Неопределенный интеграл: Пособие по специальности ''Математика''

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т

Н Е О ПРЕ Д Е ЛЕ Н Н ЫЙ И Н Т Е ГРА Л Пособие п о сп ец и а ль н о ст и 010101 – М а т ем а т и ка

В оронеж 2004 г.

2 У т верж ден о н а у чн о -м ет о ди чески м со вет о м м а т ем а т и ческо го фа ку ль т ет а п ро т о ко л № 1 о т 3 сен т ября2004 г.

Со ст а ви т ели : Плет н ева О ль га Ко н ст а н т и н о вн а , Па н ы чева Свет ла н а Б о ри со вн а

По со би е п о дго т о влен о н а ка федре м а т ем а т и ческо го а н а ли за м а т ем а т и ческо го фа ку ль т ет а Во ро н еж ско го го су да рст вен н о го у н и верси т ет а . Реко м ен ду ет сядляст у ден т о в I ку рса дн евн о го и вечерн его о т делен и й м а т ем а т и ческо го фа ку ль т ет а .

3 В В Е Д Е НИЕ На ст о ящ ееп о со би еп редн а зн а чен о дляп реп о да ва т елей и ст у ден т о в, и зу ча ю щ и хм а т ем а т и чески й а н а ли з. По со би е со держ и т ра зра бо т ку десяти ла бо ра т о рн ы х ра бо т п о т ем е «Нео п ределен н ы й и н т егра л». Ка ж дая ра бо т а вклю ча ет в себя о сн о вн о й т ео рет и чески й м а т ери а л п о ра ссм а т ри ва ем о й т ем е, бо ль шо е ко ли чест во ра зо бра н н ы х п ри м еро в и за да ч длясам о ст о ятель н о го решен и я. Во п ро сы дляса м о п ро верки сп о со бст ву ю т лу чшем у у сво ен и ю м а т ери ала . За верша ет сяп о со би ебло ко м п ро веро чн ы х рабо т п о ка ж до й т ем е, ко т о ры ем о ж н о и сп о ль зо ва т ь ка к в а у ди т о ри и , т а к и в ка чест веко н т ро ль н ы х до м а шн и х ра бо т .

4 Лабораторная работа № 1 ПРО СТ Е Й Ш И Е Н Е О ПРЕ Д Е ЛЕ Н Н ЫЕ И Н Т Е ГРА ЛЫ П ри вы п ол н е н ии дан н ой работ ы м ы с вам и всп ом н им , ч т о т ак ое п е рвообразн ая фун к ции, н е оп ре де л е н н ы й ин т е грал . Озн ак ом им ся с н е к от оры м и осн овн ы м и свойст вам и п е рвообразн ы х и н е оп ре де л е н н ы х ин т е грал ов. Оч е н ь важ н о вы уч ит ь н аизуст ь т абл ицу п рост е йш их ин т е грал ов (т абл ица 1.5). Осн овн ая це л ь дан н ой работ ы – н ауч ит ься вы ч исл ят ь п рост е йш ие н е оп ре де л е н н ы е ин т е грал ы . В эт ом вам п ом ож е т бол ьш ое к ол ич е ст во п риве де н н ы х вработ е п одробн о разобран н ы х п рим е ров. Бол ьш ой ин т е ре с п ре дст авл яют собой задач и н а вы ч исл е н ие ин т е грал ов от к усоч н он е п ре ры вн ы х фун к ций. П ри их ре ш е н ии исп ол ьзуе т ся свойст во н е п ре ры вн ост и п е рвообразн ой, а т ак ж е сл е дующ е е ут ве рж де н ие : дл я н е п ре ры вн ост и фун к ции f(x) вт оч к е х0 н е обходим о и дост ат оч н о раве н ст во т ре х ч исе л : f(x0 – 0) = f(x0 + 0) = f(x0). СПРА В О ЧН ЫЙ М А Т Е РИ А Л Табл ица 1.1 Ф ормулы сок ращ енногоумножения 1. a – b = (a – b)(a + b) 2. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 3. (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 4. a3 ± b3 = (a ± b)(a2 m ab + b2) Табл ица 1.2 О пределение гиперболич еск их ф унк ций и нек оторы е их св ой ств а e x − e −x e x + e −x e x − e −x e x + e −x ch x = th x = x cth x = x sh x = 2 2 e + e −x e − e −x 2

2

ch2x – sh2x = 1 shx th x = chx chx cth x = shx

(a⋅b)x = ax⋅bx

sh 2x = 2⋅sh x⋅ch x ch 2x = ch2x + sh2x th 2x =

Св ой ств а степеней x ax a ax   = x b b

2 thx 1 + th 2 x

( ) = (a ) y

y x

Табл ица 1.3

= a x ⋅y

О пределение 1. Ф у н кц и яF(x) н а зы ва ет сяп ерво о бра зн о й дляфу н кц и и f(x) н а (a; b) , если F′(x) = f(x) н а (a; b) и ли , чт о т о ж еса м о е, f(x)dx слу ж и т ди фферен ц и а ло м дляF(x): dF(x) = f(x)dx.

5 О пределение 2. Ф у н кц и яF(x) н а зы ва ет сяо бо бщ ен н о й п ерво о бра зн о й для фу н кц и и f(x) н а (a; b), если F(x) н еп реры вн а н а (a; b) и для лю бо го х∈(a; b)\Kn, гдеKn м н о ж ест во , со ст о ящ еен ебо лее, чем и зn т о чек, и м еем F′(x) = f(x). Е сли н ет н ео бхо ди м о ст и п о дчерки ва т ь , чт о м ы и м еем дело и м ен н о с о бы чн о й и ли о бо бщ ен н о й п ерво о бра зн о й, т о м ы н а зы ва ем F(x) п ерво о бра зн о й. Пример 1. По ка ж и т е, чт о фу н кц и яF(x) = 2x2 + cos x + 3 ест ь п ерво о бра зн а ядляфу н кц и и f(x) = 4x – sin x н а всей чи сло во й о си . Т а к ка к F′(x) = 4x – sin x = f(x), т о F(x) = 2x2 + cos x + 3 ест ь п ерво о бра зн а я дляфу н кц и и f(x) = 4x – sin x н а всей чи сло во й о си . З а да ние 1. а) П ок аж ит е , ч т о фун к ция F(x) = ln(x+ 1 + x 2 ) е ст ьп е рвооб1 разн ая дл я фун к ции f(x) = н а все й ч исл овой п рям ой. 1 + x2 b)* П ок аж ит е , ч т о фун к ция F(x) = х е ст ьобобщ е н н ая п е рвообразн ая дл я фун к ции f(x) = sign x н а (-1; 1). sВ че м о т личие по нят ий «пе рво о б ра зна я» и «о б о б щ е нна я s пе рво о б ра зна я»? З а да ние 2. П ок аж ит е , ч т о F1′(x) = F2′(x) = f(x), е сл и: а) f(x) = -2⋅sin 2x; F1(x) = cos2x; F2(x) = -2sin2x; 2

4 + x2 − x

; F1(x) =2ln( 4 + x -x); F2(x) = ln . 4 + x2 4 + x2 + x З а да ние 3. П риве дит е другие п рим е ры , из к от оры х сл е дуе т , ч т о соот н ош е н ие F′(x) = f(x) оп ре де л яе т F(x) н е одн озн ач н о. б) f(x) = -

2

О снов ное св ой ств о перв ообразны х: если F(x) и G(x) – п ерво о бра зн ы едляо дн о й и т о й ж ефу н кц и и f(x) н а о дн о м и т о м ж еп ро м еж у т ке, т о и хра зн о ст ь п о ст о ян н а н а эт о м п ро м еж у т ке. О пределение 3. М н о ж ест во всех п ерво о бра зн ы х дляда н н о й фу н кц и и f(x) н а п ро м еж у т ке (a; b) н а зы ва ет ся н ео п ределен н ы м и н т еграло м эт о й фу н кц и и и о бо зн а ча ет ся∫ f ( x )dx . Поды нтеграль ное в ы ражение

∫ f ( x )dx Поды нтеграль ная ф унк ция ? В че м схо дст во и в че м о т личие по нят ий «пе рво о б ра зна я функции» и «не о пре де ле нный инт е гра л»; «по дынт е гра льна я функция» и«по дынт е гра льно е выра ж е ние »?

6 Табл ица 1.4 О снов ны е св ой ств а неопределенногоинтеграла 1. d[ ∫ f ( x )dx ] = f(x)dx;

1

2. 3. 4.

∫ dФ ( x ) = Ф (x) + C (С – п ро и зво ль н а яп о ст о ян н а я); ∫ Af (x) dx = A ∫ f ( x )dx (А = const; A ≠ 0); ⇒ ∫[f ( x ) + g( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx ⇒ ∫ [Af ( x ) + Bg( x )]dx = A ∫ f ( x )dx + B∫ g( x )dx

Табл ица 1.4

Простей ш ие интегралы 1.

∫x

n

n +1

x + С (n ≠ -1) n +1 Частны й случ ай : ∫ dx = x

dx =

dx = ln x + C x dx 3. ∫ dx 2== arctg x + C и ли ∫1 + x2 1+ x dx ∫ 1 + x 2 = − arcctg x + C 2.

∫

dx

4.

∫1− x2

5.

∫∫ ∫

6.

∫

=

1 1+ x ln +C 2 1− x

8.

∫ sin x ⋅ dx

= − cos x + C

9.

∫ cos x ⋅ dx

= sin x + C

10.

∫ sin 2 x

11. ∫

dx

dx cos 2 x

= − ctg x + C

= tg x + C

dx

= arcsin x + C и ли 1 − x2 2= 1− x dx = − arcсos x + C 2 1− x dx

dx x2 ±1

= ln x + x 2 ± 1 + C

12. ∫ sh ( x )dx = ch x + C

13. ∫ ch ( x )dx = sh x + C

dx ax 14. ∫ 2 = − cth x + C 7. ∫ a dx = + C ( ∫ e x dx = ex + C) sh x ln a dx 15. ∫ 2 = th x + C ch x x

З а да ние 4. Д л я к аж дого ин т е грал а, п риве де н н ого в т абл ице 5, н азовит е п оды н т е грал ьн ую фун к цию и п оды н т е грал ьн ое вы раж е н ие . 1

Ра вен ст ва (1) – (4) т а бли ц ы 1.4 вы п о лн яю т сяс т о чн о ст ь ю до ко н ст а н т ы .

7 Примеры на в ы ч исление интегралов Пример 1. (№ 1628). Вы чи сли т е∫ (3 − x 2 ) 3 dx . Реш ение. 1. Прео бра зу ем п о ды н т егра ль н у ю фу н кц и ю (3 – х2)3, во сп о ль зо ва вши сь фо рм у ло й со кра щ ен н о го у м н о ж ен и я(3) т а бл. (1.1). По лу чи м : 2 3 2 4 6 ∫ (3 − x ) dx = ∫ (27 − 27 x + 9x − x )dx 2. По ль зу ясь следст ви ем и зсво йст в н ео п ределен н о го и н т егра ла (3) и (4) (т а бл. 1.4), п о лу чи м : 2 3 2 4 6 ∫ (3 − x ) dx = 27 ∫ dx − 27 ∫ x dx + 9∫ x dx − ∫ x dx 3. Д лявы чи слен и я∫ dx ; ∫ x 2 dx; ∫ x 4 dx; ∫ x 6 dx п ри м ен и м ра вен ст во (1) т а бли ц ы (1.5). О ко н ча т ель н о п о лу ча ем : 27 x 3 9x 5 x 7 2 3 ∫ (3 − x ) dx = 27х- 3 + 5 − 7 + С. x +1 Пример 2. (№ 1633). Вы чи сли т е∫ dx . x Реш ение. 1. В п о ды н т егра ль н о м вы ра ж ен и и п о член н о ра здели м чи сли т ель н а зн а м ен а т ель и , во сп о ль зо ва вши сь следст ви ем и зсво йст в н ео п ределен н о го и н т егра ла (3) и (4) (т а бл. 1.4), п о лу чи м : 1  1  x +1 dx  x  ∫ x dx = ∫  x + x dx = ∫  x + x dx = ∫ x dx + ∫ x =     1 x 2 dx

−

1 2

=∫ +∫x 2. Во сп о ль зу ем сяра вен ст во м (1) т а бли ц ы (1.5): 3 1 x +1 2 2 2 3 ∫ x dx = 3 x + 2x 2 + C = 3 x + 2 x + C x 2 dx Пример 3. Вы чи сли т е∫ . 1− x2 Реш ение. 1. Вы н есем за зн а к и н т егра ла п о ст о ян н ы й м н о ж и т ель – 1 (сво йст во (3) т а бли ц ы 1.4). По лу чи м : x 2 dx x 2 dx ∫1− x2 = − ∫ x2 −1; 2. Ко гда ст еп ен ь чи сли т еля п о ды н т егра ль н о й фу н кц и и ≥ ст еп ен и зн а м ен а т еля, п о лезн о вы дели т ь ц елу ю ча ст ь . Э т о м о ж н о сдела т ь ра зли чн ы м и сп о со ба м и , н а п ри м ер, делен и ем у гло м чи сли т елян а зн а м ен а т ель и ли и сп о ль зу ям ет о д «п ри ба ви т ь – о т н ять ». Во сп о ль зу ем сявт о ры м сп о со бо м . В чи сли т елеп ри ба ви м , а за т ем вы чт ем 1.

8 По слечего п о член н о ра здели м чи сли т ель н а зн а м ен а т ель . По лу чи м : ( x 2 − 1) + 1 x 2 dx 1 = − ∫1− x2 ∫ x 2 − 1 dx = − ∫ 1 + x 2 − 1 dx 3. Предст а ви в и н т егра л су м м ы в ви десу м м ы и н т егра ло в и во сп о ль зо ва вши сь со о т вет ст ву ю щ и м и ра вен ст ва м и т а бли ц ы 1.5, п о лу чи м о т вет : 1 1+ x x 2 dx ∫ 1 − x 2 = − x + 2 ln 1 − x . 2 x +1 − 5 x −1 Пример 4. (№ 1645). Вы чи сли т е∫ dx . 10 x Реш ение. 1 1. Т а к ка к 2х+1 = 2 ⋅ 2х; 5х-1 = ⋅ 5 x , т о 5 1 2 ⋅ 2x − ⋅ 5x x +1 x −1 2 −5 5 dx ; ∫ 10 x dx = ∫ x 10 2. По член н о ра здели м чи сли т ель н а зн а м ен а т ель ; во сп о ль зу ем ся следст ви ем и зсво йст в и н т егра ла (3) и (4) (т а бли ц а 1.4) и ра вен ст во м (7) т а бли ц ы (1.5):   2 x 1  5 x  2 x +1 − 5 x −1 x x ∫ 10 x dx = ∫  2 ⋅  10  − 5 ⋅  10  dx = ∫ 2(0,2 ) − 0,2 ⋅ (0,5) dx =   0,2 x 0,5 x − 0,2 + C. = 2 ∫ 0,2 x dx − 0,2 ∫ 0,5 x dx =2 ∫ 0,2 x dx − 0,2 ∫ 0,5 x dx = 2 ln 0,2 ln 0,5 Пример 5. (№ 1649). Вы чи сли т е∫ ctg 2 x ⋅ dx .

(

)

cos 2 x ; и во сп о ль зо ва вши сь т о ж дест во м Реш ение. Предст а ви в ctg x = sin 2 x cos2x = 1 – sin2x, а т а кж есо о т вет ст ву ю щ и м и ра вен ст ва м и т а бли ц ы (1.5), п о лу чи м : 2 ∫ ctg x ⋅ dx = 2

1 − sin 2 x dx  1  ∫ sin 2 x dx = ∫  sin 2 x − 1dx = ∫ sin 2 x dx − ∫ dx = −ctgx − x + C З а да ние 5. Вы ч исл ит е ин т е грал ы : а ) ∫ (1 − x )(1 − 2 x )(1 − 3x )dx (№ 1630) a a a  б) ∫  + 2 + 3 dx (№ 1632) x  x x 2

д)

∫

3

е)

1+ x2 + 1− x2 1− x

∫ (2

x

)

4

2

dx (№ 1642)

+ 3 x dx (№ 1644)

9 x − 23 x 2 + 1 dx (№ 1634) ∫ 4 x x 2 dx г) ∫ (№ 1639) 1+ x2

в)

ж ) ∫ tg 2 x ⋅ dx (№ 1650) з) ∫ th 2 x ⋅ dx (№ 1652)

Ф унк ции, перв ообразны е к оторы х нель зя в ы разить ч ерез элементарны е ф унк ции О сн о вн ы м и (п ро ст ейши м и ) элем ен т а рн ы м и ф у н кц и ям и н а зы ва ю т ся: ст еп ен н а яфу н кц и яy = xm, m ∈ N (ча ст н ы й слу ча й – п ри m = 0 − п о ст о ян н а яфу н кц и яy = c), п о ка за т ель н а яф у н кц и яy = ax, a > 0, a ≠ 1; ло га ри фм и ческа яy = loga x, x > 0, a ≠ 1; a >0; т ри го н о м ет ри чески ефу н кц и и y = sin x; y 1 ); y = cosec x (cosec x = = cos x; y = tg x; y = ctg x; y = sec x (sec x = cos x 1 ); о бра т н ы ет ри го н о м ет ри чески е(кру го вы ефу н кц и и ) y = arcsin x; y = sin x arccos x; y = arctg x; y = arcctg x. Э лем ен т а рн ы м и фу н кц и ям и н а зы ва ю т сяфу н кц и и , ко т о ры е п о лу ча ю т ся и з о сн о вн ы х элем ен т а рн ы х фу н кц и й с п о м о щ ь ю ко н ечн о го чи сла а ри фм ет и чески х о п ера ц и й (+; −; ⋅; :) и ко м п о зи ц и й (т .е. о бра зо ва н и ясло ж н ы х фу н кц и й). 3 + x2 Пример 6. Ф у н кц и и y = ; y = lg sin 3 1 − 3 sin x ; y = lg lg (3 + 1 + lg x + 2 3 sin x ) – элем ен т арн ы е. (П оясн ит е ). Пример 7. Ф у н кц и яs = 1 + 2 + 3 + … + n – элем ен т а рн а я, и бо еем о ж н о (1 + n )n вы ра зи т ь фо рм у ло й s = , со держ а щ ей о гра н и чен н о е чи сло 2 элем ен т а рн ы хдейст ви й. Пример 8.Ф у н кц и яs = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n – н еэлем ен т а рн а я, и бо еен ель зявы ра зи т ь огран ич е н н ы м чи сло м элем ен т а рн ы х дейст ви й (чем бо ль шеn, т ем бо ль шеу м н о ж ен и й н а до вы п о лн ять , а п рео бра зо ва т ь вы ра ж ен и е1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n к элем ен т а рн о м у ви ду н ево зм о ж н о .) М о ж н о до ка за т ь , чт о лю баян еп реры вн а ян а [a; b] ф у н кц и яи м еет н а (a; b) п ерво о бра зн у ю , н о п ерво о бра зн а яэлем ен т а рн о й фу н кц и и н евсегда п редст а вляет ся элем ен т а рн о й фу н кц и ей, н а п ри м ер, п ерво о бра зн ы е для 2 2 sin x e x , ,−e x , e − x н евы ра ж а ю т сячерезэлем ен т а рн ы ефу н кц и и . фу н кц и й x x И нтегралы от к усоч но-непреры в ны х ф унк ций З а да ние 6. И зобразит е н а к оордин ат н ой п л оск ост и график фун к ции f(x) и н е ск ол ьк о график ове е п е рвообразн ы х, е сл и: а ) f(x) = x, x ∈ [0; + ∞) б) f(x) = − x, x ∈ (- ∞; 0] в) f(x) = x, x ∈ (- ∞; + ∞)

10 ! Чтобы най ти интеграл отк усоч но-непреры в ной ф унк ции ϕ(х), надо: 1. Вы дели т ь п ро м еж у т ки , н а ко т о ры х фу н кц и яϕ(х) за да ет сяо дн о й фо рм у ло й. 2. Пу ст ь х1, … , xn – гра н и ц ы эт и хп ро м еж у т ко в. Ра сп и шем : ϕ1(х), х ≤ х1 ϕ2(х), х1 < х ≤ х2 ϕ(x) = .............. ϕn(x), x > xn 3. Т о гда ∫ ϕ1 ( x )dx + C, x ≤ x 1  ∫ ϕ 2 ( x )dx + C1 , x 1 < x ≤ x 2 ϕ ( x ) dx =  ∫ .......... .......... .......... ...........  ϕ ( x )dx + C , x > x n n ∫ n Перво о бра зн а яест ь фу н кц и ян еп реры вн а я. По эт о м у н а м следу ет , за фи кси ро ва в С, вы ра зи т ь С1, … , Cn черезС т ак, чт о бы ∫ ϕ1 ( x )dx  x=x1 = ∫ ϕ 2 ( x )dx  x=x1 ...................... ∫ ϕ n −1 ( x )dx  x=x n = ∫ ϕ n ( x )dx  x=x n Пример 9. 2 ∫ 1 − x dx =

ϕ(х) = 1 – х2 = − + − −1 1

=

х2 – 1, x < −1 1 – x2, −1 ≤ x ≤ 1 x2 – 1, x > 1

x3 − x + C, x < -1 3 x3 x− + C1, -1 ≤ x ≤ 1 3 x3 − x + C2, x > 1 3

=

 x3    x3 1)  − x + C  =  x − + C1  3  3  x = −1   x = −1 2 2 + С = − + С1 3 3 4 С1 = С + 3

11

 x3    x3 2)  − x + C1  =  x − + C2  3  3  x =1   x =1  x3   4 x3  −x+C+   x − + C2  =  3  3  x =1  3   x =1 2 4 2 + С + = - + С2 3 3 3 8 С2 = С + 3

=

x3 − x + C, x < −1 3 x3 4 + + C, −1 ≤ x ≤ 1 x− 3 3 3 x 8 − x + + C, x > 1 3 3

З а да ние 7. Найдит е ин т е грал ы и изобразит е н а к оордин ат н ой п л оск ост и график и п оды н т е грал ьн ой фун к ции и н е ск ол ьк их е е п е рвообразн ы х. в) ∫ sin x dx г) ∫ 1 − sin 2x dx (№ 1648) а ) ∫ x dx б) ∫ 4 x 2 − 1 dx З а да ние 8. (№ 2174; № 2175). Вы ч исл ит е

∫ f ( x )dx , где :

1,−∞ < x < 0;  б) f ( x ) = x + 1,0 ≤ x ≤ 1; 2 x,1 < x < +∞.  З а да ние 9. Найдит е п е рвообразн ую F(x) дл я фун к ции f(x), удовл е т воряющ ую усл овию: F(x0) = y0: π 1 а ) f(x) = cos x; x0 = ; y0 = −2; б) f(x) = 3 ; x0 = 2 ; y0 = 1. 2 х З а да ние 10. Вы ч исл ит е ин т е грал ы : cos 2 x dx а ) ∫ (3 ⋅ tgx − 2 ⋅ ctgx )2 dx б) ∫ 2 sin x ⋅ cos 2 x 8 9−x   в) ∫ dx г) ∫  7 x − + 4 cos x dx x 3+ x    3 2  3 dx − x − д) ∫ 0,7 ⋅ x − 0,1 + 0,2 ⋅ (0,5)x dx е) ∫  2 4 x   cos x 1 − x 2 , x ≤ 1; а ) f (x) =  1 − x , x > 1.

