим колебаниям в конечномерных динамических системах. Исследование сложной динамики уравнения Гинзбурга-Ландау (и других РАС) имеет большое значение, поскольку позволяет установить определенную связь между турбулентностью в распределенных средах и динамическим хаосом в системах с малым числом степеней свободы. Среди работ, посвященных этой проблеме, следует выделить статью [118], в которой была предложена динамическая модель пространственного развития турбулентности. В ней рассматривается цепочка однонаправленно связанных укороченных уравнений Ван-дер-Поля

Aj + S (Aj - Aj-i) = aAj - i\Aj\2Aj,

j = 1,2,... ,

(12.24)

где точкой обозначается производная по времени. Физическими моделями, описываемыми уравнениями (12.24), могут служит, например, цепочка однонаправленно связанных автогенераторов или гидродинамическое течение, связанное с периодической системой ') В случае, когда неустойчивость является абсолютной (см. п. 12.1.1).

12.3. Об автоколебаниях в распределенных системах

247

полостей. Очевидно, что уравнение Гинзбурга-Ландау (12.2) приводится к виду (12.24), если положить (3 — О и записать прбстейшую конечно-разностную аппроксимацию пространственной производной

dA

Aj -Aj-i

где Д — шаг по координате. В этом случае <5 = v g /A. Результаты численного моделирования системы (12.24), представленные в работе [118], показали, что в широкой области параметров в цепочке устанавливется пространственно-неоднородный турбулентный режим, причем наблюдается постепенное усложнение колебаний вниз по потоку (рис. 12.2). При малых j колебания являются квазимонохроматическими (рис. 12.2а). По мере

О 5 10 0 5 10 0 5 10 0 5 10 0 5 10 а б в г д Рис. 12.2. Спектры мощности, иллюстрирующие пространственное развитие турбулентности вдоль цепочки: а — j — 2; б — . 7 = 9 ; в — j = 10; г — j = 12; д — j = 20 и 50

роста j они сменяются сначала режимами биений с большим числом спектральных компонент (рис. 12.26), а затем слаботурбулентными колебаниями (рис. 12.2в). При дальнейшем движении вниз по потоку средняя мощность турбулентности возрастает, а спектр усложняется (рис. 12.2 г, д). Наконец, при достаточно больших j какие-либо изменения характеристик движения прекращаются и устанавливается D> стационарный пространственно-однород3,0 ный турбулентный режим. Несмотря на то, что размерность фазового простран- 2,0 ства системы весьма высока (т. е. система 1,0 по своим свойствам близка к распределенной), турбулентному движению соответствует странный аттрактор, имеющий 1 5 10 15 20 j небольшую фрактальную размерность (рис. 12.3). Рис. 12.3. Изменение разЦепочки и решетки связанных авто- мерности аттрактора вдоль генераторов являются полезными физи- цепочки чески содержательными моделями, позволяющими выяснить многие закономерности развития пространственно-временного хаоса в сплошных средах. К настоящему вре-

248

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

мени выполнено уже довольно большое число исследований (как компьютерных, так и экспериментальных) сложной динамики в цепочках, состоящих из генераторов различных типов. Обзор основных результатов можно найти, например, в книге [121]. 12.4. Взаимодействие электромагнитного излучения со средой из двухуровневых частиц Перейдем к рассмотрению другого класса волновых неустойчивостей, вызванных взаимодействием волн с положительной и отрицательной энергиями. Как было показано в § 1.6, в этом случае динамика медленно меняющейся амплитуды возмущения с частотой и волновым числом, определяемым условиями синхронизма, описывается нелинейными уравнениями типа Клейна-Гордона. Взаимодействие волн, у которых групповые скорости направлены в одну сторону, приводит к конвективной неустойчивости. Если же групповые скорости направлены навстречу друг другу, то неустойчивость абсолютная. В качестве примеров можно привести взаимодействие электронного потока, движущегося в скрещенных электро- и магнитостатическом полях, с электромагнитной волной [26,112], гидродинамическую неустойчивость Кельвина-Гельмгольца [24], а также взаимодействие когерентного электромагнитного излучения со средой из двухуровневых частиц — квантовых осцилляторов. Рассмотрим последнюю задачу подробнее. 12.4.1. Двухуровневая среда. Уравнения Блоха. Прежде всего отметим, что среда из двухуровневых атомов является сильно нелинейной. Действительно, из квантовой механики известно [83], что спектр энергетических уровней гармонического осциллятора является эквидистантным: частоты переходов между любыми соседними уровнями одинаковы. У нелинейного (ангармонического) осциллятора спектр неэквидистантный. В случае, когда частоты переходов отличаются столь сильно, что частота падающей на среду Рис. 12.4. Энергетический электромагнитной волны находится спектр ангармонического в резонансе лишь с одной из частот осциллятора. Частота пада(рис. 12.4), можно ограничиться приблиющего электромагнитного жением двухуровневой системы. излучения близка к частоте перехода wi2 Пусть частота когерентного электромагнитного излучения близка к частоте перехода между уровнями 1 и 2: ш w ш\ — Ш2 = (Е\ — E)/h / ) где h — постоянная Планка, деленная на 2тг, и пусть f/ i,2(r) — волновые функции, соответствующие стационарным состояниям с энергиями .Ei ,2- Они удовлетворяют стационарному уравнению

12.4. Электромагнитное излучение и двухуровневые частицы 249 Шрёдингера Г = ЕГ^,

г = 1,2,

(12.25)

