Применение ЭВМ в химической технологии: Методические указания к выполнению лабораторных работ

Федеральное агентство по образованию РФ Ангарская государственная техническая академия Кафедра химической технологии топлива

И.А. Семёнов

Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Применение ЭВМ в химической технологии»

Ангарск, 2009

УДК 66.011 И.А. Семёнов. Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Применение ЭВМ в химической технологии».– Ангарск: Издательство Ангарской государственной технической академии, 2009. – 70 с.

В методических указаниях к выполнению лабораторных работ содержится описание интерфейса математического пакета MathCAD. Даются основные способы решения уравнений, присвоения значений переменным и функциям. Описываются основные инструменты построения графиков функций и табличных данных, стандартные методы решения уравнений с одним неизвестным. Рассматриваются способы вычисления систем линейных и нелинейных уравнений. Методические указания содержат задания для практической проработки материала курса. Для оценки качества полученных знаний для каждой лабораторной работы приводятся контрольные вопросы. Методические указания предназначаются для студентов, изучающих дисциплину «Применение ЭВМ в химической технологи».

Рецензент: Корчевин Н.А. заведующий кафедрой Химии ИрГУПС доктор химических наук, профессор

Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом АГТА.

© Семёнов И.А. © Ангарская государственная техническая академия, 2009

Содержание Введение.....................................................................................................4 Лабораторная работа № 1 Основы работы в математическом пакете MathCAD .......................................................................................5 Лабораторная работа № 2 Работа с переменными и функциями в MathCAD...............................................................................................21 Лабораторная работа № 3 Построение графиков в MathCAD ...........33 Лабораторная работа № 4 Решение уравнений с одним неизвестным ...........................................................................................43 Лабораторная работа № 5 Решение систем уравнений.....................56 Заключение...............................................................................................69 Список рекомендуемой литературы.......................................................70

3

Введение Учебный курс «Применение ЭВМ в химической технологии» входит в состав образовательных программ высших учебных заведений при подготовке специалистов в области химической технологии. Дисциплина направлена на формирование у студентов навыков работы с электронными вычислительными машинами (ЭВМ) при моделировании и анализе процессов химических производств. В настоящий момент умение использовать ЭВМ подразумевает обладание навыков работы в специализированных пакетах программ. На рынке программного обеспечения существует большое количество специализированных пакетов, позволяющих решать те или иные технологические задачи. В качестве наиболее универсальных из них можно выделить математические пакеты, подобные MathCAD, MatLab, Mathematica и т.п. Данные программы могут быть полезными в любой области науки и техники, где для достижения поставленной цели требуется выполнить математические расчеты. Лабораторный практикум курса «Применение ЭВМ в химической технологии» направлен на формирование у студентов базовых знаний и навыков работы в математическом пакете MathCAD. Для достижения этой цели студентам предлагается освоить весь теоретический материал, приведенный в данном методическом указании, и выполнить все практические задания. Все лабораторные работы, входящие в состав методического указания, рассчитаны на студентов освоивших курс «Информатика», но не имеющих опыта работы в математическом пакете MathCAD. В каждой лабораторной работе дается соответствующий теоретический материал, подкрепленный практическими заданиями. Для более эффективного изучения материала все задания сформированы по нарастанию их сложности. При этом студентам предлагается с помощью MathCAD выполнить как отвлеченные математические расчеты, так и решить конкретные технологические задачи. К сожалению, материал курса «Применение ЭВМ в химической технологии» не включает в свой состав детального описания теоретических основ процессов, поэтому технологические задания даются с соответствующими формулами и зависимостями без подробных объяснений. Более широко данные процессы рассматриваются в таких дисциплинах как «Общая химическая технология» и «Процессы и аппараты химической технологии». Для контроля качества изученного материала в конце каждой лабораторной работы приводятся вопрос к ее защите.

4

Лабораторная работа № 1 Основы работы в математическом пакете MathCAD Цель работы: Познакомиться с интерфейсом математического пакета MathCAD и получить первоначальные навыки работы в нем. Большинство расчетов в области химической технологии выполняются с привлечением сложного математического аппарата. Часто для получения конечного результата требуется провести большое количество вычислительных операций. Подобная работа слишком трудоемка для человека, однако она может быть достаточно легко выполнена при помощи ЭВМ. Расчеты на ЭВМ целесообразно проводить, используя специализированные математические пакеты. Одним из самых удобных и распространенных математических пакетов является MathCAD компании Mathsoft Engineering & Education, Inc. Для работы в нем первоначально следует выполнить запуск программы. Задание № 1.1. Запуск математического пакета MathCAD. Для запуска математического пакета MathCAD следует выполнить двойное нажатие левой кнопки мыши на иконку «MathCAD», расположенной на рабочем столе компьютера. MathCAD можно запустить также из списка программ, установленных на компьютере. Для этого требуется левой кнопкой мыши нажать на «Пуск» (в нижнем левом углу рабочего стола) и выбрать пункт «Программы». В открывшемся всплывающем списке найти и выбрать папку «MathSoft Apps», которая содержит запускаемый файл MathCAD. После запуска математического пакета на экране появится окно программы. Вид рабочего окна MathCAD представлен на рис. 1.1. Верхнюю строчку окна MathCAD занимает главное меню. При помощи него можно получить доступ ко всем командам и диалоговым окнам математического пакета. Главное меню состоит из следующих пунктов:  File (Файл) – содержит команды, позволяющие создавать, сохранять и печатать документы MathCAD. Данный пункт меню является стандартным для большинства программ, работающих под операционной системой Windows.  Edit (Правка) – включает стандартные операции над выделенными в документе объектами, такие как Cut (Вырезание), Copy (Копирование) и Paste (Вставка). Данные команды позволяют не только производить правку внутри среды MathCAD, но и совершать обмен объектами ме5

1

2

3

4

Рис. 1.1. Рабочее окно математического пакета MathCAD 1 – заголовок окна, содержащий имя открытого документа (на рисунке имя открытого файла Untitled); 2 – главное меню, содержащее все команды и операции MathCAD; 3 – панели инструментов, содержащие кнопки быстрого выполнения часто применяемых команд; 4 – рабочая область открытого документа.

жду MathCAD и другими программами в операционной системе Windows (например, при помощи команды Paste можно вставить текст или рисунок в документ MathCAD из других программ). Кроме перечисленных операций меню Edit содержит команду Undo (Отмена), которая позволяет в случае совершения ошибки отменить последнее действие.  View (Вид) – состоит из команд, управляющих внешним видом документа в рабочем окне MathСAD. Из всех команд меню View следует отметить пункт Toolbars (Панели инструментов), который позволяет отобразить все панели инструментов MathCAD. Если при запуске математического пакета в рабочем окне не хватает нужных для работы панелей, то следует в меню View навести стрелку мыши на пункт Toolbars. Как результат рядом появится список всех имеющихся панелей (рис. 1.2). Галочка , установленная рядом с названием панели, будет свидетельствовать о том, что панель включена, ее отсутствие говорит о том, что панель выключена. Для отображения требуемой 6

панели следует в открывшемся списке выбрать соответствующее ей название.  Insert (Вставка) – содержит команды вставки в документ различных объектов, таких как графиков, функций, матриц, рисунков и т.п. Из всего списка вставляемых объектов следует отметить два: Math Region (Математическая область) и Text Region (Текстовая область). Команда Math Region вставляет в документ области, позволяющие проводить различ- Рис. 1.2. Пункт Toolbars в меню View ные математические операции. Команда Text Region устанавливает области для написания и оформления текста. Более подробно об этих областях будет сказано далее.  Format (Формат) – содержит список команд, позволяющих выставлять шрифт, размер и другие элементы внешнего вида текста и формул в документе.  Tools (Инструменты) – содержит команды, выполняющие различные математические операции (например, вычисление математических выражений, настройка точности расчетов и т.п.).  Symbolics (Символьные вычисления) – включает команды символьных преобразований формул и уравнений (например, упрощение математических выражений, разложение функций в ряды и т.п.)  Window (Окно) — состоит из команд, устанавливающих порядок отображения рабочих окон документов MathCAD.  Help (Помощь) — включает пункты вызова справочной информации и доступа к центру документации. Для работы в математическом пакете MathCAD первоначально следует создать свой документ и сохранить его на жесткий диск. Задание № 1.2. Создание и сохранение документа. При запуске MathCAD автоматически создается пустой документ с именем Untitled. Если этого не произошло и рабочая область не содержит 7

никакого документа, то его следует создать самостоятельно при помощи команды New (Новый) меню File (Файл). Открытому документу следует присвоить имя и сохранить его на жесткий диск. Для этого требуется выполнить следующие операции: 1. Выбрать команду Save as (Сохранить как) меню File (Файл). При выборе этой команды появится стандартно диалоговое окно сохранения, отображающее список файлов в папке «Мои документы»; 2. В папке «Мои документы» следует создать папку с названием группы (например, ХТПЭ-99 и т.п.). Если такая папка уже существует, то создавать ее повторно не следует; 3. Открыть только что созданную или уже имеющуюся папку с названием вашей группы; 4. В строке «Имя файла», располагающейся в нижней части диалогового окна, следует ввести собственную фамилию с указанием номера выполняемой лабораторной работы (например, имя файла: «Семенов_лаб_1» или «Иванова_Лаб_2»); 5. Нажать кнопку «Сохранить». Если все операции выполнены правильно, то на жестком диске компьютера будет создана папка с названием группы, в которую сохранится файл с фамилией студента, выполняющего лабораторную работу. Это же имя файла будет отображено в заголовке рабочего окна MathCAD. Документы, сохраненные вне папки с названием группы, будут удалены администратором. В ходе выполнения последующих заданий следует время от времени сохранять лабораторную работу на жесткий диск. Быстрое сохранение осуществляется выбором команды Save (Сохранение) меню File (Файл) или нажатием на кнопку dard (Стандартная).

панели инструментов Stan-

К большинству команд MathCAD можно получить быстрый доступ при помощи нажатия соответствующих кнопок на панелях инструментов. Из всего многообразия панелей следует выделить три основные:  Standard (Стандартная) — содержит команды работы с файлами, печати, редактирования документа, вставки в него различных объектов и т. д.

Рис. 1.3. Внешний вид панели инструментов Standard 8

 Formatting (Форматирование) — содержит команды, отвечающие за форматирования текста и формул (выбор шрифта, его размера, установка курсива, утолщения, подчеркивания и т.п.)

Рис. 1.4. Внешний вид панели инструментов Formatting  Math (Математическая) — является главной панелью инструментов для большинства математических операций и позволяет открывать другие вспомогательные математические панели.

Рис. 1.5. Внешний вид панели инструментов Math В математическом пакете MathCAD внешний вид любой панели инструментов можно легко изменить, а сами панели можно перемещать по экрану при помощи мыши. Так, к примеру, математическая панель Math может отображаться на экране различными способами (рис. 1.6)

Рис. 1.6. Различные варианты отображения панели Math Для нормальной работы в математическом пакете MathCAD рекомендуется открыть все три основные панели инструментов. Если одна из панелей не отображена на экране, то ее следует включить при помощи установки галочки рядом с соответствующим названием панели в списке Toolbars (Панели инструментов) меню View (Вид). Для выполнения различных математических операций MathCAD имеет девять вспомогательных панелей (рис. 1.7). Вызвать эти панели можно из списка Toolbars (Панели инструментов) меню View (Вид), либо при помощи нажатия на соответствующую кнопку панели инструментов Math (рис. 1.5):  Calculator (Калькулятор) – данная панель открывается нажатием кнопки панели инструментов Math. Ее команды имитируют основные символы, функции и операторы обычного калькулятора (например, сложение, умножение, деление, возвещение корня n-ой степени и т.п.);

9

1

7

2

4

6

3

5

8

9

Рис. 1.7. Вспомогательные математические панели 1 – Панель Calculator (Калькулятор); 2 – панель Graph (График); 3 – панель Matrix (Матрица); 4 – панель Evaluation (Оценка); 5 – панель Calculus (Вычисления); 6 – панель Boolean (Булевы операторы); 7 – панель Programming (Программирование); 8 – панель Greek (Греческие буквы); 9 – панель Symbolic (Символьные вычисления).

