Сибирский математический журнал Июль—август, 2000. Том 41, № 4
УДК 517.977.1
ГРАНИЧНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ О. Ю. Эмануилов
Аннотация: Изучаются вопросы существования решения задач точной управляемости линейными гиперболическими уравнениями второго порядка. Управление находится в граничных условиях и распределено по части границы области. При условии существования функции ϕ(x), поверхности уровня которой псевдовыпуклы относительно бихарактеристик гиперболического оператора, доказана разрешимость задачи точной управляемости. Библиогр. 14.
Работа посвящена изучению задачи точной управляемости линейным гиперболическим уравнением второго порядка в случае, когда управление находится в граничных условиях и распределено по части границы. В работах Ж. Л. Лионса [1–3] был разработан метод «единственности Гильберта» сводящий вопрос о разрешимости задачи точной управляемости линейным гиперболическим уравнением к доказательству наблюдаемости сопряженного ему гиперболического уравнения. В [4, 5] для доказательства наблюдаемости были применены теоремы о распространении особенностей и приведены условия типа неловушечности, близкие к необходимым, при которых задача управляемости имеет решение. Однако использование теоремы о распространении особенностей требует C ∞ -гладкости коэффициентов гиперболического оператора и части границы, что является существенным ограничением в прикладных задачах. В большинстве работ (см. [1–3, 6, 7]) доказательство наблюдаемости гиперболического оператора проводилось на основе энергетических неравенств, что не требовало большой гладкости. Значительным недостатком этих методов является то, что на коэффициенты гиперболического уравнения при производных ниже второго порядка накладывались помимо требований гладкости дополнительные ограничения (в [4, 5] показано, что в общем случае разрешимость задачи точной управляемости определяется главной частью гиперболического оператора.) Для преодоления этого недостатка в настоящей работе предложен более мощный метод, основанный на априорных оценках карлемановского типа. Достаточные условия разрешимости задачи управляемости нами формулируются в терминах существования функции φ(x1 , . . . , xn ), поверхности уровня которой псевдовыпуклы относительно бихарактеристик гиперболического оператора (см. [8, c. 272] ). В качестве примера известные результаты по разрешимости задачи точной граничной управляемости для волнового уравнения распространены на произвольный гиперболический оператор, у которого главная часть совпадает с волновым оператором. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Международного Научного фонда (грант N M76000).
c 2000 Эмануилов О. Ю.
Граничная управляемость гиперболическими уравнениями
945
С момента представления данной работы опубликован ряд интересных статей по данной тематике. Прежде всего отметим [9], где введен метод «карлемановских множителей», a также работу [10], где карлемановские оценки применены для исследования задачи точной управляемости абстрактным эволюционным уравнением с управлением, распределенным по всей границе. Новый метод исследования задач точной граничной управляемости, основанный на методах дифференциальной геометрии, предложен в [9]. В [11] решение задачи точной управляемости строится непосредственно, без сведения ее к задаче наблюдаемости. Пусть Ω ⊂ Rn — произвольная ограниченная область, Γ = ∂Ω ∈ C 2 , а Γ0 — произвольная подобласть в Γ и Γ1 = Γ \ Γ0 . Обозначим через ν = (ν1 , . . . , νn ) внешнюю единичную нормаль к ∂Ω. Положим QT =]0, T [×Ω, ΣT =]0, T [×Γ, Σ0T =]0, T [×Γ0 , Σ1T =]0, T [×Γ1 , x = (x0 , x0 ) = (x0 , x1 , . . . , xn ), ζ = (ζ0 , ζ 0 ) = (ζ0 , ζ1 , . . . , ζn ). Введем следующие пространства: ∂u 2 1 ∈ L (Ω), i = 1, . . . , n H (Ω) = u(x), x ∈ Ω : u, ∂xi с нормой kukH 1 (Ω) = kuk2L2 (Ω) +
n P i=1
∂u 2 k 2 k ∂x i L (Ω)
12
,
H01 (Ω) = замыкание C0∞ (Ω) в норме H 1 (Ω), H −1 (Ω) = (H01 (Ω))∗ с нормой kukH −1 (Ω) =
sup w∈H01 (Ω)
(u,w)L2 (Ω) kwkH 1 (Ω) ,
∂z z(x), x ∈ QT : ∈ C(0, T ; L2 (Ω)), z ∈ C(0, T ; H 1 (Ω)) ∂x0
∂z
, с нормой kzkXT = kzkC(0,T ;H 1 (Ω)) + ∂x 0 C(0,T ;L2 (Ω)) XT =
∂z ∈ C(0, T ; H −1 (Ω)), z ∈ C(0, T ; L2 (Ω)) z(x) x ∈ QT : ∂x0
∂z
с нормой kzkYT = kzkC(0,T ;L2 (Ω)) + ∂x . 0 C(0,T ;H −1 (Ω)) 0 Пусть функция y(x0 , x ), описывающая состояние управляемой системы, удовлетворяет краевой задаче X n n X ∂2y ∂ ∂ 0 ∂y Py = − a (x ) + (bi (x0 )y) + c1 (x0 )y = g в QT , (1) ij 2 ∂x0 i,j=1 ∂xi ∂xj ∂x i i=0 YT =
y|Σ1T = 0,
y|Σ0T = u,
(2)
∂y (0, x0 ) = v1 (x0 ), (3) ∂x0 где функции v0 , v1 , g заданы, а управлением является функция u. Изучаемая нами задача точной управляемости состоит в следующем. Пусть заданы функции v2 , v3 . Требуется выбрать управление u так, чтобы в момент времени T выполнялось равенство y(0, x0 ) = v0 (x0 ),
y(T, x0 ) = v2 (x0 ),
∂y (T, x0 ) = v3 (x0 ). ∂x0
(4)
946
О. Ю. Эмануилов
Предполагается, что коэффициенты оператора P удовлетворяют следующим условиям: aij = aji , bi ∈ L∞ (Ω), c1 ∈ L∞ (Ω), (5) i, j = 1, . . . , n, и существует константа β > 0 такая, что n X
a(x0 , ζ, ζ) =
aij (x0 )ζi ζj ≥ β|ζ|2
∀ζ ∈ Rn , x0 ∈ Ω.
