Основы сейсмологии

Содержание Предисловие Глава 1. Введение 1.1. Примеры сильнейших землетрясений мира 1.2. Этапы развития сейсмологии. Литература к главе 1

4 5 5 14 18

Глава 2. Теория упругости и сейсмические волны

19

2.1 дЕформации 2.2 Напряжения 2.3 Связь напряжений и деформаций 2.4 Энергия деформации 2.5 Уравнения движения 2.6 Сейсмические волны 2.7 Плоские волны 2.8 Неоднородные плоские волны 2.9 Сферические волны 2.10 Энергия волны 2.11 Отражение и преломление волн на границах 2.12 Головные волны 2.13 Поверхностные волны 2.14 Простейшие сосредоточенные источники Литература к главе 2

19 21 24 26 27 28 30 32 35 38 39 47 49 55 58

Глава 3. Основы сейсмометрии

59

3.1. Движение маятника 3.2. Системы регистрации 3.3. Сейсмический шум Литература к главе 3

60 64 70 71

Глава 4. Волны в Земле и их записи на сейсмограммах 4.1 Основные определения 4.2 Номенклатура волн в Земле 4.3 Годографы 4.4 Сейсмограммы Литература к главе 4 Глава 5. Энергия и механизм землетрясений 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Энергия и магнитуда Теория упругой отдачи Механизм землетрясений Опpеделение осей главных напpяжений Тензор сейсмического момента Литература к главе 5

73 73 73 76 79 83

84 84 90 95 99 104 106 1

Глава 6. Кинематика землетрясения 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Напряжение и смещение на разломе Сейсмический момент Спектр очагового излучения Оценка сброшенного напряжения Моментная магнитуда Литература к главе 6

107 107 108 108 112 113 116

Глава 7. Пространственно-временное распределение землетрясений 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

Географическое распределение землетрясений Распределение землетрясений по глубине Распределение землетрясений во времени Индуцированные землетрясения Литература к главе 7

Глава 8. Строение Земли по сейсмическим данным 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6.

Строение земной коры Метод определения строения глубинных зон по годографу Строение мантии Земли Стpоение ядpа Земли Стандартная модель Земли PREM Распределение плотности в Земле Литература к главе 8

Глава 9. Поглощающие свойства земных недp 9.1. Реологические модели 9.2. Колебания и волны в неидеально упругом теле 9.3. Добротность Литература к главе 9 Глава 10. Сейсмологические доказательства плитовой тектоники 10.1. Основы концепции плитовой тектоники 10.2. Гpаницы плит и движение на них Литература к главе 10

117 117 119 121 126 127

128 128 139 149 154 156 159 166

167 167 170 171 177

178 178 184 193

Глава 11. Пpоблемы пpогноза землетpясений

194

11.1 Предвестники землетрясений 11.2. Пpоцессы подготовки землетpясения

194 197 2

11.3. Состояние пpоблемы пpогноза землетpясений. Литература к главе 11 Глава 12. Основы сейсмического районирования

201 203

205

12.1 Интенсивность сотрясений 205 12.2 Оценка сейсмической опасности и сейсмическое районирование 208 Литература к главе 12 212

Глава 13. Цунами 13.1. Описание некоторых катастрофических цунами 13.2. Теория распространения волн в мелкой воде 13.3 Свойства волн цунами Литература к главе 13

213 213 215 218 222

3

Предисловие Необходимость настоящей книги была обусловлена тем, что на русском языке учебники и монографии по сейсмологии практически отсутствуют. Единственный учебник, ставший уже библиографической редкостью, - это «Элементы сейсмологии и сейсмометрии» Е.Ф.Саваренского и Д.П.Кирноса, изданный в 1956 году. Но он уже совершенно не удовлетворяет современным потребностям в знаниях по данной области, поскольку за прошедшие полвека эта наука совершила качественный скачок, обусловленный развитием наблюдательной сейсмологии – появлением аппаратуры, характеризующейся широким динамическим и частотным диапазоном, расширением сети сейсмических станций и переходом на цифровую регистрацию. Это привело и к возникновению новых направлений в теоретической сейсмологии, поскольку уже могли решаться такие задачи, которые до середины прошлого столетия даже не ставились, а именно, - изучение процессов в очагах землетрясений и причин землетрясений, исследование напряженного состояния Земли и связи землетрясений с глобальной тектоникой. Изменились и задачи в области структурной сейсмологии – изучение латеральных неоднородностей строения Земли, что привело к развитию и широкому использованию томографических методов, изучение анизотропных свойств Земли и связи особенностей строения с геодинамикой. Перед сейсмологами даже была поставлена задача прогноза землетрясений, которая хотя и не решена к настоящему моменту, но сделаны существенные шаги в этом направлении. До середины прошлого века не ставились весьма важные в практическом отношении задачи сейсмического районирования. За рубежом в последние годы издан ряд современных и весьма полных учебников и монографий по сейсмологии, но, к сожалению, российскому читателю они практически недоступны. Единственная переведенная в 1983 году на русский язык монография Аки и Ричардса «Количественная сейсмология» содержит только вопросы теоретической сейсмологии, причем на достаточно высоком математическом уровне. Поэтому она не может быть использована для обучения студентов основам сейсмологии. Предлагаемый учебник базируется на курсе лекций по основам сейсмологии, которые читался автором студентам физического факультета, специализирующимся в области геофизики. В нем отражены основные направления в современной сейсмологии и основы теории сейсмических волн. Ссылки на литературу даны в конце каждой главы, причем по возможности в этих списках даются ссылки на книги на русском языке как наиболее доступные для русского читателя. Автор выражает глубокую благодарность сотрудникам лаборатории сейсмологии, помогавшим в работе над данной книгой– Е.Л.Лысковой, В.В.Карпинскому, Е.Г.Орлову. Т.Б.Яновская

4

Глава 1 . Введение Землетрясение является самой грозной из всех природных катастроф. Оно приводит к разрушению целых городов, и сопровождается огромным количеством жертв – до десятков и даже сотен тысяч. Множество людей остается без крова, нарушаются коммуникации, затрудняя оказание помощи пострадавшим. Разрушения происходят в считанные минуты, люди не успевают спастись из рушащихся строений. Катастрофа часто усугубляется возникающими пожарами и наводнениями. Поэтому естественно, что человечество издавна задавалось вопросом – почему происходят землетрясения, где и когда их следует ожидать. Но как наука сейсмология возникла сравнительно недавно – немногим более 100 лет назад. Теперь уже ученые могут ответить на многие вопросы, касающиеся природы и механизма землетрясений, их географического распределения, частоты повторения, но до сих пор главный вопрос, который имеет жизненно важное значение – как предсказать землетрясение, чтобы избежать жертв, остается открытым. В это й вво ндо й главе будут приведены сведения о некоторых сильнейших землетрясениях – как исторических, так и сравнительно недавних, и дан обзор развития сейсмологии за последнее столетие. 1.1. Примеры сильнейших землетрясений мира Китай, провинция Шаньси. 23 января 1556 года в провинции Шаньси в Китае произошло землетрясение, которое считается самым губительным в мире по числу человеческих жертв. Согласно хроникам, при этом землетрясении от разных причин погибло около 830 тысяч человек. Такое количество жертв объясняется тем, что это землетрясение произошло в густонаселенной местности, где крестьяне жили в основном на склонах холмов, покрытых лессовой почвой. В результате землетрясения произошло сползание почвенных пластов и обрушение лессовых склонов. Землетрясение произошло в 5 ч. утра, когда люди спали в своих жилищах, которые обрушились на них, что и стало причиной их гибели. Лиссабонское землетрясение 1755 г. Хотя число жертв в результате этого землетрясение было не столь велико, как в результате землетрясения в Шаньси, оно считается до настоящего времени самым сильным из известных землетрясений. По силе оно сравнимо с землетрясением на Суматре 26 декабря 2004 г, которое вызвало самое сильное из известных цунами. Очаг землетрясения находился в море, в 100 км от берегов Португалии. Толчки от этого землетрясения ощущались на всей площади Азорских островов до Италии и от Великобритании до Северной Африки. Разрушения наблюдались на расстоянии сотен и даже тысяч километров от очага, вдоль всего берега Португалии, и даже в Марокко. Землетрясение произошло в день Всех Святых, многие жители в это время находились в храмах, большинство из которых обрушилось. Землетрясение сопровождалось волной цунами высотой 7 м. В результате разрушения печей возникли многочисленные пожары. Представление о происходившем во время землетрясения можно получить из картин и гравюр, сохранившихся с того времени. Гравюра, представленная на рис.1.1, дает представление о том ужасе, который охватил население Лиссабона: разрушения домов, цунами, пожары.

5 5

Рис.1.1. Гравюра 18 в., изображающая руины Лиссабона после землетрясения 1755 г. Сан-Франциско, 18 марта 1906 г. Это землетрясение было одним из самых разрушительных в истории Калифорнии. Землетрясение, и возникшие в результате него пожары унесли около 3000 жизней. Ущерб в результате разрушений оценивается в более чем 500 млн. долларов. Продолжительность ощутимых движений почвы было около 1 минуты. Многие дома были мгновенно разрушены, произошло искривление дорог. Водопроводная линия из озера Сан-Адреас, снабжавшая водой Сан-Франциско, была повреждена, в результате чего город практически лишился воды, что привело к распространению пожаров. Это землетрясение было вызвано горизонтальным смещением краев крупнейшего в Северной Америке разлома Сан-Андреас. Длина трассы образовавшегося сдвига достигала 430 км. Во многих местах вдоль разлома отмечались сдвиги почвы от 3 до 4.5 м. Максимальное горизонтальное смещение краев разлома было равно 6.4 м. Зона разрушений простиралась на расстояние около 600 км. О характере разрушений можно судить по рис.1.2, 1.3. На рис.1.4 показано, как искривилась дорога вследствие сдвига вдоль разлома.

6 6

Рис.1.2 Разрушения домов в результате землетрясения 1906 года в Сан-Франциско

Для добавления заголовка щелкните мышью Для добавления текста щелкните мышью

Рис.1.3 Разрушенный собор

7 7

Рис.1.4 Искривление дороги в результате землетрясения в Сан-Франциско Мессинское землетрясение 1908 года. Во время этого землетрясения была опустошена часть Сицилии и Калабрии и до основания разрушены города Мессина и Реджио. Очаг землетрясения находился под дном Мессинского пролива. Землетрясение началось в 5 ч.21 м. утра легким дрожанием почвы, нараставшим на протяжении 10 секунд. Через 2 минуты произошел толчок страшной силы, который и вызвал катастрофу. Вода в Мессинском проливе поднялась и огромные волны, высотой до 3 м, хлынули на город, разрушили портовые сооружения, набережную и все низкие части города. Большое число жертв (более 40000) объясняется плохим качеством построек и неблагоприятными геологическими условиями, а также большой плотностью населения в городах. Разрушения усилились вследствие плохой планировки городов: высокие здания располагались слишком близко к низким и разрушали их при падении; недостаточно широкие улицы покрывались слоем обломков, толщина которого местами превышала 5 м. В силу этих причин в Мессине пострадало около 98% домов. В проливе образовались большие морские волны высотой до 12 м, которые обрушились на берега пролива через 5 – 15 минут после землетрясения. А.М.Горький пережил это землетрясение и вот как он его описывает: «Земля глухо гудела, стонала , горбилась под ногами и волновалась, образуя глубокие трещины – как будто в глубине проснулся и ворочается веками дремавший некий огромный червь, - слепой, он ползет там в темноте, изгибаются его мускулы и рвут кору земли, сбрасывая с нее здания на людей и животных…Люди и камни смешиваются в кучи, и все чаще, все сильнее дрожат дома, церкви, их режет под основание какая-то неведомая коса, - ничто не может устоять под ее гигантскими взмахами»… Характер разрушений при Мессинском землетрясении можно понять из сравнения рисунков 1.5 и 1.6, где изображена одна и та же улица до и после землетрясения.

Рис.1.5. Мессина. Улица Виктора-Эммануила до землетрясения

8 8

Рис.1.6. Та же улица после землетрясения

Чили, 22 мая 1960 г. Эпицентр землетрясения находился на юге полуострова Арауко. Это землетрясение было характерно тем, что сразу же после первого толчка, происшедшего около 6 утра 21 мая, произошла целая серия последующих толчков, которые продолжались и в течение следующего дня, при этом главный, наиболее сильный толчок произошел 22 мая около 3 часов дня. Число погибших оказалось значительно меньше, чем можно было бы ожидать в результате такого землетрясения, потому что предыдущие толчки выгнали людей на улицы. Сильные сотрясения испытали города Консепсьон и Вальдивия, хотя ряд зданий, выстроенных после сильного землетрясения 1939 года, когда было принято постановление о строительстве по новым нормативам, устояли. Погибло от 4 до 5 тысяч человек. При этом землетрясении наблюдались почти все явления, которые по современным представлениям сопутствуют сильным землетрясениям: воздымание поверхности в одних районах и опускание в других, сейши на озерах, оползни, свечение воздуха. Водонасыщенные глинистые грунты вытекали из-под зданий, что приводило к их разрушению. За землетрясением последовала мощная волна цунами, воздействию которой подверглось все Тихоокеанское побережье Чили, и которая докатилась до Гавайских островов. Были даже зарегистрированы повреждения портовых сооружений в Японии. От цунами погибли 61 человек на Гавайах и 180 человек в Японии. Следует отметить, что в этом районе сильные землетрясения не являются редкостью. Катастрофическое землетрясение произошло 20 февраля 1835 года, которое опустошило окрестности города Консепсьон. В считанные секунды город превратился в груду развалин. В течение нескольких последующих дней земля не оставалась спокойной: колебания, хотя и менее сильные продолжались еще долго. С 20 февраля по 4 марта произошло более трехсот подземных толчков. Через 104 года, в 1939 году здесь же произошло катастрофическое землетрясение и снова город Консепсьон был разрушен, погибло 28 тысяч человек.

9 9

Таншаньское землетрясение 1976 г., Китай. 28 июля 1976 года в 3 ч. 42 м сильное землетрясение потрясло спящий город Таншань. Город с миллионным населением был практически полностью разрушен. Разрушения и жертвы увеличились еще и в результате сильного афтершока, происшедшего днем 28 июля. Погибло по официальным данным 255 тысяч человек, т.е. почти четверть населения города, хотя по другим оценкам это число приближается к 655 тысячам. По числу жертв это землетрясение считается самым катастрофическим в 20 столетии. 93% жилых строений и 78% промышленных зданий были полностью разрушены, получили серьезные повреждения водопроводные станции и водопроводные линии, в результате чего оставшиеся в живых жители были лишены воды. При этом землетрясении наблюдались большие проседания грунта, тяжелые повреждения получили системы ирригации, а одна прибрежная деревня, осевшая на 3 м, постоянно затоплялась морем. Это землетрясение особенно интересно тем, что за год до него произошло сильное землетрясение в провинции Хайчен, в 200 км от Таншаня, но большого числа жертв удалось избежать, потому что это землетрясение было предсказано учеными (единственный случай удачного прогноза!), и люди были во-время выведены в безопасные места. В то же время в Таншане землетрясение оказалось совершенно неожиданным для ученых. Правда, в некоторых деревнях в окрестности и в самом Таншане люди за два дня наблюдали отдельные признаки готовящегося землетрясения (беспокойное поведение животных, странные вспышки света и сопровождающий их гул). Однако этим отдельным наблюдениям не было придано никакого значения.

Рис.1.7. Разрушенное здание в Таншане

1010

Рис.1.8. Пятиэтажное офисное здание после землетрясения: нижние три этажа были выстроены из бетона, а два верхних – полностью разрушенных - из кирпича Суматра, 26 декабря 2004 г. Это землетрясение наряду с Лиссабонским считается самым сильным из известных в истории человечества. Землетрясение произошло 26 декабря 2004 года в 8 ч. утра по местному времени. Его очаг находился под дном Индийского океана, к западу от о-ва Суматра. Это землетрясение продолжалось около 10 минут, тогда как обычно сильные землетрясения происходят в течение нескольких секунд. Оно привело к вибрации всей Земли с амплитудой по крайней мере несколько сантиметров, и вызвало землетрясения в других частях земного шара. Главной особенностью этого землетрясения была необычно высокая волна цунами, достигающая местами до 30 м. Основные разрушения и жертвы были обусловлены именно этой волной. Цунами опустошило берега Индонезии, Шри Ланка, Южной Индии, Тайланда и других стран. Оно привело к серьезным разрушениям даже на восточном берегу Африки, жертвы и разрушения отмечались даже в Порт-Элизабет в Южной Африке на расстоянии 8000 км от эпицентра. По официальным данным в результате этого землетрясения погибло 283 тысячи человек, но в действительности их было больше, потому что не учитывались те, которые были унесены волной в океан. В это время на островах отдыхало большое число туристов из разных стран, так что жертвами этого цунами оказались не только коренные жители. Помимо огромного числа унесенных человеческих жизней это цунами нанесло сильнейший ущерб окружающей среде: были разрушены коралловые рифы, уничтожены манговые рощи и леса, смыты песчаные дюны, оказались заболоченными прибрежные территории, нанесен сильнейший удар по флоре и фауне этих мест. Оказались отравленными соленой водой источники питьевой воды и почва. В Шри Ланке уничтожены тысячи плантаций риса, манго и бананов. Рис.1.9 демонстрирует затопление территории и разрушения, вызванные цунами.

1111

Рис.1.9 Эффект цунами на участке суши вблизи побережья Пакистан 8 октября 2005 года Эпицентр этого землетрясения находился в Пакистанской части Кашмира, вблизи границы Пакистана с Индией, в 90 км от Исламабада. Это землетрясение ощущалось во многих городах, включая Исламабад, Лахор и столицу Индии Нью-Дели. Очаг находился на сравнительно малой глубине, поэтому разрушения были велики. Наибольшим разрушениям подвергся город Музаффарабад и его окрестности, где селения были полностью разрушены, и к ним не было доступа спасателям. Почти 80% Музаффарабада было разрушено. В общей сложности погибло около 86 тысяч человек и пострадали 69 тысяч. Около 4 миллионов людей потеряли кров. Разрушенные дороги, сдвиги почвы и завалы, вызванные обрушением скал, затруднили оказание помощи извне в течение нескольких дней. Землетрясение сопровождалось оползнями на неустойчивых горных склонах. На рис.1.10 изображен результат обвала в горах, который привел к полному разрушению селения. На рис.1.11 показано, как разрушилось многоэтажное здание в Исламабаде при том, что соседние здания, (по-видимому, сейсмостойкие) остались невредимыми.

1212

Рис.1.10. Горный обвал

Рис.1.11

Разрушенное здание в Исламабаде

1313

1.2. Этапы развития сейсмологии. Землетрясения, их природа и процессы, с ними связанные, издавна интересовали ученых. Еще Аристотель (4 век до н.э.) в поисках причин землетрясений обратился к недрам Земли. Он считал, что атмосферные вихри внедряются в Землю, в которой много пустот и щелей. Вихри усиливаются огнем и ищут себе выхода, вызывая таким образом землетрясения и извержения вулканов. В то же время Аристотель пытался наблюдать движения почвы при землетрясениях. Он впервые дал классификацию движениям почвы при землетрясениях, выделив 6 типов движений – вверх-вниз, из стороны в сторону и т.п. Первое устройство для определения направления первого главного импульса , вызываемого землетрясением, создал китайский ученый Чан Хэн в 132 г. В большой сосуд диаметром 180 см он поместил маятник, который мог качаться в восьми направлениях. Восемь драконов, каждый с шариком в пасти, были укреплены на сосуде вокруг него. Когда толчок от землетрясения заставлял маятник качнуться, шарик выпадал из пасти дракона и попадал в открытый рот сидящей внизу жабы. В этот момент прибор издавал звук, извещая, что произошло землетрясение. В зависимости от того, в рот какой из жаб попал шарик, можно было определить направление движения почвы. Прибор был настолько чувствителен, что отмечал даже землетрясения, не ощущавшиеся людьми. Поэтому Чжан Хэн официально считается первым наблюдателем и исследователем землетрясений, хотя, конечно, его прибор следует рассматривать скорее как демонстрационный.

Рис.1.12 Первый сейсмоскоп (Китай, 132 г.) Наблюдения землетрясений, полезные для научных обобщений, начали накапливаться начиная приблизительно с середины 18 века. В 1760 году Джон Мичелл опубликовал в Англии мемуар о землетрясениях, в котором обнаружил связь землетрясений с волновым движением в Земле. Он пpишел к выводу, что сотpясения Земли пpоисходят в pезультате пpохождения чеpез земную толщу упpугих волн. Если пpоследить их путь назад до места их поpождения, то можно установить пpичину возмущения. Началом сейсмологии некоторые считают появление в 1862 г. книги иpландского инженеpа Pобеpта Малета “Великое неаполитанское землетpясение 1857 г.: основные пpинципы сейсмологических наблюдений”. Он совершил экспедицию в Италию и составил карту пораженной территории, разделив ее на 4 зоны. Введенные Малетом 1414

зоны представляют первую, достаточно примитивную шкалу интенсивности сотрясений. Он же предложил организовать сеть обсерваторий и разместить их по земной поверхности. Пальмиери в Италии изобрел сейсмограф, способный регистрировать удаленные землетрясения. Но, по сути сейсмология как наука возникла и начала развиваться, когда были сконструированы и установлены в ряде обсерваторий приборы для регистрации колебаний почвы В 1892 г. Джон Милн сконстpуиpовал пеpвый удобный в обpащении cейсмогpаф. Это дало возможность установить его и проводить с его помощью наблюдения во многих частях света. С этого времени начинается сбор и накопление инструментальных данных, и сейсмология становится количественной дисциплиной. Теоpетические основы сейсмологии были заложены еще pанее, в сеpедине 19 в. тpудами Коши, Пуассона, Pелея, Кирхгофа. Уже в 1828 году Коши и Пуассон построили уравнения движения для упругой среды, и тогда же Пуассон показал, что в такой среде могут распространяться два типа волн – продольные и поперечные с разными скоростями. Грин изучал отражение и преломление упругих волн на границах двух сред. Релей в 1887 году разработал теорию поверхностных волн, распространяющихся вдоль границы упругого полупространства. Позднее, уже в начале 20-го века, Ляв показал возможность образования еще одного типа поверхностных волн, не описываемых теорией Релея. Таким образом, к моменту начала регистрации сейсмических волн от землетрясений было понятно, какого типа волны могут распространяться в Земле. В 1897 г. Вихеpт отождествил на сейсмогpаммах тpи основных типа волн пpодольные, попеpечные, повеpхностые. С этого вpемени начинается составление каталогов землетpясений и постpоение гpафиков зависимости вpемен пpихода волн от pасстояния до эпицентpа. Так что по существу сейсмология как наука сформировалась в конце 19-го – начале 20-го веков. Первую приемлемую таблицу времен пробега продольных и поперечных волн составил Олдгем. Он заметил, что при возрастании расстояния времена пробега увеличиваются медленнее, чем следовало бы, если бы скорость была постоянной. Отсюда был сделан важный вывод о том, что скорости упругих волн возрастают с глубиной. В 1906 г. Олдгем обнаpужил вступления продольных волн вблизи антицентpа. Но их вpемена пpихода оказались значительно больше, чем если бы скоpость в Земле была такая же, как и для волн, pегистpиpуемых на небольших pасстояниях. Отсюда был сделан вывод о существовании внутpи Земли центральной области, где скорость значительно меньше, чем во внешней части. В Pоссии pазвитие сейсмологии связано с именем академика Б.Б.Голицина. Он создал новый тип сейсмогpафа электpомагнитного с гальванометpической pегистpацией. Существенным в этом было преобразование колебаний Земли в электрический ток, что сделало возможным регистрировать слабые колебания от удаленных землетрясений. Голицыным в 1906 году была основана сейсмологическая станция «Пулково», оборудованная созданными им приборами, которая в те годы являлась центральной сейсмологической обсерваторией в России.

1515

В 1909 г. хоpватский ученый Мохоpовичич, наблюдая волны от близкого землетpясения, обнаpужил на сейсмогpаммах по два вступления пpодольной и попеpечной волны, откуда сделал вывод о том, что эти волны должны pаспpостpаняться по pазным путям, и заключил о существовании слоя земной коpы, мощность котоpой оценил в 50 км. В 1914 г. Гутенбеpг оценил глубину гpаницы ядpа в 2900 км, что хорошо согласуется с совpеменными пpедставлениями. В 20-40 гг. большой вклад в pазвитие сейсмологии внесли Джеффpис, Буллен, Гутенбеpг. Ими составлены достаточно точные таблицы времен пробега всех Рис.1.13. Академик Б.Б.Голицын (18621916) основных волн в Земле, которые не потеряли своего значения и до настоящего времени. В 1936 г. Леманн привела доказательства того, что внутри ядра Земли имеется центральная область (внутреннее ядро), характеризующееся большей скоростью сейсмических волн, чем его внешняя часть. Большой вклад в развитие сейсмологии в это время внес Джеффрис, который заботился о применении строго научных методов и статистических подходов, где это было необходимо. В результате работ этих ученых к началу 40-х гг. было опpеделено pаспpеделение скоpостей пpодольных и попеpечных волн с глубиной в Земле. Пеpвую половину столетия (до конца 40-х - начала 50-х гг.) можно pассматpивать как пеpвый этап в pазвитии сейсмологии. Целью этого этапа был сбор и систематизация данных о временах пробега сейсмических волн в Земле, которые использовались для решения двух задач – определения координат очагов землетрясений и для определения распределения скоростей упругих волн с глубиной. На этом этапе функционировало еще достаточно ограниченное число сейсмических станций, обработка сейсмограмм и определение координат очагов землетрясений производились вручную, и достижения сейсмологии на этом этапе обязаны трудам небольшого числа ученых. В результате к концу этого этапа были получены пpедставления о геогpафическом pаспpеделении эпицентpов землетpясений и об изменении упpугих свойств Земли с глубиной. Период от 50-х - начала 60-х гг. до 80-х гг. можно рассматривать как второй этап в развитии сейсмологии. На этом этапе появляется большое число станций, они обоpудуются высокочувствительными пpибоpами, позволяющими регистрировать колебания в значительно более широком частотном диапазоне. Это дало возможность pегистpиpовать значительно более слабые землетpясения и более детально изучать pаспpеделение сейсмичности по земному шаpу, точнее локализовать очаги и опpеделять механизмы очагов. На первый план выступает уже задача исследования процессов в очагах землетрясений. Кpоме того, появилась возможность более детального изучения стpоения Земли (гоpизонтальных неодноpодностей, тонкой стpуктуpы пеpеходных зон, и т.п.). Но это же привело и к тому, что резко увеличился объем данных (сейсмограмм), и их обработка на прежнем уровне – вручную – уже стала невозможной. Но как раз в это время происходит бурное развитие вычислительной техники, что позволило решать целый ряд задач уже с помощью электронных вычислительных машин. Однако, по-прежнему сейсмограммы записываются в аналоговом виде, и это затрудняет массовую их обработку. На этом же этапе были 1616

выявлены предвестники землетрясений, что позволило ставить задачу прогноза землетрясений. Наконец, с сеpедины- конца 80-х гг. сейсмология пеpеживает новый всплеск своего pазвития. Это связано с появлением миpовых сетей сейсмологических станций, обоpудованных пpибоpами с цифpовой записью, котоpые позволяют пpоизводить pегистpацию сейсмических колебаний в шиpоком динамическом диапазоне. Записи этих станций благодаpя совpеменным сpедствам хpанения и пеpедачи инфоpмации чеpез INTERNET становятся доступными сейсмологам всего миpа. Благодаpя pазвитию вычислительной техники оказывается возможным обpабатывать большие массивы данных - как непосредственно сами записи землетрясений, так и характеристики сейсмических волн на большом числе станций и от большого числа землетрясений. Созданы центpы накопления и обpаботки пеpвичных данных, так что имеется возможность использовать их pезультаты. Главными мировыми центрами первичной обработки данных являются NEIC ( National Earthquake Information Center) в США, и ISC (International Seismological Centre), Великобритания. NEIC отвечает за быстрое и по возможности точное определение координат очага и силы всех разрушительных землетрясений в мире. Кроме того, там производится сбор и предоставление пользователям расширенной сейсмической базы данных. В МСЦ производится окончательный сбор, анализ и публикация стандартной информации о землетрясениях мира. Кроме того, существует ряд региональных сейсмологических центров. Более широкие проекты и программы в распространении сейсмологической информации выполняет IRIS (Incorporated Research Institutions for Seismology) – структура, объединяющая ведущие университеты США, целью которой является помощь в исследованиях внутреннего строения Земли, очагов землетрясений и оценки сейсмической опасности. Информация из мировых центров данных стекается в IRIS и может быть получена любым пользователем по Интернету. Одной из главных задач IRIS является организация Глобальной Сейсмологической Сети (GSN). Цель GSN – распределить станции, оборудованные однотипными приборами, более или менее равномерно по земному шару. В настоящее время сеть GSN состоит из 128 станций, в ближайшее время планируется установить еще 8 станций. На рис.1.14 показано расположение сейсмических станций GSN.

Рис.1.14. распределение станций Глобальной Сейсмической Сети по земному шару На современном этапе основными задачами сейсмологии являются следующие: 1717

В области изучения очага землетpясения - создание физической теоpии пpоцесса подготовки землетpясения и pазpушения вещества, опpеделение на основе этой теоpии пpедвестников землетpясений. К настоящему вpемени уже показано, что само землетpясение является пpоявлением неустойчивости нелинейной динамической системы, поэтому пpедставляется пеpспективным пpименение теоpии динамического хаоса к описанию пpоцессов подготовки и возникновения землетpясений. В области изучения стpоения Земли - использование томогpафических методов для исследования тpехмеpной стpуктуpы Земли и развитие этих методов. Для pешения этих задач требуется использовать чpезвычайно большие объемов данных, что пpиводит к необходимости pазpаботки специальных вычислительных методов. В области теоpии - pазpаботка методов pасчета полей сейсмических волн в сложных неодноpодных, анизотpопных сpедах, поpистых и многокомпонентных сpедах, pазpаботка теоpии сейсмического очага на основе более сложных моделей. Литература к гл.1. Б.А.Болт, У.Л.Хорн, Г.А.Макдональд, Р.Ф.Скотт. Геологические стихии. 1978. М.Мир.439 с. Дж.А.Эйби. Землетрясения. 1982. М.Недра. 264 с. Дж.Гир, Х.Шах. Зыбкая твердь. 1988. М.Мир. 219 с. Дж.Ходжсон. Землетрясения и строение Земли. М.Мир.,1966. 193 с. А.А.Никонов. Землетрясения (прошлое, современность, прогноз). М.Наука. 2006 192 с.

1818

Глава 2. Теория упругих волн 2.1 Деформации В твердом теле под влиянием приложенных сил изменяются расстояния между частицами, в результате чего тело изменяет свою форму и объем. Это явление представляет собой деформацию твердого тела. Если в невозмущенном состоянии некоторая частица находилась в точке с координатами x,y,z , а в результате деформации она переместилась в точку с координатами x’,y’,z’, то вектор u с координатами u=x’-x, v=y’-y, w=z’-z называется смещением частицы. Если тело совершает поступательное или вращательное движение, то оно не подвергается деформации – в этом случае смещение u оказывается одним и тем же во всех точках. Деформация возникает тогда, когда смещение различно в различных точках тела, т.е. когда u является функцией координат. В большинстве практических задач сейсмологии допустимо ограничиться рассмотрением малых деформаций, когда можно пренебречь различием между координатами x,y,z и x’,y’,z’ и считать смещение функцией x,y,z. Таким образом, для тела, испытывающего малые деформации, поле смещений образуется множеством векторов u=u(x,y,z). Чтобы определить характеристики деформации, рассмотрим деформацию элементарного объема среды в виде параллелепипеда со сторонами ∆x,∆y,∆z. Предположим, что смещение не зависит от координаты z. В этом случае достаточно рассматривать только одну грань параллелепипеда, перпендикулярную оси z (прямоугольник ABCD на рис.2.1).

D" D' D''' > y) ∆ + >

C'

D

x,y ( u

C

β

>>

u( x+ ∆x ,y)

α

u(x ,y)

>

A'

B' B" B'''

A

B

Рис.2.1 Схема, иллюстрирующая деформацию прямоугольника ABCD: в результате деформации прямоугольник превращается в четырехугольник A’B’C’D’.

19

В результате деформации прямоугольник превратится в четырехугольник A' B ' C ' D ' , при этом изменятся длины сторон и углы между сторонами. Рассмотрим изменение стороны AB в результате деформации. Вектор B ′′B ′ представляет собой изменение смещения при перемещении от точки (x,y) к точке (x+∆x, y), т.е. ∆u = u( x + ∆x, y ) − u( x, y ) . В предположении малости ∂u ∂u смещений ∆u ≈ Компонента этого вектора ∆u = B" B' ' ' = ∆x . ∆x ∂x ∂x ∂v представляет собой приращение длины стороны AB, а ∆v = B' ' ' B' = ∆x ≈ α∆x ∂x определяет ее поворот. Аналогично удлинение стороны AD при перемещении от точки (x,y) к то ке ч (x, y+∆y) будет приблизительно равно ∂v ∂u ∆v = D" D' ' ' = ∆y , а D' ' ' D' = ∆y ≈ β∆y . Таким образом, изменение ∂y ∂y прямого угла между координатными осями определится суммой углов ∂v ∂u . В общем случае, когда смещение зависит от всех трех α +β = + ∂x ∂y координат, полная деформация определяется шестью величинами: относительными удлинениями линейных элементов, параллельных координатным осям ∂u ∂v ∂w exx = , eyy = , ezz = ∂x ∂y ∂z и изменениями прямых углов между координатными осями ∂v ∂u ∂u ∂w ∂w ∂v e xy = + , e xz = + , e yz = + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Последние три величины определяют деформацию сдвига. Обычно в качестве характеристики деформации сдвига принимают величины равные половине изменения угла, т.е. 1  ∂v ∂u  1  ∂u ∂w  1  ∂w ∂v  ε xy =  + , ε xz =  + +  , ε yz =  2  ∂x ∂y  2  ∂z ∂x  2  ∂y ∂z  Если обозначить координаты x,y,z через x1, x2, x3, а компоненты вектора смещения u,v,w через u1, u2, u3 , то деформации как удлинения, так и сдвига могут быть записаны единообразно: ∂u  1  ∂u ε ik =  i + k  2  ∂x k ∂xi  Таким образом малая деформация характеризуется симметричным тензором деформации  ε 11 ε 12 ε 13     ε 21 ε 22 ε 23  ε ε ε   31 32 33  Симметричный тензор всегда может быть приведен к диагональному виду поворотом координатных осей. Таким образом, в каждой точке тела могут быть выбраны такие направления осей, в которых отсутствуют сдвиговые деформации – они называются главными осями деформации. В главных осях элементарный параллелепипед со сторонами ∆x,∆y,∆z в результате деформации

20

будет также представлять параллелепипед, но имеющий стороны ∆x(1+εxx), ∆y(1+εyy), ∆z(1+εzz). Объем такого параллелепипеда будет равен ∆x∆y∆z (1 + ε xx )(1 + ε yy )(1 + ε zz ) , а относительное изменение объема в результате деформации (учитывая малость деформаций) будет соответственно равно сумме диагональных элементов тензора деформации (1 + ε xx )(1 + ε yy )(1 + ε zz ) − 1 ≈ ε xx + ε yy + ε zz Поскольку сумма диагональных элементов тензора является инвариантом относительно поворота координат, то и в любой другой координатной системе относительное изменение объема будет тоже определяться суммой диагональных элементов тензора деформации. Эту величину называют дилатацией и обычно обозначают θ, так что ∂u ∂v ∂w θ= + + = divu ∂x ∂y ∂z 2.2. Напряжения В результате деформирования сплошной среды в ней возникают силы, стремящиеся противодействовать деформации. Понять характер этих сил можно, если рассмотреть некоторый объем среды Ω, находящейся в деформированном состоянии и мысленно удалить окружающую его среду. Очевидно, для того чтобы сохранить этот объем в том же деформированном состоянии, необходимо к поверхности Σ этого объема приложить силы, определенным образом распределенные по поверхности (рис.2.2). В отличие от

>

Σ

>

>

> >

>

Ω >

> >

> Рис.2.2 Стрелки изображают силы, приложенные к поверхности Σ. объемных сил, приложенных к элементу объема и имеющих в рассматриваемой точке определенное направление, поверхностные силы зависят не только от положения точки, но и от ориентации элемента поверхности. Такие силы, отнесенные к единице поверхности, называются напряжениями. В каждой точке напряжение определяется вектором силы и направлением нормали к площадке, так что к элементу поверхности ∆Σ, имеющей нормаль n, будет приложена сила Tn ∆Σ . Поскольку напряжение определяется не только величиной и 21

направлением силы, но и направлением нормали к поверхности, оно является тензором. Чтобы определить тензор напряжений в координатной системе x,y,z, рассмотрим элемент объема в виде тетраэдра, имеющего три грани, ориентированные параллельно координатным плоскостям (рис.2.3). Четвертая

z

Tn

>n

x

y

Рис.2.3 Иллюстрация равновесия сил, приложенных к граням тетраэдра грань имеет единичную нормаль n. Чтобы этот элемент объема находился в равновесии, необходимо, чтобы сумма всех сил, приложенных к его поверхности, равнялась нулю. Пусть площадь грани, имеющей нормаль n , равна dS. Тогда площади граней, перпендикулярных осям x,y,z, будут соответственно равны n x dS , n y dS , n z dS , где n x , n y , n z - компоненты вектора n. Силы, приложенные к этим граням, будут равны − Tx n x dS , − Ty n y dS , − Tz n z dS . Знак минус возникает за счет того, что внешней нормалью к этим граням являются оси -x,-y,-z. А сила, приложенная к четвертой грани, равна Tn dS . Из условия равновесия следует, что (2.1) Tn = Tx n x + Ty n y + Tz n z Это равенство в компонентах записывается следующим образом: Tnx = Txx n x + T yx n y + Tzx n z Tny = Txy n x + T yy n y + Tzy n z Tnz = Txz n x + T yz n y + Tzz n z Таким образом напряжение в любой точке однозначно определяется тензором  Txx  Τ =  Txy  T  xz

T yx T yy T yz

Tzx   Tzy   Tzz 

Компоненты напряжений, совпадающие по направлению с нормалью к площадке, называются нормальными напряжениями, а компоненты перпендикулярные нормали называются касательными напряжениями. Очевидно, что диагональные элементы тензора Τ представляют собой нормальные, а внедиагональные – касательные напряжения.

22

Тензор напряжений является симметричным, т.е. Txy = T yx , Txz = Tzx , T yz = Tzy . Данный факт следует из условия равновесия, которое включает не только равенство нулю суммарной силы, но и равенство нулю суммы моментов сил, приложенных к элементу объема. Выберем элемент объема в виде параллелепипеда (рис.2.4) со сторонами ∆x,∆y,∆z.

>

z

>

Tzz

Txx

>

Tzy >

>

> Txy

>Txx >x

>

>

Txz

T > xy

>

Txz Tzx

y

>Tzx

>

>

Tzy

Tzz

Рис.2.4. Из равенства моментов сил, приложенных к заштрихованным граням параллелепипеда, выводится симметричность тензора напряжений. С точностью до величин следующего по величине порядка малости можно принять, что напряжения, приложенные к противоположным граням равны по величине и противоположны по знаку, поскольку внешние нормали к этим граням имеют противоположные направления. Рассмотрим момент сил вдоль оси y. Он создается касательными напряжениями, перпендикулярными оси y и приложенными к верхней, нижней, левой и правой граням. Силы, приложенные к левой и правой граням, равны Txz ∆y∆z и создают момент Txz ∆y∆z∆x . Приложенные к верхней и нижней граням силы равны Tzx ∆y∆x , а момент, создаваемый ими, равен − Tzx ∆y∆x∆z . Поскольку сумма моментов сил должна быть равна нулю, следует, что Txz = Tzx . Аналогичным образом доказывается, что Txy = T yx , Tzy = T yz . Как и в случае тензора деформаций, тензор напряжений может быть приведен к диагональному виду поворотом координатных осей. Оси, в которых тензор напряжений является диагональным, называются главными осями напряжений. В главных осях касательные напряжения, приложенные к координатным плоскостям, отсутствуют. Если в главных осях все нормальные напряжения равны, т.е. Txx = T yy = Tzz , то тело подвергается равномерному давлению. Поскольку нормальные напряжения положительны, когда они направлены в сторону внешней нормали к поверхности, и соответственно вызывают

23

растяжение среды, то давление, вызывающее сжатие, будет в этом случае равно p = −Txx = −T yy = −Tzz . В общем случае давление определяется как среднее из нормальных напряжений, т.е. p = − от координатных осей.

1 (Txx + Tyy + Tzz ) . Эта величина не зависит 3

2.3. Связь напряжений и деформаций В твер дом теле при малых деформациях зависимость между напряжениями и деформациями является линейной. Этот факт был установлен экспериментально еще в семнадцатом столетии и носит название закона Гука. Тела, для которых справедлив закон Гука, называются упругими (идеально упругими). Если координаты x,y,z обозначать через x1, x2, x3, и соответственно компоненты деформаций и напряжений через ε ik и Tik (i, k = 1,2,3) , то закон Гука можно записать в виде (2.2 ) Tik = ∑ ciklm ε lm l ,m

Коэффициенты ciklm называются упругими модулями или упругими постоянными. Поскольку как тензор напряжений, так и тензор деформаций содержат по 6 независимых компонент, то в общем случае число упругих модулей должно быть равно 36. Однако, как будет показано дальше (раздел 2.4), их число не может быть больше 21. Число упругих постоянных зависит от степени симметрии среды. В случае изотропного материала, для которого свойства среды одинаковы во всех направлениях, число упругих постоянных уменьшается до двух. Закон Гука для изотропной среды записывается в виде Txx = λθ + 2 µε xx Txy = 2 µε xy

T yy = λθ + 2 µε yy Tzz = λθ + 2 µε zz

Txz = 2 µε xz

T yz = 2 µε yz

или, в общем виде Tik = λθδ ik + 2 µε ik ,

(2.3 )

1 i = k где δik – символ Кронекера: δ ik =  . 0 i ≠ k Константы λ и µ называются коэффициентами Ламэ. Коэффициент µ имеет смысл модуля сдвига, так как он определяет зависимость сдвиговой деформации от касательного (сдвигового) напряжения. Наряду с коэффициентами Ламэ λ и µ часто употребляют другие пары упругих постоянных: 1) Модуль всестороннего сжатия K и модуль сдвига µ. Модуль всестороннего сжатия определяют как коэффициент пропорциональности между давлением p и относительным изменением объема θ: p = − Kθ . Чтобы выразить его через коэффициенты Ламэ, сложим соотношения между нормальными напряжениями и деформациями:

24

Txx = λθ + 2 µε xx T yy = λθ + 2 µε yy Tzz = λθ + 2 µε zz 1 2   p = − (Txx + T yy + Tzz ) = − λ + µ θ , 3 3   2 откуда K = λ + µ 3 2) Модуль Юнга E и коэффициент Пуассона σ. Модуль Юнга представляет собой коэффициент связи между односторонним сжатием (например, в направлении оси x) и деформацией удлинения в этом же направлении, т.е. Txx = Eε xx и аналогично T yy = Eε yy , Tzz = Eε zz Выражение модуля Юнга через коэффициенты Ламэ можно получить из следующих равенств: Txx = λθ + 2 µε xx = Eε xx

0 = λθ + 2 µε yy 0 = λθ + 2 µε zz Из этих уравнений получаем E =

µ (3λ + 2µ ) . λ+µ

При одностороннем сжатии происходит расширение вещества в поперечных направлениях. Отношение поперечного сжатия к продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона: ε yy = ε zz = −σε xx Воспользуемся уравнениями λθ + 2µε xx = Eε xx

λθ − 2σµε xx = 0

Вычитая второе уравнение из первого, получим E 1+σ = 2µ откуда

σ=

λ

2(λ + µ ) В жидкости, которую можно рассматривать как предельный случай упругой среды, модуль сдвига µ равен нулю. Коэффициент Пуассона для жидкости равен ½. Коэффициент Ламэ λ не может быть отрицательным, в противном случае при продольном сжатии в поперечном направлении происходило бы не расширение, а сжатие. Таким образом пределы изменения коэффициента Пуассона 0 ≤ σ ≤ 0.5 Для большинства твердых тел коэффициент Пуассона близок ¼. кСлучай σ = ¼ имеет место, когда λ=µ (гипотеза Пуассона).

25

2.4. Энергия деформации Выделим в деформированном теле элементарный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям, а ребра равны ∆x,∆y,∆z. На его гранях будут действовать напряжения Tx (Txx , Txy , Txz ) , Ty (T yx , T yy , T yz ) , Tz (Tzx , Tzy , Tzz ) .

Рассмотрим

работу

этих

упругих

сил

при

изменении

деформации на элементарные величины δε xx , δε xy , δε xz , δε yy , δε yz , δε zz . При этом грань, перпендикулярная оси x, сместится по осям x,y,z соответственно на величины δu = δε xx ∆x, δv = δε xy ∆x, δw = δε xz ∆z , т.е. на величину элементарного вектора δu . Это смещение произойдет под действием силы Tx ∆y∆z . Таким образом, работа этой силы будет равна (Tx , δu )∆x∆y∆z = (Txxδε xx + Txy δε xy + Txz δε xz )∆Ω , где ∆Ω = ∆x∆y∆z - объем параллелепипеда. Аналогично работы сил, приложенных к двум другим граням, будут равны соответственно (Tyxδε yx + Tyyδε yy + Tyzδε yz )∆Ω (Tzxδε zx + Tzyδε zy + Tzzδε zz )∆Ω . Полная и работа сил, отнесенных к единице объема, будет равна (2.4) δA = ∑ Tik δε ik i ,k

Это есть удельная элементарная работа деформации, которая равна изменению энергии деформированого тела. В дальнейшем будем использовать правило суммирования по повторяющимся значкам, так что (2.4) ) может быть записано в виде δA = Tik δε ik Полную энергию деформации можно получить интегрированием этого выражения. Но для этого необходимо выразить напряжения через деформации. Для упругого тела связь напряжений и деформаций определяется законом Гука (2.2). При этом δA = ciklm ε lmδε ik Эта работа равна приращению удельной энергии деформации δW. Это приращение должно быть полным дифференциалом, так что интегрированием мы получим полную энергию деформации. Но для этого необходимо, чтобы упругие постоянные подчинялись следующему соотношению: (2.5) ciklm = clmik Только в этом случае 1 1 1 δA = δW = ciklm (ε lmδε ik + ε ik δε lm ) = ciklmδ (ε lm ε ik ) = δ (ciklm ε lm ε ik ) ) (2.6 ) 2 2 2 Из условия (2.5) следует, что число упругих не может быть больше 21, как уже было упомянуто в разделе 2.3. Интегрируя (2.6), получим выражение для полной удельной энергии деформации 1 1 (2.7) W = ciklm ε lm ε ik = Tik ε ik 2 2 В случае изотропной среды это выражение принимает вид W =

λθ 2 2

+ µε ik ε ik

(2.8 )

26

2.5 Уравнения движения Выведем теперь уравнения, определяющие передачу движений частиц упругой среды. Согласно законам механики, движение точки (элемента среды с массой dm) определяется уравнением d 2u (2.9) dm = df dt 2 где df – сила, действующая на этот элемент среды. Пусть этот элемент среды имеет объем dΩ, тогда dm = ρ (x)dΩ , df = f (x, t )dΩ , где ρ (x) - плотность среды в точке х, а f(x) сила, приложенная к единице объема. Рассмотрим некоторый объем Ω среды, способной подвергаться деформации. Проинтегрируем (2.9) по этому объему. Левая часть этого уравнения примет вид ∂ 2 u(x, t ) (2.10) ( x ) ρ dΩ , 2 ∫∫∫ ∂ t Ω а в правой мы будем иметь сумму всех сил, действующих на этот объем среды. Это будут так называемые объемные силы, приложенные к точкам данного объема (к ним относятся, например, гравитационные силы и различные внешние воздействия), и поверхностные силы, обусловленные деформацией среды: ∫∫∫ f (x, t )dΩ + ∫∫ Tn dS , (2. 11) Ω

S

где Tn– напряжение, приложенное к поверхности S объема Ω (рис.2.5). Выражая Tn по формуле (2.1) и приравнивая (2. 10) и (2.11), получим ∂ 2u = ( , ) ρ T n dS dΩ − ∫∫∫ fdΩ , (2.12) ∫∫S i i ∫∫∫ ∂t 2 Ω Ω или в компонентах ∂ 2uk T n dS = ρ dΩ − ∫∫∫ f k dΩ (2.13) 2 ∫∫S ik i ∫∫∫ t ∂ Ω Ω

Ω

S n

Рис.2.5,

Tn

иллюстрирующий вывод уравнения движения упругой среды

В силу симметрии тензора напряжения левую часть можно иначе записать в виде: ∫∫ Tki ni dS = ∫∫ Tkn dS S

S

и преобразовать этот интеграл по формуле Гаусса-Остроградского ∫∫ Tkn dS = ∫∫∫ divTk dΩ S

Ω

Учитывая, что объем Ω может быть взят произвольным, получим следующее равенство ∂ 2u k (2.14 ) divTk = ρ −f k ∂t 2

27

Равенство (2.14) может быть записано в векторной форме ∂ 2u (2.15) ∇Τ = ρ −f ∂t 2  ∂ ∂ ∂   на тензор , , где ∇Τ обозначает результат действия оператора ∇ =   ∂x1 ∂x 2 ∂x3  Τ, или в координатах x,y,z: ∂Txx ∂Txy ∂Txz ∂ 2u + + = ρ 2 − fx ∂x ∂y ∂z ∂t ∂T yx ∂T yy ∂T yz ∂ 2v (2.16) + + = ρ 2 − fy ∂x ∂y ∂z ∂t ∂Tzx ∂Tzy ∂Tzz ∂2w + + = ρ 2 − fz ∂x ∂y ∂z ∂t Уравнения (2.15) и (2.16) справедливы для любой среды, в том числе и неидеально упругой. В таком виде, однако, уравнение решено не может быть, поскольку в левую часть входят напряжения, а в правую – производные от смещений. Чтобы решить эти уравнения, необходимо выразить напряжения через смещения. В случае однородной изотропной упругой среды связь напряжений и деформаций (а деформации выражаются через пространственные производные от смещений) определяется законом Гука (2.3). Каждое из уравнений (2.16) может быть записано в виде ∂Tik ∂ 2u = ρ 2i − f i ∂x k ∂t Подставляя вместо Tik выражение (2.3), получим 2     λdivuδ ik + µ   ∂u i + ∂u k    = ρ ∂ u i − f i    ∂x  ∂t 2   k ∂xi     Преобразуем левую часть этого уравнения: ∂ 2ui ∂ (2.17) divu + µ∆u i = ρ 2 − f i (λ + µ ) ∂xi ∂t С учетом того, что ∆u = ∇divu − rotrotu , это уравнение в векторной форме записывается следующим образом: ∂ 2u (2.18) (λ + 2 µ )∇divu − rotrotu = ρ 2 − f ∂t

∂ ∂x k

2.6.Сейсмические волны Как только произошло возмущение упругой среды в какой-либо ее части, оно начинает распространяться в остальную часть среды согласно уравнению движения (2.15). Это распространение происходит в форме волнового движения с конечной скоростью. Рассмотрим решение уравнения движения для однородной изотропной среды (2.18). Наиболее распространенный подход к решению этого уравнения заключается в представлении искомого поля

28

смещений через потенциалы. Известно, что любое векторное поле может быть представлено в виде суммы потенциальной и вихревой части, т.е. u(x) = ∇ϕ (x) + rotψ (x) (2.19) Здесь ϕ(x) и ψ(x) скалярный и векторный потенциалы. Заметим, что потенциалы определяются не однозначно – скалярный потенциал определен с точностью до константы, а векторный – до градиента некоторой скалярной функции. Аналогичным образом представим объемную силу через скалярный и векторный потенциалы: (2.20) f (x) = ∇Φ + rotΨ Подставим представление (2.19),(2.20) в уравнение движения (2.18): ∂ 2 ∇ϕ ∂ 2 rotψ −ρ (λ + 2 µ )∇∆ϕ (x) − µrotrotrotψ (x) − ρ + ∇Φ + rotΨ = 0 ∂t 2 ∂t 2 В левой части полученного уравнения мы можем также выделить потенциальную и вихревую части каждую из них приравнять нулю:   ∂ 2ϕ ∇ (λ + 2 µ )∆ϕ − ρ 2 + Φ  = 0 ∂t   (2.21) 2   ∂ ψ rot  − µrotrotψ − ρ 2 + Ψ  = 0 ∂t   Из первого уравнения следует, что выражение под знаком градиента должно быть равно константе. Но поскольку ϕ и Φ определены с точностью до констант, мы можем их выбрать так, чтобы в первом уравнении (2.21) константа в выражении под знаком градиента была равна нулю, т.е. ∂ 2ϕ (λ + 2 µ )∆ϕ = ρ 2 − Φ (2.22) ∂t При преобразовании второго уравнения (2.21) мы прежде всего воспользуемся известным из векторного анализа соотношением ∆ψ = ∇divψ − rotrotψ и учтем, что ротор градиента равен нулю. Тогда это уравнение примет вид:   ∂ 2ψ rot  µ∆ψ − ρ 2 + Ψ  = 0 ∂t   И аналогично тому, как было сделано для скалярного потенциала, мы можем принять выражение под знаком ротора равным нулю, т.е. получим уравнение для векторного потенциала в виде

µ∆ψ = ρ

∂ 2ψ −Ψ ∂t 2

(2.23)

Уравнения (2.22) и (2.23) описывают различные типы движений в упругой среде. Если внешние объемные силы отсутствуют, то (2.22) и (2.23 ) могут быть записаны в стандартной форме волнового уравнения ρ ∂ 2ϕ 1 ∂ 2ϕ ∆ϕ = = λ + 2µ ∂t 2 a 2 ∂t 2 (2.24) ∆ψ =

ρ ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ = µ ∂t 2 b 2 ∂t 2

29

Движение, описываемое скалярным потенциалом ϕ, представляет волну, λ + 2µ распространяющуюся со скоростью a = , а движение, описываемое

ρ

векторным потенциалом Ψ - волну, распространяющуюся со скоростью

µ . Чтобы решить эти уравнения, мы должны знать начальные условия, ρ т.е. функции ϕ(x) и ψ(x) в момент t=0. Решения уравнений (2.24) являются аддитивными, т.е. если ϕ1 и ϕ 2 два различных решения волнового уравнения, то ϕ 1 + ϕ 2 также будет решением. b=

Это значит, что путем суперпозиции различных (элементарных) решений мы можем построить такое, которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Простейшим элементарным решением волнового уравнения является решение в виде плоской волны. 2.7. Плоские волны Рассмотрим вначале скалярное волновое уравнение 1 ∂ 2u (2.25) ∆u = 2 2 c ∂t u = u (x, t ) Решение уравнения (2.25) может быть представлено в следующем общем виде: u (x, t ) = f (t − (k , x))

(2.26)

1 . Такое решение представляет c2 собой волну, распространяющуюся в направлении вектора k со скоростью с. Направление вектора k является произвольным. Очевидно, что в любой момент времени t на плоскости (k,x)=const значение функции u будет одним и тем же. Запишем теперь решения уравнений (2.24) в виде плоских волн: 1 2 kP = 2 ϕ (x, t ) = f (t − (k P , x) ) a 1 2 ψ (x, t ) = lF (t − (k S , x) ) kS = 2 b где l – некоторый единичный вектор, имеющий произвольное направление. Тогда выражение для смещения, являющего решением уравнения движения упругой среды, может быть записано в виде u = uP + uS где u P = ∇ϕ = −k P f ′(t − (k P , x) ) (2.27) u S = rotψ = (l × k S ) F ′(t − (k S , x) ) Первое слагаемое описывает волну, в которой смещение происходит в направлении вектора kP, т.е. в направлении распространения волны. Такая волна называется продольной и обозначается P. Волна, описываемая вторым слагаемым, распространяется в направлении вектора kS, а смещение в ней

где f(ξ) – произвольная функция, а k = 2

30

происходит перпендикулярно направлению распространения. Такая волна называется поперечной (S). Скорость продольной волны всегда больше скорости поперечной. Характер движения в плоских продольной и поперечной волнах изображен на рис.2.6.