где Но — гамильтониан атома. Зависящую от времени волновую функцию можно представить в виде суперпозиции этих состояний как

где a\t2 — заселенности уровней, удовлетворяющие условию нормировки Волновая функция (12.26) подчиняется нестационарному уравнению Шрёдингера (12.27) где Н = Но — d E — гамильтониан атома, взаимодействующего с электромагнитным полем, Е — напряженность поля, d = —ег — дипольный момент атома. Далее будем предполагать векторы Е и d параллельными. Подставляя волновую функцию (12.26) в уравнение (12.27) с учетом соотношений (12.25), будем иметь ot

) фх+ih ( -z- + J \ dt

Ф2 = -

Умножая это уравнение на if>\ и интегрируя по всему пространству с использованием свойства ортогональности собственных функций стационарного уравнения Шрёдингера (/ il)*ipjdV = <%), получаем

ih (-тр + шхах ) = eax I

+ еа2 \

Поле Е в этом выражении, вообще говоря, зависит от координат. Однако на столь малых масштабах, как размеры одного атома, этой зависимостью можно пренебречь и вынести Е за знак интеграла. Тогда, считая, что у атома отсутствует постоянный дипольный момент, т. е. г

250

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

будем иметь

12.4. Электромагнитное излучение и двухуровневые частицы 251 приведем уравнения (12.28), (12.29) к виду du\

(12.28)

-_-

где ро = —е^^тф^У. Аналогично можно получить уравнение для О2 в следующем виде:

да _2

(12.29)

iAu>u\

PQU2£

°* ..

,. \

2H

,

(12-32)

Уравнение (12.30) для поляризации атома можно переписать в виде

Р = Ро (—ш*«2 е х Р \iw [t

J — Aut + к.с.J .

Вводя так называемые огибающие поляризации

Поляризация атома р определяется выражением

I = i {u\U2 exp (—i
J = - {uiul exp (-i(p) + и\щ exp (i(p)), получим, что

Подставляя сюда волновую функцию (12.26), находим, что

р = Ро(1созФ + 7 в т Ф ) , (12.30)

Рассмотрим поле Е в виде квазигармонической волны с медленно меняющимися амплитудой £ и фазой <р, т. е. Е — £(х, t) cos(kx — u>t + ip(x, t)), причем А; = ш/с, а частота равна частоте перехода ш\ — и2. В уравнениях (12.28), (12.29) Е — поле в точке, где находится атом. Если атом движется с некоторой скоростью v, то частота за счет эффекта Доплера приобретает сдвиг на величину Дш = kv. Таким образом, в системе отсчета, связанной с атомом, Е = £(х, t) cos{kx -

ip(x, t)).

(12.31)

Сдвигом частоты у медленно меняющихся величин £ и ip пренебрегаем. Тогда, вводя новые переменные u\t2, такие, что

a 2 = u2exp

Г . \-iui L Г .

/ It \ /

-vjj2 [t

х\ Aut~\ +г-тН ' с/ 2J х\ .Awt]

J - г—— ,

(12.33)

где Ф = кх — ut + Au>t + (p. Теперь введем относительную разность заселенностей уровней N = \щ\2 — |и2р. Тогда из уравнений (12.32) нетрудно получить следующую систему уравнений: _ po£J N Nt ~ ft"' It = -{Aw + (12.34)

носящую название уравнений Блоха. При их выводе предполагалось, что электромагнитная волна представляет собой ультракороткий оптический импульс, длительность которого много меньше времен релаксации, т. е. характерных временных масштабов, на которых происходит спонтанный переход системы из верхнего состояния в нижнее. Это приближение справедливо, если продолжительность импульса порядка 1нс и менее. С другой стороны, длительность такого импульса все еще значительно больше периода оптической волны, так что волну вполне можно считать квазигармонической. Более подробный вывод уравнений Блоха можно найти, например, в книгах [13, 25]. 12.4.2. Самоиндуцированная прозрачность. Квазиклассическое описание распространения электромагнитной волны в двухуровневой среде дается системой уравнений Блоха (12.34) и уравнениями

252

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

Максвелла. Термин «квазиклассическое» означает, что для электромагнитного поля используются уравнения классической, а не квантовой электродинамики. Считая задачу одномерной, запишем волновое уравнение в виде й — с Ехх

— — е-0 1

(12.35)

12.4. Электромагнитное излучение и двухуровневые частицы 253 профиля волны начинают усиливаться. В результате импульс приобретает равновесную солитоноподобную форму и распространяется с постоянной скоростью подобно стационарной волне. Уравнения самоиндуцированной прозрачности являются системой, полностью интегрируемой при помощи метода обратной задачи рассеяния [13, 25, 123]. Интересно, что задача на собствен-

Пусть NQ — среднее число атомов в единице объема, и атомы распределены по скоростям (т. е. по Аш) с некоторой функцией распределения д(Аш). Тогда поляризация среды P(x,t) дается выражением оо

Р{х, t) = N0 I g(Ato)p{Auj, x, t)d(Au),

(12.36)

—оо

где р(Ди>, x,t) определяется формулой (12.33). Таким образом, несмотря на то, что частоты перехода всех атомов одинаковы, спектр излучения имеет конечную ширину. Это явление называется неоднородным уширением. Подставляя в уравнение (12.35) поле Е в виде (12.31), а поляризацию в виде (12.36), и пренебрегая вторыми производными от медленно меняющихся функций, получаем St + с£х =

00 2е0

I g(Au>)J(Au,x,t)d{Auj),

-00

— -

(12.37)

оо

/

g{Aw)I{Au,x,t)d(Auj).

