Моделирование применительно к газовым плавильным агрегатам литейного производства: Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А.А. Черный МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ГАЗОВЫМ ПЛАВИЛЬНЫМ АГРЕГАТАМ ЛИТЕЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА Учебное пособие

Пенза 2008

УДК 669.621.74

Р е ц е н з е н т ы: Научный совет Пензенского научного центра; главный металлург ОАО «Пензадизельмаш» А.С. Белоусов Черный А.А. Моделирование применительно к газовым плавильным агрегатам литейного производства: учебное пособие / А.А. Черный. – Пенза: Пензенский государственный университет, 2008. – 32с. Изложены новая методика математического моделирования, особенности выявления математических моделей. Приводятся планы проведения экспериментов, программы. Учебное пособие разработано применительно к учебному процессу по кафедре «Машины и технология литейного производства». Оно может быть использовано при изучении курсов «Принципы инженерного творчества», «Печи литейных цехов», «Математическое моделирование в литейном производстве», а также при выполнении курсовых и научноисследовательских работ. В пособии использованы оригинальные разработки автора, являющиеся его интеллектуальной собственностью.

© Черный А.А., 2008 2

ВВЕДЕНИЕ Цель работы являлось создание эффективной методики математического моделирования высокотемпературных газовых шахтных плавильных агрегатов. В процессе работы выявилась эффективная методика математического моделирования применительно к газовым плавильным агрегатам литейного производства. В результате теоретических исследований и экспериментальной проверки разработана новая методика математического моделирования на основе планирования экспериментов. Основные преимущества новой методики математического моделирования – возможность выявления точных математических моделей сложных чугуноплавильных процессов, минимальные затраты на моделирование, универсальность методики планирования. На основе моделирования усовершенствованы газовые вагранки, которые позволяют снижать себестоимость литья, повышать качество отливок, улучшать экологические условия при плавке чугуна. Новая методика математического моделирования может применяться при разработке изобретений в литейном производстве, оптимизации, прогнозировании, улучшения процессов.

3

НОВАЯ МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ При математическом моделировании должны достигаться универсальность, большая точность, быстрый переход с одной задачи на другую. По результатам теоретических исследований разработана новая методика математического моделирования применительно к газовым плавильным агрегатам литейного производства. Для нелинейного математического моделирования процессов при ортогональном планировании однофакторных и многофакторных экспериментов на трех уровнях независимых переменных предложено универсальное уравнение регрессии, в общем виде представляющее трехчлен y = b'о·xo+bmn ·xmn+bmг·xmг ,

(1)

в котором y – зависимая переменная, показатель (параметр ) процесса; xo= +1; xmn = xnm + vm ;

xmr = xrm + am· xnm + cm ;

m – порядковый номер фактора; xm – m –й фактор (независимая переменная); n, r – изменение числа показателей степени факторов в уравнении регрессии; vm , am , cm – коэффициенты ортогонализации; b'o , bmn , bmr – коэффициенты регрессии. Для каждой величины m-го фактора xma , xmb , xme определяются соответственно параметры ya , yb , ye . В табл. 1 представлена матрица планирования однофакторных экспериментов на трех уровнях независимых переменных. Таблица 1 Матрица планирования однофакторных экспериментов на трех уровнях независимых переменных №, u 1 2 3

Уровни факторов a b e

хо

хmn

хmr

yu

+1 +1 +1

xmn,1 = xmna xmn,2 = xmnb xmn,3 = xmre

xmr,1 = xmra xmr,2 = xmrb xmr,3 = xmre

y1 = ya y2 = yb y3 = ye

4

В матрице планирования экспериментов (табл. 1) xmna = xnma + vm ; xmnb = xnmb + vm ; xmne = xnme + vm ; xmra = xrma + am· xnma + cm; xmrb = xrmb + am· xnmb + cm; xmre = xrme + am· xnme + cm. Для сокращения дальнейших записей введены следующие обозначения средних арифметических величин: 1 n x nm = x mf + x nmd + x nme ; N 1 r x mf + x rmd + x rme ; x nm = N 1 2n x 2mn = x mf + x 2mdn + x 2men ; N 1 n+r x nm+ r = x mf + x nmd+ r + x nme+ r ; N Ортогональность матрицы планирования (табл. 1) обеспечивается в том случае, если x mna + x mnb + x mne = 0 , x mra + x mrb + x mre = 0 , x mna ⋅ x mra + x mnb ⋅ x mrb + x mne ⋅ x mre = 0 . После подстановки в уравнения системы значений слагаемых и сомножителей, замены получаемых сумм средними арифметическими величинами и сокращения одинаковых величин получается система из трех уравнений, по которой определяются три коэффициента ортогонализации

(

)

(

)

(

)

(

)

v m = − x nm ;

am =

(2)

x nm ⋅ x rm − x nm+ r x 2mn

(

−

( ) x nm

2

c m = − x rm + a m ⋅ x nm

;

)

(3)

;

(4)

Подстановка в уравнение (1) и в матрицу планирования (табл.1) рассчитанных по формулам (2) – (4) величин коэффициентов ортогонализации обеспечивает ортогональность планирования экспериментов на трех уровнях факторов. В связи с ортогональным планированием коэффициенты регрессии уравнения (1) и дисперсии в определении коэффициентов регрессии рассчитываются независимо друг от друга по формулам

5

N

b 'o

∑ x o ,u ⋅ y u

= u =1 N

∑ x o2,u

=

1 N 1 ⋅ ∑ y u = ⋅ (y a + y b + y e ) ; N u =1 N

u =1 N

b mn =

∑ x mn,u ⋅ y u

u =1

N

∑

u =1

x 2mn ,u

(

)

= (x mna ⋅ y a + x mnb ⋅ y b + x mne ⋅ y e ) / x 2mna + x 2mnb + x 2mne ;

N

∑ x mr,u ⋅ y u

b mr = u =1 N

∑ x 2mr,u

(

= (x mra ⋅ y a + x mrb ⋅ y b + x mre ⋅ y e ) / x 2mra + x 2mrb + x 2mre

)

;

u =1

{ }

1 2 ⋅ s {y}; N s 2 {b mn } = s 2 {y} / x 2mna + x 2mnb + x 2mne ;

s 2 b '0 =

s 2 {b mr } = s 2

( {y} / (x

2 mra

)

)

+ x 2mrb + x 2mre ;

где s2{y} - дисперсия опытов s2{b’0}, s2{bmn}, s2{bmr} - дисперсии в определении соответствующих коэффициентов регрессии b 'o , bmn , bmr . Важной особенностью уравнения регрессии (1) и матрицы планирования (табл.1) является их универсальность в связи с возможностью изменения чисел показателей степени факторов и перехода в частных случаях к планированию на двух уровнях факторов. Так как при количестве факторов k ≥ 3 полный факторный эксперимент усложняется, то рационально выявлять многофакторные математические модели и производить оптимизацию сложных процессов по системам сравнительно простых уравнений на основе полинома (1). Для этих случаев матрица планирования эксперементов представлена в табл.2. План 2 ⋅ k + 1 можно рассматривать как выборку из плана полного факторного эксперимента на трех уровнях независимых переменных 3k.

