О квазирезольвентных моделях

Алгебра и логика, 43, N 5 (2004), 614—628

УДК УДК 512.540+510.5

О КВАЗИРЕЗОЛЬВЕНТНЫХ МОДЕЛЯХ∗) А. Н. ХИСАМИЕВ

В монографии [1] введено важное понятие квазирезольвентного допустимого множества и доказаны следующие факты: 1) если M — модель регулярной (т. е. разрешимой и модельно полной) теории, то наследственно конечное допустимое множество HF(M) является квазирезольвентным; 2) В квазирезольвентных допустимых множествах существует универсальная Σ-функция. По аналогии с этим понятием в [2] дано определение квазирезольвентной модели и доказано, что модель M конечной сигнатуры квазирезольвентна тогда и только тогда, когда наследственно конечное допустимое множество HF(M) квазирезольвентно. Поэтому исследование квазирезольвентных моделей представляет интерес. В данной работе вводится понятие 1-квазирезольвентной модели и устанавливаются связи между квазирезольвентными и 1-квазирезольвентными моделями. Выводятся достаточные условия, когда модель 1-квазирезольвентна и когда она не является таковой. Описываются квазирезольвентные алгебры Ершова (теор. 2.4) и абелевы p-группы (теор. 3.4). Из этих теорем следует, что: 1) алгебра Ершова (абелева p-группа) квазирезольвентна тогда и только тогда, когда она 1-квазирезольвентна; 2) алгебра Ершова (абелева p∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 02-01-00593, INTAS, грант N 00-499, и Министерства образования Российской Федерации, проект N PD02-1.1-201.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

О квазирезольвентных моделях

615

группа) квазирезольвентна, то некоторое ее обогащение конечным числом констант является моделью регулярной теории. Будем придерживаться стандартной терминологии и обозначений по допустимым множествам, теории моделей, алгебрам Ершова и группам, принятым в [1—7]. В дальнейшем сигнатура всегда конечна.

§ 1. 1-квазирезольвентные модели

 Пусть M — модель конечной сигнатуры σ, σ1 = σ ∪ ∅, ∈, U 1 ,

HF(M) — наследственно конечное допустимое множество над моделью

M. Зафиксируем гёделеву нумерацию Γ всех формул сигнатуры σ1 . Через Φn будет обозначаться формула с номером n. Пусть даны формула Φ сигнатуры σ и конечная последовательность a ¯ = ha0 , . . . , an−1 i элементов из M . Через F V (Φ) обозначается множество всех свободных переменных формулы Φ. Пусть F V (Φ) = {x0 , . . . , xm−1 }. Если m 6 n, то x ,...,x

m−1 получается из формулы Φ подстановкой вместо xi элеΦ(¯ a) = (Φ)a00,...,am−1

ментов ai . Если m > n, то через Φ(¯ a) обозначается формула ∃x(x 6= x). Определим в HF(M) двухместный предикат ¯) = {hn, a ¯i | M |= Φn (¯ a), n ∈ ω, a ¯ ∈ M <ω }, Tr1M(n, a где Φn (¯ x) — формула сигнатуры σ номера n, M <ω — множество всех конечных последовательностей элементов из M . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 [2]. Модель M называется квазирезольвентной, если существует последовательность подмножеств Mn ⊆ M , n ∈ ω, (квазирезольвента) такая, что 1) M0 ⊆ M1 ⊆ . . . , S 2) Mi = M ,

3) предикаты P = {hn, ai | a ∈ Mn }, TrM = {hn, m, a ¯i | Mn |=

|= Φm (¯ a), a ¯ ∈ Mn<ω } являются ∆-предикатами в HF(M). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Модель M назовем 1-квазирезольветной, если предикат Tr1M является ∆-предикатом в HF(M).