(

ж)

∫

)

5

x − 3 x2 + 1 dx 4 x

з) ∫ ( 5⋅sh x – 7⋅ch x + 1)dx

12 3

 x −5  dx и ) ∫    x 

л)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1+ x

∫1+ 3 х

dx

к) ∫ 32 −11x dx м)

∫

sin 3 x + cos3 x sin 2 x − sin x ⋅ cos x + сos 2 x

dx

В опросы для самопров ерк и Сфо рм у ли ру йт е о п ределен и е п ерво о бра зн о й и о бо бщ ен н о й п ерво о бра зн о й дляфу н кц и и f(x). Ка к п о ка за т ь , чт о фу н кц и яF(x) являет сяп ерво о бра зн о й дляфу н кц и и f(x)? Сфо рм у ли ру йт ео сн о вн о есво йст во п ерво о бра зн ы х. Ч т о т а ко ен ео п ределен н ы й и н т егра л? Перечи сли т ео сн о вн ы есво йст ва н ео п ределен н о го и н т егра ла . Во сст а н о ви т еп о п а м яти т а бли ц у п ро ст ейши хи н т еграло в. Вп и ши т е в т а бли ц у 1.6 следу ю щ и е ф у н кц и и : y = cos x; y = ch x; 1 1 1 y = x2;y = x2 – x + 1; y = 1 + + + ... + n −1 ;y=sin 1⋅sin 2 ⋅ sin 3 ⋅ … ⋅ sin n. 2 4 2 Д о ба вь т ев ка ж ды й ст о лбец т а бли ц ы 1.6 п о 2 сво и хп ри м ера : Табл ица 1.6 О снов ны е Элементарны е Ф унк ции, к оторы е элементарны е ф унк ции не яв ляю тся ф унк ции элементарны ми

8. При веди т еп ри м еры элем ен т а рн ы х фу н кц и й, п ерво о бра зн ы еко т о ры х н е вы ра ж а ю т сячерезэлем ен т а рн ы ефу н кц и и . 9. Сфо рм у ли ру йт е а лго ри т м вы чи слен и я н ео п ределен н о го и н т егра ла о т фу н кц и и , ст о ящ ей п о д зн а ко м м о ду ля. Лабораторная работа № 2 В ЫЧИ СЛЕ Н И Е Н Е О ПРЕ Д Е ЛЕ Н Н ЫХ И Н Т Е ГРА ЛО В М Е Т О Д О М В Н Е СЕ Н И Я Ф У Н К Ц И И ПО Д ЗН А К Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А ЛА Д иф ф еренциал и нек оторы е его св ой ств а О пределение 1. Е сли п ерем ен н а яz п ри н и м а ет сн а ча ла зн а чен и еz = z1, а за т ем зн а чен и еz = z2, т о ра зн о ст ь z2 – z1 н а зы ва ет сяп ри ра щ ен и ем вели чи н ы z. Сло во «п ри ра щ ен и е» о бо зн а ча ет ся∆. За п и сь ∆z (чи т а ет ся«дель т а зэт ») о бо зн а ча ет «п ри ра щ ен и евели чи н ы z», т а к чт о ∆z = z2 – z1. s М о ж ет ли п ри ра щ ен и е бы т ь п о ло ж и т ель н ы м ? О т ри ц а т ель н ы м ? Ра вн ы м н у лю ? При веди т еп ри м еры .

13 s Ч ем у ра вн о п ри ра щ ен и еп о ст о ян н о й вели чи н ы ? З а да ние 1. Нач ал ьн ое зн ач е н ие аргум е н т а х = 3, п риращ е н ие аргум е н т а ∆х = -2. Найдит е соот ве т ст вующ е е п риращ е н ие ∆у фун к ции у = х2. З а да ние 2. Всп ом н ит е , а) ч т о озн ач ае т зап исьf(x) = o(g(x)) п ри х → х0? б) к ак п он им ае т ся вы ск азы ван ие «п ри х → х0 f(x) е ст ь ве л ич ин а бол е е вы сок ого п орядк а м ал ост и, ч е м g(x)»? в) ч т о озн ач ае т вы ск азы ван ие «g(x) эк вивал е н т н а f(x) п ри х → х0»? г) ч т о озн ач ае т вы ск азы ван ие «g(x) им е е т т от ж е п орядок м ал ост и, ч т о и f(x) п ри х → х0»? З а да ние 3. Д ан ы фун к ции: y = sin x, y = ln2(1+ x), y = 2x – 1. К ак ая изэт их фун к ций эк вивал е н т н а фун к ции у = х п ри х → 0? И м е е т бол е е вы сок ий п орядок м ал ост и, ч е м у = х п ри х → 0? И м е е т один ак овы й п орядок с фун к цие й у = х п ри х → 0? От ве т п оясн ит е . О пределение 2. Пу ст ь п ри ра щ ен и е фу н кц и и y = f(x) ра зби т о н а су м м у дву х член о в: ∆у = А ⋅∆х + α(∆х), гдеА н еза ви си т о т ∆х и α(∆х) и м еет бо леевы со ки й п о рядо к м а ло ст и о т н о си т ель н о ∆х п ри ∆х → 0. Т о гда п ервы й («гла вн ы й») член , п ро п о рц и о н а ль н ы й ∆х, н а зы ва ет сяди фферен ц и а ло м фу н кц и и f(x) и о бо зн а ча ет сяdy и ли df(x). Т еорема 1. Ко эффи ц и ен т А ра вен п ро и зво дн о й f′(x). И н ы м и сло ва м и , ди фферен ц и а л фу н кц и и ра вен п ро и зведен и ю п ро и зво дн о й н а п ри ра щ ен и еа ргу м ен т а : dy = y′⋅∆x и ли df(x) = f′(x)⋅∆x З а да ние 4. П ок аж ит е , ч т о п риращ е н ие ∆у фун к ции у = х2 + х м ож н о п ре дст авит ь в виде ∆у = (2х+1)⋅∆х + (∆х)2. Объ ясн ит е , п оч е м у м ож н о ск азат ь, ч т о в п риве де н н ом вы ш е п рим е ре ∆у п ре дст авим о в виде ∆у = А ⋅∆х + о(∆х) (А н е зависит от ∆х). П рове рьт е дл я дан н ого сл уч ая раве н ст во А = у′(х). З а да ние 5. П уст ьу = х3. Найдит е ∆у дл я п роизвол ьн ого х. П ре дст авьт е ∆у в виде ∆у = А ⋅∆х + α (см . оп ре де л е н ие 2). Ч е м у равн о А ? α? П ок аж ит е , ч т о α им е е т бол е е вы сок ий п орядок м ал ост и, ч е м ∆х п ри ∆х → 0. П рове рьт е раве н ст во А = у′(х). Н ек оторы е св ой ств а диф ф еренциала 1. Д и фферен ц и а л п о ст о ян н о й вели чи н ы ра вен н у лю : da = 0. 2. Д и фферен ц и а л н еза ви си м о й п ерем ен н о й ра вен ееп ри ра щ ен и ю : dx = ∆x. По эт о м у вм ест о за п и си dy = y′∆x ча щ евсего и сп о ль зу ет сяза п и сь dy = y′dx. В даль н ейшем м ы бу дем п о ль зо ва т ь сят о ль ко п о следн ей фо рм о й за п и си .

14 3. По ст о ян н ы й м н о ж и т ель м о ж н о вы н о си т ь за зн а к ди фферен ц и а ла : d[a⋅f(x)] = a⋅df(x). 4. Д и фферен ц и а л а лгебра и ческо й су м м ы н еско ль ки х фу н кц и й ра вен а лгебра и ческо й су м м еи хди фферен ц и а ло в: d[f1(x) ± f2(x)] = df1(x) ± df2(x). Замеч ание. Сво йст ва (3) и (4) м о ж н о , о бъ еди н и в, за п и са т ь в ви де: d[a⋅ f1(x) + b⋅f2(x)] = a⋅df1(x) + b⋅df2(x) 5. Ра вен ст во df(x) = f′(x)⋅dx верн о н ет о ль ко в слу ча е, ко гда х – ест ь н еза ви си м а яп ерем ен н а я, н о и в слу ча е, если х = х(t) (и н ва ри а н т н о ст ь фо рм ы п ерво го ди фферен ц и а ла ). Пример 1. По ль зу ясь сво йст во м (2), п ро верь т е, чт о d(sin x) = cos x ⋅ dx. Реш ение: df(x) = f′(x)⋅dx. sin′x = cos x ⇒ d(sin x) = sin′x ⋅ dx = cos x ⋅ dx. З а да ние 6. П ол ьзуясьсвойст вом (2), п рове рьт е , ч т о… 6.1. d(x + b) = dx (b − const); 1 d(ax + b) = dx 6.2. d(ax) = dx (a − const); ⇒ a d( x n +1 ) const); n 6.3. x dx = n +1 dx 6.4. = d(ln x) x В ы ч исление неопределенны х интегралов методомв несения ф унк ции под знак диф ф еренциала На п о м н и м , чт о , если ∫ f ( x )dx = F(x) + C, а u = ϕ(x) – н еп реры вн о -

ди фферен ц и ру ем а , т о ∫ f (u )du = F(u) + C (сво йст во 2 т а бли ц ы 4 ла бо ра т о рн а яра бо т а № 1). Э т о сво йст во п о ка зы ва ет , чт о т а бли ц а и н т егра ло в сп ра ведли ва н еза ви си м о о т т о го , являет сяли п ерем ен н а яи н т егри ро ва н и ян еза ви си м о й п ерем ен н о й и ли фу н кц и ей. На п ри м ен ен и и эт о го сво йст ва о сн о ва н м ет о д вн есен и яфу н кц и и п о д зн а к ди фферен ц и а ла . З а да ние 7. З ап ол н ит е т абл ицу, ч т обы п ол уч ил осьве рн ое раве н ст во: = df(x) f′(x)⋅dx = sin x dx dx x

= = = =

1 1+ x2

dx

=

1 d  x d(sin x) d( x )

15 f′(x)⋅dx

= df(x) = d(arcsin x) = = =

Прив едите св ои примеры

При ведем п ри м еры вы чи слен и ян ео п ределен н о го и н т егра ла м ет о до м вн есен и яфу н кц и и п о д зн а к ди фферен ц и а ла . Пример 3.

1

∫ ( x + 1)dx = ко м м е нт а рий

1. 2. 3. 4.

2

∫ ( x + 1)d( x + 1) =

3

∫ udu =

4

u ( x + 1) 2 +С = +С 2 2 2

За м ет и м , чт о d(x + 1) = dx О бо зн а чи м х+ 1 = u Вы чи сли м п о лу чи вши йсят а бли чн ы й и н т егра л ∫ u n du , n ≠ -1 Сдела ем о бра т н у ю за м ен у

Пример 4.

∫e

−

1 x

2

1.

2. 3. 4.

1

1

2

3

4

1

1 − 2  1  1 u 1 u 1 − x2 dx ⋅ 3 = ∫ e x d − 2  = e e du = e + C = +C ∫ 2 2 2 2 x  x  1 1  1  2  1  За м ет и м , чт о d  − 2  = 3 dx; следо ва т ель н о , 3 dx = d − 2  2  x  x  x  x 1 Ф у н кц и ю 3 вн есем п о д зн а к ди фферен ц и а ла и во сп о ль зу ем ся x 1  1  d − сво йст во м 3 т а бли ц ы 4. По лу чи м . 2  x2  1 О бо зн а чи м − 2 = u. x Вы чи сли м п о лу чи вши йсят а бли чн ы й и н т егра л ∫ e u du . Сдела ем о бра т н у ю за м ен у

Пример 5.

∫ (5 − 3x ) =−

51

dx = −

1 1 1 52 (5 − 3x ) 51d(5 − 3x ) = − ∫ u 51du = − u +C= ∫ 3 3 3 ⋅ 52

1 (5 − 3x ) 52 + C. 156

16 З а да ние 8. И сп ол ьзуя п риве де н н ую в рассм от ре н н ы х п рим е рах схе м у, вы ч исл ит е сл е дующ ие ин т е грал ы : xdx 1 dx ex a) ∫ (№ 1674) б) ∫ sin ⋅ 2 (№ 1681) в) ∫ dx (№ 1690) x 2 x x 2 + e 1− x г) ∫ tg x⋅dx (№ 1697) д) ∫ sin 5 x ⋅cos x⋅dx (№ 1695) З а да ние 9. П ут е м н адл е ж ащ е го п ре образован ия п оды н т е грал ьн ого вы раж е н ия и п осл е дующ е го вн е се н ия фун к ции п од зн ак диффе ре н циал а, вы ч исл ит е сл е дующ ие ин т е грал ы : dx dx a) ∫ x (№ 1691) б) ∫ (№ 1702) −x 2 e +e sin x + 2 cos 2 x dx x2 +1 (№ 1703) г) ∫ 4 dx (№ 1712) в) ∫ sin x x +1 У ка за н и е: п ри решен и и п ри м ера (г) и сп о ль зу йт е т о ж дест во : 1   1     1 + 2 dx = d  x −   x  x    sРа зб ира я прим е р 3, м ы по лучили: ( x + 1) 2 x2 1 ( x + 1 ) dx = + C = + x + + Cs ∫ 2 2 2 Ре ша я эт о т ж е прим е р, испо льзуя сво йст ва инт е гра ло в, по лучим : x2 ∫ ( x + 1)dx = ∫ xdx + ∫ dx = 2 + x + C . Одина ко в лире зульт ат ? От ве т о б ъяснит е . dx Пример 6. Вы чи сли т е∫ . 2 + 3x 2 Реш ение. При вы чи слен и и п ри веден н о го н и ж е и н т егра ла хо т ело сь бы во сп о ль зо dx ва т ь сят а бли чн ы м и н т егра ло м ∫ . 1+ x2 dx dx 1 dx ∫ 2 + 3x 2 =1 ∫  3  = 2 ∫ 3 2 =2 1+ x 21 + x 2  2 2    3  d x  2 1 2  = 1 arctg 3 x  + C = ∫ ⋅  2  2  2 3 6  3    1 +  x   2  К омментарий к примеру 1. В зн а м ен а т елевы н есем за ско бку 2.

17

2

 3  3 2. За п и шем вт о ро есла га ем о езн а м ен а т еляв ви де: x 2 =  x  , у чт ем , 2 2    3  2  3  3 x  = d x. чт о d dx , т .е. dx = 2 3  2   2  З а да ние 10. Вы ч исл ит е ин т е грал ы , п ол ьзуясьрассуж де н иям и, п риве де н н ы м и вп рим е ре (6). dx dx dx a) ∫ (№ 1662) б ) (№ 1663) в) (№ 1664) ∫ ∫ 2 2 2 − 3x 2 2 − 3x 3x − 2 З а да ние 11. Найдит е диффе ре н циал ы фун к ций: a) d(5x) б) d(5x + 1) в) d(1 – 5x) г) d(5x2) д) d(5x)2 е) d(e5x)  x ж ) d(cos 5x) з) d  tg  и ) d(arcsin 5x) к) d(arctg( 5 x)) л) d(ln(1 – 5x)).  5 З а да ние 12. Д оп ол н ит е л е вы е ч аст и т ак , ч т обы п ол уч ил исьве рн ы е раве н ст ва: a) … dx = d(7x) б) … dx = d(1 – 7x) в) … x⋅dx = d(x2) д) … 27x⋅dx = d(27x) е) … cos 7x⋅dx = d(sin 7x) г) … dx = d( 7 x)2 dx ж ) … sin(1 – 7x)⋅dx = d(cos(1 – 7x)) з) … = d(tg 7x) cos 2 7 x dx x ⋅ dx = d(arcsin( 7 x)) к) … = d(ln1 – 7x2) и)… 2 2 1 − 7x 1 − 7x 2 2 x ⋅ dx л) … = d 1 − 7x 2 м ) … x⋅ e −7 x ⋅dx = d( e −7 x ) 1 − 7x 2 З а да ние 13. Вы ясн ит е , диффе ре н циал ы от к ак их фун к ций зап исан ы н иж е : д) e3x⋅dx е) sin 3x⋅dx a) 3⋅dx б) 3x⋅dx в) 3 ⋅x⋅dx г) 3x2⋅dx dx dx dx dx dx ж ) sin(1 – 3x)⋅dx з) и ) к) л) м ) 1 + 9x cos 2 3x 1 + 9x 2 1 − 3x 2 1 − 9x 2 З а да ние 14. Д ок аж ит е раве н ст ва: dx 1 x a) ∫ 2 = arctg + C (a ≠ 0) (16) 2 a a a +x dx 1 a+x б) ∫ 2 = ln + C (a ≠ 0) (17) 2 2a a − x a −x xdx 1 = ± ln a 2 ± x 2 + C (18) в) ∫ 2 2 2 a ±x dx x г) ∫ = arcsin + C (19) 2 2 a a −x

(

)

18 д)

∫

е)

∫

xdx a ±x dx 2

2

= ± a2 ± x2 + C

(20)

= ln x + x 2 ± a 2 + C

(21) x ±a В да ль н ейшем м ы бу дем и сп о ль зо ва т ь эт и фо рм у лы длявы чи слен и яи н т егра ло в. 2

2

В опросы для самопров ерк и 1. Ч т о т а ко еп ри ра щ ен и евели чи н ы z? 2. Ч т о о зн а ча ет , чт о фу н кц и яf(x) и м еет бо леевы со ки й п о рядо к м а ло ст и , чем g(x) п ри х→ х0? И м еет т о т ж еп о рядо к, чт о и g(x) п ри х→ х0? Э кви ва лен т н а g(x) п ри х→ х0? 3. Сфо рм у ли ру йт ео п ределен и еди фферен ц и а ла и его о сн о вн ы есво йст ва . 4. Ч т о о зн а ча ет за п и сь dx? ∆x? В ка ки хслу ча ях dx = ∆x? dx ≠ ∆x? 5. Ч т о о зн а ча ет «и н ва ри а н т н о ст ь п ерво го ди фферен ц и а ла »? 6. У ка ж и т е, ка ка яф у н кц и явн о си т сяп о д зн а к ди фферен ц и а ла п ри вы чи слен и и п ри веден н ы х н и ж еи н т егра ло в. (Вы бери т ео ди н п ра ви ль н ы й о т вет ) ln 2 x sin x dx x 2 dx I. ∫ II. dx IY. ∫ ∫ x dx III. ∫ 2 cos 3 x arcsin 2 x 1 − x 2 8x 3 + 27 3

(

(

)

a) x2

a) ln x

a) sin x

b) 8x3

b) ln2x

b) cos x

c) 8x3 + 27

1 x ln x d) x

c) cos3 x

d)

1 8x + 27 3

c)

d)

7. Вы бери т еверн о ерешен и е: dx II. I. ∫ x−3 a) ln x − 3+ C a) 1 ln x − 3+ C b) b) 3 c) 3 ln x - 3+ C

cos 3 x

dx

∫ 3x − 1

ln 3x − 1+ C 1 ln 3x − 1+ C 3

c) 3 ln 3x - 1+ C

)

a) 1 − x 2 1 b) 1− x2 c) arcsin x d)

1 arcsin 2 x

III.

dx

∫ 3x + 5

a) ln 3x + 5+ C 1 b) ln 3x + 5+ C 3 1 c) ln 3x - 1+ C 5

8. У ка ж и т ет о т т а бли чн ы й и н т егра л, ко т о ры м м о ж н о во сп о ль зо ва т ь сяп ри вы чи слен и и п ри веден н ы х н и ж е и н т егра ло в. (Вы бери т е о ди н п ра ви ль н ы й о т вет )

I. ∫ ctg x⋅dx a) ∫ b) ∫

II.

dx

1+ x

1

∫ 1 − x 2 ln 1 − x dx

III.

a) ∫ x n dx

2

sin x dx cos 2 x

dx x d) ∫ cos x ⋅ dx c)

19

∫

dx

b)

∫1− x2

c)

∫

dx x

sin x cos x dx IY. ∫ dx cos 2 x cos 2x dx dx a) ∫ a) ∫ x2 ±1 x2 ±1 dx dx b) ∫ b) ∫1− x2 1− x2

∫

c) ∫ sin x ⋅ dx

c) ∫ sin x ⋅ dx

d) ∫ cos x ⋅ dx

d) ∫ cos x ⋅ dx

Лабораторная работа № 3 В ЫЧИ СЛЕ Н И Е Н Е О ПРЕ Д Е ЛЕ Н Н ЫХ И Н Т Е ГРА ЛО В М Е Т О Д О М ЗА М Е Н Ы ПЕ РЕ М Е Н Н ЫХ В п рош л ой л аборат орн ой работ е м ы вы ч исл ял и н е оп ре де л е н н ы е ин т е грал ы м е т одом вн е се н ия фун к ции п од зн ак диффе ре н циал а. Одн ак о, н е все гда л е гк о увиде т ь, к ак ую им е н н о фун к цию сл е дуе т вн е ст и п од зн ак диффе ре н циал а. В т ак их сл уч аях ин т е грирован ие н ач ин ае т ся с вве де н ия зам е н ы . А лгоритмв ы ч исления неопределенного интеграла методомзамены переменны х 1. Неко т о ро е вы ра ж ен и е, вхо дящ ее в п о ды н т егра ль н у ю фу н кц и ю , о бо зн а ча ю т черезн о ву ю п ерем ен н у ю , н а п ри м ер, t. 2. Вы ра ж а ю т черезt и схо дн у ю п ерем ен н у ю , о ст а вши есям н о ж и т ели п о ды н т егра ль н о го вы ра ж ен и я. 3. Вы чи сляю т п о лу чи вши йсяи н т егра л. 4. Д ела ю т о бра т н у ю за м ен у . Пример 1. (№ 1766). Вы чи сли т е∫ х2 ⋅ 3 1 − х ⋅ dx . 3