6

Таблица 2 План проведения многофакторных экспериментов №, u 1 2 3 4 5 6 … 2·k-1 2·k 2·k+1

х1 х1f x1g x1p x1p x1p x1p … x1p x1p x1p

х2 x2p x2p x2f x2g x2p x2p … x2p x2p x2p

План 2·k+1 х3 x3p x3p x3p x3p x3f x3g … x3p x3p x3p

… … … … … … … … … … …

хк xkp xkp xkp xkp xkp xkp … xkf xkg xkp

yu y1 y2 y3 y4 y5 y6 … y2·k-1 y2·k y2·k+1

Обозначение 2·k+1 указывает на количество опытов в матрице планирования. Данные плана 2·k+1 графически представляет систему кривых, имеющих одну общую точку с координатами, соответствующими данным номера опыта 2·k+1. Коэффициенты регрессии в соответствии с планом 2·k+1 (табл. 2) рассчитывается по формулам: 1 b '0 = (y 2 m −1 + y 2 m + y 2 k +1 ) ; 3 b mn = (x mnf ⋅ y 2 m −1 + x mng ⋅ y 2 m + x mnp ⋅ y 2 k +1 ) / x 2mnf + x 2mng + x 2mnp ; b mr = (x mrf ⋅ y 2 m −1 + x mrg ⋅ y 2 m + x mrp ⋅ y 2 k +1

( ) / (x

2 mrf

)

)

+ x 2mrg + x 2mrp ;

где x mnf = x nmf + v m ;

x mng = x nmg + v m ;

x mnp = x nmp + v m ;

x mrf = x rmf + a m ⋅ x nmf + c m ; x mrg = x rmg + a m ⋅ x nmg + c m ; x mrp = x rmp + a m ⋅ x nmp + c m ; m – порядковый номер фактора; k – количество факторов. Математическая модель процесса при планировании типа 2·k+1 (табл.2) рационально представлять в виде трех систем уравнений, позволяющих анализировать процесс в области уровнeй e, b, a. Поэтому матрица планирования эксперементов 2·k+1 и соответствующая ей система уравнений могут иметь три варианта:

7

первый вариант, когда x1f = x1a , x2f = x2a , x3f = x3a , … , xkf = xka , x1g = x1b , x2g = x2b , x3g = x3b , … , xkg = xkb , x1p = x1e , x2p = x2e , x3p = x3e , ... , xkp = xke ; второй вариант, когда x1f = x1a , x2f = x2a , x3f = x3a , … , xkf = xka , x1g = x1e , x2g = x2e , x3g = x3e , … , xkg = xke , x1p = x1b , x2p = x2b , x3p = x3b , … , xkp = xkb , третий вариант, когда x1f = x1b , x2f = x2b , x3f = x3b , … , xkf = xkb , x1g = x1e , x2g = x2e , x3g = x3e , … , xkg = xke , x1p = x1a , x2p = x2a , x3p = x3a , … , xkp = xka. Дисперсии в определении коэффициентов регрессии для трех вариантов плана 2·k+1 рассчитываются по формулам: 1 s 2 b 'o = ⋅ s 2 {y}; 3 2 2 2 2 s {b mn } = s {y} / x mnf + x mng + x 2mnp = s 2 {y} / x 2mna + x 2mnb + x 2mne ;

{ }

( {y} (x

)

)

(

(

)

)

2 2 2 2 2 2 2 s 2 {b mr } = s 2 mrf + x mrg + x mrp = s {y} x mra + x mrb + x mre , ; где s2 {y } - дисперсия опытов. Коэффициенты ортогонации vm, am, cm определяются для каждого порядкового номера фактора m так, как это делается для уравнения (1), т.е. по формулам (2) – (4). В каждом варианте плана количество опытов равно 2·k + 1. Количество вариантов планов – выборок рационально принимать равным количеству уравнений независимых переменных. Для каждого варианта плана 2·k + 1 математическая модель выражается в виде системы, количество уровней которой равно количеству факторов. Количество систем уравнений равно количеству вариантов планов – выборок. Математические модели процессов сначала следует выявлять при показателях степени факторов n = 1, r = 2, а если при этом математические модули не обеспечивают требуемой точности, то показатели степени факторов необходимо изменять, добиваясь требуемой точности. Применяя дифференцирование функций системы или графические построения, можно найти максимумы или минимумы этих функций, что позволяет по экстремумам выявлять оптимум многофакторного процесса или выполнять дополнительные эксперименты, принимая экстремум функций за уровни и выбирая более близкие к экстремумам уровни a, b. В конечном итоге можно достичь однозначной экстремальной (оптимальной) величины показателя процесса в зависимости от всех влияющих факторов. Этот способ математического моделирования и оптимизации многофакторных процессов менее трудоемок по сравнению с полным факторным экспериментом, так как при k ≥ 3 получается 3·(2·k + 1) <3k. Эффективность планирования 2·k + 1 возрастает по мере увеличения количества факторов, влияющих на показатель процесса.

8

В табл. 3 представлены планы проведения двухфакторных экспериментов 32 и 22. Таблица 3 Планы проведения двухфакторных экспериментов 32, 22 План

22 32

№, u 1 2 3 4 5 6 7 8 9

х1

х2

yu

x1,1 = x1a x1,2 = x1b x1,3 = x1a x1,4 = x1b x1,5 = x1a x1,6 = x1b x1,7 = x1e x1,8 = x1e x1,9 = x1e

x2,1 = x2a x2,2 = x2a x2,3 = x2b x2,4 = x2b x2,5 = x2e x2,6 = x2e x2,7 = x2a x2,8 = x2b x2,9 = x2e

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

Для плана 32 уравнение регрессии определяется исходя из следующей зависимости: y = a′0 + a1n · xn + a1r · x1r , где a΄0 = c΄0 · x0 + c2n · x2n +c2r · x2r , a1n = d'0 + d2n · x2n + d2r · x2r , a1r = e'0 + e2n · x2n + e2r · x2r , После подстановки, перемножений и замены коэффициентов получается следующий полином для плана 32 (табл.3): y = b'0·x0+b1n·x1n+b2n·x2n+b1n,2n·x1n·x2n+b1r·x1r+b2r·x2r+b1n,2r·x1n·x2r+ +b2n,1r·x2n·x1r+b1r,2r·x1r·x2r , (5) где y – зависимая переменная, показатель (параметр) процесса; x0 = +1; x1n = xn1+v1; x1r = xr1 + a1 · xn1 +c1; х2r = xr2 + a2·xn2 + c2 ; x1 , x2 – 1, 2-й факторы (независимые переменные); n , r – изменяемые числа показателей степени факторов в уравнении регрессии; v1 , a1 , c1 – коэффициенты ортогонализации, определяемые при m=1, N=3 по формулам (2) – (4); v2 , a2 , c2 – коэффициенты ортогонализации, определяемые при m=2, N=3 по формулам (2) – (4); b'0 , b1n , b2n , b1n,2n , b1r , b2r , b1r,2r , b2n,1r , b1r,2r – коэффициенты регрессии. Для уровней a , b ,e факторы имеют следующее обозначение: x1a , x1b , x1e , x2a , x2b , x2e. Формулы для расчета коэффициентов регрессии уравнения (5) имеют следующий вид:

9

N

b 'o =

∑ x o,u ⋅ y u

u =1

N

∑

u =1

N

N

=

∑ yu

u =1

N

x o2,u

b 1n =

,

∑ x 1n ,u ⋅ y u

u =1

∑

u =1

N

b 2n =

b 1n , 2 n =

,

N

∑ x 22 n ,u

∑ x 1n ,u ⋅ x 2 n ,u ⋅ y u

u =1 N

u =1

N

∑ x 1r ,u ⋅ y u N

∑

u =1

∑ (x 1n ,u ⋅ x 2 n ,u )