 Graph (График) – панель открывается кнопкой и позволяет строить в документе MathCAD графики различных видов;  Matrix (Матрица) – данная панель вызывается кнопкой . Содержит команды вставки векторов и матриц, а также основные операторы их преобразования (например, транспонирование, скалярные и векторные произведения матриц и т.п.);  Evaluation (Оценка) – панель открывается кнопкой и содержит операторы присваивания значений и вывода результатов расчета.  Calculus (Вычисления) – панель вызывается нажатием кнопки и содержит основные элементы дифференциального и интегрального исчисления, такие как производные различных порядков, операторы интегрирования и суммирования и т.п. 10

 Boolean (Булевы операторы) – панель включается кнопкой и состоит из основных логических операторов, таких как знаки «равенства», «меньше», «больше» и т.п. Данные операторы используются при установлении различных видов условий, а также для составления систем уравнений.  Programming (Программирование) – данная панель открывается кнопкой и включает в себя основные операторы программных модулей (например, операторы циклов, условий и т.п.)  Greek (Греческие буквы) – панель вызывается кнопкой и позволяет вставлять в документ MathCAD буквы греческого алфавита. Очень часто в математических выражениях для обозначения переменных и функций используются греческие буквы. Стандартные компьютерные клавиатуры не имеют в своем наличие соответствующих клавиш, поэтому при необходимости следует пользоваться данной панелью.  Symbolic (Символьные вычисления) – панель включается кнопкой и включается в себя основные команды символьных преобразований уравнений. В математическом пакете MathCAD весь текст, формулы и расчеты отображаются в рабочей области документа (рис. 1.1). Курсор в данной области имеет вид (маленький крестик красного цвета). Для того чтобы набрать текст или формулу в нужной части документа первоначально туда требуется переместить курсор. Курсор перемещается при помощи стрелок на клавиатуре (стрелки вверх, вниз, влево и вправо), либо при помощи нажатия левой кнопки мыши. При наборе цифр или букв с клавиатуры или с панели Calculator (Калькулятор) в окне документа автоматически создается область набора, внутри которой отображается набираемое выражение. При этом данная область окаймляется прямоугольником, обозначающим ее границы (рис. 1.8 а).

(а)

(б)

(в)

Рис. 1.8. Варианты отображения области набора (а) – вид при наборе выражения (область набора активна); (б) – вид при перемещении выражения; (в) – вид выражения в неактивной области набора.

Если область с набранным выражением активна (окаймлена прямоугольником), то ее можно перемещать в любую другую часть документа. Для этого следует подвести стрелку мыши к границе области набора так, чтобы стрелка изменила свой вид на (маленькую черную руку) (рис. 1.8 б). Далее, удерживая левую кнопку мыши, перемещаем набранное выражение в требуемое место. 11

В том случае если после набора курсор рабочей области переместить в другую часть документа (при помощи стрелок клавиатуры или левой кнопки мыши), то набранная область станет неактивной и ее границы исчезнут (рис. 1.8 в). Для обратного активирования области требуется кликнуть левой кнопкой мыши на набранное выражение и область набора примет первоначальный вид (рис. 1.8 а). Задание № 1.3. Набор выражений и их перемещение в документе. 1. Переместите курсор рабочей области в левый верхний угол документа; 2. Наберите с клавиатуры или с панели Calculator число 1234; 3. Выровняйте набранное число по центру документа путем перемещения его в верхнюю центральную часть рабочей области; 4. Верните курсор обратно в левый верхний угол документа; 5. Наберите число 5678; 6. Переместите число под набранное ранее и перемещенное число 1234 7. Верните курсор обратно и наберите число 1234567890; 8. Переместите его под набранные ранее числа; Если все операции были выполнены верно, то в верхней части рабочей области по центру будут отображены набранные цифры следующим образом:

9. Полностью удалите все набранные выражения. Для удаления всего набранного текста первоначально нужно его выделить при помощи удержания левой кнопки мыши и «растягивания» пунктирного прямоугольника. Когда все цифры будут выделены, нажмите клавишу Del на клавиатуре. Все текстовые и математические выражения располагаются в документе MathCAD только в областях набора. Выделяют два вида подобных областей:  Текстовая область – область, в которой пишется текст, применяемый для соответствующего оформления документа (например, заголовки, комментарии к расчетам и т.п.) Все выражения, набранные в этой области, распознаются системой как обычный текст и к нему не применяются никакие математические действия. Для вставки текстовой об-

12

ласти требуется выбрать соответствующую команду Text Region (текстовая область) меню Insert (Вставка);  Математическая область – область, в которой выполняются все математические расчеты и преобразования. Любое слово, набранное в данной области, воспринимается системой как переменная или функция, к которой следует применять различные математические операции. Математическая область, в отличие от текстовой, создается автоматически при наборе любого выражения в документе MathCAD. Курсор, появляющийся при наборе любых выражений в текстовой области, имеет вид (вертикальная палочка красного цвета). В тот момент, когда текстовая область активна, ее границы окаймлены прямоугольником. Однако, в отличие от математической области, ее границы имеют ручки (маленькие черные квадраты), позволяющие «растягивать» текстовую область до нужных размеров (рис. 1.9). Для этого следует подвести стрелку мыши к одной из таких ручек и, удерживая левую кнопку, переместить ее. Набранный текст можно фор1 матировать, т.е. задавать шрифт, его размер, устанавливать курсив, утол3 2 щение, подчеркивание и т.п. Рис. 1.9. Текстовая область Для форматирования отдель1 – ручка для расширение границ ной части набранного выражения области вправо; 2 – ручка для первоначально необходимо ее вырасширения границ области вниз; делить. Для этого нужно, чтобы тек3 – для расширение границ области по стовая область была активна (т.е. диагонали. видны границы текстовой области). Само выделение производится удержанием левой кнопки мыши и перемещением стрелки вдоль текста. Соответствующее форматирование производится при помощи элементов управления, расположенных на панели Formatting (Форматирование) (рис. 1.4). При использовании кнопок выравнивания текста по левому краю , центру и правому краю следует помнить, что данное выравнивание производится не по ширине документу, а внутри текстовой области. Если левая и правая границы области вплотную прилегают к набранному выражению, то все режимы выравнивания будут иметь одинаковый вид. При работе с русской раскладкой клавиатуры некоторые версии MathCAD могут конфликтовать с русскими шрифтами, выдавая при наборе или печати на принтере вместо букв различные символы. Поэтому для

13

создания текстовой области и набора выражений на русском языке рекомендуется строго придерживаться следующей схемы: 1. Вставить текстовую область в требуемую часть документа (выбор команды Text Region в меню Insert); 2. Выбрать шрифт текста Arial Cyr или Times New Roman Cyr (обязательно с пометкой Cyr) в соответствующем элементе управления на панели Formatting (Форматирование); 3. Убедиться, что на компьютере включена русская раскладка клавиатуры (стоит значок RU на панели в нижней части экрана). Если русская раскладка не включена, то ее следует включить. Данные действия должны выполняться при каждой вставке текстовой области. Только после строгого выполнения вышеперечисленных действий можно быть уверенным, что набранный русский текст не будет иметь конфликта при распечатке документа на принтере. При наборе следует помнить, что если в текстовой области будет удален последний символ, то область автоматически удаляется. После удаления текстовой области для набора текста опять потребуется еще раз повторить вышеприведенную схему действий. Если этого не сделать, а просто продолжить набирать текст, то для набираемого выражения будет автоматически создана математическая область. Задание № 1.4. Оформление заголовка лабораторной работы Отчет лабораторной работы должен представлять собой файл документа MathCAD, сохраненный в папке с названием группы. Имя файла должно соответствовать фамилии студента с указанием номера лабораторной работы. Документ MathCAD должен начинаться с выровненного по центру заголовка «Лабораторная работа №» с указанием номера лабораторной работы. Под заголовком указывается название работы. В последующих строках с выравниванием по левому краю документа указываются группа и фамилия студента, выполнившего работу, и фамилия преподавателя, проверявшего отчет. Образец оформления заголовка лабораторной работы представлен ниже:

Лабораторная работа № 1 Введение в математический пакет MathCAD Выполнил: студент гр. ХТПЭ-02-1 Иванов Иван Иванович Проверил: к.т.н., доцент Семёнов Иван Александрович 14

   

Требования к форматированию текста: Заголовок «Лабораторная работа» должен быть выполнен утолщенным шрифтом с размером 16 пт; Название лабораторной работы выполняется обычным шрифтом с размером 12 пт; Слова «Выполнил» и «Проверил» выполняются утолщенным шрифтом 10 пт с подчеркиванием; Название группы студента, его фамилия, имя и отчество, а также фамилия и инициалы преподавателя выполняются курсивным шрифтом с размером 10 пт. После набора заголовка рекомендуется сохранить документ на жесткий диск при помощи команды быстрого сохранения (кнопка панели инструментов Standard).

Как было сказано выше, все расчеты в MathCAD производятся только в математической области. Данная область создается автоматически при начале набора какого-либо выражения в любой части документа. Математическая область может быть легко переделана в текстовую. Для этого после набора первого выражения (числа или слова) достаточно нажать пробел. Поэтому если требуется написать выражение именно в математической области, то наличие пробела после первого набранного выражения недопустимо. Однако если требуется набрать именно текст, то текстовую область лучше создавать при помощи соответствующей схемы действий, изложенной выше. Это позволить избежать возможных конфликтов с русскими шрифтами при отображении текста на экране и при будущих распечатках на принтере. Для того чтобы рассчитать в документе MathCAD какое-либо математическое уравнения сначала следует его набрать с клавиатуры или при помощи кнопок панели Calculator (Калькулятор). Например, если требуется рассчитать уравнение 10+5, то первоначально следует набрать число 10 в математической области. После нажатия знака + с клавиатуры или панели Calculator (Калькулятор) выражение на экране примет вид, представленный на рис. 1.10 а.

(а) (б) (в) Рис. 1.10. Пример набора и расчета математического уравнения

15

Маленький черный квадратик ( ), появившийся после знака «плюс», называется местозаполнителем. Существует два вида местозаполнителей, появляющихся при наборе выражений в математических областях:  Местозаполнитель операнда ( ) – данный местозаполнитель представляет собой место для написания какого-либо операнда (числа, переменной, функции и т.п.) над которым будут выполняться те или иные действия. В вышеприведенном примере после постановки знака плюс MathCAD автоматически поставил местозаполнитель, спросив, тем самым, какое число будет прибавляться к набранному ранее числу 10;  Местозаполнитель оператора ( ) – данный местозаполнитель представляет собой место для написания какого-либо оператора (например, сложение, отнимание, умножение, деление и т.п.), который будет выполнять то или иное математическое действие над рядом стоящими операндами. Данный местозаполнитель может появиться в тех случаях, когда в набранных выражениях удаляется какой-либо оператор и вместо него требуется написать другой. После набора числа 5 в местозаполнитель ( ), выражение примет вид, представленный на рис. 1.10 б. Для вычисления набранного уравнения следует нажать знак равно на клавиатуре или вставить его при помощи кнопки , находящейся на панели Calculator (Калькулятор) и Evaluation (Оценка). После этого MathCAD рассчитает набранное выражение и выдаст полученный ответ (рис. 1.10 в). Курсор в математической области имеет вид (уголок синего цвета). Данный курсор своим охватом показывает, к какой части уравнения будет применяться следующее действие. Например, если требуется рассчитать уравнение (12+4)·3, то после набора 12+4 выражение примет вид, представленный на рис. 1.11 а.

(а) (б) (в) (г) Рис. 1.11. Пример набора математического выражения На рис. 1.11 а. курсор охватывает только цифру 4, поэтому если в данный момент произвести умножение, то действие будет применено только к этой цифре (рис. 1.11 б). Расширить курсор и охватить большую часть выражения можно при помощи клавиши пробел (рис. 1.11 в). При таком расширении все дальнейшие действия будут касаться всего выделенного выражения 12+4. Если теперь поставить знак умножения, то постановка скобок произойдет автоматически (рис. 1.11 г). В уравнениях MathCAD автоматически расставляет скобки там, где это нужно. Для этого требуется только правильно охватить курсором ту 16

часть уравнения, к которой будут относиться последующие действия. Кроме того, скобки можно поставить вручную с клавиатуры, либо нажатием соответствующей кнопки

на панели Calculator (Калькулятор).

В ряде уравнений кроме круглых скобок ( ), могут также использоваться и квадратные скобки [ ]. При наборе таких выражений не следует делать никакой разницы. Там где требуется поставить квадратные скобки [ ] следует использовать круглые ( ). MathCAD самостоятельно заменит внешний вид этих скобок, если это потребуется. Оператор деления в документе MathCAD изображается в виде неправильной дроби. Например, если набрать выражение 3 / 4, то на экране оно отобразится в виде, представленном на рис. 1.12 а.

