Личностно ориентированное обучение решению сюжетных задач будущего учителя начальных классов в вузе: Монография

АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л.В. Шелехова

ЛИЧНОСТНО ОРИЕНТИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ В ВУЗЕ

Монография

МАЙКОП – 2009

УДК 378.147 ББК 74.580 Ш42

Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор Хакунова Ф.П.; кандидат педагогических наук, доцент Евтыхова Н.М.

Ш42 Л.В.Шелехова Личностно ориентированное обучение решению сюжетных задач будущего учителя начальных классов в вузе /монография: - Майкоп, изд-во АГУ, 2009. – 232 с.

В монографии рассматриваются научные основы организации личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач будущего учителя начальных классов в вузе. Раскрывается теоретическая концепция личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов в вузе, основанная на признании личности студента системообразующим фактором обучения решению сюжетных задач. Книга предназначена для научных работников, аспирантов, учителей, преподавателей математики и студентов, обучающихся по специальности «Педагогика и методика начального образования».

© Адыгейский государственный университет © Л.В.Шелехова, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

4

Введение ……………………………………………………………………. Глава 1. Обоснование личностно ориентированной методической системы обучения решению задач ………………..…………………...….. § 1. Особенности личностно ориентированного процесса обучения решению сюжетных задач …………………………………………….…… § 2. Личностная составляющая содержания математического образования в процессе обучения решению сюжетных задач ……………..………. § 3. Личностно ориентированная технология обучения решению сюжетных задач …………………………………..……………….……..… Выводы по 1 главе …………………………………………………………. Глава 2. Теоретические основы обучения студентов решению сюжетных задач ……………………………………………………………………. § 1. Сюжетная задача как объект изучения ………………………………. § 2. Типология сюжетных задач …………………………………………... § 3. Структура процесса решения сюжетной задачи …………………….. Выводы по 2 главе ……………………………………………………….…. Глава 3. Реализация личностно ориентированного обучения будущих учителей начальных классов решению сюжетных задач …………….…..

105

§ 1. Психолого-педагогические механизмы развития психических процессов обучающегося при обучении решению сюжетных задач …….….

115

§ 2. Проявление личностно-смысловой сферы студента в процессе обучения решению сюжетных задач ………………………………………….. § 3. Личностно ориентированная стратегия решения сюжетной задачи Выводы по 3 главе …………………………………………….……………. Заключение …………………………………………………...………….. Библиография ………………………………………...…………………..

13 14 27 36 57 55 61 73 88 112

139 152 205 207 211

ВВЕДЕНИЕ  Актуальность исследования. Экономические изменения и эволюция философских воззрений, произошедшие в России, поставили перед обществом проблему развития личности студента в процессе обучения. Данный аспект нашел отражение в Федеральном законе «О высшем и послевузовском профессиональном образовании», в котором поставлены основные задачи высших учебных заведений, в число которых входит задача удовлетворения потребностей личности в интеллектуальном, культурном и нравственном развитии, а также в Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года, в которой делается акцент на необходимость ориентации образования на развитие личности обучающихся, их познавательных и созидательных способностей. Таким образом, решение этой проблемы представляет государственный интерес. Проблемы личностно ориентированного обучения в общетеоретическом плане стали предметом многих исследований (Н.А. Алексеев, ША. Амонашвили, Е.В. Бондаревская, С.В. Кульневич, М.А. Викулина, Б.С. Гершунский, И.Я. Лернер, В.В. Сериков, П.Г. Щедровицкий, И.С. Якиманская и др.). Теория и практика личностно ориентированного образования ставит своей задачей преодолеть упрощенное редуционистское представление о личностно-формирующем обучении. Обеспечить личностно-развивающую функцию образовательной деятельности будет невозможно, если педагог не будет вооружен представлением о сущности и специфике личностного начала обучающегося, о функциях личности в жизнедеятельности индивида на различных этапах его социализации и о путях создания в образовательном процессе ситуации развития личности. В последние годы появились работы методологического характера, в которых обсуждается проблематика личностно ориентированного математического образования в высшей школе. К таким работам можно отнести исследования С.Б. Юговой «Личностно ориентированное обучение математике в военно-инженерном вузе как средство повышения качества профессиональной подготовки курсантов» (2000 г.), Р.Ш. Хуснутдинова «Личностно ориентированное прикладное математическое образование специалистов экономического профиля» (2004 г.), в которых рассмотрены общетеоретические условия реализации личностно ориентированного

математического образования в высшей школе. Среди научных исследований отсутствуют работы, посвященные проблемам личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач в вузе. Остается неразработанной концепция личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач в вузе и не выявлены условия реализации личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач в процессе подготовки будущих учителей начальных классов. Научное обоснование обучения решению сюжетных задач в рамках реализации личностно ориентированной концепции образования в значительной степени развивалось на основе и под влиянием исследований Л.Л. Гуровой, В.А. Гусева, Ю.М. Колягина, В.А. Крутецкого, Г.Л. Луканкина, А.Г. Мордковича, Г.И. Саранцева, Л.М. Фридмана, А.Я. Хинчина, Н.В. Черноусовой и др. Системно-структурному подходу к задаче, как к сложной системе «субъект-объект», посвящены исследования Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, Г.И. Саранцева, А.А. Столяра, Л.М. Фридмана и др. В данных работах обучающийся признается субъектом познания, однако в них не рассматривается возможность студента самостоятельно определять свою индивидуальную траекторию в процессе обучения решению сюжетных задач, что дает основание утверждать о неразработанности технологии личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач в вузе. В различных исследованиях содержится психологическая характеристика процесса решения задачи (Л.Л. Гурова, З.И. Калмыкова, В.А. Крутецкий, Я.А. Пономарев, З.И. Слепкань, С. Рид и др.). Общеметодический аспект проблемы развития мышления обучающихся при решении задач в процессе обучения математике рассмотрен в работах И.И. Баврина, Ю.М. Колягина, Г.Л. Луканкина, А.А. Столяра, С. Рида и др. В исследованиях Ю.М. Колягина подробно изучены особенности развития, как отдельных мыслительных операций, так и приемов умственной деятельности, в целом. Ряд диссертационных исследований посвящен изучению технологий развития мышления обучающихся в процессе обучения решению задач: Т.С. Маликов выявляет возможность развития таких качеств мышления, как активность и критичность, используя индуктивные и дедуктивные рассуждения, О.С. Медведева в качестве средства развития мышления учащихся предлагает использовать решение задач комбинаторного характера, И.Н.Семенова выявляет роль и место сюжетных задач в развитии математического мышления учащихся на материале алгебры и начал анализа, Е.В. Сухорукова рассматривает прикладные задачи как средство развития математического мышления. Н.В. Черноусовой рассмотрено развитие познавательной самостоятельности студентов педагогических факультетов в процессе поиска решения текстовых алгебраических задач. Таким образом,

всесторонне исследованы методические аспекты проблемы развития мышления при решении задач в процессе обучения математике; определены условия развития познавательной самостоятельности. В работах Г.И. Саранцева, А.Я. Хинчина и др. указывается на необходимость формирования и развития всей системы черт, характеризующих индивида, в процессе обучения решению сюжетных задач. Однако на сегодняшний день нет завершенных исследований, посвященных формированию и развитию внимания, воображения, памяти, рефлексии и личностных смыслов в процессе обучения решению сюжетных задач. Следовательно, недостаточно освещен вопрос возможности использования сюжетных задач как средства развития личности обучающихся. Не сформирован общий взгляд на то, какие типы заданий при обучении решению сюжетных задач способствуют наибольшей эффективности процесса формирования и развития личности субъектов обучения, каковы должны быть структура этих заданий, объем, расположение относительно каждого этапа стратегии решения сюжетных задач. Ответ на эти вопросы, с одной стороны, позволит рассматривать развитие личности субъекта обучения в контексте структуры математического содержания, логики изложения учебного материала, усвоения системы научных понятий, необходимых при освоении решения сюжетных задач, с другой, позволит разработать микротехнологию личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач в процессе подготовки будущих учителей начальных классов. Теоретический анализ научных и нормативных источников (монографий, диссертаций, статей, учебников) позволил выделить ряд научных противоречий, требующих своего разрешения, между: – высокой степенью общетеоретической разработанности сущности личностно ориентированного обучения и низким уровнем ее трансформации в частные методики обучения решению сюжетных задач; – глобальной ролью личности в обществе при осуществлении деятельности в социокультурной среде и недостаточностью ее отражения в содержании математического образования, в частности при обучении решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов; – системообразующим, полифункциональным значением личностно ориентированных технологий в образовании современного общества и фрагментарностью формирующихся в процессе обучения решению сюжетных задач представлений педагога о них; – существующей в вузах потребностью в реализации личностно ориентированных технологий обучения математике и отсутствием методических рекомендаций личностно ориентированного обучения решению задач будущих учителей начальных классов в процессе их профессиональной подготовки.

Существование названных противоречий обуславливает актуальность исследования, проблема которого заключается в теоретическом обосновании и практической реализации концепции личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач для специальности «Педагогика и методика начального образования». Все изложенное определило тему нашего исследования: "Личностно ориентированное обучение решению сюжетных задач будущего учителя начальных классов в вузе". Решение данной проблемы составляет цель исследования и заключается в теоретическом и технологическом обосновании образовательной концепции содержательного и процессуального обеспечения личностно ориентированного обучения будущих учителей начальных классов решению сюжетных задач. Объектом исследования является обучение решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов в вузе. Предмет исследования составляет личностно ориентированное обучение студентов – будущих учителей начальных классов решению сюжетных задач в вузе. Гипотеза исследования. Известно, что новая парадигма образования рассматривает личностно ориентированное обучение как ведущую идею совершенствования методики обучения математики, которая определяет смену сциентистской модели обучения решению сюжетных задач на гуманистическую модель, призванную обеспечить становление индивидуальности человека и раскрытие его потенциала, накопление и проживание уникального опыта, самоактуализацию и самореализацию. Предполагалось, что личностно ориентированное обучение решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов в вузе может быть успешно осуществлено, если: 1) рассматривать математическое образование как процесс развития личности, обусловленный гуманистическими и творческими взаимодействиями всех участников процесса обучения решению сюжетных задач; 2) признать студента субъектом познания, самостоятельно определяющего свою индивидуальную траекторию в процессе обучения решению сюжетных задач; 3) использовать личностно ориентированную технологию обучения решению сюжетных задач, которая представляет собой модель совместной учебной и педагогической деятельности по проектированию и организации приемов, способов и методов обучения решению сюжетных задач, в основе которой лежат понятие личности; Исходя из цели исследования и выдвинутой гипотезы, были поставлены следующие задачи, которые разделяются на 3 группы:

I. К первой группе относятся задачи, связанные с разработкой теоретических основ обучения решению сюжетных задач: – рассмотреть сюжетную задачу как объект изучения; – определить этапы стратегии решения сюжетных задач; – разработать систему самостоятельных упражнений, способствующих формированию и развитию личности обучающегося, для каждого этапа решения сюжетных задач; – разработать типологию сюжетных задач. II. Вторую группу составляют задачи, относящиеся к разработке концепции личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач в вузе для специальности «Педагогика и методика начального образования»; – выявить психолого-педагогические механизмы развития личности, приводящие к формированию и развитию социально-значимых черт, характеризующих индивида, в процессе обучения решению сюжетных задач; – рассмотреть сюжетную задачу как средство развития личности обучающегося (формировать и развивать: психические процессы (внимание, воображение, память, мышление), способность к рефлексии и самостоятельности, личностно-смысловую сферу студентов); – выявить условия реализации личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач в процессе подготовки будущих учителей начальных классов; III. В третью группу объединены задачи по созданию методического обеспечения обучения решению сюжетных задач в вузе: – разработать технологию личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач в процессе подготовки будущих учителей начальных классов и экспериментально обосновать ее эффективность; – разработать учебно-методическое пособие по решению сюжетных задач в вузе для специальности «Педагогика и методика начального образования»; – разработать рекомендации по реализации личностно ориентированной технологии обучения решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов. Общая методология исследования базируется на ведущих идеях, концепциях, теориях современной философии о целостности и всеобщей связи явлений окружающего мира, его системности и синергетичности, идее развития как фундаментальной и методологической константы; принципе гуманизма как сущностного содержания цивилизованного развития человечества; общепсихологических положениях о человеке как природном и социальном существе, принципе детерминизма, раскрывающем основы рассмотрения объекта в системе причинно-следственных отношений, ведущей идее социальной психологии о субъектности человека в процессе своего развития.

Теоретической основой исследования выступали: − положения о сущности и принципах организации учебного процесса в высшей школе (С.И. Архангельский, Ю.К. Бабанский, Е.Л. Белкин, В.П. Беспалько, А.А. Вербицкий, В.И. Загвязинский, Л.Я. Зорина, А.М. Коченев, И.Я. Лернер и др.); − теории развития личности (А.Г. Асмолов, Л.И. Божович, Б.С. Братусь, М.С. Каган, А.Г. Ковалев, Д.А. Леонтьев, В.С. Леднев, В.Н. Мясищев, Н.И. Непомнящая, К.К. Платонов, С.Л. Рубинштейн, А. Маслоу, Г. Олпорт, К. Роджерс, К. Юнг и др.); − концепции личностно ориентированного образования (Н.А. Алексеев, Е.В. Бондаревская, Э.Ф. Зеер, В.В. Сериков, И.С. Якиманская и др.); − концепции профессионального развития личности, профессионального становления личности (Л.И. Анцыферова, А.А. Бодалев, А.А. Деркач, В.Г. Зазы-кин, Э.Ф. Зеер, Е.А. Климов, Н.В. Кузьмина, А.К. Маркова, Л.М. Митина, К.К. Платонов, А.П. Реан, Ю.Г. Синягин, Е.В. Селезнева, А.Р. Фонарев, А.И.Уман и др.); − концепции профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей (В.А. Гусев, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, Г.Г. Хамов, М.И. Шабунин, Л.В. Шкерина и др.). − теория и методика обучения математике (И.К. Андронов, В.В Афанасьев, И.И.Баврин, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, В.М.Брадис, Н.Я.иленкин, Г.Д.лейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, Е.С. Петров, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, А.А. Столяр, Л.М. Фридман, Г.Г. Хамов, Р.С. Черкасов, М.И. Шабунин, И.М. Зайкин, И.С. Якиманская и др.); − теория и методика обучения решению сюжетных задач (Г.А. Балл, А.В. Белошистая, Т.Е. Демидова, А.П. Тонких, И.Я. Депман, В.Л. Дрозд, Г.Т. Зайцев, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, В.Л. Столяр, А.Я. Блох, М.И. Моро, А.М. Пышкало, Д. Пойа, С. Рид, Л.П. Стойлова, Л.М. Фридман, С.Е. Царева и др.). Методы исследования: теоретические (анализ, интерпретация, аналогия, моделирование личностно ориентированной деятельности, обобщение на уровне установления закономерностей, проектирование, моделирование, теоретическое обобщение результатов исследования); эмпирические (наблюдение, анкетирование, интервьюирование, подготовка документации, педагогические измерения); квалиметрические (регистрация, ранжирование, шкалирование, методы математической статистики). Основные этапы и организация исследования. Исследование проводилось с 1996 по 2009 г.г. и включало ряд этапов: - Констатирующий этап (1996 – 1998 гг.) – определение проблемы исследования, изучение ее состояния, обоснование рабочей гипотезы, ос-

воение методики сбора, анализа и обработки материалов, определение основных направлений исследовательской деятельности. - Формирующий этап (1999 – 2007 гг.) – получение качественных и количественных характеристик предмета исследования; построение концепции личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач в вузе для специальности «Педагогика и методика начального образования» и разработка личностно ориентированной миктротехнологии обучения решению сюжетных задач и диагностического аппарата, позволяющего оценить эффективность личностно ориентированного обучения студентов решению сюжетных задач. Формирующий этап включает фиксацию данных о ходе эксперимента на основе промежуточных срезов и тестов, характеризующих изменения, происходящие в объекте под влиянием экспериментальной системы мер. - Контролирующий этап (2008-2009 гг.) – описание результатов эксперимента; коррекция методических выводов, полученных на предыдущем этапе исследования; систематизация результатов исследования и их интерпретация. Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования докладывались на конференциях различного уровня: международных – Тула (2006), Ростов-на-Дону (2007, 2008, 2009); всероссийских – Армавир (2005, 2007), Белгород (2008), Брянск (1999), Коломна (2006), Калуга (1998, 2007), Майкоп (2006, 2007, 2008, 2009), Новосибирск (2008), Орел (2009), федеральных; зональных; межрегиональных, региональных – Майкоп (2004, 2005, 2006), Краснодар (2004); межвузовских – Таганрог (2005), Майкоп (2002, 2008); заслушивались на заседаниях кафедр математического анализа и методики преподавания математики и естественно-математических дисциплин и методики их преподавания в системе дошкольного и начального образования педагогического факультета Адыгейского государственного университета. Разработанные в ходе исследования программные и учебнометодические материалы нашли применение в практике обучения решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов педагогического факультета Адыгейского государственного университета, филиалов Адыгейского государственного университета в городах: Апшеронск, Белореченск, Ейск и а.Кошехабль. Научная новизна исследования состоит в том, что в нем впервые предложена целостная научная концепция личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач студентов в вузе для специальности «Педагогика и методика начального образования», основанная на признании личности студента системообразующим фактором обучения решению сюжетных задач, что предполагает:

¾ признание студента субъектом познания, самостоятельно определяющего свою индивидуальную траекторию в процессе обучения решению сюжетных задач, предполагающую выявление и обогащение субъектного опыта обучающегося, создание условий для развития у него навыков организации учебного процесса (постановка целей обучения, выбор методов и средств ее достижения, соотнесение полученных результатов с запланированными, а при необходимости и корректировка выбранных методов и средств обучения); ¾ рассмотрение сюжетной задачи не только как объекта изучения (понятие, структура, типология, этапы решения), но и как средства развития личности обучающегося (формировать и развивать: психические процессы (внимание, воображение, память, мышление), способность к рефлексии и самостоятельности, личностно-смысловую сферу студентов); ¾ использование личностно ориентированного содержания математических дисциплин, в которых реализуется процесс обучения решению сюжетных задач. Формирование содержания математических дисциплин, в которых реализуется процесс обучения решению сюжетных задач, с учетом: – равноправного взаимодействия двух видов опыта (общественноисторического и индивидуального), происходящего не по линии вытеснения индивидуального и «наполнения» его общественным, а путем их постоянного согласования; – личностных смыслов студентов, определяющих мотивацию, аксиологию, мировоззрение и как следствие, жизненную позицию обучающихся, выражающуюся в отношении к себе, другим людям, социуму в целом; – сферы социального опыта, которая впоследствии станет средством и содержанием профессионально-педагогического взаимодействия студентов с будущими учениками; – адаптации учебных планов, программ, учебных пособий к требованиям, предъявляемым современным обществом к уровню и качеству математической подготовки учителя начальных классов, к интересам и потребностям личности студента с учетом его индивидуальных особенностей, мотивации и ценностной ориентации; – освоения логики данного предметного материала. Разработанная в диссертации концепция личностно ориентированного обучения будущих учителей начальных классов решению сюжетных задач открывает новое научное направление в методике обучения математике, связанное с решением проблем обучения решению сюжетных задач в системе высшего образования. Теоретическая значимость исследования определяется вкладом его результатов в теорию и методику личностно ориентированного обучения математике, расширяет представления о возможностях использования

сюжетных задач для формирования и развития личности будущих учителей начальных классов: 1. Выявлены компоненты внутренней структуры сюжетной задачи: 1) элементы задачи: а) известные (явно заданные); б) неизвестные (неконкретные, неявно заданные): искомые (их требуется найти или установить) и промежуточные или вспомогательные (нахождение которых не требуется, но они должны быть найдены в процессе поиска искомых); 2) величины, которыми охарактеризованы элементы (сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи; характер каждого значения величины); 3) характер взаимосвязей между элементами; 4) основное отношение между величинами; 5) систему состояний (система предложений, каждое из которых описывает различные значения величин, характеризующих ее элементы); 6) ситуации (предложение, формализованное основным отношением, реализованным в задаче). 2. Уточнено содержание понятия «сюжетная задача»: «задача представляет собой непустое множество элементов, на котором определено заранее данное отношение», путем введения двух характеристических свойств: 1) наличие сюжета; 2) наличие требования найти какую-либо характеристику элемента, либо установить взаимосвязь между элементами, либо найти последовательность требуемых действий. Сюжетная задача представляет собой описание в виде сюжета некоторого непустого множества элементов, на котором определено заданное отношение с требованием найти какую-либо характеристику элемента, либо установить взаимосвязь между элементами, либо найти последовательность требуемых действий. 3. Разработана типология сюжетных математических задач, основанная на признаке: 1) определяемом структурой задачи (соотношение между значениями одной и той же величины или разных величин в сюжетной задаче; наличие известных компонентов задачи); 2) имеющем практическое значение в локальной области поиска (содержание текста сюжетной задачи; степень трудности; форма сюжетной задачи; полнота текста сюжетной задачи; метод или способ решения сюжетной задачи). 4. Выявлены особенности социально-педагогической, предметнодидактической, психологической моделей личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач. 5. Разработана личностно ориентированная технология обучения решению сюжетных задач для специальности «Педагогика и методика начального образования», которая представляет упорядоченную совокупность действий, операций и процедур, направленных на организацию индивидуальной образовательной траектории учебной деятельности студентов, при которой созданы оптимальные условия для развития у субъектов обучения способностей к самообразованию, к реализации своих творческих возможностей с учетом индивидуальных психологических особенностей субъектов образования.

6. Введено понятие микротехнологии личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач, под которой понимается продуманная во всех деталях модель совместной учебной и педагогической деятельности по проектированию и организации приемов, способов и методов обучения решению сюжетных задач, в основе которой лежит понятие личности. 7. Дано теоретическое обоснование процесса отбора относительно каждого этапа стратегии решения сюжетной задачи системы упражнений, способствующих формированию и развитию социально-значимых черт: мышления (мыслительных операций (сравнение, анализ, синтез, абстракция, обобщение), типов мышления (продуктивного и репродуктивного)), воображения (воссоздающего, творческого), памяти, внимания (концентрации, объема, распределения, переключения, устойчивости), способности к рефлексии и самостоятельности, личностных смыслов, характеризующих индивида, разработанных с учетом требований ГОС, логики изложения учебного материала, усвоения системы научных понятий и особенностей личностно ориентированной модели обучения решению сюжетных задач. Полученные результаты исследования составляют теоретическую базу методики обучения решению сюжетных задач в вузе как составной части методики математики. Практическая значимость исследования для теории и методики обучения решению сюжетных задач и теории и методики профессионального образования определяется следующим: 1. Полученные результаты востребованы в процессе обучения решению сюжетных задач будущих учителей начальной школы и при проведении мероприятий в системе повышения квалификации учителей начальных классов. При разработке программ, учебных планов и методического обеспечения может быть использован материал, изложенный в книгах «Сюжетные задачи по математике», «Сюжетные задачи по математике в начальной школе» и «Обучение решению сюжетных задач». 2. Разработан и апробирован в образовательном процессе комплекс специальных учебных заданий, отвечающих каждому компоненту стратегии сюжетной задачи, как специфическое средство, обеспечивающее целенаправленное формирование личности студента при обучении решению сюжетных задач. 3. Разработанные методические рекомендации личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач могут быть использованы при обучении будущих учителей начальных классов и на курсах повышения квалификации учителей начальных классов. 4. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в новых исследовательских работах по проблемам совершенствования методики обучения решению сюжетных задач.

Глава 1.  ОБОСНОВАНИЕ ЛИЧНОСТНО ОРИЕНТИРОВАННОЙ   МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ   

§ 1. Особенности личностно ориентированного процесса   обучения решению сюжетных задач 

Новая парадигма образования рассматривает личностно ориентированное обучение и воспитание как ведущую идею педагогической теории и практики (Н.А. Алексеев [9], Е.В. Бондаревская [54-60], В.В. Давыдов [93], И.А. Зимняя [118], М.В. Кларин [136, 137], К. Роджерс [227-229], В.В. Сериков [241-243], И.С. Якиманская [325, 326], и др.), которая, по мнению М.В. Кларина [138], определяет смену сциентистской модели обучения (как рационально организованного формирования интеллектуальной деятельности по оперированию знаниями) на гуманистическую модель образования, призванную обеспечить становление индивидуальности человека и раскрытие его потенциала, накопление и проживание уникального опыта, самоактуализацию и самореализацию. В работах Е.В. Бондаревской [54-60], В.В. Давыдова [93], М.В. Кларина [136, 137], С.В. Кульневича [162], В.В. Серикова [241-243], И.С. Якиманской [325, 326] выделены причины пристального внимания ученых к личностно ориентированному образованию, что позволило нам сформулировать обоснование необходимости применения личностно ориентированных технологий в обучении методике преподавания математики: 1) меняется общий взгляд на математическое образование, которое понимается как процесс развития личности, обусловленный гуманистическими и творческими взаимодействиями всех участников образовательного процесса; 2) студент перестает восприниматься как объект педагогического воздействия, и его начинают воспринимать субъектом математического образования, обладающего уникальной индивидуальностью, имеющей право на собственную траекторию развития; 3) для совершенствования методик обучения решению сюжетных задач используются психологопедагогические механизмы развития личности, приводящие к формированию и развитию социально-значимых черт характеризующих индивида, в процессе обучения решению сюжетных задач.

Несмотря на то, что личностно ориентированный подход является одним из ведущих направлений в современном математическом образовании высшей школы, нет единого понимания данного понятия. Представление о личностном подходе в педагогике прошло длительную эволюцию и на сегодняшний день включает в себя три основных трактовки данного понятия. Личностно ориентированный подход понимается: 1) как уважение прав, достоинств и самоценности ребенка и детства как особого значимого периода его социализации (Л.И. Божович [53], В.А.Сухомлинский [261]); 2) как ориентация воспитательной системы на формирование личности с социально признаваемыми интегративными качествами (А.Д. Алферов [11], Н.Н.Васильева [71], А.И.Кочетов [214], В.В. Шоган [313] и др.); 3) как особый вид образования, ориентированный на создание педагогических условий для саморазвития духовно-личностной сферы индивида (Н.И.Алексеев [9], Е.В.Бондаревская [261], М.В.Кларин [136], Е.А.Крюкова [151], С.В.Кульневич [162], В.В.Сериков [242], И.С.Якиманская [326]). Построение личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач в нашем исследовании основывается на третьем подходе. Для классификации существующих позиций, на наш взгляд, удобно воспользоваться подходом И.С.Якиманской [326], считающей, что все существующие модели личностно-ориентированного обучения можно условно разделить на три группы: социально-педагогическую, предметнодидактическую, психологическую. Социально-педагогическая модель математического образования была основана на педагогике социального заказа, то есть воспитании обучающегося с заранее заданными свойствами, отвечающими типовой модели личности, разработанной общественными институтами. Основные требования социума к личности включают в себя конформизм, подчинение индивидуальных интересов общественным, коллективизм и т. п. Учебный процесс предполагает ориентирование на создание одинаковых условий обучения для всех студентов без достаточного признания и учета субъектного опыта самого обучающегося как активного участника собственного личностного развития. Индивидуализация обучения решению сюжетных задач сведена в этой модели до минимума и практически проявляется лишь в педагогических затратах, необходимых для «дотягивания» личности обучающегося до запланированного результата. Предметно-дидактическая модель личностно ориентированного математического образования своим приоритетом видит организацию научных знаний с учетом их предметного содержания, обеспечивающим индивидуальный подход в обучении, средством которой служат знания, а не их конкретный носитель – студент. Научные знания организуются по степени их новизны, объективной трудности, уровню их интегрированности с учетом сложности и объема учебного материала (задания повышен-

ной/пониженной трудности). Таким образом, предметная дифференциация задает нормы познавательной деятельности, которые учитывают специфику научной области математических знаний, но не способствуют раскрытию личности самого студента как носителя субъективного опыта, индивидуальности, предпочтений к предметному содержанию, виду и форме задаваемых знаний. Если учесть, что система предпочтений личности складывается до того, как ей предлагаются дифференцированные формы обучения, то дифференциация не затрагивает субъективного опыта ученика, подменив личностные смыслы их социальными клише, что порождает формализм в усвоении знаний. Психологическая модель личностно ориентированного математического образования основана на признании приоритетности развития обучаемого, то есть научные знания рассматриваются не только как объект изучения, а прежде всего, как средство развития личности. При этом целью образовательного процесса являются развитие и коррекция: 1) обучаемости как познавательной способности; 2) субъект-субъектных отношений; 3) личностных характеристик субъекта обучения. Мы согласны с такой классификацией, принимая психологическую модель как истинно личностно ориентированную. Однако для реализации психологической модели обучения решению сюжетных задач в практике высшей школы необходимо четко представлять все ее особенности и отличительные характеристики. Если особенности предложенных моделей в общих чертах представлены в работе И.С.Якиманской [326], то отличительные характеристики нам необходимо установить в процессе исследования. При этом надо учитывать различия между понятиями «обучение решению задач» и «решение задач». Необходимость такого различия вызвана тем, что в методической литературе и в практике обучения эти понятия часто отождествляются, а вопрос «Как научить решать задачи?» подменяется вопросом «Как решать задачи на уроке?», методика обучения решению задач сводится к методике решения задач. Такое отождествление приводит: 1) к ориентации работы преподавателя на получение ответов на вопросы задач, а не на формирование умения решать задачи; 2) к направленности деятельности студентов на решение конкретной задачи, а не на овладение способом решения; 3) к недостаточному использованию разнообразных приемов, способствующих формированию умения решать задачи. Обучение решению задач – это специально организованное взаимодействие учителя и учащихся, цель которого – формирование у учащихся умения решать задачи. Чтобы выявить характер и условия такого взаимодействия, нужно: а) определить основу организации взаимодействия (обучения решению сюжетных задач); б) разобраться в том, что значит – умение решать задачи.

Любое умение – это качество человека, а именно: его готовность и возможность успешно осуществлять определенные действия. Дидактические характеристики данного процесса можно найти в работах Н.И. Алексеева [9], В.П.Беспалько [46, 47], Е.В. Бондаревской [54-60], М.А. Викулиной [72], Е.А. Дядиченко [107], И.А. Зимней [118], А.А. Плигина [215] В.В., К. Роджерса [227], Серикова [242], И. С. Якиманской [325, 326]. В диссертационной работе нами выявлены цели, направленность и особенности педагогического процесса в различных вариантах организации обучения решению сюжетных задач (социально-педагогическом, предметнодидактическом, психологическом), позволяющие оценить преимущество выбранной психологический системы, которые представлены в таблице № 1. В методической литературе принято выделять два основных типа умения решать задачи: 1) умение решать задачи определенного вида (частное умение решать задачи); 2) общее умение решать задачи. Первый тип умения важен потому, что дает необходимый опыт и возможность выделить в решаемой задаче те подзадачи, решение которых известно. Кроме того, при решении каждой новой задачи можно использовать те способы и приемы, которые давали прежде положительные результаты. Обучение умению решать задачи определенных видов включает в себя усвоение обучающимися сведений о видах задач, способах решения задач каждого вида (данного вида) и выработку умения выделять задачи соответствующих видов, выбирать способы решения, адекватные виду задачи, применять эти способы к решению конкретных задач. Второй тип умений помогает развитию таких когнитивных способностей, как умение проанализировать новую ситуацию, на основе проведенного анализа принять правильное решение, выработать план действий и суметь осуществить его. В методической литературе принято выделять два основных типа умения решать задачи: 1) умение решать задачи определенного вида (частное умение решать задачи); 2) общее умение решать задачи. Первый тип умения важен потому, что дает необходимый опыт и возможность выделить в решаемой задаче те подзадачи, решение которых известно. Кроме того, при решении каждой новой задачи можно использовать те способы и приемы, которые давали прежде положительные результаты. Обучение умению решать задачи определенных видов включает в себя усвоение обучающимися сведений о видах задач, способах решения задач каждого вида (данного вида) и выработку умения выделять задачи соответствующих видов, выбирать способы решения, адекватные виду задачи, применять эти способы к решению конкретных задач. Второй тип умений помогает развитию таких когнитивных способностей, как умение проанализировать новую ситуацию, на основе проведенного анализа принять правильное решение, выработать план действий и суметь осуществить его.

Таблица № 1 – Отличительные характеристики личностно ориентированных моделей обучения решению сюжетных задач Социально-педагогическая Предметно-дидактическая модель модель Выполнить социальный заказ Усвоение ЗУНов с использованием предобщества по развитию личности метной дифференциации, обеспечивающей с заранее заданными свойствами индивидуальный подход в обучении решев процессе обучения решению нию сюжетных задач. сюжетных задач. Личность студента понимается как «усредненный» вариант, являющийся носителем и выразителем массовой культуры. В поле зрения преподавателя - интеллект, операциональная успешность обучающегося, исполнение предписанных функций

Психологическая модель Развитие личности, индивидуальных познавательных способностей, когнитивного стиля студента в процессе обучения решению сюжетных задач.

Приоритет индивидуальности, самостоятельности, самобытности личности студента как активного носителя субъектного опыта. Создание условий для развития обучающегося как личности в процессе обучения решению сюжетных задач. В поле зрения преподавателя жизненный смысл, личностная самоорганизация, личностные функции студента. Цели обучения решению сюжетных задач задаются преподавателем. Цели обучения решению сюжетных задач взаимно согласовываются преподавателем со студентами, зачастую преподаватель и студент по отдельности выстраивают собственную систему ожиданий от занятия. От системы знаний к объекту обучения От субъекта обучения к содержанию и методам обучения. Сюжетная задача как объект изучения Сюжетная задача как средство развития личности студента и как объект изучения Образовательный процесс ориен- Образовательный процесс ориентирован на Обучающийся является субъектом познания и сам опредетирован на создание одинаковых создание различных условий обучения ре- ляет свою индивидуальную траекторию в процессе обучеусловий обучения решению сю- шению сюжетных задач для «слабых, сред- ния решению сюжетных задач. жетных задач для всех студентов. них и сильных» студентов. Обучение решению сюжетных задач осуществляет информационную функцию, Диагностика субъективного опыта обучающегося опредене зависящую от субъективного опыта обучающегося. ляет содержание математического образования, в частности, при обучении решению сюжетных задач. Устанавливается одинаковый Устанавливается объем знаний, рассчитан- Устанавливается объем знаний, рассчитанный для каждого для всех студентов объем знаний, ный для «слабых, средних и сильных» сту- студента с учетом его познавательных способностей, интеи подбирается в связи с этим дентов, и подбирается в связи с этим учеб- ресов, уровня развития, и подбирается в связи с этим учебный материал. учебный материал. ный материал.

Продолжение таблицы № 1 – Отличительные характеристики личностно ориентированных моделей обучения решению сюжетных задач Преподаватель задает темы прохож- Преподаватель задает темы прохож- Темы прохождения учебного материала согласуются в соотдения учебного материала. дения учебного материала. ветствии с познавательными особенностями студента. Наблюдается явный авторитаризм пе- Выявление предпочтений обучающедагога (обучающего) при обучении гося, учет его индивидуальных осорешению сюжетных задач. бенностей при углубленном изучении материала различного уровня сложности в процессе обучения решению сюжетных задач. Ориентир на коллективную и фрон- Работа с группами различной успетальную работу. ваемости, учитывая гуманитарные или естественные предпочтения. Процесс обучения решению сюжетных задач заключается в интериоризации нормативной деятельности.

Учение разворачиватеся как процесс, в котором учитываются предпочтения и особенности студента. Основным результатом обучения решению сюжетных задач является формирование познавательных способностей студента на основе владения им соответствующими знаниями и умениями.

Единообразие программ, методов и форм обучения решению сюжетных задач. Технологии образовательного процесса основаны на идее педагогических упражнений, коррекции «извне» без учета интересов студента. Соответствие/ несоответствие образцу.

Равноправное взаимодействие двух видов опыта (общественно-исторического и индивидуального) происходит не по линии вытеснения индивидуального и «наполнения» его общественным, а путем их постоянного согласования. Поэтому, учение не есть прямая проекция обучения.

Ориентир на самостоятельный поиск, самостоятельную работу, самостоятельные открытия студентов.

Выявление определяющего способа учебно-познавательной деятельности студента на основе диагностики и приоритете обучающегося. Репродуктивные методы обучения ре- Дифференциация содержания знаний, Выявление стратегии познания, изучение и развитие когнишению сюжетных задач (простое по- дифференциация обучающихся по тивного стиля студента и обучающего стиля преподавателя, вторение по образцу), акцент на про- освоению ЗУНов в процессе обуче- создание технологий саморазвития, рефлексия в процессе стейшие учебные навыки. ния решению сюжетных задач. обучения решению сюжетных задач. Выявление интересов обучающегося и их учет при углубленном изучении отдельных предметов. Технология образовательного процесса строится преподавателем с учетом различного уровня развития студентов. Балльная система отметок, средний балл аттестата.

Качественные: продвижение по индивидуальной траектории.

Личностно-ориентированная методическая система обучения строится на утверждении, что необходимо формирование обоих умений, так как наиболее эффективно обучение, в котором идут от накопления опыта решения разнообразных задач к обучению общим приемам и методам, а от них – к овладению способами решения конкретных видов задач. Такое формирование возможно при сочетании трех линий в содержании и организации деятельности учащихся: – накопление опыта решения разнообразных задач как с осознанием процесса и способа решения, так и без такого осознания, на интуитивной основе; – овладение компонентами общего умения решать задачи в специально организованной для этого деятельности; – выработка умения решать все виды задач. Формирование частных умений решения определенных типов сюжетных задач основывается на образцах частных методов, приведенных учителем. Как правило, общее в данных методах на занятиях не выявляется, так как каждый метод рассматривается отдельно, без сопоставления с другими методами. Если для формирования частных умений решения задач преподаватель планирует время при освоении студентами математических дисциплин, то общие умения, как отмечает Л.М.Фридман, формируются стихийно, благодаря математическим способностям самих студентов, а не в результате целенаправленной и систематической работы преподавателя. С одной стороны, это обусловлено тем, что в стандарте обучение решению сюжетных задач рассматривается только как средство теории с практикой, и времени для овладения общими умениями не предусматривается. С другой стороны, принято считать, что студенты должны были овладеть общими умениями решению задач в школе. Однако и в школьных учебниках не предусмотрено овладение обучающимися данных умений. «Считается, что эти умения могут возникнуть лишь благодаря решению большого количества задач» [276]. Однако надо признать, что при этом, столкнувшись с задачей неизвестного ранее типа, студент не всегда может найти способ ее решения. Работа над задачами не должна сводиться к натаскиванию студентов на решение задач сначала одного вида, затем другого и т.д. Главная ее цель – научить обучающихся самостоятельно находить решение любой задачи, даже неизвестного ранее им типа. Чтобы достичь этого, преподаватель должен предусмотреть в процессе обучения решению задач систему различных методических приемов. Один из наиболее разработанных приемов – объединение сюжетных задач в группы. Среди групп задач, структурированных согласно тем или иным принципам, можно выделить: цепочка задач (В.А.Гусев), цикл взаи-

мосвязанных задач (Г.В.Дорофеев), коллекция задач (А.В.Ястрибов). В методической литературе принято выделять два основных типа умения решать задачи: 1) умение решать задачи определенного вида (частное умение решать задачи); 2) общее умение решать задачи. Первый тип умения важен потому, что дает необходимый опыт и возможность выделить в решаемой задаче те подзадачи, решение которых известно. Кроме того, при решении каждой новой задачи можно использовать те способы и приемы, которые давали прежде положительные результаты. Обучение умению решать задачи определенных видов включает в себя усвоение обучающимися сведений о видах задач, способах решения задач каждого вида (данного вида) и выработку умения выделять задачи соответствующих видов, выбирать способы решения, адекватные виду задачи, применять эти способы к решению конкретных задач. Второй тип умений помогает развитию таких когнитивных способностей, как умение проанализировать новую ситуацию, на основе проведенного анализа принять правильное решение, выработать план действий и суметь осуществить его. Например, Г.В.Дорофеев, метод конструирования цикла взаимосвязанных задач видит в совокупности приемов, используемых для их составления. «Каждая конкретная задача имеет определенный набор связанных с ней задач, определенную окрестность – по содержанию, методам рассуждений, кругу используемых понятий. Более того, каждая задача входит в некоторый букет окрестностей, связанных с той или иной ее особенностью, а выбор одной из многих окрестностей задачи для построения цикла определяется конкретной ситуацией преподавания. Разнообразие букета окрестностей задачи предполагает широту ее использования и является, по нашему мнению, важным критерием ее дидактической ценности» [102]. Несколько иначе эту же идею излагает В.И.Крупич. По его мнению, построение циклов задач предполагает следующее: выбор базисной задачи (задача, имеющая наименьшую сложность решения) и подбор (создание) задач-компонентов (развивающие базисную задачу) [149]. Построение циклов задач, хотя и является одним из методически разработанных приемов, вызывает затруднение у студентов. Это обусловлено тем, что такие компоненты процесса решения сюжетной задачи, как восприятие и анализ содержания задачи, построение модели, поиск способа ее решения рассматриваются как средства для нахождения ответа задачи. Разрешить возникшую проблему, по мнению Л.М. Фридмана [102], можно, если данные компоненты процесса решения сюжетных задач положить в основу самостоятельных упражнений. Автор это обосновывает тем, что усвоение каких-либо действий (знаний) возможно лишь при условии, что они будут целью активности учащихся, а не одним из элементов достижения другой, более общей, цели. Когда отсутствует акцент на

каком-то элементе, то до конца не осознается, поэтому и не может быть усвоен. Например, Л.М.Фридман советует в процессе обучения решению задач использовать следующие задания: «Дан текст задачи. Постройте всевозможные модели (определенную модель) к данной задаче», «Дан текст задачи. Проведите содержательный анализ данной задачи» [102]. А С.Е.Царева предлагает проигрывать с обучающимися различные ситуации [290]: – Сегодня ты записываешь задачу и ее решение для того, чтобы тебе было легче с нею работать, легче решать. – Решение задачи, которая дана тебе на карточке, запиши так, чтобы твой сосед по парте, прочитав задачу и запись ее решения, понял, как решается эта задача. – Решение этой задачи запиши так, чтобы, посмотрев через неделю эту запись, ты мог бы понять, как она решается. – Решение этой задачи запиши так, чтобы каждый, кто прочет, рассмотрит запись, увидел, что ты знаешь, как решаются такие задачи, что ты умеешь их решать. – По записи решения этой задачи будут оценивать, уметешь ли ты решать задачи с помощью чертежа (с помощью арифметических действий, с помощью уравнений и т.п.). В результате такой работы с записями задач студенты становятся более свободными в выборе форм записи. Они способны конструировать свои записи, начинают понимать связь между формой и содержанием знания. Эта работа не только привносит в решение задач элементы будущей их профессиональной деятельности, но и способствует познанию себя, своих товарищей. Теоретические знания о типах задач и частных способах их решения должны способствовать систематизации полученной информации о каждом из этапов процесса решения сюжетных задач. Если обратиться к учебникам Н.С.Уртенова «Основные понятия математики», А.А.Столяра, М.П.Лельчука «Математика для студентов 1 курса факультетов подготовки учителей начальных классов пед. вузов», Г.М.Аматовой, М.А.Аматовой «Математика» и других, можно отметить тот факт, что: – задачи относятся к алгоритмически разрешимым и не развивают у студентов вариативного мышления; – все задачи, содержащиеся в них, внутри одной темы классифицированы по степени сложности и расположены, как правило, в порядке её возрастания;

– студентам преимущественно предлагаются задачи определённые, т.е. задачи, содержащие в условии ровно столько данных, сколько их требуется для получения ответа, не больше и не меньше. Если же мы ставим целью научить студентов решать задачи из жизни, а не из учебников, то мы должны научить их: 1) математизировать ситуацию (т.е. переводить задачу бытовую, производственную и др. на язык математики); 2) выбирать необходимые для решения величины из их чрезмерного множества или осуществлять вариативный поиск данных, недостающих для решения задачи; 3) решать полученную математическую задачу; 4) анализировать найденные решения, сравнивать их, выбирать наиболее экономичные; 5) разматематизировать ситуацию (т.е. переводить полученный ответ на язык бытовой, производственной и прочей практики). Из перечисленных видов деятельности в методической литературе уделяется внимание разве что третьему. Остальные затрагиваются в такой ничтожной мере, что говорить даже о частичном обучении здесь вряд ли следует. Например, если вспомнить о задачах неопределённых и переопределённых, то таких в учебниках, как правило, нет. З.И. Слепкань пишет: «… Так как многие стандартные … задачи решаются по определенным правилам, то вооружение обучающихся учебными алгоритмами решения таких задач – наиболее эффектный путь обучения решению задач. Использование алгоритмического подхода вносит рациональность и экономичность в мышление, помогает не только управлять, но и самоуправлять мышлением в процессе решения типовых, стандартных задач. Но при алгоритмическом подходе не исключена опасность формализма, шаблонов, нетворческого подхода учащихся к решению задач». М.П.Буловацкий [67]отмечает в своей статье тот факт, что студент, как правило, игнорирует важные вопросы о переизбыточности, недостаточности или противоречивости задач, так как задачи из учебников не требуют размышления над такими вопросами, потому что в них практически всегда имеется столько данных, сколько необходимо для решения. И это является, по мнению М.П.Буловацкого [67], серьёзным недостатком математического образования. Переопределённые (с избыточным составом условия) или неопределённые (с недостатком данных) задачи ставят большинство обучающихся в тупик, из которого они зачастую не в состоянии выбраться. И это затруднение возникает в связи с тем, что у студентов не отработан навык отбора и предварительной оценки данных задачи. Как считает М.П.Буловацкий, отработке этого навыка нужно уделять специальное учебное время. [67] Поэтому необходимо использовать задания: «Все ли возможные случаи рассмотрены?», «Достаточно ли данных для решения задачи?», «Сколько решений имеет задача?» и т.п. Естественно, задачи, предлагае-

мые под этими рубриками, соответствуют поставленному вопросу, т.е. имеют несколько вариантов реализации условия, несколько возможных путей решения, и количество данных в условии не обязательно является необходимым и достаточным для получения ответа. Основой для ответа на поставленный вопрос можно считать известную таблицу Д.Пойа «Как решать задачу» [218]. В числе основных вопросов, над которыми следует задумываться решателю, Д.Пойа выделяет следующие: Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определённым окажется тогда неизвестное? Как оно сможет меняться? Все ли данные вами использованы? Все ли условия? Приняты ли во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче? Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения? Перечисленные выше вопросы и советы из таблицы Д.Пойа являются малопопулярными или совсем непопулярными у преподавателей. Хотя бы потому, что первая часть этих вопросов и не требуется в отношении традиционных задач. Для того, чтобы таблица Д.Пойа заработала в полной мере, и возникает необходимость дополнить наборы задач задачами неопределёнными и переопределёнными. Анализ работ В.А. Гусева [90], Г.В. Дорофеева [102], В.И. Крупича [149], Л.М. Фридмана [67], С.Е. Царевой [290] и др. позволил определить основные положения, характеризующие процесс формирования и развития умения решать сюжетные задачи, и относительно каждого положения выявить отличительные особенности методики личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач, которые представлены в таблице № 2. Исходя из вышесказанного, построение психологической модели личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач достигается, если педагог (как главный организатор этого процесса) учитывает следующие особенности данного учебного процесса: • Студенты сами выбирают тип задачи, который они будут решать: а) тренировочные, обучающие, поисковые, проблемные, творческие; б) на распознавание, на конструирование, на доказательство, на исследование, на преобразование. • Предпочтителен метод показа общих способов решения сюжетных задач. Частные способы решения сюжетных задач выводятся каждым студентом. Полученные результаты сравниваются и анализируются на занятиях.

• Работа над задачами предполагает выявление общих методов решения, что создает условия для самостоятельного поиска студентами решения любой задачи, даже неизвестного им ранее типа.

Таблица № 2 – Отличительные особенности методики личностно ориентированных моделей обучения решению сюжетных задач Социально-педагогическая Предметно-дидактическая модель модель Курс математики предусматривает: Слабые студенты выполняют только а) тренировочные и обучающие задачи; б) тренировочные и обучающие задачи задачи на распознавание и доказательство. (задачи на распознавание и доказательство), средним предлагается выполнить после освоения первых двух типов задач поисковые задачи (задачи на конструирование), а сильным – проблемные задачи (задачи на конструирование, исследование и на преобразование). Предпочтителен метод показа частных спо- Предпочтителен метод показа частсобов решения сюжетных задач ных способов решения сюжетных задач. Общий способ решения задачи определенного типа выводится сильными студентами под руководством преподавателя. Работа над сюжетными задачами сводиться к «натаскиванию» студентов на решение задач сначала одного вида, затем другого и т.д.

Психологическая модель Студенты сами выбирают тип задачи, который они будут решать: а) тренировочные, обучающие, поисковые, проблемные, творческие; б) на распознавание, на конструирование, на доказательство, на исследование, на преобразование.

Предпочтителен метод показа общих способов решения сюжетных задач. Частные способы решения сюжетных задач выводятся каждым студентом. Полученные результаты сравниваются и анализируются на занятиях.

Работа над задачами предполагает выявление общих методов решения, что создает условия для самостоятельного поиска студентами решения любой задачи, даже неизвестного ранее им типа. Общее умение решения задач подразумевает решение большого количества задач Общее умение решения задач подразумевает решение неразличных видов (решаемых согласно изучаемым математическим темам). большого количества задач с учетом общих теоретических основ стратегии решения сюжетной задачи.

Продолжение таблицы № 2 – Отличительные особенности методики личностно ориентированных моделей обучения решению сюжетных задач Формирование частных умений решения определенных типов сюжетных задач основывается на образцах частных методов, приведенных учителем. Как правило, общее в данных методах на занятиях не выявляется, так как каждый метод рассматривается отдельно, без сопоставления с другими методами. Восприятие и анализ содержания задачи, построение модели, поиск способа ее решения рассматриваются как средства для нахождения ответа задачи. Приводится одно определение понятия «сю- На занятиях приводится одно опредежетная задача». ление понятия «сюжетная задача». Сильным студентам предлагается самостоятельно изучить многообразие данного понятия. Используют предложенную преподавателем Слабые студенты используют предформу записи решения задачи. ложенную преподавателем форму записи решения задачи, средние и сильные студенты могут выбрать форму записи решения задачи. Фабула задачи отражает идеологическое воспитание.

Формирование частных умений решения определенных типов сюжетных задач основывается на образцах частных методов, приведенных учителем или студентами, с обязательным сопоставлением с другими методами и выделением общего в данных методах. Восприятие и анализ содержания задачи, построение модели, поиск способа ее решения рассматриваются не только как средство для нахождения ответа задачи, но и как основа для создания самостоятельных упражнений. Дается многообразие определений понятия «сюжетная задача». Предлагается провести анализ данных понятий, на основе которого, студенты самостоятельно выбирают то определение, которое они признают за основное и обосновывают свой выбор. Студенты свободны в выборе форм записи, однако процесс обучения предполагает использование и сравнение различных форм записей решения одной и той же задачи. Фабула задачи отражает интересы студентов.

Цикл взаимосвязанных задач разрабатывает- Базисная задача определяется препо- Базисная задача определяется студентом. Им же разрабася учителем. давателем. Сильные студенты разра- тывается цикл взаимосвязанных задач. батывают цикл взаимосвязанных задач. Слабые студенты изучают предложенный им цикл задач.

• Общее умение решения задач подразумевает решение небольшого количества задач с учетом общих теоретических основ стратегии решения сюжетной задачи. • Формирование частных умений решения определенных типов сюжетных задач основывается на образцах частных методов, приведенных учителем или студентами, с обязательным сопоставлением с другими методами и выделением общего в данных методах. • Фабула задачи отражает интересы студентов. • Восприятие и анализ содержания задачи, построение модели, поиск способа ее решения рассматриваются не только как средство для нахождения ответа задачи, но и как основа для создания самостоятельных упражнений. • Дается многообразие определений понятия «сюжетная задача». Предлагается провести анализ данных понятий, на основе которого студенты самостоятельно выбирают то определение, которое они признают за основное, и обосновывают свой выбор. • Студенты свободны в выборе форм записи, однако процесс обучения предполагает использование и сравнение различных форм записей решения одной и той же задачи. • Базисная задача определяется студентом. Им же разрабатывается цикл взаимосвязанных задач. § 2. Личностная составляющая содержания математического  образования в процессе обучения решению сюжетных задач  Личностная направленность математического образовательного процесса способствует переосмыслению основных дидактических понятий, в том числе и содержания образования, под которым понимается, в данном случае, «образовательная среда, способная вызывать личностное образовательное движение ученика и его внутреннее приращение»[286]. Чтобы это осуществить на практике при обучении решению сюжетных задач без значительных потерь для личности студента, содержание математического образования должно учитывать механизмы адаптации и направленности на сохранение своей индивидуальности, что предполагает следующую структуру личностно ориентированного содержания математического образования: 1) базовое математическое содержание учебных дисциплин, способствующее познанию фундаментальных образовательных объектов, зафиксированных в государственном образовательном стандарте; 2) культурно-историческое и научно-познавательное содержание учебных математических дисциплин, позволяющее создать условия для 27

более углубленного изучения материала, связанного с понятием «сюжетная задача»; С целью разработки концепции личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач нами проведен критический анализ существующих подходов реализации базового математического содержания учебных дисциплин в высшей школе, в результате которого выделено три основных подхода. При первом подходе обучение математике сопровождается решением сюжетных задач, которые служат средством обеспечения связи теории с практикой. Подобный подход предполагает создание типологии задач согласно содержанию математического образования. Для каждого типа задач предлагается так называемый типовой способ решения, который преподаватель объясняет на нескольких примерах. Данный подход неоднократно подвергался критике. Например, Л.П.Фридман пишет, что «…такой метод обучения может формировать у учащихся лишь частные умения в решении типовых задач, причем эти умения весьма не стойки… И лишь у некоторых, наиболее одаренных учащихся, вырабатывается интуитивное обобщенное умение поиска способа решения задач» [276]. Еще более жесткую позицию высказывает Н.Г.Алексеев: «обучая учащихся решать… задачи, учителя дают образцы того, как это нужно делать, в то же время осознание учащимися самого способа решения задачи остается неуправляемым со стороны педагогов. У сильных учащихся процесс осознания способа решения происходит как бы сам по себе, «стихийно». Слабые учащиеся воспроизводят образцы деятельности учащихся, не осознавая способа решения» [10]. Несмотря на то, что данная критика признается справедливой, большинство учебников, предназначенных для изучения математики в вузе при подготовке будущих учителей начальных классов, построено именно по этому принципу. К таким учебникам можно отнести: 9 Уртенов Н.С. «Основные понятия математики: учебное пособие». – Ростов н/Д: Изд. Феникс, 2009 г. 9 Лаврова Н.Н., Стойлова Н.П. Задачник-практикум по математике: учеб. пособие для студентов-заочников I-Ш курсов. – М., 1985 г. 9 Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика для студентов 1 курса факультетов подготовки учителей начальных классов пед. вузов / под редакцией А.А. Столяра. – Минск, 1976 г. 9 Р.А. Александрова, А.М. Потапова. Элементы теории множеств и математической логики: практикум. – Калининград, 1997 г. 9 Г. М. Аматова, М. А. Аматов Математика. Упражнения и задачи Серия: Высшее профессиональное образование. – М.: Изд. Академия, 2008 г. 9 Г. М. Аматова, М. А. Аматова Математика. В 2 книгах. Книга 1 Серия: Высшее профессиональное образование. – М.: Изд. Академия, 2008 г. 28

9 Мерзон А.Е., Добротворский А.С., Чекин А.Л. Пособие по математике для студентов факультетов начальных классов. Серия: Библиотека педагога практика. – М., 2001 г. Все выше перечисленные учебники и учебные пособия содержат задачи и упражнения по темам, предусмотренным Государственным стандартом высшего профессионального образования и программой по математике для специальности «Педагогика и методика начального образования». Таблица № 3 Наименование дисциплин Вопросы, изучаемые и их основные разделы при обучении решению задач Математика ДПП.Ф.06 Множество. Бинарные отношения и их Понятие сюжетной задачи и ее струксвойства. туры. Практический метод решения задач. Элементы математической логики. Логический метод решения задач. Теория чисел – основа вычислительных Арифметический и алгебраический медействий. Расширение множества це- тоды решения задач. лых неотрицательных чисел. Рациональные и действительные числа. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел. Геометрический метод решения задач. Функции, уравнения, неравенства. Величины и их измерение. Величины, Графический метод решения задач. изучаемые в начальной школе. Едини- Решение сюжетных задач. цы измерения величин.

