Неравновесные эффекты в сверхпроводниках

ФИЗИКА НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭФФЕКТЫ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ Г. Н. ГОЛЬЦМАН Московский государственный педагогический университет

NONEQUILIBRIUM PHENOMENA IN SUPERCONDUCTORS G. N. GOL’TSMAN

Nonequilibrium phenomena occuring at the metal–superconductor boundary in the presence of electric current are described. The mechanisms of the transformation of quasiparticle current into Cooper pair current and of electric field penetration into superconductor are discussed.

© Гольцман Г.Н., 2001

Рассмотрены неравновесные явления на границе металл–сверхпроводник при протекании электрического тока. Обсуждены механизмы преобразования тока квазичастиц в ток куперовских пар и проникновения электрического поля в сверхпроводник.

90

www.issep.rssi.ru

ВВЕДЕНИЕ Долгое время после открытия сверхпроводимости Камерлинг-Оннесом в 1911 году внимание физиков занимали своеобразные, яркие свойства сверхпроводников в равновесных условиях. Только в конце 50-х годов XX века удалось объяснить с микроскопической точки зрения полное отсутствие у них электрического сопротивления, идеальный диамагнетизм, необычные тепловые и электромагнитные свойства и т.д. Читатели “Соросовского Образовательного Журнала” могли познакомиться с этими явлениями в статье [1]. Позже большой интерес вызывали туннельные эффекты в сверхпроводниках, и прежде всего эффекты Джозефсона, описанные, например, в [2]. В современной физике сверхпроводников все большее место занимают неравновесные явления, происходящие при существенных внешних воздействиях: в сильных электромагнитных полях, при протекании электрического тока большой плотности через контакт нормальный металл – сверхпроводник и др. Как мы увидим ниже, богатство и своеобразие неравновесных явлений обусловлены существованием в сверхпроводниках разнородных коллективов частиц: куперовских пар (сверхпроводящих электронов), электроноподобных и дырочноподобных квазичастиц, колебаний кристаллической решетки, которые также рассматриваются как частицы-фононы. Когда эти коллективы находятся между собой в равновесии, физическая картина явлений относительно проста, хотя и при ее изучении было сделано много открытий, которые можно объединить общим названием макроскопических квантовых эффектов. Когда же равновесие между этими коллективами существенно нарушено, физическая картина становится гораздо богаче, а ее изучение вместе с процессами установления равновесия (релаксация) позволяет значительно лучше понять сами основы теории сверхпроводников и разработать новые устройства сверхпроводниковой электроники. ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ Понятие об электронах и дырках как об одновременно существующих носителях электрического тока в твердых

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 3 , 2 0 0 1

ФИЗИКА телах первоначально возникло и успешно изучалось в физике полупроводников. Физические модели полупроводников n- и p-типа, p–n-переходов, полупроводниковые диоды, транзисторы и многообразие других приборов, включая компьютеры, основаны на этом фундаментальном понятии. В физике металлов и сверхпроводников также можно использовать подобное понятие, хотя свойства электронов и дырок здесь значительно отличаются от их свойств в полупроводниках. Мы начнем рассмотрение с описания этих квазичастиц и убедимся, что их введение значительно упрощает понимание неравновесных явлений в сверхпроводниках. Основное состояние металла, то есть состояние с наименьшей полной энергией при абсолютном нуле температуры (Т = 0 К), характеризуется полным заполнением электронами всех возможных квантовых состояний с энергиями от наименьшей вплоть до некоторой называемой энергией Ферми %F . Все возможные состояния с большей энергией свободны, электронов в них нет. Импульсы электронов распределены подобным же образом, они направлены во все стороны, а энергии Ферми %F соответствует импульс pF . Если теперь принять за нуль энергии энергию системы электронов в основном состоянии, то можно сказать, что вся система электронов с одним лишним электроном будет иметь энергию % и импульс p. Это возбужденное состояние системы, которая в целом ведет себя как электрон с энергией % и импульсом p. Если теперь у основного состояния системы удалить один электрон с % < %F и импульсом p < pF , то это тоже будет возбуждение, но оно ведет себя как квазичастица с положительным зарядом + e, то есть дырка с некоторой энергией % и импульсом p. Действительно, если взять электрон с энергией %F и поместить его на место удаленного, то получится опять основное состояние системы и останется еще некоторая энергия. Некоторый импульс тоже останется, но его значение будет − p. Таким образом, в нормальном металле могут существовать электроны и дырки. Перейдем теперь к сверхпроводнику. Здесь ситуация несколько сложнее. Даже для сверхпроводника в основном состоянии (Т = 0), когда все электроны с энергией, близкой к %F , образуют куперовские пары, одни состояния с % < %F свободны, а другие с % < %F заняты. Дело в том, что в куперовскую пару объединяются электроны с равными и противоположно направленными импульсами, а осуществить такое спаривание всех электронов можно лишь при вполне определенном заполнении состояний. Если теперь ввести в сверхпроводник один лишний электрон с импульсом p, причем состояние с импульсом − p останется свободным, то такое состояние может обладать энергией % как больше %F , так и меньше ее. Удаление одного электрона с им-