Система уравнений (12.35), (12.37) носит название уравнений самоиндуцированной прозрачности. Явление самоиндуцированной прозрачности (self-induced transparency), открытое в 1967 г. Макколом и Ханом [122], заключается в следующем. Рассмотрим ультракороткий оптический импульс, распространяющийся в среде из двухуровневых частиц, находящихся в нижнем (невозбужденном) энергетическом состоянии. В случае резонанса, когда несущая частота электромагнитной волны близка к частоте перехода, частицы начинают поглощать энергию поля и переходят в верхнее состояние. Передний фронт импульса при этом ослабляется. Задний фронт распространяется в среде, которая уже находится в возбужденном состоянии. Взаимодействие импульса с частицами среды вызывает переходы с верхнего уровня на нижний, сопровождающиеся излучением (рис. 12.5). Соответствующие участки

Рис. 12.5. К объяснению эффекта самоиндуцированной прозрачности

ные значения решается для уравнений (12.32), которые имеют четкий физический смысл, так как следуют непосредственно из уравнения Шрёдингера для двухуровневой системы. 12.4.3. Распространение импульсов в усиливающей среде. Автомодельные решения. Более интересно проанализировать случай, когда в начальный момент большинство атомов находится в возбужденном состоянии, т. е. имеет место инверсная заселенность. Эта ситуация соответствует активной среде, которую можно использовать для усиления оптического импульса. Несмотря на то, что исходная система уравнений (12.34), (12.37) попрежнему является интегрируемой, получить аналитическое решение при произвольных начальных условиях весьма сложно, поскольку солитоны оказываются неустойчивыми, а несолитонная часть решения экспоненциально нарастает во времени. Однако если пренебречь неоднородным уширением, т. е. считать атомы неподвижными, задача значительно упрощается. В приближении неподвижных атомов д{Аш) = 8{Аш), где 6 — дельта-функция Дирака, и уравнения (12.37) принимают вид

Без ограничения общности можно положить ip = О, I = 0. Тогда, вводя новую переменную А = po£/ft, получим следующую систему

254

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

уравнений:

2

2

где П = шр ]Щ/2Пе0. закон сохранения

At + сАх = п2 J,

(12.38)

Jt = AN

(12.39)

Nt = -AJ,

(12.40)

Из уравнений (12.39) и (12.40) следует

Это условие удовлетворяется подстановкой J = ± sin U,

N = ± cos С/.

Тогда из уравнений (12.39), (12.40) получаем, что А = Ut, и уравнение (12.38) принимает вид

д (д

д dx

255

начальным условием приведен на рис. 12.6. Поскольку U изменяется от 0 до 7г при изменении г\ от — оо до оо, оно получило название тг-импульса (в отличие от солитонов, называемых 2тг-импульсами). Для безразмерной амплитуды электромагнитного поля имеем

_ dt

dr,

Отсюда следует, что по мере распространения импульса его амплитуда растет линейно. В то же время протяженность импульса линейно сокращается, так как U зависит от автомодельной переменной г} = £т. Более строгий анализ усиления ультракороткого импульса в протяженном лазерном усилителе на основе метода обратной задачи рассеяния, проведенный в работе [123], показал, что асимпто-

sinU.

Если ввести новые независимые переменные £ = пх/с, т = = fl(t — х/с), придем к уравнению Sin-Гордона U£T = ±smU.

12.5. Волны в нелинейных активных линиях передачи

и'

(12.41)

Случай TV = —cos£7 (нижний знак в уравнении (12.41)) соответствует невозбужденной среде, поскольку в отсутствие электромагнитного импульса (U = 0) имеем N — —1, т. е. все атомы находятся в нижнем энергетическом состоянии. При этом уравнение (12.41) является обычным уравнением Sin-Гордона, солитонные решения которого описывают устойчивое распространение импульсов при самоиндуцированной прозрачности. Выбор ./V = cos U соответствует среде с инверсной заселенностью, так как при U - 0 все атомы возбуждены (N = 1). Поскольку тривиальное решение U(£,T) = 0 неустойчиво, уравнение (12.41) естественно назвать неустойчивым уравнением Sin-Гордона. Как показано, например, в [25], решение, описывающее усиливающиеся импульсы, фактически определяется функцией, зависящей от автомодельной переменной г] = £т. Уравнение (12.41) при этом принимает вид r}U" + U' - sin U = 0, где штрихи означают дифференцирование по т]. Решение полученного уравнения можно найти только численно. Для того чтобы избежать сингулярностей при г/ = 0, необходимо выбрать начальные условия так, чтобы U'(0) = sin C/(0). Пример решения с таким

Г\

о

V7

Рис. 12.6. Автомодельное решение уравнения Sin-Гордона (а) и его производная (б)

тическая форма решения при больших х оказывается близкой к автомодельной. Эффекты неоднородного уширения при этом становятся несущественными.