(а)

(б)

(в)

(г)

Рис. 1.12. Пример набора математического выражения Правило расширения курсора действует точно также для дробей. Если после набора выражения, представленного на рис. 1.12 а., произвести умножение на 5, то данное действие будет относиться только к цифре 4, находящейся в знаменателе (рис. 1.12 б.). Однако если вместо этого требуется произвести умножение всей дроби, то первоначально следует расширить курсор при помощи нажатия пробела (рис. 1.12 в) и только после этого производить умножение (рис. 1.12 г). При наборе и использовании в расчетах десятичных дробей следует помнить, что в MathCAD десятичная часть числа отделяется от целой точкой «.», а не запятой «,». Как будет сказано позднее, запятая в MathCAD отделяет друг от друга два разных числа. Например, если число записано как 101.12, то оно воспринимается системой как одно число с целой и десятичной частью. Если его записать как 101,12, то данная запись будет подразумевать наличие двух отдельных целых чисел 101 и 12 не связанных друг с другом. Задание № 1.5. Вычисление математических выражений. Требуется набрать и рассчитать следующие математические выражения:

17

Для расчета факториала, возведения в степень, установки квадратного корня или корня n-ой степени при наборе выражений следует использовать соответствующие кнопки панели Calculator (Калькулятор): – расчет факториала; – возведение в степень; – квадратный корень;

– корень n-ой степени.

18

В своем арсенале MathCAD имеет большое количество стандартных функций, таких как sin( ), cos( ), ln( ) и т.п. Все стандартные функции имеют свои имена, набираемые только латинскими буквами. После набора имени обязательно ставятся круглые скобки ( ), внутри которых пишется аргумент, т.е. число или выражение, по которому будет рассчитываться значение функции. Внимание! Между именем функции и круглыми скобками ( ), в которых должен быть записан аргумент, никакие знаки не ставятся (ни пробел, ни знак умножения и т.п.). Небольшое количество стандартных функций можно вставить в документ путем нажатия соответствующих кнопок на панели инструментов Calculator (Калькулятор). Однако большую часть их них необходимо набирать с клавиатуры. В этом случае рекомендуется придерживаться следующей схемы действий: 1. Переключить раскладку клавиатуры на английскую (т.е. установить значок EN на панели в нижней части экрана); 2. Маленькими буквами набрать имя функции; 3. После набора имени с клавиатуры установить круглые скобки ( ). Круглые скобки при написании функции лучше устанавливать с клавиатуры. Если для этого воспользоваться кнопкой на панели Calculator (Калькулятор), то в скобки будет взято само имя функции. Задание № 1.6. Вычисление математических выражений. Требуется набрать и рассчитать следующие математические выражения:

Экспоненту в MathCAD можно рассчитать либо в виде стандартной функции exp( ), либо при помощи возведения числа

e в степень. 19

Для осуществления второго способа можно воспользоваться кнопкой на панели Calculator (Калькулятор).

Контрольные вопросы к защите лабораторной работы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Пункты главного меню и их основные команды. Основные панели инструментов MathCAD. Вспомогательные математические панели и их назначение. Виды областей набора в математическом пакете MathCAD. Как набрать текст в документе MathCAD? Курсор математической области и его основные возможности. Виды местозаполнителей при работе в математической области. Оператор расчета математических выражений в MathCAD. Правила набора стандартных функций в документе MathCAD.

20

Лабораторная работа № 2 Работа с переменными и функциями в MathCAD Цель работы: Приобрести первоначальные навыки работы с переменными и функциями при расчетах в математическом пакете MathCAD. Задание № 2.1. Оформление заголовка лабораторной работы Отчет лабораторной работы должен представлять собой файл документа MathCAD, сохраненный в папке с названием группы. Имя файла должно соответствовать фамилии студента с указанием номера лабораторной работы. Документ MathCAD должен начинаться с выровненного по центру заголовка «Лабораторная работа №» с указанием номера лабораторной работы. Под заголовком указывается название работы. В последующих строках с выравниванием по левому краю документа указываются группа и фамилия студента, выполнившего работу, и фамилия преподавателя, проверявшего отчет. Образец оформления заголовка лабораторной работы представлен ниже:

Лабораторная работа № 2 Работа с переменными и функциями в MathCAD Выполнил: студент гр. ХТПЭ-02-1 Иванов Иван Иванович Проверил: к.т.н., доцент Семёнов Иван Александрович

   

Требования к форматированию текста: Заголовок «Лабораторная работа» должен быть выполнен утолщенным шрифтом с размером 16 пт; Название лабораторной работы выполняется обычным шрифтом с размером 12 пт; Слова «Выполнил» и «Проверил» выполняются утолщенным шрифтом 10 пт с подчеркиванием; Название группы студента, его фамилия, имя и отчество, а также фамилия и инициалы преподавателя выполняются курсивным шрифтом с размером 10 пт. Во время работы рекомендуется сохранять документ на жесткий диск при помощи команды быстрого сохранения (кнопка

панели

инструментов Standard).

21

В большинстве случаев при решении задач химической технологии приходится сталкиваться с математическими уравнениями, состоящими не из конкретных цифр, а из переменных. Математические переменные по определения являются величинами, заменяющими собой числа, векторы, матрицы и т.д. Переменными в MathCAD могут быть либо отдельные буквы (например, А, B, x, y и т.п.), либо целые слова. Их имена кроме букв могут содержать также и цифры и, даже, некоторые символы (например, знак нижнего подчеркивания «_»). Однако начинаться имя любой переменной должно только с буквы. В том случае, если для обозначения переменных требуются буквы греческого алфавита, то для их вставки в документ MathCAD следует воспользоваться кнопками панели Greek (Греческие буквы). При оформлении имени переменной часто требуется поставить нижний индекс (например, t1, P0, Ki и т.п.). Однако в MathCAD установка индекса разрешается лишь в том случае, если переменная является вектором или матрицей, а ее индекс представляет собой номер выбранного элемента. Если же обозначаемая переменная является обычным числом, а индекс требуется лишь для целей оформления, то после набора ее имени следует поставить точку «.». Все что будет написано после точки, переносится в нижний индекс и воспринимается системой как обычный текст. Для того, чтобы переменную можно было использовать в расчетах обязательно нужно присвоить ей некоторой значение при помощи оператора := (двоеточие со знаком равно). Данный оператор набирается не с клавиатуры, а вставляется в документ нажатием кнопки на панели Calculator (Калькулятор) или Evaluation (Оценка). Например, если требуется присвоить переменой x значение равное 4, то данная операция в документе MathCAD имеет вид, подобный рис. 2.1 а.

(а)

(б)

Рис. 2.1. Пример работы с переменными Если после определения переменной x в дальнейших расчетах к ней применить оператор «равно» (нажатием знака «равно» на клавиатуре, либо кнопкой панели Calculator или Evaluation), то в правой части после оператора появится число, содержащееся в переменной. (рис. 2.1 б). Переменной можно присвоить значение не только отдельным число, но и целым математическим выражением. В этом случае система вычислит выражение, а полученный результат занесен в переменную (рис. 2.2). 22

Рис. 2.2. Пример работы с переменными При вычислении MathCAD просматривает весь документ слева направо и сверху вниз. Поэтому присваивать и тем самым определять значения переменных нужно только выше или левее того места, где эти переменные используются. Нарушение данного условия приводит к появлению ошибки в расчетах, отображающейся в документе в виде красного подсвечивания неправильного выражения в сопровождении соответствующего комментария (рис.2.3).

3

2 1

Рис. 2.3. Работа с переменными до и после присвоения им значений 1 – выражение использует переменные X и Y, значения которых были определены выше; 2 – выражение использует переменные X и Y, значения которых были определены несколько левее; 3 – выражение использует переменные X и Y, значения которых определяются ниже. В этом случае MathCAD при расчете еще не знает значений используемых переменных, поэтому выдает сообщение об ошибке.

Задание № 2.2. Работа с переменными 1. Требуется присвоить значения переменным при помощи следующих выражений и вывести получившиеся результаты.

23

2. По исходным данным, представленным в табл. 2.1, требуется рассчитать площади теплообменных поверхностей F1, F2, F3 , и вывести полученные результаты. Таблица 2.1. Исходные данные к заданию Коэф-нт Тепловая Температура Температура № теплопередачи нагрузка Q, Вт t1, oC t2, oC К, Вт/м2· oC 1 2 3

70000 100000 110000

50 60 45

100 120 110

Уравнение для расчета поверхности теплообмена: F 

500 550 700

Q . K  t 2  t1 

При выполнении задания индексы при переменных следует устанавливать при помощи точки «.», ставящейся после набора их имен. Значениями переменных в MathCAD могут быть не только отдельные числа, но и целые векторы или матрицы. Для того чтобы вставить вектор или матрицу в документ MathCAD требуется нажать кнопку струментов Matrix (Матрица).

панели ин-

При нажатии кнопки на экране появляется диалоговое окно, определяющее размеры вставляемой в документ матрицы (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Диалоговое окно вставки векторов и матриц В поле Rows данного окна указывается количество строк вставляемой матрицы, число в поле Columns обозначает количество колонок. Нажатие кнопки «OK» закроет диалоговое окно и вставит в документ матрицу заданного размера. Кроме вставки матриц, диалоговое окно, изображенное на рис. 2.4, позволяет удалять отдельные строки и столбцы из уже существующих матриц. Для этого требуется выделить элемент изме-

24

няемой матрицы, обозначить количество удаляемых из нее строк и столбцов и нажать кнопку Delete в диалоговом окне. При вставке новой матрицы в документе MathCAD появляется пустая форма, состоящая из местозаполнителей (рис. 2.5 а)

(а)

(б)

Рис. 2.5. Пример вставки матрицы Для определения матрицы требуется последовательно задать значения всех ее элементов (рис. 2.5 б). При работе с матрицами или векторами иногда требуется совершить те или иные математические действия только лишь с их отдельными элементами. Для выбора элемента следует указать его координату, представляющую собой номер строки и столбца, на пересечении которых данный элемент располагается. Однако следует помнить, что по умолчанию первый столбец имеет номер 0, второй – 1 и т.д. Эта же нумерация остается справедливой и для столбцов (т.е. первый столбец – 0, второй – 1 и т.д.) Так, к примеру, отдельные элементы матрицы X, представленной на рис. 2.5 б, имеют следующие координаты:

Рис. 2.6. Элементы матрицы X Координаты элементов вводятся в виде индекса переменной, содержащей матрицу. При этом индекс у переменной вставляется нажатием кнопки на панели Matrix (Матрица) (рис. 2.7 а).

(а)

(б)

(в)

Рис. 2.7. Элемент вектора или матрицы В индексе переменной через запятую указываются номера строки и столбца, на пересечении которых располагается требуемый элемент матрицы (рис. 2.7 б). В том случае, если переменная X содержит вектор (т.е. состоит только из одного столбца), то для выбора его элемента достаточно указать лишь номер строки (т.е. номер этого элемента в векторе) (рис. 2.7 в). 25

С элементами матриц можно работать как с отдельными переменными: им можно присваивать значения, их можно использовать в математических вычислениях, можно выводить их значения при помощи знака «равно» и т.д. Задание № 2.3. Работа с матрицами и векторами 1. Требуется задать матрицу X и по аналогии с рис. 2.6 вывести отдельно значения всех ее элементов:

1  6 X  4  3

4 3 9  2 6 3 . 5 3 6  4 7 5

2. Рассчитать детерминант (определитель) матрицы X и рассчитать ее обратную матрицу X-1. Оператор детерминанта матрицы вставляется в документ нажатием кнопки на панели инструментов Matrix (Матрица). Расчет обратной матрицы производится при помощи кнопки

.

3. Вычислить матрицу D, определяемую произведением двух векторов Y и Z по следующему уравнению:

D  Y ZT ;  2 5     где Y   3  , Z   1  .  4  4     Оператор транспонирования матрицы вставляется кнопкой

.

