Основы теории гладких многообразий и групп ЛИ

Ф.Уорнер ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ И ГРУПП ЛИ ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора перевода Предисловие Предисловие к изданию Springer-Verlag Глава 1. Многообразия Предварительные замечания Дифференцируемые многообразия Вторая аксиома счетности Касательные векторы и дифференциалы Подмногообразия, диффеоморфизмы и теорема об обратной функции Теорема о неявной функции Векторные поля Распределения и теорема Фробениуса Упражнения Глава 2. Тензоры и дифференциальные формы Тензорные и внешние алгебры Тензорные поля и дифференциальные формы Производная Ли Дифференциальные идеалы Упражнения Глава 3. Группы Ли Группы Ли и их алгебры Ли Гомоморфизмы Подгруппы Ли Накрытия Односвязные группы Ли Экспоненциальное отображение Непрерывные гомоморфизмы Замкнутые подгруппы Присоединенное представление Автоморфизмы и дифференцирования билинейных операций и форм Однородные многообразия Упражнения Глава 4. Интегрирование на многообразиях. Ориентация Интегрирование на многообразиях Когомологии де Рама Упражнения Глава 5. Пучки, когомологии и теорема де Рама Пучки и предпучки

5 6 7 8 8 12 16 20 33 42 47 56 66 69 69 78 85 90 95 99 99 107 110 117 120 121 129 131 133 138 141 154 160 160 163 177 182 186 187

Коцепные комплексы Аксиоматическая теория пучков Классические теории когомологии Когомологии Александера—Спеньера Когомологии де Рама Сингулярные когомологии Когомологии Чеха Теорема де Рама Мультипликативная структура Носители Упражнения Глава 6. Теорема Ходжа Оператор Лапласа—Бельтрами Теорема Ходжа Немного математического анализа Эллиптические операторы Сведение к периодическому случаю Эллиптичность оператора Лапласа—Бельтрами Упражнения Библиография Приложение к библиографии Указатель обозначений Предметный указа атсль

198 202 211 211 215 217 227 232 234 242 243 246 246 248 254 268 272 279 281 290 292 294 296

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгебры Ли 49, 101 Вещественное проективное — — абелевы 101 пространство 149 — — групп Ли 103 — — —, ориентация 182 (упр. 2) ——матричные 101, 104—105 Вложение 33 Антидифференцирование 77 Внешнее произведение 71, 75—76 База накрывающего пространства 117 Внешняя алгебра 71 Бесследовые матрицы 128 — —, двойственность 75 Векторные поля 47 — —, дифференцирования 77 — — вдоль отображения 53 — —, скалярное произведение 97 — —, интегральные кривые 49 (упр. 13) — —, локальное гладкое Внешняя производная 81 продолжение 53—54 Внутреннее умножение на векторы — — на кривой 47 76 — — полные 53 — — на векторные поля 84 Волновое уравнение 287 (упр. 18) — — φ-связанные 55 Вполне интегрируемое Вещественная специальная линейная распределение 56 группа 129

Вторая аксиома счетности 14, 16 Гармоническая форма 249 — функция 248 Гладкость (класс C ∞ ) 13 Гомологии гладкие сингулярные с коэффициентами в R 179, 234 — непрерывные сингулярные с коэффициентами в R 254 Гомоморфизм алгебр Ли 107 — групп Ли 107 — предпучков 190 — пучков 188 — теорий когомологий с коэффициентами в пучке 205 Гомотопия 181, 216, 220, 226, 230 Градиент 174 Граница гладкой сингулярной цепи 179 — р-симплекса 164 График отображения 92 — — как интегральное многообразие 93 Группа аффинных преобразований 100 — изотропии 144 Группы Ли абелевы 137, 157 (упр. 18) — —, группа автоморфизмов 157 (упр. 20) — —, двусторонне инвариантная метрика 183 — —, действие на многообразиях 133—134, 144 — —, единичный элемент 99 — —, компонента единицы 99 ——, накрывающие пространства 119 — —, непрерывные гомоморфизмы 129 — —, односвязная накрывающая 118—119 — —, ориентация 162 — —, присоединенное

