Уравнения математической физики (анализ и синтез Фурье): Методические разработки курса лекций

kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet mehaniko-matemati~eskij fakulxtet kafedra differencialxnyh urawnenij

metodi~eskie razrabotki kursa lekcij

urawneniq matemati~eskoj fiziki (ANALIZ I SINTEZ fURXE)

kazanx {

1999

uTWERVDENO NA ZASEDANII KAFEDRY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. pROTOKOL 3 OT 29.10.98.

sOSTAWITELI

:

DOCENTY sALEHOW l.g., bIK^ANTAEW i.a.

mETODI^ESKIE RAZRABOTKI QWLQ@TSQ PRODOLVENIEM KURSA LEKCIJ ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" DLQ WTOROJ STUPENI OBRAZOWANIQ (MAGISTRY). w NIH IZLAGA@TSQ: RQDY fURXE PERIODI^ESKIH OBOB]ENNYH FUNKCIJ, PREOBRAZOWANIE fURXE-lAPLASA I ULXTRAOBOB]ENNYE FUNKCII NA n ANALIZ I SINTEZ fURXE W PROSTRANSTWAH PERIODI^ESKIH ULXTRAOBOB]ENNYH FUNKCIJ PREOBRAZOWANIE fURXE-lAPLASA I ULXTRAOBOB]ENNYE FUNKCII NA n (ANALITI^ESKIE FUNKCIONALY) PREOBRAZOWANIE lAPLASA W D ( +). sOHRANQETSQ SIMWOLIKA OBOZNA^ENIJ PREDYDU]IH IZDANIJ 1986 I 1987 GODOW. dANNYE RAZRABOTKI MOGUT BYTX POLEZNY DLQ STUDENTOW, SPECIALIZIRU@]IHSQ PO KAFEDRE DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, I SLUATELEJ fpk, A TAKVE PRI ^TENII SPECKURSOW I PROWEDENII SPECSEMINAROW.

R

0

C R

c kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET 1999

rQDY fURXE

R

dLQ IZU^ENIQ RQDOW fURXE PERIODI^ESKIH OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA n PRIMENIMO TAK NAZYWAEMOE PERIODI^ESKOE PREOBRAZOWANIE OBOB]ENNOJ FUNKCII S KOMPAKTNYM NOSITELEM, OSNOWANNOE NA PERIODI^ESKOM RAZBIENII (RAZLOVENII) EDINICY.

sUMMIRUEMYE SEMEJSTWA W TOPOLOGI^ESKIH WEKTORNYH PRO STRANSTWAH I.

-

pUSTX X | HAUSDORFOWO (OTDELIMOE) TOPOLOGI^ESKOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO, A (xi)i I | SEMEJSTWO \LEMENTOW IZ X . oBOZNA^IM ^EREZ J MNOVESTWO KONE^NYH MNOVESTW IZ I . mNOVESTWO J ^ASTI^NO UPORQDO^EP NO PO WKL@^ENI@. dLQ KAVDOGO j 2 J POLOVIM Sj = i j xi. 2

2

oPREDELENIQ.

pUSTX S 2 X . gOWORQT, ^TO SEMEJSTWO (xi)i I SUMMIRUEMO K S , ESLI POSLEDOWATELXNOSTX (Sj )j J SHODITSQ K S . tOGDA S NAZYWA@T SUMMOJ SEMEJSTWA. gOWORQT, ^TO SEMEJSTWO (xi)i I UDOWLETWORQET KRITERI@ kOI, ESLI POSLEDOWATELXNOSTX (Sj )j J ESTX POSLEDOWATELXNOSTX kOI, TO ESTX DLQ L@BOJ OKRESTNOSTI V NA^ALA SU]ESTWUET j0 2 J TAKOE, ^TO DLQ WSQKOGO K 2 J , NE PERESEKA@]EGO j0, IMEEM: SK 2 V . kAK I W KLASSI^ESKOJ TEORII RQDOW, IME@T MESTO SLEDU@]IE OB]IE SWOJSTWA. 1) sUMMA SUMMIRUEMOGO SEMEJSTWA EDINSTWENNA. 2) sUMMIRUEMOE SEMEJSTWO UDOWLETWORQET KRITERI@ kOI. 3) eSLI X | POLNOE, TO WSQKOE SEMEJSTWO W X , UDOWLETWORQ@]EE KRITERI@ kOI, QWLQETSQ SUMMIRUEMYM. 4) pUSTX f | LINEJNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE X W DRUGOE TOPOLOGI^ESKOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO Y . eSLI SEMEJSTWO (xi) SUMMIRUEMO K S , TO SEMEJSTWO (f (xi )) SUMMIRUEMO K f (S ). 2

2

2

2

nORMALXNO SUMMIRUEMYE SEMEJSTWA

pUSTX X | POLNOE HAUSDORFOWO TOPOLOGI^ESKOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO, A P | SEMEJSTWO NEPRERYWNYH POLUNORM, HARAKTERIZU@]EE TOPOLOGI@ NA X . gOWORQT, ^TO SEMEJSTWO (xi )i I NORMALXNO SUMMIRUEMO, ESLI 8p 2 P SEMEJSTWO (p(xi ))i I QWLQETSQ SUMMIRUEMYM W . tEOREMA. w X WSQKOE NORMALXNO SUMMIRUEMOE SEMEJSTWO QWLQETSQ SUMMIRUEMYM.

R

2

2

3

dOKAZATELXSTWO.

L@BOGO p 2 P :

pUSTX j I j | DWA \LEMENTA IZ J . iMEEM DLQ 0

0 1 X X @ A p(Sj ; Sj ) 6 p xi 6 p(xi ) 0

i j j 2 4

i j j

0

2 4

0

GDE j 4j | SIMMETRI^ESKAQ RAZNOSTX MNOVESTW j I j , TO ESTX j 4j := (j n j )  (j n j ). sUMMIRUEMOSTX SEMEJSTWA (p(xi))i I P POKAZYWAET, ^TO 8" > 0 SU]ESTWUET j0 2 J TAKOE, ^TO j j  j0 WLE^ET i j j p(xi ) < ". sLEDOWATELXNO, POSLEDOWATELXNOSTX (p(Sj ; Sj )) SHODITSQ K NUL@, TO ESTX POSLEDOWATELXNOSTX Sj ; Sj SHODITSQ K NUL@. tOGDA POLNOTA PROSTRANSTWA X ZAWERAET DOKAZATELXSTWO. N.B. eSLI RAZMERNOSTX PROSTRANSTWA X KONE^NA, TO WSQKOE SUMMIRUEMOE SEMEJSTWO QWLQETSQ NORMALXNO SUMMIRUEMYM. 0

0

0

0

0

2

0

2 4

0

0

0

Z

pROSTRANSTWApPOSLEDOWATELXNOSTEJ I. pROSTRANSTWA l ( n) GDE 1 6 p 6 1 II.

,

.

Z

kOMPLEKSNOZNA^NAQ FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA n, NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@. eE OBOZNA^A@T (a) Zn, ILI (a), ILI a. mNOVESTWO POSLEDOWATELXNOSTEJ, SUMMIRUEMYH SO STEPENX@ p, OBOZNA^A@T lp ( n) (1 6 p < 1), A MNOVESTWO OGRANI^ENNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ OBOZNA^A@T l ( n). eSTESTWENNAQ NORMA W lp( n) OBOZNA^AETSQ ^EREZ k kp (1 6 p 6 1). w ^ASTNOSTI,

Z

Z 2 Z () k k 2 Z () k k 2 Z () k k

2

Z

1

a

a

a

l1( n)

l2 ( n)

l ( n) 1

a

a

2

a

1 :=

 Zn

jaj < 1

sX 2

:= 1

X

 Zn

jaj2 < 1

2

:= supn jaj < 1:  Z

II. bYSTROE UBYWANIE. pOSLEDOWATELXNOSTX (a) NAZYWA@T BYSTRO UBYWA@]EJ, ESLI ONA UDOWLETWORQET ODNOMU IZ ^ETYREH \KWIWALENTNYH USLOWIJ:

a)8 2 b)8 2

N N

2

Z Z

POSLEDOWATELXNOSTX (a) 2 l ( n) n POSLEDOWATELXNOSTX ( a ) 2 l1 ( n) 

n

1

4

Z

NN

ZZ

c)8k 2 POSLEDOWATELXNOSTX ((1 + jj2)k a) 2 l ( n) d)8k 2 POSLEDOWATELXNOSTX ((1 + jj2)k a) 2 l1( n): 1

mNOVESTWO BYSTRO UBYWA@]IH POSLEDOWATELXNOSTEJ OBOZNA^A@T s( n): |TO MNOVESTWO PREWRA]AETSQ W HAUSDORFOWO TOPOLOGI^ESKOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO ODNIM IZ SEMEJSTW POLUNORM:

N j 8 2N

q(a) := supn jaj 8 2  Z

X 2

q(a) :=

n

ja  

n

N X jj j j j j 8 2N CDZR S R Z mEDLENNOE UMERENNOE WOZRASTANIE 

 Zn 2

j jk := supn(1 + jj2)kjaj 8k 2  a

 Z 2

a



k

:=

(1 +  2)k a  k

:

 Zn 2

iMEET MESTO TEOREMA O PLOTNOSTI: mNOVESTWO KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ ( n) PLOTNO W s( n). |TA TEOREMA ANALOGI^NA TEOREME O PLOTNOSTI ( n) W ( n). III.

(

)

pOSLEDOWATELXNOSTX (a) Zn NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ MEDLENNOGO (UMERENNOGO) ROSTA, ESLI FUNKCIQ  7! a ESTX FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA, INA^E GOWORQ, ESLI SU]ESTWUET k > 0 TAKOE, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (a(1 + jj2) k ) Zn ESTX \LEMENT IZ l ( n) ILI IZ l1( n). mNOVESTWO POSLEDOWATELXNOSTEJ MEDLENNOGO ROSTA POKA OBOZNA^AEM ^EREZ r( n). 2

Z

;

Z Z Z 1

2

tEOREMA OB IZOMORFIZME.

Z

sU]ESTWUET BIEKCIQ MEVDU PROSTRANSTWOM r( n) POSLEDOWATELXNOSTEJ MEDLENNOGO ROSTA I PROSTRANSTWOM s ( n) | DUALXNYM K PROSTRANSTWU s( n). eSLI OTOVDESTWITX POSLEDOWATELXNOSTX MEDLENNOGO ROSTA S NEPRERYWNYM LINEJNYM FUNKCIONALOM NA PROSTRANSTWE s( n), TO DUALXNOSTX (SOPRQVENNOSTX) WYRAZITSQ FORMULOJ:

Z

Z

Z

0

Z

h  i= b a

X

2Zn

ba

Z Z

GDE b 2 r( n) a 2 s( n). N.B. w DALXNEJEM OTOVDESTWLQEM s ( n) I r( n). 0

5

III.

pERIODI^ESKIE OBOB]ENNYE FUNKCII

w DALXNEJEM DLQ OPREDELENNOSTI PERIOD BUDEM S^ITATX RAWNYM 1. gOWORQT, ^TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ F -PERIODI^ESKAQ (S PERIODOM 1), ESLI F = F DLQ WSEH  2 n. mNOVESTWO PERIODI^ESKIH OBOB]ENNYH FUNKCIJ OBOZNA^IM ^EREZ L( n). o^EWIDNO, \TO ESTX PODMNOVESTWO IZ D ( n). dALEE, POLOVIM P ( n) := L( n)\E ( n), TO ESTX WSQKIJ \LEMENT IZ P ( n) ESTX BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMAQ PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ.

