Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда: Практическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

Равномер наясходимость функциональной п оследовательности и функциональног ор яда П р актическоеп особ иеп осп ециальности 010101 (010100) "М атематика"

В О РО Н Е Ж 2004

2

У твер ж дено научно-методическим советом математическог о факультета (п р отокол N 3 от20 нояб р я2004 г ода)

Составители: Щ ер б ин В . М ., Л арин А . В .

П р актическоеп особ иеп одг отовлено накафедр ематематическог о анализа математическог о факультетаВ ор онеж ског о г осудар ственног о факультета. Рекомендуетсядлястудентов 1-г ои 2-г о кур сад/ои в/о математическог о и физическог офакультетов.

3

§ 1 П оточечн а я с х одим ос ть и ра вн ом ерн а я с х одим ос ть ф ун к ц ион а льн ы х пос ледова тельн ос тей 1. Сх одим ос ть ф ун к ц ион а льн ой пос ледова тельн ос ти П усть функции fn(x), n∈N оп р еделены намнож ествеЕ и п усть x0∈Е . Е сли числоваяп оследовательность {fn(x0)} сходится, то г овор ят, что п оследовательность {fn(x)} сходитсяв точкеx0. П оследовательность {fn(x)}, сходящ ую сяв каж дой точкеx∈Е , назы ваю т сходящ ейсянамнож ествеЕ . В этом случаенамнож ествеЕ оп р еделена функцияf, значениекотор ой в точкеx0∈Е р авноп р еделуп оследовательности {fn(x0)}. Э туфункцию назы ваю тп р едельной функцией п оследовательности {fn(x)} и п иш ут lim f n(x) = f ( x); x ∈ E или

n →∞

(1)

f n ( x) → f ( x), x ∈ E; f n → f E

П ооп р еделению п р еделазап ись (1) означает, что для ∀(ε > 0)∃( N = N ε ( x))∀(n ≥ N )[ f n ( x ) − f ( x) < ε ]. П р имер 1. Д оказать, чтоп оследовательность un(x)=nxn(1 –x) в каж дой точке отр езка[0,1] сходитсякнулю . Д оказательство. Е сли 0 ≤ x < 1, то имеем lim u n ( x) = lim nx n (1 − x) = 0 . П р и n →∞

n→∞

x=1 имеем un(1)=0, и п оэтому lim u n ( x) = 0 . Значит, п оследовательность n →∞

функций un(x) в каж дой точкеотр езка[0,1] сходитсякнулю . П р имер 2. Н айти п р едельную функцию f(x) п оследовательности {fn(x)} на nx множ ествеЕ , если f n ( x) = ; Е =R . 1+ n2 x2 nx 1 → 0 , n → ∞. Е сли x = 0, то fn(x) = 0, для∀n∈Ν, Е сли x ≠ 0, то f n ( x) < 2 2 = nx n x следовательно f(x) = 0. П р имер 3. f n ( x) = n sin

1 ; Е = (0, ∞). nx

И звестно, что sin z ~ z , п р и z → 0 , п олучаем n sin 1 Следовательно, f ( x) = ; x ∈ (0, ∞) . x 2 n П р имер 4. f n ( x) = 2 ; Е = R. n + x2

1 1 ~ n , ( n → ∞, x ≠ 0 ). nx nx

4

Т аккак f n ( x) = 1 −

x

2

, то lim f n ( x) = 1 , т. е. f(x)=1, x∈R. n + x2 П р имер 5. fn(x)=xn; x∈ [0,1]. Е сли x∈ [0,1), то lim x n = 0 , аесли x = 1, то lim x n = 1 , следовательно, 0, если 0 ≤ x < 1 f ( x) =  1, если x = 1. 2

 n 2 e x  , Е =[0, ∞). П р имер 6. f n ( x) = ln 3 + 4 2x  n + e   2 x 2 x     3 n e n e   = ln 3 + ln1 + f n ( x) = ln 3 + 4 2x   3( n 4 + e 2 x )  и ln(1 + t ) ~ t п р и t → 0, 3 ( n + e )     п оэтому f n ( x) ~ ln 3 +

n 2e x 3(n 4 + e 2 x )

п р и n → 0, откуда f ( x) = ln 3 ; x∈ [0, ∞).

2. Ра вн ом ерн а я с х одим ос ть ф ун к ц ион а льн ой пос ледова тельн ос ти П оследовательность функций {fn(x)} назы ваю тр авномер носходящ ейсяк функции f(x) намнож ествеЕ , если длялю б ог о ε > 0 сущ ествуетномер N (ε ) такой, чтодлявсех n ≥ N (ε ) и длявсехx∈Е вы п олняетсянер авенство f n ( x) − f ( x ) < ε . В этом оп р еделении сущ ественно, чтономер N (ε ) независит отx. С п омощ ью символов ∀, ∃ оп р еделениер авномер но сходящ ейсякf(x) п оследовательности {fn(x)} мож нозап исать так: (2) ∀(ε > 0)∃( N = N (ε ))∀( n ≥ N (ε ))∀( x ∈ E )[ f n ( x) − f ( x) < ε ] П оследовательность {fn(x)} назы ваетсяр авномер но сходящ ейсянамнож естве Е , если сущ ествуетфункцияf(x), ккотор ой этап оследовательность сходится р авномер нонамнож ествеЕ . Д ляоб означенияр авномер ной сходимости п оследовательности {fn(x)} кf(x) на множ ествеЕ исп ользую т символическую зап ись f n (x) ⇒ , x∈Е , или f n ( x) ⇒ f E

3. Дос та точн оеус ловиера вн ом ерн ой с х одим ос ти пос ледова тельн ос ти Е сли сущ ествуетчисловаяп оследовательность {an} и номер n0 такие, чтодля всех n≥ n0 и длявсех x∈Е вы п олняетсянер авенство f n ( x) − f ( x) ≤ an , п р ичем lim an = 0 , то f n ( x) ⇒ f ( x) , x∈E. n →∞

Д оказать, чтоп оследовательность {fn(x)} сходитсяр авномер но намнож ествеЕ , если n2 П р имер 1. f n ( x) = 2 . Е =[-1,1]. n + x2 В этом случаеп р едельнаяфункцияf(x)=1 (см. п р имер 4 п .1), и п оэтому x2 x2 1 x2 f n ( x) − f ( x ) = 2 ≤ ≤ , т. к. |x|<1. Следовательно, 2 ⇒ 1, n + x2 n2 n2 n + x2 x ∈ [−1,1] .