, 2

u =1

N

b 1r =

x 12n , u

N

∑ x 2n ,u ⋅ y u

u =1

u =1

,

N

b 2r =

, x 12r , u

∑ x 2 r ,u ⋅ y u

u =1

N

∑

u =1

, x 22 r , u

N

b 1n , 2 r =

∑ x 1n ,u ⋅ x 2 r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 1n ,u ⋅ x 2 r ,u )

, 2

u =1 N

b 2 n ,1r =

∑ x 2 n ,u ⋅ x 1r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 2n ,u ⋅ x 1r ,u )

, 2

u =1 N

b 1r , 2 r =

∑ x 1r ,u ⋅ x 2 r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 1r ,u ⋅ x 2r ,u )

, 2

u =1

где x1n,u = xn1,u + v1 ; x1r,u = xr1,u + a1 · xn1,u + c1 ; N – количество опытов в плане проведения экспериментов. В формулы подставляются данные от 1-го до 9-го опыта плана (табл. 3). Если числитель (делимое) каждой из формул для расчета коэффициентов регрессии заменить величиной дисперсии опытов s 2 {y}, а знаменатель (делитель) оставить прежним, то получаются формулы для расчета дисперсий в определении соответствующих коэффициентов регрессии s2{b’0} , s2{b1n} , s2{b2h} , s2{b1n,2n} , s2{b1r} , s2{b2r} , s2{b1n,2r} , s2{b2n,1r} , s2{b1r,2r} . Как и в предыдущем случае сначала следует принимать n = 1, r = 2 10

и при этих числах показателей степени факторов производить расчет коэффициентов регрессии. дисперсий в их определении, выявлять статистически значимые коэффициенты регрессии. Математическая модель процесса получается после подстановки в уравнение регрессии статистически значимых и не равных нулю коэффициентов регрессии. Если при проверке выяснится, что математическая модель не обеспечивает требуемой точности, то следует изменять величины показателей степени факторов и снова выполнять расчеты, пока не будет достигнута требуемая точность. Для плана 33 уравнение регрессии определяется исходя из следующей зависимости: y = a'0 + a1n · x1n + a1r · x1r , где a1n = d'0 + d2n ·x2n + d2r · x2r , a'0 = c'0 + c2n · x2n + c2r · x2r , c'0 = f'0 · x0 + f3n ·x3n + f3r · x3r , a1r = e'0 + e2n · x2n + e2r · x2r , c2r = h'0 + h3n · x3n + h3r · x3r , c2n = g'0 + g3n · x3n + g3r ·x3r , d2n = l'0 + l3n· x3n + l3r · x3r , d'0 = k'0 + k3n · x3n + k3r ·x3r , d2r = m'0 + m3n · x3n + m3r · x3r , e'0 = p'0 + p3n · x3n + p3r · x3r , e2r = v'0 + v3n · x3n + v3r ·x3r . e2n = t'0 + t3n · x3n + t3r · x3r , После подстановки, перемножений и замены коэффициентов для ортогонального планирования трехфакторных экспериментов на трех уровнях независимых переменных (табл.4) получается уравнение регрессии y = b'0·x0 + b1n·x1n + b2n·x2n + b3n·x3n + b1n,2n·x1n·x2n + b1n,3n·x1n·x3n + + b2n,3n·x2n·x3n + b1n,2n,3n·x1n·x2n·x3n + b1r·x1r + b2r·x2r + b3r·x3r + + b1n,2r·x1n·x2r+ b1n,3r·x1n·x3r + b2n,1r·x2n·x1r + b2n,3r·x2n·x3r + +b3n,1r·x3n·x1r + b3n,2r·x3n·x2r + b1n,2n,3r·x1n·x2n·x3r + +b1n,3n,2r·x1n·x3n·x2r + b2n,3n,1r·x2n·x3n·x1r + b1r,2r·x1r·x2r + +b1r,3r·x1r·x3r + b2r,3r·x2r·x3r + b1n,2r,3r·x1r·x2r·x3r + (6) +b2n,1r,3r·x2n·x1r·x3r + b3n,1r,2r·x3n·x1r·x2r + b1r,2r,3r·x1r·x2r·x3r , в котором y – зависимая переменная, показатель (параметр) процесса; x0 = +1 ; x1n = xn1+v1; x1r = xr1 + a1·xn1 + c1 ; x2n = xn2 + v2 ; x2r = xr2 + a2 · xn2 + c2 ; x3n = xn3 + v3 ; x3r = xr3 + a3 · xn3 +c3 ; x1 , x2 , x3 - 1, 2, 3-й факторы (независимые переменные); n , r – изменяемые числа показателей степени факторов в уравнении регрессии; v1 , a1 , c1 – коэффициенты ортогонализации, определяемые при m=1 , N=3 по формулам (2) – (4); v2 , a2 , c2 – коэффициенты ортогонализации, определяемые при m=2 , N=3 по формулам (2) – (4); v3 , a3 , c3 – коэффициенты ортогонализации, определяемые при m=3 , N=3 по формулам (2) – (4); b'0 , b1n , b2n , b3n , b1n,2n , b1n,3n , b2n,3n , b1n,2n,3n , b1r , b2r , b3r , b1n,2r , b1n,3r , b2n,1r , b2n,3r , b3n,1r , b3n,2r , b1n,2n,3r , b1n,3n,2r , b2n,3n,1r , b1r,2r , b1r,3r , b2r,3r , b1n,2r,3r , b2n,1r,3r , b3n,1r,2r , b1r,2r,3r - коэффициенты регрессии. 11

Факторы обозначены x1a , x1b , x1e , x2a , x2b , x2e , x3a , x3b, x3e. 3

Планы проведения экспериментов 3 и 2 План

№, u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

23

33

x1,u x1,1 = x1a x1,2 = x1b x1,3 = x1a x1,4 = x1b x1,5 = x1a x1,6 = x1b x1,7 = x1a x1,8 = x1b x1,9 = x1a x1,10 = x1b x1,11 = x1e x1,12 = x1e x1,13 = x1e x1,14 = x1e x1,15 = x1a x1,16 = x1b x1,17 = x1a x1,18 = x1b x1,19 = x1a x1,20 = x1b x1,21 = x1a x1,22 = x1b x1,23 = x1e x1,24 = x1e x1,25 = x1e x1,26 = x1e x1,27 = x1e

3

x2,u x2,1 = x2a x2,2 = x2a x2,3 = x2b x2,4 = x2b x2,5 = x2a x2,6 = x2a x2,7 = x2b x2,8 = x2b x2,9 = x2e x2,10 = x2e x2,11 = x2a x2,12 = x2b x2,13 = x2e x2,14 = x2e x2,15 = x2a x2,16 = x2a x2,17 = x2b x2,18 = x2b x2,19 = x2e x2,20 = x2e x2,21 = x2e x2,22 = x2e x2,23 = x2a x2,24 = x2b x2,25 = x2a x2,26 = x2b x2,27 = x2e

Таблица 4 x3,u x3,1 = x3a x3,2 = x3a x3,3 = x3a x3,4 = x3a x3,5 = x3b x3,6 = x3b x3,7 = x3b x3,8 = x3b x3,9 = x3e x3,10 = x3e x3,11 = x3e x3,12 = x3e x3,13 = x3a x3,14 = x3b x3,15 = x3e x3,16 = x3e x3,17 = x3e x3,18 = x3e x3,19 = x3a x3,20 = x3a x3,21 = x3b x3,22 = x3b x3,23 = x3a x3,24 = x3a x3,25 = x3b x3,26 = x3b x3,27 = x3e

yu y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14 y15 y16 y17 y18 y19 y20 y21 y22 y23 y24 y25 y26 y27