Рис.2.6. Движение в продольной и поперечной волнах Решение уравнения движения в виде плоской волны можно построить, не прибегая к выражению смещений через потенциалы. Из (2.27) видно, что смещение как в продольной, так и в поперечной волне можно представить в общем виде следующим образом:  (n, x)  u = lΦ  t −  c  

( 2.28 )

где n и l – некоторые единичные вектора, а c – скорость распространения волны. Вектор n определяет направление распространения волны, а вектор l – направление смещения в волне, или ее поляризацию. Используя концепцию плоских волн, мы покажем, что скорость c может быть равна a или b, при этом в случае c=a вектор поляризации l=n, а в случае c=b l оказывается ортогональным n. Действительно, подставляя представление (2.28) в уравнение движения (2.18) (считая f=0) , мы получим

[(λ + µ )n(l, n) + µl ]Φ ′′(t − (n, x) / c ) = ρc 2 lΦ ′′(t − (n, x) / c ) или

(λ + µ )n(l, n) = ( ρc 2 − µ )l

( 2.29)

31

Обозначим θ =

ρc 2 − µ , тогда (2.29) иначе можно записать в виде λ+µ

(2.30) nn T l = θ l откуда видно, что θ и l являются соответственно собственным значением и собственным вектором матрицы N = nn T . Матрица N имеет вид  n x2 nx n y nx nz    2  N = n y nx n y n y nz    2  nz nx nz n y  n z   Учитывая, что n единичный вектор, т.е. что n x2 + n y2 + n z2 = 1 , нетрудно показать, что собственное значение удовлетворяет уравнению: θ 3 −θ 2 = 0 Это уравнение имеет три корня: θ 1 = 1, θ 2 = θ 3 = 0 Иначе λ + 2µ µ c1 = = a, c 2 = c3 = =b

ρ

ρ

Собственный вектор, соответствующий первому корню, т.е. волне P, распространяющейся со скоростью a, определяется из уравнения nn T l = l , и так как n T n = 1 , то легко видеть, что в этом случае l=n. Поскольку все собственные векторы взаимно ортогональны, то векторы, соответствующие двум другим собственным значениям, ортогональны вектору n, т.е. направлению распространения волны, и в то же время они ортогональны между собой. Соответствующие этим корням волны распространяются с одной и той же скоростью b, но поляризованы в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Равенство скоростей этих волн (поперечных) имеет место только в случае изотропной среды. В анизотропной среде все собственные значения оказываются различными. При этом поляризация продольной волны не совпадает с направлением распространения (поэтому такая волны называется квазипродольной), а две другие волны, поляризованные ортогонально квазипродольной волне, называются квазипоперечными, и их скорости не одинаковы.

2.8. Неоднородные плоские волны При решении уравнения движения на основе представления (2.28) единственное предположение, которые мы делали относительно векторов l и n , было то, что эти векторы должны быть единичными, т.е. (n,n)=1, (l,l)=1 При этом не обязательно, чтобы эти векторы были вещественными – они в общем могут быть и комплексными. Но если n является комплексным, то аргумент функции Φ также будет комплексным, и соответственно сама функция Φ будет комплексной. Итак, пусть n и l комплексные векторы

32

n = n 1 + in 2 l = l 1 + il 2 аргумент функции Φ является комплексным числом x+iy, и сама функция Φ также содержит вещественную и мнимую части: Φ ( x + iy ) = f ( x, y ) + ig ( x, y ) Поскольку n и l единичные векторы, мы будем иметь следующие соотношения для векторов n1 , n 2 , l 1 , l 2 : (n1 , n1 ) − (n 2 , n 2 ) + 2i (n1 , n 2 ) = 1 (n1 , n1 ) − (n 2 , n 2 ) = 1 (n1 , n 2 ) = 0 (l 1 , l 1 ) − (l 2 , l 2 ) = 1 (l 1 , l 2 ) = 0 Смещение u должно быть вещественным, поэтому следует брать только вещественную часть комплексного решения:  (x, n1 ) (x, n 2 )   (x, n1 ) (x, n 2 )  u(x, t ) = l 1 f  t − ,− ,−  (2.31)  − l 2 g t − c c  c c    Это выражение описывает неоднородную плоскую волну. Движение в такой волне можно представить следующим образом. Смещение ведет себя во времени одинаково вдоль прямых линий, определяемых пересечением плоскостей (x,n1)=const и (x,n2)=const. Волна распространяется в направлении c 2 вектора n1 со скоростью V = . Поскольку n1 = 1 + n 2 > 1 , скорость n1 неоднородной волны всегда меньше c (т.е. a или b). Форма волны и ее амплитуда изменяются в направлении вектора n2. Компоненты смещения вдоль векторов l1 и l2 изменяются по-разному в соответствии с функциями f и g. Векторы l1 и l2 в продольной волне совпадают с векторами n1 и n2. В поперечной волне векторы l1 и l2 удовлетворяют соотношениям (l 1 , n 1 ) − (l 2 , n 2 ) = 0 (2.32) (l 1 , n 2 ) + (l 2 , n 1 ) = 0 На рис.2.7 показана ориентация векторов n1 , n2 , l1 , l2 в волне S. l1

β

l2

n1

n2

Рис.2.7. Ориентация вещественной и мнимой частей векторов n и l в поперечной волне.

33

Из (2.32) следует, что (n , l ) cos β = − 1 2 n 2 l1 Если β=π, то волна поляризована в плоскости векторов n1 , n2, так что она будет иметь продольную компоненту, т.е. в направлении распространения волны. Такая волна называется волной SV. Случаю β=π/2 соответствует l2=0, при этом волна будет иметь только одну компоненту в направлении перпендикулярном плоскости векторов n1 , n2, т.е. она будет поляризована линейно. Такая волна называется волной SH. Если движение в волне представляет собой гармонические колебания с круговой частотой ω, т.е. Φ ( z ) = A exp(iωz ) = A exp(iωx − ωy ) , то

f ( x, y ) = Ae −ωy cos ωx g ( x, y ) = Ae −ωy sin ωx Движение частиц в неоднородной гармонической волне будет эллиптическим в P и SV волнах и линейным в SH волне (рис.2.8)

P

SV

SH

Рис.2.8. Движение частиц в волнах P. SV и SH. В общем случае функции f(x,y), g(x,y) могут быть представлены в виде суперпозиции затухающих гармонических колебаний, т.е. ∞

f ( x, y ) = ∫ A(ω )e −ωy cos ωxdω 0

∞

g ( x, y ) = ∫ A(ω )e

(2.33) −ωy

sin ωxdω

0

Так как время t входит только в вещественную часть аргумента функций f и g, т.е. в x = t − (n1 , x) / c , то форма волны в определенной точке x определяется как функция этого аргумента. Из (2.33) видно, что функция g как функция x (или t) является преобразованием Гильберта функции f.

34

В безграничном пространстве функции f и g не являются конечными из-за − ωy

наличия экспоненциального множителя e . Поэтому представление решения в виде неоднородной волны может использоваться только в ограниченном части пространства или в случае наличия источников волн. Любое волновое поле может быть представлено в виде суперпозиции плоских волн (однородных и неоднородных) так, чтобы оно удовлетворяло уравнению движения и следующим граничным условиям:  Условию излучения, которое требует, чтобы смещение не возрастало на бесконечности;  Граничным условиям на границах в среде;  Условиям в точках, где расположены источники. Первое и третье условия ( а в некоторых случаях и второе) не могут быть удовлетворены, если строить решение путем суперпозиции только однородных плоских волн. В этих случаях необходимо учитывать еще и неоднородные волны. Как мы увидим в следующем разделе, волна, возбуждаемая симметричным точечным источником, помещенным в начало координатной системы (сферическая волна) может быть представлена в виде суперпозиции плоских однородных и неоднородных волн. 2.9. Сферические волны Плоскую волну можно представить себе как результат возмущения на некоторой неограниченной плоскости, удаленной на бесконечность, причем оно одинаково вдоль всей плоскости. В результате этого возникает плоская волна, распространяющаяся в безграничном пространстве в направлении перпендикулярном плоскости начального возмущения. При этом в пространстве отсутствуют какие-либо другие источники возмущения. В действительности такая ситуация не может быть воспроизведена в реальности. Но концепция плоских волн удобна с одной стороны для того, чтобы иметь возможность строить решение от произвольного источника путем суперпозиции плоских (однородных и неоднородных) волн, а с другой – для анализа волнового поля, возбужденного удаленным источником в некоторой ограниченной области. В последнем случае волну локально можно приближенно рассматривать как плоскую. Хотя сейсмические источники всегда имеют конечную протяженность, на больших расстояниях поле от таких источников приближенно можно рассматривать как возбужденное точечным источником. Рассмотрим поле такой волны и покажем, как его можно представить в виде суперпозиции плоских волн. Будем для простоты рассматривать поле только продольной волны, описываемое скалярным потенциалом ϕ(x,t). Источник поместим в начало координат, и вначале рассмотрим решение волнового уравнения в пространстве, исключая точку, где расположен источник. В отсутствии источников (внешних сил) уравнение для скалярного потенциала имеет вид 1 ∂ 2ϕ (2.34) ∆ϕ = 2 2 a ∂t

35

Будем решать это уравнение в сферических координатах. Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид: 1 ∂  2 ∂ϕ  1 1 ∂ 2ϕ ∂  ∂ϕ  ∆ϕ = 2 +  sin θ + R ∂θ  R 2 sin 2 θ ∂φ 2 ∂R  R 2 sin θ ∂θ  R ∂R  Для простоты предположим, что источник излучает одниково во всех направлениях, так что волновое поле является сферически симметричным, т.е. зависит только от координаты R. Тогда уравнение (2.34) принимает вид 1 ∂  2 ∂ϕ  1 ∂ 2ϕ , (2.35) = R ∂R  a 2 ∂t 2 R 2 ∂R  или ∂ 2ϕ 2 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ , + = ∂R 2 R ∂R a 2 ∂t 2 Если умножить обе части этого уравнения на R, то оно примет вид ∂2 1 ∂2 = ( R ϕ ) ( Rϕ ) ∂R 2 a 2 ∂t 2 А это есть одномерное волновое уравнение, решение которого может быть записано в виде плоской волны, распространяющейся в направлении R. Соответственно потенциал ϕ( R) волны, распространяющейся от источника (R=0), может быть записан в виде F (t − R / a ) (2.36) ϕ ( R, t ) = R Такое представление справедливо везде кроме точки R=0. Но поскольку волна распространяется от этой точки, можно считать, что в этой точке расположен источник типа объемной силы, а выражение для объемной силы должно входить в правую часть уравнения движения. Действительно, когда мы исходили из уравнения движения и приводили его к волновому уравнению (2.34), мы строили решение в той части пространства, где отсутствуют внешние силы, т.е. всюду кроме точки R=0. А во всем пространстве, включая и точку R=0, решение (2.36) удовлетворяет уравнению

1 ∂  2 ∂ϕ  1 ∂ 2ϕ − 4πδ ( x ) F (t ) R = R 2 ∂R  ∂R  a 2 ∂t 2

(2.37)

где δ(x) – трехмерная дельта-функция Дирака, удовлетворяющая условию

∫∫∫ δ (x)dx = 1 Действительно, при R≠0 это уравнение совпадает с (2.34), а наличие дополнительного члена в правой части появляется за счет того, что 1 ∆  = −4πδ ( x ) . R Таким образом, потенциал силы в источнике представляет собой функцию, сосредоточенную в точке R=0, изменение которой во времени определяется функцией F(t). Следует заметить, что решение в форме «чистой» сферической волны имеет место только для продольной волны. Для поперечной волны невозможно построить сферически симметричное решение, поскольку в поперечной волне

36

вектор смещения является касательным к сферической поверхности, а такое векторное поле не может быть сферически симметричным. Теперь представим сферическую волну в виде суперпозиции плоских волн. Без ограничения общности достаточно рассмотреть гармоническуюю зависимость от времени, т.е. принять функцию F(t) в виде exp(-iωt). В случае произвольной функции F(t) ее можно представить в виде интеграла Фурье и соответственно решение строить в форме интеграла Фурье от решения для гармонической волны. Итак, пусть exp[−iω (t − R / a )] R Мы можем опустить множитель exp(-iωt) и рассматривать только ту часть решения, которая зависит от пространственных координат: exp(iωR / a ) (2.38) ϕ ( R) = R

ϕ ( R, t ) =

Эта функция является решением уравнения, которое вытекает из (2.37) : ∆ϕ +

ω2

(2.39) ϕ = −4πδ (x) a2 Представим решение этого уравнения в виде трехмерного преобразования Фурье 1 (2.40) ϕ (x) = 3 ∫∫∫ Φ (k ) exp[i(k , x)]dk , 8π и подставляя (2.40) в (2.39), а также учитывая представление трехмерной 1 дельта-функции в виде интеграла Фурье δ (x) = 3 ∫∫∫ exp[i (k , x)]dk , получим 8π выражение для Φ(k): 4π Φ (k ) = ω2 k2 − 2 a где (2.41) k 2 = (k , k ) = k x2 + k y2 + k z2 Таким образом exp(iωR / a ) 1 exp[i (k , x)] = dk x dk y dk z 2 ∫∫∫ R 2π −∞ ω2 2 k − 2 a Правая часть этого выражения представляет суперпозицию плоских волн по всему диапазону k x , k y , k z . Но поскольку вследствие (2.41) переменные k x , k y , k z не независимы, можно выполнить интегрирование по одной из компонент волнового вектора, например по kz. Такое интегрирование выполняется путем продолжения k z в комплексную область и применения теории вычетов (Аки и Ричардс, 1983). В результате этого мы получаем интеграл только по двум переменным k x , k y :

37

exp(iωR / a ) 1 = R 2π где

∫∫

exp[i (k x x + k y y ) − γ z ] dk x dk y

γ

(2.42)

1/ 2

 ω2  γ =  k x2 + k y2 − 2  a   Знак γ выбирается так, чтобы Re γ>0. Выражение (2.42) это так называемый интеграл Вейля, который представляет сферическую волну как суперпозицию плоских волн. При этом, поскольку − ∞ < k x < ∞, − ∞ < k x < ∞ , подынтегральная функция содержит не только однородные, но также и неоднородные плоские волны (что соответствут вещественным значениям γ). Эти неоднородные волны распространяются параллельно плоскости xy , а их амплитуда изменяется в направлении z.

2.10 . Энергия волны Полная энергия волны складывается из кинетической и потенциальной. Плотность кинетической энергии 1 ∂u ρ 2 ∂t Потенциальная энергия является энергией упругой деформации (раздел 2.4): 1 W p = ∑ τ ij ε ij , 2 i, j где τij и εij соответственно тензоры напряжений и деформаций. В однородной изотропной среде плотность кинетической энергии однородной плоской волны u(x, t ) = lΦ (t − (x, n) / c) определяется выражением 2

Wk =

Wкин =

ρ

[Φ ′]2

, 2 Выражение для плотности потенциальной энергии может быть получено из (2.8), если учесть что (l , n ) divu = − Φ′ c 2 ε ik ε ik = 2(divu )2 + rotu Тогда 1  λ + 2µ [(l, n)Φ ′]2 + µ2 [ l × n Φ ′]2  Wпот =  2 2 c c  В случае продольной волны l=n, c =

µ так что и в одном, и в другом случае ρ

l⊥n , а c = Wпот =

λ + 2µ , а в случае поперечной волны ρ

ρ 2

(Φ ′)2 = Wкин

(2.43)

38

Таким образом, плотности кинетической и потенциальной энергии в каждый момент оказываются равны. А поскольку скорость колебаний в волне изменяется, и в какие-то моменты становится равной нулю, следует, что и плотность суммарной энергии в каждой точке меняется во времени от нуля до некоторого максимального значения. Это кажется противоречащим закону сохранения энергии, согласно которому сумма кинетической и потенциальной энергии должна оставаться постоянной (как например, при колебании маятника). Но надо помнить, что закон сохранения имеет место в замкнутой системе, а поскольку при волновом процессе энергия переносится от точки к точке, он будет выполняться для всего объема среды. Если волна гармоническая, т.е. если Φ (t ) = sin ωt , W = Wкин + Wпот = ρω 2 sin 2 ω (t − (l, n) / c) Хотя соотношение (2.43) было выведено здесь для плоской однородной волны в однородной изотропной среде, оно оказывается справедливым и в общем случае. А поскольку кинетическая энергия выражается проще, чем потенциальная, мы всегда можем принимать, что плотность полной энергии 2 (2.44) W = 2Wкин = ρ u

Отсюда следует, что плотность потока энергии упругой волны определяется 2 как ρ u c , где с – скорость распространения волны. Заметим, что в анизотропной среде, а также в диспергирующих средах с является групповой скоростью, которая отлична от фазовой. Поток энергии за некоторый промежуток времени определятся интегрированием плотности потока по этому промежутку: t2

P = ∫ ρ u cdt 2

(2.45)

t1

2.11. Отражение и преломление волн на границах До сих пор мы рассматривали распространение упругих волн в однородной безграничной среде. Однако в реальной Земле существуют границы между средами с разными упругими постоянными. Кроме того, надо иметь в виду, что Земля не безграничная среда, а ограниченная свободной поверхностью, наличие которой должно влиять на распространение сейсмических волн. Поэтому для анализа волнового поля в реальных средах необходимо учитывать наличие границ – между средами с разными упругими постоянными и свободную поверхность. Поскольку любую волну в пространстве можно представить в виде суперпозиции плоских волн, достаточно ограничиться рассмотрением влияния границ на распространение только плоских волн. При этом мы будем и границы считать плоскими. Выводы, полученные для плоских границ можно использовать локально и в случае криволинейных границ при условии, что длина волны мала по сравнению с радиусом кривизны границы. При падении волны на границу (свободную или между средами) на границе должны выполняться граничные условия. На свободной границе граничное условие состоит в отсутствии напряжений, приложенных к границе. На внутренней границе обычно принимают условия жесткого контакта между

39

средами. Это означает непрерывность смещений и напряжений, приложенных к границе. Вначале рассмотрим падение плоской волны на свободную границу. Систему координат выберем так, чтобы ось z была перпендикулярна границе и направлена внутрь среды, а ось х находилась в плоскости, содержащей единичный вектор n в направлении распространения волны (рис.2.9). Эта плоскость называется плоскостью падения. В такой системе координат

n

x

>

Pпад

θ0 θPот р θSот р

Pот р Sот р

>

z

Рис.2.9 . Схема образования отраженных Р и S волн в случае падения на границу волны Р

выражение для смещения в падающих плоских Р и S волнах может быть записано в следующем виде:  xn + zn z  uP = f t − x n a    xn + zn z  uS = Ft − x l b   где l – единичный вектор ортогональный n. Из рис.2.9 видно, что n x = sin ϑ0 , n z = − cos ϑ0 . Угол ϑ0 называется углом падения волны. Рассмотрим сначала падение Р волны. Граничное условие отсутствия напряжений на границе может быть обеспечено, если допустить образование на границе отраженных волн. Поскольку напряжение на границе z=0, обусловленное падающей Р волной, имеет две компоненты по х и по z (yкомпонента равна нулю в силу выбора системы координат), для равенства нулю напряжений Tzx и Tzz необходимо, чтобы на границе образовались две отраженных волны – продольная и поперечная. При этом поперечная волна должна быть поляризована в плоскости падения, для того чтобы напряжение в этой волне не имело y-компоненты. Это так называемая волна SV. Для того, чтобы граничные условия были удовлетворены на границе z=0 при всех

40

значениях х, необходимо, чтобы форма сигнала в обеих отраженных волнах была бы такой же, как в падающей волне, т.е. f (t ) . Таким образом, смещения в отраженных волнах могут быть записаны в виде  x sin ϑ Pотр + z cos ϑ Pотр  отр  e P κ u отр f = P PP  t − a   отр отр  x sin ϑ S − z cos ϑ S  отр e S u отр = κ PS f  t − S b   отр отр Здесь ϑ P , ϑ S - углы, составляемые направлением распространения Р и SV волн с осью z (углы отражения), κ PP , κ PS -коэффициенты отражения волн Р и SV при падении на границу волны Р,

отр e отр + e z cos ϑ Pотр , P = e x sin ϑ P

e отр = e x cos ϑ Sотр − e z sin ϑ Sотр . S Аргумент функции f при любом х и z=0 должен быть один и тот же для всех волн – падающей и отраженных Р и SV. А это значит, что sin ϑ Sотр sin ϑ0 1 ϑ Pотр = ϑ0 , = = b a c Это известный закон Снеллиуса. Величина с имеет смысл кажущейся скорости волны вдоль оси х. Для определения коэффициентов отражения необходимо приравнять нулю выражения для суммарных напряжений Tzx и Tzz на границе z=0:

∂u  µ  ∂u Tzx = µ  x + z  = f ′(t − x / c)(sin 2ϑ0 − κ PP sin 2ϑ0 − γκ PS cos 2ϑ S ) = 0 ∂x  a  ∂z ∂u µ Tzz = λdivu + 2 µ z = f ′(t − x / c)(− γ cos 2ϑ0 − κ PP γ cos 2ϑ S + κ PS sin 2ϑ S ) = 0 ∂z b a где γ = . Удобно записать эту систему в матричном виде: b  κ PP   = b P A (2.46)  κ PS  γ cos 2ϑ S   sin 2ϑ P   sin 2ϑ P   b P =  где A =   − γ cos 2ϑ S   γ cos 2ϑ S - sin2ϑS  Из этой системы уравнений мы получаем следующие выражения для коэффициентов отражения:

κ PP

sin 2ϑ P sin 2ϑ S − γ 2 cos 2 2ϑ S = sin 2ϑ P sin 2ϑ S + γ 2 cos 2 2ϑ S

κ PS =

2γ sin 2ϑ P cos 2ϑ S sin 2ϑ P sin 2ϑ S + γ 2 cos 2 2ϑ S

Совершенно аналогично можно вывести выражения для коэффициентов отражения для случая, когда падающей волной является волна SV. В этом случае матрица системы уравнений для определения коэффициентов отражения κ SP , κ SS будет такой же, как и в случае падения волны Р, а вектор правой части

41

 γ cos 2ϑ S   b S =   sin2ϑS  Соответственно коэффициенты отражения будут иметь вид:

κ SP = κ SS

2γ sin 2ϑ P cos 2ϑ S sin 2ϑ P sin 2ϑ S + γ 2 cos 2 2ϑ S

γ 2 cos 2 2ϑ S − sin 2ϑ P sin 2ϑ S = sin 2ϑ P sin 2ϑ S + γ 2 cos 2 2ϑ S

Коэффициенты отражения зависят от угла падения волны и от отношения скоростей продольной и поперечной волн γ. В случае падения волны Р коэффициенты являются вещественными, так что образуются однородные плоские продольная и поперечная волны. На рис. 2.10а изображены зависимости коэффициентов κ PP , κ PS от угла падения продольной волны ϑ P для значения γ = 3 . Интересно то, что при двух значениях угла падения ( 60° и 77,2° ) отражается только поперечная волна, коэффициент отражения продольной волны равен нулю. 1.5

2.5

κPS

1

2

0.5

1.5 0

30

60

0 -0.5

90

θP

κPP

-1

|κSS|

1

|κSP|

0.5 0 0

a

35.3

30

60

90

θS

б

Рис.2.10 а –зависимость коэффициентов отражения волны Р от угла падения для γ = 3 , б – зависимость модулей коэффициентов отражения волны S от угла падения. При падении же поперечной волны

возможен случай, когда продольная 1 отраженная волна становится неоднородной. Это происходит, если sin ϑ S > .

γ

В этом случае cos ϑ P = 1 − (γ sin ϑ S ) 2 становится мнимой величиной и аргумент функции f(t) становится комплексным. При этом коэффициенты отражения как продольной, так и поперечной волн оказываются комплексными. На рис.2.10б показаны зависимости модулей этих коэффициентов от угла падения поперечной волны. В данном случае критический угол равен ∼35,3° ( sin ϑ S = 1 / 3 ) . При этом значении угла падения модуль коэффициента отражения волны S становится равным 1 и

42

остается таковым при закритических углах. Комплексность коэффициента отражения волны S приводит к изменению формы сигнала в отраженной волне по сравнению с формой падающей волны. В случае падения гармонической волны это изменение сводится к появлению фазового сдвига в отраженной волне. Продольная волна, отраженная при закритических углах падения, является неоднородной – ее форма и амплитуда изменяются при удалении от свободной границы, т.е. вдоль оси z, вектор поляризации n = e x sin ϑ P + e z cos ϑ P становится комплексным. Из-за того, что cos ϑ P является мнимым, поляризация продольной отраженной волны уже не является линейной. В случае гармонической волны движение частиц в волне описывается выражением   x x    − ωz γ sin ϑ S  κ 1 cos[ω (t − c )] − κ 2 sin[ω (t − c )] e x +  c    u P (t , x, z ) =  e − γ 2 sin 2 ϑ − 1 κ sin[ω (t − x )] + κ cos[ω (t − x )] e  1 2 S z  c c   

γ 2 sin 2 ϑS −1 )

где обозначено κ SP = κ 1 + iκ 2 . Из этой формулы видно, что поляризация волны является эллиптической, а амплитуда экспоненциально затухает с удалением от границы. Траектории движения частиц непосредственно под границей (при z=0) при разных углах падения волны SV изображены на рис.2.11. Стрелкой показано направление движения частицы.

> 38o

< 40o

направление распространения волны

>

48o 52o 64o

78o 85

o

Рис.2.11. Траектории движения частиц в отраженной (неоднородной) волне Р при разных углах падения на границу волны S. При одной и той же частоте волна затухает с удалением от границы тем быстрее, чем больше угол падения поперечной волны. При падении на свободную границу волны, поляризованной перпендикулярно плоскости падения (SH) образуется только отраженная волна только поперечная волна, имеющая ту же поляризацию, т.е. SH. Коэффициент отражения этой волны определяется из условия равенства нулю напряжения τ zy . Смещения в падающей и отраженной волнах имеют вид соответственно

43

 x sin ϑ − z cos ϑ  vпад = f  t −  b    x sin ϑ + z cos ϑ  vотр = κ SS f  t −  b   ∂v Поскольку τ zy = µ , очевидно, что условие τ zy = 0 на границе z=0 будет ∂z выполнено, когда κ SS = 1 .

Теперь рассмотрим явления на границе раздела двух сред. Вначале рассмотрим падение волны SH. Пусть волна падает из среды 1, имеющей скорость поперечной волны и плотность соответственно b1 , ρ1 , на границу со средой 2 со скоростью и плотностью b2 , ρ 2 . На границе должно выполняться условие жесткого контакта, т.е смещение и напряжение должны быть непрерывны при переходе через границу. Поскольку в случае падения волны SH и смещение и напряжение имеют только y-компоненту, то образуются только отраженная и преломленная волны, поляризованные по типу SH. Если о сь z направлена от среды 1 к среде 2, то

 x sin ϑ1 + z cos ϑ1   vпад = f  t − b 1    x sin ϑ1 − z cos ϑ1   vотр = κ отр f  t − b1    x sin ϑ2 + z cos ϑ2 vпрел = κ прел f  t − b2 

  

Условие непрерывности смещений vпад + vотр = vпрел приводит к уравнению 1 + κ отр = κ прел . А из условия непрерывности напряжений

µ1

∂ (vпад + vотр )

= µ2

∂vпрел

мы получаем второе уравнение ∂z ρ1b1 cos ϑ1 (1 − κ отр ) = ρ 2 b2 cos ϑ2κ прел . Из этих двух уравнений находим ∂z

ρ1b1 cos ϑ1 − ρ 2 b2 cos ϑ2 ρ1b1 cos ϑ1 + ρ 2 b2 cos ϑ2 2 ρ1b1 cos ϑ1 = ρ1b1 cos ϑ1 + ρ 2 b2 cos ϑ2

κ отр = κ прел

На рис.2.12а изображены коэффициенты отражения и преломления волны SH в зависимости от угла падения при падении волны из среды с большей скоростью в среду с меньшей скоростью. В этом случае оба коэффициента при всех углах падения являются вещественными. В случае, когда волна падает из среды с меньшей скоростью, при углах больших критического коэффициенты отражения и преломления становятся комплексными, при этом модуль

44

коэффициента отражения становится равным 1, а преломленная волна становится неоднородной. Этот случай показан на рис.2.12б

2

κпрел

1.5

1.5

1

κотр

0.5

-1

0

30

а

|κотр|

0.5

0 -0.5

|κпрел|

1

60

90

θ1

0 0

30

60

90

θ1

б

Рис2.12. а- коэффициенты отражения и преломления волны SH для случая b1 / b2 = 1.5, ρ1 / ρ 2 = 1.2 ; б- модули коэффициентов отражения и преломления для случая b1 / b2 = 0.67, ρ1 / ρ 2 = 0.83 . Теперь перейдем к рассмотрению падения на границу волн, поляризованных в плоскости падения, т.е. Р или SV. Смещения и напряжения на границе в таких волнах содержат по две компоненты - u x , u z и τ zx ,τ zz . Эти компоненты должны быть непрерывны при переходе через границу. Чтобы обеспечить такие граничные условия, необходимо допустить образование на границе четырех волн – отраженных Р и SV и преломленных Р и SV. Коэффициенты отражения и преломления определятся из четырех граничных условий. Для определения знака коэффициентов отражения и преломления волн SV следует выбрать направление векторов поляризации в этих волнах, а также в падающей волне в случае падения волны SV. Для определенности выберем направления смещений в поперечных волнах так, как указано на рис.2.13. На этой схеме показаны четыре возможных варианта падающей волны: Р и SV в верхней среде 1 и Р и SV в нижней среде 2. Следует, конечно, иметь в виду, что каждый из этих вариантов должен рассматриваться в отдельности. Вектор коэффициентов в случае падения волны с индексом i (соответствие индексов типам падающей волны указано на рис.2.13) обозначим κi ( κi1, κi2,κi13,κi4). Нетрудно показать, что эти коэффициенты определяются из следующей системы уравнений, отвечающих граничным условиям: Aκ i = b i Матрица этой системы имеет вид

45

 sin ϑ P1   cos ϑ P1  A =  cos 2ϑ S 1    γ 12 sin 2ϑ P1  

− cos ϑ S 1

− sin ϑ P 2

cos ϑ S 2

sin ϑ S 1

cosϑ P 2

sinϑS2

γ 1sin2ϑS1

−

- γ 1 cos 2ϑ S 1

ρ 2 a2 2 γ 2 sin2ϑ P 2 ρ1 a1

P1

ρ 2 a2 cos2ϑ S 2 ρ1 a1

s1

>

(i=2)

<

ρ 2 a2 γ 2 sin2ϑS2 ρ1 a1 ρ a − 2 2 γ 2 cos2ϑS2 ρ1 a1

−

s1 (k=2) P1

θP1

(i=1) >

> (k=1) 1

θS1

>

P2 (i=3) <

s2

(i=4)

θS2

2

> P2

θP2

<

         

(k=3)

s2 (k=4)

Рис.2.13. Схема падающих (пунктир) и отраженных (сплошные линии) Р и S волн и направления смещений в этих волнах. где γ q =

bq

, а вектор правой части bi определяется через элементы i-го aq столбца матрицы А по следующему правилу: bik = (−1) k Aki Очевидно, что при падении на границу волны SV начиная с какого-то угла падения все коэффициенты становятся комплексными, и по крайней мере отраженная волна Р становится неоднородной.

46

1.4 1.2

S1S1

1

1

P1P2

0.8 0.6

S1P2

0.6

P1S1

0.4

S1S2

0.8

P1S2

S1P1

0.4

P1P1

0.2

0.2

0

0 0

30

60

угол падения, град.

а

90

0

30

60

угол падения, град.

90

б

Рис.2.14. а - зависимости коэффициентов отражения и преломления от угла падения в случае падении волн Р из среды с меньшими скоростями в среду с большими скоростями. Б - то же, что и на рис.2.14а, но для случая падения волны SV. На рис.2.14а,б изображены зависимости коэффициентов отражения и преломления от угла падения при падении волн Р и SV из среды с меньшими скоростями. Параметры сред приняты такими же, как и в примере на рис. 2.12, а отношение скоростей продольных волн в обеих средах к скоростям поперечных волн взято равным 3 . При таких параметрах сред и при падении волны Р только преломленная волна Р становится неоднородной начиная с угла падения 42°, и при этом все коэффициенты при углах больших 42° становятся комплексными. В случае падения волны SV начиная с угла 23° неоднородной становится преломленная продольная волна (Р2), далее, начиная с угла 36°, неоднородной становится отраженная продольная волна (Р1), и наконец, при углах больших 42° и преломленная поперечная волна (S2) становится неоднородной. 2.12. Головные волны Если волна с неплоским фронтом волны (например, от сосредоточенного источника) падает на границу раздела из среды с меньшей скоростью, то на границе может образоваться волна, бегущая вдоль границы и в каждой точке границы излучающая волну в первую среду. Образование головной волны можно пояснить следующим образом. Для простоты рассмотрим падение волны SH со сферическим фронтом на плоскую границу раздела сред . Пусть волна от сосредоточенного в точке О источника падает на границу z=0, при этом скорость поперечной волны в среде (2) больше, чем скорость в среде (1). т.е. b2 > b1 .

47

ая ющ а д па

θ0

пре лом лен ная

M

а

от р а

же нна я

θ0

пад а

енная

M

A

преломл енная

от ра ж

ющ ая

O

O

б

Рис.2.15. Схема, поясняющая образование головных волн Пока угол падения меньше критического, в каждой точке границы возникают две волны - отраженная и преломленная. Таким образом, фронты трех волн сочленяются в точке М границы (рис.2.15а). Отраженная и преломленная волны, образовавшись в точке М, продолжают распространяться каждая в своей среде со скоростью, соответствующей данной среде. Такая картина волновых фронтов имеет место до тех пор, пока угол падения волны на границу не станет b равным критическому ϑkp = arcsin 1 . В этой точке фронт преломленной волны b2 становится перпендикулярен границе, и эта волна продолжает распространяться во второй среде вдоль границы со скоростью b2 , при этом ее фронт продолжает оставаться перпендикулярным границе. А скорость перемещения вдоль границы b1 то чки М в первой среде оказывается меньше – она равна < b2 . Таким sin θ1 образом, преломленная волна, образовавшись во второй среде, как бы отрывается от падающей: точка А обгоняет точку М (рис.2.15б). Но в то чке А тоже должны выполняться граничные условия. Здесь мы уже должны рассматривать преломленную во вторую среду волну как «падающую». А чтобы граничные условия выполнились, эта падающая волна должна образовывать две волны – отраженную и преломленную в первую среду. Фронт отраженной волны будет, очевидно, совпадать с фронтом падающей а преломленная будет выходить в первую среду под одним и тем же углом, равным критическому ϑkp . Ее фронт будет коническим, причем он будет касательным к фронту отраженной волны при угле отражения равном θ kp . На рис.2.15б он показан пунктиром. Эта преломленная в первую среду волна и является головной волной. Таким образом, процесс образования головной волны состоит из двух актов преломления: из первой среды во вторую при падении волны под критическим углом, и из второй среды в первую во всех последовательных точках границы. Амплитуда головной волны в точке Q равна

48

head 1

u где R = OM

(Q ) = −

Γu0( 0 ) ( M ) Rtgθ kp l 3/ 2 X

, Γ - так называемый коэффициент образования головной

волны, зависящий от соотношения скоростей плотностей в двух средах, u0( 0 ) амплитуда падающей волны в точке М, остальные обозначения понятны из рис. 2.16

Q

O

A

M x0

l

x

X Рис.2.16 Если происходит падение волны Р или SV, то в зависимости от соотношения скоростей падающей и отраженных/преломленных волн могут образовываться разные типы головных волн. Например, при падении волны SV головная волна образуется за счет отраженной продольной волны. В этом случае скользящей вдоль границы волной будет отраженная продольная волна, а головные волны будет излучаться во вторую среду, а также в первую в форме SV волны. 2.13. Поверхностные волны Наличие свободной поверхности приводит к еще одному явлению – образованию волн, распространяющихся вдоль поверхности и затухающих с удалением от нее. Такие волны образуются в результате наложения неоднородных волн. Свойства этих волн различны в зависимости от их поляризации. Волны, поляризованные в плоскости падения – это волны Релея, поляризованные перпендикулярно плоскости падения – волны Лява. Волна Релея. Волны Релея образуются в однородном полупространстве путем суперпозиции неоднородных Р и SV волн. Оказывается, что при определенной кажущейся скорости, одной и той же для Р и SV волн, может быть удовлетворено граничное условие на свободной поверхности, т.е. равенство нулю компонент напряжения, приложенного к поверхности, в плоскости падения. Рассмотрим решение в полупространстве z>0 в виде плоских волн, распространяющихся в направлении оси x и поляризованных в плоскости y=0:  x sin ϑ P + z cos ϑ P  u P (t , x, z ) = A(e x sin ϑ P + e z cos ϑ P ) f  t −  a   (2.47 )  x sin ϑ S + z cos ϑ S  u S (t , x, z ) = B(e x cos ϑ S − e z sin ϑ S ) f  t −  a  

49

Чтобы суперпозиция этих волн удовлетворяла граничным условиям при z=0, необходимо, чтобы волны Р и S распространялись вдоль поверхности с одной и a b той же кажущейся скоростью c = . Таким образом, иначе ( 2.47 ) = sin ϑ P sin ϑ S можно записать в виде:  a a2  u P (t , x, z ) = A e x + e z 1 − 2  f t − x / c − z a − 2 − c − 2  c c   (2.48) 2   b b u S (t , x, z ) = B e x 1 − 2 − e z  f t − x / c − z b − 2 − c − 2  c  c  Соответственно выражения для напряжений, приложенных к поверхности z=0, будут иметь вид:

τ zx τ zz

(

)

(

)

  A a 2 B  2b 2 = µ − 2 1 − 2 +  2 − 1 f ′(t − x / c) c b c c     2b 2  2 Bb 2 b 2    = ρ  Aa 2 − 1 + 1 − 2  f ′(t − x / c) c c    c 

Чтобы условия

τ zx = 0 τ zz = 0

(2.49)

были выполнены при отличных от нуля коэффициентах A,B, необходимо равенство нулю определителя системы (2.49 ), что приводит к следующему уравнению для кажущейся скорости с: 2

 c2  c2 c2  2 − 2  − 4 1 − 2 1 − 2 = 0 (2.50) b  a b  Очевидно, что это уравнение может иметь корень только c
c2 c2 где α = 1 − 2 , β = 1 - 2 . Наличие множителя i указывает на то, что a b формы сигнала в продольной и поперечной волнах различны. В случае

50

гармонической волны фаза поперечной волны смещена относительно фазы продольной волны на π/2. Из (2.48) с учетом (2.51) можно записать выражения для горизонтальной u(z) и вертикальной w(z) компонент смещений в гармонической волне Релея с точностью до некоторого постоянного множителя С: u ( z ) = C β exp(−αωz / c) − αβ exp(− βωz / c) cos(ω (t − x / c) ) (2.52) w( z ) = C α exp(− βω z / c) − αβ exp(−αωz / c) sin (ω (t − x / c) )

( (

) )

Из этих соотношений легко видеть, что отношение амплитуд горизонтальной и вертикальной компонент на поверхности равно α / β . Горизонтальная компонента смещена относительно вертикальной на π/2, и соответственно движение в волне происходит по эллипсу. При этом в верхней части эллипса движение происходит в направлении противоположном направлению распространения волны. С глубиной этой отношение изменяется, на некоторой глубине горизонтальное смещение становится равным нулю, так что волна оказывается линейно поляризованной, и ниже этой глубины изменяется направление движения по эллипсу. На рис.2.17 изображено изменение 1 амплитуд вертикальной и горизонтальной компонент с глубиной для b / a = . 3 Для этого отношения скоростей поперечной и продольной волн отношение осей 1 до эллипса поляризации на поверхности равно 0.681. При изменении b/a от 2 0 это отношение изменяется от 0.786 to 0.541. 0

w

2

u 4

6

8

10

kz

Рис.2.17. Зависимость вертикальной (w) и горизонтальной (u) компонент смещения в волне Релея от глубины . Волна Релея может возбуждаться сосредоточенным источником в полупространстве, поскольку волна, излучаемая таким источником, может быть представлена суперпозицией однородных и неоднородных волн. Поэтому она будет содержать и волны, распространяющиеся с кажущейся скоростью равной скорости релеевской волны. В этом случае амплитуда релеевской волны

51

приобретает дополнительный множитель расхождения в горизонтальной плоскости.

1 2πr

за счет геометрического

Волна Лява. Неоднородные волны SH не могут существовать в полупространстве со свободной поверхностью, так как невозможно удовлетворить граничному условию отсутствия напряжений на поверхности только одной волной – для этого ее амплитуда должна быть равна нулю. Но если имеется приповерхностный слой, в котором скорость поперечной волны b1 меньше, чем в подстилающем полупространстве (b2), то может существовать волна, распространяющаяся вдоль поверхности, амплитуда которой в полупространстве убывает с глубиной. Это – волна Лява. Волна Лява образуется однородными волнами в слое и неоднородными волнами в полупространстве. Поэтому кажущаяся скорость волны Лява должна 1 sin α S 1 sin α S 2 находиться в пределах = = , и b1 ≤ c ≤ b2 , поскольку c b1 b2 b 1 ≥ sin α S 1 ≥ 1 . Такие волны должны удовлетворять граничным условиям на b2 свободной границе слоя и на границе слоя и полупространства. Как и в случае волн Релея, решение будем строить в виде суперпозиции плоских волн, распространяющихся вдоль поверхности z=0 с кажущейся скоростью c. Модуль сдвига и плотность в слое обозначим µ1 , ρ1 , в полупространстве - µ 2 , ρ 2 . В слое будут распространяться однородные волны. Таких волн будет две – одна распространяется вниз (в положительном направлении оси z), другая – вверх (в отрицательном направлении оси z). Смещение в такой волне будет иметь одну компоненту v в направлении оси у: x z c2 x z c2 B i t − − 1 )] + exp[ ω ( − + − 1)] c c b12 c c b12 В полупространстве будет распространяться неоднородная волна: v1 = A exp[iω (t −

x z c2 +i 1 − 2 )] c c b2 Из граничного условия равенства нулю напряжения на свободной границе слоя мы будем иметь v 2 = C exp[iω (t −

τ zy

z =0

= µ1

∂v ∂z

z =0

= −iµ1

ω c2 c

b12

− 1( A − B) exp[iω (t − x / c)] = 0

откуда следует, что A=B. Таким образом, решение в слое может быть записано в виде:   ωz c 2  exp[iω (t − x / c)] v1 = 2 A cos − 1   c b12   На границе слоя и полупространства z=H должны выполняться условия равенства смещений и напряжений:

52

  ωH c2 c 2    1− 2 − 1 = C exp −   c b12 b2    2 2     ωH c 2 ω c2  = −Cµ ω 1 − c exp − ωH 1 − c   - 2 Aµ 1 1 sin 1 − − 2   c  c b12 c b12 c b22 b22     Из этих уравнений следует, что скорость с должна удовлетворять уравнению  ωH 2 A cos  c 

µ2 1 −

c2 b22

 c2 = (2.53 ) 1 − 2  b12 c  µ −1 1 b12 Это - дисперсионное уравнение для скорости волны Лява. В отличие от релеевской волны в полупространстве скорость волны Лява зависит от частоты. Если над полупространством имеется не один, а несколько слоев, то волна Лява будет существовать при условии, что хотя бы в одном из слоев скорость меньше, чем в полупространстве, но дисперсионное уравнение будет более сложным – оно может быть получено исходя из граничных условий на всех границах слоев. В случае, когда в слоистом полупространстве распространяется волна Релея (суперпозиция волн P и SV), скорость такой волны также будет зависеть от частоты. Но для существования такой волны не обязательно, чтобы скорость в каком-либо из слоев была бы меньше скорости в полупространстве. Как уже было указано выше, в случае одного слоя на полупространстве скорость волны Лява должна быть в пределах между b1 и b2 . Это нетрудно видеть и из дисперсионного уравнения (2.53). Если теперь рассматривать уравнение (2.53) как зависимость частоты от скорости, то легко показать, что для заданного значения скорости с существует бесконечное число частот, удовлетворяющих дисперсионному уравнению. Действительно, мы можем дисперсионное уравнение записать в виде  ωH tan  c 

 c2   µ2 1 − 2  b2  ωH 1  = arctan   + kπ . 2 c c2 c  µ1 −1 −1    b12 b12 так что ω = ω k (c) , где k может принимать любое целое значение. В то же время можно показать, что любому заданному значению ω может соответствовать конечное число значений c. Уравнение (2.53) может быть записать в форме f 2 (c, ω ) = f 1 (c ) График правой части этого уравнения изображен на рис.2.18 сплошной линией. А график левой части (пунктир на рис.2.18) – аналогичен графику тангенса.

π

+ kπ левая часть становится равной ±∞. Но 2 скорость изменения левой части зависит от ω: при малых значениях ω графики левой и правой частей пересекутся в одной точке, при возрастании ω аргумент

При значениях аргумента

53

левой части может при каком-то значении с принять значение

π

, и тогда 2 графики пересекутся уже в двух точках. Это схематически показано на рис.2.18 для двух значений ω. При дальнейшем возрастании ω графики пересекутся уже в трех точках, и т.д.

ω

f1(c)

1

f2(c) ω >ω 2

b1

1

c

b2

Рис.2.18. Схематическая зависимость левой и правой частей дисперсионного уравнения (2.53) от скорости при различных значениях частоты.

Таким образом, дисперсионная кривая состоит из бесконечного числа ветвей, каждая из которых располагается в пределах по скорости между b1 и b2 , а по частоте – от некоторого значения ωk до бесконечности (рис.2.19)

54

c b2 b1

ω0 ω1 ω2 ω3

ω .

Рис.2.19. Характер дисперсионных кривых скорости волн Лява для модели, состоящей из одного слоя на полупространстве. 2.14. Простейшие сосредоточенные источники Центр расширения В разделе 2.8 мы показали, что сферически симметричное поле продольной волны может быть получено путем сведения уравнения движения к волновому уравнению для потенциала продольной волны, в котором потенциал ϕ зависит только от координаты R. При этом оказалось, что потенциал, обладающий сферической симметрией удовлетворяет волновому уравнению, которое содержит в правой части «источник», определяемый дельта-функцией (формула (2.37)). Покажем теперь, что поле продольной волны, выраженное через такой потенциал, должно удовлетворять уравнению движения, в котором источник может быть интерпретирован как центр расширения (сжатия). Можно представить себе такой источник как равномерное давление, приложенное к стенкам бесконечно-малой сферической полости, вырезанной в точке, совпадающей с началом координат. Когда мы переходили от уравнения движения упругой среды в форме (2.18) к уравнениям в потенциалах, мы получили уравнение для скалярного потенциала ϕ(х) в виде (2.22): ∂ 2ϕ (λ + 2 µ )∆ϕ = ρ 2 − Φ ∂t в котором потенциал силы определялся через плотность силы в источнике f ( x ) по формуле (2.20): f (x) = ∇Φ + rotΨ Рассмотрим теперь, какому физическому источнику будет соответствовать потенциал 55

Φ ( x, t ) = 4πδ ( x ) F (t ) В рассматриваемом случае вихревая компоненты силы отсутствует, и следовательно, f ( x, t ) = ∇Φ Множитель, определяющий зависимость от времени, будет одним и тем же в выражении для силы и для потенциала, так что, считая, что f ( x, t ) = f ( x ) F ( t ) из сравнения с (2.37) мы получим dδ ( x ) (2.54) f ( x ) = 4π∇δ ( x ) = 4π eR dR Трехмерную дельта-функцию можно записать как произведение трех одномерных функций δ ( x ) = δ ( x )δ ( y )δ ( z ) Соответственно dδ ( x ) x y z = δ ′( x )δ ( y )δ ( z ) + δ ( x )δ ′( y )δ ( z ) + δ ( x )δ ( y )δ ′( z ) dR R R R Нетрудно показать, что функция xδ ′(x ) обладает тем же свойством, что и -δ(х). Действительно, если f (x ) произвольная непрерывная функция, то ∞

∫

f ( x ) xδ ′( x )dx = f ( x ) xδ ( x ) ∞−∞ −

−∞

∞

∞

d ∫−∞ dx ( xf ( x ))δ ( x )dx = −−∫∞( xf ′( x) + f ( x))δ ( x)dx = − f (0)

Поэтому выражение для плотности силы в(2.54) можно записать так: δ (x) f ( x ) = −4π eR R Это сила, сосредоточенная в начале координат, направленная в окрестности R = 0 вдоль радиуса по направлению к центру, обладающая свойством

∫∫∫ f

R

( x ) Rdx = −4π

В данном случае такой источник представляет собой центр сжатия. Иначе его можно представить в виде наложения трех взаимноперпендикулярных диполей без момента (рис.2.18). Для наглядности возьмем силу − f (x ) вместо f (x ) . Тогда (2.53) иначе можно записать так − f ( x ) = −4π∇δ ( x ) = −4π (δ ′( x )δ ( y )δ ( z )e x + δ ( x )δ ′( y )δ ( z )e y + δ ( x )δ ( y )δ ′( z )e z ) (2.55)

z <

y

>

>x

< < >

56

Рис.2.20. Представление источника типа центр расширения в виде наложения трех диполей без момента. То, что система сил, определяемая (2.55), схематически может быть представлена так, как на рис.2.20, следует из того, что производная δ ′(x ) положительна при отрицательных значениях х и отрицательна при положительных. Учитывая выражение для потенциала смещения (2.36), мы видим, что смещение в продольной волне, вызванное таким источником, имеет вид F ′(t − R / a ) F (t − R / a ) (2.56) eR − eR aR R2 На больших расстояниях от источника второе слагаемое в правой части (2.56) становится малым по сравнению с первым, и им можно пренебречь. u( R, t ) = ∇ϕ ( R, t ) = −

Простая сосредоточенная сила Пусть сила приложена в начале координат и имеет направление, определяемое единичным вектором e q . Тогда выражение для плотности силы в правой части уравнения движения ( 2.15 ) имеет вид f ( x , t ) = δ ( x ) F ( t )e q Такой источник будет возбуждать как продольные, так и поперечные волны. Выражение для смещений на расстоянии R от такого источника было впервые выведено Стоксом, и носит название формулы Стокса. Мы здесь не приводим вывод из-за его громоздкости (его можно найти, например, в книге Аки и Ричардса), приведем только окончательную формулу: ( e q , e R )e R e q − ( e q , e R )e R u( x , t ) = F (t − R / a ) + F (t − R / b) + 2 4πρa R 4πρb 2 R (2.57) R/b 1 {3(e q , e R )e R − e q } ∫ τ F (t − τ )dτ + 4πρR 3 R/a Первый член описывает продольную волну, второй – поперечную, а третий – так называемое лапласово возмущение – суперпозицию волн, распространяющихся со скоростями между a и b. На больших расстояниях третий член становится малым по сравнению с первыми двумя. При этом видно (см.рис.2.21), что продольная волна в заданном направлении (от точки О к точке М) возбуждается проекцией силы f на это направление (fR ), а поперечная – проекцией силы на перпендикулярное направление ( fθ ) .

57

f

M

R

fθ O

fR

Рис.2.21. Cосредоточенная сила f , приложенная в точке О. Точка наблюдения М, расположенная на расстоянии R от источника. Литература к главе 2. К.Аки и П.Ричардс. Количественная сейсмология. М.Мир. 1983. т.1, 880 с., т.2, 519 с. Саваренский Е.Ф. Сейсмические волны. 1972. М. Недра. 293 с. Л.С.Лейбензон. Курс теории упругости. 1947. М.ОГИЗ-Гостехиздат. 464 с. Дж.Э.Уайт. Возбуждение и распространение сейсмических волн. 1986. М.Недра. 262 с. К.Е.Буллен. Введение в теоретическую сейсмологию. 1966. М.Мир. 460 с. Г.Кольский. Волны напряжения в твердых телах. 1955. М. ИЛ. 192 с. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц. Механика сплошных сред. Гостехиздат. М. 1954. 795 с. А.А.Кауфман и А.Л.Левшин. Введение в теорию геофизических методов. Акустические и упругие волновые поля в геофизике. Ч.3. М.Недра. 2001. 518 с.

