М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У...
9 downloads
180 Views
294KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
О тдель н ы е воп р осы лин ейн ой алгебр ы
Пособиеп о сп ециальности 010100 М атематика О ПД .Ф .04
В О РО Н Е Ж 2004
У тверждено науч но–методич еским советом математич еског о ф акультета (7 ап реля 2004, п ротокол№ 9)
Составитель
А дамова Р.С
Пособиеп одготовлено на каф едре алгебры и математич еских методованализа математич еского ф акультета В оронежского государственного университета
Рекомендуется для студентов1 курса математич еского ф акультета
–2 –
М етодич еское п особие п освящ ено двум узловы м воп росам курса линей ной алгебры : жордановой ф орме матрицы линей ного оп ератора и канонич ескому базису квадратич ной ф ормы . К роме того, в нем излагается критерий сущ ествования общ его канонич еского базиса двух квадратич ны х ф орм, которы й , как известно автору, не встреч ается в литературе, п освящ енной воп росам линей ной алгебры . Д анное п особие – свидетельство удивительны х возможностей столь п ростой оп ерации, как п рибавление к некоторой строке другой , п редварительно умноженной на некоторое ч исло. В п редлагаемом методич еском п особии она – главное орудие, даже в реш ении такого сложного воп роса, как критерий сущ ествования общ его канонич еского базиса двух квадратич ны х ф орм.
–3 –
Содержание §1. Ж орданова ф орма матрицы оп ератора вкомп лексном п ространстве.................................................................................5 1. О п ераторы , имею щ иеединственноесобственноезнач ение l=0 .................................................................................................5 2. Правило 1......................................................................................8 3. Ж орданова ф орма матрицы оп ератора вкомп лексном п ространстве.................................................................................................................. 10 4. Правило 2....................................................................................... 15 §2. К анонич еский базиссимметрич ной билиней ной ф ормы .......18 1. Правило п остроения канонич еского базиса............................18 2. О сновны етеоремы о билиней ны х ф ормах..............................20 §3. Задач а о п ареквадратич ны х ф орм .............................................23 1. Первы й случ ай ........................................................................23 2. В торой случ ай (одна из ф орм невы рожденная) ..................24 3. О бщ ий случ ай ..........................................................................25 4. Правило п остроения общ его канонич еског о базиса п ары квадратич ны х ф орм вобщ ем случ ае...............32 У п ражнения..........................................................................................35 О тветы ...................................................................................................37 Л итература ...........................................................................................39
–4 –
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве 1. О п ер атор ы , и м ею щ ие един ствен н ое собствен н ое з н ачен ие l=0 Лем м а 1. Е сли A– линей ны й оп ератор вкомп лексном п ространстве, k+1 A x¹ 0, а A x = 0, то система векторов k
Ak x, Ak-1x , … , Ax, x
(1)
• линей но независима, • еелиней ная оболоч ка – инвариантноеотносительно оп ератора A п одп ространство, • сужениеоп ератора на э то п одп ространство имеетвбазисе(1) матрицу 0 0 K 0 0
1 0 K 0 0
0 1 K 0 0
K K K K K
0 0 K , 1 0
(2)
в которой э лементы , расп оложенны е неп осредственно над диагональю , равны 1, а вседруг иеравны 0. Д оказательство. Покажем, ч то всоотнош ении lk Akx + lk -1Ak-1 x +… +l1 Ax +l0 x =0 все коэ ф ф ициенты нулевы е.
(3)
В ы ч исляя знач ение оп ератора Ak от обеих ч астей э того равенства, п олуч им, ч то l0 Akx =0, откуда следует, ч то l0 = 0. У ч иты вая э то и п рименяя оп ератор Ak-1 к равенству (3), аналог ич но п олуч им, ч то l1 = 0, и так далее. Т аким образом доказана тривиальностьлиней ной комбинации в(3), а с э тим илиней ная независимостьсистемы (1). И нвариантностьлиней ной оболоч ки э той системы относительно оп ератора A следуетиз того, ч то п оддей ствием оп ератора п ервы й вектор системы п ереходитвнулевой , а кажды й следую щ ий – вп реды дущ ий . И з э того п оследнего обстоятельства неп осредственны м образом следует сп раведливостьи п оследнег о утверждения леммы . Теор ем а 1. Е сли A –линей ны й оп ератор, дей ствую щ ий в конеч номерном к о м пле к с но м п ространстве и l= 0 – его единственное собственное знач ение, то –5–
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве • сущ ествует базис, в котором матрица э того оп ератора является квазидиаг ональной , • в ней п о диагонали стоят матрицы вида (2), не возрастаю щ ие п о размеру, • ч исло таких матриц на диагонале равно г еометрич еской кратности э того собственного собственного знач ения. Д оказательство. Пусть E – п ространство, вкотором дей ствуетоп ераторA и dimE=n. Т огда l= 0 – единственны й корень характеристич еского многоч лена p(l) э того оп ератора. Поэ тому p(l) = ±l n и в силу теоремы Гамильтона – К э ли имеем, ч то A n. = 0. Среди всех следую щ их степ еней оп ератора A 0 = I, A, A 2, … , A n-1, A n = 0 k
най дем п оследний ненулевой оп ератор. Пустьэ то будетA , тогда Ak ¹ 0, а Ak+1 = 0.
(4)
Д ля п оследовательности оп ераторов A 0 = I, A, A 2, … , Ak
(5)
п остроим п оследовательностьих образов Im (Ak) Ì Im (Ak–1) Ì … Ì Im (A) Ì Im (I) =E, а затем п оследовательностьп ересеч ений э тих образовсядром оп ератора A: H k Ì H k–1 Ì … Ì H 1 Ì H 0=Ker (A)
(6)
(здесьH i = Im (Ai ) È Ker (A)). Сог ласно п оследовательности (5) п остроим базис в Ker (A), п оследовательно доп олняя базисы п редш ествую щ их п одп ространств. Заметим, ч то в силу соотнош ений (4) образ Im (Ak ) ¹ {0} и Im (Ak ) Ì Ker (A) , п оэ тому H k = Im (Ak ) ¹ {0}. Пусть • e1 , … , e r – базисп одп ространства H k, • e1 , … , e r, f1 , … , f s – базисп одп ространства H k-1 , • … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. • e1 , … , e r, f1 , … , f s, … , gu – базисп одп ространства H 1, • e1 , … , e r, f1 , … , f s, … , gu, h1 , … , ht – базисп одп ространства H 0, п риэ том r > 0, s ³ r, … , t ³ u.
–6–
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве В ы п иш ем п олуч енны й базисв Ker (A): e1, … , e r, f1, … , fs , … , gu, h1, … , h t (7) k Сог ласно п остроению вектор e1 можно п редставитьввидеe 1= A x1 и Зап исатьсоответствую щ ую п оследовательностьп оследовательность e1 = Akx1 , Ak-1x1 , … , Ax1 , x1 . А налогич ны е п оследовательности вы п иш ем для каждого вектора в (7) и из п олуч енны х строк составим таблицу: e 1 = A k x1 , A k −1 x1 , … , Ax1 , x1 .......................................................... e = A k x , A k −1 x , … , Ax , x r r r r r k −1 f 1 = A y1 , … , Ay1 , y1 .......... .......... .......... .......... ...... f = A k −1 y , … , Ay , y s s s s .................................................. (9)
.......................... g = Az , z u u u
h1 ....... h t Покажем, ч то все векторы , зап исанны е в э той таблице, составляю т линей но независимую систему. Рассмотрим п роизвольную линей ную комбинацию векторов, даю щ ую в результате 0. Пусть э лементы п оследнего столбца таблицы (9) (векторы x1, x2 , … , xr) входят в нее с коэ ф ф ициентами a1, a2, … , ar. Применяя к линей ной комбинации оп ератор Ak , п олуч им, ч то a 1e1 + a2 e 2 + … + ar e r = 0, откуда следует, ч то a 1= a2= … = ar= 0. Принимая э ти соотнош ения во внимание, аналог ич но можно п оказать, ч то э лементы п редп оследнего столбца входят в линей ную комбинацию с нулевы ми коэ ф ф ициентами, и так далее. Т аким образом убедимся, ч то только тривиальная линей ная комбинация векторов таблицы (9) может дать нулевой вектор, то естьвекторы э той системы линей но независимы . Т еп ерь для п роизвольного вектора x Î E рассмотрим все ненулевы е векторы вида Ai x, зап исавих п о убы ваю щ им степ еням:
Asx, As-1x, … , A2x , Ax, x. Покажем, ч то все э ти векторы линей но вы ражаю тся ч ерез векторы таблицы (9). Н ач нем с п ервог о. Сог ласно п остроению Asx¹0, а As+1x=0, следовательно, AsxÎ Hs и п отому п редставляет собой линей ную комбинацию векторовп ервог о столбца таблицы . –7–
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве Е сли составить т а к ую ж е линей ную комбинацию соответствую щ их векторов второго столбца, то ее результатом будет либо вектор As-1 x, либо вектор, отлич аю щ ий ся от него слагаемы м, п ринадлежащ им KerA. Поскольку все базисны е векторы в KerA вы п исаны в п ервом столбце таблицы (9), то заклю ч аем, ч то вектор As-1 x линей но вы ражается ч ерез векторы п ервого и второг о столбцов э той таблицы . Проводя аналог ич ны е рассуждения дальш е, п олуч им, ч то и вектор x линей но вы ражается ч ерез векторы таблицы (9). Сказанное п озволяет заклю ч ить, ч то векторы таблицы (9) составляю т базис п ространства E. М атрица оп ератора в э том базисе имеет вид, указанны й в теореме. Д ей ствительно, каждая строка таблицы (9),сог ласно лемме 1, обладает тем свой ством, ч то линей ная оболоч ка векторов, в ней зап исанны х, инвариантна относительно оп ератора A, и матрица сужения оп ератора в э том ее базисе имеет вид (2) и п орядок, равны й длине строки. Поэ тому в базисе, п олуч енном п оследовательны м объединением э тих строк, матрица оп ератора квазидиагональна, п о диагонали в ней стоят матрицы вида (2), не возрастаю щ иеп о размеру. К олич ество э тих матриц равно колич еству строк в таблице (9), которое, согласно п остроения, равно колич еству базисны х векторов в KerA, то есть геометрич еской кратности собственног о знач ения l=0 оп ератора A. Замеч ание. О тметим, ч то зап исы вая матрицу оп ератора A в базисе(9), мы увидим, ч то размер наибольш ей матрицы вида (2) на ее диаг онали равен натуральному ч ислу k +1 такому, ч то
Ak¹ 0, а Ak+1= 0, то есть наименьш ему натуральному п оказателю даю щ ему нулевой оп ератор.