В выше перечисленных учебниках и учебных пособиях приведена краткая теория по основным вопросам математики (множества, соответствия, алгебраические операции, элементы комбинаторики и теории вероятностей, расширение понятия числа, уравнения, неравенства, функции, элементы геометрии, величины). Даны примеры решения сюжетных задач, подобранных к каждой теме, а также задачи для самостоятельного решения с ответами и указаниями. С одной стороны, данные учебники отвечают требованию современного стандарта математического образования, с другой, в них отсутствуют разделы, в которых рассматриваются понятие задачи и ее структура, этапы решения задач. Таким образом, общие умения решению задач не подкреплены теоретическими знаниями. Второй подход рассчитан на реализацию социально-педагогической модели математического образования, – кроме типовых задач в программу включаются так называемые развивающие задачи. Примером такого подхода может служить учебник «Сборник задач и упражнений по математике», разработанный Т.П. Быковой, Г.Ю. Алексеевой, Н.И. Хрипченко и опубликованный в 2008 г. В реальном учебном процессе максимальная польза 29

от развивающих задач может быть достигнута в том случае, если они достаточно разнообразны по содержанию и способам решения. В качестве отрицательных моментов данного подхода выделяют его ориентацию на сильных студентов, имеющих изначально высокий уровень математических способностей, поэтому ставит учащихся с менее развитыми способностями в унизительное наблюдение чужих успехов. Все выше перечисленные учебники и учебные пособия не предусматривают изучение теоретических основ о задачах и их решения, которые необходимы студентам, чтобы сформировать умения: а) находить способ решения любого вида сюжетной задачи; б) видеть общее в частных способах решения; в) находить алгоритм к каждому конкретному виду сюжетной задачи на основе общих умений решение задачи. Третий подход заключается в том, что в содержании математического образования будущих учителей начальных классов предусмотрены общие теоретические знания о задачах и общем методе решения сюжетных задач. К таким учебникам можно отнести «Математика: учебник для студентов высших педагогических учебных заведений» Л.П.Стойловой и «Математика: учебное пособие для студентов факультетов подготовки учителей начальных классов» А.П. Тонких. В данных учебниках главное внимание при обучении решению сюжетных задач уделяется нахождению ответа задачи. Анализ содержания сюжетной задачи, ее структуры, построение ее модели приводятся в объеме начальной или, в лучшем случае, средней школе. Например, Л.П. Стойлова рассматривает всего четыре этапа решения сюжетной задачи [257]: а) анализ задачи; б) поиск плана решения задачи; в) осуществление плана решения задачи; г) проверка решения задачи. Что не может удовлетворить потребностям современного образования. Чтобы разрешить противоречие между происходящими в образовательной системе России изменениями, связанными с усилением внимания к развитию личности студента, и отсутствием разработанной личностной составляющей содержания математического образования в процессе обучения решению сюжетных задач, необходимо внести изменения в существующий подход обучения решению сюжетных задач при профессиональной подготовке будущих учителей начальных классов. Что предполагает: Во-первых, необходимо создать условия, при которых студент сможет сам определить для себя, каким из определений понятия «сюжетная задача» он будет пользоваться в своей учебной деятельности. Для этого надо отойти от традиционного подхода, в котором предлагается «единственно правильное определение», так как, с одной стороны, это приводит к иллюзии, что все теоретические основы методики обучения решению сюжетных задач решены, с другой, лишает возможности студента к самосовершенствованию, возникающему при необходимости аргументированного 30

выбора в условиях неопределенности. Многообразие различных подходов введения понятия «сюжетная задача» и выбор в условии полисубъектного взаимодействия должны способствовать развитию личности студента при овладении им теоретических знаний. Во-вторых, в отличие от принятых в традиционных учебниках математики для будущих учителей начальных классов четырех этапов процесса решению сюжетных задач, необходим учет всех этапов, рассмотренных нами в первой главе. Если раньше особое внимание уделялось построению модели и оформлению решения, то личностно ориентированное обучение решению сюжетных задач в равной степени видит важность каждого из этапов, так как в каждом этапе существуют свои приемы и способы, позволяющие развивать те или иные черты личности студента. В-третьих, личностно ориентированное обучение решению сюжетных задач этапы решения рассматривает, в отличие от традиционной методики математики, не только как средство для нахождения ответа задачи, но и как основу для создания самостоятельных упражнений, способствующих формированию и развитию черт, характеризующих индивида. Поэтому к каждому этапу на практике разработана система специально разработанных упражнений, по мере выполнения которых студент не только овладевает навыком выполнения того или иного этапа процесса решения сюжетной задачи, но и развивается как личность. Личностно ориентированное обучение решению задач накладывает определенные психологопедагогические и методические требования к системе упражнений: а) задание должно фиксировать не только результат, но и варианты выполнения задания обучаемыми (решить одним или несколькими методами одну и туже задачу, составить одну или несколько сюжетных задач и т.д.); б) по структуре, содержанию и форме каждое новое упражнение не должно воспроизводить предыдущее. Чтобы обучение студента не сводилось к использованию уже заученных приемов работы, задания должны носить креативный характер; в) каждое последующее упражнение должно неявно включать знания, полученные студентами при выполнении предыдущего упражнения; г) серии заданий, соответствующих одному из этапов процесса решения задачи, должны быть ориентированы на индивидуальные особенности работы обучаемых, использование при этом оптимальных для каждого студента средств обучения решению сюжетных задач. Это позволяет выявить и преодолеть стереотипы учебного опыта студентов при поиске способа решения знакомого им типа задач. В-четвертых, раз мы говорим о личностно ориентированном обучении, то содержание обучения решению сюжетных задач, в отличие от традиционной формы обучения, должно строиться с учетом самостоятельного выбора студентами: а) типа задачи; б) упражнений при освоении каж31

дого из этапов стратегии решения сюжетных задач; в) формы записи выполнения способа анализа, поиска способа решения и оформление решения задачи (однако преподавателем предлагается студентам использование и сравнение различных форм записей); г) степени творчества при решении задачи (креативный или когнитивный); д) способа поиска решения задачи; е) изучения только современных методов или дополнительно старинных методов решения сюжетных задач; ж) оформления способа решения сюжетных задач; з) способа проверки правильности найденного решения; и) направленности и полноты учебно-познавательного этапа решения задачи; к) основания для создания цикла взаимосвязанных задач. Реализация личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач требует смены «векторов»: от обучения, как нормативно построенного процесса направленного на овладение знаниями, умениями и навыками, к учению, как деятельности студентов, направленной на развитие их личности в результате учебной деятельности при овладении общими методами решения задач. Концепция личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов в вузе основывается на признании личности студента системообразующим фактором обучения решению сюжетных задач, что предполагает: – признание студента субъектом познания, самостоятельно определяющего свою индивидуальную траекторию в процессе обучения решению сюжетных задач; – рассмотрение сюжетной задачи не только как объект изучения, но и как средство развития личности обучающегося; – использование личностно ориентированного содержания математических дисциплин, в которых реализуется процесс обучения решению сюжетных задач (схема № 1). Осуществить данный подход в рамках современного стандарта возможно за сет дисциплин по выбору студента, а также факультативных дисциплин (таблица № 4). Таблица № 4 Дисциплины и курсы по выбору студента, устанавливаемые вузом ДПП.В.00 Практикум решения сюжетных задач. Факультативы ФТД.00 Старинные методы решения сюжетных задач. История методики преподавания математики (обучение решению сюжетных задач).

32

ориентированное обучение решению сюжетных задачзадач будущих учителей начальных классовклассов в вузе предполагает Схема №1 –Личностно Личностно ориентированное обучение решению сюжетных будущих учителей начальных в вузе предполагает Рассмотрение сюжетной задачи как средство развития личности студента (интраиндивидуальный компонент) методические рекомендации по организации учебной и педагогической деятельности, позволяющие в процессе обучения решению сюжетных задач формировать и развивать психические процессы (внимания, воображения, памяти, мышления) обучающегося, способность к рефлексии и самостоятельности, интересы личности. (интериоризационный компонент) методические рекомендации по организации учебной и педагогической деятельности в процессе обучения решению сюжетных задач, использование которых способствует освоению личностью норм, ценностей, установок, стереотипов, выработанных обществом, в результате чего у нее складывается система внутренних регуляторов, привычных форм поведения.

объект изучения многообразия различных подходов введения понятий «сюжетная задача», «структура сюжетной задачи», «процесс решения задачи» сюжетная задача рассматривается как информационная система, в которой есть информационная несогласованность между ее частями, вызывающая потребность в процессах ее преобразования и согласования целостность системы всех типов сюжетных задач учет всех этапов стратегии решения задач этапы стратегии решения сюжетных задач рассматриваются, не только как средство для нахождения ответа задачи, но и как основа для создания самостоятельных упражнений, способствующих формированию и развитию черт, характеризующих индивида.

Признание студента субъектом познания самостоятельно определяющего свою индивидуальную траекторию в процессе обучения решению сюжетных задач обучение решению задач разворачиваться как процесс, в котором учитываются предпочтения и особенности студента. согласование преподавателем со студентами цели обучения решению сюжетных задач устанавливается объем теоретических знаний, рассчитанный для каждого студента с учетом его познавательных способностей, интересов, уровня развития, и подбирается в связи с этим учебный материал. темы прохождения учебного материала согласуются в соответствии с познавательными особенностями студента и его потребностями ориентир на самостоятельный поиск, самостоятельную работу, самостоятельные открытия студентов организация обучения как фасилитации, активизации развития студентов, связанного с предоставлением большей свободы и ответственности, общей гуманизацией межличностного общения

рефлексия осуществленной деятельности

33

формирование содержания математических дисциплин, в которых реализуется процесс обучения решению сюжетных задач с учетом равноправного взаимодействия двух видов опыта (общественноисторического и индивидуального), происходящего не по линии вытеснения индивидуального и «наполнения» его общественным, а путем их постоянного согласования личностных смыслов студентов, определяющих мотивацию, аксиологию, мировоззрение и как следствие жизненную позицию обучающихся, выражающуюся в отношении к себе, другим людям, социуму в целом. сферы социального опыта, которая впоследствии станет средством и содержанием профессиональнопедагогического взаимодействия студентов с будущими учениками. адаптации учебных планов, программ, учебных пособий к требованиям, предъявляемым современным обществом к уровню и качеству математической подготовки учителя начальных классов, к интересам и потребностям личности студента, с учетом его индивидуальных особенностей, мотивации и ценностной ориентации освоения логики данного предметного материала

Подобный подход к математическому образованию в университете, на наш взгляд, предполагает формирование содержания образования по пяти основным направлениям. Во-первых, при формировании содержания личностно ориентированного математического образования необходимо, прежде всего, исходить из того, что в центре учебного процесса в вузе должен быть студент, который выступает субъектом своего становления как гармонично развитой личности при обучении решению сюжетных задач. Поэтому, разрабатывая содержание личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач, мы стремились максимально адаптировать учебные планы, программы, учебные пособия к требованиям, предъявляемым современным обществом к уровню и качеству математической подготовки учителя начальных классов, к интересам и потребностям личности студента, с учетом его индивидуальных особенностей, мотивации и ценностной ориентации. При этом содержание математических дисциплин должно быть нацелено не на освоение определенного набора знаний, необходимых для решения сюжетных задач, а на освоение логики данного предметного материала. Во-вторых, содержанием математического образования должна стать та конкретная сфера социального опыта, которая впоследствии станет средством и содержанием его профессионально-педагогического взаимодействия с будущими учениками. В-третьих, необходим учет равноправного взаимодействия двух видов опыта (общественно-исторического и индивидуального), происходящего не по линии вытеснения индивидуального и «наполнения» его общественным, а путем их постоянного согласования. В-четвертых, личностных смыслов студентов, определяющих мотивацию, аксиологию, мировоззрение и как следствие, жизненную позицию обучающихся, выражающуюся в отношении к себе, другим людям, социуму в целом. Математика как наука изучает фундаментальные законы, царящие в мире, и в этом смысле ее содержание не зависит от ценностного сознания человека. Математика как учебный предмет является частью культуры и, следовательно, не может служить делу образования людей, если они не видят в этом для себя смысла. Студент должен получить не только знания, умения и навыки в процессе обучения решению сюжетных задач, но и ответить себе на вопросы, что он будет с ними делать, как специалист и как обыватель. Следует признать, что данный компонент является системообразующим в содержании личностно ориентированного образования (этим он существенно отличается от традиционного, где таковым компонентом признается когнитивный). Обращается внимание на вхождение в структуру содержания образования личностного опыта самого обучающегося в форме переживаний, которые подлежат рефлексии, 34

осмыслению, обобщению и выводам. В этом случае сочетание государственного образовательного стандарта и содержания субъект-субъектных взаимодействий «педагог – студент» при конструировании и проектировании образовательного процесса представляют собой специфику личностно ориентированного содержания образования. Из этого следует, что основные усилия педагогов по обновлению содержания должны быть направлены на усиление его личностно-смысловой направленности. В-пятых, необходимо структурировать материал таким образом, чтобы создать условия доя освоения логики данного предметного материала. Таким образом, значимым методологическим принципом реорганизации процесса обучения решению сюжетных задач надо признать наличие у студента определенного индивидуально-личностного базиса, включающего гибкую адаптацию в постоянно меняющихся условиях; умение самостоятельно приобретать знания и грамотно использовать их на практике; готовность работать с информацией; коммуникабельность, контактность в различных социальных группах; умение легко предотвращать или выходить из любых конфликтных ситуаций и пр. Все это дает нам право рассматривать каждого обучающегося как неповторимость, уникальность, осуществляющую жизнедеятельность в качестве субъекта собственного развития. Потребность осознанности восприятия студентами личностной позиции по отношению к усвоению знаний, необходимых для решения сюжетных задач, приводит к формированию и развитию системы личностных смыслов, протекающих под воздействием психологических механизмов интериоризации, идентификации и интернализации. Исходя из этого положения, главное стратегическое направление развития методики обучения решению сюжетных задач определяется нами как решение проблемы организации личностно ориентированного образовательного процесса, в котором личность самого обучающегося находится в центре постоянного внимания педагога, а учебная деятельность является познавательной. Концепция личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов в вузе основывается на признании личности студента системообразующим фактором обучения решению сюжетных задач, что предполагает: 1) признание студента субъектом познания, самостоятельно определяющего свою индивидуальную траекторию в процессе обучения решению сюжетных задач; 2) рассмотрение сюжетной задачи не только как объект изучения, но и как средство развития личности обучающегося; 3) использование личностно ориентированного содержания математических дисциплин, в которых реализуется процесс обучения решению сюжетных задач. 35

§ 3. Личностно ориентированная технология обучения  решению сюжетных задач  Важным средством реализации личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач выступает технология, стимулирующая проявления инициативности и активности, позиции студента как субъекта процесса личностного становления, основанные на самостоятельном выборе ценностей саморазвития, вооружающие опытом самоопределения в пространстве жизненных ценностей (социально значимых, личностных и др.) и позволяющие создавать жизненно-практические ситуации и положительный эмоциональный настрой на получение качественного математического образования. Однако в современной учебно-методической литературе нет единого подхода к определению содержания понятия «технологии обучения» применительно как к традиционному, так и личностно ориентированному обучению. Полемика о сущности понятия «технология обучения» началась в 20 годы прошлого столетия и продолжается по сей день. Это, прежде всего, обусловлено развитием педагогических и методических наук и внедрением инновационных технологий в процесс обучения. Данная дискуссия нашла отражение в многочисленных определениях различных авторов [2, 50, 126, 183, 136, 317, 323, 324, 328, 329]. В современной педагогической литературе под технологиями обучения понимают: 1. Систему целенаправленных процессов преподавания и учения, включающую в себя концепцию образования, цель образования, методику, учителя, ученика, администрацию, здания, учебники и учебные пособия, программы, технические средства обучения (ТСО), финансирование, которые должны обеспечить подготовку специалиста за как можно более сжатые сроки при оптимальных затратах сил и средств. 2. Системное, целостное знание о способах проектирования и организации всего процесса обучения на основе развернутой последовательности точно определенных дидактических целей. 3. Процесс: а) формирования у обучаемых социально обусловленных качеств посредством трансляции в фиксированных организационных формах и соответствующими методами знаний, умений, навыков; б) обучения, в котором проектируется и реализуется вся система взаимосвязей между целями, содержанием, методами, средствами, формами обучения, система контроля, оценки и коррекции учебной и преподавательской деятельности»; 36

в) постановки целей, постоянное обновление учебных планов и программ, тестирование альтернативных стратегий и учебных материалов, оценивание педагогических систем в целом и установление целей заново; г) включающий людей, идеи, средства и способы организации деятельности для анализа проблем и планирования, обеспечения, оценивания и управления решением проблем, охватывающих все аспекты усвоения знаний. 3. Системное, концептуальное, нормативное, объективное, инвариантное описание деятельности учителя и ученика, реализующей научно обоснованный проект дидактического процесса и обладающей высокой степенью эффективности, надежности и гарантированности результата. 4. Способ реализации содержания обучения, предусмотренного учебными программами, представляющим систему форм, методов и средств обучения, обеспечивающую наиболее эффективное достижение поставленных целей. В связи с модернизацией образования особое внимание уделяется внедрению инновационных технологий, в частности, личностно ориентированному обучению. Внедрение данной технологии в учебный процесс потребовало уточнения понятия «технология», что привело к введению следующих определений термина «личностно ориентированная образовательная технология обучения»: 1. «… это упорядоченная совокупность действий, операций и процедур, направленных на развитие личности, инструментально обеспечивающих достижение диагностируемого и прогнозируемого результата в профессионально-педагогических ситуациях и образующих интеграционное единство форм и методов обучения при взаимодействии обучаемых и педагогов в процессе образовательной деятельности, которая несет в себе признаки индивидуального стиля» [248]. 2. Это целостная система педагогических методов, приемов и средств, используемых для реализации научно обоснованного проекта дидактического процесса, направленного на личностное и интеллектуальное развитие обучаемого, гарантирующее достижение поставленных образовательных целей при сохранении управляемости процесса образования [327]. 3. «… это специфическая индивидуальная (авторская) деятельность педагога по проектированию учебной деятельности и ее практической организации в рамках определенной предметной области с ориентацией на тип психического развития учащихся и учет личных возможностей» [50]. 4. Это последовательная взаимосвязанная система действий педагога, направленная на решение педагогических задач или на планомерное и 37

последовательное воплощение на практике заранее спроектированного педагогического процесса [256]. Возникнув как альтернатива традиционному обучению решению сюжетных задач, личностно ориентированное сталкивается с серьезными трудностями при реализации, так как на сегодняшний день нет единого подхода к построению технологии личностно ориентированного обучения. Для разрешения данной проблемы необходимо уточнить данное понятие и выявить условия реализации личностно ориентированной технологии обучения. М.А.Викулина [72], В.П.Беспалько [46, 47], Е.А.Крюкова [151], И.А. Зимняя [118], И.С.Якиманская [326] выделяют следующие психологопедагогические условия реализации личностно ориентированной технологии обучения: • разработка предметного содержания и технологии его использования; • анализ использования обучающимися разнообразных способов проработки учебного материала; • направленность учителя на учебные возможности каждого, составление индивидуальной карты личностного (познавательного) развития, индивидуальной коррекционной программы обучения с опорой на успех в достижении; • построение урока, направленного на создание условий самореализации, самостоятельности, разнообразных способов использования активных форм общения (монолог, диалог и др.). В.И. Андреев [13] считает, что можно усилить технологичность личностно ориентированного обучения, если: 1. Осуществлять всестороннюю глубокую диагностику индивидуальных особенностей, интересов, способностей, целей, ценностей, знаний, умений обучающихся, степени их обученности и обучаемости, творческого потенциала, работоспособности и т.д. 2. Систематизировать и целостно осмысливать сильные и слабые стороны, способности личности обучающегося ребенка. 3. Выбирать и конкретизировать цели, критерии и перечень тех личностных качеств, с учетом которых планируется осуществление индивидуальной траектории обучения. 4. Подбирать, разрабатывать (с учетом выделенных критериев личностных качеств конкретной личности обучающегося) системы задач, заданий, упражнений учебных ситуаций, в условиях которых планируется осуществление личностно ориентированного обучения. 38

5. Отслеживать, диагностировать степень правильности выбранной стратегии и тактики применения разработанной технологии личностноориентированного обучения. 6. Оценивать общую итоговую результативность и степень эффективности технологии личностно ориентированного обучения. В подходе Г.М.Кулешовой [158] процесс обучения строится от ученика, находящегося в активном творческом состоянии, и предполагает наличие механизма «самодвижения», под которым понимается индивидуальная образовательная траектория. А.В.Хуторской [286], рассматривая проектирование личностно ориентированного образования как целостную педагогическую систему, связанную с определением целевых, содержательных и процессуальных характеристик сложного инновационного учебного процесса, отмечает, что одним из условий реализации личностно-ориентированного образования является организация образовательной деятельности обучающихся, позволяющая обеспечить их индивидуальную траекторию. О.Х.Мирошникова [191] в своей работе обосновывает введение индивидуальной образовательной траектории тем, что переход к системе многоуровневого образования, развитие мобильных образовательных программ и стандартов (Европейская Система Квалификаций), достижение академической мобильности предполагают наличие альтернатив в образовательной сфере, из которых обучающийся должен делать выбор, исходя из собственных возможностей и потребностей рынка труда. Из приведенного анализа можно сделать вывод, что значимым методологическим принципом реорганизации процесса обучения решению сюжетных задач надо признать наличие у студента определенного индивидуально-личностного базиса, включающего гибкую адаптацию в постоянно меняющихся условиях; умение самостоятельно приобретать знания и грамотно использовать их на практике; готовность работать с информацией; коммуникабельность, контактность в различных социальных группах; умение легко предотвращать или выходить из любых конфликтных ситуаций и пр. Все это дает нам право рассматривать каждого обучающегося как неповторимость, уникальность, осуществляющую жизнедеятельность в качестве субъекта собственного развития. Исходя из этого положения, главное стратегическое направление развития всей системы математического образования определяется нами как решение проблемы организации личностно ориентированного образовательного процесса, в котором личность самого обучающегося находится в центре постоянного внимания педагога, а учебная деятельность является познавательной. Этого можно 39

добиться, если в основу образовательного процесса будет положена индивидуальная траектория. Внедрение личностно ориентированной технологии в учебный процесс потребовало уточнения содержания понятия «технология», позволило нам уточнить содержание данного понятия, в котором делается акцент на применение индивидуальной образовательной траектории и способность к самообразованию, к реализации своих творческих возможностей с учетом индивидуальных психологических особенностей субъектов образования, что позволило сформулировать следующее определение: «технология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач отражает в целом сценарий и режиссуру индивидуальной образовательной траектории профессиональной деятельности преподавателя и учебной деятельности студентов, при которой созданы оптимальные условия для развития у субъектов обучения способностей к самообразованию, к реализации своих творческих возможностей с учетом индивидуальных психологических особенностей субъектов образования». Анализ научно-методических работ [158, 191], с одной стороны, показал, что на сегодняшний день существует многообразие определений понятия «индивидуальная траектория». Например: Н.Н.Суртаева трактует индивидуальные образовательные траектории как определенную последовательность элементов учебной деятельности каждого учащегося по реализации собственных образовательных целей, соответствующую их способностям, возможностям, мотивации, интересам, осуществляемую при координирующей, организующей, консультирующей деятельности педагога во взаимодействии с родителями [260]. Е.А.Климов, В.С.Мерлин рассматривают данное понятие как проявление стиля учебной деятельности каждого учащегося, зависящего от его мотивации, обучаемости и осуществляемое в сотрудничестве с педагогом [138, 187]. А.В.Хуторской определяет индивидуальную образовательную траекторию как персональный путь реализации личностного потенциала каждого ученика в образовании, состоящий из следующих этапов: 1) диагностика уровня развития и степени выраженности личностных качеств студентов, необходимых для осуществления тех видов деятельности, которые свойственны данной образовательной области или ее части; 2) фиксирование каждым студентом, а затем преподавателем, фундаментальных образовательных объектов в образовательной области или ее теме с целью обозначения предмета дальнейшего познания; 3) выстраивание системы личного отношения студента с предстоящей к освоению образовательной областью 40

или темой; 4) программирование каждым студентом индивидуальной образовательной деятельности по отношению к «своим» и общим фундаментальным образовательным объектам; 5) деятельность по одновременной реализации индивидуальных образовательных программ студентов и общеколлективной образовательной программы; 6) демонстрация личных образовательных продуктов студентов и коллективное их обсуждение; 7) рефлексивно-оценочный [286]. И.В.Морозова понимает под индивидуальной образовательной траекторией целенаправленную образовательную программу, которая обеспечивает учащемуся позицию субъекта и направлена на саморазвитие и самореализацию личности учащегося [198]. И.В.Шалыгина подразумевает под индивидуальной образовательной траекторией личные вопросы ученика к социальному опыту, накопленному человечеством, и индивидуальный путь поиска ответов на эти вопросы [300]. С другой стороны, позволил нам уточнить содержание данного понятия, под которым мы понимаем деятельность студента относительно его собственного продвижения в математическом образовании при обучении решению сюжетных задач, оформленную и упорядоченную им в соответствии с педагогическими технологиями и учебной деятельностью, которая может быть представлена следующими этапами: 1) проведение диагностики уровня развития и степени выраженности личностных качеств образовательных объектов при обучении решению сюжетных задач; 2) планирование каждым студентом под руководством преподавателя индивидуальной образовательной деятельности, необходимой для освоения учебного материала; 3) реализация каждым студентом запланированной индивидуальной образовательной программы, необходимой для освоения учебного материала по обучению решению сюжетных задач; 4) организация студентом рефлексивного исследования осуществленной им учебной деятельности с целью фиксации ее результатов и повышения ее эффективности в дальнейшем. Реализация индивидуальной траектории обучения решению сюжетных задач представлена в схеме № 2.

41

схема № 2

СТУДЕНТ

Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования

Знакомится с содержанием Государственного образовательного стандарта школьного образования

Личностно ориентированного обучения решению задач

Планирует (вносит изменения в планирование) индивидуальную образовательную деятельность под руководством преподавателя. Выбирает Форму обучения

Учебный материал

Форму итогового контроля

В какой последовательности будут изучаться выбранный теоретический материал

Учебные программы

Обязательный

По выбору

Какие учебные действия должны быть освоены для того, что бы научиться решать задачи.

Понятие задачи Структура сюжетной задачи Этапы решения сюжетных задач Способ поиска решения задачи Тип математической модели задачи Метод и способ решения сюжетной задачи Оформление решения сюжетной задачи Способ проверки правильности найденного решения Направленность и полнота учебно-познавательного этапа решения задачи

42

Знать + что Деятельность, задаваемая глаголом + объект на который направлена данная деятельность

Темп изучения

Проводит рефлексивные исследования уже осуществленной деятельности с целью фиксации ее результатов и повышения ее эффективности в дальнейшем

Иметь представления + о чем

Уровень творчества при решении задачи (креативный или когнитивный)

Уровень ЗУН, преобретаемый в процессе обучения решению сюжетных задач

Реализует запланированную индивидуальную образовательную программу под руководством преподавателя

Студент с помощью преподавателя выступает в роли организатора своего математического образования: формулирует цели, подбирает тематику, предполагает свои конечные образовательные продукты и формы их представления, составляет план работы, выбирает средства и способы деятельности, устанавливает систему контроля и оценки своей деятельности, что предполагает: 9 со стороны преподавателя умение направлять совместную деятельность при обучении решению сюжетных задач не только на выполнение методико-технологической учебной деятельности, но и, прежде всего, на совместное осмысление мотивационно-аксиологической сферы. С этой целью преподавателем структурируются содержание математического образования, его методы и средства таким образом, чтобы позволить студенту проявить избирательность к предметному материалу, используемому при обучении решению сюжетных задач, его виду и форме; 9 со стороны студента принятие цели учебной деятельности. При этом перед ним во всей полноте встают вопросы: что, как и когда ему надо делать для того, чтобы достичь результата. На этом этапе студентом создаются индивидуальные программы обучения решению сюжетных задач на обозначенный период (урок, день, неделя, семестр, год). Эти программы являются образовательным продуктом оргдеятельностного типа, поскольку стимулируют и направляют реализацию личностного образовательного потенциала студента при целеполагании в процессе обучения решению сюжетных задач. Основываясь на исследованиях Г.Б. Скока и Н.И. Лыгиной [249], мы предлагаем формулировать цели на трех уровнях, которые отличаются глубиной проработки материала, лежащего в основе ЛО МСО решению сюжетных задач в процессе профессиональной подготовки будущих учителей начальных классов: Цели первого уровня (иметь представления + о чем) – иметь представления: о круге проблем, в ряду которых находятся проблемы и вопросы обучения решению сюжетных задач в процессе преподавания математики; об обязательных для изучения модулях и разделах, а также возможности выбора «индивидуальной траектории» в процессе обучения решению сюжетных задач; о существующих методических подходах в обучении решению сюжетных задач; о современном состоянии научных дисциплин, являющихся основой для обучения решению сюжетных задач, и перспективах их развития в будущем; об основных сферах применения получаемых знаний в процессе обучения решению сюжетных задач; об использовании сюжетных задач в качестве средства организации межпредметной интеграции; о вопросах и проблемах, по каким-либо причинам не рассматриваемых в процессе обучения решению сюжетных задач, 43

но имеющих значение для понимания некоторых аспектов решения или приложения сюжетных задач. Цели второго уровня (знать + что) – знать: значение сюжетных задач в курсе математики; понятия, определения, термины (понятийный аппарат), необходимые для обучения решению сюжетных задач; признаки, параметры, характеристики, свойства элементов, отраженных в содержании сюжетной задачи; принципы, основы, теории, законы, правила, используемые в процессе обучения решению сюжетных задач; методы, средства, приемы, алгоритмы, способы решения сюжетных задач и их границы применимости; типологии сюжетных задач по различным критериям. Цели третьего уровня (деятельность, задаваемая глаголом + объект, на который направлена данная деятельность): оформлять (представлять, описывать, характеризовать) данные, сведения, факты, результаты работы на языке символов (терминов, образов), введенных и используемых в процессе обучения решению сюжетных задач; высказывать (формулировать, выдвигать) гипотезы о причинах возникновения той или иной ситуации в процессе решения сюжетной задачи, о путях ее развития и последствиях; планировать деятельность, связанную с обучением решения сюжетных задач; классифицировать (систематизировать, дифференцировать), факты (явления, объекты, системы, методы, решения и т.д.), выявленные в процессе обучения решению сюжетных задач, и самостоятельно формулировать основания для классификации; рассчитывать (определять, находить, решать, вычислять, оценивать, измерять) признаки (параметры, характеристики, величины, состояния), используя известные модели (методы, способы, приемы, алгоритмы, законы, теории, закономерности) в процессе решения сюжетных задач; выбирать способы (методы, приемы, алгоритмы, модели, законы, критерии) для решения сюжетных задач; обобщать (интерпретировать) полученные результаты по заданным или определенным критериям; контролировать (проверять, осуществлять самоконтроль) до, в ходе и после решения сюжетной задачи; изменять (дополнять, адаптировать, развивать) методы (алгоритмы, средства, приемы, методики) для решения сюжетных задач определенного типа; формулировать (ставить, формализовать) проблемы (вопросы, цели), связанные с обучением решению текстовых задач; прогнозировать (предвидеть, предполагать, моделировать) развитие событий (ситуаций), возникающих в процессе обучения решению сюжетных задач. Приняв цель учебной деятельности, студент начинает выступать в качестве субъекта учебной деятельности. При этом перед ним во всей полноте встают вопросы: что, как и когда ему надо делать для того, чтобы достичь результата. Поэтому студент должен представить компонентный 44

состав учебной деятельности, способы выполнения действий и их последовательность. Реализация студентами намеченных программ происходит в течение определенного периода времени и при непосредственной поддержке преподавателя, которая осуществляется по следующим направлениям: – увеличение меры свободы участников педагогического процесса и создание условий для свободного самостоятельного выбора и реализации каждым студентом своего образовательного маршрута; – ситуационное проектирование содержания обучения, включение личностного опыта студентов, приобретаемого на основе субъектносмыслового взаимодействия, в содержание обучения; – использование диалоговых и имитационно-игровых технологий в организации учебного процесса; – включение учебных задач в контекст предстоящей личностно ориентированной профессиональной деятельности; – формирование индивидуальности (личностной) на основе использования элементов открытого обучения (свобода выбора, индивидуальный темп и стиль работы и т. д.); – блочно-модульный подход к содержанию, выбор студентами способов изучения, система качественного анализа результатов усвоения, система учебно- и научно-исследовательской работы, консультаций и отчетов студентов; – моделирование будущей профессиональной деятельности (с помощью игры); – моделирование взаимоотношений преподавателя и студентов на основе ориентации на психологические ситуации, позволяющие создавать и разрешать противоречия, обеспечивающие развитие мотивации достижения, саморегуляции, самоактуализации. В научно-методической литературе проблема рефлексии рассматривается в четырех основных направлениях: при изучении мышления, самосознания личности, как элемент процесса обучения и коммуникации, что привело к многозначности трактовок понятия «рефлексия» и многоплановости понимания самого явления. Анализ работ А.А.Бизяевой [48], И.Н.Семенова [240], С.Ю.Степанова [254], А.В.Захарова [116],.И.Б.Ольбинского [209] и др., посвященных изучению рефлексии, позволил выделить основные подходы к определению данного понятия, формулируемые в контексте проблематики той или иной области психологопедагогических исследований: 1) размышление о своем внутреннем состоянии; 2) акты сознания, направленные на свое знание; 3) анализ знания с целью получения нового знания или преобразования знания неявного в явное; 4) самонаблюдение за состоянием ума или души; 5) самоанализ 45

деятельности и её результатов; 6) исследовательский акт, направляемый человеком на себя, и т. п. В нашем исследовании под рефлексией в процессе обучения решению сюжетных задач мы понимаем особый вид учебной деятельности студентов, основанный на осмыслении и переосмыслении ими своих знаний, умений и навыков в процессе исследования осуществленной деятельности с целью фиксации ее результатов и повышения ее эффективности в дальнейшем. Освоение учебных математических дисциплин во многом зависит от способности студента осуществлять самоанализ и самоконтроль в процессе усвоения учебного материала при обучении решению сюжетных задач. Эти умения неразрывно связаны с рефлексией, которая предполагает исходную для нашего исследования идею В.А.Петровского о двух задачах, решаемых студентом в учебной деятельности: 1) объектно-ориентированная задача, направленная на выполнение заданий, связанных с освоением учебного материала, необходимого при обучении решению сюжетных задач; 2) субъектно-ориентированная задача, направленная на познание студентом самого себя [241]. При этом реализация рефлексии обеспечивает соотнесение студентом, с одной стороны, своих учебных действий с задаваемыми ему преподавателем нормативными рамками деятельности, а с другой – с собственными ценностями, целями и возможностями. Таким образом, рефлексия в процессе обучения решению сюжетных задач может выступать формой учебной деятельности, быть средством самопознания и отражать внутреннее состояние человека. Для методического решения проблемы формирования рефлексивной деятельности школьников на уроках математики принципиальное значение имеет вопрос о структуре рефлексивной деятельности. Анализ работ А.В.Хуторского [287], Е.Р.Новикова [207], Ю.Н.Кулюткин [166] позволил нам выделить основные этапы организации рефлексии, однако он показал, что на сегодняшний день остается неразработанным вопрос о структуре рефлексивной учебной деятельности при обучении решению сюжетных задач, в которой бы отслеживались все психолого-педагогические аспекты данного процесса. Этот факт в значительной мере затрудняет осуществление рефлексии в учебном процессе, так как студенты не осознают важность последовательности выполнения всех этапов рефлексивной деятельности и механизма их реализации. Поэтому в нашем исследовании мы уделили особое внимание разработке структуры рефлексивной учебной деятельности, которую можно представить следующим образом:

46

Схема № 3 Осознание студентом завершения (невозможности найти) решения сюжетной задачи Остановка учебной деятельности Восстановление студентом последовательности выполненных им учебных действий при решении задачи Анализ студентом последовательности выполненных им учебных действий при нахождении способа решения задачи (поиск затруднения в учебных действиях; анализ причин и факторов возникновения затруднений; критика предшествующей деятельности на основе анализа) Сопоставление студентом своих учебных действий (полученных результатов): 1) с алгоритмом решения задачи (с ответом задачи); 2) с собственными знаниями, целями и возможностями Выявление и формирование предполагаемых результатов, представленных в виде алгоритма действий, приводящих к решению задачи Проверка найденного алгоритма на примере решения конкретных сюжетных задач если результат удовлетворителен, формулируется вывод

если результат неудовлетворителен, процесс анализа запускается вновь

новых знаний, идей (нового алгоритма решения задачи)

в виде

понимания и усвоения математического материала через установление логических связей: 1) между элементами сюжетных задач; 2) частных способов решения; 3)между моделями содержания задачи формирования умений: 1) выделять различные связи и отношения между компонентами сюжетной задачи; 2) обобщать и систематизировать знания; 3) схематизировать изученные способы решения задач и приемы организации действий; 4) вырабатывать различные критерии и правила, на основе которых можно регулировать и осуществлять поиск способа решения сюжетной задачи решения задач и проблем через анализ и обобщение результатов, сравнение и сопоставление условий и требований задачи с освоенными методами, схемами, приемами деятельности

В настоящее время уделяется особое внимание дидактике личностно ориентированной технологии и декларируется необходимость внедрения личностно ориентированных технологий в учебный процесс высшей школы. Все это является составляющими макро- и метатехнологии. Однако нет единого подхода к реализации микротехнологии, без которой невозможно построить и тем более реализовать личностно ориентированное 47

обучение решению сюжетных задач. Разрешить это противоречие возможно путем уточнения содержания определения: «микротехнология обеспечивает отражение познавательных стратегий учащихся в приемах, способах и формах обучения, которые выстраивает учитель». Микротехнология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач есть продуманная во всех деталях модель совместной учебной и педагогической деятельности по проектированию и организации приемов, способов и методов обучения решению сюжетных задач, в основе которой лежит понятие личности. Микротехнология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач состоит из двух компонентов: 1) Интраиндивидуальный компонент – включает в себя методические рекомендации по организации учебной и педагогической деятельности, позволяющие в процессе обучения решению сюжетных задач формировать и развивать психические процессы (внимания, воображения, памяти, мышления) обучающегося, способность к рефлексии и самостоятельности, интересы личности. 2) Интериоризационный компонент – представляет методические рекомендации по организации учебной и педагогической деятельности в процессе обучения решению сюжетных задач, использование которых способствует освоению личностью норм, ценностей, установок, стереотипов, выработанных обществом, в результате чего у нее складывается система внутренних регуляторов, привычных форм поведения. В высшей школе личностно ориентированная технология обучения решению сюжетных задач представляет собой системный комплекс психолого-педагогических процедур, последовательность операций и действий, составляющих в совокупности целостную систему упражнений, реализация которой приводит к достижению конкретных целей обучения, воспитания и развития студента. Эффективность личностно ориентированной технологии обучения решению сюжетных задач оценивается при помощи критериев, отражающих: 1. Овладение обучаемыми теоретическими знаниями о структуре и процессе решения сюжетной задачи способствует не только усвоению учебного материала, но и овладению методами самоконтроля и самокоррекции. Показателями, соответствующими этому критерию, могут выступать следующие умения: – правильность и полнота анализа содержания текстов задачи, правильность выделения всех компонентов структуры сюжетных задач, преобразование определенного текста задачи с целью нахождения наиболее удобной для восприятия формы содержания задачи, правильность построения модели задачи, грамотность выстроенных рассуждений при по48

иске решения задачи, правильность оформления решения и записи ответа, выбор наиболее рационального способа проверки найденного решения, грамотность проведения учебно-познавательного анализа, истинность полученных выводов по результатам учебно-познавательного анализа; – ориентация студентов при формировании у них навыков решения задач на соответствующие каждому этапу решения инструкции, образцы выполнения заданий, требуемых результатов; – сопоставление различных форм репрезентаций учебного материала, умение выбирать оптимальную форму собственного ответа или решения сюжетной задачи; – корректирование полученных результатов при неправильном решении задачи; – креативный подход в нахождении способа решения сюжетных задач и при выполнении упражнений, при освоении каждого из этапов процесса решения задачи; – степень понимания студентами внутренней логики общего метода решения задачи, умение последовательно выполнять все этапы решения задачи; – умение аргументировать свой ответ и интерпретировать полученный результат. Перечисленные показатели позволяют контролировать: а) осведомленность обучаемых в приемах и средствах, обеспечивающих познавательную деятельность; б) уровень овладения этими приемами и средствами при решении сюжетных задач, и, следовательно, усвоение данного материала. Однако следует помнить, что студент быстрее и качественнее запоминает и усваивает информацию в 4-х случаях: а) когда получаемая информация для него личностно-значима; б) когда он вынужден самостоятельно приобретать опыт; в) когда самостоятельно моделирует приемы, позволяющие развить навык решения сюжетных задач; г) в процессах полисубъектного общения. 2. Студент должен адекватно оценивать результаты своей деятельности, в которой представлены усвоенные в процессе обучения приемы, позволяющие решить сюжетную задачу. Можно выделить следующие показатели оценивания способов учебной работы в личностно ориентированном обучении решению сюжетных задач: – мотивационная ориентация к открытию новых систем действий и операций в процессе обучения решению сюжетных задач и сохранность положительной мотивации к ним; 49

– контрольное и оценочное отношение обучаемого к процессу своей деятельности при освоении каждого из этапов решения задачи; – прогнозирование студентами результатов своей работы; – потребность и умение обучаемого контролировать соответствие используемых им приемов при решении сюжетной задачи теоретическим знаниям (правилам, формулам, теоремам, алгоритмам и пр.), лежащим в основе как самой задачи, так и выбранного студентом метода решения. Перечисленные показатели, с одной стороны, позволяют контролировать особенности учебной работы, которые, как правило, скрыты от непосредственного наблюдения в процессе обучения решению задач. С другой, основаны на использовании заданий, помогающих обучаемому структурировать, классифицировать и обобщать учебный материал. Подобный подбор материала способствует формированию мыслительной деятельности, развитию логического и критического мышления. 3. Умение обучаемых моделировать процесс решения задачи, как целостный образ, выражать (передавать) его содержание другим в разнообразных знаковых формах соответствует следующим показателям: – представление изучаемого процесса решения задачи как системы, состоящей из следующих этапов: восприятие и анализ задачи; построение модели (табличной, графической, геометрической, схематической, алгебраической, арифметической) задачи; поиск способа решения задачи; осуществление выбранного способа решения задачи; проверка решения задачи; формулирование ответа задачи; учебно-познавательный анализ задачи и ее решения; – потребность в нахождении оригинальных способов решения сюжетных задач; – потребность в совершенствовании собственного опыта познавательной, а также творческой деятельности при осуществлении каждого из этапов процесса решения сюжетной задачи. Данный критерий позволяет контролировать качество усвоения содержания компонентов теоретического и методического материала, необходимых для познавательной деятельности при обучении решению сюжетных задач. 4. Показателями, позволяющими анализировать и оценивать личностно-смысловое отношение студентов к изучаемому материалу и процессу собственной познавательной деятельности при личностно ориентированном обучении решению сюжетных задач, являются: – оценка студентом значимости общего метода решения задач; – оценка обучаемыми роли сюжетных задач; 50

– выработка субъективного отношения к содержанию задачи, приемам поиска способа решения задачи и приемам проверки найденного решения; – достаточность теоретических знаний для овладения умением решать сюжетные задачи, эмоциональный комфорт (дискомфорт), переживаемый обучаемым при необходимости решения трудной для него сюжетной задачи, возникновение сомнений; – наличие (отсутствие) ошибочного решения сюжетной задачи при возникновении сомнений, в случае ошибки стремление найти не только правильное, но оригинальное решение, с целью самосовершенствования. Эти критерии взаимосвязаны, например, чрезвычайно трудно разделить дидактические, методические и психологические критерии. В первом случае акцент ставится на оценке процессуальной стороны обучения, во втором – на оценке результатов усвоения учебного материала, а в третьем – на оценке степени развития черт, характеризующих студента как личность. Для работы с этими критериями, проверки их надежности и взаимосвязи отдельных показателей эффективности личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач необходимо использовать систему учебных заданий, выполняющих контрольно-диагностические функции. Данная система заданий относительно интраиндивидуального и интериоризационного компонентов представлена в таблице № 5. Предложенные задания направлены не только на проверку усвоения учебного материала, но и на выявление внутренних факторов успеха, уровня и динамики развития обучаемых. Результаты выполнения таких заданий позволяют определить и наметить характер и меру необходимой студенту психолого-педагогической и методической помощи. Другими словами, они позволяют управлять учебной деятельностью и осуществлять коррекционные или коррекционно-диагностические виды учебной работы в групповых и индивидуальных условиях личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач. Таким образом, технология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач представляет упорядоченную совокупность действий, операций и процедур, направленных на организацию индивидуальной образовательной траектории профессиональной деятельности преподавателя и учебной деятельности студентов, при которой созданы оптимальные условия для развития у субъектов обучения способностей к самообразованию, к реализации своих творческих возможностей с учетом индивидуальных психологических особенностей субъектов образования. 51

Таблица № 5

СосредотоОбъем внимания ченность (концентрации) внимания Распределение внимания

произвольное

внимание

непроизвольное

Черта, характеризующая индивида

Психолого-педагогические механизмы развития личности, приводящих к формированию и развитию социально-значимых черт характеризующих индивида Необычное, новое, яркое, ранее не известное является своеобразным раздражителем, привлекающим внимание. Изменяемость объекта познания привносит в обучение новое и потому интересное для восприятия.

Возможность изучение познаваемого объекта с разных сторон. Особое психическое состояние у студентов, связанное с чувством удовлетворенности, основанном на осознании обладанием определенных знаний. Увлечение числа одновременно отражаемых объектов, осмысленно воспринимаемых субъектом познания. Группировка в смысловой блок одновременно отраженных объектов. Быстрое перемещение внимания, обусловленное сознательно и преднамеренно поставленной новой задачей. Оно может проявляться в переходе либо от одного объекта определенной деятельности к другому, либо от одной операции к другой. В этом случае переключение происходит внутри одной деятельности. Распределения внимания следует формировать как определенный трудовой навык одновременного выполнения нескольких действий в условиях нарастающего темпа работы, используя упражнения с предварительным объяснением "маршрутов переключений.

52

Приемы, способствующие формированию и развитию черт, характеризующих индивида, в процессе обучения решению сюжетных задач Использование нового для студента метода или способ решения сюжетной задачи. Использование графической информации в процессе восприятия, анализа и решения задачи. Проведение инсценировки, предшествующей задач. Необычность сюжета задачи. Неожиданный ответ при решении сюжетной задачи. Определите лишние данные в переопределенной задаче. Выберете вопрос к тексту задаче и решите ее. Реши задачу по приведенному образцу (плану). Нахождение «ошибок» в условии задачи (в решении задачи) и их исправление Увеличение элементов, связей между элементами от задачи к задаче с одним сюжетом.

Одновременный анализ решения двух и более сюжетных зада с целью выявления в из решении общего и различного. Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем они отличаются? Можно ли утверждать, что относятся к одному классу задач? Из приведенных решений выбери решение соответствующее данной задаче.

Продолжение таблицы № 5

память

Осмысленное запоминание основано на понимании содержания, сущности закрепляемого материала, на раскрытии смысловых, логических связей, которые существуют между его частями.

воссоздающее

воображение

Творческое

Для воображения характерно то, что знание еще не оформилось в логическую категорию, тогда как своеобразное соотношение всеобщего и идентичного на чувственном опыте уже произведено. Благодаря этому в самом акте созерцания отдельный факт открывается в своем универсальном ракурсе, обнаруживая свой целостнообразующий по отношению к определенной ситуации смысл. Ведущим механизмом воображения служит перенос какого-либо свойства объекта. Развитие воссоздающего воображения предполагает: 1) создание образа предмета по его описанию; 2) умение определять и изображать подразумеваемые состояния объектов, прямо не указанные в описании, но закономерно из них следующие; 3) умения понимать условность некоторых объектов, их свойств и состояний. Творческое воображение (продуктивное) – создание нового, оригинального образа, идеи. В данном случае слово «новый» имеет субъективный смысл, то есть новое для данного студента, оно может повторять существующее, но об этом обучающийся не знает. Он открывает это для себя как оригинальное, неповторимое и считает это неизвестным для других. 53

Прочитайте задачи и скажите, какая задача «лишняя» и почему? (прием смысловой группировки материала) Построение модели сюжетной задачи (прием схематизации) Составь задачу с аналогичным содержанием. Составь задачу с другим сюжетом, в основе которой будет аналогичная математическая модель Возможно ли использовать прием аналогии относительно предложенных сюжетных задач? Составить сюжетную задачу по (модели и сюжету) с использованием приведенного алгоритма. Составить сюжетную задачу по модели (сюжету). Из двух (и более) задач составьте одну. Составьте новую задачу, которая бы сохранила существенные сходства с исходными задачами. Измените условие задачи с недостающими данными так, чтобы можно было решить эту задачу.

анализ

синтез абстракция

обобщение

Мыслительные операции

Мышление

сравнение

Продолжение таблицы № 5 Познание любого объекта и явления начинается с того, что го отличают от всех других объектов и устанавливают сходство его с родственными объектами. Познавательная ценность заключается не только в установлении отношения тождества, но и в различии между сравниваемыми объектами, сколько в характеристике одного из сравниваемых объектов относительно другого. Благодаря этому обстоятельству сравнение из свойства психики отождествлять и различать внешние предметы превращается в логическое средство познания, которое обладает эвристической значимостью. Мыслительное расчленение предмета или явления на образующие его части, выделение в нем отдельных частей, признаков и свойств. Мысленное соединение отдельных элементов, частей и признаков в единое целое. Мысленное выделение существенных свойств и признаков предметов или явлений при одновременном отвлечении от несущественных признаков и свойств. Мысленное объединение предметов и явлений в группы по тем общим и существенным признакам, которые выделяются в процессе абстрагирования. Эмпирическое обобщение предполагает получение знаний в результате индуктивных рассуждений. Теоретическое обобщение осуществляется путем анализа данных о каком-либо одном объекте или ситуации с целью выявления существенных внутренних связей.

54

Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? Можно ли утверждать, что решения этих двух задач будут одинаковыми? Сравни решение приведенные решения и содержание задачи. Выбери правильное решение. Чем похожи тексты задач? Чем отличаются? Какую задачу ты можешь решить? Какую нет? Почему? Выбери данные, которыми можно дополнить условие задачи, чтобы ответить на поставленный в ней вопрос. Обоснуйте свой Выбор. Проведите анализ содержания задачи. Вычлени из предложенной составной сюжетной задачи простые и реши их. Из двух простых задач составьте одну сложную. Из приведенных предложений составьте задачу. Запишите краткую запись и сделайте схематический рисунок к данной сюжетной задачи Постройте модель к данной сюжетной задаче Установление сходства и различия между данными задачами. Составьте задачу, подобную данным. Разбейте задачи на 2 группы, согласно их методу решении (фабуле, математической модели и т.д.) Выявить общую структуру и общий метод решения для определенного типа задач.

Продолжение таблицы № 5 Дан общий метод решения сюжетных задач, запишите частный метод (способ) для конкретно приведенной задачи.

конкретизация

Мыслительные операции

Осуществление мысленного перехода от общего к единичному, которое соответствует этому общему. Конкретизация может выступать в двух формах: 1) как мысленный переход от общего к единичному, частному; 2) как восхождение от абстрактно-общего к конкретночастному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего: как наполнение, обогащение абстрактно-общего конкретным содержанием. творческое Творческое мышление развивается на основе способности: мышление 1) к анализу, синтезу, сравнению и установлению причинноследственных связей; критичность мышления (обнаружение разного рода рассогласований, ошибок); 2) выявлять противоречия; прогнозирование возможного хода развития; 3) многоэкранно видеть любую систему или объект в аспекте прошлого, настоящего, будущего; выстраивать алгоритм действия, генерировать новые идеи и предъявлять решения в образно-графической форме. Творческое начало учебной работы проявляется в широкой палитре таких первичных показателей, как активность, спонтанность, свобода от фиксированных установок и стереотипности, эвристическая инициативность, в богатстве и силе воображения и др. познавательный Основывается на эмоционально-образном исследовании интерес идеального объекта и умении видеть применимость модели в реальной действительности. Поиск нестандартных решений, отличных от общепризнанных, позволяющих обучающемуся легко и свободно переключать внимание с одной части проблемы на другую и находить наиболее интересные решения.

55

Поиск нестандартных способов решения сюжетных задач. Создание новых сюжетных задач путем изменения последовательности элементов, отношений или их заменой вплоть до противоположных Составление текста задачи по логической схеме (таблице, чертежу, математической модели, на основе опорных слов, по сюжетным рисункам с изменением действия, по заданному сюжету, по предложенному решению с подробным пояснением) Составление системы сюжетных задач в основе которых будет сюжет сказок, рассказов. Составление на основе сюжетных задач дидактических игр и дидактических материалов. Создание или подбор сюжетных задач, в содержании которых отражены интересы обучающегося. Написание сценария, в котором постановка задачи происходит от лица литературного героя. Построение дидактических игр на основе сюжетных задач Использование текста задачи или одного из этапов решения в качестве проблемной ситуации. Написание образовательных проектов по малоизученным вопросам методики обучения решению сюжетных задач.

Продолжение таблицы № 5 способность к Потребность в обоснованном планировании своего труда и госамообразоватовность к изменению плана в случае необходимости. Быстро нию складывается своя творческо-дифференцированная система учебной работы, в которой доминируют приемы продуктивной умственной деятельности. Умение видеть свой труд в целом. способность к Анализ своих действий, обнаружение и исправление различных рефлексии погрешностей в их выполнении, на сопоставление своих действий с образцами, представленными в полном или схематичном, конкретном или обобщенном виде. Адекватная оценка познавательного значения учебного материала. Умение выделить ведущие идеи в изучаемом материала, заслуживающие особого внимания. Анализ учебного материала производиться с учетом конкретных результатов практической деятельности, в ходе которой этот материал был использован самим студентом или в опыте других студентов. освоению лич- Образованность, чувство долга, трудолюбие, терпение. ностью норм, Осознание необходимости познания. Понимание ценности досценностей, ус- тижения предшественников и вновь появляющихся научных тановок, сте- знаний. Осознание, что истина требует раскрытия, она не очереотипов, выра- видна, путь к истине труден, на пути к истине возможны ошибботанных обще- ки и заблуждения. ством. Создание условий для освоения норм, ценностей, установок, стереотипов, выработанных обществом.

56

Найди решение задачи (составь текст задачи) по приведенному образцу (алгоритму). Изучи самостоятельно приведенные решения задач, найди закономерности и построй общий алгоритм решения. Найди ошибку в решении задачи и сформулируй алгоритм, приводящий к нахождению правильного решения. Из приведенных решений выбери наиболее рациональное (правильное). Ответ обоснуй. Реши приведенные задачи и найди общий метод решения для задач данного типа. Поле выполнения любого заданий из данной таблице. Сформулируй теоретические и практические знания, рассматриваемые в данном задании. Что ты уже знал до его выполнения, а что узнал во время его выполнения. Чтобы охватить все аспекты данного вопроса, можно студентам предложить создать сюжетные задачи, используя следующую типологию задач по содержанию: а) задачи, содержание которых отражает процессы и явления, происходящие в природе и не связанные с деятельностью человека; б) задачи, содержание которых отражает общественное бытие, характеризующееся основными формами общественных отношений: производственные; политические; общественно-правовые; брачносемейные; коммуникативные; религиозные. С последующим проведением предметно-содержательного анализа составленной сюжетной задачи, и собственным отношением к рассматриваемому сюжету задачи.

Таким образом, микротехнология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач есть продуманная во всех деталях модель совместной учебной и педагогической деятельности по проектированию и организации приемов, способов и методов обучения решению сюжетных задач, в основе которой лежит понятие личности. Микротехнология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач состоит из двух компонентов: 1) Интраиндивидуальный компонент – включает в себя методические рекомендации по организации учебной и педагогической деятельности, позволяющие в процессе обучения решению сюжетных задач формировать и развивать психические процессы (внимания, воображения, памяти, мышления) обучающегося, способность к рефлексии и самостоятельности, интересы личности. 2) Интериоризационный компонент – представляет методические рекомендации по организации учебной и педагогической деятельности в процессе обучения решению сюжетных задач, использование которых способствует освоению личностью норм, ценностей, установок, стереотипов, выработанных обществом, в результате чего у нее складывается система внутренних регуляторов, привычных форм поведения. Выводы по 1 главе 1. Все существующие модели личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач можно условно разделить на три группы: социально-педагогическую, предметно-дидактическую, психологическую. 2. Построение психологической модели личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач достигается, если педагог (как главный организатор этого процесса) учитывает следующие особенности данного учебного процесса: • Студенты сами выбирают тип задачи, который они будут решать: а) тренировочные, обучающие, поисковые, проблемные, творческие; б) на распознавание, на конструирование, на доказательство, на исследование, на преобразование. • Предпочтителен метод показа общих способов решения сюжетных задач. Частные способы решения сюжетных задач выводятся каждым студентом. Полученные результаты сравниваются и анализируются на занятиях. • Работа над задачами предполагает выявление общих методов решения, что создает условия для самостоятельного поиска студентами решения любой задачи, даже неизвестного ранее им типа. 57

• Общее умение решения задач подразумевает решение небольшого количества задач с учетом общих теоретических основ стратегии решения сюжетной задачи. • Формирование частных умений решения определенных типов сюжетных задач основывается на образцах частных методов, приведенных учителем или студентами, с обязательным сопоставлением с другими методами и выделением общего в данных методах. • Сюжет задачи отражает интересы студентов. • Восприятие и анализ содержания задачи, построение модели, поиск способа ее решения рассматриваются не только как средство для нахождения ответа задачи, но и как основа для создания самостоятельных упражнений. • Дается многообразие определений понятия «сюжетная задача». Предлагается провести анализ данных определений, на основе которого, студенты самостоятельно выбирают то определение, которое они признают за основное и обосновывают свой выбор. • Студенты свободны в выборе форм записи, однако процесс обучения предполагает использование и сравнение различных форм записей решения одной и той же задачи. • Базисная задача определяется студентом. Им же разрабатывается цикл взаимосвязанных задач. 3. Потребность осознанности восприятия студентами личностной позиции по отношению к усвоению знаний, необходимых для решения сюжетных задач, приводит к формированию и развитию системы личностных смыслов, протекающих под воздействием психологических механизмов интериоризации (формирование внутренних структур человеческой психики посредством усвоения внешней социальной деятельности, присвоения жизненного опыта, становления психических функций и развития в целом), идентификации (ответ на вопрос об отношении личности к самой себе) и интернализации (обесценивание недостигнутой цели для сохранения положительной самооценки и восстановления эмоционального равновесия). 4. Концепция личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов в вузе основывается на признании личности студента системообразующим фактором обучения решению сюжетных задач, что предполагает: – признание студента субъектом познания самостоятельно определяющего свою индивидуальную траекторию в процессе обучения решению сюжетных задач; 58

– рассмотрение сюжетной задачи не только как объекта изучения, но и как средства развития личности обучающегося; – использование личностно ориентированного содержания математических дисциплин, в которых реализуется процесс обучения решению сюжетных задач. 5. Реализация личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов требует соблюдения следующих условий: ¾ определение студентом своей индивидуальной траектории, предполагающей выявление и обогащение их субъектного опыта, создание условий для развития у них навыков организации учебного процесса (постановки целей обучения, выбора методов и средств ее достижения, соотнесения полученных результатов с запланированными, а при необходимости и корректировки выбранных методов и средств обучения); ¾ формирование содержания математических дисциплин, в которых реализуется процесс обучения решению сюжетных задач, с учетом: – равноправного взаимодействия двух видов опыта (общественноисторического и индивидуального), происходящего не по линии вытеснения индивидуального и «наполнения» его общественным, а путем их постоянного согласования; – личностных смыслов студентов, определяющих мотивацию, аксиологию, мировоззрение и как следствие жизненную позицию обучающихся, выражающуюся в отношении к себе, другим людям, социуму в целом; – сферы социального опыта, которая впоследствии станет средством и содержанием профессионально-педагогического взаимодействия студентов с будущими учениками; – адаптации учебных планов, программ, учебных пособий к требованиям, предъявляемым современным обществом к уровню и качеству математической подготовки учителя начальных классов, к интересам и потребностям личности студента, с учетом его индивидуальных особенностей, мотивации и ценностной ориентации; – освоения логики данного предметного материала. 6. Технология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач представляет упорядоченную совокупность действий, операций и процедур, направленных на организацию индивидуальной образовательной траектории профессиональной деятельности преподавателя и учебной деятельности студентов, при которой созданы оптимальные условия для развития у субъектов обучения способностей к самообразованию, к реализации своих творческих возможностей с учетом индивидуальных психологических особенностей субъектов образования. 59

Микротехнология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач есть продуманная во всех деталях модель совместной учебной и педагогической деятельности по проектированию и организации приемов, способов и методов обучения решению сюжетных задач, в основе которой лежит понятие личности. Микротехнология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач состоит из двух компонентов: 1) интраиндивидуальный компонент – включает в себя методические рекомендации по организации учебной и педагогической деятельности, позволяющие в процессе обучения решению сюжетных задач формировать и развивать психические процессы (внимания, воображения, памяти, мышления) обучающегося, способность к рефлексии и самостоятельности, интересы личности. 2) интериоризационный компонент – представляет методические рекомендации по организации учебной и педагогической деятельности в процессе обучения решению сюжетных задач, использование которых способствует освоению личностью норм, ценностей, установок, стереотипов, выработанных обществом, в результате чего у нее складывается система внутренних регуляторов, привычных форм поведения. 7. Эффективность личностно ориентированной технологии обучения решению сюжетных задач оценивается при помощи критериев, предъявляемых к обучению, в которых отражаются требования к студентам и умениям самих обучаемых, представленных в четырех основных группах: 1) овладение обучаемыми теоретическими и практическими знаниями о структуре и процессе решения сюжетной задачи (когнитивный критерий); 2) адекватность оценивания студентами результатов своей деятельности, в которой представлены усвоенные в процессе обучения приемы, позволяющие решить сюжетную задачу (мотивационно-оценочный критерий); 3) умение обучаемых моделировать процесс решения задачи как целостный образ, выражать (передавать) его содержание другим в разнообразных знаковых формах (креативный критерий); 4) показатели личностно-смыслового отношения студентов к изучаемому материалу и процессу собственной познавательной деятельности при обучении решению сюжетных задач (личностно-смысловой критерий).