616

А. Н. Хисамиев ЗАМЕЧАНИЕ 1.3. Модель M является 1-квазирезольвентной тогда

и только тогда, когда квазирезольвенту можно выбрать так, чтобы все множества последовательности Mn , i ∈ ω, из определения 1.1 были равны множеству M , т. е. чтобы существовала квазирезольвента длины 1. Из [1, теор. 3.5.1] следует ЗАМЕЧАНИЕ 1.4. Любая модель регулярной теории 1-квазирезольвентна. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Стандартная модель арифметики Ω = = hω, 0, s, +, ·, ≤i является квазирезольвентной, но не 1-квазирезольвентной моделью. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко понять, что Ω резольвентна, а поэтому и квазирезольвентна. Тот факт, что она не является 1-квазирезольвентной, следует из нетривиальности арифметической иерархии и того, что в HF(Ω) любое Σ-подмножество A ⊆ ω вычислимо перечислимо [1]. 2 Приведем пример резольвентной периодической абелевой группы, которая не будет 1-квазирезольвентной. Пусть S — вычислимо перечислимое, но не вычислимое множество простых чисел, и G = ⊕{Cp | p ∈ S}, где Cp — циклическая группа порядка p. Легко проверить, что группа G и, следовательно, наследственно конечное допустимое множество HF(G) являются вычислимыми моделями. Как и в [8, предлож. 2] можно доказать, что группа G резольвентна. Покажем, что группа G не является 1-квазирезольвентной. Предположим противное. Для любого простого числа p через Φf (p) обозначается формула ∃x(x 6= 0 & px = 0). Тогда p ∈ S ⇔ G |= Φf (p) ⇔ HF(G) |= Tr1G (f (p), 0). Так как Tr1G (f (p), 0) является ∆-предикатом, а HF(G) — вычислимая модель, то множество S вычислимо, получаем противоречие. Приведем одно достаточное условие, при котором квазирезольвентная модель является 1-квазирезольвентной. ТЕОРЕМА 1.6. Если модель M квазирезольвентна и счетно-категорична, то она 1-квазирезольвентна.

О квазирезольвентных моделях

617

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть последовательность подмножеств Mi ⊆ ⊆ M , i ∈ ω, является квазирезольвентой модели M. Тогда существуют последовательность элементов ¯b ∈ M <ω и Σ-формула Φ(n, x, ¯b) такие, что x ∈ Mn ⇔ HF(M) |= Φ(n, x, ¯b). Используя известный метод представления Σ-формулы сигнатуры σ1 в виде дизьюнкции вычислимой последовательности ∃-формул сигнатуры σ и теорему Рылль-Нардзевского [4, теор. 2.3.13], легко понять, что суще  ствует ∃-формула Ψn (x, ¯b) сигнатуры σ, ¯b , для которой HF(M) |= Φ(n, c, ¯b) ⇔ M |= Ψn (c, ¯b)

при любом элементе c ∈ M . Поскольку модель M счетно-категорична, то существует такое число r, что для любого s > r в M истинна формула (Ψs (x, ¯b) ≡ Ψ0 (x, ¯b)) ∨ . . . ∨ (Ψs (x, ¯b) ≡ Ψr−1 (x, ¯b)). Отсюда Mr+i = M , i ∈ ω. Следовательно, модель M является 1-квазирезольвентной. 2 Из доказательства теоремы 1.6 непосредственно вытекает СЛЕДСТВИЕ 1.7. Пусть модель M квазирезольвентна и счетнокатегорична. Существует конечное константное обогащение hM, a ¯i модели M такое, что теория Th(hM, a ¯i) модельно полна. Приведем одно достаточное условие 1-квазирезольвентности модели. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.8. Пусть M — модель сигнатуры σ, причем 1) теория T = Th(M) модельно полна; 2) множество номеров A аксиом теории T является Σ-множеством в HF(M). Тогда модель M будет 1-квазирезольвентна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что Tr1M является ∆-предикатом. Из условия 2 следует, что Γ−1 (T ) ∈ ∆(HF(M)).

(1)

618

А. Н. Хисамиев Через B и C обозначаются соответственно множества всех формул и

Σ-формул сигнатуры σ. Из (1) следует, что E = {hm, si | ∀¯ x(Φm (¯ x) ≡ Φs (¯ x)) ∈ T, m ∈ B, s ∈ C} также является ∆-предикатом в HF(M). В силу условия 1 имеем Tr1M(m, a ¯) ⇔ HF(M) |= m ∈ B & ∃s(hm, si ∈ E & TrΣ (s, a ¯)), ¬

Tr1M(m, a ¯) ⇔ HF(M) |= m ∈ / B ∨ ∃s(hg(m), si ∈ E & TrΣ (s, a ¯)),

где Φg(m) = ¬ Φm . Отсюда получаем Tr1M ∈ ∆(HF(M)). 2 ЗАМЕЧАНИЕ 1.9. Условие 2 является необходимым для того, чтобы модель была 1-квазирезольвентной. Приведем пример 1-квазирезольвентной модели, у которой любое конечное константное расширение не является моделью регулярной теории.