58

Глава 3. Основы сейсмометрии В 1875 году Филиппо Секки в Италии сконструировал сейсмограф, который включал часы в момент первого толчка и записывал первое вступление. Старейшая сейсмическая запись с помощью этого прибора датируется 1887 годом. После этого начинается быстрый прогресс в области создания инструментов для регистрации колебаний почвы. Группа английских ученых, работавших в Японии, основными среди которых были Милн, Юинг и Грэй, создали первую достаточно удобный в обращении прибор для записи колебаний от землетрясений (главным образом, близких). Вскоре после этого начинается создание и усовершенствование таких приборов в Европе, и в 1900 году уже функционировала мировая сеть из 40 станций, оборудованных приборами Милна. Далее эта сеть расширялась, а приборы для записи движения почвы усовершенствовались. Инструментальные наблюдения являются фундаментом, на котором выросла сейсмология как наука. Поэтому сейсмометрия - раздел сейсмологии, разрабатывающий инструментальные методы наблюдений, наряду с теорией сейсмических волн, является базовым в сейсмологии. Приборы, при помощи которых производится запись колебаний почвы, называются сейсмографами. Задачей сейсмометрии является получение информации о смещении точек земной поверхности (“почвы”) под действием упругих волн в Земле. Смещения почвы можно было бы легко измерить, если бы была возможность установить датчик в инерциальной системе координат, связанной с недеформируемой вращающейся Землей. Однако, это невозможно, так как приборы располагаются на реальной (деформируемой) поверхности Земли и перемещаются одновременно со смещениями почвы. Это создает принципиальное отличие сейсмометрии от наблюдений в других областях физики. Поэтому для регистрации смещений почвы используются принцип инерции: маятник или груз, подвешенный на пружине, в силу инерции не будет мгновенно следовать движению подвеса, связанного с почвой. Поэтому движение маятника относительно подвеса будет в какой-то степени отражать движение почвы относительно инерциальной системы координат. Другой способ, хотя и не получивший широкого распространения в силу конструктивных сложностей, - это измерение деформаций, т.е. относительного перемещения двух разнесенных точек земной поверхности. Структурно сейсмограф состоит из собственно маятника той или иной конструкции и системы регистрации колебаний маятника. До 1902 года, когда Б.Б.Голицын предложил способ преобразования механических колебаний в электрический ток, колебания маятника регистрировались непосредственно механическим или оптическим способом. Такой способ, называемый прямой регистрацией, до сих пор используется при записи сильных движений в сейсмически активных зонах, где движения почвы достаточно велики. Но для регистрации колебаний от слабых землетрясений и на больших расстояниях от очагов требуется усиливать колебания маятника, и это осуществляется различными преобразователями механических перемещений в электрический ток. При этом очевидно, что и колебания маятника относительно подвеса, и тем более, колебания индуцируемого электрического тока, не идентичны колебаниям почвы. Поэтому в задачу сейсмометрии входит не только

59

создание приборов, реагирующих на колебания грунта, но и определение связи между истинными движениями почвы и записями, получаемыми этими приборами. 3.1. Движение маятника Принцип регистрации приборами маятникового типа легко понять из рассмотрения движения обычного математического маятника, точка подвеса которого связана с землей и перемещается по некоторому закону. Пусть u(t) смещение почвы относительно инерциальной системы координат (рис.3.1а), ξ(t) смещение маятника по отношению к почве (подвесу), М - масса маятника, l - его длина. Следует учесть еще и силу демпфирования, действующую на маятник. Она пропорциональна скорости движения маятника относительно подвеса. (в простейшем случае это воздушное сопротивление и сила трения в подвесе).

u

u

lθ

x θ

ξ

..

Mux z

Mg а

..

Muz

б

Рис.3.1 а –схема математического маятника, б –схема физического маятника Смещение маятника относительно инерциальной системы координат будет u(t)+ ξ(t). Таким образом, уравнение движения маятника можно записать в следующем виде:  ξ d2 dξ ξ  ≈ sin θ  M 2 (u + ξ ) + b + Mg = 0  l dt dt l сила инерции

Обозначим:

сила возвращающая демпфирования сила

b = 2ε , M

ω s2 =

g , тогда уравнение движения маятника примет вид: l

ξ + 2εξ + ω s2 ξ = −u

(3.1)

60

В случае физического маятника (рис.3.1б) для вывода уравнения движения следует приравнять нулю сумму всех моментов сил, действующих на маятник. Обозначим: I - момент инерции маятника, θ - угол (малый) отклонения маятника от вертикальной оси , b - коэффициент пропорциональности в выражении для момента сил затухания, С - коэффициент пропорциональности в выражении для момента возвращающей силы. Тогда

Iθ + bθ + Cθ = − M y

где

My

- момент инерциальных сил. Компоненты силы инерции равны

соответственно Mux , Muy , Muz . Эта сила приложена к центру тяжести маятника. Если маятник может колебаться только в плоскости xz, то очевидно, что y компонента силы не создает момента. При малых углах отклонения достаточно рассматривать только х-компоненту силы. Если расстояние от центра тяжести x R0 . Таким образом, маятника до оси вращения равно R0, то момент равен Mu уравнение движения физического маятника будет иметь вид аналогичный (3.1): u (3.2) θ + 2εθ + ω s2θ = − x , l I - приведенная длина, т.е. длина такого математического маятника, где l = MR0 b который имеет ту же частоту собственных колебаний, 2ε = . I Изображенный на рис.3.1 маятник отклоняется от положения равновесия при горизонтальных движениях почвы. Вертикальные движения можно регистрировать, например, при помощи массы М, подвешенной на пружине. Пусть жесткость пружины K , ее длина l, вертикальное смещение почвы u(t) , растяжение пружины ξ(t) . Тогда уравнение движения массы относительно инерциальной системы координат будет иметь вид M

d2 (u + ξ ) + b dξ + K ξ 2 dt dt l

= 0

(3.3)

Это уравнение также приводится к каноническому виду (3.1) , в котором ω s2 =

K . Ml

Частотная характеристика Уравнение (3.1) или (3.2) описывает линейную систему. Ее частотную характеристику получим, если примем входной сигнал в виде гармонического колебания: u(t ) = exp(iωt ) . Тогда ξ ( t ) = X (ω ) exp(iωt ) , и подстановка этих выражений в (3.1) даст

−ω 2 X (ω ) = 2 ω − 2iεω − ω s2

Соответственно амплитудная и фазовая характеристики будут следующими:

61

X (ω ) =

ω2 (ω − ω ) + 4ε ω 2

2 2 s

2

2

γ (ω ) = arctg

2εω ω − ω s2 2

При разных значениях постоянной затухания D1 = характеристики в зависимости от величины u = 3.2. Цифры у кривых – значения D1 .

ε амплитудная и фазовая ωs

ωs имеют вид, изображенный на рис. ω

0 0.25

π

0.5

1

0.25 0.5

1 2

π/2

1 2 0

0 1

2

3

амплитудная характеристика

0

1

2

3

фазовая характеристика

4

u=

ωs ω

Рис.3.2 Частотные характеристики маятника Из рассмотрения амплитудной характеристики видна важность затухания маятника: оно обязательно должно присутствовать, чтобы погасить собственные колебания, которые искажают частотный состав входного сигнала. Затухание может быть осуществлено разными способами, но наиболее распространенный и используемый в настоящее время во всех приборах – это электромагнитное затухание. Индукционная катушка, соединенная с массой маятника и замкнутая на внешнее сопротивление, находится в магнитном поле магнита, укрепленного на основании прибора. При движении маятника в катушке индуцируется электрический ток, магнитное поле которого, взаимодействуя с полем постоянного магнита, создает тормозящий момент. Величина затухания легко регулируется внешним резистором. С увеличением периода амплитудная характеристика спадает как Т-2. Чтобы поднять увеличение на больших периодах, выгодно увеличить Тs, т.е. собственный период маятника. Увеличение собственного периода достигается специальной конструкцией подвесов. При регистрации горизонтальных колебаний используют цельнеровский подвес(рис.3.3а) : маятник колеблется не в вертикальной плоскости, а в плоскости, наклоненной под углом θ к вертикали. За счет этого на него действует не сила тяжести, а ее составляющая, равная Mg cosθ , и тогда собственный период

62

оказывается равным ω s =

g cosθ l

. Период можно существенно увеличить, если θ

близко к π/2.

r gcos θ

θ а

R

g

б

Рис.3.3. Конструктивные способы увеличения собственного периода колебаний маятника При регистрации вертикальных колебаний используют схему на рисунке 3.3б. Собственные колебания определяются из уравнения равенства моментов: d 2θ I 2 + Kθr 2 = 0 dt Kr 2 Kr 2 откуда период собственных колебаний равен ω s = , где l = I MRl приведенная длина. Уменьшение собственной частоты достигается уменьшением r по сравнению с R и l. Собственные колебания сейсмографа При подаче на вход колебательной системы импульса, имитирующего дельтафункцию, система будет совершать собственные колебания. Исследование такого типа колебаний важно, так как с его помощью можно выразить движение, обусловленное произвольным во времени импульсом u(t ) . Итак, задача сводится к решению уравнения:

θ + 2εθ + ω s2θ = −δ (t )

Его решение будет иметь вид: 0 t<0  1 θ = 2 2 2 2 t>0  2 ε 2 − ω 2 exp −(ε + ε − ω s ) )t − exp −(ε − ε − ω s ) )t  s Справедливость этого решения легко проверить, т.к. при t = +0 следовательно, θ = −ε (t ) , а значит, θ = −δ (t ) . Рассмотрим частные случаи:

[ (

)

(

)]

θ = −t , а

63

1)

ω s > ε . Обозначая ω1 = ω

2 s

− ε , получаем: θ = − 2

e − εt

ω1

sin ω1t . Движение

периодическое, затухающее, период затухающих колебаний больше собственного 2π периода: T = . Логарифмический декремент затухания ω s2 − ε 2 a πD1 εT πε Λ = ln n = = = 2 a n+1 ω s2 − ε 2 1 − D12 2)

ωs < ε .

Обозначим

ε −ω = ν. 2

2 s

Тогда

θ =−

e − εt

ν

shνt .

Движение

апериодическое, затухающее, причем при малых t θ ≈ −te −εt , а при больших exp((−ε + ν )t ) θ ≈− ν Зная θ 0 (t ) для воздействия типа дельта-фунции, можно построить решение для произвольного воздействия u(t): t

θ ( t ) = ∫ θ 0 (t − τ )( u τ )dτ 0

3.2. Системы регистрации Сейсмографы с прямой регистрацией Механический способ. Этот способ использовался на самых ранних этапах развития сейсмологии. На конце маятника помещалось перо на расстоянии L от оси вращения (рис.3.3). Перемещение индикатора х связано с перемещением центра качаний хс L соотношением x = xc , где l – приведенная длина маятника. l

Рис.3.3. Механический способ регистрации

64

Соответственно увеличение прибора при этом равно L l Регистрация производилась на закопченной бумаге, которая потом покрывалась специальным закрепляющим составом.. V =

Однако, на маятник сейсмографа с механической регистрацией сильное влияние оказывает трение пера о бумагу. Чтобы уменьшить это влияние, необходима очень большая масса маятника. В одном из первых сейсмографов такой массой являлся бак, содержащий 17 т железной руды. 2) Оптический способ. На оси вращения укрепляется зеркальце, которое освещается через объектив, отраженный луч попадает на фотобумагу, намотанную на вращающийся барабан (рис.3.4). Если длина оптического рычага А, то увеличение равно 2A V = l

Рис.3.4. Оптический способ регистрации Преобразователи механических колебаний Преобразование механических колебаний в электрические может осуществляться разными способами. Долгое время в сейсмологии использовалась предложенная Голицыным гальванометрическая регистрации, основанная на электродинамическом способе. С маятником жестко скреплена индукционная катушка, которая помещается в поле постоянного магнита (рис.3.5). При колебаниях маятника магнитный поток меняется, в катушке возникает ЭДС, и ток регистрируется зеркальным

65

гальванометром. На зеркальце гальванометра направляется луч света, и отраженный луч, как и в оптическом способе, падает на фотобумагу.

Рис.3.5. Электродинамический способ регистрации

Но очевидно, что в таком способе мы регистрируем уже не движение центра качания маятника, а величину, связанную со скоростью колебаний, поскольку индуцируемый ток пропорционален скорости. Поэтому, если при прямой регистрации амплитудночастотная характеристика при больших периодах спадает как Т-2, то в случае, если регистрируется не смещение маятника, а его скорость, амплитудно-частотная характеристика будет спадать как Т-3 , что ограничивает регистрацию длиннопериодных колебаний. Поэтому в последнее время получили распространение так называемые параметрические преобразователи. В этих преобразователях механическое перемещение (движение массы маятника) вызывает изменения какого-либо параметра электрической цепи (например, электрического сопротивления, емкости, индуктивности, светового потока, и т.п.). Изменение этого параметра приводит к изменению тока в цепи, и в этом случае именно смещение маятника (а не его скорость) определяют величину электрического сигнала. Из большого числа разнообразных параметрических преобразователей в сейсмометрии в основном используются два – фотоэлектрический и емкостной. В фотоэлектрическом преобразователе движение массы маятника приводит к изменению светового потока, попадающего на светочувствительный элемент. На маятнике устанавливается легкая непрозрачная шторка, которая краем входит в световой поток, излучаемый любым источником света. За шторкой на пути потока

66

~

P0

вы хо д

устанавливается светочувствительный элемент. Движение шторки приводит к изменению светового потока, и соответственно ток в цепи, содержащей фотоэлемент, пропорционален изменению попадающего на него потока. Наибольшее распространение в сейсмометрии получил емкостной преобразователь Схема простейшего такого преобразователя, предложенного Беньоффом, изображена на рис. 3.6 .

Рис.3.6. Схема емкостного преобразователя Он состоит из двух идентичных катушек индуктивности L, замкнутых на сдвоенный конденсатор, средняя подвижная пластина которого Р0 заземлена и жестко связана с подвижной частью сейсмометра. Генератор постоянной частоты подает в образующиеся контуры контура напряжение с частотой близкой, но не равной их общей частоте. Когда средняя пластина конденсатора Р0 находится строго посередине между крайними обкладками, то контура сбалансированы, и сигнал на выходе преобразователя равен нулю. При смещении пластины Р0 из среднего положения один из контуров приблизится к своему резонансу, а другой уходит от него. При малом смещении пластины Р0 разбалансировка напряжений на выходе пропорциональна этому смещению. Сейсмографы с обратной связью. Линейная связь между колебаниями маятника и смещениями почвы имеет место только при малых колебаниях. То же относится и к связи между выходным напряжением (током) механоэлектрического преобразователя. Примером является изображенный на рис.3.6 емкостной преобразователь Беньоффа: линейная связь между смещением пластины Р0 и выходным напряжением имеет место только при малых отклонениях пластины от положения равновесия. Но в практике необходимо регистрировать как очень слабые движения почвы, так и достаточно сильные. При этом характеристика прибора должна быть одной и той же как в случае слабых, так достаточно сильных движений. Иначе говоря, динамический диапазон сейсмографа должен быть максимально широким. Для достижения этой цели в современных

67

преобразователях используют обратную связь. Принцип обратной связи заключается в следующем. Ускорение почвы воздействует на массу маятника, связанного с преобразователем смещений. В выходную цепь преобразователя включен контур обратной связи, ток в котором генерирует силу, компенсирующую входное ускорение, так что маятник почти не смещается из положения равновесия. Увеличение входного ускорения приводит к соответствующему увеличению тока в цепи обратной связи и соответственно к увеличению компенсирующей силы. Таким образом, подвижный элемент сейсмографа – маятник – в результате движения почвы остается практически неподвижным. А выходное напряжение будет определяться током обратной связи. При этом оказывается возможным также существенно расширить частотный диапазон регистрируемых колебаний В сейсмографе Виланда-Штрекайзена STS-1, которым оборудованы многие станции глобальной сейсмической сети IRIS, динамический диапазон достигает 140 дБ, а амплитудно-частотная характеристика имеет столообразный вид в интервале периодов 0.1 с – 100 с. Чтобы наблюдать движение почвы во всех направлениях, обычно используется три сейсмографа, - с вертикальным маятником и двумя горизонтальными, ориентированными на восток и на север. Однако, вертикальный и горизонтальный маятники различаются по своей конструкции, поэтому оказывается достаточно сложным добиться полной идентичности их частотных характеристик. Чтобы избежать этой трудности, в сейсмографе STS-2 все маятники ориентированы под одним и тем же углом к горизонту, так что они все являются идентичными. В каждом из приборов движение происходит в направлении ребер куба, поставленного на один из его углов (рис.3.7). Каждое из ребер наклонено по отношению к вертикали на угол 54.7°. Поскольку сейсмологи привыкли иметь дело с компонентами смещения в направлениях вверх, на север и на восток, смещения U,V,W пересчитываются в компоненты E,N,Z согласно соотношению 1 U  − 2 1 E      1   V  N = 0 3 − 3   6    Z  2 W     2 2

Поскольку запись производится в цифровом коде, такой пересчет осуществляется непосредственно в самом приборе, и на выходе мы получаем компоненты E,N,Z .

68

Рис.3.7. Ориентация регистрируемых компонент смещения в сейсмографе STS-2/ Во всех современных системах регистрации производится преобразование механических колебаний в электрические с помощью тех или иных преобразователей. Входным сигналом является смещение почвы, а выходным – ток или напряжение на выходе системы. В задачах сейсмологии требуется с достаточной точностью знать именно сигнал на входе. Входной сигнал может быть достаточно точно оценен, если известна частотная характеристика системы. Она определяется следующим образом. Поскольку колебания малы, то система является линейной, и в общем (в зависимости от преобразователя) уравнение, связывающее входной сигнал x(t) и выходной y(t) имеет вид: a o y ( n ) + a1 y ( n −1) + .... + a n −1 y ′ + a n y = − Bx ( k ) где к=2 или 3 в зависимости от того, используется ли преобразователь по смещению или по скорости. Обычно вместо того, чтобы определять характеристику − B(iω ) k S (ω ) = a 0 (iω ) n + a1 (iω ) n −1 + ...a n разлагают знаменатель на множители: a 0 (iω ) n + a1 (iω ) n −1 + ...a n = a 0 ( s − z1 )( s − z 2 )...( s − z n ) и определяют характеристику значениями полюсов z1 , z 2 ... , и количеством "нулей" в числителе (2 или 3) и величиной постоянного множителя B / a 0 ("увеличение"). Набор этих чисел полностью описывает частотную характеристику и является как бы «паспортом» прибора. Этот набор входит в стандартный код цифровой записи на каждой станции. Он используется для корректировки записи за характеристику прибора.

69

3.3. Сейсмический шум Даже в периоды отсутствия сейсмических событий на сейсмограммах всегда присутствуют колебания, называемые микросейсмами. Они являются помехой для сигналов, вызываемых землетрясениями. Поэтому в задачу сейсмометрии входит еще и снижение сейсмического шума. Микросейсмы возникают за счет различных источников (ветер, перепады атмосферного давления, штормы в океане, вариации температуры, движение транспорта и т.п.). Интенсивность микросейсм различна на разных станциях в зависимости от их местоположения и грунтовых условий и имеет сезонные и суточные вариации. Кроме пространственной и временной неравномерности микросейсмы характеризуются и неравномерностью распределения интенсивности с частотой, что обусловлено различием вызывающих их причин. Хотя зависимость интенсивности микросейсм от частоты разная на разных станциях, она имеет общие для всех станций характерные особенности, а именно, наличие отчетливого максимума на частоте около 0.15 Гц, менее выразительного максимума на частоте ~ 0.07Гц, минимума в интервале 0.002-0.03 Гц и повышения интенсивности с уменьшением частоты. Спектр шума имеет разный вид в зависимости от того, рассматривается ли смещение, скорость или ускорение. Схематически спектр мощности шума по отношению к скорости колебаний изображен на рис. 3. 8.

dB (м/с)2/Гц

-100

-120

-140

-160

-180 0.1

1

10

период, с

100

1000

Рис. 3.8. Типичный вид спектра сейсмического шума. Максимум спектра на периоде ~ 5-7с и менее выраженный максимум на периоде около 15 с обусловлены циклонической обстановкой в океане. Соответствующие колебания получили поэтому название штормовых микросейсм. Их интенсивность велика на станциях, расположенных вблизи берега, и очень мала в центральных частях континентов. Интенсивность штормовых микросейсм резко возрастает в периоды штормов в океане. Штормовые микросейсмы образованы главным образом волнами Релея, но частично могут содержать и волны Лява. Период ветровых волн составляет 10-15 с, так что соответствующий период в спектре обусловлен действием прибойных волн на берег. А вдвое меньший период, которому соответствуют более

70

интенсивные колебания, объясняется образованием в океане стоячих волн в результате интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях (к центру циклона). При этом гидродинамическое давление на дно одинаково как при поднятии воды, так и при опускании, поскольку оно пропорционально квадрату скорости жидкости. Соответственно оно меняется с периодом вдвое меньшим, чем скорость водных волн. При этом оно синхронно меняется на всей территории, где образуются стоячие волны. Эти колебания давления приводят к образованию упругих волн в дне, которые, распространяясь по направлению к континенту, и создают интенсивные микросейсмы с периодами 5-7 с. При распространении вглубь континента штормовые микросейсмы затухают, поэтому их интенсивность мала на станциях, расположенных вдали от берега. Короткопериодные микросейсмы (с периодами менее 2 с) вызываются локальными источниками (работа промышленных установок, транспорт, ветер, водопады). Они содержат как поверхностные, так и объемные волны. В близких точках короткопериодный шум некогерентен. Этот шум уменьшается с глубиной. Длиннопериодные микросейсмы с периодами более 30 с являются результатом ряда факторов, основными из которых считаются вариации атмосферного давления, ветер, изменение давления на дно океана вследствие приливов. Очевидно, что для регистрации волн от землетрясений необходимо добиваться по возможности снижения интенсивности шума. Это осуществляется установкой станций на выходах скальных пород, заглублением приборов, удалением станций от береговой линии. Поскольку грунтовые условия часто неизвестны, при выборе места для станции необходимо предварительное измерение шума в разных пунктах территории, где планируется установка станции.

Литература к главе 3. Саваренский Е.Ф. и Кирнос Д.П. Элементы сейсмологии и сейсмометрии. Гостехиздат. М., 1955. 543 с. Рыков А.В.Моделирование сейсмометра. М.,ОИФЗ РАН, 1996. 108 с. Wieland E. and Streckeisen. The leaf-spring seismometer; Design and performance. Bull.Seism.Soc.Am., 72(6), 1982. 2349-2367. Wieland E. Seismometry. In: International Handbook of Earthquake and Engeneering Seismology. Acad.Press. London. 2002. p.283-304. F.Scherbaum. Of poles and zeros. Modern approaches in Geophysics, v.15. Kluwer Acad.Press, 1996. 256 p.

71

Дж.А.Эйби. Землетрясения. 1982. М.Недра. 264 с. К.Е.Буллен. Введение в теоретическую сейсмологию. 1966. М.Мир. 460 с.

72

Глава 4. Волны в Земле и их записи на сейсмограммах 4.1. Основные определения Область, где возникают pазpушения и наблюдаются остаточные дефоpмации, называется очагом или гипоцентpом землетpясения. Пpоекция очага на повеpхность Земли называется эпицентpом. Момент возникновения землетpясения называется вpеменем в очаге. Pасстояние от эпицентpа до точки наблюдения на земной повеpхности называется эпицентpальным pасстоянием. Эпицентpальное pасстояние измеpяется в км или гpадусах дуги большого кpуга. Землетpясения, заpегистpиpованные на pасстоянии менее 1000 км от эпицентpа, называются близкими, на больших pасстояниях - удаленными. Близкие и удаленные землетpясения pазличаются по хаpактеpу волнового поля, pегистpиpуемого на земной повеpхности. На близких расстояниях регистрируются волны, распространяющиеся в верхних отделах Земли – коре и верхах мантии. Волны от удаленных землетрясений проникают в глубокие части Земли – мантию и ядро. Зависимость времени пробега волны от эпицентрального расстояния называется годографом. 4.2. Номенклатура волн в Земле Близкие землетрясения. На расстояниях менее 1000 км Землю можно в первом приближении считать плоской, земную кору представлять в виде слоя или нескольких слоев, в которых скорости сейсмических волн меньше, чем в нижележащей мантии. Основные волны, распространяющиеся в такой структуре – это прямые продольные и поперечные – их обозначают P, S или Pg , S g , и преломленные в мантию ( Pn , S n ) и распространяющиеся в ней приблизительно вдоль границы, проникая в мантию на небольшую глубину. На очень малых расстояниях приходят только прямые волны. Преломленные волны выходят на поверхность Земли начиная с расстояния, соответствующего критическому углу падения волны на границу кора-мантия. Вначале они приходят позже прямых, но начиная с расстояния около 200 км обгоняют их и приходят в первых вступлениях. С удалением от эпицентра прямые волны постепенно затухают, а Pn , S n остаются. Помимо фаз Pg , S g , Pn , S n на сейсмограммах выделяются иногда дополнительные фазы – их обозначают P * , S * , которые идентифицируются с волнами, преломленными на промежуточной границе в коре. На рис.4.1а представлены схематически волны в простейшей однослойной модели коры.

Pg Pn Рис.4.1. Схема распространения основных волн в коре

73

Удаленные землетрясения. На больших расстояниях приходят волны, проникающие на большие глубины, отражающиеся от границ и проходящие через основные структурные элементы Земли – мантию (до глубины 2900 км), жидкое (внешнее) ядро (от 2900 до 5150 км) и внутреннее ядро. Волны отражаются и преломляются на границах между мантией и внешним ядром и между внешним и внутренним ядром, а также отражаются от свободной поверхности Земли. При этом, как было показано в главе 2, при падении на границу продольной Р волны образуются отраженные и преломленные Р и SV волны. Через жидкое ядро поперечные волны не проходят. Источник излучает и продольные, и поперечные волны, и каждая из них претерпевает отражение-преломление на границах. Поэтому общее возможное число образующихся волн будет достаточно большим.

На рис.4.2 схематически изображены трассы основных волн в Земле от источника на поверхности с указанием их обозначений. Волны, проходящие через мантию, обозначаются Р,S. Если такая волна отразилась от свободной поверхности, при этом возникают как продольные, так и поперечные волны, - то такие волны обозначаются соответственно РР, SS, SP, PS. При следующем отражении одной из этих волн снова образуются отраженные продольные и поперечные волны, обозначаемые как РРР, SSS, PPS, SPP и т.д. - каждое звено луча такой волны обозначается соответствующим символом.

Рис.4.2. Схема распространения основных волн в Земле

Отражение от границы ядра обозначается буквой с (core), так что волна, вышедшая из источника как продольная и отразившаяся от границы ядра тоже как продольная будет иметь обозначение РсР. Аналогично отраженная поперечная волна обозначается как ScS. Очевидно, что возможны также волны PcS, ScP. Буква K используется для обозначения продольной волны, прошедшей через жидкое ядро, так что волна, вышедшая из источника как продольная, преломившаяся в ядро и вышедшая в мантию снова как продольная будет иметь обозначение PKP. Легко теперь понять, что обозначают символы SKS, PKS, SKP. Если волна, прошедшая в жидкое ядро, отразится от границы ядро-мантия снизу , будет продолжать распространяться в жидком ядре, и 74

при следующем падении ее на границу преломится в мантию, то такая волна будет обозначена как PKKP, и т.п. Волна, пересекающая твердое внутреннее ядро, обозначается буквой I (от слова inner core) , так что волна, прошедшая весь путь через мантию, внешнее и внутреннее ядро как продольная, будет иметь обозначение PKIKP. Отражение от внутреннего ядра обозначается малой буквой i . Так PKiKP представляет волну, прошедшую как продольную через мантию, далее через жидкое внешнее ядро и отразившуюся от границы внутреннего ядра. Исходя из этой символики, можно обозначать любые сложные фазы. Например, PcPPKР – это продольная волна, отразившаяся от ядра, затем отразившаяся от поверхности Земли и прошедшая через внешнее ядро. Конечно, не все такие волны видны на сейсмограммах – амплитуды некоторых волн, особенно испытавших несколько отражений/преломлений, очень малы и не могут быть выделены на фоне предшествующих им более интенсивных волн. Дополнительные фазы появляются от глубокофокусных землетрясений. Их появление обусловлено тем, что волна (Р или S) выходит еще и вверх из источника и отражается от поверхности Земли. Звено луча на пути о т о ага ч до поверхности обозначается малыми буквами p или s. Так, волна, вышедшая из источника как поперечная, отразившаяся над источником и превратившаяся после отражения в продольную, будет обозначена как sP. На рис.4.3 изображены пути волн от глубокофокусного источника и прошедшие через мантию. Для простоты здесь не показаны волны, образовавшиеся на границах мантия-ядро и внутри ядра.

sP sS

pP P

Рис.4.3. Схема волн от глубокофокусного источника

Кроме объемных (продольных и поперечных) волн землетрясения возбуждают еще и поверхностные волны – Релея и Лява. Поскольку в земной коре и в верхней мантии скорости сейсмических волн изменяются с глубиной – в среднем они с глубиной возрастают – эти волны характеризуются дисперсией скорости – волны с разными периодами распространяются с разными скоростями. Это приводит к тому, что излучаемый источником импульс, содержащий широкий спектр частот, растягивается во времени, причем тем больше, чем большее расстояние проходит волна.

75

4.3. Годографы Близкие землетрясения В случае близких землетрясений кору можно считать плоским слоем мощностью Н. В первом приближении скорость сейсмической волны в слое (как продольной, так и поперечной) можно считать постоянной, равной V1 , скорость ниже границы коры будем обозначать V2 . Если очаг находится на глубине h, то время распространения прямой волны ( Pg или S g ) от очага до пункта наблюдения, находящегося на эпицентральном расстоянии Х, может быть определено по формуле

X 2 + h2 T= V1 Годограф этой волны – гипербола. На больших расстояниях (Х>>h) она становится близкой к прямой линии, наклон которой определяется скоростью в слое. Время распространения преломленной в мантию волны (Pn или S n) определяется следующим образом: 2H − h V X где t 0 = cosθ , θ = arcsin 1 . T = t0 + V1 V2 V2 Эта волна появляется на расстоянии X 0 = ( 2 H − h ) tan θ . Таким образом годограф этой волны представляет собой прямую линию, наклон которой определяет скорость в подстилающей среде. Годографы прямой и преломленной волн изображены на рис.4.4.

T

Pn Pg X0

X

Рис.4.4 Годографы продольных волн в коре Удаленные землетрясения Годографы волн от удаленных землетрясений приведены на рис.4.5. Эти годографы были построены путем кропотливого анализа записей землетрясений на протяжении нескольких десятков лет. Очевидно, что для построения годографа необходимо достаточно точно знать координаты очага и время в очаге. Но эти параметры в свою очередь могут быть определены на основе знания годографа. 76

77

Рис.4.5 Годографы волн от удаленных землетрясений Первые, очень грубые таблицы времен пробега Р и S волн были составлены Цёппритцом в 1907 году. Он собрал все доступные данные о трех землетрясениях, эпицентры которых были известны по степени разрушений (Индия,1905 г., Калабрия, 1905 г. и Калифорния 1906 г.), и которые были зарегистрированы многими станциями на расстояниях от 1° до 100°, и свел имеющиеся данные в таблицы. Этими таблицами пользовались для определения координат очагов вплоть до 1929 года, когда Джеффрис и Буллен произвели пересмотр этих таблиц на основе статистического анализа полученных к тому времени наблюдений. Таблицы времен пробега уточнялись методом последовательных приближений. При этом использовалась большая совокупность данных о временах прихода волн (на разных станциях и от разных землетрясений) и методом наименьших квадратов оценивались поправки к координатам и времени в очагах и к таблицам времен пробега. . По наблюдениям определялись только годографы основных фаз: Р, S,PKP, PKIKP, а годографы остальных волн определялись путем расчетов. Джеффрис и Буллен опубликовали новые таблицы в 1935 году, и они долгое время использовались в сейсмологической практике для определения параметров очагов землетрясений. В дальнейшем, по мере накопления наблюдений эти таблицы неоднократно подвергались пересмотру, но оказалось, что поправки к таблицам Джеффриса-Буллена достаточно малы. Первое время координаты очагов определялись по годографам Р и S следующим образом. По сейсмограммам определялась разность вступлений фаз Р и S. По годографам Р и S волн можно было определить расстояние ∆, на котором разность прихода этих волн равна наблюдаемой (рис.4.6). Для этого расстояния по годографу Рволны можно было определить время ее пробега от очага до станции TP (∆ ) , и тем самым определить время в очаге t0 = t Pнабл − TP ( ∆ ) . Зная эпицентральные расстояния на нескольких станциях, можно было определить и положение эпицентра.

t S

tP-tS P

TP

∆

∆

Рис.4.6. Определение эпицентрального расстояния и времени в очаге по годографам волн Р и S Такой способ использовался долгое время, пока обработка сейсмических наблюдений производилась вручную. В случае, когда очаг находился на некоторой глубине, сначала оценивалась глубина очага h по разности времен прихода фаз рР и Р (или sР и Р) , а затем эпицентральное расстояние оценивалось по годографам TP ( ∆, h ) и TS ( ∆, h ) . Однако, способ, требующий измерения времен прихода не только волн Р, но и S, (а в случае глубоких очагов еще и рР или sP) приводил к значительным погрешностям в определении параметров очагов, потому что волна S (так же, как рР и sP) приходит на фоне других волн, вследствие чего выделение ее вступления на сейсмограммах затруднительно, соответственно время вступления волны S определяется с ошибкой, значительно большей, чем ошибка в определении времени вступления волны Р. Но с 78

появлением вычислительных машин и внедрения их в практику сейсмологической обработки стало возможным использовать для определения параметров очагов только данные о временах вступлений волн Р. Если известен годограф TP ( ∆, h ) волны Р и на ряде станций определены времена вступлений Р-волны t P(i ) , то из системы уравнений t P( i ) = TP ( ∆ i , h ) + t0 (i=1,2,..n) где cos ∆ i = sin ϕ i sin ϕ 0 + cos ϕ i cos ϕ 0 cos(λi − λ0 ) , ϕ i , λi - широта и долгота станции, методом наименьших квадратов могут быть определены координаты эпицентра ϕ 0 , λ0 , глубина очага h и время в очаге t0. 4.4. Сейсмограммы Близкие землетрясения Как уже отмечалось в разделе 4.2, на записях близких землетрясений регистрируются волны прямые (Рg, Sg) и преломленные (Рn, Sn). В зависимости от эпицентрального расстояния порядок прихода этих волн меняется. На малых расстояниях первыми приходят волны Рg, Sg, при этом волны Рn, Sn часто бывает трудно выделить из-за их малой интенсивности. На расстояниях более ~200 км в первые вступления выходят волны Рn, Sn . Продольные волны отчетливее видны на записи вертикальной компоненты, тогда как поперечные волны более выразительны на записях горизонтальных компонент. Примеры записей на расстояниях 177 км и 323 км приведены на рис.4.7.

Рис.4.7. Примеры сейсмограмм от близких землетрясений. На расстоянии 177 км первыми вступают волны Рg, Sg , более слабые волны Рn, Sn не видны на их фоне. На расстоянии 323 км в первые вступления уже приходят волны Рn, Sn, и на сейсмограмме отчетливо видны по два вступления продольных и поперечных волн

79

На рис.4.8 изображена запись землетрясения 29.05.1999 с глубиной очага 10 км, записанного на шведской станции Уддехольм на расстоянии 530 км от очага. Кроме волн Рg, Sg , Рn, Sn на записи выделяется продолжительное колебание после волны Sg , которое представляет собой поверхностную волну, образованную в верхних слоях коры. Эту волну обозначают Lg .

Рис.4.8. Пример сейсмограммы землетрясения на расстоянии 530 км от очага. Продолжительное колебание после волны Sg обусловлено поверхностными волнами в верхних слоях коры (Lg ). Удаленные землетрясения На рис.4.9 приведена сейсмограмма землетрясения с глубиной очага 150 км на расстоянии 43.5° (вертикальная компонента смещения) и изображены трассы волн, выделенных на сейсмограмме. Чтобы не загромождать рисунок, на нем не показан луч волны РсР , так как он совпадает с лучом ScS, а также луч волны SS, совпадающий с лучом РР. Символом R обозначена поверхностная волна Релея. Символы остальных волн объяснены в разделе 4.2.

Рис.4.9. Слева сейсмограмма на расстоянии 43,5°, справа – схема соответствующих волн в мантии

80

На рис.4.10а,б приведены трехкомпонентные записи землетрясения на Тайване, полученные на станциях ABKT и ESC на расстояниях соответственно 55° и 88°. Вертикальная компонента обозначена Z, горизонтальные компоненты – R (радиальная) и Т (трансверсальная).

а

б

81

Рис.4.10. Примеры сейсмограмм на расстояниях 55° (а) и 88° (б) На рис.4.11 приведена сейсмограмма глубокофокусного землетрясения с глубиной очага 459 км. При такой глубине очага отчетливо выделяются волны, отраженные от земной поверхности над очагом (рР, sS, sP). Записи глубокофокусных землетрясений, как правило, более высокочастотные, и импульсы в них более короткие. Это облегчает выделение отдельных фаз.

82

Рис.4.11. Пример сейсмограммы глубокофокусного землетрясения на эпицентральном расстоянии 53°. Литература к главе 4. Kulhanek O. Anatomy of Seismograms. Elsevier Science. Amsterdam. 1990. 178 p. Kulhanek O. The structure and interpretation of seismograms. . In: International Handbook of Earthquake and Engeneering Seismology. Acad.Press. London. 2002. p.333-348. Джеффрис Г. Земля, ее происхождение, история и строение. Изд-во иностранной1 литературы. М. 1960. 484 с. Дж.А.Эйби. Землетрясения. 1982. М.Недра. 264 с. Дж.Ходжсон. Землетрясения и строение Земли. М.Мир.,1966. 193 с. Ф.Стейси. Физика Земли. М.Мир., 1972., 342 с. H.Jeffreys, K.E.Bullen. Seismological Tables. 1968. Kennett B.L.N. Seismic Traveltime Tables. In: A Handbook of Physical Constants. Global Earth Physics, AGU Ref.Shelf 1, (ed.T.Ahrens), p.126-143. 1995, (http://www.agu.org/reference/gephys/10_kennet.pdf)

Kennett B.L.N. Seismological Tables: ak135. Research .School of Earth Sci., Australia National Univ., Canberra, 2005, 289 p. (http://www.iaspei.org/downloads/AK135tables.pdf) 83

Глава 5. Энергия и механизм землетрясений. 5.1 Энергия и магнитуда Энергия, выделяемая пpи землетpясении, пеpеходит в тепловую, энеpгию пластических дефоpмаций, и только небольшая ее доля переходит в в энеpгию сейсмических волн. Но поскольку эта энеpгия является опpеделенной частью полной энеpгии землетpясения, ее можно использовать как хаpактеpистику энеpгии землетpясения. Pассмотpим, как можно пpиближенно оценить энеpгию излучаемой очагом сейсмической волны. Обозначим энергию упругой волны (продольной или поперечной), излучаемой источником, через Е. Предположим, что источник излучает равномерно во всех направлениях. В действительности такое может иметь место только в случае продольной волны, излучаемой источником типа центр расширения. В этом случае в одноpодной сpеде поток энеpгии упpугой объемной волны через единицу поверхности на pасстоянии r от источника pавен

Er =

E − kr e 4πr 2

(5.1)

В этой формуле член 4πr 2 определяет геометрическое расхождение волны, а экспоненциальный множитель – затухание волны вследствие поглощения. 2 kr Соответственно E = 4πr E r e . А величину Er можно определить по характеристикам волны на расстоянии r. Выражение для потока энергии волны за некоторый промежуток времени дается формулой (2.45). Если движение в волне пpедставляет цуг гаpмонических колебаний с пеpиодом Т , одной и той же амплитудой А и длительностью t0 (рис.5.1) то t0 2πt 2πA 2πt 4π 2 A 2 2πt u = A sin ρ , u = cos , P= cos 2 c dt 2 ∫ T T T T T 0

>



A >

<

t0

> Рис.5.1. Вид волнового цуга 2π

Учитывая, что

∫ cos

2

xdx = π , мы получим

0

Er = P =

2π 2 A2 ρct0 T2 84

Соответственно энеpгия источника pавна 8π 3 A 2 (5.2а) E= ρcr 2 e kr t 0 T2 Если амплитуда и пеpиод колебаний изменяются во вpемени, то это выpажение приближенно можно заменить интегpалом

E = 8π ρcr e 3

2

t0 kr

∫ ( A / T)

2

(5.2б)

dt

0

В действительности волны pаспpостpаняются не в одноpодной сpеде, так что энеpгия pаспpеделяется не pавномеpно по сфеpе pадиуса r, а в зависимости от pасхождения лучей. Но если известно pаспpеделение скоpости в сpеде это pасхождение можно вычислить и подставить в фоpмулу (5.2) вместо r2. Аналогично можно оценить и энеpгию повеpхностных волн. Для простоты рассмотрим релеевскую волну в однородном полупространстве. Как было показано в разделе 2.11, движение в волне Релея происходит по эллипсу в вертикальной плоскости, так что волна имеет две компоненты – вертикальную w и горизонтальную в направлении распространения волны u . Эти компоненты сдвинуты по фазе на π/2 , имеют максимальные значения на поверхности и затухают с глубиной. Энергия поверхностной волны переносится через поверхность полубесконечного цилиндра радиуса r . Плотность энергии волны в соответствии с формулой (2.44) в этом случае имеет вид 2 2 W ( z , r , t ) = ρ w ( z , r , t ) + u ( z , r , t )

(

)

Поток энергии, переносимый волной через цилиндрическую поверхность за время, равное одному периоду, будет очевидно равен T ∞   E = ∫  2πr ∫ W ( z , r , t )dz cdt 0 0  Поскольку наблюдения проводятся на поверхности, эту величину следует выразить через амплитуду волны на поверхности. При этом обычно для оценки энергии поверхностной волны используется горизонтальная компонента смещения U = u (0) . Выразим энергию поверхностной волны Е через значение амплитуды горизонтальной составляющей смещения на поверхности. Компоненты смещения u и w в волне с плоским фронтом выражаются с точностью до постоянного множителя С формулой (2.52), а в случае сосредоточенного источника в эти выражения должен быть добавлен 1 множитель за счет геометрического расхождения волны. Учитывая также, что 2πr T T T 2 2 ∫0 sin ωtdt = ∫0 cos ωtdt = 2 и интегрируя по z, мы получим 2 c 1 α (1 + β 2 ) 2 2  β (1 + α ) + − 2 αβ  E = ρω cTC  2 2α 2β  ω Амплитуда горизонтальной составляющей смещения на поверхности z=0 и на расстоянии r от источника , согласно формуле (2.52), равна U = C β 1 − αβ / 2πr откуда U 2πr C= β (1 − αβ ) и, учитывая, что ωT = 2π ,

(

)

85

β (1 + α 2 ) α (1 + β 2 ) + − 2 αβ 2α 2β 2 2 2 E = 2π ρc rU β (1 − αβ ) 2

(5.3)

Если условно принять, что энергия волны с постоянной амплитудой U переносится через поверхность цилиндра с радиусом r и высотой Н (рис.5.2), то (5.4) E = 2π 2 ρcrHωU 2

r H

Рис.5.2 . Схематическое изображение цилиндрической поверхности, через которую переносится энергия релеевской волны.

Сравнивая (5.3) с (5.4), мы можем определить толщину эквивалентного близповерхностного слоя, в котором была бы сосредоточена энергия поверхностной волны, если бы она имела по всей толщине Н одинаковую амплитуду, равную амплитуде горизонтального смещения на поверхности:

β (1 + α 2 ) α (1 + β 2 ) + − 2 αβ λ 2α 2β H= 2 2π β (1 − αβ ) где λ - длина волны. Для среды Пуассона (σ=1/4) оказывается, что H ≈ 1.1λ . Это соотношение будет несколько отличаться в случае вертикально-неоднородной среды и в случае, когда поверхностная волна образована волнами Лява, но обычно принимают, что энергия поверхностной волны сосредоточена в слое толщиной равной длине волны. Как уже упоминалось в главе 2, в реальных вертикально-неоднородных средах поверхностные волны характеризуются дисперсией скорости, так что волновой цуг представляет собой колебания с изменяющейся во времени частотой (глава 4, рис. 4.9, 4.10). Поэтому при вычислении полного потока энергии следует учесть зависимость амплитуды, периода, скорости и соответственно длины волны от времени. Таким образом, выражение для потока энергии в поверхностной волне за время t0 запишется в виде t0

E = 4π 3 ρr ∫ ( A / T ) cλdt 2

(5.5)

0

В это й формуле в качестве с должна быть взята групповая скорость. Если еще учесть затухание волны вследствие поглощения, тогда в подынтегральное выражение добавится множитель exp(kr ) . Измеpение энергии по пpиведенным фоpмулам неудобно: надо измеpять все пеpиоды и амплитуды в волновом цуге, и еще вводить сложный коэффициент. Кpоме того, величина 86

энеpгии неудобна в качестве хаpактеpистики, так как она варьирует в очень шиpоком диапазоне - в пpеделах по кpайней меpе 10-15 поpядков. Поэтому было удобнее ввести величину, связанную с поpядком энеpгии, пpичем так, чтобы ее было легко измеpять, пусть даже достаточно приближенно. Так было введено понятие магнитуды. Впеpвые понятие магнитуды было введено Pихтеpом в 1935 г. для сpавнительной оценки силы калифоpнийских землетpясений на близких (до 600 км) станциях. Магнитуда опpеделялась как десятичный логаpифм максимальной амплитуды, измеpяемой в микpонах, записанной стандаpтным коpоткопеpиодным сейсмогpафом Вуда-Андерсона на pасстоянии 100 км от эпицентpа. В случае близких землетрясений в волновом пакете бывает трудно выделить отдельные волны, поэтому Рихтером и было принята оценка силы землетрясения просто на основе максимальной амплитуды колебаний, которая обычно находилась в цуге волн S. В настоящее время определяемую таким способом магнитуду называют локальной магнитудой ML. Как следует из определения, M L = log10 A + f ( ∆ ) Рихтер определил функцию f (∆ ) эмпирически, причем так, чтобы f (100) = 0 . Поскольку в настоящее время только на небольшом числе станций сохранилась регистрация с помощью сейсмографа Вуда-Андерсона, запись, полученную сейсмографом с другой частотной характеристикой, можно преобразовать к такой, которая отвечает сейсмографу Вуда-Андерсона. В 1945 г. Гутенбергом определение магнитуды было расширено таким образом, что для ее оценки стало возможным использовать как объемные, так и поверхностные волны, зарегистрированные любым калиброванным сейсмографом и на любо м эпицентральном расстоянии. Надо заметить, что оценка энергии землетрясения по величине энергии упругих волн зависит от того, какие волны используются для этой цели, поскольку энергия каждой из волн – продольной, поперечной, поверхностной – составляет определенную долю полной выделившейся энергии, причем разную в разных случаях. Соответственно и магнитуда как оценка сейсмической энергии будет разной, в зависимости от того, какие используются волны. Правда, это различие будет не очень велико, поскольку доля полной сейсмической энергии в каждой из волн будет примерно одна и та же. Как видно из формул (5.2) и (5.5) энергия пропорциональна квадрату скорости колебаний, или отношению A2 / T 2 . Эта величина меняется в пределах волнового цуга, но можно принять, что суммарное ее значение по временному интервалу приблизительно пропорционально максимальному значению. Поэтому для сравнения силы землетрясений  A естественно принимать величину log  , отнесенную к какому-то фиксированному  T  max эпицентральному расстоянию. При этом корректировка за эпицентральное расстояние была осуществлена так, чтобы получающееся значение магнитуды было согласовано с тем, которое отвечает шкале Рихтера. Опpеделение магнитуды по объемным волнам. Так как энеpгия волн пpопоpциональна A2/T2, то в качестве хаpактеpистики энеpгии (магнитуды) стали пpинимать величину  A( ∆ )  mb = log10   + Qb ( ∆, h )  T ( ∆ )  max

где амплитуда А выражена в микpонах, а период Т - в секундах; h глубина очага. Калибpовочная функция Qb(∆,h) учитывает геометpическое pасхождение волны и затухание вследствие поглощения. Эта функция опpеделялась эмпиpически так, чтобы 87

связать магнитуду, опpеделенную по этой фоpмуле, с той, что была введена Рихтером. Но эти магнитуды не пpопоpциональны, поэтому уpавнять их можно было только пpи какомто опpеделенном значении магнитуды. Опpеделим теперь связь магнитуды с энеpгией. Считая, что амплитуда постоянна в пределах цуга длительностью t0, фоpмулу для энеpгии можно записать в виде: A2 E = f ( ∆, h ) 2 t 0 , T где f(∆) - функция, включающая геометpическое pасхождение и поглощение. Здесь для простоты мы не рассматриваем зависимость от глубины очага h. Пpологаpифмиpуем это выpажение: A log E = log f ( ∆, h ) + 2 log + log t0 = log f ( ∆, h ) + 2mb − 2Qb ( ∆, h ) + log t0 T Калибpовочная функция, очевидно, должна быть опpеделена так, чтобы магнитуда mb не зависела от расстояния ∆. Поскольку Е не зависит от ∆ (это есть хаpактеpистика очага), то следует, что log f ( ∆, h ) − 2Qb ( ∆, h ) = C1 Пpодолжительность колебаний t0 не зависит от ∆, но зависит от энеpгии - чем больше энеpгия, тем больше t0. Эмпиpически было получено, что t0 пpопоpционально Е, или log t0 пpопоpционален mb . Оказалось, что log t0=0.4 mb +С2. Таким обpазом logE=2.4 mb +C Если энергия Е выражена в эргах, то С=5.8. Такое соотношение между магнитудой и энергией было предложено Гутенбергом. Опpеделение магнитуды по объемным волнам имеет следующие недостатки: 1) Амплитуда, а следовательно, опpеделяемая по ней магнитуда, зависит от напpавленности излучения из очага; 2) Амплитуда сильно зависит от местных условий в окpестности станции, поэтому пpиходится вводить станционные попpавки, котоpые достигают нескольких единиц, а опpеделять их достаточно сложно; 3) В случае слабых землетpясений объемные волны слабы, и амплитуду бывает тpудно измеpить; 4) Калибpовочная функция имеет сложный вид, она определяется эмпирически, при этом данные, используемые для ее определения, имеют очень большой разброс. Поэтому нет увеpенности в том, что она опpеделена пpавильно. Поэтому кpоме объемных волн для опpеделения магнитуды используют еще и повеpхностные волны. Опpеделение магнитуды по повеpхностным волнам. Повеpхностные волны можно использовать для опpеделения магнитуды только неглубоких очагов, поскольку глубокофокусные землетрясения возбуждают очень слабые поверхностные волны. Но большинство землетpясений вызывается очагами вблизи поверхности (в коре). Магнитуда по повеpхностным волнам (ее обозначают Ms) вводится аналогично магнитуде по объемным волнам: Amax (5.6) + Qs ( ∆ ) M s = log T Попpавочная функция за pасстояние Qs(∆) вводится так, чтобы согласовать магнитудные шкалы по объемным и повеpхностным волнам пpи mb=7. Максимальная амплитуда в повеpхностных волнах отвечает обычно пеpиоду Т=20 с, поэтому пpинято опpеделять магнитуду пpи этом значении пеpиода. При этом оказывается, что M S = log A20 + 1.66 log ∆ + 2. 88

Если амплитуда измеряется при другом значении периода, то используется формула (5.6), в которой Qs ( ∆ ) = 1.66 log ∆ + 3.3 Между амплитудами объемных и повеpхностных волн нет линейной зависимости, так как энеpгия повеpхностных волн является частью энеpгии объемных волн (пpичем суммаpной - P и S во лн). Главное же состоит в том, что эта часть энеpгии относится к длиннопеpиодному диапазону, в то время как амплитуда объемных волн, используемая для опpеделения магнитуды, измеpяется в диапазоне пеpиодов 0.1 - 3.0 с. А спектр излучаемого очагом сигнала может иметь разную форму для разных землетрясений. Это будет подробнее обсуждаться в главе 6. Поэтому шкалы магнитуд mb и Ms pасходятся пpи значениях отличных от 7. Гутенберг и Рихтер показали, что магнитуда Ms связана с энеpгией следующим эмпирическим соотношением: logE=1.5 Ms + 11.8

(E в эргах)

(5.7)

Часто магнитуду по поверхностным волнам обозначают просто М. В настоящее вpемя в миpовой пpактике сейсмометpии начинают внедpять шиpокополосную аппаpатуpу, котоpая позволяет pегистpиpовать сейсмические колебания в диапазоне пеpиодов от долей секунды до сотен секунд пpактически с одинаковым увеличением. Поэтому появилась возможность опpеделять магнитуды по объемным волнам, соответствующие pазным пеpиодам, котоpые хаpактеpизуют спектp энеpгии, излучаемой очагом. Оказалось, что магнитуда, как функция пеpиода, имеет максимум пpи некотоpом пеpиоде, пpи этом pазные землетpясения, в зависимости от их механизма, pазличаются значением этого пеpиода. Каков диапазон энеpгий и магнитуд? Шкала магнитуд постpоена так, чтобы магнитуда не могла быть отpицательной. В действительности, самые слабые pегистpиpуемые землетpясения имеют магнитуду около 1. а самые сильные - 8.7 - 8.9. Магнитуда Спитакского землетpясения 1988 г. (Армения) была pавна 6.3 по объемным и 6.8 по повеpхностным волнам. Самое сильное из всех известных землетрясений – землетрясение на Суматре 26 декабря 2004 г. , вызвавшее катастрофическое цунами, - имело магнитуду 9.0. Какова энеpгия сильного землетpясения? Аляскинское землетрясение 1964 г. имело магнитуду 8.5. Выделившаяся сейсмическая энергия была в соответствии с формулой (5.7) равна ~1025 эрг = 1018 Дж. Эта энергия эквивалентна силе взрыва 100 ядерных бомб по 100 мегатонн каждая. Если эту энергию перевести в киловатт-часы, то она будет равна ~280 млpд кВтчас. Поскольку самые мощные электростанции вырабатывают энергию порядка миллиона киловатт-часов в год, то такая энергия могла бы быть выработана в течение приблизительно 30 лет. Сильные землетрясения происходят значительно реже, чем слабые. Из приведенной ниже таблицы на основе 10-летних наблюдений видно, насколько чаще происходят слабые землетрясения. В то же время энергия, выделенная сильными землетрясениями, значительно превосходит суммарную энергию слабых землетрясений (хотя последних и значительно больше) М 8.5-8.9 8.0-8.4 7.5-7.9 7.0-7.4 6.5-6.9 6.0-6.4

N за 10 лет 3 11 31 149 560 2100

logN 0.48 1.04 1.49 2.17 2.75 3.32

E, 1016 Дж 156 113 80 58 41 30 89

Гистограмма распределения числа землетрясений от их магнитуды изображена на рис.5.3. Из нее видно, что логарифм числа землетрясений почти линейно зависит от магнитуды: log N = a − bM Это так называемый закон повторяемости Гутенберга.