5

П р имер 2. f n ( x) = x +

1 − x , Е =[0, ∞). n 2

1  1  Т аккакx ≥ 0, и длялю б ог о n сп р аведливо нер авенство x + ≤  x +  , то n  n 2

1 1 1  1  0≤ x+ − x ≤  x + , откудап олучаем: x + ⇒ x ,  − x= n n n n  x∈[0,∞]. arctg nx П р имер 3. f n ( x) = . n+x Д лявсех x∈Е и длявсехn∈N вы п олняетсянер авенство: π 1 arctg nx 0≤ arctg nx ≤ , следовательно, ⇒ 0 , x∈ [0, ∞). n+ x 2 n n+x sin nx П р имер 4. Д оказать, чтоп оследовательность функций u n ( x) = n р авномер носходитсякнулю начисловой оси. sin nx 1 ≤ → 0 , то Реш ение. Т аккакsin nx ≤ 1 , то u n ( x) − 0 = n n n→∞ п оследовательность функций р авномер но сходитсякнулю . nx + x 2 + n 2 П р имер 5. Д оказать, чтоп оследовательность функций u n ( x) = x2 + n2 р авномер носходитсякфункции u(x)=1 наотр езке[0,1]. nx + x 2 + n 2 nx Составим р азность. f ( x) = u n ( x) − u ( x) = −1 = 2 , что и 2 2 x +n x + n2 тр еб овалась доказать.

4. Н ера вн ом ерн а я с х одим ос ть пос ледова тельн ос ти ф ун к ц ий Е сли условие(2) невы п олняется, тоесть ∃(ε0 > 0 )∀(k ∈ N)∃( n ≥ k )∃( ~ x ∈ E )[ f n ( ~ x ) − f (~ x ) ≥ ε 0 ] , топ оследовательность {fn(x)} несходитсяр авномер но кf(x) намнож ествеЕ . В этом случаеп иш ут: f n ( x) ⇒ / f ( x) , x∈Е , или f n ⇒ / f. E

Е сли f n → f , но f n ⇒ / f , то г овор ят, что п оследовательность {fn(x)} сходитсяк E

E

f(x) намнож ествеЕ нер авномер но. В частности, если f n → f , и E

∃(ε0 > 0 )∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 )∃( xn ∈ E )[ f n ( xn ) − f ( xn ) ≥ ε 0 ], топ оследовательность {fn(x)} сходитсякf(x) намнож ествеЕ нер авномер но.

(3)

6

П р имер ы . Д оказать нер авномер ную сходимость п оследовательности {fn(x)} намнож естве Е , если 1) f n ( x ) = x n , Е =[0,1). В этом случае f n ( x) → 0 (см. п р имер 1.5). П окаж ем, что 1 вы п олняетсяусловие(3). В озьмем xn = n , тог даxn∈ [0,1) п р и 2 1 f n ( xn ) − f ( x n ) = xnn = = ε 0 , и п оэтомуп оследовательность {xn} сходитсяк 2 f(x)=0 намнож естве[0,1) нер авномер но. nx 1 2) f n ( x) = . Е =[0,2]. П олагая xn = и учиты вая, чтоп р едельная 2 2 n 1+ n x 1 n⋅ 1 n функцияf(x)=0 (см. п р имер 1.2), п олучаем f n ( xn ) − f ( xn ) = = . 1 1+ n2 ⋅ 2 2 n 1 У словие(3) вы п олняетсяп р и ε 0 = , и п оэтомуп оследовательность {fn(x)} 2 сходитсякf(x)=0 намнож ествеЕ =[0,2] нер авномер но.  n2e x    , Е = [0, ∞). 3) f n ( x) = ln 3 + 4 2x  n e +   1 П олагая xn = и учиты вая, что п р едельнаяфункция f ( x) = ln 3 (см. п р имер n 1.6), то взяв xn = 2 ln n , п олучим: 4    n 2 e 2 ln n   3 + n  − ln 3 = ln 7 − ln 3 = ln 7 . f n ( xn ) − f ( x n ) = ln 3 + 4 − ln 3 = ln  2 6 n + e 4 ln n  2n 4    7 Т аким об р азом, для ∀n ∈ N условие(3) вы п олняетсяп р и ε 0 = ln , и п оэтому 6 п оследовательность {fn(x)} сходитсяк f ( x) = ln 3 намнож естве[0,∞) нер авномер но.

5. Критерий ра вн ом ерн ой с х одим ос ти пос ледова тельн ос ти ф ун к ц ий 1. Д лятог о чтоб ы п оследовательность функций {fn(x)}, оп р еделенны хна множ ествеЕ , р авномер но сходилась наэтом множ ествекфункции f(x), необ ходимои достаточно, чтоб ы lim sup f n ( x) − f ( x) = 0 n→∞ x∈E

2. Д лятог о чтоб ы п оследовательность функций {fn(x)}, оп р еделенны хна множ ествеЕ , р авномер но сходилась наэтом множ естве, необ ходимо и достаточно, чтоб ы онаудовлетвор ялаусловию К ош и: длялю б ог оε >0

(4)

7

сущ ествуеттакой номер N(ε), чтодлявсехn ≥ N(ε), длявсех p∈N и длявсех точекx∈E вы п олняетсянер авенство f n+ p ( x) − f n ( x) < ε . Е сли условиеК ош и невы п олняется, т. е. ∃(ε 0 )∀( k ∈ N )∃( n ≥ k )∃( p ∈ N )∃( ~ x ∈ E )[ f n + p ( ~ x ) − fn (~ x ) ≥ ε0 ] ,