TT T R

Z

0

RT

T PT ER 8 2Z ER ; ER ER PT \ ; PT DR DR DR DR pERIODI^ESKOE PREOBRAZOWANIE OBOB]ENNOJ FUNKCII S KOM PAKTNYM NOSITELEM 2D R X sWOJSTWA MNOVESTWA P( 0 n

n)

1 . mNOVESTWO ( ) QWLQETSQ ZAMKNUTYM W TOPOLOGI^ESKOM WEKTORNOM PROSTRANSTWE ( n): n OPERATOR QWLQETSQ NEPREw SAMOM DELE, IZWESTNO, ^TO   n RYWNYM NA ( ). tOGDA QDRO OPERATORA, TO ESTX Ker (  I ), GDE I | TOVDESTWENNYJ OPERATOR W ( n), QWLQETSQ ZAMKNUTYM MNOVESTWOM W ( n). nO ( n) =  Zn Ker (  I ): oTKUDA I WYTEKAET SWOJSTWO. 20. mNOVESTWO ( n) QWLQETSQ ZAMKNUTYM W ( n), GDE ( n) 2

0

0

SNABVENO SLABOJ ILI SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. pOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO, U^ITYWAQ, ^TO OPERATOR  NEPRERYWEN NA ( n), IBO ON QWLQETSQ TRANSPONIROWANNYM DLQ OPERATORA  NA ( n) 0

;

-

.

oPREDELENIE. pUSTX '

( n). pOLAGAEM

!~ ' =

2Zn

 ':

o^EWIDNO, SUMMA SODERVIT TOLXKO KONE^NOE ^ISLO ^LENOW, OTLI^NYH OT NULQ. !~ ' NAZYWA@T PERIODI^ESKIM PREOBRAZOWANIEM FUNKCII '. pERIODI^ESKOE PREOBRAZOWANIE !~ ' QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ KLASSA C ( n) I DLQ L@BYH ' 2 D( n) IMEEM: 1

R

R

R

h!~  'i = h  !~ 'i :

pUSTX TEPERX T 2 E ( n). pOLAGAEM 0

R

h!~ T 'i := hT !~ 'i  8' 2 D( n): 6

R

fUNKCIONAL !~ T , OPREDELENNYJ NA D( n), NAZYWAETSQ PERIODI^ESKIM PREOBRAZOWANIEM OBOB]ENNOJ FUNKCII T .

R R R

sWOJSTWA PERIODI^ESKOGO PREOBRAZOWANIQ . 0

R R R

1 . lINEJNOE OTOBRAVENIE !~ PREOBRAZUET NEPRERYWNO D( n) W E ( n) I E ( n) W D ( n). dOKAZATELXSTWO. pUSTX K | NEKOTORYJ KOMPAKT IZ n. tOGDA !~ NEPRERYWNO OTOBRAVAET DK ( n) W E ( n), IBO !~ ESTX KONE^NAQ SUMMA NEPRERYWNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ. a TAK KAK K | PROIZWOLXNYJ KOMPAKT IZ n, TO !~ NEPRERYWNO OTOBRAVAET D( n) W E ( n). sOOTNOE0

NIE

R R

0

R R 2E R 2D R 2D R E R DR E R DR

h!~ T 'i = hT !~ 'i  T

( n ) ' ( n ) POKAZYWAET, ^TO !~ T ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, TO ESTX !~ T ( n), I ^TO OTOBRAVENIE T 7! !~ T NEPRERYWNO IZ ( n) W ( n) W SILU TOPOLOGI^ESKIH SWOJSTW TRANSPONIROWANNOGO OTOBRAVENIQ, GDE ( n) I ( n) SNABVENY ODNOWREMENNO SLABYMI ILI SILXNYMI DUALXNYMI TOPOLOGIQMI. 20. 8T 2 E ( n) OBOB]ENNAQ FUNKCIQ !~ T QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ, TO ESTX !~ (  T ) =  !~ T = !~ T 8 2 n. dOKAZATELXSTWO. dLQ L@BOGO ' 2 D( n) IMEEM: !~ ' = !~ (  ') = !~ ' 8 2 n. oTKUDA, W SILU TRANSPOZICII, IMEEM !~ (  T ) =  !~ T = !~ T 8 2 n. 30. 8F 2 L( n) I 8 2 D( n) IMEEM: !~ ( F ) = F (~! ) 8f 2 P ( n) 8T 2 E ( n) IMEEM: !~ (fT ) = f (~!T ) dOKAZATELXSTWO. pREVDE WSEGO, 8T 2 E ( n) 8' 2 D( n) IMEEM: X h!~ T 'i = h  T 'i  0

0

0

0

0

0

T

R

ZZ T

0

Z R

R R

0

;

0

R

 Zn 2

;

R

TAK KAK SUMMA W PRAWOJ ^ASTI KONE^NA. |TO SOOTNOENIE MOVET BYTX ZAPISANO W WIDE: X !~ T =

 Zn

 T:

2

tEPERX, ESLI F | PERIODI^ESKAQ, TO IMEEM: oTKUDA

 ( F ) =   F = F  :

!~ ( F ) =

X

 Zn

 ( F ) = F

2

X

 Zn 2

7

 = F !~ :

T

aNALOGI^NO, ESLI f | PERIODI^ESKAQ, TO ESTX f 2 P ( n), TO IMEEM: (fT ) = f ( T ). oTKUDA !~ (fT ) =

X

 Zn

(fT ) = f

2

X

 Zn

T = f !~ T:

R

2

R

pERIODI^ESKOE RAZBIENIE EDINICY W D( n

n).

oPREDELENIE. fUNKCIQ 2 D( ), TAKAQ, ^TO !~ = 1, NAZYWAETSQ

PERIODI^ESKIM RAZBIENIEM EDINICY.

R DR

tEOREMA O SU]ESTWOWANII PERIODI^ESKOGO RAZBIENIQ EDINICY W D( n).

sU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODNO PERIODI^ESKOE RAZLOVENIE EDINICY W ( n) dOKAZATELXSTWO. pUSTX | NEOTRICATELXNAQ FUNKCIQ NA n, NERAWNAQ NUL@ NA (LI )n, GDE I | OTKRYTYJ INTERWAL ] ; 1=2 +1=2, PRINADLEVA]AQ D( n). pO LEMME OB OTDELIMOSTI uRYNSONA TAKAQ FUNKCIQ SU]ESTWUET. zAMETIM, ^TO !~ > 0 W n. pOLOVIM = =!~ . dALEE IMEEM: !~ = !~ =!~ = 1, W SILU SWOJSTWA 30 PERIODI^ESKOGO PREOBRAZOWANIQ. N.B. pERIODI^ESKOE RAZLOVENIE EDINICY W Lcompact( n) POSTROITX E]E PRO]E. dOSTATO^NO WZQTX HARAKTERISTI^ESKU@ (INDIKATORNU@) FUNKCI@ DLQ I n.

R

R

R

1

lEMMA O S@R_EKCII.

R

wSQKAQ PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ IZ KLASSA C QWLQETSQ PERIODI^ESKIM PREOBRAZOWANIEM FUNKCII IZ KLASSA C S KOMPAKTNYM NOSITELEM. dOKAZATELXSTWO. pUSTX f 2 P ( n). pOLOVIM ' = f . tOGDA ' 2 D( n) I !~ ' = f !~ = f . aNALOGI^NO, PUSTX F 2 L( n). pOLOVIM T = F . tOGDA T 2 E ( n) I !~ T = F !~ = F . N.B. tAKVE MOVNO POKAZATX, ^TO WSQKAQ PERIODI^ESKAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PORQDKA NE WYE k (SOOTWETSTWENNO MERA rADONA, FUNKCIQ KLASSA C k ) QWLQETSQ PERIODI^ESKIM PREOBRAZOWANIEM OBOB]ENNOJ FUNKCII PORQDKA NE WYE k S KOMPAKTNYM NOSITELEM (SOOTWETSTWENNO MERY rADONA, FUNKCII KLASSA C k S KOMPAKTNYM NOSITELEM). tAKVE WSQKAQ PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, LOKALXNO INTEGRIRUEMAQ SO STEPENX@ p, QWLQETSQ PERIODI^ESKIM PREOBRAZOWANIEM FUNKCII ', INTEGRIRUEMOJ SO STEPENX@ p I S KOMPAKTNYM NOSITELEM.

R

T

T

1

1

0

8

R

T ILT P T PT 2P T 2PT h i P T P T LT P T LT DR DR PT h i h i 2P T 2DR P T DR P T LT D 7! R DR PT PT DR DR P T   h i 2D R 2P T LT LT P T P T LT  PT  P T 8 2L T 8 2D R     dUALXNOSTX MEVDU Pn (

n)

( n).

oBOZNA^IM ^EREZ ( ) MNOVESTWO LINEJNYH FUNKCIONALOW, NEPRERYWNYH NA ( n). zNA^ENIE L ( n) NA \LEMENTE f ( n) BUDEM ZAPISYWATX W WIDE: L f Tn. pUSTX ( n) SNABVENO ILI SLABOJ, ILI SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. tEOREMA O DUALXNOSTI. tOPOLOGI^ESKIE WEKTORNYE PROSTRANSTWA ( n) I ( n) IZOMORFNY (ALGEBRAI^ESKI I TOPOLOGI^ESKI). kONE^NO, W \TOJ TEOREME, KOGDA ( n) SNABVAETSQ SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ (SOOTWETSTWENNO SLABOJ), TO ( n) DOLVNO SNABVATXSQ SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ (SOOTWETSTWENNO SLABOJ), INDUCIRUEMOJ IZ ( n). dOKAZATELXSTWO. I. iZWESTNO, ^TO !~ NEPRERYWNO PREOBRAZUET ( n) W ( n). tRANSPONIROWANNOE K NEMU OTOBRAVENIE t!~ OPREDELQETSQ FORMULOJ: t!~ L ' := L !~ ' Tn, GDE L ( n) ' ( n). |TO TRANSPONIROWANNOE OTOBRAVENIE NEPRERYWNO PREOBRAZUET ( n) W ( n). o^EWIDNO, ^TO t!~ L ESTX PERIODI^ESKAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ (PERIODA 1). sLEDOWATELXNO, t!~ NEPRERYWNO OTOBRAVAET ( n) W ( n). II. s DRUGOJ STORONY, PUSTX ESTX -PERIODI^ESKOE RAZBIENIE EDINICY. tOGDA OTOBRAVENIE f f NEPRERYWNO OTOBRAVAET cE ( n) W ( n). oBOZNA^AQ ZANOWO ^EREZ SUVENIE \TOGO OTOBRAVENIQ NA ( n), IMEEM, ^TO NEPRERYWNO OTOBRAVAET ( n) W ( n). a PO\TOMU TRANSPONIROWANNOE K NEMU OTOBRAVENIE t NEPRERYWNO OTOBRAVAET ( n) W ( n). nAPOMNIM, ^TO \TO TRANSPONIROWANNOE OTOBRAVENIE OPREDELQETSQ FORMULOJ: 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

t U f

U f  U ( n) f ( n): rASSMOTRIM SUVENIE t NA ( n). oBOZNA^IM EGO ZANOWO ^EREZ t . tOGDA t NEPRERYWNO OTOBRAVAET ( n) W ( n). III. pOKAVEM TEPERX, ^TO t!~ I t QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI OTOBRAVENIQMI MEVDU ( n) I ( n). w SAMOM DELE, S ODNOJ STORONY, O^EWIDNO, ^TO (~! ) ESTX TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE W ( n). w SILU SWOJSTW TRANSPONIROWANIQ (t t !~ ) ESTX TOVDESTWO W ( n). s DRUGOJ STORONY, F ( n) I ' ( n) IMEEM: t! ~ ( t F ) ' = t F !~ ' Tn = hF (~!')i = = h F !~ 'i = h!~ ( F ) 'i = hF 'i  Tn :=

0

0

0

0

9

T

T T LT P T 2L T 2P T LT P T 2L T 2P T

TO ESTX t! t ESTX TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE W L( n).