степ ени э того оп ератора,
2. Пр авило 1. Рассмотрим следую щ ий п ример. П р им ер . Пусть
1 1 −1 Au = −3 −3 3 −2 − 2 −2 – матрица линей ног о оп ератора, дей ствую щ ег о в комп лексном п ространстве Е , п остроенная в некотором базисе u э того п ространства. Э тот оп ератор имеет единственное собственное знач ение l=0, п ри э том A2 =0. Последовательность(6) состоитдля него из двух п одп ространств –8–
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве
H1Ì H0 = KerA. Сог ласно (7) имеем, ч то H1= ImA, и п отому базис в H1 составляет вектор е 1= (1,-3,2)и = A(x1 ), где x1 = (1,0,0) и . Д оп олнение вектора е 1 до базиса в H0 даетвектор f 1= (-1,1,0). Т аблица (9) для данного оп ератора имеетвид: е 1= A(x1 ) = (1,-3,2) и, x1 = (1,0,0) и f1 = (-1,1,0). Э ти векторы составляю тбазис, вкотором матрица оп ератора A имеетвид
0 1 0 0 0 0 0 0 0 . Д ля общ ег о случ ая дадим п равило. П р авило 1 (п остр оен ия таблицы (9)). 1. Д ля оп ератора A составитьп оследовательность
A0 =I , A1, A2, … , Ak ¹ 0 ,
Ak+1 = 0.
2. В ы ч ислить матрицы э тих оп ераторов в некотором базисе u , трансп онировать и расп оложитьг оризонтально в блоч ную матрицу k+1 вобратном п орядке, исклю ч ая матрицу оп ератора A = 0:
( (Ak)uT |
(Ak-1)uT |
… |
(A2 )uT | Au T | E
).
3. Э лементарны ми п реобразованиями строк всей блоч ной матрицы добиться того, ч тобы в п ервом блоке п ервы ми стояли базисны е строки, а остальны естроки бы ли нулевы ми. 4. К аждую нулевую строку в п ервом блоке вы бросить, а ее п родолжение в следую щ их блоках п ередвинуть влево на n п озиций , гдеn – длина вы брош енной строки. 5. В п ервом блоке п режние ег о строки доп олнить до системы базисны х, а из остальны х строк сделать нулевы е, вы п олняя э лементарны е п реобразования над строками блоч ной матрицы без п оследних n п озиций вних. 6. В ы п олнитьп . 4 и так далее. Получ енная в итог е таблица будет п редставлять таблицу (9) для оп ератора A, п рич ем все векторы будут п редставлены своими координатами висходном базисеu.
–9–
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве В ы п исы вая из э той таблицы векторы п оследовательно из п ервой строки, второй и так далее, п олуч им базис всег о п ространства, в котором матрица оп ератора имеет квазидиагональны й вид. В ней п о диагонали стоят матрицы вида (2), не возрастаю щ ие п о размеру, п рич ем размеры э тих матриц оп ределяю тся длинами строк п олуч енной таблицы и в них п о диаг онали стоитсобственноезнач ениеоп ератора. 3. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве Теор ем а 2. Е сли l0 – единственноесобственноезнач ениелиней ног о оп ератора A , дей ствую щ его вконеч номерном к о м пле к с но м п ространстве, то • сущ ествуетбазис, вкотором матрица э того оп ератора квазидиагональна, • вней п о диаг онали стоятматрицы , невозрастаю щ иеп о размеру, вида λ0 0 K 0 0
1 λ0 K 0 0
0 K 1 K KK 0 K 0 K
0 0 K , 1 λ0
(10)
( все диагональны е э лементы равны l0 , все э лементы , стоящ ие неп осредственно над ними, равны 1, а всеостальны еравны 0). • К олич ество таких матриц на диагонали равно геометрич еской кратности э тог о собственного знач ения l0. Д оказательство. Построим оп ератор B = A – l0I. О ч евидно, B x = l x тогда и только тогда, когда Ax = (l + l0)x. Поэ тому оп ератор B имеет единственное собственное знач ение l = 0, п рич ем его геометрич еская кратность совп адает сг еометрич еской кратностью собственног о знач ения l0 оп ератора A. Применяя к оп ератору B теорему 1, п олуч им сп раведливость теоремы 2. Замеч ание. Д ля п остроения базиса, в котором матрица оп ератора A имеет указанны й в теореме2 вид, достаточ но п остроить таблицу (9) для оп ератора B = A –l0I. О п р еделен ие. М атрица вида (10) назы вается ж о рд а но во й к ле т к о й с ч ислом l0 на диагонали. К вазидиагональная матрица, вкоторой п о диаг онали стоят не возрастаю щ ие п о размеру жордановы клетки с ч ислом l0 на диагонали, назы вается ж о рд а но в о ым бло к о м сэ тим ч ислом на диагонали. –10–
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве Теор ем а 3. (О жор дан овой ф ор м е м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве) Е сли l1 , l2 , … , ls – всесобственны езнач ения линей ног о оп ератора A , дей ствую щ ег о вконеч номерном к о м пле к с но м п ространствеE, то • сущ ествует базис, квазидиаг ональна,
в
котором
матрица
э того
оп ератора
• в ней п о диаг онали стоят жордановы блоки в колич естве, равном s, имею щ иена диагонали ч исла l1 , l2 , … , ls соответственно. Д оказательство. Зап иш ем разложение характеристич еского многоч лена таког о оп ератора:
p (λ ) = ± (λ − λ1 ) k1 ⋅ (λ − λ2 ) k2 ⋅ K ⋅ (λ − λs ) k s В силу теоремы Гамильтона–К э ли имеем, ч то
( A − λ1 I ) k1 ⋅ ( A − λ2 I ) k2 ⋅ K ⋅ ( A − λs I ) k s = 0 . В ведем два п одп ространства:
L1 = Ker ( A − λ1 I ) k1 , M 1 = Ker (( A − λ 2 I ) k 2 ⋅ K ⋅ ( A − λ s I ) k s ). Э ти п одп ространства обладаю тследую щ имисвой ствами: 1. L1 и M1 инвариантны относительно оп ератора A. 2. L1 и M1 образую тп рямую сумму. 3. E = L1 +& M1. Д ей ствительно, инвариантность п одп ространства L1 следую щ ей п оследовательности имп ликаций : x Î L1 Þ
( A − λ1 I ) k
1
x = 0 Þ A ( A − λ1 I )
k1
вы текает из
x=0 Þ
Þ ( A − λ1 I ) 1 A x = 0 Þ A x Î L1 . И нвариантностьп одп ространства M1 доказы вается аналогич но. Д ля доказательства свой ств2 и 3 восп ользуемся тем, ч то два многоч лена k
(λ − λ1 ) k1 и (λ − λ 2 ) k 2 ⋅ K ⋅ (λ − λ s ) ks взаимно п росты и п оэ тому сущ ествую т многоч лены ч то
u(l) и v(l), такие,
1 = u(l) · (λ − λ1 ) + v(l) · ( (λ − λ2 ) ⋅ K ⋅ (λ − λ s ) ) Н а э том основании зап иш ем равенства для многоч леновотоп ератора A: k1
I= u( A) · ( A − λ1 I )
k1
k2
+ v( A) · ( ( A − λ2 I ) – 11 –
k2
ks
⋅ K ⋅ ( A − λ s I ) ks ).
(11)
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве I= ( A − λ1 I ) · u( A) k1
k ks ( ( A − λ2 I ) 2 ⋅ K ⋅ ( A − λ s I ) )· v( A).
+
(12)
Зап иш ем имп ликации, п рименяя соотнош ение(11):
( A − λ1 I ) k 2 x = 0 x ∈ L1 ⇒ ⇒ x ∈ L1 ∩ M 1 ⇒ k2 ks x M ∈ − ⋅ ⋅ − = A λ I K A λ I x ( ) ( ) 0 1 2 s
⇒ Ix = 0 ⇒ x = 0 . Следовательно, L1 È M1 = {0} и сумма L1 +M1 является п рямой . Д алее, всилу (12) для лю бого вектора xÎ E имеем Ix = ( A − λ1 I ) · u(A)x + ( ( A − λ2 I ) ⋅ K ⋅ ( A − λ s I ) )· v( A)x. О бознач им здесьп ервоеи второеслагаемы есоответственно x2 и x1. Т ог да x = x1 + x 2, п ри э том k1
x 1 =( ( A − λ2 I )
k2
k2
ks
⋅ K ⋅ ( A − λ s I ) ks )· v(A)x Î Ker ( A − λ1 I ) k1 = L1
x 2 = ( A − λ1 I ) · u(A)x Î M1 . Следовательно, E = L1 + M1. О тметим ещ еряд свой ствп одп ространствL1 и M1 : 4. Собственное п одп ространство R (λ1 ) Ì L1, а все друг ие собственны е k1
( λ2 )
( λs )
, K, R Ì M1. п одп ространства R 5. Сужения оп ератора A на п одп ространства L1 и M1 характеристич ескиемногоч лены , соответственно равны е
имею т
(λ − λ1 ) k1 и (λ − λ 2 ) k 2 ⋅ K ⋅ (λ − λ s ) ks . 6. dim L1 = k1 . Д ей ствительно, п оследовательностьимп ликаций xÎR
( λ1 )
Þ ( A − λ1 I ) x =0 Þ ( A − λ1 I )
k1
x =0 Þ A x Î L1
(λ ) п оказы вает, ч то R 1 Ì L1. В клю ч ение остальны х п одп ространств в M1 п оказы вается аналогич но. Э тим мы доказали свой ство 4.
Д ля доказательства свой ства 5 характеристич ескиемног оч лены сужений оп ератора A на п одп ространства L1 и M1 обознач им соответственно ч ерез p1(l) и q1 (l). Е сли в э тих п одп ространствах вы братьбазисы , то объединение их даст базис п ространства E, а оп ределяя п о матрице оп ератора A в э том базисе его характеристич еский мног оч лен, п олуч им, ч то p(l) = p1(l) × q1 (l), то есть 1 p1 (l) × q1(l) = ± (λ − λ1 ) ( (λ − λ2 )
k
–12–
k2
⋅ K ⋅ (λ − λ s ) ks ).
