Методы решения систем с разреженными матрицами. Способы хранения и представления разреженных матриц, операции над ними: Методические указания к спецкурсу

В О РО НЕ Ж С К И Й Г О С У Д А Р С Т В Е ННЫ Й У НИ В Е Р С И Т Е Т Ф АК У Л Ь ТЕ Т ПМ М К а ф едр а в ы чи с ли т ельной м а т ем а т и ки

М Е Т О Д Ы Р Е Ш Е НИ Я С И С Т Е М С Р А ЗР Е Ж Е ННЫ М И М А Т Р И ЦА М И С П О С О БЫ ХР А НЕ НИ Я И П Р Е Д С Т А В Л Е НИ Я РА ЗРЕ Ж Е ННЫ Х М А Т Р И Ц, О П Е Р А ЦИ И НА Д НИ М И М ет одическиеуказания к спецкур су для с т у дент ов 3 ку р с а днев ного и вечер него от делени й ф а ку льт ет а ПММ

Сос т а ви т ели : И.А.Бла т ов Т.Н .Глу ша кова М.Е.Экс а р евс ка я

В о ро не ж – 2002

-2-

СО Д ЕРЖ А Н И Е § 1. § 2. § 3. § 4.

В в е де ние … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 3 Способы хране нияи пре дстав л е нияразре ж е нных мат риц … … … .… … ... 3 О пе рации над разре ж е нными мат рицами … … … … … … … … … … ...… … . 9 М е т од Гаусса дл яразре ж е нныхмат риц … … … … … … … … … … … … … . 24 Л ит е рат ура … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 33

-3§ 1. В ведение С т ро гого о пре де л е ния разре ж е нной мат рицы не т , но е сть “ не строгие ” о пре де л е ния, не ко т орые изко т орых мы зде сьп рив е де м. О п р е д е л е ни е 1.1. Р азре ж е нная м ат ри ца ( РМ ) – эт о мат рица, у кот о ро й “ мно го” эл е ме нт ов рав но нул ю . О п р е д е л е н и е 1.2. Р азре ж е нная м ат ри ца – эт о мат рица, дл я кот о ро й испо л ьзов ание ал горит мо в , учит ыв аю щ их нал ичие нул е й, по зв ол яе т добит ься эконо мии маш инно го в ре ме ни и памят и по срав не нию с т радиционными ме т о дами. РМ в о зникаю т п ри ре ш е нии многих прикл адных задач. Н азов е м не кот о рые изних: 1) дискре т изация урав не ний мат е мат иче ской ф изики – разно стные схе мы и ме т о д коне чных эл е ме нт о в ; 2) задачи л ине йно го про граммиро в ания (т е о рияопт имизации); 3) задачи т е ории эл е кт риче ских це пе й. О сновная задач а к урса – на у чи т ьс я с т р ои т ь эф ф ект и в ны е а лгор и т м ы AU = f р ешени я с и с т ем ли нейны х а лгебр а и чес ки х у р а в нени й (СЛАУ) ( A – РМ), т .е. п ы т а т ьс я оп т и м и зи р ова т ь п р оцес с р ешени я с т очки зр ени я за т р а т м а ши нной п а м я т и и в р ем ени . В озмож ности ре ш е ния эт о й задачи связаны с игнориров ание м нул е й мат рицы A за сче т т ого , чт о: 1) ариф ме т итиче ские оп е рации снул ями не произв одят ся; 2) нул и не обязат е л ьно хранит ьв маш инной памят и. § 2. С пособы хр анения ипр едст авл ения р азр еж енны х м ат р иц В се сп осо бы хране ния РМ закл ю чаю т ся в т о м, чт обы хранит ь т ол ько не нул е в ые эл е ме нт ы мат рицы ил и, мо ж е т быт ь, не бо л ьш ое ко л иче ств о нул е й в ме сте сними. 2.1. Р азр еж енны й ст р очны й ф ор м ат (Р С Ф ) Э т о наибо л е е ш ироко испо л ьзуе мая ф о рма хране ния РМ . П усть е сть п рямо угол ьная n × m мат рица A = aij . Д л я е е п ре дстав л е ния в РСФ

{ }

нуж но т ри о дно ме рных массив а: 1) AN – массив не нул е в ых эл е ме нт о в мат рицы A ; 2) JA – массив со от в е т ств ую щ их стол бцо в ых инде ксов не нул е в ых эл е ме н- т о в мат рицы A ; 3) IA – т ак назыв ае мый “ массив указат е л е й ” – це л очисле нный массив , i -я компо не нт а кот о ро го указыв ае т , c какой по зиции массив о в AN и JA начинае т ся о писание i -й строки мат рицы A . Зде сь пре дусмот ре на допо л нит е л ьная компоне нт а , кот о рая яв л яе т ся по сле дне й и указыв ае т номе р п е рв ой сво бодно й по зиции в массив ах AN и JA .

-4Т аким образо м, о писание i -й строки мат рицы A хранит ся в по зициях с I A(i ) до [ I A(i + 1) − 1] массив о в AN и JA за искл ю че ние м рав е нств а I I A(i + 1) = I A(i ) , означаю щ е го, чт о i -я строка пуста. Сл е до в ат е л ьно, эл е ме нт ы записыв аю т ся в массив по порядку сле дов ания строк. Е сли A име е т m строк , то массив I A соде рж ит (m + 1) по зицию . Д анный сп особ пре дстав л е ния назыв аю т по л ным, т .к. пре дстав л е на в ся мат рица A . В зав исимо сти от т о го, как записыв аю т ся в каж дой строке стол бцо в ые инде ксы в массив е JA (по п орядку в озрастания ил и не т ), разл ичаю т упо рядо че нно е ил и не упо рядо че нное пре дстав л е ние со от в е т ств е нно. Н е упорядо че нные пре дстав л е ния нуж ны дл я ал го рит миче ских удобств : ре зул ьт ат ы бо л ьш инств а мат ричных оп е раций п ол учаю т сяне упорядоче нными, и уп орядоче ние их т ре буе т допо л нит е л ьных зат рат маш инно го в ре ме ни, в т о в ре мя как бол ьш инств о ал го рит мов дл я РМ не т ре буе т , чт обы п ре дстав л е ния был и упорядоче нными. З а м е ч а н и е . В сю ду в дал ьне йш е м мы буде м име т ь де л о с в е щ е ств е нными мат рицами. Задача 1. Н ап исат ьдл ямат рицы A упо рядо че нное п ре дстав л е ние в РСФ . N стол бцо в : 1 2 3 4 5 6 7

1  4 A= 0  0 N по зиций: AN : JA : IA:

1 1 1 1

2 1 2 4

3 2 4 6

4 4 1 8

1 0 2 0 0 0  0 5 0 0 0 0 . 0 0 0 3 6 0  0 0 0 0 0 0 

5 6 7 8 5 3 6 3 5 6 8

З а м е ч а ни е . В п е рв ой позиции массив а I A в сегда стоит 1 .

AN , JA, IA Задача 2. П о массив ам т очностью до нул е в ых стол бцо в справ а). AN : 1 2 3 4 5 8 9 JA : 6 7 1 2 3 4 5 IA: 1 3 5 6 8

в осстано в ит ь мат рицу A (с

-5Разобье м массив ы AN, JA по строкам: N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7

AN : 1 2 3 4 5 8 9 JA : 6 7 1 2 3 4 5 Т аким о бразом, в мат рице A 4 строки и 7 стол бцо в , приче м в 1-ой строке в 6 сто л бце стоит 1, в 7-м стол бце – 2 и т .д.

N сто л бцов : 1 0  3 A= 0  0

2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 2  4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0  0 0 8 9 0 0 

Задача 3. Н аписат ьдл ямат рицы иззадачи 1 пол но е , но не упорядоче нно е п ре дстав л е ние . 2.2. Разр еж енны й ст ол бцовы й ф ор м ат (Р С т Ф ) Зде сь эл е ме нт ы хранятся не п о строчкам, как в РСФ , а по сто л бцам. С т ол бцо в ые пре дстав л е ния могут т акж е рассмат рив ат ься и как стро чные п ре дстав л е ния т ранспо ниров анных мат риц. Таким о бразом, в массив е JAT указыв ае т ся строчный инде кссо от в е т ств ую щ е го эл е ме нта, а эл е ме нт ы I AT указыв аю т , скако й по зиции начинае т сяописание оче ре дно го сто л бца мат рицы A. Н ап исат ь дл я мат рицы A Задача 4. сто л бцов ое пре дстав л е ние . a) N по зиций: 1 2 3 4 5 6 7 ANT : 1 4 1 5 2 3 6

из задачи 1 упорядоче нно е

8

JAT : 1 2 1 2 1 3 3 I AT : 1 3 4 5 6 7 8 Задача 5. Транспо ниро в ать мат рицу A иззадачи 1 и нап исат ь дл я не е упо рядо че нный РСФ , срав нитьре зул ьт ат сре зул ьт атом задачи 5. Задача 6. Зап исат ьмат рицу A в не упо рядоче нном РСтФ .

 0 0 1 3 0 0 0 5 0 0   A =  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .  0 0 0 0 0 7 0 1 0 0  

-62.3. С т р очны й р азр еж енны й ф ор м ат хр анения сим м ет р ичны х м ат р иц Д л я симме т рично й мат рицы

A = {aij }i , j =1 n

(aij = a ji )

достат очно

хранит ьл иш ье е диагонал ь и в е рхний (ниж ний) т ре уго л ьник. П ри эт ом мо ж но указат ьдв а спо соба хране ния: 1) строчное п ре дстав л е ние диаго нал и и в е рхне го (ниж не го ) т ре уго л ьника (РС Ф Б Д ); 2) в ыде л е ние диагонал ьных эл е ме нт ов мат рицы A в от де л ьный массив AD , а разре ж е нным ф ормат ом пре дстав л яе т ся т о л ько в е рхний (ниж ний) т ре уго л ьник мат рицы A (приче м в эт о м п ре дстав л е нии диагонал ьсчит ае т ся нул е в о й) (РСФ Д ).

