Сложение гармонических колебаний. Лабораторная работа

Лабораторная работа Сложение гармонических колебаний. Авторы: Кудряш А.П., Шелкунова З.В., Шелкунов Н.Г.

Министерство образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет Кафедра физики

Сложение гармонических колебаний Лабораторная работа

Авторы: Кудряш А.П. Шелкунова З.В. Шелкунов Н.Г. Редактор: Артюнина Т.Ю. Подписано к печати 2001 г Формат 60×84 1/16 Усл.п.л. 0,70, уч.изд.л. 0,6. Тираж 100 экз. Ред. изд. Отдел ВСГТУ , Ключевская,40а Отпечатано в типографии ВСГТУ, Ключевская,42 © Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Улан-Удэ, 2001 г.

Приборы и принадлежности: 1) Основной блок установки содержит понижающий трансформатор, генератор импульсов, резистор R, катушку индуктивности L, два конденсатора с емкостями С1 и С2. 2) В качестве измерительного прибора использован электронный осциллограф. Цель работы: проверить закон сложения колебаний напряжения, возникающих на последовательно соединенных элементах R, L, C колебательного контура. Краткая теория Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени. Физическая природа колебаний может быть различной, например, колебания механические, электромагнитные и др. Однако все колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Простейшим и, вместе с тем, важнейшим типом колебаний являются гармонические колебания, когда колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). По гармоническому закону изменяется, в частности, напряжение на участке цепи переменного тока: U = U0 cos (ωt + ϕ), которое можно непосредственно наблюдать на экране электронного осциллографа. Основными характеристиками гармонических колебаний являются следующие величины: 1) U0 - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебаний; 2) длительность одного полного колебания - период Т 3) число колебаний в единицу времени - частота колебаний υ = 1/Т; 4) циклическая или круговая частота колебаний ω = 2πυ = 2π/Т; 2

5) величина Ф = ωt + ϕ - фаза колебаний, а ϕ - начальная фаза, соответствующая моменту времени t=0. Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды или методом векторных диаграмм (рис.1). Для этого из произвольной U0 ω точки О, выбранной на оси х, под углом ϕ, равным начальϕ x ной фазе колебания, откладывается вектор U0. Если O U этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω, то проекция вектора на ось Рис.1. х будет изме няться по закону: cos(ωt+ϕ). U=U0 Рассмотрим участок цепи переR менного тока, содержащий последовательное соединение всех UR трех элементов: R, L и C (рис.2). В этом случае, подаваемое на U U L участок напряжение U = UR + UL U + UC, а ток, текущий через каждый из элементов цепи будет одинаковыми. C Для удобства выберем начало отсчета времени так, чтобы наРис.2 чальная фаза тока равнялась нулю: J = J0 cosωt C помощью закона Ома можно установить связь между мгновенными значениями тока и напряжением на резисторе: UR=JR=J0Rcosωt. Заметим, что фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе отсутcтвует, а амплитуда напряжения U0R=J0R. 3

При протекании переменного тока, в катушке возниdJ кает э.д.с. самоиндукции ε c = − L , поэтому катушка, в dt отличие от резистора, является неоднородным участком цепи, и для нее закон Ома должен быть записан в виде: U L + εc J= . Если же активное сопротивление катушки Rk Rk мало, произведением JRk в сравнении с величинами UL и εс можно пренебречь и получить соотношение: dJ U L = −εc = L . Так как dt

(

)

π⎞ dJ d J 0 cos ω ⋅ t ⎛ = = − J 0ω sin ω ⋅ t = J 0ω cos⎜ ω ⋅ t + ⎟ , то ⎝ dt dt 2⎠ dJ π⎞ ⎛ UL = L = J 0ωL cos⎜ ω ⋅ t + ⎟ . В этом случае колебания ⎝ dt 2⎠ напряжения опережают колебания тока на π/2, а амплитуда напряжения U 0 = J 0ω ⋅ L . Напряжение на конденсаторе Uc =

q dq , где q - заряд конденсатора. Поскольку ток J = , c dt

откуJ J π⎞ ⎛ да q = ∫ Jdt = ∫ J 0 cos ω ⋅ tdt = 0 sin ω ⋅ t = 0 cos⎜ ω ⋅ t − ⎟ ⎝ 2⎠ ω ω J q π⎞ ⎛ Величина U c = = 0 cos⎜ ω ⋅ t − ⎟ , следовательно, ко2⎠ c ω ⋅c ⎝ лебания напряжения на конденсаторе отстают от колебаний J тока на π/2, а амплитуда напряжения U = 0 . 0c ω ⋅ c

Метод векторных диаграмм позволяет графически сложить напряжения UR, UL, Uc и получить общее напряжение U на участке цепи переменного тока. Для этого выбирают прямую линию, которую называют осью токов, затем из произвольной точки О на этой оси откладывают векторы UoR, UoL и Uoc под углами, соответствующими начальной фазе каждого из колебаний (рис.3). Сложив векторы амплитуд по правилу параллелограмма получают амплитуду результирующего колебания U0. Как видно из рисунка: 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ U = ⎝U − U oc ⎠ + U 2 (1), 0 oL oR а угол ϕ, образованный вектором Uo с положительным направлением оси токов определяет начальную фазу результирующего колебания и, следовательно, фазовый сдвиг между колебаниями тока и напряжения на участке цепи переменного тока: U oL − U oc tgϕ = (2) U oR UoL Соотношение (1) можно проверить экспериментально, наблюдая колебания напряжений на экране осциллографа и измеряя их UoL-Uoc амплитуды. Отклонение у электронного луча пропорционально Uo приложенному напряжению U: ϕ U=γ⋅у, (3) ось где γ - чувствительность вертитоков кального входа осциллографа. Ве-π/2 Uoc личину γ удобно устанавливать равной 1 В/мм. В этом случае наРис. 3. пряжение U будет численно равно отклонению луча у в мм.