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве
Сог ласно свой ству 4 мног оч лен p1(l) имеет единственны й корень l = l1 , амногоч лен q1 (l) неимеетэ того ч исла среди своих корней . Поэ тому 1 p 1(l) = ± (λ − λ1 ) , q1 (l) = ± (λ − λ2 )
k
k2
⋅ K ⋅ (λ − λ s ) ks .
Н аконец, доказы вая свой ство 6, заметим, ч то размерность п одп ространства L1 совп адает со степ енью характеристич еского многоч лена p1(l). Следовательно, dim L1= k1 .. По аналогии сп одп ространством L1 п остроим п одп ространства k Li = Ker ( A − λi I ) i .
(13)
К аждоеиз них мог ло бы оказаться на месте L1 в п реды дущ их рассуждениях, если бы бы ли п ереставлены сомножители в разложении p (l). О тсю да следует, ч то • каждое п одп ространство Li инвариантно относительно оп ератора A, • сужениеоп ератора A на п одп ространство Li имеетхарактеристич еский мног оч лен, равны й •
±
( λ − λ i ) ki ,
dim Li= ki.
Д окажем, ч то п одп ространства
L1, L2, … , Li, … Ls
образую тп рямую сумму. Д ля э того достаточ но п оказать, ч то каждоеиз них п ересекается ссуммой остальны х лиш ьп о нулевому э лементу. Покажем, ч то э тим свой ством обладаетL 1, а всилу отмеч енной вы ш еравнознач ностиэ тих п одп ространствбудем иметь, ч то и лю бое Li обладаетим. О тметим, ч то L2, … , Li , … Ls Ì M1 (э то неп осредственно следует из сп особа п остроения э тих п одп ространств), п оэ тому L2 + Li + … + Ls Ì M1 . Н о п ересеч ениеL1 È M1={0}, следовательно, L1 È ( L2 + Li + … + Ls ) ={0}. И так, сумма п одп ространств L1+ L2 + Li + … + Ls является п рямой , ее размерность равна сумме размерностей э тих п одп ространств, п оэ тому имеем,ч то k1 + k2+… + ki+… + ks= dimE, откуда следует
E = L1 +& L2 +& K +& K Li +& Ls . Сужение оп ератора A на каждое п одп ространство Li обладает единственны м
собственны м знач ением l = li и п отому в силу теоремы 1 сущ ествуетбазис э того п одп ространства, в котором матрица сужения имеет вид жорданового блока сч ислом li на диаг онали. О бъединяя э ти базисы п одп ространств, п олуч им базис всег о п ространства E, в котором матрица оп ератора A имеет квазидиаг ональны й вид с соответствую щ ими жордановы ми блоками п о диаг онали: – 13 –
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве λ1 0 K 0 0
1 λ1 K 0 0
0 K 1 K KK 0 K 0 K
0 0 K 1 λ1
K λ1 1K K K K λ s 0 K 0 0
1 λs K 0 0
0 K 1 K KK 0 K 0 K
0 0 K 1 λs
K λ s 1K K K
(14)
Т еорема доказана. О п р еделен ие. М атрица (14) назы вается жордановой ф ормой матрицы оп ератора A, а базис, в котором она п остроена, жордановы м базисом э того оп ератора. Следствие. Размер наибольш ей клетки в жордановом блоке жордановой ф ормы матрицы оп ератора A с собственны м знач ением li на диаг онали равен наименьш ему натуральному ч ислу s такому, ч то dimKer (A – liI) s = k i, (15) гдеki – алг ебраич еская кратностьсобственного знач ения li э того оп ератора. Д ей ствительно, согласно доказательству теоремы 2 и замеч анию к теореме 1 размер э той клетки равен наименьш ей степ ени s сужения оп ератора (A – li I) на п одп ространство Li, которая делает из э того сужения нулевой оп ератор, ч то равносильно соотнош ению (15) в силу равенства dim Li = ki. Задача 1. Д окажите, ч то п ри возведении матрицы (2) в степ ень s ее п ервы е s столбцов становятся нулевы ми, а остальны е остаю тся линей но независимы ми между собой .
–14–
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве Задача 2. Н а основе задач и 1 докажите, ч то колич ество клеток в жордановой ф орме матрицы оп ератора A с ч ислом li на диагонали, размер которы х больш еt, равно разности
rt+1– rt , где rk = rank(A – liI) . k
Задача 3. Д окажите, ч то колич ество клеток вжордановой ф ормематрицы оп ератора A сч ислом li на диагонали размера t равно ч ислу
rt+1– 2rt + rt–1 . О п р еделен ие. К орневы м п одп ространством соответствую щ им ег о собственному знач ению п одп ространство Li, оп ределяемоесоотнош ением (13).
оп ератора A, li , назы вается
4. Пр авило 2. П р авило 2 (п остр оен ия жор дан ового баз иса и жор дан овой ф ор м ы м атр ицы оп ер атор а, действую щ его в ком п лексн ом п р остр ан стве). Д ля каждог о собственного знач ения l0 данного оп ератора A вы п олнить следую щ ую п оследовательностьдей ствий . 1. Построитьоп ераторB = A – l0I. 2. О п ределить наименьш ий натуральны й п оказатель s, обладаю щ ий свой ством
dimKer B s = k, гдеk – алгебраич еская кратностьсобственного знач ения l0 .
3. Рассмотретьп оследовательностей степ еней оп ератора B: B0 = I, B, B2, … , Bs-1, Bs. 4. М атрицы э тих оп ераторов в некотором базисе е трансп онировать и зап исатьвобратном п орядкевблоч ную матрицу:
( (Bsе )Т | (Bs-1е )Т |… |(B2е )Т | (Bе )Т | E). 5. В п ервом блокевы делитьбазисны естроки, а из остальны х ег о строк сделать нулевы е п осредством э лементарны х п реобразований системы строк всей блоч ной матрицы . 6. У далитьнулевы естроки п ервого блока, а друг иестроки э тог о блока удалитьвместесих п родолжениями во всей блоч ной матрице. 7. Н ад оставш ей ся матрицей вы п олнить п реобразования согласно п равилу 1. – 15 –
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве Получ енная в результате таблица даст жорданов базис для сужения оп ератора A на к о рне в о е по д про с т ра нс т во , с о о т ве т с т вую ще е с о бс т в е нно м у зна че нию l0. В э том базисе матрица сужения имеет вид жорданового блока с ч ислом l0 на диагонали, размеры клеток в котором оп ределяю тся длинами строк п олуч енной таблицы . О бъединяя п остроенны е таким образом базисы всех корневы х п одп ространств оп ератора, и вы страивая соответствую щ ие им жордановы блоки п о диаг онали, можно п олуч ить жорданов базис и соответствую щ ую жорданову ф орму матрицы оп ератора A.
П р им ер . Построить жорданов базис и жорданову ф орму матрицы оп ератора, дей ствую щ его вкомп лексном п ространствеи заданног о матрицей внекотором базисее : 6 7 A е = 8 1
−9 − 13 − 17 −2
5 8 11 1
4 7 8 . 3
Х арактеристич еский мног оч лен э того оп ератора 3
p(l) = (l –2) (l –1). Положим l0 = 2. 1. О п ератор B = A – 2I имеетвбазисее матрицу 4 7 Bе = 8 1
−9 − 15 − 17 −2
5 8 9 1
4 7 8 . 1
2. О п ределяем, ч то dimKer B = 2, а Следовательно, s = 2.
dimKer B
2
= 3.
3. Рассматриваем п оследовательность
B0 = I, B, B2. 4. По э той п оследовательности зап исы ваем блоч ную согласно п .4 п равила 2: − 3 6 − 3 − 3
−6 12 −6 −6
− 7 −1 4 2 − 7 −1 − 7 −1
4 7 8 1
−9 − 15 − 17 −2
5 8 9 1
4 7 8 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
матрицу
0 0 . 0 1
5. В п ервом блоке э той матрицы п ервую строку вы бираем за систему базисны х строк, из остальны х строк э тог о блока делаем нулевы е, вы п олняя э лементарны е п реобразования системы строк всей блоч ной матрицы : –16–
§1. Ж ор дан ова ф ор м а м атр ицы оп ер атор а в ком п лексн ом п р остр ан стве 3 0 0 0
−6 0 0 0
−7 0 0 0
1 0 0 0
4 −1 1 0
7 −1 1 0
8 −1 1 0
1 1 0 0 2 1 0 −1 0 0 −1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
6. В п ервом блоке удаляем нулевы е строки, а оставш ую ся п ервую строку убираем вместесих п родолжениями во всей матрице: −1 −1 −1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 . 0 0 0 0 −1 0 0 1
7. Н ад п олуч енной матрицей вы п олняем п реобразования п равила 1: −1 −1 −1 0 2 1 0 0 − 1 − 1 − 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 → −1 −1 − 1 0 2 1 0 0 . 1 1 1 0 → −1 0 0 1 −1 0 0 1 − 1 0 0 1
Следовательно, векторы g1 = (–1, –1, – 1, 0)е , g2 = (2, 1, 0, 0)е, g3 = (–1, 0, 0, 1 )е составляю т жорданов базис для сужения оп ератора А на корневое п одп ространство, отвеч аю щ еесобственному знач ению l = 2. М атрицей э того сужения втаком базисебудет квазидиагональная матрица 1 2 0 2
. 2
Положим l0 = 1. Е го алгебраич еская кратность k =1. О п ератор B = A – E имеет вбазисеe матрицу Ве
=
5 − 9 7 − 14 5 8 4 7
5 8 10 8
4 7, 1 2
п ри э том dim KerB =1 = k. Следовательно, s = 1. По п оследовательности оп ераторов I, B составляем блоч ную матрицу 5 − 9 5 4
7 5 − 14 8 8 10 7 1
4 7 8 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
В п ервом блоке вы берем за базисны е п ервы е три строки. У станавливаем (реш ая соответствую щ ую линей ную систему), ч то ч етвертая строка вы ражается ч ерез них с коэ ф ф ициентами, равны ми –3, –6, –7. В о всей блоч ной матрицеп рибавим к ч етвертой строкеп ервы есп редварительны м – 17 –
§2. Кан он ический баз ис сим м етр ичн ой билин ейн ой ф ор м ы ________ умножением на ч исла 3, 6, 7 соответственно. В ы п олняя надлежащ ие п реобразования, будем иметь 5 − 9 5 0
7 5 − 14 8 8 10 0 0
4 7 8 0
1 0 0 3
0 1 0 6
0 0 1 7
0 0 0 1
→ (3, 6, 7,1 ) .