В связи с ортогональностью матрицы планирования экспериментов все коэффициенты регрессии и дисперсии в их определении рассчитываются независимо друг от друга. Для уравнения (6), соответствующего представленному в табл.4 плану 33, расчет коэффициентов регрессии производится по следующим формулам: N

N

b '0

=

∑ x 0, u ⋅ y u

u =1

N

∑

u =1

x 02, u

=

N

∑ yu

u =1

N

,

b 1n =

∑ x 1n ,u ⋅ y u

u =1

N

∑

u =1

12

, x 12n ,u

N

b 2n =

N

∑ x 2 n ,u ⋅ y u

u =1

N

∑

u =1

∑ x 3n , u ⋅ y u

u =1

b 3n =

, x 22 n , u

∑

u =1

N

∑ (x 1n ,u ⋅ x 2 n ,u )

, 2

b 1n ,3n =

∑ x 1n ,u ⋅ x 3n ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 1n ,u ⋅ x 3n ,u )

u =1

N

∑ x 2 n , u ⋅ x 3n , u ⋅ y u

b 2 n ,3 n =

∑ (x 2n ,u ⋅ x 3n ,u )

, 2

b 1n , 2 n ,3n =

∑ x 1n ,u ⋅ x 2 n ,u ⋅ x 3n ,u ⋅ y u

u =1 N

u =1

b 1r =

N

∑ x 1r ,u ⋅ y u N

∑

u =1

b 2r =

, x 12r , u

∑ x 2 r ,u ⋅ y u

u =1

N

∑

u =1

b 3r =

∑ x 3r , u ⋅ y u N

∑

u =1

, x 22 r , u N

N

u =1

∑ (x 1n ,u ⋅ x 2 n ,u ⋅ x 3n ,u )

b 1n , 2 r =

, x 32r , u

∑ x 1n ,u ⋅ x 2 r ,u ⋅ y u

u =1 N

N

∑ x 1n ,u ⋅ x 3r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 1n ,u ⋅ x 3r ,u )

∑ (x 1n ,u ⋅ x 2 r ,u )

b 2 n ,1r =

, 2

∑ x 2 n ,u ⋅ x 1r ,u ⋅ y u

u =1 N

u =1

b 2 n ,3r =

N

∑ x 2 n , u ⋅ x 3r , u ⋅ y u ∑ (x 2 n ,u ⋅ x 3r ,u )

∑ (x 2n ,u ⋅ x 1r ,u )

, 2

u =1

N

u =1 N

, 2

u =1

N

b 1n ,3r =

, 2

u =1

N

u =1

, 2

u =1

N

u =1 N

x 32n , u

N

∑ x 1n ,u ⋅ x 2 n ,u ⋅ y u

u =1 N

b 1n , 2 n =

,

N

b 3n ,1r =

, 2

u =1

∑ x 3n ,u ⋅ x 1r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 3n ,u ⋅ x 1r ,u )

u =1

13

, 2

N

b 3n , 2 r =

N

∑ x 3n , u ⋅ x 2 r , u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 3n ,u ⋅ x 2 r ,u )

b 1n , 2 n ,3r =

, 2

∑ x 1n ,u ⋅ x 2n ,u ⋅ x 3r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 1n ,u ⋅ x 2 n ,u ⋅ x 3r ,u )

u =1

, 2

u =1 N

b 1n ,3n , 2 r =

∑ x 1n ,u ⋅ x 3n ,u ⋅ x 2 r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 1n ,u ⋅ x 3n ,u ⋅ x 2 r ,u )

, 2

u =1 N

b 2 n ,3n ,1r =

∑ x 2 n ,u ⋅ x 3n ,u ⋅ x 1r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 2 n ,u ⋅ x 3n ,u ⋅ x 1r ,u )

, 2

u =1 N

b 1r , 2 r =

N

∑ x 1r ,u ⋅ x 2 r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 1r ,u ⋅ x 2r ,u )

b 1r ,3r =

, 2

u =1

N

∑ x 2 r , u ⋅ x 3r , u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 2r ,u ⋅ x 3r ,u )

∑ (x 1r ,u ⋅ x 3r ,u )

, 2

u =1

N

b 2 r ,3r =

∑ x 1r ,u ⋅ x 3r ,u ⋅ y u

u =1 N

, 2

b 1n , 2 r ,3r =

u =1

∑ x 1n ,u ⋅ x 2 r ,u ⋅ x 3r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 1n ,u ⋅ x 2 r ,u ⋅ x 3r ,u )

u =1 N

b 2 n ,1r ,3r =

∑ x 2 n ,u ⋅ x 1r ,u ⋅ x 3r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 2 n ,u ⋅ x 1r ,u ⋅ x 3r ,u )

, 2

u =1 N

b 3n ,1r , 2 r =

∑ x 3n ,u ⋅ x 1r ,u ⋅ x 2 r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 3n ,u ⋅ x 1r ,u ⋅ x 2 r ,u )

, 2

u =1 N

b 1r , 2 r ,3r =

∑ x 1r ,u ⋅ x 2r ,u ⋅ x 3r ,u ⋅ y u

u =1 N

∑ (x 1r ,u ⋅ x 2 r ,u ⋅ x 3r ,u )

u =1

14

, 2

, 2

где

x 1n , u = x 1n,u + v 1 ;

x 1r , u = x 1r,u + a 1 ⋅ x 1n, u + c1 ;

x 2 n ,u = x n2,u + v 2 ;

x 2 r ,u = x r2, u + a 2 ⋅ x n2, u + c 2 ;

x 3n , u = x 3n, u + v 3 ;

x 3r , u = x 3r , u + a 3 ⋅ x 3n,u + c 3 ;

N – количество опытов в соответствующем уравнению регресии (6) плане 33 (табл. 4), т.е. N = 27. В формулу подставляются данные от 1-го до 27-го опыта плана 33 (табл. 4). При замене числителя (делимого) в каждой из этих формул величиной дисперсии опытов s2{y} и прежнем знаменателе (делителе) получаются формулы для расчета дисперсий в определении соответствующих коэффициентов регрессии s2{b’0}, s2{b1n}, s2{b2n}, s2{b3n}, s2{b1n,2n}, s2{b1n,3n}, s2{b2n,3n}, s2{b1n,2n,3n}, s2{b1r}, s2{b2r}, s2{b3r}, s2{b1n,2r}, s2{b1n,3r}, s2{b2n,1r}, s2{b2n,3r}, s2{b3n,1r}, s2{b3n,2r}, s2{b1n,2n,3r}, s2{b1n,3n,2r}, s2{b2n,3n,1r}, s2{b1r,2r}, s2{b1r,3r}, s2{b2r,3r}, s2{b1n,2r,3r}, s2{b2n,1r,3r}, s2{b3n,1r,2r}, s2{b1r,2r,3r}. Алгоритм выявления математической модели такой же, как при планировании 32. Главное – это достижение требуемой точности математической модели.