12.5. Волны в нелинейных активных линиях передачи Нелинейные активные линии передачи с рапределенными параметрами используются в радиофизике и электронике для генерации, усиления и преобразования нано- и субнаносекундных импульсов [67, 124]. Существует множество вариантов подобных систем: распределенные туннельные и сегнетоэлектрические переходы, линии с ферритовым заполнением, протяженные сверхпроводящие джозефсоновские переходы и т. д. Обычно они выполни-

256

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

ются в виде микрополосковых или коаксиальных линий с твердотельным заполнением или в виде искусственных линий (LCцепочек), нагруженных нелинейными активными элементами. С другой стороны, подобные системы являются типичными объектами исследования в теории нелинейных волн [8], и их анализ позволяет лучше понять особенности распространения волн в активных средах. Рассмотрим линию передачи, эквивалентная схема которой изображена на рис. 12.7 а. Здесь L и С — погонные емкость и ин-

X

12.5. Волны в нелинейных активных линиях передачи

257

будут слабо отличаться от стационарных и для них можно записать следующее уравнение: Vt + UOVX = — ( 1 - (3V2)V.

(12.44)

Будем искать решения уравнения (12.44) в виде, близком к стационарному: V = V(£, т), где т = et — медленное время. Тогда из уравнения (12.44) будем иметь

Обозначив m = (3V2, получим

ei(V)

mT = am(l — m),

1 Рис. 12.7. Эквивалентная схема нелинейной активной линии передачи (а) и вольтамперная характеристика активного элемента (б)

дуктивность линии, а вольтамперная характеристика нелинейного элемента имеет вид i(V) = —eg(l — (3V2)V, где е — малый параметр (рис. 12.7 6). Поскольку в области

где a = 2g/C. Решение этого уравнения с начальным условием т ( 0 ) = т о есть

m0 m = т 0 + (1 - т 0 ) ехр (-от)" Таким образом, если т о ф 0, то при t -> oo имеем 1 m —>• 1,

дифференциальная проводимость di/dV отрицательна, элемент является активным. Распространение волн в данной линии описывается телеграфными уравнениями h = -CVi - i Vx = - L J t .

V —t :

Следовательно, если на вход линии подается униполярный импульс произвольной формы, то в процессе распространения он превращается в прямоугольный со стандартной амплитудой. Распро1 2 странение возмущений с амплитудой, меньшей / З " ' , сопровождается усилением. Если же подать на вход синусоидальный сигнал,

(12.42)

В случае, когда е = 0, уравнения (12.42) сводятся к обыкновенному волновому уравнению

t откуда для волн, распространяющихся вправо, имеем Vt + UOVX = О,

(12.43)

где С/о = 1/VLC. Решения этого уравнения имеют вид стационарных бегущих волн: V — V(£), где £ = х — Uot. Поскольку £<С 1, решения уравнений (12.42) в одноволновом приближении

Рис. 12.8. Превращение синусоидальной волны, поступающей на вход линии, в разрывную

то он превращается в последовательность прямоугольных импульсов (рис. 12.8). Таким образом, произвольное начальное возмущение превращается либо в пространственно-однородное, либо в разрывное: разрывы образуются там, где то(х) — 0.

258

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

Причиной возникновения разрывов является пренебрежение дисперсией. В предыдущих параграфах настоящей главы рассматривались в основном сильнодиспергирующие среды, в которых фазовые скорости различных гармоник отличаются значительно, что позволяет считать волну квазигармонической и описывать ее при помощи уравнений для медленно меняющихся амплитуд. Исследуем влияние высокочастотной диссипации, для чего рассмотрим линию передачи, эквивалентная схема которой приведена на рис. 12.9. В этом случае вместо уравнения (12.44) будем иметь 2

Vt + UOVX - vVxx = 7 ( 1 - (3V )V,

(12.45)

где v = R/L, 7 = eg/C. Будем искать решения этого уравнения в виде стационарных волн. Переходя в уравнении (12.45) к переменной £ = х — Ut, получим уравнение нелинейного осциллятора с затуханием uV" + (U- U0)V + 7 ( 1 - PV2)V = 0,

(12.46)

где штрихи обозначают дифференцирование по £. Очевидно, что периодические решения существуют лишь при U = Щ. Тогда уравнение (12.46) принимает вид V" + - (1 - /3V2)V = 0. Решения этого уравнения анализировались в §11.5. На фазовом портрете (рис. 11.3) имеется континуум замкнутых фазовых траекторий, соответствующих периодическим стационарным волнам.

12.5. Волны в нелинейных активных линиях передачи

259

импульса, которые ранее представлялись в виде разрывов. Таким образом, высокочастотная диссипация приводит к сглаживанию разрывных фронтов. Следует отметить очевидную аналогию с уравнениями простой волны и Бюргерса. Первое имеет разрывные решения; во втором введение диссипации приводит к появлению ударных волн. Наконец, исследуем влияние реактивной нелинейности, для чего будем считать емкость нелинейной: С = C(V). Уравнение (12.45) в этом случае следует дополнить еще одним нелинейным слагаемым. Предполагая нелинейность квадратичной, получим Vt + UOVX + VVX - uVxx = 7(1 - PV2)V.

(12.48)

Пренебрежем диссипативной нелинейностью, т. е. положим /3 = 0. Для решений в виде стационарных волн будем иметь уравнение ([/о - U)V + W - vV" = 7 V. По-прежнему будем считать, что U — UQ, тогда V" - - W + - V = 0. и и Перепишем это уравнение в виде V' = W, vW = V(W-i). Отсюда находим уравнение интегральных кривых

(12.49)

( 1 2 5 0 )

Нетрудно видеть, что существует интегральная кривая (прямая) W = 7- Разделяя переменные в уравнении (12.50), находим, что 1 / 1 Рис. 12.9. Эквивалентная схема нелинейной активной линии передачи с высокочастотными потерями

Можно, однако, показать, что все эти решения неустойчивы относительно малых возмущений [67]. Кроме того, существуют решения в виде уединенных волн (12.47) где А 2 = 2v/j. Им соответствуют сепаратрисы, идущие из седла в седло. Решение (12.47) описывают тонкую структуру фронтов

7

-y-W

dW = VdV.