Т аким образом, вектор g4 = (3, 6, 7, 1)е образует базис в корневом п одп ространстве, отвеч аю щ ем собственному знач ению l = 1. М атрицей э того сужения втаком базисебудет матрица из одного ч исла: (1). Построенны евекторы g 1 = (–1, –1, – 1, 0) е , g2 = (2, 1, 0, 0) е, g3 = (–1, 0, 0, 1 ) е, g4 = (3, 6, 7, 1) е образую тжордановбазисдля данного оп ератора А и его матрица вэ том базисебудетиметь вид 2 1 0 2 Ае =
2
1
,
вкотором всеневы п исанны еэ лементы являю тся нулевы ми. §2. Кан он ический баз ис сим м етр ичн ой билин ейн ой ф ор м ы 1. П р авило п остр оен ия кан он ического баз иса. О п р еделен ие. Э лементарны ми п реобразованиями базиса e1 , e2 , … , ei, … , ek, … , en назовем п реобразования следую щ их видов. 1. У множениенекоторого вектора ei на ненулевоеч исло. 2. Перемена местами двух векторовei и e k. 3. Замена вектора ei на вектор ei+λ e k. Лем м а 2 ( О б элем ен тар н ы х п р еобр аз ован иях баз иса). При каждом э лементарном п реобразовании базиса матрица билиней ной ф ормы п ретерп евает п реобразсвание, состоящ ее в аналогич ном дей ствии над системой ее строк с п оследую щ им таким же дей ствием над системой столбцовп олуч енной матрицы . Д оказательство. В ы сказанное утверждение – оч евидное следствие оп ределения матрицы квадратич ной ф ормы . –18–
§2. Кан он ический баз ис сим м етр ичн ой билин ейн ой ф ор м ы ________ Замеч ание 1. Благодаря симметрич ности матрицы квадратич ной ф ормы утверждение леммы останется сп раведливы м, если в ее ф ормулировке п оменять местами п орядок дей ствий над строками и над столбцами, то есть снач ала вы п олнить дей ствие над столбцами, соответствую щ ее п реобразованию базиса, а затем п родублироватьего дей ствием над строками п олуч ивш ей ся матрицы . Замеч ание 2. В силу замеч ания 1 можно вы п олнять ряд дей ствий над системой строк, а затем п родублировать их дей ствиями над столбцами, или наоборот. Е сли А – симметрич ная билиней ная ф орма, то оп исанны ми п реобразованиями еематрицы можно п олуч итьдиагональную матрицу. Е сли же над исходны м базисом вы п олнить э лементарны е п реобразования, соответствую щ ие вы п олненны м п реобразованиям матрицы , то п олуч им базис, в котором ф орма А имеет э ту диагональную матрицу. Т аким образом, сп раведлива следую щ ая теорема. Теор ем а 4 (О кан он ическом баз исе сим м етр ичн ой билин ейн ой ф ор м ы ). Д ля всякой симметрич ной билиней ной ф ормы в конеч номерном п ространстве сущ ествует базис, в котором э та ф орма имеет диаг ональную матрицу. О п р еделен ие. Базис, в котором симметрич ная билиней ная ф орма имеет диагональную матрицу, назы вается канонич еским базисом э той ф ормы , а диагональны е э лементы матрицы назы ваю тся канонич ескими коэ ф ф ициентами ф ормы вэ том базисе. П р авило 3 (п остр оен ия кан он ического баз иса сим м етр ичн ой билин ейн ой ф ор м ы ). 1. Составить блоч ную матрицу из двух горизонтальны х блоков, в которы е вп исать п о п орядку матрицу билиней ной ф ормы в данном базисее и единич ную матрицу. 2. В ы п олняя э лементарны е п реобразования системы строк блоч ной матрицы и дублируя их п реобразованиями системы столбцов в п ервом блоке, добиться того, ч тобы матрица в п ервом блоке п риобрела диагональны й вид. 3. Получ енная блоч ная матрица содержит в своем втором блоке канонич еский базис данной билиней ной ф ормы . К оординаты его векторовотносительно исходного базиса е зап исаны встроках э того блока. В п ервом блоке той же матрицы зап исана матрица билиней ной ф ормы вэ том канонич еском базисе. П р и м ер . Построить канонич еский базис и най ти соответствую щ ие канонич еские коэ ф ф ициенты для симметрич ной билиней ной ф ормы , заданной своей матрицей внекотором базисее : 1 2 − 1 Ае = 2 3 4 . − 1 4 0 – 19 –
§2. Кан он ический баз ис сим м етр ичн ой билин ейн ой ф ор м ы ________ Поступ аем согласно п равилу: 1 2 − 1 1 0 0 1 2 −1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 3 4 0 1 0 → 0 − 1 6 − 2 1 0 → 0 − 1 0 − 2 1 0 . − 1 4 0 0 0 1 0 0 35 − 11 6 1 0 0 35 − 11 6 1 Построен канонич еский базисиз векторов
f1= (1, 0, 0)е , f2= (-2, 1, 0)е , f3= (-11, 6, 1)е .
Соответствую щ иеему канонич ескиекоэ ф ф ициенты : 1, –1 и 35. 2. О сн овн ы е теор ем ы о билин ейн ы хф ор м ах Теор ем а 5 (Я коби). Е сли вматрицесимметрич ной билиней ной ф ормы в базисеиз векторов е 1, е 2, … , е k , … е n
a11 a 21 K a n1
a12 a 22 K a n2
K K K K
a1n a 2 n K a nn
вселевы еверхниеуг ловы еминоры кромеп оследнего a11 K a1,n −1 a11 a12 ∆ 1 = a11 , ∆ 2 = , K , ∆ n −1 = K K K a 21 a 22 a n −1 , 1 L a n −1, n −1 отлич ны от нуля, то сущ ествует канонич еский базис э той f 1, f 2, … , f k , … , f n такой , ч то
ф ормы
1. L(е 1, е 2, … , е k ) = L(f1 , f 2 , … , f k) п ри k = 1, … , n. 2. Соответствую щ ие канонич еские коэ ф ф ициенты l1 , l2, … , lk ,… , ln мог утбы тьвы ч ислены п о ф ормулам ∆ ∆ ∆ λ1 = ∆ 1 , λ 2 = 2 , K , λ k = k , K , λ n = n . ∆1 ∆ k −1 ∆ n −1 Д оказательство. Поскольку в матрице билиней ной ф ормы э лемент а 11 отлич ен от нуля, то э лементарны ми п реобразованиями строк можно сделать все э лементы , расп оложенны е п од ним нулевы ми. Э ти п реобразования можно вы п олнить, п рибавляя п ервую строку ко всем другим с п редварительны м умножением на соответствую щ ие ч исла. В ы п олнив аналогич ны е п реобразования в системе столбцов п олуч енной матрицы , мы будем иметьсимметрич ную матрицу вида: a11 0 0 K 0 0 b b K 0 22 23 . 0 b b 32 33 K 0 K K K K K 0 bn 2 b n 3 K bnn –20–
§2. Кан он ический баз ис сим м етр ичн ой билин ейн ой ф ор м ы ________ При указанны х п реобразованиях матрицы не изменились знач ения всех ∆ ∆ левы х верхних миноров. Поэ тому э лемент b22= 2 = 2 ¹0. Продолжая a11 ∆ 1 п роцессаналогич ны м образом, п риведем матрицу к диаг ональному виду, и в ней п о диагоналибудутстоятьэ лементы ∆ ∆ ∆ λ1 = ∆ 1 , λ 2 = 2 , K , λ k = k , K , λ n = n . ∆1 ∆ k −1 ∆ n −1 О тметим, ч то п олуч енная диагональная матрица является матрицей данной симметрич ной билиней ной ф ормы в базисе, которы й из данного базиса е п олуч ается соответствую щ ими э лементарны ми п реобразованиями. Э ти п реобразования обесп еч иваю т такое свой ство нового базиса f 1, f 2, … , f k , … , f n , ч то кажды й вектор f k Î L(е 1 , е 2 , … , е k), откуда следую т равенства L(е 1, е 2 , … , е k ) = L(f1, f 2, … , f k) п ри k = 1, … , n. О п р еделен ие. Симметрич ная билиней ная ф орма A(x, y), заданная в вещ ественном п ространстве, назы вается п оложительно оп ределенной , если A(x, x) > 0, когда x¹0. Теор ем а 6 (О кр и тер ии п оложитель н ой оп р еделен н ости). Симметрич ная билиней ная ф орма в конеч номерном вещ ественном п ространстве является п оложительно оп ределенной тогда и только тогда, когда в п роизвольном канонич еском базисе всеканонич ескиекоэ ф ф ициенты l1, l2 , … , lk ,… , ln п оложительны . Д оказательство. Пусть A(x, y) – симметрич ная билиней ная ф орма и l1 , l2, … , lk ,… , ln – ее канонич еские коэ ф ф ициенты в базисе е 1 , е 2, … , е k , … е n. Поскольку lk = A(е k , е k), то в случ ае, ког да A(x, y) п оложительно оп ределенная, все канонич еские коэ ф ф ициенты п оложительны . О братно, если все канонич еские коэ ф ф ициенты п оложительны , то п о канонич ескому виду э той билиней ной ф ормы : A(x, y) = l1x 1 y1 +l2x2 y 2 + … + +lnx n yn устанавливаем, ч то A(x, x) >0 п риx¹0. Теор ем а 7 (Силь вестр а). Симметрич ная билиней ная ф орма A(x, y) в конеч номерном вещ ественном п ространстве является п оложительно оп ределенной тогда и только тогда, когда вее a11 a12 K a1n a a K a 2n 21 22 K K K K a n1 a n 2 K a nn матрицевселевы еверхниеуг ловы еминоры ∆ 1 , ∆ 2 , K , ∆ n п оложительны . Д оказательство. Д остаточ ность условия вы текает из теоремы Я коби. Покажем ег о необходимость. Пусть е 1, е 2 , … , е k , … е n – базис, в котором составлена э та матрица. В силу п оложительной оп ределенности ф ормы имеем, ч то D1 = а 11= A(е 1, е 1 ) >0. Т еп ерьобратимся к доказательству теоремы – 21 –
§2. Кан он ический баз ис сим м етр ичн ой билин ейн ой ф ор м ы ________ Я коби. В ы п олнив п ервую п роцедуру, п олуч им, ч то э лемент b22 > 0 п о той же п рич ине, а из э того следует, ч то D2 = а 11 b22> 0 и так далее. Теор ем а 8 (об ин дексе ин ер ции). Ч исло п оложительны х и ч исло отрицательны х канонич еских коэ ф ф ициентов симметрич ной билиней ной ф ормы , заданной в вещ ественном п ространстве, не зависят от вы бора канонич еского базиса. Д оказательство. Пусть A(x, y) – симметрич ная билиней ная ф орма, заданная в конеч номерном вещ ественном п ространстве Е , а е 1, е 2, … , е k , … е n и f1 , f 2, … , f s , … f n – ее канонич еские базисы . Рассмотрим соответствую щ ие канонич еские коэ ф ф ициенты l1, l2 , … , lk ,… , ln и m1, m2, … , ms ,… , mn . Будем сч итать, ч то п орядок базисны х векторов вы бран так, ч то в э тих п оследовательностях снач ала идутвсеп оложительны е: l1, l2 , … , lk и m1 , m2, … , ms, а п отом всеотрицательны еи нулевы е. Покажем, ч то k = s. Д ля э того рассмотрим два п одп ространства K иS: K = L(е 1 , е 2, … , е k ) и S = L(f1 , f 2 , … , f s ). Э ти п одп ространства п ересекаю тся лиш ь п о нулевому вектору. Д ей ствительно, если xÎ K È S, то зап исав координаты э того вектора втом и друг ом базисе: x = (x 1 , x 2, … , x k , 0, … , 0) е и x = (0, 0, … , y s+1, … , yn) f. У станавливаем, ч то A(x, x) = l1 x 1+l2 x 2 +… + lk x k ³ 0 и A(x, x) = ms+1 y s+1+ … + mn y n£0. О тсю да следует, ч то A(x, x)=0, x 1 = x 2=… = x k = 0 и п отому x = 0. Т аким образом, п одп ространства K и S образую т п рямую сумму. Е е размерность равна сумме размерностей э тих п одп ространств и не п ревосходит размерности всег о п ространства, следовательно k + (n–s) £ n, то есть k£ s. Подобны ми рассуждениями, п оменяв местами базисы , п олуч им неравенство s £ k. И так, k = s. А налогич но можно п оказать, ч то ч исло отрицательны х канонич еских коэ ф ф ициентоввтом и другом базисеодно ито же. О п р еделен ие. Ч исло п оложительны х и ч исло отрицательны х канонич еских коэ ф ф ициентов симметрич ной билиней ной ф ормы назы ваю тся соответственно п оложительны м и отрицательны м индексом инерции э той ф ормы . .