 Пусть S ⊆ ω — бесконечное подмножество и сигнатура σ = f 1 . Пусть

теория TS определяется следующим множеством аксиом Ax ⇌ AxS : 1) ∀x∃z(f (z) = x), 2) ∀z1 ∀z2 (f (z1 ) = f (z2 ) → z1 = z2 ), V 3n∈S ) ∃x(f n (x) = x) & (f i (x) 6= f j (x)), i,j
i6=j

n 4n∈S / ) ∀x(f (x) 6= x) ∨

W

(f i (x) = f j (x)),

i,j
i6=j

5n∈ω ) ∀x∀y f n (x) = x & f n (y) = y →

W

s6n

где f n = f (f (. . . (f (x) . . .))). {z } |

!

y = f s (x) ,

n раз

Легко проверить, что теория TS будет ∀∃-аксиоматизируема и несчет-

но-категорична. По теореме Линдстрема (см. [4, теор. 3.1.12]) она модельно полна. Тогда из предложения 1.8 получаем СЛЕДСТВИЕ 1.10. Модель M теории TS будет 1-квазирезольвентной тогда и только тогда, когда S является ∆-предикатом в HF(M).

О квазирезольвентных моделях

619

СЛЕДСТВИЕ 1.11. Существует 1-квазирезольвентная модель такая, что любое ее конечное константное расширение не является моделью регулярной теории. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть множество S является дополнением до вычислимо перечислимого, но не вычислимого множества, M — некоторая модель теории TS . Легко проверить, что S ∈ ∆(HF(M)). Отсюда и по следствию 1.10, модель M будет 1-квазирезольвентной. В силу выбора множества S любое конечное константное расширение модели M не является моделью регулярной теории. 2 Приведем одно достаточное условие, при котором модель не будет квазирезольвентной. Говорят, что модель N является Σ01 -подмоделью модели M (N 1 M), если N ⊆ M и для любых ∃-формулы ϕ(¯ x) и последовательности a ¯ ∈ N <ω справедлива эквивалентность N |= ϕ(¯ a) ⇔ M |= ϕ(¯ a). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12. Пусть M — модель сигнатуры σ и для любой конечной последовательности элементов a ¯ ∈ M <ω существуют Π01 формула Θa¯ (¯ x) без параметров сигнатуры σ, Σ01 -подмодель N модели M, a ¯ ∈ N <ω , вложение f : N → N модели N в себя и последовательность элементов ¯b ∈ N <ω такие, что f ↾a ¯ = id,

(2)

N |= Θa¯ (¯b) ∧ ¬ Θa¯ (f ¯b).

(3)

Тогда модель M называется E-разделяющейся (или ER-моделью). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.13. Любая ER-модель не будет квазирезольвентной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что M является квазирезольвентной ER-моделью. Пусть последовательность M0 ⊆ M1 ⊆ . . . является ее квазирезольвентой. Тогда существует Σ-формула Ψ(n, m, x, a ¯) сигнатуры <ω выполняется σ1 = σ ∪ h∅, ∈, U i такая, что для любых n, m ∈ ω и ¯b ∈ M n

M ↾ Mn |= Φm (¯b) ⇔ HF(M) |= Ψ(n, m, ¯b, a ¯),

(4)

620

А. Н. Хисамиев

где Φm (¯ x) — формула без параметров сигнатуры σ номера m. Пусть символы Θa¯ , N, f, ¯b означают то же, что и в определении 1.12, и Θa¯ = Φm (¯ x) = x, y¯). = ∀¯ y Φ0m (¯ В силу (3) существует такая последовательность c¯ ∈ N <ω , что N |= ¬ Φ0m (f ¯b, c¯).

(5)

M |= ¬ Φ0m (f ¯b, c¯).

(6)

Из (5) и N 1 M получаем

Выберем число n такое, что a ¯, ¯b, f ¯b, c¯ ∈ Mn<ω . Из (3), (6) вытекает M ↾ Mn |= Φm (¯b) & ¬ Φm (f ¯b).

(7)

HF(M) |= Ψ(n, m, ¯b, a ¯).

(8)

Из (4), (7) следует

Из представления Σ-формулы сигнатуры σ1 в виде дизъюнкции вычислимой последовательности ∃-формул сигнатуры σ вытекает: если N 1 M, то HF(N) 1 HF(M).

(9)

HF(N) |= Ψ(n, m, ¯b, a ¯).

