This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
1, A POTOMU RQD P c z n RASHOn n n jzj n=0 DITSQ . Q.E.D.3
fRANCUZSKIJ MATEMATIK aDAMAR (Hadamard, Jacque, 1865{1963) POQWILSQ NA SWET POZVE SODERVA]EGO \TU TEOREMU \kURSA ANALIZA" kOI 26] (Chap. IX, p. 286{287), NO EGO IMQ W USTOQWEMSQ NAZWANII TEOREMY PRIQTNO RAZNOOBRAZIT SPISOK UTWERVDENIJ, POLU^ENNYH kOI. ; 2 rAWENSTWO = lim ESTX WERHNIJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSn!+1 n TI DEJSTWITELXNYH ^ISEL fng OZNA^AET, ^TO W L@BOJ OKRESTNOSTI TO^KI SODERVITSQ BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW n , TOGDA KAK SPRAWA OT \TOJ OKRESTNOSTI IH MOVET BYTX LIX KONE^NOE ^ISLO. 3 Q.E.D. | SOKRA]ENIE LAT. quod erat demonstrandum (^TO TREBOWALOSX DOKAZATX) | UKAZATELX ZAWERENIQ DOKAZATELXSTWA. 1
28
wWIDU TEOREMY kOI {aDAMARA; NEOTRICATELXNOE (NO, p ;1 n WOZMOVNO, RAWNOE +1) ^ISLO r = n!lim jcnj NAZYWA@T +1 +P 1 RADIySOM SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA cnzn , a MNOVESn=0 TWO z 2 C : jzj
w NEKOTORYH SLU^AQH RADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA P cn z n n=0 MOVNO WY^ISLQTX PO BOLEE PROSTOJ FORMULE2 . eSLI SU]ESTWUET n!lim+1 jcjnc;n j1 j = r (0 6 r 6 +1)3 , TO ^ISLO r SOWPADAET +1
S RADIUSOM SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA P cn z n . n=0 dOKAZATELXSTWO. eSLI jz j < r, TO WZQW ^ISLO , PROMEVUTO^NOE MEVDU jz j I r, MOVNO ZAKL@^ITX: DLQ WSEH n, BOLXIH NEKOTOROGO n0 , WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jcjnc;n j1 j > , A SLEDOWATELXNO, jcn j jcn +1 j jcn;1j jcn0+10 j jcn00+2 j jcnj > n;n0 , I PO\TOMU jcn0 j n0 > jcnj n. iZ POSLEDNEGO NERAWENSTWA SLEDUET , ^TO PRI n>n 0 ; n ; n n n n 0 jcn jjz j = jcn j jz j= 6 jcn0 j jz j= , +1 ; +1 A TAK KAK RQD P jz j= n SHODITSQ, TO SHODITSQ I RQD P jcn jjz jn , n=n0+1 n=n0+1 A WMESTE S NIM ISHODNYJ STEPENNOJ RQD. eSLI VE jz j > r, TO IZ TOGO, ^TO n!lim+1 jcjnc;n j1 j = r, SLEDUET, ^TO DLQ WSEH n, BOLXIH NEKOTOROGO n0 , WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jcjnc;nj1 j < jz j , A SLEDOWATELXNO, jcn j jcn +1j jcn;1j jcn0+10 j jcn00+2j jcnj < jzjn;n0 , I PO\TOMU jcn0 jjzjn0 < jcnjjzjn. +1
w SILU POSLEDNEGO NERAWENSTWA cn z n 9 0, T. E. DLQ RQDA P cn z n NE n=0 WYPOLNENO NEOBHODIMOE USLOWIE EGO SHODIMOSTI. Q.E.D. 1 pRI r =0 \TOT \KRUG" PUST , A PRI r =+1 ESTX WSQ PLOSKOSTX C . 2 tAKVE PRIWODIMOJ kOI W 26] (Chap. IX, p. 286{287). 3 |TOT PREDEL NE WSEGDA SU]ESTWUET, TOGDA KAK WERHNIJ PREDEL POp SLEDOWATELXNOSTI n jcn j SU]ESTWUET WSEGDA.
29
oPREDELQ@]U@ ROLX W ANALIZE NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI IGRA@T (KROME STEPENNYH ) OBOB]ENNYE STEPENNYE RQDY +P 1 +P 1 +P 1 cn(z ; z0 )n def = cn(z ; z0 )n + c;n(z ; z0 );n, n=;1 n=0 n=1 SOSTAWLENNYE, KAK SLEDUET IZ \TOJ ZAPISI, IZ DWUH RQDOW, PERWYJ IZ KOTORYH STEPENNOJ (PO STEPENQM z ;z0 ) S KRUGOM ;1 p SHODIMOSTI z 2 C : jz;z0 j
30
rIS. 8
dOKAZATELXSTWO. COWPADENIe RADIUSOW SHODIMOSTI 1 STE+P 1 +P 1 PENNYH RQDOW cnzn I cnnzn;1 ESTX SLEDSTWIE TOGO, ^TO n=1 n=1 WTOROJ IZ NIH SHODITSQ ILI RASHODITSQ WMESTE SO STEPENNYM +P 1 p p RQDOM cnnzn, A POSLEDOWATELXNOSTI n jcnj I n jncnj n=1 IME@T ODNI I TE VE PREDELXNYE TO^KI.
eSLI | PREDELXNAQ TO^KAnPERWOJ IZ NIH, T. E. PREDEL NEKOTO 1o n j ROJ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTI cnj , TO (TAK KAK n!lim+1n n1 = 1) 1 1 lim nj cnj nj = limcnj nj = , T. E. QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ I WTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI. nAOBOROT, ESLI | PREDELXNAQ TO^KA WTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI , T. E. PREDEL NEKOTOROJ EE PODPOSLEDOWA n 1 1o 1 1 ; n TELXNOSTI nk cnk nk , TO lim cnk nk = lim nk k nk cnk nk = , T. E. QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ PERWOJ POSLEDOWATELXNOSTI. 1
lIX \TU ^ASTX TEOREMY S^EL NEOBHODIMYM DOKAZYWATX kOI W
28], ser. II, t. XIII, p. 441{442.
31
rIS. 9 +P 1 pUSTX r | RADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA cnzn n=0 I z | L@BAQ TO^KA EGO KRUGA SHODIMOSTI , T. E. jzj
nAPRQMU@ PROWERQEMOGO RASKRYTIEM SKOBOK I NAZYWAEMOGO PRI n =2 FORMULOJ RAZNOSTI KWADRATOW, A PRI n =3 | RAZNOSTI KUBOW. 1
32
W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA NE PREWOSHODIT SOOTWETSTWU@]EGO +P 1 SLAGAEMOGO SHODQ]EGOSQ RQDA jcnjn n;1. n=1 sLEDOWATELXNO, KAKOWO BY NI BYLO POLOVITELXNOE ^ISLO "> 0, SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO n0, ^TO 1 +P n;1 +(z +Mz )n;2 z + + (z +Mz )z n;2 + z n;1 6 c ( z + M z ) n n=n0 +1 6 P jcnjn n;1 <"=3. n=n0 s DRUGOJ STORONY, TAK KAK n0;1 0 ;1 1 nP n ; zn] = P lim c ( z + M z ) cnnzn;1 , n Mz!0 Mz n=1 n=1 SU]ESTWUET TAKOE POLOVITELXNOE ^ISLO
, ^TO nP nP 0 ;1 0 ;1 0;1 1 nP n; n ; n;1 < "=3. c ( z + M z ) c z c nz n n n Mz n=0
n=0
n=1
sOEDINENIE \TIH OCENOK DAET : ESLI jMzj < minf g, TO + 1 + 1 1 P c (z+Mz)n ; P c zn ; +P1c nzn;1 < n n Mz n=0 n n =0 n =1 1 +P 1 n +P1 1 +P n n ; 1 cn(z+Mz) ; cnz ; cnnz <", <"=3+ Mz n=n0 n=n0 n=n0 A \TO (W SILU PROIZWOLXNOSTI ^ISLA "> 0) I OZNA^AET, ^TO +1 +1 + 1 P P 1 n; n = P cn nz n;1 . Q.E.D. c ( z + M z ) c z lim n n Mz!0 Mz n=0 n=0 n=1 tAK KAK PROIZWODNAQ SUMMY STEPENNOGO RQDA SAMA QWLQETSQ SUMMOJ STEPENNOGO RQDA (S TEM VE RADIUSOM SHODIMOSTI ), POSLEDOWATELXNOE PRIMENENIE DOKAZANNOJ TEOREMY PRIWODIT K SOOTNOENIQM +P 1 +P 1 n(k) +P1 n;1(k;1) = = cnn(n;1)(n;k+1)zn;k, cn z = cnnz n=0 n=1 n=k WYPOLNQ@]IMSQ W OB]EM KRUGE SHODIMOSTI \TIH RQDOW .
33 +P 1 sUMMA STEPENNOGO RQDA f (z) = cnzn n=0 (S NENULEWYM RADIUSOM SHODIMOSTI) IMEET W KRUGE SHODIMOSTI \TOGO RQDA PROIZWODNU@ L@BOGO PORQDKA , PRI^EM +P 1 f (k) (z)= cnn(n ; 1) (n ; k +1)zn;k k =0 1 2 : : : n=k sLEDSTWIE 2. sTEPENNOJ RQD c NENULEWYM RADIUSOM SHODIMOSTI QWLQETSQ RQDOM mAKLORENA SWOEJ SUMMY, T. E. +P 1 n +P1 f (n)(0) n +P 1 n z GDE f ( z ) = cnz . cnz = n=0 n=0 n! n=0 tEOREMA O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO RQDA I SLEDST+P 1 WIQ IZ NEE PERENOSQTSQ NA STEPENNYE RQDY cn(z ; z0)n c n=0 +P 1 (n) ZAMENOJ RQDa mAKLORENA NA RQD tEJLORA 1 f n(!z0) (z ;z0)n.
sLEDSTWIE
1.
n=0
sLOVENIE I PEREMNOVENIE STEPENNYH RQDOW +P 1 +P 1 sUMMOJ DWUH STEPENNYH RQDOW anzn I bnzn NAZYn=0 n=0 +P 1 n WA@T STEPENNOJ RQD (an+ bn)z (RADIUS SHODIMOSTI \TOn=0 GO RQDA NE MENXE MINIMALXNOGO IZ RADIUSOW SHODIMOSTI SLAGAEMYH RQDOW, A EGO SUMMA RAWNA SUMME IH SUMM ). Taylor, Brook (1685{1731) I Maclaurin, Colin (1698{1746) | ANGLIJSKIJ I OTLANDSKIJ MATEMATIKI PERWYJ OPUBLIKOWAL W 1715 G. W RABOTE \pRQMOJ I OBRATNYJ METOD PRIRA]ENIJ" (\Methodus incrementorum directa et inversa") IZOBRETENNYJ IM (W 1712 G.) RQD , POLU^IWIJ EGO IMQ (HOTQ K \TOMU RQDU DO tEJLORA PRIHODILI DRUGIE AWTORY) WTOROJ W MONOGRAFII 1742 G. 38] (c. 610{611), PRIZNAWAQ PRIORITET tEJLORA, OPERIROWAL ^ASTNYM SLU^AEM \TOGO RQDa | PO STEPENQM NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, KOTORYJ STALI NAZYWATX RQDOM mAKLORENA ON VE USTANOWIL SWOJSTWO \TOGO RQDA, PREDSTAWLENNOE ZDESX KAK SLEDSTWIE 2. 1
34
uMNOVA@T STEPENNOJ RQD NA STEPENNOJ RQD PO TOMU VE PRAWILU, ^TO I MNOGO^LENY , T. E. RASKRYWAQ SKOBKI I SKLADYWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH z : (a0 + a1 z + a2 z2 + )(b0 + b1 z + b2 z2 + ) = = a0 b0 + (a0b1 + a1 b0 )z + (a0b2 + a1 b1 + a2 b0 )z2 + SOGLASNO \TOMU PRAWILU PRI PEREMNOVENII STEPENNYH RQ+P 1 +P 1 +P 1 DOW an zn I bn zn WOZNIKAET STEPENNOJ RQD cnzn c n=0 n=0 n=0 KO\FFICIENTAMI cn= a0 bn +a1bn;1 + +anb0 n =0 1 2 : : : tEOREMA O PEREMNOVENII STEPENNYH RQDOW. eSLI +P 1 n +P1 n anz I bn z | STEPENNYE RQDY S RADIUSAMI SHODIMOSn=0 n=0 TI ra I rb, TO PRI jzj < minfra rbg a) SHODITSQ (ABSOL@TNO ) REZULXTAT IH PEREMNOVENIQ +P 1 n cnz (cn = a0 bn + a1bn;1 + + anb0) n=0 +P 1 n +P1 n +P1 n B) cnz = anz bnz , T. E. SUMMa PROIZWEDEn=0 n=0 n=0 NIQ STEPENNYH RQDOW RAWNA PROIZWEDENI@ IH SUMM . |TOT FAKT NAPRQMU@ WYTEKAET1 IZ SLEDU@]EGO UTWERVDENIQ DLQ ^ISLOWYH RQDOW.
tEOREMA kOI O PEREMNOVENII RQDOW ( +1 +1
eSLI RQDY (KOMPLEKSNYH ^ISEL )
P
P
bn SHODQTSQ AB+P 1 SOL@TNO , TO PROIZWEDENIE \TIH RQDOW | RQD cn SO SLAn=0 GAEMYMI cn = a0 bn+a1 bn;1+ +an b0 | IMEET SUMMU , RAWNU@ PROIZWEDENI@ SUMM PEREMNOVAEMYH RQDOW. dOKAZATELXSTWO . tAK KAK 1
n=0
an I
], p. 283).
26
n=0
pUTEM ZAMENY an I bn SOOTWETSTWENNO NA an z n I bn z n .
35
c0+c1+ +cn = a0 b0+ (a0b1+a1 b0) + + (a0bn+ + anb0) = = a0(b0 +b1 + +bn) + a1(b0 + b1 + + bn;1) + + an b0 = = (a0 + a1 + + an)(b0 + b1 + + bn); ;a1bn; a2(bn;1+ bn) ;; an(b1+ + bn), DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO n0 , ^TO ; ; ja1jjbnj+ ja2j jbn;1j+ jbnj + + janj jb1j + + jbnj <" DLQ WSEH n > n0 . iMEQ \TO CELX@, PREDWARITELXNO MOVNO +1 +1 UTWERVDATX: TAK KAK RQDY P jaj j I P jbj j SHODQTSQ , SU]ESTj =1 j =1 +P 1 ;1 WUET TAKOE k , ^TO jbk+1j + + jbnj <" 2 jaj j PRI n>k. j =1 |TO NERAWENSTWO W SO^ETANII S TEM, ^TO DLQ DOSTATO^NO BOLXIH n KAVDAQ IZk WELI^IN ja j : : : janj OKAZYWA+P 1 ;1 n;k+1 ETSQ MENXEJ ^ISLA " 2 jbj j , POZWOLQET ZAKL@^ITX: j =1
ja1jjbnj + + jan;kj j;bk+1j+ +jbnj+ ; +jan;k+1j jbkj+ +jbnj + + janj jb1j+ +jbnj < ; ;; +1 ; +1 < ja1j+ +jan;k j " 2 P jaj j + " 2 P jbj j jb1j+ +jbnj <" j =1 j =1 ; TAK ^TO RAZNOSTX (c0 + + cn) ; (a0 + + an)(b0 + + bn) STREMITSQ K NUL@ PRI n ! +1 . ;
1
1
Q.E.D.
sTEPENNYE RQDY ISPOLXZU@T KAK \FFEKTIWNYJ MEHANIZM RASPROSTRANENIQ FUNKCIJ DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ NA KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX . oPREDELENIE \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII +P 1 n 2 3 tAK KAK STEPENNOJ RQD zn! = 1+z+ z2! + z3! + IMEET n=0 +P 1 n RADIUS SHODIMOSTI r = +1 (c. 28), EGO SUMMA w(z) = zn! n=0
36
ESTX FUNKCIQ , OPREDELENNAQ NA WSEJ PLOSKOSTI C , PRI \TOM W SILU TEOREMY O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO RQDA (c. 29) 0 +P 1 zn +P1 zn;1 +P1 zn w 0 (z ) = = (n;1)! = n! = w(z) z 2 C . n=0 n! n=1 n=0 |TA FUNKCIQ POLU^ILA NAZWANIE \KSPONENCIALXNOJ , ILI \KSPONENTY 1, I OBOZNA^ENIQ w(z) = exp z I w(z) = ez . eE MOVNO RASSMATRIWATX KAK RASPROSTRANENIE NA KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII y = ex DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ | PUTEM PEREHODA W EE RAZLOVENII +P 1 n mAKLORENA ex = xn! OT DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ x K n=0 KOMPLEKSNOJ z. a IMENNO, ZAMENA STEPENEJ x NA STEPENI z, +1 n NE MENQ@]AQ RADIUSA SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA P xn! , n=0 RASIRQET OBLASTX OPREDELENIQ EGO SUMMY S DEJSTWITELXNOJ OSI DO KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI .
+1 n +1 n sRAWNIWAQ RAWENSTWA ex = P xn! (x 2 R ) I exp z = P zn! (z 2 C ) n=0 n=0 I PRIBEGAQ K OBRAZNYM SRAWNENIQM, MOVNO SKAZATX, ^TO PERWOE QWLQETSQ TEOREMOJ , TOGDA KAK WTOROE ESTX OPREDELENIE .2
bAZOWYM SWOJSTWOM \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII , OPRAWDYWA@]IM ee OBOZNA^ENIE w = ez I SAMO EE NAZWANIE , QWLQETSQ OSNOWNOE TOVDESTWO DLQ \KSPONENTY (exp z)(exp ) = exp(z + ) z 2 C , NAPRQMU@ WYTEKA@]EE IZ TEOREMY kOI O PEREMNOVENII RQDOW (c. 34) I FORMULY BINOMA nX@TONA:
lAT. expono | WYSTAWLQTX, POKAZYWATX. +1 ; 2 wPRO^EM, OPREDELENIE ex KAK P xn = lim 1+ z + + z n QWLQ1! n! n=0 n! n!+1 ETSQ NAILU^IM W OTNOENII WNQTNOSTI I WYWODA SWOJSTW I DLQ DEJSTWITELXNYH x. iMENNO TAK OPREDELQL ex E]E W XVIII W. PORTUGALEC DA kUNXQ (da Cunha, Joseph-Anastase, 1744{1787) W 29] (c. 142{146). 1
37
1 zn P
+
1 n P
+
+P 1 P n zk
n;k = (exp z)(exp ) = = n ! n ! k ! ( n ;k)! n=0 n=0 n=0 k=0 +1 n +P 1 1 P P 1 n ! k n ; k z = (z + )n = exp(z + ). = n! k ! ( n ; k )! n ! n=0 n=0 k=0
iMENNO S U^ETOM \TOGO TOVDESTWA, POLAGAQ1 +P 1 +P 1n = exp 1 def = n1! , ez def = exp z def = zn! , e def n=0
n=0
PRIHODQT K PRIWY^NOMU PRAWILU POKAZATELEJ : ez1 ez2 = ez1+z2 . tO^NO TAK VE OPREDELQ@T FUNKCII +P 1 nz2n+1 3 5 7 = z ; z3! + z5! ; z7! + z 2 C , sin z def = (;(21)n+1)! n=0 +P 1 n 2n 2 4 6 cos z def = (;(21)n)!z = 1 ; z2! + z4! ; z6! + z 2 C , n=0 S SOHRANENIEM SOOTNOENIJ sin(;z)= ; sin z cos(;z)=cos z I FORMULAMI PROIZWODNYH 0 5 7 2 4 6 3 sin0z = z ; z3! + z5! ; z7! + = 1 ; z2! + z4! ; z6! + = cos z, 0 2 4 6 3 5 z z z 0 cos z = 1 ; 2! + 4! ; 6! + = ;z + z3! ; z5! + = ; sin z. fUNDAMENTALXNU@ ROLX W MATEMATIKE I EE PRILOVENIQH IGRAET FORMULA |JLERA eiz = cos z + i sin z z 2 C , DLQ WYWODA KOTOROJ DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 ez = 1 + iz + i 2!z + i 3!z + i 4!z + i 5!z + i 6!z + i 7!z + = ; ; 2 4 6 3 5 7 = 1 ; z2! + z4! ; z6! + + i z ; z3! + z5! ; z7! + . oBOZNA^ENIE e WWEL W 1728 G. WEJCARSKIJ (ON VE ROSSIJSKIJ) MATEMATIK |JLER (Euler, Leonhard, 1707{1783), PO^TI WSQ DEQTELXNOSTX KOTOROGO PROLA W pETERBURGE, GDE ON I POHORONEN ON VE WY^ISLIL ZNA^ENIE e = 2 71828182845904523536028 : : : (19], x 122, S. 120). 1
38
fORMULU |JLERA MOVNO PREDSTAWITX I W WIDE1 iz ;iz iz ;iz cos z = e +2e sin z = e ;2ei
gIPERBOLI^ESKIE KOSINUS I SINUS 2 OPREDELQ@T SOOTNOENIQMI z ;z z ;z ch z def = e +2e sh z def = e ;2e KAK SLEDSTWIE, DLQ L@BOGO z 2 C SPRAWEDLIWY RAWENSTWA 2 4 6 3 5 7 ch z = 1 + z2! + z4! + z6! + sh z = z + z3! + z5! + z7! + , ch0 z = sh z sh0 z = ch z ch(;z) = ch z sh(;z) = ;sh z ch2 z ;sh2 z = 1, POSLEDNEE IZ KOTORYH LEVIT ( W OSNOWE PARAMETRI^ESKOGO PREDSTAWLE2 ch t , ;1 < t < +1 . NIQ GIPERBOLY xa22 ; yb2 =1 : xy == bash t oPERACIQ PEREMNOVENIQ STEPENNYH RQDOW POZWOLQET WOZWODITX IH W STEPENX I NA OSNOWE \TOGO PROIZWODITX c NIMI DRUGIE DEJSTWIQ.
tEOREMA O PODSTANOWKE +STEPENNOGO RQDA W STEPENNOJ RQD.3 1
dLQ L@BOGO STEPeNNOGO RQDA P an z n (NE SODERVA]EGO NULEWOJ STEn=1 PENI z ) OPREDELENA OPERACIQ EGO PODSTANOWKI (WMESTO PEREMENNOJ ) W +1 L@BOJ STEPENNOJ RQD P bn n , REZULXTAT KOTOROJ ESTX STEPENNOJ RQD + 1 P
+1 P
m=0
bm
m n=0
;
an z n = b0 + b1 a1 z + a2 z 2 + a3 z 3 + + n=1 ; + b2 a1 z + a2 z 2 + a3 z 3 + 2 + ,
IME@]IJ A) NENULEWOJ RADIUS SHODIMOSTI , ESLI NENULEWYMI QWLQ@TSQ RA+ 1 + 1 m P P DIUSY SHODIMOSTI ra I rb STEPENNYH RQDOW an z n I bm n=1 m=0 B) SUMMU , SOWPADA@]U@ S REZULXTATOM PODSTANOWKI SUMMY PERWOGO STEPENNOGO RQDA W SUMMU WTOROGO (WMESTO PEREMENNOJ ). 1 w KOTOROM EE I POLU^IL PERWONA^ALXNO |JLER ISHODQ IZ FORMULY mUAWRA (19], xx 132{138, S. 128{)134. 2 wWEDENNYE W 1757 G. ITALXQNSKIM MATEMATIKOM rIKK ATI (Riccati, Vicenzo, 1707{1775). (\uRAWNENIE rIKKATI" | \TO NE ON, A EGO OTEC, Iacopo Francesco Riccati, 1676{1754.) 3 u kOI W 28], s er. II, t. X, p. 177.
39 +1 P
+ 1 P
m
an z n
dOKAZATELXSTWO. tO, ^TO bm (REZULXTAT UKAZANNOJ m=0 n=1 PODSTANOWKI RQDA W RQD ) QWLQETSQ STEPENNYM RQDOM , WYTEKAET IZ TOGO, ^TO W HODE WNENEGO SUMMIROWANIQ (PO m) KO\FFICIENT PRI z k (k = 0 1 2 : : : ) STABILIZIRUETSQ ZNA^ENIQ m = k, +1 PO DOSTIVENI@ m P T. E. NE ZAWISIT OT SLAGAEMYH bm an z n S m>k. (eSLI BY PODSTAWn=1 LQEMYJ RQD SODERVAL NULEWU@ STEPENX z , TO W HODE WNENEGO SUMMIROWANIQ KO\FFICIENT PRI z k IZMENQLSQ BY S KAVDYM NOWYM SLAGAEMYM, I REZULXTAT PODSTANOWKI TAKOGO RQDA W RQD BYL BY NE OPREDELEN .) + 1 P sUMMA a(z ) STEPENNOGO RQDA an z n OPREDELENA I NEPRERYWNA (POn=1 SKOLXKU IMEET PROIZWODNU@ ) W KRUGE jz j < ra , PRI \TOM (TAK KAK a(0) = 0) SU]ESTWUET ^ISLO > 0 SO SWOJSTWOM: ja(z )j
rAZDELITX STEPENNOJ RQD
n=1
+ 1 P
m=0
an z n NA STEPENNOJ RQD
+ 1 P
n=0 n=0 + 1 n +P 1 n +P 1 n P ^IT NAJTI PREDSTAWLENIE an z = bn z cn z . n=0 n=0 n=0 + 1 P
n=0
bn z n ZNA-
tEOREMA O DELENII STEPENNYH RQDOW .1 l@BOJ STEPENNOJ RQD +1 P
bn z n c b0 6= 0 REZULXTAn=0 + 1 n P cn z S NENULEWYM RADIUSOM n=0
an z n DELITSQ NA L@BOJ STEPENNOJ RQD
TOM DELENIQ QWLQETSQ STEPENNOJ RQD SHODIMOSTI, ESLI OTLI^NY OT NULQ RADIUSY SHODIMOSTI DELIMOGO I DELITELQ . dOKAZATELXSTWO. tAK KAK STEPENNOJ RQD 1 + 0z + 0z 2 + IGRAET (PRI UMNOVENII RQDOW) RoLX EDINICY , DOSTATO^NO RAZOBRATX SLU^AJ, KOGDA DELIMYM QWLQETSQ IMENNO \TOT STEPENNOJ RQD : 1+0z +0z 2+ a0 +a1z +a2z 2+ ; 2 b0 +b1z +b2z 2+ = a0 + a1z + a2 z + b0 +b1z +b2z 2 + . kROME TOGO, TAK KAK PO PREDPOLOVENI@ b0 = 6 0, ZAPISX eSTX U |JLERA W 19] (x 63, c. 81{82), NO BEZ UTWERVDENIQ O SHODIMOSTI RQDA. 1
40
+ 1 P
+ 1 n + 1 bn n + 1 n P P P bn z n cn z = z b cn z , 0 n=0 n=0 n=0 b0 n=0 POZWOLQET S^ITATX PRI DOKAZATELXSTWE, ^TO b0 = 1. w SOOTWETSTWII S PRAWILOM UMNOVENIQ STEPENNYH RQDOW WYPOLNENIE SOOTNOENIQ ; ; 1 + b1 z + b2z 2 + b3z 3 + c0 + c1 z + c2 z 2 + c3 z 3 + = 1 (PRAWU@ ^ASTX KOTOROGO NADLEVIT RASSMATRIWATX KAK STEPENNOJ RQD 1 + 0z + 0z 2 + ) RAWNOSILXNO WYPOLNENI@ SISTEMY RAWENSTW c0 = 1 c1 + c0 b1 = 0 c2 + c1 b1+ c0b2 = 0 c3 + c2b1+ c1b2+ c0 b3 = 0 : : : ,
IZ KOTOROJ PO IZWESTNYM b1 b2 b3 : : : POSLEDOWATELXNO NAHODQT NEIZWESTNYE c0 c1 c2 c3 : : : |TO OZNA^AET, ^TO STEPENNOJ RQD + 1 n +P 1 n;1 1+0z +0z 2+ P cn z = bn z = 1+b1z +b2z 2+ n=0 n=0 SU]ESTWUET I QWLQETSQ EDINSTWENNYM . pUSTX STEPENNOJ RQD W ZNAMENATELE IMEET RADIUS SHODIMOSTI + 1 n P r > 0. tAK KAK STEPENNOJ RQD bn z IMEET TOT VE RADIUS SHOn=1 DIMOSTI r > 0 I NE SODERVIT NULEWOJ STEPENI z , A STEPENNOJ RQD 1 ; + 2 ; 3 + SHODITSQ PRI j j < 1 K (1+ );1, MOVNO PRIMENITX TEOREMU O PODSTANOWKE STEPENNOGO RQDA W STEPENNOJ RQD. a IMENNO, +1 ESLI STEPENNOJ RQD P bn z n PODSTAWITX (WMESTO ) W TOVDESTWO n=1 ; ; 1 + 1 ; + 2 ; 3 + 1 (WYPOLNQ@]EESQ PRI j j < 1), TO REZULXTATOM OKAVETSQ TOVDESTWO + 1 n +P 1 n +P 1 n2 +P1 n3 P bn z 1 ; bn z + bn z ; bn z + 1 ;
n=0
n=1
n=1
n=1
1 +P
bn z n < 1 ,
SPRAWEDLIWOE DLQ WSEH z c NASTOLXKO MALYM jz j, ^TO n=1 W KOTOROM WTOROJ SOMNOVITELX ESTX (W SILU UPOMQNUTOJ TEOREMY) STEPENNOJ RQD S NENULEWYM RADIUSOM SHODIMOSTI. kAK SLEDSTWIE, \TOT WTOROJ SOMNOVITELX , T. E. STEPENNOJ RQD +1 2 + 1 n + 1 + 1 n3 P P P P cn z = 1 ; bn z n + bn z n ; bn z + : : : , n=0 n=1 n=1 n=1 I ESTX TREBUEMYJ REZULXTAT DELENIQ STEPENNOGO RQDA 1+0z +0z 2+ : : : +1 +1 NA STEPENNOJ RQD P bn z n = 1 + P bn z n. Q.E.D. n=0
n=1
41
tEOREMA aBELQ.1 pUSTX ^ISLOWOJ RQD + 1 P
+ 1 P
n=0
cn SHODITSQ . tOGDA + 1 P
+ 1 P
cn z n SHODITSQ PRI jz j < 1 I zlim c z n = cn !1 n=0 n n=0 n=0 jzj<1 ;z j PRI z ! 1 OSTAETSQ OGRANI^ENNYM 2. PRI USLOWII, ^TO OTNOENIE j11;j zj
STEPENNOJ RQD
+1
dOKAZATELXSTWO. w SILU TEOREMY kOI { aDAMARA RQD P cn z n n=0 SHODITSQ PRI jz j < 1, TAK KAK PO USLOWI@ ON SHODITSQ PRI z =1. +1 pUSTX P cn = s, a sn = c0 + + cn (n = 0 1 2 : : : ). eSLI n=0 jz j < 1, TO SOGLASNO TEOREME O PEREMNOVENII STEPENNYH RQDOW (S. 34) SPRAWEDLIWY SOOTNOENIQ 1 +P1 c z n = (1 + z + z 2 + )(c + c z + c z 2 + ) = n 0 1 2 1;z n=0
= c0 + (c0 + c1 )z + (c0 + c1 + c2 )z 2 + =
A SLEDOWATELXNO, + 1 P
+ 1 P
n=0
cn z n = (1 ; z ) + 1 P
+ 1 P
n=0
+ 1 P
n=0
sn z n ,
sn z n PRI jz j < 1. kROME TOGO, + 1 P
cn = s (1 ; z ) z n = (1 ; z ) sz n PRI jz j < 1, n=0 n=0 n=0 W SILU ^EGO PRI L@BOM WYBORE NATURALXNOGO ^ISLA m + 1 + 1 + 1 1 n P n ; P cn = (1 ; z ) P sn z n ; (1 ; z ) +P c z sz 6 n n=0
n=0
n=0
n=0 1 +P n sn ;s)z + j1;z j (sn ;s)z n . n=m
;1 mP (
6 j1;z j n=0 pUSTX " | L@BOE (SKOLX UGODNO MALOE) POLOVITELXNOE ^ISLO, a ;z j PRI STREMLENII z K 1. tAK KAK h | WERHNQQ GRANICA OTNOENIQ 1j1;j zj dLQ DEJSTWITELXNYH ZNA^ENIJ PEREMENNOJ \TO TEOREMA IV W STATXE NORWEVSKOGO MATEMATIKA aBELQ (Abel, Niels Henrik, 1802{1829) W 1
Journal f$ur die reine und angew. Math., Bd. I, 1826 (S. 314, Lehrsatz IV). 2 t. E. z OSTAETSQ WNUTRI NEKOTOROGO UGLA S WERINOJ 1, WPISANNOGO W EDINI^NU@ OKRUVNOSTX (W \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO z STREMITSQ K 1 NEKASATELXNO K EDINI^NOJ OKRUVNOSTI).
42 fsng ! s, SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO m, ^TO PRI n > m " , A SLEDOWATELXNO, WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO j s ; s j < n 2h 1 +1 +P " n j1 ; z j (sn ; s)z < j1 ; z j 2h P jz jn 6 j1 ; z j 2"h 1;j1 z j 6 2" n=m
n=0
;1 mP (
S DRUGOJ STORONY, W SILU TOGO ^TO zlim !1 j1 ; z j n=0 m;1 j1 ; z j P (sn ; s)z n < " , ESLI z DOSTATO^NO BLIZKO K 1.
n=0
1 +P
2
= 0,
n
c < " DLQ WSEH z jz j < 1, DOSTATO^NO ;z j 6 h. Q.E.D. BLIZKIH K 1 I UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ j11;j zj tEOREMA aBELQ LEVIT W OSNOWE METODA SUMMIROWANIQ PO aBEL@ + 1 P RASHODQ]IHSQ RQDOW : eSLI RQD cn RASHODITSQ , NO PRI \TOM SU]EST-
wYWOD:
n=0
cn z n
;
+ 1 P
sn ; s)z n
n=0
n=0 + 1 P n WUET r!lim c r = s , TO GOWORQT , ^TO RQD cn n 1;0 n=0 n=0 + 1 P
SUMMIRUEM PO aBEL@ K SUMME s (W SLU^AE SHODIMOSTI RQDA REZULXTAT EGO SUMMIROWANIQ PO aBEL@ SOWPADAET PO TEOREME aBELQ S EGO SUMMOJ W OBY^NOM SMYSLE). +1 uPRAVNENIQ. 1. kAK RADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA P cn z n n=0 SOOTNOSITSQ S RADIUSAMI SHODIMOSTI SLEDU@]IH STEPENNYH RQDOW: + 1 2 n +P1 2n +P 1 n2 +P 1 cn n +P1 P z , (c0 + + cn)z n ? cn z cn z cn z n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 1+jcn j 2. pEREHODQ K PEREMENNYM = z ;z0 I = (z ;z0 );1 POKAZATX, ^TO +1 W KOLXCE SHODIMOSTI OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA P cn (z;z0)n EGO SUMMA IMEET PROIZWODNU@
+1 P
0
cn (z ; z0 )n =
n=;1
+ 1 P
n=;1
ncn (z ; z0)n;1.
n=;1
3. nAJTI: (1 + z + z 2 + z 3 + )3 (1 + 2z + 3z 2 + 4z 3 + );1 . p 4. dOKAZATX, ^TO exp z 6= 0 PRI L@BOM z 2 C I ^TO exp mn = n em ; DLQ L@BYH NATURALXNYH m n e def = exp 1 . + 1 in +P1 + 1 + 1 P P P 5. nAJTI SUMMY PO aBEL@ RQDOW e cos n sin n 2n . n=0
n=0
n=0
n=0
43
kAKIE FUNKCII NAZYWA@T \LEMENTARNYMI I PO^EMU SREDI NIH ESTX MNOGOZNA^NYE lOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ , ILI LOGARIFM 1, w = Ln z KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z 6= 0 OPREDELQETSQ KAK FUNKCIQ, def z = ew . OBRATNAQ \KSPONENCIALXNOJ : w = Ln z () pOSKOLXKU W ZAPISI w = u + iv SOOTNOENIE z = ew PRINIMAET (SOGLASNO FORMULe |JLERA) WID z = eu(cos u+i sin v), eu = jzj, A SLEDOWATELXNO, u = ln jzj2 v = arg z +2k k 2 Z (T. E. k = 0 1 2 : : : ). oKON^ATELXNO: DLQ z 2 C z 6= 0, Ln z = ln jzj + i Arg z = ln jzj + i (arg z +2 k) k 2 Z S OBOZNA^ENIEM Arg z MNOVESTWA arg z +2 k : k 2 Z WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA KOMPLEKSNOGO ^ISLA z 6= 0. zNA^ENIE Ln0 NE OPREDELENO , POSKOLXKU (WWIDU TOVDESTWA ew e;w = 1) NE SU]ESTWUET KOMPLEKSNOGO ^ISLA w, DLQ KOTOROGO BY ew =0. III .
pODHOD |JLERA K OPREDELENI@ LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ ILL@STRIRUET WOSPROIZWODIMYJ ZDESX FRAGMENT EGO RABOTY 1749 G. \iSSLEDOWANIQ PO MNIMYM KORNQM URAWNENIJ" (31], p. 134), RAZOBRATXSQ W KOTOROM MOVNO DAVE BEZ ZNANIQ FRANCUZSKOGO QZYKA. 1 gRE^. o o& | PROPORCIQ o& | S^ET. Ln | ZNA^IT LOGARIFM nEPERA (Napier, ILI Neper, 1550{1617) | OTLANDSKOGO BARONA, PRIDUMAWEGO LOGARIFMY (WKL@^AQ SAMO \TO SLOWO). |JLER OBOZNA^AL NEPEROW LOGARIFM ODNOJ BUKWOJ l I NAZYWAL EGO GIPERBOLI^ESKIM (NA TOM OSNOWANII, ^TO ln x PRI x> 0 WYRAVAET PLO]ADX POD GIPERBOLOJ ). 2 zDESX ln jz j | OBY^NYJ (DEJSTWITELXNYJ) LOGARIFM POLOVITELXNOGO ^ISLA jz j.