4. Найти детерминант (определить) матрицы D, полученной в предыдущем задании. 5. При решении теплового баланса 3х корпусной выпарной установки система уравнений может быть записана в матричном виде следующим образом:

Y  M 1  X . Требуется найти вектор Y (вектор расходов греющего пара и вторичного пара во всех корпусах установки) при следующих исходных данных:

26

Индексы переменных, входящих в состав матриц M и X устанавливаются при помощи кнопки панели инструментов Matrix (Матрица). Переменные rb, Cb и W0 не являются ни векторами, ни матрицами, поэтому пишутся без индексов. В математике принято выделять два вида переменных: независимые и зависимые. Независимые переменные могут принимать любые значения, независящие от значений других переменных. В большинстве случаев им присваиваются конкретные числовые величины, и они определяются в исходных условиях задачи. Значения зависимых переменных, в отличие от независимых, вычисляются на основе других переменных. Поэтому их принято определять уравнениями, по которым они рассчитываются. Очень часто зависимые переменные называются функциями. MathCAD имеет в своем арсенале большое количество стандартных функций, таких как sin( ), ln( ), exp( ) и т.п. Однако пользователь при работе может задать и использовать свои собственные функции. Как и переменные функции в MathCAD должны иметь свои имена, написанные при помощи букв, цифр и, даже, некоторых символов. Однако в отличие от переменных, в момент определения функций при помощи оператора := нужно указывать не числовые значения, а уравнения, по которым будут рассчитываться функций позднее. Написание функций в документе MathCAD будет отличаться от переменных наличием круглых скобок после имени. При этом следует помнить, что между именем функции и круглыми скобками никакие другие знаки не 27

ставятся (ни пробел, ни оператор умножения и т.п.). На рис. 2.8 приведен пример обычной переменной и функции.

(а)

(б)

Рис. 2.8. Пример обычной переменной (а) и функции (б) В первом случае (рис. 2.8 а) величина X является обыкновенной переменной и, поэтому при ее определении требуется задаться конкретным числовым значением. Во втором случае (рис. 2.8 б) переменная X является функция от некоторой другой переменной n, поэтому при ее определении задаются не числовым значением, а уравнением, по которому будет рассчитано функция позднее. При написании функции рекомендуется круглые скобки устанавливать с клавиатуры. Если для постановки скобок воспользоваться кнопкой на панели Calculator (Калькулятор), то в скобки будет взято само имя функции, что будет являться ошибкой. При определении функции следует указать список всех переменные, на основе которых она будет рассчитываться. Данные переменные называются аргументами, и они прописываются в скобках после имени функции. Так в примере, представленном на рис 2.8 б, функция X имеет только один аргумент – переменную n. В реальности функция может иметь два, три и более аргументов, которые перечисляются в круглых скобках через запятую (рис. 2.9).

(а)

(б)

(в)

Рис. 2.9. Примеры функций Перечисляя аргументы функции очень важно убедиться, чтобы все они имели точно такие же имена (с учетом регистра, русской и английской раскладки клавиатуры), что и переменные в присваиваемом уравнении. На момент определения функции задавать значения ее аргументов не нужно. Так, например, у функции, представленной на рис. 2.9 а, переменные x и y могут быть неопределенны заранее. Их значения потребуются лишь тогда, когда функция будет рассчитываться. Любую функцию в MathCAD можно рассчитать при помощи оператора равно (кнопка панели инструментов Calculator или Evaluation). Однако следует помнить, что на момент вычисления рассчитываемая функция должна быть уже определена (т.е. задана выше или левее того места, где производится ее расчет), в противном случае MathCAD выдаст ошибку (рис. 2.10). 28

Рис. 2.10. Вычисление функции до и после ее определения Значения аргументов функции, при ее вычислении, можно задать разными способами. Так на рис. 2.11 проиллюстрированы несколько вариантов расчета некоторой функции F(x,y), определенной на рис. 2.9 а.

(а)

(б)

(в)

Рис. 2.11. Примеры расчета функции Значения аргументов можно подставить непосредственно в круглые скобки рядом с именем функции, перечисляя их через запятую. Так в примере, представленном на рис. 2.11 а, при расчете функции F(x,y) переменная x принимается равной 5, а y – 3. При таком варианте расчета важно не перепутать порядок аргументов (значение аргументов следует подставлять в том же порядке, как они были определены в функции ранее). По другому варианту функцию можно рассчитать, используя заранее заданные переменные (рис. 2.11 б и в). При этом абсолютно не важно, какие имена переменных были при определении исходной функции. Так в случае с функцией F(x,y), представленной на рис 2.9 а, при ее расчете не обязательно использовать только переменные x и y. Значение функции может быть найдено и на основе других переменных, например а и b (рис. 2.11 в). В этом примере переменной x при расчете функции присваивается значение переменной a, которая в свою очередь равна 5. Аналогичное действие происходит с переменной y, которая благодаря переменной b становится равной 3. В список аргументов при определении функций не обязательно включаться все переменные, на основе которых она рассчитывается. Так на рис. 2.12 представлен пример функции с одним аргументом, но с уравнением, использующим три переменные.

Рис. 2.12. Пример расчета функции с одним аргументом

29

Такой вариант определения функции разрешается лишь в том случае, если значения переменных, входящих в состав уравнения, но не включенных в список аргументов, были заданы заранее. Так в примере, представленном на рис. 2.12, при определении функции F(n), переменным a и b были присвоены конкретные числа. Подобный вариант работы с функциями позволяет уменьшить число аргументов и вводить в их состав только те переменные, значения которых пока неизвестны, либо они будут меняться по ходу дальнейшего расчета. Если переменная, входящая в состав уравнения функции, но не включенная в список аргументов, на момент определения функции не была задана, то MathCAD выдаст сообщение об ошибке (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Расчет функции c незаданными заранее переменными Кроме этого, следует помнить, что при расчете функции вместо переменной, не включенной в список аргументов, будет подставляться то значение, которое она имела на момент определения функции. Этот нюанс хорошо проиллюстрирован на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Пример расчета функции F(x) В примере (рис. 2.14) на момент определения функции F(x) переменная a равнялась 1, поэтому при подстановке в качестве x значения 2 MathCAD дал ответ, равный 3. Позднее переменной a было присвоено число 5. Однако, несмотря на это, при подстановке в качестве аргумента x значения 2, функция имеет такое же решение, как и в случае с переменной a равной 1. В состав функции можно включать не только переменные, но и другие функции, определенные ранее. Подобный пример, представлен на рис. 2.15.

Рис. 2.15. Пример функции F(a, b) с вложенными функциями Af(a) и Bf(a,b) 30

В примере (рис. 2.15) функция F(a, b) вычисляется исходя из значений функций Af(a) и Bf(a, b). При этом функции Af(a) и Bf(a,b) называются вложенными. Задание № 2.4. Работа с функциями 1. Требуется рассчитать значение следующих функций: Функция (1)

где Функция (2)

где Функция (3)

где

Индексы при функциях устанавливаются при помощи точки, ставящейся после набора имени и до круглых скобок. 2. Требуется рассчитать площадь теплообменной поверхности F при нескольких вариантах тепловых нагрузок Q и коэффициентов теплоотдачи К: № т/обм-ка

Тепловая нагрука Q, Вт

Коэф-нт теплопередачи К, Вт/м2· oC

1 2 3

50000 70000 100000

450 480 560 31

Расчет следует производить при помощи функции F, определяемой следующим уравнением:

F

Q . K  t2  t1 

где t1 – температура холодного теплоносителя (t1 =55 oC), t2 – температура горячего теплоносителя (t2 =120 oC), В качестве аргументов функции F требуется брать только те переменные, которые меняются от расчета к расчету. 3. Рассчитать потери на трения в трубопроводе при следующих скоростях потока жидкости w: 0,75 м/с; 1,0 м/с; 1,2 м/с; 1,5 м/с; 2 м/с. Уравнения для расчета потерь на трение:  Потери на трение: hТР

l w2 ;  d 2 g

 Коэффициент трения :    Число Рейнольдса: Re 

0.316

Re0.25 wd  



;

.

где l – длина трубопровода (l = 250 м), d – внутренний диаметр трубопровода (d= 0.1 м), µ – вязкость жидкости (µ = 10-3 Па·с); ρ – плотность жидкости (ρ = 1000 кг/м3), g – ускорение свободного падения (g = 9.81 м/с2). Из вышеприведенных уравнений требуется создать вложенные функции. В качестве аргументов следует использовать только те переменные, значения которых меняются от расчета к расчету. Контрольные вопросы к защите лабораторной работы: 1. Оператор присвоения значений переменным и функциям в MathCAD. 2. Порядок присвоения значений и использования переменных и функций в документе MathCAD. 3. Вставка матриц и векторов в документ MathCAD. Как определяются их отдельные элементы? 4. Чем отличаются зависимые и независимые переменные? 5. Как задать функцию в математическом пакете MathCAD? 6. Аргументы функции. Какие переменные рекомендуется включать в список аргументов? Какими способами можно задать значения аргументов при расчете функций? 7. Что такое вложенная функция? 32

Лабораторная работа № 3 Построение графиков в MathCAD Цель работы: Приобрести первоначальные навыки работы с графиками функций и табличных данных в математическом пакете MathCAD. Задание № 3.1. Оформление заголовка лабораторной работы Отчет лабораторной работы должен представлять собой файл документа MathCAD, сохраненный в папке с названием группы. Имя файла должно соответствовать фамилии студента с указанием номера лабораторной работы. Документ MathCAD должен начинаться с выровненного по центру заголовка «Лабораторная работа №» с указанием номера лабораторной работы. Под заголовком указывается название работы. В последующих строках с выравниванием по левому краю документа указываются группа и фамилия студента, выполнившего работу, и фамилия преподавателя, проверявшего отчет. Образец оформления заголовка лабораторной работы представлен ниже:

Лабораторная работа № 3 Построение графиков в MathCAD Выполнил: студент гр. ХТПЭ-02-1 Иванов Иван Иванович Проверил: к.т.н., доцент Семёнов Иван Александрович

   

Требования к форматированию текста: Заголовок «Лабораторная работа» должен быть выполнен утолщенным шрифтом с размером 16 пт; Название лабораторной работы выполняется обычным шрифтом с размером 12 пт; Слова «Выполнил» и «Проверил» выполняются утолщенным шрифтом 10 пт с подчеркиванием; Название группы студента, его фамилия, имя и отчество, а также фамилия и инициалы преподавателя выполняются курсивным шрифтом с размером 10 пт. Во время работы рекомендуется сохранять документ на жесткий диск при помощи команды быстрого сохранения (кнопка инструментов Standard).

панели

33

Одним из достоинств ЭВМ, в решении большинства задач химической технологии, является легкость построения графиков функций и табличных данных. Математический пакет MathCAD позволяет строить различные виды графиков. Их формы можно вставить в документ при помощи команд панели Graph (График), открываемой кнопкой панели Math (Математическая). Наиболее распространенным видом графика является диаграмма в декартовой системе координат (c перпендикулярными друг другу осями X и Y). Она предназначения для расчета и вывода графиков функций и табличных данных в некотором диапазоне одной независимой переменной. Вставка пустой формы графика в документ MathCAD осуществляется нажатием кнопки

панели Graph (График). В своем активном состоянии данная

форма имеет вид, представленный на рис. 3.1.

6 2

9

5 3

1 7

4 8

Рис. 3.1. Форма для построения графика в декартовых координатах 1 – местозаполнитель для ввода аргумента (независимой переменной), откладываемый на оси абсцисс (ось X); 2 – местозаполнитель для ввода функции, либо ряда табличных значений зависимой переменной, откладываемых на ось ординат (ось Y); 3 и 4 – минимальное и максимальное значения оси абсцисс; 5 и 6 – минимальное и максимальное значения оси ординат; 7,8 и 9 – ручки для изменения размеров графика. Чтобы построить график по табличным данным следует в местозаполнитель 1 (рис. 3.1) подставить переменную, содержащую вектор значений независимой переменной, а в местозаполнителе 2 указать вектор значений зависимой переменной. Например, имеется следующая зависимость температуры конденсации греющего водяного пара от его давления (табл. 3.1). 34

Таблица 3.1. Зависимость температуры водяного пара от давления P, кгс/см2

1.01

1.98

3.61

6.18

10.03

15.55

t, 0C

100

120

140

160

180

200

На основе данных, представленных в табл. 3.1, в документе MathCAD следует создать два вектора (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Векторы данных, соответствующие табл. 3.1. При построении графика переменна P является независимой, так как по ее значению будет определяться температура конденсации пара, а переменная t – зависимой. Поэтому в местозаполнитель формы графика 1 (рис. 3.1) следует указать перемену P, а в местозаполнитель 2 – переменную t. После этого MathCAD построит график (рис. 3.3). После подстановки соответствующих переменных в местозаполнители для построения графика следует нажать клавишу F9 или переместить курсор из области графика в любую другую область документа.