–22–
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы х ф ор м _________________
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы хф ор м Задач а п остроения общ его канонич еского базиса для двух квадратич ны х ф орм встреч ается в ряде воп росов ф изики, механики, диф ф еренциальной геометрии. Н е всег да такой базис сущ ествует, п оэ тому важно установить критерий его сущ ествования. Поставленная задач а в двух ч астны х случ аях имеетп ростоереш ение. Рассмотрим э ти случ аи. 1. П ер вы й случай. Теор ем а 9. Е сли A , B – две квадратич ны е ф ормы в конеч номерном вещ ественном п ространстве Е , и B – п оложительно оп ределенная ф орма, то сущ ествуетобщ ий канонич еский базисдля э тих квадратич ны х ф орм. Д оказательство. В ведем в п ространстве Е скалярное п роизведение, п олаг ая (x, y) = B(x, y), где B(x, y) – симметрич ная билиней ная ф орма, п орождаю щ ая квадратич ную ф орму B. Т огда сущ ествует ортонормированны й канонич еский базис для квадратич ной ф ормы A, обознач им его e. Э тот же базис будет канонич еским и для билиней ной ф ормы B(x, y), п отому ч то матрица ее в э том базисе окажется единич ной . Следовательно, базис e – канонич еский для обеих квадратич ны х ф орм A иB. Проведенное доказательство оставляетв тени сп особ п остроения общ его канонич еског о базиса вотмеч енном случ ае. Н ай дем такой сп особ. Пустьf – базис, вкотором заданы матрицы обеих квадратич ны х ф орм A и B, а e – канонич еский базис, которы й ф иг урирует вдоказательстве теоремы стем жеобознач ением. О тметим соотнош ения T
T
Be = Pef Bf Pef и Ae = Pef Af Pef. Поскольку Be – единич ная матрица, то –1
T
Ae = Be Pef Af Pef = Pef
–1
Bf
–1
(Pef T)–1
T
Pef Af Pef = Pef
–1
(Bf –1 Af)Pef .
В силу п олуч енног о соотнош ения на матрицу Ae можно смотреть как на диагональную матрицу оп ератора, которы й в базисе f имел матрицу, –1 равную Bf Af, а на базис e, как на базис из собственны х векторов э того оп ератора. Н о базис e – ортонормированны й относительно скалярного п роизведения (x, y) = B(x, y), п оэ тому он п редставляетсобой неч то иное, как объединение ортонормированны х базисов в собственны х п одп ространствах э того оп ератора. Поскольку от вы бора э тих базисов вид матрицы оп ератора не изменится, то для п остроения базиса e можно рекомендовать следую щ ий сп особ. – 23 –
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы хф ор м _________________ П р авило 4 (п остр оен ия общ его кан он ического баз иса квадр атичн ы х ф ор м A и B, когда B –п оложитель н о оп р еделен н ая.). –1 1. Рассмотретьоп ератор Cˆ : Е ® Е , оп ределяемы й матрицей Cˆ f = B f Af. 2. В каждом его собственном п одп ространстве вы брать п роизвольны й базис, ортогонализировать его относительно скалярного п роизведения (x, y) = B(x, y), затем нормироватьп олуч енны евекторы . 3. О бъединить п олуч енны е системы векторов. Т ак будет п остроен общ ий канонич еский базис данны х квадратич ны х ф орм A и B. К вадратич ная ф орма A имеет в нем диагональную матрицу, в которой кажды й диаг ональны й э лемент является собственны м знач ением соответствую щ его базисног о вектора как собственного вектора оп ератора Cˆ , а ф орма B имеетвнем единич ную матрицу 2. Втор ой случай. Пусть A , B – две квадратич ны е ф ормы в конеч номерном вещ ественном п ространстве Е , и B – невы рожденная. Рассмотрим оп ератор Cˆ : Е ® Е , –1 оп ределяемы й матрицей Cˆ f = B f Af. Лем м а 3 (О соп р овождаю щ ем оп ер атор е). О п ератор Cˆ не зависит от вы бора базиса f. Д оказательство. В ы брав друг ой базис h, аналогич ны м п остроением ˆ : Е ® Е , такой ч то D ˆ h= Bh –1 Ah. Проведем вы ч исления: п олуч им оп ератор D ˆ f = Phf–1 D ˆ h Phf = Phf–1 Bh –1( PhfT)–1 Phf T Ah Phf = Bf –1 Af = Cˆ f. . D О п р еделен ие. О п ератор Cˆ назовем соп ровождаю щ им для п ары
квадратич ны х ф орм A иB. Теор ем а 10. Е сли A , B – две квадратич ны е ф ормы в конеч номерном вещ ественном п ространствеЕ , и B – невы рожденная, то общ ий канонич еский базис для э тих квадратич ны х ф орм сущ ествует тогда и только тогда, когда соп ровождаю щ ий оп ератор э той п ары квадратич ны х ф орм диагонализируем. Д оказательство. Е сли e – общ ий канонич еский базисф орм, то их матрицы вэ том базисеAe и Be – диагональны е, п оэ тому и матрица соп ровождаю щ его оп ератора в э том базисе диагональна. О братно, если соп ровождаю щ ий оп ератор диаг онализируем, то его собственны е п одп ространства образую т п рямую сумму, которая совп адаетсо всем п ространством Е . ПустьR(λ) и R(μ) – два из э тих собственны х п одп ространств. Покажем, ч то 1) для вектора yÎ R(μ ) и лю бого вектора xÎ Е сп раведливо равенство B(x, y) = μ А(x, y); (λ ) (μ) 2) для векторовxÎ R , yÎ R сп раведливы равенства А(x, y) = 0 , B(x, y) = 0
–24–
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы х ф ор м _________________ Д ей ствительно, для п роизвольны х векторов x, yÎ Е п о их координатам (x1 , x2, … , x n) и (у1, y2 , … , yn) в некотором базисе f знач ения билиней ны х ф орм оп ределяю тся п осредством ф ормул y1 А(x, y) =(x1, x 2, … , x n) Af y 2 K y n
y1 y , B(x, y) =(x1, x 2, … , xn) Bf 2 . K y n
y1 y1 –1 (μ ) y2 Е сли yÎ R , то Bf Af = μ y 2 , K K y y n n
(16)
y1 y1 y2 п оэ тому Af = μ Bf y 2 . K K y y n n
Т огда в силу (16) п ервое из п риведенны х утверждений сп раведливо. В силу э тог о свой ства п олуч им, ч то если xÎ R (λ ), yÎ R(μ), то B(x, y) = μ А (x, y) и B(y, x) = λ А(y, x) . И з э тих соотнош ений в силу симметрич ности билиней ны х ф орм А и B п олуч аем, ч то А(x, y) = B(x, y) = 0. В каждом собственном п одп ространстве соп ровождаю ш его оп ератора п остроим канонич еский базис для сужения на э то п одп ространство ф ормы B(x, y) . О бъединяя п остроенны е базисы п олуч им систему векторов, которая является базисом п ространства Е в силу диагонализируемости соп ровождаю щ ег о оп ератора, а э тот базис будет общ им канонич еским базисом для ф орм А и B всилу свой ств1) и2). П р авило 5 (п остр оен ия общ его кан он ического баз иса квадр атичн ы х ф ор м A и B, когда B –н евы р ожден н ая). 1. Рассмотреть соп ровождаю щ ий оп ератор Cˆ : Е ® Е данной п ары –1 квадратич ны х ф орм сматрицей Cˆ f = Bf Af . 2. В каждом собственном п одп ространстве э тог о оп ератора п остроить п роизвольны й базис. Получ ить из него канонич еский базис для сужения ф ормы B на э то п одп ространство, для ч его можно исп ользовать ф ормулы метода ортогонализации Грама – Ш мидта, заменяя в них скалярное п роизведениевекторов x и y знач ениями билиней ной ф ормы B(x, y). 3. О бъединить п олуч енны е базисы собственны х п одп ространств. Построенная система – общ ий канонич еский ф орм A и B. 4. О п ределить канонич еские коэ ф ф ициенты ф ормы B в э том базисе. При умножении каждог о из них на собственное знач ение соответствую щ его базисного вектора будутп олуч ены канонич ескиекоэ ф ф ициенты ф ормы A . 3. О бщ ий случай. О п р еделен ие. Н уль–п одп ространством симметрич ной билиней ной ф ормы А (x, y), заданной в п ространстве F, назовем множество N(A), состоящ ее из всех векторов x таких, ч то А (x, y) = 0 для всех векторов yÎ F. Э то же – 25 –