З а да ча 7.

З а пис а т ь

с им м е т р ичную

2  0 A= 0  1

м а т р ицу

0 0 1  1 0 1 0 3 0  1 0 3

a) в РСФ Б Д ; б) в РСФ Д . a)

AN : 2 1 1 1 3 3 JA : 1 4 2 4 3 4 IA: 1 3 5 6 7

б) AN : 1 1

JA : 4 4 IA : 1 2 3 3 3 AD : 2 1 3 3

2.4. Д иагонал ь ная схем а хр анения (Д С Х) л ент очны х м ат р иц О п р е д е л е ни е

{ }in, j =1 назыв ае т ся

2.1. К в адрат ная мат рица A = aij

(2m + 1) –диаго нал ьной ил и ле нт оч ной, е сли aij = 0 дл яв сех i, j т аких, чт о | i − j |> m . Ч исло (2m + 1) – эт о ши ри на ле нт ы, m – полуши ри на. Е сли m << n , т о т акую мат рицусле дуе т рассмат рив ат ькак разре ж е нную . Д л я хране ния (2 m + 1) –диагонал ьной не симме т рично й мат рицы в ыде л яе т ся дв уме рный массив AD ( n × ( m + 1)) , а дл я симме т рично й – (n × (m + 1)) . Стол бцами эт о го массив а яв л яю т ся не нул е в ые диаго нал и мат рицы A , кот о рые хранят ся, начинаяссамо й л е в о й диагонал и (самый л е в ый сто л бе ц) и кончая самой прав о й (самый прав ый стол бе ц) сле дую щ им образо м:

-7сначал а в стол бе ц записыв ае т ся гл ав ная диаго нал ь, ниж ние кодиагонал и – в о стал ьных концах сле в а со сдв игом на о дну по зицию в низ при каж до м сме щ е ние в л е в о, а в е рхние ко диаго нал и – в прав ой части массив а со сдв игом на о дну позицию в в е рх п ри каж до м сме щ е нии в прав о. С хе мат ично эт о мо ж но изобразит ьт ак:

У симме т ричных мат риц, как прав ил о , записыв аю т ниж ний т ре угол ьник. Задача 8. Д л якв адратной мат рицы A 1) найт и по л уш иринул е нт ы m ; 2) указатьразме ры мат рицы AD ; 3) п остро ит ьД С Х .

1 0 0 0 0 0 0    0 2 8 6 0 0 0   0 8 3 0 0 0 0    A = a)  0 9 0 4 10 0 0  ;  0 0 0 10 5 11 12    0 0 0 0 9 6 0    0 0 0 0 0 0 7  а) 1) m = 2 ; 2) AD (7 × 5) ; 1 0 0    0 2 8 6  0 8 3 0 0    3) AD =  9 0 4 10 0  ;  0 10 5 11 12    0 9 6 0    0 0 7 

1  0 б) A =  1  0 0  б)

0 1 0 0  2 0 0 0 0 0 0 2 .  0 0 3 0 0 2 0 5 

1) m = 2 ; 2) AD (5 × 3) ;

   3) AD =  1  0 2 

0 0 0 0

1  2 0.  3 5 

Задача 9. Указат ь в заимно - одно значное соо т в е т ств ие ме ж ду по л ож е ние м эл е ме нт а в мат рице A и е го по л о ж е ние м в массив е AD .

-82.5. П р оф ил ь ная схем а хр анения (П С Х) л ент очны х м ат р иц Э т а схе ма пре дназначе на дл я хране ния симме т ричных л е нт очных мат риц, когда в нут ри л е нт ы находит ся слиш ком мно го нул е й, и пре дыдущ ая схе ма стано в ит сяне це л е соо бразно й. Зде сьхранит сят ол ько ниж няяпол ул е нт а. В в е де м числа β i = i − jmin (i ) , где i – номе р стро ки, jmin (i ) – минимал ьный стол бцо в ый инде ксп е рв ого не нул е в ого эл е ме нт а в i -й стро ке мат рицы A , т .е . пе рв ый не нул е в о й э л е ме нт i -й строки нахо дится на β i п озиций л е в е е прав ой диаго нал и. О п р е д е л е н и е 2.2. Профи ле м м ат ри цы сумма β i :

A = {aij }i , j =1 назыв ае т ся n

n

pr ( A) = profile ( A) = ∑ β i . i =1

О п р е д е л е н и е 2.3. О болоч к ой м ат ри цы A назыв ае т ся со в о купно сть эл е ме нт о в aij : 0 < i − j ≤ β i .

{

}

В се эл е ме нт ы обол очки и диагонал ьные эл е ме нты, уп орядоче нные по строкам, хранят ся в о дно ме рном массив е AN , приче м диаго нал ьный эл е ме нт данно й стро ки поме щ ае т сяв е е коне ц. dim AN = pr ( A) + n . В це л очисле нном массив е DA указыв аю т ся номе ра диаго нал ьных эл е ме нт о в в массив е AN . Т аким образо м, при i > 1 эл е ме нт ы i -й строки нахо дят ся в позициях от [ DA(i − 1) + 1] до DA(i ) . Единств е нный эл е ме нт a11 п е рв ой стро ки хранит ся в AN (1) .

10    0 13    Задача 10. Д л ямат рицы A =  0 0 17    0 1 0 18     0 0 0 2 20  1) п одсчит ат ьпроф ил ь, найт и разме рностьмассив а AN ; 2) п остро ит ьП СХ .

N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 AN : 10 13 17 1 0 18 2 20 DA : 1 2 3 6 8

-9-

1) β1 = 0, β 2 = 0, β 3 = 0, β 4 = 2, β 5 = 1, pr ( A) = 3, dim AN = 3 + 5 = 8. Задача 11. П о массив ам AN и DA в о сстанов ит ьмат рицу A :

AN : 9 8 7 6 5 4 3 2 1 DA : 1 3 5 6 7 9 § 3. О пер ациинад Р М . А л гебр а Р М О пе риров ат ь сРМ т рудне е , т .к. о ни заданы в упако в анной ф орме . М ы буде м работ ат ь смат рицами, кот о рые заданы в РС Ф (РСтФ ). П о э т ому л ю бой ал горит м разбив ае т сяна два э т апа. 1. С им вол ический – оп ре де л яе т ся структ ура разре ж е нности ре зул ьтат а, кот о рый хот им по л учить, а т акж е п озиции эл е ме нт о в исходных РМ , с кот о рыми нуж но пров одит ь ариф ме т иче ские де йств ия, т .е . иде т работ а с в е кторами IA , JA ; зде сь ж е оп ре де л яе т ся объе м о пе рат ив но й памят и, не о бходимый дл я хране ния проме ж ут о чных ре зул ьт ат о в и в ыходной инф о рмации. 2. Ч исл енны й – не по сре дств е нно в ыпо л няю т ся числе нные оп е рации. В ре зул ьт ат е пол учае м число, мат рицуил и в е кт о р. 3.1. С писки 3.1.1. Хр анениесписков, цел ы х списков, кол ь цевы х цел ы х списков О п р е д е л е н и е 3.1. Спи ск ом назыв ае т ся со в о купно сть яче е к (по зиций), связанных в т ом ил и ино м по рядке . К аж дая яче йка соде рж ит эл е ме нт списка и номе р яче йки, в ко т о ро й хранит ся сле дую щ ий эл е ме нт списка. В нут ри каж дого списка, п о п ре дп ол о ж е нию , пов т оре ний не т . В о бщ е м случае схе ма хране ниясписка со сто ит изт ре х массив о в : 1) массив позиций N ; 2) массив эл е ме нт ов A ; 3) массив NEXT – указат е л ьп озиций сле дую щ их эл е ме нт ов , и до бав л яе т ся указате л ьначал а списка IP . Задача 12. Н аписат ь схе му хране ния чисел a, b, c, d п орядке , е сли о ни хранят сяв массив е A сле дую щ им о бразом:

О тв е т:

N: 1 2 3 4 5 6 7 A: b d a c NEXT : 7 2 4;

в

указанно м

IP = 5 .

Задача 13. В каком по рядке дол ж ны хранит ьсячисла a, b, c, d , e, f , е сли схе ма хране нияв ыгл ядит сле дую щ им о бразом:

N:

1 2 3 4 5 6

- 10 -

A: a b c d e f NEXT : 6 5 3 2 1 IP = 4 О т в е т : d , c, e, b, f , a . О п р е д е л е н и е 3.2. Е сли эл е ме нт ы списка яв л яю т ся це л ыми числами, т о т ако й спи сок назыв ае тсяце лым . П устье стьне кот орый це л ый списо к A , эл е ме нт ы ко т орого мо гут принимат ь значе ния { 1, 2, ... , n }. О п р е д е л е н и е 3.3. Ч исло n – максимал ьно е значе ние эл е ме нт о в в списке – назыв ае т ся разм ах ом спи ск а. П усть m – число эл е ме нт ов сп иска. Если m << n , т о списо к назыв ае т ся разре ж е нным це л ым списком (РЦ С). П риме рами т аких сп иско в мо гут служ ит ь массив ы JA, I A . Ц е л ый списо к мож но хранит ь с помощ ью одноме рно го массив а дл ины n (скаж е м, JA ) и указат е л яначал а в хода IP . Задача 14. Записат ьце л ый список 3, 8, 4, 2 в ко мпакт ной ф о рме . N по зиций : 1 2 3 4 5 6 7 8

JA : 3 8 2 IP = 3 .