(10)

Отсюда и из (8) следует

Поскольку вложение f модели N можно расширить до вложения f¯ : HF(N) → HF(N) и Ψ является Σ-формулой, из (2) и (10) имеем HF(N) |= Ψ(n, m, f ¯b, a ¯).

(11)

Поскольку Ψ является Σ-формулой, используя (4), (7) и (9) получаем HF(N) |= ¬ Ψ(n, m, f ¯b, a ¯), что противоречит (11). 2

О квазирезольвентных моделях

621

§ 2. Алгебры Ершова В этом параграфе дается описание квазирезольвентных алгебр Ершова. Пусть даны алгебра Ершова A и элемент a ∈ A. Будем использовать следующие обозначения: a ˆ = {x ∈ A | x ≤ a}, a⊥ A — ортогональное дополнение элемента a в алгебре A, F (A) — идеал Фреше, F∗ (A) — суператомная часть алгебры A. Атомный элемент a ∈ A такой, что b ∈ / F (A), назовем бесконечным атомным. ЛЕММА 2.1. Если cчетная алгебра Ершова A содержит бесконечный атомный элемент b, то для любой алгебры Ершова B прямая сумма C = A ⊕ B является ER-моделью. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана конечная последовательность элементов a ¯ ∈ C <ω , a ¯ = ha0 , . . . , an−1 i. Построим вложение f : C → C алгебры C в себя такое, что f ↾ a ¯ = id, f ↾ B = id и f удовлетворяет условиям определения 1.12. Не умаляя общности рассуждения, можно считать, что a ¯ ∈ A<ω . Пусть c0 , . . . , cm−1 — атомы подалгебры, порожденной элементами a0 , . . . , an−1 и a = a0 ∨ . . . ∨ an−1 . Тогда ˆ = cb0 ⊕ cb1 ⊕ . . . ⊕ c[ A=a ˆ ⊕ a⊥ m−1 . A, a

(12)

Пусть b0 = b ∧ a, b1 = b \ a, тогда b = b0 ∨ b1 и один из b0 , b1 будет бесконечным атомным элементом. Рассмотрим возможные случаи. 1) Пусть b0 — бесконечный атомный элемент. Существует i такое, что c ⇋ b ∧ ci будет бесконечным атомным элементом. Для определенности полагаем i = 0 и c′ = c0 \ c. Тогда cb0 = cˆ ⊕ cb′ .

Рассмотрим множество всех атомов {d0 , d1 , . . .} алгебры cˆ. Опреде-

лим частичное вложение h : cˆ → cˆ, положив

hd0 = d0 ∨ d1 , hdi = di+1 , i > 0. Так как cˆ — атомная булевая алгебра, то существует вложение f : C → C, ¯ = id, продолжающее h и тождественное на c⊥ C . Легко проверить, что f ↾ a f ↾ B = id. Для формулы Φ(x) = ∀y(y < x → y = 0) и элемента d0 верно C |= Φ(d0 ) & ¬ Φ(f d0 ), т. е. C является ER-моделью.

622

А. Н. Хисамиев

⊥ b 2) Пусть b1 — бесконечный атомный элемент. Тогда a⊥ A = b1 ⊕(b1 ∨a)A . Отсюда и из (12) получаем A = a ˆ ⊕ bb1 ⊕ (b1 ∨ a)⊥ . Теперь как и в случае 1 A

можно доказать, что A является ER-моделью. 2

ЛЕММА 2.2. Если A — счетная специальная алгебра Ершова, а B — произвольная алгебра Ершова, то прямая сумма C = A⊕B является ER-моделью. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 2.1 можно считать, что ординальный тип α(A) алгебры A равен 1. Пусть дана конечная последовательность элементов a ¯ ∈ C <ω , a ¯ = ha0 , . . . , an−1 i. Построим вложение f : C → C алгебры C в себя такое, что f ↾ a ¯ = id, f ↾ B = id и f удовлетворяет условиям определения 1.12. Не умаляя общности рассуждения, можно считать, что P a ¯ ∈ A<ω . По [6, предлож. 10] алгебра A представима в виде A = Ai , где i

Ai = {0, ¯ 1i }. Для элемента a ∈ A через a(i) обозначается i-я координата

элемента a, т. е. a = (a(0) , a(1) , . . .), где a(i) ∈ Ai . Пусть число m — наимень(j)

шее такое, что для любых чисел i < n, j > m верно равенство ai

= 0.