1. О бо зн а чи м t = 1 − x . 2. Т о гда x = 1 − t3, x2 = (1 − t3)2. dхн а йдем , п ро ди фферен ц и ро ва в о беча ст и ра вен ст ва x = 1 − t3. Т .е. dt = −3⋅t2⋅dt. t 2 2t 5 t 7 2 3 3 2 3. ∫ х ⋅ 1 − х ⋅ dx = ∫ 1 − t ⋅ t ⋅ dt = … = − + +C. 2 5 7 4. Д ела яо бра т н у ю за м ен у , п о лу чи м

(

∫х

⋅ 1 − х ⋅ dx =

2 3

3

1− x 2

)

2

23 1 − x − 5

5

7

1− x + +С. 7 3

20 sin 2 x dx . cos 6 x sin 2 x sin 2 x 1 dx dx = ∫ ⋅ ⋅ 1. За м ет и м , чт о ∫ 6 2 2 cos x cos x cos x cos 2 x 2. Вво ди м за м ен у , о бо зн а ча яtg x = t. 1 = 1 + tg2x = 1 + t2; 2 cos x dx = dt (п о ясн и т е). cos 2 x sin 2 x t3 t5 tg 3 x tg 5 x 2 2 3. И т а к, ∫ = dx t ( 1 t ) dt C + ⋅ = + + = + + C. ∫ 3 5 3 5 cos 6 x

Пример 2 (№ 1773). Вы чи сли т е∫

(

Пример 3. (№ 1767). Вы чи сли т е∫ х3 1 − 5x 2

∫х

3

∫х

2

(1 − 5x 2 )10 ⋅ dx =

(1 − 5x 2 )10 ⋅ (x ⋅ dx) =

)10 ⋅ dx .

t = 1 − 5x 2 dt = −10 x ⋅ dx ⇒ x ⋅ dx = −

dt 10

=

1− t 5

x2 =

(1 − 5x )11 (1 − 5x )12 1 1 − t 10 1  t 11 t 12  ⋅ t ⋅ dt = − − + C = − + + C. ∫ 550 600 10 5 50  11 12  За м ет и м , чт о п ри решен и и эт о го п ри м ера н а м н еп о н а до би ло сь вы ра ж а т ь х черезt. Предст а ви в вы ра ж ен и ех3⋅dx в ви дех2⋅(х⋅dx), п ро и зведен и ех⋅dx м ы вы чи сли ли сра зу , н ен а хо дяп редва ри т ель н о о т дель н о хи dx. dx Пример 4. (№ 1776). Вы чи сли т е∫ . x 1+ e Преж дечем вво ди т ь за м ен у п ерем ен н ы х, и чи сли т ель , и зн а м ен а т ель п о ды н т егра ль н о го вы ра ж ен и яу м н о ж и м н а ех. =−

dx

∫ = 2∫

1+ e

(z

x

=∫

z ⋅ dz 2

)

−1 ⋅ z

t =1+ ex

x

e dx e ⋅ 1+ e x

= −2 ∫

dz 1− z2

x

= dt = e x dx ex = t −1

= − ln

=∫

dt ( t − 1) t

z2 = t = dt = 2z ⋅ dz = z= t

1+ z 1− t 1− 1+ ex + C. + C = ln + C = ln x 1− z 1+ t 1+ 1+ e

21 М ы ви ди м , чт о п ри решен и и эт о го п ри м ера н а м п ри шло сь два ж ды вво ди т ь н о ву ю п ерем ен н у ю . При чем , п ервы й ра зм ы п ерехо ди ли к н о во й п ерем ен н о й t, о бо зн а чи в черезt н еку ю ча ст ь п о ды н т егра ль н о й фу н кц и и . А вт о ро й ра з м ы п ри м ен и ли п о дст а н о вку : вм ест о ст а ро й п ерем ен н о й t ввели фу н кц и ю о т н о во й п ерем ен н о й (z2). Рек омендуемы е подстанов к и 1. Е сли п о ды н т егра ль н а яфу н кц и ясо держ и т вы ра ж ен и е а 2 − х2 , и сп о ль зу ю т сяп о дст а н о вки x = a⋅sin t и ли x = a⋅cos t. 2. Е сли п о ды н т егра ль н а яфу н кц и ясо держ и т вы ра ж ен и е х2 ± а 2 , и сп о ль зу ю т сяп о дст а н о вки x = a⋅tg t, x = a⋅ctg t, x = a⋅sh t, x = a⋅ch t. dx . Пример 5 (№ 1778). Вы чи сли т е∫

(1 − )

3 2 2 x

x = sin t dx

(1 − )

3 2 2 x

= cos 3 t 3 dx = cos t ⋅ dt 2 2 1− x t = arcsin x = tg (arcsin x)+C.

∫

(

)

=

=∫

cos t ⋅ dt cos 3 t

=∫

dt cos 2 t

= tg t + C =

Пример 6 (№ 1786). Вы чи сли т е∫ a 2 + x 2 dx .

При вы чи слен и и эт о го и н т егра ла п ри м ен и м п о дст а н о вку x = a⋅sh t. Ка к бу дет вы глядет ь п ри эт о м о бра т н а яза м ен а ?  e t + e −t ch t = 2 ⇒ ch t +sh t =et ⇒ t =ln (ch t +sh t)=ln( 1 + sh 2 t + sh t)=  t −t sh t = e − e  2   a2 + x2 + x  x 2 x   = ln x 2 + a 2 + x  − ln a . = ln  1 + + = ln 2       a a a     И т а к, x = a ⋅ sh t

∫

=

a2 2

a 2 + x 2 dx =

a 2 + x 2 = a ⋅ ch t

= a 2 ∫ ch 2 t ⋅ dt =

dx = a ⋅ ch t

t = ln a 2 + x 2 + x  − ln a    a 2  sh 2t a2 ch 2 t + 1 dx = + t + C = sh t ⋅ ch t + t + C =  2  2 2 

∫(

)

(

)

22 a2 = 2

 x a2 + x2  a2 2 2    ⋅ + ln a + x + x   − ln a + C = a   2 a   =

x a2  2 ln a + x 2 + x  + C . a2 + x2 +  2 2 

З ам е ч ан ие 1. Ф орм ул а п он иж е н ия ст е п е н и дл я фун к ции сh2t вы водит ся н а осн ован ии форм ул т абл ицы 1.2 л аборат орн ой работ ы № 1. a2 З ам е ч ан ие 2. Обозн ач им С 1 = С − ln a − ве л ич ин а п ост оян н ая. В 2 ок он ч ат е л ьн ом от ве т е п рин ят о вм е ст о С 1 п исат ьп рост о С . М ет о до м введен и яза м ен ы п ерем ен н ы хм о ж н о вы чи слять и т еи н т егра лы , ко т о ры ем ы реша ли ра н еевн есен и ем ф у н кц и и п о д зн а к ди фферен ц и а ла . Пример 7. Вы чи сли т е∫ cos(3x − 7 ) ⋅ dx .

∫ cos(3x − 7 ) ⋅ dx =

t = 3x − 7

1 1 = ∫ cos t ⋅ dt = sin t + C = 1 3 3 dt = 3dx ⇒ dx = dt 3 1 = sin (3x − 7 ) + C . 3

З а да ние 1. З ап ол н ит е т абл ицу. В ы ч исляемы й Замена интеграл t = 5x – 2 dx 1. ∫ 5x − 2 2.

∫e

x   −1  3 

dx

 x2   −1   3   

3.

∫x⋅e

4.

∫ 1 + 4x 2

5.

∫ 1 + 4x 2

6.

∫

7.

∫

dx

dx

x ⋅ dx

dx 1 − 9x 2 arcsin 3x ⋅ dx 1 − 9x 2

dх = … dx =

dt 5

О тв ет 2 5x − 2 + C 5

23 В ы ч исляемы й Замена dх = … О тв ет интеграл dx 8. ∫ x−5 З а да ние 2. Д ок аж ит е : x a2 x а ) ∫ a 2 − x 2 dx = (22) a2 − x2 + arcsin + C 2 2 a x a2 x2 − a2 − ln x + x 2 − a 2 + C (23) б) ∫ х2 − а 2 dx = 2 2 В да ль н ейшем эт и фо рм у лы , а т а кж ерезу ль т а т п ри м ера 6: x a2  2 2 2 2 2 a + x dx = a + x + ln a + x 2 + x  + C (24) ∫  2 2  м ы бу дем и сп о ль зо ва т ь длявы чи слен и яи н т егра ло в. В опросы для самопров ерк и 1. Сфо рм у ли ру йт еа лго ри т м и н т егри ро ва н и яза м ен о й п ерем ен н о й. 2. При веди т еп ри м еры и н т егри ро ва н и яфу н кц и й п у т ем за м ен ы п ерем ен н о й.

(

)

Лабораторная работа № 4 В ЫЧИ СЛЕ Н И Е Н Е О ПРЕ Д Е ЛЕ Н Н ЫХ И Н Т Е ГРА ЛО В М Е Т О Д О М РА ЗЛО Ж Е Н И Я При вы чи слен и и и н т егра ло в, п ри веден н ы х в да н н о й ла бо ра т о рн о й ра бо т е, и сп о ль зу ет ся п редст а влен и е п о ды н т егра ль н о й фу н кц и и в ви де су м м ы н еско ль ки хбо лееп ро ст ы хдляи н т егри ро ва н и ясла га ем ы х. И споль зуемы е тождеств а 1 [(x + b) – (x + a)] (п ро верь т е!) b−a 1 ≡ sin2x + cos2x 1 sin α ⋅ sin β = [cos(α − β) – cos (α + β)] 2 1 cos α ⋅ cos β = [cos(α − β) + cos (α + β)] 2 1 sin α ⋅ cos β = [sin(α − β) + sin (α + β)] 2 1 ch x ⋅ ch y = [ch(x + y) + ch(x − y)] 2 1 sh x ⋅ sh y = [ch(x + y) - ch(x − y)] 2 1≡

sh x ⋅ ch y =

1 [sh(x + y) + sh(x − y)] 2

(1) (2) (3) (3`) (3``) (4) (4`)

(4``)

Ф о рм у лы п о н и ж ен и яст еп ен и

sin2x =

1 − cos 2x 2

24

(5)

1 + cos 2x (5`) 2 1 sh2 x = [ch2x − 1] (6) 2 1 ch2 x = [ch2x + 1] (6`) 2 С п ом ощ ью м е т ода разл ож е н ия м ож н о вы ч исл ят ь ин т е грал ы от н е к от оры х дробн о-рацион ал ьн ы х, т ригон ом е т рич е ск их и гип е рбол ич е ск их фун к ций. Д робн о-рацион ал ьн ой фун к цие й н азы вае т ся фун к ция вида f(x) = P (x) = n , где Pn(x) и Qm(x) – м н огоч л е н ы ст е п е н и n и m соот ве т ст ве н н о. Q m (x ) Е сл и ст е п е н ьч исл ит е л я м е н ьш е ил и равн а ст е п е н и зн ам е н ат е л я, т о дробн о-рацион ал ьн ая фун к ция н азы вае т ся п равил ьн ой. cos2x =

З а да ние 1. И з п е ре ч исл е н н ы х н иж е фун к ций вы бе рит е дробн орацион ал ьн ы е . У к аж ит е ст е п е н ь ч исл ит е л я и ст е п е н ь зн ам е н ат е л я дл я вы бран н ы х фун к ций: x 2 + 3x x ( x − 3) x −3 б) в) 2 а) x −1 2 x +1 2x x ( x + 1)( x − 3) sin( x ) + cos( x ) e −3 е) 2 г) д) x 2 sin x e +1 ( x + 1) 2 ( x 3 − 1) x4 − x2 +1 м ет о до м делен и яу гПример 1. Вы дели т ец елу ю ча ст ь дро би x2 +1 ло м . х4 – х2 + 1 х2 + 1 х4 + х2 х2 – 2 -2х2 + 1 -2х2 – 2 -1 x4 − x2 +1 1 2 = x − 2 − x2 +1 x2 +1 З а да ние 2. И зп риве де н н ы х н иж е дробн о-рацион ал ьн ы х фун к ций вы бе рит е н е п равил ьн ы е дроби и п ре дст авьт е их ввиде сум м ы це л ой и дробн ой ч аст и. x 5 − 2x 2 + 3 x+2 x2 x2 + 5 x2 + 5 ; ; ; ; . x 2 − 4x + 4 x ( x − 3) x 2 − 4x + 3 ( x − 3)( x − 1) ( x 2 − 3)( x − 1)

25 Пример 2. (№ 1736). Вы чи сли т еи н т егра л

dx

∫ ( x 2 − 2)(x 2 + 3) .

1

dx

∫ ( x 2 − 2)(x 2 + 3)

= −

2

1 ( x − 2) − ( x + 3) dx = 5 ∫ ( x 2 − 2) ⋅ ( x 2 + 3) 2

2

3

1  1 1  1 dx dx  = − ∫  − dx = −  ∫ −∫  = 5  x2 + 3 x2 − 2 5 x2 + 3 x2 − 2  3

=−

1 5 3

arctg

x 3

+

1 10 2

ln

2−x 2+x

+ C.

К омментарий к примеру 1. Во сп о ль зу ем сят о ж дест во м , а н а ло ги чн ы м т о ж дест ву (1): 1 1≡ [(x2 – 2) – (x2 + 3)] −2−3 2. По член н о п о дели м чи сли т ель н а зн а м ен а т ель и во сп о ль зу ем сян ео бхо ди м ы м и сво йст ва м и и н т егра ло в. 3. Во сп о ль зо ва вши сь т а бли чн ы м и и н т егра ла м и (16) и (17) и злабо ра т о рн о й ра бо т ы (2), п о лу чи м о ко н ча т ель н ы й резу ль т а т . Пример 2. (№ 1741). Вы чи сли т еи н т егра л ∫ sin 2 x ⋅ dx . Д лярешен и яда н н о го п ри м ера во сп о ль зо ва ли сь фо рм у ло й п о н и ж ен и я ст еп ен и (3). =−

1 5 3

arctg

2 ∫ sin x ⋅ dx =

x 1 2+x 1 x 1 2+x − ln +C=− arctg − ln +C 3 5⋅2 2 2−x 5 3 3 10 2 2−x

1 1 1 1 sin 2 x ( 1 − cos 2 x ) dx = dx − cos 2 x ⋅ dx = x − +C 2∫ 2∫ 2∫ 2 4

Пример 3. (№ 1747). Вы чи сли т еи н т егра л ∫ sin 3 x ⋅ dx . 1

∫ sin

3

2

3

x ⋅ dx = ∫ sin x ⋅ sin x ⋅ dx = − ∫ sin x ⋅ d (cos x ) = 2

2

− ∫ (1 − cos 2 x ) ⋅ d (cos x ) = cos 3 x = − ∫ d (cos x ) + ∫ cos x ⋅ d (cos x ) = − cos x + +C 3 2

К омментарий к примеру 1. По ды н т егра ль н а яфу н кц и яп редст а вляет со бо й sin x, во зведен н ы й в н е-

26

чет н у ю ст еп ен ь . Предст а ви м sin3x = sin2x ⋅ sin x. 2. Вн есем фу н кц и ю sin x п о д зн а к ди фферен ц и а ла . 3. Предст а ви м sin2x = 1 – cos2 x. dx . Пример 4. Вы чи сли т еи н т егра л ∫ 1 + ex Д лярешен и яда н н о го п ри м ера во сп о ль зу ем сят о ж дест во м , а н а ло ги чн ы м т о ж дест ву (1): 1 ≡ (1 + ех) – ех.  (1 + e x ) − e x d(1 + e x ) dx ex  ex ∫ 1 + e x = ∫ 1 + e x dx = ∫ 1 − 1 + e x dx = ∫ dx − ∫ 1 + e x dx = x − ∫ 1 + e x =   1)

= x − ln 1 + e x + C .

З а да ние 3. П ол ьзуясьм е т одом разл ож е н ия, и п ри н е обходим ост и вы де л яя це л ую ч аст ь из п оды н т е грал ьн ой фун к ции, вы ч исл ит е сл е дующ ие ин т е грал ы : 1+ x x2 dx (№ 1722) dx (№ 1723) б) ∫ a) ∫ 1− x 1+ x (1 + x ) 2 dx в) ∫ dx (№ 1725) г) (№ 1729) ∫ 1+ x2 x +1 + x −1 З а да ние 4. И сп ол ьзуя т ож де ст во (1) ил и ан ал огич н ое е м у, вы ч исл ит е ин т е грал ы : dx dx (№ 1733) б) ∫ 2 a) ∫ (№ 1735) ( x − 1)( x + 3) ( x + 1)( x 2 + 2) dx xdx в) ∫ 2 (№ 1734) г) ∫ (№ 1737) ( x + 2)( x + 3) x +x−2 xdx д) ∫ 4 x − x 2 − 30 З а да ние 5. Вы ч исл ит е ин т е грал ы : a) ∫ cos 3 x ⋅ dx (№ 1748) б) ∫ sin 4 x ⋅ dx (№ 1749) в) ∫ tg 3 x ⋅ dx (№ 1751) З а да ние 6. Вы ч исл ит е ин т е грал ы : a) ∫ sin 3x ⋅ cos 5x ⋅ dx (№ 1744)

(1 + e )

x 2

в)

1)

∫ 1 + e 2x

dx

(№ 1760)

г)

dx

∫ sin 2 x ⋅ cos x

(№ 1755)

cos 3 x б) ∫ dx (№ 1757) sin x г) ∫ shx ⋅ sh 2x ⋅ dx (№ 1763)

если п о ды н т егра ль н а яф у н кц и яп редст а вляет со бо й н ечет н у ю ст еп ен ь sin x, п о д зн а к ди фферен ц и а ла вн о си т сяsin x; если п о ды н т егра ль н а яф у н кц и яп редст а вляет со бо й н ечет н у ю ст еп ен ь cos x, п о д зн а к ди фферен ц и а ла вн о си т сяcos x; если п о ды н т егра ль н а яф у н кц и яп редст а вляет со бо й чет н у ю ст еп ен ь sin x и ли cos x, и сп о ль зу ю т сяфо рм у лы п о н и ж ен и яст еп ен и . По дро бн еесм . ла бо ра т о рн у ю ра бо т у № 10.

27 Лабораторная работа № 5 В ЫЧИ СЛЕ Н И Е Н Е О ПРЕ Д Е ЛЕ Н Н ЫХ И Н Т Е ГРА ЛО В М Е Т О Д О М И Н Т Е ГРИ РО В А Н И Я ПО ЧА СТ Я М Е сли u(x) и v(x) – н еп реры вн о -ди фферен ц и ру ем ы ефу н кц и и , т о :

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du

(!)

И н т егри ро ва н и ес п о м о щ ь ю фо рм у лы (!) н а зы ва ет сяи н т егри ро ва н и ем п о ча ст ям . Э т о т п ри ем ведет к ц ели , если ∫ v ⋅ du н а хо ди т сялегче, чем

∫ u ⋅ dv (п ри м еры

1 – 3) и ли о ди н и зэт и х и н т егра ло в вы ра ж а ет сячерездру -

го й (п ри м ер 4). Пример 1.

u

∫х⋅arcg x⋅dx = dv

dx (1) u = arctgx du = 1 + x 2 2 (2) dv = x ⋅ dx v = x 2

=

(п о слеп ри м ен ен и яфо рм у лы (!))

(

)

x2 1 x 2 dx x 2 1 1+ x2 −1 x2 1  1  arctgx − ∫ arctgx − ∫ dx = arctgx − ∫ 1 − = dx 2 2 2 2 1 +x 2 2 2 2  1+ x2  1+ x x2 1 1 arctgx − x + arctgx + C = 2 2 2 З а м е ча ние . du п ол уч ае м диффе ре н цирован ие м раве н ст ва (1): u = arctg x; v п ол уч ае м ин т е грирован ие м раве н ст ва (2): dv = x⋅dx. Пример 2. ∫x⋅cos x⋅dx = u

dv

(1) u = x

du = dx

( 2) dv = cos x ⋅ dx v = sin x

= x⋅sin x - ∫sin x⋅dx =

= x⋅sin x + cos x + C А лгоритмв ы ч исления неопределенного интеграла методоминтегриров ания по ч астям 1. О ди н и зм н о ж и т елей п о ды н т егра ль н о го вы ра ж ен и яо бо зн а чи м u. (Ра вен ст во (1)).

2. Про и зведен и е о ст а ль н ы х м н о ж и т елей п о ды н т егра ль н о го вы ра ж ен и яо бо зн а чи м dv. (Ра вен ст во (2)).

28 3. Про ди фферен ц и ру ем ра вен ст во (1). (По лу чи м du). 4. Про и н т егри ру ем ра вен ст во (2). (По лу чи м v). 5. При м ен и м фо рм у лу (!) и н а йдем и н т егра л. ?! К ак определить , к ак ой из множителей поды нтеграль ного в ы ражения обознач ить u? 1. Е сли п о ды н т егра ль н а яф у н кц и ясо держ и т logax и ли о дн у и з о бра т н ы х т ри го н о м ет ри чески х фу н кц и й: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctgx, - ча щ евсего через u о бо зн а ча ет сяи м ен н о эт а фу н кц и я. (При м ер 1). 2. Е сли п о ды н т егра ль н а яф у н кц и яп редст а вляет со бо й п ро и зведен и ем н о го член а ст еп ен и n и п о ка за т ель н о й и ли т ри го н о м ет ри ческо й фу н кц и й, т о в ка чест ве u следу ет бра т ь м н о го член . (При м ер 2). Пов торное интегриров ание Не ре дк о форм ул у ин т е грирован ия п о ч аст ям п риходит ся п рим е н ят ь н е ск ол ьк о раз. Так , всл е дующ е м п рим е ре он а п рим е н яе т сядваж ды . Пример 3. Вы чи сли т ь ∫ x 2e x dx .