4

Ч исло , хранимо е в каж до й по зиции JA , дае т о дно в ре ме нно значе ние эл е ме нт а списка и адре ссле дую щ е го эл е ме нт а; т аким о бразом, массив NEXT уж е не нуж е н. Список назыв ае т ся ко л ьце в ым, е сли в е го по сле дню ю позицию п оме стит ь указате л ьна начал ьную по зицию . У кол ьце в о го сп иска не т ни начал а, ни ко нца, но о н т ре буе т хранимо го от де л ьно указат е л я в хо да, кот о рый указыв ае т на л ю бую занят ую по зицию . Б л агодаря этому мо ж но хранить не скол ько не п е ре секаю щ ихся сп иско в (кол ьце в ых ил и не т) в о дноме рно м массив е дл ины n , рав ной максимал ьно му размаху сп иско в , сисп ол ьзов ание м указате л я в хода IP . Задача 15. Д л я не пе ре секаю щ ихся списков A1 , A2 , A3 нап исат ь схе му хране нияв одном массив е . A1 : 2, 8, 6, 3 ; A2 : 5, 4, 0 ; A3 : 7, 1, 10 N по зиций: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

JA : 10 8 2 9 4 3 1 6 5 7 IP : 2 5 7 3.1.2. Cл ияние РЦС П устьзаданы РЦ С A1 , A2 , ... , An . Ре зул ьт ат ом ихслиянияяв л яе т ся

- 11 список B , кот о рый соде рж ит в се эл е ме нт ы списков п ов т оре ний (в нут ри каж дого списка по в т о ре ний не т ). Задача 16. Сл ит ь т ри списка А, B, С

в

Ai ( i = 1,..., n )

бе з

один список М , где

А : 2, 7, 3, 5; B : 3, 11, 5; С : 7, 2. С писок А записыв ае м в М по л ностью , зат е м до бав л яе м те эл е ме нт ы B , кот о рых в А не т , по т о м э л е ме нты С , ко т орых не т в А и B . Т аким о бразом, п ол учим сле дую щ ий списо к М : 2, 7, 3, 5, 11. П росмат рив ат ь каж дый раз список М , чт обы в не сти нов ый эл е ме нт , не рацио нал ьно . П о э т о му в в о дитсямассив п е ре кл ю чат е л е й Y и пе ре кл ю чат е л ь p . О бычно p = 1 . Ч исло п озиций массив а пе ре кл ю чат е л е й дол ж но быт ь рав но максимал ьно му размаху слив ае мых списко в (в данно й задаче 11). В начал ьный моме нт в о в се по зиции Y засыл ае м нул и. Д ал е е просмат рив ае м п е рв ый из слив ае мых сп иско в , и е сли о че ре дной про смат рив ае мый эл е ме нт рав е н i , т о в i -ю по зицию массив а пе ре кл ю чат е л е й засыл ае т сязначе ние пе ре кл ю чат е л я (т о е сть 1). П ри про смо т ре каж дого т е кущ е го эл е ме нт а сле дую щ е го списка (пусть о нрав е н j ) мы обращ ае мсяк массив уп е ре кл ю чат е л е й и добав л яе м эл е ме нт j в список M т о л ько в т о м случае , когда со от в е т ств ую щ ая п озиция ”не в кл ю че на”, т .е . в позиции пе ре кл ю чат е л я сто ит нол ь. Таким о бразом мы п росмат рив ае м в се сп иски. Д л яданной задачи массив п е ре кл ю чат е л е й буде т сле дую щ им: N п озиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 в начал ьный мо ме нт 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 по сле п ро смот ра A 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 по сле п ро смот ра B 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 по сле п ро смот ра C 3.1.3. М ет од пер ем енного пер екл ючат ел я (П П ) П ри обрабо т ке РМ п риходит ся слив ат ь не ско л ько групп сп иско в . В це л ях экономии памяти испо л ьзуе т ся т о л ько о дин массив пе ре кл ю чат е л е й (Ц М П ), число п озиций ко т оро го рав но по рядку мат рицы (ил и числу строк, ил и числу сто л бцов ). В соо т в е т ств ие сал горит мо м пре дыдущ е го пункт а пе ре д каж дым но в ым слияние м нуж но был о бы засыл ат ь в о в се позиции Ц М П нул и, на чт о ухо дит значит е л ьное число маш инных о пе раций. Д л я экономии в в о дят пе ре ме нный п е ре кл ю чат е л ь(П П ) p . С начал а p = 1 . Зат е м после каж до го слияния группы списков p ув е л ичив ае т ся на е диницу (т .е . p = p + 1), чт о избав л яе т от не обхо димости засыл ки нул е й в о в се позиции П П .

- 12 Задача 17. Слит ь т ри сп иска А, B, С в

М1 и дв а списка D, E в

М2 , испол ьзуя П П p .  A : 11, 12 , 13   B : 4 , 5 , 11 ; C : 7 , 8 , 4  N по зиции: Y:

 D : 6, 7 , 8, 9 M 1 : 11, 12 , 13 , 4 , 5 , 7 , 8 ( p = 1);  ( p = 2). М2 : 6, 7, 8, 9, 1, 2  E : 7, 8, 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 02 02 0 01 01 02 012 012 02 0 01 01 01

3.2. С л ож ение р азр еж енны х вект ор ов (Р В ) 3.2.1. М ет од р асш ир енного вещ ест венного накопит ел я (Р В Н) Н а в хо де даны в е кт оры А, B в РСФ , на в ыходе дол ж ны по л учит ьв е кт ор C = А + B в т о м ж е ф о рмат е . А л гор ит м 1. С им вол ический э т ап: о пре де л яю тся по зиции не нул е в ых эл е ме нт ов С п ут е м слияниясписко в JА, JB в JС . 2. Ч исл енны й э т ап 10 . В в одит ся РВ Н X , число позиций кот о рого рав но размаху списка JС . В о в се по зиции в е кт о ра X сно ме рами из JC засыл ае м нул и. 2 0 . П ро смат рив ае м JА и AN и прибав л яе м к соде рж имо му п озиций в е кт о ра X со де рж имо е соо т в е т ств ую щ их позиций AN . Зат е м прибав л яе м BN к X . 0 3 . В ыбирае м из X нуж ные числа, чт обы сф о рмиро в ат ь CN , спо мощ ью JС : CN (i ) = X ( JC (i ) ) и зап исыв ае м их в соо т в е т ств ую щ ие стол бцы. Задача 18. Сл ож ит ьв е кт оры А, B ме т одо м РВ Н .

 AN : 0.2 0.3 0.4 − 0.7 BN : 0.6 0.7 0.5 ; .   JA : 10 3 7 4 JB : 5 4 10   1. С л ив ае м списки JА, JB в JС : 10 3 7 4 5 . 2. В в о дим РВ Н X : N по зиции: 1 X:

2

3 0

4 0

5 0

6

0.3 − 0.7 0.7 0.6 0 .3 0 0 .6 CN :

0.7 0.3 0.4

0 0.6

7 0 0.4 0 .4

8

9

10 0 0.2 0.5 0 .7

в начал ьный моме нт прибав ил и AN прибав ил и BN

- 13 З а м е ч а н и е . Е сли мы не хот им, чт обы в CN был и записаны нул и, нуж но “ в ыбро сит ь” нул е в ой эл е ме нт и соо т в е т ств ую щ ий е му сто л бе ц. Т огда дл яданной задачи в е кт о р C буде т сле дую щ им:

CN :

0.7 0.3

JC :

10

0.4 0.6

3

7

5

.

3.2.2. М ет од р асш ир енного цел ого указат ел я (Р ЦУ ) Н а в ходе даны в е кт оры А, B в РСФ , на в ыхо де дол ж ны п ол учит ь в е кт ор C = А + B в т о м ж е ф ормат е . Зде сьв каче ств е нако пит е л яиспо л ьзуе тсяв е ктор CN . А л гор ит м 1. С им вол ический э т ап: слияние списко в JА, JB в JС . 2. Ч исл енны й э т ап 10 . В в о дит ся расш ире нный це л ый массив указат е л е й (РЦ М У) IX , разме р ко т орого рав е н размаху списка JС . О н зап ол няе т ся с помощ ью про смо т ра массив а JС , и IX ( j ) указыв ае т , в како й п озиции массив а CN буде т хранит ься j -я компоне нт а массив а С , т .е . С ( j ) . Н ачал ьно е состояние IX - нул е в ое .

2 0 . В п озиции CN засыл ае м нул и. Зат е м сканируе м JА, AN в CN , опре де л яя с по мо щ ью IX по зиции CN , где до л ж ны накап л ив ат ься значе нияне нул е в ых эл е ме нт ов . Зат е м сканируе м JB, BN в CN : CN ( IX ( JA (i ))) = CN ( IX ( JA(i ))) + AN (i ) ; CN ( IX ( JB (i ))) = CN ( IX ( JB(i ))) + BN (i ) . Задача 19. С л о ж ит ьв е кт о ра А, B ме т о до м РЦ У.