(5)

топ оследовательность {fn(x)} неявляетсяр авномер но сходящ ейсяна множ ествеЕ . В частности, если ∃(ε 0 > 0)∃( n0 ∈ N )∀(n ≥ n0 )∃( p ∈ N )∃( xn ∈ E )[ f n + p ( xn ) − f n ( xn ) ≥ ε 0 ] , то п оследовательность {fn(x)} неявляетсяр авномер носходящ ейсянамнож естве Е. П р имер 4. И сследовать нар авномер ную сходимость п оследовательность {fn(x)} науказанны хмнож ествах. а) f n ( x ) = x n − x n+1 , Е =[0,1]. В этом случаеп р едельнаяфункцияр авнанулю , т. е. f(x)=0. П окаж ем, что вы п олняетсяусловие(4). Н айдем точки экстр емума функции fn(x) намнож ествеЕ . У р авнение f n′ ( x ) = nx n−1 − ( n + 1) x n = 0 имеет n внутр и отр езка[0,1] единственны й кор ень xn = , п р ичем, n +1 n

1  n  1 f n ( xn ) = ∀n ∈ N . = <   n + 1 n n + 1 Заметим, что если x ∈ (0, xn ) , то f n′ ( x ) > 0 , аесли x ∈ ( xn ,1) , то f n′ ( x ) < 0 , xnn (1 − xn )

п оэтому sup f n ( x) = f n ( xn ) , следовательно, sup f n ( x) − f ( x) = sup f n ( x) < x∈E

x∈ E

x∈E

1 . n +1

У словие(4) вы п олняется, и п оэтому f n ( x) ⇒ f ( x) , x∈ [0, 1]. n б ) f n ( x) = n arctg 2 , Е =[1,∞). Л ег ко видеть, что п р едельнаяфункция f ( x) = x 2 . x x = k = n, П окаж ем, что вы п олняетсяусловие(5). В озьмем n=k, p=2k=2n; ~ π x ) − f n (~ x ) = n 2 arctg 2 − arctg1 ≥ 2 arctg 2 − = ε 0 > 0 . П оэтому тог да f n+ p ( ~ 4 п оследовательность {fn(x)} неявляетсяр авномер носходящ ейсянамнож естве Е. П р имер ы д ля с а мос т оят ельного р еш ения I. Н айти п р едельную 1 1) f n ( x) = x 4 cos ; nx 1 2) f n ( x) = x 2 + ; n nx 2 3) f n ( x) = ; x + 3n + 2

функцию f(x) п оследовательности {fn(x)} намнож ествеЕ . E = (0 ,∞); отв. f ( x) = x 4 E = R; отв. f ( x) =| x | E = [0 ,∞); отв. f ( x) = x

3

3

8

1, если 0 ≤ x < 1 4) f n ( x) = n 1 + x n ; E = [0 ,2]; отв. f ( x) =   x, если 1 ≤ x ≤ 2. 1 5) f n ( x) = n arctg nx 2 ; E = (0 ,∞); отв. f ( x) = 2 x   1 1 6) f n ( x ) = n x 2 + − x ; E = (0,∞); отв. f ( x) = n 2x  

1   1 ln x  n 2 7) f n ( x) = n x − x n ; E = (0 ,∞); отв. f ( x) =   2   II. Д оказать, чтоп оследовательность {fn(x)} р авномер носходитсянамнож естве Е. 1) f n ( x ) = x 2n , E = [0, δ ], 0 < δ < 1.

2) f n ( x) = n sin 3) f n ( x) =

x n n

, E = R.

n

arctg nx , E = [0, ∞). n + x2 cos nx   4) f n ( x) = ln1 + , E = [0, ∞ ). n+x  1 5) f n ( x ) = x 2 + , E = R. n 2

3

6) f n ( x) = n 4 xe − nx , E = [0, ∞). III. И сследовать насходимость и р авномер ную сходимость п оследовательности {fn(x)} намнож ествеЕ . ln x 1) f n ( x) = 2 ; E = [1, ∞); отв. сх. р авн. кf ( x) = 0 nx 2) f n ( x ) = sin ne − nx ; E = [1, ∞ ); отв. сх. р авн. кf ( x) = 0

(

)

3) f n ( x ) = xe − nx ln 2 n; E = [0, ∞ ); отв. сх. р авн. кf ( x) = 0 4) f n ( x) =

x + xn 3 + x 3 n 6

; E = [1, ∞); отв. сх. р авн. кf ( x) = x 1 + x 2n6 4  3  x ; E = [0, ∞); отв. сх. р авн. кf ( x) = 0 5) f n ( x ) = n 2 1 − cos  n   π  n −1  x ; E = [0, ); отв. сх. р авн. кf ( x) = tg x 6) f n ( x) = tg 4  n  7) f n ( x ) = nx (1 − x ) n ; E = [0,1]; отв. сх. нер авн. кf ( x ) = 0 IV. И сследовать насходимость и р авномер ную сходимость п оследовательность {fn(x)} намнож ествах Е 1 и Е 2. n 1) f n ( x) = arctg ; E1 = (0, a]; E2 = [1, ∞). x

9

Сходитсяр авномер нонаЕ 1 и нер авномер но наЕ 2 кфункции f ( x) = 2) f n ( x) =

π 2

nx 2

; E1 = [0,1]; E2 = [1, ∞). 1+ n2 x4 Сходитсянер авномер нонаЕ 1 и р авномер но наЕ 2 кf(x)=0. 2