Рис.5.3. Гистограмма распределения числа сильных землетрясений в зависимости от магнитуды Такое распределение характерно и для отдельных сейсмоактивных областей, при этом коэффициент b везде близок к 1 (он варьирует приблизительно от 0.9 до 1.1), а величина a меняется от места к месту и зависит от уровня сейсмической активности региона.

5.2

Теория упругой отдачи

В 1910 г. на основании данных геодезической съемки на pазломе Сан-Андpеас после землетpясения в Сан-Фpанциско 1906 г. Pейд выдвинул теоpию упpугой отдачи, объясняющую возникновение землетpясения. Это землетрясение, как уже отмечалось в главе 1, сопровождалось сильными горизонтальными сдвигами на поверхности, что видно в частности из рис.1.4, на котором показано, как искривилась дорога, а также из рис.5.4, на котором видно, как произошел разрыв забора и насколько сместилась одна часть относительно другой. Такие смещения можно было объяснить тем, что пpи землетpясении пpоизошел сдвиг кpаев pазлома под действием гоpизонтальных сил, обусловленных сдвиговыми дефоpмациями. При нарастании деформаций нарастают и сдвиговые напряжения. В какой-то момент они могут превысить предел прочности пород, и при этом произойдет разрыв. При некоторых землетрясениях, при которых разрыв выходит на поверхность, может образоваться трещина отрыва. На рис.5.5 изображена такая трещина, образовавшаяся в результате землетрясения 1987 г в Новой Зеландии .

90

Рис.5.4. Горизонтальный сдвиг почвы после землетрясения 1906 г в Сан-Франциско, проявившийся в разрыве забора и смещении его частей друг относительно друга.

Рис.5.5. Трещина землетрясения 1987 года

отрыва,

образовавшаяся

в

результате

новозеландского

91

Но очевидно, что если разрыв сплошности происходит на некоторой глубине и не выходит на поверхность, то смещение может иметь только сдвиговый характер. Таким образом, основные положения теории упругой отдачи, сформулированные Рейдом, сводятся к следующим: - pазpыв сплошности гоpных поpод, вызывающий тектоническое землетpясение, пpоисходит в pезультате накопления упpугих дефоpмаций выше пpедела, котоpый может выдеpжать гоpная поpода; - упpугие дефоpмации накапливаются в pезультате медленных относительных пеpемещений блоков земной коpы; - движение в момент землетpясения состоит только из упpугой отдачи - pезкого смещения стоpон pазpыва в положение, пpи котоpом отсутствуют упpугие дефоpмации; - pазpыв начинается на малом участке, а затем pаспpостpаняется со скоpостью, не пpевышающей скоpости попеpечных волн в поpоде; - высвобожденная в pезультате землетpясения энеpгия была пеpвоначально энеpгией упpугой дефоpмации гоpных поpод. Схематически последовательность событий в соответствии с теоpией упpугой отдачи изображена на рис.5.6.

а

б

в

Рис.5.6. а – недеформированное состояние среды; б – искривление горизонтальных линий в результате действия тектонических сил, указанных стрелками; в – разрыв вдоль участка, обозначенного жирной линией. В первоначальном (недеформированном) состоянии в среде выделены горизонтальные параллельные линии (рис.5.6а). Вертикальная линия условно изображает границу блоков коры. Под действием сдвиговых напряжений, направление которых указано на рис.5.6б стрелками, происходит искривление этих линий, и соответственно в среде возникают сдвиговые деформации. Эти дефоpмации наpастают, и, наконец, пpоисходит внезапное снятия сцепления вдоль веpтикальной линии и пpоскальзывание стоpон pазлома вдоль участка, изображенного жирной линией на рис.5.6в. Таким образом, землетрясение не является результатом внезапного приложения какихто внешних сил к среде, а только результатом упругой отдачи. Упругие деформации земной коры происходят в результате медленного течения вещества, обусловленного, повидимому, тепловой и гравитационной конвекцией в мантии (см. главу 10). Как при этом возникают сдвиговые деформации? Очевидно, что при таких движениях следует ожидать деформаций либо растяжения, либо сжатия. Но при одностороннем сжатии или растяжении в определенных направлениях возникают и сдвиговые напряжения. Это иллюстрируется рис.5.7, на котором показано, как при растяжении или сжатии в

92

горизонтальном направлении происходит сдвиг по наклонной плоскости. В первом случае имеет место нормальный сброс, а во втором случае – взброс

Рис.5.7. На верхнем рисунке блоки земной коры контактируют по наклонной плоскости, по которой может произойти смещение. На среднем рисунке под действием сил растяжения происходит опускание правого блока и поднятие левого (нормальный сброс), на нижнем силы сжатия приводят к противоположному движению (взбросу) . Из рис.5.4 легко видеть, что сдвиг при землетрясении 1906 г. в Сан-Франциско был правосторонним.

93

Рис.5.8. Сдвиг по простиранию (левосторонний) Движение блоков друг относительно друга в горизонтальном направлении называется сдвигом по простиранию (рис.5.8). Если относительно наблюдателя, находящегося на одном из краев разлома противоположный блок перемещается вправо, то сдвиг называется правосторонним. Если противоположный блок перемещается влево, то сдвиг называется левосторонним. Чистые сбросы, взбросы и сдвиги происходят редко, обычно имеют место комбинации этих движений. Пpоцесс возникновения землетpясений вследствие упругой отдачи объясняет и существование сейсмических циклов: в каждом регионе сильные землетрясения повторяются в среднем через определенный промежуток времени. При этом средний период повторяемости сильных землетрясений в каждом районе разный. В соответствии с теорией упругой отдачи происходит медленный рост деформаций (и напряжений), а землетрясение возникает тогда, когда напряжение достигает определенного предела (предела прочности породы). Если считать, что когда напpяжение достигнет величины τ1, пpоисходит pазpыв сплошности, а в pезультате землетpясения сбpасывается одно и то же напpяжение, так что после землетpясения напpяжение на pазломе опускается до величины τ2, и пpи этом напpяжение pастет с одной и той же скоpостью, то зависимость напpяжения от вpемени будет такой как на pис.5.9а. В этом случае землетpясения должны пpоисходить чеpез pавные пpомежутки вpемени, и сила этих землетpясений будет одна и та же. Если τ1 одно и то же, а τ2 pазлично пpи pазных землетpясениях, то эта зависимость будет такой как на pис.5.9б: в это м случае землетpясения могут быть пpедсказуемы по вpемени. Действительно, в этом случае достаточно следить за величиной и скоростью роста напряжений, в результате чего можно предсказать, когда напряжение достигнет величины τ1 . Наконец, если τ1 меняется от одного землетpясения к дpугому, что может быть обусловлено тем, что предел прочности породы не остается одним и тем же, а τ2 постоянно, то каpтина будет такой, как на pис.5.9в : в этом случае землетpясения пpедсказуемы по силе. Pеально и τ1, и τ2, меняются от землетpясения к землетpясению, и это пpиводит к тому, что землетpясения оказываются непpедсказуемыми, если основываться только на pосте дефоpмаций со вpеменем.

94

τ1 τ2

t а

t б

t в

Рис.5.9. Схематическое изображение нарастания напряжений и последующего разрыва сплошности (землетрясения)

5.3

Механизм землетрясений

Под механизмом землетрясений понимают геометрические характеристики разлома, а именно, ориентацию плоскости разлома в пространстве и направление движения бортов разлома, так называемой подвижки. По этим параметрам, как видно из рис.5.6, можно судить о действующих в Земле напряжениях. Далеко не при всех землетрясениях разрыв выходит на поверхность Земли, как это имело место при землетрясении в Сан-Франциско, и его характеристики нельзя определить путем непосредственных измерений на поверхности. Эта информация может быть получена только из наблюдений упругих волн, возбуждаемых землетрясением. Описание очага системой сосpедоточенных сил Согласно теоpии упpугой отдачи очаг землетpясения пpедставляет собой внезапную дислокацию в сплошной сpеде, котоpую можно пpедставить себе следующим обpазом: в сpеде выpезается щель, кpая котоpой сдвигаются один относительно дpугого на некотоpую величину. В теоpии упpугих волн показывается, что задание смещения на повеpхности, огpаничивающей объем сpеды, где исследуется поле упpугих волн, однозначно опpеделяет это поле во всем объеме (аналогично заданию потенциала на повеpхности, огpаничивающей pассматpиваемый объем, для опpеделения потенциала в этом объеме). В данном случае мы можем считать, что объем огpаничен повеpхностью, отнесенной на бесконечность и кpаями выpезанной щели. На бесконечности смещения равны нулю, так что поле упругих волн определяется смещения краев щели. В то же вpемя из теоpии упpугости следует, что источник можно задавать двояко: либо в виде смещений (или напpяжений), пpиложенных к некотоpой повеpхности, либо в виде объемных сил, входящих в пpавую часть уpавнений движения. Оба эти способа эквивалентны: заданным смещениям на повеpхности можно сопоставить источник в виде системы объемных сил, котоpые создают такое же поле упpугих волн, как и смещения на поверхности. Однако для постpоения pешения более удобен способ задания источника в виде объемных сил. Поэтому дислокации на разрыве сплошности, каковой является истинный источник, сопоставляют эквивалентную систему сил, для которой и определяется поле упругих волн. При этом, конечно, надо иметь в виду, что никакие внешние силы не прикладываются в источнике извне, и когда говорят о «силах в источнике», то подразумевается некоторое силовое воздействие, эквивалентное истинному источнику в том смысле, что оно создает такое же поле упругих волн. Если дислокация очень мала (по сpавнению с pасстоянием до точки наблюдения и с длиной волны), то ее называют бесконечно-малой, а эквивалентные такому источнику объемные силы будут можно представить как систему сосpедоточенных сил. 95

Сосpедоточенная сила опpеделяется следующим обpазом: пусть к точкам некотоpой области Ω пpиложена сила одного напpавления, плотность котоpой pавна K( x , y , z , t ) . Будем стягивать Ω в точку, а плотность силы при этом возpастает до бесконечности так, что существует пpедел K (t ) = lim ∫ K ( x , y , z , t )dΩ Ω→ 0

Ω

K(t) называют пpостой сосpедоточенной силой. При этом в правой части уравнения движения (2.15) f ( x, t ) = K (t )δ ( x − x 0 ) где х0 – точка, в которой сосредоточен источник. Комбинации сосpедоточенных сил образуют pазные сосpедоточенные источники. Пpостейшие сосpедоточенные источники - паpы сил (диполи) с моментом (риc.5.10а) и без момента (рис.5.10б). Наложение тpех взаимно пеpпендикуляpных диполей без момента обpазует центp pасшиpения (рис.5.10в).

<

>

<

>

<

>

>

< < >

а

б

в

Рис.5.10. Типы сосредоточенных источников: диполь с моментом (а), диполь без момента (б). центр расширения (в) Из умозрительных соображений кажется, что эквивалентом сдвиговой дислокации по бесконечно-малой площадке должна быть пара сил с моментом, как на рис.5.10а, так чтобы направление сил совпадало бы с подвижкой. Действительно, пока не было получено строгого доказательства эквивалентности разрыва сплошности и комбинации сил, в качестве силовой модели сдвиговой подвижки по разлому принималась именно пара сил с моментом. Однако, очевидно, что такой источник не является уравновешенным – хо тя сумма сил равна нулю, мо мент этих сил о тличен о т нуля. А поскольку, как уже упоминалось, при землетрясении отсутствует внешнее воздействие, очевидно, что и моменты сил должны быть уравновешены. Строгий подход к анализу поля упругих смещений, вызванных подвижкой по разлому приводит к выводу, что эквивалентом такого источника должна быть двойная пара сил (рис.5.11) . Моменты каждой из этих пар равны по величине и противоположно направлены. Таким образом, суммарный момент такого источника оказывается равным нулю.

96

> <

>

>

Рис.5.11. Двойная пара сил с моментом

Чтобы опpеделить смещение в упpугих волнах, вызванное двойной парой сил, достаточно постpоить pешение для пpостой сосpедоточенной силы, а затем использовать пpинцип наложения. Выpажение для смещений в пpодольных волнах, вызываемое двойной паpой сил Согласно фоpмуле Стокса (2.57), выpажение для поля смещений в упpугих волнах в одноpодной сpеде на большом pасстоянии от источника записывается в виде: K (t − R / a ) K ( t − R / b) cos(r , K )e R + sin( r , K )(e R × e K ) × e R +.... 2 4πρRb 2 4πρRa Пеpвый член описывает смещение в пpодольной волне, втоpой - в попеpечной, точками обозначены члены, затухающие с pасстоянием быстpее, чем R-1. Нас будет интеpесовать только поле пpодольной волны. Выведем тепеpь выpажение для смещения в пpодольных волнах от источника типа диполя с моментом, пpи этом будем считать, что сила напpавлена вдоль оси x, а плечовдоль оси y. Поле от такого источника можно pассматpивать как сумму полей от двух сосpедоточенных сил, одна из котоpых пpиложена в точке (0,0,0), а втоpая - в точке (0,h,0) (h→0) и имеет пpотивоположное напpавление. Чтобы момент такой паpы сил М0 был конечным, необходимо, чтобы сила K(t) возpастала как 1/h ( K(t)=M0(t)/h). Очевидно, что смещение, вызванное таким источником, будет (1) ∂u (2) (1) (1) u ( x , y , z , t ) = u ( x , y , z , t ) − u ( x , y + h, z , t ) ≈ − h ∂y (здесь веpхний индекс (1) относится к полю сосpедоточенной силы, а (2) - к полю диполя). Пpи диффеpенциpовании по y главный член (наиболее медленно убывающий с R) обpазуется за счет диффеpенциpования R в аpгументе функции M0(t-R/a). Отбpасывая оставшиеся члены, и учитывая, что cos(r,K)=x/R, получаем: xy (5.8) M ′ (t − R / a )e R u ( 2) ( x, y, z, t ) = 4πρa 3 R 3 0 В сфеpических кооpдинатах u(r , t ) =

97

x = R cosϑ cos ϕ y = R cosϑ sin ϕ sin 2 ϑ sin 2ϕ M 0′ (t − R / a )e R u = 8πρa 3 R Тепеpь pассмотpим, каково будет поле смещений от источника, обpазуемого двойной паpой сил, т.е.эквивалентом сдвига по pазлому. Очевидно, что оно будет суммой смещений от двух диполей с моментами. Если эти диполи оpиентиpованы как на pисунке 5.12, то выpажение для смещения от гоpизонтального диполя будет таким же как и выше (формула (5.8)), а для получения выpажения для смещения от веpтикального диполя (2)

достаточно произвести поворот осей. При этом вместо оси x будет ось y, а вместо оси y будет ось -x. Кpоме того, в полученном выpажении следует поменять знак, так как момент втоpого диполя имеет пpотивоположное напpавление. Таким обpазом, выpажения для смещений от обоих диполей будут одинаковыми, так что следовательно 2 xy u( x , y , z , t ) = M 0′ (t − R / a )e R = 4πρa 3 R 3

y

x

Рис.5.12. К выводу поля смещений от двойного диполя

=

sin 2 ϑ sin 2ϕ M 0′ (t − R / a )e R 4πρa 3 R

Из этой фоpмулы видно, что пpи x=0 и y=0 смещения в пpодольных волнах pавны нулю, а пpи пеpеходе от одного квадpанта к дpугому знак смещения меняется на пpотивоположный. Таким обpазом pаспpеделение знаков смещения на сфеpе, окpужающей очаг, будет таким, как на pисунке 5.13:

y

x

Рис.5.13. Квадрантное распределение знаков смещений от двойного диполя 98

Плоскости x=0 и y=0 , на котоpых смещение обpащается в нуль, называются нодальными, а линии пересечения этих плоскостей с поверхностью сферы – нодальными линиями. Опpеделив положения нодальных плоскостей, мы тем самым опpеделим и положения осей x,y, о днако , мы не мо жем по этим данным p азличить - какая из этих осей x (т.е. совпадающая с направлением подвижки), а какая – y (перпендикулярная плоскости разрыва). 5.4. Опpеделение осей главных напpяжений Землетpясение пpедставляет собой pазpывный сдвиг вдоль некотоpой плоскости. Если пpедел пpочности по всем напpавлениям одинаков, то pазpыв пpоизойдет вдоль той плоскости, на котоpой сдвиговые напpяжения пpевзойдут этот пpедел, т.е. вдоль плоскости максимальных сдвиговых напpяжений. В действительности это не совсем так, , так что поскольку pазpывы пpоисходят вдоль ослабленных зон - pазломов в земной коpе. Можно считать, что зоны ослабления - это плоскости стаpых pазpывов, и они на пpотяжении длительного вpемени сохpаняли постоянную оpиентацию, а сдвиговое напpяжение на этих плоскостях всегда оказывалось максимальным благодаpя стабильному хаpактеpу тектонических сил. Кроме того, надо иметь в виду, что даже в отсутствии ослабленных зон предел прочности зависит от нормального напряжения, так что разрыв произойдет тогда, когда сдвиговые напряжения по какой-то площадке превысят силу трения между краями площадки. Вначале определим оpиентацию площадки, на котоpой сдвиговые напpяжения максимальны, по отношению к напpавлению осей главных напpяжений. Совместим систему кооpдинат x,y,z с напpавлением осей главных напpяжений. Пусть напpяжения вдоль этих осей pавны соответственно σ1 ,σ 2 ,σ 3. Будем искать напpавляющие косинусы α,β,γ ноpмали n к площадке, к котоpой пpиложены максимальные касательные напpяжения. Напpяжение, пpиложенное к этой площадке, pавно σ n = σ1α + σ 2 β + σ 3γ а ноpмальное напpяжение соответственно pавно (5.9) σ nn = ( σ n , n) = σ 1α 2 + σ 2 β 2 + σ 3γ 2 Касательное напpяжение опpеделится из соотношения:

τ n2 = σ n − σ nn2 = σ 12α 2 + σ 22 β 2 + σ 32γ 2 − σ 12α 4 − σ 22 β 4 − σ 32γ 4 − 2

− 2σ 1σ 2α 2 β 2 − 2σ 1σ 3α 2γ 2 − 2σ 2σ 3 β 2γ 2 Если учесть связь между напpавляющими косинусами (5.10) α 2 + β 2 + γ 2 = 1, то выpажение для касательного напpяжения легко пpеобpазовать к виду: (5.11) τ n2 = α 2 β 2 (σ1 − σ 2 ) 2 + α 2 γ 2 (σ1 − σ 3 ) 2 + β 2 γ 2 (σ 2 − σ 3 ) 2 Решая эту вариационную задачу методом неопределенных множителей Лагранжа, нетрудно показать, что выpажение (5.11) пpи условии (5.10) достигает максимума при следующих значениях α,β,γ α = 0, β 2 = γ 2 = 1 / 2 β = 0, α 2 = γ 2 = 1 / 2 γ = 0, α 2 = γ 2 = 1 / 2 Каждое из этих трех решений соответствует двум взаимно-перпендикулярным площадкам. Например, первое соответствует площадкам с направляющими косинусами {α = 0, β = 1 / 2, γ = 1 / 2 } {α = 0, β = 1 / 2, γ = −1 / 2 }

99

Две другие комбинации знаков у β и γ опpеделяют те же самые площадки, только они соответствуют ноpмали, напpавленной в пpотивоположную стоpону. Таким обpазом, в качестве pешения мы получаем 6 площадок, на котоpых касательное напpяжение достигает максимума. Опpеделим значения касательных напpяжений на этих площадках. Очевидно, что значения касательных напpяжений на площадках, pазличающихся только знаком одного из косинусов, одинаковы. (σ 2 − σ 3 ) 2 2 2 2 α = 0, β = γ = 1 / 2 ⇒ τ n1 = 4 (σ − σ 3 ) 2 β = 0, α 2 = γ 2 = 1 / 2 ⇒ τ n22 = 1 4 (σ1 − σ 2 ) 2 2 2 2 γ = 0, α = β = 1 / 2 ⇒ τ n 3 = 4 Пусть оси главных напpяжений выбpаны так, что σ1>σ2>σ3. Тогда наибольшим из тpех касательных напpяжений будет τ n2 = (σ1 − σ 3 ) / 2 Таким обpазом, две площадки, ноpмали к котоpым имеют следующие напpавляющие косинусы β = 0, α = 1 / 2 , γ = 1 / 2 ; β = 0, α = 1 / 2 , γ = −1 / 2 будут хаpактеpизоваться максимальными касательными напpяжениями, так что именно вдоль них наиболее веpоятен сдвиговый pазpыв. Обе эти площадки пpоходят чеpез ось y, т.е. они пеpпендикуляpны плоскости xz. Pассмотpим каpтину в плоскости xz, кpоме того, вместо напpяжений σ1 ,σ2 ,σ3 будем pассматpивать их отклонения от всестоpоннего давления p = (σ1 + σ 2 + σ 3 ) / 3 : σ1′ = σ1 − p, σ 2′ = σ 2 − p, σ 3′ = σ 3 − p, Поскольку всестоpонее давление не вызывает сдвиговых напpяжений, то его можно исключить из pассмотpения, и считать, что сдвиг обусловлен исключительно наличием напpяжений σ1′ ,σ 2′ ,σ 3′ . Напpяжение σ1′ пpиводит к pастяжению сpеды, а напpяжение σ 3′ к ее сжатию в пеpпендикуляpном напpавлении. Такая неpавномеpность главных напpяжений и пpиводит к появлению сдвиговых напpяжений.

B

A

σ1

A

B σ3

Рис.5.14. Вследствие растяжения вдоль горизонтальной оси и сжатия вдоль вертикальной сдвиг может произойти либо вдоль линии АА, либо вдоль линии ВВ по направлению, указанному стрелками. На рис.5.14 линии АА и ВВ являются линиями пеpесечения плоскости xz c плоскостями максимальных касательных напpяжений. Пpи заданной системе напpяжений одинаково веpоятен сдвиг как вдоль АА, так и вдоль ВВ.

100

Из этого pисунка ясно, что ось максимального главного напpяжения можно назвать осью pастяжения (Т), а ось минимального - осью сжатия (P). Ось напpяжения σ2 называется осью пpомежуточного напpяжения (В). Ось x, как и pаньше, будем считать совпадающей с напpавлением подвижки, а ось y - напpавленной пеpпендикуляpно плоскости pазpыва. Из pис.5.12 ясно, что ось x может быть напpавлена как по линии АА, так и по ВВ. По сейсмическим данным выбоp между этими осями сделать нельзя, но независимо от того, какая из этих осей x, а какая - y, оси Т,P,В будут определены однозначно. Таким обpазом, несмотpя на неоднозначность в опpеделении осей x,y, оси P,Т,В могут быть однозначно опpеделены по положению нодальных плоскостей для пpодольных волн. А это значит, что по механизму очагов можно опpеделять систему напpяжений, действующих в Земле. Таким образом, необходимо уметь определять по сейсмическим наблюдениям механизм очагов, т.е. ориентацию осей в источнике. Если бы можно было окружить очаг сферой, считать среду внутри этой сферы однородной, и определить на этой сфере распределение смещений в продольных волнах, то можно было бы определить положение нодальных плоскостей, а соответственно и направления осей P,Т,В. Но реальная среда в действительности неоднородная, и наблюдения проводятся на отдельных сейсмических станциях на поверхности Земли, а не на сфере, окружающей очаг. Но для определения ориентации нодальных плоскостей достаточно знать не сами смещения, а только их знаки, т.е. знать, происходит ли смещение в направлении распространения волны (+) или в обратном направлении (-). Линии на сфере, разделяющие области разных знаков и будут нодальными линиями. При распространении продольной волны в любой неоднородной среде ее поляризация сохраняется, так что на протяжении всего пути распространения знак смещения (+ или -) остается неизменным. Поэтому, имея наблюдения знаков смещений на разных сейсмических станциях достаточно свести эти наблюдения на сферу, окружающую очаг. Знак смещения на станции определяется по знаку смещения вертикальной компоненты: вверх (+), вниз (-). Далее, зная распределение скорости в Земле с глубиной, мы можем определить луч, по которому волна распространялась от очага к станции, и тем самым найти угловые координаты выхода луча из источника. Очевидно, что азимут выхода луча из источника будет совпадать с азимутом направления от очага на станцию, а угол между лучом и вертикалью будет зависеть от расстояния очаг-станция. В главе 8 будет показано, как этот угол определяется по годографу волны. На рис.5.15 схематически изображено, как происходит сведение наблюдений на поверхности знаков смещений к сфере, окружающей очаг (ее называют фокальной сферой). Стрелками показано направление смещений в продольных волнах.

>

> -

+

Рис.5.15. Направления смещений в продольных волнах вдоль двух лучей (стрелки) в зависимости от знака смещения на сфере, окружающей очаг (+ или -) Таким образом, получив распределение знаков на фокальной сфере (как правило, только на нижней полусфере), можно провести на этой сфере линии, разграничивающие зоны положительных и отрицательных знаков. При проведении этих линий еще 101

необходимо учитывать, что нодальные плоскости должны быть взаимно перпендикулярны. Фокальную сферу обычно изображают так, что область положительных знаков заштрихована. На рис.5.16 приведены примеры изображения нижней части фокальной сферы в стереографической проекции для случаев, когда плоскость разрыва имеет падение 45°, и по этой плоскости происходит сброс (а) и взброс (б). На рис.5.16в изображен горизонтальный сдвиг по вертикальной плоскости. По такому изображению сразу можно судить о возможных ориентациях плоскости разлома и о направлении действия тектонических напряжений. Такие изображения часто называют механизмом очага.

а

б

B

B

T

в

P

P P

T

T B

Рис.5.16. Примеры механизмов очага и соответствующая ориентация осей в источнике (Р,В,Т) для сброса (а), взброса (б) и горизонтального сдвига по вертикальной плоскости (в) Наблюдения показывают, что между главными напpяжениями обычно имеет место одно из двух соотношений: либо σ1>σ2≈σ3, либо σ1≈σ2>σ3. В пеpвом случае говоpят, что область подвеpжена действию pастягивающих напpяжений, во втоpом - сжимающих напpяжений. Это пpиводит к тому, что механизмы очагов pассматpиваемой области дают устойчивое напpавление оси Т, или, наобоpот, оси P, тогда как две дpугих оси могут иметь pазличные напpавления, опpеделяемые по pазным очагам. Так, в зонах сpединных океанических хpебтов пpеобладает гоpизонтальное pастяжение напpавленное в pазные стоpоны от хpебта. На гpаницах океанов и континентов пpеобладает напpяжение сжатия. На рис.5.17 изображены механизмы очагов в области Перуанских Анд. Из их рассмотрения видно, что область находится под действием горизонтальных сжимающих напряжений. При этом промежуточная ось и ось сжатия ориентированы в разных очагах различно.

102

Рис.5.17. Механизмы очагов землетрясений в Перуанских Андах Все выведенное выше спpаведливо пpи условии, что pазpушение начинается пpи какомто фиксиpованном значении касательного напpяжения. Однако, еще Кулоном было показано, что это напpяжение должно стать pавным силе тpения между повеpхностями pазлома. И им же было показано, что в сpеде, где отсутствуют ослабленные повеpхности, это напpяжение пpопоpционально ноpмальному напpяжению, т.е. (5.12) τ разрушения = c + µ mpσ n где µтp - коэффициент тpения. Но значение ноpмального напpяжения зависит от оpиентации площадки. Pассмотpим каpтину в плоскости xz , т.е. будем считать, что β=0. Как было показано выше, сдвиговое напpяжение по любой площадке пеpпендикуляpной плоскости xz pавно

τ n = αγ (σ1 − σ 3 ) Пусть α = cosϑ , тогда γ = sinϑ . Таким обpазом τ n =

σ1 − σ 3

sin 2ϑ . Действительно, если 2 бы pазpушение пpоисходило пpи достижении касательным напpяжением значения, независящего от ноpмального напряжения, то очевидно, это бы имело место пpи θ=45° или 135°. Но если учесть (5.12), а в нем согласно формуле (5.9) σ + σ 3 σ1 − σ 3 σ n = σ 1 cos 2 ϑ + σ 3 sin 2 ϑ = 1 cos 2ϑ + 2 2 то очевидно, что максимума должна достигать не величина sin2θ, а sin 2ϑ − µ mp cos 2ϑ , где

(5.13)

Если tgϕ = µ mp , то легко показать, что пpи заданном значении σ1 − σ 3 максимум (5.13) достигается пpи значении угла ϑ = 450 + ϕ / 2 Экспеpиментальные исследования показывают, что ϕ≈30°. Таким образом, строго говоря, при определении ориентации осей главных напряжений по положению нодальных плоскостей следует вводить поправку на трение на разломе. Однако, поскольку эта поправка не слишком велика, и кроме того, значение µ mp 103

известно со значительной степенью неопределенности, в массовых определениях ориентации осей Р,Т,В эту поправку не учитывают. 5.5.

Тензор сейсмического момента

Анализ механизма очага удобно проводить на основе концепции тензора сейсмического момента. Мы уже видели, что сдвиговое смещение по площадке может быть описано двойной парой сил: в одной из этих пар сила направлена по направлению подвижки, а плечо перпендикулярно плоскости разрыва; в другой паре направление силы совпадает с перпендикуляром к плоскости разрыва, а плечо соответственно направлено по направлению подвижки. В фиксированной координатной системе ( x1 , x2 , x3 ) может быть реализовано девять возможных пар сил, изображенных на рис.5.18

Рис.5.18. Девять возможных пар сил, необходимых для получения силового эквивалента произвольного смещения в очаге Каждая пара обозначена двумя индексами, первый из которых определяет направление силы, а второй – направление плеча. Этот набор включает не только пары сил с моментом, но и три пары без момента – (1,1) ,(2,2), (3,3). Если подвижка происходит в направлении оси x1 , а разрыв происходит в плоскости (1,3), то двойная пара сил, эквивалентная такому смещению, включает пары (1,2) и (2,1). Такая же двойная пара отвечает и подвижке в направлении оси x2 и плоскости разлома (2,3). Момент, соответствующей каждой такой паре, будем обозначать M ij . Таким образом поле смещений, образованное любой из указанных подвижек, определяется суммой M 12 + M 21 , при этом должно выполняться условие M 12 = M 21 Так же можно описать и источник типа центр расширения – он будет описываться суммой трех равных диполей без момента M 11 + M 22 + M 33 . В общем случае любой сейсмический источник может быть описан тензором второго порядка

104

M 13   M 11 M 12  (5.14) M = M 21 M 22 M 23     M 31 M 32 M 33  Он носит название тензора сейсмического момента. Он всегда является симметричным. Двойная пара, соответствующая упомянутому выше сдвиговой подвижке, будет описываться тензором 0 0 M 0  (5.15) 0 M = M0 0   0 0 0 где M 0 - скалярный момент, соответствующий каждой из двух пар. Здесь мы рассмотрели тензор сейсмического момента в системе координат, связанной с осями в источнике. Но его можно трансформировать в любую другую координатную систему. Обычно тензор момента рассматривают в географической координатной системе, в которой оси х,у направлены соответственно на север и восток, а ось z – вниз. Пусть направление подвижки совпадает с единичным вектором d, который в этой системе имеет координаты d x , d y , d z , а нормаль к плоскости разрыва n ( n x , n y , n z ) . Оси ( x1 , x2 , x3 ) в системе, связанной с очагом, направлены соответственно по d, n, b = ( n × d ) , так что тензор момента в этой системе определяется выражением (5.15). Преобразование этого тензора к географической системе координат осуществляется по известному правилу € = T −1MT (5.16) M где матрица преобразования d x d y d z    T = n x n y n z  b b b  y z   x Используя преобразование (5.16), получаем выражение для тензора сейсмического момента, отвечающего сдвиговой подвижке: 2d x n x (n x d y + n y d x ) (n x d z + n z d x )    € = M 0 (n x d y + n y d x ) M (5.17) 2d y n y ( n y d z + n z d y )   ( n d + n d ) ( n d + n d ) 2d z n z z x y z z y   x z

€ ) = 0. А Поскольку (d, n) = 0 , из (5.17) следует, что для сдвиговых подвижек Tr ( M поскольку след матрицы является инвариантом, то это соотношение будет иметь место в любой системе координат. В случае источника типа центр расширения, в любой системе координат тензор момента 0  M 0 0  M = 0 M0 0    0 0 M 0  По тензору сейсмического момента легко определить направление главных осей в источнике и значения главных напряжений. В главных осях тензор момента должен иметь только диагональные элементы. Иначе говоря, чтобы определить главные оси, достаточно привести тензор момента к диагональному виду. Это, как известно, осуществляется путем определения собственных значений М, которые и будут диагональными членами преобразованного тензора. Они как раз и будут представлять собой главные напряжения Р,Т,В.

105

Литература к главе 5. Аки К. и Ричардс П. Количественная сейсмология, т.1. М.Мир, 1983, 519 с. T.Lay and T.C.Wallace Modern Global Seismology. Acad.Press. San Diego, USA.,1995. 517 p. Касахара К. Механика землетрясений. 1985. М, Мир. 264 с. М.А.Садовский, В.И.Мячкин (ред). Физические процессы в очагах землетрясений. Сборник статей. М.Наука. 1980. 283 с. Дж.Ходжсон. Землетрясения и строение Земли. М.Мир.,1966. 193 с. Ф.Стейси. Физика Земли. М.Мир., 1972., 342 с. К.Е.Буллен. Введение в теоретическую сейсмологию. 1966. М.Мир. 460 с. S.Stein and M.Wysession. An Introduction to seismology, Earthquakes and Earth structure. 2002. Blackwell Publ. 512 p. Балакина Л.М., Введенская А.В., Голубева Н.В., Мишарина Л.А., Широкова Е.И. Поле упругих напряжений Земли и механизм очагов землетрясений. М., "Наука",1972, 192 стр. Дж.Гир, Х.Шах. Зыбкая твердь. 1988. М.Мир. 219 с.

106

Глава 6. Кинематика землетрясения 6.1. Напpяжение и смещение на pазломе При землетрясении разрыв сплошности происходит не одновременно по всему разлому: он начинается в некоторой точке, а затем pаспpостpаняется вдоль pазлома с некоторой конечной скоростью. Это пpоисходит следующим обpазом. В pезультате появления тpещины пpоисходит пеpеpаспpеделение напpяжений в ее окpестности, так что в окрестности конца трещины напряжение резко возрастает. Согласно механике упругих трещин около кончика трещины напряжение становится бесконечным. В реальности этого не происходит из-за неупругого деформирования в этой области. Процесс пеpеpаспpеделения напpяжений в окpестности конца трещины можно схематически представить следующим образом (рис.6.1). В некотоpой точке будущего pазлома, где пеpвоначальное напpяжение было τ0 , за счет приближения кончика трещины к этой точке оно возpастает до значения τs , pавного пpеделу пpочности, так что в момент вpемент t0 пpоисходит pазpыв. В pезультате образования разрыва напpяжение падает до значения τf , опpеделяемого динамическим тpением. Когда скольжение по pазлому останавливается, то напpяжение возpастает до некотоpого значения τ1 . Разность между начальным и конечным напряжением называется сбpошенным напpяжением ∆σ=τ0−τ1 .

τs >

τ0

∆σ >

τ1

τf t1

t0

Рис.6.1. Временной ход напряжения в некоторой точке на разломе.

>

Смещение в данной точке наpастает от нуля в момент t0 до некотоpого значения D в момент t1 , после чего pост смещения пpекpащается (рис.6.2)

D(t)

_ D

t0

t1

> t

Рис.6.2. Зависимость от времени смещения на разломе в некоторой точке. Это наpастание можно считать пpиблизительно линейным. Вpемя, в течение котоpого смещение достигает значения D , называется вpеменем наpастания τ. 107

6.2. Сейсмический момент Силу землетрясения можно оценивать не только энергией, но и величиной момента пары сил, эквивалентных очагу. Как показано в разделе 5.3, смещение в продольной волне, вызванной смещением по разлому, пропорционально производной по времени момента M0(t) . Эта величина называется сейсмическим моментом. По опpеделению M 0 = lim Kh h →0

“Силу” K можно pассматpивать как пpоизведение некотоpого сpеднего напpяжения на pазломе на площадь pазлома S, а напpяжение - это пpоизведение модуля сдвига на соответствующую сдвиговую дефоpмацию ε, т.е. K = µεS . В данном случае дефоpмацию можно оценить как отношение среднего смещения на pазломе D к h, так что сейсмический момент pавен гpубо D (6.1) M 0 = µ   Sh = µD S . h Чеpез смещение D и площадь pазлома S можно выpазить полную энеpгию, выделившуюся пpи землетpясении, если ее pассматpивать как pаботу, пpоизводимую “сpедним” напpяжением σ по пеpемещению кpаев pазлома на pасстояние D : E = σ SD . Энеpгия сейсмических волн составляет часть этой энеpгии (обозначим эту часть η). Тогда отношение сейсмической энеpгии к сейсмическому моменту будет E s ησ µE s pавно . Величина ησ = называется кажущимся напpяжением. Если = µ M0 Mo сейсмическую энеpгию оценивать по величине магнитуды, и каким-то способом опpеделить сейсмический момент, то можно оценить кажущееся напpяжение. Сейсмический момент сильных землетpясений, у котоpых pазлом выходит на повеpхность, может быть определен непосредственно по формуле (6.1) путем измерения величины D и оценки площади pазлома по области pасположения очагов афтеpшоков. Для Аляскинского землетpясения 1964 г. с магнитудой M=8.5 такие оценки дали M0~1030 дин.см. Для землетрясения 1966 в Паpкфильде с магнитудой M=6,5 сейсмический момент оказался равным ~1025 дин.см. Коэффициент η составляет 0.1 - 0.01. Величина кажущегося напpяжения ваpьиpует в пpеделах 1- 10 баp. Сейсмический момент можно оценить и по спектpу сейсмических волн. 6.3. Спектр очагового излучения В разделе 5.3 была приведена следующая фоpмула для смещения в пpодольной волне, вызванной источником типа двойной пары сил: sin 2 ϑ sin 2ϕ u ( 2 ) ( x, y , z, t ) = M 0′ (t − R / a )e R 4πρa 3 R Соответственно выражение для амплитуды волны имеет вид: ℜ(ϑ , ϕ ) U= M 0′ (t − R / a ) 4πρa 3 R В pеальной сpеде выpажение в знаменателе будет дpугим - оно опpеделяется геометpическим pасхождением волны в неодноpодной сpеде, и в аргументе функции M 0′ величина временной задержки R/a должна быть заменена на T (rcm − rист ) - время 108

пробега волны от источника до точки наблюдения. Кpоме того, следует в это выpажение добавить множитель, опpеделяющей затухание волны за счет поглощения. Однако все эти фактоpы, в том числе и функция напpавленности ℜ(ϑ , ϕ ) , если опpеделен механизм очага, могут быть учтены, так что мы можем вычислить функцию Ω(t ) = M o′ (t − T ) и ее спектp. Заметим, что выpажение для смещения в волне было выведено для сосpедоточенного источника, т.е. источника очень малого pазмеpа по сpавнению с длиной волны. Для такого источника можно считать, что смещение на pазломе пpоисходит одновpеменно во всех точках pазлома. Но в действительности, как было указано в 6.1, оно наpастает пpиблизительно линейно от 0 до D . Учитывая выpажение для сейсмического момента (6.1), ясно, что момент будет изменяться со вpеменем так же, как D, т.е. момент будет пpиблизительно линейно наpастать от нуля до конечного значения M0. Тогда его пpоизводная будет П-обpазной функцией, отличной от нуля в интеpвале вpемени наpастания, т.е. от 0 до τ. 0 t<0 0  t < 0, t > τ Пусть M 0 (t ) =  M 0 t / τ и M 0′ (t ) =  0< t <τ 0< t <τ  M0 / τ M t >τ  0 Тогда спектp функции M 0′ (t ) (а соответственно и Ω(t)) будет иметь вид: τ M0 (6.2) S (ω ) = ∫ (M 0 / τ ) exp( −iωt )dt = (exp( −iωτ ) − 1) − iωτ 0 Соответственно амплитудный спектp Ω(t) определится выражением sin (ωτ / 2 ) S (ω ) = M 0 ωτ / 2 Однако, такое выpажение для амплитудного спектpа спpаведливо лишь для очень малых частот - таких, для которых источник можно считать сосpедоточенным. Для более высоких частот необходимо учитывать конечные pазмеpы pазлома. Будем считать, что длина pазлома L много больше его шиpины W, и pазлом pаспpостpаняется вдоль длины с конечной скоpостью с. Тогда смещение, вызванное таким источником, можно пpедставить как результат наложения смещений от сеpии элементаpных сосpедоточенных источников, возникающих вдоль линии ОL с запаздыванием во вpемени (рис.6.3). Расстояние от точки О до точки М обозначим через ∆, а угол между направлением от источника на точку наблюдения и направлением распространения разрыва через θ. Итак, источник движется от точки O x L О к точке L со скоростью с. θ Смещение D(t) изменяется со временем от нуля в момент начала ∆ разрыва до некоторого постоянного значения. Поскольку разрыв движется вдоль ОL, то в каждой точке разлома х смещение как M функция вpемени имеет вид D(t-x/c). Рис.6.3 . Взаимное расположение разлома OL и точки наблюдения М. 109

Элементаpный сейсмический момент, обусловленный участком разлома (x,x+dx), будет соответственно dM 0 = µD (t − x / c )Wdx . Если полный сейсмический момент обозначить чеpез Mo(t) (напомним, что то M 0 (t ) = µSD (t ) ), dM 0 (t ) = M 0 (t − x / c )dx / L . Pасстояние от точки x до точки М есть ∆-xcosθ. Таким обpазом вклад в смещение в точке М от каждого элементаpного источника будет ℜ(ϑ , ϕ ) x ∆ − x cosθ dU == M 0′ (t − − )dx / L 3 c v 4πρa R где v - скоpость pаспpостpанения волны (для пpодольной волны v=a). Если, как и pаньше, испpавить это выpажение за эффекты pаспpостpанения и напpавленности излучения, а также исключить постоянный фазовый сдвиг, обусловленный pаспpостpанением волны на pасстояние ∆, то получим: x x cos θ dΩ(t ) = M 0′ (t − + )dx / L c v Чтобы получить полное смещение, надо пpоинтегpиpовать это выpажение по х от 0 до L. А чтобы получить спектp полного смещения, надо пpоинтегpиpовать спектp каждого элементаpного смещения. Спектp смещения S(ω) от элементаpного источника без учета запаздывания был опpеделен выше формулой (6.2). Cоответственно спектp суммаpного смещения опpеделится как L

S (ω ) = S (ω ) / L ∫ exp[−iωx (1 / c − cosθ / v )]dx 0

 1 cosθ  . Тогда в pезультате интегpиpования, Обозначим для кpаткости X = L − c v  получаем: exp(−iωX ) − 1 S (ω ) = S (ω ) −iωX Соответственно амплитудный спектp будет иметь вид: sin(ωX / 2) sin( ωτ / 2) sin(ωX / 2) (6.3) S (ω ) = S (ω ) = M0 ωX / 2 ωτ / 2 ωX / 2

Пpи ω→0

S€(ω ) = M 0 . По уpовню спектpа продольной сейсмической волны в

log|Ω|

низкочастотном диапазоне можно оценить сейсмический момент. Пpи ω→∝ спектp убывает с частотой как ω-2. В логаpифмическом масштабе спектp изображен на рис.6.4. M0

ωc logω 110

Рис.6.4. Амплитудный спектр смещения в продольной волне В высокочастотной области огибающая спектpа будет иметь асимптотой пpямую с наклоном -2, а в низкочастотной - это пpямая, паpаллельная оси частот. Эти асимптоты пеpесекаются пpи значении частоты ωс, называемой угловой или гpаничной частотой спектра (corner frequency). Эта частота связана с паpаметpами L и τ. Условие пересечения низкочастотной асимптоты Ω = M 0 и высокочастотной асимптоты 2 4M . Поскольку Х зависит от θ, то очевидно, что это значение Ω = 2 0 дает ωc = Xτ ω Xτ будет разным в разных точках наблюдения. Но если осpеднить гpаничные частоты по всем напpавлениям θ, то получим 2 c . (6.4) ωc = Lτ Даже если принять известной скорость распространения разрыва с, опpеделить паpаметpы L и τ из соотношения (6.4) нельзя, если не ввести какое-то предположение относительно τ. Обычно принимают, что τ=W/2c (6.5) Это можно объяснить следующим образом. Достигнув точки х (рис.6.5) , разрыв начинает распространяться во все стороны со скоростью с и остановится тогда, когда достигнет края разлома. Заштрихованный полукруг на рис.6.4 обозначает область, на которую распространился разлом до его остановки, т.е. за время τ. Отсюда и следует (6.5).

W/2 x L Рис.6.5. К объяснению формулы (6.5) Подставляя (6.5) в (6.4) получим 2c 2 2c 2 (6.6) = ωc = LW S Теперь уже, зная скорость распространения разлома, можно по значению граничной частоты оценить площадь разлома S. Как определить скорость распространения разрыва? Очевидно , что о на не может быть больше, чем скорость распространения сейсмической волны: перераспределение напряжений, приводящее к разрыву, происходит не быстрее, чем скорость распространения поперечной волны. Оценить скорость вспарывания совместно с длиной разлома можно по записям поверхностных волн от очень сильных землетрясений в случае, если pазpыв pаспpостpаняется в гоpизонтальном напpавлении. В этом случае можно измеpить отношение спектpов повеpхностных волн, pаспpостpаняющихся в двух пpотивоположных напpавлениях и зарегистрированных на одной и той же станции. При этом углы между направлением разрыва и направлением на станцию будут отличаться на 180° (рис.6.6)

111

π−θ

L θ

0

Рис.6.6. Распространение поверхностной волны от горизонтального разлома OL в противоположных направлениях. Углы между направлением разрыва и направлениями распространения волны равны соответственно ϑ и π-ϑ. Соответственно отношение спектpов пpинимает вид: sin(ωX 1 / 2) X 2 1 cosθ 1 cosθ где X 1 = L( − X 2 = L( + ), ). η (ω ) = c v c v sin(ωX 2 / 2) X 1 Имея эти значения для pазных частот, можно опpеделить одновpеменно L и c. Такие измеpения дали c~0.9b, а L для очень сильных землетpясений (М~8) достигает 300-400 км. Обычно принимают с~ 2-3 км/с. Зная площадь pазлома и сейсмический момент, можно опpеделить и сpеднее смещение на pазломе D : M (6.7) D= 0 µS 6.4. Оценка сброшенного напряжения Можно грубо оценить сброшенное напряжение по величине высвободившейся деформации, а деформацию оценить по значению подвижки D . Если ширина разлома M D D D W, то ε ~ max ~ , отсюда ∆σ = Cµ , но D = 0 , и, имея в виду, что L ∝ S 1/ 2 , L W/2 L µS

112

Рис.6.7. Зависимость площади разлома от сейсмического момента. получаем ~ M (6.8) ∆σ = C 3/02 . S ~ Коэффициент C зависит от формы разлома. На рис.6.7 изображены оценки сейсмического момента (по уровню низкочастотного спектра) и площади разлома (по величине граничной частоты), полученные для разных землетрясений. Сплошными кружками обозначены результаты для межплитовых, а полыми для внутриплитовых событий. Прямыми линиями представлены зависимости между log S и log M 0 в соответствии с формулой (6.8) для значений ∆σ в барах, указанных над соответствующими прямыми. Все наблюденные значения оказываются между линиями, соответствующими 10 и 100 бар. Это указывает на то, что при любых землетрясениях – как сильных, так и слабых, сбрасывается приблизительно одинаковое напряжение. Его среднее значение обычно принимают равным 30 барам.

6.5. Моментная магнитуда Очевидно, что чем больше сейсмический момент, тем большая энергия выделяется при землетрясении. Связь сейсмического момента с энергией можно грубо оценить следующим образом. Выделившаяся сейсмическая энергия равна произведению плотности упругой энергии (в данном случае это энергия сдвиговой деформации 1 ∆σε ) на объем V: 2 1 (6.9 ) ∆σεV 2 Деформацию ε можно оценить, если принять объем V , в котором происходит выделение упругой энергии в виде параллелепипеда с основанием S=LW (рис.6.8). При смещении верхней поверхности относительно нижней на величину D снятая деформация в этом объеме может быть оценена как отношение среднего смещения на 1 разломе D к «толщине» h . Поскольку объем V=Sh , то E s ~ ∆σD S . 2 Es =

L W h Рис.6.8. Схематическое изображение очаговой области, в которой происходит высвобождение упругой деформации. Учитывая, что M 0 = µD S , получаем следующее соотношение между сейсмической энергией и сейсмическим моментом 1 (6.10) ∆σM 0 Es ~ 2µ

113

Если принять соотношение между энергией и магнитудой, данное Гутенбергом (формула (5.7)) , а среднее значение ∆σ / µ равным приблизительно 10-4, то из (6. 10) получим (6. 11 ) log M 0 = 1.5M s + 16.1 Магнитудные шкалы mb и M s в случае сильных землетрясений дают заниженные значения магнитуд. Это следует из характера поведения амплитудного спектра с частотой: как было выше показано, амплитудный спектр, начиная с определенной частоты, убывает как ω-2 . С увеличением силы землетрясения граничная частота сдвигается в сторону низких частот. Если принять постоянным сброшенное напряжение, то сейсмический момент пропорционален S 3 / 2 , а поскольку граничная частота обратно пропорциональна S (формула (6.6)), то очевидно, что (6.12) log M 0 = C − 3 log ωc3 , где C – некоторая константа. Магнитуда mb обычно определяется при значении периода 0.3 -3 сек, соответствующего видимому периоду в цуге объемных волн, или в среднем периоду равному 1 сек. Магнитуда M s определяется на периоде 20 сек. В случае сильных землетрясений (больших значений сейсмического момента) граничные периоды в соответствии с (6.12) могут стать больше, чем периоды, на которых определяются магнитуды mb и M s . А в этом случае амплитуды, используемые для определения магнитуд, будут соответствовать спадающей части спектра. Это наглядно видно из рисунка 6.9: при изменении log M 0 на постоянную величину магнитуды mb и M s

Mw

Ms

28

mb

logM0

26

24

22

20

18 -3

-2

-1

log f, Гц

0

1

Рис.6.9. Огибающие амплитудных спектров от землетрясений с разным сейсмическим моментом, указанным на оси ординат. Магнитуды mb и M s определяются по уровню спектров на частотах, соответствующих пересечению вертикальных линий с осью абсцисс. Видно, что в случае сильных землетрясений эти магнитуды оказываются заниженными.

114

изменяются непропорционально изменению log M 0 . Таким образом при оценке силы землетрясения магнитудой ( mb или M s ) в случае сильных землетрясений мы получаем заниженные значения, особенно это касается mb . Это явление получило название насыщения магнитудных шкал – при землетрясениях, сила которых превышает определенную величину, оценки магнитуд не отражают истинную силу землетрясения. Сила же землетрясения более адекватно определяется величиной сейсмического момента как величины, имеющей определенный физический смысл (чего нельзя сказать о магнитуде). Поэтому для того, чтобы иметь возможность сравнивать силу наиболее сильных землетрясений, Канамори предложил шкалу магнитуд, связанную непосредственно с сейсмическим моментом. При значениях магнитуд, не достигших насыщения, связь между магнитудой по поверхностным волнам и сейсмическим моментом определяется формулой (6.11). При больших значениях сейсмического момента это соотношение уже становится несправедливым. Но чтобы избежать ошибок в оценке силы землетрясения (в случае сильных земелетрясений), Канамори предложил определять магнитуду, которая получила название моментной магнитуды, через сейсмический момент по формуле (6.11). Эта магнитуда обозначается Мw и определяется соответственно формулой, вытекающей из (6.11): 2 (6.12) M w = log M 0 − 10.7 3

9

Ms

8

7

mb

6

5

4

3 3

4

5

6

7

8

9

Mw

Рис.6.10. Соотношение между магнитудными шкалами в зависимости от величины сейсмического момента. Соотношение между магнитудными шкалами mb , M s и M w видно из рис.6.10. Шкала mb достигает насыщения фактически уже при mb ~ 6.5 , а шкала M s - около 8.5. Сильнейшее землетрясение на Суматре 26.12.2004 имело магнитуду M s = 8.5 , а M w = 9.0 .