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы хф ор м _________________ множество будем назы вается нуль–п одп ространством квадратич ной ф ормы А (x, x) . Е сли в п ространстве F вы бран базис, то п одп ространство N(A) в координатах относительно э тог о базиса оп исы вается однородной системой линей ны х уравнений , матрицей которой является матрица ф ормы A вданном базисе. О п р еделен ия. Н уль–п одп ространством п ары квадратич ны х ф ормы А и B назовем множество N(A, B) , равное п ересеч ению нуль–п одп ространств э тих ф орм. Размерность э того п одп ространства будем назы вать деф ектом данной п ары и обознач ать def (A, B). Пару ф орм (A, B) будем назы вать невы рожденной , когда def (A, B) = 0, и вы рожденной – вп ротивном случ ае. Е сли п ара ф орм (A, B) является вы рожденной , то невы рожденную п ару составят сужения э тих ф орм на п роизвольное п одп ространство M, доп олнительное к N(A, B). В э том случ ае сущ ествование общ его канонич еског о базиса для сужений равносильно сущ ествованию общ его канонич еског о базиса для п ары самих ф орм. О п р еделен ие. Е сли п ара ф орм (A, B) – невы рожденная, то еесобственны м п одп ространством назы вается нуль–п одп ространство ф ормы µ A – λ B, • еслиег о размерностьбольш енуля и • (µ, λ ) ≠ (0,0). В таком случ ае п ару (µ, λ ) будем назы вать собственной п арой ч исел п ары ф орм (A, B), а собственноеп одп ространство обознач атьL(µ, λ ). Лем м а 4. Собственны е п одп ространства невы рожденной п ары ф орм (A, B) обладаю тследую щ ими свой ствами: 1. Е сли собственны е п ары ч исел (µ, λ) и (µ1, λ 1) не п роп орциональны , то соответствую щ ие собственны е п одп ространства п ересекаю тся лиш ьп о нулевому вектору. 2. Д ва собственны х п одп ространства L(µ, λ ) и L(µ1, λ 1) совп адаю т тогда и только тогда, ког да п ары (µ, λ) и (µ1 , λ 1) п роп орциональны . 3. Д ва различ ны х собственны х п одп ространства L(µ, λ) и L(µ1, λ 1 ) соп ряжены относительно симметрич ны х билиней ны х ф орм, п орождаю щ их квадратич ны еф ормы п ары (A, B) ( то есть A(x, y) = B(x, y) = 0 п ри x∈ L(µ, λ ), y∈ L(µ1, λ 1 ) ). Д оказательство. Е сли x∈ L(µ, λ ), y∈ L(µ1, λ 1 ) , то согласно оп ределению имеем µA(x, z) – λ B(x, z) = 0 µA(y, z) – λ B(y, z) = 0 (17) п ри лю бы х z∈F. Е сли x∈ L(µ, λ )ÈL(µ1, λ 1 ) , то в силу (17) для каждог о z∈F п олуч аем соотнош ения µA(x, z) – λ B(x, z) = 0 µA(x, z) – λ B(x, z) = 0, –26–
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы х ф ор м _________________ которы е вследствие неп роп орциональности строк (µ, λ ) и (µ1, λ 1 )даю т равенства A(x, z) = B(x, z) = 0 п ри всех z∈F. Э то означ ает, ч то x∈ N(A, B), а п оскольку п ара ф орм (A, B) – невы рожденная, то п олуч аем, ч то x = 0. И з доказанног о свой ства (1) следует, ч то собственны е п одп ространства не могут совп адать, если п орождаю щ ие их п ары ч исел не п роп орциональны . Совп адение п одп ространствв случ аеп роп орциональности п ароч евидно. Н аконец, если x∈ L(µ,λ), y∈ L(µ1, λ 1 ) , то п олог ая z = y в п ервом соотнош ении (17) и z = x во втором, п олуч им равенства µA(x, y) – λ B(x, y) = 0 µA(y, x) – λ B(y, x) = 0, из которы х вследствие неп роп орциональности п ар (µ, λ ) и (µ1 , λ 1) п олуч аем, ч то A(x, y) = B(x, y) = 0. И з доказанной леммы следует, ч то собственны е п ары ч исел, п орождаю щ ие данное собственное п одп ространство, оп ределяется не однознач но, а с точ ностью до ч ислового множителя, отлич ног о от нуля. О днознач ность п олуч им, если собственны е п ары ч исел будем вы бирать из множества п ар вида (1, λ) и (0, 1). Заметим, ч то (0, 1) будет собственной п арой ч исел для невы рожденной п ары ф орм (A, B) тогда и только тогда, когда B – вы рожденная ф орма, п ри э том собственное п одп ространство L(0, 1) = N(B ). Пара (1, λ) является собственной тогда и только тогда, когда ф орма A – λ B вы рожденная, то естьког да сп раведливо равенство det(A – λ B) = 0 .
(18)
Н а э то соотнош ение можно смотреть как на уравнение относительно λ, оп ределяю щ ее собственны е п ары ч исел вида (1, λ). Э то уравнение назы вается характеристич еским уравнением п ары ф орм (A, B), а множество его корней – сп ектром э той п ары . М ожет оказаться, ч то характеристич еское уравнение имеет нулевую степ ень. В э том случ ае оно либо не имеет корней , либо ему удовлетворяет лю бое знач ение λ. В п оследнем случ ае п ара ф орм обладает собственны м п одп ространством вида L(1, λ) п ри лю бом знач ении λ. Пример такой ситуациидаетп ара ф орм сматрицами 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 и 0 1 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 0 1 0 Лем м а 5. Е сли в невы рожденной п аре ф орм (A, B) ф орма B невы рожденная, то множество всех собственны х п одп ространств э той п ары совп адает с множеством всех собственны х п одп ространств соп ровождаю щ ег о оп ератора э той п ары .
– 27 –
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы хф ор м _________________ ) Д оказательство. Пусть C – соп ровождаю щ ий оп ератор, е – базис в п ространствеF, (x1, x2 , . . . , xn ) – координаты вектора x в э том базисе. Т огда ) сп раведлива цеп ьэ квивалентностей : C x = λ x
x1 x1 x1 x1 x1 ) x1 −1 Ce L = λ L ⇔ Be Ae L = λ L ⇔ Ae L = λ Be L x x x x x x n n n n n n
x∈ L(1, λ). Теор ем а 11. Е сли характеристич еское уравнение невы рожденной п ары ф орм (А, В) имеет степ ень вы ш е нулевой , то собственны е п одп ространства э той п ары образую тп рямую сумму. Д оказательство. Е го п роведем методом индукции п о размерности п ространства F. Е сли dimF =1, то ф ормы А, В имею тматрицы , состоящ ие из одного э лемента: (а ), (в ). О дна из них ненулевая в силу невы рожденности п ары ф орм и п отому соответствую щ ая ф орма невы рожденная. Сп раведливостьутверждения теоремы вэ том случ аеследуетиз леммы 5. Предп оложим, ч то утверждение теоремы сп раведливо для п ространств размерности < n. Рассмотрим невы рожденную п ару квадратич ны х ф орм (А, В) в п ространстве F размерности n. Е сли В – невы рожденная ф орма, то сп раведливостьутверждениетеоремы вы текаетиз леммы 5. Е сли В – нулевая ф орма, то А – является невы рожденной в силу невы рожденности п ары ф орм, и оп ять утверждение теоремы сп раведливо. Б удем сч итать, ч то ф орма В – невы рожденная и ненулевая. В ы берем базис e1, e 2, … , ek в ее нуль – п одп ространстве. Е г о можно вы брать так, ч то он будет являться канонич еским для сужения ф ормы А на э то п одп ространство, и в п оследовательности канонич еских коэ ф ф ициентов п ервы ми будут идти все ненулевы е среди них: α 1, α 2 , … , α t (0£ t £ k). Д оп олним векторы e 1, e2 , … , ek до базиса всего п ространства векторами ek+1, ek+2, … , en. М атрицы ф орм А, В вп остроенном базисеe можно зап исатьвблоч ном виде:
C DT , Ae = D G
0 0 , Be = 0 K
(19)
гдематрица С имеетвид α1 K C= αt 0 K ,
а матрицы G и K имею т п орядок, равны й n–k, п рич ем матрица K– невы рожденная. В матрице D столбцы , стоящ ие п од э лементами a1 , a2, … , at матрицы С , мог утбы тьсделаны нулевы ми, если видоизменить базис е , п рибавляя к векторам ek+1, e k+2, … , e n векторы e1 , e 2 , … , e t,, –28–
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы х ф ор м _________________ п редварительно умноженны е на соответствую щ ие ч исла. М ожно добится того, ч тобы следую щ ие столбцы матрицы D п риняли вид п ервы х столбцов единич ной матрицы соответствую щ его п орядка. Д ей ствительно, (t+1)–ы й столбец матрицы D не может бы ть нулевы м п о п рич ине невы рожденности п ары (А , В). Е сли ненулевой э лемент э тог о столбца расп оложен в i–ой строке, то п рибавляя вектор e i к вектору e k+1 , можно сделать п ервы й э лемент э того столбца ненулевы м, если до э того он бы л равен нулю . К ак п олуч ить п од ним все э лементы , равны е нулю , оч евидно. Соответственно следует п оступ ить со следую щ ими столбцами матрицы D. Т аким образом, можно сч итать, ч то матрицы (19) имею т блоч ны й вид: C1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 Ae = 0 E D D , Be = 0 0 K K , 1 2 1 2 0 0 K T K T D D 0 0 2 4 2 4 в котором С 1 – диаг ональная матрица п орядка t c э лементами a1, a2, … , at на диаг онали, Е – единич ны е матрицы п орядка ( k – t). Э ти п оследние п озволяю т сделать нулевы ми блоки D1 , D2 и D2T п осредством соответствую щ их э лементарны х п реобразований базиса. О тлич ие э тих п реобразований от п роводимы х ранее состоит в том, ч то для обращ ения в нуль диагонального э лемента матрицы D1, нап ример d11 следует к вектору е k+1 п рибавить вектор е t+1 , п редварительно умноженны й не на (– d11), а на п оловину э того ч исла. И так, блоки D1 , D2 и D2T можно сч итатьнулевы ми, то есть 0 0 0 0 C1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 0 Ae = , Be = 0 0 K K . 1 2 0 E 0 0 0 0 0 D 0 0 K T K 4 2 4 Д ля п оиска собственны х п одп ространств вида L(1, l) п ары (А, В) следует реш ать нетривиально совместны е однородны е линей ны е системы с матрицами вида 0 C1 0 0 0 0 E Ae − λBe = 0 E − λK − λ0K . 1 2 T 0 0 − λ K − λ K 2 4 (20) О ч евидно, ч то det (Ae –lBe ) = a1 ×a2× … × at det(D4 –lK4 ). (21) М атрицы D4 и K4 – э то матрицы сужений ф орм A и B на п одп ространство, натянутое на п оследние векторы базиса е, взяты е в соответствую щ ем колич естве. Э ти сужения ф орм не мог ут образовы вать вы рожденную п ару, так как тогда бы det(D4 – lK4) = 0 п ри всех знач ениях l, откуда в силу соотнош ения (21) следовало бы , ч то характеристич еское уравнение п ары (A , B) имеет нулевую степ ень, ч то невозможно п о условию теоремы . Следовательно, к э тим сужениям можно п рименить п редп оложение – 29 –