L(

wYRAVENIE DUALXNOSTI MEVDU L(n n) I P (n n).

T PT

tEOREMA. pRI OTOVDESTWLENII ( ) I

( ) DUALXNOSTX MEVDU

WYRAVAETSQ FORMULOJ: hF f iTn = hT f i  F ( n) f ( n) GDE T ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITELEM, PERIODI^ESKOE PREOBRAZOWANIE KOTOROGO ESTX F . dOKAZATELXSTWO. tAK KAK OTOVDESTWLENIE ( n) I ( n) OSU]ESTWLQETSQ ^EREZ IZOMORFIZM t , RASSMOTRENNYJ WYE, TO hF f iTn = hF f i  F ( n) f ( n): pUSTX T 2 E ( n) TAKAQ, ^TO !~ T = F . tOGDA hF f iTn = hF f i = h!~ T f i = hT !~ ( f )i = hT f i : N.B. 10. tAK KAK WSQKAQ PERIODI^ESKAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ F MOVET BYTX WSEGDA RASSMATRIWAEMA KAK PERIODI^ESKOE PREOBRAZOWANIE NEKOTOROJ OBOB]ENNOJ FUNKCII S KOMPAKTNYM NOSITELEM, TO PREDPO^TITELXNEE PISATX: h!~ T f iTn = hT f i  T 2 E ( n) f 2 P ( n): 20. eSLI F | LOKALXNO INTEGRIRUEMAQ PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, TO MOVNO BRATX T = I n F . pO\TOMU n)

I (

0

n)

0

0

R

0

R

T

T

Z

hF f iTn = F (x)f (x)dx f 2 P ( n): In

IV.

rQDY fURXE

.

T T

oTNYNE OTOVDESTWLQEM L( n) I P ( n). oPREDELENIQ.

0

mY OPREDELIM DWA OTOBRAVENIQ: H I G , KOTORYE BUDEM NAZYWATX SOOTWETSTWENNO ANALIZ fURXE I SINTEZ fURXE.

a) aNALIZ fURXE. pUSTX U | PERIODI^ESKAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ (S PERIODOM 1). dLQ L@BOGO  2 n POLAGAEM: U^ = hU iTn 

Z

10

GDE (x) = exp(2ix) x = Pnk=1 k xk . pOSLEDOWATELXNOSTX U^ = (^u) Zn NAZYWA@T POSLEDOWATELXNOSTX@ KO\FFICIENTOW fURXE PERIODI^ESKOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII U . oTOBRAVENIE H : U 7! U^ , KOTOROE OTOBRAVAET P ( n) W PROSTRANSTWO POSLEDOWATELXNOSTEJ ( n), NAZYWA@T ANALIZOM fURXE. b)

2

C Z sINTEZ fURXE

0

T

.

POSLEDOWATELXNOSTI = (a) Zn RASSMATRIWAEM RQD P dLQn aKAVDOJ  . eSLI \TOT RQD SUMMIRUEM, PO OPREDELENNOJ TOPOLOGII, K a

2

 Z  

OBOB]ENNOJ (PERIODI^ESKOJ) FUNKCII U , TO GOWORQT, ^TO SINTEZ fURXE POSLEDOWATELXNOSTI a WOZMOVEN PO \TOJ TOPOLOGII. a OTOBRAVENIE G : a 7! U NAZYWA@T SINTEZOM fURXE. 2

TI Z T P T R\ R

T R R T

tEOREMA2 OBRA]ENIQ DLQ L2( n

l2 ( n). ~EREZ L ( ) OBOZNA^IM MNOVESTWO (KLASSOW) FUNKCIJ, OPREDELENNYH NA n, PERIODI^ESKIH (S PERIODOM 1), KWADRAT MODULQ KOTORYH LOKALXNO INTEGRIRUEM NA n, TO ESTX L2( n) = ( n) L2loc( n). bUDEM SNABVATX L2( n) TOPOLOGIEJ, INDUCIROWANNOJ IZ L2loc( n). |TA TOPOLOGIQ, O^EWIDNO, \KWIWALENTNA TOPOLOGII, POROVDAEMOJ SKALQRNYM PROIZWEDENIEM n)

0

(f jg)Tn =

iMEET MESTO

Z

f (x)g(x)dx:

In

T

T R R R T R R T T T R T T

pREDLOVENIE. pROSTRANSTWO L2( n), SNABVENNOE \TOJ PREDGILX-

BERTOWOJ STRUKTUROJ, QWLQETSQ POLNYM, TO ESTX L2( n) ESTX GILXBERTOWO PROSTRANSTWO. w SAMOM DELE, TAK KAK L2loc( n) QWLQETSQ POLNYM, TO DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO L2( n) QWLQETSQ ZAMKNUTYM W L2loc( n). pUSTX L2( n) ESTX ZAMYKANIE DLQ L2( n) PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA L2loc( n). tAK KAK \TA TOPOLOGIQ SILXNEE (TONXE), ^EM TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA D ( n) I TAK KAK P ( n) QWLQETSQ ZAMKNUTYM W D ( n), TO IMEEM: L2( n)  P ( n). sLEDOWATELXNO, L2( n)  (P ( n) \ L2loc( n)) = L2( n): 0

T

TT

T

tEOREMA OBRA]ENIQ.

0

0

0

0

10. aNALIZ fURXE H QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM IZOMORFIZMOM L2( n) 11

Z

T

NA l2 ( n). w ^ASTNOSTI, DLQ L@BOGO U 2 L2( n) IMEEM:

Z

In

jU j2dx =

X

 Zn 2

ju^j2 (FORMULA pARSEWALQ):

T T

Z

20. sINTEZ fURXE G WSQKOJ POSLEDOWATELXNOSTI a 2 l2 ( n) WOZMOVEN PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA L2( n). G QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM IZOMORFIZMOM l2 ( n) NA L2( n). 30. H I G QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI IZOMORFIZMAMI MEVDU L2( n) I l2 ( n). dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO TEOREME sTOUNA-wEJERTRASSA MNOVESTWO f  2 ng QWLQETSQ POLNYM W PROSTRANSTWE L2( n), PRI \TOM ONO OBRAZUET ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU. tOGDA TEOREMA WYTEKAET IZ RE-

Z

T Z Z

T

ZULXTATOW O PREDSTAWLENII W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE. nAPOMNIM \TI REZULXTATY. pREDSTAWLENIE W PROSTRANSTWE gILXBERTA. a) pUSTX (ei)i I | ORTONORMIROWANNOE SEMEJSTWO W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H . tOGDA SLEDU@]IE UTWERVDENIQ \KWIWALENTNY. 1) sEMEJSTWO (ei)i I QWLQETSQ POLNYM. 2)P8x 2 H SEMEJSTWO f(xjei)ei i 2 I g QWLQETSQ SUMMIRUEMYM W H I 2

2

x = i I (xjei )ei. P 3) 8x 2 H IMEEM: kxk2 = i I j(xjei)j2. b) pUSTX (ei )i I | GILXBERTOWYJ BAZIS (TO ESTX SEMEJSTWO POLNOE I ORTONORMIROWANNOE) W PROSTRANSTWE gILXBERTA H . tOGDA 8 = (i)i I 2 l2(I ) SEMEJSTWO (iei )i I QWLQETSQ SUMMIRUEMYM W H K NEKOTOROMU \LEMENTU x 2 H I i = (xjei): tEOREMA OBRA]ENIQ DLQ P ( n) I S ( n). 10. aNALIZ fURXE H QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM IZOMORFIZMOM P ( n) NA S ( n). 20. sINTEZ fURXE G WOZMOVEN NA S ( n) PO TOPOLOGII P ( n). G QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM IZOMORFIZMOM S ( n) NA P ( n). 30. H I G QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI IZOMORFIZMAMI. 2

2

2

2

2

Z

dOKAZATELXSTWO.

T Z T ZZ T T PT Z

10. pOKAVEM, ^TO H NEPRERYWNO OTOBRAVAET ( n) NA S ( n). iSPOLXZUQ REGULQRNOSTX (GLADKOSTX) I PERIODI^NOSTX U I INTEGRIRUQ PO ^AS-

12

N

TQM, IMEEM 8 2 n : (2i)u^

Z

=

Z



DU (x) exp(;2ix)dx = (DU ):

In D U

T Z Z T RR R R N

oTKUDA k(u^ )kl 6 k kL (I n ) 6 kDU kL (I n). |TO POKAZYWAET, ^TO u^ 2 S ( n) I ^TO OTOBRAVENIE H NEPRERYWNO OTOBRAVAET P ( n) W S ( n). 20. pOKAVEM, ^TO G NEPRERYWNO OTOBRAVAET S ( n) W P ( n). sNA^ALA ZAMETIM, ^TO POLNOTA PROSTRANSTWA C ( n) OZNA^AET, ^TO 8a 2 1 ( n) SINTEZ fURXE WOZMOVEN PO TOPOLOGII C ( n), INA^E GOWORQ, RQD lP n n  Zn a  SUMMIRUEM PO TOPOLOGII C ( ) K FUNKCII U 2 C ( ), ESLI 1 n). s DRUGOJ STORONY, 8 2 n POSLEDOWATELXNOSTX ( a ) n a 2 l (   Z P 1 n  TAKVE PRINADLEVIT l ( ). sLEDOWATELXNO, RQD  ZPn D (a) SUMMIRUEM PO TOPOLOGII C ( n) K DU . oKON^ATELXNO, RQD  Zn a SUMMIRUEM, PO TOPOLOGII E ( n), K \LEMENTU U . nEPRERYWNOSTX OTOBRAVENIQ G : a 7! U WYTEKAET IZ NERAWENSTWA kDU kL (I n) 6 kakl (Zn) : 30. pOKAVEM, ^TO G QWLQETSQ OBRATNYM K H, TO ESTX

Z 2

Z

1

1

1

ZR R

2

2

2

1

1

T HG 8 2 Z T 2 ZP T Z H G Z Z PT P T Z H h i 2P T  GHU = U 8U 2 P ( = a

n)

a s( n): w SILU PREDYDU]EJ TEOREMY OBRA]ENIQ, \TI DWA SOOTNOENIQ WERNY DAVE DLQ U 2 L2( n) I a l2 ( n). tEOREMA OBRA]ENIQ DLQ ( n) I s ( n). 10. aNALIZ fURXE ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM P ( n) NA s ( n). 20. sINTEZ fURXE WOZMOVEN NA s ( n) PO TOPOLOGII P ( n). G ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM s ( n) NA ( n). 30. H I G QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI IZOMORFIZMAMI. N.B. w \TOJ TEOREME ( n) I s ( n) SNABVENY SLABYMI DUALXNYMI TOPOLOGIQMI. dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM KO-ANALIZ fURXE H, OPREDELQEMYJ FORMULOJ: ( n): ( f ) = f  Tn  f pO PREDYDU]EJ TEOREME, \TO TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM P ( n) NA s( n), A OBRATNYJ K NEMU IZOMORFIZM , TO ESTX KO-SINTEZ fURXE H, OPREDELQP ETSQ FORMULOJ G a =  Zn a. a

0

0

0

0

0

0

0

TT Z 0

0

0

2

13

T Z

oBOZNA^IM ^EREZ tH I tG SOOTWETSTWENNO TRANSPONIROWANNYE OTOBRAVENIQ K H I G . sOGLASNO SWOJSTWAM TRANSPONIROWANNOGO OTOBRAVENIQ t H ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM s ( n) NA P ( n), A t G ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM P ( n) NA s ( n), TO ESTX tH I tG QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI. pO\TOMU TEOREMA BUDET DOKAZANA, ESLI UDASTSQ POKAZATX, ^TO tG = H I tH = G . dALEE DLQ KRATKOSTI ZAPISI BUDEM PISATX h  i WMESTO h  iTn. dOKAVEM, ^TO tG = H. dLQ L@BOGO U 2 P ( n) I DLQ L@BOGO a 2 s( n) IMEEM:

Z T T Z T* + Z 0

0

0

0

0

 tGU  = U G  = U X a  :   n  Z nO SUMMIRUEMOSTX PO TOPOLOGII P ( n) RQDA P Za I NEPRERYWNOSTX FUNKCIONALA U NA P ( n) POZWOLQ@T ZAPISATX: D X E X X a

U

T T a

2

2

hU ai =

a =

hU i a = hHU i 

Z T  X

a

TO ESTX tG = H. pOKAVEM, ^TO tH = G . pUSTX a 2 s ( n) I f 2 P ( n). tOGDA IMEEM: 0

 t H  f  =   Hf 0

a

Z

a

0

0

=

a hf i  0



Z

GDE WTOROE RAWENSTWO ESTX NE ^TO INOE, KAK DUALXNOSTX MEVDU s( n) I s ( n). nO Z 0

hf i = f (x)(x)dx = h f i : In

sLEDOWATELXNO, IMEEM:

 tHa  f  = X a h  f i :    n) RQD P ha   f i SUMMIRUEM |TO RAWENSTWO OZNA^AET , ^TO 8 f 2 P (     P t K Ha  f , ^TO I DOKAZYWAET, ^TO RQD a  SUMMIRUEM PO SLABOJ 0

0

T

0

T

0

   0

DUALXNOJ TOPOLOGII P ( n) K tHa . sLEDOWATELXNO, tH = G . 0

0

sLEDSTWIE (TEOREMA EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIQ W RQD fURXE).

eSLI WSE KO\FFICIENTY fURXE NEKOTOROJ OBOB]ENNOJ FUNKCII RAWNY NUL@, TO \TA OBOB]ENNAQ FUNKCIQ ESTX NULX. 14

dOPOLNITELXNYE SWEDENIQ O PERIODI^ESKIH OBOB]ENNYH FUNKCIQH.

pOSLEDN@@ TEOREMU MOVNO DOPOLNITX SLEDU@]EJ TEOREMOJ.

tEOREMA.

Z

R

10. sINTEZ fURXE G WSEGDA WOZMOVEN NA s ( n) PO TOPOLOGII S ( n). 20. wSQKAQ PERIODI^ESKAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ ESTX OBOB]ENNAQ FU0

0

NKCIQ MEDLENNOGO ROSTA I QWLQETSQ PROIZWODNOJ (OPREDELENNOGO PORQDKA) OT OGRANI^ENNOJ NEPRERYWNOJ PERIODI^ESKOJ FUNKCII (TEOREMA O STRUKTURE). dOKAZATELXSTWO. 10. pUSTX a 2 S ( n). tOGDA SU]ESTWUET k 2 TAKOE, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX a=(1 + jj2)k QWLQETSQ \LEMENTOM IZ P 1 n 2 k l ( ). pOLOVIM a = a=(1 + jj ) I RASSMOTRIM RQD  Zn a. tAK KAK a 2 l1 ( n) I TAK KAK C ( n) | POLNOE, TO \TOT RQD SUMMIRUEM PO TOPOLOGII C ( n) K FUNKCII f 2 C ( n). o^EWIDNO, f QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ, A PO\TOMU f | OGRANI^ENA. bOLEE TOGO, SUMMIRUEMOSTX RQDA K f QWLQETSQ, O^EWIDNO, RAWNOMERNOJ NA n (W SILU PERIODI^NOSTI). a TAK KAK RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX NA n WLE^ET SHODIMOSTX PO SILXNOJ DUALXNOJ (TEM BOLEE PO SLABOJ) PROSTRANSTWA S ( n), TO RQD P n a TOPOLOGII n). K f PO SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGII S (  Z   SUMMIRUEM ;  tAK KAK OPERATOR 1 ; 41  k QWLQETSQ NEPRERYWNYM NA S ( n), TO IMEEM:

NZ

0

ZR

0

R R R R 0

0

Z

2

0

RR R 0

2

0

2



ILI



k X 1  1 ; 2  f = a 1 ; 2 4 4 

X



k

 =

a = 1 ; 42 0

k

X ;  a 1 + jj2 k  

f

 P TO ESTX RQD  a | SUMMIRUEMYJ PO SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGII

R S Z

S ( n).

0

0

20. sOGLASNO PREDYDU]EJ TEOREME, WSQKAQ PERIODI^ESKAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ ESTX SINTEZ fURXE NEKOTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI (a) Zn IZ ( n). pO\TOMU WSQKAQ PERIODI^ESKAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ U MOVET BYTX ZAPISANA W WIDE:  k U = 1 ; 42 f GDE f ESTX PERIODI^ESKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ (OGRANI^ENNAQ). 0

2

0

15

pREOBRAZOWANIE fURXE lAPLASA I ULXTRAOBOB]ENNYE FUNK CII fUNKCII BYSTROGO UBYWANIQn I S KOMPAKTNYM SPEKTROMn . 0 n -

R

I.

R DR R

R

R

-

1 . oPREDELENIE. pOLOVIM Z( ) := f' 2 S ( )jF ' 2 D( )g. |LEMENT IZ Z( n) NAZYWA@T FUNKCIEJ BYSTROGO UBYWANIQ I S KOM-

R

PAKTNYM SPEKTROM tOPOLOGIQ NA Z( n) BUDET, PO OPREDELENI@, PROOBRAZOM PRI OTOBRAVENII F TOPOLOGII PROSTRANSTWA ( n).

R R

R

20. sWOJSTWA PROSTRANSTWA Z( n). a) Z( n) ESTX WEKTORNOE PODPROSTRANSTWO IZ S ( n), PLOTNOE W S ( n), USTOJ^IWOE PRI DIFFERENCIROWANII I MONOMIALXNOM UMNOVE-

NII. |TO SWOJSTWO WYTEKAET IZ LINEJNOSTI PREOBRAZOWANIQ fURXE F , PLOTNOSTI D W S I FORMUL F (D ') = (2i ) F ' I F (;2ix)'] = DF ' 8' 2 S : b) tOPOLOGIQ PROSTRANSTWA Z( n) QWLQETSQ HAUSDORFOWOJ (OTDELIMOJ), SOGLASU@]EJSQ S WEKTORNOJ STRUKTUROJ PROSTRANSTWA Z( n). |TO SWOJSTWO SLEDUET IZ TOPOLOGI^ESKIH SWOJSTW PROSTRANSTWA D( n). c) tOPOLOGIQ PROSTRANSTWA Z( n) BOLEE TONKAQ (SILXNEE), ^EM TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA S ( n). |TO SLEDUET IZ TOGO, ^TO TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA D( n) TONXE (SILXNEE), ^EM TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA S ( n). d) sUVENIE F NA Z( n) ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM PROSTRANSTWA Z( n) NA D( n) OBRATNYM IZOMORFIZMOM SLUVIT F . |TO SLEDUET IZ OPREDELENIQ PROSTRANSTWA Z( n) I TOGO, ^TO F I F QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI IZOMORFIZMAMI S ( n) NA SEBQ. nEPRERYWNOSTX F WYTEKAET IZ OPREDELENIQ TOPOLOGII NA Z( n). nEPRERYWNOSTX F WYTEKAET IZ ANALOGI^NOSTI SWOJSTW F I F .

R R R

R R R

R

RR R

uLXTRAOBOB]ENNYE FUNKCII ULXTRARASPREDELENIQ

R R R II.

R

RR

(

R

).

10. oPREDELENIE. wSQKIJ LINEJNYJ FUNKCIONAL, NEPRERYWNYJ NA n), NAZYWA@T ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCIEJ NA n . Z( ~EREZ Z ( n) OBOZNA^A@T PROSTRANSTWO ULXTRAOBOB]ENNYH FUNKCIJ NA n. pROSTRANSTWO Z ( n) SNABVA@T SLABOJ ILI SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. 0

0

R

16

R R R

20. wLOVENIE S ( n) W Z ( n). 0

R R

0

tEOREMA. wSQKAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA S NA n

R

MOVET BYTX RASSMATRIWAEMA KAK ULXTRAOBOB]ENNAQ FUNKCIQ. w ^ASTNOSTI, ZNANIE S NA Z( n) OPREDELQET S 2 S ( n). dLQ TOGO, ^TOBY ULXTRARASPREDELENIE BYLO OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ MEDLENNOGO ROSTA, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONO BYLO NEPRERYWNO NA Z( n) PO TOPOLOGII, INDUCIRUEMOJ IZ S ( n). dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO SWOJSTWAM PROSTRANSTWA Z( n), WLOVENIE Z( n) W S ( n) NEPRERYWNO I PLOTNO. a TOGDA DOSTATO^NO PRIMENITX TEOREMU O KANONI^ESKOM WLOVENII DUALXNYH PROSTRANSTW. 0

R

R R

R

30. oBRAZY fURXE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. a) oPREDELENIE. rASSMOTRIM LINEJNOE OTOBRAVENIE F (SOOTWETSTWENNO F ), KOTOROE BIEKTIWNO I NEPRERYWNO OTOBRAVAET Z( n) NA D( n). tRANSPONIROWANNOE K NEMU OTOBRAVENIE t F (SOOTWETSTWENNO tF ) NEPRERYWNO I BIEKTIWNO OTOBRAVAET D ( n) NA Z( n). tOGDA tF , PO OPREDELENI@, ESTX PREOBRAZOWANIE fURXE NA D ( n), A tF ESTX KOPREOBRAZOWANIE fURXE NA D ( n). pERESTAWLQQ MESTAMI Z( n) I D( n), OPREDELQ@T PREOBRAZOWANIE I KOPREOBRAZOWANIE fURXE NA Z( n). b) tEOREMA. 1) tF I tF QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI TOPOLOGI^ESKIMI IZOMOR0

R

RR R RR R

R R

0

0

FIZMAMI. 2) tF I tF ESTX PRODOLVENIQ SOOTWETSTWENNO F I F , KOTORYE PERWONA^ALXNO OPREDELENY NA S ( n). dOKAZATELXSTWO. tEOREMA SLEDUET IZ OB]IH SWOJSTW TRANSPOZICII I ONA POZWOLQET W DALXNEJEM UBRATX BUKWU ,,t" W tF I tF . 0

III.

10.

R

pROSTRANSTWA OPERATOROW

.

oPREDELENIQ.

a) wSQKAQ ULXTRAOBOB]ENNAQ FUNKCIQ, OBRAZ fURXE KOTOROJ ESTX

OBOB]ENNAQ FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITELEM, NAZYWAETSQ FUNKCIEJ S KOMPAKTNYM SPEKTROM. b) wSQKAQ ULXTRAOBOB]ENNAQ FUNKCIQ, OBRAZ fURXE KOTOROJ ESTX BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ, NAZYWAETSQ ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCIEJ BYSTROGO UBYWANIQ. mNOVESTWO FUNKCIJ S KOMPAKTNYM SPEKTROM OBOZNA^A@T O( n), A MNOVESTWO ULXTRAOBOB]ENNYH FUNKCIJ BYSTROGO UBYWANIQ | O ( n).