 AN : 0.4 0.6 0.8 − 0.14  BN : 0.1 0.2 0.3 0.4 ;  .  JA : 10 7 3 4 JB : 9 5 3 1   1. N п озиции: 1 2 3 4 5 6 7 N по зиции соот в е т ств ую щ е го стол бца в JС JC : 10 7 3 4 9 5 1 N сто л бцов в СN 2. 1) N позиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N эл е ме нт а в JC ( CN ) IX : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 3 4 6 2 5 1 2) N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7 CN : 0.4 0.6 0.8 − 0.14 сканируе м AN 0.3 0.1 0.2 0.4 сканируе м BN __

__

__

__

__

__

__

0.4 0.6 1.1 − 0.14 0.1 0.2 0.4 Т аким образом,

CN :

эл е ме нт ы СN

0.4 0.6 1.1 − 0.14 0.1 0.2 0.4

- 14 -

JC :

10

7

3

4

9

5

1

3.3. С л ож ениеР М П усть на в ходе заданы дв е РМ А, B ( n × m) в не упо рядо че нно м РСФ . Н а в ыхо де т ре буе т сяпо л учит ь C = А + B в т ом ж е ф ормат е . Д л я ре ш е ния эт ой задачи нам по т ре буе т ся в спомогат е л ьный Ц М П Y и РВ Н X . Разме рно сть эт их массив ов рав на числу стол бцо в A и B : dim Y = dim X = m . В осно в е ал горит ма л е ж ит иде я поо че ре дного слож е ния строк мат риц A и B как РВ спо мо щ ью РВ Н . А л гор ит м 1. С им вол ический э т ап (ф о рмиро в ание JC, IC )

10 . i = 1 (номе р строки). 2 0 . С помощ ью IA, JA и IB, JB о пре де л яе м списки, соот в е т ств ую щ ие i -м строчкам мат риц A и B и слив ае м эт и списки ме т о дом П П с помощ ью Ц М П Y . С писок, по л уче нный в ре зул ьт ат е слияния, по ме щ ае м в 1-ю сво бо дную по зицию массив а JC . 30 . П ол агае м i = i + 1 и иде м на 2 0 . П о в т о ряе м де йств иядо т е хпор, по ка i ≤ n . В ре зул ьт ат е п ол учае м JC . 4 0 . Д л я пол уче ния IC достат очно на каж дом эт апе запо минат ь пе рв ую сво бо дную по зицию JC . 2. Ч исл енны й э т ап (после до в ат е л ьное слож е ние стро к А, B спо мо щ ью РВ Н ) 10 . i = 1 .

2 0 . С п омощ ью

JC, IC опре де л яе м список, п ол уче нный в ре зул ьт ат е слияниясп иско в стол бцо в ыхинде ксов i -й строки массив о в JA и JB . 30 . С по мо щ ью эт о го сп иска и РВ Н X скл адыв ае м i -е строки мат риц A и B , как РВ . Ре зул ьт ат сло ж е ния п оме щ ае м в т е кущ ие сво бо дные позиции в е кт ора CN в со от в е т ств ии спо рядком стол бцов из JC . 4 0 . i = i + 1 и иде м на 2 0 . П ов т оряе м де йств ия до т е х пор, по ка i ≤ n . В ре зул ьт ат е по л учим CN . Заме чание . П осле каж дого сло ж е ниястро к РВ Н X дол ж е нбытьприв е де н в нул е в ое со стояние . Задача 20. Д аны дв е мат рицы А, B . Н айт и C = А + B .

 AN : 2 − 1 4 3 3 7 − 2 − 1 1 1  6 2 4 ;  JA : 3 5 1 3 4 5 1  IA : 1 3 7 9 

- 15 -

 BN : 1 − 1 5 − 2 4 6 − 1 1 2  5 1 2 2 3 4.  JB : 1 3 6  IA : 1 5 9 12 15  JC : 3 5 1 6 1 3 4 5 1 6 2 2 4 3 1. IC : 1 5 9 12 15 1 2 3 4 5 6 N по зиции: Y: 012 03 4 012 02 4 012 013 3

2.

N позиции: X:

1 0

4

2 3 4 5 0 0 2 −1 1 −1 1 1 −1

6 0

5 5

запо л не ние 1 строки прибав ил и AN прибав ил и BN ре зул ьт ат

0 0 0 0 0 0 4 3 3 7 −2 4 3 3 5

запол не ние 2 строки прибав ил и AN прибав ил и BN ре зул ьт ат

0 0 0 0 0 0 −2 −1 4 6 2 6 −1

зап ол не ние 3 стро ки прибав ил и AN прибав ил и BN

0 0 0 0 0 0 1 1 −1 1 2 0 1 3

ре зул ьт ат зап ол не ние 4 стро ки прибав ил и AN прибав ил и BN ре зул ьт ат

AN : 1 − 1 1 5 4 3 3 5 2 − 1 6 0 3 1 3.4. С кал яр ноеум нож ениедвух Р В Н а в хо де даны дв а в е кт ора А, B разме рности n в РСФ . Н а в ыходе нуж но пол учит ьчисло P – скал ярное произв е де ние А и B . Д л я эт о го в в одит ся РЦ М У IX , зап ол не ние кот о ро го п ро изв одит ся т очно так ж е , как в п.3.2.2, но с помощ ью одного из сомнож ит е л е й,

- 16 наприме р, спо мо щ ью JА . С имв ол иче ский эт ап зде сь от сут ств уе т , сразу начинае т сячисле нный эт ап . Сначал а запо л няе м IX п о JА . Если k – число эл е ме нт о в в JB , т о дл я i = 1,..., k пров е ряе м IX ( JB(i )) . Если эт о нол ь, т о пе ре хо дим к сле дую щ е й по зиции массив а JB ; е сли не т , т о P = P + BN ( I ) ⋅ AN ( IX ( JB(i ))) и пе ре ходим к сле дую щ е й позиции JB . Д ругими слов ами, де л ае м сле дую щ е е : 1) P = 0 ; 2) дл я i = 1,..., k

IX JA ( JB( I )) = 0 да

i = i +1

не т

P = P + BN ( I ) ⋅ AN ( IX JA ( JB(i ))) i = i +1

Задача 21. Н айт и скал ярное произв е де ние в е кт о ро в

AN : 1 2 3 4 5 ;   JA: 3 7 8 1 2

BN : 6 7 8 9 10 11 .   JB : 4 3 2 1 6 8

N позиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 IX JA : 4 5 1 0 0 0 2 3 P = 0 , i = 1,...,8 i = 1 : IX JA ( JB(1)) = 0 i = 2 : IX JA ( JB(2)) = 1 ≠ 0 P = 0 + BN (2) ⋅ AN (1) = 7 ⋅ 1 = 7 i = 3 : IX JA ( JB(3)) = 5 ≠ 0 P = 7 + BN (3) ⋅ AN (5) = 7 + 8 ⋅ 5 = 47 i = 4 : IX JA ( JB(4)) = 4 P = 47 + 9 ⋅ 4 = 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. У м нож ение Р М на РВ (р езул ь т ат – запол ненны й вект ор ) Н а в хо де – мат рица А и в е ктор B в РСФ , на в ыходе – в е кт ор C = AB как о бычный одноме рный массив . Зде сьстро ки мат рицы А рассмат рив аю т ся, как РВ , и скал ярно умно ж аю т ся на РВ B спомощ ью рассмот ре нного в п.3.4 ал горит ма. А л гор ит м

- 17 1. РЦ М У IX (начал ьно е со стояние – нул е в о е ) запо л няе т ся с помощ ью в е ктора B . 2. i = 1 . 3. С п омощ ью IA о пре де л яе м, в каких по зициях JA соде рж ит ся о писание i -й строки. 4. П росматрив ае т ся участок JA , соо т в е т ств ую щ ий оп исанию i -й строки. Е сли компоне нт а РМ Ц У с номе ром JA(k ) (где k - т е кущ ая п росмат рив ае мая позиция) рав на нул ю , т о пе ре ходим к п ро смот ру сле дую щ е й по зиции; е сли не рав на нул ю , т о произв о дим умнож е ние со от в е т ств ую щ их компо не нт массив ов AN и B и ре зул ьт ат умнож е ния п рибав л яе м к соде рж имо муяче йки C (i ) . 5. Е сли п росмот р строки оконче н, т о пол агае м i = i + 1 и в о зв ращ ае мся к 3. П о в т о ряе м до т е хп ор, по ка не пройде м в се стро ки. Схе мат ично эт от ал гор ит м мо ж но изо бразит ьсле дую щ им образо м.

k =1 С (k ) = 0 IA(k + 1) = IA(k )

не т

да

i = I A(k ), I A(k + 1) − 1 IX ( JA( I )) = 0 да

k = k +1

не т

C ( k ) = C ( k ) + AN ( I ) ⋅ BN ( IX JA ( JA(i ))) i = i +1 k = k +1

i = i +1

Задача 22. Умно ж ит ь РМ на РВ (ре зул ьт ат – запо л не нный в е кт ор). N п озиции: 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

AN : 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 2   JA : 1 4 6 3 2 5 7 8 9 10 1  IA : 1 4 9 11 12 13  BN : 1 2 4 5 7 8 10   JB : 1 2 4 5 7 8 10

N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 IX JB : 1 2 0 3 4 0 5 6 0 7

6 3

- 18 -

k = 1; С (1) = 0 ; i = 1,...,3 : i = 1 :

I A(2) = I A(1) IX ( JA(1)) = IX (1) = 1 ≠ 0 C (1) = 0 + 1 ⋅ BN (1) = 1 IX ( JA(2)) = IX (4) = 3 ≠ 0 i =2: C (1) = 1 + 3 ⋅ BN (3) = 1 + 3 ⋅ 4 = 13 IX ( JA(3)) = IX (6) = 0 i = 3: k = 2 ; С (2) = 0 ; I A(3) ≠ I A(2) i = 4,...,8 : IX ( JA(4)) = IX (3) = 0 i = 4: IX ( JA(5)) = IX (2) = 2 i = 5: C (2) = 0 + 9 ⋅ BN (2) = 9 ⋅ 2 = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . У м нож ение Р М на запол ненны й вект ор (р езул ь т ат – запол ненны й вект ор ) Э т от ал горит м не значит е л ьно от л ичае т сяот пре дыдущ е го . Разница в т о м, чт о РМ Ц У запо л няе т ся по k -й стро ке мат рицы A , а не по в е кт о ру B . Зде сь, п о-в идимому, мо ж но обойтисьбе з РМ Ц У сле дую щ им образо м. 3.6.