(6)
i,j=1
Относительно гладкости коэффициентов aij предположим, что либо aij ∈ C 1 (Ω),
(7)
либо aij (x0 ) = c(x0 )ˆ aij
∀i, j = 1, . . . , n; a ˆij ∈ R1 ,
c(x0 ) — липшицева функция. (8)
Для любых двух гладких функций φ(x, ζ), ψ(x, ζ) определим скобку Пуассона по формуле n X ∂φ ∂ψ ∂φ ∂ψ φ, ψ = − . ∂ζi ∂xi ∂xi ∂ζi i=0 Через p(x, ζ) обозначим главный символ оператора P : p(x, ζ) = ζ02 −
n X
aij (x0 )ζi ζj .
i,j=1
Рассмотрим краевую задачу X n n X ∂ ∂z ∂2z 0 ∂z + c1 (x0 )z = 0 в QT , − a(x ) − bi (x0 ) P ∗z = 2 ∂x0 i,j=1 ∂xi ∂xj ∂x i i=0 z|ΣT = 0,
z(0, x0 ) = z0 (x0 ),
∂z (0, x0 ) = z1 (x0 ). ∂x0
(9)
(10)
Следующая теоремa доказанa в [12, 13]. Теорема 1. Пусть выполнены (5), (6) и одно из условий (7), (8). Тогда для любых z0 ∈ H01 (Ω), z1 ∈ L2 (Ω) существует и единственно решение задачи (9), (10) z ∈ XT и имеет место оценка
∂z
kzkXT + ≤ C1 (kz0 kH 1 (Ω) + kz1 kL2 (Ω) ). (11)
∂ν 2 L (ΣT ) Предположим, что выполнено Условие 1. Существует функция φ0 (x0 ) ∈ C 2 (Ω) такая, что {a(x0 , ζ 0 , ζ 0 ), {a(x0 , ζ 0 , ζ 0 ), φ0 (x0 )}} < β 0 < 0 ∀x0 ∈ Ω, ζ 0 ∈ Rn \ 0, n X ∂ ∂φ0 a(x0 , ζ) =0 ∂ζ ∂xi i i=1
и справедливо включение Γ0 ⊃ {x0 ∈ Γ | a(x0 , ν, ∇φ0 (x0 )) < 0}. Условие 1 предполагает некоторую дифференцируемость коэффициентов aij , в то время как (8) гарантирует лишь их липшицевость. Для преодоления этой трудности введем
Граничная управляемость гиперболическими уравнениями
947
Условие 2. Существуют последовательность aεij ∈ C 1 (Ω), удовлетворяющая (6), и функция φ0 (x0 ) ∈ C 2 (Ω) такие, что aεij (x) → aij (x) в C(Ω),
kaεij kC 1 (Ω) ≤ C
∀ε ∈ (0, 1)
и для билинейной формы aε (x0 , ζ, ζ) выполнено условие 1 с константой β 0 , не зависящей от ε. Теорема 2. Предположим, что z0 ∈ H01 (Ω), z1 ∈ L2 (Ω) и выполнены условия (5), (6). Кроме того, пусть выполнено либо (7) и условие 1, либо (8) и условие 2. Тогда найдется константа T0 такая, что при T ≥ T0 для решений задачи (9), (10) справедлива оценка
∂z
(12) kzkXT ≤ c2 (T )
∂ν 2 0 . L (Σ ) T
Доказательство. Положим φ(x) = Tε (x0 − T /2)2 + φ0 (x0 ), где φ0 (x0 ) — функция из условия 1. Значения параметров ε ∈ (0, 1) и T > 0 будут определены ниже. Cледуя [8], введем обозначения P (j) (x, ζ) =
∂ p(x, ζ), ∂ζj
P (j,k) (x, ζ) =
∂2 p(x, ζ), ∂ζj ∂ζk
Pj (x, ζ) =
∂ p(x, ζ). ∂xj
Положим q(x) = −c1 (x0 )z +
n X
bi (x0 )
i=0
n X ∂ ∂z ∂z + aij (x0 ) . ∂xi i,j=1 ∂xi ∂xj
В силу (9) справедливо равенство Lz =
n X ∂2z ∂2z 0 a (x ) − =q ij ∂x20 i,j=1 ∂xi ∂xj
в QT .
(13)
Обозначим u(x) = z(x)e−sφ , qs (x) = qe−sφ . Из (13) следует, что Ψu = e−sφ Lesφ u = e−sφ Lz = qs в QT .