Рис. 3.3. График зависимости t от P Ось абсцисс на графике (рис. 3.3) варьируется от 0 до 20, а ось ординат – от 100 до 200. Данные диапазоны и, следовательно, масштаб постро35

енного графика были выбраны MathCAD автоматически с учетом наибольшего и наименьшего значений векторов P и t (рис. 3.2). Если масштаб графика не устраивает, то существует возможность самостоятельно задать минимальные и максимальные границы. Например, для заострения внимания и повышения точности отдельных участков зависимости требуется вывести на экран не весь график, а только его часть. В этом случае в местозаполнителях формы 3 и 4 (рис. 3.1) следует задать минимальное и максимальное значения диапазона оси абсцисс. Для установки масштаба оси ординат крайние значения указываются в местозаполнителях 5 и 6. Если для данных, представленных в векторах P и t (рис. 3.2), задать ось абсцисс, варьируемую от 5 до 10 кгс/см2, а ось ординат – от 140 до 180 0С, то вид графика изменится (рис. 3.4).

Рис. 3.4. График зависимости t от P Если размеры вставленной в документ формы не устраивают, то их можно изменить при помощи ручек 7, 8 и 9 (рис. 3.1). Однако, перемещая ручки графика, можно только лишь увеличить или уменьшить размер его отображение, при этом числовые диапазоны осей остаются неизменными. При построении графиков в MathCAD в одной и той же форме можно построить несколько зависимостей. Для этого следует все векторы значений независимых и, соответствующие им, векторы зависимых переменным перечислить на осях абсцисс и ординат через запятую. Например, требуется сравнить зависимости температур конденсации водяного пара и паров бензола от давления. Вектор PВ содержит ряд давлений для водяного пара. Температуры конденсации, соответствующие элементам вектора PВ, заносятся в tВ. Подобные данные, но только для паров бензола, задаются в векторах PБ и tБ. Чтобы построить обе зависимости на одном графике следует на оси абсцисс через запятую перечислить переменные PВ и PБ (сначала для воды, потом для бензола). На оси ординат в 36

том же порядке перечисляются соответствующие векторы температур tВ и tВ. Результат построения зависимостей представлен на рис. 3.5.

Рис. 3.5. График зависимостей t от P для паров воды и бензола Если векторы независимых переменных на оси абсцисс полностью идентичны друг другу, то нет необходимости их перечислять. Достаточно указать только один вектор. Так в примере, представленном на рис. 3.5., если замер температур паров воды и бензола проводился при одних и тех же давлениях, указанных в векторе P, то для построения обоих графиков достаточно было бы на оси абсцисс указать только один единственный вектор P. Задание № 3.2. Построение графиков по табличным данным По данным таблицы 3.2 построить графики зависимостей плотностей различных веществ от температуры. 1. Требуется построить для каждого вещества свой отдельный график; 2. Требуется построить все зависимости на одном графике. Таблица 3.2. Зависимость плотности веществ (кг/м3) от температуры (0С)

Ацетон

0 813

20 791

Температура, 0С 40 60 80 768 746 719

Бензол

900

879

858

836

815

793

769

Бутанол

824

810

795

781

766

751

735

Вода

1000

998

992

983

972

958

943

Гексан

677

660

641

622

602

581

559

Вещество

100 693

120 665

Если табличных данных для построения графика нет, но имеется уравнение зависимости, определенное в виде функции, то график можно построить при помощи ранжированной переменной. 37

Обычная переменная несет в себе только одно число. Ранжированная переменная, как и вектор, может нести в себе много чисел. Однако, в отличие от вектора, при ее определении не нужно указывать значения всех входящих в нее элементов. Ранжированная переменная представляет собой числовой ряд, в котором все числа равномерно увеличиваются или уменьшаются с одним постоянным шагом. Поэтому при ее определении достаточно задать только три числа ряда: первое, второе и последнее. Шаг, с которым будут увеличиваться или уменьшаться последующие числа (третье, четвертое, пятое и т.д.), определится как разность между вторым и первым числом ряда. Ранжированная переменная, как и любая другая, должна иметь свое имя. Для того, чтобы определить ранжированную переменную в документе MathCAD после написания ее имени и оператора присваивания := следует указать первое число ряда. Далее через запятую указывается второе число и после оператор .. (две подряд идущие точки) задается последнее значение ряда. Оператор .. нельзя ставить с клавиатуры как обычные две точки, его нужно вставлять только при помощи кнопки панели инструментов Matrix (Матрица). Например, требуется задать числовой ряд температур, начинающийся с 100 0С, растущий с шагом в 20 0С и заканчивающийся 200 0С. В этом случае ранжированная переменная задается следующим образом:

Рис. 3.6. Пример ранжированной переменной В том случае, если числовой ряд растет с шагом 1, то второе значение ранжированной переменной можно не указывать. Например, если требуется задать ряд 1, 2, 3, 4, 5, то переменную можно определить как x:=1..5. Для того чтобы посмотреть получившийся числовой ряд требуется применить к переменной t оператор = (рис. 3.7). Сравнивая получившийся ряд (рис. 3.7) с вектором t на рис. 3.2 можно увидеть, что он состоит из точно таких же цифр. Однако при определении вектора требовалось задать все шесть значений, в то время как при определении ранжированной переменной указывалось только три: первое, второе и последнее. Различие становится еще более ощутимым, когда требуется создать числовой ряд, состоящий не из шести, а из тысячи элементов. Рис. 3.7. Ранжированная переменная 38

При расчете некоторой функции F(x)с помощью обычной переменой x можно вычислить только одной значение функции при одном значении переменной (рис. 3.8 а). Однако при использовании ранжированной переменной можно рассчитать значения функции при всех числах, входящих в числовой ряд (рис. 3.8 б).

(а) (б) Рис. 3.8. Пример расчет функции при обычной переменной (а) и ранжированной (б) Благодаря тому, что при помощи одной ранжированной переменной можно рассчитать целый ряд значений функции, то также легко можно построить график этой функции. Для этого следует в форме графика (рис. 3.1) в местозаполнителе на оси абсцисс указать ранжированную переменную, а на оси ординат – имя функции. На рис. 3.9 представлен пример построения графика функции по ранжированной переменной.

Рис. 3.9. График функции F(x) Следует помнить, что графики в MathCAD строятся по точкам, которые соединяются друг с другом прямыми линиями. Если в распоряжении имеется мало точек, то построенные по ним график представляет собой ломаную линию, если много – то зависимость выглядит как плавная кривая (рис. 3.10). Поэтому при использовании 39

(а)

(б)

Рис. 3.10. Графики, построенные по 4 точкам (а) и по 1000 точкам (б) ранжированных переменных рекомендуется задаваться маленьким шагом. В этом случае точек для построения графика будет много, а кривые получаться более гладкими и точно опишут зависимость. Как в случае с векторами при использовании ранжированной переменной на одном графике можно построить несколько зависимостей. Для этого достаточно на оси ординат через запятую перечислить функции, для которых строятся кривые, а на оси абсцисс – соответствующие им ранжированные переменные. Если все функции в качестве независимой переменной имеют одну общую ранжированную величину, то для построения графиков на оси абсцисс достаточно указать ее только один раз (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Графики функций F1(x), F2(x) и F3(x) 40

Задание № 3.3. Построение графиков функций 1. Требуется построить кривые следующих функций в заданных диапазонах. Функция (1)

Требуемый диапазон: от 1 до 25 с шагом 0.5; Функция (2)

Требуемый диапазон: от 0.1 до 1 с шагом 0.005; Функция (3)

Требуемый диапазон: от 270 до 300 с шагом 1; 2. Построить график зависимости потерь напора в трубе на трение hТР от скорости потока жидкости w в диапазоне от 0.5 м/с до 3 м/с с шагом 0.01. Уравнения для расчета потерь на трение:  Потери на трение: hТР

l w2  ; d 2 g

 Коэффициент трения:    Число Рейнольдса: Re 

0.316

Re0.25 wd  



; .

где l – длина трубопровода (l = 250 м), d – внутренний диаметр трубопровода (d= 0.1 м), µ – вязкость жидкости (µ = 10-3 Па·с); ρ – плотность жидкости (ρ = 1000 кг/м3), g – ускорение свободного падения (g = 9.81 м/с2). 3. На одном графике построить зависимости потерь напора в трубе на трение hТР от скорости потока жидкости w при нескольких диаметрах трубы d: 0.02, 0.05 и 0.075. Для выполнения данного задания рекомендуется hТР задать как функцию от двух переменных: скорости w и диаметра d. В этом 41

случае все зависимости будут строиться по этой функции, только при подстановке их в форму графика вместо аргумента d потребуется указать конкретные диаметры труб. Контрольные вопросы к защите лабораторной работы: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Как вставить графика в документ MathCAD? Назначение местозаполнителей формы графика. Как построить график по табличным данным? Изменение размеров графика и масштаба его осей. Построение нескольких зависимостей в одной форме графика. Определение ранжированной переменной. Как задать ранжированную переменную в документе MathCAD? 7. Построение графика функций при помощи ранжированной переменной. 8. Построение нескольких графиков функций в одной форме.

42

Лабораторная работа № 4 Решение уравнений с одним неизвестным Цель работы: Приобрести первоначальные навыки решений уравнений с одним неизвестным в математическом пакете MathCAD. Задание № 4.1. Оформление заголовка лабораторной работы Отчет лабораторной работы должен представлять собой файл документа MathCAD, сохраненный в папке с названием группы. Имя файла должно соответствовать фамилии студента с указанием номера лабораторной работы. Документ MathCAD должен начинаться с выровненного по центру заголовка «Лабораторная работа №» с указанием номера лабораторной работы. Под заголовком указывается название работы. В последующих строках с выравниванием по левому краю документа указываются группа и фамилия студента, выполнившего работу, и фамилия преподавателя, проверявшего отчет. Образец оформления заголовка лабораторной работы представлен ниже:

Лабораторная работа № 4 Решение уравнений с одним неизвестным Выполнил: студент гр. ХТПЭ-02-1 Иванов Иван Иванович Проверил: к.т.н., доцент Семёнов Иван Александрович

   

Требования к форматированию текста: Заголовок «Лабораторная работа» должен быть выполнен утолщенным шрифтом с размером 16 пт; Название лабораторной работы выполняется обычным шрифтом с размером 12 пт; Слова «Выполнил» и «Проверил» выполняются утолщенным шрифтом 10 пт с подчеркиванием; Название группы студента, его фамилия, имя и отчество, а также фамилия и инициалы преподавателя выполняются курсивным шрифтом с размером 10 пт. Во время работы рекомендуется сохранять документ на жесткий диск при помощи команды быстрого сохранения (кнопка инструментов Standard).

панели

43

При решении задач химической технологии во многих случаях приходится сталкиваться с проблемой нахождения значения неизвестной переменной, входящей в состав некоторого уравнения. Например, при расчете температуры кипения любой чистой жидкости можно воспользоваться уравнением Антуана:

ln P  A 

B , t  C  273.15

(4.1)

где P – давление, мм.рт.ст; A, B, C – константы уравнения Антуана (для различных веществ берутся по справочнику); t – температура кипения чистой жидкости, 0С. Для того, чтобы можно было рассчитать температуру кипения t необходимо данную переменную выразить из уравнения (4.1) в явном виде, т.е. преобразовать уравнение так, чтобы величина t переместилась в левую часть уравнения (левее знака равенства), а все остальное – в правую:

t

B  C  273.15 . A  ln P

(4.2)

Подставляя в полученное уравнение (4.2) данные из справочника можно рассчитать температуру кипения чистого жидкого вещества при любом давлении. Вышеприведенное решение называется аналитическим, так как потребовало выполнения некоторого аналитического преобразования исходного уравнения. Однако, уравнение (4.1) могло быть решено путем последовательного подбора такой температуры t, при которой правая и левая части уравнения стали бы примерно равны друг другу. Такой подход к решению задачи называется численным, а метод, по которому происходит подборка значения переменной t – численным методом. Численные методы, в отличие от аналитических решений, требуют многократного выполнения одного и того же заранее заданного алгоритма. Именно поэтому в большинстве случаев они реализуются при помощи ЭВМ. При помощи численных методов можно решить задачи, трудно решаемые аналитическим преобразованием. Например, для нахождения температуры кипения жидкой смеси, состоящей из двух компонентов, можно воспользоваться следующим уравнением:

    B1 B2   x1  exp A2    x2 , P  exp A1  t  C  273 . 15 t  C  273 . 15     1 2

(4.3)

где x1 и x2 – мольные доли компонентов в смеси.