3) f n ( x) = e − x −nx ; E1 = (0,1); E 2 = (1,+∞). Сходитсянер авномер нонаЕ 1 и р авномер но наЕ 2 кфункции f(x)=0. 4) f n ( x) = n x 2 + nx + 1; E1 = (0,1); E2 = (1, ∞). Сходитсяр авномер нонаЕ 1 и нер авномер но наЕ 2 кфункции f(x)=1. x x 5) f n ( x) = ln ; E1 = (0,2); E2 = (0, ∞). n n Сходитсяр авномер нонаЕ 1 и нер авномер но наЕ 2 кфункции f(x)=0. § 2. Сх одим ос ть и ра вн ом ерн а я с х одим ос ть ф ун к ц ион а льн ого ряда 1. Сх одим ос ть, а б с олю тн а я с х одим ос ть и об ла с ть с х одим ос ти ф ун к ц ион а льн ого ряда П усть функции un(x), n∈N, оп р еделены намнож ествеЕ , и x0∈Е . Ряд ∞

∑ un ( x)

(6)

n =1

назы ваетсясходящ имсяв точкеx0, если сходитсяр яд

∞

∑ un ( x0 ) , и абсолю тно

n =1

сходящ имсяв точкеx0, если п р и x= x0 сходитсяр яд ∞

∑ u n ( x) .

(7)

n =1

Е сли р яд (6) сходитсяв каж дой точкеx∈Е , тоэтотр яд назы ваетсясходящ имся намнож ествеЕ . n

Сумму S n ( x) = ∑ u k ( x) назы ваю тn-частичной суммой р яда(6), ап р едел k =1

п оследовательности частичны х сумм сходящ ег осянамнож ествеЕ р яда(6) назы ваю тег о суммой: S ( x) = lim S n ( x) . n →∞

М нож ество всех значений x, п р и котор ы х сходятсяр яды (6) и (7), назы ваю т соответственно об ластью сходимости р яда(6). ∞

П р имер 1. Н айти об ласть сходимости и аб солю тной сходимости р яда∑ u n ( x ) , n =1

если ln n x а) u n ( x) = . n

10 ∞

n

q аб солю тно сходится, если |q| < 1 и р асходится, если |q| > 1. П р и n =1 n q = –1 этотр яд сходитсянеаб солю тно, ап р и q = 1 р асходится. П оэтомур яд ∞ ln n x ∑ n абсолю тносходитсяп р и ln n x < 1, т. е. если e −1 < x < e , и сходится n =1

Ряд

∑

неабсолю тно, если ln n x = −1 , т. е. п р и x = e −1 . П р и др уг их значениях x этотр яд р асходится. И так, e −1 , e –об ласть сходимости, а e −1 , e –об ласть аб солю тной ∞

[

)

(

)

n

ln x . n n =1

сходимости ∑ 2) u n ( x) =

(−1) n (1 − x) n

. (1 + x) n Д анны й р яд п оп р изнакуД аламб ер аабсолю тно сходитсяп р и | q |< 1 и п р и | q |> 1 р асходится. П р и q = 1 этотр яд сходитсянеабсолю тноп оп р изнакуЛ ейб ница, а п р и q = −1 р асходится, п оэтомуданны й р яд аб солю тносходитсяп р и тех значенияхx, длякотор ы х вы п олняетсянер авенство (1 − x) (1 + x) < 1 . Реш аяэто нер авенство, п олучим x > 0. Следовательно, р яд

∞

∑ un ( x) абсолю тносходится

n =1

(−1) n п р и x > 0. Е сли (1 − x) (1 + x ) = 1 , тоx = 0, u n (0) = . П оэтомур яд 2n + 1

∞

∑ u n (0) n=1

∞

сходитсянеаб солю тно. И так, об ласть сходимости р яда∑ u n ( x) является[0, ∞), аоб ластью абсолю тной сходимости –(0, ∞).

n =1

2. Ра вн ом ерн а я с х одим ос ть ф ун к ц ион а льн ого ряда Ряд

∞

∑ u n ( x) , члены

котор ог ооп р еделены намнож ествеЕ , назы вается

n =1

р авномер носходящ имсянамнож ествеЕ , если п оследовательность ег о n

частичны хсумм S n ( x) = ∑ u k ( x) р авномер но сходитсянаэтом множ естве, т. е. k =1 ∞

S n ( x) ⇒ S ( x) , г де S ( x) = ∑ u n ( x) , x∈Е , или rn ( x) = S ( x) − S n ( x) = n =1

∞

∑ u k ( x) ⇒ 0 ,

k =n +1

x∈Е , n-остатокр яда. Д ляр авномер ной сходимости намнож ествеЕ р яда(6) необ ходимои достаточно, чтоб ы sup | rn ( x) |→ 0 п р и n → ∞ . x∈E

(8)

11

П р имер ы . Д оказать, чтор яд

∞

∑ u n ( x) р авномер носходитсянамнож ествеЕ , если

n =1

 1 1 а) u n ( x) = x n−1 , E = − ,  .  2 2 Е сли u n ( x) = x

n−1

n

, то S n ( x) = ∑ u k ( x ) = k =1

1− xn 1 , S ( x) = , 1− x 1− x

n

1 1 1 x . Т аккак− ≤ x ≤ , то (1 − x) ≥ , и п оэтому 2 2 2 1− x 1  1 1 | rn ( x) |< n . О тсю даследует rn ( x ) ⇒ 0 , x ∈ − ,  , т. е. р яд р авномер но  2 2 2 сходитсянамнож ествеЕ . x ; E = (δ , ∞) , δ > 0 . б ) u n ( x) = (1 + (n − 1) x)(1 + nx) 1 1 , un(x) мож но п р еоб р азовать следую щ им об р азом: u n ( x) = − 1 + ( n − 1) x 1 + nx 1 1 тог даS n ( x) = 1 − , откудаS(x) = 1, rn ( x) = . Т аккакx > δ > 0 , то 1 + nx 1 + nx nx > nδ , 0 < rn ( x) < 1 (1 + nδ ) , откудаследует, чтор яд р авномер носходитсяна множ ествеЕ . rn ( x) = S ( x) − S n ( x) =

3. П ризн а к Вейерш тра с с а ра вн ом ерн ой с х одим ос ти ф ун к ц ион а льн ого ряда ∞