(14)
Легко видеть, что Ψu = Lu + L1 u = gs где L1 u =
n X
в QT ,
u|ΣT = 0,
(15)
sφxi P (i) (x, ∇u),
i=0
gs (x) = qs +
n X
! aij (s2 φxi φxj + sφxi xj ) − sφx0 x0 − s2 φ2x0 u.
i,j=1
Беря L2 -норму правой и левой частей равенства (15), имеем kgs k2L2 (QT ) = kLuk2L2 (QT ) + kL1 uk2L2 (QT ) + 2(L1 u, Lu)L2 (QT ) . Преобразуем последний член, входящий в правую часть равенства (16).
(16)
948
О. Ю. Эмануилов
Лемма. Пусть функция u ∈ XT является решением задачи (15). Тогда скалярное произведение (L1 u, Lu)L2 (QT ) может быть записано в виде ! T Z n ∂u X (i) 0 (L1 u, Lu)L2 (QT ) = sφxi P (x, ∇u) − sφx0 p(x, ∇u) dx ∂x0 0
i=0
Ω
Z +s
∂u ∂ν
2
a(x0 , ν, ν)a(x, ν, ∇φ) dΣ
ΣT
s − 2
Z {p, {p, φ}}(x, ∇u) +
n X
! (k) Pk (x, ∇u)φxi P (i) (x, ∇u)
k,i=0
QT
где
n X
θ(x) =
− θp(x, ∇u) dx, (17)
(l,m) (φxl xm P (l,m) (x, ∇u) + φxl Pm (x, ∇u))
l,m=0
(функция θ не зависит от u). Доказательство. Заметим, что поскольку u|ΣT = 0, то ∂u ∂u ∀ i = 1, . . . , n. = νi ∂xi ΣT ∂ν
(18)
Интегрируя по частям по x, c учетом (18) имеем Z (L1 u, Lu)L2 (QT ) = Ω
T n ∂u X (i) 0 sφxi P (x, ∇u) dx ∂x0 i=0 0
Z X n s (k) + 2s a(x , ν, ν)a(x , ν, ∇φ)dΣ − P (x, ∇u) φxi xk P (i) (x, ∇u) 2 ΣT QT k,i=0 ∂u (i) (k) (i) (i) + φxi Pk (x, ∇u) + P x, ∇ + φxi Pk (x, ∇u)P (x, ∇u) dx. (19) ∂xk Z
∂u ∂ν
2
0
0
Покажем, что справедливо тождество n X ∂u P (k) (x, ∇u)φxi P (i) x, ∇ ∂xk k,i=0
n X
=
k,i=0
φxk P (k,i) (x, ∇u)
∂ p(x, ∇u) − Pi (x, ∇u) . (20) ∂xi
Действительно, n X
n n X X ∂u ∂u ∂u ∂ P (x, ∇u)φxi P x, ∇ = 4φxi ajk ail ∂xk ∂xl ∂xk ∂xj k,i=0 k,i=0 l,j=0 n n n n X X X X ∂ ∂u ∂u ∂ ∂u ∂u = 4φxi ail ajk = 2φxi ail ajk ∂xl ∂xk ∂xj ∂xl ∂xk ∂xj l,i=0 k,j=0 i,l=0 k,j=0 n X ∂ = φxi P (i,l) (x, ∇u) p(x, ∇u) − Pl (x, ∇u) ∂xl (k)
(i)
l,i=0
Граничная управляемость гиперболическими уравнениями n X
=
k,i=0
949
∂ p(x, ∇u) − Pk (x, ∇u) . φxi P (i,k) (x, ∇u) ∂xk
Преобразуем (19) с помощью (20). В результате имеем T Z n ∂u X (L1 u, Lu)L2 (QT ) = sφxi P (i) (x, ∇u) dx0 ∂x0 i=0 0 Ω Z 2 Z (X n ∂u s + 2s P (k) (x, ∇u) φxi xk P (i) (x, ∇u) a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ) dΣ − ∂ν 2 ΣT
k,i=0
QT n X
(i) + φxi Pk (x, ∇u) +
φxi P (i,k) (x, ∇u)
k,i=0
+
n X
∂ p(x, ∇u) − Pk (x, ∇u) ∂xk ) (k)
φxi Pk (x, ∇u)P (i) (x, ∇u) dx. (21)
k,i=0
Проинтегрировав в (21) по частям по x, получаем равенство T Z n ∂u X (i) 0 sφxi P (x, ∇u) dx (L1 u, Lu)L2 (QT ) = ∂x0 i=0 0 Ω
Z −s Ω
s − 2
T Z 2 ∂u φx0 p(x, ∇u) dx + s a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ) dΣ ∂ν 0 0
ΣT
Z X n
(i) P (k) (x, ∇u) φxi xk P (i) (x, ∇u) + φxi Pk (x, ∇u)
QT k,i=0 (i,k)
− φxi P (i,k) (x, ∇u)Pk (x, ∇u) − φxi xk P (i,k) (x, ∇u) + φxi Pk
(x, ∇u) p(x, ∇u) (k) + φxi Pk (x, ∇u)P (i) (x, ∇u) dx. (22)
Путем дифференцирования несложно установить справедливость тождества n X
{p, {p, φ}}(x, ∇u) =
(i) P (k) (x, ∇u) P (i) (x, ∇u)φxi xk + Pk (x, ∇u)φxi
i,k=0
− φxk P (k,i) (x, ∇u)Pi (x, ∇u) . (23) С учетом (23) формулу (22) можно записать в виде T T Z Z n ∂u X (i) 0 0 (L1 u, Lu)L2 (QT ) = sφxi P (x, ∇u) dx − s φx0 p(x, ∇u) dx ∂x0 i=0 0 0 Ω
Ω
Z +s
∂u ∂ν
2
a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ) dΣ
ΣT
s − 2
Z {p, {p, φ}}(x, ∇u) − QT
n X
(i,k)
φxi xk P (i,k) (x, ∇u) + φxi Pk
(x, ∇u) p(x, ∇u)
k,i=0
+
n X k,i=0
! (k) Pk (x, ∇u)φxi P (i) (x, ∇u)
dx.