44
45
sOPOSTAWLENIE z 7! Ln z OPREDELQET PO\TOMU MNOGOZNA^NU@ FUNKCI@ 1 NA MNOVESTWE C rf0g, SOOTNOSQ]U@ KAVDOMU NENULEWOMU KOMPLEKSNOMU ^ISLU z BESKONE^NOE MNOVESTWO Ln z ZNA^ENIJ EGO LOGARIFMA 2 S OBOZNA^ENIEM ln z KAKOGO-TO ODNOGO IZ \TIH ZNA^ENIJ. fORMULXNO SWQZX LOGARIFMI^ESKOJ I \KSPONENCIALXNOJ FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ WYRAVA@T RAWENSTWA: exp(ln z ) = z DLQ L@BOGO NENULEWOGO z 2 C Ln(exp w) = w + i 2 k k 2 Z 3 DLQ L@BOGO w 2 C ln(exp w)= w + i 2 k k 2 Z 4 DLQ L@BOGO w 2 C .
w ZAPISI w = u + iv MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ w = Ln z PREDSTAWLQET SOBOJ LINEJNU@ KOMBINACI@ DWUH DEJSTWITELXNYH FUNKCII: u = ln jzj (ODNOZNA^NOJ ) I v = Arg z (MNOGOZNA^NOJ ). mNOGOZNA^NOSTX LOGARIFMA PO\TOMU NAPRQMU@ SWQZANA S MNOGOZNA^NOSTX@ ARGUMENTA . zAPISX SIMWOLOW Arg z Ln z (I DRUGIH MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ ) c ZAGLAWNOJ BUKWY SLUVIT UKAZU@]IM PRIZNAKOM IH MNOGOZNA^NOSTI . zAPISX VE arg z I ln z PODRAZUMEWAET PRI \TOM WYBOR IZ MNOVESTW Arg z I Ln z WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA I LOGARIFMA PEREMENNOJ z KAKIH-TO IH KONKRETNYH ZNA^ENIJ. tAK KAK Ln z = ln jzj + i Arg z, WYBOR ZNA^ENIQ arg z 2 Arg z ODNOWREMENNO OPREDELQeT SOOTWETSTWU@]EE ZNA^ENIE ln z = ln jzj + i arg z 2 Ln z.
w OPREDELENII |JLERA (19], x 9, S. 33) \MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ TA, KOTORAQ PRI PODSTANOWKE WMESTO PEREMENNOGO ODNOGO KAKOGO UGODNO OPREDELENNOGO ZNA^ENIQ POLU^AET NESKOLXKO OPREDELENNYH ZNA^ENIJ". 2 zAPISX W = Ln z (WMESTO w = Ln z ) BYLA BY W \TOM SMYSLE BOLEE UMESTNA, ODNAKO ONA NE POLU^ILA RASPROSTRANENIQ . 3 pRAWILXNEE Ln(exp w ) = w + i 2 k : k 2 Z (\TO MNOVESTWO KOMPLEKSNYH ^ISEL). 4 w \TOM RAWENSTWE (W OTLI^IE OT PREDYDU]EGO) k ESTX KONKRETNOE CELOE ^ISLO, ZAWISQ]EE OT WYBORA ZNA^ENIQ ln(exp w) 2 Ln(exp w). 1
46
s U^ETOM \TOGO SOGLAENIQ IZ PRAWILA PEREMNOVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL (I, c. 5) WYTEKAET WYPOLNENIE DLQ NENULEWYH z 2 C SOOTNOENIQ Arg (z )=Arg z+Arg 1 NAPROTIW, ^ISLOWOE RAWENSTWO arg(z )=arg z +arg SPRAWEDLIWO LIX S TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO , KRATNOGO 2 . kAK SLEDSTWIE, SPRAWEDLIWY SOOTNOENIQ Ln(z ) = Ln z + Ln (W SMYSLE SOWPADENIQ MNOVESTW ) I ln(z ) = ln z +ln (PL@S SLAGAEMOE , KRATNOE 2 i). w KA^ESTWE ILL@STRACII MOVNO OTMETITX, ^TO 2Ln z Ln z 2, ODNAKO 2Ln z 6= Ln z 2 . |TO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO \LEMENTAMI MNOVESTWA 2Ln z QWLQ@TSQ ^ISLA 2 ln jz j + i (2 arg z +4k) k 2 Z, W TO WREMQ KAK MNOVESTWO Ln z 2 SOSTOIT IZ ^ISEL 2 ln jz j + i (2 arg z +2k) k 2 Z.
nAGLQDNO PREDSTAWITX DEJSTWIE MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w =Ln z (A TAKVE OBRATNOJ K NEJ FUNKCII z = ew ) MOVNO NA DWUH \KZEMPLQRAH KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI : C z PEREMENNOJ z I C w PEREMENNOJ w = u + iv (RIS. 10). w ^ASTNOSTI: a) LU^ , WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM K DEJSTWITELXNOJ OSI 2 PRI OTOBRAVENII w = Ln z PEREHODIT W BESKONE^NYJ NABOR RAWNOOTSTOQ]IH GORIZONTALXNYH PRQMYH v = + 2 k k = 0 1 2 : : : , PRI WZAIMNO ODNOZNA^NOM SOOTWETSTWII MEVDU TO^KAMI LU^A I KAVDOJ OTDELXNO WZQTOJ PRQMOJ OBRATNOE OTOBRAVENIE z = ew WSE \TI PRQMYE PEREWODIT W UKAZANNYJ LU^ B) UGoL MEVDU DWUMQ TAKIMI LU^AMI (SOSTAWLENNYJ IZ PROMEVUTO^NYH LU^EJ ) PRI OTOBRAVENII w = Ln z PEREHODIT W NABOR PARALLELXNYH POLOS (IRINA KAVDOJ RAWNA RASTWORU UGLA ) OBRATNYM OTOBRAVENIEM z = ew KAVDAQ TAKAQ POLOSA (MYSLIMAQ SOSTAWLENNOJ IZ PARALLELXNYH PRQMYH ) pONIMAEMOGO KAK SOWPADENIE MNOVESTWA Arg (z ) WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA ^ISLA z I MNOVESTWA Arg z+Arg SUMM WZQTYH PO ODNOMU WSEWOZMOVNYH ZNA^ENIJ ARGUMENTA ^ISLA z I ARGUMENTA ^ISLA . 2 tO^KI \TOGO LU^A IME@T WID z = r (cos + i sin ) 0
47
PEREWODITSQ (WZAIMNO-ODNOZNA^NO) NA UKAZANNYJ UGOL . W) DUGU OKRUVNOSTI RADIUSA r S CENTROM 0, ZAKL@^ENNU@ W \TOM UGLE , OTOBRAVENIE w = Ln z PEREWODIT W PROMEVUTKI PRQMOJ u = ln r, POPADA@]IE W UKAZANNYE POLOSY (PRI WZAIMNO-ODNOZNA^NOM SOOTWETSTWII MEVDU KAVDYM IZ \TIH PROMEVUTKOW I UKAZANNOJ DUGOJ ).
rIS. 10
48 sO^ETANIE STEREOGRAFI^ESKOJ PROEKCIEJ (I, S. 21) S LOGARIFMOM (I KOMPLEKSNYM SOPRQVENIEM ) PRIWODIT K TAK NAZYWAEMOJ PROEKCII mERKATORA 1, PO SEJ DENX LEVA]EJ W OSNOWE SOSTAWLENIQ NAWIGACIONNYH KART | KART mERKATORA . sETKA MERIDIANOW I PARALLELEJ NA TAKIH KARTAH QWLQETSQ PRQMOUGOLXNOJ I PRQMOLINEJNOJ (RIS. 11).
rIS. 11 gLAWNOE DOSTOINSTWO KART mEKATORA | W PROSTOTE ZADA^ TURMANA I RULEWOGO: PROLOVIW NA \TOJ KARTE KURS W WIDE OTREZKA PRQMOJ (PERESEKA@]EGO MERIDIANY POD ODNIM I TEM VE UGLOM), DLQ WYDERVIWANIQ KURSA DOSTATO^NO SLEDOWATX S POSTOQNNYM RUMBOM | ^TOBY STRELKA KOMPASA OSTAWALASX W NEIZMENNOM POLOVENII. dWIVENIE PRI \TOM BUDET PROISHODITX NE PO KRAT^AJEJ LINII NA POWERHNOSTI, NO \TOT NEDOSTATOK KOMPENSIRUETSQ KRAJNEJ PROSTOTOJ UPRAWLENIQ2. kUDA BOLXIM NEDOSTATKOM KART mERKATORA QWLQETSQ SWOJSTWENNOE IM NARASTANIE ISKAVENIJ PRI PRIBLIVENII K POL@SAM, WSLEDSTWIE ^EGO IZ NIH ISKL@^A@TSQ WYSOKIE IROTY (KAK NA RIS. 11). Mercator (NAST. IMQ Kremer), Gerhard, 1512{1594, | FLAMANDSKIJ KARTOGRAF, OPUBLIKOWAWIJ W 1569 G. MOREHODNU@ KARTU MIRA NA OSNOWE \TOJ PROEKCII. 2 dWIVENIE PO KRAT^AJEJ LINII | OKRUVNOSTI BOLXOGO KRUGA (ESLI zEML@ PRINIMATX ZA PRAWILXNYJ AR ) | TREBUET POSTOQNNOJ KORREKTIROWKI RUMBA. 1
49 dOLGOTA I IROTA ' (STANDARTNYE OBOZNA^ENIQ) TO^KI NA POWERHNOSTI zEMLI I DEKARTOWY KOORDINATY x y EE IZOBRAVENIQ NA ; KARTE mERKATORA SWQZANY URAWNENIQMI x = y = ln tg 4 + '2 , GDE | RADIUS zEMLI , A | MASTAB KARTY . pOSTROENIE PROEKCII mERKATORA KAK SO^ETANIQ STEREOGRAFI^ESKOJ PROEKCII I OTOBRAVENIQ w = i ln z ILL@STRIRUET RIS. 12.
rIS. 12
50 iMEQ OPREDELENIQ \KSPONENTY I LOGARIFMA , MOVNO DATX OB]EE OPREDELENIE STEPENI z | S L@BYM KOMPLEKSNYM POKAZATELEM I PRI L@BOM KOMPLEKSNOM OSNOWANII z 6= 0: ; ; z def = exp Ln z = exp ln jz j + i (arg z +2 k) k 2 Z 1 o TOM, SKOLXKO ZNA^ENIJ IMEET z DLQ RAZLI^NYH z I I NASKOLXKO DANNOE OPREDELENIE STEPENI SOGLASUETSQ S OBY^NYM W SLU^AE CELOGO POKAZATELQ, OBSUVDAETSQ NIVE (S. 54{56). pOKA VE SLEDUET OTMETITX, ^TO DAVE DLQ DEJSTWITELXNYH ZNA^ENIJ z = a I = b S a > 0 (I ; = exp b ln a WKUPE S SOOTNOENIarg a = 0) TOLXKO OPREDELENIE ab def QMI exp(a + b) = (exp a)(exp b) (II, c. 36) I exp 0 = 1 POZWOLQET DATX KOROTKIJ I WNQTNYJ WYWODOSNOWNYH SWOJSTW STEPENI : ; ; ; ab+c =exp (b + c) ln a =exp b ln a + exp c ln a = ab + ac ; b c ; ; ; a =exp c ln ab =exp c ln exp(b ln a) =exp cb ln a = abc ; ; exp(b ln a) exp 0 = 1 . = exp( a;b =exp ;b ln a =exp ;b ln a exp( b ln a ) b ln a) ab ; a0 =exp 0 ln a =1. gLQDQ NA TO, KAK AKKURATNO DELAET \TO NA S. 142 {146 SWOEGO U^EBNIKA 29] UVE UPOMINAWIJSQ (II, S. 36) DA kUNXQ, MOVNO LIX PORAVATXSQ, NASKOLXKO \TOT PORTUGALXSKIJ MATEMATIK, VIWIJ W XVIII W. I PREPODAWAWIJ W UNIWERSITETE G. kOIMBRA, WYIGRYWAET W SRAWNENII S NYNENIMI WUZOWSKIMI PROPAGANDISTAMI MATEMATI^ESKIH ZNANIJ. bOLXINSTWO IZ NIH, DOJDQ W SWOIH LEKCIQH (ILI U^EBNIKAH) DO OPREDELENIQ I SWOJSTW STEPENI S L@BYM POKAZATELEM, LIBO OTSYLA@T ZA NIMI W SREDN@@ KOLU (WARIANT: OBHODQTSQ BEZ OPREDELENIQ , A SWOJSTWA \WYNIMA@T IZ RUKAWA"), LIBO WYSTUPA@T S PROGRAMMOJ: \SNA^ALA OPREDELIM STEPENX ^ISLA S RACIONALXNYM POKAZATELEM, ZATEM, USTANOWIW EE SWOJSTWA, PEREJDEM K SLU^A@ L@BOGO POKAZATELQ etc.", KAKOWU@ PROGRAMMU TUT VE SWORA^IWA@T ILI PROWALIWA@T.
mNOGOZNA^NOSTX LOGARIFMA | GLAWNAQ PRI^INA IROKOGO RASPROSTRANENIQ QWLENIQ MNOGOZNA^NOSTI SREDI FUNK-
dANNOE OB]EE OPREDELENIE STEPENI IMEET EDINSTWENNOE ISKL@+ 1 zn P , A NE KAK ^ENIE: ez WSEGDA PONIMA@T IMENNO KAK exp z def = n=0 n! ; ; exp z Ln e =exp z (1+ i 2 k) =exp z exp(i 2 kz ) k 2 Z . 1
51
CIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, W ^ASTNOSTI, TEH IZ NIH, KOTORYE PRINQTO NAZYWATX \LEMENTARNYMI . k \LEMENTARNYM FUNKCIQM 1 KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ OTNOSQT2 TE I TOLXKO TE , FORMULXNYE WYRAVENIQ KOTORYH (^EREZ PEREMENNU@ I KONSTANTY ) MOVNO POLU^ITX, KOMBINIRUQ (W KONE^NOM ^ISLE ) DEJSTWIQ SLOVENIQ , WY^ITANIQ , UMNOVENIQ , DELENIQ , WZQTIQ \KSPONENTY I LOGARIFMA .
|LEMENTARNYMI , K PRIMERU, QWLQ@TSQ ODNOZNA^NYE FUNKCII iz ;iz a) w = z 3 B) w = 21 z + z1 W) w = cos z = e +2e , A TAKVE OBRATNYE MNOGOZNA^NYMI : ; p ; ; K NIM, OKAZYWA@]IESQ p 1 1 2 k a 0) z = 3 w = exp 3 Ln w = exp 3 (ln w+i 2k) = 3 w cosp3 +i sin 2k 3 (PONIMATX \TO SLEDUET W TOM SMYSLE, ^TO WSE ZNA^ENIQ 3 w QWLQ@TSQ REZULXTATAMI UMNOVENIQ KAKOGO -TO ODNOGO IZ NIH, OBOZNA^AEMOGO TEM VE SIMWOLOM p3 w , NA WSEWOZMOVNYE KORNI 3-J STEPENI IZ ;1) p B 0) z = w + w2 ; 1 = w + exp 12 Ln (w2 ; 1) = ; ; p p = w + exp 21 ln(w2 ; 1)+ i 2k = w + w2 ; 1 eik = w w2 ; 1 p (W PERWOM RAWENSTWE PODRAZUMEWA@TSQ WSE ZNA^ENIQ w2 ; 1, a W DWUH POSLEDNIH | KAKOE-TO ODNO IZ NIH) iz ;iz def W 0) z = Arccos w () w = e +2e () e2iz ; 2weiz + 1 = 0 () p p ; () eiz = w + w2 ; 1 () z = ;i Ln w + w2 ; 1 W ^ASTNOSTI, DLQ DEJSTWITELXNYH p 2 ZNA^ENIJ wp= 2u 2 ; 1 1] (RIS. 13) ; Arccos w = ;i ln jw + w ; 1j + i Arg (w + w ; 1) = p p = ;i ln ju i 1 ; u2j + Arg (u i 1 ; u2) = = arccos u + 2k k = 0 1 2 : : : , GDE arccos u | OBY^NYJ (\KOLXNYJ") ARKKOSINUS ^ISLA u 2 ;1 1].
dLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ PRINQTA SLEDU@]AQ DOPOLNITELXNAQ KLASSIFIKACIQ.
iME@TSQ W WIDU QWNO ZADANNYE FUNKCII w = f (z). wSLED ZA kOI (28], ser. II, t. X, p. 19) I ANGLIJSKIM MATEMATIKOM gARDI (TO^NEE, hARDI Hardy, Godfrey Harold, 1877{1947 2] S. 7). 1 2
52
rIS. 13
rACIONALXNYMI1 FUNKCIQMI NAZYWA@T TE, KOTORYE WYRAVA@TSQ ^EREZ PEREMENNU@ I KONSTANTY KONE^NYM ^ISLOM OPERACIJ SLOVENIQ , WY^ITANIQ , UMNOVENIQ I DELENIQ . l@BAQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ PREDSTAWLQET SOBOJ LIBO MNOGO^LEN w = a0 zn + a1 zn;1 + + an (S DEJSTWITELXNYMI ILI MNIMYMI KO\FFICIENTAMI) | \TO TAK NAZYWAEMYE CELYE RACIONALXNYE FUNKCII , LIBO OTNOENIE MNOGOn n ; 1 + +a a z + a z ^LENOW : w = b00zm+b11zm;1+ +bmn . pRIMERAMI RACIONALXNYH FUNKCIJ QWLQ@TSQ LINEJNYE az +b FUNKCII . w = az + b I DROBNO - LINEJNYE w = cz +d aLGEBRAI^ESKIMI 2 FUNKCIQMI (ZADANNYMI QWNO ) S^ITA@TSQ TE, KOTORYE MOVNO WYRAZITX ^EREZ PEREMENNU@ I 1 lAT. ratio | S^ET, OTNOENIE, RAZUM. 2
vIWIJ W VIII{IX WW. MATEMATIK I ASTRONOM mOHAMMED BEN mUSA ALX -hOREZMI (T. E. IZ hIWY ), PRIGLAENNYJ W ^ISLE DRUGIH U^ENYH W bAGDAD EGO PRAWITELEM | SYNOM LEGENDARNOGO (\tYSQ^A I ODNA NO^X") gARUN ALX -rAIDA, NAPISAL RUKOWODSTWO PO REENI@ URAWNENIJ, W NAZWANII KOTOROGO | \kITAB ALX -DVABR WALX MUKABALA" | \ALX -DVABR" OBOZNA^AET OPERACI@ USTRANENIQ WY^ITAEMOGO PUTEM EGO PRIBAWLENIQ K OBEIM ^ASTQM URAWNENIQ. oBOGATIW W REZULXTATE MIR TERMINOM \ALGEBRA", \TOT AWTOR ODARIL EGO E]E I SLOWOM \ALGORITM": Algorothmi ESTX LATINSKAQ TRANSKRIPCIQ EGO IMENI ALX -hOREZMI .
53
KONSTANTY KONE^NYM ^ISLOM OPERACIJ SLOVENIQ , WY^ITANIQ , UMNOVENIQ , DELENIQ I IZWLE^ENIQ KORNEJ 1. w ^ASTNOSTI, L@BAQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKOJ .
wOOB]E ALGEBRAI^ESKIMI FUNKCIQMI NAZYWA@T REENIQ w ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ p0 (z ) wk + p1 (z ) wk;1 + + pk;1 (z ) w + pk (z ) = 0 (S MNOGO^LENAMI W KA^ESTWE KO\FFICIENTOW ). zAPISX LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ PO STEPENQM z POKAZYWAET, ^TO FUNKCIQ, OBRATNAQ K ALGEBRAI^ESKOJ, SAMA QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKOJ . uRAWNENIQM, RAZREIMYM W RADIKALAH 2, SOOTWETSTWU@T QWNYE , T._E. PREDSTAWIMYE W WIDE w = w(z ), ALGEBRAI^ESKIE FUNKCII , A NERAZREIMYM (TAKOWYE ESTX SREDI URAWNENIJ, NA^INAQ S 5-J STEPENI) | NEQWNYE . wOPROS O RAZREIMOSTI W RADIKALAH ALGEBRAI^ESKIH URAWNeNIJ STAL OTPRAWNOJ TO^KOJ TAK NAZYWAEMOJ TEORII gALUA 3. nEQWNYE ALGEBRAI^ESKIE FUNKCII NARAWNE S QWNYMI OTNOSQT K \LEMENTARNYM . ALGEBRAI^ESKIM FUNKCIQM (KOTORYE NE QWLQ@TSQ RACIONALXNYMI ) SWOJSTWENNA MNOGOZNA^NOSTX , PRI \TOM KAVDOMU ZNA^ENI@ PEREMENNOJ z MOVET SOOTWETSTWOWATX LIX KONE^NOE MNOVESTWO ZNA^ENIJ w ALGEBRAI^ESKOJ FUNKCII .
tRANSCENDENTNYMI 4 NAZYWA@T FUNKCII, NE QWLQ@]IESQ ALGEBRAI^ESKIMI . pROSTEJIE SREDI \LEMENTARNYH TRANSCENDENTNYH FUNKCIJ | \TO \KSPONENTA I LOGARIFM .
dOKAZATELXSTWO TRANSCENDENTNOSTI (\NEALGEBRAI^NOSTI") FUNKCIJ w = ez I w = ln z MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W NEBOLXOJ KNIVKE g. gARDI 2]. wAVNEJIMI SREDI OB]IH SWOJSTW PERE^ISLENNYH KLASSOW FUNKCIJ QWLQ@TSQ SLEDU@]IE: 1 tO, ^TO IZWLE^ENIE KORNEJ NE SWODITSQ K ^ETYReM OSNOWNYM DEJSTWIQM , WYTEKAET IZ SU]ESTWOWANIQ IRRACIONALXNYH ^ISEL . 2 pOSREDSTWOM KOMBINACIJ (W KONE^NOM ^ISLE) ^ETYREH OSNOWNYH DEJSTWIJ I IZWLE^ENIQ KORNEJ . 3 gALU A (Galois, Evarist, 1811{1832) | TEMPERAMENTNYJ FRANCUZ, W 20 LET UBITYJ NA DU\LI, NO USPEWIJ IZMENITX HOD RAZWITIQ ALGEBRY I E]E POIZU^ATX INTEGRALY OT ALGEBRAI^ESKIH FUNKCIJ . 4 lAT. transcendo | WYHODITX ZA PREDELY .
54 A) PROIZWODNAQ FUNKCII, QWLQ@]EJSQ \LEMENTARNOJ (SOOTWETSTWENNO, RACIONALXNOJ, ALGEBRAI^ESKOJ ), WSEGDA ESTX FUNKCIQ \LEMENTARNAQ (SOOTWETSTWENNO, RACIONALXNAQ , ALGEBRAI^ESKAQ ) B) PERWOOBRAZNAQ PO OTNOENI@ K RACIONALXNOJ FUNKCII WSEGDA ESTX FUNKCIQ \LEMENTARNAQ W) PERWOOBRAZNAQ PO OTNOENI@ K ALGEBRAI^ESKOJ FUNKCII MOVET BYTX KAK \LEMENTARNOJ , TAK I NE\LEMENTARNOJ G) PERWOOBRAZNAQ PO OTNOENI@ K \LEMENTARNOJ TRANSCENDENTNOJ FUNKCII \KAK PRAWILO" NE QWLQETSQ \LEMENTARNOJ FUNKCIEJ. dOWODAMI W POLXZU PERWYH DWUH IZ \TIH UTWERVDENIJ SLUVAT OB]EIZWESTNYE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ I INTEGRIROWANIQ . oBOSNOWANIE UTWERVDENIJ W) I G) PRIWEDENO W UVE UPOMINAWEJSQ KNIVKE g. gARDI 2]. oSNOWNYe POSTAW]IKI NE\LEMENTARNYH FUNKCIJ | DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ I \NEBERU]IESQ" INTEGRALY . nEKOTORYE IZ NE\LEMENTARNYH FUNKCIJ IME@T SWOI NAZWANIQ I OB_EDINENY TERMINOM SPECIALXNYE FUNKCII (SREDI NIH NAIBOLEE NA SLUHU: INTEGRALXNYE SINUS I LOGARIFM , INTEGRAL WEROQTNOSTI , GAMMA- I BETA-FUNKCII , FUNKCII bESSELQ I lEVANDRA ).
pROILL@STRIROWATX TERMINOLOGI@ MOVNO NA PRIMERE STEPENNOJ FUNKCII w = za (S KOMPLEKSNYM POKAZATELEM a), OPREDELQEMOJ (DLQ PEREMENNOJ z 2 C z 6= 0) SOOTNOENIEM za = exp(a Ln z) (S U^ETOM WSEH ZNA^ENIJ LOGARIFMA ). 1. pUSTX POKAZATELX a ESTX NATURALXNOE ^ISLO (a = n). tAK KAK DLQ L@BOGO KONKRETNOGO ZNA^ENIQ ln z 2 Ln z n z }| { ; exp(n ln z) = exp ln z + +ln z = ;z
n
}| ;
{
n
= exp(ln z) exp(ln z) = z z = zn , WELI^INA zn def = exp(n Ln z) IMEET EDINSTWENNOE ZNA^ENIE, SOWPADA@]EE S OBY^NYM PONIMANIEM zn KAK PROIZWEDENIQ n SOMNOVITELEJ, RAWNYH z. tAKIM OBRAZOM, STEPENNAQ FUNKCIQ w = zn S NATURALXNYM POKAZATELEM n QWLQETSQ ODNOZNA^NOJ I PRI \TOM CELOJ RACIONALXNOJ . z }| {
55 2. pUSTX a ESTX CELOE OTRICATELXNOE ^ISLO (a = ;n). kAKOW BY NI BYL WYBOR KONKRETNOGO ZNA^ENIQ ln z 2 Ln z, n ln z ) exp 0 1 za = exp(;n ln z) = exp(;n ln z) exp( exp(n ln z ) = exp(n ln z ) = z n ; T. E. OPREDELENIE z;n = exp(;n ln z) SOGLASUETSQ S OBY^NYM, T. E. z;n =1=zn , W SILU ^EGO STEPENNAQ FUNKCIQ w = z;n (S CELYM OTRICATELXNYM POKAZATELEM) QWLQETSQ ODNOZNA^NOJ I RACIONALXNOJ (NO NE CELOJ RACIONALXNOJ ). ; 3. eSLI a ESTX RACIONALXNOE ^ISLO a = m n , TO ; an ; ; z = exp n Ln za = exp n Lnexp(a Ln z)] = ; ; = exp n (a Ln z + i 2k) = exp m Ln z = zm , W SILU ^EGO STEPENNAQ FUNKCIQ w = za PRI a = mn UDOWLETWORQET URAWNENI@ wn ;zm =0 ILI wnzm ;1=0 I POTOMU QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKOJ . iZ cOOTNOENIJ VE ; ; ; exp a Ln z = exp a (ln z + i 2 k) = exp a ln z exp i 2nkm SLEDUET, ^TO DLQ POLU^ENIQ WSEH ZNA^ENIJ za = exp(a Ln z) DOSTATO^NO WZQTX KAKOE-LIBO ODNO IZ NIH za = exp(a ln z) I 2m UMNOVATX EGO NA CELYE STEPENI ^ISLA cos 2m n + i sin n . tAK KAK RAZLI^NYH SREDI NIH (ESLI DROBX mn NESOKRATIMA ) ROWNO n , STEPENNAQ FUNKCIQ w = za S NECELYM RACIONALXm NYM POKAZATELEM a = n QWLQETSQ n -ZNA^NOJ . ; pRI a = n1 NABOR n ZNA^ENIJ z n1 def = exp n1 Ln z SOWPADAET S NABOROM WSEH KORNEJ n-J STEPENI IZ z , T. E. z n1 = pn pz DLQ WSEH z 6= 0. rAZLI^IE SOSTOIT W TOM, ^TO ZAPISX w = n z (W 1 OTLI^IE OT w = z n ) DOPUSKAET TAKVE PODSTANOWKU OSOBYH p p n n ZNA^ENIJ z = 0 I z = 1 : 0=0, 1 = 1. 4. wO WSEH PRO^IH SLU^AQH, T. E. KOGDA a ESTX DEJSTWITELXNOE IRRACIONALXNOE ILI MNIMOE ^ISLO, STEPENNAQ
56
FUNKCIQ w = za QWLQETSQ TRANSCENDENTNOJ I K TOMU VE BESKONE^NOZNA^NOJ POSLEDNEE WYTEKAET IZ SOOTNOENIJ ; ; za = exp a Ln z = exp a (ln z + i 2k) = = exp(a ln z) exp(i 2ka) k = 0 1 2 : : : , S U^ETOM TOGO, ^TO WSE ^ISLA exp(i 2ka) k = 0 1 2 : : : , OKAZYWA@TSQ RAZLI^NYMI . eSLI a | DEJSTWITELXNOE IRRACIONALXNOE ^ISLO, TO DLQ L@BYH CELYH k1 6= k2 ^ISLO (k1;k2 ) a NE QWLQETSQ CELYM , A POTOMU WSE WEKTORY exp(i 2ka) k 2 Z , POPARNO OBRAZU@T UGLY, NE KRATNYE 2, T. E. IME@T RAZNYE NAPRAWLENIQ . ; eSLI a | MNIMOE ^ISLO Im a 6= 0 , TO W SILU SOOTNOENIJ ; ; exp(i 2ka) = exp Re(i 2ka) = exp (;Im a)2k WSE WEKTORY exp(i 2ka) k 2 Z , IME@T RAZNYE DLINY .
oTOBRAVENIQ , OSU]ESTWLQEMYE PROSTEJIMI STEPENNYMI FUNKCIQMI w = z2 I w = z;1 , PROILL@STRIROWANY NA RIS. 14. w ^ASTNOSTI: a) LU^ , WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM (K DEJSTWITELXNOJ OSI) B) DUGA OKRUVNOSTI RADIUSA r S CENTROM z =0 W) OTREZKI (PARALLELXNYE OSQM KOORDINAT), SOEDINQ@]IE TO^KU z =1 ; i S TO^KAMI z = ;i I z =1, WZAIMNO-ODNOZNA^NO PEREWODQTSQ FUNKCIEJ w = z2 W a 0) LU^ , WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM 2 B 0)1 DUGU OKRUVNOSTI RADIUSA r2 S CENTROM w =0 W 0) OTREZKI PARABOL u = 41 v2 ; 1 2 I u =1 ; 14 v2, w PREDPOLOVENII, ^TO ISHODNAQ DUGA BYLA RASTWOROM, MENXIM . dOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO TO^KI z = x ; i (0 6 x 6 1, PEREHODQT W 2 TO^KI w = x2 ; 1 ; i 2x, ILI (W ZAPISI w = u+iv ) uv == ;x2;x1 0 6 x 6 1, ^TO POSLE ISKL@^ENIQ x DAET u = 41 v2 ; 1 ;2 6 v 6 0. 1 2
57
58
A FUNKCIEJ w = z;1 SOOTWETSTWENNO W a 00) LU^ 1, WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM ; B 00) DUGU OKRUVNOSTI RADIUSA r;1 S CENTROM w; =0 00) DUGI (TO^NEE, ^ETWERTI) OKRUVNOSTEJ u2+ v;12 2= 41 2 W ; I u;12 2+ v2 = 14 . uPRAVNENIQ. 1. rEITX URAWNENIE (z + i)n + (z ; i)n = 0. (oTWET: z = ctg +2n k k = 0 1 : : : n ; 1.) q
y ; cos 2x 2. pROWERITX, ^TO j tg z j = ch2 ch2y + cos 2x z = x + iy . 3. nAJTI NEDOSTATOK W WYWODE |JLERA (WOSPROIZWEDENNOM NA c. 44) FORMULY LOGARIFMA KOMPLEKSNOGO ^ISLA. 4. dOKAZATX, ^TO iz A) Arctg z = 21i Ln 1+ 1;iz z 6= i B) WSE ZNA^ENIQ Arctg z QWLQ@TSQ DEJSTWITELXNYMI ^ISLAMI W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA z | DEJSTWITELXNOE ^ISLO ix W) Arctg x = 12 Arg 11+ ;ix I Arctg x = arctg x + k k 2 Z DLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO x. 5. nAJTI OBRAZY PRQMOUGOLXNIKA S WERINAMI 1 1+i PRI OTOBRAVENII FUNKCIQMI: A) w = z 2 , B) w = z ;1, W) w = jz j, G) w = Arg z , p D) w = z. 6. wO ^TO FUNKCIQ w = z 2 PEREWODIT WETWI GIPERBOL x2 ; y2 = 1 I xy = 1, A DWUHZNA^NAQ FUNKCIQ w = pz | PRQMYE Re z = 1 I Im z = 1?
oBHODIMYJ W NAPRAWLENII, PROTIWOPOLOVNOM OBHODU ISHODNOGO LU^A . 2 dOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO TO^KI z = x ; i 0 6 x 6 1, PEREHODQT 8
59 IV .
~TO NAZYWA@T ODNOZNA^NYMI WETWQMI I TO^KAMI WETWLENIQ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ
mNOGOZNA^NYE FUNKCII w = F (z) | \TO NE FUNKCII W TRADICIONNOM PONIMANII, KOGDA L@BOMU (DOPUSTIMOMU) ZNA^ENI@ PEREMENNOJ z SOOTWETSTWUET WPOLNE OPREDELENNOE , EDINSTWENNOE ZNA^ENIE PEREMENNOJ w. w ^ASTNOSTI, PRIWY^NO SWQZYWAEMYE So SLOWOM \FUNKCIQ" PONQTIQ PREDELA , NEPRERYWNOSTI , PROIZWODNOJ , INTEGRALA etc. K MNOGOZNA^NYM FUNKCIQM NAPRQMU@ NE PRIMENIMY . iSHODNYM PRI OBRA]ENII S MNOGOZNA^NYMI FUNKCIQMI w = F (z) QWLQETSQ PO\TOMU WOPROS: MOVNO LI (I ESLI DA, TO KAK) \PODAWITX" PRISU]U@ IM MNOGOZNA^NOSTX | SWESTI IH K OBY^NYM, ODNOZNA^NYM , FUNKCIQM. tOLXKO REIW \TOT WOPROS, MOVNO PRISTUPATX K IZU^ENI@ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ METODAMI MATEMATI^ESKOGO ANALIZA . gEOMETRI^ESKI NAGLQDNYJ SPOSOB \PODAWLENIQ" MNOGOZNA^NOSTI FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ PREDLOVIL rIMAN W SWOEJ DISSERTACII1. sPOSOB \TOT SOSTOIT W RASSMOTRENII KONKRETNOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F (z ) NE NA ISHODNOM MNOVESTWE E C EE ZADANIQ, A NA PROECIRUEMOJ NA \TO MNOVESTWO \SLOENOJ" KONSTRUKCII | TAK NAZYWAEMOJ RIMANOWOJ POWERHNOSTI DANNOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII . w OB]IH ^ERTAH USTROENA ONA SLEDU@]IM OBRAZOM: 1) NAD KAVDOJ TO^KOJ z 2 C RASPOLAGAETSQ ROWNO STOLXKO \SLOEW" , ILI \LISTOW" 2, POWERHNOSTI , SKOLXKO ZNA^ENIJ PRINIMAET MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ w = F (z ) W \TOJ TO^KE, I WSE \TI ZNA^ENIQ RASPREDELQ@TSQ PO ODNOMU NA KAVDU@ IZ PROECIRUEMYH W TO^KU z TO^EK POWERHOSTI 1 \oSNOWY OB]EJ TEORII FUNKCIJ ODNOJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ" (\Grundlagen f$ur eine allgemeine Theorie der Funktionen einer ver$andlichen complexen Gr$osse" G$ottingen, 1851) 15], S. 49{87. 2 kAVDYJ IZ NIH PREDSTAWLQET SOBOJ \KZEMPLQR KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI ILI KAKOJ-TO EE ^ASTI.
60 2) SPOSOB SOEDINENIQ \LISTOW"W \SLOENU@" KONSTRUKCI@ (RIMANOWU POWERHNOSTX ) I RASPREDELENIE PO EE TO^KAM ZNA^ENIJ w 2 F (z ) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII DOLVNY BYTX TAKIMI, ^TOBY \NEPRERYWNYM PEREME]ENIEM" PO POWERHNOSTI EE PEREMENNAQ TO^KA MOGLA BYTX PEREWEDENA IZ L@BOGO NA^ALXNOGO POLOVENIQ W L@BOE DRUGOE 1, I \BESKONE^NO MALOMU" PEREME]ENI@ TO^KI PO POWERHNOSTI OTWE^ALO \BESKONE^NO MALOE" IZMENENIE PREDPISYWAEMOGO \TOJ TO^KE ZNA^ENIQ w 2 F (z ) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII 2. w REZULXTATE IZNA^ALXNO MNOGOZNA^NAQ (NA PLOSKOSTI ) FUNKCIQ w = F (z ) OKAZYWAETSQ ODNOZNA^NOJ I NEPRERYWNOJ NA SKONSTRUIROWANNOJ RIMANOWOJ POWERHNOSTI . w PROSTEJEM (NO WESXMA WAVNOM) SLU^AE MNOGOZNA^NOJ FUNKCII ' = Arg z (A WMESTE S NEJ I w = Ln z ) SOOTWETSTWU@]U@ RIMANOWU POWERHNOSTX MOVNO PREDSTAWITX KAK \LEJF", OSTAWLQEMYJ DWUMQ \KZEMPLQRAMI | L+ I L; | LU^A WDOLX POLOVITELXNOJ ^ASTI DEJSTWITELXNOJ OSI PRI WRA]ENII PERWOGO IZ NIH \PROTIW", A WTOROGO \PO HODU ^ASOWOJ STRELKI" WOKRUG NA^ALA KOORDINAT (RIS. 15). pREDPOLAGAETSQ, ^TO POSLE KAVDOGO POLNOGO OBOROTA \LEJF" OT L+ IDET \POWERH", A OT L; | \POD" UVE SFORMIROWANNOJ EGO ^ASTX@, PRI^EM \TOT \LEJF" MYSLITSQ \RAZOSTLANNYM" PO PLOSKOSTI I (NESMOTRQ NA BESKONE^NO WOZRASTA@]EE ^ISLO SLOEW) IME@]IM NULEWU@ TOL]INU .
rIS. 15 1 2
t. E. KONSTRUKCIQ IZ \LISTOW" DOLVNA BYTX SWQZNOJ . fUNKCIQ NA POWERHNOSTI DOLVNA BYTX NEPRERYWNOJ .
