ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ Ñáîðíèê çàäà÷
Санкт Петербург 2005
ÓÄÊ 53 ÁÁÊ 22.3 Â38 Àâòîðû: Âåñíè÷åâà Ã. À., Êîâàëåíêî È. È., Êðåêòóíîâà È. Ï., Êóçíåöîâ Þ. À. è äð. Â38 Ìåõàíèêà. Êîëåáàíèÿ è âîëíû. Òåðìîäèíàìèêà: Ñá. çàäà÷ / Ïîä ðåä. Å. Í. Êîòëèêîâà, Ñ. ß. Ùåðáàêà; ÑÏáÃÓÀÏ. ÑÏá., 2005. 48 ñ.  ñáîðíèê âêëþ÷åíû çàäà÷è ïî âñåì ðàçäåëàì ôèçèêè, èçó÷àåìûì â ïåðâîì ñåìåñòðå, ìåõàíèêå, êîëåáàíèÿì è âîëíàì, òåðìîäèíàìèêå. Ïî äàííûì ìàòåðèàëàì ñîñòàâëÿþòñÿ äîìàøíèå çàäàíèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåé, èçó÷àþùèõ ôèçèêó. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ, îñíîâíûå ôîðìóëû, ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìîæíî íàéòè â ìåòîäè÷åñêîì ïîñîáèè "Ðåøåíèå çàäà÷ ïî ôèçèêå. Ìåõàíèêà. Êîëåáàíèÿ è âîëíû. Òåðìîäèíàìèêà è ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà" ïîä. ðåä. Å. Í. Êîòëèêîâà, Þ. Í. Öàðåâà. Ïî ñðàâíåíèþ ñ èçäàíèåì 1999 ãîäà â íàñòîÿùåì ñáîðíèêå îòêîððåêòèðîâàíû óñëîâèÿ çàäà÷, ÷àñòü çàäà÷ çàìåíåíà, äîáàâëåíî áîëåå 50 íîâûõ çàäà÷ è ñïðàâî÷íûå òàáëèöû. Îáùåå êîëè÷åñòâî çàäà÷, âêëþ÷åííûõ â ñáîðíèê, 400.
Ðåöåíçåíòû: êàôåäðà ïðèêëàäíîé ìàòèìàòèêè (çàâ. êàô. ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â. Ã. Ôàðàôîíîâ); êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Â. È. Ïàëååâ
Óòâåðæäåíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâå ñáîðíèêà çàäà÷
© 2
ÃÎÓ ÂÏÎ «Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ», 2005
ÌÅÕÀÍÈÊÀ 1. Êèíåìàòèêà 1.1. Ñàìîëåò ëåòèò èç ïóíêòà À ê ïóíêòó Â, ðàñïîëîæåííîìó íà ðàññòîÿíèè 300 êì ê âîñòîêó. Îïðåäåëèòü ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïîëåòà, åñëè: 1) âåòðà íåò; 2) âåòåð äóåò ñ ñåâåðà íà þã; 3) âåòåð äóåò ñ çàïàäà íà âîñòîê. Ñêîðîñòü âåòðà 20 ì/ñ, ñêîðîñòü ñàìîëåòà îòíîñèòåëüíî âîçäóõà 600 êì/÷. 1.2. Òåëî, áðîøåííîå âåðòèêàëüíî ââåðõ, âåðíóëîñü íà çåìëþ ÷åðåç 3 ñ. 1. Êàêîâà áûëà íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü òåëà? 2. Íà êàêóþ âûñîòó ïîäíÿëîñü òåëî? Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü. 1.3. Ñ àýðîñòàòà, íàõîäÿùåãîñÿ íà âûñîòå 300 ì, óïàë êàìåíü. ×åðåç ñêîëüêî âðåìåíè êàìåíü äîñòèãíåò çåìëè, åñëè: 1) àýðîñòàò ïîäíèìàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 5 ì/ñ; 2) àýðîñòàò îïóñêàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 5 ì/ñ; 3) àýðîñòàò íåïîäâèæåí? Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 1.4. Ñâîáîäíî ïàäàþùåå òåëî â ïîñëåäíþþ ñåêóíäó ñâîåãî ïàäåíèÿ ïðîõîäèò ïîëîâèíó ñâîåãî ïóòè. Íàéòè: 1) ñ êàêîé âûñîòû ïàäàåò òåëî; 2) ïðîäîëæèòåëüíîñòü åãî ïàäåíèÿ. 1.5. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ñòàíöèÿìè ìåòðîïîëèòåíà 1,5 êì. Ïåðâóþ ïîëîâèíó ýòîãî ðàññòîÿíèÿ ïîåçä ïðîõîäèò ðàâíîóñêîðåííî, âòîðóþ ðàâíîçàìåäëåííî. Ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ïîåçäà 50 êì/÷. Íàéòè: 1) âåëè÷èíó óñêîðåíèÿ, ñ÷èòàÿ åãî ÷èñëåííî ðàâíûì çàìåäëåíèþ; 2) âðåìÿ äâèæåíèÿ ïîåçäà ìåæäó ñòàíöèÿìè. 1.6. Âàãîí äâèæåòñÿ ðàâíîçàìåäëåííî (a = 0,5 ì/ñ2). Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü âàãîíà 54 êì/÷. ×åðåç ñêîëüêî âðåìåíè è íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò íà÷àëüíîé òî÷êè âàãîí îñòàíîâèòñÿ? 1.7. Çàâèñèìîñòü ïðîéäåííîãî òåëîì ïóòè îò âðåìåíè äàåòñÿ óðàâíåíèåì s = At Bt2 + Ct3, ãäå À = 2 ì/ñ,  = 3 ì/c2 è Ñ = 4 ì/c3. Íàéòè: 1) çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ îò âðåìåíè; 2) ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå òåëîì, ñêîðîñòü è óñêîðåíèå òåëà ÷åðåç 2 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïóòè, ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ äëÿ 0 £ t ³ 3 ñ ÷åðåç 0,5 ñ. 3
1.8. Çàâèñèìîñòü ïðîéäåííîãî òåëîì ïóòè îò âðåìåíè äàåòñÿ óðàâíåíèåì s = A Bt + Ct2, ãäå À = 6 ì,  = 3 ì/c è Ñ = 2 ì/c2. Íàéòè ñðåäíþþ ñêîðîñòü è ñðåäíåå óñêîðåíèå òåëà â èíòåðâàëå âðåìåíè îò 1 äî 4 ñ. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïóòè, ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ äëÿ 0 £ t ³ 5 ñ ÷åðåç 1 ñ. 1.9. Ñ áàøíè âûñîòîé 25 ì ãîðèçîíòàëüíî áðîøåí êàìåíü ñî ñêîðîñòüþ 15 ì/ñ. Íàéòè: 1) ñêîëüêî âðåìåíè êàìåíü áóäåò â äâèæåíèè; 2) íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò îñíîâàíèÿ áàøíè îí óïàäåò íà çåìëþ; 3) ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îí óïàäåò íà çåìëþ; 4) êàêîé óãîë ñîñòàâèò òðàåêòîðèÿ êàìíÿ ñ ãîðèçîíòîì â òî÷êå åãî ïàäåíèÿ íà çåìëþ. Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü. 1.10. Êàìåíü, áðîøåííûé ãîðèçîíòàëüíî, óïàë íà çåìëþ ÷åðåç 0,5 ñ íà ðàññòîÿíèè 5 ì ïî ãîðèçîíòàëè îò ìåñòà áðîñàíèÿ. 1. Ñ êàêîé âûñîòû áûë áðîøåí êàìåíü? 2. Ñ êàêîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ îí áûë áðîøåí? 3. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îí óïàë íà çåìëþ? 4. Êàêîé óãîë ñîñòàâëÿåò òðàåêòîðèÿ êàìíÿ ñ ãîðèçîíòîì â òî÷êå åãî ïàäåíèÿ íà çåìëþ? Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü. 1.11. Êàìåíü áðîøåí ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ 15 ì/ñ. Íàéòè íîðìàëüíîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿ êàìíÿ ÷åðåç 1 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü. 1.12. Ìÿ÷ áðîñèëè ñî ñêîðîñòüþ 10 ì/ñ ïîä óãëîì 40° ê ãîðèçîíòó. Íàéòè: 1) íà êàêóþ âûñîòó ïîäíèìåòñÿ ìÿ÷; 2) íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ìåñòà áðîñàíèÿ ìÿ÷ óïàäåò íà çåìëþ; 3) ñêîëüêî âðåìåíè îí áóäåò â äâèæåíèè. Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü. 1.13. Ñ áàøíè âûñîòîé 25 ì áðîñèëè êàìåíü ñî ñêîðîñòüþ 15 ì/ñ ïîä óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó. Íàéòè: 1) âðåìÿ ïîëåòà êàìíÿ; 2) íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò îñíîâàíèÿ áàøíè îí óïàäåò íà çåìëþ; 3) ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îí óïàäåò íà çåìëþ; 4) êàêîé óãîë ñîñòàâèò òðàåêòîðèÿ êàìíÿ ñ ãîðèçîíòîì â òî÷êå åãî ïàäåíèÿ íà çåìëþ. Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü. 1.14. Îñü ñ äâóìÿ äèñêàìè, ðàñïîëîæåííûìè íà ðàññòîÿíèè 0,5 ì äðóã îò äðóãà, âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ, ñîîòâåòñòâóþùåé ÷àñòîòå 1600 îá/ìèí. Ïóëÿ, ëåòÿùàÿ âäîëü îñè, ïðîáèâàåò îáà äèñêà; ïðè ýòîì îòâåðñòèå îò ïóëè âî âòîðîì äèñêå ñìåùåíî îòíîñèòåëüíî îòâåðñòèÿ â ïåðâîì äèñêå íà óãîë 12°. Íàéòè ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ïóëè. 1.15. Ìàõîâîå êîëåñî ÷åðåç 1 ìèí ïîñëå íà÷àëà âðàùåíèÿ ïðèîáðåòàåò ñêîðîñòü, ñîîòâåòñòâóþùóþ 720 îá/ìèí. Íàéòè óãëîâîå óñêîðåíèå êî4
ëåñà è ÷èñëî îáîðîòîâ êîëåñà çà ýòó ìèíóòó. Äâèæåíèå ñ÷èòàòü ðàâíîóñêîðåííûì. 1.16. Íàéòè óãëîâîå óñêîðåíèå êîëåñà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÷åðåç 2 ñ ïîñëå íà÷àëà ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ âåêòîð ïîëíîãî óñêîðåíèÿ òî÷êè, ëåæàùåé íà îáîäå, ñîñòàâëÿåò óãîë 60° ñ íàïðàâëåíèåì ëèíåéíîé ñêîðîñòè ýòîé òî÷êè. 1.17. Êîëåñî âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óãëîâûì óñêîðåíèåì 2 ðàä/c2. ×åðåç 0,5 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ ïîëíîå óñêîðåíèå êîëåñà ñòàëî ðàâíî 13,6 ñì/c2. Íàéòè ðàäèóñ êîëåñà. 1.18. Êîëåñî âðàùàåòñÿ òàê, ÷òî çàâèñèìîñòü óãëà ïîâîðîòà ðàäèóñà êîëåñà îò âðåìåíè äàåòñÿ óðàâíåíèåì j = À + Bt + Ct2 + Dt3, ãäå  = 1 ðàä/c, Ñ = 1 ðàä/c2 è D = 1 ðàä/c3. Íàéòè ðàäèóñ êîëåñà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ê êîíöó âòîðîé ñåêóíäû äâèæåíèÿ íîðìàëüíîå óñêîðåíèå òî÷åê, ëåæàùèõ íà îáîäå êîëåñà, ðàâíî 3,46 · 102 ì/c2. 1.19. Òåëî áðîøåíî ïîä íåêîòîðûì óãëîì ê ãîðèçîíòó. Íàéòè ýòîò óãîë, åñëè ãîðèçîíòàëüíàÿ äàëüíîñòü ïîëåòà òåëà â ÷åòûðå ðàçà áîëüøå ìàêñèìàëüíîé âûñîòû òðàåêòîðèè. 1.20. Ñíàðÿä, âûïóùåííûé èç îðóäèÿ ïîä óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó, äâàæäû áûë íà îäíîé è òîé æå âûñîòå h ñïóñòÿ 10 è 50 ñ ïîñëå âûñòðåëà. Îïðåäåëèòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü è âûñîòó h. 1.21. Ñàìîëåò, ëåòåâøèé íà âûñîòå 2940 ì ñî ñêîðîñòüþ 360 êì/÷, ñáðîñèë áîìáó. Çà êàêîå âðåìÿ t äî ïðîõîæäåíèÿ íàä öåëüþ è íà êàêîì ðàññòîÿíèè s îò íåå äîëæåí ñàìîëåò ñáðîñèòü áîìáó, ÷òîáû ïîïàñòü â öåëü? Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 1.22. Êàìåíü áðîøåí ñ âûøêè â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ 30 ì/ñ. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü, òàíãåíöèàëüíîå è íîðìàëüíîå óñêîðåíèÿ êàìíÿ â êîíöå âòîðîé ñåêóíäû ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. 1.23. Ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü òî÷åê íà îêðóæíîñòè âðàùàþùåãîñÿ äèñêà ðàâíà 3 ì/ñ. Òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå íà 10 ñì áëèæå ê îñè, èìåþò ëèíåéíóþ ñêîðîñòü 2 ì/ñ. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó âðàùåíèÿ äèñêà. 1.24. Äèñê ðàäèóñîì 20 ñì âðàùàåòñÿ ñîãëàñíî óðàâíåíèþ j = À + Ât + + Ct3, ãäå À = 3 ðàä,  = 1 ðàä/ñ, Ñ = 0,1 ðàä/c3. Îïðåäåëèòü òàíãåíöèàëüíîå, íîðìàëüíîå è ïîëíîå óñêîðåíèÿ òî÷åê íà îêðóæíîñòè äèñêà äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t = 10 ñ. 1.25. Ìàõîâèê íà÷àë âðàùàòüñÿ ðàâíîóñêîðåííî è çà âðåìÿ 10 ñ äîñòèã ñêîðîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé 300 îá/ìèí. Îïðåäåëèòü óãëîâîå óñêîðåíèå ìàõîâèêà è ÷èñëî îáîðîòîâ, êîòîðîå îí ñäåëàë çà ýòî âðåìÿ. 5
1.26. Êîëåñî àâòîìàøèíû âðàùàåòñÿ ðàâíîóñêîðåííî. Ñäåëàâ 50 ïîëíûõ îáîðîòîâ, îíî èçìåíèëî ÷àñòîòó âðàùåíèÿ îò 240 äî 360 îá/ìèí. Îïðåäåëèòü óãëîâîå óñêîðåíèå êîëåñà. 1.27. Âèíò àýðîñàíåé äåëàåò 360 îá/ìèí. Ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ àýðîñàíåé ðàâíà 54 êì/÷. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ äâèæåòñÿ îäèí èç êîíöîâ âèíòà, åñëè ðàäèóñ âèíòà ðàâåí 1 ì? 2. Èìïóëüñ. Ñèëà. Èìïóëüñ ñèëû 2.1. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé 1 êã, äâèãàÿñü ðàâíîìåðíî, îïèñûâàåò ÷åòâåðòü îêðóæíîñòè ðàäèóñà 1,2 ì â òå÷åíèå 2 ñ. Íàéòè ìîäóëü âåêòîðà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà òî÷êè çà ýòî âðåìÿ. 2.2. Òåëî ìàññîé 5 êã áðîøåíî ïîä óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ 20 ì/ñ. Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà, íàéòè: 1) èìïóëüñ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òåëî, çà âðåìÿ ïîëåòà; 2) ìîäóëü âåêòîðà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà òåëà çà âðåìÿ ïîëåòà. 2.3. Øàðèê ìàññîé 100 ã óïàë ñ âûñîòû 2,5 ì íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïëèòó, ìàññà êîòîðîé ìíîãî áîëüøå ìàññû øàðèêà, è îòñêî÷èë îò íåå ââåðõ. Ñ÷èòàÿ óäàð àáñîëþòíî óïðóãèì, íàéòè èìïóëüñ, ïîëó÷åííûé ïëèòîé. 2.4. Øàðèê ìàññîé 0,3 êã óäàðèëñÿ î ñòåíó è îòñêî÷èë îò íåå. Îïðåäåëèòü èìïóëüñ, ïîëó÷åííûé ñòåíîé, åñëè â ïîñëåäíèé ìîìåíò ïåðåä óäàðîì øàðèê èìåë ñêîðîñòü 10 ì/ñ, íàïðàâëåííóþ ïîä óãëîì 30° ê ïîâåðõíîñòè ñòåíû. Óäàð ñ÷èòàòü àáñîëþòíî óïðóãèì. 2.5. Øàðèê ìàññîé 0,1 êã ñîñêàëüçûâàåò áåç òðåíèÿ ïî æåëîáó âûñîòîé 2 ì. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü øàðèêà ðàâíà íóëþ. Íàéòè ìîäóëü âåêòîðà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà øàðèêà è èìïóëüñ, ïîëó÷åííûé æåëîáîì ïðè äâèæåíèè øàðèêà. 2.6. Ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè ñî ñêîðîñòüþ v = 10 ì/ñ òåëî ìàññîé m = 2 êã ïåðåìåñòèëîñü íà óãîë a = 120°. Íàéòè ìîäóëü âåêòîðà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà òåëà. 2.7. Æåëåçíîäîðîæíàÿ ïëàòôîðìà ìàññîé M = 20 ò äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v1 = 9 êì/÷. Èç îðóäèÿ, óñòàíîâëåííîãî íà ïëàòôîðìå, âûïóùåí ñíàðÿä ìàññîé mñ = 25 êã ñî ñêîðîñòüþ v2 = 700 ì/ñ îòíîñèòåëüíî îðóäèÿ. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ïëàòôîðìû ïîñëå âûñòðåëà: 1) êîãäà âûñòðåë ïðîèçâåäåí â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ïëàòôîðìû; 2) êîãäà âûñòðåë ïðîèçâåäåí â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Òðåíèåì ïëàòôîðìû î ðåëüñû ïðåíåáðå÷ü. 6
2.8. Ãðàíàòà, ëåòåâøàÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 10 ì/ñ, ðàçîðâàëàñü íà äâà îñêîëêà. Áîëüøèé îñêîëîê, ìàññà êîòîðîãî ñîñòàâëÿëà 60% ìàññû âñåé ãðàíàòû, ïðîäîëæàë äâèãàòüñÿ â ïðåæíåì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ v1 = 25 ì/ñ. Íàéòè ñêîðîñòü ìåíüøåãî îñêîëêà. 2.9. Øàð ìàññîé 10 êã, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ 4 ì/ñ, ñòàëêèâàåòñÿ ñ øàðîì ìàññîé 4 êã, äâèæóùèìñÿ ñî ñêîðîñòüþ 12 ì/ñ. Ñ÷èòàÿ óäàð ïðÿìûì è íåóïðóãèì, íàéòè ñêîðîñòü øàðîâ ïîñëå óäàðà â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) ìàëûé øàð íàãîíÿåò áîëüøîé øàð; 2) øàðû äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. 2.10.  ëîäêå ìàññîé 240 êã ñòîèò ÷åëîâåê ìàññîé 60 êã. Ëîäêà äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 2 ì/ñ. ×åëîâåê ïðûãàåò ñ ëîäêè â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ 4 ì/ñ (îòíîñèòåëüíî ëîäêè). Íàéòè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ëîäêè ïîñëå ïðûæêà ÷åëîâåêà â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) ÷åëîâåê ïðûãàåò âïåðåä ïî äâèæåíèþ ëîäêè; 2) ÷åëîâåê ïðûãàåò â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ äâèæåíèþ ëîäêè. 2.11. Äâà êîíüêîáåæöà ìàññàìè 80 è 50 êã, äåðæàñü çà êîíöû äëèííîãî íàòÿíóòîãî øíóðà, íåïîäâèæíî ñòîÿò íà ëüäó îäèí ïðîòèâ äðóãîãî. Îäèí èç íèõ íà÷èíàåò óêîðà÷èâàòü øíóð, âûáèðàÿ åãî ñî ñêîðîñòüþ 1 ì/ñ. Ñ êàêèìè ñêîðîñòÿìè áóäóò äâèãàòüñÿ ïî ëüäó êîíüêîáåæöû? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. 2.12. ×àñòèöà 1 ñòîëêíóëàñü ñ ÷àñòèöåé 2, â ðåçóëüòàòå ÷åãî âîçíèêëà ñîñòàâíàÿ ÷àñòèöà. Íàéòè ñêîðîñòü è àáñîëþòíîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè íîâîé ÷àñòèöû, åñëè ìàññà ÷àñòèöû 2 â äâà ðàçà áîëüøå ìàññû ÷àñòèöû 1, à èõ ñêîðîñòè ïåðåä ñòîëêíîâåíèåì ðàâíû v1 = 2i+3j, v2= 5i3j, (êîìïîíåíòû ñêîðîñòè äàíû â ì/ñ). 2.13. Ñòâîë ïóøêè íàïðàâëåí ïîä óãëîì 45° ê ãîðèçîíòó. Êîãäà êîëåñà ïóøêè çàêðåïëåíû, ñêîðîñòü ñíàðÿäà, ìàññà êîòîðîãî â 50 ðàç ìåíüøå ìàññû ïóøêè, ðàâíà 180 ì/ñ. Íàéòè ñêîðîñòü ïóøêè ñðàçó ïîñëå âûñòðåëà, åñëè êîëåñà åå îñâîáîäèòü. 2.14. Ñíàðÿä ìàññîé 5 êã, âûëåòåâøèé èç îðóäèÿ, â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè èìååò ñêîðîñòü 300 ì/ñ.  ýòîé òî÷êå îí ðàçîðâàëñÿ íà äâà îñêîëêà, áîëüøèé îñêîëîê ìàññîé 3 êã ïîëåòåë â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ 100 ì/ñ. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü âòîðîãî, ìåíüøåãî îñêîëêà. 2.15. Ñíàðÿä, âûëåòåâøèé èç îðóäèÿ ñî ñêîðîñòüþ v0 , ðàçîðâàëñÿ íà äâà îñêîëêà â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè íà ðàññòîÿíèè l (ïî ãîðèçîíòàëè). Îäèí èç îñêîëêîâ ïîëåòåë â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ 7
äâèæåíèÿ ñíàðÿäà äî ðàçðûâà. Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà, îïðåäåëèòü, íà êàêîì ðàññòîÿíèè s (ïî ãîðèçîíòàëè) îò îðóäèÿ óïàäåò âòîðîé îñêîëîê. 2.16. Ïëàòôîðìà ñ ïåñêîì îáùåé ìàññîé M = 2 ò ñòîèò íà ðåëüñàõ íà ãîðèçîíòàëüíîì ó÷àñòêå ïóòè.  ïåñîê ïîïàäàåò ñíàðÿä ìàññîé m = 8 êã è çàñòðåâàåò â íåì. Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, îïðåäåëèòü, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ áóäåò äâèãàòüñÿ ïëàòôîðìà, åñëè â ìîìåíò ïîïàäàíèÿ ñêîðîñòü ñíàðÿäà v = 450 ì/ñ, à åå íàïðàâëåíèå ñâåðõó âíèç ïîä óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó. 2.17. Ñíàðÿä â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè íà âûñîòå h = 100 ì ðàçîðâàëñÿ íà äâå ÷àñòè: m1 = 1 êã è m2 = 1,5 êã. Ñêîðîñòü ñíàðÿäà â ýòîé òî÷êå áûëà v0 = 100 ì/ñ. Ñêîðîñòü áîëüøåãî îñêîëêà v2 îêàçàëàñü ãîðèçîíòàëüíîé, ñîâïàäàþùåé ïî íàïðàâëåíèþ ñ v0 , è ðàâíîé 250 ì/c. Îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ïàäåíèÿ îáîèõ îñêîëêîâ. Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü. 2.18. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé m = 0,1 êã, äâèãàÿñü ðàâíîìåðíî, îïèñûâàåò ïîëîâèíó îêðóæíîñòè ðàäèóñà R = 1 ì çà 5 ñ. Íàéòè ìîäóëü âåêòîðà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà òî÷êè çà ýòî âðåìÿ. 2.19. Øàðèê ìàññîé m = 0,2 êã óäàðèëñÿ î ñòåíó è îòñêî÷èë îò íåå. Îïðåäåëèòü ìîäóëü âåêòîðà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà øàðèêà, åñëè â ïîñëåäíèé ìîìåíò ïåðåä óäàðîì øàðèê èìåë ñêîðîñòü v = 10 ì/ñ, íàïðàâëåííóþ ïîä óãëîì 30° ê ïîâåðõíîñòè ñòåíêè. Óäàð ñ÷èòàòü àáñîëþòíî óïðóãèì. 2.20. Ñíàðÿä, âûëåòåâøèé èç îðóäèÿ ïîä íåêîòîðûì óãëîì ê ãîðèçîíòó, â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè ðàçðûâàåòñÿ íà äâà îñêîëêà ðàâíîé ìàññû. Îäèí îñêîëîê âîçâðàùàåòñÿ ê îðóäèþ ïî ïðåæíåé òðàåêòîðèè. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ìåñòà, ãäå äîëæåí áûë áû óïàñòü ñíàðÿä, óïàäåò âòîðîé îñêîëîê? 2.21. Ñíàðÿä ìàññîé 10 êã îáëàäàë ñêîðîñòüþ 200 ì/ñ â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè.  ýòîé òî÷êå îí ðàçîðâàëñÿ íà äâå ÷àñòè. Ìåíüøàÿ ÷àñòü ìàññîé 3 êã ïîëó÷èëà ñêîðîñòü 400 ì/ñ â ïðåæíåì íàïðàâëåíèè. Íàéòè ñêîðîñòü âòîðîé ÷àñòè ïîñëå âçðûâà. 2.22. Íà æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìå óñòàíîâëåíî îðóäèå. Ìàññà ïëàòôîðìû ñ îðóäèåì M = 5 ò. Îðóäèå ñòðåëÿåò ââåðõ ïîä óãëîì a = 60° ê ãîðèçîíòó â íàïðàâëåíèè æåëåçíîäîðîæíîãî ïóòè. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ v1 ïîêàòèòñÿ ïëàòôîðìà âñëåäñòâèå îòäà÷è, åñëè ìàññà ñíàðÿäà m = 20 êã è îí âûëåòàåò ñî ñêîðîñòüþ v2 = 600 ì/ñ ? 2.23. Ñíàðÿä ìàññîé 10 êã èìåë ñêîðîñòü 200 ì/ñ â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè.  ýòîé òî÷êå îí ðàçîðâàëñÿ íà äâå ÷àñòè. Ìåíüøàÿ ÷àñòü ñ ìàññîé 3 êã ïîëåòåëà âïåðåä ïîä óãëîì 60° ê ãîðèçîíòó, ïîëó÷èâ íà÷àëü8