950
О. Ю. Эмануилов
Таким образом, тождество (17) доказано. Продолжим доказательство теоремы 1. Сначала рассмотрим случай, когда выполнены (7) и условие 1. Обозначим T T Z Z n ∂u X A1 = sφxi P (i) (x, ∇u) dx0 − s φx0 p(x, ∇u) dx0 . ∂x0 i=0 0 0 Ω
Ω
В силу (16), (17) для любых s ≥ 2 справедливо неравенство Z 2 ∂u 2 2 a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ) dΣ kgs kL2 (QT ) ≥ kL1 ukL2 (QT ) + 2A1 + 2s ∂ν ΣT
Z n
X
(k) − s ({p, {p, φ}}(x, ∇u) − θp(x, ∇u)) dx − kL1 ukL2 (QT ) Pk (x, ∇u)
k=0
QT
≥
1 kL1 uk2L2 (QT ) + 2A1 + 2s 2
Z
∂u ∂ν
2
L2 (QT )
a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ) dΣ
ΣT
Z −
1 s({p, {p, φ}}(x, ∇u) − θp(x, ∇u)) dx − 2
QT
Z
n X
QT
k=0
!2 (k) Pk (x, ∇u)
dx. (24)
Согласно выбору функции φ скобку Пуассона {p, {p, φ}} можно записать в следующем виде: 2 8ε ∂u {p, {p, φ}}(x, ∇u) = + {p, {p, φ0 }}(x, ∇u) T ∂x0 2 8ε ∂u = + {a(x0 , ∇u, ∇u), {a(x0 , ∇u, ∇u), φ0 }}. (25) T ∂x0 Напомним, что из условия 1 следует существование констант µ > 0 и C4 > 0 таких, что !2 n X (i) C4 φ0xi P (x, ζ) − {a, {a, φ0 }}(x, ζ) ≥ µa(x0 , ζ, ζ) ∀ζ ∈ Rn+1 . (26) i=1
B cилу (24)–(26) для любого s > 2 имеем Z 2 1 ∂u 2 2 kgkL2 (QT ) ≥ kL1 ukL2 (QT ) + 2A1 + 2s a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ) dΣ 2 ∂ν ΣT
Z
Z sθp(x, ∇u)dx +
+ QT
sµa(x0 , ∇u, ∇u) −
8εs T
∂u ∂x0
2
QT
!2 !2 ! n n X 1 X (k) − Pk (x, ∇u) − C4 s φ0xi P (i) (x, ∇u) dx. (27) 2 i=1 k=0
Поскольку функция θ непрерывна, найдется функция θ1 ∈ C ∞ (QT ) такая, что kθ − θ1 kC(QT ) ≤
µ . 120
(28)
Граничная управляемость гиперболическими уравнениями 11µ 20
Пусть ε ∈ 0, T80µ . Умножим (15) на s руя по частям по x, получаем Z s
951
− θ1 u скалярно в L2 (QT ). Интегри-
11µ − θ1 p(x, ∇u) dx + A2 = 0, 20
(29)
QT
где Z A2 = −s Ω
T Z 11µ ∂u 0 − θ1 u dx − s 20 ∂x0 0
11µ − θ1 uL1 u 20
QT
! n X 11µ ∂(θ1 aij ) ∂u − θ1 u dx. u − gs + ∂xi ∂xj 20 i,j=1 Легко видеть, что µ 1 |A2 | ≤ kL1 uk2L2 (QT ) + 4s 100
Z
∂u ∂x0
2
+ a(x , ∇u, ∇u) dx 0
QT
4
Z
+ sC5 s
QT
Z T 11µ ∂u 0 − θ1 u dx + kgs k2L2 (QT ) . (30) u dx + 20 ∂x0 0 2
Ω
Используя неравенство Коши — Буняковского, получаем n ε T ∂u X (k) x0 − φ0xk P (x, ∇u) dx T 2 ∂x0
Z 4C4
k=1
QT
∂u
≤ εC6
∂x0
Z
L2 (QT )
12 a(x0 , ∇u, ∇u) dx
QT
Z ≤ C6 ε
∂u ∂x0
2
+ a(x , ∇u, ∇u) dx, 0
(31)
QT
где константа C6 не зависит от ε, T . Прибавляя к правой части неравенства (27) левую часть равенства (29), имеем kgk2L2 (QT ) ≥
1 kL1 uk2L2 (QT ) + 2A1 + A2 + 2s 8
Z
∂u ∂ν
2
a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ) dΣ
ΣT
Z ( +
9sµ a(x0 , ∇u, ∇u) + 20
∂u ∂x0
2 + C4 s
−
k=1
!2 φxk P
(k)
(x, ∇u)
k=0
QT n X
n X
!2 ! φxk P (k) (x, ∇u)
) + s(θ − θ1 )p(x, ∇u) dx.