Это соотношение легко интегрируется, приводя к уравнению фазовых траекторий в виде

I (V2 - V2) = v (w +7 In

(12.51)

где Vo = V(W = 0). Финитные движения существуют при W < 7Фазовый портрет представлен на рис. 12.10а. Волны с большой амплитудой имеют участок медленных изменений, которому на фазовой плоскости соответствует движение вблизи прямой W = J, и участок быстрых изменений — движение по уходящей далеко

260

Гл. 12. Нелинейные волны в средах с неустойчивостями

вниз петле. Таким образом, решение представляет собой стационарную нелинейную волну, близкую по форме к пилообразной, со сглаженным передним фронтом (рис. 12.106). Подобные волны типичны для нелинейных недиспергирующих сред. Аналогичные решения были найдены ранее в задаче 3.1, где рассматривался процесс образования и распространения стационарных пилообразных волн в активной среде, которая описывается уравнением

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.

S c o t t Russel J. Report on waves. Rept. 14th meetings of the British Assoc. for the Advancement of Science.—London: John Murray, 1844. P. 311-390.

2.

K o r t e w e g D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel, and on a new type of long stationary waves //Phil. Mag. 1895. V. 39. P. 422-443.

3.

5.

F e r m i E., P a s t a J., Ulain S. Studies of nonlinear problems //Los Alamos Sci. Lab. Report LA-1940, 1955. Ферми Э. Научные труды. Т. 2—М.: Наука, 1972. С. 647-657. Z a b u s k y N . J., K r u s k a l M.D. Interaction of «solitons» in a collisionless plasma and the reccurence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15, № 6. P. 240-243. Данилов Ю.А. Нелинейность //Знание — сила. 1982. № 11. С. 34.

6.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.—М.: Мир, 1977.

7.

Корпел А., Банерджи П.П. Эвристический подход к нелинейным волновым уравнениям //ТИИЭР. 1984. Т. 72, № 9. С. 6-30.

8.

Р а б и н о в и ч М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.—М.: Наука, 1984.

9.

З а с л а в с к и й Г.М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса.—М.: Наука, 1988.

Щ + UUX = JU.

Поскольку высокочастотная диссипация в последнем уравнении явно не учитывается, полученные в задаче 3.1 решения содержали разрывы. На качественном уровне появление таких волн можно пояснить следующим образом. Поскольку в системе имеется неустойчивость, первоначально малая амплитуда волны, поданной на вход линии, нарастает. При этом реактивная нелинейность вызывает

4.

Рис. 12.10. Фазовый портрет уравнения (12.49) (а) и профиль решения с большой амплитудой (б)

укручение переднего фронта. На спектральном языке этому процессу соответствует перекачка энергии из низших гармоник в высшие. Благодаря высокочастотной диссипации высшие гармоники интенсивно затухают, что приводит к насыщению неустойчивости. В результате образуется стационарный профиль, изображенный на рис. 12.105. Значительно более подробное обсуждение различных вопросов, связанных с распространением электромагнитных волн в активных нелинейных линиях передачи, содержится в книгах [67, 124].

10. Виноградова М.Б., Руденко О.В, Сухоруков А.П. Теория волн.—М.: Наука, 1979. 11. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме.—М.: Наука, 1988. 12. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики.—М.: Наука, 1975. 13. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.—М.: Мир, 1988. 14. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике.—М.: Мир, 1989. 15. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. 16. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны.—М.: Наука, 1997. 17. B u r g e r s J.M.A mathematical model illustrating the theory of turbulence //Adv. Appl. Mech. 1948. V. 1. P. 171-199.

262

Список литературы

Список литературы

263

19. Г и н з б у р г В.Л., Л а н д а у Л.Д. К теории сверхпроводимости //ЖЭТФ. 1950. Т. 20. С. 1064-1091. Л а н д а у Л. Д. Собрание трудов. Т. 2.—М.: Наука, 1969. С. 126-152.

34. Ш е в ч и к В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот.—М.: Сов. Радио, 1959. 35. Б э д с е л Ч., Л е н г д о н А. Физика плазмы и численное моделирование.—М.: Энергоатомиздат, 1989. 36. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган.—М.: Наука, 1979.

20. N e w e l l А.С, W h i t e h e a d J.A. Finite-bandwidth, finiteamplitude convection / J. Fluid Mech. 1969. V. 38, № 2. P. 279-303.

37. Н а у г о л ь н ы х К.А., О с т р о в с к и й Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике.—М.: Наука, 1990.

21. S t e w a r t s o n K., S t u a r t J . T . Nonlinear instability of plane Poiseuille flow / J. Fluid Mech. 1971. V. 48, X» 3. P. 529-545.

38. К а ц м а н Ю. А. Уравнения колебаний однородных электронных потоков / ЖТФ. 1952. Т. 22, № 9. С. 1467-1476.

22. T a g g R., E d w a r d s W. S., S w i n n e y H. L. Convective versus absolute instability in flow between counterrotating cylinders / Phys. Rev. A. 1990. V. 42, № 2. P. 831-837.