61 kAVDOJ TO^KE z 6= 0 PLOSKOSTI C SOOTWETSTWUET BESKONE^NYJ NABOR (RASPOLOVENNYH NAD I POD NEJ) TO^EK OBRAZUEMOJ \TIM \LEJFOM" RIMANOWOJ POWERHNOSTI , ZNA^ENIE VE ' =Arg z W KAVDOJ IZ NIH OPREDELQETSQ KAK WZQTAQ SO ZNAKOM (SOOTWETSTWENNO, + DLQ TO^EK, LEVA]IH NAD z I ; DLQ LEVA]IH POD NEJ) DLINA PUTI , PROJDENNOGO TO^KOJ 1 LU^A (SOOTWETSTWENNO, L+ ILI L; ) DO PROHOVDENIQ EGO ^EREZ DANNU@ TO^KU .1 dLQ BOLXINSTWA MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ w = F (z ) POSTROENIE IH RIMANOWYH POWERHNOSTEJ OKAZYWAETSQ BOLEE SLOVNYM I PO^TI WSEGDA LIX WIRTUALXNYM | NE OSU]ESTWIMYM WpREALXNOJ MODELI | DAVE DLQ PROSTEJEJ DWUHZNA^NOJ FUNKCII w = z (XVIII, c. 299{300).
pOSTROENIE RIMANOWYH POWERHNOSTEJ DALO IMPULXS RAZWITI@ KAK OTDELXNOJ MATEMATI^ESKOJ NAUKI | TOPOLOGII 2 (S EE RAZLI^NYMI SPECIALIZACIQMI), TAK I NOWOGO RAZDELA ANALIZA | TEORII FUNKCIJ NA RIMANOWYH POWERHNOSTQH . s POZICII VE ANALIZA NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI POSTROENIE RIMANOWYH POWERHNOSTEJ ESTX SKOREE RAZWLE^ENIE NEVELI PRAKTI^ESKIJ APPARAT OBRA]ENIQ S MNOGOZNA^NYMI FUNKCIQMI : NA PERWOE MESTO WYSTUPAET NE NAGLQDNAQ ILL@STRACIQ USTROJSTWA IH MNOGOZNA^NOSTI , A UMENIE WYDELQTX IH ODNOZNA^NYE WETWI .
oDNOZNA^NOJ WETWX@ (ILI PROSTO WETWX@ 3 ) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F (z) NA MNOVESTWE E C NAZYWA@T L@BU@ NEPRERYWNU@ NA \TOM MNOVESTWE FUNKCI@ w = f (z), OBLADA@]U@ TEM cWOJSTWOM, ^TO f (z) 2 F (z) 4 DLQ L@BOGO z 2 E . eSLI TAKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ w = f (z) z 2 E , SU]ESTWUET, TO GOWORQT, ^TO MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ w = F (z) DOPUSKAET NA MNOVESTWE E WYDELENIE ODNOZNA^NOJ WETWI .
tREBOWANIE NEPRERYWNOSTI ODNOZNA^NYH WETWEJ w = f (z ) ISHODIT IZ NAMERENIQ SOGLASOWANNOGO WYBORA ZNA^ENIJ f (z ) 2 F (z ), SOHRANQ@]EGO SU]ESTWU@]U@ ZAWISIMOSTX MEVDU PEREMENNYMI . rAZRYWNYE ODNOZNA^NYE WETWI, SOOTWETSTWU@]IE SLU^AJNOMU WYBORU PO ODNOMU
sOOTWETSTWU@]IM ZNA^ENIEM w 2 Ln z BUDET w =ln jz j + i'. gRE^. oo& | MESTO, o o& | SLOWO, U^ENIE (PERWONA^ALXNOE NAZWANIE TOPOLOGII BYLO analysis situs , T. E. ANALIZ RASPOLOVENIQ ). 3 tERMIN rIMANA (15], c. 89 W NEMECKOM ORIGINALE Zweig). 4 t. E. f (z ) QWLQETSQ KAKIM-TO ODNIM IZ MNOVESTWA ZNA^ENIJ F (z ). 1 2
62 ZNA^ENI@ f (z ) W KAVDOM MNOVESTWE F (z ), NE NASLEDOWALI BY (ILI ISKAVALI) \TU ZAWISIMOSTX , TEM BOLEE ^TO RAZRYWNYE FUNKCII PLOHO PODDA@TSQ IZU^ENI@ METODAMI MATEMATI^ESKOGO ANALIZA .
tO^KU z0 2 C , W OKRESTNOSTI KOTOROJ 1 PREDPOLAGAETSQ ZADANNOJ MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ w = F (z), NAZYWA@T TO^KOJ WETWLENIQ (ILI RAZWETWLENIQ )2 \TOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII , ESLI NE SU]ESTWUET TAKOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 , W KOTOROJ MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ w = F (z) DOPUSKALA BY WYDELENIE ODNOZNA^NOJpWETWI . pRIMERY.3 1. w = ( n z )npz 2 C , | \TO OBY^NAQ (ODNOZNA^NAQ) FUNKCIQ , TAK KAK ( n z )n z. p 2. w = n z n z 2 C , | \TO MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ , SOPOSTAWLQ@]AQ KAVDOMU KOMPLEKSNOMU ^ISLU z 6= 0 ROWNO n RAZLI^NYH ZNA^ENIJ KORNQ n-J STEPENI IZ ^ISLA zn (LIX z =0 SOOTWETSTWUET EDINSTWENNOE ZNA^ENIE w =0). pOSKOLX p n KU NABOR \TIH ZNA^ENIJ SOWPADAET S NABOROM ZNA^ENIJ z 1, IH MOVNO ZAPISATX W WIDE ; ; z z cos 2n + i sin 2n : : : z cos 2(nn;1) + i sin 2 (nn;1) , p IZ ^EGO SLEDUET, ^TO MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ w = n zn NA WSEM MNOVESTWE EE OPREDELENIQ | PLOSKOSTI C | RASPADAETSQ NA n NEPRERYWNYH FUNKCIJ (ODNOZNA^NYH WETWEJ ) ; 2k k = 0 1 : : : n ; 1. + i sin w = z cos 2k n n pOSTROENIE RIMANOWOJ POWERHNOSTI DLQ \TOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII LIENO PRAKTI^ESKOGO SMYSLA: \TO n \KZEMPLQROW PLOSKOSTI C , \SKLEENNYH" W NA^ALE KOORDINAT . 1 wKL@^AQ ILI NE WKL@^AQ TO^KU z . kAK UVE OTME^ALOSX (I, c. 18), 0 W OKRESTNOSTX TO^KI NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI SAMU \TU TO^KU PREDPO^TITELXNEE NE WKL@^ATX . 2 w TERMINOLOGII rIMANA (15], c. 54, 89 W NEMECKOM ORIGINALE Windungspunkt I Verzweigungsstelle). 3 w \TIH PRIMERAH n PREDPOLAGAETSQ CELYM ^ISLOM, B OLXIM 1.
p
63
w = n z z 2 C , | \TO MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ: KAVDOMU ^ISLU z 6= 0 ONA SOPOSTAWLQET ROWNO n RAZLI^NYH ZNA^ENIJ KORNQ n-J STEPENI IZ ^ISLA z, PRI^EM WESX NABOR \TIH ZNA^ENIJ MOVNO PREDSTAWITX W WIDE p ; n jz j cos arg z +2k + i sin arg z +2k k = 0 1 : : : n ; 1. n n oTLI^IE OT PREDYDU]EGO SLU^AQ SOSTOIT W TOM, ^TO DANNAQ MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ NA WSEM MNOVESTWE EE OPREDELENIQ (PLOSKOSTI C ) NE DOPUSKAET RAS^LENENIQ NA NEPRERYWNYE ODNOZNA^NYE SOSTAWLQ@]IE (ODNOZNA^NYE WETWI ). gOWORQ INA^E, NE SU]ESTWUET NEPRERYWNOJ NA PLOSKOSTI C FUNKCII w = f (z) So SWOJSTWOM: (f (z))n z. ~TOBY W \TOM UBEDITXSQ, DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO DLQ TAKOJ FUNKCII w = f (z) W KAVDOJ TO^KE z 2 C z 6= 0 WYPOLNQLOSX BY (PRIpNEKOTOROM k = 0 1 : : : n ; 1) SOOTNOENIE ; arg z +2 n f (z) = jzj cos n k + i sin arg zn+2k , PRI^EM USLOWIE NEPRERYWNOSTI FUNKCII w = f (z) TREBUET, ^TOBY ZNA^ENIE k BYLO ODNIM I TEM VE DLQ WSEH ZNA^ENIJ z 6= 0. eSLI, ODNAKO, PROSLEDITX ZA IZMENENIEM WELI^INY arg z PRI OBHODE TO^KI z WOKRUG NA^ALA KOORDINAT (PRI KOTOROM \TA WELI^INA IZMENQETSQ NA 2), TO PRIDETSQ SDELATX WYWOD: PO WOZWRA]ENII TO^KI z W ISHODNOE POLOVENIE ZNA^ENIE f (z) OKAZYWAETSQ OTLI^NYM OT TOGO, KAKIM ONO BYLO DO OBHODA , POSKOLXKU W REZULXTATE OBHODA WELI^INA arg zn+2k IZMENILASX NA 2n . nEPRERYWNOSTX FUNKCII w = f (z) WSTUPAET W PROTIWORE^IE S EE ODNOZNA^NOSTX@ . sDELANNYJ WYWOD MOVNO TAKVE WYRAZITX SLOWAMI: 0 I 1 QWLQ@TSQ TO^KAMI WETWLENIQ DLQ MNOGOZNA^NOJ FUNKp n CII w = z . tO, ^TO DRUGIH TO^EK WETWLENIQ U NEE NET , BUDET USTANOWLENO NIVE (S. 68). 3.
rIMANOWA POWERHNOSTX \TOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII QWLQETSQ OB_EKTOM WIRTUALXNYM | NE IME@]IM REALXNOJ MODELI. eE MOVNO PRED-
64 STAWITX KAK \LEJF", OSTAWLQEMYJ LU^OM , WYHODQ]IM IZ NA^ALA KOORDINAT I WRA]A@]IMSQ WOKRUG NEGO \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" W PREDPOLOVENII, ^TO POSLE O^EREDNOGO POLNOGO OBOROTA \LEJF" IDET POWERH UVE SFORMIROWANNOJ EGO ^ASTI PO ZAWERENI@ VE n{GO OBOROTA LU^ WOZWRA]AETSQ W ISHODNOE POLOVENIE, A \LEJF" SOEDINQETSQ SO SWOIM NA^ALOM . dOPOLNITELXNO \TO POSTROENIE (DLQ DWUHZNA^NOJ FUNKCII w = pz BUDET OBSUVDATXSQ NIVE (XVIII, c. 299{300).
pRAKTI^ESKI OTYSKANIE ODNOZNA^NOJ WETWI w = f (z) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F (z) | NA TOM ILI INOM MNOVESTWE E DOPUSTIMYH ZNA^ENIJ PEREMENNOJ z | SOSTOIT W UKAZANII SPOSOBA , KAK DLQ KAVDOJ TO^KI z 2 E WYBRATX IZ SOWOKUPNOSTI ZNA^ENIJ F (z) ODNO TAKOE, OBOZNA^AEMOE f (z), ^TOBY WOZNIKA@]AQ ODNOZNA^NAQ FUNKCIQ w = f (z) OKAZYWALaSX BY NEPRERYWNOJ NA MNOVESTWE E . wYDELITX ODNOZNA^NYE WETWI w = f (z) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F (z) (RAZDELITX EE NA ODNOZNA^NYE NEPRERYWNYE SOSTAWLQ@]IE) NA WSEM MNOVESTWE, GDE ONA ZADANA (KAK W PRIMERE 2 WYE), UDAETSQ KRAJNE REDKO. oBY^NO PRIHODITSQ DOWOLXSTWOWATXSQ LOKALXNYM RAZDELENIEM: W OKRESTNOSTQH OTDELXNO WZQTYH TO^EK. tO^KI WETWLENIQ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII | \TO IMENNO TE TO^KI z 2 C (RASIRENNOJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI ), NI W KAKOJ OKRESTNOSTI KOTORYH OSU]ESTWITX TAKOE RAZDELENIE OKAZYWAETSQ NEWOZMOVNYM . pRI WSEM RAZNOOBRAZII MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ NAHOVDENIE IH ODNOZNA^NYH WETWEJ OBY^NO SWODITSQ K WYBORU ODNOZNA^NYH WETWEJ ARGUMENTA (KAK NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, TAK I REZULXTATA PROMEVUTO^NYH DEJSTWIJ S NEJ). wO WSQKOM SLU^AE \TO SPRAWEDLIWO W OTNOENII \LEMENTARNYH FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, MNOGOZNA^NOSTX KOTORYH POROVDENA ISKL@^ITELXNO MNOGOZNA^NOSTX@ LOGARIFMA (III , c. 40), A WYDELQTX ODNOZNA^NYE WETWI LOGARIFMA I ARGUMENTA | ODNA I TA VE ZADA^A.
65
gDE I KAK MOVNO WYDELITX ODNOZNA^NYE WETWI ARGUMENTA pUSTX Arg z OBOZNA^AET MNOVESTWO WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA KOMPLEKSNOGO ^ISLA z 6= 0, a arg z | ODNO IZ \TIH ZNA^ENIJ1 : arg z 2 Arg z Arg z =arg z +2k k 2 Z. sOPOSTAWLENIE z 7! Arg z ZADAET NA MNOVESTWE C r f0g MNOGOZNA^NU@ FUNKCI@ ' = Arg z, pAS^LENITX KOTORU@ NA ODNOZNA^NYE WETWI (NEPRERYWNYE ODNOZNA^NYE FUNKCII) ' =arg z NA WSEM \TOM MNOVESTWE NEWOZMOVNO. ~TOBY W \TOM UBEDITXSQ, SLEDUET ZAMETITX, ^TO ESLI BY DLQ KAVDOJ TO^KI z 2 C z 6= 0, ZNA^ENIE arg z 2 Arg z MOVNO BYLO WYBRATX TAK, ^TOBY (ODNOZNA^NAQ) FUNKCIQ ' = arg z OKAZYWALaSX NEPRERYWNOJ , TO SRAWNENIE WELI^INY arg z DO I POSLE OBHODA TO^KI z WDOLX OKRUVNOSTI (L@BOGO RADIUSA) S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT WYQWILO BY SLEDU@]EE PROTIWORE^IE : PO WOZWRA]ENI@ TO^KI z W ISHODNOE POLOVENIE WELI^INA arg z DOLVNA, S ODNOJ STORONY, WERNUTXSQ K TOMU ZNA^ENI@, KOTOROE ONA IMELA DO OBHODA, TOGDA KAK S DRUGOJ | IZMENITXSQ NA 2 (RIS. 16, a).
rIS. 16 1 mOVNO (HOTQ NE OBQZATELXNO) S^ITATX, ^TO \TO GLAWNOE ZNA^ENIE ARGUMENTA , WYDELQEMOE USLOWIQMI ;< arg z 6 ILI 0 6 arg z < 2.
66
|TI VE RASSUVDENIQ POKAZYWA@T, ^TO MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ ' = Arg z NE IMEET ODNOZNA^NYH WETWEJ NI NA KAKOM PODMNOVESTWE E C , DOPUSKA@]EM OBHOD TO^KI z WOKRUG NA^ALA KOORDINAT . w ^ASTNOSTI, \TIM SWOJSTWOM OBLADAET L@BAQ OKRESTNOSTX NULQ I L@BAQ OKRESTNOSTX BESKONE^NOSTI , A POTOMU 0 I 1 QWLQ@TSQ DLQ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII ' = Arg z TO^KAMI WETWLENIQ . tO, ^TO DRUGIH TO^EK WETWLENIQ U MNOGOZNA^NOJ FUNKCII ' =Arg z NET , WYTEKAET IZ SLEDU@]EGO UTWERVDENIQ. w PLOSKOSTI C c \RAZREZOM" PO L@BOMU LU^U 1 L S WERINOJ 0 MOVNO WYDELITX ODNOZNA^NU@ WETWX 2 ' = arg z MNOGOZNA^NOJ FUNKCII ' = Arg z. (kAK SLEDSTWIE, ODNOZNA^NU@ WETWX ' =arg z MOVNO WYDELITX W OKRESTNOSTI L@BOJ TO^KI z0 2 C z0 6= 0). dOKAZATELXSTWo. pUSTX LU^ \RAZREZa" L WYHODIT IZ TO^KI 0 POD UGLOM K DEJSTWITELXNOJ OSI. pOSKOLXKU ESTX (c TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO, KRATNOGO 2 ) DLINA DUGI EDINI^NOJ OKRUVNOSTI3 OT LU^A 0 +1) DO LU^A L , DOSTATO^NO DLQ z 2 C z 2= L, POLOVITX arg z RAWNYM SLOVENNOJ S DLINE DUGI EDINI^NOJ OKRUVNOSTI3 OT LU^A L DO LU^A ^EREZ TO^KU z (RIS. 16, B). tO, ^TO FUNKCIQ ' =arg z OKAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ NA MNOVESTWE C r L (BESKONE^NO MALOMU PRIRA]ENI@ Mz TO^KI z 2 C z 2= L, OTWE^AET BESKONE^NO MALOE PRIRA]ENIE Marg z EE ARGUMENTA), WYTEKAET IZ NERAWENSTWA jM arg zj 6 arcsin jMjzzj j (SPRAWEDLIWOGO PRI jMzj 6 jzj ). Q.E.D. t. E. W PLOSKOSTI , IZ KOTOROJ IZ_QT \TOT LU^ (WMESTE S TO^KOJ 0). tO^NEE, BESKONE^NO MNOGO ODNOZNA^NYH WETWEJ, RAZLI^A@]IHSQ SLAGAEMYMI, KRATNYMI 2 . 3 oBHODIMOJ \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI". 1 2
67 wYDELITX ODNOZNA^NU@ WETWX ' =arg z W OKRESTNOSTI PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KI z0 6= 0 MOVNO I W WIDE FUNKCII KOORDINAT x y. |TO MOVNO SDELATX LIBO RAZBOROM SLU^AEW NAHOVDENIQ TO^KI W KAVDOJ IZ POLUPLOSKOSTEJ , NA KOTORYE8DELQT PLOSKOSTX C KOORDINATNYE OSI: > arctg xy (+2 k) ESLI x> 0 > > > <arcctg x (+2 k ) ESLI y> 0 y arg z = arg(x + iy) = > y (+2 k) ESLI x< 0 1 arctg > x > > :arcctg x (+2 k ) ESLI y< 0 1 y LIBO, POLAGAQ ODNIM IZ ZNA^ENIJ arg z0 , SOWERITX POWOROT PLOSKOSTI C NA UGOL ;, POLAGAQ ze = xe+i ye = ze;i =(x+iy)(cos ;i sin ), I PRIJTI K FORMULE ;x sin arg z = arctg xyee + = arctg xy cos cos +y sin + (+2 k ), SPRAWEDLIWOJ W POLUPLOSKOSTI fz = x + iy : Re(ze;i) > 0g (RIS. 17).
rIS. 17
zADA^A WYDELENIQ ODNOZNA^NYH WETWEJ ' = arg(z ; z0) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII ' = Arg(z ; z0) REAETSQ TO^NO TAK
wYBOROM ZNAKOW (PERED ) DOSTIGAETSQ POPARNOE SOGLASOWANIE ZNA^ENIJ L@BYH TREH IZ ^ETYREH STROK PRAWOJ ^ASTI W PERESE^ENIQH POLUPLOSKOSTEJ, ^TO SOOTWETSTWUET WYDELENI@ ODNOZNA^NOJ WETWI ' = arg z W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" WDOLX ODNOJ IZ ^ETYREH KOORDINATNYH POLUOSEJ. dOSTI^X POPARNOGO SOGLASOWANIQ ZNA^ENIJ WSEH ^ETYREH STROK NEWOZMOVNO , ^TO OTRAVAET NEWOZMOVNOSTX WYDELENIQ ODNOZNA^NOJ WETWI ' =arg z W PLOSKOSTI C BEZ \RAZREZA". 1
68
VE, NO UVE W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO LU^U c WERINOJ z0 (DOSTATO^NO PRINQTX z ; z0 ZA NOWU@ PEREMENNU@ ). wNIMANIE, UDELQEMOE NAHOVDENI@ ODNOZNA^NYH WETWEJ ARGUMENTA , OB_QSNQETSQ TEM, ^TO NA IH OSNOWE MOGUT BYTX WYRAVENY ODNOZNA^NYE WETWI BOLXINSTWA (ESLI NE WSEH) MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ. k PRIMERU, DLQ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ w = Ln(z ; z0) I w = (z ; z0)a (PRI NECELOM a) ODNOZNA^NYE WETWI IME@T SOOTWETSTWENNO WID w = ln(z ; z0) = ln jz ; z0 j + i arg(z ; z0) I w = ea ln(z;z0) = ea ln jz;z0jeia arg(z;z0) PERWYE RAZLI^A@TSQ SLAGAEMYMI i 2 k, A WTORYE | MNOVITELQMI 1 eia2k k = 1 2 : : : KAVDAQ OPREDELENA TAM, GDE MOVNO WYDELITX ODNOZNA^NU@ WETWX ' = arg(z ; z0) | NAPRIMER, W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO L@BOMU LU^U L , WYHODQ]EMU IZ TO^KI z0 .
rIS. 18 w SLU^AE DEJSTWITELXNOGO RACIONALXNOGO POKAZATELQ a SREDI NIH LIX KONE^NOE ^ISLO RAZLI^NYH , W SLU^AE VE IRRACIONALXNOGO ILI MNIMOGO | NAPROTIW, WSE ONI RAZLI^NY (III, c. 55{56). 1
69
w KAVDOJ VE TO^KE LU^A L \TI (OPREDELENNYE W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO \TOMU LU^U ) ODNOZNA^NYE WETWI w = ln(z ; z0) I w = ea ln(z;z0) TERPQT RAZRYW | IZ-ZA RAZLI^IQ (NA 2 ) PREDELXNYH ZNA^ENIJ arg(z ; z0) PO RAZNYE STORONY OT LU^A L (RIS. 18, a). kROME TOGO, k-KRATNYJ OBHOD TO^KI z WOKRUG TO^KI z0 , NEPRERYWNO IZMENQQ ZNA^ENIE arg(z ; z0), PRIDAET EMU PRIRA]ENIE 2 k, WSLEDSTWIE ^EGO K ODNOZNA^NYM WETWQM w = ln(z;z0) = ln jz;z0 j+i arg(z;z0) I w = ea ln(z;z0) = ea ln jz;z0jeia arg(z;z0) DOBAWLQETSQ, SOOTWETSTWENNO, SLAGAEMOE i 2k I MNOVITELX ei2k: PROISHODIT TO, ^TO NAZYWA@T WETWLENIEM | NEPRERYWNYJ PEREHOD K OT ODNOJ ODNOZNA^NOJ WETWI K DRUGOJ.1
~UTX BOLEE SLOVNYJ PRIMER ; WETWEJ p | NAHOVDENIE ODNOZNA^NYH DWUHZNA^NOJ FUNKCII w = z + z 2 ; 1, OBRATNOJ K pz = 12pw + w1 . oNI ZAWEDOMO OPREDELENY I IME@TpWID w = z + pz ; 1 z +1 TAM, GDE OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI w = z ; 1 I w = z +1, W ^ASTNOSTI, W PLOSKOSTI C S \RAZREZAMI" PO (L@BYM) DWUM LU^AM , WYHODQ]IM IZ TO^EK 1 I ;1 (RIS. 18, B). p pREDSTAWLENIE p ;2 VE DWUHZNA^NOJ FUNKCII w = z + z 2 ; 1 W WIDE w = z + z 1 ; z POZWOLQET WYDELITX (DWE) EE ODNOZNA^NYE WETWI W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO OTREZKU ;1 1]. dOSTATO^NO ZAMETITX, ; ^TO TAK KAK z 2= ;1 1] () 1;z ;2 2= (;1 0] ZNA^ENIQM z IZ PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO OTREZKU ;1 1] SOOTWETSTWU@T ZNA^ENIQ 1 ; z;2, PRINADLEVA]IE PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO LU^U (;1 0] (RIS. 19), PO\TOMU DLQ NIHpOPREDELENY DWE (RAZLI^A@]IESQ ZNAKOM) ODNOZNA^NYE WETWI wp = 1 ; z;2, A SLEDOWATELXNO, I DWE ODNOZNA^NYE WETWI w = z + z 1 ; z;2. kAK SLEDSTWIEp, 1 NE QWLQETSQ TO^KOJ WETWLENIQ DLQ DWUZNA^NOJ FUNKCII w = z + z 2 ; 1 . qWLENIE WETWLENIQ NAPOMINAET \NEZAMETNYJ" PEREHOD NA \DRUGU@ STORONU" LISTA m EBIUSA . \rAZREZANNYJ" POPEREK (ILI RASSMATRIWAEMYJ W OKRESTNOSTI L@BOJ IZ SWOIH TO^EK), ON IMEET DWE STORONY. pRI \SKLEIWANII" VE LISTA m EBIUSA RAZDELENIE EGO \STORON" NA DWE UTRA^IWAETSQ: NEPRERYWNYM PEREME]ENIEM MOVNO S ODNOJ IZ NIH PEREJTI NA DRUGU@, NE ZAMETIW PRI \TOM MOMENTA PEREHODA . 1
70
rIS. 19 rIMANOWU POWERHNOSTX \TOJ DWUHZNA^NOJ FUNKCII MOVNO PREDSTAWITX KAK DWA \KZEMPLQRA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI, \RAZREZANNOJ" LIBO PO L@BYM DWUM NEPERESEKA@]IMSQ LU^AM, WYHODQ]IM IZ TO^EK 1 (KAK NA RIS. 18, B), LIBO PO OTREZKU ;1 1], PRI^EM \TI DWA \KZEMPLQRA (DWA \LISTA") SOEDINENY \KREST-NAKREST" PROTIWOPOLOVNYMI \BEREGAMI" RAZREZOW (^TO, RAZUMEETSQ, W REALXNOJ MODELI OSU]ESTWITX NEWOZMOVNO). oBE TO^KI 1 QWLQ@TSQ TO^KAMI WETWLENIQ : OBHOD KAVDOJ IZ NIH SOPROWOVDAETSQ PEREHODOM S ODNOGO \LISTA" RIMANOWOJ POWERHNOSTI NA DRUGOJ. uPRAVNENIQ. 1. kAKIM STALO BY SOOTNOENIE MEVDU FUNKCIQMI w = ez I w = exp z PRI PONIMANII ez W SMYSLE OB]EGO OPREDELENIQ STEPENI (III, S. 50). 2. oB_QSNITX, PO^EMU TO^KI p 1 QWLQ@TSQ TO^KAMI WETWLENIQ DLQ DWUZNA^NOJ FUNKCII w = z + z 2 ; 1. p 3. pROWERITX, ^TO DLQ TREHZNA^NOJ FUNKCII w = 3 (z ; 1)(z ; 2) TO^KAMI q WETWLENIQ QWLQ@TSQ 1 2 I 1 , A DLQ TREHZNA^NOJ FUNKCII 1 w = 3 zz ; ;2 | TOLXKO TO^KI 1 I 2. 4. nAJTIpODNOZNA^NYE WETWI MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ w = Ln(1; z ) I w = (z ; 1) 3, WYRAZIW IH ^EREZ ODNOZNA^NYE WETWI ' = arg(z ; 1).
71
w ^EM SUTX PONQTIQ PROIZWODNOJ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ
V.
pROIZWODNAQ FUNKCII w = f (z) KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ W TO^KE z 2 C | \TO (KAK I W SLU^AE DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ) ^ISLO Mw = lim f (z +Mz) ; f (z) f 0(z) def = Mlim Mz z!0 Mz Mz!0 (W PREDPOLOVENII, ^TO \TOT PREDEL SU]ESTWUET). nAPRIMER: (z +Mz)2 ;z 2 = lim 2zMz +(Mz)2 = 2z a) (z 2)0 = lim Mz Mz Mz!0 Mz!0 +1 0 +1 B) P cnzn = P ncnzn;1 W L@BOJ TO^KE KRUGa SHODIMOSTI n=0 n=1 DANNOGO STEPENNOGO RQDA (II, c. 29) jz +Mz j2;jz j2 = lim (z +Mz )(z +Mz ); zz = W) (jzj2)0 = Mlim Mz Mz Mz!0 z!0 ( 0 ESLI z =0 Mz = = z + zMlim z!0 Mz NE SU]ESTWUET ESLI z 6= 0: sTANDARTNYM SPOSOBOM, KAK I W SLU^AE FUNKCIJ DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ, WYWODQTSQ FORMULY PROIZWODNOJ SUMMY , RAZNOSTI , PROIZWEDENIQ I ^ASTNOGO : ; 0 f (z) g(z) = f 0(z) g0(z), ; f (z) g(z) 0 = f 0(z) g(z) + f (z) g0(z), f (z) 0 f 0 (z ) g(z );f (z ) g0(z ) g(z) =
g 2 (z )
,
A TAKVE PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII ; 0 f ('(z) = f 0() '0(z), GDE = '(z).
wOT, K PRIMERU, WYWOD POSLEDNEJ: Mw () Mw = f 0 ( ) M + o;jM j M ! 0 f 0 () = Mlim !0 M
72 M () M = '0 (z)Mz + o jMz j Mz ! 0 '0 (z) = Mlim z!0 Mz ;
;
;
;
Mw = f 0 () '0 (z)Mz + o jMz j + o '0 (z)Mz + o jMz j = ; ; ; = f 0 () '0 (z)Mz + f 0 () o jMz j + o O jMz j = ; Mw = f 0 () '0 (z). = f 0 () '0 (z)Mz + o jMz j Mz ! 0 () Mlim z!0 Mz
nAPRIMER, WWODQ PEREMENNYE = z;z0 =(z;z0);1, MOVNO USTANOWITX FAKT SU]ESTWOWANIQ I FORMULU PROIZWODNOJ SUMMY OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA : 0 +1 0 0 +1 +1 P P P n n 0 n cn(z ; z0) = cn z + c;n z0 = n=;1 n =0 n =1 z +P 1 ; 1 +P 1 P = ncn(z ; z0)n;1 + ncn (z ; z0)n;1 = ncn(z ; z0)n;1 n=1 n=;1 n=;1 W TO^KAH EGO KOLXCA SHODIMOSTI z 2 C : < jz ; z0 j < r , ;1 p p n n GDE = n!lim jc j , A r = n!lim+1 jcnj (II, STR. 29). +1 ;n l@BAQ FUNKCIQ w = f (z) KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ ODNOWREMENNO QWLQETSQ FUNKCIEJ w = f (x + iy) = u(x y)+ iv(x y) DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH. pREDWARQQ WYQWLENIE ZAWISIMOSTI MEVDU PROIZWODNOJ f 0(z) I ^ASTNYMI PROIZWOD@u @v @f @u @v NYMI @f @x = @x + i @x I @y = @y + i @y , SLEDUET ZAMETITX: a) SU]ESTWOWANIe PROIZWODNOJ f 0 (z) W TO^KE z 2 C I DIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII w = f (z) W \TOJ TO^KE | \TO RAWNOSILXNYE TREBOWANIQ: lim Mw = f 0(z) () Mw = f 0(z) Mz + o(jMzj) Mz ! 0 Mz!0 Mz @f B) SU]ESTWOWANIE ^ASTNYH PROIZWODNYH @f @x , @y W TO^KE (x y) 2 R 2 NEOBHODIMO , NO NE DOSTATO^NO DLQ DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII w = f (x +;iy) W \TOJ TO^KE | PREDSTAWIMOSTI EE PRIRA]ENIQ Mw = f (x+Mx)+i(y+iMy) ;f (x+iy) W WIDE
73
Mx ! 0 My ! 0 DOSTATO^NYM USLOWIEM DIFFERENCIRUEMOSTI QWLQETSQ NEPRERYWNOSTX ^ASTNYH PROIZWODNYH (W DANNOJ TO^KE). kRITERIJ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z) IMELA PROIZWODNU@ f 0(z) W TO^KE z = x + iy 2 C , NEOBHODIMO I DOSTATO^NO , ^TOBY ONA KAK FUNKCIQ DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH w = f (x+iy)= u(x y)+iv(x y) W TO^KE (x y) 2 R2 1) BYLA DIFFERENCIRUEMOJ { rIMANA 2) UDOWLETWORQLA URAWNENI@ (USLOWI@ ) kOI ( @u @v @f + i @f =0, ILI (W \KWIWALENTNOJ ZAPISI ) @x = @y @u = ; @v @x @y @y @x PROIZWODNAQ FUNKCII PO z SWQZANA S ee ^ASTNYMI PROIZ@f WODNYMI PO x I y RAWENSTWAMI f 0(z)= @f @x = ;i @y . dOKAZATELXSTWO. wEKTORU PRIRA]ENIQ Mz =Mx + iMy 2 C 2 SOOTWETSTWUET WEKTOR PRIRA]ENIQ fMx Myg2 ( R , PRI \TOM jMzj = p(Mx)2 +(My)2 I Mz ! 0 () MMxy !! 00 NIVESLEDU@]IE UTWERVDENIQ PO\TOMU \KWIWALENTNY : @f My + o;p(Mx)2+(My)2 Mw = @f M x + @x @y
lim Mw = f 0(z) ; B) Mw = f 0(z)Mz + o jMzj Mz ! 0 ;p W) Mw = f 0(z)Mx + f 0(z) iMy + o (Mx)2 +(My)2
a)
(
Mz!0 Mz
(
Mx ! 0 My ! 0 G) FUNKCIQ w = f (x+iy) DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH x y @f 0 0 DIFFERENCIRUEMA , PRI^EM @f @x = f (z) @y = if (z). Q.E.D.
74 (
@u = @v
@x @y ISTORI^ESKI PRAuSLOWIQ (URAWNENIQ) kOI { rIMANA @u @v @y = ; @x WILXNEE NAZYWATX USLOWIQMI D'aLAMBERA { |JLERA , POSKOLXKU WPERWYE ONI POQWILISX NA S. 61 KNIGI D'aLAMBERA 1752 G. \o^ERK NOWOJ TEORII SOPROTIWLENIQ VIDKOSTEJ"1 (PODROBNEE O GIDROMEHANI^ESKOM SMYSLE \TIH USLOWIJ ^UTX NIVE, NA c. 83{85), A W RABOTE |JLERA 1777 G. 32] (NA c. 2{3 I 269{271) WPERWYE INTERPRETIRU@TSQ KAK USLOWIQ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ PO KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ (HOTQ I LIX W PRILOVENII K NEPREDELENNOMU INTEGRIROWANI@ ). w RABOTAH kOI \TI USLOWIQ WSTRE^A@TSQ PO RAZNYM POWODAM (28], ser. I, t. XI, p. 303 ser. II, t. I, p. 462 ser. II, t. II, p. 233), NO OSOBOGO WNIMANIQ ON IM NE UDELQET. nAPROTIW, U rIMANA (W ZAPISI IH W WIDE ODNOGO URAWNENIQ) ONI LEVAT W OSNOWE EGO OPREDELENIQ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ: \nEZAWISIMOJ PEREMENNOJ WELI^INE Q NEIZMENNO DA@ W NASTOQ]EE WREMQ UVE OB]EIZWESTNOE, PRINADLEVA]EE gAUSSU, GEOMETRI^ESKOE ISTOLKOWANIE, W SILU KOTOROGO KOMPLEKSNAQ WELI^INA z = x + yi PREDSTAWLQETSQ TO^KOJ NEOGRANI^ENNOJ PLOSKOSTI S KOORDINATAMI x y Q BUDU ODNIMI I TEMI VE BUKWAMI OBOZNA^ATX KAK SAMI KOMPLEKSNYE WELI^INY, TAK I SOOTWETSTWU@]IE IM TO^KI. fUNKCIEJ OT KOMPLEKSNOJ WELI^INY z = x + yi Q S^ITA@ WSQKU@ WELI^INU w, KOTORAQ IZMENQETSQ WMESTE S NEJ PRI SOBL@DENII USLOWIQ @w i @w @x = @y , NE ZAWISIMO OT TOGO, KAK WYRAVAETSQ w ^EREZ x I y ." (15], S. 88). |TOMU USLOWI@ rIMAN DAL TAKOE TOLKOWANIE: ONO WYRAVAET NEZA@w dx + @w dy @x @y WISIMOSTX OTNOENIQ dw = dz dx + idy OT dz (rI], S. 50). dRUGU@ ZAPISX URAWNENIQ kOI { rIMANA POZWOLILO DATX WWEDENIE W 1927 G. AWSTRIJSKIM MATEMATIKOM wIRTINGEROM2 FORMALXNYH ^ASTNYH PROIZWODNYH @w I @w @z @z PO PEREMENNYM z = x+iy I z = x;iy. tAK KAK 1 1 x = 2 (z+z) a y = 2i (z;z), L@BAQ FUNKCIQ PEREMENNYH x y FORMALXNO QWLQETSQ FUNKCIEJ PEREMENNYH z z, I (OPQTX -TAKI FORMALXNO ) 1 d'Alembert, Jean Le Rond (Saint{Jean{le Rond | PARIVSKAQ CERKOWX, U KOTOROJ EGO, NEZAKONNOROVDENNOGO MLADENCA, OSTAWILA MATX), 1717{1783 | FRANCUZSKIJ MATEMATIK, MEHANIK, FILOSOF. oBLOVKA I RAZWOROT S. 60{61 EGO KNIGI WOSPROIZWEDENY (UMENXENNO) NA S. 75. 2
Wirtinger, Wilhelm, 1865 -1945 (Math. Annalen, Bd. 97, 1927, S. 357).
75
76 @f = 1; @f @z 2 @x
;i @f@y
@f = 1; @f + i @f . @z 2 @x @y w ITOGE, USLOWIE kOI { rIMANA PRINIMAET WID @f @z = 0, I EGO TOVDESTWENNOE WYPOLNENIE MOVNO ISTOLKOWATX KAK USLOWIE NEZAWISIMOS@f 0 TI FUNKCII OT PEREMENNOJ z W \TOM SLU^AE @f @z = @x = f (z), T.E. FORdf MALXNAQ ^ASTNAQ PROIZWODNAQ PO z SOWPADAET S OBY^NOJ : @f @z = dz .
w \TOM SMYSLE FUNKCIQMI KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z = x+iy SLEDUET S^ITATX TOLXKO TE FUNKCII1 DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH x y, KOTORYE POSLE ZAMENY x = 2 (z + z) y = 21i (z ; z) OKAZYWA@TSQ NE ZAWISQ]IMI OT z. rAZUMEETSQ, \TI DOWODY NE SLIKOM OSNOWATELXNY | HOTQ BY PO@f TOMU, ^TO @f @z I @z NE QWLQ@TSQ ^ASTNYMI PROIZWODNYMI W OB]EPRINQTOM SMYSLE: BRATX PROIZWODNU@ PO ODNOJ IZ PEREMENNYH z z @f PRI FIKSIROWANNOJ DRUGOJ NEWOZMOVNO ! iMENNO PO\TOMU @f @z I @z | LIX FORMALXNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE (NAZYWAEMYE E]E SIMWOLAMI IS^ISLENIQ wIRTINGERA ).
pRIMERY. 1. fUNKCIQ w = z2 = (x + iy)2 = x2 ; y2 + i 2 xy W L@BOJ TO^KE KOORDINATNOJ PLOSKOSTI IMEET NEPRERYWNYE @w ^ASTNYE PROIZWODNYE @w @x = 2 x + i 2 y @y = ;2 y + i 2 x, UDOW@w LETWORQ@]IE URAWNENI@ kOI { rIMANA @w @x + i @y = 0. pO\TOMU W L@BOJ2 TO^KE z = x + iy 2 C cU]ESTWUET PROIZWODNAQ +iy) = 2 x + i2 y = 2 z. (z2)0 = @ (x@x 2. fUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = jz j2 , W ZAPISI z = x + iy PRINIMA@]AQ WID w = x2 + y2, IMEET W L@BOJ TO^KE KOORDINATNOJ PLOSKOSTI NEPRERYWNYE ^ASTNYE PRO@w IZWODNYE @w @x = 2x @y = 2 y , DLQ KOTORYH USLOWIE kOI { rIMANA WYPOLNQETSQ LIX PRI x =0 I y =0. |TO OZNA^AET, ( ; 0 ESLI z = 0 ^TO jzj2 0 = NE SU]ESTWUET ESLI z 6= 0: 3. iZ ZAPISI \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII w = ez W WIDE w = ex+iy = ex(cos y + i sin y) SLEDUET, ^TO ee ^ASTNYE PROIZ@w x x WODNYE @w @x = e (cos y+i sin y) @y = e (; sin y+i cos y) W L@BOJ
77
TO^KE KOORDINATNOJ PLOSKOSTI NEPRERYWNY I UDOWLETWORQ@w @T USLOWI@ @w @x + i @y = 0. pO\TOMU W L@BOJ TO^KE z 2 C x y + i sin y)= ez. SU]ESTWUET PROIZWODNAQ (ez)0 = @w @x = e (cos ( 0 ESLI x y = 0 4. fUNKCIQ w = f (z) = f (x + iy) = 1 ESLI x y 6= 0 IMEET W NA^ALE KOORDINAT ^ASTNYE PROIZWODNYE PO x I y, OBE RAWNYE NUL@ , A SLEDOWATELXNO, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ kOI { rIMANA. pRI \TOM PROIZWODNAQ (PO z) :f 0 (0) NE SU]ESTWUET: W NA^ALE KOORDINAT DANNAQ FUNKCIQ IMEET RAZRYW I POTOMU DIFFERENCIRUEMOJ NE QWLQETSQ. w NEKOTORYH SLU^AQH BOLEE UDOBNOJ OKAZYWAETSQ SLEDU@]AQ PEREFORMULIROWKA KRITERIQ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ S ZAMENOJ DEKARTOWYH KOORDINAT NA POLQRNYE . fUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z) IMEET PROIZWODNU@ f 0(z) W OTLI^NOJ OT NULQ TO^KE; z 2 C W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA W ZAPISI w = f r(cos '+i sin ') \TA FUNKCIQ 1) DIFFERENCIRUEMA PO PEREMENNYM r = jz j ' =arg z @f @f 2) UDOWLETWORQET USLOWI@ kOI { rIMANA @r + ri @' =0 PROIZWODNAQ PO z SWQZANa S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI PO i @f r I ' RAWENSTWaMI f 0(z) = zr @f @r = ; z @' . dOSTATO^NO PROWERITX, ^TO SFORMULIROWANNYE USLOWIQ \KWIWALENTNY USLOWIQM KRITERIQ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ (c. 73). tAK KAK FUNKCII x = r cos ' I y = r sin ' DIFFERENCIRUEMY PO r I ' p W KAVDOJ TO^KE KOORDINATNOJ PLOSKOSTI, A FUNKCII r = x2 + y2 I ' = arg z (IV, c. 67) DIFFERENCIRUEMY PO x I y W OTLI^NYH OT NA^ALA KOORDINAT TO^KAH \TOJ; PLOSKOSTI, DIFFERENCIRUEMOSTX PO r ' FUNK CII w = f r(cos ' + i sin ') W L@BOJ OTLI^NOJ OT NA^ALA
78
KOORDINAT TO^KE PLOSKOSTI R 2 RAWNOSILXNA EE DIFFERENCIRUEMOSTI (W \TOJ VE TO^KE, NO UVE PO x I y) KAK FUNKCII w = f (x+iy). rAWNOSILXNOSTX VE ZAPISI USLOWIQ kOI { rIMANA W DEKARTOWYH I POLQRNYH KOORDINATAH USTANAWLIWAETSQ ZAMENOJ PEREMENNYH : @f = @f cos ' + @f sin ' @f = @f (;r sin ') + @f r cos ' @r @x @y @' @x @y @f @f i @f SLEDOWATELXNO, @f @r + r @' = 0 () @x + i @y =0, PRI \TOM ;@f @f sin ' = r(cos ' + i sin ') @f = zf 0 (z). = r cos ' + r @f @r @x @y @x pRIMER. pRI L@BOM WYBORE ODNOZNA^NOJ WETWI LOGARIFMA w = ln z = ln jzj + i arg z ONA IMEET W OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI, GDE ONA OPREDELENA1, NEPRERYWNYE ^ASTNYE PRO1 @w @w i @w IZWODNYE @w @r = r @' = i, PRI \TOM @r + r @' 0 MOVNO 1 UTWERVDATX PO\TOMU, ^TO ln0 z = zr @w @r = z (W TEH TO^KAH z , GDE OPREDELENA ODNOZNA^NAQ WETWX w =ln z). kAK SLEDSTWIE, ODNOZNA^NYE WETWI w = z def = exp( ln z) ; def MNOGOZNA^NOJ (ESLI 2= Z) FUNKCII w = z = exp Ln z IME@T W; L@BOJ TO^KE z 2 C z 6= 0 PROIZWODNU@ 0 0 (z ) = exp( ln z) = exp0 ( ln z)( ln z)0 = z = z;1 . z
w NAGLQDNOM PREDSTAWLENII FUNKCIQ w = f (z) KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ ESTX OTOBRAVENIE , PEREWODQ]EE TO^KI z KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI C (ILI NEKOTOROJ EE ^ASTI) W TO^KI w DRUGOGO (ILI TOGO VE) \KZEMPLQRA \TOJ PLOSKOSTI . pRI LOKALXNOM IZU^ENII FUNKCII (W OKRESTNOSTI FIKSIROWANNOJ TO^KI z0 2 C ) UDOBNEE OPERIROWATX WEKTORAMI PRIRA]ENIQ Mz = z ; z0 I Mw = w0 ; w, S^ITAQ, ^TO ONI OTLOVENY SOOTWETSTWENNO OT TO^EK z0 I w0 = f (z0). wEKTOR
nAPRIMER, W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO L@BOMU LU^U, WYHODQ]EMU IZ NA^ALA KOORDINAT (IV, c. 68). 1
79
PRIRA]ENIQ FUNKCII Mw def = f (z0 +Mz);f (z) OKAZYWAETSQ PRI \TOM FUNKCIEJ WEKTORA PRIRA]ENIQ Mz, ^TO I OPREDELQET OTOBRAVENIE Mz 7! Mw. w ^ASTNOSTI, DLQ FUNKCII w = z2 Mz 7! Mw =2 z0Mz + (Mz)2 . eSLI FUNKCIQ w = f (z) IMEET W TO^KE z0 PROIZWODNU@ , Mw W WIDE NE RAWNU@ NUL@ , TO ZAPISX RAWENSTWA f 0(z0)= Mlim z!0 Mz ; 0 Mw = f (z0)Mz + o jMzj (PRI Mz ! 0) = f 0(z0) M z (W WYRAVAET TOT FAKT, ^TO DIFFERENCIAL dw def TO^KE z0) FUNKCII w = f (z) SOSTAWLQET GLAWNU@ LINEJNU@ ^ASTX OTOBRAVENIQ Mz 7! Mw 1, PREDSTAWLQQ SOBOJ POWOROT WEKTORA Mz NA UGOL arg f 0(z0) (S PERENOSOM NA^ALA WEKTORA IZ TO^KI z0 W TO^KU w0) I;IZMENENIE EGO DLINY W jf 0(z0)j RAZ. tAK KAK Mw ; dw = o jMzj , OTOBRAVENIE Mz 7! Mw SWODITSQ K UKAZANNOMU DEJSTWI@ S TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO (WNOSQ]EGO ISKAVENIE), BESKONE^NO MALOGO PO SRAWNENI@ S jMzj PRI Mz ! 0. pO SUTI \TO OZNA^AET SLEDU@]EE. eSLI f 0(z0) 6= 0, TO PRI OTOBRAVENII POSREDSTWOM FUNKCII w = f (z) TREUGOLXNIK S WERINAMI z0 z1 z2 PEREHODIT | S TO^NOSTX@ DO BESKONE^NO MALOGO (OTNOSITELXNO DLIN STORON jz1 ; z0 j jz1 ; z0 j TREUGOLXNIKA) ISKAVENIQ | W PODOBNYJ EMU (S KO\FFICIENTOM PODOBIQ jf 0(z0)j) I ODINAKOWO ORIENTIROWANNYJ S NIM TREUGOLXNIK, POWERNUTYJ WOKRUG TO^KI w0 (POSLE PERENOSA W NEE WERINY z0 ) NA UGOL arg f 0(z0) (RIS. 20).