15

ОСОБЕННОСТИ ВЫЯВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

При выявлении математических моделей необходимо определять ошибку экспериментов, оценивать значимость коэффициентов регрессии, адекватность и точность математической модели. Для определения ошибки экспериментов проводится серия параллельных одинаковых опытов на основном (среднем) уровне независимых переменных, то есть когда xm = ( x ma + xmb ) / 2 для каждого m – го фактора. Необходимо проводить таких опытов приблизительно в 2 раза больше числа выбранных факторов при количестве факторов ≥ 3. При числе факторов 1 рекомендуется проводить параллельно опытов N0 ≥ 4, а при числе факторов 2 рекомендуется N0 ≥ 5. Дисперсия опытов s 2N 0 {y} рассчитывается по формуле

∑ (y j − y ) N0

s 2 {y} =

2

j=1

N0 −1

,

(7)

где j – номер параллельно проводимого опыта; N0 - количество параллельных опытов; yj – результат j – го параллельного опыта; y - среднее арифметическое значение результатов параллельных опытов. По дисперсии опытов, рассчитанной по формуле 7, определяется среднеквадратичная ошибка экспериментов s{y} = s 2 {y} ,

(8)

Статическая значимость коэффициентов регрессии bi проверяется по tкритерию. Расчетные величины ti-критерия для каждого i-го коэффициента регрессии bi определяются по формуле b ti = i , (9) s{b i }

где s{b i } = s 2 {b i } - среднеквадратичная ошибка в определении i-го коэффициента регрессии. Рассчитанные по формуле (9) величины ti сравниваются с табличным значением tт – критерия (табл. 5), взятым при том же значении степени свободы f 1 = N 0 − 1, при котором была определена по формуле (8) среднеквадратичная ошибка экспериментов s{y} и при 5-ти или 1%-м уровне значимости. Если t i ≥ t r , то i-й коэффициент регрессии статистически значим. Члены полинома, коэффициенты регрессии которых статистически незначимы, можно исключить из уравнения. 16

Проверка адекватности математической модели осуществляется по Fкритерию (критерию Фишера), расчетное значение которого (Fp) определяется по формуле

∑ (y p,u N

Fp =

u =1

− yu )

2

(N − 1) ⋅ s 2 {y}

,

(10)

где N – число опытов по плану проведения экспериментов; yp,u и yu – значения показателей процесса в u-м опыте, соответственно рассчитанные по уравнению регрессии и определенные экспериментально; s2{y}- дисперсия опытов.

∑ (y p,u N

В уравнении (10)

u =1

− yu )

2

(N − 1)

= s н2 - дисперсия неадекватности,

N − 1 = f 2 - число степени свободы при определении дисперсии неадекватности. Из уравнения (10) следует, что Fp-критерий - это отношение дисперсии предсказания, полученной математической моделью (дисперсии неадекватности), к дисперсии опытов. Уравнение регрессии считается адекватным в том случае, когда рассчитанное значение Fp-критерия не превышает табличного Fт (табл.6 и 7) для выбранного уровня значимости и при степенях свободы f 1 = N 0 − 1, f 2 = N − 1, то есть когда Fp ≤ Fт . Так как статистические модели приближенно оценивают взаимосвязь показателей процесса с факторами, то особое внимание необходимо уделять оценке фактической точности модели. Проверка и уточнение математической модели осуществляется на основании серии контрольных экспериментов. Применительно к использованию ЭВМ разработан следующий алгоритм математического моделирования: 1. Начало выполнения программы, ввод количества опытов по плану, величин факторов на принятых уровнях и показателей степени в уравнении регрессии. 2. Расчет коэффициентов ортогонализации. 3. Ввод величин показателей процесса. 4. Расчет коэффициентов регрессии до их анализа. 5. Ввод количества опытов на среднем уровне факторов. 6. Расчет показателей до анализа коэффициентов регрессии. 7. Выявление дисперсии опытов, расчетных величин t-критерия для каждого коэффициента регрессии. 8. Ввод табличного t-критерия. 9. Выявление статистически значимых коэффициентов регрессии. 10. Ввод табличного F-критерия. 11. Расчет показателей после анализа коэффициентов регрессии. 17

12. Выявление расчетной величины F-критерия и адекватности модели. 13. Выполнение расчетов по модели и проверка точности модели. 14. Вычисления показателей по математической модели с использованием циклов и построение графиков. 15. Конец выполнения программы. Для персональных компьютеров программирование рационально выполнять на языке Бейсик. Разработан комплекс программ математического моделирования для случаев планирования 31, 32, 33. Выявление математических моделей выполнялось по программам на языке Бейсик с использованием персональных компьютеров. Таблица 5 Значения t – критерия для распределения Стьюдента Число степеней свободы f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 >30

Значение tТ – критерия для уровней значимости, % 5 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,179 2,145 2,120 2,101 2,086 2,074 2,064 2,056 2,048 2,042 1,960

18

1 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,055 2,977 2,921 2,878 2,845 2,819 2,797 2,779 2,763 2,750 2,576

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ГАЗОВЫМ ВАГРАНКАМ

Примером комплексного подхода к моделированию сложных процессов может служить математическая обработка результатов исследования ваграночного процесса при использовании в качестве топлива природного газа, подаче в газовые горелки воздуха, температура которого изменялась в широких пределах, и шихте, состоящей из чугуна, близкого по составу к эвтектическому, а также среднеуглеродистой стали. Для достижения высокой температуры получаемого расплавленного металла в газовой вагранке необходимо сжигать газообразное топливо так, чтобы достигалась максимальная температура продуктов сгорания в горящих факелах и в зоне перегрева жидкого металла. Поэтому прежде всего была выявлена на основе экспериментов зависимость величины коэффициента расхода воздуха α от температуры подаваемого на смешение с горючим газом воздуха Тв. Величина α принималась оптимальной, когда при данной величине Тв достигалась максимальная температура продуктов сгорания. По методике выявления математической модели процесса при проведении однофакторных экспериментов на большом количестве асимметричных уровней независимых переменных была определена следующая математическая модель для принятых условий экспериментов: α = 1,05 – 0,000172 · ТВ . Необходимо было выявить математическую модель, где Умет – потери (угар) металла в связи с окислением элементов при плавке в газовой вагранке, ШС – количество стали в шихте в процентах от веса металлозавалки, ТВ – температура подаваемого в газовые горелки на смешение с горючим газом воздуха, К. Для выявления математических моделей процесса был применен метод планирования двухфакторных экспериментов на трех уровнях первого и второго факторов. Экспериментально было установлено, что на показатель процесса Умет сильно влияют факторы ШС , ТВ , а также величина α , которая изменялась одновременно с ТВ в соответствии с приведенной выше зависимостью. Следовательно, фактически проводились трехфакторные эксперименты, но благодаря предварительно установленной зависимости α от ТВ математическую модель можно выявить на основе методики моделирования при приведении двухфакторных экспериментов. Номера факторов при планировании приняты следующие: ШС – первый фактор, ТВ – второй фактор, влияющий на изменение третьего фактора α. Совместно факторы ТВ и α определяют температурные и физико-химические условия в плавильном агрегате. Для моделирования использованы следующие данные: ШС в процентах на трех уровнях А1 = 0; Е1 = 50; В1 = 100; ТВ в градусах К на трех уровнях А2 = 293; Е2 = 583; В2 = 873; 19

УМЕТ в процентах в соответствии с планом проведения экспериментов 32 (Х=9) Y(1) = 7,5; Y(2) = 100; Y(3) = 1,5; Y(4) = 15; Y(5) = 4; Y(6) = 81; Y(7) = 39; Y(8) = 5; Y(9) = 27,5 (величина α соответственно была 1; 1; 0,9; 0,9; 0,95; 0,95; 1; 0,9; 0,95); количество опытов на среднем уровне факторов N0 = 4; УМЕТ, % на среднем уровне факторов G (1) = 27,5; G (2) = 27,5; G (3) = 28; G (4) = 27; табличный Т – критерий Т0 = 3,182; табличный F – критерий F7 = 8,84 для 5% -го уровня значимости; величины показателей степени в уравнении регрессии J1 =1; О1 = 2; J2 = 1; О2 = 2. Практические данные для проверки точности математической модели следующие: УМЕТ, % 6; 52; 2,5; 95; 34,5; 20; 20; 17,5; 14 при ШС , % соответственно 0; 100; 0; 100; 50; 50; 25; 25; 25; при ТВ , К соответственно 438; 728; 728; 438; 438; 728; 293; 438; 583 и величине α соответственно 0,975; 0,925; 0,925; 0,975; 0,975; 0,925; 1; 0,975; 0,95.