Е сли дляфункциональног о р яда∑ u n ( x) мож но указать такой сходящ ийся n =1

числовой р яд

∞

∑ an , чтодлявсех n ≥ n0 и длявсехx∈Е

вы п олняю тся

n =1

нер авенства

u n ( x) ≤ a n , тор яд (6) сходитсяаб солю тно и р авномер но наЕ . В случаеесли вы п олняетсяусловие(9), г овор ят, что р яд

(9) ∞

∑ un ( x) маж ор ир уется

n =1

р ядом

∞

∑ an .

n =1

П р имер ы . П ользуясь п р изнаком В ейер ш тр асса, доказать аб солю тную и р авномер ную ∞

сходимость р яда∑ u n ( x ) намнож ествеЕ . n =1

12

arctg(n x) ⋅ cos πnx , Е = R. n n Т аккакдлявсех x ∈ R и длявсех n ∈ N вы п олняетсянер авенство ∞ π 1  32  2 arctg(n x) < , cos πnx ≤ 1 , то u n ( x) < π  2n  . И з сходимости р яда∑ 3 2   n =1 2n 2 2

1) u n ( x) =

∞

следуетаб солю тнаяи р авномер наясходимость р яда∑ un ( x) наR. n =1

2) un ( x) =

1 4

n + x3

x 1 arctg , E = (0, ∞) . n nx

sin

Т аккак n + x 3 ≥ 4 n п р и x > 0 , аsin t ≤ t , 0 < arctg t < t п р и t > 0 , то 4

1 1 x 1 ⋅ ⋅ = для ∀n ∈ N и для ∀x ∈ E , аэто означает, что 4 n nx n n 5 4 данны й р яд сходитсяабсолю тно и р авномер но.   x  , E = [0,2] . 3) un ( x) = ln1 + 2   n ln ( n + 1)  П ользуясь известны м нер авенством и учиты вая, что ∞ x 2 2 0 ≤ u n ( x) ≤ ≤ . И з сх о димо ст и р я да следует ∑ 2 2 2 n ln (n + 1) n ln (n + 1) n ln ( n + 1 ) n =1 un (t ) <

∞

аб солю тнаяи р авномер наясходимость р яда∑ un ( x) . n =1

2nx 4) un ( x) = , α > 4, x∈R . 1 + nα x 2 М ы имеем очевидноенер авенство a 2 + b 2 ≥ 2 | ab | , котор оевы п олняетсяп р и

лю б ы хдействительны хчислахa, b. О тсю даимеем 1 + nα x 2 ≥ 2nα 2 | x | , откуда 1 п р и x ≠ 0 следует, что u n ( x) ≤ α 2 для ∀x ∈ R , для∀n ∈ N . Т аккак n −1 ∞ 1 α 2 − 1 = β > 1 , тоиз сходимости р яда∑ β , г де β > 1 , следует абсолю тнаяи n =1 n ∞

р авномер наясходимость р яда∑ un ( x) намнож ествеR. n =1

4. Критерий Кош и ра вн ом ерн ой с х одим ос ти ф ун к ц ион а льн ого ряда Д лятог о чтоб ы р яд

∞

∑ un ( x) р авномер носходилсянамнож ествеЕ , необ ходимо

n =1

и достаточно, чтоб ы дляэтог о р ядавы п олнялось условиеК ош и: длялю б ог о

13

ε > 0 сущ ествуетномер N (ε ) такой, чтодлявсех n ≥ N (ε ) , длявсех p ∈ N и длявсех x ∈ E имеетместонер авенство: n+ p

∑ uk ( x) < ε

(10)

k = n +1

Е сли условиеК ош и невы п олняется, т. е.  n+ p  ∃(ε 0 > 0)∀(m ∈ N )∃( n ≥ m)∃( p ∈ N )∃( ~ x ∈ E )  ∑ uk ( ~ x ) ≥ ε0   k = n +1  В частном случае, если ∃(ε 0 > 0)∀( n0 ∈ N )∃(n ≥ n0 )∃( xn ∈ E )[u n ( xn ) ≥ ε 0 ] , тор яд (6) неявляетсяр авномер но сходящ имсянамнож ествеЕ .

(11)

(12)

П р имер ы И сследовать насходимость и р авномер ную сходимость намнож ествеЕ р яд ∞

∑ un ( x) , если

n =1

1) u n ( x) = x n , E = (0,1) . 1 , то xn ∈ (0,1) n 2 п р и ∀n ∈ N и un ( xn ) = 1 . Н о, с др уг ой стор оны , р яд сходитсяр авномер но на 2 лю б ом отр езке ∆ ∈ (0,1) (см. вы ш еп р имер ).

Н амнож ествеЕ р яд сходитсянер авномер но. Е сли взять xn =

x3 2) un ( x) = arctg , E = [1, ∞) . n n Ряд сходитсянамнож ествеЕ , т. к. 0 < u n ( x ) < x 3 n 3 2 , взяв xn = n , п олучаем 3 π ( n) arctg = arctg 1 = .

n n

3) un ( x) =

4

1 , E = (0, ∞) . (1 + nx) 2

Е сли x > 0 , то 0 < u n ( x) < 1 (n 2 x 2 ) , откудаследуетсходимость р ядана 1 множ ествеЕ . П усть x = xn = , тог даxn ∈ E для ∀n ∈ N , un ( xn ) = 1 . Т аким 4 n об р азом, вы п олняется(12), и п оэтомур яд сходитсянер авномер нонамнож естве Е. 4) u n ( x) = nx 2 e − nx , E = (0, ∞) . 3! 6 = Е сли x > 0 , то 0 < un ( x) < nx 2 , т. к. e t > t 3 3! п р и t > 0 . П оэтомур яд 3 2 (nx) n x сходитсянамнож ествеЕ , но дляэтог ор ядавы п олняетсяусловие(11) на