А л гор ит м

1. k = 1. 2. П росматрив ае м соде рж имое k –й строки в JA и умно ж ае м со от в е т ств ую щ ие ко мп оне нт ы AN на компо не нт ы, накапл ив ая ре зул ьт ат в со от в е т ств ую щ е й яче йке C (k ) в е кт о ра C . С х ем а р еш ения

k =1 С (k ) = 0 IA(k + 1) = IA(k ) не т

i = I A(k ), IA(k + 1) − 1 C (k ) = C (k ) + AN (i ) ⋅ B ( JA(i )) k = k +1

да

k = k +1

Задача 23. Умнож ит ь РМ A иззадачи 22 на запо л не нный в е ктор

B = (2 4 6 8 10 9 )T . k = 1; С (1) = 0 ; IA(2) ≠ IA(1) i = 1,...,3 : i = 1 : C (1) = 0 + 1× 2 = 2

- 19 -

i =2: i = 3: k = 2 ; С (2) = 0 ; i = 4,...,8 : i = 4:

C (1) = 2 + 3 ⋅ 7 = 23 C (1) = 23 + 5 ⋅ 3 = 38 IA(3) ≠ IA(2) C (2) = 0 + 7 ⋅ 6 = 42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. У м нож ениеР М Н а в хо де заданы РМ A(n × m), B(m × l ) в не упо рядо че нно м РСФ . Н а в ыходе до л ж ны по л учит ьмат рицу C = AB в РС Ф . Ч астным случае м яв л яе т сяумно ж е ние РМ на РВ , ко гда ре зул ьт ат –- РВ . А л гор ит м 1. С им вол ический э т ап – оп ре де л е ние в е кт о ро в JC, IC . Д л я не го п от ре буе т сяЦ М П Y , разме рностькот о рого рав на l . Н ачал ьное со сто яние Y – нул е в о е .

10 . i = 1. IC (1) = 1 . 2 0 . П ро смат рив ае м п о п орядку сто л бцов ые инде ксы эл е ме нт о в i -й строки в JA . Д л я каж дого просмат рив ае мо го инде кса j в массив е массив е сто л бцов ых инде ксов JB про смат рив ае м соде рж имое j -й строки. П ри эт о м дл я каж дого не нул е в ого эл е ме нт j -й строки в ыпо л ним сле дую щ ие опе рации. П усть просматрив ае мый инде кс рав е н k . Е сли k -я п озиция массив а п е ре кл ю чат е л е й не “ в кл ю че на”, т о “ в кл ю чае м” е ё и по ме щ ае м инде кс k в п е рв ую сво бо дную позицию массив а JC . Е сли п озиция уж е “ в кл ю че на”, т о п е ре хо дим к просмот русле дую щ е го эл е ме нт а в е кт ора JB , ниче го не добав л яя к JC . 30 . П осле окончанияпросмо т ра i -й стро ки мат рицы А компоне нт е в е кт ора IC (i + 1) присваив ае м порядков ый номе р п е рв ой сво бодно й по зиции JC . 4 0 . i = i + 1 и иде м на 2 0 . Значе ние П П p ув е л ичив ае м на е диницу. А л гор ит м

Y (1) = Y (2 ) = Κ = Y (l ) = 0 i = 1: IC (1) = 1 nj =1 ( N эл е ме нт а в JC ) IA(i ) = IA(i + 1) не т

n = I A(i ), IA(i + 1) − 1 :

да

i = i +1

- 20 -

j = JA(n) IB(i ) = IB(i + 1) не т

да

m = I B( j ), IB( j + 1) − 1 k = JB(m) Y (k ) = i

дл я

не т

да

Y (k ) = i ; JC (n j ) = k ; n j = n j + 1 IC (i + 1) = n j ; i = i + 1 2. Ч исл енны й э т ап – опре де л яе т ся в е кт ор CN . О снов ная иде я – умнож е ние с по мо щ ью РВ Н , разме рность ко т орого рав на числу стол бцо в мат рицы C (т .е . l ), по э т о мумат рица C буде т записыв ат ьсяп о строкам.

 a11 a12  b11 b12   .  a a b b  21 22  21 22 

При м е р. Н айт и п роизв е де ние дв ух мат риц  Р е ш е ни е Н акоп ит е л ь

x1 x2

(0, 0)

– начал ьный моме нт . Б е ре м пе рв ый эл е ме нт т е кущ е й

строки мат рицы A и умнож ае м е го на в се эл е ме нт ы соо т в е т ств ую щ е й стро ки мат рицы B и т .д.:

x1 = 0, x2 = 0 ; x1 = x1 + a11b11 , x2 = x2 + a11b12 ; x1 = x1 + a12b21 , x2 = x2 + a12 b22 ; c11 = x1 , c12 = x2 . Рассмо т рим числ енны й э т ап в общ е м случае . 1 . i = 1. 2 0 . С по мо щ ью IC оп ре де л яе м, в какихп озициях JC находит сяо писание i -й строки мат рицы C . 30 . П росмат рив ае м участок JC , соот в е т ств ую щ ий описанию i -й строки, и в п озиции РВ Н X сноме рами стол бцо в ых инде ксов i -й строки эт о го участка засыл ае м нул и. 4 0 . С по мо щ ью IA о пре де л яе м, в каком участке JA соде рж ит ся о писание i -й стро ки мат рицы A . 50 . П ро смат рив ае м в ыде л е нный участок ( i -ю строку) массив а JA . Д л я каж до го про смат рив ае мого эл е ме нт а k , стоящ е го в m -й п озиции массив а JA , в ып ол няе м сле дую щ ие о пе рации: 0

- 21 a) о пре де л яе м спомощ ью IB участок массив а JB , о писыв аю щ ий kю строкумассив а B ; b) просмат рив ае м в ыде л е нный участок JB и дл я каж дого п ро смат рив ае мого эл е ме нт а j , стоящ е го в n -й по зиции массив а JB , по л агае м X ( j ) = X ( j ) + AN (m ) ⋅ BN (n ).

6 0 . В ыбирае м из РВ Н значе ния i -й строки мат рицы С и присваив ае м их соо т в е т ств ую щ им ко мпо не нт ам CN . 70 . Е сли п ро смо т р i -й строки зав е рш е н, т о п ол агае м i = i + 1 и 0 в озв ращ ае мсяна 2 .

А л гор ит м

i =1 IC (i ) = IC (i + 1) не т

да

i = i +1 дл я j = I C (i ), IC (i + 1) − 1: X ( JC ( j )) = 0 IA(i ) = IA(i + 1) не т

да

i = i +1 дл я m = I A(i ), IA(i + 1) − 1 : k = JA(m) A = AN (m) дл я n = I B ( k ), IB( k + 1) − 1: j = JB(n) X ( j ) = X ( j ) + A ⋅ BN (n) дл я j = I C (i ), IC (i + 1) − 1: CN ( j ) = X ( JC ( j )) i = i +1 Задача 24. Н айт и про изв е де ние дв ух РМ A и B .

AN : 1 1 2 3 4 5   JA : 3 5 2 4 1 5 ,  IA : 1 3 5 7 

- 22 -

 0 0 1 0 1   A =  0 2 0 3 0 ,  4 0 0 0 5   1) Y (1) = Y (2) = Y (3) = 0 ; i = 1 : IC (1) = 1,

n j = 1 ; n = 1, 2 : n = 1: j = 3 , m = 4 : k = 2 , Y (2 ) = 1 , JC (2) = 3 , n j = 3 , IC (2) = 3 ; i = 2 : n = 3, 4 : n = 3 : j = 2 , m = 2, 3 : m = 2 : k = 2 , Y (2 ) = 2 , JC (3) = 2 , n j = 4 ; m = 3 : k = 3 , Y (3) = 2 , JC (4) = 3 , n j = 5 , IC (3) = 5 ; j = 4, n = 4: … … … … … … … … … … . m = 2 : k = 2 , Y (2 ) = 2 , JC (3) = 2 , n j = 4 ;

m = 3 : k = 3 , Y (3) = 2 , JC (4) = 3 , n j = 5 , IC (3) = 5 ; n = 4 : j = 4 , m = 5, k = 1 , Y (1) = 2 … … … … … … … … … … … …

JC : 2 3 2 3 1 1 3  IC : 1 3 6 8 3.8. Т р анспонир ованиеР М

1  0 B = 0  2 0 

0 0  3 6 4 0 .  0 0 0 5 

2) i = 1 :

j = 1, 2 : j = 1 : X ( 2) = 0 ; j = 2 : X (3) = 0 . m = 1, 2 ; m = 1: k = 3 , A = 1, n = 4 : j = 2 , X (2 ) = 4 ; m = 2 : k = 5 , A = 1; n = 6 : j = 3 , X (3) = 5 ; … … … … … … … … … … .

CN : 4 5 6 12 6 4 25

n = 3:

j = 2,

CN : 4 5 6 12 6 4 25

m = 2, 3 :

- 23 Н а в хо де дана мат рица

A(n × m) в не упорядо че нно м РСФ . Н а в ыходе

T

до л ж ны по л учит ь A - т ранспониро в анную мат рицу, заданную в РСФ . З а м е ч а н и е . Е сли задано стро чно е пре дстав л е ние мат рицы А , т о е го T мо ж но рассмат рив ат ь как стол бцо в ое пре дстав л е ние A и наоборот , по э т о му задача т ранспо ниров ания А сводит ся к нахож де нию РСТ Ф мат рицы А . Е сли про смат рив ат ь массив ы « в л об», т о эт о о че нь не эф ф е кт ив но . П о э т ому в в о дят ся m це л ых и m в е щ е ств е нных сп иско в дл ины n и m – указат е л е й пе рв о й сво бо дно й по зиции каж дого списка. В начал ьный мо ме нт в ре ме ни в се сп иски пустые , т .е . пе рв аясво бо днаяп озициякаж дого списка – пе рв ая. Н а практ ике списки о рганизую т ся не по сре дств е нно в массив ах JAT и ANT , а указат е л и п е рв ой свободной по зиции каж дого списка – в IAT . Т аким образо м, доп ол нит е л ьно й памят и не т ре буе т ся, и пе ре ме щ е ние данных в памят и маш ины све де но к минимуму. С помощ ью массив ов мат рицы А . 1. i = 1 .