пульсом − р приведет к тому, что в сверхпроводнике останется один неспаренный электрон с импульсом р, но опять удаленная частица могла бы иметь энергию как меньше, так и больше %F . Отсюда ясно, что как при добавлении, так и при удалении электрона мы с некоторой вероятностью можем получить и электроноподобное возбуждение и дырочноподобное. Или лучше сказать, что такое возбуждение может обладать как свойствами электрона, так и дырки. Это будет практически чистый электрон, если его импульс будет гораздо больше рF , и чистая дырка, если импульс гораздо меньше рF . Если же р = рF , то это с равной вероятностью и электрон и дырка. ЗАРЯД КВАЗИЧАСТИЦЫ В СВЕРХПРОВОДНИКЕ Из предыдущего ясно, что, возбудив одну частицу в сверхпроводнике при Т = 0, мы получаем в какой-то степени электрон и в какой-то степени дырку. Поэтому неспаренный электрон в сверхпроводнике (не участвующий в образовании куперовской пары) не называют обычным электроном, а называют квазичастицей. Ее свойства меняются (в зависимости от импульса) от почти чистого электрона до почти чистой дырки. При этом заряд также изменяется от − е до + е, проходя через 0 при р = рF , то есть практически всегда квазичастица имеет дробный заряд того или другого знака. Поясним подробнее, как это получается. Когда мы внесли в сверхпроводник один лишний электрон (см. предыдущий раздел), весь сверхпроводник получил дополнительный заряд − е (отрицательный). Или, говоря по-другому, сверхпроводник потерял заряд е. При этом получается, что в сверхпроводнике появилась квазичастица, заряд которой может быть отрицательным, но по величине меньше е, а может быть равен нулю или даже положительным. Как же обеспечивается выполнение закона сохранения электрического заряда? Ведь это один из фундаментальных законов физики! Ответ состоит в том, что квазичастицы теснейшим образом связаны с куперовскими парами, суммарный заряд которых при этом тоже изменяется. Например, появление дырки при внесении электрона происходит следующим образом. Внесенный в сверхпроводник электрон может с определенной вероятностью забрать парный электрон из коллектива куперовских пар, а его бывший партнер оказывается неспаренным, то есть образуется дырка. КОНТАКТ МЕЖДУ ОБЫЧНЫМ ПРОВОДНИКОМ И СВЕРХПРОВОДНИКОМ В дальнейшем обсудим механизм преобразования электрического тока обычного металла, который переносится электронами проводимости, в ток куперовских пар в