44

Выразить переменную t из уравнения (4.3) в явном виде сложно. Однако решение может быть легко получено при помощи численных методов, реализованных на ЭВМ. Существует много способов численного решения уравнений с одним неизвестным. Наиболее распространенные из них: метод половинного деления, метод простых итераций, метод Ньютона, метод секущих, метод парабол и т.п. Все эти методы предназначены для поиска корней некоторой функции вида F(x)=0, т.е. такого значения ее аргумента x, при котором функция F(x) становится равной нулю. Любое уравнение можно преобразовать в функцию данного вида. Для этого всю правую часть уравнения (часть правее знака равенства) следует перенести влево. Значение неизвестной переменной, при котором полученное выражение станет равным нулю (т.е. корень выражения), и будет являться решением исходного уравнения. К примеру, уравнение (4.3) можно преобразовать в следующую функцию F(t):

    B1 B2   x1  exp A2    x2 . (4.4) F ( t )  P  exp A1  t  C  273 . 15 t  C  273 . 15     1 2 Значение переменной t, при котором функция F(t) равняется нулю, является температурой кипения смеси. В математическом пакете MathCAD найти решение данной функции можно при помощи стандартной функции root( ). При ее использовании следует задать два обязательных аргумента:  Функция или математическое выражение, у которого требуется найти корень (например, F(x));  Неизвестная переменная (например, x). Результатом работы функции root( ) является значение неизвестной переменной x, при котором F(x) становится равной нулю. Функция root( ) рассчитывает значение неизвестной переменной численным методом. При этом алгоритм расчета требует, чтобы неизвестная переменная x перед началом работы уже имела некоторое значение, от которого можно было бы начать поиск действительного корня. Пример работы функции root( ) представлен на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Пример поиска корня функции F(x)

45

В примере (рис. 4.1) функция root( ) после своей работы выдала ответ равный -2.899. Это значение является корнем уравнения и при нем функция F(x) должна равняться нулю. Однако недостатком численных методов является то, что они находят только приближенное, но не точное решение. Так, например, если получившийся на рис. 4.1 ответ подставить в качестве аргумента F(x), то значением функции может быть некоторое маленькое число, но не нуль. Тем не менее, часто в технических расчетах не ставится цель получения идеального решения, поэтому вполне можно довольствоваться лишь приближенным ответом с заданной степенью погрешности. Перед использованием функции root( ) в примере на рис. 4.1 переменной x присваивалась 1. Именно эта цифра была использована как начальное значение для поиска действительного корня функции F(x) равного 2.899. Выбор начального значения неизвестной переменной является крайне важным. Нередко конечный ответ может существенно зависеть от такого выбора. Так, например, функция F(x) на рис. 4.1 в реальности имеет два корня (т.е. имеются два значения переменной x при которых функция F(x) становится равной нулю). Если в качестве начального значения переменной x задать не 1, а 10, то решение функции будет иным (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Пример поиска корня функции F(x) Из примеров на рис. 4.1 и 4.2 следует, что даже если существует несколько решений задачи, функция root( ) выдаст только один единственный корень – тот, который будет найден первым. Иногда случается так, что даже при условии существования действительного корня, при некоторых начальных значениях неизвестной переменной функция root( ) не сможет дать ответа (рис. 4.3).

(а)

(б)

Рис. 4.3. Пример поиска корня функции F(x) при разных начальных значениях переменной x 46

В примере на рис. 4.3 а решение было найдено при начальном значении неизвестной переменной a равной 1. Однако если перед root( ) переменной a присвоить число 0, то при вычислении функции MathCAD выдаст ошибку (рис. 4.3 б). Это связано с тем, что заданная функция D(a) при нулевом значении неизвестной переменной не существует (нельзя рассчитать log от нуля). Ответ, выдаваемый функцией root( ), не всегда лежать в области реальных чисел. Если при некотором начальном значении неизвестной переменной функции root( ) не удалось отыскать решения среди действительных чисел, она попытается найти его среди комплексных. Так в примере на рис. 4.4 функция y(x) вообще не имеет действительного корня. Однако функция root( ) смогла найти ответ в комплексной плоскости.

Рис. 4.4. Пример поиска корня функции y(x) среди комплексных чисел Из вышесказанного можно сделать вывод, что для получения адекватного решения перед использованием функции root( ) полезно знать хотя бы его ориентировочное значение. Именно этим значением следует задаваться как начальным при поиске корня функции. Если ориентировочного значения нет, то следует указать хотя бы примерным диапазоном, в котором должен лежат корень функции. Диапазон поиска можно задать при помощи установки минимального и максимального значения неизвестной переменной в качестве третьего и четвертого аргументов функции root( ). При таком поиске решения начальным значением неизвестной переменной можно не задаваться. Примеры расчета корней функции в разных диапазонах поиска представлены на рис. 4.5.

(а)

(б)

Рис. 4.5. Примеры поиска корней функции F(x) в разных диапазонах неизвестной переменной x В примерах на рис 4.5 функция F(x) имеет два корня. В первом случае (рис 4.5 а) поиск корней проводился в диапазоне от 0 до 10, во втором (рис. рис 4.5 б) – от -10 до 0. 47

Если корень функции ищется при установленном диапазоне поиска, то надо быть уверенным, что решение действительно существует в заданном диапазоне. Для этого MathCAD перед началом расчета проверяет, чтобы функция при крайних значениях диапазона имела разные знаки (рис. 4.6).

(а)

(б)

Рис. 4.6. Поиск корней функции F(x) в различных диапазонах неизвестной переменной x В примере на рис. 4.6 а указан диапазон поиска корня функции F(x) от 0 до 10. Данная функция имеет на границах диапазона разные знаки (отрицательная при 0 и положительная при 10). В случае, представленном на рис. 4.6 б, был взят диапазон поиска от 7 до 15. Однако функция F(x) при этих числах имеет один и тот же знак (положительный), поэтому MathCAD выдал сообщение об ошибке. Такая проверка диапазона дает уверенность в том, что функция, корень которой ищется, где-то в заданных границах меняет свой знак и поэтому хотя бы при одном значении неизвестной переменной равняется нулю. Из всего вышесказанного, можно сделать вывод, что перед использованием стандартной функции root( ) следует задать либо ориентировочное значение корня уравнения, либо нужно указать диапазон, в котором этот корень находится. Поэтому функция root() используется скорее для уточнения значения неизвестной переменной, нежели для нахождения решения. Для примерной оценки корня функции или диапазона, в котором он может существовать, следует ее изучить и ориентировочно определить все существующие решения. Такая процедура называется отделением корней функции. Наиболее результативным способом отделения корней является построение графика функции, с целью нахождения значения неизвестной переменной, при котором исследуемая функция пересекает ось X (т.е. принимает нулевое значение). На рис. 4.7 представлен график некоторой функции F(x) построенный в диапазоне независимой переменной от -10 до 10. 48

Рис. 4.7. График функции F(x) в диапазоне x от -10 до 10 По кривой, представленной на рис. 4.7, видно, что функция F(x) пересекает нулевое значение дважды, однако по данному виду графика сложно оценить, где точно это происходит. Форма графика, изображенная на рис. 4.7, вставляется в документ по умолчанию. В ней кривая функции строится в прямоугольном поле, но сами оси X и Y как пересекающиеся линии не отображаются. Для более точного отделения корней подобный график неудобен, так как визуально сложно оценить точки пересечения кривой с осью X. Математический пакет MathCAD позволяет изменить внешний вид любого графика в окне его свойств. Для вызова данного окна следует выполнить двойное нажатие левой кнопки мыши на изменяемый график. Внимание! Двойное нажатие левой кнопки мыши нужно осуществлять непосредственно в область графика, но не на его оси. В противном случае на экране появится окно настройки только одной оси. Окно настройки графика можно вызвать также при помощи пункта Format (Формат) всплывающего меню, вызываемого нажатием правой кнопки мыши в область графика. Окно настройки позволяет нанести сетку на построенный график, скорректировать числовые значения на осях, скорректировать толщину, цвет и тип построенных кривых линий и т.п. Для отображения осей X и Y как двух пересекающихся в точке (0,0) линий требуется на первой вкладке окна X-Y Aces (Оси X-Y) переставить Axis Style (Вид осей) с Boxed (Прямоугольные) на Crossed (Пересекающиеся). После нажатия кнопки ОК и выхода из окна настройки график изменит свой вид (рис. 4.8).

49

Рис. 4.8. График функции F(x) в диапазоне x от -10 до 10 На графике, представленном на рис. 4.8, намного легче оценить точки пересечения кривой с осью X. По нему видно, что первый корень уравнения лежит в диапазоне от -5 до 0. Для более точного расчета следует воспользоваться стандартной функции root( ) с начальным значением неизвестной переменной равным -3. Второй корень уравнения располагается в диапазоне от 5 до 10, а в качестве начальной оценки переменной x можно задаться числом 7. Отделить корни функции друг от друга и графически оценить их ориентировочные значения с первого раза не всегда удается. Очень часто требуется время, чтобы найти такой диапазон построения графика, на котором четко видны корни исследуемой функции. Пример, неудачного графика функции представлен на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Пример неудачного графика функции F(x) 50

Несмотря на то, что функция на рис. 4.9. в диапазоне от -10 до 10 имеет нулевое значение, пересечения кривой с осью X не видно. Поэтому для данного графика потребуется изменить ранжированную переменную таким образом, чтобы требуемое пересечение проглядывалось более четко (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Пример построения графика в более мелком масштабе График, показанный на рис. 4.10, имеет более узкий диапазон независимой переменной x, что позволяет более точно оценить корень функции F(x). При построении графика функции всегда следует указывать такой шаг ранжированной переменной, чтобы кривая выглядела гладкой. При слишком большом шаге кривая будет иметь мало точек для построения, и график функции будет выглядеть как ломаная линия. Это может негативно повлиять на корректность сделанных выводов. Иногда корни уравнения не видны на графике, так как они не вошли в указанный диапазон построения (рис 4.11).

Рис. 4.11. Пример неудачного графика функции F(t) 51

В таких случаях требуется «проследить» за кривой функции в ту сторону, в которую она приближается к нулевому значению. Так для графика, представленного на рис 4.11, следует задать ранжированную переменную t как диапазон от 10 и выше (например, до 120) (рис. 4.12).

Рис. 4.12. Пример поиска корня функции F(t) Во всех вышеприведенных примерах представлены различные варианты поиска корней функций. Однако все эти функции имели только один аргумент, что не является обязательным условием. Функция может иметь два и более аргумента, но неизвестным среди них должен быть только один. Значения остальных переменных на момент работы стандартной функции root( ) или построения графика должны быть заданы (рис. 4.13).

Рис. 4.13. Пример поиска корня функции G(x,y,z) При решении задач с применением стандартной функции root( ) следует помнить, что ее можно использовать не только как самостоятельную команду, но и как функцию, входящую в состав любого другого выражения (т.е. как вложенную функцию). Например, при построении графика зависимости температуры кипения от давления для жидкой смеси, состоящей из воды и метанола (в мольном соотношении 1:1), можно воспользоваться функцией root() следующим образом (рис. 4.14).

52

Рис. 4.14. График зависимости температуры кипения жидкой смеси метанол-вода (с мольным соотношением 1:1) от давления В данном примере (рис. 4.14) функции P1(t) и P2(t) являются соответственно уравнениями Антуана для воды и метанола. Функция PСМ(t) представляет собой функцию давления, при котором жидкая смесь начнет кипеть, если она имеет некоторую температуру t. Так как нужно было решить обратную задачу (т.е. задаваясь давлением, требовалось найти температуру), то потребовалось создать вспомогательную функцию D(t,P), которая становится равной нулю в том случае, если при заданном давлении P значение переменной t становится равной температуре кипения жидкой смеси (т.е. такое значение переменной t при котором функции PСМ(t) становится равной давлению P). Поиск значения неизвестной температуры t производится при помощи функции root( ). В данном примере root( ) входит в состав некоторой функции tСМ(P), которая при любом заданном давлении P позволяет рассчитать температуру кипения жидкой смеси. 53

Задание № 4.2. Решение уравнений с одним неизвестным 1. Для следующих уравнений требуется графически оценить их решения и уточнить значения неизвестных переменных при помощи стандартной функции root( ):

2. Жидкость по трубе самотеком перетекает из одной емкости в другую только за счет разности давлений в них. Давление в приемной емкости равно атмосферному. При помощи функции root( ) требуется вычислить скорости течения жидкости в трубе w, м/с при избыточных давлениях в первой емкости P1 равных: 0,5 кгс/см2, 1 кгс/см2 и 1,5 кгс/см2. Уравнения для расчета скорости потока жидкости:  Разность давлений P   g hТР ;  Потери на трение: hТР  

l w2 ; d 2 g

 Коэффициент трения:  

0.316 Re0.25

;

54

 Число Рейнольдса: Re 

wd  



.