А л гор ит м JA и IA

про смат рив ае м п о п орядку стро ки

2. С помо щ ью IA оп ре де л яе м, в каких по зициях JA со де рж ит сяо писание i -й стро ки мат рицы А . 3. П росмат рив ае м со де рж имо е i -й строки в JA и дл я каж до го j (где j сто л бцов ый инде кс п росмат рив ае мо го эл е ме нт а) до бав л яе м число i в пе рв ую свободную по зицию j -го це л ого списка, ув е л ичив ая при эт о м указат е л ь пе рв ой свободной по зиции сп иска на е диницу. В соот в е т ств ую щ ую п озицию j -го в е щ е ств е нного сп иска до бав л яе м соот в е т ств ую щ ий эл е ме нт списка АN . 4. i = i + 1. 5. О бъе диняе м по п орядку их нуме рации в е щ е ств е нные и це л ые списки, пол учае м списки JAT и ANT . Список IAT пол учае т ся спомощ ью подсче т а числа эл е ме нт о в запол няе мыхсписко в . З а м еч а ния 1. С п омощ ью эт ого ал горит ма по л учае т ся упо рядо че нно е п ре дстав л е ние транспо ниро в анной мат рицы даж е в т ом случае , е сли п ре дстав л е ние исхо дно й матрицы был о не уп орядоче нным. 2. П риме не ние данного ал го рит ма к мат рице А дв аж ды по зв ол яе т по л учит ь изне упо рядо че нно го РСФ мат рицы А е ё упорядоче нно е пре дстав л е ние . Задача 25. Т ранспо ниров ат ь мат рицу А иззадачи 22 (но ме р сп иска – эт о но ме р стол бца). в е щ е ств е нные списки це л ые сп иски

- 24 -

1) 1 2

6) 5

1) 1 4

6) 1

2) 9 3) 7 6

7) 4 8) 6

2) 2 3) 2 5

7) 2 8) 2

4) 3

9) 8

4) 1

9) 3

5) 2

10) 10

5) 2

10) 3

 ANT : 1 2 9 7 6 3 2 5 4 6 8 10   JA T : 1 4 2 2 5 1 2 1 2 2 3 3   IAT : 1 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 Задача 26. П ол учит ь изне уп орядоче нного пре дстав л е ния в РСФ мат рицы А из задачи 22 е ё упо рядо че нно е пре дстав л е ние (приме няя ал горит м А → АT дв аж ды). 3.9. П ер ест ановка ст р ок ист ол бцов р азр еж енной м ат р ицы 3.9.1. П ер ест ановка ст ол бцов Д ана мат рица A( n × m) . П усть J – це л о числе нный в е кт о р разме рно сти

m , кот о рый задае т пе ре стано в ку стол бцо в J = { J (1), J (2),Κ J (m)}. Зде сь J (i ) указыв ае т но ме р, кот о рый по сле пе ре станов ки до л ж е н име т ь i -ый сто л бе ц. П е ре станов ка сво дит ся к пре о бразов анию JA по сле дую щ е й схе ме : JAP(i ) = J ( JA(i )) , где JAP(i ) – но ме р стол бца п осле пе ре станов ки. Т аким образом, на в хо де дана мат рица A в РСФ и в е кт ор п е ре станов ок J . Н а в ыходе т ре буе т ся по л учит ь РС Ф мат рицы с пе ре став л е нными стол бцами. А л го рит м сво дит ся т о л ько к пре образов анию массив а JA : по по рядку просмат рив аю т ся в се е го компоне нт ы, и каж дая компо не нт а JA(i ) заме няе т ся на J ( JA(i )) . Ч исле нные значе ния не нул е в ых ко мпо не нт ов , хранимые в AN , о стаю т сяпре ж ними, I A т акж е не ме няе т ся. Задача 27. В мат рице А иззадачи 22 пе ре став ит ь2 и 5, 4 и 7 сто л бцы.

N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J = {1, 5, 3, 7, 2, 6, 4, 8, 9, 10}

- 25 -

JAP(1) = J ( JA(1)) = J (1) = 1

JAP(7) = J (7) = 4

JAP(2) = J ( JA(2)) = J (4) = 7 JAP(3) = J (6) = 6

JAP(8) = J (8) = 8 JAP(9) = J (9) = 9

JAP(4) = J (3) = 3

JAP(10) = J (10) = 10

JAP(5) = J (2) = 5

JAP(11) = J (1) = 1

JAP(6) = J (5) = 2

JAP(12) = J (3) = 3

3.9.2. П ер ест ановка ст р ок П е ре станов ка строк мат рицы со от в е т ств уе т пе ре стано в ке стол бцо в т ранспо ниров анно й мат рицы, поэт о му ал го рит м пе ре стано в ки стро к по л учае т сяко мбиниров ание м дв ухп ре дыдущ их ал горит мо в . Задача 28. П е ре став ит ь1 и 5 сроки мат рицы А иззадачи 22. А л гор ит м р еш ения T 1. Т ранспониро в ат ьмат рицу А (пол учит ьмат рицу А ) . T 2. П е ре став ит ь1-ый и 5-ый сто л бцы мат рицы А (по л учить ATP ). 3. Т ранспониро в ат ьмат рицу ATP . § 4. М ет од Г аусса дл я Р М Рассмо т рим СЛ А У в ида Аx = f , где x ∈ R , f ∈ R , А – симме т ричная мат рица n × n . Ре ш е ние эт ой систе мы буде м искат ь с по мо щ ью ме т ода Гаусса. Б уде м счит ат ь, чт о в е дущ ий эл е ме нт гауссов а искл ю че ния в сегда нахо дит ся на гл ав но й диаго нал и мат рицы А , т о е сть пе ре станов ка стро к и стол бцо в не нуж на. n

n

О собенност и Г ауссова искл ючения 1. Сущ е ств уе т дв е мо диф икации – по строкам и п о стол бцам, кот о рые от л ичаю т ся п орядко м в ыпол не ния оп е раций искл ю че ния. О бычно испо л ьзую т гауссов о искл ю че ние по стол бцам, но дл я РМ испо л ьзую т гауссо в о искл ю че ние по стро кам. 2. В начал е стро им LU – разл о ж е ние мат рицы А , а зат е м ре ш ае м дв е т ре угол ьные систе мы LU = f , Ux = y , где U – в е рхняя т ре угол ьная мат рица с е диничными диаго нал ьными эл е ме нт ами, L – ниж няя т ре угол ьная. Е сли гл ав ные миноры А от л ичны от нул я, то мат рицу А мо ж но ~ ~ пре дстав ит ь в в иде А = U T DU , где D – диаго нал ьная мат рица. Е сли мат рица А е щ е и пол ож ит е л ьно оп ре де л е на, т о разл о ж е ние мо ж но пре дстав ит ьв в иде А = U U –- разлож е ни е Холе цк ог о. T

T

~

4.1. П ост р оениер азл ож ения U DU

- 26 Н а в ходе задана мат рица A в в е рхне тре угол ьном не упо рядо че нном РСФ : массив ы AN , JA, IA, AD . Н а в ыходе дол ж ны по л учит ь мат рицу в РСФ Д и

~

диаго нал ьную мат рицу D . О собе нности симв о л иче ско го эт апа –- мы до л ж ны искл ю чит ь эл е ме нт ы ниж е гл ав ной диагонал и, а у наст ол ько в е рхний т ре угол ьник, по э т ому сразу мы не мо ж е м о пре де л ит ьпо зицию т е х эл е ме нт ов , ко т о рые нуж но искл ю чат ь при о бработ ки т е кущ е й i -й стро ки. О казыв ае т ся, чт о стол бцо в ые инде ксы i й строки, кот орые нуж но о бнул ить, со в п адаю т со строчными инде ксами эл е ме нт ов i -о го стол бца в ыш е гл ав ной диагонал и т ой мат рицы, ко т орая по л учил ась к данно му моме нт у при ре ал изации ал го рит ма. Т аким образо м, на i -м ш аге мы дол ж ны про йт и по i -о му стол бцу, о пре де л ит ьв се стро чные инде ксы не нул е в ых эл е ме нт о в i -о го сто л бца –- эт о и будут т е стол бцо в ые инде ксы эл е ме нт ов i -й строки, кот о рые нуж но обрабо т ать. 4.1.1. С им вол ический э т ап 4.1.1.1. С ост авл ениеассоциир ованного списка i -ого ст ол бца А ссоцииро в анный список (А С) i -ого стол бца – эт о список но ме ров т е х стро к, ко т орые участв ую т при обработ ке i -й строки в ме т оде Гаусса. Ф акт иче ски каж до му стол бцу став ит ся в соо т в е т ств ии со в о купно сть стро к, приче м каж дая строка о т носит ся т ол ько к о дно му сто л бцу (т о е сть ни к какому друго му она уж е не приписыв ае т ся), по э т ому к i -ому сто л бцу приписыв аю т ся т ол ько т е стро ки мат рицы A , у кот о рых не нул е в ой эл е ме нт в i -м стол бце яв л яе т сяп е рв ым не нул е в ым эл е ме нт о м данно й строки справ а от диаго нал и. А л гор ит м 1. i = 2 (т ак как пе рв ую стро куобрабатыв ат ьне надо ). 2. П роходим по (i − 1) -й строке справ а от диаго нал и. П ре дпо л о ж им, чт о п е рв ый не нул е в ой стол бцо в ый инде ксрав е н j , т о гда (i − 1) -ую строку п риписыв ае м j -му стол бцу и поме щ ае м номе р эт ой стро ки в пе рв ую п озицию j -го А С. Е сли де йств ов ат ь т аким образом, т о к моме нт у о бработ ки строки А С буде т уж е сф ормиро в ан. 3. i = i + 1 и п ов т оряе м в се де йств иядо т е х по р, пока не п ро йде м в се строки. А С каж дого сто л бца удобно хранит ь как кол ьце в о й РЦ С, и в се эт и списки мо ж но хранит ь в це л о числе нно м массив е JP разме рности n , а массив указат е л е й буде т показыв ат ьв ход в каж дый список. 4.1.1.2. А л гор ит м сим вол ического э т апа 1. Д л я i = 1 пе ре носим порт ре т пе рв о й строки мат рицы A в по рт ре т пе рв о й строки мат рицы U бе зизме не ний. 2. i = 2 . 3. Заканчив ае м ф ормиро в ание i -ого А С.