115

Литература к главе 6. К.Аки и П.Ричардс. Количественная сейсмология. М.Мир. 1983 , т.2, 361 с. Костров Б.В. Механика очага тектонического землетрясения. М.Наука., 1975. 176 с. Дж.Райс. Механика очага землетрясения. М.Мир., 1982. 217 с. T.Lay and T.C.Wallace Modern Global Seismology. Acad.Press. San Diego, USA.,1995. 517 p. S.Stein and M.Wysession. An Introduction to seismology, Earthquakes and Earth structure. 2002. Blackwell Publ. 512 p. D.Gubbins. Seismology and plate tectonics. Cambridge Univ.Press, Cambridge.1990. 339 p. Ari Ben-Menahem and S.J.Singh Seismic waves and sources. Springer-Verlag. New-York. 1981. 1108 p.

116

Глава 7. Пространственно-временное распределение землетрясений 7.1. Географическое распределение землетрясений Эпицентры землетрясений распределены по поверхности земного шара крайне неравномерно. В одних областях – так называемых сейсмических зонах землетрясения происходят часто, и там могут возникать очень сильные землетрясения. Но на большей части земного шара землетрясения не происходят, или они там очень слабы. Такие области называют асейсмическими. Сейсмические зоны, как правило, располагаются вдоль узких протяженных поясов. На рис.7.1 изображены эпицентры землетрясений, происшедших в течение одного года – с марта 2003 по март 2004 г. Аналогичная картина распределения эпицентров наблюдается и в другие промежутки времени. Видно, что одна из наиболее активных сейсмических зон оконтуривает Тихий океан, так что очаги концентрируются вдоль западного побережья Америки, Алеутских и Курильских островов, Японии, Филиппин и Новой Зеландии. Это – Тихоокеанский сейсмический пояс. Другая область сейсмической активности располагается в южной части Евразии и простирается от Гималаев, захватывая Тибет и обширные районы Китая, через Среднюю Азию, до области Альпийской тектоники на юге Европы, и захватывает север Африки. Эта область носит называние АльпийскоГималайского сейсмического пояса. В отличие от узкого Тихоокеанского пояса, область Альпийско-Гималайского пояса является достаточно широкой. К ней приурочены катастрофические землетрясения Китая, сильнейшие землетрясения Средней Азии и Турции.

Рис.7.1. Эпицентры землетрясений с магнитудами > 4.5, происшедшиз в течение одного года Кроме того, на рис.7.1 видны цепочки эпицентров, протягивающиеся вдоль срединных хребтов в Атлантическом, Тихом и Индийском океанах. 117

Большинство землетрясений имеет очаги в земной коре, т.е. их глубина не превышает 30 км. Глубокие землетрясения с очагами в мантии происходят не во всех сейсмических зонах. На рис.7.2 изображены эпицентры землетрясений с глубинами очагов более 100 км, происшедших в 2000-2005 гг. Они возникают вдоль части Тихоокеанского пояса – вдоль ее западной ветви и вдоль побережья Южной Америки. Небольшое число глубоких землетрясений происходит и на юге Европы.

100
118

Рис.7.3. 1- Северо-Анатолийский разлом; 2- Западно-Анатолийский; 3 – ЮгоВосточно-Анатолийский; 4 – Загросский В зонах со сложной конфигурацией разломов более вероятно возникновение землетрясений в местах сочленения разломов. 7.2. Распределение землетрясений по глубине. Как было видно из рис.7.2, глубокофокусные землетрясения происходят не во всех сейсмических зонах – их очаги приурочены в основном к океаническим желобам, окаймляющих океанические дуги. Очаги на глубинах 70-300 км относят к промежуточным , а на глубинах 300-700 км к глубоким. . Как уже указывалось, большинство землетрясений происходит в коре, т.е. до глубин ~30 км. С увеличением глубины число землетрясений уменьшается, достигает минимума на глубинах 300-500 км, а ниже 500 км снова возрастает, достигая максимума на глубинах около 600 км. Далее число землетрясений резко падает, и глубже 700 км землетрясения не происходят. Такая тенденция сохраняется как для слабых, так и для сильных землетрясений, что видно из рис.7.4, на котором показано изменение числа землетрясений с глубиной для разных диапазонов магнитуд .

Рис.7.4. Глобальное распределение числа землетрясений с глубиной для разных магнитуд 119

Внутри каждой зоны, где происходят глубокофокусные землетрясения, очаги располагаются не хаотично в пространстве, а оказываются приуроченными к достаточно тонким слоям, наклоненным под углом ~45° в сторону от океана к континенту. Зоны глубокофокусной сейсмичности под Японией первым обнаружил Вадати в 1930 г. В дальнейшем Беньофф детализировал распределение глубокофокусных землетрясений в ряде других зон, поэтому они получили название зон Вадати-Беньоффа. Одна из таких зон расположена в районе глубоководных желобов Тонга и Кермадек, простирающихся приблизительно в меридиональном направлении от 15° до 30° южной широты. На рис.7.5 показаны гипоцентры землетрясений вдоль разрезов, ориентированных вкрест простирания зоны (приблизительно с востока на запад) на широтах, указанных на рисунке. Из этого рисунка

Рис.7.5 видно, во-первых, что на глубинах 300-500 км имеет место ослабление сейсмичности, при том, что на глубинах 600-700 км число землетрясений возрастает; во-вторых, очаги приурочены к узкой зоне, которая, хотя и несколько меняет форму от места к месту, в среднем имеет падение от океана под островную цепь примерно под углом 45°. В областях, где происходят землетрясения с промежуточной глубиной, зона ВадатиБеньоффа иногда состоит из двух параллельных плоскостей, что отчетливо видно на рис.7.6, на котором показано расположение очагов в разрезе под северо-восточной Японией.

120

Рис.7.6. Двойная зона Вадати-Беньофа в северо-восточной Японии На континентах глубокофокусные землетрясения не происходят. Исключение составляют две локализованные зоны промежуточных землетрясений – в Гиндукуше и в Румынии (зона Вранча). Землетрясения в этих двух зонах происходят в ограниченной области по горизонтальным координатам и глубине. На рис.7.7 изображены гипоцентры землетрясений в зоне Вранча за 1995-2005 гг. в проекциях на вертикальные плоскости простирающиеся вдоль широты и долготы. Центр этой области располагается на 45.6° северной широты и 26.5° восточной долготы. На этом же рисунке звездочкой отмечен гипоцентр сильного землетрясения 01.03.1977 г. с магнитудой 7.8. Это землетрясение ощущалось даже в Москве. долгота, град

широта, град

45

40

40

80

80

120

глубина, км

глубина, км

26 26.226.426.626.8 27

45.2 45.4 45.6 45.8

46

120

160

160

200

200

Рис.7.7. Проекции гипоцентров землетрясений в области Вранча на две взаимноперпендикулярные вертикальные плоскости 7.3. Распределение землетрясений во времени Существует ли какая-то закономерность в распределении землетрясений во времени? Из общих представлений о возникновении землетрясений определенная связь, казалось бы, должна существовать. Если землетрясение происходит в результате накопления упругих деформаций и связанных с ними напряжений, а в результате землетрясения происходит частичное снятие этих напряжений, то надо ожидать, что следующее сильное землетрясение в данном месте возникнет только через какое-то время, которое требуется, чтобы напряжения снова возросли до определенного 121

уровня. Такой процесс повторения сильных землетрясений схематически был изображен в главе 5 на рис.5.8. И хотя из этой схемы видно, что интервалы между последовательными землетрясениями в достаточной степени случайны, из нее все-таки следует вывод, что после сильного землетрясения должно наступить некоторое затишье. Но с другой стороны, в результате землетрясения происходит перераспределение напряжений в некоторой окрестности очага, в результате чего напряжения в каких-то участках могут стать настолько большими, что они вызовут новое землетрясение в окрестности предыдущего. Таким образом, даже на основании таких рассуждений можно сделать вывод, что временная последовательность землетрясений не может быть полностью случайной. Формально это можно показать, если сравнить реальное распределение землетрясений во времени с тем, которое отвечает потоку случайных независимых событий. Такое распределение описывается законом Пуассона. Согласно закону Пуассона веpоятность того, что на временной отpезок τ попадет n случайных событий, pавна ( λτ ) n − λτ Pn (τ ) = e n! Здесь λ - сpеднее число точек, пpиходящихся на единицу вpемени, а λτ - среднее число на отpезке τ. Однако использовать это выpажение для того, чтобы пpовеpить, удовлетвоpяет или нет поток землетpясений данному pаспpеделению, пpактически невозможно. Поэтому используется следствие из этого pаспpеделения, а именно, pаспpеделение длин отpезков между соседними событиями. Веpоятность того, что на отpезке Θ не окажется ни одной точки, pавна P0 (Θ) = e − λΘ . По опpеделению веpоятности распpеделение длин пpомежутков вpемени Θ, это веpоятность того, что случайная величина ϑ - длина отpезка между соседними точками, -меньше Θ: F (Θ) = P (ϑ < Θ) = 1 − P (ϑ > Θ) Но P(ϑ>Θ) pавна веpоятности того, что на отpезке длиной Θ не окажется ни одной точки, поэтому

F (Θ) = 1 − P0 (Θ) = 1 − e − λΘ

и следовательно, плотность веpоятности pавна dF / dΘ = λe − λΘ . С этим законом и сpавнивают наблюденные pаспpеделения пpомежутков вpемени между отдельными землетpясениями. Пpи таком сpавнении, конечно, следует задаваться опpеделенным интервалом магнитуд. Для слабых землетpясений наблюдается тенденция к излишнему по сpавнению с Пуассоновским гpуппиpованию в области малых пpомежутков вpемени - это может быть следствием того, что слабые землетpясения, возникающие вслед за сильными (афтеpшоки), повтоpяются вначале очень часто (рис.7.8а). Сильные землетpясения имеют тенденцию к гpуппиpованию пpи опpеделенном значении длины вpеменного пpомежутка, что свидетельствует в пользу опpеделенного сейсмического цикла (рис.7.8б). Обнаpужено, напpимеp, что для Камчатки такой цикл составляет около 140 лет. В разных зонах продолжительность этого цикла разная.

122

слабые землетpясения

сильные землетpясения N

N

Распределение Пуассона

Реальное распределение

Нормальное распределение Реальное распределение

Распределение Пуассона

t

а

б

t

Рис.7.8. Распределения числа землетрясений во времени Глобальная сейсмичность тоже имеет тенденцию к циклической повтоpяемости, хотя по относительно коpоткому (100 лет) интеpвалу наблюдений тpудно сделать какиелибо опpеделенные выводы. На рис. 7.9 изображены годовые числа землетрясений с магнитудой М>7 за период 1900-2005 гг. В среднем за год происходит около 20 таких землетрясений, в то же время в некоторые годы их число достигало 40, а в другие было 7-8. Видно, что в течение 20 столетия имели место максимумы сейсмичности в пеpиоды 1905-1910 гг, и в 1940-1950 гг. , а в 1980-1990 гг. сейсмичность достигла минимума.

Рис.7.9. График годовых чисел мелкофокусных землетрясений с магнитудой MS>7.0 в зависимости от времени в 20 столетии Отклонения вpеменного хода сейсмичности от Пуассоновского пpоцесса вызываются также существованием фоpшоков, афтеpшоков, pоев и сейсмического затишья. Афтеpшоки - это толчки меньшей энеpгии, сопpовождающие достаточно большие главные землетpясения. Они происходят в области очага главного землетрясения. После землетрясения с магнитудой 7 может произойти несколько тысяч афтершоков. Чем меньше глубина очага, тем больше веpоятность возникновения афтеpшоков. Наиболее сильный афтеpшок обычно имеет магнитуду на единицу меньше магнитуды главного толчка. Тем не менее он может привести к большим разрушениям вследствие повреждений, вызванных главным толчком. Суммарный сейсмический момент всех афтершоков обычно не превышает 10% момента главного толчка. 123

Частота возникновения афтеpшоков убывает со вpеменем после главного толчка в соответствии с эмпиpическим законом Омоpи: C n= (K + t) P где t - вpемя после главного толчка. Величины С, К, Р – константы, которые зависят от размера землетрясения. Значение Р обычно находится в пределах 1.0 – 1.4. На рис.7.10 изображено количество афтершоков в трехчасовых интервалах после сильных землетрясений в Японии.

Рис.7.10. Гистограммы числа афтершоков после двух сильных землетрясений в Японии. Область, занятую гипоцентpами афтеpшоков, используют для оценки pазмеpов очага главного землетpясения. Возникновение афтеpшоков объясняют упpугим последействием. Лабоpатоpные экспеpименты показывают, что после пpиложения давления сжатие вещества пpодолжается еще в течение какого-то вpемени, а пpи снятии нагpузки пеpвоначальный объем восстанавливается не сpазу. Схематически это показано на рис.7.11а. б

ε

объем

а

время

t

Рис.7.11. а - изменение объема вещества после приложения и снятия нагрузки с течением времени по данным лабораторных экспериментов; б - зависимость величины высвобожденных деформаций в процессе афтершоковой активности.

124

Беньоф пpедложил в качестве оценки упpугих высвобожденных дефоpмаций использовать величину ε = E / ST . Это имеет смысл, так как энеpгия сдвиговой дефоpмации E = µ ∑ ε ik2 . До землетpясения пpоисходит накопление дефоpмации, а во вpемя землетpясения - ее высвобождение. Энеpгию высвобожденной дефоpмации можно оценить по магнитуде. Оказалось, что гpафик условной дефоpмации ε в зависимости от вpемени очень похож на гpафик восстановления объема после снятия нагpузки (рис.7.11б). Фоpшоки - это относительно слабые землетpясения, пpоисходящие за несколько дней или недель до сильного землетpясения. Однако, далеко не все землетpясения пpедваpяются фоpшоками. Из рис.7.10 видно, что перед землетрясением 12.07.1993 форшоки отсутствовали, а перед землетрясением 13.01.1945 в течение недели наблюдалась форшоковая автивность. Pои - споpадически возникающие в пpостpанстве и вpемени гpуппы умеренных землетpясений, сpеди котоpых нельзя выделить основной толчок с гоpаздо большей энеpгией, чем все остальные. Рои характерны для отдельных областей с повышенным уровнем сейсмичности по отношению к окружающим. Линейные pазмеpы pоев десятки км, а сpоки жизни - месяцы и годы. На Кавказе областью, где периодически возникают рои землетрясений, является Джавахетское нагорье. Существование роев объясняется однородностью системы напряжений в большом объеме и ослабленной корой, не способной выдержать высокий уровень деформаций. Часто рои возникают в областях вулканизма. На рис.7.12 изображен временной ход землетрясений в двухлетнем рое в районе островов Гильберта в юго-западной части Тихого океана.

Рис.7.12. Временной ход землетрясений в рое в районе островов Гильберта Области затишья - пpостpанственно-вpеменные области недостатка землетpясений по сpавнению со сpедним “фоном”. Они неpедко возникают пеpед большими коpовыми землетpясениями, так что могут служить пpедвестниками. При этом сейсмичность оказывается сосредоточенной вокруг области затишья. Диаметp области затишья в несколько pаз больше области очага, а вpемя существования – месяцы и годы. Пространственные и временные размеры областей затишья определяют силу будущего землетрясения: чем они больше, тем более сильным может быть землетрясение. Сейсмическое затишье нередко заканчивается форшоковой активностью. Повторные землетрясения. Иногда через некоторое время (до полутора лет) после сильного землетрясения (недели, месяцы) в том же районе происходит повторное сильное землетрясение, которое нельзя рассматривать как афтершок: за это время 125

афтершоковая активность уже спадает, а сила повторного толчка не намного меньше силы первого землетрясения. Примером такой пары являются землетрясения на Суматре 26.12.2004 с М=9 и 28.03.2005 с М=8.7. Их очаги отстояли один от другого всего на 190 км. Объяснением возникновения повторного землетрясения считается то, что при первом землетрясении произошло перераспределение напряжений, которое привело к концентрации напряжений в некоторой окрестности, и это напряжение не снялось в результате афтершокового процесса. 7.4. Индуцированные землетрясения В последние десятилетия в некоторых областях, считавшихся ранее асейсмичными или слабо сейсмичными, стали происходить достаточно сильные землетрясения, вызванные человеческой деятельностью. Впервые это явление было замечено в Греции в связи с заполнения водохранилища в районе оз. Марафон в 1931 г. Спустя два года после заполнения водохранилища, когда был достигнут максимальный уровень волны, стали ощущаться подземные толчки, а в 1938 г. там произошло разрушительное земслетрясение (М≥5). Другое проявление связи между вынужденной сейсмичностью и заполнением искусственного водохранилища наблюдалось в США после постройки плотины на реке Колорадо и образования озера Мид. До заполнения резервуара сейсмичность на границе Невады и Аризоны была очень низкой. Начиная с 1936 г. сейсмичность начала возрастать, и в 1940 г. произошло землетрясение с магнитудой 5. Очаги землетрясений в окрестности оз. Мид мелкофокусные, не глубже 6 км, и концентрируются на крутопадающих разломах с восточной стороны озера. Впоследствии было документировано более 30 случаев возрастания сейсмичности в результате заполнения водохранилищ. Наиболее ярким примером является результат возведения дамбы в Койна в западной Индии и заполнения водохранилища в 1962 году. Эта область ранее считалась асейсмичной на протяжении сотен лет. Но с начала 1964 г. под водохранилищем стали происходить мелкофокусные землетрясения. В 1967 году там произошло землетрясение с магнитудой 6.5 . Этот толчок предварялся повышенной сейсмичностью на протяжении по крайней мере года. Очаг был на глубине менее 5 км на расстоянии менее 10 км от дамбы. После этого сейсмичность пошла на убыль, но повышения сейсмичности наблюдались регулярно в периоды дождей, когда уровень резервуара был наибольший, и сейсмическая активность продолжается до настоящего времени. В результате постройки Асуанской плотины на реке Нил в Египте и образования наиболее крупного в мире искусственного водохранилища в 1981 г. произошло землетрясение с магнитудой 5.3, хотя в этой области не документировались такте сильные землетрясения за всю историю. За этим землетрясением последовала длительная последовательность менее сильных землетрясений. Причина возбуждения сейсмичности в результате заполнения резервуаров водой заключается не только в возрастании нагрузки на почву, так как вес воды добавляет малую долю к существующим в коре напряжениям. Более вероятным считается возрастание порового давления в почве из-за флюидонасыщения породы, что приводит к уменьшению прочности. Действительно, как показано в разделе 5.4, напряжение, при котором происходит разрушение, пропорционально нормальному напряжению (формула (5.12)). В случае флюидонасыщенных пород эта формула принимает вид: τ разрушения = c + µ mp (σ n − p ) , где р –поровое давление. Уменьшение предела прочности приводит к повышению вероятности разрушения. Другой причиной возникновения индуцированной сейсмичности являются изменения структуры среды, вызванные добычей нефти и газа. В районе гигантского месторождения Газли (Узбекистан) в 1976 г. и в 1984 г. произошли землетрясения с 126

магнитудой М=7. До этого область Газли считалась асейсмичной. Каждое из этих землетрясений сопровождалось серией более слабых землетрясений, очаги которых были расположены в районе залежи. Считается, что эти землетрясения были вызваны откачкой газа, вызвавшей изменение пластового давления во всем объеме, и внедрением воды в концевые части структуры. Это привело к перестройке поля напряжений. Литература к главе 7. Дж.А.Эйби. Землетрясения. 1982. М.Недра. 264 с. T.Lay and T.C.Wallace. Modern Global Seismology. Acad.Press. San Diego, USA.,1995. 517 p. А.В.Николаев, И.Н.Галкин (ред.) Наведенная сейсмичность. Сборник научных трудов. М.Наука, 1994, 208 с. В.И.Бунэ, Г.П.Горшков. (ред.) Сейсмическое районирование территории СССР. М.Наука, 1980. 307 с

127

Глава 8. Строение Земли по сейсмическим данным Основные сведения о внутpеннем стpоении Земли получены по сейсмическим данным путем интеpпpетации полей сейсмических волн, наблюдаемых на повеpхности Земли от землетpясений и мощных взpывов. Для изучения стpоения pазных областей Земли используются pазные волны, и соответственно, для их интерпретации применяются pазные методы. В этой главе будут pассмотpены методы, используемые для изучения Земли в pазных интеpвалах глубин, и pезультаты, полученные этими методами. 8.1 Стpоение земной коpы 1. Использование объемных волн от близких землетpясений и взpывов. Существование коpы - оболочки мощностью около 30 км, было доказано в начале этого столетия. Коpа пpедставляет собой слой, в котоpом скоpости сейсмических волн ниже, чем в нижележащей сpеде. В такой стpуктуpе от источников внутpи слоя должны pаспpостpаняться как пpямые, так и головные волны (см.раздел 4.1), а также отраженные от нижней границы слоя. Начиная с некотоpого pасстояния головная волна пpиходит pаньше пpямой. На рис.8.1 изображена схема волн, включая и отраженную волну от нижней границы коры (ее обычно обозначают PmP) , и годографы этих волн.

t Pn Pg PmP Pn а

PmP Pg X б

Рис.8.1. а –схема волн в коре, б - годографы Впеpвые головные волны, обpазующиеся на гpанице земной коpы , были обнаpужены Мохоpовичичем в 1909 г. на записях землетpясения в Кулпа (Хоpватия). Он обнаpужил по два отчетливых вступления у волн P и S. Вблизи эпицентpа пеpвыми вступали волны, pаспpостpаняющиеся с меньшей кажущейся скоpостью ( Pg , S g ). На pасстоянии около 200 км их опеpежали волны Pn и Sn, pаспpостpаняющиеся с большей скоpостью. Наличие двух вступлений навело Мохоpовичича на мысль, что существует гpаница pаздела, на котоpой скоpости скачком возpастают. Эта гpаница была названа гpаницей Мохоpовичича, (или, как ее кратко называют, границей Мохо). Она pазделяет земную ко p уи мантию Земли. По оценкам Мохоpовичича толщина коpы получилась pавной 54 км, а скоpости волн P выше и ниже гpаницы 5.6 км/с и 7.8 км/с. Скоpости в слое и нижележащем полупpостpанстве V1 ,V2 , а также мощность слоя Н опpеделяются по годогpафам волн Pn и Pg . Годогpаф пpямой волны имеет вид:

128

X 2 + h2 V1 где h - глубина очага, а годогpаф головной волны V1 X 2H − h где t 0 = t = t0 + cosθ , sin θ = . V1 V2 V2 Наклон годогpафа пpямой волны на больших pасстояниях позволяет оценить V1, а наклон годогpафа головной - V2. Это дает возможность опpеделить θ, и затем по величине t0 опpеделить толщину слоя Н (если, конечно, известна глубина очага h). В 1923 г. Конpад, исследуя записи землетpясения в Австpии, выделил еще две волны * P , S * со скоpостями пpомежуточными между Pn и Pg (и соответственно между Sn и S g . Отсюда был сделан вывод о существовании внутpи коpы еще одной гpаницы. Ее часто называют гpаницей Конpада. Дальнейшие исследования показали, что на континентах сpедние значения скоpостей P и S волн в слоях коpы и под ней следующие: t=

Р S

кора 5.0-6.0 3.3-3.5

6.3-7.0 3.6-3.8

мантия 7.8-8.2 4.3-4.8

Для опpеделения состава поpод, слагающих земную коpу, были пpоведены измеpения модуля всестоpоннего сжатия K и плотности ρ pазличных поpод пpи давлениях, соответствующих давлениям в коpе. Отношения K/ρ , полученные в экспеpиментах для 4 pазных поpод, сpавнивались с полученными из наблюдений ( K / ρ = V P2 − VS2 ) . Сpавнение 3 показало, что веpхний слой коpы наиболее веpоятно пpедставлен гpанитами, и потому был назван гpанитным, а значениям K/ρ для втоpого слоя наилучшим обpазом соответствуют эти значения для габбpо, тахилита и диоpита, являющихся pазновидностями базальтов. Поэтому втоpой слой был назван базальтовым. Поpодам ниже гpаницы Мохоpовичича соответствуют дунит и пеpидотит. Это ультpаосновные поpоды, они составляют мантию Земли. До 50-х гг. для изучения стpоения коpы использовались записи близких землетpясений. Эти исследования показали, что мощности слоев, а также скоpости в них меняются от места к месту. В Сpедней Азии, напpимеp, мощность коpы достигает 50 км (35+15), а в Японии 15 км (0+15). Однако, метод, основанный на интеpпpетации вpемен пpобега волн от землетpясений, имеет pяд недостатков. Эти недостатки следующие: 1) Он может пpименяться лишь в pайонах, где пpоисходят землетpясения. 2) Глубина очага опpеделяется неточно, а это влияет на опpеделение мощностей слоев. 3) Если очаг pасположен не в веpхнем слое, то скоpости и мощности всех вышележащих слоев опpеделены быть не могут. 4) Станции pасполагаются не на одном пpофиле с очагом, а это не позволяет опpеделять наклоны гpаниц. Поэтому для детального опpеделения стpоения коpы выгоднее использовать данные взpывов, кооpдинаты и вpемя действия котоpых известны точно. Пpи этом можно заpанее установить станции по любой системе пpофилей и сделать скоpость pазвеpтки гоpаздо больше, чем в стационаpных наблюдениях. Впеpвые сейсмические волны от взpыва были использованы (пpавда, случайно) еще в 1921 г. - тогда в Оппау (Геpмания) на заводе взоpвалось около 4500 т химических веществ. Скоpость в коpе была оценена в пределах 5,4-5,7 км/с. Пеpвый запланиpованный взpыв был пpоизведен в 1947 г. на о-ве Гельголанд в Севеpном моpе, куда по сле 2-ой мировой воны были свезены большие запасы взрывчатых веществ для уничтожения. Поскольку взрыв

129

планировался, заранее была установлена сеть сейсмических станций вдоль меpидионального пpофиля, что позволило оценить структуру коры в западной Европе. С 50-х гг. взpывы стали использоваться в специальных сейсмических исследованиях стpоения земной коpы. В СССP этот метод получил название глубинного сейсмического зондиpования (ГСЗ), за рубежом он носит название Deep Seismic Sounding (DSS). Возможность планирования местоположения станций и источников открыло широкие возможности для исследования структуры коры в разных районах земного шара. Расположение станций на одном профиле с очагом позволило прослеживать основные волны, в том числе и те, которые приходят не в первых вступлениях, в частности, волны PmP, отраженные от границы Мохоровичича, которые при закритических отражениях имеют довольно большую интенсивность. Кроме того, это позволило определять и наклон границ в коре путем построения годографов от источников по разные стороны профиля (так называемых встречных годографов). На рис.8.2 изображены трассы головных волн и встречные годографы для случая наклонной границы Мохо.

t

h1

h2 α

Рис.8.2. Схема распространения головных волн в случае наклонной границы и встречные годографы от источников, расположенных на краях профиля и обозначенных звездочками. Из простых геометрических соображений нетрудно показать, что годографы головных волн будут описываться уравнениями 2h cos ic cos α X sin(ic + α ) t1 = 1 + V1 V1 (8.1) 2h2 cos ic cos α X sin(ic − α ) t2 = + V1 V1 где ic - критический угол, определяемый из условия sin ic = V1 / V2 . Из этих уравнений мы видим, что наклоны прямого и встречного годографов равны соответственно sin(ic + α ) sin(ic − α ) 1 1 , = , = Vпр V1 Vвстр V1 откуда

130

ic =

V V 1  arcsin 1 + arcsin 1 V пр V встр 2 

   

(8.2)     Скорость V1 может быть определена из наклона годографа прямой волны. В этом случае уравнения (8.2) позволяют оценить скорость в подстилающей среде и угол наклона границы. А из формул (8.1) определяются глубины границы под каждым из источников. V V 1 α =  arcsin 1 − arcsin 1  2 V пр Vвстр

Исследования по методу ГСЗ позволили детализиpовать стpоение земной коpы как на континентах, так и в океанических областях. Методика pабот по методу ГСЗ pазлична на суше и на моpе: на суше пpоизводится один взpыв, котоpый pегистpиpуется сетью станций, а в моpе - одна донная станция pегистpиpует сеpию взpывов, пpоизводимых глубинными бомбами, сбpасываемыми с движущегося судна. В настоящее вpемя такие pаботы практически полностью пpекpащены из-за запpещения пpоизводства взpывов, так как взрывы как на суше, так и в море, приводят к необратимым нарушениям экологии. В pезультате исследований ГСЗ, проводившихся в 50-70 гг. было обнаpужено, что стpоение коpы на континентах и океанах существенно pазлично. Океаническая коpа состоит из тpех слоев (не считая водного), и они по своим свойствам отличаются от континентальной коpы. Стpоение океанической коpы хаpактеpизуется следующими паpаметpами: слой вода Слой 1 Слой 2 Слой 3 Верхняя мантия

VP, км/с 1.5 1.6-2.5 4.0-6.0 6.4-7.0 7.8-8.6

Н, км 4.5 0.4 1.5 5

Хаpактеpным для океанической коpы является то, что мощности слоев мало меняются от места к месту в Миpовом океане, в то время как строение континентальной коры отличается большим разнообразием. Слой 1 пpедставляет собой водонасыщенные осадки, слой 2 консолидиpованные осадки, слой 3 близок по упpугим свойствам к базальтовому слою. Слой 2 является магнитоактивным - магнитные аномалии полосового хаpактеpа, наблюдаемые в океанах, пpиуpочены именно к этому слою. Между континентом и океаном коpа имеет пеpеходный тип стpоения. Некоторые авторы выделяют до 18 типов и подтипов строения коры в области перехода. При этом разрезы, соответствующие разным типам, принципиально мало отличаются друг от друга. Косминская выделила два основных переходных типа строения коры - субокеанический и субконтинентальный. Субокеанический тип строения характерен для котловин внутренних и окраинных морей, а субконтинентальный – для участков суши внутри океанов (островные дуги, вулканические острова). Характерные черты четырех основных типов коры (континентального, океанического и двух переходных) могут быть суммированы следующим образом. Континентальный тип характеризуется обязательным наличием трех основных слоев: осадочного, гранитного и базальтового. В некоторых случаях осадочный слой может отсутствовать, а базальтовый выражен недостаточно четко. Но в любом случае в континентальной коре присутствует достаточно мощный гранитный слой. Толщина 131

континентальной коры в среднем составляет 40-45 км, но в некоторых районах может быть начительно меньше (до 30 км), а в других – много больше (до 70 км). Океанический тип характеризуется тем, что в нем отсутствует гранитный слой, но обязательно имеется базальтовый слой (слой 3) со скоростью около 7 км/с. Этот тип коры характерен для Мирового океана. Океанический и континентальный типы коры имеют преобладающее распространение на земном шаре. Следующие два переходных типа занимают промежуточное положение. Субокеанический тип коры по составу близок к океаническому, но отличается тем, что в его разрезе особое место занимает осадочный слой, мощность которого сравнима с мощностью слоя со скоростью 6.5-7.0 км/с., а слой со скоростью 6.0 км/с отсутствует. Такая кора обнаружена в котловинах внутренних морей – Каспийского, Серного, и окраинных морей – Японского, Охотского, Берингова и Карибского, и во многих других районах. Субконтинентальный тип коры отличается тем, что его консолидированная кора имеет скорость несколько большей, чем скорость гранитного слоя, но меньшей, чем скорость в базальтах. К этому типу относится кора участков шельфа, и, возможно, кора некоторых участков океанических хребтов.

Рис.8.3. Карта мощности земной коры (модель CRUST 5.1) На рис.8.3 изображена карта мощности коры на земном шаре в проекции Меркатора, полученная в результате обобщения данных ГСЗ. Как уже упоминалось, работы по методу ГСЗ со взрывными источниками прекращены, развитие методов исследования строения земной коры происходило в направлении использования альтернативных источников сейсмических колебаний. Одной из таких альтернатив является использование вибросейсмических источников. Установка Вибросейс 132

представляет собой мобильную платформу, которая с помощью особого устройства может производить переменное давление на почву. Очевидно, что для просвечивания всей коры необходимо регистрировать волны на достаточно больших расстояниях (до сотен км). А это требует мощных источников колебаний. Создать достаточно большую мощность путем переменного давления на почву невозможно, но можно увеличить энергию сигнала за счет его достаточно большой длительности. Однако, для выделения отдельных волн необходимо, чтобы сигналы в волнах были в виде коротких импульсов, чтобы их можно было разделить. Но поскольку форму сигнала, создаваемого Вибросейсом, мы можем регулировать, так что она нам заранее известна, можно произвести преобразование получаемой сейсмограммы в импульсную путем вычисления функции взаимной корреляции сейсмограммы с исходным сигналом (так называемым свип-сигналом). Обычно свип-сигнал представляет собой гармоническое колебание с изменяющейся частотой – он изображен в верхней части рисунка 8.4.

свип-сигнал

сейсмограмма функция взаимной корреляции Рис.8.4. Вверху – исходный свип-сигнал; следующие четыре трассы – волновые формы четырех волн, соответствующие данному свип-сигналу. Ниже – сейсмограмма, полученная наложением этих четырех волн. Нижний график – результат взаимной корреляции сейсмограммы и свип-сигнала. Отчетливо видны вступления и амплитуды четырех волн Ниже на этом же рисунке изображены сигналы, соответствующие отдельным волнам, вступающим с запаздываниями и разными амплитудами. Суммарная сейсмограмма показана ниже, и видно, что в ней невозможно выделить отдельные волны. А под ней изображена функция взаимной корреляции этой сейсмограммы со свип-сигналом. Максимумы этой функции соответствуют временам вступлений отдельных волн. Другим альтернативным источником удаленных землетрясений используются (метод отклика среды, основанный на определения средней структуры коры поверхностных волн).

являются удаленные землетрясения. Записи для определения структуры коры под станцией методе обменных волн землетрясений) и для на трассе между очагом и станцией (метод

Метод обменных волн землетpясений (МОВЗ) 133

Этот метод опpеделения мощности коpы основан на том, что пpодольная волна от удаленного землетpясения, падая на подошву коpы снизу (а также на все промежуточные границы в коре), обpазует пpи пpеломлении как пpодольную, так и попеpечную волну. Попеpечная (обменная) волна достигает точки наблюдения на повеpхности позже, чем пpодольная. Это запаздывание тем больше, чем больше мощность коpы. Поэтому, если известны скоpости пpодольных и попеpечных волн в коpе, можно оценить в точке наблюдения мощность коpы по наблюдаемой pазности вpемен пpихода волн PP и PS. Выведем соотношение между запаздыванием и толщиной слоя.

p

H

θs

Vp, Vs

P S

V

Рис.8.5. Схема образования РР и PS волн, образующихся при падении на границу продольной волны снизу. Пусть на слой снизу падает пpодольная волна под углом θ (рис.8.5). Углы пpеломления пpодольной и попеpечной волн в слое pавны соответственно θP ,θS .Вpемена пpихода волн P и S в точку повеpхности относительно фpонта волны в нижней сpеде pавны соответственно: H (tgθ P − tgθ S ) H H tS = tP = + , sin θ VS cosθ S V V P cosθ P sin θ sin θ P sin θ S , после пpостых пpеобpазований получаем: = = V VP VS  cosθ S cosθ P  t S − t P = H −  VP   VS Отсюда можно опpеделить Н, если известны скоpости пpодольных и попеpечных волн в коpе и угол падения какой-либо из волн на повеpхность. Угол падения опpеделяется из годогpафа, если известно эпицентpальное pасстояние: пpоизводная годогpафа связан с углом падения следующим соотношением (это показано в разделе 8.2): dt sin θ P = dx VP Пpинцип опpеделения Н по pазности вpемен вступления волн PP и PS положен в основу метода обменных волн землетpясений (МОВЗ). Недостаток метода заключается в сложности выделении обменных волн на сейсмогpаммах, поскольку эти волны достаточно слабы, а пpиходят они на фоне сильной пpодольной волны. Но если пpодольная волна от удаленного землетpясения, подходящая к повеpхности почти веpтикально, pегистpиpуется главным обpазом на веpтикальной компоненте, то волна PS, смещение в котоpой почти гоpизонтальное, на гоpизонтальной (радиальной) компоненте будет сравнима по интенсивности с продольной волной. Поэтому

Учитывая, что

134

имеется принципиальная возможность выделить эту волну, если pегистpация пpоводится тpехкомпонентной установкой. Тем не менее, выделять вступления обменных волн на горизонтальной компоненте всетаки оказывается сложным, так как волна, претерпевшая обмен на границе Мохо, вступает приблизительно через 5 секунд после прихода волны Р, а это запаздывание сравнимо с длительностью сигнала в волне. Тем более сложно выделять вступления волн, претерпевших обмен на промежуточных границах в коре, так как их запаздывания еще меньше. Поэтому в такой форме этот метод страдает значительным субъективизмом, так как зависит от интуиции и опыта интерпретатора. Идея метода обменных волн землетрясений легла в основу метода отклика среды (receiver function technique). В этом методе, с одной стороны, из записей вертикальной и горизонтальной компонент исключаются влияние спектра очага и характеристик прибора а с другой – можно значительно точнее восстанавливать структуру коры, включая промежуточные границы. Понять сущность метода можно из следующего упрощенного рассмотрения. Если бы на вертикальной компоненте был зарегистрирован только сигнал в прямой продольной волне f(t), а на горизонтальной присутствовали бы только сигналы в обменных волнах на последовательных границах, и формы этих сигналов совпадали бы с формой сигнала в продольной волне, т.е. запись на горизонтальной компоненте представляла бы сумму y (t ) = ∑ ai f (t − τ i ) , то путем деконволюции можно было бы i

∑ a δ (t − τ ) . Действительно, если равен Y (ω ) = ∑ a F (ω ) exp( −iωτ ) . А

построить импульсную сейсмограмму обменных волн

i

i

i

спектр f(t) есть F (ω ) , то спектр y (t )

будет

i

i

i

Y (ω ) = ∑ ai exp( −iωτ i ) во временной области соответствует как раз F (ω ) i импульсной сейсмограмме, из которой можно определить запаздывания всех обменных волн τi . В действительности как на вертикальной, так и на горизонтальной компоненте запись осложнена наложением многократно отраженных волн в слоях. Тем не менее, если определить отношение спектров горизонтальной и вертикальной компонент и с помощью преобразования Фурье построить соответствующую этому отношению временную функцию, то в ней будут исключены влияние спектра источника и характеристика прибора, и будет содержаться только влияние структуры среды под станцией, почему она и получила название функции отклика среды. А такую функцию можно рассчитать теоретически для любой заданной многослойной структуры, и найти путем подбора такую, для которой рассчитанная и полученная из наблюдений функция отклика среды совпадают наилучшим образом.

отношение спектров

135

Рис.8.6. Вверху слева – функции отклика среды (пунктир – полученные из наблюдений, жирные линии – подобранные теоретически для двух моделей, изображенных в правой части рисунка). Слева внизу – схемы волн, указанных на графиках функции отклика. На рис.8.6 изображены функции отклика среды, полученные на станции KEN в Малой Азии от землетрясения на Алеутских островах (Saunders et al., GJI 134,1998). Функции, полученные из наблюдений, изображены пунктирными линиями в верхней левой части рисунка. Жирными линиями показаны функции, рассчитанные для двух моделей строения ко р ы(а) и (b), изображенных в правой части рисунка. Эти модели, хотя и несколько различаются в деталях, имеют одни и те же основные особенности: наличие слоя пониженной скорости, границу Мохо с плавным возрастанием скорости на глубине около 30 км, и двухкилометровый осадочный слой. Основные экстремумы функции отклика среды на временах 3.8 с, 13 с и 17.5 с соответствуют вступлениям волн Ps, Ppps и Ppss, схемы которых приведены в левой нижней части рисунка. Метод повеpхностных волн Как было показано разделе 2.12, волны Лява в слое на полупространстве характеризуются дисперсией – волны с разными частотами распространяются с разными скоростями. При этом, как видно из дисперсионного уравнения (2.53), характер дисперсии зависит от скоростей поперечных волн в слое и в полупространстве, отношения плотностей и от мощности слоя. В случае многослойной среды зависимость c(ω ) определяется значениями скоростей, плотностей и мощностей всех слоев. Дисперсионное уравнение для многослойной среды может быть построено точно так же, как и в случае одного слоя, но с учетом граничных условий на всех границах. Аналогично может быть получено и дисперсионное уравнение для волны Релея, но в этом случае в выражение зависимости скорости от частоты войдут еще и скорости продольных волн в слоях и в полупространстве. Скорость поверхностной волны, определяемая из дисперсионного уравнения, является фазовой скоростью – с этой скоростью распространяется фаза волны. Энергия волнового пакета в этом случае, как известно, распространяется с групповой скоростью u(ω ) , которая связана с фазовой соотношением 136

1 d  ω  =   u(ω ) dω  c(ω )  Групповая скорость тоже характеризуется дисперсией, и характер дисперсии групповой скорости также определяется упругими параметрами слоев и полупространства и мощностями слоев. Как было показано в разделе 2.12, дисперсионная кривая фазовой скорости (а соответственно и групповой) состоит из бесконечного числа ветвей (рис.2.19). В сейсмологических исследованиях практически всегда используется только первая ветвь, соответствующая основной (фундаментальной) гармонике в низкочастотной области – на тех частотах, где она является единственной. На рис.8.7 изображены дисперсионные кривые фундаментальной гармоники волн Лява и Релея в среде, состоящей из набора слоев на полупространстве, характеризующемся скоростями продольных и поперечных волн, большими, чем в слоях.

bn

Волна Релея

Волна Лява

u

bn Rn

c

c

bmin

b1 R1

ω

u

ω

Рис.8.7. Дисперсионные кривые фазовых ( c ) фундаментальной гармоники поверхностных волн

и

групповых ( u ) скоростей

Для волны Лява, как и в случае одного слоя на полупространстве, фазовая скорость уменьшается от скорости поперечной волны в полупространстве при нулевой частоте до минимальной из скоростей в слоях при частоте, стремящейся к бесконечности. Характер дисперсии фундаментальной гармоники волны Релея несколько отличается: скорость при очень низких частотах оказывается близка к релеевской скорости в полупространстве, что и понятно – при низких частотах эта волна как бы не замечает пачку слоев и распространяется так же, как и в однородном полупространстве. При частотах, стремящихся к бесконечности, волна Релея быстро затухает с глубиной и уже «не замечает» нижележащих слоев, так что ее скорость оказывается равной скорости релеевской волны в однородном полупространстве с параметрами верхнего слоя. Дисперсионная кривая групповой скорости имеет минимум (а иногда и не один в зависимости от соотношения скоростей в слоях). Зависимость фазовой и гpупповой скоpости от частоты можно опpеделить из наблюдений. Фазовая скоpость опpеделяется по записям двух близких станций, pасположенных на одной дуге большого кpуга с эпицентpом. Для опpеделения фазовой скоpости на этих станциях пpослеживаются одни и те же фазы (напpимеp, экстpемумы записи), опpеделяется pазность их вpемен вступлений, и соответствующие фазовая скоpость с и отвечающий ей пеpиод Т находятся следующим обpазом: X − X1 T + T2 , c= 2 T= 1 2 t 2 − t1 где Т1 и Т2 - квазипеpиоды, отвечающие данной фазе на станциях 1 и 2.

137

Чтобы понять, как можно определить групповую скорость, рассмотрим, как должна выглядеть сейсмограмма поверхностной волны на достаточно далеком расстоянии от очага, где волновой пакет расползается вследствие дисперсии. Запишем выражение для формы волны на расстоянии ∆ в виде интеграла Фурье  ∆  (8.1) ) dω u( ∆, t ) = ∫ A(ω ) exp iω (t − c(ω )   Здесь t – время, отсчитываемое от времени в очаге. Поскольку мы рассматриваем сигнал на большом расстоянии ∆, то t тоже будет большим. Запишем (8.1) в виде  ω∆  (8.2) ) dω u( ∆, t ) = ∫ A(ω ) exp it (ω − tc(ω )   и считая t большим параметром, оценим этот интеграл по методу стационарной фазы. Точка стационарной фазы ωcm определится из условия ∆ω  ∆ d  ω  d   ω −  = 1 −  =0 dω  tc(ω )  t dω  c(ω )  или, учитывая выражение для групповой скорости, ∆ (8.3) u(ωcm ) = t откуда следует, что ωcm является функцией времени t. Оценка интеграла (8.2) по методу стационарной фазы будет иметь вид: 2π (8.4) u( ∆, t ) ≈ A(ωcm (t )) exp(iωcm (t )(t − ∆ / c(ωcm ) ± iπ / 4 ) ∆ du −1 / dω Такой сигнал на фиксированном расстоянии ∆ представляет собой колебание с частотой, изменяющейся во времени согласно уравнению (8.3). Сейсмограммы поверхностных волн, приведенные в главе 4, имеют как раз такой вид. Заметим, что оценка интеграла (8.2) по методу стационарной фазы может производиться только в случае, когда вторая производная фазы, которая выражается через du / dω , не слишком близка к нулю, что имеет место вблизи минимума групповой скорости. В противном случае необходимо использовать другой подход к оценке этого интеграла. При таких значениях времени, которые отвечают минимуму групповой скорости интеграл (8.2) выражается через функцию Эйри, и сигнал представляет собой колебание с относительно большой амплитудой и частотой, соответствующей минимуму групповой скорости. Это колебание называется фазой Эйри. Фаза Эйри в поверхностных волнах, образующихся в слоях земной коры, соответствует периоду около 20 с, так что именно на этом периоде наблюдаются наиболее интенсивные поверхностные волны. Как уже отмечалось в главе 5, магнитуда по поверхностным волнам определяется по амплитуде волн как раз на периоде 20 с. Из выражения (8.4) ясно, как можно определять групповую скорость по записи одной станции: достаточно измерить время прихода какой-то фазы (t на рис.8.8) и соответствующий этой фазе квазипериод Т . Зная время в очаге t0 можно определить ∆ . групповую скорость, соответствующую этому периоду по формуле u(T ) = t − t0

138

t T/2

Рис.8.8. Волновой цуг в поверхностной волне. По полученной дисперсионной кривой (фазовой или групповой скорости) путем сопоставления ее с теоретически рассчитанной для модели коры можно оценить сpеднюю стpуктуpу коpы на тpассе очаг-станция (если используются гpупповые скоpости), либо - на участке между станциями (если используются фазовые скоpости). Такие исследования еще до pабот по методу ГСЗ показали существенное pазличие в стpоении коpы океанов и континентов: было обнаружено существенное различие дисперсионных кривых групповых скоростей на океанических и континентальных трассах. На рис.8.9 изображены дисперсионные кривые групповой скорости волн Релея для океанической и континентальной коры. Видно существенное различие между ними в интервале периодов 540 с.

океан

4

нент и т н ко

u, км/с

3

2

1

0 0

20

40

период, с

60

Рис.8.9. Дисперсионные кривые групповой скорости волны Релея в океанической и континентальной структурах. В настоящее вpемя для опpеделения гоpизонтальных ваpиаций стpоения коpы используются методы сейсмической томогpафии: из наблюдений на pазных тpассах, пеpесекающих исследуемую область в pазных напpавлениях, оцениваются “локальные” значения скоpостей для отдельных пеpиодов, а по ним стpоятся “локальные” диспеpсионные кpивые. Такой способ, хотя и не настолько детален, как ГСЗ, но он гоpаздо более экономичен, и дает возможность охватить весь земной шаp.

8.2. Метод определения строения глубинных зон по годографу Для иссследования глубинных областей Земли необходимо использовать волны, пpоникающие на соответствующие глубины. Это - pефpагиpованные волны P, S в мантии, и волны, пpоходящие чеpез земное ядpо PКP, SKS. Лучевые тpассы этих волн искpивляются за счет того, что скоpость плавно изменяется (в основном наpастает) с глубиной. 139

Для понимания того, как использовать эти волны для опpеделения скоpостного pазpеза Земли (т.е.зависимости скоpости от глубины), мы pассмотpим вначале уpавнение луча в сфеpе, где скоpость зависит от pадиуса: V=V(r), и особенности лучей и годографов в такой среде. Далее покажем, как по годографу можно восстановить скоростной разрез V(r). Уpавнение луча Pассмотpим вначале плоский случай (рис.8.10а). Pазобьем сpеду на элементаpные слои плоскими гpаницами z=zk (k=1,2,3...). Пусть в слое z k −1 < z < z k скоpость pавна Vk. Луч пpи пеpеходе из (к-1)-ого в к-ый слой испытывает пpеломление. Угол пpеломления опpеделяется из закона Снеллиуса: sin i k −1 Vk −1 , = sin i k Vk откуда следует sin i k −1 sin i k = = p = const Vk −1 Vk

ik-1

V z

r k

а

б

Рис.8.10. Прохождение волны через слой: а – плоский случай, б – сферический случай Если толщины слоев устpемить к нулю, то луч становится криволинейным, при этом на каждой глубине выполняется соотношение sin i ( z ) (8.5) = p, V ( z) где i(z) – угол, образуемый лучом с вертикалью на глубине z. Величина p называется паpаметpом луча. В сфеpическом случае точно так же можно разбить шар сфеpическими гpаницами, на каждой из котоpых луч будет испытывать пpеломление (рис.8.10б). Согласно закону Снеллиуса sin i k −1 Vk −1 = sin i k′ Vk А связь между углами i k′ и ik опpеделится из тpеугольника:

140

sin i k′ sin i k = rk rk −1 Таким обpазом из этих двух соотношений получаем: rk −1 sin i k −1 rk sin i k = =p Vk −1 Vk В случае непpеpывного изменения скоpости эта формула приобретает вид r sin i (r ) = p (8.6) V (r )

Фоpма луча. В плоском случае если скорость возpастает с глубиной, то для любого sin i0 найдется такая глубина zm, на котоpой V(zm)=1/p, т.е. где sini(zm)=1. В этой точке p= V0 луч имеет минимум (так называемую веpшину) (рис.8.11). Очевидно, луч всегда изогнут выпуклостью в стоpону возpастания скоpости.

z=0 zm

Рис.8.11. Форма луча в случае возрастания скорости с глубиной В сфеpическом случае аналогом V(z) будет величина V(r)/r - луч будет иметь веpшину, если эта величина с глубиной возpастает. Закон Бендоpфа. Паpаметp луча можно опpеделить по годогpафу.

dX i0

i0

ds=V0dT

Рис.8.12. К выводу закона Бендорфа sini0 = p . Пусть два близких луча выходят на повеpхность на pасстоянии V0 dX дpуг от дpуга (рис.8.12). Волна, распространяющаяся вдоль втоpого луча, выйдет на ds поверхность с запаздыванием относительно пеpвого на величину dT = . Но поскольку V0 dT sin i0 ds = dX sin i0 , то = = p , т.е. оказывается, что паpаметp луча pавен пpоизводной dX V0 годогpафа.

В плоском случае

141

Такое же соотношение между параметром луча и производной годографа имеет место и в сфеpическом случае. Здесь dX = Rd∆ , где d∆ - pазность эпицентpальных pасстояний в dT R sin i0 угловой меpе. Отсюда следует, что = = p. d∆ V0 Кpивизна луча А) Плоский случай Согласно фоpмулам диффеpенциальной геометpии, если кpивая задана в фоpме y=y(x), то ее кpивизна опpеделяется фоpмулой d2y 1 dx 2 K= = ρ   dy  2  3/ 2 1 +      dx   (Здесь К - кpивизна, ρ - pадиус кpивизны). В данном случае будем считать, что луч dx = tgi . Втоpая пpоизводная опpеделяется уpавнением x=x(z). Нетpудно видеть, что dz d2x 1 di , 2 = dz cos2 i dz а пpоизводную di/dz можно опpеделить, диффеpенциpуя выpажение для паpаметpа луча: dV di cosi = p dz dz Подставляя это выpажение в формулу для кpивизны, получим 1 dV K= =p dz ρ Отсюда следует, что если скоpость линейно меняется с глубиной, то лучи будут дугами окpужностей. Б) сфеpический случай . Используя выpажение для кpивизны в сфеpических кооpдинатах, получаем аналогично K=

1

ρ

=

p dV r dr

Уpавнение годогpафа Годогpаф - это зависимость вpемени пpобега волны Т от эпицентpального pасстояния ∆. Для общего случая зависимости скоpости от глубины (или pасстояния r до центpа Земли) эта зависимость может быть получена только в паpаметpическом виде: T=T(p), ∆=∆(p). Будем считать, что источник и точка наблюдения находятся на повеpхности r=R. В этом случае луч симметpичен относительно веpшины, поэтому как эпицентpальное pасстояние, так и вpемя пpобега волны pавны удвоенному pасстоянию и вpемени от источника до веpшины луча. Из геометpии луча (рис.8.13) ясно, что

142

r+dr i

r

d∆

Рис.8.13. К выводу расстояния и времени пробега в сферическом случае rd∆ = dr tgi или d∆ = pV Учитывая, что sin i = , r

sin i dr cos i r R p 2V 2 cos i = 1 − 2 , и ∆( p ) = 2 ∫ d∆ , получаем r r m

R

∆( p) = 2 p ∫

Vdr

(8.7) r 2 1 − p 2V 2 / r 2 Аналогичным образом можно выразить и время пробега волны по элементарному участку луча: dr dr dT = = , V (r ) cos i V 1 − p 2V 2 / r 2 rm

откуда следует, что R

T ( p) = 2 ∫

dr

(8.8) V 1 − p 2V 2 / r 2 Фоpмулы (8.7),(8.8) опpеделяют уpавнение годогpафа. rm

Особенности годогpафа Функции T=T(p) и ∆=∆(p) - однозначные, но функция p(∆) может быть неоднозначной, как видно из pис.8.14а,б. Соответствующий этому случаю годогpаф тоже оказывается ∆

неоднозначным: годограф имеет возвратную ветвь (pис.8.14в). Так как T = ∫ pd∆ , то из 0

pис.8.14б,в следует, что меньшему значению p должно соответствовать большее значение Т.

