Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 302—308
УДК 512.57
КОНЕЧНЫЕ
РЕШЕТКИ
КАК РЕШЕТКИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ
КОНГРУЭНЦИИ
КОНЕЧНЫХ УНАРОВ И АБЕЛЕВЫХ
ГРУПП
А. М. Н У Р А К У Н О В
Пусть R — квазимногообразие алгебр, А — произвольная алгебра. Конгруэнцию в £ Con А называют Л,-конгруэнцией, если А/в £ R. Мно жество СопцА всех R-конгруэнций алгебры А образует алгебраическую решетку относительно включения, его называют решеткой алгебры А. Решетку L называют решеткой относительных
И-конгруэнций конгруэнции,
если найдутся квазимногообразие алгебр R и алгебра А такие, что L изо морфна СопаА. Как известно, поставленная в [1] проблема IV.36 — «Вся кая ли конечная решетка изоморфна решетке конгруэнции конечной ал гебры?» — остается открытой. Покажем, что для решеток относительных конгруэнции она имеет положительное решение, а именно, любая конеч ная решетка изоморфна решетке относительных конгруэнции некоторого конечного унара и некоторой конечной абелевой группы.
§ 1. Основной результат Для алгебры А и элементов а, Ь Е А через 0(а, Ь) обозначим наимень шую конгруэнцию на А, содержащую пару (а, Ь). Пусть / — символ унарной операции, х — переменная. Положим f°(x) = ж, f*{x) = f{x) и / п + 1 (ж) = / ( / п ( я ) ) , п > 0. Аналогично, если А унар и a G А, то полагаем /°(а) = а, fl(a) п > 0. ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
= /(а) и / п + 1 ( а ) = / ( / п ( а ) ) ,
Конечные решетки как решетки относительных конгруэнции
303
Л Е М М А 1. Пусть A = (a\ fn{a) = а) - унар (В = (Ъ \ Ьп = 1) абелева группа). Тогда решетка конгруэнции Con А (Соп23) изоморфна рететке делителей числа п, и любая конгруэнция в на А (на В) имеет вид d(x,fk(x))
(в(1,хк))
для некоторого к > 0, причем к делит п.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для групп доказательство очевидно, так как любая конгруэнция абелевой группы определяется некоторой подгруппой. Приведем доказательство для унаров. Пусть в £ СопА. Если в — нулевая конгруэнция, то в = 0(a,fn(a)).
Допустим, что (/ W (a), fs(a))
< s < п + 1. Тогда ( / m + n - w ( a ) , / s + n - w ( a ) ) = (aj8~m(a)) 6 в. Ясно, что (fm(a)1fs(a))
£ в, т <
и (a,/*~ m (a)) £
£ 0(a,/*~ m (a)). Пусть r 0 = 5 - m. Поскольку
0 < r 0 < п, найдутся числа ri < го и 6^ > 0 такие, что п = ro^i + + гг. Тогда (а, / п (а)) и (а, / г ° 5 1 (а)) 6 0, следовательно, (/ n (a), Г 0 * 1 (a)) £ в и ( a , / f l ( a ) ) = ( a , / n ~ r ° S l (а)) £ б. Далее, если г\ > 0, то найдутся такие r 2 < fi и <s2 > 0, что г 0 = rxs2 + г2 и (a,/ r 2 (a)) e 0. Продолжая, для некоторого г получаем (а, / п ( а ) ) £ 0, г,- > 0, r t + i = 0. Согласно алгоритму Евклида, Ti — наибольший общий делитель чисел $ — т и п. Применяя подобные рассуждения, можно доказать, что для любых 1
(a,/* (a)), •-. ,(a,/ fc *(a)) £ в имеем (a,/ fc (a)) £ 0, где к = н.о.д.(п, fcb . . . ...,**)• П Т Е О Р Е М А 1. Для любой конечной решетки L найдутся конеч но аксиоматизируемое локально конечное квазимногообразие унаров R и конечный унар А такие, что L изоморфна COIIRA. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L = {а0, а ь . . . , а п }, где а 0 — наимень ший элемент в L, р 0 ~ 1 и X = {Ръ^2?«-- >Рп} ~~ множество первых п простых чисел. Рассмотрим отображение <р : L —>• -Р(-Х"), определенное по правилу <р(а) = {р« | а, ^ а}, где Р(А") — множество всех подмножеств X. Тогда (f является вложением L как нижней полурешетки в полурешет ку (Р(Х); U), причем у?(1) = 0 . Действительно, по определению <р имеем <р(а) ф ip(b) для всех афЬи
(p(aAb) = {р,- | а,, £ а Л 6} = {р,- | а,- ^ a}U{pi |
ai ^ 6} = 9(a) U <£>(&). Для любого конечного множества М натуральных чисел через М обозначим наименьшее общее кратное чисел из множества
А. М. Ну ржунов
304
М ( 0 = 1). Пусть А = (гг | гл = fX{u))
~ унар, и R — квазимного
образие унаров, определенное следующими квазитождествами (кванторы опущены):
( 2 ) / 1 ^ ) = /1(у)->*=_У, = а: для всех а £ L и А: < X таких, что y>(a)fc не делится на (р(Ь) ни для какого Ь < а. f^a\u))
Покажем, что любая R-конгруэнция 0 на А имеет вид 0(и,
для некоторого а 6 L. Действительно, в силу леммы 1 любая конгруэнция 6 на Л имеет вид 0(щ fk(u)).