- 27 4. П росмат рив ае м i -й А С и дл я каж дого эл е ме нт а j эт о го списка опре де л яе м списо к т ол ько т е х сто л бцов ых инде ксов не нул е в ых эл е ме нт о в j -й стро ки, но ме р ко т орых бо л ьш е i . 5. Слив ае м в се п ол уче нные списки, опре де л е нные на 4, и список i -й стро ки мат рицы спомощ ью П П . Ре зул ьт ат о м слияния буде т по рт ре т i -й стро ки мат рицы U . 6. П риписыв ае м список, п ол уче нный на 5, к пе рв ой сво бо дно й позиции массив а JU . 7. О п ре де л яячисло эл е ме нт о в списка, по л уче нной на 5, в ычисляе м о че ре дную ко мпо не нт умассив а IU , кот о раябуде т указыв атьначал о (i + 1) -й стро ки (значе ние м эт ой компоне нт ы буде т номе р пе рв ой свобо дной позиции массив а JU после присое дине нияк не мусп иска, пол уче нно го на 5). 8. i = i + 1 и обрабат ыв ае м сле дую щ ую стро ку, п е ре йдяна 3, и т ак до т е хпо р, пока i ≤ n . Ре зул ьт ат ом буде т п орт ре т матрицы U . 4.1.2. Ч исл енны й э т ап 4.1.2.1. С ост авл ение А С i -го ст ол бца. О т л ичия от сим вол ического э т апа 1. Н а симв ол иче ском эт ап е каж дая стро ка приписыв ал ась т о л ько к одному сто л бцу. Зде сь ж е каж дая строка до л ж на быт ь приписана ко в сем т е м сто л бцам, ско т орыми она име е т не нул е в ое пе ре сече ние , т о е стье сли в j -о м сто л бце i -й стро ки ( i < j ) со де рж ит ся не нул е в о й э л е ме нт, т о о на до л ж на быт ь прип исана к j -ому стол бцу, т ак как в аж ны числе нные значе ния эл е ме нт о в . 2. Н ам пот ре буе т ся уп орядоче нное пре дстав л е ние мат риц A и U , по э т ому п е ре д ре ал изацие й числе нно го эт апа нуж но пе ре йт и от не упорядо че нно го п ре дстав л е нияк упо рядо че нномудв украт ным т ранспониро в ание м. 4.1.2.2. А л гор ит м числ енного э т апа 1. i = 1 . О пре де л яе м в AN и JA соде рж имое пе рв о й стро ки мат рицы A , де л им эту строку на диагонал ьный эл е ме нт a11 (ко т орый хранит ся в пе рв ой п озиции массив а AD ) и по ме щ ае м пе рв ую стро ку в ~ соот в е т ств ую щ ие позиции массив а UN . D(1) = AD (1) . 2. i = i + 1. 3. П росмат рив ае м (i − 1) -ю строку мат рицы U (массив JU ). Е сли (i − 1) я стро ка пуста, т о пе ре ходим к 5. Если не т , т о о пре де л яе м сто л бцов ый инде кс j п е рв ого не нул е в ого эл е ме нт а эт о й стро ки п рав е е гл ав ной диаго нал и. П риписыв ае м (i − 1) -ю строкук А С j -го стол бца.

- 28 4. П о л агае м IUP(i − 1) = < номе р по зиции в JU , соде рж ащ е й сто л бцов ый инде кс пе рв ого не нул е в ого эл е ме нт а (i − 1) -й строки прав е е гл ав ной диаго нал и > . 0 5. 1 . С помощ ью массив а IU опре де л яе м в JU оп исание i -й стро ки мат рицы U . В п озиции РВ Н X с номе рами стол бцо в ых инде ксо в в ыде л е нного участка (е сли он не пусто й) и но ме ром строки i засыл ае м нул и.

2 0 . В i -ю по зицию РВ Н X по ме щ ае м эл е ме нт AD(i ) . Если i -я стро ка не п уста, т о в по зиции РВ Н , со от в е т ств ую щ ие по рт ре т у i -й стро ки мат рицы A измассив а AN . 6. П росмат рив ае м А С i -о го сто л бца. Е сли онпустой, т о п е ре хо дим к 7. Е сли не пусто й, т о дл я каж дого эл е ме нт а j эт о го сп иска де л ае м сле дую щ ие опе рации: а) с по мо щ ью эл е ме нт ов IUP( j ) опре де л яе м участки массив о в JU , UN , в кот о рых соде рж ит ся оп исание эл е ме нт ов j -й стро ки мат рицы U , име ю щ их сто л бцов ые инде ксы ≥ i ; б) умнож ае м эл е ме нт ы в ыде л е нно го участка (массив а UN ) на число ~ (−U ij ⋅ D( j )) (эл е ме нт U ij нахо дим в UN ); в ) прибав л яе м нов ые значе нияэл е ме нтов в ыде л е нного участка к со де рж имомусоот в е т ств ую щ ихяче е к РВ Н ; г) пол агае м IUP( j ) = IUP ( j ) + 1; д) приписыв ае м j -ю стро ку к А С k -го сто л бца, где k – сто л бцов ый инде ксне нул е в ого эл е ме нта сноме ром IUP( j ) , сле дую щ ий за i -м в j -й строке мат рицы U . 7. Е сли п росмот р А С законче н, т о в ыбирае м эл е ме нт РВ Н X (i ) , со от в е т ств ую щ ий диаго нал ьному эл е ме нт у эт ой i -й стро ки, и по ме щ ае м е го в i -ю ~ позицию массив а D , а соде рж имо е РВ Н де л им на эл е ме нт , соде рж ащ ийся ~ в i -й по зиции РВ Н (т о е стьна D ( j ) ), п осле че го в РВ Н со де рж ит ся i ястрока мат рицы U . 8. В ыбирае м из РВ Н не нул е в ые эл е ме нт ы i -й стро ки мат рицы U (за искл ю че ние м i -го стол бца, в ко т ором нахо дится1) и по ме щ ае м их в UN таким образо м, чт о бы j -о мустол бцу соо т в е т ств ов ал эл е ме нт X ( j ) . 9. i = i + 1 и пе ре хо дим к 3. 4.1.3. П р им ер ы Задача 29. Н айт и т ре уго л ьно е разл ож е ние дл ямат рицы A .

- 29 -

1  0 0  A = 0 0  1  0

0 0 0 0 1 0  2 0 1 1 0 0 0 3 0 1 0 1  1 0 4 0 1 1 ; 1 1 0 5 1 0  0 0 1 1 6 0  0 1 1 0 0 7

1 2 3 4 5 6 7 8 AN :

1 1 1 1 1 1 1 1

JA :

6

4 5 5 7 6 7 6 .

__ ______

1 2 4 6 8 9

AD :

1 2 3 4 5 6 7

N АС ( N стол бца )

1

− 6

1) −

2

− 4, 5

2) −

3

− 5, 7

4

− 6, 7

3) − 4) 2

5

− 6

5) 2, 3

6

−

6) 1, 4, 5

7

−

7) 3, 4

IU :

6

4 5

5 7

5 6 7

5 7

7

___ _______

______

___________

______

___

1

6

2 4

9 11 12

2. Ч исл енны й э т ап

N АС ( N сто л бца) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

− − − 2 2, 3 1, 4, 5 3, 4

______

IA :

1. С им вол ический э т ап N стро ки N сто л бца

JU :

______

~ D(1) = 1 i = 2 : IUP(1) = 1 X ( 4) = 0 + 1 / 2 = 1 / 2 X (5) = 0 + 1 / 2 = 1 / 2 X (2) = 0 + 2 / 2 = 1 ~ D (2) = 2 i = 3 : IUP(2) = 2 X (5) = 1 / 3 X (7) = 1 / 3 X (3) = 1

___

- 30 -

~ D(3) = 3 i = 4 : IUP(3) = 4 1 15 X (5) = 0 − / = −1 / 15 4 4 15 X (6) = 0 + 1 / = 4 / 15 4 15 X (7) = 0 + 1 / = 4 / 15 4 X ( 4) = 4 − 1 / 4 = 15 / 4 ~ D(4) = 15 / 4

j = 2 : сто л бцов ые инде ксы 4, 5. 1 1 1 ~ ~ 4 : UN (2) ⋅ (− a24 / D(2)) = UN (2) ⋅ (− AN (2) / D(2)) = − ⋅ = − 2 2 4 1 1 1 ~ 5 : UN (3) ⋅ (− a24 / D(2)) = − ⋅ = − 2 2 4 IUP(2) = 3 , IUP(2) = 4 j = 3: IUP(3) = 4, 5 i = 5 : IUP(4) = 6, 7 X (6) = 0 + 1 − 16 / 225 = 209 / 225 X (7) = 0 − 1 / 9 − 16 / 225 = −41 / 225 197 X (5) = 0 + 5 − 1 / 4 − 1 / 9 + 4 / 225 = 4 300 ~ D(5) = 19 / 4 − 1 / 9 − 4 / 225 = Κ UN : 1

1 2

1 2

1 3

1 3

−

1 4 4 Κ 15 15 15

Задача 30. П о по рт ре т у (cт рукт уре ) не симме т рично й РМ A опре де л ит ь максимал ьное число не нул е в ых эл е ме нт о в п осле п рив е де ния мат рицы к т ре угол ьномув иду.