952
О. Ю. Эмануилов
Отсюда, учитывая (28), получаем kgk2L2 (QT )
1 ≥ kL1 uk2L2 (QT ) + 2A1 + A2 + 2s 8
Z
∂u ∂ν
2
a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ) dΣ
ΣT
Z ( +
2sµ a(x0 , ∇u, ∇u) + 5
∂u ∂x0
2 + 4sC4
QT
+
2 2 ε T ∂u x0 − T 2 ∂x0 )
n 4sεC4 ∂u X (x0 − T /2) φ0xk P (k) (x, ∇u) dx ∀s > s0 . (32) T ∂x0 k=1
Выберем ε из интервала (0, min{1, T80µ , µ/(C6 10)}). Используя оценку (31) в неравенстве (32), получаем, что для любого s > s0 Z
µ s 10
∂u ∂x0
2
QT
Z 2 ∂u a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ) dΣ + a(x , ∇u, ∇u) dx + 2s ∂ν ΣT Z 1 + kL1 uk2L2 (QT ) ≤ C8 |A1 | + |A2 | + s4 u2 dx . (33) 8 0
QT
В силу (30), (33) существует константа s1 > 1 такая, что Z QT
2 Z 2 ∂u 1 ∂u 0 sµ a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ) dΣ + a(x , ∇u, ∇u) dx + 2s 20 ∂x0 ∂ν ΣT Z ≤ C9 s(T + 1) (|∇u(T, x0 )|2 + |∇u(0, x0 )|2 Ω
+ |u(T, x0 )|2 + |u(0, x0 )|2 ) dx0 + s5
u2 dx ∀s ≥ s1 . (34)
Z
QT
Переходя в (34) от переменной u к z, получаем Z
2 ∂z 1 sµ + a(x0 , ∇z, ∇z) e−2sφ dx 20 ∂x0
QT
Z + 2s
∂z ∂ν
2
a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ)e−2sφ dΣ
ΣT
Z
≤ C9 s(T + 1)
(|∇z(T, x0 )|2 + |∇z(0, x0 )|2 + s2 |z(T, x0 )|2
Ω 0
+ s2 |z(0, x0 )|2 )e−2sφ(T,x ) dx0 + s5
Z
z 2 e−2sφ dx ∀s ≥ s2 . (35)
QT
Выберем параметр T > 1 таким, что γ = min φ(T, x0 ) > β = x0 ∈Ω
max x∈[T /4,3T /4]×Ω
φ(x).
Граничная управляемость гиперболическими уравнениями
953
Тогда в силу (11) найдется константа s3 такая, что для любых s ≥ s3 справедлива цепочка неравенств 2 Z 1 ∂z sµ + a(x0 , ∇z, ∇z) e−2sφ dx 40 ∂x0 [T /4,3T /4]×Ω
2 ∂z 1 0 + a(x , ∇z, ∇z) e−2sβ dx sµ 40 ∂x0
Z ≥ [T /4,3T /4]×Ω
Z
3
≥ C9 s (T + 1)
(|∇z(T, x0 )|2 + |∇z(0, x0 )|2 + |z(T, x0 )|2 + |z(0, x0 )|2 )e−2sγ dx0
Ω
≥ C9 s3 (T + 1)
Z Ω
0
(|∇z(T, x0 )|2 + |∇z(0, x0 )|2 + |z(T, x0 )|2 + |z(0, x0 )|2 )e−2sφ(0,x ) dx0 . (36)
Из (35), (36) вытекает оценка 2 Z 1 ∂z 0 sµ + a(x , ∇z, ∇z) e−2sφ dx 40 ∂x0 QT
Z + 2s
∂z ∂ν
2
a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ)e−2sφ dΣ
ΣT 5
Z
≤ C11 s
z 2 e−2sφ dx ∀s ≥ max(s2 , s3 ). (37)
QT
Зафиксируем параметр s равным s = max(s2 , s3 ). Заметим, что a(x0 , ν, ∇φ) = a(x0 , ν, ∇φ0 ) ∀x ∈ R1+ × ∂Ω. Таким образом, из (37) и условия 1 следует оценка Z 2 Z ∂z 2 |∇z| dx ≤ C12 (T ) a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ0 )e−2sφ dΣ ∂ν Σ0T
QT
Z +
∀T ≥ T0 . (38) z 2 dx
QT
Рассмотрим случай, когда выполнены (8) и условие 2. Наша цель — установить неравенство (38). Обозначим через Pε∗ оператор, полученный из (9) заменой коэффициентов aij на aεij . Коэффициенты aεij определены в условии 2. Oбозначим через zε решение краевой задачи Pε∗ zε = 0 в QT ,
zε |ΣT = 0, zε (0, x0 ) = z0 (x0 ),
∂zε (0, x0 ) = z1 (x0 ). ∂x0
(39)
Известно, что zε → z в H 1 (QT ) при ε → 0,
(40)
где z является решением задачи (9), (10) с начальными данными z0 , z1 . Действительно, в силу теоремы 1 последовательность zε ограничена в пространстве XT . Таким образом, из этой последовательности можно выделить подпоследовательность такую, что zε → z˜ слабо в H 1 (QT ).
954
О. Ю. Эмануилов
C помощью предельного перехода несложно показать, что P ∗ z˜ = 0 в QT ,
∂ z˜ (0, x0 ) = z1 (x0 ). ∂x0
z˜|ΣT = 0, z˜(0, x0 ) = z0 (x0 ),
(41)
Поскольку в силу теоремы 1 решение задачи (41) единственно, имеем z˜(x) ≡ ε −N t скалярно в L2 (QT ) и интегрируя по частям по z(x). Умножая (39) на ∂z ∂t e x, имеем ! 2 Z n X ∂zε 2 ε 0 ∂zε ∂zε JN,ε (zε ) = + aij (x ) e−N t ∂x0 ∂x ∂x i j i,j=1 QT
Zx0 +
N
0 n X
∂zε (τ, x0 ) ∂x0
n X
2 +
aεij (x0 )
i,j=1
∂zε (τ, x0 ) ∂zε (τ, x0 ) ∂xi ∂xj !