39. С а в е л ь е в В.Я. К теории клайстрона / Ж Т Ф . 1940. Т. 10, № 16. С. 1356-1371. 40. Р о ж д е с т в е н с к и й Б.Л., Я н е н к о Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их применение в газовой динамике. — М.: Наука, 1978. 41. Г л а с е И.И. Ударные волны и человек.—М.: Мир, 1977.

18. B e n j a m i n Т. V., B o n a J.G., M a c h o n e y J . J . Model equation for long waves in nonlinear dispersive systems / Phil. Trans. Roy. Soc. 1972. V. 272A. P. 47-78.

23. K u r a m o t o Y . , T z u s u k i T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems / Prog. Theor. Phys. 1975. V. 54, № 3. P. 687-699. 24. К у з н е ц о в Е.А., Д у ш н и к о в П.М. Нелинейная теория возбуждения волн ветром за счет неустойчивости КельвинаГельмгольца //ЖЭТФ. 1995. Т. 108, № 2. С. 614-630. 25. Л э м Дж. Введение в теорию солитонов.—М.: Мир, 1983. 26. К у з н е ц о в СП., Т р у б е ц к о в Д.И. Нестационарные нелинейные явления в системе электронный поток в скрещенных поляхобратная электромагнитная волна / И з в . вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20, № 2. С. 300-312. 27. З а х а р о в В.Е., К у з н е ц о в Е.А. О трехмерных //ЖЭТФ. 1974. Т. 66, № 2. С. 594-600.

солитонах

28. К а д о м ц е в Б.Б., П е т в и а ш в и л и В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабодиспергирующих средах /ДАН СССР. Сер. Математика. Физика. 1970. Т. 192. С. 753-756. 29. П е т в и а ш в и л и В.И., П о х о т е л о в О.А. Уединенные волны в плазме и атмосфере.—М.: Энергоатомиздат, 1989. 30.

З а б о л о ц к а я Е.А., Х о х л о в Р.В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков /Акустический журнал. 1969. Т. 15, № 1. С. 106-109.

31. К у з н е ц о в В.П. Уравнения нелинейной акустики/Акустический журнал. 1970. Т. 16, № 4. С. 548-553. 32. Г у р е в и ч А.В., П и т а е в с к и й Л.П. Нелинейные волны с дисперсией и нелокальным затуханием /ЖЭТФ. 1991. Т. 99, № 5. С. 1470-1478. 33. Л а н д а у Л.Д., Л и ф ш и ц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика.—М.: Наука, 1988.

42. Д а ф е р м о с К. Квазилинейные гиперболические системы, вытекающие из законов сохранения.— В кн.: Нелинейные волны /Под ред. С.Лейбовича и А.Сибасса.—М.: Мир, 1977. С. 91-112. 43. C o l e J.D. On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics / Q u a r t . Appl. Math. 1951. V. 9. P. 225-236. 44. H о p f E. The partial differential equation щ + uux — цихх Pure Appl. Math. 1950. V. 3. P. 201-230.

/ Comm.

45. В л а д и м и р о в В.С. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1967. 46. Х о х л о в Р.В. Теория ударных радиоволн в нелинейных линиях передачи /Радиотехника и электроника 1961. Т. 6, № 6. С. 917-925. С о л у я н С И . , Х о х л о в Р. В. Распространение акустических волн конечной амплитуды в диссипативной среде / Вестник МГУ. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1961. JV» 3. С. 52-61. 47. Г р а д ш т е й н И.С., Р ы ж и к И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.—М.: Физматгиз, 1962. 48. F a y P. D. Plane sound waves of finite amplitude / J . Acoust. Soc. America. 1931. V. 3, № 2. Part I. P. 222-241. 49. Р у д е н к о О.В., С о л у я н С. И. Некоторые нестационарные задачи теории волн конечной амплитуды в сплошных средах /ДАН СССР. Сер. Математика. Физика. 1970. Т. 190, № 4. С. 815-818. 50. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.—М.: Наука, 1977. 51. З е л ь д о в и ч Я.Б., Р а й з е р Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.—М.: Наука, 1966.

264

Список литературы

52. Эйби Дж.А. Землетрясения.—М.: Недра, 1982. 53. Ферхутен Дж., Тернер Ф., Вейс Л., В а р х а ф т и н г К., Файф У. Земля. Введение в общую геологию. Т. 1,2.—М.: Мип 1974. 54. С иву хин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика.—М.: Наука 1974. 55. И м ш е н н и к B.C., Надежин Д.К. Сверхновая 1987А в Большом Магеллановом Облаке: наблюдения и теория /'УФН. 1988. Т. 156 № 4. С. 561-651. 56. Моррисон Д.Р.О. Сверхновая 1987А: обзор /'УФН. 1988. Т. 156, № 4. С. 719-752. 57. S c o t t Russel J. The modern system of naval architecture. I.— London: Day and Son, 1865. 58. B o u s s i n e s q J. Theorie de l'intumescence liquid applee onde solitarie ou de translation se propagent dans un canal rectangularie II Comptes Rendus. 1871. V. 72. P. 755-759. 59. R a y l e i g h . On waves //Phil. Mag. 1876. V. 1. P. 257-279. 60. Т к а ч е н к о С.Н., Френкель Я.И. К теории теплопроводности диэлектрических кристаллов /ЖЭТФ. 1938. Т. 8, № 5. С. 570-577. 61. Скотт Э., Чу Ф., Маклафлин Д. Солитон — новое понятие в прикладных науках.—В кн.: Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике.—Москва: Сов. радио 1977. С. 215-284. 62. ЮэнГ., Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде.—М.: Мир, 1987. 63. И з р а и л е в Ф. М., Чириков Б. В. Статистические свойства нелинейной струны I ДАН СССР. Сер. Математика. Физика. 1966. Т. 166, № 1. С. 57-59. 64. Б у р л а к о в В.М., Д а р м а н я н С.А., Пырков В.Н. Модуляционная неустойчивость бегущих волн в решетках Ферми-ПастаУлама /ЖЭТФ. 1995. Т. 108, № 3. С. 904-913. D a r m a n y a n S., K o b y a k o v A., L e d e r e r F. Stability of strongly-localized excitations in discrete media with cubic nonlinearity /ЖЭТФ. 1998, Т. 113, № 4. С. 1253-1260. 65. З а х а р о в В.Е., Кузнецов Е. А. Оптические солитоны и квазисолитоны //ЖЭТФ. 1998. Т. 113, № 5. С. 1892-1914. 66. Гапонов А.В., Островский Л. А., Фрейдман Г.И. Ударные электромагнитные волны /'Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10, К'- 10. С. 1371. 67. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике.—М.: Сов. Радио, 1977.

