Линейная алгебра: Методические указания и контрольные задания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра алгебры и геометрии Кафедра математического анализа

Г.Н. ЛОКТИОНОВА, Л.В.ДЮГАЕВА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Оренбург 2004

ББК 22.143 я7 Л 73 УДК 512.64

Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент Л.М. Невоструев кандидат физико-математических наук, доцент Т.М. Отрыванкина

Л 73

Локтионова Г.Н., Дюгаева Л.В. Линейная алгебра: Методические указания и контрольные задания.- Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. - 42 с.

Рассматривается методика решения некоторых задач линейной алгебры. Методические указания рассчитаны на студентов дневного отделения инженерно-технических специальностей.

ББК 22.143 я7

©Локтионова Г.Н., Дюгаева Л.В.2004 ©ГОУ ОГУ, 2004

Введение Линейная алгебра занимает важное место в вузовском образовании математиков, инженеров, экономистов и многих других специалистов. Цель методических указаний – оказать помощь студентам в выполнении практических занятий, помочь им глубже усвоить идеи и методы предмета, показать их важность для решения прикладных задач, которые встречаются при анализе больших массивов информации в экономике, социологии, техническом мониторинге и других исследованиях. При изучении темы «Линейная алгебра» студенты выучат понятия линейного (векторного) пространства, линейного оператора, его матрицы, образа, ядра, дефекта, собственных векторов и собственных значений; научатся выполнять различные операции над операторами и матрицами, исследовать и решать системы линейных уравнений, получать всю информацию об операторе (матрицу, образ, ядро, дефект, собственные векторы и собственные значения) по его матрице, преобразовывать векторы и матрицы при изменениях базисов. С помощью пакета заданий студенты смогут отработать действия над матрицами, привести их к редуцированному виду, вычисление определителей, обратной матрицы, решение систем линейных уравнений, проверку линейности оператора, решение характеристических уравнений, поиск собственных векторов и собственных значений оператора, выполнение всевозможных численных расчетов. В методических указаниях представлен пакет заданий для составления контрольных из восьми типовых задач с 30 вариантами исходных данных. В течение каждого семестра студенты должны выполнить контрольные работы по соответствующему разделу и, защитив их, получить аттестацию в соответствии с планом (зачет или экзамен). Методические указания нацелены на повышение эффективности самостоятельной работы студентов.

3

1 Содержание раздела «Линейная алгебра» Комплексные числа и многочлены. Матрицы: основные определения, классификация, операции над матрицами (сложение, вычитание, умножение), элементарные преобразования матриц. Определители. Дополнительный минор и алгебраические дополнения для элемента определителя, их свойства. Системы m линейных уравнений с n неизвестными: основные определения, классификация, метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными; правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Исследование систем линейных алгебраических уравнений. Обратная матрица: определение, свойства, вывод формулы для вычисления. Применение обратных матриц для решения систем. Матричные уравнения. Ранг матрицы, базисный минор. Линейное пространство. Понятие линейной зависимости, независимости системы векторов, критерий линейной зависимости системы векторов в произвольном пространстве. Конечномерное линейное пространство: определение, базис, способ выбора базиса, координаты вектора. Критерий линейной независимости векторов в конечномерном пространстве. Матрица перехода от одного базиса к другому. Формулы связи координат одного и того же вектора в двух базисах одного и того же линейного пространства. Евклидово пространство. Длина вектора, угол между векторами, ортогональные, ортонормированные системы векторов. Независимость ортонормированной системы векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Линейные операторы линейных пространств: определение, матрица, формула для связи матриц одного и того же линейного преобразования в двух различных базисах одного и того же конечномерного линейного пространства. Линейное подпространство: определение, достаточный признак. Размерность пространства решений линейной однородной системы. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Характеристический многочлен линейного оператора. Существование базиса из собственных векторов. Замечание. Для некоторых инженерно-технических специальностей в содержание раздела добавляются основные понятия: квадратичные формы, итерационные методы решения систем линейных уравнений, итерационные методы отыскания собственных значений и собственных векторов.

4

2 Рекомендуемая литература 2.1 Беклемишев Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие / Под ред. Д.В. Беклемишева. - М.: Наука, 1987. - 496 с. 2.2 Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Справочное пособие к решению задач. - М.: Наука, 2000. - 288 с. 2.3 Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: Учеб. для вузов. 3-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. - 336 с. 2.4 Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Основы алгебры: Учебник для вузов. – 2-е изд., исправл. - М.: Физико-математическая литература, 2001.-368 с. 2.5 Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1.- 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 288 с. 2.6 Шевцов Г.С. Линейная алгебра: Учеб.пособие. - 2-е изд., исп. и доп. - М.: Гардарики, 1999. - 269 с.

5

3 Контрольные работы Контрольные работы составляются из традиционных контрольных заданий, приведенных в данном пособии. Распределение контрольных заданий по контрольным работам и сроки предоставления контрольных работ доводит до сведения лектор потока, кафедра алгебры и геометрии или учебная часть факультета. Студент выполняет вариант, предложенный ему преподавателем. Контрольные работы выполняются в тетрадях или на сшитых листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с СТП 101-00. Обязательно указывается условие задачи, затем приводится подробное решение и ответ. Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в контрольном задании. Ответ приводится в конце решения и содержит все требуемые в задании результаты. Контрольные работы сдаются точно в срок, и их защита проводится в течении указанного преподавателем времени. 3.1 Задачи для контрольной работы

1

2

3

4

5

6

Задача 1 Решить систему уравнений по правилу Крамера.  x1 + 3 x2 − x3 = 2,   x1 + 3 x2 + 2 x3 = −5, 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 0,   3 x − 2 x − x = 4. 6 2 x1 − 2 x2 + 3 x3 = −8, 2 3  1  3 x + 4 x − 4 x = 5. 2 3  1  x1 + 2 x2 + x3 = 5,   x1 + 2 x2 + x3 = 2, 3 x1 − 5 x2 + 3 x3 = −7,   2 x + 7 x − x = 13. 7 3 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 6, 2 3  1  2 x − 2 x − x = 7. 2 3  1  2 x1 + 3 x2 + x3 = 1,  3 x1 − 5 x2 + 2 x3 = −11,  x1 + 5 x2 + x3 = 3,  5 x + 2 x − 2 x = −3.  2 3  1 8 2 x1 − 3 x2 + 3 x3 = 8,  2 x + 4 x − x = 0. 2 3  1  x1 + 4 x2 + 3 x3 = 5,  3 x1 − 2 x2 + 3 x3 = 9,  x1 + 3 x2 + x3 = −5,  2 x + 4 x − 3 x = 1.  2 3  1 9 3 x1 − 4 x2 + 3 x3 = 11,  2 x + 4 x − x = −9 . 2 3  1  x1 + 5 x2 + x3 = −8,  2 x1 − 3 x2 + 5 x3 = 16,  5 x + 2 x − x = −6 . 2 3  1

 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 5,  10 3 x1 − 2 x2 + 3 x3 = −1,  2 x + 3 x − 2 x = 8. 2 3  1

4 x1 + 3 x2 − 9 x3 = 9,  19  x1 + 3 x2 − 5 x3 = 7,  x + 8 x − 7 x = 12. 2 3  1

 3 x1 − x2 + x3 = 4,  11 2 x1 − 5 x2 − 3 x3 = −17,  x + x − x = 0. 1 2 3 

3 x1 + 2 x2 + x3 = 0,  20 2 x1 + 3 x2 + x3 = 2,  2 x + x + 3 x = 2. 2 3  1

 x1 + x2 + x3 = 2,  12 2 x1 − x2 − 6 x3 = −1,  3 x − 2 x = 8. 1 2 

 x1 − 2 x2 + 3 x3 = −7,  21 2 x1 + 3 x2 − 4 x3 = 17,  3 x − 2 x − 5 x = 5. 2 3  1

 2 x1 − x2 − 3 x3 = 3,  13 3 x1 + 4 x2 − 5 x3 = −8,  2 x + 7 x = 17. 2 3 

4 x1 − 3 x2 + 2 x3 = −7,  22  2 x1 + 5 x2 − 3 x3 = 12,  5 x + 6 x − 2 x = 16. 2 3  1

 x1 + x2 + x3 = 6,  14 2 x1 − x2 + x3 = 3,  x − x + 2 x = 5. 2 3  1

 x1 + x2 + 2 x3 = 8,  23  2 x1 − x2 + 2 x3 = 6, 4 x + x + 4 x = 18. 2 3  1

 2 x1 + x2 − 3 x3 = 7,  15  x1 + 2 x2 + x3 = 4, 3 x − x + 2 x = −1. 2 3  1

 2 x1 − x2 − x3 = 0,  24 3 x1 + 4 x2 − 2 x3 = −5, 3 x − 2 x + 4 x = −5. 2 3  1

 x1 + x2 + x3 = 2,  16 2 x1 + 3 x2 − 4 x3 = −4,  3 x + 2 x + 2 x = 7. 2 3  1

3 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 24,  25  2 x1 − x2 − 3 x3 = 2,  x + 5 x + x = 26. 2 3  1

3 x1 − x2 = 5,   17  − 2 x1 + x2 + x3 = 0, 2 x − 2 x + 4 x = 15, 2 3  1

 x1 + x2 − x3 = −2,  26  8 x1 + 3 x2 − 6 x3 = 3,  − 4 x − x + 3 x = −3 . 1 2 3 

 2 x1 − x2 + x3 = 8,  18  x1 − 3 x2 − 5 x3 = 6, 3 x + x − 7 x = −4. 2 3  1

 x1 − 4 x2 − 2 x3 = 1,  27  3 x1 + x2 + x3 = −9, − 3 x + 5 x + 6 x = 11, 1 2 3 

7

 x1 + 2 x2 + 4 x3 = 6,  28 5 x1 + x2 + 2 x3 = 12,  3 x − x + x = 1. 2 3  1

 − x1 + 2 x2 + x3 = 0,  30 7 x1 − 10 x2 − 5 x3 = −2,  4 x − 7 x − 6 x = −8. 2 3  1

3 x1 + 4 x2 + x3 = −1,  29  − x1 + x2 = 3,  − 2 x + x = 5. 1 3 

1

2

3

4

5

6

7

8

8

Задача 2 Найти матрицу, обратную данной. 2 3 1  1 3 0     3 4 2 9 1 2 0      1 1 2  2 1 1      4 3 0  2 3 3     10  3 4 0   1 1 0  0 0 1  1 1 0     0 0 1  4 3 0     11  2 1 0  1 5 1  1 4 2  1 1 2      1 2 1  0 0 2     12  2 5 2   0 3 1  0 2 1  2 4 2      1 1 2  3 2 2     0 2 3 13 0 3 1      0 1 2  0 2 3     2  2 0 5 4 1     14  0 2 3   3 1 5  1 0 2  0 − 1 − 1     1 0 1  2 0 5     15  3 1 4   2 2 3  3 0 4 2 0 1      2 1 0  2 0 2     16  3 2 3   3 2 0  3 2 1  3 0 4    

 2 1 0   17  3 5 0   3 2 2    1 3 0   18  2 2 0   2 1 1   0 1  4 2 0 2  3 1  4 1 0 1  0 0 3   21  3 5 1   3 4 2   1 2 2    22  0 3 2   0 2 −1  

2  19  3 1  4  20  4 0 

2 2 1    23  0 2 3   0 1 − 2   1 0 4   24  3 2 1  1 0 1  

 −1 0 2   25  1 3 1   3 0 4    2 −1 0   26  3 − 1 0   −1 2 2  

 −1 2 0    27  − 1 2 0   1 1 − 1    2 3 0   28  3 2 2   2 2 0  

 4 3 2   29  3 4 2  0 0 1   0 2 0   30  − 1 − 5 1  1 4 2  

Задача 3 Найти размерность d пространства решений (количество независимых решений), фундаментальную систему решений (базис пространства решений) и общее решение системы линейных уравнений.  5 x1 + x2 − 7 x3 − 5 x4 + 2 x5 = 0,  x1 + 2 x2 − 2 x3 − 3 x4 = 4,   1  2 x1 − 2 x2 − 3 x3 − 7 x4 + 2 x5 = 0,  3 x1 + 8 x2 − 4 x4 = 14, 3 x + 9 x − 3 x + 27 x − 3 x = 0;  x + 3 x + x − x = 5. 2 3 4 5 2 3 4  1  1

6 x1 + 5 x2 − 2 x3 − x4 + 3 x5 = 0,  2  x1 − 3 x2 + x3 − x4 − x5 = 0,  2 x + 3 x + 2 x + x + x = 0; 2 3 4 5  1

3 x1 − 11x2 + 6 x3 + x4 + 3 x5 = 14,  2 x1 − 7 x2 + 4 x3 + x4 = 9,   x − 3 x + 2 x + x − 3 x = 4. 2 3 4 5  1

2 x1 − 4 x2 − 22 x3 − 5 x4 + 5 x5 = 0,  3  5 x1 − x2 + 8 x3 − 2 x4 + 2 x5 = 0,  3 x − 3 x − 12 x − 4 x + 4 x = 0; 2 3 4 5  1

 4 x1 + 9 x2 − 5 x3 − 8 x4 = 5,  3 x1 + 7 x2 − 2 x3 − 4 x4 = 4,  2 x + 5 x + x + 3 x = 3. 2 3 4  1

 6 x1 − 9 x2 + 21x3 − 3 x4 − 12 x5 = 0,  4 8 x1 − 12 x2 + 28 x3 − 4 x4 − 16 x5 = 0,  2 x − 3 x + 7 x − x − 4 x = 0; 1 2 3 4 5 

 − x2 + 4 x3 + 8 x4 − x5 = 1,   2 x1 − 9 x2 + 2 x3 + x5 = 7,  x − 4 x − x − 4 x + x = 3. 2 3 4 5  1

 3 x1 + 9 x2 − x3 − 3 x4 = 0,  5  x1 + 10 x2 − 3 x3 − 2 x4 − x5 = 0, 2 x + 19 x − 4 x − 5 x − x = 0; 2 3 4 5  1

 x1 + 3x2 − x3 − 2 x4 = 1,   2 x1 + 7 x2 − 4 x3 − 3 x4 = 3, 3 x + 11x − 7 x − 4 x = 5. 2 3 4  1

 4 x1 − 6 x2 + 7 x3 − 6 x4 + 4 x5 = 0,  6  x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2 x4 − 5 x5 = 0, 6 x + 2 x + 11x − 2 x − 6 x = 0; 2 3 4 5  1

4 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 3 x4 + 2 x5 = 1,   3 x1 + 4 x2 + x3 + 3 x4 = 1,  2 x + 3 x − 3 x + 3 x − 2 x = 1. 2 3 4 5  1

9

 12 x1 − x2 + 7 x3 + 11x4 − x5 = 0,  7 23 x1 − 3 x2 + 13 x3 + 23 x4 − 4 x5 = 0,  x1 + x2 + x3 − x4 + 2 x5 = 0; 

4 x1 − 7 x2 + 5 x3 + 10 x4 = 0,   2 x1 − 3 x2 + x3 + 4 x4 = 1,  3 x − 5 x + 3 x + 7 x = 1. 2 3 4  1

3 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 5 x4 − 4 x5 = 0,  8  2 x1 + x2 + 3 x3 + x4 − 5 x5 = 0,  x + 3 x − x + 6 x − x = 0; 2 3 4 5  1

x1 − x2 + 4 x3 + 3 x4 = 0,   5 x1 − 3 x2 − 2 x3 − 3 x4 + 4 x5 = 2,  2 x − x − 3 x − 3 x + 2 x = 1. 2 3 4 5  1

 3 x1 + 9 x2 + 2 x3 − 2 x4 + x5 = 0,  9  x1 + 6 x2 − x3 + x4 + 2 x5 = 0,  x + 16 x − 6 x + 6 x + 7 x = 0; 2 3 4 5  1

4 x1 − 7 x2 + 3 x3 + 7 x4 = 1,   3 x1 − 5 x2 + x3 + 4 x4 = 1,  2 x − 3 x − x + x = 1. 2 3 4  1

3 x1 + 5 x2 − 2 x3 + x4 − x5 = 0,  10  x1 + x2 + 2 x3 − x4 + x5 = 0,  2 x1 + 3 x2 − x3 = 0; 

4 x1 − 11x2 + 5 x3 + 2 x4 + 3 x5 = 7,   3 x1 − 8 x2 + x3 + 2 x4 = −5,  2 x − 5 x − 3 x + 2 x − 3 x = 3. 2 3 4 5  1

 2 x1 − x2 + 3 x3 − x4 − x5 = 0,  11  x1 + 5 x2 − x3 + x4 + 2 x5 = 0,  x + 16 x − 6 x + 4 x + 7 x = 0; 2 3 4 5  1

 3 x1 − x2 + x3 + x4 + 3 x5 = 1,   2 x1 − 7 x2 + 4 x3 + x4 = 5,  x − x + 2 x + x − 3 x = 4. 2 3 4 5  1

 8 x1 + x2 + x3 − x4 + 2 x5 = 0,  12  3 x1 − 3 x2 − 2 x3 + x4 − 3 x5 = 0, 5 x + 4 x + 3 x − 2 x + 5 x = 0; 2 3 4 5  1  x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 − x5 = 0,  13 2 x1 − 2 x2 − 5 x3 − 3 x4 + x5 = 0, 3 x − 2 x + 3 x + 2 x − x = 0; 2 3 4 5  1

 − x2 + 4 x3 + 8 x4 − x5 = 1,   x1 − 9 x2 + 2 x3 + 2 x5 = 2,  x − 3 x − 2 x − 4 x + x = 3. 2 3 4 5  1

 7 x1 − 14 x2 + 3 x3 − x4 + x5 = 0,  14  x1 − 2 x2 + x3 − 3 x4 + 7 5 = 0, 5 x − 10 x + x + 5 x − 13 x = 0; 2 3 4 5  1  2 x1 + x2 − 3 x3 + x4 − x5 = 0,  15  3 x1 − x2 + 2 x3 − x4 + 2 x5 = 0,  x − 2 x + 5 x − 2 x + 3 x = 0; 2 3 4 5  1

10

 x1 + x2 − 5 x3 − x4 = 1,  3 x1 + 2 x2 − 2 x3 − 4 x4 = 4, 2 x + 2 x + x + 3 x = −3. 2 3 4  1

 2 x1 + 3 x2 − x3 − 2 x4 = −1,  2 x1 + 7 x2 − 4 x3 − 3 x4 = −3,  x + x − 7 x − 4 x = 0. 2 3 4  1  x1 + 5 x2 + x3 + 3 x4 + x5 = 1,  x1 + x2 + x3 + 3 x4 = −1,  2 x + x − 3 x + 3 x − 2 x = 2; 2 3 4 5  1

 x1 + x2 + x3 − x4 − x5 = 0,  16  2 x1 + x2 − 2 x3 − x4 − 2 x5 = 0,  x + 2 x + 5 x − 2 x − 5 x = 0; 2 3 4 5  1

 x1 − x2 + 5 x3 + 10 x4 = 0,   2 x1 − x2 + x3 + 4 x4 = 2,  3 x − x + 3 x + x = 2. 2 3 4  1

 2 x1 + x2 − x3 + 7 x4 + 5 x5 = 0,  17  x1 − 2 x2 + 3 x3 − 5 x4 − 7 x5 = 0, 3 x − x + 2 x + 2 x − 2 x = 0; 2 3 4 5  1

x1 − x2 + 4 x3 + x4 = 1,    x1 − x2 − 2 x3 − 3 x4 + 4 x5 = 2,  2 x − x − x − x + 2 x = 1. 2 3 4 5  1

 x1 + 2 x2 − 3 x3 + 10 x4 − x5 = 0,  18  x1 − 2 x2 + 3 x3 − 10 x4 + x5 = 0,  x + 6 x − 9 x + 30 x − 3 x = 0; 2 3 4 5  1

 2 x1 − 7 x2 + 3 x3 + x4 = 2,  3 x1 − 4 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 3,  2 x − 3 x − 2 x + x = 1. 2 3 4  1

 3 x1 + x2 − 8 x3 + 2 x4 + x5 = 0,  19  x1 + 11x2 − 12 x3 − 34 x4 − 5 x5 = 0,  x − 5 x + 2 x − 16 x + 3 x = 0; 2 3 4 5  1

4 x1 − 2 x2 + x3 + 2 x4 + 3 x5 = 2,   x1 − x2 + x3 + 2 x4 = −5,  x − x − 3 x + 2 x − 3 x = −3. 2 3 4 5  1

 5 x1 + 2 x2 − x3 + 3 x4 + 4 x5 = 0,  20  3 x1 + x2 − 2 x3 + 3 x4 + x5 = 0, 6 x + 3 x − 2 x + 4 x + 7 x = 0; 2 3 4 5  1

 3 x1 − x2 + 6 x3 + x4 + x5 = 2,   2 x1 − 7 x2 + 3 x3 + x4 = −3,  x − 3 x + 2 x + x − 3 x = 4. 2 3 4 5  1

 x1 + 3 x2 − 5 x3 + 9 x4 − x5 = 0,  21 2 x1 − 2 x2 − 3 x3 − −7 x4 + 2 x5 = 0,  x − 5 x + 2 x − 16 x + 3 x = 0; 2 3 4 5  1

 x1 + x2 − 5 x3 − 8 x4 = 2,  3 x1 + x2 − 2 x3 − x4 = −4,  2 x + 4 x + x + 3 x = 3. 2 3 4  1

6 x1 + 3 x2 − 2 x3 + 4 x4 + 7 x5 = 0,  22 7 x1 + 4 x2 − 3 x3 + 2 x4 + 4 x5 = 0,  x + x − x − 2 x − 3x = 0; 2 3 4 5  1

x2 + x3 + 8 x4 − x5 = 2,    2 x1 − 3 x2 + 2 x3 + 3 x5 = −7,  x − 4 x − x − 4 x + x = −2. 2 3 4 5  1

3 x1 + 2 x2 − 2 x3 − x4 + 4 x5 = 0,  23 7 x1 + 5 x2 − 3 x3 − 2 x4 + x5 = 0,  x1 + x2 + x3 − 7 x5 = 0; 

 x1 + 3 x2 − x3 − x4 = 1,  2 x1 + x2 − 4 x3 − 3 x4 = −3,  x + x − 7 x − x = −5. 2 3 4  1

 x1 + x2 + 3 x3 − 2 x4 + 3 x5 = 0,  24 2 x1 + 2 x2 + 4 x3 − x4 + 3 x5 = 0,  x + x + 5 x − 5 x + 6 x = 0; 2 3 4 5  1

 x1 + x2 + 5 x3 + 2 x4 + 2 x5 = 2,   x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = −1,  x + 3 x − x + 3 x − 2 x = −1. 2 3 4 5  1

11

 3 x1 − 5 x2 + 2 x3 + 4 x4 + x5 = 0,  25  7 x1 − 4 x2 + x3 + 3 x4 = 0, 5 x + 7 x − 4 x − 6 x − 2 x = 0; 2 3 4 5  1 6 x1 + 3 x2 + 2 x3 + 3 x4 + 4 x5 = 0,  26  4 x1 + 2 x2 + x3 + x4 + 3 x5 = 0,  2 x + x + x + x + x = 0; 1 2 3 4 5 

x1 − x2 + x3 + 3 x4 = −2,    x1 − 3 x2 − x3 − 3 x4 + 4 x5 = 2,  2 x + 2 x + 3 x − 3 x + 2 x = 1. 2 3 4 5  1

 x1 + 2 x2 + 3 x3 − 2 x4 + x5 = 0,  27  x1 + 2 x2 + 7 x3 − 4 x4 + x5 = 0,  x + x + 11x − 6 x + x = 0; 2 3 4 5  1

 x1 + 7 x2 − 3 x3 + 7 x4 = 3,  3 x1 + 2 x2 + x3 + 4 x4 = 1,  x + 2 x − x + x = 3. 2 3 4  1

 x1 + x2 + x3 + 2 x4 + x5 = 0,  28  x1 − 2 x2 − 3 x3 + x4 − x5 = 0,  2 x − x − 2 x + 3 x = 0; 1 2 3 4 

 2 x1 − x2 + 2 x4 + 3 x5 = 1,   3 x1 − x2 + x3 + 2 x4 = 5,  x − 5 x − x + x − 3 x = 3; 2 3 4 5  1

 3 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 + 2 x5 = 0,  29  3 x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 0, 3 x + 2 x + 16 x + x + 6 x = 0; 2 3 4 5  1  x1 − x2 + x3 − 2 x4 + x5 = 0,  30  x1 + x2 − 2 x3 − x4 + 2 x5 = 0,  x − 3 x + 4 x − 3 x = 0; 2 3 4  1

12

4 x1 − x2 + 5 x3 + x4 = −1,   2 x1 − x2 + x3 + 4 x4 = 1,  x − x + 3 x + 7 x = 2. 2 3 4  1

 x1 − x2 + 3 x3 + x4 = 1,   x1 − 5 x2 − x3 − 4 x4 = 2,  2 x − x − x + x = 2. 2 3 4  1  x1 − 2 x2 + 5 x3 + 2 x4 + 3x5 = 1,   x1 − 3 x2 + x3 + 4 x4 = −5,  x − 5 x − 3 x + 2 x − 3 x = 2. 2 3 4 5  1

Задача 4 Являются ли линейными операторы A, B, C ? 1 Аx = {2 x1 − 5 x2 − 3 x3 ,−2 x1 − 3 x2 − x3 , x2 + 3 x3 } , Bx = {x1 − 2 x2 − 4 x3 , x1 − x2 − 3 x3 ,2 x2 − 3} ,

Cx = {x33 ,2 x1 − x2 − 2 x3 ,3 x2 + x3 } . 2 Ax = {2 x1 − 3x2 − 2 x3 ,2 x1 − 3 x2 ,2 x2 + 3} , Bx = {4 x1 − 3 x2 − x3 ,0, x22 + x3 }, Cx = {x1 − 2 x2 − x3 ,3 x1 − 2 x2 ,3 x2 − x3 }. 3 Аx = {2 x1 − x2 − 3 x3 , x1 , x1 − x2 − x3 } , Bx = {3 x1 − x2 − x3 ,2 x1 , x1 − x23 − x3 } , Cx = {x1 − x2 − x3 ,2 x1 ,3 x1 + x2 − 1} . 4 Ax = {2 x1 + x 2 + 4 x3 ,2 x3 , x1 − 2 x 2 − 3 x3 } ,

Bx = {2 x1 + x2 + 4 x3 ,1, x1 − 2 x2 − 3 x3 }, Cx = {5x1 − 3 x2 + x3 , x3 ,2 x12 − 2 x2 − 4 x3 }. 5 Аx = {x1 ,2 x1 − x2 + 1, x1 − x2 − 3 x3 } , Bx = {x1 ,2 x1 − x2 − 3 x3 , x13 − x2 − 3 x3 } , Cx = {x3 ,2 x1 − x2 − 3 x3 , x1 − x2 − 3 x3 } . 6 Ax = {x1 + 2 x2 ,3 x2 − x3 , x1 − 2 x2 − 3 x3 } , Bx = {x1 + 2 x2 ,3 x2 − 4 x3 , x1 − 2 x22 − 3 x3 }, Cx = {x1 − 2 x2 ,3 x2 − 2 x3 , x1 −2 x2 − 5}. 7 Аx = {2 x1 ,3 x1 + 2 x2 − 3 x3 ,4 x1 − 5 x2 + 3 x3 } , Bx = {2 x1 ,3 x1 + x2 − 3,2 x2 − 3 x3 } , Cx = {x33 + 2,3 x1 − 4 x2 − 2 x3 ,−3 x2 − 5 x3 } . 8 Ax = {x1 + 3 x2 − 2 x3 ,−2 x1 − 3 x2 ,2 x1 + 3} , Bx = {4 x1 − 3 x2 − x3 ,5, x22 + x3 }, Cx = {4x1 − 2 x2 − x3 , x1 − 2 x2 , x1 − x3 }. 9 Аx = {2 x1 + 15 x2 − x3 ,3 x1 − x3 ,2 x2 + 3 x3 } , Bx = {3 x1 − 2 x2 − x3 ,4 x1 − x2 − 3 x3 , x1 − 3} , Cx = {x32 , x1 − 2 x2 , x1 + 3 x2 + x3 } . 10 Ax = {−3 x2 − 2 x3 ,−2 x1 − 3 x2 − x3 ,2 x1 + 3} , Bx = {x1 − x2 − 5 x3 , x1 − 4, x22 + x3 }, Cx = {x1 − 2 x2 − 5 x3 ,3 x1 − 2 x2 ,3 x1 − x3 }. 11 Аx = {2 x1 − 3x3 ,3 x1 − 3 x2 − x3 , x1 − 3 x3 } , Bx = {2 x1 − 2 x2 − 4 x3 , x1 − 2 x2 , x2 − 4} , Cx = {x3 , x1 − 2 x2 − 2 x3 , x1 + 3 x2 + x3 } . 13

12 Ax = {2 x1 − 3 x2 ,2 x1 − 3 x2 + 3,2 x2 − 3} , Bx = {2 x1 − 2 x2 − 2 x3 , x2 − x3 , x23 + x3 }, Cx = {2x1 − 2 x2 − 2 x3 ,3 x1 + x2 , x2 − x3 }. 13 Аx = {4 x1 − 5 x2 − x3 , x1 − 3 x2 − 3 x3 ,3 x2 + 3 x3 } , Bx = {2 x1 − 2 x2 − x3 ,2 x1 − 2 x2 − 4 x3 ,2 x2 − 3} , Cx = {x1 − x32 ,− x2 − 2 x3 , x2 + x3 } . 14 Ax = {5 x1 − x2 − 2 x3 ,5 x1 − 3 x2 , x3 + 3} , Bx = {−3 x2 − x3 ,0, x12 + x2 }, Cx = {x1 − x3 ,4 x1 − 2 x3 ,3 x2 − x3 }. 15 Аx = {2 x1 − 5 x2 − 3 x3 ,−2 x1 − 3 x2 − x3 , x2 + 3 x3 } , Bx = {x1 − 2 x2 − 4 x3 , x1 − x2 − 3 x3 ,2 x2 − 3} , Cx = {x32 ,2 x1 − 2 x3 ,3 x1 + x3 } . 16 Ax = {2 x1 − 3x2 − 2 x3 ,2 x1 − 3 x2 ,2 x2 + 3} , Bx = {4 x1 − 3 x2 − x3 ,0, x22 + x3 }, Cx = {x1 − 2 x2 − x3 ,3 x1 − 2 x2 ,3 x2 − x3 }. 17 Ax = {−3 x1 − 2 x2 ,2 x1 − x2 − x3 ,2 x1 + 1} , Bx = {x2 − 5 x3 , x1 − 4 x2 + 1, x22 + x3 }, Cx = {x1 − 5 x3 ,3 x1 − 2 x3 ,3 x2 − 5 x3 }. 18 Аx = {3 x1 − x3 , x1 − 3x2 − 4 x3 ,4 x1 − 3 x3 } , Bx = {−2 x2 − x3 ,5 x1 − 2 x2 , x1 − 4} , Cx = {x1 + x3 ,2 x1 − x2 − 2 x3 ,3 x2 + x3 } . 19 Ax = {x1 − 4 x2 ,3 x1 − 3 x2 , x2 − 3} , Bx = {2 x1 − 2 x3 , x2 − x3 + 1, x23 }, Cx = {−2 x2 − 2 x3 , x1 + x2 ,2 x2 − x3 }. 20 Аx = {x1 − 5 x2 − 5 x3 ,4 x1 − 3 x2 , x2 + 3 x3 } , Bx = {2 x1 − 2 x2 − x3 ,2 x1 − 2 x2 − 4 x3 ,2 x2 − 3} , Cx = {x32 , x2 − 4 x3 , x2 + 4 x3 } . 21 Ax = {5 x1 + x3 ,5 x1 + 2 x2 , x3 } , Bx = {x1 − 3 x2 − x3 ,1, x12 + x3 }, Cx = {2x1 − 2 x3 , x1 − x3 , x2 − x3 }. 22 Аx = {2 x1 − 5 x2 ,2 x1 − x2 − 2 x3 , x2 } , Bx = {4 x1 − 2 x2 − x3 ,4 x1 − 3 x3 , x2 − 3} , Cx = {x32 + 1, x1 − 2 x3 ,3 x1 − 4 x3 + 1} . 23 Ax = {5 x1 − 7 x2 + 4,2 x1 − x2 ,2 x2 },

14

Bx = {−3 x2 − x3 ,5, x22 }, Cx = {3x1 − 2 x2 ,3 x1 − x2 , x2 − x3 }. 24 Ax = {5, x2 − x3 ,2 x1 + 1} , Bx = {x1 − 5 x2 , x1 − 4 x2 + x3 , x22 + 4}, Cx = {2x1 − x3 ,2 x1 − x3 , x2 − 5 x3 }. 25 Аx = {x1 − x2 , x1 − 3 x2 − x3 ,4 x2 − 3x3 } , Bx = {x2 − 2 x3 ,5 x1 − 2 x3 , x1 − 5} , Cx = {x1 + x32 , x1 − x2 − 2 x3 , x2 + x3 } . 26 Ax = {x 31 − 4 x2 , x1 − 3 x2 ,3 x2 − 3} , Bx = {x1 − x3 ,2 x2 − 2 x3 + 1, x23 + 1}, Cx = {2 x2 − x3 ,3 x1 + 3 x2 ,2 x2 − 3 x3 }. 27 Аx = {7 x1 − x2 − x3 ,−3 x2 ,2 x2 + 3 x3 } , Bx = {x1 − 2 x2 − x3 , x1 − x2 − x3 , x2 − 3} , Cx = {x32 , x2 − 4 x3 + 1,4 x3 } . 28 Ax = {5 x1 + x3 ,5 x1 + 2 x2 , x3 } , Bx = {3 x1 − 3 x2 − 4,1, x12 + x2 }, Cx = {x1 − x3 ,3 x1 − x3 ,3 x2 − x3 }. 29 Аx = {2 x1 − x2 , x1 − 2 x2 − 2 x3 , x2 − x3 } , Bx = {4 x1 − 2 x2 − x3 ,4 x1 − 3 x3 , x2 − 3} , Cx = {x3 + 1, x1 − 2 x3 ,3 x1 − 4 x3 } . 30 Ax = {x1 − x2 + 4, x1 − x3 ,2 x2 + 1 } , Bx = {3 x2 − x3 ,5 x1 − x2 , x22 + 2}, Cx = {x1 − x2 , x1 − 2 x2 ,2 x2 − 2 x3 }. Задача 5 Пусть в некотором базисе заданы отображения Ax = {x1 − 2 x3 , x 2 , x2 − x3 }, Bx = {2 x3 , x1 ,− x 2 }. Найти координаты векторов P( A, B )x.

1 ( A2 − 2 B 2 ) x

9 ( BA − B 2 ) x

2 ( AB + A 2 ) x

10 ( A 2 + 4 B) x

3 (3 A + 2 B 2 ) x

11 ( B + 2 A 2 ) x

4 (2 A2 − B) x

12 (3 AB + B 2 ) x

5 ( B + A2 ) x

13 ( A 2 + B 2 ) x

6 (3 A − B 2 ) x

14 (2 AB + A 2 ) x

7 ( AB − 2 B 2 ) x

15 (3 AB + 2 B 2 ) x

8 ( BA + A 2 ) x 15

16 ( A 2 − 3B) x

24 (3 A − B 2 ) x

17 3( B + A 2 ) x

25 (2 A − 2 B 2 ) x

18 4( A + 2 B 2 ) x

26 (2 AB + A 2 ) x

19 ( A 2 − 2 B 2 ) x 20 ( AB + BA) x

27 4( A + 2 B 2 ) x

21 3( A + 2 B 2 ) x

28 ( A 2 − 2 BA) x 29 ( AB + BA) x

22 2( A + 2 B 2 ) x

30 2(3 A + 2 B 2 ) x

23 4( B + A 2 ) x Задача 6 Найти координаты заданного вектора x в базисе e1′ , e2′ , e3′ . 6 e1′ = 2e1 + e2 + 3e3 , 1 e1′ = e1 + e3 , e2′ = 2e1 + e2 + e3 , e2′ = 3e1 + 2e2 + 4e3 , e3′ = e2 , e3′ = 2e1 − 3e2 + e3 ,

xe = {3,−5,4}. 2 e1′ = e1 , e2′ = 2e1 + e2 , e3′ = 3e1 + 2e2 + e3 ,

xe = {1,2,7}. 3 e1′ = e1 , e2′ = e1 + 2e2 , e3′ = e1 + 2e2 + 3e3 , xe = {6,2,0}. 4 e1′ = e1 + e2 + e3 , e2′ = 2e2 + 2e3 , e3′ = 3e3 , xe = {2,6,6} 5 e1′ = 3e1 + e2 + 5e3 , e2′ = 2e1 + 3e2 + 3e3 , e3′ = 2e1 + e2 + 4e3 , xe = {0,5,5}.

16

xe = {9,14,16}. 7 e1′ = 2e1 + 6e2 + 5e3 , e2′ = 5e1 + 3e2 − 2e3 , e3′ = 7e1 + 4e3 − 3e3 , xe = {1,0,−1}. 8 e1′ = 3e1 + 2e2 + 3e3 , e2′ = −4e1 − 3e2 − 5e3 , e3′ = 5e1 + e2 − e3 , xe = {−2,1,0}. 9 e1′ = 2e1 + 3e2 + e3 , e2′ = 7e1 + 9e2 + 5e3 , e3′ = 3e1 + 4e2 + 3e3 , xe = {0,3,3}. 10 e1′ = e1 + 2e2 + 2e3 , e2′ = 2e1 + e2 − 2e3 , e3′ = 2e1 − 2e2 + e3 , xe = {−9,0,9}.

11 e1′ = e1 + е2 + 2e3 , e2′ = 2e1 − e2 , e3′ = −е1 + e2 + е3 ,

18 e1′ = e1 + e2 + 6e3 , e2′ = 6e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 ,

xe = {6,−1,3}.

xe = {10,5,1}.

12 e1′ = e1 + е2 + 3е3 , e2′ = (3 / 2)e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 ,

19 e1′ = e1 + e2 + 7e3 , e2′ = (7 / 6)e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 ,

xe = {1,2,4}. 13 e1′ = e1 + е2 + 4е3 , e2′ = (4 / 3)e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 , xe = {1,3,6}. 14 e1′ = e1 + e2 + (3 / 2)e3 , e2′ = 3e1 − e2 , e3′ = е1 + е2 + e3 , xe = {2,4,1} 15 e1′ = e1 + e2 + (4 / 3)e3 , e2′ = 4е1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 , xe = {6,3,1}. 16 e1′ = e1 + е2 − е3 , e2′ = (1 / 2)e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 , xe = {−3,2,4}. 17 e1′ = e1 + e2 + (5 / 4)e3 , e2′ = 5e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 , xe = {8,4,1}.

xe = {1,6,12}. 20 e1′ = e1 + е2 + (7 / 6)e3 , e2′ = 7e1 − e2 , e3′ = −е1 + e2 + е3 , xe = {−12,6,1}. 21 e1′ = e1 + е2 + 8е3 , e2′ = (8 / 7)e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 , xe = {−1,7,14}. 22 e1′ = e1 + е2 − е3 , e2 = (1 / 2)e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 , xe = {−3,2,4}. 23 e1′ = e1 + e2 + (1 / 2)e3 , e2′ = −e1 − e2 , e3′ = −е1 + е2 + e3 , xe = {2,4,3} 24 e1′ = e1 + e2 − 2e3 , e2′ = (2 / 3)e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 , xe = {2,6,−3}.

17

25 e1′ = e1 + e2 + (2 / 3)e3 , e2′ = −2e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 ,

28 e1′ = e1 + e2 − 3e3 , e2′ = (3 / 4)e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 ,

xe = {12,3,−1}.

xe = {1,4,−8}.

26 e1′ = e1 + e2 − 3e3 , e2′ = (3 / 2)e1 − e2 , e3′ = −e1 + e3 + e3 ,

29 e1′ = e1 + e2 − 3e3 , e2′ = (5 / 6)e1 − е2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 ,

xe = {1,−2,8}.

xe = {1,−6,6}.

27 e1′ = e1 + e2 − 3e3 , e2′ = (3e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 , xe = {1,0,−8}.

30 e1′ = e1 + e2 − 3e3 , e2′ = (5 / 2)e1 − е2 , e3′ = −e1 + e2 + 2e3 , xe = {1,−1,6}.

Задача 7 Найти матрицу Ae ′ линейного преобразования в базисе e1′ , e2′ , e3′ , где e′ = 2e1 + 3e2 + e3 , e2′ = 3e1 + 4e2 + e3 ,

e3′ = e1 + 2e2 + 2e3 , если задана матрица Ae в базисе e1 , e2 , e3 .  2 0 1   1 Ae =  − 3 1 0 .  − 2 1 2   0 2   1   2 Ae =  − 3 1 0 .  2 −1 − 2    0 1 − 3   3 Ae =  2 1 − 1 . 0 1 2     3 −2 0    4 Ae =  − 1 0 2 . 1 4 − 1 

18

− 2 0  5 Ae =  1 0  −1 2  1 0  6 Ae =  3 − 1 2 1   1 2  7 Ae =  − 2 3  0 2  − 2 3  8 Ae =  1 1  2 0 

2  3 . 1  − 2  0 . 0  0   − 2 . − 1  0  3 . − 1

 0 −1 3   9 Ae =  − 4 0 2 .  0 −1 2    − 1 2 0   10 Aе =  0 − 3 1 . 1 2 3   2  1 0   11 Ae =  3 − 1 0 . 1 1 − 2    2 1 0   12 Ae =  3 0 4 . 1 −1 2   3  0 2   13 Ae =  4 1 0 .  2 −1 − 2   1 2 0    14 Ae =  3 0 − 1.  2 1 − 1    2 0 1   15 Ae =  3 0 2 .  −1 1 2   1 3 0    16 Ae =  2 1 − 1. 0 2 1     1 2 0    17 Ae =  − 2 3 − 2 .  0 2 −1   − 2 3 0    18 Ae =  1 1 3 .  2 0 − 1    2 1 2   19 Ae =  3 0 2 . 1 0 1  

 0  20 Aе =  4 −1  1  21 Ae =  0 2  22

23

24

25

26

27

28

29

30

2  0 1 . − 2 1  1

0  − 1 1 . 3 1  1

2 1 1    Ae =  0 0 2 .  1 3 − 1    1 2 1   Ae =  0 2 0 .  −1 1 1   3 0 1    Ae =  1 − 1 0 .  2 1 − 1    1 0 1   Ae =  0 2 3 .  − 1 1 1   2 1 0   Ae =  3 0 − 1. 1 − 2 1    1 1 0   Ae =  1 1 1 . 0 2 1   2 0 1    Ae =  1 1 1 .  0 2 − 1    0 1 1   Ae =  − 1 0 1.  1 − 1 1    2 − 1 0   Aе =  − 1 0 1 . 1 1 1  

19

Задача 8 Найти собственные значения и собственные заданного в некотором базисе матрицей.  4 1 − 2 4 − 2    1  1 4 2 . 11  1 3 − 2 2 1  1 − 2    5 −1  4 − 2 0    12  0 4 2  1 1 0 . 0 −1  0 0 3   

 3 −1 1    3  − 1 5 − 1 .  1 −1 3     2 1 − 1   4  0 3 − 1 . 0 −1 3    2 2 1   5  0 4 − 1 . 0 −1 4     2 0 − 1   6  3 5 − 1 .  −1 0 2     4 0 − 1   7  2 2 − 1 .  −1 0 4     2 1 0   8 1 2 0 .  3 2 4    3 1 0   9 1 3 0 .  2 1 5   1 4 2   10  0 2 − 1 . 0 −1 2   

20

13

14

15

16

17

18

19

20

 2 0  1 1  −1 0   5 1  − 2 4 − 2 1  3 −1  0 2 0 −1   2 0  1 0 −1 3 

векторы оператора − 1  − 1. 2  − 1  − 1 . 4  − 1  − 1 . 4  − 1  − 1 . 6 

1  − 1 . 2  1  2 . 1   7 − 4 4   2 3 2 .   2 0 5    4 1 0    1 4 0 .  −1 1 5    3 2 0    2 3 0 .  2 1 1    3 − 2 2   0 3 0 . 0 2 1  

7 − 6 6   21  4 − 1 4  .  4 − 2 5    7 − 4 − 2   22  − 2 5 − 2  .  0 0 9   7 − 6 6   23  2 3 2  .  2 2 3    3 1 − 1   24  0 4 2  . 0 2 4    3 1 1    25  0 2 − 1 . 0 −1 2   

1  − 1 . 2  − 1  − 1 . 3   2 3 0   28  3 2 0  .  3 2 3    1 1 0   29  4 − 1 0  .  −1 4 5   4 1 1   30  0 4 1  .  0 1 4  

2 0  26  3 1 1 0  3 0  27  2 4  −1 0 

21

4 Методические указания к выполнению контрольной работы Для выполнения и защиты контрольной работы необходимо владение следующими основными теоретическими вопросами курса «Аналитическая геометрия»: 1 Определители и их свойства. 2 Матрицы и действия над ними. 3 Обратная матрица и ее нахождение. 4 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Правило Крамера. Метод Гаусса-Жордана. 5 Матричная запись СЛАУ. 6 Теорема Кронекера-Капелли. Однородные системы линейных уравнений. 7 Пространство R n . Линейно-зависимая система векторов. 8 Размерность и базис линейного пространства. 9 Матрица перехода от одного базиса к другому. 10 Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. 11 Собственные векторы матрицы и их нахождение.

22

Задача 1 Постановка задачи. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными по правилу Крамера.

 с11 x1 + c12 x2 + c13 x3 = d1 ,  c21 x1 + c22 x2 + c23 x3 = d 2 , c x + c x + c x = d . 33 3 3  31 1 32 2 План решения. Если определитель матрицы системы с11

с12

с13

∆ = с 21

с 22

с 23

с31

с32

с33

отличен от нуля, то система имеет решение и притом только одно. Это решение определяется формулами xi =

∆i , i = 1,2,3 , ∆

(1)

где ∆ i -определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i − ого столбца столбцом свободных членов. 1. Вычисляем определитель матрицы системы с11

с12

с13

∆ = с 21

с 22

с 23

с31

с32

с33

и убеждаемся, что он не равен нулю. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. 2. Вычисляем определители d1

c12

c13

c11

d1

c13

c11

c12

d1

∆1 = d 2

c 22

c 23 , ∆ 2 = c 21

d2

c 23 , ∆ 3 = c 21

c 22

d2 .

d3

c32

c33

d3

c33

c32

d3

c31

c31

По формулам Крамера (1) находим решение системы уравнений. x1 =

∆ ∆1 ∆ , x 2 = 2 , x3 = 3 . ∆ ∆ ∆ 23

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера.  x1 + 2 x 2 + x 3 = 4,  3 x1 − 5 x 2 + 3 x 3 = 1,  2 x + 7 x − x = 8. 2 3  1

Решение. 1. Вычисляем определитель матрицы системы, разлагая его по первой строке 1

2

1

∆ = 3 −5

2

3 = 1 ⋅ (− 16) − 2 ⋅ (− 9) + 1 ⋅ 31 = 33.

−1

7

Так как он не равен нулю, то система уравнений имеет единственное решение. 2. Вычисляем определители 4

2

1

3 = 4 ⋅ (− 16) − 2 ⋅ 25 + 1 ⋅ 47 = 33.

∆1 = 1 − 5

8

7

1 4 ∆2 = 3 1

−1

1

3 = 1 ⋅ (− 25) − 4 ⋅ (− 9 ) + 1 ⋅ 22 = 33.

2 8 −1 1

2

4

2

7

8

∆ 3 = 3 − 5 1 = 1 ⋅ (− 47 ) − 2 ⋅ 22 + 4 ⋅ 31 = 33.

3. По формулам Крамера (1) Находим решение системы уравнений x1 = 1, x 2 = 1, x3 = 1. Ответ: x1 = 1, x 2 = 1, x3 = 1.

24

Задача 2 Постановка задачи. Задана квадратная матрица третьего порядка  с11  С =  с 21 с  31

с12 с 22 с32

с13   с 23 . с33 

Установить существование и найти обратную матрицу С −1 . План решения. Матрица С −1 называется обратной к квадратной матрице C , если С ⋅ С −1 = С −1 ⋅ С = E , где E – единичная матрица. Если определитель матрицы C отличен от нуля ( ∆ ≠ 0 ), то матрица C называется невырожденной и будет иметь обратную, если ∆ = 0 , то матрица C не имеет обратной. 1. Вычисляем определитель матрицы C , если он отличен от нуля, то матрица C имеет обратную. 2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений  С11 С12  ~ С =  С 21 С 22 С  31 С32

С13   С 23 . С33 

~

3. Транспонируем матрицу С  С11  С~ Т =  С12 С  13

С 21 С 22 С 23

С31   С32  С33 

~

4. Разделив матрицу С Т на определитель, получаем искомую обратную матрицу  C11 C21 C31    1 С −1 = ⋅  C12 C 22 C32 . ∆    C13 C23 C33  5. Проверяем, что C ⋅ C −1 = E и записываем ответ. Пример. Задана квадратная матрица третьего порядка 1 1 2   С =  3 − 5 3 .  2 7 − 1   25

Установить существование и найти обратную матрицу С −1 . Решение. 1. Вычисляем определитель матрицы C : 1

2

∆= 3 −5

2

7

1

3 = 1 ⋅ (− 16) − 2 ⋅ (− 9 ) + 1 ⋅ 31 = 33

−1

Так как определитель отличен от нуля, то матрица C имеет обратную матрицу. 2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений 31   − 16 9   С~ =  9 − 3 − 3 .  11 0 − 11  3. Транспортируем матрицу С~ . 11   − 16 9   С~ Т =  9 − 3 0 .  31 − 3 − 11   4. Разделив матрицу С~ T на определитель, получаем искомую обратную матрицу

С −1

11   − 16 9  1  = ⋅ 9 − 3 0 . 33    31 − 3 − 11

5. Проверяем

С ⋅С

−1

11   1 2 1  1 0 0  − 16 9      1  = ⋅ 9 − 3 0  ⋅  3 − 5 3  =  0 1 0 . 33        31 − 3 − 11  2 7 − 1  0 0 1 

Ответ: Матрица, обратная матрице C , есть

С

26

−1

11   − 16 9  1  = ⋅ 9 − 3 0 . 33    31 − 3 − 11

Задача 3 Задача 3.1. Однородные системы линейных уравнений Постановка задачи. Найти размерность d пространства решений, его базис (фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы линейных уравнений

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,  a x + a x + ... + a x = 0,  21 1 22 2 2n n   ....................................... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0. План решения. 1. Записываем матрицу системы:  a11  a A =  21 ...   am1

a12 a22 ... am 2

... a1n   ... a2 n  ... ...   ... amn 

и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу A к ступенчатому виду. Полученную матрицу будем называть редуцированной и обозначать А ред . Отметим, что редуцированная матрица эквивалентна исходной матрице. 2.

Так как A ⇒ A ред , то вычисляем ранг A как количество базисных

столбцов матрицы A ред : RgA = RgA ред = r. Следовательно, размерность пространства решений есть d = n − r. Если n = r , то однородная система имеет единственное (нулевое) решение, если n > r , то фундаментальная система состоит из n − r линейно независимых решений. 3. Неизвестные, соответствующие базисным столбцам, называются базисными, остальные – свободными. Свободным неизвестным придают произвольные числовые значения. Члены, содержащие свободные неизвестные, переносят в правую часть уравнений системы и решают относительно главных неизвестных. X 1 , X 2 ,..., X n − r линейно Убедимся, что полученные решения независимы, составив матрицу из столбцов X 1 , X 2 ,..., X n − r и вычислив ее ранг.

27

Записываем фундаментальную систему решений X 1 , X 2 ,..., X n − r и общее решение однородной системы линейных уравнений.

X 0.0

 x1    x  =  2  = C1 X 1 + C 2 X 2 + ... + Cn − r X n − r , :    xn 

если X 1 , X 2 ,..., X n − r - фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и С1 , С 2 ,..., С n − r - произвольные постоянные. Пример3.1. Найти размерность d пространства решений, его базис (фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы линейных уравнений = 0,  x2 + 2 x3 − 3 x4   2 x1 − x2 + 3 x3 + 4 x5 = 0,  2 x + 5 x − 3 x + 4 x = 0. 3 4 5  1 Решение. 1. Записываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем ее к редуцированному виду:  0 1 2 − 3 0 1 0 5 2 − 3 2 2     2 1 3 0 4 − ⇒ 0 1 2 − 3 0    .  2 0 5 − 3 4 0 0 0 0 0     Очевидно, что первый и второй столбцы матрицы A ред (и исходной матрицы A ) линейно независимы, а остальные столбцы являются их линейными комбинациями. Поэтому первый и второй столбцы - базисные. 3. Так как количество линейно независимых столбцов матрицы A ред равно двум, то RgA = RgA ред = 2 Следовательно, размерность пространства решений d = n − r = 5 − 2 = 3, и фундаментальная система решений состоит из трех линейно независимых решений.

28

3. Неизвестные x1 , x 2 , соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные x3 , x 4 , x5 - свободными. Запишем систему уравнений с матрицей A ред (эта система эквивалентна исходной) и перенесем, свободные неизвестные в правые части уравнений системы:  x1 = − 5 2 x3 + 3 2 x 4 − 2 x5 ,  x 2 = −2 x 3 + 3 x 4 .  Для первого набора свободных неизвестных x3 = 1, x4 = 0, x5 = 0 получаем, x1 = − 5 2 , x2 = −2, т.е. первое решение системы имеет вид  − 5 2    −2  X 1 =  1 .    0   0    Для второго набора свободных неизвестных x3 = 0, x 4 = 1, x5 = 0 получаем, x1 = 3 2, x 2 = 3, т.е. второе решение системы имеет вид 3 2    3  X 2 =  0 .    1   0    Для третьего набора свободных неизвестных x3 = 0, x 4 = 0, x5 = 1 получаем, x1 = −2, x2 = 0, т.е. третье решение системы имеет вид  − 2    0  X 3 =  0 .    0   1    Сделаем проверку, подставим эти решения в исходную систему уравнений, а также убедимся, что решения линейно независимы (ранг матрицы, составленной из столбцов X 1 , X 2 , X 3 , равен 3). 29

Следовательно, решения X 1 , X 2 , X 3 образуют базис в пространстве решений (фундаментальную систему решений). d = 3. Ответ: Размерность пространства решений есть Фундаментальная система решений есть  − 5 2 3 2  − 2        −2   3   0  X1 =  1  , X 2 =  0  , X 3 =  0  ,        0   1   0   0   0   1        и общее решение однородной системы имеет вид  − 5 / 2 3 / 2  − 2        −2   3   0 X = С1 X 1 + C 2 X 2 + C3 X 3 = C1  1  + C 2  0  + C3  0  ,        0   1   0  0   0  1       где C1 , C 2 , C3 - произвольные постоянные. Задача 3.2. Неоднородные системы уравнений Постановка задачи. Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ,  a x + a x + ... + a x = b ,  21 1 22 2 2n n 1   ......................................... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm . План решения. 1. Записываем расширенную матрицу системы

A расш

30

 a11  a =  21 ...   am1

a12 a22 ...

... a1n ... a2 n ... ...

am 2 ... amn

b1   b2  , ...   bm 

и с помощью элементарных преобразований строк приведем матрицу A расш к редуцированному виду. 2. Вычисляем ранги основной матрицы системы A и расширенной матрицы A расш . Если RgA расш = RgA , то система совместна, если RgA расш ≠ RgA , то система несовместна (решений не имеет). 3. Пусть RgA расш = RgA = r. Тогда общее решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой X о.н. = X ч.н. + С1 X 1 + С2 X 2 + .... + Cn − r X n − r , где X ч.н. - какое-либо частное решение неоднородной системы, X 1 , X 2 ,..., X n − r фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и C1 , C 2 ,..., C n − r - произвольные постоянные. Чтобы найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений X 1 , X 2 ,..., X n − r , повторим операции, изложенные в задаче 3.1. 4. Столбец сводных членов B расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы A . Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем разложение столбца свободных членов по всем столбцам матрицы A . Коэффициенты этого разложения образуют частное решение неоднородной системы X ч.н. 5. Записываем общее решение неоднородной системы линейных уравнений:  x1    x  X о.н. =  2  = X ч.н. + С1 X 1 + C2 X 2 + ... + C n − r X n − r , ....    xn  где X ч.н. - какое-нибудь частное решение неоднородной системы, X 1 , X 2 ,..., X n − r - фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений и C1 , C 2 ,..., C n − r - произвольные постоянные. Пример 3.2. Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений   2 x1 − x2 + 3 x3  2 x1 

x2 + 2 x3 − 3 x4 + 5 x3 − 3 x4

= −1, + 4 x5 = 5, + 4 x5 = 4.

Решение. 31

1. Записываем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований строк приводим матрицу Aрасш к редуцированному виду: 0 1 2 − 3 0   2 −1 3 0 4 2 0 5 − 3 4 

− 1 1 0 5 2 − 3 2 2   5  ⇒ 0 1 2 −3 0 0 0 0 4  0 0 

2  − 1. 0 

2. Так как RgA расш = RgA = 2 , то система совместна. Так как n = r = 5 − 2 = 3 , то общее решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой X о.н. = X ч.н. + C1 X 1 + C2 X 2 + C3 X 3 , где X ч.н. - какое-нибудь частное решение неоднородной системы, X 1 , X 2 , X 3 фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и C1 , C 2 , C3 - произвольные постоянные. 3. Запишем соответствующую однородную систему уравнений   2 x1 − x 2 + 3 x3  2 x1 

x 2 + 2 x3 − 3 x 4 + 5 x3 − 3 x 4

= 0, + 4 x5 = 0, + 4 x 5 = 0.

Она совпадает с системой, приведенной в примере 3.1. (Если однородная система уравнений не совпадает с системой, приведенной в примере 3.1 , то для нахождения фундаментальной системы решений повторим операции, использованные при решении примера 3.1.) При решении примера 3.1 была найдена фундаментальная система решений однородной системы уравнений:  − 5 2 3 2  − 2       − 2 3      0  X 1 =  1 , X 2 =  0 , X 3 =  0 .       0 1      0   0   0   1        4. Найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы. Неизвестные x1 , x 2 , соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные x3 , x 4 , x5 - свободными.

32

Запишем систему уравнений с матрицей A ред (эта система эквивалентна исходной) и перенесем, свободные неизвестные в правые части уравнений системы: 5 3   х1 + х3 − х4 + 2 х5 = 2, 2 2   х2 + 2 х3 − 3 х4 = −1. Решая эту систему находим неизвестные х2 = −1 − 2 х3 + 3 х4 и 5 3 х1 = 2 − х3 + х4 − 2 х5 . Запишем общее решение системы: 2 2 5 3    2 − х3 + х4 − 2 х5  2 2   1 2 − − х 3 + 3 х4   X о.н. =  . х3   х4     х5   Из общего решения при конкретных значениях свободных неизвестных получаются частные решения. Например, при х3 = 1, х4 = 2, х5 = 0 получается частное решение 5/ 2   3    X ч.н. = 1 .    2   0    Сделаем проверку, подставив X ч.н. в исходную систему уравнений. Ответ: Общее решение имеет вид 5/ 2  2 3/ 2  − 5/ 2          3   − 1  3   −2  X о.н. =  0  + C1  1  + C 2  0  + C3  1  ,          2   0  1   0   0   0  0   0          где C1 , C 2 , C3 - произвольные постоянные.

33

Задача 4 Постановка задачи. Пусть в некотором базисе линейного пространства Х n задан произвольный вектор x = {x1 , x2 ,...., xn }. Является ли линейным оператор A : Х n a Х n , такой что Ax = { f1 ( x1 , x2 ,..., xn ), f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ),..., f n ( x1 , x2 ,..., xn )} , где f1 , f 2 ,....., f n некоторые функции n переменных? План решения. Если x = {x1 , x2 ,..., xn }, у = { y1 , y 2 ,..., y n } - произвольные векторы

пространства Х n , то x + y = {x1 + y1 , x2 + y 2 ,.., y1 + y n } , αx = { αx1 ,αx2 ,...,αxn }. Проверяем условия линейности оператора: A( x + y ) = Ax + Ay,

A(αx ) = αAx.

Если условия линейности выполнены, т.е. A( x1 + y1 , x2 + y 2 ,..., xn + y n ) = f i ( x1 , x2 ,..., xn ) + f i ( y1 , y 2 ,..., y n ) , f i (αx1 ,αx2 ,...,αxn ) = αf i ( x1 , x2 ,..., xn ) при i = 1,2,....., n , то оператор A линеен, в противном случае оператор A не является линейным оператором. Пример. Пусть в некотором базисе линейного пространства Х 3 задан произвольный вектор x = {x1 , x 2 , x3 }. Является ли линейным оператор A: Х3 a Х3 такой, что Ax = {x1 − x2 ,2 x1 + x3 ,3 x1}? Решение. Пусть x = {x1 , x 2 , x3 }, y = { y1 , y 2 , y3 } - произвольные векторы пространства X 3 . Тогда x + y = {x1 + y1 , x2 + y 2 , x3 + y3 },αx = {αx1 ,αx2 ,αx3 }. Проверяем условия линейности оператора A( x + y ) = {( x1 + y1 ) − ( x2 + y 2 ), 2( x1 + y1 ) + ( x3 + y3 ), 3( x1 + y1 )} = = {x1 − x2 , 2 x1 + x3 , 3 x1} + { y1 − y 2 , 2 y1 + y3 , 3 y1} = Ax + Ay A(αx ) = {αx1 − αx2 , 2αx1 + αx3 , 3αx1} = α {x1 − x2 , 2 x1 + x3 , 3 x1} = αAx Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор A линеен. Ответ: Оператор A линеен. Задача 5

Постановка задачи. В некотором базисе трехмерного линейного пространства X 3 заданы отображения 34

x → Ax = {a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 }, x → Bx = {b11 x1 + b12 x2 + b13 x3 , b21 x1 + b22 x2 + b23 x3 , b31 x1 + b32 x2 + b33 x3 }, где x = {x1 , x2 , x3 } - произвольный вектор пространства X 3 . Найти координаты векторов y = P( A, B )x (в том же базисе), где P( A, B ) - многочлен относительно операторов A и B . План решения. Так как при сложении операторов их матрицы складываются, при умножении на число – умножаются на это число, а матрица композиции операторов равна произведению их матриц, то нужно найти матрицу P( A, B ) , где A и B – матрицы операторов A и B . Затем столбец координат вектора у = Р( А, В )x находим по формуле P( A, B ) ⋅ X , где X − столбец координат вектора x . 1. Построим матрицы операторов A и B :  a11 a12 a13   b11 b12 b13      А =  a 21 a 22 a 23 , B =  b21 b22 b23 . a  b   31 a32 a33   31 b32 b33  2. По правилам сложения матриц, умножение матрицы на число и умножения матриц находим матрицу P( A, B ) :  p11 p12 p13    P( A, B ) =  p 21 p 22 p 23 . p   31 p32 p33  3. Находим столбец координат образа вектора x :  p11   p 21 p  31

p12 p 22 p32

p13   x1   y1      p 23 . x 2  =  y 2 . p33   x3   y3 

Записываем ответ в виде P( A, B )x = { y1 , y 2 , y 3 }. Пример. В некотором базисе трехмерного линейного пространства Х 3 заданы отображения x → Ax = {x1 + x2 − x3 , x2 + x3 , x3 }, x → Bx = {x2 + 2 x3 , − x1 , x2 }, где x = {x1 , x2 , x3 } - произвольный вектор пространства X 3 . Найти координаты вектора (2 A + A ⋅ B )x в том же базисе. Решение. 1. Построим матрицы операторов A и B : 35

 1 1 − 1  0 1 2     A =  0 1 1  и B =  − 1 0 0 . 0 0 1   0 1 0    

2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц вычисляем матрицу 2 A + A ⋅ B : 1  2 0 0  2  = 0 0 

1 − 1  1 1 − 1  0 1     1 1  + 0 1 1  ⋅ −1 0 0 1   0 0 1   0 1 2 − 2  − 1 0 2  1     2 2  +  −1 1 0 =  −1 0 2   0 1 0   0

2  0 = 0  2 0  3 2 . 1 2 

3. Находим столбец координат образа вектора x : x1 + 2 x2  1 2 0   x1          (2 A + A ⋅ B )x =  − 1 3 2  ⋅  x2  =  − x1 + 3x2 + 2 x3 .  0 1 2  x    x2 + 2 x3    3   Ответ: (2 A + A ⋅ B )x = {x1 + 2 x2 ,− x1 + 3 x2 + 2 x3 , x2 + 2 x3 } Задача 6 Постановка задачи. Вектор x в базисе e1 , e2 ,..., en имеет координаты {α1 , α 2 ,..., α n }. Найти координаты вектора x в базисе e1′ , e2′ ,..., en′ , где

e1′ = c11e1 + c21e2 + ... + cn1en , e2′ = c12 e1 + c22 e2 + ... + cn 2 en , ...................................... en′ = c1n e1 + c2 n e2 + ... + cnn en . План решения. Координаты вектора при переходе от базиса e1 , e2 ,..., en к базису e1′ , e2′ ,..., en′ преобразуются по формуле X e ′ = C −1 X e ,

(2)

где X e ′ , X e - столбцы координат вектора x в базисах e1′ , e2′ ,..., en′ и e1 , e2 ,..., en соответственно, C - матрица перехода от базиса e1 , e2 ,..., en к базису e1′ , e2′ ,..., en′ . 36

1. Находим матрицу перехода C . Так как столбцы матрицы перехода от базиса e1 , e2 ,..., en к базису e1′ , e2′ ,..., en′ - это столбцы координат векторов e1′ , e2′ ,.., en′ в базисе e1 , e2 ,.., en , то матрица перехода имеет вид  c11 c12  c c C =  21 22 ... ...   cn1 cn 2

... c1n   ... с2 n  . ... ...   ... cnn 

2. Находим обратную матрицу C −1 и проверяем, что C −1 ⋅ C = E. 3. По формуле (2) находим столбец координат вектора x в базисе ′ ′ e1 , e2 ,.., en′ :  α1′    α ′  X e′ = C −1 X e =  2 . ...    α n′  записываем ответ в виде xe′ = {α1′ , α 2′ ,.., α n′ }. Пример. Вектор x в базисе e1 , e2 , e3 имеет координаты {1,2,3} . Найти координаты вектора x в базисе e1′ , e2′ , e3′ , где e1′ = e1 + 2e3 , e2′ = e2 + e3 , e3′ = −e1 − e2 − 2e3 . Решение. 1. Находим матрицу перехода 1 0 −1   С =  0 1 − 1 .  2 1 − 2   2. Находим обратную матрицу C −1 методом Гаусса: 1 0 −1  0 1 −1 2 1 − 2 

1 0 0 1 0 0   0 1 0 ⇒ 0 1 0 0 0 1 0 0 1  

− 1 − 1 1  − 2 0 1 − 2 − 1 1

37

Таким образом,

Проверяем, что 3. По формуле (2) находим столбец координат вектора

Ответ:

в базисе

.

Задача 7 Постановка задачи. Найти матрицу некоторого оператора A в базисе e1′ , e2′ ,..., en′ , где

e1′ = c11e1 + c21e2 + ... + cn1en , e2′ = c12 e1 + c22 e2 + ... + cn 2 en , ....................................... en′ = c1n e1 + c2 n e2 + ... + cnn en , если в базисе e1 , e2 ,..., en его матрица имеет вид  a11  a Ae =  21 ...   an1

a12 a22 ... an 2

... a1n   ... a2 n  . ... ...   ... ann 

План решения. При переходе от базиса e1 , e2 ,..., en к базису e1′ , e2′ ,..., en′ матрица оператора преобразуется по формуле Ae ′ = C −1 ⋅ Ae ⋅ C , (3) где C - матрица перехода от базиса e1 , e2 ,..., en к базису e1′ , e2′ ,..., en′ 37

1. Находим матрицу перехода C . Так как столбцы матрицы перехода от базиса e1 , e2 ,..., en к базису e1′ , e2′ ,..., en′ - это столбцы координат векторов e1′ , e2′ ,..., en′ в базисе e1 , e2 ,..., en , то  c11 c12  c c C =  21 22 ... ...   cn1 cn 2

... c1n   ... c2 n  . ... ...   ... cnn 

2. Находим обратную матрицу C −1 и проверяем, что C −1C = E. 3. Находим матрицу оператора A в базисе e1′ , e2′ ,..., en′ по формуле (3). Ae ′ = C −1 ⋅ Ae ⋅ C . Пример. Найти матрицу оператора A в базисе e1′ , e2′ , e3′ , где e1′ = e1 + e2 + 2e3 , e2′ = 2e1 − e2 , e3′ = −e1 + e2 + e3 , если в базисе e1 , e2 , e3 его матрица имеет вид  2 0 −1   Ae =  0 1 − 2 . −1 2 0    Решение. 1. Находим матрицу перехода  1 2 − 1   С = 1 −1 1  2 0 1    2.Находим обратную матрицу С −1 методом Гаусса: 1 2 −1  1 −1 1 2 0 1 

1 0 0 1 0 0   0 1 0 ⇒ 0 1 0 0 0 1 0 0 1  

1  − 1 − 3 2 . − 2 − 4 3  1

2

39

Таким образом, С −1

2 − 1  1   =  − 1 − 3 2 . − 2 − 4 3   

Убеждаемся, что С ⋅ С −1 = E :

C ⋅C

−1

2 − 1  1 0 0   1 2 − 1  1       =  1 − 1 1  ⋅  − 1 − 3 2  =  0 1 0 .  2 0 1   − 2 − 4 3  0 0 1      

3. Находим матрицу оператора A в базисе e1′ , e2′ , e3′ по формуле (3) 2 − 1  2 0 1   1 2 − 1  1       Ae ′ = C −1 ⋅ Ae ⋅ C =  − 1 − 3 2  ⋅  0 1 − 2  ⋅  1 − 1 1  = − 2 − 4 3  −1 2 0  2 0 1       6 − 8 − 7   =  11 − 9 12   15 − 16 19   

− 7  = A Ответ: e ′  11  15 

6 −9 − 16

− 8  12  . 19 

Задача 8 Постановка задачи. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей

 a11  a A =  21 ...   an1

a12 a22 ... an 2

... a1n   ... a2 n  . ... ...   ... ann 

План решения. Собственные значения оператора A являются корнями его характеристического уравнения det ( A − λE ) = 0. 1. Составляем характеристическое уравнение и находим все его вещественные корни (среди них могут быть и кратные). 40

2. Для каждого собственного значения λi найдем собственные векторы. Для этого записываем однородную систему уравнений

( A − λi E ) X

=0

и находим фундаментальную систему решений X 1i , X 2i ,..., X ni − ri , где ri - ранг матрицы системы A − λi E. (Заметим, что ri 〈 n, так как det( A − λi E ) = 0 )

3. Столбцы X 1i , X 2i ,..., X ni − ri являются столбцами координат искомых собственных векторов e1i , e2i ,..., eni − ri . Окончательно для λ = λi записываем ответ в виде e1i = {...}, e2i = {...}, .. . , eni − ri = {...}.

Замечание. Множество собственных векторов, собственному значению λi , можно записать в виде

соответствующих

S λ = λi = {x : x = C1e1i + C 2 e2i + ....... + Cn − ri eni − ri ≠ 0}.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы оператора A : X 3 a X 3 , заданного в некотором базисе матрицей 3 0 0    A =  1 2 − 1. 1 − 1 2    Решение. 1. Составляем характеристическое уравнение: 3−λ

0

1

2−λ

1

−1

0

(

)

− 1 = 0 ⇔ (3 − λ ) λ2 − 4λ + 3 = 0. 2−λ

Поэтому λ1, 2 = 3, λ3 = 1. 2. Для собственного значения λ1, 2 = 3 найдем собственные векторы.

Запишем однородную систему уравнений ( A − 3 ⋅ E ) X = 0 :

41

 0 0 0   x1   0         x1 − x 2 − x3 = 0,  1 − 1 − 1 ⋅  x 2  =  0  ⇒   1 − 1 − 1  x   0   x1 − x 2 − x3 = 0.    3   Очевидно, ранг матрицы этой системы равен 1 ( n − r = 2 − размерность пространства решений), следовательно, система нетривиально совместна и ее фундаментальная система решений имеет вид 1 1     X 1 =  1 , X 2 =  0 . 1  0     Итак, двукратному собственному значению λ1, 2 = 3 соответствуют два линейно независимых собственных вектора e1 = {1,1,0}, e2 = {1,0,1}. Множество всех собственных векторов S λ1, 2 =3 , соответствующих собственному значению

λ1,2 = 3, имеет вид S λ1, 2 =3 = {x : x = C1e1 + C 2 e2 ≠ 0}. Аналогично находим собственный вектор, соответствующий собственному значению λ3 = 1. Получим e3 = {0,1,1}. Поэтому множество всех векторов S λ3 =1 , соответствующих собственному значению λ3 = 1, имеет вид S λ3 =1 = {x : x = C3e3 ≠ 0}. Ответ: S λ1, 2 = 3 = {x : x = C1e1 + C2 e2 ≠ 0} , где e1 = {1,1,0} и e2 = {1,0,1} S λ3 =1 = {x : x = C3e3 ≠ 0} , где e3 = {0,1,1}.

42

Список использованных источников 1

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1971. - 320 с. 2 Беклемишев Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие / Под ред. Д.В. Беклемишева. - М.: Наука, 1987. - 496 с. 3 Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1984. - 256 с. 4 Виноградова И.М. Элементы высшей математики.(Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел): Учеб. для вузов. - М.: Высш. шк.,1999. - 511с 5 Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Справочное пособие к решению задач. - М.: Наука, 2000. - 288 с. 6 Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: Учеб. для вузов. 3-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. - 336 с. 7 Ким Г.Д., Крицков А.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. - М.: Зерцало-М,2003.-358 с. 8 Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Основы алгебры: Учебник для вузов. – 2-е изд., исправл. - М.: Физико-математическая литература, 2001. -368 с. 9 Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. часть 1.- 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 288 с. 10 Шевцов Г.С. Линейная алгебра: Учеб. пособие. - 2-е изд., исп. и доп. - М.: Гардарики, 1999. - 269 с. 11 Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов / В.С. Шипачев. – 5-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2002. - 479 с. 12 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учеб. пособие для инж.-техн. спец. вузов / Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б.; Под ред. Воднева В.Т. - 2-е изд., перераб. и доп. - Минск: Высшая школа, 1986. - 272 с.

43