! ∂zε (τ, x0 ) ∂zε (τ, x0 ) −N t e dτ dx + kzε k2L2 (QT ) −2 bi (x ) ∂x ∂x i 0 i=0 ! Z Z X n ε 0 ∂z0 ∂z0 2 2 0 0 aij (x ) = kzε kL2 (QT ) + T z1 dx + dx . ∂xi ∂xj i,j=1 0
Ω
Ω
При достаточно больших N > 0 функционал JN,ε является нормой на пространстве H 1 (QT ). В силу (41) ! 2 Z n X ∂z 0 ∂z ∂z 2 2 + aij (x ) e−N t lim JN,ε (zε ) = JN (z) = ε→0 ∂x0 ∂x ∂x i j i,j=1 QT
Zx0 +
N
∂z(τ, x0 ) ∂x0
2 +
n X
aij (x0 )
i,j=1
0 n X
∂z(τ, x0 ) ∂z(τ, x0 ) ∂xi ∂xj !
! 0 0 ∂z(τ, x ) ∂z(τ, x ) −2 bi (x0 ) e−N t dτ dx + kzk2L2 (QT ) ∂x ∂x i 0 i=0 ! Z Z X n 2 2 0 0 ∂z0 ∂z0 0 dx . (42) = kzkL2 (QT ) + T z1 dx + aij (x ) ∂xi ∂xj i,j=1 Ω
Ω
Таким образом, (40) следует из (41), (42). С другой стороны, (40) влечет (см. [13]) сходимость ∂zε ∂z → ∂ν ∂ν
в L2 (ΣT ).
(43)
Прежде всего заметим, что для доказательства (38) в силу (40), (43) достаточно доказать это неравенство для оператора Pε∗ с константой C12 (T ), не зависящей от ε. Основная проблема здесь связана с интегралом Z θε pε (x, ∇u) dx. QT
Поскольку предел θε в общем случае не является непрерывной функцией, его невозможно аппроксимировать равномерно по ε в C(Q) с помощью гладкой
Граничная управляемость гиперболическими уравнениями
955
функции. Для преодоления этой трудности рассмотрим оператор Pe = ρP , где 1 ρ(x0 ) = c(x0 )− 2 . Положим ∂ Pe(j) = p˜(x, ζ), ∂ζj
p˜(x, ζ) = ρ(x0 )p(x, ζ), Pe(j,k) (x, ζ) =
∂2 p˜(x, ζ), ∂ζi ∂ζj
∂ Pej (x, ζ) = p˜(x, ζ). ∂xj
Обозначим u = zε e−sφ , где zε является решением задачи (39). (Для простоты обозначений мы опустили индекс ε в определении p(x, ζ), Pe и u.) В силу леммы 3 имеем e1 kgs k2L2 (QT ,ρ2 ) = kL1 uk2L2 (QT ,ρ2 ) + kL2 uk2L2 (QT ,ρ2 ) + 2A Z Z 2 ∂u a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ)ρ2 dΣ − s ({˜ p, {˜ p, φ}}(x, ∇u) − θ˜p˜(x, ∇u) + 2s ∂ν QT
ΣT
+
n X
(k) Pek (x, ∇u)φxi Pe(i) (x, ∇u)) dx,
(44)
k,i=0
где n X
˜ θ(x) =
(l,m) φxl xm Pe(`,m) (x, ∇u) + ρxm φxl P (`,m) (x, ∇u) + φxl ρPm (x, ∇u) (45)
l,m=0
и Z e1 = A Ω
T T Z n ∂u X 2 0 0 (i) 2 0 0 sφxi P (x, ∇u)ρ (x ) dx − s φx0 p(x, ∇u)ρ (x ) dx . ∂x0 i=0 0 0 Ω
Заметим, что {˜ p, {˜ p, φ}}(x, ∇u) = ρ2 {p, {p, φ}}(x, ∇u) +
−
n X
ρP (k) (x, ∇u)
k,i=0 n X k,i=0
∂ρ (i) P (x, ∇u)φxi ∂xk
∂ρ (i,k) P (x, ∇u)φxi p˜(x, ∇u). (46) ∂xk
С помощью (45), (46) можно преобразовать (44) следующим образом: e1 kgs k2L2 (QT ,ρ2 ) = kL1 uk2L2 (QT ,ρ2 ) + kL2 uk2L2 (QT ,ρ2 ) + 2A Z 2 ∂u + 2s a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ)ρ2 dΣ ∂ν ΣT
Z ∂ρ (i,k) 2 (i,k) ˜ −s ρ {p, {p, φ}}(x, ∇u)− θ2 +2 φx P (x, ∇u)+ρφxi Pk (x, ∇u) p˜(x, ∇u) ∂xk i QT ! n X ∂ρ (k) 2 (i) + 2ρ + ρ Pk (x, ∇u)φxi P (x, ∇u) dx, ∂xk k,i=0
где θ˜2 (x) =
n X i,j=0
ρφxi xj P (i,j) (x, ∇u).