представление 135 — —, связанные с каждой алгеброй Ли 121, 138 — —, связность 152—153 — —, связь между подгруппами и подалгебрами 111, 124 — —, структурные константы 107 — — унимодулярные 176 — —, фундаментальная группа 157 (упр. 12) — —, экспоненциальное отображение 122 Двойственность Пуанкаре 253 Действие группы Ли на многообразии 133, 144 Дивергенция векторного поля 174 Диффеоморфизм 33 Дифференциал высшего порядка 30—33 — координатных функций 27 — отображения 26 — функции 27 Дифференциальные формы 79 — —, внешняя производная 81 — —, внутреннее умножение на векторное поле 84 — —, действие отображения 84 — — замкнутые 177 — —, производная Ли 86—87 — — точные 177 Дифференциальный идеал 91 — — интегрального многообразия 91—92 — оператор с периодическими коэффициентами 267 — — — — —, носитель 273 Дифференцирование алгебры функций 21 — градуированной алгебры 77 Дифференцируемая структура 13 — — класса C k 13 — — класса C ∞ 13

— — класса C ω 14 Дифференцируемое многообразие 13. См также Многообразия Дифференцируемость 14 Дифференцируемые сингулярные гомологии с коэффициентами в R 179, 234 Евклидово пространство 11 — —, интегрирование 162—163 — — как группа Ли 100 — — как многообразие 14 ——, когомологии де Рама 181, 183 (упр. 10) — —, стандартная ориентация 162 Знак перестановки 72 Измельчение покрытия 17 Изоморфизм алгебр Ли 107 — групп Ли 107 — предпучков 190 — пучков 188 Инвариантные дифференциальные операторы 289 (упр. 23) Инволютивные распределения 56, 91 Интегральная кривая 49 Интегральное многообразие 56, 91 — — максимальное 63, 91 Интегрирование 162—164, 168—169, 172, 175 Инъективное отображение 10 Касательное расслоение 29—30 — пространство 22 Касательный вектор 21, 25—26, 28 — — высшего порядка 30—33 Класс C k 13 — C ∞ 13, 16 Когомологии, аксиоматическая теория 202 — Алрксандера—Спеньера 211, 243 — гладкие сингулярные 217, 233— 234, 240—243, 254 — де Рама 177, 181, 183 (упр. 10, 11), 184 (упр. 16, 17), 185 (упр. 18,

19) 215, 232—234, 238—243, 245 (упр. 21), 252—254 — —, мультипликативная структура 238 — —, носитель 243 — сингулярные 217, 233, 240—243, 245 (упр. 19) — Чеха 227,243 Коммутативная диаграмма 11 Комплексная ортогональная группа 128 Комплексная полная линейная группа 105 — — — —, подгруппы 128—129 — — — —, полярное разложение 159 (упр. 24) — — — —, связность 159 (упр. 25) — — — —, экспоненциальное отображение 125, 157 (упр. 14, 15), 158 (упр. 22) Комплексно-аналитическая структура 14 Комплексное n-мерное пространство 12, 15 — многообразие 14 — проективное, пространство 150 Композиция отображений 10 Компонента отображения 11 Координатное отображение 13 Координатные функции 11, 13 Кореперное поле 173 Кососимметричные матрицы 128— 129 Кососимметричные полилинейные отображения 71 Косоэрмитовы матрицы 128—129 Коцепное отображение 198 Коцепные комплексы 198 — —, когомологии 198 — —, кограницы 198 — —, кограничный оператор 198 — —, коциклы 198