60

Глава 2.  ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ  РЕШЕНИЮ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ   

§ 1. Сюжетная задача как объект изучения   

Личностно ориентированное обучение решению сюжетных задач предполагает многообразие различных подходов введения понятия «сюжетная задача» и выбор в условии полисубъектного взаимодействия, способствующий развитию личности студента при овладении им теоретических знаний. Понятие «задачи» (от греч. problema) является одним из важнейших понятий в психолого-педагогических, естественно-математических и методических науках. Значительный вклад в развитие методического обеспечения по введению данного понятия внесли Н.Г.Алексеев [10], Г.А.Балл [29], Л.Л. Гурова [89], В.В.Давыдов [93], Ю.М.Колягин [140], В.И.Крупич [149], Г.Л.Луканкин [175], Л.М.Фридман [276 – 280], А.А.Столяр [259], П.М.Эрдниев [318, 319] и др. Однако на сегодняшний день нет единого подхода к определению термина «сюжетная задача». Например, в своей статье «О психологическом содержании понятия «задача» Балл Г.А.[29] отмечает, что само понятие задачи никак нельзя признать четко определенным. Данный термин используется в психологической и педагогической литературе для обозначения объектов, относящихся к трем различным категориям: 1) к категории цели действий (цель действия, требования задачи) субъекта, требования, поставленного перед субъектом; 2) к категории ситуация (проблемная ситуация), включающей наряду с целью условия, в которых она должна быть достигнута; 3) к категории словесной формулировки (формулировка задачи) этой ситуации. Балл Г.А. [29] считает, что в психологической литературе наиболее распространено употребление термина «задача» для обозначения второй категории. Анализируя различные определения, Балл Г.А. [29], приводит следующую последовательность определений задачи во втором значении этого слова: 1. Задача есть ситуация, требующая от субъекта некоторого действия. 61

2. Мыслительная задача – ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным. 3. Проблемная задача, или проблема, - ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным в условиях, когда субъект не обладает способом (алгоритмом) этого действия. Л.Ф.Фридман [227], поддерживая мнение Г.А.Балла по данному вопросу, отмечает, что задача возникает на основе проблемной ситуации, притом с помощью знаков какого-нибудь языка как модель данной проблемной ситуации. С этим подходом не согласны А.В.Брушлинский [66] и А.М.Матюшкин [184]. Например, А.М.Матюшкин обосновывает свое несогласие необходимостью различать понятие проблемной ситуации и задачи. «Очевидно, - пишет он, - что понятие «проблемная ситуация» и понятие «задача» – это принципиально различные понятия, обозначающие различные психологические реальности» [184]. Проблемная ситуация характеризуется как специфический вид взаимодействия субъекта и объекта, а задача – как сформулированное в словесной или знаковой форме отношение между определенными условиями, характеризуемыми как «известное», и тем, что требуется найти, характеризуемым как «искомое». А.В.Брушлинский [66] в дополнение к сказанному пишет, что возникновение задачи в отличие от проблемной ситуации означает, что: а) удалось предварительно расчленить данное и неизвестное; б) четко фиксированы исходные условия задачи (что дано, что известно и т.д.) и требование (что требуется доказать, найти, определить, вычислить и т.д.). В этой характеристике задачи очень четко представлена ее структура: данное (известное) – неизвестное (искомое), условие – требование. Компромиссное решение данной проблемы предложил в своих исследованиях Ю.М.Колягин [140], который под задачей понимает сложную систему, состоящую из субъекта (человека) и объекта - некоторого множества, содержащего взаимосвязанные через некоторые свойства и отношения элементы, образующего задачную систему P ={a f1 , r1 , bf2 , r2...}. В данной задачной системе символами a, b,... обозначены элементы множества Р; символами f1, f2,... – присущие этим элементам свойства; символами r1, r2,... – связывающие элементы или их свойства отношения. Колягин Ю.М. [140] по отношению к субъекту выделяет стационарные и проблемные системы: – система Р называется стационарной, если субъекту известны все элементы множества и известны все свойства элементов и отношения между 62

ними, достаточные для того, что бы он мог считать множество Р системой; – система Р называется проблемной и обозначается символом Рх, если субъекту неизвестен хотя бы один элемент, одно свойство или отношение, определенные в Р, необходимые для того, чтобы он мог считать Р системой. Если существует потребность и возможность в установлении данному человеку элементов, свойств и отношений из множества Р, проблемный характер которого зафиксирован, то последнее становится задачей для данного субъекта. При этом Колягин Ю.М. [140] отмечает, что задача существует независимо от того, действует ли человек в направлении ее решения или нет; необходимо лишь осознание человеком нестационарности данной системы Р и наличие целевого указания (или субъективной потребности) к ее преобразованию. Царева С.Е. [290] в своей работе, отмечая различия между понятиями «текстовая задача» и «учебная задача», подчеркивает, что текстовая задача превращается в элемент учебной задачи при осознании и принятии учащимися учебной цели работы с задачей. То есть текстовая задача вместе с учебной целью, ради достижения которой она рассматривается обучающимися, составляет учебную задачу. В отличие от Ю.М. Колягина, С.Е. Царева [290] рассматривает «систему», включающую не «субъекта», а «учебную цель». И если учесть, что одна и та же текстовая задача может быть использована для достижения нескольких учебных целей, то, следовательно, она может быть использована в качестве элемента нескольких учебных задач. Но, как правило, для достижения учебной цели используется несколько текстовых задач. То есть учебные задачи при совпадении учебной цели могут отличаться конкретными текстовыми задачами. При определении понятия «сюжетной (текстовой) задачи» в методической литературе уделяется особое внимание второму аспекту понятия «задача», определяющему задачу как множество, состоящее из взаимосвязанных через некоторые свойства и отношения элементов. Однако и в этом случае можно говорить об отсутствии единого подхода к определению рассматриваемого понятия. Приведем некоторые из них: 1. Под задачей в начальном курсе математики подразумевается специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуация, охарактеризованная численными компонентами (Белошистая А.В., [39]). 2. Под текстовыми арифметическими задачами подразумевают задачи, имеющие житейское содержание и решаемые с помощью арифметических действий (Столяр А.А., Дрозд В.А., [189]). 3. Математическая задача – это связный рассказ, в который введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие известные 63

значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии (Свечников А.А., [238]). 4. Под тестовыми задачами понимаются математические задачи, в которых входная информация содержит не только математические данные, но еще и некоторый сюжет (фабулу задачи) (Методика преподавания математики, [190]). 5. Под сюжетной задачей понимают задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью нахождения определенных количественных характеристик или значений (Фридман Л.П., [279]). 6. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П., Пышкало А.М., [258], В.В. Статкевич [253]). 7. Задача подразумевает такую жизненную ситуацию, которая связана с числами и требует выполнения арифметических действий над ними. (Бантова М.А. [31]). 8. Текстовой задачей называется описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значения других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий (Т.Е., Демидова А.П.Тонких, [97]). 9. Задача – это система данных и искомых с их свойствами и отношениями и с указанием на необходимость найти искомые (Г.Т. Зайцев, [115]). 10. Всякая задача есть требование либо на нахождение каких-либо знаний о явлениях действительности (объектах и процессах) и их характеристиках, которые они имеют в определенных заданных в задаче условиях, либо на получение какого-то искомого практического результата (построить что-то, обеспечить выполнение каких-то условий и тому подобное) (И.И.Ильясов, [127]). 11. Сюжетной задачей называется требование найти (установить, определить!) какие-нибудь характеристики некоторого объекта по известным другим его характеристикам (Фридман Л.П., [277]). 12. Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (Моро М.И., [197]). 64

13. Задача представляет собой непустое множество элементов, на котором определено заранее данное отношение (О.Б.Епишева, В.И.Крупич, [109]). Таким образом, в современной методической литературе под «сюжетной задачей» понимают: 1. Текст, в котором обрисована некая житейская ситуация (Белошистая А.В. [39], Свечников А.А. [238], Столяр А.А., Дрозд В.А. [189]). 2. Математическую задачу, в которой описан некоторый жизненный сюжет (Фридман Л.П. [279]). 3. Жизненную ситуацию (Демидова Т.Е., Тонких А.П. [97], Стойлова Л.П., Пышкало А.М. [258], Бантова М.А. [31]). 4. Систему данных и искомых (Зайцев Г.Т. [155]). 5. Требование (Ильясов И.И. [127], Моро И.Н. [197], Фридман Л.П. [277]). 6. Непустое множество элементов (Епишева О.Б., Крупич В.И. [109], Колягин Ю.М. [140]). Обучающийся добивается наилучших результатов при обучении решению сюжетных задач только тогда, когда находится в процессе самостоятельного поиска и построения тех знаний, которые ему необходимы в будущей профессиональной деятельности, поэтому личностно ориентированное обучение предполагает смыслопоисковый процесс, позволяющий не только приобретать знания, но на основе проведенного теоретического анализа вносить изменения в содержание изучаемых терминов, приемов и методов. Для реализации данного положения личностно ориентированное обучение решению сюжетных задач предусматривает уточнение содержаний понятий «внутренняя структура сюжетной задачи» и «сюжетная задача». Для того чтобы разобраться во всем многообразии приведенных определений понятия «сюжетная задача» необходимо выявить основные признаки данного понятия. В частности в своих исследованиях Я.А.Пономарев [221] указывает на необходимость в различных определениях найти общее, существенное, а это общее и будет являться основой определения понятия «задача». Исследования основных признаков понятия «сюжетная задача» подразумевает определение компонентов ее структуры. Во всех рассмотренных определениях понятия «задача» наблюдается много общего и в то же время – некоторые различия. Общим является структура задачи, состоящая из данных, или известных, из искомых или неизвестных объектов, из свойства объектов или отношений между ними, из цели или требования найти искомое. Общим является и то, что за родовое понятие при определении задачи берется понятие, относящееся к структуре задачи (отношение между искомыми и данными, цель или требование задачи). Различие, главным образом, является в том, что в одних определениях в качест65

ве родового понятия берется структура задачи в целом: отношение между условием и требованием (А.А.Матюшкина [185]), модель проблемной ситуации (Л.М.Фридман [277]), в других – конечная ее цель: цель (А.Н.Леонтьев [172]), требование найти искомое (Ильясов И.И. [127]). Но это различие, как мы уже отметили, не влияет на структуру самой задачи. Поэтому есть смысл структуру считать исходным положением при определении понятия «задача». Однако относительно компонентов самой структуры задачи так же на сегодняшний день нет единого подхода. С целью обоснования системы компонентов структуры сюжетной задачи обратимся к исследованиям Ю.М. Колягина [140] и В.И. Крупича [149], в которых авторами проведено наиболее обстоятельное изучение компонентов структуры задачи. Рассматривая задачу как систему, Ю.М. Колягин выделяет в ней компоненты ACRB, где А – начальное состояние (условие задачи); С – базис решение задачи (теоретическое обоснование решения задачи); R – решение задачи (способ преобразования условия задачи для нахождения требуемого искомого); В – конечное состояние (требование или цель задачи). Учитывая подход Ю.М. Колягина В.И. Крупич [149] рассматривает информационную структуру как систему, состоящую из элементов ACRDB, где А – условие задачи (данные и отношения между ними); С – базис решение задачи (теоретическая и практическая основа, необходимая для обоснования решения задачи); R – основное отношение в системе отношений между данными и искомыми; D – способ, определяющий процесс решения задачи; В – требование или цель задачи (искомые (искомое) и отношения между ними). В.И. Крупич [149], основываясь на том, что задача несет в себе две информационные составляющие: субъективную и объективную, выделяет в задачах внешнюю (информационную) и внутреннюю структуры. Мы считаем такое разделение логичным. Необходимо определить составляющие каждой из структур. Например, А.А. Свечников [238], В.В. Статкевич [253] и А.П. Тонких [269], выделяют следующие составные элементы во внешней структуре сюжетной задачи: а) условие: – словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами; 66

– числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи; б) вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Согласны с таким определением компонентов структуры, однако они отражают только ее внешнюю сторону, поэтому совокупность условий и требований мы предлагаем рассматривать как внешнюю структуру. В зависимости от определения сюжетной задачи авторами даются различные определения данных понятий. Приведем некоторые из них. Условие: – это то, что дано (Артемов А.К., Семенов Т.В., [19]); – это наличная совокупность объектов, упорядоченных определенными отношениями (Кулюткин Ю.Н., [165]); – это зависимости между величинами (словесный материал, указывающий на характер связи между данными и искомыми) (Станкевич В.В.,[253]); – это количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, а также отношения между данными и искомыми (Демидова Т.Е., Тонких А.П. [97], Стойлова Л.П., [257], Зайцев Г.Т., [115]). В определение условия данного А.К. Артемовым и Т.В. Семеновым отсутствует уточнение того, что необходимо выделить в качестве компонентов условия из текста задачи, поэтому его использование на практике затруднено. В определениях Ю.Н. Кулюткина и В.В. Станкевича делается акцент, на отношения между объектами задачи, но при этом упускается качественная или количественная характеристика самих объектов. На наш взгляд, наиболее точно данный термин охарактеризован в определениях Т.Е Демидовой., А.П. Тонких, Л.П. Стойловой, Г.Т. Зайцева. Необходимо отметить, что в сюжетной задаче содержатся обычно не одно, а несколько условий, которые называются элементарными. Требование: – это указание на то, что надо искать в данных условиях (Ю.Н.Кулюткин, [165]); – это то, к чему нужно стремиться или чего нужно достичь (А.К.Артемов, Т.В.Семенов, [19]); – это вопрос задачи, указывающий, что требуется найти в ней (В.В.Станкевич, [253]); – это искомое и указание на необходимость его нахождения (Г.Т.Зайцев, [115]). Практически все авторы в своих определениях указывают наличие искомого и требования его найти. В своих исследованиях мы будем придерживаться данной трактовки термина «требования сюжетной задачи». 67

При этом надо учитывать, что требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме. В одной задаче их может быть несколько. В отличие от Ю.М.Колягина, В.И.Крупич [149] вводит в состав информационной структуры компонент R (основное отношение в системе отношений между данными и искомыми), выявление которого, по мнению автора, является основополагающим для построения внутренней структуры, под которой автор подразумевает совокупность элементов рассматриваемой системы, связей и видов связей. Но при этом В.И.Крупич не приводит в своей работе подробного рассмотрения данных компонентов внутренней структуры. Определим их в нашем исследовании. Ю.М.Колягин [140], Л.Ф.Фридман [279], О.Б.Епишева [109], В.И.Крупич [149] к составным частям задачи относят предметную область, т.е. непустое множество элементов, о которых идет речь в задаче. Понять строение сюжетной задачи невозможно без выявления ее элементов, поэтому предметная область должна быть включена во внутреннюю структуру. Фридман Л.М. [279] отмечает, что описание элементов предполагает полное и неполное задания в тексте сюжетных задач отдельных значений величины, которыми они характеризуются. Полное словесное задание включает в себя: 1) название величины, значением которой оно является; 2) указание особенностей данного значения, отличающих его от других значений той же величины; 3) размер этого значения в виде именованного числа, если это значение известно. Неполное словесное задание характеризуется следующим: 1) первая часть может быть опущена и лишь подразумеваться; 2) вторая часть может быть сокращена до минимума и даже полностью опущена, но взамен будут даны какие-то косвенные указания, например, в виде наименования у числа – размера значения и т.д.; 3) отсутствием в словесном задании значения величины третьей части – его размера в виде именованного числа. По уровню полноты словесного задания величины могут быть: 1) явно заданные – характеристики объектов должны быть конкретными, когда указано значение (числовое или какое-то иное) этой характеристики; 2) неконкретные – характеристики объектов лишь названы, но их значение в задаче не дано; 3) неявно заданные – характеристики объектов, которые в тексте задачи не указываются и обнаруживаются лишь при глубоком анализе описанного в задаче явления. 68

В первом случае соответствующие объекты предметной области считаются известными, а во втором и третьем – неизвестными. Неизвестные, в свою очередь, делятся на искомые (их требуется найти или установить), промежуточные или вспомогательные (нахождение которых не требуется, но они должны быть найдены в процессе поиска искомых) и неопределенные (которые и не требуется, и нельзя найти). Для решения задачи важны известные, промежуточные и искомые элементы, поэтому они должны быть включены во внутреннюю структуру задачи. Задача предполагает изменение значений величин, характеризующих ее элементы. Каждое такое изменение определяет некоторое состояние рассматриваемого множества или его подмножества, поэтому любую задачу можно рассматривать как систему состояний. А следовательно, система состояний, отражающая, с одной стороны, количество различных значений одной и той же величины, с другой, основания, при которых произошли эти изменения, характеризует один из аспектов внутренней структуры сюжетной задачи. Следующей составной частью задачи, как отмечает Л.М. Фридман [279], являются отношения и связи, которыми связаны элементы предметной области. Эти отношения и связи могут быть известными и неизвестными, в том числе, искомыми. Сюжетная задача, как правило, содержит некоторое множество отношений (между данными, между данными и искомыми, между искомыми). Под отношением Фридман Л.М. [279] понимает лишь такую связь между значениями величин, которую нельзя расчленить на другие, более простые связи. При этом Фридман Л.М.[279] выделяет две группы отношений: К первой группе относятся отношения между значениями одной и той же величины. В ней можно выделить два вида: 1 вид – это отношение частей и целого. Он характеризуется: - операцией сложения нескольких значений величины в одно значение той же величины; - операцией вычитания из целого одной из его частей. 2 вид – отношение сравнения значений одной и той же величины: - отношение равенства между значениями одной и той же величины; - отношение неравенства между двумя значениями одной и той же величины; - отношение разностного сравнения двух значений одной и той же величины (насколько одно значение больше или меньше другого); - отношение кратного сравнения двух значений одной и той же величины (во сколько раз одно значение больше или меньше другого); - процентное отношение или отношение части от целого (какую часть или какой процент составляет одно значение от другого). 69

Вторую группу отношений составляют отношения между значениями различных величин, в том числе: - переход от одной единицы счета или измерения к другой; - разбиение целого на равные части; - зависимость между значениями различных величин. Отношение, выражающее функциональную зависимость между величинами, входящими в условие и требования задачи, и реализованное на ее предметной области, называется основным. Предложение, формализованное основным отношением, реализованным в задаче, называется ситуацией. При этом в каждой задаче имеет место одна или несколько ситуаций. Относительно отношений, которыми связаны элементы предметной области, мы выделяем три основные характеристики строения сюжетной задачи: 1) характер взаимосвязей между элементами; 2) основное отношение между величинами; 3) ситуации (предложение, формализованное основным отношением, реализованным в задаче). Каждая из данных характеристик должна быть включена во внутреннюю структуру сюжетной задачи, так как каждая из них может повлиять на поиск способа решения. Каждая задача содержит явные и неявные данные и зависимости между величинами. Орехов Ф.А. [210] отмечает, что явные данные и зависимости психологически представляют собой сильные раздражители. А неявные данные и зависимости – слабые раздражители, поэтому на них порой не обращают внимание. Необходимо в процессе решения сюжетной задачи не допускать подобной небрежности, так как на первый взгляд, несущественный факт может являться ключом к решению задачи. Пример. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Одна первая труба наполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая. За какое время каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн? 1) Элементы задачи: 1 труба, 2 труба. 2) Величины, которыми охарактеризованы элементы: Содержание рассматриваемой задачи содержит три физические величины: V – объем работы, t – время работы, N - производительность (т.е. объем выполняемой работы за 1 час). Последняя величина является постоянной, а две другие – переменные. 3) Характер взаимосвязей между элементами: Объем работы и время работы – величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно числу, выражающему объем работы, выполненный за 1 час. Зависимость между данными величинами выражается формулой V = t ⋅ N . 4) Основное отношение между величинами: t = 70

V N

.

5) Состояния: а) наполнение бассейна одновременно двумя трубами; б) наполнение бассейна только первой трубой; в) наполнение бассейна только второй трубой. 6) ситуации: а) V = V1 + V2 , где V1 = t1 ⋅ N 1 и V 2 = t 2 ⋅ N 2 (наполнение бассейна одновременно двумя трубами); б) V1 = t1 ⋅ N 1 (наполнение бассейна только первой трубой); в) V 2 = t 2 ⋅ N 2 (наполнение бассейна только второй трубой). Структуру сюжетной задачи можно представить в виде схемы № 4. Схема №4 Состояния Ситуации Наполнение бассейна одноV = V1 + V 2 временно двумя трубами Наполнение бассейна только первой трубой Наполнение бассейна только второй трубой

Элементы V1 = t1 ⋅ N 1

Величины V

t =

1 труба

N 6

•

6

•

1 V2 = t 2 ⋅ N 2

=

2 труба

V1 = t1 ⋅ N 1

1 труба

V2 = t 2 ⋅ N 2

2 труба

1

=

•

1

=(

+ 5) •

Под логической правильностью постановки задачи Фридман Л.М. [279] подразумевает правильность соединения в задаче отдельных ее частей. При этом он формулирует следующие требования к правильным задачам: 1. Все указанные в задаче элементы предметной области должны существовать. 2. Все указанные в задаче отношения должны быть действительно определены для тех элементов предметной области, для которых эти отношения заданы в условии задачи. 71

3. Область значений каждой из заданных в задаче переменных должна быть не пустой. 4. Все утверждения, заданные в условии задачи, должны быть истинными. 5. Утверждения, заданные в условии задачи, не должны противоречить друг другу. 6 . Если цель задачи состоит в превращении некоторой высказывательной формы в истинное высказывание, то в условии задачи должны быть указаны хотя бы некоторые основания для этого. Логически неправильными принято считать задачи, которые внутренне противоречивы. Несмотря на то, что есть возможность произвести формальное «решение» некоторых подобных задач, принять его нельзя. Так как подобное «решение» не имеет никакого смысла, то ответом к таким задачам может быть только «задача неправильно поставлена» или «решение задачи невозможно». В качестве исходного определения было принято следующее понятие задачи: «задача представляет собой непустое множество элементов, на котором определено заранее данное отношение». Данное определение включает в себя понятие «сюжетная задача» в качестве своего подмножества. С целью определения подмножества, характеризующего класс множеств сюжетных задач, уточнены характеристические свойства данного подмножества, выделяющие его из других подмножеств «непустого множества, на котором определено заранее данное отношение». Во-первых, необходим признак, указывающий на принадлежность к сюжетным задачам, во-вторых, нужно сформулировать «требование». Второе уточнение обусловлено тем, что отношение, заданное на множестве, не всегда указывает на то, что требуется найти в задаче. Например, в тексте «Наташа выше Ольги, а Ольга выше Аллы» задано отношение порядка, но не сказано, что надо определить: кто выше или кто ниже. Проведенный анализ позволил нам выделить следующие компоненты внутренней структуры сюжетной задачи: 1) элементы задачи: а) известные (явно заданные); б) неизвестные (неконкретные, неявно заданные): – искомые (их требуется найти или установить); – промежуточные или вспомогательные (нахождение которых не требуется, но они должны быть найдены в процессе поиска искомых). 2) величины, которыми охарактеризованы элементы (сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи; характер каждого значения величины); 3) характер взаимосвязей между элементами; 72

4) основное отношение между величинами; 5) систему состояний (система предложений, каждое из которых описывает различные значения величин, характеризующих ее элементы); 6) ситуации (предложение, формализованное основным отношением, реализованным в задаче). С учетом вышеперечисленных компонентов можно говорить о том, что сюжетная задача представляет собой описание в виде сюжета некоторого непустого множества элементов, на котором определено заданное отношение с требованием найти какую-либо характеристику элемента, либо установить взаимосвязь между элементами, либо найти последовательность требуемых действий.

§ 2. Типология сюжетных задач  Личностно ориентированное обучение решению сюжетных задач строится с учетом условия освоения студентами логики предметного материала, предполагающего осознание того, что сюжетная задача представляет собой изолированный объект деятельности, занимающий определенное место в общей системе задач и учебной дисциплине в целом. Это обуславливает необходимость характеризовать конкретную сюжетную задачу и, тем самым, определить ее место во взаимосвязанной системе учебного материала, что предполагает наличие типологии сюжетных задач. На сегодняшний день не существует общепризнанной типологии сюжетных задач, которая бы отвечала всем теоретическим и методическим требованиям современного математического образования. Чтобы разобраться в причинах сложившейся ситуации данного вопроса рассмотрим исторические предпосылки возникших проблем. На протяжении многих веков разрабатывались различные приемы, позволяющие находить решение сюжетных задач. При этом каждый частный вид задачи предполагал отдельный прием решения. В результате чего возник достаточно большой перечень методов (приемов) решения сюжетных задач, которые, с одной стороны, сложно было запомнить, а с другой, требовал систематизации и совершенствования. Например, П.С. Гурьев [91] указывал на отсутствие познавательной ценности такого количества приемов в одной типологии, а С.И. Шохор-Троцкий [315] – на то, что, с одной стороны, разбиение задач на типы по методам их решения антипедагогично, с другой стороны, требуется сужение границ сюжетных задач в курсе арифметики до «чисто арифметических задач». При этом С.И. Шохор-Троцкий предлагает разбить все сюжетные задачи на простые (прямые и косвенные) и составные (приведенные и неприведенные), тем самым, предопределив два направ73

ления, по которым в дальнейшем происходило совершенствование типологии сюжетных задач: по способам их решения и безотносительно способа их решения. Наиболее сложным для методистов оказалось произвести систематизацию сюжетных задач по способам их решения. Данной проблеме в начале XX века были посвящены исследования русского методиста И.И.Александрова, опубликованные в 1887 году в книге «Методы решений арифметических задач» [7]. Иван Иванович в данной книге: 1) отмечает несостоятельность классификации арифметических задач по материальным признакам предметов и действий, о которых идет речь в задачах (рубрики смешения, процентов, курьеров, вычисления проб и т.д.), независимо от числа действий и метода решения, от типа уравнений, к которым приводят задачи; 2) предлагает разделить все арифметические задачи в зависимости от способа их решения на три класса: а) задачи, решаемые: приведением к единице; приведением к общей мере; обратным приведением к единице; приемом отношений; б) задачи, «решаемые с конца»; в) задачи, решаемые: с использованием приемов исключения неизвестных; методом пропорциональности; методом ее преобразования; методом среднего арифметического; методом приведения данных в порядок; методом остатков; методом метатезиса (перестановки неизвестного и известного); методом фальшивых правил. Каждый класс делится на два вида. В задачах первого вида есть указания на действия, приводящие к решению задачи, и порядок их выполнения; в задачах второго вида такие указания даны в косвенной форме. Классификация, предложенная И.И.Александровым, была востребована более 60 лет. Об этом говорит тот факт, что книга «Методы решений арифметических задач» за 20 лет была издана 7 раз. Ее признание можно найти в работе В.Г.Чичигина [296] и других известных методистов того времени. Однако изменения в содержании математического образования привели к потребности совершенствования данной классификации. Обоснования вносимых изменений были различны. Например, Г.Б. Поляк [217] акцентирует внимание на следующих ее недостатках: 1) нет четкости разграничения методов; 2) в ней отсутствует основание для расположения задач относительно степени трудности их решения, но при этом отмечает в качестве положительного качества наличие классификации по методам их решения. Л.М.Фридман признает правильность критики Г.Б. Поляка, а вот с «оправданием классификации» не согласен. По его мнению, классифицировать задачи по методам нельзя, так как выбор метода «является сугубо субъективным и не диктуется объективным содержанием самих задач» [279]. 74

Наиболее значимым исследованием после И.И.Александрова является труд И.В.Арнольда [18], результаты которого можно найти в статье «Принципы отбора и составления арифметических задач». В статье в качестве основания типологии сюжетных задач автор предлагает использовать понятие «величина», вернее состояние значений одной или нескольких величин, характеризующих явление, описываемое в задаче. Исходя из этого положения, И.В.Арнольд разбивает все сюжетные задачи на две категории [18]: I. Соотношения, связанные с одной скалярной величиной: 1) отношения равенства и неравенства; 2) разностное сравнение двух значений величины; 3) увеличение и уменьшение значения величины с помощью действий первой ступени (сложение и вычитание); 4) кратное изменение значения величины: операция умножения; 5) деление на равные части; 6) соотношение между целым и частями целого; 7) кратное сравнение двух значений величины (деление по содержанию); 8) переход от одного значения величины к другому путём деления на равные части и объединения таких частей; 9) переход от одной системы измерения к другой; 10) определение части целого и целого по части; 11) сопоставление разностного и кратного сравнения значений величины и совместное их применение; 12) характеристика частей целого с помощью их отношений к целому и взаимных отношений, процентные отношения, средняя арифметическая. II. Соотношения, связанные с совместным рассмотрением нескольких величин: 1) прямая пропорциональность (приведение к единице); 2) прямая пропорциональность (равенство кратных отношений значений двух пропорциональных величин); 3) прямая пропорциональность (коэффициент пропорциональности, удельные характеристики однородных величин); 4) сопоставление аддитивных изменений и кратного сравнения для случаев пропорциональных величин, соответственные свойства пропорций; 5) линейная зависимость; 6) направленные величины с двусторонним изменением; 7) взаимоотношения целого и частей при одном и том же их составе (сопоставление разностных и кратных отношений); 8) совместное рассмотрение нескольких линейных зависимостей; 9) обратно пропорциональная зависимость между величинами; 10) сочетание прямой и обратной пропорциональной зависимости нескольких величин; 11) более сложные зависимости (измерение площадей и объёмов, нелинейные изменения величин, линейная интерполяция); 12) элемент "сложности" в структуре задач и задачи комплексного типа, их общая классификация и характеристика; 13) элемент "новизны" в структуре задач; 14) методологические элементы в решении задач. 75

И.В. Арнольд [18] в своей работе отмечает, что данный перечень не является исчерпывающим. Каждый пункт отвечает целому ряду известных типов арифметических задач и подлежит соответственному дальнейшему делению. Разумеется, что такой подход к типологии нельзя признать удачным, так как нет методического обоснования количества выделенных групп и последовательности указанных типов задач. Учитывая недостатки типологии простых задач И.В.Арнольда, Л.Н.Скаткин [246] в 1949 г опубликовал свою типологию простых задач, которая состоит из двух таблиц: 1) операции первой ступени; 2) операций второй ступени. В таблицах рассматриваются по четыре основные задачи, каждой из которых соответствуют две обратные, полученные из основной путем обмена искомого с каждым из двух данных. Первая таблица, в отличие от второй, разработана автором более детально. В ней указаны соотношения (объединение двух совокупностей в одну, изъятие из совокупности ее части, сопоставление двух совокупностей) которым соответствуют действия: 1) нахождение суммы двух чисел; 2) нахождение остатка; 3) нахождение разности (на сколько одно число больше другого, на сколько одно число меньше другого). Вторая таблица не содержит соотношений, являющихся базой соответствующих действий. Поэтому многие методисты современности данную типологию считают не полной. Но в то же время надо согласиться и со словами Л.Н.Скаткина: «Значение этой классификации заключается в том, что она дает возможность обеспечить подбор задач разнообразных видов для решения их учащимися... Классификация позволяет выявить связь между задачами разных видов, что дает возможность наметить методически правильный путь обучения детей решению более трудных из простых задач» [246]. Идеи Л.Н.Скаткина наши свое отражение в работах В.Л.Дрозда [189], П.М.Эрдниева [318], Л.М.Фридмана [279] и других. Наиболее простой вид типологии сюжетных задач представлен В.Л.Дроздом [189], в которой выделены две группы: I группа. Задачи на сложение и вычитание: а) задачи, раскрывающие смысл операции сложения; б) задачи, раскрывающие смысл операции вычитания; в) задачи, раскрывающие смысл между операциями сложения и вычитания; г) задачи, раскрывающие смысл отношений «увеличить на (несколько единиц)» и «уменьшить на (несколько единиц)»; д) задачи, раскрывающие смысл отношений «больше на» (задачи на сравнение чисел с помощью вычитания, т.е. на разностное сравнение). II группа. Задачи на умножение и деление: а) задачи, раскрывающие смысл операции умножения; б) задачи, раскрывающие смысл операции 76

деления; в) задачи, раскрывающие связь между умножением и делением; г) задачи, раскрывающие смысл отношений «увеличить в несколько раз» и «уменьшить в несколько раз»; д) задачи, раскрывающие смысл отношений «больше в…раз» и меньше в… раз» (задачи на кратное сравнение). Более совершенную типологию можно найти в работах П.М.Эрдниева и Б.П.Эрдниева [319] (схема № 5). Особое внимание авторы придают приему совмещения на одном уроке (в пространстве одной страницы учебника) взаимно-обратных задач, поэтому при составлении типологии указывают на необходимость использования традиционных названий основных видов сопоставляемых друг другу задач, обосновывая это тем, что «целостные триады задач, рассматриваемые во взаимопревращениях друг в друга, обеспечивают освоение любой темы». Л.М.Фридман считает, что простая сюжетная задача состоит из одного соотношения и в зависимости от вида этого соотношения в типологии выделяет три группы [279]: 1 группа «простые задачи соотношений частей и целого» включает в себя: а) простые задачи на сложение нескольких значений одной и той же величины (соединение частей в целое); б) простые задачи на вычитание из одного значения величины другого значения той же величины (вычитание из целого одной из его частей). 2 группа «простые задачи соотношений сравнения значений одной и той же величины» содержит следующие типы задач: а) простые задачи соотношения равенства между двумя значениями одной и той же величины; б) простые задачи соотношения неравенства между двумя значениями одной и той же величины; в) простые задачи соотношения разностного сравнения двух значений одной и той же величины; г) простые задачи соотношения кратного сравнения двух значений одной и той же величины; д) простые задачи соотношения нахождения части (процентов) от целого. 3 группа «простые задачи соотношений между значениями разных величин» состоит из: а) простых задач соотношения перехода от одной единицы счета или измерения к другой; б) простых задач соотношения разбиения целого на равные части; в) простых задач соотношения зависимости между значениями разных величин. Л.М.Фридман [279] отмечает, что простые задачи, относящиеся к последнему виду, подразделяются на подвиды в зависимости от того, какие явления (события, процессы) характеризуют заданное в задаче. Однако данная классификация подвидов не разработана, ее элементы приведены только в качестве примера, что позволяет говорить о том, что типология является не полной.

77

Схема №5 ТИПОЛОГИЯ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ (Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П) I группа

II группа ЗАДАЧИ НА УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ

ЗАДАЧИ НА СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ 1 цикл задачи на нахождение суммы и неизвестного слагаемого.

Нахождение суммы чисел

Нахождение первого слагаемого

Нахождение второго слагаемого

2 цикл задачи на нахождение разности, уменьшаемого и вычитаемого.

3 цикл задачи на увеличение, уменьшение числа на несколько единиц и на разностное сравнение чисел

Нахождение разности

Нахождение уменьшаемого

Нахождение вычитаемого

78

1 цикл а), б) умножение при постоянном множенном и деление по содержанию (совместно); в) деление на равные части.

2 цикл а), б) уменьшение и увеличение числа в несколько раз (совместно); в) кратное сравнение.

3 цикл а), б) нахождение одной части числа и числа по величине одной его части (совместно); в) решение задачи: «Какую часть составляет число от другой?».

3 б) Нахождение числа по части

в) «Какую часть составляет одно число от другого?»

а) нахождение части (прямая задача)

2 а) Увеличение числа в несколько раз (прямая задача)

в) кратное сравнение

б) уменьшение числа в несколько раз

1 а) Умножение (повторение равных слагаемых) (прямая задача)

б) деление по содержанию

в) деление на равные части

Иначе к построению типологии простых задач подошли М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова [31] (схема № 6) и М.И. Моро, А.М. Пышкало [197], положив в ее основание: 1) логику развертывания вводимых понятий; 2) ознакомление с арифметическими действиями и их свойствами. При этом можно говорить об идентичности представленных авторами классификаций, подразделяющих все простые задачи на три группы «без относительной операции», основываясь только на «смысловой нагрузке». Первая группа в обеих типологиях совпадает и включает в себя задачи на усвоение конкретного смысла каждого из арифметических действий. Во второй группе М.А.Бантова включает задачи на нахождение неизвестных компонентов, а М.И.Моро включает это в третью группу, третья группа у М.А.Бантовой – задачи, раскрывающие понятие разности и кратного отношения, у М.И. Моро это вторая группа. Название всех трех групп у М.А.Бантовой и М.И. Моро совпадает, а последовательность расположения различна. При этом каждый из авторов приводит свою аргументацию. М.И.Моро [197] отмечает, что расположение типов простых задач его классификации совпадает с логикой развертывания вводимых понятий, ознакомления с арифметическими действиями и их свойствами и т.п., М.А.Бантова [31] – что ее типология в методическом отношении удобнее, так как делит задачи на группы в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении. Наиболее разработанной на сегодняшний день является типология простых сюжетных задач, так как внедрение общих методов решения данных задач в школьное математическое образование началось только с начала прошлого столетия. С другой стороны в современной методической литературе нет единой всеми признанной типологии простых сюжетных задач. Это обусловлено различными подходами к построению: 1) содержания начального школьного математического образования; 2) методической концепции обучения решению сюжетных задач. Типологии сложных задач в методической литературе уделено значительно меньше внимания. Наиболее завершенными на сегодняшний день признаны типологии: а) Л.М. Фридмана, построенной на основе вида соотношения: открытые и замкнутые (закрытые) сюжетные задачи [279]; б) А.П.Тонких и Т.Е.Демидовой, построенной на основе способа решения [269]:

79

Схема № 6 Типология простых задач (Бантова М.А., Бельтюкова Г.В.) I группа Задачи на усвоение конкретного смысла каждого из арифметических действий

II группа Задачи на нахождение неизвестных компонентов

III группа Задачи, раскрывающие понятие разности и кратного отношения

Нахождение суммы двух чисел

Нахождение первого слагаемого по известным сумме и первому слагаемому

Задачи, связанные с понятием «разности»

Задачи, связанные с понятием кратного отношения

Нахождение остатка

Нахождение первого слагаемого по известным сумме и второму слагаемому

Увеличение числа сколько единиц форма)

Кратное сравнение чисел или нахождение кратного отношения двух чисел (1 вид)

Нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведение)

Нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и разности

Деление на равные части

Нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности

Деление по содержанию

Нахождение второго множителя по известным произведению Нахождение первого множителя по известным произведению и второму множителю Нахождение делимого по известным делителю и частному Нахождение делимого по известным делимому и частному

80

на не(прямая

Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (1 вид)

Кратное сравнение чисел или нахождение кратного отношения двух чисел (2 вид) Увеличение числа в несколько раз (прямая форма)

Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (2 вид)

Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма)

Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма)

Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма)

Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма)

Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма)

– арифметический метод: 1) задачи на тройное правило (на простое тройное правило; на сложное тройное правило); 2) задачи на нахождение неизвестных (на нахождение неизвестных по их сумме и разности; нахождение неизвестных по их сумме и отношению; нахождение неизвестных по двум остаткам или двум разностям; нахождение неизвестных по их разности и отношению; нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно); 3) задачи на пропорциональное деление (на деление числа на части, прямо пропорциональные ряду целых или дробных чисел; на деление числа на части, обратно пропорциональные ряду целых или дробных частей; на деление числа на части, когда даны отдельные отношения для каждой пары искомых чисел; на деление числа на части пропорционально двум, трем и т.д. рядам чисел; на нахождение нескольких чисел по данным их отношениям и сумме или разности); 4) текстовые задачи на исключение одного из неизвестных; 5) текстовые задачи на среднее арифметическое (на нахождение среднего арифметического; на смешение первого рода; на смешение второго рода); 6) текстовые задачи на проценты и части (нахождение процентов от данного числа; нахождение части от данного числа; нахождение числа по данной величине его процента; нахождение числа по данной величине его части; нахождение процентного отношения двух чисел, задачи на проценты, связанные с финансовыми операциями); 7) текстовые задачи, решаемые с конца, или обратным ходом; 8) текстовые задачи на движение (на встречное движение; на движение в одном направлении; на движение в противоположных направлениях; на движение по замкнутой траектории; на движение по реке); 9) текстовые задачи на работу; 10) текстовые задачи на смеси (на растворы; на сплавы); 11) текстовые задачи на вычисление времени (на определение конечной даты события; на определение начальной даты события; на определение промежутка времени между двумя событиями); 12) текстовые задачи, связанные с измерением величин; 13) текстовые задачи геометрического содержания; – алгебраический метод: 1) текстовые задачи на движение; 2) текстовые задачи на работу; 3) текстовые задачи на смеси и проценты (на концентрацию и процентное содержание; на сложные проценты); 4) текстовые задачи с целочисленными неизвестными; 5) некоторые специальные виды текстовых задач (с альтернативным условием; математические модели которых содержат неравенства; в которых число неизвестных превышает число уравнений системы); – геометрический метод. – логический метод: 1) текстовые задачи на переливание; 2) текстовые задачи на взвешивание; 3) текстовые задачи на переправы; 4) текстовые задачи на разъезды; 5) текстовые задачи на дележи; 6) текстовые задачи на движение; – практический метод. 81

Несколько иначе решался вопрос типологии сюжетных задач безотносительно способа их решения в методических пособиях, предназначенных для учителей математики и начальных классов. Прежде всего, все сюжетные задачи в зависимости от сложности структуры подразделили на два класса: простые и сложные. Все исследователи согласны с подобной классификацией. Однако нет единства по технологии определения сложности задачи. Существуют два подхода. В методической литературе наибольшее распространение получил подход, основанный на количестве числа действий, требуемых для решения задачи. Такое основание для определения сложности задачи Фридман Л.М. [279] считает неудачным, обосновывая это тем, что: 1) оно не включает в число простых сюжетных задач те задачи, решение которых не предполагает выполнения арифметических действий; 2) определить сложность задачи можно только после её решения; 3) существуют сюжетные задачи, которые решаются одним арифметическим действием, но содержащие несколько соотношений, поэтому назвать их простыми нельзя. В связи с этим Фридман Л.М. [279] предлагает в качестве определения уровня сложности использовать количество соотношений между значениями одной и той же величины или разных величин. В разработке второго направления по созданию типологии сюжетных задач особое внимание уделялось существенным признакам, определяемым природой задачи. Важным научным результатом исследования Ю.М.Колягина [140] в этом направлении является не только создание модели общего понятия задачи, но и то, что им разработана типология задач, используемая в современной практике образования. Исходя из стационарной ситуации ACRB, где A, C, R и B – компоненты задачи, автор выделяет следующие типы задач: 1) тренировочные задачи (известны все компоненты: АCRB); 2) обучающие задачи (неизвестен один компонент: ХCRB, AХRB, ACХB, ACRХ); 3) поисковые задачи (неизвестны два компонента: ХYRB, ХCYB, ХCRY, AХYB, AХRY, ACХY); 4) проблемные задачи (неизвестны три компонента: AХYZ, XCYZ, ХYRZ, ХYZB); 5) творческие задачи (неизвестны все компоненты: ХYZU). Данная классификация нашла свое отражение в типологиях В.Н. Соколова [252], В.И. Крупича [149]. Например, В.Н. Соколов [252], положив в основу классификации понятие «трудность задачи», выделяет три типа сюжетных задач: 1. Задачи, выполнение которых состоит в стереотипном воспроизведении заученных действий. Степень трудности задачи первого типа связана с тем, насколько сложным является навык и насколько он прочно освоен. Последний фактор становится основным. Чем более прочны навыки у человека, тем легче они воспроизводятся и тем менее подвергаются дезорганизующему влиянию различных условий и, прежде всего, эмоций. 82

2. Задачи, выполнение которых требует некоторой модификации заученных действий в изменившихся условиях. В задачах второго типа степень трудности связана с количеством и разнородностью элементов, которые необходимо координировать наряду с описанными выше особенностями. 3. Задачи, выполнение которых требует поиска новых, еще не известных способов действий. К задачам третьего типа относятся задачи, требующие творческой активности, эвристического поиска новых, неизвестных схем действий или необычной комбинации известных. При этом сюжетная задача должна правильно отвечать учебным целям, главным образом, через соотношение в ней новизны, ранее усвоенного материала и приемов его применения. Следует заметить, что задачи первого и второго типа, в основном, требуют памяти и прочного навыка алгоритмической деятельности. Крупич В.И. [149], придерживаясь классификации В.Н. Соколова, дает названия определенным выше типам задач (алгоритмические, полуэвристические и эвристические), при этом уточняя характеристические признаки, позволяющие определить сюжетную задачу к тому или иному типу. 1) Алгоритмические задачи характеризуются тем, что: новые знания, закономерности, отношения, свойства, необходимые для обоснования решения задачи, известны или неизвестны; алгоритм (прием) или последовательность заданных алгоритмов (приемов) решения задачи известны; теоретическая и практическая основа (база) решения задачи, содержащей функциональное отношение, известна. 2) Полуэвристические предполагают, что: новые знания, закономерности, отношения, свойства, необходимые для обоснования решения задачи, известны или неизвестны; алгоритм (прием) или последовательность заданных алгоритмов (приемов) решения задачи неизвестны; теоретическая и практическая основа (база) решения задачи, содержащей функциональное отношение, известна. 3) Эвристические подразумевают, что: новые знания, закономерности, отношения, свойства, необходимые для обоснования решения задачи, известны или неизвестны; алгоритм (прием) или последовательность заданных алгоритмов (приемов) решения задачи неизвестны; теоретическая и практическая основа (база) решения задачи, содержащей функциональное отношение, неизвестна. При этом под алгоритмом Крупич В.И. [149] понимает точное общепонятное предписание о выполнении в определенной последовательности действий, направленных на достижение указанной цели или на решение любой задачи, принадлежащей некоторому классу. Он отмечает, что прием – понятие более широкое, чем алгоритм, так как оно предусматривает поисковую деятельность обучаемого. 83

Практически во всех методических пособиях приводится классификация сюжетных задач по отношению между условиями и требованиями: а) Стойлова Л.П. [257], Артемов А.К., Семенова Т.В. [19], Фридман Л.М. [276 – 279] различают: определенные задачи (в них заданных условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требований), неопределенные задачи (в них условий недостаточно для получения ответа или не указано требование задачи), переопределенные задачи (в них имеются лишние условия). Фридман Л.М. [276] в переопределенных задачах выделяет следующие два типа: непротиворечивая (в которых лишние условия являются логическим следствием остальных условий, тогда эти условия можно просто отбросить, и останется вполне определенная задача); противоречивая (в которых лишние условия противоречат другим условиям, в этом случае задача является не имеющей решения). б) Гурова Л.Л. [89] подразделяет задачи на интерполяционные (содержат достаточно информации для их решения, поэтому требуется лишь заполнить пробелы между имеющимися данными, которые служат для этого достаточно определенными ориентирами) и экстраполяционные (содержат информацию только до какого-то предела, за которым поступление информации прекращается, и поиск ответа задачи должен идти в неопределенном направлении: содержат данные, но цели не определены; содержат цели, но данные не определены; не содержат ни данных, ни целей). В зависимости от логического построения условия, Статкевич В.В. [253] выделяет два типа составных задач: 1) задачи с приведенным условием (текст задачи и построение условия подсказывает порядок, последовательность решения простых задач, из которых состоит данная составная задача); 2) задачи с неприведенным условием (числовые данные, необходимые для решения простых задач, разъединены; рядом поставлены такие данные, которые не связаны непосредственно друг с другом, связь между данными и искомыми может быть выражена). Многие годы наиболее распространенной была классификация, основу которой составлял характер требования. В зависимости от характера требований, Кулюткин Ю.Н. [165], Зайцев Г.Т. [115] и Фридман Л.М. [279] выделяют пять типов задач: 1) задачи на распознавание (в качестве искомого выступает один из компонентов системы объектов, при этом предполагается, что этот компонент в наличной системе имеется и что его значение определяется отношениями, которые присущи данной системе); 2) задачи на конструирование (в качестве искомого выступает та или иная система, причем функции, которыми она должна обладать, описываются в требованиях задачи); 3) задачи на доказательство (в качестве искомого в них выступает процедура обоснования истинности некоторого утверждения); 4) задачи на исследование (в качестве искомого в них выступают: а) связи и зависимости между некоторыми фактами и явлениями, а также 84

внутренние отношения, определяющие качественную природу объектов; б) числовые значения величин исследуемых элементов и выявление закономерности появления данных числовых значений); 5) задачи на преобразования (в качестве искомого в них выступает процесс преобразования исходного состояния системы в заданное, которое указано в требовании задачи). Длительный успех этой классификации обеспечивался тем, что она в какой-то степени предопределяла метод решения каждого типа задач. Г.Т.Зайцев [115], отмечая, что зависимость между данными и искомым числами в текстовых задачах может быть выражена в четырех основных формах, предлагает использовать типологию на основе формы задания условия, подразделяя все задачи: аналитические, табличные, графические и текстовые. Анализ учебно-методической литературы [19, 32, 89, 115, 140, 179, 246, 279, 318] позволяет говорить об отсутствии единства в создании классификаций сюжетных задач. Однако любая типология всегда устанавливает определенный порядок: она разбивает рассматриваемую область на группы, чтобы упорядочить эту область и сделать ее хорошо обозримой. Зная принципы типологии сюжетных задач, студент с меньшей затратой труда и времени найдет решение задачи или методически грамотно сможет использовать сюжетную задачу в учебно-воспитательном процессе. Таким образом, мы выделяем три вида типологий сюжетных задач: 1) типологии, в основе которых находится существенный признак, определяемый природой задачи (естественная типология); 2) типологии, предназначенные для нахождения сюжетной задачи в каком-то из определённых типов сюжетных задач (вспомогательная типология); 3) типологии, в основе которых лежит признак задачи, имеющий практическое значение в локальной области поиска (искусственная типология). К естественным типологиям отнесены типологии: 1) В основе которой лежит количество соотношений между значениями одной и той же величины или разных величин в сюжетной задаче: – простые: а) сюжетные задачи соотношений частей и целого (простые задачи на сложение нескольких значений одной и той же величины; простые задачи на вычитание из одного значения величины другого значения той же величины); б) сюжетные задачи соотношений сравнения значений одной и той же величины (простые задачи соотношения равенства между двумя значениями одной и той же величины; простые задачи соотношения неравенства между двумя значениями одной и той же величины; простые задачи соотношения разностного сравнения двух значений одной и той же величины; простые задачи соотношения кратного сравнения двух значений одной и той же величины; д) простые задачи на нахождение процентов; в) сюжетные задачи соотношений между значениями 85

разных величин (простых задач соотношения перехода от одной единицы счета или измерения к другой; простых задач соотношения разбиения целого на равные части; простых задач соотношения зависимости между значениями разных величин). – составные (открытые; замкнутые). 2) Исходя из количества известных компонентов задачи: 2.1 интерполяционные: – тренировочные задачи (определенные с приведенным условием); – обучающие задачи: а) определенные (с не приведенным условием); б) переопределенные (непротиворечивые); 2.2) экстраполяционные: – поисковые задачи (неопределенные); – проблемные задачи: а) неопределенные (содержат данные, но цели не определены; содержат цели, но данные не определены); б) переопределенные (противоречивые); в) определенные (противоречивые); – творческие задачи (не содержат ни данных, ни целей). 3) В зависимости от характера требований: а) на распознавание; б) на конструирование; в) на исследование; г) на доказательство; д) на преобразование. К вспомогательным типологиям отнесены, типологии: 1) В основе которой лежит метод (способ) решения сюжетной задачи: – арифметический метод: а) сюжетные задачи на нахождение суммы и неизвестного слагаемого; б) сюжетные задачи на нахождение разности, уменьшаемого и вычитаемого; в) сюжетные задачи на увеличение, уменьшение числа на несколько единиц и на разностное сравнение чисел; г) сюжетные задачи на умножение при постоянном множенном и деление по содержанию (совместно); д) сюжетные задачи на деление на равные части; е) сюжетные задачи на уменьшение и увеличение числа в несколько раз (совместно); ж) сюжетные задачи на кратное сравнение; з) сюжетные задачи на нахождение одной части числа и числа по величине одной его части (совместно); и) сюжетные задачи на тройное правило (на простое тройное правило; на сложное тройное правило); к) сюжетные задачи на нахождение неизвестных (на нахождение неизвестных по их сумме и разности; нахождение неизвестных по их сумме и отношению; нахождение неизвестных по двум остаткам или двум разностям; нахождение неизвестных по их разности и отношению; нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно); л) сюжетные задачи на пропорциональное деление (на деление числа на части, прямо пропорциональные ряду целых или дробных чисел; на деление числа на части, обратно пропорциональные ряду целых или дробных частей; на деление числа на части, когда даны отдельные отношения для каждой пары искомых чисел; на деление числа на части пропорционально двум, трем и т.д. 86

рядам чисел; на нахождение нескольких чисел по данным их отношениям и сумме или разности); м) сюжетные задачи на исключение одного из неизвестных; н) сюжетные задачи на среднее арифметическое (на нахождение среднего арифметического; на смешение первого рода; на смешение второго рода); о) сюжетные задачи на проценты и части (нахождение процентов от данного числа; нахождение части от данного числа; нахождение числа по данной величине его процента; нахождение числа по данной величине его части; нахождение процентного отношения двух чисел, задачи на проценты, связанные с финансовыми операциями); п) сюжетные задачи, решаемые с конца, или обратным ходом; р) сюжетные задачи на движение (на встречное движение; на движение в одном направлении; на движение в противоположных направлениях; на движение по замкнутой траектории; на движение по реке); с) текстовые задачи на работу; т) сюжетные задачи на смеси (на растворы; на сплавы); у) сюжетные задачи на вычисление времени (на определение конечной даты события; на определение начальной даты события; на определение промежутка времени между двумя событиями); ф) сюжетные задачи, связанные с измерением величин; х) сюжетные задачи геометрического содержания; – алгебраический метод: а) сюжетные задачи на движение; б) сюжетные задачи на работу; в) сюжетные задачи на смеси и проценты (на концентрацию и процентное содержание; на сложные проценты); г) сюжетные задачи с целочисленными неизвестными; д) некоторые специальные виды текстовых задач (с альтернативным условием; математические модели которых содержат неравенства; в которых число неизвестных превышает число уравнений системы); – геометрический метод: а) сюжетные задачи, решение которых выполняется с помощью построения геометрических объектов; б) сюжетные задачи, решение которых выполняется с помощью измерения (сопоставления) величин (площадей фигур, длин отрезков). – графический метод: а) сюжетные задачи, решение которых выполняется с использованием одной системы координат; б) сюжетные задачи, решение которых выполняется с использованием двух систем координат. – логический метод: а) сюжетные задачи, решение которых выполняется с помощью логической схемы (на переливание; на взвешивание; на дележи; на движение); б) сюжетные задачи, решение которых выполняется с помощью формул языка алгебры логики; в) сюжетные задачи, решение которых выполняется при помощи последовательности высказываний. – практический метод: а) сюжетные задачи, решение которых предполагает теоретико-множественное истолкование отношения порядка; б) сюжетные задачи, решение которых предполагает теоретикомножественное истолкование сложения; в) сюжетные задачи, решение которых предполагает теоретико-множественное истолкование вычитания; 87

г) сюжетные задачи, решение которых предполагает теоретикомножественное истолкование умножения; д) сюжетные задачи, решение которых предполагает теоретико-множественное истолкование деления. К искусственным типологиям отнесены, типологии: 1) По содержанию текста сюжетной задачи: – задачи, содержание которых отражает процессы и явления, происходящие в природе и не связанные с деятельностью человека; – задачи, содержание которых отражает общественное бытие, характеризующееся: а) основными формами общественных отношений (производственные; политические; брачно-семейные; общественно-правовые; религиозные; национально-этнические; коммуникативные); б) результатами деятельности человека. 2) По степени трудности: а) требующие воспроизведения заученных действий; б) требующие некоторой модификации заученных действий; в) требующие поиска новых, еще неизвестных способов действий. 3) По форме сюжетной задачи: а) словесно-поэтическая; б) словеснопрозаическая; в) иллюстративная; г) демонстрационная. 4) По смысловому значению понятия «решения»: а) решение сюжетной задачи как объект; б) решение сюжетной задачи как процесс. 5) В зависимости от полноты текста: с использованием полного текста, фрагмента текста или высказывательной модели сюжетной задачи. Определение места сюжетной задачи в общей системе задач, то есть ее типология, с одной стороны, облегчает работу студента при подборе материала к занятию или внеклассному мероприятию, с другой стороны, позволяет обучающемуся, сопоставляя сюжетную задачу с конкретным учебным материалом, быстрее найти способ ее решения.