k \TOMU VE WYWODU MOVNO PRIJTI I ^UTX INYMI RASSUVDENIQMI. w;w0 pOSKOLXKU f 0 (z0) = zlim !z0 z ;z0 6= 0, TO PRI STREMLENII WERIN z1 z2 TREUGOLXNIKA K WERINE z0 WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE SOOTNOENIQ1:
eSLI f 0 (z0) = 0, TO DIFFERENCIAL dw = f 0(z0)Mz , OSTAWAQSX LINEJNOJ , PERESTAET BYTX GLAWNOJ ^ASTX@ OTOBRAVENIQ Mz 7! Mw. 1 w OBOZNA^ENIQH z ;z =Mz z ;z =Mz w ;w =Mw w ;w =Mw . 1 0 1 2 0 2 1 0 1 2 0 2 1
80
rIS. 20
jMw1 j ! jf 0 (z )j jMw2 j ! jf 0 (z )j 0 0 jMz1 j jMz2 j arg MMwz11 ! arg f 0 ( z0 ) arg MMwz22 ! arg f 0( z0 ) I, KAK SLEDSTWIE, arg MMww21 ; arg MMzz12 ! 0. |TO OZNA^AET, ^TO W PREDELE PRI z1 z2 ! z0 SOOTWETSTWIE MEVDU TREUGOLXNIKAMI w0 w1 w2 I z0 z1 z2 OKAZYWAETSQ OTNOENIEM PODOBIQ (S KO\FFICIENTOM jf 0 ( z0 )j RIS. 21).
rIS. 21
81
sWOJSTWO OTOBRAVENIQ FUNKCIEJ w = f (z), IME@]EJ W TO^KE z0 NE RAWNU@ NUL@ PROIZWODNU@ f 0(z0), | PEREWODITX STQGIWA@]IESQ K TO^KE z0 TREUGOLXNIKI (I DRUGIE FIGURY) W FIGURY , W PREDELE IM PODOBNYE (I ODINAKOWO S NIMI ORIENTIROWANNYE ) | NAZYWA@T KONFORMNOSTX@1 OTOBRAVENIQ (W TO^KE z0 ). |KWIWALENTNO KONFORMNOSTX OTOBRAVENIQ w = f (z) (W TO^KE z0 ) OZNA^AET WYPOLNENIE SLEDU@]IH DWUH USLOWIJ. \COHRANENIE UGLOW" 2. pUSTX TO^KI z1 I z2 STREMQTSQ K TO^KE z0 TAK, ^TO arg Mz1 ! 1 , A arg Mz1 ! 2 (NAGLQDNO \TO SOOTWETSTWUET STREMLENI@ TO^EK z1 I z2 K TO^KE z0 WDOLX \LINIJ", IME@]IH W TO^KE z0 KASATELXNYE , WYHODQ]IE IZ NEE POD UGLAMI, SOOTWETSTWENNO, 1 I 2 K DEJSTWITELXNOJ OSI ). tOGDA (ESLI f 0( z0 ) 6= 0) ; ; arg Mw1 = arg MMwz11 Mz1 = arg MMwz11 + Mz1 ! arg f 0(z0)+ 1 , ; ; arg Mw2 = arg MMwz22 Mz2 = arg MMwz22 + Mz2 ! arg f 0(z0)+ 2 , IZ ^EGO SLEDUET WYWOD: PRI UKAZANNOM STREMLENII TO^EK z1 I z2 K TO^KE z0 TO^KI w1 = f (z1) I w2 = f (z2) STREMQTSQ K TO^KE w0 = f (z0) WDOLX \LINIJ", UGOL PERESE^ENIQ KOTORYH (W TO^KE w0) RAWEN UGLU PERESE^ENIQ (W TO^KE z0) \LINIJ", WDOLX KOTORYH STREMQTSQ K TO^KE z0 TO^KI z1 I z2 (PRI ODNOM I TOM VE NAPRAWLENII OTS^ETA UGLOW RIS. 22). sFORMULIROWANNOE SWOJSTWO OTMETIL gAUSS W RABOTE 1822 G. (33], Bd. IV, S. 189{216), OHARAKTERIZOWAW EGO KAK \PODOBIE W MALOM" (\in den kleinsten Theilen $ahnlich") S WKL@^ENIEM \TOGO TERMINA W SAMOE NAZWANIE RABOTY. pOZDNEE (W 1844 G.) ON NAZWAL \TO SWOJSTWO KONFORMNOSTX@ OTOBRAVENIQ (33], Bd. IV, S. 262) LAT. conformis | SHODNYJ, PODOBNYJ . 2 s WERINOJ W TO^KE z . CRAZU SLEDUET OTMETITX, ^TO ODNOGO \SO0 HRANENIQ UGLOW" W TO^KE z0 E]E NEDOSTATO^NO DLQ KONFORMNOSTI OTOBRAVENIQ W UKAZANNOJ TO^KE (PRIMER IZ UPRAVNENIQ 4 NA S. 87). 1
82
rIS. 22
jMwj = jf 0 (z)j 6= 0, RASTQVENIQ". eSLI Mlim z!0 jMz j TO KAKIM BY MALYM NI BYLO ^ISLO "> 0, NERAWENSTWA ; 0 jf (z)j;" jMzj < jMwj < (jf 0(z)j+ ") jMzj WYPOLNQ@TSQ DLQ WSEH WYHODQ]IH IZ TO^KI z0 NENULEWYH WEKTOROW Mz DOSTATO^NO MALOJ DLINY WNE ZAWISIMOSTI OT IH NAPRAWLENIJ . |TO OZNA^AET, ^TO W PREDELE PRI M z ! 0 OTOBRAVENIE Mz 7! Mw IZMENQET DLINY WEKTOROW Mz W ODNO I TO VE ^ISLO (jf 0(z0)j)1 RAZ. kAK SLEDSTWIE, PRI L@BOM STREMLENII TO^EK z1 z2 K TO^KE z0 S USLOWIEM, ^TO OTNOENIE DLIN WEKTOROW M z1 M z2 OSTAETSQ RAWNYM (ILI STREMITSQ K) NEKOTOROMU ^ISLU , OTNOENIE DLIN WEKTOROW Mw1 Mw2 STREMITSQ K TOMU-VE ^ISLU . \pOSTOQNSTWO
w ^ASTNOSTI, OKRUVNOSTX S CENTROM z0 DOSTATO^NO MALOGO RADIUSA r OTOBRAVENIEM w = f (z) PREOBRAZUETSQ W PODMNOVESTWO 2 KOLXCA S CENTROM w0 , OBA RADIUSA KOTOROGO (WNENIJ I WNUTRENNIJ ) \KWIWALENTNY jf 0 (z0)j r PRI r ! 0, A SLEDOWATELXNO, ^TO SU]ESTWENNO, IRINA
~ISLO jf 0 (z0)j IMEET PO\TOMU SMYSL KO\FFICIENTA LOKALXNOGO RASTQVENIQ W TO^KE z0 PRI OTOBRAVENII FUNKCIEJ w = f (z). 2 |TO PODMNOVESTWO (ESLI OTNOSITELXNO FUNKCII w = f (z) PREDPOLAGATX LIX SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ W TO^KE z0) NE OBQZANO BYTX \NEPRERYWNOJ LINIEJ". 1
83 \TOGO KOLXCA QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ BOLEE WYSOKOGO PORQDKA PO SREWNENIE@ S EGO RADIUSAMI PRI r ! 0 (RIS. 23).
rIS. 23
sWOJSTWO KONFORMNOSTI OTOBRAVENIQ w = f (z) (W TO^KAH, GDE f 0(z) 6= 0) I EGO NARUENIE (W TO^KAH, GDE f 0(z) = 0) ILL@STRIRUET NA PROSTYH PRIMERAH RIS. 14 (S. 57)1. w ^ASTNOSTI, PRI OTOBRAVENII w = z2 RASTWORY UGLOW, WYHODQ]IH IZ TO^KI 0, UWELI^IWA@TSQ W DWA RAZA, A WEKTORY Mz I Mz PEREHODQT W WEKTORY, RAZLI^A@]IESQ PO DLINE W 2 RAZ (HOTQ PRI \TOM KAVDAQ OKRUVNOSTX S CENTROM 0 PEREHODIT W OKRUVNOSTX ).
gIDROMEHANI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ PO KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ pUSTX W NEKOTOROJ ^ASTI PROSTRANSTWA ZADANO WEKTORNOE POLE , PO SMYSLU QWLQ@]EESQ POLEM SKOROSTEJ ^ASTIC VIDKOSTI. pREDPOLAGAETSQ, ^TO A) POLE QWLQETSQ PLOSKOPARALLELXNYM : WSE WEKTORY PARALLELXNY FIKSIROWANNOJ PLOSKOSTI (PRINIMAEMOJ ZA PLOSKOSTX KOORDINAT x y ILI KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX PEREMENNOJ z = x + iy) I NE ZAWISQT OT RASSTOQNIQ DO \TOJ PLOSKOSTI 1 sLEDUET POD^ERKNUTX LOKALXNOSTX cWOJSTWA KONFORMNOSTI : QWLQQSX KONFORMNYM W OTDELXNO WZQTYH TO^KAH, OTOBRAVENIE w = f (z) MOVET SU]ESTWENNO IZMENITX FORMU FIGURY W CELOM (^TO I WIDNO NA RIS. 14).
84 B) PROEKCIQ NA UKAZANNU@ PLOSKOSTX TOJ ^ASTI PROSTRANSTWA, W KOTOROJ ZADANO POLE, QWLQETSQ ODNOSWQZNOJ OBLASTX@ 1 W) POLE2 QWLQETSQ BEZWIHREWYM I NE IMEET ISTO^NIKOW I STOKOW . pERWOE PREDPOLOVENIE POZWOLQET ZAPISATX POLE W WIDE v = fp qg, GDE p = p(x y) q = q(x y) | FUNKCII, IME@]IE NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE PO x I y W UPOMQNUTOJ ODNOSWQZNOJ OBLASTI . pREDPOLOVENIE O TOM, ^TO WEKTORNOE POLE QWLQETSQ BEZWIHREWYM I NE IMEET ISTO^NIKOW (I STOKOW ), OZNA^AET WYPOLNENIE RAWENSTW @q @p @p @q @x = @y (rot v = 0) I @x = ; @y (div v =0). wWIDU ODNOSWQZNOSTI OBLASTI, GDE SPRAWEDLIWY \TI RAWENSTWA, IZ NIH WYWODITSQ3, SOOTWETSTWENNO, ^TO pdx + qdy = du, A ; qdx + pdy = dv DLQ NEKOTORYH FUNKCIJ4 u = u(x y) I v = v(x y). pERWU@ IZ NIH NAZYWA@T POTENCIALXNOJ FUNKCIEJ (SKOROSTI ), A WTORU@ | FUNKCIEJ TOKA . @u @v @v kAK SLEDSTWIE, @u @x = p, @y = q, @x = ;q, @y = p, W SILU ^EGO FUNKCII u = u(x y) I v = v(x y) UDOWLETWORQ@T URAWNENIQM kOI { rIMANA , A POTOMU | SOGLASNO USTANOWLENNOMU KRITERI@ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ (S. 73) | PREDSTAWLQ@T SOBOJ, SOOTWETSTWENNO, DEJSTWITELXNU@ I MNIMU@ ^ASTI NEKOTOROJ FUNKCII w = f (z ) KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z = x+iy, IME@]EJ (W KAVDOJ TO^KE UPOMQNUTOJ ODNOSWQZNOJ OBLASTI) PROIZWODNU@ f 0 (z )= @ (u@x+iv) = p ; iq. |TA FUNKCIQ w = f (z ) (OPREDELQEMAQ S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO KOMPLEKSNOGO SLAGAEMOGO ) NAZYWAETSQ KOMPLEKSNYM POTENCIALOM WEKTORNOGO POLQ v = fp qg : NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI SWQZX MEVDU NIMI WYRAVAETSQ RAWENSTWOM f 0 (z ) = v. |KWIWALENTNO: MODULX PROIZWODNOJ KOMPLEKSNOGO POTENCIALA WYRAVAET ABSOL@TNU@ WELI^INU 1 pODROBNO PONQTIE ODNOSWQZNOJ OBLASTI OBSUVDAETSQ NIVE (X, S. 149{151), SUTX VE ODNOSWQZNOSTI SOSTOIT W TREBOWANII, ^TO ESLI GRANICA KAKOJ-LIBO PLOSKOJ FIGURY PRINADLEVIT OBLASTI , TO I SAMA \TA FIGURA PRINADLEVIT \TOJ OBLASTI . 2 eGO KOMPONENTY PREDPOLAGA@TSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYMI FUNKCIQMI TO^KI. 3 pRIMENENIEM FORMULY gRINA K MNOGOUGOLXNIKAM . 4 oPREDELQEMYH S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO . eSLI NE TREBOWATX ODNOSWQZNOSTI OBLASTI, TO \TI FUNKCII MOGUT OKAZATXSQ MNOGOZNA^NYMI .
85 SKOROSTI POTOKA, A EE ARGUMENT | WZQTYJ S OBRATNYM ZNAKOM UGOL MEVDU WEKTOROM SKOROSTI I OSX@ x. lINII TOKA 1 WEKTORNOGO POLQ v = fp qg | A \TO REENIQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ dxp = dyq (WEKTORY POLQ QWLQ@TSQ KASATELXNYMI K NIM) | IME@T WID v = const, TAK KAK W SILU \TOGO URAWNENIQ dv = ;qdx + pdy =0. eSLI v = v1 I v = v2 | DWE LINII TOKA , A y1 y2 OPREDELQ@TSQ (DLQ FIKSIROWANNOGO x) IZ URAWNENIJ v(x y1 ) = v1 v(x y2 ) = v2 , TO @v = p) (POSKOLXKU @y Ry2 (xy) Ry2 v2 ; v1 = v(x y2 ) ; v(x y1 ) = @v@y dy = p(x y) dy y1 y1 ESTX RASHOD (KOLI^ESTWO PROTEKA@]EJ W EDINICU WREMENI) VIDKOSTI ^EREZ WERTIKALX (S KOORDINATOJ x) MEVDU UROWNQMI y1 I y2 . oTYSKANIEM KOMPLEKSNOGO POTENCIALA (I ^EREZ NEGO RASPREDELENIQ SKOROSTEJ ) POTOKA VIDKOSTI ZANIMALSQ E]E d'aLAMBER (c. 75). o TOM, KAK EGO NAHODQT W TAK NAZYWAEMYH ZADA^AH NA OBTEKANIE , MOVNO PONQTX NA SLEDU@]EM PROSTEJEM PRIMERE.
rIS. 24 pUSTX PLOSKOPARALLELXNYJ POTOK VIDKOSTI | NASTOLXKO BOLXOJ GLUBINY , ^TO EE MOVNO S^ITATX BESKONE^NOJ , | WSTRE^AET PREPQTSTWIE W WIDE WERTIKALXNOGO OTREZKA WYSOTY h (RIS. 24, a).2 s^ITAQ, ^TO w PROSTRANSTWE IM OTWE^A@T CILINDRI^ESKIE POWERHNOSTI S OBRAZU@]IMI, PERPENDIKULQRNYMI PLOSKOSTI x y. 2 w PROSTRANSTWE \TOMU OTREZKU SOOTWETSTWUET PERPENDIKULQRNAQ PLOSKOSTI DNA I WEKTORU SKOROSTI POLOSA IRINOJ h. 1
86 SKOROSTX POTOKA WDALI OT PREPQTSTWIQ RAWNA v1 I NAPRAWLENA WDOLX OSI x, NAJTI KOMPLEKSNYJ POTENCIAL w = f (z) \TOGO POTOKA. pOSKOLXKU KAVDOJ ^ASTICE VIDKOSTI OTWE^AET SWOQ LINIQ TOKA , I GRANI^NOJ (v(x y)= v0 ) DLQ NIH QWLQETSQ OSX x S OTREZKOM-PREPQTSTWIEM , A WWIDU BESKONE^NOJ GLUBINY POTOKA RASHOD VIDKOSTI SLEDUET S^ITATX BESKONE^NYM , ISKOMAQ FUNKCIQ w = f (z) DOLVNA WZAIMNO ODNOZNA^NO OTOBRAVATX POLUPLOSKOSTX fz 2 C : Im z > 0g, \RAZREZANNU@" PO OTREZKU 0 ih], NA POLUPLOSKOSTX fw 2 C : Im w > v0 g2 PRI \TOM | TAK KAK KOMPLEKSNYJ POTENCIAL OPREDELQETSQ S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO | MOVNO S^ITATX v0 =0 (RIS. 24, B ).
rIS. 25 p oDNOJ IZ TAKIH FUNKCIJ QWLQETSQ w = z 2 + h2, DEJSTWIE KOTOROJ SWODITSQ K POSLEDOWATELXNOMU WYPOLNENI@ SLEDU@]IH (RIS. 25): A) = z 2 (LU^I PLOSKOSTI C z , WYHODQ]IE IZ TO^KI z =0 POD UGLAMI IZ PROMEVUTKA (0 ), ODIN IZ KOTORYH | WYHODQ]IJ POD UGLOM | NEPOLNYJ, PEREHODQT W LU^I , WYHODQ]IE IZ TO^KI =0 POD WDWOE 2 2 iLI NA POLUPLOSKOSTX fw 2 C : Im w
87 BOLXIMI UGLAMI I POTOMU ZAPOLNQ@]IE WS@ PLOSKOSTX C S \RAZREZOM" PO DEJSTWITELXNOJ OSI OT TO^KI = ;h2 WPRAWO DO BESKONE^NOSTI) B) ! = + h2 (NA^ALO \RAZREZA" PEREME]AETSQ W TO^KU ! = 0 PLOSKOSTX C ! S \TIM \RAZREZOM" MOVNO RASSMATRIWATX KAK SOWOKUPNOSTX LU^EJ , WYHODQ]IH pIZ TO^KI ! =0 POD UGLAMI IZ PROMEVUTKA (0 2 )) W) w = p! = z 2 + h2 (LU^I PLOSKOSTI C ! , WYHODQ]IE IZ TO^KI ! = 0 POD UGLAMI IZ PROMEVUTKA (0 2 ), PEREHODQT W LU^I PLOSKOSTI C w , WYHODQ]IE IZ TO^KI w =0 POD WDWOE MENXIMI UGLAMI). l@BAQ DRUGAQ FUNKCIQ w = f (z) S UKAZANNYMI p 2 2 OTOBRAVA@]IMI a SWOJSTWAMI OBQZANA IMETX WID f (z) = cpzz2++hh2 ++db , GDE a b c d | DEJSTWITELXNYE ^ISLA S ac;bd> 0 (VI, S. 99 XVIII, S. 307). oSTAETSQ U^ESTX DOPOLNITELXNYE TREBOWANIQ, WYTEKA@]IE IZ PRIRODY ZADA^I: f (1)= 1 (\BESKONE^NOSTX" QWLQETSQ EDINSTWENNOJ \TO^KOJ", W KOTOROJ 0 PERESEKA@TSQ WSE LINII TOKA p 2 ) I2 f (1)= v1 . sREDI FUNKCIJ w = acpzz2 ++hh2 ++db EDINSTWENNOJ (S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO ), UDOWLETWORQ@]EJ DANNYM TREBOWANIQM QWLQp ETSQ w = v1 z 2 + h2 | \TO I ESTX ISKOMYJ KOMPLEKSNYJ POTENCIAL . wY^ISLENIE PROIZWODNOJ NAJDENNOGO KOMPLEKSNOGO POTENCIALA W TO^KAH z = ih I z = 0 POKAZYWAET, ^TO W KONCEWOJ TO^KE PREPQTSTWIQ SKOROSTX POTOKA OKAZYWAETSQ BESKONE^NOJ , TOGDA KAK W UGLOWYH TO^KAH ONA RAWNA NUL@ . pREDSTAWLENIE VE NAJDENNOGO KOMPLEKSNOGO POTENCIALA W WIDE p u+iv = v1 (x + iy)2 + h2 S POSLEDU@]IM WOZWEDENIEM W KWADRAT I PROWEDENIEM \LEMENTARNYH ALGEBRAI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ POZWOLQET POLU^ITX URAWNENIE LINIJ TOKA ( v =const): x2 y2 = c4 ; c2 (y2 ; x2 ; h2 ). uPRAVNENIQ. 1. nAJTI TO^KI z = x + iy, W KOTORYH SU]ESTWU@T PROIZWODNYE FUNKCIJ: a) w = z 2+ z2 B) w =sin2 (x+y) + i cos2 (x+y). 2. pUSTX PODMNOVESTWO S R2 ESTX OB_EDINENIE ODNOJ IZ KOORDINATNYH OSEJ I DWUH KRUGOW , RASPOLOVENNYH PO OBE STORONY I KASA@]IHSQ EE W NA^ALE KOORDINAT . pROWERITX, ^TO W NA^ALE KOORDINAT ( 1 ESLI (x y) 2 S IMEQ PROIZWODNU@ PO L@FUNKCIQ w = f (x y) def = 0 ESLI (x y) 2= S BOMU NAPRAWLENI@ (S WYPOLNENIEM USLOWIQ kOI { rIMANA), NE IMEET PROIZWODNOJ KAK FUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z = x + iy.
88 (
3. pUSTX f (z) = z ESLI Im z > 0 uBEDITXSQ, ^TO OTOBRAVENIe z ESLI Im z < 0: w = f (z) W TO^KE z =0 OBLADAET SWOJSTWOM POSTOQNSTWA RASTQVENIQ , NO NE SOHRANQET UGLY . w KAKIH TO^KAH SU]ESTWUET PROIZWODNAQ f 0 (z)? @f ^ASTNYE PROIZWODNYE @f @x @y ? WYPOLNQETSQ USLOWIE kOI { rIMANA ? 4. pUSTX f (0)=0, ( A DLQ z 6= 0 ;1 f (z)= z j cos(arg z )j;1 ESLI jIm z j 6 jRe z j z j sin(arg z )j ESLI jIm z j > jRe z j: ( w = f (z) ESTX UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@ arg w = arg z TO^KA KWADRATA , OPISANNOGO OKOLO PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU z OKRUVNOSTI S CENTROM 0 RIS. 26). pROWERITX, ^TO FUNKCIQ w = f (z) IMEET W NA^ALE KOOR@f DINAT KAK ^ASTNYE PROIZWODNYE @f @x @y (UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ kOI { rIMANA), TAK I PROIZWODNU@ PO L@BOMU NAPRAWLENI@ , ODNAKO PROIZWODNAQ f 0(0) NE SU]ESTWUET . qWLQETSQ LI OTOBRAVENIE w = f (z) KONFORMNYM W TO^KE z = 0? oBLADAET LI ONO W NEJ SWOJSTWOM POSTOQNSTWA RASTQVENIQ ? SOHRANENIQ UGLOW ? def
rIS. 26 5. oPERACIQ KOMPLEKSNOGO SOPRQVENIQ z 7! z , SOHRANQQ UGLY, MENQET NAPRAWLENIE IH OTS^ETA (QWLQQ SOBOJ PRIMER ANTIKONFORMNOGO OTOBRAVENIQ , ILI KONFORMNOGO OTOBRAVENIQ 2-GO RODA ). pO^EMU \TA OPERACIQ U^ASTWUET W PROEKCII mERKATORA (III, S. 48{49)?
89
kAKIMI SWOJSTWAMI OBLADA@T OTOBRAVENIQ DROBNO-LINEJNYMI FUNKCIQMI
VI.
pROSTAQ, NO ISKL@^ITELXNO WAVNAQ PO OTOBRAVA@]IM SWOJSTWAM RAZNOWIDNOSTX FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENaz +b (S L@BYMI NOJ | \TO DROBNO-LINEJNYE FUNKCII w = cz +d KOMPLEKSNYMI KO\FFICIENTAMI a b c d DLQ KOTORYH, OD NAKO, ac db 6= 0)1 . pRI c = 0 DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ PRIWODITSQ K WIDU w = eaz +eb, T. E. OKAZYWAETSQ LINEJNOJ . w OBRAZNOM PREDSTAWLENII PEREMENNYH z I w TO^KAMI PLOSKOSTI C (ILI DWUH EE \KZEMPLQROW) DROBNO-LINEJNYE FUNKCII NAZYWA@T DROBNO-LINEJNYMI OTOBRAVENIQMI . +b nA SAMOM DELE DROBNO-LINEJNYE FUNKCII w = az cz +d RASPROSTRANQ@T NA WS@ RASIRENNU@ KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX d C , POLAGAQ PO DOGOWORENNOSTI W \OSOBYH TO^KAH" z0 = ; c I 1 \TIH FUNKCIJ2 az +b = 1 az +b = a w(z0) def = limd cz w(1) def = zlim + d cz +d c !1 z!; c dw;b +b zAPISX SOOTNOENIQ w = az cz +d W WIDE z = ;cw+a I, S DRU+ GOJ STORONY, PODSTANOWKA W NEGO z =
+ S REZULXTATOM + )+b( +) = (a+b ) +(a +b) w = ac(( + )+d( +) (c+d ) +(c +d) DOKAZYWA@T SPRAWEDLIWOSTX SLEDU@]IH UTWERVDENIJ. iNA^E w const. kO\FFICIENTY a b c d DOPUSKA@T UMNOVENIE (1+i)z +i (3;i)z +2+i NA OB]IJ NENULEWOJ MNOVITELX : w = (1+2 i)z ;i I w = 5z ;2;i | \TO ODNa I Ta VE DROBNO -LINEJNAQ FUNKCIQ . 2 dLQ LINEJNYH FUNKCIJ \OSOBYE TO^KI" SLIWA@TSQ W ODNU z = 1. 0 1
90
wSQKAQ DROBNO - LINEJNAQ FUNKCIQ WZAIMNO - ODNOZNA^NO OTOBRAVAET (WS@) RASIRENNU@ KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX NA. (WS@) RASIRENNU@ KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX 1. l@BAQ DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ IMEET OBRATNU@ , TAKVE QWLQ@]U@SQ DROBNO-LINEJNOJ . kOMPOZICIQ (REZULXTAT POSLEDOWATELXNOGO WYPOLNENIQ ) DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJ ESTX DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ.
dROBNO-LINEJNYE FUNKCII OTNOSITELXNO OPERACII KOMPOZICII SOSTAWLQ@T GRUPPU , PRI^EM NEKOMMUTATIWNU@ W NEJ ESTX FUNKCIJ : w = z w = 1z w = 1 ; z w = 1;1 z , w = z;z 1 , w = z;z 1 SOSTAWLQ@T PODGRUPPU .
nEPODWIVNOJ TO^KOJ DROBNO-LINEJNOJ FUNKCII (OTO+b BRAVENIQ ) w = az cz +d NAZYWA@T L@BOE ZNA^ENIE z 2 C , DLQ az +b = z , PRI \TOM 1 OKAZYWAETSQ NEPODWIVNOJ KOTOROGO cz +d TO^KOJ LIX W SLU^AE c = 0, T. E. KOGDA FUNKCIQ QWLQETSQ LINEJNOJ (DLQ TOVDESTWENNOJ FUNKCII w = z L@BAQ TO^KA z 2 C QWLQETSQ NEPODWIVNOJ ).2 dROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ (OTLI^NAQ OT TOVDESTWENNOJ) NE MOVET IMETX BOLEE DWUH NEPODWIVNYH TO^EK. +b dOKAZATELXSTWo . sOOTNOENIE az cz +d = z W SLU^AE c 6= 0 DLQ z = 1 NE WYPOLNQETSQ, A DLQ KONE^NYH z RAWNOSILXNO KWADRATNOMU URAWNENI@, W SILU ^EGO TAKIH ZNA^ENIJ z DWA ILI ODNO 3 W SLU^AE VE c = 0 (LINEJNOJ FUNKCII) UKAZANNOMU SOOTNOENI@ UDOWLETWORQ@T z = 1 I z = d;b a (OBA RAWNYE 1 PRI d = a I b 6= 0)3 SLU^AJ c = 0 d = a, b = 0 SOOTWETSTWUET TOVDESTWENNOJ FUNKCII. Q.E.D. tU VE SAMU@ ILI DRUGOJ EE \KZEMPLQR. pODROBNU@ KLASSIFIKACI@ DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJ NA OSNOWE IH NEPODWIVNYH TO^EK MOVNO NAJTI U l. fORDA 18]. 3 z TOGDA NAZYWA@T DWOJNOJ NEPODWIVNOJ TO^KOJ . 1 2
91
kAKOWY BY NI BYLI TRI (RAZNYE ) TO^KI z1 z2 z3 2 C I TRI (RAZNYE ) TO^KI w1 w2 w3 2 C , SU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNAQ DROBNO -LINEJNAQ FUNKCIQ, PEREWODQ]AQ TO^KI z1 z2 z3 SOOTWETSTWENNO W w1 w2 w3. dOKAZATELXSTWO. eDINSTWENNOSTX TAKOJ FUNKCII WYTEKAET IZ TOGO, ^TO ESLI w = w(z) I w = we(z) | DWE DROBNOLINEJNYE FUNKCII, PEREWODQ]IE TO^KI z1 z2 z3 SOOTWETSTWENNO W w1 w2 w3, A z = we;1(w) | DROBNO-LINEJNAQ ; FUNK; 1 CIQ, OBRATNAQ K w = we(z), TO KOMPOZICIQ z = we w(z) OKAZYWAETSQ ; DROBNO-LINEJNOJ FUNKCIEJ S TEM SWOJSTWOM, ^TO we;1 w(zj) = we;1(wj) = zj j = 1 2 3, I PO\TOMU IME@]EJ NE MENEE TREH NEPODWIVNYH ; TO^EK. sOGLASNO PREDY; 1 DU]EMU UTWERVDENI@ we w(z) z, IZ ^EGO SLEDUET, ^TO ; ; we(z) we we;1 w(z) w(z). sU]ESTWOWANIE TAKOJ FUNKCII MOVNO WYWESTI ISHODQ IZ SLEDU@]EGO SOOTNOENIQ MEVDU PEREMENNYMI w I z : w;w1 w3 ;w2 = z ;z1 z3 ;z2 .1 w;w2 w3 ;w1 z ;z2 z3 ;z1
dLQ PROWERKI TOGO, ^TO ZAPISANNOE SOOTNOENIE DEJSTWITELXNO OPREDELQET DROBNO-LINEJNU@ FUNKCI@ w = w(z), DOSTATO^NO WWESTI WSPOMOGATELXNYE DROBNO-LINEJNYE FUNKw ; w z ; z 1 w3 ;w2 1 z3 ;z2 CII = z;z2 z3;z1 I ! = w;w2 w3;w1 , ^EREZ KOTORYE ZAWISIMOSTX PEREMENNOJ w OT PEREMENNOJ z WYRAVAETSQ KAK ; 1 w = ! (z). tO, ^TO ZNA^ENIQM z = z1 z2 z3 DEJSTWITELXNO SOOTWETSTWU@T ZNA^ENIQ w = w1 w2 w3, PROWERQETSQ PRQMOJ PODSTANOWKOJ . Q.E.D. eSLI ODNA IZ TO^EK z1 z2 z3 I (ILI) w1 w2 w3 ESTX 1, TO SOOTNOENIE PONIMAETSQ KAK EGO PREDEL PRI STREMLENII \TIH TO^EK (\TOJ TO^KI) K 1, ^TO RAWNOSILXNO ZAMENE NA 1 WSEH SODERVA]IH IH (ee) ^ISLITELEJ I ZNAMENATELEJ : w;w1 w3 ;w2 = z3 ;z2 , ESLI (K PRIMERU) z = 1, 1 w;w2 w3 ;w1 z ;z2 w;w1 = z ;z1 , ESLI z = 1 I w = 1. 2 3 w;w2 z3;z1 1
92
zAME^ANIE. eSLI TO^KI z3 I w3 S^ITATX NEOPREDELENNYMI , TO NEOPREDELENNYMI OKAZYWA@TSQ ^ISLA zz33;;zz21 I ww33 ;;ww21 , I IZ DOKAZANNOGO UTWERVDENIQ WYTEKAET SLEDU@]EE. w;w1 = z ;z1 ( | L@BOE NENULEWOE KOMPLEKSNOE ^ISLO) w;w2 z ;z2 ESTX OB]IJ WID TEH DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJ, KOTORYE PEREWODQT TO^KI z1 z2 SOOTWETSTWENNO W TO^KI w1 w2.1 OTOBRAVA@]Ie SWOJSTWA DROBNO -LINEJNYH FUNKCIJ sWOJSTWO KONFORMNOSTI . oTOBRAVENIE DROBNO-LIaz + b NEJNOJ FUNKCIEJ w = cz+d QWLQETSQ KONFORMNYM (W ^AST; NOSTI, SOHRANQ@]IM UGLY ) WO WSEH NEOSOBYH z 6= ; dc TO^KAH z 2 C . az +b PRI z 6= ; d IMEET dOKAZATELXSTWO. fUNKCIQ w = cz +d c ; az +b 0 ad;bc PROIZWODNU@ cz+d = (cz+d)2 , NE RAWNU@ NUL@ , A POTOMU OTOBRAVENIE \TOJ FUNKCIEJ W L@BOJ TO^KE z 2 C z 6= ; dc , QWLQETSQ KONFORMNYM (V, c. 81). Q.E.D.
pRI IZOBRAVENII PEREMENNYH NA SFERE rIMANA (I, S. 21) SWOJSTWO KONFORMNOSTI OTOBRAVENIJ DROBNO-LINEJNYMI FUNKCIQMI RASPROSTRANQETSQ I NA IH \OSOBYE" TO^KI (WKL@^AQ BESKONE^NO UDALENNU@ ). sWOJSTWO SOHRANENIQ UGLOW PRI STEREOGRAFI^ESKOJ PROEKCII WYWODITSQ LIBO ANALITI^ESKI (U a. i. mARKUEWI^A 12] I l. fORDA 18]), LIBO GEOMETRI^ESKI (U d. gILXBERTA I s. kON -fOSSENA 3]). \
kRUGOWOE azSWOJSTWO oTOBRAVENIE DROBNO-LINEJNOJ +b "
.