20

ВЫПОЛНЕНИЕ ПРОГРАММ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЫПОЛНЕНА НА ЭВМ РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРГРАММЫ GN3, РАЗРАБОТАННОЙ ЧЕРНЫМ А.А. КОЛИЧЕСТВО ОПЫТОВ ПО ПЛАНУ Х=9 ВЕЛИЧИНЫ ФАКТОРОВ И ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ А1 = 0 Е1 = 50 В1 = 100 J1 = 1 O1 = 2 КОЭФФИЦИЕНТЫ ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ V1 = -50 U1 = -100. 0000152587891 Q1 = 833. 334228515625 A2 = 293 E2 = 583 B2 = 873 J2 = 1 O2 = 2 КИЭФФИЦИЕНТЫ ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ V2 = -583 U2 = -1166 Q2 = 283822. 34375 ВЕЛИЧИНЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ Y(J) Y ( 1 ) = 7. 5 Y ( 2 ) = 100 Y ( 3 ) 1. 5 Y ( 4 ) = 15 Y (5 ) = 4 Y (6 ) = 81 Y ( 7 ) = 39 Y(8)=5 Y ( 9 ) = 27. 5 B ( J ) ДО АНАЛИЗА B ( 1 ) = 31. 16666603088379 B ( 2 ) = . 6100000143051147 B ( 3 ) = 4. 399991128593683E-003 B ( 4 ) = -7. 183907926082611E-002 B ( 5 ) = -1. 362068927846849E-003 B ( 6 ) = -1. 129605443566106E-004 B ( 7 ) = -2. 853741762010031E-006 B ( 8 ) = -7. 931016625661869E-006 B ( 9 ) = -2. 853736802421736E-008 КОЛИЧЕСТВО ОПЫТОВ НА СРЕДНЕМ УРОВНЕ ФАКТОРОВ N0 = 4 РАСЧЕТНЫЕ ВЕЛЕЧИНЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ Z (J ) ДО АНАЛИЗА В (J ) Z ( 1 ) = 7. 499997138977051 Z ( 2 ) = 99. 99999237060547 Z ( 3 ) = 1. 500000238418579 Z ( 4 ) = 15. 00000667572021 Z ( 5 ) = 3. 999991178512573 Z ( 6 ) = 80. 99995422363281 Z ( 7 ) = 39. 00002288818359 Z ( 8 ) = 5. 000007629394531 Z ( 9 ) = 27. 50000953674316 F8=N0-1= 3 ПРОВЕРКА ПО РАЗНОСТИ Y( J ) – Z ( J ) Y ( 1 ) – Z ( 1 ) = 2. 86102294921875E-006 Y ( 2 ) – Z ( 2 ) = 7. 62939453125E-006 Y ( 3 ) – Z ( 3 ) = -2. 384185791015625E-007 21

Y ( 4 ) – Z ( 4 ) = -6. 67572021484375E-006 Y (5 ) – Z ( 5 ) = 8. 821487426757813E-006 Y ( 6 ) – Z ( 6 ) = 4. 57763671875E-005 Y ( 7 ) – Z ( 7 ) = -2. 288818359375E-005 Y ( 8 ) – Z ( 8 ) = -7.62939453125E-006 Y ( 9 ) – Z ( 9 ) =-9. 5367431640625E-006 РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ НА СРЕДНЕМ УРОВНЕ ФАКТОРОВ G (1 ) = 27. 5 G ( 2 ) = 27. 5 G ( 3 ) = 28 G ( 4 ) = 27 ДИСПЕРСИЯ ОПЫТОВ U9 = . 1666666716337204 РАСЧЕТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Т ( J ) T ( 1 ) = 229.0272827148438 T ( 2 ) = 183 T ( 3 ) = 38. 10504150390625 T ( 4 ) = 124. 9999923706055 T ( 5 ) = 96. 75483703613281 T ( 6 ) = 32. 90890121459961 T ( 7 ) = 33. 94108200073242 T ( 8 ) = 16. 26341819763184 T ( 9 ) = 9. 797928810119629 ТАБЛИЧНЫЙ Т-КРИТЕРИЙ Т0 = 3. 181999921798706 B ( J ) ПОСЛЕ АНАЛИЗА B ( 1 ) = 31. 16666603088379 B ( 2 ) = . 6100000143051147 B ( 3 ) = 4. 399991128593683E-003 B ( 4 ) = -7. 183907926082611E-002 B ( 5 ) = -1. 362068927846849E-003 B ( 6 ) = -1. 129605443566106E-004 B ( 7 ) = -2. 853741762010031E-006 B ( 8 ) = -7. 931016625661869E-006 B ( 9 ) = -2. 853736802421736E-008 КОЛИЧЕСТВО СТАТИСТИЧЕСКИ ЗНАЧИМЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ K9 = 9 F9 = X – 1 F9 = 8 ТАБЛИЧНЫЙ F-КРИТЕРИЙ F7 = 8. 840000152587891 РАСЧЕТНЫЕ ВЕЛЕЧИНЫ ПОКАЗАТЕЛЯ Z ( J ) ПОСЛЕ АНАЛИЗА B ( J ) Z ( 1 ) = 7. 499997138977051 Z ( 2 ) = 99. 99999237060547 Z ( 3 ) = 1. 500000238418579 Z ( 4 ) = 15. 00000667572021 Z ( 5 ) = 3. 999991178512573 Z ( 6 ) = 80. 99995422363281 Z ( 7 ) = 39. 00002288818359 Z ( 8 ) = 5. 000007629394531 Z ( 9 ) = 27. 5 0000953674316 РАСЧЕТНАЯ ВЕЛЕЧИНА F – КРИТЕРИЯ F6 = 2. 218001782239298E-009 АДЕКВАТНО, ТАК КАК F6<=F7 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 22