14

1 множ ествеЕ . В самом деле, длялю б ог о m ∈ N возьмем m = n , p = n , ~ x= , n 2n 2n 1 1 тог да~ x ∈ E и ∑ uk (~ x) = e − k n ≥ e − 2 n = e − 2 . Следовательно, р яд ∑ n k = n +1 n k = n +1 сходитсянер авномер но наЕ . 5. П ризн а к и Дирих леи Аб еля ра вн ом ерн ой с х одим ос ти ф ун к ц ион а льн ы х рядов П ризн а к Дирих ле. Ряд ∞

∑ an ( x)bn ( x)

(13)

n =1

сходитсяр авномер но намнож ествеЕ , если вы п олняю тсяследую щ иеусловия: ∞

1) П оследовательность частичны хсумм р яда∑ bn ( x) ог р аниченанамнож естве n =1

Е , т. е.  n  (14) ∃( M > 0)∀(n ∈ N )∀( x ∈ E )  ∑ bk ( x) ≤ M  .  k =1  2) П оследовательность {an ( x)} монотоннап р и каж дом x ∈ E и р авномер но стр емитсякнулю , т. е. (15) an +1 ( x) ≤ an ( x ) или an +1 ( x) ≥ an ( x) , n ∈ N , x ∈ E (16) an ( x) ⇒ 0 п р и n → ∞ , x ∈ E . П ризн а к Аб еля. Ряд (13) р авномер носходитсянамнож ествеЕ , если вы п олняю тсяследую щ иеусловия: ∞

1) Ряд

∑ bn ( x) р авномер носходитсянамнож ествеЕ .

n =1

2) П оследовательность {an ( x)} ог р аниченанамнож ествеЕ и монотоннап р и каж дом x ∈ E . П р имер ы ∞

И сследовать нар авномер ную сходимость р яда∑ un ( x) намнож ествеЕ , если: n =1

1) un ( x) =

sin x sin nx n + x2

, E = R.

О б означим bn ( x) = sin x sin nx , E = R , an ( x) = x n +1 n sin kx = sin x sin x , тог да ∑ 2 k =1 2 2 n

sin

1 n+x

2

. П о известной фор муле

15

x n +1 n bn ( x ) = ∑ sin x sin kx = 2 cos sin x sin x , откудаследует | bn ( x ) |≤ 2 2 2 2 k =1 ∀x ∈ R и для ∀n ∈ N , т. е. п оследовательность {bn ( x)} ог р аниченана множ ествеЕ . П оследовательность {an ( x)} монотоннадлякаж дог о x ∈ E , т. к. 1 1 функция ϕ (t ) = монотонно уб ы ваетп р и t ≥ 1 ( ϕ ′(t ) = − при 2 3 t + x2 2 t+x 1 t ≥ 1 ). К р ометог о, 0 < an ( x ) ≤ для ∀x ∈ R , откудаследует, что an ⇒ 0 , n x ∈ R . П о п р изнакуД ир ихлер яд р авномер носходитсянаR. n

(

2) u n ( x ) = 3

)

( − 1) n  x  1 +  , E = [0,1]. n + x   n

( −1) n x  , an = 1 +  и заметим, чтор яд р авномер но О б означим bn ( x) = 3 n+ x  n ∞ (−1) n р авномер но сходитсяна сходитсяна[0,1] , и отметим, чтор яд ∑ 3 n =1 n + x множ естве[0,1] , т. к. он р авномер но сходитсянамнож естве[0, ∞) , п оследовательность {an } ог р аниченанамнож естве[0,1] , т. к. n

n

x   1  1 1 +  ≤ 1 +  < e и монотоннап р и каж дом x ∈ [0,1] , т. к. ϕ (t ) = 1 +  –  n  n  t возр астаю щ аяфункцияп р и t > 1 длякаж дог о x ∈ [0,1] . П о п р изнакуА б еляр яд сходитсяр авномер но намнож естве[0,1] .

П р имер ы д ля с а мос т оят ельного р еш ения Н айти об ласть сходимости и об ласть абсолю тной сходимости функциональног о р яда. ∞ 1 1) ∑ n . О твет: сходитсяаб солю тноп р и | x |> 1 . n =1 x ∞

2)

cos πnx

∑ n ln 2 (n + 1) . О твет: сходитсяабсолю тноп р и всех x ∈ R .

n =1 ∞

ln n x 1 3) ∑ 2 . О твет: сходитсяаб солю тно п р и всехx: ≤ x ≤ e . e n =1 n ∞

4)

1

∑ n( x + 2)n . О твет: сходитсяабсолю тноп р и − 3 ≤ x ≤ −1, сходитсяусловно

n =1

п р и x = −3 . ∞

5)

∑ n 2e − nx

n =1

2

. О твет: сходитсяаб солю тноп р и x ≠ 0 .

16 ∞

6)

π

n

tg x

∑ n 2 + 4 . О твет: сходитсяабсолю тнонаотр езках | x − kπ |≤ 4 , k ∈ Z .

n =1 ∞

7)

n

1  2x    . О твет: сходитсяаб солю тноп р и | x |≠ 1 , и условно п р и x = −1 . n  x2 + 1

∑

n =1 ∞ n

8)

2 sin n x π ∑ n(n + 1) . О твет: сходитсяабсолю тнонаотр езках | x − kπ |≤ 6 , k ∈ Z . n =1 ∞

9)

cos nx . О твет: сходитсяусловноп р и x ≠ 2kπ , k ∈ Z . 3 n n =1

∑

∞

10)

∑ e − nx sin nx . О твет: сходитсяабсолю тноп р и x ≥ 0 , и п р и x = −nk , k ∈ N .

n =1 ∞

( −1) n 11) ∑ 2 . О твет: сходитсяусловно п р и всех x ∈ R . n =1 x + n ∞

12)

∑ sin nπx . О твет: сходитсяабсолю тноп р и x = k , k ∈ Z .