Список литературы

265

68. Skyrme Т. Н. R. A non-linear theory of strong interaction /Proc. Roy. Soc. London. 1958. V. A247. P. 260-278. 69. Кейн Г. Современная физика элементарных частиц.—М.: Мир, 1989. 70. P e r r i n g J.K., Skyrme T.H.R. A model unified field equation //Nucl. Phys. 1962. V. 31. P. 550-555. 71. Белова Т.И., Кудрявцев А.Е. Солитоны и их взаимодействие в классической теории поля //УФН. 1997. Т. 167, № 4. С. 377-406. 72. Конторова Т. А., Френкель Я.И. К теории пластической деформации и двойникования. Ч. I // ЖЭТФ. 1938. Т. 8, № 1. С. 89-95. 73. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.—М.: Мир, 1967. 74. Ведерко А.В., Дубровская О.Б., Марченко В.Ф., Сухоруков А.П. О солитонах с малым числом периодов во времени или в пространстве / Вестн. МГУ. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1992. Т. 33, № 3. С. 64-77. 75. Infeld E., R o w l a n d s G. Nonlinear waves, solitons and chaos.— Cambridge University Press, 1990. 76. Найфэ А. Введение в методы возмущений.—М.: Мир, 1984. 77. Ikezi H., B a r r e t t P.J., W h i t e R.B., Wong A.Y. Electron plasma waves and free-streaming electron bursts / Phys. Fluids. 1971. V. 14, № 9. P. 1997-2005. 78. З а х а р о в В.Е., Манаков СВ., Новиков СП., Пит а е в с к и й Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи.—М.: Наука, 1980. 79. M i u r a R . M . , G a r d n e r С.S., K r u s k a l M.D. Korteweg-de Vries equation and generalisations. II. Existence of conservation laws and constants of motion //J. Math. Phys. 1968. V. 9, JY« 8. P. 1204-1209. 80. M i u r a R. M. Korteweg-de Vries equation and generalisations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation / Journ. Math. Phys. 1968. V. 9, № 8. P. 1202-1204. 81. З а х а р о в В.Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система /Функциональный анализ и его приложения. 1971. Т. 5, № 4. С. 18-27. 82. G a r d n e r C.S., G r e e n J.M., K r u s k a l M.D., Miur a R. M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation / Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19, № 19. P. 1095-1097. 83. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика.—М.: Наука, 1989. 84. Карпман В.И., Соколов В.П. О солитонах и собственных значениях уравнения Шрёдингера // ЖЭТФ. 1968. Т. 54, № 5. С. 15681580.

266

Список литературы

85. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves //Commun. Pure Appl. Math. 1968. V. 21. P. 467-490. Лэкс П.Д. Инвариантные функционалы нелинейных волновых уравнений.—В кн.: Нелинейные волны /Под ред. С.Лейбовича и А. Сибасса.—М.: Мир, 1977. С. 297-316. 86. З а х а р о в В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах //ЖЭТФ. 1971. Т. 61, № 1. С. 118-134. 87. З а х а р о в В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. ЧЛ /I Функциональный анализ и его приложения. 1974. Т. 6, № 3. С. 43-53. З а х а р о в В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. Ч. II I/ Функциональный анализ и его приложения. 1979. Т. 13, № 3. С. 13-22. 88. A b l o w i t z M.J., К а и р D.J., Newell А.С., Segur H. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems //Stud. Appl. Math. 1974. V. 53. P. 249-315. 89. A b l o w i t z M.J., H a b e r m a n R. Resonantly coupled nonlinear evolution equations //J. Math. Phys. 1975. V. 16, № 11. P. 23012305. 90. H i r o t a R. Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons Ц Phys. Rev. Lett. 1972. V. 27. P. 11921194. 91. Хирота Р. Прямые методы в теории солитонов.—В кн.: Солитоны /Под ред. Р.Буллафа и П.Кодри.—М.: Мир, 1983. С. 175-192. 92. L i g h t hill M. J. Contributions to the theory of waves in nonlinear dispersive systems Ц J. Inst. Math. Appl. 1965. V. 1. P. 269. 93. B e n j a m i n T.B., F e i r J.E. The disintegration of wave trains in deep water. I //J. Fluid Mech. 1967. V. 27. P. 417-430. 94. З а х а р о в В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ. 1968. JV» 2. С. 8694. 95. Davey A. The propagation of a weakly nonlinear wave Ц J. Fluid Mech. 1972. V. 53. P. 769-781. 96. H a s i m o t o H., Ono H. Nonlinear modulation of gravity waves //J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 33. P. 805-811. 97. Островский Л.А., Соустов Л.В. «Самомодуляция» электромагнитных волн в нелинейных линиях передачи Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1972. Т. 15, № 2. С. 242-248. 98. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика.—М.: Мир, 1996. 99. Хаус X. Волны и поля в оптоэлектронике.—М. Мир, 1988.