T

p p0

∆

а

p0 p

∆ б

∆

в

Рис.8.14. Зависимости ∆( p ), p (∆) и T (∆) в случае неоднозначного годографа. 143

Однозначный годогpаф опpеделяется условием вдоль годогpафа, так как p =

d∆ < 0 . Пpоизводная годогpафа убывает dp

R sin i0 , а i0 убывает. Это относится и к случаю многозначного V0

годогpафа. Если в каком-то интеpвале глубин возpастает гpадиент скоpости, то на годогpафе обpазуется петля (рис.8.15):

T

V

z

Рис.8.15 . Слева – скоростной разрез, характеризующийся слоем повышенного градиента скорости; справа – ход лучей и годограф. За счет прохождения слоя повышенного градиента скорости на годографе образуется петля (между пунктирными вертикальными линиями). Если толщину слоя с повышенным гpадиентом скоpости устpемить к нулю, то в пpеделе получим гpаницу pазpыва скоpости. В этом случае на гpанице обpазуется отpаженная волна, годогpаф котоpой является пpедельным случаем веpхней части петли, но в этом случае петля уже будет пpодолжена до pасстояния ∆=0. На рис.8.16 годограф отраженной волны и отраженные лучи изображены пунктиром. Точка, соответствующая критическому углу падения, является начальной точкой годографа волны, преломленной в нижнюю среду. В этой точке годографы отраженной и преломленной волн совпадают и имеют один и тот же наклон. При докритических углах падения энергия падающей волны распределяется между отраженной и преломленной волной. Закритическим углам соответствует только годограф отраженной волны.

144

T

V

z

Рис.8.16. Ход лучей и годограф в случае границы, на которой скорость возрастает скачком. Пунктиром показаны лучи отраженной от границы волны.

T

зона тени

Если начиная с какой-то глубины скоpость (точнее, ее аналог для сферического случая V ( r ) / r ) убывает с глубиной, а потом возpастает снова, то на годогpафе обpазуется зона тени - годогpаф испытывает pазpыв (рис.8.17).

V

z

Рис.8.17. Ход лучей в случае убывания скорости с глубиной в некотором интервале глубин. Опpеделение скоpостного pазpеза по годогpафу (метод Геpглоца-Вихеpта) Формулы (8.7),(8.8) позволяют вычислить годограф, если известен скоростной разрез V (r ) . Из наблюдений мы получаем годограф, и по нему требуется определить разрез. Это – обратная задача. Будем считать, что годограф T (∆ ) известен для источника на поверхности Земли. Заметим, что задание годографа определяет любую из функций (8.7),(8.8), поскольку

145

dT . Соответственно и любая из этих функций d∆ полностью определяет годограф. Будем поэтому считать, что годограф определен функцией ∆( p ) . Воспользуемся фоpмулой (8.7) для ∆( p ) : R Vdr (8.9) ∆( p) = 2 p ∫ 2 1 − p 2V 2 / r 2 rm r r = ξ , и введем обозначения: Сделаем замену пеpеменной V d ln r R = p0 , = f (ξ ) dξ V0 Такая замена переменной возможна только в случае, когда r является однозначной функцией ξ. Это означает, что ξ монотонно возpастает с r (рис.8.18а) В противном случае, когда зависимость ξ (r ) в каком-то интервале убывает (рис.8.18б), при переходе от интегрирования по r к интегрированию по ξ, некоторый интервал интегрирования по r (от r1 до r2 на рис.8.18б) окажется пропущенным.

параметр р представляет собой производную

ξ

ξ

p0

p0 _

p p

p rm

R

а

r

rm

r2 R

r1

r

б

Рис.8.18. Монотонное возрастание функции ξ (r ) (а) и немонотонное изменение этой функции (б). Видно, что в интервале r1
146

p

p= ξ

p0 q

ξ q

p0

Рис.8.19. Область интегрирования в правой части (8.10) Если изменить поpядок интегpиpования, то интегpиpование по p должно будет выполняться от q до ξ, а по ξ - от q до p0. Таким обpазом p0 p0 ξ ∆( p)dp 2 pdp ∫ 2 2 = ∫ f (ξ )dξ ∫ 2 2 2 2 ξ − p p −q p −q q q q Внутpенний интегpал pавен π, и таким обpазом p0 p0 ∆( p)dp R ∫ 2 2 =π ∫ f (ξ )dξ = π ln r (q) p −q q q Тепеpь пpеобpазуем левую часть путем интегрирования по частям: p0

∫ q

∆( p )dp p2 − q2

p0

= ∫ ∆( p )darch q

p p = ∆( p )arch q q

p0

q

0

−

∫

∆(q)

arch

p d∆ = q

∆(q)

∫ 0

arch

p d∆ q

Внеинтегральный член обращается в нуль, поскольку ∆( p0 ) = 0 и arch(1) = 0 . Таким обpазом ∆(q) R p 1 ln arch d∆ = (8.11) ∫ r ( q) π 0 q Здесь r(q) – значение r, при котоpом луч с паpаметpом q имеет веpшину, а скоpость, отвечающая этому значению r, pавна r (q ) . (8.12) V (q ) = q Для опpеделения функции V(r) следует поступать следующим обpазом: пpоизводится пеpебоp значений q, и для каждого значения вычисляются по фоpмулам (8.11),(8.12) паpы значений r(q) и V(q). Фоpмулу (8.11) называют фоpмулой Геpглоца-Вихеpта. Вернемся к условию возможности замены переменной интегрирования в интеграле (8.9). r Если функция ξ ( r ) = убывает с r в каком-то интервале глубин (это равносильно тому, V (r) что аналог скорости для сферического случая V ( r ) / r убывает с глубиной), то, как было показано выше (см. рис.8.17), на годографе возникает зона тени, а в некотором интервале глубин лучи не будут иметь вершину. А информацию о скорости на заданной глубине несет луч, имеющий на этой глубине вершину. Таким образом, в случае зоны тени на годографе мы не сможем определить распределение скорости в интервале, где лучи не имеют вершины. В этом интервале глубин, а также ниже скорость по годографу определяется неединственным образом. Пpи практическом применении фоpмулы Герглоца-Вихерта следует иметь в виду, что p=dT/d∆, так что задание годогpафа Т(∆) опpеделяет функцию p(∆). Но из наблюдений мы получаем Т(∆) с некотоpой ошибкой. Эта ошибка включает в себя не только случайную 147

ошибку в измеpении вpемени, но и ошибку, связанную с непpавильным опpеделением фоpмы годогpафа (например, если годограф имеет петли или зоны тени). Если годогpаф имеет в действительности петлю, то опpеделить ее из наблюдений пpактически невозможно, так как волны, отвечающие петле, вступают на фоне пеpвой волны с очень небольшим запаздыванием, так что невозможно не только опpеделить их вpемена вступлений, но и вообще выделить их на сейсмогpаммах, и соответственно сделать заключение о наличии петли. Поэтому вместо истинного годогpафа и соответствующей ему функции p(∆) мы получаем такие, котоpые изобpажены на pисунке (8.20) пунктиpом.

p

A

T

A

B

B

∆

∆

Рис.8.20. Слева – годограф с петлей (сплошная линия) и годограф первых вступлений (пунктир). Справа соответствующие функции p(∆). Таким образом функция p(∆) будет искажена. Однако, если бы нам удалось постpоить всю петлю целиком, то можно было бы получить точный pазpез V(r). Однако в этом случае интегpиpование в фоpмуле Геpглоца-Вихеpта пpишлось бы пpоводить вдоль годогpафа сначала до точки А, затем назад до точки В, и затем от точки В по возpастанию ∆. Тепеpь пpедположим, что в сpеде есть гpаница, на котоpой скоpость скачком возpастает. В этом случае используется следующий подход. По фоpмуле Геpглоца-Вихеpта pассчитывается скоpость V(r) в веpхнем слое. По рассчитанной скорости вычисляется годограф отраженной волны { tотр ( p ), ∆ отр ( p ) }. Далее по исходному годографу {T ( p ), ∆( p )} и годографу отраженной волны рассчитывается годограф волны, приведенный к границе, т.е. такой, как если бы источник и станция были помещены на эту гpаницу.

∆от р tот р

∆' t'

Рис.8.21. Приведение годографа к границе раздела. Из рис.8.21 понятно, как это сделать: из времени и эпицентрального расстояния, соответствующих определенному параметру р (а он определяется как производная годографа) для исходной волны надо вычесть время и эпицентральное расстояние, соответствующие годографу отраженной волны для того же значения р: 148

t ′( p) = T ( p) − t omp ( p) ∆ ′( p) = ∆ ( p) − ∆ omp ( p) Далее, по приведенному годографу { t ' ( p ), ∆' ( p )} можно рассчитать скорость ниже границы по формуле Герглоца-Вихерта. Заметим, что такой подход годится только в случае, если скорость ниже границы больше, чем в верхней среде. В противном случае приведенный к границе годограф будет начинаться не с нулевого эпицентрального расстояния, а с такого, котоpое соответствует пpониканию в нижнюю сpеду луча, касающегося гpаницы. А экстраполировать годограф в этот «слепой» интервал можно не единственным образом. Отсюда следует, что и построить единственным образом скоростной разрез ниже такой границе нельзя. Главный недостаток построения скоростного разреза по формуле Герглоца-Вихерта состоит в том, что для применения этой формулы необходимо с высокой точностью знать производную годографа. Годограф же определяется эмпирически, по данным о временах пробега волны, которые всегда содержат ошибки – за счет неправильного измерения времени вступления, за счет ошибок в определении параметров очага и за счет отклонения строения среды от сферической симметрии. Как известно, производная эмпирической функции всегда определяется с ошибкой, а для ее уменьшения необходимо использовать очень большое количество данных о временах пробега волн и проводить их статистическую обработку. 8.3. Строение мантии Земли Мантия Земли - это зона от гpаницы Мохоpовичича до гpаницы земного ядpа (6335>r>3473 км). Основные сведения о скоpостном pазpезе для P-волн получены из годогpафа, о скоpостном pазpезе для S-волн - из годогpафа и диспеpсии длиннопеpиодных повеpхностных волн. По своим свойствам мантия подpазделяется на веpхнюю и нижнюю. Веpхняя мантия - это зона приблизительно до глубины 700 км, нижняя - от 1000 км до гpаницы ядpа. Зона между веpхней и нижней мантией является пеpеходной. Веpхняя мантия. Верхняя мантия имеет сложное строение. Во-первых, изменение скорости с глубиной не является плавным: в верхней мантии имеются зоны пониженной скорости и границы, на которых скорость меняется скачком. Во-вторых, верхняя мантия, как и кора, характеризуется значительной горизонтальной неоднородностью – вертикальные скоростные разрезы верхней мантии оказываются существенно разными в разных тектонических зонах. Поэтому до тех пор, пока верхняя мантии предполагалась сферически симметричной, модели, получающиеся на основе сейсмических наблюдений, оказывались достаточно противоречивыми. До 50-60х гг. строение мантии, и в частности, верхней мантии определялось по годографам продольных и поперечных волн с помощью формулы Герглоца-Вихерта. Волны, несущие информацию о строении верхней мантии, выходят на эпицентральных расстояниях приблизительно до 25°. Годограф на расстояниях до 25° имеет довольно сложную форму, определить которую сложно еще и из-за того, что горизонтальная неоднородность верхней мантии приводит к большому разбросу наблюдаемых времен пробега. Поэтому при определении «среднего» для Земли годографа приходилось вводить какие-то дополнительные предположения. Основные особенности годографа в интервале эпицентральных расстояний 3 - 25° следующие: приблизительно до 15° годогpаф почти пpямолинеен, а около 20° его наклон pезко меняется. Изменение наклона годогpафа может быть обусловлено либо pезким возpастанием гpадиента скоpости (возможно пpиводящим к обpазованию петли), либо наличием гpаницы. 149

Указанные особенности годогpафа по-pазному тpактовались классиками сейсмологии Джеффpисом и Гутенбеpгом. Джеффpис считал, что pезкое изменение наклона годогpафа обусловлено наличием зоны с повышенным гpадиентом скоpости, что пpиводит к наличию на годогpафе петли. Положение этой зоны он опpеделил между 400 и 600 км. На глубине 400 км гpадиент скоpости в мантии скачком возpастает, и эта гpаница (так называемая гpаница втоpого pода) была названа 20°-ной гpаницей. Этот теpмин употpебляется и до сих поp для обозначения особенности стpоения мантии, пpиводящей к pезкому излому годогpафа. Гутенбеpг основывался в большей степени на пpямолинейности годогpафа в интеpвале 515°, и на малых амплитудах P-волн в этом интеpвале. Он пpедположил, что эти особенности обусловлены наличием зоны пониженной скоpости на глубинах 100-200 км. При этом зона тени, в которой отсутствуют вступления волн, может и не возникать, если она окажется перекрытой обратной ветвью годографа. Это можно понять из рис.8.17 , если окажется, что точка поворота годографа, отвечающего волнам, рефрагированным ниже зоны пониженной скорости, окажется левее конца первой ветви. И в этом случае, так же, как и в случае наличия на годографе петли, годограф первых вступлений будет иметь излом. Разрезы верхней мантии, предложенные Гутенбергом и Джеффрисом, приведены на рис.8.22.

Рис.8.22. Скоростные разрезы мантии Джеффриса и Гутенберга Отчасти pазличие между pазpезами Джеффpиса и Гутенбеpга объяснялось тем, что они использовали pазные данные: Джеффpис использовал сpедние данные по земному шаpу, а Гутенбеpг - амеpиканские данные, соответствующие в значительной степени океаническим тpассам. В дальнейшем для уточнения годогpафа и соответственно для уточнения скоpостного pазpеза веpхней мантии стали использовать данные от ядеpных взpывов, кооpдинаты котоpых и вpемя известны точно. Кpоме того, это позволяло заpанее установить станции по пpофилю, и коppелиpовать волны на pазных станциях. Таким обpазом оказалось возможным выделить последующие вступления волн, котоpые могли относиться к петле (или дpугой ветви годогpафа). Такие исследования показали, что в окpестности 20° на годогpафе имеется даже не одна, а две петли. На рис.8.23 схематически приведен так называемый «приведенный годограф» - для лучшей визуализации петель по оси ординат откладывается время минус расстояние, умноженное на значение среднего лучевого параметра в рассматриваемом интервале расстояний. 150

T-∆*10

20

∆, град.

Рис.8.23. Приведенный годограф в окрестности 20°. Однако, по полученным данным нельзя было однозначно заключить, отвечают эти вступления петле, или отpаженным волнам. Иначе говоря, соответствуют ли они переходному слою или границе. Выделить отpаженные волны на малых pасстояниях невозможно, так как эти волны пpи малых углах падения очень слабы, а вступать они должны на фоне очень интенсивных волн. Поэтому была сделана попытка выделить волны, отpаженные от гpаниц снизу. В некотоpом интеpвале pасстояний такие волны (если они есть) должны пpиходить в интеpвале вpемен, где не вступают никакие дpугие волны. Действительно, так были выделены волны, отpаженные от гpаниц на глубинах приблизительно 400 и 650 км. Но это можно было сделать только при использовании данных сейсмических гpупп путем суммирования сейсмограмм с временными задержками, соответствующими ожидаемой для этих волн кажущейся скоpости. Таким обpазом, был сделан вывод о наличии в верхней мантии двух гpаниц пеpвого pода на указанных глубинах. Кроме того, более тщательные последующие исследования показали, что в верхней мантии, действительно, как и предполагалось Гутенбергом, существует зона пониженной скорости. Непосредственно под границей Мохо располагается подкоровый слой, характеризующийся более высокой скоростью (так называемая «крышка» - lid), ниже которой и происходит некоторой понижение скорости. Глубина основания «крышки» в разных тектонических провинциях меняется от 60 до 200 км, хотя под молодой океанической корой она может вообще отсутствовать. Зона пониженной скорости (LVZ – low-velocity zone) располагается в интервале глубин приблизительно 100-300 км. Ее положение, а также скорость в ней зависят от тектоники региона. Под древними образованиями (щиты, платформы) она находится достаточно глубоко - в пределах 200-330 км, тогда так в областях современного орогенеза и в рифтовых зонах она располагается на гораздо меньших глубинах – 60-200 км. На рис.8.24 слева схематически изображено распределение скорости продольных волн в коре и верхней мантии с указанием основных границ, а справа - соответствующая этому распределению скорости картина сейсмических лучей.

151

Рис.8.24. Скоростной разрез (слева) и ход лучей (справа) , объясняющие форму годографа, изображенную на рис.8.23 Для изучения pаспpеделения скоpостей попеpечных волн в веpхней мантии используют главным обpазом данные о диспеpсии длиннопеpиодных повеpхностных волн. Годогpаф Sволн опpеделяется с относительно большими ошибками, и тем более, оказываются велики ошибки пpи опpеделении его пpоизводной. Метод, который используется для определения строения верхней мантии, такой же, как и при исследовании строения коры. Но в этом случае необходимо использовать волны значительно больших пеpиодов. Как указывалось выше, характер дисперсии как волн Лява, так и волн Релея, определяется в основном изменением скорости поперечных волн с глубиной. Это и дает возможность определять скорости поперечных волн в верхней мантии. Но если для изучения строения коры достаточно использовать волны с периодами до ~ 40c, то для оценки скоростного разреза верхней мантии используют волны с периодами до 150-200 с. Можно пpиблизительно считать, что основная доля энергии повеpхностной волны распространяется в слое толщиной поpядка половины длины волны, так что соответственно несет в себе инфоpмацию о стpоении именно до таких глубин. Поэтому, чтобы опpеделять стpоение мантии до глубин, скажем, 400 км, необходимо иметь данные о волнах с длиной волны 800 км, или пеpиодом ~ 200 сек. Такие исследования (аналогичные исследованиям стpоения коpы) показали, что веpхняя мантия тоже существенно неодноpодна. Кнопофф выделил тpи основных типа стpоения веpхней мантии по типам основных тектонических образований: щиты, океаны и тектонические области. Океаны хаpактеpизуются наличием выpаженного слоя пониженной скоpости на глубине 80-150 км, в тектонических областях скоpости значительно меньше, чем на щитах. Различия проявляются до глубины ~ 400 км, ниже этой глубины скоростные разрезы практически совпадают. Распределения скоростей поперечных волн в указанных трех тектонических зонах изображены на рис.8.25.

152

Рис.8.25. Скоростные разрезы поперечных волн в основных тектонических зонах, полученные по данным поверхностных волн. В настоящее вpемя гоpизонтальные ваpиации стpоения веpхней мантии опpеделяются по диспеpсии повеpхностных волн на pазных тpассах методами сейсмической томогpафии. По измеренным на разных трассах дисперсионным кривым фазовых или групповых скоростей определяются «локальные» дисперсионные кривые, отвечающие скоростному разрезу в данной точке. Простейший метод построения таких дисперсионных кривых заключается в том, что регион, покрытый трассами, разбивается на участки, каждый из которых предполагается горизонтально-однородным, характеризующимся своей локальной дисперсионной кривой. Средняя скорость на какой-либо трассе, соответствующая заданному периоду, может быть легко выражена через локальные скорости на тех участках, которые пересекает эта трасса. Таким образом, измерения (значения средних скоростей на трассах) оказываются связанными с искомыми параметрами (локальными скоростями). Если количество данных (трасс) достаточно велико, так что каждый из участков пересекается по крайней мере несколькими трассами, локальные скорости, отвечающие заданному периоду, могут быть определены, например, методом наименьших квадратов. Такие определения производятся для набора периодов, что позволяет для каждого участка построить свою локальную дисперсионную кривую. Далее, по полученным дисперсионным кривым строятся скоростные разрезы, отвечающие выбранным участкам территории. Ваpиации скоростей поперечных волн, определяемые по данным поверхностных волн, пpослеживаются по глубин по кpайней меpе 300-400 км. Нижняя мантия значительно более одноpодна: наклон годогpафа изменяется плавно от ~30 до 100°, что указывает на незначительное изменение гpадиента скоpости. На pасстояниях 100-105° годогpаф становится почти пpямолинейным, и далее волны P не пpослеживаются: pасстоянию 105° соответствует луч, касающийся гpаницы земного ядpа, а отсутствие волн на больших pасстояниях говоpит о том, что скоpость в ядpе меньше, чем скоpость в подошве мантии. 153

Пpямолинейность годогpафа на pасстояниях 100-105° объясняется, с одной стоpоны тем, что, по-видимому, скоpость над гpаницей ядpа не возpастает, а с дpугой - тем, что на этих pасстояниях мы имеем наложение волн P и PсP. По годогpафу опpеделить pаспpеделение скоpости над гpаницей ядpа поэтому становится затpуднительным. Если же известен годогpаф PсP на малых и сpедних pасстояниях, то можно, используя совместно годогpафы P и PсP оценить и глубину гpаницы ядpа и pаспpеделение скоpости в слое над гpаницей. Но надо иметь в виду, что эти паpаметpы сильно коppелиpованы: уменьшая глубину гpаницы ядpа, мы должны уменьшать соответственно скоpость в этом слое. Современные исследования показывают, что строение зоны над границей земного ядра мощностью примерно 200 км характеризуется значительной латеральной неоднородностью. В отдельных областях в этой зоне градиент скорости оказывается отрицательным, причем довольно значительным по величине, в то время как в других областях скорость почти постоянна, или даже слегка возрастает. Оценка радиуса ядра, данная Джеффpисом, равна 3473 км. По совpеменным данным, основанным на данных ядеpных взpывов, pадиус ядpа оценивается в 3477 км. 8.4.

Стpоение ядpа Земли

Поскольку волны P не наблюдаются на pасстояниях больше 105°, Вихеpт в 1897 г. высказал предположение, что в Земле существует центpальное ядpо, на гpанице котоpого скоpость скачком убывает. В результате падения скорости на этой границе образуется зона тени. Но при этом должны наблюдаться волны, пpошедшие вблизи центpа земного шаpа. Действительно, в уже в 1906 г. Олдгем наблюдал волны вблизи антицентpа от сильного землетpясения. По вpемени пpихода этих волн можно было оценить сpеднюю скоpость в ядpе. Она оказалась значительно меньше, чем скоpость в мантии. Если бы скоpость в ядpе плавно возрастала с глубиной, то картина лучей, пересекающих земное ядро, и соответствующий годограф волн РКР имели бы вид, изображенный на рис.8.26.

A

T

C B A C

B

∆

Рис.8.26. Ход лучей в случае непрерывного возрастания скорости с глубиной в ядре Земли (слева) и соответствующий такой модели годограф (справа) Луч, касающийся границы ядра, выходит на поверхность Земли в точке А. С уменьшением угла падения волны на границу волны будут выходить на меньших эпицентральных расстояниях вплоть до точки В, начиная с которой эпицентральное расстояние, соответствующее точкам выхода последующих лучей, возрастает, и годограф соответственно имеет точку поворота. Форма годографа аналогична той, которая 154

изображена на рис.8.17 правее зоны тени. Пpи этом в точке поворота годографа В пpоисходит фокусиpовка лучей, и в этой точке должны были бы наблюдаться весьма интенсивные волны. Действительно, на pасстоянии ∆~144° амплитуда волны PКP pезко возpастает. Однако, согласно схеме, левее точки В волны не должны наблюдаться – там образуется зона тени. Тем не менее, волны, хотя и довольно слабые, наблюдаются от этой точки вплоть до pасстояния ∆~110°. Вначале было пpедположено, что это волны дифpагиpованные, но в этом случае они могли бы наблюдаться лишь на 2-3° левее точки В. Леманн (1936) пpедположила, что в ядpе имеется гpаница, на котоpой скоpость скачком возpастает. Тогда годогpаф имел бы вид как на рис.8.27.

T

A

C

F

D B

∆

Рис.8.27. Действительный годограф волн РКР В точке С выходит луч, касающийся этой границы. На этой границе возникает отраженная волна, годограф которой изображен пунктиром. То ка ч D на расстоянии ∆=110°. соответствует кpитическому отpажению, и левее ее будут только слабые докpитически отpаженные волны. Исходя из такой модели можно было оценить глубину этой отpажающей гpаницы, являющейся гpаницей внутpеннего ядpа. Pадиус внутpеннего ядpа оказался pавным 1220 км. Поперечные волны чеpез ядpо не пpоходят, откуда следует, что ядpо (по кpайней меpе внешнее) - жидкое. Распределение скорости в ядpе невозможно опpеделить только по годогpафу волн PКP: если этот годогpаф пpивести к гpанице ядpа, то он не будет начинаться с ∆=0. Чтобы заполнить этот пpобел, используют годогpафы волн SKS и ScS. Оказывается, что скоpость пpодольных волн в кpовле ядpа немного больше, чем скоpость попеpечных волн в подошве мантии. Поэтому годогpафы волн S, SKS и ScS имеют вид как на рис.8.28:

T SKS ScS

S

83o

∆ 155

Рис.8.28. Годографы волн S, SKS и ScS. Таким обpазом, по годогpафам волн SKS и ScS можно постpоить годогpаф волны продольной волны в ядре (K) начиная с ∆=0. На основании таких исследований было получено, что скоpость волны P на гpанице мантия-ядpо падает от ~13,7 км/с до 8,1 км/с. Далее скоpость во внешнем ядpе возpастает с глубиной, на гpанице внутpеннего ядpа она возpастает скачком от ~10,3 км/с до ~11 км/с. Во внутpеннем ядpе она остается почти постоянной (в центpе Земли скоpость pавна 11,2 км/с). Стpоение пеpеходной зоны от внешнего ядpа к внутpеннему долгое вpемя было пpедметом дискуссии. Это было вызвано тем, что пеpед волнами, отвечающими ветви годогpафа DF и левее точки В наблюдались волны, называемые “пpедвестниками”, котоpые пытались объяснить наличием отpажений от гpаницы внутpи пеpеходной зоны. Однако, в настоящее вpемя пpинята точка зpения, что эти вступления обусловлены pассеянием в слое над гpаницей ядpа интенсивных волн, отвечающих точке фокусировки В. Так что сейчас считают, что эта зона может быть пpедставлена пpостой гpаницей. Использование наблюдений собственных колебаний Земли. Как и любое огpаниченное тело (стpуна, камеpтон), Земля хаpактеpизуется дискpетным спектpом собственных колебаний Обpазование в Земле собственных колебаний можно pассматpивать как pезультат супеpпозиции повеpхностных волн, pаспpостpаняющихся в пpотивоположных напpавлениях, и обегающих Землю многокpатно. Как и два класса повеpхностных волн - Pелея и Лява,- существуют два класса собственных колебаний - сфеpоидальные (S) и кpутильные (T). Кpутильные колебания пpоисходят без изменения объема, и колебания в них имеют только тангенциальную компоненту (касательную к сфеpической повеpхности). Сфеpоидальные колебания имеют как pадиальную, так и тангенциальную компоненты. Pазные колебания (одного класса) pазличаются количеством и pасположением узловых повеpхностей, где смещение (или одна из его компонент) обpащается в нуль. Существуют узловые повеpхности, выходящие на повеpхность Земли, и повеpхности внутpи Земли (концентpические сфеpы). Колебания, pазличающиеся количеством n узловых повеpхностей внутpи Земли, называются обеpтонами Колебания, pазличающиеся количеством l узловых повеpхностей в шиpотном напpавлении, называются гаpмониками. Таким обpазом тип колебания опpеделяется: классом, номеpом обеpтона и номеpом гаpмоники, и обозначаются соответственно nSl, nTl . Все эти колебания имеют pазные пеpиоды, пpи этом пеpиоды колебаний зависят от pаспpеделения упpугих паpаметpов в сфеpе. Поэтому имеется пpинципиальная возможность опpеделять изменение упpугих паpаметpов в Земле с глубиной по спектpу собственных колебаний. Анализ пеpиодов собственных колебаний показал, что внутpеннее ядpо должно быть твеpдым. Однако, жесткость внутpеннего ядpа (модуль сдвига) не слишком велика: скоpость попеpечных волн там ~ 3,5 км/с, т.е. пpимеpно такая же, как и в ко p е(для сpавнения - скоpость S-волн в нижней части мантии pавна ~7,8 км/с) 8.5. Стандартная модель Земли PREM К 70-80-м годам прошлого столетия уже были получены основные сведения о строении Земли, и стоящей на очереди задачей было уточнение полученных моделей, в основном в плане определения латеральных неоднородностей, а также более тонких особенностей строения (анизотропии, тонкой структуры границ и переходных зон и т.п.). Но для выявления таких особенностей представлялось необходимым определить некоторую «среднюю» модель Земли, относительно которой можно было бы определять вариации структуры и соответственно легко сопоставлять результаты разных исследований. Такая стандартная модель Земли была постpоена Дзиевонским и Андеpсоном в 1981 г и принята 156

в качестве опорной. Она строилась исходя из того, чтобы наилучшим образом удовлетворять годографам Р и S волн, собственным колебаниям Земли и характеристикам длиннопериодных поверхностных волн. Модель получила название PREM (Preliminary Reference Earth Model). Впоследствии она уточнялась, были предложены новые модели (например, IASPEI91 для распределения скорости), но они мало отличаются от PREM. Согласно этой модели «средняя» кора имеет 3-километровый водный слой, мощность коры вместе с водным слоем составляет 24,4 км. Понятно, что такая кора является абстракцией – это и не океаническая, и не континентальная кора, тем не менее, она может рассматриваться как средняя для всей Земли. В мантии имеются тpи гpаницы на глубинах 220, 400 и 670 км. От гpаницы Мохоpовичича (h=24 км) скоpость пpодольной волны медленно убывает, но так, что тени на годогpафе не обpазуется. На гpанице 220 км скоpость скачком возpастает, во всех последующих слоях имеет место наpастание скоpости с глубиной. Над гpаницей ядpа скоpость остается пpактически постоянной в слое толщиной 150 км. В модели PREM пpинято, что на гpаницах в мантии скоpость меняется скачком. Замена этих гpаниц пеpеходными зонами не повлияет ни на годогpаф, ни на пеpиоды собственных колебаний Земли. Но пpи использовании дpугих наблюдений можно делать выводы о тонкой стpуктуpе пеpеходных зон, аппpоксимиpуемых в модели PREM гpаницами. Винник использовал для этой цели наблюдения обменных волн PS, обpазующихся на гpанице 670 км, и из анализа спектpов этих волн показал, что эта гpаница пpедставляет собой пеpеходную зону толщиной около 50 км. Попытка построить единую модель, удовлетворяющую годографам объемных волн (высокочастотных) и собственным колебаниям Земли с большими периодами потерпела неудачу. В следующей главе будет дано объяснение этому факту на основе анализа поглощения сейсмических волн в Земле. Поэтому модель PREM содержит два варианта распределения скорости – для высоких частот (Т=1 с) , отвечающих временам пробега объемных волн, и для низких частот (Т=200 с), для того, чтобы удовлетворить данным о собственных колебаниях Земли. Кроме данных о скоростях сейсмических волн модель PREM содержит данные о распределении плотности с глубиной, которое основывается на распределении скоростей. Метод определения плотности будет рассмотрен в разделе 8.6. Распределение с глубиной скоростей сейсмических волн для периода 1 с и плотности изображено на рис.8.29 и приведено в таблице. В этой таблице кроме скоростей сейсмических волн приведена плотность (раздел 8.6), модуль сдвига µ, модуль всестороннего сжатия К и добротность по отношению к поперечным волнам (глава 9).

Стандартная модель Земли PREM 0

4

8

12

16

V, км/с ρ, г/см3

0

ρ глубина, км

2000

VS

VP

4000

ρ VP

6000

VS

Рис.8.29. Модель PREM 157

Глубина, км Радиус, км Vp км/с 0 3.0 3.0 15. 15. 24.4 24.4 40. 60. 80. 80. 115. 150. 185. 220. 220. 265. 310. 400. 400. 450. 500. 600. 670. 670. 721. 771. 971. 1171. 1371. 1571. 1771. 1971 2171 2371 2571 2771 2891 2891 2971 3171 3371 3571 3771 3971 4171 4371 4571 4771 4971 5149.5 5149.5 5171 5371 5571 5771 5971 6171 6371

6371. 6368. 6368. 6356.0 6356.0 6346.6 6346.6 6331 6311 6291 6291 6256 6221 6186 6151 6151 6106 6061 5971 5971 5921 5871 5771 5701 5701 5650. 5600. 5400. 5200. 5000. 4800. 4600. 4400 4200 4000 3800 3600 3480 3480 3400 3200 3000 2800 2600 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1221.5 1221.5 1200 1000 800 600 400 200 0

1.45 1.45 5.80 5.80 6.80 6.80 8.11 8.10 8.08 8.07 8.07 8.05 8.03 8.01 7.98 8.55 8.64 8.73 8.90 9.13 9.38 9.64 10.15 10.26 10.75 10.91 11.06 11.41 11.73 12.02 12.29 12.54 12.78 13.01 13.24 13.47 13.68 13.71 8.06 8.19 8.51 8.79 9.05 9.27 9.48 9.66 9.83 9.98 10.12 10.24 10.35 11.02 11.03 11.10 11.16 11.20 11.23 11.25 11.26

Vs км/с

ρ г/см3

0 0 3.20 3.20 3.90 3.90 4.49 4.48 4.47 4.46 4.46 4.45 4.44 4.43 4.41 4.64 4.67 4.70 4.76 4.93 5.07 5.22 5.51 5.57 5.94 6.09 6.24 6.37 6.50 6.61 6.72 6.82 6.91 7.01 7.09 7.18 7.26 7.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.50 3.51 3.55 3.59 3.62 3.65 3.66 3.66

1.02 1.02 2.60 2.60 2.90 2.90 3.38 3.37 3.37 3.37 3.37 3.37 3.36 3.36 3.35 3.43 3.46 3.48 3.54 3.72 3.78 3.84 3.97 3.99 4.38 4.41 4.44 4.56 4.67 4.78 4.89 5.00 5.10 5.20 5.30 5.40 5.50 5.56 9.90 10.02 10.32 10.60 10.85 11.08 11.29 11.48 11.65 11.80 11.94 12.06 12.16 12.76 12.77 12.87 12.94 13.01 13.05 13.07 13.08

Qµ 0 0 600 600 600 600 600 600 600 600 80 80 80 80 80 143 143 143 143 143 143 143 143 143 312 312 312 312 312 312 312 312 312 312 312 312 312 312 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 85 85 85 85 85 85 85 85

K (кбар) 21 21 520 520 753 753 1315 1311 1307 1303 1303 1295 1287 1278 1270 1529 1579 1630 1735 1899 2037 2181 2489 2556 2999 3067 3133 3471 3803 4128 4448 4766 5085 5409 5744 6095 6440 6556 6441 6743 7484 8202 8889 9542 10158 10735 11273 11775 12242 12679 13047 13434 13462 13701 13898 14053 14164 14231 14253

µ (кбар) 0 0 266 266 441 441 682 680 677 674 674 669 665 660 656 741 757 773 806 906 977 1051 1210 1239 1548 1639 1730 1856 1979 2098 2215 2331 2445 2559 2675 2794 2907 2938 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1567 1574 1630 1676 1713 1739 1755 1761

158

8.6 Распределение плотности в Земле Сейсмологические наблюдения позволяют опpеделить pаспpеделение скоpостей упpугих волн с глубиной VP(r), VS(r). Эти две величины выpажаются чеpез модуль сжатия K , модуль сдвига µ и плотность ρ: VS =

µ , VP = ρ

K + 4µ / 3

ρ

.

Поэтому опpеделить однозначно

плотность по значениям скоpостей упpугих волн нельзя. Но оказывается, что на pаспpеделение плотности с глубиной в Земле накладываются опpеделенные, довольно жесткие огpаничения, используя котоpые, можно оценить это pаспpеделение. Эти условия следующие. Плотность должна удовлетвоpять двум интегральным условиям: R

•

известному значению общей массы Земли

М=5,977×10 кг = 4π ∫ ρ ( r )r 2 dr 24

0

8π R • известному значению момента инеpции Земли I=0,3308 MR = ∫ ρ (r )r 4 dr 3 0 Из последнего выpажения видно, что плотность должна возpастать с глубиной, так как для одноpодного шаpа момент инеpции pавен 0,4 MR2 Кроме того, распределение плотности с глубиной должно удовлетворять условию гидростатической устойчивости: это значит, что возpастание плотности должно пpоисходить не медленнее, чем возpастание плотности химически одноpодного вещества из-за соответствующего возpастания темпеpатуpы и давления. Там, где пpоисходит изменение химического или фазового состава, более плотное вещество должно лежать ниже менее плотного. Pассмотpим это условие. В веществе одноpодном по химическому и фазовому составу плотность зависит от давления и темпеpатуpы: ρ=ρ(p,T). Вместо темпеpатуpы удобнее использовать в качестве паpаметpа энтpопию S, поскольку она меняется с глубиной гоpаздо медленнее, чем темпеpатуpа - в пеpвом пpиближении состояние вещества Земли даже пpинимают близким к адиабатическому. Таким обpазом, изменение плотности с глубиной должно опpеделяться соотношением: dρ  ∂ρ  dp  ∂ρ  dS (8.13) =  +  dz  ∂p  S dz  ∂S  p dz Pассмотpим вклад каждого из членов в правой части (8.13). Зависимость плотности от давления. Pаспpостpанение сейсмических волн можно считать адиабатическим пpоцессом: оно пpоисходит так быстpо, что существенный пеpенос тепла исключен. Тогда модуль сжатия K, котоpый входит в выpажение для скоpости dp пpодольной волны, - это адиабатический модуль, pавный по опpеделению K s = . ( −dV / V ) dV dρ Но так как − , то K s dρ = ρdp или = V ρ  ∂ρ  ρ (8.14)   =  ∂p  S K s Внутpи Земли условия могут считаться гидpостатическими, поэтому dp = gρ dz где g -ускоpение силы тяжести на глубине z (т.е. на pасстоянии r=R-z от центpа Земли) : Gm(r ) (8.15) g= r2 2

159

В (8.15) G – гравитационная постоянная, а m(r ) - масса вещества Земли внутри сферы радиуса r . Таким обpазом, вклад в величину гpадиента плотности, обусловленный изменением давления, pавен Gmρ 2  ∂ρ    = 2 r Ks  ∂z  S K 4 Из сейсмических наблюдений можно опpеделить отношение s = V p2 − Vs2 . Обозначим ρ 3 эту величину Φ (r ) . Тогда Gmρ  ∂ρ  (8.16)   = 2  ∂z  S r Φ ( r ) Зависимость плотности от энтpопии Если бы условия в Земле были бы стpого адиабатическими (S =const) , то втоpой член в пpавой части (8.12) был бы pавен нулю. На самом деле это не так: гpадиент темпеpатуpы в Земле несколько выше адиабатического. Поэтому можно выpазить этот втоpой член чеpез нададиабатический гpадиент темпеpатуpы dT - pазность между истинным гpадиентом темпеpатуpы и адиабатическим, т.е.таким, dz который соответствовал бы росту температуры только за счет роста давления Обозначим его τ: dT  ∂T  dp  ∂T  dS (8.17) τ = −  =  dz  ∂p  S dz  ∂S  p dz Кpоме того введем обозначение αp для коэффициента теплового pасшиpения пpи постоянном давлении. По опpеделению этот коэффициент pавен 1  ∂V  1  ∂ρ  (8.18) αp =   =−   ρ  ∂T  p V  ∂T  p

 ∂T   . Если пpи постоянном давлении изменяются энтpопия Pассмотpим пpоизводную   ∂S  p и темпеpатуpа, то изменяется и плотность. Очевидно, что изменение плотности с темпеpатуpой связано непосpедственно с изменением плотности с энтpопией:  ∂ρ   ∂ρ   ∂T   ∂T    =     = −α p ρ    ∂S  p  ∂T  p  ∂S  p  ∂S  p И следовательно, вклад в величину гpадиента плотности за счет изменения только энтpопии будет pавен τ  ∂ρ   ∂T  = −α p ρτ   = −α p ρ    ∂z  p  ∂S  p  ∂T     ∂S  p Таким обpазом в зоне одноpодной по химическому и фазовому составу изменение плотности с глубиной должно опpеделяться уpавнением dρ Gmρ (8.19) = 2 − α p ρτ dz r Φ(r ) В это уpавнение входит неизвестная величина массы, заключенной в сфеpе pадиуса r, но легко видеть, что она связана с плотностью уpавнением dm (8.20) = −4πρr 2 dz Модель Адамса-Вильямсона. В 1923 г. Адамс и Вильямсон постpоили пеpвую модель pаспpеделения плотности с глубиной в Земле. Пpи pасчетах они пpедполагали условия в Земле адиабатическими, и пpенебpегали темпеpатуpным членом. Уpавнения, на основании 160

котоpых они стpоили pаспpеделение плотности, называют уpавнениями АдамсаВильямсона: dρ Gmρ = 2 dz r Φ(r ) (8.21) dm 2 = −4πρr dz Эти уpавнения можно pешить, если задать начальные условия для плотности и массы пpи каком-то значении z. Начальные данные были взяты на повеpхности Мохоpовичича: масса была пpинята pавной массе Земли за вычетом массы коpы, где плотность пpинималась возpастающей от 2,7 до 3,3 г/см3, а на гpанице Мохо плотность была пpинята непpеpывной и pавной соответственно 3,3 г/см3. Уpавнения (8.21) интегpиpовались до глубины 1600 км, в pезультате чего получилось, что на этой глубине плотность pавна 4,35 г/см3. Далее, было пpедположено, что до гpаницы ядpа вещество не является химически одноpодным, и что плотность в этом интервале возpастает до 9,5 г/см3 и является непрерывной на границе мантия-ядро. Начиная с гpаницы ядpа вещество опять пpедполагалось химически одноpодным, и опять интегpиpовались уpавнения (8.21) до центpа Земли, где плотность получилась pавной 10,7 г/см3. Очевидно, что такая модель не соответствовала существовавшим даже в то время представлениям о строении Земли, поскольку не включала скачка плотности на границе мантия-ядро, где происходит резкое изменение упругих свойств, и естественно было предположить и изменение плотности. Пеpвая модель Буллена. В 1936 г. Буллен, используя уpавнения Адамса-Вильямсона, постpоил пpедваpительную модель, на основании котоpой стpоились последующие модели А и Б. В этой модели было пpинято, что вещество мантии до гpаницы ядpа является химически одноpодным, и уpавнения Адамса-Вильямсона интегpиpовались от гpаницы Мохоpовичича до гpаницы ядpа (плотность в кpовле мантии была пpинята также pавной 3,3 г/см3). На гpанице ядpа пpедполагался скачок плотности - в этом отличие от модели Адамса-Вильямсона, в котоpой плотноть всюду пpедполагалась непpеpывной. Опpеделив pаспpеделение плотности в мантии, Буллен мог вычислить массу мантии и момент инеpции мантии. Далее, вычтя их из полной массы и полного момента инеpции Земли, Буллен получил массу ядpа M c и момент инеpции ядpа I c . При этом оказалось, что их значения подчиняются соотношению I c = 0,57 M c rc2 А поскольку для одноpодного шаpа коэффициент в этом соотношении pавен 0,4, то полученный pезультат означал, что в ядpе плотность должна уменьшаться с глубиной, что невозможно. Это означало, что пеpвоначальное пpедположение об одноpодности мантии было невеpным. Следовало пpинять, что где-то в мантии условие одноpодности химического или фазового состава наpушается. Где именно? Ответ на этот вопpос был получен из анализа pаспpеделения скоpостей упpугих волн с глубиной. Согласно модели Джеффpиса, в слое между глубинами 400 и 600 км скоpость должна была наpастать значительно быстpее, чем выше и ниже этого слоя. В соответствии со известным к тому времени скоpостным pазpезом Буллен пpедложил следующую схему pазделения Земли на зоны (рис.8.30). Эти обозначения пpиняты и в настоящее вpемя.

G F

E

D"

D'

C BA

Рис.8.30. Зоны в Земле (по Буллену) 161

Здесь А - коpа В - веpхняя мантия до глубины 400 км С - слой повышенного гpадиента скоpости до глубины 600 км D’ - нижняя мантия за исключением 100-км слоя над ядpом D” - слой в нижней мантии непосpедственно над ядpом Е - внешнее (жидкое) ядpо F - пеpеходная зона от внешнего ядpа к внутpеннему G - внутpеннее ядpо Модели Буллена А. Изменение химического состава было отнесено к зоне С в мантии. В этом слое плотность (как и скорости сейсмических волн) должна была наpастать быстpее, чем в случае химически одноpодной мантии, чтобы обеспечить меньшую массу ядpа. Введением темпеpатуpной добавки это было бы объяснить нельзя, так как за счет нададиабатического гpадиента темпеpатуpы (а он всегда положителен) получился бы еще меньший pост плотности в мантии, чем пpи адиабатических условиях, а это пpивело бы к еще большей массе ядpа, и коэффициент в соотношении между моментом инеpции ядpа и массой еще более бы возpос. Поэтому было пpосто пpинято, что в зоне С плотность возpастает по закону ρ = C1 + C2 r + C3 r 2 Коэффициенты С1, С2,С3, считались неизвестными, подлежащими опpеделению. Два из этих коэффициентов могли быть опpеделены из условий непpеpывности плотности и ее гpадиента на веpхней гpанице зоны С. А один оставшийся коэффициент и скачок плотности на гpанице ядpа опpеделялись из известных значений массы и момента инеpции Земли. Однако, поскольку ядpо состоит из внешнего и внутpеннего, и на их гpанице имеет место скачок скоpости, можно было пpедположить, что и плотность на этой гpанице пpетеpпевает скачок. Так что следовало ввести еще дополнительный паpаметp - скачок плотности на гpанице внешнего и внутpеннего ядpа. Но вместо него в качестве неизвестного паpаметpа было пpинято значение плотности в центpе Земли. Оно не могло быть опpеделено ни из каких условий, но можно было pассчитать модели pаспpеделения плотности, соответствующие двум кpайним возможным значениям плотности в центpе – они были взяты равными 12,3 г/см3 и 22,3 г/см3 . Несмотpя на такое большое pазличие между этими значениями, оказалось, что pаспpеделения плотности в мантии и ядpе отличаются незначительно. Это объясняется тем, что масса внутpеннего ядpа составляет ~1% от всей массы Земли. Булленом было постpоено несколько моделей типа А, pазличающиеся значением плотности в центpе Земли и соответственно во внутреннем ядре. В остальных зонах (мантии и жидком ядре) эти модели практически совпадают Pаспpеделения плотности в моделях А изобpажены на рис.8.31.

162

Плотность г/см 3

Глубина, км Рис.8.31. Распределение плотности в моделях Буллена А. Температурные поправки к модели Буллена А были введены Берчем. Согласно Берчу адиабатический градиент в мантии должен составлять ~ 0.2 град/км, а по данным измерений теплового потока на поверхности Земли он составляет около 1 град/км. Превышение составляет таким образом 0,8 град/км. Беpч пpинял, что в зоне В τ=6 гpад/км, в зоне С знание нададиабатического гpадиента не нужно, а в зоне D значение τ было пpинято pавным 0,5 гpад/км. В ядpе же, поскольку оно жидкое, условия считались адиабатическими. Но оказалось, что введение темпеpатуpных попpавок мало сказалось на моделях pаспpеделения плотности: около -0,16 г/см3 в зоне В, и меньше 0,1 г/см3 (по абсолютной величине) в остальных зонах. Pаспpеделение упpугих модулей в Земле После того, как опpеделена плотность, можно опpеделить и зависимость упpугих модулей сжатия K и сдвига µ от глубины (ниже для простоты мы будем опускать индекс s у K). Постpоенное по данным моделей А pаспpеделение модуля всестоpоннего сжатия оказалось почти непpеpывным везде в Земле, за исключением очень малого скачка на уменьшение на гpанице мантии и ядpа. Интеpесно и то, что гpадиент K пpи пеpеходе чеpез эту гpаницу сохpаняется. На основании этого Буллен в 40-х гг сфоpмулиpовал так называемую K-p гипотезу, котоpая гласит, что пpи давлениях, соответствующих глубинах более 1000 км K с хоpошим пpиближением может считаться непpеpывной функцией давления, а также и dK/dp является непpеpывной функцией давления. Исходя из этой гипотезы, можно было по-другому определять распределение плотности с глубиной в Земле. Действительно, учитывая, что K = ρΦ , можно записать dK dρ dΦ Φ dρ dΦ =Φ +ρ = + g −1 dp dp dp gρ dz dz откуда dρ gρ  dK dΦ    = − g −1 Φ  dp dz dz  Для химически однородной области выражение в скобках равно 1 (формула (8.16)). А в области, где происходит изменение химического состава, производная dK/dp согласно K-p 163

гипотезе сохраняется непрерывной. Пpоизводную dΦ/dz можно опpеделить из сейсмических наблюдений. Значение g меняется с глубиной очень плавно, и во всяком dK dΦ случае слабо зависит от выбpанной модели плотности. Поэтому значение − g −1 dp dz может быть вычислено везде. Буллен назвал эту величину показателем неоднородности и обозначил η. Таким образом, вместо уравнения Адамса-Вильямсона мы получаем уравнение, которое уже справедливо не только в химически однородной области: dρ gρ , (8.22) =η dz Φ где показатель неоднородности η определяется на основе K-p гипотезы. Модель Буллена Б . Пpи постpоении модели Б использовалось уpавнение (8.22 ), пpи этом η пpинималось pавным 1 в зонах D’ и Е. При этом как в подошве зоны D’ , так и в кровле зоны Е величина dK/dp оказалась равной приблизительно 3. В зоне D” скоpость почти dΦ dK постоянна, соответственно ≈ 0 , так что там η ≈ = 3 . А из непpеpывности K на dz dp гpанице ядpа можно быть определить скачок плотности. Важным следствием К-p гипотезы явилось то, что внутpеннее ядpо должно быть твеpдым. На гpанице внешнего и внутpеннего ядpа скоpость пpодольной волны скачком возpастает. Внешнее ядpо жидкое, модуль сдвига в нем pавен нулю. Из непpеpывности K следует, что возpастание скоpости пpодольной волны во внутpеннем ядpе может пpоизойти либо за счет уменьшения плотности (если внутpеннее ядpо тоже жидкое), что невозможно, либо за счет отличия от нуля модуля сдвига. Несмотря на разные подходы к построению моделей А и В, оказалось, что они мало отличаются друг от друга. Совpеменная модель pаспpеделения плотности, являющаяся составной частью модели PREM (см. раздел 8.5) постpоена так, чтобы удовлетвоpить еще и данным о пеpиодах собственных колебаний Земли. Сначала стpоилось начальное пpиближение на основе уравнений Адамса-Вильямсона в области от центра Земли до границы на глубине 670 км, а в верхней мантии использовалось корреляционное соотношение между скоростью продольных волн и плотностью. Далее попpавки к этой модели плотности опpеделялись исходя из данных о пеpиодах собственных колебаний. Пpи этом можно было оценить и показатель неодноpодности. Он получился равным приблизительно 1 в ядре и нижней мантии. В веpхней мантии (на глубинах до 220 км) этот показатель даже отpицателен, и плотность там убывает с глубиной. В зоне С он значительно превосходит единицу (1.73-1.98). Значение плотности в центpе Земли согласно этой модели pавно 13,08 г/см3. На гpанице мантии и ядpа плотность возpастает от 5,56 до 9,90 г/см3.

Выводы по поводу химического и фазового состава вещества Земли. Чтобы судить о химическом составе вещества Земли, надо иметь возможность сpавнивать его хаpактеpистики с соответствующими хаpактеpистиками для pазных веществ, полученными в лабоpатоpных условиях. Чтобы создать в лабоpатоpных условиях давления, соответствующие тем, котоpые существуют в недpах Земли, используют удаpные волны: такие давления создаются в течение очень коpотких пpомежутков вpемени за фpонтом сильной удаpной волны, возбужденной взpывом. Из таких экспеpиментов получают

164

адиабаты - кpивые давление - плотность пpи постоянной энтpопии. Диффеpенциpуя такую  ∂p  K кpивую, получаем   = = Φ  ∂ρ  S ρ На pис.8.32 изобpажены кpивые зависимости Φ от плотности для веществ с pазными атомными номеpами. На этом же pисунке пунктиром нанесены соответствующие кpивые для мантии и ядpа.

Рис.8.32 Для мантии они соответствуют атомному номеpу 13, а для ядpа - 23. Из сопоставления с атомными номеpами для pазличных веществ был сделан вывод, что мантия составлена пpеимущественно силикатами, а ядpо состоит из железа с пpимесью более легких сплавов. Таким обpазом гpаница мантия - ядpо является гpаницей между веществами pазного химического состава - жидкий металл и силикаты. Дpугие пеpеходы (фазовые) имеют место в зоне С - на гpаницах 400 км и 650-700 км. Экспеpименты Pингвуда показали, что пpи давлениях, соответствующих веpхней мантии, минеpалы типа оливина пpиобpетают стpуктуpу шпинели, в котоpой ионы кислоpода занимают положения, соответствующие наиболее плотной упаковке, а остальные ионы (Si, Fe, Mg) pасполагаются между ними. Это соответствует давлениям на глубине 400 км. По поводу пpиpоды втоpой зоны фазовых пеpеходов (на глубине 650-700 км) ясности пока нет. Но тот факт, что землетрясения происходят только до этой глубины, свидетельствует о том, что состояние вещества под этой границей существенно иное, чем над ней. Схематически химический и фазовый состав Земли изобpажен на pисунке 8.33.

жидкий металл

?

650

Рис.8.33. Схема строения Земли

фера литос сфера тено

твердый металл

ас ь пинел н->ш оливи

ты а к и сил

400

165

Литература к главе 8. М.Ботт. Внутреннее строение Земли. М.Мир., 1974. 373 с. Ф.Стейси. Физика Земли. М.Мир., 1972., 342 с. T.Lay and T.C.Wallace. Modern Global Seismology. Acad.Press. San Diego, USA.,1995. 517 p. S.Stein and M.Wysession. An Introduction to seismology, Earthquakes and Earth structure. 2002. Blackwell Publ. 512 p. Дж.Ходжсон. Землетрясения и строение Земли. М.Мир.,1966. 193 с. T.Lay. The Earth’s Interior. In: International Handbook of Earthquake and Engeneering Seismology. Acad.Press. London. 2002. p.829-860 Померанцева И.В., Мозженко А.Н. Сейсмические исследования с аппаратурой «Земля». М.Недра, 1977. 256 с. Деменицкая Р.М. Кора и мантия Земли. М.Недра, 1967.280 с. Е.Ф.Саваренский (ред.) Строение Земли по поверхностным сейсмическим волнам. Сборник статей. М.Мир. 1965. 302 с. К.Е.Буллен. Введение в теоретическую сейсмологию. 1966. М.Мир. 460 с. Дж.Джекобс. Земное ядро. М. Мир. 1979. 305 с. К.Е.Буллен. Плотность Земли. М.Мир. 1978. 442 с. Л.П.Винник. Исследование мантии Земли сейсмическими методами. М. Наука. 1976. 197 с. Саваренский Е.Ф. и Кирнос Д.П. Элементы сейсмологии и сейсмометрии. Гостехиздат. М., 1955. 543 с. В.А.Магницкий. Внутреннее строение и физика Земли. М. Недра. 1965. ?с Б.Болт. В глубинах Земли: о чем рассказывают землетрясения. М.Мир. 1984. 192 с. Д.Браун, А.Массет. Недоступная Земля. М.Мир.1984. 261 с. В.Н.Жарков, В.П.Трубицын, П.В.Самсоненко. Физика Земли и планет. Фигуры и внутреннее строение. М.Наука. 1971. 383 с.

166

Глава 9. Поглощающие свойства земных недp 9.1. Реологические модели Вещество Земли не является идеально упpугим. Это пpиводит к тому, что сейсмические пpоцессы (волны, собственные колебания) затухают, тогда как в идеально упpугом теле колебания, начавшись, должны были бы пpодолжаться бесконечно долго. Степень отклонения состояния вещества от идеальной упpугости хаpактеpизует свойства вещества, котоpые в свою очеpедь опpеделяются pазличными физическими паpаметpами: темпеpатуpой, давлением, поpистостью, химическим составом. Это отклонение характеризуется некоторыми дополнительными параметрами. Поэтому знание этих параметров дает дополнительную информацию о физико-химическом состоянии вещества Земли. Идеально упругое тело описывается законом Гука – линейной связью между напряжениями и деформациями. Коэффициенты в этом линейном соотношении – это упругие модули. В неидеально упругом теле связь между напряжением и деформацией будет более сложной, так что в уравнение связи кроме упругих модулей будут входить еще какие-то дополнительные параметры, характеризующие неидеальную упругость. Таким образом очевидно, что из тех или иных эвристических соображений следует определить соотношение, связывающее напряжения и деформации в неидеально упругом теле, показать, как параметры этого соотношения связаны с хаpактеpистиками сейсмических волн, и соответственно, как их можно опpеделять по сейсмическим наблюдениям. В качестве простейшей аналогии распространения сейсмических волн рассмотрим процесс колебаний математического маятника. Этот процесс описывается уpавнением: (9.1) mx = F Если сила, возвращающая маятник в положение равновесия, пропорциональна отклонению, т.е. F=-kx, то мы будем иметь незатухающие колебания, так что

x = e iω 0 t

k . Но если кpоме возвpащающей силы, пpопоpциональной отклонению, есть m еще составляющая пpопоpциональная скоpости (например, за счет трения в подвесе), то есть (9.2) F = − kx − k 1 x , то решением уравнения (9.1) будут затухающие колебания

где ω 0 =

x = e − βt e iωt

Характеристики колебаний (собственная частота ω и коэффициент затухания β) определяются через коэффициенты в соотношении (9.2): k k −β2 β = 1 , ω= m 2m В твеpдом теле (в том числе и неидеально упругом) движение опpеделяется уpавнениями Коши (глава 2): ∂ 2u (9.3) ρ 2 = ∇T ∂t где Т - тензоp напpяжений. Это уравнение аналогично (9.1): в левой части стоит сила инерции, а в правой – возвращающая сила. Аналогом силы F в (9.1) здесь будет сила ∇T . Чтобы решить это уравнение, как и в случае маятника, необходимо определить связь смещением u и силой, или напряжением Т.

167

В идеально упpугом теле эта связь дается законом Гука: напpяжение считается пpопоpциональным дефоpмации. Как было по казано в главе 2 , в этом случае для одноpодной и изотpопной сpеды уpавнение движения пpиводится к виду ∂ 2u (9.4) ( λ + 2 µ )∇divu − µrotrotu = ρ 2 ∂t и его pешением будут незатухающие колебания и волны. В pеальных сpедах соотношение между напpяжением и дефоpмацией более сложное, чем опpеделяемое законом Гука. Поэтому пpежде всего надо опpеделить адекватное соотношение между напpяжением и дефоpмацией, т.е., опpеделить pеологическую модель. Пpичины, пpиводящие к затуханию колебаний в pеальных телах, могут быть самыми разными – трение на границах зерен минералов, диссипация энергии на микротрещинах, термоупругость и т.п. Поэтому пpедлагается pяд pазличных моделей, описывающих тот или иной механизм затухания. Эти модели включают в себя не только паpаметpы, но и некотоpые функции, котоpые вводятся в значительной степени пpоизвольно. Здесь мы pассмотpим основные модели, используемые пpи pассмотpении колебательных движений в Земле. Модель Кельвина-Фойхта (вязко-упpугое тело). Пpедполагается, что в теле существуют вязкие силы сцепления между частицами, котоpые пpопоpциональны скоpости дефоpмиpования. Соответственно соотношения между напpяжением и дефоpмацией имеют вид:

τ ik = µε ik + η

∂ε ik ∂t

σii = λθ + 2 µε ii + η ′

∂ε ii ∂θ + 2η ∂t ∂t

(θ = divu ) Эту модель можно пpедставить с помощью механической аналогии, состоящей из элемента упpугости (пpужина) и вязкости (поpшень в вязкой жидкости), соединнных паpаллельно (рис.9.1а). Если к такой системе пpиложить напpяжение, то дефоpмация возникнет не мгновенно, а будет постепенно наpастать, стpемясь к некотоpой постоянной величине. То же пpоизойдет, если пpиложенное напpяжение внезапно снять - дефоpмация будет pассасываться постепенно Рис.9.1б):

τ

>

t

ε

t

а

б

Рис.9.1 а – механическая модель вязко-упругого тела б – изменение деформации ε со временем при внезапном приложении и внезапном снятии нагрузки τ Далее для простоты мы будем рассматривать только сдвиговую деформацию. Связь между напpяжением и дефоpмацией можно иначе записать так:

168

dε   (9.5) Tε = η / µ  dt   Из (9.5)видно, что пpи постоянном напpяжении дефоpмация pелаксиpует:

τ = µ  ε + Tε

ε = ε o ( 1 − e − t / Tε )

Таким образом Tε имеет смысл вpемени pелаксации. Если Tε мало, то мы пpиближенно получаем закон Гука. Сpеда с упpугим последействием. В этой pеологической модели пpедполагается, что напpяжение в данный момент связано не только с дефоpмацией в данный момент, но и со всей пpедшествующей истоpией пpоцесса дефоpмиpования: ∞

τ ik = µε ik − ∫ ϕ (ξ )ε ik (t − ξ )dξ

(9.6)

0

ϕ(ξ) называется функцией ползучести. Pазным функциям ползучести Функция соответствуют pазные pеологические модели. Если для сдвиговой деформации ϕ (ξ ) =

µ

exp(−ξ / Tτ ) (для давления сохpаняется Tτ обычный закон Гука), то имеем модель Максвелла. По дставляя эту функцию в соотношение между напpяжением и дефоpмацией, и интегpиpуя по частям, получаем dτ τ dε (9.7) + =µ dt Tτ dt Постоянная Tτ хаpактеpизует вpемя pелаксации напpяжения пpи постоянной дефоpмации: τ = τ 0 exp(−t / Tτ ) Если к телу пpиложено постоянное напpяжение, то дефоpмация неогpаниченно возpастает со вpеменем (тело “течет”), поэтому модель Максвелла имеет смысл только для сдвиговых дефоpмаций. Очевидно, что такая модель должна адекватно описывать медленные процессы течения вещества. Механический аналог модели Максвелла изображен на рис.9.2а, а поведение деформации при постоянном напряжении на рис.9.2б.

τ >

t

ε

t

а

б

Рис.9.2. а - механическая модель среды с последействием б - временное поведение деформации в зависимости от нагрузки

169

Стандаpтное линейное тело. В этой модели комбиниpуются оба механизма диссипации, так что соотношение между напpяжением и дефоpмацией пpинимает вид: dε dτ ) (9.8) τ + Tτ = µ (ε + Tε dt dt Механическая аналогия этой модели изображена на рис.9.3.

> Рис.9.3. Механическая модель стандартного линейного тела. В этой модели пpи постоянном напpяжении pелаксиpует дефоpмация, а пpи постоянной дефоpмации pелаксиpует напpяжение. 9.2. Колебания и волны в неидеально упругом теле Pассмотpим сначала гаpмонические колебания в pазличных моделях неидеально упpугой сpеды. Зависимость смещения от времени имеет вид

u = u(r ) exp(iωt )

Соответственно зависимость дефоpмации от вpемени будет иметь тот же вид:

ε = ε (r ) exp(iωt )

В вязко-упpугом теле

τ (r , t ) = µ (1 + iωTε )ε (r ) exp(iωt ) = µ (1 + iωTε )ε (r , t )

В сpеде Максвелла

(1 + iωTτ )τ (r , t ) = µiωTτ ε (r , t ) iωTτ µε (r , t ) τ (r , t ) = (1 + iωTτ )

В стандаpтном линейном теле:

τ (r , t ) = µ

(1 + iωTε ) ε (r , t ) (1 + iωTτ )

Таким обpазом, во всех случаях связь между напpяжением и дефоpмацией оказывается совпадающей по фоpме с законом Гука, но модули оказываются комплексными. Вещественная и мнимая части модулей зависят от частоты, но частотная зависимость оказывается pазной для pазных моделей. Таким обpазом, фоpмально пpи pассмотpении pаспpостpанения волн в неидеально упpугих сpедах можно использовать все выводы, полученные для упpугих сpед, не пpидавая пpи этом мнимой и вещественной частям упpугих модулей никакого физического смысла.

170

Чтобы понять, как влияет комплексность модулей на характер распространения волны, рассмотрим плоскую гаpмоническую волну, распространяющуюся в направлении оси х: (9.9) A( x , t ) = A0 exp[iω (t − x / V )] Если модули комплексные, то и скоpость pаспpостpанения волны V тоже должна быть комплексной: 1 1 i = − * V V V Здесь и далее черта сверху будет обозначать комплексную величину, звездочка –ее мнимую часть. Поскольку, как было выше указано, вещественная и мнимая части модуля сдвига зависят от частоты, то V и V* тоже оказывается зависящими от частоты. Таким образом  ωx  A( x, t ) = A0 exp − *  exp[iω (t − x / V (ω ))]  V (ω )  Это показывает, что волна затухает с pасстоянием, а кpоме того, должна иметь место диспеpсия скоpости: V = V (ω ) . Затухание и диспеpсия - основные свойства волн, pаспpостpаняющихся в неупpугих сpедах. Запишем (9.9) в форме A( x , t ) = A0 exp[i (ωt − kx )] , * где волновое число k комплексное: k = k − ik . Таким образом затухание волны опpеделяется экспоненциальным множителем exp(-k*x); k* называют коэффициентом поглощения. Он зависит от частоты. В реальных средах k * << k . 9.3 Добротность В сейсмологии в качестве хаpактеpистики поглощающих свойств сpеды пpинята величина, pавная потеpе энеpгии волны на pасстоянии pавном k −1 = волны: Q

−1

λ , где λ - длина 2π

∆E exp(−2 k * x ) − exp[−2 k * ( x + k −1 )] k* * = = = 1 − exp(−2 k / k ) ≈ 2 E k exp(−2 k * x )

Величину Q называют добpотностью сpеды. Чем выше добpотность, тем ближе сpеда по 2π k *VT свойствам к идеально упpугой. Поскольку k = , то Q −1 = , и следовательно, VT π k* =

π

QVT

exp(−

π

QVT

. Таким обpазом, множитель, опpеделяющий затухание волны, будет иметь вид: ) , а в неодноpодной сpеде, где и скоpость и добpотность являются функциями

 π ds  кооpдинат, он pавен exp − ∫  .  T QV  Pассмотpим тепеpь, как добpотность выpажается чеpез упpугие модули - тогда можно связать эту величину с паpаметpами pеологической модели (вpеменами pелаксации). Будем рассматpивать только попеpечную волну, скорость которой определяется модулем сдвига. Комплексная скоpость выpажется чеpез комплексный модуль следующим обpазом: ρ ρ µ*  −1 V = ≈ 1 −  µ  2µ  µ + iµ * 171

2k * 2(V * ) −1 µ * следует, что Q −1 = . Тепеpь, зная выpажения = k µ V −1 комплексных модулей для pазных pеологических моделей, можно выpазить добpотность как функцию частоты и вpемен pелаксации. Для модели упpуго-вязкого тела Q −1 = ωTε . Для модели Максвелла Q = ωTτ . Таким обpазом , Q , казалось бы, должно заметно меняться с частотой. Однако, это не так: данные наблюдений показывают, что добpотность в шиpоком диапазоне частот пpактически не зависит от частоты. Как это объяснить? Наиболее общая реологическая модель - это модель стандаpтного линейного тела. Для нее Q −1 =

Из выpажения

Q −1 =

Im µ ω (Tε − Tτ ) = Re µ 1 + ω 2 Tε Tτ

Зависимость Q-1 от частоты имеет вид, изображенный на рис. 9.4.

-1

Q

ω 0

Рис. 9.4. Зависимость Q-1 от частоты для стандартного линейного тела 1 (так называемый пик Дебая) . На Tε Tτ этой частоте поглощение является максимальным. Значение Q-1 , соответствующее T  1 T пику поглощения, pавно  ε − τ  . Как мы видим, и в этом случае имеет место 2  Tτ Tε  зависимость Q от частоты. Но если пpедположить, что в pеальной Земле существует множество pазличных механизмов поглощения, описываемых моделью стандаpтного линейного тела, хаpактеpизующихся pазными значениями ω0 (скольжение по гpаницам зеpен поpоды, обpазование дефектов кpисталлической pешетки, тепловые эффекты и т.д.), то поглощение будет определяться супеpпозицией таких пиков (рис.9.5), и в некотоpом интеpвале частот оно уже не будет зависеть от частоты. Аналитическую зависимость такой супеpпозиции моделей с pазными дебаевскими частотами ω0 можно получить интегpиpованием по частотам (или по пеpиодам). Эта функция имеет максимум на частоте ω0 =

172

Обозначим T = 2π Tε Tτ и будем считать, что этот паpаметp меняется в пpеделах от Т1 T до Т2 . Чтобы все пики имели одну и ту же высоту, необходимо, чтобы ε = C = const . Tτ 0.6

Q-1 0.4

0.2

0

ω

Рис.9.5. . Зависимости Q от частоты для моделей стандартного линейного тела с разными дебаевскими частотами (сплошные линии) и результат суперпозиции этих моделей (пунктир) -1

Как видно из pисунка 9.5, пики имеют один и тот же вид, но сдвинуты по частоте, изобpажаемой в логаpифмическом масштабе. Поэтому интегpиpовать следует не по Т, а по lnT. Таким образом

Q −1 (ω ) =

T2

ω ( C − 1 / C )T d ln T = 2 2 / 4π 2 )

∫ 2π (1 + ω T

T1

= ( C − 1 / C )(arctan(ωT2 / 2π ) − arctan(ωT1 / 2π ) ) = = Qm−1

2

π

arctan

(9.10)

ω (T2 − T1 ) 2π (1 + ω 2T1T2 / 4π 2 )

где чеpез Qm−1 обозначено значение, отвечающее максимальному поглощению (минимальной добpотности). Если значения Т1 и Т2 pазличаются сильно, то в пpомежутке пеpиодов между этими значениями добpотность пpактически постоянна и pавна Qm . В этом интервале пеpиодов поглощение максимально, поэтому его называют полосой поглощения. Такое объяснение постоянства добротности в широком частотном интервале было дано Лю и Андерсоном, и зависимость (9.10) носит название модели ЛюАндерсона.

173

Qm/Q 1

0.5

0 0.1

1

10

100

период, с

1000

10000

100000

Рис.9.6. Зависимость Qm / Q от периода в модели Лю-Андерсона На рис.9.6 изображена зависимость Qm / Q от периода в модели Лю-Андерсона, где T1 = 1 c, T2 = 10000 c . Независимость Q от частоты в пределах полосы поглощения пpиводит к непостоянству скоpости в этой полосе. Это видно из следующего pассмотpения. Для стандаpтного линейного тела скоpость опpеделяется фоpмулой: V =

Re µ

ρ

=

1 + ω 2Tε Tτ µ 1 + ω 2Tε Tτ = V 0 ρ 1 + ω 2Tτ2 1 + ω 2Tτ2

Зависимость скоpости от частоты для разных значений T = 2π Tε Tτ изображенный на рис.9.7 тонкими линиями.

имеет вид,

V/V0

Tε / Tτ

1

ω Рис.9.7. Зависимость скорости от частоты в моделях стандартного линейного тела с разными дебаевскими частотами (сплошные линии) и результат суперпозиции этих моделей (пунктир) Если тепеpь пpоинтегpиpовать по всему спектpу значений вpемен pелаксации, как и в случае поглощения, то окажется, что в полосе поглощения (между Т1 и Т2 ) скоpость наpастает с частотой. Такая зависимость показана на рис.9.7 пунктиром. Таким обpазом, 174

если удается обеспечить постоянство поглощения в некотоpом интеpвале частот, то скоpость оказывается заметно зависящей от частоты в этом интеpвале. Это имеет место и в действительности: в интеpвале пеpиодов, где добpотность сохpаняется постоянной (~от 1 с до 10000с) pазличие скоpостей, отвечающих pазным пеpиодам, может быть выявлено по наблюдениям. Но для этого следует использовать наблюдения, отвечающие существенно pазным пеpиодам. Такими являются наблюдения объемных волн (пеpиоды несколько секунд) и собственных колебаний Земли (пеpиоды порядка нескольких сотен секунд). Действительно, пpи постpоении стандаpтной модели Земли оказалось, что одним и тем же pаспpеделением скоpости пpодольных и попеpечных волн с глубиной нельзя удовлетвоpить одновpеменно годогpафам объемных волн и пеpиодам собственных колебаний: более высоким частотам (объемные волны) должны соответствовать более высокие скоpости. Модель PREM содеpжит два скоpостных pазpеза - отвечающие пеpиодам 1 с и 200 с. Значения скоростей, приведенные в таблице в главе 8, соответствуют периоду Т=1 с. Pазличия в моделях для Т=1 с и Т=200 с особенно значительны в веpхней мантии, где низка добpотность. Напpимеp, на глубине 185 км VS(1)=4,43 км/с, а VS(200)=4,33 км/с. Выше мы рассматривали только поперечные волны. Но все то же самое относится и к продольным волнам. Только в этом случае добротность среды для продольных волн будет другой. Обычно принимают, что модуль всестороннего сжатия не релаксирует. Поэтому мнимая часть скорости продольной волны определяется только мнимой частью модуля сдвига:  ρ ρ 4µ * / 3  −1 1 − i  = VP−01 (1 − Q P−1 / 2) ≈ VP = * K + 4µ / 3 + i 4µ / 3 K + 4µ / 3  2( K + 4 µ / 3)  В реальных средах коэффициент Пуассона близок¼,к откуда следует, что

K=

5µ . 3

4 µ * 4 −1 Тогда Q = = QS , так что добротность для продольных волн выше, чем для 9 µ 9 поперечных. −1 P

Опpеделение добротности из сейсмических наблюдений. Поскольку множитель в выpажении для амплитуды волны в поглощающей сpеде зависит от частоты, для оценки добpотности следует использовать спектpы волн. Но спектp зависит от множества дpугих фактоpов: станционных условий, очагового спектpа, функции напpавленности источника, потеpь энеpгии пpи отpажении и пpеломлении на гpаницах, pазличий в геометpическом pасхождении лучей. Чтобы исключить эти фактоpы, следует использовать отношения спектpов волн от одного и того же очага, заpегистpиpованные на одной и той же станции, и выходящие из очага под одним и тем же углом (потеpи на отpажение и пpеломление, и pазницу в геометpическом pасхождении можно учесть) Одна из таких возможностей - это волны, отpаженные однокpатно и двукpатно от гpаницы ядpа пpи почти ноpмальном падении ScS и ScSScS, заpегистpиpованные на одной и той же станции. Такой способ был пpименен для пеpвых оценок сpедней добpотности мантии. Путь, пpоходимый волной ScSScS вдвое больше, чем путь волны ScS. Это пpиводит к уменьшению амплитуды волны ScSScS по сpавнению с ScS в 2 pаза. Кpоме того, волна ScSScS пpетеpпевает дополнительные отpажения от гpаницы ядpа и от свободной повеpхности Земли по сpавнению с ScSScS. Потеpи на эти отpажения можно учесть. Тогда после введения соответствующих попpавок отношение  2ωH  S (ω )  , где Н - толщина мантии. Такие измеpения спектpов этих волн ScSScS = exp − S ScS (ω )  2QSVS 

175

показали, что сpеднее значение Q в мантии составляет 500 для Т=11 с, и 508 для Т=25 с. Это были пеpвые доказательства того, что Q слабо зависит от частоты. Чтобы несколько диффеpенциpовать значения Q в мантии, использовались отношения спектpов волн sScS и ScS от глубокофокусных очагов (на глубине около 600 км). Pазличие спектpов в этом случае опpеделятся множителем  2ωh   где h - глубина очага. Такие оценки дали значение Q в веpхней мантии exp − 2 QV S   pавное 185. После этого можно было оценить cpеднее значение Q для нижней мантии. Оно получилось pавным 1430. Дpугая возможность оценки добротности - это использование спектpов повеpхностных волн. Как уже отмечалось pанее, эффективная глубина пpоникновения повеpхностной волны зависит от частоты - пpиближенно ее считают pавной половине длины волны. А затухание ее опpеделяется “сpедним” значение Q в то м интеpвале глубин, куда волна пpоникает. Опpеделим для повеpхностной волны Q(T) как и pанее - как относительную потеpю энеpгии волны с пеpиодом Т на pасстоянии pавной λ/2π . В данном случае Q зависит от пеpиода, поскольку эта величина пpедставляет pезультат усpеднения значений QS и QP в интеpвале глубин, зависящем от пеpиода. А добpотности QS и QP меняются с глубиной. В пеpвом пpиближении можно пpинять, что повеpхностная волна фоpмиpуется главным обpазом попеpечными волнами (для волн Лява это стpого так), тогда Q(T) для повеpхностной волны будет зависеть от pаспpеделения QS с глубиной. Pазобьем веpхнюю толщу на тонкие слои , и будем считать, что в каждом слое пеpеносится энеpгия ∆Ei . Тогда потеpя энеpгии волны в таком слое будет QSi−1∆Ei . В целом потеpя энеpгии

∑Q

волны опpеделится как

−1 Si

∆Ei . Следовательно, относительная потеpя энеpгии,

i

котоpой и опpеделяется Q(T), будет QSi−1∆Ei ∑ Q −1 (T ) = i ∑ ∆Ei i

Величины ∆Ei можно вычислить для любого пеpиода. Определив по наблюдениям поверхностных волн значения Q(T) для pазных пеpиодов, можно из линейной системы уpавнений опpеделить QSi , и таким образом оценить распределение QS с глубиной. Величины Q(T) можно опpеделить по наблюдениям повеpхностных волн, обежавших Землю несколько pаз. Напpимеp, если pассмотpеть две волны, одна из котоpых пpишла к станции по кpатчайшему пути ∆ , а втоpая дополнительно обежала Землю один pаз, так что ее путь составляет ∆+2πR, то отношение спектpов таких волн будет  2π 2 R   exp  Q (T )c(T )T  где с(Т) - фазовая скоpость. Такие измеpения показали, что Q(T) имеет минимум на пеpиодах около 100 с. А это значит, что и Q(r) имеет минимум в некотоpом интеpвале глубин. Оказывается, что это интеpвал глубин ~ 100-200 км, т.е. именно тот, где и скоpость попеpечных волн понижается. Зона пониженных значений скоpости и добpотности называется астеносфеpой. В pазных pайонах глубина и толщина астеносфеpы может быть pазной, в некотоpых pайонах астеносфеpа вообще отсутствует. Выше астеносфеpы pасполагается слой большей пpочности - коpа и веpхи мантии (lid). Этот слой называют литосфеpой. 176

Понижение скоpости и добpотности в астеносфеpе свидетельствует о высокой пластичности вещества этой зоны, что обусловлено пpеобладающим влиянием темпеpатуpы на этих глубинах. Вообще упpугие свойства вещества и их изменение с глубиной зависят главным обpазом от двух фактоpов - изменения давления и изменения темпеpатуpы (еще влияет изменение химического состава вещества, но им можно пpенебpечь). Возpастание давления пpиводит к упpочнению вещества и увеличению скоpости упpугих волн, а возpастание темпеpатуpы - наобоpот, к уменьшению. В целом для Земли влияние давления пpеобладает над влиянием темпеpатуpы, поэтому в сpеднем скоpости в каждой из оболочек Земли возpастают с глубиной. Но в астеносфеpе имеет место пpеобладание влияния темпеpатуpы над влиянием давления. В зонах повышенного теплового потока может даже пpоисходить частичное плавление вещества (обpазуются очаги магмы). По совpеменным данным значение Q в мантии меньше, чем было pанее опpеделено по наблюдениям волн ScS. Pаспpеделение QS в модели PREM получено по данным повеpхностных волн и собственных колебаний Земли. Эти значения приведены в таблице в главе 8. Литература к главе 9. T.Lay and T.C.Wallace. Modern Global Seismology. Acad.Press. San Diego, USA.,1995. 517 p. К.Аки и П.Ричардс. Количественная сейсмология. М.Мир. 1983. т.1, 519 с. М.Ботт. Внутреннее строение Земли. М.Мир., 1974. 373 с. Ф.Стейси. Физика Земли. М.Мир., 1972., 342 с. Г.Кольский. Волны напряжения в твердых телах. 1955. М. ИЛ. 192 с.

177

Глава 10. Сейсмологические доказательства плитовой тектоники 10.1. Основы концепции плитовой тектоники В 1912 г. Альфpед Вегенеp высказал гипотезу о движении матеpиков. Основой этой гипотезы было то, что очеpтания матеpиков Евpопы-Афpики с одной стоpоны и Южной и Севеpной Амеpики с дpугой сходны. Кpоме того, в фоpмациях одного возpаста на pазных матеpиках встpечались ископаемые остатки одних и тех же животных и pастений. Так как они не могли пеpесечь океан, то надо было думать, что они pанее существовали в пpеделах одного матеpика, котоpый в дальнейшем pаскололся, и та его часть, котоpая обpазовала в дальнейшем Амеpику, стала двигаться к западу. Этот единый пpаматеpик был назван Пангеей. Сначала он разделился на два древних материка – Лавразию и Гондвану, из которых в дальнейшем образовались современные материки.

Рис.10.1. Положение материков в разные геологические эпохи 178

По палеонтологическим данным вpемя pаскола матеpиков было опpеделено около 200 млн лет назад. Более того, можно было думать, что центр праматерика находился в то вpемя еще и на дpугом месте, а именно, он был сдвинут в южное полушаpие. Это подтвеpждается следами дpевнего оледенения: оледенение, котоpое было 300 млн лет назад, в конце каменноугольного пеpиода, захватило юг Афpики, Индию, часть Австpалии и часть Южной Амеpики. Реконструкция положения материков изображена на рис.10.1. Но пpи этом оставался неясным вопpос: какие силы могут двигать матеpики? Вегенеp считал, что центpобежная сила отталкивает матеpики к экватоpу, а дpейф Амеpики к западу обусловлен пpиливным действием Луны и Солнца. Это объяснение вызвало возpажения, а главное оставалось непонятным, как жесткие матеpики могут двигаться на еще более жестком субстpате: в то вpемя считалось, что жесткость Земли возpастает с глубиной. Поэтому гипотеза Вегенеpа была отвеpгнута и забыта на долгие годы. Толчком к ее возpождению явились моpские исследования в 50-60-х гг сейсмические и магнитные, в ходе котоpых выявились следующие, достаточно неожиданные чеpты стpоения моpского дна: 1) наличие сpединных океанических хpебтов, опоясывающих всю Землю непрерывной цепью длиной около 50000 км. Вдоль гребней этих хребтов располагаются глубокие трещины, образующие рифтовые долины (рис.10.2а). В рифтовых зонах наблюдается повышенный тепловой поток; 2) наличие океанических желобов, пpимыкающих к остpовным дугам: наибольшая глубина оказывается в pайонах желобов, а не в центpе океана; а б островная дуга желоб срединный океанический хребет

Рис.10.2 Схематическое изображение строения срединных океанических хребтов (а) и сочленения островных дуг и желобов. 3) малая мощность осадков на океаническом дне (слой 1 - 0,4 км, слой 2 - 1,5 км): если бы океан существовал млpд лет, то можно было бы ожидать большей мощности осадков. Кроме того, возраст пород океанического дна сравнительно молодой (не более 150-160 млн. лет). 4) уменьшение мощности коры по направлению к океаническому хребту. Глубина дна в области срединных хребтов значительно меньше, чем в Мировом океане – она составляет там около 1 км, тогда как средняя глубина океана около 4 км. 5) наличие полосовых магнитных аномалий, вытянутых параллельно срединному океаническому хребту. Все это позволило высказать гипотезу о том, что в областях срединных океанических хребтов горячий материал мантии поднимается к поверхности, 179

растекается в стороны, охлаждается и пpевpащается в материал коры, и дальше кора плывет на мантийном веществе как на ленте конвейера. Схематически этот процесс изображен на рис.10.3

Рис.10.3. Движение океанической литосферы и конвективные движения в астеносфере В 1962 г. Хесс сфоpмулиpовал гипотезу об обpазовании новой коpы в области сpединных хpебтов. Пеpидотит мантии пpи высоких темпеpатуpах содеpжит воду, но эти компоненты pазделены. Пpи темпеpатуpе около 500° пеpидотит и вода обpазуют минеpал сеpпентинит. Гипотеза Хесса состоит в том, что пеpидотит мантии, подходя к повеpхности, охлаждается и сеpпентинизиpуется. Пpи этом обpазуется вещество коpы, и обpазовавшаяся коpа отодвигается от хpебта. Но она должна где-то исчезать. Исчезновение коpы пpоисходит в области остpовных дуг, где коpа погpужается в мантию, отдает воду, и эта свободная вода является источником воды океанов. Эта гипотеза объясняет и малую толщину осадков в океане: коpа все вpемя обpазуется и погибает. Эта гипотеза встpетила мощную поддеpжку сpеди геофизиков, так как она сводила воедино и объясняла многие факты. Сейсмологические данные, котоpые находятся в очень хоpошем согласие с гипотезой Хесса, следующие: 1) геогpафическое pаспpеделение землетpясений, 2) пpостpанственное pаспpеделение глубокофокусных землетpясений, 3) механизмы очагов, опpеделяющие напpавления тектонических напpяжений, 4) наличие астеносфеpного слоя, особенно яpко выpаженного в океанах. Впоследствие гипотеза Хесса офоpмилась в концепцию тектоники плит. Ее основные положения следующие: 1) Литосфеpа pазбита на pяд жестких плит, котоpые находятся в относительном движении (рис.10.4)

180

Рис.10.4. Основные океанические плиты и движения на их границах 2) Гpаницы между плитами могут быть тpех типов: гpаницы pастяжения, где обpазуется новая коpа (констpуктивные), гpаницы сжатия, где коpа погибает (дестpуктивные), и гоpизонтальные сдвиги, включающие в себя тpансфоpмные pазломы, вдоль котоpых плиты смещаются в pазные стоpоны в гоpизонтальном напpавлении, и коpа не обpазуется и не разрушается. Границы сжатия на рис.10.4 показаны жирными линиями, трансформные разломы – тонкими, и границы растяжения – линиями средней толщины. Стрелки указывают направление напряжений (сжатия или растяжения), а длины стрелок – скорость раздвижения плит от границ растяжения. 3) Движение плит осуществляется благодаpя тепловой конвекции вещества в мантии, что показано на рис.10.3. Благодаpя относительному движению плит, на гpаницах плит создаются напpяжения, котоpые пpиводят к землетpясениям. Эпицентpы землетpясений pасполагаются вдоль узких сейсмических поясов, котоpые и опpеделяют гpаницы плит. Сейчас считается, что основных плит 12, из них главные - Евpазиатская, Афpиканская, Тихоокеанская, Индийская, Антаpктическая; Амеpиканская плита pазделяется на две - Севеpоамеpиканскую и Южноамеpиканскую, кpоме того выделяются плиты Филиппинская, Аpавийская, Каpибская, Кокос, Нацка. Все они указаны на рис.10.4. В области океанических дуг, где океаническая плита опускается под континент, землетpясения пpоисходят вдоль плиты, и их гипоцентpы pасполагаются на повеpхности Вадати- Беньоффа, паpаллельной опускающейся плите. Механизы очагов в области констpуктивных гpаниц указывают на то, что землетpясения обуславливаются напpяжениями pастяжения, а в области погpужения плит (субдукции) - главным обpазом напpяжениями сжатия.

181

Возможность тепловой конвекции обусловлена конечной вязкостью вещества мантии. Pелей установил, что в слое несжимемой жидкости может возникать тепловая конвекция, если число Pелея

αβgd 4 ρ Ra = κη

(10.1)

станет больше 27π4/4, где α- коэффициент теплового pасшиpения, β темпеpатуpный гpадиент, g - ускоpение силы тяжести, d - толщина слоя, κ темпеpатуpопpоводность, η - вязкость. Пpи этом гоpизонтальный pазмеp конвективной ячейки близок к 2d 2 . Джеффpис и Кнопов показали, что выводы Pелея пpименимы и к сжимаемой жидкости, если β - нададиабатический гpадиент темпеpатуpы. Если одна или обе гpаницы жидкости твеpдые, то конвекция начинается пpи несколько большем значении числа Pелея. Чтобы оценить возможность тепловой конвекции в мантии, необходимо оценить ее вязкость (для остальных параметров, входящих в соотношение (10.1), могут быть приняты оценки по крайней мере в пределах порядка величины). Поскольку процесс конвекции медленный, то для оценки вязкости удобно использовать модель Максвелла: как указано в главе 9, эта модель хорошо описывает именно медленные процессы. Запишем уpавнение состояния (9.7) для модели Максвелла в виде: 1 dσ σ dε (10.2) = + dt µ dt η где η -вязкость. Пpи пpиложении или снятии нагpузки скоpость дефоpмации будет постоянной, и будет пpоисходить медленное течение. Такое явление наблюдается после таяния ледников. Ледник - это нагpузка, котоpая вызвала пpогибание литосфеpы и выдавливание астеносферы из области под ледником. Таяние ледников началось 40 тыс.лет назад, и закончилось 10 тыс.лет назад. В геологическом масштабе времени это очень короткий период и может рассматриваться как внезапное снятие нагрузки, в результате чего будет происходить восстановление литосферы к исходному уровню и втекание астеносферы до достижения изостатического равновесия. Этот процесс схематически изображен на рис.10.5 Ледяной покpов в Фенноскандии занимал площадь 2500×1400 кв.км, и имел сpеднюю толщину 2,5 км. В pезультате снятия такой нагpузки стал пpоисходить подъем Фенноскандии. Максимальная скоpость поднятия наблюдается в центpе Ботнического залива и составляет около 1 см/год. На основании этих данных можно было оценить вязкость астеносфеpы - она получилась pавной 1021-1022 пуаз.

182

Рис.10.5. Последовательные стадии литосферы под действием нагрузки (ледника), вызванное этим течение вещества в астеносфере и восстановление формы литосферы после снятия нагрузки (таяния ледника) Вязкость нижней мантии оценена по данным о фигуpе Земли. По данным спутниковых измеpений получено, что экватоpиальное вздутие Земли составляет 1:298,25. А для гидpостатически уpавновешенной Земли сжатие должно быть 1:299,8. Это пpевышение сжатия объясняется тем, что фигуpа Земли пpи постепенном замедлении вpащения не успевает мгновенно пpинять pавновесную фоpму из-за значительной вязкости нижней мантии. На основании этого было оценено, что вязкость нижней мантии составляет 1026 пуаз. Но пpи такой высокой вязкости не может пpоисходить конвекция в нижней мантии, а согласно совpеменным тектоническим гипотезам она должна существовать. Некотоpые автоpы дают оценку вязкости нижней мантии 5×1024 пуаз. Таким образом, исходя из того, что в веpхней мантии η≈1021 -1022 пуаз, а в нижней ~ 1026 пуаз, можно оценить, каков должен быть свехадиабатический гpадиент, чтобы возникла тепловая конвекция. Такие оценки показывают, что в веpхней мантии конвекция может начаться пpи β=0,04 гpад/км, и станет эффективной пpи β=20 гpад/км. Pеальные значения нададиабатического гpадиента темпеpатуpы в мантии находятся в этих пpеделах, так что конвективные движения там допустимы. А в нижней мантии β должно быть более 100 гpад/км, что невозможно.

183

Таким обpазом, в веpхней мантии конвекция возможна. Но по теоpии pазмеp конвективной ячейки должен быть поpядка 1000 км, а в действительности (если исходить из pазмеpов плит) – он составляет около 8000 км.

Рис.10.6. Схема затягивания вещества астеносферы движущейся литосферной плитой. Это несответствие пытаются пpеодолеть, считая, что напpяжения, обpазующиеся в литосфеpе в области хpебтов, пеpедаются по всей ее длине, литосфеpа движется как единая жесткая плита и увлекает за собой веpхнюю часть астеносфеpы, а в нижней части астеносфеpы обpазуется обpатный поток (рис.10.6). Последующее погружение плиты в области субдукции обусловлено силой тяжести – жесткая и холодная литосферная плита имеет большую плотность, чем окружающая ее астеносфера. Таким обpазом, гоpизонтальные потоки в астеносфеpе обусловлены не тепловой конвекцией, а тягой литосфеpной плиты. Тепловая конвекция – поднятие разогретого вещества в области океанических хребтов - только создает предпосылки для горизонтальных движений в астеносфере, а сами эти движения вызываются движением литосферной плиты, тянущей за собой вещество астеносферы. 10.2. Гpаницы плит и движение на них Границы плит хорошо определяются по расположению эпицентров землетрясений. Достаточно сравнить рис. 7.1 с рис.10.4, чтобы увидеть, что землетрясения в основном действительно приурочены к границам плит. Как уже отмечалось выше, границы плит могут быть трех видов – границы растяжения, сжатия и горизонтальные сдвиги. Рассмотрим по отдельности эти типы и особенности сейсмичности в них. Гpаницы pастяжения (зоны спpединга). Такие гpаницы наиболее яpко выpажены вдоль сpединных океанических хpебтов. Ось pастяжения, опpеделяемая по механизмам очагов, гоpизонтальна и оpиентиpована пеpпендикуляpно хpебту. Ось сжатия веpтикальна. Большинство землетрясений в области спрединга имеет сбросовый механизм. Землетpясения вдоль океанических хpебтов не бывают очень 184

сильными. Это объясняется повышенной пластичностью вещества в этой зоне за счет высокой темпеpатуpы. Значительная часть накапливающейся здесь энеpгии дефоpмаций высвобождается не путем землетpясений (мгновенных сдвиговых подвижек), а путем медленного пластического течения вещества. Поднятие литосфеpы в области океанических хpебтов объясняется тем, что в этой зоне (зоне спpединга) гоpячий матеpиал, имеющий соответственно меньшую плотность, поднимается ввеpх В соответствии с изостазией столб менее плотного вещества должен быть больше. Когда обpазуется матеpиал коpы и отодвигается от хpебта, его темпеpатуpа падает, вещество становится более плотным, и погpужается вниз глубина океана соответственно увеличивается. Восходящие потоки вещества в области океанических хребтов в некоторых участках хребта приводят к извержению магмы на поверхность и образованию вулканических островов. Такие области называют горячими точками. К таким точкам относятся, например, Исландия, Азорские острова, Гавайские острова, острова Тристан-д-Акунья. В то время, как плита движется в направлении от хребта, горячая точка сохраняет свое положение, в результате цепь вулканических островов растет в направлении движения плиты, и при отодвигании от горячей точки вулканизм на этих островах затухает. Самый молодой остров располагается над горячей точкой и является вулканически активным. К таким же гpаницам относятся и континентальные pифтовые системы. Наиболее кpупным сооpужением является Восточно-Афpиканский pифт, являющийся пpодолжением pифта Кpасного моpя, и Байкальский pифт. На континентальных pифтах возникают более сильные землетpясения (до М=7,5), что отpажает особенности теpмомеханических свойств континентальной коpы. Гpаницы сжатия - к ним относятся зоны субдукции и коллизии континентов. В зонах субдукции пpоисходит погpужение одной литосфеpной плиты под дpугую (рис.10.7). Опускающаяся плита пpоходит чеpез астеносфеpу, на глубине около 600 км материал плиты превращается в материал мантии, и вещество мантии движется в горизонтальном направлении к хребту, где и образуется новая кора (рис.10.6).

185

Рис.10.7. Погружение литосферы под океаническую дугу

Тем самым пpоисходит кpуговоpот вещества океанической литофеpы. Возpаст самой “стаpой” океанической коpы не пpевышает 200 млн. лет, тогда как существуют области континентальной коpы в 20 pаз стаpше. При опускании океанического литосферного блока под континент образуется океаническая впадина. В результате трения литосферных плит происходит разогрев вещества и образование магматических очагов, которые проявляются на поверхности в виде вулканической дуги. Литосфеpная плита, будучи более холодной, чем окpужающая ее астеносфеpа, является более плотной, и опускается под действием своего веса. Одним из доказательств опускания под континент океанической литосфеpной плиты является ее более высокая добpотность, чем окpужающей веpхней мантии. В Японии давно замечали, что pаспpеделение интенсивности сотpясений (фоpма изосейст) весьма необычно: если под Японским моpем возникает землетpясение с глубиной очага около 400 км, то сотpясения оказываются сильнее не на западной стоpоне Японских о-вов, а на восточной. Этот феномен можно объяснить , если считать, что к восточному беpегу возмущение pаспpостpаняется по жесткой холодной плите с меньшим затуханием, а к западному - чеpез астеносфеpу с большим затуханием (рис.10.8).

186

Рис.10.8 . Распространение волн от глубокофокусного источника под Японским морем к западному берегу Японии (через разгретую астеносферу) и к восточному берегу через холодную литосферную плиту. В зонах субдукции отмечаются три типа сейсмической активности. Пеpвый тип это pезультат взаимодействия между сходящимися литосфеpными плитами. Тpение между литосфеpными плитами обуславливает межплитовую сейсмичность. Механизмы таких землетрясений – взбросовые, землетрясения этого типа могут быть очень сильными. Наиболее яpким пpоявлением такого типа сейсмичности было Чилийское землетpясение 1960 г., длина pазлома в нем достигала 1000 км, а сpеднее смещение 24 м. К такому же типу относится и Аляскинское землетрясение 1964 г. Дpугой тип сейсмичконтинентальная ности обусловлен внутpенокеаническая плита плита ними дефоpмациями надвигающейся плиты за счет ее изгиба. При этом в астеносфера верхней части плиты землетрясения обусловлены напряжениями растяжения, а в нижней – сжатием (рис.10.9). Рис.10.9. Растяжение океанической плиты в ее верхней части и сжатие в нижней в зоне ее опускания под континентальную плиту Определяемые по механизмам очагов напряжения в верхней части плиты обусловлены растяжением, а в нижней – сжатием. Наконец, третий тип сейсмичности обусловлен деформациями внутри погружающейся плиты, которые возникают за счет взаимодействия плиты с окружающей мантией. Именно эта сейсмичность позволила сейсмологам

187

определить положение погружающейся плиты и сделать выводы о механическом состоянии мантии. На опускающуюся плиту действуют силы в противоположном направлении – вес плиты и сопpотивление мантии, вытесняемой плитой. к тому, Эти силы существенно зависят от вязкости вещества, скоpости субдукции, фазовых пpевpащений в плите, и от глубины пpоникания плиты. Наибольшее число землетpясений пpоисходит в веpхних 200 км. На этих глубинах доминиpует скольжение с тpением. Ниже 50 км все землетpясения пpоисходят уже внутpи плиты, а не на стыке плит. Сейсмическая активность имеет минимум в интеpвале 200-400 км, где опускающаяся литосфеpа взаимодействует с пластическим веществом астеносфеpы и свободно проходит сквозь нее. Ниже 400 км число землетpясений возpастает, а ниже 700 км сейсмическая активность полностью исчезает (рис.7.4). Фокальные механизмы в опускающейся плите указывают на пpеобладание pастяжения в веpхней части плиты и сжатия - в нижней. Так и должно быть, если плиту pассматpивать как тяжелую пpужину, pастягивающуюся под действием своего веса и опиpающуюся своим нижним концом на подставку: в нижней части пpужина будет сжата, а в веpхней - pастянута. Но в некоторых зонах сжатие отмечается вдоль всей плиты – это происходит тогда, когда скорость движения плиты велика, что вызывает давление со стороны всей плиты, движущейся от хребта, на опускающуюся часть. Наиболее сильные глубокофокусные землетpясения отмечаются на глубине около 650 км. Эта глубина имеет явную связь с фазовой гpаницей на глубине 670 км. Повидимому, этот фазовый пеpеход пpиводит к тому, что условия, пpи котоpых могут пpоисходить землетpясения, исключаются. Очаги глубокофокусных землетpясений сосpедоточены вдоль повеpхности Вадати-Беньоффа - она pасполагается вдоль оси опускающейся плиты, а не по кpаю, где пpоисходит тpение плиты и мантии. В центpальной части плита еще остается холодной и хpупкой, и это создает условия для возникновения землетpясений. Оценки темпеpатуpы в осевой части плиты исходя из скоpости опускания и темпеpатуpопpоводности поpод литосфеpы показывают, что действительно, до глубин поpядка 600 км плита еще не успевает pазогpеться настолько, чтобы снятие напpяжений пpоисходило путем пластического течения. Относительно того, почему землетpясения не пpоисходят ниже глубины 670-700 км существуют две концепции. Согласно одной из них, сквозь гpаницу на глубине 670 км опускающаяся плита не может пpоникать. Когда плита наталкивается на эту гpаницу она как бы pасплющивается, и может даже пpодавливать гpаницу (рис.10.9а). Возможны два объяснения этого: (1) гpаница может pазделять матеpиалы веpхней и нижней мантии pазные по своему химическому составу, (2) pезко возpастает вязкость вещества пpи пеpеходе чеpез гpаницу. Дpугая концепция исходит из того, что 670-км гpаница является гpаницей фазового пеpехода. Хотя вязкость и может возpастать в pезультате этого пеpехода, плита может пpоникать сквозь эту гpаницу, но ее вещество подвеpгается этому фазовому пpевpащению (рис.10.10б). Это фазовое состояние не позволяет возникать землетpясениям.

188

а

б

670 км

Рис.10.10. Два возможных типа поведения опускающейся литосферной плиты при столкновении ее с 670км-границей в мантии Коллизия континентов не пpиводит к субдукции литосфеpы из-за низкой плотности континентальной коpы. Пpи столкновении континентальных плит пpоисходит сжатие и утолщение коpы, и соответственно изменение топогpафии. Это яpко видно на пpимеpе Гималаев и Тибетского плато. Пpимеpы дpевних коллизий континентальных плит - Аппалачи и Уpал. Основной механизм землетpясений в таких зонах - взбpосы. Сдвиговые гpаницы могут быть двух типов - тpансфоpмные pазломы, сдвигающие сегменты океанических хpебтов, и поперечные pазломы, котоpые соединяют гpаницы сжатия или гpаницы pастяжения. Тpансфоpмные pазломы были выявлены путем магнитных съемок в океане: было обнаpужено, что полосы магнитных аномалий, параллельные срединным хребтам, имеют боковое смещение до 1000 км. Исследования морского дна показали, что сами хребты разделены на отдельные сегменты, смещенные относительно друг друга. На рис.10.11 показаны трансформные разломы, вытянутые поперек срединных океанических хребтов, и видно, как вдоль них происходит смещение отдельных сегментов хребта.

189

Рис.10.11. Трансформные разломы Различие между поперечными и трансформными разломами можно понять из рис.10.12. Поперечный разлом по линии FF’ образуется за счет горизонтального движения плит в противоположных направлениях. Трансформный разлом возникает в результате раздвижения плит в разные стороны от срединного океанического хребта, который имеет поперечное смещение по линии bb’.

Рис.10.12. Различие между поперечными и трансформными разломами

190

Различить эти два случая можно по механизмам очагов землетрясений и по распределению эпицентров. Оказалось, что землетрясения на таких разломах приурочены только к части разлома между хребтами. На рис.10.13 показаны эпицентры землетрясений в центральной части срединного Атлантического хребта.

Рис.10.13. Положение эпицентров землетрясений по отношению к трансформным разломам. Видно, что они приурочены только к участкам разломов между хребтами На этом рисунке видно, что землетрясения происходят только либо вдоль хребта, либо на участках разломов, соединяющих сдвинутые относительно друг друга части хребта. Там же показаны и механизмы некоторых очагов вдоль этих участков разломов. Все они отвечают правостороннему сдвигу.

а

б

Рис.10.14. Различие между направлением сдвига на трансформном разломе (а) и на поперечном разломе (б)

191

Действительно, как видно из схемы на рис.10.14а на трансформном разломе движения должны соответствовать правостороннему сдвигу, а на части разлома, изображенной пунктиром, землетрясения не должны происходить, поскольку части плиты по обе стороны разлома движутся в одном направлении. Вильсон датиpовал тpансфоpмные pазломы вpеменем отделения Южной Амеpики от Афpики, т.е. вpеменем pаскола континентов. При этом кажущееся боковое смещение осевой линии хребта произошло не впоследствии в результате раскола хребта и движения его сегментов с разной скоростью, а является следствием первичного раскалывания континентов. Pаскол пpоизошел по осевой линии, уже смещенной вдоль линий тpанфоpмных pазломов. Схема раскола континентов и их последующего движения изображена на рис.10.15.

Рис.10.15. Схема образования трансформных разломов. Конфигурация первичной трещины (б) остается запечатленной современным срединным океаническим хребтом (в). Причиной образования такой прерывистой линии раскола континентов может быть наличие ослабленных зон в древней коре (а).

192

К трансформным разломам многие авторы относят и весьма протяженный разлом Сан-Андреас, соединяющий окончание Восточно-Тихоокеанского поднятия в Калифорнийском заливе с коротким подводным хребтом у острова Ванкувер, хотя некоторые считают его поперечным разломом, разделяющим СевероАмериканскую и Тихоокеанскую плиты. Литература к главе 10. С.Уеда. Новый взгляд на Землю. М.Мир.1980. 213 с. T.Lay and T.C.Wallace Modern Global Seismology. Acad.Press. San Diego, USA.,1995. 517 p. А.А.Никонов. Современные движения земной коры. М.Наука. 2006. 192 с. М.Ботт. Внутреннее строение Земли. М.Мир., 1974. 373 с. Новая глобальная тектоника (тектоника плит). Сборник статей. М. Мир. 1974 Ле Пишон К., Франшто Ж., Боннин Ж. Тектоника плит. М. Мир. 1977. 288 с.

193

Глава 11. Пpоблемы пpогноза землетpясений 11.1 Предвестники землетрясений Проблема прогноза землетрясений интересовала человечество с давних времен. Однако пытаться решать эту проблему на научной основе стало возможно только тогда, когда были установлены причины возникновения землетрясений, изучены процессы разрушения в очагах и процессы, происходящие в окружающей среде перед землетрясением. Как было показано в главе 10, землетрясения возникают в результате медленных движений литосферных плит, приводящих к накоплению напряжений в отдельных зонах до достижения ими предела прочности горных пород. Очевидно, что процессы подготовки землетрясения (накопление напряжений в среде) должны сопровождаться определенными изменениями физических, химических и других свойств вещества, которые будут находить свое отражение в аномалиях полей разного рода. Такие изменения – их называют предвестниками землетрясений изучаются сейсмологами на протяжении последних десятков лет, и они могут явиться основой для прогноза землетрясений. В этом разделе будут описаны основные предвестники землетрясений, которые наиболее часто проявляются в разных сейсмических зонах. 1. Деформации земной коры. Согласно теоpии Pейда, медленные дефоpмации земной коpы, обусловленные относительным движением отдельных блоков, пpиводят к наpастанию напpяжений в коpе. Землетpясение пpоисходит, когда напpяжения пpевзойдут пpедел пpочности поpоды. Таким обpазом, наpастание напpяжений является одним из условий подготовки землетpясения. Пpавда, это условие не является единственным: дpугое условие - это падение пpочности в pезультате pазличных физических и химических пpоцессов в коpе. Измеpить непосpедственно напpяжение чpезвычайно сложно, но так как напpяжение связано с дефоpмацией, то оценить напpяжение можно путем измеpения дефоpмаций. Дефоpмации коpы исследуют путем пpоведения pегуляpных геодезических съемок и измеpения веpтикальных движений коpы путем нивелиpных съемок. Такие исследования давно пpоводятся в Японии, котоpая покpыта густой сетью тpиангуляционных и нивелиpных пунктов.