n =1 ∞

xn 13) ∑ . О твет: сходитсяаб солю тно п р и | x |< 1 . n n =1 1 − x n

 x2  14) ∑  + x  . О твет: сходитсяабсолю тно п р и | x |< 1 . n =1  n  ∞

∑ sin (π ∞

15)

)

n 2 + x 2 . О твет: сходитсяусловноп р и всех x ∈ R .

n =1

И сходяиз оп р еделенияр авномер ной сходимости, доказать р авномер ную сходимость функциональног ор ядав указанном п р омеж утке. ∞  n −1 x xn   , − 1 ≤ x ≤ 1. − 1) ∑   n n + 1 n =1   ∞ 1 2) ∑ 2 , −∞ < x < ∞. n =1 x + n n П ользуясь п р изнаком В ейер ш тр асса, доказать р авномер ную сходимость функциональног ор ядав указанном п р омеж утке. ∞ n x 1) ∑ 2 , − 1 ≤ x ≤ 1 . n =1 n ∞

2) 3)

x2 ∑ 1 + n3 2 x 2 , − ∞ < x < ∞ . n =1 ∞

sin 2 2nx

n =1

n +x

∑3

4

2

, −∞ < x <∞.

17 ∞

4)

arctg nx

∑ x 4 + n3 n , − ∞ < x < ∞ .

n =1 ∞

5)

x

∑ 1 + n4 x2 , 0 ≤ x < ∞ .

n =1 ∞

6)

∑

n =1

1 − x 2n , − 1 ≤ x ≤ 1. 2n

§ 3. Свойс тва ра вн ом ерн о с х одящих с я ф ун к ц ион а льн ы х рядов 1. Н епреры вн ос ть с ум м ы ра вн ом ерн о с х одящегос я ф ун к ц ион а льн ого ряда П усть вы п олняю тсяследую щ иеусловия: 1. П р и всехn из множ естваN натур альны х чисел функции f n (x) неп р ер ы вны нанекотор ом п одмнож ествеD из множ естваR вещ ественны х чисел. 2. Ряд

∞

∑ f n ( x) р авномер носходитсянаD кфункции S(x).

n =1

∞

Т ог дасуммаS(x) исходног офункциональног ор яда∑ f n ( x) неп р ер ы внанаD. n =1

В частности, суммасходящ ег осяфункциональног о р яда, составленног о из неп р ер ы вны хнанекотор ом интер вале(a,b) функций, есть функция неп р ер ы вная. ∞ 1 П р имер . П оказать, чтофункция f ( x) = ∑ оп р еделенаи неп р ер ы вна 2 ( n − x ) n = −∞ во всехточкахвещ ественной оси, заисклю чением целочисленны х: x = 0, ± 1, ± 2, K . Д ляудоб ствавы п олним неслож ны еп р еоб р азованияисходног о функциональног ор яда: ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 = + + ∑ ( n − x ) 2 x 2 ∑ (n − x) 2 ∑ (n + x) 2 = −∞ n =1 n =1 = Ф ункция

∞  ∞ 1 1 1  1 2n 2 + 2 x 2 + + = + . ∑  ∑ x 2 n =1  (n − x) 2 (n + x) 2  x2 n =1 n 2 − x 2 2

(

)

1 2n 2 + 2 x 2 не п р е р ы в на всю ду на R, к р о ме x = 0 . Ф у нк ция 2 x2 n2 − x2

(

неп р ер ы внавсю дунаR, кр ометочек, длякотор ы х | x |= n , n ∈ N . Рассмотр им п олученны й р яд

∞

∑

2n 2 + 2 x 2

(n

)

2 2

)

нап р оизвольном интер вале

−x x ∈ (m, m + 1) , г де m ∈ Z . П усть M = max (| m |, | m + 1 |) , тог дадлявсех x из n =1

2

наш ег о интер валаимеем: x 2 ≤ M 2 , откудавер но нер авенство

18

2n + 2 x 2

(n

2

− x2

2

<

) (n 2

4n 2

2

−M2

)

2

длявсех n > M . Ч исловой р яд

∞

∑

n =1

п оп р изнакуср авнения(функции

(n

4n 2

)

2

и

(n

4n 2 2

−M2

)

2

сходится

1 одног о п ор ядкап р и n → ∞ ). n2

−M2 Т ог даисходны й функциональны й р яд сходитсяр авномер но п о п р изнаку В ейер ш тр асса(п р и x ∈ ( m, m + 1) , m ∈ Z ). Следовательно, функция ∞

S ( x) = ∑

n =1

f ( x) =

2n 2 + 2 x 2

(n

2

− x2

)

2

2

неп р ер ы внап р и x ∈ (m, m + 1) , m ∈ Z . Т ог даи функция

1 + S ( x) неп р ер ы внав каж дом интер вале x ∈ ( m, m + 1) , m ∈ Z . x2

2. Ин тегрируем ос ть с ум м ы ра вн ом ерн о с х одящегос я ф ун к ц ион а льн ого ряда ∞

П усть дляфункциональног ор яда∑ f n ( x) вы п олняю тсяусловияп ункта1. n =1

Т ог дап р и D = [a, b] вер но р авенство ∞ b ∞  ∫ n∑=1 f n ( x) dx = n∑=1 ∫ f n ( x)dx . a a И ны ми словами, п р и вы п олнении условий (1), (2) п ункта1 § 4 мож но "п р онести" знакинтег р ала∫ чер ез знаксуммы ∑ в фор муле(17). b

(17)

∞

xn , | x |≤ 1? 2 n n =1

П р имер . Законноли п очленноеинтег р ир ованиер яда∑

П р овер им вы п олнениеусловий (1), (2) п ункта1 §4. xn 1) Ф ункция 2 неп р ер ы внап р и − 1 ≤ x ≤ 1 (онаявляетсянеп р ер вной навсей n числовой оси). ∞ xn 1 1 2) Т аккакнар ассматр иваемом интер вале 2 ≤ 2 , и числовой р яд ∑ 2 n n n =1 n сходится, то исходны й функциональны й р яд сходитсяр авномер нона множ естве x ∈ [−1,1] п оп р изнакуВ ейер ш тр асса. Т аким об р азом, с вы п олнением условий теор емы о"п р онесении" знака интег р алачер ез знаксуммы законноп очленноеинтег р ир ованиеисходног о функциональног ор яда. 3. Диф ф ерен ц ируем ос ть с ум м ы ра вн ом ерн о с х одящегос я ф ун к ц ион а льн ого ряда П усть функциональны й р яд