Поскольку у>(1) = 1 и решетка X конечна, най
дется элемент с £ L такой, что к делится на у?(с), но не делится на
• COIIR А, определенное по правилу a(a) = 0(u,/v( o )( t t )), является изоморфизмом. Действительно, пусть афЪ, а,Ъ G £, и d ( t t , / ^ ) ( t i ) ) = 0 ( u , / ^ ) ( u ) ) . Тогда (u,fk(u))
<E » ( « , / ^ ) ( t t ) ) ,
где А: — наибольший общий делитель чисел (Ь). Это противоре чит тому, что для любых с £ L и s < у>(с) пара (ж,/5(а?)) не лежит в в(и, /^( c )(ti)). Таким образом, а — взаимно однозначное отображение. По скольку любая R-конгруэнция на А имеет вид в(щ /^^(и))
для некото
рого а Е L. отображение а сюръективно. Осталось показать, что а сохра няет операцию Л. Это следует из того, что а(а Л b) = 0(u) f^aA^(u)) = 0(u,f*<°№(b)(ufi
=
=
0(t*,/*(°)(tO) П % / ^ ) ( и ) ) для любых a,6 G L.
По определению, квазимногообразие R конечно аксиоматизируемо. Кро ме того, R локально конечно, поскольку содержится в многообразии, по рожденном унаром А. П Т Е О Р Е М А 2. Для любой конечной решетки L найдутся конеч но аксиоматизируемое,
локально конечное квазимногообразие
групп R и конечная абелева группа А такие, что L изоморфна
абелевых СопцА.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 2 аналогично доказательству теоре мы 1. В качестве А возьмем однопорожденную абелеву группу порядка
Конечные решетки как регЬетки фтносительных конгруэнции
305
Р\р2 * "Рп, & квазимногообразие R зададим квазитождествами: (1) жЛР*'"*» = 1,
(2) а^(°)* = 1 -» ж^ а ) = 1 для всех a £ L и к < X таких, что
§ 2. Следствия Будем говорить, что алгебра A R-представляет решетку L, если L изоморфна СопцА для некоторого квазимногообразия R. В частности, если R
— многообразие, то это определение совпадает с определением
представления решетки L алгеброй А (см. [4]). Из доказательства теорем 1 и 2 получаем С Л Е Д С Т В И Е 1. Пусть L u К ~ конечные равномощные решетки. Тогда найдется конечный унар А (конечная абелева группа А) такой, что А будет ^-представлять
решетку L и Ло-представлять решетку К для
некоторых квазимногообразий R и RQ. Пусть R — квазимногообразие алгебр. Класс алгебр N C R называ ют R-многообразием, если N = R f l V для некоторого многообразия V. Множество Lv(R) всех R-многообразий образует решетку относительно включения, его называют решеткой ^многообразий.
Решетки вида Lv(R)
называют решетками относительных многообразий. В [5] показано, что любая конечная решетка изоморфна решетке относительных многообра зий локально конечного квазимногообразия, сигнатура которого состоит из двух бинарных и одной нульарной операций. Покажем, что верно сле дующее
306
А. М. Нуракунов С Л Е Д С Т В И Е 2. Любая конечная решетка изоморфна решетке
относительных многообразий локально конечного квазимногообразия унаров (абелевых групп). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем для унаров. Для абелевых групп до казательство аналогично. Пусть L — некоторая (п+1)~элементная решетка и Ьд — решетка, двойственная L. Как и в теореме 1, по решетке Ld по строим унар А и квазимногообразие R. Нетрудно видеть, что А является R-свободным унаром ранга 1. Пусть N — R-многообразие, в котором выполняется некоторое то ждество от двух переменных. Тогда это тождество имеет вид ^yz(fk(y) s z
— f { ))i
s
8 k
k ^ * По квазитождеству (2) получаем Vyz(y = f ~ {z)). s k
вательно, Vyz(f ~ (y)
s k
= f ~ (z)).