где ΔP – разница давлений в емкостях, Па; l – длина трубопровода (l = 100 м), d – внутренний диаметр трубопровода (d = 0.05 м), µ – вязкость жидкости (µ = 10-3 Па·с); ρ – плотность жидкости (ρ = 1000 кг/м3), g – ускорение свободного падения (g = 9.81 м/с2). 3. Требуется построить на одном графике несколько зависимостей температур кипения жидкости от давления для смеси метанол-вода при различных концентрациях (табл. 4.1). Таблица 4.1. Концентрации метанола (x1) и воды (x2), мол.дол. № смеси 1 2 3

x1

x2

0,1 0,4 0,8

0,9 0,6 0,2

Уравнения для расчета температуры кипения смеси заданного состава:

3626.55 3816.44     P1  exp18.5875 P2  exp18.3036 ; ; t  46.13  273.15  t  34.29  273.15   PСМ  P1  x1  P2  x2 , где t – температура, 0С; P1 и P2 – давления, рассчитанные по уравнению Антуана, для метанола и воды, мм.рт.ст; PСМ – давление, при котором смесь закипит, если имеет температуру t. Для выполнения данного задания рекомендуется PСМ задать как функцию не только температуры, но и составов x1 и x2. В этом случае все зависимости будут строиться по одной функции, только при подстановке их в форму графика вместо x1 и x2 потребуется задать конкретные величины концентраций. Контрольные вопросы к защите лабораторной работы: 1. Различие аналитического и численного способов решения уравнений. 2. Как преобразовать задачу поиска значения неизвестной переменной в задачу нахождения корня. 3. Стандартная функция root( ) и ее аргументы. 4. Работа функции root( ) при наличии в уравнении нескольких корней. 5. Как отделить и оценить корни уравнения при помощи графика. 6. Расчет уравнений с несколькими переменными при помощи функции root( ) 7. Использование функции root( ) в составе других функций. 55

Лабораторная работа № 5 Решение систем уравнений Цель работы: Приобрести первоначальные навыки решения систем линейных и нелинейных уравнений в математическом пакете MathCAD. Задание № 5.1. Оформление заголовка лабораторной работы Отчет лабораторной работы должен представлять собой файл документа MathCAD, сохраненный в папке с названием группы. Имя файла должно соответствовать фамилии студента с указанием номера лабораторной работы. Документ MathCAD должен начинаться с выровненного по центру заголовка «Лабораторная работа №» с указанием номера лабораторной работы. Под заголовком указывается название работы. В последующих строках с выравниванием по левому краю документа указываются группа и фамилия студента, выполнившего работу, и фамилия преподавателя, проверявшего отчет. Образец оформления заголовка лабораторной работы представлен ниже:

Лабораторная работа № 5 Решение систем уравнений Выполнил: студент гр. ХТПЭ-02-1 Иванов Иван Иванович Проверил: к.т.н., доцент Семёнов Иван Александрович

   

Требования к форматированию текста: Заголовок «Лабораторная работа» должен быть выполнен утолщенным шрифтом с размером 16 пт; Название лабораторной работы выполняется обычным шрифтом с размером 12 пт; Слова «Выполнил» и «Проверил» выполняются утолщенным шрифтом 10 пт с подчеркиванием; Название группы студента, его фамилия, имя и отчество, а также фамилия и инициалы преподавателя выполняются курсивным шрифтом с размером 10 пт. Во время работы рекомендуется сохранять документ на жесткий диск при помощи команды быстрого сохранения (кнопка инструментов Standard).

панели

56

При решении задач химической технологии время от времени приходится сталкиваться с проблемой поиска значений двух и более неизвестных величин, связанных друг с другом серией уравнений. Иногда решить такие задачи путем обыкновенного последовательного расчета не получается. В этом случае равенства, содержащие неизвестные переменные, формируют между собой систему уравнений. В математическом пакете MathCAD существует целый ряд инструментов, позволяющих решить различные системы уравнений. Поэтому работа пользователя заключается только в составлении этих уравнений в соответствующем виде и применении к ним соответствующих функций, операторов и команд. Простое математическое правило гласит, что систему нельзя решить, если количество уравнений, входящих в ее состав, оказывается меньше числа неизвестных переменных. Поэтому первой задачей должно быть выявление всех уравнений, в состав которых входят неизвестные величины, и по их количеству определение возможности поиска решения. Далее требуется определиться с используемым инструментом MathCAD, выбор которого зависит от вида решаемой системы. В математике принято выделять два вида систем уравнений: линейные и нелинейные. К системам линейных уравнений относятся такие, в которых неизвестные величины не входят в состав каких-либо трансцендентных функций (например, log( ), exp( ), sin( ) и т.п.) или в состав степени того или иного выражения. Все неизвестные переменные в таких системах не имеют своей степени (их степень равна 1), они умножаются только на некоторые постоянные, независящие от них, величины и соединяются друг с другом в уравнения только операциями сложения или разности. Типичным примером системы линейных уравнений могут быть следующие равенства:

1  2  c  a  b  1.8  c  2.5  a  4.8 2.5  c  b  0.5  0.3  b 

(5.1)

Величины a, b и с, входящие в состав системы (5.1), являются неизвестными переменными. Числа, на которые они умножаются, называются их коэффициентами. В математике для более удобного представления систем линейных уравнений были введены понятия матриц, векторов, а также были разработаны все соответствующие действия над ними. MathCAD имеет все основные операторы работы с матрицами и векторами, поэтому для расчета любой системы линейных уравнений пользователю достаточно представить ее в матричном виде и совершить над ней соответствующие действия. 57

Для того чтобы представить любую систему линейных уравнений в матричном виде, следует выполнить над ней следующие преобразования:  Необходимо, представить систему таким образом, чтобы во всех уравнениях встречались неизвестные переменные только один раз. Так в примере (5.1) неизвестная b входит в состав третьего уравнения дважды. Эти повторяющиеся переменные следует сложить друг с другом:

1  2  c  a  b  1.8  c  2.5  a  4.8 2.5  c  1.3  b  0.5 

(5.2)

 Требуется, чтобы в каждое уравнение системы входили все неизвестные величины. Если в уравнении не хватает тех или иных переменных, то их следует добавить, но только умноженными на нуль. Для системы (5.2) данное преобразование будет выглядеть следующим образом:

1  2  c  0  b  a  b  1.8  c  2.5  a  4.8 2.5  c  1.3  b  0  a  0.5 

(5.3)

 Следует перенести все неизвестные переменные с их коэффициентами в левые части уравнений (левее знака равенства), а все остальные величины – в правые. Для системы (5.3) данное действие приведет к следующему виду:

2  c  0  b  a  1  b  1.8  c  2.5  a  4.8 2.5  c  1.3  b  0  a  0.5 

(5.4)

 Требуется переставить неизвестные переменные с их коэффициентами таким образом, чтобы во всех уравнениях они стояли в одном и том же порядке (т.е. находились в системе уравнений друг под другом). Результат подобных перестановок изменит вид системы (5.4) на следующий:

 a  0  b  2  c  1   2.5  a  b  1.8  c  4.8 0  a  1.3  b  2.5  c  0.5 

(5.5)

 Для переменных системы, не имеющих при себе коэффициентов, следует написать коэффициенты равные 1. Если при этом перед не58

известной величиной стоит знак минус, то ее коэффициент соответственно будет равняться -1. Для системы (5.5) данное преобразование приведет к следующему виду:

 1  a  0  b  2  c  1   2.5  a  1  b  1.8  c  4.8 0  a  1.3  b  2.5  c  0.5 

(5.6)

Полученная после всех преобразований система (5.6) в матричном виде будет выглядеть следующим образом:

0 2   a   1   1       1 1.8    b     4.8    2.5  0  1.3 2.5   c   0.5  

(5.7)

Если в выражении (5.7) матрицу и векторы заменить соответствующими переменными, то система уравнений будет выглядеть как:

A X Y ,

(5.8)

0 2   1 a  1        1 1.8  , X   b  и Y    4.8  . где A    2.5  0 c  0.5   1.3 2.5       Квадратная матрица A представляет собой матрицу коэффициентов, располагающихся в том же порядке, как они входят в систему уравнений (5.6). Вектор X является вектором неизвестных величин, идущих в той же последовательности, что и в уравнениях (5.6). Вектор Y является результирующим вектором системы. Достоинством матричных выражений систем линейных уравнений является их компактность в написании и удобство работы с ними. Все величины, входящие в состав матричной формы записи, логически разделены друг от друга. Так в примере (5.7) неизвестные величины отделены от их коэффициентов. Кроме того, выразив матрицы и векторы через переменные (как в примере 5.8) можно оперировать целыми массивами цифр как простыми величинами. Чтобы уметь преобразовывать системы линейных уравнений в соответствующие им матричные виды, следует понимать принцип умножения матриц и векторов друг на друга. Результатом матричного умножения является вектор или матрица, каждый элемент которой рассчитываются как сумма произведений соответствующих ему элементам строк первой матрица на элементы столбцов вто59

рой. Для примера (5.8) произведения матрицы A на вектор X можно представить графически следующим образом (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Графическое изображение произведения матрицы A на вектор X На рис. 5.1 показано, что результирующая матрица Y при произведении формируется на пересечении элементов матрицы A и вектора X. При этом количество строк у нее равно количеству строк матрицы A, а количество столбцов определяется количеством столбцов вектора X. Так как вектор имеет только один столбец, то результирующая матрица Y тоже имеет один столбец и также является вектором. Значения элементов вектора Y формируются из сумм произведений элементов матрицы A и вектора X. При этом элементы строк матрица A умножаются на соответствующие им по номеру элементы вектора X. Так, например, первый элемент вектора Y представляет собой сумму трех произведений: 1. Первого элемента первой строки матрицы A, равного -1, на первый элемент вектора X, равного неизвестное величине a; 2. Второго элемента первой строки матрицы A, равного 0, на второй элемент вектора X, равного неизвестное величине b; 3. Третьего элемента первой строки матрицы A, равного 2, на третий элемент вектора X, равного неизвестное величине c. Точно также формируются второй и третий элементы результирующего вектора Y, с той лишь разницей, что при их формировании используются элементы второй и третьей строк матрицы A. При подобном произведении каждый элемент первой матрицы должен иметь соответствующий ему элемент во второй. Это возможно лишь в том, случае, когда количество столбцов в первой матрице будет равняться количеству строк во второй.

60

Если сравнить элементы полученного вектора Y (рис. 5.1) с системой уравнений (5.6), то можно заменить их идентичность левым частям уравнений. Из этой же системы видно, что элементы вектора Y будут соответственно равны -1, -4.8 и 0.5. При формировании системы линейных уравнений в матричном виде требуется выполнить все вышеприведенные действия в обратном порядке. В результате таких преобразований единая система разобьется на произведение матрицы коэффициентов A и вектор неизвестных величин X (5.7 и 5.8). Чтобы решить систему уравнений (5.8) следует выполнить точно такие же преобразования, что и при расчете обычного уравнения с одним неизвестным. А именно необходимо неизвестную переменную X выразить в явном виде:

X

Y . A

(5.9)

При работе с матрицами оператор деления заменяется матричным произведением следующим образом:

X  A1  Y .