∞

∑ f n ( x) об ладаетсвойствами:

n =1

19

1. К аж даяфункция f n (x) неп р ер ы вно диффер енцир уемадлявсехx таких, что a < x
∞

∑ f n′ ( x) , составленны й из п р оизводны хфункций

n =1

f n (x) , сходитсяр авномер нонаинтер вале ( a, b) . Т ог даимеетместоследую щ еер авенство:  ∞ d ∞ f ( x )  ∑ n  = ∑ f n′ ( x) , x ∈ (a, b) . dx n =1  n =1 Т аким об р азом, п р и вы п олнении данны х двух условий возмож но п очленное диффер енцир ованиеисходног о функциональног ор яда. П р имер ы ∞ x 1. Законноли п очленноедиффер енцир ованиер яда∑ arctg 2 ? n n =1 x Ф ункция arctg 2 являетсянеп р ер ы вно диффер енцир уемой навсей числовой n

оси (п р и − ∞ < x < +∞ ). Рассмотр им р яд

∞

∑ f n′ ( x) , составленны й из

n =1

п р оизводны х f n′ ( x) =

d  x   arctg 2  . dx  n  ∞

∞

∞ 1 n2 1 ⋅ = ∑ ∑ n4 + x2 . 2 2 n x n =1 n =1 n =1 1+ 4 n 2 1 n Т аккаквер но нер авенство 4 ≤ 2 п р и всехвещ ественны хx, и числовой 2 n +x n ∞ ∞ 1 р яд ∑ 2 сходится, то функциональны й р яд ∑ f n′ ( x) сходитсяр авномер но п о n =1 n n =1 п р изнакуВ ейер ш тр асса. Т аким об р азом, законно п очленноедиффер енцир ованиеисходног ор яда.

f n′ ( x) = ∑

+∞

2. Д оказать, что тэта-функцияθ ( x) = ∑ e −πn

2x

оп р еделенаи б есконечно

−∞

диффер енцир уемап р и x > 0. В ы п олним неслож ны еп р еоб р азования: +∞

∑ e −πn

n = −∞

2x

=

−1

∑ e −πn

n = −∞

2x

+∞

+ 1 + ∑ e −πn

О тметим, чтофункции e всю дуначисловой оси.

n =1

−πn 2 x

2x

+∞

= 1 + 2 ∑ e −πn

2x

.

n =1

неп р ер ы вны и неп р ер ы внодиффер енцир уемы

20

Т аккакп р и каж дом x > 1 и п р и n > N 0 ( N 0 –достаточноб ольш ое 2 1 п олож ительноечисло) сп р аведливонер авенство e −πn x ≤ 2 , то п о п р изнаку n В ейер ш тр ассар авномер ной сходимости сущ ествует суммар яда ∞

S ( x) = ∑ e −πn

2

x

, x > 1.

n =1

В осп ользовавш ись р авенством e −πn

2x

= e −πn

2x

⋅ n2 ⋅

1 и тем, что п р и x ∈ (0,1) n2 ∞

2 всечлены функциональной п оследовательности e −πn x ⋅ n 2  ог р аничены , а n =1  самаона(функциональнаяп оследовательность) монотонна, начинаяс некотор ог оn п р и каж дом x ∈ (0,1) , атакж ер авномер ной сходимостью п оx р яда

∞

1

∑ n 2 , находим п оп р изнакуА б еляр авномер ной сходимости, что

n =1

функциональны й р яд S (x) п р и x ∈ (0,1) .

∞

∑ e−πn

2x

р авномер но сходитсякнекотор ой функции

n =1

∞

∞

2 2 ' Рассмотр им р яд п р оизводны х ∑  e −πn x  = ∑ e −πn x (−πn 2 ) . П р оведя  x n =1 n =1  р ассуж денияп р еды дущ ег о аб зацадляданног о функциональног о р яда п р оизводны х, мож но доказать р авномер ную сходимость р ядап р оизводны хп р и x > 0. Т аким об р азом, мы доказали, что исходнаятета-функцияоп р еделенаи б есконечнодиффер енцир уемап р и x > 0.

П р имер ы д ля с а мос т оят ельного р еш ения 1) П оказать, чтор яд x 2 + x 6 + L + x 4 n −2 + L р авномер но сходитсянаотр езке − q ≤ x ≤ q , г деq –лю б оеп олож ительноечисло, меньш ее1. И нтег р ир ованием x3 x7 x 4 n −1 + +L+ + L. 3 7 4n − 1 2) О п р еделить об ласть сущ ествованияи следовать нанеп р ер ы вность функций: ∞ ∞ x + n(−1) n x а) f ( x) = ∑ 2 ; б ) f ( x ) = . ∑ 2 2 n x + n n =1 n =1 1 + x данног ор яданайти суммур яда

3) Д оказать, что р яд

∞

(

)

∑ e − ( x − n) р авномер носходитсянаотр езке[0,1] и 2

n =1

доп ускаетнаэтом отр езкедиффер енцир ованиелю б ог оп ор ядка. 4) У б едиться, чтор яд

21

sin 2πx sin 4πx sin 2 n πx + +L+ +L 2 4 2n р авномер носходитсянавсей числовой оси. П оказать, что этотр яд нельзя п очленнодиффер енцир овать ни в каком п р омеж утке.

22

Д лязаметок

23

Составители: Щ ер б ин В асилий М атвеевич, Л арин А ндр ей В ладимир ович Редактор Т ихомир оваО . А .