§ 3. Структура процесса решения сюжетной задачи  В процессе личностно ориентированного обучения математике особое внимание уделяется не столько самой сюжетной задаче, сколько ее решению, которое представляет собой сложный и многоплановый процесс. В работах Л.Л.Гуровой [17], Л.П.Стойловой [66], Л.М.Фридман [276] и др. отмечается, что под термином «решение задачи» подразумеваются различные понятия: 1. Ответ на требование задачи. 2. Процесс нахождения способа решения. 3. Осуществление операций, входящих в тот или иной способ решения. Каждое из понятий термина «решение задачи» тесно взаимосвязаны между собой. Например, Ю.М. Колягин [140], приводя обоснование этому 88

факту, указывает на то, что осуществление операций, входящих в тот или иной способ решения, невозможен без деятельности субъекта, а процесс решения определяет характер деятельности субъекта, решающего сюжетную задачу. В свою очередь решение как «ответ» является результатом осуществления операций, входящих в тот или иной способ решения. В методических пособиях авторы выделяют в процессе решения сюжетных задач разное количество этапов (А.К. Артемов [19], Т.Е. Демидова и А.П. Тонких [97], Л.П. Стойлова [257], С.Е. Царева [288], Зайцев Г.Т [115] и т.д.), в том числе: 1. Восприятие и анализ задачи. 2. Поиск и составление плана решения задачи. 3. Осуществление плана решения. 4. Проверка решения задачи. 5. Формулирование ответа задачи. В.В.Статкевич [253] деятельность по решению текстовой задачи делит на пять этапов: 1) изучение задачи; 2) разбор задачи (выявление зависимости между данными задачи, между искомыми и данными, разложение составной задачи на простые и составление плана ее решения); 3) решение (выбор действий и обоснование их применения, запись действий с помощью математических символов и выполнение вычислений в соответствии с ходом решения задачи; часто решение задачи записывают в виде числовой формулы); 4) составление ответа на главный вопрос задачи; 5) закрепление решения задачи – полное или частичное повторение хода ее решения (закрепление решения несложной задачи иногда заменяют проверкой ее решения, решают ее другими способами, если возможно, или выполняют другие виды работы)». На наш взгляд, наиболее полно представлена стратегия решения сюжетной задачи в исследованиях Л.М.Фридмана[279], который весь процесс решения задачи разбивает на восемь этапов: « 1-й этап – анализ задачи; 2-й этап – построение модели задачи; 3-й этап – поиск способа решения задачи; 4-й этап – построение решающей математической модели задачи; 5-й этап – осуществление решения задачи; 6-й этап – проверка решения задачи; 7-й этап – формулирование ответа задачи; 8-й этап – учебно-познавательный анализ задачи и ее решения». В основе структуры процесса решения сюжетных задач мы будем использовать подход к выделению этапов данного процесса Л.М.Фридмана, внеся следующие уточнения: а) «анализ задачи» дополняем словом 89

«восприятие»: «восприятие и анализ задачи»; б) «осуществление решения задачи» заменяем «осуществление выбранного способа решения задачи»; в) «построение решающей математической модели задачи» является составной частью второго этапа, поэтому выделять отдельно в качестве составляющей структуры стратегии решения сюжетной задачи, на наш взгляд, нецелесообразно. Отсутствие единого подхода в построении процесса решения сюжетных задач обусловлено тем, что выделенные этапы не имеют четких границ и полнота их выполнения зависит от уровня математических знаний, опыта и мыслительных умений, проявляющихся в процессе решения. Знание возможных приемов выполнения каждого из данных этапов делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, и более успешным. Рассмотрим каждый этап более подробно. Восприятие и анализ задачи Этот этап составляет центральную часть всего процесса решения, поскольку правильное решение не может быть найдено без адекватного понимания задачи. Он может занимать самое большое по времени место, так как является самым трудным и основным этапом решения. Фридман Л.М. [279] выделяет два направления, по которому может проводиться анализ задачи: а) предметно-содержательный анализ; б) логикосемантический анализ. Предметно-содержательный анализ – это декодирование условия задачи в целом, воссоздание той реальной задачной ситуации, моделью которой является данная задача. Данные анализ можно осуществить при помощи следующих приемов: 1) Правильное чтение и слушание сюжетной задачи. Восприятие и первичный анализ содержания сюжетной задачи начинается с её чтения и слушания. Качественное выполнение данных действий существенно влияет на степень понимания задачи, а следовательно, и на эффективность дальнейших действий по её решению. Царева С.Е. [288] выделяет следующие требования к чтению и слушанию задачи: а) Правильное прочтение всех слов, всех их сочетаний, интонационное соблюдение знаков препинания. б) Правильная расстановка логических ударений. Логическое ударение оказывает при чтении значительное влияние на понимание задачи, ибо оно подразумевает выделение числовых данных, название отношений. Царева С.Е. [288] отмечает, что особенно важна правильная постановка логического ударения в вопросе задачи, так как выделение в нем различных слов по разному характеризует ситуацию, предшествующую данному вопросу. А это либо помогает понять задачу, либо препятствует такому пониманию. 90

Пример. Составьте задачу по данному вопросу: «Через сколько дней на складах муки останется поровну?» Прочтение данного вопроса, например, возможно с двумя различными способами расстановки логического ударения: 1. Через сколько дней на складах муки останется поровну? – Выделение «на складах» подразумевает, что мука находится не только на складах, но и, к примеру, на базах или в магазинах. При этом количество муки на складе находится в каком-то отношении с количеством муки вне склада. 2. Через сколько дней на складах муки останется поровну? – Выделение слова «муки» позволяет предположить, что в задаче говорится не только о муке, но и еще о каких-то продуктах. Если прочтение вопроса соответствует характеристике ситуации, то оно способствует лучшему пониманию задачи, в противном случае может только внести путаницу в рассуждение ученика при решении задачи. 2. Представление жизненной ситуации, которая описана в задаче, мысленное участие в ней. Фактически оно осуществляется при чтении или слушании задачи, однако на этом этапе уделяется внимание вычленению основных количественных и качественных характеристик задачной ситуации. По мнению М.А.Бантовой, Г.В.Бельтюковой, А.М.Полевщиковой [31] предметная иллюстрация помогает создать яркое представление той жизненной ситуации, которая описывается в задаче, что в дальнейшем послужит отправным моментом для выбора действия. Пример. По тексту задачи представь все, о чем говорится. Опиши, что ты представил (нарисуй словесную картинку). Потом можно попросить двухтрех учеников рассказать, что у них получилось. Сопоставляя «картинки», выявляют, насколько они точны и какая лучше отражает содержание задачи, и, следовательно, лучше помогает понять задачу. При решении задачи: «Наташа и Настя наряжали елку игрушками. Наташа повесила на елку 10 шариков. А Настя – 7. Сколько всего шариков повесили девочки на елку?» 1 «картинка»: Две девочки наряжают живую елочку. На елке шарики и гирлянды. У всех предпраздничное настроение. 2 «картинка»: На елке висят 10 красных шариков и 7 синих. Какая «картинка» способствует решению задачи? Пример. Проведите предметно-содержательный анализ задачи: «Из пункта А в пункт Б вышли два туриста. Скорость первого туриста составляет 4 км/ч, скорость второго - 6 км/ч. Определите расстояние между пунктами А и В, если известно, что первый турист, выйдя из пункта А часом раньше второго туриста, пришел в пункт В часом позже его». Предметно-содержательный анализ. В данной задаче рассматривается процесс движения объектов в одном направлении. Речь идет о двух 91

объектах: первый турист и второй турист. Оба туриста проделали одинаковый путь (Расстояние от пункта А да пункта В). Скорость первого туриста (4 км/ч) меньше скорости второго туриста (6 км/ч). Время, затраченное на преодоление пути первым туристом, на 2 часа больше времени, затраченным на тот же путь вторым туристом. После выполнения подобных заданий студенты, с одной стороны, начинают понимать, что не всякое представление способствует решению задачи, с другой стороны, овладевают навыком отделения второстепенных признаков элементов от основных. 3. Разбиение текста задачи на смысловые части. Использование данного приёма, по мнению Царевой С.Е. [288], обеспечивает порционное усвоение обучающимися содержания задачи. А это способствует как его пониманию, так и запоминанию. Разбиение текста зависит от этапа обучения и от содержания конкретной задачи: Для простых задач возможны два случая разбиения на части: 1. а) начало события; б) действие, которое произошло с некоторыми объектами; в) конечный момент события. Пример. В саду росло три куста розы. Потом посадили еще два. Сколько всего кустов роз растет в саду? а) начало события: в саду росло три куста розы; б) действие, которое произошло с некоторыми объектами: посадили еще два куста роз; в) конечный момент события: количество кустов роз, растущих в саду, которое требуется найти. 2. Выделяются описания двух связанных определенным отношением совокупностей предметов, двух значений величины и требование задачи. Пример. В первом автобусе 20 мест, а во втором на четыре больше. Сколько мест во втором автобусе? а) часть текста, определяющая первое значение величины: в первом автобусе 20 мест; б) часть текста, определяющая второе значение величины: во втором автобусе на четыре места больше, чем в первом; в) требование задачи: сколько мест во втором автобусе. Для составной задачи разбиение текста может служить основой выделения простых задач, последовательное решение которых и составляет решение данной составной. Данный прием заключается в том, чтобы научить учащихся различать в данной сложной задаче отдельные, менее сложные задачи, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование данной.

92

Пример. Выпускной группе колледжа для завершения коллекции платьев, представляемой на конкурс, необходимо было закупить нитки, ленты и кружево. Если учащиеся группы соберут по 90 рублей, то им на покупку необходимого не хватит 750 р. А если по 100 р., то не хватит 500 р. Недостающие 500 рублей были выделены из внебюджетных средств колледжа. После того как была собрана необходимая сумма, закупили нитки, ленты и кружева. Причем за нитки было уплачено на 300 рублей меньше, чем за ленты, а за кружево – в 5 раз больше, чем за нитки и ленты вместе. Сколько заплатили за кружево? Определим в данной задаче подзадачи, последовательное решение которых позволит получить ответ. 1. Выпускной группе колледжа для завершения коллекции платьев, представляемой на конкурс, необходимо было закупить нитки, ленты и кружево. Если учащиеся группы соберут по 90 рублей, то им на покупку необходимого не хватит 750 р. А если по 100 р., то не хватит 500 р. Найдите количество учащихся в выпускной группе колледжа. 2. Если учащиеся выпускной группы колледжа соберут по 100 р., то на покупку ниток, лент и кружева не хватит 500 р. Недостающие 500 рублей были выделены из внебюджетных средств колледжа. Сколько стоит вся покупка? 3. За нитки было уплачено на 300 рублей меньше, чем за ленты. А за кружево в 5 раз больше, чем за нитки и ленты вместе. Зная сумму всей покупки, определите, сколько заплатили за кружево. В общем случае при сведении задачи к подзадачам, как отмечает Столяр А.А. [190], описание задачи преобразуется в множество описаний подзадач таким образом, что решение всех подзадач обеспечивает решение исходной задачи. Показав на нескольких упражнениях этот прием поиска решения задачи, важно не навязывать его обучающимся, а подтолкнуть их к тому, чтобы они сами искали пути наиболее простого подхода к решению сюжетной задачи. 4. Переформулировка текста задачи. Её цель заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Например, это можно достигнуть в результате отбрасывания несущественной, излишней информации, замены описания некоторых понятий соответствующими терминами или наоборот. Прием перефомулировки используется, когда:

93

1) предложенная задача осложнена излишними подробностями, следовательно, необходимо сократить части текста, осложняющие содержание задачи; 2) в задачах, где искомая величина выражена в косвенной форме, следовательно, преобразовать задачу в стандартную формулировку; 3) требование задачи сформулировано в форме повествовательного предложения или содержит часть данных (следует уточнить составные части задачи, перенести данные из требования в условие, сформулировать вопрос задачи). Пример: Исходная задача. Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое за2 вещание: в случае рождения сына отдать ему оставшегося имущества, а 3

1 3

1 3

– матери. В случае рождения дочери она должна получить , а мать –

2 3

имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания? (Игнатьев Е.И., [124]) Эквивалентная задача Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему в два раза больше оставшегося имущества, чем матери. В случае рождения дочери – она должна получить в два раза меньше имущества, чем мать. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания? Данные примеры показывают, что поиск решения задачи напрямую зависит от ее формулировки, т.е., изменяя формулировку задачи, поиск ее решения можно либо усложнить, либо упростить. Недаром Шумилин А.Т. [316] в своей работе отмечает, что в различных формулировках одна и та же задача представляет различную трудность для решающего. Логико-семантический анализ проводится с целью установления величин, их значений и соотношений между ними, заданных в тексте задачи, разбиение тем самым текста задачи на отдельные элементарные условия и требования. Для того чтобы научить студентов грамотно проводить данный анализ, можно воспользоваться системой специальных вопросов по содержанию задачи и поиском ответов на них. Цель данного приема: научить обучающихся задавать себе подобные вопросы и отвечать на них самостоятельно, научить сознательно пользоваться ими при анализе содержания задачи. Вопросы целесообразно использовать после того, как студенты подготовлены к поиску решения задачи и их нужно только немного сориентировать до завершения их мысли. 94

Вопросы могут быть следующими: 1) Какие элементы задачи известны? 2) Какие элементы задачи неизвестны? 3) Какие элементы задачи являются искомыми? 4) Какие элементы задачи являются вспомогательными? 5) Назовите величины, которыми охарактеризованы элементы. 6) Сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи? 7) Назовите основное отношение между величинами. 8) Сколько состояний рассматривается в задаче? Перечислите их. 9) Сколько ситуации рассматривается в задаче? Перечислите их. Кульбякина Л.Я. [159] выделяет следующие требования к задаваемым вопросам: • они должны: 1) быть краткими и точными; 2) задаваться последовательно с постепенным возрастанием сложности; 3) идти от общего к частному; 4) быть достаточно емкими для целостного восприятия; 5) развивать мышление студента, заставлять его задумываться; • они не должны: 1) повторяться до того, как студенты дадут ответ; 2) задавать один и тот же вопрос в различных формулировках; 3) требовать от обучающихся односложных ответов. Пример. Логико-семантический анализ позволяет установить следующие компоненты структуры сюжетной задачи из предыдущего примера: 1) Элементы задачи: а) первый турист; б) второй турист. 2) Величины, которыми охарактеризованы элементы: процесс движения характеризуется зависимостью между тремя величинами – время движения, скорость и расстояние. В задаче задано явно два значения одной величины: скорость первого туриста (4 км/ч) и скорость второго туриста (6 км/ч). И три неизвестных значения: время t1 , затраченное на движение первым туристом; время t 2 , затраченное на движение первым туристом; расстояние S между пунктами А и В. 3) Расстояние является величина постоянная, а скорость и время принимают различные значения. Скорость и время движения - величины обратно пропорциональные, так как их произведение равно некоторому числу, а именно пройденному расстоянию. 4) В задаче можно выделить два отношения: а) если время движения туриста обозначить буквой t , скорость v , а расстояние от А до В - S , то получим, что t ⋅ v = S , то есть математической моделью отношения является обратная пропорциональность; б) время, затраченное на преодоление пути первым туристом, на 2 часа больше времени, затраченным на тот же путь вторым туристом, то 95

есть математической моделью является отношение разностного сравнения: t1 − t 2 = 2 . 5) В задаче представлены две ситуации: а) движение первого туриста из пункта А в пункт Б: t1 ⋅ 4 = S ; б) движение второго туриста из пункта А в пункт Б: t 2 ⋅ 6 = S . Подробность анализа задачи зависит от ряда факторов: от цели анализа сюжетной задачи (для нахождения способа решения задачи или для развития навыка проведения анализа сюжетной задачи), от степени умения студентов проводить анализ содержания задачи и нахождения ее решения. Построение модели сюжетной задачи А.Б. Горстко [82], Л.М. Фридман [276] выделяют следующие виды моделей, которые возможно использовать для изучения и решения сюжетных задач: 1. Материальные модели (при которых реальному объекту сопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект). 2. Вербальные модели (полученные в результате раздумий, умозаключений и представленные в мысленной или разговорной форме). 3. Знаковые модели (выраженные средствами любого формального языка: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т.д., а также включающие совокупность знаков, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и их элементами). Основными задачами данного этапа являются выбор модели, наиболее адекватной оригиналу, и перенос результатов исследования на оригинал, что требует от студентов умения определять проблемы и ставить задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки; выделять главные и второстепенные факторы для построения моделей, выбирать аналогии и математические формулировки. К рассматриваемой задаче можно предложить следующие модели: а) Графическая модель (рис. №1). Математическая модель задачи в этом случае представляет собой либо диаграмму, либо график. Данная модель предполагает использование ПДСК OSt. Первый турист вышел из точки О (0; 0) и через один час был в точке С (4; 1). Второй турист вышел из точки К (0; 1) и через один час был в точке Т (6; 2). Поэтому прямые ОС и КТ служат соответственно графиками движения первого и второго туристов.

96

t

Т 2K

C

1 0

2

4

6

S

Рис. № 1 б) Табличная модель (рис № 2). Состояния движение туриста из в пункт Б движение туриста из в пункт Б

первого пункта А второго пункта А

Элементы 1 турист

Ситуации

t1 ⋅ 4 = S

v 4

Величины t

S

t1 = 2 + t 2

S 2 турист

t2 ⋅ 6 = S

6

t2

Рис. №. 2

в) Геометрическая модель (Рис. № 3). Данная модель основана на построении прямоугольников, длина которых отражает скорость движения, а высота – время движения туристов. Пусть время движения первого туриста (ее величина неизвестна) изображается отрезком ОТ1, а его скорость (4км/ч) – отрезком ОS1). Тогда площадь прямоугольника OS1O1T1 соответствует расстоянию между пунктами А и В. Пусть время движения второго туриста (ее величина неизвестна) изображается отрезком ОТ2, а его скорость (6 км/ч) – отрезком ОS2). В этом случае то же расстояние между городами А и В определяется площадью прямоугольника OS2O2T2, равновеликого прямоугольнику OS1O1T1.

97

t S1 S2

O1 O2 О3

0

T1

T2

Рис. № 3

г) Схематическая модель (Рис. № 4). первый турист v1 км/ч = 4 км/ч t1 = х ч

? км

второй турист v2 км/ч = 6 км/ч t2 = x ч – 2 ч

Рис. № 4

д) Алгебраическая модель. ⎧4t1 = S , ⎪ ⎨6t 2 = S , ⎪t − t = 2. ⎩1 2 е) Арифметическая модель. 6⋅4⋅2 S = . 6−4 С помощью модели в процессе решения сюжетной задачи удается: 1) свести изучение сложного к простому, т.е. сделать ее доступной для тщательного и всестороннего изучения; 2) зафиксировать результат анализа сюжетной задачи, т.е. для организации данного анализа. Поиск способа решения задачи Особе место в формировании умения решать сюжетные задачи мы отводим обучению умению находить разные методы, способы, приемы решения. Они являются средством развития познавательного интереса, 98

умения отстаивать свою точку зрения, способность слышать и понимать других людей. Под поиском способа решения сюжетной задачи Гурова Л.Л. [89] понимает отыскание принципа построения логики решения, в соответствии с чем выполняются те или иные действия, о которых нельзя заранее сказать, приведут ли они к требуемому результату или нет. Любая сюжетная задача предполагает необходимость осознанного поиска соответствующего средства для достижения цели. Можно выделить два основных приема поиска плана решения сюжетных задач: 1. По модели. Приём заключается в выделении элемента, моделирующего искомое, в определении последовательности операций с другими элементами модели или соответствующей последовательности арифметических действий над данными и неизвестными для получения искомого или для составления уравнения. Пример. а) Табличную модель обычно используют при использовании алгебраического метода решения сюжетной задачи. Для этого достаточно уравнения, записанные в столбце «ситуации», записать в виде системы. Если воспользоваться табличной моделью предыдущего примера, то система примет вид: ⎧4(2 + t 2 ) = S , ⎨ ⎩6t 2 = S . Решение данной системы можно провести следующим образом: – раскрыть скобки в первом уравнении; – вычесть из первого уравнения второе; – решить линейное уравнение, получившееся в результате вычитания уравнений. – найденное значение t2 подставить во второе уравнение системы уравнений и вычислить значение S. в) Используя геометрическую модель задачи, рассмотренную в предыдущем примере можно предложить следующий способ решения: – показать, что площадь OS2O2T2 состоит из суммы площадей прямоугольников OS2O3T1 и T1O3O2T2; – показать, что площадь OS1O1T1 состоит из суммы площадей прямоугольников S2S1O1O3 и OS2O3T1; – обосновать равенство площадей прямоугольников S2S1O1O3 и T1O3O2T2; – найти площадь прямоугольника S2S1O1O3; – найти высоту O3O2 прямоугольника T1O3O2T2, зная величину площади данного прямоугольника и длину T1T2; 99

– доказать, что OS2 равно T1T2; – найти величину длины OS1, равную сумме длин OS2 и S2S1. – вычислить площадь OS1O1T1. 2. С помощью рассуждений «от вопроса к данным» и «от данных к вопросу». Несмотря на то, что при разборе любой задачи обучающиеся мыслят аналитико-синтетически, в данном процессе в зависимости от сложности задачи может преобладать одна из его сторон, то есть разбор задачи приобретает определенную направленность. Разбор составной задачи аналитическим методом состоит в том, что к главному вопросу задачи подбирают такие данные из условия, по которым можно на него ответить. Если в условии задачи нет нужных данных или одного из них, то ставят новые вопросы, как его найти. И так до тех пор, пока не дойдут до вопроса, для решения которого уже известны все данные в условии задачи. Потом составляется план. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке Пример. Стоимость одной путевки на море составляет 23 тыс. рублей. Для льготной категории граждан предусмотрена 20% скидка. Сколько всего теряет фирма, если в туристической группе из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу? Данную задачу можно разобрать следующим образом: 1. Какой вопрос задачи? – Сколько всего теряет фирма, если в туристической группе из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу? 2. Какие нужно знать данные, чтобы ответить на данный вопрос? – Сколько получила бы фирма, если бы все путевки были оплачены полностью, и сколько получила фирма с данной туристической группы. 3. Известны ли нам эти данные? – Нет 4. Можем ли их найти? – Для этого надо найти сумму, которая будет получена после продажи 15 путевок по полной цене. Однако сколько заплатила данная группа, пока неизвестно. 5. Что для этого надо знать? – Сколько куплено путевок по полной цене и сколько – по льготной. 6. Можно ли найти, сколько человек купили путевки по полной цене? – Да. Надо из 15 вычесть 6. Получим: 9 человек купили путевки по полной цене. 7. Какие надо знать данные, что бы найти ту сумму денег, которую уплатили туристы за путевки по полной цене? – Количество туристов и стоимость полной путевки. Эти данные нам известны. 8. Какие надо знать данные, что бы найти сумму денег, которую уплатили туристы за путевки по льготной цене? – Количество туристов и 100

стоимость льготной путевки, но нам не известна стоимость льготной путевки. 9. Какие данные необходимо знать, чтобы найти стоимость льготной путевки? – Стоимость полной путевки и на сколько стоимость льготной путевки меньше полной. Известный американский педагог и математик Д.Пойа [218] в своей книге, посвященной проблемам обучения решению задач, говорил о том, что: «В этом методе есть нечто незаурядное, есть и известная психологическая трудность: приходится стать спиной к цели, уйти от желаемого, а не идти к нему прямой дорогой, приходится работать от конца к началу. После того как мы раскрыли правильную последовательность действий, наши мысли должны следовать в порядке, противоположном действительному решению». При разборе задачи синтетическим методом выделяют в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними определяют, какое неизвестное может быть найдено по этим данным. По вновь полученным числовым значениям и другим известным в задаче данным вновь ищут ответ на вопрос: что можно узнать по этим значениям. И так до ответа на вопрос составной задачи. Потом составляется план. Пример. Стоимость одной путевки на море – 23 тыс. рублей. Для льготной категории граждан предусмотрена 20% скидка. Сколько всего теряет фирма, если в туристической группе из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу? Данную задачу можно разобрать следующим образом: 1. Какие данные необходимо знать, чтобы найти стоимость льготной путевки? – Стоимость полной путевки и на сколько стоимость льготной путевки меньше полной. 2. Какие надо знать данные, чтобы найти сумму денег, которую уплатили туристы за путевки по льготной цене? – Количество туристов и стоимость льготной путевки. 3. Какие надо знать данные, чтобы найти сумму денег, которую уплатили туристы за путевки по полной цене? – Количество туристов и стоимость полной путевки. 4. Какие данные надо знать, чтобы найти, сколько человек купили путевки по полной цене? – Необходимо знать количество туристов в группе и количество человек из группы, купивших билеты по льготной цене. 5. Какие необходимо знать данные, чтобы найти стоимость всех путевок, купленных группой? – Стоимость полных путевок и стоимость льготных путевок, оплаченных группой.

101

6. Какие нужны данные, чтобы найти, сколько получила бы фирма, если бы все путевки были оплачены полностью? – Количество туристов в группе и стоимость полной путевки. 7. Какой вопрос задачи? – «Сколько всего теряет фирма, если в туристической группе из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу?». Статкевич В.В [253] отмечает, что при выборе данных для составления соответствующей простой задачи и при постановке к ним вопроса нет определенных критериев, позволяющих избежать случайности выбора. Анализ и синтез при разборе задачи аналитико-синтетическим методом находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга. Осуществление выбранного способа решения задачи Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Решение арифметическим методом предполагает нахождение ответа на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Формы выполнения данного решения различаются по способам фиксации решения, которая может быть выполнена как в устной форме, так и в письменной: 1) запись решения в виде числового выражения осуществляется поэтапно: а) записываются отдельные шаги, приводящие в итоге к числовому выражению; б) находится значение выражения, и запись приобретает вид равенства, в левой части которого - выражение, составленное по условию задачи, а в правой – его значение, которое позволяет сделать вывод о выполнении требования задачи; 2) запись решения в виде отдельных действий без пояснения; 3) запись решения в виде отдельных действий с пояснением; 4) запись каждого пункта плана с соответствующими арифметическими действиями; 5) запись решения по действиям с вопросами. Алгебраический метод предполагает нахождение ответа на требование задачи при помощи решения одной из алгебраических структур. Геометрический метод решения текстовых задач базируется на основных понятиях планиметрии (точка, отрезок, длина, площадь, треугольник, прямоугольник и др.), а также на свойствах плоских фигур и графиков элементарных функций. Решить задачу геометрическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические по102

строения или свойства геометрических фигур. Причем одну и ту же задачу можно решить различными геометрическими способами. Графический метод позволяет выполнить решение сюжетной задачи с помощью построения графиков функций. При использовании данного метода график вычерчивается как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Несмотря на это, ответ может получиться приближенным. При графическом решении сюжетных задач иногда удобнее пользоваться переменной системой координат, то есть на одном и том же чертеже изображаются несколько различных систем координат для построения заданных в условии задачи зависимостей. Каждая зависимость строится в своей системе координат. Логический метод строится на основе логических рассуждений. Формы выполнения решения различаются по способам фиксации решения, которая может быть выполнена в виде: 1. Логической схемы. При использовании логической схемы объекты, входящие в рассматриваемое явление или процесс, обозначаются словами, которые, как правило, заключаются в рамку, а связи между этими объектами обозначаются стрелками или линиями. Однако следует отметить, что при данном методе решения схема может быть как графически обозначенной, так и выраженной в речи, в рассуждении. 2. Формул языка алгебры логики. При использовании данной формы записи необходимо содержание задачи перевести в символику алгебры логики. Для этого в содержании задачи выделяют элементарные высказывания, и обозначают заглавными буквами, которые выбирают так, чтобы по ним можно было бы восстановить полный текст составного высказывания. На основе символического языка алгебры логики записать соответствующие формулы и путем их преобразования найти ответ. 3. Последовательности высказываний. Решение задачи оформляется в виде последовательности высказываний, приводящих к формулированию ответа и обосновывающих его правильность. Практический метод предполагает выполнение решения задачи на основе теоретико-множественного истолкования операций над числами. Проверка решения задачи. В результате проверки решения сюжетной задачи доказывается правильность полученного ответа, обосновывается полное и верное выполнение требования задачи. Выделяют следующие способы проверки решения задачи: 1. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными в условии задачи. Проверка решения задачи данным способом основывается на том, что числовые значения искомой величины (величин), полученные в про103

цессе решения, вводятся в текст задачи, после чего выполняются арифметические действия над числовыми значениями величин, входящих в содержание рассматриваемой задачи согласно их связям между собой. Если при этом получаются числа, данные в условии задачи, то делается заключение, что она решена верно. Ценность данного приема, по мнению Царевой С.Е. [288], определяется его неформальностью. Это обусловлено тем, что, с одной стороны, рассуждение всегда ведется по тексту задачи и, следовательно, для различных задач он будет различным, с другой - подобные рассуждения доступны детям, ибо предполагают знания, не превосходящие решаемой задачи, то есть контролирующий характер рассуждения понятен решающим. Пример. На праздник купили два вида конфет, заплатив за покупку 400 руб. Цена первого вида конфет равна 60 руб. Какова цена второго вида конфет, если было куплено каждого вида конфет по 2 килограмма. 1) 60 ⋅ 2 = 120 руб. – стоимость первого вида конфет. 2) 400 − 120 = 280 руб. – стоимость второго вида конфет. 3) 280 : 2 = 140 руб. – цена второго вида конфет. Ответ: 140 руб. – цена второго вида конфет. Для проверки решения задачи необходимо: а) Ввести числовое значение искомой величины в текст задачи: «На праздник купили два вида конфет, заплатив за покупку 400 руб. Цена первого вида конфет равна 60 руб. Цена второго вида конфет – 140 руб. Каждого вида конфет было куплено по 2 килограмма». б) Выполнить арифметические действия над числовыми значениями величин, входящих в содержание рассматриваемой задачи, согласно их связям между собой: 1) 60 ⋅ 2 = 120 руб. – стоимость первого вида конфет. 2) 140 ⋅ 2 = 280 руб. – стоимость второго вида конфет. 3) 280 + 120 = 400 руб. – заплатили за всю покупку. Так как в результате получилось числовое значение величины, данное в условии исходной задачи, следовательно, она решена верно. 2. Составление и решение задачи, обратной данной. Рассматриваемый способ предполагает составление обратной задачи по отношению к решенной и ее решение. Если в процессе решения вновь составленной задачи в ответе получается значение величины, которое было задано в условии исходной задачи, то считается, что она решена правильно. Царева С.Е. [288] выделяет в данном приеме следующие этапы: 1. Подставить в текст задачи найденное значение искомого, т.е. вместо вопроса задачи поставить в текст задачи ответ на него; 2. Выбрать новое искомое; 3. Сформулировать новую задачу; 104

4. Решить составленную задачу; 5. Сравнить полученное число с тем данным прямой задачи, которое было выбрано в качестве искомого задачи; 6. На основе этого сравнения составить соответствующее умозаключение о правильности решения прямой задачи. Пример. Катер проплывает за один час по течению реки 50 км, а против – 40 км. Какое расстояние проплывет катер за 3 часа в стоячей воде? 1) (50 + 40) : 2 = 45 км/ч – собственная скорость катера. 2) 45 ⋅ 3 = 135 км – расстояние, которое проплывет катер за три часа. 1. В текст исходной задачи нужно ввести найденное значение искомой величины: «Катер проплывает за один час по течению реки 50 км, а против – 40 км. Катер за 3 часа в стоячей воде проплывает 135 км». 2. Выбрать новое искомое – время, за которое катер проплывет в стоячей воде 135 км. 3. Сформулировать новую задачу: «Катер проплывает за один час по течению реки 50 км, а против – 40 км. Сколько понадобится времени катеру, чтобы проплыть 135 км в стоячей воде?» 4. Решить составленную задачу: 1) (50 + 40) : 2 = 45 км/ч – собственная скорость катера. 2) 135 : 45 = 3 ч – время, необходимое катеру. 5. Сравнивая полученное числовое значение искомой величины обратной задачи с данным значением прямой задачи, можно сделать вывод, что они равны, следовательно, прямая задача решена верно. Однако использование данного способа целесообразно в том случае, когда решение обратной задачи более легкое, чем решение проверяемой задачи. Иначе оно требует проверки и потому не может служить средством контроля. 3. Решение задачи различными способами. Проверить решение задачи можно, решив ее различными способами. Если при этом получится один и тот же результат, то задача считается решенной правильно. Г.А.Балл [29] определяет способ решения задачи как систему операций, выполнение которых обеспечивает (или может обеспечить) решение задачи. Если эта система операций находится в распоряжении решающего, то она относится к числу средств решения задачи. Задача, по мнению Царевой С.Е. [288], считается решенной различным способом, если ее решения отличаются отношениями (связями) между данными, данными и неизвестными, данными и искомыми, положенными в основу решения или условиями использования этих отношений, что проявляется через содержание и различие в последовательности операций, выполнение которых приводит к получению ответа на вопрос (к выполнению ее требования). При этом Царева С.Е. [288] отмечает, что различия в способах решения одной и той же задачи обусловлены различиями в планах реше105

ния, что предполагает различия в способах выполнения первых двух этапов. В процессе обучения решению задач необходимо сформировать привычку проверять полученный ответ на требование задачи, выбрав наиболее рациональный способ, учитывающий ее специфику. Пример. Для поездки на экскурсию школа заказала 8 микроавтобусов. В каждом микроавтобусе по 12 мест. На экскурсию едут ученики из двух классов, по 42 ученика в каждом. Всем ли ученикам хватит мест? Если останутся незанятые места в микроавтобусах, то сколько? 1 способ 1) 12 · 8 = 96 – количество всех мест. 2) 42 · 2 = 84 – количество учащихся в двух классах. 3) 96 > 84 – количество мест в микроавтобусах больше, чем число учащихся, которые должны поехать на экскурсию. 4) 96 – 84 = 12 – количество свободных мест в микроавтобусах. 2 способ 1) 12 · 8 = 96 – количество всех мест. 2) 96 – 42 = 54 – количество мест, оставшихся после размещения учащихся одного из классов в микроавтобусах. 3) 54 – 42 = 12 – количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 3 способ 1) 42 · 2 = 84 – количество учащихся в двух классах. 2) 84 : 12 = 7 – количество микроавтобусов, необходимых для того, чтобы отвезти всех учащихся на экскурсию. 3) 8 – 7 = 1 – количество лишних микроавтобусов. 4) 1 · 12 = 12 – количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 4 способ 1) 12 · 8 = 96 – количество всех мест. 2) 96 : 2 = 48 – количество мест, выделенных для каждого класса. 3) 48 – 42 = 6 – незанятых мест у каждого класса. 4) 6 · 2 = 12 – количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 5 способ 1) 42 : 12 = 3 (ост. 6) – 3 машины будут заняты полностью, а оставшихся 6 учеников посадят в следующую машину. 2) 12 – 6 = 6 – человек из другого класса можно посадить в 4-ю машину. 3) 42 – 6 = 36 – учеников остается посадить в оставшиеся микроавтобусы. 4) 36 : 12 = 3 – еще три микроавтобуса займут ученики другого класса. 5) 4 + 3 = 7 – машин занято. 106

6) 8 – 7 = 1 – количество лишних микроавтобусов. 7) 1 · 12 = 12 – количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 6 способ 1) 42 : 12 = 3 (ост. 6) – 3 машины будут заняты полностью, а 6 учеников останутся непосажеными. 2) 42 + 6 = 48 – учеников осталось посадить в микроавтобусы. 3) 48 : 12 = 4 – машины займут оставшиеся учащиеся. 4) 4 + 3 = 7 – машин занято. 5) 8 – 7 = 1 – количество лишних микроавтобусов. 6) 1 · 12 = 12 – количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 7 способ 1) 8 : 2 = 4 – машины для каждого класса. 2) 12 · 4 = 48 – мест было запланировано для каждого класса. 3) 48 – 42 = 6 – незанятых мест у каждого класса. 4) 6 · 2 = 12 – количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 8 способ 1) 42 · 2 = 84 – количество учащихся в двух классах 2) 84 : 8 = 10 (ост. 4) 10 учеников в каждом автобусе и 4 ученика пока не посадили, если будут сажать в каждый микроавтобус поровну. 3) 12 – 10 = 2 – по два свободных места осталось в каждой машине. 4) 2 · 8 = 16 – осталось свободных мест после того, как рассадили по 10 учеников в каждую машину. 5) 16 – 4 = 12 – количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 9 способ 1) 12 · 8 = 96 – количество всех мест. 2) 96 : 42 = 2 (ост. 12) – можно посадить 2 класса и 12 мест останутся незанятыми. 10 способ 1) 12 : 2 = 6 – по 6 мест в машине выделили для каждого класса, если будут рассаживать в каждую машину поровну учеников из одного и другого класса. 2) 42 : 6 = 7 – машин займут оба класса. 3) 8 – 7 = 1 – количество лишних микроавтобусов. 4) 1 · 12 = 12 количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 107

4. Решение задачи различными методами. Проверку решения сюжетной задачи можно выполнить, решив ее различными методами. При получении одного и того же результата делается вывод, что задача решена верно. Пример. Двум мастерам необходимо сделать 25 изделий. Один мастер делает 2 изделия в час, другой – 3 изделия в час. Через сколько часов они справятся с работой, если будут работать одновременно? Арифметический метод. 1) 2+3 = 5 (штук) – изделий делают оба мастера за один час. 2) 25 : 5 = 5 (часов) – понадобится мастерам на всю работу. Ответ: 5 часов понадобится мастерам на всю работу. Алгебраический метод. В данной задаче рассматриваются три физические величины: Тр– производительность труда, t - время работы, Vр – объем работы. Зависимость между которыми выражается формулой V р = T р ⋅ t . Пусть х – время, которое необходимо мастерам для выполнения заданного объема работы, тогда

25 x

- количество изделий, выполняемых

мастерами за один час. Учитывая, что количество изделий, которое выполняется мастерами за одни час, равно сумме производительностей труда каждого из мастеров 2+3, получим уравнение:

25 = 2 + 3. x

25 = 2 + 3, x 25 = 5, x x = 25 : 5,

x = 5. Ответ: 5 часов понадобится мастерам на всю работу. Графический метод Отложим на оси Оу отрезок АВ, равный 25 единицам масштаба (1 единица масштаба по этой оси соответствует 1 детали). Ось Ох примем за ось времени. Построим графики, характеризующие производительность труда каждого из мастеров. Производительность первого мастера характеризуется функцией y = 2 x , второго - y = 25 − 3x . Абсцисса точки их пересечения (точки С) указывает, через сколько часов мастера справятся с указанным объемом работы. Из изображения графиков на координатной плоскости видно, что ее значение равно 5 (Рис. № 5). 108

у 25

В

С 10

А

у=2х

у=25 - 3х

5

х

Рис. № 5. Ответ: 5 часов понадобится мастерам на всю работу. 5. Прикидка ответа или установление его границ. Данный метод предполагает на основе предварительного анализа текста до начала решения либо в процессе решения задачи определение границ искомого числа, что позволяет с некоторой степенью точности оценить правильность решения задачи. Пример. От пункта А до пункта В велосипедист проехал за 5 часов со скоростью 30 км/ч. На обратный путь он затратил 6 часов. С какой скоростью ехал велосипедист на обратном пути? В процессе анализа содержания задачи на основании того, что велосипедист затратил на тот же путь времени больше, можно отметить: скорость велосипедиста на обратном пути будет меньше 30 км/ч. Такими числами могут быть 29, 28, 27, 26, 25… При предварительной прикидке, относительно расстояния между пунктами А и В можно заметить, что при умножении 30 на 5 получится число, оканчивающееся нулем. Из предполагаемых чисел данному условию подходит 25, т.е. скорость велосипедиста может быть равна 25 км/ч. Следовательно, он проехал расстояние 25 · 6 = 150 (км). Для правильности предположения проведем проверку: разделим 150 на 5, получим, что скорость велосипедиста при движении от А до В равна 30 км/ч, что соответствует условию задачи. Пример. В санатории было построено 10 одноэтажных и двухэтажных домиков, причем в каждом домике было комнат поровну. В двухэтажных домиках всего было 24 комнаты, а в одноэтажных – 16 комнат. Сколько построено одноэтажных и двухэтажных домиков отдельно? При анализе содержания задачи можно отметить, с одной стороны, что двухэтажных домиков должно быть больше, чем одноэтажных, а с другой – что число, выражающее: 1) Количество двухэтажных домиков должно быть таким, чтобы число 24 делилось на него без остатка и было меньше 10. В качестве 109

предположения количества двухэтажных домиков можно брать числа 8, 6, 4, 3, 2. 2) Количество одноэтажных домиков должно быть таким, чтобы число 16 делилось на него без остатка. В качестве предположения количества двухэтажных домиков можно брать числа 8, 4, 2. Предположим, что двухэтажных домиков было 8, тогда одноэтажных домиков - 2. Тогда количество комнат в двухэтажных домиках было по 3 в каждом (24 : 8 = 3) и в одноэтажных по 8 в каждом (16 : 2 = 8). Предположение неверно. Предположим, что двухэтажных домиков было 6, тогда одноэтажных домиков 4. Тогда количество комнат в двухэтажных домиках было по 4 в каждом (24 : 6 = 4). Такое же количество в одноэтажных домиках (16 : 4 = 4). Предположение оказалось верным. Зиновьев П.М. [119], отмечает, что данный метод позволяет скорректировать план решения, так как предполагает проведение первоначального анализа основных связей между данными и искомыми и выделение отношений между ними. Итак, в процессе решения задачи, как было уже отмечено, названные этапы не имеют четких границ. Вместе с тем, будущему учителю необходимо понимать, что решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все указанные этапы, осмысленное прохождение целенаправленным, а следовательно, более успешным. Формулирование ответа задачи. Ответ сюжетной задачи обычно формулируется в форме повествовательного предложения, в котором указываются: а) количественная характеристика искомого и указания условия, при котором данная характеристика имеет смысл; б) наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами задачи; в) вид отношения между компонентами задачи; г) алгоритм действий, приводящих к нахождению искомого и обоснованию его правильности. В одной сюжетной задаче ответов может быть несколько. Учебно-познавательный анализ задачи и ее решения. В вузе обучение решению сюжетных задач подразумевает построение учебного процесса таким образом, чтобы студент стремился не только найти ответ задачи, а прежде всего, приобрести новые знания, умения и навыки, позволяющие находить решение любой задачи, а не только задач определенного вида. Результативность данного этапа решения сюжетных задач во многом зависит от: 1) способности студента осуществлять самоанализ и самоконтроль в процессе усвоения учебного материала при обучении решению 110

сюжетных задач; 2) от соотнесения студентом своих учебных действий с задаваемым ему преподавателем алгоритмом решения сюжетной задачи (алгоритмом выполнения задания), с одной стороны, а с другой – с собственными знаниями, целями и возможностями. Таким образом, учебнопознавательный анализ задачи и ее решения может: выступать формой учебной деятельности; быть средством самопознания и отражать внутреннее состояние человека. В процессе обучения решению сюжетных задач можно использовать, в зависимости от сложившейся ситуации, один из приемов, позволяющих провести учебно-познавательный анализ: а) конструирование цикла взаимосвязанных задач (обобщение частных способов решения задач; взаимообратные задачи; задачи с одним содержанием; задачи, в основе которых лежит одна и та же математическая модель); б) поиск недостатков найденного решения сюжетной задачи; в) обоснование наиболее рационального способа решения; г) выявление новых знаний, полученных при решении задачи Итак, в процессе решения задачи, как было уже отмечено, названные этапы не имеют четких границ. Вместе с тем будущему учителю необходимо понимать, что решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все указанные этапы, осмысленное прохождение которых, делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а, следовательно, более успешным. Таким образом, Стратегия решения сюжетной задачи состоит из следующих этапов: 1-й этап – восприятие и анализ задачи. 1) Предметно-содержательный анализ. Данный анализ можно осуществить при помощи следующих приемов: а) правильное чтение и слушание сюжетной задачи (правильное прочтение всех слов, всех их сочетаний, интонационное соблюдений знаков препинания; правильная расстановка логических ударений); б) представление жизненной ситуации, которая описана в задаче, мысленное участие в ней; в) разбиение текста задачи на смысловые части; г) переформулировка текста задачи. 2) Логико-семантический анализ. 2-й этап – построение модели (табличной, графической, геометрической, схематической, алгебраической, арифметической) задачи. 3-й этап – поиск способа решения задачи. Приемы поиска способа решения сюжетных задач: а) по модели; б) с помощью рассуждений «от вопроса к данным» и «от данных к вопросу». 4-й этап – осуществление, выбранного способа решения задачи. 5-й этап – проверка решения задачи. Способы проверки решения сюжетной задачи: а) установление соответствия между числами, получен111

ными в результате решения задачи, и данными в условии задачи; б) составление и решение задачи, обратной данной; в) решение задачи различными способами; г) решение задачи различными методами. 6-й этап – формулирование ответа задачи; 7-й этап – учебно-познавательный анализ задачи и ее решения. Приемы, позволяющие провести учебно-познавательный анализ: а) конструирование цикла взаимосвязанных задач (обобщение частных способов решения задач; взаимообратные задачи; задачи с одним содержанием; задачи, в основе которых лежит одна и та же математическая модель); б) поиск недостатков найденного решения сюжетной задачи; в) обоснование наиболее рационального способа решения; г) выявление новых знаний, полученных при решении задачи. В процессе решения сюжетной задачи названные этапы не имеют четких границ. Выводы по 2 главе 1. Сюжетная задача представляет собой описание в виде сюжета некоторого непустого множества элементов, на котором определено заданное отношение с требованием найти какую-либо характеристику элемента, либо установить взаимосвязь между элементами, либо найти последовательность требуемых действий. 2. Структура сюжетной задачи состоит из внешней (информационной) и внутренней структур. 3. Внешняя структура сюжетной задачи характеризуется условием и требованием. 4. Внутренняя структура сюжетной задачи состоит из следующих компонентов: 1) элементы задачи: а) известные (явно заданные); б) неизвестные (неконкретные, неявно заданные): искомые (их требуется найти или установить) и промежуточные или вспомогательные (нахождение которых не требуется, но они должны быть найдены в процессе поиска искомых); 2) величины, которыми охарактеризованы элементы (сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи; характер каждого значения величины); 3) характер взаимосвязей между элементами; 4) основное отношение между величинами; 5) систему состояний (система предложений, каждое из которых описывает различные значения величин, характеризующих ее элементы); 6) ситуации (предложение, формализованное основным отношением, реализованным в задаче). 5. Существует три вида типологий сюжетных задач: 1) типологии, в основе которых находится существенный признак, определяемый природой задачи (естественная типология); 2) типологии, предназначенные для нахождения сюжетной задачи в каком-то из определённых типов сюжетных задач (вспомогательная типология); 3) типологии, в основе которых 112

лежит признак задачи, имеющий практическое значение в локальной области поиска (искусственная типология). 6. К естественным типологиям относятся, типологии: 1) В основе которой лежит количество соотношений между значениями одной и той же величины или разных величин в сюжетной задаче: – простые: а) сюжетные задачи соотношений частей и целого (простые задачи на сложение нескольких значений одной и той же величины; простые задачи на вычитание из одного значения величины другого значения той же величины); б) сюжетные задачи соотношений сравнения значений одной и той же величины (простые задачи соотношения равенства между двумя значениями одной и той же величины; простые задачи соотношения неравенства между двумя значениями одной и той же величины; простые задачи соотношения разностного сравнения двух значений одной и той же величины; простые задачи соотношения кратного сравнения двух значений одной и той же величины); д) простые задачи на нахождение процентов; в) сюжетные задачи соотношений между значениями разных величин (простых задач соотношения перехода от одной единицы счета или измерения к другой; простых задач соотношения разбиения целого на равные части; простых задач соотношения зависимости между значениями разных величин). – составные (открытые; замкнутые). 2) Исходя из количества известных компонентов задачи: 2.1 интерполяционные: – тренировочные задачи (определенные с приведенным условием); – обучающие задачи: а) определенные (с неприведенным условием); б) переопределенные (непротиворечивые); 2.2) экстраполяционные: – поисковые задачи (неопределенные); – проблемные задачи: а) неопределенные (содержат данные, но цели не определены; содержат цели, но данные не определены); б) переопределенные (противоречивые); в) определенные (противоречивые); – творческие задачи (не содержат ни данных, ни целей). 3) В зависимости от характера требований: а) на распознавание; б) на конструирование; в) на исследование; г) на доказательство; д) на преобразование. 7. Вспомогательной назовем типологию, в основе которой лежит метод (арифметический, алгебраический, геометрический, графический, логический, практический) решения сюжетной задачи. 8. К искусственным типологиям отнесем типологии: 1) по содержанию текста сюжетной задачи; 2) по степени трудности: а) требующие воспроизведения заученных действий; б) требующие некоторой модификации заученных действий; в) требующие поиска новых, еще не известных способов действий; 113

3) по форме сюжетной задачи: а) словесно-поэтическая; б) словеснопрозаическая; в) иллюстративная; г) демонстрационная; 4) по смысловому значению понятия «решение»: а) решение сюжетной задачи как объект; б) решение сюжетной задачи как процесс; 5) в зависимости от полноты текста: с использованием полного текста, фрагмента текста или высказывательной модели сюжетной задачи. 9. Структура процесса решения сюжетной задачи состоит из следующих этапов: 1-й этап – восприятие и анализ задачи. 1) Предметно-содержательный анализ. Данный анализ можно осуществить при помощи следующих приемов: а) правильное чтение и слушание сюжетной задачи (правильное прочтение всех слов, всех их сочетаний, интонационное соблюдение знаков препинания; правильная расстановка логических ударений); б) представление жизненной ситуации, которая описана в задаче, мысленное участие в ней; в) разбиение текста задачи на смысловые части; г) переформулировка текста задачи. 2) Логико-семантический анализ. 2-й этап – построение модели (табличной, графической, геометрической, схематической, алгебраической, арифметической) задачи. 3-й этап – поиск способа решения задачи. Приемы поиска способа решения сюжетных задач: а) по модели; б) с помощью рассуждений «от вопроса к данным» и «от данных к вопросу». 4-й этап – осуществление выбранного способа решения задачи. 5-й этап – проверка решения задачи. Способы проверки решения сюжетной задачи: а) установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными в условии задачи; б) составление и решение задачи, обратной данной; в) решение задачи различными способами; г) решение задачи различными методами. 6-й этап – формулирование ответа задачи; 7-й этап – учебно-познавательный анализ задачи и ее решения. Приемы, позволяющие провести учебно-познавательный анализ: а) конструирование цикла взаимосвязанных задач (обобщение частных способов решения задач; взаимообратные задачи; задачи с одним содержанием; задачи, в основе которых лежит одна и та же математическая модель); б) поиск недостатков найденного решения сюжетной задачи; в) обоснование наиболее рационального способа решения; г) выявление новых знаний, полученных при решении задачи.

114

Глава 3.  РЕАЛИЗАЦИЯ ЛИЧНОСТНО ОРИЕНТИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ  БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ   РЕШЕНИЮ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ    § 1. Психолого­педагогические механизмы   развития психических процессов обучающегося   при обучении решению сюжетных задач    Факторами, непосредственно определяющими успешность обучения решению сюжетных задач, являются хорошо развитые свойства внимания и его организованность. Например, объему внимания принадлежит ведущая роль при овладении понятийным аппаратом; распределение внимания влияет на грамотность оформления записи, а устойчивость внимания – на усвоение нового материала. При развитии внимания в процессе обучения решению сюжетных задач необходимо подобрать такие задания, которые бы позволили сконцентрировать сознание студента на конкретном объекте или его отдельной характеристике и проработать к ним методические рекомендации с учетом активности обучающегося в организации соответствующей учебной деятельности, то есть с учетом видов внимания (непроизвольное, произвольное и послепроизвольное). В психолого-педагогической, научной и методической литературе (Дубровина И.В. [104], Груденов Я.И. [87], Немов Р.С.[204], Слепкань З.И. [250]) выделяются следующие условия организации непроизвольного внимания в процессе обучения решению сюжетных задач: 1) Новизна. Любой тип сюжетной задачи, метод или способ решения, который ранее был не известен студенту, привносит в обучение новое, ранее не встречающееся и потому интересное для восприятия. 2) Интенсивность раздражителя. Методический прием, создающий условие для качественной характеристики ощущения обучаемого, определяемой силой действующего раздражителя, в качестве которого могут выступать:

115

а) Иллюстрация. Обучая студентов решению сюжетных задач, нельзя недооценивать роль иллюстративного материала. Останавливая внимание на иллюстрациях, рассматривая их, обучающийся лучше осознает текст, имеющий отношение к данной иллюстрации, что способствует, не только удержанию внимания, но и лучшему усвоению знаний. При создании иллюстративного материала необходимо учитывать содержание задачи, ступень обучения и функции иллюстраций. Пример. «Две сотрудницы вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы одна из них заболела, и другая окончила работу, проработав еще 9 дней. За сколько дней каждая сотрудница отдельно может выполнить всю работу?» К данной задаче можно предложить следующую иллюстрацию (рис. №6). Рис. №6. б) Инсценировка, предшествующая решению задач. Для инсценировки составляется сценарий, где описываются конкретная ситуация, функции и обязанности действующих лиц. При этом все подчинено тому, чтобы научить студентов ориентироваться в различных обстоятельствах, давать объективную оценку описываемой в задаче ситуации, влиять на степень внимания обучающихся, не прибегая к авторитарным методам в обучении. Таким образом, инсценировка – как учебный прием, позволяет сознательно изменять обстановку и эмоциональный фон в процессе обучения, и служит для привлечения внимания к решению сюжетной задачи, а не для самовыражения человека. Пример. Учитель: «Рынок. Встречаются три крестьянина: Фома, Матвей и Кузьмич и начинают торговлю. Фома Кузьмичу: Я дам тете шесть свиней за лошадь; тогда в твоем стаде будет в двое больше голов, чем в моем. Матвей Фоме: Я дам тебе 14 овец за лошадь; тогда у тебя в стаде будет втрое больше голов, чем у меня. Кузьмич Матвею: Я дам тебе четыре коровы за лошадь; тогда у тебя будет в стаде в шесть раз больше голов, чем у меня. Можно ли из данных этого диалога определить, сколько животных было в каждом из трех стад?» в) Необычность сюжета задачи. Привлечение внимания студентов в процессе обучения к сюжетной задаче предполагает восприятие нестандартности содержания, которое проявляется через интересные исторические события, подмеченные уникальные свойства привычных объектов или явлений, внесение фантастических элементов. 116

Пример. В очень древнем китайском манускрипте (более 4000 лет до н.э.) четные числа назывались женственными, а нечетные – мужественными. Попробуйте, употребляя все однозначные числа от 1 до 9 по одному разу и применяя только действия сложения, вычитания, умножения и деления, составить равенство, в котором все женственные числа оказались бы по одну сторону знака равенства, а все мужественные – по другую. 3) Контраст раздражителей (переход от тишины к шуму, от тихой речи к громкой). 4) Ожидание определенных событий или впечатлений способствует созданию особого психического состояния у студентов, связанного с чувством удовлетворенности, основанном на осознании обладанием определенных знаний. При умении студентов без помощи преподавателя предвидеть определенный результат своей деятельности, перейти от формулировки учебной задачи к определению учебных действий, в результате которых происходит подтверждение, вызывает у них положительные эмоции, и вследствие этого, повышает концентрацию внимания. Пример. При разборе софизмов студенты заранее знают о том, что в рассуждениях будет допущена ошибка, которая приведет к выводу ложного тезиса. При разборе подобных заданий обучающиеся особенно внимательны, тщательно следят за точностью формулировок, правильностью записей, правомерностью выводов. Пусть а (м) – длина реки Волги, а b (м) – длина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. В этом случае, справедлива запись: а-b=2v, a=2v-b, a-2v=-b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем а2-2аv=b2 - 2bv. Прибавляем к каждой части v2. Получим: а2-2аv+ v2=b2 - bv+v2, или (a – v)2=(b – v)2, то есть a – v = b – v, a = b. Следовательно, длины реки Волги и волоска равны. 5) Неожиданность появления событий повышает концентрацию внимания, вызванную удивлением. Важно при этом спланировать учебную деятельность таким образом, что бы не только привлечь внимание студентов к появлению «непредвиденного» события, но и понять, почему оно произошло. При обучении решению сюжетных задач данный прием используется при появлении «неожиданного» ответа задачи. Пример. Существовал ли когда-нибудь человек «семи пядей во лбу»? 1 пядь = 18 см, 7 пядей = 18 · 7 = 126 см. Не существует. Пример. Куда это, «за семь верст киселя хлебать?» 1 верста = 1,08 км, 7 верст = 1,08·7= 7,56 км. Рассмотренные условия способствуют привлечению внимания студентов и поддержанию его некоторое время. Однако в процессе обучения решению сюжетных задач этого явно недостаточно, так как решение 117

любой проблемы требует определенного времени и концентрации внимания на протяжении порой нескольких часов с приложением волевых усилий и с заранее поставленной целью. А это предполагает развитие у студентов произвольного внимания. Если студенту задача не очень интересна, то от него требуются волевые усилия, чтобы сосредоточиться на ней. Однако если решение задачи становится для обучаемого интересным, то напряжение ослабевает, а иногда вовсе исчезает. Таким образом, все внимание само по себе сосредоточивается на этой деятельности. В данном случае говорят, что внимание из произвольного превратилось вновь в непроизвольное или послепроизвольное (постпроизвольное). Основываясь на исследованиях Дубровиной И.В. [104], Груденова Я.И. [87], Котовой И.Б. [123] и Немова Р.С.[47], мы в своей работе предлагаем некоторые методические рекомендации по использованию приемов развития свойств внимания у студентов в процессе решения сюжетных задач. 1. Развитие сосредоточенности (концентрации) внимания требует создания методических рекомендаций при обучении решению сюжетных задач, направленных на решение одной сюжетной задачи или выполнения одного конкретного задания при отвлечении от всего остального. При этом степень или сила сосредоточенности может определяться как концентрация или интенсивность внимания. Однако надо отметить, что на протяжении всего времени, отводимого для выполнения задания, невозможно добиться длительной абсолютной концентрации внимания студентов на одной из деятельностей, оно подвержено периодическим спадам. Для развития данного вида внимания характерны следующие задания: а) корректурные задания. В данных заданиях студентам предлагается находить и «вычеркивать» лишние данные в переопределенных задачах, лишних действий и т.д. Пример. Убери лишние данные в переопределенной задаче: «В январе завод выполнил 105 % месячного плана, что составило 2340 тонн продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил месячный план?» Пример. Выберете вопрос к задаче и решите ее: «Беговая дорожка стадиона имеет форму круга, длина окружности которого 1,8. Из двух точек, лежащих на концах диаметра этого круга, начинают бег в одном и том же направлении по окружности два спортсмена, один со скоростью 8,7 м/сек, другой – 9,1 м/сек». - На каком расстоянии находятся спортсмены первоначально? - Через какое время второй спортсмен догонит первого? - Через сколько кругов второй спортсмен догонит первого? 118

б) Задания, требующие выделения признаков объектов, способствуют концентрации внимание у студентов на отдельных признаках изучаемых объектов, что позволяет выявить их общие и различные черты. Данный прием основан на приеме «сужение» множества объектов, находящихся в сфере восприятия обучаемого: чем меньше множество объектов, тем легче сконцентрировать на них свое внимание. С целью формирования у студентов навыка к данной деятельности, необходимо ввести упражнения на выявление признаков сходства и различия сюжетных задач, определение структуры сюжетной задачи, выявление алгоритма решения определенного типа сюжетной задачи. Пример. Дана задача: «Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора 4 л., другого – 6 л. Если их слить вместе, то получиться 35 %-ный раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36 %-ный раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?». Запишите элементы внутренней структуры этой задачи в виде таблицы. в) Упражнения, основанные на принципе точного воспроизведения какого-либо образца. Для развития внимания важны такие задания, которые специально нацеливают обучающихся на анализ своих действий, обнаружение и исправление различных погрешностей в их выполнении, на сопоставление своих действий с образцами, представленными в полном или схематичном, конкретном или обобщенном виде. Выделяя образец действия, студенты периодически возвращаются к образцу, сопоставляя с ним свои действия, анализируя их, корректируют как сами действия, так и представление о них. Образец может быть представлен как во внешнем, так и во внутреннем плане: это может быть памятка, содержащая запись последовательности действий при решении сюжетной задачи, или запечатленный памятью образ действия учителя. Пример. «Памятка» может быть представлена в виде алгоритма умственных действий, что побуждает обучающихся выполнять все операции в определенной последовательности и усвоить образец рассуждения. Например: Рассуждаю так: 1. Мне известно… 2. Надо узнать… 3. Рисую и объясняю… 4. Подумаю, надо объединять или удалять… 5. Объясняю решение… 6. Решаю… 7. Отвечаю на вопрос задачи… Пункты 4-7 соответствуют основным операциям, а позже в памятке появляется и пункт 8 «Проверяю…» 119

2. Увеличение объема внимания предполагает использование заданий, позволяющих постепенно увеличивать количество информации, одновременно способной сохраняться в сфере повышенного внимания студента, что может быть достигнуто путем укрупнения информационных единиц и объединения их в комплексы. Этому способствуют упражнения, основанные на запоминании числа элементов и рассматриваемых величин в тексте задачи, при условии, что текст читается один раз. По мере овладения упражнением число элементов необходимо увеличивать. Пример. Повторить текст задачи: 1. В книге 95 страниц. Миша прочитал 35 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать? 2. В книге 95 страниц. Миша прочитал 35 страниц. Сколько дней потребуется Мише, чтобы дочитать книгу, если оставшуюся часть книги он будет читать по 15 страниц ежедневно? 3. В первой книге 95 страниц, а во второй 90 страниц. Миша прочитал 35 страниц первой книги. Сколько дней потребуется Мише, чтобы дочитать первую и прочитать вторую книгу, если он будет читать по 15 страниц ежедневно? 4. В первой книге 95 страниц, во второй 90 страниц, а в третьей книге – 150 страниц. Миша прочитал 35 страниц первой книги. Сколько дней потребуется Мише, чтобы дочитать первую книгу и прочитать вторую и третью книги, если он будет читать по 15 страниц ежедневно? 3. Тренировка распределения внимания возможна при условии параллельного выполнения нескольких видов учебной деятельности или совершении нескольких различных действий. Однако распределение внимания между разными видами учебной деятельности не подразумевает выполнение одновременно двух различных деятельностей студентов. Такое ощущение создается за счет способности обучающегося быстро переключаться с одного вида деятельности на другой, при этом возвращаться к продолжению прерванного до того, как наступит забывание. Таким образом, данный прием основан на том, что память на прерванные действия способна сохраняться в течение определенного времени, и на протяжении этого периода студент может возвратиться к продолжению прерванной учебной деятельности. Основной принцип упражнений при обучении решению сюжетных задач: студентам предлагается одновременное выполнение двух разнонаправленных заданий. Например, самостоятельное решение сюжетной задачи и коллективное обсуждение какой-либо методической проблемы, решение двух текстовых задач одновременно (одну решают вместе с классом, а другую – самостоятельно). 120

Пример. Одновременное решение двух задач: Букет был из красных и белых роз. Букет был из красных и белых роз. Красных роз было на три больше, Белых роз было 6, что больше на 3, чем белых. Сколько было красных чем красных роз. Сколько было красроз в вазе, если было 6 белых роз? ных роз в вазе? Сколько было белых роз? Было 6 белых роз. Было 6 белых роз. Сколько было красных роз? Красных роз было на три больше, Красных роз было на три меньше, чем чем белых. белых. В данном случае необходимо, что бы студенты обратили внимание на то, что словосочетание «больше на» не всегда означает увеличение числа на несколько единиц. Это способствует развитию умения будущего учителя концентрировать внимание учеников на тех элементах сюжетной задачи, от которых зависит ход ее решения. 6+3=9 (штук). 6-3=3 (штук).

Выполнение подобного задания позволяет студентам приобрести навыки, необходимые для работы в школе, когда приходится учителю контролировать одновременно выполнение нескольких заданий (работу одного и более учеников, решающих задачи на доске, и работу учеников, решающих задачи в тетрадях). 4. Навык переключения внимания можно развить при помощи заданий, во время которых студенты последовательно решают различные сюжетные задачи, переходят от одного вида учебной деятельности к другой. Данное свойство проявляется в скорости, с которой обучающийся может переводить свое внимание с одного объекта на другой. При этом подобный перевод может быть: а) непроизвольным – обучающийся невольно переводит свое внимание на что-либо такое, что его случайно заинтересовало; б) произвольным – обучающийся сознательно, усилием воли заставляет себя сосредоточиться на каком-нибудь объекте, пусть и не очень интересном. Скорость переключения внимания зависит от особенностей выполнения предыдущей и последующей деятельности. Например, показатели переключения значительно снижаются при переходе от легкой деятельности к трудной, от интересной к менее интересно, а при обратном варианте они возрастают. Пример. Первый вид учебной деятельности: Найдите значение выражений: 32:18 32:14 18-14 32·(18-14) 32·18 32·14 18+14 32:(18-14) Второй вид учебной деятельности: Решите задачу: «Магазин продал в первый день 14 ящиков винограда, а во второй день – 18 таких же ящиков. 121

Во второй день было продано на 32 кг винограда больше, чем в первый. Сколько килограммов винограда было продано в первый день и сколько во второй?» Данный пример показывает наиболее рациональное использование методического приема, когда второй вид учебной деятельности обосновывает целесообразность выполнения первого, что позволяет поддержать внимание обучающихся при переходе от одного задания к другому. Концентрации внимания при выполнении второго задания могут способствовать также следующие вопросы: − Найдите среди записей на доске те выражения, которые, исходя из условия задачи, имеют определенный смысл и те, которые не имеют: 32:18 32:14 18-14 32·(18-14) 32·18 32·14 18+14 32:(18-14) − Какие выражения можно стереть с доски? Почему? − Что обозначает каждое из оставшихся на доске выражений? − Можно ли сказать, что выражение 32:(18-14) – решение задачи? Почему? − Что надо сделать? Почему? − Сколько надо выполнить всего действий, чтобы найти ответ на вопрос задачи? − Какое из них определить труднее всего? Почему? Как вы думаете, сумеете ли вы самостоятельно определить, каким будет второе действие, если вам попадется похожая задача? 5. Устойчивость внимания предполагает учет при составлении учебных заданий развития способности студентов в течение длительного времени сохранять состояние внимания на каком-либо объекте, предмете деятельности при обучении решению сюжетных задач, не отвлекаясь и не ослабляя внимания. Устойчивость внимания может определяться следующими причинами: а) связанными с индивидуальными физиологическими особенностями человека, в частности, со свойствами его нервной системы, общим состоянием организма в данный момент времени; б) характеризующими психические состояния (возбужденность, заторможенность и т.п.); в) соотносящиеся с мотивацией (наличием или отсутствием интереса к предмету деятельности, его значимостью для личности); г) связанные с внешними обстоятельствами осуществления деятельности. В жизни и деятельности студентов память имеет важное значение, так как познание действительности без участия памяти невозможно. Это обусловлено тем, что формирование любого навыка, умения немыслимо

122

без закрепления в памяти отдельных способов действий и их направленности. Осмысленное запоминание при обучении решению сюжетных задач основано на понимании содержания, сущности закрепляемого материала, на раскрытии смысловых связей, которые существуют между его частями. Для облегчения понимания изучаемого материала и процесса его запоминания применяют ряд специальных приемов: 1. Прием смысловой группировки материала предполагает: 1) разбиение на части запоминаемого материала; 2) выделение в каждой части наиболее главного и существенного; 3) установление взаимного расположения частей, составляющих целое; 4) соединение всех частей в единое целое. Пример. Дан текст: «Задачи на нахождение неизвестных по результатам действий включают в себя несколько видов задач: 1. Задачи на нахождение неизвестных по их сумме и разности. К задачам этого вида относятся задачи, в которых по известным сумме и разности двух значений некоторой величины требуется найти эти значения. Если дано общее количество и разница между величинами, то эту разницу можно прибавить или отнять от удвоенного числа искомого, а затем полученное число разделить на две части, чтобы затем эту же разницу прибавить к наименьшей части или вычесть из наибольшего. 2. Задачи на нахождение неизвестных по их сумме и отношению. В данных задачах по известным сумме и частному двух значений некоторой величины требуется найти эти значения. В задачах данного вида неизвестное находится по известным сумме и частному двух значений некоторой величины. 3. Задачи на нахождение неизвестных по их разности и отношению. Задачи данного типа предполагают нахождение значений по известным разности и частному двух значений некоторой величины. 4. Задачи на нахождение неизвестных по двум остаткам или двум разностям. В задачах этого вида рассматриваются две прямо или обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами значения этой величины. 5. Задачи на нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно. 123

Используя прием смысловой группировки, материал, необходимый для запоминания, может быть представлен следующим образом (таблица № 6): Таблица № 6 Задачи на нахождение неизвестных по результатам действий Вид задачи

Алгебраическая

Формулы, по которым

модель

находится ответ

на нахождение неизвестных по их сумме и разности

⎧x + y = a ⎨ ⎩ x − y = b.

х = (а + b)/2,

на нахождение неизвестных по их сумме и отношению

⎧x + y = a, ⎨ ⎩x : y = k.

х = ak/(k + 1),

на нахождение неизвестных по их разности и отношению

⎧x − y = a ⎨ ⎩x : y = k.

х = ak/(k – 1),

у = (а – b)/2.

у = а/(k + 1).

у = а/(k – 1)

на нахождение неиз- ax − bx = c − d или вестных по двум остаткам или двум разностям ⎧a1x − b1 y = c1 ,

⎨ ⎩a2 x − b2 y = c2 .

на нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно

x = (c − d ) /( a − b ) или

⎧ x = ( c1b2 − c2b1 ) /( a1b2 − a2b1 ), ⎨ ⎩ y = ( a2c1 − a1c2 ) /( a1b2 − a2b1 ). х = (а – b + с)/2,

⎧x + y = a, ⎪ ⎨ y + z = b, ⎪ x + z = c. ⎩

у = (а + b – с)/2, z = (b + с – а)/2.

Таким образом, прием смысловой группировки материала при обучении решению сюжетных задач определяет собой активную работу мысли на всех этапах запоминания. Это обусловлено тем, что в начале осмысливается основное, общее содержание. Затем детально анализируется весь материал, который делится в соответствии с результатами этого анализа на смысловые группы, части. Определяются основные мысли, главное содержание каждой части, каждой группы, на основе чего раскрывается сущность каждого звена материала. Далее устанавливается связь между выделенными частями и осознается их логическая последовательность.

124

2. Прием схематизации подразумевает изображение или описание чего-либо в основных чертах. К схематизации целесообразно обращаться в процессе поиска связей и отношений элементов сюжетной задачи. Если отличительной особенностью приема «смысловой группировки» является установление связей между отдельными компонентами изучаемого материала, то характеристической особенностью приема схематизации является упорядочение этих связей. При этом установление связей направлено, прежде всего, на создание некой абстрактной конструкции, позволяющей охватить весь объект в целом. Пример. Условие задачи: «Два пешехода прошли с одинаковой скоростью – один 15 км, а другой 5 км, причем первый был в пути на 2 ч больше второго. Сколько часов в пути был каждый пешеход?» Схематическая модель (рис. № 7): 15 км. ?ч

2ч

5 км ?ч

Рис. № 7 Прием схематизации подразумевает описание или изображение объекта (текст сюжетной задачи, изучаемый материал) в общих чертах, приводящих не только к упрощению, но и в ряде случаев к обобщению, т.е. выделению сущностного соотнесения схемы и реальности. 3. Прием аналогии заключается в установлении сходства, подобия между явлениями, предметами, понятиями, образами. Используя данный прием при обучении решению сюжетных задач, необходимо иметь в виду следующее: ƒ Аналогия основывается на сравнении. Поэтому успех ее применения зависит от того, насколько обучающиеся умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и различие между ними; ƒ Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, второй сравнивается с ним по каким-либо признакам. Отсюда применение приема аналогии способствует повторению изученного и систематизации знаний и умений. ƒ Для организации студентов на использование аналогии необходимо в доступной форме разъяснить суть этого приема, обратив их внимание на то, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, изучив известный способ действий и данное новое задание. 125

ƒ Для правильного вывода по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации, на что необходимо сориентировать обучающихся. В противном случае вывод может быть неверным. Пример. Составь задачу с аналогичным сюжетом: «Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют бассейн за 4 ч. Для заполнения половины бассейна первому насосу требуется времени на 4 часа больше, чем второму для заполнения трех четвертей бассейна. За какое время может наполнить бассейн каждый насос в отдельности?» Пример. Составь задачу с другим содержанием, в основе которой будет аналогичная математическая модель: «Во дворе играли 5 девочек и 7 мальчиков. Для игры в волейбол они разделились поровну на две команды. Сколько детей было в каждой команде?» Некоторые умозаключения делаются по аналогии, в основе которой лежит предположение о сходстве двух объектов в определенных признаках. Однако любое суждение, выполненное по аналогии, требует проверки. Пример. Возможно, ли использовать прием аналогии относительно предложенных сюжетных задач? 1 задача. На сколько процентов перевыполнил норму токарь, если он сделал 40 изделий вместо положенных 32? 2 задача. На сколько процентов не выполнена норма токарем, если он сделал 32 изделия вместо положенных 40? Возможны следующие рассуждения: если 40 больше 32 на 25%, значит, и 32 меньше 40 на 25%. Необходимо разъяснить учащимся их ошибку. Разность, действительно, в обоих случаях одна и та же – 8. Но в первом случае мы ее относим к числу 32, принимаемому за 100%, а во втором случае – к числу 40, принимаемому за 100%. 8 от 40 составляет 20%. Итак, 40 больше 32 на 25%, в то время как 32 меньше 40 на 20%. Пример. Возможно ли использовать прием аналогии относительно предложенных сюжетных задач? 1 задача. Допустим, ежемесячный заработок увеличился на 30%. На сколько процентов возрастет покупательная способность? 2 задача. Пусть ежемесячный заработок изменен, но цены на товары снижены на 30%. На сколько процентов повысилась покупательная способность? Если же заработок остается неизменным, но понижаются цены на товары на 30%, то покупательная способность поднимается не на 30%, как многие думают, а больше. В самом деле, если, скажем, на 1 рубль можно купить 1 предмет стоимостью в 1 рубль, то после снижения его до 70 копеек. На 1 рубль можно купить

10 7

предмета, то есть на

это примерно 43%. 126

3 7

предмета больше, а

4. Прием ассоциаций. При подборе заданий в процессе обучения решению сюжетных задач необходимо учитывать, что ассоциации делятся на три вида ассоциаций: по смежности, по сходству, по контрасту. Ассоциации по смежности проявляются в связи объектов или явлений, находящихся рядом в пространстве или следующих по времени друг за другом. Запоминание и воспоминание одного из них ведет к воспоминанию и запоминанию других, расположенных рядом или следующих за первым. Пример. Чтобы решить третью задачу, необходимо установить связь между нею и первыми задачами, которые должны быть решены ранее: а) В школьной мастерской отремонтировали 40 парт, а столов – в 5 раз меньше, чем парт. Сколько всего отремонтировали парт и столов? б) В школьной мастерской за 3 дня отремонтировали все поломанные парты. За первый день отремонтировали 14 парт, за второй – на 3 меньше, чем в первый, а в третий – на 1 больше, чем в первый. Сколько всего отремонтировали парт? в) Перед учебным годом в школьную мастерскую поступили на ремонт столы и парты. В школьной мастерской за 3 дня отремонтировали все поломанные парты. За первый день отремонтировали 14 парт, за второй – на 3 меньше, чем в первый, а в третий на 1 больше, чем в первый. Столов было отремонтировано в 5 раз меньше, чем парт. Сколько всего отремонтировали парт и столов? Ассоциации по сходству проявляются в установлении связи между объектами или явлениями, имеющими сходство. Например, воспоминание одного из объектов вызывает в памяти другие, имеющие сходные черты. Прежде чем решить какую-либо задачу, студент всегда старается вспомнить задачи, подобные данной. И только после этого приступает к решению. Пример. Предположим, были решены следующие задачи: а) Число школьников, успешно написавших контрольную работу, заключено в пределах от 96,8 % до 97,2 % от общего числа школьников. Определите минимальное число школьников, которое может быть в классе. б) Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Какой процент свежих грибов? в) Сберкасса начисляет ежегодно 13 % от суммы вклада. Через сколько лет внесенная сумма удвоится? После этого учащимся предлагается самостоятельно решить следующую задачу: «В заметке о конкурсе сказано, что процент талантливых детей, принявших участие в конкурсе, заключен в пределах от 95,6 % до 97,3 % от общего числа школьников. Определите минимальное число школьников, которое может быть в классе». После прочтения данной за127

дачи можно установить сходство с первой, решенной задачей и вспомнив ее решение, решить предложенную задачу. Ассоциация по контрасту проявляется в установлении связей между прямо противоположными предметами, явлениями. Воспоминание и запоминание одного из них ведет к воспоминанию и запоминанию другого, противоположного первому. Для использования данного вида ассоциации необходимо рассматривать пары задач, чтобы выявить различия между ними и в дальнейшем использовать это при решении сюжетных задач. Пример. Рабочий четвертого разряда зарабатывает на 25% больше, чем рабочий третьего разряда. На сколько процентов меньше, чем рабочий четвертого разряда, зарабатывает рабочий третьего разряда? Для памяти в ее высших сознательных проявлениях существенным является то, что образ, объективно воспроизводящий прошлое, осознается в этом отношении к нему как его воспроизведение. С этим связана сознательная установка на точность воспроизведения, приводящая к сознательному ограничению воспроизведения от всякого произвольного фантазирования. Развитие свойств памяти нельзя рассматривать как линейный процесс, обусловленный применением вышеперечисленных приемов, которые лишь создают условия для развития свойств памяти, которые в свою очередь, поднимаясь на новый качественный уровень возможностей, стимулируют новые проявления операционных механизмов, их совершенствование и развитие. Для воображения характерно то, что знание еще не оформилось в логическую категорию, тогда как своеобразное соотношение всеобщего и идентичного на чувственном опыте уже произведено. Благодаря этому в самом акте созерцания отдельный факт открывается в своем универсальном ракурсе, обнаруживая свой целостнообразующий по отношению к определенной ситуации смысл. Воображение не является ни произвольным наделением объекта любыми свойствами, ни простой комбинаторикой элементов прошлого опыта. Один из парадоксов воображения состоит в том, что предметное целое воспроизводится им с самого начала адекватно, фактически безошибочно. Ведущим механизмом воображения служит перенос какого-либо свойства объекта. При подборе заданий способствующих развитию воображения студентов в процессе обучения решению сюжетных задач нами учитывалось, что в психологии принято различать воссоздающее и творческое воображение. Развитие воссоздающего воображения предполагает: 1) создание образа предмета по его описанию; 2) умение определять и изображать подразумеваемые состояния объектов, прямо не указанные в описании, но за128

кономерно из них следующие; 3) умение понимать условность некоторых объектов, их свойств и состояний. Пример. Составь сюжетную задачу о продаже ткани двух видов, решение которой соответствовало бы числовому выражению (2 + 3) ⋅ 450 . Например: «В магазине для пошива бального платья купили ткань двух цветов: синей – 2 метра; голубой – 3. Сколько заплатили за всю покупку, если цена ткани 450 рублей за метр». Развитию воссоздающего воображения студентов способствует применение схем, рисунков, само осознание текста задачи и мысленное представление ее содержания. Воссоздавая, обучающийся наполняет знаковую систему имеющимися в его распоряжении знаниями. Пример. По схеме запишите условие задачи (рис. №8):

?

112 цветов.

?

Рис. № 8 Качество воссоздания того, что заключено в знаковой системе, зависит от ряда причин: от характера и содержания исходной информации, суммы и качества знаний, установки (ее наличия или отсутствия) и т.д. По мере усвоения сведений об объектах и условиях их происхождения многие новые комбинации образов приобретают обоснования и логическую аргументацию. Стремление обучающихся указывать условия происхождения и построения каких-либо предметов – важная психологическая предпосылка развития у них творческого воображения. Задания, позволяющие развивать творческое воображение в процессе решения сюжетных задач, должны быть направлены на создание новых образов, требующих отбора материалов, в соответствии с замыслом. Пример. Составьте сюжетную задачу, к которой могла бы подойти данная иллюстрация (рис. № 9). Например: «Сережа за 30 минут прочитал 12 страниц книги. Сколько ему понадобится времени, что бы прочесть всю книгу, в которой 240 страниц, при условии, что он будет читать с той же скоростью?»

Рис. № 9 129

Пример. Составь задачу, решение которой соответствовало бы числовому выражению (2 + (2 + 1)) ⋅ 450 . Например: «К празднику Маша купила два пакетика конфет, а Наташа на один больше, чем Маша. В каждом пакетике было по 450 г. Сколько граммов конфет купили девочки к празднику?» Творческое воображение (продуктивное) – создание нового, оригинального образа, идеи. В данном случае слово «новый» имеет субъективный смысл, то есть новое для данного студента, оно может повторять существующее, но об этом обучающийся не знает. Он открывает это для себя как оригинальное, неповторимое и считает это неизвестным для других. Создание образов воображения в процессе решения сюжетных задач осуществляется с помощью следующих способов: 1. Способ агглютинации (лат. agglutinatio – склеивание), т.е. «склеивание» различных частей; слияние одного образа с другим, дополнение одного образа чертами другого. При этом новый образ не является случайным набором элементов, так как подчинен определенной идее. Пример. Из двух задач составьте одну. 1. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на это один час. Найдите скорость парохода в стоячей воде, если скорость реки равна 6,5 км/ч. 2. Пароход прошел 65 км от станции А до станции Б и 130 км от станции Б до станции С. Скорость парохода в стоячей воде 32,5 км/ч. Сколько времени пароход находился на станции Б, если он отходит от станции А в 600, а прибывает на станцию С в 1500? Студентам необходимо рассмотреть оба текста сюжетных задач и установить, чем они похожи и в чем их отличие. При этом создание новой задачи не должно быть сведено к простому их соединению: ответ первой задачи выступает данным во второй задаче, поэтому, объединяя оба сюжета в один текст, получаем новую составную задачу. Преобразования могут затронуть содержание, внесение новых элементов, связей между элементами. В результате преобразующей деятельности воображения получается не просто новое сочетание или комбинация неизменно данных элементов или черт, а новый образ, в котором отдельные черты не просто суммированы, а преобразованы и обобщены. Комбинирование является лишь "механизмом", действие которого обычно подчинено какой-то тенденции, определяющей подбор комбинируемых моментов и придающей ему смысл. 2. Способ гиперболизации проявляется в чрезмерном увеличении или уменьшении характеристик элементов сюжетной задачи. Воображение проявляется в способности представлять не существующий в реальности объект, удерживать его в сознании и мысленно манипулировать им. 130

При этом воображение основывается на образах, запечатленных в памяти, но существенно отличающихся от них. Образы памяти – это неизменные, по возможности правильные образы прошлого. Образы воображения изменены и отличаются от того, что можно наблюдать в реальности. Пример. 1. Рост знаменитого библейского великана Голиафа, побеждённого Давидом, по некоторым данным, составлял 290 см. Впрочем, по другим источникам – всего 208 см. Документально зафиксированный рекорд роста принадлежит американцу Роберту Уодлоу, умершему в 1940 г. в возрасте 22 лет, – 272 см. Рекорд среди женщин – 247 см – поставила китаянка Сэн Чуньлинь, прожившая 17 лет и умершая в 1982 г. Во сколько рост дюймовочки отличается от роста «великанов» (1 дюйм равен примерно 25,4 мм)? 2. Самый поразительный случай нарушения гормонального обмена – это история жизни австрийца Адама Райнера (1899-1950). В возрасте 21 года он имел рост 118 см. С какого-то момента он начал быстро расти и в последний год жизни вырос до 237 см. Быстрый рост так изнурил его, что он не мог подняться с постели. Это единственный в мире случай, когда один и тот же человек был и карликом, и великаном. На сколько увеличился рост Адама? 3. Способ схематизации. Немалую роль в воображении играет усмотрение существенного сходства между более или менее значительно отличающимися друг от друга предметами или явлениями. В этом случае отдельные представления сливаются, различия сглаживаются. Отчетливо прорабатываются основные черты сходства. Творческое воображение протекает как анализ и синтез накопленных студентом знаний, а следовательно, открытие на этой основе новых. При этом элементы, на основе которых строится новый образ, занимают иное положение, иное место по сравнению с тем, которое они занимали ранее. Пример. Сравнить тексты задач. Чем они похожи? Чем они отличаются? Составьте новую задачу, которая бы сохранила существенные сходства с исходными задачами. а) Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля по 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, что бы получить 140 т стали с содержанием никеля 30%? б) Имеется 735 г 16% раствора йода в спирте. Нужно получить 10%ный раствор йода. Сколько граммов спирта нужно прибавить к имеющемуся раствору? Воображение считается сформировавшимся в той степени, в какой оно отделимо от воспроизведения того, что встречалось ранее. Высшим уровнем проявления воображения является образ, противоположный тому, который существует в памяти. 131

4. Способ типизации. Образ воображения обычно является наглядным образным носителем какого-то более или менее осознанного замысла. Эта роль замысла или тенденции, порождающей преобразование, проявляется в выделении существенного, повторяющегося в однородных в каком-то отношении фактах и воплощении их в конкретном образе. Пример. Придумайте задачи, похожие на эту, но с другим содержанием. Трава на всем лугу растет одинаково. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? В зависимости от ряда факторов (что в задаче дано, что должно быть получено, какие условия при этом должны быть соблюдены) процессы воображения несколько отличаются друг от друга. При этом они могут быть разделены на два типа: конвергентного и дивергентного воображения. Если задача предполагает один определенный («единственно правильный») ответ, она стимулирует воображение конвергентного типа. Пример. Из предложений составьте сюжетную задачу: «Улитка проползает 18 м за 1,5 ч. У Маши на 12 открыток больше, чем у Наташи. Сколько метров она проползет за 10 мин? Открытка стоит 20 рублей». Если же требуется предложить как можно больше однородных объектов, различных способов достижения цели – воображение дивергентного типа. Пример. Из предложений составьте сюжетную задачу: «Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? Улитка проползает 18 м за 1,5 ч. Трава на всем лугу растет одинаково. У Маши на 12 открыток больше чем у Наташи. Сколько метров она проползет за 10 мин? Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров за 60 дней. Открытка стоит 20 рублей. 5. Способ акцентирования. В создаваемой задаче какая-то часть (элемент) выделяется, особо подчеркивается. Акцентирование одних элементов задачи или связей сочетается с рядом других преобразований: элементы опускаются (добавляются), связи упрощаются (усложняются), содержание задачи освобождается от ряда частностей, деталей, их усложняющих моментов. В результате содержание задачи в целом преобразуется. Пример. Измените условие задачи с недостающими данными так, чтобы можно было решить эту задачу. 3 кошки съели 5 мышек. За сколько минут 6 кошек съедят 9 мышек? Пример. По данному вопросу составить задачу. «Сколько каждого металла содержится в 9 кг латуни?» Например, задача: «Латунь состоит из свинца, цинка и меди, причем металлы берутся в отношении 3:50:97. Сколько каждого металла содержится в 9 кг латуни?» 6. Способ аналогии. Приемом создания творческих образов также является аналогия. Ее сущность состоит в том, что строится образ, в чемто похожий на реально существующий. 132

Пример. Необходимо составить задачу, содержание которой отражало бы реальную ситуацию из жизни. Например, английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки изучают 46 школьников, а английский и испанский изучают 90 школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык? Таким образом, с помощью приведенных выше заданий показано, как происходит развитие воображения студентов при решении сюжетных задач. В процессе обучения решению сюжетных задач учебная деятельность студентов должна отражать процесс моделирования неслучайных отношений окружающего мира на основе аксиоматических положений, который осуществляется при помощи мыслительных операций: сравнения, анализа, синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации. Сравнение предполагает наличие заданий, в которых от студента требуется сопоставить предметы и явления с целью найти сходство и различие между ними. В основе данного методического приема лежит тот факт, что познание любого объекта и явления начинается с того, что мы его отличаем от всех других объектов и устанавливаем сходство с родственными ему объектами. Получение правильного вывода в результате сравнения зависит от соблюдения ряда необходимых условий: 1) сравнивать следует только однородные понятия, которые отражают однородные объекты или явления действительности; 2) сравнивать предметы надо по таким признакам, которые имеют существенное значение. В процессе обучения решению сюжетных задач часто используют понятие элементарного сравнения, под которым понимают сравнение одного объекта с каким-нибудь другим объектом по какому-либо одному свойству, удовлетворяющему требованиям сравнения, в структуре которого можно выделить следующие составляющие: − объект, который подвергают сравнению; − объект, с которым сравнивают первый объект; − основания сравнения – свойство, по которому сравнивают объекты; − вывод из сравнения. Использование сравнения возможно в следующих заданиях: Пример. Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? Можно ли утверждать, что решения этих двух задач будут одинаковыми? а). У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части

133

этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен? б) Имеется серебро: одно 11 пробы, а другое 14 пробы. Сколько какого серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра 12 пробы? Пример. Сравни решение данной сюжетной задачи и выбери правильное: "Некий человек нашел работника на год, обещав ему дати 12 рублей и кафтан. Но тот, по случаю, работав 7 месяцев, восхотев отойти и прошаше достойной оплаты с кафтаном. Он же даде ему по достоинству расчет 5 рублев и кафтан, ведательно есть: коликой цены оный кафтан был». Решение 1. Работник не доработал у хозяина 5 месяцев и недополу7 чил 7 рублей; значит, месячная его плата в денежном выражении рубля или 1 рубль 40 копеек. Плата за 7 месяцев составит 7·

7 5

=

5 49 4 =9 5 5

рубля

или 9 рублей 80 копеек. Но работник за это время получил 5 рублей и кафтан. Значит, кафтан стоит 4 рубля 80 копеек. Решение II. За год работник должен был получить 12 рублей и кафтан, т.е. за каждый проработанный месяц ему должны начислять 1 рубль и 1 стоимости кафтана. За проработанные 7 месяцев работник должен был 12

получить 7 рублей и Следовательно,

7 12

7 12

стоимости кафтана, а получил 5 рублей и кафтан.

стоимости кафтана соответствуют 2 рублям. Таким об-

разом, цена кафтана была 2 :

7 24 = 12 7

=3

3 7

(рубля).

В своем исследовании мы согласны с утверждением В.В. Статкевича [64], что использование приема сравнения при решении группы сюжетных задач или выборе элементов содержания сюжетной задачи обеспечивает одновременное осмысленное усвоение двух противоположных понятий и помогает студентам различать близкие и сходные между собой понятия. Пример. Чем похожи тексты задач? Чем отличаются? Какую задачу ты можешь решить? Какую нет? Почему? 13 а) Чайный торговец купил три ящика чаю всего на пуда, и за один 4

ящик заплатил 72 руб., за второй – 66 руб., за третий – 40 руб. Сколько чая было в каждом ящике, если 1,1 фунта из первого ящика стоили столько, 9 столько фунта из второго? 5

б) Чайный торговец купил три ящика чаю всего на

13 пуда, 4

и за один

ящик заплатил 72 руб., за второй – 66 руб., за третий – 40 руб. Сколько чая 134

было в каждом ящике, если 1,1 фунта из первого ящика стоили столько, 9 20 11 столько фунта из второго, а фунта из второго столько же, сколько 5

3

2

из третьего? Пример. На какие вопросы можно ответить, используя условие задачи: «От проволоки длиной 15 дм отрезали сначала 2 дм, потом еще 4 дм». а) Сколько всего дециметров проволоки отрезали? б) На сколько дм меньше отрезали в первый раз, чем во второй? в) На сколько дм проволока стала короче? г) Сколько дециметров проволоки осталось? Пример. Выбери данные, которыми можно дополнить условие задачи, чтобы ответить на поставленный в ней вопрос: «На аэродроме было 75 самолетов. Сколько самолетов осталось?». Обоснуйте свой Выбор. а) Утром прилетело 10 самолетов, а вечером 30. б) Улетело на 20 самолетов больше, чем было. в) Улетело сначала 30 самолетов, а потом 20. Познавательная ценность процесса сравнения при обучении решению сюжетных задач заключается не только и не столько в установлении отношения тождества и различия между сравниваемыми объектами, сколько в характеристике одного из сравниваемых объектов относительно другого. Только благодаря этому обстоятельству сравнение из свойства психики отождествлять и различать внешние предметы превращается в логическое средство познания, которое обладает эвристической значимостью. Такое исследование на определенном этапе обучения решению сюжетных задач носит эвристический характер, так как в процессе сравнения может навести на некоторые закономерные свойства. Увидеть проявления этих сравниваемых закономерностей, момент зарождения гипотезы, ее развитие и обоснование – это значит реализовать эвристический поиск, в котором существенную эвристическую роль сыграло сравнение. Анализ проявляется в тех заданиях, нацеленных на мыслительное расчленение предмета или явления на образующие его части, выделение в нем отдельных частей, признаков и свойств. Анализ в процессе обучения решению сюжетных задач целесообразно начать с предварительного общего ознакомления студентов с объектом исследования, и только потом перейти к более детальному анализированию. Например, чтобы студенту рассмотреть сюжетную задачу как систему, ему необходимо провести ее детальное анализирование, то есть определить: 1) элементы задачи; 2) величины, которыми охарактеризованы элементы; сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи; характер каждого значения величины; 3) характер взаимосвязей между элементами; 4) отношения между величинами; 5) состояния; 6) ситуации. Синтез при обучении решению сюжетных задач может развиваться как навык у студентов при использовании заданий, в которых происходит 135

мысленное соединение отдельных элементов, частей и признаков в единое целое. Анализ и синтез неразрывно связаны, находятся в единстве друг с другом в процессе познания: анализируем мы всегда то, что синтетически целое, а синтезируем то, что аналитически расчленено. Пример. Из двух простых задач составьте одну сложную: 1 задача: В магазине продавалось 48 кукол, а мягких игрушек в три раза меньше. Сколько мягких игрушек продавалось в магазине? 2 задача: В магазине продавалось 48 кукол и 16 мягких игрушек. Сколько всего кукол и мягких игрушек продавалось в магазине? В мыслительной деятельности человека анализ и синтез всегда взаимообусловлены, ибо, с одной стороны, анализируется то, что включает в себя нечто общее, с другой стороны, синтез предполагает анализ, так как прежде чем объединить какие-либо части в единое целое, их необходимо получить в результате анализа. Пример. Из приведенных предложений составьте сюжетную задачу: «Сколько килограммов огурцов засолила хозяйка? В одном доме проживают 324 человека, а в другом на 151 человека меньше. Хозяйка засолила 6 банок огурцов по 5 кг в каждой банке. Хозяйка засолила 30 кг огурцов и 45 кг помидоров. Сколько килограммов овощей засолила хозяйка? Сколько человек проживает в другом доме?» Абстракция может быть сформирована у студентов как одна из мыслительных операций при помощи заданий, в которых происходит мысленное выделение существенных свойств и признаков предметов или явлений при одновременном отвлечении от несущественных признаков и свойств. Пример. Запишите краткую запись и сделайте схематический рисунок к данной сюжетной задаче: «Две лодки плыли в стоячей воде навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Первая лодка прошла до встречи 18 км, затратив на это 2 часа. Сколько времени была в пути вторая лодка, если известно, что она прошла до встречи 36 км». Краткая запись и схематический рисунок (рис №10): 1 команда 2 команда

v1

км/ч

t1 = 2 ч

28 км

скорость

время

расстояние

одинаковая

2ч ?

28 км 48 км

v2

v1 = v2

км/ч

t2 = x ч ?

48 км

Рис. № 10 136

Обобщение в процессе обучения решению сюжетных задач предполагает наличие заданий, которые требуют от студентов мысленного объединения предметов и явлений в группы по тем общим и существенным признакам, которые выделяются в процессе абстрагирования. В зависимости от направления хода мысли при обучении математике используются в основном два приема обобщения: 1. В первом случае студенты сопоставляют заданные объекты, вычленяют и формулируют самостоятельно их общие, заранее не определенные, существенные признаки, отвлекаясь (абстрагируясь) от несущественных и объединяют объекты по этим признакам (обобщают). Пример. Установление сходства и различия между данными задачами. Составьте задачу, подобную данным. 1) В Сент-Айвз как-то я шагал; Я семь женщин повстречал; И у каждой семь мешков, А в Мешках по семь котов; У котов по семь котят. Сколько всего?

2) Шли семь старцев. У каждого старца по семь костылей, На всяком костыле по семь сучков, На каждом сучке по семь кошелей, В каждом кошеле по семь пирогов, А в каждом пироге по семь воробьев. Сколько всего?

Пример. Разбей задачи на 2 группы: 1) Производительность труда при выполнении некоторой работы повысилось на 40%. На сколько процентов сократилось время, необходимое для выполнения этой работы? 2) Некоторый товар сначала подорожал на 10 %, а затем подешевел на 10 %. Как изменилась цена этого товара? 3) На заводе было внедрено рационализаторское предложение. В результате время, необходимое для изготовления рабочим некоторой детали, уменьшилось на 20 %. На сколько процентов возросла производительность труда этого рабочего? 4) Зарплату токарю повысили сначала на 10%, а затем через год еще на 20 %. На сколько процентов повысилась зарплата токаря по сравнению с первоначальной? 2. При втором приеме обучающиеся заранее знают, какие общие признаки надо выявить, поэтому из заданных объектов они выделяют те, которые обладают данными признаками, и объединяют выбранные объекты согласно им. Пример. Разбейте задачи на 2 группы согласно их методу решения. 1) В парламенте некоторой страны две палаты с равным числом депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты. По окончании голосования председатель парламента заявил, что предложение принято большинством в 23 голоса. После чего лидер оппозиции 137

заявил, что результаты фальсифицированы. Как он догадался, если при голосовании не было воздержавшихся? 2) В парламенте некоторой страны две палаты с равным числом депутатов. В голосовании по двум важным вопросам приняли участие все депутаты. По окончании голосования председатель парламента заявил, что первое предложение принято большинством в 24 голоса, а второй отклонен 28 голосами. Какое число депутатов может содержаться в каждой из палат? 3) 80 персон, получив известие о нуждаемости среди новообращенных (в христианство) мелабарцев, собрали между собой 200 талеров для пересылки новым истинным членам христовой церкви. Среди этих благотворителей были мужчины, женщины и некоторое число благовоспитанных школьников. Каждый мужчина внес 6 талеров, женщина 3 талера, школьник 1 талер. Вопрос: сколько было каждого рода (жертвователей)?» 4) В одной старинной книге приведено описание города, расположенного на 10 островах. В частности, там было написано: «С пяти островов переброшено на материк по одному мосту. На четырех островах берут начало по 4 моста, на трех островах берут начало по 3 моста, и на один остров можно пройти только по одному мосту». Один из читателей заметил, что либо этот город вообще не существует, либо тот, кто его описывал, никогда там не был. На основании чего он сделал такое заключение? При развитии навыков конкретизации как мыслительной операции у студентов в процессе обучения решению сюжетных задач целесообразно использовать задания, предполагающие осуществление мысленного перехода от общего к единичному, которое соответствует этому общему. Конкретизация может выступать в двух формах: 1) как мысленный переход от общего к единичному, частному; 2) как восхождение от абстрактно-общего к конкретно-частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего: как наполнение, обогащение абстрактно-общего конкретным содержанием. Пример. Решите задачу: «Английский и немецкий языки изучают а школьников, немецкий и испанский языки изучают b школьников, а английский и испанский языки изучают c школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык? » при условии, что а = 116, b = 46, с = 90. В учебном процессе конкретизация имеет большое значение: она связывает наши теоретические знания с жизнью, с практикой и помогает правильно понять действительность. Отсутствие конкретизации приводит 138

к формализму знаний, которые остаются голыми и бесполезными абстракциями, оторванными от жизни. Относительно степени новизны получаемого в процессе мыслительной деятельности продукта по отношению к знаниям субъекта различают следующие типы мышления: продуктивное и репродуктивное. Для становления самобытности студента необходимо уделять особое внимание развитию продуктивного мышления. Это можно осуществить путем использования в процессе обучения решению сюжетных задач креативных методов, которые опираются на виды образовательной деятельности, задают наиболее вероятные стратегии и тактики деятельности решающего, стимулируют его интуитивное мышление в процессе решения сюжетной задачи, генерируют новые идеи и на этой основе позволяют студентам создавать новую образовательную продукцию. Таким образом, в процессе обучения решению сюжетных задач психолого-педагогическими механизмами развития личности студента являются: 1) методы образного видения, символического видения, заданного диапазона, инверсии, редукции, фактов, прогнозирования, ошибок – для развития творческого мышления; 2) агглютинация, гиперболизация, схематизация, типизация, акцентирование, аналогия – для развития воображения; 3) смысловая группировки материала, схематизация, аналогия, ассоциация – для развития памяти; 4) новизна, интенсивность раздражителя (яркость иллюстрации, инсценировка, необычность сюжета задачи), ожидание определенных событий или впечатлений, неожиданность появления событий, корректурные задания, выделение признаков объектов, точное воспроизведение какого-либо образца, одновременное выполнение нескольких упражнений – для развития внимания; 5) создание проблемной ситуации, поиск ошибки в приведенных рассуждениях, формулирование гипотезы и организация исследования с целью получения нового знания, обобщение фактов, изложенных в изучаемом материале – для развития способности к рефлексии; 6) задания, выполняемые по образцу, по алгоритму, в рамках заданного диапазона – для развития самостоятельности.

§ 2. Проявление личностно­смысловой сферы студента  в процессе обучения решению сюжетных задач  Личностный смысл выступает одной из важнейших потребностей обучающегося, удовлетворение которой определяется как осмысленность прошлого, настоящего и будущего, как наличие цели в жизни, как восприятие необходимости индивидом получаемых знаний, умений и навыков в процессе обучения решению сюжетных задач. Ключевым показателем наличия личностного смысла у студента в процессе обучения решению сюжетных задач является наличие у него осознанности в необходимости 139

приобретаемых знаний. При этом мера осознанности истинного у каждого студента различна. Она зависит от того, насколько обучаемый видит связь изучаемого материала с его личными мотивами, потребностями и ценностями. Личностно-смысловая сфера во всех ее видах и на всех этапах развития характеризуется, по крайней мере, четырьмя обязательными моментами: 1) проявлением эмоций по отношению к деятельности; 2) познавательной стороной этой эмоции; 3) наличием непосредственного мотива, идущего от самой деятельности; 4) присутствием смысловой установки. Достичь положительных результатов в формировании личностносмысловой сферы студента в процессе обучения решению сюжетных задач можно лишь тогда, когда студенты всесторонне осмысливают изучаемый материал, когда усваиваемые выводы и обобщения являются результатом их собственных мыслительных усилий и положительных эмоциональных переживаний. Пример. При защите проекта студент должен обосновывать целесообразность решения нестандартных сюжетных задач. Студент заранее подготовил план выступления и презентацию. Формально все организационные моменты были учтены. Однако защита прошла неудачно. Поиск причин неудачной защиты студент может вести: 1. Во внешних условиях (рефлексия не развита). Защита сорвана: а) Неправильно составленное расписание! Математику нельзя ставить последним уроком, так как в это время наступает усталость и активность падает. б) Студенты параллельной группы виноваты, у них не было урока, и они шумели под дверью, отвлекая меня от выступления! в) Виноваты те студенты, перед которыми я выступал, у них слабая математическая подготовка и они совсем не хотели меня слушать, мне было сложно сосредоточиться! Надо признать, что такое объяснение будущего учителя может существовать и при этом нельзя сказать, что оно не соответствует действительности. Только подобное обоснование неэффективности защиты приводит к самоуспокоению и вследствие чего прекращается самосовершенствование будущего учителя начальных классов, что ведет к обеднению его личностно-смысловой сферы. 2. В несовершенстве своих действий (развитая рефлексия). Защита сорвана: а) Неверно выбрал день для проведения защиты проекта! Математика в этот день стоит последним уроком, к этому времени студенты устают 140

и их активность падает, поэтому надо было провести защиту вторым или третьим уроком в другой день. б) При подборе формы и содержания проекта не были учтены возрастные особенности, приоритеты и профессиональная значимость, поэтому им было скучно, и они часто отвлекались в ходе моего выступления! в) Тема была подобрана слишком сложная, система разъясняющих примеров была не продумана! г) Не подготовился к защите проекта (знать материал одно, а быть организатором выступления совсем другое), для этого надо научиться понимать состояние обучающихся и его корректировать, принимать верное решение во время возникающих пауз, а это приходит только с опытом, поэтому прежде чем выступать с защитой проекта необходимо опробовать его элементы в процессе обучения решению сюжетных задач и только после того, как будет уверенность в том, что все этапы отработаны до мелочей, можно проводить защиту проекта. Без рефлексии невозможно осознание личностного смысла, так как работа со студентом невозможна без опоры на его размышление, полное сомнений и колебаний. Другого пути с «неявным» знанием у обучающегося просто нет. Однако в процессе обучения решению сюжетных задач студент часто не испытывает потребности в осознании своего развития, поэтому необходимо уделять особое внимание внутреннему состоянию обучаемого в учебной деятельности, в частности рефлексии. И только после того, как учебная деятельность начинает восприниматься обучающимся не только как обязанность, но и как деятельность, приносящая удовлетворение, студент осознает то, что он делает и что с ним происходит, что нового он узнает, какой опыт он приобретет. Форма существования личностного смысла в сознании студента представляет собой воплощение его в определенной системе общественно выработанных и зафиксированных значений, поэтому формирование личностно-смысловой сферы возможно только через анализ конкретной деятельности, вызывающей эмоциональный отклик обучающегося. Математика как наука изучает фундаментальные законы, царящие в мире, и в этом смысле ее содержание не зависит от ценностного сознания человека. Математика как учебный предмет является частью культуры и, следовательно, не может служить делу образования людей, если они не видят в этом для себя смысла. Студент должен получить не только знания, умения и навыки, необходимые для решения сюжетных задач, но и ответить себе на вопросы, что он будет с ними делать как специалист и как обыватель. Пример. Для студентов, которые жили в сельской местности, личностно значимой может быть задача о дождевальной установке, в которой дождеватели расположены по квадратной схеме. 141

Задача. При каком максимальном расстоянии d между дождевателями установка будет орошать всё поле, если один дождеватель орошает круг радиуса r? Решение данной задачи целесообразно провести в форме «исследования». В этом случае студент, с одной стороны, находит правильное решение задачи, а с другой стороны, видит возможность применения в повседневной жизни понятий, связанных с преобразованием фигур в пространстве. Таким образом, геометрические знания, которые были раньше для обучаемых абстрактными, становятся личностно значимыми. Перемещая круги, изображаемые орошаемые участки, студенты получают различные схемы, в которых круги расположены на расстояниях друг от друга; касаются друг друга; пересекаются (рис. № 11).

d

d

d

r

r

d

d

r

d

Рис. № 11 Преподаватель: Что можно сказать о целесообразности расположения дождевателей на каждой из схем? Студент: На первом рисунке показано расположение дождевателей на расстоянии друг от друга, которое слишком велико. На чертеже, где круги касаются, также остаются неорошаемые участки. А вот на последней схеме представлено самое оптимальное расположение дождевателей. Преподаватель: Какая математическая модель лежит в основе последней схемы? Студент: Дождеватели образуют прямоугольный треугольник, в котором два меньших расстояния между дождевателями являются катетами d, а большее расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника, равной 2r. Следовательно, для нахождения расстояния d можно применить теорему Пифагора: r² + r² = d², 2r² = d², d = 2 r . При построении учебного процесса с использованием сюжетных задач нельзя забывать слова Сухомлинского В.А. [261] о том, что «влияние слов будет эффективнее, если воспитанники не подумают, что вы решили что-то им рассказать специально для того, чтобы их воспитывать». Поэтому в вузе реализацию данного компонента личностно ориентированно142

го образования наиболее рационально использовать в процессе создания сюжетных задач. Важно, чтобы содержание задач, подобранных или составленных студентами, вызывало живой интерес у обучаемых. Этого можно добиться только тогда, когда текст задачи обращен и к уму, и к эмоциям решающего, вызывая чувство причастности к решению тех или иных проблем, стоящих как перед каждым человеком в отдельности, так и перед всем обществом в целом. При этом воспитательное воздействие осуществляются не только через отраженный в содержании сюжет, но и непроизвольно, через подтекст, явно не отраженный в задаче. Пример. Студентам в повседневной жизни приходится сталкиваться с действиями на проценты: “Повысим на 10% коммунальные услуги” или “Понижена стоимость на товар на 5%” и т.д. Поэтому сюжетные задачи на проценты для каждого обучающегося не просто средство обучения, а личностно значимая учебная единица. Например, пенсионерам (у большинства студентов есть бабушки и дедушки) последний раз увеличили пенсию на 6% (от минимальной оплаты труда). Сколько теперь будут получать пенсионеры, если пенсия была: 1500 руб.? Решение: Минимальная оплата труда составляет 500 рублей. 6% от 500 ⋅ 6 ⎞ = 30 ⎟ . Пенсионер будет получать 500 рублей составляет 30 рублей ⎛⎜ ⎝ 100

⎠

1500+30 =1530 (руб.). При составлении цикла сюжетных задач необходимо помнить, что смысл объективен, поэтому студент не должен его изобретать. Смысл необходимо увидеть в окружающей действительности, именно поэтому он выступает для обучающегося как данность, требующая своей реализации. Например, чтобы сконцентрировать внимание обучающихся на тех аспектах, которые необходимы для осознания политического взаимодействия внутри нашего государства, можно предварить решение задач поясняющим текстом. Представление данного текста по своей форме бывает различным (от простого краткого сообщения до просмотра соответствующего изучаемым понятиям фильма). Задача. Политические отношения в своей совокупности образуют политическую подсистему общества, в которую входит государство как основное звено, а также политические институты и организации (политические партии, профсоюзы, молодежные и иные объединения граждан), выполняющие определенные функции. На 13.06.2001 г. зарегистрировано 9 депутатских объединений Государственной Думы. Из них фракций в 2 раза больше, чем депутатских групп. Сколько фракций зарегистрировано в Государственной Думе? Задача. Общественные классы и организации стремятся обеспечить свои интересы, используя государственные рычаги, то есть на базе их ко143

ренных интересов формируются цели и определяются задачи, которые лежат в основе государственной политики. А чем выше численность партии, тем больше шансов реализовать данной партии свои интересы. Наименьшее количество депутатов во фракции Либерально-демократической партии России (ЛДПР). Во фракции Единства – в 6 раз больше, чем в ЛДПР. Больше всего депутатов во фракции Коммунистической партии РФ. Их на три человека больше, чем во фракции Единство. Какой партии удастся реализовать свои интересы, если всего в трех фракциях 185 человек? Задача. Чиновники, стоящие у власти, т.е. президент, губернатор, депутаты и т.д., выбираем мы сами, то и условия нашей жизни зависят от нас. С 18 лет каждый дееспособный гражданин нашей страны имеет право участвовать в голосовании. В выборах в Республиканский совет депутатов на избирательном участке № 9 приняло участие 997 человек. Из них 597 человек пожилого возраста, 302 – избиратели среднего возраста, а остальные юноши и девушки, достигшие восемнадцатилетнего возраста. Сколько юношей и девушек приняло участие в голосовании? Что можно сказать о количестве молодежи, принявшей участие в голосовании относительно количества избирателей среднего и пожилого возраста? Через обсуждение содержания сюжетных задач у студента складывается восприятие социальных отношений, через которые обучающийся входит в контекст современной социокультурной среды, то есть приобретает не только знания о мире, но и умения взаимодействовать с ним, учится строить свои отношения на основе тех ценностей жизни, которые выработаны современной культурой. Чтобы лучше раскрыть перед студентами сущность выборной системы, в некоторых случаях можно использовать в задачах данные, не только отвечающие нашему времени. Задача. Вот простая, но любопытная головоломка, явившаяся следствием недавних выборов, где за четырех кандидатов было подано 5219 голосов. Победитель опередил своих соперников соответственно на 22, 30 и 73 голоса, и все же ни один из претендентов не знал, как подсчитать точно число голосов, полученных каждым. Не смогли бы вы рекомендовать простое правило, позволяющее получить нужную информацию? Задача. В парламенте некоторой страны две палаты с равным числом депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты. По окончании голосования председатель парламента заявил, что предложение принято большинством в 23 голоса. После чего лидер оппозиции заявил, что результаты фальсифицированы. Как он догадался, если при голосовании не было воздержавшихся? Подобные задачи позволяют показать, что современная политическая система имеет свою историю, в результате которой сложились опре144

деленные нормы, ценности, установки выработанные. Интегральный механизм функционирования системы личностных смыслов при обучении математике проявляется в осознании студентами прошлого (знания, которыми он обладает), настоящего (знания, которые он получает при выполнении задания) и будущего (где он может использовать полученные знания). В процессе этого происходит актуализация и синхронизация временных составляющих смысла, отражающих отношение студента к математическим знаниям в контексте жизнедеятельности, в результате чего смыслы нижележащих уровней системы генерализуются и приобретают статус более сложного образования, что позволяет системе функционировать на более высоком уровне. Невозможность синхронизировать смыслы, локализованные в прошлом, настоящем или будущем, влечет за собой односторонний взгляд на получаемые в процессе обучения математические знания. Взаимодействие субъектов коллектива в процессе личностноориентированного обучения решению сюжетных задач, как правило, протекает в форме диалога, направленного на актуализацию личностных функций студентов, на накопление ими опыта реализации ценностного выбора, критического восприятия, рефлексии творческого решения волнующих проблем. Естественное обращение к личностной сфере участников диалога происходит лишь тогда, когда ими осознается ограниченность возможностей рационального усвоения материала при его лишь логико-понятийной интерпретации, и возникает необходимость в специальных эстетических действиях – драматизации, введении художественных текстов, эмоционально-эстетическом самовыражении участников учебного процесса через креативность, художественность, экспрессивность. Это можно достичь, если одни студенты демонстрируют задачу в виде инсценировки, представляющей жизненную ситуацию, основой которой может послужить, к примеру, отрывок из рассказа А. П. Чехова "Репетитор". Пример. «Учитель (гимназист Егор Зиберов) берет задачник и диктует: «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 р. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а черное – 3 р.». Повторите задачу. Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138. – Для чего же это вы делаете? Постойте! Впрочем так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Давайте-ка я разделю! Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает. «Странно, думает он, ероша волосы и краснея. – Как же она решается? Гм!.. Эта задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая!» Учитель глядит в ответ и видит 75 и 63. 145

«Гм!.. странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8. Так, что ли? Нет, не то!». – Решайте же! – говорит он Пете. – Ну, чего думаешь? Задача-то пустяковая! – говорит Удодов Пете. – Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич. Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет. – Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, – говорит он, – Ее с иксом и игреком решать можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил, понимаете? Теперь вот надо вычесть ... понимаете? Или вот что... Решите мне эту задачу сами к завтрему... Подумайте... Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще больше конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол. – И без алгебры решить можно, – говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. – Вот, извольте видеть... Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было. – Вот-с... по-нашему, по неученому. Учителю становится нестерпимо жутко». Преподаватель: Верный ответ. Но нет самого решения. Так как же решить данную задачу? Студенты: Необходимо использовать алгебраический метод. Преподаватель: Что для этого надо сделать? Студенты: Необходимо составить систему. Пусть х (арш.) было синего сукна, у (арш.) – черного, всего же было (х+у) аршин или 138 аршин по условию. Имеем первое уравнение х+у=138. Все синее сукно стоит 5х р., а черное – Зу, вся покупка (5х+3у) р., что по условию равно 540 р. Составляем второе уравнение: 5х+3у=540. Получим систему уравнений: ⎧ х + у = 138, ⎧5 х + 5 у = 690, ⇒⎨ ⎨ ⎩5 х + 3 у = 540. ⎩5 х + 3 у = 540.

откуда 2у=150, y=75. х+75=138, х=63. Итак, черного сукна куплено 75 аршин, а синего – 63. Преподаватель: Но отец Пети решил задачу на счетах и он не мог воспользоваться данным методом. Так как же он решил ее? Студенты: Отец Пети воспользовался арифметическим методом. Преподаватель: Кто может решить данную задачу арифметическим методом? (если желающих среди учеников нет, то учитель продолжает). Представим, что купец купил только синее сукно, тогда сколько денег он уплатил бы за покупку? Студенты: 5·138=690 (р.). 146

Преподаватель: Это на 690-540=150 рублей больше, чем в действительности. Эти "лишние" деньги откуда взялись? Студенты: Из разницы в стоимости ткани: 5-3=2 (р). Преподаватель: Значит эти 150 р. "лишние", т.к. 150:3=75 аршина ткани более дешевой, черной, а синей 138-75=63 аршина. Проверьте, та ли сумма получится. Студенты: Если 63·5=315 (р.) – синее сукно, 75·3=225 (р.) – черное сукно, то 315+225=540 (р.) – вся покупка. Преподаватель: Решим чуть иначе: А что получилось бы, если бы купец купил только черное сукно? Больше или меньше он истратил бы денег? Студенты: 138·3=414 (р), 540-414=126 (р.). Следовательно, 126 р. он истратил на более дорогое сукно (на 5-3=2 (р.) за каждый аршин). Итак, синего сукна куплено 126:2=63 аршин, а черного 138-63=75 аршин. Ответ: куплено 63 аршина синего сукна и 75 аршин черного. Преподаватель: Какой из способов наиболее простой? Какой из способов потребовал больше логических рассуждений? Какой из способов на ваш взгляд наиболее рационален и почему? Умение формулировать вопросы выступает как своеобразная технология усвоения эмоционально-ценностного опыта, опыта смыслопоисковой деятельности при обучении решению сюжетных задач. Например, при разборе задачи преподаватель может предложить работу в парах – один студент составляет вопросы, а другой на них отвечает. Пример. Стоимость одной путевки на море – 23 тыс. рублей. Для льготной категории граждан предусмотрена 20% скидка. Сколько всего теряет фирма, если в туристической группе из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу? 1. Какие данные необходимо знать, чтобы найти стоимость льготной путевки? – Стоимость полной путевки и на сколько стоимость льготной путевки меньше полной. 2. Какие надо знать данные, чтобы найти сумму денег, которую уплатили туристы за путевки по льготной цене? – Количество туристов и стоимость льготной путевки. 3. Какие надо знать данные, чтобы найти сумму денег, которую уплатили туристы за путевки по полной цене? – Количество туристов и стоимость полной путевки. 4. Какие данные надо знать, чтобы найти, сколько человек купили путевки по полной цене? – Необходимо знать количество туристов в группе и количество человек из группы, купивших билеты по льготной цене.

147

5. Какие необходимо знать данные, чтобы найти стоимость всех путевок, купленных группой? – Стоимость полных путевок и стоимость льготных путевок, оплаченных группой. 6. Какие нужны данные, чтобы найти, сколько получила бы фирма, если бы все путевки были оплачены полностью? – Количество туристов в группе и стоимость полной путевки. 7. Какой вопрос задачи? – «Сколько всего теряет фирма, если в туристической группе из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу?». Общение в парах представляет собой специфическую систему взаимопонимания и взаимодополнения друг друга для всех участников совместной деятельности. При такой форме межличностных отношений каждый студент группы одновременно учитель и ученик. При этом активность студентов направлена на предмет общения, а не на личность одного из участников. Основные функции взаимодействия в общении – активизация саморазвития и самоактуализации, взаимное оценивание и самооценка – реализуются при творческом сотрудничестве говорящего и слушающего, которое стимулируется в процессе диалогового общения. Однако для организации подобной деятельности преподавателю самому нужно располагать «эталоном» такого рационального усвоения, т.е. знанием того, как следует выполнять те или иные умственные действия, чтобы эффективнее усваивать материал, сообщать эти знания на уроке, стимулировать учеников к их использованию. С другой стороны, данная модель деятельности позволяет студенту раскрыть свои личностные качества, проявляющиеся во взаимодействии со сверстниками. При этом студент учится осознавать, что достижение успеха определяется интеллектуальными, организаторскими, нравственными усилиями каждого из участников пары. Личностный смысл определяется в структуре сознания, в этом случае смысл выступает как субъективация, стимулирующая проявления инициативности и активности обучающегося как субъекта процесса личностного становления, основанные на самостоятельном выборе ценностей саморазвития, вооружающие опытом самоопределения в пространстве жизненных ценностей (социально значимых, личностных и др.) и позволяющие создавать жизненно-практические ситуации и положительный эмоциональный настрой на получение качественного образования. Например, используя тот факт, что в сфере интересов студентов находятся сюжеты из истории возникновения и динамика развития того или иного объекта (явления, процесса), можно придать сюжетным задачам живой, наглядный характер, отражающих культурный уровень, экономический быт и менталитет создавших их народов, что позволяет пробудить в студентах интерес к изучению математики. 148

Задача. В XIV в. любую одежду называли порты, а мастеров, шивших эту одежду – портными. После XVI в. портных, в зависимости от того, какую одежду они шили, именовали по-разному – сарафанниками, кафтанниками, шубниками, шапочниками и т.д. В 1638 г. в Москве работало на 14 кафтанников меньше, чем шубников. Сермяжников – в 2 раза больше, чем кафтанников. Сколько мастеров каждой из перечисленных профессий работало в Москве в 1638 г., если известно, что шубников было на 9 больше, чем сермяжников. Задача. Представление о том, что средний московский обыватель не мог себе позволить дорогой и красивой одежды, не совсем верно. Заработки квалифицированных мастеров позволяли им приобретать праздничные наряды красивого кроя и немалой стоимости. Носили их десятки лет (мода не так часто менялась), передавая из поколения в поколение. Сохранилась запись 1686 г. о вызове в суд Кадашевца Киричени Поруцкого, обокравшего семью Сеньки Карташева. Мы можем судить о благосостоянии мастера С.М.Карташева по списку украденного в его доме. В частности, здесь фигурирует “шуба теплая по лисе крыта сукном кармазинным с пуговицы серебряные, кругом опушена пухом бобровыум”, “полукафтанье камчатое красное пуговицы серебряные золоченые...” В кармане Сенькиной шубы было 511 золотых, 30 золотников жемчугу, да перстень золотой с яхонтом”. Пропавшее у Сеньки полукафтанье стоило на 15 руб. дешевле шубы, а перстень – на 12 руб. меньше полукафтанья. Сколько стоила каждая пропавшая вещь, если шуба и полукафтанье стоили на 27 руб. дороже перстня. Формирование личностно смысловой сферы требует такой систематизации сюжетных задач, при которой студент может осваивать общечеловеческие культурные ценности, видеть роль и место математики в общей системе человеческой жизнедеятельности. Личностно-развивающий потенциал задачи реализуется, если обучаемые выходят за рамки узкопредметного восприятия изучаемой дисциплины, видят конкретное приложение изучаемого материала к различным сферам науки и жизни человека. Личностный смысл в своей субъективной форме существования принадлежит сфере сознания, а в объективной форме, в виде смысловой установки, которая, отражается в сознании. Установки выражают и реализуют в деятельности определенные личностные смыслы, которые могут быть более или менее обобщенными и устойчивыми. Фиксация установки происходит на основе повторения похожих ситуаций или обостренной значимости некоторых ситуаций (в этом случае закрепление установки может произойти даже с первого раза). Фиксированная установка представляет собой устойчивую диспозицию и носит консервативный харак149

тер. Она способна влиять на выбор мотивов в тех или иных обстоятельствах. В других случаях смысловая установка как готовность к совершению определенного действия выступает в качестве динамической характеристики. Например, личностный смысл одного и того же действия оказания помощи другому человеку и соответствующая ему установка могут меняться в зависимости от переживаемых субъектом помощи эмоциональных состояний. Смысловые установки зависят от актуализации соответствующего мотива и ситуации, в которой развертывается действие, и характеризуются своей динамикой, под которой понимается изменение силовых, временных параметров установки или смена одних установок другими. К таким смысловым установкам в процессе обучения решению сюжетных задач можно отнести: 1. Из образовательных стандартов, программ, учебников, задачников или других пособий, предназначенных для реализации обучения решению задач, отметьте такие образовательные объекты, которые для вас могли бы стать основой личностно ориентированного задания. 2. Выделите основные виды учебной деятельности в процессе обучения решению сюжетных задач, по которой Вы бы хотели выполнить (подготовить) задание. Каждый из видов деятельности должен включать в себя отдельные действия-элементы, которые могут стать основой задания. Выберите те из них, которые имеют наибольшее отношение к обозначенным образовательным объектам: изучить какой-либо определенно названный преподавателем первоисточник (или тему в учебнике); продумать вопросы к дискуссии по рассматриваемой проблеме; оформить решение задачи заданным методом, заполнить информационную таблицу (или схему) и т.п. 3. Зафиксировать форму возможного образовательного продукта, который Вы планируете создать при выполнении личностно ориентированного задания. 4. Определите методы, с помощью которых предполагается выполнение задания. 5. Запишите задание в общем, структурном виде. В формулировке явно указать: объект задания, предполагаемый вид деятельности, ожидаемый продукт и его форма. 6. Текст задания сформулируйте с учетом личностно ориентированных компонентов. 7. Определите название задания: а) название определяется первоначально, и само задание потом подстраивается под него; б) сначала составляется задание, потом под него подбирается наиболее подходящее название. В названии может быть отражен как объект, так и вид деятельности. 150

8. При разработке задания продумайте критерии оценки его выполнения, то есть определите, какие параметры созданного Вами продукта будут оцениваться (точность, оригинальность, творческий подход и т.д.). Можно привести в качестве примера одно из заданий, составленных при помощи перечисленных смысловых установок. Пример. Используя следующий алгоритм (рис. № 12), составьте задачу с опорой на математическую модель 30·2 + 20·3: Алгоритм обучения составлению текстовых задач. 1. Придумай сюжет задачи. 2. Назови объекты, о которых будет говориться в задаче. 3. Дай количественную характеристику объектам. 4. Сформулируй требование задачи. 5. Смоделируй текст задачи.

Рис. № 12 Например: 1.Придумай сюжет задачи: Рукоделье двух подруг – Кати и Тани, которые девочки принесли на школьную ярмарку. 2. Назови объекты, о которых будет говориться в задаче: подруги – Катя и Таня, салфетки, воротники. 3. Дайте количественную характеристику объектам: данная задача будет на зависимость величин: цена, количество, стоимость Разъяснение записи: а) 30×2. Первый множитель указывает на цену изделия. Второй множитель указывает на количество изделий. Предположим, что это воротнички, связанные Катей, тогда получается, что девочкой для продажи на школьной ярмарке было связанно 2 воротничка по цене 30 рублей за каждый. б) 20×3. Первый множитель указывает на цену изделия. Второй множитель указывает на количество изделий. Предположим, что это салфетки, связанные Таней, тогда получается, что девочкой для продажи на школьной ярмарке было связанно 3 салфетки по цене 20 рублей за каждую. 4. Сформулируйте требование задачи. Два произведения соединены знаком «+», следовательно, последнее действие будет сложение. Результаты произведений – это стоимости. Значит, требование можно сформулировать следующим образом: «Найти стоимость изделий, которые Катя и Таня принесли на школьную ярмарку». 5. Смоделируй текст задачи: «Для школьной ярмарки Катя связала 2 воротничка, которые оценили по 30 рублей, а Таня – 3 салфетки, кото151

рые оценили по 20 рублей. Найти стоимость изделий, которые Катя и Таня принесли на школьную ярмарку». Чтобы организовать учебную деятельность студентов, одной смысловой установки может быть недостаточно. При отсутствии навыков самоорганизации продуктивной деятельности у обучающихся могут возникнуть затруднения в получении качественного образовательного продукта, так как его создание требует определенного навыка, для формирования которого существуют различные приемы. Таким образом, проектирование содержания личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач строится с учетом научнопредметного знания, характер которого одновременно определяет возможности и границы смыслоактуализации в условиях учебного процесса. При этом механизмы личностно-смысловой сферы студента проявляются: 1) в отношении студента к тем объектам, ради которых совершается учебная деятельность; 2) в осознании усваиваемых субъектом знаний о природе и социуме, через содержание сюжетных задач; 3) в отношении студента к собственной учебной деятельности.

§ 3. Личностно ориентированная стратегия  решения сюжетной задачи  Стратегия решения сюжетной задачи предполагает полностью разработанный план одного из возможных способов решения, построенный на основе обобщенных программ действий. Понятие «стратегии» шире, чем понятие «плана» решения, так как включает в себя: 1) общие умения, которые используются при решении многих или хотя бы нескольких видов сюжетных задач (Л.Л. Гурова [89]); 2) уровень сформированности таких умений предопределяет степень подготовленности обучающихся самостоятельно решать предлагаемые сюжетные задачи (С.Е. Царева [290]). По мнению Ю. М. Колягина [140] «умение решать задачи, присущие некоторому субъекту, можно рассматривать как специфическую окружающую среду системы (S, R)», (где S- некоторый субъект, а R- задачная система), оказывающую существенное влияние на успешность процесса решения задач и представляющую собой сложный комплекс. В состав этого комплекса Ю. М. Колягин включает: 1) активно воздействующие математические знания (и соответствующие им специальные умения и навыки); 2) опыт в применении знаний; 3) определенную совокупность сформированных свойств мышления (мыслительные операции), которые проявляются в процессе решения задач. 152

Однако надо заметить, что в процессе решения сюжетной задачи проявляются не только те или иные мыслительные операции субъекта обучения, но и другие черты, характеризующие индивида, такие, например, как самостоятельность, воображение, память и пр. Учет данных черт студента в образовательном процессе и является отличительной характеристикой личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач. В методической литературе и практике обучения проблема формирования этих умений решается обычно путем вооружения учащихся особыми рекомендациями, например, выдели условие и вопрос задачи, составь ее краткую запись; если не удается решить задачу полностью, пытайся решить часть задачи, вспомнить, не встречалась ли похожая задача. Такие рекомендации, несомненно, полезны, но они имеют лишь ориентировочно-направляющее назначение. Наряду с этим необходимо развивать общие умения, использование которых, с одной стороны, позволит найти план решения задачи, с другой, – даст возможность развивать студента как личность. С.Е. Царева [290], проанализировав процесс решения задач, предположила, что: а) общее умение решать задачи складывается из: – знаний о задачах, методах и способах решения, приемах, помогающих решению, о процессе решения задачи, этапах этого процесса, назначении и содержании каждого этапа; – умений выполнять каждый их этапов решения любым из методов и способов решения, используя любой из приемов, помогающих решению. б) умение решать задачи определенных видов состоит из: – знаний о видах задач, способах решения задач каждого вида; – умение «узнать» задачу данного вида, выбрать соответствующий ей способ решения и реализовать его на «узнанной» задаче. В своем исследовании мы возьмем в качестве основы предлагаемую ею систему обучения решению задач, так как она рассматривает общее умение решать задачи как умения, которые проявляются при решении человеком незнакомой задачи, т.е. такого вида, способ решения которой неизвестен решающему, а это есть реализация стратегии обучения решению сюжетных задач. Дополнив данную систему приемами, способствующими не только добиваться высокой степени облученности студентов, но создающих условие для развития их как личности. Разработанное нами личностно ориентированное обучение решению сюжетной задачи включает относительно каждого этапа стратегии решения систему упражнений, способствующих формированию и развитию черт, характеризующих индивида. 153

3.1 Восприятие и анализ сюжетной задачи Восприятие и анализ задачи невозможен без привлечения внимания студентов к задаче как объекту изучения, которое достигается не только восприятием нестандартности и новизны, но и субъективной значимостью предлагаемого содержания, создающими идейно-эстетическое своеобразие сюжета. При этом важную роль в сюжете задачи играют основные принципы организации построения текста, которые, несмотря на уникальность каждого отдельного элемента, образуют некоторую общую и устойчивую систему, целостность которой способна вызывать положительный эмоциональный отклик у студентов и привлечь их внимание к решению сюжетной задачи. Пример. Преподаватель предлагает одному из студентов номер дома, в котором он живет, умножить на 4, к результату прибавить 7, полученное число умножить на 25, прибавить к полученному произведению его возраст (целое число лет) и число 125. После того как студент произносит полученное число, преподаватель называет номер дома, в котором живет студент, и сколько ему лет. Остальным обучающимся предлагается подумать над тем, как преподавателю это удалось. Восприятие сюжетной задачи невозможно без понимания содержания, без раскрытия логических связей между элементами задачи. Пример. Дана задача: «Сплавлено два слитка, содержание золота в которых 64% и 84% соответственно. Масса полученного сплава 50 г и он содержит 76% золота. Чему равна масса каждого из сплавленных слитков?» Любое из ниже перечисленных заданий будет отвечать решению поставленной задачи: а) Выделите компоненты внешней структуры данной задачи. б) Выделите компоненты внутренней структуры сюжетной задачи г) Определите известные (явно заданные) элементы задачи. д) Определите неизвестные (неконкретные, неявно заданные) элементы задачи. е) Определите искомые (их требуется найти или установить) элементы задачи. ж) Определите промежуточные или вспомогательные (нахождение которых не требуется, но они должны быть найдены в процессе поиска искомых) элементы задачи. з) Определите величины, которыми охарактеризованы элементы (сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи; характер каждого значения величины). и) Определите характер взаимосвязей между элементами. к) Определите основное отношение между величинами. 154

л) Определите состояния (изменение значений величин, характеризующих ее элементы). м) Определите ситуации (предложения, формализованные основным отношением, реализованным в задаче). Подобные задания способствуют лучшему осознанию всех компонентов задачи, позволяют сконцентрировать внимание на каждом конкретном элементе задачи. С другой стороны, данные упражнения позволяют развивать мыслительные операции у обучающихся. Задания, требующие выделения признаков объектов, предполагают особую умственную деятельность, в процессе которой происходит выделение отдельных признаков, нахождение общих и различных черт, свойственных сходным элементам различных сюжетных задач. Если у студентов нет навыка к данной деятельности, то они выделяют недостаточное число признаков сходства и различия сравниваемых элементов, не умеют отличать существенные признаки объектов от несущественных, что приводит, как правило, к неверному решению сюжетной задачи. Пример. Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем они отличаются? Можно ли утверждать, что решения этих задач будут одинаковыми? 1 задача. Две бригады должны были выполнить работу за 6 дней. После 4-хдневной совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада смогла завершить работу, проработав еще 4 дня. За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая из бригад, работая отдельно? 2 задача. Две бригады должны были выполнить работу за 6 дней. После 4-хдневной совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому второй бригаде пришлось работать всего 8 дней. За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая из бригад, работая отдельно? – Чем похожи тексты задач? Сравнивая идентичные сюжеты задач, студент устанавливает признаки сходства и различия между их элементами, что способствует формированию навыка выделять существенные признаки, влияющие на поиск верного решения. Пример. Прочитайте задачи и скажите, какая задача «лишняя» и почему? 1 задача. Бассейн наполняется первой трубой за 4 часа. Через 2 часа после открытия первой трубы открыли вторую, через которую весь бассейн может быть наполнен за 6 часов. Через сколько часов был наполнен весь бассейн? 2 задача. Бассейн наполняется первой трубой за 3 часа. Через 1 час после открытия первой трубы открыли вторую, через которую весь бас155

сейн может быть опустошен за 5 часов. Через сколько часов был наполнен весь бассейн? 1 задача. Первая машинистка может набрать текст за 3 часа. Через 1 час после того, как первая машинистка приступила к работе, ей в помощь пришла вторая машинистка, которая может сама справиться с данной работой за 5 часов. Через сколько часов был набран весь текст? При выполнении такого рода заданий слабые студенты ориентируются на внешние признаки. Например, при ответе они могут найти отличия в содержании сюжета задачи. А более сильные обучающиеся могут установить сходство и различие между компонентами внутренней структуры приведенных задач. Развитию воображения и креативного мышления студентов способствует применение схем, рисунков, само осознание текста задачи и мысленное представление ее содержания, что предполагает: 1) формулирование текста задачи по его описанию (модели, иллюстрации, фабуле); 2) умение выявлять неявно выраженные элементы задачи и неявно заданные отношения; 3) осознание условности учебных сюжетных задач и их моделей. Студенту очень важно уметь создавать и передавать целостный образ познаваемого объекта, и этому способствует формирование умения составлять сюжетные задачи на основе рисунков, символов и ключевых терминов, предложений. При выполнении данной работы обучающийся, с одной стороны, соотносит свои знания из различных областей наук, с другой стороны, чувствует, ощущает смысл содержащейся в сюжетной задаче реальности. Выбор, производимый студентами в подобных задачах, активизирует действие самоконтроля, а также способствует развитию сосредоточенности внимания. Пример. Составьте сюжетную задачу с использованием схемы с готовыми ключевыми словами (рис. № 13). Маша собрала 1

отдала

2

3

мячи

4 грибы

Сколько всего…

нарисовала 5

6

подарила

7

конфеты

8

9

рисунки

На сколько… …

Рис. № 13 156

10 книги Во сколько…

В основе данного приема лежит метод произвольно выбранных слов, то есть слова выбираются наугад, а после этого они связываются в определенный сюжет, на основе которого составляется сюжетная задача. Чтобы дать возможность проявить студенту свои творческие способности, необходимо подобрать задачи, содержащие разнообразный по содержанию необходимый набор слов, которые обучающиеся использовали бы при составлении задач. Пример. Составьте сюжетную задачу с использованием схемы без готовых ключевых слов (рис. № 14). Что сделал?

Кто?

сколько?

Что сделал?

Кто?

На сколько… … Сколько всего…

сколько?

Во сколько…

Рис. № 14

Студентам предлагается самим заполнить схему ключевыми словами, которые могут подбираться произвольно либо по заданному сюжету Пример. Составьте сюжетную задачу на основе рисунков, учитывая отличие в них (рис № 15).

Рис. № 15 – По рисункам определите сюжет задачи. Как он меняется от первого рисунка ко второму? Назовите объекты задачи. С какими из них мы будем проводить вычислительные операции? Что вы можете сказать о количественной характеристике объектов на первом рисунке? Что вы можете сказать о количественной характеристике объектов на втором 157

рисунке? Сформулируйте требование задачи. Сформулируйте текст задачи. Данный прием основан на понятии элементарного сравнения, под которым понимают сравнение одного объекта с каким-нибудь другим объектом по какому-либо одному свойству, удовлетворяющему требованиям сравнения. В его структуре можно выделить следующие составляющие: − объект, который подвергают сравнению; − объект, с которым сравнивают первый объект; − основания сравнения – свойство, по которому сравнивают объекты; − вывод из сравнения. Пример. Составьте сюжетную задачу на основе рисунка (рис. № 16).

Рис. № 16

Данный рисунок помогает очень быстро выстроить ассоциативный ряд, который, как правило, либо наталкивает на решение проблемы, либо задает направление креативного процесса. В зависимости от уровня математических знаний и развития воображений, творческого мышления студенты могут предложить различные по уровню сложности задачи. Например, можно составить следующие задачи: а) «Больших и маленьких игрушечных медвежат вместе было 5 штук. Какое было количество маленьких и больших медвежат, если больших было на одного медвежонка больше, чем маленьких». б) «Для изготовления трех больших и двух маленьких игрушечных медвежат двум мастерам необходимо затратить 4 часа. На изготовление маленького медвежонка идет времени в два раза меньше. Сколько времени необходимо каждому мастеру для выполнения этой работы, если известно, что второй мастер приступил к работе, когда первый сшил двух больших медвежат и одного маленького, оставив оставшуюся работу второму мастеру. Работая отдельно, мастера справились с заданием за 6 часов». Сюжетный рисунок как вид графической информации лишен избыточности и несет минимум необходимых для понимания смысла сведений, поэтому легко воспринимается студентами. Но несмотря на эту легкость, составление оригинальных сюжетных задач по рисунку для обучающихся сложно, так как им необходимо составить не только сюжет задачи, но и продумать ее математическую модель. 158

Пример. Составьте сюжетную задачу на основе рисунка (рис. № 17). В отличие от предыдущего задания, данный рисунок не содержит указаний на величины, количественные характеристики которые могли быть положены в основу математической модели сюжетной задачи. Это может Рис. № 17 быть время, проведенное девочкой на рыбалке, или количество пойманных рыб. Все зависит от воображения студента. С другой стороны нет жестких ограничений по выбору математической модели, и она может быть отнесена к любой изучаемой теме. При формировании навыков по восприятию и анализу сюжетных задач можно использовать метод «заданного диапазона», который предполагает формулирование и фиксацию диапазона возможных решений проблемы. Начальная точка должна описывать наиболее очевидное, консервативное и беспроигрышное решение. Финальная точка должна, напротив, описывать самое необычное решение. Эти две точки являются исходными ограничивающими параметрами. Далее необходимо придумать возможные решения проблемы в рамках заданного диапазона и выписать их соответствующим образом, не оценивая, а ранжируя по степени проявления творческих способностей. Пример. Составить сюжетную задачу, в содержании которой были бы литературные герои. При выполнении этого задания учащиеся могут воспользоваться одним из самых простых приемов: заменить обычные персонажи задачи на литературных героев. Например, задачу: «Как-то Арамис, Атос, Портос и д'Артаньян решили помериться силой в перетягивании каната. Масса Арамиса составляет 10/13 массы Атоса, масса Портоса 15/13 массы Атоса, масса д'Артаньяна 12/13 массы Атоса. Кто победит, если: а) на одну сторону встанут Арамис и Портос, на другую – Атос и д'Артаньян; б) на одну сторону встанут Арамис и Атос, на другую – Портос и д'Артаньян; в) на одну сторону встанут Арамис и д'Артаньян, на другую – Портос и Атос?» можно получить из аналогичной ей путем замены имен Андрей, Виктор, Сергей и Денис на Арамис, Атос, Портос и д'Артаньян. С другой стороны, если подойти к этому вопросу творчески и попробовать самому составить задачи по определенному сюжету, данная работа принесет больше удовлетворения обучающемуся, чем предыдущая, хотя и займет больше времени. Например, студенты могут проявить себя в сочинении «рассказов» или «сказок», которые представляют собой систему сюжетных задач, составленных по содержанию какого-либо литературного произведения. «Сказки» или «рассказы», написанные студентами, могут служить для создания и поддержания эмоционального настроения обучающимися на уроках. Они пробуждают интерес к эмоциональному 159

материалу, помогают студентам лучше осознать и запомнить его. Так как обучающимся данная работа интересна, они относятся к ней добросовестно, проявляя чудеса изобретательности и творчества. И вследствие этого получают не только хорошие отметки, но и признание своих способностей со стороны преподавателя и однокурсников. А это, в свою очередь, вызывает желание учиться, развивать уровень своих способностей, приводит к стремлению участвовать в творческом процессе всего курса. Пример. «Молодильные яблоки»: В некотором царстве, в некотором государстве жил царь, у которого было три сына: Иван, Федот и Петр. Состарился царь и задумал вернуть себе молодость. А молодость можно возвратить только при помощи молодильных яблок, которые росли в садах Кощея Бессмертного. 1. И сказал царь сыновьям, что дает им в дорогу три четверти от общего числа выданных лошадей и три четверти одной лошади. Сколько лошадей дал царь сыновьям? 2. Все три лошади съедают вместе 1/3 всего запаса братьев. Первая лошадь съедает 1/12 часть от съеденного запаса тремя лошадьми. Вторая в 2 раза меньше, чем первая. Сколько съедает третья лошадь? 3. И пошли они в Кощеево царство, которое населяло бесчисленное количество нечисти. Однако ко двору Кощея были допущены только самые мерзкие из них. И поинтересовались братья, сколько же их было? И ответил Кощей: «Если бы моих слуг было столько, сколько теперь, да полстолька, да четверть столько, да еще двое из вас, тогда их будет ровно сто». 4. Передав дары от отца, попросили они молодильное яблоко, – Что ж, – ответил Кощей, – дам я вам то, что вы просите. Однако сорвать его вы должны будете сами. Поблагодарив Кощея, братья спустились в сад. И увидели, что охраняет яблоню с молодильными яблоками Змей Горыныч. Какова длина Змея Горыныча, если длина его составляет 40 м и еще половина его длины? 6. Выхватив мечи, отрубили братья равное количество голов у Змея Горыныча. Сколько отрубили они голов, если к головам Змея Горыныча прибавить 5, отнять 7, результат разделить на 2 и умножить на 10, то получится 50? 7. И сорвал Иван молодильное яблоко. После этого отправились братья в свое царство, предполагая каждый день проходить треть всего пути и таким образом через три дня прийти домой. В первый день они прошли треть пути, во второй день они ошиблись в расчетах и прошли не треть пути, а треть остатка, на следующий день они сделали ту же ошибку. В результате им осталось пройти 56 км. Сколько километров от Кощеева царства до дома? 160

Великий пир устроил царь-отец по прибытии своих сыновей. И сказал тогда царь: «Вижу, что достойную смену вырастил я себе и могу спокойно передать царствование им. Поэтому Молодильное Яблоко я отдаю Всей Руси. Пусть будет она вечно молодой!» И в том, и другом случае это будет способствовать формированию умения, во-первых, воплощать в художественный образ свои мысли, чувства, переживания, во-вторых, применять имеющиеся знания, приводить примеры по изученной теме, то есть студент не просто учится, а понимает, что его увлекает в процессе учебы, осознает необходимость научного познания, увлеченность наукой становится чертой его личности. Подобная деятельность является не только эффективным средством возбуждения увлеченности математикой, но и способствует расширению литературно-художественного кругозора обучающихся. Тем самым осуществляется, пусть и скромный, вклад математики в решение общей воспитательной задачи и подъема духовной, и, в частности, гуманитарной культуры студентов. Помимо воспитательных функций написание системы задач, связанных одним сюжетом, требует от студентов соблюдения единой логической связи, прослеживаемой в сюжетах различных задач, выстроенных последовательно, что предполагает развитие объема внимания и памяти. Увеличение объема внимания и памяти может быть достигнуто при использовании упражнений, в которых постепенно увеличивается количество информации, которую должен усвоить студент. Строятся эти упражнения на основе укрупнения информационных единиц и соединения их в системы. Пример. Последовательно для каждой из трех сюжетных задач проведите предметно-содержательный анализ, прочитав ее содержание только один раз. 1. Мебельная фабрика за квартал выпустила шкафов в три раза больше, чем кроватей. Сколько штук каждого вида мебели выпущено, если всего выпущено 600 штук мебели? 2. Мебельная фабрика за квартал выпустила шкафов в три раза больше, чем кроватей, а столов на 170 больше, чем шкафов. Сколько штук каждого вида мебели выпущено, если всего выпущено 1220 штук мебели? 3. Мебельная фабрика за квартал выпустила шкафов в три раза больше, чем кроватей, а столов на 170 больше, чем шкафов, но в два раза меньше, чем диванов. Сколько штук каждого вида мебели выпущено, если всего выпущено 2460 штук мебели? Пример. Запишите n задач при условии увеличения элементов, связей между элементами от задачи к задаче с одним сюжетом. Эффективность запоминания и сохранения в памяти какого-либо текста задачи зависит от особенностей его построения или организации, 161

которые обычно выявляет студент в процессе запоминания. Именно организующая мыслительная деятельность и эмоциональные проявления, сопровождающие восприятие, лежат в основе запоминания материала и его последующего воспроизведения. Пример. Даны тексты сюжетных задач: Задача 1. Число студентов, успешно сдавших сессию, заключено в пределах от 70 до 80 % от общего числа студентов. Определите минимальное число студентов, которое может быть в группе. Задача 2. Из 22 кг свежих ягод получается 2,5 кг сухих ягод, содержащих 11% воды. Сколько воды в сухих ягодах? Задача 3. В январе завод выполнил 105 % месячного плана, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил месячный план? Задача 4. В январе завод перевыполнил месячный план, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил месячный план? Задача 5. В январе завод выполнил 105 % месячного плана, что составило 2340 тон продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил месячный план? а) определите, какие из задач являются простыми, какие составными; б) определите, какие из задач являются: – тренировочными задачами (определенными с приведенным условием); – обучающими задачами: а) определенные (с не приведенным условием); б) переопределенные (непротиворечивые); – поисковыми задачами (неопределенные); – проблемными задачами: а) неопределенные; б) переопределенные (противоречивые); в) определенные (противоречивые); – творческими задачами (неопределенные). Пример. Измените условие задачи с недостающими данными «Латунь состоит из свинца, цинка и меди, причем металлы берутся в отношении 3:50:97. Сколько каждого металла содержится в латуни?» так, чтобы можно было решить эту задачу. Пример. Выбери данные, которыми можно дополнить условие задачи: «Книги стоят на двух полках, на первой книг больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?», чтобы ответить на поставленный в ней вопрос. Обоснуйте свой выбор. – На двух полках 79 книг. – На первой полке 11 книг. – На первой полке на 11 книг больше, чем на второй. 162

Пример. Найдите в задаче лишние данные: «Для новогодних подарков привезли 48 кг конфет в двух коробках, трех пакетах и восьми ящиках. В пакетах было 12 кг конфет, в коробках в 3 раза меньше, чем в пакетах, а остальные конфеты были в ящиках. Сколько конфет было в ящиках?» Измените вопрос и условие задачи так, чтобы общее количество конфет стало лишним данным. Запишите новую задачу и решите ее. Пример. Убери лишние данные в переопределенной сюжетной задаче: «В январе завод выполнил 105 % месячного плана, что составило 2340 тон продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил месячный план?» Данные задания можно отнести к корректурным, так как они предполагают нахождение и вычеркивание лишних элементов в системе. Подобный прием используют для развития сосредоточенности (концентрации) внимания. Все выше перечисленные задания можно отнести к работам поискового характера, результат которых целиком возлагается на студентов и предполагает проявление различных аспектов творчества у обучающихся. Таким образом, система личностно ориентированных упражнений по формированию навыков восприятия и анализа задачи не допускает действий по готовым рецептам и шаблону, а требуют применения знаний в новой ситуации, поэтому способствуют формированию инициативы и познавательных способностей учащихся. 3.2. Построение модели сюжетной задачи. В процессе обучения решению сюжетных задач возникает необходимость не только проанализировать какой-либо объект, но и выделить для более углубленного его изучения какой-либо один признак, одно свойство, одну часть, отвлекаясь (абстрагируясь) на время от всех остальных, не принимая их во внимание. Выделенный в процессе абстрагирования признак предмета мыслится независимо от других признаков и становится самостоятельным объектом мышления. С другой стороны при помощи заданий, в которых происходит мысленное выделение существенных свойств и признаков предметов или явлений при одновременном отвлечении от несущественных признаков и свойств может быть сформирована у студентов абстракция как одна из мыслительных операций. Пример. Дана задача: «Сплавлено два слитка, содержание золота в которых 64% и 84% соответственно. Масса полученного сплава 50 г и он содержит 76% золота. Чему равна масса каждого из сплавленных слитков?» Постройте табличную модель к данной задаче. Табличная модель задачи может быть представленная следующим образом (таблица № 7): 163

Таблица № 7 Состояния 1 слиток 2 слиток сплав двух слитков

Величины масса % масса % масса %

золото х·0,64 64 у·0,84 84 х·0,64+ у·0,84=50·0,76 76

Элементы примесь х·0,36 36 у·0,16 16 х·0,36+ у·0,16=50·0,24 24

сплав х 100 у 100 50=х+у 100

Построение модели невозможно без приема смысловой группировки материала, так как процесс построения модели предполагает: восприятие и осмысление содержания задачи, выявление в процессе анализа элементов внутренней структуры задачи, представление всей структуры в целом и отдельно каждой ее части, установление связи между выделенными компонентами структуры и осознание логической последовательности процесса решения. Когда строится только одна модель, пусть даже и наиболее рациональная для поиска способа решения задачи, у студентов нет возможности самим осознать преимущества той или иной модели для определенных типов задач. А если нет понимания границ применимости той или иной модели, то нельзя говорить о сформированности навыка у студентов по построению моделей сюжетных задач. Поэтому необходимо учитывать задания по построению не одной, а всевозможных моделей к одной и той же задаче. Подобный пример был рассмотрен в первой главе. Процесс построения модели заключается в отыскании или построении студентом связей между объектом и его символом. При этом студент должен на основе наблюдений за каким-либо объектом уметь увидеть и изобразить его символ в графической, знаковой, словесной или иной форме, формулировать характер отношений символа и его объекта. Поэтому символ как глубинный образ реальности, содержащий в себе ее смысл, может выступать средством наблюдения и познания этой реальности. Процесс построения модели позволяет ответить на ряд вопросов: 1. На каком языке - математическом или обычном русском - информация записывается короче (меньшим количеством знаков)? 2. Верно ли мнение, что математику изобрели для того, чтобы можно было записывать, сохранять информацию, тратя на запись и на прочтение записи меньше времени? Это дает возможность показать языковую природу математического знания, ориентировать студентов на овладение математикой как одним из языков, которые позволяют нам хранить и перерабатывать информацию о мире, человеке, расширяют и обогащают возможности общения. 164

Личностно ориентированная составляющая данного этапа основывается на эмоционально-образном исследовании идеального объекта и умении видеть применимость модели в реальной действительности. При обучении решению сюжетных задач студент должен уметь не только по предложенному содержанию построить математическую модель, но и по математической модели сконструировать сюжет задачи. Для этого необходимо, чтобы обучающийся, глядя на число, фигуру, слово, знак или реальный объект, мог бы нарисовать увиденные в них образы, описать, на что они похожи. При этом сюжетная задача как образовательный продукт является результатом наблюдения студентов и выражается в словесной или графической форме, то есть студенты проговаривают, записывают или рисуют результаты своего исследования. Пример. Составь задачу с другим сюжетом, в основе которой будет аналогичная математическая модель: «Два поезда прошли с одинаковой скоростью – один 837 км, другой 248 км, причем первый был в пути на 19 ч больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд? » При соблюдении всех этих требований у студентов формируются не только такие мыслительные операции как сравнение, анализ, обобщение, но и воображение, так как студент создает новый, оригинальный образ. Пример. По логической схеме запишите условие задачи (рис. № 18):

12 кг яблок в 1 ящике

3 ящика с яблоками

В 1 пакете 2 кг яблок

Всего х кг яблок Сколько пакетов надо, что бы расфасовать все яблоки?

Рис. № 18 В логической схеме названы объекты и показаны связи между ними. Графически эти связи в общем виде отмечены стрелками или линиями, подлинное же их раскрытие должны осуществить студенты при составлении сюжетной задачи. Процесс составления сюжетной задачи по логической схеме требует не только отчетливого понимания необходимости такого преобразования в дидактических целях в каждом конкретном случае, но также умения видеть текст будущей задачи в общем и его составляющие в отдельности. Пример. По таблице запишите условие задачи (рис № 19): 165

Команды

Количество

1 покупка

10 шт.

2 покупка

15 шт.

Цена одинаковая

Стоимость 1000 руб. ?

Рис. № 19

Таблица является абстрактной моделью, поэтому она предполагает достаточные знания у студентов по представлению взаимосвязанностей пропорциональных величин, т.к. сама модель этих взаимосвязанностей не показывает. И насколько грамотно будет составлен сюжет задачи, можно оценить знания студентов. Пример. По данному чертежу запишите условие задачи (рис. № 20):

?

300 45 м Рис. № 20

Учитывая, что чертеж прост для восприятия, так как он наглядно отображает каждый элемент отношения, обеспечивает целостность восприятия задачи, позволяет увидеть сущность объекта в «чистом» виде, без отвлечения на частные конкретные характеристики, обладает свойствами предметной наглядности, конкретизирует абстрактные отношения, то составление сюжетных задач в данном случае не вызывает особых затруднений у студентов. Однако он не содержит дополнительных «подсказок» в виде вспомогательных рисунков или ключевых слов, вследствие чего у обучающихся может возникнуть затруднение при формулировании сюжета, с другой стороны, такие подсказки не позволяют продемонстрировать студентам всего спектра своего воображения. При составлении задач по математической модели проявляется элементарная эвристическая деятельность, которая представляет собой 166

исходный этап и направлена на осознание задачи, осуществление поиска недостающей для решения информации, выявление ее внешних и внутренних связей. Тем самым она направлена на уяснение, систематизацию и выяснение той информации, которая в задаче содержится в явном виде. Элементарность этой деятельности относится к пониманию необходимости ее осуществления, но не к ее значимости, которую трудно переоценить. Практически невозможно решить задачу, не осуществив элементарную эвристическую деятельность. Пример. Составьте задачу по математической модели с помощью рисунка-подсказки (рис. № 21). 4 - 100 % 2 - х% х-?

Рис. № 21. Пример. Составь задачу о школьных принадлежностях, решение которой соответствовало бы числовому выражению (2 + (2 + 1)) ⋅ 450 . Пример. Составь задачу, решение которой соответствовало бы числовому выражению (2 + (2 + 1)) ⋅ 450 и в содержании которой использовались бы слова: дом, строительство, новостройка, квартиры. Пример. Составьте сюжетные задачи на основе следующей графической информации (рис. № 22):

а

б

(4+5)· 236

в

25

? 36

Рис. № 22 167

Подобные задания позволяют студентам не просто изучать материал, а конструировать собственные сюжетные задачи о реальных объектах познания. Индивидуальность образовательных продуктов в данном случае обусловливается различием в личностных качествах обучающихся и их восприятием реальной действительности - различные студенты выделяют различные свойства одних и тех же объектов. 3.3. Поиск способа решения задачи. Математическое образование в вузе должно отвечать требованиям современной социокультурной среды, предъявляемым к формированию личности обучающегося: субъект обучения должен стать стратегом своей деятельности; уметь не только ставить перед собой цель, но и при необходимости ее скорректировать; осознавать мотивы своих действий; самостоятельно принимать решения, приводящие к осуществлению задуманного; обладать потенциалом саморазвития и творческого самосовершенствования. Все это предполагает необходимость развития у студентов инверсионного мышления, характеризующегося поиском нестандартных решений, отличных от общепризнанных, позволяющих обучающемуся легко и свободно переключать внимание с одной части проблемы на другую и находить наиболее интересные решения. Между тем данному аспекту математического образования в высшей школе уделяется недостаточно внимания, поэтому, несмотря на многочисленные исследования, проводимые ведущими специалистами в области методики преподавания математики, вопросы развития у студентов инверсионного мышления при обучении решению сюжетных задач решены не в полной мере и требуют более детального изучения. В связи с этим требуется не только найти новые, более эффективные пути организации учебного процесса, но и пересмотреть этап поиска способа решения задачи, структуру с учетом использования метода инверсии. Мы рассматриваем метод инверсии (от лат. inversio – переворачивание, перестановка) при решении сюжетных задач как один из методов творческой деятельности, ориентированный на: 1) поиск нестандартных способов решения сюжетной задачи; 2) сведение исходной сюжетной задачи путем перефразирования ее текста к вспомогательной задаче, решение которой более доступно и позволяет возвратиться к успешному и осознанному поиску решения исходной сюжетной задачи; При использовании метода инверсии под нестандартными способами решения сюжетной задачи принято понимать отличные от традиционно рекомендуемых в учебно-методической литературе, обусловленных формальной логикой, изложением учебного материала и здравым смыслом. Это позволит обеспечить гармоничное соединение правильно усво168

енных методических приемов, изобретательности, креативности мышления и здравого смысла в подходе к решению не только сюжетных задач, но и любых проблем, возникающих в жизни субъекта обучения. Пример. Расстояние от города А до города В автобус проехал за 5 часов, а автомобиль - за 4 часа. Определите расстояние между городами, если скорость автобуса на 20 км/ч меньше скорости автомобиля. Найдите нестандартный способ решения приведенной сюжетной задачи. Для данного типа задач принято использовать алгебраический метод, поэтому поиск арифметического способа решения можно отнести к нестандартному. Он может быть представлен следующим образом: – Найти расстояние между автомобилем и автобусом через 4 часа, если они выедут из города А одновременно. – Найденное расстояние соответствует расстоянию, которое необходимо преодолеть автобусу за последний час пути до города В. – Найти скорость автобуса. – Найти расстояние между городами. Вам предложен поиск решения сюжетной задачи. Найдите его недостатки. В чем его достоинства? Методологическое описание процесса решения сюжетной задачи с целью нахождения инвариантов решения является основой для формирования универсальной личностно ориентированной модели подхода к решению определенного класса сюжетных задач. Это означает, что студент овладевает не только совокупностью теоретико-методологических методов и принципов эвристической деятельности применительно к некоторому классу сюжетных задач, но и приобретает необходимые практические навыки в принятии решений в повседневной жизни и научнопрактической деятельности. Перефразирование текста задачи представляет собой организацию мыслительной деятельности для сведения исходной задачи к вспомогательной или их системе с применением каких-либо эвристических операций. Какая операция будет полезной и приведет к успеху – это предмет поиска. В основе данного приема лежит действие, ведущее к уменьшению размеров какого-либо объекта, упрощение его структуры, т.е. сведение сложного к более простому, доступному для анализа или решения. Если студент не может найти решение сюжетной задачи, преподавателю необходимо проецировать его учебную деятельность на перефразирование задачи. При этом обучающийся ищет различные формулировки сюжетной задачи и изменяет ее до тех пор, пока, наконец, не удастся найти что-нибудь полезное. В результате трансформации, изменения условия задачи, ее исходных данных получается новая, зачастую более простая задача, решение которой не вызывает особых затруднений. Это позволяет развивать диалектику мышления, находить неординарные решения сю169

жетных задач различного уровня трудности и проблемности. Однако данный метод требует достаточно высокого уровня креативности, фундаментальных знаний, умений и навыка. Таким образом, при решении сюжетной задачи перефразирование ее текста рассматривается нами как сведение исходной задачи к вспомогательной или системе, решение которой более доступно и позволяет возвратиться к успешному и осознанному поиску решения исходной задачи. При этом решение исходной задачи представляет собой цель, которую необходимо достигнуть, а решение вспомогательной задачи – средство, при помощи которого достигается данная цель. Сущность данного приема состоит в том, что подвергается изменению какой-либо элемент изучаемого объекта, при этом необходимо описать свойства нового, измененного объекта. Одним из основных внешних источников выступает информация, накопленная в памяти решающего. Ему предстоит извлечь ее оттуда и целенаправленно приспособить к решению своей задачи. Но это не механическое извлечение, а сложнейший мыслительный акт – актуализация. Приспособление же к решаемой задаче, извлеченной информации – ее организация. Актуализацию и организацию практически невозможно отделить друг от друга. Недостаточно обладать требуемыми знаниями в некотором потенциальном состоянии. Студенты должны вспомнить о них, когда это становится необходимым, оживить и сделать пригодными для достижения цели, приспособить их к задаче, организовать их. Сюжетные задачи называются эквивалентными, если решение любой из них делает очевидным решение другой. Эквивалентная задача получается в результате замены данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Например, этого можно достигнуть в результате отбрасывания несущественной, излишней информации, замены описания некоторых понятий соответствующими терминами. Пример. Исходная задача: «Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2 1 оставшегося имущества, а – матери. В случае рождения дочери она 3

должна получить

3

1 , 3

а мать –

2 3

имущества. Вдова завещателя родила

близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы выполнить условия завещания?» Эквивалентная задача: Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему в два раза больше оставшегося имущества, чем матери. В случае рождения дочери – она должна получить в два раза меньше имущества, чем мать. 170

Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы выполнить условия завещания?» Данные примеры показывают, что поиск решения задачи напрямую зависит от ее формулировки, т.е., изменяя формулировку задачи, поиск ее решения можно либо усложнить, либо упростить, так как в различных формулировках одна и та же задача представляет различную трудность для решающего. В случае невозможности такого перехода можно использовать: а) Метод решения вспомогательной задачи. Рассматриваемое положение основывается на том, что исходная задача требует привлечения идей, с которыми обучаемый не сталкивался ранее или которые не усвоил в процессе обучения. В данном случае целесообразно попробовать найти способ решения более легкой задачи (косвенно-вспомогательной), содержащей те же основные идеи. Пример. Исходная задача: «Из пункта А в пункт С вышла грузовая машина со скоростью 35 км/ч. Одновременно с ней в том же направлении из пункта В, отстоящего от А на 150 км, вышла легковая машина со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов легковая машина догонит грузовую?» Косвенно-вспомогательная задача: «Из пункта В в пункт С через пункт А, отстоящий от В на 150 км, вышла легковая машина со скоростью 60 км/ч. Найти расстояние от пункта А до пункта С, если легковая машина находилась в пути 6 ч». Пример. Моторная лодка прошла расстояние между двумя пристанями А и В по течению реки за 6 часов, а обратный путь она совершила за 8 часов. За сколько времени пройдет расстояние между этими пристанями плот, пущенный по течению реки, если расстояние между пристанями 240 км. 1) 240 : 6 = 40 (км/ч) – скорость лодки по течению. 2) 240 : 8 = 30 (км/ч) – скорость лодки против течения. Как правило, после выполнения данных двух действий дальнейшее решение задачи вызывает затруднение. В данном случае для выявления правильного решения можно предложить студентам решить следующую задачу, рефлексивное исследование которой должно способствовать нахождению способа решения задачи, вызывающей затруднение: Расстояние между двумя пристанями А и В 240 км. Сколько понадобится времени, чтобы моторная лодка прошла расстояние от пристани А до В и вернулась обратно, если собственная скорость лодки 35 км/ч, а скорость реки 5 км/ч? 1) 35 + 5 = 40 (км/ч) – скорость лодки по течению. 2) 35 − 5 = 30 (км/ч) – скорость лодки против течения. 3) 240 : 40 = 6 (ч) – время, затраченное моторной лодкой на путь от пристани А до пристани В. 171

4) 240 : 30 = 8 (ч) – время, затраченное моторной лодкой на путь от пристани В до пристани А. 5) 6 + 8 = 14 (ч) – время, затраченное моторной лодкой на путь от пристани А до пристани В и обратно. После решения данной задачи можно предложить студентам ответить на следующие вопросы: – Чему равняется скорость лодки по течению реки? (40 км/ч). – Чему равняется скорость лодки против течения реки? (30 км/ч). – На сколько скорость лодки по течению реки превосходит скорости лодки простив течения? (на 10 км/ч). – Чему равняется скорость течения реки? (5 км/ч). – Во сколько раз собственная скорость реки меньше разности между фактической скоростью лодки по течению реки и против течения реки? (в 2 раза). – Какой можно сделать вывод из данных рассуждений? (Разность между фактической скоростью лодки по течению реки и против течения реки равна удвоенной скорости течения). Таким образом, в процессе рассуждения обучающиеся самостоятельно формулируют новое для себя знание, которое позволяет разрешить возникшее затруднение при решении исходной задачи. Проблемная ситуация позволяет преобразовать содержание обучения решению сюжетных задач из цели освоения в средство развития способности и потребности обучаться. Таким образом, происходит не просто передача знаний, а прежде всего, создаются условия для развития студента как личности. Это обусловлено тем, что данный методический прием приводит к тому, что результатом рефлексивной деятельности студента станет его развитие и изменение, смена позиции, занимаемой им в той или иной учебной ситуации и активизация его как субъекта деятельности. б) Результат вспомогательной задачи в решении основной. Другим важным моментом демонстрации перефразирования текста задачи является принцип «установления связи» – необходимый компонент методики обучения решению сюжетных задач, состоящий в установлении связи между конкретной задачей и ранее накопленным запасом знаний. Любая процедура, направленная на упрощение сюжетной задачи (следовательно, и поиск ее решения), неизбежно подразумевает поиск такого рода связи. Этот поиск может основываться на аналитическом расчленении задачи (анализе компонентов) с целью нахождения аналогов или же на поиске аналогичных задач с приемлемыми вариантами решений. Исходя из условия задачи, составляют более простую промежуточную сюжетную задачу, а затем формулируют следующую промежуточную 172

задачу (исходя из условия данной или же опираясь на результаты, полученные при поиске способа решения предыдущей промежуточной задачи) и поступают так до тех пор, пока не будет найден способ решения последней промежуточной задачи. Совокупность действий по нахождению всех промежуточных способов решения и даст алгоритм действий, позволяющий решить задачу. Пример. Строятся 3 шестнадцатиэтажных жилых дома. На каждом этаже будет по 20 квартир. Из всех квартир однокомнатных 270, двухкомнатных вдвое больше, остальные трехкомнатные. Сколько трехкомнатных квартир в этих домах? В рассматриваемой задаче можно выделить две части: 1 часть. Строятся 3 дома по 16 этажей, и на каждом этаже разместится 20 квартир. Сколько всего квартир в данных домах? (В этих домах всего квартир 20 · 16 ·3 = 960). 2 часть. Необходимо найти количество трехкомнатных квартир, зная, что в строящихся домах 960 квартир, из которых 270 однокомнатных, а двухкомнатных в 2 раза больше, остальные – трехкомнатные. В данном случае нахождение способа решения одной из подзадач, в сознании обучающихся не вырывается из целой (основной) задачи, а выступает как необходимая составная ее часть по нахождению способа решения исходной задачи. В общем случае при сведении сюжетной задачи к подзадачам, описании задачи преобразуется в множество описаний подзадач таким образом, что нахождение способа решения всех подзадач обеспечивает нахождение способа решения исходной сюжетной задачи. Показав на нескольких упражнениях этот прием поиска решения задачи, важно не навязывать его студентам, а подтолкнуть их к тому, чтобы они сами искали пути наиболее простого подхода к поиску решения сюжетной задачи. Пример. Если в каждой байдарке будет сидеть по 2 спортсмена, то на берегу останутся 3 спортсмена. А если в каждой байдарке будет сидеть по 3 спортсмена, то не хватит двух спортсменов. Сколько было спортсменов и сколько было байдарок? Задачи-помощники: • Команда из 11 спортсменов готовится к старту. Если в каждую байдарку сядут по 2 спортсмена, то 3 спортсмена останутся на берегу. Сколько было байдарок? • Команда из 11 спортсменов готовится к старту. Если в каждую байдарку сядут по 2 спортсмена, то 3 спортсмена останутся на берегу. Но в соревнованиях должна участвовать вся команда. Рассадив оставшихся спортсменов, оказались байдарки с двумя и тремя спортсменами. Сколько будет тех и других байдарок? 173

• Команда из 11 спортсменов готовится к старту. Если в каждую байдарку сядут по 3 человкка, то в одной из байдарок окажется только 2 спортсмена. Сколько было байдарок? Видоизменение сюжетной задачи существенно. Этот факт имеет различные объяснения. Например, продвижение в решении задачи проявляется в мобилизации и организации, ранее усвоенных знаний, то есть студенты должны припомнить ряд необходимых для решения сюжетной задачи элементов и ввести их в решение задачи, а варьирование задачи помогает им припомнить такие элементы. Это основывается на том, что мы припоминаем при помощи своего рода «действия по связям», называемого «ассоциацией мысли». То, что занимает наши мысли в данный момент, имеет тенденцию вызвать в нашей памяти все, что было связано с ним раньше. Видоизменяя задачу, мы вносим новые моменты и, таким образом, создаем новые связи, новые возможности воскресить в нашей памяти все, что имеет отношение к нашей задаче. в) Вспомогательные элементы. Эффективную помощь могут оказать и вспомогательные элементы, которые представляют средство сведения исходной задачи к ранее решенной. Вводя соответствующие вспомогательные элементы, мы целенаправленно изменяем ее к виду, который нам знаком, а решение известно. Именно это мы имеем в виду, когда, размышляя о том, как воспользоваться прежней задачей, задаем себе вопрос: не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней сюжетной задачей. Вводить вспомогательные элементы надо с предварительным обоснованием логического или эвристического характера. Если они будут появляться внезапно, без всякой мотивировки и задача окажется решенной, вдумчивый учащийся может испытать разочарование. Пример. Исходная задача. Старик-араб, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежавшее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний – треть и младший – девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как быть, братья обратились к шейху, которому удалось разделить верблюдов согласно завещанию. Как он это сделал? Вспомогательная задача. Старик-араб, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежавшее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний – треть и младший – девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как быть, братья обратились к шейху. Тот приехал 174

к ним на собственном верблюде, которого прибавил на время к стаду, и разделил верблюдов согласно завещанию. Каким образом шейх догадался до используемого им приема? Продуктивность данного приема зависит от того, насколько обучающиеся умеют выделять признаки объектов и устанавливать взаимосвязь между ними. При этом необходимо иметь два известных объекта и четко осознавать цель производимой трансформации. При этом следует избегать преждевременной четкой формулировки проблемы (задачи), так как это нейтрализует дальнейший поиск решения. Обсуждение целесообразно начинать не с самой задачи (проблемы), а с анализа некоторых общих признаков, которые вводят в ситуацию постановки проблемы, неоднократно уточняя ее смысл. Не следует останавливаться при выдвижении идеи, если даже кажется, что уже найдена оригинальная идея и что задача уже решена. Если проблема (задача) не решается, то целесообразно вновь вернуться к анализу ситуации, порождающей проблему, или раздробить проблему на подпроблемы. Пример. Измените условие задачи при помощи одного из приведенных ниже предложений, чтобы ответить на поставленный в ней вопрос: «На аэродроме было 70 самолетов. В каждом самолете по 140 посадочных мест. Сколько самолетов осталось?» а) Утром прилетело 10 самолетов, а вечером 30. б) Улетело на 20 самолетов больше, чем было. в) Улетело сначала 30 самолетов, а потом 20. Пример. Дана задача: «Для разгрузки поезда, вмещающего 32240 кг груза, было задействовано 40 рабочих, каждый выгружал в час 104 кг груза. Через 4 ч к ним добавили еще 10 рабочих, которые работали с той же производительностью труда, что и первые. За сколько часов был полностью выгружен груз?» Что нужно изменить в тексте задачи, чтобы выражение 4−

32240 − 104 ⋅ 40 ⋅ 4 (40 + 10)104

было ее решением?

Пример. Измените вопрос или дополните условие так, чтобы задачу можно было решить: «Из двух городов выехали одновременно навстречу друг другу 2 мотоциклиста. Один мотоциклист двигался со скоростью 90 км/ч и проехал до встречи 180 км. Какое расстояние проехал до встречи другой мотоциклист?». Пример. Измени одно числовое данное в условии, чтобы задача решалась меньшим числом действий. При организации процесса решения сюжетной задачи преподаватель должен постоянно помнить, что сложные задачи требуют от студентов большого напряжения, от которого у обучающихся может быстро наступить усталость. Чтобы удержать внимание студентов, когда сюжетная задача не получается, преподавателю необходимо проецировать его учеб175

ную деятельность на перефразирование задачи. Существуют следующие способы варьирования задачи: возвращение к определениям, разложение и составление новых комбинаций, введение вспомогательных элементов, обобщение, специализация и использование аналогии. Поиску способа решения сюжетных задач может предшествовать наглядный показ преподавателем приемов учебной деятельности при решении подобного типа задач, сопровождаемый четкими объяснениями. В данном случае учебная работа, выполненная студентами, носит характер подражания. Следовательно, она не развивает самостоятельность в подлинном смысле слова, но имеет значение для формирования более сложных навыков и умений, более высокой формы самостоятельности, при которой обучающиеся оказываются способными разрабатывать и применять свои методы решения сюжетных задач. Пример. На двух полках 79 книг, на первой на 11 книг больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке? 1-й способ. Графическая модель задачи представлена на рисунке №23. ? кн. ? кн.

79 кн. 11 кн .

Рис. № 23 Примем за 1 часть число книг на второй полке. Тогда книги на первой полке составляют также одну часть и еще 11 книг. Если эти 11 книг убрать с первой полки, то на полках книг станет поровну. Следовательно, отняв от общего числа книг на обеих полках 11, получим удвоенное число книг, находящихся на второй полке. Запишем решение по действиям с пояснениями: 1) 79 - 11 = 68 (кн.) – находилось бы на полках, если бы их на каждой полке было столько, сколько их на второй полке; 2) 68 : 2 = 34 (кн.) – на второй полке; 3) 34 + 11 = 45 (кн.) – на первой полке. Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом. Найдите способ решения следующих задач: - В двух вазах 26 яблок, в первой на 10 яблок больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой вазе? 176

- В двух классах 50 человек, в первом классе на 2 ученика больше, чем во втором. Сколько учеников в каждом классе? Помощь преподавателя студентам в поиске способа решения задачи может быть организована таким образом, чтобы указания давали лишь общее направление способа действия, и при этом обучающиеся самостоятельно выделяли действия, которые направлены на выполнение предложенного задания. Пример. Для работы офиса необходимо закупить 4 телефона и 3 факса на сумму 1470 у.е. Удалось снизить цену на 20%, и в результате за ту же покупку уплатили 1326 долларов. Найти цену факса. Указания, приводящие к выполнению задания (рис. № 24): Карточка 1 Для решения задачи необходимо определить: 1) элементы задачи; 2) величины, которыми охарактеризованы элементы; сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи; характер каждого значения величины; 3) характер взаимосвязей между элементами; 4) отношения между величинами; 5) состояния; 6) ситуации. Карточка 2

Заполните таблицу: состояния

ситуации

элементы

величины

Карточка 3

Пусть первоначальная цена телефона составляет х у.е., а факса – у у.е. Из условия задачи можно записать первое уравнение _______________. Так как цену на телефон снизили, то она стала стоить 80% от первоначальной цены, то есть _____. Получаем второе уравнение ___________. Решаем линейную систему уравнений _____________.