Легко проверить, что существует изоморфное вложение f : C → C, для которого f (1i ) = 1i , i < m, f (1m ) = 1m ∨ 1m+1 , f (1m+j ) = 1m+j+1 , j > 0, f ↾ B = id, где 1s = (0, . . . , ¯ 1s , 0, . . .). Также как и в конце доказательства леммы 2.1 проверяется, что f является требуемым вложением. 2 ЛЕММА 2.3. Пусть A — счетная нормальная алгебра Ершова, суператомная часть F∗ (A) которой отлична от нуля, а B — произвольная алгебра Ершова. Тогда F∗ (A) является Σ01 -подмоделью алгебры C ⇋ A ⊕ B. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана произвольная последовательность элементов a ¯0 = ha0 , . . . , an−1 i ∈ F∗ (A). Достаточно показать, что для произвольной последовательности элементов ¯b = hbn , . . . , br−1 i ∈ C существует последовательность a ¯1 = han , . . . , ar−1 i ∈ F∗ (A) такая, что подалгебры A0 , A1 , порожденные соответственно элементами последовательностей a ¯0 , ¯b и a ¯0 , a ¯1 , изоморфны. Пусть атомы подалгебры A0 — это c0 , . . . , cs−1 , а c0 , . . . , ct−1 , t 6 s, — все атомы из a ˆ, где a ⇋ a0 ∨ . . . ∨ an−1 . Тогда c0 , . . . , ct−1 ∈ F∗ (A). Поскольку F∗ (A) — специальная алгебра Ершова, в

О квазирезольвентных моделях

623

ней найдутся атомы dt , . . . , ds−1 ∈ a⊥ A . Через A1 обозначим подалгебру, порожденную элементами c0 , . . . , ct−1 , dt , . . . , ds−1 . Очевидно, существует изоморфизм ϕ : A0 → A1 такой, что ϕci = ci , i < t, ϕcj = dj , t 6 j < s. Тогда элементы aj = ϕbj , n 6 j < r, будут искомыми. 2 ТЕОРЕМА 2.4. Для алгебры Ершова A эквивалентны следующие утверждения: (1) A 1-квазирезольвентна; (2) A квазирезольвентна; (3) A является прямой суммой безатомной алгебры Ершова и конечной алгебры Ершова. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) ⇒ (2). Очевидно. (2) ⇒ (3). Пусть A квазирезольвентна, и A′ — некоторая ее счетная элементарная подмодель. Покажем, что для A′ справедливо условие 3. По предложению [6, предлож. 14] существует разложение A′ = A0 ⊕ A1 , где A0 — нормальная алгебра Ершова, а A1 — суператомная алгебра Ершова. Если A1 бесконечна, то по леммам 2.1, 2.2 алгебра A′ , а следовательно, и алгебра A будут ER-моделями. По предложению 1.13 алгебра A не квазирезольвентна, поэтому алгебра A1 конечна. Рассмотрим нормальную алгебру A0 . Суператомная часть F∗ (A0 ) этой алгебры специальная. Если же F∗ (A0 ) 6= 0, то она бесконечна. Тогда из лемм 2.2, 2.3 следует, что алгебра A′ , а следовательно, и алгебра A будут ER-моделями. По предложению 1.13 алгебра A не квазирезольвентна, приходим к противоречию. Значит, F∗ (A0 ) = 0, т. е. A0 безатомна. Таким образом, для алгебры A′ , а следовательно, и для алгебры A, справедливо утверждение 3. (3) ⇒ (1). Пусть A = A0 ⊕A1 , где A0 — безатомная алгебра Ершова, а A1 — конечная алгебра Ершова. Рассмотрим алгебру hA, A1 i, которая является обогащением алгебры B константами для элементов алгебры B1 . Тогда теория Th(hA, A0 i) разрешима и модельно полна, т. е. hA, A0 i является моделью регулярной теории. По замечанию 1.4 алгебра Ершова A будет