RR 0

17

RR RR RR R O R E R E R O R  R R O RO R \ O R OR F E R OR OR ER F F OR E R O R ER OR OR h i F F  2 O R 2O R iSSLEDOWANIE MULXTIPLIKATIWNOGO PROIZWEDENIQ 2O R 7! R R OR  R R SR R S R S R F F F F 2E R F 2D R oPREDELENIE MULXTIPLIKATIWNOGO PROIZWEDENIQ W R 2O R 2 R h i h i 2 R 2 R 7! R R 2O R F F 2 R F

iTAK,

O( n) := fU 2 ( n)j F U 2 E ( n)g O ( n) := fU 2 ( n)j F U 2 E ( n)g: 0

Z

0

Z

tOGDA, O^EWIDNO, IMEEM: ( n)

( n)

Z

I

( n) ( n) 0

0

( n)

Z

0

( n)

( n) = ( n) ( n ): tOPOLOGIQ PROSTRANSTWA ( n) QWLQETSQ, PO OPREDELENI@ ( n), PRO0

Z

OBRAZOM PRI OTOBRAVENII SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGII PROSTRANSTWA ( n). aNALOGI^NO, TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA ( n) QWLQETSQ, PO OPREDELENI@ ( n), PROOBRAZOM TOPOLOGII PROSTRANSTWA ( n). tOGDA I SUTX TOPOLOGI^ESKIE IZOMORFIZMY MEVDU ( n) I ( n) I MEVDU ( n) I ( n). mOVNO POKAZATX, ^TO ( n) QWLQETSQ SILXNYM DUALXNYM DLQ ( n) I ^TO 0

0

0

0

0

0

T f =

f T  T

0

( n) f

( n):

20. . a) lEMMA. pUSTX f | FUNKCIQ S KOMPAKTNYM SPEKTROM, TO ESTX f ( n), TOGDA OTOBRAVENIE ' f' NEPRERYWNO IZ Z( n) W Z( n). dOKAZATELXSTWO. tAK KAK ( n) M ( n), GDE M ( n) | PROSTRANSTWO MULXTIPLIKATOROW DLQ ( n) I DLQ ( n), A Z( n) ( n), TO IMEEM: (f') = ( f ) ( '): pO OPREDELENI@ IMEEM: ( f ) ( n) I ( ') ( n). a TOGDA DOSTATO^NO PRIMENITX TEOREMU O REGULQRIZACII (REGULQRIZU@]IE SWOJSTWA SWERTKI DLQ OBOB]ENNYH FUNKCIJ). n). b) Z( pUSTX f ( n), A U Z ( n), TOGDA fU OPREDELQ@T PO FORMULE: fU ' := U f'  ' Z( n): o^EWIDNO, fU Z ( n) I OTOBRAVENIE U fU NEPRERYWNO IZ Z ( n) W n). Z( c) tEOREMA O PERESTANOWKE. dLQ L@BOJ f ( n) I DLQ L@BOGO U Z ( n) IMEEM: (fU ) = ( f ) U . 0

0

0

0

0

0

0

0

18

R

dOKAZATELXSTWO. 8' 2 Z( n) IMEEM:





hF (fU ) 'i = hfU F 'i = hU f F 'i = FF U f F ' =     = F U F (f F ') = F U F f  ' = hF U  F f 'i :

R OR

R R R OR iSSLEDOWANIE SWERTKI 2 R 7!  R FR  F F RD R F D RF 2 D R F 7! F F oPREDELENIE SWERTKI \LEMENTA IZ R I \LEMENTA IZ R 2 R 2R     2 R h  i 7!  7!   2 R 7!  R R 2 R 2 R  2O R F  F F 2D R     |KWIWALENTNAQ FORMULIROWKA \TOJ TEOREMY: 8T1 2 E ( n) I 8T2 2 D ( n) IMEEM: F (T1  T2) = (F T1) (F T2). 0

0

sLEDSTWIE IZ TEOREMY O PERESTANOWKE.

sNABVENNOE MULXTIPLIKATIWNYM PROIZWEDENIEM WEKTORNOE PROSTRANSTWO ( n) QWLQETSQ MULXTIPLIKATIWNOJ ALGEBROJ S EDINICEJ, NA KOTOROJ PROSTRANSTWA Z( n) Z ( n) I ( n) QWLQ@TSQ MULXTIPLIKATIWNYMI MODULQMI S EDINICEJ. 0

. 30 . a) lEMMA. pUSTX Z( n). tOGDA OTOBRAVENIE ' ' NEPRERYWNO OTOBRAVAET Z( n) W Z( n). dOKAZATELXSTWO. iMEEM: ( ') = ( )( '). nO, PO OPREDELENI@ PROSTRANSTWA Z( n), ' I ( n) I OTOBRAVENIE ' ( )( ') NEPRERYWNO IZ ( n) W ( n). n) b) Z( n). Z( pUSTX U Z ( n) I Z( n). sWERTKU U OPREDELQ@T PO FORMULE U ' := U  '  ' Z( n): 0

0

iNA^E GOWORQ, OTOBRAVENIE U U QWLQETSQ TRANSPONIROWANNYM K OTOBRAVENI@ '  '. pO\TOMU U Z ( n) I OTOBRAVENIE U U NEPRERYWNO IZ Z ( n) W Z ( n). c) tEOREMA O PERESTANOWKE. pUSTX U Z ( n) I Z( n). tOGDA U ( n) I ( U ) = ( ')( U ). dOKAZATELXSTWO. dLQ L@BOGO ' ( n) IMEEM: 0

0

0

0

hF (  U ) 'i = h  U F 'i = U   F ' = F U F (   F ') =   = F U F (FF ') = hF U (F )'i = h(F ')F U 'i : sLEDSTWIE. pUSTX T 2 O ( n). tOGDA OTOBRAVENIE 7!  T

R R 2O R 7! 0

R

NEPRERYWNO OTOBRAVAET Z( w SAMOM DELE, ESLI T F 2 E ( n) I DOSTATO^NO WSPOMNITX, ^TO OTOBRAVENIE ' ', GDE 2 D, NEPRERYWNO IZ D W D. 0

n) W SEBQ. ( n), TO T 19

R

R RR R R R

d) oPREDELENIE SWERTKI \LEMENTA IZ Z ( n) I \LEMENTA IZ O ( n). pUSTX T 2 O ( n) I U 2 Z ( n), TOGDA SWERTKU (T  U ) OPREDELQ@T PO FORMULE:   hT  U 'i := U T  '  ' 2 Z( n): o^EWIDNO, OTOBRAVENIE U 7! T  U NEPRERYWNO IZ Z ( n) W Z ( n), TAK KAK ONO TRANSPONIROWANO PO OTNOENI@ K OTOBRAVENI@ ' 7! T  '. e) tEOREMA O PERESTANOWKE. 8T 2 O ( n) I 8U 2 Z ( n) IMEEM: F (T  U ) = (F T )(F U ). . 8' 2 D ( n) IMEEM: hF (T  U ) 'i = hT  U F 'i = UdOKAZATELXSTWO    T  F ' = F U F (T  F ') = hF U (F T )'i = h(F T )(F U ) 'i. |KWIWALENTNAQ FORMULIROWKA \TOJ TEOREMY: 0

0

R

0

R

0

0

R 8 2E R 8 2D R OR f

( n) T

0

0

0

0

( n) IMEEM: F (fT ) = (F f )  (F T ):

sLEDSTWIE IZ TEOREMY O PERESTANOWKE. wEKTORNOE PROSTRAN-

R R R

STWO ( n), SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ SWERTO^NOJ ALGEBROJ S EDINICEJ, NA KOTOROJ WEKTORNYE PROSTRANSTWA Z( n) Z ( n) I O( n) SUTX MODULI S EDINICEJ. 0

IV.

0

pERIODI^ESKIE ULXTRAOBOB]ENNYE FUNKCII.

Z

10. oPREDELENIE. uLXTRAOBOB]ENNAQ FUNKCIQ ODI^ESKOJ (S PERIODOM 1), ESLI  n IMEEM: 

8 2

T T

U NAZYWAETSQ PERI U = U.

R T R R

mNOVESTWO PERIODI^ESKIH ULXTRAOBOB]ENNYH FUNKCIJ OBOZNA^A@T U ( n) I EGO SNABVA@T TOPOLOGIEJ PROSTRANSTWA Z ( n). ~EREZ A( n) OBOZNA^A@T PERESE^ENIE U ( n) S O( n) I EGO SNABVA@T TOPOLOGIEJ, INDUCIROWANNOJ IZ O( n). kAVDYJ \LEMENT IZ A( n) NAZYWA@T PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ S KOMPAKTNYM SPEKTROM.

T

0

20. pERIODI^ESKOE PREOBRAZOWANIE ULXTRAOBOB]ENNYH FUNK-

CIJ BYSTROGO UBYWANIQ

.

R

a) oPREDELENIE. dLQ KAVDOJ ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCII BYSTROGO UBYWANIQ, TO ESTX U 2 O ( n), EE PERIODI^ESKOE PREOBRAZOWANIE !~ U OPREDELQ@T PO FORMULE: !~ U := !~   U GDE !~  ESTX PERIODI^ESKOE PREOBRAZOWANIE DLQ . b) sWOJSTWA PERIODI^ESKOGO PREOBRAZOWANIQ. 1) oTOBRAVENIE !~ NEPRERYWNO (LINEJNO) IZ O ( n) W Z ( n), EGO 0

0

20

R R 0

R

R R R R

SUVENIE NA Z( n) NEPRERYWNO IZ Z( n) W O( n) !~ QWLQETSQ TRANSPONIROWANNYM K SWOEMU SUVENI@. dOKAZATELXSTWO. nEPRERYWNOSTX ESTX SLEDSTWIE TOPOLOGI^ESKIH SWOJSTW TRANSPONIROWANNOGO OTOBRAVENIQ. a DLQ DOKAZATELXSTWA SOOTNOENIQ h!~ U 'i = hU !~ 'i  U 2 O( n) ' 2 Z( n) DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO F (~!U ) F ' = F U F !~ ' . a \TO O^EWIDNO. 2) !~ U QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ (S PERIODOM 1). dOKAZATELXSTWO. 8U 2 O ( n) IMEEM:   !~ U = (  !~ )  U = (~!)  U = !~ U 3) eSLI f 2 U ( n) I U 2 Z ( n) ILI f 2 A( n) I U 2 O ( n), TO !~ (fU ) = f !~ U . P n(  (fU ))) = P n(  f ) ; (  dOKAZATELXSTWO . ! ~ ( fU ) =   Z   Z  P U ) = f  Zn(  U ) = f !~ U . 0

T

0

0

R R

T

2

R

0

R R R 2

30. pERIODI^ESKOE RAZLOVENIE EDINICY W Z( n). a) oPREDELENIE. wSQKAQ FUNKCIQ  2 Z( n) TAKAQ, ^TO !~  = 1, NAZYWAETSQ PERIODI^ESKIM RAZLOVENIEM EDINICY W Z( n). b) tEOREMA SU]ESTWOWANIQ. sU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODNO PERIODI^ESKOE RAZLOVENIE EDINICY W Z( n). dOKAZATELXSTWO. pUSTX ' 2 D( n), GDE '(0) = 1. pOLOVIM = F'. tOGDA 2 Z( n) I 1  = 1. rASSMOTRIM FUNKCI@ =  I n , GDE I n | KUB SO STORONOJ ] ; 1=2 +1=2. tAK KAK I n 2 E ( n)  O ( n), TO IMEEM: 2 Z( n). s DRUGOJ STORONY, !~ = !~ (I n  ) = (~!  I n )  = 1  = 1. 40. lEMMA O SUR_EKTIWNOSTI. wSQKAQ PERIODI^ESKAQ ULXTRAOBOB2

R

R R

R

0

R R 0

]ENNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ OBRAZOM PRI PERIODI^ESKOM PREOBRAZOWANII !~ ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCII BYSTROGO UBYWANIQ. wSQKAQ PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ S KOMPAKTNYM SPEKTROM ESTX OBRAZ, PRI PERIODI^ESKOM PREOBRAZOWANII !~ , FUNKCII BYSTROGO UBYWANIQ I S KOMPAKTNYM SPEKTROM. dOKAZATELXSTWO. pUSTX | PERIODI^ESKOE RAZBIENIE EDINICY W n). eSLI F 2 U ( n), TO F 2 O ( n) I ! Z( ~ ( F ) = F !~ = F . a ESLI f 2 A( n), TO f 2 Z( n) I !~ ( f ) = f !~ = f .