956
О. Ю. Эмануилов
Учитывая, что (i,k)
2ρxk φxi P (i,k) (x, ∇u) + ρφxi Pk
(x, ∇u) = 0 в QT ,
имеем e1 kgs k2L2 (QT ,ρ2 ) = kL1 uk2L2 (QT ,ρ2 ) + kL2 uk2L2 (QT ,ρ2 ) + 2A Z 2 Z ∂u + 2s a(x0 , ν, ν)a(x0 , ν, ∇φ)ρ2 dΣ − s ρ2 {p, {p, φ}}(x, ∇u) − θ˜2 p˜(x, ∇u) ∂ν ΣT QT ! n X ∂ρ (k) 2 (i) + 2ρ + ρ Pk (x, ∇u)φxi P (x, ∇u) dx. (47) ∂xk k,i=0
Легко видеть, что функция θ˜2 непрерывна. Таким образом, повторяя рассуждения, проводимые от формулы (24) до формулы (37), получаем (38). Чтобы вывести из априорной оценки (38) оценку (12), введем следующее пространство: ET = (v0 , v1 ) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω) | P ∗ z = 0 в QT , z|ΣT = 0, ∂z ∂z 0 0 (0, x ) = v = 0, z(0, x ) = v , 1 . 0 ∂ν Σ0 ∂x0 T
Покажем, что dim Et < ∞ для любых t ≥ T0 . Предположим, что это не так. Тогда для некоторого T > T0 существует последовательность функций (n) (n) v0 , v1 ∈ ET такая, что
(n) (n) (n) (n) v0 , v1 → (0, 0) слабо в H01 (Ω) × L2 (Ω), v0 , v1 H 1 (Ω)×L2 (Ω) = 1. (48) Обозначим через zn решение краевой задачи P ∗ zn = 0 в QT ,
(n)
zn |ΣT = 0, zn (0, x0 ) = v0 ,
∂zn (0, x0 ) (n) = v1 . ∂x0
(49)
Из соотношений (48), (49) следует, что zn → 0 в L2 (QT ).
(50)
Согласно определению пространства ET функция zn удовлетворяет соотношению ∂zn = 0. (51) ∂ν Σ0 T
В силу (11), (38), (51) для решений краевой задачи (49) справедливы априорные оценки Z Z
(n) (n) 2 2
C1 v , v ≤ |∇zn | dx ≤ C2 zn2 dx, 1 2 0
1
H (Ω)×L (Ω)
QT
QT
где C1 > 0. Из этого соотношения, сходимости (50) и априорной оценки (38) вытекает сходимость (n) (n) v0 , v1 → (0, 0) в H 1 (Ω) × L2 (Ω),
Граничная управляемость гиперболическими уравнениями что невозможно в силу (48). Очевидно, что ET1 ⊂ ET2
∀T1 > T2 ≥ T0 .
957
(52)
Согласно (38), (52) на полуинтервале [T0 , ∞) функция `(t) = dim Et конечна и монотонно убывает. Однако функция `(t) может принимать только целые неотрицательные значения. Поэтому для любого δ > 0 найдутся T1 , T2 ∈ [T0 , T0 + δ], 0 < T1 < T2 , такие, что dim ET1 = dim ET2 . (53) Ввиду (52) соотношение (53) влечет за собой равенство ET1 = ET2 .
(54)
Поскольку коэффициенты оператора P ∗ не зависят от x0 , то ET1 = E∞ .
(55)
Действительно, предположим что существуют пара (ˆ v0 , vˆ1 ) ∈ ET1 и число Tˆ > T2 такие, что функция zˆ, являющаяся решением краевой задачи P ∗ zˆ = 0 в Q∞ ,
z|Σ∞ = 0,
zˆ(0, x0 ) = vˆ0 ,
∂z (0, x0 ) = vˆ1 , ∂x0
обладает следующим свойством: ∂ zˆ ∂ zˆ 6≡ 0 ∀ε > 0. = 0, ∂ν Σ ˆ ∂ν [Tˆ,Tˆ+ε]×Γ0
(56)
(57)
T
∂ zˆ b (T − T1 , x0 ) принадлежит ET1 . ОдСогласно (56), (57) пара zˆ(Tb − T1 , x0 ), ∂x 0 нако из тождества (54) немедленно следует, что эта пара также принадлежит пространству ET2 и, следовательно, ∂ zˆ ≡ 0. ∂ν [Tb,Tb+T2 −T1 ]×Γ0 Однако это невозможно в силу (57). Пусть пара (v0 , v1 ) — произвольный элемент пространства E∞ . Рассмотрим краевую задачу P ∗ z = 0 в R1 × Ω,
z|R1 ×∂Ω = 0,
z(0, x0 ) = v0 ,
∂z (0, x0 ) = v1 . ∂x0
(58)
Покажем, что ∂z = 0. ∂ν R1 ×Γ0
(59)
Пусть τ > 0 — произвольное число. Согласно (56) найдется пара (˜ v0 , v˜1 ) ∈ E∞ такая, что справедливы соотношения P ∗ z˜ = 0 в Q∞ , и
z˜|R1 ×∂Ω = 0,
z˜(τ, x0 ),
z˜(0, x0 ) = v0 ,
∂ z˜ (τ, x0 ) = (v0 , v1 ). ∂x0
∂ z˜ (0, x0 ) = v1 ∂x0
958
О. Ю. Эмануилов
Отсюда ввиду теоремы 1 вытекает равенство z(x) = z˜(x0 − τ, x0 ). Но поскольку (˜ v0 , v˜1 ) ∈ E∞ , имеем ∂z = 0, ∂ν [−τ,0]×Γ0 что и доказывает (59). В [14, с. 390] доказано, что всякая функция z, удовлетворяющая (58), (59), тождественно равна нулю в R1 × Ω. Следовательно, dim ET = 0 ∀T > T0 .
