Определение емкости конденсатора по изучению его разряда: Методические указания к лабораторной работе

Петрозаводский государственный университет

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА ПО ИЗУЧЕНИЮ ЕГО РАЗРЯДА Методические указания к лабораторной работе

Петрозаводск 1999

3

Определение емкости конденсатора по изучению его разряда Цель работы: 1. 2. 3.

Проверить законы зарядки и разрядки конденсатора. Определить время релаксации системы. Определить неизвестные значения емкости конденсаторов и активных сопротивлений в цепи.

Приборы: Генератор постоянного напряжения. Лабораторный макет с неизвестными значениями емкости конденсаторов и активных сопротивлений. Самопишущий потенциометр КСП-4.

Теоретическое введение В области электрических явлений большой интерес представляют переходные процессы, которые имеют место при зарядке и разрядке конденсаторов. Эти процессы используются во времязадающих узлах электронных схем, применяющихся в электронно-вычислительной технике (одно- и мультивибраторы), узлах развертки осциллографов, дисплеев, генераторов электрических колебаний звуковой и радио-частоты. Задачи о зарядке и разрядке конденсатора, строго говоря, выходят за рамки учения о постоянных токах. Приводимые ниже решения их получаются в предположении, что мгновенное значение тока одно и то же во всех поперечных сечениях провода, соединяющего обкладки конденсатора, а мгновенное электрическое поле такое же, как в электростатике при тех же зарядах на обкладках конденсатора. Токи и поля, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными. Если обкладки заряженного конденсатора (см. рис.1) соединить проводом, то по проводу потечет ток. Пусть I , Q и U 4

мгновенные значения тока, заряда на конденсаторе и напряжения на обкладках.

Рис. 1. Считая ток в проводе положительным, когда он течет от положительной обкладки к отрицательной, можно написать: I=−

dQ , dt

RI = U ,

Q = CU ,

где C - емкость конденсатора, R - сопротивление провода. Исключая I и U , можно получить: dQ U = , dt R dQ Q − = . dt RC −

(1)

После интегрирования этого уравнения получается соотношение Q = Q0 exp( t ),

τ

(2)

где Q 0 - начальное значение заряда конденсатора ( Q = Q0 при t = 0 ), а τ - постоянная, τ = RC ,

(3)

5

имеющая размерность времени. Она называется временем релаксации. Через время, равное τ, заряд на конденсаторе убывает в e раз. Поэтому τ по порядку величины равно времени, в течение которого конденсатор разряжается. Дифференцируя (2) по времени t , можно найти закон изменения разрядного тока во времени: I=−

dQ Q0 = exp( − t ) = I 0 exp( − t ) τ τ τ dt

или I = I 0 exp( − t ),

(4)

τ

Q0

- начальное значение тока, т.е. ток при t = 0 . τ Аналогично решается задача о зарядке конденсатора. Пусть в цепь конденсатора с емкостью C включен какой-нибудь источник тока с постоянной электродвижущей силой Ε (см. рис.2). где I 0 =

Рис. 2. Ток, идущий от источника, заряжает конденсатор. Электрические заряды, появляющиеся на обкладках конденсатора, препятствуют прохождению тока и уменьшают его. Можно записать, что I=

6

dQ , dt

RI = E − U ,

Q = CU ,

где R - полное сопротивление провода, соединяющего обкладки конденсатора, включая и внутреннее сопротивление источника. Исключая снова I и U , можно получить уравнение dQ E − U E Q = = − dt R R RC

или dQ Q E − = . dt RC R

(5)

Это неоднородное уравнение сведется к однородному, если его записать в виде d Q − EC ( Q − EC ) + = 0, dt RC

(6 )

так как Ε C = const . Решение этого уравнения получится в виде Q − EC = A exp( − t ).

τ

(7 )

Значение постоянной интегрирования A найдется из условия, что в начальный момент времени конденсатор не заряжен, т. е. в этот момент времени Q = 0 . Это дает A = − Ε C , и, следовательно,

[

]

Q = EC 1 − exp( − t ) .