Для проверки формулы (2) необходимо х провести непосредстUст венное измерение угла 2 ϕ. Это было бы просто сделать, если бы имелась 1 возможность наблюдать колебания тока и напряа) х жения на экране осциллографа одновременно х0 (рис.4а). В этом случае достаточно измерить длины отрезков х и х0, и опредех1 лить экспериментальное значение ϕ по формуле: х2 0 x ϕ = −180 (4), x 0 x так как длина отрезка х б) пропорциональна велих0 Рис.4 чине угла фазового сдвига колебаний, а длина отрезка х0 пропорциональна полупериоду каждого из колебаний. Наличие знака (-) в формуле (4) обусловлено тем обстоятельством, что развертка электронного луча в осциллографах происходит слева направо, поэтому при положительном значении х колебания, представленные кривой 2, отстают по фазе от колебаний, представленных кривой х (ϕ<0), а при отрицательном х - опережают эти колебания (ϕ > 0). Поскольку на экране обычного электронного осциллографа можно наблюдать только одно колебание, то в разное время было создано несколько способов измерения угла фа-

y

6

зового сдвига колебаний. Описания этих способов можно найти в специальной литературе. В данной лабораторной работе использован способ разработанный на кафедре физики ВСГТУ, который позволяет применять весьма простую формулу (4). Определения угла фазового сдвига колебаний В предлагаемом способе на экране осциллографа наблюдаются только колебания тока (рис. 4б). Колебания напряжения U подаются на вход генератора импульсов (рис.5) которая может гасить электронный луч осциллографа в те-

накал

катод

сетка

анод

Y X

-+ Cp Ry

D1 R2

D2

R1

∼U

Рис. 5

чении коротких промежутков времени. Основными элементами генератора являются последовательно соединенные полупроводниковый диод D1 и стабилитрон D2. Как известно, диод D1 пропускает ток в течении полупериода колебания напряжения в направлении указанном стрелкой. Стабилитрон по своему устройству подобен полупроводниковому диоду, но его атомы сильнее удерживают электроны чем атомы диода, поэтому стабилитрон будет проводить ток в указанном направлении только в том случае, когда приложенное к нему напряжение U больше 7

некоторого характерного значения, называемого напряжением стабилизации Uст. Напряжение на стабилитрон регулируется с помощью переменного резистора (потенциометра) R1. Если U < Uст генератора не работает, но как только U ≥ Uст через стабилитрон и диод пройдет импульс тока, гасящий луч, и на осциллограмме появится темный участок (рис. 46). Центр этого темного участка соответствует моменту времени когда напряжение U достигает максимального значения U0. Измеряя длины отрезков х1 и х2 для краев темного участка находим среднее значение х = (х1 +х2)/2, а затем по формуле (4) определяем величину ϕэ .

x1 + x 2 ϕэ = -90 x0 . 0

(5)

Ход работы

1. Включить осциллограф в сеть с напряжением 220 В и дать ему возможность прогреться в течении 2-3 минут. Появившуюся на экране развертку электронного луча установить на расстоянии порядка 50 мм от верхнего края экрана. 2. Подать на вход “у” осциллографа напряжение U с выходной обмотки понижающего трансформатора. С помощью ручки управления на панели осциллографа установить частоту и величину напряжения развертки таким образом, чтобы на экране наблюдался положительный полупериод синусоиды. Амплитуда синусоиды в мм должна быть равной наибольшему значению напряжения U0 в вольтах.

3. Вращая ручку потенциометра R, на панели основного блока, l1 l2 получить темный участок на вершине осциллограммы размером в несколько миллиметров. x Поскольку прохождения электрических сигналов в каналах осциллографа довольно часто сопровоРис.6 ждается небольшим фазовым сдвигом, то темный участок будет несколько смещен по отношению к вершине осциллограммы, и его необходимо установить симметрично относительно оси “у” таким образом, чтобы х1=х2 (рис.6) 4. Собрать электрическую цепь по схеме рис.7. Определить экс∼U0 периментальное значение угла ϕэ L R фазового сдвига между током и напряжением (формула 5) и теоретическое значение ϕт по формуле (2). Занести данные в Рис.7. таблицу 1. 5. Замените в схеме рис.7 индуктивность L емкостью С. Повторить все операции п.4 для одного из значений С1 или С2. 6. Соединить последовательно все три вида сопротивления R,L,C и определить ϕэ и ϕт, сначала для емкостей С1 и С2, а затем - для их параллельного соединения С12. Занести данные в таблицу. 7. Построить векторную диаграмму напряжений для каждого из пяти опытов.

Таблица № Сопрот

1

R; L

2

R; C

3

R;L;C1

4

R;L;C2

5

R;L;C3

х0

х1

х2

U0

UR

UL

Uc

мм

мм

мм

В

В

В

В

ϕэ0

ϕт0

Контрольные вопросы

1. Назовите основные характеристики гармонических колебаний. 2. Дайте определение величинам: сопротивление, индуктивность, емкость. 3. Как переменный ток течет через конденсатор и почему между колебаниями тока и напряжения существует фазовый сдвиг? 4. Объясните причину возникновения фазового сдвига между током катушки индуктивности и напряжением на ее концах? 5. Для чего создан метод векторных диаграмм и в чем его сущность? Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. -М.: Высшая школа, 1990. С.235-239.