íóþ ñêîðîñòü 400 ì/ñ. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ è ïîä êàêèì óãëîì ê ãîðèçîíòó ïîëåòèò áîëüøèé îñêîëîê? 2.24. Òåëåæêà, ìàññà êîòîðîé M = 12 êã, äâèæåòñÿ ïî èíåðöèè ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñî ñêîðîñòüþ v = 6 ì/ñ. Ñ òåëåæêè ñîñêàêèâàåò ÷åëîâåê ìàññîé m = 80 êã ïîä óãëîì a = 30° ê íàïðàâëåíèþ åå äâèæåíèÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Ñêîðîñòü òåëåæêè óìåíüøàåòñÿ äî v1 = 5 ì/ñ. Êàêîâà áûëà ñêîðîñòü ÷åëîâåêà âî âðåìÿ ïðûæêà îòíîñèòåëüíî çåìëè? 2.25. Òåëî ìàññîé m1, äâèæóùååñÿ ñî ñêîðîñòüþ v, íàëåòàåò íà ïîêîÿùååñÿ òåëî è ïîñëå óïðóãîãî ñîóäàðåíèÿ îòñêàêèâàåò îò íåãî ïîä óãëîì 90° ê ïåðâîíà÷àëüíîìó íàïðàâëåíèþ ñâîåãî äâèæåíèÿ ñî ñêîðîñòüþ v1 = v/2. Îïðåäåëèòü ìàññó âòîðîãî òåëà. 3. Ýíåðãèÿ. Ðàáîòà. Ìîùíîñòü 3.1. Ïóëÿ, ëåòÿùàÿ ñî ñêîðîñòüþ 400 ì/ñ, ïîïàäàåò â âàë è ïðîõîäèò äî îñòàíîâêè 0,5 ì. Îïðåäåëèòü ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ âàëà äâèæåíèþ ïóëè, åñëè åå ìàññà ðàâíà 24 ã. 3.2. Äâà ãðóçà ìàññàìè 10 è 15 êã ïîäâåøåíû íà íèòÿõ äëèíîé 2 ì òàê, ÷òî ãðóçû ñîïðèêàñàþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Ìåíüøèé ãðóç áûë îòêëîíåí íà óãîë 60° è îòïóùåí. Îïðåäåëèòü âûñîòó, íà êîòîðóþ ïîäíèìóòñÿ îáà ãðóçà ïîñëå óäàðà. Óäàð ãðóçîâ ñ÷èòàòü íåóïðóãèì. 3.3. Äâà íåóïðóãèõ øàðà ìàññàìè 2 è 3 êã äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòÿìè ñîîòâåòñòâåííî 8 è 4 ì/ñ. Îïðåäåëèòü óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè øàðîâ ïðè èõ ñòîëêíîâåíèè â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) ìåíüøèé øàð íàãîíÿåò áîëüøèé; 2) øàðû äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. 3.4. Øàð ìàññîé m1, ëåòÿùèé ñî ñêîðîñòüþ 5 ì/ñ, ñòàëêèâàåòñÿ ñ íåïîäâèæíûì øàðîì ìàññîé m2. Óäàð ïðÿìîé, íåóïðóãèé. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü øàðîâ ïîñëå óäàðà, à òàêæå äîëþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ëåòÿùåãî øàðà, èçðàñõîäîâàííóþ íà óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ýòèõ øàðîâ. Ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: 1) m1 = 2 êã, m2 = 8 êã; 2) m1 = 8 êã, m2 = 2 êã. 3.5. Øàð ìàññîé m = 1,8 êã ñòàëêèâàåòñÿ ñ ïîêîÿùèìñÿ øàðîì áîëüøåé ìàññû M.  ðåçóëüòàòå ïðÿìîãî óïðóãîãî óäàðà øàð ïîòåðÿë 0,36 ñâîåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Îïðåäåëèòü ìàññó áîëüøåãî øàðà. 3.6. Èç äâóõ ñîóäàðÿþùèõñÿ àáñîëþòíî óïðóãèõ øàðîâ áîëüøèé øàð ïîêîèòñÿ.  ðåçóëüòàòå ïðÿìîãî óäàðà ìåíüøèé øàð ïîòåðÿë 0,75 ñâîåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Îïðåäåëèòü îòíîøåíèå ìàññ øàðîâ. 3.7. Øàð ìàññîé 200 ã, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ 10 ì/ñ, óäàðÿåòñÿ î íåïîäâèæíûé øàð ìàññîé 800 ã. Óäàð ïðÿìîé, àáñîëþòíî óïðóãèé. Êàêîâû áóäóò ñêîðîñòè øàðîâ ïîñëå óäàðà? 9
3.8. Áàáà êîïðà ìàññîé 400 êã ïàäàåò íà ñâàþ ìàññîé 100 êã, âáèòóþ â ãðóíò. Îïðåäåëèòü ñðåäíþþ ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ãðóíòà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðè êàæäîì óäàðå ñâàÿ ïîãðóæàåòñÿ â ãðóíò íà 5 ñì, à âûñîòà ïîäúåìà êîïðà 1,5 ì. Óäàð íåóïðóãèé. 3.9. Íåáîëüøîå òåëî íà÷èíàåò ñêîëüçèòü ñ âûñîòû h ïî íàêëîííîìó æåëîáó, ïåðåõîäÿùåìó â ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñà h/2. Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, íàéòè ñêîðîñòü òåëà â íàèâûñøåé òî÷êå åãî òðàåêòîðèè (ïîñëå îòðûâà îò æåëîáà). 3.10. Âåëîñèïåäèñò äîëæåí ïðîåõàòü ïî "÷åðòîâó êîëåñó", ðàäèóñ êîòîðîãî 8 ì. Ñ êàêîé âûñîòû îí äîëæåí íà÷àòü ðàçáåã, ÷òîáû íå óïàñòü â âåðõíåé òî÷êå êîëåñà? 3.11. Òåëî ìàññîé m ñîñêàëüçûâàåò ñ ãîðû âûñîòîé h è îñòàíàâëèâàåòñÿ. Êàêóþ ðàáîòó íóæíî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïîäíÿòü òåëî îáðàòíî íà ãîðó? 3.12. Íåáîëüøîå òåëî íà÷èíàåò ñêîëüçèòü ñ âåðøèíû ãëàäêîé ñôåðû ðàäèóñà R. Íàéòè óãîë ìåæäó âåðòèêàëüþ è ðàäèóñ-âåêòîðîì, õàðàêòåðèçóþùèì ïîëîæåíèå òåëà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ñôåðû, â ìîìåíò îòðûâà îò íåå, à òàêæå ñêîðîñòü òåëà â ýòîò ìîìåíò. 3.13. Âàãîí ìàññîé m = 12 ò äâèãàëñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 1 ì/ñ. Íàëåòåâ íà ïðóæèííûé áóôåð, îí îñòàíîâèëñÿ, ñæàâ ïðóæèíó áóôåðà íà x = 10 ñì. Íàéòè æåñòêîñòü k ïðóæèíû. 3.14.  ïðóæèííîì ðóæüå ïðóæèíà ñæàòà íà 20 ñì. Ïðè âçâîäå åå ñæàëè åùå íà 30 ñì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ âûëåòèò èç ðóæüÿ ñòðåëà ìàññîé 50 ã, åñëè æåñòêîñòü ïðóæèíû ðàâíà 120 Í/ì? 3.15. Ïðè âûñòðåëå èç ïðóæèííîãî ïèñòîëåòà âåðòèêàëüíî ââåðõ ïóëÿ ìàññîé 15 ã ïîäíÿëàñü íà âûñîòó 7 ì. Îïðåäåëèòü æåñòêîñòü ïðóæèíû ïèñòîëåòà, åñëè îíà áûëà ñæàòà íà 10 ñì. Ìàññîé ïðóæèíû ïðåíåáðå÷ü. 3.16. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ âûëåòèò èç ïðóæèííîãî ïèñòîëåòà øàðèê ìàññîé 10 ã, åñëè ïðóæèíà áûëà ñæàòà íà 5 ñì? Æåñòêîñòü ïðóæèíû ðàâíà 200 Í/ì. 3.17. ßùèê ñ ïåñêîì ìàññîé 10 êã óäåðæèâàåòñÿ ïðóæèíîé, æåñòêîñòü êîòîðîé 30 Í/ñì. Ïóëÿ ìàññîé 10 ã, äâèæóùàÿñÿ ñî ñêîðîñòüþ 500 ì/ñ, ïîïàäàåò â ÿùèê è çàñòðåâàåò â íåì. Îïðåäåëèòü, íà ñêîëüêî ïðè ýòîì ñîæìåòñÿ ïðóæèíà. 3.18. Ïóëÿ, ëåòÿùàÿ ãîðèçîíòàëüíî, ïîïàäàåò â øàð, ïîäâåøåííûé íà ëåãêîì æåñòêîì ñòåðæíå, è çàñòðåâàåò â íåì. Ìàññà ïóëè â 1000 ðàç ìåíüøå ìàññû øàðà. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïîäâåñà ñòåðæíÿ äî öåíòðà 10
øàðà 1 ì. Íàéòè ñêîðîñòü ïóëè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñòåðæåíü ñ øàðîì îòêëîíèëñÿ îò óäàðà ïóëè íà óãîë 10°. Óäàð ñ÷èòàòü öåíòðàëüíûì. 3.19. Òîíêèé ïðÿìîé ñòåðæåíü äëèíîé 1 ì ïðèêðåïëåí ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî êîíåö. Ñòåðæåíü îòêëîíèëè íà óãîë 60° îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è îòïóñòèëè. Îïðåäåëèòü ëèíåéíóþ ñêîðîñòü íèæíåãî êîíöà ñòåðæíÿ â ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. 3.20. Îïðåäåëèòü ëèíåéíóþ ñêîðîñòü öåíòðà øàðà, ñêàòèâøåãîñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè âûñîòîé 1 ì. 3.21. Ñêîëüêî âðåìåíè áóäåò ñêàòûâàòüñÿ (áåç ñêîëüæåíèÿ) îáðó÷ ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè äëèíîé 2 ì è âûñîòîé 10 ñì? 3.22. Îäíîðîäíûå öèëèíäð è øàð íà÷èíàþò îäíîâðåìåííî ñêàòûâàòüñÿ (áåç ñêîëüæåíèÿ) ñ âåðøèíû íàêëîííîé ïëîñêîñòè. ×òî áûñòðåå äîñòèãíåò îñíîâàíèÿ ïëîñêîñòè? 3.23. Êàðàíäàø äëèíîé 15 ñì, ïîñòàâëåííûé âåðòèêàëüíî, ïàäàåò íà ñòîë. Êàêóþ óãëîâóþ è ëèíåéíóþ ñêîðîñòè áóäåò èìåòü â êîíöå ïàäåíèÿ: 1) ñåðåäèíà êàðàíäàøà; 2) âåðõíèé åãî êîíåö? Ñ÷èòàòü, ÷òî òðåíèå íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî íèæíèé êîíåö êàðàíäàøà íå ïðîñêàëüçûâàåò. 3.24. Íà êàêóþ âûñîòó íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè ïîäíèìåòñÿ ðàêåòà, ïóùåííàÿ âåðòèêàëüíî ââåðõ, åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàêåòû ðàâíà ïåðâîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòè? 3.25. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê (ãðóç ìàëûõ ðàçìåðîâ íà ëåãêîì ïîäâåñå äëèíû l) íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. Êàêóþ íàèìåíüøóþ ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü ãðóçó, ÷òîáû îí ìîã ñîâåðøèòü ïîëíûé îáîðîò. Ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: ãðóç ïîäâåøåí: 1) íà æåñòêîì ñòåðæíå; 2) íà íåðàñòÿæèìîé íèòè. 4. Ìîìåíò èìïóëüñà. Ìîìåíò ñèëû 4.1. Ðàñïîëîæåííûé âåðòèêàëüíî îäíîðîäíûé òîíêèé ñòåðæåíü À ìàññîé 0,2 êã è äëèíîé 1 ì ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O, ëåæàùóþ ìåæäó À è Â.  íèæíþþ òî÷êó A íà ñòåðæíå ïîïàäàåò ïëàñòèëèíîâûé øàðèê, ëåòÿùèé ãîðèçîíòàëüíî (ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè âðàùåíèÿ) ñî ñêîðîñòüþ 10 ì/ñ è ïðèëèïàåò ê ñòåðæíþ. Ìàññà øàðèêà ðàâíà 10 ã. Îïðåäåëèòü óãëîâóþ ñêîðîñòü ñòåðæíÿ è ëèíåéíóþ ñêîðîñòü òî÷êè  â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è O 1/2 ì. 4.2. Ðàñïîëîæåííûé âåðòèêàëüíî îäíîðîäíûé òîíêèé ñòåðæåíü À ìàññîé 0,2 êã è äëèíîé 1 ì ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîí11
òàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O, ëåæàùóþ ìåæäó À è Â.  íèæíþþ òî÷êó A íà ñòåðæíå ïîïàäàåò ïëàñòèëèíîâûé øàðèê, ëåòÿùèé ãîðèçîíòàëüíî (ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè âðàùåíèÿ) ñî ñêîðîñòüþ 10 ì/ñ è ïðèëèïàåò ê ñòåðæíþ. Ìàññà øàðèêà ðàâíà 10 ã. Îïðåäåëèòü óãëîâóþ ñêîðîñòü ñòåðæíÿ è ëèíåéíóþ ñêîðîñòü òî÷êè  â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è O 2/3 ì. 4.3. Ðàñïîëîæåííûé âåðòèêàëüíî îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíû l ìîæåò âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðõíèé åãî êîíåö.  òî÷êó, îòñòîÿùóþ îò îñè âðàùåíèÿ íà 2l/3, óäàðÿåòñÿ òåëî ìàññû m, ëåòÿùåå ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ñòåðæíþ è îñè. Ïîñëå óäàðà ñòåðæåíü îòêëîíÿåòñÿ íà óãîë á, à òåëî îòñêàêèâàåò íàçàä ñî ñêîðîñòüþ v. Íàéòè íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü òåëà. Ìàññà ñòåðæíÿ Ì. 4.4. Ïëàòôîðìà â âèäå äèñêà ðàäèóñîì 1,5 ì è ìàññîé 180 êã âðàùàåòñÿ ïî èíåðöèè îêîëî âåðòèêàëüíîé îñè, äåëàÿ 10 îáîðîòîâ â ìèíóòó.  öåíòðå ïëàòôîðìû ñòîèò ÷åëîâåê ìàññîé 60 êã. Êàêóþ ëèíåéíóþ ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî ïîëà ïîìåùåíèÿ áóäåò èìåòü ÷åëîâåê, åñëè îí ïåðåéäåò íà êðàé ïëàòôîðìû? 4.5. Íà êðàþ ãîðèçîíòàëüíîé ïëàòôîðìû, èìåþùåé ôîðìó äèñêà ðàäèóñîì R = 2 ì, ñòîèò ÷åëîâåê ìàññîé 80 êã. Ìàññà ïëàòôîðìû ðàâíà 240 êã. Ïëàòôîðìà ìîæåò âðàùàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åå öåíòð. Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, íàéòè, ñ êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ áóäåò âðàùàòüñÿ ïëàòôîðìà, åñëè ÷åëîâåê áóäåò èäòè âäîëü åå êðàÿ ñî ñêîðîñòüþ 2 ì/ñ îòíîñèòåëüíî ïëàòôîðìû. 4.6. Ïëàòôîðìà, èìåþùàÿ ôîðìó äèñêà, ìîæåò âðàùàòüñÿ îêîëî âåðòèêàëüíîé îñè. Íà êðàþ ïëàòôîðìû ñòîèò ÷åëîâåê ìàññîé 60 êã. Íà êàêîé óãîë ïîâåðíåòñÿ ïëàòôîðìà, åñëè ÷åëîâåê ïîéäåò âäîëü êðàÿ ïëàòôîðìû è, îáîéäÿ åãî, âåðíåòñÿ â èñõîäíóþ òî÷êó íà ïëàòôîðìå? Ìàññà ïëàòôîðìû ðàâíà 240 êã. Ìîìåíò èíåðöèè ÷åëîâåêà ðàññ÷èòûâàòü êàê äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. 4.7. Ïëàòôîðìà â âèäå äèñêà ðàäèóñîì 1 ì âðàùàåòñÿ ïî èíåðöèè, ñîâåðøàÿ 6 îá/ìèí. Íà êðàþ ïëàòôîðìû ñòîèò ÷åëîâåê, ìàññà êîòîðîãî ðàâíà 80 êã. Ñ êàêîé ÷àñòîòîé áóäåò âðàùàòüñÿ ïëàòôîðìà, åñëè ÷åëîâåê ïåðåéäåò â åå öåíòð? Ìîìåíò èíåðöèè ïëàòôîðìû ðàâåí 120 êã/ì2. Ìîìåíò èíåðöèè ÷åëîâåêà ðàññ÷èòûâàòü êàê äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. 4.8.  öåíòðå ñêàìüè Æóêîâñêîãî ñòîèò ÷åëîâåê è äåðæèò â ðóêàõ ñòåðæåíü äëèíîé 2,4 ì è ìàññîé 8 êã, ðàñïîëîæåííûé âåðòèêàëüíî ïî îñè âðàùåíèÿ. Ñêàìüÿ ñ ÷åëîâåêîì ñîâåðøàåò 60 îá/ìèí. Ñ êàêîé ÷àñòîòîé áóäåò âðàùàòüñÿ ñêàìüÿ ñ ÷åëîâåêîì, åñëè îí ïîâåðíåò ñòåðæåíü 12
â ãîðèçîíòàëüíîå ïîëîæåíèå? Ñóììàðíûé ìîìåíò èíåðöèè ÷åëîâåêà è ñêàìüè ðàâåí 6 êã/ì2. 4.9. ×åëîâåê ñòîèò íà ñêàìüå Æóêîâñêîãî è äåðæèò â ðóêàõ ñòåðæåíü, ðàñïîëîæåííûé âåðòèêàëüíî âäîëü îñè âðàùåíèÿ. Ñòåðæåíü ñëóæèò îñüþ âðàùåíèÿ êîëåñà, ðàñïîëîæåííîãî íà âåðõíåì êîíöå ñòåðæíÿ. Ñêàìüÿ íåïîäâèæíà, êîëåñî âðàùàåòñÿ, äåëàÿ 600 îá/ìèí. Ðàäèóñ R êîëåñà ðàâåí 20 ñì, åãî ìàññà m = 3 êã. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó âðàùåíèÿ ñêàìüè, åñëè ÷åëîâåê ïîâåðíåò ñòåðæåíü íà óãîë 180°. Ñóììàðíûé ìîìåíò èíåðöèè ÷åëîâåêà è ñêàìüè ðàâåí 6 êã/ì2. Ìàññó êîëåñà ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ïî îáîäó. 4.10. ×åëîâåê ñòîèò íà ñêàìüå Æóêîâñêîãî è ëîâèò ðóêîé ìÿ÷ ìàññîé 0,4 êã, ëåòÿùèé â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ 20 ì/ñ. Òðàåêòîðèÿ ìÿ÷à ïðîõîäèò íà ðàññòîÿíèè 0,8 ì îò âåðòèêàëüíîé îñè âðàùåíèÿ ñêàìüè. Ñ êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ íà÷íåò âðàùàòüñÿ ñêàìüÿ ñ ÷åëîâåêîì, ïîéìàâøèì ìÿ÷, åñëè ñóììàðíûé ìîìåíò èíåðöèè ÷åëîâåêà è ñêàìüè ðàâåí 6 êã?·ì2? 4.11. Äåðåâÿííûé ñòåðæåíü ìàññîé M = 6 êã è äëèíîé 2 ì ìîæåò âðàùàòüñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî âåðõíèé êîíåö.  íèæíèé êîíåö ñòåðæíÿ ïîïàäàåò ïóëÿ ìàññîé m = 10 ã, ëåòåâøàÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 10 ì/ñ ïåðïåíäèêóëÿðíî ñòåðæíþ è îñè, è çàñòðåâàåò â íåì. Îïðåäåëèòü êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ïîñëå óäàðà. 4.12. Äåðåâÿííûé ñòåðæåíü ìàññîé M = 6 êã è äëèíîé 2 ì ìîæåò âðàùàòüñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî âåðõíèé êîíåö.  íèæíèé êîíåö ñòåðæíÿ ïîïàäàåò ïóëÿ ìàññîé m = 10 ã, ëåòåâøàÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 10 ì/ñ ïåðïåíäèêóëÿðíî ñòåðæíþ è îñè, è çàñòðåâàåò â íåì. Íà êàêîé ìàêñèìàëüíûé óãîë îò âåðòèêàëè îòêëîíèòñÿ ñèñòåìà ïîñëå óäàðà? 4.13. Ãîðèçîíòàëüíàÿ ïëàòôîðìà â âèäå ñïëîøíîãî äèñêà ìàññîé 200 êã âðàùàåòñÿ ïî èíåðöèè âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ïëàòôîðìû, äåëàÿ 10 îá/ìèí. ×åëîâåê ìàññîé 70 êã ñòîèò ïðè ýòîì íà êðàþ ïëàòôîðìû. Ñ êàêîé ÷àñòîòîé áóäåò âðàùàòüñÿ ïëàòôîðìà, åñëè ÷åëîâåê ïåðåéäåò îò êðàÿ ïëàòôîðìû ê åå öåíòðó? Ìîìåíò èíåðöèè ÷åëîâåêà ðàññ÷èòûâàòü êàê äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. 4.14. Ãîðèçîíòàëüíàÿ ïëàòôîðìà ìàññîé M = 80 êã è ðàäèóñîì R = 1 ì âðàùàåòñÿ, ñîâåðøàÿ 20 îá/ìèí.  öåíòðå ïëàòôîðìû ñòîèò ÷åëîâåê è äåðæèò â ðàññòàâëåííûõ ðóêàõ ãèðè. Ñ êàêîé ÷àñòîòîé áóäåò âðàùàòüñÿ 13
ïëàòôîðìà, åñëè ÷åëîâåê, îïóñòèâ ðóêè, óìåíüøèò ñâîé ìîìåíò èíåðöèè îò 2,94 äî 0,98 êã/ì2. Ñ÷èòàòü ïëàòôîðìó îäíîðîäíûì äèñêîì. 4.15. ×åëîâåê ìàññîé 60 êã íàõîäèòñÿ íà íåïîäâèæíîé ïëàòôîðìå ìàññîé 100 êã. Ñ êàêîé ÷àñòîòîé áóäåò âðàùàòüñÿ ïëàòôîðìà, åñëè ÷åëîâåê áóäåò äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r = 5 ì âîêðóã îñè âðàùåíèÿ? Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî ïëàòôîðìû v = 4 êì/÷. Ðàäèóñ ïëàòôîðìû R = 10 ì. Ñ÷èòàòü ïëàòôîðìó îäíîðîäíûì äèñêîì, à ÷åëîâåêà òî÷å÷íîé ìàññîé. 4.16. Òîíêèé îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 1 ì ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî âåðõíèé êîíåö. Ñòåðæåíü îòêëîíèëè îò âåðòèêàëè íà óãîë a = 60° è îòïóñòèëè. Îïðåäåëèòü äëÿ íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè óãëîâîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿ íèæíåãî êîíöà ñòåðæíÿ. 4.17. Òîíêèé îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 1 ì ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íåãî íà ðàññòîÿíèè 1/3 ì îò åãî âåðõíåãî êîíöà. Ñòåðæåíü îòêëîíèëè îò âåðòèêàëè íà óãîë a = 60° è îòïóñòèëè. Îïðåäåëèòü äëÿ íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè óãëîâîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿ íèæíåãî êîíöà ñòåðæíÿ. 4.18. Íà áàðàáàí ðàäèóñîì R = 0,4 ì íàìîòàí øíóð, ê êîíöó êîòîðîãî ïðèâÿçàí ãðóç ìàññîé 15 êã. Íàéòè ìîìåíò èíåðöèè áàðàáàíà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ãðóç îïóñêàåòñÿ ñ óñêîðåíèåì 2,8 ì/ñ2. 4.19. Íà áàðàáàí ìàññîé 15 êã íàìîòàí øíóð, ê êîíöó êîòîðîãî ïðèâÿçàí ãðóç ìàññîé 3 êã. Íàéòè óñêîðåíèå ãðóçà. Áàðàáàí ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì öèëèíäðîì, òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. 4.20. Ìàõîâîå êîëåñî, ìîìåíò èíåðöèè êîòîðîãî 245 êã/ì2, âðàùàåòñÿ, ñîâåðøàÿ 120 îá/ìèí. ×åðåç 1 ìèí îíî îñòàíàâëèâàåòñÿ. Íàéòè ìîìåíò ñèë òðåíèÿ. Êîëåñî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì äèñêîì. 4.21. Ìàõîâîå êîëåñî, ìîìåíò èíåðöèè êîòîðîãî 245 êã/ì2, âðàùàåòñÿ, ñîâåðøàÿ 120 îá/ìèí. ×åðåç 1 ìèí. îíî îñòàíàâëèâàåòñÿ. Íàéòè ÷èñëî îáîðîòîâ, êîòîðîå ñäåëàëî êîëåñî çà ýòî âðåìÿ. Êîëåñî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì äèñêîì. 4.22. Ìàõîâèê ðàäèóñîì 0,3 ì è ìàññîé 15 êã ñîåäèíåí ñ ìîòîðîì ïðè ïîìîùè ïðèâîäíîãî ðåìíÿ. Íàòÿæåíèå ðåìíÿ, èäóùåãî áåç ñêîëüæåíèÿ, ïîñòîÿííî è ðàâíî 19,8 Í. Êàêîå ÷èñëî îá/ñ áóäåò äåëàòü ìàõîâèê ÷åðåç 10 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ? Ìàõîâèê ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì äèñêîì. Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. 14