ГО Л Ь Ц М А Н Г . Н . Н Е РА В Н О В Е С Н Ы Е Э Ф Ф Е К Т Ы В С В Е Р Х П Р О В О Д Н И К А Х

91

ФИЗИКА сверхпроводнике, то есть явления на границе нормальный металл – сверхпроводник. Однако перед этим остановимся на описании самого понятия “граница” или контакте нормальный металл – сверхпроводник. В сверхпроводнике ток переносится куперовскими парами. Кроме них существуют квазичастицы – электроноподобные и дырочноподобные. В электронном энергетическом спектре энергия куперовских пар и минимальная энергия квазичастиц разделены областью запрещенных значений энергии – энергетической щелью [1], величина которой обозначается ∆. В нормальном металле спектр энергий электронов вблизи энергии Ферми непрерывный. Как же переходит спектр сверхпроводника в спектр нормального металла в случае их непосредственного контакта? Оказывается, этот переход относительно плавный. Дело в том, что куперовская пара имеет вполне определенный размер – это среднее расстояние между электронами в паре. Оно обозначается ξ и называется длиной когерентности [1, 2]. Поэтому энергетическая щель не может заметно изменяться в пространстве на расстоянии существенно меньшем, чем размер куперовской пары ξ. Таким образом, электронный энергетический спектр на границе сверхпроводник – нормальный металл выглядит так, как показано на рис. 1: в сверхпроводнике вдали от области контакта (x = 0) значение энергетической щели стремится к своему равновесному значению ∆ (x +∞), а в нормальном металле оно стремится к нулю (x − ∞). РАЗБАЛАНС ЗАСЕЛЕННОСТЕЙ ВЕТВЕЙ СПЕКТРА КВАЗИЧАСТИЦ В равновесии при данной температуре число электроноподобных квазичастиц равно числу дырочноподобных. В этих условиях принято говорить, что электронная и дырочная ветви спектра квазичастиц заселены симметрично, а суммарный заряд квазичастиц равен нулю. При внешних воздействиях равновесное распределение квазичастиц может нарушаться. Под действием электромагнитных волн, однако, симметрия не нарушается, а квазичастицы, поглощая энергию переменНормальный металл

Граница

Сверхпроводник

∆

ного поля, переходят на более высокие энергетические уровни. Если энергия кванта излучения hν достаточна для разрушения куперовских пар (hν $ 2∆), то появляются избыточные квазичастицы, также симметрично заселяющие ветви спектра. Подобные типы неравновесных процессов рассмотрим позже. Сейчас же перейдем к обсуждению разбаланса заселенностей ветвей спектра квазичастиц, возникающего при протекании электрического тока через контакт сверхпроводника с обычным металлом. Рассмотрим такой контакт при температуре ненамного ниже критической температуры перехода в сверхпроводящее состояние Ткр . В этом самом простом для анализа случае энергетическая щель в сверхпроводнике ∆ мала и число сверхпроводящих электронов гораздо меньше числа квазичастиц. Тем не менее электрическое сопротивление сверхпроводника равно нулю и вдали от области контакта весь электрический ток (если его величина меньше критической) переносится куперовскими парами. Однако из нормального металла в сверхпроводник втекают при этом нормальные электроны, которые оказываются в сверхпроводнике электроноподобными квазичастицами. Это приводит к разбалансу заселенностей ветвей спектра квазичастиц, так как неравновесные дырки из металла практически не поступают. Однако, как отмечалось выше, квазичастицы теснейшим образом связаны с коллективом куперовских пар и при изменении заряда квазичастиц в некоторой области пространства меняется и заряд пар на ту же величину, но с противоположным знаком. Таким образом достигается локальная электронейтральность. Изменение заряда куперовских пар означает в данном случае уменьшение их концентрации, то есть область сверхпроводника вблизи границы с нормальным металлом оказывается обедненной куперовскими парами и обогащенной электроноподобными квазичастицами. По мере удаления в глубь сверхпроводника число куперовских пар возрастает, стремясь к своему равновесному значению вдали от границы, а концентрация электроноподобных частиц, наоборот, падает, но тоже стремится к равновесному значению вдали от границы. ПРОНИКНОВЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В СВЕРХПРОВОДНИК

ξ

x

Рис. 1. Зависимость величины энергетической щели от координаты в области контакта металл–сверхпроводник

92

При протекании электрического тока по сверхпроводнику электрическое поле в нем обычно отсутствует. Так как электрическое сопротивление равно нулю и ток переносится куперовскими парами, то это не требует наличия электрического поля, а величина тока определяется сопротивлением нагрузки в цепи или внутренним сопротивлением источника тока. Конечно, в первый момент после включения источника тока кратковременно