=
Следо
По квазитождеству (2) верно Vyz(y — г),
т. е. N — тр>ивиальное многообразие. Таким образом, любое R-много образие определяется тождествами от одной переменной, следовательно, вполне инвариантными R-конгруэнциями унара А. Покажем, что любая конгруэнция унара А является вполне инвари антной. Действительно, любой эндоморфизм а унара А определяется сво им значением на порождающем и. Поэтому и из того, что ( / m ( u ) , fs{u)) k
и а(и) = f (u), m
s
{a(f (u)),a(f (u)))
m
k
следует, что (f + (u),
s k
f + (u))
m
3
= (a(f (u)),a(f (u))) д
€ #• Таким образом, (СопкА)
Gв и
= Lv(R). Поскольку
Con R A = Ьд, выполняется L = Lv(R). П
§ 3. Заключительные замечания Как уже отмечалось, неизвестно, всякая ли конечная решетка изо морфна решетке конгруэнции конечной алгебры. Из леммы Мальцева, в частности, следует, что если конечная решетка L изоморфна решетке кон груэнции конечной алгебры, то L изоморфна решетке конгруэнции ко нечной унарной алгебры, т. е. алгебры, сигнатура которой состоит из ко нечного числа унарных символов. В [б] показано, что конечная решетка L изоморфна решетке конгруэнции конечной алгебры тогда и только то гда, когда L изоморфна интервалу решетки подгрупп некоторой конечной
Конечные решетки как редгетки относительных конгруэнции
307
группы. В то же время любая конечная решетка является решеткой кон груэнции некоторого бесконечного группоида [7]. Однако, существуют ко нечные решетки, не представимые в виде решеток конгруэнции конечных группоидов [8]. Напомним (см. [4]), что тип г сигнатуры а представля ет (И-представляет) решетку L, если существует алгебра А сигнатуры а такая, что Con A = L (COIIRA = L). В [9] доказано, что тип (2,1) предста вляет любую решетку вида Con А, где А — алгебра конечной сигнатуры. Из теорем 1 и 2 следует, что типы (1) и (2,1) R-представляют любую ко нечную решетку. Теорема 1 и следствие 1 анонсированы в [10].
ЛИТЕРАТУРА 1. Г Гретцер, Общая теория решеток, М., Мир, 1982. 2. A.M. Нуракунов, Решетки относительных многообразий и решетки относи тельных конгруэнции моноидов (в печати). 3. В. А. Горбунов, В. И. Туманову Строение решеток квазимногообразий, в кн. "Математическая логика и теория алгоритмов" (Труды Ин-та матем. СО АН СССР, 2), 1982, Новосибирск, Наука, 12-44. 4. J. В. Nation, Jonsson's contributions to lattice theory, Algebra Univers., 31, N 3 (1994), 430-445. 5. К. В. Адаричева, В. А. Горбунов, Оператор эквационального замыкания и запрещенные полудистрибутивные решетки, Сиб. матем. ж., 30, N 6 (1989), 7-25. 6. P. P. Palfy, P. Pudlak, Congruence lattices of finite algebras and intervals in subgroup lattices of finite groups, Algebra Univers., 11, N 1 (1980), 22—27. 7. W. A. Lampe, Congruence lattices of algebras of fixed similarity type. II, Рас. J. Math., 103, N 2 (1982), 475-508. 8. R. McKenzie, Finite forbidden lattices, in: Universal algebra and lattice theory (R. Freese and 0 . Garcia, eds.) (Lect. Notes Math., 1004), New York, SpringerVerlag, 1983, 176-205. 9. R. McKenzie, A new product of algebras and a type reduction theorem, Algebra Univers., 18, N 1 (1984), 29-69.
308
А. М. Нурякунов
10. А. М, Nurakunov, Finite lattices are lattices of relative congruences of unar algebras, Abstracts of Conference on universal algebra and lattice theory, Szeged, Hungary (July, 1996), 64.
Адрес автора: НУРАКУНОВ Анвар Мухпарович, КЫРГЫЗСТАН, 720071, г. Бишкек, пр. Чу, 265а, Институт математики HAH KR e-mail: [email protected]
Поступило 31 августа 1999 г.