4.23. Äèñê ìàññîé 0,5 êã è äèàìåòðîì 400 ìì âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ 157 ðàä/ñ. Ïðè òîðìîæåíèè îí îñòàíàâëèâàåòñÿ â òå÷åíèå 10 ñ. Íàéòè ñðåäíþþ âåëè÷èíó òîðìîçÿùåãî ìîìåíòà. 4.24. Áëîê, êîòîðûé ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì äèñêîì ìàññîé m = 200 ã, óêðåïëåí íà ãîðèçîíòàëüíîé îñè. ×åðåç íåãî ïåðåêèíóòà íèòü ñ óêðåïëåííûìè íà åå êîíöàõ ãðóçàìè 325 è 225 ã. Íèòü íå ñêîëüçèò ïî áëîêó. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì áóäóò äâèãàòüñÿ ãðóçû? 4.25. ×åðåç íåïîäâèæíûé áëîê ìàññîé m = 0,2 êã ïåðåêèíóò øíóð, ê êîíöàì êîòîðîãî ïîäâåñèëè ãðóçû ìàññàìè 0,3 è 0,5 êã. Îïðåäåëèòü ñèëû íàòÿæåíèÿ øíóðà ïî îáå ñòîðîíû áëîêà âî âðåìÿ äâèæåíèÿ ãðóçîâ, åñëè ìàññà áëîêà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà ïî îáîäó. 5. Ñìåøàííûå çàäà÷è 5.1. ×àñòèöà äâèæåòñÿ âäîëü îñè x ïî çàêîíó x = at2 bt3, ãäå a è b ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå.  ìîìåíò t = 0 ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó, ðàâíà F. Íàéòè çíà÷åíèÿ ñèëû â òî÷êàõ ïîâîðîòà è â ìîìåíò, êîãäà ÷àñòèöà îïÿòü îêàæåòñÿ â òî÷êå x = 0. 5.2. Íåáîëüøîå òåëî ïóñòèëè ñíèçó ââåðõ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè, cîñòàâëÿþùåé óãîë 15° ñ ãîðèçîíòîì. Íàéòè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ, åñëè âðåìÿ ïîäúåìà òåëà îêàçàëîñü â 2 ðàçà ìåíüøå âðåìåíè ñïóñêà. 5.3. Øàéáó ïîëîæèëè íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü è ñîîáùèëè íàïðàâëåííóþ ââåðõ íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó øàéáîé è ïëîñêîñòüþ ðàâåí k. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè óãëà íàêëîíà øàéáà ïðîéäåò ââåðõ ïî ïëîñêîñòè íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå? ×åìó îíî ðàâíî? 5.4. ×åðåç áëîê, ïðèêðåïëåííûé ê ïîòîëêó êàáèíû ëèôòà, ïåðåêèíóòà íèòü, ê êîíöàì êîòîðîé ïðèâÿçàíû ãðóçû ñ ìàññàìè m1 è m2. Êàáèíà íà÷èíàåò ïîäíèìàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì a. Ïðåíåáðåãàÿ ìàññàìè áëîêà è íèòè, à òàêæå òðåíèåì, íàéòè: à) óñêîðåíèå ãðóçà m1 îòíîñèòåëüíî êàáèíû; á) ñèëó, ñ êîòîðîé áëîê äåéñòâóåò íà ïîòîëîê êàáèíû. 5.5. Øàðèê, ïîäâåøåííûé íà íèòè, êà÷àåòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè òàê, ÷òî åãî óñêîðåíèÿ â êðàéíåì è íèæíåì ïîëîæåíèÿõ ðàâíû ïî ìîäóëþ äðóã äðóãó. Íàéòè óãîë îòêëîíåíèÿ íèòè â êðàéíåì ïîëîæåíèè. 5.6. Äâà áðóñêà ñ ìàññàìè m1 è m2, ñîåäèíåííûå íåäåôîðìèðîâàííîé ëåãêîé ïðóæèíêîé, ëåæàò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè è ïëîñêîñòüþ ðàâåí k. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ïîñòîÿííóþ ñèëó íóæíî ïðèëîæèòü â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ê áðóñêó ñ m1, ÷òîáû äðóãîé áðóñîê ñäâèíóëñÿ ñ ìåñòà? 15
5.7. ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R ñ íîðìàëüíûì óñêîðåíèåì, êîòîðîå ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó an = at2, ãäå a ïîñòîÿííàÿ. Íàéòè çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ìîùíîñòè âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöó, à òàêæå ñðåäíåå çíà÷åíèå ýòîé ìîùíîñòè çà ïåðâûå t ñåêóíä ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. 5.8. Áðóñîê ìàññû m = 1,00 êã íàõîäèòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñ êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ k = 0,27.  íåêîòîðûé ìîìåíò åìó ñîîáùèëè íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü 1,50 ì/ñ. Íàéòè ñðåäíþþ ìîùíîñòü ñèëû òðåíèÿ çà âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ áðóñêà. 5.9. Êàêóþ ìîùíîñòü ðàçâèâàþò äâèãàòåëè ðàêåòû ìàññîé M, êîòîðàÿ íåïîäâèæíî âèñèò íàä Çåìëåé, åñëè ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçîâ ðàâíà u? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ èçâåñòíî. 5.10. ×àñòèöà ìàññû m = 4,0 ã äâèæåòñÿ â äâóìåðíîì ïîëå, ãäå åå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U = axy, a = 0,19 ìÄæ/ì2.  òî÷êå 1 (3; 4 ì) ÷àñòèöà èìåëà ñêîðîñòü 3,0 ì/ñ, à â òî÷êå 2 (5; 6 ì) ñêîðîñòü 4,0 ì/ñ. Íàéòè ðàáîòó ñòîðîííèõ ñèë íà ïóòè ìåæäó òî÷êàìè 1 è 2. 5.11. Íåáîëüøîé øàðèê ìàññû m = 50 ã ïðèêðåïëåí ê êîíöó óïðóãîé íèòè, æåñòêîñòü êîòîðîé k = 63 Í/ì. Íèòü ñ øàðèêîì îòâåëè â ãîðèçîíòàëüíîå ïîëîæåíèå, íå äåôîðìèðóÿ íèòè, è îñòîðîæíî îòïóñòèëè. Êîãäà íèòü ïðîõîäèëà âåðòèêàëüíîå ïîëîæåíèå, åå äëèíà îêàçàëàñü 1,5 ì, à ñêîðîñòü øàðèêà ñîñòàâèëà 3,0 ì/ñ. Íàéòè ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè â ýòîì ïîëîæåíèè. 5.12. Ãëàäêèé ëåãêèé ãîðèçîíòàëüíûé ñòåðæåíü AB ìîæåò âðàùàòüñÿ áåç òðåíèÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî êîíåö A. Íà ñòåðæíå íàõîäèòñÿ íåáîëüøàÿ ìóôòî÷êà ìàññû m, ñîåäèíåííàÿ íåâåñîìîé ïðóæèíêîé äëèíû l ñ êîíöîì A. Æåñòêîñòü ïðóæèíêè ðàâíà k. Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ýòó ñèñòåìó ìåäëåííî ðàñêðóòèòü äî óãëîâîé ñêîðîñòè w? 5.13. Ãëàäêèé ðåçèíîâûé øíóð, äëèíà êîòîðîãî l è æåñòêîñòü k, ïîäâåøåí îäíèì êîíöîì ê òî÷êå O. Íà äðóãîì êîíöå èìååòñÿ óïîð. Èç òî÷êè O íà÷èíàåò ïàäàòü íåáîëüøàÿ ìóôòî÷êà ìàññû m. Ïðåíåáðåãàÿ ìàññàìè øíóðà è óïîðà, íàéòè ìàêñèìàëüíîå ðàñòÿæåíèå øíóðà. 5.14. Íåáîëüøàÿ øàéáà ìàññû m = 5,0 ã íà÷èíàåò ñêîëüçèòü, åñëè åå ïîëîæèòü íà øåðîõîâàòóþ ïîâåðõíîñòü ïîëóñôåðû íà âûñîòå 60 ñì îò ãîðèçîíòàëüíîãî îñíîâàíèÿ ïîëóñôåðû. Ïðîäîëæàÿ ñêîëüçèòü, øàéáà îòðûâàåòñÿ îò ïîëóñôåðû íà âûñîòå 25 ñì. Íàéòè ðàáîòó ñèë òðåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà øàéáó ïðè åå ñîñêàëüçûâàíèè. 5.15. Øàðèê ìàññû m áðîñèëè ïîä óãëîì á ê ãîðèçîíòó ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v. Íàéòè ìîäóëü ìîìåíòà èìïóëüñà øàðèêà îòíîñèòåëüíî òî÷16
êè áðîñàíèÿ â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 5.16. Øàðèê ìàññû m ïàäàåò áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ñ âûñîòû h íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè. Íàéòè ìîäóëü ïðèðàùåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà øàðèêà çà âðåìÿ ïàäåíèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè O ñèñòåìû îòñ÷åòà, äâèæóùåéñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñî ñêîðîñòüþ v â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè.  ìîìåíò íà÷àëà ïàäåíèÿ òî÷êà O ñîâïàäàëà ñ øàðèêîì. Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü. 5.17. ×åëîâåê ìàññû m ñòîèò íà êðàþ ãîðèçîíòàëüíîãî îäíîðîäíîãî äèñêà ìàññû M è ðàäèóñà R, êîòîðûé ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé âåðòèêàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð.  íåêîòîðûé ìîìåíò ÷åëîâåê íà÷àë äâèãàòüñÿ ïî êðàþ äèñêà, ñîâåðøèë ïåðåìåùåíèå íà óãîë j îòíîñèòåëüíî äèñêà è îñòàíîâèëñÿ. Ïðåíåáðåãàÿ ðàçìåðàìè ÷åëîâåêà, íàéòè óãîë, íà êîòîðûé ïîâåðíóëñÿ äèñê ê ìîìåíòó îñòàíîâêè ÷åëîâåêà. 5.18. Îäíîðîäíûé øàð ìàññû m = 5,0 êã ñêàòûâàåòñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé óãîë 30° ñ ãîðèçîíòîì. Íàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ øàðà ÷åðåç t = 1,6 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. 5.19. Îäíîðîäíûé øàð ðàäèóñà r ñêàòûâàåòñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ñ âåðøèíû ñôåðû ðàäèóñà R. íàéòè óãëîâóþ ñêîðîñòü øàðà ïîñëå îòðûâà îò ñôåðû. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü øàðà ïðåíåáðåæèìî ìàëà. 5.20. Îäíîðîäíûé ñïëîøíîé öèëèíäð ðàäèóñà R è ìàññû Ì ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Íà öèëèíäð â îäèí ðÿä íàìîòàí òîíêèé øíóð äëèíû l è ìàññû m. Íàéòè óãëîâîå óñêîðåíèå öèëèíäðà â çàâèñèìîñòè îò äëèíû x ñâåøèâàþùåéñÿ ÷àñòè øíóðà. Ñ÷èòàòü, ÷òî öåíòð ìàññ íàìîòàííîé ÷àñòè øíóðà íàõîäèòñÿ íà îñè öèëèíäðà. 5.21. Íàéòè ìîìåíò èíåðöèè òîíêîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíêè îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäíó èç âåðøèí ïëàñòèíêè ïåðïåíäèêóëÿðíî ê åå ïëîñêîñòè, åñëè ñòîðîíû ïëàñòèíêè ðàâíû a è b, à åå ìàññà m. 5.22. Èç ñïëîøíîãî îäíîðîäíîãî öèëèíäðà ñäåëàëè ïîëûé, óäàëèâ ïîëîâèíó ìàññû. Âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèòñÿ ìîìåíò èíåðöèè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî îñè? 5.23. Íà äèñê ðàäèóñîì 0,1 ì è ìàññîé 2 êã äåéñòâóåò êàñàòåëüíàÿ ñèëà 20 Í, âûçûâàþùàÿ åãî âðàùåíèå. Íàéòè óãëîâîå óñêîðåíèå äèñêà, åñëè ìîìåíò òðåíèÿ â îñè äèñêà 0,5 Í·ì. 5.24. ×åòûðå ìàëåíüêèõ øàðèêà ïî 50 ã êàæäûé ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ êâàäðàòà, îáðàçîâàííîãî æåñòêèìè íåâåñîìûìè ñòåðæíÿìè äëè17
íîé 1 ì. Îïðåäåëèòü ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè êâàäðàòà è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð. 5.25. Öèëèíäð ðàäèóñîì 0,1 ì è ìàññîé 5 êã âðàùàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì êàñàòåëüíîé ñèëû 10 Í. Íàéòè íîðìàëüíîå, òàíãåíöèàëüíîå è ïîëíîå óñêîðåíèÿ òî÷åê íà ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ÷åðåç 1 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. 5.26. Ñòåðæåíü ìàññû M è äëèíû l, ïîäâåøåííûé çà îäèí èç åãî êîíöîâ, îòêëîíèëè íà 90° è îòïóñòèëè. Âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îí íåóïðóãî ñîóäàðÿåòñÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì ìàÿòíèêîì ìàññû m è òîé æå äëèíû l. Îïðåäåëèòü óãëîâóþ ñêîðîñòü ïîñëå ñîóäàðåíèÿ. 5.27. Òðè ìàëåíüêèõ øàðèêà ìàññàìè 20 ã êàæäûé ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ òðåóãîëüíèêà è ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé æåñòêèìè íåâåñîìûìè ñòåðæíÿìè äëèíîé 0,5 ì êàæäûé. Íàéòè ìîìåíò èíåðöèè ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð. 6. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà 6.1. Ñòåðæåíü íàïðàâëåí â ñîáñòâåííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ïîä óãëîì 45° ê îñè x¢. Ïîä êàêèì óãëîì ê îñè õ áóäåò íàïðàâëåí ýòîò ñòåðæåíü â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, â êîòîðîé îí äâèæåòñÿ âäîëü ýòîé îñè ñî ñêîðîñòüþ v = (2/3)1/2·c. 6.2. Ñòåðæåíü, èìåþùèé ñîáñòâåííóþ äëèíó 1 ì, íàïðàâëåí â ñîáñòâåííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ïîä óãëîì 45° ê îñè x2 . Íàéòè äëèíó ýòîãî ñòåðæíÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, â êîòîðîé îí äâèæåòñÿ âäîëü îñè x ñî ñêîðîñòüþ v = (2/3)1/2·c. 6.3. Ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî îòíîñÿòñÿ, êàê y0/x0 = 3/5, äâèæåòñÿ âäîëü îñè õ. Ïðè êàêîé ñêîðîñòè ýòîò ïðÿìîóãîëüíèê äëÿ íåïîäâèæíîãî íàáëþäàòåëÿ ñòàíåò êâàäðàòîì? Îòâåò ïðèâåñòè â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà. 6.4. Ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè x0 = 2 ì, y0 = 1 ì äâèæåòñÿ âäîëü îñè õ ñî ñêîðîñòüþ v = 0,6 c. Íàéòè îòíîøåíèå äëèí ñòîðîí x/y ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. 6.5. Ðîìá ñ óãëîì 60° äâèæåòñÿ âäîëü ñâîåé äëèííîé äèàãîíàëè. Ïðè êàêîé ñêîðîñòè ðîìáà íàáëþäàòåëü èç ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà óâèäèò êâàäðàò? Îòâåò ïðèâåñòè â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà. 6.6. Êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1 ì äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 0,2 c âäîëü îäíîé èç ñâîèõ ñòîðîí. Íàéòè äëèíó äèàãîíàëè êâàäðàòà äëÿ íàáëþäàòåëÿ èç ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà. 6.7. Äâèæóùèéñÿ âäîëü ñâîåé îñè ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ ñòåðæåíü èìååò äëÿ íàáëþäàòåëÿ èç ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà äëèíó l1 = 1 ì. 18
Ïðè óâåëè÷åíèè ñêîðîñòè òåëà â 4/3 ðàçà äëèíà ñòåðæíÿ ñòàëà l2 = 0,75 ì. Íàéòè ñîáñòâåííóþ äëèíó ñòåðæíÿ. 6.8. Ñòåðæåíü ñ ñîáñòâåííîé äëèíîé l0 = 1,25 ì äâèæåòñÿ âäîëü ñâîåé îñè è èìååò â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà äëèíó l1 = 1 ì. Âî ñêîëüêî ðàç íóæíî óâåëè÷èòü ñêîðîñòü ñòåðæíÿ, ÷òîáû åãî äëèíà ñîêðàòèëàñü äî l2 = 0,75 ì. 6.9. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ è â êàêîì íàïðàâëåíèè äîëæåí äâèãàòüñÿ ýëëèïñ, îäíà èç ãëàâíûõ îñåé êîòîðîãî íà 20% êîðî÷å äðóãîé, ÷òîáû äëÿ íàáëþäàòåëÿ èç ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà îí ïðåâðàòèëñÿ â êðóã? 6.10. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà äîëæíî äâèãàòüñÿ òåëî, ÷òîáû åãî îáúåì óìåíüøèëñÿ íà 1/13 ÷àñòü åãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ? 6.11. Ñêîëüêî ëåò ïî ñîáñòâåííûì ÷àñàì äâèãàëñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ êîñìè÷åñêèé êîðàáëü, åñëè äëÿ íàáëþäàòåëÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà âðåìÿ äâèæåíèÿ ñîñòàâèëî t = 1 ãîä, à ïóòè, ïðîéäåííûå â ëàáîðàòîðíîé è â ñîáñòâåííîé ñèñòåìàõ îòñ÷åòà îòëè÷àþòñÿ â 1,25 ðàçà? 6.12. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ äîëæåí äâèãàòüñÿ ìþîí, ÷òîáû çà ñîáñòâåííîå âðåìÿ æèçíè t0 = 2·106 c ïðîëåòåòü â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ðàññòîÿíèå l = 30 êì? 6.13. ×åìó ðàâíî âðåìÿ æèçíè ìþîíà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, åñëè åãî ñîáñòâåííîå âðåìÿ æèçíè ðàâíî t0 = 2·106 c, à ïóòè, ïðîéäåííûå â ëàáîðàòîðíîé è â ñîáñòâåííîé ñèñòåìàõ îòñ÷åòà, îòëè÷àþòñÿ â 50 ðàç? 6.14. Êîñìè÷åñêèé êîðàáëü äâèæåòñÿ âîêðóã Çåìëè ñî ñêîðîñòüþ v = = 7,863 êì/ñ. Çà ñêîëüêî ëåò ÷àñû íà êîðàáëå è íà Çåìëå ðàçîéäóòñÿ íà 1 ñ? Ñêîðîñòü ñâåòà ñ÷èòàòü ðàâíîé c = 2,998·108 ì/c. 6.15. Íà ñêîëüêî ëåò ðàçîøëèñü "ïîêàçàíèÿ ÷àñîâ" â ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ñâÿçàííûõ ñ Ñîëíöåì è Çåìëåé çà 5 ìëðä. ëåò, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ýòî âðåìÿ Çåìëÿ äâèãàëàñü âîêðóã Ñîëíöà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v = 104 c? 6.16. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ Çåìëè ïî îðáèòå âîêðóã Ñîëíöà v = 10-4 c. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ýòà ñêîðîñòü îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, íàéòè, çà ñêîëüêî ëåò ÷àñû â ñèñòåìàõ îòñ÷åòà, ñâÿçàííûõ ñ Ñîëíöåì è Çåìëåé, ðàçîéäóòñÿ íà Dt = 1 ãîä? 6.17. Ñ÷èòàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òî÷åê íà ýêâàòîðå, ñâÿçàííóþ ñ ñóòî÷íûì âðàùåíèåì Çåìëè, ðàâíîé v = 463 ì/c, íàéòè, çà ñêîëüêî ëåò 19
÷àñû íà ïîëþñå è íà ýêâàòîðå ðàçîéäóòñÿ íà 1 ñ? Ñêîðîñòü ñâåòà ñ÷èòàòü ðàâíîé c = 2,998·108 ì/c. 6.18. Ëåäÿíîé ìåòåîðèò äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 0,25 c. Íàéòè ïëîòíîñòü ëüäà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, åñëè â ñîáñòâåííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îíà ðàâíà r0 = 900 êã/ì3. 6.19. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà äîëæåí äâèãàòüñÿ îáúåêò, ÷òîáû åãî ïëîòíîñòü óâåëè÷èëàñü íà 12,5%? 6.20. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà äîëæåí äâèãàòüñÿ îáúåêò, ÷òîáû åãî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ â n = 8/3 ðàçà ïðåâûñèëà çíà÷åíèå, ðàññ÷èòàííîå ïî êëàññè÷åñêîé ôîðìóëå? 6.21. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà äâèæåòñÿ îáúåêò, åñëè åãî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, âû÷èñëåííàÿ ïî êëàññè÷åñêîé ôîðìóëå, ñîñòàâëÿåò 72% îò çíà÷åíèÿ, âû÷èñëåííîãî ïî òî÷íîé ôîðìóëå? 6.22. Îáúåêò äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 0,8 c. Êàêóþ äîëþ îò òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ñîñòàâëÿåò êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, âû÷èñëåííàÿ ïî êëàññè÷åñêîé ôîðìóëå? 6.23. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà äâèæåòñÿ îáúåêò, åñëè åãî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñîñòàâëÿåò 1/12 îò ýíåðãèè ïîêîÿ? 6.24. ×àñòèöà èìååò èìïóëüñ, ðàâíûé p = 0,75m0·c. Íàéòè ñêîðîñòü ýòîé ÷àñòèöû â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà. 6.25. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ñîñòàâëÿåò Eê = 0,25m0·c2. Íàéòè ñêîðîñòü ýòîé ÷àñòèöû â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà. 6.26. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â n = 5 ðàç áîëüøå êèíåòè÷åñêîé. Íàéòè ñêîðîñòü ýòîé ÷àñòèöû â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà. 6.27. Äâà îáúåêòà äâèæóòñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòÿìè v1 = = 0,4 c è v2 = 0,5 c. Íàéòè èõ îòíîñèòåëüíóþ ñêîðîñòü â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà. 6.28. Äâà îáúåêòà äâèæóòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ ñî ñêîðîñòÿìè v1 = 0,4 c è v2 = 0,5 c. Íàéòè èõ îòíîñèòåëüíóþ ñêîðîñòü â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà. 6.29. Äâà êîñìè÷åñêèõ îáúåêòà äâèãàþòñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè ñ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ v = 0,5 c. Íàéòè â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñêîðîñòü îäíîãî èç íèõ, åñëè ñêîðîñòü âòîðîãî v2 = 0,8 c. Îòâåò äàòü â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà. Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé v1 < v2. 6.30. Äâà êîñìè÷åñêèõ îáúåêòà äâèãàþòñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè ñ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ v = 0,5 c. Íàéòè â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñêîðîñòü îäíîãî èç íèõ, åñëè ñêîðîñòü âòîðîãî v2 = 0,8 c. Îòâåò äàòü â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà. Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé v1 > v2. 20
ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ 7. Êèíåìàòèêà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé 7.1. ×åðåç êàêîå âðåìÿ îò íà÷àëà äâèæåíèÿ òî÷êà, ñîâåðøàþùàÿ êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå ïî óðàâíåíèþ x = 7sin(0,5pt) ñì, ïðîõîäèò ïóòü îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äî ìàêñèìàëüíîãî ñìåùåíèÿ? 7.2. Àìïëèòóäà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ðàâíà 5 ñì, ïåðèîä 4 ñ. Íàéòè ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè è åå ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå. 7.3. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òî÷êè äàíî â âèäå x = 2sin(pt/2 + p/4) ñì. Íàéòè ïåðèîä êîëåáàíèé, ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü òî÷êè è åå ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå. 7.4. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òî÷êè äàíî â âèäå x = sin(pt/6). Íàéòè ìîìåíòû âðåìåíè, â êîòîðûå äîñòèãàþòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü è ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå. 7.5. Òî÷êà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó ñèíóñà. Ïåðèîä êîëåáàíèé 2 ñ, àìïëèòóäà 0,5 ì, íà÷àëüíàÿ ôàçà ðàâíà íóëþ. Íàéòè ñêîðîñòü òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ñìåùåíèå òî÷êè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ðàâíî 0,25 ì. 7.6. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó ñèíóñà ñ ÷àñòîòîé v = 500 Ãö è àìïëèòóäîé À = 0,02 ñì. Îïðåäåëèòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè
è óñêîðåíèÿ òî÷êè íà ïóòè îò åå êðàéíåãî ïîëîæåíèÿ äî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, à òàêæå íàéòè ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí. 7.7. Íàèáîëüøåå ñìåùåíèå è íàèáîëüøàÿ ñêîðîñòü òî÷êè, ñîâåðøàþùåé ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 5 ñì è 12 ñì/ñ. Êàêîâî íàèáîëüøåå óñêîðåíèå? Êàêîâû ñêîðîñòü è óñêîðåíèå òî÷êè â òîò ìîìåíò, êîãäà ñìåùåíèå òî÷êè îò ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ðàâíî 3 ñì? 7.8. Òî÷êà ðàâíîìåðíî äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ñ ïåðèîäîì 6 ñ. Äèàìåòð îêðóæíîñòè ðàâåí 0,2 ì. Íàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðîåêöèè òî÷êè íà îñü x, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè, ïðèíÿòûé çà íà÷àëüíûé, ïðîåêöèÿ 21
íà îñü x ðàâíà íóëþ. Íàéòè ñìåùåíèå, ñêîðîñòü è óñêîðåíèå ïðîåêöèè òî÷êè ÷åðåç 1 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. 7.9. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè, ñîâåðøàþùåé ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé 3 ñì è óãëîâîé ÷àñòîòîé p/2ñ1. 7.10. Òî÷êà ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó x = 5cos2t ñì. Îïðåäåëèòü óñêîðåíèå òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà åå ñêîðîñòü ðàâíà 8 ñì/ñ. 7.11. Òî÷êà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Íàèáîëüøåå ñìåùåíèå òî÷êè ðàâíî 10 ñì, íàèáîëüøàÿ ñêîðîñòü ðàâíà 20 ñì/ñ. Íàéòè óãëîâóþ ÷àñòîòó êîëåáàíèé è ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå òî÷êè. 7.12. Ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè, ñîâåðøàþùåé ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, ðàâíà 10 ñì/ñ, ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå ðàâíî 100 ñì/ñ2. Íàéòè óãëîâóþ ÷àñòîòó êîëåáàíèé, èõ ïåðèîä è àìïëèòóäó. 7.13. Òî÷êà ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó x = Asin(wt).  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ñìåùåíèå òî÷êè îêàçàëîñü ðàâíûì 5 ñì. Êîãäà ôàçà êîëåáàíèé óâåëè÷èëàñü âäâîå, ñìåùåíèå ñòàëî ðàâíûì 8 ñì. Íàéòè àìïëèòóäó êîëåáàíèé. 7.14. Íàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, ïîëó÷àþùåãîñÿ â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ äâóõ îäèíàêîâî íàïðàâëåííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàòåëüíûõ äâèæåíèé ñ îäèíàêîâûì ïåðèîäîì 8 ñ è îäèíàêîâîé àìïëèòóäîé 0,02 ì. Ðàçíîñòü ôàç ìåæäó ýòèìè êîëåáàíèÿìè ðàâíà p/4. Íà÷àëüíàÿ ôàçà îäíîãî èç ýòèõ êîëåáàíèé ðàâíà íóëþ. 7.15. Äâà îäèíàêîâî íàïðàâëåííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿ îäíîãî ïåðèîäà ñ àìïëèòóäàìè 10 ñì è 6 ñì ñêëàäûâàþòñÿ â îäíî êîëåáàíèå ñ àìïëèòóäîé 14 ñì. Íàéòè ðàçíîñòü ôàç ñêëàäûâàåìûõ êîëåáàíèé. 7.16. Äâà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿ, íàïðàâëåííûõ ïî îäíîé ïðÿìîé è èìåþùèõ îäèíàêîâûå àìïëèòóäû è ïåðèîäû, ñêëàäûâàþòñÿ â îäíî êîëåáàíèå òîé æå àìïëèòóäû. Íàéòè ðàçíîñòü ôàç ñêëàäûâàåìûõ êîëåáàíèé. 7.17. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó è íà÷àëüíóþ ôàçó ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ, âîçíèêàþùåãî ïðè ñëîæåíèè äâóõ êîëåáàíèé ñ îäèíàêîâûìè íàïðàâëåíèÿìè è ïåðèîäàìè: x1 = 0,01sin(pt) ì è x2 = 0,01sin (pt + 0,5) ì. Íàéòè óðàâíåíèå ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ. 7.18. Òî÷êà ó÷àñòâóåò â äâóõ îäèíàêîâî íàïðàâëåííûõ êîëåáàíèÿõ: x1 = 0,01sint ì è x2 = 0,02cost ì. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ, åãî ÷àñòîòó è íà÷àëüíóþ ôàçó. Íàéòè óðàâíåíèå ýòîãî äâèæåíèÿ. 22
7.19. Ñêëàäûâàþòñÿ äâà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿ îäíîãî íàïðàâëåíèÿ ñ îäèíàêîâûìè ïåðèîäàìè, ðàâíûìè 1,5 ñ, è àìïëèòóäàìè, ðàâíûìè 2 ñì. Íà÷àëüíûå ôàçû êîëåáàíèé p/2 è p/3. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó è íà÷àëüíóþ ôàçó ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ. Íàéòè åãî óðàâíåíèå. 7.20. Íàéòè àìïëèòóäó è íà÷àëüíóþ ôàçó ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ, ïîëó÷åííîãî îò ñëîæåíèÿ îäèíàêîâî íàïðàâëåííûõ êîëåáàíèé, äàííûõ óðàâíåíèÿìè x1 = 4sin(pt) ñì è x2 = 3sin(pt + p/2) ñì. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ. 7.21. Äâà êàìåðòîíà çâó÷àò îäíîâðåìåííî. ×àñòîòû èõ êîëåáàíèé ðàâíû 440 è 440,5 Ãö. Îïðåäåëèòü ïåðèîä áèåíèé. 7.22. Ñêëàäûâàþòñÿ äâà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿ x = 2sin(pt) ñì è y = cos (pt + 0,5) ñì. Íàéòè óðàâíåíèå òðàåêòîðèè. 7.23. Òî÷êà ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿõ x = 2sin(wt) ì è y = 2cos (wt) ì. Íàéòè òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ òî÷êè. 7.24. Òî÷êà ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿõ x = cos(pt) è y = cos(pt/2). Íàéòè òðàåêòîðèþ ðåçóëüòèðóþùåãî äâèæåíèÿ òî÷êè. 7.25. Òî÷êà ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿõ x = sin (pt) è y = 2sin(pt + p/2). Íàéòè òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ òî÷êè. 7.26. Òî÷êà ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿõ x = sin(pt) è y = 4sin(pt+p). Íàéòè òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ òî÷êè. 7.27. Òî÷êà ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿõ x = 2cos(wt) è y = 3sin(0,5wt). Íàéòè óðàâíåíèå òðàåêòîðèè. 7.28. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿõ x = 2cos(wt) è y = cos(2wt). Íàéòè óðàâíåíèå òðàåêòîðèè. 7.29. Òî÷êà ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿõ x = 2cos(2wt) è y = 3cos(wt). Íàéòè óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè. 8. Äèíàìèêà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé 8.1. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé 50 ã ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó x = 0,1cos5t ì. Íàéòè ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà òî÷êó â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) â ìîìåíò, êîãäà ôàçà ðàâíà p/2; 2) â ïîëîæåíèè íàèáîëüøåãî ñìåùåíèÿ òî÷êè. 23
8.2. Êîëåáàíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññîé 0,1 ã ïðîèñõîäÿò ïî çàêîíó x = 0,05cos(20t) ì. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ âîçâðàùàþùåé ñèëû è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. 8.3. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ òåëà, ñîâåðøàþùåãî ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå, ðàâíà 30 ìêÄæ, ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ðàâíà 1,5 ìÍ. Íàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýòîãî òåëà, åñëè ïåðèîä êîëåáàíèé ðàâåí 2 ñ è íà÷àëüíàÿ ôàçà p/3. 8.4. Àìïëèòóäà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ðàâíà 2 ñì, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ êîëåáàíèé ðàâíà 0,3 ìêÄæ. Ïðè êàêîì ñìåùåíèè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà êîëåáëþùóþñÿ òî÷êó äåéñòâóåò ñèëà, ðàâíàÿ 22,5 ìêÍ? 8.5. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé 0,01 êã ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó x = 0,2cos(2pt/3) ì. Íàéòè âîçâðàùàþùóþ ñèëó ÷åðåç 1 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ è ïîëíóþ ýíåðãèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. 8.6. Êîëåáàíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïðîèñõîäÿò ñîãëàñíî óðàâíåíèþ x = 0,08cos(pt/6) ì. Êîãäà âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ðàâíà 5 ìÍ, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òî÷êè ðàâíà 100 ìêÄæ. Íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè è ôàçû êîëåáàíèé. 8.7. Ìåäíûé øàðèê, ïîäâåøåííûé ê ïðóæèíå, ñîâåðøàåò âåðòèêàëüíûå êîëåáàíèÿ. Êàê èçìåíèòñÿ ïåðèîä êîëåáàíèé, åñëè ê ïðóæèíå ïîäâåñèòü âìåñòî ìåäíîãî øàðèêà àëþìèíèåâûé òàêîãî æå ðàäèóñà? 8.8. Ê ïðóæèíå ïîäâåøåíà ÷àøêà âåñîâ ñ ãèðÿìè. Ïðè ýòîì ïåðèîä âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé ðàâåí 0,5 ñ. Ïîñëå òîãî êàê íà ÷àøêó âåñîâ ïîëîæèëè åùå äîáàâî÷íûå ãèðè, ïåðèîä âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé ñòàë ðàâåí 0,6 ñ. Íà ñêîëüêî óäëèíèëàñü ïðóæèíà îò ïðèáàâëåíèÿ ýòîãî äîáàâî÷íîãî ãðóçà ? 8.9. Ãðóç ìàññîé 0,25 êã, ïîäâåøåííûé ê ïðóæèíå, êîëåáëåòñÿ ïî âåðòèêàëè ñ ïåðèîäîì 1 ñ. Îïðåäåëèòü æåñòêîñòü ïðóæèíû. 8.10. Ê ñïèðàëüíîé ïðóæèíå ïîäâåñèëè ãðóç, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïðóæèíà ðàñòÿíóëàñü íà 9 ñì. Êàêîâ áóäåò ïåðèîä êîëåáàíèé ãðóçà, åñëè åãî íåìíîãî îòòÿíóòü âíèç è çàòåì îòïóñòèòü? 8.11. Ãèðÿ, ïîäâåøåííàÿ ê ïðóæèíå, êîëåáëåòñÿ ïî âåðòèêàëè ñ àìïëèòóäîé, ðàâíîé 4 ñì. Îïðåäåëèòü ïîëíóþ ýíåðãèþ êîëåáàíèé ãèðè, åñëè æåñòêîñòü ïðóæèíû ðàâíà 1 êÍ/ì. 8.12. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíîé 1 ì óñòàíîâëåí â ëèôòå. Ëèôò ïîäíèìàåòñÿ ñ óñêîðåíèåì, ðàâíûì 2,5 ì/ñ2. Îïðåäåëèòü ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. 24
8.13. Ìàÿòíèê â âèäå ìàëåíüêîãî øàðèêà, ïîäâåøåííîãî íà íèòè äëèíîé 0,1 ì, íàõîäèòñÿ âíóòðè æèäêîñòè, ïëîòíîñòü êîòîðîé â 1,2 ðàçà ìåíüøå ïëîòíîñòè øàðèêà. Îïðåäåëèòü ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà, ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèåì æèäêîñòè. 8.14. Îïðåäåëèòü ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé øàðèêà, ïîäâåøåííîãî íà íèòè äëèíîé 0,2 ì, åñëè îí íàõîäèòñÿ â æèäêîñòè, ïëîòíîñòü êîòîðîé â 3 ðàçà ìåíüøå ïëîòíîñòè øàðèêà. Ñîïðîòèâëåíèå æèäêîñòè ïðåíåáðåæèìî ìàëî. 8.15. Øàð, ðàäèóñ êîòîðîãî ðàâåí 5 ñì, ïîäâåøåí íà íèòè äëèíîé 0,1 ì. Îïðåäåëèòü îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü, êîòîðóþ äîïóñêàþò, åñëè, âû÷èñëÿÿ ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà, ïðèíèìàþò åãî çà ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíîé 0,15 ì. 8.16. Íà êîíöàõ òîíêîãî ñòåðæíÿ äëèíîé 0,3 ì óêðåïëåíû ãðóçèêè ïî îäíîìó íà êàæäîì êîíöå. Ñòåðæåíü ñ ãðóçèêàìè êîëåáëåòñÿ îêîëî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó, óäàëåííóþ íà 0,1 ì îò îäíîãî èç êîíöîâ ñòåðæíÿ. Îïðåäåëèòü ïðèâåäåííóþ äëèíó è ïåðèîä êîëåáàíèé òàêîãî ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ìàññîé ñòåðæíÿ ïðåíåáðå÷ü. 8.17. Íà ñòåðæíå äëèíîé 0,3 ì óêðåïëåíû äâà îäèíàêîâûõ ãðóçèêà: îäèí â ñåðåäèíå ñòåðæíÿ, äðóãîé íà îäíîì èç åãî êîíöîâ. Ñòåðæåíü ñ ãðóçèêàìè êîëåáëåòñÿ îêîëî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñâîáîäíûé êîíåö ñòåðæíÿ. Îïðåäåëèòü ïðèâåäåííóþ äëèíó è ïåðèîä êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû. Ìàññîé ñòåðæíÿ ïðåíåáðå÷ü. 8.18. Òîíêèé îáðó÷, ïîâåøåííûé íà ãâîçäü, âáèòûé ãîðèçîíòàëüíî â ñòåíó, êîëåáëåòñÿ â ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé ñòåíå. Ðàäèóñ îáðó÷à ðàâåí 0,3 ì. Âû÷èñëèòü ïåðèîä êîëåáàíèé îáðó÷à. 8.19. Îäíîðîäíûé äèñê ðàäèóñîì 0,3 ì êîëåáëåòñÿ îêîëî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäíó èç îáðàçóþùèõ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè äèñêà. Êàêîâ ïåðèîä åãî êîëåáàíèé? 8.20. Äèñê ðàäèóñîì 24 ñì êîëåáëåòñÿ îêîëî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíó ðàäèóñà ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè äèñêà. Îïðåäåëèòü ïðèâåäåííóþ äëèíó è ïåðèîä êîëåáàíèé òàêîãî ìàÿòíèêà. 8.21. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíîé 0,4 ì è ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê â âèäå òîíêîãî ïðÿìîãî ñòåðæíÿ äëèíîé 0,6 ì ñèíõðîííî êîëåáëþòñÿ îêîëî îäíîé è òîé æå ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå öåíòðà ìàññ ñòåðæíÿ îò îñè êîëåáàíèé. 8.22. Ìàÿòíèê ñîñòîèò èç î÷åíü ëåãêîãî ñòåðæíÿ, íà êîòîðîì çàêðåïëåíû äâà îäèíàêîâûõ ãðóçà îäèí íà ðàññòîÿíèè 30 ñì îò îñè, äðóãîé íà ðàññòîÿíèè 15 ñì îò îñè. Êàêîâ ïåðèîä êîëåáàíèé òàêîãî ìàÿòíèêà? 25
8.23. Ìàÿòíèê ñîñòîèò èç î÷åíü ëåãêîãî ñòåðæíÿ, íà êîòîðîì çàêðåïëåíû äâà îäèíàêîâûõ ãðóçà îäèí íà ðàññòîÿíèè 50 ñì îò îñè, äðóãîé íà ðàññòîÿíèè 25 ñì îò îñè. Êàêîâ ïåðèîä êîëåáàíèé òàêîãî ìàÿòíèêà? 8.24. Îïðåäåëèòü ïåðèîä êîëåáàíèé îäíîðîäíîãî øàðèêà îêîëî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ñêâîçü òî÷êó, îòñòîÿùóþ îò öåíòðà øàðà íà ðàññòîÿíèè 0,3 ðàäèóñà øàðà. Ðàäèóñ øàðà ðàâåí 6 ñì. 8.25. Îïðåäåëèòü ïåðèîä êîëåáàíèé îäíîðîäíîãî øàðèêà îêîëî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ñêâîçü òî÷êó, îòñòîÿùóþ îò öåíòðà øàðà íà ðàññòîÿíèè 0,5 ðàäèóñà øàðà. Ðàäèóñ øàðà ðàâåí 6 ñì. 9. Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ 9.1. Óðàâíåíèå çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé x = 2ebtsin(wt) ñì. Ïåðèîä Ò = 4 ñ, ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ 1,6. Íàéòè ñìåùåíèå x òî÷êè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t = T/4. 9.2. Óðàâíåíèå çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé äàíî â âèäå x = 5e0,25t sin(pt/2) ñì. Íàéòè ñêîðîñòü êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè â ìîìåíòû âðåìåíè: 0, Ò, 2Ò, 3Ò. 9.3. Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà 0,2. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ àìïëèòóäà êîëåáàíèé çà âðåìÿ t, ðàâíîå ïåðèîäó Ò? 9.4. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíîé 1 ì ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ. Çà 1 ìèí àìïëèòóäà êîëåáàíèé óìåíüøèëàñü â äâà ðàçà. Îïðåäåëèòü ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ. 9.5. Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà 0,5, äëèíà íèòè 1 ì. Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ è ÷àñòîòó çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé. 9.6. Îïðåäåëèòü ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, åñëè çà âðåìÿ t = 2Ò àìïëèòóäà êîëåáàíèé óìåíüøèëàñü â äâà ðàçà. 9.7. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ ëîãàðèôìè÷åñêèì äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ 0,2. Âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèòñÿ ïîëíîå óñêîðåíèå ìàÿòíèêà â åãî êðàéíåì ïîëîæåíèè çà âðåìÿ t, ðàâíîå ïåðèîäó Ò ? 9.8. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ ëîãàðèôìè÷åñêèì äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ 0,2. Âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèòñÿ ñêîðîñòü ìàÿòíèêà ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ çà âðåìÿ t = 2T? 26
9.9. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíîé l = 0,5 ì, âûâåäåííûé èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, îòêëîíèëñÿ ïðè ïåðâîì êîëåáàíèè íà 5 ñì, à ÷åðåç âðåìÿ t = T íà 4 ñì. Îïðåäåëèòü âðåìÿ ðåëàêñàöèè t. 9.10. Àìïëèòóäà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà çà 1 ìèí óìåíüøèëàñü âäâîå. Âî ñêîëüêî ðàç àìïëèòóäà óìåíüøèòñÿ çà 3 ìèí? 9.11. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ. Êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 0,5 ñ1. Îïðåäåëèòü ïåðèîä è ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî çà âðåìÿ t = T, àìïëèòóäà êîëåáàíèé óìåíüøèëàñü â äâà ðàçà. 9.12. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó ñèíóñà â âÿçêîé ñðåäå. Äëèíà íèòè ìàÿòíèêà l = 9,81 ì, êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 0,6 ñ1, íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû À0 = 0,05 ì. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t = 0,25 Ò, åñëè íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. 9.13. Ïåðèîä çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé Ò = 4 ñ, íà÷àëüíàÿ àìïëèòóäà À0 = 2 ñì, ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ q = 1,6. Íàéòè ñìåùåíèå x òî÷êè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ çà âðåìÿ t = T/4. 9.14. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì çàòóõàíèÿ b = 0,5 ñ1. Çíà÷åíèå àìïëèòóäû â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ðàâíî 0,2 ì, íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t = 2 Ò, åñëè ïåðèîä çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé ðàâåí Ò = 1 ñ. 9.15. Ìàññà m ìåòàëëè÷åñêîãî øàðèêà, çàêðåïëåííîãî íà êîíöå ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïðóæèíû, ðàâíà 0,1 êã. Êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ïðóæèíû ðàâåí k = 0,2 Í/ì, ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ 0,395. Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ è ïåðèîä çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé. Òðåíèåì è ìàññîé ïðóæèíû ïðåíåáðå÷ü. 9.16. Çà âðåìÿ, ðàâíîå îäíîìó ïåðèîäó, àìïëèòóäà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé, ñîâåðøàåìûõ ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, óìåíüøèëîñü â å ðàç. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t = Ò/2, åñëè êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ 0,5 ñ1, íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû A0 = 0,2 ì, íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. 9.17. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ñîâåðøàþùåé çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ, â ìîìåíò âðåìåíè t = 0,5 ñ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðèîä çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé Ò = 2 ñ, ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ 2, ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû À0 = 0,3 ì, íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. 27
9.18. Òåëî ìàññîé m = 0,1 êã ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé w = 0,25ð ñ1. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû À0 = 0,04 ì, íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. Îïðåäåëèòü êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ EK çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé â ìîìåíò âðåìåíè t = 0,5Ò, åñëè êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ 0,05 ñ1. 9.19. Îïðåäåëèòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññîé m = 0,1 ã, ñîâåðøàþùåé çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ, â ìîìåíò âðåìåíè t = Ò/6. ×àñòîòà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé w = 4 ñ1, êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ 3 ñ1, ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé À0 = 0,02 ì, íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. 9.20. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ñîâåðøàþùåé çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì çàòóõàíèÿ 0,4 ñ1 è ïåðèîäîì Ò = 2 ñ â ìîìåíò âðåìåíè t = 0,125 Ò, åñëè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû À0 = 4,4 ñì, íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. 9.21. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì çàòóõàíèÿ 0,16 ñ1. Äëèíà íèòè ìàÿòíèêà l = 2,45 ì. Îïðåäåëèòü òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå 11 ìàÿòíèêà â ìîìåíò âðåìåíè t = 0,125Ò, åñëè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû ðàâíî À0 = 0,15 ì è íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. 9.22. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ ëîãàðèôìè÷åñêèì äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ 0,8. Äëèíà íèòè ìàÿòíèêà l = 2,45 ì. Îïðåäåëèòü íîðìàëüíîå óñêîðåíèå ìàÿòíèêà an â ìîìåíò âðåìåíè t = 0,25Ò, åñëè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû À0 = 0,1 ì, íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. 9.23. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì àìïëèòóäû À0 = 10 ñì è ëîãàðèôìè÷åñêèì äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ 1,2. Îïðåäåëèòü ñìåùåíèå õ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ çà âðåìÿ t = Ò/6, åñëè íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. 9.24. Îïðåäåëèòü êîîðäèíàòó x ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t = 1,3 ñ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî àìïëèòóäà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé À0 = 20 ñì, ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ l = 7,564, íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0, öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé w0 = 1,26 ñ1. 9.25. Ïåðèîä çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé Ò = 4 ñ, ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ 1,6, íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå x0 = 0. Ñìåùåíèå òî÷êè õ ïðè t = 0,25Ò, ðàâíî 4,5 ñì. Íàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýòîãî êîëåáàíèÿ. 28
10. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ 10.1. Òâåðäîå òåëî ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé w = 1 ñ1.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íà òåëî ïîäåéñòâîâàëà âûíóæäàþùàÿ ñèëà íà ÷àñòîòå ðåçîíàíñà. Îïðåäåëèòü ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé, åñëè êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 0,6 ñ1. 10.2. Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà äëèíîé 1 ì, åñëè ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ðàâíà 2,41 ñ 1. 10.3. Îïðåäåëèòü íà÷àëüíóþ ôàçó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà äëèíîé 4,9 ì, åñëè ÷àñòîòà âûíóæäàþùåé ñèëû ðàâíà 0,8 ñ1 è êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 0,6 ñ1. 10.4. Öåíòð èíåðöèè òâåðäîãî òåëà ìàññîé m = 0,1 êã ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè a = 0,4 ì îò ãîðèçîíòàëüíîé îñè âðàùåíèÿ. Ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ ðàâåí 0,08 êã·ì2. Îïðåäåëèòü ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé òâåðäîãî òåëà, åñëè êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 1,2 ñ1. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ïðèíÿòü ðàâíûì 10 ì/ñ2. 10.5. Ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé âûíóæäàþùåé ñèëû òâåðäîå òåëî, çàêðåïëåííîå íà îñè âðàùåíèÿ, ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Ìàññà òåëà ðàâíà m = 0,1 êã, ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âûíóæäàþùåé ñèëû F0 = 0,06 Í. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé íà ÷àñòîòå ðåçîíàíñà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðè îòñóòñòâèè âûíóæäàþùåé ñèëû ÷àñòîòà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé 12 ñ1 è êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 0,4 ñ1. 10.6. Îñü âðàùåíèÿ ìåòàëëè÷åñêîãî ñòåðæíÿ, ðàñïîëîæåííîãî ãîðèçîíòàëüíî, ïðîõîäèò ÷åðåç îäèí èç åãî êîíöîâ. Äëèíà ñòåðæíÿ 0,5 ì. Ñòåðæåíü ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ íà ÷àñòîòå 5 ñ1. Îïðåäåëèòü íà÷àëüíóþ ôàçó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñòåðæíÿ, åñëè êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 0,5 ñ1. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ïðèíÿòü ðàâíûì 10 ì/ñ2. 10.7. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíîé 0,5 ì ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ ëîãàðèôìè÷åñêèì äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ 0,3. Ïîä äåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû íà ÷àñòîòå ðåçîíàíñà àìïëèòóäà óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñòàëà ðàâíîé A = 0,0318. ì. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âûíóæäàþùåé ñèëû, ðàññ÷èòàííîé íà åäèíèöó ìàññû ìàÿòíèêà. 10.8. Òâåðäîå òåëî ìàññîé m = 0,01 êã ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé 0,1 ì è ÷àñòîòîé 0,78 ñ1. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå 29
âûíóæäàþùåé ñèëû ðàâíî F0 = 0,005 Í. Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé w0 = 1,9 ñ1. 10.9. Ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê, ïîäâåøåííûé íà íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíîé 2 ì, ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Îïðåäåëèòü ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó êîëåáàíèé, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ ðàâåí 3,07. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ïðèíÿòü ðàâíûì 10 ì/ñ2. 10.10. Ìàññà ìåòàëëè÷åñêîãî øàðèêà, çàêðåïëåííîãî íà êîíöå ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïðóæèíû, ðàâíà m = 0,03 êã. Êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ïðóæèíû ðàâåí k = 0,27 Í/ì, ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ 4,308. Îïðåäåëèòü ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó âûíóæäåííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. 10.11.Óðàâíåíèå êîëåáàíèé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññîé 1,6·102 êã èìååò âèä: x = 0,1sin(pt/8p/4), ì. Ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè âûíóæäàþùåé ñèëû F, îïðåäåëèâ åå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå. Êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 1/(2ð) c1. 10.12. Íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé òåëà ðàâíà 0,04 ì. Ìàññà òåëà m = 0,1 êã. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âûíóæäàþùåé ñèëû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 0,5 ñ1 è ÷àñòîòà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé 25 ñ1. 10.13. Îïðåäåëèòü ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà äëèíîé 1 ì, ñîâåðøàþùåãî çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé 3 ñ1. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèíÿòü ðàâíûì 10 ì/ñ2. 10.14. Òåëî ìàññîé m = 0,01 êã, ïîäâåøåííîå íà ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k = 0,16 Í/ì, ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. ×àñòîòà âûíóæäàþùåé ñèëû 3 ñ1, à åå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàâíî F0 = 0,02 Í. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé À, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 0,5 ñ1. 10.15. Ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê ìàññîé m = 0,2 êã ïîäâåøåí íà âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïðóæèíå. Ïðè ýòîì äëèíà ïðóæèíû óâåëè÷èëàñü íà âåëè÷èíó Dl = 0,2 ì. Ïîä äåéñòâèåì ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû ñ àìïëèòóäîé F 0 = 0,2 Í øàðèê íà÷èíàåò ñîâåðøàòü âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Ïðåíåáðåãàÿ ìàññîé ïðóæèíû, îïðåäåëèòü öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó âûíóæäàþùåé ñèëû, ïðè êîòîðîé àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìàêñèìàëüíà, à òàêæå çíà÷åíèå ýòîé àìïëèòóäû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 1 ñ1. 30
10.16. Àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïðè ÷àñòîòàõ 400 è 600 ñ1 ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Íàéòè ÷àñòîòó, ïðè êîòîðîé ñìåùåíèå èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìàêñèìàëüíî, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âûíóæäàþùåé ñèëû F0 îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. 10.17. Ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê ìàññîé m = 0,01 êã, ïîäâåøåííûé íà ïðàêòè÷åñêè íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíîé l = 0,5 ì, ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âûíóæäàþùåé ñèëû F0 = 0,016 Í. Îïðåäåëèòü íà÷àëüíóþ ôàçó è ìàêñèìàëüíóþ àìïëèòóäó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé, åñëè êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ ðàâåí b = 2 ñ1. 10.18. Òåëî ìàññîé 0,05 êã, ïîäâåøåííîå íà íåâåñîìîé ïðóæèíå ñ êîýôôèöèåíòîì æåñòêîñòè k = 20 Í/ì, ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé 25 ñ1. Ïðè ýòîì ñìåùåíèå öåíòðà èíåðöèè òåëà îòñòàåò ïî ôàçå îò âûíóæäàþùåé ñèëû íà 0,75p. Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b. 10.19. Òåëî ìàññîé 0,02 êã ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé w = 4,5 ñ1 è êîýôôèöèåíòîì çàòóõàíèÿ b = 1,5 ñ1.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íà òåëî ñòàëà äåéñòâîâàòü ãàðìîíè÷åñêàÿ âûíóæäàþùàÿ ñèëà, àìïëèòóäà êîòîðîé F0 = 0,02 Í, à öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà 3,47 ñ1. Íàéòè ñðåäíþþ çà ïåðèîä êîëåáàíèé ìîùíîñòü âûíóæäàþùåé ñèëû. 10.20. Òâåðäîå òåëî, ìîìåíò èíåðöèè êîòîðîãî îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ 0,02 êã·ì2, ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ, çàäàâàåìûå óðàâíåíèåì x = 1,5cos(3t/2p/3) ñì. Ìàññà òåëà m = 0,2 êã, ðàññòîÿíèå îò öåíòðà èíåðöèè äî îñè âðàùåíèÿ à = 10 ñì. Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âûíóæäàþùåé ñèëû. 10.21. Ìåòàëëè÷åñêèé ñòåðæåíü äëèíîé l= 0,2 ì çàêðåïëåí íà ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäèí èç åãî êîíöîâ. Ìàññà ñòåðæíÿ 0,4 êã. Ñòåðæåíü ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé 6 ñ1 ïîä äåéñòâèåì ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû, ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå êîòîðîé F0 = 0,32 Í. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó êîëåáàíèé ñòåðæíÿ, åñëè êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 1,6 ñ1. 10.22. Øàð ðàäèóñà R = 0,154 ì çàêðåïëåí íà ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíó ðàäèóñà. Êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ ðàâåí b = 2,48 ñ1. Íàéòè ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó è íà÷àëüíóþ ôàçó j0 âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé. 10.23. Ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ñòåðæíÿ äëèíîé l = 0,4 ì ïðîõîäèò íà ðàññòîÿíèè 0,25 l îò åãî öåíòðà èíåðöèè. Ìàññà 31
ñòåðæíÿ m = 0,1 êã, êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 2,48 ñ1. Íàéòè àìïëèòóäó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå, åñëè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âûíóæäàþùåé ñèëû F0 = 0,14 Í. 10.24. Ìåòàëëè÷åñêèé øàð ìàññîé m = 1,3 êã è ðàäèóñà R = 0,05 ì ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé 10,2 ñ1. Îñü âðàùåíèÿ øàðà ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíîé ê åãî ïîâåðõíîñòè. Àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé A = 0,4 ñì. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âûíóæäàþùåé ñèëû, åñëè êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b = 2,23 ñ1. 10.25. Ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê ìàññîé m = 0,02 êã, çàêðåïëåííûé íà êîíöå âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïðóæèíû, ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ íà ÷àñòîòå ðåçîíàíñà. Îïðåäåëèòü ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó êîëåáàíèé è êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ â, åñëè êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ïðóæèíû k = 0,54 Í/ì è íà÷àëüíàÿ ôàçà j0 = p/4. Ìàññîé ïðóæèíû è òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. 10.26. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíîé l = 0,25 ì ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå. Îïðåäåëèòü ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó êîëåáàíèé è äîáðîòíîñòü äàííîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ ïðèíÿòü ðàâíûì b = 0,1·w0. 10.27. Íà ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k = 2,4 Í/ì ïîäâåøåí ãðóç ìàññîé m = 0,05 êã. Ãðóç ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå 4 ñ1. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé è êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âûíóæäàþùåé ñèëû F0 = 0,03 Í. 11. Âîëíû 11.1. Ïî âîäíîé ïîâåðõíîñòè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà ñî ñêîðîñòüþ 6 ì/c. Îïðåäåëèòü ïåðèîä âîëíû è åå ÷àñòîòó, åñëè äëèíà âîëíû 3 ì. 11.2. Äëèíà çâóêîâîé âîëíû â âîçäóõå äëÿ íèçêîãî ãîëîñà ðàâíà 4,3 ì, à äëÿ âûñîêîãî 35 ñì. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó êîëåáàíèé â îáîèõ ñëó÷àÿõ. 11.3. Âçðûâ ïðîèçîøåë â âîäå âáëèçè åå ïîâåðõíîñòè. Çâóê îò âçðûâà ïðèøåë ê ðåãèñòðèðóþùåìó ïðèáîðó ïî âîäå íà 45 ñ ðàíüøå, ÷åì ïî âîçäóõó. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì ïðîèçîøåë âçðûâ. 11.4. Ïðè èçìåðåíèè ãëóáèíû ìîðÿ ïîä êîðàáëåì ïðè ïîìîùè ýõîëîòà îêàçàëîñü, ÷òî ìåæäó ìîìåíòàìè, êîãäà ïîñûëàåòñÿ è ïðèíèìàåòñÿ çâóêîâîé ñèãíàë, ïðîõîäèò 0,6 ñ. Îïðåäåëèòü ïî ýòèì äàííûì ãëóáèíó ìîðÿ ïîä êîðàáëåì. 11.5.  áåçâåòðåííóþ ïîãîäó ñ ëîäêè â âîäó îçåðà áðîñèëè ÿêîðü. Âîçíèêøàÿ âîëíà äîøëà äî áåðåãà ÷åðåç 50 ñ. Ïðè ýòîì ðàññòîÿíèå ìåæäó 32
ñîñåäíèìè ãîðáàìè âîëí ñîñòàâëÿëî 0,5 ì, è çà 5 ñ íàáëþäàëîñü 20 âñïëåñêîâ âîëí î áåðåã. Îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå îò ëîäêè äî áåðåãà. 11.6. Ñòàëüíóþ äåòàëü ïðîâåðÿþò óëüòðàçâóêîâûì äåôåêòîñêîïîì, ðàáîòàþùèì íà ÷àñòîòå 1 ÌÃö. Îòðàæåííûé îò äåôåêòà ñèãíàë âîçâðàòèëñÿ íà ïîâåðõíîñòü ìåòàëëà ÷åðåç 8 ìêñ ïîñëå èñïóñêàíèÿ. Çíàÿ, ÷òî äëèíà óëüòðàçâóêîâîé âîëíû 5 ìì, îïðåäåëèòü, íà êàêîé ãëóáèíå íàõîäèòñÿ äåôåêò. 11.7. Ýõî ðóæåéíîãî âûñòðåëà äîøëî äî ñòðåëêà ÷åðåç 4 ñ ïîñëå âûñòðåëà. Îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòðåëêîì è ïðåãðàäîé, îò êîòîðîé çâóê îòðàçèëñÿ. 11.8. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü çâóêà â ìåòàëëå, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó áëèæàéøèìè òî÷êàìè çâóêîâîé âîëíû, îòëè÷àþùèìèñÿ ïî ôàçå íà ð, ðàâíî 2 ì. Ñ÷èòàòü ÷àñòîòó çâóêîâîé âîëíû ðàâíîé 1,25 êÃö. 11.9.  óïðóãîé ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìåõàíè÷åñêàÿ âîëíà ñî ñêîðîñòüþ 6 ì/ñ è ïåðèîäîì êîëåáàíèé òî÷åê ñðåäû îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ 0,5 ñ. Îïðåäåëèòü ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ñðåäû, êîëåáëþùèìèñÿ â îäèíàêîâîé ôàçå. 11.10. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ äëèíà çâóêîâîé âîëíû ïðè ïåðåõîäå çâóêà èç âîçäóõà â âîäó, åñëè ñêîðîñòü çâóêà â âîäå 1460 ì/ñ, à â âîçäóõå 340 ì/ñ. 11.11. Ïðè ïåðåõîäå çâóêà èç âîçäóõà â âîäó äëèíà âîëíû óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1,14 ì., ×àñòîòà çâóêà 1 êÃö, ñêîðîñòü çâóêà â âîçäóõå 340 ì/ñ. Êàêîâà ñêîðîñòü çâóêà â âîäå? 11.12. Îïðåäåëèòü, âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ äëèíà âîëíû ïðè óìåíüøåíèè åå ïåðèîäà â 2 ðàçà. 11.13. Íà ïîâåðõíîñòè îêåàíà äëèíà âîëíû äîñòèãàåò 300 ì, à åå êðóãîâàÿ ÷àñòîòà 0,46 ñ1. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. 11.14. Íàáëþäàòåëü óñëûøàë çâóêîâîé ñèãíàë ÷åðåç 4 ñ ïîñëå íà÷àëà ðàáîòû èñòî÷íèêà. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò èñòî÷íèêà íàõîäèòñÿ íàáëþäàòåëü, åñëè ÷àñòîòà çâóêà 1 êÃö, à äëèíà çâóêîâîé âîëíû 32 ñì? 11.15. Èñòî÷íèê ñ ÷àñòîòîé 1000 Ãö è àìïëèòóäîé 0,5 ìì âîçáóæäàåò â óïðóãîì øíóðå âîëíó äëèíîé 0,35 ì. Íàéòè ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé è ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü êîëåáëþùèõñÿ òî÷åê øíóðà. 11.16. Âûñòðåë ïðîèçâåäåí âåðòèêàëüíî ââåðõ. Îïðåäåëèòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü ïóëè, åñëè çâóê âûñòðåëà è ïóëÿ äîñòèãàþò âûñîòû 850 ì îäíîâðåìåííî. 11.17. Ìîòîöèêëèñò íà ïðÿìîëèíåéíîì ó÷àñòêå äîðîãè óâèäåë ñòîÿùåãî ÷åëîâåêà è, óäàðèâ ñòåðæíåì î âèñÿùèé ðåëüñ, óñëûøàë çâóê 33
÷åðåç 2 ñ. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ìîòîöèêëèñòà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îí ïðîåõàë ìèìî ñòîÿùåãî ÷åëîâåêà ÷åðåç 36 ñ ïîñëå òîãî, êàê åãî óâèäåë. 11.18. Ïîïåðå÷íàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü óïðóãîãî øíóðà ñî ñêîðîñòüþ 15 ì/ñ. Ïåðèîä êîëåáàíèÿ òî÷åê øíóðà 1,2 ñ, àìïëèòóäà êîëåáàíèé 2 ñì. Íàéòè äëèíó âîëíû, ôàçó è ñìåùåíèå òî÷êè, îòñòîÿùåé îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé íà 45 ì, ÷åðåç ïðîìåæóòîê âðåìåíè 4 ñ. 11.19. Âäîëü ïðÿìîé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ êîëåáàíèÿ ñ ïåðèîäîì 0,25 ñ è ñêîðîñòüþ 48 ì/ñ. ×åðåç 10 ñ ïîñëå âîçíèêíîâåíèÿ êîëåáàíèé â èñòî÷íèêå ñìåùåíèå òî÷êè, îòñòîÿùåé îò íåãî íà 43 ì, îêàçàëîñü ðàâíûì 3 ñì. Îïðåäåëèòü â ýòîò æå ìîìåíò âðåìåíè ñìåùåíèå è ôàçó êîëåáàíèÿ â òî÷êå, îòñòîÿùåé íà 45 ì îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé. 11.20. Ðûáîëîâ çàìåòèë, ÷òî çà 10 ñ åãî óäî÷êà ñîâåðøèëà íà âîëíàõ 20 êîëåáàíèé, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ãðåáíÿìè âîëí 1,2 ì. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â îçåðå. 11.21. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó çâóêîâûõ êîëåáàíèé â ñòàëè, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó áëèæàéøèìè òî÷êàìè áåãóùåé çâóêîâîé âîëíû, ôàçû êîëåáàíèÿ êîòîðûõ îòëè÷àþòñÿ íà p, ðàâíî 2,5 ì. Ñêîðîñòü çâóêà â ñòàëè ïðèíÿòü ðàâíîé 5000 ì/ñ. 11.22. Âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 6 ì/ñ è ÷àñòîòîé 4 Ãö. Îïðåäåëèòü ðàçíîñòü ôàç êîëåáàíèé òî÷åê ñðåäû, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå 50 ñì. 11.23.  íåêîòîðîé ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ óïðóãàÿ âîëíà, ïðè÷åì â òî÷êå À ôàçà âîëíîâîãî ïðîöåññà ñîñòàâëÿåò 0,7 ðàä. Îïðåäåëèòü â òîò æå ìîìåíò âðåìåíè ôàçó ïðîöåññà â òî÷êå Â, îòñòîÿùåé îò òî÷êè À íà ïîëîâèíó äëèíû âîëíû. 11.24. Ïîïåðå÷íàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü óïðóãîãî øíóðà ñî ñêîðîñòüþ 15 ì/ñ. Ïåðèîä êîëåáàíèé òî÷åê øíóðà 1,2 ñ, àìïëèòóäà 2 ñì. Îïðåäåëèòü äëèíó âîëíû, ôàçó êîëåáàíèé è ñìåùåíèå òî÷êè, îòñòîÿùåé íà ðàññòîÿíèå 45 ì îò èñòî÷íèêà âîëí, â ìîìåíò âðåìåíè 4 ñ. 11.25. Íàéòè ðàçíîñòü ôàç êîëåáàíèé äâóõ òî÷åê ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ óïðóãàÿ âîëíà äëèíîé 2 ñì, åñëè ïåðâàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 50 ñì îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé, à âòîðàÿ íà ðàññòîÿíèè 60 ñì îò èñòî÷íèêà. 11.26. Ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðîäîëüíûõ âîëí â òâåðäîì òåëå ðàâíà 5 êì/ñ. Îïðåäåëèòü ïëîòíîñòü òâåðäîãî òåëà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ìîäóëü Þíãà äëÿ íåãî ñîñòàâëÿåò 69 ÃÏà. 11.27. Èíòåíñèâíîñòü çâóêà ñîñòàâëÿåò 5 Âò/ì2. Îïðåäåëèòü âåëè÷èíó ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè, óëàâëèâàþùåé çâóê, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïîòîê 34
ýíåðãèè çâóêîâîé âîëíû ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü ñîñòàâëÿåò 15 ìÄæ, ïðè÷åì ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïîâåðõíîñòè. 11.28. Èíòåíñèâíîñòü çâóêà, èçìåðåííàÿ íà ðàññòîÿíèè 100 ìåòðîâ îò èñòî÷íèêà çâóêà, ñîñòàâèëà 200 Âò/ì2. Ñ÷èòàÿ èñòî÷íèê òî÷å÷íûì è èçîòðîïíûì, îïðåäåëèòü åãî ìîùíîñòü. 12. Âîëíû. Ñìåøàííûå çàäà÷è 12.1. Çâóêîâûå êîëåáàíèÿ, èìåþùèå ÷àñòîòó v = 0,5 êÃö è àìïëèòóäó A = 0,25ìì, ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â óïðóãîé ñðåäå. Äëèíà âîëíû l = 0,7 ì. Íàéòè: 1) ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí v; 2) ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ÷àñòèö ñðåäû (dx/dt)max. 12.2. Ïëîñêàÿ çâóêîâàÿ âîëíà èìååò ïåðèîä T = 3 ìñ, àìïëèòóäó A = 0,2 ìì, äëèíó âîëíû l = 1,2 ì. Äëÿ òî÷åê ñðåäû, óäàëåííûõ îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé íà ðàññòîÿíèå x = 2 ì, íàéòè: 1) ñìåùåíèå x(x, t) â ìîìåíò t = 7 ìñ; 2) ñêîðîñòü dx/dt è óñêîðåíèå d 2x/dt2 äëÿ òîãî æå ìîìåíòà âðåìåíè. Íà÷àëüíóþ ôàçó êîëåáàíèé ïðèíÿòü ðàâíîé íóëþ. 12.3. Âîëíà ñ ïåðèîäîì T = 1,2 ñ è àìïëèòóäîé êîëåáàíèé A = 2 ñì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 15 ì/ñ. ×åìó ðàâíî ñìåùåíèå x(x, t) òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè x = 45 ì îò èñòî÷íèêà âîëí, â òîò ìîìåíò, êîãäà îò íà÷àëà êîëåáàíèé ïðîøëî âðåìÿ t = 4 ñ? 12.4. Äâå òî÷êè íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè x = 50 ñì äðóã îò äðóãà íà ïðÿìîé, âäîëü êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà ñî ñêîðîñòüþ v = 50 ì/ñ. Ïåðèîä êîëåáàíèé T = 0,05 ñ. Íàéòè ðàçíîñòü ôàç â ýòèõ òî÷êàõ. 12.5. Îïðåäåëèòü ðàçíîñòü ôàç êîëåáàíèé èñòî÷íèêà âîëí, íàõîäÿùåãîñÿ â óïðóãîé ñðåäå, è òî÷êè ýòîé ñðåäû, îòñòîÿùåé íà x = 2 ì îò èñòî÷íèêà. ×àñòîòà êîëåáàíèé ðàâíà 5 êÃö. Âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 40 ì/ñ. 12.6. Âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â óïðóãîé ñðåäå ñî ñêîðîñòüþ v = 100ì/ñ. Íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ñðåäû, ôàçû êîëåáàíèé êîòîðûõ ïðîòèâîïîëîæíû, ðàâíî 1 ì. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó êîëåáàíèé. 12.7. Îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé âäîëü ïðÿìîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà. Àìïëèòóäà êîëåáàíèé A = 10 ñì. Êàêîâî ñìåùåíèå òî÷êè, óäàëåííîé îò èñòî÷íèêà íà ðàññòîÿíèå x = 3p/4, â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà îò íà÷àëà êîëåáàíèé ïðîøëî âðåìÿ t = 0,9T ? 12.8. Âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â óïðóãîé ñðåäå ñî ñêîðîñòüþ v = 150ì/ñ. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó êîëåáàíèé, åñëè ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ñðåäû, ôàçû êîëåáàíèé êîòîðûõ ïðîòèâîïîëîæíû, ðàâíî 0,75ì. 35
12.9. Çâóêîâûå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé v = 450 Ãö è àìïëèòóäîé A = 0,3 ìì ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â óïðóãîé ñðåäå. Äëèíà âîëíû l = 0,8 ì. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû è ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ÷àñòèö ñðåäû. 12.10. Äâà êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêà êîëåáëþòñÿ â îäèíàêîâîé ôàçå ñ ÷àñòîòîé 400 Ãö. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé â ñðåäå 1 êì/ñ. Îïðåäåëèòü, ïðè êàêîé íàèìåíüøåé ðàçíîñòè õîäà áóäåò íàáëþäàòüñÿ ìàêñèìàëüíîå óñèëåíèå âîëí. 12.11. Òðóáà, äëèíà êîòîðîé 1 ì, çàïîëíåíà âîçäóõîì è îòêðûòà ñ îäíîãî êîíöà. Ïðèíèìàÿ ñêîðîñòü çâóêà v = 340 ì/ñ, îïðåäåëèòü, ïðè êàêîé íàèìåíüøåé ÷àñòîòå â òðóáå áóäåò âîçíèêàòü ñòîÿ÷àÿ çâóêîâàÿ âîëíà. 12.12. Óðàâíåíèå ïëîñêîé çâóêîâîé âîëíû èìååò âèä: x = 60cos(1800t 5,3x) ìêì, t â ñåêóíäàõ, x â ìåòðàõ. Íàéòè îòíîøåíèå àìïëèòóäû ñìåùåíèÿ ÷àñòèö ñðåäû ê äëèíå âîëíû, àìïëèòóäó êîëåáàíèé ñêîðîñòè ÷àñòèö ñðåäû è åå îòíîøåíèå ê ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. 12.13. Íàéòè âîëíîâîé âåêòîð è ñêîðîñòü âîëíû, èìåþùåé âèä x = = Acos(wtax by gz). 12.14. Çâóêîâàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x.  òó æå ñòîðîíó äâèæóòñÿ íàáëþäàòåëè 1 è 2 ñî ñêîðîñòÿìè v1 è v2. Íàéòè îòíîøåíèå ÷àñòîò w2/w1, êîòîðûå çàôèêñèðóþò íàáëþäàòåëè. 12.15. Íàáëþäàòåëü, ñòîÿùèé íà ñòàíöèè, ñëûøèò ãóäîê ïðîõîäÿùåãî ýëåêòðîâîçà. Êîãäà ýëåêòðîâîç ïðèáëèæàåòñÿ, ÷àñòîòà çâóêîâûõ êîëåáàíèé ãóäêà ðàâíà v1, à êîãäà óäàëÿåòñÿ v2. Ïðèíèìàÿ, ÷òî ñêîðîñòü v çâóêà èçâåñòíà, îïðåäåëèòü: 1) ñêîðîñòü ýëåêòðîâîçà; 2) ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó v0 êîëåáàíèé ãóäêà. 12.16. Ïîåçä ïðîõîäèò ñî ñêîðîñòüþ 54 êì/÷ ìèìî íåïîäâèæíîãî ïðèåìíèêà è ïîäàåò çâóêîâîé ñèãíàë. Ïðèåìíèê âîñïðèíèìàåò ñêà÷îê ÷àñòîòû 53 Ãö. Ñêîðîñòü çâóêà 340 ì/ñ. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó òîíà çâóêîâîãî ñèãíàëà ãóäêà ïîåçäà. 12.17. Ìèìî íåïîäâèæíîãî ýëåêòðîâîçà, ãóäîê êîòîðîãî äàåò ñèãíàë ñ ÷àñòîòîé 300 Ãö, ïðîåçæàåò ïîåçä ñî ñêîðîñòüþ 40 ì/ñ. Êàêîâà êàæóùàÿñÿ ÷àñòîòà òîíà äëÿ ïàññàæèðà, êîãäà ïîåçä ïðèáëèæàåòñÿ ê ýëåêòðîâîçó? Óäàëÿåòñÿ îò íåãî? 12.18. Íà øîññå ñáëèæàþòñÿ äâå àâòîìàøèíû ñî ñêîðîñòÿìè 30 è 20 ì/ñ. Ïåðâàÿ èç íèõ ïîäàåò çâóêîâîé ñèãíàë ÷àñòîòîé 600 Ãö. Íàéòè êàæóùóþñÿ ÷àñòîòó çâóêà, âîñïðèíèìàåìîãî âîäèòåëåì âòîðîé àâòîìàøèíû, â äâóõ ñëó÷àÿõ: äî âñòðå÷è è ïîñëå âñòðå÷è. 36
12.19. Íàéòè ìîùíîñòü N òî÷å÷íîãî èçîòðîïíîãî èñòî÷íèêà çâóêà, åñëè íà ðàññòîÿíèè 25 ì îò íåãî èíòåíñèâíîñòü çâóêà ðàâíà 20 ìÂò/ì2. Êàêîâà ñðåäíÿÿ îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè íà ýòîì ðàññòîÿíèè? 12.20. Íà ðàññòîÿíèè 24 ì îò òî÷å÷íîãî èçîòðîïíîãî èñòî÷íèêà çâóêà óðîâåíü åãî ãðîìêîñòè 32 äÁ. Íàéòè óðîâåíü ãðîìêîñòè çâóêà ýòîãî èñòî÷íèêà íà ðàññòîÿíèè 16 ì. 12.21. Íà ðàññòîÿíèè 100 ì îò òî÷å÷íîãî èçîòðîïíîãî èñòî÷íèêà çâóêà óðîâåíü ãðîìêîñòè ïðè ÷àñòîòå 50 Ãö ðàâåí 20 äÁ. Îïðåäåëèòü ìîùíîñòü èñòî÷íèêà çâóêà. 12.22. Íà ðàññòîÿíèè 100 ì îò òî÷å÷íîãî èçîòðîïíîãî èñòî÷íèêà çâóêà ÷àñòîòû 200 Ãö óðîâåíü ãðîìêîñòè 50 äÁ. Ïîðîã ñëûøèìîñòè íà ýòîé ÷àñòîòå ñîîòâåòñòâóåò èíòåíñèâíîñòè çâóêà 0,10 íÂò/ì2. Êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ çâóêîâîé âîëíû 5,0·104 ì1. Íàéòè çâóêîâóþ ìîùíîñòü èñòî÷íèêà. 12.23. Íàéòè êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ çâóêîâîé âîëíû, åñëè íà ðàññòîÿíèÿõ 10 è 20 ì îò òî÷å÷íîãî èçîòðîïíîãî èñòî÷íèêà çâóêà çíà÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòè çâóêîâîé âîëíû îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà â 4,5 ðàçà. 12.24. Ïëîñêàÿ çâóêîâàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè x. Êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ âîëíû 0,023 ì1.  òî÷êå x = 0 óðîâåíü ãðîìêîñòè 60 äÁ. Íàéòè óðîâåíü ãðîìêîñòè â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé x = 50ì. 12.25. Íà ðàññòîÿíèè 20 ì îò òî÷å÷íîãî èçîòðîïíîãî èñòî÷íèêà çâóêà óðîâåíü ãðîìêîñòè 30 äÁ. Ïðåíåáðåãàÿ çàòóõàíèåì âîëíû, íàéòè óðîâåíü ãðîìêîñòè íà ðàññòîÿíèè 10,0 ì îò èñòî÷íèêà è ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì çâóê íå ñëûøåí.
37
ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ 13. Ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè 13.1. Êèñëîðîä ïîä äàâëåíèåì 0,2 ÌÏà â îáúåìå 1 ì3 ñíà÷àëà íàãðåâàþò ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè äî 3 ì3, à çàòåì ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå äî äàâëåíèÿ 0,5 ÌÏà. Íàéòè èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà. 13.2. Êèñëîðîä ïîä äàâëåíèåì 0,2 ÌÏà â îáúåìå 1 ì3 ñíà÷àëà íàãðåâàþò ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè äî 3 ì3, à çàòåì ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå äî äàâëåíèÿ 0,5 ÌÏà. Íàéòè òåïëîòó, ïåðåäàííóþ ãàçó â ýòèõ ïðîöåññàõ. 13.3.  ñîñóäå íàõîäèòñÿ 0,1 ìîëÿ òðåõàòîìíîãî ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå 300 Ê. Ñíà÷àëà ãàç àäèàáàòè÷åñêè ðàñøèðèëñÿ â 8 ðàç, à çàòåì èçîòåðìè÷åñêè âåðíóëñÿ ê ïåðâîíà÷àëüíîìó îáúåìó. Íàéòè ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì â ýòèõ ïðîöåññàõ. 13.4.  ñîñóäå íàõîäèòñÿ 0,1 ìîëÿ òðåõàòîìíîãî ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå 300 Ê. Ñíà÷àëà ãàç àäèàáàòè÷åñêè ðàñøèðèëñÿ â 8 ðàç, à çàòåì èçîòåðìè÷åñêè âåðíóëñÿ ê ïåðâîíà÷àëüíîìó îáúåìó. Íàéòè òåïëîòó, ïîëó÷åííóþ ãàçîì â ýòèõ ïðîöåññàõ. 13.5. Êèñëîðîä íàãðåâàåòñÿ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè 80 êÏà. Åãî îáúåì óâåëè÷èâàåòñÿ îò 1 äî 3 ì3. Îïðåäåëèòü èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà. 13.6. Êèñëîðîä íàãðåâàåòñÿ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè 80 êÏà. Åãî îáúåì óâåëè÷èâàåòñÿ îò 1 äî 3 ì3. Îïðåäåëèòü ïîëó÷åííóþ ãàçîì òåïëîòó. 13.7. Îïðåäåëèòü ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ àçîòîì, êîòîðîìó ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè áûë ïåðåäàí 21 êÄæ òåïëîòû. 13.8. Êèñëîðîä ìàññîé 200 ã çàíèìàåò îáúåì 100 ë ïîä äàâëåíèåì 200 êÏà. Ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ãàç ðàñøèðèëñÿ äî îáúåìà 300 ë, çàòåì ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü äî 500 êÏà. Íàéòè èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà. 13.9. Êèñëîðîä ìàññîé 200 ã çàíèìàåò îáúåì 100 ë ïîä äàâëåíèåì 200 êÏà. Ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ãàç ðàñøèðèëñÿ äî îáúåìà 300 ë, çàòåì ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü äî 500 êÏà. Íàéòè òåïëîòó, ïîëó÷åííóþ ãàçîì â ýòèõ ïðîöåññàõ. 38
13.10. Êàêàÿ äîëÿ òåïëîòû, ïîäâîäèìîé ê èäåàëüíîìó ãàçó â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå, ðàñõîäóåòñÿ íà óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà. Ðàññìîòðåòü îäíîàòîìíûé, äâóõàòîìíûé è òðåõàòîìíûé ãàçû. 13.11. Íàéòè èçìåíåíèå îáúåìà âîäîðîäà, ïîëó÷èâøåãî ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè 200 êÏà 700 Äæ òåïëîòû. 13.12. Íàéòè ìîëÿðíóþ ìàññó ãàçà, åñëè äëÿ èçîáàðè÷åñêîãî íàãðåâàíèÿ 0,5 êã ýòîãî ãàçà íà 10 Ê òðåáóåòñÿ íà 1,48 êÄæ òåïëîòû, ÷åì äëÿ èçîõîðè÷åñêîãî. 13.13. Îäèí ìîëü èäåàëüíîãî ãàçà èçîáàðè÷åñêè íàãðåâàåòñÿ íà 77 Ê 1600 êÄæ òåïëîòû. Íàéòè ïîêàçàòåëü àäèàáàòû äëÿ ýòîãî ãàçà. 13.14. Îäèí ìîëü èäåàëüíîãî ãàçà èçîáàðè÷åñêè íàãðåâàåòñÿ íà 77 Ê 1600 êÄæ òåïëîòû. Íàéòè èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà. 13.15. Òðè ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà, íàõîäèâøåãîñÿ ïðè òåìïåðàòóðå 276,5 Ê èçîòåðìè÷åñêè ðàñøèðèëè â 5 ðàç, à çàòåì èçîõîðè÷åñêè íàãðåëè äî ïåðâîíà÷àëüíîãî äàâëåíèÿ. Çà âåñü ïðîöåññ ãàçó ñîîáùèëè 80 êÄæ òåïëîòû. Íàéòè ïîêàçàòåëü àäèàáàòû äëÿ ýòîãî ãàçà. 13.16. Âîäîðîä ìàññîé 6,5 ã èçîòåðìè÷åñêè ðàñøèðÿåòñÿ âäâîå çà ñ÷åò ïðèòîêà òåïëà èçâíå ïðè òåìïåðàòóðå 300 Ê. Íàéòè òåïëîòó, ñîîáùåííóþ ãàçó. 13.17.  ñîñóäå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ 1 ã àçîòà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû íàäî çàòðàòèòü, ÷òîáû íàãðåòü ãàç íà 10 Ê? 13.18.  ñîñóäå ïîä ïîðøíåì ìàññîé 10 êã íàõîäèòñÿ 1 ã àçîòà. Íà êàêóþ âûñîòó ïîäíèìåòñÿ ïîðøåíü ïðè íàãðåâàíèè ãàçà íà 10 Ê? 13.19.  ñîñóäå ïîä ïîðøíåì ìàññîé 3,57 êã íàõîäèòñÿ ãðåìó÷èé ãàç. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ ïðè åãî âçðûâå, åñëè âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà óâåëè÷èòñÿ íà 333 Äæ, à ïîðøåíü ïîäíèìåòñÿ íà 20 ñì? 13.20. Äàâëåíèå âîçäóõà â êîìíàòå îáúåìîì 50 ì3 óâåëè÷èëîñü îò 100 äî 105 êÏà. Ñ÷èòàÿ âîçäóõ èäåàëüíûì äâóõàòîìíûì ãàçîì, íàéòè ïðèðàùåíèå åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè. 13.21. Íåêîòîðàÿ ìàññà àçîòà ïîä äàâëåíèåì 100 êÏà èìåëà îáúåì 5 ë, à ïîä äàâëåíèåì 300 êÏà 2 ë. Ïåðåõîä èç ïåðâîãî ñîñòîÿíèÿ âî âòîðîå áûë ïðîâåäåí â äâà ýòàïà: ñíà÷àëà ïî èçîáàðå, ïîòîì ïî èçîõîðå. Íàéòè êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïåðåäàííîå ïðè ýòîì ïåðåõîäå. 13.22. Ïîðöèÿ àçîòà íàãðåâàåòñÿ îò 300 äî 400 Ê òàêèì îáðàçîì, ÷òî îáúåì ãàçà ïîääåðæèâàåòñÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíûì åãî àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå V = a×T, ãäå a = 105 ì3/Ê. Íà÷àëüíîå äàâëåíèå àçîòà 100 êÏà. Íàéòè ðàáîòó ãàçà â ýòîì ïðîöåññå. 39
13.23. Ïîðöèÿ àçîòà íàãðåâàåòñÿ îò 300 äî 400 Ê òàêèì îáðàçîì, ÷òî îáúåì ãàçà ïîääåðæèâàåòñÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíûì åãî àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå V = a×T, ãäå a = 105 ì3/Ê. Íà÷àëüíîå äàâëåíèå àçîòà 100 êÏà. Íàéòè èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà â ýòîì ïðîöåññå. 13.24. Óðàâíåíèå ïðîöåññà äâóõàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà çàäàíî ãðàôè÷åñêè â êîîðäèíàòàõ p, V îòðåçêîì ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùèì òî÷êè (100 êÏà, 5 ë è 125 êÏà, 6 ë). Íàéòè èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà â ýòîì ïðîöåññå. 13.25. Óðàâíåíèå ïðîöåññà äâóõàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà çàäàíî ãðàôè÷åñêè â êîîðäèíàòàõ p, V îòðåçêîì ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùèì òî÷êè (100 êÏà, 5 ë è 125 êÏà, 6 ë). Íàéòè ðàáîòó ãàçà â ýòîì ïðîöåññå. 13.26.  âåðòèêàëüíóþ òîíêóþ òðóáêó ñ çàïàÿííûì íèæíèì êîíöîì íàëèëè 50 ã ðòóòè. Ïîä íåé îñòàëàñü çàïåðòîé ïîðöèÿ âîçäóõà, êîòîðûé ñëåäóåò ñ÷èòàòü èäåàëüíûì äâóõàòîìíûì ãàçîì. Ïðè íàãðåâàíèè âîçäóõà ðòóòü ïîäíÿëàñü íà 1 ñì. Íàéòè êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå âîçäóõîì. Òåïëîâûì ðàñøèðåíèåì ðòóòè è ìàññîé âîçäóõà, ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàññîé ðòóòè, ïðåíåáðå÷ü. 13.27.  âåðòèêàëüíóþ òîíêóþ òðóáêó ñ çàïàÿííûì íèæíèì êîíöîì íàëèëè 50 ã ðòóòè. Ïîä íåé îñòàëàñü çàïåðòîé ïîðöèÿ âîçäóõà, êîòîðûé ñëåäóåò ñ÷èòàòü èäåàëüíûì äâóõàòîìíûì ãàçîì. Ïðè íàãðåâàíèè âîçäóõà íà 10 Ê ðòóòü ïîäíÿëàñü íà 1 ñì. Íàéòè êîëè÷åñòâî ìîëåé âîçäóõà çàïåðòîãî ïîä ðòóòüþ. Òåïëîâûì ðàñøèðåíèåì ðòóòè è ìàññîé âîçäóõà, ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàññîé ðòóòè, ïðåíåáðå÷ü. 14. Ýíòðîïèÿ 14.1. Íà ñêîëüêî èçìåíèòñÿ ýíòðîïèÿ 100 ã îëîâà ïðè åãî çàòâåðäåâàíèè? Òåìïåðàòóðà çàòâåðäåâàíèÿ îëîâà 232 °Ñ, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ 60 êÄæ/êã. 14.2. Ðàñïëàâëåííûé ñâèíåö ìàññîé m = 80 ã ïðè òåìïåðàòóðå ïëàâëåíèÿ (327 °Ñ) âûëèëè íà ëåä (òåìïåðàòóðà ëüäà t0 = 0 °Ñ). Íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè ñèñòåìû ñâèíåö-ëåä ïðè îõëàæäåíèè ñâèíöà äî òåìïåðàòóðû ëüäà. Ëåä ñ÷èòàòü íåîãðàíè÷åííûì "ðåçåðâóàðîì õîëîäà", ïëàâëåíèåì ëüäà ïðåíåáðå÷ü. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ñâèíöà 126 Äæ/êã×K, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ 22,6 êÄæ/êã. 14.3. Íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî âîäû íàãðåâàþò îò 10 äî 100 °Ñ è äàþò åé ïîëíîñòüþ âûêèïåòü. Êàêîé äîëæíà áûòü ìàññà âîäû, ÷òîáû åå ýíòðîïèÿ â äàííîì ïðîöåññå èçìåíèëàñü íà 3,61 êÄæ/Ê (ïàðîîáðàçîâàíèåì ïðè t < 100 °Ñ ïðåíåáðå÷ü). 40
14.4. Íàãðåâàòåëü, ñîõðàíÿþùèé ïîñòîÿííóþ òåìïåðàòóðó 100 °Ñ (íåîãðàíè÷åííûé òåïëîâîé ðåçåðâóàð) ïðèâîäèòñÿ â êîíòàêò ñ çàïàÿííûì ñîñóäîì, â êîòîðîì ñîäåðæèòñÿ 1ë êèñëîðîäà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ (äàâëåíèè 101,3 êÏà è òåìïåðàòóðå 0 °Ñ). Íà ñêîëüêî èçìåíèòñÿ ïðè ýòîì ýíòðîïèÿ ñèñòåìû ãàç-ðåçåðâóàð? 14.5. 10 ã ñâèíöà íàãðåëè îò íåêîòîðîé òåìïåðàòóðû äî òî÷êè ïëàâëåíèÿ (327 °Ñ) è ðàñïëàâèëè. Èçâåñòíî, ÷òî ïðè íàãðåâàíèè áûëî çàòðà÷åíî â 1,4 ðàçà áîëüøå òåïëà, ÷åì ïðè ïëàâëåíèè. Íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè ñâèíöà â ýòîì ïðîöåññå. 14.6. Êóáèê ëüäà ñíà÷àëà ðàñïëàâèëè ïðè òåìïåðàòóðå 0 °Ñ, à çàòåì ïîëó÷åííóþ âîäó íàãðåëè äî íåêîòîðîé òåìïåðàòóðû t. Íàéòè òàêîå çíà÷åíèå t, ïðè êîòîðîì èçìåíåíèå ýíòðîïèè â ïåðâîì ïðîöåññå ðàâíî åå èçìåíåíèþ âî âòîðîì ïðîöåññå. Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà 335 êÄæ/êã. 14.7. Æåëåçî ìàññîé 200 ã ïðè òåìïåðàòóðå 100 °Ñ îïóùåíî â êàëîðèìåòð, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ 300 ã âîäû ïðè òåìïåðàòóðå 12 °Ñ. Ïðåíåáðåãàÿ òåïëîåìêîñòüþ êàëîðèìåòðà, íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè ñèñòåìû ïðè óðàâíèâàíèè òåìïåðàòóð. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü æåëåçà 500 Äæ/êã×K. 14.8. Ïðè ïîãðóæåíèè â âîäîåì ñâèíöîâîå ãðóçèëî ìàññû m îõëàæäàåòñÿ äî òåìïåðàòóðû âîäû t0 (âîäîåì ñ÷èòàåòñÿ íåîãðàíè÷åííûì ðåçåðâóàðîì õîëîäà, åãî òåìïåðàòóðà ïîñòîÿííà). 1. Äîêàçàòü, ÷òî â ðåçóëüòàòå ýòîãî ïðîöåññà ýíòðîïèÿ ñèñòåìû âîçðàñòàåò. 2. Âû÷èñëèòü DS ñèñòåìû ïðè äàííûõ: m = 20 ã, t1 = 27 °Ñ (èñõîäíàÿ òåìïåðàòóðà ãðóçèëà), t0 = 7°Ñ. 14.9. Ñìåøèâàþò ìàññó âîäû m1 ïðè òåìïåðàòóðå t1 ñ ìàññîé âîäû m2 ïðè òåìïåðàòóðå t2. 1. Äëÿ ñëó÷àÿ m1 = m2 äîêàçàòü, ÷òî dS ³ 0, ò. å. ýíòðîïèÿ ñèñòåìû íå óáûâàåò. 2. Íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè â ïðîöåññå âûðàâíèâàíèÿ òåìïåðàòóð ïðè çíà÷åíèÿõ m1 = 4 êã, m2 = 6 êã, t1 = 80 °Ñ, t2 = 20 °Ñ. 14.10. Íàéòè ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè 2 ìîëåé âîäû, âçÿòîé ïðè t = 100 °Ñ, åñëè âîäà ñíà÷àëà èñïàðÿåòñÿ ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå, çàòåì ïîëó÷åííûé ïàð íàãðåâàåòñÿ äî òåìïåðàòóðû 200 °Ñ. Òåïëîåìêîñòü ïàðà âûðàæàåòñÿ ýìïèðè÷åñêîé ôîðìóëîé cp = 33,83 + 0,0084T + 3·108T 2 Äæ/(ìîëü×Ê). 14.11. Êóñîê ëüäà îõëàæäàåòñÿ ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè è íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðå 0 äî 10 °Ñ. Íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè ëüäà â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó ìàññû, åñëè óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ëüäà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé cp = 2212 + 7,5t Äæ/(Ê·êã), ãäå t òåìïåðàòóðà ïî Öåëüñèþ. 41
14.12. Íàéòè ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè ìåòàëëè÷åñêîãî áðóñêà ìàññû 2 êã ïðè íàãðåâàíèè åãî îò 300 äî 400 Ê, åñëè òåïëîåìêîñòü ìåòàëëà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé c = a + bT, ãäå a = 0,77 Äæ/(ã×Ê), b = 0,46 ìÄæ/(ã×Ê2). 14.13. 1 ìîëü êèñëîðîäà íàãðåëè îò 300 äî 330 Ê, ïðè÷åì â õîäå ïðîöåññà îáúåì ìåíÿëñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî T1/2. Íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè êèñëîðîäà, ñ÷èòàÿ ãàç èäåàëüíûì. 14.14. 1 ìîëü îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà ïîäâåðãñÿ ðàñøèðåíèþ â 2 ðàçà â õîäå ïîëèòðîïíîãî ïðîöåññà pV 2 = const. Íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè ãàçà. 14.15. 1 ìîëü îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà ïîëó÷èë íåáîëüøîå îòíîñèòåëüíîå ðàñøèðåíèå a = 1% â õîäå ïîëèòðîïíîãî ïðîöåññà pVn = const. Ïðè ýòîì ýíòðîïèÿ ãàçà èçìåíèëàñü íà DS = 0,005 Äæ/Ê. Íàéòè ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïû n. 14.16. Äî êàêîé òåìïåðàòóðû íóæíî äîâåñòè 4 êã êèñëîðîäà, âçÿòîãî ïðè òåìïåðàòóðå 227 °Ñ, ÷òîáû, íå ìåíÿÿ îáúåìà ãàçà, óìåíüøèòü åãî ýíòðîïèþ íà 1,31 êÄæ/Ê? 14.17. Ïðè íàãðåâàíèè 8 ã àðãîíà åãî àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà óâåëè÷èëàñü â 2 ðàçà. Îïðåäåëèòü èçìåíåíèå ýíòðîïèè ïðè: à) èçîáàðè÷åñêîì; á) èçîõîðè÷åñêîì íàãðåâàíèè. 14.18. Êèëîìîëü (êìîëü) ãåëèÿ, èçîáàðè÷åñêè ðàñøèðÿÿñü, óâåëè÷èë ñâîé îáúåì â 4 ðàçà. 1. Íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè ãàçà. 2. Ïðåäñòàâèòü ñåáå íåêèé ãàç 2, êîòîðûé â àíàëîãè÷íîì ïðîöåññå óâåëè÷èâàåò ñâîþ òåìïåðàòóðó â 3 ðàçà. Êàêèì ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû äîëæåí îáëàäàòü ýòîò ãàç, ÷òîáû ïðè óêàçàííîì ïðîöåññå ïðîèçîøëî òàêîå æå èçìåíåíèå ýíòðîïèè, êàê â ïåðâîì ñëó÷àå? 14.19.  ðåçóëüòàòå èçîòåðìè÷åñêîãî ñæàòèÿ 887 äì3 âîçäóõà, íàõîäÿùåãîñÿ ïðè òåìïåðàòóðå 30 °Ñ è íà÷àëüíîì äàâëåíèè 0,1 ÌÏà, åãî ýíòðîïèÿ óìåíüøèëàñü íà 673 Äæ/Ê. Îïðåäåëèòü îáúåì âîçäóõà â êîíöå ïðîöåññà. 14.20. Îïðåäåëèòü èçìåíåíèå ýíòðîïèè 1 êã óãëåêèñëîãî ãàçà â ïðîöåññå ñæàòèÿ îò äàâëåíèÿ 0,2 ÌÏà ïðè òåìïåðàòóðå 40 °Ñ äî äàâëåíèÿ 4,5 ÌÏà ïðè òåìïåðàòóðå 253 °Ñ (ïîêàçàòåëü àäèàáàòû óãëåêèñëîãî ãàçà g = 1,30). 14.21. Áåðóò 1 êã êèñëîðîäà ïðè äàâëåíèè 0,5 ÌÏà è òåìïåðàòóðå 127 °Ñ. Ãàç èçîáàðè÷åñêè ðàñøèðÿþò, óâåëè÷èâàÿ åãî îáúåì â 2 ðàçà, à çàòåì èçîòåðìè÷åñêè ñæèìàþò äî äàâëåíèÿ 4 ÌÏà. Îïðåäåëèòü ñóììàðíîå èçìåíåíèå ýíòðîïèè. 42