- 31 -

1

2 3 4

×  × × ×  × × × 1 × ×       ×   ⊗ ⊕ × ⊕   × × × 2 × → → A=  × ×  ⊗ ⊕ ×  × × 3       ×  ⊗ + ⊗ ⊕  × 4 × Зде сь ⊕ – не нул е в ой эл е ме нт из других стро к, ⊗ – о бнул е ние эл е ме нт а исхо дно й мат рицы, + – обнул е ние эл е ме нт а издругих стро к. 4.2. О бр ат ны й ход м ет ода Г аусса О нсостоит в ре ш е нии систе мы

~ (1) U T DUx = f , ~ D –- диагонал ьная мат рица, U – в е рхне т ре уго л ьная се диницами на

где гл ав но й диагонал и. О братный ход ме т о да Гаусса дл я систе мы (1) закл ю чае т ся в ре ш е нии т ре х систе м.

U T z = f ~  Dw = z . Ux = w 

(2 ) (3) ( 4)

Т аким образо м, нуж но ре ш ит ь дв е систе мы ст ре угол ьными мат рицами и однусдиагонал ьной. Ре ш ае м систе му(2) при помощ и п рямо й п одстано в ки: по порядку, начинаяс T пе рв о й, просмат рив ае м стро ки мат рицы U и в ычисляе м компоне нт ы по ф о рмул ам

z1 =

T f1 / U11

= f1 ,

i −1

zi = f i − ∑ U ij z j . j =1

~ Д л я систе мы (3) име е м wi = z j Dii . Систе ма (4) ре ш ае тся о братной по дстанов кой:

xn = wn ,

n

xi = wi − ∑ U ij x j . j = i +1

М ож но т акж е дл я ре ш е ния систе мы (4) пе ре йт и от РСФ к стол бцо в ому, по сле че го систе ма (4) ре ш ае т сяанал о гично (2). 4.3. В ы вод РМ на печат ь ил иэ кр ан Д л япре дстав л е ниямат рицы мож но в ыбрат ьоднуизсле дую щ их ф о рм. 1. П р едст авл ениев видепол ной м ат р ицы

- 32 Д л я каж до й стро ки значе ния не нул е в ых эл е ме нт ов загруж аю т ся в пол ный в е щ е ств е нный массив , ко т оромуп ре дв арит е л ьно придано начал ьное нул е в о е состояние . Стро ка массив а в ыв одит ся на пе чат ь ил и диспл е й, и ал горит м пе ре ходит к обрабо т ки сле дую щ е й строки мат рицы. О че нь удо бно был о бы разл ичать в изуал ьно в нут рип орт ре т ные нул и (т .е . нул и, пе ре ме щ е нные в AN ил и AD в сле дств ие в заимного сокращ е ния п ри в ычисле нии) и в не порт ре т ные нул и (т .е . нул и, о кот о рых заране е изв е стно , чт о о ни будут т очными нул ями, и кот о рые по э т ому не в кл ю чаю тся в JA ). В п озициях, соо т в е т ств ую щ их в не порт ре т ным нул ям, мож но пе чат ат ь не числов ой симв о л , наприме р *. Разуме е т ся, п ракт иче ски эт о т ме т од прил ож им к т е м сит уациям, когда до стат о чно иссле до в ат ь мал ую часть мат рицы ил и сама мат рица до стат о чна мал а. 2. Д л я каж дой ст р оки печат ает ся её ном ер , а зат е м не нул е в ые эл е ме нт ы эт о й строки и за каж дым из них – в ско бках – со от в е тств ую щ ий стол бцо в ый инде кс. Е щ е л учш е был о бы упо рядо чит ь не нул е в ые эл е ме нт ы пе ре д п е чат ание м. Д остоинств о эт о го ме т о да в т ом, чт о он сокращ ае т пространств о, занимае мое в ыв одимой строко й; о днако он не дае т т ако го ясного пре дстав л е нияо в заимно м распол ож е нии со седних строк, как пе рв ый ме т о д. 3. П ор т р ет м ат р ицы м ож но вы вест и на уст р ой ст во с вы сокой р азр еш ающ ей способност ь ю, нап риме р, диспл е й ил и мат рично е пе чат аю щ е е устройств о. Н уж но т о л ько, чт о бы мат рица был а не слиш ко м в е л ика ил и чт обы был о до стат о чно е ё рассмат рив ат ьпо частям. В ы бор пор ядка искл ючения в м ет оде Г аусса (упор ядочение ст р ок и ст ол бцов) В проце ссе гауссов а искл ю че ния происходит запо л не ние мат рицы, приче м объе м и структ ура эт ого запол не ния в е сьма сущ е ств е нно зав исят о т в ыбора по рядка искл ю че ния. П оэт о му сле дуе т в ыбират ь т акую строку, в ко т орой бо л ьш е нул е й, – чт о бы минимизиров ат ь число не нул е в ых эл е ме нт о в , когда стро ка « о бруш ив ае т ся» на в се другие стро ки, а т акж е стол бе ц с максимал ьным число м нул е й, чт обы испо л ьзо в атьпоме ньш е строк. О п р е д е л е н и е . Д л я эл е ме нт а aij произв е де ние числа не нул е в ых 4.4.

эл е ме нт ов в

i -ой стро ке и j -ом стол бце назыв ае т ся це ной М арк ови ца

эл е ме нт а aij . Н е нул е в ой эл е ме нт aij сле дуе т в ыбират ьт ак, чт о бы це на М арков ица эт о го эл е ме нт а был а минимал ьной ил и не слиш ком бо л ьш ой. Э т а иде я назыв ае т ся ст рат е г и е й М арк ови ца. О на п озв о л яе т о пт имизиров ат ь в ыбо р в е дущ е го эл е ме нт а.

- 33 Н о т ако й в ыбор в л ияе т на усто йчив о сть проце сса гауссов а искл ю че ния, т ак как е сли в е дущ ий эл е ме нт мал , т о в о змо ж на по т е ря устойчив ости в ычисле ний. 4.5. В ы числ ит ел ь ны еош ибкив гауссовом искл ючении П ри ре ал изации ме т ода Гаусса прихо дит ся в ыпо л нят ь ариф ме т иче ские b = a − lU . Д л я оп е раций спл ав аю щ е й т о чкой границы де йств ия типа ош ибки обычно устанав л ив аю т ся сле дую щ им образо м: f l ( x ο y ) = ( x ο y )(1 + ε ) , где симв о л ο о бо значае т о дну из эл е ме нт арных f l ( x ο y) – оп е раций +, −, ×, / ; ( x ο y ) – т о чный ре зул ьт ат о пе рации; округл е нный ре зул ьт ат ;

ε ≤ ε M , где ε M – маш иннаят очность.

П усть a , b < α , т о гда дл яо це нки по гре ш но сти име е м

ε ≤ α ⋅εM ⋅

1 1− εM

  1 ⋅  + 2  .  1 − ε M

Т аким о бразом, дл я т о го чт о бы в ычислит е л ьная п огре ш но сть был а не слиш ком в е л ика, не сле дуе т до пускат ь чре зме рно го ро ста чисел a, l , U . А в ме т о де Гаусса a, l , U – эл е ме нт ы k -х проме ж ут о чных мат риц. П оэт о му в в одит ся п оказат е л ь п ро ме ж ут очного ро ста в ме т оде Гаусса

α k = max aijk

(A = { a }) , k ij

k

ко т орый дол ж е нбыт ьне слиш ко м в е л ик.

С т р ат егия, осущ ест вл яющ ая ком пр ом иссм еж ду опт им изацией уст ой чивост ииопт им изацией ал гор ит м а П усть сде л аны пе рв ые k ш аго в ме т ода Гаусса с в ыбором гл ав но го эл е ме нт а по стол бцу. В озьме м число U : 0 < U << 1. О пре де л им в k -о м 4.6.

{

стол бце мно ж е ств а Rst = aik : aik ≥ U ⋅ max aij

k

},

Rsp –- множ е ств о

не нул е в ых эл е ме нт о в k -го сто л бца, пре дпо чт ит е л ьных с т очки зре ния разре ж е нно сти, наприме р т аких, дл я кот о рых це на М арков ица не пре в о сходит не кот о ро го ф иксиро в анного числа. В ыбор в е дущ е го эл е ме нт а осущ е ств л яе т ся в множ е ств е R piv = Rsp Ι Rst , орие нт ируясьна Rsp ил и Rsp . Л ит ер ат ур а 1. П иссане цки С . Те хнол огия разре ж е нных матриц / C. П иссане цки. – М .: М ир, 1988. 2. Д ж ордж А ., Л ю Д . Ч исле нные ме т оды ре ш е ния бо л ьш их разре ж е нных систе м урав не ний / А . Д ж ордж , Д . Л ю . – М .: М ир, 1984.

- 34 3. Э сте рбю О ., Зл ат е в З. П рямые ме т оды дл я разре ж е нных мат риц/ О . Э сте рбю , З. Зл ат е в . – М .: М ир, 1987. 4. Т ью арсонР. Разре ж е нные мат рицы / Р. Т ью арсон. – М .: М ир, 1977. Состав ит е л и: Б л ат о в И горьА нат ол ье в ич Гл уш аков а Т ат ьяна Н ико л ае в на Э ксаре в скаяМ .Е .

Ре це нзе нт

П окорнаяИ .Ю .

Ре дакт ор

Т ихомиро в а О .А .

З а ка з № от 2002 г. Т ир . 50 экз. Л а бор а т ор ия опе р а т ивной полигр а ф ии В ГУ