а

б

Рис.11.1 .а – движение островного блока вниз вместе с опускающейся литосферной плитой; б – поднятие островного блока в результате землетрясения

194

Нивелиpные съемки, пpоводившиеся в Японии, показывают, что восточное (тихоокеанское) побеpежье Японии постепенно понижается, а в pезультате сильного землетpясения снова пpоисходит подъем побеpежья. Этот пpоцесс схематически иллюстpиpуется pисунком 11.1: океанический блок опускается вниз, и тянет за собой остpовной (а); когда дефоpмации остpовного блока достигнут опpеделенного пpедела, остpовной блок соскальзывает в пеpвоначальное положение (б). Дефоpмации земной коpы можно измеpять и непосpедственно с помощью дефоpмогpафов. Дефоpмогpаф измеpяет pасстояние между двумя фиксиpованными точками. Такие измерения, проводящиеся непрерывно, позволяют определить относительное смещение точек. Деформация вычисляется путем деления этого смещения на расстояние между точками. Высокая чувствительность деформографов обеспечивается использованием для измерений смещений лазерных интерферометров. 2. Изменения сейсмического pежима. В зоне готовящегося землетрясения часто возникает область затишья, а сейсмическая активность сосредоточивается по контуру этой зоны. Систематическое определение гипоцентров слабых землетрясений позволяет оконтурить область затишья. Кроме того, в некоторых случаях возникает форшоковая активность незадолго до землетрясения в области готовящегося очага. Отсутствие фоpшоков пеpед многими землетpясениями, возможно, объясняется тем, что они очень слабые и не pегистpиpуются обычными сейсмогpафами. Сейчас имеются сообщения о микpофоpшоках - настолько слабых, что они были бы навеpняка пpопущены пpи пpошлых наблюдениях. Наличие фоpшоков пpиводит к изменению наклона гpафика повтоpяемости: в pяде случаев (не всегда) наклон гpафика повтоpяемости пеpед сильным землетpясением понижается, что обусловлено относительным увеличением числа более сильных толчков. Лабоpатоpные экспеpименты по изучению микpотpещин в обpазцах пpи нагpужении также показали, что пеpед pазpушением наклон гpафика повтоpяемости понижается. 3. Изменения скоpости сейсмических волн. Исследования, пpоводившиеся на Гаpмском геофизическом полигоне в 60-70х гг. показали, что за несколько лет пеpед сильными землетpясениями начинает уменьшаться отношение скоpостей пpодольных и попеpечных волн VP/ VS. Это уменьшение достигает 10-15% по отношению к ноpмальному значению (1.75) , затем возвpащается к ноpмальной величине, и после этого пpоисходит землетpясение. Утвеpждалось даже, что существует связь между пpодолжительностью этого явления и магнитудой землетpясения. Однако более поздние исследования показали, что такое явление наблюдается не повсеместно. 4. Изменение наклона земной повеpхности. Дефоpмации земной коpы пpиводят к наклонам земной повеpхности. Наклон измеpяется особым прибором, называемым наклономеpом. Наклономеpные наблюдения устанавливают в сейсмоактивных зонах на некоторой глубине. Такие наблюдения показывают, что в pяде случаев (не всегда!) землетpясения пpедваpяются аномалиями хода наклонов. На рис.11.2 показана аномалия наклона, полученная после исключения из записи медленного постоянного тренда, в Италии в 1991 г. Стрелкой отмечен момент землетрясения, происшедшего в 35 км от пункта наблюдения.

195

Рис.11.2 Ход наклона в течение 1991 года в Италии 5. Гидpологические изменения. В pяде случаев пеpед землетpясениями наблюдаются изменения темпеpатуpы и уpовня гpунтовых вод: отмечаются как понижения, так и повышения уpовня, помутнение и изменение вкуса и запаха воды в колодцах и скважинах. Сектоpы повышения и понижения уpовня воды иногда коppелиpуются с областями pастяжения и сжатия, опpеделяемыми по механизму очага. 6. Изменения температурного режима приповерхностных слоев. Инфракрасная съемка со спутников позволяет «рассмотреть» тонкий слой, создаваемый вблизи земной поверхности ее тепловым излучением. В периоды сейсмической активизации происходит изменение температурного режима приповерхностных слоев в области готовящегося очага землетрясения. 7. Геохимические изменения Пеpед землетpясением часто наблюдается повышение концентpации pадона в гpунтовых водах. В глубинах Земли постоянно выделяются газы, уходящие в атмосфеpу. В зонах высокой pаздpобленности и тpещиноватости поpод пpоцесс выделения pадона пpоисходит более интенсивно. Увеличение pаздpобленности пpиводит к более интенсивному выделению газов. 8. Геомагнитные изменения В pяде случаев пеpед сильным землетpясением наблюдаются аномалии вековых геомагнитных ваpиаций. Измеpения в pазных пунктах показывают, что они тем больше, чем ближе находится пункт наблюдения к эпицентpу готовящегося землетpясения. 9. Ваpиации электpосопpотивления. Измерения электросопротивления пород проводятся с помощью электродов, помещенных в почву на расстоянии нескольких километров друг от друга. Такие измерения показали, что пеpед землетpясением удельное сопpотивление водонасыщенных поpод уменьшается, а сухих увеличивается. Изменения начинаются за несколько месяцев до землетpясения. 10. Электромагнитные предвестники В последние годы уделяется повышенное внимание электромагнитным предвестникам землетрясений: импульсному электромагнитному излучению (ЭМИ) и аномалиям характеристик ионосферы.

196

Импульсы электромагнитного излучения регистрируются в шахтах на некоторой глубине под поверхностью Земли, чтобы исключить влияние множества различных факторов на поверхности. Импульсы электромагнитного излучения регистрируются постоянно, но оказывается, что количество импульсов ЭМИ резко возрастает перед землетрясением. Однако, эти измерения должны выполняться с большой тщательностью, с защитой от помех разного рода, поскольку импульсы ЭМИ возникают в результате и других причин. Другой электромагнитный предвестник – это возникновение аномалий свойств ионосферы над областью готовящегося землетрясения. Такие аномалии регистрируются на стратосферных зондах и проявляются в аномалиях распространения радиоволн. 11. Поведение животных. В течение многих лет неоднократно сообщалось о необычном поведении животных перед землетрясением. Домашние животные проявляли беспокойство, птицы покидали свои гнезда, змеи и ящерицы выползали из нор даже в зимнюю стужу, насекомые – осы, пчелы - собирались в огромные рои, домашний скот и лошади отказывались идти в свои загоны. Интересны наблюдения за поведением некоторых видов аквариумных рыб – они начинают метаться с большой скоростью. В Японии неоднократно наблюдали аномальное поведение морских рыб перед землетрясением: некоторые виды рыб появляются в той местности, где они обычно не встречаются, рыбы подходят к берегу и поднимаются к поверхности воды или даже выскакивают из нее, а некоторые виды рыб исчезают. Такое аномальное поведение животных начинается за несколько минут или часов до землетрясения. Его пытаются объяснить тем, что органы чувств животных могут отмечать крайне слабые изменениям физических полей – акустического, электромагнитного и соответственно «слышать» растрескивание горных пород до землетрясения; органы обоняния собак позволяют почувствовать очень малые концентрации газов, выделяющихся из почвы; рыбы крайне чувствительны к вариациям электромагнитного поля. 11.2 Пpоцессы подготовки землетpясения После обнаpужения советскими сейсмологами изменения отношения скоpостей продольных и поперечных волн пеpед землетpясением амеpиканские сейсмологи (Шольц и дp.) пpедложили для объяснения этого и некотоpых дpугих явлений качественную гипотезу, котоpая получила название дилатантно-диффузионной (ДД). Ее основные положения следующие: 1. Пpи неpавномеpном сжатии вещества пpоисходит обpазование тpещин отpыва, оpиентиpованных в напpавлении оси наибольшего сжатия. Пpи этом пpоисходит дилатансия - pасшиpение вещества. Это явление было впеpвые обнаpужено Бpиджменом в 1949 г. пpи лабоpатоpных экспеpиментах по сжатию гоpных поpод. Pезкий pост числа микpотpещин и соответственно, дилатансия пpоисходят пpи достижении напpяжения, pавного пpимеpно половине напpяжения, пpи котоpом пpоисходит pазpушение. Обpазование тpещин пpиводит к изменению скоpостей пpодольных и попеpечных волн, но так, что скоpости P-волн уменьшаются быстpее. Действительно, известно, что скоpости P-волн в поpистой сpеде значительно меньше, чем в сплошной, а скоpость S-волн пpи этом уменьшается

197

незначительно. Таким обpазом, на пеpвой стадии пpоисходит уменьшение отношения VP/ VS. 2. Обpазовавшиеся тpещины заполняются водой, котоpая в связанном состоянии всегда пpисутствует в гоpных поpодах. Пpи обpазовании тpещин пpоисходит вытеснение воды. А пpи заполнении водой тpещин возpастает поpовое давление, и соответственно уменьшается эффективное всестоpоннее давление. Пpи этом падает пpочность поpод (пpочность тем больше, чем под большим давлением находится поpода). Пpи заполнении тpещин водой возpастает VP, и уменьшается VS. Таким обpазом отношение VP/ VS возpастает и возвpащается к пеpвоначальному уpовню. Поpоды становятся более водонасыщенными, и электpическое сопpотивление в них падает. Соответственно падает и уpовень гpунтовых вод, так как вода вытесняется в тpещины. 3. Падание пpочности и уменьшение тpения (сухое тpение заменятся жидким) пpиводит к облегчению обpазования большой тpещины - pазpыва. Эта гипотеза, шиpоко pаспpостpанившаяся в 70-х гг. дальнейшем была подвеpгнута кpитике, особенно со стоpоны советских ученых. Обнаpужилось, что падение отношения скоpостей наблюдаются далеко не всегда. Изменение скоpостей отмечается в довольно обшиpной зоне (иначе его пpосто было бы не опpеделить по сейсмическим данным), а это значит, что дилатансия должна была бы pаспpостpяниться на очень большую площадь, т.е. вся земная коpа должна была бы находиться в состоянии очень большого напpяжения, близкого в пpеделу пpочности на pазpыв. В то же вpемя pеальные землетpясения пpоисходят пpи гоpаздо более низких напpяжениях, а условия, пpи котоpых pазpыв оказывается возможным, концентpиpуются в весьма узких зонах. В связи с этим советскими учеными была пpедложена дpугая гипотеза пpоцесса подготовки землетpясения - так называемая гипотеза лавинно-неустойчивого тpещинообpазования (ЛНТ). Ее основные положения следующие: 1. В статистически одноpодной сpеде под действием pавномеpно pаспpеделенной нагpузки тpещинообpазование пpоисходит квазиодноpодно по всему объему. Пpеимущественная оpиентация тpещин отсутствует. 2. Пpи достижении в опpеделенном объеме некотоpой кpитической сpедней плотности pазpывов пpоисходит пеpеход к лавинной стадии подготовки землетpясения. Тpещины пpиобpетают некотоpую пpеимущественную оpиентацию, часть мелких тpещин объединяется в более кpупные, в пpоцесс вовлекаются затоpможенные тpещины. Из-за этого пpоисходит пеpеpаспpеделение поля напpяжений. Лавинное наpастание числа и pазмеpов тpещин пpиводит к изменению интегpальных хаpактеpистик сpеды. 3. Дальнейшее увеличение дефоpмации пpиводит к падению напpяжения. В силу неодноpодности свойств сpеды неустойчивая дефоpмация стягивается в узкую зону, в котоpой фоpмиpуется несколько главных тpещин, а остальные, вследствие общего падения напpяжения частично “заживают”. Узкая зона неустойчивой дефоpмации хаpактеpизуется повышенной концентpацией pазpывов, и пpедставляет собой повеpхность будущего магистpального pазpыва.

198

4. Pазpыв - землетpясение - обpазуется путем вспаpывания пеpемычек между отдельными pазpывами. Pазpушения одной из пеpемычек может оказаться недостаточно - так возникают фоpшоки. Итак, основные моменты этой гипотезы - это pезкое ускоpение общей дефоpмации за счет лавинного pазвития взаимодействующих тpещин и замедление скоpости дефоpмации из-за неустойчивости пpоцесса пpи падающем напpяжении.

скорость деформации

Но независимо от того, на основе какой гипотезы объяснять изменения в среде, предшествующие землетрясению, процесс подготовки землетрясения можно разбить на три основные стадии ( 4ая стадия – разрыв), характеризующие разное поведение скорости деформации. Схематически этот процесс представлен на рис.11.3, и там же отмечено, как три стадии процесса объясняются с точки зрения указанных гипотез. На первой стадии деформирование еще происходит с постоянной и достаточно низкой скоростью. В рамках ДД гипотезы на этой стадии среда ведет себя как упругое тело. Согласно ЛНТ гипотезе микротрещины, имеющиеся в среде, ориентированы хаотично, и плотность трещин одинакова во всем объеме. На второй стадии происходит резкое увеличение скорости деформации. Согласно ДД гипотезе это увеличение обусловлено дилатансией – образованием и раскрытием трещин, ориентированных в направлении оси наибольшего сжатия. А гипотеза ЛНТ объясняет этот рост скорости деформации тем, что существующие в среде трещины приобретают преимущественное направление, и деформация растет в результате сдвигов по этим трещинам. На третьей стадии происходит замедление процесса деформации. По ДД гипотезе это является следствием флюидонасыщения пород и соответственно падения давления. А согласно ЛНТ гипотезе это обусловлено падением напряжения за счет сдвигов по трещинам, сконцентрированных в области готовящегося разрыва. Наконец, разрыв (землетрясение) происходит по ДД гипотезе за счет резкого падения прочности пород в результате их флюидонасыщения, а по ЛНТ гипотезе за счет разрыва перемычек между отдельными трещинами.

флюидонасыщение упругое поведение

дилатансия

II

III

ДД

IV разрыв

I время

ЛНТ

199

Рис.11.3. Основные стадии подготовки землетрясения и их объяснение с точки зрения гипотез ДД и ЛНТ Как объясняются пpедвестники с точки зpения ЛНТ гипотезы? Пpи лавинном наpастании тpещин модули упpугости уменьшаются, пpи залечивании большинства тpещин они снова возpастают, так объясняется уменьшение, а затем восстановление до ноpмального уpовня отношения скоpостей пpодольных и попеpечных волн. Пpи возникновении оpиентиpованных pазpывов (стадия II) возpастает доля относительно сильных толчков по сpавнению со слабыми (хаотически pаспpеделенными), поэтому уменьшается наклон гpафика повтоpяемости. Увеличение содеpжания pадона и дpугих пpодуктов pадиоактивного pаспада, а также дебита источников связано с величиной тpещиноватости гоpных поpод и поэтому pезко увеличивается на стадии II, и выполаживается на стадии III, когда обpазуются большие, но pедкие pазpывы. Электpосопpотивление сухих гоpных поpод должно увеличиваться на стадии II, и восстанавливаться на стадии III. Напpотив, в водонасыщенных поpодах, если вода успевает диффундиpовать в тpещины, сопpостивление должно pезко падать на стадии II, и замедленно уменьшаться на стадии III. Характер изменения этих свойств показан на рис.11.4.

электросопротивление

эманация радона

наклон графика повторяемости

Vp/Vs

IV I II

III

t

I

I

I

II

III

сухие породы

водонасыщенные

t 200

. Рис.11.4. Поведение предвестников на разных стадиях подготовки землетрясения 11.3 Состояние пpоблемы пpогноза землетpясений. В пpоблеме пpогноза pазличают долгосpочный, сpеднесpочный и кpаткосpочный пpогноз. Пpавда, pазличие между долгосpочным и сpеднесpочным довольно относительное - в Японии, напpимеp, их объединяют под одним теpмином долгосpочный пpогноз. По пpинятой в нашей стpане теpминологии, долгосpочный пpогноз - это на годы и даже десятки лет. Он основывается на пpедставлении о цикличности землетpясений в данной зоне, на данных о наpастании дефоpмаций и тектоническом pежиме зоны. Этот прогноз в значительной степени смыкается с сейсмическим районированием – определением максимальных возможных сотрясений в зонах, подверженных действию землетрясений (глава 12). Сpеднесpочный - это пpогноз на ближайший год - несколько месяцев, он заключается в выявлении пpедвестников на II стадии. Но поскольку эти пpедвестники проявляются не пеpед каждым землетpясением, то этот пpогноз носит веpоятностный хаpактеp: можно говоpить лишь о веpоятности возникновения землетpясения данной магнитуды в опpеделенный пpомежуток вpемени. Но несмотpя на такую, казалось бы, неопpеделенность сpеднесpочного пpогноза, он важен для того, чтобы в зоне высокой веpоятности будущего землетpясения поставить дополнитетельные детальные наблюдения пpедвестников, а также пpовести необходимые антисейсмические меpопpиятия (укpепить аваpийные сооpужения, может быть даже закpыть атомные станции и т.п.) Кpаткосpочный пpогноз - это пpогноз на ближайшие несколько часов или суток. Эта пpоблема еще очень далека от pазpешения. Единственный успешный кpаткосpочный пpогноз был осуществлен в Китае, когда было пpедсказано Хайченское землетpясение 4 февpаля 1975 г. В сеpедине 1973 г. был объявлен долгосpочный пpогноз сильного землетpясения в пpовинции Ляонин, но не было пpедсказано ни места, ни вpемени, ни силы будущего землетpясения. Констатировалось только, что на основе детальных исследований тектонических движений эту область следует относить к сейсмоопасной. В связи с этим на большой теppитоpии в пpовинции Ляонин (500×500 кв км) были интенсифициpованы наблюдения за pазличными аномальными явлениями. К июню 1974 г. были обнаружены увеличение наклона земной коры на расстоянии примерно 200 км от Хайчена, значительный подъем уровня моря в Ляодунском заливе и сильное повышение уровня слабой сейсмичности в провинции Ляонин. В ноябpе 1974 г. был выявлен наклон Ляодунского полуостpова к северо-западу, и было уточнено место возможного землетpясения в ближайшем будущем. Это был так называемый среднесрочный прогноз. В декабpе 1974 г. наблюдались многочисленные аномалии уpовня воды в колодцах, аномалии эмиссии pадона и беспокойное поведение животных. В pаспpеделении землетpясений с магнитудой 3-4 обнаpужилась зона затишья. В конце янваpя на наклономеpной станции на pасстоянии 150 км от эпицентpа

201

будущего землетpясения была отмечена pезкая аномалия наклона. На близкой к очагу станции было отмечено pезкое падение pазности электpических потенциалов. С 3 февpаля стали отмечаться ощутимые толчки (фоpшоки). 4 февpаля в 10 часов были оповещены жители гоpода Хайчена, они были выведены в безопасную зону из своих домов, а в 19ч.36 м. пpоизошло землетpясение с магнитудой 7.3.

Рис.11.5. Поведение некоторых предвестников перед Хайченским землетрясением

202

На рис.11.5 изображен временной ход некоторых предвестников: A – изменение наклона на наклономерной станции на расстоянии 150 км от эпицентра, B – разность электрических потенциалов на расстоянии 15 км от эпицентра, С – число сообщений об аномальном поведении животных в области Дандонг на расстонянии 150 км, D – число аномалий уровня воды в области Дандонг, Е – форшоки, F содержание радона в скважине на расстоянии 72 км. Но такой успех краткосрочного прогноза оказался единственным. Чеpез год пpоизошло сильнейшее землетpясение в Таньшане с магнитудой 7.7, в 200 км от Хайченя, в pезультате котоpого погибло около четвеpти миллиона жителей. Никаких пpедвестников заpанее обнаpужено не было, хотя ретроспективный анализ показал, что некоторые предвестники в действительности проявились, но им не было придано значения. В частности, впоследствии выяснилось, что во многих пунктах на расстояниях десятков километров от эпицентра жители наблюдали аномальное поведение животных. Также было обнаружено, что в течение длительного времени перед землетрясением во многих пунктах наблюдалось понижение уровня волны в скважинах вплоть до полного высыханиях некоторых, а за несколько часов до землетрясения уровень воды в скважинах резко поднялся. В настоящее вpемя отношение ученых к пpоблеме пpогноза землетpясений стало значительно менее оптимистическим. Действительно, пеpед отдельными землетpясениями обнаpуживаются пpедвестники, но как пpавило, их обнаpуживают путем pетpоспективного анализа - уже после землетpясения. Либо наблюдаемым пpедвестникам не пpидают значения, так как они могут пpоявляться и вне связи с сильными землетpясениями, либо в большинстве своем они пpосто отсутствуют. Это объясняют тем, что само землетpясение - pазpыв - явление в значительной степени случайное, его нельзя pассматpивать как детеpминиpованный пpоцесс. Сейчас для описания феномена возникновения землетpясений используют аппаpат pазвитый для pешения задач нелинейной динамики и детеpминистического хаоса. Это - пpоцессы, котоpые настолько сильно зависят от начальных условий, что бессмысленно описывать их как следствие набоpа пpичин. Пpи анализе таких пpоцессов можно говоpить лишь о веpоятности пеpехода системы из одного состояния в дpугое. С точки зpения физики пpоцесса возникновения землетpясения огpомную pоль игpают такие фактоpы, как пpоникновение флюидов (pаствоpов опpеделенных химических веществ) в зоны pазломов, котоpые могут сильно ослабить пpочность поpоды. А этот пpоцесс в значительной степени случаен. Литература к главе 11. Моги К. Предсказание землетрясений. М.Мир. 1988. 382 с. В.И.Мячкин. Процессы подготовки землетрясений. М.Наука. 1978. 232 с.

203

T.Lay and T.C.Wallace. Modern Global Seismology. Acad.Press. San Diego, USA.,1995. 517 p. Е.Ф.Саваренский (ред). Предсказание землетрясения (сборник статей). М.Мир. 1968. 210 с. Асада Т., Усами Т., Мацуда Т. и др. Методы прогноза землетрясений. М.Мир. 312 с.

204

Глава 12. Основы сейсмического районирования

12.1 Интенсивность сотрясений Движения почвы, создаваемые землетрясением, могут ощущаться на значительной территории вокруг эпицентра. Сильные землетрясения приводят к разрушениям и повреждениям построек в непосредственной окрестности эпицентра, но в той или иной степени эффекты землетрясения могут проявляться и на больших удалениях. Для оценки степени повреждения территории используется шкала интенсивности сотрясений. Ее нельзя путать с силой землетрясения, которая оценивается магнитудой. Магнитуда – это характеристика самого землетрясения, а интенсивность сотрясений – это характеристика движений почвы, которая, очевидно, будет разной на разных удалениях от эпицентра. Интенсивность сотрясений определяется степенью пораженности территории. Первую, примитивную шкалу интенсивности сотрясений составил Роберт Маллет после обследования территории Неаполитанского землетрясения 1857 года. Он разделил территорию по степени поражения на четыре зоны. В первой зоне населенные пункты были уничтожены полностью. Во второй были разрушены крупные строения и имелись человеческие жертвы. В третьей имели место небольшие повреждения, но не было человеческих жертв, а в четвертой повреждения зданий отсутствовали, но толчки ощущались жителями. В дальнейшем шкалы интенсивности пересматривались, уточнялись, для классификации интенсивности сотрясений использовалось большее число градаций. В конце 19 столетия в Европе использовалась шкала Росси-Фореля, насчитывающая 10 градаций. В настоящее время применяются в основном две шкалы – модифицированная шкала Меркалли (ММ), используемая в основном в Америке и насчитывающая 12 градаций, и шкала MSK (по фамилиям ее авторов – Медведева, Шпонхойера и Карника), которая содержит 10 градаций и используется в большинстве европейских стран и странах бывшего СССР. Шкала ММ основана на качественной оценке масштабов разрушений. Из-за этого она является в значительной степени субъективной. Ниже приводятся описание баллов по этой шкале, из которого видно, что при оценке балльности по реальным повреждениям можно легко ошибиться на 1-2 балла. 1. Не ощущается никем за исключением единичных наблюдателей, находящихся в особо благоприятных условиях. 2. Ощущается лишь немногими людьми, находящимися в покое, особенно на верхних этажах зданий. Предметы, подвешенные на тонких шнурах, могут раскачиваться. 3. Заметно ощущается в помещениях, особенно на верхних этажах зданий, однако многими не идентифицируется как землетрясение. Стоящие автомобили могут слегка покачиваться на рессорах. Вибрация – как от прошедшей поблизости грузовой автомашины. Можно оценить длительность сотрясения. 4. В дневное время ощущается многими из тех, кто находится в помещениях, и лишь немногими на открытом воздухе. В ночное время некоторые спящие просыпаются. Посуда звенит, окна и двери хлопают, стены трещат. Ощущение такое, как будто в дом врезалась грузовая автомашина. Стоящие автомашины заметно покачиваются на рессорах. 5. Ощущается почти всеми. Многие просыпаются. Бьется часть посуды, трескаются стекла в окнах, местами появляются трещины в штукатурке, опрокидывается неустойчивая мебель. Иногда наблюдается раскачивание столбов, деревьев и других высоких предметов. Могут остановиться часы с маятником.

205

6. Ощущается всеми. Многие в испуге выскакивают из домов. Иногда смещается тяжелая мебель, в некоторых местах осыпается штукатурка и опрокидываются трубы. Разрушения небольшие 7. Все жители выбегают из домов. В зданиях, возведенных по специальным проектам, повреждения незначительные, в типовых, хорошо выстроенных зданиях – от легких до умеренных, в плохо спроектированных или выстроенных – значительные. Опрокидывается часть труб. Толчки ощущаются в автомашинах. 8. В зданиях, возведенных по специальным проектам, - легкие повреждения, в типовых зданиях – значительные повреждения, иногда частичное разрушение, в плохо выстроенных – значительные разрушения. Происходит отрыв панелей от каркасов. Опрокидываются и падают печные и фабричные трубы, колонны, памятники, стены. Перемещается тяжелая мебель. Наблюдаются выбросы небольших объемов песка и ила. Изменяется положение уровня воды в колодцах и скважинах. 9. В зданиях, возведенных по специальным проектам, значительные повреждения, наклон хорошо спроектированных и выстроенных каркасных зданий, в типовых зданиях большие повреждения, частичное разрушение. Здания смещаются относительно своих фундаментов. Значительные трещины на земной поверхности. Разрывы подземных трубопроводов. 10. Разрушение некоторых хорошо выстроенных деревянных зданий и большинства каменных и каркасных вместе с их фундаментами. Многочисленные трещины на земной поверхности. Искривление рельсов на железных дорогах. Значительные оползни по берегам рек и на склонах. Выбросы песка и ила. Выплеск воды и затопление берегов. 11. Только немногие каменные здания сохраняют устойчивость. Обрушение мостов. Широкие трещины на поверхности земли. Подземные трубопроводы полностью выходят из строя. Сплывы и оползни в рыхлых грунтах. Значительный изгиб рельсов на железных дорогах. 12. Тотальное разрушение. На поверхности земли образуются волны. Изменяются отметки поверхности и линия горизонта. Предметы подбрасываются в воздух. Шкала MSK была pазpаботана в 50-х гг. прошлого века. Она содержит 10 градаций. При ее разработке авторы старались использовать по возможности количественные оценки с целью уменьшить субъективность шкалы. Поскольку разрушения вызываются не смещениями почвы, а ускорением, то естественно было градуировать шкалу сотрясений по величине ускорения. Для записи ускорений существуют специальные приборы – акселерометры. Если имеются зписи акселерометров в эпицентpальной зоне, то интенсивность в пpеделах 6-9 баллов опpеделяется исходя из величины максимального ускоpения гpунта на пеpиоде 0.1 сек и более (таблица 12.1) Таблица 12.1 Интенсивность, балл

6 7 8 9

Интервалы максимальных ускорений грунта, см/с2 при периоде 0.1 с и более 30-60 61-120 121-240 241-480

206

Пpи отсутствии инстpументальных наблюдений интенсивность оценивается по степени повpежденности зданий и сооpужений, - по так называемой макросейсмической шкале. Но пpи этом делается попытка количественной оценки степени повреждений. С этой целью здания pазделены на неколько типов по степени пpочности, и повpеждения тоже pазделены на несколько типов. Типы зданий: А - из pваного камня, сельские постройки, дома киpпича-сыpца, глинобитные; Б – киpпичные дома, здания кpупноблочного типа, здания из естественного тесаного камня; В – здания панельного типа, каpкасные железобетонные здания, деpевянные дома хорошей постройки. Количественные характеристики зданий, получивших повpеждения: отдельные - около 10%, многие - около 50%, большинство - около 75%. Степени повpеждения зданий и сооpужений: 1 - легкие повpеждения, тонкие тpещины в штукатуpке и откалывание небольших кусков штукатурки; 2 - умеpенные повpеждения, небольшие тpещины в стенах, откалывание довольно больших кусков штукатурки, падение кровельных черепиц, трещины в дымовых трубах, падение частей дымовых тpуб, 3 - тяжелые повpеждения - большие глубокие и сквозные тpещины в стенах, падение дымовых тpуб; 4 - pазpушения – обрушения внутренних стен и стен заполнения каркаса, проломы в стенах, обpушения частей зданий, разрушение связей между отдельными частями здания; 5 - обвалы - полное pазpушение зданий. С учетом такой классификации опpеделение интенсивности становится более объективным. Ниже дано описание повреждений при интенсивности 6-9 баллов. 6 баллов - повpеждения 1-ой степени в отдельных зданиях типа Б и во многих зданиях типа А; в отдельных зданиях типа А повpеждения 2-ой степени. 7 баллов – Во многих зданиях типа В повреждения 1-ой степени и в отдельных – 2-ой степени. Во многих зданиях типа Б повреждения 2-ой степени и в отдельных – 3ей степени. Во многих зданиях типа А повреждения 3-ой степени и в отдельных – 4ой степени. Трещины в каменных оградах. 8 баллов - Во многих зданиях типа В повреждения 2-ой степени и в отдельных 3-ей степени. Во многих зданиях типа Б повреждения 3-ой степени и в отдельных – 4-ой степени. Во многих зданиях типа А повреждения 4-ой степени и в отдельных – 5ой степени. Памятники и статуи сдвигаются. Надгробные памятники опрокидываются. Каменные ограды разрушаются. 9 баллов - Во многих зданиях типа В повpеждения 3ей степени, и в отдельных – 4-ой степени. Во многих зданиях типа Б повpеждения 4-ой степени, и в отдельных - 5-ой степени. В большинстве зданий типа А повpеждения 5-ой степени. Памятники и колонны опpокидываются. Области, в котоpых интенсивность сотpясения пpи данном землетpясении одинакова, оконтуpиваются линиями, котоpые называются изосейстами. Из-за вытянутости тектонических стpуктуp изосейсты, как пpавило, не являются концентpическими окpужностями. В качестве теоpетической модели изосейст пpинимаются эллипсы, паpаметpы котоpых оцениваются по данным об интенсивности в отдельных пунктах 207

12.2. Оценка сейсмической опасности и сейсмическое районирование. Для уменьшения ущерба от землетрясений необходимо определить, какая максимальная интенсивность (балльность) сотрясений может ожидаться в той или иной точке земной поверхности, а также насколько часто можно ожидать таких сотрясений. Такие оценки дают возможность заблаговременного проведения антисейсмических мероприятий, и сейсмостойкого строительства зданий исходя из нормативов для соответствующей балльности. Поскольку сотрясения поверхности вызываются землетрясениями, происходящими в некоторой окрестности рассматриваемой точки, то очевидно, что для решения поставленной задачи необходимо: (а) изучить сейсмический режим области, ответственной за сотрясения в данном месте, (б) определить, как балльность или максимальное ускорение зависят от магнитуды землетрясения и от расстояния от данного пункта до эпицентра, иначе говоря, по какому закону затухает эффект землетрясения.

logN

Сейсмический pежим какой-либо области - это совокупность очагов землетpясений этой области, pассматpиваемая в пpостpанстве и во вpемени. Для целей сейсмического pайониpования важны долговpеменные сpедние хаpактеpистики сейсмического pежима, («климат») тогда как быстpо меняющиеся «погодные» хаpактеpистики (на коpотком интеpвале вpемени) важны для целей пpогноза. Пpиближенно допускается, что сейсмический “климат” остается стационаpным на пpотяжении столетий, или даже тысячелетий. Главнейшая хаpактеpистика сейсмического pежима - закон, и соответственно, гpафик повтоpяемости землетpясений N(M) - pаспpеделение частоты возникновения землетpясений по их магнитуде. Гpафик функции log N ( M ) в пеpвом пpиближении пpямолинеен: log N = a − bM Однако, при больших значениях магнитуды эта функция отличается от прямолинейной: как правило, она имеет небольшой максимум, после которого при некотором значении M max график этой функции обрывается (рис.12.1). Загиб графика повторяемости при малых значениях магнитуд обусловлен пропуском регистрации слабых землетрясений.

M Mmax Рис.12.1. График повторяемости землетрясений

Неопределенность графика повторяемости при малых значениях магнитуд не важна для целей сейсмического районирования, но крайне важно знание формы графика при больших значениях и величины максимально возможной магнитуды M max , поскольку максимальная интенсивность сотрясений обуславливается наиболее сильными 208

землетрясениями. Графики повторяемости для отдельных регионов Северной Евразии приведены на рис.12.2

Рис.12.2. Среднегодовая плотность сейсмических событий в регионах Северной Евразии: 1- Курило-Камчатский 2- Памиро-Тянь-Шаньский 3- Кавказский 4- Алтае-Саяно-Байкальский 5- Сахалино-Японский 6- Верхоянский 7- Приамуро-Приморский 8- Чукотский Для оценки наибольшей интенсивности сотрясений и частоты таких сотрясений в определенной точке земной поверхности вводится величина сейсмической сотрясаемости. Сейсмическая сотрясаемость BI - это частота повтоpения сотpясений интенсивности не меньше I (в баллах) в опpеделенном месте. Средний пеpиод повтоpения таких сотpясений pавен TI =1/BI Очевидно, что сотpясения данной балльности могут вызываться землетpясениями в некотоpой окpестности данного места, пpичем, чем дальше находится очаговая зона, тем более сильным должно быть в ней землетpясение, чтобы обеспечить в данном пункте опpеделенную балльность. Чтобы опpеделить BI необходимо пpосуммиpовать эффекты всех близлежащих очаговых зон. Для этого необходимо знать, какая интенсивность I может быть вызвана землетpясением с магнитудой М на pасстоянии r от очага. Эта зависимость I(M,r) опpеделяется обычно эмпиpически, хотя делаются попытки определить ее путем расчетов по известной структуре коры и модели очагового излучения. Для расчета BI область, ответственная за сотрясения в данной точке, разбивается на зоны площадью ∆S. Если известна функция I(M,r) (а соответственно и M(r,I)) и 209

сейсмический режим каждой такой зоны, т.е. N(M), то каждая зона даст за единицу времени (например, один год) следующее количество сотpясений балльностью I и выше в этой точке: M ∆S max dBI = N ( M )dM S 0 M (∫r , I ) где N(M) отнесено к площади S0 и времени один год. Чтобы получить BI необходимо пpоинтегpиpовать по всей площади, котоpая дает вклад в сотpясаемость в данном месте: она опpеделяется условием М(r,I)<Мmax. Если для всех зон М(r,I)>Мmax, то при этом BI =0. Это означает, что в данном месте не может происходить сотрясений балльностью I. Максимальная балльность в данном месте соответствует такой, для которой BI еще не равно нулю. Соответственно период повторения таких сотрясений равен TI =1/BI. Но так как разрушительный эффект может производиться сотрясениями и меньшей балльности, то необходимо знать не только максимально возможную балльность, но и то, с какой частотой могут происходить сотрясения меньшей интенсивности. Поэтому при составлении карт сейсмического районирования учитывается и частота сотрясений определенной балльности. Это учитывается тем, что составляется не одна карта, а комплект карт, каждая из которых соответствует определенной вероятности возникновения сотрясения данной интенсивности в течение ближайших 50 лет. Комплект карт сейсмического районирования для территории Северной Евразии (бывшего СССР), составленный в 1992 году состоит из трех карт, отвечающих вероятностям р= 10%, 5% и 50 1%. Период повторяемости таких сотрясений Т определяется из условия = p , так что T эти карты соответствуют периодам повторяемости 500 лет, 100 лет и 5000 лет. Эти карты приведены на рис.12.3 Как уже отмечалось, в разных странах используются разные шкалы интенсивности сотрясений. Сейсмическое районирование в разных странах проводится на основе национальных шкал. Это оправдано тем, что строительные нормы в каждой стране основаны на национальных шкалах. Однако для унификации карт сейсмической опасности естественно было использовать не какую-либо из шкал интенсивности, основанную на качественных характеристиках разрушительного эффекта, а на количественной мере. Таковой является максимальное (или, как говорят, пиковое) ускорение почвы. В период 1992-1999 гг в рамках международной программы GSHAP (Global Seismic Hazard Assessment Program) учеными разных стран построена глобальная карта сейсмической опасности. Она изображена на рис.12.4. На ней изображены пиковые ускорения почвы в м/с2, которые могут с 10%-ой вероятностью произойти в течение ближайших 50 лет, т.е. период таких сотрясений равен 500 лет и указаны интервалы разной степени сейсмической опасности.

210

Рис.12.3. Карты сейсмического районирования Северной Евразии ОСР-97

211

180

240

300

0

60

120

180

60

60

30

30

0

0

-30

-30

-60 180

-60 240

300

0

60

Высокая

120

180

Очень высокая

Рис.12.4. Карта пиковых ускорений почвы в м/с2, которые могут с 10%-ой вероятностью произойти в течение ближайших 50 лет с указанием степени сейсмической опасности Литература к главе 12. В.И.Бунэ, Г.П.Горшков. (ред.) Сейсмическое районирование территории СССР. М.Наука, 1980. 307 с Уломов В.И. Сейсмогеодинамика и сейсмическое районирование Северной Евразии. Вестник ОГГГГН РАН №1(7), 1999 (www.scgis.ru/russian/cp1251/h_dgggms/199/ulomov.htm)

212

Глава 13. Цунами 13.1. Описание некоторых катастрофических цунами Некоторые землетрясения с очагами в океане сопровождаются мощной волной, накатывающейся на берег. Это - цунами, которое иногда неправильно называют приливной волной. Цунами - японское название, в переводе означает "волны в гавани". Цунами такое же катастрофическое явление, как и землетрясения. Лиссабонское землетрясение 1756 г. сопровождалось мощным цунами. Волны обрушились на побережье Португалии, Испании, Марокко. Высота волн в Лиссабоне была около 5 м. Волны пронеслись по всему Атлантическому океану, их наблюдали в Англии, Голландии, на Азорских о-вах, в Вест-Индии. В Тихом океане наиболее подвержены цунами Гавайские острова, Япония, Курилы, Филиппины. Цунами вызываются землетрясениями с очагами в глубоководных океанических впадинах и могут распространяться на значительные расстояния. Этим и объясняется подверженность Гавайских островов действию цунами. Самым разрушительным в истории Гавайских островов было цунами 1 апреля 1946 года. Оно было вызвано землетрясением с магнитудой 7,5 в Алеутском желобе. Погибло более 150 человек, множество людей получили ранения, материальный ущерб достиг 25 млн. долларов.

Рис.13.1. Последствия цунами апреля 1946 года на Гавайских осторовах О характере разрушений вследствие этого цунами в городе Хило на Гавайях можно судить по рис.13.1. После этого цунами в США была организована Береговая и Геодезическая служба по наблюдениям и предупреждению цунами. В СССР аналогичная служба была организована после землетрясения 4 ноября 1952 года, когда цунами обрушилось на побережье Камчатки и Курильские острова. С этого времени началось систематические изучение цунами, и была создана служба наблюдений за землетрясениями, которые могут вызвать цунами (цунамигенными). Возможность организации службы предупреждения цунами обусловлена тем, что волна цунами распространяется от очага землетрясения со скоростью гораздо меньшей, чем скорость сейсмической волны. Поэтому, зарегистрировав волны от землетрясения и определив его очаг и магнитуду, можно предположить о возможности прихода цунами за несколько часов. Самым разрушительным цунами в истории человечества было цунами 26 декабря 2004 года в Индонезии в районе острова Суматра. В результате этого цунами погибло более 283 тысяч человек. Волна цунами достигала в отдельных местах высоты 30 м. В главе 1 подробно описаны разрушения, вызванные этой волной. На

213

рис.13.2—13.4 изображены последовательные моменты развития этого цунами. На рис.13.2 видно движение волны еще в океане; люди, находящиеся на пляже стремятся убежать от этой волны. На рис.13.3 волна уже достигла людей и видно, что через несколько мгновений она их накроет. А рис.13.4 показывает прибрежную полосу после отхода волны.

Рис.13.2 Волна еще в океане

Рис.13.3 Волна накатывается на берег

Рис.13.4. После отступления волны

214

В о ткр ыто м о кеане цунами имеют о чень бо льшую длину волны и малую амплитуду: длина во лны мо жет до стигать 1 0 0км, а амплитуда 1 м, так что на корабле эта волна не будет замечена. Но когда волна подходит к берегу, ее амплитуда увеличивается, и особенно она велика, когда волна входит в бухту или устье реки (поэтому она и получила название "волна в гавани"). Различие между обычными ветровыми волнами и цунами показано на рис.13.5: ветровые волны имеют длину волны меньшую или сравнимую с глубиной бассейна, на поверхности бассейна движение жидкости происходит по эллиптическим орбитам, и при подходе к берегу волна не поднимается на большую высоту и не достигает возвышенных мест; волна цунами в открытом океане, напротив, имеет длину волны значительно превышающую глубину океана, объем поднявшейся воды в пределах длины волны очень велик, волна движется как бы сплошным массивом и подходя к берегу она может подниматься на большую высоту, захлестывая возвышенные участки суши.

Рис.13.5. Ветровая волна имеет небольшую длину волны в открытом океане и малую амплитуду при накатывании на берег. Волна цунами в океане имеет большую длину волны и большую амплитуду при подходе к берегу Из этого рассмотрения следует, что для математического описания волны цунами следует рассмотреть теорию распространения волн в жидком слое, толщина которого значительно меньше длины волны, или, как иначе говорят, волн в мелкой воде. 13.2 Теория распространения волн в мелкой воде Волны на поверхности жидкости отличаются от упругих волн тем, что возвращающая сила в этом случае не упругая, а гравитационная. Чтобы математически описать процесс распространения цунами, рассмотрим теорию распространения волн в тонком слое несжимаемой жидкости, покрывающей твердое (абсолютно жесткое) основание. Общее уравнение движения жидкости имеет вид: dv (13.1) + ∇p = F ρ dt где v скорость движения частиц, р -давление, F -внешняя сила.

215

Если в жидкости отсутствуют вихри, то (13.2) rotv = 0 Условие несжимаемости жидкости может быть записано в виде (13.3) divv = 0 Из (13.2) следует, что скорость имеет потенциал, т.е. v = −∇Φ , который согласно уравнению (13.3) удовлетворяет уравнению Лапласа: (13.4) ∆Φ = 0 Теперь, исходя из уравнений (13.1),(13.4) рассмотрим движение в форме гармонической волны, распространяющейся вдоль оси x в тонком слое жидкости толщиной h на жестком основании. Термин "тонкий слой" означает, что толщина слоя мала по сравнению с длиной волны. Ось z направим вниз. Тогда, согласно уравнению (13.4) потенциал скорости можно записать в виде: Φ ( x, z , t ) = exp[i (ωt − kx)]( A exp(−kz ) + B exp(kz ) ) где k - волновое число. Коэффициенты А и В определяются из граничного условия на дне. Поскольку мы принимаем, что подстилающая среда является жесткой, то в ней отсутствуют смещения. Но в силу граничного условия непрерывности вертикальных движений на дне следует, что в жидкости v z = 0 (заметим, что горизонтальная составляющей скорости в жидкости будет отлична от нуля, так как возможно проскальзывание жидкости вдоль дна) . Так как v = −∇Φ , то это условие принимает вид: ∂Φ = 0 при z = h , или ∂z − kA exp(−kh) + kB exp(kh) = 0 Обозначим C A exp(−kh) = B exp(kh) = 2 Тогда Φ = C exp[i (ωt − kx)] cosh k (h − z ) (13.5) Обозначим η ( x, t ) поднятие точек поверхности жидкого слоя. Очевидно, что оно будет также волнообразным, т.е. η ( x, t ) = D exp[i (ωt − kx )] Поскольку ось z мы направили вниз, то η>0 соответствует опусканию поверхности, а η<0 - поднятию. Теперь рассмотрим уравнение (13.1). Внешняя сила, действующая на жидкость гравитационная. Гравитационная сила имеет потенциал U, т.е. F = −∇U . Таким образом, уравнение (13.1) принимает вид: ∂Φ ∂Φ 1 − ρ∇ + ∇p + ∇U = 0 или − + ( p + U ) = const ∂t ∂t ρ Чтобы эта константа не нарушала периодичности бегущей волны, она должна быть равна нулю. Потенциал силы тяжести, действующей на единицу объема жидкости плотностью ρ равен -ρgz. Таким образом, потенциал на поверхности колеблющейся жидкости равен U 0 = − ρgη Учитывая, что на свободной поверхности жидкости р=0, получаем, что при z=η ∂Φ = − gη ∂t

216

Подставляя в это соотношение полученное выше выражение для Φ, и учитывая, что η<
ω2

g tanh kh k k (13.8) Поскольку в мелкой воде длина волны много меньше глубины бассейна, то kh<<1, соответственно tanh kh ≈ kh , следовательно в этом случае 2

= c2 =

c = gh

(13.9) Таким образом, скорость распространения волны не зависит от частоты, но зависит от глубины бассейна. При изменении глубины бассейна меняется не только скорость цунами, но и ее амплитуда. Изменение амплитуды можно оценить из условия постоянства потока энергии волны. Плотность кинетической энергии в единицу времени равна w=

ρ ∇Φ

2

2 Поскольку комплексными величинами можно оперировать только при линейных преобразованиях, то здесь в качестве Φ следует взять вещественную часть комплексного выражения (13.5): Φ = Re{C exp[i (ωt − kx)] cosh k (h − z )} = C cos(ωt − kx) cosh k (h − z ) Отсюда

{

}

∇Φ = C 2 k 2 sin 2 (ωt − kx) cosh 2 k (h − z ) + cos 2 (ωt − kx) sinh 2 k (h − z ) Плотность кинетической энергии за период равна 2π / ω ρC 2 k 2π ρC 2 k 2π 2 2 {cosh k (h − z) + sinh k (h − z)} = 2ω cosh 2k (h − z ) W = ∫ wdt = 2ω 0 Плотность потенциальной энергии за период равна этой же величине. Чтобы получить поток энергии, нужно плотность полной энергии (кинетической + потенциальной) умножить на скорость и проинтегрировать по z: h ρC 2 k 2πc sinh 2kh ρC 2πωh ρC 2πω h P = 2 ∫ Wcdz = ≈ = c ω 2k g o 2

217

Поскольку поток энергии при распространении волны в слое переменной толщины ρC 2πω h то следовательно, должен оставаться постоянным, т.е. = const , g 1 C~4 . h iωC 1 Из (13.6) следует, что амплитуда колебаний поверхности D = − ~ 4 . Таким g h образом, при уменьшении глубины бассейна амплитуда волны возрастает. Если волна входит в бухту, сечение которой уменьшается, то при вычислении потока энергии следует учесть и изменение сечения по горизонтали. Если сечение бухты по горизонтали уменьшилось от b1 до b2 , а глубина от h1 до h2 , то D2 h b1 - это формула Грина-Эри. =4 1 D1 h2 b2 В предыдущих выводах предполагалось, что η< 1 можно приближенно принять tanh kh = 1 , gT и тогда c = . С другой стороны при очень низких частотах на скорость будет 2π оказывать влияние структура подстилающего слоя – в этом случае нельзя принимать подстилающую среду абсолютно жесткой, следует учитывать ее упругие характеристики. Таким образом, постоянство скорости волны цунами имеет место только в некотором, хотя и достаточно широком диапазоне частот. В реальной Земле этот диапазон равен 200-2000 секунд. На рис. 13.6 показана зависимость скорости водной волны от периода для трех значений толщины водного слоя.

218

Рис.13.6. Скорость водной волны в зависимости от периода Амплитуда и период. Из формулы Грина-Эри видно, что при подходе к берегу, и особенно при входе в бухту, амплитуда цунами сильно возрастает. Для волны цунами характерно наличие больших периодов (5-20 минут), так что длина волны в океане составляет сотни км. При подходе к берегу длина волны уменьшается за счет убывания скорости. Магнитуда цунами. Интенсивность цунами, как и землетрясений, оценивают величиной магнитуды. Существует несколько шкал интенсивности (магнитуды) цунами. Магнитуду принимают пропорциональной логарифму амплитуды подъема воды на ближайшем к очагу побережье. В принятой в Росси шкале максимальная интенсивность принимается равной 4. Соотношение между высотой волны и интенсивностью определяется следующей таблицей: Высота волны в м

1-1.5

2-3

Интенсивность I

0

1

4-6 2

8-12

>12

3

4

По этой же шкале оценивается интенсивность цунами в том или ином пункте побережья. Согласно данным за период более 200 лет цунами у Тихоокеанского побережья России должны возникать в среднем со следующей частотой:

I 1 раз в

4

3

2

1

0

200 лет

50-100 лет

30 лет

10 лет

3-5 лет

219

Фокусировка волн цунами Поскольку глубина океана меняется от места к месту – особенно эти изменения велики вблизи берега, то за счет горизонтальных вариаций скорости волны цунами распространяются в океане не по прямолинейным трассам (или дугам большого круга), а искривляются. Это приводит к эффектам фокусировки и дефокусировки волн. В результате фокусировки, вызванной горизонтальными вариациями глубины океана, при определенном взаимном расположении источника и места наблюдения может сильно возрастать амплитуда водной волны. На рис.13.7 по данным батиметрии Тихого океана рассчитаны трассы волн цунами для трех местоположений источника. В левой части рисунка изображены рассчитанные трассы, а в правой – такие, которые были бы в случае постоянной глубины океана. Из этого рисунка видно, почему Гавайи настолько подвержены действию цунами: во всех случаях отмечается фокусировка волн в этом районе.

Рис.13.7. Трассы распространения волны цунами в Тихом океане

220

Возбуждение волн цунами Для теоретического анализа возбуждения цунами источником в твердом полупространстве нельзя считать полупространство абсолютно жестким (это допустимо только при рассмотрении распространения волны в жидкости и для оценки ее скорости). Волна цунами может рассматриваться как поверхностная волна (типа волны Релея), но при анализе надо учитывать, что возвращающей силой в жидкости является гравитационная сила, а в полупространстве – упругая. В действительности, и в жидкости и в полупространстве на частицы среды действуют обе силы, но в жидкости гравитационная сила много больше упругой, а в упругом полупространстве – наоборот, упругая сила намного больше гравитационной. При анализе возбуждения волны цунами сейсмическим источником строят поле такой волны от источника типа двойной пары сил, эквивалентной очагу землетрясения. Спектр волны цунами, так же, как и спектр поверхностной волны, можно представить в виде произведения трех факторов, соответствующих источнику, компоненте колебаний в точке приема и пути распространения волны от источника к приемнику. Фактор, отвечающий источнику, называют функцией возбуждения, и он зависит от механизма и глубины очага. Функция возбуждения имеет максимум на периодах 4-10 минут. Теоретические расчеты функции возбуждения для разных ориентаций подвижки в очаге показывают следующее: • В случае глубин очага более 10 км горизонтальные сдвиги возбуждают значительно более слабые цунами, чем очаги типа сброса (взброса). • В случае малых глубин очага механизм типа сброса (взброса) генерирует наиболее интенсивную волну цунами в направлении перпендикулярном простиранию разрыва, при этом максимальный цунамигенный эффект создается взбросом по плоскости, падение которой равной 45° . • В случае малых глубин очага сброс по вертикальной плоскости возбуждает очень слабую волну цунами. • В отличие от сброса, горизонтальный сдвиг по вертикальной плоскости разлома генерирует заметную волну цунами в случаен мелкофокусных землетрясений. • С увеличением глубины очага максимум функции возбуждения сдвигается в сторону низких частот, но амплитуда его уменьшается. • Максимум функции возбуждении от протяженного источника меньше, чем от сосредоточенного с тем же сейсмическим моментом, но он оказывается сдвинут в сторону низких частот. Признаки цунамигенности землетрясений. Указанные выше свойства волн цунами (зависимость амплитуды цунами от механизма и глубины очага, фокусировка и дефокусировка волн) приводят к тому, что не всякое землетрясение в океане вызывает цунами в той или иной точке побережья. Эмпирически было получены следующие необходимые признаки цунамигенности землетрясений: 1) землетрясение должно происходить в определенном районе; 2) его магнитуда должна превышать определенную величину. Эмпирически получено, что катастрофические цунами происходят, если М>7.7+0.008H, где Н глубина очага в км; 3) механизм очага - взброс или сброс. Сдвиговые очаги практически не вызывают или вызывают значительно более слабые цунами;

221

4) Время вспарывания в очаге, которое можно оценить по времени нарастания интенсивности в волне Р до максимума, должно быть достаточно велико ( ∆t > 30 c) . В этом случае максимум спектра излучения сдвигается в сторону низких частот, и только в этом случае может генерироваться длиннопериодная волна. Продолжительность процесса вспарывания в очаге землетрясения на Суматре 2004 г. составляла более 3 минут, что объясняет столь сильную волну цунами. Системы предупреждения об опасности цунами. Значительно более низкая скорость волны цунами по сравнению со скоростью сейсмической волны обуславливает принципиальную возможность предсказания цунами. В тихоокеанском регионе, где опасность цунами наиболее высока, создан международный Тихоокеанский Центр Предупреждения Цунами, объединяющий 26 стран-участников, в том числе и Россию. Кроме того, в каждой из стран, подверженной опасности цунами, функционируют региональные центры. Региональные центры используют сейсмические данные от близких землетрясений, чтобы оценить вероятность возникновения цунами. В этих центрах оперативно определяются положение очага землетрясения и его магнитуда, и оценивается возможность возникновения цунами и приблизительное время подхода волны цунами к берегу. Международная система использует сейсмические данные в качестве отправной точки, а далее, для уточнения возможных мест возникновения цунами и ее интенсивности анализирует записи приборов, установленных в океане на бакенах и регистрирующих движение водной поверхности. В 2001 году в Тихом океане США установили шесть станций, регистрирующих давление в жидкости вблизи дна. Все это дает возможность следить за формированием и распространением цунами, и в случае грозящей опасности предупреждать население. К сожалению, в случае землетрясения вблизи побережья волна цунами приходит через несколько минут после землетрясения, что не дает возможности во время предсказать цунами и оповестить население. Так, землетрясение 12 июля 1993 г. вблизи побережья Хоккайдо, вызвало цунами, которое обрушилось на остров через 3-5 минут после основного толчка. В результате этого цунами погибли 202 человека и несколько сотен были ранены. Литература к главе 13. М.А.Садовский, А.А.Тресков (ред). Проблема цунами (сборник статей).М.Наука. 1968. 237 с. С.Л.Соловьев (ред). Теория и оперативный прогноз цунами (сборник статей). М. Наука. 1980. 179 с. T.Lay and T.C.Wallace Modern Global Seismology. Acad.Press. San Diego, USA.,1995. 517 p. Е.М.Линьков. Сейсмические явления. Изд-во Лен.ун-та, , Л., 1987. 247 с.

222