Кривая 28 — гладкая 47 — интегральная 49 — кусочно-гладкая 47 Куб в евклидовом пространстве 12 Кубическая система координат 13 Лапласиан 182 (упр. 5), 246, 281 (упр. 6). См. также оператор Лапласа— Бельтрами Левое умножение 76 Левоинвариантные векторные поля 101 — — —, полнота 123 — формы 106—107, 108—109 Левый сдвиг 101 Лемма Картана 98 (упр. 16) — Пуанкаре 180 — Реллиха 266 — Соболева 265, 289 (упр. 22) Линейная группа изотропии 145 Линейный дифференциальный оператор 267 Локальная однопараметрическая группа, порожденная векторным полем 53 Локально евклидово пространство 13 — конечное покрытие 17 Максимальное интегральное многообразие 63, 91 Матрица Якоби 27 Матрицы 15, 100, 101, 104—105, 127—129, 146—154, 158 (упр. 25) —, положительно-определенные 153 —, полярное разложение 153, 159 (упр. 23, 24) —, экспоненциальное отображение 125, 156 (упр. 10), 157 (упр. 14, 15), 158 (упр. 22) Многообразие Гроссмана 152 — Штифеля 151 Многообразия 214

—, метризуемость 16 —, нормальность 16 — однородные 144 —, ориентируемость 161 —, паракомпактность 17 — римановы 68 (упр. 23), 172—175 /(-модули 187 — без кручения 197, 235 Модулярная функция 176 Морфизм пучков 188 Мультииндексные обозначения 12, 254 Накрывающие пространства 117, 119, 155 (упр. 7) — —, база 117 Начало координат 13 Невырожденное отображение 23 — спаривание 73 Независимое множество функций 35 Непрерывные сингулярные гомологии с коэффициентами в R 254 Неравенство Петра и Павла 260 — Шварца 260 Норма Z.2 255, 272 — Соболева 258 Носитель гомоморфизма пучков 195 — функции 12 Обмотка тора 68 (упр. 21) Объем 173 Однопараметрическая группа, порожденная векторным полем 53 — подгруппа 121 Однородные многообразия 144, 146 Односвязная группа Ли 118, 119 Односвязное пространство 118 Окрестность 12 Оператор Грина 251 — Коши—Римана 284 (упр. 15) — Лапласа—Бельтрами 182 (упр. 5), 246, 281 (упр. 6) — — —, символ 281 — — —, собственные значения 284

(упр. 16) — — —, эллиптичность 280 — Ходжа («звездочка») 97 (упр. 13), 246 Определитель 96 (упр. 12) Ориентация 160 Ортогональная группа 47, 129, 140, 146—153 Основная теорема анализа 166 Основное неравенство 269 Открытое покрытие 17 Отображения, пропускающиеся через подмногообразие 37—38, 62 Паракомпактность 17 p,q-перетасовка 76 Периодические функции 255 —, нормы 255 — обобщенные 283 (упр. 11) Периоды формы 179, 245 (упр. 21) Погружение 33 Подгруппа Ли 110 — — замкнутая 110, 131, 157 (упр. 17) — — нормальная 136 — — однопараметрическая 121 Подмногообразие 33 —, гладкие функции 42 —, единственность 39 — как срез 40—41 — как подмножество 39 Подпокрытие 17 Подпучок 188 Покрытие 17 — локально конечное 17 — открытое 17 Поле комплексных чисел 12 Полная линейная группа 15 100 104—105 — — —, компоненты 153 — — —, подгруппы 127—129 ———. полярное разложение 153. 159 (упр. 24)

— — —, экспоненциальное отображение 125, 156 (упр. 10) Полный предпучок 193 Полулокально односвязное пространство 117 Полярное разложение 153, 159 (vnp. 23, 24) Постоянный пучок 188 Правоинвариантные векторные поля 157 (упр. 16) Правый сдвиг 101 Предпучок 189 —, ассоциированный пучок 190, 192 — полный 193 Представления групп Ли 107 — ортогональные и унитарные 176— 177 Присоединенное представление 133 Продолжение векторных полей 53— 54 Производная 11 — внешняя 81 — Ли дифференциальных форм 86 — — векторных полей 85 — частная 12 Пространства Соболева 258 Прямая сумма пучков К-модулей 236 Прямое произведение групп Ли 100 — многообразий 16, 68 (упр. 24) — множеств 10 — отображений 10 Прямой предел K-модулей 191 Пучок 187 —, ассоциированный предпучок 190, 192 — без кручения 172, 198 — K-модулей 187 — постоянный 188 — ростков гладких функций 188 — — разрывных функций 206 — тонкий 195 Пучок-небоскреб 196