Рис. № 24

Поиск способа решения задачи может быть организован на основе полученных ранее знаний и данной преподавателем общей идеи. Подобная учебная деятельность предназначена для формирования знаний, умений и навыков, позволяющих воспроизводить по памяти усвоенную ин177

формацию и решать типовые задачи. Познавательная деятельность обучаемых в этом случае заключается в четком воспроизведении или частичном реконструировании, преобразовании структуры и содержания усвоенной ранее информации. Пример. Преподаватель во время занятий рассматривает общее решение задачи на сложное тройное правило, в которых встречается зависимость между более чем двумя величинами, х, у, z , ..., w . Преподаватель: «Если в условии задачи говорится, что величина w прямо пропорциональна x и y и обратно пропорциональна z, то это означает, что w есть функция трех переменных x, y, и z, имеющая вид: w = k

x⋅ y . z

Пусть известны значения x1 , y1 , z1 и соответствующее им значение w1 , и требуется найти значение w2 , соответствующее значениям x2 , y 2 , z 2 . x2 ⋅ y 2 x1 ⋅ y1 w x y z w = k 2 Из формул и w1 = k получаем: 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 , z2 z1 w1 x1 y1 z2 откуда w2 =

x2 y2 z1 ⋅ ⋅ ⋅ w1 . Какую закономерность можно выявить, учитывая x1 y1 z2

понятие прямой и обратной пропорциональности?» Студенты: «В числителе дроби, соответствующей w2 , записываются значения величин, которые необходимо найти, прямо пропорциональных w2 , и известные значения величин, которые ей обратно пропорциональны; в знаменателе – известные значения прямо пропорциональных величин и значения обратно пропорциональных, которые необходимо найти». Преподаватель предлагает студентам самостоятельно найти способ решения задачи: «За энергию, потребленную 25 электролампочками одно1 го здания по 40 вт каждая, горевшими ежедневно в среднем по 5 час в 2

течение 16 дней, пришлось уплатить 22 руб. Сколько часов в день в среднем горели 18 электролампочек по 60 вт каждая, установленные в другом здании, если за них при том же тарифе за 31 день пришлось уплатить 28 руб.50 коп?» Если студенты усвоили, предлагаемый преподавателем метод для решения данного типа задач, замечают, что число часов ежедневного горения прямо пропорционально плате за энергию (при постоянстве числа лампочек, их мощности и числа дней) и обратно пропорционально числу лампочек, мощности каждой и числу дней горения (при условии, что меняется только одно из этих условий, а два других, а также плата за энергию остается неизменными), получают: 28,5 ⋅ 25 ⋅ 40 ⋅ 16 х= ⋅ 5,5 = 3,405... ≈ 3,41 . 22 ⋅ 18 ⋅ 60 ⋅ 31

178

Если студентами данный метод до конца не был осознан, то можно предложить следующую последовательность действий, приводящих к решению задачи: 1) Найти ежедневное потребление вт всеми лампочками 1-го здания ( 40 ⋅ 25 ⋅ 5,5 = 5500 (вт) = 5,5 (квт) ); 2) Найти потребление вт всеми лампочками 1-го здания за 16 дней ( 5,5 ⋅ 16 = 88 (квт) ); 3) Найти тариф (стоимость 1 квт/ч) ( 22 : 88 = 0,25 ( руб.) = 25 (коп. .за 1 квт/ ч) ); 4) Найти количество энергии, потребленной во 2-м здании за 31 день ( 28 руб. 50 коп. : 0,25 = 114 (квт / ч) ); 5) Найти количество энергии потребленной во 2-м здании за 1 день ( 114 : 31 = 3,677... ≈ 3,67 (квт / ч) ); 6) Найти общую мощность лампочек 2-го здания ( 60 ⋅ 18 = 1080 (вт) = 1,08 (квт) ); 7) Найти среднюю продолжительность ежедневного горения лампочек во 2-м здании ( 3,68 : 1,08 = 3,408... ≈ 3,41 (часа, или 3 часа 25 мин.) ). Приведены несколько способов поиска решения сюжетной задачи. Какой из них является наиболее рациональным? Ответ обоснуйте. Основной процессуальной характеристикой личностно ориентированного поиска способа решения является учебная ситуация, которая актуализирует личностные функции обучаемых. Конструирование такой ситуации предполагает использование трех базовых технологий: представление элементов содержания образования в виде разноуровневых личностно ориентированных задач; усвоение содержания в условиях диалога как особой дидактико-коммуникативной среды, обеспечивающей субъектно-смысловое общение, рефлексию, самореализацию личности. 3.4 Осуществление выбранного способа решения задачи

При осуществлении стратегии решения сюжетной задачи значимую роль играет запись найденного решения, которая может отличаться методом и способом решения. Надо отметить, что не существует строгого определения наиболее рационального метода (способа) решения, которое можно было бы применить в качестве критерия при оценке того или иного решения сюжетной задачи, так как при этом надо учитывать: 1. Объем знаний, применяемый при решении сюжетной задачи. Расширение объема знаний у обучающихся, как правило, ведет к увеличению количества методов (способов) решения задачи, а следовательно, к появлению новых, более простых методов (способов) решения. 2. Решение сюжетной задачи подразумевает не только вычисление или построение, но и, прежде всего, пояснения и обоснования. Может ока179

заться, что, например, вычисления при одном методе (способе) решения проще, чем при другом, но обоснования и построения значительно сложнее. 3. Доступность для обучающихся. 4. Время на отыскание и оформление данного метода (способа). Оформление решения задачи различается по способам фиксации решения, которая может быть выполнена как в устной форме, так и в письменной. В зависимости от используемой студентом формы и стиля оформления выбранного способа решения, можно судить не только о сформированности навыков рассматриваемого этапа стратегии решения задач у студентов, но и об уровне их самостоятельности, ответственности и осознания учебного материала. Более того, запись решения задачи происходит в доступном для студента темпе, поэтому можно судить об организованности студентов и умении ими планировать свое время. Оформление арифметических и алгебраических методов, является наиболее простым для студентов, так как этим методам уделяется особое внимание в школьной практике. В данном случае при фиксировании решения студенты особо не задумываются о собственном отношении к изучаемому материалу и о той информации, которая в ней отражена. При этом обучающиеся редко используют сравнительный анализ и ограничиваются одним способом оформления решения, что не позволяет им в полной мере осознать ценность данной учебной работы. Для того чтобы, с одной стороны, закрепить навык оформления данных методов, и в то же время, создать условия для развития личности студентов, необходимо использовать сравнительный анализ и наличие субъектного отношения студентов в упражнениях, предусмотренных данным этапом стратегии решения задач. Пример. Оформи решение данной задачи арифметическим методом, используя различные формы записи: «Мастер за один час работы делает 56 изделий. Сколько изделий он сделал за два дня, если в первый день он работал 6 часов. А во второй - 4?» Какой способ оформления наиболее простой (сложный), в каком содержится больше информации о содержании задачи? Ответ обоснуйте. 1. Запись решения в виде числового выражения. Запись решения в данной форме осуществляется поэтапно: а) записываются отдельные шаги, приводящие в итоге к числовому выражению: 1) 56 · 6 (штук) – количество изделий, выполненное мастером в первый день. 2) 56 · 4 (штук) – количество изделий, сделанное мастером во второй день. 3) 56 · 6 + 56 · 4 (штук) – количество изделий, произведенное мастером за два дня. 180

б) находится значение выражения, и запись приобретает вид равенства, в левой части которого – выражение, составленное по условию задачи, а в правой – его значение, которое позволяет сделать вывод о выполнении требования задачи. 56 · 6 + 56 · 4 = 560 (штук) Ответ: 560 штук. 2. Запись решения в виде отдельных действий без пояснения. 1) 56 · 6 = 336 (штук); 2) 56 · 4 = 224 (штук); 3) 336 + 224 = 560 (штук). Ответ: 560 штук. 3. Запись решения в виде отдельных действий с пояснением. 1) 56 · 6 = 336 (штук) – количество изделий, выполненное мастером за первый день. 2) 56 · 4 = 224 (штук) – количество изделий, сделанное мастером за второй день. 3) 336 + 224 = 560 (штук) – количество изделий, произведенное мастером за два дня. Ответ: 560 штук. 4. Запись каждого пункта плана с соответствующими арифметическими действиями. 1) Найдем количество изделий, выполненное мастером за первый день: 56 · 6 = 336 (штук). 2). Найдем количество изделий, сделанное мастером за второй день: 56 · 4 = 224 (штуки) 3) Найдем количество изделий, произведенное мастером за два дня: 336 + 224 = 560 (штук). Ответ: 560 штук. 5. Запись решения по действиям с вопросами. 1) Сколько изделий сделано мастером за первый день? 56 · 6 = 336 (штук). 2) Сколько изделий сделано мастером за второй день? 56 · 4 = 224 (штуки). 3) Сколько изделий сделано мастером за два дня? 336 + 224 = 560 (штук). Ответ: 560 штук. При использовании различных форм записи решения арифметическим методом студентам необходимо изложить основные идеи найденного решения в определенной последовательности, что предполагает умение выделять главное при фиксации информации, полученной студентами на предыдущих этапах решения. Для повышения эффективности данного этапа обучения решению сюжетных задач необходимо использовать следующие задания: 181

– Сегодня ты записываешь задачу и ее решение для того, чтобы тебе было легче с нею работать, легче решать. – Решение задачи, которая дана тебе на карточке, запиши так, чтобы твой сосед по парте, прочитав задачу и запись ее решения, понял, как решается эта задача. – Решение этой задачи запиши так, чтобы, посмотрев через неделю эту запись, ты мог бы понять, как она решается. – Решение этой задачи запиши так, чтобы каждый, кто прочет, рассмотрит запись, увидел, что ты знаешь, как решаются такие задачи, что ты умеешь их решать. – По записи решения этой задачи будут оценивать, умеешь ли ты решать задачи с помощью чертежа (с помощью арифметических действий, с помощью уравнений и т.п.). Пример. Запиши решение задачи алгебраическим методом, составив систему уравнений с двумя переменными так, чтобы каждый, кто прочет, рассмотрит запись, увидел, что ты знаешь, как решаются такие задачи, что ты умеешь их решать: «Расстояние между двумя пристанями моторная лодка проходит на 30 мин медленнее, чем катер. Определить это расстояние, если известно, что скорость катера равна 42 км/ч, а скорость моторной лодки – 36 км/ч». В данной задаче рассматриваются три физические величины: v – скорость, t - время, S - расстояние, зависимость между которыми выражается формулой S = v ⋅ t . В данной задаче описаны две ситуации: - преодоление расстояния между двумя пристанями катером; - преодоление расстояния между двумя пристанями моторной лодкой. Каждая из этих ситуаций является минимальным компонентом задачи, так как, во-первых, каждая из них формализуется основным отношением S = v ⋅ t , во-вторых, при их разбиении связь между величинами v, t и S разрушается, т.е. основное отношение прекращает свое функционирование. а) Пусть х – время, затраченное катером для прохождения расстояния между пристанями, тогда х +

30 - время, затраченное моторной лод60

кой для прохождения данного расстояния. б) Расстояние между пристанями обозначим через у. в) Опираясь на основное отношение S = v ⋅ t ситуации, можно за⎧ y = 42 x , ⎪ 30 ⎞ писать в виде системы уравнений: ⎨ ⎛ ⎪ y = 36 ⎜ х + 60 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎩ 182

⎧ y = 42 x , ⎪ ⎧ у = 126 , ⎧ у = 42 х , ⎧ у = 42 х , 30 ⎞ ⎨ ⎛ ⎪ y = 36 ⎜ х + 60 ⎟ ; ⇒ ⎨ 42 х = 36 х + 18 ; ⇒ ⎨ 6 х = 18 ; ⇒ ⎨ х = 3 . ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩

Ответ: расстояние между пристанями 126 км. Подробная запись решения задачи, с одной стороны, отражает умение студента воспроизводить свои мысли и действия, возвращая их назад, с другой стороны, обеспечивает развитие умения не только делать, но и осуществлять контроль за тем, как это делается. Пример. Запиши решение задачи с использованием графического метода: «В одном бочонке 1 кг меда, в другом – 5 кг. Каждый час в первый доливают 2 кг меда, а во второй – 1 кг. Через сколько часов в бочонках будет одинаковое количество меда?» Количество меда, находящегося в каждом бочонке, линейно зависит от времени, так как каждый час в бочонок доливают одинаковое количество меда. Отложим на оси Ох время (в часах), а на Оу количество меда (в килограммах). Построим графики, характеризующие количество меда в каждом бочонке (рис. № 25). YЛ 9 y=х+5 6

y=2х+1

2 0

1

2

3

4

ХЧ

Рис. № 25 Абсцисса точки их пересечения указывает, через сколько часов в бочонках будет одинаковое количество меда. Из чертежа видно, что ее значение равно 4 ч. Ордината указывает, какое количество меда находится в бочонках. Её значение равно 9 кг. С другой стороны, в результате такой работы с оформлениями задач студенты становятся более свободными в выборе форм записи. Они способны конструировать свои записи, начинают понимать связь между формой и содержанием знания. Эта работа не только привносит в решение за183

дач элементы будущей их профессиональной деятельности, но и способствует формированию нестандартности мышления в стереотипных ситуациях. Пример. Составьте задачу по предложенному решению с подробным пояснением. 1) 3 + 15 = 18 – команд из школ и колледжей участвовало в соревнованиях по волейболу. 2) 30 – 18 = 12 – команд было из ПТУ. – Известно ли нам, откуда прибыли команды, принимавшие участие в соревнованиях? – Известно ли нам, сколько команд из города приняло участие? – Известно ли нам, сколько команд из колледжей приняло участие в соревнованиях по волейболу? – Сколько команд приняло участие в соревнованиях по волейболу из ПТУ? – Составьте задачу по первому равенству. (В соревнованиях по волейболу приняло участие 15 команд из школ и 3 команды из колледжа. Сколько всего команд из школ и колледжа приняло участие в соревнованиях по волейболу?) – Составьте задачу по второму равенству. (В соревнованиях по волейболу приняло участие 30 команд. Из них 18 – из школ и колледжа, а остальные из ПТУ. Сколько команд из ПТУ приняло участие в соревнованиях по волейболу?) – Опираясь на решение задачи, сформулируйте решение задачи. – Сформулируйте текст задачи, опираясь на два действия. (На соревнованиях по волейболу приняло участие 30 команд. Из них15 – из школ и 3 команды из колледжа, а остальные из ПТУ. Сколько команд приняло участие в соревнованиях по волейболу из ПТУ?) С целью привлечения внимания студентов к данной учебной деятельности, направленной на закрепление навыка оформления решения сюжетных задач различными методами, можно использовать на занятиях элементы занимательности. Например, включить литературных героев в процесс обучения решению сюжетных задач, что позволит, с одной стороны, организовать учебную деятельность с которой студенты сталкиваются на каждом занятии, с другой, данная деятельность преподносится в яркой и интересной форме, а следовательно, способствует повышению познавательной активности обучающихся. 184

Пример. (Гостиная в доме 221-б на Бейкер-стрит. Шерлок Холмс сидит за столиком, просматривая газету. Входит миссис Хадсон. На подносе у нее кофейник, чашечка для кофе и сахарница.) Миссис Хадсон: Ваш кофе, Холмс. (В это время входит Ватсон). Холмс: Что новенького в «Таймс», Ватсон? Ватсон: Холмс, то, что я вошел, вы могли услышать, но то, что у меня в руках «Таймс»?!! Холмс: Это элементарно, Ватсон. Мой новый дедуктивный метод позволяет мне видеть спиной. Ватсон: Да?!! Ватсон: Холмс, Вы конечно слышали про парапсихологию... Миссис Хадсон: Ватсон, он видит вас в отражении кофейника. (Все смеются). Холмс: Так, что же новенького в «Таймс»? Ватсон: Мистер Джемс М. Додд обвинил мистера Стрекера в мошенничестве. По-видимому, назревает скандал. Холмс: В чем дело? Ватсон: Мистер Стрекер предложил мистеру Долду удвоить его выигрыш, разумеется, за определенное вознаграждение, а именно 8 шиллингов. Для этого мистер Додд должен сыграть в рулетку, поставив на то число, которое ему укажет мистер Стрекер. Через три подобных сеанса у мистера Додда не осталось даже цента. Но скандал, разумеется, разгорелся не из-за денег, а из-за того, что они оба обвинили друг друга во лжи, что для истинного джентльмена весьма оскорбительно. Мистер Додд утверждает, что у него было 15 шиллингов; а Мистер Стрекер - что у мистера Додда не было и 5 шиллингов. Холмс: Они оба говорят неправду. Ватсон: Как? Хотелось бы отметить, что прежде чем информация будет усвоена, она должна найти свое место в памяти учащегося. В процессе восприятия поступающие сведения связываются и согласовываются с уже имеющимся запасом знаний. И если поступившая информация не противоречит старым представлениям и не повторяет их, она укладывается в памяти как новое знание. Это происходит автоматически на уровне ассоциативного мышления. Поэтому целесообразно, чтобы литературные герои представили различные способы решения задач. Подобный подход позволяет формировать опыт альтернативного мышления, основанного на собствен185

ном, постоянно действующем алгоритме восприятия новой информации. В этом случае можно говорить об обновлении уже усвоенных знаний как о стимуле познавательного интереса. Холмс: Это элементарно, Ватсон. I способ. Если приступить к решению данной задачи с конца, приняв во внимание, что после третьего сеанса игры у мистера Додда оказалось ровно 8 шиллингов, которые он должен был отдать, то выходит, что перед последней игрой у него было 4 шиллинга. Но эти 4 шиллинга у него получились после того, как он отдал 8 шиллингов; значит, у него было 12 шиллингов. Следовательно, вторую игру он начал с 6 шиллингами, и эти 6 шиллингов у него получились после того, как он в первый раз сыграл в рулетку и отдал 8 шиллингов. Выходит, всего после первой игры у него было 14 шиллингов. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз сыграть, мистер Додд имел 7 шиллингов. II способ. Однако, Ватсон, эту задачу можно решить и другим способом. Для этого нам понадобится построить знаковую математическую модель данной реальной ситуации. Пусть Х шиллингов – сумма денег, которая была у мистера Додда, тогда после первой игры у него будет – 2 x − 8 , после второй игры – ( 2 x − 8 ) ⋅ 2 − 8 , после третьей игры – (( 2 x − 8 ) ⋅ 2 − 8 ) ⋅ 2 − 8 . И если учесть, что после третьей игры у него ничего не осталось, то получим уравнение: (( 2 x − 8 ) ⋅ 2 − 8 ) ⋅ 2 − 8 = 0 . Это уравнение – математическая модель в данной ситуации. Решением данного уравнения будет: x = 7 . Итак, у мистера Додда было 7 шиллингов. Ватсон: Это еще раз подтверждает, что на чужой совет надо иметь еще и свой ум. Холмс: Вы хотели сказать, Ватсон, что не только ум, но и знание математики. Ватсон: Неужто это так просто? Холмс: Не хочу вас разочаровывать, но это именно так. Все сводится к решению линейного уравнения. Причем подобные ситуации можно встретить на каждом шагу. Ватсон: В таком случае, Холмс, приведите еще хотя бы один пример. Холмс: Ну! Это может сделать даже миссис Хадсон. 186

Миссис Хадсон: Ватсон, если бы к вашей с Холмсом оплате за проживание прибавить еще столько же, то я имела бы 24 шиллинга. Так вот, сколько вы мне должны заплатить за неделю, если учесть, что вы с Холмсом платите одинаково? Ватсон: Сколько? Для решения данной задачи можно использовать метод У.У.Сойера, который включает в себя четыре стадии: слова, рисунки, упрощение, стенографию (таблица № 8). В процессе подобного решения студенты производят вычисления без помощи каких-либо правил, руководствуясь только собственным мышлением. Миссис Хадсон: Ватсон, представим ту сумму, которую вы должны заплатить, как некоторое количество монет в мешочке. Таблица № 8 Слова

Рисунки

Упрощения

Стенография

Сумма, которую должен заплатить Ватсон

х

Сумма, которую должен заплатить Холмс

х

Сумма, которую должны заплатить Холмс и Ватсон за неделю

2

Если к оплате Холмса и Ватсона прибавить еще столько же то получится 24

4

Сумма, которую должен заплатить Ватсон

2х

=24

=6

4х=24

х=6

Использование подобного метода решения задач, на наш взгляд, способствует развитию способности абстрагирования, обобщения, рациональности мышления и развитию логического мышления. Итак, Ватсон, вы должны за эту неделю 6 шиллингов. (В комнату влетает Лестрейд.) Миссис Хадсон: Холмс, к вам инспектор. Лестрейд: Здравствуйте. 187

Ватсон: Здравствуйте, Лестрейд. Как я вижу, вы в прекрасном настроении. Лестрейд: Да! Сегодня я подводил итоги, и мне удалось поставить на место этого выскочку Тобиаса Грегсона. Лично мною было раскрыто 98 довольно запутанных преступлений. Холмс: И каких же? Лестрейд: Из них 2 связаны с именем Мориарти, 12 убийств и... Черт, забыл. Помню только, краж было в 3 раза больше, чем преступлений, связанных с мошенничеством. Но сколько их было, не помню. Ватсон: Не отчаивайтесь, Лестрейд. Думаю, что Холмс вычислит недостающие числа. Холмс: Обозначим за х преступления, связанные с мошенничеством. Тогда краж - 8 x . Получим уравнение: x + 8 x + 2 + 12 = 98 , решением которого будет: x = 21 . В результате получили 21 преступление, связанных с мошенничеством, и 63 кражи. Если все предложенные задачи были решены различными способами, то можно в конце занятий при помощи серии вопросов подвести студентов к тому факту, что нет четкого разграничения между арифметикой и алгеброй. В подтверждение этому можно привести слова В.Ф.Кагана, которые были написаны им в сочинении «Что такое алгебра?» (Одесса, 1910): «Математика, вся вообще, представляет собой одно неразрывное целое, различные части которого многообразны, с различных сторон связаны одна с другой. Точно разграничить здесь невозможно; в частности, нельзя провести демаркационной линии, которая совершенно строго отделяла бы алгебру от арифметики…». Усвоение абстрактных знаний как знаковых систем в процессе обучения решению сюжетных задач накладывается на профессиональную деятельность, или осуществляется последовательное, непрерывное и систематическое приближение студента к реальным ситуациям, возникающим в педагогической деятельности; трансформация учебнопознавательной деятельности в квазипрофессиональную, учебнопрофессиональную и профессиональную. Студент постепенно переходит от наиболее абстрактных знаковых моделей к все более конкретным предметным и межпредметным моделям, в итоге осуществляется переход от учения к труду. Пример. Внимательно прочти задачу и выбери правильное решение: «В трех классах 76 учеников. В первом и во втором вместе 51 ученик, а во втором и третьем 52 ученика. Сколько учеников в каждом классе?» 188

1 способ 1) 76 – 52 = 24 (ученика) в первом классе. 2) 51 – 24 = 27 (учеников) во втором классе. 3) 52 – 27 = 25 (учеников) в третьем классе. 2 способ 1) 76 – 52 = 24 (ученика) в первом классе. 2) 76 – 51 = 25 (учеников) в третьем классе. 3) 24 + 25 = 49 (учеников) в первом и третьем классах. 4) 76 – 49 = 27 (учеников) во втором классе. 3 способ 1) 76 – 52 = 24 (ученика) в первом классе. 2) 76 – 51 = 25 (учеников) во втором классе. 3) 51 – 24 = 27 (учеников) в третьем классе. Данное упражнение относится к корректурным, так как оно предполагает нахождение лишних решений. Подобный прием используют для развития сосредоточенности (концентрации) внимания. Существенное влияние на выбор приемов оформления решения задачи оказывают социальные факторы, и, прежде всего, полисубъектное взаимодействие обучаемых между собой, например работа в малых группах. Обучаемый постоянно сравнивает свои достижения со средними групповыми результатами и показателями учебной деятельности отдельных членов малой группы, определяя качественные и количественные характеристики оформления и воспринимая их как личностно значимые. И если на начальном этапе обучения студенты предпочитали только один из приемов оформления решения задач, то после общения с однокурсниками они к следующему разу старались представить решение задачи в различных формах записи. 3.5. Проверка решения сюжетной задачи. В первой главе нами были рассмотрены следующие способы проверки решения сюжетной задачи: 1) установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными в условии задачи; 2) составление и решение задачи, обратной данной; 3) решение задачи различными способами; 4) решение задачи различными методами. В личностно ориентированной системе обучения решению сюжетных задач при обучении студентов данным способам преподаватель должен демонстрировать образцы интеллектуальной рефлексии, то есть передавать не только готовые образцы правильного использования того или иного способа проверки найденного решения задачи, но обосновывает целесообразность каждого выполняемого им действия. 189

Пример. В столовую завезли 180 кг гречки и 230 кг риса. Ежедневно расходуется гречки по 8,3 кг, риса по 9,3 кг. Через сколько дней гречки и риса станет поровну? Студентам предлагается оценить решение данной задачи. 1) 203 − 180 = 23 (кг) – первоначально на 23 кг риса было больше чем гречки. 2) 9,3 − 8,3 = 1 (кг) – ежедневно на 1 кг риса использовалось больше, чем гречки. 3) 23 : 1 = 23 (дней) – через 23 дня гречки и риса станет поровну. После обсуждения решения задачи большинство студентов приходит к выводу, что ответ правильный, так как рассуждение, проведенное при решении данной задачи верно, – подобный метод использовался ими раньше для данного типа задач и всегда приводил к верному результату. Однако есть студенты, которых настораживает само предложение преподавателя о необходимости анализа арифметического метода решения данной сюжетной задачи, и они делают предположение о том, что найденный ответ противоречит условию задачи. Чтобы разрешить это противоречие студенты прибегают к традиционному способу проверки правильности решения сюжетной задачи: составление и решение задачи, обратной к данной и решение данной задачи другим методом. Составление и решение обратной задачи к данной. В столовую завезли 180 кг гречки. Ежедневно расходуется гречки по 8,3 кг, риса по 9,3 кг. Через 23 дня круп в столовой осталось поровну. Сколько риса в столовой было первоначально? Решение. 1) 9,3 − 8,3 = 1 (кг) – ежедневно на 1 кг риса использовалось больше, чем гречки. 2) 23 ⋅ 1 = 23 (кг) – на 23 кг гречки было первоначально больше, чем риса. 3) 180 + 23 = 203 (кг) – было риса первоначально. Решение данной задачи другим методом. Пусть через х дней гречки и риса в столовой останется поровну. То(180 − 8,3х) кг, риса – гда по прошествии х дней гречки останется (203 − 9,3х) кг. Согласно условию задачи, имеем уравнение 180 − 8,3х = 203 − 9,3х , решением которого является х = 23 . Оба ответа совпадают с ответом, полученным при решении задачи арифметическим методом. В результате чего большинство студентов соглашается с тем, что задача решена верна. Преподавателю необходимо обратить внимание студентов на противоречие между полученным ответом и условием задачи, которое можно выявить следующим образом: 190

– Через сколько дней гречки и риса станет поровну? (Через 23 дня гречки и риса станет поровну) – Сколько гречки будет использовано через 23 дня, если каждый день использовать 8,3 кг? ( 8,3 ⋅ 23 = 190,9 (кг)). – Сколько всего было первоначально гречки? (180 кг). Сколько риса будет использовано через 23 дня, если каждый день использовать 9,3 кг? ( 9,3 ⋅ 23 = 213,9 (кг)). – Сколько всего было первоначально риса? (209 кг) – Какой вывод можно сделать? (При имеющихся запасах круп и заданных ежедневных объемах использования риса и гречки в столовой никогда не будет одинакового количества круп). – Но выбранные вами (студентами) способы проверки показали, что задача была решена верна. Где была допущена ошибка? (При проверке правильности решения задачи, во-первых, необходимо исследовать полученный ответ и условие задачи на непротиворечивость, во-вторых, при составлении и решении обратной задачи к данной или решении данной задачи другим методом логика рассуждения должна быть отличной от той, которая применялась в ходе решения данной задачи). При поиске способа решения сюжетных задач целесообразно использовать метод «ошибок», который позволит изменить устоявшееся негативное отношение к ошибкам, замену его на конструктивное использование ошибок (и псевдоошибок) для углубления образовательных процессов, так как ошибка рассматривается как источник противоречий, феноменов, исключений из правил, новых знаний, которые рождаются на противопоставлении общепринятым. Особенно часто в математике ошибки предполагают выполнение «запрещенных» действий или не учитывают условия применимости теорем, формул или правил. Разбор «ошибок», с одной стороны, развивает логическое мышление, с другой, помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Обнаружить ошибку - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях при решении сюжетных задач. Пример. Как известно, всякие два равенства можно перемножать почленно. Применяя эту теорему к следующим равенствам: а рублей = 100а копеек, 1 рубль = 100 копеек, Мы получим новое равенство: 1⋅ а рублей =100⋅ 100а копеек, или а рублей = 10000а копеек. Где допущена ошибка?

191

Внимание к ошибке может быть актуализировано не только с целью ее исправления, но и для выяснения ее причин, способов ее получения. Отыскание взаимосвязей ошибки с «правильностью» стимулирует эвристическую деятельность учеников, приводит их к пониманию относительности и вариативности любых знаний. Пример. Пассажир, едущий в поезде, захотел узнать скорость поезда. Для этого он подошел к окну вагона, заметил по своим часам время, когда против окна показался телеграфный столб, и, начиная с него, стал считать столбы один за другим. При появлении 24-го столба против окна пассажир опять заметил время. Оказалось, что прошло 2 мин. Зная, что расстояние между столбами 50 м, пассажир сделал вывод: скорость поезда равна 36 км/ч. Какую ошибку допустил пассажир? Применение метода ошибок в учебной деятельности приучает внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Реализация данного этапа стратегии обучения решению сюжетных задач предполагает не только обучение студентов технологии каждого из способов проверки решения, но обоснование необходимости данного этапа. С этой целью целесообразно использовать в учебном процессе метод фактов, который предполагает осознанное владение студентами физическими органами чувств в процессе познавательной деятельности. Реализация данного метода в процессе обучения решению сюжетных задач предполагает использование задач, в условиях которых содержатся различного рода упоминания, указания, намеки, подсказки, подталкивающие к выбору ошибочного пути решения или неверного ответа. Это основывается на том, что ученикам порой непросто избавиться от желания подменить научное исследование объекта житейскими представлениями. Пример. Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на один сажень. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, - останется некоторый прозор (промежуток). Спрашивается: в каком случае этот прозор будет больше – у земного шара или апельсина? Пусть окружность экватора равна С саженям, а окружность апельсина – с. Тогда радиус Земли R =

C 2π

, а радиус апельсина r =

c 2π

. После при-

бавки к обручам одной сажени окружности их будут равны: Земли – С+1, апельсина – с+1; радиусы же их будут: Земли 192

C +1 , 2π

апельсина -

c +1 . 2π

Ес-

ли из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же приращение: C +1 C 1 − = 2π 2π 2π

для Земли,

1 c +1 c − = 2π 2π 2π

для апельсина.

Итак, у Земли и у апельсина получится один и тот же прозор в

1 2π

саженей, т.е. примерно в пол-аршина. Этот результат кажется до такой степени неожиданным и неправдоподобным, что порой дети, получившие его, были в недоумении, так как это противоречило их «здравому смыслу». Попадая в заранее приготовленную ловушку, студент испытывает досаду, сожаление, что не придал особого значения тем нюансам условия, из-за которых он угодил в неловкое положение. Создание подобной образовательной ситуации является более действенным, чем напоминание о необходимости использования научных методов познания при изучении реальных объектов (явлений) и восприятия фактов, а не домыслов. Метод фактов обладает высоким развивающим потенциалом. Он способствует воспитанию одного из важнейших качеств мышления - критичности, приучает к анализу воспринимаемой информации, ее разносторонней оценке, повышает интерес к занятиям математикой. Процедура эвристической демонстрации фактов должна в целом ряде ситуаций быть полной, т.е. раскрывать без пропусков всю последовательность взаимосвязанных компонентов доказательства. Иными словами, каждый этап доказательства должен быть мотивирован и оправдан с точки зрения предыдущего этапа. Такая пошаговая мотивация эвристических действий – задача эвристического оправдания, т.е. убеждения в целесообразности очередного этапа решения сюжетной задачи. Если всестороннему анализу решения задачи уделять внимание только от случая к случаю, то студенты в своей будущей профессиональной деятельности будут ограничиваться решением задач по когда-то выученным шаблонам, без осознания нюансов реальной ситуации. Для избежания столь поверхностного отношения при обучении решению сюжетных задач необходимо организовать учебную деятельность таким образом, чтобы обучающийся сам стремился к поиску недостатков найденного решения или обоснованию наиболее рационального решения. Для этого можно предложить следующие упражнения: 1) установите соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными в условии задачи; 2) найдите n решений задачи различными способами; 3) решите данную задачу различными алгебраическим и графическим методами; 3) сколько обратных задач можно составить к данной сюжетной задаче? Это способствует не только закреплению в сознании студента тех 193

приемов и способов, которые были использованы в данном решении, выявление условий возможности применения этих приемов и способов в реальной практической ситуации, но и предопределяет рефлексивный опыт обучающегося. 3.6. Учебно-познавательный анализ задачи и ее решения Данный этап стратегии решения сюжетных задач направлен на развитие рефлексивных способностей обучающихся, в результате чего изучаемый материал воспринимается студентом не как нечто, подлежащее простому заучиванию, а как личностно значимый в будущей профессиональной деятельности. Мотивацией к рефлексивной деятельности может послужить сомнение в истинности имеющихся представлений, основанной на множественности различных утверждений по поводу одного и того же факта (множественность определений одного и того же понятия, различные методические приемы решения одной и той же задачи, различное толкование целесообразности одного и того же метода решения задачи и т.д.). Множественность, в данном понимании, всегда приводит к противоречивости в содержании изучаемого материала, а это способствует возбуждению интереса и формированию эмоционального отклика на сложившуюся учебную ситуацию. В этом случае учебно-познавательный анализ способствует решению следующих методических задач: осознание студентом собственной позиции в условиях множественности решения; развитие навыков конструктивного мышления; воспитание культуры восприятия чужого мнения, отличного от своего и формирование технологии обмена мнениями. Это способствует адаптации студентов к столь динамично изменяющейся образовательной системе и осознанию, что существуют ситуации, когда один человек не в состоянии охватить все аспекты проблемы. Пример 1. При изучении понятия задачи и ее структуры перед студентом встают вопросы, которые могут быть сформулированы им самим или преподавателем: 1) почему в современной учебно-методической литературе нет единого подхода к содержанию понятия «сюжетная задача»? 2) в чем отличие содержания различных определений понятия «сюжетная задача»? 3) что общего в содержаниях различных определений понятия «сюжетная задача»? 4) можно ли классифицировать данные понятия и если да, то каково основание классификации? 5) какое определение наиболее адекватно отражает понятие «сюжетная задача»? 6) какое определение нужно использовать в своей будущей профессиональной деятельности? Разумеется, студенту сложно самому найти ответы на поставленные вопросы, поэтому в данном случае лучше всего провести по данной теме 194

обсуждение в группе. Взаимодействие субъектов коллектива протекает в форме диалога, направленного на актуализацию личностных смыслов рассматриваемой ситуации, на накопление студентами опыта реализации ценностного выбора, критического восприятия, рефлексии творческого решения поставленных перед обучающимися проблем. При этом в основу дискуссии можно положить последовательный анализ содержаний определений понятия «сюжетная задача», приведенных в учебно-методической литературе. Преподаватель: Например, если в качестве исходного взять определение А.В.Белошистой: «Под задачей в начальном курсе математики подразумевается специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуация, охарактеризованная численными компонентами» [39], то какие элементы можно назвать в качестве основных признаков сюжетной задачи? Студенты: В качестве основных признаков сюжетной задачи можно назвать: 1) специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуация; 2) численные компоненты, характеризующие данную ситуацию. Преподаватель: Являются ли сюжетной задачей следующие тексты: 1) Имеются три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70 % меди, второй – 10% меди и 30 % марганца, третий - 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. 2) Наташа пригласила свою подругу приехать к ней в гости. После этого она получила от нее три сообщения: а) я приеду в гости, если со мной приедет мама; б) чтобы я приехала, необходимо, чтобы меня сопровождал старший брат; в) либо приедем мы с братом, либо приедет только мама. Когда приехали гости, оказалось, что только одно сообщение из трех истинно. Кто приехал навестить Наташу? 3) Анализируя результаты тестирования, проведенного в классе, выявили следующий факт: количество мальчиков, справившихся с тестом, оказалось равно количеству девочек, не справившихся с тестом. Кого в классе больше: справившихся с тестом или девочек? Студенты: Первый текст отвечает выделенным признакам, однако не является сюжетной задачей. Второй и третий тексты не содержат численных компонентов, хотя и являются сюжетными задачами. Преподаватель: Какой вывод можно сделать относительно определения данного А.В. Белошистой? Студенты: Выходит, что данное определение не отвечает всем требованиям, предъявляемым к рассматриваемому понятию. Аналогично проверяются содержания всех остальных определений понятия «сюжетная задача». В результате данного анализа студенты приходят к выводу: для того, чтобы текст являлся сюжетной задачей, необхо195

димо, чтобы он содержал: 1) элементы задачи; 2) величины, которыми охарактеризованы элементы; сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи; характер каждого значения величины; 3) характер взаимосвязей между элементами; 4) отношения между величинами (одно из которых отражает требование найти какую-либо характеристику элемента, либо установить взаимосвязь между элементами, либо найти последовательность требуемых действий); 5) состояния; 6) ситуации. Преподаватель: Какое из определений наиболее точно отражает все эти компоненты? Студенты: Сюжетная задача представляет собой описание некоторого непустого множества элементов, на котором определено заданное отношение с требованием найти какую-либо характеристику элемента, либо установить взаимосвязь между элементами, либо найти последовательность требуемых действий. Преподаватель: Могут ли учащиеся младших классов определить все компоненты сюжетной задачи? Возможно ли использовать данную терминологию в начальной школе? Студенты: Нет. Преподаватель: Какие определения можно использовать в начальной школе (в среднем звене (5-9 классы), в старших классах)? Почему? Студенты: Например, в начальной школе можно использовать следующее определение: «Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения» [253]; В среднем звене – «Текстовой задачей называется описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значения других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий» [97]; в старших классах – «Задача представляет собой непустое множество элементов, на котором определено заранее данное отношение» [109]. Данный выбор обусловлен возрастными особенностями учащихся и соответствующим уровнем развития у них абстрактного мышления. Поэтому, использовать какое-то одно определение на протяжении всего обучения математике в школе нельзя (то, что приемлемо в старших классах, будет непонятным для учащихся начальной школы). 196

Однако каждый из студентов может использовать только одно из определений понятия «сюжетная задача», предназначенных для той или иной возрастной группы. Какое именно, он определяет сам, согласно уровню своей компетенции относительно методики преподавания математики. И если учитывать, что важнейшая функция личности состоит в обосновании своего отношения к определенной жизненной ситуации, которое проявляется в желании проявить себя в присутствии группы студентов, то именно в данной ситуации, с одной стороны, у студента есть возможность самоутвердиться в коллективе, с другой стороны, у педагога появляется возможность вмешаться в смыслопоисковый процесс, что можно сделать только через субъект-субъектное общение. Обучающийся добивается наилучших результатов при обучении решению сюжетных задач только тогда, когда находится в процессе самостоятельного поиска и построения тех знаний, которые ему необходимы в будущей профессиональной деятельности. Данный процесс в высшей школе не может быть эпизодическим, так как студент должен не только получить исследовательские навыки и умение оценивать их результативность, но и осознавать, что в последнее время происходят постоянные изменения в образовательной среде и профессиональные знания необходимо обновлять каждые несколько лет. Преподаватель: Какова высота «гордого холма», описанного в поэме А.С.Пушкин “ Скупой рыцарь”? …Читал я где-то, Что царь однажды воинам своим Велел снести земли по горсти в кучу, И гордый холм возвысился, – и царь Мог с вышины с весельем озирать И дол, покрытый белыми шатрами, И море, где бежали корабли. Студенты, привыкшие проводить исследования на основе математических данных, полученных экспериментальным путем, приходят в некоторое недоумение по поводу предложенной работы, что провоцирует студентов на диалог. Студенты: Данный текст не содержит информации о величинах, необходимых для вычисления высоты холма, более того, неизвестно, где их можно взять. Преподаватель : Попробуем взглянуть на содержание данного отрывка из поэмы не только как на классическое произведение великого поэта, но и как на сюжет, который при поиске дополнительных данных (можно воспользоваться для этого Интернет ресурсами) может вполне стать сюжетной задачей. Какие величины необходимо найти? 197

Если возникают проблемы, то можно задать наводящие вопросы. Преподаватель: Какая геометрическая фигура напоминает холм? Студенты: Конус. Преподаватель: Какие величины необходимо знать, чтобы найти высоту конуса? Студенты: Объем, радиус основания, длина образующей, угол между образующей и основанием, угол между образующей и высотой конуса. Преподаватель: Какие из них можно будет определить из условия составляемой сюжетной задачи, а какие найти экспериментальным путем? Студенты: Из данного текста можно будет определить объем конуса. Для этого экспериментальным путем надо найти максимальный угол конуса, объем земли в горсти человека и по Интернету найти количество людей в войске. Преподаватель: Какая была численность войска? Студенты: Найти точный ответ на этот вопрос нельзя, так как неизвестно, о каком из царей идет речь. Если принять во внимание данные летописей Диодора, в которых указывается, что весной 331 года Дарию удалось собрать пехоты 800 тыс., конницы 200 тыс. или то, что численность персидского войска была до 1 млн. пехотинцев и до 40 тыс. всадников (по мнению современных исследователей, данные явно завышены). Число войск могло быть 1100000) . Преподаватель: Какой объем земли помещается в горсти? Студенты: Экспериментальным путем определяется, что объем горсти примерно равен 0,2 куб. дм. Преподаватель: Какой угол должен быть у холма? Студенты: Чтобы холм был устойчивым, угол при основании холма должен быть равен 45°. Преподаватель: Можно ли теперь найти высоту холма? Студенты: Используя полученные данные можно найти высоту «гордого холма»: h = 3

3V

π

=3

3 ⋅ 1100000 ⋅ 0,2 ≈ 59,5 3,14

дм.

Преподаватель: Выходит, что исторические данные, описанные в художественной литературе или летописях, можно исследовать на их достоверность по содержащимся в тексте косвенным данным. Основные функции взаимодействия в общении – активизация саморазвития и самоактуализации, взаимное оценивание и самооценка – реализуются при творческом сотрудничестве говорящего и слушающего, которое стимулируется в процессе диалогового общения. При этом активность студентов направлена на предмет общения, а не на личность одного из участников. С другой стороны, данная модель деятельности позволяет студенту раскрыть свои личностные качества, проявляющиеся во взаимодействии со сверстниками. При этом студент учится осознавать, что дос198

тижение успеха определяется интеллектуальными, организаторскими, нравственными усилиями каждого из субъектов обучения. Полисубъектное общение не может заменить всего многообразия функций образовательного процесса, но оно является основой для формирования личностного опыта. Рефлексивная деятельность в процессе обучения решению сюжетных задач может быть построена на основе обобщения, которое предполагает наличие заданий, требующих от студентов мысленного объединения предметов и явлений в группы по тем общим и существенным признакам, которые выделяются в процессе абстрагирования. В зависимости от организации процесса обобщения различают его два типа – эмпирическое и теоретическое: 1. Эмпирическое обобщение предполагает получение знаний в результате индуктивных рассуждений (умозаключений). Для получения правильного обобщения при обучении решению задач индуктивным способом необходимо: а) продумывать подбор сюжетных задач (способов, методов решения) и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения; б) рассмотреть как можно больше сюжетных задач одного типа, в которых повторяется та закономерность, которую студенты должны подметить; в) варьировать анализ и поиск решения задач одного типа, т.е. использовать схемы, таблицы, примеры, алгоритмы, символическую запись, отражая в каждой записи одну и ту же закономерность; г) помогать студентам словесно сформулировать свои наблюдения с помощью наводящих вопросов, уточнять и корректировать те формулировки, которые они предлагают. Пример. Решите данные задачи и определите, что в них общего, что различного, запишите алгоритм решения подобных задач. Задача. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью? Преподаватель: Какие величины рассматриваются в данной задаче? Студенты: В задаче рассматриваются три величины – время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготовленных за 1 час). Преподаватель: Какие величины постоянные, а какие принимают различные значения? Студенты: Производительность - величина постоянная, а две другие принимают различные значения. 199

Преподаватель: Количество сделанных деталей и время работы являются прямо или обратно пропорциональными величинами и почему? Студенты: Данные величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно – числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Введите обозначения и запишите математическую модель ситуации, представленной в задаче. – Если количество сделанных деталей обозначить буквой y , время работы – x , а производительность – k , то получим,

что

y = k или y = k ⋅ x , то есть математической моделью ситуации, предx

ставленной в задаче, является прямая пропорциональность. Решите задачу, используя математическую модель ситуации, представленной в задаче. 1) 16 : 8 = 2 (дет.); 2) 48 : 2 = 24 (ч). Решая задачу данным способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k , он равен 2, а затем, зная, что y = 2 x , нашли значение x при условии, что y = 48. Задача. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч? Преподаватель: Какие величины рассматриваются в данной задаче? Студенты: В задаче рассматриваются величины: скорость движения велосипедиста, время движения и расстояние от А до В. Преподаватель: Какие величины постоянные, а какие принимают различные значения? Студенты: Расстояние от пункта А до пункта В - величина постоянная, а две другие принимают различные значения. Преподаватель: Скорость и время движения являются прямо или обратно пропорциональными и почему? – Данные величины обратно пропорциональные, так как их произведение равно некоторому числу, а именно пройденному расстоянию. Введите обозначения и запишите математическую модель ситуации, представленной в задаче. – Если время движения велосипедиста обозначить буквой y , скорость x , а расстояние от А до В – k , то получим, что k x

y ⋅ x = k или y = , то есть математической моделью ситуации, представ-

ленной в задаче, является обратная пропорциональность. 1) 10 ⋅ 6 = 60 (км) 2) 60 : 20 = 3 (ч).

200

Решая задачу данным способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k , он равен 60, а затем, зная, что у=60:х, нашли значение y при условии, что x =20. Преподаватель: Сколько величин рассматривается в каждой задаче? Студенты: В каждой из задач рассматриваются три величины. Преподаватель: Что мы можем сказать о взаимозависимости данных величин? Студенты: Одна из величин равна произведению двух других. Преподаватель: Каким равенством выражается математическая зависимость этих величин? Студенты: Математическая зависимость этих величин выражается равенством y = z ⋅ x . Преподаватель: 4) Если одна из переменных будет постоянной, то какую функцию мы получим? Студенты: Если одна из переменных z или x постоянна, например z = k , то получается функция y = k ⋅ x – прямая пропорциональность. Если переменная у постоянна, то y =

k x

– обратная пропорциональность.

Преподаватель: Решая задачи данным способом, что мы нашли в первом действии? Студенты: Мы нашли коэффициент пропорциональности k . Преподаватель: Решая задачи данным способом, что мы нашли во втором действии? Студенты: Мы нашли значение одной из переменных, зная значение другой переменной, учитывая функциональную зависимость между величинами. Преподаватель: Какой вывод можно сделать? Студенты: Если нам дана задача на нахождение четвертого пропорционального: «В задачах даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью. Из них две переменные, а одна постоянная. При этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной величины, а второе значение этой величины является искомым», которая имеет структуру (таблица № 9): Таблица № 9 Состояния 1 состояние 2 состояние

Величины 2 величина известное искомое

1 величина известное известное

Можем использовать следующий алгоритм решения: а) Определить величины, рассматриваемые в задаче. 201

3 величина постоянная

б) Установить взаимозависимости данных величин и ее математическую модель. в) Определить вид пропорциональности. г) Если в задаче математической моделью ситуации является: – обратная пропорциональность, то находим коэффициент пропорциональности k по формуле y ⋅ x = k ; – прямая пропорциональность, то находим коэффициент пропорциональности k по формуле

y =k. x

д) Найти значение неизвестной величины, зная значение соответствующей ей величины, учитывая функциональную зависимость между величинами и найденное значение коэффициента пропорциональности. Теоретическое обобщение осуществляется путем анализа данных о каком-либо одном объекте или ситуации с целью выявления существенных внутренних связей. Эти связи сразу фиксируются абстрактно (теоретически) и становятся той основой, на которой в дальнейшем выполняются частные (конкретные) действия. Пример. На двух полках 79 книг, на первой на 11 книг больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке? Путь х – количество книг на первой полке, а у – количество книг на второй полке, тогда x + у = 96 – количество книг на двух полках. Если учесть, что на первой на 11 книг больше, чем на второй, то можно записать равенство x − у =11 . Таким образом, математической моделью данной задачи является система уравнений:

⎧ x + y = 96 ⎨ ⎩ x − y = 11 .

Решая систему, получим,

х = 45, у = 34. Ответ: 45 книг на первой полке; 34 книги на второй полке. Вывод: В задачах, в которых по известным сумме и разности двух значений некоторой величины требуется найти эти значения, то есть алгебраическая модель, которых имеет вид: a+b a−b ⎧x + y = a , ответ находится по формулам: х = , у= . ⎨ 2

⎩ x − y = b.

2

Эффективно вводить в качестве обобщения решение задач в общем виде с использованием букв для обозначения заданных и искомых величин после решения ряда задач с конкретными числами. При обобщении фактов, изложенных в изучаемом материале, происходит рефлексия содержания учебного материала, которая используется для выявления уровня осознания содержания ранее пройденного. Самое главное не допустить, чтобы студенты использовали только лежащую на поверхности информацию для обобщения фактов. Это может проявляться в том, что например, увидев в изучаемом материале термин из прошлой темы, студент ограничится только ей, не будет стремиться к более систем202

ному взгляду на решение проблемы с привлечением материалов из других ранее изученных тем, не говоря уже о содержании других предметов. Развитие продуктивного мышления в учебной деятельности предполагает применение в процессе обучения решению сюжетных задач такой системы креативных методов, которая позволяет целенаправленно развивать способность: 1) понимать пути и методы продуктивной учебнопознавательной деятельности, творчески копировать их и обучаться при этом на своем и чужом опыте; 2) систематизировать учебную информацию в межпредметные комплексы и оперировать ею в эвристическом поиске при выполнении конкретных действий; 3) адаптироваться к изменяющимся видам учебной деятельности и предвидеть ее результаты; 4) планировать и прогнозировать интеллектуальную деятельность на основе эвристических и логических операций и стратегий; 5) формировать и принимать решения по организации сложных видов учебной деятельности на основе правдоподобных рассуждений, эвристических операций и стратегий с последующей их логической проверкой. Разработанное нами личностно ориентированное обучение решению сюжетной задачи включает относительно каждого этапа стратегии решения следующие упражнения, способствующие формированию и развитию черт, характеризующих индивида: 1-й этап – восприятие и анализ задачи. 1) Дан текст сюжетной задачи: а) проведите предметно-содержательный анализ данной задачи; б) проведите логико-семантический анализ данной задачи; в) выделите компоненты внутренней структуры сюжетной задачи; г) выделите компоненты внешней структуры сюжетной задачи; д) определите известные (явно заданные) элементы задачи; е) определите неизвестные (неконкретные, неявно заданные) элементы задачи; ж) определите искомые (их требуется найти или установить) элементы задачи; з) определите промежуточные или вспомогательные (нахождение которых не требуется, но они должны быть найдены в процессе поиска искомых) элементы задачи; и) определите величины, которыми охарактеризованы элементы (сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи; характер каждого значения величины); к) определите характер взаимосвязей между элементами; л) определите основное отношение между величинами; м) определите состояния (изменение значений величин, характеризующих ее элементы); н) определите ситуации (предложения, формализованные основным отношением, реализованным в задаче); о) составь задачу с аналогичным сюжетом. 2) Даны тексты сюжетных задач. а) Определите какие из задач являются простыми, какие составными; б) определите, какие из задач являются тренировочными задачами (определенными с приведенным условием), обучающими задачами (определенные с неприведенным условием, пере203

определенные непротиворечивые), поисковыми задачами (неопределенные); проблемными задачами (неопределенные; переопределенные противоречивые; определенные противоречивые); творческими задачами (неопределенные). 3) Даны тексты сюжетных задач. Сравните тексты задач. Чем они похожи? Чем они отличаются? Составьте новую задачу, которая бы сохранила существенные сходства с исходными задачами. Прочитайте задачи и скажите, какая задача «лишняя» и почему? Как надо изменить содержание «лишней» задачи, чтобы она соответствовала общему признаку? 4) Составьте сюжетную задачу, содержание которой определено условием задания (дано требование задачи, дана система предложений, дан сюжет, дана схема с готовыми ключевыми словами (без готовых ключевых слов), дана иллюстрация). 5) Дана задача с недостающими данными. Измените условие задачи с недостающими данными так, чтобы можно было решить эту задачу. Выберите данные, которыми можно дополнить условие задачи, чтобы ответить на поставленный в ней вопрос. Обоснуйте свой выбор. 6) Дана переопределенная задача. Найдите в сюжетной задаче лишние данные. Убери лишние данные в переопределенной сюжетной задаче. 7) Запишите n сюжетных задач при условии увеличения элементов, связей между элементами от задачи к задаче с одним содержанием. 2-й этап – построение модели задачи. 1) Дана сюжетная задача. Постройте всевозможные модели (определенную модель), соответствующие данной задаче. 2) Составьте сюжетную задачу (по заданному сюжету, с помощью рисунка-подсказки), решение которой соответствовало бы заданной модели. 3-й этап – поиск способа решения задачи. 1) Вычлените из предложенной составной сюжетной задачи простые и реши их. 2) Из приведенных задач составьте одну. 3) Найдите нестандартный способ решения приведенной сюжетной задачи. 4) Произведите поиск способ решения сюжетной задачи с помощью рассуждений «от вопроса к данным» и «от данных к вопросу». 5) Вам предложен поиск решения сюжетной задачи. Найдите его недостатки. В чем его достоинства? 6) Приведены несколько способов поиска решения сюжетной задачи. Какой из них является наиболее рациональным? Ответ обоснуйте. 7) Решите задачу по приведенному образцу (плану). 8) Сравните тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? Можно ли утверждать, что решения этих двух задач будут одинаковыми? 204

9) Из приведенных решений выберите решение, соответствующее данной задаче. 10) Дана сюжетная задача. Переформулируйте ее текст с целью получения новой более простой задачи, решение которой не вызывает особых затруднений. 11) Измените условие задачи при помощи одного из приведенных ниже предложений, чтобы ответить на поставленный в ней вопрос. 13) Дана задача. Что нужно изменить в тексте задачи, чтобы данное числовое выражение было ее решением? 14) Измени условие задачи, так чтобы она решалась меньшим числом действий. 4-й этап – осуществление выбранного способа решения задачи. 1) Оформите решение данной задачи арифметическим (алгебраическим, графическим, геометрическим) методом, используя различные формы записи. 2) Составьте сюжетную задачу по предложенному решению. 3) Составьте модель сюжетной задачи по предложенному решению. 4) Внимательно прочтите задачу и выберите правильное решение. 5) Из предложенных сюжетных задач выберите ту, которая соответствует данному решению. 5-й этап – проверка решения задачи. 1) Установите соответствие между числами, полученными в результате решения задачи, и данными в условии задачи. 2) Составьте и решите задачи, обратные данной. Сколько обратных задач можно составить к данной? 3) Решите задачу различными способами (методами). 4) Приведено ошибочное решение сюжетной задачи. Найдите, где допущена ошибка. 6-й этап – учебно-познавательный анализ задачи и ее решения. 1) Создайте цикл взаимообратных задач. 2) Дана сюжетная задача. Создайте новые сюжетные задачи путем изменения последовательности элементов, отношений или их заменой вплоть до противоположных. 3) Сформулируйте какие новые знания, получены при решении задачи. 4) Решите данные задачи и определите, что в них общего, что различного, запишите алгоритм решения подобных задач. 5) Выявить общую структуру и общий метод решения для определенного типа задач. 6) Разбейте задачи на 2 группы, согласно их методу решения (фабуле, математической модели и т.д.). 205

Выводы по главе 3 1. В процессе обучения решению сюжетных задач психологопедагогическими механизмами развития личности студента являются: 1) методы образного видения, символического видения, заданного диапазона, инверсии, редукции, фактов, прогнозирования, ошибок – для развития творческого мышления; 2) агглютинация, гиперболизация, схематизация, типизация, акцентирование, аналогия – для развития воображения; 3) смысловая группировка материала, схематизация, аналогия, ассоциация – для развития памяти; 4) новизна, интенсивность раздражителя (яркость иллюстрации, инсценировка, необычность сюжета задачи), ожидание определенных событий или впечатлений, неожиданность появления событий, корректурные задания, выделения признаков объектов, точное воспроизведение какого-либо образца, одновременное выполнение нескольких упражнений – для развития внимания; 5) создание проблемной ситуации, поиск ошибки в приведенных рассуждениях, формулирование гипотезы и организация исследования с целью получения нового знания, обобщение фактов, изложенных в изучаемом материале – для развития способности к рефлексии; 6) задания, выполняемые по образцу, по алгоритму, в рамках заданного диапазона – для развития самостоятельности. 2. Проектирование содержания личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач строится с учетом научно-предметного знания, характер которого одновременно определяет возможности и границы смыслоактуализации в условиях учебного процесса. При этом механизм личностно-смысловой сферы студента проявляется: 1) в отношении студента к тем объектам, ради которых совершается учебная деятельность; 2) в осознании усваиваемых субъектом знаний о природе и социуме через содержание сюжетных задач; 3) в отношении студента к собственной учебной деятельности. 3. Личностно ориентированное обучение решению сюжетной задачи включает относительно каждого этапа стратегии решения упражнения, способствующие формированию и развитию черт, характеризующих индивида. 4. Проведенный педагогический эксперимент подтвердил эффективность разработанной личностно ориентированной технологии обучения студентов – будущих учителей начальных классов решению сюжетных задач. Таким образом, имеются основания для утверждения о том, что основные задачи решены, гипотеза подтверждена, результаты исследования подтверждают положения, выносимые на защиту.

206

ЗАКЛЮЧЕНИЕ  1. Значимым методологическим принципом реорганизации процесса обучения решению сюжетных задач следует признать наличие у студента определенного индивидуально-личностного базиса, включающего гибкую адаптацию в постоянно меняющихся условиях; умение самостоятельно приобретать знания и применять их на практике; готовность работать с информацией; коммуникабельность, контактность в различных социальных группах; умение легко предотвращать или выходить из любых конфликтных ситуаций и пр. Все это позволяет рассматривать каждого обучающегося как неповторимость, уникальность, осуществляющую жизнедеятельность в качестве субъекта собственного развития. В процессе обучения решению сюжетных задач психолого-педагогическими механизмами развития личности студента являются: 1) методы образного видения, символического видения, заданного диапазона, инверсии, редукции, фактов, прогнозирования, ошибок – для развития творческого мышления; 2) агглютинация, гиперболизация, схематизация, типизация, акцентирование, аналогия – для развития воображения; 3) смысловая группировка материала, схематизация, аналогия, ассоциация – для развития памяти; 4) новизна, интенсивность раздражителя (яркость иллюстрации, инсценировка, необычность сюжета задачи), ожидание определенных событий или впечатлений, неожиданность появления событий, корректурные задания, выделения признаков объектов, точное воспроизведение какого-либо образца, одновременное выполнение нескольких упражнений – для развития внимания; 5) создание проблемной ситуации, поиск ошибки в приведенных рассуждениях, формулирование гипотезы и организация исследования с целью получения нового знания, обобщение фактов, изложенных в изучаемом материале – для развития способности к рефлексии; 6) задания, выполняемые по образцу, по алгоритму, в рамках заданного диапазона – для развития самостоятельности; 7) определение собственной позиции при наличии альтернативности в содержании учебной деятельности, практическая и профессиональная значимость учебного материала – для развития личностных смыслов. 2. Разработанная концепция личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов в вузе 207

основывается на признании личности студента системообразующим фактором обучения решению сюжетных задач, что предполагает: – признание студента субъектом познания, самостоятельно определяющего свою индивидуальную траекторию в процессе обучения решению сюжетных задач; – рассмотрение сюжетной задачи не только как объект изучения, но и как средство развития личности обучающегося; – использование личностно ориентированного содержания математических дисциплин, в которых реализуется процесс обучения решению сюжетных задач. 3. Признание студента субъектом познания, самостоятельно определяющего свою индивидуальную траекторию в процессе обучения решению сюжетных задач, предполагает создание условий для развития у него навыков организации учебного процесса. Студент с помощью преподавателя выступает в роли организатора своего математического образования: формулирует цели, подбирает тематику, предполагает свои конечные образовательные продукты и формы их представления, составляет план работы, выбирает средства и способы деятельности, устанавливает систему контроля и оценки своей деятельности, что предполагает: 9 со стороны преподавателя умение направлять совместную деятельность при обучении решению сюжетных задач не только на выполнение методико-технологической учебной деятельности, но и, прежде всего, на совместное осмысление мотивационно-аксиологоческой сферы. С этой целью преподавателем структурируются содержание математического образования, его методы и средства таким образом, чтобы позволить студенту проявить избирательность к предметному материалу, используемому при обучении решению сюжетных задач, его виду и форме; 9 со стороны студента принятие цели учебной деятельности. При этом перед ним во всей полноте встают вопросы: что, как и когда ему надо делать для того, чтобы достичь результата. На этом этапе студентом создаются индивидуальные программы обучения решению сюжетных задач на обозначенный период (урок, день, неделя, семестр, год). Эти программы являются образовательным продуктом оргдеятельностного типа, поскольку стимулируют и направляют реализацию личностного образовательного потенциала студента при целеполагании в процессе обучения решению сюжетных задач. 4. Реализация личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач будущих учителей начальных классов предполагает формирование содержания математических дисциплин, в которых реализуется процесс обучения решению сюжетных задач, с учетом: 208

– равноправного взаимодействия двух видов опыта (общественноисторического и индивидуального), происходящего не по линии вытеснения индивидуального и «наполнения» его общественным, а путем их постоянного согласования; – личностных смыслов студентов, определяющих мотивацию, аксиологию, мировоззрение и, как следствие, жизненную позицию обучающихся, выражающуюся в отношении к себе, другим людям, социуму в целом. Математика как наука изучает фундаментальные законы, царящие в мире, и в этом смысле ее содержание не зависит от ценностного сознания человека. Математика как учебный предмет является частью культуры и, следовательно, не может служить делу образования людей, если они не видят в этом для себя смысла. Студент должен получить не только знания, умения и навыки в процессе обучения решению сюжетных задач, но и ответить себе на вопросы, что он будет с ними делать, как специалист и как обыватель; – сферы социального опыта, которая впоследствии станет средством и содержанием профессионально-педагогического взаимодействия студентов с будущими учениками; – адаптации учебных планов, программ, учебных пособий к требованиям, предъявляемым современным обществом к уровню и качеству математической подготовки учителя начальных классов, к интересам и потребностям личности студента, с учетом его индивидуальных особенностей, мотивации и ценностной ориентации; – освоения логики данного предметного материала. 5. Переход к системе многоуровневого образования, развитие мобильных образовательных программ и стандартов (Европейская Система Квалификаций), достижение академической мобильности предполагают наличие альтернатив в образовательной сфере, из которых обучающийся должен делать выбор, исходя из собственных возможностей и потребностей рынка труда, поэтому технология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач представляет упорядоченную совокупность действий, операций и процедур, направленных на организацию индивидуальной образовательной траектории профессиональной деятельности преподавателя и учебной деятельности студентов, при которой созданы оптимальные условия для развития у субъектов обучения способностей к самообразованию, к реализации своих творческих возможностей с учетом индивидуальных психологических особенностей субъектов образования. Разработанная в ходе исследования микротехнология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач есть продуманная во всех деталях модель совместной учебной и педагогической деятельно209

сти по проектированию и организации приемов, способов и методов обучения решению сюжетных задач, в основе которой лежит понятие личности. Микротехнология личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач состоит из следующих компонентов: – интраиндивидуальный компонент включает в себя методические рекомендации по организации эффективной учебной и педагогической деятельности, позволяющие в процессе обучения решению сюжетных задач формировать и развивать психические процессы (внимание, воображение, память, мышление) обучающегося, способность к рефлексии и самостоятельности, интересы личности; – интериоризационный компонент представляет методические рекомендации по организации учебной и педагогической деятельности в процессе обучения решению сюжетных задач, использование которых способствует эффективному освоению личностью норм, ценностей, установок, стереотипов, выработанных обществом, в результате чего у нее складывается система внутренних регуляторов, привычных форм поведения. 6. Эффективность разработанной личностно ориентированной технологии обучения решению сюжетных задач подтверждена экспериментально. Качественное различие между результатами испытуемых экспериментальной и контрольной групп с учетом высокой репрезентативности и надежности экспериментального исследования подтвердили исходные предположения о позитивном влиянии личностно ориентированного обучения решению сюжетных задач, как на становление личности студента, так и на качество знаний, что дает основание утверждать: в качестве совершенствования методики обучения решению сюжетных задач необходимо использовать психолого-педагогические механизмы развития личности, приводящие к формированию и развитию творческого мышления, воображения, памяти, внимания, способности к рефлексии, самостоятельности и личностных смыслов.