∫ x e dx = 2 x

u = x2

du = 2 x ⋅ dx

dv = e x dx

v=e

x

= x 2e x − 2 ∫ x ⋅ e x dx =

u=x

du = dx

x dv = e x dx v = e

=

=х2⋅ех − 2⋅х⋅ех + 2 ∫ e x dx = х2⋅ех − 2⋅х⋅ех + 2⋅ех + С.

s Ско лько ра з сле дуе т прим е нит ь фо рм улуинт е гриро ва ния по ча ст ям привычисле нииинт е гра ла ∫ x 5 sin x ⋅ dx s К омбиниров ание методов Ч аст о п ре ж де , ч е м п рим е н ят ьм е т од ин т е грирован ия п о ч аст ям , н е обходим о уп рост ит ьп оды н т е грал ьн ое вы раж е н ие , вве дя н овую п е ре м е н н ую. З а да ние 1. Вы ч исл ит е ∫ x 3 sin x 2dx , вводя н овую п е ре м е н н ую, а за-

т е м п рим е н яя м е т од ин т е грирован ияп о ч аст ям .

В озв ратны е интегралы Пример 4. ∫ex⋅cos x⋅dx =

u = ex du = e x dx = ex⋅sin x- ∫ex⋅sin x⋅dx = dv = cos x ⋅ dx dv = − sin x ⋅ dx

29 (М о ж н о за м ет и т ь , чт о т ри го н о м ет ри чески е фу н кц и и sin x и cos x п ри и н т егри ро ва н и и п ерехо дят о дн а в дру гу ю . Следу ет о ж и да т ь , чт о п ри п о вт о рн о м п ри м ен ен и и фо рм у лы (!) м ы п ри дем к и схо дн о м у и н т егра лу ). u = ex du = e x dx = ex⋅sin x + ex⋅cos x - ∫ex⋅cos x⋅dx. dv = sin x ⋅ dx v = − cos x По лу чи ли , чт о ∫ex⋅cos x⋅dx = ex⋅sin x + ex⋅cos x - ∫ex⋅cos x⋅dx. Следо ва т ель н о , 2 ∫ex⋅cos x⋅dx = ex⋅sin x + ex⋅cos x. И т а к, ex x (sin x + cos x) + C ∫e ⋅cos x⋅dx = 2 И н огда, к ак м ы увиде л и вп рим е ре 4, п рим е н яя м е т од ин т е грирован ия п о ч аст ям н е ск ол ьк о раз, м ож н о п ол уч ит ь уравн е н ие дл я н ахож де н ия н е оп ре де л е н н ого ин т е грал а т ой ил и ин ой фун к ции. Так им образом , вы ч ис=

л яют ся ин т е грал ы вида ∫ eαx⋅cos βx⋅dx; ∫ eαx⋅sin βx⋅dx;

∫

x 2 + k dx и н е к о-

т оры е другие . П рич е м , п ри вы ч исл е н ии ин т е грал а вида ∫ eαx⋅cos βx⋅dx; ∫ eαx⋅sin βx⋅dx п ри п е рвом п рим е н е н ии форм ул ы (!) н е важ н о, к ак ую фун к цию обозн ач ит ь за u – п ок азат е л ьн ую ил и т ригон ом е т рич е ск ую. Но п ри п овт орн ом п рим е н е н ии эт ой форм ул ы за u обозн ач ае т ся фун к ция т ого ж е т ип а, к ак и н а п е рвом ш аге . Рек уррентны е ф ормулы И н огда ин т е грирован ие п о ч аст ям п озвол яе т п ол уч ит ь соот н ош е н ие м е ж ду н е оп ре де л е н н ы м ин т е грал ом , соде рж ащ им ст е п е н ьн е к от орой фун к ции, и ан ал огич н ы м ин т е грал ом , н о с м е н ьш им п ок азат е л е м ст е п е н и т ой ж е фун к ции. П одобн ы е соот н ош е н ия н азы вают ся ре к урре н т н ы м и форм ул ам и. dx , n ∈ N, a ≠ 0, реку рПример 5. По лу чи т едляи н т егра ла J n = ∫ 2 (x + a 2 )n  1  x   . + ( 2 n − 1 ) ⋅ J рен т н у ю фо рм у лу J n +1 = n 2na 2  ( x 2 + a 2 ) n  Реш ение. И сп о ль зу ем фо рм у лу и н т егри ро ва н и яп о ча ст ям дляи н т егра ла Jn. 1 По ло ж и м u = 2 , dv = dx. (x + a 2 )n − 2nx ⋅ dx Т о гда du = 2 , v = x, ( x + a 2 ) n +1 x 2dx x и , следо ва т ель н о , J n = 2 + 2n ∫ 2 . (x + a 2 )n ( x + a 2 ) n +1

30 В чи сли т елеп о ды н т егра ль н о й фу н кц и и п о лу чен н о го и н т егра ла п ри ба ви м и вы чт ем а 2: x (x 2 + a 2 ) − a 2 x x2 + a2 + Jn = 2 = + 2 n dx 2 n ∫ (x 2 + a 2 )n +1 ∫ (x 2 + a 2 )n +1 dx (x + a 2 )n (x 2 + a 2 )n dx x - 2na2 ∫ 2 = + 2n⋅Jn – 2n⋅a2⋅Jn+1, о т ку да 2 n +1 2 2 n (x + a ) (x + a )  1  x  2 + ( 2n − 1) ⋅ J n  2 2 n 2na  ( x + a )  dx 1 x Т а к ка к J1 = ∫ = arctg + C, т о , п о ло ж и в в п о лу чен н о й фо рм у ле a x2 + a2 a n = 1, м о ж н о н а йт и I2. Зн а яI2, м о ж н о н а йт и I3 и т а к далее. З а да ние 2. З ап ол н ит е т абл ицу В ы ч исляемы й интеграл u=… dv = … ∫ arcsin x ⋅ dx J n +1 =

∫ x ⋅ arcsin x ⋅ dx ∫ x ⋅ sin x ⋅ dx 1+ x

∫ x ⋅ ln 1 − x dx 2 x ∫ x ⋅ e ⋅ dx ∫ sin x ⋅ ln(tgx ) ⋅ dx ∫ x ⋅ shx ⋅ dx 2

∫ (x

2

)

− 2 x + 1 sin x ⋅ dx

З а да ние 3. Найдит е du, е сл и изве ст н о u: 2

2

a) u = arcsin x б) u = ln(x + 1) в) u = (x + 2x + 3) д) u = cos(2x + 1) е) u = ln2x ж ) u = 22x-3 2 3 2 и ) u = arccos x к) u = x + x +3 л) u = e4x+1 З а да ние 4. Найдит е v, е сл и изве ст н о dv:

2

−

x 2

г) u = e з) u = arctg x м ) u = sin 6x

1 dx cos 2 3x д) dv = cos 2x dx е) dv = (x2+3x+1)dx ж ) dv = 3-4x+1dx з) dv = -6x⋅dx a) dv = e4xdx

б) dv = sin 3x⋅dx

и ) dv = (x + 1)⋅dx к) dv = 2x⋅dx cos  + 3  dx x 2



в) dv = x2dx

л) dv =

1 dx x4

г) dv =

м ) dv =

31 З а да ние 5. Вы ч исл ит е ин т е грал ы . 2

 ln x  a) ∫ln x⋅dx (№ 1791) б) ∫x ⋅ln x⋅dx (n ≠ -1) (№ 1792) в) ∫   dx (№ 1793)  x  г) ∫x2⋅e-2x⋅dx (№ 1796) д) ∫x2⋅sin 2x⋅dx (№ 1799) е) ∫x2⋅arccos x⋅dx (№ 1805) З а да ние 6. Вы ч исл ит е ин т е грал ы . n

a) ∫ x 5 e x dx (№ 1811) 3

б)

∫

a 2 − x 2 dx (№ 1818)

в) ∫sin(ln x)⋅dx (№ 1826) г) ∫eαx⋅cos βx⋅dx (№ 1828) З а да ние 7. У к аж ит е , п ри ре ш е н ии к ак их ин т е грал ов н уж н о п рим е н ит ь форм ул у ин т е грирован ия п о ч аст ям . ln x ln x dx a) ∫ 2 dx в) ∫ x ⋅ ln x ⋅ dx г) ∫ x 2 ⋅ e x dx б) ∫ x x 2 x ⋅ arcsin x д) ∫ x ⋅ e x dx е) ∫ x ⋅ e x +1 ⋅ dx ж ) ∫ x ⋅ e x −1 ⋅ dx з) ∫ dx 1 − x2 1 2 arcsin x 2 −2 м ) ∫ x ⋅ 53x ⋅ dx и) ∫ dx dx л) ∫ 53x ⋅ x ⋅ dx к) ∫ arcsin 1 − x 1 − x2 З а да ние 8. Вы ч исл ит е ин т е грал ы , п риве де н н ы е взадан ии № 7.

(

)

З а да ние 9. Вы ч исл ит е ин т е грал ы ∫ x 2 − a 2 dx , ∫ a 2 − x 2 dx , ∫ x 2 + a 2 dx , п рим е н яя ин т е грирован ие п о ч аст ям . З а да ние 10. И сп ол ьзуя ре к урре н т н ую форм ул у, вы ве де н н ую в п рим е ре 5, dx вы ч исл ит е ∫ . 6 x 2 + 16 В о про сы для са м о про ве рки 1. Сфо рм у ли ру йт е а лго ри т м вы чи слен и я н ео п ределен н о го и н т еграла м ет о до м и н т егри ро ва н и яп о ча ст ям . 2. Ка к о п редели т ь , ка ко й и з м н о ж и т елей п о ды н т егра ль н о го вы ра ж ен и я о бо зн а чи т ь u? При веди т еп ри м еры . 3. В ка ко м слу ча еи н т егри ро ва н и еп о ча ст ям н ео бхо ди м о п ри м ен и т ь н еско ль ко ра з? При веди т еп ри м еры . 4. О бъ ясн и т е, чт о о зн а ча ет т ерм и н «во звра т н ы е и н т егра лы »? При веди т е п ри м еры . 5. Ч т о т а ко е«реку ррен т н а яфо рм у ла »?

(

)

Лабораторная работа № 6 ВЫ Ч И СЛЕ НИ Е НЕ О ПРЕ Д Е ЛЕ ННЫ Х И НТ Е ГРА ЛО В ПУ Т Е М ПРИ ВЕ Д Е НИ Я И Х К КА НО НИ Ч Е СКО М У ВИ Д У dx dx З а да ние 1. Всп ом н ит е , ч е м у равн ы ин т е грал ы : ∫ 2 ; ; ∫ 2 2 a ± x2 x ±a x ⋅ dx x ⋅ dx dx 2 2 2 2 ∫ a 2 ± x 2 ; ∫ a 2 ± x 2 ; ∫ a 2 − x 2 ; ∫ a − x dx ; ∫ x ± a dx .

32 И н т е грал ы от ал ге браич е ск их вы раж е н ий, соде рж ащ их к вадрат (Ax + B) ⋅ dx (Ax + B) ⋅ dx н ы й т ре хч л е н : ∫ 2 , ∫ ( Ax + B) ⋅ ax 2 + bx + c ⋅ dx , , ∫ ax + bx + c ax 2 + bx + c где A, B, a, b, c – п ост оян н ы е , м ож н о све ст и к п риве де н н ы м взадан ии 1 и другим т абл ич н ы м ин т е грал ам п ут е м т ож де ст ве н н ы х п ре образован ий. Осн овн ы е оп е рации, к от оры е н адо ум е т ь п ри эт ом де л ат ь – эт о вы де л е н ие п ол н ого к вадрат а из к вадрат н ого т ре хч л е н а и вы де л е н ие из вы раж е н ия (А х + В) п роизводн ой вы раж е н ия(ax2 + bx + c). В ы деление полного к в адрата из к в адратич ного трехч лена Вы дели т ь п о лн ы й ква дра т и зт рехчлен а ax2 + bx + c – о зн а ча ет п редст а ви т ь его в ви де: ax2 + bx + c = a(x + α)2 + β, гдеα, β - н еко т о ры ечи сла . Пример 1. Вы дели т еп о лн ы й ква дра т и зт рехчлен а mх2 + px + q. Вы н е се м за зн ак ск обк и к оэффицие н т п ри х2, а зат е м восп ол ьзуе м ся форм ул ой a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. mх2 + px + q = 2 2  2 q p q  2 p  p   p   = m ⋅ x + x +  = m⋅ x + 2⋅ ⋅x + − + =    m m 2m   2m   2m  m   a⋅ b

a2

b2 2  p  4q − p 2   = m⋅  x +  +  2 m 4m 2    a b Пример 2. Вы дели т еп о лн ы й ква дра т и зт рехчлен а 3х2 – 9х+ 11. 11   3х2 – 9х+ 11 = = 3⋅  x 2 − 3x +  = 3  2 2 2  2  3  3   3  11  3 9 11    = 3⋅ x − 2 ⋅ x ⋅ +   −   + = 3⋅ x −  − +  =   2 2 2 3  2 4 3    a2

a⋅ b

b2

a b

 3  17  = 3 ⋅  x −  +   2  12   2

З а да ние 1. Вы ясн ит е , п ре дст авл яе т л и собой к вадрат н ы й т ре хч л е н п ол н ы й к вадрат двуч л е н а вида a(x – b)2? 25 1 a) x2 + 6x +9 б) x2 + 5x + в) 5x2 + 3x +2 г) – 7x2 – x − 4 7

33 З а да ние 2. Д оп ол н ит е л е вы е вы раж е н ия т ак им образом , ч т обы вы п ол н ял исьл е вы е раве н ст ва. 2 2 2 x2 ( x + 8)  2 2 2 +4x +… = в) 5x + 4x +… = 5  x +  a) x +4x +… = (x + 2) б) 5 4 4  З а да ние 3. Вы де л ит е п ол н ы й к вадрат изт ре хч л е н ов: а ) х2 – 5х +9; б) 2x2 – 3x – 2; в) x4 +6x2 +8; г) 9x4 – 13x2 +4 dx Пример 3. (№ 1837) Вы чи сли т е∫ 2 . x −x+2 При ведем зн а м ен а т ель дро би к ка н о н и ческо м у ви ду , вы дели в п о лн ы й ква дра т и зква дра т н о го т рехчлен а , ст о ящ его в зн а м ен а т еле: 2 2 2 1 1 1 1 7  2 2 х – х+ 2 = х − 2⋅х⋅ +   −   + 2 =  x −  + 2 2 2 2 4  1  d x −  1 x − = du dx dx 2  =∫ = = =∫ По лу чи м : ∫ 2 2 2 2 x −x+2 1 7 1 7   dx = du x −  + x −  + 2 4 2 4     2 2 du 2 2  1 arctg arctg u+C = =∫ = x −  + C. 2 2 7 7 7 7  7  u 2 +    2  Во сп о ль зо ва ли сь фо рм у ло й

1 u du arctg = + C. ∫ u2 + a2 a a

В ы деление произв одной (ax2 + bx + c)′ = 2ax + b из в ы ражения А х 1. Ко эффи ц и ен т п ри ху м н о ж и т ь и ра здели т ь н а 2а . 2. К вы ра ж ен и ю 2а хп ри ба ви т ь и о т н ять b. 1

2

A A Ax = ⋅2ax = (2ax + b ) − Ab 2a 2a 2a Пример 4. Пу т ем т о ж дест вен н ы х п рео бра зо ва н и й п о лу чи т еи звы ра ж ен и я 5хп ро и зво дн у ю ква дра т н о го т рехчлен а 6х2 + 5х – 4. 1. И м еем : (6х2 + 5х– 4)′ = 12х+ 5. 5 5 5 25 ⋅ 12x = [(12x + 5) − 5] = (12x + 5) − . 2. 5х= 12 12 12 12 З а да ние 4. П ут е м т ож де ст ве н н ы х п ре образован ий дан н ы х вы раж е н ий п ол уч ит е п роизводн ую к вадрат н ого т ре хч л е н а 3х2 – 5х + 2. 1 a) 6x б) x в) 3x г) x д) 6x + 11 е) 3x – 5 ж) x– 3 3

34

t ⋅ dt . t −t−2 1. На йдем п ро и зво дн у ю зн а м ен а т еля: (t2 – t – 2)′ = 2⋅t – 1. 2. Вы дели м в чи сли т еле п ро и зво дн у ю зн а м ен а т еля и п редст а ви м п о лу чи вши йсяи н т егра л в ви десу м м ы и н т егра ло в: 3. Первы й и н т егра л су м м ы вы чи сляет сям ет о до м вн есен и яфу н кц и и п о д зн а к ди фферен ц и ала , а вт о ро й – а н а ло ги чн о и н т егра лу , вы чи слен н о м у в п ри м ере(2).

Пример 5. Вы чи сли т е∫

2

2

t ⋅ dt 1 2 t ⋅ dt 1 2t − 1 + 1 1 2t − 1 1 dt ∫ t 2 − t − 2 = 2 ∫ t 2 − t − 2 = 2 ∫ t 2 − t − 2dt = 2 ∫ t 2 − t − 2 dt + 2 ∫ t 2 − t − 2 =  1 3 1 d t −  3 +t− 2 1 d t −t−2 1  2  = 1 ln t 2 − t − 2 − 1 ⋅ 2 ⋅ ln 2 2 +C= + ∫ = ∫ 2 2 3 1 2 t −t−2 2  1 2 3 9 2 −t+ t −  − 2 2 4  2 1 1 1+ t + C. = ln t 2 − t − 2 − ln 2 3 2−t Сп о со б, ра ссм о т рен н ы й в п ри м ере(5), н а и бо леера ц и о н а ль н ы й. О дн а ко , н а п ра кт и кеп о ль зу ю т сяи дру ги м сп о со бо м вы чи слен и яп о до бн ы х и н т егра ло в, ко т о ры й ра ссм о т ри м п ри решен и и п ри м ера (6). x 5 dx Пример 6. (№ 1843). Вы чи сли т е∫ 6 . x − x3 − 2 При м ен и м за м ен у п ерем ен н о й: dt t ⋅ dt t = x3; x6 = t2 ; dt = 3x2⋅dx ⇒ х2⋅dx = ; x5⋅dx = x3⋅x2⋅dx = . По лу чи м : 3 3 1 u =t−  1 2 t ⋅ d t −  5 1 t ⋅ dt 1 t ⋅ dt 1 1 x dx  2 * ∫ x 6 − x 3 − 2 = 3 ∫ t 2 − t − 2 = 3 ∫  1  2 9 = 3 ∫  1 2 9 = t = u + 2 t −  − t −  − dt = du  2 4  2 4

(

)

1   u + du 1 1 u ⋅ du 1 1 du 2 = ∫ = ∫ + ⋅ ∫ = 2 2 3 2 3 3 2  3  3 2 2  3 2 u −  u −  u −  2 2 2 И м еем су м м у дву х и н т еграло в:

*

О бра т и т евн и м а н и е, чт о фо рм у лу

u ⋅ du

∫ a2 − u2

в да н н о м слу ча еп ри м ен ять н ель зя, т а к ка к вы ра ж ен и е,

ст о ящ ееп о д зн а ко м ди фферен ц и а ла и м н о ж и т ель , ст о ящ и й п еред зн а ко м ди фферен ц и а ла , ра зли чн ы .