14.22. Äâà ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ñíà÷àëà èçîõîðè÷åñêè îõëàäèëè, à çàòåì èçîáàðè÷åñêè ðàñøèðèëè òàê, ÷òî òåìïåðàòóðà ãàçà ñòàëà ðàâíà ïåðâîíà÷àëüíîé. Íàéòè ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè ãàçà â ýòîì ïðîöåññå, åñëè åãî äàâëåíèå â äàííîì ïðîöåññå èçìåíèëîñü â 3,3 ðàçà. 14.23. Ãåëèé ìàññîé 1,7 ã àäèàáàòè÷åñêè ðàñøèðèëè â 3,0 ðàçà è çàòåì èçîáàðè÷åñêè ñæàëè äî ïåðâîíà÷àëüíîãî îáúåìà. Íàéòè ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè ãàçà â ýòîì ïðîöåññå. 14.24. Íàéòè ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè äâóõ ìîëåé èäåàëüíîãî ãàçà ñ ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû 1,3, åñëè â ðåçóëüòàòå íåêîòîðîãî ïðîöåññà îáúåì ãàçà óâåëè÷èëñÿ â 2 ðàçà, à äàâëåíèå óìåíüøèëîñü â 3 ðàçà. 14.25. 1 ìîëü èäåàëüíîãî ãàçà ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ðàñøèðåíèè óâåëè÷èë ñâîé îáúåì â 3 ðàçà, à çàòåì ãàç èçîõîðè÷åñêè íàãðåëè, ïîâûñèâ åãî òåìïåðàòóðó íà 60 Ê. ×åìó ðàâíî èçìåíåíèå ýíòðîïèè â ïðîöåññå, åñëè ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ãàçîì, ðàâíà 2,70 êÄæ? Ïîêàçàòåëü àäèàáàòû ãàçà ðàâåí 1,40. 14.26. 1 êã âîçäóõà ñæèìàþò àäèàáàòè÷åñêè òàê, ÷òî åãî îáúåì óìåíüøàåòñÿ â 6 ðàç, à çàòåì ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå äàâëåíèå âîçðàñòàåò â 1,5 ðàçà. Îïðåäåëèòü èçìåíåíèå ýíòðîïèè â ýòîì ïðîöåññå (ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà M = 0,029 êã/ìîëü, ïîêàçàòåëü àäèàáàòû g = 1,40). Èçîáðàçèòü ïðîöåññû íà äèàãðàììå p, V. 14.27. Ñîñóä åìêîñòüþ 40 ë ðàçäåëèëè íåïðîíèöàåìîé ïåðåãîðîäêîé.  îäíîé ÷àñòè íàõîäèòñÿ 0,2 ìîëÿ âîçäóõà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ. Âîçäóõ â äðóãîé ÷àñòè îòêà÷àí. Çàòåì ïåðåãîðîäêó óäàëÿþò, ïîçâîëÿÿ ãàçó ðàñïðîñòðàíèòüñÿ ïî âñåìó ñîñóäó. Ñ÷èòàÿ ýòîò ïðîöåññ ðàñøèðåíèåì ãàçà â ïóñòîòó, íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè ãàçà. 15. Êðóãîâûå ïðîöåññû 15.1. Èäåàëüíûé äâóõàòîìíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë Êàðíî. Ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ðàñøèðåíèè îáúåì ãàçà ìåíÿåòñÿ îò 12 äî 16 ë. Íàéòè ÊÏÄ öèêëà. 15.2. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë Êàðíî. Ðàáîòà èçîòåðìè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ ðàâíà 5 Äæ. Îïðåäåëèòü ðàáîòó èçîòåðìè÷åñêîãî ñæàòèÿ, åñëè ÊÏÄ öèêëà 0,2. 15.3. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë Êàðíî. Òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ ðàâíà 470 Ê, òåìïåðàòóðà õîëîäèëüíèêà ðàâíà 280 Ê. Ïðè èçîòåpìè÷åñêîì ðàñøèðåíèè ãàç ñîâåðøàåò ðàáîòó 100 Äæ. Îïðåäåëèòü ÊÏÄ, à òàêæå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå ãàç îòäàåò õîëîäèëüíèêó ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ñæàòèè. 43
15.4. Èäåàëüíûé äâóõàòîìíûé ãàç, ñîäåðæàùèé êîëè÷åñòâî âåùåñòâà 1 ìîëü, è íàõîäÿùèéñÿ ïîä äàâëåíèåì 0,1 ÌÏà ïðè òåìïåðàòóðå 300 Ê, íàãðåâàþò ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå äî äàâëåíèÿ 0,2 ÌÏà. Ïîñëå ýòîãî ãàç èçîòåðìè÷åñêè ðàñøèðÿåòñÿ äî íà÷àëüíîãî äàâëåíèÿ è çàòåì èçîáàðíî ñæèìàåòñÿ äî íà÷àëüíîãî îáúåìà. Ïîñòðîèòü ãðàôèê öèêëà. Îïðåäåëèòü òåìïåðàòóðó ãàçà äëÿ õàðàêòåðíûõ òî÷åê öèêëà è åãî ÊÏÄ. 15.5. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë Êàðíî. Òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ â 4 ðàçà âûøå òåìïåðàòóðû õîëîäèëüíèêà. Êàêóþ äîëþ êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ïîëó÷àåìîãî çà 1 öèêë îò íàãðåâàòåëÿ, ãàç îòäàåò õîëîäèëüíèêó? 15.6. Èäåàëüíûé äâóõàòîìíûé ãàç, ñîäåðæàùèé 1 ìîëü âåùåñòâà, ñîâåðøàåò öèêë, ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîõîð è äâóõ èçîáàð. Íàèìåíüøèé îáúåì 10 ë, íàèáîëüøèé 20 ë, íàèìåíüøåå äàâëåíèå 246 êÏà, íàèáîëüøåå 410 êÏà. Ïîñòðîèòü ãðàôèê öèêëà. Îïðåäåëèòü òåìïåðàòóðó T ãàçà äëÿ õàðàêòåðíûõ òî÷åê öèêëà è ÊÏÄ. 15.7. Îäíîàòîìíûé ãàç, ñîäåðæàùèé 0,1 êìîëü ïîä äàâëåíèåì 100 êÏà, çàíèìàë îáúåì 5 ì3. Ãàç ñæèìàëñÿ èçîáàðíî äî îáúåìà 1 ì3, à çàòåì ñæèìàëñÿ àäèàáàòíî è ðàñøèðÿëñÿ ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå äî íà÷àëüíûõ îáúåìà è äàâëåíèÿ. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïðîöåññà. Íàéòè: 1) òåìïåðàòóðû T1, T2, îáúåì V3, äàâëåíèå p3; 2) êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q1, ïîëó÷åííîå ãàçîì îò íàãðåâàòåëÿ; 3) êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q2, ïåðåäàííîå ãàçîìõîëîäèëüíèêó; 4) ðàáîòó A, ñîâåðøåííóþ ãàçîì çà âåñü öèêë; 5) òåðìè÷åñêèé ÊÏÄ. 15.8. Îäíîàòîìíûé ãàç, ñîäåðæàùèé 0,1 êìîëü ïîä äàâëåíèåì 100 êÏà, çàíèìàë îáúåì 5 ì3. Ãàç ñæèìàëñÿ èçîáàðíî äî îáúåìà 1 ì3, à çàòåì ñæèìàëñÿ àäèàáàòíî è ðàñøèðÿëñÿ ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå äî íà÷àëüíûõ îáúåìà è äàâëåíèÿ. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïðîöåññà. Íàéòè òåìïåðàòóðû T1, T2, îáúåì V3, äàâëåíèå p3. 15.9. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë Êàðíî, 2/3 êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ïîëó÷åííîãî îò íàãðåâàòåëÿ, îòäàåò õîëîäèëüíèêó. Òåìïåðàòóðà õîëîäèëüíèêà 280 Ê. Îïðåäåëèòü òåìïåðàòóðó íàãðåâàòåëÿ. 15.10. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë Êàðíî, ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîõîð è äâóõ èçîáàð. ÊÏÄ öèêëà 20%. Èçâåñòíî, ÷òî îò íàãðåâàòåëÿ ãàçó ïåðåäàåòñÿ 10 êÄæ, ïðè èçîáàðè÷åñêîì ðàñøèðåíèè òåìïåðàòóðà ïîâûøàåòñÿ â 2 ðàçà, íà÷àëüíûé îáúåì ãàçà 1 ë. Íàéòè ìàêñèìàëüíîå èçìåíåíèå äàâëåíèÿ âî âðåìÿ öèêëà. 15.11. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë, ñîñòîÿùèé èç àäèàáàòû, èçîáàðû è èçîõîðû. Ïîêàçàòåëü àäèàáàòû 1,5. Ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ðàñøèðåíèè òåìïåðàòóðà óìåíüøàåòñÿ â 2 ðàçà. Íàéòè ÊÏÄ öèêëà. 44
15.12. Ó òåïëîâîé ìàøèíû, ðàáîòàþùåé ïî öèêëó Êàðíî, òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ â n = 1,6 ðàçà áîëüøå òåìïåðàòóðû õîëîäèëüíèêà. Çà îäèí öèêë ìàøèíà ïðîèçâîäèò ðàáîòó À = 12,0 êÄæ. Êàêàÿ ðàáîòà çà öèêë çàòðà÷èâàåòñÿ íà èçîòåðìè÷åñêîå ñæàòèå ðàáî÷åãî âåùåñòâà? 15.13. Êèñëîðîä, èäåàëüíûé ãàç, ñîâåðøàåò öèêë, ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîõîð è äâóõ èçîáàð. Ïðè èçîõîðè÷åñêîì íàãðåâàíèè òåìïåðàòóðà âîçðàñòàåò â 2 ðàçà, à ïðè èçîáàðè÷åñêîì ðàñøèðåíèè îáúåì óâåëè÷èâàåòñÿ â 4 ðàçà. Íàéòè ÊÏÄ öèêëà. 15.14. Êèñëîðîä, èäåàëüíûé ãàç, ñîâåðøàåò öèêë, ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîõîð è äâóõ èçîáàð. Ïðè èçîõîðè÷åñêîì íàãðåâàíèè äàâëåíèå âîçðàñòàåò â 2 ðàçà, à ïðè èçîáàðè÷åñêîì ðàñøèðåíèè îáúåì óâåëè÷èâàåòñÿ òàêæå â 2 ðàçà. Íàéòè ÊÏÄ öèêëà. 15.15. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë, ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîòåðì è äâóõ èçîõîð. Êàê âåäåò ñåáÿ íà ðàçëè÷íûõ ó÷àñòêàõ öèêëà: à) âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ; á) ýíòðîïèÿ ãàçà? 15.16. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë, ñîñòîÿùèé èç äâóõ àäèàáàò è äâóõ èçîáàð. Íà êàêèõ ó÷àñòêàõ: à) ñîâåðøåííàÿ ãàçîì ðàáîòà áîëüøå (ìåíüøå) íóëÿ; á) ïîëó÷åííîå ãàçîì òåïëî áîëüøå (ìåíüøå) íóëÿ? 15.17. Èäåàëüíûé ãàç ñ ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû g ñîâåðøàåò êðóãîâîé ïðîöåññ, ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîòåðì è äâóõ èçîáàð. Èçîòåðìè÷åñêèå ïðîöåññû ïðîòåêàþò ïðè òåìïåðàòóðàõ T1 è T2 (T1 > T2), èçîáàðè÷åñêèå ïðè äàâëåíèÿõ p1 è p2 (p2 â e ðàç áîëüøå, ÷åì p1). Íàéòè ÊÏÄ öèêëà. 15.18. Èäåàëüíûé ãàç ñ ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû g ñîâåðøàåò öèêë, ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîòåðì è äâóõ èçîõîð. Èçîòåðìè÷åñêèå ïðîöåññû ïðîòåêàþò ïðè òåìïåðàòóðàõ T1 è T2 (T1 > T2), èçîõîðè÷åñêèå ïðè îáúåìàõ V1 è V2 (V2 â e ðàç áîëüøå, ÷åì V1). Íàéòè ÊÏÄ öèêëà. 15.19. Âîäîðîä ñîâåðøàåò öèêë Êàðíî. Íàéòè ÊÏÄ öèêëà, åñëè ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ðàñøèðåíèè: à) îáúåì ãàçà óâåëè÷èòñÿ â n = 2,0 ðàçà; á) äàâëåíèå óìåíüøèòñÿ â n = 2,0 ðàçà. 15.20. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë, ñîñòîÿùèé èç: à) èçîõîðû, àäèàáàòû è èçîòåðìû; á) èçîáàðû, àäèàáàòû è èçîòåðìû, ïðè÷åì èçîòåðìè÷åñêèé ïðîöåññ ïðîèñõîäèò ïðè ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóðå öèêëà. Íàéòè ÊÏÄ êàæäîãî öèêëà, åñëè òåìïåðàòóðà Ò â åãî ïðåäåëàõ èçìåíÿåòñÿ â n ðàç. 15.21. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë, ñîñòîÿùèé èç: à) èçîõîðû, àäèàáàòû è èçîòåðìû; á) èçîáàðû, àäèàáàòû è èçîòåðìû, ïðè÷åì èçîòåðìè÷åñêèé ïðîöåññ ïðîèñõîäèò ïðè ìàêñèìàëüíîé òåìïåðàòóðå öèêëà. Íàéòè ÊÏÄ êàæäîãî öèêëà, åñëè òåìïåðàòóðà Ò â åãî ïðåäåëàõ èçìåíÿåòñÿ â n ðàç. 45
15.22.  èäåàëüíîé ìàøèíå Êàðíî â êà÷åñòâå ðàáî÷åãî âåùåñòâà èñïîëüçóåòñÿ èäåàëüíûé ãàç. Äîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ÊÏÄ ðàâåí 1 (Vb/Vc)g, ãäå Vb îáúåì â êîíöå èçîòåðìè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ, Vc îáúåì â êîíöå àäèàáàòè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ, g îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòåé ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè è îáúåìå. 15.23. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêë Êàðíî. Òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ â 4 ðàçà áîëüøå òåìïåðàòóðû õîëîäèëüíèêà. Êàêóþ äîëþ êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ïîëó÷åííîãî çà îäèí öèêë îò íàãðåâàòåëÿ, ãàç îòäàñò õîëîäèëüíèêó? 15.24. Îïðåäåëèòü ðàáîòó èçîòåðìè÷åñêîãî ñæàòèÿ ãàçà, ñîâåðøàþùåãî öèêë Êàðíî, ÊÏÄ êîòîðîãî 0,4, ðàáîòà èçîòåðìè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ ðàâíà 8 Äæ. 15.25. Ãàç ñîâåðøàåò öèêë Êàðíî è ïðè ýòîì îòäàë õîëîäèëüíèêó òåïëîòó Q = 14 êÄæ. Îïðåäåëèòü òåìïåðàòóðó íàãðåâàòåëÿ, åñëè ïðè òåìïåðàòóðå õîëîäèëüíèêà 280 Ê ðàáîòà öèêëà 6 êÄæ. Òàáëèöà ìîìåíòîâ èíåðöèè Îäíîðîäíîå òåëî ìàññû m
Ïîëîæåíèå îñè
Ïðÿìîé òîíêèé ñòåðæåíü äëèíîé l
Îñü ïåðïåíäèêóëÿðíà ñòåðæíþ è ïðîõîäèò ÷åðåç åãî ñåðåäèíó
Ïðÿìîé òîíêèé ñòåðæåíü äëèíîé l
Îñü ïåðïåíäèêóëÿðíà ñòåðæíþ è ïðîõîäèò ÷åðåç åãî êîíåö
Ñïëîøíîé ïðÿìîé öèëèíäð Îñü ñèììåòðèè èëè äèñê ðàäèóñà R Ïîëûé òîíêîñòåííûé ïðÿ- Îñü ñèììåòðèè ìîé öèëèíäð èëè îáðó÷ ðàäèóñà R Øàð ðàäèóñà R Îñü ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð øàðà
46
Ìîìåíò èíåðöèè
1 12
1 2 1 2
12 1
12 1 12 1
12 1
1 1 12 2
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ ÌÅÕÀÍÈÊÀ .......................................................................................... 1. Êèíåìàòèêà .............................................................................. 2. Èìïóëüñ. Ñèëà. Èìïóëüñ ñèëû ............................................... 3. Ýíåðãèÿ. Ðàáîòà. Ìîùíîñòü ................................................... 4. Ìîìåíò èìïóëüñà. Ìîìåíò ñèëû ........................................... 5. Ñìåøàííûå çàäà÷è .................................................................. 6. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà ....................................................... ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ ...................................................................... 7. Êèíåìàòèêà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ................................. 8. Äèíàìèêà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé .................................... 9. Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ............................................................ 10. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ........................................................ 11. Âîëíû ........................................................................................ 12. Âîëíû. Ñìåøàííûå çàäà÷è ..................................................... ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ ............................................................................. 13. Ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè ............................................... 14. Ýíòðîïèÿ .................................................................................. 15. Êðóãîâûå ïðîöåññû ................................................................. Òàáëèöà ...................................................................................................
3 3 6 9 11 15 18 21 21 23 26 29 32 35 38 38 40 43 46
47
Ó÷åáíîå èçäàíèå Âåñíè÷åâà Ãàëèíà Àíäðååâíà Êîâàëåíêî Èâàí Èâàíîâè÷ Êðåêòóíîâà Èðèíà Ïåòðîâíà Êóçíåöîâ Þðèé Àëåêñååâè÷ Ëàâðîâñêàÿ Íàòàëüÿ Ïàâëîâíà Ëèòâèíîâà Íàäåæäà Íèêîëàåâíà Îðëîâ Âàëåðèé Ôåäîðîâè÷ Ïëåõîòêèíà Ãàëèíà Ëüâîâíà Ïîãàðåâ Äìèòðèé Åâãåíüåâè÷ Ïðèëèïêî Âèêòîð Êîíñòàíòèíîâè÷ Ðóòüêîâ Åâãåíèé Âèêòîðîâè÷ Õîíèíåâà Åëåíà Âëàäèìèðîâíà Öàðåâ Þðèé Íèêîëàåâè÷ Øèôðèí Áîðèñ Ôðèäìàíîâè÷ Ùåðáàê Ñåðãåé ßêîâëåâè÷ ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ
Ñáîðíèê çàäà÷ Ðåäàêòîð À. Ì. Êàðòóõèíà Êîìïüþòåðíûé íàáîð è âåðñòêà Í. Ñ. Ñòåïàíîâîé
Ñäàíî â íàáîð 11.04.05. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 05.05.05. Ôîðìàò 60´84 1/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 2,79. Óñë. êð.-îòò. 2,91. Ó÷.-èçä. ë. 3,0. Òèðàæ 800 ýêç. Çàêàç ¹ 220
Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë Îòäåë ýëåêòðîííûõ ïóáëèêàöèé è áèáëèîãðàôèè áèáëèîòåêè Îòäåë îïåðàòèâíîé ïîëèãðàôèè ÃÓÀÏ 190000, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, óë. Á. Ìîðñêàÿ, 67
48