R T TR R dUALXNOSTX MEVDU A T I U T UT AT h i h i 2U T 0

50.

( n) ( n). tEOREMA. pROSTRANSTWO ( n) MOVET BYTX RASSMATRIWAEMO KAK DUALXNOE K ( n), A DUALXNOSTX WYRAVAETSQ FORMULOJ:

F f

Tn =

U f  F

21

T

( n) f 2 A( n)

GDE U ESTX ULXTRAOBOB]ENNAQ FUNKCIQ BYSTROGO UBYWANIQ, DLQ KOTOROJ F ESTX PERIODI^ESKOE PREOBRAZOWANIE. dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY TAKOE VE, KAK TEOREMY W TEME ,,dUALXNOSTX MEVDU P ( n) I L( n)". N.B. oTNYNE OTOVDESTWLQEM U ( n) S A ( n).

T T T T aNALIZ I SINTEZ fURXE W PROSTRANSTWE PERIODI^ESKIH ULXTRAOBOB]ENNYH FUNKCIJ W A T aNALIZ fURXE 2Z h i 0

V.

0

(

( n)).

10. oPREDELENIQ. a) . pUSTX U | PERIODI^ESKAQ ULXTRAOBOB]ENNAQ FUNKCIQ (S PERIODOM 1). dLQ L@BOGO  n POLAGAEM u^ = U   GDE (x) = exp(2ix): pOSLEDOWATELXNOSTX u^ = (^u ) Zn NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ KO\FFICIENTOW fURXE PERIODI^ESKOJ ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCII U 2 A ( n). oTOBRAVENIE H : U 7! U^ , KOTOROE PEREWODIT A ( n) W PROSTRANSTWO POSLEDOWATELXNOSTEJ ( n), NAZYWA@T ANALIZOM fURXE. b) sINTEZ fURXE. POSLEDOWATELXNOSTI a = (a) Zn RASSMATRIWA@T RQD P dLQn aWSQKOJ  Z   . eSLI \TOT RQD SUMMIRUEM, PO NEKOTOROJ TOPOLOGII, K NEKOTOROJ (PERIODI^ESKOJ) ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCII U , TO GOWORQT, ^TO 0

T

2

CZ

0

T

2

2

SINTEZ fURXE POSLEDOWATELXNOSTI a WOZMOVEN PO \TOJ TOPOLOGII I OTOBRAVENIE G : a 7! U NAZYWA@T SINTEZOM fURXE.

T CZ

CZ

20. tEOREMA OBRA]ENIQ DLQ A( n) I ( n). zDESX ( n) | WEKTORNOE PROSTRANSTWO KOMPLEKSNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ S KOMPAKTNYM NOSITELEM. eGO SNABVA@T SWOEJ ESTESTWENNOJ INDUKTIWNOJ TOPOLOGIEJ. tEOREMA. 1) aNALIZ fURXE H ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM A( n) NA ( n). 2) sINTEZ fURXE G WOZMOVEN NA ( n) PO TOPOLOGII A( n) G ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM ( n) NA A( n). 3) H I G QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI IZOMORFIZMAMI.P dOKAZATELXSTWO. pUSTX u 2 A( n)  L2( n). tOGDA u =  Zn u  | SUMMIRUEMYJ RQD , PO KRAJNE MERE, W L2( n), A SLEDOWATELXNO, W P ( n). rQD F u =  Zn u^  SUMMIRUEM, PO KRAJNEJ MERE W D ( n). tAK KAK u 2 O( n), TO F u 2 E ( n). pO\TOMU KO\FFICIENTY fURXE u^ DOLVNY OBRA]ATXSQ W NULX WNE NEKOTOROGO KOMPAKTA. iNA^E GOWORQ,

ZR 0

R

2

C Z CZ T T TT R 0

22

TT C Z 2

0

R

CZ T

CZ

P

R

u^ 2 ( n). oBRATNO, PUSTX a 2 ( n).PtOGDA f =  Zn a WSEGDA IMEET SMYSL. s DRUGOJ STORONY, F f =  Zn a 2 E ( n), SLEDOWATELXNO, f 2 A( n). oSTALXNAQ ^ASTX TEOREMY DOKAZYWAETSQ BEZ TRUDA. 30. tEOREMA OBRA]ENIQ DLQ A ( n) I ( n). pROSTRANSTWO ( n) PO-PREVNEMU SNABVENO SWOEJ ESTESTWENNOJ TOPOLOGIEJ (TOPOLOGIEJ KOMPAKTNOJ SHODIMOSTI). tOGDA IZWESTNO, ^TO ( n) QWLQETSQ SILXNYM DUALXNYM K ( n). tEOREMA. n) NA ( n). 1) aNALIZ fURXE H ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM A ( 2) pO TOPOLOGII ULXTRAOBOB]ENNYH FUNKCIJ SINTEZ fURXE G WSEGDA WOZMOVEN DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI a. G ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM ( n) NA A ( n). 3) H I G QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI IZOMORFIZMAMI.

CZ

T CZ

2

0

2

0

CZ

0

CZ

0

T

CZ T CZ

|TA TEOREMA WYTEKAET IZ PREDYDU]EJ W SILU TOPOLOGI^ESKIH SWOJSTW TRANSPONIROWANNOGO OTOBRAVENIQ. sLEDSTWIE. (tEOREMA EDINSTWENNOSTI). eSLI WSE KO\FFICIENTY fURXE NEKOTOROJ ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCII SUTX NULI, TO ONA RAWNA NUL@ TOVDESTWENNO. dOKAZATELXSTWO.

C

pREOBRAZOWANIE fURXE lAPLASA I ULXTRAOBOB]ENNYE n FUNKCII NA VI.

-

C

.

s POMO]X@ PREOBRAZOWANIQ fURXE-lAPLASA MY SOBIRAEMSQ WWESTI ULXTRAOBOB]ENNYE FUNKCII NA n , KOTORYE PREDSTAWLQ@T SOBOJ BOLEE UDOBNYJ INSTRUMENT, ^EM ULXTRAOBOB]ENNYE FUNKCII NA n. 10 . a)

R oPREDELENIE I SWOJSTWA PREOBRAZOWANIQ fURXE lAPLASA pREOBRAZOWANIE fURXE lAPLASA \LEMENTOW IZ D R 2D R Z FL ; 2C FL C F R C C DR R -

(

-

n).

.

pUSTX ' ( tOGDA PREOBRAZOWANIE fURXE-lAPLASA DLQ ' OPREDELQ@T PO FORMULE n).

(

')( ) :=

Rn

exp( 2ix)'(x)dx 

n:

o^EWIDNO, FUNKCIQ ( ')( ), OPREDELENNAQ NA n , QWLQETSQ PRODOLVENIEM FUNKCII ( ')( ), OPREDELENNOJ NA n, GDE  =  + i: oBOZNA^IM ^EREZ Z( n ) OBRAZ fURXE-lAPLASA DLQ PROSTRANSTWA ( n). hARAKTERISTIKA PROSTRANSTWA Z( n ) BYLA POLU^ENA RANEE W TEOREME p\LI-wINERA: pUSTX b > 0 f | FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA n. tOGDA SLEDU@]IE UTWERVDENIQ \KWIWALENTNY: 23

R

f ESTX OBRAZ fURXE DLQ NEKOTOROJ FUNKCII ' 2 D( n), NOSITELX KOTOROJ SODERVITSQ W ARE fjxj 6 bg n FUNKCII f~, OBLADA@]EJ 2) f PRODOLVIMA DO GOLOMORFNOJ NA SWOJSTWOM: 8k 2 SU]ESTWUET Ck TAKOE, ^TO jf~( )j 6 Ck(1 + j j2) k exp(2bjIm j)  2 n : 1)

C

N CFL

C

;

RR

tOPOLOGIQ W Z( n ) OPREDELQETSQ KAK TOPOLOGIQ, PERENOSIMAQ IZ D( n) PRI OTOBRAVENII . tOGDA FL ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM D( n) NA Z( n ). oBRATNYJ IZOMORFIZM, BUDU^I KO-PREOBRAZOWANIEM fURXE F , OPREDELQETSQ PO FORMULE:

C

(F )(x) =

Z

( ) exp(2ix )d x 2

R

n

C R pREOBRAZOWANIE fURXE lAPLASA \LEMENTOW IZ D R C C 2D R hFL i h F i 2 C F R 7! F C D DR R C 7! FL 7! F F F FL FL pROSTRANSTWA OPERATOROW OC ER OC E R O C OC ER E R S R   2E R 2C FL P Rn

GDE (xi) | SUVENIE 2 Z( n ) NA n. b)

0

-

( n).

oBOZNA^IM ^EREZ Z ( n ) | TOPOLOGI^ESKOE DUALXNOE K PROSTRANSTWU n ) I EGO SNABDIM SLABOJ ILI SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. Z( pREOBRAZOWANIE fURXE-lAPLASA DLQ T ( n) OPREDELIM FORMULOJ 0

0

( n )

T := T 

Z

GDE ESTX OBRAZ fURXE DLQ SUVENIQ FUNKCII NA n. tAK KAK OTOBRAVENIE ESTX ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORn n FIZM Z( ) NA ( ), TO OTOBRAVENIE T T ESTX TOPOLOGI^ESKIJ n n IZOMORFIZM ( ) NA Z ( ), TAK KAK \TO OTOBRAVENIE QWLQETSQ TRANSPONIROWANNYM PREOBRAZOWANIEM K PREOBRAZOWANI@ . zAMETIM, ^TO ESLI T1 = T2, TO T1 = T2 . 0

0

20.

.

oBOZNA^IM ^EREZ ( n ) OBRAZ fURXE-lAPLASA DLQ ( n) I ^EREZ ( n ) OBRAZ fURXE-lAPLASA DLQ ( n). pROSTRANSTWA ( n ) I ( n ) SNABVAEM PERENOSNYMI TOPOLOGIQMI IZ ( n) I ( n). tAK VE KAK I W TEORII PREOBRAZOWANIQ fURXE W ( n) POKAZYWAETSQ, 0

0

0

0

0

^TO

( T )( ) = T   T GDE  (x) = exp(2i nk=1 kxk ). 24

0

( n ) 

n

oTMETIM, ^TO HARAKTERISTIKA PROSTRANSTWA O(Cn) DANA RANEE W TEOREME p\LI-wINERA-{WARCA: pUSTX b > 0, A f | FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA n. tOGDA SLEDU@]IE UTWERVDENIQ \KWIWALENTNY: 1) f QWLQETSQ OBRAZOM fURXE NEKOTOROJ OBOB]ENNOJ FUNKCII T 2 E ( n), NOSITELX KOTOROJ SODERVITSQ W KOMPAKTNOM ARE jxj 6 b n , OBLADA@]EJ SLE2) f PRODOLVIMA DO GOLOMORFNOJ FUNKCII f~ NA DU@]IM SWOJSTWOM: SU]ESTWU@T m 2 I C > 0 TAKIE, ^TO jf~( )j 6 C (1 + j j2)m=2e2b Im  8 2 n : tAK VE, KAK I RANXE, (SM. ,,pROSTRANSTWO OPERATOROW W Z ( n)") OPREDELQETSQ MULXTIPLIKATIWNOE PROIZWEDENIE \LEMENTA IZ O( n ) I \LEMENTA IZ Z ( n ), A TAKVE SWERTKA \LEMENTA IZ O ( n ) I \LEMENTA IZ ( n ). iMEET MESTO TEOREMA O PERESTANOWKE: pREOBRAZOWANIE fURXE-lAPLASA PERESTAWLQET OPERATORY SWERTKI I MULXTIPLIKATIWNOGO PROIZWEDENIQ. iNA^E GOWORQ, 8T 2 D ( n) 8S 2 E ( n) I f 2 E ( n) IMEEM: 0

R

R

N

j

C

ZC R FL R 0

0

0

j

C C

0

C

0

0

RC

R

(T S ) = (FLT )(FLS ) FL(fT ) = (FLf )  (FLT ):

30. pRIMERY PREOBRAZOWANIJ fURXE-lAPLASA. a) pREOBRAZOWANIE fURXE-lAPLASA PROIZWODNYH

MERY dIRAKA

I SDWIGOW

NFL R

tEOREMA. 8 2 n  8a 2 n IMEEM:

(D ) = (2i )  FL(a) = a( ):   )]( ) = D     = (;1)   D    = dOKAZATELXSTWO .  FL ( D          (;1)  (;2i )  = (2i ) . a TAKVE FL(a)]( ) = a  = = exp(;2ia ). sLEDSTWIE. 8 2 n  8a 2 n 8T 2 D ( n) IMEEM: FL(D T ) = (2i ) (FLT ) FL( aT ) = a( )(FLT )( ): dEJSTWITELXNO, D T = D   T aT = a  T I PRIMENQEM TEOREMU O PERESTANOWKE. b) pREOBRAZOWANIE fURXE-lAPLASA MONOMIALXNYH I \KSPONENCIALXNYH FUNKCIJ. sNA^ALA WWEDEM OPERACII SDWIGA I DIFFERENCIROWANIQ W Z ( n ), POj

j

LAGAQ

j

N R

0

C

j

R

C

C

0

h aU i := hU a i  a 2 n  U 2 ( n ) 2 ( n ) ;

25

Z

0

Z

C

N C

D U  := (;1)  U D    2 n :

C

C N C FL ;

j

j

dALEE, DLQ L@BOGO a 2 n OPREDELQEM ULXTRAOBOB]ENNU@ FUNKCI@ dIRAKA a NA n FORMULOJ ha i := (a) 8 2 Z( n ). tEOREMA. 8 2 n  8a 2 n IMEEM:

ZC

( 2ix) ]( ) = D ( ) FLa (x)]( ) = a( ): dOKAZATELXSTWO. rE^X IDET O TOM, ^TOBY POKAZATX: 8 2 ( n ) IMEEM: D   = (;2ix)  F   h  i = h  F i : a a pUSTX ' 2 D( n) TAKAQ, ^TO FL' = . tOGDA WSE SWODITSQ K DOKAZATELXSTWU TOGO, ^TO 

R

Z

FL')(0) = '(;

D (

Rn

A \TO O^EWIDNO.

x)(2ix) dx

N CFL

(FL')(a) =

sLEDSTWIE. 8 2 n  8a 2 n  8T

R

Z

Rn

'(;x)e2iaxdx

2 D ( n) IMEEM: FL(;2ix) T ] = D ( T ) FL(aT ) = a(FLT ): 0

|TO SLEDUET IZ TEOREMY O PERESTANOWKE I SOOTNOENIJ:

ZC C

a  U = a U D   U = D U KOTORYE, KAK LEGKO UBEDITXSQ, IME@T MESTO DLQ L@BOJ U 2 ( n ). 40. rQDY tEJLORA DLQ ULXTRAOBOB]ENNYH FUNKCIJ IZ Z ( n ). w OTLI^IE OT OBOB]ENNYH FUNKCIJ, ULXTRAOBOB]ENNAQ FUNKCIQ IZ n ) WSEGDA ,,ANALITI^ESKAQ". tO^NEE, IMEET MESTO TEOREMA O RAZZ( LOVENII W RQD tEJLORA: P pUSTX U 2 Z ( n ). dLQ L@BOGO a 2 n RQD  Nn a! D U QWLQETSQ SUMMIRUEMYM K ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCII aU PO SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGII Z ( n ). N.B. w SILU \TOJ TEOREMY PROSTRANSTWO Z ( n ) NAZYWA@T E]E PROSTRANSTWOM ANALITI^ESKIH FUNKCIONALOW NA Z( n ). P dOKAZATELXSTWO. o^EWIDNO, RQD  Nn(2iax) = ! SHODITSQ K FUNKCII a(x) PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA E ( nP ). pUSTX T 2 D ( n) TAKAQ, ^TO EE OBRAZ fURXE-lAPLASA ESTX U . rQD  Nn((2iax) = !) T SHODITSQ K OBOB]ENNOJ FUNKCII aT PO SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGII PROSTRANSTWA D ( n). a TOGDA, PEREHODQ K PREOBRAZOWANI@ fURXE-lAPLASA, POLU^AEM TEOREMU. 0

0

C

0

0

C

0

C

C

;

0

R

2

0

R

26

CC

2

0

2

R

pREOBRAZOWANIE lAPLASA

.

R

pREOBRAZOWANIE lAPLASA SU]ESTWENNO ULU^AET SIMWOLI^ESKOE IS^ISLENIE W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +). oNO ANALOGI^NO PREOBRAZOWANI@ fURXE-lAPLASA, NO W TO WREMQ KAK OBRAZ fURXE-lAPLASA FUNKCII hEWISAJDA DOSTATO^NO SLOVEN, OBRAZ lAPLASA \TOJ FUNKCII O^ENX PROST. oTS@DA I POLEZNOSTX PREOBRAZOWANIQ lAPLASA W D ( +). w DALXNEJEM POLOVIM ep(x) = exp(px) x 2  p 2 . 0

R R C f 2 Rj 2S R g R 0

R

10. lEMMA O WYPUKLOSTI. 1) pUSTX T 2 D ( ). pOLOVIM ;T :=  0

e  (x)T

0

;

( ) . tOGDA

;T ESTX WYPUKLOE MNOVESTWO (PUSTOE ILI NET) IZ . 2) kROME TOGO, ESLI NOSITELX T OGRANI^EN SLEWA, TO ;T ESTX POLU-

PRQMAQ, OGRANI^ENNAQ SLEWA. dOKAZATELXSTWO.

1) eSLI ;T | PUSTOE ILI WYROVDAETSQ W TO^KU, TO NE^EGO DOKAZYWATX. pREDPOLOVIM PROTIWNOE. pUSTX 1 I 2 | DWA \LEMENTA IZ ;T . rASSMOTRIM  = t1 + (1 ; t)2 0 6 t 6 1 I POKAVEM, ^TO  2 ;T . pOLOVIM f (x) = exp(;x)=(exp(;1x) + exp(2x)). tOGDA, O^EWIDNO, ^TO f 2 C ( ) I ^TO 0 6 f (x) 6 1 8x 2 . tAKVE MOVNO UBEDITXSQ, ^TO WSE PROIZWODNYE OT f (x) OGRANI^ENY. sLEDOWATELXNO, f 2 M ( ) I TAK KAK e  T = f e 1 T + f e 2 T , TO e  T 2 S ( ). iTAK, ;T | WYPUKLO, A POTOMU ;T ESTX PROMEVUTOK W . 2) pREDPOLOVIM, ^TO supp T  a +1 a 2 . pUSTX 1 2 ;T  RASSMOTRIM TO^KU  > 1 I POKAVEM, ^TO  2 ;T . dLQ \TOGO PUSTX | FUNKCIQ IZ KLASSA C ( ), RAWNAQ 1 NA OKRESTNOSTI a +1 I S NOSITELEM, OGRANI^ENNYM SLEWA. tOGDA 1

R

R

0

;

;

;

1

20 .

( 1 ) e 1 T

;

tAK KAK FUNKCIQ e

R

;

;

( 1 )

;

R

R

e T = e ;

;

;

= ( e

R

R

( 1 ) )(e 1 T ):

;

;

;

R

R

PRINADLEVIT M , TO e  T 2 S ( ). 0

;

tEOREMA I OPREDELENIE.

pUSTX T 2 D ( +) TAKOE, ^TO ;T | NEPUSTOE I PUSTX T = inf ;T . tOGDA 1) 8p 2 TAKOGO, ^TO Rep > T , MOVNO PRIDATX SMYSL WYRAVENI@ hT e p i. 2) fUNKCIQ LT : p 7! hT e p i QWLQETSQ GOLOMORFNOJ NA OTKRYTOJ POLUPLOSKOSTI ;0T  W I IMEEM: Dk(LT ) = (;1)k L(xk T ) 8k 2 : (I ) ;

C

0

RC

N

;

27

R

R

pO OPREDELENI@ \TA FUNKCIQ NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIEM lAPLASA DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII T 2 D ( +). pOLUPLOSKOSTX ;0T  NAZYWA@T OBLASTX@ SU]ESTWOWANIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA LT , A T NAZYWA@T ABSCISSOJ SU]ESTWOWANIQ LT . iTAK, IMEEM: 0



LT (p) = T (x) e

pt

;

dOKAZATELXSTWO TEOREMY.

R

:

R R

RR

1) pUSTX | FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA , KLASSA C , RAWNAQ 1 NA OKRESTNOSTI + I S NOSITELEM, OGRANI^ENNYM SLEWA. pUSTX 1 2 TAKOE, ^TO T < 1 < Rep, TOGDA e 1 T 2 S ( ) I e (p 1) 2 S ( ). tOGDA OPREDELQEM hT e p i := e 1 T e (p 1 ) . o^EWIDNO, \TO OPREDELENIE NE ZAWISIT OT WYBORA 1. pOKAVEM, ^TO ONO NE ZAWISIT I OT WYBORA FUNKCII . w SAMOM DELE, PUSTX ' | FUNKCIQ, OBLADA@]AQ SWOJSTWAMI FUNKCII . tOGDA ( ; ') ESTX NULX NA OKRESTNOSTI NOSITELQ T , A  PO\TOMU e 1 T ( ; ')e (p 1) = 0. 2) pUSTX 1 I WYBRANY KAK W PUNKTE 1). pOLOVIM g(p) = he 1 T e pi. pUSTX h 2  h 6= 0, GDE jhj 6 Rep=2 IMEEM:   g(p + h) ; g(p) = e T e (p+h) ; e p : 1 h h o^EWIDNO, ^TO (e (p+h) ; e p)=h STREMITSQ, PO TOPOLOGII S ( ), K FUNKCII ;x e p , KOGDA h STREMITSQ K NUL@. oTKUDA SLEDUET, ^TO dg=dp SU]ESTWUET I ^TO dg=dp = he 1 T ; xe p i.  nO (LT )(p) = g(p ; 1) = e 1 T e (p 1 ) , OTKUDA  = L(;xT )(p): d(LT ) = e T ; xe 1 (p 1 ) dp i PO INDUKCII POLU^AEM FORMULU (I). 30. fUNDAMENTALXNOE SWOJSTWO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA. a) lEMMA. mNOVESTWO D ( +) \ S ( ) QWLQETSQ PODALGEBROJ SWERTO^NOJ ALGEBRY D ( +). dOKAZATELXSTWO. pUSTX S I T 2 D ( +) \ S ( ). pOKAVEM, ^TO S  T 2 S ( n). zAME^AQ, ^TO S  T = 2a( a S  aT ), MOVNO WEZDE PREDPOLAGATX, ^TO supp S I supp T WKL@^ENY W a +1 GDE a > 0. pOKAVEM, ^TO FUNKCIONAL ' 7! hS  T 'i NEPRERYWEN NA D( ) PO TOPOLOGII S ( ). pUSTX ' 2 D( ) ' (x y) := '(x + y). rASSMOTRIM FUNKCI@ 0

;

;

;

1

C

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

R

R

0

;

R

R

;

0

;

;

R R 0

0

;

4

28

R R

;

R

;

;

0

;

0

R

RR

R R

 2 D(  ) TAKU@, ^TO 0 6  6 1 supp   +  +  = 1 NA OKRESTNOSTI (supp S  supp T) \ supp ' . pO OPREDELENI@ SWERTKI IME EM: hS  T 'i := S  T ' . nO 8k 2 IMEEM: sup (x y) R j(1+x2+y2)k '(x+y)(x y)j 6 sup (x y) R j(1+x2+y2)k'(x+y)j 6

N

4

4

2

2

1 + x2 + y 2 k

2

2 +

j (1 + jx + yj2)k '(x + y)j 6 1 + jx + yj 6 sup (x y) R j(1 + jx + yj2)k '(x + y)j 6 supz Rj(1 + z 2)k '(z )j: tAK KAK S  T ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA, TO LEMMA 6 sup (x y)

2

2 +

2

DOKAZANA.

R2+

2

2

R

b) tEOREMA O PERESTANOWKE. pUSTX S I T 2 D ( +). tOGDA 1) ;S T  ;S \ ;T , 2) 8p 2 TAKOGO, ^TO Rep > S _ T , IMEEM: L(S  T ) = LS (p)LT (p) GDE S _ T := sup fS  T g. dOKAZATELXSTWO. 1) pUSTX  > S _ T . tOGDA e  S  e  T ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, PRINADLEVA]AQ D ( +) \ S ( ), TAK KAK e  S I e  T ESTX \LEMENTY IZ D ( +) \ S ( ). pOKAVEM, ^TO \TA OBOB]ENNAQ FUNKCIQ RAWNA e  (S  T ). dEJSTWITELXNO, 8' 2 D( ) IMEEM:     h(e  S )  (e  T )i = e  S  e  T ' = S  T (e  ') = = hS  T e  'i = he  (S  T ) 'i : tAKIM OBRAZOM, e  (S  T ) 2 S ( ) SLEDOWATELXNO,  2 ;S T . iTAK, MY POKAZALI, ^TO S T 6 S _ T I KAK SLEDSTWIE ;S T  ;S \ ;T . 2) pUSTX | FUNKCIQ KLASSA C ( ), NOSITELX KOTOROJ OGRANI^EN SLEWA, RAWNAQ 1 NAOKRESTNOSTI 0 1. dLQ p 2  Rep > S _ T , IME EM: L(S  T )(p) = e 1 (S  T ) e (p 1 ) , GDE 1 | WE]ESTWENNOE ^ISLO TAKOE, ^TO S _ T < 1 < Rep. sLEDOWATELXNO, IMEEM:   L(S  T )(p) = (e 1 S )  (e 1 T ) e (p 1) =     = e 1 S  e 1 T  e (p 1 )] = e 1 S  e 1 T e (p 1)] : mOVNO ZAMENITX NA  W PRAWOJ ^ASTI, TAK KAK \TI FUNKCII RAWNY 1 NA OKRESTNOSTI supp S  supp T . pO\TOMU    L(  T )(p) = e 1 S e (p 1 ) e 1 T e (p 1 ) = LS (p)LT (p): 

C

0

R R R R R R R C 0

0

;

;

;

;

0

;

0

4

;

;

;

4

;

;

;

;

0

;







1

;

;

;

;

;

;

4

;

;

;

4

;

;

;

4

;

;

;

;

;

29

;

;

4

;

;

40. sOOTNOENIE MEVDU PREOBRAZOWANIQMI lAPLASA I fURXE.

bUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ F PRIWEDENNOE PREOBRAZOWANIE fURXE. nAPOMNIM, ^TO PREOBRAZOWANIE (F f )() =

Z

f (x)e

;

Rn

R

R

 2  f 2 L1( n)

ix dx

R

NAZYWA@T PRIWEDENNYM. a) tEOREMA. pUSTX T 2 D ( +) I T | ABSCISSA SU]ESTWOWANIQ LT . tOGDA 8 > T OBRAZ fURXE OBOB]ENNOJ FUNKCII MEDLENNOGO ROSTA e  T ESTX FUNKCIQ, SWQZANNAQ S LT SOOTNOENIEM: 0

R

;

LT ( + ip) = F (e  T )](p) p 2 : dOKAZATELXSTWO. pOLOVIM F (p) = LT ( +ip) I POKAVEM, ^TO F = F (e  T ). dLQ L@BOJ ' 2 D( ) IMEEM W SOKRA]ENNYH OBOZNA^ENIQH: ;

hF  'i =

ZD

e

R

R

;

;

1 x T (x) (x)e ( 1 )xe ipx ;

;

;

E

'(p)dp =

D x E (  )x pix = e T (x)  '(p) (x)e e = D x D EE (  )x ipx = e T (x) '(p) (x)e e = D x E   (  )x ipx = e T (x) (x)e  '(x) e =   = T (x) e xF '(x) = hT e  F 'i = hF (e T ) 'i  1

;

;

1

;

;

1

;

;

;

1

;

;

TO ESTX F = F (e  T ).

1

;

;

1

;

;

;





;

;

b) sLEDSTWIE (TEOREMA EDINSTWENNOSTI). pUSTX T I S | DWE OBOB]ENNYE FUNKCII S NOSITELQMI W ZAMYKANII + I OBLADA@]IE PREOBRAZOWANIQMI lAPLASA. eSLI SU]ESTWUET 0 2 ;T \ ;S TAKOE, ^TO

R

R

LT (0 + ip) = LS (0 + ip) p 2  TO T = S . 30

c) pRILOVENIE TEOREM O PERESTANOWKE I EDINSTWENNOSTI (TE-

OREMA OBRA]ENIQ

R

)

pUSTX S I T | DWE OBOB]ENNYE FUNKCII S NOSITELQMI W + I OBLADA@]IE PREOBRAZOWANIQMI lAPLASA DLQ Rep > S I Rep > T . eSLI LS (p)LT (p) = 1 Rep > S _ T  TO S I T ESTX WZAIMNO OBRATNYE \LEMENTY W SWERTO^NOJ ALGEBRE

R

D ( +). 0

TEOREME O PERESTANOWKE, (S  T ) OBLADAET PREOBRAZOWANIEM lAPLASA I L(S  T )(p) = 1 DLQ Rep > T _ S . a TOGDA, W SILU TEOREMY EDINSTWENNOSTI, IMEEM S  T = . N.B. iZ SOOTNOENIQ MEVDU PREOBRAZOWANIQMI fURXE I lAPLASA I FORMULY OBRA]ENIQ DLQ PREOBRAZOWANIQ fURXE MOVNO WYWESTI FORMULU bROMWI^A, POZWOLQ@]U@ NAHODITX OBOB]ENNU@ FUNKCI@, ZNAQ EE OBRAZ lAPLASA. mY NE BUDEM EE PRIWODITX, POTOMU ^TO ONA REDKO PRIMENQETSQ. dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO

50. ~ASTNYE SLU^AI. a) oBRAZY lAPLASA DLQ OBOB]ENNYH FUNKCIJ S KOMPAKTNYM NOSITELEM. tEOREMA. pUSTX T 2 D ( +) \ E ( ). tOGDA (LT )(p) ESTX CELAQ

R RC i L h 8 2R 8 2C 0

0

GOLOMORFNAQ FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA FORMULOJ: ( T )(p) = T e p : w SAMOM DELE,  OBOB]ENNAQ FUNKCIQ (e  T ) 2 S ( ). pO\TOMU ;T = I LT (p) OPREDELENA p . N.B. oTMETIM, ^TO MEVDU PREOBRAZOWANIEM lAPLASA DLQ T I PREOBRAZOWANIEM fURXE-lAPLASA \TOJ VE OBOB]ENNOJ FUNKCII T IMEET MESTO SOOTNOENIE: LT (2i ) = (FLT )( ): pRIMERY: Lb(p) = e bp 8b > 0 I L(Dm) = pm  8m 2 .

R

;

0

;

R N

;

b) oBRAZY lAPLASA DLQ FUNKCIJ. tEOREMA. pUSTX f | LOKALXNO-INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ S NOSITELEM W + PUSTX f | ABSCISSA SU]ESTWOWANIQ OBRAZA lAPLASA DLQ f . kROME TOGO, PREDPOLOVIM, ^TO 8 > f , MERA rADONA, POROVDAEMAQ FUNKCIEJ f e  , ESTX MERA Z MEDLENNOGO ROSTA. tOGDA Lf (p) = e pxf (x)dx p 2  Re p > f :

R

C

;

;

R

31

R R

dOKAZATELXSTWO. pUSTX 1 2

TAKOE, ^TO f < 1 < Re p I PUSTX | FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA , KLASSA C , RAWNAQ 1 NA OKRESTNOSTI + I S NOSITELEM, OGRANI^ENNYM SLEWA. tOGDA IMEEM:

R

e f e  ;

1

(p

;

;

1

 = Z (e f )( ; e  ) 1

;

1

(p 1 ) )dx =

;

R

;

C

pRIMER. pUSTX FUNKCIQ Y  > 0  2 ,  1 x  Y (x) = Y (x) ;() e x ;

;

Z

R

e pxf (x)dx: ;

OPREDELENA FORMULOJ:

R

x2 

GDE ;() | GAMMA-FUNKCIQ. tOGDA OBLASTX SU]ESTWOWANIQ OBRAZA lAPLASA ESTX POLUPLOSKOSTX P := fp 2 j Re p > ;Re g I 8p 2 P IMEEM:

C

(LY)(p) =

1 : (p + )

N.B. w \TOJ FORMULE WYBRANA TA WETWX FUNKCII (p + ) W POLUPLOSKOSTI P , KOTORAQ STROGO POLOVITELXNA DLQ (p + ) DEJSTWITELXNYH. dOKAZATELXSTWO. dLQ  2 , GDE  < ;Re , OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, POROVDAEMAQ FUNKCIEJ Ye  , NE QWLQETSQ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ MEDLENNOGO ROSTA. s DRUGOJ STORONY, DLQ  2 , GDE  > ;Re , MERA rADONA, POROVDAEMAQ FUNKCIEJ Y, ESTX MERA MEDLENNOGO ROSTA, TO ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA. iTAK, MY TOLXKO ^TO POKAZALI, ^TO ABSCISSA SU]ESTWOWANIQ OBRAZA lAPLASA DLQ Y ESTX ;Re . pUSTX TEPERX p 2 , GDE Re p > ;Re . tOGDA, W SILU TOLXKO ^TO DOKAZANNOJ TEOREMY, IMEEM:

R

;

R

C

Z x  LY (p) = 1

1

e xe pxdx = 1  1 ;() (p + ) ;() ;



0

;

;

Z

i arg(p+)

1

z  1e z dz: ;

;

0

i, W SILU TEOREMY O WY^ETAH, POSLEDNIJ INTEGRAL RAWEN

Z

1

N C

0

x 1 e xdx = ;(): ;

;

R

pRIWEDEM W ZAKL@^ENIE TABLICU NEKOTORYH PREOBRAZOWANIJ lAPLASA, W KOTOROJ m 2  a 2  !  2 . 32

oRIGINAL 1)  2) b, b > 0 3) Dm 4)Y 5) Y xm 6) Y xme ax 7) Y cos !x 8) Y sin !x 9) Y e x cos !x 10) Y e x sin !x ;

;

;

oBRAZ oBLASTX SU]ESTWOWANIQ OBRAZA 1

e pb pm 1 p m! pm+1 m! (p+a)m+1 p p2 +!2 ! p2 +!2 p+ (p+)2 +!2 ! (p+)2 +!2 ;

CC C

Rep > 0 Rep > 0 Rep > ;Rea Rep > 0 Rep > 0 Rep > ; Rep > ;

N.B. pERWYE TRI STRO^KI TABLICY WYWODQTSQ IZ 50: a), DRUGIE | IZ 50: b).

33

lITERATURA 1] wLADIMIROW w.s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1976. 2] iOSIDA k. fUNKCIONALXNYJ ANALIZ. m.: mIR, 1967. 3] {WARC l. aNALIZ. t. I, II. m.: mIR, 1972. 4] {WARC l. mATEMATI^ESKIE METODY DLQ FIZI^ESKIH NAUK. m.: mIR, 1965.

34