624

А. Н. Хисамиев

1-квазирезольвентной. 2 Из доказательства теоремы 2.4 вытекает СЛЕДСТВИЕ 2.5. Если алгебра Ершова квазирезольвентна, то некоторое ее обогащение конечным числом констант является моделью регулярной теории. Модель M назовем квазижесткой, если орбита любого ее элемента конечна. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6 [2, 9]. Если наследственно конечное допустимое множество HF(M) над моделью M резольвентно, то существует ее обогащение конечным числом констант c¯, которое является квазижесткой моделью. СЛЕДСТВИЕ 2.7. Не существует счетной резольвентной алгебры Ершова. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное, т. е. алгебра Ершова A резольвентна, тогда она квазирезольвентна и, по теореме 2.4, изоморфна A0 ⊕ A1 , где A0 — безатомная, а A1 — конечная алгебры Ершова. Тогда алгебра A не является квазижесткой, что противоречит предложению 2.6. 2 § 3. Абелевы p-группы В этом параграфе описываются квазирезольвентные абелевы pгруппы, под словом ”группа“ будет пониматься абелева p-группа. Если G — группа, то через Gω обозначается прямая сумма ω экземпляров группы G, Cpn — циклическая группа порядка pn , Cp∞ — квазициклическая p-группа, G[p] = {x | px = 0}. Рангом группы G называется ранг векторного пространства G[p]. ЛЕММА 3.1. Если для абелевой p-группы G существуют числа r, s ∈ ω, 0 < r < s, такие, что G = G0 ⊕ G1 ⊕ G2 , G0 ≃ Cpωr , G1 ≃ Cpωs , то G не будет квазирезольвентной.

О квазирезольвентных моделях

625

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предложению 1.13 достаточно проверить, что G является ER-моделью. Пусть дана конечная последовательность элементов a0 , . . . , an−1 ∈ G. Через H0 обозначается подгруппа, порожденL i ная этими элементами. Пусть Gi = (aj ), i < 2, где (a0j ) ∼ = Cps , = Cpr , (a1j ) ∼ j∈ω

j ∈ ω, и число k — наименьшее такое, что для любого элемента x ∈ H0

при условии x = x0 + x1 + x2 , xj ∈ Gj , j < 3, выполняется xi ∈ G′i , где G′i ⇋ (ai0 )⊕. . .⊕(aik−1 ), i < 2. Тогда H0 ⊆ H1 ⇋ G′0 ⊕G′1 ⊕G2 , и существует вложение f группы G в себя такое, что f ↾ H1 = id, f a0k = ps−r a1k , f a0k+i = a0k+i , i > 0, f a1k+j = a1k+j+1 , j > 0. Через Φ(x) обозначается формула ∀y ¬ (py = x). Тогда G |= Φ(a0k ) ∧ ¬ Φ(f a0k ), значит, группа G является ER-моделью. 2 ЛЕММА 3.2. Если порядки элементов редуцированной части R абелевой p-группы G неограничены в совокупности, то G не является квазирезольвентной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть a ¯ — последовательность элементов из G; G0 — счетная элементарная подмодель G, содержащая a ¯. Легко заметить, что редуцированная часть R0 группы G0 также неограничена. Известно [10, стр. 83], что группа R0 , а следовательно, и группа G0 имеют прямое слагаемое G′0 =

M

(ai ),

i∈ω

где (ai ) ≃ Cpni , n0 < n1 < . . . . Тогда для некоторой подгруппы G′1 ⊆ G0 имеем G0 = G′0 ⊕ G′1 . Пусть подгруппа H0 определена как в лемме 3.1, и число k — наименьшее такое, что для любого элемента x ∈ H0 при условии x = x0 + x1 , c0 , где G c0 ⇋ (a0 ) ⊕ . . . ⊕ (ak−1 ). Тогда xi ∈ G′ , i < 2, выполняется x0 ∈ G i

c0 ⊕ G′ и существует вложение f : G0 → G0 группы G0 в себя H0 ⊆ H1 ⇋ G 1

такое, что

f ↾ H1 = id, f ak+i = pnk+i+1 −nk+i ak+i+1 , i > 0.

626

А. Н. Хисамиев

Дальнейшие рассуждения проводятся как в лемме 3.1. 2 ЛЕММА 3.3. Если для некоторого числа n > 0 абелева p-группа G имеет прямое слагаемое G0 ≃ Cpωn ⊕ Cpω∞ , то G не является квазирезольвентной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть подгруппа H0 определена как в лемме 3.1 и G0 =