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 3 , 2 0 0 1

ФИЗИКА возникает электрическое поле, которое ускоряет куперовские пары, а после достижения ими необходимой скорости ток достигает стационарного значения. Процесс установления тока описывается так же, как процесс установления тока в цепи с индуктивностью: в момент включения источника тока возникает э.д.с. самоиндукции, которая по закону Ленца препятствует нарастанию тока, но постепенно ток увеличивается и достигает стационарного значения. Вернемся теперь к контакту сверхпроводник – нормальный металл и посмотрим, к чему приводит разбаланс заселенностей электронного спектра квазичастиц. Оказывается, в области контакта в сверхпроводнике существует постоянное электрическое поле, которое, однако, не ускоряет куперовские пары. Действительно, поскольку неравновесные квазичастицы электронного типа проникают в сверхпроводник из нормального металла на некоторую глубину и переносят электрический ток, то делать это они могут только под действием электрического поля. При этом концентрация куперовских пар также является функцией координаты: число пар нарастает в глубь сверхпроводника, компенсируя в каждой точке избыточный заряд квазичастиц. Оказывается, что по мере удаления от области контакта электрический ток квазичастиц постепенно преобразуется в электрический ток куперовских пар, а суммарный ток остается постоянным и равным току в цепи. В пограничной области, где существуют избыточные квазичастицы, постоянно происходит образование куперовских пар. Избыточные квазичастицы электронного типа за счет взаимодействия с колебаниями решетки или в результате столкновения с другими квазичастицами достаточно быстро меняют свою энергию и так или иначе переходят с одной ветви спектра квазичастиц на другую. Среднее время таких переходов или время релаксации заряда квазичастиц обозначается τQ . Таким образом, разбаланс релаксирует, система квазичастиц и куперовских пар по мере удаления от области контакта постепенно приходит в равновесное состояние, а электрическое поле уменьшается, стремясь к нулю при удалении от контакта. Как же получается, что, находясь в электрическом поле, куперовские пары не ускоряются, хотя электрическое сопротивление для них отсутствует? Ответ на этот вопрос кроется в их пространственном распределении, ведь по мере удаления от контакта их концентрация возрастает. Но если бы не было электрического поля, коллектив куперовских пар самопроизвольно стремился бы к выравниванию концентрации. Наличие же электрического поля как раз и компенсирует это стремление, не приводя тем самым к ускорению пар. Таким образом, в области контакта сверхпроводника с нормальным металлом существует постоянное

электрическое поле, величина которого убывает в глубь сверхпроводника и соответствует согласованно убывающей концентрации избыточных квазичастиц и нарастающей концентрации куперовских пар. Мы рассмотрели физическую картину преобразования электрического тока в металле, переносимого свободными электронами, в ток куперовских пар в сверхпроводнике, температура которого близка к критической. Теперь кратко посмотрим, как происходит обратный процесс в тех же условиях, когда ток проходит из сверхпроводника в нормальный металл на противоположном контакте. Здесь происходят аналогичные явления, но электроноподобные частицы теперь уходят в металл через границу, а в сверхпроводнике остаются избыточные дырки, которые движутся, естественно, в противоположную сторону. Их избыточный заряд компенсируется изменением заряда куперовских пар, но для этого их концентрация должна возрастать в области вблизи контакта. ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ Каково же эффективное расстояние от контакта, на котором разыгрываются неравновесные явления при протекании тока? Или, другими словами, как глубоко в сверхпроводник проникают неравновесные электроноподобные квазичастицы из нормального металла? Для ответа на этот вопрос вспомним характер движения электронов в металлах при низких температурах. Энергия Ферми %F , о которой шла речь выше, довольно велика и имеет порядок одного электронвольта. Если сравнивать ее с характерной средней тепловой энергией классических частиц kT (k – постоянная Больцмана), то такая энергия соответствует температуре порядка 104 К, то есть очень велика. Это означает, что скорость движения электронов в металлах тоже велика, она имеет порядок υF = 105–106 м/с. Однако длина свободного пробега электронов l часто довольно маленькая. Обычно в не очень чистых металлах и тонких пленках много дефектов кристаллической структуры и примесей, рассеивающих электроны, поэтому расстояние l может составлять 10− 9–10− 7 м. Таким образом, электроны движутся свободно очень короткое время и характер этого движения хаотический, так как, сталкиваясь с дефектами и примесями, электрон резко изменяет направление своего движения. Наложение электрического тока приводит к дополнительному упорядоченному движению электронов – электрическому току, но скорость этого движения на много порядков величины меньше υF . Поэтому движение под действием поля представляет собой медленный дрейф, накладывающийся