35 du

a+u

u ⋅ du

1 3 = ± ln a 2 ± u 2 + C , гдеа = . 2 2 3 3 1 2 +t− +u 1 1 9 1 1 2 1  1 9 1 2 + = ⋅ ln u 2 − − ⋅ ⋅ ln 2 + C = ln  t −  − − ln 2 3 3 1 3 2 4 6 2 3 6  2 4 18 −t+ −u 2 2 2 1

∫ a 2 − u 2 = 2a ln a − u

+C и

∫ a2 ± u2

1 1 t +1 1 1 1 + x3 2 6 3 + С = ln x − x − 2 − ln + C. +С = ln t − t − 2 − ln 6 18 2 − t 6 18 2 − x 3

З а да ние 5.: Вы ч исл ит е ин т е грал ы , восп ол ьзовавш исьал горит м ом п риdx , м е ра (3) и соот ве т ст вующ им и т абл ич н ы м и ин т е грал ам и: ∫ 2 x − 6x + 8 dx dx dx 2 ∫ x 2 − 6x − 1 , ∫ x 2 + 2x + 5 , ∫ 3x 2 − 2x − 1 , ∫ 2 + x − x dx . З а да ние 6. Вы ч исл ит е ин т е грал ы , восп ол ьзовавш исьал горит м ом п рим е ра (5) и соот ве т ст вующ им и т абл ич н ы м и ин т е грал ам и: x−2 3x − 1 ( x + 1)dx 5x − 3 ∫ x 2 − 4x + 8 dx , ∫ x 2 − 4x + 8 dx , ∫ 2x 2 + 8x + 1 dx , ∫ x 2 + x + 1 ,

∫x

x 2 − 2x + 2 ⋅ dx . З а да ние 7. Вы ч исл ит е ин т е грал ы , вводя п ре дварит е л ьн о н овую п е ре м е н н ую: e x dx x ⋅ dx ln x ⋅ dx cos x ⋅ dx , ,∫ , , ∫ 1 + sin x + cos 2 x ∫ x 4 − 4x 2 + 3 ∫ x 2x 2 1+ e + e x 1 − 4 ln x − ln x dx dx ∫ 5 ⋅ sin 2 x + 6 ⋅ sin x ⋅ cos x + cos 2 x , ∫ 2 ⋅ sin x + cos x − 1 . З а да ние 8. Вы ч исл ит е ин т е грал ы , исп ол ьзуя ре к урре н т н ую форм ул у, вы dx dx ве де н н ую вл аборат орн ой работ е № 5: ∫ , . ∫ 4 3 2 2 x + 2x + 2 4 x − 12 x + 13 В опросы для самопров ерк и 1. Ч т о о зн а ча ет «вы дели т ь п о лн ы й ква дра т и з ква дра т н о го т рехчлен а »? При веди т еп ри м еры . 2. Ч т о о зн а ча ет «и звы ра ж ен и яА х + В вы дели т ь п ро и зво дн у ю ква дра т н о го т рехчлен а аx2 + bx + с»? dx 3. Сфо рм у ли ру йт еа лго ри т м вы чи слен и яи н т еграла ∫ . 2 ax + bx + c (Ax + B) ⋅ dx 4. Сфо рм у ли ру йт еа лго ри т м вы чи слен и яи н т еграла ∫ . ax 2 + bx + c

(

)

(

)

36 Лабораторная работа № 7 « И Н Т Е ГРИ РО В А Н И Е Д РО Б Н О -РА Ц И О Н А ЛЬ Н ЫХ Ф У Н К Ц И Й » В ла бо ра т о рн о й ра бо т е№ 3 да н о о п ределен и едро бн о -ра ц и о н аль н о й фу н кц и и , ра ссм о т рен о п о н яти е п ра ви ль н о й и н еп ра ви ль н о й дро би , ра зо бра н п ри м ер ра зло ж ен и ян еп ра ви ль н о й дро би н а су м м у ц ело й и дро бн о й ча ст ей. И н т егра лы о т до ст а т о чн о п ро ст ы х ра ц и о н а ль н ы х фу н кц и й м ы у ж е н а хо ди ли , вы п о лн яяла бо ра т о рн ы ера бо т ы № 1, № 3 и № 6. Ц е л ь н аст оящ е й работ ы – озн ак ом ит ься с м е т одам и ин т е грирован ия дробн о-рацион ал ьн ы х фун к ций разл ож е н ие м н а п рост ы е дроби и Ост роградск ого. И нтегриров ание просты х дробей Про ст ы м и (элем ен т а рн ы м и ) дро бям и н а зы ва ю т сяп ра ви ль н ы едро би ви да : A I. ; x−a A II. , гдеm > 1, m ∈ Z; (x − a ) m Ax + B , где D = p2 – 4q < 0, т .е. ква дра т н ы й т рехчлен III. 2 x + px + q х2 + px + q н еи м еет дейст ви т ель н ы х ко рн ей; Ax + B IV. 2 , гдеn > 1, n ∈ Z; и ква дра т н ы й т рехчлен х2 + px + q н е n ( x + px + q) и м еет дейст ви т ель н ы хко рн ей. Во всех слу ча ях п о ла га ю т , чт о A, B, a, p, q – дейст ви т ель н ы ечи сла . И н т егри ро ва н и еэлем ен т а рн ы хдро бей п ро и зво дят следу ю щ и м о бра зо м : A 1. ∫ dx = A ⋅ ln x − a + C ; x−a A A 1 2. ∫ dx = − ⋅ + C , k ≠ 1; k k − 1 ( x − a ) k −1 (x − a ) 3.

2x + p Mp  Mx + N M dx  dx + N − dx = =  ∫ 2 ∫ x 2 + px + q ∫ 2 2 x + px + q 2  x + px + q  =

=

Mp  dx M  ln(x2 + px + q) +  N − = ∫ 2 2 2    p p2 x +  + q − 2 4  M ln(x2 + px + q) + 2

Mp x+ 2 arctg p2 q− q− 4

N−

p 2 + С; p2 4

37

4.

Mx + N

∫ (x 2 + px + q) k dx =

(

M x 2 + px + q = 2 1− k

)

M (2x + p)dx Mp  dx  + N − = ∫ 2 ∫ 2 k 2 ( x + px + q) 2  ( x + px + q) k 

1− k

Mp   + N −  2 ∫     x +  

dx k

, k > 1.

p p   +q− 2 4  p По следн и й и н т еграл ли н ейн о й п о дст а н о вко й t = x + п ри во ди т сяк 2 и н т егра лу Jk, дляко т о ро го в п ри м ере4 ла бо ра т о рн о й ра бо т ы 5 п о лу чен а реку ррен т н а яфо рм у ла . И з форм ул (1) – (4) сл е дуе т , ч т о ин т е грал от эл е м е н т арн ой дроби вы раж ае т ся ч е ре з рацион ал ьн ы е фун к ции, л огарифм ы и арк т ан ге н сы . П оэт ом у н е оп ре де л е н н ы й ин т е грал от л юбой рацион ал ьн ой фун к ции н а всяк ом п ром е ж ут к е , п рин адл е ж ащ е м е е обл аст и оп ре де л е н ия, явл яе т ся эл е м е н т арн ой фун к цие й, п ре дст авим ой ввиде ал ге браич е ск ой сум м ы к ом п озиций рацион ал ьн ы х фун к ций, л огарифм ови арк т ан ге н сов. Ф о рм у ла (4) до ст а т о чн о сло ж н а . И н о гда , во сп о ль зо ва вши сь и ску сст вен н ы м п ри ем о м , и н т егра л о т элем ен т а рн о й дро би т и п а (IY) м о ж н о вы чи сли т ь п ро щ е, ка к эт о бу дет п о ка за н о в п ри м ере 1. М о ж н о во сп о ль зо ва т ь сят а кж ем ет о до м О ст ро гра дско го , ко т о ры й бу дет ра ссм о т рен н и ж е. x +1 Пример 1. Вы чи сли т е∫ 2 dx . ( x + 4x + 5) 2 Реш ение. х2 + 4х + 5 = (х+ 2)2 + 1. По ла га ях + 2 = z, п о лу чи м : (1 + z 2 ) − z 2 z −1 zdz 1 dz I=∫ dz = ∫ dz = − −∫ −∫ + (z 2 + 1) 2 ( z 2 + 1) 2 ( z 2 + 1) 2 2(z 2 + 1) z2 +1 +∫

z2 ( z 2 + 1) 2

2

2

dz .

z2 Ра ссм о т ри м ∫ 2 dz = (z + 1) 2 u =z du = dz z 1 2z 1 dt 1 1 1 1 dv = 2 dz v = dz = = − ⋅ = − ⋅ ∫ ∫ 2 ( z 2 + 1) 2 2 t2 2 t 2 z2 +1 ( z + 1) 2 По ла га ем z2 + 1 = t; 2z⋅ dz = dt

38 =−

z

+

1 dz z 1 =− + arctg(z ) . ∫ 2 2 2 z +1 2(z + 1) 2

2(z + 1) Т а ки м о бра зо м , 1 z 1 z +1 1 I=− − arctg( z) − + arctg(z) + C = − − arctg(z) + C = 2 2 2 2( z + 1) 2( z + 1) 2 2( z + 1) 2 x+3 1 =− − arctg( x + 2) + C . 2( x 2 + 4x + 5) 2 З а да ние 1. Вы ч исл ит е ин т е грал ы : dx dx dx a) ∫ б ) в) ∫ (2x + 3) 2 ∫ x 2 − 6x + 18 ( x − 1) 4 2

x 2 dx dx 2x + 3 г) ∫ 2 д) ∫ 2 dx е) ∫ 6 ( x + 2) 3 ( x + 2x + 5) 2 x + 2x 3 + 3 Разложение прав иль ной дроби на просты е дроби Pn ( x ) м о ж ет бы т ь п редст а влен а в ви десу м м ы Лю ба яп ра ви ль н а ядро бь Q m (x) ко н ечн о го чи сла п ро ст ы х дро бей с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . Пу ст ь Q(x) = (x – a)k … (x2 + px + q)m … И звест н о , чт о ка ж до м у м н о ж и т елю ви да (x – a)k в ра зло ж ен и и зн а м ен а т еляп ра ви ль н о й дро би о т веча ет гру п п а и зk п ро ст ы х дро бей: A1 A2 Ak + + ... + , x − a (x − a) 2 (x − a ) k а ка ж до м у м н о ж и т елю ви да (x2 + px + q)m – гру п п а и зm п ро ст ы хдро бей: M1 x + N1 M x + N2 M x + Nm + 2 2 + ... + 2 m . 2 2 (x + px + q) (x + px + q) (x + px + q) m И нтегриров ание рациональ ны х дробей с помощ ь ю разложения на просты е множители Ч т о бы вы чи сли т ь и н т егра л о т дро бн о -ра ц и о н а ль н о й фу н кц и и

P( x ) , Q( x )

н ео бхо ди м о : 1. Е сли да н н а ядро бь н еп ра ви ль н а я, т о вы дели т ь ц елу ю ча ст ь , т .е. п редP (x) P (x) P( x ) = M( x ) + 1 , гдеМ (х) – м н о го член , 1 ст а ви т ь в ви де - п ра Q( x ) Q( x ) Q( x ) ви ль н а яра ц и о н а ль н а ядро бь . 2. Ра зло ж и т ь зн а м ен а т ель дро би н а ли н ейн ы еи ква дра т и чн ы ем н о ж и т ели : Q(x) = (x – a)m … (x2 + px + q)n … , гдеD = p2 - 4q < 0, т .е. ква дра т н ы й т рехчлен х2 + px + q н е и м еет дейст ви т ель н ы х ко рн ей.

39 3. Пра ви ль н у ю дро бь ра зло ж и т ь в су м м у п ро ст ейши хдро бей: A1 A2 Ak P1 ( x ) = + + ... + +… + x − a (x − a) 2 Q( x ) (x − a ) k M x + N1 M x + N2 M x + Nm + 21 + 2 2 + ... + 2 m + ... (*) 2 (x + px + q) (x + px + q) (x + px + q) m 4. Вы чи сли т ь н ео п ределен н ы еко эффи ц и ен т ы А i, Mj, Nk, длячего : а ) п ри вест и ра вен ст во (*) к о бщ ем у зн а м ен а т елю . b) п ерейт и к ра вен ст ву чи сли т елей с) (I сп о со б): п ри ра вн ять ко эффи ц и ен т ы п ри о ди н а ко вы хст еп ен ях х в п ра во й и лево й ча ст яхп о лу чен н о го т о ж дест ва и реши т ь си ст ем у ли н ейн ы х у ра вн ен и й о т н о си т ель н о п о лу чен н ы х ко эффи ц и ен т о в. (II сп о со б): н а йт и н ео п ределен н ы еко эффи ц и ен т ы , п ри да ва яв п о лу чен н о м т о ж дест веп ерем ен н о й хп ро и зво ль н ы ечи сло вы езн а чен и я– лу чшевсего т е, ко т о ры ео бра щ а ю т в 0 зн а м ен а т ели ра вен ст ва (*). 5. В резу ль т а т еи н т егри ро ва н и ера ц и о н а ль н о й дро би сведет сяк н а хо ж ден и ю и н т егра ло в о т м н о го член а и п ро ст ы хдро бей. x 2 + 2x + 6 Пример 2. На йди т е∫ . ( x − 1)( x − 2)( x − 4) 1. Д ро бь п ра ви ль н а я. 2. Зн а м ен а т ель ра зло ж ен н а м н о ж и т ели . x 2 + 2x + 6 A B C . При во дя п о лу чен н о е 3. = + + ( x − 1)( x − 2)( x − 4) ( x − 1) ( x − 2) ( x − 4) ра вен ст во к о бщ ем у зн а м ен а т елю и о т бра сы ва язн а м ен а т ели , п о лу чи м : х2 + 2х + 6 = А (х – 2)(х – 4) + В(х – 1)(х – 4) + С(х – 1)(х – 2) (**) 2 2 2 2 Следо ва т ель н о , х +2х+6 =А (х – 6х+8) +В(х – 5х+ 4) +С(х – 3х + 2). 4. Сгру п п и ру ем член ы с о ди н а ко вы м и ст еп ен ям и . По лу чи м : 2 2 х + 2х + 6 = (А + В + С)х + (-6А – 5В – 3С)х + (8А + 4В + 2С). Д ва м н о го член а ра вн ы , если ра вн ы ко эффи ц и ен т ы п ри о ди н а ко вы х ст еп ен яхх- и схо дяи зэт о го , п о лу чи м си ст ем у у ра вн ен и й: А +В+С=1 -6А – 5В – 3С = 2 8А + 4В + 2С = 6. Реши в ее, п о лу чи м А =3; В = -7; С = 5. К оэффицие н т ы А , В и С м ож н о п ол уч ит ьи вт оры м сп особом – п ридавая п е ре м е н н ой х ст ол ьк о ч аст н ы х зн ач е н ий, ск ол ьк о соде рж ит ся в сист е м е н е изве ст н ы х, в дан н ом сл уч ае – 3 ч аст н ы х зн ач е н ия. Д е йст вит е л ьн ы м и к орн ям и зн ам е н ат е л я п оды н т е грал ьн ой дроби явл яют ся ч исл а 1, 2 и 4. П ол ож им враве н ст ве (**) х = 1, т огда:

40 12 + 2⋅1 + 6 = А (1 – 2)(1 – 4) + В(1 – 1)(1 – 4) + С (1 –1)(1 – 2) 0

0

9 = 3А ⇒ А = 3. П ол агая х = 2, п ол уч ае м 14 = -2В, т .е . В = -7; п ол агая х = 4, им е е м 30 = 6С , т .е . С = 5. П ол уч ил и т е ж е зн ач е н ия к оэффицие н т ов, ч т о и п ри п е рвом сп особе их оп ре де л е н ия. x 2 + 2x + 6 dx dx dx dx = 3∫ − 7∫ + 5∫ = 5. И т а к, ∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 4) x −1 x−2 x−4 = 3lnx - 1 - 7lnx - 2 + 5lnx - 4 + C = ln

( x − 1) 2 ( x − 4) 2

+ C.

( x − 2) 7

З а да ние 2. П ре дст авьт е п риве де н н ы е н иж е п равил ьн ы е дроби ввиде сум м ы п рост ы х дробе й с н е оп ре де л е н н ы м и к оэффицие н т ам и, п ри н е обходим ост и разл ож ивзн ам е н ат е л ьн а м н ож ит е л и. а)

б)

x 2 + 2x + 6 = ( x − 1)( x − 2)( x − 4) x2 +1

( x − 1) 3 ( x − 3)

в) г)

1 = x5 − x2

=

+

+

+

+

1 = ( x − 4x + 4)( x 2 − 4x + 5) 2

+

+

+

+

+

+

+

З а да ние 3. П риве дит е п рим е ры дробе й, к от оры е раск л ады вают ся: а ) в су м м у чет ы рех п ро ст ы х дро бей, п ри чем чи сли т ели дву х дро бей п редст а вляю т со бо й ко н ст а н т ы , а дву х – о дн о член ы . б) в су м м у п яти п ро ст ы х дро бей, п ри чем чи сли т ели дву х дро бей п редст а вляю т со бо й ко н ст а н т ы , а т рех– о дн о член ы . в) в су м м у т рех п ро ст ы х дро бей, п ри чем чи сли т ели дву х дро бей п редст а вляю т со бо й ко н ст а н т ы , а о дн о й – о дн о член . З а да ние 4. Вы ч исл ит е ин т е грал ы от п е рвой и п осл е дн е й дробе й иззадан ия 3, п рим е н яя вт орой сп особ от ы ск ан иян е оп ре де л е н н ы х к оэффицие н т ов. З а да ние 5. Вы ч исл ит е ин т е грал ы от дробе й из задан ия 2, п рим е н яя п е рвы й сп особ от ы ск ан ия н е оп ре де л е н н ы х к оэффицие н т ов.

41 М етод О строградск ого Пу ст ь Р(х) и Q(x) – м н о го член ы , п ри чем дро бь

P( x ) - прав иль ная и Q(x) Q( x )

имеетк ратны е к орни. Т о гда P( x )

X( x )

Y(x)

∫ Q( x ) dx = Q 1 ( x ) + ∫ Q 2 ( x ) dx , гдеQ1(x) = НО Д (Q(x), Q′(x)); Q2(x) =

(1)

Q( x ) ; Q1 ( x )

Х (х) и Y(х) – м н о го член ы с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и , ст еп ен и ко т о ры хн а 1 м ен ь шест еп ен ей Q1 и Q2 со о т вет ст вен н о . Нео п ределен н ы е ко эффи ц и ен т ы м н о го член о в Х (х) и Y(х) вы чи сляю т ди фферен ц и ро ва н и ем т о ж дест ва (1). А лгоритмметода 1. Е сли дан н а я дро бь н еп ра ви ль н а я, т о вы дели т ь ц елу ю ча ст ь , т .е. P (x) P( x ) = M( x ) + 1 , где М (х) – м н о го член , п редст а ви т ь в ви де Q( x ) Q( x ) P1 ( x ) - п ра ви ль н а я ра ц и о н а ль Замеч ание Q( x ) На п ра кт и кен а хо ж ден и еQ′(x) и н а ядро бь . НО Д (Q(x), Q′(x)) п ри во ди т к гро 2. На йт и Q′(x). м о здки м вы чи слен и ям . Про щ е п о ль зо ва т ь ся следу ю щ и м сп о со 3. На йт и Q1(x) = НО Д (Q(x), Q′(x)). бо м : ра зло ж и т ь Q(x) н а м н о ж и т еQ( x ) ли , а Q1(x) п о лу чи т ь п о н и ж ен и ем 4. На йт и Q2(x) = . ст еп ен и ка ж до го м н о ж и т елян а 1. Q1 ( x ) 5. О п редели т ь ст еп ен ь м н о го член а Q1(x) и вы п и са т ь м н о го член Х (х) с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и ст еп ен ь ю , н а 1 м ен ь шей, чем у Q1(x). 6. О п редели т ь ст еп ен ь м н о го член а Q2(x) и вы п и са т ь м н о го член У (х) с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и ст еп ен ь ю , н а 1 м ен ь шей, чем у Q2(x). 7. За п и са т ь ра вен ст во (1). Про ди фферен ц и ро ва в о бе его ча ст и , н а йт и н ео п ределен н ы еко эффи ц и ен т ы . 8. За ко н чи т ь решен и е.

42 2x + 12 dx . ( x + 4x + 8) 2 1. Д ро бь п ра ви ль н а я. 2. Q1(x) = х2 + 4х+ 8.

Пример 3. Вы чи сли т е∫

3. Q2(x) =

2

Q( x ) = х2 + 4х+ 8. Q1 ( x )

4. deg (Q1(x)) = 2 ⇒ deg(X(x)) = 1; X(x) = Ax + B. 5. deg (Q2(x)) = 2 ⇒ deg(Y(x)) = 1; Y(x) = Cx + D. 2x + 12 Ax + B Cx + D dx = 2 +∫ 2 dx . 6. ∫ 2 2 ( x + 4x + 8) x + 4x + 8 x + 4x + 8 Про ди фферен ц и ро ва в п о лу чен н о ера вен ст во , и м еем : A ( x 2 + 4 x + 8) − (2x + 4)(Ax + B) 2x + 12 Cx + D = + 2 , 2 2 2 2 x + 4x + 8 ( x + 4x + 8) ( x + 4 x + 8) о т ку да 2х+ 12 = А (х2 + 4х+8) – (2х+ 4)(А х + В) + + (Сх+ D) (х2 + 4х +8). У п ро щ а яп ра ву ю ча ст ь у ра вн ен и яи п ри ра вн и ва яко эффи ц и ен т ы п ри о ди н а ко вы х ст еп ен ях х, п о лу чи м си ст ем у у ра вн ен и й: С=0 А – 2А + D + 4C = 0 ⇒ C = 0, A = B = D = 1. 4A – 4A + 2B + 4D + 8C = 2 8A – 4B + 8D = 12, 2x + 12

∫ ( x 2 + 4x + 8) 2 dx

x +1

+∫

dx

=. x 2 + 4x + 8 x 2 + 4x + 8 x +1 dx x +1 1 x+2 + C. +∫ = 2 + arctg = 2 2 2 x + 4x + 8 ( x + 2) + 4 x + 4 x + 8 2 Замеч ание. Ра ссм о т рен н ы ев эт о й ла бо ра т о рн о й ра бо т ем ет о ды и н т егри ро ва н и ядро бн о -ра ц и о н а ль н ы х фу н кц и й являю т сяо бщ и м и : с и х п о м о щ ь ю м о ж н о вы чи сли т ь н ео п ределен н ы й и н т егра л о т лю бо й дро бн о -ра ц и о н а ль н о й фу н кц и и п ри у сло ви и , чт о и звест н ы и ли м о гу т бы т ь н а йден ы всеко рн и еезн а м ен а т еля. Но во м н о ги х ча ст н ы х слу ча ях дляи н т егри ро ва н и ядро бн о -ра ц и о н а ль н ы х фу н кц и й н ет н ео бхо ди м о ст и п ри бега т ь к о бщ ем у м ет о ду , т а к ка к дру ги еп ри ем ы (п рео бра зо ва н и еп о ды н т егра ль н о го вы ра ж ен и я, п о дст а н о вка , и н т егри ро ва н и еп о ча ст ям ) бы ст рееведу т к ц ели .

7.

=

З а да ние 6. Вы ч исл ит е м е т одом Ост роградск ого ин т е грал ы : (1 − 4 x 5 )dx x −1 4 x 2 − 8x dx а) ∫ 2 б ) в) ∫ (1 + x + x 5 ) 2 ∫ ( x − 1) 2 ( x 2 + 1) 2 . ( x + x + 1) 2

43 З а да ние 7. Вы ч исл ит е ин т е грал ы : dx dx a) ∫ б) ∫ 7 2 x x +1 x x 5 +1

(

)

(

)

в)

∫

x 2 dx

(x − 1)10

г)

∫

x 11 dx

(x

6

)

+1

3

.