Z ( J ) = 31. 16666603088379 + . 6100000143051147 *I ( J ) + 4. 399991128593683E-003 * * K ( J ) +-7. 183907926082611E-002 * P (J ) + -1. 362068927846849E-003 * * I ( J ) * P ( J ) + -1. 129605443566106E-004 * Q ( J ) + -2.853741762010031E-006 * * I ( J ) * Q ( J ) + -7. 931016625661869E-006 * P ( J ) * K ( J ) + -2.853736802421736E-008 * * K ( J ) * Q ( J ), ГДЕ I ( J ) = F ( J ) ^ 1 + -50 ; K ( J ) = F ( J ) ^ 2 + -100. 0000152587891 * F ( J ) ^ 1 + 833. 334228515625 ОБОЗНАЧЕНИЕ: F ( J ) – 1 – ый ФАКТОР P ( J ) = H ( J ) ^ 1 + -583 ; Q ( J ) = H ( J ) ^ 2 + -1166 * H ( J ) ^ 1 + 283822. 34375 ОБОЗНАЧЕНИЕ: H ( J ) – 2 -ой ФАКТОР РАСЧЕТЫ ПО МОДЕЛИ ФАКТОРЫ F ( 1 ) = 0 H ( 1 ) = 438 Z ( 1 ) = 5. 624991893768311 ФАКТОРЫ F ( 2 ) = 100 H ( 2 ) = 728 Z ( 2 ) = 53. 87497329711914 ФАКТОРЫ F ( 3 ) = 0 H ( 3 ) = 728 Z ( 3 ) = 2. 624993562698364 ФАКТОРЫ F ( 4 ) = 100 H ( 4 ) =438 Z ( 4 ) = 96. 37496948242188 ФАКТОРЫ F ( 5 ) = 50 H ( 5 ) = 438 Z ( 5 ) = 34. 62501525878906 ФАКТОРЫ F ( 6 ) = 50 H ( 6 ) =728 Z ( 6 ) = 17. 62500762939453 ФАКТОРЫ F ( 7 ) = 25 H ( 7 ) = 293 Z ( 7 ) = 19. 5625171661377 ФАКТОРЫ F ( 8 ) = 25 H ( 8 ) = 438 Z ( 8 ) = 16. 0312614440918 ФАКТОРЫ F ( 9 ) = 25 H ( 9 ) =583 Z ( 9 ) = 12. 00000953674316 ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ Z ( K5 ) ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦИКЛОВ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФАКТОР F ( 1 ) = F3 + F4 F4-ШАГ ПРИРАЩЕНИЯ 1-ГО ФАКТОРА ФАКТОР H ( 1 ) = H3 + H4 H4-ШАГ ПРИРАЩЕНИЯ 2-ГО ФАКТОРА Х – КОЛИЧЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ 1, 2 –ГО ФАКТОРА Х = 10 F3 = 10 F4 =0 H3 = 200 H4 = 80 F ( 1 ) = 10 H ( 1 ) = 280 Z ( 1 ) = 11. 68259906768799 F ( 2 ) = 10 H ( 2 ) = 360 Z ( 2 ) = 10. 20629501342773 F ( 3 ) = 10 H ( 3 ) = 440 Z ( 3 ) = 8. 769566535949707 F ( 4 ) = 10 23

H ( 4 ) = 520 Z ( 4 ) = 7. 372409343719482 F (5 ) = 10 H ( 5 ) = 600 Z ( 5 ) = 6. 014825344085693 F ( 6 ) = 10 H (6 ) = 680 Z ( 6 ) = 4. 696813106536865 F ( 7 ) = 10 H ( 7 ) = 760 Z ( 7 ) = 3. 418373346328735 F ( 8 ) = 10 H ( 8 ) = 840 Z ( 8 ) = 2. 1795058255042725 F ( 9 ) = 10 H ( 9 ) = 920 Z ( 9 ) = . 9802125692367554 F ( 10 ) = 10 H ( 10 ) = 1000 Z ( 10 ) = -. 179512232542038 ВЫЯВЛЕНИЕ МАХ Z (K5 ) И MIN Z ( K5 ) MAX Z ( K5 ) = 11. 68259906768799 MAX Z ( 1 ) = 11. 68259906768799 MIN Z ( K5 ) =-. 179512232542038 MIN Z ( 10 ) =-. 179512232542038 MIN Z ( K5 ) = K7 , MAX Z ( K5 ) = K8 K6 ( K5 ) = (Z ( K5 ) + ABS ( K7 ) ) / (ABS (K7 ) + ABS (K8 ) ) K6 ( 1 ) = 1 K6 ( 2 ) = . 8755446076393127 K6 ( 3 ) = . 7544254660606384 K6 ( 4 ) = . 6366422772407532 K6 ( 5 ) = . 5221952199935913 K6 ( 6 ) = . 4110840857028961 K6 ( 7 ) = . 3033090531826019 K6 ( 8 ) = . 1988700032234192 K6 ( 8 ) = 9. 776715189218521E-002 K6 ( 10 ) = 0 J5=ABS ( K7 ) / (ABS (K7 ) + ABS (K8 )) J5= 1. 513324491679668E-002 ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЗАВИСИМОСТЬ К6 ( К5 ) ОТ ФАКТОРА К6 ( К5 ) – ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА ПОКАЗАТЕЛЯ К5 – НОМЕР ВЕЛЕЧИНЫ ФАКТОРА И ПОКАЗАТЕЛЯ ВЕЛИЧИНЫ ФАКТОРОВ ЗАДАНЫ ХО = 20 YO = 180 K0 =40 K3 = 150 , ГДЕ Х0-ОТСТУП ВПРАВО ПО ОСИ Х Y0- ОТСТУП ВНИЗ ПО ОСИ Y К0- ДЛИНА ГРАФИКА ПО ОСИ Х К3- ВЫСОТА ГРАФИКА ПО ОСИ Y

24

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО УЛУЧШЕНИЮ ПРОЦЕССА ПЛАВКИ В ГАЗОВОЙ ВАГРАНКЕ

На основе анализа полученной математической модели (зависимости УМЕТ от ШС и ТВ , связанной с α ) были сделаны выводы о нецелесообразности использования большого количества стали в шихте газовых вагранок, о рациональности применения подогрева подаваемого в газовые горелки воздуха, снижении величины коэффициента расхода воздуха по мере увеличения температуры воздуха, о необходимости добавки в зону перегрева металла раскислителей, в частности углерода, образующегося при разложении углеводородов или вдуваемого в виде порошка , а также загружаемого в виде кусков ( электродного боя ). Комплексный подход к моделированию сложных процессов позволяет учитывать влияние на показатели процесса многих факторов путем выбора обобщенных факторов, связанных с другими факторами, изменение которых происходит в зависимости от обобщенных факторов. Так, в рассмотренном примере математического моделирования зависимость α = f ( ТВ) позврлила учитывать изменение окислительных свойств печной атмосферы, изменение состава и температуры продуктов сгорания в плавильном агрегате. В конечном итоге сложный процесс был сведен к менее сложному, что позволило применить математическое моделирование при ортогональном плантровании двухфакторных экспериментов. Рекомендации по улучшению процесса плавки в газовой вагранке сводятся к следующему: 1. Эффективность процесса плавки металла в газовой вагранке может быть высокой при подаче в горелки горячего воздуха и снижении коэффициента расхода воздуха. 2. При количестве стали в составе шихты 10 % потери металла от окисления можно уменьшить до 0 при ТВ 920 К ( 6470С ). 3. Для увеличения количества стали в составе шихты ( больше 10 % ) необходимо вводить в продукты сгорания раскислители в виде водорода и сажистого углерода или плавку и перегрев металла производить на углеродсодержащей огнеупорной колоше, причем с повышением ТВ и увеличением количества боя графитовых электродов в огнеупорной колоше угар металла при плавке в газовой вагранке должен снижаться.

25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработаны теоретические основы моделирования применительно к газовым плавильным агрегатам литейного производства. На основе анализа результатов моделирования усовершенствованы способы плавки металла на газообразном топливе – природном газе, которые позволяют уменьшить расход топлива на 20-25 %, снизить потери металла в связи с окислением, улучшить экологические условия. Получены новые знания в области моделирования чугуноплавильных агрегатов. Аналоги для сопоставления результатов моделирования отсутствуют. Разработанная новая методика математического моделирования может применяться при исследовании сложных процессов тепловых агрегатов, а также в учебном процессе.