M M (a0i ) ⊕ Di , G = G0 ⊕ G1 , i∈ω

где

(a0i )

i∈ω

≃ Cpn , Di ≃ Cp∞ , i ∈ ω. В каждой подгруппе Di выберем элемент

di порядка pn . Пусть число k — наименьшее такое, что для любого элемента x ∈ H0 при условии x = x0 + x1 + x2 выполняется x0 ∈ G′0 ⇋ (a00 ) ⊕ . . . ⊕ ⊕(a0k−1 ), x1 ∈ D′ ⇋ D0 ⊕. . .⊕Dk−1 , x2 ∈ G1 . Тогда H0 ⊆ H1 ⇋ G′0 ⊕D′ ⊕G1 и существует вложение f : G → G группы G в себя такое, что f ↾ H1 = id, f ak = dk , f ak+i = ak+i , i > 0, f dk+j = dk+j+1 , j > 0. Дальнейшее доказательство аналогично доказательству леммы 3.1. 2 ТЕОРЕМА 3.4. Пусть G — абелева p-группа, а R и D — ее соответственно редуцированная и делимая части. Тогда эквивалентны следующие утверждения: (1) G 1-квазирезольветна; (2) G квазирезольветна; (3) если r(D) > ω, то подгруппа R конечна; если же r(D) < ω, то R = R0 ⊕ R1 , где R0 конечна, и существует число n > 0, для которого R1 ≃ Cpαn (Cpα0 ⇋ 0), α > ω. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) ⇒ (2). Очевидно. (2) ⇒ (3). Следует из лемм 3.1—3.3. (3) ⇒ (1). Пусть r(D) = α, α > ω. Тогда G = R⊕D, где R — конечная группа, а D ≃ Cpα∞ . Пусть пара hG, Ri является обогащением группы G константами для элементов подгруппы R. Тогда теория Th(hG, Ri) разрешима и модельно полна (см. [3, § 5]). Отсюда и по замечанию 1.4 группа G является 1-квазирезольвентной.

О квазирезольвентных моделях

627

Пусть r(D) < ω. Тогда по условию теоремы R = R0 ⊕ R1 , R0 — конечная группа, R1 ≃ Cpαn , n > 0, α > ω. Пусть пара hG, R0 i является обогащением группы G константами для элементов подгруппы R0 . Легко проверить, что теория Th(hG, R0 i) разрешима и модельно полна (см. [3, § 5]). Поэтому группа G будет 1-квазирезольвентной. 2 Из доказательства теоремы 3.4 получаем СЛЕДСТВИЕ 3.5. Если абелева p-группа квазирезольвентна, то некоторое ее обогащение конечным числом констант является моделью регулярной теории. Из предложения 2.6, как и в случае алгебр Ершова, вытекает СЛЕДСТВИЕ 3.6. Не существует счетной резольвентной абелевой p-группы. СЛЕДСТВИЕ 3.7. Прямое произведение квазирезольвентных моделей может не быть квазирезольвентной моделью. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G0 = Cpω , G1 = Cpω2 . По теореме 3.4 группы G0 и G1 квазирезольвентны, а по лемме 3.1 группа G0 ⊕ G1 не квазирезольвентна. 2 Автор выражает благодарность С. С. Гончарову за внимание и поддержку в работе, а также рецензенту за замечания, которые помогли улучшить изложение работы. ЛИТЕРАТУРА 1. Ю. Л. Ершов, Определимость и вычислимость (Сибирская школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996. 2. А. Н. Хисамиев, О квазирезольвентных моделях и B-моделях, Алгебра и логика, 40, N 4 (2001), 484—500. 3. Ю. Л. Ершов, Проблемы разрешимости и конструктивные модели, М., Наука, 1980. 4. Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн, Теория моделей, М., Мир, 1977. 5. С. С. Гончаров, Счетные булевы алгебры и разрешимость (Сибирская школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996.

628

А. Н. Хисамиев 6. Ю. Л. Ершов, Дистрибутивные решетки с относительными дополнениями, Алгебра и логика, 18, N 6 (1979), 680—722. 7. М. И. Каргаполов, Ю. Л. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1982. 8. А. Н. Хисамиев, О резольвентных и внутренне перечислимых моделях, Структурные и сложностные проблемы вычислимости (Вычислительные системы, 165), 1999, 31—35. 9. В. Г. Пузаренко, О теории моделей на наследственно конечных надстройках, Алгебра и логика, 41, N 2 (2002), 199—222.

10. Л. Фукс, Бесконечные абелевы группы, М., Мир, 1977, т. 2.

Поступило 27 мая 2003 г. Окончательный вариант 15 января 2004 г. Адрес автора: ХИСАМИЕВ Асылхан Назифович, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected]