Е. Н. Львовский
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ Изда ние второе, перерабо танное и дополненное Допущено Министерством высшего и среднего специального образовании
СССР
в качестве учебного пособии дnи студентов высших технических учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА:о 1988
ББК 22.1 Л89 УДК 5 1 (075)
Ре ц е н э е н т ы: кафедра прикладной математики Московского инженерно строительного института (зав. кафедрой - д·р фиэ.· мат. наук, проф. В.В. Куче· рен ко) и д·р техн. наук, проф. Ю.В. Зайцев (ВсесоюэныА заочный политехни ческий институт)
Львовский Е.Н.
Л89
Статистические методы построения эмпирических формул : Учеб. пособие для втузов. - 2-е иэд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1 988.239 с. : ил. ISBN 5-06-001 264-6 Во 2·м издании пособия (1-е - 1982 г.) изложены основные методы обра· ботки опьпных данных. Подробно описан ы способы предварительной обработ· ки результатов наблюдений. Рассмотрены статистические методы построения эмпирических формул, метод максимума правдоподобия, метод средних и конфлюэитный анализ. Освещена методика планирования и обработк и актив· ных экспериментов. Даны основы дисперсионного анализа.
л 1502000000 (4309000000)- 430
001 (01) -
88
ISBN 5 -06-001 264-6
35 -
88
ББК
22.1 51
© издательство "Высшая школа". 1 982 © Издательство "Высшая школа", 1 98 8 с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
Преди сл ови е
.
•
•
•
.
•
•
.
•
.
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
•
Введение. Крат101 е сведения нз теории вероятностей и математической стати· СТИЮI •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
5 7
§ В . 1 Случайные события (7) § В . 2 Относительная частота и вероятность слу чайных событий (8). § В . З . Сложение и умножение вероятностей ( 1 О). § В 4 . Дискретно распределенные случайные величины ( 1 3 ) . § В.5. Непрерывно распределенные случайные величины ( 1 4). § В. 6. СИстема обозначений ( 16). .
.
.
. 17 в а 1. Предварительная обработка экспериментальных данных § 1 . 1 . Цели предварительной обработки опытных данных ( 1 7 ) . § 1 . 2. Генеральная совокупность и выборка ( 1 7). § 1 . 3. Вычисление характеристик эмпири ческих распределений (выборочных характеристик) . Моменты ( 1 8). § 1 .4. Отсев грубых погрешностей (23). § 1 .5 . Полигон и гистограмма частот распреде· ления (25). § 1 .6. Проверка гипотезы нормального распределения (28) . § 1 .7 . Преобразование распределений к нормальному (3 2 ) . § 1 . 8. Алгоритм и блок-схема алгоритма предварительной обработки экспериментальных дан ных (37) . Гл а
Г
•
•
•
•
•
•
•
л а в а 11. Статистичес101е методы построени я преобразоваиия и оценки пар· ных зависимостей по экспериментальным данным. 41 •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
§ 2. 1 . Метод наименьших квадратов в'простейшем случае двумерного простран ства (на плоскости) . Уравнение регрессии (4 1). § 2�2. Геометрическая интер· претация коэффициентов регрессии. Дополнительные разъяснения (44) . § 2.3. Парпая корреляция. Статистическое оценивание парной корреляции и регрессии (46). § 2.4. Числовой пример выполнения париого линейного регрес· сионного и корреляционного анализов. Статистическое оценивание результатов расчетов (4 9). § 2.5. Оценка линейности регрессии (53). § 2.6. Нелинейная парная регрессия (55). § 2.7. Другие форм ы нелинейной парной регрессии. Выбор оптимальной формы (59). § 2.8. Алгоритм и укрупненная блок-схема алгорит· ма расчета на ЭВМ оптимальной формы связи между двумя переменными фи зическими величинами (60). § 2.9. Методика предсказания предельных значе ний величин , изменяющихся по экспоненте (6 1 ). Г
л а в а 111. Множественный регрессионный и корреля ционный анализ. Много64 факторвые эмпиричес101е зависимости •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
§ 3 . 1 . Линейный множественный регрессионный анализ (64) . § 3.2. Проверка значимости уравнения регрессии и коэффициентов уравнения регрессии (67) . § 3.3 . Множественный корреляционный анализ (6 8). § 3.4. Множественный нелинейный регрессионный анализ (7 3). § 3.5. Выбор оптимальной формы урав нения регрессии в множественной ситуации. Различные методы решения задачи (74). § 3.6 Примеры множественного регрессионного анализа (78) . § 3.7. Ме тодика отыскания комбинаций значений факторов, максимизирующих и мини мизирующих функцию отклика (80). § 3 . 8. Алгоритмы и укрупненные блок· схемы алгоритмов множественного корреляционного и множественных рег рессионных анализов , выполняемых методом исключения и методом включе ния переменных (85). .
Г
л а в а IV. Дополнительные сведения о построении эмпнричес101х зависимостей по опытным данным . 87 •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
§ 4. 1 . Предварительные соображения (87). § 4.2. Построение нелинейных эмпи рических зависимостей с использованием ортогональных полиномов Чебышева
(параболическое интерполирование) (87). § 4.3. Значение остатков при изуче нии результатов регрессионного анализа [43] (93). § 4.4. Интерпретация урав нения регрессии (95). § 4.5. Метод средних (101) . § 4.6. Метод максимума правдоподобия . Регрессионный и конфлюэнтный анализы как частные случаи метода максимума правдаподобия ( 1 04) . § 4.7. Модели, нелинейные по пара метрам (112) . § 4.8. Сравнение данных ( 1 3 0).
л а в а V. Построение эмпирических формул по результатам активных (специальным образом спланированных) экспериментов . § 5. 1. Активные эксперименты - эффективный исследовательский метод естествоиспытателей (1 37 ). § 5.2. Отсеивающие эк сперименты (145 ) . § 5.3. Экстремальные эксперименты ( 1 5 2 ) . § 5.4. Дисперсионный анализ ( 1 7 5 ) . § 5.5. Некоторое понитис об оптимальном планировании экспериментов ( 1 84). § 5.6. Планирование экспериментов на симплексе дпя оптимизации составов смесей (192). Послесловие Приложекия Литература Г
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1 37
1 96 1 97 234
ПРЕДИСЛОВИЕ
.. . знание людей заслуживает имеt Науки в зависимости от того, каку роль играет в нем число. Э. Боре.
Технический прогресс немыспим без развития науки, а развитие наУJ< невозможно без грамотно сiVIанированных и поставлеm�ых экспериме тов, без обработки их результатов для получения максимально возможно• количества информации. В свете реформы в ысшей школы в вузах нашей страны все больш• внимание уделяется научной работе· студентов. Ыирокое распространею nолучает сравнительно новая форма этой работы - УИРС (учебно-иссл довательская работа студентов) . В учебных IVIaнax некоторых спецпал ностей уже уделено время для УИРС. УИРС - это занятия студентов пс руководством опытных педагогов , ставящие своей целью привить нав ьпс научного творчества. Однако научное творчество невозможно без уме1 поставленных экспериментов и грамотной обработки их результатов, кот рая позволяет извлечь из проделаm�ой работы максимум формализова ной, численно выражеm�ой m�формации. В нашей стране и за рубежом издано большое количество литератур по методике экспериментирования и обработке экспериментальных даннь для построения эмпирических зависимостей (см. список литературы, пр веденный в конце пособия) , однако студентам будет полезна книга небол шоrо объема, в которой освещены основные вопросы статистической обр ботки экспериментальных данных для построения эмпирических завис мостей. Этим и руководствовался автор при написании даШiого учебно1 пособия. Материал пособия излагается в рецептурном IVIaнe, т.е. непосредствею для практического применекия методом индукции (от простого к ело: ному) . В литературе [4, 8, 3 7, 43 , 52, 60, 66, 69, 76, 102 ) можно най· математически строгое изложение некоторых вопросов, затронутых в н стоящем пособии. Автор ставил перед собой цель изложить материал в максималы доступной и понятной форме. Каждый новый термин вьщелен и подроб1 пояснен либо во введении, либо в основном тексте. Следует помнить, ч· самый лучший способ освоить трудный раздел - самостоятельно реши числовые примеры. При описании статистических методов построения эмпирических зав симостей материал изложен так, что для его понимания достаточно т• разделов математики, которые изучаются в старших классах среди• школы. В настоящее время научная работа невозможна без применекия ЭВ! Поэтому там, где в этом есть необходимость, приведены алгоритмы укрупненные блок-схемы. Если же не требуется применения болыш
ЭВМ, то рекомендуется использовать настольную вычислительную тех нику. Материал пособия изложен в том порядке, в котором его обычно при меняют при обработке экспериментальных данных. Рассмотрено много числовых примеров, взятых из практики обработки эксперименто в и ис кусственно синтезированных. В связи с тем что у не имеющих математи ческоrо образования экспериментаторов моrут возникнуть трудности, связанные с терминологией , перед основным материалом помещено вве дение, в котором содержатся основные сведения из теории вероятностей. В гл. 1 изложена методика предварительной обработки эксперимен тальных данных. В гл. 11 описаны наиболее простые, а в гл. 111 более сложные случаи применения метода наименьших квадратов для построе ния эмпирических зависимостей. В гл. IV рассмотрены специальные во просы теории обработки экспериментов . Гл. V посвящена перспективным методам построения эмпирических зависимостей по результатам активных, спланированных экспериментов . В Приложениях содержатся таблицы, не обходимые для построения и статистической оценки эмпирических зави симостей. В настоящее время ставят эксперименты и по их результатам строят модели почти во всех областях науки. Медики и биологи, агрономы и пси хологи, физики и инженеры не моrут обойтись без статистической обра ботки результатов наблюдений и измерений. Данное пособие и предназна чено для студентов самых различных специальностей. Оно будет также полезно преподаваrелям, читающим курсы УИРС, "Введение в научные ис следования", "Основы научных исследований", и начинающим экспериментаторам. , Время, затраченное на изучение статистических методов обработки наблюдений, окупится за счет экономии средств и времени при постановке экспериментов и обработке их результатов. Стоимость обработки экспе риментов составляет незначительную часть стоимости эксперимента в це лом, но может значительно повысить ценность полученных результатов. Этому вопросу часто не уделяют должного внимания, и передки случаи, когда результаты дорогостоящих экспериментов не подвергают даже прос тейшей обработке; при этом, как следствие, теряется огромное количест во полезной информации. Культуру экспериментирования и умение обра батывать результаты опытов для получения максимально возможной ин формации надо прививать еще в вузе. Главная задача настоящего пособия - популяризация методов построе ния эмпирических зависимостей по результатам экспериментов. Пособие содержит большой список литературы ( 1 64 наименования) . Начиная с 1 961 г. в журнале "Заводская лаборатория" публикуются статьи методо логического характера по обработке результатов эксперимента. Перечень этих работ дан в П. 14. Во втором издании книги исправлены замеченные опечатки, расширен наиболее сложный раздел о нелинейном оценивании данных экспериментов. Приведен новый параграф, посвященный методике сравнения опытных и теоретических данных. Автор -
ВВЕДЕНИЕ КРАТКИ Е С ВЕДЕНИЯ И З ТЕОРИИ ВЕЮЯТНОСfЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СfАТИСТИКИ
Методы обработки данных наблюдений базируются на положеНИJIХ теории вероятностей и математической статистики. Студенты большинства спе· циальностей либо не изучают теорию вероятностей вообще, либо знакомят ся с этой дисциплиной при изучении курса высшей математики в очень небольшом объеме. Необходимость предварительно перед чтением литературы по ме тодам обработки данных наблюдений ознакомиться с основными поло жениями теории вероятностей, как правило, отпугивает эксперимента торов от специальной литературы по этому вопросу. Настоящее учеб ное пособие предназначено для преодоления этоrо своеобразноrо лииr вистическоrо и психолоrическоrо барьера. Читателям на выбор предла гается один из двух возможных методов изучения материала книrи. П е р в ы й м е т о д (традиционньiЙ ) . Материал изучаюr по порядку. Сначала знакомятся с введением, а затем изучаюr основной материал книrи. В т о р о й м е т о д. Изучение материала начинают сразу с rл. 1, а к введению возвращаются по мере необходимости только тоrда, коrда в тексте встречаются понятия, требующие дополннтельноrо разъяснеНiiя. Для облегчения и организации этоrо процесса материал введения разделен на части, на которые в необходимых местах даюrся ссылки с по мощью скобок < > в отличие от ссылок на литературу ( ] и ссылок на фор мулы ( ) . Все положения введения приведены без доказательств. §
В.1. Случайные собы1101
1.1. ИспыТ8ИИJI. Для изучения тех или иных явлений природы и об щества производят опыты или наблюдения. С семантической точки зрения слова «ОПЫТ» и <<Наблюдение» неравно значны. По-видимому, при проведении опыта естествоиспьпатель иrрает более активную роль, чем при наблюдении тоrо или иноrо явления. Можно также отметить, что в понятие «опыт» как составная часть входит понятие «Наблюдение» и еще нечто, относящееся к искусствениому воспроизве дению условий для наблюдения. 7
И сп ытанием в теории вероятностей назьmается осуществление ка кого-нибудь комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз. О всяком новом испытании говорится как о повторении прежнего, чтобы лишний раз подчеркнуть, что испьпания происходят в одних и тех же условиях. При этом не следует забьmать, что о воспроизведении условий испытания можно говорить только в прибли женном смысле. При повторном бросании игральных костей успеет (хотя Q крайне незначительно ) измениться температура воздуха, направление его движения; изменится (на доли миллиграмма) и вес самих костей в результате налипания пьmевых частиц. Испьпание в отличие от опьпа не обязательно предполагает наличие наблюдателя. Как испытания квалифицируются самые разнообразные явления, в которых одни и те же условия реализуются многократно. 1 .2. Собыmя. Результатом испьпаний являются события. Некоторые события происходят неизбежно в результате каждого испьпания, и поэ тому они назьmаются достоверными. Другие события вовсе не могут про изойти, и поэтому их назьmают невозможными. В результате испытания в связи с изменением случайных обстоятельств может произойти то или иное событие из множества событий возможных при данном испытании [ 1 38] . Это множество собьпий называется полем событий, связанных с испытанием, а события этого поля - случайными. Собьпия называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. На пример, появление «герба» при бросании монеты исключает появление надписи, определяющей достоинство монеты. Собьпия называют равновозможными, если есть основания считать, что одно из них не более возможно, чем другое. Например, если в . урне находится одинаковое количество тщательно переметаиных шаров раз ного цвета, то возможность вынуть шар любого цвета одинакова. Равно возможны выпадения «герба» и «НадписИ>> при бросании монеты или появ ление того или иного числа очков при бросании игральных костей. ·
§ В.2. Оrносительная частота и верояmость случайных событий 2.1. Оm:осительная 'Встота. Относительной частотой W п (А) (или час тостью ) случайного собьпия А назьmается отношение числа п А появлений
этого события к общему числу произведенных испьпаний : Wn{A) = п Аfп.
(В. 1) Важно отметить, что частость в весьма обширном и важном классе случаев, - в дл инных повторных сериях испьпаний, обладает статистиче ской ус� йчивостью. Например, при многократном бросании правильной Игральнои кости относительная частота вьmадения каждого числа очков от 1 до 6 колеблется около одного и того же числа 1 /6. Нетрудно заметить, что (В.2 ) 8
ний
Если собьпие А невозможно, то в любой серии вьmолненных испьпа = 11 и = О и Wn(A) = О. Если событие А достоверно, то всегда п А
Wn(A)=1. У стойчиность
пА
относительной частоты отражает некоторое объективное с.войство случайного события, заключающееся в определенной степени его 1Юзможности [ 1 34). Например, приблизительное равенство относитель ных частот выпадения очков от 1 до 6 при бросании правильной игральной кости отражает то обстоятельство, что дентр тяжести совпадает с геомет рическим центром костяного кубика, что делает одинаково возможным выпадение каждого числа очков. 2.2. Ве р оятность. Мера объективной возможности появления случайного события А называется его вероятностью и обозначается символом Р(А ) . Около числа Р(А ) группируются относительные частоты события А. Благодаря устойчивости и близости относительной частоты Wn(A), полученной из достаточно длинной серии испытаний, к вероятности Р(А) относительная частота может служить приближенной оценкой вероятности, тем более точной, чем больше число испытаний в серии. В свою очередь, знание вероятности наступления собьпия А позволяет предсказьmать с той или иной надежностью его относительную частоту в предстоящих испы таниях, по крайней мере при больших п [138] . 2.3. Основные аксиомы теории вероятностей. Эти аксиомы представ ляют интерес прежде всего потому, что позволяют по-другому и более строго сформулировать понятие вероятности. А ксиома 1. С каждым собы тием А данного поля испытаний связы
вается число Р(А ) , называемое вероятностью и удовлетворяющее условию О "'Р(А ) "'1.
(8.3)
Для относительной частоты такое же условие выполняется естествен ным. образом [см. формулу (8 .2) ] . А ксиома 2. Вероятность достоверного события U поля равна
и, следовательно,
единице
(8.4) Это требование также соответствует очевидному свойству относительной частоты достоверного события. P( U ) = 1.
А ксиома 3. ( Правило сложения вероятностей несовмесmмых со бы ) тий . Если событе S поля подразделяется на несовмести.мые события А 1 , А 2, , А т того же поля, т. е. представляет собо й сумму этих событий, так что S = А 1 + А 2 + . . . + Am и A;Aj = V при любых i и j (i, j = 1, 2, .. , • ••
.
т), то
(8.5 ) т.е. вероятность суммы несовместимых [138] событий равна сумме их вероятностей.
Если поле содержит бесконечное множество собьпий. то собьпие S может быть представлено как сумма бесконечной последовательности Е 1 , 'Е 2 , En, .. . несовместимых собьпий данного поля . Предполагается, ••• ,
9
что и в эrом случае выполняется правило сложения: P(S} = P(E 1 + Е"+ ... Еп + ...) = Р (Е 1 ) + Р (Е" ) + ... + Р (Е п )+ . . . , (В. 6)
где бесконечный ряд в правой части сходится. В формулах (В.4) и (B.S) через U и V обозначены соответственно до стоверные и невозможные события. Аксиnматическое построение теории вероятностей разработано из вестным советским математиком академиком А.Н. Колмогоровым. Опре делить понятие «вероятность», являющееся неотъемлемым свойством слу чайного собьпия, не просто. Как отмечалось выше, повторение опьпов при неизмененньrх усло виях представляет собой основной инструмент познания природы. С другой стороны, как бы ни стараться сохранить неизменными усло вия опыта, его результаты всегда имеют некоторый разброс: таким обра· зом, никогда невозможно заранее предсказать точное числовое значение результата предстоящего наблюдения. Однако из сказаниого вовсе не следует, что результаты наблюдений не подчиняются никакому закону. Наоборот, при их анализе явственно выявляются две основные тендеiЩИи: 1 ) большинство результатов наблюдений тесно группируется около среднего значения всей серии наблюдений; 2) чем больше отклонение результата от среднего значения. тем мень ше частость (вероятность) его появления. §
В.3. Сложение и умножеiDiе вероJIТНостей
3.1. ВероJIТН0С111 в полвой группе coбlti'IИЙ. Случайные события обра зуют полную группу, если при каждом повторении испытания должно произойти хотя бы одно из них. Например, если Х- число очков, вьmадаю щее на верхней грани игральной кости, ro события Х = 1, Х = 2, Х = 3, Х = 4, Х= 5 , Х = 6 образуют полную группу. Однако полную группу обра зуют и следующие собьпия: Х четно, Х нечетно, а также Х = 1 ; 1 < Х < 6 ; Х= 6.
Таким образом, из системы событий, связанньrх с данным испытанJ�ем, можно различным образом конструировать полные группы собьпий.
Сумма вероятностей несовместимых событий, образующих полную группу, равна единице:
Р(А1) + Р(А " ) + ... + P( As)= 1 . (В.7) Особый интерес представляет случай, когда полная группа собьпий состоит из двух несовместнмьrх собьпий (Х четно, Х нечетно) , так что появление одного из них означает непоявление другого. Такие собьпия называют взаимно противоположными. Если одно из Ц!РЫ таких собьпий обозначить через А. то другое можно обозначить через А (следует читать: «Не А») . Сумма вероятностей двух
взаимно противоположных событий равна единице: 10
Р(А) + P(ifj = 1 .
(В.7а)
Формула (В.7а) позволяет вычислить вероятность одного из двух противоположных событий, если известна вероятност ь другого [ 1 34] . 3.2. Условные вероятности. Если при вычислении вероятности собьпия кроме условий S никаких других ограничений не накладывается, то такая вероятность назьmается безусловно й. Однако иногда возникает необходи мость вычислиrь вероятность пекоторога собьпия В при дополнител ьном условии, что другое событие А уже произощо. Условной вероятностью РА(В) назьmают вероятность события В, вычис ленную в предположении, что собьпие А уже наступило . Если, например, в урне находилось первоначал ьно 6 шаров (3 белых и 3 черных) и известно, что первый вынутый шар - черный (собьпие А), то можно определить вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если установиrь, что шары вынимают без возвращения. После первого испытания Q урне осталось 5 шаров и три из них - белые. Услов ная вероятность Р А (В) 3/5 . Такой же результат можно получить и по формуле =
РА (В)=
Р(АВ) Р(А)
(Р(А) > О) .
(В. 8 ) =
Вероятность появления белого шара при первом испьпании Р(А) 3/6 1/2. Вероятность Р(АВ), того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором - белый, можно определить следующим образом: общее число исходов совместного появления двух шаров любого цвета равно числу размещений : А� 6·5 30. Из этого числа исходов собьпию АВ благоприятствуют 3·3 = 9 исходов; следовательно, Р(АВ) 9/30 3/ 10. Искомая условная вероятность =
=
=
=
р
А (В) =
=
=
Р(АВ) Р(А)
=
3/10 1/2
=
2
S '
т.е . получен тот же результат. В этом примере затронут очень важный вопрос о характере выборки, которая может быть с возвращением и без возвращения вынутых эле ментов.
3.3. Свойства условных вероJI'Пiостей . Правило умножеНИJI и о бщее
правило сложения верояmостей. Р (АВ) =Р (А) Р А (В).
Запишем формулу (В.8) в виде
(В.9)
Это равенство представляет собой так называемое правило умножения вероятностей : вероятность совместного появления двух событий равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло. Это правило можно распространить и на большее число событий : веро ятность совместного появления несколь ких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, при чем вероятность каждого последующего события вычисляется в предпоН
ложении, что все предыдущие события уже появились: Р(А 1А 2Аэ ... An) = Р(А 1 JPA 1 (А 2)РА 1 А 2 (А з ). . . PA 1 A 2 ... An_1 (An } , (8.10) rде РА 1 А. 2 А n-1 (Ап ) - вероятность события An , вычислеЮiая в предположении , что собьпия А 1 , А 2 , , An-t наступили. Для трех собьпии формула (8.10) принимает вид (B.IOa) Р(А)РА(В) РАв(С). Р(АВС) �
···•
•••
=
Общее прав ило сложения вероятностей можно сформулировать так: вероятность суммы двух собыruй (совмесruмых или несовместимых ) равна сумме вероятностей эrux собыruй без вероятности их совместного наступления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) .
(8.11)
Если собьпия несовместимы и, следовательно, Р(АВ) = О, то формула (8 .11) приводится к (8.5) (третья аксиома) при т = 2 . 3.4. Не зависимые события:. Умножение вероятностей не зависимых собЫПIЙ. Собьпие В назьmают независимым от собьпия А, если появление события А не изменяет вероятность события В. Друrими словами, услов ная вероятность события В равна ero безусловной вероятности: (8.12)
В ероятность совместного появления нескольких собыruй, независи мых в совокупносru, равна произведению вероятностей этих собыruй: (8.13)
Это так называемое правило умножения вероятностей иезависимых со
бы:mй.
3.5. Формула пoJUioй веро snиости . Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовмесruмых собыruй В 1 , В 2 , , Вт, образующих полную группу (п. 3.1) , равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность собыruя А: • ••
(8.14) Р(А ) = Р(В 1 ) Р8 1 (А } + Р(В 2)Рв/А )+ ... + P(Bп) P 8iAJ. 3.6. Вероятность mпоте з. Формулы Байеса. Предположим, что собы тие А может наступить при условии появления одноrо из несовместимых событий в •. В2, , Вт , образующих полную rpyпny. Так как заранее не известно , какое из этих событий наступит в действительности, эти события называют гипотезами. ВероЯтность появления события А определяется по формуле полной вероятности (8.14) : •• •
Р(А ) = Р (В 1 )Р8 1 (А ) + Р(В 2)Р8 2 (А ) + ... + Р(Вп) Р8п (А ) .
Если теперь предположить, что событие А уже произоumо, то можно поставить задачу выяснить, как изменились (в связи с тем, что собьпие А уже наступило) вероятности rипотез. Друrими словами, следует найти 12
условные вероятности РА (В 1 ), РА (В2 ) вероятностей ,
, •• •
,
РА (BnJ· По формуле умножения
Р(А В1 ) = Р (А )РА(В1 )= Р (В 1 )Р8 1 (А ),
откуда
' Р(Вt)Рв1 (А) А(В 1 ) = Р(А) Подставляя в место Р(А ) значение из формулы полной вероятности (B.I4) , имеем Р(Вt)Рв1(А) РА (Bt) = . Р(Вt)Рв1 (А)+ Р(В2)Рв2(А)+ ... +Р(Вп)Рвп(А) р
•
r
Точно так же можно вывести фор лы, определяющие условные вероят ности остальных гипотез В1 (i = 1 , n :
Р(В;)Рвi(А) (B.IS) Р(Вt)Рв1(А) + Р(В2)Рв2(А) + ...+ Р(Вп)Рвп(А) Зто и есть фор.мулы Байеса, позволяющие переоценить вероятности гипо
РА (В.) = 1
тез после того, как становится известным результат испьпания, в итоге которого появилось собьпие А [28 ] .
§
В.4. Дискретно распределенные случайные величниы
Случайная величина - это переменная, примимающая в результате испытания то или иное числовое значение в зависимости от случайного исхода испьпания [1 38]. Другими словами, случайная вел ичин а рассмат ривается как функция, аргументом которой служит элементарное случай ное событие поля испьпания. Случайные величины могут быть : 1 ) дискретными; 2) непрерывны
ми (непрерывно распределенньши).
Случайная в еличина, которая может принимать конечное или бесконеч ное счетное множество значений, элементы которого моrут бьпь зануме рованы и вьmисаны в последовательность х 1 , х 2 , , Xn, называется дис крет ной (дискретно распределенной). На практике часто встречаются дискрет ные случайные величины, примимающие лШIIь целочисленные значения. Есл и известны все возможные значения х 1 , х2, ... , Xn, принимаемые дискретной случайной величиной, и вероятности р(х;) для каждого собы тияХ= х; поля испытания, то распределение этой вел ичины считают теоре mчесн:и заданным. Так как эти события составляют полную группу, то в сооmетсmни с формулой (В.7) •••
1: р(х;) = 1 . i
(B.I6)
Общая масса вероятности, равная единице при дискретном распределении, со средоточена в счетной или конечной системе точек х;, т.е. имеет место точечное распределение массы вероятности. Так как предмет настоящего учебного пособия - изучение методов статистической обработки результатов экспериментов (поrрешностей 13
измерения) , которые по своей nрироде являются неnрерьm но расnреде ленными величинами , то основное внимание следует уделить именно этому тиnу случайных величин. В nротивоnол ожность дискретно расnределенным сл >:аиным вели чинам масса вероятности неnрерьmно расnределенных случаиных величин расnределена cnлonmoй nолосой по всей оси Ох или по некоторым участ кам этой оси с оnределенной nлотностью ( 1 38] . �
§
В.5. Непрерывно распределеИJПdе случайные величины
5.1. ЭМIПiри��еское и теоретическое распределеJШе. Расnределение от носительных частот (частостей) назьmается эмпири ческим. Расnределе ние в ероятностей называется теоретическим расnределением.
5 .2. Теор ети��ес кие характерисrики непрерывно распределеиной случай ной велИЧИJПd. Функция: распределеJШя вероятности и плотиость распреде леJШЯ. Кваитили. Медиана. Неnрерьmная случайная величина - это такая
вел ИЧЮi а, которая может nринимать любые значения в одном или несколь ких заданных интервалах или областях nлоскости или nространства . Су щественным здесь является то обстоятельство, что эти значения образуют несчетное бесконечное множество, которое называют конruнуумом [ 1 38] . Вьшrе отмечалось, что дискретная случайная· величина может быть задана nеречисленнем всех ее возмо жных значений. Из оnределения неnре рывной случайной величины ясно, что для нее nодобная оnерация неосу ществима. ЕслИ рассмотреть неnрерьmную случайную величину Х, возмож ные значения которой сnлошь заnолняют интервал (а, Ь) , то возникает вопрос: можно ли nеречислить в се возможные значенияХ? Оmет, безуслов но , отрицателен, так как этот nеречень составляет несчетное бесконечное множество . Необходимо ввести более общий метод задания случайных вел ичин , приrодный для любых тиnов таких величин. Пусть х действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х nримет значение, меньшее х, т.е. вероятность собьпия Х < х, обозначают через F(x). С изменением х изменяется и F(x), т.е. F(x) - функ ция о т х. Фун кцией распределения называют вероятность тоrо , что случайная величинаХв результате исnытания nримет значение, меньшее х: -
F(x) = P(X <x).
(В. 1 7)
Функцию F (х) иноrда называют интегральной функцией. Функция расnределения имеет следующие свойсmа. 1°. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1 ) : Ot;;;F(x)t;;; 1 .
2°. Функция F (x)- неубывающая функция, т.е. F (x 2 ) � F (x1); если · Х2�х1. Эти
же свойства можно сформулировать и nо-другому [ 1 38]
1 о. Имеет место соотошение lim F(x) = О,
х�оо
14
lim F(x) = 1 .
х-++оо
:
2°. Функция F (х) - непрерывная и возрастающая; ее приращение в промежутке (х1, х2) равно вероятности для вели'Шны Х попасть в этот промежуток. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной ве ли'Шны называют функцию f (x)- первую производную функции распреде
ленияF(х); f(x) =F'(x); (В . 17а) Rx) иногда называют дифференцшzльной функцией распределения. При описании непрерывного распределения часто используют так называемые квантили. Квантилем, отвечающим заданиому уровню вероят ности р, называют такое значение х= Хр, при котором функция распределе ния принимает значение, равное р, т.е . F(xp) = р. Некоторые квантили име ют особое наз�ание. Так, например, медианой распределения МеХ назьmает ся квантил ь, отвечающий значению р = 1 /2. Квантили, соответствующие значениям р = 1/4 и р = 3 /4, называют соответственно нижним и верхним квантилями. Если, например, р = 90, р = 95, то получаем соответственно 90%-ные и 95%-ные квантили. Указанные квантили называют еще соот ветственно 1 Оо/о-ными, 5 о/о-ными верхними точками распределения, а кван тили, отвечающие, например, значениям р = 0, 1 0, р = 0,05,- 1 0о/о-ными, 5о/о-ными нижни ми точками распределения (138] .
. SЗ. Моменты непрерывного распределеввJI. Математическое ожидавие диcnepciiJI. Если обозначить через Лх) !1х элементарную вероятность, то математическое ожидание МХ непрерывно распределенной величин ы Х в
можно определить по формуле МХ=р = f xf(x)dx , оа
(В.18)
предполагая, что этот интеграл сходится абсолютно. Математическое ожидание функции У= Ф (Х) величины Х МУ=М[ФХ) = f.Ф(x)Rx)dx. оа
-оа
(В. 1 9)
В частности, если Ф (Х) = X k, то получаем выражение для k-го началь ного момента:
vk= jxkf(x)dx.
(В.20)
Центральный момент k-го порядка llk= j (х - v/ Rx)dx.
Дисперсию (второй центральный момент) вахоДRт по формуле DX=p2 =о2 7 j(x- vP f(x) dx.
(В.2 1) (В .22)
Модой непрерывного распределения назьmают зна"��ё: ние аргумента, при котором плотность распределенияffх) достигает максимума. 15
§
8.6. Система о б означений
В заключение введения обратим особое внимание на наибо:1ее употре бительную систему обозначений , принятую в математической статистике
[П. 1 4.2] * .
Теоретические характеристики обозначают буквами греческого алфа вита, в ыборочные оценки (характеристики эмпирического распределе ния) - соответствующими буквами латинского алфавита. Примеры та ких обозначений даны в табл . B.l, при составлении которой использована работа [П. 1 4.21 . Т а б л и ц а B.l
Обозначении, привитые в математической статистике Наименование величины Средние значения случайной величины ):Ьiсперсия Квадратичная ошибка (среднеквадратическое отклонение) Коэффициент вариации Коэффициенты корреляции Коэффициенты регрессии Зависимая пере менмая Неэав исимая переменмая
Теоретические характеристики
J..L. мх. м�. М<х> а2, DX, D�. а2 <х>
Выборочные оценки х s• s
а,
Ь,
v r с, Ьо.
у х
bj
Часто в литературе для обозначения теоретических характеристик рас пределений (параметров) используют греческие буквы (например, Т/, �). а символы �. �- для обозначения в ыборочных значений или оценок. 1;\ногда обозначения оценок да�тся с }'I<'азанием объема выборки (f} (п), � (п)), а иногда - без него (�, �) . Эта система обозначений может по казаться раз норечивой, однако специфика изложения вопросов математической статис тики такова, что в одной работе , как правило, приходится использовать все указанные в иды обозначений . В этом разделе приведены ЛШII Ь некоторые сведения из теории вероят ностей и математической статистики. При желании можно легко пополнить знания по этим вопросам. Рекомендуем, например, следующие работы : [1 2, 1 7 , 1 9, 22, 27 , 28, 36-38 , 41 , 47, 52, 54, 5 5 , 5 8 , 67, 72, 74, 92, 1 00, 1 09, 1 1 3 , 1 28-1 30, 1 34, 1 38 , 1 39 , 1 47] . * Ссылка на приложекие 1 4.
Гл а в а
1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
§ 1.1. Ц ели пр едв арительно й о бра ботки о пьrrных д анных Предварительная обработка результатов измерений или наблюдений необ ходима для того, чтобы в дальнейшем с наибольшей эффективностью, а главное - корректно, использовать для nостроения эмnирических зави симостей статистические методы. Содержание nредварительной обработки в основном состоит в от сеивании грубых nогрешностей измерения или nогрешностей, неизбеж но имеющих место nри nереnисьmании цифрового материала или nри вводе информации в считывающее устройство ЭВМ. Грубые nогрешности измерения (аномальные, или сильно выделяю щиеся, значения) очень nлохо nоддаются оnределению, хотя интуитивно каждому эксnериментатору ясно , что это такое. Можно встретить указание [П.1 4.24] , что аномальные значения из меряемой величины nолучаются в результате изменения условий эксnери мента, однако это оnределение неnолное. Пожалуй, лучше nоясняет сущность грубых nогрешностей следую щий [П.14.23] nример: если доnустить, что 1 0 % измерений, nредставляю щих собой аномальные значения, отстоят от среднего более чем на 3/ (1отрезок на оси Ох), а остальные наблюдения расnолагаются в nределах /, то nри оценке дисnерсии <S.З> через S 2 (см. § 1 .3) эти 1 0 % наблюдений по меньшей мере удваивают оценку. Другим важным моментом nредварительной обработки данных яв ляется Проверка соответствия расnределения результатов измерения зако ну нормального расnределения. Если эта гиnотеза неnриемлема, то следует оnределить, какому закону расnределения nодчиняются оnьпные данные, и, если это возможно, nреобразовать данное расnределение к нормальному. Только nосле выполнения nеречисленных выше оnераций можно nерейти к nостроению эмnирических формул, nрименяя, наnример, метод наимень ших квадратов. § 1.2. Генеральная совокупнос ть и вы борка Генеральной называют совокуnность всех мыслимых значений наблю дений, которые могли бы быть сделаны nри данном комплексе условий [П . 14.53] . О комплексе условий сказано выше < 1 . 1>. 17
Генеральная совокупность может быть конечной и бесконечной. Дан ное выше определение rенеральной совокупности можно считать строrо обоснованным только для случаев конечных rенеральных совокупностей. Понятие бесконечной rенеральной совокупности - математическая абстракция, как и представление о том, чiо измерить случайную величину <1.2> можно бесконечное число раз. Приближенно бесконечную rенераль ную совокупность можно истолковать как предельный случай конечной. rенеральной совокупности [П.1 4.53]. Результаты оrраниченноrо ряда наблюдений х1 , х2, , Xn случайной величины можно рассматривать как выборку из данной rенеральной совокупности. Во введении дано понятие относительной частоты и вероятности слу чайных событий <2>. Относительные частоты можно истолковать как выборочные 31Шчения вероятностей случайных событий. Если rоворить о характеристиках распределений вероятностей, то характеристики теоретических распределений <5. 1> можно рассматривать как характерис1ики, существующие в rенеральной совокупноСти, а харак теристики эмпирических распределений - как выборочные характеристики. Можно встретить [52] и друrую терминолоrию. Характеристики распределения вероятностей в rенеральной совокупности называют пара метрами, а выборочные (эмпирические) значения характеристик - о цен ками или статистками. Параметры <5 .4> обозначаются буквами rреческоrо алфавита, а оцен ки- соответствующими буквами латинскоrо алфавита. •••
§ 1.3 . Вычисление характернС111К эмпирических распределений (выборочных характеристик ). Моменты
Необходимо прежде всеrо отметить, что здесь и в дальнейшем речь идет только о непрерьmно распределенных случайных величинах <5>. Пусть имеется оrраниченный ряд наблюдений х1, х2 , , Xn случай ной величины �. Среднее значение наблюдаемоrо признака можно опре делить по формуле • ••
1 n � х; , i = 1, n. х= n
i= 1
(1.1)
Таким образом, х представляет собой эмпирическое, или выбо{Ючное, Если вычислено среднее, то леrко найти отклонение каждоrо наблюдения di от среднеrо:
среднее.
di =Xi -Х.
(1.2)
Величин у
18
sz = ..!.
�
n i= l
(хi - х) 2
( 1 .3)
называют дисперсией или вторым центральным .моментом эмnирического расnределения <S.З>: S2 т 2 • В случае одномерного эмnирического расnределения nроизвольным моментом nорядка k [ 46) назьmается сумма k-x стеnеней отклонений результатов наблюдений от nроизвольнаго числа с, деленная на объем выборки п: =
1
тk =-;;
n (х с k , ;)
{ 1 .4)
(х; - 0) 1,
{ 1 .5 )
1�1
где k может nринимать любые значения натурального ряда чисел. Если момент назьmают начальным. Начальным моментом nервого nорядка является выборочное среднее Х. Действительно , х можно оnреде лить и по формуле с = О,
то
х=-1 �n
i =l
n
которая равносильна формуле ( 1 . 1 ) . При с = х, как уже отмечалось nри рассмотрении формулы ( 1 .3) , момент называется центральным. Первый центральный момент т1
n - 1 = -1 � (х;- х) =О. ni
( 1 .6)
=l
Второй центральны й момент [см. формулу ( 1 .3) ] т2
1 n = - � (х; - х) 2
n
i=l
nредставляет собой дисnерсию S2 эмnирического расnределения. Несмещенную оценку для а2 ( а2 - дисnерсия теоретического рас nределения) , оnределение которой дано ниже, можно найти по формуле n 1 s2 � = --
n-1
i=l
(х; - х) 2
{ 1 . 7) .
•
Выборочные среднеквадратические отклонения соответственно могут быть найдены по формулам S=..JS2,
{ 1 .8)
S = JSf.
( 1 .9)
Из других моментов чаще всего исnользуют моменты третьего и чет вертого nорядка : тз т4
(х; - х) 3'
{ 1 . 1 0)
1 n = � (х;-х) 4 .
{1.1 1)
= _!
�
n
i =!
n
i =l
Выборочное значение коэффициента вариации v, являющееся мерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной величины, вычисляют по формуле v=S/X.
{ 1 . 1 2)
Коэффициент вариации может быть вычислен и в nро11,ентах: s
v=-:: 1 00. х
( 1 . 1 3) 19
Выборочные значения характеристик распределения имеет смысл вычислять только в том случае , если выборка является случайной. Обыч но на практике наблюдаемые значения х 1 , х 2 , Xn- величины случайные <4> и отклонения их от среднего значения обусловлены погреnmостями измерения, «оnmбками природьi» и т.д. В свою очередь, погреnmости -ре зультат действия многих факторов . Если имеет место такой редкий случай, когда в распоряжении иссле дователя имеется вся генеральная совокуnность и необходимо сделать из нее выборку, то используют один из методов рандомизации (случайного выбора) . Удобнее всего при этом пользоваться таблицей случайных чисел (см. табл. П.l) . Следует отметить, что к оценкам предъявляются требования состоя тельности, несмещенности и эффективности. Оценка параметра назьmается состоятельной [4] , если по мере роста числа наблюдений n (т.е. при n -4 -4 N в случае конечной генеральной совокупности объема N и при n -4 оо в случае бесконечной генеральной совокуnности) она (оценка) стремится к оцениваемому теоретическому значению параметра. Например, для дисперсии lim S2 (n) = о2 • Оценка параметра называется несмещенной, ••• ,
п-+оо
если при любом числе наблюдений n ее математическое ожидание точно равно значению оцениваемого параметра [4] . Удовлетворение требова нию несмещенности устраняет систематическую погреnmость, которая зависит от рбъема выборки n и в случае со стоятельности стремится к нулю прип -4 оо. Следует четко разделять понятия состоятельности и несмещенности. Выше [ см фор�улы ( 1 .3) и ( 1 .7) ] были определены две оценки для дисперсии: � и S2 . Обе эти оценки состоятельны, но только вторая являет ся несмещенной , так как первая содержит систематическую отрицатель ную по грешиость - а2 /n (поскольку математическое ожидание M�n) = = о2 o2/n), которая с ростом n монотонно убьmает. Из этого следует, ч-rо требование несмещенности особенно важно при малом количестве наблюдений. Оценка параметра называется эффективной, если среди прочих оценок того же параметра она обладает нанменьшей дисперсией [4] . Если имеется выборка х 1 , х 2 , , Xn из нормальной генеральной сово купности, то среднее можно оценить двумя способами: по формуле ( 1 . 1 ) и с помощью выражения [Xmmfn) + Xmaxfn)J /2. Обе эти оценки обладают свойствами состоятельности и несмещенности, однако можно показать, что дисперсия при первом способе оценки равна o2/n, а при втором равна п2 о2 / (24 lп n), т .е . существенно больше, так как первая оценка подвержена меньшим случайным колебаниям вокруг неизвестного истинного значения оцениваемого параметра. Таким образом, первый способ оценки теоретического среднего являет ся состоятельным, неемещеиным и эффективным, а второй способ - толь ко состоятельным и несмещенным. Классическим примером, на основе которого были впервые получены многие положения математическо й статистики, является вычисление выбо.
-
•••
20
рочных значений характеристик распределения признаков случайно состав ленной rpynnы сверстников (например, rрrопы новобранцев ) . Наглядный пример вычисления Х. S, S моментов и v можно получить, если использовать данные наблюдения роста rруппы двадцатилетних юно шей - студентов-третьекурсников . Вычисления удобно производить в табличной форме (см. табл . 1 . 1) . Обычно все вычисления в математической статистике проводят в табличной форме, которая наиболее удобна, так как обладает наглядностью, обозримостью и позволяет проверять вычисления Т а б л и ц а 1.1 Данны е дли вычисленИR
�n/n Рост, м-1 о •
"
х; S, S, т"' и u
d;, м·1 02
d� '•
�п/п
Рост, м·1 02
d; м· 1 0 2
d? '•
(l)
(2)
( 3)
(4)
( 5)
(6)
(7)
( 8)
1 2 3 4 5
183 17 0 176 17 8 176
+7, 3 4 - 5. 6 6 +0, 3 4 + 2, 3 4 +0,3 4
5 3,88 32.04 0.1 2 5,4 8 0, 1 2
31 32 33 34 35
17 2 17 6 1 67 166 180
- 3,66 +0, 34 - 8,66 -9,66 +4, 34
1 3,40 0, 1 2 74,99 9 3, 3 2 1 8, 84
6 7 8 9 10
180 17 6 185 184 174
+4, 34 +0, 3 4 +9, 3 4 +8. 3 4 - 1,66
1 8. 84 0,1 2 87,23 69,56 2.75
36 37 38 39 40
183 176 182 17 8 17 2
+7, 34 +0, 34 +6, 34 +2,34 - 3,66
5 3, 8 8 0, 1 2 4 0, 19 5,4 8 1 3,4 0
11 12 13 14 15
168 174 1 89 17 2 17 5
-7, 6 6 - 1.66 + 1 3, 34 - 3, 6 6 -'0, 6 6
5 8.68 2,7 5 177.95. 1 3. 39 0,43
41 42 43 44 45
185 1 83 17 5 174 180
+9, 34 +7,34 -0,66 - 1,66 +4, 34
87, 2 3 5 3, 8 8 0,4 3 2,75 1.8, 84
16 17 18 19 20
167 179 17 6 169 17 8
- 8,66 +3, 3 4 +0, 3 4 - 6, 6 6 + 2, 3 4
74,99 1 1,16 0, 1 2 44,35 5,48
46 47 48 49 50
166 1 69 17 1 17 8 169
-9. 66 -6,66 -4,66 +2,34 -6,66
9 3. 3 2 44, 36 2 1,7 1 5,4 8 44,36
21 22 23 24 25
169 17 1 17 0 177 176
- 6, 6 6 -4,66 - 5, 6 6 + 1, 34 +0, 34
44,35 21,7 2 32,04 1,79 0, 1 2
51 52 53 54 55
170 179 17 1 17 8 173
- 5,66 +3,34 - 4,66 +2, 34 - 2,66
3 2,04 1 1, 1 6 2 1,7 2 5,4 8 7,07
26 27 28 29 30
1 79
+3, 3 4 - 1, 6 6 +0,34 + 1 2. 34 + 2, 3 4
1 1,16 2,7 5 0,1 2 1 5 2, 27 5,4 8
56
177
+ 1, 34
1,79
1:
9837
+0,04
1 695,90
174 176 188 17 8
* Множитель 1 02 введен для сближения порядка величин массы (кг) и роста (м) . 21
на каждом этаnе. Некоторые таблицы довольно rромоздкие , но такова сnецифика статистических вычислений. В настоящее время nри наличии большоrо количества настольных и кармаиных комnьютеро в заnолнение таких таблиц не встречает nринциnиаль ных трудностей. Особенно удобно исnользовать комnьютеры , сnециально nредназначенные для статистических вычисле ний. В табл . 1 .1 nриведены цифры, обозначающие рост двадцатилетних сту дентов [столбцы (2) и (6) ] . При комnлектовании лекционных nотоков меньше всеrо учитывается рост студентов , nоэтому выборку можно счи тать случайной. Примерам rрубой ошибки в nодобной ситуации бьmо бы вычисление выборочных характеристик с исnользованием наблюдений роста солдат Преображенскоrо nолка царской rвардии. Сумма столбцов (3) и (7) должна теоретически бьпь равна нулю (центральный момент nepвoro nорядка) , и это может служить nромежуточной Проверкой nра вильиости вычислений. Однако nри вычислении с точностью до четырех знаков всеrда имеет место небольшал невязка, несмотря на соблюдение известноrо nравила вычислений (чередование окруrлений с избытком и с недостатком) . Средний рост rpyiПiы, состоящей из 56 студентов, оказался равным 1 ,7566 м. . Сnециалисты по демоrрафии утверждают, что если бы nодобное наблю дение бьmо nроизведено 1 00 лет назад, то, вероятно, эта величина не до стиrла бы и 1 ,7 м. Тенденция увеличения среднеrо роста людей в евроnейс ких странах общеизвестна. ВсnомниNJ: хотя бы о рьщарских досnехах, ко торые nри1W1ись бы вnору в настоящее время только детям. Это тиnичный nример временноrо «дрейфа средней». Далее будет nоказано, что если хотя бы умозрительно nостроить закон «дрейфа» и nровести измерения через оnределенные nромежутки времени, то можно сделать nоnытку nроrноза. На nрактике чаще всеrо «дрейф средней» имеет случайный, не уnорядоченный характер. Результаты вычисления выборочных характеристик, уnомянутых выше, по данным табл. 1 . 1 nриведеныв табл. 1 .2. Т а б л и ц а 1. 2 Выбор очные характеристики распределе нии
х
s
s
175,66
5,50
5,5 5
m,
+0, 04
...
о
mz
та
m4
u%
3 0, 2 8
45, 14
2 3 5 6, 27
3,00
В этой табливе имеются значения средиен х, среднеквадратических отклонений S и S, четырех моментов и коэффициента вариации Для теоретическоrо нормальноrо расnределения значения нечетных моментов равны нулю. Как видно из табл. 1 .2, относительный nоказатель изменчивости наблю даемоrо nризнака не так уж велик. Увеличения значения можно ожи дать nри увеличении объема выборки. На практике можно встретить и u.
v
22
v
больиrnе значения v, в том числе и более 33 %. Этот показатень, как будет показано ниже, имеет в ажное значение, так как позволяет судить о харак тере распределения случайной величины. Все сказаиное выше относится к равноrочны.м измерениям и наблюде ниям, т .е. к измерениям, которые содержат только случайную noгpeurnocть, подчиияюшуюся закону нормального распределения, о котором подробно сказано ниже. В практической работе бывают случаи [ 1 60] , когда для наиболее на дежного определения некоторой величины собирают измерения различ ного происхождения, выполненные разными инструментами и методами. Результаты таких измерений называют неравноrочны.ми. Если результаты неравноточны х измерений х 1 , х2 • • • , Xn [ 1 3 3 ) можно рассматривать как средние для серий равноточных измерений и точность измерений в каждой серии одинакова, а количество измерений в каж дой серии известно (m;) , то основные выборочные характеристики можно определить по формулам 1 n I: m; x;, ( 1 . l a) х= N ,
i=1
s- = Jn -1
1
--
n
n
I: m;(x; - х) 2 '
( 1 .4а)
i= l
где N = I: m;. i=1
Используя понятия весов измерений w;, запишем эти формулы в виде ( 1 . l б)
n
где w = I: w; ; i= 1
n
� w tfч- x"J i= 1
где w;
w (n - 1 )
т; = 2 ; S;
.. . , Xt т t -
§
2
S;.
=
•
( 1 .46)
т; I: (xij-x;P; i = 1 , 1 т ; - J= 1 1
--
n, j = 1 , т;, т.е. хн . х1 2 , . . , Xtj•
--
--
.
результаты измерений в i-й серни со средним значением х1 •
1.4. Оrсев грубых погреUПiостей
Можно встретить большое количество различных рекомендаций для проведения отсева грубых погрешностей наблюдения (аномальных значе ний) [П. 1 4.24) . Предложим для практического использования наиболее простые методы отсева грубых погреиrnостей. Если в распоряжении экс периментатора имеется выборка небольшого объема n � 25, то можно воспользоваться методом вычисления максимального относительного отклонения [ 1 27] : ( 1 . 1 4) 23
крайний (наибольшиj! или наименьший) :элемент выборки, по где х ; которой подечитывал ись х и S [ см. формулы ( 1 . 1 ) и ( 1 .9) ] ; т 1 _ р табличное значение статистики т, в ычисленной при до верительной вероят но сти q = 1 - р. Таким образом, для выделения аномал ьно го значения в ычисляют -
-
т = !х; - xi !S.
(1 .15)
которое затем срав нивают с табличным значением
т 1 -р :
( 1 . 1 6) T � TJ - p · Если это неравенство соблюдается , то наблюдение не отсеивают, если не собл юдается, то на блюдение исключают. После искл ючения того или иного наблюдения или нескольк их набл юдений характеристики эмпирического распределения дол жны быть перечитаны по данным сокращенной выборки. Квантили распределения статистики т при уровнях значимости р = 0,1 О, р = 0 ,0 5 , р = 0 ,025 , р = 0 ,0 1 или доверительной в ероятности 1 - р = q = = 0,90, 0,95 , 0,97 5 , 0,99 <5 .2> даны в П.2. На практике обычно испол ь зуют уровень значимости р = 0 ,05 (результат получается с 95о/с- й дове рител ьной вероятностью) . Процедуру отсева можно повторить и для следующего по абсолютной величине максимального о�носительного отклонения, но предварительно необходимо пересчитать хи S для в ыборки нового о бъема n - 1 . Рассмотрим другой метод отсева грубых погрешностей для малой выборки [ 60) . В этом случае вычисляют l x; - x l , ( 1 . 1 7) т =
J
S
и полученный результат срав нивают с критическим значением, :взятым из П.З при соответствующих n и 1 - р. В формулу ( 1 . 1 7) по сравнению с формул ой ( 1 . 1 5 ) введен уточняЮщий коэффициент 1/у (п - 1 ) /n. Отсев грубых погрешностей можно провести и для больших выборок. Дл я практических целей лучше всего испол ьзовать таблицы распределения Стьюден та. Этот метод искл ючения аномальных значений для в ыборок большо го объема отличается простотой, а таблицы распределения Стьюден та имеются практически в любой книге по математической статистике. Распределение Стьюдента относится к категории распределений, связан ных с нормальным распределением. Подро бно эти распределения рассмот рены в учебниках по математической статистике . Изв естно , что критическое значение Тр (р - процентная точка норми рованно го выборочно го отклонения) выражается через критическое значе ние распредел ения Стьюдента tp n - 2 [ 1 7 ] : , т
(p , n )
=
f (p, n - 2 ) ";n=l .Jn - 2+ 1t (p , n - 2 ) 1 2
( 1 . 1 8)
У читывая это , можно предложить следующую процедуру отсева грубых по грешностей измерения для бол ьших выборок :
24
1 ) из табл. 1 . 1 выбирают наблюдение, имеющее наибольшее отклонение: 1 ,89 - 1 ,7566 = 0,1 334; 2) по формуле (1 .1 5) вычисляют т = l x; - xl fs = 0, 1 334/ 0,osss = 2,40; 3) по табл. П.4 находят процентные точки !-распределения Стьюдента n f(p, - 2 ) : t ( 5 %, 5 4 ) = 1 ,6735, t ( O , l % . 5 4) = 3,2574; 4) по формуле ( 1 . 1 8) вычисляют соответствующие точки т ( 5 % , 5 6 ) = = 1 ,647, т ( о , l %, 5 6 ) = 3 ,005 . Значение т = 2,40 находится между двумя табличными критическими значениями: 1 ,647 < 2,40 < 3 ,005 . В этом случае от отсева выделяющеrося наблюдения лучше всеrо воздержаться. Предположим, что при переписьmании табл. 1 . 1 действительно вкра лась rрубая ошибка; например, в строке 1 3 в место 1 ,89 м записано 2,89 м (людей такоrо роста практически нет) . Тоrда т= (2,89 - 1 ,7566) / 0,05 55 = = 20,42. Полученное значение относительноrо отклонения безусловно больше критическоrо табличноrо значения т(р , n ) при любом значении р ; следовательно, такое наблюдение должно бьпь отсеяно как rрубая поrреш ность. Как видно из приведенноrо выше примера, рекомендуемый метод отсева rрубых поrрешностей удобен еще тем, что максимальные относи тельные отклонения в процессе вычисления моrут быть разделены на три rруппы: 1) т � т ( 5 %, п) ; 2) т ( 5 % , п) < т < т (О , l % , п) ; 3) т > т (О , l %, п) · Наблюдения, попавшие в первую rруппу, н�льзя отсеивать ни в коем случае. Наблюдения второй rруппы можно отсеять, если в пользу этой процедуры имеются еще и друrие соображения экспериментатора (напри мер, заключения, сделанные на основе изучения физических, химических и друrих свойств изучаемоrо явления) . Наблюдения третьей rруппы, по видимому, отсеивают всеrда.
§
1 .5. Попиrон н mстограмма частот распределения
Если данные табл. 1 . 1 (наблюдения роста студентов-ровесников в лекционном потоке) разделить классы, то можно построить полиrон и rистоrрамму частот. Разбиение на классы можно вьmолнить по правилу Illтюpreca [52] . Число классов k ::::: 1 + 3,32 lg n. ( 1 . 1 9) В данном случае k = 1 + 3,32· 1 ,75 = 6,8 1 . С друrой стороны, разница между X max и Xmin (размах варьирования ) составляет 1 89 - 1 66 = 23 см. Исходя из этоrо, примем число классов равным 6 со ступенями, равными 4 см: 4·6 = 24 ::::: 23 см. Разбиение на классы приведено в табл . 1 .3. Здесь же дана методика подчета частот [ 1 63] . Поясним эту методику. Табл . 1 . 1 просматривают по порядку от первой до последней строчки и при чтении каждоrо результата соответствующую метку (точку или черточку) заносят в тот класс, к которому относится данное наблюдение (эту работу удобно выполнять вдвоем) . Каждый знак на
25
iXi соответствует десяти наблюдениям, поэтому подсчет частот значи·-·
тельно облеrчается. Кумуля твная линия 1 , гистСJграмма 2 и полигон 3 распределе ний, построенные по данным табл. 1 .3, даны на рис. 1 . Гисто rрамма и полиrон распределений являются rрафическим отображением частот, которые, в свою очередь, представляют собой оценки плотностей вероятностей <5 .2>. Кумулятивная линия - rрафик накопленных частот, в свою очередь оценивающих функцию распределения F(x) в точке х . Очень мно rие наблюдения в природе при такой обработке дают колоколо образные полиrоны распредел ения.
Т а б л и ц а 1.3
Разбивка массива исходных дан ных на классы, вычисление частот N2 n/n
Классы 2 (р ост в м· Ю )
Середины интервалов
Подсчет частот
( 1)
(2)
(3)
(4)
1.
От 1 6 5 до 1 69
167
·-· •
2.
От 1 69 до 1 7 3
17 1
3.
От 17 3 до 177
17 5
4.
От 177 до 1 81
179
5.
О т 1 8 1 д о 1 85
183
б.
От 1 85 до 1 89 включительно
1 87
Частоты абсолютные
iXi
·-· ·-·
IXI
•
•
•
.
·-·
·-·
.
. .
·-·
•
•
·-·
IXI
•
·--·
.
•
•
.
•
.
относи- относи тельные тельны е на копленные
(5)
(6)
(7)
5
0,089
0,089
13
0, 2 3 2
0, 3 2 1 .
15
0, 268
0, 5 89
14
0, 250
0, 839
5
0, 089
0,928
4
0,07 2
1 ,00
Если распределение случайной величины подчиняется определенному закону и может быть хотя бы приближенно описано кривой -ь 2 ( 1 .20) у = ае х ,
то такое распределение называют нормальным. Так как к коэффициентам
а и Ь предъявляется требование : а, Ь > О, то можно rоворить о семействе крив ых нормального распределения. С увеличением коэффициента а кри вая «вытя rивае тся» в высоту ; при увеличе нии коэффициента «сплющивается». 26
Ь
кривая
zo
�о
о. и 0,8 0, 7 О, б 0.5 Ц4 0, 3 0,2 Ц1
f5
15
10 5
Рис. 1
Нормальное распределение обладает и другими важными свойсmами, которые позволяют счита т ь это распределение о сновой математической статистики . Рассмотрим эти свойсmа. 1 ° . Ордината у, которая определяет высоту кривой для каждой точки оси Ох (абсциссы) , представляет собой плотность вероятности <5 .2> некоторого значения переме�:�ной х и определяется (52) следующей формулой: 1 Ж=1!.. 2 ( ) ( 1 .2 1 ) у =f(x ) = -1- е - 2 а (-оо < х < + оо, а > О ) . где
а
а$
- среднеквадратическое отклонение теоретического расnределения ;
р. - среднее значение (математическое ожидание) теоретического распре
деления . Из формулы ( 1 .2 1 ) следует, что нормальное распределение полностью определяется величинами р. и а (1r = 3,1 4 1 593 . .. и е = 2,7 1 8282 ... - матема тические постоянные) . Математическое ожидание р. определяет положение кривой распределения относительно оси Ох . Среднеквадратическое откло нение а определяет форму кривой . Чем больше а (разброс данных) , тем кривая становится более пологой (ее основание более широкое) . 2° . Кривая нормального распределения симметрична относительно среднего значения. 3° . Максимум ординаты кривой 1 ' ( 1 .22) Y max = .J2;
а
что при а = 1 составляет примерно 0,4. Если х � ± оо, то у � О. Другими словами, очень большие и очень малые значения переменной х маловеро ятны. 4° . Примерно 2/3 в сех наблюдений лежит в площади, отсекаемой пер пендикулярами к оси Ох (р. ± а) . При большом объеме выборки примерно 90 % всех наблюдений лежит между - 1 ,64а и + 1 ,64а. Границы - 0,615а и + 0,615а называют вероя тными отклонениями; в этом интервале находится около 5 0 % всех наблюдений. Для нормал ьного распределения среднее, мода и медиана совпадают <5 .3>. 27
Для статистических методов nостроения эмnирических зависимостей очень важно , чтобы результаты наблюдений nодчинялись нормальному закону расnределения, nоэтому nроверка нормальности расnределения основное содержание nредварительной обработки результатов наблюде ний.
§
1 .6. Проверка гиnотезы нормальносtИ распределения
Для не очень больших выборок (n < 1 20) можно найти (52) nростые рекомендации по nроверке нормальности расnределения . Дл я этоrо необ ходимо вычислить среднее абсолютное отклонение (САО) по формуле (1 .23) САО = I: l x; - xl fn. Для выборки, имеющей nриближенно нормальный закон расnределе ния, должно быть сnраведливо в ыражение I CAO/S - 0,7979 1 < 0,4/.Jn.
( 1 .24)
По данным табл . 1 . 1 , САО = I: l x; - 'X I /n = 247/56 = 4,41 . Подставим это значение в формулу ( 1 .24) : 1 4,4 1 /5 ,5 5 - 0,797 9 1 < 0,4/.JSб; 0,0032 < 0,0535. Следовательно, гиnотеза нормальности расnределения в ыборки данных nриведеиных в табл. 1 . 1 , nринимается. Быструю nроверку rипотезы нормальности распределения для срав нительно umpoкoro класса в ыборок 3 < n < 1 000 можно выnолнить с nомощью метода, иэложенноrо � [ 5 2] , исnользуя размах варьирования R. Подсчитывают отношение R/S и соnоставляют с критическими верхни ми и н�ними rраницами этоrо отношения, nриведеиными в табл. П.6. Если R/S меньше нижней или больше ·верхней rраниць1, то нормальноrо распределения нет. Особенно важно, чтобы это уеловне соблюдалось ':!J'И р = 0,1 О (1 Оо/о-ный уровень значимости) . В рассмотренном nримере R/S = = 23/5 ,55 = 4,1 44. При n = 5 6 и р = 0 , 1 0 нижняя и верхняя rраницы по указанной таблице соответственно равны 4,03 н 5 ,23, т.е. 4,03 < 4, 1 44 < < 5 ,23. Следовательно, rипотеза нормальности расnределения подтверж дается и по этому критерию. Некоторое представление о близости эмпирическоrо расnределения к нормальному может дать анализ nоказателей асимметрии и эксцесса. Показатель асимметрии можно определить, исnользуя данные табл . 1 .2, по формуле ( 1 .25 ) Для симметричных распределений т3 = О и g1 = О . Для нормальноrо рас nределения m 4 /m � = 3 . Дл я удобства сравнения эмпирическоrо распределения и нормальноrо в качестве nоказателя эксцесса nринимают величину g 2 = m 4 jm � - 3 . ( 1 .26) 28
В рассматриваем ом примере = m3/m�1 2 = 45 , 1 4/ 1 66,62 = 0,27 ::/: О. Следовательно, векоторая асимметрия имеет место = m4/m � - 3 = 2356,27/9 1 6,88 - 3 = 2 ,57 - 3 = - 0,43 < О. Имеется также и небольшой эксцесс . Неемещеиные оценки для покаэателей асимметрии и эксцесса опреде ляют по формулам
g1 g2
g1 " G1 = � n- 2
( 1 .27) ( 1 .28)
G1
G2
В данном случае = 0,28, = - 0,35 . Для проверки гипотезы нормальности распределения следует также вычислить среднеквадратические отклонения для показателей асимметрии и эксцесса :
-J
SG s
S
G2 =
j
6n (n - 1 ) (n- 2) (n+ 1 ) (n+ 3 ) ' 24n (n- 1 ) 2 (n- 3 ) (n - 2 ) (n+ 3 ) (n+ S )
Имеем Sа 1 "" 0,32, Sa 2 = 0,63. Если выполняются условия
I G 1 1:s;;; 3S
,(1 .29)
•
( 1 .30)
GI
( 1 .32) ( 1 .3 1 ) .. то гипотеза нормальности исследуемоrо расnределения может быть nри нята. В данном примере 0,28 < 0,96 и 0,35 < 3 , 1 5 ; следовательно , вьmолне ние указанных условий свидетельствует, что rипотеза нормальности распре деления может бьпь принята. Рассмотрим методику nроверки rипотезы нормальности расnределения по х2 -критерию. Применеине критерия х2 nредполаrает также использова ние свойств так назьmаемоrо стандартного нормального распределения [5 2] . Уравнение кривой стандартноrо нормальноrо распределения имеет вид - 2 2 _ !__ _ !,_ 1 2 � 0 4е 2 • y = f{z} = -- · е ( 1 .33) ' .;r; rдe z = (х - р.) /а. Значения ординат кривой стандартноrо нормальноrо расnределения протабулированы и nр:иведены в табл . П. 7 . Расчеты выполняют в табличной форме, используя данные табл. 1 .3. Методика и результаты расчетов даны в табл. 1 .4. В этой таблице значе ния х 2 в ычислены по формуле
х2 =
I:
(в се х классо в)
(В - Е) 2/Е,
(1 .34)
29
где В - наблюдаемая абсолютная частота (табл . 1 .3) ; Е - ожидаемая по стандартному нормальному распределению частота. В табл . 1 .4 критерий Х2 = 0,65 1 . Число степе �й свободы v = nкп - 1 - 2, так как оцениваются два параметра : х и S [пкл - число классов (интервалов) ) . По табл. П.8 находим табличное значение : х (2 ; 1 0 > = 4,605 > 0,65 1 = � Таким образом, rипотеза о том, что наблюдаемые частоты распреде лены нормально , принимается на 1 0 о/о- ном уровне [52] . Данные табл. 1 .4 можно использовать и для проверки гипотезы нор мальности распре,в;еления с помощью критерия согласия Колмогорова Смирнова (К-С-критерия) ; для этого вычисляют (52] л m a x I Fв - FE I ( 1 .35) , D= n
где Fв - накопленная наблюдаемая частота ; FE - накопленная ожидаемая частота. Вычисления приведены в табл. 1 .5 . Данные для В и Е в табл . 1 .5 взяты из табл. 1 .4; Fв и FE получены накоплением частот В и Е. Затем выбирают максимальное значение FJl.. - FЕ и по нему определяют критерий согласия Колмогорова-Смирнова D. Полученное значение сравнивают с критичес"' :Е;; Dт ) . Имеем D ( s б ; 0 , о) 0, 1 67> 0,05 = ким, взятым из табл . П.9 (D 1 = 13, т.е . можно сделать тот же вывод, что и выше : гипотеза нормального распределения на достаточно «жестком» 1 О о/о-ном уровне принимается. Таковы наиболее часто используемые методы проверки rипотезы нормальности распределения. Важность обязательного проведения этой процедуры при предварительной обработке опытных данных можно про иллюстрировать следующей цитатой [76] : «Как оказывается в весьма широком классе неемещеиных оценок , оценки, найденные по методу наименьших квадратов моrут бьпь совместно эффективными, лишь если вектор поrрешностей l:J. нормален. Таким образом, наличие оптималь ных свойств у метода наименьших квадратов тесно связано с нормаль ностью вектора погрешностей ». ВьШiе изложены пять методик проверки rипотезы нормальности рас пределения: по среднему абсолютному отклонению (САО) , по размаху варьирования R, по показателям асимметрии и эксцесса, по х2 -критерию и по критерию Колмогорова-Смирнова (К-С-критерию) . Возникает вопрос: как использовать эти методики и какие из них предпочтительны в тех или иных случаях? Методика Проверки нормальности распределения по показателям асимметрии и эксцесса очень хорошо иллюстрирует использование мо ментов, а также очень удобна при проведении расчетов на ЭВМ [ 46) . Про верку по К-С-критерию проводят только в редких случаях. Ддя практи ческого применении (особенно при расчетах с использованием настольных ЭВМ) рекомендуются в основном две методики : по размаху варьирования И ПО Х2 -критерию, ПрИЧеМ Первая СЛУЖИТ ДЛЯ быстро Й <Шр'IКИДОЧНОЙ» Про верки, а вторая - для основательной проверки нормальности распреде ления. =
30
Процедура вычислении критерИи
--
NV
кпас- CepeдiDIЫ Частоты са в интервалов х
х2 х2
Та б л и ца
Вх . (5)
Вх 2 (б)
х -х (7)
(1 )
(2)
(3)
. (4)
1 2 3 4 5 6
167 17 1 175 179 183 1 87
5 13 15 14 5 4
27 889 835 139 445 -8,93 29 24 1 2223 380 133 -4,93 30 625 2625 459 375 -0,93 3 204 1 2506 448 574 3,07 33 4 89 915 167 445 7,07 34 969 748 139 876 1 1,07
56
9852 1 743 848
1:
(В -Е) 2 (В -Е)2
f(z)k 1
Е
В-Е
(8)
П.7 (9)
(10)
(1 1)
(12)
(13)
(14)
1 ,66 0,91 0, 17 0,57 1,31 2,05
0, 1006 0,2637 0,3932 0,3391 0, 1691 0,0488
4, 18 10,97 16,37 14, 1 1 7,03 2,03
4, 1 8 10,97 16,37 14, 1 1 9,06
0,82 2,03 - 1,37 -0, 1 1 -0,06
0,67 4, 12 1,88 0,01 0,004
0, 16 0,38 0, 1 1 0,0007 0,0004
Ординаты x-i 1 -=- l =z f(z) из s
табл.
- j 1: Вх2 - 1:(Вх)2 /n х = 1: Bx/n = 9852/56 = 175,93 ; k' = nb/S = 56· 4/5,39 = 4 1,6; S = n- 1
w -
1.4
Е
0,65 1 ../1600/55 = 5,39;
Ь
-
размер клас са.
Таблица
Результаты выч исления К - С-к ритерия
в _I 5 4, 1 8 5 FFЕв 4, 1 8 E IFв - Fнl 0,82 13 2, 85/56 - 0,05
13
15
14
5
4
1 0,97 18 15,15 2,85
16,37 33 3 1,52 1,48
14, 1 1 47 45,6 3 1,37
7,03 52 5 2,66 0,66
2,03 56 54,69 1,31
__
1.5
-
§
1 .7. Преобраэоваиие распределений к нормальному
Если исследователь, использовав методы, изложенные в предыдущем параграфе, убедился, что гилотеза нормальности распределения не может быть принята, то может быть, что с помощью существующих методов ' удастся так преобразовать исходные данные, что их распределеШfе будет подчиняться нормальному закону. Напомним, что после получеШfя окон чательного результата надо не забыть выполнить обратное преобразоваЮfе. В самом начале операции преобразоваЮfя данных большую помощь моrут оказать гистограмма и полигон распределения, приведеиные на рис. 1 . При обработке результатов наблюдеШfй в медицине, биологии, материаловедении, экономике и других отраслях знаШfй встречаются логарифмические нормальные распределения, особенностью которых является крутая левая ветвь полигона и пологая правая (полигон явно асимметричен) . Логарифмические нормальные распределеШfя играют большую роль в математической статистике , так как встречаются очень часто в практике обработки наблюдений и легко преобразуются к нормаль ному распределению. Для экспериментатора бьmо бы непростительно провести, например, регрессионный анализ (см. гл . 11) по результатам наблюдеШfй, распределенных логарифмически нормально, без их предва рительного преобразования . При логарифмироваШfи исходных данных левая ветвь кривой распре деления сильно растягивается и распределение принимает приближенно нормальный характер. Если при преобразовании х' = lg х получаются значе ния, расположенные между О и 1 , то все вновь полученные значения для удобств а расчетов и во избежаШfе получеШfя отрицательных параметров необходимо умножить на 1 О в соответствующей степеЮf, чтобы все цифры бьmи больше единицы, т .е. выполШfть преобразование х" = lg х 1 rf . Асимметричное распределение с одной вершиной часто приводится к нормальному преобразованием х ' = lg (х ± а) . В отдельных случаях можно применять и другие преобразоваШfя : а) обратная величина х ' = 1 /х; ( 1 .36) б) обратное значеШfе квадратных корней х' = 1 /Ух. ( 1 .37) Прообразование «обратная величина» является нанболее «сильным». Gрец нее положеШfе между логарифмическим преобраэованием и «обратной ·
32
величиной» занимает преобразование «обратное значение квадратных корней» [52] . Для нормализации смещенного вправо распределения служат триго нометрические преобразования, а также стеnенньiе преобразования = При этом для а принимают значения : а = 1 ,5 при умеренном и а = = = 2 при сильно выраженном правом смещении. Рекомендуем самостоятель но придумать такие преобразования, которые удовлетворяли бы иссле дователя в том или ином случае. Проследим на числовом примере, как асимметричное распределение можно преобразовать в нормальное. Пример, приведенный ниже, искусст венно синтезирован с помощью обычной миллиметровки. Кривая распределения, приведеиная на рис. 2, имеет очень крутую левую и пологую правую ветвь. Можно ожидать, что такое распределение будет отличаться от нормального. Это предположение можно проверить, сравнивая ординаты кривой, данной на рис. 2, с ординатами кривой стан дартного нормального распределения с помощью х2 -критерия. в третьем столбце табл. 1 .6 приведены частоты распредеЛения, точно соответствующие кривой, изображенной на рис. 2. х
0
х
•
15
)/ '\�
\
10
О
r'\r\
i\
�
\
\
'
\lli
10 20 JO 40 50 50 70 80 90 f{X)110 120 1J0140150 fб0 170 180 1fJO
Рис. 2
л
Полученная по результатам расчетов величина Х 2 = 20,86 > Х2 (ю; o,Io) = = 1 5 ,987 ; следовательно, исследуемое распределение не является нормаль ным. Число степеней свободы = 1 3 - 3 = 1 0, так как три последних клас са объединены (Ь < 4) ; кроме того, по данным табл. 1 .6 вычисляют коэф фициент вариации = 38 % > 33 %, что является признаком логарифмичес ки нормального распределения [52] . Для вьmолнения операции преобразования коллектив данных распи сывают до полного состава и каждое наблюдение трансформируют с по мощью логарифмического преобразования = lgx. Для удобства расчетов полученные результаты умножают на 1 00. Эти операции приведены в табл. 1 .7 . v
v
х
2 - 579
'
33
..., �
Та бл ица
1.б
Пр оверка ги потезы норм альности для непреобраз оваиных данных "' u u
� :а "" о
!1!
Классы
( 1)
(2)
(3)
1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15
40-50 50-бО бО-70 70-80 80-90 90- 100 100- 1 1 0 1 10 - 1 20 1 20- 1 30 1 30- 140 140 - 1 5 0 1 50-1б0 160- 170 1 70- 180 1 80- 190
14 15 1б 15 14 12 11 10 8 7 б 4 3 2 1
!:;
:.:
�
�
I:
138
:а �
z
Вх
(4)
(5)
(б)
45 55 б5 15 85 95 1 05 1 15 1 25 1 35 145 155 1 65 175 1 85
2 025 3 025 4 225 5 б 25 7 225 9025 1 1 025 1 3 225 15 б25 1 8 225 21 025 24 025 27 225 30 625 34 225
б30 825 1040 1 1 25 1 190 1 140 1 155 1 150 1000 945 870 б20 495 350 1 85
S! � �н� Q. OI е �
x
-
Вх 2
х-х
(7)
(8)-
- --
28 350 45 375 б7 бОО 84 375 101 1 50 108 300 121 275 132 250 125 000 127 575 12б 150 96 100 81 б7 5 61 250 34 225
-47,17 -37, 17 - 27,17 - 17,17 -7,17 2, 83 1 2,83 22,83 32,83 .42,83 52,83 62,83 72,83 82,83 92,83
х-х
Ордината f(z)
f(z) k
Е
(9)
( 10)
( 1 1)
( 1 2)
1,35 1,0б 0,78 0,49 0,20 0,08 0,37 О,б5 0,94 1,22 1,5 1 1,79 2,08 2,36 2,б5
0, 1б04 0, 2275 0,2943 0,3538 0, 3910 0, 3977 0,3725 0, 3230 0, 25б5 о , 1 895 0, 127б 0,0804 0,0459 0,0246 0,01 19
б,32 8,9б 1 1,59 1 3,93 1 5,40 15,бб 14,б7 1 2,72 1 0, 1 0 7,4б 5,02 3,17 1,81 0,97 0,47
б, 32 8,9б 1 1,59 13,93 15,40 15,бб 14,б7 12,72 10, 10 7,4б 5,02 3, 17 3,25
s
- ---
(В-Е) 2
(13)
(14)
(15)
7,б8 б,О4 4,4 1 1,07 - 1,40 -3,бб -3,б7 -2,72 -2, 10 -0,4б +0,98 +0, 83 +2,75
58,98 3б,48 19,45 1,14 1,9б 1 3,40 1 3,47 7,40 4,4 1 0,21 0,9б 0.69 7,56
9,33 4,0б 1,б8 0,08 0, 1 3 0,8б' 0,92 0,58 0,44 0,03 0, 19 0, 22 2,34
--
;z = 20,86
1 2 720 1 340 б 50
= 12 720/1 38 = 92, 1 7 ; s = v'0 340 650 - 16 1 798 400/138) / 1 37 = 35,04; k = 138· 1 0/35,04 = 39,38; = 3 8 % > 33 %; х2(�2; O , l ) = 15,987 ; 20,86 > 1 5,987.
х
....__1
В-Е
и
=sГх = 35,04/92, 17 · 100 =
.§ с х �
(1) 1 2 3 4 5
б
.... <л
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
' х = lg x
" х = .е. с ' х = · 1а �
1<2>
(3)
(4)
40 41 41 42 43 44 44 45 46 47 48 48 49 49 50 51 51 52 52 53 54 54 55 56 57 57 58 59
1,60206 1,6 1 27 8 1,6 1 27 8 1,6 2 3 2 5 1,6 3 347 1,64 345 1,64 345 1,6 5 3 2 1 1,66 27 6 1,67 2 1 0 1,6 8 1 24 1,6 8 1 24 1,69020 1,69020 1,69 897 1,70757 1 ,7 07 57 1,7 1 600 1 ,7 1 600 1 ,7 24 2 8 1,7 3 23 9 1,7 3 239 1 ,74046 1,74 819 1 ,7 5 5 87 1,7 5 5 87 1,7 6 34 3 1,77 085
1 6 0, 2 1 1 6 1, 2 8 1 6 1, 2 8 1 6 2, 3 3 1 63, 35 164, 3 5 1 64, 3 5 1 65, 3 2 1 66 , 2 8 1 67 , 2 1 1 6 8, 1 2 1 6 8, 1 2 1 69,0 2 1 69,0 2 169,90 170,7 6 170,7 6 17 1,60 17 1,60 17 2,4 3 173, 24 17 3 ,24 174, 04 174, 8 2 175 ,59 17 5,59 17 6, 34 177,09
1.7
Таблица
Преоб разование данных
(5)
х
(б)
29 59 30 60 31 60 32 61 33 62 34 62 35 63 36 6 3 37 64 38 65 39 66 40 66 4 1 67 42 6 8 43 68 44 69 45 69 46 70 47 7 1 48 71 49 72 50 73 51 73 5 2 74 5 3 75 . 54 76 5 5 76 56 77
l
• x = Ig x
"
с
х = с ' = х · 1 00 �
(7)
(8)
1,77 085 1 ,77 8 1 5 1,77 8 1 5 1,7 85 3 3 1,79 239 1,79 239 1,79934 1,79934 1,806 1 8 1, 8 1 29 1 1, 8 1 954 1 ,8 1954 1, 82607 1,83 25 1 1,83 25 1 1 ,83 885 1, 83 885 1, 84 5 1 0 1, 85 1 26 1,85 1 26 1 , 857 3 3 1, 86 3 3 2 1, 86 3 3 2 1,86923 1, 87 506 1, 8808 1 1, 8808 1 1, 88649
177,09 177, 82 177, 82 17 8, 5 3 179,24 179, 24 179,93 179,93 1 80, 6 2 1 8 1, 29 1 8 1,95 1 8 1 ,95 1 8 2, 6 1 1 83, 25 1 83, 25 1 83, 89 1 83, 89 1 84 , 5 1 1 85, 1 3 1 85, 1 3 1 85,7 3 1 86, 3 3 1 86, 3 3 1 86,9 2 1 87, 5 1 1 88,08 1 88,08 1 88,65
х
9) (10)
57 7 8 58 78 5 9 79 60 79 6 1 80 6 2 81 6 3 81 64 82 65 83 66 83 67 84 68 85 69 85 70 86 7 1 86 72 87 73 88 74 89 7 5 90 76 9 1 77 9 2 7 8 93 7 9 93 80 94 81 95 82 96 83 97 84 97
' x = Ig x ( 1 1) 1, 89209 1, 89 2 09 1, 897 6 3 1, 89763 1 ,90309 1, 90849 1 ,9084 9 1 ,9 1 3 8 1 1,9 1 908 1,9 1908 1,924 2 8 1, 92942 1 ,9294 2 1, 93450 1 ,93450 1 ,9395 2 1 ,94448 1,94939 1, 95424 1 ,95904 1 , 96 37 9 1 ,96 84 8 1,96 84 8 1,97 3 1 3 1,9777 2 1,98227 1,986 7 7 1,98677
" .е. х = с ' х · 1Ш = �
( 1 2) 1 89, 2 1 1 89 , 2 1 1 89,7 6 1 89,76 1 90, 3 1 190,85 190, 85 191, 3 8 19 1 ,9 1 19 1 , 9 1 1 92,4 3 1 92 , 94 192,94 193,45 193,45 193,95 194 ,45 194 ,94 1 95,4 2 1 95, 90 1 96, 3 8 196, 8 5 196,85 197 , 3 1 197 ,77 198,23 198, 6 8 1 98,68
х
(13) (14) 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 1 04 1 05 1 06 1 07 108 109 110 111 112
98 99 1 00 101 1 02 1 03 1 04 1 05 1 06 1 06 1 07 1 08 1 09 1 10 111 112 1 13 1 14 1 15 1 16 1 17 1 18 1 19 1 20 1 21 1 23 1 24 1 25
' x = Ig x (15) 1,99 1 2 3 1 ,99564 2,00000 2,004 3 2 2,00860 2,0 1 284 2,0 1 7 03 2,02 1 1 9 2,0 2 5 3 1 2,02 5 3 1 2 ,0 2 9 3 8 2,03 342 2,0 3 7 4 3 2,04 1 3 9 2,04 5 3 2 2,0492 2 2,05308 2,05 69 1 2,06070 2,06446 2,06 8 1 9 2.07 1 88 2,07 5 5 5 2,079 1 8 2.08 2 7 9 2,0899 1 2,09342 2,0969 1
" .е. х = с ' х = · 1Ш �
( 1 6} 1 9 9, 1 2 1 99, 56 200,00 200,43 200, 86 2 0 1 , 28 20 1 ,7 0 202, 1 2 202,53 202,53 292, 94 203, 34 203,74 204 , 14 204,53 204, 92 205, 3 1 205 ,69 206,07 206,45 206 , 8 2 207, 1 9 207, 56 207 ,92 208, 2 8 208,99 209,34 209,69
х
(17) (18) 113 1 14 115 116 1 17 118 1 19 1 20 121 122 123 1 24 1 25 1 26 1 27 128 1 29 130 131 132 133 1 34 135 136 137 138
1 27 1 28 1 29 1 30 131 1 33 1 34 1 36 1 37 139 140 143 1 44 146 147 149 151 155 1 57 158 162 1 66 168 1 74 177 1 86
' х = Ig x
х
"
= ' = х · Юо
( 1 9}
(20)
2, 1 03 80 2.10721 2. 1 1 059 2 , 1 1 394 2, 1 1 7 27 2, 1 2 3 85 2, 1 27 1 1 2, 1 3 354 2, 1 3 6 7 2 2, 14 302 2,146 1 3 2 , 1 5 5 34 2, 1 5 836 2, 16435 2, 1 67 3 2 2, 17 3 1 9 2, 1 7 898 2, 1 9033 2, 1 9 5 90 2, 1 9866 2,20952 2,220 1 1 2, 2 2 5 3 1 2,24055 2 , 24 7 9 7 2,26 95 1
2 10.38 2 1 0,7 2 2 1 1 ,06 21 1,39 2 1 1, 7 3 2 1 2 , 39 2 1 2 ,7 1 2 1 3,35 2 1 3,67 2 14 , 3 0 2 14,6 1 2 1 5, 5 3 2 1 5 , 84 2 1 6,44 2 1 6,73 217,32 2 1 7 , 90 2 1 9.03 2 1 9, 5 9 2 1 9,87 2 20,95 222,01 222.53 2 24,06 224 . 80 226.95
..., 0'1
Таблица Пров ер ка r и потезы норм аль ности для данных, преобраэованных по формуле �
'-' "' t:: :.:
Классы
z
(1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1,3 14 15 :Е х = :Е
(2)
--
--
1 60- 164,4 164,4 - 1 6 8,8 168,8 - 1 7 3,2 17 3,2- 1 7 7,6 177,6 - 1 8 2,0 1 8 2,0 - 1 86,4 1 86,4 - 190,8 190,8 - 1 95,2 195,2 - 1 99,6 1 99,6- 204,0 204,0- 208,4 208.4 - 2 1 2,8 21 2,8- 2 1 7, 2 2 1 7,2-22 1,6 221,6-226
� :;; !-<
t
:;; �
:z: IQ = о <::( <.>
8. �
х2
Вх
Вх2
х-х
х" = ln х х -х s
·
1.8
1 00
Ординаты f(z)
f(z)k
Е
В-Е (В-Е) 2
i
__
�
8§ (4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
( 1 0)
( 1 1)
( 1 2)
( 1 3)
(14)
( 1 5)
7 5 8 9 11 11 10 13 12 11 12 10 8 6 5
162,2 166,6 17 1 ,0 17 5 ,4 17 9,8 1 84,2 188,6 193,0 197,4 201 ,8 206,2 21 0,6 2 1 5 ,0 2 1 9,4 223,8
26308,84 27755,56 2924 1,00 30765,16 323 28,04 3 3929,64 35569,96 37249,00 3 8966,76 407 23,24 4 25 1 8,44 44352,36 46225,00 481 36,36 50086,44
1 1 35 ,4 833,0 1 368,0 157 8,6 1 977,8 2026,2 1 886,0 2509,0 2368,8 22 19,8 2474,4 2 1 06,0 1 7 20,0 1 3 16,4 1 1 1 9,0
1 84 1 6 1 ,88 1 38777 , 80 233928,00 276886,44 355608,44 373226,04 355696,60 4 84237,00 467601, 1 2 447955,64 5 10221,28 4435 23,60 369800,00 2888 1 8, 1 6 250432, 20
- 30,83 - 26,43 - 22,03 - 17,63 - 1 3, 23 -8,83 -4,43 - 0,03 4,37 8,7 7 1 3, 1 7 17,57 2 1,97 26, 37 30,77
1 ,83 1 ,57 1,3 1 1 ,05 0,79 0,52 0,26 0,002 0,26 0,52 0,78 1,04 1,31 1 ,57 1 ,83
0,0748 0, 1 163 0, 1 6 9 1 0,2299 0, 2920 0,3485 0, 3857 0, 3989 0, 3 857 0, 3485 0, 2943 0, 2323 о,1691 о, 1 163 0,0748
2,70 4,20 6, 1 0 8,29 10,54 1 2,57 1 3 ,92 14,39 1 3,92 1 2,57 10,62 8,38 6, 1 0 4, 20 2,70
2,70 4,20 6, 10 8,29 1 0,54 1 2,57 1 3,92 14,39 1 3,92 1 2.57 1 0,62 8,38 6,10 4,20 2,70
4,30 0, 80 1 ,90 0,7 1 0,46 - 1 ,57 - 3,92 - 1 ,39 - 1 ,92 - 1 ,57 1,38 1,62 1 , 90 1,80 2,30
1 8,49 0,64 3.6 1 0,50 0. 2 1 2,46 15,37 1,93 3,69 2,46 1,90 2,62 3,6 1 3,24 5,29
6,85 0, 15 0,59 0.06 0,02 0, 20 1,10 0, 1 3 0,27 0,20 0. 18 0, 3 1 0,59 0,77 1 ,96
(3)
26638,4 5 1 80874,2
138 Bx/n = 193,03; k = nb(S = 36,08;
ь
= 4,4 ; n = 1 38; и = 1 6,83 / 193,03 = 8,7
1 3,38 %; S
= V(5 1 80874,2 - 5 14 2060,55) / 1 37 - 16,83.
Новые данные изменяются от 1 60 до 226. Разделим этот диапазон на 1 5 новых класов и проверим гипотезу нормальности распределения для вновь полученных частот. Уже одного взгляда на распределение частот (табл . 1 .8) достаточно, чтобы определить, что распределение стало почти симметричным. Левая в етвь значительно «растянуласы>, и центр распределе ния сместился вправо. Процедура Проверки гипотезы нормальности рас пределения преоб�зованных данных дана в табл. 1 .8 . Полученная в этой 1 3,38 < х � 1 2 ; 0 1 0 ) = 1 8,549 (см. П.8) ; следователь таблице величина х но , для иреобразо ванных данных гипотеза нормальности подтверждается. Коэффициент вариации после иреобразо вания данных снизился с 38 до 8,7 %. Таким образом, наглядно показано, как можно иреобразовать данные, не подчиняющиеся закону нормального распредел ения, чтобы распределе ние новых, иреобразованных данных стало нормальным. =
§ 1 .8. Алгоригм и блок-схема алгоритма предварительной обработки экспериментальных данных При объеме в ыборки, превышающем 1 00- 1 50 наблюдений, как будет показано ниже, оптимальные эмпирические зависимости, отвечающие современному уровню знаний, можно построить только с помощью ЭВМ. Поэтому целесообразно включить в программу машинной обработки наблюдений также и предварительную обработку экспериментальных данных. Ниже даны ал горитм и блок-схема алгоритма предварительной обработки наблюдений. 1 . Вычисление выборочных характеристик х, S2 , S, S, т 1 , т 2 , тз . т4 и v соответственно по следующим формулам:
х=
n
-� Ч /__::!_ ; n
S2 = т 2 n
1 n 1: (х; n i= I
=-
s = J-n 1: (х ; - х) 2 ; s = 1
1
-
i=1 n
j
- х) 2 ;
n 1 1: n- 1 i = 1 -
1
n
т 1 = - _ 1: (х; - х) ; тз = 1: (х; n i=1 n r =1 1
n
-
(х; - х) 2 ; х) з ;
S
т4 = - 1: (х; - .Х ) 4 ; v = -= · х n i=1
2. Отсев гру бых погрешностей : а) вычисляют наибольшее отклонение ;
dmax = l xmax (min) - .X I ; б) В ЬМIСЛЯЮТ Т = d max iS.·
в) по табл. П.4 находят процентвые точки !-распределения Стьюдента а именно : t (S %, n - 2 ) и t ( o,1 % , n - 2 ) ; г) вьМ!сляют соответствующие точки т(р, n ) :
t (p; n - 2 ) ,
37
1 (s %; n- 2) � T ( s % ; n ) = J<п - 2) + 1 t (s % ; n- 2 ) 1 2 n- 2 ) .;n:::r %; f(O,l т .2 (0, 1 %; п) = J
'
' •
д) сравнивают результаты вычислений по п. 2б) и 2г) ; принимают окончательное решение об отсеве первой грубой погрешности, если резуль тат по п . 2б) значительно больше результатов по п. 2г) ; е) пересчитывают выборочные характеристики х и S для нового масси ва данных (без отсеянного значенИя х;) при объеме массива n - 1 ; ж) повторяют процедуру от п. 2а) до п. 2Д) для следующего по абсо лютной величине наибольшего отклонения dmax · _
3. Проверка нор мальности распределения (проводят тольк о при
v
<
а) вычисляют g1 и g2 по формулам К 1 = тз/т� 1 2 ; К2 = m 4 jm � 3 ; б) находят неемещеиные оценки для показателей асимметрии и экс цесса:
< 33 %) :
-
G1
n- 1 � п- 2 К 1 . G 2 = (n - 2) (n - 3 ) [ (n + 1 ) g2 + 6] ;
=
в) определяют среднеквадратические отклонения: SG a
=
1) J (n - 6n2 ) (n(n+ 1 ) (n+ 3 )
'
SG 2
=
(n- 1 ) 2 J (n- 3 )24n (n- 2 ) (n+3 ) (n+ S ) ' •
г) _?роверяют условия I G1 I Е;; 3SG 1 , I G 2 1 Е;; SSG 2 (соблюдение этих гипотезы нормального распре условии говорит о возможности принятия деления) ; д) разбивают массив исходных данных на классы: k = 1 + 3,32lg n ; е ) определяют середины классов х; ж) подсчитывают частоты для всех классов В; з) вычисляют для всех классов Вх и Вх 2 ' и) находят х и S.: и
•
1; 8х S = n ,
Х=
j 1; 8х 2n-- (11; Вх ) 2/'!'
к) вычисляют k' = пь(S.· л) определяют z = (х - x)/S; м) формируют с помощью табл . П.7 вектор-столбецf(z); н) вычисляют для всех классов Е = f(z)k, В - Е, (В - ЕР ; о) �ычисляют х2 по формуле Х2 38
=
'i'. (B - EJ 2 /E;
п) проверяют, используя табл. П.8, условие х2 < Х(11; р ) , = 1 = О, 1 0 (если это условие соблюдается, то гипотеза нормальности распределения может быть принята на 1 0 о/о- ном уровне) ; р) вычисляют накопленные частоты F8 и Fв, используя частоты В и Е; с) находят v
2; р
л
llкл -
-
m a x ! Fв - Fн l
D = --....::.. �
n
""
т) проверяют с помощью табл . П.9 условие D < D(a:? O, I O ) (если это условие соблюдается, то гипотеза нормальности распределения может быть принята на 1 О о/о- ном уровне) . 4. И реобраз ование распределений к нормальному. Для распределений, имеющих крутую левую ветвь гистограммы и пологую правую, выпол·
Вычисление 8ы5орочных характеристик ф роспреiеления (n.1Jr6ыoo•щi и1 но печоть t-4--.,
ф
оши5ки на5люiения (n. zo - z г )
ПoiJzoтolкo к oтcelg tf1.g5ou
f/Jopнupo6aнue но6ога 6ектор - столбца ф исхоаных данных (6ез отсеянного
мененто )
вычисление кpume
pue6
G , , G2
, s,., , Si,
(n.32)". XA z (n.гlp),.. D
(n. 3g )
1.
Рис. З 39
няют иреобразования ' матрицы и сходных данных по формулам: х ' = = lg (х ± ) · Н У' , х =· 1 /х, х ' = 1 /vx; после каждого иреобразованиЯ реализуют процедуру вычисления х2 (от п. З.д) до п. З.н) ) и окончательно прннимают то преобразование, которое дает минимальное х2 • дllя распре делений, смещенных вправо, матрицу исходных данных иреобразуют по формуле х ' = х 0 (при = 1 ,5 ; 2) и после каждого иреобразования повто ряют процедуру вычислениЯ х2 • дll я прииятия гипотезы нормальности иреобразованного распределения должно соблюдаться условие х 2 < < x(v · p ) [п. Зн) ] . Укрупненная блок-схема алгоритма предварительной обработки опыт ных данных приведена на рис. 3. а
а
/'о
Гла ва
11
СГАТИСГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОСГРОЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОЦЕНК И ПАРНЫХ ЗАВИСИМОСГЕЙ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
§ 2. 1. Меrод наименьши х к вадратов в простейшем случае дв умерного пространсш а (на плоск ости) . Уравнение регрессии К так называемым парным зависимостям типа у = f(x ) относится подавляю щее большинство всех формул , используемых в естественно-научных и технических дисциплинах. По результатам экспериментов такие формулы обычно строили, применяя метод наименьших квадратов, однако только в последнее время с появлением новейших ЭВМ, пригодных для вьmолне ния расчетов очень большого объема, удается построить парные зависи мости оптимальной формы. Поэтому рекомендации, данные в настоящей главе, можно использовать не только для построения новых парных зави симостей, но и для 11ересмотра старых, в том числе и тех, которые приве дсны в учебниках. Сама по себе процедура линейного парного регрессионного анализа (метода наименьших квадратов на плоскости) очень проста, и для ее вы полнения достаточно настольной ЭВМ. (Эту процедуру можно вьmолнять и вручную) . Большие ЭВМ требуются только для nоиска оптимальной формы парной зависимости. Пусть имеется n пар наблюдений значений функции отклика у; , 12 nолученных nри фиксированных (в 11 7 смысле записанных) значениях не- 10 зависимой переменной фактора х ;. 9 5 6 _8 Для графического изображения этих 8 пар наблюдений в виде эксnеримен 7 J тальных точек с координатами х; 6 45 у на плоскости применяется систе 2 ма декартовых координат (рис. 4) . 4 1 Координаты точек 1 -8, изобра 3 женных на рис. 4, приведены в 2 табл. 2.1 . Такие результаты наблю дений могут быть получены в о 1 2 j 4 j 6 7 8 g 10 11 12 13 любой экспериментальной ра Рис. 4 боте. о
\
о
о
о
о
о
о
о
41
Таблица
2,1
Коорд101 аты точек
1
1
1
1 ,5
х
�
2
3
4
5
6
7
8
4,0
5,0
7,0
8,5
1 0,0
1 1,0
1 2,5
9,0 1 1 ,0 9,0 9,5 6,5 7,0 4,5 5 Собсrвенно говоря, естествоиспьпатели на протяжении столетии наблю дают, что произойдет с интересующим их явлением (функцией отклика у) , если изменить независимую переменную (фактор х) . Задача линейного регрессионного анализа (метода наименьших квад ратов) состоит в том, чтобы, зная положение точек 1 -8 на плоскости, так провести линию регрессии, чтобы сумма квадратов отклонений l:!} вдоль оси Оу (ординаты) этих точек и от проведеиной прямой бьmа минимальной. Для проведения вычислений по классическому методу наименьших квадратов (для проведения регрессионного анализа) к в ыдвигаемой гипо тезе (к форме уравнения реrрессии) предъявляется такое требование : это уравнение должно бьпь' линейным по параметрам или допускать воз можность линеаризации. Так, например, процедура проведения регрессион ного анализа одинакова для уравнений у = Ь0 + Ьх и у = ·ь0 + bz \ так как подстаковка х = z 2 приводит второе уравнение к первому. Этот вопрос подробнее рассмотрен ниже. Здесь же для простоты и более леrкого освое ния методики регрессионного анализа предположим (на первых порах) , что при проведении париого линейного регрессионного анализа имеем дело только с уравнением прямой линии (следует помнить, что это допущение делается только для упрощения усвоения начальных элементарных сведе ний по методике построения формул по опьrmым данным) . Уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах (2. 1 ) у = Ь0 + Ь1 х, у
-
где Ь0, Ь1 постоянные числа, геометрическая интерпретация которых дана ниже . Учитывая это, задачу метода наименьших квадратов аналити чески можно выразить следующим образом : -
·п
и = . � [У; - (Ь о + Ь1 х; ) ] �in • 1=1
(2.2)
- �n и-
(2.3)
где у; -
(Ь0 + Ь1 х;)
i=l
Af2
mm .
,
=
l . _
д.; , или
1, n,
-
Формулы (2 .2) и (2.3) словами кратко можно выразить так : сумма квадратов отклонений вдоль оси Оу должна бьпь минимал ьной (принцип Лежандра) . Построенная так им образом линия регрессии позволяет в данном слу чае с пекоторой вероятностью предскаэать. в интервале от х = 1,5 до х = 42
!�
1 2,5 любые значения функции у при отсутствующих в табл. 2. 1 значениях ктора х. Для решения задачи, поставленной в формуле (2.2) , необходимо в ждом конкретном случае вычислить значения коэффициентов Ь 0 и Ь 1 , 1\фнимизирующие сумму отклонений И. Для этоrо , как известно из мате матическоrо анализа, необходимо вычислить частные производные функции И по коэффициентам Ь 0 и Ь 1 и приравнять их нулю:
{ :;g :: дЬ 1
(2.4)
.
Решая эту систему уравнений, находим искомые значения Ь 0 и Ь 1 • Систему (2.4) называют системой нормальных уравнений. В формулу (2.4) под ставляют значение И из формулы (2.2) и одновременно выполняют опе рацию дифференцирования :
{
дU дь д
� = . �� LY; - (Ьо + Ь 1 х;) ] = О , l=
-- =
д Ь1
� [у; - (Ь 0
i =1
+
Ь 1 х;) ] х;
=
(2. 5 )
О.
Преобразуем полученную систему нормальных уравнений:
b o n + Ь 1 � х; = �у ;, 2 b o �Xi + Ь 1 � Xj = � {yjX;) .
В формуле (2 .6) и далее для краткости у знака суммы сы. Систему (2.6) решаем с помощью определителей
Ьо = е 1 1е.
ь.
= е2 1е,
(2.6) �
опущены индек (2.7)
rде е - rлавный определитель . Имеем: n tx е = l �х �х2
l l
1 1 1
=
n �x2 - ( �х) 2 ,
�y �х е . = �ху �r . = �y �r - �ху �х . n �У е2 = �х �ху = n�xy - �х�у.
откуда Ьо
=
bl
=
�у � х 2 - � ху � х n � x 2 ( � х) 2 n � xy - � х � у n � x2 - ( � х)2
(2.8) (2.9) (2. 1 0) (2. 1 1 )
-
(2. 1 2)
Как и друrие статистические расчеты, вычисление коэффициентов реr рессии удобно проводить в табличной форме. На примере построения линии реrрессии по данным табл. 2. 1 можно рассмотреть практическую методику вычисления коэффициентов реrрессии, которая приведена в табл. 2.2. 43
Т•бпщ 1
Методика вычисления коэффициентов регрессии 2
ху
х+у
2 (х + yJ )
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
5,0 4,5 7,0 6,5 9,5 9,0 1 1,0 9,0
2,25 16,00 25,00 49,00 7 2,25 1 00,00 1 21,00 156,25
25,0 20,25 4 9,00 4 2,25 90,25 8 1,00 1 21,00 8 1,00
7,50 1 8,00 35,00 45,50 80,75 90,00 1 21,00 1 1 2,50
6,50 8,50 1 2,00 1 3, 5 0 1 8,00 1 9,00 22,00 21,5
4 2,25 7 2,25 144,00 1 82,25 3 24,00 361,00 4 84,00 462, 25
6 1,5
541,75
5 09,25
5 1 0, 25
1 21,00
2072,00
Ng п/п
х
у
х
( 1)
(2)
(3)
1 2 3 4 5 6 7 8
1,5 4,0 5,0 7,0 8,5 10,0 1 1 ,0 1 2,5
:Е
59,5
2
у
х = 7,4375, у = 7 ,6 87 5
Для проверки правильиости вычислений в табл. 2.2 можно использо вать выражение2 (2. 1 3) Значения сумм подставляем в формулу (2. 1 3) . Получаем 2072,00 = 541 ,75+ + 2·5 1 0,25 + 509,7 5 ; 2072,00 = 2072,00. Следовательно, вычисления выпол нены правильно. В формулу (2. 1 1 ) и формулу (2. 1 2) подставляем найден ные значения для сумм из табл. 2.2, в результате получаем Ь0 = (6 1 ,50 · 54 1 ,75 - 5 1 0,25 · 59,50) / (8·541,75 - 3540,25) = 3,73, b l �(8 . 5 1 0,25 - 59,50 . 6 1 ,50) / (8 . 541 ,75 - 3540,25) = 0,53. 1::
(х; + у;) = 1:х{ + 2 1:х;У; + 1:у{ .
Уравнение регрессии или формула, которая отображает с пекоторой вероятностью зависимость у от х, построенная по экспериментальным точкам, изображенным на рис. 4, имеет вид /\
у = 3,73 + 0,53х.
(2. 1 4)
Это пример парной линейной зависимости. § 2.2. Геометрическая ишерпретация коэффициешов регрессии. Допо ЛНIПельные разъяснения Коэффициент Ь0 (свободный член уравнения регрессии) геометричес ки представляет собой расстояние от начала координат до точки пересече ния линии регрессии с ординатой или, другими словами, это отрезок, отсе каемый на ординате линией регрессии. Коэффициент Ь 1 представляет собой тангенс угла наклона линии рег рессии к оси абсцисс: tga = 0,5 3; = 27° 55' (рис. 5) . На этом рисунке изображено «облако» точек с явно выраженной тенденцией (чем больше х, тем больше у) , хотя и имеются некоторые отклонения от этого закона. Линия регрессии проведена через «облако» точек, при этом соблюден прина
44
�
1
в системе координат на плоскости пол�ип Лежандра. Положение линиитами Ь0 и Ь 1 • стью определяется коэффициен Различают два вида связи: функциональную и стохастическую. Линей я функциональная связь в данном случае имела бы место, если бы все эти точки (рис. 5) располаrались на прямой регрессии. При наличие погрешнос т1й измерения связь между у и х является стохастической (вероятностной ) . , Для функциональной связи понятие корреляции практически не имеет смысла (коэффициент парной корреляции всегда равен 1 ) . Для стохасти че tкой связи вычисление коэффициента парной корреляции r между у и х Й его статистическая оценка - важная процедура, результаты проведения которой позволяют судить о тесноте связи. Коэффициент r может изме няться от -1 до 1 . Чем ближе r к единице, тем ближе изучаемая зависи мость к функциональной . Целесообразно рассмотреть терминологию, свя занную с регрессионным и корреляционны м анализом. у
g 1f fJ 12 11 10 g 8 7 6 5 4 J
!S_ 2 .... 1
о
Ь0 >О,
ь1 > О о у 1
е
е2
& 4-
a�J���----�������
а)
х
о
Ъ0 < 0,
х
Ъ0 > 0,
Ь1 <О
ь, >0
J(
о
J(
2)
2 J 4 j 6 7 8 9 10 11 12 fj
Рис . S
6)
у
Рис. б
Для у в литературе можно встретить следующие наименования : функ ция отклика, зависимая переменная, предикатор; х назьmают входной пе ременной, независимой переменной, фактором, регрессором. Если перемен ные у и х представляют двумерную нормально распределенную случайную величину, то существует две регрессии (52] . Одна определяет зависимость 9 от х, а другая - � от у. Прямые регрессии пересекаются в центре тяжести (х; ji) и образуют <<ножницы». Чем уже <<Ножницы», тем ближе стохастичес кая связь с функциональной. При функциональной связи обе прямые сли ваются. На рис. 6, а -г даны некоторые характерные положения прямой ли нейной регрессии в зависимости от значений коэффициентов регрессии. То обстоятельство, что прямые пересекаются в точке с координатами (х; ji) ,
45
можно использовать для быстрото построения линий регрессии. Достаточн по формулам (2.1 1) и (2. 1 5) вычислить Ь0(у; х ) и Ь0(х, у) , нанести в clf · теме координат точку О (х; у}, как обе линии регрессии оказьшаются п строеЮiыми; Ь 1 (у; х) и Ь 1 (х; у ) определяют графическим методом, из е ряя углы меж.цу линиями регрессии и осью абсцисс. § 2.3. Парпаи к орреЛЯЦИJI. Статистическ ое оценивание парной к орреляции и регрессии
/
Существует две модели регрессии. Условно можно модель у = Ьо (yxJ + + Ь 1 (ух ) Х назвать прямой регрессией 'л а модель х = Ь о ( ху ) , + Ь 1 ( ху) у обратной. Это означает, что уравнение у = Ь0 + Ь 1х не являетс я алгебраичес ким, из которого непосредственно можно найти х, так как эта модель полу чена минимизацией суммы квадратов отклонений вдоль оси Оу. Чтобы вычислить х и у (обратная регрессия) , следует минимизировать сумму квадратов отклонений вдоль оси Ох. Выбор того или иного уравне ния регрессии произволен [95] и зависит от того, какую из случайных величин, х или у, считают заданной (независимой переменной) . Такая си туация вызьmает возражения экспериментаторов [ 4] . В принципе можно записать выражение для ортогональной регрессии (к этому вопросу вернемся после рассмотрения коэффициента корреля ции) , однако ортогональная регрессия, где расстояния от эксперименталь ных точек до прямой регрессии измеряют по перпендикуляру к этой пря мой, находит ограниченное применение, так как положение линии perpec· сии в системе координат зависит от выбранного по осям масштаба. Так, например, если исследуется зависимость сопротивления проводника от температуры, то получают разные модели ортогональной регрессии при использовании шкал Цельсия или Фаренгейта, что недопустимо. Однако если, например, исследуется влияние температуры внешней среды на температуру тела земноводных и используется одна и та же шкала, то ортогональная регрессия может быть использована на практике. Формулы для вычисления коэффициентов Ь0 и Ь 1 в случае прямой регрессии даны выше [формулы (2. 1 1 ) и (2. 1 2) ) . При обратной регрес сии коэффициенты вычисляют по формулам Ь о (ху) b l (ху )
I: x i: y 2 -I: xy i: y n i: y 2 -(I: y ) 2 n I: x y - I: x I: y = n i:y 2 - (I: y ) 2 ' =
(2. 1 5) (2. 1 6)
Таким образом, в дополнение к определителям е, е1 , е2 получают второй главный определитель �у �у 2
е' =
и определитель е '1 = 46
1 ��У
1
(2. 1 7) (2. 1 8)
1
Учитывая это , формулы (2. 1 5) и (2. 1 6) запишем в виде (2.19) и Ь (ху ) = 8 2 /8' . Ь 0 (ху ) = 8;/8', оэффициент парной корреляции
Е> 2 .Jё0'
r = -- =
л
n 1; xy - 1;х1;у J[п 1;х 2 - (1;х) 2 ) [n 1;у 2-(1;у) 2 \
(2.20) (2.2 1 )
Если в формуле (2 .2 1 ) числитель и знаменатель разделить на учим п r =
л
1; ху - ( l /n)(1; x )(1;y ) 2 J1 1; x - ( 1 /n ){1;x) ' \ (1;у2 - ( l /n )(1; y ) ' J
п,
то
(2.22)
В литературе можно встретить следующую формулу для вычисления
'Р' с использованием средних) :
""r =
1; (х -х><У -У> J1; (х - х)' 1; (у- ji)'
(2.23)
.
Зная формулы для нахождения коэффициента парной корреляции, можно вернуться к вопросу об ортогональной регрессии, модель которой строится по формуле " л 2r у =у + (2 24) 2 Л ( Х - Х-)' S o + JS o + 4r
2
•
где S0 = Sx/Sy - Sy /Sx , Sx = �; Sy = VS'{, s; = ( 1 /n)
n
= ( 1 /n) � (у - ур [см. формулу (1 .3) ] .
1 �1 (х - х)2 , S� =
i= 1
С поиятиими ортогональной, прямой и обратной регрессии тесно связано
понятие эллипса рассеяния . Линия ортогональной регрессии, задаваемая соотношением (2.24) , является одной из главных осей эллипса рассеяния, а две другие линии регрессии - диаметры этого эллипса [4] . Уравнение эллипса рассеяния имеет вид _1_ [ ( х - Х) 2 _ 2( х - х у - у + ( У -У) 2 ] = х2' (2.25) 1 -� 2
Sx
Sx
Sy
Sy
(р; 2 )
(индексы суммир ования опущены) . З десь Х�р: 2 > - проце нтная то чк а Х2 -распределения с двумя степенями свободы, которая берется по табл. П .8.
Процедуры вычисления коэффициентов регрессии, корреляции и не которых друrих величин, необходимых для их статистического оценива нии с использованием данных табл. 2.2, можно упростить, если вычислить следующие промежуточные величины: (2.26) Qx = e;n = �х2 - ( 1 /n) (�х) 2 ' 2 2 = e'!n = �у (1 /n) (�у) , (2.27) QY (2.28) Qxy = 82 /n = �ху - ( 1 /n) (�х) (�у ) . 47
Проверка вычислений :
� (х + y) 2 - (1/n) [ � (х + у) ] 2
= Qx + QY + 2 Qxy ·
Далее вычисления проводят в следующем порядке средние значения:
х = �xjn;
(2.29) [ 5 2]
: а)
У = �yjn; б) вычисляют коэффициенты регрессии Ь 0 (ух) , Ь1 (ху).!. b o J..xy).!.. Ь1 (х ) , к_9эффицие '!! корреляции r, Qyx. стандартные ошибки Sx, Sy. Sxy• х • Sь о (ух) и Sы (ух) : (2 . 32) b l (ух) = Qxy/Qx , b l (ху) = Qxy/Qy ; (2. 3) Ь0 � у) = х - Ь 1 (ху)У: (2. 5) Ь о ( у х) = у - Ь 1 (ух) х, (2.34) Qyx - QY - bl (yx) Qx y • (2. 7 ) r = Qxyl� ; (2. 36) sy = vQy l (n - 1 ) ' (2. J 9) (2 .38) sx = vQxl (n - 1) ' (2 .40) (2 .4 1 ) sxy = Qxyl (n - 1 ) ' syx = vQyxf (n - 2) ' ) (2.42 Sьо (ух) = Syx V1/n + x2 /Qx . (2.43) Sы (ух) = Syxlv!Q;, (2.30)
�
Проверка вычислений : r
= QxyiVQxQy = sxyfsxsy = vьl (ух ) ь 1 (ху > ; Sь o (y x /Sь t (ух) = v�x2/n.
(2.44) (2.45 )
Для статистического оценивания коэффициентов регрессии проверяют нуль-гипотезу Н0 : {3 = О, т.е. проверяют, отличается ли статистически значи мо оценка коэффициента регр'ессии от нуля [52] . Границу значимости уста навливают на основании распределения Стьюдента:
(2.46) t = l b i/Sь � t (� 2 ; P) ' где {3 - значение коэффициента регрессии в генеральной совокупности; Ь - выборочная оценка коэффициента регрессии; tта�:: Р находят по 1;
табл. П.4. Если условие (2.46) соблюдается, то можно сделать вывод, что {3 значимо отличается от нуля. Оценку значимости коэффициента парной корреляции (проверку наличия корреляции) вьmолняют по формуле л
t=
r� t - � t (n- 2 ; p) . J r2
(2.47 )
Если это условие выполняется, то гшютезу Н0 : r = О отклоняют. Для этой же цели можно использовать табл. П. l О. По этой таблице значение коэффи циента корреляции сравнивают с его критическим значением (Р > r крит ) . Для проверки значимости уравнения регр�ссии в целом с использова нием F-крщерия Фишера общую дисперсию S� сравнивают с остаточной ДИСПерсиеЙ S� ост • КОТОрую МОЖНО ВЫЧИСЛ_!IТЬ В табЛИЧНОЙ форме (табл. 2. 3 ) . Вычисление s;, ост • или сокращенно S�ст • имеет большое значение в тео рии статистических методов построения эмпирических зависимостей. В ЛИТературе МОЖНО ВСТреТИТЬ разЛИЧНЫе НаиМеНОВаНИЯ Дll Я S�T (ОСТаТОЧНаЯ 48
� 1
Т а б л и ц а L3 ычисление остаточной дисперсии с использованием данных табл. 2 . 2 и формулы =3,73 + 0,53х i
- у
-г N� л/л
--
(4)
у -у (5)
(у - 9J 2
3,7 3 + 0.5 3 . 1 ,5 = 4,53 3,7 3 + 0,5 3 . 4,0 =5,85 3,7 3 + 0,5 3 . 5,0 =6,3 8 3,7 3 + 0,53 . 7,0 = 7,44 3,7 3 + 0,5 3 . 8,5 =8,24 3,7 3 + 0,5 3 . 1 0,0 =9,03 3,7 3 + 0,5 3 . 1 1,0 =9,56 3 ,7 3 + 0,53 . 1 2,5 = 1 0,35
+0,47 - 1 ,35 +0,62 - 0, 94 + 1 ,26 - 0,03 + 1,44 - 1,35
0, 2209 1 ,8225 0,3844 0,8836 1 ,5876 0,0009 2,0736 1 , 8225
0, 1 2
8,8
х
у=3,73 + 0,53х
(2)
(3)
1 2 3 4 5 6 7 8
5.0 4,5 7,0 6,5 9,5 9,0 1 1 ,0 9,0
1,5 4,0 5,0 7,0 8,5 10,0 1 1 ,0 1 2,5
I:
6 1 ,5
59,5
( 1)
�-
1\
(6)
ци спс рсия, сумма квадратов остатков, остаточная сумма квадратов) ; представляет собой показатель ошибки предсказания уравнением регрес�и ре1ультатов опытов. Качество предсказания определяют, срав нивая S�ст с S� , другими словами F-критерий Фишера показьmает, во сколь ко раз уравнение регрессии предсказьmает результаты опытов лучше, чем среднее у:
� ст
s2 = _& У
у ост-
S2 "'
I:y 2 - ( 1 /n ) ( I:y ) 2 = 5 28 ' ' n- 1 л 2 8 у � = 1 ' 46·' - :!:n(у-- 2 ) 6 =
n- 1
-
(2.48)
=
F = ���Ост = 3,62 < F(?; S % ) 4,06. (2.49 ) Для того чтобы уравнение (2. 1 4) адекватно описывало результаты экс периментов, необходимо, чтобы это уравнение при 5о/о- ном уровне значи мости описьшало результаты опытов в 4,0..§ раза лучше среднего y (F]7; s % ) = 4,06) . Фактичес кое же значение F = 3,62 меньше таблично го. При i o о/о-ном уровне значимости F = 3,62 > F(7 ; s %) = 2,93 ; уравне ние (2. 1 4) статистически значимо описьтает результаты экспериментов ; Fтабл берут из табл . П . 1 1 . 6•
6;
=
6;
·
§ 2.4. Числовой пример вьmоmtения париого линейного регрессионного и корреляци онного анализов. Статистическое оцениванис результатов расчетов
Для решения примеров можно использовать данные, которые рассмат ривались в 1 (рост двадцатилетних студентов в м· 1 02 в лекционном по то ке - вектор-столбец у, их масса в кг - вектор-столбец ) Нормальность распределения данных вектор-столбца у проверсна в гл. 1. Для проверки нормальности распределения данных вектор-столбца воспользуемся наиболее простым методом, т.е. проверим, находится ли rл .
х
х
.
49
отношение R/S в допустимых предел � (в 1 О %-ных границах) . Имеем R/S j = 25 / 5 ,86 = 4,27 . Критические значеЮUI ( 1 0 %-ные границы) по табл . П.9 равнЬ1 4,022 и 5 ,220 , т.е. 4,022 < 4,27 < 5 ,229 ; следовательно, гипотезу нормальности рас пределения можно прюшть. Таким образом, наблюдения роста и массы двадцатилетних мужчин являются двумерной нормально рас преДелеюiОй величиной и имеет место вто рой тип регрессии, при котором моrут быть исследованы прямая у = f(x) и обратная х = f(y) регрессии и вьmолнен корреля ЦИ О ЮIЫЙ анализ. Расчет коэффициентов уравнений рег· ...1..1---+--- реесии и коэффициента корреляции с х применением настольных калькуляторов лучше всего вьюолиять в табличной фор Рис. 7 ме . Результаты таких расчетов приведены в табл . 2.4. В этой таблице 1 4 столбцов , и на первый взгляд она может показаться очень громоздкой . Однако при этом необходимо учитывать, что столбцы (1 ) - (6) нужны непосредственно для построения уравнений регрессии и вычисления коэффициента парной корреляции . Столбцы (7) и (8) используют для проверки правилькости вычислений, а столбцы (9) - ( 1 4) - для проверки адекватности уравнений регрессии. По данным табл . 2.4 найдем следующие суммы: �х = 4069, �у = 1 729 67 1 , �ху = 7 1 5 587, � (х + у) 2 = = 9837, �х2 = 297545 , �у2 = 3 458 390, � (у у) 2 = 1 28 1 ,35, � (х - �) 2 = 1 5 03,54, средние значе ния х = 72,66,у = 175,66; промежуточные величины: Qx = �х2 - (�х) 2 /n = 297545 - 1 6556761 / 56 = 1 889, QY = �у2 - (�у) 2 fn = 1 72967 1 - 96766569/ 56 = 1 697, Qxy = � ху - ( �x) ( �y) /n = 7 1 5587 - 40026753; коэффициенты уравнений регрессии : b l ( ух ) = Qxy/Qx = 824/1 889 = 0,436 , b l ( ху) = Qxy/ Qy = 824/ 1 697 = 0,486, Ь 0 (ух) = у - Ь 1 (ух) х = 1 75 ,660 - 0,436 · 72,660 = 1 43,980, Ьо (ху) = х - Ь 1 (ху )У = 72,660 - 0,486 · 1 75 ,660 = - 1 2,7 1 1 . Таким образом, в рассматриваемом примере уравнения прямой и обрат ной регрессии имеют сооmетствснно вид л л (2.50) у = 143,980 + 0,436х ; х = - 1 2,7 1 1 + 0,486у. (2.5 1 ) Проверим пр ав илькость вычи слений: 297 545 + 2 7 1 5 58"/ + 1 729 67 1 = = 3 458 390, 3 458 390 = 3 45 8 390; следовательно , в ычисления выnол нены правильно . !1
=
-
50
Табл ица
Расчет да101ых дпи парноrо шm ейноrо perpeccиoiUioro и коррел ициоииоrо анализа
N9 п / п
(1)
-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Vl ....
..
х, кr --
(2) 72 70 83 68 69 83 74 79 71 68 70 70 85 83 85 60 74 69 68 74 65 69 65 79 84
х2
у2
ху
х+у
(х + У) 2
у
"
л у-у
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
183 170 176 178 176 180 176 1 85 1 84 174 168 174 189 17 2 175 167 179 176 169 178 169 17 1 170 177 176
5 1 84 4900 6889 4624 476 1 6889 5476 6 24 1 504 1 4624 4900 4900 7 225 6889 7 225 3600 5476 476 1 4624 5476 4225 476 1 4225 6 24 1 7056
33 4 89 28 900 30 976 3 1 684 30 976 3 2 400 30 976 34 225 33 856 30 276 28 224 30 276 35 7 2 1 29 548 30 6 25 27 889 32 04 1 30 976 28 5 6 1 3 1 6 84 28 56 1 29 24 1 28 900 3 1 3 29 30 976
1 3 176 1 1 900 14 608 1 2 1 04 1 2 144 14 940 13 024 14 6 1 5 1 3 064 11 83 2 1 1 760 12 180 1 6 065 14 276 14 875 10 020 1 3 246 12 144 1 1 492 13 1 7 2 10 985 1 1 799 1 1 050 1 3 983 14 7 84
255 240 259 246 245 263 250 264 255 24 2 238 244 274 255 260 227 253 245 237 252 234 240 235 256 260
65 025 57 600 67 08 1 65 0 1 6 60 025 69 169 62 500 69 696 65 025 58 564 56 644 59 536 75 076 65 025 67 600 51 529 64 009 60 025 56 169 63 504 54 756 57 600 55 225 65 536 67 600
1 75, 372 1 74,500 1 80, 168 17 3,628 1 7 4,064 180, 1 68 176,244 1 7 8,4 24 174,936 1 7 3,628 174,5{)0 1 74,500 1 8 1 ,040 1 80, 168 1 8 1 ,040 1 7 0, 140 176,244 174,064 17 3,6 28 1 76,244 1 7 2, 3 20 174,064 1 7 2, 3 20 1 7 8,424 1 80,604
у,
м· 10 2
- -- - -
2.4
л
х
х -х
(х -� 2
( 1 0)
(y -yJ ( 1 1)
(1 2)
( 1 3)
( 14)
7,628 -4,500 -4, 168 4,3 7 2 1,936 - 0, 1 68 - 0, 244 6,576 9,064 0,37 2 - 6,500 -0,500 7,960 - 8, 1 68 -6,040 - 3, 140 2,756 1,936 -4,6 28 1,756 - 3, 3 20 - 3,064 - 2, 3 20 - 1 ,424 -4,604
58,22 20, 25 17,39 1 9,09 3,75 0,03 0,06 43,24 82. 1 6 0, 14 42,25 0,25 63,36 74,88 36,48 9,86 7.59 3,7 5 2 1,42 3,08 1 1 ,02 9,39 5,38 2,03 21,19
76.227 73,909 7 2,825 73,797 72,825 74,769 72,825 77, 1 99 76,7 1 3 7 1 ,853 68,937 7 1,853 79, 143 70, 881 72,339 68.45 1 74,283 7 2,825 69,423 73,797 69,4 23 70,395 69,909 73,3 1 1 7 2,825
-4,227 -3.909 10, 17 5 -5,797 -3,825 8, 231 1,175 1 , 80 1 -5,7 1 3 -3,853 1,063 - 1 ,853 5,857 1 2, 1 1 9 1 2,66 1 -8,45 1 -0,283 - 3,825 - 1 ,423 0, 203 -4,423 - 1 ,395 -4, 909 5,689 1 1 , 175
17,87 15,28 103,43 33,6 1 14,63 67,75 1,38 3,24 32,63 14.85 1,13 3,43 34, 30 146.87 160.30 7 1 ,42 0.08 14,63 2.02 0,04 19,56 1,95 24, 10 32,36 1 24.88
.....
--
.... l'o)
(1 ) 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
45 46 47 48 49 50 51 52
53
54 55 56
1
(2) 80 71 76 73 72 68 67 65 74 70 82 71 72 68 78 74 72 72 71 75 62 67 82 76 69 68 72 ь9 73 73 70
1
(3) 179 174 176 188 178 172 176 167 166 180 183 176 182 178 172 1 85 183 175 174 180 166 169 17 1 178 169 170 179 17 1 178 173 177
1
(4) 6400 504 1 5776 5329 5 1 84 4624 4489 4225 5476 4900 6724 504 1 5 1 84 4624 6084 5476 5 1 84 5 1 84 504 1 5625 3844 4489 67 24 5776 476 1 4624 5 1 84 476 1 5329 5329 4900
1 32(5)04 1 1 14(6)320 1 3 0 276 30 976 35 344 3 1 6 84 29 5 84 30 976 27 889 27 556 3 2 400 33 4 89 30 976 33 1 24 3 1 6 84 29 5 84 34 225 33 489 30 625 30 276 32 400 27 556 28 5 6 1 29 241 3 1 684 28 5 6 1 28 900 32 04 1 29 24 1 3 1 6 84 29 929 31 3 29
12 354 13 376 13 7 24 1 2 816 1 1 696 11 792 1 0 855 1 2 284 1 2 600 15 006 1 2 496 1 3 104 1 2 1 04 13 4 1 6 13 690 13 176 1 2 fjOO 1 2 354 13 500 1 0 292 1 1 323 14 022 13 528 1 1 66 1 11 560 1 2 888 11 799 1 2 994 1 2 629 1 2 390
(7 ) 259 245 252 26 1 250 240 243 232 240 250 265 247 254 246 250 259 255 247 245 255 228 236 253 254 238 238 25 1 240
251 246 247
) 1 67(808) 1 1 17 (98,860 1 60 025 63 504 68 1 2 1 62 500 57 600 59 049 53 824 57 600 62 500 70 225 6 1 009 64 5 16 60 5 1 6 62 500 67 081 65 025 6 1 009 60 025 65 025 51 984 55 696 64 009 64 5 1 6 56 644 56 644 63 001
57 600
63 00 1 60 5 1 6 6 1 009
( 10)
1 (0,021 1 ) 1
0, 140 174,936 - 0,936 0,88 1,25 1 7 7,1 16 - 1 , 1 1 6 9, 192 84,49 17 8,808 2,628 6,91 175,372 2,65 17 3,628 - 1,628 2,808 7,88 1 7 3, 1 92 1 7 2, 3 20 - 5,320 28,30 176,244 - 10, 244 1 04,86 5,500 30,25 174,500 3.26 8 179,732 1 0,68 1.13 1 74.936 1 ,064 43,93 175,372 6,628 1 9. 1 1 17 3,628 4,37 2 1 7 7,988 - 5.988 35,86 76,67 8,756 176,244 5 8, 1 9 175,372 7,628 0, 14 175,372 - 0,372 1 7 4,936 - 0,936 0,88 1 1 .02 3,320 176,680 1 7 1 ,0 1 2 -5,0 1 2 25, 1 2 1 7 3, 1 92 -4, 1 92 1 7,57 179,7 32 - 8,732 76, 24 0,884 0,7 8 177, 1 16 1 74,064 - 5,064 25,64 1 7 3,628 - 3,628 1 3, 16 1 3, 1 6 3,628 175,372 9 , 39 - 3,0Ь4 174,0Ь4 2,192 4,80 17 5,808 7,88 175,808 - 2,808 6,25 2,500 174,500
Продолжени е табл. 2. 4
( 1 2) 74,283 7 1 ,583 7 2,825 7 8,657 73.797 70.881 72, 825 68,4 5 1 67,965 74,769 76. 227 72,825 75.74 1 73.797 79.88 1 77, 1 99 76, 227 72.339 7 1,853 74.769 67 ,965 69,423 70. 395 73,797 69,4 23 69,909 74, 283 7 U, 3 9 5 7 3.797 7 1 ,367 73,3 1 1
(14) 1 5,7( 1 3)17 1 32,68
-0,583 0, 34 3, 175 10.08 -5,657 32,00 · - 1 ,797 3. 23 - 2,881 8.30 -5,825 33,93 -3.45 1 1 1 ,91 6,035 36,42 -4,769 22,74 5,773 33,33 - 1 ,825 3,33 -3.74 1 14,00 -5,797 33,61 7, 1 1 9 50,68 3. 199 10,23 4,227 17,87 -0.339 0. 1 1 -0,853 0,7 3 0.23 1 0.05 -5,965 35,58 - 2,423 5.87 1 1,605 1 34.68 2, 203 4.85 -0,423 0, 1 8 - 1 ,909 3,64 - 2, 283 5, 21 - 1 ,395 1 ,95 -0,797 0,64 1,633 2,67 -3,3 1 1 10,96
Для иллюстрации можно изобразить две линии реrрессии (рис. 7 ) ; угол {3 между ними дает представление о коэффициенте парной корреля Ции. При {3 = 90° у и х независимы. При {3 = 0° между у и х существует функциональная связь (у полностью зависит от х) . Для оценки статистической значимости уравнений регрессии и коэф' ф ициентов уравнений вычислим следующие показатели : Qyx = Qy - В 1 (ух ) Qxy = 1 697 - 0,436 · 824 = 1 33 7 ,74; sx = JQx l (n - 1 ) = 5,86; sy = JQy / (n - 1 ) = 5,5 5 ; Sxy = Q xy/ (n - 1) = 1 4,98 ; Sy x = ../Qyx / (n - 2) = 4,98 ; Sь ( у х ) = Syxl...дi; = 4,98/43,46 = 0,1 1 46 ; Sь 0 (ух ) = Syx ../1 /n + х2 /Qx = = 8 ,35 ; s; = 34,35 ; s; = 30,85 ; 8; ост = � (у - у) 2 1 (п - 2) = 23,73; s; ост = � (х - х) 2 / (n - 2) = 27 ,84. Адекватность уравнений проверим по критерию Фишера: - - Fy = s; Js; ocт = 30,85/23,73 = 1 ,34, Fx = s;;s; OCT = 34,35/27,84 = 1 ,23. Табличное значение р т находим по табл. П.1 1 , из коrорой видно, что полу ченные нами уравнения реrрессии значимы только при 1 0%-м уровне значимости ( 90 о/о- й доверительной вероятности) . Значимость коэффициентов регрессии проверям по t-критерию Стью дента : 'iЬ 0 ( у х ) = Ь 1 (yx ) fsь 1 (у х ) = 0,436/0,1 1 46 = 3,80, f'ь о ( у х ) = Ь о (у х ) (Sь 0 (у х ) = 1 43,980/8,35 = 1 7 ,24. Табличное значение t т находим по табл. П.4. При 5 о/о-ном уровне значимос ти и n = 5 6 табличное значение t(5 6,s % ) = 1 ,67; следовательно, найденные значения коэффициентов регрессии статистически значимы. Окончательную проверку правильиости вычислений выполняем по формулам 1
"
"
r = _sxy = Jь 1 (у х ) b l ( ху) ; 14,98 /32,5 2 = ../0,436·0,486; 0,46 = 0,46; Sx Sy
Sь 0 (ух > /Sь
(ух> = v�x2 /n ; 8,3552456 /0, 1 1 46 = 72,89241 ; 72,88356 = 72,8924 1 ; = следовательно, все вычисления вьmолнены правильно. В рассмотренном примере выполнен парный линейный корреляцион ный и регрессионный анализ зависимости ме жду ростом и массой двадца тилетних студентов . 1
§ 2.5. Оценка линейности регрессии Оценка линейности реrрессии может быть вьmолнена в том случае, если общее число значений у больше, чем число k значений х. Каждому значению х; соответствует n; значений у [52] . На практике при проведе нии измерений или наблюдений так чаще всего и бьщает. 53
Vl
�;
Та блица
2.5
.,.. Рас чет данных дли проверки линейности регрессии
1 2 3 4 5
(2� = 60 62 65 67 68
6
69
7
70
8
71
9 . 72 1 0 73 1 1 74 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1:
Yq
75 76 78 79 80 82 83 84 85
n;
У;
1\
У;
<� 1 oi:;
�s i::-
IYq -
Ji l
(Y;j -
у)
-2
... ......
1�
1 ,,..
.с "-!
(9)
( 1 0)
(1 1)
( 1 2)
3, 1 4 5,01 3,65 0,69 0, 1 3
9, 86 25, 1 0 1 3, 3 2 0,48 0,02
9,86 25, 1 0 39,96 0,96 0, 1 2
о о
о о
о о
174,06
1 ,46
2, 1 3
1 0,65
1 7 3,80
174,50
0,70
0,49
2,45
4
1 7 7 ,00
174,94
2,06
4,24
16,96
6
1 80,00
175,37
4,6 3
2 1 ,44 1 28,64
3 5
17 9,67 1 76,80
175,81 17 6,24
3,86 0,56
1 4,90 0,31
44,70 1,55
1 2 1 2 1 2 3 1 2
1 80,00 17 7,00 17 2,00 1 8 1 ,00 17 9,00 177,00 1 7 6,00 176,00 1 82,00
1 7 6,68 177' 1 2 1 7 7,99 1 7 8,42 1 7 8,86 1 7 9,73 1 80, 1 7 1 80,60 1 8 1 ,04
3,32 0, 1 2 5,99 2,58 0, 14 2,7 3 4, 1 7 4,60 0, 96
1 1,02 0,01 3 5,88 6,66 0,02 7,45 1 7, 3 9 21,16 0,92
1 1 ,02 0,02 35,88 13,32 0, 02 14,90 52, 1 7 2 1 , 16 1 , 84
(4)
(5)
(6)
167 166 1 69, 1 7 0, 167 1 7 6, 169 1 7 8 , 1 74, 1 69, 1 7 2, 1 7 8, 1 7 0 1 7 6 , 1 76, 1 1 1 , 1 69, 171 1 70, 1 6 8, 1 74, 1 80, 177 1 84, 1 7 4, 1 76, 1 7 4
1 1 3 2 6
167 ,00 166,00 16 8,67 17 2,5 0 1 7 3 ,50
1 7 0,14 17 1 ,0 1 1 7 2, 3 2 173, 1 9 17 3,63
5
17 2,60
5
1 83, 17 8, 1 82, 1 83, 175, 179 1 88, 1 7 8, 1 7 3 1 76. 1 7 9, 1 78, 166, 1 85 1 80 1 7 6, 1 7 8 172 1 85, 1 7 7 179 1 83, 1 7 1 1 76, 1 80, 1 7 2 176 1 89, 1 75
•.S
... ....
(8)
(3)
(7 )
--
"' -::::. <;:... 1
43 1 ,25
0. 3 3 ; 1 , 3 3 ; 1 ,67 3,50; 3,50 4,50; 0,50; 4.50 ; 1,50; 4,50; 3,50 3,40; 3,40; 1 ,60; 3,60; 1,60 3,80; 5,80; 0,20; 6, 2 0 ; 3 , 2 0 7,00;" 3,00; 1 ,00 ; 3,00 3.00; 2,00; 2,00; 3,00; 5,00; 1 ,00 8,3 3 ; 1,67 ; 6,67 0,80; 2,20; 1 ,20; 1 0, 80 ; 8, 2 о
1,00; 1 ,00 о
4,00; 4,00 о
6,00; 6,00 О; 4,00; 4,00 о
7,00; 7,00
0, 109; 1,769; 2,789 1 2. 250; 1 2,250 20,250; 0,250; 20, 250; 2,250; 20, 250; 1 2, 250 1 1 ,560; 1 1 ,560; 2.500; 1 2,96 ; 2,56 14,440; 33,640; 0,040; 38,440 ; 1 0, 240 49,000; 9,000; 1 ,000; 9,000 9.000; 4,000; 4,000 ; 9,000; 25,000 ; 1 ,000 69,389; 2,789 ; 44,489 0,640; 4,840; 1,440; 1 16,640; 67,24 о
1 .000 ; 1 .000 о
1 6,000 ; 1 6,000 о
36,000; 36,000 О; 16,000; 16.000 о
49,000; 49,000
4,449 24,500 75,500 4 1 , 200 96.800 68,000 5 2.000 1 1 6,667 1 90,800 о
2.000 о
32,000 о
72,000 3 2,000 о
98,000 905,9 1 6
Данные табл. 2.4 (масса х и рост у двадцатилетних студентов ) с учетом сказанного выше представлены в табл . 2.5 . В столбце (4) этой таблицы даны количества значений Y i• со ответсm ующие каждому значению х;. В столбце (8) подсчитываются отклонения групповых средних значений Yi от прямой регрессии, в столбце ( 1 1 ) отклонения значений у от группо вых средних. Если статистика [52] -
л
F
1
=
k
-
л
I: n 1· (y 1·-y 1·) k - 2 i=l k n; 1 --
n -k
2
I: I: (у lJ·· -у) i=l i =l
2
(2.52)
'
т.е . сумма отклонений групповых средних от прямой регрессии, делен ная на сумму отклонений значений у от групповых средних со степенями свободы в числителе 11 1 = k - 2 и в знаменателе 11 2 = n k, достигает или превосходит границу значимости, то гипотезу о линейности нужно отбросить. В данном случае F = [ 1 / (20 - 2) ·43 1 ,259] 1 [ 1/ (56 - 20) ·905,9 1 6) ] = = 0,952 не дост игает границы значимя сти, так как Ft s %) > . 1 ; сле довательно, гипотеза линейности связи у = f(x) не может бьпь отброшена. -
л
v, v 2 :
§ 2.6. Нелинейная парная perpeccиJI В том случае, когда по правилам, изложенным в предыдущем парагра фе, гипотеза линейности может бьпь отброшена или когда при графическом изображении точек нелинейность явно просматривается «на глаз», есть смысл получить по экспериментальным данным нелинейную (квадратич ную или высших порядков) формулу парной зависимости. При этом можно рассчитывать, что нелинейпая формула даст меньшую остаточную диспер 2 , т.е. лучше предскажет результаты опытов. Следует только очень сию Sост хорошо помнить, что речь идет о зависимости, нелинейной по фактору х. По параметрам зависимость останется линейной. Для того чтобы отличить квадратичную парную регрессию от мно жественной, которая будет рассмотрена ниже, целесообразно изменить пр инятую в первых параграфах гл. 11 систему обозначений коэффициентов регрессии. С учетом этой оговорки формулу парной квадратичной регрес сии можно представить в виде 2 (2.53) у = а + Ьх + сх • Аналогично запишем формулу кубичной регрессии: у = а + Ьх + сх 2 + dx3 • (2.54) Однако надо иметь в виду, что уже парный регрессионный анализ третьего порядка (кубичная регрессия) трудно вьmолнить вручную. При наличии в распоряжении исследователя большой ЭВМ теоретичес ки можно получить формулу парной зависимости любого порЯДI<а, однако с некотороrо момента при повышении порЯДI<а уравнения регрессии остал
55
точная дисnерсия вместо того, чтобы уменьшаться, может увеличиваться. Это, как nравило, и является условием nрекращения счета. Коэффициенты квадратичного уравнения а, Ь , с можно наити, решая слецующую систему трех нормальных уравнений с тремя неизвестными : �
an + Ь �х + с �х2 = �у . а �х + Ь �х2 + c �r = �ху , а �х2 + ь �r + с �х4 = �х2 у .
(2.55)
a n + Ь �х + с �х2 + d �r = �У . a �x + b �r + c �r + d�x4 = �ху , а �х2 + b �r + с �х4 + d �x5 = �ry, а �х3 + Ь �х4 + c �r + d �� = �х 3у
(2.56)
Нетрудно заметить, что можно наnисать аналогичную систему уравне ний для nолучения уравнения nарной зависимости любого nорядка . На прИ мер, для оnределения коэффициентов кубичной nарной регресси� можно методом экстраnоляции nолучить систему нормальных уравнении вида
и т .д. для уравнения регрессии любого nорядка. Для иллюстрации решим простой пример, исходные данные для реше mtя которого (результаты наблюдений) приведены в табл . 2.6. Т а б л и ц а 2.6
Ис ходные данн ые дли решен ия примера по парной квадратичной регрессии
--; -t
1 ,7
3,4
4
4, 1
5,3
25
34
51
82
98
Восстановить квадратичную парную зависимость - это значит найти коэффициенты а, Ь и с уравнения (2.53) . Предварительно вычисляют сум в табличной форме (табл. 2.7) . Затем следует довольно сложная процедура решения системы алгеб раических уравнений, которую нужно вьmолнять очень внимательно, так как можно допустить ошибку, обнаружить которую можно только полным повторением расчета (в этом и состоит недостаток метода построения квадратиЧных полиномов) . С ростом степени полинома всю процецуру приходится повторять за ново и снова вычислять все коэффициенты. Используя ортогональные поли но мы Чебышева , перечисленные недостатки можно устранить (методика изложена в гл . IV). Взятые из табл . 2 .7 значения сумм подставляем в нормальные уравнения (2.5 5) : 5 ,00а + 1 8,50Ь + 75,35с = 296,00, (1) 1 8,50а + 15 ,35Ь + 326,01с = 1 24 1 ,70, (2) 15,35а + 326,0 1 Ь + 1 469,60с = 5508,53. (3) мы
56
2 .7
Таблица
Су ммы, н еобходимые для вычи сления коэффициентов а, Ь и с NV n/n
х
у
ху
х2
х 2у
хз
х4
(1 )
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
1 2 3 4 5
1,7 3,4 4 4, 1 5,3
25 34 57 82 98
4 2,5 1 1,5,6 228,0 336,2 5 1 9,4
2,89 1 1 ,56 16 ,00 16,81 28,09
72,25 393,04 9 1 2,00 1 3 7 8,42 275 2, 1 2
4,9 1 39,30 64,00 68,92 148,88
8,35 1 3 3,6 2 256,00 282,5 7 789,06
Е
1 8,5
296
1 24 1 ,7
75,35
5508,5 3
3 26,01
1469,60
-
Систему решаем методом исключения переменных. Все члены первого уравнения умножаем на 3,7 : 1 8,5<Ь + 68,45Ь + 278,8<Х = 1 095,20, 1 8,5 <Ь + 15,35Ь + 326,01с = 1 241 ,70, ( 4) 6,90Ь + 47,2 1с = 1 46,5. Далее исключаем а из уравнений ( 2) и (3 ) . Для зтоrо умножим все члены уравнения (4) на 2,073 ; 1 8,5<Ь + 15 ,35Ь + 326,01с = 1 241 ,70, 15,35а + 326,0 1Ь + 1 469,6<Х 5508,53, =
15,35а + 306,90Ь + 1 327,84с = 5057,44, 75 ,35 а + 326,0 1Ь + 1 469,6<Х = 5508,33,
(5 )
1 9, 1 1 Ь + 1 4 1 ,76с = 45 1 ,09. Из уравнений (4) и ( 5 ) исключаем Ь и определяем с: 6,90Ь + 47,2 1с = 1 46,5, 1 х 2,77, 1 9,1 1Ь + 1 4 1 ,76с = 45 1 ,09, 1 9, 1 1Ь + 1 30,77с = 405 ,8 1 , 1 9, 1 1Ь + 141 ,76с = 45 1 ,09, 1 0,99с = 45,28, с = 4,1 200; 1 9, 1 1Ь + 141 ,76 · 4, 1 2 = 45 1 ,09, 1 9,1 1Ь = - 1 32,96, ь = -6,9576; 5 ,00а - 1 8,50 6,9576 + 75,35 · 4, 1 200 = 296, 5 ,00а + 1 8 1 ,72 = 296, а = 22,856. ·
57
Для П ро в ерки найденные значения коэффициенто в подставл яются в одно из исходных урав нений : 1 8,5 0 . 22 ,85 60 - 75 ,35 . 6,9576 + 3 26,0 1 . 4,1 200 = 1 24 1 ,70 ; 1 24 1 ,70 = 1 24 1 ,70 . Таблица Вычисление остаточной дисперсии и дисперсии у N9 n/n
---
(1 ) 1 2 3 4 s
I:
1\
у
у
( 2) 25 34 57 82 98 296
(3) 22,935 46,827 60,946 63,587 101 ,7 1 2
f-·
IY - Y I
(4) 2,065 12,827 3,946 18,4 1 3 3,7 1 2
(у - у) 2
(5) 4,264 164,532 15,57 1 339,039 13,779 537 . 1 85
у -у
(6) 34,2 25.2 2,2 22, 8 45,421
(у
2.8
- у) 2
(7) 1 169,64 635.04 4,84 5 1 9,84 22063,067 4392,427
y = S9,2 Таблица
2.9
Функции и нормальные уравнения N9 n/п
1
Функции
Нормальные уравнения
у = а + Ьх
an + bi:x = :�;у a i:x + Ь :Ех 2 = I: (xy)
2
lg y = а + Ьх
an + b i:x = I: lg y а :Ех + Ь :Ех2 = I: (х lg y)
3
y = a + b lgx
an + bi: lg х = I:y a i: lg x + b i: 0g x)2 = I: (у 1g x)
4
lgy = a + b lgx
an + bi: 1g x = I: lg y a i: lg x b i: Og x)2 = :Е O g x lg y)
s
х у = аЬ или lgy = lga + х lgЬ
n lg a + lg b :Ex = I: lg y I: Og х lg у) lga:Ex + lg Ь :Е х 2
у = а + Ьх + сх 2
an + b i:x + ci:x2 = I:y а :Ех + b i:x 2 + c i:x 3 = I:xy a i:x2 + b i:x3 + c i:x4 = I: (х2у )
7
у = а + Ьх + с .jX
a n + b i:x + с :Е .JX = I:y a i:x + Ь :Ех2 + c i: .jX3 = I:xy а :Е .jX+ b i: .jX3 + с :Ех = I: .JXY
8
х х2 или у = аЬ с lg y = lg a + x lg x + x 2 lg c
1
6
58
==
n lg а + lg b i:x + Ig c :Ex2 = I: lg y lg a :Ex + lg b :Ex2 + lg c :Ex3 = :Е (x lg y) lg a:Ex2 + lg b :E x3 + Ig c :Ex4 = I: (x2 lgy)
Око нчательно получаем квадратичное уравнеЮ!е
� = 22,8560 - 6,9576 х + 4, 1 200х2 •
(2.51) Вычисляем предсказанные значеЮ!я у: � 1 = 22,8560 - 6,9576 . 1 ,7 + 4, 1 200 . 2,89 = 22,935, �2 = 22,8560 - 6,9576 . 3,4 + 4,1 200 . 1 1 ,56 = 46,827, У з = 22,8560 - 6,9576 · 4 + 4, 1 200 · · 1 6 = 60,946, (2.58) )\ = 22,8560 - 6,9576 . 4, 1 + 4, 1 200 . 1 6,8 1 = 63,587, Ys = 22,8560 - 6,9576 · 5 ,3 +4,1 200 · 28,09 = 1 01 ,7 1 2. Проце дура вычисления остаточной дисперсии дана в табл . 2.8: ��ст = 537, 1 85 /3 = 1 79,062, � = 4392,427 /4 = 1 098, 1 07, F = 1 098, 1 07/ 1 79,062 = 6,1 33. Таким образом, получеЮ!ое уравнение предсказьmает результаты опы тов в шесть раз лучше среднего у. 1\
§ 2.7. Друmе формы нелинейной парной регрессии. Выбор оптимальной формы Используя метод наименьших квадратов, можно построить практи чески любые формы нелинейной парной связи. дJiя этого используют ли неаризуюшие преобразоваЮ!я, так как только линейные по параметрам функции восстанавливаются методом наименьших квадратов. В табл. 2. 1 О приведены часто встречающиеся парные зависимости и линеаризуюшие преобразования перемеЮIЫХ. Качество предсказаЮ!я результатов проверлют с помощью уравнеЮ!я у = Ь 0 + Ь1х . после вычислеЮIЯ коэффициентов Ь� и ь; по методу наименьших квадратов (как для парной линейной зависимости) выполняют обратные преобразования, т.е. по Ь� и ь; определяют Ь0 и Ь1 в соо m етствии с указаниями табл. 2. 1 0. Таким образом, парная зависимость может иметь разнообразную форму. До тех пор пока не проверены все известные формы связи, исследова тель не может бьпь уверен, что выбрана лучшая форма (с точки зрения точ ности предсказаЮ!я результатов опытов) . ИсключеЮ!е - случай, когда облако точек имеет определенную и интерпретируемую форму. Вьmолнение расчетов по отыскаЮ!ю оптимальной формы связи при большом числе исходных данных вручную и с применеЮ!еМ малых ЭВМ, как указывалось выше, теоретически возможно, но практически требует такого количества времеЮI, что задача становится нереальной. В работе [78] предложен метод обработки на больших ЭВМ опытных данных для получеЮ!я оптимальной формы парной зависимости. С по мощью этого метода бьmа, например, уточнена известная в строительстве парная связь между модулем деформаций бетона и его прочностью. При числе пар наблюдеЮ!Й n = 48 линейная ФО!>ма зависимости имела вид Е6 = 86,74 + 0,95 Rnp ; остаточная дисперсия � = 1 9 1 8,34. Полученная расч!�ом оптимальная форма связи Е6 = 8,7 1 6 �; 55 ; остаточная диспер сия SOCT _ 1 826, 30. Разработана [ 1 03) программа для ЭВМ ЕС 1 020, проверяющая 1 9 л,
1
1
1
-
59
Таблица
2. 10
Фу нкции и л ииеари эу ющие преобраэоваиия Лин е ари зующие преоб раэования N� п/п (1)
Функция
у'
(2)
( 3)
у = Ь0 + :b J:i у = 1 / (Ь0 + Ь 1 х ) у = х/ (Ь0 + b 1 x J У = ь. ь ах у = ь . еЬ а х х у = 1 / (Ь0 + " Ь 1 е � ) . у = Ь0 хh а
у
-- '--- ·
1 2
3
4
5 6 7
8
9 10 11 12
преобразование пере· менных
y = b 0 + b 1 1gx у = Ь0 / (Ь 1 + х ) у = Ь0 х/ (Ь 1 + Х ) y = b o eb a fx у = Ь0 + b 1 xn
1 /у
х/у lg y Jn y 1 /у Jgy
у
1 /у
1 /у J ny
у
выражения мя величии ь. и ь 1
Ь6
ь '1
(4)
(5)
(6)
1 /х
ь. ь. ь. lgЬ . 1nb 0
Ьа Ьа Ьа lg b l
х
1
х х х х е -х
1gx
lgx
х 1 /х 1 /х
xn
ь. lgb 0 ь.
Ь 1 /ь·. Ь 1 /Ь0 1nb 0 ь.
Ьа Ьа
Ьа Ьа 1 /Ь0 1 /Ь0 Ьа Ьа
различных форм связи, включая линейную и квадратичную формы. В том случае, коrда при увеличении показателя степени остаточная дисперсия уменьшается, число провернемых функций увеличивается за счет нелиней ных функций высших порядков . По этой проrрамме бьmи проверены завн симости и полученные выше вручную у (рост), х (масса) двадцатилетних студентов в лекционном потоке. Получены следующие оптимальные формы связи : (2.59) у = 209,8 1 1 - 2464,690 /х, х = 1 59,466 - 1 5235 ,200/у , (2.60) rде у - в м 1 02 , х - в кr. Однако остаточные дисперсии для этих формул не значительно отличаются от соответствующих остаточных дисперсий линей ных форм, что лишний раз подтвер ждает доказанНую выше rипотезу о ли нейности связи между ростом и весом мужчин. -
§ 2.8. Алгоритм и укрупненная блок -схема алгоритма расчета на ЭВМ оп111 мальной формы связи между дв умя перемениыми физически м и величинами 1 . Вычисление сумм �х. �У. �х2 , �у2 и �ху и средних значений у и х; Проверка ВЫЧИСЛеНИЙ. 2 . Вычисление промежуточных величин: 60
Qx = �r - ( 1 /n) (�х) 2 ,
2
QY = �у 2 - ( 1 /n) (�у ) , Qxy = �ху - ( 1 /n) ( �х) ( �у) . 3 . Вычисление коэффициентов
линейной регрессии : Ь1
";
Qxyf Qx • Ь о = у - Ь 1х.
4. Вычисление
остаточной дис церсии для линейной формы: S�T = � (у - J) 2 / (n - 2) 5 . Вычисление промежуточной величины: •
Qyx
=
Qy
-
ь1 Qxy ·
6 . Вычисление корреляции :
коэффициента
Р = QxyfVQxQy . 7 . Сравнение 1 с , т . Если 9> ,т ,
то имеется статистически зюiчимая линейная связь между величинами у и х . Не вьmолняться это условие может по двум причинам: 1 ) ме жду изучаемыми переменными нет связи; 2) связь есть, но нелинейная. 8. Проверка гипотезы линейно сти связи (выполнение всех ра�е тов по табл . 2.5 и сравнение F с рт) .
Рис. 8
9. Расчет по уравнениям (2.56) , (2.57) и т .д. ко�фициентов квадра тичной, кубичной и т .д. форм связи до тех пор, пока �ст не начнет увели чиваться. 1 0. Проверка функций по табл. 2.9 и 2.10 (вычисление коэффициентов и остаточных дисперсий) . 1 1 . Выбор оптимальной формы связи по минимальной остаточной дис персии. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 8. § 2.9. Методик а предсказания предельных значений вeJJИIIИII , и эменяющихси по экспоненте
Часто при изучении явлений природы и развития цивилизации можно встретить величины, изменяющиеся с течением времени по экспоненте. Используя изложенную в настоящей главе методику париого регрессион ного анализа, можно попытаться предсказать предельные значения изучае мых переменных. 61
Чтобы лучше понять свойства величины, изменяющейся по экспоненте, рассмотрим рис. 9. Такая величина имеет начальное значение у0 и предел, к которому стремится в бесконечности У пр ед ; с течением времени она может увеличиваться (рис. 9) или уменьщаться. К подобным величинам относятся уже упомянутый выще средний рост мужчин в европейских странах, больщинство спqртивных рекордов (прыжки в высоту, штанrа, бег и т.д.) , средняя урожайность сельскохозяйственных культур и т.д. Эти величины имеют тендеiЩию роста с течением времени, однако ясно, что этот рост имеет затухающий характер. Кривая, приведеиная на рис. 9, мо жет, например, быть аналитически выражена уравнением, если ввести обо значение У пред = Ьо : у = Уо + Ь0 ( 1 - е- ь 1 t) . (2.60) Можно привести еще много аналитических выражений для величин, изме няющихся по экспоненте. Как будет доказано, финищиые участки такой кривой хорощо аппроксимируются [78] гиперболической зависимостью y = t/ (bo + b 1 t ) (2.61 ) (строка 3 табл. 2. 1 0) . Разделив числитель и знаменатель правой части вы ражения (2.61 ) на t, получим y = 1/ (bo/t + b t ) . (2.62) При t � кривая (рис. 9) стремится к асимптоте и у � упред : У = 1/ (Ьо/t + Ь t ) �Упред = 1 /b t . (2.63) Формулу (2.6 1) прообразуем следующим образом: t = -Ь0/Ь1 + ( 1/Ь 1 )(t/y ) . Введем линеаризующую замену переменных в соответствии с табл. 2. 1 0: ' х = t; у ' = t/y; -Ьо/Ь 1 = Ь �; 1 /Ь 1 � Упред · В результате получаем выражение ' х = ь � + Упр едУ 1• (2.64) ' По наблюдениям х и у ' можно по формуле (2.53) определить У пред : Упред = Qx'y ' /Qy' · Рассмотрим эту методику подробнее на примере вычисления предель ных деформаций ползучести бетона (способности деформироваться при оо
у' 100
1/
so
о
Рис. 62
9
so 70 !/0 100
Рис. 1 0
200
х'
неизменной нагрузке) . Эти деформации имеют затухающий характер при нагрузках, не превышающих половины предела прочности, и развиваются по экспоненте. Расчеты приведены в табл. 2. 1 1 . Таблица
2. 1 1
Расчеты по п редсказан ию пр едельноrо значении величины, и эмеииющейс и по экспоненте (предельные деформации ползучести бетона) N9 п/п
( 1) 1 2 3 4 s
:Е
:х· =
х'
(2 ) 50 70 90 100 200 510
у'
х
,2
(4) (3) 5 1,546 2 500 6 1,838 4 900 73,230 8 100 77,3 39 1 0 000 1 15,607 40 000 379,56 65500
у'
2
(5 ) 2656,99 3823,94 5362,63 598 1,3 2 1 3364,98 3 1 1 89,86
х 'у '
(6) 2577,30 4328,66 6590,70 773 3,90 23 121,40 4435 1,96
х' + у '
(7) 101 ,546 1 31 ,83 8 163,230 177,339 315,607
(х '
+
у ') 2
(8) 103 1 1,59 17381,26 26644,03 3 1449, 1 2 99607,78 1 85393,78
1 02. :У' = 75,91
Так как зависимость трансформирована в линейную, то расчеты, дан ные в табл. 2. 1 1 , представляют собой подготовительные операции для проведения обычной процедуры вычисления коэффiЩиентов линейного уравнения регрессии. Таким образом, сложный вопрос предсказания пре дельных значений физических величин при известной тенде.щни их изме нения во времени сводится к простой процедуре линейного регрессионного анализа� Проверим правильиость вычислений:
Т-х 2 + 2 Т-ху ' + т_у '2 = т. (х' + у') 2 ; 65 500 + 2 · 4435 1 ,96 + 3 1 1 89,86 = 1 85393,78; 185393,78 = 1 85393,78; Qx'y' = Т.ху ' - ( 1 /n) (Т-х') (Т-у') ; Qx'y ' = 5636,84; QY = Т.у 2 - (1 /n) (Т-у 2 ) = 2376,70; Уnред = 2,37.
Таким образом, предел ьные относительные деформации ползучести бетона выбранного состава должны составить Упр ед = Е ; = 2,37 10- s . Доказательством того, что финишные участки экспоненты хорошо аппро ксимируются гиперболой, является то обстоятельство, что если в декар товой системе координат нанести точки с координатами х' и у ', то они рас положатся приблизительно на прямой линии (рис. 1 О) . Аналогично можно предсказывать предельные значения для любых других величин, изменяющихся по экспоненте. ·
Глава
1П
МН ОЖ ЕСИJ ЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫ Й АНАЛИЗЫ. МН ОГОФ АКТОРНЫЕ ЭМПИРИЧЕСКИ Е ЗАВИСИМО СГ И
§ 3.1 . ЛШiейный множествеiUiый регрессионный анализ В гл. 11 рассмотрение париого регрессионного анализа бьmо начато с графи· ческой интерпретации (что удобнее всего для понимания сущности метода наименьших квадратов) . При изучении множественного регрессионного анализа такой возможности нет, так как не существует графической интер· претации многомерного пространства. Ясно, что р-мерное пространство это только математический прием, экстраполяция свойств двумерного пространства на р-мерное. Если при этом не стараться наглядно представить себе р-мерное пространство, то никаких затруднений для понимания мно жественного регрессионного анализа не возникает. На практике при анализе результатов научных исследований часто имеет место ситуация, когда количественное изменение изучаемого явле ния (функции отклика) зависит не от одной, а от нескольких причин (факторов) . При проведении экспериментов в такой множественной ситуации исследователь записывает показания приборов о состоянии функ ции отклика (у) и всех факторов, от которых она зависит (xj) . Результата ми наблюдений являются уже не два вектор-столбца (у и х) , как при про ведении париого регрессионного анализа, а матрица результатов наблю дений Yt X tj . . . X t p х1 1 Х12 Хt з У2
х2 1
Х22
Х2 з
X 2j Х зj
Уз
Х3 1
Хз 2
Х33
Yi
Xi t
Xi 2
Xi s • • · Xij
Уп
Xn t
Хп 2
Хп з
... ...
Х 2р Хзр
(3. 1 )
Xip
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ••.
•• •
Xnj
•••
Xn p
где n - количество опытов ; р - число факторов; Xij - значение j-го фак тора для i-го опыта ; У; - значение функции отклика для i -го опьпа. Задача множественного регрессионного анализа состоит в построени1 такого уравнения плоскости в (р + !)-мерном пространстве, откповею результатов наблюдений Y i от которой бьmи бы минимальными. ИJ. 64
другими словами, следует вычислить значения коэффициентов Ь 0, bi в ли нейном полиноме (3.2) у = Ь о + . � bi xi , n
л
1 =1
что равносильно минимизации выражения* n n � CY i - Yлi) 2 = � LY i - (Ь о + b 1xi1 + b2x i 2 + Ь зх;з + . . . + i =l i=l + bjXij + ... + bp Xip ) ] 2 ,
(3.3)
где Y1'\i - вычисляемые, предсказываемые , выравненные значения исследуемой характеристики. Для отыскания минимума выражения (3.3) необходимо найти част ные производные по всем неизвестным Ь 0 , Ь 1 , Ь2 , Ь 3 , , bi, , Ь р и при равнять их нупю. Полученные уравнения образуют систему нормальных уравнений : •••
•..
nbo + b l �Xj\ + ь 2 �Xj2 + . . . + bj �x; /+ ... + Ьр �Xjp = �у ;; . 2 + Ь 2 �Xi ! Xi2 + ... + bj �XH Xij + ... + bp �XH X ip = �Y iXi l , Ь о �ХН + b l �Х Н Ьо �Xjp + ь 1 �хн Xjp + ь 2 �Xj2Xip + ... + bj �XijXjp + ... + Ьр �х;р = �YiXip '
(3.4)
или в матричной форме (3.5) (Х * Х)В = Х * У, где В - вектор-столбец искомых коэффициентов аппроксимирующего полинома (3.2) :
В=
Х
Ьо bl ь2
(3.6)
- матрица всех значений всех рассматриваемых. факторов, полученных
;>И
проведении измерений или наблюдений:
*В дальнейшем индексы nри знаке l: оnущен ы. j - 5 79
65
Х=
Xt o Х1 1 Х1 2 х 2 о Х2 1 х 2 2 XiO Xi !
Xt2
Xn o Хп 1 Хп 2
•••
•••
• ••
•• •
X 1j хц Xjj Xnj
•·· •• •
• ••
•••
Х1р Х2 р
(3.7)
Xtp Xn p
- вектор-столбец, определяющий свободный ЧJtен уравнения регрессии. В матрице исходных данных этот столбец состоит из единиц; У - вектор столбец опьпных значений изучаемой характеристики У1 У2 У= (3.8)
х1 0
У; Уп Х* -
матрица, транспонированная к матрице Х:
�Xij �Xi 1 � х;2 �Xjp �1 1 �xl1 �Xi1 Xi2 • • • �Xi 1 Xij . . . �Xi 1Xip �Xt2Xij ... �Xt2Xip �Xi2 �Xt2Xi 1 �xl2
n
Х*Х=
•• •
•••
Х*У =
�Yt �YtXi l �YtX1 2
�XijXip
(3.9)
(3. 1 0)
Для решения системы нормальных уравнений в матричной форме (3.5) следует у множить ее слева на матрицу, обратную матрице системы нормальных уравнений, если таковая существует : (Х*Х) - 1 (Х*Х) В = (Х*Х)- 1 (Х*У), (3. 1 1 ) (Х*Х) - 1 (Х*Х) = Е, (3 . 1 2) rде Е - единичная матрица. Таким образом, решение системы нормальных уравнений в матричной форме запишется следующим образом : В = (Х*Х)- 1 (Х*У) . (3. 1 3) 66
Каждый коэффициент уравнения рсrрессии можно найти по формуле =
bj
n
n
(3. 1 4)
� Cij,_ � Y; Xij• !=1
1= 0 .
rде cij - элементы обратной матрицы (Х * Х)- 1 • В результате проведения всех этих операций получаем полином первой степени (3 .2) с известными коэффицие нтами Ь0 , Ь;. Этот полином является апп ро к симацией функ ции у [ (х 1 , х 2 , х3, • . • х; , Хр ) . вид которой не известен. Уже nри > 20 и р > 3 расчеты коэффициентов уравнения реrрес сии вручную и с применением настольных ЭВМ весьма затруднительны. При n > 5 00 и р > 1 0 расчеты вручную для одной только задачи можно проводить в течение мноrих лет, поэтому процедура миожествениоrо реr рессионноrо анализа ориентирована rлавным образом на применение боль ших эвм. Теоретически точность аппроксимации можно повысить, повышая степень полинома, однако практически для полиномов высоких степеней при проведении матричных операций на ЭВМ накапливаются столь значи тельные поrрешности окруrления, что решение становится невозможным. Этот вопрос будет подробно рассмотрен в rл. IV . На практике обычно оrраничиваются построением полинома второrо порядка и проведением шаrовоrо реrрессионноrо анализа с включением или исключением пере менных. Строят также множественные нелинейные модели, поддающиеся линеаризации. Целесообразно напомнить еще раз, что обычным методом наименьших квадратов можно построить только линейные по параметрам модели (пар ные и множественные) . =
11
,
•
...
§ 3 .2. Проверка эначимос"JИ уравнения регрессии и коэффици ентов уравнения регресси и Проверка значимости (качества предсказания) множественноrо урав нения реrрессии в принциле мало отличается от соответствующей Провер ки парной зависимости (см. § 2.3) . Вычисляют остаточную дисперсию по формуле n
s2
ОСТ
1 <У ;- У ; ) i �.:. = .:..;:. n -..._ p - 1 "'
2
(3. 1 5 )
___
которую затем сравнивают с дисперсией среднеrо SJ, с помощью F-крите рия Фишера (3. 1 6) F s;,fS:,cr с числом степеней свободы в числителе v 1 = n 1 и в знаменателе v2 = = n 1 . Считают, что х_равнение (3.2) предсказывает результаты опы р тов лучше среднеrо, если .J! достиrает или превышает rраницу значимости при выбранном уровне значимости (обычно прниимают р = 1 q = 5 %) . Далее будет показано, что существуют и друrие методы оценки каА
-
=
-
-
-
-
..:.
67
чества предсказания уравнением реrрессии р�зультатов опьrrа (например, оценка коэффициента множественной коррешщии и т.д.) . Значимость коэффициентов реrрессии h o . bi проверяют по критерию Стьюдента : (3. 17) t = Ь/Sь1 ; поrрешность коэффициента реrрессии (3. 1 8) Sь1 = JS�r:r''ii• rде с1·1· - диаrональный элемент матрицы, о братной матрице нормальных уравнений. Вычисленное значение t сравнивают с t т при числе степенен свободы = n р - l . Доверительный интервал для коэффициен rов реrрессии (3. 1 9) ь1 - t т sь 1 � (31 :s;;;. ь1 + tт sьi' rде (31 - значение для коэффициентов реrрессии в rенеральной совокуп ности. л
v
w
-
§ 3.3. Множествею1ый корреляцио101ый анали з Расчеты обычно начинают с вычисления парных коэффициентов кор реляции, характеризующих тесноту связи между двумя величинами. В множественной ситуации вычисляют два типа парных коэффициентов корреляции: l ) ry x · - коэффициенты, определяющие тесноту связи между функцией откл Й ка у и одним из факторов xi ; . 2) rx1·x m - коэффициенты, покаэьmающи..: тесноту связи между одним из факторов Xj и фактором Xm (j, т = 1 , р) . Формула для вычисления ry x/. отличается от формулы (2.36) , предназначеннои для вычисления коз фф ициента парнон корреляции, только индексом при х: (3.20) Гухj = Qxjy /JQxjQY , = rде Qx1y 'i:,xiy - ( 1 /n) ( 'i:,xf ) ( 'i:,y ) , (3.2 1 ) = = , (3.22) 'i:, y (3.23) 'l:,y 2 - (l /n) ( y) 2 • Qx1 J:,xf - (1 /n) ('l:,xj) 2 Q Следует напомнить, что суммы записаны в сокращенном виде, например n 'i:,xiy = -� XijYi· Коэффициент парной корреляции w
.
w
1 -1
rx1·x т
"Е. ХjХ т - ( 1 / n ) ( "E. xj )("E. xm ) •
=
y( "E. xj - ( l / n ) ( "E. xj )2 ] ( "Е. х� - ( 1 /n) ( l: x m ) 2 )
Если ввести обозначения Qxm xj = 'i:,x m Xj - (1 /n) ( 'i:, xm ) ( 'l:,xj) ,
(3.24)
(3.25) Qxm (3.26) то формулу (3.24) можно привести к принятому в данном пособии стан дартному виду: (3.27) =
68
'i:,x � - ( 1 /n) ( 'l:,хт ) 2 ,
Значение париого коэффициента корреляции, как указывалось вьШiе, изменяется от - 1 до + 1 . Если, наnример, коэффициент ry :xi - величина отрицательная, то это значит, что х1 уменьшается с увеличением у. Если ryxi положителен, то XJ увеличивается с увеличением у. З начимость парных коэффициентов корреляции можно проверить двумя способами : 1 ) сравнением с табличными значениями r т : "' (3.28) r � r т, 2) по-t-критерию Стьюдента: л t = r/S, � tт , (3.29) где S, - среднеквадратическая погрешность1 выборочного париого коэф фициента корреляции : (3.30) S, = { 1 - r;x1 ) /�Здесь tт определяют по таблице с числом степеней свободы v = n - 2. Доверительный интервал для парных коэффицие нт ов корреляции ryx1 - t т s, t;;;. Рух1 t;;;. ryx1 + tт S,, (3.3 1 ) где Рух1
-
парный коэффициент корреляции в генеральной совокупности.
Если один из коэффициентов rх1х т окажется равным 1 , то это означает, что факторы х1 и Xm функционально (не вероятностио ) связаны между собой и тогда целесообразно один из них исключить из рассмотрения, при чем оставляют тот фактор, у которого коэффициент ryx1 больше. После вычисления всех парных коэффициентов корреляции и исключе ния из рассмотрения того или иного фактора можно построить матрицу коэффициентов корреляции вида 1 Гух 1 ryx z ••• Гухj ••• Гух р rx l y . 1 'х 1 х 2 ••• Гх 1 х1 ••• Гх 1 хр Г:х zу 'xz x l 1 · · · 'xzxj ••• Гхz хр rXjY ГхjХ l ГxjXz
(3.32)
1
•••
•••
•
ГхjХ р
;.� ;; • ;�;�; ·,����- : : ·;X p·X� ·.::i .
Используя матрицу (3.32) , можно вычислить частные коэффициенты корреляции, которые показьmают степень влияния одного из факторов
х1 на функцию отклика у при условии, что остальные факторы закреплены на постоянном уровне. Формула для вычисления частных коэффицие нтов корреляции такова : rу - х 1 , х 2 , х 3 , •• • • Xf• ••• , х р = D1 1Л/Dt t D·1J '
(3.33)
где D1 1 - опред ел итель матрицы, образова нной из ма'q>ицы (3.32) вычер киванием 1 -й строки j-го столбца. Определители D1 1 и Dп вычисляют ана69
логично . Как и парные коэффициенты, частные коэффициенты корреляции изменяются: от - 1 до + 1 . Значимость и доверительный интервал для: коэффициентов частной кор реляции определяются: так же , к ак для: коэффициентов парной корреляции, только число степеней свободы в ычисляют по формуле
v = n - k - 2, (3 .34) rде k = р - 1 - порядок частноrо коэффициента парной корреляции.
Для: изучения: тесноты связи между функцией откника у и несколь кими факторами х 1 , х 2 , х 3 , ... , х1, . .. , Хр используют коэффициент множест венной корреляции R Ко эффициент множественной корреляции служит, как указывалось выше, и для: оценки качества предсказа кия:; R всеrда по ложителен и изменяется: от О до 1 . Чем больше R, тем лучше качество пред сказаний данной моделью опытных данных. Для: вычисления: коэффициента множественной корреляции исполь зуют матрицу (3 .32) :
Ryx 1 , .Х 2 , х 3 , . . . , х1, . . . , х р = v1 - D/D 1 1 ;
R можно также найти [46] по формуле R = J1 - S:,cr/Sf,
(3 .35) (3.36)
или в ычислить величину
R' =
n 1: (У ;- "" У ,·) • i =1 n - >' 1 =1: 1
(3 .37)
связанную с R соотношением (3.38) Значимость коэффициента множественной корреляции проверя:ют по t-критерию Стьюдента : "' (3.39) tR = RfSR � t ( n - p - 1 ) , rде SR - среднеквадратическая: поrрешность коэффициента множественной корреляции,
SR = ( 1 - R 2 ) /Jn - р - 1 ; значимость R можно проверить также и по F-критерию Фишера :
FR -
(3 .40)
R 2 (n -p- 1 )
(3 .41 ) ( 1 -R ' ) Р • л Полученное значение FR сравнивают с табличным Fт при выбранном уровне значимости и '9_1 СЛах степеней свободы v 1 = n - р - 1 и v 2 =р. Если рас _
четное значение FR превышает табличное, то гипотезу <· равенстве коэф фициента множественной корреляции нулю отвергают и связь считают статистически значимой . 70
Величину R 2 назьmают множественным коэффициентом детермина ции; она показывает, какая часть дисперсии функции отклика объясняется вариацией линейной комбинации выбранных факторов х 1 , х 2 , х3 , . . . , xi· · ·· · xP .
•••
В [78] приведены результаты множественноrо корреляционноrо анализа влияния 1 О факторов на удельные относительные деформации ползучести бетона С ( t, т) . В матрицу исходных данных, вводимых в ЭВМ, включены результаты 367 опытов над бетонными образцами (n = 367 - в матрице 367 строк) , в которых фиксировались значения у = С ( t, т > • и следующих 1 0 факторов : х 1 - отношение массы цемента к массе заполнителя в 1 м 3 бетона (Ц/3), %; 3 х 2 - расход цемента на 1 м бетона (Ц) , кr ; х 3 - влажность среды ( W) , %; 2
х 4 - масштабный фактор (М), м· 10 ; х 5 - водоцементное отношение (В/Ц) , %; х 6 - возраст бетона в момент заrружения (т) , сут; х 7 - время дейст вия наrрузки ( t - т) , сут; х8 - нормальная rустота цементноrо. теста (Н Г) , %; х9 - значение напряжений ( а) , мПа · 1 0; х 1 0 - модуль упруrости заполнителя (Е3 ) , МПа· Н Г 2 • В табл . 3 . 1 приведена треуrольная матрица парных коэффициентов коррел яции . Матрица коэффициентов корреляции (3.32) симметрична, поэтому ее нижнюю поло вину можно не приво дить, так как rx 1 x 2 = r, = rx 2 x 1 и т.д. Коэффициент коррел яции rx 1 x 2 близок к е динице , поэтому фактор х 2 исключен из рассмотрения; статистически x,lllfl.��=��ф.��� �, значимые коэффициенты парной корреляции в табл. 3 . 1 подчеркнуты. Значимые, связи 11liЯ наrлядности удобно изображать в виде rрафа (рис. 1 1 ) . Исполь Xg зуя методы теории rрафов , можно построить таблицу, наrnядно показьmаюшую количест Рис. 1 1 во статистически значимых связей межТ а б n и ц а 3.1
Матри ца коэффициентов парной к оррелJЩИи
;8j у
У
1
Х1
1
хз
1
х4
1
х1 о
Xs
- 0, 1 9 9 -0,263 -0,065 +0,5 20 -0,209 +0. 292 - 0, 1 84 -0, 2 1 9 --1-- + 0,253 -0,056 -0,539 -0,0 3 9 - 0,440 +0,046 +0,076
+0, 1 7 0 -0,054
=0,146 - 0,030 - 0,005 - 0, 3 5 8 1 - 0,05 1 +0,05 1 - 0,0065 1 -0,0 3 3 +0, 252 +0,033 1 1
+0, 1 16 + 0, 1 50 +0, 283 +0,003 - 0, 045 - 0, 149 -0, 108 1
·�-
- 0, 1 3 3 -0,0 1 5 - 0,344 +0,03 5 - 0,046 1
- 0,00 -0,080 -0, 345 +0, 1 49
.::о:о74 +0,297 1-
71
ду функцией отклика и факторами (табл. 3.2) . Такую таблицу называют еще матрицей смежности вершин. Там, где есть статистически значимая связь, в табл. 3.2 стоит 1 , где та кой связи нет О. По этой таблице легко подсчитать число связей (локаль ных степеней) и проранжировать факторы по числу таких степеней. Факто ры, имеющие большое число локальных степеней, можно в других задачах рассматривать как функции отклика. -
Т а б л и ц а 3.2 Ма три ца сме жн ости ве р ш ин
) у
xl
хз
С (t, т)
хз
Х4
xs
( W)
(М)
(В/Ц)
х
xs
В/Ц
т
Х7
t-т
хв
нг
х
о
1
хв (Н Г)
о
а
о
Х1 0
Ез
о
о
х
о
о
о
о
х
о
о
о
о
х
о
о
о
о
х
о
о
о
о
х
о
Х9
(а )
х1 о ( Ез )
о
6
о
о
@ <>
:.: � о ..о t:: :l:
4
о
6
о
2
о
о
2
4
о
о
2
о
4 5
х
о
2
6
..ь ,..
6
о
о
4
о о
о
8
Х7
(t- т)
о
о
х9
Локальные стеnени
(т)
8
о
w
м
х6
о х
Ц/ 3
Х4 х6
xl (Ц/3 )
5 х
5
5
6
6
В табл . 3.3 проведено ранжирование факторов по числу локальных степеней . Полученная таким образом исходная информация дает возмож ность использовать для изучения результатов корреляционного анализа методы теории графов и множеств. Особеюю это полезно при сравнении данных решения нескольких похожих задач [78] . Т а б л и ц а 3.3 Ран жи рован ие по числу локал ных тепеней с ь
Факторы или функция Число локальных степеней 72
С (t, т) 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
В/Ц
w
Ез
нг
а
Ц/ 3
t-т
т
м
6
6
6
5
5
4
4
2
2
В этой работе исследовано влияние 1 0 факторов Xj на три разные функ ции отклика у 1 C ( t, т)• у2 Еб (модуль деформации бетона) , У э R (прочность бетона) , друrими словами, изучалось влияние 10 факторов на прочностные и деформативные характеристики бетона. Методами теории множеств и графов было математически доказано, что факторы по-разному влияют на прочностные и деформативные харак теристики бетона. -
-
-
§ 3.4. Множественны й нелинейв ый регрессионный анализ
Первый этап неливейного множественного регрессионного анализа это получение так называемой �Свадратично й формы. Для этого определяют коэффициенты регрессии Ь 0 , bi, bim и bii в полиноме: у = Ьо + b t X t + Ь2х 2 + .. + bjXj + ... + Ьр Хр + b t t X i ь 2 2х � + ... + 2 2 (3.42) + Ьпхi + ... + Ьрр Хр + b 1 2X tX2 + Ь t эХ t Х э + ... . Степень уравнения можно повышать до тех пор, пока уменьшается остаточная дисперсия S�cr · Начиная со второго шага каждому повышению степени полинома предшествует замена перемениых, линеаризующая функ ции Xp + l = xi . Хр +2 = х � , Хр +З = х � и т.д., после чего коэффициенты но вого «расширенного» линейного полинома определяют по формулам (3.3) (3 .14) . Для практических целей, как правило, ограничиваются квадратичной формой. Как указьmалось выше, при достаточно большом числе обраба тываемых опытных-данных (n > 500) и числе факторов р > 1 0 повьШiение степени полинома становится невозможным, так как эта задача находится за пределами возможностей современных больших ЭВМ, если не исполь зовать процедуру, предложенную академиком ЧебьШiевым, о которой бу дет сказано в гл . N . Другой формой проведения нелинейного регрессионного анализа является использование так назьmаемых «внутренне линейных» форм уравнений, т.е. форм, которые легко линеаризуются логарифмированием или друrим преобразованием. К таким моделям относится прежде всего [43] мулыипликативная модель: Ь _ ь, (3.43) 1 х2 . • . xi j х ьр р,. у"' - Ьох Ь1 логарифмируя это уравнение по основанию е, переводят ero в линейную форму: ln y = ln Ь 0 + Ь 1 ln x 1 + Ь2 ln х2 + ... + (3.44) .
+
••.
+ bj 1 П Хj + ... + Ьр ln Хр .
Далее производят замену переменных: у ' = ln у , ЬЬ = 1n Ь 0 , х; = ln х 1 , х� = ln х2 и т.д. Затем выполняют все операции множественного линейного регрессионного анализа. В конце расчетов производят только одно обрат ное преобразование для получения величины Ь 0 • Друrим примером внутреннелинейных форм уравнений являются следующие экспоненциальные модели:
=
73
1 ) у = ехр (Ь0 + Ь 1х1 + Ь 2 х 2 + + bixi + ... + bpxp) . л ln y = Ь0 + Ь 1х 1 + Ь 2 х 2 + ... + bixi + .. . + Ьр хр ; 2) у = Ь0 ехр Ь 1 ехр Ь 2 ... ехр ь1 ехр Ьр , ln y = ln b0 + Ь 1х1 + Ь 2 х 2 + ... + bixf + ... + Ьр хр ; .•.
..•
3) .У = 1
1 1 + ехр (Ь о + Ь 1 х 1 + Ь 2 х 2 + . . . +ЬjХj + . . . +Ьрхр ) '
ln ( л - 1 ) = Ьо + Ь 1х1 + b 2 x 2 + ... + bixi + ... + bpxp . у
(3.45) (3.46) (3.47) (3.48) (3.49) (3.50)
Наконец, можно упомянуть об обратной модели : л
у= 1
л
у
1
Ь о + Ь 1 х 1 + Ь 2x 2 +
. .•
+ bjXj +
• .
.
+ Ьрхр
'
= Ьо + Ь 1х 1 + Ь 2 х 2 + ... + bJXj + ... + ЬрХр .
(3.5 1 ) (3.52)
Таким образом, ясно, как вычислить коэффициенты регрессии в при ведеиных выше моделях. Например, для уравнения (3.46) достаточно вы числить вектор-столбец ln �, затем решить систему нормальных уравнений ; аналоrично , для модели (3 .52) следует перед решением системы нормаль ных уравнений вычислить вектор-столбец значений 1 /9. Мерой тес.1юты связи в нелииейной зависимости служит множествен ное коррешщпониое отношение , которое вычисляют по формуле (3.37) , но используя для вычисления у нелинейную форму уравнения. Сравнение множественноrо корреляционного отношения с коэффициенто м множест венной корреляции, вычисленным по линейной форме, дает некоторое представление о «кривизне» изучаемой зависимости. Следует отметить одно важно обстоятельств о. В гл. 1 бьmо дано поня тие о результатах неравноточных наблюдений, т.е. результатах, полученных на разных приборах, разных испьпательных машинах и т.д. Оказывается, что такие наблюдения можно объединить в одну матрицу исходных данных, еслИ ввести фиктивную переменную. Фиктивная переменмая имеет два зна чения : О или 1 . Число фиктивных переменных на единицу меньше числа использованн ых приборов , литературных источников и т.д. Значимость фиктивного фактора (проверяемая по t-критерию) говорит о значимости различий между наблюдениями, вьmолненными разными способами. Если фиктивный фактор окажется незначимым, то все наблюдения можно счи тать равноточными , что позволяет использовать эти наблюдения совместно при проведении множественноrо регрессивного анализа. § 3 . 5 . Вы бор оmи мальной ф ормы уравнения ре rресснн в множественной ситуации. Разлнчвые методы решения задачи Для выбора оптимальной формы регрессии бьmо бы лучше всего просто вычислить на ЭВМ коэффициенты всех возмо жных уравнений регрессии, как это делалось при парном анализе, а затем выбрать <mуч74
шее » уравнение по минимальной остаточной дисперсии или значению коэф фициента множественной корреляции, однако такая постановка решения задачи не всегда реальна. Рассмотрим простой пример. Имеется вектор-столбец наблюдений функции отклика у , которая зависит от четырех факторов: х 1 , х 2 , х 3 и х 4 • Запишем все возможные формы только линейных уравнений регрессии для этого случая : I ) y = b0 + Ь 1 х 1 ;
3) у = Ь0 + Ь 3 х 3 ;
2 ) у = Ьо + Ь 2 х 2 ;
4) У = Ьо + Ь 4х4 ;
6 ) у = Ьо + Ь 1 х 1 + Ь эхэ ; 5 ) у = Ь0 + Ь 1 х 1 + Ь 2 х 2 ; 8 ) у = Ьо + Ь 2 х2 + Ь эхэ ; ?) у = Ь0 + Ь 1 х 1 + Ь 4 х 4 ; 1 О) У = Ьо + Ьэхэ + Ь 4 Х 4 ; 9 ) у = Ь0 + Ь2х 2 + Ь 4 х 4 ; 1 1) у = Ь0 + Ь 1 х 1 + Ь 2 х 2 + Ь 3 х 3 ; 1 2) у = Ьо + Ь 1 х 1 + Ь 2 х 2 + Ь4Х 4 ; 1 3) у = Ь 0 + Ь 1 х 1 + Ь 3 х 3 + Ь 4 х 4 ; 1 4) у = Ьо + Ь 2 х 2 + Ьэхэ + Ь 4 Х 4 ; 1 5 ) у = Ьо + Ь 1 х 1 + Ь 2 х 2 + Ьэхэ + Ь 4 х 4 ; 1 6) У = Ьо или у = у.
Общее число уравнений в этом случае равно 1 6 (р = 4; 2Р = 1 6) . Простой подсчет показьmает (43] , что уже при р = 10 число возмож ных линейных вариантов уравнений составит 2 1 0 = 1 024. Если вспомнить еще о нелинейньLх. формах уравнений, то чисто техническая трудность ре шения такой задачи понятна, однако имеется еще одна трудность. Может оказаться, что для нескольких уравнений покаэатели S�ст• R 2 одинаковы, тогда возникает вопрос, какое из уравнений выбрать. Аналогично, показа тело статистической оценки значимости двух факторов также могут быть одинаковы. Для решения вопроса о том, какой фактор следует предпочесть, ис пользуют прежде всего формальные методы. Вычисляются парвые коэф фициенты корреляции ryxi ' частные коэффициенты корреляции, t-критерии Стьюдента для каждого фактора. Можно еще построить два частных урав нения регрессии, в которые входили бы только сравниваемые факторы: ( 3. 5 3 ) у = Ьо + bjXj . у = Ьо + ЬтХт , - и затем вычислить остаточные дисперсии S�ст и частные F-критерии Фи шера для каждого из уравнений. Таким образом, для сравнения важности факторов имеются пять пока зателей : 1 ) коэффициенты парной корреляции между функцией отклика и изучаемым фактором; 2) частные коэффиц!!енты корреляции; 3) t-кри терии Стьюдента; 4) остаточные дисперсии S�ст ; 5) частные F-критерии Фишера. Вероятность того, что все эти критерии для двух сравниваемых факто ров одинаковы практически, равна нулю. Однако ситуация, когда по неко торым критериям кажется более предпочтительным первый фактор, а по другим, наоборот, второй, встречается довольно часто. В этом случае можно предложить суммирование результатов. Пусть, например, при решении задачи было получено, что : л
"
75
Х•
ry xj = 0, 3 5 ;
rqacm =
0,44;
�� = 2,56 ; s1.
ry x m = 0 ,4 8 ;
r
= 0,41 ; = 2,70; S2 cr = 1 90·• "..o qacm .....
tь т
184 · R = 4,13. R 4,65 ; Перед сложением оба значения s�cr целесообразно вычесть ИЗ какого либо постоянного числа, например из 300, и результат разделить на 1 00. Имеем: 300 - 1 84 = 1 1 6 : 1 00 = 1 ,1 6 ; 300 - 190 = 1 1 0 : 1 00 = 1 ,1 0. Скла дывая результаты, получаем: "J:,i = 9,1 6, "J:, m = 9,45 . Следовательно, второй фактор предпочтительнее, однако эта процедура малоэффективна. Решающее значение при выборе того или иного фактора (в том случае, когда при введении их в уравнение регрессии получают одинаковые оста точную дисперсию и коэффициент множественной корреляции) имеют физико-химические или даже интуитивные представления о важности этих факторов. В литературе [43, 46) рассмотрены различные методики проведения множественного регрессионного анализа. Однако все они, по-видимому, моrут бьпь сведены к трем разновидностям: 1 ) методу всех регрессий; 2) методу исключения переменных; 3) методу включения переменных. Метод всех регрессий достаточно подробно описан вьпuе. Кроме того, как уже указывалось, технически он может бьпь использован при неболь ших значениях n (числе опытов) и р (числе факторов) . Целесообразно более подробно остановиться на двух последних мето дах. При использовании метода исключения переменных уравнение регрес сии расширяют сразу до полной квадратичной или, если возможно, до полной кубической формьt. Однако необходимо помнить, что расширению модели должны предшествовать предварительная обработка результатов наблюдений (см. гл. 1 ) , построение линейной модели, вычисление парных и частных коэффициентов корреляции, предварительное исключение одного !!З сильно коррелированных факторов, вычисление остаточной дисперсии �ст • коэффициента множественной корреляции R и F-критерия Фишера по линейной модели. Исключение начинают с фактора, имеющего наименьший критерий Стьюдента. На каждом этапе после исключения каждого фактора для но вого уравнения регреесии вычисляют множественный коэффициент корре ляции, остаточную дисперсию и F-критерий Фишера. Наибольшую трудность представляет решение вопроса, на каком этапе прекратить исключение факторов. Здесь возможны следующие поцходы: 1 ) прекратить исключение факторов, когда остаточная дисперсия начнет увеличиваться; 2) назначить уровень значимости р % при вычислении t-критерия Стью дента для последнего оставляемого фактора. Во втором случае целесообразно перед началом отсева факторов по строить диаграмму ранжирования t-критериев Стьюдента для всех фактолосr =
76
=
'
ров и эффектов (совместных факторов) расширенной модели. Практика показьшает, что при этом могут встретиться диаграм мы трех типов (рис. 1 2) . Если имеет место диаграмма первого типа, то момент прекращения отсева факторов определить легко . Он соответствует скачку в диаграм а) ме (рис. 1 2, а, б, в ) . Диаграмма второго типа х.арактеризует ся тем, что если соединить середины верх них концов столбиков , то получается экспо нента. По этой диаграмме (' меньшей уве ренностью) также можно оГiределить, где следует закончить отсев факторов . Диаграмма третьего тиnа, у которой в результате соединения середин верхних концов столбиков получает.;я прямая, не дает информации о моменте окончания от сева факторов . В этом случ:tе для прекра щения отсева назначают предельный уро вень значимости при вычис.Iенци t-крите 6} рия Стьюдента для факторов, остающихся Рис. 1 2 в модели р = 5 %. Если теперь рассмотреть метод включения факторов, т о можно от метить, что его основные принципы уже изложены в ьШiе. Действительно, при исnользовании процедуры включения факторов, важнее всего знать, какой из них является наиболее предпочтительным, т.е. какой фактор включить в модель в первую очередь. Подробно процедура метода вклю чения изложена в [43 ] на первом этапе выбирают фактор, у которого ry x · наибольший (предполо ж им, что это х1 ) , и строят линейное ур а внение у .1:. j (х 1 ) . Затем в ычисляют частный коэффициент корреляции. В матема тическом отношении это эквивалентно вычислению корреляции между ос таткаМif ei от регрессии у = J (х1 ) и регре ссии xi = f; (х 1 ) , которая факти че ски не определяется. Затем выби рают величину xi {пре дn оложим, что это х ) , которая отличается наибольшим частным коэффициентом корреляции с 2функцией отклика у. и нахtщят второе уравнение регрессии у = f {x 1 x2 ) и т. д. При использовании меп)да включения переменных также проводят все перечисленные выше предварительные вычисления для метода исключе ния переменных, кроме расширения модели. Основным критерием для оnределения порядка включения факторов является, как отмечалось выше, значение частного коэффициента корреляции, поэтому ме тод включения используют в основном nри построении линейных или внутреннелинейных моделей (мулыипликативных, обратных, экспоненциальных) . Для квадратичных форм и форм высших порядков чзстные коэффи циенты корреляции вычислить невозможно, для этих моделей применяют метод искл ючения факторов. :
77
При
про ведении
м но жеств енного
ре гре ссионно го
анал и за
методо м
вкл ючения факторов оп ерации на ЭВМ целесо образно в ыполнять в сл едую ще м порядке :
1) 2) 3) 4)
постро ить л инейную модел ь ; построить м атрицу коэффициентов п арной корреляции ; в ычисл ить частные коэффициенты коррел яци и ; в ычисл ить к ритерии для оценки к_ачеств а преДсказания ре зул ьтатов
оп ыта полной л и нейной модел ью (R , R 2 •
5)
S�ст) ;
по строить линейную модел ь с одним фактор о м , у кото ро го част
ный к о эффициент коррел-!_ц ии наибол ьши й ; 6) в ычисл ить R , R 2 и дл я п олучеююй в п .
S�ст
5
модели .
Е сл и для дв ух и л и нескольких ф ак торов получены одинаковые част
ные коэффициенты коррел яции , то для определения порядк а в кл ючения факторов в водят в действ ие описанну ю в ы ше процедуру срав нения факто ро в
по пяти !iРИ терия м . Вкл ючение ф ак торов продол жа ют до тех пор, полученных модел ей улучша ются, и может б ыть закон
по ка R , R 2 и
S�ст
чено , к о гда в кл ючение нового ф ак тора приводит к не значител ьно му увели че нию R, R 2 и уменьшени ю или даже к ухудшению этих по казателей .
S�ст
§
3 .6. Примеры множестве101ого регрессио101ого анализа
Метод искл ючения эффектов
(факторов и парных в заи модействий)
мо жно рассмотреть на примере п о строения модели дл я в ычисл ения пол зучести бетона
[78) ,
исходные данные которой приведены в
§ 3 2. .
В этой
задаче строил ась зависимость удел ьных относительных дефор маций ползу
т)
чести б етона C , ОТ де ВЯТИ факторов : Х 1 , Х з . Х 4 , X s , Х6 , Х 7 , X s , Х9 , Х 1 О · (t Расшифровка факторов дана в 3 .3 . На перв о м этапе на ЭВМ бьmа построе
§
54 эффектами в ида Ь0 + Ь 1 х 1 + Ь 2х2 + . . . + Ьрхр + Ь 1 1 х 21 + Ь 2 2 х22 + . .. + Ьрр Хр2 + + Ь 1 2 х 1 х 2 + Ь 1 3х 1 х3 + . . . , л у = -35 1 8,754 + 7 ,798х1 + 1 0,888х3 + 1 79,306х4 + 1 0,434х5 - 1 ,229х6 + 0,268х7 + 287,5 90х8 + 5 44 2х9 - 1 2,003х1 0 - 0,5 62х� -0, 1 25х1х3 - 0,309х 1 х4 - 0,0 1 3х� - 0,0 1 7х3х4 + 0,07 1 х1 - 0,036х1 х5 - 0,0007х 1 х6 - 0,003х 1 х7 - 0,062х3х5 + 0,004х 3х6 + 0,0002х3х7 <3 · 54) - 0,438x4 xs - 0,01 6х4 х6 + 0,0003х4 х7 - 0,0 1 0х1 х8 - 0,05 1х1 х9 + + 0,087х1х1 0 - 0,1 77х3х8 + 0,004х3 х9 - 0,00 1х3х 1 0 - 4,377х4 х8 - 0,057х4 х9 - О, 1 02х4 х 1 0 - 0,0 1 7.xi ' -- 0,0 1 Ох5х6 - 0,003х 5х7 + + 0,0009х� - 0,00005х6 х7 - 0,00003� t 0, 1 1 5х5х8 - 0,024х5 х9 + + 0,0 1 0х5х 1 0 + 0,063х6х8 + 0,00 1 х6х9 - 0,00 1х6х1 0 + 0,004х7 х8 + + 0,0002х7 х9 0,0005х7х1 0 - 0,083х� - 0,1 45х8х9 + 0,5 03х8 х 1 0 + + 0,002х� + 0,0004х9х1 0 + 0,0002xf 0 ; на полная к в я дратичная модел ь с " у -
,
-
критерий Фишера для этой модел и л
F = 45 06,774/ 1 489,286 78
=
3,026 > F T
=
1 ,02.
Затем б ьm прои зв еде н 1 1 -ступс нчатый о rсев нсзначимых эффекто в , в про
цсссе кото ро rо б ьiно
и с кл ючено 28
стат истически не зна чи мых по !-крите
р и ю Стьюдснта эффе кто в , в резул ьтате бьmа тами :
п оп уч ена
модель с 26
эффек
у = -6411 ,454 + 3 ,968х3 + 1 37 ,328х4 + 9,223х5 + 0,37 lx7 + 473,002х8 - 5 ,9 1 5х1 0 -- 0,460х� - 0, 1 07х1 х3 + О,074х� - 0,002х1 х7 - 0,065х3х5 + 0,004х3х6 - 0,334х4х5 + O,OO ix� - 0,070х7х1 0 (3.5 5 ) - 3,007х4х8 - 1 , 1 22\"4Х1 0 - 0,01 8х5х6 - 0,00002х� + 0,007х5 х1 0 + + 0,0003х7х9 - 0,0006х7х1 0 - 1 0,65 3х� - 0,039х8х9 + 0,285х8х1 0 + 0,003х� ; "'
F = 45 06,774/ 1 483,7 27
=
3 ,038 > р т
По сп е дешифровки урав нение
=
1 ,02.
(3 .5 5 ) п ри нЯJi о вид
С (t, т ) = [ -64 1 1 ,454 + 3 ,968 W + 1 37 ,328М + 9 ,223 (8/Ц) + 0,37 1 (1-т) + + 473 ,002 Н Г - 5 ,9 1 5Е3 - 0 ,460 (Ц/З) 2 - 0, 1 07 (Ц/З) W + 0,074 (М) 2 - 0,002(ll/3) (t- т) - 0,065 W(В/Ц) + 0, 004 Wт - 0 ,334M· (ВIЦ) + 0,070 (Ц/З) Е3 - 3,007 М (НГ) - 1, 1 22МЕ3 - 0,0 1 8 (8/Ц) т + 0,001 (т) 2 - 0,00002 (1- т) 2 + + 0,007 (8/Ц) Е3 + 0,0003 (1 - т) о - 0,0006 (1 - т) Еi - 1 0,65 3 (НГ) 2 7 (3.56) - 0,039 (НГ) о + 0,285 (Н Г) Е3 + 0,003 ( о) 2 ] H r ; •
1\
F-критерий Фишера уравнения (3.5 0) увеличился незначительно (F = = 3 ,038) , друrие nоказатели оказались хорошими (R = 0,840, R 2 = 0,706) . Уравнение (3.5 6) имеет явно нелинейный характер. Из 26 оставшихся в уравнении эффектов л инейные только 6. В табл . 3 .4 nриведсны nредел�1 вариации у , xi в матрице исход11ой ин формации, а также nределы, в которых рекомендуется исnользовать фор мулу (3 .55 ) . Лучше всеrо любое уравнение реrрессин nредсказывает в центре фак торноrо nространства с координатами "Xj. По мере удаления от этоrо центра Т а б л и ц а 3.4
Пр еделы вариации у, Xj
Единица величины
1 С (t, т) 1 Ц/3 1 w l
Пределы изменения факторов в исходном материале
(МПа х х 1 0)-1 7,5 480
Пределы. в кото- snin рых рекомендуется шах использо вать формулу (3 . 1 55 )
��
су т
1 нr l 24 28
%
%
м · 1 02
1 В/Ц 1 %
с ут
5,5 34 , 5
35 105
!.!z_l 80
27 1 05
1 365
6 3 800
14
50 90
10 20
40 70
14 115
14 i 7 00
25
м
т
1
* Числа псрв01·о столбца таблицы следует у множить на 1 О
7
.
%
24
ffi
о
1
Еэ
МПа х МПах х 1 0 х ш-•
!bli
300 900
24
320 570
250
iТб
79
качеств о п редсказания ухудшается . При очень бол ьшом удалении с помо щью урав нения регрессии можно п олучить нелепые результаты . Как в идно из та бл . 3 .4, предел ы , в которых реко мендуется испол ьзовать формул у ( 3 5 5 ) , определ ены с большой осторожностью, и они значител ьно меньше пределов изменчивости факторов в исходном эк спериме нтал ьно м материа л е . Однако и указанная величина интерв ал а достаточна для л рактического примен�:tШя формулы ( 3 . 5 5 ) . Метод включения факторов исnользован в работе [ 1 58 ) , в которой исследо вано вл ияние 2 2 факторов на усадку (уменьш�ние об ь�:ма с 1 ече нием в ремени) цементно-песчаных растворов . Окончател ьно сохранено 8 факто ров , и линейное уравнение регрессии имеет в ид .
л
у = - 23
4, 7 + 1 44х 2 - 486х7 - 1 465х1 0
+ 5 ,46.\'1 5 - 1 3 ,3х 1 8 + 1 6 4х2 2 ,
+
2 1 &\" 1 2
+
5 , 6 8х1 3 +
(3.57 )
где у - о тносител ьные деформации усадки це ментно-песчаного раствора (Бу · 1 06 ) : х 2 - суммарное содержание щелочей , приведеиное к экви валентному содержанию Na2 O{R 2 0), %; х 7 - структурный коэффициент Шейкина (k) ,
х1 0
k
=
(0,5C3S + 0,2C2 S) / (0,75 C3 S + C2 S) ;
соотв етств ующая пол но му о стат - максим ал ьная к рупность л3 еска, ку на сите � 5 % (аша.·J , м · 1 0 х 1 2 - модул ь к рупности л еска (Мкр ) : х 1 3 - коэффициент nоверхности л еска (kпов ) ; х 1 5 - расход воды в смеси 3 разница ( В ) , л / м : х 1 8 - в лажность воз духа в лаборатории (8 ) , %; х 2 2 между фактическим и оптимальным содержанием серного ангидрида ( д S О з = 1 S03 - SO�"т l ) , %. Уравнение ( 3 . 5 7) при в едено для иллюстрации в озможностей регрес сионного анализа , а так же для илл юстрации того о бстоятел ьства, что в ка честв е фак торов иногда можно испол ьзовать достаточно сложные функции. Вычисленное Д/IЯ уравнения (3.57) F -отно шение равно 3 .7 1 и значительно превышает границу значимости. Множеств енный корреляционный и регрессионн ый анал изы при их умел ом использовании являются мо щн ым аппарато м познания явлений nрироды и обществ а. ,
-
§ 3 . 7 . Методика отыскания к ом бинаций значений факторов , м ак си ми эирую щих и м ини м и эирующих фун кци ю отклика Нел инейное урав нение регрессии можно использовать для решения очець в ажной задачи , часто вст речающейся в естественно-научных иссл е до ваниях. Задача состоит в отыскании максимума и минимума той или иной функции откл ика. Для определения типа много мерной поверхности следует квадратичное урав нение регрессии nривести к канонической форме. В стречаются сл едующие мно гомерные n ов ерхности [ 1 02 ) : 1 ) пов ерхности, имеющие оди н зкстремум - максимум или мини му м ; в этом случае в се коэффициенты кано нической формы и ме ют оди наковый знак , центр фигуры находится в близи центра эксперимента : 80
2)
пов ерхно сти типа мини макса - ко эффициенты канониче ской формы
имеют разные знаки, центр фигуры расположе н в бл изи центра э к спери мента ;
3) пов ерхно сти типа возрастающего в озв ышения ( «rребня») - центр фиrуры удал ен от центра эк сперимента , часть коэффицие нто в к аноничес к о й формы близка к нул ю.
После определ ения формы много мерной поверхности , есл и о кажется, что исследуемая поверхно сть отно сится ко в торому или третьему кл ассу , можно попытаться о ты скать услов ный ма ксиму м и миниму м . Если дл я пров едения этих операц ий в о спользо в аться , напри мер , уравнением ре гре с
(3.58) ,
сии
то цел есо образно условный э к стремум иск ать в пределах ги
перпространств е нной сф еры с радиусо м , равным с ко ординатами
"Xj.
.JS'[:,
и центро м в точк е
Дл я нахожде ния усл овного эксfрему ма в заданной
о бласти ф акторного много мерного п ро странства мо жно в оспол ьзоваться методом перебора в сех к о м бинаций незав исимых переменных, при это м переменные на и нтерв ал е в арьиро вания к вантуют прои звол ьно . Полином в торого порядка при
р п ере ме нных вида
Ь о + Ь 1 х 1 + Ь 2 х 2 + . . . + ЬрХр + b 1 1 x i + ь 2 2 х 2 + . . . + ЬррХ� + + Ь 1 2 х 1 х 2 + Ь 1 3х 1 х з + . . .
у =
мо жно представ ить в к анониче ской форме :
(3.58) Есл и о бо значить
(3 .42)
ао
=
принимае т в ид
Ьо
- у,
2aj = ьj . 2щт
а 0 + . t 2ar"i + . t 2ajmXjXm + . t анхJ 1=1 J=l J, m = l
=
=
Ьjт · Ujj = Ьн , ТО
О.
уравнение
(3 .59)
Чтобы иреобразов ать это урав нение к канонической форме , составляют харак теристические урав нени я в ида
rде
� дP - r fr = O, r = О, р , r Ir - инв арианты поверхно сти
ai, aim • Ujj • не
(�)
(некоторые функции ко эффициентов
меняющие значения при переносе начал а координат и повороте
о сей) . Отметим , что
Ujm .
(3 .60)
fp
р ав е н взято й с мно жителе м
(- 1 ) 2
сумме всех
гл авн ых миноро в определ ителя, со ставлено из ко эффицие нто в Корни характеристиче ско го урав нения
фициентами п ри но в ы х п еременных Координаты центра
л ! 1 ' л 2 1 ' ... , Ар
Ujj
и
ЯВЛЯЮТСЯ коэф
Xi в канонической форме.
Ys = f(x l s• X 2 s • · · · · Xps )
(3 .6 1 )
ду -= о , 1. = 1 , р ,
(3.62)
о п редел яют и з системы уравнений
дхj
81
ил и,
что то же самое, L O ljXj + Ot = 0, j L a2 i xi + а2 = О , j L OpjXj + j
Ор
= о.
(3 .63)
Каноническая форма имеет вид
Y - Ys = � "Xj Xf .
(3.64)
1
ни
Новые переменные х1 связаны со старыми х1 следующими соотношея ми : (3.65) Xj = � Cjm Xj · 1
Коэффициенты с;т определяют из системы нормированных уравнений, включающих значения корней л1 характеристического уравнения. Эти операции о бычно в ьmолняют на ЭВМ. Т а б л и ц а 3.5
Матри ца коэффициентов при парных вэаимодействиях уравнения Код XJ
хэ х4
xs хб х,
xs х9 х1о
XJ
хз
-0,460 - 0, 2 14 о
х4
xs
хб
х,
о
о
о
о
xs
х9
х1 о
-0,004
о
о
+0, 140
о
о
о
о
о
о
-6,014
о
-0,244
-0,036
о
о
о
+0,0 14
+0,001
о
о
о
о
-0,00002
о
-0, 1 3 0 +0,008
+0,074 - 0,668 о
(3.55 )
- 1 0,65 3
+0.0006 - 0,00 1 2 -0,07 8
0,570
+0,003
о о
Порядок выполнения операций покажем на примере приведения к ка ноническому виду уже знакомого уравнения (3.5 5 ) . На первом этапе сос тавляем матрицу коэффициенто в при парных в заимодействиях факторов уравнения (3 .5 5 ) (см. табл . 3 .5) . Все элементы матрицы, кроме диагональ ных, удваиваем. Нулевые значения в ячейках табл . 3 .5 поставлены там, где коэффициен ты при парных взаимодействиях статистически незначимы. Опьп пока82
зал , что можно бьmо бы учесть и незначимые по t-критерию коэффициенты и это мало изменило бы результат вычислений. Расчеты можно провести, учитывая и не учитывая незначимые коэффициенты, а затем полученные результаты проанализировать и выбрать лучший (с точки зрения иссле дователя) . Далее составляем систему уравнений в частных производных: - 0,920х1 - О , 1 07хз - 0,002х7 + 0,070х1 0 = О, 3 ,968 - 0,1 07х 1 - 0,065х5 + 0,004х6 = 0, 1 37 ,328 + 0, 1 48х4 - 0,334х5 - 3 ,007х8 - 0, 1 22х1 0 = 0, 9 ,223 - 0,065х3 - 0,334х5 - 0,0 1 8х6 - 0,007х1 0 = 0, 0,004 - 0,01 8х5 + 0,002х6 = О, 0,37 1 - 0,002х 1 - 0,00002х7 + 0,0003х9 - 0,0006х1 0 = О, 483,002 - 3,007х4 - 2 1 ,306х8 - 0,039х9 + 0,285х1 0 = О, 0,0003х7 - 0,039х8 + 0,006х9 = О, -5,9 1 5 + 0,070х 1 - 0 , 1 22х4 + 0,007х5 - 0,0006х7 + 0,285х8 = 0.
Решая систему, находим координаты центра: х1 .= 26, 1 0 ; х3 = 1 3,09; х4 = = 1 7 ,43 ; х5 = 36,9 1 ; х6 = 306,00; х7 = 2083 ,02 ; х8 = 25 ,28 ; х9 = 60, 1 9 ; х1 0 .= 422,5 6. По формуле (3.5 1 ) вычисляем Ys = 1 1 ,28 5 . Уравнение регрессии в канонической форме имеет вид
о,59 Х1 + о, 1 8 х� + 2 ,96 х� - о,2о Х1 + о,оо2 х� (3.66) - 0,0002 А1 - 1 3 ,37 Х1 + 0,004 � - 0,034 Xj 0 , rде новые переменные Х определяются следующими уравнениями : Х1 = 0,88х 1 + 0,35х3 - 0,06х4 + 0, 1 5х5 + 0,0045х6 + + 0,005 5х7 + 0,02х8 + 0,0028х9 - 0,26х1 0 , Х3 = -0,32х1 + 0,70х3 + 0,023х4 - 0,46х5 + 0, 1 2х6 + + 0,0097х7 - 0,04х8 + 0,0 1 5х9 - 0,42х1 0 , у-
1 1 ,285
= -
х4 = -0,006х 1 - 0,008х з + 0,88х4 + 0,20xs - 0,002хб + + 0,000 1х7 - 0,40х8 + 0 , 1 04х9 - 0, 1 5х 1 о , Х5 = -0,3З.х• + 0, 1 8хз - 0,20х4 + 0,82xs + 0, 1 4хб -0,0087х7 + 0,096х8 + 0,04х9 - 0,34х1 0 , Х6 = 0,066х 1 - 0, 1 24х3 + 0,020х4 - 0,05 5х5 + 0,83х6 -0,26х7 - 0,0068х8 - 0,47х9 + 0,02 1х1 0 , Х7 = -0,0099х1 - 0,049х3 + 0,0008х4 - 0,005х5 + 0, 1 9х6 + +0,96х7 + 0,00007х8 - 0, 1 8х9 - 0,0 1 5х1 0 , Х8 = 0,00034х1 - 0,000 1 9х3 + 0,41 х4 - 0,0204х5 - 0,00006х6 - 0,00005 3х7 + 0,9 1х8 + 0,005х9 - 0,03 1х1 0 , Х9 = 0,05 4х1 ..:.. 0,088х3 + 0,0077х4 - 0,057х5 + 0,48х6 + + 0,064х7 - 0,008х8 + 0,86х9 + 0,047х1 0 , Х1 0 = -0,029х1 + 0,5 7х3 - 0,09х4 + 0,20х5 + 0,08х6 - 0,024х7 - 0,008х8 - 0,0 1 6х9 + 0,78х1 0 .
(3.67)
83
Каноническое уравнение (3 .66) имеет члены, бл изкие к нулю; сле довательно , оно описьтает в многомерном пространстве фигуру третьего типа (типа «гребня») . Характер полученного канонического уравнения дает возможность перейти к анализу уравнения регрессии (3.55) методом квантования переменных. Квантование переменных выполняем следующим образо м (см. табл . 3.4) : х 1 (Ц/ 3) - 14; 1 6,2 ; 1 8 ,4; 20,6 ; 22,8 ; 25 ; х3 ( W) - 50; 5 8 ; 6 6 ; 7 4 ; 8 2 ; 90; - 1 0; 1 2 ; 1 4 ; 1 6 ; 1 8 ; 20; х 4 (М) х5 (В/Ц) - 40; 46 ; 52; 5 8 ; 64; 70; х6 (т) - 1 4,0; 34,2; 54,4; 74,6 ; 94,8 ; 1 1 5 ,0; х1 (t - т) - 1 4,0; 35 1 ,2 ; 688,4; 1 025 ,6; 1 362 ,8 ; 1 700,0; х 8 (НГ) - 24; 24,7 ; 25,4 ; 26, 1 ; 26,8 ; 27,5 ; - 24; 41 ,2 ; 5 8,4; 7 5 , 6 ; 92,8 ; 1 1 О; х 9 ( а) Х1 о (Е3) - 320; 370; 420; 470 ; 5 20; 570. Исходя из физических представлений о сущности явления, можно сле дующим образо м характеризовать влияние факторов на удельные относи тельные деформации ползучести бетона : 1 ) с уменьшением влажности среды W увеличивается С (t, т) ; 2) с уменьшением размеров образца (масштабного фактора М) С (t, т ) увеличивается ; 3 ) с увеличением В/Ц увеличивается С(t, т ) ; 4) с течением времени (t - т ) увеличивается С (t, т) ; 5 ) с уменьшением Н Г увеличивается С (t,т ) ; 6 ) с увеличением Е3 уменьшается С ( t, т ) ; 7) с увеличением Ц/3 увеличивается с (t, т ) ; 8) с увеличением напряжений а увеличивается С (t, т) ; 9) с увеличением возраста бетона т уменьшается С (t, т ) · При расчете на ЭВМ перебирают все возможные ко мбинации кванто ванных значений факторов. Число комбинаций определяется формулой т = ri, где n - число квантов в интервалах варьирования факторов, j число факторов . На печать в ьшодят максимальные и минимальн ые значе ния функции отклика и максимизирующие и минимизирующие значения факторов. Приведем результаты решения: 1 ) максимизирующие значения факторов : W = 5 0 %, М = 1 0 м · 1 0 2 , В/Ц = 70 %, (t - т) = 1 700 сут, НГ = = 24 %, Е3 = 570 МПа· 1 0- 2 , Ц/ 3 = 25 %, а = 1 1 0 МПа· 1 0, т = 1 4 сут, макси 7 мальное значение функции отклика С (t, т) = 1 8 2,68 · 1 0- (МПа · I О) - 1 ; 2) минимизирующие значения факторов : W = 90 %, М = 20 М · 1 0 2 , В/Ц = 40 %, (t - т) = 1 4 сут, НГ = 27,5 %, Е3 = 570 М Па · 1 0- 2 , Ц/3 = 1 4 %, а = 24 МПа· 1 0, т = 1 1 5 сут, минимальное значение функции отклика С(t, т ) = 33,1 0· 1 0- 7 (МПа · 1 0) - 1 • 84
Таким образом, получе нное математическое напр авление действия факторон точно соответствует изложенным выше физическим представ лениям. § 3 .8. Ал горитмы и укрупне101ые блок-схемы алгоритмов множе ственного корреmщио101ого и множествею1ых регрессно101ых анал изов, выполняемых методом исключения и методом включения переменных
Анализ методом исключения переменных включает следуюшие опе рации : 1) ; 1 ) предварительную обработку исходных данных (см. формулы 2) построение линейной многофакторной модели [формулы (3.3) rл .
(3 . 1 4) ) ; 3) проверку статистической значимости факторов и модели в целом [формулы (3 . 1 5 ) - (3 . 1 9) ] ; 4) вычисление коэффициентов парной корреляции [формулы (3.20) (3 .27) ) и проверку их значимости [формулы (3.28) - (3 .3 1 ) ] ;
Рис. 1 3
Рис. 1 4
85
5 ) вычисление частных коэффициентов корреляции и проверку их значимости [формулы (3 .33) и (3 .34) ] ; 6) вычисление множественных коэффициентов корреляции и детерми нации и проверку их значимости [формулы (3 .35 ) - (3 .4 1 ) ] ; 7) построение квадратичной формы [формула (3.42) ] ; 8) ступенчатый отсев незначимых факторов с вычислением на каждой ступе ни характеристик �ст • F. R, R 2 нового уравнения; 9) выбор момента прекращения отсева ; 1 О) исследование окончательного уравнения регрессии ( см. п. 3} . При анализе методом включения факторов пункты с 1 -го по 6-й вклю чительно предыдущей методики можно сохранить. Отличия начинаются с 7-го пункта : 7а) выбор первого фактора для включения в модель (3. 2 1 ) ; 8а) включение факторов в р � ных комбинациях с вычислением на каж дой ступени характеристик �ст• F, R, R 2 нового уравнения; 9а) исследование окончательного уравнения регрессии (п.З) . Укрупненные блок-схемы алгоритмов приведены на рис. 1 3 и 14.
Гл а в а
IV
ДО ПО ЛНИfЕЛЬНЫ Е СВЕД ЕН ИЯ О ПОСfРО ЕН ИИ ЭМ ПИ РИ ЧЕСКИХ ЗАВИСИ МОСfЕй ПО О ПЫ1Н ЫМ ДАННЫМ
§ 4.1. Предварительные соображения На первом этапе оэнакомJJ е ния с методикой обработки экспериментаJJьных данных и построения эмпирических формул по резул ьтатам традиционных «Пассивныю> экспериментов достаточно изучить материал первых трех глав настоящего пособия. Желающим глубже изучить этот вопрос необходимо ознакомиться и с материаJJами данной rлавы, в которой изложены некоторые специаJJ ьные аспекты и методы построения эмпирических зависимостей по эксперимен таJJ ьным данным. § 4. 2 . По стр оение нелннейных эмпирических за висимостей с использованием орто гональны х полиномов Чебы шева (парабол ическое интерполирование)
Выше указываJJось, что аппроксимирующий нелинейвый полином вида (4. 1 ) может быть любой степени, но при построении ·полинома высоких степе ней ошибки округления начинают иrрать заметную роль. Более существенно то , что при каждом повьШiении степени полинома приходится не только в ычислять новый ко эффициент, но и пересчитывать все остаJJ ьные коэффициенты. Пусть, например, по экспериментаJJ ьным данным построен полином у = а0 + а 1 х + а2х 2 • ДЛя того чтобы построить полином вида у = а0 + а 1 х + а2х 2 + а3х 3 , необходимо не только вычис лить коэффициент а3 , но и пересчитать а0 , а 1 и а 2 • Способ Чебышева позволяет значительно упростить этот процесс [37 ] . Аппроксимирующий многочлен строится в виде суммы повышающих сте пеней , причем добавление новых слагаемых не изменяет вычисленных ранее коэффициентов . Прибавляя таким образом tmeн за членом к многочлену, можно наблюдать, как убывает остаточная дисперсия ; таким образом, об легчается и процесс выбора степени многочлена. Рассмотрим построение парной нелинейной зависимости. Исходнымч данными являются два вектор-столбца n наблюдений х и у. Требуется по строить нелинейвый параболический полином степени т с числом неиз87
ве стных к о эффициентов
т +
1.
При это м , как прав ило ,
т
<
11.
Сущность
спо со ба Чебышева состо ит в том, что аппро к симирующий мно го чл е н о тыс к и в а ют не непосредственно в виде суммы сте пеней
х,
а в в и де ко мбинации
мно гочлено в , которые в ыбирают специал ьным образо м . Можно запи сать
где
со
[ 37 ]
иско м ый многочл ен в в иде
у = аоФо (х ) + а 1 Ф 1 (х ) + . . . + ат Фт (х) , и вооб ще ф1 ( х) - мно го чл е н Ф о( х) = 1 , ф 1 (х) = х + а 1 •• •
(4 .2 ) степени l в ида
( 4 . 3) Фt (Х ) = xl + a ( l } xl - 1 + . . . l стар щи м ко эффицие нто м , рав ным еди ни це . Способ п о строения этих
многочленов рассмотрен ниже . Е сл и п редположить, что м но гочлены уже по стро ены, то мо жно отыски вать значения коэффициентов
а 0 , а 1 , а2 , а 3 ,
•• • •
От -
Для этого , как и в гл .
по принципу Лежандра необходи мо найти миниму м функции :
U = i ЁI {у; - [ао Фо (х;) + а 1 Ф 1
Вычисление частных производных функции
а0 , а 1 , а 2
•
... •
ат
}
(х;) + ... + ат Фт (х;) ] 2 • U
11,
(4.4)
по в с е м к о эффицие нта м
дает во змож но сть построить систе му но рм ал ьных урав не
[ 37 ] : 2 1 ао � [Фо (х;) ] + a t �Фо (х;) Ф (х;) + а2 �Фо (х;) Ф2 (х; ) + . . . + + От �Фо (х;) Фт (х;) = �У; Фо (х;) , 2 а о � Фо (х;) Ф t (х;) + а 1 � [Ф 1 (х;) ] + а 2 �Ф 1 (хi) Ф2 (х;) + ... + + ат �Ф t (х;) Фт (х;) = �У;Ф 1 (х;) ,
ний метода наименьщих кв адрато в
а о �Фо (х;) Фt (х; ) + а 1 �Ф 1 (х;) Фt (х; ) + . . . + а, � [Фl (х;) ] 2 + + · · · + От �Ф1 ( х;) Фт (х;) = �YiФl (х;) , а о �Фо (х;) Фт (х;) + O t �Ф 1 (х;) Фт (х;) + .. . + От � [Фт (х;) ] 2 = �Уi Фт (х;) .
(4.4а)
=
Решая эту с»сте му, можно получить значения ко эффи ци е нтов пол инома
(4 .2) .
Много чл е ны ф 0 (х ) , ф 1 (х) , . . . , Фт (х) следует в ыбирать так, чтобы мо жно бьmо упростить систе му (4 .4а) . Дл я это го необходимо подобрать многочл ен ы , удо влетворяющие у сл овиям
�Фt �'"; ) Фk ( х;) = � [Ф1 (х;) ] 2 =F О,
О, 1
1
=t= k, --
= О, т.
По сл еднее означае т , что хотя б ы
Ф1 (х) * О. Чебы шева.
Такие
( 4.5 )
в
х ;. i = Т,-;, мно го чл е н ортогональными много членами
одно й и з точек
многочл ены называют
Понятие ортогонал ьности - это экстрап ол яция понятия перпе нди куляр но сти в екторов на пл оско сти в многомерное п ространств о . При в ыполне нии усл овий ( 4.5 ) в л евой части ка ждого из уравнений систе мы (4.4)
88
один чнен, так что сразу можно искомых коэффициен тов
остас rся только
al
=
'!: У i Ф/ :!;
написать
выражение дл я
( х ;)
(4.6)
1Фr(х ;))2
где l = О, Теперь следует убедиться, что условия (4.5) вьmолнимы, и найти соответствующее им выражение для ортогональных многочленов Чебы· шева при заданных точках х; . . Ранее бьmо принято ф0 (х ) ' = l . Из условия (4.5 ) , полагая l = О, k = l для многочлена ф 1 (х) , получаем , т.
�Фt (xt) = О. как ф 1 (х ) = х + а 1
Так ваем в виде
( 4.7)
(см. формулу
(4.2) ) ,
то условие
(4.7)
переписы
� (х ; + а 1 ) = О.
Оrкуда
(4.8) �х; + na 1 = 0, или а 1 = - ( 1 /n) �х; . Нетрудио заметить, что это среднее значение х с противоположным знаком: а 1 = -х. Окончательно получаем Ф t (х ) = x - ( 1 /n) �x; .
(4.9)
Для построения многочлена ф 2 (х) необходимо положить в условиях (4.5 ) последовательно l = О, k = 2 и затем l = l , k = 2. В результате полу чаем два уравнения:
{�Ф�Ф2t (х(х;;)) Ф2= (хО,;) = О,
(4. 1 0)
где ф 2 (х) - многочлен второй степени со старшим коэффициентом, рав ным единице. Этот многочлен можно записать в виде (4.1 1 )
Ф2 (х ) = (х + f32 ) Ф t (x) + 'У 2 Ф о (х ) ,
где Ф о (х ) = l . Подставим выражение
{
{
(4. 1 1 ) в систему (4. 1 0) : �х ;Ф t (х ; ) + {32 �Фt (х; ) + n 1 2 -= 0. 2 �х; [ Ф t (х;) ] 2 + 132 � [ Фt (х;) ] + 'У2 �Фt (х; ) = О.
Учитывая выражение
( 4.7 ) , запишем формулы ( 4. 1 2) �х;ф 1 (х ; ) + n 12 = 0 , 2 �х; [ Фt (х;) ] 2 + (32 � [ Ф t (х;) ] = О.
(4 . 1 3) , получаем - '!: х;(Фt (х;) ) 2 1 , 'У2 = - - �х; Ф t (х; ) , 132 = n !: ( Ф t (х;) [ 2
(4. 1 2 )
в виде (4. 1 3)
Решая систему
(4. 1 4) 89
где "'2:-х;Ф 1 (х;) = "'2:-х; (х; + а 1 ) = "'2:-xf + а 1 "'2:-х; , 2 = "'2:. (х; + а 1 ) Ф t (х;) = r.x; Ф t (х;) , "'2:. [Ф 1 (х;) ] "'2:-х; [ф 1 {х;) ] 2 = r. (xf + at x;) Фt (x;) = = r.x[ + а 1 r.xf + а 1 r.x; Фt {х;) ·
(4. 1 4а)
Таким образо м построены многоtтены Фо (х) , Фt (х) и Ф 2 (х) . Приве дем без доказател ьства рекуррент ную формул у, с помощью которой можно построить любой последую щий многоtтен , если известны два предьщущих: (4. 1 5 ) Фr + 1 (х) = (х + 13r + 1 ) Фr (х) + 'Yr + 1 Фr - 1 (х) '
f3r + 1 = -
I: x; [Фr ( x ; ) ) 2
:!::
[ Ф г (х ; ) ) 2
•
'Yr + 1
=-
� х; Фr- 1 (х ; ) Фr (х ; ) � !Фr- 1 ( х; ) ) 2
(4. 16)
Формул ы (4. 1 4) являются частным случаем формул (4. 1 6) при r = I_. Вычисл ение по формулам (4. 1 6) сводится к нахождению сумм степенен
r 1 1) r + d;J "'2:-х� ' [Фr (х;) ] 2 = r.x[Фr (Х;) = "'2:-x l + а/ "'2:-xf - + ··· :Х.х;Ф r- 1 (х; ) Фr (х;) = r.Х; Ф г(х) , r 1 "'2:-х; [Фг (х; ) ] 2 = "'l:. (x ( + a� 1 > xu Фr ( x;) = r (4.17) = "'2:-xl r+ 1 + а} 1 ) r.x[ + ... + a!r) "'2:-х� + 1 + а? ) "'2:-х�Фr (х;) . Формулы (4.l 4a) получаются из формул (4. 1 7) при r = 1 . Используя изложенную методику, по данным табл . 2.6 (см. гл . 11, § 2.6) можно построить нелинейный полином вида · у = а + Ьх + сх 2 + ... , или, что то же самое, у = а0 + а 1 х + а х 2 + . . . + am x m . (При использовании ортогональных многоtтенов Чебыщева2 удобнее принять второй тип ьбо значений .) На первом этапе можно построить многоtтен первой степени (n = 5) ; суммы степеней х вычислены в табл. 2.7. По формуле (4.9) имеем ф 1 (х) = х - ( 1 /n) "'2:-х; = х - 1 8,5/5 = х - 3,70; следовательно, а 1 = - 3,70; ф1 (х) = х + а 1 . Вычислим свободный tmeн полинома: а0 = "'2:-y;/n = 296/5 = 59,20. Для определения а 1 по формуле (4.l 4a) найдем "'2:- [Фt (х;) ) 2 = �l + a 1 "'2:-xi = 75 ,35 + (-3,70) · 1 8 ,50 = 6,90. :z,· Далее определяем "'2:-у;Ф 1 (х;) = "'2:-у ;х; + а 1 "'2:-у; = 1 24 1 ,701 (-3,70) · 296 = 1 46,50; а 1 =' 146,50/6,90 = 21 ,23. Таким о бразом, аппроксимирующий многоtтен первой степени имеет вид "'2:.
у = )9,20 + 21 ,23Ф t (х ) , или
л
.
у = 59,20 + 2 1 ,23 (х - 3,70) = 59,20 + 21 ,23х - 78,5 5 ; у = - 1 9,35 + 2 1 ,23х. л
90
(4.18) (4.1 9)
Остаточная дисперСИ.,! этого уравнения s� = � (у; - у ) 2 1 (n - 2) = 24 1 ,94. Дисперсия среднего s� = � (у ; - ji) 21 (п - 1 ) = 1 098,1 1 . На втором этапе можно построить многочлен второй степени. При этом необходимо вычислить только многочлен ф 2 (х) и коэффициент а 2 • Опреде ляем коэффициенты 13 2 и 1 2 , используя ранее в ычисленное выражение �х;ф 1 (х;) = � [ ф 1 (xt) ] 2 = 6,90, и находим �х; [Ф t (х;) ] 2 = �xl + а 1 �xj + а 1 �х;ф1 (х;) = 326,01 + + (-3,70) 75 ,35 + (-3,70) · 6,90 = 326,01 - 278,80 - 25 ,53 = 21 ,68.
По формулам (4. 1 4) имеем 13 2 = - 2 1 ,68/6,90 = -3, 1 4, 'У2 = - 6,90/5 = = -1 ,38 . Многочлен ф 2 (х ) имеет вид ф (х) = (х - 13 2 ) ф 1 (х ) - 'У2 = (х - 3, 1 4) (х - 3,70) - 1 ,38 = 2 (4.20) = х2 - 3, 14х - 3,7
'
� YtФ (Xt ) = �y;xj + a l l ) �YtXt 2
+ а 1 2 > �Yi = 5508,53 + (-6,84) · 1 241 ,70 +
+ 1 0,24 . 296 = 46,34; а 1 1 > = -6,84; а1 2 > = 1 0,24 [см. формулу (4.20) ] . По формуле (4.1 7) имеем � [ф 2 (х;) ] 2 = "E,xf Ф 2 (х;) = "I;x7 + a � 1 > 1;xf + a � 2 > r,x; = = 1 469,60 + (-6,84) · 326,01 + 1 0,24 . 75,35 = 1 1 ,27; 0 2 = 46,34/1 1 ,27 = 4,1 1 .
Таким образом, аппроксимирующий многочлен второго порядка
л
у = 59,2 + 2 1 ,23
ф 1 (х)
+ 4,1 1
ф 2 (х ) .
(4.2 1 )
Если сравнить уравнения (4.18) и (4.2 1 ) , то нетрудно заметить, что два первых члена в правых частях одинаковы. Подставляя в уравнение (4.2 1 ) найденные ранее значения ортогональных полиномов ЧебьШlева ф 1 (х) и Ф (х) , получаем 2
у = 59,20 + 2 1 ,23 (х - 3 ,70) + 4, 1 1 (х2
-
6,84х + 1 0,24) .
В результате алгебраических преобраэований окончательно имеем у = 22,74 - 6,88х + 4, 1 1х2 . (4.22) Сравнивая полином [см. формулу (2.58) ] у = 22,8560 - 6,9576х + + 4,1 20
чаем, что они почти идентичны. Различия в десятичных знаках, по-видимо му, можно объяснить оши§ками округления. Для полинома (4.22) S�ст = 179,069; для полинома (2.58) �ст = 179,062; следовательно , качество предсказания обоих уравнений прак тически одинаково . При этом надо помнить, что при вычислении полинома (2 .58) бьmи удержаны четыре знака после запятой, а при вь:числении поли но ма (4.22) - только два знака. Это сделано умьШlЛенно , чтобы проил люстрировать значение точности вычислений в статистических расчетах. _
91
Следует также отметить, что поли ном второго порядка зна<mтельно лучше предсказьmает результаты опытов , чем по лином первого порядка, и тем более луч ше чем среднее значение у : 179,069 <
1098 110
< 241 ,940 <
1 098, 1 10.
Нет никакого сомнения , что полином ( 4.22) получен с меньlШfми трудовыми за· тратами на расчетные операции . Ясно так Среонее же , что этот вьmгрыш резко возрастает с Jf/OЧeHU� f/ увеличеннем степени полинома. Для того чтобы построить полином третьей степени обычным способом, необходимо решить четыре уравнения с четырьмя неизвестны ми. Для построения такого же полинома с помошью ортогональных многочленов Чебышева нужно вычислить только ф3 (х) 241. 940 и а3 по готовым формулам. Для полного освоения методики по т. 069 Полином строения нелинейных полиномов с помощью 1J2.21Z nц6oii ПonUf/011 ортогональных многочленов Чебьпnева степени 6тараu степени третыи целесообразно построить полином третьей степени степени . Это необходимо также дJIЯ тоrо , чтобы определить, насколько возрастает Рис. 1 5 качество предсказания с повышением степенн полинома еше на одну степень. Вычисления на<mем с определения (33 и 'Уз . используя при этом ранее полученное выражение I:х;ф2 (х;) = I: ( Ф 2 (х;) ) 2 = 1 1 ,27. Далее находим
noлut�aнil
I:x; [Ф 2 (х;) ) 2 = I:xf + a} l ) I:xi + a} 2 > I:� + + а} 1 ) I:х; Ф2 (х;) = 6833,06 + ( -6,84) · 1 469,60 + 1 0,24 · 326,01 + + (-6,84) · 1 1 ,27 = 42, 1 9, fЗ з = -42, 19/ 1 1 ,27 = -3 ,74, 'Уз = -1 1 ,27/6,90 = - 1 ,63. Многочлен Ф з (х) , вычисленный с помощью рекуррентной формулы (4. 1 5 ) , имеет вид Ф з (х) = (х + fЗ з ) Ф 2 (х) + r з Ф t (х ) = = (х - 3,74) (х - 6,84х + 1 0,24) + (- 1 ,63) (х - 3,70} = = � - 6,84.х2 + 1 0,24х - 3,74х2 + 25,58х - 38,30 - 1 ,63х + + 6,03 = х3 - 1 0,58х2 + 34, 19х - 32,27; a 3( l > = - 1 0' 58 ' а3< 2 > = +34 ' 1 9 ' а 3<3 > = -32 ' 27 Далее определяем :
о
I:у;Фз (х;) = I:y;xf + а} 1 > I:y;xj + а� I:y;x; + а } З > I:y; = 2548,63 + + ( - 1 0,58) ·5508,53 + 34,1 9·1 241 ,70 + ( -32,27) · 296,00 = -29,8 1 4. 92
(4. 17) находим 2 � [Фэ (хt) ] = �xf Фэ (х;) = �xf + а�1) �xf + а�2) �xj + ар > �xf = = 32579,48 + (- 10,58) ·6833,06 + 34,19·1469,60 + (-32,27) ·326,01 = = 1 0,988; а 3 = -29,8 1 4/1 0,988 = -2,7 1 3 "" -2,7 1 . По формуле
Полином третьей степени имеет вид
"'
у
= 59,20 + 2 1 ,23ф 1 (х) + 4, 1 1ф2 (х) - 2,7 1 ф3 (х) .
ф 2 (х) , ф 3 (х) их значения: у = 59,20 + 21 ,2З (х - 3 ,70) + 4,1 1 (х2 - 6,84х + 1 0,24) - 2,7 1 (� - 1 0,58х2 + 34, 19х - 32,27) = 59,200 + 21 ,230х - 78,5 5 1 + 4,1 1 0х2 - 28,1 1 2х + 42,086 - 2,7 1 Dr + 28,672х2 - 92,65 5х + 87,452 = = 1 1 0,1 87 - 99,531х + 32,782х2 - 2,7 1� ; у = 1 1 0,1 87 - 99,531х + 32,782х2 - 2,7 1� . (4.23) Остаточная дисперсия для зтого полинома �ст = 1 32,2 1 2; 1 32,2 1 2 < < 1 79,069 < 241 ,940 < 1 098,1 1 0 (рис. 1 5 ) . Подставим вместо ф1 (х) ,
§ 4.3. ЗиачеШiе остатков при и зучеШiи результатов регрессп опого анал иза [ 43] Остатки представляют собой разницу между наблюдаемым значением функции отклика у1 в точках, в которых измеряется значение функции, "'и предсказываемыми уравнением регрессии значениями функции отклика Yt в этих же точках : " е; = Yi - У; , (4.24) где i r,n. Как указывалось в ыше, эти остатки используют в первую очередь для в ычисления остаточной дисперсии, но в них содержится и другая ин формация. Остатки - это то , что нельзя объяснить уравнением регрессии, их можно квалифицировать как «ШУМ», помехи или погрешности, если само уравнение получено правильно . При проведении регрессионного анализа считают, что поrрешности независимы, имеют нулевые средние , одинаковую (постоянную) диспер· сию и подчиняются закону нормального распределения. Подтверждение перечисленных свойств остатков служит доказательством того , что модель построена правильно . Следовательно, прежде всего проверяют условие ё � e;/n "" О. Затем по правилам, изложенные в гл . 1, проверяют нормальность распре· деления остатков . Кроме того (43] , можно построить графики остатков следующих типов: 1) в зависимости от времени, если известна последовательность наблю· дений ;
=
=
93
"
2) в зависимости от предсказьmаемых значении у ; 3) в зависимости от факторов Xj (j = f:P) ; 4) отдельно для: к аждого прибора или исследователя:; w
5 ) общий график остатков. При построении графика остатков в зависимости от времени, если все о статки расположены в пределах равномерной полосы (двух параллель ных линий) , то это означает, что временной дрейф не о казьmает влия:ния: на результат наблюдений. Если остатки на временной последовательности располагаются: на поверхност и, напоминающей прямолине йный или криво линейный треугольни к, то зто означает, что в модель следует включить фак тор времени . При построении общего графика остатков сразу видно , какие наблю дения: резко выделяются: (выпадают из общей картины) . Следует проанали зировать причины такого .явления: и при необходимости построить модель, исключая: подобные наблюдения:.
�
- 10
:а �
-5
о
�c:� i!�
•5 1
.. ,о 1
Е:
@... А
•ю · +8 +6 ., +2 о -2 � -6
;:s
�
;:s
\6 �
)11 .. у U A U Xj
c:s
§� 8
-8
а)
Рис.
16
б)
Вьпuе уже говорилось о процедуре введения: фиктивных факторов при проведении множественного регрессионного анализа. О необходимости использования: этой процедуры можно судить, анализируя: график о стат ков четвертого типа (график , составленный с выделением опытов каждого исследователя:) . Если окажется: (рис. 16, 6), что остатки опьпных значений параметров у какого-либо исследователя: резко выделя:ются: (отклоня:ются: влево или вправо) , то это говорит о необходимости введения: фиктивных факторов. На графиках типа, изображенного на рис. 16, а, остатки должны распо лагаться: в пределах горизонтальной полосы. Нарушение этого закона может означать следующее: 1) дисперсия: не постоянна, как постулировалось ; необлодимо учесть неоднородность наблюдений или преобразовать исходные данные до начала обработки ; 94
2) анализ оumбочен ; о тклонения от Уfавнения регрессии носят систе матический характер : оольumм значениям у; соответствуют б6льumе отклонения е1 , и наоборот; 3) модель неадекватна ; необходимо внести дополнительные члены или преобразовать исходные данные до начала анализа. Если на графиках типа, изображенных на рис. 16, исследуются зависи мости остатков от xi, то выход остатков за пределы горизонтальной полосы может еще означать, что допущена погрешность в вычислениях, линейный эффект исключен неверно. При проведении расчетов на ЭВМ обычно программируют выдачу гра фиков остатков на печать. ·
§ 4.4. Интерnретация уравнеНИJI регрессии Проще всего бьmо бы никак не интерпретировать коэффициенты аппроксимирующих полиномов (уравнений регрессии) , а рассматривать их как некоторые числа, позволяющие в ычислить значения функции откли ка Yi в точках, в которых эксперимент не ставился. При в ьmолнеюm регрессионного анализа, как правило, имеет место ситуация, когда истинная форма функции отклика неизвестна и аппрокси мирующий полином является как бы разложением в ряд неизвестной функ ции дпя приближенного в ычисления ее значений на участке определения функции. Однако такой чисто формальный подход к трактовке коэффи циентов регрессии зачастую не удовлетворяет экспериментаторов . Для «Повышения доверия» к изложенным в ьПJlе статистическим мето дам построения эмпирических зависимостей в ьmолним небольшой матема тический эксперимент, из анализа результатов которого станет ясно , что коэффициенты регрессии, полученные по результатам регрессионного ана лиза, соответствуют числам, которые отражают истинную форму функции отклика, являются вполне однозначными и состоятельными оценками коэффициентов регрессии в генеральной совокупности. Попутно рассмот рим примеры искусственного синтезирования задач в математической ста тистике. Если предположить, что функция отклика, отображающая какой либо процесс, имеет вид "'
у=
1 0 + 1 0х,
(4.25 )
то , имея такое уравнение , легко, задаваясь значениями х, найти соответ ствующие значения у. Полученные таким образом вектор-столбцы х и у приведены в табл. 4.1 . Т а б л и ц а 4.1 Ис кусственно с иитезированные для а нализа данные Nl'
1
2
3
4
5
6
7
8
х
2
3
4
5
6
7
8
9
у
30
40
50
60
70
80
90
100 95
Так к ак за ви сим о с ть (4.25) имеет де тер ми ниров анны й характер, то, используя данные табп . 4. 2 и формулы парноrо линейно rо реrрессионноrо анализа, можно получить в ыражение, идентичное формуле ( 4.25) . Т а б л и ц а 4.2 Вычислен ие сумм
";�f:)l(:
х
степеней
х+ у (х + у} 2
х2
у2
) (4) (5 ) ---- -
(6)
ху
иу
(8)
(7)
900 2 30 6 0 4 1 3 4 0 1 20 9 1600 2 4 5 0 200 1 6 2500 3 5 6 0 300 25 3600 4 6 7 0 4 20 3 6 4 900 5 х = 5 , 5 ; у = 65 ; :ЕХ 2 + 2 :Еху + 44 844 = 44844.
N2 (l )
х
у
(2) (3)
ху
х2
у2
(4)
(5 )
(6)
х+ у (Х+ У. (8)
(7 )
4 9 6400 87 7 5 6 9 80 560 7 6 1 024 32 6 4 8 1 00 9 8 9604 90 7 20 8 7 43 1 84 9 8 1 1 0000 109 1 1 88 1 9 1 00 900 8 2916 54 65 4 225 :Е 44 5 20 3 280 284 3 8000 4484 4 76 5 7 7 6 :Е (Х + у ) 2 ; :Еу 2 284 + 6560 + 3 8000 = 44844 ;
=
Вычисление сумм степеней х н у и проверку правильиости этих вычис лений , как указывалось в ыше, удобно проводить в табличной форме (см. табл . 4.2) . Коэффициенты реrрессии :Е х - ( 1 5 20 ( :E x ) ( :E y ) = 3 2 8 02-8 4( 1· (/ 81 /) 8(4) ·41 ·9 3 6 ) = Ь 1 = :Еух 2 - (/n) 1 /n ) ( :E x ) 2 Ь 0 = у - Ь 1 х = 65 - 1 0 · 5,5 = 1 0. Таким образом, получено уравнение (4.25) : у = 1 0 +
420
=
42
1 0 '.
1 0х. Коэффициент парной корреляции равен единице , что является признаком функциональ ной детерминированной зависимости: r =
Qxyf.jQx •
Qy
= 420/...)42 · 4200 = 420/420 =
1.
Искусственно сиитезированной задаче можно придать и вероятност ный характер, если к числам вектор�толбца х прибавлять или вычитать искусственную «Поrрешность» ll; = 0,04 по таблице случайных чисел П. 1 . (Если случайное число оканчивается на четную цифру ил и нуль, то прибав ляют 0,04; если на нечетную цифру - вычитают 0,04.) Такую же операцию проводят с вектор�олбцом у, только здесь искусственная <шоrрешность» ll1 = v'D,04. Преобразоваиные таким образом данные табл . 4. 1 приведсны в табл. 4.3. ·
Т а б л и ц а 4.3 Данны е с искусстве101ыми поrре ш ностими
96
1
2
3
4
5
6
7
8
х
1,96
3,04
3,96
4,96
6,04
7,04
7,96
9,04
у
29, 8
40,2
50, 2
59,8
69,8
80, 2
90, 2
1 00,2
Расчеты по новым данным приведены в табп . 4.4 . Коэффициенты ре г рессии
y - 1 /n (:!: x )(:!:y ) Ь 1 - :!: x 2 _
:!: х 2
- 1 /n ( :!: x )
_
-
3 28б,О 1 б - ( 1 /8 ) ( 4 4 · 5 20,4 ) 4 2 3 , 8 1 б = = 2 84 ,4 9 2 8 - ( 1 / 8 ) 1 9 3 б 4 2,4 9 2 8
= 9,97 3 8 ; Ь о = у - Ь 1 х = 65 ,05 - 9,9738 · 5 ,5 = 1 0, 1 939. Уравнение регрессии имеет вид 1\
у = 1 0, 1 939 + 9 ,9738 х
(4.26)
и достаточно близко к исходному уравнению ( 4.25) . Таблица
'" ;'" 1
Нахождение суммы степеней
х
и у с искусственными поrрешностимн
2
у 3
1 2 3 4 5 б 7 8
1 ,9б 3,04 3,9б 4,9б б,О4 7,04 7,9б 9,04
29,8 40,2 50,2 59,8 б9,8 80,2 90,2 100,2
ху 4 58,408 1 22,208 198,792 29б,б08 421 ,592 5б4,б08 7 1 7 ,992 905,808
:!:
44
520,4
3 28б,О 1 б
х
4.4
х2 5
у2 б
3,84 1 б 9,24 1 б 15,б81 б 24,б01б 3б,4 8 1 б 49,5б l б б3,3б l б 81,7 2 1 б
888,04 1 б l б,О4 2520.04 357б,О4 487 2,04 б43 2,04 81 3б,О4 1 0040,04
284,4928
3 8080. 32
х+у 7 3 1 ,7б 4 3,24 54, 1 б б4,7б 75,84 87,24 98. 1 б 1 09, 24
(х + У) 2 8 1 008,б97б 1 8б9,б97б 2933, 305б 4 1 93,857б 575 1 ,705б 7б 1 0, 8 1 7 б 9б35.385б 1 1 933,377б 4493б.1!448
х= 5,5; ji = б5,05; Zx2 + 21:ху + :!:у2 = :!: (х + у) 2 ; 284,4928 + б57 2,03 2 + 38080,3 2 = 4493б,8448; 4493б,8448 = 4493б,8448. Рассмотрим, как повлияли искусственно введенные ошибк и на зна чения коэффициента корреляции : r
=
Qxy 4 2 3,8 1 б 0 = 0,9997697 . = .../ Q x Qy -./ 4 2 4 9 2 8 ·4 2 2 8 , 3 0 00
Коэффициент корреляции не намного отличается от единицы. Дпя бол ьшей убедительности изложенный в ыше прием можно по вторить и ДII Я нелиней но га парно га регрессионного анализа. В качестве исходной формул ы можно взять зависимость (4.27) Данные , полученные по этой формуле , приведены в табл . 4.5 . Суммы степеней Д/I Я х и у даны в табл . 4.6. Дпя построения квадратичного полинома по данным табл . 4.6 целесообразно воспоп ьзо ватьс я мето до м ортогональных полино мов Чебышева. Расчеты приведены ниже : числ о ((О ПЫТОВ » n = 6 :
4 - 5 79
97
Т а б л и ц а 4.5
д/lиные, полученные по формуле
� 1
х у
(4.27)
2
3
3
4
13
21
Суммы степеней дЛJI квадратичной зав исимости
х у ху х 2 у 2 х 2у х з
N9 пfп
( 1) 1 2 3 4 5 6 1:
(2) (3 ) (4)
(5 )
2 3 4 5 6 7 27
4 9 16 25 36 49 139
7 13 21 31 43 57 172
14 39 84 1 55 258 399 949
(6 )
(7 )
28 49 117 1 69 336 44 1 775 96 1 1 84 9 1 5 4 8 3 24 9 2793 67 1 8 5 5 9 7
( 8)
уз
(9)
1 1 4
5
6
5
6
7
31
43
57
х4
( 1 0)
Т а б л и ц а 4.6
ху 2 х+ у (х+ у/ (х+ у) 3
(1 1)
16 343 98 8 5 07 2 1 97 81 27 1 7 64 256 64 9 26 1 6 25 4 805 1 25 29 7 9 1 2 1 6 7 9 5 07 1 296 1 1 094 343 1 85 1 93 240 1 2274 3 7 83 3 06 292 4675 4 1 0 1 1
( 1 2)
(1 3)
( 14)
9 16 25 36 49 64
81 256 625 1 296 240 1 4096 8755
7 29 4096 1 5 625 46656 1 1 7649 26 2 144 446899
Ф l (х) = х - х = х - 45 ; а� = -4,5 ; а 0 =у = 28,6666; "I;xf + а 1 "I;x; = 1 39 + (-4,5) · 27 = 1 7,5; "I;y;Xt = а 1 "I;y; = 949 + (-4,5) · 1 72 = 1 75 ; а 1 = 1 75/17 ,5 = 1 0. Полином первой ст епени л
"'
у = 28,6666 + Н)ф 1 (х ) , или у = 286666 + 1 О (х - 4,5) = - 1 6,3334 + 1 0х.
Далее,
98
"I; [Ф 1 (xt ) ] 2 = 17 ,5 ; "I;xf + а 1 �xl + а 1 "I;x; Ф l (x;) = 783 + (-4,5) · 1 39 + (-4,5) · 1 7,5 = 78,75 ; (j 2 = -78,75/17,5 = -4,5 ; 'У2 = - 17,5/6 = -2,9 1 67; Ф 2 (х) = (х - (j 2 ) Ф1 (х ) - 'У 2 = (х - 4,5) (х - 4,5) - 2,9 1 67 = = х2 - 9х + 1 7,3333 ; "I;y;xf + a�I ) "I;y,x1 + а�2> "I;y1 = 5597 + ( -9) ·949 + + 1 7 ,3333 . 1 72 = 37 ,3276; а� 1 > = -9; а�2 )' = + 17,3333 ; "I;x1 + аР > "I;xf + aJ 2 > "I;xf = 4675 + (-9) ·783 + 1 7,3333-1 39 = 37,3287; а 2 = 37,3276/37,3276 = 1 . х = 4,5 ; у = 28,6666; "I;x2 + 2"I;xy + "I;y 2 = (х + у) 2 ; 1 39 + 1 898 + 67 1 8 = 8755; 8755 = 8755 ; "I;.x2 + 3 "I;.x2y + 3"I;xy 2 + "I;y3 = "I; (x + y) 3 ; 783 + 1 679 1 + 1 23033 + + 306292 = 446899; 446899 = 446 899.
Полином второго порядка имеет вид у = 28,6666 + 1 0 ф 1 (х) + ф 2 (х) = 28,6666 + I O (x - 4,5) + х2 - 9х + 1 7,3333 = 0,9999 + х + х2 l + х + х 2 • По данным табл. 4.1 легко восстановить детерминированную зависи мость ( 4.27) с помощью методики, которая изложена в курсе алгебры срецней школы, однако важно, что и сравнительно сложные статистические методы приводят к тем же результатам в граничном случае, когда рассмат ривается функциональная связь. На практике имеют дело с наблюдениями, имеющими случайный харак тер. Погрешности этих наблюдений зависят от многих факторов, и иссле дователю необходимо знать, может ли восстановленная им эмпирическая зависимость бьпь использована для аппроксимации функции отклика. Продолжая рассматривать вопрос об интерпретации коэффициентов регрессии, можно отметить, что если факторы в уравнении множественной регрессии не коррелированы, уравнение линейно и в него включены все основные определяющие процесс факторы, а коэффициент множественной детерминации R 2 близок к единице, то можно решить следующие вопросы интерпретации коэффициентов регрессии : 1 ) интерпретацию знаков ; знак минус при коэффициенте bi означает, что при уменьшении Xj функция отклика у увеличивается; знак плюс означает, что у увеличивается с увеличением xi ; 2) интерпретацию значения коэффициентов регрессии [ 46) ; если урав нение регрессии имеет вид (4. 28) у = Ь0 + Ь 1 х 1 + Ь 2 х 2 + ... + bixi + ... + Ьрхр , то чистая регрессия у на х 1 получается, если в уравнение (4.28) цодставить средние значения в сех факторов, кроме х 1 : ""'
.
1\
.
(4 . 29 )
Аналогично можно получить уравнение чистой регрессии для всех дру гих р 1 факторов. С помощью таких уравнений каждый из коэффициен тов регрессии Ь 1 , Ь 2 , ••• , bi, Ьр интерпретируют как величину, показываю щую, на сколько в среднем изменяется зависимая переменная у (функция отклика) при изменении данного фактора xi на единицу измерения при фиксированных значениях других р 1 факторов. Если факторы сильно коррелированы между собой, то интерпрета ция может оказаться несостоятельной. Рассмотрена [46) методика, позво ляющая получить некоррелированные оценки коэффициентов регрессии, которые затем можно интерпретировать. Эту процедуру называют каскад ным регрессионным анализом, который состоит в следующем. Предполо жим, что результаты наблюдений описьmаются уравнением (4.30) у = Ьо + Ь 1 х 1 + Ь 2 х 2 • Предположим также, что факторы X.t и х2 коррелированы между собой (коэффициент корреляции r1 2 статистически значим) и это не противоре-
•..
,
-
1\
99
чит физическому смыслу изучаемого явления. Если есть основания пола гать, что вариация х1 приводит не только к изменению у, но и к изменению х 2 , то кроме уравнения регрессии ( 4.30) можно записать уравнение (4.3 1 ) Х2 = Ьо + Ь 1х1 . При r1 2 , близком к единице, уравнение (4.3 1 ) становится функциональным и вместе уравнения (4.30) достаточно рассмотреть уравнение у = Ь0 + + Ь 1 х 1 или у = Ь0 + Ь2 х 2 , т.е. один из факторов х1 или х2 исключить из рассмотрения. При r1 2 < rт , т.е. коrда r1 2 статистически незначим, факторы х1 и х2 можно считать некоррелированными и уравнение ( 4.30) поддается четкой интерпретации. Каждый из коэффициентов регрессии Ь 1 и Ь2 в этом случае показывает, на сколько в среднем изменяется функция отклика у при изменении соответствующих факторов х1 и х 2 на единицу измерения. Если же rт < r1 2 < 1 , то, как указывалось выше, интерпретация по методу чистых регрессий неправомерна. В этом случае, для того чтобы узнать, как сказывается влияние вариации х1 и у, можно вьmолнить следующие опе рации : задавшись каким-либо значением х� , следует подставить его в урав нение (4.3 1 ) и найти среднее значение ��- Затем, подставляя значения х� и �� в уравнение ( 4.30) , можно найти среднее значение у 1 , соответствую щее значению х�. Повторяя эту операцию для другого значения х�', можно определить значение у 2 . Разность у 2 - у 1 и является средним эффектом изменения х1 на величину х� - х � . Можно также интерпретировать видо измененное уравнение двух факторов : ....
'
'
л
....
l'f.
л
(4.32) где Ах2 - остаток, nредставляющий собой отклонения фактических наблюдении значении х 2 от соответствующих расчетных значении х 2 по уравнению (4.3 1 ) : (4.33) Это еще один пример использования остатков (см. § 4.3) . Переменвые х1 и Ах 2 в уравнении (4.32) уже не коррелированы между собой, и коэф фициенты Ь 1 и Ь2 в уравнении (4.32} определяют независимо друг от дру га. Интерпретация коэффициента Ь 1 в этом случае такая же, как для урав нения с некоррелированными факторами, а коэффициент Ь2 определяет действие вариации х 2 �а у nри отклонении от среднего уровня, определяе мого уравнением (4.3 1) , т.е. при 1 Ах 2 1 > О. Эти рассуждения можно рас пространить на любое число факторов и на нелинейкую зависимость. Факторы, влияющие на функцию отклика у, могут быть четырех типов : 1 ) управляемые факторы, которые можно изменять в широких пре делах; 2} ограниченно уnравляемые факторы, значения которых коррели рованы с другими факторами и которые можно варьировать лишь в опре деленных пределах; 3) неуnравляемые факторы, значения которых не коррелированы с другими факторами и изменяются независимо от воли экспериментатора; w
1 00
w
w
л
4) неуправляемые факторы, значения которых коррелированы с дру гими факторами и изменяются независимо от воли экспериментатора. При интерпретации факторы первого и третьего видов включают в управпение в натуральном виде, а второго и четвертого - в виде величин дхi. Графическая интерпретация коэффициентов линейных парных уравне ний регрессии дана в гл . 11. Некоторое отношение к вочросу интерпретации имеет также процедура приведения уравнений к каноническому виду, изложения в гл. III. § 4 . 5 . Ме тод средних
Для построения эмпирических зависимостей кроме подробно рассмот ренного метода наименьiШIХ квадратов существует еще один более простой, но менее строгий метод - так называемый метод средних. Этот метод имеет, кроме того , и более ограниченное применение. По-видимому, его можно эффективно использовать только в парной ситуации: у = f(x ). Одна ко для ориентации в специальной литературе полезно ознакомиться с ос новными принципами этого, метода. Метод средних состоит в том, что параметры эмпирической формулы определяются, по сущесmу, только из одного условия, а именно условия равенства нулю суммы всех отклонений наблюдаемой величины от средне го значения [ 164] n
1: dt = о,
(4.34)
i=l
где d; = у1 - у. Определенные приемы позволяют вычислять до трех пара метров с помощью только одной зависимости ( 4.32) . Наиболее эффекти вен этот метод в простейшей ситуации, когда нужно построить зависимость вида (4.35) у = Ь1 Х. Вычислим коэффициент Ь1 ; учитьmая, что сумма отклонений наблю дений от среднего равна нулю, запишем n
1:
i= l
(Ь 1 х; - yt )
откуда ь1
=
n
=
О,
(4.36)
n
1: У; 1 1: х; ;
i=l
(4.37)
i=l
если числитель и знаменатель этой дроби разделить на п , то получим (4.38) ь � = yfx, где х = ( I /п) 1: х;, у = ( I /n) 1: у; . n
i=l
n
i=l
Преимущества метода средних в данном случае заключается в его про стоте и в том, что он не накладывает ограничений на исходные опыт-
101
ные данные (например, не требует, чтобы эти данные имели нормальное распределение) . Если требуется построить линейную парную зависимость у = Ь0 + ь . х, то вычисления по методу средних не намного сложнее. Здесь требуется вычислить коэффициенты Ь0 и Ь 1 • Для получения нужного количества уравнений выбирают иэ общего количества пар наблюдений примерно половину и сумму их отклонений приравнивают нулю. Затем приравнивают нулю сумму прочих отклонений : т
�
i= l
n
�
(Ь о + b 1 Xt - у) = О ;
i=т + 1
(Ьо + b t X i - у) = О .
(4.39)
Таким образом, получаем систему двух уравнений : n
:t Xt
Ь1 Ь1
+ тЬ о
1= 1
n
� Xt + (n
i=т + 1
= � Yt, т
i= 1
- т )Ьо =
n
� У; ,
i=т + 1
(4.39а)
где т = n/2 при четном n и т = (п + 1 ) /2 при n нечетном. Сложим оба урав· пения (4.39а) поtmенно: Ь1
n
:t х;
i= 1
+ nbo =
n
� Yi ·
i= 1
Разделив в се чл ены этого уравнения на n, окончательно имеем Ь о = у - Ь 1х,
т.е . получена формула (2.34) , выведенная методом наименьших квадра· тов. Если представить линейную зависимость в виде у - у = Ь 1 (х - х) , то Ь1 можно вычислить по одной из следующих формул : -1 };т (у 1·-У> т 1= 1
(4.40)
- ,; (х ; - х )
1 т т i= l
или
-1 };т .У · 1 n т/
n 1 .Y i - m i=т + 1
--
=1
1 т ,; х1- - 1 т п-т
--
i= 1
};
};n
i= m + 1
Х 1·
(4.40а)
На практике при нечетном т обычно второе из уравнений (4.39а) сос тавляют в виде Ь1
n
� х;
i =т
...
+ (n - т + 1 ) Ь0 =
n
� У; ,
i=т
т.е. одно из отклонений учитывают в обоих уравнениях системы. 1 02
(4.41 )
Этот прием ликвидирует возможность произвольного деления выбор ки на части и деЛает метод средних однозначным. количества уравнений при построении зависи Для получения нужного 2 м<;>сти у = а + Ьх + сх множество всех отклонений разбивают на три при· мерно равных массива и в каждом из них приравнивают нулю сумму от клонений. В результате для вычисления параметров а, Ь , с получают еле· дующую систему: с
т
:t i= l
х[ + Ь
т
:t х; i= 1
т,
:t У; , i= 1
т2
т2
с
+ m1a =
х� + Ь . :t ' х; + (m 2 + m 1 ) a = i= т 1 + 1 1 =т 1 + • :t
n
с . :t х[ • =т 2 + 1
+ Ь.
n
:t
• =т 2
тz ' у; , ,· :t =т , + •
(4.42)
n
У; 1: 1 =т 2 + 1
x + (n - m 2 ) a = . +1 ;
При использовании этого метода вычисления менее трудоемки, но, как указывалось выше, он обладает меньшей строгостью и универсаль ностью, чем метод наименьших квадратов. Решая пример, рассмотренный ранее (исходные данные приведены в табл. 4.4) , методом средних, мож но сравнить результаты решений, полученных с помощью метода наимень ших квадратов и метода средних. Опыт показьmает, что при использовании метода сре дних для построе ния полинома у = Ь 0 + Ь 1 х нужно иметь в виду три ограничения : 1 ) метод можно использовать, если имеет место только регрессия первого типа (х; - фиксированные значения фактора ; у; - наблюдаемые случайные значения функции отклика у) ; 2) исходные данные перед обработкой должны быть расположены по увеличивающимся значениям х; 3) днеперсия у должна быть постоянна и не очень велика (при построе нии уравнения типа у = Ь 1 х таких ограничений не бьmо) . Указанным требованиям соответствуют данные рассмотренной выше искусственно синтезированной задачи (см. табл. 4.4) . Все операции прово дят в табличной форме (табл. 4.7) . Из табл. 4.7 следует, что как по формуле (4.40) , так и по формуле (4.40а) получено одно и то же уравнение : (4.43) 'У = 10,4586 + 9,9257х.
Фopl\ltyЛa (4.26) , полученная с помощью метода наименьших квадрал
.
имеет вид у = 1 0,1 939 + 9,9738х и несколько ближе к исходной формуле у = 1 0 + 10х. Использовать метод средних для построения линейного уравнения л типа у = Ь 0 + Ьх по данным табл . 2.4 нельзя. Б олее того, с увеличением n числитель и знаменатель формулы (4.40б) в этом случае стремились бы к нулю. Отсюда следует упомянутая выше неуниверсальность метода сред них по сравнению с методом наименьших квадратов, и применять ero мож но рекомендовать только при построе нии формул вида у = Ь 1 х. тов ,
1 03
Т а б л и ц а 4.7 Выч и сления по методу с ред н их
N9 п/п (1)
1
х ( 2)
1
у (3 )
\
х; - х
I Yi - у
(4)
(5 )
------
В ычисления Формула (4.4 0)
---вов
- 80 , 2 -35,25 b l = = 9, 9257, 29,8 - 3, 5 4 1 ,96 1 - • - 2,46 - 24 , 8 5 40,2 3 ,04 2 - 1 ,5 4 - 1 4, 8 5 Ь о = 6 5,05 - 9 , 9 2 5 7 • 5 , 5 = 1 0, 4 5 86 ; 50,2 3 , 96 3 - 0,54 - 5 , 2 5 Формула (4.40а) 59,8 4 ,96 4 ------ 1 3 , 9 3 - 30,08 = - 1 6 , 1 6 ; 1 80,0 - 3 4 0,4 = - 1 6 0,4 ; т - 80, 2 Ь 1 = 9 ,9 2 5 7 ; Ь 0 = 6 5 , 05 - 9 , 9 2 5 7 1 3 ,92 1: 1 80,0 - 8,0 8 i=l = 1 0,4 5 86 . . 5 6 7 8 n
1: i=m+ l 1:
6 ,04 7 ,04 7 ,96 9 ,04
69,8 80,2 90, 2 1 00, 2
3 0, 0 8
340,4
44
5 20,4
·
5,5
х = 5 , 5 ; :У = 6 5 ,о5
§ 4 . 6 . Метод максимума правдоподо бия. Регрессионный и коиф mо энтиый анализы как чаС'l11Ые случаи метода мак симума п равдоподо бия Если бы материал в настоящем nособии излагался методом дедукции этот nараграф следовало бы nоместить в (от сложного к nростому) , начале гл. 11, а затем изложить методику nостроения эмnирических зависи· мастей по результатам nассивных эксnериментов. Однако nоскольку ма· териал излагается методом индукции и в рецеnтурном nлане, то этот срав нительно сложный материал рассматривается именно здесь, когда основ· ные воnросы, связанные с nостроением эмnирических зависимостей по результатам nассивных эксnериментов , уже изучены. Принциn максимума nравдаnодобия может рассматриваться [66] как основная идея всех методов и приемов, nоложенных в основу стати стической ооработки эксnериментальных данных для nостроения эмnи рических зависимостей. В общем виде nринциn максимума nравдоnодо· бия можно сформулировать так [66] : наилучшее оnисание явления то, которое дает наибольшую вероятность nолучить в результате измерений именно те значения, которые и бьmи фактически nолучены. Если рассматривать nолный эксnеримент (число независимых наблю дений больше числа оnределяемых величин: n > р, т.е. нет алгебраической то
1 04
неоднозначности) , то проведение измерений с абсолютной точностью озна чало бы, что из всех возможных гипотез относительно исследуемого явле ния можно бьmо бы выбрать только одну гипотезу, которая соответствова ла бы экспериментальным данным. Однако в действительности, как ука зывалось в предыдущих главах, наблюдения и измерения всегда содержат погрешности. В связи с этим имеет место множество гипотез, не противо речащих опытным данным. Принцип максимума правдоподобия состоит в выборе такой гипотезы, при которой вероятность получить в процессе измерения фактически наблюдаемые величины бьmа бы максимальной. Предположим, что функция отклика у (исследуемое явление) - вели чина непрерывная. Вероятность того, что в генеральной совокупности эта функция примет определенное значение , равна Р (у , (3) dy <5 .2>, где (3 неизвестный параметр, подлежащий определению. Предположим, что при случайном выборе объема n из этой генеральной совокупности найдены значения у 1 , у 2 , ... , Y n · При этом процесс извлечения членов выборки дол жен бьпь таким, чтобы вероятность получить новое значение у не зависела от полученных ранее величин. Вероятность получить значения у 1 , у 2 , . .. , У п равна где
dP = Ldy 1 dY 2 . . . dyn ,
{
}
(4.44) L (У t . У 2 . ... , у п ; (3) = P { Y t . f3 } Р{ у 2 f3 } ... Р у п, f3 . Функция L называется функцией правдоподобия. Выборочной оцен кой параметра (3 является параметр Ь. На практике удобнее иметь дело не
с самой функцией, а с ее логарифмом, поэтому оценку параметра (3 можно получить, решая уравнение дlnL(y; Ь ) = О. (4.45) дЬ Если распределение величины у в генеральной совокупности является нормальным, то вероятность найти у между у и у + dy равна
{
-1-;; ехр Р у '· 11·' о 2J\. dy = ...;т; 2
-{(у2 -а 2 Т!} 2 }
dy •
}
Для случайной выборки объема n запишем равенство L (Y; 11 ; 0 2 ) =
(2 па12 )n 12 exp fl 2_а21_ i �= 1 (у; - 11)
2 ·
(4.46)
Функция правдоподобия L достигает максимума, если стоящая в по казателе формулы (4.46) с умма квадратов отклонений минимальна : n ... .,. x) ] 2 , И = � w; [Y; - 11 (f3, i=l
(4.47 )
где 11 (i3. х) функzшя ОТ Не ЗаВИСИМОЙ Переме ННОЙ Х ЛЮбОГО ВИда С СИСТе МОЙ коэффициентов (3, постоянных для каждого вида функции и подлежа щих определению. 1 05 -
При линейной параметризации
Р n 1 2 1: - [У; - @о + 1: fЗ1 х11) ] , 2 t = 1 а"1 J -= 1
U=
(4.48 )
вектор-столбец весов , о которо� сказано ниже; rде w; = 1/о} . i = Т, n общ� ЧИСJIО опытов ; j = 1 , р чиСJiо факторов в множественной ситуации. Выражение (4.47) и есть основная зависимость метода наименьlШIХ квадратов . Таким образом, метод наименЬIШIХ квадратов - это частный СJiучай метода максимума правдоподобии при нормальном распределении. Дли тоrо чтобы вычиСJiить минимум выражении (4.48) , СJiедует, как уже укаэьmалось выше, взить частные производнь1е этого в ыражеНИJI по всем параметрам (коэффициентам) (31 и приравНJIТь их нулю, одновременно зaмeнJIJI значеНИJI параметров их выборочными оценками. Получе ннu система назьmаетси системой нормальных уравнений ; в матричной форме она имеет вид -
-
-
(4.49) ( X*WX)B = X* WY. Формула (4.49) отличаетси от формулы {3 .5) только диагональной
матрицей весов :
w1
W=
о
w2
(4.50)
Wt о
Wn РасiШiфровка остальных обозначений формулы ( 4.49) дана в rл . III. Дтu1 простейшего Случая, коrда имеют место парпая зависимость вида у = f(x) и линейная параметризации, формула (4.47) принимает вид n (4.5 1 ) U = 1: Wt [Yt - @o + fЗ l xt) ] 2 , i=l Соответственно система нормальных уравнений имеет более простой вид:
{
� Wt (у, - (Ь о +
b 1 xt) ]
� Wt LYt -(Ьо +
b 1 xi) ] XJ
i=l
i=l
= О,
(4.52)
= О.
ECJiи каждому фиксированному значению фактора х соответствует только одно наблюдение зависимой переменной у, то дисперсии у отсут ствует и необходимость во взвешивании оmадает, а формула (4.52) при водитси к формуле (2.5) : 106
{
�
[yi - (Ьо + b 1 xt) ] = О ,
�
[yi - (Ьо
i =l i =l
+ b1 xt) ] Xt
=
О.
Рассмотрим теперь для простейшего случая парной линейной связи классификацию ситуаций, которые могут иметь место при проведении экспериментов . Классификацию способов наблюдений, которые не обязательно зави сят от воли экспериментатора, а часто обусловлены особенностями объек та наблюдения, для наглядности представим в виде графических схем. На рис. 17 изображена экспериментальная ситуация первого типа. Здесь каждому фиксированному значению фактора х соответствует только одно наблюдение (измерение) зависимой переменной у. Система нормальных уравнений метода наименьших квадратов имеет самый простой вид (2.5) .
Yt� � У2�Х2 1 1
�н,, 1 1
1 1
J-�-J. Рис. 1 7
Рис . 1 8
Н а рис. 1 8 изображена экспериментальная ситуация второго типа, когда каждому фиксированному значению фактора х соответствуют k значений з ависимой переменной у, имеющих нормальн�аспределение, матема тическое ожидание Т/t и дисперсию а;1 • Здесь i = 1, n - общее число опьпов ; j = 1 , k - число наблюдений в каждом опьпе (не путать с j 1 , р - чис лом факторов) . Для оценки параметров служит система нормальных уравнений (4.52) со взвешиванием. На рис. 1 9 изображена экспериментальная ситуация треть=
1 07
его типа. Здесь фактор х, так же как и независимая переменпая у, измеряется с погрешностями. Вместо одноrо фикси· рованного значения фактора х в каждом опыте имеется k значений фактора х , имеюших нормальное распределение , ма· тематическое �дание �; и дисперсию 6� . . Здесь i = 1 , n общее число опытов : j � r.I; число наблюдений в каждом опыте для зависимой переменной у; j = 1 , kx число наблюдений в каждом опыте для фактора х. Распределение х не коррелировано с распределением у. Для оценки коэффициентов {j0 , {j 1 в этой ситуации метод наименьших квад· ратов мало эффективен, поэтому исполь· зуют другой частный случай метода мак· симума правдоподобия. Эти рассуждения можно распростра· нить на любой вид зависимости у от х и на р-мерное Факторное простран Рис. 1 9 ство. Изложим основные принципы этоrо частного случая. Как уже указывалось, вместо одного элементарного измерения фактора х имеется совокупность элементарных измерений, для которой , если считать распределение нормальным, известны генеральное среднее �� и генеральная дисперсия а; . так, что можно найти зависяшие от статистики уровни для выборочного Ьреднего х1 и выборочной дисперсии s"i' либо эти величины оценивают на основании достаточно большой неза висимой выборки [66 ] . Каждому взвешенному экспериментальному измерению величины у приписываются определенное значение фактора х, являющегося о ценкой среднего для всех элементарных наблюдений, и дисперсия этого сред· неrо. Этот случай анализа наблюдений называется кон фл юэнтным (от франц. confluer сливаться) , так как если бы совокупность наблюдений фактора х с известной оценкой среднего и дисперсии слились в одну точку, то имел бы место обычный регрессионный анализ (вторая экспериментальная ситуация; см. рис. 1 8) . Метод максимума правдаподобия при определенных условиях может привести задачу конфлюэнтного анализа к методу наименьших квадратов с использованием последовательных приближений [66 ] . Напомним, что рассматривается простейшая парпая ситуация у = f(x). Разделение этих двух переменных на зависимую и независимую теряет смысл при случай ных колебаниях обеих величин. Здесь рассматривается также такой чаще всеrо встречающийся случай, когда распределения х и у не коррелированы. Плотность вероятности найти измеряемую точку (центр выборки) -
-
-
-
108
\
генеральной совокупности около х1 и у1 при дв умерном нормальном рас ределении равна <5.2>, <3.4>
'\
{- .!.
•
}
P {xt. Yi; �1 11 } = Р { х, � } P { Yt 71 } = x t t - .!. ( Yt- '1) 2 , 1 ехр ( - )2 = 2 ау 1 2 ах1 2nax1ay1
(4.53)
еСли центром распределения в генеральной совокупности являются точки
�. 71 .
Интенсивность источника плотности вероятности найти собьпие в точке
х,у1 пропорциональна длине элемента теоретической кривой и пекоторой Функции Ф <Ю . Полная плотность вероятности найти событие в точке ся интегрированием по дуге кривой :
P [x 1, y t } = J dSP { xt. Yt ; �. 11 ШJ Ф (О ,
X;Y t определяет-
(4.54)
где элемент дуги кривой
dS2 = �2 +
2
а -fd71 2
(4.5 5)
aYi
имеет ту же размерность, что и d�. Функция Ф (О представляет собой плотность и сточников точек , полу чающихся при измерении, и может бьпь определена после детального ана лиза физического смысла плотности вероятности :
Р { х,у1 } = J � P { x1, y1 ; �. 71 ( �) } .
(4.56)
Функция правдаподобия равна плотности вероятности найти одновре менно все точки в тех местах, где они обнаружены, и, следовательно (так как измерения независимы) , при раэных х1 имеет вид произведения инте гралов ( 4.54) , в зятого по в сем наблюдаемым собьпиям. При некоторых условиях, которые обычно в ьmолняются в экспери ментах, конфлюэнтную задачу можно свести к последовательности регрес· сиониых задач. Если на участке кривой, находящейся в интервале от - ах 1 до +ах1 и от -ау 1 до +ау 1 • наклон и кривизна изменяются мало (кривая достаточно гладкая) , то при вычислении интеграла (4.54) в случае нор мального распределения можно ограничиться участком кривой около точ
КИ Хt Уt ·
Другим условием, позволяющим свести конфлюэнтную задачу к по следовательности регрессионных задач, является требование, чтобы точка х1у1 не находилась ближе от конца теоретической кривой, чем на ax i' При этих условиях можно представить плотность распределения в виде плот ности частного распределения наблюдений у1 при фиксированных х1, имею щего вид, близкий к плотности нормального распределения. HQ небольшом участке кривой в окрестностях точки X;Y t теоретическую кривую можно приближенно представить первыми тремя членами ряда Тейлора : "• (t - х ) 2 л" (4.57)
11 Ш = "71 (Xt ) + (� - xt) 71 (Xt) +
2
71 (Xt ) ,
1 09
где характерисnпс и кривой 11 (0 заменяются характеристиками ее оценки � (х) . Если подставить (4.57) в (4.53} , а (4.53} в (4.56} , разлагая (4.53} 2 a x i -" -А 1 , и инте ируя практиче сгр .... по степеням 11" в предположении, что -;-rt ау , ки в бесконечных предел ах до величин ы пор ядка 11" , то получи м Р { х, у,} = 1 2 А•2 - 2 2 2 ТI ax1 ( ay;- 2 a:"'Т1 i ) а1 ] (Т!"' (x i ) -Y t + 2л" 1
{
а1 ..[2;
- --- ехр 1
х
--
2
( 1 + �" (�(х,) - yt) �;
}
а; 2 !) ] , ai
х
al
(4.58}
где а12 = ау2 1 + 1\111, 2 ах2 1 ; а л, 111 - значения первон и второи производно н 111 и л" о ценки кривой регрессии при х = х1• В формулу (4.58} в качестве ненормированиых весов входят· _
.Л • � \ТI ( Xj) - yj) \.Тii 112 )
Лtr Л
1 + f!
w, =
�� •
--------
al
_
_
(4.59}
Кроме того, центром распределения для у1 является сдвинутая оценка кри вой регрессии 11 (х, } + а,, где 1
а , =
j
2 Т1 ах2 , ( ау2 , - 2 a x2 tА•2 fl t ) Л rr
ai
(4.60}
Так как провзводные л, 111 и отклонения �АYt = 11л(х1) - Yt до проведения 111 и 1\" анализа неизвестны, то на первый взгляд может показаться, что возникает ситуация, которая носит название «заколдованный круг». Из этого «круга» можно выйти с помощью поспедовательных приближений, используя тот факт, что функция правдоподобия спабее завис'-т от изменения весов при подборе кривой регрессии, чем от разностей у1 - 11 (xt) . Нулевое приближение можно получить, проведя «на глаз» кривую через экспериментальные точки. Первую произво дную, получаемую дифференци рованием кривой нулевого приближения, подставляют в знаменатель вы ражения (4.59) , вторую производкую заменяют нулем и анализируют вновь полученные веса, кривой регрессии первого приближения позвоДифференцирование А, Л, , ляет наи ти вел ичины 11t , 111 и �Ау, , с помо щью которых вновь пересчитыв ают веса и о ценивают сдвиги (4.60) . Эту процедуру уточнения кривой и весов продолжают до тех пор, пока изменения весов не станут меньше заранее назначенной вел ичины, отражающей точность проводимых расчетов. При достаточно малых
ах
, 11 и 11 у
; 2 11
а
у
"
11 сходимость про цесса итерации должна быть достаточно
быстрой. Как указьmалось выше, в расчетном отношении конфлюэнтная задача
110
. эквивалентна последовательности регрессионных задач. При ах -+ О, т.е. если наблюдення х1 являются фиксированными числами, все формулы конфлюэнтноrо анализа автоматически переходят в формулы регрессион ного анализа (вторая экспериментальная ситуаци я) . Конфлюзнтный анализ подробно описан в [66, 1 06, 144, 145 , П.14 .64, . 1 4.69, П.14.77] . В литературе приводятся также примеры решеНИJI искусвенно синтезированных задач методом регрессионного и конфлюзнтного ализов с сопоставленнем результатов [ 1 44] . Разработана программа для ЭВМ по множественному регрессионному конфлюэнтному анализу [ 1 06) . Здесь же изложен порядок решення за д чи конфлюэнтноrо анализа методом последовательных приближений ( терацнн) в многофакторной ситуации :
!
J
� J-
- нулевая оценка вектор-сталбца коэф 1 ) отыскивают значения ф циентов регресснн {31 , при которых достигается миннмум функционала (4.48) при постоянных весах :,, = 1/а� 1) ; 2) в каждРЙ экспериментальной точке Х'( подсчи!ывают величины ве сов и смещений :
(4.61 ) (4.62)
где a� tk - дисперсия определеНИJI k-й координаты i-й точки х;. Частные производиые находят методом численного дифференцировання по фор0 мулам
..
д fl(;: f> 1 дxk 0 А
0
- = 2h [1l J; xtJ• ktk + h) " 2
x=x t
1
о
�
11"' (Р; x1r �tk) ; xlf, x1k - h ) ] о о � 2 � � 1 д fl (!; 1> 1 = -2- [17 ({3; x11 ; x1k - h)+ 2f1 ({3; x11, x1k) дxk дx k x=x t h � .Я ... h2 + f1({3; xi/, Xtk + h) ] - 1lIV ({3; х,, ; �tk ) . -11(1
--
(4. 63 )
+ (4.64)
12
ldar дифференцирования h выбирают, учитывая погрешности расчета производных. BлиJIJDie шага на точность проверяют повторным обраще нием к программе с уменьшение м шага h;
---
f
t,
3) отыскивают эначеНИJI при которых дРстигается ., ЦИОНала U1 ПрИ ПОСТОJIННЫХ весах Wt :
u1
n
-1
= 1 1: w, [У; - 11 ({3; х,) =1
1 2
а }] 2 •
минимум
функ
(4.65) 111
Операции 2) и 3) повторяют соответственно при пока процесс не сойдется : max
j
!:J.I
11J,.- 1 �1· - �1· �Е
�
1
-
(j
и
�
..
(j
и т.д. до тех пор, (4.66)
,
rде j = 1 , р - количество неизвестных параметров : Е - наперед заданпо положительное число, величина котороrо сравнима с возможной поrре ностью вычислений. Значение ft для котороrо ВЫ!!,.Олняется условие (4.66 , принимают за оценку искомых коэффициентов (j полинома при конфэл энтном анализе [ 1 06] . m
§ 4.7 . Модели, нелннейны е по параметрам
Ранее рассматривались только линейные по параметрам модели, кото рые сrроились путем анализа экспериментальных данных. Отмечало сь, _ что модели вида у = Ь о + Ьх, л у = Ь о + Ь1х1 + Ь2х2 + ... + Ьр хр . 9 = а + Ьх + сх 2 + dx 3 + ... , (4.63а) У = Ьо + Ь 1х 1 + Ь2х2 + ... + Ьрхр + ... + b 1 1 xi + Ь2 2 Х� + ... + ЬррХ� + + b 1 2 x 1xi + Ь 1 3х 1х3 + ... , л ь У = Ь0х ь1 • Х ь2 2 • . . . • ХрР, 9 = ехр (Ь 0 + Ь 1х1 + Ь2х2 + ... + Ьрхр )
являются линейными по параметрам Ь0 , ь1 (j = I:'P) . В последние rоды появились публикации [ 1 1 , П.14. J 8, П. 14.80, П. 1 4.99] , в которых даны рекомендации по построению эмпирических фор· мул, нелинейных по параметрам. При линейной параметризации без взвеnпmания (поrреrшюсти х пре небрежимо малы, а поrрешности у независимы и имеют одинаковые стан дартные отклонения) формула ( 4.48) принимает вид n
.Р
=1
}=1
И = 1: [у; - ((3 о + 1: f3rlJ) ] 2 . 1
(4.64а)
Как указьmалось, дл я вычисления оценок ко эф фициентов (3 0 , (31 в пред положении минимума выражения в квадратных скобках формулы (4.64а) составляют систему нормальных уравнений метода наименьших квадра тов, вычисляя частные производные по всем параметрам Ь, ь1, и прирав нивают полученные выражения нулю. Вычисление значений коэффициентов Ь о ь1 (решение системы нормальных уравнений) сводится к использова нию методов линейной алrебры, в частносrи к проведению операций транс понирования и обращения матриц [формулы (3.4) - (3. 1 4) ] . ,
1 12
При нелинейной параметриэации дело обстоит сложнее. Приходится решать систему нелинейных уравнений. Для этого можно использовать методы последовательного приближения. Исходные данные примера по строения нелинейной по параметрам модели, который рассмотрен ниже исключительно для сравнения окончательных результатов, взяты иэ книrи [ 1 1 ) . В этой работе пример решеn на ЭВМ IВМ/360 с использованием мат ричных операций. Приведены только конечные результаты. Поэтому этот пример нельзя использовать для обучения начинающих экспериментаторов . В настоящей работе нелинейвые уравнения решались методом Ньюто на-Рафсона, все этапы решения сохранены. Вычисления проводились в системе FORTRAN ЕС 1 022, использовался также настольный компьютер «Texas Instruments SR-5 0-A», позволяющий легко вьmолнять операции � экспонентами. Предположим, что у (функция отклика) - доля химического вещества А, оставшаяся к моменту времени х 1 в результате реакции типа А � В. Зависимая переменпая у удовлетворяет дифференциальному уравне11Ию [1 1] dy
d.XJ
= - Ку '
(4.65)
где К - константа скорости. Решение этоrо уравнения при следующих начальных условиях: у = 1 , если х1 = 0, - имеет вид у = ехр (- Кх1 ) . Константа скорости К зависит от абсолютной температуры х 2 следующим образом : (4.66) К = Ь 1 ехр (-Ь2/х2 ) , где Ь 1 - предэкспоненциальный множитель; Ь 2 - энергия активации. Мо дель процесса принимает вид у = [ (х 1 . х 2, Ь1 , Ь 2 ) = ехр [ -Ь1х 1 ехр (- Ь2/х2 ) ] . (4.67) Формула (4.67) является нелинейной по параметрам Ь1 и Ь 2 моделью изучаемого процесса. Для тоrо чтобы хо рошо п�едсказать результаты опытов у1, модель (4.67) дол жна давать значения Yt . имеющие минимально возможные рас хождения с результатами опытов у1, т.е. сумма квадратов отклонений (4.68) (4.69) должна быть минимальной. Другими словами, параметры Ь1 и Ь 2 должны быть вычислены так, чтобы сумма квадратов отклонений (4.68) бьmа ми нимальной . Для отыскания минимума функции U (Ь) по параметрам Ь1 и Ь 2 следу ет взять ее частные проиэводные по этим параметрам и приравнять их нулю : 113
:� :::}
�ал::· :ть=:�}(
(4.70)
дЬ2
4.68) , можно заnисать :
дЬ 1 д еt � 2е1 - = 0, дЬ 2 1 =1 1 =1
(4.71 )
n
де е; = Yi - У ;. л
,.
д еt =� (у · - у ·) = ддnt , Ь д Ь t дЬ t l l л (4.72) д еt ду t л д = д Ь 2 = д Ь 2 (у ; У ;) дЬ 2 ' так как у1 (вектор наблюдений) не зависит от Ь 1 и Ь 2 • Уравнения (4.7 1) -
-
записаны в общем виде. Если учесть конкретную форму нелинейной модели у1 (формула (4.69) ] и подставить ее в систему (4.7 1 ) , принимая во внимание (4.72) , то пол,rmм
дуt ь2 ь2 ] ( -хн ехр (- - ) ] = д Ь 1 = ехр (- Ь1хн ехр (- -) Xf2 "12 ь2 ь2 = -хн ехр (-Ь 1 х1 1 ехр (- -) ] ехр (- -) , 2 "1 "12 л ду t ь2 ь2 1 - = ехр (- Ь 1 хн ехр (- -) ] [-Ь 1 хн ехр (- -) (- -) ] Xi2 дЬ 2 Xf2 Х(2 ь 1 хн ь2 ь2 = -- ехр (- Ь1хн ехр (- -) ] ехр (- -) Xt2 Xj2 "12
(4.73) =
·
или
114
� ), }
дуt = -Х нУt ехр (дЬ 1 Xi2 ду1 Ь 1 хн л Ь2 - =+ -- у1 ехр (- - ) дЬ 2 " 12 "12 Систему (4.7 1 ) , учитывая формулу (4.75) , заnи шем в виде
{
(4.74)
(4.75)
•
+2 � е, Yt ехр (- � ) Xft = О, 1=1 �12 n Ь2 Ь t1.,. 1 л х -2 � e, ( ---J Yt ехр (- - ) = 0. "t2 1=1 "1 2
(4.76)
Система (4.76) является системой двух нелинейных уравнений с двумя неизвестны ми (Ь1 и Ь 2 ) ; ее можно ре um ть методом Ньютона-Рафсона . Для тоrо чтобьr рассмо тр еть процедуру метода Ньютона-Рафсона, вве дем следующие обозначения: ь2 n л F (b 1 , Ь 2 ) = � е; У; ехр (- - ) хн = О, 12 1= 1
"
ь2 ь 1 "11, л (4.77) G (Ь 1 , Ь 2 ) = � e; ( --·JYI ехр (- -- ) = О. 1=1 "12 "1 2 Таким образом, чтобы определить неизвестные параметры Ь1 и Ь 2 , следует решить систему нелинейных уравнений : F(h-1 , b 2 ) = 0, G (b1 , b 2 ) = 0. (4.78) Эти уравнения можно переписать в друrом виде, выделяя параметры Ь1 , Ь2 : (4.79) b t = Ф t (Ь t . Ь 2 ). Ь 2 = Ф 2 (Ь t . Ь 2 ) . Обычная итерационная схема имеет вид (4.80) ь f k + t > = Ф t <ьtk > . ь � k > ) , ьJk+ 1 > = Ф 2 <ь tk> . ьJk > ) , (вычисление (k + 1 ) -ro приближения по k-му] . Пусть известны некото рые приближеиные значения ьrJ и ьt:J ' в частности некоторые начальные приближения Ь ? и Ь� . Обозначим разность между точными значениями кор ней b t и ь 2 и их приближенными значениями ьrJ и ьt:J через !:J.b l и !:J.b 2 , т.е . полагаем (4.8 1 ) b t = b(kJ + дb t . b 2 = b�k) + !:J.b 2 . Подставляя значения корней Ь 1 , Ь2 в формулу (4.78) , получаем F (b (kJ + I::J.Ь 1 ; b�kJ + I::J.b 2 ) = О, (4.82) G (b (kJ + I::J.Ь t ; b�kJ + !:J.b 2 ) = О. Используем разложение Тейлора для функции двух переменных в окрестности точки с коор,цинатами (b f; Ь�) : о о Ь2-Ь2 ' bt-bt r о о о о + ) Ь , ( 2 [ (b t , Ь 2 ) = [ (Ь f, Ь� ) + f{ь 2 ) (b t , Ь 2 ) + ... , ) t -1 J(ь 1 b l (4.83) n
�
rде [f� = . Положим Ь f = b{kJ ; Ь� = ьt:J; Ь 1 - Ь f = Ь 1 - ь rJ = !:J.b1 ; J Ь 2 - Ь� = Ь 2 - ьt:J = !:J.b 2 • Тоrда разложение (4.83) для функций (4.82) принимает вид F (b (kJ + !:J.Ь 1 , b�kJ + !:J.Ь 2 ) = F (b (kJ, b�kJ + !:J.b 1 F,:1 (b(kl, b�kJ) + + I::J.Ь 2 Fь : (b{kl, b�kJ) + ... = О, G (Ь{kJ + !:J.Ь 1 , ь�kJ + !:J.Ь 2 ) = G (Ь{kJ, ь�kJ) + t:J.Ь1 Gь :<ь{k J , ь�kJ) + f AL (4.84) + .0.0U 2 Gь' 2 (Ь 1kJ , ь 2fkJ) + ... -- о . 1 15
Сохраняя в этом разложеiDIИ только первый член, приближенно полу чаем (4.85) l1b 1 F� 1 + l1Ь 2 Fj, 2 Е!!! -F, l1b 1 G� 1 + !1Ь 2 Gь 2 Е!!! -G. Здесь функции F и G и их производные подсчитывают в точках ь 'f'�. ь ffJ. Решая ( 4.85) , найдем (4.86) rде d = F'ь 1 G� 2 Gl1 1 Fl, 2 . Подсrавл яя эти приближенные -значеНИ.II в формулу �.8 1) и обозна чая полученные значеiDiя корней (параметров) через Ь 1 + l ) и b�k+ l ) , окончательно получаем рекуррентную формулу -
(4.87)
(4.88)
(4.89)
(4.90)
{
n b1 xi1 де t л Gь' 2 = I: ( ) У ; ехр (-b 2/Xt2 ) + дЬ 2 i = 1 Xj2 д9t 1 л + е; exp (- b2/Xt2 ) + et yt ) = exp (-b 2/Xt2 ) (- X t2 дЬ 2 д9; л n Ь 1 х1 1 e; 9t (4.92) = I: ( ) ехр (-b 2/Xt2) - (et - yt) - -- 1 дЬ 2 Xj2 i = 1 Xj2 л .1\ л деt дуt деt ду t rде - == - - ::;: + хн уt ехр (-b 2/Xt2 ) ; - = - - = дЬ 2 дЬ 2 дЬ 1 дЬ 1 b 1 Xt 1 л =Yi ехр (-b 2/Xt2 ) ; Xj2 на каждом шаrе итерации вычисляют значения F, G, Fь � . Fь ;. Gь ' , Gь ; , которые подставляют в формулу (4.87) , учитывая формулу (4.8 s j , --
-
--
} }
-
{
--
и вычисляют новые значения параметров ь 1 и ь2 . Процесс продолжают ДО тех пор , пока l bk+ l - bk l не будет меньше заранее заданной вел ичин ы, назначаемой сообразно точности проводимых расчетов. Начальные (нулевые) значения параметров Ь � и ьg моrут бьпь полу чены методом линеаризации функции (4.67) ( 1 1 ] :
ln ( или rде
-
л
ln y)
= ln Ь 1 - Ь 2/х 2 + ln x 1
(4.93)
(4.94)
�+ = ln (-ln �). х+ = 1 fx2, ьt ln ь 1. ь ; ь 2 . =
=
(4.95)
Модель ( 4.94) линейна по параметрам, и коэффициенты ьt и ь; мож но вычислить по обычной методике линейного парноrо регрессионного ана лиза (см. rn 11): ьt = 6,643963 ; ь; = 928,6492. Возвращаясь к прежним параметрам, получаем bf = ехр Ь t = 768,1 33 1 ; ьg = ь; = 928, 6492. Вычисления по формулам (4.89) - (4.92) на первый взrляд моrут пока заться очень сложными. Однако их анализ и внимательное сравнение дают возможность вычислять значения F, G, Fь �. Fь ;. Gь � . G ь 2 с помощью сравнительно простой расчетной процедуры. На каждом шаrе итерации достаточно вычислить промежуточные вел ичин ы Yt· et. ef , Ptet. е1 - У;,
dy ·
и затем подставить их в формулы (4.68) , (4.88) , (4.89) , (4.90) , db 2 (4.9 1 ) , (4.92) и (4.87) , чтобы получить величины суммы квадратов остат ков и параметров Ь 1 и Ь 2 на данном шаrе . При начальных значениях паf аметров b f = 768, 1 33 1 , ьg = 928,6492, принимая l b� + l - Ь� 1 ЕО; 0,2, l b� 2 - Ь� 1 ЕО; 0,2, можно получить значения параметров на каждом из пяти шаrов итерации, приведеиные в табл . 4.8.
--..!_
Значения промежуточных величин даны для тех, кто захочет самостоятель но повторить решения примера с применением настольной ЭВМ . Нетрудно 117
.... QO
Таб
лица
4.8
Результаты вычисления пар аметров нелинейной модели Ньютона - Рафеона 5i
G
F'ь 1
F'ь2
G'ь 1
Gь 2
(3 )
(4)
(5)
(6 )
+0,96 7 375Х 4 Х 1 0-
+0,34 206 1Х З Х 1 0-
+0, 1 3 83 4 1Х Х 1 0- 5
-0,500003Х Х 1 0- 5
2
- 0,95 1 1 35Х Х 1 0- 5
- 0, 1 3 7 9 3 1 Х 4 Х 1 0-
+0, 1 7 7993Х Х 1 0- 5
3
-0,5 1 06 89Х Х 1 0- 5
-0, 1 4 5 3 95Х X l 0- 4
4
-0,34 30Q4 X Х 1 0- 6
5
-0,476030Х Х 1 0- В
::r .. � "" ., .,
F
(1 )
( 2)
a !S: --
d
ь1
ь2
(7)
(8)
(9)
( 1 0)
+0,500004Х Х 1 0- 5
- 0, 1 7 2674Х Х 1 0- 4
+0, 1 1 1 25 1Х Х 1 0- 1 1
7 3 2, 2 5 8 93 8,07 1
- 0,5 5 37 1 9Х Х 1 0- 5
+5537 1 9Х Х 1 0- 5
- 0 , 1 80693Х 4 Х 1 0-
- 0, 1 5 0 1 7 3 Х 1 Х 1 0- 1
795,844
+0, 1 4 8 7 24Х X l 0- 5
-0,505 264Х X l 0- 5
+0,505263Х X l 0- 5
-0, 1 7 93 03Х X l 0- 4
- 0, 1 1 37 5 2Х X l 0- 1 1
8 1 1,7 1 0 960,467
-0,828284Х Х 1 0- 6
+0, 14 17 7 7Х X l 0- 5
-0,493644 Х Х 1 0- 5
+0,493644Х Х 1 0- 5
-0, 1 7 8775Х Х 1 0- 4
- 0,977662Х 12 Х 1 0-
8 1 3, 8 5 1
960,997
- 0, 1 2 8648Х Х 1 0- ?
+0, 14 094 8Х Х 1 0- 5
-0,492204Х Х 1 0- 5
- 0, 1 7 87 2 1 Х х 1 о- 4 +0,492204Х Х 1 0- 5
-0,963743 Х 2 Х 1 0- 1
8 1 3, 87 3
96 1,003
--
� e f = 0,0398 Q6 0 ; i=l 15
уnрощающи е преобразования :
d y" ;
;.,
dY; ь 1 - = - - : -; db 2 х;2 db 1
ь1 F;2 1 = G;21 : х; ; .
2
G� 1 = -F� z .
956,7 92
заметить,
= 0,0006
1 8 1 3,873 - 8 1 3,85 1 1 = 0,022 � 0,2, 1 961 ,003 - 960,997 1 = 0,2. Для сравнения значения Ь1 на первой итерации можно
что
�
вычислить на малой ЭВМ
Ь � :: ьу + ( GFь 2 - FGь 2 ) /d = 768,1 33 1 +
+ 34,206 l · H r 5 · ( -0,500003· 1 0- 5 ) -9,67375 · H r 5 • ( - 1 ,72674· 1 {) 5 )
0,1 1 1 25 1 · 1 {) 1 1 - 1 7 , 1 03 1 53 · 1 () 1 0 + 1 6,70405 1 · 1 (} 1 0 = 768 , 1 33 1 = 768 , 1 33 1 + 0, 1 1 1 25 1 - 1 {) 1 1 - 35 ,8740 = 732,2591 .
=
Числа, полученные на 5-й итерации (табл. 4.8) , почти точно совпадают с аналогичными числами, полученными й. Бардом [ 1 1 ) на 6-й итерации (вычисления проводились другим методом на другой ЭВМ и начаты с другого начального приближеШiя: ьу = 750; Ь � = 1 200; Ь f = 8 13,4583 ; 15 Ь � = 960,9063; 1: ef = 0,03980599) . Такие благоприятные результаты 1=1
получаются н е в сегда [П. 1 4 . 1 8 ] . Поверхность отклика кроме глобального может иметь и локальные зкстремумы, позтому нет Юlкакой уверенно сти, что получен именно тот результат, к которому стремился исследователь. При этом следует пом ШIТЬ, что в ыбор числа параметров зависит от интуитивных представлений и яв ляется процедурой произвольной . С технической точки зрения при вьmолнении операций с экспонентами в стречается еще одна трудность. Промежуточные результаты часто имеют очень малые значеШiя (например, 0,1 1(} 2 0 0 ) , т.е. возникает ситуация, именуемая «м аumнный нуль». Поэтому задачу построения модели, нелинейной по параметрам, как правило , решают на ЭВМ многократно , варьируя число параметров раз ными способами и с различными начальными приближеШiями. Укрупнен ная блок-схема программы построения на ЭВМ ЕС 1022 нелинейной по па раметрам модели методом Ньютона-Рафеона приведена на рис. 20. Выше рассмотрена методика построения нелинейной по параметрам модели при числе параметров р = 2. Метод решения нелинейных уравнений Ньютона-Рафеона может бьпь использован также для любого числа пара метров. Частное дифференцирование выражения (4.47) при нелищ:йной пара метризации по всем параметрам и приравнивание каждого полученного выражения нулю позволяют записать систему нелинейных алгебраических ур авнений : ·
t
/1 (Ь 1 , Ь 2 , .. . , Ьр ) : О, /2 (Ь 1 , Ь2, ... , Ьр ) - О, .................. /р (Ь 1, Ь 2, ... , Ьр ) = О.
(4.96) 119
Ясно , что кроме параметров bi в уравнениях (4.96) присутствуют также независимые переменные Xij и зависимые перемеЮiые у; , которые дл я краткости опущены, поскольку дифференцирование про водилось п о пара метрам bi . Тре буется найти значение В , удовлетв оряющее системе ( 4.96) , где В представляет собой р-мерный вектор неизвестных параметро в :
bl hz
(4.97)
В=
Ьр Систему ( 4.96) можно переписат ь в виде р-мерного векторног о уравнения (4.98 ) F(B) = О . 0 Предполо жим, что разность между начальны м приближ ением В и АВ. ектором в малым является й уравнени ых решением системы нелинейн 0 , то можно В в цируема дифферен раз число ое достаточн F(B) Если функция воспользоваться разложени ем Тейлора :
F(B) = F(B 0 + АВ ) = = F(B 0 ) + J 0 (В - В 0 ) + ... = О,
(4.99)
где J 0 - матрица Я ко би в точке В 0 ;
дfl
дfl
д ь У дь g
дЬ ро
дfz
дfz
дfl J o = дfz
д ь У дь g . . . � дfр .
.
.
.
.
.
(4. 1 00)
д Ь ро . .. . д fр .
.
. дь о1 ·дь о2 • • д ь ро
Если в разложении (4 .99) ограничиться только линейными члена ми , то получим (4. 1 0 1 ) О � F(B 0 ) + J 0 (В - В 0 ) , 1 0 0 откуда В = В - J(j F(B ) Это значение В приближенное, но его можно испол ьзо в ать в качестве начального на следующе м шаге итерации . В общем случае получаем рекуррентную формулу вk + I = Bk - J;; 1 F(Bk ) . (4. 1 02) •
Рис. 2 0
Процесс повторяют до тех пор, пока не получают 1 A B I .;;;, Е для векото ро го заранее заданного с, в ыбранного в соответств ии с точностью в ычисле ний. 1 20
Материал , изложенный в данном параграфе , наряду с конфлюэнтным анализом, по -видимому, отличается наибольшей сложностью. Для облегче ния усв оения этого материала целесообразно привести конкретный пример по строения нелинейной по параметрам модели для в ычисления деформаций ползучести бетоно в . В качестве независимых переменных Xj в модели фигурируют факторы : т - возраст бетона к момент у .заrружения и ( t - т) время наблюдения в сутках. Данный пример тем более интересен, что для получения ре зультатов при решении систе мы нелинейных алгебраических уравнений пришлось кроме метода Ньютона-Рафеона использовать еще и метод нанскорейшего спуска. При выборе формы модели бьm использован кусо чный метод описания кривых ползучести бетоно в И.Е. Прокоповича. Сущность этого метода в том, что бетоны с точки зрения их возраста при загружении подразделяют ся на три к атегории : 1 ) старые бетоны - т 1 ;;;.. 360 сут; 2) стареющие бетоны - 28 � т 1 < 360 сут; 3 ) инт�нсивно стареющие бетоны - т 1 < 28 сут. Поэтому для аппроксимации кривых ползучести первых двух катего рий бетонов при наличии в модели не более трех параметров можно исполь зовать следующие формул ы : (t - т (4. 1 03) 1 ) т 1 ;;;.. 3 60 сут ; С (t, 1) = С (t - 1) = С0 [ 1 -Ве - 'У 1 ' )] ; 2) 28 � т 1 < 360 сут ;
(4. 1 04) С (t, т) = 8 (т/( t - т) = ( Со + А е - 'У т ) [ 1 - Ве- 'У 1 - r) ) . Выражения (4. 1 03) и (4. 1 04) охватыв ают бетоны, загруженные в воз расте более 28 сут , т.е. подавляющее больиmнство в стречающихся на прак тике случаев . Для т 1 < 28 сут (случай , редко в стречающийся на практике) в настоя щее время используют более сложные формулы с больиmм числом коэф фициентов . Методику вычисления такого количества ко эффициентов с по мо щью нелинейного о ценивания еще предстоит разработать. Если в вести о бозначения, обычно используемые при построении эмпи рических формул статистическими методами, а именно : у = C (t, т ) • х = = (t - т) , Ь 0 = В, Ь 1 = 11 , то формула ( 4. 1 03) принимает в ид (4. 1 03а) у = С0 ( 1 - Ь 0 е - Ь � х ) .
(t
Для фор мулы (4. 1 04) также можно ввести следующие обозначения : = С (t , т) ; х 1 = т; х2 = (t - т) ; Ьо = В; Ь1 = 1; Ь 2 = 11 ; в этом случае она принимает вид
У
(4. 1 04а) Выражения (4. 1 03а) и (4. 1 04а) нелинейны по параметрам Ь 0 , Ь 1 , Ь 2 • Если имеются в ектор -столбцы набл юдений у , С0 , х для формулы (4. 1 03а) , можно методами нелинейного оценив ания вычислить значения параметров Ьо и Ь 1 • Если имеются вектор -столбцы наблюдений у , С0 , х 1 , х2 , А для форму171
лы (4.1 04а) , можно методами нелинейноrо оценивания вычислить пара ме тр ы Ь 0, Ь 1 и Ь2 . В эксnериментальных работах по исследованию ползучести бетона уда· лось обнаружить пока всеrо несколько опытов с возрастом бетона т 1 > > 360 сут. Для надежного оценивания значений параметров Ьо и Ь 1 необходимо провести хотя бы несколько десятков опытов. Если удастся в дальней· шем собрать необходимую информацию, то решение задачи нелинейного оценивания параметров Ь 0 и Ь 1 для модели ползучести старого бетона будет легко разрешимо . Одновременно можно будет проверить гипотезу Ь 0 = 0. Стареющий бетон (28 :.;;; т 1 < 360 сут) исследован достаточно , и поэ тому задачу нелинейкого оценивания коэффициентов Ьо, Ь 1 , Ь2 в формуле (4. 1 04а) удалось решить . Значения С0 , А в формуле (4.1 04а) получены следующим образом: Со = O,SOC(oo, 2 8) ; А = 0,70 С(оо, 2 8) , (4. 1 05) где С(оо, 2 8) предельные значения удельных относительных деформа ций ползучести бетона, определенные по методике И.Е. Прокоповича: -
с(оо
где k1
•
. 2 8) = 63,6 1 0- 7
/=1 1 п /=1
k,,
(4. 1 06)
неэав1_1симые коэффициенты, определяющие влияНJiе факторов . вычислений использованы результаты опытов С.В. Александровс коrо и Э.Я. Б аrрия, Глэнвиля, Дэвиса, Дютрона, К.С. Карапетяна, Мамийа на, И.И. ' Улицкоrо, П.Я. Панарина. И.Е. Прокоповича, Росса, автора книги (всего 1 41 опыт) . Исходные данные (значения у1, х н, х 2 ; , С(оо, 2 8) , С01, А ;, i = 1, п, п = 141) приведены в табл. 4.9. Используя принцШI Лежандра, можно записать, что сумма квадратов отклонений значений, вычисленных по формуле (4. 1 04а) от эксnеримен тальных значений У; должна быть минимальной: -
Для
_
n
где
U = :Е {y; - Yл;) �in• 1=1
Yi = (Со; + A; e- b 1 x 1 i) ( 1 - Ь0 е- Ь 2 х 2 l) .
(4. 1 07)
(4. 1 08) Др уги ми словами, нужно подобрать такие значения параметров Ь0, Ь 1 , Ь2 , которые мини мизировали бы сумму квадратов отклонений U. Таким обра· эо м, задача сводится к отысканию минимума функций U(b). Найдем част ные производные и приравняем их нулю: д U(Ь) = О · д U(Ь) с О • дU(Ь) = О . (4. 1 09) дЬ о ' дЬ 1 ' дЬ 2 Если ввести обозначения е;(Ь) = Yi - У ;(Ь ) , (4. 1 1 0) 122
Т а б л и ц а 4.9 Но-
мер опыта
С (t,
т)
т
t
0,5С (
оо ,
т)
0,7 С (
оо
,
т)
Значение Откnоиени е по формуле (4. 1 04а) 1\
л
Yi
X ti
X2 i
Со
А
Yi
е; = Y;-Yi
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5
20 23 26 28 18
28 28 28 28 40
12 32 52 82 10
28,2 28,2 28,2 28,2 24 ,0
3 9,6 3 9,6 3 9,6 3 9,6 3 3,6
1 1,81 1 6,86 2 1,35 27, 1 4 8,93
8, 1 9 6,14 4,65 0,86 9,07
6 7 8 9 10
21 24 26 20 50
40 40 40 77 90
20 40 70 33 7 10
24 ,0 24 ,0 24 ,0 20,9 25 , 1
33,6 33,6 33,6 29,3 35, 1
1 1,12 1 4, 84 1 9,77 9,85 36,57
9,98 9, 1 6 6,23 1 0, 1 5 1 3,43
11 12 13 14 15
50 25 30 74 ,5 69
90 90 90 98 28
7 10 710 7 10 7 00 7 00
25 , 1 1 5 ,95 1 5 ,95 37,6 3 7 ,6
35, 1 22,3 2 2.3 5 2,6 5 2,6
36,57 23,24 2 3 , 24 74,23 74,23
1 3,43 1 ,7 6 6,76 0, 27 -5,23
16 17 18 19 20
1 85 71 51 1 14 1 24
28 28 90 28 28
2700 1 800 90 27 33
93,0 56,6 39,6 57 ,5 76,2
1 30, 2 7 9, 2 5 5 ,4 80,5 1 06,7
1 86,24 1 1 3, 1 9 29,4 8 1 1 5 ,03 1 34,56
- 1 ,04 -42, 1 9 2 1, 5 2 - 1 , 03 - 1,56
21 22 23 24 25
1 07 95 98 1 04,0 76
28 28 28 28 28
330 330 330 3 30 730
76,2 76,2 76,2 76,2 5 5 ,4
1 06,7 НJ'6,7 1 06,7 1 06,7 77,6
1 34,56 1 3 4,56 1 3 4, 5 6 1 34,56 1 09,67
- 27,56 - 39,56 - 36,56 - 30,56 - 33,67
26 27 28 29 30
1 86 140 1 85 76 95
28 28 28 28 28
27 1 50 2700 2400 1 300
93,0 1 1 0, 1 93,0 38,5 48,0
1 30, 2 1 54,7 1 30, 2 5 3,9 67,2
1 86,04 144,40 1 86,04 7 7 ,0 2 95,99
- 1 ,04 -4,4 - 1 ,04 - 1 ,02 - 0, 9 9
31 32 33 34 35
115 66 73 75 49
28 90 90 90 98
2400 1 300 1 300 2400 1 000
58,0 33,5 37 ,0 3 8 ,0 25,0
8 1,2 46,9 5 1, 8 53,2 35,0
1 1 6,03 4 9,4 1 54,57 5 6,07 4 9,9 1
- 1 ,03 16,59 1 8,43 1 8,93 -0,92
36 37 38 39 40
104,0 31,2 112 34 176
29 28 28 28 28
340 340 340 340 2700
5 8 ,6 24 ,0 62,2 25,4 88,5
82,2 3 3,6 87, 1 35,6 1 23,9
1 04, 3 1 4 2,70 1 1 ,69 45,22 1 7 7,04
- 0, 3 1 - 1 1,5 0,3 1 - 1 1 , 22 - 1 ,04 123
Про должен ие табл. 4. 9
2
3
4
5
6
7
8
41 42 43 44 45
18 179 16 2,0 122 24 7 ,0
28 28 28 28 28
1400 2700 1 3 00 1 000 1 900
90,5 90,0 8 1 ,5 6 1 ,5 142,6
1 26,7 4 26,0 1 14, 1 86, 1 1 99,6
1 8 1,01 1 8 0,04 1 6 2,97 1 2 2,7 6 2 8 5 , 24
- 1,01 - 1 ,04 - 0,97 -0,76 - 3 8 , 24
46 47 48 49 50
1 9 8 ,0 105,0 60 29 25
28 28 60 60 60
1 900 1 900 900 900 900
74 ,5 65 ,6 30,5 1 5 ,0 14,0
1 04 , 3 91,8 4 2,7 2 1 ,0 1 9,6
1 4 9,03 13 1,20 5 1 ,09 25, 1 2 2 3 ,45
- 1 ,03 - 26 , 20 8, 9 1 3,88 1,55
51 52 53 54 55
28 1 86 1 04 52 59
60 29 95 1 85 28
900 6 00 5 00 3 00 570
1 5 ,0 98,8 69,2 60,3 37 ,0
2 1 ,0 1 3 8,3 96, 8 84,4 5 1, 8
25 , 1 2 1 9 1,89 95,92 5 9,7 1 7 1 , 96
2,88 - 5 , 89 8,08 -7,7 1 - 1 2,96
56 57 58 59 60
54 ,5 23 20 18 24
28 28 28 365 365
570 570 570 3 07 3 07
27 ,9 19,1 13,1 16,1 16,1
3 9, 1 21,1 1 8,4 22,5 22,5
54,29 29,34 25,52 1 4, 1 7 1 4, 1 7
0, 2 1 -6,34 - 5 , 5 23,83 9, 8 3
61 62 63 64 65
26 25 15 25 10
365 28 365 28 365
3 07 571 307 571 3 07
16,1 15,1 7 ,5 15,1 7,5
22,5 2 1, 2 1 0,6 21,2 1 0,6
1 4, 1 7 29,4 1 6,60 2 9,4 1 6,60
1 1,83 -4,4 1 8,40 -4,4 1 3,40
66 67 68 69 70
24 12 36,4 26 ,6 26 , 2
28 365 28 60 90
571 3 07 230 198 168
15,1 7,9 29,4 22,7 20,6
24, 2 1 0,6 41,2 3 1,8 28,8
29,4 1 6,6 46,26 28,28 20,95
-5,4 1 5,40 - 9, 86 - 1 ,6 8 5,25
71 72 73 74 75
1 3 ,4 37,3 1 6 ,4 . 6,4 1 3 ,8
181 33 60 1 96 60
77,0 2 84 267 1 26 213
1 8,0 22,4 17,2 1 3 ,4 1 5 ,4
25, 1 3 1 ,4 24, 2 1 8, 8 2 1 ,5
9,69 36,80 24,02 9, 1 3 1 9,7 3
3,7 1 0,5 0 -7,62 - 2, 7 3 -5,93
76 77 78 79 80
8,2 22,7 38,2 25,7 38,0
181 182 90 1 82 60
94 348 440 348 471
1 2 ,2 14 , 1 14 , 1 1 5 ,3 2 1 ,0
1 7,0 1 9,7 1 9,7 2 1 ,4 29,4
7,3 14,6 1 9, 5 3 1 5 , 84 33,53
0,90 8, 1 1 8,67 9,86 4,47
81 82 83 84 85 1 24
23,5 23 , 1 14,7 1 7 ,4 10,8
28 28 90 28 90
1 00 150 1 13 1 50 1 13
14,7 17,5 12,2 44,4 47,4
20,6 24,5 17,1 66,3 66,3
1 9, 24 2 2, 9 1 1 0, 24 6 2,02 3 3,74
4,25 0, 1 9 4,46 -44,62 - 28,94
Продолжение табл. 4. 9
1
2
3
4
5
6
7
8
86 87 88 89 90
1 2,0 25 ,0 40,0 50,0 57,0
28 28 28 28 28
30 40 50 60 70
47,4 47,4 47,4 47,4 47 ,4
�6,3 66,3 66,3 66,3 66,3
27,49 3 1 ,4 1 35,09 3 8,57 4 1, 8 1
- 15,49 -6,4 1 4,9 1 1 1,43 15,16
91 "92 93 94 95
68,0 77,0 80,0 25 ,0 32,0
28 28 28 9 90
80 90 10 10 1 10
47,4 47 ,4 47,4 33,2 33,2
66.3 66,3 66,3 46,4 46,4
44,93 44,83 5 0,56 26, 1 2 27,45
23,07 29, 1 7 29,44 - 1, 1 2 4,55
96 97 98 99 1 00
4 1 ,0 55,0 66,7 24 ,8 17 ,7
90 90 28 28 50
i 20 140 1 35 235 235
33,2 33,2 35,4 37,0 29,6
46,4 46,4 49,5 5 1, 9 4 1 ,5
28,70 30,99 44,01 5 8,7 1 4 1 ,50
1 2,30 24,0 1 22,69 - 33,91 - 23,80
101 1 02 1 03 1 04 1 05
1 6 ,7 1 0,0 13,2 16,0 16,5
90 28 28 28 28
235 12 22 92 132
26,0 30,5 30,5 30,5 30,5
36,3 4 2, 8 42,8 42,8 42,8
30,37 1 2,77 1 5,58 3 1,19 37,57
- 1 3,67 - 2,77 - 2, 3 8 -15,19 - 2 1 ,07
1 06 1 07 1 08 1 09 1 10
17,0 10,0 12,0 13,1 1 3 ,7
28 60 60 60 60
172 20 60 1 00 140
30,5 23,5 23,5 23,5 23,5
42,8 3 2,9 3 2,9 3 2,9 3 2,9
4 2,58 9,7 2 1 6,08 2 1,08 25,01
- 25,58 0,28 -4,08 - 7,98 - 1 1,31
111 1 12 1 13 1 14 1 15
7,5 8,5 10,0 8 1 ,0 60,0
91 91 91 28 28
29 6 91 09 2000 2000
2 1 ,4 2 1 ,4 2 1 ,4 4 1 ,0 30,5
30,0 30,0 30,0 57,4 4 2,7
8,99 1 3,79 1 7,56 8 2,02 6 1,01
- 1,49 -5,29 -7,56 - 1,02 - 1,01
1 16 1 17 1 18 1 19 1 20
50,0 36,0 34,0 28,0 40,0
90 90 365 365 90
2000 2000 2000 2000 2000
25,5 1 8,7 17 ,5 14,5 28,4
35,7 26,3 24,5 20,3 39,7
37,62 27,63 17,81 14,75 4 1 ,88
1 2,38 8,37 1 6, 1 9 1 3,25 - 1 ,З8
121 1 22 1 23 1 24 1 25
70,5 40,0 34,0 28,0 47,0
28 90 365 3 65 28
2000 2000 2000 2000 3 800
36 ,5 23,5 1 7 ,5 14,5 24,3
49,7 3 2,8 24,5 20,3 34,0
7 2,02 34,64 17,81 14,75 4 8,60
- 1 ,52 5,36 16, 1 9 1 3, 1 5 1,6
1 26 1 27 1 28 1 29 1 30
5 1 ,0 75 ,5 77,0 8 1 ,0 15,4
28 28 28 28 34
3 800 3 800 3 800 3 800 67
26 ,2 38,0 4 1 ,4 4 1 ,4 48,0
36,8 53,2 5 8,0 5 8,0 67 , 1
5 2,50 76,02 82,85 8 2,85 3 9,95
- 1 ,5 - 0,52 -5,85 - 1 ,85 - 24,55 1 25
Продолжение табл. 4. 9 1
2
3
4
5
6
7
8
131 1 32 1 33 1 34 135
1 1 ,5 4,9 10,5 36 ,8 45 ,9
70 51 29 28 28
62 31 44 1 00 200
37 ,0 20,6 25 ,3 2 1 ,4 23,5
5 1 ,7 28,8 35,4 29,96 3 2,9
24,5 6 1 0,66 1 7 ,46 22,84 34,97
- 1 3,06 -5,76 -6, 96 1 3, 96 1 0,93
1 36 1 37 138 1 39 140 141
9,9 46,4 5 2,4 29,8 38,4 1 ,4
28 28 28 28 28 28
1 00 200 1 00 200 200 1 00
10,0 29,5 3 1 ,0 24,5 39,6 11,1
14,0 4 1, 3 43, 3 34,3 5 5,4 1 5,5
1 0,67 43,90 3 3,04 36,46 5 8,92 1 1 ,83
- 0,7 7 2,5 1 9,36 -6,66 - 2, 5 2 - 1 0143
то формулу (4.1 07) можно nереписать в виде n
(4. 1 1 1 ) e'f (b). i= 1 Далее вычислим: д U(Ь) = � 2etfb) д е 1(Ь ) ; дЬ о дЬ о 1 =1 д U(Ь) = � 2е·(Ь) д е i (Ь ) (4. 1 1 2) дЬ 1 ' дЬ 1 1 =1 r д U(Ь) = � 2е ·(Ь ) д е1(Ь ) • дЬ 2 дЬ 2 1 =1 r Учитывая (4 . 1 10) , можно nолучить л ду 1rь J д е1rь J ,.. � = д [У; - У ;(Ь}) = - � ; дЬ о л ду 1 (Ь) д е1(Ь ) д [У · . - у1\ ·(Ь )] = - -· (4. 1 1 3) = дЬ 1 ' дЬ 1 дЬ 1 r r л д е1 (Ь ) д _ [У · _ � ifb)) = - ду i (Ь ) = _ дЬ 2 дЬ 2 дЬ 2 r r л Подставляя вместо Yl (b) ero значе101е из выражения (4. 1 08) , nолучим д еi (Ь ) = е - Ь 2 .х 2 (СOl + Ае- Ь 1 X 1 i) .' дЬ о д еi (Ь ) -- = х н А 1 е- Ь 1 х 11 (1 - Ь 0 е - Ь 2х21 ) ; (4. 1 14) . дЬ 1 д еi (Ь ) ь 2 .х 2 1 (С01 + А; е- ь 1 х 1 1) . ---;;;;- = х 21 Ь 0 еU(b) =
:Е
•
•
Подставляя (4.1 1 2) в (4.1 09) и учитывая (4. 1 14) , nолучаем систему уравнений: 126
n
I: е ·(Ь) е- Ь2х 2 i (С01 + 1 =1 ' n
Ае- Ь 1 х 1 ;)
I: е'·(Ь) х 1 1 А 1 е-Ь t х 1 i ( 1
1=1 n
- Ь 0 е- Ь 2 х 2 1 ) = О;
- I: е;(Ь) х 2 i Ь 0 е- Ь 2 х 2 1 (С0 1 +
1 =1
= О;
A; e- Ь t x 1 i)
(4. 1 1 5)
= О.
Это система алгебраических уравнений, нелинейных по параметрам Ь 0 , Ь 1 , Одн ако ее решение не просто, поскольку здесь сходимость зависит от выбранного метода решения и взятых начальных приближений коэффи циентов Ьо , b t , Ь 2 . При первой попытке решения задачи за перв нчные (начальные) при ближения взяты те значения параметров, которые обычно встречаются в работах по исследованию ползучести бетона: ьg = В = 0, 2 5 ; ьу = 'У = 0 ,0 1 2 ; ьg = "( 1 = 0,006. На основе начальных приближений вычислены з�ачения Ь2 •
n
А
(табл. 4.9) . При этом I: [е;2 (b )J 0 = 23,067,64. 1=1 Попытка решить систему (4.1 1 5) методом Ньютона-Рафеона с ука занными начальными приближения ми успеха не имела, так как решение расходнлось. Далее была сделана вторая попытка решить систему методом скорей шею спуска; при этом получено стабильное решение. Вновь найденные значения параметров бьmи взяты за начальное приближение при повтор ном использовании метода Ньютона-Рафеона и получено быстросходя щееся решение, признанное окончательным. Рассмотрим методику примененив метода скорейшею сnуска в данной задаче. Чтобы уnростить изложение алюритма решения, введем обозна чения n ; fo (b o, b t , Ь2 ) = I: е;(Ь) е- Ь 2 х 2 (Со ; + А ; е- ь 1 х 1 1 ) ;
у;(Ь) и е1{Ь)
1=1 n
/1 (Ьо, ь • . Ь2 ) = I: е;(Ь) хн А ; е- ь 1 x 1 i (1
i=1 n
!2 (Ьо, Ь 1 , b2 ) = -I: е;(Ь) х 2 ; Ь 0 1=1
- Ь 0 е- ь 2 х 2 i ) ;
(4. 1 1 6)
e- b 2x 2 i (C0 ; + А; е- ь 1 х н1
и перепишем систему (4.1 1 5) в виде fo (bo, bt , b2 )= 0 ; ft (bo, b t , b2 ) = 0 ; /2 (Ьо, Ь 1 , Ь2 ) = О .
Введем также новую функцию
(4. 1 17)
ф (Ьо, b t , Ь2 ) = ro (Ьо, ь •• Ь2 ) + fHbo, ь •• Ь2 ) + Л (Ьо, ь • • Ь 2 ) . (4. 1 18) Формула (4. 1 18) принимает минимальное значение при тех и только тех з н ачениях параметров Ь 0 , Ь 1 и Ь 2 , которые удовлетворяют уравнениям сис темы (4.1 1 5) . Вычисления производятся по следующим формулам:
Ьо1 k+1
= Ьо,
k - 'Xk
дФ(Ь о , k ; Ь1 , k; Ь 2 , k>, дЬ о
1 27
(4. 1 1 9)
(4. 1 20) где А
=
[ дФ(Ь о , k: ь 1 , k: Ь 2 , k > 2 • ]
' дЬ о [ дф(Ь о ' k; b 1 ' k; b 2 ' k) 2 . в= ] ' дЬ 1 [ дФ(Ь о , k; Ь 1 , k: Ь 2 , k) 2 С= ] • дЬ 2 Из формулы (4.1 1 8) видно, что
д 1 ( , Ь 1, Ь2) + f1 (Ь о , Ь 1 , Ь 2 ) ! Ь о дЬ 2 24) (4.1 22) В ф ормулах (4.1 дfо (Ь о , Ь 1 , Ь 2 ) � e- 2 Ь 2 x 2i(Co + A e- b 1X 1 i) 2 ; = ; ; дЬ о t=l дfо (Ь о , Ь 1 , Ь 2 ) -- - � ·А · е- (Ь 1 х н + Ь 2 х 2;) х ---� х11 , дЬ t i=l
(4. 1 2 1 )
(4 . 1 25)
_
1 28
(4. 1 26)
дfо ( Ь о , ь 1 · ь 2 ) 1 1 = - i X 2 i e- Ь 2 x 2 i (Co t + А; е- Ь x i ) дЬ 2 i =l х [е; (Ь) + Ь 0 е- Ь 2 х 2 i (Со ; + A ; e- Ь 1 x l i ) ; дЬ 1 дЬ о дf1 ( b g , Ь 1 , Ь 2 ) i X� ; A ; e- b 1 X 1 i ( 1 - b o e- b 2 X 2 i ) дЬ 1 i=l х [A; e- Ь t x l i ( l - b o e- Ь 2 x 2 i ) - е; (Ь)] ; дft ( Ь о , Ь t , Ь 2 ) _ � - (Ь 1 х н+ Ь 2 х 2 j) х - ._ х 1 1 х 2 ; Ь 0 е дЬ2 i =l х [ (Со ; + A ; e- Ь t X t i ) ( 1 - Ь о е- Ь 2 х 2 i ) - е; (Ь)] ;
х
(4 . 1 27) (4. 1 28)
х
дЬ 2 дЬ о дf1 ( Ь о , b t , Ь 2 ) , дf2 (Ь о , Ь 1 , Ь 2 ) = ' дЬ2 дЬ t 1 •_ь_2_) f2_(_ь_о_ . ь_ _д_ = i X � t Ь о е- ь 2 х 2 i (Со + А ; e- Ь t x l i ) х дЬ2 i =l х [Ь 0 е- Ь 2 х 2 i (С0 1 + А; e- Ь 1 x l i ) + е; (Ь)) ) .
(4. 1 29)
(4. 1 30) (4. 1 3 1 ) (4. 1 3 2 )
(4. 1 33)
Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Ньюто на-Рафеона приведен в ыше. Как уже отмечалось, попытка использовать метод Ньютона-Рафеона сразу для решения системы {4. 1 1 5) при началь ных приближениях ь g = 0,8 5 ; ь? = 0,0 1 2 ; ьg = 0,006 оказалась безуспеш ной. Возможно, зти приближения бьmи слишком далеки от истинных значе ний параметров и вектор АВ не был слишком малой величиной. На втором этапе бьmа предпринята попытка решить систему (4. 1 1 5 ) методом скорейшего спуска при тех же начальных приближениях. Вычис ления производились в системе FORTRAN ЕС 1 022 при числе наблюдений n
= 1 41 .
Результаты вычислений, оказавшиеся весьма обнадеживающими, пока зывают хорошую сходимость метода скорейшего спуска при решении подобных задач. У же на 8 -й итерации абсолютная погрешиость Ej = bi, k+ 1 - Ь; , k соста вила : для Ь 0 - 4,2 1 · 1 <1 5 %; для Ь 1 - 0,0493 %; для Ь 2 - 0,905 %; полу чены сл едующие значения параметров : Ь� = 0,85 ; ЬУ = 0,0 1 43 ; Ь� = 0,0047. Эти значения параметров взяты за начальные при повторном использовании метода Ньютона-Рафсона. На 7 -й итерации абсолютная погрешность f.i составила: для Ь 0 - 8 ,7 6 · 1{)"" 6 %; для Ь 1 - О %; для Ь 2 - 1 ,35 · 1 0- 5 %; по лучены следующие значения параметров : Ь 0 = 0,683 ; Ь 1 = 0,0 1 34 ; Ь 2 = == 0,00344. Эти значения можно рассматривать как окончательные для взя то го массива экспериментальных данных. Таким образом, формула (4. 1 04) принимает вид С (t, т) = (Со + А е - о,о 1 3 4 т ) [ 1 - 0,683е- о , оо З 44 ( t - т) ] . 5 - 5 79
\ 29
Как уже указьmалось, при начальных приближениях сумма квадратов отклонений составила 28067,64. Расчет по методУ скорейшего спуска дал возможность снизить сумму квадратов до 2539 1 ,6 1 . После уточнения величин параметров по методУ Ньютона-Рафеона окончательно получено 'I;e; = 23887,52. Автор надеется, что изучение материала данного параграфа даст воз· можность читателям самостоятельно решать задачи построения нелиней ных по параметрам моделей . § 4.8. Сравнение данных
Задача статистического сравнения данных очень часто возникает при обработке результатов экспериментов. Ситуация, когда необходимо срав нить между собой теоретические и экспериментальные данные, встречается практически в каждой научной работе. Как же решается эта задача в настоя щее время большинством исследователей? Например, по результатам опы та критическая сила при сжатии стержня составила 1 2 560 Н. Теория при этом дает другой результат - 1 1 500 Н. Являются ли эти результаты достаточно близки ми между собой? И, вообще, можно ли считать результат эксперимента удовлетворительным? Абсолютная разница составляет 1 060 Н; относительная разНiща 8 ,4 %. Нельзя сказать, много это или мало; существенна разница между экспери ментальным и теоретическим результатом или нет? Однако в подавляющем большинстве научных работ на этом и заканчив ается сравнение теоретичес ких и экспериментальных данных. В некоторых работах делается грубейшая методологическая ошибка : сравнение теоретических и экспериментальных данных производят графи чески. На графике одним цветом изображают теоретическую кривую, а другим цветом - ломаную линию, полученную по результатам эксперимен тов. Такое сравнение не только ни о чем не говорит, но и вообще может ввести в заблуждение, так как показатели такого сравнения зависят от масштаба чертежа. Еще более сложная задача возникает, когда необходимо сравнить меж дУ собой два массива экспериментальных данных, полученньn в разных условиях, и требуется при этом определить, существенно ли влияет изме нение условий на полученнь1е результаты. Например, известно, что ороч· ность бетона с течением времени увел ичив ается. Некоторые исследователи заметили, что орочиость нагруженного бетона увел ичив ается значительнее, чем орочиость иенагруженного бетона. Однако результаты неоднозначны и зачастую противоречивы. В одних работах четко проявляется эффект ускоренного увеличения орочиости пригруженных бетонных образцов с течением времени, в других такой эффект не наблюдается. Ниже будет сделана попытка дать практические рекомендации для решения подобных задач . Пре жде че м при ступи ть к любому сравнению результатов, сле .цует определить погрешность э ксперимента. Именно с поrрешностью экспери-
1 30
мента следует сравнивать разницу между полученными результатами. Наиболее простой и часто встречающийся случай состоит в том, что погреш ность эксперимента вычисляют по результатам экспериментов, выполнен ных в одной "точке", например испытываются образцы из одного замеса бетона, древесина из одинаковых слоев дерева и т.д. Пусть из одного заме са бетона бьmи изготовлены восемь образцов в виде призм. Испытание этих образцов на сжатие позволило определить призмеиную прочность бетона R np · Полученные результаты и вычисление по ним погрешности экспери мента приведены в табл . 4. 1 0. Из табл. 4. 1 0 видно, что квадратическая погрешность эксперимента представляет собой сумму квадратов разностей между i-й и средним ре число измерений в данной точке и зультатом наблюдений, деленную уменьшенную на единицу. на
�ym.n'ы
Т а б л и ц а 4. 10
Вычисление nоrре ш иости :.ксперимеита по р �ультатам опытов, поставленных в одной "точке"
�np = R np i - Rnp
( �np ) 2
2
3
4
221 ,4
0, 1
0,01
2
230,4
9, 1
82,81
3
2 10,8
- 1 0,5
1 1 0,25
4
2 17,9
-3,4
1 1 ,56
5
2 27,3
6,0
36,00
6
230,3
9,0
81 ,00
7
2 1 3 ,6
-7,7
59,29
8
2 1 8,7
-2,6
6,76
1 770,4
0,0
387,68
'"'"'Р"М'"'"'
о
определению Rпр• МПа· 10
- ---
о
Результаты вычислений: 1770,4 s2 = 387,68 = 5 5 ' 3 8 ,. R пр = --- = 22 1 , 3 ; R 8 ПJ:)7 ,44 7 SR пр = y;, = 0,034 ; v % = 3,4 . = = 7 44 ;, , , .J o ' v · §38 · 221,3
Понятие <<Погрешность эксперимента» является очень важным для всех экспериментаторов . При постановке любых опьпов всегда необходи мо поставить некоторое количество опытов в одной точке (не меньше шести) для вычисления погрешности эксперимента. При этом такие опыты желательно по Ст авить по возможности ближе к центру эксперимента. 131
Так, если при проведении экспериментов по определению прочност характеристик бетона приэмеиная прочность бетона изменяется в пре делах от 1 О до 30 МПа, то поrреDПiость эксперимента целесообразно вычис лять по результатам испьпания образцов, имеющих приэмеиную прочность около 20 М Па. Значение коэффициента вариации v зависит от тщательности проведе ния экспериментов . Так , например, общепринято , что v % для бетона состав ляет 7-9 %. В нашем случае (см. табл . 4. 1 0) получилось v % = 3,4 только потому, что эксперимент проводился с особой тщательностью в лаборатор ных условиях и были приняты специальньiе меры для уменьшения разбро са результатов. ПоrреUПiость эксперимента можно вычислить и по «неравно точнъiм» измерениям, но объем вычислений при этом увеличивается [ 1 27] . Рассмотрим пример вычисления поrреUПiости эксперимента по резуль татам неравноточных измерений , при этом процедуре вычисления ошибки эксперимента предшествует провер�а однородности результатов . Данные для вычислений даны в табл . 4.1 1 . Поrрешность эксперимента с использованием этих данных находится НЪIХ
а) вычисляется G-критериИ Кохрена дисперсий : л
G=
8 2м mах
s2 r = l fYt)
проверки однородно�1 и рщ..1,а
3 6 5 ,7 7 = 0,207 ; 1 762,2
=
N ."Е
.J;,rrя
л
б) сравнивается G и Gтабл = 0,39 1 5 (число степеней свободы
1 6, 32) : л
G = 0,207 < Gтабл
v
= 48,
= 0,39 1 5 ;
( О, 0 1 ; 2)
следовательно, ряд дисперсий однороден; в ) в ычисляется квадратичная поrреUПiость эксперимента ;
52 = (JI)
2 t =�I sfYt J N
7 6 2,2 = 1 1 0 ' 1 7 .' = 1 16
r) вычисляется поrрешность эксперимента :
Sy = 1 0,5 0. Как видно из табл . 4.1 1 , общее число образцов n = 48, число точек измерений N = 1 6 . Квадратичная поrрешность эдесь вдвое больше, чем та, которая вычислялась по результатам равноточных измерений. Как отмечалось выше , прочность бетона, хранимого в соответствую щих условиях, с течением времени увеличивается. При этом некоторыми специалистами выдвигается rипотеэа, что прочностные и деформативные характеристики эаrруженных бетонных образцов изменяются с течением времени существеннее, чем у неэаrруженных образцов. Следует прове рить эту rипотеэу, сравнивая результаты испьпаний неэаrруженных и
1 32
вычисления поrрешности эксперимента по р езультатам нер авноточн ых изм ерений
Т а б л и ц а 4. 1 1
ДaiDIЫe д1111
N!! Марка опы- образца та и суммы
1w.·· 10
м
IA.R пp l IA.R пp 1 2
1
2
3
4
1
П-1-1 П-1 -2 П-1-3
1 55,4 1 6 2, 2 1 3 8, 2
3 ,5 1 0,3 1 3 ,7
455,8
1 5 1 ,9
П-2-1 П-2-2 П-2-3
239,7 247,0 25 9,7
7 4 3 ,4
24 t , .
П-3-1 П-3-2 П-3-3
95,0 86,4 89,9
27 1 , 3
90,4
П-4- 1 П-4-2 П-4-3
161,8 1 64,9 1 64,3
4 9 1 ,0
1 6 3,7
П-5-1 П-5-2 П-5-3
234,4 250,5 269,8
754,7
2 5 1 ,6
П�- 1 П�-2 П�-3
1 69,8 161,8 177,9
5 09,5
1 69,8
П-7-1 П-7-2 П-7-3
2 17 , 3 205,9 235,5
658,7
2 1 9,6
П-8-1 П-8-2 П-8-3
4 1 2,3 1 1 2,7 1 09,3
2
3
4
5
6
7
8
5
'S(y,J
s(y,J
6
7
12,25 106,09 153,02 1 2,40 187,6 9
Tj
Ттабл
8
9
1,11
1 ,4 1
1 5 1,9
Марка Ок онотбро- чатель�енно- ный ре rо об- зультат разца 10
11
306,03 8,1 0,8 8,9
65 ,6 1 0,64 79,27
7 2,73
8,5 3
1 ,04
1 ,4 1
247,8
1 8,7 1
4,33
1 ,06
1 ,4 1
90,4
2,7 1
1 ,6 5
1,15
1 ,4 1
16 3,7
1 7 ,7
1 ,03
1 ,4 1
25 1,6
8,04
1,01
1 ,4 1
169,8
5 , 29 187,69 222,89 14,88 25 2,8 1
1 ,07
1 ,4 1
2 1 9,6
1,13
1,41
1 1 ,4
14 5 ,46
4,6 4,0 0,5
2 1 7,6 16,0 0,25 37,4 1
1 ,9 1 ,2 0,6
3,6 1 1 ,44 0,36 5,4 1
17,2 1,1 1 8,2
295,84 1 , 2 1 314,14 336,24 628,29
о
8,0 8,1
0,00 64 ,00 65 ,6 1
64, 8 1
1 29,6 1 2,3 1 3 ,7 1 5 ,9
445 ,7 9 0,9 1 ,3 2,1
0,81 1 ,69 4,4 1
3,46
1 ,86
1 33
Продолжение та бп. 1 1 . 4
1
9
10
11
12
13
14
15
16
1 34
2
3
3 34,3
1 1 1 ,4
П-9- 1 П-9-2 П-9-3
83,3 7 7,3 8 8,7
249,3
83, 1
П-1 0- 1 П-1 0-2 П-1 0-3
1 7 3,6 1 55 ,0 1 6 8,6
4 97,2
165,8
П-1 1 - 1 П- 1 1-2 П-1 1-3
1 7 3,0 1 86,4 1 81,8
54 1 ,2
1 80,2
П-1 2-1 П-1 2-2 П-1 2-3
258,8 265,9 294,9
8 1 9 ,6
273,2
П-1 3-1 П-1 3-2 П-1 3 -3
203,0 202,6 227,2
632,8
2 1 0,9
П-14-1 П-14-2 П-14-3
1 50,8 1 50,8 1 34 , 1
435,7
145,2
П-1 5-1 П-1 5-2 П-1 5-3
268,5 281,5 27 1 ,4
82 1 ,4
273,8
П- 16-1 П-16-2 П-1 6-3
1 37,8 144,2 149,6
4 3 1 ,6
143,9
4
6
7
8
9
32,52
5,7 1
1 ,02
1 ,4 1
83, 1
92,66
9,65
1.13
1 ,4 1
165,8
46,36
6, 8 1
1 ,08
1 ,4 1
1 80,4
207,36 53,29 365,77 470,89
19,1
· 1 , 14
1 ,4 1
273
5
10
11
6,91 0,2 5,8 5 ,6
0,04 33,64 3 1 ,36 6 5 ,04
7,8 1 0,8 2,8
60,84 1 1 6,64 7 , 84 1 85,32
7,4 6,0 1 ,4
54,76 36,00 1 ,96 92,7 2
14,4 7,3 2 1 ,7
73 1 ,54 7,9 8,3 1 6,3
62,4 1 68,89 198,5 0 14, 10 265,69
1,16
1 ,4 1
2 1 0,9
5 ,6 5 ,6 1 1, 1
3 1 ,36 3 1 ,36 1 23,2 1
92,97
9,66
1,15
1,41
145,2
46,57
6,82
1,13
1 ,4 1
273,8
37 , 2 1 0,09 32,49
34,90
5,8
1 ,05
1 ,4 1
1 4 3,9
69,7 9
1762,72
1 85,93 5 ,3 7 ,7 2,4
28,09 59,29 5 ,76 93 , 1 4
6,1 0,3 5 ,7
Т а б л и ц а 4. 1 2 Исходные данные дли сравнения результатов и спытаний загруженных и незаrруженнъ1х о бразцов
:JYp�""""' жении а/R пр
Rn p •
МПа·1О
Еб ,
МПа· lО- 2
jJ
не заrружен
заrружен
не заrружен
заrружен
не загружен
заrружен
2
3
4
5
6
7
8
0, 1
1 6 8,6
168,1
174,0
187,5
0,203
0,2 1 7
2
0, 3
1 65,5
179,9
17 0,0
1 85,0
0, 198
0,203
3
0,5
1 64,6
1 86,3
17 0,0
17 2,0
0, 193
0,2 1 6
1
1
Т а б л и ц а 4. 1 3 Ср авнение резупьтатов и спытан ий
наимено- Незаrру- Заrру- Раз ность ванне ха- женные женные 16.1 ракте- образцы образцы ристики
Квадра- Расчет- Табличтичная ное зна- ные зна ошибка чение F- чения Fэк сп ери- крите- критерия мента рия при р=5%
1 6. 1 2
Дисперсия
6
7
8
9
3 39,25
55,38
6,13
4,74
2 1 9, 1 3
87, 34
2,51
5 ,7 9
6,82
5,79
-
2
3
4
5
168,6
168,1
0,5
0,25
:Е :С "'
165,5
179,9
14,4
207,36
r:: =
164,6
1 86,3
2 1 ,7
470,89
1 74,0
1 87,5
1 3, 5
209, 25
170,0
1 85,0
15,0
225,00
170,0
1 72,0
2,0
4,00
0,203
0,2 1 7
0,0 14
0,000 1 9t
0, 198
0,203
0,005
0,00002� 0,000375 0,000055
0,193
0,2 1 3
0,023
0,00052�
1 :1 =:c � с u •
... о
.
... ... � :с О с. С.
� �..)
� iil � • » :Е
� g.t! :е -e-::S ·
"'
as :с t) -& �
�е о '"'
�. ii
•
заrруже�n�ых. образцов. Исходные да�n�ые для сравне�n�я приведены в табл . 4. 1 2. Операции сравнения с использованием F-критерия в табличной фор ме приведены в табл . 4. 1 3 . В этой таблице для призмеиной прочности бе тона в столбце 7 приведена квадратичная поrрешность эксперимента, вычисле�n�а.я в табл. 4 . 1 О. В этом же столбце даны квадратичные поrреш1 35
ности для модуля деформаций и коэффициента Пуассона, вычисленные по этой же методtiК е. Из табл. 4. 1 3 видно, что для призмеиной прочности расчетное значение F-критерия больше таблично го : F = 6, 1 3 > F{2 ; о,о5) = 4,74 . Для модуля деформаций, наоборо т, расчетное значение F-критерия меньше табличного : F = 2,5 1 < F(� ; 5 ; о,о5) = 5,79 . Для коэффициента Пуассон а расчетное значение F-критерия больше табличного : F = 6,82 > F(� ; 5 ; о,о5) = 5,79. Таким образом можно сделать вывод, что нагрузк а существенно влият ет на изменение прочности и коэффициента Пуассона бетона, но несущес венно влияет на изменение модуля деформаций. Так следует проводить сравнение результатов и ни в коем случае не- . аться вычисле нием процента различия или тем более графичес огран ем результатов . сравнени ким л
7;
л
л
ичив
Глава
V
ПОСI'РОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ АКТИВНЫХ (СПЕЦИАЛЬНЫМ ОБРАЗОМ СПЛАНИРОВАННЫХ) ЭКСПЕРИМЕНТОВ
§ 5.1 . Активные экспернмеиrы - э фф екmвный исследовательский метод естествоиспытателей
первых четырех главах рассматривались статистические методы обработ ки экспериментальных данных, предназначенные для построения эмпири ческих зависимостей. Это дает возможность перейти к рассмотрению прин ципиально нового подхода к экспериментированию, который состоит в том, что в каждом опыте варьируют одновременно все независимые пере менные (факторы) по специальному плану. Эксперименты, поставленные таким образом, назьmают активными в отличие от обычных, традиционных, пассивных экспериментов, при поста новке которых в каждом отдельном опыте варьирует только один фактор. Активные эксперименты обладают следующими преимуществами: 1) многомерный регрессионный анализ чувствителен к соблюдению исходных предпосьmок, четко сформулированных в книге [ 1 02] ; а) результаты наблюдений у 1 , у 2 , . . . , У п представляют собой независи мые, нормально распределенные случайные вел ичин ы; б) дисперсии равны друr другу (выборочные оценки s;j однородны) ' или, другими словами, если производить многократные повторные наблю дения над величиной у 1 при пекотором определенном наборе значений 2 2 не будет отличаться от дисперсии оу1• хн . х; 2 , . . . , Xtp • то диспер сия oYt полученной при повторных наблюдениях для любоrо другого набора значений независимых переменных х,1 , Х1 2 , . . . , х,Р ; в) независимые переменные х 1 , х 2 , . . . , Хр измеряются с пренебрежимо малой погрешностью по сравнению с погрешностью в определении у. Ясно, что эти требования могут быть вьmолнены только при актив ном эксперименте, кроме того, активный эксперимент просто лучше орга низован [97] ; 2) поскольку план экспериментов составляет заранее, перед началом опьпов, то ничто не мешает так составить этот план, чтобы максимально упростить последующую обработку экспериментов для построения регрес сионньхх моделей; 3) оптимальное использование факториого пространства при активном экспериментировании позволяет при мини мальньхх затратах (минималь ном количестве экспериментов) получить максимум информации об изуВ
1 37
чаемых явлениях, однако следует отметить, что вопрос использования факторноrо пространства - один из самых сложных в планировании экспе риментов. Планы строят на р-мерных кубах, сферах, симплексах и друrих фиrурах. При планировании, например, на сфере, вписанно й в куб, не ис пользуются уrловые участки факторноrо пространства; 4) при планировании экстремальных экспериментов кроме аппрокси мации функции отклика (построения эмпирической зависимости ) попутно можно реиmть порой более важные для исследователя задачи - поиск экстремума (максимума или минимума) в р-мерном факторном простран стве и задачу оптимальноrо управления процессами; 5) методы планирования экспериментов позволяют опытным путем проранжировать факторы по степени их влияния на функцию отклика; 6) планируемые эксперименты позволяют получить математическое описание таких процессов, которое ранее бьmо затруднительным (напри мер, при изуче нии диаrрамм состав�войство) , и формализовать мето да ми дисперсионноrо анализа изучение явлений, зависящих от качествен ных факторов; 7) планирование эксперимента позволяет изучать и математически описьтать процеесы и явления при неполном знании их механизма. Эти и некоторые друrие особенности активных экспериментов под робно изучены ниже. Отметим, что активные эксперименты - мощное средство познания природы, и нет сомнений, что этому способу эксперимен тирования принадлежит большое будущее. В 30-х rодах методы планирования экспериментов использовал Р. Фи шер применительно к решению аrробиолоrических задач. Он же разработал основные вопросы дисперсионноrо анализа [ 1 02 ] . Тер мин «дисперсионный анализ» в литературе применяется в смысле сопоставления дисперсий и в смысле специальноrо планирования и обра ботки экспериментов , позволяющих учесть влияние на функцию отклика количественных и качествениых факторов ( 1 49] . В настоящей работе тер мин употребляется во втором смысле. Большая заслуrа � дальнейшем развитии идей и методов планирования экспериментов принадлежит Боксу, ero сотрудникам, ученикам и последо вателям (Уилсону, Хантеру, Бенкину и др.) . В нашей стране большой вклад в популяризацию и дальнейшее развитие новых методов постановки и обработки экспериментов принадлежит В .В. Налимову (95, 96, 97, 1 02] . Ему же принадлежит первая в нашей стране статья по этому вопросу. Область применения планируемых экспериментов распространяется на все явления, которые зависят от управляемых факторов, т.е. таких факторов, которые можоо изменять и поддерживать на определенных уровнях. Экс перименты такоrо рода проводят при изучении физических, хи мических, медико-биолоmческих явлений. Такие ситуации встречаются во всех тех нических и инженерных дисциплинах. Планируемые эксперименты можно подразделить на: 1 ) отсеивающие эксперименты, предназначениые для ранжирования факторов ; 2 ) экстремальные эксперименты; 1 38
3) методы планирования экспериментов для дисперсионного анализа; 4) методы планирования экспериментов для специальных случаев
(изучение диаrрамм состав-свойство и др.) . Для тоrо чтобы нагляднее представить себе отличительные особениости и преимущесmа новых методов экспериментирования, рассмотрим сущ ность метода Бокса-Уилсона, относящегося к области экстремальных экспериментов. Пусть, например, требуется построить математическую модель проч ности бетона или металлического сплава или любоrо другоrо материала в зависимости от факторов, определяющих это очень важное свойсmо кон струкционных материалов , и затем использовать полученную модель для оптимизации свойсm интересующего исследователя материала. Задачу можно решать двумя способами. Первый из них - традиционный - пред полагает постановку об ычны х пассивных экспериментов. Ставят некото рое количесmо опытов, в которых изучают, например, влияние водоцемент ного отношения (В/Ц) на прочность бетона. При постановке опытов варьи руют только В/Ц, остальные факторы поддерживают на постоянном уровне. Затем ставят вторую груiПiу экспериментов, в которой изучают влия ние возраста бетона т на прочность. В третьей rруппе опытов изучают влия ние активности цемента Rц на прочность и т .д. ПолучеЮiые результаты составляют матрицу результатов измерений Х и вектор-столбец У . Результаты обрабатывают на ЭВМ по проrрамме, оп" санной в гл. III, в результате получают вектор-столбец параметров (коэф фициентов) bi В
= (Х * ХГ 1 (Х*У ) ,
т.е . строят миожествеЮiое уравнение регрессии;например уравнение (3.5 5 ) . Используя это уравнение, можно реализовать процедуру поиска экстрему ма по результатам пассивных экспериментов, изложенную в гл . 111, но уве ренности, что это и есть истинный экстремум, не будет. При использовании второrо способа (активные эксперименты) все факторы, от которых зависит, например, прочность бетона : 1) В/Ц - водо цементное отношение , % ; 2) т - возраст бетона к моменту испытания ; 3) R ц - активность цемента ; 4) Ц/З - отношение по весу цемента к крупному заполнителю ; 5) R3 - прочность крупного заполнителя; 6) dт ах - максимальная крупность заполнителя; 7) Wc влажность среды, в которой хранятся образцы; 8) tc - температура среды, 0 С ; 9) v - скорость заrружения образца во время испытаний варьируют одновременно в каждом опыте по специальному плану. По полученным результатам экспериментов вручную в течение нес кольких минут можно вычислить вектор-столбец коэффициентов реrрес сиоЮiой модели bi, но это не главное преимущесmо второго способа. Глав ное иреимущество состоит в том, что, используя вторую регрессионную модель, можно реализовать эффективный алгоритм поиска экстремума, так наэьшаемый метод крутого восхождения, сущность которого рассмот рена ниже. Здесь же отметим, что при использовании этоrо способа поиска эк стремума реализуется идея «черного ящика» (исследование явления при 1 39
непалнам знаюш ero механнзма) " схема котороrо приведена на рис. 2 1 . В этом случае задачу решают поэтапно : 1 ) варьируют входы (в каждом опьпе все одновременно) и наблю· дают за измененнем выхода (первая серия экспериментов) ; 2) с троят первую математическую модель (уравненне реrресснн) ; 3) корректируют входы, проводят друrую серию экспериментов , и так до достижения оптимума ( экстремума) . Ниже наrлядно показано, что этот способ поиска оптимума намноrо эффективнее первоrо .
Bl l�lll�lll l l l l l l �l l h Рис. 2 1
о Рис. 2 2
В ситуацнн, коrда прочность металлическоrо сплава зависит, напри мер, от факторов х 1 и х2 , содер жания железа (%) , содержання хрома (%) , изложенные выше подходы к проведенню экспериментов и поиску опти мума можно изобразить rрафически. На рис. 22 с помощью rоризонталей изображена поверхность отклика в двухфаКторнам пространстве. Точке Опт соответствует максимальная прочность сплава. Начиная эксперименты традиционным способом, берут исходный сплав (точка А) , содержанне хрома сохраняют на постоянном уровне, а содержа нне железа варьируют. Двйrаясь вправо вдоль линни абсцисс, довольно . быстро устанавливают бесперспективность этоrо направлення движ�ния. При движении влево прочность сплава сначала увеличивается, а затем уменьшается. Там, rде прочность сплава на этой линни максимальна, нахо дится точка В сплав, являющи:йся отправной точкой для новых поисков . Из точки В проверлют два направления движення (вниз и вверх вдоль о си ординат) , при этом закрепляют на постоянном уровне содержание железа, а изменяют содержание хрома. При движении вверх находят новую перспективную точку С, от кото рой снова, переходя к варьированию содержання железа, приходят в опти мум - точку Опт. Рис. 22 дает представленне о следую1ЦИХ особенностях пассивных экспериментов : 1 ) л инии , изображенные пунктиром, отображают эксперимент, про веденный впустую (ошибочные направления движения к оптимуму) ; -
140
2) поиск оптимума ведется фактически в слепую, методом попьпок ; 3) сШiошная линия, представляющая собой правильное направление
движения к оптимуму, не является кратчайшим расстоянием от точки
А
ДО ТОЧК И
Опт ;
Xj проце,uура nоиска оптимума резко уСJiожнится и тут мало поможет даже сама по себе очень сложная методика поиска о птимума, изложенная в rл. 111. При постановке активных экспериментов на небольшом участке в окрестностях точки (р ис. 23) поверхность отклика аппроксимнруют Шiоскостью, 11JIЯ чеrо ставят четыре опыта по плану, приведеиному в табл. 5 . 1 . Знак Шiюс означает, что фактор Xj поддерживается на верхнем 4) при увеличении числа факторов
Т а б л и ц а 5.1 Пnан активных экспериментов
у
1 2 3 4
+ +
+ +
Yt У2 Уз
у
уровне, знак минус указывает на нижний уровень фактора. По результатам экспериментов строят линейный nолином вида л y = bo + b tx 1 + b 2 x2 . (5. 1 ) Затем отыскивают rрадиент уравнения (5 . 1 ) или то направление дальнейшеrо движения по поверхности отклика, которое приводит к увеличе нию (самый «крутой склон») . Движение по «крутому склону» продолжают до точки В, в окрестностях которой снова ставят четыре опьпа и строят полином (5. 2 )
о
х,, %
Рис. 2 3
(Fe)
о
1
Рис. 24
1 41
Далее движение продолжают по градиенту по точки Orrr , в окрестнос тях которой ставят большее количество опытов для нелинейкого описа ния «почти стационарной области» - части поверхности отклика, близкой к экстремуму и имеющей явно нелинейный характер. Схема движения по градиенту и описание «Почти стационарной области» приведены на рис. 24. Особенности такого способа экспериментирования состоят в следующем: 1) ставят минимальное количество опытов ; 2) движение от точки А до точки Orrr осуществляют по кратчайшему пути; 3) попутно получают нелинейпае уравнение, описьтающее функцию отклика в «Почти стационарной области», которое в случае необходимости можно использовать для управления процессом. Для иллюстрации этих основных особенностей активного эксперимен тирования рассмотрим числовой пример* . Решается задача об оптимизации качества шва при сварке никеля. Требуется найти состав и условия приготовпения покрытия электродов для сварки никеля с целью получения возможно меньшего числа пор в свар ном шве. Исследуется зависимость функции отклика у (число пор в участ ке сварного шва) от шести факторов , из которых один !(ачественнЬiй. Порядок решения задачи : 1 ) выбор исходной точки (нулевого уровня) ; 2) выбор интервалов в арьирования факторов; 3) постановка первой небольшой серии опьпов (8 опьпов) ; 4) определение коэффициентов регрессии и запись линейного уравнения регрессии в виде 1\ У = Ьо + Ь 1 Х 1 + Ь2Х2 + ЬзХэ + Ь 4 Х 4 + b sxs + Ьбхб ; 5 ) определение направления, дающего нанменьшее значение у и начало движения по градиенту (выполнение мысленных опьпов) ; 6) повторение п. 3) , 4) и 5 ) до достижения о бласти минимума пор в сварном стыке. Методика и результаты решения задачи приведены в табл . 5 .2. В этой таблице показана реализа Ция схемы экспериментирования, приведеиной на рис. 23. В таблице 9 столбцов и 5 0 строк. . В 1 -й строке содержится основной уровень - исходньiЙ состав обмаз ки электродов, который давал большое количество пор. Задача опьпов состояла· в том, чтобы свести это количество до минимума, а лучше всего ДО нуля. Во 2-й строке приведен интервал варьирования (J) . В 3-й и 4-й строках даны соответственно верхний (+ 1 ) и нижний (- 1 ) уровни в арьирования факторов при планировании экспериментов . Далее в матрице планирования эти уровни показань1 в сокращенном виде. Вместо + 1 написано "+", а вместо - 1 написано "-" . В строках 5 - 1 2 дана- ортогональная матрица планирования экспери-
1 42
* Пример эаим сrвован иэ публичной лекции Ф.С. Новика.
Т а б л и ц а 5.2
Методика и резу льтаты п р оведения ак m вных экспериментов
с:
Факторы и функция отклика
? z
!:;'<
�t:: о
:s:
:s:
= :s:
:::;:
!2
� :а � t; :s: �•
c., :S: о с..
х2
&� Х4
xs
(3)
(4)
(5 )
(6)
(7)
::t:
Х1
(2)
Основной уровень (о) 1 2 . Интервал варьирования (1) 3 Верхний уровень (+ 1 )
14
5
6
6
2 16
1 6
1,5 7,5
2 8
4
12
4
4,5
4
Нижний уровень (- 1 )
5 1 6 Первая се рия из 2 7 восьми опытов по 3 8 плану 4 9 5 10 6 11 7 12 8 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29
Коэффициенты моде-
ЛИ ·ЬjХ [ Ь
+ + +
Новый Интервал
кия
(О)
варьирова-
(1)
Верхний уровень (+ 1 ) Нижний уровень ( - 1 )
+ +
+ + +
+ + + +
' = о :s:
у
( 8)
(9)
1 20 Дл ин ная дуга Короткая дуга
15 1 35 1 05
+ + +
+ + + +
- 36,5 -7 3
- 1 5, 2 - 1 5,2
- 1 7,0 - 25,5
- 36, 2 - 7 2,4
+0, 1 3
+0, 2
+0, 6 2
14,6 3 1 5,26 1 5,89
5,13 5 , 26 5,39
6,2 6,4 6,6
6,62 7 , 24 7,86
1 6 ,5 2 17,15 1 7 ,7 8 1 8,4 1 1 9,04 1 9,67 20,3
5,52 5,65 5,78 5,91 6,04 6,17 6,3
6,8 7,0 7,2 7 ,4 7,5 7,8 8,0
8,4 8 9, 1 0 9,7 2 1 0,34 1 0,96 1 1 ,5 8 1 2,20
18
6
1, 5
10
1 00
0,5
0,5
s
8 7,0
1 0,5 9,5
Потолок, больше нельзя 6 1 8,5 6 1 7 ,5 0,5
о
Хб
+ +
+
с..
§' :::;: g � '2 11: :i o '"' :s: :::;: :.: ., t:: 5 5 Е с., ., :.: с.. u 1%1 :( :51 �
+
Dhг движения по rpa+0,6 3 диенту Вычисление шага 1 -73 · (- 1) = +73 2 +7 3 : 1 00 = 0,7 3 3 0,7 3 - 0, 1 = 0,6 3 Десять м ысленных 1 4 опытов (движение по гр адиен- 5 11 6 ту) Опыты 4 , 6 и 8 7 111 8 вьmолняют на самом деле 9 10
Длина дуги
� хз
с..
Код
{1 )
Титан, %
!:;'< �
+
+33, 2
27 5 181 1 85 65 142 301 304 223
+ 24, 0 +360 -3
Коротк ая
1 17 1 14 111 58 1 08 1 05 1 02 35 ( min) 99 64 96 93 90
Короткая
1 05 95 143
(1
)
1
( 2)
30 Вторая серия из 31 3 2 вось ..iи оnытов п о 3 3 nлану 34 35 36 37 38 39 40
41 42
( 3) 1 2 3 4 5 6 7 8
+ +
(4 ) Не варъируется
(5 )
( 6)
+ + +
+
1
Продолжение табл. 5. 2
(7 ) Не варъируется (- 1 )
+ + +
+ + + +
+ . +
+
( 8)
- 1 1,9
- 2,4
-0,6
+ 2,4
- 5 ,95 IIIa г движен ия по гра+ 1 ,0 диен ту
-1,2
-0,3
+1 2
+0 , 2
+ 0,05
-2
Коэффициенты модели bf
bf X l
1 Мысленные оnыты 1 2 (движение по гради11 3 4 3 енту ) 44 4 45 IV 5 Оnыты 2 , 3, 5 и 46 6 III 7 4 7 7 выnолнены 48 8 49 9 10 50
19
6
7,7
10
20 21 22 23 24 25 26 27 28
6 6 6 6 6 6 6 6 6
7,9 8,1 8,3 8,5 8, 7 8,9 9,1 9,3 9,5
10 10 10 10 10 10 10 10 10
Короткая
1
(9 ) 66 40 44 52 39 69 72 41
98 96 94 92 90 88 86 84 82 80
12 4 о о
Всего в ьmолнено 2 3 onьrra
ментов и результаты оnытов [столбец (9) ] , nолученные nри уровнях варьирования, указанных в матрице. В 1 3 -й строке nриведены · значения коэффициентов линейной perpecсионной модели, полученной nри обработке результатов восьми опытов : /\ у = Ьо -36,5х1 -· 1 5 ,2 х 2 - 1 7,0 хз - 36,2 х4 - 33,2 х 5 + 24,О х6 • (5.3) В 1 4-й и 1 5 -й строках оnределены наnравление и шаг движения по rра диенту ( «крутому ск Лону») . Наnравление соответствует обратному знаку коэффициентов регрессии : если имеется знак минус, как, например, при Ь 1 , то nри движении по градиенту надо прибанить шаг к основному уровню. Сложнее обстоит дело при оnределении шага. Здесь за основу берут проце дуру nеремножения значения коэффициента регрессии bj на интервал варь ирования (.!) , но затем производят округление , для которого требуются интуитивные nредставления о существе изучаемого процесса, т.е. эта оnера ция доступна только специалисту. В таблице nодробно оnисано nолучение шага движения по rрадиенту дл я фактора х1 • Качественный фактор х5 в дальнейшем не варьируется, так как лучшие результаты nолучаются nри короткой дуге. 1 44
В строках 1 6-25 расписаны уровни факторов Xj для десяти мысленных опытов . Три мысленных опыта (4, 6 и 8) вьmолнены в действительности в по рядке, покаэанном римскими цифрами. Опьп 6 (строка 2 1 ) дал минималь ное число пор. Этот опыт и принимают за основу при установлении нового исходного основного уровня .(строка 26) для постановки новой серии из 8 опытов по плану. Числа строки 26 являются округленными числами строки 2 1 - шесто го мысленного опыта, после осуществления которого получено минималь ное количество пор. В строках 30-37 даются матрица планирования и результаты второй серии из восьми опьпов . Коэффициенты bj новой модели даны в строке 38. Строки 39 и 40 дают направление и шаг последнего движения по градиенту. В строках 4 1 -50 записаны мысленные опыты (движение по градиенту) . Опыты 2, 3, 5 и 7 выполнены в действительности в порядке, указанном римскими цифрами. Опыты 5 и 7 дали сварной шов без пор, т.е. достигну та область оптимума. Фактор х 2 не варьируют после строки 29, так как при большем содер жании этого компонента процесс не может быть осуществлен. Окончатель но уравнение регрессии имеет вид л у = Ь0 - 1 1 ,9х1 - 2,4хз - О,6х4 + 2,4х6 • (5 .4) Специфика этой задачи такова, что не требуется описание почти стационарной области полиномом второго порядка. Таким образом, всего· за 23 опыта получен высококачественный свар ной шов без пор. Этот пример дает некоторое представление о возможностях актив ных экспериментов. Следует отметить, что процедура такого эксперимен тирования не носит формальный характер. Опьпы могут быть поставле ны только хорошим специалистом. Строки 2, 1 5 , 26, 27 и 40 табл . 5.2 мо гут бьпь получены только при наличиИ хороших интуитивных представ лений о механизме изучаемого явления. Однако процедура активного экспериментирования позволяет наи лучшим образом использовать знания, имеющиеся а priori об изучаемом явлении. Это еще одна важная особенность планируемых экспериментов. Ознакомившись с отличительными чертами планируемых активных экс периментов, подробно опишем методику их проведения и получения по результатам их эмпирических зависимостей . § 5.2. Огсеиваю щие э к спери менты Матрица отсеивающих экспериментов со стоит из двух блоков. Пер вый блок получают методом рандо мизации - методом случайного выбора, например путем бросания монеты или с помощью таблицы случайных чисел . «Орел » соответсrвует знаку плюс в матрице планирования , «реш ка» - знаку минус. 1 45
Четная цифра в таблице случайных чисел - знак мюс, нечетная знак минус. Первый блок матрицы может быть также сформирован при менительно к свойствам манов с минимальной неортогональностью [ 1 02] . Первый блок матрицы манирования служит PJIЯ выделения линейных эффектов. Второй блок матрицы получают попеременным перемножением вектор столбцов первого блока и сл ужит для выделеНЮI парных эффектов (!!!р ных взаимодействий ф�оров) . Матрица Х = (хg) имеет размеры: i = 1 , п число опытов, j = 1 , k - число эффектов (факторов и их парных вза имодействий) . Если р - число факторов , то k > р. Число в ектор-столбцов второго блока матрицы Х : r = k - р = с;, . Реализуя серию отсеивающих экспериментов в соответствии с первым блоком матрицы Х, который является матрицей планирования , получают ntктор·столбец результатов опытов у0 , который используют для перво начального выделения факторов и парных в заимодействий. Процедуру первоначального выделения факторов и парных взаимо действий в терминах факториого анализа мо)_КНо выразить следующим образом:
(5.5) она станет попятной только при изучении числового примера. в формуле (5 .5) х 11 = + 1 и х;1 = -1 - элементы матрицы ; у 0 - злементы вектор столбца результатов экспериментов . Группу наибольших п о абсолютной величине линейных эффектов и парных взаимодействий выделяют и на втором этапе решения уточняют с помошью множественного регрессионного анализа [78 ] . Наибольшую трудность представляет определение числа эффектов т, которые нужно в зять для регрессионного анализа. Как показал опьп, не при всяком т задача решается (при некоторых т матрица нормаль ных уравнений не обращается) . В каждой конкретной задаче оптимальное т может бьпь оuределено следующим образом: назначают т = 2, 3, 4, , k и применяют шаrовый метод поиска оптимального т, который продолжают до получения доста точно малой остаточной дисперсии �ст или до переполпения машины. Регрессионный анализ вьmолняют в обычном порядке по формулам (3.5) - (3. 1 4) . Значимые эффекты выделяют по t-критерию Стьюдента при п - т- 1 степенях свободы и 5о/о-ном уровне значимости : •..
где
ькрит = s"/т ' -
S(j& c11• Sь = Vr=;;:г l Все эффекты
ляют. 146
(5.6)
bj
(5.7) >
Ьк рит признают статистически значимыми и выде
Далее корректируют вектор-столбец результатов экспериментов у 0 , ликвидируя влияние выделенных эффектов , по формуле
у 1� = y 1!l -
m
l
� L· i= 1 1
x t; +
1
У? -
2
m,
�
j= l
Ь1· (х;1· + 1 ) .
(5 .8)
Процесс [формулы (5 .5 ) - (5 .8) ] повторяют до выделения всех зна чимых эффектов. Для проверки изложенноrо метода была решена искус ственно синтезированная задача с 36 эффектами (8 линейных эффектов и 28 парных взаимодействий [78] ) . Эффекты вводились методом решения непалной квадратичной полиномиальной модели с заданными коэффици ентами bj . В табл . 5 .3 сравнены введенные эффекты и полученные по про цедуре, изложенной выше . Эффекты в табл. 5 .3 даны в терминах реrрес сионноrо анализа в порядке их выделения. Изложенный метод обработки результатов отсеиваюших эксперимен тов не вЮiючает, подобно друrим методам, трудно машинизируемую опе рацию «распознавания зрительноrо образа» и предназначен для реализации на ЭВМ. К сожалению, процедура обработки отсеивающих экспериментов очень пл охо воспринимается при простом чтении ее описания. Для тоrо чтобы бьmо можно в практических целях воспользоваться изложенной методи кой, решим небольшой искусственно синтезированный пример. Т а б л и ц а 5.3 Ср авнение и с ку сственно введенных и выдел енн ых эффе ктов
Обозначение эффектов Введенные Ьj
-7
18
-5
-15
20
-9
-8
3
2
Выделенные Ьj -7,596 20,750 -5, 827 - 12,91 1 20,922 -9,734 -7,663 2,203 1 ,4 1 1 2,754
Эффекты и их парные в заимодействия введем с помощью полинома (5 .9) В табл . 5 .4 приведены блоки матрицы Х. ИсЮi ючительно для упрощения расчетов [чтобы избежать выполнения вручную процецуры множест венноrо реrрессионноrо анализа по формулам (3 .5) - (3. 1 5) ] , так как здесь не стоит вопрос об экономии количества экспериментов (пример искус ственно синтезирован) , можно взять в качестве матрицы планирования план полноrо факторноrо эксперимента с числом строк n > k. Обычно на практике для уменьшения числа опытов используют не насыщенное планирование n ;;;;; k, но в этом случае план не обладает свойст вами, позволяющими упростить процедуру реrрессионноrо анализа. При обработке результатов отсеивающих экспериментов на ЭВМ такое упроще ние не актуально. Методика построения планов подробно рассмотрена в слецующих параrрафах настоящей rлавы.
у = -5 ,0х 1 + 1 5 ,0х2 + 3,0х3 + 6,0х1 х2 + 0,5х 1 х3 + 2,0х2х3 •
1 47
Т а б л и ц а 5 .4 Исходные данные для обработки отсеив ающих эксперименто в
N9
n/п
Второй блок
Первый блок
у
о
Xl
Х2
хз
XtX 2
ХtХЭ
Х 2 Х3
(1 )
(2)
(3}
(4)
(5 )
(6)
(7)
(8)
1 2 3 4 5 6 7 8
+
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + -
+
+ + + +
+ +
35 , 8 3, 8 40L2 42,2 27, 8 4, 8 49, 8 5 1,2
-6,45
+1 3,5
+ 1 ,45
+7,3
+1 ,05
+3,2
Вьщеленные эффекты
-5,0
+1 5,0
+3,0
+6,0
- 0,5
+2,0
Введенные эффеКТЪ!
Ьj
-
+ + -
-
Т а б л и ц а 5.5
0
Вычисление у введением э ффе ктов с помощью уравнения (5. 9)
bt X l
Ь2х2
Ь зхэ
( 1)
(2)
(3}
(4}
1 2 3 4 5 6 7 8
-5,0 (- 1 ) = +5,0 -5,0 (+ 1 } = - 5,0 -5,0 (- 1 } = +5,0 -5,0 (+ 1 } = - 5,0 -5,0 (- 1 ) = +5,0 -5,0 (+ 1 } = - 5,0 -5,0 (- 1) = +5,0 -5,0 (+ 1 ) = - 5,0
Ng n/п
1 5 ,0 ( - 1 ) 1 5 ,0 (- 1 ) 1 5,0 (+1 } 1 5 ,0 (+1 } 1 5 ,0 ( - 1 ) 1 5 ,0 { - 1 ) 1 5 ,0 (+1 ) 15,0 (+1 }
= - 1 5,0 = - 1 5,0 = +1 5,0 = +1 5,0 = - 1 5,0 = - 1 5,0 = +1 5 ,0 = +1 5,0
3,0 (- 1 ) 3,0 (- 1 ) 3,0 (- 1 } 3, 0 (- 1 } 3, 0 (+ 1 ) 3, 0 (+ 1 ) 3, 0 (+ 1 ) 3,0 (+ 1 )
= - 3,0 = - 3,0 = - 3,0 = - 3,0 ..... = +3,0 = +3,0 = +3,0 = + � ,0
Продолжен ие та бл. 5.5
�
148
Ь 1 2 х1 х 2
Ь 1 3 х 1 хз
Ь2 3 Х2 Хэ
(5)
(6)
(7}
6,0 (+1 ) 6,0 ( - 1 ) 6,0 (- 1 ) 6,0 (+1 ) 6,0 (+1 } 6,0 (- 1 ) 6 ,0 (- 1 ) 6,0 (+1 )
= +6 ,0 = -6,0 = -6 ,0 = +6,0 = +6,0 = -6,0 = -6 ,0 = +6,0
-0,5 (+ 1 ) = -0,5 - 0,5 (- 1 ) = +0,5 -0,5 (+ 1 ) = - 0,5 - 0,5 (- 1 } = +0,5 -0,5 (- 1 ) = +0,5 -0,5 (+ 1 } = - 0,5 -0,5 ( - 1 } = +0,5 - 0,5 (+ 1 ) = -0,5
2,0 (+ 1} 2,0 (+ 1 ) 2,0 (- 1 ) 2,0 (- 1) 2,0 (- 1 } 2,0 (- 1 ) 2 ,0 (+1 ) 2,0 (+ 1 }
= +2,0 = +2,0 = - 2,0 = - 2,0 = - 2,0 = - 2,0 = +2,0 = +2,0
у
у
1
уо
(8)
(9)
( 1 0)
-5,5 -26,5 +9,5 +1 1 ,5 -2,5 -25,5 +1 9,5 +20,5
36,0 4,0 40,0 4 2,0 28,0 5,0 5 0,0 5 1,0
35,8 3, 8 40, 2 42, 2 27, 8 4, 8 49, 8 5 1,2 + 30 5
0
Процедура вычисления элементов вектор-столбца у с введением эф фектов с помощью уравнения (5 .6) и использованием матрицы Х из табл. 5.4 приведена в табл. 5 .5 . В полученный вектор-столбец результатов вводят погреunюсти ( ± 0,2) по изложенной в гл. N методике, применяя табли цу случайных чисел П. 1 , в результате получают вектор-столбец данных 0 у • В последних двух строках табл. 5 .4 сравнены в ыделенные и введен ные эффекты. Данный пример рассмотрен в основном для того , чтобы привести табл . 5 .6, которая является реализацией процедуры предваритель ного выделения эффектов по формуле (5.2) . Формула (5 .2) мало понятна, а табл. 5 .6 читается легко . Группу наибольших по абсолютной величине эффектов вьщеляют и уточняют с помощью регрессионного анализа. Специальный план, взятый в данном примере, позволяет вычислить эффекты по формуле n
bj = ( }; Xjt У;) /n. 1
(5 .9а)
=1
Вопрос о том, по чему коэффицие нты Ьj в данном случае вычисляются так просто , рассмотрен в следующем параграфе. т а б л и ц а 5 .6 Пр оцедур а предварительного выделения эффе ктов
�
+
(1)
{2)
2
40,2 42,2
6
{8)
35,8
35,8
35,8
3,8
3,8
3,8
40,2
40,2
40, 2
42,2
42,2
27,8
5
49,8
{5)
{6)
{9)
Xt Хэ
+
Х2 Х Э
+
{ 1 0)
{1 1 )
35,8 3,8
{ 1 2)
1
{13)
уо {14)
35,8
35, 8
3,8
3,8 40, 2 40, 2
40,2
42,2
42,2
42,2 42,2
27,8
27, 8
27, 8
27, 8
4, 8
4,8
27,8
27,8
4,8
4,8
4, 8
49,8
49,8
49,8
51,2
5 1,2
4,8
7
+ {7)
{4)
3,8
3 4
{3)
X t X2
+
+
35,8
1
хз
х2
Xt
51,2
8
5 1,2
9
1 0 2 1 53,6 1 83,4 72,2 1 33,6 1 22,0 157
10
25 ,5 3 8,4 45,85 1 8,05 33,4
4,8 49,8 49, 8
49, 8
5 1, 2
51,2
51,2 98, 6
132
30,5 3 9,25 24,65 33,0
1 23, 6 140,6 1 1 5 ,0 255,6 30, 9 35, 1 5 28,7 5
11
- 1 2,9
+27 ,8
+2,9
+ 14, 6
+2, 1
+6,4
12
- 6 ,45
+ 1 3 ,9
+ 1 ,45
+7,3
+ 1 ,05
+3,2
В строке 10 табл . 5 .6 приведены результаты строки 9, деленные на n/2 = 4. В строке 1 1 даны выделенные эффекты Lj в терминах факториого анализа. 1 49
Из изложенного выше ясно, что отношение между эффектами в терми нах регрессионного и факториого анализов следующее: bj = Lj/2, - nричем nри неортогональном rшане это равенство является nриближенным. В строке 1 2 табл. 5 .6 nриведены выделенные эффекты в терминах регрессионного анализа. С табл . 5 .6 начинается собственно методика обра ботки отсеивающих эксnериментов. Предшествующие действия служили только для синтезирования nримера. В реальных задачах nосле «выравнивания» вектор -столбца по формуле ( 5 .5) nроцедуру nовторяют до вьщеления всех значимых эффектов. В рассматриваемом искусственно синтезированном nримере это делать нет смысла. В работе [78 ] даны результаты отсеивающих эксnериментов, nостав ленных для выявления важнейших факторов, влияющих на модуль дефор маций и nрочность бетона, и nроизведена обработка результатов на ЭВМ. Рандомизированная матрица rшанирования дпя девяти факторов , из кото рых три качественных, и результаты эксnериментов nриведены в табл . 5 .7 . В эксnерименте , как видно из этой таблицы, варьировались по матрице rшанирования следующие факторы: Матри ца планир ов ани я и результат ы отсеивающих эксперим ен тов В/Ц R ц Qц
w
В JЩ цемента
т
Гранит
0,8 70 %
Порода заполкителя
�
:lf --
Таблица
Способ ускорения твердения
5.7
Еб
R пр
+1
0,6 400 440
Портландцемент
50
-1
0,4 3 0 0 350
lilлaкoпортландцемен т
7
Известн як
0,5
х2
хз
Х4
xs
Х6
х,
xs
х9
У1
У2
(2) (3) (4)
(5 )
(б)
(7 )
(8)
(9)
(1 0)
(1 1)
( 1 2)
+
+ + +
+ +
+
+
+ +
+
+ +
Код
N9 п/п
( 1) 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 150
х1
+ + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + +
+
+
+ +
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+
+ + +
+ +
+ + +
НЫЙ
Вода ПропаренНЫЙ
+ +
+
+
+ + + +
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+ +
+
Естествен-
+
+
134,3 1 0 1 , 8 264, 1 256, 1 305,3 2 14,9 21 1,0 1 62,3 274,6 1 98,7 105,3 47,5 3 1 7,5 246,4 254,9 1 26,7 1 1 3,3 7 3 , 1 169,7 1 1 9,9 16 2,7 1 0 1 , 1 1 8 1 ,5 94, 1 26 3,8 305,2 168,7 1 26,0 3 1 ,9 86, 1 272,9 1 65, 1
1 ) В/Ц - водацементное отношение, %; 2) Rц - активность цемента, МПа· 1 0; 3) Qц количество цемента на 1 м 3 бетона, кг; 4) вид цемента (качественный фактор) ; 5 ) т - возраст бетона к моменту испытания, сут ; 6) порода крупного заполнителя бетона (качественный фактор) ; 7) Vщ/ V6 - отношение объема крупного заполнителя к объему бетона; 8) W - влажность среды, в которой сохранялись образцы, %; 9) способ ускорения твердения бетона (качественный фактор) . Модуль деформаций Е6 (МПа· 1 0- 2 ) и прочность бетона R 8 (МПа· 1 0) найдены по результатам испытания трех бетонных призм размером 1 0Х 1 0Х Х40 см в каждом опыте. Следует обратить особое внимание на тот факт, что , поскольку факторы рассматривают в кодированном обозначении (+ 1 - верхний урове н �. -1 - нижний уровень) , при постановке отсеивающих экспериментов может быть изучена степень влияния на исследуемое явление не только количест венньiХ, но и качественньiХ факторов. Если бы и в описываемом реальном примере использовался полный ортогональный план, то число опытов было бы равно 2 9 = 5 1 2. Ясно, что здесь целесообразно использовать неиасыщенное и неортогональное плани рование с сокращением числа опытов до 1 6 и проведением множественного регрессионного анализа на ЭВМ. Этого небольшого количества опытов оказалось достаточно для получения нужной информации. При обработке результатов отсеивающих экспериментов (табл. 5 .7 ) на ЭВМ для изучения степени влияния факторов на модуль деформации бетона на первом этапе эффекты начали выделяться при числе эффектов т = 8 , а при т = 16 матрiЩа нормальньiХ уравнений не обращалась. Анализ показал, что оптимальным можно считать т = 1 2. При этом эффекты выделились в следующем порядке : первый цикл : 1 ) х6 , 2) х 1 , 3) х7 , 4) х9 , 5) х2 хв , 6) х7х9 , 7) х2 , 8) х5 , 9) х1 х� , 1 0) х3х7 , 1 1) х1 х2 , 1 2) х2 хэ ; второй цикл : 1 3) х2 х3 , 1 4) х2 х9 и 1 5 ) х3х8 • Всего за два цикла выделилось 1 5 эффектов из 45 возможнь1х. Из 9 линейных эффектов статистически незначимыми оказались только эффек ты х3 и х8 • При обработке результатов экспериментов на ЭВМ в задаче, предназ наченной для изучения степени влияния 9 факторов на орочиость бетона, эффекты начали выделяться уже при т = 5 , а при т = 14 матр1Щ3 нормаль ных уравнений не обращалась ; оптимальным являлось т = 1 О. Эффекты выделялись в сл едующем порядке : первый цикл : 1 ) х 1 , 2) х5 , 3) х7 , 4) х7х9 , 5 ) х 1 х2 ; второй цикл : 6) х4х8 , 7 ) Х4 Х9 , 8) х2 х9 , 9) х6 ; третий ци кл : 1 О) ХэХ9 . Всего за 3 цикла выделилось 1 0 эффектов иэ 45 воэможньiХ. Стате стически неэначнмыми для этого случая оказались 5 линейных эффектов из 9. Алгоритмы маuпt101ой обработки отсеивающих экспериментов : 1) первоначальное выделение эффектов по формуле (5 .2) (см. табл. 5 .6) ; ·
-
151
лш1М �gЯ иМ,НJ'!J.))т8енн о и м о -
Построение и cmomucmи циlf o f/ оц е н -
ф ко
НноН1есm6енноlii 11 Dор еляц ионно11i а н а л и з t n. '1,,, 6 1
моiJели.
Расшир е н и е 8о1числение и cmamucmuиeclloe ц ен и6 а ни каэинрициент о tJ 116адротичноu tpopмoJ {n 7)
о
ф
е
стvпенчатыu отсе6 не з н а чимых 3tptpellmo6
(n 8) нет
Рис. 25
§
2) выбор оптимального числа выделившихся эффектов дпя прове дения регрессионного анализа. 3) регрессионный анализ [фор мулы (3 .5 ) - (3 . 1 4) ] ; 4) оценка значимости эффек тов с помошью t-критерия Стью дента по формулам (5 .3) и
(5 .4) ; 5)
корректировка [выравнивание вектор-столбца у 0 по фор муле (5 .5) ] ; 6) повторение п. 1 ) -5) до выделения всех статистически зна чимых эффектов . Если есть возможным подсчи тать величину t-критерия Стьюдента дпя каждого выделившегося эф фекта, то эти данные также !VJOЖHO выдать на печать дпя построения гистограммы ранжирования эффек тов. Укрупненная блок-схема алго ритма обработки на ЭВМ резуль татов отсеивающих экспериментов приведе на на рис. 2 5 .
5 .3. Э кстре м алып.I е э ксперим енты
Рассмотрение экстремальных экспериментов, некоторое представле ние о которых бьmо получено при изучении § 5 . 1 , можно начать с мето дики составления планов - полного факторного эксперимента (J;IФЭ) и дробных реплик от него . Перед началом работы с планом экспериментатор должен знать, сколь ко и какие именно факторы он собирается варьировать. Для решения этой задачи нужно иметь опыт специалиста, а также знать и уметь использовать материал предыдущего параграфа. Факторы должны быть количественными и контролируемыми (изменяться и поддерживаться на постоянном уровне по воле экспериментатора) , а результаты опьпов - воспроизводимыми. Поrрешности экспериментов предполагают небольlllll ми , подчиняющими�я закону нормального распределения. Устанавливают основной уровень факторов (О) - центр эксперимента (исходная точка, начало движения по поверхности отклика) и интервалы варьирования факторов (J) , которые должны бьпь достаточно большими, но не максимальными. Выбор максимальных интервалов варьирования при составлении линейных планов не позволит перейти затем к планам 152
второrо порядка. Вычисляют верхний (+ 1 ) и нижний ( - 1 ) уровни варьи рования факторов . Для построения регрессионного уравнения с двумя факторами х1 и х2 вида J'\ (5 .9б) у = Ь 0 + Ь 1 х 1 + Ь 2х2 + Ь 1 2х 1 х2 можно предложить план ПФЭ, приведенный в табл . 5 .8. Предположим, что варьируются два фактора: фактор х1 - водацементное отношение (В/Ц) и фактор х2 - возраст бетона (т) , функция отклика у - прочность бето на (R np ) . В табл . 5 .8 ПФЭ приведем в форме , удобной непосредственно для поста новки экспериментов ; х0 - это фиктивный фактор, который необходим для вычисления свободного члена полинома Ь 0 ; +1 и -1 - кодированные обозначения уровней факторов . Столбец (6) матрицы Х получается пере множением столбца ( 4) на столбец (5) . Т а б л и ц а 5.8 План полноrо ф ахторноrо эксперимента (ПФЭ) 2 2 Факторы и функция отклика Код
хо
Единицы величины Основной уровень ( 0) Интервал варъирования (/) Верхний уровень ( + 1) Нижний уровень ( - 1 )
-�] N2 опьпа
В/Ц
т
xl
х2
%
Сутки
50
28
20 70 30
14 42 14
(В/Ц) · т Обозначения строк матрицы Х
x lx 2
Rnp
у
мПа· l О
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
1 2 3 4
+1 +1 +1 +1
-1 +1 -1 +1
-1 -1 +1 +1
+1 -1 -1 +1
( 1)
У! У2 Уз У4
а ь аЬ
�
План
22
Планирование Матрица Х
Вектор выхода У
Как видно иэ табл . 5 .8, собственно для IUiанирования служат только столбцы (4) и (5) . В табл . 5 .9 эти столбцы воспроизведены отдельно, при этом вместо + 1 написано "+ ", а вместо - 1 написано "-". Чтобы получить планирование (23 ) для трех факторов : х 1 . Х 2 и хз , следует табл . 5 .9 переписать еще раз и к ней справа добавить еще один столбец с четырьмя знаками минус и четырьмя знаками плюс. Такое пла нирование (23 ) показано в табл . 5 . 1 0 , rде двойной линией очерчены повто ряемые матрицы . 153
Т а б л и ц а 5. 1 0
Т а б л и ц а 5 .9 Плани рование N2
п/п 1
2
3
4
1
Xt + +
22
Планиро ван ие N2
х2
п/п 1
+
Xt
2
+
4
+
6
+
8
+
3
+
23
5
7
х2
х3
+
+
+
+
+
+ +
Точно так же поступают, если нужно получить планирование для четы рех факторов 2 4 (2 - число уровней варьирования, 4 - число факторов ; 24 = 1 6 - число опьпов) ; матрицу из табл . 5 . 1 0 повторяют два раза и справа приписывают столбец с восемью минусами и восемью плюсами. В табл. 5 . 1 1 двойной линией очерчены повторяющиеся матрицы. Правило составления планирования можно сформулировать и rю-дру го му : в столбце х1 знаки минус и плюс чередуются; в столбце х2 чере дуются два минуса и два плюса; в столбце х3 чередуются четыре минуса и четыре плюса; в столбце х4 чередуются восемь минусов и восемь плюсов и т .д. с удвоением количества чередующихся знаков . Отметим, что при планировании с любым количеством факторов в пл ане ПФЭ в первой строке в сегда будут только минусы, а в последней только плюсы. Нет сомнения, что теперь можно составить планирование для любого количества факторов 2Р . Если обозначить, как в табл. 5 . 1 1 , факторы ма лыми буквами латинского алфавита, то можно записать планирование в буквенном обозначении. Если строка обозначена буквой а, то это значит, что только фактор х1 в зят на верхнем уровне + 1 , а остальные факторы взяты на нижнем уровне - 1 . Если строка обозначена буквой Ь, то только фактор х2 взят на верхнем уровне, а остальные - на нижнем. Обоз�чение аЬ означает, что только факторы х1 и х2 взяты на верхнем уровне. Если все факторы взяты на нижнем уровне, как в первой строке, то эту строку обозначают знаком ( 1 } . · например, планирование для двух факторов 22 (табл. 5 .9} можно обозначить так : ( 1 } , а, Ь, аЬ ; для трех факторов 2 3 : ( 1 ) , а, Ь, аЬ, с, ас, Ьс, аЬ с; для четырех факторов : ( 1 } , а, Ь, аЬ, с, ас, Ьс, аЬ с, d, ad, bd, abd, cd, acd, bcd, abcd и т .д. Отметим, что припята такая система обозначений, что о боз начение начальных строк всех планов повторяется.
•
Для рассмотрения вопроса о степенях свободы [ 1 02] в табл. 5 . 1 2 приведен в упрощенном (no сравнению с табл . 5 .8) виде план ПФЭ для трех факторов 2 3 Используя этот план, можно независи мо оценить коэф фи циенты регрессии Ь 0, Ь 1 , Ь 2 , Ь 3 , Ь 1 2 , Ь t з . Ь 2 3 и Ь 1 2 3 • Если ограничиться линейным nриближением (оценивать только линейные эффекты Ь 0, Ь 1 , •
154
Табл
--- - --· - .....---- ·- ·
а
1 2 3 4 5 6 7 8
Xt
х2
-
-
-�
-
ь
хэ
х4
-
-
-
+
-
-
-
-
-
+
+
-
+
+
+
-
-
-
+
-
-
+
-
+
+
+
-
+
+
-
-
-
-
+
+ +
+
+
d ad Ьd abd cd acd Ьсd a b cd
+
-
+
а ь аЬ с ас Ьа аЬ с
-
-
+
(1 )
-
+
+
Бу квенные обозначения строк
-
-
-
+
d
с ·-
+
+
9 10 11 12 13 14 15 16
а 5. 1 1
24
Планирование
N9 п/п
и ц
+
+
+
+
+
Т а б л и ц а 5. 1 2 План
ПФЭ 2 3
N9 п/п
(1) 1 2 3 4 5 6 7 8
Планирование
хо
Xt
х2
( 2)
(3)
(4 )
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
хэ
(5)
+
+
+
+
+
+ +
+
Матрица Х
X tX2
Х tХ з
(6)
(7 )
+
+
+
+ +
+ + +
Х2 Х 3 lx 1 X 2X 3 ( 8) +
+
( 9) + + +
+
+
+
Буквенные обозначения строк
Вектор выхода у
( 1 0)
(1 1)
( 1)
У1 У2 Уз У4 Ys У6
а ь аЬ с ас Ьс а Ьс
у, Ув
Ь 2 и Ьз ) , то четыре степени свободы останутся для проверки адекватности (статистической оценки) уравнения регрессии. Можно оценивать только л инейные эффекты и парные взаимодействия, тоrда только одна степень свободы останется для проверки адекватности. Нетрудно заметить, что с увеличением числа факторов р количество э кспериментов резко возрастает : n = 2Р . Уже для пяти факторов при реали155
;3ации ПФЭ надо поставить 32 эксперимента. Если учесть, что еще хотя бы 6 опытов нужно поставить в центре эксперимента [основной уро вень (О) ] для вычисления поrрешности эксперимента (этот вопрос под робно рассмотрен ниже) , то ясно, что количество экспериментов при осуществлении ПФЭ достаточно велико. Для уменьшения числа опытов вместо полноrо факторноrо экспери мента используют дробные реплики от неrо , которые позволяют значитель но экономить количество опытов при небольшой потере информации, если при решении той или иной задачи можно оrраничиться построением линей ной формы уравнения реrрессии или оценивать независимо не все эффекты (бывают ситуации, коrда оценивать те или иные взаимодействия не имее т смысла) . Для полуреплики от ПФЭ с тремя факторами количество эксперимен тов п = 2 3 - 1 = 4; для ситуации, в которой оцениваются шесть факторов ,
ffолуреплику, например, от ПФЭ 2 3 получают деле нием матрицы на две части . Если ПФЭ 2 3 в буквенно м обозначении записан (табл. 5 . 1 2) в. виде ( 1 ) , Ь, Ь, аЬ , с, ас, Ь с, аЬ с, то полуреплики таковы: 1 ) первая полуреплика с, а, Ь, аЬ с; 2 ) вторая полуреплика ( 1 ) , ас, Ьс, аЬ. Эти полуреплики в развернутом виде приведены в табл . 5 . 1 3 . Т а б л и ц а 5. 1 3 Дв е пonypeпJDIKИ от ПФЭ 2 3 Первая полуреплика N9 п/п
Матрица Х
хо
1 2 3
4
+ + + +
1 l 1 Xt
x2
-
-
+
-
+
+ +
х3 +
.-
+
Вторая полуреплика
:е., 10S =ь:
>
�
� о = ""о .. ..
:.: .. 1Ж1
с
У1 У2 У3 У4
� =:21 =;; Q
ь а Ьс
ОпредеnяюЩ контрасr l = x 1x2x3
N9 п/п хо s
6
7 8
1 1 1
'
Матрица Х
+ + + +
х1
х2
х3
-
-
-
+
-
+
+ +
+ +
-
:е 10 8 �.. о .. » :a �=
(1)
::� =.. ;j =
ас Ьс аЬ
>
�
s
:.: .. 1Ж1
Ys Уб У7 Уа
ОпределяюЩИЙ контрасr / = -х 1 х2х3
Правила составления полуреплик можно сформулировать так . 1 . Вновь полученные дробные реплики должны обладать всеми мате матическими свойствами ПФЭ, о которых подробно сказано ниже. 2. Каждое парное взаимодействие может оцениваться совместно с од ним из линейных эффектов, т. е. если, например, в первой полуреплике перемножить вектор-столбцы х 1 на х2, то получится вектор-столбец х 3 , и т. д. 156
Если коэффициенты при парных взаимодействиях не строго равны ну лю, то коэффициенты регрессии являются оценками совместных эффек тов ( 83 ] для первой полуреплнки: (5 .9в) ь ; -+ 13 1 + 132 3 • ь; -+ 132 + /3 1 3 , ь ; -+ 13 з + 13 1 2 ; для в торой полуреплики (5 . 1 0) ь � -+ 13 1 - 132 3 • ь� -+ 132 - 13 1 3 . ь� -+ 13 э - 13 1 2 • Если после постановки первой полуреплики у экспериментатора воз никает сомнение в том, что коэффициенты при парных взаимодействиях равны нулю, то можно поставить еще четыре опьпа (вторую полуреплнку) . Среднее из суммы и разности для первой и второй систем совместных оценок дает неэависимую оценку всех эффектов (и линейных и парных взаимодейств ий) : Ь 1 = (Ь ; + ь ;') / 2, Ь2 = (Ь ; + Ь � )/2, Ь3 = (Ь ; + Ь�) / 2 ; (5 .1 1 ) Ь 2 э = (Ь � - Ь� ) /2, b t э = (Ь � - Ь �) /2, b t ? = (Ь ; - Ь � ) /2. UТМ�1 ИМ BaA
V �U v \o. .& l � o�. v ':J .l
.J
u
... ....
"' "
""
....н ).
J • • •.п. � · "
r·• · · • - •,. • • .; a.�
а
' •.,
ке последующей серии экспериментов полностью используется инфорх� ция, полученная при обработке предыдущей серии. Планы экспериментов
именно так и составлены, чтобы эксперименты, которые проводят во вто рую очередь, дополняли эксперименты, сделанные в начале исследования. Объединение двух полуреплнк, приведеиных в табл. 5 . 1 3, дает план ПФЭ (табл . 5 . 1 2) , поэтому понятно , что при реализации экспериментов по первой и второй полурепликам полуЧаются неэависимые оценки эффектов. Сформулируем третье правило формирования полуреплнк, которое фактически является следствием двух первых:
3. В первую полуреплику берут строки с нечетным числом латинских букв, что соответствует требованию х 3 = х 1 х 2 , а во в торую полуреплику строки с четн ым числом латинских букв и строку ( 1 ) , что соответствует требованию х 3 = -х 1 х 2 .
В задаче с четырьмя неэависимыми факторами ПФЭ также может бьпь разбит на две полуреплики: 1 ( 1 ) , ad, bd, аЬ, cd, ас, Ьс, abcd; 2) d, а, Ь, abd, с, acd, bcd, аЬс. Первая полуреплика получается умножением на d не четного сочетания букв в записи ПФЭ 2 3 ( 1 ) а, Ь, аЬ, с, ас, Ь с, аЬс, а вто рая - умножением на d четного сочетания букв и ( 1 ) в этом же плане (83] . Можно привести еще пример 1 / 4 -реплики от ПФЭ 25 (табл . 5 . 1 4) . Какие эффекты смешаны в плане, приведеином в табл . 5 . 1 4, можно узнать из оnределяющего контраста I = х 1 х 2 х4 = х 1 х 2 х 3 х 5 = х 3х4х5 • (5 . 1 2) Для того чтобы рассмотреть сущность определяющего контраста, в ведем понятие так наэьmаемых генерирующих соотношений, которыми задаются полуреплики. Например, две полуреплики 2 3 - 1 , приведеиные в табл. 5 . 1 3, заданы следующими генерирующими соотношениями : Хэ = х 1 Х2 ,' Хэ = -Х 1 Х 2 • (5 .1 3) 157
Т а б л и ц а 5.14 Дробиu реплика 2
5
-
2 о оо := :
Планир ование !!! :;; х о = о
!!i!: i
2 3
4
+ + + +
хэ
XJ
Х2
/J
ь
с
-
-
-
-
+
+
-
+
+
-
-
>
х 5 m��� =� =:.: o � d е �>. '8 t �
Х4 +
-
-
+
:О: '"' О
-
+
+
d
ае Ье
abd
"'
У! У2 Уз У4
�
:;; = о
� 5
6 7 8
Планирование хо
+ + + +
Xl /J -
+
-
+
х 2 хэ ь -
--
+ -t-
с
+ + + +
Х4 x s
d
+
-
+
е
+
-
-
+
оо :!! :.: > iоP1 :O:= ;!м о:о: s"' o :0:о >- �а t 1%1
� о
cde Y s /JC
Ьс
abcde
У6 У7 Ys
Словами эти формулы можно выразить так : в первой полуреплике век тор-столбец х3 получается умножением вектор-столбца х1 на вектор-стол: бец х2 ; во второй полуреплике вектор-столбец х3 получается умножением элементов столбца х1 на соответствующие элементы столбца х2 ; знак каж доrо элемента вновь полученноrо столбца меняется на обратный. Если обозначить элементы первоrо столбца матрицы х0 знаком 1 (все они в сеrда равны + 1) , то, чтобы получить соотношения, определяющие эле менты первоrо столбца для каждой из полуреплик (т.е. соотношения, даю щие при перемноженни + 1 ) , нужно умножить на х3 левые и правые части записанных в ыше rенерируюших соотношений (5 . 1 3) : (5 . 1 4) Х� = Х1 Х2Хэ ," Х� = -Х 1Х2Хэ . Любой элемент матрицы Х, возведенный в квадрат, дает + 1 ; следовательно, (5 . 1 5 ) х� = l = х 1х2хэ ; х� = l = -х 1х2хэ . В формуле (5 . 1 5 ) получены определяющие контрасты двух полуреп лик от ПЭФ 2 3 , записанные ранее в табл. 5 . 1 3 без объяснения.
Для тоrо чтобы узнать, к акие эффекты определяются совместно (сме шаны) , нужно последовательно умножить все факторы на определяющий контраст. Проделаем эту операцию для формулы (5 . 1 5) : первая полуреплика
Ix 1 = х � х2Хэ ' т.е. ь; � fЗt + {32 3 , lx2 = х 1х�хэ , т.е. ь; � IЗ2 + fЗ t э . Ix 3 = х 1х2х� , т.е. ь; � IЗэ + IЗ 1 2 ; в то рая полуреплика
Ix 1 = -х � х2Хэ , т.е. ь� � {3 1 -{32 3 . Ix 2 = -Х � Х�Хэ ' т.е. ь� � {32 -{3 I Э • Iхэ = -х 1 х2х� , т.е. Ь� � IЗэ - {3 1 2 ·
Таким образом, из определяющих контрастов (5 . 1 5 ) вновь получены соот ношения (5.9в) и (5 . 1 0) , показывающие , какие эффекты смешаны. Теперь рассмотрим обобщенный определяющий контраст (5 . 1 2) для 1 1 4 -реплики 25 - 2 , юtанирование которой дано в табл . 5 . 1 4. Здесь два 158
последних эффекта оценивают совместно с в заимодействиями. Несущеет венным предполаrают прежде всеrо тройное взаимодействие, также пре небреrают одним из парных взаимодействий. Это взаимодействие можно выбрать на основании физическоrо смысла изучаемоrо явления, а если такой информации нет, то методом рандомизации (случайноrо выбора) . Если, например, решено иренебречь взаимодействием х1 х2 , то можно построить четыре 1/4-реплики со следующими rенерирующими соотно шениями : Х 4 = х 1 х2 , х 5 = х 1 х2 хз ; Х 4 = х 1 х2 , X s = -х 1 х2х 3 ; (5 . 1 6) Х 4 = -Х1Х2 , Xs = х 1 Х2Хз; Х 4 = -Х1 Х2 , X s = -Х 1х2х 3 • Определяющие контрасты для этих реплик таковы :
l = x 1x2x 4 , l = x 1 x 2 x з xs ; l = x 1 x 2 x 4 , 1 = -х 1х2хзх 5 ; (5 . 1 7) 1 = -х 1 х2х 4 , l = х 1х2хзх 5'; 1 = -х 1 х2 х4 , 1 = -х1 х2 �3 х 5 • Если перемножить попарно эти определяющие контрасты, то для каж дой реплики получится третье соотношение, также задающее элементы столбца х0 = L Поэтому, чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплик, вводят обобщающие определяющие контрасты: l = x 1 x 2 x 4 = х 1 х2х 3 х 5 = x 3X4X s , l = x 1x2 x 4 = -х 1 х2х 3 х 5 = -ХзХ 4 Х 5 , 1 = -х 1 х2х 4 = х 1х2хзхs = -ХзХ4Хs , 1 = ....:х 1 х2х4 = х 1х2хзх 5 = хзх 4 х 5 .
(5 . 1 8)
Первый из этих определяющих контрастов был приведем в ьПllе [см . формулу ( 5 . 1 2) ) . Перемножая этот обобщающий определяющий контраст на каждый из факторов Xj , получаем сов местные оценки для эффектов при планировании по дробной реплике, приведеиной в табл . 5 . 1 4. Для повы шения разрешающей способности опытов можно поставить еще одну чет вертьреплику 2 5 - 2 , чтобы оценить независимо все линейные эффекты по методике, изложенной в ыше. Готовые планы дробных реплик приведсны в табл. П . 1 2. Выше отмечалось, что планы ПФЭ и дробных реплик составлены таким образом, чтобы максимально упростить вычи сление коэффициентов реrрес сии bj и проверку адекватности уравнений. С математической точки зрения планы можно рассматривать к ак линейные, поскольку произведения факто ров всеrда можно заменить новым линейным эффектом. Такая процецура применялась в § 3.3 при рассмотрении множественноrо нелинейноrо реr рессионноrо анализа. В этом случае число линейных эффектов р увеличи вается до k линейных эффектов, rде k > р. Если учесть это обстоятельство, 159
то можно сформулировать следующие свойств а планов ПФЭ и дробных реп лик : 1 ° . Скалярное произведение всех вектор-столбцов равно нулю (свой ство ортогональности) . 2 ° . Значения факторов симметрично располагаются вокруг центра экс перимента. 3 ° . Сумма квадратов элементов всех столбцов матрицы Х одинакова. Из свойства 1 ° следует, что матрица коэффициентов нормальных урав нений Х*Х диагональна. Из свойства 3° следует, что все диагональные эле менты этой матрицы равны числу опьпов п, а диагональные элементы об ратной матрицы (Х*Х ) - 1 - Cjj = 1 /п, поэтому для проведения регрессион ного анализа по результатам активных экспериментов имеют место очень простые упомянутые выше формулы [см. формулу (5 .7) ] . Коэффициенты регрессии n
bj = ('f. Xji Yi ) /п, j = О , k . J= l
Погрешности к оэффициентов регрессии s;i = Sfy; п, j = О , k.
(5 . 1 9)
'f. Ъj) / (п - k - 1 ) . S�т = {i ='f.l Yi - пj=O
(5 .20)
f
Остаточная дисперсия -
n
n
F-отношение Фишера 1\ F=
s;cт/SfYJ' -
{5 .2 1 )
Обратим внимание на то , что если ранее рассмаwивалось «верхнее» F-отношение, когда для отбрасывания нуль-гипотезы F > Р , то формула (5 .2 1 ) представ)lяет собой нижнее F-отношение, когда дЛя отбрасьmания нуль-гипотезы F < при принятом уровне значимости и степ�нях сво пони бо ды в числителе п - k - 1 и в знаменателе п ( о ) - 1 . Здесь под мают не дисперсию вектор-столбца у , а поrрешность экспериме � а, кото рая найдена по пекоторому числу опытов ( о) , поставлениому в центре эксперимента [все факторы поддерживаются на основном уровне (О) ) . Значимость коэффициентов регрессии bj оценивают по формуле
Fт
S{y}
n
л
tj = bj
ynfS{Y} '
--=-
(5 .22)
�
Найденное значение t-критерия Стьюдента сравнивают с табличным ; > при принято м уровне значимости и числе степеней свободы, при кото ром бьmа определена ошибка эксперимента, т.е. v = � (о) - 1 . по данным опытов, Пример в ычисления по грешиости эксперимента по ставленных в центре эксперимента [основной уровень (О) ) , приведен в табл. 4. 1 0. Если погрешность экспериментов вычислена, то по формулам (5 .2 1 ) и (5 .22) можно проверить адекватность уравнения регрессии и зна чимость коэффициентов уравнения bj .
>t
т
1 60
S{Y)
Если требуется поставить большое количество длительных опытов, то возникает опасность временно го дрейфа функции о тклика за счет изме нения условий изготовления опытных образцов, влияния Изменившихея погодных условий , износа или разпадки оборудования, изменения свойств материалов , например реактивизации цемента, хранящегося на открытом воздухе , и т.д. Для исключения влияния временного дрейфа nолный факторный эксперимент и дробные реплики разбивают на блоки. Так, например, план ПФЭ 2 3 , приведенный в табл . 5 . 1 2, целесообразно разбить на два блока. Для оценки межблокового эффекта вводят фиктивный фактор х б , кото рый считают смешанным с тем взаимодействием, которым можно ире небречь (для рассматриваемого случая это тройное взаимодействие Х 1 х2х3 ) .
План разбивают на два блока таким образом, чтобы в верхнем блоке взаимодейств ие х 1 х 2 х 3 поддерживалось только в верхнем уровне (+ 1 ) , а в нижнем блоке - только на нижнем уровне. Таким образом, в верхний блок попадают строки 2, 3, 5 и 8 из табл . 5 . 1 2, остальные строки попадают в нижний блок (табл. 5 . 1 5 ) . В табл . 5 . 1 5 те же номера опытов, что в табл . 5 . 1 2. Нетрудно заметить, что разбиение в табл. 5 . 1 6 на два блока совпадает с разбиением на две полу реплики : а, Ь , с, аЬ с и ( 1 ) , аЬ , ас, Ь с. Коэффициенты регрессии, полученные по табл . 5 . 1 6, являются оценками для следующих эффектов : Ь о � rз о . Ь 1 � rз 1 . Ь 2 � rз2 . Ь 3 � (3 3 ; Ь 1 2 -+ (3 1 2 . Ь 1 3 -+ f3 1 э · ь 2 3 -+ (32 3 , Ь 1 2 3 � rз 1 2 3 + (35 .
Если предnоложить, что (3 1 2 3 близок к нулю, то значимость Ь 1 2 3 го ворит о значимости межблокового эффекта (3 6 , отображающего временно й дрейф. Все остальные коэффициенты регрессии оnределяются независимо, nоэтому при таком планировании влияние временного дрейфа исключается. Т а б л и ц а 5. 1 5
Разбиение плана ПФЭ на два блока та
(1)
1 блок
11 блок
6 - 579
.,
:а . :.:: :С "' О
Матрица Х Планир ование
N9 опы-
хо
XJ
х2
хз
Х1Х2
х 1 х3
( 2)
( 3)
(4 )
(5)
(7 )
( 8)
2 3
+
+
(б)
+
5
+
1
+
6
+
8
4
7
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
:c ;j �:�. :'i\ 1!; 1> :.l о ь:
+
+
+
+
+
+
+
1:1.
о :0:
!-<
., >. IC) = Х2Х3 Х 1 Х2Х 3 \Q o :c � (1 1) (1 2 ( 1 0) (9)
+ +
>
+
+
+
+
+
а ь с аЬс
(1 ) аь ас Ьс
У2 У3
Ys
Ув У1 У4 Уб
Y "l
1 61
Т а б л и ц а 5. 1 6 Планирование опы тов по исследованию влияния факторов удельные относите льные деформации ползучести бетона С (t, т)
на
�
w
В/Ц
хо X l % Ед ин ица
Х2 %
хэ %
Фа кторы
�
Код
величины
70 10 80 60
(0)
(+ 1 ) (- 1 )
(1)
(1 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2) (3) + + + + + + + + + + + + + + + +
+ + +
+
+
+
+
+
97,5 7 ,5 1 05 90 (4) + + +
+
+ +
+ +
50 10 60 40
(5) + +
+
+ +
+ +
+
t- т
Jц
Еэ
т
Х4
xs %
Х6
х,
сут
МПа· lО-2
с ут
425 25 450 400
1 7 ,5 1 0,5 28 7
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+ + + +
150 50 200 100 (6)
+ + +
+
+
6,36 0,44 5,92 6,80 (7 )
+ + + +
(8)
+
+ +
(9)
+ + +
+ + + +
Х 1Х5 X l X 6 Х 1Х7 х 2 х 7 Х2Х 6 X 2 X S
х эхs
Х4Х 6
ХЭХ7 Х4Х7 Х4Х 6
х эх 6
( 1 0)
( 1 1)
( 1 2)
(13)
+
+
+ +
+ +
+
+ +
+
+ + + +
+ +
+
+ + + +
+ +
+
+ + + +
+
+ + +
Планир ование Матрица Х По результатам активных экспериментов бьmа построена [78] модель относительных деформаций ползучести бетона С ( t, т) в зависимости от семи факторов, выбранных по результатам предварительной оценки важности факторов, в том числе с помощью приведеиных в гл . 111 моделей, которые бьmи получены по результатам пассивных экспериментов , и с помощью отсеивающих эк спериме нтов : 1) х 1 - отношение объема крупного запол нителя к объему бетона Vщ/ Vб , % ; 2) х2 - влажность среды W, % ; 3) х3 водацементное отношение В/Ц, % ; 4) х4 - время действия нагрузки, t - т, сут ; 5) х5 - количественный показатель вида цемента lц, вычисленный с учетом активности цемента и нормальной густоты цементного теста : lц = НГ · Rизг/Rсж . где НГ - нормальная густота цементного теста, % ; Rизг - прочность образ цов при изmбе, МПа · I О ; Rсж - прочность образцов при сжатии, Mlla · I O ; 1 62
6) х6 - модуль упруrости запошmтеля Е3 , МПа · I О- 2 ; 7) х7 - возраст бе тона в момент заrружения т , сут. Для планирования в ьiбрана 1 /8 -реплика от ПФЭ типа 2 7 - 3 с определяю щим контрастом (см. табл . П. 1 2) :
J = x1x 2 x 3 x4 = x 1 x2xsx6 = х 1 хэхsх, = х 1 х4х6х1 = х2хзх6х1 = = х2х4х5х1 = х эХ 4 ХsХ6 .
(5 .23)
Если положить, чrо в се взаимодействия выше второrо порядка незначимы, то можно определить (перемножая определяющий контраст на каждый фактор) , что в этой дробной реплике смешаны следующие эффекты парных взаимодействий : (5 .24) х2х1 = х4х5 = хзхб . На основании физических представлений о сущности явления, а также методом попыток из этих взаимодействий выбирались з начимые (одно из трех) : в rотовое уравнение подставляли все в заимодействия поочередно до получения правильноrо направления действия факторов в окончатель ном уравнении. Планирование экспериментов, факторы, единицы вели чин, основной уровень, интервалы варьирования, верхний и нижний уровни факторов приведены в табл. 5 . 1 7 . Кроме основных результатов опьпов С ( t, т) получены еще девять векторов выхода. Часть результатов , которые получены при реализации плана, приведен ноrо табл. 5 . 1 7, дана в табл . 5 . 1 8 . Здесь приведены в екторы выхода С (t, т) относительные удельные деформации ползучести бетона {у 3 ), Е6 - модуль деформаций бетона {у'1 ), Rь . - призмеиная орочиость бетона {у 2 ) и "fь плотность бетона {у 4 ) . Обработка данных табл . 5 . 1 7 и 5 . 1 8 по формулам (5 . 1 7 ) - (5 .22) дает возможность построить полиномиальные модели для описания изучаемых функций отклика. Например, для удельных относи тельных деформаций ползучести бетона С (t, т ) получена модель со значк мыми Ьj C (t, т) = (+2,255 - 0,679х2 + 0, 430хз + 0,522х4 + 0,686х5 + (5 .25 ) 6 + 1 ,006х7 + 0,472х 1х7 - 0,409х3 х6 ) · 10"" , которая дана в кодированных обозначениях факторов Xj = ± 1 . Дл я пере хода к натуральным о бозначениям служат следующие формулы : Х,. - 1 5 0 ХЭ - 5 0 'Xt - 7 0 'Х2 - 9 7 ,5 = 10• х 4 = x l = ___ ' х2 = э Х 10 1 00 7 ,5 (5 .26) Х'6 - 4 25 6 , 3 6 - X's Х., - 1 7 ,5 = X s = 0,44 ' х6 = 25 ' х, 1 0 ,5 Здесь в числителе основной уровень (О) , а в знаменателе - интервал варьи рования (J) . Подставляя в формулу (5 .25) значения х из (5 .26) , получаем модель в натуральных обозначениях факторов : 1 63 •
Табл и
Результаты активн ых экспер иментов Исследуем ые парам етры
Еь
Rь
C (t, т) · 1 0
6
ц
'У б
к r/ м 3 •
Единица величины
-2 МПа · I О
Код
У1
У2
Уз
У4
(1)
( 2)
( 3)
(4)
(S)
( МПа · I О ) - 1
МПа · I О
а
5. 1 7
1 0-
э
-- ..-·
с (t, т) = (- 1 3,7470 - 0,0786 х1 - 0,0905 х2 + 0,7400 хз + + о,о1 о4х4 - 1 ,5590 xs - о,о82О хб - о,2 1 8о :Х, + о,ОО45 х1Х., - 0,001 64х3х6 ) 1 о- 6 • Характеристика модели и сводка результатов даны в табл . 5 . 18.
_
(5 .27)
Деформацию ползучести бетона измеряли в течение 200 сут. За этот срок бьmо выполнено несколько наблюдений. Используя процедуру, изложенную в § 2.8 , предсказали предельные значения удельных относительных деформаций ползучести бетона С( "" т ) · По ЭТИМ данным бьmа получена модель c("'' т) [9 1 , 68] : С<-. т) = (+ 35,73 14 - 1 ,0045 Vщ fV6 - 0, 1 269W + 1 ,0743 ·
- 0,993 1lц - 0,0270Е3 - 0,1 474т - 0,0031 +
·
�
·т+
0,002 1 ( VщfVб) Е3 + 0,0064 ( Vщ/Vб) т - 0,0024 ·
�-
�
(5 .2 8 )
·
Е3) · НJ· 6 •
Н.Х. Арутюняном для определения удельных относительн ых деформа ций ползучести бетона предложена следующая зависимость: 1 64
Т а б л и ц а 5.18
Модели, построенные по результатам активноrо экспери мента Иссле- Факторы и парные взаим од у едействия М ЬIЙ параметр единицы велиЧIПI Ы
"'
(0 )
"'
+1 -1
"'
Пе ременные в кодированном обозначении
:z: о f-o
\С) :z: f-o u
:r >. м t:: о с :z: :z:
�
Значимые Ьi
-е"' 1:1 "' :А :z: ... t:: "'
Сrатистичес кие оценки модели
�
s:>. о
1:1 >.
"' :А :z: ... t:: "'
0\ Vt
f-o :z: u о :z: f-o
о
w
В/Ц
t- т
Jц
Ез
т
%
%
%
сутки
-
М Па · 1 0- 2
сутки
150 50 200 1 00
63,6 0,44 5,92 6,80
425 25 450 400
17,5 1 0, 5 28 7
Х4
xs
Х6
х,
ХЭХ7
X J X6
-
+ 1 ,006Х X l 0- 6
-
-
--
'97 , 5 7,5 105 90
50 10 60 40
хо
XJ
Х2
хэ
f+2,255X Х 1 0- 6
VJ = 8;
-
-0,6 7 9Х +0,4 3 0Х +0, 5 2 2Х +0,686Х Х 1 0- б Х 1 0-6 Х 1 0- 6 Х 1 0- 6
v2 = 5 ;
Sy = 0,503Х 1 0- 6 ..
Р= 3 , 062 ;
s; = 0,25 1 Х 1 о- 1 2 .. S�ст = о, 769Х 1 О- 1 2
F���� = 1 0, 2 9 ;
3,062
< 1 0, 2 9
к Переход абсолютн ым переменны м
---
Вид фор мулы в аб солютных значениях
C (t, т) = (- 1 3,7470 - 0,0786Х'1 - 0,0905х2 + 0,7400хз + 0, 0 1 04х4 - 1 , 5 590xs + + о,о82оХ - о, 2 1 8ОХ', + о,оо45х1'Х7 - о,оо1 6'Х3'Х > 1 0-6 6 6
Х'1 - 7 0 10
Х2 - 97 ,5 Хз -5 0
--
7,5
Vщ -х т Vб
!!_ Х Ез u
-
- -
70 10 80 60
(J)
Vщ В/ЦХ т Х Ез Vб
VшJ Vб
10
Х4 - 1 5 0
6,36-xs
Х, - 1 7 ,5
1 50
0,44
1 0,5
---
•
XJX7
х зх
6 +0,47 2Х -0,409' Х J Х 10-6 Х 1 0- 6
с
(t, т)
_ С( -
со
,
-11( t - т) ) . т) (1 - е
(5 .29)
По результатам активных экспериментов построена многофакторпая мо дель и для вычисления коэффициентов 1 в формуле (5 .29) : 1
(1 5,880 + 2,368 х2 + 6,943 х5 + 2,032 х6 .:.... 5,540 х7 + (5 .30) + 2,725 Х1Х� - 2,475Х1Х7 - 5 ,72 1ХзХ6 ) 1()"" 3 • В формуле (5 .30) факторы даны в кодированных обозначениях. Переход к натуральным обозначениям факторов осуществляют по формуле (5.26) . =
Здесь показама новая возможность вычисления коэффШJ.Иентов полу эмпирических зависимостей типа (5 .29) по многофакторным моделям. Действительно, в формуле (5 .29) величину С(аа, т ) можно вычислить с по мощью модели (5 .28) , а коэффициент 1 - по модели (5.30) . Эти величины зависят от ми6гих факторов , и для них нельзя назначать постоянные значе ния, поэтому предложено каждый раз при использовании этой формулы определять С( аа, т ) и 'У из опыта. Модели (5.28) и (5 .30) позволяют обой тись без этой трудоемкой процедуры. Таким образом, подробно рассмотрена методика использования линей ных планов при постановке экспериментов . По сле получения линейной моде ли (а иногда и модели, содержащей париые эффекты) можно nерейти; если есть необходимость, к движению по градиенту (крутому склону) поверх ности отклика по методике, изложенной в § 5 . 1 . Дл я более полиого описания почти стационарной области nоверхности отклика и области экстремума целесообразно поставить эксперименты по планам второго порядка. Из рис. 24 следует, что область экстремума трудно аппроксимировать с помощью линейных планов с варьированием факторов на двух уровнях. Эту область функции отклика следует аппроксимнровать нелинейными планами с варьированием факторов хотя бы на трех уровнях. Действитель· но , через три точки на иебольшом участке кривую можно провести почти с такой же уверенностью, как прямую через две точки. Однако если для этой цели использовать планы ПФЭ с варьированием факторов на трех уров нях типа З1' , то количество опытов будет очень велико. Уже nри р = 5 n = 243. Поэтому разработаны различные приемы, позволяющие сократить число опытов в нелинейных планах. К таким планам относится, например, централ ьное композиционное планирование, разработаиное Боксом и Уилсоном ( 1 02, 1 6] . Если рассматривать трехфакториую ситуацию (коли чество факторов, щrя которого план еще можно изобразить графически в трехмерном пространстве) , то идея центрального композиционного пла нирования состоит в том, что ставят серию из 8 опытов, располагая каждый опьп в вершине куба, т.е. реализуется линейный план ПФЭ 2 3 = 8. Затем к этим точкам добавляют еще шесть звездных точек, находящихся на ли ниях, которые выходят из центра куба. В центре ставят еще одну точку. Количество точек равно 8 + 6 + 1 = 1 5. Для ПФЭ 33 это количество равно 27. Таким образом, удается сэкономить почти половину опьпов. Звезд ные точки образуют октаэдр и располагаются на рассто янии а от центра 1 66
куба. Число нулевых точек в центре экс перимента может быть и больше единицы. План, изображенный на рис. 26, позволяет оценить коэффициенты мо дели : . у" = ь о + ь . х 1 + Ь 2х2 + ЬэХз + + Ь 1 2х 1 х2 + Ь1 3 х 1 х3 + Ь2 эХ2Хэ + (5 .3 1 ) + bt t.Xj + b 2 2 xl + Ь э эХ� .
10
В этой модели нужно оценить 1 О коэф фициентов ; три степени свободы оста нутся для проверки адекватности мо дели . В общем случае центральный комРис. 26 неортоrонален. план поЗициоНRый Ортогональность достигается специальным образом в ыбранным звездным плечом а и иреобразованием квадратичных значений факторов. В табл. 5 . 1 9, заимствованной из ( 1 02) , даны величины а для некоторых значений р. Выше отмечалось, что для ортогональных планов в се коэффициенты опре деляют независимо по формуле n 2 n Ьj = � Xji Yll � xjl' 1=1 1=1 Зи ачеНИJI
а
при
(5 .32) Табл
ица
5. 1 9
р = 2, 3, 4, S
2 22
Ядро планирования Ве личина а
1 ,000
1
3
3 2
1 ,2 1 5
1
Число факторов 4
4
2 1 ,4 1 4
1
2S - l
5 1 ,547
(J =х 1 х2х э х4х5 )
Погрешности коэффициентов регрессии вычисляют по формуле
2
2
n
- . - S{y}/. Sь � 1
_
1
=1
xf2i .
(5.33)
Остаточная дисперсия определяется формулой (5 .20) . Для приведения плана к ортогональному вицу квадратичные значения факторов преобразуют. Поэтому по формуле (5 .32) получается уравнение регрессии в трансформированном виде : 9 = ь � + Ь 1 х 1 + ... + Ьр хР + .. + Ь 1 2х 1 2 + ... + Ь (р - t ) р хр _ 1 хр + ... + (5.34) + Ь1 1 (xf - х1 2 ) + ... + Ьрр (х� - .Х/ ) . Для перехода к обычной форме уравнения регрессии нужно опреде лить новое значение свободного члена : .
1 67
1
ь - . -2 1 1 х 1 - - р р Хр2 , оно оценивается с логрешиостью 82 о = s2 о• + (x21 ) 2 § 2 + . . . + (х 2 ) 2 §2 Ь Ь 11 Ь Ь
Ь0 - Ь0 -
ь
(5 .35 )
.•.
. (5 . 3 6 ) рр Пример ортогональ но го централ ьного ко мпозиционного плана для четырех факторов приведен в табл . 5 .20 [ 1 02] Дл я реал :и зации этого пл ана нужно выполнить 25 опытов вместо 3Р = 81 оnыта по llФЭ 3 Р. Эко· но мия составляет 56 опытов . Практика показала, что ортогонально сть плана н е являе -rся до статоч ным критерием оптимальности . Потре бовалось ввести еще nонятие ро та табел ьности [ 1 02, 1 5 ] . Ротатабельным лназ ьшают плани рование , для которого дисперсия выходно го параметра у, предск азанного уравнением регрессии, по стоянна дл я всех точек , находящихся на равно N рассто янии от центра эксперимента. Экспериментатору заранее не изв естно , где находится та часть поверх ности отклика, которая представляет для него особый интерес, поэтому следует стремиться к тому, чтобы количеств о инфо р мации , содержащееся в уравнении регрессии, бьmо одинаковым для всех рав ноо"Iстоящих от центра экспериментал ьных точек . Ротатабельным является планирование, обрат ная матрица которого (Х*Х) - 1 инварианта к ортогональному вращению ко ор динат. Дл я планов второго порядк а это условие удовлетворяется, есл и все нече rные момент ы (формулы дл я вычисл ения моменто в приведен ы в rл . 1 ) в плоть д о мо ментов 4-го порядка равны О, а для четных моментов име ют место соот но шения
Р
.
-
n
� xJ; = n Л2 , i = 1 , р;
1=1 n
n
-
� хД = 3 � xJ; х�1 = 3пЛ4 , j, = 1 , р, j :1=
i =1 где Л 2 и �
i=l
-
r
r ,
(5 .37)
произвольные nостоянные, удовлетворяющие н еравенству
Л4 Л � > р/ (р + 2) .
(5 .38)
Увел ичив ая количество точек, поставленн ых в центре э к сперимента, можно усилить нер авенство (5 .38) , так как его л ев ая часть - величина nер вого порядка относит�льно n. Для случая р = 3 бьmо показано , что цент рал ьный ко мnозиционный план есть комбинация куба, октаэдра и центральной т очк и . В о бщем случае nри р > 3 центральный композиционный план стро ится н а гиперкубе и р-мерно м аналоге октаэдра, при этом величина звездного пл еча определяет ся из условия ротатабельно сти а = 2PI4 . (5 .39) При р = 5 в место ПФЭ 25 можно использовать полурепли ку типа 25 - 1 с определ яющим контрастом 1 = х 1 х 2 х 3 х4х5 , тогда а == 2 (p - l > 14 • В табл . 5 .2 1 дан образец центрального ко мnози цио нного ротатабель ного униформ-планирования второго порядка nри р = 3 [ 1 02] . Коэф1 68
Т а б л и ц а 5 . 20
Ортогональный цеитральиъ1й композиционный план при р = 4
N2
опыта
(1) Ц ент ральная точка
Звез дные точк и 0'1 \Q
xi-
х� - х� - х�-
(7 )
( 8)
(9)
( 1 0)
-0,8
- 0, 8
0,2 0,2 0, 2 0,2 0,2 0,2 0, 2 0,2 0,2 0, 2 0, 2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
1,2 1 ,2 - 1 ,4 14 2 -0,8 + 1 ,4 1 4 2 -0,8 о - 1 ,4 142 - 0, 8 + 1 ,4 1 4 2 о -0,8 о о - 1 ,4 14 2 - 0, 8 о + 1 ,4 1 4 2 -0,8 о
xz
хэ
(4)
(5)
(б)
XJ
Х4
( 2)
( 3)
о
+1
о
о
о
о
1 2
-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1
-1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1
-1
-1
4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
17 18 19 20 21 22 23 24
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
- 1 ,4 1 42 + 1 ,4 1 4 2
о о
3
План ПФЭ 2 4
хо
о о о о о о
-1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
о о о о
о о о о о о
X J X 2 Х J ХЭ X J X 4 Х2 ХЭ Х2Х4
Х э Х4
В ек тоJр
(1 1)
( 1 2)
(13)
( 1 4)
( 1 5)
( 1 6)
(17)
( 1 8)
- 0, 8
- 0, 8
о
о
о
о
0, 2 0,2 0,2 0,2 0,2 0, 2 0,2 0,2 0, 2 0, 2 0,2 0, 2 0,2 0,2 0,2 0,2
о
о
Уо
0, 2 0,2 0, 2 0,2 0,2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0,2 0,2 0, 2 0,2 0,2 0,2
0,2 0, 2 0,2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0,2 0, 2 0, 2 0, 2 0,2 0, 2 0, 2 0,2
0, 2
+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1
+1 -1 +1
+1 -1 +1
-1
+1 +1 -1
-1
+1 +1 -1
-1 +1 -1 +1 +1
+1 -1 +1
-1 -1 -1 +1
-1 +1 +1 -1 -1
+1 +1 +1 +1 -1
У1 У2 Уэ У4
- 0, 8 -0,8 1,2 1,2 - 0, 8 - 0, 8 - 0, 8 - 0, 8
-0,8 - 0, 8 -0,8 - 0,8 1,2 1,2 - 0, 8 - 0, 8
-0,8 -0, 8 -0,8 - 0, 8 -0,8 - 0,8 1,2 1,2
-0,8 - 0, 8 - 0, 8 - 0,8
-1
+1 -1 -1 +1
-1 +1
-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1
о о о о о о о о
о о о о о о о о
о о о о о о о о
-1 +1
-1 +1 -1
-1 +1
+1 +1 +1
-1
-1 -1 -1 +1
-1 -1 +1 +1 -1
-1
-1 -1 -1 -1
-1 -1
+1
+1 +1
+1 +1 +1 +1
о о о о о о о о
о о о о о о о о
о о о о о о о о
-1
у
Ys
У6 У7 Ув У9 У10 У1 1 У12 У13 У14 Y1s У16 У17 У18 У19 У2 0 У2 1 У2 2 У2 Э
У2 4
Таблица
5.21
Центральное комnозиционное унифор м-планирование второго поридка при р = 1
В екто р
Матрица Х Планир ование хо
N!! оnыта
( 2) ( 3)
( 1) Оnыты в �ентре зкспери мен та
План
ТШ18
1 2 3
4
5 6
7 8 9 10
23 l l 12 13
14
15 16 Звезд- 17 18 н ые точки 1 9 20
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1
у
XJ
Х2
хэ
xl
2 Х2
х�
(4)
(5 )
(6)
(7 )
(8)
(9)
(1 0)
( 1 1)
(1 2)
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
о о 2,828 о о 1 -1,682 о о 2,828 о о 1 1 ,6 8 2 о 2,828 о о - 1 ,682 1 о 2,828 о о о 1 ,6 82 1 о 2,828 о о - 1 ,6 8 2 о 1 о о 2, 828 о 1 ,6 8 2 о 1 о
X J X2 Х J ХЭ Х2Х3
1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
1 1 -1 -1 -1 -1 1 1
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
( 1 3)
У1 У2 Уэ У4 Ys
Уб
У7 Ув У9 У10 Ун У12 У13 У14
У15 У16 У1 7 У18 У19 У20
фициенты уравнения регрессии для этого IDiaнa могут быть найдены по следующим формулам: р
Ь0 = 0, 1 66338 (0у)- 0,05679 1 � (jjy ) , /= 1
Ьj = 0,073 224 (jy) ,
ьл.= o,0625ooviy ) +
Ьjr = 0,1 25000 (jry ) , n
р
о,оо6889_ � viY) - о,о5679 1 (Оу) , r=1
n
где (Оу) = � У;, (jy) = � 1=1
=
1 , n, j = 1 , р.
i =1
(5 .40) n
Xjt Yt. (jjy ) = � X1?tYi , (jry) i=1
=
n
�
i=1
Xjt Xrt Yt. j =F r, i
=
Коэффициенты в формулах (5 .40) подсчитаны с помощью ЭВМ [ 1 02] .
Из этих формул видно , что коэффициенты ь1 и ь1, вычисляются независимо,
а коэффициенты ь11 коррелированы между собой и корреляционно связаны 170
со свободным членом Ь0 • Формулы виде для любого р (83) : Ь0 = � n
(5 .40) р
можно представить и в общем
(2� (р + 2) (0у ) - 2Л4 С i =�l (jjy) J ;
(5 .4 1 ) (5 .42)
(5 .46) (5 .48) С=
n
п_ .
__
2 '
I: "Jt i=l
(5.49)
(5 .50)
В работе ( 1 4] приведены почти ортогональные ротатабельные планы второго порядка, рассчитанные на ЭВМ без звездных точек . Планы такого типа только и могут быть использованы при построении моделей прочност ных и деформативных характеристик бетона в эависи�ости от определяю щих их факторов, так к ак варьирование факторов в пределах 1 ± 3 1 = 6 (/) , как это требуется, например, в плане, приведеином в табл. 5.2 1 , невозмож но , когда речь идет о задачах, связанных с составом бетона. Такие планы бьDiи использованы в работах (82-85 ] , цель которых построение моделей второго порядка для вычисления и прогноэирования прочностных и деформативных характеристик бетона в зависимости от семи факторов. Набор факторов менялея для различных характеристик . В моделях для в ычисления и прогнозирования предельных удельных относительных деформаций ползучести пропареиного бетона варьирова лись слецующие семь факторов : 1) х 1 - водацементное отношение (В/Ц) , %; 2) х2 отношение о бъема щебня без пустот к объему бетона ( Vщ/V6 ) , %; 3) х3 - количество цемента в одном кубометре бетона (Qц ) , кг; 4) х4 активность цемента (R ц ) , МПа · 1 О; 5) х5 - масштабный фактор образцов (М) , М = VFiV, где F - площадь поверхности образца, V - объем образца ; 6) х6 температура изотермического процесса (1) , о С ; 7) х7 - длитель ность изотермического процесса (t) , ч. Планы Бокса-Бенкипа J!редставляют собой в ыборку строк из плана ПФЭ зР. Принцип построения такого плана - комбинирование матриц типа 25 на ЭВМ по сбалансированной схеме неполных блоков . Во всех строках полученной при этом матрицы отличны от нуля только по три элемента. В этом плане число строк (число опытов) n = 62 по сравнению с n = 92 для центрально.го композиционного ротатабельного плана при числе фак торов р = 7. План приведен в табл. 5 .22 в сокращенном виде. -
-
171
Т а б л и ц а 5.22 План Бокса-БенкiПfа
;; �
:ж: ::Q IQ t:: о о
XJ
в -
Х2 Vщ
хз
Х4
Qц
Rц
xs м
Хб Х 7 т
в -
х2
Vщ
хз
Х4
xs
Хб
Qц
Rц
м
т
Х7 t
ц
Vб
6
(+1 )
60
80 4 20 43 2,5 0,548 1 00
6
65 390 366,3 0,674 80
4
(0)
50
65 390 366,3 0,674
80
4
5 0 3 6 0 300 0,800 60
2
(- 1 )
40
5 0 3 6 0 3 0 0 0, 800
60
2
о о о о о
32 33 34 35 36
+1
-1
о
о о о о
о о о о
-1 +1 -1 +1
-1 -1 +1 +1
о о о
-1 -1
37 38 39 40 41
о о о о
-1
о о о о о
ц
(+ 1 )
60
80 4 20 4 3 2,5 0,54 8 1 00
(О)
50
(- 1)
40
1
о о о о о
о о о о о
о о о о о
-1 +1 -1 +1 -1
-1 +1 -1 +1 +1
-1 -1 +1 +1
о о о
о о о о о
+1 -1 +1
-1 +1 -1
о о
о о
-1 +1 +1 -1 +1
3 4 5
XJ
��
��
2
t
:s: ." :S: \-0 :ж: ::Q IQ t:: о о
Vб
-1
+1 -1 +1 -1 +1
о о о о о
о о о о о
о
-1 +1 -1 +1 -1
+1 -1 +1 -1
о о о о
-1 -1 +1 +1
о
-1
о о о о о
+1 -1 +1 +1
о о о о о
-1 +1 +1 -1 -1
о о о о о
о о о о о
+1 -· 1 -1 +1 -1
о о о о
+1 +1
о о
о о
о
о
-1 -1 +1
о о о о
6 7 8 9 10
-1 +1
о о о о о
11 12 13 14 15
- 1' +1 -1 +1 -1
о о о о о
о о о о о
о о о о о
о о о о о
-1 +1 +1 -1 +1
+1 +1 -1 -1 +1
42 43 44 45 46
+1 -1 · +1 -1 +1
о о о о о
16 17 18 19 20
+1 о о о о
о
о о о о о
о о о о о
о
-1
-1 +1 -1 +1
-1 -1 -1 +1
о о о о
+1 -1 -1 +1 +1
47 48 49 50 51
-1 +1
о о -1
о
+J -1
21 22 23 24 25
о о о о
о о о о о
о о о о
+1 +1 +1 -1
-1
о
о о о о о
-1 -1 +1 +1
-1
-1 +1 -1 +1 -1
о
52 53 54 55 56
о о о о о
+1 -1 +1 -1 +1
+1 +1 -1 +1 -1
о о о о о
о о о о о
+1 -1 -1 +1 +1
о о о о о
26 27 28 29 30 31
+1 -1 +1 -1 +1 -1
+1 -1 +1 +1 -1 +1
о о о о о о
-1 +1 +1 -1 -1 +1
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
57 58 59 60 61 62
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
172
о о
-1
о
о
Для вычисления коэффициентов регрессии, проверки их значимости и проверки адекватности уравнения при использовании плана, приведен ноrо в табл. 5 .22 , используют следующие формулы: (5 .5 1 ) Ьо = уо , где у0 - среднее значение наблюдений, сделанных в центре эксперимента ; (5 .52) (5 .53) n Ьjr = D 1 � Xji Xrj У; ;
s-�
(5 .54)
1=1
о
=
где п0 - число опытов в центре эксперимента ;
-1 s� =-
·
n (О) {У }'
(5 .55 )
(5.56)
1 s-� . . = (В + -2--) S{Y } ;
(5 .57)
(5.58)
:s{2 } = Y
(5 . 59 )
11
n :Е
S
n
(О)
- 2
·-= · =�1'---- no - 1
После вычисления коэффициентов регрессии можно вычислить связанную с ними сумму квадратов
.
-
Pl n Р n n 2 2 � ( � Xji Yt ) + D1 � � (xji Xri Yt) + Ьо � У;+ j=1 1=1 j=1 1=1 i=l n 2 ) Yj (� n •= 1 � x�1 i Yi n
Sо 1 2 = А р
+ �
(5 .60)
j= l i = l
с числом степеней свободы fo 1 2 = (р + 2 ) (р + 1 ) /2 - 1 ,
(5 . 6 1 )
где Р 1 - число парных взаимодействий . Остаточная сумма квадратов 8о2 ст =
[ .�
•=1
� 2 yf - <,. = 1 yt ) ] n
_
s0 1 2
(5 .62)
с числом степеней свободы
fост = n - (p + 2) (р + 1 ) / 2.
(5 .63)
Значимость коэффициентов регрессии проверяют по формуле
t � tт ,
(5 .64)
t = Ь/ J$t .
(5 .65 )
л
где
173
ВьШiе указывалось, что (см. формулу (5.59) ] оlШiбка эксперимента - 2 ) < > s 2 = ;; о ( У о ;- У о У 1 { } i =1 n(o) Разность меж.цу остаточной дисперсией и о шибкой эксперимента -
со
2 - S- ocr Sр2 азн - S-2{Y}
(5 .66)
степенями свободы /рази = п - (р + 1) (р + 2) /2. Оrношение Фишера
F = S:,aзнfSfyJ л
со
(5 .67)
-
-
(5 .68) 1
Fт .
F
степенями свободы 111 =/рази• J12 = n (о) л Е;; Адекватность уравнения проверяют с помощью формулы Если это условие соблюдается при принятом уровне значимости, то счи тается, что уравнение адекватно представляет результаты экспериментов. В формулах (5 .52) - (5 .60) буквенные обозначения для рассматриваемого плана (р = 7) таковы : А = 1 /24; В = 1 /1 6 ; С1 = 1 /144; D1 = 1 /8; S = 3 ; i = г,n, j, r = 1 , p, j =l= r, где n - число опьпов , р - число факторов . -
.
Та бл ица
5.23
Модели, получе101ые по плану Бокса - Беикина =
.е. = z
( 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 174
с�оо, т) х С(оо, Tl Х Фоо · 10 х 10 х 105 e-
= :!:: о& :а � -& "" "'
s� � § 8.
(2)
ь0 ь1 ь2 Ь3 Ь4 Ь5 ь6 ь, ь11 Ь22 Ь ээ Ь 44 b5s ь 66 ь,, bl2 ь13 ь 14
(4) - 1 0,520 +4,7634 +0,53 5 1 +0,7 157 -2,4090 - 1 ,3093 -0,5595 - 1,4877 + 1 ,4493 +0,7901 -0,3665 +1 ,2278 -2,3007 +0,7567 -0,4847 .:о:об47 +1,7080 +1,185 1 +1,4777 +5 ,8260 +0,9423
(3) +34,2 161 +2,7 1 83 -0,9991 +1,3833 -2,2657 - 1 ,5808 -0,8356 -1,6338 -0,2 172 +1,0958 - 1 ,4 144 +1 ,9635 -2,9882 - 1 ,4320 +0,0760
(5) + 1 9, 1 21 +3,9668 - 1 , 1 262 +1 ,2032 -4,3274 +1 ,8042 -2,8047 -2,2347 +2,5043 -0,5079 -0,2346 +3,53 1 1 - 1 ,6349 +2,1 356 +0,9 1 99 + 1 ,0033 +0,4 1 27 +3,9643
t :a �
t�oo, т)
105
с(оо, т) х х 10 6
Фоо ' 10
(2)
(3)
(4)
(5)
=
о
.е. = z
(1)
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
"" "'
о � Е' � 9 8.
х
Х
ь н +0,8491 b l 6 • +2, 1667 b l 7 - 1,0737 ь 23 :o.sSsS Ь 24 � Ь 2 s -0, 1 052 ь 26 +1,25 15 ь 2 1 -0,3935 Ь э4 +2,4006 Ь э 5 - 3,624 1 Ь эб - 1 ,73 17 Ь э 7 - 3,2 17 1 Ь 4 5 -0,3082 ь 46 - 1,3502 Ь4 7 � Ь 5 6 -0,6332 ь 5 7 +0,6682 ь 6 7 +1,3977
0,9196 +0,8620 -0,6305 -0,4783 - 1,4045 -3,387 1 +0,9685 - 1,5020 +1,1835 +2,8981 -0,6391 -0,5855 -0,0340 +0,9792 -0,4 130 +0,4 130 +0,2135 +0, 1 382 - 1 ,3547 -0,3335 -0,28 15 -0,5 225 - 1, 1 07 1 - 1,4295 +0,2520 +0,7463 � +0,0756 +0,:>760 � +0,0047 - 1,27 1 5 +0,3501 -0,01 07 +2,2255 -- 0,604 1
По этому плану с помощью методики предсказания предельных значе ний величин, изменяющихся по экспоненте, рассмотренной в гл . I I , бьmи получены модели следующих предельных характеристик ползучести про паренных бетонов: €�00• т ) - относительных деформаций ползучести; с(оо т) удельных относительных деформаций (меры) ползучести ; Ф - характерис тики ползучести . Модели приведены в табл . 5 .23. В этой таблице коэффициенты регрес сии, незначимые по t-критерию, подчеркнуты. К этим моделям легко применить процедуру приведения к канонической форме, рассмотренную в гл. 111, при нахождении области экстремума. Планы экстремальных экспериментов, разработанные в основном школой Бокса и оiШсанные в данном параграфе, и меют одну особенность : оптимальность планов достигается на интуитивном уровне исходя из опыта эк спериментатора. Сначала оптимальными планами считали ортогональные планы, позже - ротатабельные. Одновременно с развитием идей Бокса [ 1 08] развивалось и направ ление , возглавляемое американским математиком Кифером, в котором использовались новейщие разделы математики (теория множеств, теория меры и т.д.) , получившее название концепции D-оп тимал ьности. Подробнее вопрос об оптимальном планировании рассмотрен в § 5 .5 . Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые [ 1 08, 1 45 ] ..
.
§ 5 4 Ди сперсионны й а нализ .
.
В § 5 . 1 рассмотрена методика отбора важнейщих факторов � их вза имодейсmия в многофакторной ситуации (путем постановки отсеивающих экспериментов) . Эта методика допускает рассмотрение качественных фак торов . С помощью днепереионного анализа можно решать как эти задачи, так и некоторые другие . Теория дисперсионного анализа - один из самых подробно разработанных разделов прикладной математической статистики [ 1 49 , 1 56] . Здесь приводятся только основные положения дисперсионного анализа и на числовом примере рассматривается методика его проведения. При проведении дисперсионного анализа можно получИть математическую модель, но это не является главной целью, так как при наличии качествен ных факторов эту модель нельзя использовать для прогнозирования значе ний функции отклика, не найденных из эксперимента. Дисперсионный анализ как уже сказано, позволяет выделить главные факторы их взаимодействия, дает возможность с помощью рандомизации исключить влияние временного дрейфа неконтролируемых факторов и оценить ощибки эк сперимента. Схема проведения эксперимента для дисперсионного анализа по пла ну ПФЭ 24 изображена на рис. 27. На этом рисунке показано 1 6 различных сочетаний уровней четырех факторов А , В, С, D, что соответствует плану ПФЭ 2 4 ; А 1 верхний уровень для фактора А; А 2 - нижний уровень, и т. д. Если рассматривать конкретный опьп, например опьп 6, то нетрудно, используя схему, приведеиную на рис. 27, расписать уровни варьирования -
1 75
Рис. 2 7
факторов по знакомой методике :
Аналогично можно расписать и остальные опыты и тем самым прийти к планированию типа ПФЭ 24 Главное в дисперсионном анализе - рандомизация (случайный выбор сочетаний уровней факторов для их реализации) . Если для рандомизации 1 6 опытов , изображенных на рис. 27, воспользоваться таблицей случайных чисел , то получим следующий порядок их проведения по времени : 1 ) 3, 2) 2 , 3) 7, 4) 1 0, 5) 4, 6) 1 2 , 7) 9, 8) 6, 9) 8, 1 0) 1 , 1 1 ) 1 3 , 1 2) 1 6, 1 3) 5 , 1 4) 1 1 , 1 5) 1 4, 1 6) 1 5 . Пор ЯДок проведения дисперсионного анализа легче всего пояснить на конкретном примере . Пусть, например, требуется иссле довать влияние факторов и их взаимодействий на очень важное в строител ьстве явление сцепление нового (уложенного позже) бетона со старым [84] . Предварительные щ:следования позволили выбрать из всего много· образин факторов , влияющих на зто явление , четыре основных. Перечень факторов, их шифровка в терминах дисперсионного и регрессионного ана· лизов , уровни варьирования факторов приведсны в табл . 5 .24. Как видНо из этой таблицы, фактор А качественный, остальные - количественные. В соответствии со схемой, изображенной на рис. 27, бьmо поставлено 1 6 опьпов . В каждой точке (ячейке) испытьmалось по 3 образца. Общее количество образцов составило 48. Результаты экспериментов, расположенные по схеме дисперсионного анализа приведсны в табл . 5 .25 . Для сокращения трудоемкости расчетов эти результаты можно закодировать, что не повлияет на результаты рас· четов . В табл . 5 .25 кодирование вьmолнено по схеме Y i - 1 5 . В этой же •
-
176
таблице даны суммы кодированных данных в каждой ячейке. В прямо угольничках даны суммы квадратов этих данных. Таким образом, в табл. 5 .25 имеются все данные, необходимые для дисперсионного анализа. Т а б л и ц а 5.24 Фа кторы и уро вни варьирования
Уровни варьирования
Код
N9 П/П
2 3 4
НИЖНИЙ -1
Н ЫЙ
НЫЙ
(2)
(3)
(4 )
(5)
(6)
Тип поверхности старого (лencoro) бетона Консистенция старого бетона (осад2 ка к оиуса) , м· 1 0 Консистенция нового (тяжелого) бе2 тона (осадка конуса) , м · 1 0 В одацементное отношение кового бетока (В /Ц)
XJ
А
Х2
в
Dlepoxoватая <А 1 ) 1 0- 1 1
хэ
с
Х4
D
Гладi< ая (А 2 ) 3-4 (В2 ) 4-6 ( С2 ) 0,85 (D 2 )
( 1) 1
регрес- диспер- верхний си он- сион+1
Факторы
(B J )
14- 16 (C I ) 0,55 {D l )
Дисперсионный анализ плана 24 проводят по модели X = �ot + A + В + С + D + АВ + А С + AD + ВС + BD +
(5 .69)
+ CD + АВС + ABD + A CD + BCD + ABCD + e,, _ ....
т.е . оценивают независимо среднее �ot. четыре основных эффекта (А, В, С, D) , шесть парных и четыре тройных в эаимодействи.s. Так как число воз можных статистических испытаний для оценки эффектов и погрешности 4 е, возникающей за счет влияния неучтенных факторов , составляет 2 - 1 = = 1 5 , то при таком планировании эффект взаимодействия ABCD и погреш ности � смешаны и оцениваются совместно. Эффекты оценивают, вычисляя соответствующие суммы квадратов. Общая сумма квадратов ssобщ = 1 668,62 - 292 /48 = 1 668,62 - 1 7,5 2083 = 1 65 1 ,0992. Число 1 668,62 получается в результате сложения в сех чисел, помещенных в прямоугольничках табл. 5 .26, число 29 - сумма сумм закодированных наблюдений во в сех ячейках той же таблицы, 48 - общее количество наблю дений . Сумма квадратов типа поверхности (А)
ssА
=
29 2
( 1 ОЗ ,7) 2 + (-74 • 7 ) 2 24
48
= 680 ' 5 74 1 6 - 1 7 52083 = 663 ' 05333 '
Сумма квадрата консистенции старого бетона (В)
ssв = 7 - 5 79
( 1 1,7) 2 + ( 1 7 , 3 ) 2 24
29 2 48
= 0,65334. 177
.
Т а б л и ц а 5.25
Исходны е данные ДIIJI дисперси онноrо анализа Bt
С1
Dt
3,9
Ct
D1
D1
Dt
1,3 2,5
\ 20, 1 9 \
3,5
7,3
3,3 4,2
3 ,9
\ 43,74 \
1 1 ,4
Bt Ct
Dt
D1
17, 1 1 8,3 1 6,4
1 1 ,9 13,9 1 2,7
32,2 3 1 ,6 3 2,0
1 3,9 15,1 1 3,0
3,5 4,5
5,2
13,2
с1
Dt
\
1 7, 2 8,6 -2,3 -1,1 16,6 - 1,1 7,6 0, 1 \ 86о,4 5,22 7, 14 197,33 59,54
D1
10,3 9,3 1 1, 2
1 1 ,3 1 1 ,9 1 1 ,6
\
А1
8,1
24,3
\
-0,8
-4,2
\
\
-2,0
-3,0
\
в1
Ct
D1
Dt
7, 1 6,4 7,8
7,9 8,2 9,4
Dt
\
2,1 3,3
1 5,9 14,3 1 3, 3
\ 16, нl
1,4
-6,5
=.ll
ц
\ 1 7 ,26\
- 3 ,7 -3,1
-4,7 -5 ,1
- 7, 1 -6,8
-7,9 - 8,6
0,9 -0,7
-3,4 - 10,2
-3.8 - 1 4 ,2
- 5,6 - 1 9, 5
-7.2 -23,7
- 1 ,7 - 1 ,5
1 34 , 86 1
1 6 9,021 1 1 28,0 11
11 86, 2 1 1
С ум ма квадратов консистенции новоrо бетона (С)
= с
ss
(4,6) 1 + (40,6) 1 - 29 1 24 48
= 52 04250 •
•
С ум ма квадратов В/Ц новоrо бетона (D)
ss
D
= ( - 1 , 1 24) 2 + ( 30,1 ) 2
2 - 29 48
= 20 '28000
.
\
1 7,0
50,8
с1
Преобраэованные данные (иэ каждоrо набmодения вычтенО" 1 5 )
-3,1 - 1,1
178
D1
Dt
1 2,7 13,9 14,2
23,6 22,6 23, 1
1 8,5 1 9,5 20,2
с1
Преобраэованные данные (иэ каждоrо набmодения ВЫЧ'1'еНо 1 5)
f 5,6 3 \
0,7
с1
18,3 19,2 18,9
16,3 17,5 1 8,5
16,7 16,5 15 ,7 1 ,7 1 ,5
Dt
D1
в1
14,19 1
\
D1
12,2 12,7 14,2
- 2, 8 - 2, 3
1 1 3,77 1
- 0. 8 -5,9
Суммы квадратов nарных взаимодействий
AB =
SS
_
� 48
( 1: А 1 В 1 ) 2 + (1:A tB2)2 + (1:A 2 B t )2 + ( 1:А 2 В2 )2 12 2 2 _ SS - SS = ( 35,8) 2 + (6 7,9) 2 + (- 24 , 1 ) + (50,6) В А 12
- 663 ,05 333 - 0,65334 = 7 1 ,5408 1 ; (A t Ct )2 + (А 1 С; )2 + (А 2 С1 )2 + (А 2 С2 )2 29 2 12 48 2 2 2 2 ( 3 1 , 3) + (7 2,4) + ( -42,9) + (- 3 1 , 8) - SS - SSC = A 12
SS AC
=
- 29 2 /48 - 663,05333 - 52,04250 = 23,475 00; (1:А 1 D1 )2 + (1:А 1 D 2 )2 + (1:A 2 Dt }2 + (1:A 2 D 2 )2 SS = AD 12 2 2 2 2 (36,6} + (6 7 , 1 ) + (-3 7 ,7 } + (- 3 7) _ 2 92 - SS - SSD = А 12 48
_ 2 9 2 148 _
- 663,05333 - 20,28000 = 1 8,50084; SS = BC
= -
29 2
(1:B 1 Ct )2 + (1:B t C2 )2 + (1:B 2 Ct )2 + (1:В2 С2)2
12 2 2 2 2 ( 1 1 , 5} + (0, 2} + (- 2 3 , 1) + (40,4) 12 52,04250 = 1 38,80 9 1 6 ;
SS BD = 2 92 - __ 48
-
48
-
SSB - SSC =
- 29 2 / 48 - 0' 65334 '
(1: В 1 D. 1 )2 + (1:B1 D2)2 + (1:B2 D1 )2 + (1:B 2 D 2 )2 12 2 2 2 2 (- 1 ,4) + ( 1 3 , 1 } + (0,3) + ( 1 7) = D_ 12
ssВ - ss
- 29 2 /48 - 0,65334 - 20,28000 = 0,1 0083 ; SS = CD 292
(1:Ct D t )2 + (1:Ct D 2 )2 + (1:C2 Dt )2 + (1:C2D 2 )2
SSc - SS = - 48 D
12 2 2 2 2 (2,2) + (- 1 3,8) + (-3,3) + (43,9) - 29 2 /48 12
- 52,04250 - 20,28000 = 87,93833 . Суммы квадратов тройных взаимодействий � ос =
(1:A 1 Bt Ct )2 + (1:А 1 В 2 С1)2 + (1:А 1 В 2 С2)2 + (1:А 1В1 С2 )2 6
+
(1:А 2 В 1 С1 )2 + (1:А 2 В2 С1 )2 + (1:А 2 В2С2)2 + (1:А 1 В 1 С2 )2 6
+ -------
1 79
= +
( 1 1 ,2) 2 + (20, 1 ) 2 + (47 ,8) 2 + (24 ,б) 2 + (0,3 ) 2 б ( 43, 2) 2 + (-7 ,4) 2 + (-24,4) 2 б
+
- 292/48 - 663 ' 05333 -
- 0,65 334 - 52,0425 0 - 7 1 ,5 408 1 - 23,475 - 1 38,809 1 6 = 22,22 1 69 ;
�� = +
(:EA 1 B 1 D 1 )2 + (:EA 1 B 2 D 1 )2 + (:EA 1 B 2 D2 )2 + (:EA 1 B 1 D2 )2 б
+
(:EA 2 B1 D 1 )2 + (:EA 2 B2 D1 )2 + (:EA 2 B2 D2 )2 + (:EA 2 B 1 D 2 )2 б
- 29 2 /48 - SS - SS - SS - SS = 8 A B - SSA D - SSBD D A 1 6 ,7 ) 2 + (- 2 1 ) 2 + (- 29, б) 2 - (-7 ,4) 2 = ( 15,3) 2 + (2 1 , 3) 2 + (4б,6) 2 + ( 20, 5) 2 + (6
- 292 /48 - 663 ,05333 - 0,65 334 - 20,28000 - 7 1 ,5 408 1 + 1 8,50084 - 0, 1 0083 = 30,0833 5 ;
�� =
(:EA 1 C1 D 1 )2 + (:EA 1 C2 D 1 )2 "'" (:EA 1 C2 D 2 )2 + (:EA 1 C�D2 )2
+
6
(:EA 2 C 1 D 1 )2 + (:EA 2 C2 D 1 )2 + (:EA 2 C2 D 2 )2 + (:EA 2 C1D 2 )2 ���� ��� �-6 - 29 2 /48 - SS - SS - SS - SS = A C - SSA D - SSCD C D A 2 (28,2) 2 + (8,4) 2 + (64,0) 2 + (3 , 1 ) + (- 26,0) 2 + (- 1 1 , 7) 2 + (- 20, 1) 2 + (- 16,9) 2 = 6
+ ����
--
--
----
---
- 292 /48 - 663 ,05 333 - 52,04250 - 20,28000 - 23,47500 - 1 8,50084 - 87,93833. = 1 96,17577 ; SS ВCD
+
=
(:EB t C 1 D1 )2 + (:EB1 C2 D 1 )2 + (:EB1 C2 D 2 )2 + (:EB1 C1 D 2 )2 6
(:EB2 C1 D 1 )2 + (:EB2 C2 D 1 )2 + (:EB 2 C2 D 2 )2 + (:EB 2 C 1 D2 )2 6
+
-
- 29 2 /48 - SS - SS - SS - SS c - SS = 8 8 C D BD - SSCD 2 2 = (- 2,6) 2 + ( 1 , 2) 2 + (- 1) + ( 14, 1) + (4, 8) 2 + (-4,5) 2 + (44, 9) 2 + (-27,9) 2 6
- 292 /48 - 0,65334 - 5 2,04250 - 20,28000 - 138,809 1 6 - 0,1 0083 - 87,93833 = 1 90,2750 1 . БуквеЮiые обозначеЮiя в предыдущих вычислеЮi ях не очень коррект ны с математической точки зрения, но без них впервые заки мающемуся дисперсионньiм анализом практически невозможно разобрат ься в приве деЮiом примере. 1 80
Как уже отмечал ось, SS0wиб смешано с SSA BCD и может быть вычис лено вычитанием из SS06щ всех вычисленных в ыше сумм 'kвадратов : SSo wиб = SS00щ - 1 5 1 5 , 1 499 = 1 65 1 ,0992 - 1 5 1 5, 1 499 = 1 3 5,94930. Если принять весьма вероятную гипотезу о незначимости суммы квад ратов взаимодействия SSA BCD • то полученное значе �е SS0wиб можно ис пользовать для проверки статистических гипотез о влиянии факторов и их взаимодействий на сцепление нового бетона со старым по F-критерию Фишера. Результаты дисперсионного анализа и проверка гипотез даны в табл. 5 .26. При значении F( t ; 33 ; S % ) = 4 , 1 45 1 можно принять нуль-гипо тезы о том, что на сцепление нового бетона со старым не влияют эффекты В и BD. При более «жестком» РУо-ном уровне значимости Р = 7,488 1 можно исключить еще как незначимые эффекты D, А С, AD, А ВС, ABD. Оставшиеся 7 эффектов вполне согласуются с физическими Представле ниями о сущности изучаемого явления. Гипотеза о незначимости эффекта ABCD припята априори. На рис. 28 дано ранжирование эффектов по F-критерию. Легко заме тить, что эффект А (тип поверхности старого бетона) резко вьщеляется среди других. Это естественно, так как заранее можно бьmо бы предполо жить, что тип поверхности окажет решающее влияние на прочность сцепле ния нового бетона со старым.
Т а б л и ц а 5.26 Сводка результатов дисnерсионно го анализа NV n/n
Источник изменчивости
( 1)
( 2)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Тип поверхности старого бетона (А ) Консистенция старого бетона (В ) Консистенция нового бетона (С) Водоцементное отношение нового бетона ( D) Взаимодействие (АВ) Взаимодействие (А С) Взаимодействие ( AD) Взаимодействие (ВС) Взаимодействие (BD) Взаимодействие ( CD ) Взаимодействие ( АВС) Взаи модействие ( A B D) Взаимодействие ( ACD) Взаимодействие ( BCD) Ошибка (е) Сумма SSобщ
"'
Средний F (верхнее Сrепень Су мма свободы квадратов квадрат
(3)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 33 47
(4)
(5 )
(6)
663,05 3 3 3 0,6 5 3 34 52,04250
663 ,05 0,65 5 2,04
1 60,93 0, 1 6 1 2, 6 3
20, 28000 7 1 ,54 0 8 1 23,47500 1 8,50084 1 3 8,809 1 6 0, 1 0083 87 , 9 3 8 3 3 22.22 1 69 30,08335 1 96 , 1 7 57 7 1 90,27 5 0 1 1 35 ,94930 165 1 ,09920
20, 28 7 1 ,54 23,48 1 8.50 1 38,81 0, 1 0 87,94 22,22 30,08 1 96 , 1 8 1 90.28 4, 1 2
4,92 1 7, 3 6 5,7 9 4,49 3 3,54 0,02 2 1 ,34 5,39 7,30 47.62 46, 3 2 181
Таблица
5.27
Матрица Х и результаты наб mодеиий п рочности стыка на сдвнr
�
:а=
о z
хо
1 2 3 4 5
6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
160 150
+ + + + + + + + + + + + + + + +
..,
+ - + + +
+ + - + + + + + +
-
+ - + + +
-
-
-
+ + + + + + + +
-
-
-
-
-
+ + + + + + + +
(7)
(8)
(9)
( 10)
(1 1)
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ + + + + + +
А
100
5О
1 82
х
X t Х2 хз Х4 XtX 2 ХtХЭ XtX 4 Х 2ХЭ Х2Х4 Х 3Х 1
( 1 ) (2) (3) (4) (5) (6)
о
Матр ица
Планиоование
Рис. 2 8
+ + + +
+ + +
+ + + +
+
+
+
+
+
+ +
+ +
1< N 1<
>(
+ +
>(
.,
1< .., 1<1<
.,
1< .., 1< N 1<
( 1 2) (13) (14) (15) (16) + + + +
+ + + +
+ +
.,
1< N 1<
+ + + + + +
+ +
+ + +
+ +
+
+
+
+
+ +
+
+
+ + +
+ + +
+ + +
+ +
у
(R сдв )
(17) 13,03 3 1 ,93 1 0,27 1 9.40 7,10 1 3 ,60 17,27 17,50 14,50 14,00 1 1 ,60 1 8,80 8,50 23 , 1 0 1 2,83 16,30
Фактор А - качесmенный , и jJJI Я построения математической модели процесса и поиска области оптимума ero следовало бы исключить. Вьmол ненный дисперсионный анализ показы вает, что зто невозможно . Дисперсионный анализ вьmолнял ся по плану ПФЭ 2 4 , позтому e ro результаты можно обработать мето дами реrрессионноrо анализа . Резуль таты наблюдений и матрица планиро вания приведены в табл . 5 .27 . Коэффициенты регрессионной мо дели, найденные по формуле (5 .28) по данным табл . 5 .27 , приведены в табл . 5 .28 [столбец (5) ] . Здесь же даны подсчитанные jJJI Я каждоrо коэффици ента величины t-критериев Стьюдента. В табл . 5 .28 выполнено сравнение ран жирования эффектов по F-критерию
Та бл и Сравн ени е резу льтатов дис п ерсионного (ДА) и регресснонного (РА) анали зов N2 п/п
Дисперсионный анализ
Регрессионный анализ
tь i
ц
а 5.28
Ранжирование Ранжирова по ДА ванне по РА
эффект
F
эффект
Ьj
( 1)
(2)
(3)
(4}
(5 )
(6)
(7)
(8)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
А
1 6 0,93 0, 1 6 1 2,63 4.92 1 7 ,36 5 ,7 9 4,49 3 3 ,54 0,02 2 1 ,34 5,39 7,30 47,62 46,32
XJ х2 х3
+ 3,7 2 1 - 0, 1 1 2 - 1 ,083 -0,654 -1,217 -0,6 2 1 +0,624 + 1 ,562 +0,04 1 +1,3 1 2 +0,9 5 8 +0,7 88 +2,042 - 2, 1 08
+20,5 5 8 -0,6 1 9 -5 ,983 -3 ,6 1 3 -6,7 24 - 3 ,4 3 1 - 3 ,448 +8,6 3 0 +0,227 +7,249 +5,293 +4,354 + 1 1 ,2 8 2 - 1 1,646
1 13 7 11 6 9 12 4 14 5 10 8 2 3
1 13 7 10 6 12 11 4 14 5 8 9 3 2
в с D АВ АС AD
вс
BD CD А ВС A BD A CD BCD
л
Х4
XJX2 х 1 х3 XJX4 Х2Х3 Х2Х4 х3 х4 XJ X:ZX 3 Х1Х2Х4 Х1 Х3Х4 Х2Х3Х4
л
Фишера (дисперсионный анализ) и по !-критерию Стьюдента (регрессионный анализ) [см. столбцы (7) и (8) табл . 5 .28 ] . Результаты ранжирования, вьшолнениого двумя различными методами, почти совпадают. Чтобы оценить слово «ПОЧТИ », в ычислим коэффициент парной ранговой корреляции по Спирмену : р
=
(n3 - n) - S (d 2 ) ( 1 /6 ) (n3 - n)
( 1 /6)
(5 .70)
6S (d 2 ) [40 ) , что то же самое. Здесь n - число сопоставляеn (п - 1 ) мых результатов ; S (d2 ) - сумма квадратов щклонений. Величина S ( d2 ) подсчитана в табл. 5 .2 9 ;
ИЛ И р
=
р
=
1
-
3 (1/6) ( 1 4 - 1 4) - 1 8 3 ( 1 /6) ( 14 - 14)
=
457,333 - 1 8 457,333
=
о' 9 604.
При полном совпадении рангов р = 1 : следовательно, слово «почти» оценивается в 0,03 9 6, или около 4 %. Насколько можно судить по данным табл . 5 .27 при оценке вклада эффектов, дисперсионный анализ обладает большей чувствительностью, чем регрессионный анализ. Дисперсионный анализ опытов , в ьmолненных по ортогональному пла ну, более трудоемок , чем регрессионный, однако е сть планы [ 1 49 ] , кото рые предназначены специально только для дисперсионного анализа. При 183
Т а б л и ц а 5.29
д/Lиные дли расчета коэффи циента ранrовой коррелиц101 Эффек ты
Ранги по ДА Ранги по РА
d2 d
XJ Х2
1 о о
хэ
Х4 X J X 2 Х JХЭ X J X 4 Х 2 ХЭ Х 2Х4 Х ЭХ4
. i ,�
'<
�
�
if if "'
... '<
"' �
'<
>; �
х
13
7
11
6
9
12
4
14
5
10
8
2
3
13 о о
7 о о
10 1 1
6 о о
12 -3 9
11 1 1
4 о о
14 о о
5 о о
8 2 4
9 1 1
3 -1 1
2 1 1
I:d 2
18
проведешш дисперсионного анализа большое значение имеет рандоми зация и учитывается количество наблюдений, в ьmолненных в каждой экспе риментальной точке. § 5 . 5 . Нек оторое п оНJIТИе о б опти мальном п ланир овании экспери м енто в
Как указьmается в работах [97, 1 08 , П . 1 4. 1 6] , взгляды на вопрос оптимальности планов менялись с течением времени. Вначале оптимальны ми считали ортогональные планы, позднее - ротатабельные. Линейные пла ны, построенные на о снове матриц Адамара, о бладают рядом оптимальных свойсm : ортоrональностью, ротатабельностью и минимальной дисперсией оценок коэффициентов регрессии [ 1 08] . Центральные композиционные ротатабельные планы [ 1 5 ] не ортогональны и не минимизировали диспер сию оценок коэффициентов регрессии. Все эти критерии оптимальности . интуитивные и не являются логическим продолженнем основных идей математической статистики . Теория оптимального эксперимента Кифера-Федорова, включающая принцип D-оптимальности, восполняет этот пробел. Концепция D-оптималь но сти может рассматриваться как концепция совместных эффективных оценок. Можно считать, что она является естественным продолженнем одно го из основных направлений современной математической статистики теории эффективных оценок Фишера. в этой теории эффективность оценок задается только оптимальным способом обработки результатов наблюде ний. В концепции Кифера эффективность обусловлена еще и оптимальным расположением точек в пространстве факторов (независимых переменных) [ 1 08 ] . В более поздней работе [П. 1 4. 1 6] говорится об эквивалентности D и С-оптимальных планов Кифера и Вольфковица. В.В. Федоров [ 1 45] обобщил эту теорему на случай линейных функ ционалов ковариационных матриц (L-оптимальность) и на случай выпук лых функционалов (Ф-оптимальность) . Благодаря наличию большого чис ла разновидностей. планов в настоящее время появилась возможность выбо1 84
ра компромиссных планов , достаточно xopolllli x с позиции разных крите риев . В настоящем пособии нет возможности подро бно рассмотреть в се эти вопросы. Вкратце коснемся некоторых из них. Одной из первых работ на русском языке по данной проблеме является paбcfra [ 1 08] . Планирование экспериментов , при котором объем эллипсоида рас сеяния оценок параметров минимизируется на множестве планов в задан ной области, назьmается D-оптимальным. Для отдельных частных видов регрессии одни и те же планы могут отвечать одновременно нескольким критериям оптимальности . Для случая полиномиальной регрессии на щаре ротатабельность плана - необходимое условие D-оптимальности. Понятие эллипсоида рассеяния - экстраполяция приведеиного в гл . 11 понятия эллипса рассеяния на плоскости в р-мерное факторное простран ство. Для того чтобы рассмотреть вопрос о критериях оптимальности, необ ходимо ввести новые понятия и прежде всего понятия информационной . матрицы системы нормальных уравнений и понятие ковариационной мат ри цы (матрицы Olllli бoк ; днепереионной матрицы) лyчlllli x линейных оце нок параметров f3; · Ковариацией назьmается второй смещанный центральный момент <5 .З> - корреляционный момент случайных вел ичин х и у: cov (ху)
=
:E(x - x) (y - ji )
n- 1
•
(5 .7 1 )
Корреляционный мо "1е�т можно записать и для двух оценок коэффици ентов регрессии : cov (f3; f3 i ) . Лyчlllli ми оценками параметров модели являются несмещениые , сос тоятельные и эффективные оценки . О несмещенных, состоятельных и эф фективных оценках параметров распределений говорилось в гл . 1. Для параметров модели понятия несмещенности , состоятельности и эффектив ности излож�ы в работе [ 145 ] . Оценки (3 являются несмещенными, если их математические ожидания равны истинным значениям параметров : 1\ М [(3] = f3ис т · (5 .72) л Оценки (3n состоятельные, если они сходятся по вероятности к истин ным значениям параметров : 1\ 1\ lim Р [f3п - f3и с т ] *((3п - f3и ст ) � Е] = О , (5 .73) n -+
со
где е - любое наперед заданное положительное число. Индекс n означает, что оценка �n получена после измерений. Величина Р [А � Е] есть вероятность того , что А � Е. л Неемещеиные оценки (3 являются эффективными, если имеет место неравенство "'
�
D((3) .;;;; D({3)
,
(5 .74) I H5
rде D (fl ) - дисперсионная матрица оценок (3, р (fl ) - дисперсиоШiал мат рица любых друrих неемещеиных оценок ; D(/3) называют еще [ 1 02, 1 08] ковариационной матрицей и матрицей ошибок. Если модель линейна по параметрам, то , используя результаты, полу чеюlые в rл. 111, можно сдеЛать следуюший вьmод: лучшими линейными оценками для неизвестных параметров (З являютел оценки (5 .75) М" 1 (X*WY) , М rде (X*WX) . (5 .76) л
,.,
f=
�
=
Здесь Х*Х матрица системы нормальных уравнений, которая распи сана в rл . III; W - вектор весов w; (w; = oi 2l; У - вектор наблюдений у;. -
�
Матрица (X*WY) рассмотрена в § 4.6; (3 вектор оценок неизвестных параметров . В формулах (5 .75) и (5.76) , как и во всей к ниrе , постулируется нормальное распределение . В работе [ 1 45 ] рассмотрен более обший сл >:_ай . М информационно и, а обУсловимся в дальнейшем назьmать матрицу ратную ей матрицу (5 .77) м- • -
DW) =
- ковариационной . Теперь дадим определение некоторых принципов оптимальности. План назьmается D-оптимальным, если ему соответствует ковариационная мат рица с наименьшим значением определителя (или, что то же, информацион ная матрица с наибольшим значением определителя) . D-оптимальный план минимизирует обобщенную ди сперсию, или, как указьmалось вьппе, эллип соид рассеяния оценок параметров. План назьmается А-оптимальным, если ero ковариациониая матрица имеет наименьший след - сумму диагональных элементов. А-оптималь ный план минимизирует среднюю дисперсию лучших линейных оценок па раметров. План назьmается G-оптимальным, если обеспечивает наименьшую по всем планам максимальную величину дисперсии предсказанных значений в заданной области планиров ания . План назьmается Е-оптимальным, если максимальное характеристическое значение соответствующей ему .кова риационной матрицы оценок параметров минимально . Е-оптимальный план минимизирует максимальную ось эллипсоида рассеяния параметров. Критерии D-, А· и Е-оптимальности эквивалентны, если ковариацион ная матрица оценок коэффiЩИентов имеет наиболее простой вид, а имею10 коrда м- 1 l Е, rде l - константа, Е - единичная матрица. Такой план одновременно явцяется и ортогональным и ротатабельным [ 1 08] Еще в 1 967 r. [П. 1 4. 1 24] была сделана попытка построить на пяти мерном кубе план второrо порядка, близкий к D-оптимальному, и срав· нить этот план с друrими планами, в том числе с D-оптимальным планом Кифера. В табл . 5.30, заимсrвов аю10й из [П. 1 4. 1 24] , приведены результаты этоrо сравнения. Из таблицы видно , что определитель информационной мат рицы у почти D-оптимальноrо плана (VI) не намноrо меньше, чем соответ·
=
1 86
.
Т а б л и ц а 5.]0
Сравнение планов Число Величина оnреде- Сред11И налителя инфор- днеnер блюмационной сия дений матрицы м
Обозначения nлана, nринятые в П. 14. 1 24
Тиn nлана
1 11
Ротатабельный nлан Бокса План Дрейnера-Лоуренса nри р = 5 , а = 2 ,37 80 с = 1 , 257 2 План с точками, случайно разбрасанными на кубе, с равномерным законом расnределения То же План с точками в вершинах nятимериого куба и в серединах граней План, близкий к D-оnтимальному D-оnтимальный nлан Кифера
111
IV v Vl Vll
0, 5 96 - 1 0- 2
89,30
0, 1 94 · 1 0 1
52,76
52 32
0, 1 5 2- 1 0 8 0, 160 · 10 5
35,46 7 5 , 87
42
0, 1 4 8 · 10 2 0
14 ,09
52 3000
0,474 • 10 2 0 0, 1 36 · 1 0 2 1
1 8, 1 3 3 15,5 1
52 52
Т а б л и ц а 5. 3 1
18
-а
1 х2
а
а
а
-а
-а
19
-а
а
а
-а
а
-а
а
20
-а
а
а
-а
-а
а
-а
-а
21
-а
а
-а
а
а
а
-а
а
а
22
-а
а
-а
а
-а
а
а
-а
а
-а
23
-а
а
-а
-а
а
7
а
а
-а
-а
а
24
-а
а
-а
-а
-а
8
а
а
-а
-а
-а
25
-а
-а
а
а
а
9
а
-а
а
а
а
26
-а
-а
а
а
-а
10
а
-а
а
а
-а
27
-а
-а
а
-а
а
11
а
-а
а
-а
а
28
-а
-а
а
-а
-а
12
а
-а
а
-а
-а
29
-а
-а
-а
а
а
13
а
-а
-а
а
а
30
-а
-а
-а
а
-а
14
а
-а
-а
а
-а
31
-а
-а
-а
-а
а
15
а
--а
-а
-а
а
32
-а
-а
-а
-а
-а
16
а
-а
-а
-а
-а
33
о
о
а
а
а
17
-а
а
а
а
а
34
а
о
о
а
а
Xt
х2
хэ
х4
xs
а
а
а
а
а
2
а
а
а
а
3
а
а
а
4
а
а
5
а
6
Ng n/n
11 Ng n/n
Xt
хэ
х4
xs
1 87
Продолжени е табл . 5. 31
\
хз
х1
х2
о
о
-а
36
-а
-а
37
о
38 39
N� n/n
35
1 1 х4
II
xs
N2 п f п
l
l x2 F� 1 x s
x1
а
а
о
а
-а
о
о
а
46
-а
о
а
-а
о
-а
а
47
о
а
а
о
о
48
а
а
-а
-а
о
о
о
-а
а
а
о
о
45
-а
о
а
а
-а
о
о
а
-а
о
а
а
44
о
40
-а
а
о
а
о
49
а
а
о
-а
41
а
о
о
-а
-а
50
о
-а
-а
о
-а
а
о
-а
о
-а
51
-а
о
-а
о
-а
о
а
-а
а
о
52
-а
о
-а
42 " 43
-а
о
Т а б л и ц а 5.32 р=4
Название плана D-опrимальн ый
n -
1
IМIO I
0,22" 10- 4
i
d cp
1 1 ,1
1
d ax m
15
1
d in m
7,7
План на кубе, близкий к 24 D-опrималъному
� 0,80• 1 0 5
8,5
1 8,5
4,8
План Коно
21
0,23 · 1 0- 6
2 1 ,4
89,0*
8,4*
План Кифера
27
0,7 7 " 1 0- 5
1 3 ,0
-
-
План Кифера
27
0,8 1 " 1 0- 5
13,1
24,0*
7,0*
План Хартли - Коно
18
0, 1 0• 1 0- 6
20,8
1 3 8,0*
6,5*
17
0, 1 0• 1 0- 7
17,1
1 1 8,6*
3,2*
31
о,3 и о- 1 3
1 8, 7 9
1 1 2,0
3,8
31
1 0, 1 8 · 1 0- 6
36,5
267,2
4,2
25
0, 1 8 • 10- 1 0
13,2
66,5
6,4
0,6 3 · 1 0- 6
15,5
21
1 0,7
План на кубе, близкий к D-опrимальному 42
0,6 8• 1 0- 7
14,1
34, 2
6,0
26
0,44 · 1 0- 7
2 1 ,9
5 8,0*
1 0,0*
План Хартли План ДреЙIIе ра-Лоуренса Ротатабельный Бокса Ортогональный р=5
D-оптимальн ый
План Кифера 1 88
Название плана План Кифера
n
26
1
IМ IO I
0,5 3 · 1 0- 7
l
Продолжени е тatin. 5. 32
dcp
23,2
� dmax
5 8,0*
1
dmin
8,0*
План Кифера
26
0,5 9• 1 0- 7
План Кифера
52
0,22' 1 0- 6
18,1
34,5 *
1 1 ,0*
План Хартли
27
0, 1 7 · 1 0- 7
1 1 ,0
27,4
2,7
План Вестлейка
23
0,6 1 ' 1 0- 8
37,0
1 95,5*
4, 5 *
План с о случайным выбором точек на кубе 52
0,70• 1 0- 1 9
3 5 ,5
290,0*
7,5*
То же
32
0,74 • 1 0- 2 2
75,9
-
-
План Дрейпера - Лоуренса
52
0,90 · 1 0- 2 6
52,8
286,8
4,7
Ротатабельный Бокса
52
0,28 · 1 0- 2 8
89,3
6 92,4
5,0
Ротатабельный Бокса (с полуреплик ой) 32
0,55 · 1 0- 2 8
85,9
665,7
4,9
43
0,40 · 10- 1 8
25 , 1
149,2
9,0
Ортогональный ( с полурепликой) 27
1 0,10 · 10- 7
23 ,0
144, 8
6,8
-
0, 1 5 · 10- 7
20,6
28
14,2
План на кубе, близкий к 76 D-оптимальному
0,23 - 1 0- 9
27 ,5
66,5
7,9
29,3
77,0*
16,7*
Ортогональный
р=6
D-оптимальный
23,0·
-
-
План Хартли - Коно
44
1 0,37 · 1 0- 0
План Хартли- Коно
44
1 0,20 • 1 0- 0
31,1
55,6*
1 1 ,4*
План Коно
88
0,2 1 ' 1 0- 8
25,7
4 2,6*
14,5*
План Хартли
29
1 0,59 · 1 0 - 7
5 2 ,0
1 5 2,0*
3,3*
План Дрейпера - Лоуренса
91
0, 1 1 · 10- 3 7
56,2
7 1 9, 2
5,8
Ротатабельный Бокса
91
0,59 · 1 0- 4 5
26 1 , 1
1 7 26 ,4
5,5
Ротатабельный Бокса ( с 53 полуреплик ой)
0,25 · 10- 3 9
1 26 ,7
1 007 ,5
5 ,7
77
0,22 · 10- 2 8
48,0
3 1 2, 1
12,8
Ортогональный ( с полу45 репликой)
0,1 5 · 1 0- 2 7
3 1 ,4
277,6
9.5
Ортогональный
1 89
Т а б л и ц а 5.33 План на кубе, близкий к D-опrимальному с варьированием чет ырех факторов n
1 х 1 / х 2 1 х э 1 х4 1 1 х 1 1 х2 l хэ / х4 11 1 х 1 /х 2 х э 1 ?'4 о n
n
1 1 1 17 о 9 -1 1 1 1 1 1 1 -1 18 -1 о 1 1 -1 10 -1 1 1 1 19 -1 1 1 о 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 - 1 20 -1 -1 о 1 1 -1 12 -1 1 1 -1 о 21 о 13 -1 1 1 -1 1 1 -1 22 -1 -1 14 -1 1 1 о -1 о 23 1 -1 -1 15 -1 1 -1 о о 1 -1 -1 1 -1 - 1 24 -1 -1 о -1 16 -1 о План Хартли-Коно 13 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 7 -1 -1 1 1 1 1 14 -1 8 -1 -1 1 2 -1 о 1 9 1 3 -1 -1 -1 о о о 15 о о 1 4 1 1 1 1 1 -1 -1 о 16 -1 10 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 5 -1 17 -1 -1 о -1 12 1 1 6 -1 1 1 1 18 о о -1 Пл ан н а кубе, близкий к D-опrимальному с варьированием пяти факторов
1 2 3 4 5 6 7 8
о о о о
1 -1
о о о о о
о о
-1
-1 1 1 1 о
1
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 Пл ан Хартли 1 1 1 2 -1 -1 3 -1 1 1 -1 4 5 -1 1 6 1 -1 7 1 1 8 -1 -1 9 -1 1 Пл ан Кифера 1 1 1 2 1 1 1 3 1 4 1 1 5 1 1 190
1
о
1 -1 о
1 -1 xs
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1
1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1
1 1 1
10 1 -1 1 11 1 1 -1 12 -1 -1 -1 '13 -1 1 1 14 1 - 1 1 15 1 1 -1 16 -1 - 1 - 1 17 о о о 18 1 о о
1 1 1 19 -1 1 1 -1 20 -1 1 -1 1 21 -1 1 - 1 - 1 22 - 1 -1 1 1 23 -1
1 1 1 1 1
1 1 -1 -1 -1
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 о -1 о 1 о о -1 о о о о о о
1 -1 19 -1 - 1 1 20 о -1 1 21 о - 1 1 22 о - 1 1 23 о 1 - 1 24 о 1 -1 25 о о о 26 о о о 27 о 1 36 -1 -1 -1 37 о 1 1 38 - 1 1 - 1 39 - 1 -1 1 40 - 1 -1
-1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 о о о о
о о о о о о
1 -1 1 -1 о о о о о о о о
о о о о о о
1 -1 о о о о
1 -1 о о
1 -1
о
о о о
о о о
о о о о о о о
1 -1 о о о о о о
1 -1 о о о о
1 о 1 -1 о о
1 -1
-1 -1 о о
1 о о
о 1
1 1
1
1
1
о
1 1
о о
о
Продолжение табл. 5. 11 xs
6 1 7 1 1 8 9 1 10 1 11 1 12 1 13 1 14 1 15 1 16 1 17 -1 18 -1
-1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1
1
-1
-1
1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
-1 1
-1
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
-1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 о
1
1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 о о о
о
-1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 о 1 -1 -1 1
41 1 о 42 1 о 43 о 1 44 о 1 45 1 о 46 - 1 о 47 о 1 1 48 1 49 1 1 50 о - 1 51 -1 о 52 -1 о
о
-1 -1 о о
-1 о
1 -1
-1 о
1 1 -1 -1 о о
-1
-1
о
-1
о
-1 -1
-1 -1 о
1 1 -1 о
о о
-1 -1 о
План Вестлейка 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
-1 -1 -1 -1 1 1 1
1
1 1 1 1 о о о о
9 -1 1 -1 -1 1 1 10 -1 1 1 -1 1 1 11 1 -1 -1 12 1 13 1 о о о о о о 1 4 -1 о о 15 о 1 16 о - 1 о о .
17 18 19 20 21 22 23
о о о о о о о
о 1 -1 о 1 о о -1 о о о о о о
о о о о о о о
о о о о 1
-1
о
План Коно n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
1 х1
-1 1 1 -1 1
-1 1 -1 1
-1 1 -1
-1
-1 1
1 1 -1 1
-1 1 -1
-�
xz
-1 1 -1 1 1 -1 -1
1 -1
-1 1 1 1 -1 -1 1
-1
1 -1 1 -1 1
1 хз 1 -1 -1 1 1
-1 -1 1
1 1 -1 -1 1 1 -1
1 -1 -1 -1 1 1
-1 -1
Х4
-1 -1 1 1 -1 -1
1 -1 1
1
1 -1 -1 1
-1
-1
1
-1 1 1 -1
-1
1 xs 1 х6 11 -1 1 1 -1
-1
1 -1 1 -1
1 -1
1 -1 -1 1 1 1 -1
-1 1
-1 1
-1
1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1
1 -1 1
1 -1
-1 1
-1 1 1 -1
n
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
1 х1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 о о -1 1 1 -1 о 1
о о 1
-1
Xz
1 -1
-1 -1 1 1
1 -1 1 -1
о о -1 1 -1 -1 1 1 1
-1 о -1
1 хз 1 х4 1 xs 1 х6 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1
-1 о о о о о -1 -1 1 -1 1
-1 1
1 1 1 -1 -1 1 1
-1 -1 1
о о 1
1 -1 -1 1 1 -1 -1 i
1
1
-1
-1 1 -1 1 -1 -1 1 1 о
о 1 1 -1 -1 1
1 1 1 -1 1
-1 1 -1 -1
1 1 -1 1 -1 1 о о -1 1 -1 о 1 о -1 1
-1 о 191
Продолжение тDбл. 5. 33
План Хартли
-;; f х 1 Т х 2 1 х э -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
х4
xs
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1
. 1 х6 11 n 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
xl
1
о
1 -1 о о о о о о о о о о
х2 1
о о о
1 -1 о о о о о о о о о
Хэ
1
о о о о о
1 -1 о о о о о о о
X.j
1
о о о о о о о о
1 -1 о о о о
xs
1
о о о о о о о о о о
1
-1 о о
1
хб
1
о о о о о о о о о о о о
1 -1
ствующий показатель плана Кифера, а средняя дисперсия соответственно немноrим больше, зато число наблюдений этого плана намного меньше (5 2 <( 3000) . Близкий к D-оптимальному план на пятимерном кубе пре восходит по своим покаэателям остальные планы. Этот план приведен в табл. 5.31 . Ддя удобства сравнения с планом Бокса а принято равным 2,378 . В работе [ 108] приведена более подробная таблица сравнения пла нов. Здесь сравниваются 36 планов с числом варьируемых факторов р = = 4, р = 5 и р = 6. Эту таблицу, которая воспроизведена в табл. 5 .32, можно рекомендовать экспериментаторам для изучения в процессе выбора стра тегии планирования экспериментов . В табл . 5 .33 даны координаты планов, лучщих с точки зрения их срав нения с D-оптимальными планами. § S . 6 . Пл31U1рование эк спериментов на симпле к се для опти мизации составов смесей
Симплексный метод применяют для описания поверхности отклика в задачах оптимизации составов смесей (сплавы, полимеры, бетоны и др.) , а также для любых других задач, в которых р
j =�l Xj = 1 .
(5 .78)
Содержание всех компонентов в любой смеси составляет 1 00 % ( 1 02] . Из ограничения (5 .78) следует, что ковариационная матрица оказьшает ся вырожденкой, если в матрицу независимых пере111енных включить стол бец, состоящий из единиц (свободный член модели) . Эта же матрица яв ляется вырожденкой, если в матрицу факторов включить квадраты и пар1 92
ные произведения факторов (xj xz, xj) . С другой стороны, поверхность от клика в подобных задачах имеет сложную конфигурацию, поэтому для ее описания целесообразно использовать модели высоких порядков. Если прибегнуть к преобразованию независимых переменных, то ограничение (5 .78) , которое на первый взгляд кажется недостатком, можно превратить в преимущество [П.1 4.1 74] . Рассмотрим этот вопрос на примере квадратичной формы. Для трех компонентов полная квадратичная форма имеет вид л у = Ь 0 + Ь 1 х 1 + Ь 2х2 + Ьэхэ + Ь 1 2х1х2 + Ь 1 3х 1 хэ + Ь2 3х2х3 + (5 .79) + b 1 1xj + Ь2 2Х� + Ь э эХ� . Из формулы (5 .78) следует, что х 1 + х2 + х3 = 1 , поэтому можно записать Ь 0х 1 + Ь 0 х2 + Ьохэ = Ь о . Используя формулу (5 .8 1 ) , уравнение (5 .79) запишем в виде Р = (Ьо + Ь1 ) х 1 + (Ь о + Ь2 ) х2 + (Ь о + Ьэ ) Х з + Ь 1 2х1х2 + + Ь 1 3х 1хз + Ь2 3Х2Хз + b 1 1xj + Ь 2 2Х� + Ь з эх� . Умножая обе части в ыражения (5 .80) по следовательно на х1 , х2 и лучаем: xi = х 1 - х 1 х2 - х 1 х3 , х� = х2 - х 1 х2 - х2хз , Х� = Х э - Х 1 Х3 - Х2Х3 . Подставляя эти выражения в уравнение (5 .82) , имеем
(5 .80) (5 .8 1 )
(5 .82)
х3 , по
л
у = (Ь о + Ь1 + Ь 1 1 ) х 1 + (Ьо + Ь2 + Ь2 2 ) х2 + (Ь о + Ьз + Ьэ з ) хз + + (Ь 1 2 - Ь 1 1 - Ь2 2 ) х1 х2 + (Ь 1 э - Ь l l - Ь э э ) х l хз +(Ь2 э + (5 .83) + Ь2 2 + Ь э э ) х2хэ . Если произвести замену в (5 .83) :
Ь � = Ьо + Ь1 + Ь1 1 , ь ; = Ь о + Ь2 + Ь2 2 , 1 Ь э = Ьо + Ьэ + Ьэ э . Ь � 2 = Ь 1 2 - ь 1 1 - ь2 2 . Ь � э = Ь 1 э - Ь 1 1 - Ьэ э . ь ; э = Ь2 3 - Ь2 2 - Ьэ э , то модель (5 .83) принимает вид У л_ - Ь,1 х1 + Ь'2 х2 + Ь'э Хэ + Ь'1 2х1х2 + Ь '1 Эх1х3 + Ь '2 3х2х3 . (5 .84) Для этой модели ковариационная матрица не является вырожденной. Глав ное преимущество модели (5 .84) в том, что по сравнению с уравнением (5 .79) по экспериментальным данным в этой модели оценивают на четыре параметра меньше. 1 93
В общем случае для р-компонешов модели вь�rлядят следующим обра· эо м [П. 1 4.74] : 1 ) квадратичная модель
у=
1
1: (3 х <.j<.p 1 1
+
1
1:
<J< l
2 ) неполная кубическая модель У (3/l Xj Х1 + 1: (3/ Xj + 1: л
=
1
<.j<.p
1
(5 .85)
(3Jl х1 х1 ;
1:
{jjlk Xi Xk .
1
(5 .86)
Метод планирования называется симплексным, так как экспери ме н тальные точки располагаются на симплексах или симплексных решетках. Вариашы симплексных решеток показавы на рис. 29, а-е.
Рис. 2 9
В табл . 5 .3 4 дано чи сл о опытов в зависимости от числа компонентов смеси и степени полинома, описывающего поверхность отклика. Коэффи циенты уравнений регрессии вычисляют по результатам эксперимешов из простых соотношений . При х1 = 1 , х2 = О , х3 = О формула (5.8 4) принимает в ид ь � = у 1 , ь ; = у2 и ь ; = уз ; при х 1 = 1 / 2 , х2 = 1 / 2 и х3 = О Ь � 2 = 4yt 2 - 2Y t - 2у2 , Ь � з = 4Уt з - 2Y t - 2уз , ь ; з = 4у2 3 - 2у2 - 2У з · Для р-компонешной системы коэффициенты квадратичной формулы Ь}
=
Yj· Ь}z = 4Yjl - 2yj - 2У/.
Т а б л и ц а 5.34 Число опытов ДJIII построевни модепей разных степеней ДJIII
поверхностей OТКJUIICa мвоrокомпоиеИТRых систем
Число компонеиrов вторав 1 3
4
s
6
8
1 94
10
Сrепень полинома трет ья третья непоnнаи
10
3 7 14 25 41
ss
175
2
6
15 21 36
описании
92
4 10
20
35 56
1 20 220
четвертаи s
15 35 70 1 26 3 30 7 15
Планы на симШiексе являются насыщенными, поэтому 11liЯ проверки адекватности ставят дополнительные опыты (проверочные точки) . Порядок расчетов рассмотрим на примере квадратичной модели. Как указывается в работе ( 1 08] , коэффициенты bj и bjl являются линейными комбинациями значений Yj и Yjl• наблюдае мых в точках симплексной ре шетки [формула (5 .84) ) , поэтому уравнение (5 .84) можно записать в виде
у = 1.; aj yj + 1 <.j<.p
1.;
1 <.j
Oj[Yjl ·
(5 .87)
Если предположить, что Yj и Yj[ - усредненные результаты rj и rjl наблю дений в каждой точке решетки, то
и;} = rP/rj, и;1, = и 2 fr11 ;
(5 .88)
дисперсия предсказанноrо значения
и.lу = и 2 [ 1.;
1 <.j <.p
а?
.::L
rj
+
1,;
1 <.j<.l <.p
а ·1
-1- ) , rjl
(5 .89)
rде
aj = Xj (2:xj - 1 ) , aj/ = 4Xj X[ ; здесь и2 - ошибка эксnеримента.
(5 .90)
и§ = (и 2 fr) (1.;aj + 1.;aj1 ) .
(5 .9 1 )
Если число опь;тов в каждой точке одинаково, то выражение (5 .89) принимает вид Более подробно симШiексный метод. и практические примеры даны в [ 1 02, 1 08, П . 1 4. 1 74] .
ПОСЛЕСЛОВИЕ
Внимательно прочитавшие эту книrу должны овладеть наибо Jультато6 пассu611ыХ элсперипен лее употребительными метода то6 ( tл 1 J ми обработки эксперименталь ных данных, используемыми для построения эмпирических зависимостей . Чтобы не нарушать строй ность изложения, автор недоста точное внимание уделил двум важным для экспериментатора разделам прикладной матема тической статистики, а именно : статистическому оцениванию и статистическому сопосrавлению результатов наблюдений. Под робные сведения по этим вопро сам можно найти в [52) . Не Постано6ка акти6ных аксперинt!11то1J по ли· неtiнын пла на � построение нoueлeti, 86иже11ие достаточно подробно изложен ·и по zро6иентv о о5лосто оптинvна (zлJ[, fS.� ) дисперсионный анализ, коrорый хорошо описан в [ 1 49, 1 56] . остроение мо6елеt1 tJтopozo поря6ка Материал книrи позволяет и ffOUeлeti 6ЛR /103f/1/lJ иЦUtHma6 1 полvэнпирических ао6исимастях (zл .Jl} составить rенерал ьную схему методики обработки экспери Рис. 3 0 ментальных данных для по строения эмпирических зависимостей . Такая схема изображена на рис. 30. Однако эта схема вовсе не о бязывает экспериментатора пройти весь наме ченный путь. Каждый в ыбирает стратеrию экспериментирования в зависи мости от задач, которые нужно решить в каждом конкретном исследо вании. Генеральная схема отображает оптимальную, по мнению автора, ме тодику поведения исследователя в ситуации, коrда имеется масса экспери ментальноrо материала, получеmюrо друrими исследователями, коrда изучается достаточно сложное явление, которое зависит от мноrих факто ров. Такие типы задач очень часто встречаются в науке. Автор заранее блаrодарен за в се замечания и предложения по данной работе, которые просит высылать в адрес редакции. 1 ПОt!U6арителонаР о5ра5отка ре
1 96
А втор
Приложепия П. 1 .
\О -.1
-
Случайные числа*
44 9 83 89 4 94 54 430 9 6 9 99 87 947 30 2 3 8 22 938 89 1 82 1 6 1 87 2 1 5 26
33 834 34 4 3 1 52 6 3 2 4 2 104 09 4 27 4 6 1 26 1 3 07 3 27 750 03 303 07 401
54 2 80 4 4 890 9 4 1 26 34 377 32 380 85 3 06 32 066 63 3 14 40 2 87 30 925
67 850 59 890 95 597 63 309 4 3 636 37 1 14 43 098 87 302 5 2 435 46 148
96 025 7 9 6 82 48 338 82 1 8 1 5 8 578 22 7 1 8 75 7 3 8 49 472 23 9 26 20 138
96 1 17 20 308 6 7 645 0 0 278 07 761 5 0 5 84 94 910 24 885 92 544 3 3 874
00 768 82 5 10 44 676 28 209 28 456 92 291 1 5 403 79 506 54 099 56 7 15
14 82 1 53 609 14 730 95 629 46 570 56 575 89 1 5 1 60 638 3 1 497 3 8 424
69 029 13 258 22 642 75 8 1 8 1 1 6 23 24 075 7 3 322 07 132 06 863 38 273
25 453 89 6 3 1 21 919 0 9 043 50 4 1 7 43 889 18 370 00 908 22 864 11 36 1
48 798 80 497 2 1 050 48 564 37 7 6 3 40 909 90 5 86 92 035 7 2 620 15 203
15 486 49 167 87 7 9 1 87 355 30 1 3 6 18 74 1 46 1 1 5 75 5 1 8 74 169 64 9 1 2
42 907 21 479 90 076 93 202 46 059
95 1 5 8 48 265 70 233 25 355 72 208
2 7 146 01 674 76 7 30 94 941 90 475
37 0 1 2 47 274 25 04 3 84 434 10 34 1
43 361 56 350 16 6 86 22 3 84 39 7 03
03 173 37 5 1 2 54 737 1 3 240 83 224
97 911 1 4 883 57 341 93 6 17 37 858
71 313 99 673 01 786 5 1 549 61 657
4 4 256 62 298 20 803 28 532 04 1 84
66 609 33 94 8 69 465 57 150 15 597
42 504 32 456 37 970 77 26 1 29 448
76 799 28 67 5 05 673 62 643 01 922
38 2 20 82 6 1 8 07 896 95 24 1 53 849 72 967 87 9 1 0 10 4 82 68 034 80 277 59 896 78 369 23 0 1 5 55 1 7 1 58 095
1 3 97 2 85 756 74 085 84 360 26 57 8 53 03 1 8 9 260 34 27 7 98 56 1 92 450 78 1 85 04 163 5 4 26 1 8 5 44 8 62 204
86 1 15 5 1 1 56 59 886 1 3 960 39 954 47 906 66 444 40 1 77 46 747 60 888 60 268 77 673 95 020 1 2 545 69 3 1 9
17 1 96 74 037 03 05 1 95 736 86 7 26 99 5 0 1 15 979 01 081 30 655 18 689 03 650 73 342 77 705 75 992 00 672
24 568 12 5 0 1 7 8 702 4 3 637 91 039 2 7 753 83 469 57 7 88 41 87 8 45 966 36 8 14 78 9 1 5 8 1 6 82 08 7 90 96 037
26 820 9 4 162 1 3 402 60 399 13 884 69 946 96 95 2 08 6 1 2 93 6 1 0 25 837 88 460 20 537 96 907 88 992 7 8 680
66 299 4 2 006 74 3 1 8 1 9 080 25 376 66 875 50 065 39 886 5 1 745 70 906 34 049 06 1 26 37 4 1 1 69 756 98 744
39 960 16 135 1 0 870 60 26 1 36 880 25 601 72 802 42 234 4 1 77 1 60 733 09 1 1 1 27 222 9 3 548 18 960 83 7 1 9
02 489 82 797 72 1 07 1 1 207 02 564 30 038 70 630 04 905 6 1 398 11 765 64 205 17 378 87 546 85 1 82 4 0 702
53 079 3 1 296 1 1 550 73 065 96 97 8 7 8 7 86 87 336 83 274 98 154 09 293 77 930 59 359 07 687 02 245 79 038
72 789 93 268 61 1 7 5 48 286 62 332 65 194 16 385 22 459 6 1 644 70 076 32 391 00 055 47 338 1 1 566 68 639
22 562 10 104 33 345 57 057 77 321 65 283 32 784 75 032 12 405 40 75 1 69 076 66 780 1 2 240 52 527 63 329
- 1 9 7 00
\0 00
1 2 666 66 6 85 7 2 5 90 30 286
98 193 87 597 05 344 47 283 06 434
37 600 23 1 90 7 1 633 45 445 50 229
70 6 1 7 26 24 3 68 536 35 6 1 1 09 070
5 8 959 36 690 1 8 7 86 98 354 44 848
45 486 75 829 28 575 5 3 680 09 996
58 338 7 1 060 08 455 45 747 77 753
84 563 32 257 79 26 1 60 026 05 0 1 8
62 0'1 1 15 699 49 705 1 3 032 9 2 605
17 799 02 654 31 491 14 04 8 10 3 1 6
96 994 83 1 1 0 25 3 1 8 16 304 0 7 35 1
41 635 44 27 8 52 586 1 1 959 78 020
87 4 94 32 301 70 7 1 1 36 086 37 403
95 585 25 923 3 7 92 1 05 468 42 23 1
25 547 76 5 56 54 2 89 41 631 17 073
53 500 1 3 274 17 828 95 632 49 097
45 047 39 776 60 976 7 8 1 54 54 147
08 406 97 027 5 7 662 3 8 634 03 656
66 984 56 9 1 9 6 1 757 47 463 14 735
63 17 93 37 06
390 792 272 5 14 370
48 093 09 2 14 09 887 24 437 8 1 703
02 366 53 7 8 1 04 196 01 3 1 6 90 85 8
05 407 90 102 98 25 1 04 777 55 1 30
08 325 25 774 52 453 06 534 40 869
4 1 022 70 978 19 207 50 1 7 2 43 1 1 2
76 893 57 385 4 1 6 84 2 3 1 14 94 833
29 200 70 532 20 288 28 745 7 2 864
82 747 4 6 97 8 1 9 783 12 249 58 7 85
97 297 87 390 83 2 1 5 35 844 53 473
74 53 35 63 06
420 319 810 255 308
18 7 83 9 0 1 55 39 852 26 4 5 1 56 788
93 57 1 03 154 43 795 0 6 896 30 474
89 055 20 301 2 1 530 06 707 57 277
56 4 1 3 47 831 96 3 1 5 99 25 1 23 425
7 7 817 86 786 5 5 657 06 260 27 092
10 655 1 1 284 76 473 74 779 47 759
64 031 92 357 79 945 4 8 030 80 0 1 6
4 1 740 38 870 42 5 80 05 1 25 81 500
69 6 80 73 8 84 86 60S 70 866 48 061
69 373 95 662 97 7 5 8 72 154 25 583
73 674 83 923 0 8 206 86 3 85 74 101
97 9 1 4 90 790 54 199 39 490 87 573
77 989 49 474 4 1 3 27 57 482 01 556
47 280 1 1 90 1 01 170 32 92 1 89 1 84
71 804 30 322 2 1 745 33 795 64 830
74 587 80 254 71 3 1 8 43 155 16 779
70 563 99 608 0 7 97 8 30 432 35 7 24
77 8 1 3 17 019 35 440 48 384 82 103
32 265 82 534 72 055 26 999 01 6 28
65 76 61 96 47
728 335 146 294 335
89 7 76 2 1 1 08 82 7 80 20 4 3 1 17 893
04 006 42 302 89 4 1 1 30 1 14 53 1 7 6
06 089 79 496 5 3 131 23 035 0 7 436
84 076 2 1 054 5 7 87 9 30 380 14 799
12 445 80 1 32 39 099 76 272 7 8 1 97
47 4 1 6 67 7 1 9 42 7 1 5 60 343 48 6 0 1
8 3 6 20 7 2 662 24 830 57 572 97 557
49 1 5 1 5 8 360 60 045 42 492 89 917
9 7 420 57 384 23 250 47 962 20 530
23 689 65 406 39 847 21 439 6 1 565
66 3 22 96 239 10 4 97 69 7 1 2 5 1 375
27 390 18 5 2 1 83 6 1 7 33 4 3 8 42 45 1
37 834 6 7 354 39 1 76 8 5 908 76 8 89
73 494 4 1 883 45 062 58 620 68 096
2 1 5 27 5 8 939 63 903 50 646 80 657
93 579 36 222 33 862 47 85 7 9 1 046
20 949 43 935 14 903 96 024 95 340
85 666 36 27 2 38 996 5 8 568 70 209
25 1 02 47 8 17 60 027 67 6 14 23 825
64 733 90 287 4 1 702 44 370 46 03 1
93 87 2 91 434 78 1 89 40 276 45 306
72 693 86 453 28 598 85 964 64 476
* Таблица заим ств ована из
[5 2 ) ,
с.
5 8.
0.2.
Кваиnши распределения макси мального относигельнога отклонения т I -P* Уровни значимости Р
Уровни значимости Р n
0, 1 0
3 4 5 6 7
1,4 1 1,65 1,7 9 1,89 1,97 2,04 2, 1 0 2,1 5 2,1 9 2,23 2,26 2,3 0
8
9 10 11 12 13 14
1
0,05 1,4 1 1 ,6 9 1,87 2,00 2,09 2,1 7 2,24 2,29 2,34 2,3 9 2,4 3 2,46
1 0,025 1 1,4 1 1 ,7 1 1,92 2,07 2, 1 8 2,27 2,35 2,4 1 2,47 2,5 2 2,56 2,60
0,0 1
n
0, 1 0
1 ,4 1 1,7 2 1,96 2,1 3 2,27 2,3 7 2,46 2,54 2,6 1 2,66 2,7 1 2,76
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2,33 2,35 2,3 8 2,40 2,43 2,4 5 2,47 2,4 9 2,50 2,5 2 2,54
1
0,05 2,4 9 2,5 2 2,55 2,5 8 2,60 2,6 2 2,64 2,66 2,6 8 2,7 0 2,7 2
1
0,025 2,64 2,67 2,70 2,73 2,75 2,7 8 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88
1
0,01 2,80 2,84 2,87 2,90 2,93 2,96 2,98 3,U J
3,03 3 /'
3,07
* Таблица заимствована из [127) , с. 283.
0.3. Квантили распределения велИЧIПiы т1 _р* n
3 4 5 6 7 8 9 10
1 - Р = 0,90, р = 0, 1 0
1 - р = 0,95, р = 0,05
1 ,4 1 1 ,64 1 ,7 9 1 ,89 1 ,97 2,04 2,10 2,15
1 ,4 1 1,69 1 ,87 2,00 2,09 2,17 2,24 2,29
*Таблица заимствована из [60) , с. 50.
1- Р р
= 0,99, = 0,01 1 ,4 1 . 1 ,7 2 1 ,96 2,13 2,26 2,37 2,46 2,54
П.4. Процентные точки распределения Стьюдеита * 0,05 %
10 % 1 2 3 4 5
0,3 24 9 2887 2767 27 07 2672
1,0000 0,8 165 7649 7407 7 267
3,0777 1,8856 6377 5332 4759
6,3 1 3 8 2,9200 35 34 1318 2,0 150
1 2,706 2 4,3027 3, 1 824 2,7 764 5706
3 1 ,8205 6,9646 4,5407 3,7469 3649
63,6567 9,9248 5,8409 4,604 1 4,0321
1 27 , 3 2 1 3 14,0890 7,4533 5,5976 4,7733
3 1 8,3088 22,327 1 10,2145 7,1732 5,8934
636,6 192 3 1,5991 12,9240 8,6 1 03 6,8688
6 7 8 9 10
0,264 8 26 32 26 19 26 10 2602
0,7 176 7111 7064 7027 6998
1,4398 4 1 49 3968 3830 3722
1,9432 8946 8595 83 3 1 8 1 25
2,4469 3646 3060 26 22 2281
3,1427 2,9980 8965 8 2 14 7638
2,7074 4995 3554 2498 1693
4,3 168 4,0293 3,8325 6897 5 8 14
5,2076 4,785 3 5008 296 8 1437
5,9588 4079 5,04 1 3 4,7 809 5869
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0, 2596 2590 25 86 2582 2679 0,2576 2573 25 7 1 2569 2567
0,6 974 6955 6938 6924 6912 0,6 90 1 6892 6884 6 876 6870
1,3634 3562 3502 3450 3406 1,3368 3334 3304 3277 3253
1,7959 7 823 7709 7613 7 5 30 1,7459 7 396 7341 7291 ' 7 247
2, 2010 1 7 88 1604 1448 1 3 14 2, 1 199 1098 1 009 0930 0860
2,7 1 8 1 6810 6503 6245 6025 2,5835 5669 5524 5395 5280
3, 1 05 8 0545 3,0 123 2,976 8 9467 2,9208 8982 87 84 8609 8453
3,4966 4284 37 25 3257 2860 3,2520 2224 1 966 1-7 37 1534
4,0247 3,9296 8520 7 874 7328 3,6862 6458 6 1 05 5794 55 1 8
4,4370 3178 2208 1405 07 28 4,0150 3,9651 92 16 8834 8495
21 22 23 24 25
0,2566 2564 2563 2562 2561
0,6 864 6858 6853 6 848 6 844
1,3232 3212 3 1 95 3178 3 1 63
1,7 207 7171 7 1 39 7 1 09 7081
2,0796 07 39 0687 0639 0595
2,5 176 5083 4999 4922 485 1
2,8314 8 1 88 .87 03 7 969 7 874
3, 1 35 2 1 1 88 1 040 0905 0782
3,527 2 5050 4850 4668 4502
3,8 1 93 7921 7676 7454 725 1
� 26
27
2 !)
29 30 32 34 36 38
40
42 44 46 48
4 0 'k
0. 2 560 1 5 59 2558 2557 1 5 56 0. 2 5 5 5 2 5 .5 3 2 5 .5 2 25 5 1 2550 0. 2.5 .5 0 254 9 2 5 -I X 254Н 254 7
50
0. 2 54 6 2545 2 5 44 2 54 3
55
60
65 70
но
0. 2 54 2
'.1 0
1 ()() 1 20
1 50 2 1 10 2 50 .\00 -\ 1 )1 1 5 01 )
254 1 2540
J
25 'if 0.6 840 6837 6 8 34 6830 6828 0.6 8 2 2 68 1 8 68 14 6810 6807
0. 6 804 fi 8 0 i
6 7 99 67 96 h 7 94' 0.6 790 67 86 67 83 67 80 0. 6 7 7 6 6772 (. 7 7 0
2539 2538
h765 676 1
2537
6757
2 5 36
2 5 . Ч> 253S 0. 2 5 .1 5
6755 67 53 675 1
0.6 7 5 0
--· · -
,. l .t ii . l ll l l �l
·J a l f :I.K f I! O I! i!ll a l f J
1
�
10 % 1 .3 1 50 3 1 37
3 1 25
3 1 14 31 04 1 , 3 086 3070 3055 3 04 2 303 1 1 . 3020 30 1 1 3002 2 9 94 2 9 87 1 . 2 97 1 2958 294 7
2938 1 .2922 29 1 0 2 90 1 2 8 86
1
5% 1 , 7 056 7033 70 1 1 69 9 1
6973
1 ,6939 6909 6 8 83 6 860 6839
1 .6 820
6 802 6787 67 7 2 6759 1 .6 7 3 0 6 7 06 6 6 86 6669 1 .664 1
66 20
660: 6577
2872
655 1
2Н5Н 2849 2 844
6525
2Н37
1 . 2 83 2
[ 1 7 j . L' ,
240.
65 1 ( 1 64 99 6 4 87 1 . 64 7 9
1
2,5 % 2,0555 05 1 8 04 84
045 2 04 23
2.0369
0322 02 8 1 0244 02 1 1
2. 0 1 8 1
0 1 54
0 1 29 0 1 06 0086
2,0040
2.0003 1 . 997 1 9944 1 .990 1 9867 9840 9799 9159 97 1 9 9695 96 7 9
96 5 9 1 . 9647
1
1% 2,4 786 4727 467 1
46 20 4573
2,4487 44 1 1
4345 4 2 86 4233 2.4 1 85 4 14 1
4 1 02 4066
4033
2. 3 96 1 390 1 385 1 3 808 2.3739 36 85 36 4 2 3578 35 1 5 34 5 1 34 1 4
3388 3357 2.3338
1
.
0,5 % 2,7 7 87 7 7 07 76 33
1
0,25 %
7045
3,0669 0565 04 6 9 03 80 0298 3.0 149 3.0020 2.9905 9803 97 1 2
2,698 1
2,9630
7564 7500 2,7 3 8 5 7 2 84 7 1 95 7 1 16
6923
6870 6822 67 7 8
2.6682 6603
65 36 64 7 9 2,6387 6316
6259
6 1 74
6090
600/t
5956
5923 5 882
2.5851
9555 94 88 94 26 9370
2, 9247 9 1 46 9060 8987 2. 8870 8779
87 07 8599
84 9 2 8 3 85 8322 8279 8227 2 . 8 1 95
1
Про должение табп. Л 4
0, 1 % 3,4350 42 1 0 4082
396 2 3852
3,3653 3479
3326 3 1 90 3069 3, 2960 286 1 27 7 1 2689 26 1 4 3, 256 1 23 1 7 2204 2 1 08
1
0.05 % 3 , 706 6 6896 67 3 9 6594 64 � 0 3.6 2 1 8 6007 582 1
5651 55 1 0 3.5377 5258 5 1 50 505 1 4960 3.4764
4602
4466
4350
3. 1 95 3 1 83 3 1 7 37
3,4 1 63 40 1 9
1315
3398 3299
1 595 1455
1 23 2
1 1 76 1 1 07 3. 1 066
3905 3i35 3566 3233
3 1 50 3.3 1 0 1
'"' о
....
П.5. Коэффициент ы д ли определении 95 %-ных доверительных границ дли среднего эн ачении по СА О *
-- -;-т
Коэффициент
2 3 4 5 6 7 8
12 ,7 1 3 ,45 2, 1 6 1 ,66 1 .40 1,21 1 ,09
* Таблица заим ствована из
П.6.
11
n
9 10 11 12 13 14 15
(5 2 ) ,
1
Коэффициент
1 ,00 0,93 0, 87 0, 82 0,7 8 0, 7 5 0,7 1
11
n 20 25 30 40 60 1 20
1 Коэффициент 0,60 0,53 0,48 0,4 1 0,33 0,23
с. 235.
Кр1t тические границы отношении R/S*
1
Нижние границы Объем выборки п
-3 4 5 6 7 8 9 10
Верхние границы
Вероятность ошибки
0.000 1 ,7 3 2
' 1,732
1 ,8 26 1 ,8 26 1.571 1,87 1 1,897 1 ,897
0,000 1 ,7 3 5 1 ,83 1 ,9 8 2,1 1 2,22 2,3 1 2,39 2,46
1 , 737
1 ,745
2, 1 5 2, 26 2, 3 5 2,44 2,5 1
2.22 2,33 2.4 3 2,5 1 2,59
1,87 . .2, 0 2
1 ,93 2,09
1.758 1,98
1 ,782
2, 28 ,2,40 2, 50 2, 5 9 2,67
2,37 2,49 2,59 2,68 2,76
2, 1 5
2,04 2,2 2
1 ,997
2,409 2.7 1 2
2,949 3,143 3,308 3,449 3,57
1 ,999
2,429 2.753
3,01 2 3,222 3,399 3,552 3,685
2,000
2,000 2.445
3,056 3,282 3,47 1 3,634 3,777
3,095 3, 3 3 8 3,54 3 3,720 3, 87 5
2,4 3 9 2,782
2, 803
2,000
2 ,44 7 2, 8 1 3
3, 1 1 5 3.3 6 9 3,585 3 ,7 7 2 3,935
2,000 2,449
2,828
3,162 3,465 3,742 4,000 4,24 3
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
25 30 35
40 45
50 55 60
65 70 75 80 85 90 95
100 150 200 500
1 000
..., о ....
�
1.9 1 5 1,9 1 5 1 , 9 27 1 , 9 27 1 ,9 3 6 1,936 1 ,944 1 , 944 1 ,949 1 ,949 1,96 1 1,966 1.972 1 ,9 7 5 1,978 1 ,9 80 1,982 1 , 9 83 1 ,9 85 1 , 9 86 1 ,9 87 1 , 9 87 1 , 9 88 1 ,9 89 1 , 9 90
1 , 990 1 , 993 1 , 9 95 1,998 1 ,999
2,53 2,59 2,64 2,70 2,74 2,7 9 .2,83 2,87
2,90 2,94 3,09 3,2 1 3,32 3,4 1 3,49 3,56 3,62 3,6 8 3 ,74 3,79 3,83 3,88 3,92 3,96 3,99 4,03 4,32 4,53 5 ,06 5,50
Таблиuа заи мствован а из
2,66 2,7 2 2,7 8 2,83 2.88 2,93 2 , 97 3,0 1 3 ,05 3,09 3 , 24 3,37 3,48 3,57 3,66 3,7 3 3,80 3,86 3,9 1 3,96 4,0 1 4,05 4,09 4, 1 3 4, 1 7 4,2 1
2,5 8 2,64 2,7 0 2,7 5 2,80 2,84 2,88 2. 9 2 2,96 2,99 3, 1 5 3, 27 3, 3 8 3,47 3,55 3,6 2 3,69 3,7 5 3,80 3,85 3,90 3,94 3,99 4,02 4,06 4, 1 0 4,38 4,59
4,48
4,68 5 , 25 5.68
5, 1 3 5,57
[5 2 ] ,
с.
2 99 .
2,74 2,80 2,86 2,92 2, 97 3, 0 1 3,06 3, 1 0 3, 1 4 3, 1 8 3,34 3,47 3,58 3,67 3, 7 5 3, 83 3,90 3,96 4, 0 1 4,06 4, 1 1 4, 1 6 4, 20 4, 24 4, 27 4, 3 1 4, 5 9 4, 7 8 5,37 5,7 9
2 , 84 2,90 2,96 3,02 3 .07 3, 1 2 3, 1 7 3. 2 1 3,25 3 , 29 3,45 3,59 3,70 3,79 3,88 3 ,95 4,02 4,08 4, 14 4, 1 9 4,24 4,28 4,33 4,36 4,40 4,44 4,7 2 4 , 90
5,49 5.92
3,68 3.78 3,87 3,95 4,02 4,09 4. 1 5 4, 2 1 4,27 4, 3 2 4, 5 3 4,70 4.84 4.96 5.06 5. 1 4
5.22 5,29 5,35 5.4 1 5,46 5,5 1 5.56 5.60 5,64 5,68 5,96 6. 1 5 6, 7 2 7. 1 1
3 , 80 3,9 1 4 ,00 4.09 4.17 4 , 24 4,3 1 4,37 4,43 4,49 4,7 1 4,89 5 ,04 5, 16 5 . 26
5 . 35 5 ,43 5 ,5 1 5,57
5,63 5,68 5 ,7 3 5,78 5,82 5 , 86 5,90
6, 1 8 6,39 6 , 94 7. 3 3
3,903 4.02
4, 1 2 4. 2 1
4.29
4.37 4.44
4,5 1
4.57
4,63 4.87 5.06 5,2 1
5.34 5.45 5.54 5.63 5.70 5.77 5.83
5,88 5.93 5.98
6.03 6.07
6. 1 1 6,39 6.60 7. 1 5 7.54
4 .0 1 2
4,079
4, 1 34 4,244 4.34
4,208 4.325 4.4 3 1
4.5 2
4.60 4.67 4,74
4,6 2 4.70 4,7 8 4.85
5 . 26 5,4 2 5.56 5,67
5,40 5,57 5.7 1 5.83
4.44
4.80 5.06
5.77 5 . 86 5 . 94
6.0 1
6,07
6, 1 3 6, 1 8 6.23 6, 2 7 6,32 6,36
6,64 6.84 7.42 7.80
4, 5 3
4. 9 1 5. 1 9
5.93 6.02 6, 1 0 6, 1 7 6 . 24
6,30 6.35 6,40 6. 4 5 6.49 6. 5 3 6.82 7.0 1 7.60 7,99
4 .4 7 2 4,690 4,899 5.099 5.292 5.47 7 5.657
5.83 1
6.000 6. 1 6 4 6.93 7.62 8.25 8.83 9, 3 8
9,90 1 0, 3 9 1 0. 8 6
1 1.3 1
1 1 .75
1 2. 1 7 1 2. 5 7 1 2 , 96 1 3. 3 4 1 3. 7 1
1 4 .07 1 7.26 1 9. 9 5 3 \ .59 4 4 . 7 (1
::5 �
П 7 Ординаты стандартной нормальной кривой � . . ----
----z
0.00
,-0 . 0- 1
0.02
0.0
0, 3 98 9
0. 3 9 8 9
0. 3 9 8 9
0. 1 0.2 0.3 0.4 0,5 0,6 0.7 0.8 0.9
0. 3 9 7 0 0, 3 9 1 0 0.3 8 1 4 0, 3 6 8 3 0. 3 5 2 1 0, 3 3 3 2 0.3 1 2 3 0,2 897 0. 2 6 6 1
0, 3 96 5 0.3902 0, 3 80 2 0. 3 6 6 8 0. 3 5 0 3 0, 3 3 1 2 0,3 ) 0 1 0. 2 87 4 0, 2 6 3 7
0. 3 96 1 0 , 3 894 0. 3 7 9 0 0. 3 6 5 3 0, 3 4 8 5 0. 3 2 9 2 0, 3 07 9 0,2850 0, 26 1 3
1 .0
�
4 20
1,1 1 .2
1 .3 1 .4 1 ,5 1 .6 1 ,7 1 .8 1 .9
г
0.2 1 7 9 0. 1 94 2 0, 1 7 1 4 0, 1 4 9 7 0, 1 29 5 0, 1 1 0 9 0.094 0 0,0 7 9 0 0,0 6 5 6
0.0 5 4 0
2.1 2.2 2 .3 2 ,4 2,5 2 .6 2.7
0.044 0 0.0 3 5 5 0.0 2 8 3 0,0 224 0.0 1 7 5 0.0 1 3 6 0, 0 1 04
1
1
0, 2 3 96
0,0 5 2 9 0,04 3 1 0,0 3 4 7 0,0 27 7 0,0 2 1 9 0,0 1 7 1 0,0 1 3 2 0,0 1 0 1
1
1 �
0.2 1 5 5 0. 1 9 1 9
.0. 1 6 9 1 0, 1 4 7 6 0. 1 2 7 6 0, 1 092 0.0 9 2 5 0.0 7 7 5 0.0644
1
0 . 04
o о. s
0. 3 9 8 8
0. 3 9 86
0, 3 984
0, 3 95 6 0. 3 8 8 5 0. 3 7 7 8 0. 3 6 3 7 0. 3 4 6 7 0, 3 27 1 0. 3 0 5 6 0. 2 8 2 7 0, 2 5 89
0. 3 9 5 1 0. 3 87 6 0. 3 7 6 5 0. 3 6 2 1 0,344 8 0. 3 2 5 1 0. 3 0 3 4 0. 2 803 0, 2 5 6 5
0. 3 94 5 0, 3 8 6 7 0. 3 7 5 2 0, 3 6 0 5 0. 3 4 2 9 0. 3 2 3 0 0. 3 0 1 1 0. 2 7 80 0. 254 1
0. 2
о, 2 3 4 7
0,2 1 3 1 0. 1 895
0. 2 1 0 7 0. 1 8 7 2
1
о. 2 3 2 3 0,2083 0. 1 84 9
[
о. 2 2 9 9 0. 2 0 5 9 0. 1 8 26
1 о.,.-1
о.о 1
о.О9
0. 3 9 8 2
(), 3 080
0. 3 9 7 �
0. 3 9 3 9 0. 3 8 5 7 0. 3 7 3 9 0.3589 0.34 1 0 0. 3 20 9 0. 2 9 8 9 0. 2 7 5 6 0.25 1 6
' 0, 3 9 3 2 0. 3 84 7 0. 3 7 2 5 0. 3 5 7 2 0. 3 3 9 1 0.3 1 87 0.2966 0. 2 7 3 2 0 , 24 9 2
о. 2 2 7 5 0.2036 0. 1 804
1
0, 1 6 6 9 0. 1 6 4 7 0. 1 6 26 0, 1 604 0, 1 5 !! 2 0, 1 4 5 6 0. 1 4 3 5 0. 1 4 1 5 0, 1 394 0. 1 374 0, 1 25 7 0. 1 2 3 8 0. 1 2 1 9 0. 1 200 0. 1 1 !! 2 0, 1 0 7 4 0. 1 05 7 0. 1 04 0 0. 1 02 3 0. 1 006 0, 0909 0. 0 8 9 3 0. 0 8 7 8 0. 0 8 6 3 0.0 84 в 0.0 7 6 1 0. 0 7 4 8 0. 0 7 3 4 0.0 7 2 1 0. 0 7 0 7 0.06 3 2 0. 0 6 2 0 0. 0608 0.0596 0.05 84 _ _ -,.---__ _ ,...__-__- , ----. / / o.oo- _' o R· oo I o. o R R_ _ 0,05 1 9 0.. 0 5 0 8 49 4 . 478
'!
1
0.03
0,04 2 2 0.0 3 3 9 0,0 2 7 0 0,0 2 1 3 0,0 1 6 7 0,0 1 2 9 0,0099
1
0.04 1 3 0. 0 3 3 2 0,0264 0.0208 0,0 1 6 3 0. 0 1 26 0. 0096
1
i
0.0404 0, 0 3 2 5 0.025 8 0,0203 0.0 1 5 8 0.0 1 2 2 0.0093
0.0396 0.03 1 7 0.0 2 5 2 0.0 1 9 8 0.0 1 5 4 0.0 1 1 9 0.009 1
о. 2 2 5 1 0. 2 0 1 2 0. 1 7 !! 1
0. 1 5 6 1 0. 1 3 5 4 0. 1 1 6 3 0.0989 0. 0 8 3 3 0.0694 0. 0 5 7 3
_j_ ? ·?4 6 8
0.0 3 8 7 0.03 1 0 0. 0 24 6 0.0 1 94 и. о 1 s 1 0. 0 1 1 6 0.0088
0.0 3 7 9 0. 0 3 0 3 (). 0 24 1 0.0 1 !! 9 0.0 1 4 7 0.0 1 1 3 0.0086
1
1
(), 3 '1 2 5 0. 3 8 36 0.37 1 2 0. 3 5 5 5 (), 3 3 7 2 (), 3 1 66 0,2943 0. 2 7 09 0.2468 0. 2 2 2 1 0. 1 9 8 9 0. 1 7 5 8
0. 1 5 3 9 0. 1 3 34 0. 1 1 4 5 0,09 7 3 0.08 1 8 0.06 8 1 (), 0 5 6 2 о.О4 5 9 0.03 7 1 0. 0 2 9 7 0.0235 0.0 1 84 0.0 1 4 3 0.0 1 1 0 0.0084
1
1
0.39 1 8 0. 3 8 2 5 0. 3 6 9 7 0. 3 5 3 8 0. 3 3 5 2 0. 3 1 4 4 0.2920 0. 2 6 8 5 0. 2444 о. п о з 0. 1 96 5 0. 1 7 3 6 0. 1 5 1 !1 0. 1 3 1 5 0. 1 1 2 7 0. 095 7 0.0804 0. 0669 0.05 5 1
0.044 9 0. 0 3 6 0. 0 2 9 t 0. 0 2 2 9 0.0 1 8 0 0.0 1 3 9 0.0 1 0 7 0 . 00 8 1
2,8 2,9
0,0079 0,0060
0,0077 0,005 8
0,0075 0,0056
0,007 3 0,0055
0,007 1 0,005 3
0,0069 0,005 1
0,0067 0,0050
0,0065 0,004 8
0,0063 0,0047
3,1 3,2 3,3 3 ,4 3,5 3 ,6 3,7 3,8 3 ,9
0,0033 0,0024 0,0 0 1 7 0,001 2 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
0,003 2 0,0023 0,00 1 7 0,001 2 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
0,003 1 0,0022 0,001 6 0,001 2 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
0,0030 0,0022 0,00 1 6 0,00 1 1 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002
0,0029 0,002 1 0,0 0 1 5 0,00 1 1 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002
0,0028 0,0020 0,00 1 5 0,0 0 1 0 0,0007 0,0005 0,0004 0,0002 0,0002
0,0027 0,0020 0,00 14 0,001 0 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002
0,0026 0,00 1 9 0,00 14 0,00 1 0 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002
0,0025 0,00 1 8 0,00 1 3 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,000 1
0, 0025 0,00 1 8 0,00 1 3 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,000 1
0,00
0,0 1
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
I
1
3 ,0
4 ,0 z
* Таблица заимств ована из (5 2) , с. 8 2.
0,006 1 0,0046
0,0034
0,000 1
П.8. Процентные точки распределения х2 *
1
3 4 5
2
N с "'
6 7 8 9 10
.1
0,0393 0,0 1 00 0,0 1 5 3 0,06 3 9 0, 1 5 8 0,299 0,485 0,7 1 0 0,97 2 1 ,26 5
1
0,0 1 5 7 0,0 200 0,0 24 3 0,0908 0, 2 1 0 0, 3 8 1 0, 598 0, 857 1,153 1,479
1
0,0393 0,0 100 0,07 1 7 0, 207 0,4 1 2 0,676 0,989 1 , 344 1 ,7 3 5 2,156
l
0,0 1 5 7 0,020 1 0, 1 1 5 0,297 0,554 0, 872 1 , 239 1 ,646 2,088 2,55 8
0,0982 0,0506 0, 2 1 6 0,484 0, 83 1 1 , 237 1,690 2, 1 80 2, 700 3,247
0,0393 0, 1 03 0, 352 0,7 1 1 1, 145 1,635 2, 1 67 2,7 3 3 3,325 3,940
1
0,0 1 5 8 0, 2 1 1 0,5 84 1 ,064 1,6 1 0 2,204 2,833 3,490 4, 1 6 8 4,865
1
0,064 2 0,446 1 ,005 1 ,649 2,34 3 3,070 3,822 4,594 5, 380 6,179
1
0, 148 0,7 1 3 1,424 2, 1 95 3,000
3,828 4,67 1 5,527 6,393 7,267
1
% [) 1 0, 27 5 1 ,022 1 , 869 2,753 3,655
4,570 5,493 6,423 7,357 8, 295
50 %
0,45 5 1,386 2,366 3,357 4,35 1
5,348 6,346 7,344 8,343 9, 342
Продолжение raбn. П.В 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
1 ,587 1 ,934 2,305 2,697 3,108
1 , 834 2,2 14 2,6 17 3,04 1 3,483
3,536 3,980 4,439 4,9 1 2 5,398
3,942 4,4 16 ' 4,905 5 ,407 5,921
8,5 3 8 9,093 9,656 10,227 1 0, 804
9,222 9, 803 10, 3 9 1 10,986 1 1 ,5 8 8
5,896 6 ,404 6,924 7 ,45 3 7 ,99 1
1 1 ,389 1 1 ,97 9 1 2,576 13,179 1 3 ,7 8 8
14 ,40 1 1 5 ,020 1 5 ,644 16 ,27 3 1 6 ,906
6,447 6,983 7 , 5 29 8,085 8,649
1 2 , 1 96 1 2 ,8 1 1 13,43 1 14,057 14,688
1 5 , 324 15,965 16,6 1 1 1 7 , 262 17,916
2,603 3,074 3,565 4,о75 4,601
5,142 5,697 6, 265 6,844 7,434
8,034 8,643 9,260 9,886 10,520
1 1 ,160 1 1 , 808 1 2,46 1 13,121 1 3 , 7 87
14,4 5 8 1 5 , 1 34 15,815 16,501 17,192
17 ,887 1 8 , 5 86 19, 289 19,996 20,707
3,053 3,5 7 1 4 , 1 07 4,660 5,229
5,812 6,408 7,0 1 5 7.6 3 3 8,260
8,897 9,542 10, 1 96 10,856 1 1 ,5 24
12,198 1 2, 87 9 13,565 14,256 14,95 3
1 5 ,6 5 5 16,362 17,073 17,789 1 8,509
19,233 19,960 20,6 9 1 2 1 ,426 22,164
3,816 4,404 5,009 5,629 6, 262
6, 908 7,564 8, 23 1 8, 907 9,5 9 1
10,283 10,982 1 1 ,688 1 2,40 1 13, 120
1 3 , 844 14, 5 7 3 15,308 16,047 16,7 9 1
17,539 1 8, 29 1 19,047 19,806 20,569
2 1 ,336 22, 106 22,87 8 23,654 24,453
4,515 5, 226 5, 892 6, 5 7 1 7, 26 1
7,962 8,67 2 9, 3 90 1 0, 1 1 7 1 0, 85 1
1 1,591 1 2, 3 3 8 1 3,09 1 1 3 , 84 8 14,6 1 1
15,379 16, 1 5 1 16,928 17,708 1 8,493
19,281 20,07 2 20, 867 2 1 ,664 22,465
23,269 24,075 24, 884 25,695 26,509
5,578 6,304 7,04 2 7,790 8,547
9,3 1 2 10,085 1 0, 865 1 1 ,65 1 1 2,443
1 3 , 240 14,04 1 14,84 8 1 5,659 16,473
1 7 , 292 1 8, 1 14 1 8,939 1 9,768 20,599
2 1 ,434 22,27 1 23, 1 1 0 23,95 2 24,797
25,643 26,492 27,343 28, 1 96 29.05 1
6,989 7 , 807 8,634 9,467 1 0, 307
1 1,152 1 2,002 1 2,857 13,716 14,578
1 5 ,445 16,314 1 7, 1 87 1 8,06 2 1 8,940
1 9,820 20,703 2 1 ,588 22,475 23,364
24,255 25 , 14 8 26,04 2 26,93 8 27,836
28,7 3 5 29,635 30,5 3 7 3 1 ,44 1 3 2,345
8, 148 9,034 9,926 1 0, 8 2 1 1 1, 7 2 1
1 2,624 13,531 14,440 15,352 16,266
1 7, 1 82 1 8, 1 0 1 1 9,021 1 9,94 3 20, 867
2 1 ,792 22, 7 1 9 23,647 24,577 25,508
26,440 27,3 7 3 28, 3 07 29, 242 30, 1 7 8
31, 1 15 3 2,05 3 32,992 33,932 34, 87 2
9,237 10, 1 8 2 1 1 , 129 1 2,о7 9 1 3,030
1 3,983 14,937 1 5 , 893 16,850 17,809
1 8,768 1 9,729 20,690 2 1 ,65 2 22, 6 1 6
23,579 24,544 25,509 26,47 5 27,442
28,409 29,376 30, 344 31,313 32,282
33,252 34, 222 35,192 36, 163 37 , 1 34
50 %
1 0,341 1 1,340 1 2, 340 1 3, 3 39 14, 339
15,338 16,338 17,338 1 8, 3 3 8 19,337
20, 337 2 1 ,337 22,337 23,337 24, 337
25,336 26, 336 27,336 28,336 29, 3 3 6
30,336 3 1 ,336 32,336 33,336 34,336
35,336 36, 336 37,335 3 8,335 39,335
40 %
0,708 1 , 833 2, 946 4,045 5,132
----
6,21 1 7,283 8, 3 5 1 9,4 14 10,47 3
1 1 ,5 3 0 12,584 13,636 14,685 15,733
16,780 1 7 , 824 1 8, 86 8 19,9 1 0 20,95 1
2 1 , 99 1 23,03 1 24,069 26, 1 06 26 , 14 3 N о _,
Продолжение табл. П. 8
1 ,074 2,408 3,665 4,878 6,064
7,231 8,3 83 9,5 24 10,656 1 Ц81
1 2,899 14,0 1 1 15, 1 1 9 16,222 17,322
18,4 1 8 19,5 1 1 20,60 1 2 1 ,689 22,775
23 , 85 8 24,939 26,0 1 8 27 ,096 28, 1 7 2
1,642 3, 2 1 9 4,642 5,989 7,289
8,5 5 8 9,803 1 1 ,030 1 2,24 2 1 3 ,442
14,6 3 1 15,812 16,985 18,1 5 1 19,3 1 1
20,465 21,615 22,760 23,900 25,03 8
26, 1 7 1 27 , 3 0 1 28,429 29,553 30,675
2,706 4,605 6 , 25 1 7,779 9,236
1 0,645 1 2,0 1 7 1 3 ,362 14,684 1 5,987
1 7 ,275 1 8,549 1 9 ,8 1 2 2 1 ,064 22,307
23 ,54 2 24,769 25,989 27 ,204 28,4 1 2
29,6 1 5 30, 8 1 3 32,007 33, 1 96 34,382
3 , 84 1 5,991 7,815 9,4 88 1 1 ,Q70
1 2,592 14,067 1 5 ,507 16,9 1 9 1 8, 307
19,675 2 1 ,026 22, 362 23,685 24, 996
26, 296 27, 5 87 28,869 30,144 3 1 ,4 1 0
32,67 1 33, 924 35 , 1 7 2 36,4 1 5 37,65 2
5 ,024 7,378 9,348 1 1 , 143 1 2, 8 3 2
14,449 16,013 1 7 , 535 1 9,023 20,483
2 1 ,920 23,336 24,736 26, 1 1 9 27,488
28,845 30, 1 9 1 3 1 , 5 26 32,852 34, 17 0
35,479 36,7 8 1 3 8,076 39,364 40,646
6,635 9, 2 1 0 1 1 ,345 1 3 , 27 7 1 5,086
7,879 10,597 .12,83 8 14,860 16,750
24,725 26, 2 1 7 27 ,688 29, 14 1 30,57 8
26,757 28, 300 29, 8 1 9 31,319 32,80 1
16,8 1 2 1 8,475 20,090 2 1 ,666 23, 209
3 2.000 33,409 34, 805 36, 1 9 1 37,566
38,932 40,289 4 1 ,6 3 8 42,980 44, 3 1 4
1 8,548 20, 27 8 2 1 ,955 23,589 25 , 1 88
34, 267 35,7 1 8 37,156 38,582 39,997
4 1 ,40 1 4 2,796 44, 1 8 1 45 , 5 5 8 46,928
10,828 13,816 16,266 1 8,467 20, 5 1 5
1 2, 1 1 6 1 5 , 202 17,730 19,997 22, 105
3 1 , 264 32,909 34,528 36, 1 2 3 37,697
33, 1 36 34, 82 1 36,47 8 38, 109 39,7 1 9
22,45 8 24,322 26, 1 25 27,877 29,588
39, 25 2 40,790 42,3 1 2 43, 820 45 ,3 1 5 46,797 48,268 49,7 28 5 1 , 179 52,620
24, 1 03 26,01 8 27 , 86 8 29,666 3 1 ,420
4 1 ,308 42,879 44,434 45,973 47,498 49,010 50, 5 1 1 5 2,000 53,479 54,947
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
N о 00
40 %
Про должение та бл. П. 8
____
27 , 1 7 9 28, 214 29, 24 9 30,283 31,316
32,349 33,38 1 34 ,4 1 3 35 ,444 36 ,47 5
37,505 38,535 39,564 40,593 4 1 ,622 •
3 1 ,795 32,9 1 2 34,027 35 , 1 3 9 36,250
29,246 30, 3 1 9 31,391 32,46 1 33,530
37,359 38,466 39,5 'Z 2 40,676 4 1 ,7 7 8
34,598 35 ,665 36,7 3 1 37,795 38,85 9
42,879 43,97 8 45,076 46, 1 7 3 47 ,269
39,922 40, 984 42,045 43, 105 44 , 1 6 5
Таблица заим сrв ована из
( 1 7 ] , с.
38,885 40, 1 1 3 4 1 ,337 42,557 43,773
35,563 36,74 1 37,9 1 6 39,087 40,256
4 1 ,422 42,585 4 3 ,745 44,903 46,059
44,985 46 , 1 94 47 ,400 48,602 49,802 50,998 5 2, 1 92 5 3 , 384 54 ,57 2 55,758
47 , 2 1 2 48,363 49,5 1 3 50,660 5 1 , 805
2 28.
4 1 ,923 43, 1 94 44,46 1 45 ,722 46,979
45,642 46,963 48,27 8 49,588 50,892
48,290 49,645 50,993 52,336 53,672
54,437 55 ,668 56,895 5 8, 1 20 59,342
58,6 1 9 59,892 6 1 , 162 62,428 62,69 1
61,581 62, 882 64, 1 8 1 65,476 66,766
48,232 49,480 50,725 5 1 ,966 5 3 , 203
52, 1 9 1 53 ,486 54, 7 7 6 56,06 1 5 7 , 342
55,003 56,328 57,64 8 58,964 60,27 5
54,05 2 5 5 ,476 56, 892 58,301 59,703
6 1 ,098 6 2 ,487 6 3 , 87 0 65,247 66,6 1 9 67,985 69,346 70,703 72,055 73,402
56,407 57,858 59,300 60,735 62, 1 6 2
26 27 28 29 30
70,588 7 1 , 972 73,35 1 74,725 76,095
36 37 38 39 40
63,582 64,995 66,402 67 , 803 69, 199
П.9. Критические значения К - С-к р итерии n
3 4 5 6 7 8 9
0,636 0,565 0,509 0,468 0,436 0,4 1 0 0,387
0,708 0,6 24 0,56 3 0,5 1 9 0,4 83 0,4 54 0,4 3 0
10 11 12 13 14 15 16
0,369 0, 3 5 2 0,33 8 0,325 0, 3 1 4 0,304 0,29 5
* Таблица заимств ована и з (5 2 ] , с . 3 02.
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
0,24 2 0,238 0,23 3 0,229 0,225 0,22 1 0,2 1 8
0,269 0. 264 0,259 0,254 0,250 0,246 0, 242
31 32 33 34 35 36 37
0,214 0,21 1 0,208 0,205 0,202 0, 1 99 0, 1 96
0,2 3 8 0, 234 0,23 1 0,227 0, 224 0,22 1 0,2 1 8
38 39 40 50 100
0, 1 94 0, 1 9 1 0, 1 89 0, 170 0, 1 2 1
31 32 33 34 35
Do,os 0,2 1 5 0,2 13 0, 2 1 0 0,177 0, 1 34
П.1 0. Проверка коэффициента коррелицнн на значимость относительно нуля* Число степеней свободы
5%
1%
0,1 %
5%
1%
0, 1 %
(1)
(2)
(3)
(4 )
(5 )
(6)
(7 )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0,9969 0,95 00 0,87 83 0,8 1 1 0,7 54 0,707 0,666 0,6 3 2 0,602 0,5 7 6 0,5 5 3 0,5 3 2 0,5 1 4 0,497 0,4 8 2 0,4 6 8 0,456 0,444 0,43 3 0,423
0,9900 0,95 87 0,9 1 7 0,87 5 0,834 0,7 9 8 0,7 6 5 0,7 3 5 0,7 0 8 0,684 0,66 1 0,64 1 0,6 23 0,606 0,590 0,5 1 5 0,56 1 0,54 9 0,5 3 7
0,9990 0,99 1 1 0,974 0,95 1 0,925 0,898 0,87 2 0,84 7 0,823 0,80 1 0,7 80 0,760 0,7 4 2 0,7 25 0,7 0 8 0,693 0,679 0,665 0,6 5 2
В*
0,9877 0,9000 0,805 0,7 29 0,66 9 0,6 2 1 0,5 8 2 0,54 9 0,5 2 1 0,497 0,476 0,4 5 7 0,44 1 0,4 26 0,4 1 2 0,400 0,389 0,3 7 8 0,369 0,360
0,9995 0,9800 0,934 0,882 0,833 0,7 89 0,7 5 0 0,7 1 5 0,6 85 0,65 8 0,634 0,6 1 2 0,592 0,574 0,5 5 8 0,543 0,529 0,5 1 6 0,503 t,492
0,9980 0,986 0,96 3 0,935 0,905 0,875 0,847 0,820 0,795 0,7 7 2 0,750 0,7 3 0 0,7 1 1 0,694 0,67 8 0,66 2 0,64 8 0,635 0,6 22
21 22 23 24 25
0,4 1 3 0,404 0,396 0,388 0,3 8 1
0,526 0,5 1 5 0,505 0,496 0,4 87
0,640 0,6 29 0,6 1 8 0,607 0,597
26 27 28 29 30
0,374 0,367 0,36 1 0,355 0,349
0,4 7 8 0,47 0 0,463 0,4 5 6 0,449
0,5 8 8 0,5 7 9 0,5 7 0 0,5 6 2 0,554
0,3 5 2 0,344 0,3 3 7 0,3 3 0 0,323 0,3 1 7 0,3 1 1 0,306 0,301 0,296
0,482 0,4 7 2 0,46 2 0,4 5 3 0,445 0,4 3 7 0,430 0,423 0,4 1 6 0,409
0,6 1 0 0,5 99 0,5 8 8 0,57 8 0,5 6 8 0, 5 5 9 0,550 0,54 1 0,5 3 3 0,526
35 40 50 60 70
0,325 0,304 0,27 3 0,25 0 0,23 2
9,4 1 8 0,393 0,354 0,325 0,302
0,5 1 9 0,490 0,44 3 0,408 0,380
0,275 0,257 0,23 1 0,2 1 1 0,195
0,38 1 0,3 5 8 0,322 0,295 0,274
0,492 0,463 0,4 1 9 0,385 0,3 5 8
80 90 100 120 150
0,2 1 7 0,205 0, 1 9 5 0, 1 7 8 0, 1 5 9
0,283 0,267 0,254 0,23 2 0,208
0,357 0,338 0,3 2 1 0,294 0,26 3
0, 1 83 0, 1 7 3 0,1 64 0,150 0, 1 34
0,257 0,24 2 0,230 0,2 1 0 0. 1 89
0,336 0,3 1 8 0,302 0,277 0,249
200 250 300 350 400
0, 1 3 8 0 , 1 24 Q,1 1 3 0,105 0,09 7 8
0, 1 8 1 0,1 6 2 0, 1 4 8 0,137 0,128
0,230 0,206 0,1 8 8 0, 1 7 5 0,164
0, 1 1 6 0, 1 04 0,095 0,08 7 8 0,08 22
0, 1 64 0,146 0, 1 34 0, 1 24 0, 1 1 6
0,2 1 6 0, 1 94 0,177 0, 164 0, 1 54
Двусторонний к ритерий
А*
* Таблица з аим ствована из
8 - 5 79
Односторонний критерий
С*
[5 2 ] , с. 3 92. 209
(1 )
(3 )
(2)
(4)
0,0875 0,146 0,1 1 5 5 00 0,0972 0,0740 0,1 24 700 0,08 1 3 1000 0,06 1 9 0, 1 04 0,0505 0,0664 1500 0,0847 0,04 38 2000 0,057 5 0,07 34 А * = 0,999877, В * = 0,99999 87 7 , С * = 0,999995 1 . IL 1 1. Процен111 ые
�
1
точ
2
Про должение та бп . Л. J О.
(5)
0,0735 0,06 2 1 0,05 20 0,04 24 0,03 68
ки F-распределения Фишера, р = 1 О %* 3
4
5
6
(6)
(7 )
0, 1 04 0,08 7 8 0,07 3 5 0,0600 0,05 1 9
7
0, 1 3 8 0,2 1 6 0,0975 0,0795 0,06 89
8
9
1 2 3 4 5
3 9,846 8,5263 5 , 5 3 83 4 ,5448 4 ,0604
4 9,5 00 9,0000 5 ,4624 4,3246 3,7797
53,593 9,16 1 8 5 ,3908 4,1 908 3 ,6 1 95
55,833 9,2434 5 ,3427 4 , 1 07 3 3,5 202
57,24 1 9,2926 5 , 3092 4,0506 3,45 30
58,204 9,3255 5,284 7 4,009 8 3,4045
5 8,906 9,34 9 1 5,2662 3,97 90 3,3679
5 9,439 9,366 8 5 , 25 1 7 3,9549 3,3393
59,858 9,3 805 5,2400 3,9357 3,3 1 6 3
11 12 13 14 15
3 ,2252 2,1765 3,1362 3 , 1022 3 ,07 3 2
2,85 95 2,8068 2,7632 2,7275 2,695 2
2,6602 2,6055 2,5603 2,5 222 2,4898
2,5 3 6 2 2,4801 2,4 3 3 7 2,3947 2,36 14
2,45 1 2 2,3940 2,3467 2,3069 2,27 30
2, 3 89 1 2,33 1 0 2,3830 2,2426 2,208 1
2,34 1 6 2,2828 2,234 1 2, 1 9 3 1 2, 1 5 82
2,3040 2, 244 6 2, 1 9 5 3 2, 1 5 3 9 2, 1 1 85
2,27 35 2,2 1 3 5 2, 1 6 3 8 2, 1 220 2,086 2
6 7 8 9 10
3,7760 3 ,5 8 94 3 ,45 7 9 3 ,3603 3,2850
3 ,4633 3 ,2574 3,1 131 3,0065 2,9345
3 ,2888 3 ,07 4 1 2,9238 2,81 29 2,7 277
3 , 1 808 2,9605 2,8064 2,6927 2,6053
3 , 1075 2,8833 2,7265 2,6 1 06 2,5216
16 17 18 19 20
3,04 8 1 3 ,0262 3 ,0070 2,9899 2,9747
2,66 81. 2,6446 2,6239 2,6055 2,5893
2,46 1 8 2,4374 2,4 1 60 8,3970 2,3801
2,3 3 2'7 2,3077 2,2858 2,2663 2,24 89
2,24 3 8 2,2 1 83 2,1958 2 , 1 7 60 2,1582
26 27 28 29 30
2,9091 2,90 1 2 2,8939 2,887 1 2,8807
2,5 1 9 1 2,5 1 06 2,5028 2,4950 2,4887
2, 307 5 2,2987 2,2906 2,283 1 2,27 6 1
2,1745 2,1655 2,157 1 2,1494 2,1422
2,0822 2,07 30 2,0645 2,05 66 2,0492
21 22 23 24 25
40 60 1 20 00
2 10
2,9609 2,94 86 2,9374 2,92 7 1 2,9 1 77
2,8354 2, 7 9 1 4 2,74 7 8 2,7055
* Таб
2,5746 2,56 1 3 2,5493 2,53 83 2,5283
2,4404 2,3933 2,3473 2,3026
2,3649 2,35 1 2 2,3387 2,3274 2,3 1 7 0
2,226 1 2 , 1 7 74 2 , 1 3 00 2,0838
лица занм сrвована из
2,23 3 3 2,2193 2,2065 2 , 1 949 2 , 1 84 3
2,0909 2,04 1 0 1 ,9923 1 ,9449
L 1 7 ) , с. 27 2.
3,0546 2,8274 2,66 83 2,5509 2,4606
2,014 5 2,7 849 2,624 1 2,5053 2,4 140
2, 7 849 2, 1 5 24 2, 1 296 2, 1 094 2,09 1 3
2,1 280 2, 1 0 1 7 2,07 85 2,05 80 2,0397
2,0 1 3 9 2,0045 1 ,995 9 1 ,987 8 1 ,9803
1 ,9640 1 ,95 1 5 1 ,94 27 1 ,9345 1 ,9269
2,1423 2,1 279 2,1 149 2,1030 2,09 22
2,075 1 2,0605 2,04 7 2 2,035 1 2,024 1
1 ,9968 1 ,94 57 1 ,8959 1 , 84 7 3
1 ,9269 1 , 8747 1 , 82 3 8 1 ,774 1
2,0232 2,0084 1 ,9949 1 ,9826 1,97 14
1,87 25 1 , 8 1 94 1,7675 1 ,7 167
3,9830 2,75 1 6 2,5893 2,4694 2,37 7 2
2,0880 2,06 1 3 2,0379 2,0 1 7 1 1 , 9985
1 ,98 1 9 1 ,966 8 1,953 1 1 , 9407 1 ,9292
1,9188 1 , 909 1 1 , 900 1 1 , 89 1 8 1 , 884 1
1 , 8289 1,7748 1 , 7 220 1,6702
2,9577 2,7 247 2,56 1 2 2,4403 2,347 3
2,05 5 3 2,0 284 2,0047 1,9836 1,9649
1 , 9480 1 ,9327 1 ,9 1 89 1,9063 1 , 8947
1,884 1 1 , 8743 1 , 86 5 2 1 , 8568 1,8490
1,7 929 1 , 7 3 80 1 , 6 843 1,63 1 5
-шт
1 20
00
6 2,265 62,529 62,794 9,45 7 9 9,4663 9,4 746 5 , 1 6 8 1 5 , 1 597 5, 1 5 1 2 3 , 8 1 74 3,8036 3,7 896 3 , 1 74 1 2, 1 5 7 3 3 , 1 4 02
63 ,06 1 9,4829 5, 1425 3,77 5 3 3, 1 22 8
63,328 9,4 9 1 3 5 , 1 337 3,7607 3, 1 05 0
2,81 83 2,5753 2,404 1 2,2768 2 , 1 7 84
2,8000 2,5555 2,3830 1 ,2547 2 , 1 5 54
2,7 8 1 2 2,535 1 2,36 1 4 2,2320 2, 1 3 1 7
2,76 20 2,5 142 2,3 3 9 1 2,2085 2,1 072
2,74 23 2,4928 2, 3 1 6 2 2, 1 84 3 2,08 1 8
2,7 222 2,4708 2,2926 2, 1 592 2,0554
2 , 1 230 2,0597 2,0070 1 ,9625 1 ,9243
2,1 000 2,0360 1 ,9827 1 ,9377 1 ,8990
2,0762 2,0 1 1 5 1 ,9576 1 ,9 1 1 9 1 ,87 28
2,05 1 6 1 . § 86 1 1 , 93 1 5 1 , 8 85 2 1 , 8454
2,026 1 1 ,9597 1 ,9043 1,8572 1 ,8168
1,9997 1 ,9323 1 , 875 9 1 , 8230 1 , 7 867
1,97 2 1 1 , 9036 1 , 8462 1,7973 1,755 1
1 ,9399 1 ,9 1 1 7 1 ,8868 1 ,8647 1 ,8449
1 ,89 1 3 1 ,86 24 1 ,83 6 8 1 ,8142 1 ,7 9 3 8
1 ,8656 1 ,8362 1 ,8 1 03 1 ,7 87 3 1 ,7667
1 ,8388 1 , 8090 1 ,7 8 27 1 ,7 5 9 2 1 ,7 3 8 2
1,8108 1,7 805 1,7537 1,7298 1,7083
1 ,7 8 16 1 , 7 5 06 1 ,7 232 1,6988 1,6768
1 ,7507 1,7 1 9 1 1 ,69 1 0 1,6659 1,6433
1,7 1 8 2 1 , 6 856 1 ,6567 1 ,6308 1 ,6074
1 ,8750 1 ,8 5 93 1 ,8450 1 ,83 19 1 , 8 200
1 ,8272 1 ,8 1 1 1 1 ,7 964 1 ,7 8 3 1 1 ,7708
1 ,7 7 5 6 1 ,7 5 90 1 ,7 4 3 9 1 ,7 3 0 2 1 ,7 1 75
1 ,7 4 8 1 1 ,7 3 1 2 1 ,7 1 59 1 ,7 0 1 9 1 ,6890
1 , 7 1 93 1 ,7 0 2 1 1 ,6964 1 ,6 7 0 1 1 ,65 89
1,6890 1 ,67 1 4 1 ,6554 1 , 6407 1 ,627 2
1 ,6569 1 ,6 3 89 1 ,6 2 24 1,6073 1 ,5 934
1,6228 1 ,604 2 1 , 5 87 1 1 ,57 1 5 1,5570
1 , 5 86 2 1,5668 1 ,5490 1 , 5 3 27 1,5 176
1 , 85 5 0 1 , 845 1 1 , 83 5 9 1 , 8274 1,8195
1 , 8090 1 , 7 9 89 1 ,7 895 1 ,7 808 1 ,7 7 27
1 ,7 5 96 1 ,7492 1 ,7 3 95 1 ,7306 1 ,7 2 23
1 ,7059 1 ,695 1 1 .6852 1,675 9 1 ,6673
1 ,67 7 1 1 ,6662 1 ,6560 1 ,6465 1 ,6 3 7 7
1 ,646 8 1 ,6356 1 ,6252 1 ,6 1 55 1 ,6065
1 ,6 147 1 ,603 2 1 ,5925 1 ,5 85 5 1,5732
1 ,5 805 1 , 5 6 86 1 ,5 5 7 5 1 ,5472 1,5376
1 ,54 3 7 1,53 1 3 1,5198 1 , 5090 1 ,4989
1 ,5036 1 ,4906 1 ,4 7 84 1 ,4670 1 ,4564
1 ,7627 1 ,7070 1 ,6524 1 ,5987
1 ,7 146 1 ,6574 1 ,6 0 1 2 1 ,5458
1 ,6624 1 ,6034 1 ,54 50 1 ,487 1
1 ,6052 1 ,54 35 1 ,4 8 2 1 1 ,4206
1 ,574 1 1 ,5 1 07 1 ,447 2 1 ,3832
1 ,54 1 1 1 ,4755 1 ,4094 1 ,34 1 9
1 ,505 6 1 ,4 3 7 3 1 , 3676 1 , 295 1
1 ,4672 1 ,3952 1 , 3 203 1 ,2400
1 ,424 8 1 , 3476 1 , 2646 1 , 1686
1,3769 1,2915 1 , 1 926 1 , 1 000
12
15
20
24
60, 1 9 5 9,39 1 6 5, 2304 3,9199 3, 2974
60,7 05 9,4081 5 ,2 1 56 3,8955 3,2682
6 1 ,220 9,4247 5 ,2003 3,87 03 3,2380
6 1 ,740 9,44 1 3 5 , 1 845 3 , 8443 3,2067
6 2.002 9,4496 5 , 1 7 64 3,83 10 3 , 1 905
2,9369 2,7025 2,5380 2,4 1 6 3 2, 3 226
2,9047 2,66 8 1 2,5020 2,3789 2,284 1
2,87 1 2 2,63 22 2,4642 2,3 3 96 2,24 3 5
2,83 6 3 2,2547 2,4246 2,2983 2,2007
2,24 8 2 2, 1 87 8 2, 1 3 7 6 2,0954 2,0593
2,2087 2,1474 2,0966 2,0537 2,0 1 7 1
2, 1 6 7 1 2 , 1 049 2,05 3 2 2,0095 1 ,97 22
2,028 1 2,0009 1,9770 1 , 9557 1 ,9367
1 ,9 854 1 ,9577 1 ,9 3 3 3 1 ,9 1 17 1 , 8924
1,9197 1 , 904 3 1 , 8903 1 , 87 7 5 1 , 865 8
30
40
60
211
Процентвые точки F-pacпpeдeлeiUIJI Фишера, р = 5 %
�
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4
1 6 1 ,45 1 8,5 1 3 1 0, 1 28 7,7086
1 99,50 1 9,000 9,5 5 2 1 6 ,9443
2 15 ,7 1 1 9, 1 64 9,2766 6,5914
2 24, 5 8 1 9,247 9, 1 1 7 2 6,3883
230, 16 1 9,296 9,0 1 35 6,2560
233,99 19,330 8,9406 6,163 1
236,77 1 9,353 8,8868 6,094 2
238,88 1 9,37 1 8, 84 5 2 6,04 1 0
140,54 1 9,385 8, 8 1 23 5,9988
5 6 7 8 9
6 ,6079 5 ,9874 5 ,5 9 1 4 5 ,3 1 77 5 , 1 1 74
5 ,7 8 6 1 5 , 1433 4,7374 4 ,4590 4,2565
5 ,4095 4,75 7 1 4,3468 4,0662 3,8626
5,1922 4,5337 4 , 1 203 3 , 83 7 8 3,63 3 1
5 ,0503 4,3 874 3 ,97 15 3 ,6875 3 ,4 8 17
4,9503 4,2839 3, 8660 3,5 806 3, 3 7 3 8
4,8759 4,2066 3,7870 3,5 005 3,2927
4, 8 1 8 3 4, 146 8 3,7257 3,43 8 1 3,2296
4,7725 4,0990 3,6767 3,3881 3, 1 7 89
10 11 12 13 14
4 ,9646 4 , 8443 4,7472 4,66 7 2 4,600 1
4,1028 3,9823 3 ,8853 3 ,8056 3,7 3 89
3 ,7083 3 ,5 874 3 ,4903 3 ,4 1 05 3 ,3439
3 ,47 80 3,356 7 3,2592 3,1791 3 , 1 1 22
3,3258 3 ,2039 3 , 1 059 3 ,0254 2,9582
3, 2 1 7 2 2,0946 2,996 1 2,9 1 5 3 2,8477
3,1 355 3,0 1 23 2,9 1 34 2,83 2 1 2,7642
3,07 1 7 2,94 8 0 2,8486 2,7669 2,6987
3,0 204 2,8962 2,7 964 2,7 144 2,645 8
15 16 17 18 19
4,54 3 1 4 ,4940 4,45 1 3 4 ,4 1 3 9 4 , 3 808
3 ,6823 3,6337 3 ,59 1 5 3 ,5546 3 ,5 2 1 9
3 , 2974 3 ,23 89 3 , 1 968 3 , 1 5 99 3 , 1 274
3,05 5 6 3 ,0069 2,9647 2,9277 2,895 1
2,90 1 3 2,85 24 2,8 1 00 2,7729 2,7401
2,7 905 2,74 1 3 2,6987 2,6 6 1 3 2,6283
2,7 066 2,65 7 2 2,6 143 2,5767 2,5435
2,6408 2,5 9 1 1 2,5480 2,5 1 0 2 2,47 6 8
2,5 876 2,5 377 2,494 3 2,4563 2,4227
20 21 22 23 24
4,35 1 3 4,3248 4,3009 4,2793 4 , 25 97
3 ,4928 3 ,4668 3 ,4434 3 ,4 2 2 1 3 ,4028
3 ,0984 3,0725 3 ,04 9 1 3 ,0280 3 ,0088
2,86 6 1 2,84 0 1 2,8167 2,7955 2,7763
2,7 1 09 2,6848 2,66 1 3 2,6400 2,6 207
2,5990 2,5727 2,549 1 2,5277 2,5082
2,5 140 2,4 876 2,46 3 8 2,44 22 2,4 2 26
2,447 1 2,4205 2,3965 2, 374 8 2,355 1
2,3928 2,366 1 2,34 1 9 2,3 20 1 2,3002
25 26 27 28 29
4 , 24 1 7 4,2252 4 , 2 1 00 4 , 1 960 4 , 1 830
3,3852 3 ,3690 3 ,354 1 3,3404 3,3277
2,99 1 2 3 ,97 5 1 2,9604 2,9467 2,9340
2,75 87 2,7426 2,7 2 7 8 2,7 1 4 1 2,7 0 1 4
2,6030 2,5868 2,57 1 9 2,55 8 1 2,5454
2,4904 2,474 1 2,45 9 1 2,44 5 3 2,4324
2,4047 2,3883 2,3 7 3 2 2,3593 2,3463
2,337 1 2, 3 205 2,305 3 2, 29 1 3 2, 27 8 2
2, 2 8 2 1 2,2655 2, 2501 2,2360 2,2229
30 40 60 1 20
4 , 1 7 09 4,0848 4,00 1 2 3,9201 3 ,84 1 5
3 ,3 1 5 8 3,23 1 7 3 , 1 5 04 3 ,07 1 8 2,9957
2,9223 2,83 87 2,7 5 8 1 2,6802 2,6049
2,6896 2,6060 2,5252 2,44 7 2 2,37 1 9
2,5336 2,44 95 2,3683 2,2900 2,2 1 4 1
2,4205 2, 3 3 5 9 2,2540 2, 1 7 5 0 2,0986
2,3343 2,2490 2, 1665 2,0867 2,0096
2, 266 2 2, 1 80 2 2,097 0 2,0 164 1 , 93 84
2, 2 107 2, 1 240 2,040 1 1 ,9588 1 , 8799
00
212
10
24 1 , 8 8 1 9 ,396 8,7 855 5 ,9644
12
243 , 9 1 1 9,4 1 3 8,7446 5 ,9 1 17
15
245,95 1 9,4 29 8,7029 5 ,85 7 8
20
24 8,0 1 1 9,446 8,6602 5 ,8025
24
249,05 1 9,454 8,63 85 5 ,7744
250,09 1 9,462 8,6 1 66 5 ,7459
2,7 3 7 2 2,6090 2,5055 2,4202 2,3487
2,6996 2,5705 2,4663 2,3 803 2,3082
4,735 1 4,0600 3,6365 3 , 347 2 3 , 1 37 3
4,67 77 3 ,9999 3,5747 3,2840 3,0729
4,6 1 88 3,93 8 1 3,5 1 08 3 ,2 1 84 3,006 1
4,5 5 8 1 3 ,874 2 3 ,4445 3 , 1 5 03 2,9365
4,5272 3 , 84 1 5 3 ,4 1 05 3,1152 2,9005
2,5437 2,4935 2,4499 2,4 1 1 7 2,3779
2,4753 2,4 247 2,3 807 2,34 2 1 2,3080
2,4035 2,35 22 2,3977 2,26 86 2,23 4 1
2,3275 2,27 5 6 2,2304 2,1 906 2,1555
2,2878 2,2354 2,1 898 2,1497 2, 1 14 1
2,0889 2,07 16 2,05 5 8 2,04 1 1 2,0275
2,0075 1 ,9898 1 ,9736 1 ,95 86 1 ,9446
2,9782 2,8536 2,7534 2,67 1 0 2,602 1
2,3479 2, 3 2 1 0 2,2967 2, 274 7 2,2547
2,2365 2 , 2 1 97 2,204 3 2, 1 900 2,1768
2 , 1 646 2,07 7 2 1 , 9926 1 , 9 1 05 1 , 8307
2,9 1 30 2,7 876 2,6866 2,6037 2,5 342
2,2776 2,2504 2,2258 2,2036 2,1 834
2,1 649 2,1479 2, 1 3 23 2,1 179 2,1045
2,0921 2,0035 1 , 9 1 74 1 ,8337 1 ,7 5 22
2,8450 2,7 1 86 2,6 1 6 9 2,5 3 3 1 2,46 30
2,2033 2,1757 2 , 1 508 2 , 1 282 2 , 1 077
2,0 1 4 8 1 ,9245 1 ,83 64 1 ,7505 1 ,6664
2,7740 2,6464 2,54 36 2,45 89 2,3879
2 , 1 24 2 2,0960 2,0707 2,04 76 2,0267
1 ,93 17 1 ,8389 1 ,74 80 1 ,65 87 1 ,5705
30
2,0825 2,0540 2,0283 2,0050 1 ,9838 1 ,9643 1 ,9464 1 ,9299 1 ,9 147 1 ,9005
1 ,8874 1 ,7929 1 ,7001 1 ,6084 1 ,5 1 7 3
40
25 1 , 14 1 9,4 7 1 8,5944 5,7 1,70
60
25 2, 20 1 9,47 9 8, 5720 5,6870
120
253,25 1 9,487 8,5494 5,65 8 1
00
254, 3 2 1 9,496 8,5265 5,628 1
4,4957 3,8082 3,3758 3 ,0794 2,8637
4,46 3 8 3,7743 3 , 34 04 3,0428 2,8259
4,43 14 3,7398 3, 304 3 3,005 3 2,7 87 2
4,3984 3,7 047 3,2674 2,9669 2,7475
4,365 0 3,66 8 8 3, 2298 2,9276 2,7067
2,2468 2, 1 9 3 8 2,1477 2,107 1 2,07 1 2
2,2043 2 , 1 5 07 2 , 1 040 2,06 29 2,0264
2, 160 1 2, 105 8 2, 05 84 2,0166 1 , 9796
2, 1 14 1 2,05 89 2,0 1 07 1,96 8 1 1 ,9302
2,065 8 2,0096 1,9604 1,9168 1 , 8780
2,03 9 1 2,0 1 02 1 ,9842 1 ,9605 1,93901 1 ,9 1 92 1 ,90 10 1 , 8842 1 , 86 87 1 ,8543
1 ,8409 1 ,7444 1 ,649 1 1 ,5543 1 ,45 9 1
2,6609 2,5309 2,4259 2,3392 2,2664
1 ,993 8 1 ,9645 1 ,93 80 1,9139 1,8920
1 ,87 7 8 1 ,85 3 3 1 ,83 6 1 1 ,8203 1 ,805 5
1 ,7 9 1 8 1 ,6928 1 ,5943 1 ,4952 1 , 3 940
2,6 2 1 1 2,490 1 2, 3842 2, 2966 2,2230
1 , 9464 1 , 9 165 1 , 8895 1 , 8649 1 , 8424
1,8217 1 , 8027 1 , 7 85 1 1 ,7689 1,7537
1 , 7 396 1 ,6 3 7 3 1,5343 1,4290 1 , 3 1 80
2,5 801 2,4480 2,34 1 0 2,25 24 2, 1 7 7 8
1 ,896 1 1 , 8657 1 ,8380 1 , 8 1 28 1,7 897
1,7684 1,7488 1,7 307 1 ,7 1 38 1,6981
1 ,6835 1 ,5766 1 ,4673 1,35 19 1 , 2 2 14
2,5379 2,4045 2, 296 2 2, 2064 2, 1 307
1 , 84 3 2 1, 8 1 1 7 1 ,7 83 1 1 ,7570 1,733 1
1 ,7 1 1 0 1,6906 1,67 1 7 1 ,654 1 1 ,6377
1,6223 1 ,5089 1 , 3893 1 , 25 3 9 1,0000
213
Процентвые точ101 F-распределеиия Фишера, р = 2,5 %
�1
2
3
4
5
6
7
8
1
9 96 3,28 39,387 14,473 8,9047
1 2 3 4
647,7 9 3 8,5 06 1 7,443 1 2, 2 1 8
7 99,50 3 9,000 16,044 1 0,649
864, 16 39,1 65 1 5,4 39 9,97 92
899,5 8 3 9,248 1 5,101 9,6045
921,85 3 9,298 14,885 9,3645
937, 1 1 39,33 1 14,735 9,1973
94 8, 22 39,355 14, 6 24 9,0741
956,66 39,373 14,540 8, 9796
5 6 7 8 9
1 0,007 8,8 1 3 1 8,07 27 7,5709 7,2093
8,4336 7,2598 6,54 1 5 6 ,0595 5 ,7 1 47
7,7636 6,5988 5 ,8898 5 ,4 1 60 5 ,07 8 1
7,3879 6,227 2 5,5226 5 ,05 26 4,7 1 8 1
7 , 1464 5 ,9876 5,2852 4,8173 4,4 844
6,97 7 7 5 , 8 1 97 5 , 1 1 86 4,65 1 7 4, 3 1 97
6,85 3 1 5,6955 4,9949 4,5286 4, 1 97 1
6, 7 5 7 2 6,6 8 1 0 5,5996 5,5 234 4, 8994 4,8232 4,43 3 2 4,3572 4, 1 020 4,0260
10 11 12 13 14
6 ,93 67 6 ,7 2 4 1 6 ,5 5 3 8 6 ,4 1 4 3 6,2979
5 ,4564 5,2559 5 ,0959 4,9653 4,8567
4,8256 4,6300 4,4742 4,3472 4 , 24 1 7
4,4683 4,27 5 1 4,1212 3 ,9959 3,89 1 9
4,236 1 4,07 2 1 3,9498 4,0440 3, 8807 3,7 5 86 3 , 89 1 1 3,7283 3,6065 3,7667 3,604 3 3,4 8 27 3,6634 3,5014 3,3799
3, 854 9 3,66 3 8 3,5 1 1 8 3,3880 3,2853
3,7790 3,5879 3,4 3 5 8 3,3 1 20 3, 2093
15 16 17 18 19
6 , 1 995 6,1 1 5 1 6 ,04 20 5,97 8 1 5 ,92 16
4,7650 4,6867 4,6 1 89 4,5597 4 ,5075
4 , 1 5 28 4,0768 4,0 1 1 2 3,9593 3 ,9034
3 , 8043 3 ,7 2 94 3,6648 3 ,6083 3 ,55 87
3,5764 3,5021 3,4379 3 , 3 8 20 3 , 3 3 27
3,4 147 3, 3406 3, 2767 3, 2209 3,17 1 8
3,2934 3 , 2 1 94 3, 1 556 3,0999 3,05 09
3, 1 987 3, 1 24 8 3, 06 1 0 3, 005 3 2, 9563
3, 1 227 3,0488 2, 9849 2,9291 2,8800
20 21 22 23 24
5 ,87 1 5 5 , 8266 5 ,7 863 5,7498 5 ,7 1 6 7
4 ,46 1 3 4,4 1 99 4,3828 4,3492 4 ,3 1 87
3 ,85 87 3 , 8 1 88 3,7829 3,7505 3 ,7 2 1 1
3,5147 3 ,4754 3 ,4401 3 ,4083 3,3794
3,2891 3,25 0 1 3 ,2 1 5 1 3 , 1 835 3 , 1 54 8
3, 1 283 3,0895 3,0546 3,023 2 2, 994 6
3,0074 2,9686 2,93 3 8 2, 9024 2,87 3 8
2, 9 1 2 8 2,8740 2, 8392 2, 807 7 2,7 7 9 1
2,8365 2,7977 2,7628 2, 7 3 1 3 2,7027
25 26 27 28 29
5 ,6864 5 ,6586 5 ,63 3 1 5 ,6096 5,5878
4, 2909 4,2655 4,24 2 1 4,2205 4, 2006
3,6943 3 ,6697 3,6472 3 ,6 264 3 ,607 2
3,3530 3 , 3 2 89 3 ,3067 3 ,2863 3 , 2674
3 , 1 2 87 3 , 1 04 8 3 ,0828 3,0625 3,04 3 8
2,9685 2,9447 2,9228 2, 9027 2, 8840
2, 84 7 8 2,8240 2, 802 1 2,7 820 2,76 3 3
2, 75 3 1 2,7293 2,7074 2,687 2 2, 6686
2,6766 2,6528 2,6309 2,6 1 06 2,5 9 1 9
30 40 60 1 20
5,5675 5 ,4239 5 ,2857 5 , 1 5 25 5 ,0239
4,1821 4 ,05 10 3 ,9253 3 ,8046 3 ,6869
3,5894 3 ,46 3 3 3,3425 3 ,2270 3,1161
3 , 2499 3 , 1 26 1 3 ,0077 2,8943 2,7 8 5 8
3 ,0265 2,9037 2,7 853 2,6740 2,5665
2,8667 2,7444 2,6274 2,5 154 2,4082
2,7460 2,6 238 2,5068 2,394 8 2, 2875
2,65 1 3 2, 5 289 2,4 1 1 7 2, 2994 2, 1 9 1 8
2,5746 2,45 1 9 2, 3 344 2, 2217 2, 1 1 36
00
2 14
10
96 8,6 3 3 9,398 14,4 1 9 8,84 3 9
12
976 ,7 1 3 9,4 1 5 14,3 37 8,75 1 2
15
984,87 3 9,4 3 1 14,253 8,6565
20
9 93 , 1 0 3 9,44 8 1 4, 1 67 8,5599
6,6 1 9 2 5,46 1 3 4,76 1 1 4, 295 1 3,9639
6,5 246 5,3662 4,6658 4 , 1 997 3,8682
6,4 2 27 5 ,26 87 4,5678 4,101 2 3,7694
6,3285 5 , 1 6 84 4 ,4667 3 ,9995 3,6669
3,0602 2,986 2 2,9222 2,8664 2, 8 1 7 3
2,9633 2,8890 2,8249 2,76 89 2,7 1 96
2,86 2 1 2,7875 2,7 230 2,6667 2,6 1 7 1
2,7 5 5 9 2,6808 2,6 1 5 8 2,55 90 2,5089
3,7 1 6 8 3 , 5 25 7 3,3736 3 , 2497 3 , 1469
2,77 3 7 2,7348 2,6998 2,6682 2,6396 2,6 1 3 5 2,5 895 2,567 6 2,547 3 2,5 286
2,5 1 1 2 2,3882 2,2702 2, 1 5 7 0 2,084 3
3,6209 3,4 296 3,2773 3,1532 3,050 1
2,67 5 8 2,6368 2,6017 2,5699 2,54 1 2 2,5 149 2,4909 2,4 6 88 2,44 84 2,4 295
2,4 1 20 2,2882 2 , 1 6 92 2,0548 1 ,9447
3 ,5 2 1 7 3,3 299 3,1772 3 ,05 27 2,94 93
2,57 3 1 2,5 3 3 8 2,4984 2,4665 2,4374 2,4 1 1 0 2,3 867 2,3644 2,34 3 8 2,3248
2,3072 2,1819 2,06 1 3 1 ,945 0 1 ,83 26
24
997,25 3 9,456 1 4, 1 24 8,5 109
1 00 1 ,4 3 9,465 14,081 8,46 1 3
40
1 005,6 3 9,47 3 14,037 8,4 1 1 1
60
1 009,8 39,4 8 1 1 3 ,992 8,3604
1 20
1 0 1 4,0 39,490 1 3, 947 8,3092
00
1 0 1 8, 3 39,498 1 3,902 8,25 7 3
6,27 80 5,1 172 4,4 1 5 0 3,9472 3,6142
6,2269 5,06 5 2 4,3624 3 , 8940 3,5604
6, 1 7 5 1 5,01 25 4,3089 3,8398 3,5055
6, 1 225 4,9589 4, 2544 3, 7 844 3,4493
6,0693 4,9045 4, 1 9 89 3,7279 3,39 1 8
6,0 1 5 3 4, 84 9 1 4, 1423 3,6702 3,3329
2,7006 2,6252 2,5598 2,5027 2,45 23
2,64 37 2,56 7 8 2,502 1 2,4445 2,3937
2,5850 2,5085 2,44 22 2,3842 2,3329
2,5 24 2 2,447 1 2, 3 80 1 2, 3 2 1 4 2,2695
2,46 1 1 2,3 8 3 1 2,3 1 5 3 2,2558 2,2032
2, 395 3 2, 3 1 6 3 2,2474 2, 1 86 9 2, 1 33 3
1,98 1 1 1 ,9545 1 ,9299 1 ,9072 1 , 8 86 1
1,905 5 1 , 87 8 1 1 , 85 2 7 1 , 829 1 1 , 807 2
3 ,4 1 86 3 ,226 1 3 ,07 28 2,9477 2,8437
3,3654 3 , 1 7 25 3,01 87 2, 8932 2,7888
2,4645 2,4247 2,3890 2,3567 2,3273
2,4076 2,3675 2,33 1 5 2,2989 2,2693
2,1952 2,0677 1 ,9445 1 ,8249 1 ,7085
2,1359 2,0069 1,8817 1 ,7597 1 ,6402
2,3005 2,27 5 9 2,25 3 3 2,23 24 2,21 3 1
30
2,2422 2,2174 2,1946 2,1735 2,1 540
3 ,3 1 10 3 , 1 176 2,96 3 3 2,83 7 3 2,7 3 24
2,34 86 2,3082 2,27 1 8 2,23 89 2,2090
�.1 8 1 6 2, 1 565 2, 1 3 34 2,1 1 2 1 2,0923
2,07 39 1 ,94 29 1,8152 1 ,6899 1 ,5660
3,2554 3 ,06 1 3 2,9063 2,7 7 97 2,674 2
2,2873 2,2465 2,2097 2, 1 7 6 3 2, 1460
2,1 1 83 2,0928 2,06 9 3 2,0477 2,0276
2,0089 1 ,87 5 2 1 ,7440 1,614 1 1 ,4835
3, 1 984 3,0035 2,847 8 2,7 204 2,6 142
3, 1 399 2,944 1 2,7 874 2,6 5 90 2,55 1 9
2, 2234 2, 1 8 1 9 2, 1446 2, 1 107 2,0799
2, 1 562 2, 1 14 1 2,0760 2,04 1 5 2,0099
1 , 9400 1 , 8028 1,6668 1 , 5 299 1 , 3 883
1,8664 1 , 7 242 1,5810 1 ,4 3 27 1,2684
2,05 1 7 2,025 7 2,00 1 8 1 , 9796 1 ,959 1
3,0798 2, 8828 2,7 24 9 2,595 5 2,487 2
2,085 3 2,04 2 2 2,00 3 2 1 ,967 7 1,9353
1,7867 1 ,637 1 1,4822 1 , 3 1 04 1 ,0000
2 15
Процентные точки F-распределения Фишера, р = 1 %
�1
2
3
4
5
6
1
7
8
9
5928, 3 99, 356 27 ,672 14,976
5981, 1 99,374 27,489 14,7 99
6022,5 99,388 27, 345 14,659 1 0, 1 5 8 7,976 1 6,7 1 8 8 5 , 9 1 06 5,35 1 1
1 2 3
4
4 05 2 ,2 9 8,503 34,1 1 6 2 1 , 1 98
4 999,5 99,000 30,8 17 1 8,000
5403,3 99,1 66 29,4 57 1 6,694
5624,6 99,249 28,457 1 5 ,977
5763,7 99,299 28,237 1 5,5 22
5 859,0 99,3 3 2 27 ,9 1 1 1 5 ,207
5 6 7 8 9
16,258 1 3,745 1 2,246 1 1,259 1 0,5 6 1
1 3,274 1 0,925 9,5466 8,64 9 1 8,02 1 5
1 2,060 9,7795 8,45 1 3 7,5 9 1 0 6,99 1 9
1 1 ,392 9 , 1 4 83 7 ,8467 7 ,0060 6 ,4 2 2 1
1 0,967 8,745 9 7 ,4604 6,63 1 8 6,0569
1 0,67 2 8,466 1 7, 1 9 14 6,3707 5 , 80 1 8
1 0,456 8,2600 6,9928 6, 1776 5,6 1 29
10,289 8, 1 0 1 6 6, 840 1 6,0289 5 ,467 1
10 11 12 13 14
1 0,044 9,6460 9,3302 9,07 3 8 8,86 1 6
7 ,5 5 94 7 , 2057 6 ,9266 6 ,7 0 1 0 6,5149
6,55 23 6 , 2 1 67 5 ,95 26 5,7394 5,5639
5 ,9943 5 ,6683 5 ,4 1 1 9 5 ,2053 5,0354
5,6363 5,3858 5 , 3 1 60 5,069 2 5,0643 4, 8206 4 , 86 16 4,6204 4,6950 4,45 5 8
5, 200 1 4,886 1 4,6395 4,44 1 0 4,2779
5,0567 4,9424 4,7445 4,6 3 1 5 4,4994 4,3 875 4,302 1 4, 1 9 1 1 4, 1 3 9 9 4,0297
15 16 17 18 19
8,68 3 1 8,53 1 0 8,3997 8,2854 8, 1 850
6,3589 6 ,2262 6,1 1 21 6,01 29 5 ,9259
5 ,4 1 70 5 ,2922 5 , 1 850 5 ,09 1 9 5 ,0 1 03
4,8932 4,7 7 26 4,6690 4,5790 4,5003
4,5556 4,3 1 83 4,14 1 5 4,004 5 4,4374 4,20 1 6 4,0259 3, 8896 4 , 3 3 5 9 4, 1 0 1 5 3,9267 3,79 1 0 4 , 24 7 9 4 , 0 1 4 6 3,8406 3,7054 4 , 1 7 08 3,9386 3,7653 3,6305
3, 8948 3,7 804 3,6822 3,597 1 3,5 225
20 21 22 23 24
8,0960 8,0166 7,94 54 7 , 88 1 1 7,8229
5 ,84 89 5 ,7 804 5 ,7 1 90 5,6637 5 ,6 1 36
4,93 82 4,8740 4,8166 4,7649 4,7 1 8 1
4,4307 4,3688 4,3 1 34 4,2635 4 ,2 1 84
4 , 1 0 27 4,04 2 1 3,9880 3,9392 3,895 1
3 , 87 1 4 3,81 1 7 3,7 5 8 3 3,7 1 0 2 3 ,6667
3,6987 3,6396 3,5 867 3,5 3 90 3,4959
3, 5644 3,5056 3,45 3 0 3,405 7 3,3629
3,4567 3,3981 3,3458 3, 2986 3,2560
25 26 27 28 29
7,7698 7 ,7 2 1 3 7 ,6767 7,6356 7,5976
5 ,5 6 80 5,5263 5 ,4 8 8 1 5 ,4 5 29 5 ,4205
4,67 55 4,6366 4 ,6009 4,56 8 1 4,5378
4 , 1 7 74 4 , 1 400 4, 1 056 4,0740 4,0449
3,8550 3 , 8 1 83 3 , 7 84 8 3,7539 3,7 254
3,627 2 3,59 1 1 3,5580 3,5276 3,4995
3,4568 3,4 2 1 0 3,3882 3,35 8 1 3,3302
3,3239 3, 2884 3 , 25 5 8 3, 225 9 3, 1 9 8 2
3,2 1 7 2 3, 1 8 1 8 3, 1 494 3, 1 195 3,0920
30 40 60 1 20
7,56 25 7 ,3 1 4 1 7 ,07 7 1 6 , 85 1 0 6 ,6349
5 ,3903 5 , 1 7 85 4,9774 4,7 865 4,6052
4,5097 4,3 1 26 4 , 1 259 3 ,94 9 1 3 ,7 8 16
4,0 1 7 9 3,8283 3 ,64 9 1 3 ,4796 3,3 1 92
3 ,6990 3 ,5 1 3 8 3 , 3 3 89 3 , 1 7 35 3 ,0 1 7 3
3,4735 3,29 1 0 3, 1 1 87 2,95 5 9 2,8020
3,3045 3 , 1 238 2,95 30 2,7 9 1 8 2,6393
3, 1 7 26 2,9930 2,823 3 2,6629 2,5 1 1 3
3,0665 2,8876 2,7 1 85 2,5 5 86 2,4073
00
216
10
12
6055,8 99,399 27,229 14,546
6 1 06,3 99,4 16 27,052 14,374
4,8492 4,5393 4 , 296 1 4, 1 003 3,9394
4,7 059 4,3 974 4,1553 3,9603 3,8001
3,3682 3, 3098 3,2576 3, 2 106 3, 1 6 8 1
3,23 1 1 3 , 1 7 29 3 , 1 209 3 ,0740 3,03 16
1 0,05 1 7 , 874 1 6,620 1 5,8143 5,2565
3 , 8049 3,6909 3,593 1 3,5082 3,43 3 8
3, 1 294 3 ,094 1 3,06 1 8 3,0320 3,0045
2,97 9 1 2, 8005 2,6 3 1 8 2,47 2 1 2, 3209
15
30
40
60
1 20
00
6 208,7 99,449 26,690 14,020
6 234,6 99,45 8 26,598 1 3,929
6 260,7 99,466 26,505 1 3,838
6 286,8 99,474 26,4 1 1 1 3,746
63 13,0 99,483 26 , 3 1 6 1 3,65 2
6339,4 99,491 26, 2 2 1 1 3, 5 5 8
6366,0 99,499 26, 1 25 1 3,463
4,5582 4,2509 4,0096 3 , 8 1 54 3,65 57
4,4054 4,0990 3,85 84 3,6646 3,505 2
4,3269 4,0209 3,7 805 3,5868 3 ,4 274
4,2469 3,94 1 1 3,7008 3,5070 3,3476
4, 1 6 5 3 3,85 96 3,6 1 92 3,4253 3,2656
4,08 1 9 3, 776 1 3,5355 3,34 1 3 3, 1 8 1 3
3,9965 3,6904 3,4494 3,2548 3,0942
3, 9090 3,6025 3,3608 3, 1654 3,0040
9,7 222 7 , 5 5 90 6,3 143 5,5 1 5 1 4,96 2 1
3,6662 3,5 5 27 3 ,4 5 5 2 3,3706 3,2965
3,5222 3 ,4089 3 ,3 1 17 3,3373 3,1533
2,84 3 1 2,6648 2,4961 2,3363 2, 1 848
24
6 1 5 7 ,3 99,4 3 2 26,872 14, 1 98
9,8883 7 ,7 1 83 6,4691 5,6668 5 , 1 1 14
2,993 1 2,9579 2,9256 2,8959 2,8685
20
3,0880 3,0299 2,97 80 2,93 1 1 2,8887
2,8502 2,8150 2,7 827 2,7 5 30 2,7256 2,7002 2,5 2 1 6 2,3523 2, 1 9 1 5 2,0385
9,55 27 7 ,3958 6 , 1 5 54 5,3591 4,8080
3 ,3 7 1 9 3,2588 3,16 15 3 ,07 7 1 3,003 1
2,9377 2,8796 2,8444 2,7 805 2,7 3 80
2,6993 2,6640 2,6 3 16 2,60 1 7 2,5742
2,54 87 2,3689 2, 1 9 7 8 2,0346 1 ,87 83
9,4665 7 ,3 1 27 6,0743 5,2793 4 ,7 290
3 ,2940 3 , 1 808 3 ,0835 2,9990 2,9249 2,85 94 2,80 1 1 2,7488 2,7 0 1 7 2,65 9 1
2,6203 2,5848 2,5 5 22 2,5223 2,4946
2,46 89 2,2880 2, 1 1 50 1 ,9500 1 ,7908
9,3793 7,2285 5,9921 5,1981 4,64 86
3,2141 3 , 1 007 3 ,0032 2,9 1 85 2,8442
2,77 85 2,7 200 2,6675 2,6206 2,57 7 3
� 5 3 83
2,5026 2,4699 2,4 3 97 2,4 1 1 8
2,3860 2,2034 2,0285 1 , 8600 1 ,6964
9,29 1 2 7,1432 5,90 84 5 , 1 1 56 4,5667
3, 1 3 1 9 3,01 82 2,9205 2,8354 2,7608
9,2020 7,0568 5,8236 5,03 1 6 4,483 1
3,047 1 2,9330 2,8348 2, 7493 2,6742
2,6947 2,6 3 5 9 2,5 8 3 1 2,5355 2,4923
2,6077 2,5484 2,495 1 2,447 1 2,4035
2,2992 2, 1 14 2 1,9360 1 , 7 6 28 1 ,5923
2, 207 9 2,0 1 94 1 , 83 6 3 1,6557 1,4730
2,45 30 2,4 1 7 0 2,3840 2,35 35 2,3253
2,3637 2, 3273 2, 293 8 2,2629 2, 2344
9, 1 1 1 8 6,9690 5,7 3 7 2 4,9460 4,3978
2,9595 2,8447 2,7459 2,6597 2,5 839
2,5 1 6 8 2,4568 2,4029 2,3542 2,3099
2,2695 2,2325 2, 1 9 84 2,1670 2, 1 3 7 8
2, 1 1 07 1,9172 1,7 263 1,5330 1 , 3 246
9,0204 6, 880 1 5,6495 4, 8588 4, 3 1 05
2, 8684 2,7 5 2 8 2,6530 2,5660 2,4893
2,421 2 2,3603 2,3055 2,25 5 9 2, 2 1 07
2, 1694 2, 1 3 1 5 2,0965 2,064 2 2,034 2
2,006 2 1 , 804 7 1,6006 1,3805 1,0000
2 17
IL 1 2. Планы дробных реппик* 4- 1
1.
Полуреппика ТIПiа 2
с определяющим контрастом 1 = х 1х 2хзх4• Оценивают
ся JDПi ейные эф фе кты и смешанные парные взаимодейств ия х4х2 = хзх4 , х 1хз = х2х 3, х 1 х4 = х 2х3 .
(1)
Сrепени свободы
Эф фекты
аЬ
4 3
ЛинеЙНые
ас
Парные взаимодействия
ad
7
Всего
Ьс
bd cd abcd Четвертьреппика ТIUia 2
2.
= х 1х2х3х4 •
5- 2
с определяющим контрастом 1 = x 1 x2xs = хзх4х 5 =
ЛИНеЙНые эффекты оцениваются совместно с парными взаимодействия
ми . Из парных взаимодействий оцениваются только х 1 х з
= x:zx4, х 1х4 = х2х з .
(1)
аЬ
Эф фе к
cd
ты
Сrепени свободы
s
ЛинеЙНые
асе
2
Парные взаимодействия
Ьсе
Всего
7
ade bde abcd
3.
Полуреплика типа
25- 1
с определяющим контрастом 1 = х1 х:zхзх4х5 .
1)
Опы
ты разбиты на четыре блока.. Определяются JDПiейные эффекты и парные взаимодейст вия, кроме хзх4, хзхs и х4х5 , которые смешаны с межблоковым эффектом. Блоки
1
2
3
(1)
ас
ае
de
cd abcd
аЬ
acde Ьсdе
Ьс
abde
Ье
Эф фекты Межблоковый дрейф
4 ad
Ьd се
аЬсе Сrепени свободы
3
s
ЛинеЙНые
7
Парные взаимодействия Всего
* IL 1 2. заимствовано и з
218
15
[102] , с . 3 17.
2) Опыты разбиты на два блока. Оцениваются линейные эффекты и все парные взаим одействия , кроме х4 х 5• Первый блок об'Ьединяется со вторым, третий - с чет верты м. Сrепени свободы
Эффекты Межблоковый дрейф Линейные Парные взаим одействия
1
5
9
В с е г о 15 3 ) Опыты не разбиваются н а блоки. Оцениваются все линейные эффекты и все парные взаимодействия. Все четыре блока объединяются вместе. Сrепени свободы
Эффекты
5
Линейные Парные взаим одействия
10
В с е г о 15
2 6 - з с определяющим контрастом 1 = х1х з х5 = х1х4 х6 = = х2хзх6 = x2 x4xs = х1х2хэх4 = x 1 x2 xsx 6 = х з х4х s х6 . Оцениваются линейные эф 4 . 1/в -реплика типа
фекты совместно с парными взаимодействиями и три смешанных парных взаимо действия. (1) ас{ ade Ьсе bdf abcd abef cdef
Эффекты
Сrепени свободы
Линейные
6
Парные взаимодействия
1
Всего 7
.14, реплика типа 2"6 -2 с определяющим контрастом = 1 х1х2х3х5 = х1х2х4х6 = = хэх4х s х6. 1 ) Опыты раз бив аются на четыре блок а.. Оцениваются все линейные эф фекты и смеш анн ые пар ные в заимодей ств ия х1х3 = х2х5, х1х4 = х2х6 , х1х5 = х2х3, х1х6 =х2х4, хзх4 =х5х6, х3х6 =х4х5 • 5.
Блоки
(1) аЬсе abdf cdef
2
3
4
acd aef bcf bde
аЬ се df abcdef
ас{ ade bcd 'bef
Эффекты Межблоковы й дрейф Линейные Парные взаимодействия
Сrепени св ободы 3 6 6
В с е г о 15
219
С межблоковым эффектом смешаны х1х2, х1хзх6, х2хзх6 . 2) Опыты разбиваются на два блока. Оцениваются те же эффекты, что и в пре дыду щем планировании, и еще три смешанных парных взаимодействия х 1х2 =хзхs = =х4х6 • Первый блок объедiDiен со вторым, третий - с четвертым. Эффекты Межблоковый дрейф ЛIDiейные Парные взаимодействия Тройные взаимодействия
Степени свободы 1 6
7 1
В с е г Q 15 Тройное взаимодействие х1хзх6 смешано с межблоковым эффектом. 3) Опыты не разбиваются на блоки. Оцениваются те же эффекты, что при раз биении на два блока. Все четыре блока объеДIDiяются вместе. Эффекты ЛIDiейные Парные взаимодействия Тройные взаим одействия
Степени свободы 6
7 2
В с е г о 15 1 6 1 , определ ющий контраст 1 = а 2 реплика т б. /2х 1х2хзх4хsх6 . 1 ) Опыты я ип разбиваются на восемь блоков. Оцениваются все лiDiейные эффекты и парные взаимо действия, кроме x1xs. х2х6 и ХзХ4 , которые смешиваются с межблоковым эффектом. -
Блоки (I)
abef acde bcdf
2
3
4
5
б
7
8
аЬ ef acdf Ьсdе
ас de abdf bcef
Ьс df асе[ abde
ае Ь[ cd abcdef
af Ье abcd cdef
ad се abcf bdef
Ьd cf аЬсе abef
С межблоковым эффектом смешаны x 1xs, х2х6, хз. Х4, х1х2хз. х 1х2х4, х1 х зх6, Х1Х4Х6• Эффекты Межблоковый дрейф ЛIDiейные Парные взаимодействия Взаимодействия высшего порядка
Степени свободы 7 6
12 6
В с е г о 31 2) Опыты разбиваются на четыре блока. Оцениваются: лiDiейные эффекты и в се парные взаимодействия, кроме Х3Х4 . Первый блок объеди няется со вторым, третий с четвертым, пятый - с шестым, седьмой - с восьмым. С межблоковым эффектом смешаны хзх4 , х 1х2хз , х1 х2х4. 220
Эффекты Межблоковый дрейф Линейные Парные взаимодействии Взаимодействии высшего порядка
Сrепени свободы 3 6
14 8
В с е г о 31 3 ) Опыты разбиваются н а два блока. Оцениваются все линейные эффекты и все парные взаимодействии. С межблоковым эффектом связаны два тройных взаимо действии : х 1х2 х3 = х4х5х6 , остальные тройные в заимодействии смешаны попарно . Об"ЬеДиниютси блоки 1 - 4 и блоки 5 - 8, Эффекты Межблоковый дрейф Линейные Парные взаимодействии Тройные взаимодействии
Сrепени свободы 1 6
15 9 В с е г о 31
4) Опыты не разбиваются на блоки. Оцениваются все линейные эффекты, все парные взаимодействии и 1 0 пар тройных взаимодействий. Все восемь блоков объе диняются вместе. Эффекты Линейные Парные взаимодействии Тройные взаимодейств ии
Сrепени свободы 6
15 10
В с е г о 31 4 7 1 7. / 1 6 -реп пи ка тип а 2 с определиюш• им контрастом 1 = х 1х2х7 = х 1хэхs = = х 1х4х6 = х2х3х6 = X2X4Xs = х3х4х7 = х5х6х 7 = х 1х2х3х4 = х1 х2х6х7 = х1х3х6х7 = = x 1x4xsx1 = х2хэхsх7 = х2х4х6х7 = хэх4хsх6 = x 1x2x3x4xsx6x7 . Оцениваются ли нейные эффекты, смешанные с парными взаи�одействиими. (/ )
abcd abef acfg abeg aceg abfg cdef
Эффекты Линейн ые
Сrепени свободы 7 Всего 7
1/в -реплика ти па 2 7 - 3 с определяющим контрастом 1 = х 1 х2х3х4 = x 1 x2xsx6 = = х 1х3х5х7 = х 1х 4 х6х 7 = х2х3х6х7 = х2х4х5х 7 = хэх4х5х6 • 1 ) Опыты разбив аются на четыре блока. Оцениваются все линейные эффекты и смешанные п арные взаимо действии Xt Xs = х2х6 = Х3Х 7 ; X tX6 = Х2Х5 = Х4Х7; X J XS = Х3Х5 = Х4Х6; Х2Х7 =х4Х5 = =хэх6 . 221 8.
Блоки 2
4
3
ade ас[ abg Ьсе bdf cdg ef adfg aceg abef abcd bcfg bdeg adef abcdefg Смешаны с межблоковым эффектом х1х4 =х2хз = х6х7. (/)
XJ X 2
= хзх4 = хsхб; х1хз = х2х4 = xsx7;
етеhени свободы 3 7 4
Эффекты Межблоковый дрейф ЛинеЙНые Парные взаимодействия Взаимодействия высшего порядка
В с е г о 15 2) Опыты разбиваются на дв а блока. Оцениваются те же эффекты, что и раньше, и еще совместные парные взаимодействия х1 х2 = хзх4 = хsхб; х1хэ = х2х4 = х5х7; х1 х4 =х2хэ = х6х7. Блоки 2 abg (/) abcd ас[ abef ade aceg Ьсе abfg bdf bcfg cdg efg bdeg cdef abcdefg С межблоковым эффектом смешано тройное взаимодействие х 1 х2х7. Степени свободы Эффекты 1 Межблоковый дрейф 7 ЛинеЙНые 7 Парные взаимодейств�я В с е г о 15
3 ) Опыты н е разбиваются н а блоки. Оцениваются т е же эффекты, чт о и при раз биении на два блока. Оба блока по восемь наблюдений объединяются вместе.
Эффекты ЛинеЙНЫе Парные взаимодействия Взаимодействия высшего порядк а
Степени свободы 7 7
В с е г о 15 222
9. 1/4 -репnика TIПla 2 7 - 2 с определяющим контрастом 1 = х1х2хэх4х5 = = х 1х 2хэхбх7 = x4xsx6x7 • 1) Опыты разбиваются на восемь блоков. Оцениваются все ли· нейные эффекты и все парные взаимодействия, кроме х 1х2, х1хэ. х2хэ И Х4Х6 = х5х7 , которые оказываются смешанными с межблоковыми эффектами. Из оцениваемых парных взаимодействий только две пары задаются совместными оценками х4х5 = = хбх7 и х4Х7 = х5х6 . Блоки 1
2
3
4
s
6
7
8
(/)
de fg abcdg abcef
аЬ cdf ceg abdefg
cdg cef abde abfg
ас Ьdf Ьеg acdefg
Ьdg Ь еf acde acfg
Ьс adf aeg Ьcdefg
abg aef Ьcfg Ьсdе
defg abcdf abceg
С межблоковым дрейфом смешаны х1х2, х 1хэ. х2хэ, Х4Хб = xsx7, х1х4х7, х2х4х7, х3х4х7 . Сrепени свободы
Эффекты Межблоковы й дрейф Линейные Парные взаимодействия Взаимодействия высшего порядка
7 7 14 3
В с е го 31 Опыты разбиваются на четыре блока. Оцениваются в се линейные эффекты и парные взаимодействия, кроме х4х6 = х5х7 , смешаиных с межблоковым дрейфом. ,IЬie пары парных взаимодействий задаются совместными оценками х4х5 = х6х,, 2)
х4х 7 = хsхб .
Блоки 2
1
3
4
(/)
Ьdg de аЬ Ь еf ас fg Ьdf cef adg Ьеg abfg aeg aef Ьсdе acfg cdf defg bgfg ceg abcdf аЬdе acde acdefg abcdg abceg Ьcdefg cdg aЬdefg abcef С межблоков ым эффектом смешаны Х4Х6 = xsx7, х1х4х5, х 1 х5 х6 • Ьс adf
Эффекты
Сrепеии свободы
Межблоковый дрейф Линейные Парные взаимодействия Взаимодей ствия высшего порядка
3 7 17 4
Всеrб
31
223
3) Опыты разбиваются на два блока. Оцениваются все линейные эффекты и все парные взаимодействия. Часть парных взаимодействий задается совместными оцен ками х4 х5 = х6х7, Х4Х7 = х sхб , х 4х6 = x s x, . Первый блок объединяется со вторым, третий - с четвертым.
Степени свободы
Эффекты Межбноко вый дрейф Линейные Парные взаимодействия В заимодейств ия высшего порядка
1 7 18
5 В с е г о 31
4 ) Опыты не разбиваются на блоки. Оцениваются те же эффекты, что и при раз
биении на два блока. Эффекты
Степени свободы
Линейnые Парные взаим одействия Взаимодейств ия высшего порядка
7 18 6
В с е г о 31 с определяюшим контрастом 1 = х 1 х 2 х з х4хsх6х7 • 1 ) Опыты разбиваются на 16 блоков. Определяются все линейные эффекты и все парные взаимо действия, к роме х 1 х 2 . х 1 х з . х 2 хз . х s х б , x sx7 и хбх7 , которые оказываются смешан ными с межблоковым эффектом. 1 0.
1
/2 -реплика
2
7- 1
Блоки 1
2
(/)
3
4
5
6
7
8
аЬ
ас
Ьс
ае
Ье
се
аЬсе
abcd defg abcefg
cd abdefg cefg
bd acdefg befg
ad bcdefg aefg
bcde adfg bcfg
acde bdfg acfg
abde cdfg abfg
de abcdfg fg
9
10
11
12
13
14
15
16
af bcdf adeg bceg
bf acdf bdeg accg
cf abdf cdeg abeg
abcf df abcdeg eg
ef abcdef dg abcg
abef cdef abdg cg
асе[
bdef acdg bg
bcef adef bcdg ag
с межблоковым эффектом э дес ь смешаны х 1 х 2 , х 1 х э . х 2 х з . Х5х6 , х5х7, X6X7, X 1 X� s . X 1 X4X6 , X 1 X4 X7, X 2 X4Xs , X 2 X4X6 , X 2 X4X7, XзX 4Xs , XзX4x6, x 3 x4x7 •
Эффекты Межблоковый дрейф ЛШ!ейnые Парные взаимодействия Взаимодейств ия высшего порядка 224
Степени свободы 15 7 15 26
В с е г о 63
2) Опыты разбиваются на восемь блоков. Оцениваются все линейные эффекты, все парные взаимодействия и все тройные взаимодействия, кроме х1 х 2 хз, х1х4х5, X J X6X 7, х 2 х4х6, x 2 xsx 7 , хзх4х 7 и ХэХsХб, которые оказываются смешанными с межблоковыми дрейфом.
Блоки
{/)
abdg abef acdf aceg bcde bcfg befg
2
3
4
5
6
7
8
Ьс de eg abdf abeg acdg acef Ьcdefg
ас de cg abde abfg bcdg bcef acdefg
аЬ dg ef acde acfg b't:df bceg abdefg
ag bg се abcf adef befg cdfg abcdeg
af Ье cd abcg abeg bdfg cefg abcdef
ае bf cg abcg adfg bdeg cdef abcefg
ad bg cf аЬсе aefg bdef cdeg abcdfg
Эффекты Межблоковый дрейф Линейные Парные взаимодействия Тройные взаимодействия
Сrепени свободы 7 7 21 28
Всего
63
3 ) Опыты разбиваются на четыре блока. Оцениваются все линейные эффекты, все парные взаимодействия, все тройные взаимодействия, кроме х1х2хэ. х1х4х5 и х1Хбх 7, которые оказываются смешанными с межблоковым дрейфом. Объединяются : первый блок - со вторым, третий - с четвертым, пятый - с шестым, седьмой - с восьмым.
Эффе кты Межблоковый дрейф Линейные Парные взаимодействия Взаимодействия высшего порядка
Сrепени свободы 3 7 21 32
Всего
63
4 ) Опыты разбиваются н а два блока. Оцениваются : в се линейные эффекты, все парные взаимодействия и все тройные взаимодействия, кроме х 1х 2 х3 , которые ока зываются смешанными с межблоковым эффектом. ОбъедИняются : первый блок с четвертым и пятый блок - с восьмым.
Эффе кты Межблоковый дрейф Линейные Парные взаимодействия Тройные взаимодействия
Сrепени свободы 3 7 21 34
Всего
63 225
5) Опыты не разбиваются на блоки. Оцениваются все линеЙНЫе эффекты, все парные взаимодействия и все тройные в заимодейств ия. Объединяются все блоки вместе. Сrепени свободы
Эффект ы
7 21 35
ЛинеЙНые Парные взаим одействия Тройные взаимодействия
Всего
63
П. 1 3. Центральное композиционное ротатабельное планирование второго порядка и планирование с разбиением на ортогональные fiлoюr (nc - число точек mперкуба; п а - число звездных точек; ,, (О) - число точек в центре эксперимента; а - веЛИЧJП\а звездного плеча) * Ротатабельное р ncna n (О) Na 2 4 4 5 1 3 1,4 14
3 8 6 6 20 1,682
4 1 6 8 7 3 1 2,000
5 32 10 10 5 2 2,378
5 16 1 0 6 3 2 2,000 (полуреплика)
2 26
планирование
Разбиение на блоки (все дробные реппики от 2р-факторного эксперимента должны оставлять все основные эффекты взаимнонесмеwаинJ,Jми) 1. Четыре точки квадрата плюс две центральные точки. ll. Четыре звездные точки плюс две централь ные точки. Блоки ортагональны при а = 1 ,4 14. Общее число точек в блоках 1 2. 1, 11. Полуреппики от факториого эксперимен 3 та типа 2 , каждJiя с двумя точками в центре. 1 11. IIIe cть звездных точек плюс две централь ные точки. Для разбиения на ортогональные блоки а = = 1,633. Общее число точек в блоках 20. 1, 11. Полуреппики от факториого эксперимен та типа 24, каждJ�я с двумя центральными точками. 111. Восемь звездных точек плюс две централь н ые точки. Блоки ортогональны при а = 2,000. Общее число точек в блоках 30.
/
1, ll, Ш, IV. 4 -реплики от факториого экспе римента типа 2 , каждJIЯ с двумя центральными точками. V. 1 О звездных точек плюс четыре центральные точки. Для разбиения на ортогональные блоки а = = 2,366. Общее число точек в блоках 54. 1. 16 точек полуреппики от факториого экспе 5 римента типа 2 плюс шесть центральных точек. ll. 1 О звездных точек плюс одна центральная точка. Для разбиения на ортогональные блоки а = = 2, 000. Общее число точек в блоках 3 3 .
6 64 1 2 1 5 9 1 2, 828
1 , 1 1 , 1 1 1 , I V , V , VI, Vll, Vl l l . 1 /8-реплики от факториого эксперимента тиnа 2 6 , каждая с од ной центральной точкой, всего по девять точек в каждом блоке. IX. 12 звездных точек nлюс шесть нулевых точек. Для разбиения на ортогональные блоки а = = 2,828. Общее число точек в блоках 90.
6 32 12 9 53 2, 3 7 8 (nолу реnлика)
1, 11. 1 / 2 от nолуреnлики факториого эксnери мента пmа 2 6 , каждый такой блок содержит 16 точек плюс дополнительно четыре центральные тqчки. 111. 12 звездных точек nлюс две центральные точки. Для разбиения на ортогональные блоки а = = 2,366. Общее число в блоках 54.
7 1 28 14 2 1 163 3 , 3 33
Блоки с 1 по XVI. 1 /6-реnлики от факториого эксnеримента типа 2 7 , каждый блок содержит по восемь точек плюс одну центральную точку. XVII. 1 4 звездных точек плюс 1 1 центральных точек. Для разбиения на ортогональные блоки а = = 3 , 3 3 3 . Общее число точек в блоках 54.
7 64 1 4 14 92 2,828
Блоки с 1 по VIII. 1/8 от 2-реnлики от фак ториого эксперимента типа 2 . В каждом таком блоке по восемь точек плюс одна дополнительная точка в центре. IX. 14 звездных точек плюс четыре централь ные точки. Для разбиения на ортогональные блоки а = = 2,828. Общее число точек в блоках 90.
!j
* Таблица заимствована из [ 1 02 ] , с. 92.
IL 14. Указатель 200 работ методологического характера по обработке результатов и п ланированию экспериментов, опубликованных в журнале "З аводскаи лаборатория" А. Основополагающие и обобщающие статьи
1 . Гнеденко Б.В. Математическая статистика - мощное орудие в работе заводс кой лаборатории. 1 9 6 1 , N9 10, с. 1 2 5 1 . 2. Налимов В.В. О стандартизации способов представления эксnериментального материала. 1 9 6 1 , N9 10, с. 1 26 8. 3. Мешалкии Л.Д. Обсуждение книг по математической статистике. 1 96 1 , N9 10, с. 1 279. 4. Передовая. Методы кибернетики - в практику лабораторий. 1 962, N9 7 , с. 7 7 1 . 5. Налимов В.В. Статистические методы nланирования эксnериметов при математическом описании процессов. 1 962, N9 1, с. 5. 6. ОJободчикова Р.И. Применеине различных методов к исследованию поверхности отклика. 1966, N2 1 0, с. 1 234. 7. Айвазян С.А. Математико статистические методы в лабораторной практике. 1967, N2 1 0, с. 1 293. 8. Маркова Е.В., Адлер Ю.П. , Преображенская Г.Б. Развитие методов nланирования экспериментов в СССР. 1 967, N2 1 0, с. 1 300. 9. Федоров В.В. Планирование экспериментов при изучении 227
механизма явлений. 1 968, Ng 3, с. 3 1 4. 1 0. Веселая Г. Н. Лапина З.С., Слободчикава Р. Н. О программах по математической статистике на ЭВМ "Минск-22". 1 9 7 0, NO 1, с. 74. 1 1 . Налимов В.В. Влияние математической статистики и кибернетики на методопогию научных исследований: 1 97 0, Ng 1 0, С. 1 2 1 8. 1 2. Федоров В.В. Планирование экспери ментов по различению гипотез кривых при помощи метода отношения вероятностей. 1968, Ng 3, с. 3 20. 13. Новик Ф.С. К вопросу о возможности использования метода симnлексных решеток для изучения диаграммы состояний. 1968, Ng 1 0, с. 1 223. 14. Се дунов Е.В. Обобшение задачи Бокса-Драйпера в планировании регрессионных экс периментов. 1 9 7 3 , Ng 3, с. 308. 15. Горский В.Г., Грановский Ю.В . , Журавлева Т.Г. О работе школы-семинара "Планирование экспериментов nри изучении механизма явлений", 1 974, � 3, с. 345. 16. Налимов В.В., Голикова Т.И. Теория планирования экспериментов : достигнутое и ожидаемое. 1977, Ng 10, с. 1 247. 17. Адлер Ю.П., Гра новский Ю.В. Методология и практика планирования экспериментов за десять лет. 1977, Ng 1 0, с. 1 25 3 . 18. Налимов В.В. Анализ трудностей, связанных с построением нелинеi!Ных по параметрам моделей в задачах химической кинетики. 1 9 7 8, Ng 3, с. 325. Б . Предварительная обработка результатов наблюдений
1 9. Воробьев Г.Г. Применеине перфорированных карт в промышленных и иссле довательских лабораториях (обзор) . 1 962, 3, с. 3 1 6 . 20. Гринзаl!д Е. Л. Оценка вос производимости результатов анализа по расхождению параллельных определений. 1 962, Ng 7, с. 840. 21. Айвазян С.А., Кацев П.Г. Метод определения существеиных различий между двумя средними показателями (реферат) . 1 962, Ng 7, с. 843. 22. Рос товцев А.М. Быстрый метод расчета числовых характеристик рядов распределения экспериментальных данных. 1963, Ng 7, с. 8 5 3 . 23. Бров мак М.Я. , Римек В.Х. Об оцен ке резко выделяющихся опытных данных nри механических испыrаниях. 1 964, Ng 7, с. 86 1 . 24. Микешина Н.Г. Выявление и исключение аномальных значений (обзор) . 1 966, Ng 3, с. 3 10. 25. II!енявский Л.А. Метод приближенного расчета площадей двух перекрывающихся гауссовых пиков. 1 966, Ng 7, с. 85 1 . 26. Кретов В.И., ДЫхович ный А.А., Бевз А.А. Применеине распределения Вейбулла к анализу орочиости бетона. 1967, Ng 5, с. 604. 27. Бродский В.П. О расчете показателя однородности. 1967, NV 7 , с . 85 1 . 28. II!ейнина Г.А., II!ейнин А. Б. Некоторые приемы статистической обработки архивного материала лабораторного контроля. 1 969, � 1, с. 80. 29. Гольдберг Ю.И. Графический метод выявления и учета систематических поrрешиостей результатов количественных определений. 1 969, NV 3, с. 330. 30. Благовещенский Ю.Н. О nроrнозе числа экспериментов для достижения заданной относительной погрешности nри опре делении среднего. 1 969, � 5, с. 5 8 7 . 31. Мешалкии Л.Д., Смирнов Н.П., Сосновс кий М. Н. Об устойчивости оценок центра распределения (обзор) . 1 96 9, NV 5, с. 5 94. 32. Славный В.А. Количественные критерии точности и чувствительности и возмож ность учета априорной информации nри анализе вещества. 1 96 9, NV 7, с. 8 1 8. 33. Благо вещенский Ю.Н. Эффективность среднего как оценка для математического ожидания логарифмически нормального распределения. 1 970, NV 5, с. 5 6 8. 34. Розанов Г.В., Френкель А. А. Об одной многоэтапной nроцедуре формализации априорной информа ции. 1 970, � 3, с. 3 19. 35. Архаров Л. В. О пекотором критерии для nроверки гипотезы о независимости наблюдений. 1 97 1 , � 3, с. 3 3 2. 36. Парамомов Ю.М. Об оцен ке кван тиля, не смещенной по вер оятности. 1 9 7 1 , NO 3, с. 3 36. 37. Гутер Р.С., Муратова Т.А., Полунов Ю.Л. О подборе параметров для кривых распределения Пирсона. 1 9 7 1 , � 5, с. 582. 38. Гутер Р.С. Об одном тесте для nроверки программы псевдослучайных чисел. 1 973, � 3, с. 3 26 . 39. Логинова Г.Л., Логинов Э.А. Интервальная оценка сред него случайной переменной при неслучайном аргументе. 1 973, � 1 0, с. 1 23 7 . 40. Венья минов Б.Б. Применеине последовательного анализа для проверки гипотезы о нераз личимости измерений. 1 975, � 7, с. 84 1 . 41. Киселев И.И. Построение доверительных областей для параметров асимптотических распределений экстремальных значений. 1975, Ng 1 0, с. 1 230. 42. Мельников Н.Н., Мироненко Л.Н. Некоторые задачи нахожде ния параметров распределения. 1 976, NV 1 0, с. 1 229. 43. Закгейм А.Ю. Интервальные оценки для средних при внутренней неоднородности образцов. 1 977, � 1, с. 7 7 . 44 . Раш Д Нецентральные распределения (обзор) . 1 977, N V 3, с . 3 1 7 . 45. Бостанд228
жиян В.А. Математическое ожидание и дисперсия выборочных характеристик из лога рифмической совокупности. 1 97 7 , N9 7 , с. 878. 46. Назик А.Е., Приходько Ю.Г., Зай чик В.С. и др. Оценка параметров распределения Вейбулла по цензуркроваиным вы боркам. 197 8, N9 1 , с. 66. 47. Володин И.Н. К оценке среднего значения нормального распределения с гарантированными ограничениями на относительную ошибку оцени вания. 1 978, N!! 1, с. 69. 48. Свалов С.Н. Уточнение метода линеаризации дЛЯ оценки моментов. 1 97 8, N!! 5, с. 593. 49. Орлов А.Г. О сравнении экспериментальных данных двух литературных источников статнстнческими методами. 1 9 7 8, N!! 7, с. 8 5 2. 50. lllак леин С.В. Выявление систематических ошибок в многократных неравноточных рядах измерений. 1 97 8, N9 5, с. 4 2 2. 5 1. Кутенков П.Р. Анализ устойчивости размера и мощ ности ряда статистических критериев сравнения дисперсий к нарушению нормальности распределения. 1979, N9 1 0, с. 930. В. Статистические методы построения и оценивания эмпирических зависимостей по экспериментальным данным 5 2. Хлопотав О.Д. Построение эмпирических зависимостей методом осреднения. 1 963, N!! 1 0, с. 1 2 1 5 . 53. Айвазян С.А. Применеине методов корреляционного и регрес сионного анализов к обработке результатов экспериментов (обзор) Ч. 1. 1 964, N9 7, с. 832. 54. Айвазян С.А. Применеине методов корреляционного и регрессионного ана лизов к обработке результатов экспериментов (обзор) . Ч. 11. 1 964, N9 8, с. 97 3. 55.
Самойленка А.И. Учет логрешиости измерения в уравнениях регрессии при линейком характере связи. 1 96 5 , N9 1 0, с. 1 226. 56. Веселая Г.Н. О применении многомерного регрессионного анализа при исследовании технологических процессов. 1 966, N9 3, с. 3 27 . 57. Петереек И.Ф. К применекию регрессионного анализа в проблемах оптими зации. 1967, N9 5, с. 5 94. 58. Лелянов С.П. Определение параметров нелинейной регрес сии методом наименьших квадратов. 1 967, N9 1 1 , с. 1 4 1 7 . 59. Олевская И.В. Об одном частом случае применении линейкой регрессии при обработке экспериментальных дан ных. 1 967, N!! 1 1 , с. 1 420. 60. Кац Л.А. Фокальный метод в корреляционном анализе. 1968, N!! 1, с. 7 5 . 6 1 . Масленников И.М., Галицкий А.Я., Полянекий В.П. Об одном методе представления искомой функции в регрессионном анализе и его применении. 1 9 6 8, N!! 7, с. 845. 6�. Олевская И.В. Определение линии регрессии по методу танген сов. 1 968, N!! 10, с. 1 2 1 7. 63. ЛИпкии М.И., Шилова Г.С., Острейко И.А. и др. Разработка и применекие универсальной программы множественного регрессионного анализа. 1 9 6 8, N!! 1 0, с. 1 23 3 . 64. Андрукович П.Ф., Николаева Л.С., Федоров В.В. Программы по регрессионному и конфлюэнтному анализу. 1 969, N!! 1, с. 84. 65. Гурин Л.С. Соло дун Л.А. Об аппроксимации векоторого класса функций методом наименьших квад ратов. 1 969, N! 5, с. 597. 66. Андрукович rt.Ф. Один алгоритм поиска наибольших и наименьших значений функции. 1 970, N! 1 , с. 60. 67. Бородюк В.П. Влияние ошибок регистрации переменных на точность регрессионного уравнения. 1970, N9 1, с. 62. 68. Андрукович П.Ф. Применеине метода главных компонентов в регрессионном ана лизе. 1 97 0, N9 3, с. 3 1 2. 69. Николаева Л.С., Федоров В.В. Использование методов кон флюзнтного анализа при линейной параметриэации поверхности отклика. 1 970, N! 1 , с . 6 8 . 70. Андельсон-Вельский Г.М., Бекетов Н.В., Чернышева И.Б. О вычислении об ратной матрицы к матрице частных вторых проиэводных. 1 97 1 , N9 1, с. 6 8. 7 1 . Райс кая Н.Н. , Терехин А. Т., Френкель А.А. Кластерный анализ и его применении ( обзор) . 1 9 7 2, N9 10, с. 1 222. 72. Маньковский В.А., Михайлиди В.А. Об одном способе обработ ки экспериментальных данных. 1 97 2 , NV 10, с. 1 23 2. 73. Апраушева Н.Н., Конаков В.Д. Использование непараметрических оценок в регрессионном анализе. 1973, NV 5, с. 566. 74. Бородюк В.П., Вощинин А.П. Ошибки регистрации неэависимых переменных в задачах множественной регрессии. 1 97 3 , N9 7, с. 83 1 . 75. Дубов З.Л. Регрессионный анализ при логрешкостях в фиксации части аргументов поверхности отклика. 1 974, N!! 1 , с. 67. 76. Веселая Г.Н. Реализация метода наименьших квадратов на ЭВМ. 1 974, N! 1 , с. 7 9. 77. Айвазян С.А., Бограковский И.М. Методы статистического исследова ния конфлюэнтного анализа и их применение. 1 974, N!! 3, с. 285. 78. Щербакова З.С., Муэиченко Л.А. Об одном алгоритме поиска локального экстремума функции мно гих переменных. 1 974, N! 3, с. 295. 79. Райская Н.Н., Терехин А.Т., Френкель А.А. Об использовании кластерного анализа при построении регрессионных моделей, 229
1 974, N2 5, с. 5 7 3 . 80. Израилович М.Я., Волков В.А., Полисар Л.М. Статистический анализ эмпирических зависимостей, нелинейных относительно искомых параметров. 1 974, N2 5, с. 583. 81. Елишин Ю.Г. Регрессионный метод наименьших абсолютных отклонений. 1 974, N2 1 0, с. 1 227. 82. Маневич В.А. Аппроксимация точек на nлоскости выпуклым полиномом. 1 974, N2 10, с. 1 232. 83. Шумекий В.М., Грановский Ю.В., Сrерликова И.В. Анализ одного способа оценивания координат экстремума по эксnе риментальным данным. 1 974, N2 1 , с. 84. 84. Лиnовецкий С.С. Метод многофакторной квазиортогональной регрессии. 1 975, N2 5 , с. 5 7 7 . 85. Комяков А.А., Маньковский В.А. Единый метод определения параметров эмnирических формул с помощью номограмм. 1 975, N2 5, с. 5 89. 86. Дронов В.С., Целищев Ю.В. О сглаживании экспериментальных зависимостей методом однозначной аппроксимации. 1 975, N2 7, с. 844. 87. Кабанова О. В., Слободчикава Р.И. Построение нелинейных моделей с помощью алгоритмов nре обраэования псременных. 1 975, N2 10, с. 1 24 2. 88. Поздняков В.В., Лученко В.И. О схо димости метода последовательного построения регрессионных зависимостей. 1976, N2 1 , с. 65. 8 9 . Мухина Л. Г., Самарин Ю.П. О непараметрическом выравнивании экспе риментальных зависимостей. 1 976, N2 3, с. 3 25. 90. ЛИповецкий С. С. К статистическому оцениванию единого уравнения взаимосвязи произвольнога числа факторов, подвер женных влиянию ошибок измерения. 1 976, N2 5, с. 576. 9 1 . Тулунчук Ю.М. Анализ надежности прииятия решения о типе уравнения регрессии с использованием прове рочных в ыборок при нормальной аддитивной помехе. 1 976, N2 1 0, с. 1 23 3 . 92. Лисен ков А.Н. , Кодкинд Г.Х. , Басиева Т.Х и др. Об алгоритмическом обесnечении для за дач статистического анализа многофакторных экспериментов. 1 976, N2 7, с. 859. 93. Фуксмаи Я. Л. Точечно-несмещенное описание поверхности отклика, 1 97 7 , N2 1, с. 6 1 . 94. Целищев В.Д, Дронов В.С. К вопросу об определении области применении и ин формативности метода однозначной аппроксимации. 1 97 7 , N2 5, с. 5 84. 95. Сысоев В.В., Самойлов В.М., Величко Д.А. О целесообразности исследования математических мо делей по остаткам. 1 977, N2 5, с. 600. 96. ЛИповецкий С.С. Построение главных компо нент на основе качественного анализа корреляционных матриц. 1 97 7 , N2 7, с. 865. 97. Лиnовецкий С.С. Некоторые в опросы построения корреляционных моделей. 1 9 7 8, N2 1, с. 6 2. 98. Писаренко В.Н. , Мержанава Р.Ф., Жукова Т.Б. и др. Об эффективности статистических дискриминирующих методов проверки гиnотез. 1 978, N2 3, с. 3 3 1 . 99. Кабанова О.В., Слободчикава Р.И. Нетрадиционный метод поиска параметров не линейных м оделей. 1 978, N2 3, с. 334. 1 00. Балк П.И., Б1р1к Т.В. О восстановлении экспериментальных зависимостей при неизвестно м законе распределения ошибок из мерений. 1 9 7 8, N2 3, с. 3 3 9. 1 0 1 . Майданчик Б.И., Раев А.Г., Сrроrанов Ю.А. О восста новлении функции по ограниченной выборке. 1 97 8, N2 5, с. 5 89. 1 02. Бреев И.М. Метод усредненных .:: глаживающих nолиномов. 1 97 8 , N2 7, с. 850. 1 03. Сурков А.В., Ново жилов Н.М., Аносов Н.П. и др. О точности определения эмпирических зависимостей, полученных ускоренными способами исследований. 1 9 7 8, N2 10, с. 1 247. 1 04. Дубо ва И.С., Федорова Г.С., Федоров В.В. Системы оптимальных опорных траекторий в регрессионных задачах с временн о й зависимостью. 1 978, N2 1, с. 7 1 . 1 05. Кабанова О.В. Критерии и методы nреобразования переменных при построении статистических мо делей. 1 979, N2 3, с. 245 . 1 06. Пасутмаи Б.В. О применении критерия знаков и nосле довательного анализа Вапьда. 1 97 9, N2 3, с. 257. 1 07. Перельмаи И.И. Адаnтивный экс потенциально взвешенный метод наименьших квадратов для оценки дрейфующих nараметров. 1 979, N2 7, с. 6 3 3 . 1 08. Лиnовецкий С.С. Регрессионные модели неявных функций. 1 979, N2 10, с. 925. 1 09. Слотин Ю.С. Преобразование полиномиальных мо делей. 1 9 80, N2 1, с. 5 7. 1 1 0. Закгейм А.Ю., Быстров Л.В. Интервальные оценки для абсцисс регрессионных зависимостей. 1 9 80, N2 1, с. 65. Г. Планирование и обработка отсеивающих экспериментов 1 1 1 . Слободчикава Р.И., Фрейдлина В.Л., Лапина Э.С. и др. Отсеивающие экспе рименты. Повышение эффективности метода случайного баланса nутем nрименении ветвящейся стратегии и использования в ычислительных машин. 1 966, N2 1, с. 5 3 . 1 1 2. Мешалкии Л . Д К обоснованию метода случайного баланса. 1 970, N 2 3 , с. 3 1 6. 1 1 3. Максимов В.Н. Приспособпение для визуального отбора значимых эффектов
2 30
при обработке результатов экmеримента методом случайного баланса. 1 97 1 , NQ S, с. 5 7 3 . 1 14. Лапина З.С., Qrободчикова Р.И. Исследование границ применимости алгоритма случайного баланса. 1 97 1 , N!! 7, с. 8 1 8. 1 15. Барский В.Д, Забелло Л.А., Аксенина А.А. и др. К вопросу о построении матрицы планирования отсеивающего эксперимента. 1 97 1, N9 7, с. 82 1 . 1 16. Qrободчикова Р.И. Выделение значимых факто ров методом случайного баланса с помощью многоуровневых планов. 1973, N!! 1, с. 53. 1 1 7. Козырев В .П., Герасимова М.Ф., Автономова А.Ф. О выделеник существен ных факторов. 1 974, NQ 3, с. 305. 1 1 8. Кац М.Д. Выделение значимых факторов мето дом обу чения распознаванию образов. 1 975, N9 1, с. 85. 1 1 9. Ссдунов Е.В. Оценка метода воспроизводящих ядер в сверхнасыщенном планировании регрессионных экmериментов. 1 9 76, N9 7, с. 5 84 . 1 20. Розендорн Н.Н., Розендорн Э.Р. Алгебраическое обосновакие применимости сверхнасьцценных планов в условиях шума. 1 976, N9 1 0, с. 1 2 1 9. 1 2 1 . Малолеткик Г.Н., Мельников Н.Н. Математическое обеmечение ЕС ЭВМ для выделения существенных факторов. 1 979, NQ 7, с. 648. 1 2 2. Еханин М. В . , ( н <J u . чикова Р.И. Разработка многоуровневых сверхнасыщенных планов дп я технологичс•· ких процессов. 1 980, NQ 1 , с. 50. Д. Планирование экспериментов с количественными уровнями варьирования 1 23. Голикова Т.И., Микешина Н.Г. Сравнение D-оптимальных планов второго порядка на Н-мерном шаре с ротатабельными планами Бокса. 1 967, N!! S, с. 5 9 1 . 1 24. Голикова Т.И., Микешина Н.Г., Налимов В.В. и др. Построение на кубе планов второ го порядка, близких к D-оптимальным. 1 967, N!! 7, с. 847 . 1 25. Лксенков А.Н. К вопро су об использовании некоторых планов второго порядка. 1 96 9, N9 1, с. 67. 1 26. Весе лая Г.Н., Лапина З.С. Вычисление коэффициентов регрессии при ротатабельном пла кировании. 1 96 1, Nl! 1 , с. 87. 127. Федорова Г.С., Игошина И.В. Информационный под ход к планированию регрессионных экспериментов. 1 970, Nl! S, с. 57 1 . 1 28. Тийтс Т. В., Петереек И.Ф. Регрессионные планы третьего порядка для круга с малым количест вом экспериментов. 1 97 1 , N!! 1 , с. SS. 1 29. Петереек И.Ф., Куке Я.П. Метод прямых про изведекий для построения планов регрессионных экспериментов. 1 97 1 , Nl! 1, с. 1 5 7 . 130. Кириченко Г . С. , Макалец Б. И., Немцева Л.М. Привятке решений при изменении пределов варьирования независимых переменных в планируемом эксперименте. 1 97 1 , N!! 5, с . 573. 1 3 1 . Бучков И . Н., Круг Г.К., Лецкий Э.К. и др. D-оптимальные планы для кубической регрессии. 1 97 1 , N9 7, с. 8 1 5 . 1 3 2. Кудрявцева Б.М., Плотицина Л. Б. Иссле дование влняиия добавления ортогонализирующих экспериментов на качество исход ного статистического материала. 1 97 1 , N!! 10, с. 1 233. 133. Горский В.Г. , Бродский В.З. О регрессиоiUfом анализе при планированiUf в110рого порядка. 1 9 7 2, Nl! 1, с. 61. 134. Со ляник Б.Л. Оптимальное планирование по отношению к производной от полинома. 1972, N!! 5, с. 5 7 7. 135. Рейзлин А.С. Об ортогональных ротатабельных планах второго порядка. 1972, N!! 5, с. 5 88. 1 36. Ротко Ю.М., Котляр Л.И., Вайнберг А.А. Применекие квази-D-оптимального плана при исследовании питающих устройств для сыпучих материалов. 1972, N!! 7, с. 839. 1 37. Бенцианов Ю.В., Кафаров В.В., Свердпов В.П. Сравиепе некоторых невыражеиных планов второго порядка на трехмерном кубе. Об одном полезном следствии симметрии пол 1 973, N!! 5, с. 5 15. 138. Совельянов В. ного факториого эксперимента типа 2 . 1 97 3 , N!! 51 с. 584. 1 39. Рогинекий Л.В., Сrрель цов А . А. Метод анализа уравнения регрессии, задаiUfого на rиперкубе. 1 973, N!! 7, с. 84 1 .· 140. Тийтс Т.В., Петереек И.Ф. Мннимаксные регрессионные планы для квадрата с ма лым количеством экспериментов. 1 973, Nl! 10, с. 1 2 1 9. 141. Ермаков С.М., Мелас В.Б. Об одном подходе к планированию экспериментов при нелинейной параметризации. 1 973, N!! 1 0, с. 1 2 2 2. 142. Лецкий Э.К., Никифорова Е.С. Об использовании спектров непрерывных D-оптимальных планов при построенiUf точных планов. 1 974, N!! 5, с. 562. 143. Седукав Е.В. Сравнение характеристик неемещеиных планов регрессионных экспериментов и планов в классической постановке. 1 975, Nl! 1, с. 76. 144. Береж ной Ю.И., Деревянко Л.И. D-оптимальные планы дпя полиномиальной регрессии. 1 975, N!! 3, с. 3 26. 145. Берсенев С.М., Саблин Н.И. Плакирование помехоустойчивых регрессионных экспериментов. 1 976, Nl! 3, с. 3 14 . 146. Оlотин Ю.С. Построение ком позJЩИонных лакально-ортогональных планов третьего порядка. 1 977, N!! 5, с. 592. 231
В
!!:
14 7. Ермаков С. М., Махмудов А.А. О планах регрессионных экспериментов, мини· мизирующих систематическую ошибку. 1 977, NQ 7, с. 854. 148. Круг Г.К., Кайшев В.К. D-оптимальные планы для одного класса регрессионных функций. 1 97 7 , NQ 7, с. 85 8. 149. Седунов Е.В. О практическом применении неемешеиных планов регрессионных экспериментов. 1978, NQ 7, с. 8 29. 1 5 0. Фомин Г.А., Фомина Е.С. Построение оптималь ных планов для моделей, нелинейных по параметрам. 1 9 7 8, NQ 7, с. 848. 1 5 1 . Седу нов Е.В. Планирование и анализ регрессионных экспериментов с учетом систематичес кой ощибки. 1 979, NQ 1, с. 65. 152. Жиrляв ский А.А. Об ятерационном методе нахож дения оптимальных планов регрессионных экспериментов. 1979, NQ 1 , с. 6 3 . 1 5 3. Дани ленко Е.Л., Ляшенко Т.В. Расчет точных оптимальных планов на вьшуклых много гранниках. 1 97 9, NQ 3, с. 249. 1 54. Грановский Ю.В. О принятии решений при исполь зовании методов Бокса- Уилсона. 1 9 7 9, NQ 5, с. 4 1 9. 1 55. Николаева Л.С. , Федоров В.В., Ев сеев А.М. и др. Построение оптимальных планов при усложнении структуры мо дели физико-химической равновесной систе мы. 1 979, NQ 10, с. 940.
Е. Планирование факторных экспериментов с качественными и комбинированными уровнями варьирования. 1 56. Маркова Е.В. Латинские квадраты в планировании эксперимента. 1968, NQ 1, с. 60. 1 5 7. Маркова Е.В. Латинские прямоугольники и кубы в планировании эксперимента. 1 96 8, NQ 6, с. 8 3 2. 1 5 8. Солодун Л.А. Об определении взаимодействия между двумя факторами при наличии в таблице дисперсионного анализа пустых кле ток. 1 96 8 , NQ 1 0, с. 1 2 20. 1 5 9. Маркова Е.В. ВIВ-схемы в планируемых экспериментах (обзор) . 1 9 7 0, NQ 7, с. 834. 160. Маркова Е.В. О структурной связи между факторными экспериментами и латинскими квадратами. 1 97 1 , NQ 1, с. 6 0. 1 6 1 . Маркова Е. В. Стати стический анализ сбалансированных неполноблочных планов (обзор) . 1 97 1 , NQ 7, с. 807. 16 2. Пен Р. З . Факторный анализ результатов активного эксперимента. 1 972, NQ 1, с. 7 0. 163. Маркова Е.В. О вьщвижении дополнительных гипотез при применении латинских квадратов, кубов и параллелепипедов. 1 97 2, NQ 3, с. 3 1 8. 1 64. Маркова Е.В. РВIВ-схе мы в планировании экспериментов (обзор) . 1 7 2, NQ 5, с. 5 84. 165. Рузинов Л.П. К во просу о тройных и четверных эффектах взаимодействия факторов. 1 97 2, NQ 7, с. 840. 166. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Бродский В.З. и др. ЛинеЙНые планы с целочислен ными уровнями. 1 97 3 , NQ 5, с. 5 7 9. 1 67. Маневич М.С. Опыт применении квазирандо мизационного метода планирования экспериментов. 1 97 7 , NQ 1 , с. 66. 168. Марко ва Е.В., Прис Д.А. Латинские кубы и связанные с ними планы. 1 9 7 8, NQ 10, с. 1 23 1 . 169. Консон Е.Д Устойчивое оценивание н а блоках факториого эксперимента. 1 97 8, NQ 10, с. 1 243. 170. Носов В.В. Применеине теории кодирования при построении не которых геометрических факторных планов. 1 979, NQ 7, с. 642.
Ж. Симплексный метод планирования экспериментов. 1 7 1 . Горский В. Г., Бродский В.З. СИмплексный метод планирования экстремаль ных экспериментов. 1 965, NQ 7, с. 83 1 . 1 72. Маркова Е.В. Сравнение симплексного ме тода с методом Бокса-Уилсона, на примере химической реакции. 1 96 5 , NQ 7, с. 835. 1 7 3. Налимов В.В. Еще раз·о сравнении случайного поиска с методом градиента в сим плексном планировании. 1 966, NQ 7, с. 854. 1 74. Новик Ф.С., Минц Р.С., Малков Ю.С. Применеине метода симплексных решеток для построения диаграмм состав - свойст во. 1 967, NQ 7, с. 840. 175. Горский В . Г., Бродский В.З. Некоторые вопросы примене ния симплекс-планов. 1 968, NQ 7, с. 83 8. 1 76. Чугунков В. И., Бродский В.З., Горс кий В . Г. Об одном методе композиционного построения ротатабельного симплекс с:r ммируемого плана второго порядка. 1 969, NQ 3, с. 3 23 . 1 7 7. Орехов А.А., Корни лова С.И. Оптимизация процесса с помощью случаЙНого симплекса с учетом веса функции отклика в его верщинах. 1 969, NQ 3, с. 3 26. 1 7 8. Векелер М.А., Горский В. Г., Бродский В.З. Экспериментальная Проверка ортогонального плана первого порядка и несимметричного симплекс-суммированного плана. 1970, NQ 5, с. 5 7 8 . 1 80. Иза ков Ф.Я. Об одном практическом приеме симплекс-планирования при поиске опти мальных режимов технологических процессов. 1 9 7 1 , NQ 3, с. 3 30. 1 8 1 . Рогинекий Л.В., 232
Сrрельцов А.А. Оmимизация многофакторных процессов со многими выходными параметрами методом симплекс-планирования. 1 9 7 2, N9 1, с. 66. 1 8 2. Должанекий Ю, М., Никитина Е.П., Мержанава Р.Ф. и др. Симплекс-пропорциональные планы на плос кости. 1 9 7 8, N9 10, с. 1 240. 1 83. Ильенко А.В., Кацев П.Г. Модификация симплексного метода в задачах оптимизации. 1 9 8 0, NV 1, с. 54. 3 . Работы по другим вопросам, связанным с планирование м и обработкой экспериментов 1 84. Петлюк Ф. Б ., Платонов В.М. Решение обшей задачи аппроксимации методом быстрейшего спуска. 1963, NO 1 0, с. 1 22 1 . 1 85. Мешалкин Л.д., Нгуен Динь Хьен. Срав нение дв ух методов оптимизации. 1 966, NV 1, с. 64. 1 86. Растригни Л.А. О критериях сопоставления методов поиска экстремума. 1 966, N9 10, с. 1 24 8. 1 87. Лисенков А.Н., Круг Г.К., Коршунов М.А. и др. О применении планируемых экспериментов в усло виях временн&го дрейфа. 1 967, NV 5, с. 5 9 8. 188. Ивашенко А.И., Новик Ф.С., Чуй ко Г.П. К вопросу математического планирования экспериментов при исследовании многокомпонентных систем. 1 970, N9 7, с. 834. 189. Горский В.Г., Адлер Ю.П. О мето дологии регрессионного и дисперсионного анализа при планировании экспериментов с неравномерным дублированием опытов. 1 97 1 , N9 3, с. 3 1 9. 1 90. Кудрявцев Б.М. К вопросу о оmимизации производственных процессов статистическими методами. 197 1, N9 10, с. 1 2 26. 1 9 1 . Веников В.А., Кулиев А.М. О применении теории подобия при экспериментально-статистических методах анализа. 1 972, N9 7, с. 84 2. 1 92. Кац М. Д , Щеглов В.Н. Применеине булевой алгебры для анализа многокомпонентных смесей по спектрам поглошения. 1 97 3, NO 3, с. 3 1 7. 1 93. Колосов В.В., Растригин Л.А. Применеине методов случаЯНаго поиска при последовательном планировании опти мальных экспериментов . 1 974, N9 3, с. 302. 1 94. Воронков О.Г. Об одном алгоритме матриц Адамара. 1 974, N9 1 0, с. 1 244. 1 95. Ясаков А.И. Применеине методов кваэк крутого восхоЖдения для оптимизации процессов с двумя параметрами выхода. 1 976, N9 1, с. 7 8. 1 96 . Цэранка Б. Некоторые свойства блочных планов. 1 976, NV 1 0, с. 1 2 1 6. 1 97. Бродский В.З., Кузнецов В.С. Об оптимальном преобразовании регуляр ных планов главных эффектов. 1 976, N9 3, с. 3 1 7 . 1 98. Даниленко Е.Л. Критерии охвата области действия модели областью планирования (S-критерии) , 1 977, N9 7, с. 860. 1 99. Дворкии Л.И., ФаАнер M.III . , Мироненко А.В. Опыт применении методов математической теории эксперимента при планнравании и оптимизации инженерных расчетов. 1 978, N9 S, с. 586. 200. Вощинин А.П. Планирование экспериментов при анализе знаков регрессионных коэффициентов. 1 979, N9 7, с. 6 3 8.
Литература
1 . Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. - М. : Металлургии, 1 96 9. 2. А длер Ю.Л., Грановский Ю. В. Обзор прикладных работ по планированию эксперимента. Препринт. - М. : Изд-во МГУ, 1 96 7 . 3. Адлер Ю.П. , Маркова Е.В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных усл овий. 2-е изд. - М. : Наука, 1 97 6 . 4. А йвазян С.А. Сrатистические исследования зависимостей. Применеине методов
корреляционного и регрессионного анализа при обработке результатов эксперимен тов. - М. : Металлургия, 1 96 8. 5. А йвазян С.А. , БеЖ11 ева З.И., Староверов О. В. Классификация многомерных наблюдений . - М. : Сrатистика, 1 974. 6. Ал бер т А . Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. - М. : Наука,
1977. 7. Ал ексеев Г.А. Объективные методы выравнивания и оптимизации корреля ционных связей. - Л. : Гидрометеоиздат, 1 97 1 . 8. А ндерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. - М . : Физмат гиз, 1 96 3 . 9 . Андрукович Л. Применеине метода главных компонент в практических иссле дованиях. - М. : Изд-во МГУ, 1 97 3 . 1 0. А UL111 арин И. П. и др. Быстрые методы статистической обработки и планирования экспериментов . - Л. : Изд-во ЛГУ, 1 97 5 . 1 1. Бард й. Нелинейное оцениванис параметров. - М. : Сrатистика, 1 97 9 . 1 2. Бернстейн А. Справочник статистических решений. - М.: Сrатистика, 1 96 8. 1 3. Бирюков В.В. Практическое руководство по применению математических
методов планирования эксперимента для поиска оптимальных условий в многофак торных процессах. Рига : З инатие, 1 969. 14. Вох G. Е.Р., Behnken D. W. Some New Тhree Leve1 Desing for Study o f Quantitive VariaЬles. Technometries, vo1. 2, 1 960, N9 4 . -
1 5. Вох G.E.P., Hanter J.S. Mu1tifactor Experimenta1 Desings for Exp1oring Response Surfaces. Annals of Mathemat ica1 Statistics, 1 9 5 7 , 28, � 1 , 1 95. 1 6. Вох G.E.P., Wilson К.В. On the Experimenta1 Attainement , of Optimum Co nditions. Journa1 o f the Roya1 Statistica1 society, series В, 1 3 , N9 1 , 1 . 1 7. Бол ьшев ЛН. , Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М . : Вычислительный центр АН СССР, 1 96 8 . 1 8. Брандт З . Сrатистические методы анализа наблюдений. - М. : Мир, 1 97 5 . 1 9. Браунли К.А. Сrатистическая теория и методология в науке и технике. - М . : Наука, 1 9 7 7 . 20. Бродский В. З. Введение в факторнос планирование эксперимента. - М. : Нау ка, 1976. 2 1 . Бродский В. З. Многофакторные регу Л ярные планы. - М. : Изд-во МГУ, 1 9 72. 22. Бродский А.Д., Кан В. Л Краткий справочник по математической обработке результатов измерений. - М . : Сrандартгиз, 1 960. 23. Бурми стров Г.А . Основы метода нанменьших квадратов. - М. : Госгеолтех издат, 1 96 3 . 24. Вапник В . Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. - М. : Наука, 1 97 9 . 2 5 . Вели канов М.А. Ошибки измерения и эмпирические зависимости. - Л.: Гидро метеоиздат, 1 96 2. 26. Винарекий М. С., Лурье М.В. Планирование экспериментов в технологических исследованиях. - Киев : Техника, 1 97 5 .
234
21. Гнеден ко Б.В. Беседы о математической статистике. - М. : Знание, 1 96 8. 28. Гмурм ан В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М . : Выс
шая школа, 1977.
29. Гол и кова Т. И. , Пан чен ко ЛА . , Фридман М. З. Каталог планов второго порядка ' Ч. 1 и 1 1. - М . : И зд-во М ГУ, 1 9 7 5 .
3 0. Головей ко А . Г. Математическая обработка опытных данных. - J\.lинск : Изд-во
БП И, 1 960.
3 1 . Гол ьцман Ф.М. Сrатистические модели интерпретаJ,lИИ. - М . : Наука, 1 9 7 1 . 3 2. Горя В. С. Алгоритмы математической обработк и результатов исследований. -
Кишинев : Ытиинца, 1 97 8.
33. Гранов ски й Ю. Ф. , Любимо ва Т.Н. , Мурашова Т. И. , Стахов А . Б. Планирование эк спериме нта. - Библиография прикладных работ за 1 969- 1 970 гг. М. : Изд-во МГУ, 1 974. 34. Гранов с ки й Ю. Ф. , Мурашова Т.И. , Стахов А. Б. , Адлер Ю. П. Планирование эксперимента. - Библиография прикладных работ за 1 966- 1 96 8 гг. - М. : Изд-во М ГУ, 1 97 1 . 3 5 . Гри шин В. К Сrатистические методы анализа и планирования эксперименто в. - М . : Изд-во МГУ, 1 9 7 5 . 3 6 . Гроо т Морри с. Оптимальные статистические решения. - М. : Мир, 1 974. 37. Гутер Р. С. , Овчинекий Б.В. Эле менты численного анализа и математической обработки результатов опыта. - М.: Наука, 1 9 7 0. 3 8. Даименд С. Мир вероятности и статистики в науке. - М . : Сrатистика, 1 97 0. 39. Дени со в В. И. Математическое обеспечение системы ЭВМ - эксперимента тор . - М. : Наука, 1 97 7 . 40. Денисов В . И. , Попов А .А. А · , Е- оптимальные и ортогональные планы регрес сионных экспериментов для полином иальных моделей. Препринт. - М. : Изд-во Науч ного Совета по кибернетике , 1 976. 4 1. Дпи н А.М. Математическая статистика в технике. - М . : Советская наука, -
1 9 5 8.
42. Дол ински й Е. Ф. Обработка результатов измерений. - М. : Изд-во стандартов.
1973.
43. Дрейпер Н. и См и т Г. Прикладной регрессионный анализ. - М . : Сrатистика,
1 9 7 3.
44. Дроэдов
Недра, 1 97 2 .
Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений . - М . :
45. Дружинин Н.К Выборочное наблюдение и эксперимент. - М. : Сrатистика,
1 977.
46. Дукарски й О.М., Закурдаев А . Г. Статистический анализ и обработка наблюдений на ЭВМ "Минск-2 2 " - М. : Сrатистнка, 1 9 7 1 . 41. Дюге Д. Теоретическая и п рикладмая статистика. - М. : Наука, 1 972. 4 8 . Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные в оnросы. - М. : Нау ка, 1 97 1 . 49. Ермол ьев Ю.М. , Ля ш ко И.И., Михалеви ч В. С. и др. Математические методы исследования операций. - Киев : В ища школа, 1 97 9. 5 0. Ефимо ва М. Р. Множественная корреляция . - М. : Изд-во МИУ, 1 97 7 . 5 1. Ефи мова М. Р. Теория корреляции (Парная зависимость) . - М. : Изд-во МИУ,
1 976.
5 2. Закс Лотар. Сrатистическое оценивание. - М . : Сrатистика, 1 9 76. 5 3. Зедги нидэе И.Г. Математическое планирование эксперимента для исследова
ния и оптимизации св ойств сме сей. - Тбилиси : Мецниереба, 1 9 7 1 . 54. Зин гер А.А. Элементы теории статистических решений. - Л. : Изд-во ЛЭТИ,
1 977.
55. Иванов А . Сrатистические методы в инженерных исследованиях. - М. : Изд-во
МЭИ, 1 976.
56. Иль ин И.Р. Таблицы для статистической обработки экспериментальных дан ных. - Кишинев : Ытиинца, 1 976. 51. Инструкция и описание программ для статистической обработки малой вы борки. - Л. : Судостроение, 1 9 7 7 .
2 35
5 8. Исмаилов /JI. IO. математическая статистика и обработка результатов измере ний. - Л. : Изд·ВО лэти. 1 9 7 7 . 5 9. Карл ин С. , Стадден В . Чебышевекие системы и их применение в анализе и статистике. - М.: Наука, 1 9 76. 60. Кассандрава О.Н. , Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. - М . : Наука, 1 970. 6 1 . Кем ни ц Ю.В. Определение параметров эмпирических формул методом наи меньших квадратов. - М . : Недра, 1 964. 62. Кендэл М. Дж. Ранговая корреляция . - М. : Сrатистика, 1 97 5 . 63. Кендэл М. Дж. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М. : Наука, 1 97 6 . 64. Кендэл М. Дж., Стюарт А. Сrатистические выводы и связи. - М. : Наука, 1 97 3 . 6 5 . Клейнен Дж. Сrатистические методы в имитационном моделировании. - М. : Сrатистика, 1 97 8. 66. Клепи ков Н. П. , Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобия. - М.: Наука, 1 964. 67. Кокс Д. В. , Хин кли Д. Теоретическая статистика. - М. : Мир. 1 97 8. 68. Кол есн иков А . Ф. Основы математической обработки результатов измерений. - Томск : Изд-в о ТГУ, 1 96 3 . 6 9. Кол ко т Э. Проверка значимости. - М. : Сrатистика, 1 97 8 . 7 0. Кон юховекий В.В. Критерии согласия однородности и независимости. - М. : Изд-во МГУ, 1 9 70. 7 1 . Коуден Д. Сrатистические методы контроля качества. - М.: Физматгиз, 1 96 1 . 7 2. Крамер Г. Математические методы статистики. - М. : Мир, 1 9 7 5 . 7 3. Круг Г.К , Сосулин Ю.А. , Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. - М. : Наука, 1 97 7 . 7 4 . Лео нть ев Н.Л. Техника статистических вычислений. - М. : Лесная промыш ленность, 1 966. 75. Леман Э.Л. Проверка статистических гипотез. - М. : Наука, 1 964. 76. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблю дений. - М. : Физматгиз, 1 96 2. 7 7. Лаул и Д. И. и Максвелл А Э. Факторный анализ. Сrатистический метод. - М. : Мир, 1 96 7 . 7 8. Львовски й Е. Н. Пассивный и активный эксперимент при изучении механи ческих характеристик бетона. - Кишине в : Картя Молдовеняскэ, 1 97 0. 7 9. Львовски й Е.Н. Исследование механических характеристик бетона с приме нением ЭВМ статистических методов и активных экспериментов. - Кишинев : Изд-во .
кпи, 1 9 7 0. 80. L vovskiy E.N. Research of Mechanical Characteristics of concrete u sing Computer, Statistical Methods алd . Active Experiments Summaries Rilem Sy mposium. - Copenhagen, 1971. 8 1. Lvovskiy E.N. Calculation o f Prestressing Lossesin Fitting caused Ьу Greep of Concrete using Multifactor Models, VIII International Congress of the Federation Inter national de Ja Precontrainte. - London, 1 97 8 . 82. Львовски й Е. Н. , Бордеяну Г. В. Экспериментально-статистические исследова
ния деформаций ползучести бетона с построением математических моделей второго порядка для их вычисления и прогнозирования. - В сб. : Прочность, деформативность и устойчивость строительных конструкций. - Кишинев : IIIтиинца, 1 97 7 . 8 3 . Lvovskiy E.N. , Bordeyanou G . V. Une methode statistique nouvelle pour l e calcul des caracteristiques de Пuage des betons. Bulletin de liaison de laboratoires des pouts et chaussees, N 9 1 , 1 9 7 7 .
84. Львовски й Е.Н. , Бордеяну Г. В. , Ко торобай В.М. и др. Планирование экспери ментов и статистическая обработка их результатов при исследовании механических характеристик бетона и железобетонных конструкций. - Известия вузов. Сrроитель ств о и архитектура, 1 976, NQ 6. 85. Львовский Е. Н. , Котара бай В.М. Экспериментально-статистические иссле дования начального модуля упругости пропареиных заводских бетонов с построением
236
многофакторных математических моделей для его вычисления. - В сб. : Прочность, деформативно сть и устойчивость строительных конструкций. - Кишинев : lllтиинца,
1977. 86. Мазми швили А. И., Беляев Б И. Сборник задач по теории ошибок и сnособу наименьших квадратов. - М . : Изд-во Московского горного института, 1 960. 87. Маркова Е. В. Руководство по nрименению латинских квадратов nри nла· .
нировани и эксnеримента с качественными факторами. - Челябинск: Изд-во Урал НИИ стройnро екта, 1 97 1 . 88. Маркова Е.В. , Лисенков А . Н. Планирование эксnеримента в условиях неодно родностей. - М . : Наука, 1 9 7 3. 89. Математическая статистика и nланирование эксnеримента. Библиографичес кий указатель отечественной и иностранной литературы. 1 960- 1 96 9 rг. - М. : Изд- во
мэи. 1 970. 90. Материалы второй всесоюзной конференции по nланированию эксnеримента. - М. : Изд-во МЭИ, 1 9 6 8. 9 1. Методика статистической обработки эмnирических данных. - М. : Сrандарт rиз, 1 963 . 92. Ми трапол ьский А . К. Введение в статистическое исчисление. - Л. : Изд-во вз лти. 1 95 5. 93. Ми трапол ьский А. К. Техника статистических вычислений. - М. : Наука, 1 97 1 . 94. Мудро в В. И. Методы обработки наблюдений (квазиnравдоnодобные оценки) . - М. : Советское радио, 1 97 6 . 9 5 . Нал имов В.В. Применеине математической статистики nри анализе вещества. - М. : Физматrиз, 1 960. 96. Нал имов В.В. Статистические методы оnисания химических и металлургичес ких nроцессов. - М. : Металлурrиздат, 1963. 97. Нал имов В.В. Теория эксnеримента. - М. : Наука, 1 97 1 . 98. Нал имов В.В. Логические основания nрикладной математики. Преnринт. М. : Изд-во МГУ, 1 9 7 1 , Ng 24. 99. Нал имов В.В. Вероятностная модель язьn<а. - М. : Наука, 1 97 5 . 1 00. Налимов В.В. Язык в ероятностных nредставлений. - Преnринт. - М. : Изд-во научного совета по кибернетике, 1 97 6 . 1 01. Нал имов В.В., Гол икова Т. И. Логические основания nланирования эксnери мента. - М. : Металлургия, 1 97 6 . 1 02. Налимов В.В., Черно ва Н.А. Сrатистические методы nланирования экстре мальных эксnериментов. - М. : Наука, 1 965. 1 03. Негура Н. Г. Разработка алгоритм� и nрограммы анализа и выбора оnти
мальных nарных зависимостей в теории бетона и железобетона. - Доклады ресnубли канской конференции "ПовьШiение качества и эффективности бетонных конструкций и изделий на базе nрименении nередовой технологии". Кишинев, 1 9 7 8. 1 04. Немчино в В. С. Полиномы Чебышева и математическая статистика. - М. : ТИn. "Красное знамя", 1 946. 1 05. Ни китина Е.Л Планирование и анализ эксnеримента (модели третьего nо рядка) . - М. : Изд-во МГУ, 1 97 6. 1 06. Ни колаева Л С. Программы по регрессионному и к онфmоэнтному анализу. Преnринт. - М. : Изд-во МГУ, 1 969, Ng 9. 1 07. Нови к Ф. С. Планирование эксnеримента в металловедении. - М . : Машино строение, 1 974. 1 08. Новые идеи в nланировании эксnеримента f Под ред. В.В. Налимова. - М . : Наука, 1 969. 1 09. О nреnодавании математической статистики эксnериментаторам. - М . : Изд-во МГУ, 1 97 1 . 1 1 0. Орлова Л ЛинеЙНый регрессионный анализ . - М. : Изд-во МГУ, 1 9 7 1 . 1 1 1. Пазман А . , Федоров В.В. Планирование физических эксnериментов. Обзор. - Дубна : Об ъединенный институт ядерных исследований, 1 96 7 .
1 12. Panarin N.J. , L vovskiy E.N. Mehrfaktorenmodelle Z ш Bestimmung d e r Kriech· kennwerte von Beto n. Bauplanung Bautechnik, N 7, 1 97 2 .
2 37
1 1 3. Пасхавер И. С
Закон больших чисел и статистические закономерности.
М. : Статистика, 1 9 74.
1 14. Пирятин В.Д. Обработка результатов экспериментальных исследований, Харьков : Изд-в о ХГУ, 1 967. 1 1 5. Планирование оптимальных экспериментов 1 Под ред. М.Б. Малютова. - М. : Изд-во М ГУ, 1 9 7 5, NЦ 8. 1 16. Планирование эксперимента. Литература на русском и украинском языках за 1 96 5 - 1 96 9 гг. - М. : Гос. публ. науч.-техн. б-ка СССР, 1 96 9. 1 17. Планирование эксперимента. Список литературы на иностранн ых языках за 1 96 5 - 1 97 0 гг. - М. : Гос. публ. науч.-техн. б-ка СССР, 1 97 3. 1 1 8. Планирование эксперимента. Указатель литературы на русском и украинс ком языках за 1 97 0- 1 97 1 гг. - М. : Гос. публ. науч.-техн. б-ка СССР, 1 9 7 2. 1 19. Плескунин В.И., Воронина Е.Д. Теоретические основы организации и анализа выборочных данных в эксперименте. - Л . : Изд-во ЛГУ, 1 97 9. 1 20. Померанцев В.В. Практическая методика корреляционного анализа. - М. : Экономиэдат, 1 963. 1 2 1 . Прикладнан статистика. Анализ и оценка на ЭЦВМ регрессионных зависи мостей. - М. : Изд-во стандаров, 1 97 5 . 1 22. Прикладные программы по математической статистике для ЭВМ "Минск-3 2 ': - Таллии : Изд-во АН ЭССР, 1 977. 1 23. Прикладной многомерный статистический анализ. - Сб . тр. - М. : Наука,
1 9 7 8.
1 24.
Проблемы планирования эксперимента 1 Под ред. Г.К. Круга. - М. : Наука,
1 9 6 9. 1 25.
Программы по математической статистике для ЭВМ "Минск-22". - М. :
онти, 1 969. 1 26. Протодьяконов М.М. , Тядер Р. И. Методика рационального планирования экспериментов . - М. : Наука, 1 970. 1 27. Пустыльник Е. И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. - М. : Наука, 1 968. 1 28. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. - М. : Наука, 1968. 1 29. Романовски й В. И. Математическая статистика. Т. 1. - Ташкент : Изд-во АН Уз. ССР, 1 96 1 . 1 30. Романовски й В. И. Математическая статистика. Т. 11. - Ташкент : Изд-во АН Уз. ССР, 1 96 3. 1 3 1 . Романовски й В.И. Применеине математической статистики в опытом деле. М. - Л. : Гостехиздат, 1 947. 1 32. Рохвангер А.Е. , II/евяков А.Ю. Математическое планирование научно-техни ческих исследований (статистический подход) . - М. : Наука, 1 97 5 . 1 33. Рум шиский Л 3 . Математическая обработка результатов эксперимента. М. : Наука, 1 97 1 . 1 34. Рум шиский Л З. Элементы теории вероятностей. - М. : Наука, 1 97 0. 1 35 . Рум шиский Л З. , Смирнов С.Н. Методы обработки результатов экспери ментов. - М. : Изд-во МИСиС., 1 97 3 . 1 36. Саульев В. К. Математическая обработка результатов наблюдений. - М. : Изд-во МАИ, 1 974. 1 37. Си ндл ер Ю.Б. Метод двуступенчатого статистического анализа и его прило жение в технике. - М. : Наука, 1 97 3 . 1 38. Смирнов Н. В. , Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятности и мате матической статистики для технических приложений. - М. : Наука, 1 969.
1 39. Справ очник по теории вероятности и математической статистике. - Киев : Наукова Ду мка, 1 97 8 . 1 40. Стойкова Л С Экстраполяция по методУ наименьших квадратов с приме нением симметричных полиномов Чебышева - Лежандра. Препринт. - Киев : Изд-во АН УССР, 1 9 72, N9 7 2 - 7 9 . 1 4 1 . Теория и практика измерения статистических характеристик. - Труды I Всесоюзной конференции. Л., 1 97 2.
238
М. :
142. Уорсинг А., Геффнер Дж. Методы обработки экспериментальных данных. ИЛ, 1 953. 'j' 1 43. Успенскии А.Б., Федоров В.В. Вычислительные аспекты метода наименьших
квадратов при анализе и планировании регрессионных экспериментов. - М. : Изд-во МГУ, 1 97 6. 1 44. Федоров В.В. Анализ экспериментов при наличии ошибок в контролируемых переменных . Препринт. - М. : Изд-во МГУ, 1 96 8 , N9 2. 145. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. - М. : Наука, 1 97 1 . 1 46. Финни Д. Введение в теорию планирования эксперимента. - М. : Наука, 1 9 7 0. 1 47. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. - М. :
ил, 1 956. 148. Хан Г., Шапиро С Сrатистические модели в инженерных задачах. - М. : Мир, 1 9 6 9. 149. Хи кс Ч. Основные принцилы планирования эксперимента. - М. : Мир, 1967. 1 50. Хи.мм ел ьблау Д. Анализ процессов статистическими методами. - М. : Мир, 1 9 7 3. 1 5 1 . Хо ТUАt ский В.И. Выравнивание статистических рядов по методу наимень umх квадратов (способ Чебышева) и таблицы дпя нахождения уравнений параболичес ких кривых. - М. : Госстаидартиздат, 1 9 5 9. 1 5 2. Хьюстон А. Дисперсионный анализ. - М. : Сrатистика, 1 9 7 1 . 1 53. Численные методы математической статистики. Алгоритмы и программы. М. : Изд-во МГУ, 1 976. 1 54. Чу пров А.А . Основные проблемы теории корреляции. - М. : Госстатиэдат, 1960. 155. Шенк Х. Теория инженерного эксперимента. - М. : Мир, 1 97 2. 1 56. Шеффе Д. Дисперсионный анализ. - М. : Физматгиз, 1 96 3 . 1 57. Ширяев А.Н. Сrатистический последовательный анализ. Оптимальные пра вила остановки. - М. : Наука, 1 97 6 . 1 58. Щербаков Е.Н., Сырбу Ф.П. Многофакторный статистический анализ влия
ния качества цемента на величину усадки цементно-песчанных растворов. Труды ЦНИИС Минтрасстроя. - М., 1 974, вьm. 7 7 . 1 59. Щербаков Е.Н. , Сырбу Ф.П. Эффективная методика многофакторнаго стати стического анализа физико-механических свойств бетона с помощью ЭВМ - В сб. : Исследование надежности и качества железобетонных конструкций. - Куйбышев : Изд-во КуйбьПll евского университета, 1 97 8 . 160. Щиголев Б. М. Математическая обработка наблюдений. - М. : Наука, 1 969. 161. Яковлев К. П Математическая об11аботка результатов измерений. - М.: Гостехиэдат, 1 9 5 3 . 162. Яноши Л. Теория и практика обработки результатов измерений. - М. : Мир, 1 9 6 8. 1 63. Ясноп011 ьский СЛ. Иэд-во МИСиС, 1 9 7 1 . 1 64 . Ясноп011 ьский СЛ.
Первичная обработка статистических данных. - М. :
Построение эмпирических формул и подбор их пара· метров методом наименьших квадратов и методом средних. - М. : Изд-во МИСиС, 1 9 7 2.
Учебное издани е
Евгений Николаевич ЛЬвовский
Статистические методы построения эмпирических формул Зав. редакцией Е. С. Гридасова Редактор Ж.И. Яковлева Мл. редакторы Н.П. Майкова, Г.В. В.ятоха Художник В .И. Казакова Художественный редактор В.И. Поиомареяко Технические редакторы Л.А. Муравьева, Л.М. Матюшина Корректор Г.И. Кострикава Оператор О.М. Есипова ИБ N9 6 1 60 Подп. в печать 14.07.88. Сдано в набор 26. 1 1.87. Изд. N9 ФМ-863. Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Формат 60Х8 8/ 1 6 . Бум . офсетная N9 2. объем 14,70 уел. печ. л. 1 5 ,06 уч. изд. л., 1 4,70 уел. кр.-отт. Зак. N9 5 7 9. Цена 80 коп. Тираж 20 000 экз. Издательство "Высшая школа ", 1 0 1 4 3 0 , Москва, ГСП-4 , Неrлинна.я ул., д. 29/ 14. Набрано на наборно-пишущих машинах издательства. Отпечатано в Московской типографии N9 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств , полиграфии и книжной торговли. 1 0 1 8 9 8,. Москва, Хохловекий пер., 7 .