В опросы для самопров ерк и 1) Ч т о т а ко едро бн о -рац и о н а ль н а яфу н кц и я? При веди т еп ри м еры . 2) О п редели т ест еп ен и м н о го член о в: 3х2⋅(2х3 – х2 + 1)3⋅(х6 + 5)2; (2х– 1)⋅(2х+ 3)⋅(2х– 5); (х2 – 1)⋅(х2 + 4); (1 + х + х5)2;. 3) В ка ко м слу ча е дро бн о -ра ц и о н а ль н а я ф у н кц и я являет ся п ра ви ль н о й дро бь ю ? Неп ра ви ль н о й дро бь ю ? При веди т еп ри м еры . 4) Ка ки м и сп о со ба м и н еп ра ви ль н у ю дро бь м о ж н о п редст а ви т ь в ви де су м м ы ц ело й и дро бн о й ча ст и ? При веди т еп ри м еры . 5) Ка ки евы зн а ет еп ро ст ы е(элем ен т а рн ы е) дро би ? И зп ри веден н ы х н и ж е x 1 1 вы бери т едро би , н еявляю щ и есяэлем ен т а рн ы м и : ; ; ; 1− x 1− x 1− x2 1 1 1 x x x ; ; ; ; ; . От1 + x 2 (1 − x ) 2 1 − 2 x + x 2 1 − x + x 2 х4 + 1 х3 + 2 х2 + 2 х+ 1 вет п о ясн и т е. 6) Ка ки м о бра зо м и н т егри ру ю т ся п ро ст ы е дро би ? В ка чест ве п ри м ера п ро и н т егри ру йт еп ро ст ы едро би и зво п ро са 5. 7) По ка ко м у п ра ви лу м о ж н о ра зло ж и т ь п ра ви ль н у ю дро бь н а п ро ст ы е дро би ? При веди т еп ри м еры . Ра зло ж и т ен а п ро ст ы едро би т едро би и з во п ро са 5, ко т о ры ен еявляю т сяэлем ен т а рн ы м и . 8) И зло ж и т е а лго ри т м и н т егри ро ва н и ядро бн о -ра ц и о н аль н ы х фу н кц и й с п о м о щ ь ю ра зло ж ен и ян а п ро ст ы ем н о ж и т ели . В чем за клю ча ет сям ет о д н ео п ределен н ы х ко эффи ц и ен т о в? 9) И зло ж и т е а лго ри т м и н т егри ро ва н и ядро бн о -ра ц и о н аль н ы х фу н кц и й с п о м о щ ь ю м ет о да О ст ро гра дско го . Лабораторная работа № 8 И Н Т Е ГРИ РО В А Н И Е Д РО Б Н О -РА Ц И О Н А ЛЬН ЫХ Ф У Н К Ц И Й СПРИ М Е Н Е Н И Е М ПА К Е Т А « М А Т Е М А Т И К А » К ак м ы уж е виде л и, ин т е грирован ие дробн о-рацион ал ьн ы х фун к ций связан о с гром оздк им и сл ож н ы м и вы ч исл е н иям и. П ри ин т е грирован ии дробн о-рацион ал ьн ы х фун к ций н ам п риходил ось вы де л ят ьце л ую ч аст ьизн е п равил ьн ой дроби, раск л ады ват ьзн ам е н ат е л ь н а м н ож ит е л и, п риводит ь дроби к общ е м у зн ам е н ат е л ю, ск л ады ват ь и диффе ре н цироват ь их, груп п ироват ь ч исл ит е л и п ол уч ивш ихся дробе й п о ст е п е н ям х, ре ш ат ьсист е м ы л ин е йн ы х уравн е н ий. К он е ч н о, удобн е е т ак ого рода де йст вия п е ре п оруч ит ьЭ ВМ .

44 И споль зуемы е ф унк ции системы « М А Т Е М А Т И К А »: Ф унк ция О бщ ий в ид Пример Резуль тат Ра зло ж ен и е Factor Factor (1 − x + +x2) ⋅ п о ли н о м а н а [<вы ра ж ен и е>] [x4 + x2 + 1] ⋅ (1+ x + x2) м н о ж и т ели При веден и е Factor Factor A + B + Ax су м м ы дро бей [<вы ра ж ен и е>] A B + [ ] (1 + x ) 2 к о бщ ем у x + 1 (x + 1)2 зн а м ен а т елю и у п ро щ ен и е чи сли т еля Гру п п и ро вка С ollect C+(B+F)x+ Collect 2 2 ко эффи ц и ен [<вы ра ж ен и е>,x] [Ax +Bx+C+Dx +Fx] +(A+D)x2 тов м н о го член а п о ст еп ен ям х Д и фферен ц и D[f,x] При м ер п ри веди т е ро ва н и е са м о ст о ятель н о фу н кц и и f п о п ерем ен н о й х Решен и е си сSolve[{2x+y == 2, {{x->2, Solve т ем ы ли н ей[{a*x+b*y==g, y->-2}} x−y= = 4},{x,y}] н ы х у ра вн е- c*x+d*y=h},{x,y}] ний Примеч ание. Ра н ее н а м и и сп о ль зо ва ла сь фо рм а вво да вы ра ж ен и й в ст ро чку . О дн а ко для п о лу чен и я ест ест вен н о й фо рм ы за п и си дро бей, во зведен и яв ст еп ен ь и т .п . м о ж н о и сп о ль зо ва т ь п а ли т ру вво да м а т ем а т и чески х вы ра ж ен и й. О н а п о являет сяп о у м о лча н и ю п ри о бы чн о й и н ст а лляц и и си ст ем ы «М а т ем а т и ка ». Е сли эт о й п а ли т ры н ет , т о дляеевы во да н а до п о следо ва т ель н о вы бра т ь следу ю щ и еп у н кт ы м ен ю : File

Pallets

BasicInput

Следу ет у чи т ы ва т ь т а кж е, чт о п а ли т ра ви дн а т о ль ко в т о м слу ча е, ко гда ра бо чееп о ледо ку м ен т а н еза н и м а ет всего экран а . Ра зм ер ра бо чего п о ля м о ж н о о т регу ли ро ва т ь с п о м о щ ь ю м ы ши . О б раз е ц вы п о лне ния раб о ты То , чт о до лж но б ыт ь за писа но в т е т ра ди, выде ле но ж ирным шрифт о м ио т м е че но зна ко м & М етод неопределенны х к оэф ф ициентов & Задание 1. Н ай дите интеграл ∫

3х 2 + х + 3 (х − 1) 3 (х 2 + 1)

dx .

45 1. Д робь прав иль ная. 2. Знаменатель на множители разложен. 3x 2 + x + 3

3.

(x − 1) (x + 1) 3

2

=

A (x − 1)

3

+

B (x − 1)

2

+

C Dx + K * + 2 x −1 x +1

C D*x + K + ] (x − 1) (x − 1) x − 1 x 2 + 1 Out[ ] = (A – B + C – K + Bx – 2Cx – Dx + 3Kx + Ax2 – Bx2 + 2Cx2 + + 3Dx2 – 3Kx2 + Bx3 – 2Cx3 – 3Dx3 + Kx3 + Cx4 + Dx4)/((-1 + x)3(1 + x2)) 4. Factor [

A

3

+

B

2

+

Collect [A – B + C – K + B*x – 2*C*x – D*x + 3*K*x + A*x2 – B*x2 + +2*C*x2+ 3*D*x2– 3*K*x2+ B*x3– 2*C*x3– 3*D*x3+ K*x3+ C*x4+ D*x4, x] Out[ ] = (A – B + C – K ) + (B – 2C – D + 3K)x + (A – B +2C +3D – 3K)x2 + +(B – 2C – 3D + K)x3 + (C + D)x4 & 5. Прив едя обе ч асти рав енств а к общ ему знаменателю и прирав няв к оэф ф ициенты при одинак ов ы х степенях х в ч ислителях, состав им систему урав нений : A–B+ C – K=3 B – 2C – D + 3K = 1 A – B + 2C + 3D – 3K = 3 B – 2C – 3D + K = 0 C+D =0 6. Реш имполуч ив ш ую ся системуурав нений : Solve[{A−B+C−K==3, B– 2*C– D+3*K= =1, A– B+2*C + 3*D – 3*K= = 3, B – 2*C – 3*D + K = = 0, C + D = = 0},{A, B, C, D, K}] 7 1 1 1   Out = A → , B → 0, C → − , D → , K →  2 4 4 4   & A=

∫

*

7 1 1 ; B = 0; C = − ; D = K = 2 4 4

3х2 + х + 3

7 dx 1 dx 1 dx 7 1 1 dx = ∫ − ∫ + ∫ =− − ln x − 1 + arctg(x)+ C 2 (x − 1)3 4 x − 1 4 1+ x2 4 (х − 1)3 (х2 + 1) 4(x − 1)2 4

При ра бо т ев си ст ем е«М а т ем а т и ка »в ка чест веи м ен и п ерем ен н о й н ереко м ен ду ет сяи сп о ль зо ва т ь си м во л «е», т .к. эт о т си м во л и сп о ль зу ет сядляо бо зн а чен и и ф у н кц и и ех.

46 М етод О строградск ого & Задание 2. Н ай дите интеграл ∫

dx . (x + 1)4 2

1. Д робь прав иль ная. 2. Q1(x) =(x2 + 1)3 Q2(x) = Q(x) : Q1(x) = (x2 + 1) 3. ∫

dx (x 2 + 1) 4

=

Ax 5 + Bx 4 + Cx 3 + Dx 2 + Kx + F (x 2 + 1) 3

+∫

Mx + N x2 + 1

dx

(2)

4. Продиф ф еренцируемобе ч асти рав енств а (2). Перв ое слагаемое прав ой ч асти продиф ф еренцируемспомощ ь ю системы « М атематик а»: D[

A * x6 + B * x 4 + C * x3 + D * x 2 + K * x + F

(x + 1) 2

Out[ ]=

3

K + 2Dx + 3Cx 2 + 4Bx 3 + 5Ax 4 (1 + x 2 ) 3

−

, x]

6 x (F + Kx + Dx 2 + Cx 3 + Bx 4 + Ax 5 ) (1 + x 2 ) 4

Factor [%] Out[]=

E + 2Dx − 6Fx + 3Cx 2 − 5Kx 2 + 4Bx3 − 4Dx3 + 5Ax4 − 3Cx 4 − 2Bx5 − Ax6 (1 + x 2 ) 4

Factor [% + (M*x + N)/(x^2 + 1)] Out [ ] = (K + N + 2Dx – 6Fx + Mx + 3Cx2 – 5Kx2 + 3Nx2 + 4Bx3 – 4Dx3 + 3Mx3 + 5Ax4 – 3Cx4 + 3Nx4 – 2Bx5 + 3Mx5 – Ax6 + Nx6 + Mx7)/(1 + x2)4 & 5. Продиф ф еренциров ав обе ч асти рав енств а (2), прив едя их к одному знаменателю и прирав няв к оэф ф ициенты при одинак ов ы х степенях х, состав имсистемуурав нений : E +N =1 2D – 6F +M =0 3C – 5E + 3N =0 4B – 4D + 3M = 0 5A – 3C + 3N =0 –2B + 3M = 0 –A + N =0 M =0 Легк о в идеть , ч тоM = B = D = F = 0. Суч етомэтогоперепиш ем наш у систему: E+ N=1 3C – 5E + 3N = 0 5A – 3C + 3N = 0 –A +N=0

47 7. Solve[{K+N= =1,3*C−5*K+3*N= =0,5*A−3*C+3*N= =0, −A+N= =0},{A,C,K,N}] 5 5 11 5 , c → , e → , n → }} 16 6 16 16 5 5 11 5 & A = , C = ,K = ,N = 16 6 16 16 5 3 dx 15x + 40x + 33x 5 dx 15x 5 + 40x 3 + 33x 5 + arctg(x) + C + = = ∫ (x 2 + 1) 4 16 ∫ x 2 + 1 16 48(x 2 + 1) 3 48(x 2 + 1) 3

Out [ ] = {{ a →

Задание № 1. П рим е н яя м е т од н е оп ре де л е н н ы х к оэффицие н т ов, н айдит е сл е дующ ие ин т е грал ы . x 2 + 5x + 4 x10dx dx dx a) ∫ 2 б) ∫ в) ∫ 4 x + 5x 2 + 4 x +x−2 ( x + 1)( x + 2) 2 ( x + 3) 2 dx dx dx г) ∫ 4 д) е ) ∫ x 5 + x 4 − 2x 3 − 2x 2 + x + 1 ∫ x 6 + 1 x + x2 + 1 dx dx ж) ∫ 2 з ) и) ∫ ( x − 4 x + 4)( x 2 − 4x + 5) x (1 + x )(1 + x + x 2 ) x3 + 1

∫ x 3 − 5x 2 + 6x dx

З а да ние № 2. П рим е н яя м е т од Ост роградск ого, н айдит е сл е дующ ие ин т е грал ы . xdx dx x 2 dx a) ∫ б ) в) ∫ 2 ∫ (x 3 + 1)2 ( x + 1) 3 ( x − 1) 2 ( x + 1) 2 4xdx dx г) ∫ д) е) ∫ (1 + x )3 (1 − x ) (1 + x ) 2 (1 − x ) dx

∫ ( x 4 − 1)3

ж)

dx

∫ (x 4 + 1)2

з)

x 2 + 3x − 2

∫ (x − 1)(x 2 + x + 1)2 dx

У ка за н и ек решен и ю ва ри а н т а (g): x4 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – 2x2. З а да ние № 3. Р е зул ьт ат ы вы ч исл е н ия ин т е грал овп рове рьт е н е п осре дст ве н н ы м ин т е грирован ие м (исп ол ьзуйт е п ал ит ру). Задание № 4. В п ак е т е «М ат е м ат ик а» сущ е ст вуе т фун к ция, п озвол яющ ая сразу раск л ады ват ь дан н ую дробь н а п рост ы е дроби. Э т а ж е фун к ция п озвол яе т вы де л ит ьце л ую ч аст ьизн е п равил ьн ой дроби. И зуч ит е эт у фун к цию сам ост оят е л ьн о. Д ан н ы е о н е й н айдит е в сп равоч н ой сист е м е п ак е т а.

48

48 Лабораторная работа № 9 И Н Т Е ГРИ РО В А Н И Е И РРА Ц И О Н А ЛЬ Н ЫХ Ф У Н К Ц И Й Табл ица 9.1

1.

2.

∫ R ( x, (ax + b)

...(ax + b) m k / n k )dx , гдеR – ра ц и о н а ль н а яфу н кц и я; mi, ni – ц елы ечи сла . Т а ки еи н т егра лы п ри во дятсяк и н т егра ла м о т ра ц и о н а ль н ы х фу н кц и й.

∫

dx

m1 / n 1

. Т а ки еи н т егра лы п у т ем вы делен и яп о лн о го ква дра т а

ax + bx + c и зква дра т н о го т рехчлен а п ри во дятсяк т а бли чн ы м ви да dx x dx = ln x + x 2 + λ + C ∫ 2 2 = arcsin a + C и ли ∫ 2 a −x x +λ Ax + B 3. ∫ dx . Д лян а хо ж ден и яэт о го и н т егра ла вы дели м в чи сли 2 ax + bx + c т елеп ро и зво дн у ю ква дра т н о го т рехчлен а , ст о ящ его п о д зн а ко м и н т егра ла , и ра зло ж и м и н т егра л н а су м м у дву х и н т егра ло в: A Ab (2ax + b) + B − 2 Ax + B 2a 2a dx = A d(ax + bx + c)dx + dx = ∫ 2 ∫ ∫ 2a ax + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c Ab dx + (B − )∫ 2a ax 2 + bx + c 2

Подстанов к а ax + b = ts, гдеs – н а и м ен ь шеео бщ ее кра т н о е(НО К) чи сел ni По до бн ы еп ри м еры ра ссм а т ри ва ли сь в ла бо ра т о рн о й рабо т е№ 6

В ид интеграла, метод реш ения

Пример dx

∫ (2x + 1)2 / 3 − (2x + 1)1 / 2 ; s = 6; t6 = 2x + 1

∫

∫

dx x 2 + 2x + 5

5x − 3

dx 2 x + 8x + 1 2

49 В ид интеграла, метод реш ения

4.

αx + β )dx , R – ра ц и о н а ль н а яф у н кц и ядву х а ргу м ен т о в, m – γx + δ н а т у ра ль н о ечи сло , α, β, γ, δ - н еко т о ры еко н ст а н т ы

∫ R (x, m

Подстанов к а

Пример а) ∫3

αx + β = tm γx + δ

x +1 dx ; x −1

m = 3; t3 = б)

∫3

x +1 x −1 dx

( x + 1) 2 ( x − 1)7

решен и еда н н о го п ри м ера ра ссм о т рен о н и ж е. 5.

∫

Pn ( x )dx

, гдеPn(x) - м н о го член n-й ст еп ен и . И н т егра л т а ко го

ax + bx + c ви да н а хо ди т сяс п о м о щ ь ю т о ж дест ва Pn ( x )dx dx = Q n −1 ( x ) ax 2 + bx + c + λ ∫ , где ∫ 2 2 ax + bx + c ax + bx + c Qn-1(x) – м н о го член (n-1)-й ст еп ен и с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и , λ - чи сло . Д и фферен ц и ру яу ка за н н о ет о ж дест во и п ри во дярезу ль т а т к о бщ ем у зн а м ен а т елю , п о лу чи м ра вен ст во дву х м н о го член о в, и зко т о ро го м о ж н о о п редели т ь ко эффи ц и ен т ы м н о го член а Qn-1(x) и чи сла λ. 2

∫

x 3 + 2 x 2 + 3x + 4 x 2 + 2x + 2

dx

50 В ид интеграла, метод реш ения

6.

7.

∫

Adx

Подстанов к а

, k – ц ело ечи сло . При м ен ен и ем у ка за н н о й п о д-

( x − a ) k ax 2 + bx + c ст а н о вки сво ди т сяк п реды ду щ ем у слу ча ю .

∫

Mx + N

(x – a) =

Пример

1 t

∫

dx x3 x 2 + 1

x =

dx , M, N – ко н ст а н т ы ; т рехчлен x2 + px +

ax 2 + bx + c ( x 2 + px + q) m + q н еи м еет дейст ви т ель н ы х ко рн ей.

1 t

Вы чи слен и еи н т егра ла т а ко го ви да п о дро бн о ра ссм о т рен о в кн и ге: И .А . Ви н о гра до ва , С.Н. О лехн и к, В.А . Са до вн и чи й «За да чи и у п ра ж н ен и яп о м а т ем а т и ческо м у а н а ли зу »

Подстанов к и Эй лера

∫ R ( x,

ax 2 + bx + c )dx

8.

9.

ax 2 + bx + c = ± a x + t , если a > 0

∫

ax 2 + bx + c = xt ± с , если с > 0

∫

10. ax 2 + bx + c ≡ a ( x − x1 )( x − x 2 ) = t ( x − x1 )

∫

dx x + x2 + x + 1 dx

1 + 1 − 2x − x 2

x − x 2 + 3x + 2 x + x 2 + 3x + 2

dx

51 В ид интеграла, метод реш ения И нтегралы отдиф ф еренциаль ны х биномов

Подстанов к а

∫x

m

Пример

(a + bx n ) p dx , где m, n, p – рациональ ны е ч исла

11. p – ц ело ечи сло . И н т егра л сво ди т сяк и н т егралу о т ра ц и о н а ль н о й фу н кц и и .

x = ts, гдеs – НО К зн а м ен а т елей дро бей m и n.

dx x ( x + 1)10

∫

4

1 2

1 4

m= − , n = , p = 10 p – ц ело ечи сло s=4 x = t4

12. (m + 1)/n – ц ело ечи сло . И н т егра л сво ди т сяк и н т егралу о т ра ц и о н а ль н о й фу н кц и и .

a + bx n = ts , где s – зн а м ен а т ель дро би р.

13. ((m + 1)/n) + p – ц ело ечи сло . И н т егра л сво ди т сяк и н т егра лу о т ра ц и о н а ль н о й фу н кц и и .

ax-n + b = ts, гдеs – зн а м ен а т ель дро би р.

∫

1 x5

∫

3   3 − 2x 5

 

   

−

1 2

dx

dx x 4 (1 + x 2 )

14. Придругихсо о т но ше нияхм е ж дуm, n иp инт е гра лы о т диффе ре нциа льныхб ино м о в не выра ж а ют ся че ре з эле м е нт а рные функции. Приве дит е прим е р.

И нтегриров ание в ы ражений , содержащ их радик алы

a 2 ± x 2 ; x 2 ± a 2 ,a ≠ 0

52 В ид интеграла, метод реш ения

Подстанов к а

Пример

x = a ⋅ cos t x = a ⋅ sin t x = a ⋅ tg t

15. И н т егри ро ва н и ет а ко го ро да вы ра ж ен и й ра ссм а т ри ва ло сь в ла бо ра т о рн ы храбо т а х№ 4 и № 5.

a)

∫

x4 1 2 2 2 (x + a )

dx

б) ∫ x 2 a 2 − x 2 dx Пример (4б). Вы чи сли т е∫

dx 3

( x + 1) ( x − 1) 2

7

.

1. У м н о ж и м чи сли т ель и зн а м ен а т ель п о ды н т егра ль н о й фу н кц и и н а

∫3

dx (x + 1) 2 (x − 1) 7

=∫3

(x − 1) 2 (x + 1) 2 (x − 1) 9

2. П ол уч ил и ин т е грал вида ∫ R ( x, m x −1 О бо зн а чи м t = ; x +1 3

dx = ∫

1 (x − 1) 3

3

( x − 1) 2 .

2

3

 x −1   dx =  x +1

αx + β αx + β = t m . З н ач е н ие п арам е т ра m = 3. )dx . П одст ан овк а γx + δ γx + δ

2

3

 x − 1 2   =t  x + 1

3. Вы ра зи м х черезt: 1+ t3 t ⋅x + t = x – 1; x⋅(t – 1) = −1 – t ; x = . 1− t3 3

3

3

3

4. Про ди фферен ц и ро ва в о беча ст и п о лу чи вшего сяра вен ст ва , н а йдем dx:

dx =

6 t 2 dt (1 − t 3 ) 2

.

53 5. Вы ра зи м черезх м н о ж и т ель

1 . ( x − 1) 3

(1 − t 3 ) 3 1 1+ t3 2t 3 = ; . x −1= −1= 8t 9 1− t3 1 − t 3 ( x − 1) 3 =∫

(1 − t 3 ) 3 8t 9

4

3 1 − t3 3 3 3 x + 1 3 3  x + 1 ⋅t ⋅ = dt = − + +C= 3 −   +C. ∫ 3 2 5 4 4 4t 4 x − 1 16  x − 1  (1 − t ) t 16t 2

6t 2 dt

dx

Пример (9). Вы чи сли т е∫

. 1 + 1 − 2x − x 2 При м ен и м п о дст а н о вку Э йлера ax 2 + bx + c = xt ± с , если с > 0. У н а с с = 1 > 0. 1. О бо зн а чи м 1 − 2 x − x 2 = xt − 1. 2. Вы ра зи м хчерезt. 2t − 2 x2t2 – 2xt + 1 = 1 – 2x – x2; xt2 – 2t = -2 – x; xt2 + x = 2t – 2; x = 2 . t +1 t (2 t − 2) 3. 1 + 1 − 2 x − x 2 = 1 + xt − 1 = xt = 2 t +1 2 1 t +1 = . 1 + 1 − 2 x − x 2 2 t ( t − 1) 4. dx =

2 + 4t − 2t 2 ( t 2 + 1) 2

dt .