ГО Л Ь Ц М А Н Г . Н . Н Е РА В Н О В Е С Н Ы Е Э Ф Ф Е К Т Ы В С В Е Р Х П Р О В О Д Н И К А Х

93

ФИЗИКА на очень быстрое хаотическое движение. Это напоминает диффузию молекул газа: двигаясь быстро, но на малые расстояния (при малой длине свободного пробега l ), молекулы в целом сдвигаются из области с большой их концентрацией в область с малой довольно медленно. Такое движение характеризуется коэффициентом диффузии D – коэффициентом пропорциональности между потоком частиц и пространственным градиентом их концентрации. При этом длина диффузии ld (то есть длина, на которую в среднем перемещаются молекулы за время τ) вычисляется как l d = Dτ. Возвращаясь к проникновению в сверхпроводник избыточных квазичастиц из нормального металла, можно заключить, что глубина их проникновения и тем самым глубина проникновения электрического поля в сверхпроводник lE может быть вычислена как l E = Dτ Q , где D – коэффициент диффузии для электронов в металле, а τQ – время релаксации заряда квазичастиц (см. выше). Вычисления по этой формуле и независимые измерения показывают, что при температуре сверхпроводника, близкой к критической, величина lE достигает значений в несколько микрон. АНДРЕЕВСКОЕ ОТРАЖЕНИЕ Перейдем теперь к обсуждению другого интересного неравновесного эффекта на границе металл–сверхпроводник, теоретически впервые предсказанного в 1964 году А.Ф. Андреевым и носящего его имя. Для этого рассмотрим тот же контакт при более низкой температуре, чем мы это делали выше. Значение энергетической щели ∆ становится тем самым больше, и нам нужно теперь рассматривать отдельно электроны металла с энергией больше ∆ и энергией меньше ∆. Энергия первых достаточна для проникновения в глубь сверхпроводника, и их поведение будет аналогично рассмотренному выше, когда температура была близка к критической, а значение ∆ было малым и практически все электроны, проникающие из металла, имели энергию больше ∆. Ситуация принципиально изменится для электронов с энергией меньше ∆. Для обсуждения процесса преобразования тока таких электронов в ток куперовских пар необходимо вернуться к рис. 2. Пусть слева направо движется электрон, энергия которого % немного больше %F , но эта разница (% − %F) меньше ∆. Тогда по мере движения электрона в глубь сверхпроводника его избыточная энергия, являющаяся кинетической, преобразуется в потенциальную. Это происходит аналогично шарику, вкатывающемуся на плавный подъем (кривая на рис. 1) в поле сил тяжести. Но если шарик, дойдя до точки, где вся его кинетическая энергия перейдет в потенциальную, остановится и начнет скатываться назад (как бы

94

Нормальный металл

Сверхпроводник

Электрон Куперовская пара

Дырка

Рис. 2. Механизм андреевского отражения при протекании тока через границу металл–сверхпроводник. Налетает на границу электрон, отражается от границы дырка, и движение в сверхпроводнике продолжает куперовская пара

отразится от потенциального барьера), то электрон на границе металл–сверхпроводник будет вести себя своеобразно. Произойдет так называемое андреевское отражение (см. рис. 2). В этом процессе по мере уменьшения кинетической энергии электроноподобной квазичастицы при движении в глубь сверхпроводника меняется ее заряд, а в точке остановки этот заряд становится равным нулю. После этого заряд меняет знак, электроноподобная квазичастица превращается в дырочноподобную, которая движется в противоположную сторону. Дырка переходит в металл и движется в нем справа налево, как бы отражаясь от границы, что эквивалентно продолжению движения отрицательного заряда слева направо. Как мы уже видели раньше, изменение заряда квазичастицы указывает на вовлеченность куперовских пар в процесс андреевского отражения: заряд не исчезает, а передается сверхпроводящим электронам. Это означает, что на границе налетающая квазичастица находит себе парную и образует куперовскую пару, а возникшая при этом дырка возвращается в нормальный металл. Это и есть процесс андреевского отражения, который происходит в малой области пространства на расстоянии от контакта порядка размера одной куперовской пары – длины когерентности ξ. ЛИТЕРАТУРА 1. Брандт Н.Б. Сверхпроводимость // Соросовский Образовательный Журнал. 1996. № 1. С. 100–107. 2. Гольцман Г.Н. Эффекты Джозефсона в сверхпроводниках // Там же. 2000. Т. 6, № 4. С. 96–102. 3. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: Наука, 1982.

Рецензент статьи А.С. Сигов *** Григорий Наумович Гольцман, доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и экспериментальной физики Московского государственного педагогического университета. Область научных интересов – физика твердого тела, радиофизика. Автор более ста научных работ.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 3 , 2 0 0 1