FUNKCIEJ w = cz+d PREOBRAZUET OKRUVNOSTI I PRQMYE W OKRUVNOSTI ILI PRQMYE . tO^NEE: OKRUVNOSTI I PRQMYE , NE PROHODQ]IE ^EREZ \OSOBU@" TO^KU z0 = dc , PREOBRAZU@TSQ W OKRUVNOSTI , A PROHODQ]IE ^EREZ NEE | W PRQMYE 2. eSLI ODNA IZ TO^EK z1 z2 I/ILI w1 w2 ESTX 1, TO SOOTWETSTWU@]IE ^ISLITELI I ZNAMENATELI ZAMENQ@TSQ NA 1. 2 kAVDAQ PRQMAQ S^ITAETSQ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU 1. 1
93
dOKAZATELXSTWO. dELENIE (S OSTATKOM) PRIWODIT DROBNO+b K WIDU w = a z + b (PRI c =0) LINEJNU@ FUNKCI@ w = az cz + d d d b; adc a ILI w = c + cz+d (PRI c 6= 0), T. E. LIBO K LINEJNOJ FUNKCII, LIBO K KOMPOZICII : a) LINEJNOJ FUNKCII = cz + d (PEREWODQ]EJ \OSOBU@" TO^KU z0 = ; dc W NA^ALO KOORDINAT ), B) FUNKCII ! = 1 (S \OSOBOJ" TO^KOJ 0), ; W) LINEJNOJ FUNKCII w = b; adc ! + ac . uSTANOWIW \KRUGOWOE" SWOJSTWO DLQ WSEH LINEJNYH FUNKCIJ w = az + b (S a 6= 0) I FUNKCII w = 1z , MOVNO S^ITATX EGO DOKAZANNYM DLQ WSEH DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJ. oTOBRAVENIE w = az + b z 2 C , PREDSTAWLQET SOBOJ RASTQVENIe PLOSKOSTI C (PO WSEM NAPRAWLENIQM) W jaj RAZ, POWOROT NA UGOL arg a I SDWIG NA WEKTOR b . w REZULXTATE KAVDOGO IZ \TIH DEJSTWIJ L@BAQ OKRUVNOSTX PEREHODIT W OKRUVNOSTX , A L@BAQ PRQMAQ | W PRQMU@ . w ZAPISI z = x+iy w = u+iv SOOTWETSTWIE w = z1 PRINIMAET WID x = u2+u v2 , y = u2;+vv2 , L@BAQ VE PRQMAQ ILI OKRUVNOSTX NA PLOSKOSTI PEREMENNOJ z = x + iy ZADAETSQ URAWNENIEM (x2 + y2)+ x + y + = 0, KO\FFICIENTY
KOTOROGO | DEJSTWITELXNYE ^ISLA, POD^INENNYe USLOWI@ 2 + 2 > 4 .1 pODSTANOWKA x = u2+u v2 , y = u2;+vv2 PREOBRAZUET \TO URAWNENIE W (u2+v2)+u;v+ =0 (PRI \TOM 2+(; )2 > 4 ), w SLU^AE = 0 (URAWNENIQ PRQMOJ) POSLEDNEE NERAWENSTWO OZNA^AET, ^TO HOTQ BY ODNO IZ ^ISEL I NE RAWNO NUL@, A PRI 6= 0 WYRAVAET TOT FAKT, ^TO OKRUVNOSTX NE QWLQETSQ WYROVDENNOJ ILI MNIMOJ: \TO SLEDUET IZ ZAPISI URAWNENIQ (PRI2 = 6 0) W WIDE ; 2 ; 2 2
x+ 2 + y+ 2 ; 42 ; 42 + =0. 1
94
T. E. W URAWNENIE PRQMOJ ILI OKRUVNOSTI (NA PLOSKOSTI PEREMENNOJ w = u + iv). sLU^AI PRQMOJ ( = 0) I OKRUVNOSTI ( 6= 0) SOOTWETSTWU@T PROHOVDENI@ I, NAOBOROT, NE PROHOVDENI@ ISHODNOJ PRQMOJ ILI OKRUVNOSTI ^EREZ NA^ALO KOORDINAT | \OSOBU@" TO^KU FUNKCII w = z1 . oPREDELITX, KAKIE PRQMYE I OKRUVNOSTI PEREWODQTSQ +b DROBNO-LINEJNOJ FUNKCIEJ w = az cz +d W PRQMYE , A KAKIE W OKRUVNOSTI , PRO]E WSEGO S U^ETOM TOGO, ^TO \OSOBAQ" TO^KA z0 = ; dc PEREHODIT W BESKONE^NO UDALENNU@ , A EE SREDI PRQMYH I OKRUVNOSTEJ SODERVAT LIX PRQMYE . Q.E.D. tO^KI z1 z2 2 C S^ITA@T SIMMETRI^NYMI OTNOSITELXNO PRQMOJ ILI OKRUVNOSTI L, ESLI WSE PROHODQ]IE ^EREZ \TI TO^KI PRQMYE I OKRUVNOSTI PERESEKA@T L POD PRQMYM UGLOM . sWOJSTWO \SOHRANENIQ SIMMETRII". pRI DROBNO LINEJNOM OTOBRAVENII w = w(z) TO^KI z1 z2 2 C , SIMMETRI^NYE OTNOSITELXNO PRQMOJ ILI OKRUVNOSTI L , PEREHODQT W TO^KI w1 w2, SIMMETRI^NYE OTNOSITELXNO OBRAZA w(L) \TOJ PRQMOJ ILI OKRUVNOSTI.
rIS. 27
95
dOKAZATELXSTWO. pUSTX z1 z2 | TO^KI, SIMMETRI^NYE OTNOSITELXNO PRQMOJ ILI OKRUVNOSTI L , I w = w(z) | DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ, PEREWODQ]AQ IH, SOOTWETSTWENNO, W TO^KI w1 w2 I PRQMU@ ILI OKRUVNOSTX (\KRUGOWOE" SWOJSTWO !) w(L). tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO ESLI PRQMAQ ILI OKRUVNOSTX L PROHODIT ^EREZ TO^KI w1 w2 , TO ONA PERESEKAET LINI@ w(L) POD PRQMYM UGLOM (RIS. 27). nO OBRATNYM OTOBRAVENIEM z = z;1 (w), TAKVE QWLQ@]IMSQ DROBNOLINEJNYM (S. 90), PRQMAQ ILI OKRUVNOSTX L PEREWODITSQ W PRQMU@ ILI OKRUVNOSTX , PROHODQ]U@ ^EREZ TO^KI z1 z2 , A SLEDOWATELXNO, PERESEKA@]U@ PRQMU@ ILI OKRUVNOSTX L POD PRQMYM UGLOM . oSTAETSQ PRIMENITX SWOJSTWO KONFORMNOSTI (S. 92), W SILU KOTOROGO PRQMYM QWLQETSQ I UGOL PERESE^ENIQ LINIJ L I w(L). Q.E.D. OPREDELENIE SIMMETRII TO^EK z1 z2 2 C OTNOSITELXNO PRQMOJ ILI OKRUVNOSTI L , PREDESTWU@]EE FORMULIROWKE \KRUGOWOGO" SWOJSTWA, W SLU^AE PRQMOJ RAWNOSILXNO OBY^NOMU: TO^KI z1 I z2 SLUVAT KONCAMI OTREZKA, PERPENDIKULQRNOGO PRQMOJ L I PERESEKAEMOGO E@ W EGO SEREDINe . eSLI VE L | OKRUVNOSTX , TO SIMMETRI^NYMI OTNOSITELXNO NEE QWLQ@TSQ: a) CENTR O OKRUVNOSTI L I BESKONE^NO UDALENNAQ TO^KA B) TO^KI z1 I z2 , LEVA]IE NA LU^E , WYHODQ]EM IZ TO^KI O, I OTSTOQ]IE OT NEE NA RASSTOQNIQ, PROIZWEDENIE KOTORYH RAWNO KWADRATU RADIUSA OKRUVNOSTI L (\PROIZWEDENIE SEKU]EJ NA EE WNEN@@ ^ASTX RAWNO KWADRATU KASATELXNOJ" RIS. 28). nAPRIMER, SIMMETRI^NYMI OTNOSITELXNO DEJSTWITELXNOJ OSI QWLQ@TSQ PARY KOMPLEKSNO-SOPRQVENNYH ^ISEL z I z (TO^NEE, IZOBRAVA@]IH IH TO^EK ). sIMMETRI^NYMI OTNOSITELXNO OKRUVNOSTI RADIUSA 1 S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT QWLQ@TSQ : a) 0 I 1 B) z I (z );1 (TAK KAK arg(z );1 = arg z, a (z );1 jzj = 1).
96
rIS. 28
kAKOWY BY NI BYLI TRI (RAZNYE ) TO^KI z1 z2 z3 2 C I TRI (RAZNYE ) TO^KI w1 w2 w3 2 C , SU]ESTWUET (I PRITOM EDINSTWENNAQ ) PRQMAQ ILI OKRUVNOSTX L , KOTORAQ PROHODIT ^EREZ TO^KU z3 I OTNOSITELXNO KOTOROJ TO^KI z1 I z2 SIMMETRI^NY .
rIS. 29
97 dOKAZATELXSTWO. eSLI z3 = 1 ILI VE WSE TRI TO^KI z1 z2 z3 KONE^NY , PRI^EM DWE PERWYH RAWNOUDALENY OT TRETXEJ, TO L | \TO PRQMAQ , KOTORAQ PERPENDIKULQRNA K SOEDINQ@]EMU TO^KI z1 I z2 OTREZKU I DELIT EGO POPOLAM (RIS. 29, A). eSLI BESKONE^NO UDALENNOJ QLQETSQ ODNA IZ TO^EK z1 z2 (NAPRIMER, z2 ), TO L | \TO PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU z3 OKRUVNOSTX S CENTROM z1 (RIS. 29, B). eSLI z1 z2 z3 2 C , A IZ ZNA^ENIJ a = jz1 ; z3 j I b = jz2 ; z3 j ODNO (K PRIMERU, PERWOE) BOLXE DRUGOGO, TO L | \TO OKRUVNOSTX , CENTR z0 KOTOROJ LEVIT NA PRQMOJ , PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI z1 I z2 (BLIVE KO WTOROJ IZ NIH). ESLI PRI \TOM z3 NE LEVIT NA \TOJ VE PRQMOJ , TO z0 ESTX Ta EE TO^KA , W KOTOROJ \TU PRQMU@ PERESEKAET KASATELXNAQ , PROWEDENNAQ IZ TO^KI z3 K OKRUVNOSTI , PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI z1 z2 z3 (RIS. 29, W). eSLI VE TO^KI z1 z2 z3 LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ , TO CENTR z0 OKRUVNOSTI L UDALEN OT TO^KI z1 NA RASSTOQNIE a2=(a b) | SOOTWETSTWENNO TOMU, LEVIT TO^KA z3 MEVDU ILI PO ODNU STORONU OT TO^EK z1 z2 . Q.E.D
wOT NESKOLXKO ZADA^, REAEMYH PRIMENENIEM SWOJSTW DROBNO-LINEJNYH OTOBRAVENIJ. 1. zADANNU@ PRQMU@ (OKRUVNOSTX ) PEREWESTI DROBNOLINEJNOJ FUNKCIEJ W ZADANNU@ PRQMU@ (OKRUVNOSTX ). dOSTATO^NO, WZQW (PROIZWOLXNO) NA OBEIH LINIQH PO TRI TO^KI z1 z2 z3 I w1 w2 w3, POSTROITX DROBNO-LINEJNU@ FUNKCI@ SOGLASNO FORMULE w;w1 w3 ;w2 z ;z1 z3;z2 w;w2 w3 ;w1 = z ;z2 z3;z1 ,
POSLE ^EGO WOSPOLXZOWATXSQ \KRUGOWYM" SWOJSTWOM I TEM, ^TO PRQMAQ ILI OKRUVNOSTX POLNOSTX@ OPREDELQETSQ ZADANIEM L@BYH TREH Ee TO^EK. 2. nAJTI FUNKCI@, WZAIMNO ODNOZNA^NO I KONFORMNO OTOBRAVA@]U@: A) WNUTRENNOSTX OKRUVNOSTI , B) WNENOSTX OKRUVNOSTI (S WKL@^ENIEM W NEE TO^KI 1), W) POLUPLOSKOSTX (^ASTX PLOSKOSTI, LEVA]EJ PO ODNU STORONU OT PRQMOJ ) NA L@BU@ OBLASTX G IZ \TOGO VE SPISKA.
98
zAME^ANIE . kAK BUDET USTANOWLENO NIVE (XVIII , S. 307{ 308), DRUGIH (POMIMO DROBNO - LINEJNYH ) FUNKCIJ , DA@]IH REENIQ ZADA^ \TOGO I SLEDU@]EGO PUNKTOW, NE SU]ESTWUET .
rIS. 30
pUSTX, K PRIMERU, D | WNUTRENNOSTX OKRUVNOSTI C , a G | WNENOSTX OKRUVNOSTI Ce . wZQW TO^KI z1 z2 z3 SOOTWETSTWENNO WNUTRI , WNE I NA OKRUVNOSTI C , A TO^KI w1 w2 w3 | WNE , WNUTRI I NA OKRUVNOSTI Ce , PRI^EM TAK, ^TOBY TO^KI z1 I z2 BYLI SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO C , a w1 I w2 | OTNOSITELXNO Ce (W KA^ESTWE z1 I w2 MOVNO WZQTX CENTRY OKRUVNOSTEJ C I Ce , A W KA^ESTWE z2 I w1 | BESKONE^NOSTX RIS. 30), SLEDUET POSTROITX DROBNO-LINEJNU@ FUNKCI@ KAK W PREDYDU]EM PUNKTE. oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO TO^KI, LEVA]IE PO ODNU STORONU OT OKRUVNOSTI , NE MOGUT PEREJTI W TO^KI, LEVA]IE PO RAZNYE STORONY OT OKRUVNOSTI Ce : L@BYE DWE TO^KI IZ WNENOSTI OKRUVNOSTI C MOVNO SOEDINITX LOMANOJ , NE PERESEKA@]EJ \TU OKRUVNOSTX, A OBRAZ \TOJ LOMANOJ PRI DROBNO-LINEJNOM OTOBRAVENII ESTX (W SILU \KRUGOWOGO" SWOJSTWA) \LOMANAQ" (IZ DUG OKRUVNOS-
99
TEJ), NE PERESEKA@]AQ OKRUVNOSTI Ce . (rAZBOR DRUGIH SLU^AEW OBLASTEJ D I G PROWODITSQ PO \TOJ VE SHEME.) 3. nAJTI OB]IJ WID DROBNO-LINEJNYH FUNKCIJ, OTOBRAVA@]IH: a) KRUG z 2 C : jz j < 1 NA KRUG w 2 C : jw j < 1 (ILI, KAK GOWORQT, EDINI^NYJKRUG \NA SEBQ") z 2 C : Im z > 0 NA POLUPLOSKOSTX B) POLUPLOSKOSTX w 2 C : Im w> 0 (WERHN@@ POLUPLOSKOSTX \NA SEBQ") W) WERHN@@ POLUPLOSKOSTX NA EDINI^NYJ KRUG . l@BOE DROBNO -LINEJNOE OTOBRAVENIE KRUGA jzj < 1 NA KRUG jwj < 1 (PUNKTa) PREOBRAZUET OKRUVNOSTX jzj =1 W OKRUVNOSTX jwj =1 . tAK KAK NEKOTORAQ TO^KA z1 jz1 j < 1, PEREHODIT W 0, SIMMETRI^NAQ EJ (OTNOSITELXNO OKRUVNOSTI jzj = 1) TO^Ka z2 PEREHODIT W 1. pOSKOLXKU z2 = z(z1);1 PRI z1 6= 0 I z2 = 1 PRI z1 = 0, TO (S U^ETOM ZAME^ANIQ NA S. 92) W OBOIH SLU^AQH w = 1z;;zz11z , GDE | NENULEWOE KOMPLEKSNOE ^ISLO . pODSTANOWKA z z=;z1 POZWOLQET ZAKL@^ITX : ; 1 i jj =1, A SLEDOWATELXNO, w = e 1;z1 z jz1j < 1 2 R . |TA VE SHEMA RASSUVDENIJ PRIMENITELXNO K PUNKTAM B) I W) DAET OTWETY: B) ww;;ww11 = ei zz;;zz11 , W) w = ei zz;;zz11 , GDE z1 I w1 | TO^KI WERHNEJ PoLUPLOSKOSTI , A | DEJSTWITELXNoe ^ISLo.
oTWET K PUNKTU B) MOVNO PREDSTAWITX I W DRUGOJ FORME. fUNKCIQ +b POLUPLOSKOSTX Im z > 0 NA POLUPLOSw = az cz+d , OTOBRAVA@]AQ KOSTX Im w > 0 , TO^KI DEJSTWITELXNOJ OSI DOLVNa PEREWODITX W TO^KI DEJSTWITELXNOJ OSI. OTc@DA SLEDUET, ^TO (S TO^NOSTX@ DO OB]EGO NENULEWOGO MNOVITELQ) KO\FFICIENTY a b c d DOLVNY BYTX DEJSTWITELXNYMI . tREBOWANIE, ^TOBY ZNA^ENIQM z c Im z > 0 SOOTWETSTWOWALI ZNA^ENIQ w c Im w> 0, W ZAPISI z = x + iy OZNA^AET: iy)+b = (ad;bc) y PRI y> 0, T. E. a b > 0. 0 < Im ca((xx++iy c d )+d (cx+d)2 +(cy)2
100 ;
oTOBRAVA@]IE SWOJSTWA FyNKCII w = 12 z + z1 |TA FUNKCIQ (W OTE^ESTWENNOJ LITERATURE IMENUEMAQ FUNKCIEJ vUKOWSKOGO 1 ) NE QWLQETSQ DROBNO-LINEJNOJ , NO, OTLI^AQSX PO SWOJSTWAM, BLIZKA K NIM PO ROLI W PRAKTIKE KONFORMNYH OTOBRAVENIJ . ; rAZREIMOSTX URAWNENIQ w = 12 z + z1 OTNOSITELXNO z PRI L@BOM w 2 C GOWORIT O TOM, ^TO FUNKCIQ vUKOWSKOGO OTOBRAVAET PLOSKOSTX C NA WS@ PLOSKOSTX C ; (ZNA^ENIQM z =0 I z = 1 OTWE^AET w = 1). TAK KAK w0 = 12 1 ; z12 , KONFORMNOSTX \TOGO OTOBRAVENIQ GARANTIROWANA WO WSEH OTLI^NYH OT 0 I 1 TO^KAH z 2 C .2 B OTLI^IE ; 1 OT DROBNO-LINEJNYH , oTOBRAVENIE FUNKCIEJ 1 w = 2 z + z NE QWLQETSQ WZAIMNO-ODNOZNA^NYM : ZNA^ENIQM z = z1 z2, DLQ KOTORYH z1 z2 = 1, OTWE^AET ODNO I TO VE ZNA^ENIE w . pO -DRUGOMU \TO MOVNO WYRAZITX ; 1 SLOWAMI: OB1 RATNOJ PO OTNOENI@ K FUNKCII w = 2 z + z QWLQETSQ DWUp 2 ZNA^NAQ FUNKCIQ z = w+ w ; 1 (GDE I KAK MOVNO WYDELITX EE ODNOZNA^NYE WETWI , UKAZANO ; W1 IV NA c. 69). 1 sUTX OTOBRAVENIQ w = 2 z + z PROQSNITSQ, ESLI PROSLEDITX ZA OBRAZAMI TO^EK OKRUVNOSTEJ RADIUSOW r> 1 S CENTROM z = 0. zAPISX z = reit = r(cos t + i sin t) w = u + iv , PRIWODIT K SOOTNOENIQM ; ; u + iv = 21 reit + re1it = 12 r(cos t + i sin t)+ 1r (cos t ; i sin t) = ; ; = 12 r + 1r cos t + i 12 r ; 1r sin t, nIKOLAJ eGOROWI^ vUKOWSKIJ (1847 {1921) | ROSSIJSKIJ MEHANIK, DLQ KOTOROGO \TA FUNKCIQ POSLUVILA OTPRAWNYM PUNKTOM W RAZRABOTKE TEORII POD_EMNOJ SILY KRYLA SAMOLETA. 2 nA SAMOM DELE KONFORMNOSTX IMEET MESTO I W \OSOBYH" TO^KAH 0 I 1, ESLI PEREMENNYE z I w OTME^ATX NA SFERE rIMANA . 1
101
T. E. PARAMETRI^ESKOMU ZADANI@ \LLIPSOW PE; 1 NA ; PLOSKOSTI 1 1 1 REMENNOJ w = u+iv S POLUOSQMI 2 r + r I 2 r ; r | cOOTWETSTWENNO NA ee DEJSTWITELXNOJ I MNIMOJ OSQH (RIS. 31 STRELKI UKAZYWA@T NAPRAWLENIE DWIVENIQ TO^EK PRI WOZRASTANII PARAMETRA t).
rIS. 31
sOOTWETSTWIE MEVDU TO^KAMI UKAZANNYH OKRUVNOSTEJ I \LLIPSOW QWLQETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NYM , A W SOWOKUPNOSTI \TI \LLIPSY ZAPOLNQ@T WS@ PLOSKOSTX C ZA ISKL@^ENIEM OTREZKA ;1 1]. oBRAZ PLOSKOSTI (KAK C , TAK I C ) PEREMENNOJ z S \PROREHOJ" W WIDE KRUGA jzj 6 1 ESTX PO\TOMU WSQ PLOSKOSTX (SOOTWETSTWENNO C I C ) PEREMENNOJ
102
w c \RAZREZOM" PO OTREZKU ;1 1] (ZNA^ENI@ z = 1 SOOTWETSTWUET w = 1). ; zAMENA z NA z1 NE MENQET FUNKCII w = 12 z + z1 , NO PEREWODIT TO^KU 1 W TO^KU 0, a OKRUVNOSTI RADIUSOW r > 1 (S CENTROM z =0) | W KONCENTRI^ESKIE OKRUVNOSTI RADIUSOW 1r < 1, NO OBHODIMYE W PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENII: ZNA^ENIQM z = reit SOOTWETSTWU@T w = 1r e;it . wYWODY MOVNO OFORMITX W WIDE SLEDU@]EGO UTWERVDENIQ. ; fUNKCIQ w = 21 z + 1z , z 2 C , OSU]ESTWLQET WZAIMNOODNOZNA^NOE I KONFORMNOE 1 OTOBRAVENIE: KAK WNUTRENNOSTI OKRUVNOSTI z 2 C : jzj = 1 , TAK I EE WNENOSTI (WKL@^AQ 1), NA WS@ PLOSKOSTX C c \RAZREZOM" PO OTREZKU ;1 1] MNOVESTW jzj > 1 \ Im z > 0 I jzj <1 \ Im z < 0 (KAVDOE) | NA POLUPLOSKOSTX Im w > 0 , A MNOVESTW jzj > 1 \ Im z < 0 I jzj < 1 \ Im z > 0 | NA POLUPLOSKOSTX Im w < 0 oBRATNYE OTOBRAVENIQ PROIZWODQT ODNOZNA^NYe WETWI p 2 OBRATNOJ FUNKCII z = w + w ; 1 (IV, c. 69). tAK; KAK PODSTANOWKA z = eit PREOBRAZUET SOOTNOENIE w = 21 z + z1; W w= cos t, OKRUVNOSTX z 2 C : jzj = 1 FUNKCIEJ w = 21 z + z1 PEREWODITSQ W DWAVDY PROHODIMYJ OTREZOK ;1 1]: SIMMETRI^NYE OTNOSITELXNO DEJSTWITELXNOJ OSI TO^KI z = eit I z = e;it \TOJ OKRUVNOSTI PEREHODQT W ODNU I TU VE TO^KU w 2 ;1 1]. HAGLQDNYM;STANOWITSQ NA 1 1 RUENIE KONFORMNOSTI OTOBRAVENIQ w = 2 z + z W TO^KAH z = 1. 1
w \NEOSOBYH" TO^KAH.
103 ;
sREDI PRO^EGO FUNKCIQ w = 12 z + z1 WKUPE S DROBNO-LINEJNYMI UPRO]AET IZU^ENIE OTOBRAVENIJ TRIGONOMETRI^ESKIMI (RAWNO KAK I GIPERBOLI^ESKIMI ) FUNKCIQMI. K PRIMERU, PREDSTAWLENIE w =cos z W WIDE KOMPOZICII ; z 7;! iz 7;! eiz 7;! 21 eiz + e1iz = cos z POZWOLQET NAGLQDNO PREDSTAWITX PREOBRAZOWANIE PRI \TOM OTOBRAVENII, NAPRIMER, \IZLOMANNOJ" POLOSY (RIS. 32).
rIS. 32
104 pODOBNYE PREDSTAWLENIQ OTOBRAVENIJ w = ch z I w = sin z SOOTWETSTWENNO NA ODIN AG; KORO^EI DLINNEE: ; z 7;! ez 7;! 12 ez + e1z = ch z , a sin z = cos 2 ; z W SLU^AE w =tg z FUNKCI@ vUKOWSKOGO SMENQET DROBNO-LINEJNAQ : eiz ;e;iz 2 iz z 7;! 2iz 7;! e2iz 7;! iee 2iz;+1i = eiz +2ei;iz = tg z . 2 uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO a) OTOBRAVENIE w = z1 RAWNOSILXNO POSLEDOWATELXNOMU WYPOLNENI@ (W L@BOM PORQDKE) DWUH PREOBRAZOWANIJ SIMMETRII : OTNOSITELXNO EDINI^NOJ OKRUVNOSTI I DEJSTWITELXNOJ OSI B) PREOBRAZOWANIE PODOBIQ w = z (S KO\FFICIENTOM > 0) SWODITSQ K DWUM PREOBRAZOWANIQM SIMMETRII OTNOSITELXNO OKRUVNOSTEJ S OB]IM CENTROM 0 W) POWOROT w = ei z NA UGOL (WOKRUG TO^KI 0) RAWNOSILEN DWUM PREOBRAZOWANIQM SIMMETRII OTNOSITELXNO PERESEKA@]IHSQ (W \TOJ TO^KE) PRQMYH G) SDWIG w = z + b NA WEKTOR b RAWNOSILEN DWUM PREOBRAZOWANIQM SIMMETRII OTNOSITELXNO PERPENDIKULQRNYH K WEKTORU b PRQMYH . nA OSNOWANII \TOGO PRIJTI K WYWODU: L@BOE DROBNO-LINEJNOE PREOBRAZOWANIE RAWNOSILXNO WYPOLNENI@ ^ETNOGO ^ISLA SIMMETRIJ (OTNOSITELXNO PRQMYH I OKRUVNOSTEJ ). +b 2. pROWERITX, ^TO DROBNO-LINEJNYE OTOBRAVENIQ w = az cz +d , SOOTWETSTWU@]IE WRA]ENIQM SFERY rIMANA, | \TO TE, KOTORYE IME@T WID w;w1 i z ;z1 1+w1 w = e 1+z1 z ILI (^TO \KWIWALENTNO) HARAKTERIZU@TSQ SOOTNO; ENIQMI ad = ; bc = ; cb = ad . uKAZANIQ: A) PRI TAKIH OTOBRAVENIQH PARY TO^EK z1 z2 c z1 z2 = ;1, KOTORYM PRI STEREOGRAFI^ESKOJ PROEKCII SOOTWETSTWU@T DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYE TO^KI SFERY rIMANA (I, UPRAVNENIE 6), PEREHODQT W PARY TO^EK w1 w2 S TAKIM VE SWOJSTWOM B) NEPODWIVNYE TO^KI TAKIH OTOBRAVENIJ SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO CENTRA SFERYrIMANA I QWLQ@TSQ TO^KAMI EE PERESE^ENIQ S OSX@ WRA]ENIQ SFERY. 3. pRIMENQQ PODSTANOWKU z = et ei ;1 < t < +1, NAJTI ; OBRAZY LU^EJ z 2 C : arg z = PRI OTOBRAVENII FUNKCIEJ w = 21 z + z1 .
105
kAKIE MNOVESTWA NA PLOSKOSTI C NAZYWA@T OBLASTQMI, A FUNKCII | ANALITI^ESKIMI fUNKCI@ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z) NAZYWA@T ANALITI^ESKOJ 1 W TO^KE z 2 C , ESLI ONA IMEET PROIZWODNU@ NE TOLXKO W \TOJ TO^KE , NO I W NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI (W NEKOTOROM KRUGE S CENTROM W \TOJ TO^KE ). fUNKCI@, ANALITI^ESKU@ W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA E C , NAZYWA@T ANALITI^ESKOJ NA \TOM MNOVESTWE, A ANALITI^ESKU@ W KAVDOJ TO^KE PLOSKOSTI C | CELOJ . VII .
tERMIN ANALITI^ESKIE FUNKCII IMEL HOVDENIE W MATEMATIKE E]E DO ZAROVDENIQ TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, ODNAKO WNQTNOGO SMYSLA ON NE IMEL. w ^ASTNOSTI, WHODQ W NAZWANIE MONOGRAFII lAGRANVA 37], ON NE WSTRE^AETSQ W EE TEKSTE. kOI (28], ser. 1, t. 12, p. 35, 228) WWEL SLEDU@]U@ TERMINOLOGI@: \fUNKCIQ DEJSTWITELXNOJ ILI MNIMOJ PEREMENNOJ z BUDET NAZYWATXSQ MONODROMNOJ , ESLI ONA NE PERESTAET BYTX NEPRERYWNOJ POKA NE OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX ONA BUDET NAZYWATXSQ MONOGENNOJ , ESLI U NEE ESTX MONODROMNAQ PROIZWODNAQ. fUNKCIQ MOVET BYTX MONODROMNOJ I MONOGENNOJ TOLXKO DLQ ZNA^ENIJ z , SOOTWETSTWU@]IH WNUTRENNIM TO^KAM NEKOTOROJ OBLASTI . . . sINEKTI^ESKOJ Q NAZYWA@ FUNKCI@, KOTORAQ DLQ WSEH KONE^NYH ZNA^ENIJ PEREMENNOJ, OT KOTOROJ ONA ZAWISIT, QWLQETSQ NE TOLXKO MONODROMNOJ I MONOGENNOJ, NO I KONE^NOJ." 2 1 wARIANTY: GOLOMORFNOJ , REGULQRNOJ . gOWORQ, ^TO \ w = f (z) ESTX ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ " PODRAZUMEWA@T, ^TO W PLOSKOSTI C ESTX TO^KI, W KOTORYH DANNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ . 2 w ORIGINALE: \Une fonction de la variable r eelle ou imaginaire z sera dite monodrome , si elle ne cesse d'^etre continue qu'en devenant innie elle sera dite monog ene , si elle a une derivee monodrome. Une fonction peut ^etre monodrome et monog ene, seulement pour les valeurs de z correspondantes aux points interieurs d'une certaine aire . . . J'app elle synectique une fonction qui, pour une valeur nie de la variable dont elle depend, est toujours, non seulement monodrome et monog ene, mais encore nie."
106 pROISHOVDENIE \TIH (KAK I DRUGIH WWODIMYH IM) TERMINOW kOI NE OB_QSNQL1, A IH TRAKTOWKA OKAZYWAETSQ NEDOSTATO^NO WNQTNOJ. w 1875 G. WO 2-M IZDANII MONOGRAFII bRIO I bUKE 23] (S. 14) TERMIN kOI SINEKTI^ESKAQ (FUNKCIQ) BYL WPERWYE ZAMENEN NA GOLOMORFNAQ 2 ON I WOEL W OBIHOD NARAWNE S TERMINOM ANALITI^ESKAQ 3, KOTORYM POLXZOWALSQ wEJERTRASS4 43] (Bd. I, S. 51 Bd. II, S. 77). mETAMORFOZA \TIH TERMINOW OTRAVENA, NAPRIMER, W KNIGE |. bORELQ 22]. nYNE MONOGENNOSTX5 PONIMA@T KAK SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ 5 (W TOM ILI INOM SMYSLE), A ANALITI^NOSTX5, GOLOMORFNOSTX5 I REGULQRNOSTX5 | KAK SINONIMY SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ f 0 (z) (W OBY^NOM SMYSLE) NE TOLXKO W TO^KE z0 , NO I W NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI , ILI, ^TO \KWIWALENTNO (II, S. 33 XII, S. 180), RAZLOVIMOSTI FUNKCII w = f (z) W RQD PO STEPENQM z ; z0 W NEKOTOROM KRUGE S CENTROM z0 .
qWLQQSX ANALITI^ESKOJ W KAKOJ-LIBO TO^KE z 2 C , T. E. IMEQ PROIZWODNU@ W NEKOTOROM KRUGE S CENTROM z , FUNKCIQ OKAZYWAETSQ ANALITI^ESKOJ WO WSEH TO^KAH \TOGO KRUGA (RIS. 33, a). wYWOD: DLQ L@BOJ FUNKCII MNOVESTWO WSEH TO^EK , W KOTORYH ONA QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ , OTKRYTO .
rIS. 33 gRE^. oo& | ODIN, EDINSTWENNYJ oo& | BEG, MESTO DLQ BEGA
"o& | PROISHOVDENIE, ROD " & | SWQZNYJ, NEPRERYWNYJ . 2 t. E. PODOBNAQ CELOJ (GRE^. oo& | CELYJ o ' | WID). 3 pODRAZUMEWA@]IM RAZLOVIMOSTX FUNKCII W STEPENNOJ RQD . 4 Weierstrass, Karl, 1815{1897, | NEMECKIJ MATEMATIK, OSNOWATELX (WMESTE S kOI I rIMANOM) TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ . 5 fUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z) W TO^KE z 2 C . 0 1
107
tO, ^TO MNOVESTWO O C QWLQETSQ OTKRYTYM , OZNA^AET, ^TO WSE EGO TO^KI OKAZYWA@TSQ WNUTRENNIMI TO^KAMI \TOGO MNOVESTWA (KAVDAQ WHODIT W NEGO WMESTE S NEKOTOROJ OKRESTNOSTX@ ). sIMWOLI^ESKI \TO WYRAVAETSQ FORMULOJ ; 8z z 2 O =) 9 > 0 8 ; j ; zj < =) 2 O.1 iZ RAZBORA PRIMEROW W V NA STR. 71 SLEDUET: a) w = z 2 | CELAQ FUNKCIQ B) SUMMA STEPENNOGO RQDA S NENULEWYM RADIUSOM SHODIMOSTI r QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ W KRUGE SHODIMOSTI \TOGO RQDA (a PRI r =+1 | CELOJ ). W) FUNKCIQ w = jzj2 (IME@]AQ PROIZWODNU@ W EDINSTWENNOJ TO^KE z =0) NE QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ . oTKRYTOE MNOVESTWO O C NAZYWA@T OBLASTX@ 2, ESLI DLQ L@BYH DWUH EGO TO^EK z1 z2 SU]ESTWUET SOEDINQ@]IJ IH PUTX W O | ZADANNAQ NA NEKOTOROM OTREZKE a b] R I NEPRERYWNAQ NA NEM FUNKCIQ z = z(t) SO SWOJSTWAMI: z(t) 2 O PRI t 2 a b] z(a)= z1 z(b)= z2 (RIS. 33, B ). nA SAMOM DELE SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE UTWERVDENIE O SOEDINIMOSTI MEVDU SOBOJ TO^EK OBLASTI . l@BYE DWE TO^KI OBLASTI MOVNO SOEDINITX, NE WYHODQ ZA PREDELY \TOJ OBLASTI, LOMANOJ 3, PRI^EM MOVNO DOPOLNITELXNO POTREBOWATX, ^TOBY KAVDOE ZWENO \TOJ LOMANOJ BYLO PARALLELXNO ODNOJ IZ KOORDINATNYH OSEJ (RIS. 34). oBOZNA^ENIE OTKRYTYH MNOVESTW O | PO NA^ALXNOJ BUKWE FR. ouvert, ANGL. open I NEM. oen | OTKRYTYJ . pUSTOE MNOVESTWO ' OTKRYTO (DLQ NEGO ZNA^ENIE \TOJ FORMULY | ISTINA ), NO WSE UPOMINAEMYE NIVE OTKRYTYE MNOVESTWA PODRAZUMEWA@TSQ NEPUSTYMI . 1
2
dLQ OBOZNA^ENIQ OBLASTEJ ^A]E WSEGO ISPOLXZU@T BUKWY D I G
(NA^ALXNYE ANGL. domain I NEM. Gebiet | OBLASTX).
sOSTOQ]EJ IZ KONE^NOGO ^ISLA POSLEDOWATELXNO SOEDINENNYH PRQMOLINEJNYH OTREZKOW . 3
108
rIS. 34
dOKAZATELXSTWO (OT \PROTIWNOGO"). pUSTX D | OBLASTX, KAKIE-TO DWE TO^KI KOTOROGO NE SOEDINIMY (W PREDELAH \TOJ OBLASTI) LOMANOJ . nO | SOGLASNO OPREDELENI@ OBLASTI | DLQ \TIH TO^EK ESTX SOEDINQ@]IJ ; IH (W PREDELAH OBLASTI) PUTX z = z(t) t 2 a b]. tO^KA z a+2 b , SOOTWETSTWU@]AQ SEREDINE OTREZKA a b], OKAZYWAETSQ LIBO SOEDINIMOJ , LIBO NE SOEDINIMOJ S TO^KOJ z(a) LOMANOJ W PERWOM SLU^AE W KA^ESTWE a1 b1 ] WYBIRA@T OTREZOK a+2 b b], A WO WTOROM | OTREZOK a a+2 b ]. tAK ILI INA^E PUTX z = z(t) t 2 a1 b1 ], SOEDINQET TO^KI, NE SOEDINIMYE (W PREDELAH OBLASTI D) LOMANOJ . s OTREZKOM a1 b1 ] POSTUPA@T TAK VE: W SLU^AE SOEDINIMOSTI (W PREDELAH OBLASTI D) TO^KI z(a1 +2 b1 ) S TO^KOJ z(a1 ) LOMANOJ W KA^ESTWE a2 b2] BERUT OTREZOK a1 +2 b1 b], W SLU^AE VE IH NESOEDINIMOSTI POLAGA@T a2 b2 ] = a a1 +2 b1 ]. pOSLEDOWATELXNOE WYPOLNENIE \TOJ PROCEDURY PRIWODIT K STQGIWA@]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW a b] a1 b1 ] a2 b2] an bn ] , IME@]IH OB]U@ TO^KU . tAK KAK OBLASTX D | OTKRYTOE MNOVESTWO, TO^KA z( ) PRINADLEVIT OBLASTI D WMESTE S NEKOTORYM KRUGOM S CENTROM z( ), A ESLI U^ESTX, ^TO
109
fz(an)g! z( ) I fz(bn)g! z( ) (WWIDU NEPRERYWNOSTI FUNKCII z = z(t) NA OTREZKE a b]), TO SLEDUET WYWOD: OBE TO^KI z(an) z(bn) POPADA@T (PRI DOSTATO^NO BOLXOM n ) W UKAZANNYJ KRUG , PRI^EM | PO POSTROENI@ | \TI TO^KI NE SOEDINIMY (W PREDELAH OBLASTI D ) LOMANOJ . nO \TO PROTIWORE^IT \LEMENTARNOMU GEOMETRI^ESKOMU FAKTU: W PREDELAH KRUGA L@BYE DWE EGO TO^KI SOEDINIMY MEVDU SOBOJ LOMANOJ (SO ZWENXQMI, PARALLELXNYMI OSQM KOORDINAT). Q.E.D. zAME^ANIE. sOEDINIMOSTX TO^EK POSREDSTWOM LOMANOJ ESTX BOLEE SILXNOE TREBOWANIE, NEVELI IH SOEDINIMOSTX POSREDSTWOM PUTI : ESLI z0 z1 z2 : : : zn zn+1 | POSLEDOWATELXNYE WERINY LOMANOJ , SOEDINQ@]EJ TO^KI z0 zn+1 , TO 8 z0 + t (z1 ; z0 ) PRI 0 6 t 6 1 > > > < z = >z1 + (t ; 1)(z2 ; z1 ) PRI 1 6 t 6 2 t 2 0 n +1], : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : > > : zn + (t ; n)(zn+1 ; zn) PRI n 6 t 6 n +1 ESTX PUTX (OSU]ESTWLQ@]IJ OBHOD \TOJ LOMANOJ ), KOTORYJ SOEDINQET TO^KI z0 zn+1.
w MATEMATIKE RAZLI^A@T PONQTIQ SWQZNOGO I LINEJNOGO SWQZNOGO MNOVESTWA 1. mNOVESTWO E NAZYWA@T SWQZNYM , ESLI PRI L@BOM EGO RAZDELENII NA DWA (NEPUSTYH I NEPERESEKA@]IHSQ ) PODMNOVESTWA E0 E1 PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ NIH SODERVIT (HOTQ BY ODNU ) PREDELXNU@ TO^KU DRUGOGO .2 mNOVESTWO E NAZYWA@T LINEJNO SWQZNYM , ESLI DLQ L@BYH DWUH EGO TO^EK z0 z1 SU]ESTWUET SOEDINQ@]IJ IH PUTX z = z (t) t 2 a b], PROHODQ]IJ PO MNOVESTWU E . 1 zDESX RE^X IDET O MNOVESTWAH NA PLOSKOSTI C , NO \TI PONQTIQ PRIMENIMY K MNOVESTWAM W KOORDINATNYH PROSTRANSTWAH Rn L@BOJ RAZMERNOSTI (I W BOLEE OB]IH PROSTRANSTWAH). 2 |KWIWALENTNO: NE SU]ESTWUET DWUH NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH MNOVESTW O0 O1 , OB_EDINENIE KOTORYH SODERVIT WSE MNOVESTWO E , A KAVDOE IZ NIH OTDELXNO | ^ASTX \TOGO MNOVESTWA.