Список литературы

267

100. H a s e g a w a A, T a p p e r t F. Transmission of stationary nonlinear optical pulse in dispersive dielectric fibers Ц Appl. Phys. Lett. 1973. V 23. P. 171-172. 101. M o l l e n a u e r L., S t o l e n R., G o r d o n J. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers //Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 1095-1098. 102. M o l l e n a u e r L., S m i t h K. Demonstration of soliton transmission over more than 400 km in fiber with loss periodcally compensated by Raman gain // Opt. Lett. 1988. V. 13, № 8. P. 675-677. 103. А с к а р ь я н Г. А. Воздействие градиента поля интенсивного электромагнитного луча на электроны и атомы /ЖЭТФ. 1962. Т. 42, № 6. С. 1567-1570. 104. Власов С.Н., Петрищев В.А., Таланов В.И. Усредненное описание волновых пучков в линейных и нелинейных средах (метод моментов) // Изв. вузов. Радиофизика. 1971. Т. 14, № 9. С. 1453-1463. 105. Власов С.Н., Т а л а н о в В.И. Самофокусировка волн.—Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1997. 106. Фи л липе 0. М. Взаимодействие волн. — В кн.: Нелинейные волны / Под ред. С. Лейбовича и А. Сибасса.—М.: Мир, 1977. С. 197220. 107. В и л ь х е л ь м с с о н X., Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме.—М.: Энергоиздат, 1981. 108. З а х а р о в В.Е., Манаков СВ. Теория резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах Ц ЖЭТФ. 1975. Т. 69, № 5. С. 1654-1673. 109. Л юи се л л У. Связанные и параметрические электронике.—М.: ИЛ, 1963.

колебания в

ПО. Буц В. А., И з м а й л о в А. Н. Взрывная неустойчивость в системах с электронным пучком //ЖТФ. 1976. Т. 46, № 11. С. 2451-2453. 111. Р ы с к и н Н.М., Трубецков Д.И. Взрывная неустойчивость в системах типа «два взаимодействующих электронных потокаобратная электромагнитная волна» Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4, № 4,5. С. 65-77. 112. Электроника ламп с обратной волной /Под ред. В.Н.Шевчика и Д.И. Трубецкова.— Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 113. Рабинович М.И., Реутов В.П., Цветков А.А. О слиянии волновых импульсов и пучков при взрывной неустойчивости // ЖЭТФ. 1974. Т. 67, № 8. С. 525-532. 114. Bers А., К а и р D.J., R e i m a n A.N. Nonlinear interaction of three wave packets in a homogeneous medium Ц Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37, № 4. P. 182-185.

268

Список литературы

115. Гапонов-Грехов А.В., Р а б и н о в и ч М.И. Уравнение Гинзбурга-Ландау и нелинейная динамика неравновесных сред /Изв. вузов. Радиофизика. 1987. Т. 32. № 2. С. 131-143. 116. L a n g e С, Newell А.С. A stability criterion for envelope equations // SIAM Journ. Appl. Math. 1974. V. 27. P. 441-456. 117. Ланда П. С. Автоколебания в распределенных системах. — М.: Наука, 1982. 118. Гапонов-Грехов А.В., Р а б и н о в и ч М.И., Старобинец И. М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности //Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39, № 12. С. 561-564. 119. Р а б и н о в и ч М.И., Е з е р с к и й А.Б. Динамическая теория формообразования. — М.: Янус-К, 1998. 120. A b a r b a n e l H.D.I., R a b i n o v i c h M.I., S u s h c h i k M.M. Introduction to nonlinear dynamics for physicists.—World Scientific, 1993, Lecture 25. 121. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах.—М.: Наука, 1990. 122. М с С all S. L., Hahn E. L. Self-induced transparency by pulsed coherent light /Phys. Rev. Lett. 1967. V. 18. P. 908-911. 123. Манаков СВ. Распространение ультракороткого оптического импульса в двухуровневом лазерном усилителе /ЖЭТФ. 1982. Т. 83, № 1. С. 68-83. 124. Б о г а т ы р е в Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами.—М.: Сов. Радио, 1974.

Учебное издание

РЫСКИН Никита Михайлович ТРУБЕЦКОВ Дмитрий Иванович НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ Серия: Современная теория колебаний и волн

Редактор Л.А. Панюшкина Компьютерная графика М.В. Ивановского Компьютерная верстка А.С. Фурсова

ЛР №020297 от 23.06.1997 Подписано в печать 24.03.2000. Формат 60x90/16. Бумага офсетная X» 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 19,6. Тираж 1000 экз. Издательская фирма «Физико-математическая литература» РАН При участии Издательства Московского физико-технического института 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Отпечатано с оригинал-макета в ППП «Типография «Наука» АИЦ «Наука» РАН 121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6 Заказ № 1984