26

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Почему исходное уравнение для выявления математической модели выбрано в виде ряда (многочлена), почему оно называется уравнением регрессии, а его коэффициенты – коэффициентами регрессии? 2. В каких случаях факторы, влияющие на показатель процесса, считаются существенными, как производится выбор интервалов варьирования факторов? 3. Зачем выполняется регрессионный анализ? 4. Почему показатели степени факторов надо принимать буквенными? 5. В каких случаях матрица становится ортогональной, зачем надо делать матрицу ортогональной, от чего зависит количество коэффициентов ортогональности? 6. На основе чего и как выявляются коэффициенты ортогональности? 7. Можно ли определять коэффициенты регрессии независимо друг от друга, если матрица не будет ортогональной? 8. Почему рационально выполнять параллельные опыты на среднем уровне факторов, сколько надо проводить таких опытов, как определяется дисперсия опытов? 9. В чем преимущества независимого определения коэффициентов регрессии? 10. Почему дисперсия в определении коэффициентов регрессии рассчитываются независимо друг от друга, и как это делается? 11. Как определяют расчетные t-критерии, с чем их сравнивают, в каких случаях коэффициенты регрессии – значимые, а в каких – незначимые? 12. Зачем сравнивают введенные величины показателей с рассчитанными (по разностям и в процентах)? 13. О чем свидетельствует незначимость коэффициентов регрессии? 14. Как определяется адекватность и точность математической модели? 15. Как выявляются уравнения регрессии двухфакторного, трехфакторного, многофакторного процесса? 16. Почему совпадает количество опытов в плане и количество членов в уравнении регрессии? 17. Почему для каждого фактора отдельно выявляются коэффициенты ортогонализации? 18. Почему надо выполнять расчеты на ЭВМ с такой точностью, какую может обеспечить вычислительная машина? 19. В каких случаях рационально применять язык программирования Бейсик? 20. Каков алгоритм математического моделирования, почему надо до рассмотрения компьютерных программ изучить язык программирования Бейсик, можно ли не зная операторов языка Бейсик рассматривать и анализировать программы на этом языке? 21. Из каких частей состоят программы математического моделирования? 27

22. Почему расчеты по математическим моделям надо выполнять, используя общую программу математического моделирования? 23. Как выполняются расчеты по математическим моделям и графические построения? 24. Каковы преимущества представления результатов расчетов в абсолютных и относительных величинах, как выявляются максимальные и минимальные величины? 25. Почему выполнение программ надо заносить в файлы? 26. Можно ли оптимизировать, прогнозировать процессы, изобретать на основе моделирования? 27. Как выявляются факторы, существенно влияющие на показатели процесса, как можно уменьшить количество факторов, что дает применение комплексных факторов? 28. Почему надо изменять масштабы при графических построениях и что при этом достигается? 29. В каких случаях следует применять разные методы моделирования? 30. Какова эффективность моделирования, в чем заключаются преимущества изложенных выше методик математического моделирования? 31. Зачем в компьютерных программах предусмотрены различные переходы и можно ли их применять, если использовать не язык Бейсик, а другие языки программирования? 32. Что дает применение в компьютерных программах управляющей величины Х? 33. Чем отличается аппроксимация от математического моделирования, в каких случаях надо применять многократно аппроксимацию? 34. Какие части компьютерных программ относятся к аппроксимации, выявлению математической модели, выполнению расчетов по математической модели, поиску максимальных и минимальных величин показателей, графическому построению зависимости показателя от фактора? 35. Почему по программе строятся графики и как это выполняется? 36. Можно ли многократно изменять масштабы графических построений и если можно, то зачем это надо делать? 37. Почему для выбора показателей степени фактора в исходном уравнении надо несколько раз использовать часть компьютерной программы, которая предусматривает аппроксимацию и в каких случаях после рассмотрения результатов аппроксимации можно переходить к математическому моделированию? 38. Что дает использование аппроксимации в комплексных компьютерных программах, как проверяется точность полученных результатов аппроксимации, а затем и математических моделей? 39. Почему использование файлов упрощает компьютерные программы на языке Бейсик, как выполняется анализ результатов выполнения программ при рассмотрении файлов, можно ли из файлов исключить ненужные сведения и добавлять необходимые для разъяснения полученных данных? 28

40. Как достигается универсальность компьютерных программ? 41. Почему математическое моделирование позволяет выполнять фундаментальные научные исследования, какие результаты моделирования рационально вносить в научные отчеты и использовать при разработке изобретений?

29

ЛИТЕРАТУРА

1. Черный А.А. Математическое моделирование применительно к литейному производству: Учеб. Пособие. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 1998. – 121 с. 2. Черный А.А. Планирование экспериментов и математическое моделирование процессов. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977. – 80 с. 3. Смирнов Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений/ Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1965. – 512 с. 4. Математическое моделирование литейных процессов: Методические указания/ Сост. А.А.Черный. – Пенза: Подразделение оперативной полиграфии Пензенского ЦНТИ, 1992. – 36 с. 5. Моделирование сложных процессов по результатам экспериментов: Методические указания/ Сост. А.А.Черный. – Пенза: Пензенский политехнический институт, 1990. – 37 с. 6. Математическое моделирование процессов литейного производства и применение ЭВМ для их расчетов: Методические указания/ Сост. А.А.Черный. – Пенза: Пензенский политехнический институт, 1990. – 36 с. 7. Разработка новых сплавов с использованием ЭВМ: Методические указания/ Сост. А.А.Черный. – Пенза: Пензенский политехнический институт, 1990. – 28 с. 8. Черный А.А. Методика и программы математического моделирования: Учеб. пособие. – Пензе: Подразделение оперативной полиграфии Пензенского ЦНТИ, 1994. – 38 с. 9. Черный А.А. Практика планирования экспериментов и математического моделирования процессов. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1984. – 103 с. 10. Новик Ф.С. Оптимизация процессов технологии металлов методом планирования экспериментов/ Ф.С. Новик, А.Б. Арсов. – М.: Машиностроение; София: техника, 1980. – 304 с. 11. Математическое моделирование в литейном производстве: рабочая программа и метод. указ. к практическим работам. / Сост. А.А. Черный. – Пенза: Изд-во Пенз.гос.ун-та, 2005. – 20 с. 12. Вычислительная техника в инженерных расчетах: рабочая программа и метод.указ. к лабораторным, практическим и курсовым работам. / Сост. А.А. Черный. – Пенза: Изд-во Пенз.гос.ун-та, 2005. – 39 с. 13. Задания по математическому моделированию в литейном производстве: метод.указ./ Сост. А.А. Черный. – Пенза: Изд-во Пенз.гос.ун-та, 2005. – 27 с. 14. Принципы инженерного творчества: рабочая программа и метод.указ. к практическим работам./ Сост. А.А. Черный. – Пенза: Изд-во Пенз.гос.ун-та, 2005. – 16 с.

30

СОДЕРЖАНИЕ

ВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………. 3 НОВАЯ МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ………….............................................................................................. 4 ОСОБЕННОСТИ ВЫЯВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ………………………………………………………………………..16 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ГАЗОВЫМ ВАГРАНКАМ………………………………………….... 19 ВЫПОЛНЕНИЕ ПРОГРАММ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ЭВМ………………………………………… 21 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО УЛУЧШЕНИЮ ПРОЦЕССА ПЛАВКИ В ГАЗОВОЙ ВАГРАНКЕ………………………………………………. .25 ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………….. .26 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ……………………………..……………. 27 ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………… 30

31

ЧЕРНЫЙ Анатолий Алексеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ГАЗОВЫМ ПЛАВИЛЬНЫМ АГРЕГАТАМ ЛИТЕЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА Учебное пособие

Пензенский государственный университет Пенза, Красная, 40 32