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы хф ор м _________________ индукции и п олуч ить, ч то их собственны е п одп ространства образую т п рямую сумму. Н о п о э тим собственны м п одп ространствам можно п остроить собственны еп одп ространства п ары (A , B). Д ей ствительно, в силу (21) собственны е п ары ч исел вида (1, l) и для п ары (A , B) и для п ары сужений будут одни и те же. А нализируя матрицу (20) можно сделатьвы вод о том, ч то собственноеп одп ространство п ары (A , B). вида L(1, l) состоитиз всех векторов(x1 , x2, … , xn ), координаты которы х в базисее, обладаю тсвой ствами:
xt +1 x k +t + L = λK L 1 , x 1 = x 2 = … = xt = 0, 2 x xk+1 = xk+2 = … = x k+ t = 0, xk n
(22)
между тем как знач ения п оследних неизвестны х xk+t+1 , … , x n составляю т реш ениеоднородной линей ной системы сматрицей D4 – l K4 . Следовательно, каждое собственное п одп ространство L(1, l) п ары (A , B) п олуч ается из собственног о п одп ространства той жеп ары ч исел для сужений э тих ф орм на п одп ространство M п осредством замены нулевы х знач ений координат с номерами t+1, … , k согласно ф ормулам (22). Поскольку собственны е п одп ространства сужений образую т п рямую сумму, то и п остроенны е таким образом собственны е п одп ространства вида L(1, l) п ары (A , B) также образую тп рямую сумму. Д ей ствительно, п устьL 1, L2,… , Ls – все п оп арно различ ны е собственны е п одп ространства вида L(1, l) п ары (A , B), а l1, l2 ,… , ls – соответствую щ ие им знач ения велич ины l. Рассмотрим векторы y1 , y 2 ,… , y s , кажды й из соответствую щ ег о п одп ространства, для которы х y 1 + y 2 + … + y s = 0. Заменяя у таких векторов координаты в базисе е с номерами t+1, … , k y 2 , ..., ~ y s , п ринадлежащ ие п оп арно y1 , ~ на нулевы е, п олуч им векторы ~ различ ны м собственны м п одп ространствам п ары (AМ , BМ ) сужений ф орм A , B на п одп ространство М , и для э тих векторов будет вы п олняться аналогич ноесоотнош ение: ~ y1 + ~ y2 + ... + ~ys = 0 . (23) Н о в силу п редп оложения индукции из (23) следует, ~ ~ ~ ч то y1 = y2 = ... = y s = 0 , а п отому в силу (22) имеем y 1 = y 2 = … = y s = 0. И так, собственны еп одп ространства L1 , L2,… , Ls образую тп рямую сумму. Э тими п одп ространствами не исч ерп ы вается множество всех собственны х п одп ространств п ары (A , B). К роме них есть ещ е одно – L(0, 1) = N (B). Покажем, ч то п ересеч ение Т= N (B) È (L1+ L2 +… + Ls ) = {0} . (24) ПустьzÎ Т и (z 1, z2 , … , zn ) – набор координатэ того вектора вбазисее. В силу (22) и тог о, ч то zÎ Т, имеем z1 = z2= … = zt = 0 , zk+1= … = zn = 0. Представим z ввиде –30–
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы х ф ор м _________________ z = y1 + y 2 + … + y s , y iÎ Li. У всех векторов, уч аствую щ их в э том соотнош ении, координаты с y2 , ..., ~ys , z, ~y1 , ~ номерами t+1, … , k заменим на нулевы е. Получ им векторы ~ для которы х вы п олняется аналогич ноеравенство ~z = ~y + ~y + ... + ~ ys . (25) 1 2 ~ y,~ y , ..., ~ y п ринадлежат п оп арно различ ны м z = 0 , а векторы Но ~ 1
2
s
собственны м п одп ространствам п ары (AМ , BМ ) , п оэ тому делаем вы вод о том, y1 = ~ y2 =... = ~ ys = 0 . Т ог да всилу (22) заклю ч аем, ч то y1 = y 2 = … = y s = ч то ~ 0, откуда следует, ч то z = 0. Т аким образом, соотнош ение (24) доказано, а с э тим законч ено доказательства ш ага индукции п ри dimF = n, и следовательно самой теоремы . Теор ем а 12. Н евы рожденная п ара квадратич ны х ф орм (A, B) в конеч номерном п ространстве F имеет общ ий канонич еский базис тог да и только тогда, ког да сумма размерностей всех еесобственны х п одп ространств равна размерности п ространства F. Д оказательство. Н еобходимость. Пусть e1, e2 , … , en – общ ий канонич еский базис данной п ары квадратич ны х ф орм (A, B), a1, a2 , … , an и b1, b2, … , bn – канонич еские коэ ф ф ициенты ф орм A и B в э том базисе. Порядок базисны х векторов можно сч итать таким, ч то во второй из э тих п оследовательностей снач ала идут все нулевы е коэ ф ф ициенты из нее:: b1 = b2 = … = bk = 0 ( 0 £ k£ n ). Т огда в силу невы рожденности п ары (A, B) все коэ ф ф ициенты п ервой п оследовательности стеми же номерами отлич ны отнуля. Собственное п одп ространство L (0, 1) у э той п ары сущ ествуеттогда и только тогда, ког да k >0, п рич ем его размерность в э том случ ае равна k. О стальны е собственны е п одп ространства имею т вид L (1, l), г де l – корень характеристич еского уравнения п ары , котороевтаком случ аеимеетвид: a1 a2 … ak (ak-1 – lbk-1) … (an – lbn) = 0. И склю ч ая тривиальны й случ ай k = n заметим, ч то степ ень э того уравнения вы ш е нулевой , и п отому собственны е п одп ространства п ары (A, B) в силу теоремы 11 образую т п рямую сумму. Размерность каждого собственног о п одп ространства L (1, l) совп адает с кратностью l как корня характеристич еского уравнения, так как матрица ф ормы A–lE диаг ональна. Следовательно сумма размерностей собственны х п одп ространств вида L (1, l) равна ч ислу (n – k), а уч иты вая размерность cобственного п одп ространства L (0, 1), равную k, п олуч аем, ч то сумма размерностей всех собственны х п одп ространств равна n , то есть размерности всего п ространства F. Д остаточ ность. В каждом cобственном п одп ространствеп ары (A, B) вы берем базис, п рич ем в собственном п одп ространстве L (0, 1) п усть он будет канонич еским для сужения ф ормы A на э то п одп ространство. Е сли условие теоремы вы п олнено, то объединение э тих систем будет базисом всего п ространства F. Д ей ствительно, в таком случ аестеп ень характеристич еского – 31 –
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы хф ор м _________________ уравнения будет вы ш е нулевой , и согласно теореме 11 собственны е п одп ространства составят п рямую сумму. Построенны й базис будет общ им канонич еским базисом данной п ары квадратич ны х ф орм (A, B) в силу п остроения илеммы 4. Следствие 1. Н евы рожденная п ара ф орм (A, B) имеет общ ий канонич еский базистог да и только тогда, когда • сп ектрL э той п ары конеч ен , • ∑ def ( A − λB ) = rank ( B ) . (26) λ∈Λ
Следствие 2. Пара ф орм (A, B) имеетобщ ий канонич еский базистогда и только тогда, когда • множество L знач ений l таких, ч то def(A –lB)> def(A ,B) конеч но, (27) • ∑ (def ( A − λB ) − def ( A, B )) = rank (B ) . λ ∈Λ
4. П р авило п остр оен ия общ его кан он ического баз иса п ар квадр атичн ы хф ор м в общ ем случае Пусть A и B – квадратич ны е ф ормы в п ространстве размерности имею щ ие общ ий канонич еский базис, ранг B равен r, 0 < r £ а матрицы Ae, Be – матрицы квадратич ны х ф орм внекотором базисеe. П р авило 6 (п остр оен ия общ его кан он ического баз иса п ар квадр атичн ы хф ор м A и B, общ ий случай). 1. Составим блоч ную матрицу
(Be || Ae ||E).