110 l@BOE LINEJNO SWQZNOE MNOVESTWO QWLQETSQ SWQZNYM 1 OBRATNOE VE UTWERVDENIE (DLQ MNOVESTW, NE QWLQ@]IHSQ OTKRYTYMI ) NEWERNO (UPRAVNENIE 3). dLQ OTKRYTYH MNOVESTW O C PONQTIQ SWQZNOSTI , LINEJNOJ SWQZNOSTI I SWQZNOSTI POSREDSTWOM LOMANYH SOWPADA@T. dLQ PROWERKI \TOGO (S U^ETOM DOKAZANNOGO WYE) DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO L@BYE DWE TO^KI SWQZNOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA O MOVNO SOEDINITX LOMANOJ , NE WYHODQ]EJ ZA PREDELY \TOGO MNOVESTWA. eSLI BY \TO BYLO NE TAK, T. E. ESLI BY DLQ KAKIH-TO DWUH TO^EK z0 z1 2 O TAKOJ LOMANOJ NE SU]ESTWOWALO, TO MNOVESTWO O OKAZYWALOSX BY OB_EDINENIEM DWUH NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH MNOVESTW O0 def = fz 2 O : z SOEDINIMA S z0 LOMANOJ W Og, O1 def = fz 2 O : z NE SOEDINIMA S z0 LOMANOJ W Og, NI ODNA TO^KA KAVDOGO IZ KOTORYH NE QWLQETSQ PREDELXNOJ DLQ DRUGOGO.
l@BOE OTKRYTOE MNOVESTWO O C QWLQETSQ LIBO OBLASTX@ , LIBO OB_EDINENIEM KONE^NOGO ILI BESKONE^NOGO2 ^ISLA NEPERESEKA@]IHSQ OBLASTEJ 3.
dLQ DOKAZATELXSTWA DOSTATO^NO RAZDELITX MNOVESTWO O NA PODMNOVESTWA, OTNOSQ TO^KI z1 z2 2 O K ODNOMU PODMNOVESTWU, ESLI \TI TO^KI SOEDINIMY W MNOVESTWE O LOMANOJ . pOLU^ENNYE MNOVESTWA OKAZYWA@TSQ OTKRYTYMI , LINEJNO SWQZNYMI , I NEPERESEKA@]IMISQ . 1 dOKAZATELXSTWO. pUSTX E = E E | L@BOE RAZDELENIE LINEJ0 1 NO SWQZNOGO MNOVESTWA E NA DWA (NEPERESEKA@]IHSQ) PODMNOVESTWA I z = z (t) t 2 a b] | PROHODQ]IJ PO MNOVESTWU E PUTX , SOEDINQ@]IJ KAKIE-TO TO^KI z0;2 E0 I z1 2 E1 . w KA^ESTWE a1 b1 ] ;WYBIRAETSQ OTREZOK a+2 b b], ESLI z a+2 b 2 E0 , I OTREZOK a a+2 b ], ESLI z a+2 b 2 E1 W TOM I DRUGOM SLU^AE z (a1) 2 E0 z (b1) 2 E1 . pOSLEDOWATELXNOE PRODOLVENIE \TOGO PROCESSA PRIWODIT K STQGIWA@]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW a b] a1 b1 ] a2 b2 ] an bn ] SO SWOJSTWOM: z (an) 2 E0 z (bn) 2 E1 n = 1 2 : : : eSLI | OB]AQ TO^KA \TIH OTREZKOW , TO z ( ) QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ DLQ OBOIH MNOVESTW E0 E1 (WNE ZAWISIMOSTI OT TOGO, KOTOROMU IZ NIH ONA PRINADLEVIT). Q.E.D. 2 tO^NEE, S^ETNOGO . 3 |TO VE OTNOSITSQ K OTKRYTYM MNOVESTWAM O Rn .
111
sOPOSTAWLENIE POSLEDNEGO UTWERVDENIQ S OPREDELENIEM ANALITI^NOSKOJ FUNKCII (S. 105) I KRITERIEM SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ (V , c. 73, 77) POZWOLQET SDELATX SLEDU@]IE WYWODY. 1. l@BU@ ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ MOVNO S^ITATX TAKOWOJ W NEKOTOROJ OBLASTI .1 2. fUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA ONA IMEET PROIZWODNU@ f 0(z) W KAVDOJ TO^KE \TOJ OBLASTI .2 3. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ w = f (z) BYLA ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C , DOSTATO^NO , ^TOBY KAK FUNKCIQ w = f (x+iy) DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH ONA IMELA W @f \TOJ OBLASTI NEPRERYWNYE ^ASTNYe PROIZWODNYe @f @x @y S @f WYPOLNENIEM USLOWIQ kOI { rIMANA @f @x + i @y = 0 (A W POLQRNYH KOORDINATAH | NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE @f @f S WYPOLNENIEM USLOWIQ @f + i @f =0). @r @' @r r @' kAK SLEDSTWIQ, SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE UTWERVDENIQ. +P 1 +P 1 CUMMY RQDOW cn(z ;z0 )n I cn(z ;z0 )n | STEPENNOGO n=0 n=;1 I OBOB]ENNOGO STEPENNOGO | QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI SOOTWETSTWENNO W KRUGE I KOLXCE SHODIMOSTI \TIH RQDOW (V , S. 72). eSLI OTKRYTOE (c. 106) MNOVESTWO O WSEH TO^EK ANALITI^NOSTI FUNKCII w = f (z) NE QWLQETSQ OBLASTX@ , TO ONO OKAZYWAETSQ OB_EDINENIEM O = j Dj NEPERESEKA@]IHSQ OBLASTEJ , I FUNKCI@ w = f (z) UDOBNEE IZU^ATX OTDELXNO W KAVDOJ IZ NIH. 2 tOGDA KAK SU]ESTWOWANIE U FUNKCII PROIZWODNOJ W TO^KE I EE ANALITI^NOSTX W TO^KE | \TO RAZNYE TREBOWANIQ (PRIMER FUNKCII w = jz j2 NA S. 107). 1
112
|KSPONENCIALXNAQ FUNKCIQ w = exp x = ez (II, c. 36) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOSTI C (T. E. CELOJ ). oDNOZNA^NAQ WETWX LOGARIFMA w = ln z = ln r + i' QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ W L@BOJ OBLASTI D C , GDE OPREDELENA ODNOZNA^NAQ WETWX ARGUMENTA ' = arg z (NAPRIMER, W PLOSKOSTI C c \RAZREZOM" PO L@BOMU LU^U , WYHODQ]EMU IZ TO^KI 0 V, c. 78). |LEMENTARNYE FUNKCII 1 (W SLU^AE IH MNOGOZNA^NOSTI | IH ODNOZNA^NYE WETWI ) QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI W TEH OBLASTQH PLOSKOSTI C , GDE ONI OPREDELENY.
uSLOWIQ POSTOQNSTWA ANALITI^ESKOJ FUNKCII W OBLASTI. eSLI DLQ FUNKCII w = f (z), ANALITI^ESKOJ W OB-
LASTI D C , WYPOLNENO ODNO IZ USLOWIJ : 1) f 0 (z) 0 2) Re f (z) c 3) Im f (z) c 4) arg f (z) c 5) j f (z) j c (GDE c | NEKOTOROE DEJSTWITELXNOE ^ISLO ), TO \TA FUNKCIQ QWLQETSQ POSTOQNNOJ W OBLASTI D. dOKAZATELXSTWO. kAVDOE IZ \TIH PQTI USLOWIJ WLE^ET RAWENSTWO NUL@ (W KAVDOJ TO^KE OBLASTI D) ^ASTNYH PRO@u @v @v IZWODNYH @u @x @y @x @y FUNKCIJ u = Re f (x + iy) I v = Im f (x + iy). w PERWYH TREH SLU^AQH \TO WYTEKAET IZ @f USLOWIQ kOI { rIMANA @f @x + i @y =0 WKUPE S SOOTNOENIQMI @f @u @v @f @u @v f 0(z)= @f @x @x = @x + i @x @y = @y + i @y (V, c. 73). ~ETWERTYJ SLU^AJ SWODITSQ K TRETXEMU (UMNOVENIEM FUNK; CII NA ^ISLO e;ic): Im e;icf (z) =0. w PQTOM SLU^AE f (z) 0, ESLI c = 0, a ESLI c 6= 0, TO TOVDESTWO u2(x y) + v2 (x y) c2 WLE^ET WYPOLNENIE W KAVDOJ TO^KE (x y) 2 D RAWENSTW
T. E. WYRAVAEMYE ^EREZ PEREMENNU@ I KONSTANTY KOMBINACIQMI ^ETYREH OSNOWNYH DEJSTWIJ , \KSPONENTY I LOGARIFMA (III, c. 51). 1
113 (
@u u + @v v =0 @x @v v =0: @u u + @x @y @y
rASSMATRIWAQ \TI RAWENSTWA KAK ODNORODNU@ SISTEMU LINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ , IME@]U@ NENULEWOE REENIE (u v), MOVNO UTWERVDATX, ^TO OPREDELITELX \TOJ SISTEMY RAWEN NUL@ W L@BOJ TO^KE (x y) 2 D, A SLEDOWATELXNO (c U^ETOM USLOWIJ kOI { rIMANA), RAWNY NUL@ W OBLASTI @u @v @v D WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE @u @x @y @x @y . dLQ ZAWERENIQ DOKAZATELXSTWA OSTAETSQ WOSPOLXZOWATXSQ SWOJSTWOM SOEDINIMOSTI TO^EK OBLASTI POSREDSTWOM LOMANYH (S. 107): KAKOWY BY NI BYLI TO^KI z0 z1 2 D , SU]ESTWUET SOEDINQ@]AQ IH LOMANAQ L D , KAVDYJ IZ SOSTAWLQ@]IH OTREZKOW KOTOROJ PARALLELEN ODNOJ IZ OSEJ KOORDINAT (KAK NA RIS. 33, B ). nA KAVDOM IZ \TIH OTREZKOW ZNA^ENIQ u(x y) I v(x y) QWLQ@TSQ FUNKCIQMI TOLXKO ODNOJ PEREMENNOJ (x ILI y), PROIZWODNAQ PO KOTOROJ RAWNA NUL@ NA \TOM OTREZKE. wYWOD: FUNKCII u = u(x y) I v = v(x y) QWLQ@TSQ POSTOQNNYMI NA KAVDOM OTREZKE LOMANOJ , A SLEDOWATELXNO, f (z0)= f (z1), T. E. FUNKCIQ w = f (z) W L@BYH DWUH TO^KAH OBLASTI D PRINIMAET RAWNYE ZNA^ENIQ. Q.E.D. wOT PRQMOE SLEDSTWIE DOKAZANNYH USLOWIJ POSTOQNSTWA. wOSSTANOWLENIE ANALITI^ESKOJ FUNKCII PO EE DEJSTWITELXNOJ (MNIMOJ) ^ASTI ILI MODUL@ (ARGUMENTU) ANALITI^ESKAQ W OBLASTI D C FUNKCIQ w = f (z) WOSSTANAWLIWAETSQ 1 : a) S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO PO SWOEJ DEJSTWITELXNOJ (ILI MNIMOJ ) ^ASTI B) S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO MNOVITELQ PO SWOEMU MODUL@ (ILI ARGUMENTU , ESLI f (z) 6= 0 W OBLASTI D). 1
pO KRAJNEJ MERE W PRINCIPE.
114
tRADICIONNYJ SPOSOB PRAKTI^ESKOGO WOSSTANOWLENIQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z), NAPRIMER, PO EE DEJSTWITELXNOJ ^ASTI u = u(x y) SOSTOIT W 1) REENII | OTNOSITELXNO v = v (x y) PRI ZADANNOJ FUNKCII u = u(x y) | SISTEMY URAWNENIJ kOI { rIMANA ( @u @v @x = @y @u =; @v @y @x
(PRI \TOM FUNKCIQ v = v(x y) OPREDELQETSQ S
TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO ) I 2) POSLEDU@]EJ ZAPISI FUNKCII w = u(x y) + iv (x y) W WIDE w = f (z) (KAK FUNKCII NE DWUH DEJSTWITELXNYH , A ODNOJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z = x + iy ).
tO, ^TO WTOROJ IZ \TIH PUNKTOW INOGDA TREBUET BOLXIH USILIJ, ^EM PERWYJ, WIDNO IZ PRIMERA u = ;2x4 ; 4x3 y + 12x2y2 + 4xy3 ; 2y4 : POLU^ITX PREDWARITELXNYJ OTWET w = ;2x4; 4x3y + 12x2y2+ 4xy3; 2y4 + i (x4; 8x3y ; 6x2y2+ 8xy3+ y4+ c) PRO]E, ^EM OKON^ATELXNYJ w =(i ; 2)z 4 + ic.
bOLEE IZQ]NYJ SPOSOB WOSSTANOWLENIQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII PO EE DEJSTWITELXNOJ ^ASTI OPISYWAETSQ SLEDU@]IM UTWERVDENIEM. eSLI DEJSTWITELXNAQ ^ASTX u = u(x y) ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C FUNKCII w = f (z) ;DOPUSKAET PODSTANOW z z z z KU x = 2 , y = 2i (T. E. ZNA^ENIe u 2 , 2i OPREDELENO DLQ WSEH z 2 D , TO S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO ; f (z)=2 u 2z , 2zi W OBLASTI D. ;
dOKAZATELXSTWO. pUSTX fe(z) def = 2 u z2 , 2zi , GDE z = x + iy. tOGDA (WWIDU WYPOLNENIQ DLQ FUNKCII w = f (z) USLOWIJ kOI { rIMANA) @ fe = 2; @u 1 + @u 1 = @u ; i @u = @u + i @v , @x @x 2 @y 2i @x @y @x @x
115 @ fe = 2; @u i + @u i = i @u + @u = i @u @v . @y @x 2 @y 2i @x @y @x @x e e oTS@DA SLEDUET, ^TO @@xf + i @@xf 0, A PO\TOMU w = fe(z)
;
ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ W OBLASTI D c PROIZWODNOJ e ; @v z = f 0;z + i z = f 0 (z) + i fe0(z)= @@xf = @u @x @x x = 2 2i
ESTX
2
y = 2zi
; TAK KAK f (z);fe(z) 0 0, SLEDUET WYWOD: f (z);2 u 2z , 2zi c W OBLASTI D. Q.E.D. ; zAME^ANIE. tAK KAK Im f (z) = Re ;if (z) , FORMULA WOSSTANOWLENIQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w;= f (z) PO EE MNIMOJ ^ASTI v = v(x y) IMEET WID f (z)= 2 iv 2z , 2zi .
pRIMERY. 1. w RAZOBRANNOM WYE SLU^AE f (z) = (i ; 2)z 4, KOGDA u = ;2x4;; 4x3y +12 x2y2 +4xy3 ; 2y4, PODSTANOWKA x = z2 , y = 2zi DAET: ; z4 ; 4 z4 +12 z4 +4 z4 ; 2 z4 = (i ; 2)z 4. 2 u z2 , 2zi =2 ;2 16 16 i ;16 ;16 i 16 ; z z 2. pODSTANOWKU x = 2 , y = 2i FUNKCIQ u = x2 +x y2 = Re 1z NE DOPUSKAET (ZNAMENATELX OBRA]AETSQ W NULX ). OBOJTI \TO ZATRUDNENIE POZWOLQET PERENOS NA^ALA KOORDINAT (NAPRIMER, W TO^KU z =1) | ZAMENA z = ze; 1, ILI x = xe ; 1 y = ye, PRI KOTOROJ u = x2 +x y2 = (xe;xe1);21+ ye2 , TAK ^TO ; ;1 2 = ze;2 = z;1 = 1 ;1. 2 u 2ze , 2zei = ((ze=2)(;ze1)=2)2 +( ze=2i) ;ze+1 ;z z fUNKCI@ u = u(x y) DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH NAZYWA@T GARMONI^ESKOJ W oBLASTI D R2, ESLI W \TOJ OBLASTI ONA IMEET NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE 2-GO PORQDKA I UDOWLETWORQET URAWNENI@ 2u 2u @ @ 1 lAPLASA @x2 + @y2 =0. ; @ ; @u w ZAPISI @x@ @u @x = @y ; @y \TO URAWNENIE WYRAVAET IZWESTNYJ @u @v @v KRITERIJ TOGO, ^TO ; @u @y dx + @x dy ESTX DIFFERENCIAL dv = @x dx+ @y dy fRANCUZSKIJ MATEMATIK, MEHANIK I ASTRONOM lAPLAS (Laplace, Pierre Simon, 1749 {1827) OPERIROWAL \TIM URAWNENIEM W SWOIH RABOTAH PO NEBESNOJ MEHANIKE. 1
116 NEKOTOROJ FUNKCII v = v(x y) (ESLI NE WO WSEJ OBLASTI D , TO PO KRAJNEJ MERE W OKRESTNOSTI KAVDOJ EE TO^KI). @v @u @v tAK KAK W \TOM SLU^AE @u @x = @y , a @y = ; @x , FUNKCIQ v = v(x y) TAKVE OKAZYWAETSQ GARMONI^ESKOJ (A FUNKCIQ w = u(x y) + iv(x y) | ANALITI^ESKOJ ) PO KRAJNEJ MERE W OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI OBLASTI D.1 w SWQZI S \TIM FUNKCI@ v = v(x y) NAZYWA@T SOPRQVENNOJ GARMONI^ESKOJ PO OTNOENI@ K GARMONI^ESKOJ FUNKCII u = u(x y), A ; FORMULA v =2Im u z2 2zi POZWOLQET EE NAJTI (S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO ). uPRAVNENIQ. 1. oB_QSNITX, PO^EMU w =Re z+i Im z | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ, A w =(Re z)2+ i (Im z)2 | NET. 2. nAJTI WSE ANALITI^ESKIE FUNKCII w = f (z), DEJSTWITELXNAQ I MNIMAQ ^ASTI KOTORYH u = u(x y) I v = v(x y) SWQZANY LINEJNYM SOOTNOENIEM au + bv = c (c POSTOQNNYMI a b c). 3. pROWERITX, ^TO GRAFIK FUNKCII y = sin x1 , x 2 R x = 6 0, DOPOLNENNYJ OTREZKOM ;1 1] OSI y , QWLQETSQ SWQZNYM , NO NE LINEJNO SWQZNYM MNOVESTWOM NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI R2 . 4. wOSSTANOWITX ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w = f (z) PO EE MNIMOJ y ^ASTI v = cos 2sh2 x+ch2 y . (oTWET: f (z)=tg z .) ; ; 5. wYWESTI FORMULU WOSSTANOWLENIQ f (z) = c exp 2 i' z2 , 2zi ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) PO EE ARGUMENTU ' = '(x y), z = x + iy. pROWERITX EE NA PRIMERE arg f (z)= x2 +2 xy ; y2. 6. pROWERIW,^TO u=ln(x2 + y2 + 2x + 1) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W OBLASTI R2 r (;1 0) , NAJTI DLQ NEE SOPRQVENNU@ GARMONI^ESKU@ FUNKCI@ I UBEDITXSQ, ^TO ONA MNOGOZNA^Na W UKAZANNOJ OBLASTI .
wO WSEJ OBLASTI D FUNKCII v = v(x y) I w = u(x y) + iv(x y) MOGUT OKAZATXSQ MNOGOZNA^NYMI . 1
117
kAK WWODITSQ INTEGRAL PO KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ
VIII .
iNTEGRAL FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ PO PRIRODE QWLQETSQ KONTURNYM , I POTOMU DATX EGO WNQTNOE OPREDELENIE MOVNO, LIX PRIDAW ^ETKIJ SMYSL PONQTIQM KONTURA (KUSO^NO-GLADKOGO ) NA PLOSKOSTI C I PUTI EGO OBHODA . nA^ATX PRI \TOM SLEDUET S PONQTIQ GLADKOJ DUGI . gLADKAQ DUGA L C | \TO OBRAZ NEKOTOROGO OTREZKA a b] R PRI WZAIMNO-ODNOZNA^NOM OTOBRAVENII EGO W PLOSKOSTX C KOMPLEKSNOZNA^NOJ FUNKCIEJ z = z(t) = x(t)+ iy(t) (RIS. 35), IME@]EJ NA \TOM OTREZKE NEPRERYWNU@ I NE RAWNU@ NUL@ [email protected] zNA^ENIQ z(a) z(b) NAZYWA@T PRI \TOM KONCEWYMI, A z(t) a < t < b, | WNUTRENNIMI TO^KAMI Rb Rbp GLADKOJ DUGI L. ~IcLO l(L) def = jz0 (t)j dt = (x0 (t))2 +(y0 (t))2 dt a a WYRAVAET DLINU \TOJ GLADKOJ DUGI 2
rIS. 35 1 w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO FUNKCIQ z = z (t) a 6 t 6 b, ZADAET PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI L . nA DEJSTWITELXNOJ PLOSKOSTI R2 ( \TA VE GLADKAQ DUGA IMEET PARAMETRIZACI@ xy == yx((tt)) a 6 t 6 b. 2 sOGLASNO OPREDELENI@ IZ KURSA DEJSTWITELXNOGO ANALIZA.
118 nAGLQDNO, GLADKAQ DUGA | \TO PRQMOLINEJNYJ OTREZOK , PODWERGNUTYJ OBRATIMOJ GLADKOJ DEFORMACII | RASTQVENI@ I IZGIBU BEZ RAZRYWOW , IZLOMOW I SKLEIWANIJ . mATEMATI^ESKIM WYRAVENIEM TAKOGO SRAWNENIQ QWLQ@TSQ SLEDU@]IE UTWERVDENIQ. 1. fUNKCIQ z = z (t) t 2 a b], ZADA@]AQ PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI L , IMEET NEPRERYWNU@ OBRATNU@ : t = t (z) z 2 L , OBLADA@]U@ NEPRERYWNOJ PROIZWODNOJ t0 (z ).1 2. w KAVDOJ TO^KE z 2 L GLADKAQ DUGA L IMEET KASATELXNU@ PRQMU@ L , NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR KOTOROJ QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ TO^KI KASANIQ . dOKAZATELXSTWa. 1. sU]ESTWOWANIE FUNKCII t = t (z) z 2 L , ESTX SLEDSTWIE WZAIMNO-oDNOZNA^NOSTI OTOBRAVENIQ z = z (t) t 2 a b]: RAZNYM TO^KAM t 2 a b] SOOTWETSTWU@T RAZNYE TO^KI z 2 L . fUNKCIQ t = t (z) z 2 L , NEPRERYWNA : DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI fzng TO^EK zn 2 L , SHODQ]EJSQ K TO^KE z0 2 L , SOOTWETSTWU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX ftng TO^EK tn = t (zn) SHODITSQ K TO^KE t0 = t (z0). eSLI BY \TO BYLO NE TAK, TO U POSLEDOWATELXNOSTI ftng SU]ESTWOWALA BY PODPOSLEDOWATELXNOSTX ftnkg, SHODQ]AQSQ K NEKOTOROJ TO^KE e t 2 a b], OTLI^NOJ OT t0 . tEM SAMYM WOZNIKALO BY PROTIWORE^IE : ODNOWREMENNO fznkg ! z0 I fznkg = fz (tnk )g ! z (et) = 6 z0 .
rIS. 36 1 wELI^INY jz 0 (t)j I jt0 (z)j IME@T SMYSL KO\FFICIENTOW RASTQVENIQ (W TO^KAH t 2 a b] I z 2 L ) PRI DEFORMACII OTREZKA a b] W GLADKU@ DUGU L I OBRATNO.
119 Mt = lim Mz ;1 = z 0(t) ;1 | S U^ETOM TOGO, ^TO z 0 (t) 6= 0, t0 (z)= Mlim z!0 Mz Mt!0 Mt A Mz ! 0 () Mt ! 0 (NEPRERYWNOSTX FUNKCII t = t(z) I z = z (t)). 2. pRQMAQ L , PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU z0 = z (t0) W NAPRAWLENII NENULEWOGO WEKTORA z 0(t0), QWLQETSQ KASATELXNOJ K GLADKOJ DUGE L W TO^KE z0 : ESLI (z L) | RASSTOQNIE OT TO^KI z 2 L DOPRQMOJ L , TO ;
( z L ) (RIS. 36) zlim !z0 jz;z0j = 0, TAK KAK PRI t ! t0 KOGDA z ! z0 ;
z 2L
(zL)
;
jz(t);z(t );z0 (t )(t;t )j = o (t;t ) ! 0 0 . 6 jz;z j jz(t);z(t )j jz(t);z(t )j jz (t )j 0
0
0 0
0
0
0
0
wWIDU NEPRERYWNOSTI ZAWISIMOSTI z 0 (t) OT t 2 a b], A t OT z 2 L (P. 1), NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR z 0(t (z0)) KASATELXNOJ PRQMOJ L OKAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ TO^KI KASANIQ z0 2 L. Q.E.D.
wOT NEKOTORYE PRIMERY GLADKIH DUG L C (WMESTE S IH PARAMETRIZACIQMI): 1) OTREZOK PRQMOJ ; , SOEDINQ@]IJ TO^KI z0 z1 2 C : z = z0 +(z1 ; z0) t ILI z = z1 +(z0 ; z1) t , t 2 0 1] 2) GRAFIK FUNKCII y = f (x) (ILI x = f (y)), IME@]EJ NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ NA OTREZKE a b] R : z = x + if (x) x 2 a b], (ILI z = f (y)+ iy y 2 a b] RIS. 37)
rIS. 37
DUGA OKRUVNOSTI fz 2 C : jz ; z0 j = rg MEVDU DWUMQ LU^AMI , WYHODQ]IMI IZ TO^KI z0 POD UGLAMI I K DEJSTWITELXNOJ OSI (0 < ; < 2): z = z0 + reit t 2 ]. 3)
120
pONQTIQ KONCEWOJ I WNUTRENNEJ TO^EK GLADKOJ DUGI L I ZNA^ENIE EE DLINY l(L) (S. 117) NE ZAWISQT OT WYBORA PARAMETRIZACII \TOJ GLADKOJ DUGI , T. E. PRISU]I SAMOJ \TOJ GLADKOJ DUGE .
dOKAZATELXSTWO. eSLI z = z (t) t 2 a b], I z = ( ) 2 ], | DWe PaRaMETRIZACII (ODNOJ I TOJ VE) GLADKOJ DUGI L , TO KOMPOZICIQ FUNKCIJ z = ( ) I t = t (z) (OBRATNOJ K z = z (t) S. 118, UTWERVDENIE 1) PRIWODIT K FUNKCII t = t ( ( )) S PROIZWODNOJ t0 = t0z 0 = (zt0 );1 0 , NE RAWNOJ NUL@ , A SLEDOWATELXNO, SOHRANQ@]EJ ZNAK NA OTREZKE ]. sOOTWETSTWIE $ t 2 ] t 2 a b] (RIS. 38) OKAZYWAETSQ PO\TOMU STROGO MONOTONNYM , TAK ^TO WNUTRENNIM I KONCEWYM TO^KAM OTREZKA ] OTWE^A@T, SOOTWETSTWENNO, WNUTRENNIE I KONCEWYE TO^KI OTREZKA a b], PRI \TOM LIBO () = z (a), A ( ) = z (b) (ESLI t0( ) > 0), LIBO ()= z (b), A ( )= z (a) (ESLI t0( ) < 0).
rIS. 38 ~TO KASAETSQ FORMULY DLINY l(L) GLADKOJ DUGI , TO W PERWOM SLU^AE (PRI t0( ) > 0) Rb 0 R R R jz (t)j dt = z 0(t ( ))t0( ) d = z 0(t ( )) t0( ) d = j 0 ( )j d , a A WO WTOROM (KOGDA t0( ) > 0) Rb 0 R R R jz (t)j dt = z 0 (t ( )) t0( ) d = ; z 0(t( ))t0( ) d = j 0 ( )j d . Q.E.D. a
pOD SOEDINENIEM DWUH GLADKIH DUG L1 L2 PONIMAETSQ NALI^IE U NIH OB]EJ KONCEWOJ TO^KI SOEDINENIE S^ITAETSQ
121
GLADKIM , ESLI SU]ESTWUET GLADKAQ DUGA L L1 L2 , DLQ KOTOROJ \TA OB]AQ KONCEWAQ TO^KA QWLQETSQ WNUTRENNEJ .1
rAZDELENIE GLADKOJ DUGI L PODRAZUMEWAET WYBOR KONE^NOGO ^ISLA EE WNUTRENNIH TO^EK, KAVDAQ IZ KOTORYH STANOWITSQ OB]EJ KONCEWOJ TO^KOJ ODNOJ IZ PAR OBRAZU@]IHSQ GLADKIH DUG (IME@]IH W \TOJ TO^KE GLADKoE SOEDINENIe ).
oRIENTIROWANNAQ GLADKAQ DUGA | \TO GLADKAQ DUGA L S UKAZANIEM, KAKAQ IZ DWUH EE KONCEWYH TO^EK PRINIMAETSQ ZA NA^ALXNU@ (A KAKAQ ZA KONE^NU@ ), I USTANOWLENIEM TEM SAMYM PORQDKA SLEDOWANIQ TO^EK \TOJ GLADKOJ DUGI 2. pEREHOD K PROTIWOPOLOVNOMU PORQDKU SLEDOWANIQ TO^EK ORIENTIROWANNOJ GLADKOJ DUGI L (OB_QWLENII EE NA^ALXNOJ TO^KI KONE^NOJ , A KONE^NOJ | NA^ALXNOJ ) OBOZNA^AETSQ ^ERTO^KOJ : L; . kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; | \TO LIBO ORIENTIROWANNAQ GLADKAQ DUGA (;= fLg), LIBO REZULXTAT POSLEDOWATELXNOGO SOEDINENIQ (; = fL1 : : : Lng) NESKOLXKIH ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG 3, NA^ALXNAQ TO^KA PERWOJ IZ KOTORYH S^ITAETSQ NA^ALXNOJ , A KONE^NAQ TO^KA POSLEDNEJ | KONE^NOJ TO^KOJ KONTURA ; W SLU^AE SOWPADENIQ NA^ALXNOJ I KONE^NOJ TO^EK KONTURA EGO NAZYWAA@T ZAMKNUTYM . kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR NAZYWA@T GLADKIM , ESLI WSE SOEDINENIQ SOSTAWLQ@]IH EGO ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG (WKL@^AQ SOEDINENIE PERWOJ I POSLEDNEJ U ZAMKNUTOGO KONTURA) QWLQ@TSQ GLADKIMI .
PEZULXTAT GLADKOGO SOEDINENIQ DWUH GLADKIH DUG NE OBQZATELXNO QWLQETSQ GLADKOJ DUGOJ . k PRIMERU, OKRUVNOSTX ESTX REZULXTAT GLADKOGO SOEDINENIQ DWUH (ILI BOLXEGO ^ISLA) GLADKIH DUG . 2 eSLI z = z (t) t 2 a b] | KAKAQ-LIBO PARAMETRIZACIQ GLADKOJ DUGI L , TO PORQDOK SLEDOWANIQ TO^EK z 2 L SOOTWETSTWUET WOZRASTANI@ ILI UBYWANI@ t 2 a b]. 3 dLQ KRATKOSTI PROSTO DUG . pOD IH POSLEDOWATELXNYM SOEDINENIEM PONIMAETSQ, ^TO KONE^NAQ TO^KA DUGI L1 SOWPADAET S NA^ALXNOJ TO^KOJ DUGI L2 I T. D. 1
122 s^ITAETSQ, ^TO DWA RAZNYH NABORA POSLEDOWATELXNO SOEDINENNYH ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG L1 : : : Ln I L01 : : : L0m SOSTAWLQ@T ODIN I TOT VE KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ;, ESLI RAZBIENIEM I SOEDINENIEM SOSTAWLQ@]IH \TI NABORY SWODQTSQ DRUG K DRUGU (RIS. 39).
rIS. 39
pRIMERY. 1. oPERIRUQ ODNOJ GLADKOJ DUGOJ S DWUMQ PROTIWOPOLOVNYMI PORQDKAMI SLEDOWANIQ TO^EK , MOVNO SOSTAWITX BESKONE^No MNOGO RAZLI^NYH KUSO^NO-GLADKIH KONTUROW 1 (NE RAZLI^IMYH KAK MNOVESTWA TO^EK RIS. 40, A): ;1 = fLg ;2 = fL;g ;3 = fL; Lg ;4 = fL L; Lg : : :
rIS. 40 1
kAK ZAMKNUTYH , TAK I NEZAMKNUTYH .
123 2. oKRUVNOSTX C C (L@BAQ) QWLQETSQ MNOVESTWOM TO^EK NEOBOZRIMOGO ^ISLA KUSO^NO-GLADKIH KONTUROW 1, NO OBY^NO PODRAZUMEWA@T TOT2, KOTORYJ WYDELQET DOBAWLENIE: ODIN RAZ OBHODIMAQ (OT KAKOJ-TO TO^KI 3 ) W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (\PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" RIS. 40, B ). pEREHOD K OBRATNOMU PORQDKU SLEDOWANIQ SOSTAWLQ@]IH DUG I TO^EK KAVDOJ IZ NIH PREOBRAZUET KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; = fL1 : : : Lng W PROTIWOPOLOVNO ORIENTIROWANNYJ ;;= fL;n : : : L;1 g. kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; = fL1 : : : Lng ESTX KONTUR BEZ SAMOPERESE^ENIJ, ESLI IZ SOSTAWLQ@]IH EGO DUG L@BYE DWE NESMEVNYE NE IME@T OB]IH TO^EK , A SMEVNYE IME@T OB]IMI LIX TO^KI IH SOEDINENIQ . kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ;, WSE SOSTAWLQ@]IE DUGI KOTOROGO QWLQ@TSQ OTREZKAMI PRQMYH (ORIENTIROWANNYMI ), NAZYWA@T LOMANOJ (ORIENTIROWANNOJ RIS. 41, a), A PRI DOBAWO^NOM USLOWII ZAMKNUTOSTI I OTSUTSTWIQ SAMOPERESE^ENIJ | MNOGOUGOLXNIKOM (ORIENTIROWANNYM RIS. 41, B).
rIS. 41 nE WSE IZ KOTORYH ZAMKNUTYE I GLADKIE . zAMKNUTYJ GLADKIJ | REZULXTAT GLADKOGO SOEDINENIQ NESKOLXKIH ORIENTIROWANNYH DUG OKRUVNOSTI C BEZ OB]IH WNUTRENNIH TO^EK. 3 z 2 C , SLUVA]EJ NA^ALXNOJ I KONE^NOJ DLQ \TOGO KONTURA . 1 1 2
124
pUTX : z = z(t) t 2 a b], T. E. NEPRERYWNAQ KOMPLEKSNOZNA^NAQ FUNKCIQ NA OTREZKE a b] 2 R (VII , S. 107) ESTX PUTX OBHODA KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ; = fL1 : : : Lng, ESLI PRI WOZRASTANII t OT a DO b ZNA^ENIE z(t) \TOJ FUNKCII POO^EREDNO PROHODIT | W SOOTWETSTWII S IH PORQDKOM SLEDOWANIQ | WSE TO^KI WSEH SOSTAWLQ@]IH KONTUR ; DUG . pUTX : z = z(t) t 2 a b], S^ITAETSQ PUTEM KLASSA C 1, ESLI FUNKCIQ z = z(t) IMEET NA OTREZKE a b] NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ z0 (t).1 eSLI FUNKCIQ z = z(t) t 2 a b], ZADAET PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI L (S. 117), TO \TA VE FUNKCIQ ZADAET PUTX (KLASSA C 1) OBHODA TOJ VE, NO UVE ORIENTIROWANNOJ GLADKOJ DUGI L (S NA^ALXNOJ TO^KOJ z(a)). oBRATNOE NEWERNO: PUTX KLASSA C 1 z = tjtj+it2 t 2 ;1 1], SOWERA@]IJ OBHOD DWUHZWENNOJ LOMANOJ (RIS. 42), NE QWLQETSQ PARAMETRIZACIEJ GLADKOJ DUGI.
rIS. 42 |TU PROIZWODNU@ OBOZNA^A@T TAKVE z_ (t), POSKOLXKU t OBY^NO INTERPRETIRU@T KAK WREMQ , A FUNKCI@ z = z (t) KAK ZAWISIMOSTX POLOVENIQ TO^KI OT WREMENI (W SLU^AE PUTI KLASSA C 1 | PRI USLOWII, ^TO SKOROSTX EE PEREME]ENIQ ESTX NEPRERYWNAQ FUNKCIQ WREMENI). C 1 | TRADICIONNAQ SOKRA]ENNAQ ZAPISX TREBOWANIQ SU]ESTWOWANIQ NEPRERYWNOJ (LAT. continuus) PROIZWODNOJ (PO KRAJNEJ MERE) 1-GO PORQDKA . 1
125
dLQ L@BOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ; = fL1 : : : Lng cy]ESTWUET PUTX KLASSA C 1 EGO OBHODA. dOKAZATELXSTWO. pUSTX PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI L1 ZADAET FUNKCIQ z = z1 ( ) 2 a1 b1 ]. mOVNO PRI \TOM S^ITATX, ^TO ORIENTACIQ (PORQDOK SLEDOWANIQ TO^EK) DUGI L1 SOOTWETSTWUET WOZRASTANI@ ZNA^ENIJ 2 a1 b1 ].1 zAMENA PEREMENNOJ = a1 +(b;1; a1) sin2 2t , t 2 0 ], POZWOLQET ZAKL@^ITX: FUNKCIQ z = z1 a1 +(b1; a1) sin2 2t t 2 0 ], ZADAET PUTX KLASSA C 1, OSU]ESTWLQ@]IJ OBHOD ORIENTIROWANNOJ GLADKOJ DUGI L1 (RIS. 43) SO SKOROSTX@ ; 0 z_ (t)= z1 a1 +(b1; a1) sin2 2t (b1; a1)sin 2t cos 2t , QWLQ@]EJSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ NA OTREZKE 0 6 t 6 , RAWNOJ NUL@ W EGO KONCEWYH TO^KAH .
rIS. 43
pOSKOLXKU \TI VE RASSUVDENIQ PRIMENIMY I K OSTALXNYM ORIENTIROWANNYM GLADKIM DUGAM W SOSTAWE KONTURA ;, TREBUEMYJ PUTX KLASSA C 1 EGO OBHODA (WKL@^AQ SLU^AJ ZAMKNUTOGO KONTURA) ZADAET FUNKCIQ z = z(t) t 2 0 n], GDE w PROTIWNOM SLU^AE \TOGO MOVNO DOBITXSQ PEREHODOM K PARAMETRIZACII L1 : z = z1(; ) 2 ;b1 ;a1 ]. 1
126 8 ; 2 t > z a +( b ; a ) sin 1 1 1 1 > 2 > >
ESLI 0 6 t 6 ESLI 6 t 6 2 z(t)= >:2: :2: : : 2: : :2 : : : : :2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : > > > : ; zn an +(bn; an) sin2 t;(n2;1) ESLI (n ; 1) 6 t 6 n : EE PROIZWODNAQ z_ (t) NEPRERYWNA NA OTREZKE 0 6 t 6 n, WKL@^AQ TO^KI t =0 : : : n (W NIH ONA RAWNA NUL@ ).1 Q.E.D. kAK UVE OTME^ALOSX (S. 122, PRIMER 1 ), KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR ; I OBOZNA^AEMOE TEM VE SIMWOLOM (INOGDA SIMWOLOM j;j ) MNOVESTWO EGO TO^EK | \TO NE ODNO I TO VE. tOLXKO ^TO DOKAZANNOE UTWERVDENIE POZWOLQET SDELATX SLEDU@]IE OB]IE WYWODY KASATELXNO SWOJSTW \TOGO MNOVESTWA . mNOVESTWO TO^EK L@BOGO KUSO^NO -GLADKOGO KONTURA ; SWQZNO , OGRANI^ENO I ZAMKNUTO | W TOM SMYSLE, ^TO MNOVESTWO C r; (NE PRINADLEVA]IH EMU TO^EK) OTKRYTO .2
uQSNITX SOOTNOENIE MEVDU PONQTIQMI GLADKOJ DUGI , KUSO^NO GLADKOGO KONTURA I PUTI OBHODA KONTURA POMOGAET UPODOBLENIE: GLADKOJ DUGI | U^ASTKU DOROGI W SISTEME DOROVNOJ SETI (A EE ORIENTACII | WYBORU NAPRAWLENIQ DWIVENIQ PO \TOMU U^ASTKU) KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA | MARRUTNOMU ZADANI@ (UKAZANI@ POSLEDOWATELXNO PROHODIMYH DOROVNYH U^ASTKOW ) PUTI OBHODA KONTURA | WYPOLNENI@ (STROGO PO PREDPISANNOMU WREMENNOMU GRAFIKU ) POSTAWLENNOGO MARRUTNOGO ZADANIQ 3. pOSTROENNYJ PUTX NAGLQDNO MOVNO PREDSTAWITX KAK POO^EREDNYJ OBHOD GLADKIH DUG L1 : : : Ln S \OSTANOWKAMI" W TO^KAH IH SOEDINENIQ I \POWOROTOM RULQ", ESLI SOEDINENIE NE QWLQETSQ GLADKIM . 2 sWQZNOSTX \TOGO MNOVESTWA NAPRQMU@ WYTEKAET IZ SU]ESTWOWANIQ PUTI z = z (t) t 2 a b], OBHODA KONTURA ; EGO OGRANI^ENNOSTX | IZ TOGO, ^TO KONTUR ; NE WYHODIT ZA PREDELY KRUGA RADIUSA sup jz (t)j (S a6t6b CENTROM 0) ZAMKNUTOSTX | IZ TOGO, ^TO ESLI z0 2= ;, TO KRUG S CENTROM z0 NENULEWOGO RADIUSA a6inft6bjz (t) ; z0j NE SODERVIT TO^EK KONTURA ;. 3 pUTX KLASSA C 1 SOOTWETSTWUET DWIVENI@, PRI KOTOROM SKOROSTX QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ WREMENI. 1
127
w OSNOWE OPREDELENIQ INTEGRALA FUNKCII PO KUSO^NO GLADKOMU KONTURU LEVIT PONQTIE INTEGRALA FUNKCII PO OTREZKU 1 PEREHODNYM VE SLUVIT PONQTIE INTEGRALA FUNKCII WDOLX PUTI (KLASSA C 1) NA PLOSKOSTI C , OPREDELQEMOGO SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX : z = z(t) t 2 a b], | PUTX KLASSA C 1 NA PLOSKOSTI C (FUNKCIQ DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ, IME@]AQ NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ z_ (t) NA OTREZKE a b]). s^ITAQ, ^TO \TOT PUTX PROHODIT PO MNOVESTWU , NA KOTOROM ZADANA FUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z), POLAGA@T R
Rb
f (z) dz def = f (z(t)) z_ (t) dt, a
PRI \TOM INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI ZAWEDOMO OPREDELEN, ESLI FUNKCIQ w = f (z) NEPRERYWNA NA MNOVESTWE TO^EK PUTI (TAK KAK W \TOM SLU^AE PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ OKAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ NA OTREZKE a b]). iNTEGRAL FUNKCII PO KUSO^NO-GLADKOMU KONTURU ; PONIMA@T KAK EE INTEGRAL PO KAKOMU-LIBO PUTI : z = z(t), t 2 a b], KLASSA C 1, OBHODQ]EMU \TOT KONTUR 2 (RIS. 44): R
;
R
Rb
a
f (z) dz def = f (z) dz def = f (z (t)) z_ (t) dt .
w SLU^AE ZAMKNUTOGO KONTURA ; SIMWOL INTEGRALA ^ASTO Rb
s EGO OBY^NYM OPREDELENIEM (PO rIMANU), OBOZNA^ENIEM f (x) dx a I DOSTATO^NYM USLOWIEM SU]ESTWOWANIQ W WIDE TREBOWANIQ NEPRERYWNOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII NA OTREZKE a b]. 2 tO, ^TO DLQ L@BOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ; OBHODQ]IJ EGO PUTX KLASSA C 1 SU]ESTWUET, UVE BYLO (S. 125), A TO, R USTANOWLENO R def ^TO OT WYBORA TAKOGO PUTI WELI^INA f (z) dz = f (z) dz NE ZAWISIT,
; DOKAZYWETSQ ^UTX NIVE. 1
128 H
(HOTQ I NE WSEGDA) SNABVA@T KRUVO^KOM: f (z) dz . ;
rIS. 44
iZ DANNOGO OPREDELENIQ WYTEKA@T SLEDU@]IE SWOJSTWA R WELI^INY f (z) dz . 1. 2.