(5.10)

-1

где A – обратная матрица коэффициентов. Обратную матрицу можно рассчитать только в том случае, если определить (детерминант) исходной матрицы не равен нулю. В том случае если определитель имеет нулевое значение, то система уравнений не сможет быть решена. В MathCAD определитель матрицы можно рассчитать при помощи кнопки панели инструментов Matrix (Матрица). Пример расчета детерминанта матрицы A представлен на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Расчет определителя матрицы A На рис. 5.2 видно, что определитель матрицы A не равен нулю, поэтому исходная система уравнений (5.1) имеет одно возможное решение и может быть рассчитана. Для решения системы линейных уравнений в MathCAD необходимо записать ее в соответствующем матричном виде и вычислить при помощи стандартных операторов. На рис. 5.3 представлен пример решения системы (5.1), в ее матричной форме (5.10). 61

Рис. 5.3. Решение системы линейных уравнений Степень матрицы A-1 в примере (рис. 5.3) устанавливается либо с клавиатуры, как обычная степень, либо при помощи кнопки на панели Matrix (Матрица). Кроме того индексы при векторе X представляют собой номера элементов, поэтому они устанавливаются при помощи кнопки . Задание № 5.2. Решение систем линейных уравнений 1. Требуется найти определители матриц коэффициентов и решить в матричной форме следующие системы линейных уравнений:

2.1x - 4.5y - 2.0z  19.07  3.0x  2.5y  4.3z  3.21 - 6.0x  3.5y  2.5z  - 18.25 

3.2x - 1.5y  0.5z  0.90  1.6x  2.5y - 1.0z  1.55 1.0x  4.1y - 1.5z  2.08 

1.5x - 0.2y  0.1z  0.4  - 0.1x  1.5y - 0.1z  0.8 - 0.3x  0.2y - 0.5z  0.2  8.30x  2.62y  4.1z  1.90u  - 10.65 3.92x  8.45y  7.78z  2.46u  12.21   3.77x  7.21y  8.04z  2.28u  15.45 2.21x  3.65y  1.69z  6.99u  - 8.35  0.42y  100.31z  198.7  1.15x  0.32z - 0.25y  1.19x  3.29 - 0.8y 1  0.35y  1.00x  3.00z  0.35  8.64    x  1.71y  5.42 z  10.21    4.25 y  6.39 x  1.84    z  3.41   4.21 x  3.41 z  12.29    7.92 y 

2x  6y - z  - 12  5x - y  2z  29 - 3x - 4y  z  5  2x  y - 0.1z  u  2.7 0.4x  0.5y  4z - 8.5u  21.9   0.3x - y  z  5.2u  - 3.9  x  0.2y  2.5z - u  9.9 26.38  0.15x  -2.11y  30,75z   2.05z  0.64x  1.01 - 1.21y  0.53y  1.04z  5.23 - 3.21x - y 

где α = 0.5, β = 0.2. 62

2. В матричной форме требуется рассчитать материальный баланс ректификационной колонны и определить расходы потоков F2, R1, R2 и W. Материальный баланс может быть описан следующей системой линейных уравнений:

 F1  F2  D  R1  R2  W 0.3F  0.25F  0.92 D  0.06 R  0.06 R  0.02W 1 2 1 2  0.2 F1  0.25F2  0.03D  0.8 R1  0.07 R2  0.03W 0.3F  0.25F  0.03D  0.07 R  0.8 R  0.03W 1 2 1 2  0.2 F1  0.25F2  0.02 D  0.07 R1  0.07 R2  0.92W где F1 = 2 т/ч; D=1 т/ч. В данной системе уравнений больше, чем неизвестных переменных, поэтому одно уравнение можно не использовать в расчете. Перед началом расчета рекомендуется проверить определитель матрицы коэффициентов на возможность получения решения системы. Для решения систем нелинейных уравнений существует много методов. Большая часть из них связана с выполнением различных аналитических преобразований. Такие преобразования трудно реализовываются на ЭВМ, поэтому требуемые решения в математических пакетах получаются численными методами, например, методом Ньютона–Раффсона. В MathCAD любые типы систем уравнений можно вычислить численным методом при помощи стандартного блока Given … Find( ). Для работы с блоком требуется в документе выполнить следующие действия: 1. Присвоить неизвестным переменным системы некоторые начальные значения. Эти значения будут использованы алгоритмом в качестве опорных точек при поиске истинного решения; 2. Ввести ключевое слово начала блока Given; 3. Ввести все уравнения системы. При вводе уравнений оператор равенства вставляется в документ только при помощи кнопки панели инструментов Boolean (Булевы операторы). Кроме уравнений блок Given … Find( ) может включать в свой состав также неравенства, определяющие те или иные условий расчета. Знаки неравенства устанавливаются при помощи кнопок панели инструментов Boolean (Булевы операторы). 4. Закрыть блок системы уравнений вводом стандартной функции Find( ) и с ее помощью вычислить значения неизвестных переменных. Для каждого ключевого слова Given и соответствующего ему блока уравнений стандартная функция Find( ) используется только один раз. Повторное выполнение функции приведет к появлению ошибки. 63

В качестве аргументов стандартной функции Find( ) перечисляются все неизвестные переменные системы. Полученный ответ выдается в виде вектор значений переменных, при которых система решается. При этом порядок элементов в векторе соответствует порядку неизвестных величин, перечисленных в качестве аргументов функции Find( ). Пример решения системы нелинейных уравнений представлен на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Пример расчета системы нелинейных уравнений В примере, представленном на рис. 5.4, система состоит из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными. Каждое из этих уравнений может быть представлено на графике как некоторая зависимость переменой y от x. Решением системы в этом случае будет точка пересечений двух линий (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Графическое решение системы уравнений На рис. 5.5 видно, что на самом деле система имеет решение в двух точках. Однако функция Find( ) выдает только один ответ, который удалось 64

найти первым. Если для решения той же самой системы уравнений (рис. 5.4) задаться другими начальным значениями неизвестных переменных x и y, то ответ может быть иным (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Пример расчета системы нелинейных уравнений К выбору начальных значений неизвестных переменных следует относиться ответственно. Из вышеприведенных примеров видно, что от этого выбора могут существенно зависеть полученные результаты. Также, следует учитывать, что при некоторых начальных значениях решение системы может быть вообще не найдено даже при условии его реального существования (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Появление ошибки при решении системы уравнений В примере (рис. 5.7) неизвестной x присвоено начальное значение равное 0. Однако при таком значении x первое уравнение системы не может быть вычислено, так как для этого потребуется рассчитать log(-2) (логарифм от отрицательного числа не существует). В состав уравнений блока Given … Find( ) могут входить различные функции, а также переменные, не являющиеся неизвестными величинами. Если значения переменных не требуется искать в ходе расчета системы, то их не следует включать в список аргументов функции Find( ). Однако такие 65

переменные, как и используемые в системе уравнений функции, должны быть определены в документе MathCAD до использования ключевого слова Given. Пример расчета подобной системы, представлен на рис. 5.8.

Рис. 5.8. Пример решения системы нелинейных уравнений На рис. 5.8 переменные a и b не являются неизвестными величинами, поэтому они не включаются в список аргументов функции Find( ). В ходе расчета системы уравнений переменные a и b имели те значения, которые им были присвоены до ключевого слова Given. Функция Find( ) может выполняться не только как самостоятельная команда, но и входить в состав других функций. В этом случае вся система уравнений может решаться в документе MathCAD неоднократно, а в ее состав могут быть включены переменные, способные изменяться свои значения от расчета к расчету. Создание таких функций, содержащих в себе целые системы уравнений, очень удобно использовать при построении графиков. На рис. 5.9 представлен пример отображения зависимостей неизвестных переменных x и y, связанных между собой системой нелинейных уравнений, от некоторой переменной b.

Рис. 5.9. Построение зависимостей x и y от b 66

Рис. 5.9. Построение зависимостей x и y от b (продолжение) На рис. 5.9 приведена система нелинейных уравнений, содержащая переменную величину b. Функция Find( ) в данном примере входит в состав некоторой функции D(b), которая дает решение системы в виде вектора зависящего от значения аргумента b. Первым элементом в данном векторе является неизвестная величина x, вторым – y. Так как аргументом функции D(b) являлась ранжированная переменная, то система уравнений была решена для всех значений числового ряда b. Результаты расчетов выводились в виде графиков. Первый график (зависимость D(b)0 от b) являлся зависимостью неизвестной величин x от b, второй – зависимостью y от b. Задание № 5.3. Решение систем нелинейных уравнений 1. Требуется решить следующие системы уравнений:

2x 3 - y 2 - 1  0  3  xy - y - 4  0

cos(0.4y  x 2 )  x 2  y 2 - 1.6  0  1.5x 2 - (y 2 /0.36) - 1  0

x2  y 2  z 2  1  2 2 2x  y - 4z  0  2 2 3x - 4y  z  0

 x  lg(y/z)  1  2 2  y  0.4  z - 2x  z  2  xy/20  2

2. Жидкость из питающей емкости с давлением P1=0,5 кгс/см нагнетается насосом в трубопровод длиной L1=14 м и диаметром d=0.05 м. На линии трубопровода имеются местные сопротивление с суммарным коэффициентом  1 =15. Пройдя трубопровод, нагнетаемая жидкость разделяется на два потока. Первый потока через трубопровод длиной L2=15 м, диаметром d=0.05 м и местными сопротивлениями

 2 =5 нагнетается в приемную емкость, находящуюся под давлени2

ем P2=2.5 кгс/см и установленную на высоте H2=3 м. Второй поток через трубу с L3=12 м, d=0.05 и  3 =7, подается на высоту H3=5 м в 67

емкость с давлением P3=2.3 кгс/см2. Требуется рассчитать скорости потоков в трех трубопроводах (w1, w2 и w3), а также пьезометрический напор в узловой точке (h0), если напор насоса НН равен 30 м. Система трубопроводов описывается следующими уравнениями:

 h0  P1  g  Н Н  h1  H  P g  h  h  2 2 0 2   H 3  P3  g  h0  h3  w1  w2  w3 где h1, h2 и h3 – потери напора в трубопроводах, м; ρ – плотность жидко3 2 сти (ρ = 1000 кг/м ), g – ускорение свободного падения (g = 9.81 м/с ). Потери напора в трубопроводах (h1, h2 и h3) зависят от скоростей движения жидкости в них (w1, w2 и w3) и рассчитываются по следующим уравнениям: 2  L w  Потери напора в трубопроводе: h       ;  d  2g 0.316  Коэффициент трения:   ; Re0.25 wd    Число Рейнольдса: Re  .



-3

где µ – вязкость жидкости (µ = 10 Па·с). При выполнении данного задания рекомендуется потери h1, h2 и h3

задать как функции от соответствующих скоростей (w1, w2 и w3) и отличающиеся друг от друга только длинами трубопроводов L и коэффициентами сопротивления  . 3. Для вышеприведенной системы уравнений на одной диаграмме требуется построить графики зависимостей скорости жидкости в трубопроводах (w1, w2 и w3) от напора насоса НН. Диапазон построения графиков выбрать самостоятельно. Контрольные вопросы к защите лабораторной работы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Определение линейных и нелинейных систем уравнений. Как преобразовать систему линейных уравнений в ее матричный вид? Правило умножения матриц и векторов. Как рассчитать систему линейных уравнений в MathCAD? Назначение блока Given .. Find( ). Аргументы функции Find( ). Как задаются равенства и неравенства в блоке Given … Find( )? Как рассчитать систему уравнений при помощи блока Given … Find( )? Использование функции Find( ) в составе других функций. 68

Заключение В данном методическом указании к выполнению лабораторных работ даются базовые знания и навыки работы в математическом пакете MathCAD применительно к задачам химической технологии. Весь материал и практические задания разбиты на пять лабораторных работ. Первая лабораторная работа ставит своей целью познакомить студентов с интерфейсом математического пакета MathCAD и дать первоначальные навыки работы в нем на примере расчета математических выражений. Выполнение второй лабораторной работа дает представление студентам об особенностях использования переменных и функций в MathCAD. Третья лабораторная работа знакомит студентов с основными инструментами построения графиков функций и табличных данных. Четвертая лабораторная работа дает студентам первоначальные знания и навыки решения уравнений с одним неизвестным при помощи численных методов. Пятая лабораторная работа ставит целью познакомить студентов с основными методами решения систем линейных и нелинейных уравнений. Объем теоретического и практического материала, данный в рамках лабораторных занятий, является достаточным для формирования у студентов прочных базовых знаний и навыков работы в математическом пакете MathCAD. Полученные умения могут быть успешно использованы при решении задач таких дисциплин как «Процессы и аппараты химической технологии», «Общая химическая технология», «Системы управления химикотехнологическими процессами», «Основы научных исследований» и т.п. Кроме того MathCAD может быть полезен при выполнении студентами своих выпускных квалификационных работ. Для более углубленного изучения математического пакета MathCAD и дальнейшего совершенствования навыков работы в нем студентам предлагается самостоятельно освоить материалы книг и учебников, приведенных в списке рекомендуемой литературы.

69

Список рекомендуемой литературы 1. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в MathCAD. Учебный курс. – СПб.: Питер, 2003. – 448 с. 2. Очков В.Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров. – СПб.: БХВПетербург, 2009.– 512 с. 3. Кирьянов Д.В.Самоучитель MathCAD 12.– СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 576 с. 4. Ликучев В.Г. Применение ЭВМ в химической технологии. Учебное пособие. – Ангарск: АГТА, 2002. – 96 с. 5. Ульянов Б.А., Бадеников В.Я., Ликучев В.Г. Процессы и аппараты химической технологии. Учебное пособие – Ангарск: Изд-во АГТА, 2005.– 903. 6. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб.пособие для студ. втузов.– М.: Дрофа, 2003. – 224 с.

70