τ

(8)

При t → ∞ заряд конденсатора стремится к предельному значению Q=ΕC. Для тока можно получить I=

dQ EC E exp( − t ) = exp( − t ) = I 0 exp( − t ) = τ τ τ dt R τ

или I = I 0 exp( − t ),

τ

(9)

7

где I 0 =

Ε R

- максимальный ток в начальный момент времени. В

дальнейшем он убывает по экспоненциальному закону.

Методика эксперимента Для экспериментального определения емкости конденсаторов в данной работе используется установка, принципиальная схема которой приведена на рис.3.

Рис.3. Переключатель П служит для обеспечения разных режимов работы схемы. Положение 1-1 служит для измерения начального тока I0, положение 2-2 соответствует зарядке конденсатора, а 3-3 – его разрядке. С помощью переключателей П1 и П2 можно подключать различные сопротивления и конденсаторы. 8

Если прологарифмировать выражение (4) или (9), которые описывают соответственно разрядный или зарядный ток, можно получить ln I = ln I 0 −

t

= ln I 0 −

t . RC

( 10 )

τ Из (10) видно, что ln I является линейной функцией времени t с угловым коэффициентом

1 (см. рис. 4).

τ

Рис. 4. Угловой коэффициент прямой есть скорость изменения функции по данному параметру и, следовательно, может быть рассчитан как тангенс угла наклона прямой ln I (t ) к оси абсцисс. То есть Δ(ln I ) 1 =− . Δt τ

( 11 )

Таким образом, время релаксации цепи τ можно определить, построив график зависимости ln I от t по экспериментальным результатам.

9

Величина сопротивления R рассчитывается из соотношения R и τ можно найти C из соотношения R I 0 = Ε . После определения

C=

τ R

.

( 12 )

Порядок работы 1. Проверить тумблер ″сеть″, он должен находиться в выключенном положении. Установить переключатель установки в положение ″I0″. 2. На самопишущем приборе КСП-4 включить тумблер ″прибор″ и прогреть его в течение 4-5 минут. Тумблер ″диаграмма″ должен быть в положении ″откл.″ 3. Включить тумблер ″сеть″ и прогреть установку в течение 4-5 минут. 4. При подключении сопротивления R1 замерить I01, при подключении сопротивления R2 замерить I02. Напряжение, подаваемое на установку, U = 260 В. Максимальный ток, измеряемый самописцем, 1 мА. Рассчитать R1 и R2 . 5. Подключить конденсатор С1. Переключить тумблер на установке в положение ″разряд″ и после того, как перо КСП-4 установится на ноль, включить тумблер ″диаграмма″ и затем переключить тумблер на установке в положение ″заряд″. Когда ток уменьшится до 50 мкА, выключить тумблер ″диаграмма″. На диаграммной ленте надписать R1С1 - заряд. 6. Включить тумблер на КСП-4 в положение ″диаграмма″ и на установке в положение ″разряд″ и записать разрядный ток. Когда ток уменьшится до 50 мкА, выключить тумблер ″диаграмма″. На диаграммной ленте надписать R1C1 - разряд. 7. Проделать операции пунктов 5-6 для вариантов R1 и С2, R2 и С1, R2 и С2.

10

Обработка результатов 1. Диаграммную ленту с записью разрядных и зарядных токов вырезать из КСП-4. По данным скорости движения ленты самописца найти временной и токовый масштабы, нанести их на ленту и заполнить таблицу: t I ln I 2. Для каждой пары R и С построить два графика (заряд, разряд) зависимости ln I = f(t), по которому, пользуясь (11), определить τ. 3. Пользуясь соотношением (12), определить С. 4. Сравнить величины для τ и С, полученные при разрядке и зарядке конденсатора.

Контрольные вопросы 1. Что называется емкостью? 2. Каков физический смысл емкости? 3. От чего зависит емкость уединенного проводника, емкость конденсатора? 4. Чем определяется время зарядки конденсатора? 5. Что называется временем релаксации цепи? 6. Какое сопротивление создает конденсатор постоянному току?

Литература 1. Калашников C.Г. Электричество. М.: Наука, 1970. 2. Савельев И.В. Курс общей физики: В 2 т. М.: Наука, 1973. Т.2. 3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высшая школа, 1989.

11