Пятая проблема Гильберта 131 Разбиение единицы для пучков 195 — — на многообразиях 17 — —, подчиненное покрытию 17 — —, существование 19 Разностные отношения 263 Распределение 56 —, аннулирующие формы 90 —, аннулирующий идеал 90 — инволютивное (вполне интегрируемое) 56, 91 —, интегральное многообразие 56, 63, 92 Расслоение внешних алгебр 78 — k-x внешних степеней 78 Регулярная область 169 Резольвента 203 — без кручения 203 Реперное поле 172 Риманова структура 68 (упр. 23) Римановы многообразия 68 (упр. 23) 246 — —, интегрирование 173 — —, объем 173 — —, форма объеме 173, 183 (упр. 6), 185 (упр. 20) Росток функции 21 Ряд Фурье 256 Свойство универсальности внешней алгебры 72—73 — — тензорного произведения 70 Семейство носителей 242 Сечение пучка 187 Символ дифференциального оператора 281 — Кронекера 12 Симплекс 164, 217 — гладкий сингулярный 164 —, граница 164 —, грань 164 — непрерывный сингулярный 217 — ориентируемый 169

— регулярный 169 — стандартный 164 Сингулярные когомологии 217, 233, 245 (упр. 19) —, мультипликативная структура 238 —, носители 243 Система координат 13 — — кубическая 13 Скобки Ли 49, 95 (упр. 6), 101 — как производная Ли 87 Слабое решение 248 Спаривание 73 Специальная линейная группа 128— 129 — ортогональная группа 129, 152 — унитарная группа 129, 152 Срез 40 Структура многообразия 6 Сфера 7, 33 — как однородное многообразие 148— 149 —, когомологии де Рама 178, 184 (упр. 16, 17) —, ориентация 162 Сюръективное отображение 10 Тензорная алгебра 70 Тензорное произведение — — векторных пространств 69 — — коцепных комплексов 235 — — K-модулей 193 — — предпучков 193 — — пучков 193 — — резольвент 236 Тензорное расслоение типа r, s 78 Тензорные поля 79 Тензоры 70 — однородные 71 — разложимые 71 — типа r, s 70 Теорема Адо 121 — об обратной функции 35 — о дивергенции 175, 182 (упр. 4)

— о неявной функции 43 — — — — классическая 43 — о регулярности 249, 271, 274, 283 (упр. 14) — де Рама 179, 232, 242, 243 — Стокса 166, 171, 175 — Фробениуса 57, 63, 92 — — классическая 60—61 — Ходжа 249 Теоретико-множественные обозначения 9—10 Теория когомологии с коэффициентами в пучке 202 — аксиомы 202—203 — единственность 207 — мультипликативная структура 236 — носители 242 — существование 203—204 Тождественное отображение 10 Тождество Яоби 49, 101 Тонкая резольвента 203 Топологическая группа 130 Top 67 (упр. 21), 100, 157 (упр. 18) Точная последовательность 189 Транзитивное действие 144 Унитарная группа 128—129, 152, 158 (упр. 21) Факторпучок 189 Форма объема 173, 183 (упр. 6), 185 (упр. 20) Формально сопряженный оператор 267

Формулы Грина 182 (упр. 5) Формы Маурера—Картона 106 Фундаментальная группа 117 Функции 11 —, независимость 35 Хорошо накрытое множество 17 Центр алгебры Ли 137 — группы Ли 137 Цепное правило 27 Цепной комплекс 225 Цепь 164 Частные производные 12 Шар в евклидовом пространстве 12 Эквивалентность подгрупп 110, 113—115 — подмногообразий 38 Экспоненциальное отображение 122, 138 — — для полной линейной группы 135 (упр. 22), 125, 156 (упр. 10), 157 (упр. 14, 15), 158 (упр. 22) — —, связь между подгруппами и подалгебрами 124 Эллиптические операторы 268 — — на векторных расслоениях 288 (упр. 21) Эллиптические уравнения 282 (упр. 9) Эффективное действие группы Ли. 144 Якобиан 27