;
R
R
R
lINEJNOSTX : (f (z) + g(z)) dz = f (z)dz + g(z)dz . ;
R
R
;
;1
;
R
;
aDDITIWNOSTX : f (z) dz = f (z) dz + + f (z) dz , ;m
ESLI
KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; ESTX REZULXTAT POSLEDOWATELXNOGO SOEDINENIQ KUSO^NO-GLADKIH KONTUROW ;1 : : : ;m .1
3.
R
R
f (z) dz = ; f (z) dz .
;;
; 4. zNA^ENIE f (z) dz NE ZAWISIT OT R
;
a) KONKRETNOGO PUTI (KLASSA C 1 ) OBHODA KONTURA ; B) PREDSTAWLENIQ KONTURA ; W WIDE POSLEDOWATELXNO SOEDINENNYH ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG (I WYBORA NA^ALXNOJ TO^KI KONTURA W SLU^AE EGO ZAMKNUTOSTI ).
w IH ROLI MOGUT WYSTUPATX, NAPRIMER, SOSTAWLQ@]IE KONTUR ; ORIENTIROWANNYE GLADKIE DUGI . 1
129
sWOJSTWA 1, 2 | SLEDSTWIQ LINEJNOSTI I ADDITIWNOSTI OBY^NOGO INTEGRALA (PO OTREZKU ). w ^ASTNOSTI, ESLI PUTX (KLASSA C 1 ) z = z(t), t 2 a b], OBHODIT KONTUR ;, A ZNA^ENIQ t1 : : : tm;1 2 (a b), OTWE^A@T KONE^NYM TO^KAM KONTUROW ;1 : : : ;m;1 (ONI VE NA^ALXNYE DLQ ;2 : : : ;m ), TO R
;
Rb
Rt1
Rb
a
Ra
R tm;1
;1
;m
f (z) dz = f (z (t)) z_ (t) dt = f (z (t)) z_ (t) dt + + f (z(t)) z_ (t) dt =
= f (z) dz + + f (z) dz .
sWOJSTWO 3 WYTEKAET IZ TOGO, ^TO ESLI z = z (t) t 2 a b], | PUTX OBHODA KONTURA ;, TO z = z (;t) t 2 ;b ;a], | PUTX OBHODA KONTURA ;;, TAK ^TO (S ZAMENOJ PEREMENNOJ t = ; )1 R Rb Rb t=; ;
;
f (z(; )) z_ (; )(;1) d = ;a ;R a R = f (z(; )) z0(; ) d = ; f (z(;t)) z_ (;t) dt = ; f (z) dz. ;a ;b ;;
f (z) dz = f (z (t)) z_ (t) dt = a ;b R
pUNKT B) SWOJSTWA 4 WYTEKAET IZ SWOJSTWA 2 (ADDITIWNOSTI ), POZWOLQ@]EGO TAKVE PRI OBOSNOWANII PUNKTA A) S^ITATX KONTUR ; SOSTOQ]IM LIX IZ ODNOJ (ORIENTIROWANNOJ ) GLADKOJ DUGI L . pUSTX L : z = z (t) t 2 a b], | KAKAQ-LIBO PARAMETRIZACIQ \TOJ GLADKOJ DUGI (S. 117). |TU PARAMETRIZACI@ ODNOWREMENNO MOVNO RASSMATRIWATX I KAK KONKRETNYJ PUTX e (KLASSA C 1 ), OBHODQ]IJ LIBO KONTUR ; (ESLI DUGA L ORIENTIROWANA TAK, ^TO EE NA^ALXNOJ TO^KOJ QWLQETSQ z (a)), LIBO KONTUR ;; (ESLI NA^ALXNOJ SLUVIT TO^KA z (b)). sOOTWETSTWENNO \TIM DWUM SLU^AQM LIBO R R Rb f (z) dz = f (z) dz = f (z (t))z_ (t) dt, a ;
e LIBO R R R Rb Ra f (z) dz = ; f (z) dz = ; f (z) dz = ; f (z (t))z_ (t) dt = f (z (t))z_ (t) dt. ;
;;
e
a
b
eSLI S^ITATX, ^TO TO^KA NAD z OBOZNA^AET PROIZWODNU@ PO t, A TRIH | PO . 1
130 pUSTX TEPERX : z = ( ) 2 ], | KAKOJ-LIBO IZ PUTEJ (KLASSA C 1 ), OBHODQ]IH KONTUR ;. w SILU SWOJSTWA OBRATIMOSTI PARAMETRIZU@]EJ FUNKCII (UTWERVDENIE 1 NA S. 118) OPREDELENA FUNKCIQ ; t = t ( ( )) 2 ], S NEPRERYWNOJ PROIZWODNOJ t0 ( ) = 0 ( ) z_ (t) ;1, PRI^EM W PERWOM IZ OTME^ENNYH SLU^AEW t() = a t() = b, TOGDA KAK WO WTOROM t()= b t()= a. sOOTWETSTWENNO \TIM SLU^AQM R
;
R
;
Rb
R
R
Ra
a
R
R
b
f (z) dz = f (z (t))z_ (t) dt = f (z (t( )))z_ (t( )) t0 ( )d = f ( ( )) 0( ) d , f (z) dz = f (z (t))z_ (t) dt = f (z (t( )))z_ (t( )) t0 ( )d = f ( ( )) 0( ) d , R
R
^TO I DOKAZYWAET NEZAWISIMOSTX ZNA^ENIQ f (z) dz = f (z) dz OT WY
; BORA PUTI (KLASSA C 1 ) OBHODA KONTURA ;.R Q.E.D. zAME^ANIQ. 1. oPREDELENIE WELI^INY f (z) dz RASPROSTRANQETSQ ; NA SLU^AJ MNOGOZNA^NOJ PRODYNTEGRALXNOJ FUNKCII (S OBOZNA^ENIEM R F (z) dz ) PRI USLOWII, ^TO KONTUR ; DOPUSKAET RAZDELENIE NA U^ASTKI ; ;1 : : : ;m , NA KOTORYH OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F (z), PRODOLVA@]IE DRUG DRUGA (SOWPADA@]IE PO ZNA^ENIQM) W TO^KAH SOEDINENIQ \TIH U^ASTKOW: ;1 I ;2 : : : ;m;1 I ;m . w SLU^AE ZAMKNUTOGO KONTURA ; ODNOWREMENNOGO S \TIM SOWPADENIQ WETWEJ W TO^KE SOEDINENIQ U^ASTKOW ;m I ;1 (NA^ALXNOJ I KONE^NOJ TO^KE KONTURA ;) OBY^NO NE PROISHODIT, W SILU ^EGO | W PROTIWOWES H SWOJSTWU 4, PUNKT B | NE ISKL@^ENA ZAWISIMOSTX ZNA^ENIQ F (z) dz ; OT WYBORA NA^ALXNOJ TO^KI KONTURA ; (KAK W PRIMERE 3 NIVE). R 2. w ZAPISI z = x + iy f (z) = u(x y)+ iv(x y) WELI^INA f (z) dz R
R
def
;
PRINIMAET WID u(x y) dx;v(x y) dy + i v(x y) dx+u(x y) dy | LINEJNOJ ; ; KOMBINACII KRIWOLINEJNYH INTEGRALOW 2-GO RODA (NA PLOSKOSTI R2 ).
pRIMERY. 1. pUSTX ;= fL1 L2g | DWUHZWENNAQ LOMANAQ , IDU]AQ IZ TO^KI ;1+i W TO^KU 1+i ^EREZ TO^KU 0 (RIS. 45, a). s U^ETOM SWOJSTW 2, 3 (S. 128) DLQ L@BOJ (NEPRERYWNOJ NA \TOJ LOMANOJ FUNKCII w = f (z)
131 R
;
R
R
R
L1
L2
L;1
R
f (z) dz = f (z) dz + f (z) dz = ; f (z) dz + f (z) dz, L2
A TAK KAK W KA^ESTWE PUTEJ OBHODA (KLASSA ORIENTIROWANNYH OTREZKOW L;1 L2 MOVNO WZQTX SOOTWETSTWENNO FUNKCII z =(;1+ i) t t 2 0 1], I z =(1+ i) t t 2 0 1], TO R R1 R1 f (z) dz = ; f ((;1+ i) t)(;1+ i) dt + f ((1+ i) t)(1+ i) dt 0 0 ; W ^ASTNOSTI, R R1 R1 zdz = ; (;1+ i)t (;1+ i) dt + (1+ i)t (1+ i) dt = 0. ;
0
C 1)
0
rIS. 45 2. pUSTX ; | OKRUVNOSTX RADIUSA 1 S CENTROM 0, ODNOKRATNO OBHODIMAQ OT EE TO^KI = ei W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (\PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI"). tAK KAK ZA PUTX OBHODA (KLASSA C 1 ) \TOGO ZAMKNUTOGO GLADKOGO KONTURA MOVNO WZQTX FUNKCI@ z = eit t 2 +2 ] (RIS. 45, B ), DLQ L@BOJ NEPRERYWNOJ NA ; FUNKCII w = f (z) +2 H R R2 f (z) dz = f (eit) ieit dt = f (eit) ieit dt 0 ; POSLEDNEE RAWENSTWO (A ONO WYTEKAET IZ 2-PERIODI^NOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII) ILL@STRIRUET NEZAWISIMOSTX
132
INTEGRALA PO ZAMKNUTOMU KONTURU ; OT WYBORA EGO NA^ALXNOJ TO^KI 1 (SLUVA]U@ OPRAWDANIEM ZAPISI jzj = 1 W KA^ESTWE SIMWOLA KONTURA ) W ^ASTNOSTI, H R2 Re zdz = cos t (cos t + i sin t) idt = i. jz j=1
0
pUSTX ; | TOT VE ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR , ^TO I W PRIMERE 2 (S TOJ VE NA^ALXNOJ TO^KOJ = ei I TEM VE PUTEM z = eit t 2 +2 ] EGO OBHODA . eSLI SREDI MNOVESTWA WSEH ZNA^ENIJ Ln = Ln ei WYBRANO i, TO PRI L@BOM WYBORE ^ISLA 2 ( +2 ), OTWE^A@]EM RAZDELENI@ KONTURA ; NA U^ASTKI ;1 (OT TO^KI ei DO TO^KI ei ) I ;2 (OT TO^KI ei DO TO^KI ei(+2) ), H R R R +2 R Ln zdz = ln zdz + ln zdz = + (0+ it)(eit)0dt = 3.
;
+2 R
;1
;2 t = +2 +2 R
it(eit )0dt = iteit ; ieit dt = 2 iei = 2 i t= ZNA^ENIE Ln zdz OKAZYWAETSQ2 ZAWISQ]IM OT TOGO, KAKAQ ; TO^KA ZAMKNUTOGO KONTURA ; WZQTA W KA^ESTWE NA^ALXNOJ . =
H
pOQSNENIE . wDOLX U^ASTKOW ;1 I ;2 INTEGRIRU@TSQ DWE RAZNYE WETWI LOGARIFMA , KOTORYE PRODOLVA@T DRUG DRUGA W TO^KE ei , NO NE SOWPADA@T W TO^KE = ei = ei(+2 ) : DLQ PERWOJ IZ NIHH ln = i, TOGDA KAK DLQ WTOROJ ln = i (+2 . zAWISIMOSTX ZNA^ENIQ Ln zdz OT ; WYBORA NA^ALXNOJ TO^KI ZAMKNUTOGO KONTURA ; OB_QSNQETSQ TEM, ^TO PRI ZAMENE EE DRUGOJ, 0 = ei ( < 0 < +2 ), NA SOEDINQ@]EJ ^0 IH DUGE ZNA^ENIQ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII BERUTSQ UVE S DRUGOJ EE WETWI | TOJ, DLQ KOTOROJ NA \TOJ DUGE ln z = it S +2 6 t 6 0+2 (A NE 6 t 6 0 ). 1 s. 128, SWOJSTWO 4, B . 2 kAK O TOM GOWORILOSX W ZAME^ANII 1 (S. 130). 0
133
oCENKA INTEGRALA PO KONTURU. 1eSLI jf (z)j 6 h NA KUSO^NO-GLADKOM KONTURE l(;) ), TO R ; (DLINY f (z) dz 6 h l(;). ;
dOKAZATELXSTWO . w SILU SWOJSTWA ADDITIWNOSTI (S. 128) DOSTATO^NO RASSMOTRETX SLU^AJ, KOGDA KONTUR ; SOSTOIT IZ ODNOJ (ORIENTIROWANNOJ) GLADKOJ DUGI L. tAK KAK FUNKCIQ z = z(t), t 2 a b], ZADA@]AQ PARAMETRIZACI@ (S. 117) \TOJ GLADKOJ DUGI , ODNOWREMENNO SLUVIT PUTEM (KLASSA C 1) OBHODA LIBO SAMOGO KONTURA ;, LIBO PROTIWOPOLOVNO ORIENTIROWANNOGO KONTURA ;;,2 R b R Rb f (z) dz = f (z (t)) z_ (t) dt6 jf (z (t))jjz_ (t)j dt 6 ;
a
a
Rb
6 h jz_ (t)j dt = h l(L) (S. 117). Q.E.D. a fORMULA nX@TONA { l EJBNICA.3 eSLI KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; RASPOLOVEN W OBLASTI D C , W KOTOROJ FUNKCIQ w = f (z) NEPRERYWNA I IMEET PERWOOBRAZNU@ '(z),4 TO R f (z) dz = '(z) ; '(z), ; GDE z I z | SOOTWETSTWENNO NA^ALXNAQ I KONE^NAQ TO^KI KONTURA ; W ^ASTNOSTI,HESLI \TOT KONTUR ZAMKNUT , TO f (z) dz =0. ;
pONIMAEMOJ KAK SUMMA DLIN SOSTAWLQ@]IH KONTUR ; GLADKIH DUG . ~TO ZAWISIT OT TOGO, KAK ORIENTIROWANA GLADKAQ DUGA L : KAKAQ IZ DWUH EE KONCEWYH TO^EK z (a) z (b) QWLQETSQ NA^ALXNOJ . 3 aNGLIJSKIJ MATEMATIK I FIZIK nX@ TON (Newton, Isaac, 1643 { 1727) I NEMECKIJ MATEMATIK I FILOSOF lEJBNIC (PRAWILXNEE lQJBNIC, Leibniz, Gottfried Wilhelm, 1646 {1716) OPERIROWALI EJ (W SLU^AE DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ) E]E DO OFORMLENIQ PONQTIQ INTEGRALA. 4 t. E. f (z)= '0 (z) W OBLASTI D . 1 2
134
dOKAZATELXSTWO . pUSTX z = z(t) t 2 a b], | L@BOJ PUTX (KLASSA C 1) OBHODA KONTURA ; (S. 125). sOGLASNO OPREDELENI@ KONTURNOGO INTEGRALA (S. 127) I KLASSI^ESKOJ FORMULE nX@TONA { lEJBNICA (DLQ INTEGRALA PO OTREZKU FUNKCII DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ) R R Rb Rb f (z) dz = '0 (z) dz def = '0((z(t)) z_ (t) dt = dtd '(z(t)) dt = a a ; ; = '(z(b)) ; '(z(a)) = '(z) ; '(z). Q.E.D. zAME^ANIE . pRAWU@ ^ASTX FORMULY nX@TONA { lEJBNICA (RAZNOSTX ZNA^ENIJ PERWOOBRAZNOJ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII W KONE^NOJ I NA^ALXNOJ TO^KAH KONTURA) MOVNO TRAKTOWATX KAK PRIRA]ENIE PERWOOBRAZNOJ R WDOLX KONTURA ; S ZAPISX@ FORMULY W WIDE f (z) dz = M';. ;
uPRAVNENIQ. 1. pROWERITX, ^TO WZAIMNO ODNOZNA^NYJ OBRAZ L OTREZKA ;1 1] PRI OTOBRAVENII FUNKCIEJ z = t2+it3 NE QWLQETSQ GLADKOJ DUGOJ , HOTQ W KAVDOJ TO^KE z 2 L SU]ESTWUET KASATELXNAQ PRQMAQ K L , POLOVENIE KOTOROJ NEPRERYWNO ZAWISIT OT TO^KI KASANIQ . 2. dOKAZATX, ^TO L@BAQ GLADKAQ DUGA L C ESTX LIBO GRAFIK FUNKCII WIDA y = y(x) a 6 x 6 b, ILI x = x(y) c 6 y 6 d, LIBO REZULXTAT GLADKOGO SOEDINENIQ NESKOLXKIH TAKIH GRAFIKOW . (wOSPOLXZOWATXSQ TEM, ^TO ESLI FUNKCIQ z = z (t) = x(t)+ iy(t) t 2 a b], ZADAET PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI L, TO OTREZOK a b] DOPUSKAET RAZBIENIE NA KONE^NOE ^ISLO OTREZKOW, NA KAVDOM IZ KOTORYH HOTQ BY ODNA IZ PROIZWODNYH x0 (t) y0 (t) SOHRANQET ZNAK .) 3. dOKAZATX, ^TO OKRUVNOSTX NE QWLQETSQ GLADKOJ DUGOJ . (pRIJTI K PROTIWORE^I@ , PREDPOLOVIW, ^TO NEPRERYWNAQ NA OTREZKE FUNKCIQ z = z (t) WZAIMNO-ODNOZNA^NO OTOBRAVAET EGO NA OKRUVNOSTX .) 4. pOSTROITX PUTX KLASSA C 1 , OBHODQ]IJ DWUHZWENNU@ LOMANU@ , IZOBRAVENNU@ NA RIS. 45, A. 5. wYQSNITX, L@BOJ LI PUTX KLASSA C 1 QWLQETSQ PUTEM OBHODA NEKOTOROGO KUSO^NO - GLADKOGO KONTURA . (oTWET: NET.) n 6. dOKAZATX, ^TO ESLI Re z 6 0, TO ez ; 1 ; 1!z ; ; zn! 6 jz jn+1 . (pRIMENITX INDUKCI@ PO n .)
135 IX .
~TO NAZYWA@T INDEKSOM ZAMKNUTOGO KONTURA I NA ^TO ON UKAZYWAET
wAVNYM DLQ DALXNEJEGO PRIMEROM PRIMENENIQ FORMULY nX@TONA (VIII , S. 133) SLUVIT WY^ISLENIE H { lEJBNICA dz 1 ZNA^ENIQ 2 i z;z0 , GDE ; | ZAMKNUTYJ KUSO^NO -GLADKIJ ; KONTUR ; NA PLOSKOSTI C , NE PROHODQ]IJ ^EREZ TO^KU z0 2 C . pRQMOE PRIMENENIE FORMULY nX@TONA { lEJBNICA ZDESX ZATRUDNENO TEM, ^TO PERWOOBRAZNYMI DLQ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII SLUVAT ODNOZNA^NYE WETWI w = ln(z ; z0) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = Ln(z ; z0) (V , S. 78), A WYDELITX KAKU@ -LIBO IZ NIH W OBLASTI , CELIKOM SODERVA]EJ KONTUR ;, MOVNO LIX DLQ OTDELXNYH WIDOW KONTUROW1. R w PODOBNYH SLU^AQH (KOGDA PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W f (z) dz IMEET \MNOGOZNA^NU@ PERWOOBRAZNU@" w = (z)) ; WYHOD SOSTOIT W RAZDELENII KONTURA ; NA U^ASTKI (KUSO^NOGLADKIE KONTURY ;1 : : : ;m), CELIKOM RASPOLOVENNYE W OBLASTQH (D1 : : : Dm), W KOTORYH MOVNO WYDELITX ODNOZNA^NYE WETWI (w = '1(z) : : : w = 'm(z)) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = (z) (RIS. 46). pOSLE \TOGO OSTAETSQ PRIMENITX FORMULU nX@TONA { lEJBNICA K KAVDOMU U^ASTKU ;1 : : : ;m I WOSPOLXZOWATXSQ SWOJSTWOMADDITIWNOSTI (VIII , S. 128): R f (z) dz = M'1;1 + + M'm;m . ; iZ SAMOGO \TOGO RAWENSTWA SLEDUET, ^TO EGO PRAWAQ ^ASTX NE ZAWISIT OT KONKRETNOGO RAZDELENIQ KONTURA ; NA U^ASTKI ;1 : : : ;m, RAWNO KAK OT WYBORA ODNOZNA^NYH WETWEJ w = '1(z) : : : w = 'm(z). eSLI VE \TI WETWI NEPRERYWNO nAPRIMER, NE PERESEKA@]IH NEKOTORYJ LU^ , WYHODQ]IJ IZ TO^KI z0 (IV, S. 68). 1
136
PRODOLVA@T DRUG DRUGA (SOWPADA@T W TO^KAH SOEDINENIQ U^ASTKOW ;1 S;2 : : : ;m;1 S;m), TO M'1;1 + + M'm;m = 'm (z) ; '1(z), (z | KONE^NAQ , A z | NA^ALXNAQ TO^KI KONTURA ;)1, ^TO POZWOLQET PRIDATX FORMULE nX@TONA { lEJBNICA WID R f (z) dz = M; , ; ESLI PRAWU@ ^ASTX PONIMATX IMENNO KAK 'm (z) ; '1(z) | SUMMARNOE PRIRA]ENIE PRODOLVA@]IH DRUG DRUGA WETWEJ \MNOGOZNA^NOJ PERWOOBRAZNOJ" WDOLX KONTURA ;.
rIS. 46 wOZMOVNOSTX UPOMQNUTOGO RAZDELENIQ KONTURA | PRI USLOWII, ^TO ON NE PROHODIT ^EREZ TO^KI WETWLENIQ (IV, S. 62) \RMNOGOZNA^NOJ PERWOOBRAZNOJ" w = )(z) PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII W f (z) dz , | MOVNO ; DOKAZATX, RASSUVDAQ \OT PROTIWNOGO". pUSTX : z = z (t) t 2 a b], | PUTX (KLASSA C 1 ) OBHODA KONTURA ; (VIII, S. 125), I PUSTX OTREZOK a b] NELXZQ RAZDELITX NA KONE^NOE ^ISLO OTREZKOW a t1 ] : : : tm;1 b] S TEM, ^TOBY SOOTWETSTWU@]IE IM 1 pRI \TOM W SLU^AE z = z (ZAMKNUTOGO KONTURA) NE OBQZATELXNO 'm (z )= '1 (z).
137 U^ASTKI KONTURA ; | MEVDU TO^KAMI z (a) I z (t1) : : : z (tm;1) I z (b) | OKAZYWALISX W OBLASTQH, GDE OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI w = '(z) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w =)(z). rAZDELIW OTREZOK a b] POPOLAM, MOVNO UTWERVDATX, ^TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ OTREZKOW a a+2 b ] a+2 b , b] (OBOZNA^AEMYJ DALEE a1 b1]) OBLADAET TEM VE SWOJSTWOM: EGO NELXZQ RAZDELITX NA KONE^NOE ^ISLO OTREZKOW S TEM, ^TOBY SOOTWETSTWU@]IE IM U^ASTKI KONTURA ; OKAZYWALISX W OBLASTQH, GDE OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w =)(z). pRODOLVENIE \TOGO PROCESSA PRIWODIT K STQGIWA@]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW a b] a1 b1 ] an bn ] , KAVDYJ IZ KOTORYH OBLADAET UKAZANNYM SWOJSTWOM. pUSTX t^ | OB]AQ TO^KA \TIH OTREZKOW I z (t^) | SOOTWETSTWU@]AQ EJ TO^KA KONTURA ;. tAK KAK z (t^) NE QWLQETSQ TO^KOJ WETWLENIQ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w =)(z), W NEKOTOROM KRUGE S CENTROM z (t^) OPREDELENA EE ODNOZNA^NAQ WETWX w = '(z). zDESX I ZAKL@^ENO PROTIWORE^IE : S ODNOJ STORONY, KAKOWO BY NI BYLO n , U^ASTOK KONTURA ;, SOOTWETSTWU@]IJ (PRI EGO OBHODE z = z (t), t 2 a b]) ZNA^ENIQM t OT an DO bn , PO POSTROENI@ NE MOVET CELIKOM RASPOLAGATXSQ W OBLASTI , GDE OPREDELENA ODNOZNA^NAQ WETWX w = '(z) S DRUGOJ STORONY, OTREZKI an bn ] STQGIWA@TSQ K TO^KE t^, A POTOMU SOOTWETSTWU@]IE IM U^ASTKI KONTURA ; (OTWE^A@]IE IZMENENI@ t OT an DO bn ) PRI DOSTATO^NO BOLXIH ZNA^ENIQH n CELIKOM OKAZYWA@TSQ W UPOMQNUTOM KRUGE (S CENTROM z (t^)), W KOTOROM OPREDELENA TAKAQ ODNOZNA^NAQ WETWX .
w RASSMATRIWAEMOM KONKRETNOM SLU^AE 1 H dz = 1 MLn(z;z ) = 1 M;ln jz;z j + iArg(z;z ) = 0 ; 2 i 0 0 ; 2 i z ;z0 2 i ;
= 21 MArg(z ; z0); 1. pOSLEDNEE WYRAVENIE | DELENNOE NA 2 SUMMARNOE PRI
RA]ENIE PRODOLVA@]IH DRUG DRUGA ODNOZNA^NYH WETWEJ ' =arg(z ; z0) | ESTX NI^TO INOE KAK SUMMARNOE ^ISLO OBO
Mln jz ; z0j; =ln jz ; z0j ; ln jz ; z0j =0, TAK KAK KONTUR ; ZAMKNUT (z = z), A FUNKCIQ w =ln jz ; z0j ODNOZNA^NA . 1
138
ROTOW 1 WEKTORA z ;z0 (WOKRUG TO^KI z0 ) PRI OBHODE TO^KI z WDOLX ZAMKNUTOGO KONTURA ;. |TO ^ISLO (A ONO ZAWEDOMO QWLQETSQ CELYM ) NAZYWA@T INDEKSOM (ZAMKNUTOGO ) KONTURA ; OTNOSITELXNO TO^KI z0 2 : H ind(; z0) def = 21i z;dzz0 . ;
zAPISX ind(; z0)= n QWLQETSQ, TAKIM OBRAZOM, FORMULXNYM WYRAVENIEM NAGLQDNOGO PREDSTAWLENIQ O TOM, ^TO ZAMKNUTYJ KONTUR ; OBHODIT TO^KU z0 (W OB]EJ SLOVNOSTI) n RAZ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (SOOTWETSTWENNO jnj RAZ W OTRICATELXNOM , ESLI n < 0 RIS. 47). pOLAGA@T def TAKVE ind(; 1) = ; ind(; 0): OBHOD TO^KI 0 ODNOWREMENNO S^ITAETSQ OBHODOM TO^KI 1 W PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENII.3
rIS. 47 oBOROTY \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" S^ITA@TSQ SO ZNAKOM \PL@S", A W PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENII | SO ZNAKOM \MINUS". 2 iLI INDEKSOM TO^KI z OTNOSITELXNO KONTURA ;. 0 3 pRI^INY \TOGO WIDNY IZ RASSMOTRENIQ SFERY rIMANA (I, S. 21). 1
139 nAGLQDNO PONQTIE INDEKSA (OTNOSITELXNO TO^KI z0 2 C ) MOVNO OPREDELITX DLQ L@BOGO (NE PROHODQ]EGO ^EREZ \TU TO^KU) ZAMKNUTOGO PUTI : z = z (t) t 2 a b]1. a IMENNO, ind( z0 ) POLAGAETSQ RAWNYM ^ISLU OBOROTOW 2 WEKTORA z (t);z0 PRI WOZRASTANII t OT a DO b , PRI^EM W SLU^AE PUTI KLASSA C 1 WYPOLNQETSQ RAWENSTWO H ; Rb ind( z0 )= 21i z;dzz0 def = 21i zz(_t()t;) dtz0 .3 a
w SOOTWETSTWII S \TIM OPREDELENIEM INDEKS ZAMKNUTOGO KONTURA ; (OTNOSITELXNO KAKOJ-LIBO TO^KI z0 ) SOWPADAET S INDEKSOM L@BOGO PUTI , OSU]ESTWLQ@]EGO OBHOD \TOGO KONTURA . pONQTIE INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA (HOTQ I W DRUGIH TERMINAH I OBOZNA^ENIQH) WWEL kOI 28] (ser. I, t. 12, p. 222{224 ser. II, t. VI, p. 121). w SOOTWETSTWII S EGO PODHODOM ind(; z0 ) | \TO WZQTOE S KO\FRe(z ;z0) W TO^KAH OBRAFICIENTOM 12 ^ISLO PEREMEN ZNAKA 4 WELI^INY Im( z;z0) ]ENIQ EE W BESKONE^NOSTX PRI PEREME]ENII z WDOLX KONTURA ;.
oPERIRUQ INDEKSOM (I FORMULOJ nX@TONA { lEJBNICA), UDOBNO WY^ISLQTX INTEGRALY RACIONALXNYH FUNKCIJ | OTNOENIJ pq((zz)) MNOGO^LENOW | PO NE PROHODQ]IM ^EREZ \OSOBYE TO^KI" \TIH FUNKCIJ (KORNI ZNAMENATELEJ) ZAMKNUTYM KUSO^NO -GLADKIM KONTURAM. dOSTATO^NO WOSPOLXZOWATXSQ RAZLOVIMOSTX@ L@BOJ RACIONALXNOJ FUNKCII W SUMMU MNOGO^LENA I PROSTYH DROBEJ : p(z) = p (z) + A1 + + Ak + B1 + + Bm + 0 q(z) z ;a (z ;a)k z ;b (z ;b)m
+ zC;c + + (z;Ckc)n 1
zAMKNUTOSTX PUTI OZNA^AET SOWPADENIE EGO NA^ALXNOJ I KONE^NOJ TO^EK: z (b)= z (a). 2 pRI POLOVITELXNOM IH OTS^ETE \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI". 3 eSLI NE QWLQETSQ PUTEM KLASSA C 1 , TO \TOT INTEGRAL MOVET POTERQTX SMYSL. 4 s SOGLAENIEM S^ITATX KAVDU@ PEREMENU ZNAKA S \MINUSA" NA \PL@S" ZA 1, A S \PL@SA" NA \MINUS" | ZA ;1. 1
140
ZDESX a b : : : c | KORNI MNOGO^LENA q(z) (ZNAMENATELQ), k m : : : n | KRATNOSTI \TIH KORNEJ, A A1 : : : Cn | KOMPLEKSNYE ^ISLA1 (O ^EM NIVE W XIV , c. 225{227). tAK KAK, ISKL@^AQ LIX DROBI zA;1a , zB;1b , : : : , zC;1c , WSE SLAGAEMYE RAZLOVENIQ IME@T W OBLASTI C r fa b : : : cg PERWOOBRAZNYE 2, PRIMENENIE FORMULY nX@TONA { lEJBNICA (VIII , c. 133) DAET: DLQ L@BOGO NE PROHODQ]EGO ^EREZ TO^KI a b : : : c ZAMKNUTOGO KUSO^NO - GLADKOGO KONTURA ; C H p(z) H A H B H C 1 1 1 dz = dz + dz + + q(z) z ;a z ;b z ;c dz = ;
;
;
;
= 2i A1 ind(; a)+ B1 ind(; b)+ + C1 ind(; c) . ;
nAPRIMER, DLQ ZAMKNUTOGO KUSO^NO - GLADKOGO KONTURA ;, IZOBRAVENNOGO NA RIS. 48, INDEKSY KOTOROGO OTNOSITELXNO TO^EK ;1 1 H0;RAWNY SOOTWETSTWENNO ;1 1;3, H dz 1 1 1 1 + 1 ; 3. = + ; dz = 2 i ; 2 z (z ;1) 2(z ;1) 2(z +1) z 2 2 ;
;
rIS. 48 1 2
oBY^NO NAHODIMYE METODOM ; A 0NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW. A 2 k PRIMERU, (z;a)2 = ; z;2a .
141
pEREHODQ K SWOJSTWAM INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA KAK FUNKCII TO^KI, OTNOSITELXNO KOTOROJ ON WY^ISLQETSQ , UDOBH d 1 NEE WWESTI PEREOBOZNA^ENIE: ind(; z) = 2i ;z , z 2= ;. ; 1. ind (;; z ) = ; ind (; z ). 2. ind (; z ) = ind (;1 z ) + ind (;2 z ), ESLI ZAMKNUTYJ KONTUR ; RAZDELQETSQ NA ZAMKNUTYE KONTURY ;1 ;2 . oBA UTWERVDENIQ | PRQMYE SLEDSTWIQ SWOJSTW KONTURNYH INTEGRALOW (VIII , S. 128, SWOJSTWA 2, 3 ).
rIS. 49
dLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO KUSO^NO -GLADKOGO KONTURA ; ZNA^ENIE ind (; z) POSTOQNNO W KAVDOJ OBLASTI D C , NE SODERVA]EJ TO^EK KONTURA ; (RIS. 49).
3.
dOKAZATELXSTWO. pUSTX z | L@BAQ TO^KA OBLASTI D , A K | KRUG RADIUSA S CENTROM z , PRINADLEVA]IJ \TOJ OBLASTI . dLQ L@BOGO NENULEWOGO \WEKTORA PRIRA]ENIQ" Mz 2 C c jMz j < 2 (RIS. 50)
142
;
ind(;z +Mz );ind(;z ) = 1 1 H d 1 H d Mz Mz 2i ;z;Mz 2i ;z = ; ; H H d H d 1 1 = 2i ( ;z;Mz)( ;z) = 2i ( ;z)2 + ( ;z;MMzd z)( ;z)2 , ; ; ;
PRI \TOM, POSKOLXKU j ; z j < , a j ; z ;Mz j < 2 , WTOROE SLAGAEMOE W SKOBKAH PO MODUL@ NE PREWOSHODIT WELI^INY jMz j ;3 2 l(;), GDE l(;) | DLINA KONTURA ; (VIII, c. 133, OCENKA INTEGRALA PO KONTURU ) I POTOMU STREMITSQ K NUL@ PRI Mz ! 0.
rIS. 50 |To DOKAZYWAET SU]ESTWOWANIE W L@BOJ TO^KE z 2 D PROIZWODNOJ ; ind(;z +Mz );ind(;z ) = 1 H d , ind(; z ) 0 def = Mlim Mz 2i ( ;z )2 z!0 ; RAWNOJ NUL@ W SILU FORMULY nX@TONA { lEJBNICA (VIII, c. 133). s U^ETOM PERWOGO IZ USLOWIJ POSTOQNSTWA ANALITI^ESKOJ FUNKCII W OBLASTI (VII, c. 112) ind(; z ) const W OBLASTI D . Q.E.D.
zNA^ENIE INDEKSA L@BOGO ZAMKNUTOGO KUSO^NO -GLADKOGO KONTURA OTNOSITELXNO L@BOJ TO^KI z 2 C , LEVA]EJ WNE OKRUVNOSTI, SODERVA]EJ \TOT KONTUR, RAWNO NUL@ . 4.
dOKAZATELXSTWO. ESLI TO^KA z 2 C LEVIT WNE OKRUVNOSTI, WNUTRI KOTOROJ RASPOLOVEN KONTUR ;, TO WEKTOR ; z PRI OBHODE TO^KI WDOLX KONTURA ; NE SOWERAET NI ODNOGO OBOROTA. Q.E.D.