(60)
Покажем, что справедлива оценка (12). Предположим, что это не так. Тогда найдется последовательность функций zk ∈ X, являющихся решениями задачи (9), (10), таких, что
∂zk
kzk kH 1 (QT ) = 1, (61)
∂ν 2 0 → 0 при k → +∞. L (Σ ) T
Выделим из подпоследовательности {zk } подпоследовательность, которую также обозначим через {zk }, такую, что zk → z
слабо в H 1 (QT ),
zk → z
в L2 (QT ).
С помощью предельного перехода несложно установить, что функция z удовлетворяет уравнениям (9), (10). Кроме того, в силу (11), (61) для функции z выполнено соотношение (59). Следовательно, как показано выше, z ≡ 0, что невозможно в силу (38), (61). Теорема доказана. В [1] доказана Теорема 3. Пусть выполнены (5), (6) и одно из соотношений (7) или (8). Тогда для любых исходных данных v0 ∈ L2 (Ω),
v1 ∈ H −1 (Ω),
g ∈ L1 (0, T ; H −1 (Ω))
существует единственное решение задачи (1)–(3) y ∈ YT и справедливо неравенство kykYT ≤ C1 (kv0 kL2 (Ω) + kv1 kH −1 (Ω) + kgkL1 (0,T ;H −1 (Ω)) ). (62) Из теорем 2 и 3 вытекает Теорема 4. Пусть выполнены (5), (6) и, кроме того, выполнено либо (7) и условие 1, либо (8) и условие 2. Тогда найдется константа T0 такая, что при T > T0 для любых исходных данных v0 , v2 ∈ L2 (Ω), v1 , v3 ∈ H −1 (Ω), g ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) существует решение задачи (1)–(4) (y, v) ∈ YT × L2 Σ0T . В качестве примера применения теоремы 4 рассмотрим задачу точной управляемости гиперболическим оператором, у которого главная часть совпадает с волновым оператором n X ∂2 ∂2 = 2 − . ∂t ∂x2i i=1 Положим
( Γ0 =
x0 ∈ Γ |
n X i=1
) νi (xi − x ¯i ) > 0 ,
Граничная управляемость гиперболическими уравнениями где x ¯ ∈ Rn — произвольная точка из Rn . Пусть функция y(x) удовлетворяет соотношениям n X ∂(bi (x0 )y) ∂2y − ∆y + + c1 (x0 )y = g в QT , ∂x20 ∂x i i=0 y|Σ1T = 0, y(0, x0 ) = v0 (x0 ), y(T, x0 ) = v2 (x0 ),
y|Σ0T = u, ∂y (0, x0 ) = v1 (x0 ), ∂x0 ∂y (T, x0 ) = v3 (x0 ). ∂x0
959
(63) (64) (65) (66)
Справедлива Теорема 5. Пусть выполнено (5). Тогда найдется константа T0 такая, что при T > T0 для любых исходных данных v0 , v2 ∈ L2 (Ω), v1 , v3 ∈ H −1 (Ω), g ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) существует решение задачи (63)–(66) (y, v) ∈ YT × L2 Σ0T . n P Доказательство. Положим φ0 (x0 ) = − (xi − x ¯i )2 . Легко видеть, что i=1
для данной функции φ0 (x0 ) выполнено условие 1. Применяя теорему 4, получаем утверждение теоремы 5. ЛИТЕРАТУРА 1. Lions J. L. Controllability exacte, stabilization et perturbation des systemes distribues. V. 1: Controllabilite exacte. Paris,: Masson, 1988. 2. Lions J. L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev.. 1988. V. 30, N 1. P. 1–68. 3. Lions J. L. Controlabilite exacte des systemes distribues // Acad. Sci. Ser. I Math.. 1986. N 302. P. 471–475. 4. Эмануилов О. Ю. Точная управляемость гиперболическими уравнениями. Ч. 1 // Автоматика. 1990. № 3. С. 10–13. 5. Bardos C., Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observaton, control, and stabilization of wave equation from the boundary // SIAM J. Control Optim.. 1992. V. 30, N 5. P. 1024–1065. 6. Komornik V. Exact controllability and stabilization // Lecture Notes in Control and Inform.. 1990. V. 148. P. 149–192. 7. Lagnese J. The Hilbert uniqueness method: A retrospective // Lecture Notes in Control and Inform.. 1990. V. 148. P. 158–181. 8. Х¨ ермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965. 9. Lasiecka I., Triggiani R., Yao P. F. Exact controllability for second-order hyperbolic equations with variable coefficient-principal part and first-order terms // Nonlinear anal. theory, methods and applications. 1997. V. 30, N 1. P. 111–122. 10. Tataru D. Boundary controllability of conservative PDEs // Appl. Math. Optim.. 1995. V. 31. P. 257–295. 11. Littman W., Taylor S. Smoothing evolution equations and boundary control theory // Journal Anal. Math.. 1992. V. 59. P. 117–131. 12. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1972. 13. Лионс Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. 14. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. M.: Мир, 1985. Статья поступила 27 февраля 1995 г., окончательный вариант — 4 марта 1999 г. Ames, IA, USA Iowa State University
[email protected]