ы n, n, ы
(28)
гдеE – единич ная матрица. О п р еделен ие. Биэ лементарны м п реобразованием матрицы такого вида будем назы вать п рибавление к некоторой ее строке другой строки, п редварительно умноженной на некоторое ч исло, с п оследую ш им д ублиро ва ние м э той оп ерации над столбцами матриц, стояш их вп ервы х двух блоках. 2. Биэ лементарны ми п реобразованиями п риведем матрицу (28) к такому виду, ч тобы в п ервом блоке стояла диаг ональная матрица, в которой п ервы е r э лементовбы ли ненулевы ми, а следую щ иенулевы ми. 3. Биэ лементарны ми п реобразованиями, не изменяю щ ими п ервы е r строк п олуч енной матрицы , п риведем ее к такому виду, ч тобы во втором блоке э лементы , стояш ие на п оследних n – r строках и столбцах, составляли диаг ональную матрицу. 4. В се э лементы , стоящ ие над ненулевы ми диагональны ми э лементами второго блока, обратим в нулевы е, исп ользуя биэ лементарны е п реобразования, п ри которы х п оследние n – r строк п рибавляю тся к п редш ествую щ им. В результатеп олуч им блоч ную матрицу вида
–32–
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы х ф ор м _________________
K 0
0 0
~ E
G 0 0 C
,
где γ 1 γ 2 K= K , K γ r
α1 α 2 , C= K K α n −r
g1, g2,… , gr – ненулевы еэ лементы . 5. Сч итая, ч то K и G – матрицы квадратич ны х ф орм в некотором базисе f 1, f 2, … , f r , п остроим общ ий канонич еский базис g1, g 2,… , g r э тих ф орм п о п равилу 5 и соответствую щ ие канонич еские матрицы э тих ф орм.
~
6. Сч итая, ч то f1, f 2 ,… , f r – э то п ервы естроки матрицы E , п оставим на место э тих строк векторы g1, g 2,… , g r , а на место матриц K и G – соответствую щ иеим канонич ескиематрицы . 7. Получ енная в результате блоч ная матрица п редоставляет общ ий канонич еский базисданны х квадратич ны х ф орм : в строках третьего блока зап исаны координаты в базисе e векторов канонич еского базиса. Соответствую щ ие ему канонич еские матрицы ф орм B и A стоят, соответственно, вп ервом и втором блоках э той матрицы . П р и м ер . Построить общ ий канонич еский базис для двух квадратич ны х ф орм заданны х внекотором базисе e матрицами Ae
1 2 3 4 6 , Be = 3 6 0
= 2
1. Cоставим блоч ную матрицу
111 (Be| Ae | E) = 1 1 1 111
1 1 1 1 1 1 . 1 1 1
1 2 3 2 4 6 3 6 0
1 0 0 0 1 0 . 0 0 1
2. Биэ лементарны ми п реобразованиями э той п риведем п ервы й блок к диагональному виду: 1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 2 3 1 2 3 2 4 −3
1 0 0 1 0 0 −1 1 0 → 0 0 0 0 0 0 −1 0 1
1 1 2 1 1 2 2 2 −5
блоч ной
матрицы
1 0 0 −1 1 0 . −1 0 1
3. Биэ лементарны ми п реобразованиями п олуч енной матрицы добьемся тог о, ч то во втором блоке левы й нижний минор п орядка 2 стал бы диаг ональны м. Д ля э того вторую строку п рибавим ко второй , – 33 –
§3. Задача о п ар е квадр атичн ы хф ор м _________________ п редварительно умножив ее на ч исло (–2) и соответственно про д ублируе м о пе ра циям и на д с т о лбца ми пе рв о го и в т о ро го бло к о в . 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 1 1 2 0 0 −9
1 0 0 −1 1 0 → 1 −2 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0 −9
1 0 0 −1 1 0 . 1 −2 1
В уп омянутом миноре оба диаг ональны х э лемента отлич ны от нуля. Д елаем все э лементы , стоящ ие над ними, нулевы ми, исп ользуя биэ лементарное п реобразования, в котором вторая строка п рибавляется к п ервой сп редварительны м умножением на ч исло (–1): 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 −9
1 0 0 2 −1 0 −1 1 0 → 0 0 0 0 0 0 1 −2 1
0 0 0 0 1 0 0 0 −9
2 −1 0 −1 1 0 1 −2 1
4. Поскольку матрицы , которы е в п равиле вы ступ аю т п од обознач ениями K и G, имею т п орядок, равны й 1, то п роблема п остроения общ ег о канонич еского базиса для соответствую щ их квадратич ны х ф орм отп адает. Получ енная матрица дает в п оследнем блокеобщ ий канонич еский базисданны х ф орм A и B, а вп ервы х двух блоках – матрицы ф орм вэ том базисе.
–34–
Уп р ажн ен ия
Уп р ажн ен ия
§1. Построитьжордановбазиси соответствую щ ую жорданову ф орму матрицы для оп ератора, заданного внекотором базисематрицей 0 − 1 1 1. 0 3 − 3 0 3 − 3 0 −2 4. 0 0
2 4 0 0
0 0 5 1
− 3 − 2 2. 0 0 9 6
0 0 − 9 − 1
1 0 3
2 2 − 1 5. 0 4 − 1 − 1 3 1
3 − 6 − 3 3. 0 1 − 1 0 4 5 2 6. −01 − 1
0 2 1 4
−1 −1 1 1
0 0 0 − 1
§2. Построитьканонич еский базиси соответствую щ ую ему матрицу для квадратич ной ф ормы , заданной матрицей внекотором базисе 2 2 − 2 1. 2 1 − 3 − 2 − 3 1
3 5. −21 1
2 0 2 4
−1 2 −1 3
1 4 3 0
1 2 0 2. 2 16 4. 0 4 3
1 6. 3 5 2
3 −1 0 1
5 0 0 1
5 3. 2 1 1
2 1 2 2
1 2 5 1
1 2 1 − 3
4 6 7 4. 6 3 5 9 10 − −
3 5 3 −7
−9 − 10 −7 16
2 1 1 4
§3. Построить общ ий канонич еский базис и соответствую щ ие ему матрицы для п ары квадратич ны х ф орм, заданны х матрицами в некотором базисе 2 2 − 2 1. 2 1 − 3 , − 2 − 3 1
3 −2 3 − 2 − 1 3 . 3 3 − 2
– 35 –
Уп р ажн ен ия 2 −6 2. − 6 22 0 2
0 2 1
,
1 −2 − 2 16 0 6
0 6. 3
6 − 12 3. −012 24 0 4 − 8
0 0 0 0
4 − 8 , 0 3
5 − 12 0 3
− 12 21 −4 −7
1 4. 0 1 − 1
0 −2 0 0
1 0 1 −1
− 1 0 − 1, 1
4 4 4 − 4
4 12 0 −4
0 −4 −2 0
4 0 6 −4
–36–
3 − 7 . 0 2
− 4 − 4 . − 4 3
О тветы
О тветы §1. 1. {(-1, 3, 3), (0, 1, 0), (0, 1, 1)},
2. {(-1, 0, 3), (0, 0, 1), (0, 1, -2)}, 3. {(-3, –1, 2), (0, 0, 1), (2, 1, -2)},
0 0 0 0 0 0 3 0 0
1 0 0 1 0 0 1 3 0
0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 3
2 4. {(-2, 1, 0, 0), (-2, 0, 0, 0), (0, 0, 3, -1), (0, 0, 1, 0)}, 0 0 0 2 1 0 5. {(1, 1, 2), (-1, 0, -1), (1, 1, 1)}, 0 2 0 . 0 0 3 6. {(0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (-1, -1, 0, -1), (-2, -1, 1, 0)},
1 2 0 0
0 0 2 0
0 0 . 1 2
− 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 . 1 2
§2. 1. {(1, 0, 0, ), (-1, 1, 0 ), (2, -1, 1)},
2 0 0 0 − 1 0 . 0 0 0
2. {(1, 0, 0, ), (-2, 1, 0 ), (2, -1, 3)},
1 0 0 0 12 0 . 0 0 15
3. {(0, 1, 0, 0), (1, -2, 0, 0), (3, -8, 1, 0), (-3, 8, -3, 2)},
– 37 –
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −8 0
0 0 . 0 8
О тветы − 1 0 0 0 1 0 0 . 4. {(1, -1, 0, 0 ), (1, 0, -1, 0, ), (1, 1, -1, 1 ), (1, -3, 0, -1 )}, 0 0 0 2 0 0 0 0 5 1 0 0 0 4 0 0 . 5. {(0, 0, 1, 0), (0, 1, 2, 0), (1, 0, -1, 0), (1, -5, -5, 2)}, 0 0 0 4 0 0 0 0 − 68
1 6. {(1, 0, 0, 0), (-3, 1, 0, 0), (-1, -3, 2, 0), (-2, 4, -6, 10)}, 0 0 0
0 − 10 0 0
0 0 − 10 0
0 0 . 0 340
§3. 0 0 0 1 0 0 1. {(2, -1, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)}, 0 1 0 , 0 − 1 0 . 0 0 − 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2. {(-2, -1, 2), (0, 0, 1), (3, 1, -2)}, 0 1 0 , 0 3 0 . 0 0 0 0 0 1 1 3. {(3, 1, -2, -1), (1, 0, 0, -2), (8, 4, -7, 0), (2, 1, 0, 0)}, 0 0 0
0 2 0 0
− 1 4. {(3, -1, -2, 0), (4, -1, -2, 0), (-1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}, 0 0 0
–38–
0 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 , 0 0 0
0 0 0 , 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 − 56 0 0
0 4 0 0
0 0 2 0
0 0 . 0 − 7
0 0 . 0 − 1
Ли тер атур а Ли тер атур а
1. И льин В .А .. Л иней ная алгебра / В .А . И льин, Э .Г. Поздняк – М .: Ф изматлит, 2002. 2. К острикин А .И . В ведениевалгебру / А .И . К острикин – М .: Ф изматлит, 2000. – Ч . 2: Л иней ная алгебра. 3. Беклемиш евД .В . К урсаналитич еской геометрии и линей ной алгебры / Д .В .Беклемиш ев– М .: В ы сш ая ш кола, 1998. 4. М альцевА .И . О сновы линей ной алгебры / А .И . М альцев– М .: Н аука, 1970. 5. Ш иловГ.Е . М атематич еский анализ. К онеч номерны елиней ны е п ространства. – М .: Н аука, 1969.
Составитель
А дамова Римма Серг еевна.
– 39 –