210

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Абдуллина, О.А. Демократизация образования и подготовка специалистов: проблемы и поиски / О.А. Абдуллина // Высшее образование в России. 1996. - № 1. - С. 73-78. 2. Абдуллина, О.А. Личностно ориентированная технология обучения; проблемы и поиски /О.А.Абдуллина, А.А.Плигин //Наука и школа.-1998.- № 4.С.34-35. 3. Абдуллина, О.А. Общепедагогическая подготовка учителя в системе высшего педагогического образования / О.А.Абдуллина. - М.: Просвещение, 1990. - 141 с. 4. Азаров, А.И. Текстовые задачи: пособие для учащихся / А.И.Азаров, С.А.Барвенов, В.С.Федосенко. – Минск: ТетраСистемс, 2002. – 208 с. 5. Айзенк, Г.Ю. Как измерить личность / Г.Ю.Айзенк, Г.Вильсон; пер. с англ. А.Белопольского. – М.: Когито-центр, 2000. – 281 с. 6. Акопян, М.А. Личностно ориентированная направленность коммуникативных технологий обучения студентов педагогического вуза: дис. ... канд. пед. наук / М.А.Акопян. – Ростов н/Д, 2005. – 192 с. 7. Александров, А.И. Иван Иванович Александров / А.И.Александров // Математика в школе. – 1949. – № 5. – С.39-41. 8. Александров Г.Н. Педагогические системы, педагогический процесс и педагогические технологии в современном педагогическом знании [Электронный ресурс] / Г.Н.Александров [и др.]. – Режим доступа: http://www.nosu.ru/ 9. Алексеев, Н.И. Личностно ориентированное обучение: вопросы теории и практики / Н.И.Алексеев. – Тюмень: Изд-во Тюм. гос. ун-та, 1997.– 215 с. 10. Алексеев, Н.Г. Формирование осознанного решения учебной задачи / Н.Г.Алексеев // Педагогика и логика. – М.: Касталь, 1994. – С 378-409. 11. Алферов, А.Д. Психология развития школьника: учебное пособие / А.Д.Алферов. – Ростов н/Д: Феникс, 2000. – 384 с. 12. Ананьев, Б.Г. Комплексное изучение человека и психологическая диагностика / Б.Г. Ананьев // Вопросы психологии. – 1968. – №6. – С. 21-33. 13. Андреев, В.И. Педагогика: учеб. курс для творческого саморазвития / В.И.Андреев.– Казань: Центр инновационных технологий, 2000.– 608 с. 14. Анисимова, В.В. Внутришкольное управление развитием авторских педагогических систем учителей: дис. ... канд. пед. наук / В.В.Анисимова. – Волгоград, 1998. – 223 с. 15. Анохина, Г.М. Личностно развивающие педагогические технологии / Г.М.Анохина. – Воронеж: Изд-во ВОИПКРО, 2005. – 97 с. 211

16. Апиш, Ф.Н. Технологии личностно-ориентированного обучения и мотивация учения / Ф.Н.Апиш, Н.В.Надеина.- Майкоп: Изд-во АГУ, 2004.– 46 с. 17. Арнаутов, В.В. Общетеоретические основы учебно-научноинновационных комплексов как форм интеграции непрерывного педагогического образования / В.В.Арнаутов [и др.].– Волгоград, 2002.– 129 c. 18. Арнольд, И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач / И.В.Арнольд // Известия АПН РСФСР. – 1946. – № 6. – С. 7-28. 19. Артемов, А.К. Введение в частные методики обучения: учеб. пособие / А.К.Артемов, Т.В.Семенова. – Пенза: Пенз. политехн. ин-т, 1982. – 76 с. 20. Артемов, А.К. Формирование обобщенных умений решать задачи /А.К.Артемов // Начальная школа. - 1992. - № 2. – С. 25-31. 21. Асланов, Р. М. Методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педвузе: дис. ... д-ра пед. наук / Р.М.Асланов. – М., 1997. – 390 с. 22. Афанасьев, В.Г. О системном подходе в социальном познании / В.Г.Афанасьев // Вопросы философии.– 1973.– № 6.– С.22-26. 23. Афанасьев, В.Г. Общество: системность, познание и управление / В.Г.Афанасьев. – М.: Просвещение, 1981. – 432 с. 24. Афанасьев, Г.П. Система и связь [Электронный ресурс] / Г.П.Афанасьев. – Режим доступа: http://substanzialism.freenet.uz/f8.html 25. Ашихмин, В.Н. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие / В.Н.Ашихмин, М.Б.Гитман.- М.: Логос, 2004. – 440 с. 26. Бабанский, Ю.К. Как оптимизировать процесс обучения / Ю.К.Бабанский. – М.: Знание, 1978. – 48 с. 27. Бабанский, Ю.К. Оптимизация процесса обучения / Ю.К.Бабанский. – М.: Ростов-на-Дону, 1972. – 290 с. 28. Баврин, И.И. Старинные задачи: кн. для уч-ся / И.И.Баврин, Е.А.Фрибус. – М.: Просвещение, 1994.– 128 с. 29. Балл, Г.А. О системе основных понятий теории задач / Г.А.Балл // Теория задач и способов их решения. – Киев: ИК, 1974. – С.57-68. 30. Балл, Г.А. О психологическом содержании понятия «задача» / Г.А.Балл // Вопросы психологии. - 1970. – № 6. – С. 17-22. 31. Бантова, М.А. Методика преподавания в начальных классах: учеб. пособие / М.А.Бантова; под ред. М.А.Бантовой. – 3-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1984. - 335 с. 32. Барабашев, А.Г. Будущее математики: методол. аспекты прогнозирования / А.Г.Барабашев. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – 157 с. 33. Баранов, С.П. Сущность процесса обучения: учеб. пособие по спецкурсу для студентов пед. ин-та / С.П.Баранов. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1981. – 143 с. 34. Барановский, Ю.С. Методическая система обучения предметам в области информатики студентов не физико-математических специальностей в структуре многоуровневого образования: дис. … док. пед. наук / Ю.С.Барановский. – М., 1996. – 274 с. 35. Барсуков, А.Н. Сборник задач по алгебре: для пед. училищ / А.Н.Барсуков. – Изд. 2-е, доп. – М.: Учпедгиз, 1948. – 164 с. 212

36. Басагова, Р.Б.Познавательная деятельность ученика в ходе решения задач / Г.Б.Басагова // Начальная школа. – 2002. – №3. – С.50-51. 37. Безрукова, В.С. Педагогика. Проективная педагогика: учеб. пособие для инж.-пед. ин-тов и индустр.-пед. техникумов / В.С.Безрукова. – Екатеринбург: Деловая книга, 1996. – 344 с. 38. Белова, Н. И. Педагогическая мастерская как средство развития личности участников образовательной деятельности: дис. ... канд. пед. наук / Н.И.Белова. – СПб., 2000. – 216 с. 39. Белошистая, А.В. Обучение решению задач в начальной школе: кн. для учителя / А.В.Белошистая. – М.: ТИД «Русское слово», 2003. – 288 с. 40. Белухин, Д.А. Личностно ориентированная педагогика: учеб. пособие / Д.А.Белухин – Воронеж: МОДЭК, 2005. – 448 с. 41. Беляев, Е.А. Некоторые особенности развития математического знания / Е.А.Беляев [и др.]. – М.: Изд-во МГУ, 1975. – 112 с. 42. Беляев, Е.А. Философские и методологические проблемы математики / Е.А.Беляев, В.Я.Перминов. – М.: Изд-во МГУ, 1981. – 217 с. 43. Бенькович, Е.С. Практическое моделирование динамических систем / Е.С.Бенькович, Ю.Б.Колесов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002. – 464 с. 44. Бергер, П.А. Личностно-ориентированная социология / П.А.Бергер – М.: Академический проект, 2004. – 608 с. 45. Берталанфи, Л. фон. История и статус общей теории систем // Системные исследования: ежегодник / Л.Берталанфи. – М.: Наука, 1973. – С. 20-37. 46. Беспалько, В.П. Персонифицированное образование / В.П.Беспалько // Педагогика.– 1998. – №2. – С.12-17. 47. Беспалько, В.П. Слагаемые педагогической технологии / В.П.Беспалько. – М.: Педагогика, 1989. – 192 с. 48. Бизяева, А.А. Рефлексивные процессы в сознании и деятельности учителя: автореф. дисс. … канд. психол. наук / А.А.Бизяева. – СПб, 1993. – 23 с. 49. Блюм, Г. Психоаналитические теории личности [Электронный ресурс] / Г.Блюм / пер. А.Б.Хавина. – Режим доступа: http://psylib.org. ua/books/blumg01/index.htm 50. Боголюбов, В.И. Педагогическая технология: Эволюция понятия / В.И.Боголюбов // Советская педагогика. – 1991. – № 9. – С.123-128. 51. Богус, В.А. Развитие познавательного интереса учащихся начальных классов в процессе решения прикладных задач через использование графической информации / В.А.Богус, Л.В.Шелехова // Некоторые вопросы современной методики преподавания математики в школе. – Майкоп: Аякс, 2002. – С.8391. 52. Болотов, В.А. Новые ценности образования: Образование и сообщество / В.А.Болотов. – М.: Инноватор, 1996. – 144 с. 53. Божович, Л.И. Проблемы формирования личности / Л.И.Божович; под ред. Д.И.Фельдштейна; вступит. статья Д.И.Фельдштейна. – 2-е изд. – М.: Ин-т практ. психологии; Воронеж: НПО "МОДЭК", 1997. – 352 с..

213

54. Бондаревская, Б.Б. Воспитание интереса к знаниям и потребности к самообразованию: кн. для учителя / Б.Б.Бондаревская. – М.: Просвещение, 1985. – 144 с. 55. Бондаревская, Е.В. Гуманистическая парадигма личностно ориентированного образования / Е.В.Бондаревская // Педагогика. – 1997. – №4. – С. 1117. 56. Бондаревская, Е.В. Личностно ориентированное образование: опыт разработки парадигмы / Е.В.Бондаревская. – Ростов н/Д., 1997. – 28 с. 57. Бондаревская, Е.В. Мысль и стратегия личностно ориентированного воспитания / Е.В.Бондаревская // Педагогика. – 2001. – № 1. – С. 17-24. 58. Бондаревская, Е.В. Теория и практика личностно ориентированного образования: монография. / Е.В.Бондаревская. – Ростов н/Д., 2000. – 236 с. 59. Бондаревская, Е.В. Ценностные основания личностно ориентированного воспитания гуманистического типа / Е.В.Бондаревская // Образование в поисках человеческого смысла. – Ростов н/Д., 1995. – С.11-26. 60. Бондаревская, Е.В. Педагогика: личность в гуманистических теориях и системах воспитания: учеб. пособие / Е.В.Бондаревская, С.В.Кульневич. – М.: Ростов н/Д., 1999. – 560 с. 61. Борисов, Н.И. Как обучать математике: Учитель математики учит учиться: пособие для учителей / Н.И.Борисов. – М.: Просвещение, 1979. – 96 с. 62. Боуэн, М.В.-Б. Духовность и личностно-центрированный подход / М.В.-Б.Боуэн // Вопросы психологии. – 1992. – № 3-4. – С.24-33. 63. Бояринов, Д.А. Проектирование личностно-ориентированной обучающей системы: дис. ... канд. пед. наук / Д.А.Бояринов. – Смоленск, 2004. – 204 с. 64. Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе / под ред. А.И.Маркушевича. - М.: Учпедгиз, 1949. – 472 с. 65. Братченко, С.Л. Введение в гуманитарную экспертизу образования (психологические аспекты) / С.Л.Братченко. – М.: Смысл, 1999. – 137 с. 66. Брушлинский, А.В. Психология мышления и проблемное обучение / А.В.Брушлинский // Педагогика. - 2003. – №5. – С.53. 67. Буловацкий, М.П. Разнообразить виды задач: [О развитии мышления на уроках математики] / М.П.Буловацкий // Математика в школе. – 1988. – №5.– С.37-38. 68. Вайндорф-Сысоева, М. Е. Педагогика: учеб. пособие для студентов вузов / Л.П.Крившенко. – М.: Юрайт-Издат, 2004.– 254 с. 69. Валицкая, А.П. Философские основания современной парадигмы образования / А.П.Валицкая // Педагогика. – 1997. – № 3. – С.15-17. 70. Ванюрин, А.В. Методическая система стохастической подготовки учителя математики на основе новых информационных технологий: дис. ... канд. пед. наук / А.В.Ванюрин. – Красноярск, 2003. – 152 с. 71. Васильева, Н.Н. Личностно ориентированная межкультурная коммуникативная технология обучения студентов: дис. ... канд. пед. наук / Н.Н.Васильева. – Ростов н/Д, 2000. – 240 с. 214

72. Викулина, М.А. Личностно ориентированный подход в педагогике: теоретическое обоснование и пути реализации: учеб. пособие для студентов вузов / М.А.Викулина. – Н.Новгород: Нижегородский гос. лингвистич. ун-т им. Н.А.Добролюбова, 2004. – 296 с. 73. Волков, В.Н. Основы теории систем и системного анализа: учеб. для студентов вузов / В.Н.Волков, А.А.Денисов. – СПб.: Из-во СПбГТУ, 1997. – 510 с. 74. Волович, М.Б. Математика без перегрузок / М.Б.Волович. – М.: Педагогика, 1991. – 142 с. 75. Волович, М.Б. Науки обучать: Технология преподавания математики / М.Б Волович. – И.: Linka-Press, 1995. – 278 с. 76. Выготский, Л.С. Избранные психологические произведения / Л.С.Выготский. – М.: Прогресс, 1956.– 519 с. 77. Гайштут А.Г. Математика в логических упражнениях / А.Г.Гайштут. – Киев: Радянська школа, 1954. – 192 с. 78. Герченова, В.Е. Текстовая задача как средство формирования математических понятий и представлений у младших школьников: дис. … канд. пед. наук / В.Е. Герченова. – М., 1989. – 159 с. 79. Гин, А.А. Приемы педагогической техники. Свобода выбора. Открытость. Деятельность. Обратная связь. Идеальность: пособие для учителя / Гин, А.А. – М.:Вита_Пресс, 1999. – 88 с. 80. Гинецинский, В.И. Проблема структурирования мирового образовательного пространства / В.И.Гинецинский // Педагогика. - 1997. - №3.- С.10-14. 81. Глас, Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. / Дж. Глас, Дж. Стенли; пер. с англ. под. общ. ред. Ю.П.Адлера. – М.: Прогресс, 1976.– 495 с. 82. Горстко, А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием / А.Б.Горстко – М.: Знание, 1991. – 112 с. 83. Готская, И.Б. Методическая система обучения информатике студентов педвузов в условиях рыночной экономики (теоретические основы, практика проектирования): дис. … д-ра. пед. наук / И.Б.Готская. – Волгоград., 2003. – 314 с. 84. Грабарь, М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы / М.И.Грабарь, К.А.Краснянская. – М. Педагогика, 1977. – 136 с. 85. Гребенюк, Т. Б. Формирование индивидуальности будущего педагога в процессе профессиональной подготовки: дис. ... д-ра пед. наук / Т.Б.Гребенюк.– Ярославль, 2000. – 452 с. 86. Громкова, Л. Г. Образование – стимул саморазвития личности / Л.Г.Громкова // Педагогика. – 1993. – № 3.– С.21-25. 87. Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике / Я.И.Груденов. – М.: Педагогика, 1987. – 158 с. 88. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики / Я.И.Груденов. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.

215

89. Гурова, Л.Л. Психологический анализ решения задач / Л.Л.Гурова. – Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та. – 1976. – 329 с. 90. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике / В.А.Гусев. – М.: Вербум-М: Издат. Центр "Академия", 2003. – 432 с. 91. Гурьев, П.С. Руководство к преподаванию арифметики / П.С.Гурьев.– Спб., 1889. – 126 с. 92. Гусинский, Э.Н. Введение в философию образования: учеб. пособие / Э.Н.Гусинский, Ю.И.Турчанинова. – М.: Логос, 2001. – 224 с. 93. Давыдов, В.В. Проблемы развивающего обучения: опыт теоретического и экспериментального психологического исследования / В.В.Давыдов. – М.: Педагогика, 1986. – 240 с. 94. Данильчук, В.И. Современный мужской педагогический лицей: Теория и практика воспитания и обучения / В.И.Данильчук [и др.]. - М.:ВЛАДОС, 2000. – 208 с. 95. Данильчук, Е.В. Методическая система дистанционного образования (дидактический практикум): учеб.-метод. пособие / Е.В.Данильчук [и др.]. – Волгоград: Перемена, 2002. – 66 с. 96. Данильчук, Е.В. Методическая система формирования информационной культуры будущего педагога: дис. … д-ра. пед. наук / Е.В.Данильчук. – СПб., 1999. – 406 с. 97. Демидова, Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач: учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений / Т.Е.Демидова, А.П.Тонких.– М.: Академия, 2002. – 288 с. 98. Дендеберя, Н.Г. Характеристика модели учителя, ориентированного на развитие математических способностей учащихся / Н.Г.Дендеберя // Наука и Школа. - 1999. - № 4. - С.17-23. 99. Депман, И.Я. Рассказы о решении задач / И.Я.Депман. – Л.: Детская литература, 1964. – 152 с. 100. Депман, И.Я. Из истории математики / И.Я.Депман.– Л.: Детгиз, 1950. – 116 с. 101. Дзампаева, О.Т. Подготовка студентов педагогических специальностей вузов к реализации личностно-ориентированного подхода в обучении: дис. ... канд. пед. наук / О.Т.Дзампаева. – Владикавказ, 2004. – 175 с. 102. Дорофеев, Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы / Г.В.Дорофеев // Математика в школе. – 1983. - №4.– С.36-40. 103. Дрынков, А.В. Теория систем и проблемы моделирования психики// Математическая психология: методология, теория, модели / А.В.Дрынков; под ред. В.Ю.Крылова. – М.: Наука, 1997. – С.35-50. 104. Дубровина, И.В. Психология / И.В.Дубровина, Е.Е.Данилова, А.М. Прихожан. – М.: Академия, 1999. – 464 с. 216

105. Дудина, И.М. Методическая система обучения основам логического программирования в профессиональном образовании учителей информатики: дис. … канд. пед. наук / И.М.Дудина. – Тольятти., 1997. – 168 с. 106. Дьяченко, В. К. Основное направление развития образования в современном мире / В. К. Дьяченко. – М.: Шк. технологии, 2005. – 512 с. 107. Дядиченко, Е.А. Дифференцированное обучение в системе личностно-ориентированного образования / Е.А. Дядиченко // Известия вузов. СевероКавказский регион. Общественные науки. – 2000. – № 1. – С. 105-108. 108. Елканов, С.Б. Основы профессионального самовоспитания будущего учителя / С.Б. Елканов. – М.: Просвещение, 1989. – 189 с. 109. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике: формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителя / О.Б. Епишева, В.И.Крупич. – М.: Просвещение, 1990. – 128 с. 110. Журавлев, И.К. Дидактические основы построения учебного предмета / И.К.Журавлев. – М.: Педагогика, 1089. – 155 с. 111. Загвязинский, В.И. Методология и методика социальнопедагогического исследования / В.И.Загвязинский. – Тюмень: Изд-во Тюм. гос. ун-та, 1995. – 98 с. 112. Загвязинский, В.И. Теория обучения: современная интерпретация: учеб. пособие для студентов пед. вузов / В.И.Загвязинский.– М.: Академия, 2001.– 192 с 113. Загородних, К.А. Формирование приемов учебной деятельности учащихся 4-5 классов при обучении решению текстовых задач: дис. … канд. пед. наук / К.А.Загородних. – М., 1988. – 208 с. 114. Заир-Бек, Е.С. Теоретические основы обучения педагогическому проектированию: дисс. … д-ра пед. наук / Е.С.Заир-Бек. – СПб., 1995. – 410 с. 115. Зайцев, Г.Т. Теоретические основы обучения решению задач в начальных классах: учеб. пособие / Г.Т.Зайцев. – Ленинград, 1983. – 98 с. 116. Захарова, А. В. Особенности рефлексии как психического новообразования в учебной деятельности / А.В.Захарова, М.Э.Боцманова. // Формирование учебной деятельности школьников. – М., 1982. – С.152-162. 117. Зильбербег, Н.И. Уроки математики: Подготовка и проведение: кн. для учителя / Н.И.Зильбербег. – М.: Просвещение, 1996. – 176 с. 118. Зимняя, И.А. Педагогическая психология / И.А.Зимняя. – М.: Логос, 2004. – 384 с. 119. Зиновьев, П.М. Решение задач методом предположения / П.М.Зиновьев // Начальная школа. – 2003. – № 10. – С. 59-62. 120. Зотова, Н. Г. Формирование смысловой сферы личности педагога (На материале изучения дисциплин психол.-пед. цикла в физкультур. вузе): дис. ... канд. пед. наук / Н.Г.Зотова. – Волгоград, 1998. – 173 с. 121. Зуев, Д.Л. Учебник / Д.Л.Зуев //Российская педагогическая энциклопедия / гл. ред. В.В.Давыдов. – Т.2. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. – С. 480-482. 217

122. Зыкова, В.И. Формирование практических умений на уроках геометрии / В.И. Зыкова. – М.: Изд-во АПН РСФСР, 1955. – 200 с. 123. Иванова, В.В. Общие вопросы самосознания [Электронный ресурс] / В.В. Иванова. – Режим доступа: http://psylib.org.ua/books/ivanv01/ 124. Игнатьев, Е.И. В царстве смекалки или арифметика для всех: кн. для семьи и школы. Кн. третья. / Е.И.Игнатьев. – Изд. 2-е, пересм. и доп. – СПб., 1915. – 275 с. 125. Игнатьев, Е.В. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: кн. для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии: в 3 кн. / Е.В.Игнатьев. – Ростов н/Д: Кн. изд-во, 1995. – 616 с. 126. Ильина, Т.А. Понятие «педагогическая технология» в современной буржуазной педагогике / Т.А.Ильина // Советская педагогика. – 1971. – №9. – С.123-134. 127. Ильясов, И.И. Система эвристических приемов решения задач / И.И. Ильясов. – М.: Изд-во Рос. открытого ун-та, 1992. – 135 с. 128. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: учеб. пособие / Н.Б.Истомина. – 3-е изд., стер.– М.: Издат. центр "Академия", 2000.– 288 с. 129. Калан, Б.С. Методы обучения математике: (некоторые вопросы теории и практики) / Б.С.Калан, Н.К.Рузин, А.А.Столяр; под ред. А.А.Столяра. – Минск: Народная Асвета, 1981. – 191 с. 130. Калмыкова, З.И. Педагогика гуманизма / З.И.Калмыкова. – М.: Знание, 1990. – 80 с. 131. Калмыкова, З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости / З.И.Калмыкова. – М.: Просвещение, 1981. – 120 с. 132. Караковский, В.А. Любимые мои ученики / В.А.Караковский. – М.: Знание, 198. – 80 с. 133. Карп, А.П. Даю уроки математики…: кн. для учителя: из опыта работы / А.П.Карп. – М.: Просвещение, 1992. – 192 с. 134. Карпенко, Л.А. Краткий психологический словарь [Электронный ресурс] / Л.А. Карпенко, А.В. Петровский, М.Г. Ярошевский. – 1998. - Режим доступа: http://encikl.by.ru 135. Кирсанов А.А. Индивидуальный стиль учебной деятельности как педагогическая проблема / А.А. Кирсанов.– Казань, 1982. – 226 с. 136. Кларин, М.В. Инновационные модели обучения в зарубежных педагогических поисках / М.В.Кларин. – М.: Педагогика, 1994. – 130 с. 137. Кларин, М.В. Личностная ориентация в непрерывном образовании / М.В.Кларин // Педагогика. – 1996. – № 2. – С 14-21. 138. Климов, Е.А. Введение в психологию труда / Е.А.Климов. – М.: Издво МГУ, 1988. – 199 с. 139. Ковалев, А.Г. Психология личности / А.Г.Ковалев. – М.: Просвещение, 1970.– 311с. 218

140. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I // Математические задачи как средство обучения и развития учащихся / Ю.М.Колягин. – М.: Просвещение, 1977. – 110 с. 141. Колягин, Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Ю.М Колягин [и др.]. – М.: Просвещение, 1975. – 320 с. 142. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике: Ч. II // Обучение математике через задачи и обучение решению задач / Ю.М.Колягин. – М.: Просвещение, 1977. – 144 с. 143. Кон, И.С. В поисках себя: личность и ее самосознание / И.С.Кон. – М.: Политиздат, 1984. – 335 с. 144. Кордемский, Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку: пособие для учителей / Б.А.Кордемский. – М.: Учпедгиз, 1958. – 116 с. 145. Коржуев, А.В. Вузовское и послевузовское профессиональное образование: критическое осмысление проблем, поиск решения / А.В.Коржуев, В.А.Попков.– М.: Янус-К, 2002.– 232 с. 146. Косов, Б.Б. Личность: актуальные проблемы системного подхода/ Б.Б.Косов // Вопросы психологии. – 1997.– № 6. – С.58-62. 147. Красильщиков, В.А. Модернизация в России на пороге XXI века / В.А.Красильщиков // Вопросы философии. – 1993. – № 7. – С.51-52. 148. Краснощеков В. М. Управление методическим обеспечением деятельности преподавателя педагогического колледжа по подготовке будущих учителей к личностно-ориентированному образованию [Электронный ресурс] / В.М.Краснощеков. – Волгоград, 2000. – Режим доступа: http://www.gnpbu.ru/ aref/Krasnotchekov.htm 149. Крупич, В.И. Теоретические основы обучения решению школьников математических задач: дис. … д-ра пед. наук / В.И.Крупич. – М., 1992. – 395 с. 150. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников / В.А.Крутецкий. – М.: Просвещение, 1986. – 431 с. 151. Крюкова, Е.А. Теоретические основы проектирования и применения личностно-развивающих педагогических средств: дис. ... д-ра пед. наук / Е.А.Крюкова. – Волгоград, 2000.– 251 с. 152. Кудрявцев, Л.Д. Современная математика и ее преподавание: учеб. пособие / Л.Д.Кудрявцев.– 2-е изд., доп. – М.: Наука, 1985.– 176 с. 153. Кудрявцев, Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении / Л.Д.Кудрявцев. – М.: Наука, 1977. – 112 с. 154. Кузин, В.С. Психология: учеб. / В.С.Кузин. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: АГАР, 1999. – 304 с. 155. Кузнецов, В.И. Принципы активной педагогики: Что и как преподавать в современной школе: учеб. пособие для студентов пед. вузов / В.И.Кузнецов. – М.: Издат. центр "Академия", 2001. – 120 с. 156. Кузьмина, Н.В. Понятие «педагогическая система» и критерии ее оценки / Н.В.Кузьмина // Методы системного педагогического исследования. – Л.: Знание, 1980. – С. 16-17. 219

157. Кукушкин, В.С. Дидактика (теория обучения): учеб. пособие / В.С.Кукушкин. – М: ИКЦ «МарТ», Ростов-н/Д: Изд-й центр «МарТ», 2003.– 368 с. 158. Кулешова, Г.М. Условия реализации индивидуальной образовательной траектории ученика в дистанционном обучении [Электронный ресурс] / Г.М.Кулешова. – Режим доступа: http://www.eidos.ru 159. Кульбякина, Л.Я. Работа над простой задачей на этапе ее решения/ Л.Я.Кульбякина // Начальная школа. – 2002. – № 10. – С. 57-60. 160. Кульневич, С.В. Личностная ориентация методологической культуры учителя / С.В. Кульневич // Педагогика. – 1997. – № 5. – С.108–115. 161. Кульневич, С.В. Методологический поиск как основа педагогических "Ноу-Хау" / С.В.Кульневич // Приобщение к педагогической профессии. – Воронеж, 1992. – С.99. 162. Кульневич, С.В. Педагогика личности от концепций до технологий / С.В.Кульневич. – Ростов н/Д: Творческий центр "Учитель", 2001. – 160 с. 163. Кульневич, С.В. Анализ современного урока / С.В.Кульневич, Т.П.Лакоценина.– Ростов н/Д: ГЦ "Учитель", 2002. – 176 с. 164. Кульневич, С.В. Новая педагогика: учеб. пособие, тезисная конспект-программа / С.В.Кульневич, В.И.Лещинский. – Воронеж, 1992. – 134 с. 165. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений С.В.Кульневич. – М.: Педагогика,1970. – 232 с. 166. Кулюткин, Ю.Н. Рефлексивная регуляция мыслительных действий.– С.В.Кульневич // Психологические исследования интеллектуальной деятельности. – М., 1979. – С.22-28. 167. Курбатов, В.И. Социальное проектирование / В.И.Курбатов, О.В.Курбатова. – Ростов н/Д: Феникс, 2001. – 416 с. 168. Лаврикова, Т. В. Подготовка студентов педвуза к применению личностно ориентированных технологий обучения: дис. ... канд. пед. наук / Лаврикова, Т.В. – Волгоград, 1995. – 186 с. 169. Лавриненко, Т.А. Как научить детей решать задачи: метод. рекомендации для учителей начальных классов / Т.А.Лавриненко. – Саратов: Лицей, 2000. – 64 с. 170. Левенберг, Л.Ш. Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики: из опыта работы / Л.Ш.Левенберг; под ред. М.И.Моро. – М.: Просвещение, 1978. – 126 с. 171. Левина, Μ.Μ. Основы технологии профессионального педагогического образования / Μ.Μ.Левина. – Минск: Академия последипломного образования, 1998. – 343 с. 172. Леонтьев, А.Н. Деятельность. Сознание. Личность [Электронный ресурс] / А.Н.Леонтьев. – Режим доступа: http://www.psy.msu.ru/science/ 220

173. Лещинский, В.И. Моделирование педагогических ситуаций как часть технологии личностно ориентированной подготовки учителей начальных классов / В.И.Лещинский // Личностно ориентированная педагогика в начальной школе. науч.-метод. сб.– Вып.2. – Воронеж, 1997. – С. 3-9. 174. Лотар Клинберг Проблемы теории обучения: пер. с нем. / Л.Клинберг. – М.: Педагогика, 1984. – 256 с. 175. Луканкин, Г.Л. Реализация политехнической, практической направленности в программах по дисциплинам естественно-научного цикла / Г.Л.Луканкин, В.К.Луканкин // Актуальные вопросы совершенствования математического образования. – М.: Просвещение, 1987. – 230 с. 176. Луканкин, Г.Л. Приложение определенного интеграла в экономике / Г.Л.Луканкин, Н.А.Хоркина // Математика (еженедельное приложение к газете “Первое сентября”). – 2000. – № 13. – С.29-32. 177. Майер, В.Р. Методическая система геометрической подготовки учителя математики на основе новых информационных технологий: дис. ... д-ра пед. наук / В.Р.Майер. – Красноярск, 2001. – 351 с. 178. Макаренко, А.С. Лекции о воспитании детей / А.С.Макаренко. – Минск, 1978. – 175 с. 179. Макарова, Н.В. Научные основы методической системы обучения студентов вызов экономического профиля новой информационной технологии: автореф. дис. … д-ра пед. наук / Н.В.Макарова. – СПб, 1992. – 25 с. 180. Малыхин, В.И. Социально-экономическая структура общества. Математическое моделирование: учеб. пособие для вузов./ В.И.Малыхин. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 175 с. 181. Маралова, Е.А. Инициирующая роль образовательной среды в системе отношений "личность – профессия – культура" / Е.А.Маралова // Образование в жизни взрослого человека: материалы науч.-практ. конф. – СПб.: ИОВ РАО, 1997. – № 4. – С.24-26. 182. Маралова, Е.А. К вопросу о подготовке учителя в системе ПК к реализации личностно-ориентированного обучения школьников / Е.А.Маралова // Современные ориентиры в образовании педагогов: материалы науч.-практ. конф. – СПб, 1998. – С.39-43. 183. Маслова, Н.В. Ноосферное образование: технология, методология, методика / Н.В.Маслова. - М.: РАЕН, 1998. – 58 с. 184. Матюшкин, А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучение / А.М.Матюшкин // Педагогика. – 1992. – №3.– С.23-26. 185. Матюшкина, А.А. Взаимодействие объективной и субъективной структур задачи как фактор творческого решения / А.А.Матюшкина // Воображение и творчество в образовании и профессиональной деятельности: материалы четвертых чтений памяти Л.С.Выготского РГГУ, междунар. конф. (Москва, 17-20 ноября 2003). – М.: РГГУ, 2004. – С. 258-262. 221

186. Менчинская, Н.А. Психология применения знаний к решению учебных задач / Н.А.Менчинская // Психология применения знаний к решению учебных задач. – М.: Высшая школа, 1958. – 416 с. 187. Мерлин, В.С. Психология индивидуальности: избр. психол. тр. / В.С.Мерлин; под ред. Е.А.Климова. – М.: Моск. психол.-соц. ин-т, 2005. – 542 с. 188. Мерлин, В.С. Очерк интегрального исследования индивидуальности / В.С. Мерлин. – М.: Педагогика, 1986. – 253 с. 189. Методика начального обучения математики: учеб. пособие для пед. ин-тов / В.Л. Дрозд [и др.]; под общ. ред. А.А.Столяра и В.Л.Дрозда. – М.: Вышэйшая школа, 1988. – 254 с. 190. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.Я.Блох [и др.]; сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с. 191. Мирошникова, О.Х. Проектирование индивидуальных образовательных траекторий студентов в процессе иноязычной подготовки в неязыковом вузе / О.Х.Мирошникова [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.emissia.org 192. Митина, Л.М. Учитель как личность и профессионал / Л.М.Митина. – М.: Дело, 1994. – 216 с. 193. Михеев, В.И. Моделирование и методы теории измерений в педагогике: науч.-метод. пособие для педагогов-исследователей, математиков, аспирантов и науч. работников, занимающихся вопросами методики пед. исследований / В.И.Михеев.– М.: Высшая школа, 1987. – 200 с. 194. Модели инновационных вузов: сб. статей. – М.: Акад. нар. хоз-ва при Правительстве Рос. Федерации, 2005.– 148 с. 195. Монахов, В.М. Технологические основы проектирования и конструирования учебного процесса: монография / В.М.Монахов. – Волгоград: Перемена, 1995. – 152 с. 196. Мордкович, А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: дис. … д-ра. пед. наук / А.Г.Мордкович.– М., 1986. – 298 с. 197. Моро, М.И. Методика обучения математике в 1-3 классах: пособие для учителя / М.И. Моро, А.М. Пышкало. - М.: Просвещение, 1975. – 336 с. 198. Морозова, И.В. Работа с одаренными учащимися профессиональнотехнического колледжа на основе инновационных методов обучения / И.В.Морозова [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ptkshp.minsk.edu.by/ 199. Нагибин, Ф.Ф. Математическая шкатулка / Ф.Ф.Нагибин.– М.: Учпедгиз, 1958.– 166 с. 200. Национальная доктрина образования в Российской Федерации // Бюллетень Министерства образования Российской Федерации. – 2000. – №11. – С.4 -13. 222

201. Невская, Т.В. Профессионально-педагогическая направленность и пути ее формирования у будущих учителей / Т.В.Невская // Формирование профессионально-педагогической направленности у студентов университета: межвуз. сб. науч. тр. / редколл.: Н.В.Савин (отв. ред.) [и др.]. – Иваново: ИвГУ, 1986. – С.12-27. 202. Нейман, Ю.М. Введение в теорию моделирования и параметризации педагогических тестов / Ю.М.Нейман, В.А.Хлебников. – М., 2000.– 169 с. 203. Нелюбин, Н.Д. Когда математика становиться любимым предметом / Н.Д.Нелюбин, Н.К.Желудкова. – 2-е изд., доработ. – Свердловск: Сред.: Урал. кн. изд., 1971. – 47 с. 204. Немов, Р.С. Психология: учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений: в 3 кн. Кн. 1: Общие основы психологии / Р.С.Немов.. – 4-е изд. – М.: ВЛАДОС, 2002. – 688 с. 205. Никитин, Н.В. Модель развития образовательного учреждения на основе здоровьесберегающей организации учебно-воспитательного процесса: дис. ... канд. пед. наук / Н.В.Никитин. – Челябинск, 1999. – 161 с. 206. Николаев, В.А. Системотехника: методы и приложения / В.А.Николаев, В.М.Брук. – Л.: Машиностроение Ленингр. отд-е, 1985. – 199 с. 207. Новикова, Е.Р. Особенности рефлексивных механизмов мышления у школьников подросткового возраста / Е.Р. Новикова // Вестник МГУ. Серия 14 «Психология», 1984. – № 4. – С.71-72. 208. Обществознание в вопросах и ответах: пособие-репетитор / под. ред. проф. О.С.Белокрыловой. – Изд. 3-е, изм. и доп. – Ростов н/Д: Феникс, 2000. – 448 с. 209. Ольбинский, И.Б. Рефлексивное исследование математической задачи Народное образование в XXI веке / И.Б.Ольбинский // Докл. междунар. юбилейной науч.-практ. конф. в Московском пед. ун-те (Москва, 6-7 июня 2001 г.). – М.: Прометей МПГУ, 2002. - С. 77-81. 210. Орехов, Ф.А. Решение задач методом составления уравнений: пособие для учителей восьмилетней школы / Ф.А.Орехов. – М.: Просвещение, 1971. – 159 с. 211. Орлов. А.А. Мониторинг инновационных процессов в образовании / А.А.Орлов. // Педагогика. – 1996. – № 3-4. – С. 33-48. 212. Панюкова, С.В. Концепция реализации личностно-ориентированного обучения при использовании информационных и коммуникационных технологий / С.В.Панюкова. – М.: ИОСО РАО, 1998. – 119 с. 213. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: учеб. для студентов высш. и сред. пед. учеб. заведений.- 4-е изд., испр. – М.: Издат. центр "Академия", 2001.– 512 с. 214. Петровский, В.А. К проблеме активности личности в познавательной деятельности / В.А.Петровский // Проблемы коммуникативной и познаватель223

ной деятельности личности / отв. ред. А.В.Петровский. – Ульяновск, 1981. – С.98-121. 215. Плигин, А.А. Личностно ориентированное образование: авторская концепция [Электронный ресурс] / А.А.Плигин. – Режим доступа: http://www.pligin.ru/conception.html 216. Повышение эффективности обучения математике в школе: кн. для учителя: из опыта работы / сост. Г.Д.Глейзер. – М.: просвещение, 1989. – 240 с. 217. Поляк, Г.Б. Занимательные задачи: пособие для учителей. / Г.Б. Поляк. – Изд. 3-е. – М.: Учпедгиз, 1953. – 95 с. 218. Пойа, Д. Как решать задачу: пособие для учителя / Д. Пойа; пер. с англ. под ред. Ю.М. Гайдука. – М.: Учпедгиз, 1959. – 207 с. 219. Пойа, Д. Математическое открытие: пособие для учителя: пер. с англ. / Д. Пойа. – М.: Наука, 1976. – 448 с. 220. Понамарева, О.Н. Методическая система экологии в средней школе: дис. … докт. пед. наук / О.Н.Понамарева. – Пенза, 2000. – 245 с.. 221. Пономарев Я.А. Психология творческого мышления / Я.А.Пономарев. – М.: Просвещение, 2001. – 109 с. 222. Попков, В.А. Дидактика высшей школы: учеб. пособие для студентов вузов / В.А.Попков, А.В.Коржуев. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Академия, 2004.– 192 с. 223. Психологический словарь [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://psi.webzone.ru 224. Пухначев, Ю.В. Учись применять математику: Математика без формул / Ю.В.Пухначев. – М.: Знание, 1977. – 144 с. 225. Пышкало, А.М. Методическая система обучения геометрии в начальной школе: авторский доклад по монографии «Методика обучения элементам геометрии в начальных классах», представ. на соиск. ученой степени док. пед. наук / А.М.Пышкало. – М., 1975. 226. Роганский, Н.М. методика преподавание математики в средней школе: учеб. пособие / Н.М. Роганский. – М.: Высшая школа., 1990. – 267 с. 227. Роджерс, К.Р. О становлении личности (психотерапия глазами психотерапевта) / К.Р.Роджерс [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http:// psylib.org.ua/books/roger01/index.htm 228. Рождерс, К.Р. Вопросы, которые я бы себе задал, если бы был учителем / К.Р.Роджерс [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.ido.edu. ru/psychology/pedagogical_psychology/ch12_2.html 229. Рождерс. К.Р. Теория личности / К.Р. Роджерс; пер. В.Лях, А.Хомик [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://psylib.org.ua/books/roger02/ index.htm 230. Романова, Е.С. Графические методы в психологической диагностике / Е.С.Романова, О.Ф.Потемкина. – М.: Дидакт, 1992. – 256 с. 224

231. Рувинский Л.И. Психология самовоспитания / Л.И..Рувинский – М.: Просвещение, 1982. –143 с. 232. Рыжова, Н.И. Методическая теория: уточнение понятий / Н.И.Рыжова // Проблемы и перспективы развития методики обучения математике: сб. науч. работ; под ред. В.В.Орлова. – СПб: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 1999. – С. 3-9. 233. Рыжова, Н.И., Педагогический Web-дизайн [Электронный ресурс] / Н.И.Рыжова, Д.А.Шуклин – Режим доступа: http://ric.uni-altai.ru/Fundamental/ cat-uch.htm 234. Сазанова, Т.А. Электронная хрестоматия по методике преподавания математики / Т.А.Сазанова, А.Г.Дубов [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://fmi.asf.ru/library/mpm/index.html 235. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов / Г.И.Саранцев. – Саранск: Красный Октябрь, 1999. – 208 с. 236. Сарджвеладзе Н.И. Личность и ее взаимодействие в социальной среде / Н.И.Сарджвеладзе [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://psylib. org.ua/books/sarjv01/index.htm 237. Сафонова, Л.А. Обучение учащихся 1-8 классов решению текстовых задач в условиях преемственности изучения математики: дис. … канд. пед. наук / Л.А. Сафонова. – Саранск, 2000. – 207 с. 238. Свечников, А.А. Решение математических задач в 1-3 классах: пособие для учителя / А.А.Свечников. – М.: Рипол, 1995. – 352 с. 239. Седов А.А. Личностно ориентированное образование в педвузе как детерминант профессиональной подготовки будущего педагога по физической культуре: дис. ... д-ра пед. наук /А.А Седов. – М., 2002. – 406 с. 240. Семенов, И.Н. Проблема формирования типов рефлексии в решении творческих задач / И.Н.Семенов, С.Ю.Степанов // Вопросы психологии. – 1982. – № 1. – С.99–104. 241. Сериков, B.B. Личностно-ориентированное образование: от теории к региональной системе / B.B.Сериков // Преподаватель. – 1998. – № 3. – С.9-32. 242. Сериков, В.В. Личностный подход в образовании: концепции и технологии / B.B.Сериков. – Волгоград, 1994. – 152 с. 243. Сериков, В.В. Личностно-ориентированное образование / B.B.Сериков // Педагогика. – 1994. – № 5. – С. 16-21. 244. Сидоренко, Е.В. Методы математической обработки в психологии / Е.В.Сидоренко. – СПб.: ООО «Речь», 2004. – 350 с. 245. Сидорова, Н.В. Методическая система подготовки студентов физикоматематического факультета педвуза к проектировочной деятельности: дис. ... канд. пед. наук / Н.В.Сидорова. – М., 2000. – 182 с. 246. Скаткин, Л.Н. Виды простых арифметических задач / Л.Н.Скаткин // Начальная школа. – 1949. – № 2. – C. 20-24. 225

247. Скок, Г.Б. Как спроектировать учебный процесс по курсу: учеб. пособие / Г.Б.Скок, Н.И.Лыгина. – 2-е изд. – М.: Педагогическое общество России, 2003. – 96 с. 248. Сластенин, В.А. Формирование профессиональной культуры учителя: учеб. пособие / В.А.Сластенин. – М.: Прометей, 1993. – 177с. 249. Сластенин, В.А. Педагогика: учеб. пособие / В.А.Сластенин, И.Ф.Исаев, А.И.Мищенко, Е.Н.Шиянов. – М.: Школа-Пресс, 1997. – 512 с. 250. Слепкань, З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: метод. пособие / З.И.Слепкань. – Киев: Рад. шк., 1983. – 192 с. 251. Смыковская, Т.К. Педагогическая практика: целеполагание, проектирование профессиональной деятельности и оптимизация проекта: учеб. пособие / Т.К.Смыковская, Т.Н.Шабанов [и др.]. – М.: МГОПУ, 1998. – 139 с. 252. Соколов, В.Н. Педагогическая эвристика / В.Н. Соколов. – М.: Просвещение, 1995. – 340 с. 253. Статкевич, В.В. О начальном обучении решению задач / В.В.Статкевич. – Минск: Народна асвета, 1970. – 208 с. 254. Степанов, С.Ю. Психология рефлексии: проблемы и исследования / С.Ю.Степанов, И.Н.Семенов [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http: //psychiatry.ru/library/ill/ss.html 255. Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике: курс лекций: пособие для вузов / Н.Л.Стефанова, Н.С.Подходова [и др.]; под ред. Н.Л.Стефановой, Н.С.Подходовой. – М: Дрофа, 2005. – 416 с. 256. Стефанов, Н.С. Общественные науки и социальная технология / Н.С.Стефанов. – М.: Прогресс, 1974. – 183 с. 257. Стойлова, Л.П. Математика: учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений / Л.П.Стойлова. – 2-е изд., испр. – М.: Академия, 1997. – 484 с. 258. Стойлова, Л.П. Основы начального курса математики: учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений / Л.П.Стойлова, А.М.Пышкало. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1988. – 484 с. 259. Столяр, А.А. Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А.А.Столяр. – Минск: Высшая школа, 1986. – 414 с. 260. Суртаева, Н.Н. Нетрадиционные педагогические технологии: Парацентрическая технология: учеб. пособие / Н.Н.Суртаева. – М.; Омск, 1974. – 22 с. 261. Сухомлинский, В.А. Методика воспитания коллектива / В.А.Сухомлинский. – М.: Просвещение, 1981. – 192 с. 262. Сысоева М.Е. Организация научно-исследовательской работы студентов: програм.-метод. пособие / М.Е.Сысоева. - М., 2000. – 120 с. 263. Темербекова А.А. Методика преподавания математики: учеб, пососбие для студ. высш. учеб. заведений / А.А.Темербекова. – М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2003. – 176 с. 226

264. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах: пособие для студентов фак. подгот. учителей нач. классов заоч. отдния / под ред. Н.Б. Истоминой. – М.; Воронеж: Изд-во Ин-т практ. психол.: НПО «МОДЭК», 1996. – 224 с. 265. Терешин, Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: кн. для учителя / Н.А.Терешин. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с. 266. Тихомирова, Л.Ф. Развитие интеллектуальных способностей школьников / Л.Ф. Тихомирова. – Ярославль: Академия развития, 1996. – 240 с. 267. Тихонов, А.Н. Рассказы о прикладной математике / А.Н.Тихонов, Д.П. Костмаров. – М.: Просвещение, 1979. – 145 с. 268. Толстова Ю.Н. Измерение в социологии: курс лекций / Ю.Н.Толстова. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 224 с. 269. Тонких, А.П. Геометрический метод решения текстовых задач в курсе математики факультативов подготовки учителей начальных классов / А.П.Тонких, Т.Е. Демидова // Начальная школа. – 2000. – №5. – С. 100-105. 270. Требования к диссертациям по педагогическим наукам: науч.-метод. рекомендации. – 3-е изд., дораб. – М.; Сочи: Изд-во Моск. психолого-соц. ин-та: СГУТиКД, 2003. – 83 с. 271. Урмaнцев, Ю.А. Общая теория систем / Ю.А.Урмaнцев [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://koi.sci.aha.ru/RUS/waia1.htm 272. Устинова-Баранова, Л.А. Аксиологические проблемы образования: учеб.-методич. пособие для студентов вузов / Л.А.Устинова-Баранова. – Хабаровск: Хабаровский гос. пед. ун-т, 2003. – 169 с. 273. Федорова Т.С. Личностно-ориентированная технология учебного проектирования в процессе развития технического творчества студентов втузов: дис. ... канд. пед. наук / Т.С.Федорова. – Кемерово, 2002. – 202 с. 274. Философия. Часть II. Основные проблемы философии / под ред. В.И.Кирилова. – М.: Юрист, 1997. – 320 с. 275. Фоминых, Е. К. Формирование готовности к личностному самоопределению в процессе профессионализации: автореф. дисс. … канд. психологич. наук / Е.К.Фоминых [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http: //www.gnpbu.ru/aref/aref421.txt 276. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи: пособие для учащихся / Л.М.Фридман, Е.Н.Турецкий. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1984. – 175 с. 277. Фридман, Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач / Л.М.Фридман. – М.: Педагогика, 1977. – 208 с. 278. Фридман, Л.М. Психология детей и подростков: справочник для детей и воспитателей / Л.М.Фридман. – М.: Изд-во ин-та психотерапии, 2003. – 480 с. 279. Фридман, Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика: учеб. пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей / Л.М.Фридман. – М.: Школьная пресса, 2002. – 208 с. 227

280. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений/ Л.М.Фридман. – М.: Моск. психолого-соц. ин-т: Флинта, 1998. – 224 с. 281. Хамов, Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе с точки зрения профессионально-педагогического подхода: дис. … док. пед. наук / Г.Г.Хамов. – Мурманск, 1994. – 333 с. 282. Хинчин, А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики / А.Я.Хинчин [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.ibmh.msk. su/vivovoco/vv/school/KHINCHIN.HTM 283. Ходырева, Н.Г. Методическая система становления готовности будущих учителей к формированию математической компетентности школьников: дис. ... канд. пед. наук / Н.Г.Ходырева. – Волгоград, 2004. – 179 с. 284. Холл, К.С. Теории личности / К.С.Холл, Г.Линдсей; пер. И.Б. Гриншпун [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://psylib.org.ua /books/holli01/index.htm 285. Хуторской, А.В. Дидактическая эвристика: теория и технология креативного обучения / А.В.Хуторской. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2003.– 416 с. 286. Хуторской А.В. Современная дидактика: учеб. для вузов / А.В.Хуторской. – СПб.: Питер, 2001. – 544 с. 287. Хуторской, А. В. Методика личностно-ориентированного обучения: Как обучать всех по-разному?: пособие для учителя / А.В.Хуторской. – М.: ВЛАДОС-ПРЕСС, 2005. – 383 с. 288. Царева, С.Е. Виды работы с задачами на уроке математики / С.Е.Царева // Начальная школа. – 1990. – № 10. – С.37-41. 289. Царева, С.Е. Методика решения задач / С.Е.Царева // Начальная школа. – 1998. – № 1. – С.48-54. 290. Царева, С.Е. Обучение решению текстовых задач, ориентированное на формирование учебной деятельности младших школьников / С.Е.Царева. – Новосибирск: Изд-во НГПУ, 1998. – 136 с. 291. Цлаф, В.М. Проектирование организации: новая парадигма / В.М.Цлаф [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://big.spb.ru/ publications/other/restruct/proektorganiz_new_paradigm.shtml?print 292. Чередов, И.М. Система форм организации обучения в советской общеобразовательной школе / И.М.Чередов – М.: Педагогика, 1987. – 152 с. 293. Чередов, И.М. Формы учебной работы в средней школе: кн. для учителя / И.М.Чередов – М.: Просвещение, 1988. – 256 с. 294. Чернилевский Д.В. Дидактические технологии в высшей школе: учеб. пособие для вузов / Д.В.Чернилевский.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 437 с 295. Черничкина, Е.К. Формирование готовности студентов педвуза к овладению индивидуальным стилем педагогической деятельности: автореф. дис. ... канд. пед. наук / Е.К.Черничкина. – Волгоград, 1991. – 19 с. 228

296. Чичигин, В.Г. Методика преподавания арифметики: для учительских институтов / В.Г.Чичигин. – М.: Учпедгиз, 1949. – 320 с. 297. Чухно, А.Г. Психологическое обеспечение личностно ориентированного образования в педагогическом училище: автореф. дисс. … канд. психологич. наук. / А.Г.Чухно [Электронный ресурс]. – Ростов н/Д, 1999.– Режим доступа: http://www.gnpbu.ru/aref/aref282.txt 298. Шадрина, И.В. Использование графических схем при работе над текстовой задачей / И.В.Шадрина // Начальная школа. – 1995. – №3. – С. 39-60. 299. Шамова, Т.И. Управление образовательными системами: учеб. пособие для студентов вузов / Т.И.Шамова, П.И.Третьяков.– М.: Гуманит. издат. центр ВЛАДОС, 2002. – 320 с. 300. Шалыгина, И.В. Современный мультимедийный урок: дидактические ориентиры в море технологий: практикоориентированная монография: научное электронное изд. [Электронный ресурс] / И.В.Шалыгина – М.: ИД «Садовое кольцо», 2006-1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – № гос. рег. 50200702167 301. Шахматова, О.Н. Личностно-ориентированные технологии профессионального развития педагогов профессиональной школы: автореф. дис. … канд. пед. наук. – Екатеринбург, 2000 [Электронный ресурс] / О.Н. Шахматова. – Режим доступа: http://www.gnpbu.ru/aref/zot155.htm 302. Шведский, М.В. Методическая система фундаментальной подготовки будущих учителей информатики в педагогическом вузе в условиях двухступенчатого образования: дис. … док. пед. наук / М.В.Шведский. – СПб, 1994. – 445 с. 303. Шелехова, Л.В. К вопросу о личностно ориентированном математическом образовании / Л.В.Шелехова // Информация образования – 2006: материалы междунар. науч.-метод. конф.: в 3 т. – Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2006. – Т. 2. – С.346-350. 304. Шелехова, Л.В. К вопросу о методической системе обучения / Л.В.Шелехова // Вестник Адыгейского государственного университета: вып. 3/18/2005. – Майкоп: Изд-во «Аякс», 2005. – С.143- 147. 305. Шелехова, Л.В. О понятии «методическая система обучения» / Л.В.Шелехова // Проблемы современного естествознания в науке и педагогической практике: материалы науч.-метод. конф.; под ред. проф. В.В.Подберезного. – Таганрог: Таганрог. гос. пед. ин-т, 2005. – С. 86-87. 306. Шелехова, Л.В. Понятие сюжетной задачи / Л.В.Шелехова // Наука. Образование. Молодежь: материалы науч. конф. молодых ученых АГУ (6 февраля 2004 года). – Майкоп: Изд-во АГУ, 2004. – Т. 1. – С.385-389. 307. Шелехова, Л.В. Развитие воображения в процессе решения сюжетных задач / Л.В.Шелехова // Модернизация региональной системы начального образования на Северном Кавказе: материалы науч.-практ. конф. / под ред. Е.А. Дегтерева. – Краснодар: Изд-во Кубанского гос. ун-та, 2004. – С. 176-180. 229

308. Шелехова, Л.В. Структура сюжетной задачи / Л.В.Шелехова // Наука. Образование. Молодежь: материалы науч. конф. молодых ученых АГУ (6 февраля 2004 года) – Майкоп: Изд-во АГУ, 2004. – Т.1. – С.389-395. 309. Шелехова, Л.В. Сюжет текстовой задачи как средство осуществления межпредметной связи математики и литературы / Л.В.Шелехова // Наука. Образование. Молодежь: материалы III Всеросс. науч. конф. молодых ученых (3-4 февраля 2006 года). – Майкоп: Изд-во АГУ, 2006. – С. 171-176. 310. Шелехова, Л.В. Формирование личностного отношения учащихся к процессу обучения решению сюжетных задач / Л.В.Шелехова // Наука. Образование. Молодежь: материалы III Всеросс. науч. конф. молодых ученых (3-4 февраля 2006 года). – Майкоп: Изд-во АГУ, 2006.– С. 168-171. 311. Шепель, В.М. Человековедческая компетентность менеджера. Управленческая антропология / В.М.Шепель. – М.: Народное образование, 1999. – 432 с. 312. Шиянов, Е.Н. Гуманизация профессионального становления педагога / Е.Н. Шиянов // Советская педагогика. – 1991. – № 9. – С. 80-84. 313. Шоган, В.В. Теоретические основы модульной технологии личностно-ориентированного образования: автореф. дисс. … д-ра пед. наук / В.В.Шоган [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.gnpbu.ru/aref/ zot7.htm 314. Шоган, В. В. Технологии личностно ориентированного урока: учеб.метод. пособие для учителей, методистов, кл. рук., студентов пед. учеб. заведений, слушателей ИПК / В.В.Шоган. – Ростов н/Д: Учитель, 2003. – 160 с. 315. Шохор-Троцкий, С.И. Методика арифметики: пособие для учителей средней школы / С.И.Шохор-Троцкий. – 5-е изд. – М.-Л.: Госпедиздат, 1935. – 343 с. 316. Шумилин, А.Т. Проблемы теории творчества: монография / А.Т.Шумилин. – М.: Высш. шк., 1989. – 143 с. 317. Щуркова, Н. Е. Педагогическая технология / Н.Е.Щуркова. – 2-е изд., доп. – М.: Пед. общ-во России, 2005. – 256 с. 318. Эрдниев, П.М. Преподавание математики в школе: из опыта обучения методом укрупненных упражнений / П.М.Эрдниев. – М.: Просвещение, 1978. – 304 с. 319. Эрдниев, П.М.Теория и методика обучения математике в начальной школе: Педагогическая наука – реформа школы / П.М.Эрдниев, Б.М.Эрдниев. – М.: Педагогика, 1988. – 208 с. 320. Эшби, У. Введение в кибернетику / У.Эшби. – М.: Статистика, 1974. – 239 с. 321. Эшби, У. Несколько замечаний. / У.Эшби // Общая теория систем. – М.: Мир, 1966. – С. 171-178. 230

322. Юдин, Э.Г. Системный подход и принципы деятельности / Э.Г.Юдин. – М.: Наука, 1978. – 391 с. 323. Юркова, Н. А. «Педагогическая технология» – понятие и сущность / Н.А.Юркова // Вестник Томского государственного университета: Общенаучный периодический журнал. Бюллетень оперативной научной информации: Актуальные проблемы филологии и педагогики. – Томск: ТГУ, 2006. – С.120-127. 324. Юрина, Е.Н. Личностно ориентированная технология обучения студентов технического вуза иностранному языку: дис. ... канд. пед. наук / Е.Н.Юрина – Ростов н/Д, 2001. – 220 с. 325. Якиманская, И.С. Личностно ориентированное обучение в современной школе / И.С.Якиманская. – М.: Сентябрь, 1996. – 96 с. 326. Якиманская, И.С. Технология личностно ориентированного образования / И.С.Якиманская – М.: Сентябрь, 2000. – 176 с. 327. Янушевич, Ф. Технология обучения в системе высшего образования / Ф.Янушевич; пер. с польск. О.В.Долженко. - М.: Высшая школа, 1996. – 135 с. 328. English, L. D. (1997). Children’s reasoning processes in classifying and solving computational word problems. In L. D. English (Ed.), Mathematical reasoning: Analogies, metaphors, and images (pp. 191–220). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 329. Fuson, K., & Willis, G. (1989). Second graders’ use of schematic drawings in solving addition and subtraction word problems. Journal of Educational Psychology, 81, pp 514–520 330. Fuson, K., Carroll, W. M., & Landis, J. (1996). Levels in conceptualizing and solving addition and subtraction compare word problems. Cognition & Instruction, 14(3), pp 345–371. 331. Mitchell, P.D. The impact of educational technology: a radical reappraisal of research methods. [Электронный ресурс] / P.D. Mitchell.– Режим доступа: http://www.uwp.co.uk/book_desc/mitchell.pdf. 332. Reed, S.K. Research and Curriculum Reform / S.K. Reed. – London: Lawrence Erlbaum Associates, 1999. – 220 pgs. 333. Silber, K.H. Some implications of the history of Educational Technology: we’re all in this together.– In: J.W. Brown and S.N. Brown, Educational Media Yearbook, Littleton, Colorado: Libraries Unlimited, 1981. – P. 21 334. Wyndhamn J.; Saljo R. Source: Learning and Instruction, Publisher: Elsevier Volume 7, Number 4, December 1997. – pp. 361–382.

231

Шелехова Людмила Валерьевна ЛИЧНОСТНО ОРИЕНТИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ В ВУЗЕ Монография

Подписано в печать 15.08.09. Бумага типографская №1. Формат бумаги 60х84. Гарнитура Times New Roman. Печ.л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 108. Отпечатано на участке оперативной полиграфии Адыгейского государственного университета. 385000, г.Майкоп, ул.Первомайская, 208.

232