54 t 2 + 1 2 + 4t − t 2 2 + 4t − 2t 2 1 + 2t − t 2 ⋅ dt = dt = ∫ ∫ 2t(t − 1)(t 2 + 1) ∫ t(t − 1)(t 2 + 1) dt = 2 2 2 − 2t(t 1) (t + 1) 1 + 1 − 2x − x ра скла ды ва яп о ды н т егра ль н у ю фу н кц и ю н а п ро ст ы едро би и н а хо дян ео п ределен н ы еко эффи ц и ен т ы , п о лу чи м : dt dt dt t −1 = −∫ + ∫ − 2∫ 2 = ln − 2arctg(t) + C . t t +1 t t +1 О бра т н у ю за м ен у сдела йт еса м о ст о ятель н о . З а да ние 1. Р е ш ит е п рим е ры изт абл ицы 1. З а да ние 2. З ап ол н ит е т абл ицу 2. Табл ица 2 Заданны й интеграл Т ип интеграла Знач ения параметров Подстанов к а, способ реш ения dx

1.

∫x

2.

∫

3.

∫

4

=∫

x − 2dx dx

( x − 1) 3x 2 + 4 x dx (x + 2

3 x) 2

dx

4.

∫

5.

∫ ( x + 1)

6.

∫

2x − 1 − 4 2x − 1 x 2 + 4x + 1dx

1+ x dx 1− x

55 Заданны й интеграл 1+ 6 x

7.

∫

8.

∫4

9.

∫

( x − x) x dx 3

4

4

3

Т ип интеграла

Знач ения параметров

Подстанов к а, способ реш ения

dx

1+ x4 6 + 4x − 2x 2 dx

З а да ние 3. Вы ч исл ит е ин т е грал ы изт абл ицы 2. Лабораторная работа № 10 И Н Т Е ГРИ РО В А Н И Е Т РИ ГО Н О М Е Т РИ ЧЕ СК И Х Ф У Н К Ц И Й И н т е грал ы от т ригон ом е т рич е ск их фун к ций во м н огих сит уациях м ож н о рацион ал изироват ь(п ре дст авит ьв виде рацион ал ьн ой фун к ции) л ибо сущ е ст ве н н о уп рост ит ь, вводя т у ил и ин ую зам е н у п е ре м е н н ы х. Тип ич н ы е сит уации рассм от ре н ы вт абл ице 1. Наибол е е общ им явл яе т ся ун иве рсал ьн ая т ригон ом е т рич е ск ая п одст ан овк а (п ун к т 5.4 т абл ицы 1), с п ом ощ ью к от орой м ож н о рацион ал изироват ь л юбое п оды н т е грал ьн ое вы раж е н ие , соде рж ащ е е т ол ьк о т ригон ом е т рич е ск ие фун к ции. Одн ак о вбол ьш ин ст ве сл уч ае вт ак ая п одст ан овк а п риводит к ч е ре сч ур гром оздк им вы ч исл е н иям , и т огда удобн е е п ол ьзоват ься бол е е эффе к т ивн ы м и п одст ан овк ам и. Те м н е м е н е е , н е к от оры е ин т е грал ы н аибол е е бы ст ро сч ит ают ся им е н н о с п ом ощ ью эт ой п одст ан овк и, вч аст н ост и, эт о от н осит ся к dx , где a ≠ 0 и b ≠ 0. ин т е грал ам вида ∫ a ⋅ sin x + b ⋅ cos x + c З а да ние 1. Вы бе рит е п равил ьн ы й от ве т ; зап иш ит е ве рн ое раве н ст во. 1 1 ∫sin 2x⋅dx = (cos 2x +C; 2⋅cos 2x +C; cos 2x +C; -2⋅cos 2x +C; - cos 2x +C) 2 2 x x x x 1 x 1 x ∫cos dx = (sin +C; -3⋅sin +C; 3⋅sin +C; ⋅sin +C; - ⋅sin +C) 3 3 3 3 3 3 3 3

56 1

∫ f (ax) ⋅ dx = a F(ax) + C

! если ∫ f(x)⋅dx = F(x) +C, т о

З а да ние 2. Озн ак ом ьт е сьс п риве де н н ой н иж е т абл ице й. Д ове дит е до к он ца ре ш е н ие дан н ы х вт абл ице п рим е ров. Табл ица 10.1 В ид интеграла Подстанов к а, Пример метод реш ения 1. ∫ sin m x ⋅ cos n x ⋅ dx

1.1. n – н ечет н о еп о ло ж и т ель н о ечи сло

sin x = t cos x⋅dx = dt

∫ sin

4

x ⋅ cos 5 x ⋅ dx =

n = 5 > 0, н ечет н о е⇒ sin x = t; cos x⋅dx = dt. = ∫sin x ⋅ cos4x ⋅ cos x⋅dx = 4

t4 1.2. m – н ечет н о еп о ло ж и т ель н о ечи сло

cos x = t −sin x⋅dx = dt

(cos2x)2 = (1 – sin2x)2 = (1 – t2)2

dt

= ∫t4⋅(1 – t2)2⋅dt = … (за ко н чи т еса м о ст о ятель н о ) sin 3 x 3 -4/3 ∫ cos x ⋅ 3 cos x dx = ∫sin x⋅cos x⋅dx = m = 3 > 0 н ечет н о е⇒ cos x = t; -sin x⋅dx = dt = ∫sin2x cos-4/3x ⋅ sin x⋅dx = - ∫ (1 – t2)2⋅t-4/3⋅dt = … 1-cos2x=1-t2 t-4/3

-dt

57 В ид интеграла 1.3. и m, и n – чет н ы е п о ло ж и т ель н ы е чи сла

2. ∫tgmx⋅dx; ∫ctgmx⋅dx; гдеm – ц ело еп о ло ж и т ель н о ечи сло

3. ∫tgmx ⋅ secnx ⋅ dx; ∫ctgmx ⋅ cosecnx ⋅ dx; гдеn – чет н о еп о ло ж и т ель н о ечи сло

Подстанов к а, метод реш ения По ды н т егра ль н а яфу н кц и я п рео бра зу ет сяс п о м о щ ь ю фо рм у л: 1 sin x⋅cos x = sin 2x (n = m); 2 1 sin2x = (1 – cos 2x) 2 1 cos2x = (1 + cos 2x) 2 При м ен яет сяфо рм у ла tg2x = sec2x – 1 и ли ctg2x = cosec2x – 1, с п о м о щ ь ю ко т о ро й п о следо ва т ель н о п о н и ж а ет сяст еп ен ь т а н ген са и ли ко т а н ген са

Пример a) n ≠ m.  1 + cos 2x  ∫ cos x ⋅ dx = ∫ (cos x ) ⋅ dx = ∫  2  dx = ... b) n = m 2 1 1  2 2 2 ∫ sin x ⋅ cos x ⋅ dx = ∫  2 sin 2x  dx = 4 ∫ sin 2x ⋅ dx = ... 3

6

2

3

∫ tg7x ⋅ dx = ∫tg5x ⋅ tg2x ⋅ dx = ∫tg5x ⋅ (sec2x – 1) ⋅ dx = ∫tg5x tg 6 x dx 5 5 3 2 -∫ ⋅ − ∫ tg x ⋅ dx = ∫ tg x ⋅ d(tg x) ∫ tg x ⋅ tg x ⋅ dx = 6 cos 2 x tg3x ⋅ (sec2x – 1) ⋅ dx =…

Т а ки еи н т егра лы н а хо дятся dx 2 2 2 а н а ло ги чн о ра ссм о т рен н ы м ∫ sin 4 x = ∫cosec x ⋅ cosec x ⋅ dx = ∫(1 + ctg x) ⋅ в п . 2 с п о м о щ ь ю фо рм у лы dx dx = sec2x = 1 + tg2x и ли ∫ sin 2 x sin 2 x cosec2x = 1+ ctg2x + ∫ctg2x ⋅ d(ctg x) = …

58 В ид интеграла 4. ∫sin mx ⋅ cos nx ⋅ dx; ∫cos mx ⋅ sin nx ⋅ dx; ∫sin mx ⋅ sin nx ⋅ dx.

Подстанов к а, метод реш ения При м ен яю т сяфо рм у лы у м н о ж ен и ят ри го н о м ет ри чески хфу н кц и й (см . ла бо ра т о рн у ю ра бо т у № 3)

Пример ∫ sin 2x ⋅ cos 5x ⋅ dx = …

5. И нтегралы в ида ∫ R(sin x, cos x)⋅dx 5.1. R(-sin x, cos x) = = -R(sin x, cos x) (п о ды н т егра ль н а я фу н кц и ян ечет н а о т н о си т ель н о sin x)

cos x = t; -sin x ⋅ dx = dt

sin x + sin 3 x ∫ cos 2x dx = (cos x = t; sin x ⋅ dx = -dt) 1+1-cos2x=2-cos2x=2-t2 1 + sin 2 x 2 − t2 1 2t 2 − 4 =∫ dt = ∫ 2 dt = ⋅ sin x ⋅ dx = − ∫ 2 2 2t − 1 2 cos 2 x − 1 2t − 1 2t2-1 -dt 2 1 2t − 1 − 3 1 3 dt = ∫ dt = ∫ dt − ∫ 2 = ... 2 2 2 2 2t − 1 2t − 1

5.2. R(sin x, -cos x) = = -R(sin x, cos x) (п о ды н т егра ль н а я фу н кц и ян ечет н а о т н о си т ель н о cos x)

cos x = t -sin x⋅dx = dt

cos 3 x + cos 5 x ∫ sin 2 x + sin 4 x dx = ...

59 В ид интеграла

Подстанов к а, метод реш ения

5.3. R(-sin x, -cos x) = = R(sin x, cos x) (п о ды н т егра ль н а я фу н кц и ячет н а о т н о си т ель н о cos x и sin x)

tg x = t dx = dt cos 2 x

Пример

dx ∫ sin 2 x + 2 sin x ⋅ cos x − cos 2 x = ∫

tg x = t; dt =

=

5.4. Лю бо й и н т егра л М о ж н о вы чи сли т ь , п ри м еви да R(sin x, cos x) н яя у н и верса ль н у ю т ри го н о м ет ри ческу ю п о дст а н о вx ку : tg = t. Т о гда : 2 2t 1− t2 ; cos x = ; sin x = 1+ t2 1+ t2 2dt x = 2⋅arctg t; dx = . 1+ t2

dt

∫ t 2 + 2t − 1 = ...

dx

∫ 4 sin x + 3 cos x + 5 = ...

dx 2  sin x 2  sin x   cos x + 2 − 1 2  cos x cos x  

dx cos 2 x

=

60 З а да ние 3. З ап ол н ит е п риве де н н ую н иж е т абл ицу и вы ч исл ит е задан н ы е вн е й ин т е грал ы .

1.

И нтеграл

∫ sin

5

x ⋅ cos 5 x ⋅ dx (№ 1996)

∫ sin

m

x ⋅ cos n x ⋅ dx ;

n – н ечет н о еп о ло ж и т ель н о ечи сло и ли m=n

2.

∫ cos

2

3.

∫ tg

x ⋅ dx (№ 2004)

4.

∫ cos

5.

5

Т ип интеграла

ax ⋅ cos 2 bx ⋅ dx (№ 2017)

5

x ⋅ dx (№ 1991)

∫ sin

2

x ⋅ cos 4 x ⋅ dx (№ 1994)

6.

∫ sin

4

x ⋅ cos 5 x ⋅ dx (№ 1994)

7.

∫ sin x ⋅ cos 4 x

8.

∫

dx

(№ 2003)

dx (№ 2009) tgx

Знач ения параметров n =5

И споль зуемы е ф ормулы и подстанов к и sin x = t; cos x⋅dx = dt; cos2x = 1 – sin2x и ли

m=n=5 1 sin 2x = sin x⋅cos x 2

Ка ко й спо со б ре ше ния ра цио на льне е ?

№

61 З а да ние 4. sin 3 x sin x ⋅ cos x sin 2 x ⋅ dx dx Д ан ы ин т е грал ы : ∫ dx (№ 2032); ∫ (№ 2027); ∫ (№ dx (№ 2029); ∫ 2 4 sin x + cos x sin x + 2 cos x 1 + sin x sin x + cos 4 x sin x ⋅ cos x dx (№ 2038). 2035); ∫ 1 + sin 4 x Вы п иш ит е т е , вк от оры х: а) п оды н т е грал ьн ая фун к циян е ч е т н а от н осит е л ьн о sin x;. б) п оды н т е грал ьн ая фун к циян е ч е т н а от н осит е л ьн о cos x; в) п оды н т е грал ьн ая фун к ция ч е т н а от н осит е л ьн о cos x и от н осит е л ьн о sin x; г) общ е го вида. Е ст ьл и сре ди дан н ы х ин т е грал овт ак ие , ч т о п оп адают сразу вн е ск ол ьк о груп п ? С п ом ощ ью к ак ой п одст ан овк и их удобн е е вы ч исл ит ь? Р е ш ит е дан н ы е п рим е ры .

62

62 ПРО В Е РО ЧН А Я РА Б О Т А (П1) В ы ч ислите интегралы : В .А1 № 1.

В .А2

∫ (2 − 3

)

2

∫ (2

)

2

x − 5 dx

x dx

№ 1.

№ 2. ∫ 2x ⋅ 3x ⋅ 5x dx

№ 2.

∫

№ 3.

∫ (a ⋅ sin x + b ⋅ cos x )dx

№ 3.

∫ (a ⋅ shx + b ⋅ chx )dx

№ 4. ∫ x ⋅ x − 1 ⋅ dx

В . Б2

1 + x  № 1. ∫   dx  x  e3 x − 1 № 2. ∫ x dx e −1 № 3. ∫ th 2 x ⋅ dx 2

№ 1. ∫ № 2. ∫

(

x 2 (1 + x 2 ) 6 2x

№ 3. ∫ tg 2 x ⋅ dx

dx

∫

(1 + x )3 dx

x2 e2 x − 1 № 2. ∫ x dx e −1 № 3. ∫ cth 2 x ⋅ dx

)

№ 4. ∫ max ( x ,4)dx В .В 2 № 1. ∫

dx

2 2 x −1 − 3 2 x +3

(

№ 1.

x ,2 dx

1 + 2x 2

5 x ⋅ 6 2x

№ 4. ∫ 1 − 4 x 2 ⋅ dx

В . Б1

№ 4. ∫ min В .В 1

2 x ⋅ 3 2 x ⋅ 4 3x

dx

)

№ 4. ∫ max 4 − x 2 ,2 dx

№ 2. ∫

(1 + x ) 2 x 2 (1 + x 2 )

dx

5 2 x −1 − 2 2 x +3 10 2 x

№ 3. ∫ ctg 2 x ⋅ dx

(

dx

)

№ 4. ∫ min 5 − x 2 ,1, x 2 dx

ПРО В Е РО ЧН А Я РА Б О Т А (П2) В ы ч ислите интегралы методом в несения ф унк ции под знак диф ф еренциала В .А1 В .А2 10 № 1. ∫ ( x − 1) dx № 1. ∫ ( x − 3) 21 dx № 2.

∫x

dx

ln x № 3. ∫ cos 3 x ⋅ sin x ⋅ dx

№ 2.

dx

∫ x ⋅ ln 5 x

№ 3. ∫ sin 4 x ⋅ cos x ⋅ dx

63 В . Б1

В . Б2 № 1.

∫

dx 1 − 2x

№ 1.

∫ 15 (1 + 4x )dx

№ 2.

∫

1

№ 2.

∫ 1 + sin x dx

№ 3.

∫ cos x dx

№ 3.

∫ sin x dx

x

cos x dx

1

cos x 1

В .В 1 № 1.

В .В 2

dx x (1 + x )

∫

№ 1.

∫

№ 3.

1 + 4x 2

x (1 − x )

5x ⋅ 7 x № 2. ∫ x dx 25 + 49 x

2 x ⋅ 3x dx № 2. ∫ x 9 − 4x

x + arctg2x

dx

∫

№ 3.

dx

∫

x + arcsin 3 2 x 1 − 4x 2

dx

Д О М А Ш Н Я Я СА М О СТ О Я Т Е ЛЬН А Я РА Б О Т А № 1 В ы ч ислите интегралы методомв несения ф унк ции под знак диф ф еренциала или замены переменной : В . 1. В . 2. В . 3. dx № 1. ∫ cos(6x + 1)dx № 1. ∫ sin(8x + 3)dx № 1. ∫ cos 2 ( 2x − 5) № 2.

∫

dx arccos x ⋅ 1 − x 2

№ 3. ∫ х⋅ e № 4.

∫

−x 2

dx

x2 x6 − 4

dx

№ 5. ∫ cos x sin x ⋅ dx 5

№ 6.

∫

x 2 dx x2 − 2

№ 2. № 3.

∫

ln 5x dx x

∫

x 2 dx x6 − 4

№ 2.

6

№ 4.

sin x ⋅ cos 3 x № 5. ∫ dx 1 + cos 2 x

№ 5.

№ 6.

∫

a+x dx a−x

x2

1 x dx

№ 3. ∫ e x x 5 dx

№ 4. ∫ e −x x 4 dx 5

∫

x − sin

∫

∫

ln x ⋅ dx x 1 + ln 2 x dx x e2

№ 6. ∫ x

+ ex x dx 2a − x

64 e 2x

№ 7.

∫ 1+ ex

№ 8. ∫

dx

№ 7.

dx

(

)

№ 2.

e x −1

dx

∫

5x − 1 4 − x2

В . 6.

∫

№ 1.

∫

№ 2.

dx

1+ e x + 1− e x

№ 8. ∫ x 2 a 2 − x 2 dx

В . 5.

∫ (3x + 2) 4

dx

№ 7. ∫

№ 8. ∫ x 2 a 2 + x 2 dx

3 x2 + a2 2

В . 4. № 1.

dx

∫

№ 1. ∫ tg 2x ⋅ dx

4x − 5 ⋅ dx 4x + 3 x2 − 5

№ 2.

dx

1 ex

∫

( 2x + 3)dx

(x

2

)

+ 3x − 1

4

x ⋅ dx 1− x dx № 4. ∫ cos 3 x ⋅ sin x ⋅ dx № 4. ∫ sin x ⋅ cos x № 3.

∫ x 2 dx

№ 3.

∫

dx 1+ x

№ 5.

∫ sin 3 x

dx

№ 5.

∫

№ 6. ∫ x 2 x 2 − a 2 dx

№ 6.

∫

№ 6.

∫

№ 7.

∫ e x + e −x

№ 7.

∫

№ 8.

∫ (x + a )(x + b )

dx

№ 8.

∫ (x − a )(x − b )dx

№ 3. ∫ e sin № 4.

∫

№ 5.

∫

№ 7. № 8.

2

dx 1 + ex arctg x

∫ 1− e x

(x

dx

x 4 dx +a2

2

В . 7. № 1. ∫ e 2 x + 5 dx

(3x

2

№ 2.

∫

№ 3.

∫ (cos

№ 4.

∫

⋅

x

e 2x

∫

⋅ sin 2 x ⋅ dx

x

)

2

x2 a +x dx 2

dx

У к азан ие : п одст ан овк а x + a = (b – a)⋅sh2t

)

)

x − sin 2 x 3 1 + sin 2x ⋅ dx

e tgx − 7 sin x + 5 sin 2 x

dx

1+ ex − 1− ex

У к азан ие : п одст ан овк а x – a = (b – a)⋅sin2t

x x   № 2. ∫  8 cos − 5  sin dx 3 3   dx № 3. ∫ x (1 − x ) № 4.

dx

dx

2

− 2 x + 7 ⋅ dx

cos 2 x

1− x2 x−a dx x+a

В . 8. № 1. ∫ sin(3x + 7) ⋅ dx

x 3 − x 2 + 7x − 2 2

2

x + 4 arcsin x

dx ∫ x ⋅ ln x ⋅ ln(ln x )

65 № 5. № 6.

∫

ln 2 x ∫ x 3 1 + ln x dx dx

( x − a )(b − x ) У к азан ие : п одст ан овк а x – a = (b – a)⋅sin2t e x dx № 7. ∫ 2 x e +9 x 2 dx № 8. ∫ 2 1+ x 2

(

)

№ 5.

∫

№ 6.

∫

dx 1 + ex ( x + a )( x + b)

У к азан ие : п одст ан овк а x + a = (b – a)⋅sh2t № 7. № 8.

∫ ∫

e 3x + e 2 x dx x 2 dx

(a

2

−

)

3 2 2 x

ПРО В Е РО ЧН А Я РА Б О Т А (П3) В ы ч ислите интегралы методомразложения В .А1 dx № 1. ∫ ( x + 2)( x + 3)

В .А2 dx № 1. ∫ 2 ( x + 2)( x 2 + 3)

№ 2. ∫ cos 2 x ⋅ dx

№ 2. ∫ sh 2 x ⋅ dx

x x № 3. ∫ cos ⋅ cos dx 2 3

№ 3. ∫ sin

В . Б1 dx № 1. ∫ (a ≠ b) ( x + a )( x + b) dx № 2. ∫ sin 2 x ⋅ cos x № 3. ∫ shx ⋅ sh 2x ⋅ dx

В . Б2 dx № 1. ∫ 2 (a ≠ b) ( x + a )( x 2 + b) dx № 2. ∫ sin x ⋅ cos 2 x № 3. ∫ chx ⋅ ch 2 x ⋅ dx

В .В 1 № 1.

dx ∫ x 4 −1

x x ⋅ cos dx 2 3

В .В 2 № 1.

1 + 2x 2 ∫ x 2 (1 + x 2 ) dx

№ 2. ∫ (sin x + 2 cos x ) 2 ⋅ dx

№ 2. ∫ (sin x − 2 cos x ) 2 ⋅ dx

№ 3. ∫ cos αx ⋅ sin βx ⋅ dx

№ 3. ∫ cos αx ⋅ cos β x ⋅ dx

(α ≠ β, α ≠ -β)

(α ≠ β, α ≠ -β)

66 ПРО В Е РО ЧН А Я РА Б О Т А (П4) В ы ч ислите интегралы методоминтегриров ания по ч астям В .А1

В .А2 № 1. ∫ arcsin x ⋅ dx

№ 1. ∫ arctgx ⋅ dx

№ 2. ∫ x ⋅ sin x ⋅ dx

В . Б1

№ 2. ∫ x ⋅ e x ⋅ dx

№ 3. ∫ e x ⋅ sin x ⋅ dx

В . Б2

 1 № 1. ∫ x ⋅ ln1 +  ⋅ dx  x x ⋅ dx № 2. ∫ cos 2 x

№ 1. ∫ x 2 ⋅ ln(1 + x ) ⋅ dx № 2. ∫ x ⋅ cos 2 x ⋅ dx № 3. В .В 1

∫

№ 3. ∫ e x ⋅ cos x ⋅ dx

x 2 + 3 ⋅ dx

№ 3. В .В 2

∫

2 − x 2 ⋅ dx

1 № 1. ∫ x ⋅ arccos  ⋅ dx x № 2. ∫ x ⋅ ctg 2 x ⋅ dx

№ 1. ∫ x 2 ⋅ arctgx ⋅ dx № 2. ∫ x ⋅ sin 3 x ⋅ dx

№ 3. ∫ cos 2 (ln x ) ⋅ dx

№ 3. ∫ sin 2 (ln x ) ⋅ dx

ПРО В Е РО ЧН А Я РА Б О Т А (П5) В ы ч ислите интегралы № 1. № 2.

№ 1. № 2.

В .А1 dx ∫ x 2 + 6x + 25 4x + 2 ∫ x 2 + x + 2 dx В . Б1 5 ∫ x 2 + x + 3 dx 2 ∫ (1 − 3x ) 1 + x − x dx

В .В 1 x 3 dx № 1. ∫ 4 x − x2 + 5 № 2.

dx

∫ 3 sin 2 x − 8 sin x cos x + 5 cos 2 x

№ №

№ №

В .А2 dx 1. ∫ 2 x + 6x − 2 4x + 1 2. ∫ dx x2 + x + 2 В . Б2 1 1. ∫ 2 dx 2x − 4 x − 6 2. ∫ ( x + 2) x 2 + x + 1dx

В .В 2 x3 + x № 1. ∫ 4 dx x − x2 −1 dx № 2. ∫ 2x 2 − x + 2

67 ПРО В Е РО ЧН А Я РА Б О Т А (П6) В .А1 11dx 4dx ;∫ ; x + 3 (x + 2 )3 2 х+ 1

№ 1. Вы чи сли т еи н т егра лы о т дро бей: ∫ № 2. Предст а вь т едро бь

(

)( 3

)

2

dx

∫ x 2 + 10x + 29 . в ви десу м м ы п ро -

х х − 4 х− 5 х − 4 х+ 5 ст ы х дро бей с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !) X( x ) Y( x ) x 2 + 2x − 3 № 3. Предст а вь т еI = ∫ dx + dx , в ви де : I = ∫ 3 2 2 Q ( x ) Q ( x ) 1 2 x x − 1 (x + 3) 2

(

2

2

)

гдеХ (х) и У (х) – м н о го член ы с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !) В .А2 № 1. Вы чи сли т еи н т егра лы о т дро бей: ∫

5dx 2dx ;∫ ; x − 5 (x + 12 )31

х2 + 1

dx

∫ x 2 − 2 x + 17 .

в ви десу м м ы п ро 2 3 х х2 − 10х− 24 х2 + 6х+ 15 ст ы х дро бей с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !) X( x ) Y( x ) 2x − 3 № 3. Предст а вь т еI = ∫ dx в ви де : I = + dx , ∫ 2 3 2 Q ( x ) Q ( x ) 1 2 x x − 4 (x − 3 ) № 2. Предст а вь т едро бь

(

)(

(

)

)

гдеХ (х) и У (х) – м н о го член ы с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !) В . Б1 № 1. Вы чи сли т еи н т егра лы о т дро бей: ∫

3dx dx ;∫ ; x +13 (x − 5) 21

12 х− 7

(x + 6 )dx ∫ x 2 − 2 x + 17 .

в ви де су м м ы п ро 3 2 х х2 − 6 х+ 9 х2 − 4 х+ 8 ст ы х дро бей с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !) X( x ) Y( x ) 2x − 3 dx № 3. Предст а вь т еI = ∫ в ви де : I = + dx , ∫ 2 4 3 2 Q ( x ) Q ( x ) 1 2 x x − 5 (x + 9 ) № 2. Предст а вь т е дро бь

(

(

)(

)

)

гдеХ (х) и У (х) – м н о го член ы с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !)

68 В . Б2 № 1. Вы чи сли т еи н т егра лы о т дро бей: ∫ № 2. Предст а вь т едро бь

(

dx 14dx ; ;∫ x − 3 (x + 6 )13 2

)( 3

)

(4x − 1)dx ∫ x 2 + x +1 . в ви десу м м ы п ро -

х х − 4 х+ 4 х − 7 х+ 50 ст ы х дро бей с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !) X( x ) Y( x ) x2 −3 № 3. Предст а вь т еI = ∫ dx в ви де : I = + dx , ∫ 2 Q1 ( x) Q 2 (x) x 3 x 2 + 1 (x + 7 ) гдеХ (х) и У (х) – м н о го член ы с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !) 2

2

(

2

)

В .В 1 № 1. Вы чи сли т еи н т егра лы о т дро бей: ∫

10dx

(x − 2 )

3

;

∫

(x

(8х+ 5)dx 2

− 2 x + 17

)

2

.

1

№ 2. Предст а вь т е дро бь

в ви де су м м ы п ро ст ы х х − х + х3 − х2 + х− 1 дро бей с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н е вы чи слять !) X( x ) Y( x ) 2x 2 − 3 № 3. Предст а вь т еI = ∫ dx в ви де: I = +∫ dx , 2 Q1 ( x) Q 2 ( x) x 3 x 2 + 5 (x + 3) 5

4

(

)

гдеХ (х) и У (х) – м н о го член ы с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !) В .В 2 № 1. Вы чи сли т еи н т егра лы о т дро бей: ∫ № 2. Предст а вь т едро бь

1

11dx

(x + 2 )

(1 + х)(1 + х2 )(1 + х3 )

3

;

∫

(x

(3х− 2 )dx 2

+ 6 x + 10

)

2

.

в ви десу м м ы п ро ст ы х дро бей

с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !) X( x ) Y( x ) x −3 № 3. Предст а вь т еI = ∫ dx в ви де : I = + dx , ∫ 3 2 2 Q ( x ) Q ( x ) 1 2 x x + 5 (x − 1) гдеХ (х) и У (х) – м н о го член ы с н ео п ределен н ы м и ко эффи ц и ен т а м и . (Ко эффи ц и ен т ы н евы чи слять !)

(

)

69 Д О М А Ш Н Я Я СА М О СТ О Я Т Е ЛЬН А Я РА Б О Т А № 2 В . 1 В ы ч ислите интегралы : № 1. ∫ x 3 e 3 x dx № 2. ∫ e αx cos 2 bx ⋅ dx № 3. ∫ ln 2 x + 1 + x 2 dx dx ln x + 2 dx № 5. ∫ № 4. ∫ 2 dx № 6. ∫ (x − 1)(x + 2 )(x − 4 ) x + 2x + 5 x 1 − ln x − ln 2 x x 4 − 2x 3 + 3x + 4 e 2 x dx sin x № 7. ∫ № 8. № 9. dx dx ∫ ∫ x x 3 +1 e 2 x + 3e x + 2

(

№ 1. № 4. № 7.

В . 2 В ы ч ислите интегралы : x − 2 x + 2 ⋅ e dx № 2. ∫ e αx sin 2 bx ⋅ dx № 3. ∫ ln 1 − x + 1 + x dx

∫(

)

2

dx

∫ x 2 + 2x

№ 5.

x 5 −1

∫ x 3 + x 2 + x dx

№ 1. ∫ x sin 5x ⋅ dx

№ 7.

dx

∫ 3x 2 − x + 1 ∫ (x 2 − 1)(x + 2 ) ∫ (1 + x

№ 4.

∫

№ 7.

)

2 2

∫

e 2 x + 3e x

(

2

)

+ 41x − 91

№ 6.

∫ (x − 1)(x + 3)(x − 4 )dx

)

№ 9.

∫

cos x dx x

В . 3 В ы ч ислите интегралы : № 2. ∫ e αx sin 3 bx ⋅ dx № 3. ∫ x ⋅ arcsin(1 − x ) ⋅ dx e 2 x dx

∫ e 2 x + 2e x + 4

№ 6.

dx

∫

x (x + 1) 2 x dx ex № 8. ∫ 3 № 9. ∫ dx x x + 5x 2 + 8x + 4 В . 4 В ы ч ислите интегралы :

2

1 № 3. ∫ x ⋅ arccos ⋅ dx x 3 2 x +x 5x + 6 x + 9 dx № 5. ∫ dx № 6. ∫ −1− x 2 + x 4 (x − 3)2 (x + 1)2

cos x ⋅ dx № 2. ∫ x ⋅ e x sin x ⋅ dx

dx 2 + 3x − 2x 2 5x 3 + 2

∫ x 3 − 5x 2 + 4x dx

№ 8.

∫

(x

x 4 dx 10

− 10

№ 9.

)

2

x

∫ ln x dx

В . 5 В ы ч ислите интегралы : № 1.

∫ (x − sin x )

№ 4.

dx

3

∫

x − x2

dx

)

dx

e 2x + e x + 1 1+ e x dx № 8. ∫ 1 − e 2x e x

№ 5.

x 4 dx

№ 1.

( (2x

−x

5

№ 4.

)

№ 2. ∫ x ⋅ e x cos x ⋅ dx № 5.

∫

x − x3 1+ x 2 + x 4

№ 3. ∫ arcsin

dx № 6.

∫

2 x dx 1+ x

dx

(1 + x )

2 2

70 № 7.

∫

x − 6x + 12x + 6 4

3

2

x 3 − 6x 2 + 12x − 8

№ 4. № 7.

∫

(

x4

∫ x 4 − 1 dx

10

+ 2x 5 + 2

)

2

∫

)

(

)

В . 7 В ы ч ислите интегралы : x + 2x − 1 ⋅ e dx № 2. ∫ x 2 ⋅ e x sin x ⋅ dx № 3. ∫ x ⋅ arctg(x + 1) ⋅ dx

∫(

№ 4.

∫

)

2

2x

x 2 + 2x + 5 ⋅ dx

№ 5.

∫ x 4 + 5x 2 + 4 ∫ (1 − x

№ 4.

∫ ∫

∫

dx № 6. № 9.

dx

∫ (x 2 + 1)(x 2 + 2) e 2x ∫ x dx

В . 8 В ы ч ислите интегралы :

) ch(x) ⋅ dx

2 2

2 − x − x 2 ⋅ dx x 3 + x +1

(

x + x3

1+ x 2 − x 4 x 2 −1 dx № 8. ∫ (x + 2 )200

x 4 dx

№ 1.

№ 7.

(x

2

№ 9. ∫ e x dx

x ⋅ arctg x ⋅ dx dx № 5. ∫ x 3 + x 1 + x 4 dx № 6. ∫ x (x + 1)(x + 2 ) 4 5x + 1 −x2 № 8. ∫ 2 8 № 9. e dx ∫ x x + 2x 4 + 1

4x

x − x 2 dx

№ 1.

№ 7.

∫

8.

В . 6 В ы ч ислите интегралы : № 2. ∫ x 2 ⋅ e x cos x ⋅ dx № 3.

№ 1. ∫ x e dx 4

dx №

x 9 dx

)

x x 2 +1

dx

№ 2. ∫ x ⋅ e x sin 2 x ⋅ dx № 5. № 8.

∫

ln x − 2 x 1 − 4 ln x − ln 2 x x 200 + 1

∫ (x 200 − 1)x dx

1+ x ⋅ dx 1− x x ⋅ dx

№ 3. ∫ x ⋅ ln dx № 6.

∫

(x + 1)(x − 2)2

2

ex dx № 9. ∫ x

Д О М А Ш Н Я Я СА М О СТ О Я Т Е ЛЬН А Я РА Б О Т А № 3 В . 1 В ы ч ислите интегралы : dx dx № 1. ∫ № 2. ∫ № 3. 3 x + 3 x2 (x + 1)2 (x − 1)4 № 4. ∫ x

3

(

)

3 2 −2 1 + 2x

dx № 5.

∫4

dx 1+ x 4 cos 2x

№ 6.

∫

dx

(x − 1)

4x 2 − 10x + 7

sin 3 x

∫ cos 5 x dx

dx cos 4 x ⋅ dx dx № 9. ∫ № 7. ∫ № 8. ∫ 3 + sin x sin 4 x + cos 4 x sin x cos 5 x + sin 5 x № 10. При веди т еп ри м ер ди фферен ц и а ль н о го би н о м а , и н т егра л о т ко т о ро го н евы ра ж а ет сячерезэлем ен т а рн ы ефу н кц и и .

(

)

71 В . 2 В ы ч ислите интегралы : № 1. № 4.

∫ ∫

x + 3 x2 + 6 x

(

x 1− x 3

)

dx № 2.

dx

№ 5.

x ⋅ 4 1+ x 2

∫3 ∫

dx

(x − 1)2 (x + 1) dx

(

x 2+ 2

)

5 3 3 x

№ 3.

∫

dx x x 4 + x 2 +1

sin 4 x № 6. ∫ dx cos x

sin 2 x ⋅ cos x ⋅ dx сosx ⋅ dx dx № 8. ∫ 1 + 5 cos x ∫ sin x + cos x № 9. ∫ cos 3 x + sin 3 x № 10. При веди т еп ри м ер ди фферен ц и а ль н о го би н о м а , и н т егра л о т ко т о ро го н евы ра ж а ет сячерезэлем ен т а рн ы ефу н кц и и . № 7.

В . 3 В ы ч ислите интегралы : dx x dx № 3. ∫ № 1. ∫ dx № 2. ∫ 1+ 4 x3 (x + 1) x 2 + 1 (x − 1)3 (x − 2) dx dx dx № 4. ∫ № 5. ∫ № 6. ∫ 3 cos 5 x x ⋅ 3 1+ x5 x 3 ⋅ 1+ 4 x 3 dx sin 2x ⋅ dx sin 5 x ⋅ dx № 8. ∫ № 7. ∫ № 9. ∫ cos x cos 3 x + sin 3 x sin x + 2 cos x + 6 1 + sin 2 x № 10. При веди т еп ри м ер ди фферен ц и а ль н о го би н о м а , и н т егра л о т ко т о ро го н евы ра ж а ет сячерезэлем ен т а рн ы ефу н кц и и . В . 4 В ы ч ислите интегралы : (x + 1)2 dx dx dx № 1. ∫ № 2. ∫ № 3. ∫ 3 1 2 3 x 1 + 3x + x 2 ( ) x x + 1 (x + 1) 2 + (x + 1) 2

(

(

№ 4. ∫ x 1 + № 7.

)

3 2 −2 x

dx

dx

№ 5.

∫

∫ sin 2 x − sin 2x

№ 8.

∫ 1 + cos 2 x

3

dx

x 11 x 4 +1 cos 2x ⋅ dx

№ 6. № 9.

)

dx

∫ sin 3 x ⋅ cos 4 x ∫

sin 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ dx

(sin

)

2

x + cos 3 x № 10. При веди т еп ри м ер ди фферен ц и а ль н о го би н о м а , и н т егра л о т ко т о ро го н евы ра ж а ет сячерезэлем ен т а рн ы ефу н кц и и . В . 5 В ы ч ислите интегралы : x ⋅ dx dx № 1. ∫ № 2. № 3. ∫ 2 7 3 x +1 + 3 x +1 (x + 1) (x − 1) № 4.

∫

1− x 2 dx x

№ 5.

∫

dx x 2 x 2 +1

№ 6.

3

(x + 3)dx ∫ x 2 2x + 3 dx

∫ cos 3 x

72 cos x ⋅ dx

№ 7.

∫ cos 2 x − 5 cos x + 6

№ 9.

∫ 3ctgx + 2 sin x

№ 8.

cos 2 x ⋅ dx

∫ sin 5 x ⋅ cos x + cos 5 x ⋅ sin x

dx

№ 10. При веди т еп ри м ер ди фферен ц и а ль н о го би н о м а , и н т егра л о т ко т о ро го н евы ра ж а ет сячерезэлем ен т а рн ы ефу н кц и и . В . 6 В ы ч ислите интегралы : dx dx № 2. № 1. ∫ № 3. ∫ 3 5 4 2x − 1 − 4 2x − 1 (x − 2) (x + 1) № 4. ∫ x ⋅ x − 2 ⋅ dx 5

№ 7.

sin x ⋅ dx

∫ 2 sin x + 3 cos x

dx

№ 5.

∫3

№ 8.

∫ (4 + tg 2 x )tg 3 x

1+ x 3 1 + tg 2 x dx

(

)

∫

dx

(x + 1)3

x 2 + 2x

cos 2 x

№ 6.

∫ sin 4 x dx

№ 9.

∫ sin 3 x − cos 3 x

cos x ⋅ dx

№ 10. При веди т еп ри м ер ди фферен ц и а ль н о го би н о м а , и н т егра л о т ко т о ро го н евы ра ж а ет сячерезэлем ен т а рн ы ефу н кц и и . В . 7 В ы ч ислите интегралы : 1− x +1 x +1 dx № 2. ∫ 3 № 1. ∫ 3 dx x −1 1+ x +1 № 4. ∫ x 3 ⋅ 1 + x 2 ⋅ dx

№ 5.

∫4

dx

x 2 + x +1

№ 3.

x x − x +1 cos 7 x № 6. ∫ dx sin 3 x 2

dx

1+ x 4 cos 2 x ⋅ dx cos 2 x ⋅ dx dx № 7. ∫ № 8. ∫ № 9. ∫ sin x + 3 cos x sin x + 3 cos x sin 6 x − cos 6 x № 10. При веди т еп ри м ер ди фферен ц и а ль н о го би н о м а , и н т егра л о т ко т о ро го н евы ра ж а ет сячерезэлем ен т а рн ы ефу н кц и и . В . 8 В ы ч ислите интегралы : x+2 1+ 6 x № 1. ∫ dx № 2. ∫ x dx 4 3 3 4 x − 3 x− x x

(

№ 4.

∫

3

)

x − 4 ⋅ x dx 3

2

№ 5.

∫

3

3x − x dx 3

№ 3. № 6.

∫

dx

(x − 1)3

x 2 + 3x + 1

sin 2 x

∫ cos 3 x dx

dx cos 2 x cos x № 7. ∫ dx № 8. ∫ dx № 9. ∫ 2 2 − cos x 1 + cos x sin 3 x + cos 3 x № 10. При веди т еп ри м ер ди фферен ц и а ль н о го би н о м а , и н т егра л о т ко т о ро го н евы ра ж а ет сячерезэлем ен т а рн ы ефу н кц и и .

73

ЛИ Т Е РА Т У РА 1. Вы го дски й В.Я . Сп ра во чн и к п о вы сшей м а т ем а т и ке/ В.Я . Вы го дски й – М . : Ф и зм а т ли т , 1995. 2. Ви н о градо ва И .А . За да чи и у п ра ж н ен и яп о м а т ем а т и ческо м у а н а ли зу / И .А . Ви н о гра до ва , С.Н. О лехн и к, В.А . Са до вн и чи й– М ., Вы сш. шк., 2000. − Кн . 1. 3. За да чи и у п ра ж н ен и яп о м а т ем а т и ческо м у а н а ли зу длявт у зо в : у чеб. п о со би едляст у ден т о в вы сш. т ехн . за вед.; п о д ред. Б .П. Д ем и до ви ча – М . : А ст рель , 2001. 4. Ф и хт ен го ль ц Г.М . Ку рс ди фферен ц и а ль н о го и и н т егра ль н о го и счи слен и я/ Г.М . Ф и хт ен го ль ц , − М . : Л. : О ГИ З, 1948 Т . 1.. 5. Сбо рн и к за да ч п о вы сшей м а т ем а т и ке/ К.Н. Лу н гу [и др.] – М . : А йри сп ресс, 2003. 6. Гу ды м а А .П.. М ет о ды и н т егри ро ва н и я в т ест о вы х за да н и ях / А .П. Гу ды м а – М . : Вы сш. шк., 1997. 7. Д а н ко П.Е . Вы сша ям а т ем а т и ка в у п ра ж н ен и ях и за да ча х / П.Е . Д а н ко , А .Г. По п о в, Т .Я . Ко ж евн и ко ва – М . : Вы сш. шк., 1998 − Ч . 1. 8. Д ем и до ви ч Б .П.. Сбо рн и к за да ч и у п ра ж н ен и й п о м а т ем а т и ческо м у а н а ли зу / Б .П. Д ем и до ви ч – М . : И зд-во М ГУ , 1998.

74

СО Д Е РЖ А Н И Е Введен и е. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Ла бо ра т о рн а яра бо т а № 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Ла бо ра т о рн а яра бо т а № 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Ла бо ра т о рн а яра бо т а № 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Ла бо ра т о рн а яра бо т а № 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Ла бо ра т о рн а яра бо т а № 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Ла бо ра т о рн а яра бо т а № 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Ла бо ра т о рн а яра бо т а № 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 Ла бо ра т о рн а яра бо т а № 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 Ла бо ра т о рн а яра бо т а № 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Ла бо ра т о рн а яра бо т а № 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Про веро чн ы еи са м о ст о ятель н ы ера бо т ы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Ли т ера т у ра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

75

Со ст а ви т ели : Плет н ева О ль га Ко н ст а н т и н о вн а Па н ы чева Свет ла н а Б о ри со вн а

Реда кт о р

Т и хо м и ро ва О .А .