143
eSLI ZAMKNUTYJ KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR ; NE IMEET SAMOPERESE^ENIJ , TO DLQ L@BOJ EGO TO^KI KRUG DOSTATO^NO MALOGO RADIUSA S CENTROM W \TOJ TO^KE RAZDELQETSQ KONTUROM NA DWE OBLASTI , W KOTORYH ZNA^ENIQ ind(; z) RAZNQTSQ NA 1. 5.
dOKAZATELXSTWO. l@BOJ KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR ; NA PLOSKOSTI PREDSTAWIM W WIDE REZULXTATA POSLEDOWATELXNOGO SOEDINENIQ GRAFIKOW FUNKCIJ (y = y(x) ILI x = x(y) VIII, UPRAVNENIE 2), W SILU ^EGO PRI OTSUTSTWII U NEGO SAMOPERESE^ENIJ ON DELIT WNUTRENNOSTX L@BOJ (DOSTATO^NO MALOJ) OKRUVNOSTI S CENTROM W PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KE 2 ; NA DWE OBLASTI , LEVA]IE \PO RAZNYE STORONY" OT NEGO. pUSTX C | TAKAQ OKRUVNOSTX I PUSTX TO^KI z1 I z2 LEVAT WNUTRI NEE \PO RAZNYE STORONY" OT KONTURA ; (RIS. 51, A). zAMENA ^ASTI KONTURA ; MEVDU TO^KAMI PERESE^ENIQ EGO S OKRUVNOSTX@ C DUGAMI C 0 I C 00 \TOJ OKRUVNOSTI , LEVA]IMI \PO RAZNYE STORONY" OT ; S TO^KAMI z1 I z2 , PREOBRAZUET KONTUR ; W ZAMKNUTYE KUSO^NO{GLADKIE KONTURY ;0 I ;00 (RIS. 51, B, W). w SILU SWOJSTWa 3 (c. 141) ind(;0 z1 ) = ind(;0 z2 ) ind(;00 z1) = ind(;00 z2 ) ind (;0 z1 ) = ind (; z1 ) ind (;00 z2 ) = ind (; z2 ).
C
rIS. 51
144 s DRUGOJ STORONY, W SILU SWOJSTW 1 { 2 ind (;0 zk ) ; ind (;00 zk ) = ind(C zk ) = 1 k = 1 2 OKRUVNOSTX C WOSPRINIMAETSQ ZDESX KAK KONTUR C 0 C 00 ; , A ZNAK ZAWISIT OT RASPOLOVENIQ TO^EK z1 I z2 PO OTNOENI@ K KONTURU ;: KAKAQ IZ NIH LEVIT \SLEWA", A KAKAQ | \SPRAWA" OT NEGO. COPOSTAWLENIE \TIH SOOTNOENIJ PRIWODIT K TREBUEMOMU ZAKL@^ENI@: ind (; z1 ) = ind (; z2 ) 1. Q.E.D.
(SWOJSTWO vORDANA)1 . zAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR ; NA PLOSKOSTI C RAZDELQET EE NA DWE OBLASTI : OGRANI^ENNU@ WNUTRENN@@ , OBOZNA^AEMU@ int;, I NEOGRANI^ENNU@ WNEN@@ | ext;.2 oBLASTX ext; SOSTAWLQ@T WSE TE NE LEVA]IE NA KONTURE ; TO^KI z 2 C , DLQ KOTORYH ind(; z) = 0 DLQ WSEH VE TO^EK OBLASTI int; LIBO ind(; z) = 1 (KAK NA RIS. 52), LIBO ind(; z) = ;1 W PERWOM SLU^AE OBHOD KONTUROM ; OBLASTI int; S^ITA@T POLOVITELXNYM 3, A WO WTOROM | 6
OTRICATELXNYM .
dOKAZATELXSTWO. mNOVESTWO TO^EK z 2 C , NE LEVA]IH NA KONTURE ;, QWLQETSQ OTKRYTYM 4, A POTOMU RASPADAETSQ NA NEPERESEKA@]IESQ OBLASTI (VII, S. 110). fRANCUZSKIJ MATEMATIK vORDAN (Jordan, Camille, 1838{1922) W PERWOM TOME SWOEGO \kURSA ANALIZA" (\Cours d'Analyse de l'E cole Polytechnique") NA S. 91{98 (IZDANIQ 1909 G.) WPERWYE PREDSTAWIL SWOJSTWO ZAMKNUTOJ I NE PERESEKA@]EJ SEBQ KRIWOJ NA PLOSKOSTI RAZDELQTX EE NA DWE OBLASTI | WNUTRENN@@ I WNEN@@ | NE KAK \SAMOO^EWIDNYJ" FAKT, A KAK DOKAZYWAEMOE MATEMATI^ESKOE UTWERVDENIE, IZWESTNOE TEPERX KAK \TEOREMA vORDANA" (NEKOTOROE PREDSTAWLENIE O STEPENI EE \O^EWIDNOSTI" DAET RIS. 52). 2 oBOZNA^ENIQ OT LAT. interior | WNUTRENNIJ I exterior | WNENIJ. 3 nAGLQDNO \TO SOOTWETSTWUET TOMU, ^TO OBLASTX int; PRI OBHODE KONTURA ; OSTAETSQ OT NEGO \SLEWA". 4 eSLI z = z (t) t 2 a b], | PUTX OBHODA KONTURA ;, A z | NE 0 LEVA]AQ NA \TOM KONTURE TO^KA , TO = t2inf j z 0 ; z (t)j > 0 I KRUG ab] fz 2 C : jz ; z0j <g NE SODERVIT TO^EK KONTURA ;. 1
145
rIS. 52 sU]ESTWENNO, ^TO OB]IMI GRANI^NYMI TO^KAMI L@BOJ PARY \TIH OBLASTEJ MOGUT BYTX LIX TO^KI KONTURA ;. s DRUGOJ STORONY, OB_EDINENIE WSEH KRUGOW S CENTRAMI 2 ;, O KOTORYH LA RE^X W SWOJSTWE 5, SAMO RASPADAETSQ NA DWE OBLASTI , OB]IMI GRANI^NYMI TO^KAMI KOTORYH SLUVAT WSE TO^KI KONTURA ;. sOPOSTAWLQQ \TI NABL@DENIQ, MOVNO SDELATX SLEDU@]IJ WYWOD: OBLASTEJ , NA KOTORYE RASPADAETSQ MNOVESTWO TO^EK z 2 C , NE LEVA]IH NA ZAMKNUTOM I NE IME@]EM SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO -GLADKOM KONTURE ;, IMEETSQ ROWNO DWE , PRI^EM (W SILU SWOJSTW 3 I 4) DLQ WSEH TO^EK z ODNOJ IZ \TIH OBLASTEJ (A IMENNO NEOGRANI^ENNOJ , OBOZNA^AEMOJ ext;) ind(; z ) = 0. s U^ETOM VE SWOJSTW 3 I 5 W OSTAWEJSQ OBLASTI (OGRANI^ENNOJ , OBOZNA^AEMOJ int;) LIBO ind(; z ) 1, LIBO ind(; z ) ;1. Q.E.D. zAME^ANIE. sWOJSTWO L@BOGO MNOGOUGOLXNIKA (ZAMKNUTOJ I NESAMOPERESEKA@]EJSQ LOMANOJ ) NA PLOSKOSTI RAZDELQTX EE NA DWE OBLASTI | OGRANI^ENNU@ WNUTRENN@@ I NEOGRANI^ENNU@ WNEN@@ | IMEET SLEDU@]EE PROSTOE DOKAZATELXSTWo (WZQTOE IZ KNIGI r. kURANTA 10], S. 16{17). pUSTX ^EREZ KAVDU@ TO^KU z 2 C , NE LEVA]U@ NA MNOGOUGOLXNIKE P , PROWEDEN LU^ W KAKOM-LIBO ODNOM NAPRAWLENII, NE PARALLELXNOM NI ODNOJ IZ STORON MNOGOUGOLXNIKA. |TO PRIWEDET K RAZDELENI@ WSEH
146 TO^EK z 2 C r P NA DWA MNOVESTWA , !0 I !1 , DLQ TO^EK z PERWOGO IZ KOTORYH ^ISLO n = n(z) PERESE^ENIJ WYHODQ]EGO IZ TO^KI z LU^A S MNOGOUGOLXNIKOM P ^ETNO , A DLQ WTOROGO | NE^ETNO .
rIS. 53 eSLI PROHOVDENIE LU^A ^EREZ KAKU@ -LIBOWERINU MNOGOUGOLXNIKA P S^ITATX PERESE^ENIEM TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA WYHODQ]IE IZ NEE STORONY MNOGOUGOLXNIKA LEVAT PO RAZNYE STORONY OT LU^A (RIS. 53), TO W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI z 2 CrP ^ETNOSTX ^ISLA n BUDET TOJ VE, ^TO I W SAMOJ \TOJ TO^KE . sLEDOWATELXNO, OBA MNOVESTWA !0 I !1 QWLQ@TSQ OTKRYTYMI , PRI^EM IH OB]EJ GRANICEJ SLUVIT MNOGOUGOLXNIK P (POSKOLXKU \PO RAZNYE STORONY" OT KAVDOJ EGO STORONY ^ISLO n IMEET PROTIWOPOLOVNU@ ^ETNOSTX). eSLI BY KAKOe-TO IZ OTKRYTYH MNOVESTW !0 I !1 RASPADALOSX NA NESKOLXKO NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH MNOVESTW, TO GRANICEJ KAVDOGO IZ NIH OKAZYWALASX BY NEKOTORAQ ZAMKNUTAQ LOMANAQ , QWLQ@]AQSQ ^ASTX@ MNOGOUGOLXNIKA P , ^TO NEWOZMOVNO. oBA MNOVESTWA !0 I !1 QWLQ@TSQ PO\TOMU OBLASTQMI , PRI^EM PERWOJ PRINADLEVAT WSE TO^KI z 2 C S DOSTATO^NO BOLXIM ZNA^ENIEM jz j . |TO I OZNA^AET, ^TO !0 =ext P , A !1 =int P . Q.E.D.
147 oPERIRUQ PONQTIEM INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA I IMEQ W WIDU SWOJSTWO vORDANA, MOVNO REITX, NAPRIMER, SLEDU@]U@ ZADA^U . nAJTI FORMULU , POZWOLQ@]U@ OPREDELITX, LEVIT ZADANNAQ TO^KA p0 (x0 y0) KOORDINATNOJ PLOSKOSTI R2 \NA", \WNUTRI" ILI \WNE" ZADANNOGO n-UGOLXNIKA P c POSLEDOWATELXNYMI WERINAMI p1 (x1 y1 ), p2 (x2 y2) : : : pn (xn yn ) I pn+1 (xn+1 yn+1 )= p1 (x1 y1) (RIS. 54).
rIS. 54 rEENIE. dLQ j =1 : : : n PUSTX ~rj = fxj ; x0 yj ; y0g | WEKTOR , j ; x0 yj ; y0 | UDWOWEDU]IJ IZ TO^KI p0 W TO^KU pj , a Sj = xxj+1 ; x0 yj+1 ; y0 ENNAQ PLO]ADX TREUGOLXNIKA p0 pj pj+1 , WZQTAQ SO ZNAKOM \PL@S", ESLI DANNYJ PORQDOK SLEDOWANIQ WERIN SOOTWETSTWUET POLOVITELXNOMU OBHODy \TOGO TREUGOLXNIKA (KAK NA RIS. 54), I SO ZNAKOM \MINUS" PRI OTRICATELXNOM OBHODE. eSLI PRI KAKOM ; - TO j =1 : : : n ODNOWREMENNO WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ Sj =0 I ~rj ~rj+1 6 0, TO GOTOW OTWET: TO^KA p0 (x0 y0 ) LEVIT \NA" LOMANOJ P , A IMENNO NA j -M EE ZWENE (RIS. 55, a). w PROTIWNOM SLU^AE, PEREHODQ K KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI, SLEDUET WY^ISLITX INDEKS MNOGOUGOLXNIKA P (ORIENTIROWANNOGO SOGLASNO PORQDKU SLEDOWANIQ EGO WERIN ) OTNOSITELXNO TO^KI p0 = x0 + iy0 , T. E. n P 1 ^ISLO ind(P p0 ) = 2 M'j , GDE j =1
148 8 0 > > > > > > arcsin ~rj > > <
;
ESLI Sj =0 I ~rj ~rj+1 > 0 ; Sj ESLI Sj > 0 I ~rj ~rj+1 > 0 j jj~rj+1Sj ; M'j = > ; arcsin j~rj jj~rjj+1j ESLI Sj > 0 I ~rj ~rj+1 6 0 > ;Sj ESLI Sj < 0 I ;~rj ~rj+1 > 0 > > ; arcsin > j ~ r jj > j ~rj +1 j > ; > :; + arcsin ;Sj j~rj jj~rj+1j ESLI Sj < 0 I ~rj ~rj+1 6 0 (RIS. 55, B, W, G, D, E). zNA^ENIQMI ind(P p0 ) MOGUT BYTX LIX 0 I 1. eSLI ind(P p0 ) = 0, TO^KA p0 LEVIT WNE, A ESLI ind(P p0 ) = 1 | WNUTRI MNOGOUGOLXNIKA P .
rIS. 55 uPRAVNENIQ. 1. iZOBRAZITX ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR ;, INDEKS KOTOROGO OTNOSITELXNO L@BOJ TO^KI z 2= ; RAWEN NUL@ . 2. pOSTROITX ZAMKNUTYJ KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR ;, DELQ]IJ PLOSKOSTX NA BESKONE^NOE ^ISLO OBLASTEJ , ZNA^ENIQMI INDEKSA KONTURA W KOTORYH QWLQ@TSQ ^ISLA 0 1 ;1. 3. iZOBRAZITX ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR ;, ZNA^ENIQMI INDEKSA KOTOROGO QWLQ@TSQ 0 I DWA CELYH ^ISLA m I n (NAPRIMER, ;2 I 3).
149 X.
kAKU@ OBLASTX NAZYWA@T ODNOSWQZNOJ I ^TO UTWERVDAET TEOREMA kOI ;
gRANICU @D OBLASTI D NAPLOSKOSTI C TAK VE, KAK I NA RASIRENNOJ PLOSKOSTI C SOSTAWLQ@T WSE TE TO^KI z 2 C , KOTORYE OBLASTI D NE PRINADLEVAT , NO W L@BOJ OKRESTNOSTI KOTORYH ESTX TO^KI \TOJ OBLASTI . nAPRIMER: A) GRANICA PLOSKOSTI C SOSTOIT IZ ODNOJ TO^KI 1, PLOSKOSTX VE C GRANICY NE IMEET: @ C =f1g @ C = B) GRANICEJ KRUGa z 2 C : jz;z0 j < r QWLQETSQ OKRUV NOSTX z 2 C : jz ; z0 j = r , W TO WREMQ KAK GRANICA KOLXCA z 2 C : < jz ;z0 j < r SOSTOIT IZDWUH OKRUVNOSTEJ : z 2 C : jz ; z0 j = I z 2 C : jz ; z0 j = r . oBLASTX D PLOSKOSTI C (ILI PLOSKOSTI C ) NAZYWA@T ODNOSWQZNOJ , ESLI EE GRANICA @D QWLQETSQ SWQZNYM MNOVESTWOM 1. nAGLQDNO \TO OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO @D SOSTOIT \IZ ODNOGO KUSKA", A MATEMATI^ESKI | ^TO PRI L@BOM RAZDELENII EGO NA DWA (NEPUSTYH) MNOVESTWA HOTQ BY ODNO IZ NIH BUDET SODERVATX PREDELXNYE TO^KI DRUGOGO (K PRIMERU, KRUG | \TO ODNOSWQZNAQ OBLASTX, A KOLXCO | NET). zAME^ANIE . wAVNO IMETX W WIDU SLEDU@]EE. dLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI SWOJSTWO BYTX (ILI NE BYTX) ODNOSWQZNOJ , WOOB]E GOWORQ, ZAWISIT OT TOGO, RASSMATRIWA@T \TU OBLASTX NA PLOSKOSTI C ILI VE NA PLOSKOSTI C . w ^ASTNOSTI, WNENOSTX oKRUVNOSTI (L@BOJ) NA PLOSKOSTI C QWLQETSQ ODNOSWQZNOJ OBLASTX@, A NA PLOSKOSTI C | NET. oB_QSNQETSQ \TO TEM, ^TO POD WNENOSTX@ OKRUVNOSTI z 2 C : jz ; z0 j = r W \TIH SLU^AQH PONIMA@T DWE RAZNYE 1
pONQTIE SWQZNOSTI MNOVESTWA OBSUVDALOSX W VII NA S. 109{110.
150
OBLASTI: z 2 C : jz;z0 j >r I z 2 C : jz;z0 j >r | SOOTWETSTWENNO WKL@^A@]U@ I NE WKL@^A@]U@ TO^KU 1. gRANICEJ PERWOJ OBLASTI SLUVIT OKRUVNOSTX z 2 C : jz ; z0 j = r , A WTOROJ | \TA VE OKRUVNOSTX WMESTE S BESKONE^NO UDALENNOJ TO^KOJ . uQSNITX \TO POMOGAET IZOBRAVENIE OBEIH OBLASTEJ NA SFERE rIMANA (RIS. 56).
rIS. 56
sLEDU@]EE SWOJSTWO ODNOSWQZNYH OBLASTEJ NA PLOSKOSTI C GOWORIT OB OTSUTSTWII U NIH \PROKOLOW" I \DYR".1 eSLI OBLASTX D C ODNOSWQZNa , TO KAKOW BY NI BYL RASPOLOVENNYJ W \TOJ OBLASTI ZAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO - GLADKIJ KONTUR ; , WNUTRENNQQ PO OTNOENI@ K NEMU OBLASTX int; TAKVE PRINADLEVIT OBLASTI D.
iNOGDA \TO SWOJSTWO PRINIMA@T ZA OPREDELENIE ODNOSWQZNOSTI OBLASTI NA PLOSKOSTI C (NO NE NA PLOSKOSTI C ). 1
151
dOKAZATELXSTWO . sOGLASNO SWOJSTWU vORDANA (IX , S. 144) ZAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO - GLADKIJ KONTUR ; C RAZDELQET PLOSKOSTX C NA DWE OBLASTI : WNUTRENN@@ int; I WNEN@@ ext; (PO OTNOENI@ K \TOMU KONTURU). eSLI TAKOJ KONTUR ; PRINADLEVIT ODNOSWQZNOJ OBLASTI D, TO (WWIDU SWQZNOSTI EE GRANICY @D ) WOZMOVNY DWA WARIANTA: LIBO @D int;, LIBO @D ext;. pERWYJ WARIANT NEWOZMOVEN: W \TOM SLU^AE TO^KA 1 PRINADLEVALA BY OBLASTI D , TOGDA KAK PO USLOWI@ D C . oSTAETSQ WTOROJ WARIANT: int; D . Q.E.D. sLEDU@]EE UTWERVDENIE IGRAET CENTRALXNU@ ROLX W TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ. tEOREMA kOI. eSLI W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ , TO DLQ L@BOGO KUSO^NO - GLADKOGO KONTURA ;, CELIKOM LEVA]EGO W OBLASTI R D, INTEGRAL f (z) dz ZAWISIT LIX OT NA^ALXNOJ I KONE^NOJ ; TO^EK \TOGO KONTURA1 I RAWEN NUL@ , ESLI KONTUR ; ZAMKNUT . uTWERVDENIE TEOREMY OSTAETSQ W SILE, ESLI W KONE^NOM ^ISLE TO^EK z1 : : : zk 2 D FUNKCIQ w = f (z) NE OPREDELENA 2, NO IMEET W \TIH TO^KAH KONE^NYE PREDELY 3. dOKAZATELXSTWO TEOREMY BUDET PROWEDENO PO SLEDU@]EJ SHEME. sNA^ALA (LEMMA 1 ) USTANAWLIWAETSQ RAWENSTWO NUL@ INTEGRALA PO L@BOMU (RASPOLOVENNOMU W OBLASTI D ) TREt. E. NE IZMENQETSQ PRI ZAMENE EGO DRUGIM (TAKVE RASPOLOVENNYM W OBLASTI D ), NO S TEMI VE NA^ALXNOJ I KONE^NOJ TO^KAMI. kONTUR ; PRI \TOM MOVET BYTX SKOLX UGODNO SLOVNO USTROENNYM | KAK KONTUR NA RIS. 52 (IX, S. 145) ILI IMETX BESKONE^NOE ^ISLO SAMOPERESE^ENIJ . 2 iLI EE ANALITI^NOSTX W NIH NE USTANOWLENA. 3 pOLAGAQ W \TOM SLU^AE f (z ) def j = zlim !zj f (z) j = 1 : : : k, FUNKCI@ w = f (z) MOVNO S^ITATX NEPRERYWNOJ WO WSEJ OBLASTI D , W SILU ^EGO DOPUSTIMO PROHOVDENIE KONTURA ; ^EREZ TO^KI z1 : : : zk . 1
152
UGOLXNIKU , ZATEM (LEMMA 2 ) | PO L@BOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ , OTKUDA (LEMMA 3 ) WYWODITSQ FUNDAMENTALXNYJ FAKT: l@BAQ FUNKCIQ, ANALITI^ESKAQ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C , IMEET W \TOJ OBLASTI PERWOOBRAZNU@ , POSLE ^EGO OSTAETSQ PRIMENITX FORMULU nX@TONA { lEJBNICA (VIII , S. 133).
pERED FORMULIROWKOJ I DOKAZATELXSTWOM LEMM NESKOLXKO ZAME^ANIJ. 1. dOPU]ENIE UTRATY FUNKCIEJ ANALITI^NOSTI W KONE^NOM ^ISLE TO^EK (PRI USLOWII SU]ESTWOWANIQ W NIH KONE^NYH PREDELOW ) NE RAZ PRODEMONSTRIRUET SWO@ \FFEKTIWNOSTX W DALXNEJEM. 2. wPERWYE \TA TEOREMA S (TAK I NE WYPOLNENNYM) OBE]ANIEM SOOB]ITX EE DOKAZATELXSTWO WSTRE^AETSQ W PISXME gAUSSA K bESSEL@1, DATIROWANNOM 18 DEKABRQ 1811 G.: \q UTWERVDA@ TEPERX, ^TO INTEGRAL R 'xdx PO DWUM RAZNYM PUTQM WSEGDA SOHRANQET ODNO I TO VE ZNA^ENIE, ESLI NIGDE WNUTRI PROSTRANSTWA, ZAKL@^ENNOGO MEVDU PREDSTAWLQ@]IMI \TI PUTI LINIQMI, 'x NE RAWNO 1. |TO O^ENX KRASIWAQ TEOREMA, SOWSEM NE TRUDNOE DOKAZATELXSTWO KOTOROJ Q SOOB]U PRI SLU^AE."2 3. pERWOE OPUBLIKOWANNOE DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY INTERESU@]IESQ MOGUT NAJTI NA S. 5{6 WYEDEGO W 1825 G. MEMUARA kOI 27]3. nA SAMOM DELE kOI TITULOM \TEOREMA" \TO UTWERVDENIE NE SNABDIL, A PREDSTAWIL EGO KAK p SLEDU@]EE NABL@DENIE: \pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO FUNKCIQ f (x+y ;1) OSTAETSQ KONE^NOJ I NEPRERYWNOJ WSQKIJ RAZ, KOGDA x OSTAETSQ W PREDELAH MEVDU x0 X , A y MEVDU y0 Y . w \TOM SLU^AE LEGKO DOKAZATX, ^TO ZNA^ENIE INTEGRALA Bessel, Friedrich Wilhelm (1784{1846) | NEMECKIJ ASTRONOM I MATEMATIK (IZU^AL, W ^ASTNOSTI, FUNKCII, POZDNEE NAZWANNYER EGO IMENEM). 2 w ORIGINALE: \Ich behaupte nun, dass das Integral 'x dx nach 1
angen immer einerlei Werth erhalte, wenn zweien verschieden Uberg ange reprasentirenden Linien innerhalb des zwischen beiden die Uberg eingeschlossenen Flachenraumes nirgends 'x = 1 wird. Dies ist ein sehr schoner Lehrsatz, dessen eben nicht schweren Beweis ich bei einer schicklichen Gelegenheit geben werde." (33], Bd. VIII, S. 91). 3 iLI NA S. 44{45 EGO PEREPE^ATKI W 28] (s er. II, t. XV).
p;1 RT ; ; p p f ( z ) dz = '0 (t)+ ;1 0 (t) f '(t)+ ;1 (t) dt p t0 x0 +y0 ;1
153
X +YR
NE ZAWISIT OT WIDA NEPRERYWNYH FUNKCIJ x(= '(t) y = (t) (PEREMEN)= x0 (t0 )= y0 " 1 NOJ t OT t0 DO T ), POD^INENNYH USLOWIQM ''((tT0)= X (T )= Y: oBOSNOWYWAQ \TO NABL@DENIE, kOI ISPOLXZUET PRIEM, IZWESTNYJ IZ WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ : PRIDANIE FUNKCIQM x = '(t) y = (t) \PRIRA]ENIJ" PORQDKA " PRIWODIT K IZMENENI@ INTEGRALA NA WELI^INU PORQDKA "2 , A SLEDOWATELXNO, PEREHOD K FUNKCIQM x = 'e(t) y = e(t) ; ; ZA n AGOW (S \PRIRA]ENIQMI" n1 'e(t) ; '(t) n1 e(t) ; (t) KAVDYJ) DAET IZMENENIE INTEGRALA NA WELI^INU PORQDKA n1 , T. E. (W SILU PROIZWOLXNOSTI n ) RAWNU@ NUL@ . sU]ESTWENNO, ^TO WYDWIGAQ USLOWIE NEPRERYWNOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, kOI W SWOIH RASSUVDENIQH NA SAMOM DELE OPERIRUET NEPRERYWNOSTX@ EE PROIZWODNOJ 2. 4. pERWOE DOKAZATELXSTWO TEOREMY kOI , NE TREBU@]EE (KAK W RASSUVDENIQH SAMOGO kOI) NEPRERYWNOSTI PROIZWODNOJ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, A OPIRA@]EESQ LIX NA EE SU]ESTWOWANIE , BYLO DANO W KONCE XIX W. FRANCUZSKIM MATEMATIKOM gURSA 3. sLEDUET, ODNAKO, ZAMETITX, ^TO U gURSA (KAK POROJ I U SOWREMENNYH AWTOROW) PONQTIE KONTURA OKAZYWAETSQ NEDOSTATO^NO WNQTNYM | S NAGLQDNYM PREDSTAWLENIEM EGO W WIDE \NE SLIKOM IZWILISTOJ LINII" (NE DOPUSKA@]EJ, NAPRIMER, TAKOGO \NEPRIQTNOGO" QWLENIQ, KAK BESKONE^NOE ^ISLO PERESE^ENIJ S NEKOTOROJ PRQMOJ4 ). 5. sREDI NAKOPIWIHSQ ZA PO^TI DWA WEKA DOKAZATELXSTW TEOREMY kOI NAIBOLEE POPULQRNOE, NO WMESTE S TEM I NAIMENEE UDOWLETWORIp 1 \Concevons maintenant que la fonction f (x + y ;1) reste nie et continue, toutes les fois que x reste comprise entre les limites x0 X , et y entre les limites y0 Y . Dans ce cas particulier, on prouvera facilement ..." 2 tO VE W OTNOENII ZADA@]IH OBHOD FUNKCIJ x = '(t) y = (t). Goursat, E duard (1858{1936): Acta Math., 1884, v. 4, p. 197{200 Trans.Amer.Math.Soc., 1900, v. 1, p. 14{16 5],(x 279, S. 66{69. 1 4 ~TO SWOJSTWENNO GRAFIKU FUNKCII y = x sin x ESLI 0 <x 6 1 0 ESLI x =0 QWLQ@]EMUSQ PRI > 2 GLADKOJ DUGOJ . 3
154 TELXNOE W SMYSLE ARGUMENTACII SOSTOIT W SOEDINENII FORMULY gRINA (IZ KURSA DEJSTWITELXNOGO ANALIZA) S USLOWIQMI kOI { rIMANA (V, SH. 73) PO SHEME H : H H f (z) dz = (u + iv)(dx + idy) = udx ; vdy + i vdx + udy = ;
;
;RR ; RR ; @v; @u @u ; @v dxdy = 0. =; + dxdy + i int;
@x @y
int;
@x @y
s^ITATX POLNOCENNYM \TO \DOKAZATELXSTWO" NE POZWOLQET NE TOLXKO NEOBHODIMOSTX DOPOLNITELXNO PREDPOLAGATX NEPRERYWNOSTX ^AST@u @v @v NYH PROIZWODNYH @u @x , @y , @x , @y , (ILI, ^TO TO VE SAMOE, PROIZWODNOJ @v f 0 (z)= @u @x + i @x PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII), NO I UZOSTX KLASSA DOPUSTIMYH KONTUROW INTEGRIROWANIQ ; | TEH, DLQ KOTORYH PRIMENENIE FORMULY gRINA MOVNO S^ITATX OBOSNOWANNYM 1.
lEMMA
OB INTEGRAL PO TREUGOLXNIK 0
eSLI FUNKCIQ w = f (z) IMEET PROIZWODNU@ f (z) WHL@BOJ TO^KE TREUGOLXNIKA 3 T C I WNUTRI NEGO, TO f (z) dz = 0. T uTWERVDENIE SOHRANQET SILU, ESLI W KONE^NOM ^ISLE TO^EK z1 : : : zk (NA ILI WNUTRI TREUGOLXNIKA) USLOWIE SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ ZAMENITX USLOWIEM SU]ESTWOWANIQ KONE^NYH PREDELOW zlim !zj f (z) j =1 : : : k. dOKAZATELXSTWO. pUSTX FUNKCIQ w = f (z) IMEET PROIZWODNU@ f 0(z) WO WSEH TO^KAH (NA I WNUTRI ) TREUGOLX H NIKA T I PUSTX (WOPREKI ZAKL@^ENI@ LEMMY) f (z) dz = 1 (
e
2
y).
T 1 nE SEKRET, ^TO \WYWOD" FORMULY gRINA W KURSAH DEJSTWITELXNOGO ANALIZA QWLQETSQ, MQGKO GOWORQ, NESOWERENNYM: WMESTO DOKAZATELXSTWA PREDLAGAETSQ RAZBOR \NEPROBLEMNYH" ^ASTNYH SLU^AEW (S NEOSNOWATELXNYM UTWERVDENIEM O SWODIMOSTI K NIM OB]EGO ). 2 wPERWYE BYLA OPUBLIKOWANA W VURNALE Trans.Amer.Math.Soc. ZA 1901 G. (v. 2, p. 420) NEMECKIM MATEMATIKOM pRINGSHAJMOM (Prinsgheim, Alfred, 1850{1941).
zAMKNUTOJ TREHZWENNOJ LOMANOJ (NE IME@]EJ SAMOPERESE^ENIJ), ORIENTIROWANNOJ ODNIM IZ DWUH WOZMOVNYH SPOSOBOW. 3
155 = c > 0. sTORONY TREUGOLXNIKA T WMESTE S EGO SREDNIMI LINIQMI OBRAZU@T ^ETYRE TREUGOLXNIKA, SUMMA INTEGRALOW PO KOTORYM, ESLI S^ITATX, ^TO WSE TREUGOLXNIKI ORIENTIROWANY ODINAKOWO (NAPRIMER, \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" RIS. 57, a), RAWNA INTEGRALU PO ISHODNOMU TREUGOLXNIKU T .
rIS. 57
sREDI \TIH ^ETYREH TREUGOLXNIKOW, PERIMETR KAVDOGO IZ KOTORYH RAWEN POLOWINE PERIMETRA p ISHODNOGO TREUGOLXNIKA, ESTX MERE ODIN , OBOZNA^AEMYJ T1 , H PO KRAJNEJ c DLQ KOTOROGO f (z) dz > 4 . T1 |TI VE DEJSTWIQ S TREUGOLXNIKOM T1 PRIWODQT K TREH p UGOLXNIKU T2 PERIMETRA 22 , DLQ KOTOROGO f (z) dz > 4c2 , a T2 IH PRODOLVENIE | K POSLEDOWATELXNOSTI fTng TREUGOLXNIH p KOW Tn PERIMETROW 2n , DLQ KOTORYH f (z) dz > 4cn . tAK KAK Tn
PROEKCII TREUGOLXNIKOW Tn NA STORONY TREUGOLXNIKA T OBRAZU@T STQGIWA@]IESQ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW ,
156
SU]ESTWUET (EDINSTWENNAQ ) TO^KA z? (NE WYHODQ]AQ ZA PREDELY TREUGOLXNIKA T ), -OKRESTNOSTX KOTOROJ (DLQ SKOLX UGODNO MALOGO ^ISLA > 0) SODERVIT WSE TREUGOLXNIKI Tn , NA^INAQ S NEKOTOROGO (ZAWISQ]EGO OT ^ISLA ) NOMERA n0 (RIS. 57, B). f (z);f (z?) sU]ESTWOWANIe PROIZWODNOJ f 0(z?) = zlim !z? z;z? OZNA^AET, ^TO DLQ SKOLX UGODNO MALOGO ^ISLA " > 0 SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO > 0, ^TO PRI 0 < jz ; z? j < WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (z);f (z?) ; f 0(z?) <", ILI, ^TO RAWNOSILXNO , NERAWENSTWO z ;z? f (z) ; f (z?) ; f 0 (z?)(z ; z?) <" jz ; z? j. H C U^ETOM TOGO, ^TO f (z?) + f 0(z?)(z ;z?) dz = 0 (TAK KAK Tn
PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ IMEET PERWOOBRAZNU@ W PLOSKOSTI C ), I ^TO WSE TREUGOLXNIKI Tn (NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA n0 ) p POPADA@T W -OKRESTNOSTX TO^KI z? I IME@T PERIMETRY 2n , H H ; p p 0 f (z) dz = f (z) ; f (z?) ; f (z?)(z ; z?) dz 6 " n n Tn
22 2
Tn
(IX, c. 114, OCENKA INTEGRALA PO KONTURU ). H 2 c kAK SLEDSTWIE, 4n 6 f (z) dz <" 4pn , A POTOMU pc2 <" DLQ Tn
L@BOGO " > 0, ^TO NEWOZMOVNO PRI c > 0. pREDPOLOVENIE H f (z) dz = 6 0 OKAZYWAETSQ PO\TOMU LOVNYM. T pUSTX TEPERX FUNKCIQ w = f (z) IMEET PROIZWODNU@ f 0(z) WO WSEH TO^KAH TREUGOLXNIKA T (I WNUTRI NEGO) ZA ISKL@^ENIEM TO^EK z1 : : : zk , W KOTORYH, ODNAKO, SU]ESTWOWU@T KONE^NYE PREDELY lim f (z) j =1 : : : k . rAZDELQQ TREUGOLXNIK T OTREZKAMI z!zj H PRQMYH NA MENXIE TREUGOLXNIKI, ^ISLO f (z) dz MOVNO PREDT STAWITX KAK SUMMU INTEGRALOW PO TREUGOLXNIKAM, KAVDYJ IZ KOTORYH SODERVIT NE BOLEE ODNOJ IZ TO^EK z1 : : : zk I
157
LIX W ODNOJ IZ WERIN . iNTEGRAL VE PO KAVDOMU TAKOMU TREUGOLXNIKU W SWO@ O^EREDX MOVET BYTX PREDSTAWLEN KAK SUMMA TREH INTEGRALOW : PO DWUM TREUGOLXNIKAM, NE SODERVA]IM \TU TO^KU (A PO DOKAZANNOMU OBA \TI INTEGRALA RAWNY NUL@ ), I INTEGRALU PO TREUGOLXNIKU, PERIMETR KOTOROGO MOVNO S^ITATX SKOLX UGODNO MALYM , DLQ KOTOROGO UKAZANNAQ TO^KA QWLQETSQ WERINOJ . tAK KAK W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ (W SILU SU]ESTWOWANIQ KONE^NOGO PREDELA ) QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ , SUMMA \TIH TREH INTEGRALOW OKAZYWAETSQ (PO MODUL@)HSKOLX UGODNO MALOJ , A POTOMU RAWNOJ NUL@ . kAK SLEDSTWIE f (z) dz =0. Q.E.D. T
lEMMA OB INTEGRALAH PO ZAMKNUTYM LOMANYM 1.
eSLI FUNKCIQ w = f (z) W ODNOSWQZNOJHOBLASTI D C OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO EE INTEGRAL f (z) dz PO L@BOMU LET VA]EMU W OBLASTI D HTREUGOLXNIKU T RAWEN NUL@ , TO RAWEN NUL@ I EE INTEGRAL f (z) dz PO L@BOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ P P , LEVA]EJ W OBLASTI D . dOKAZATELXSTWO . kAKOWA BY NI BYLA ZAMKNUTAQ LOMANAQ H P D, ^ISLO f (z) dz ESTX LIBO INTEGRAL PO MNOGOUGOLXNIKU , 2 (
)
P
PRINADLEVA]EMU OBLASTI D (WWIDU ee ODNOSWQZNOSTI ) WMESTE SO SWOEJ WNUTRENNOSTX@ , LIBO SUMMA INTEGRALOW PO TAKIM MNOGOUGOLXNIKAM .
wOT DOKAZATELXSTWO \TOGO POSLEDNEGO UTWERVDENIQ. mOVNO S^ITATX, ^TO ZWENXQ ZAMKNUTOJ LOMANOJ P D NE IME@T OB]IH OTREZKOW : W PROTIWNOM SLU^AE KAVDYJ IZ NIH PRI POWTORNOM EGO PROHOVDENII MOVNO ZAMENITX (NE WYHODQ ZA PREDELY OBLASTI D ) DWUHZWENNOJ LOMANOJ , ZWENXQ KOTOROJ NE PARALLELXNY OSTALXNYM 1 sKLONNYM PRINQTX \TU LEMMU BEZ DOKAZATELXSTWA STOIT OTWETITX NA WOPROS, ZA^EM W EE USLOWII TREBUETSQ ODNOSWQZNOSTX OBLASTI.
158 ZWENXQM LOMANOJ P (RIS. 58, A). sOGLASNO USLOWI@ LEMMY (RAWENSTWU NUL@ INTEGRALA H PO L@BOMU TREUGOLXNIKU ) PRI TAKOJ ZAMENE LOMANOJ P ZNA^ENIE f (z) dz OSTAETSQ NEIZMENNYM, oTSUTSTWIE VE OB]IH P OTREZKOW U ZWENXEW LOMANOJ P GARANTIRUET KONE^NOSTX ^ISLA TO^EK ee SAMOPERESE^ENIQ . eSLI U ZAMKNUTOJ LOMANOJ P WOOB]E NET TO^EK SAMOPERESE^ENIQ , TO \TA LOMANAQ ESTX MNOGOUGOLXNIK . eSLI VE U ZAMKNUTOJ LOMANOJ P ESTX TO^KI SAMOPERESE^ENIQ , TO PRINIMAQ L@BU@ EE TO^KU ZA NA^ALXNU@ , MOVNO UKAZATX POSLEDN@@ TO^KU z \TOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ IZ ^ISLA TEH, KOTORYE PRI EE OBHODE (OT WYBRANNOJ NA^ALXNOJ TO^KI) WSTRE^A@TSQ E]E ODIN RAZ.
rIS. 58
u^ASTOK ZAMKNUTOJ LOMANOJ P OT PREDPOSLEDNEGO DO POPROHOVDENIQ TO^KI z ESTX ZAMKNUTAQ LOMANAQ , NE IME@]AQ SAMOPERESE^ENIJ , T. E. MNOGOUGOLXNIK . oSTA@]AQSQ POSLE OTDELENIQ \TOGO MNOGOUGOLXNIKA ^ASTX ZAMKNUTOJ LOMANOJ P ESTX ZAMKNUTAQ LOMANAQ S MENXIM (^EM y P ) ^ISLOM ZWENXEW (RIS. 58, B), K KOTOROJ (ESLI ONA E]E NE OKAZYWAETSQ MNOGOUGOLXNIKOM ) MOVNO PRIMENITX UVE PROWEDENNYE RASSUVDENIQ. SLEDNEGO
159
dLQ DOKAZATELXSTWA LEMMY DOSTATATO^NO PO\TOMU DOKAH ZATX, ^TO f (z) dz =0 DLQ L@BOGO MNOGOUGOLXNIKA P D. P eSLI MNOGOUGOLXNIK P WYPUKLYJ (A \TO OZNA^AET, ^TO OGRANI^IWAEMAQ IM ^ASTX PLOSKOSTI S KAVDOJ H PAROJ TO^EK SODERVIT I OTREZOK , IH SOEDINQ@]IJ), TO f (z) dz = 0 KAK P SUMMA RAWNYH NUL@ (PO USLOWI@ LEMMY) INTEGRALOW PO PRINADLEVA]IM OBLASTI D TREUGOLXNIKAM , KOTORYE OBRAZU@T SO STORONAMI MNOGOUGOLXNIKA P OTREZKI PRQMYH , SOEDINQ@]IE PROIZWOLXNO WZQTU@ TO^KU z0 WNUTRI MNOGOUGOLXNIKA P c EGO WERINAMI (RIS. 59, a).
rIS. 59
eSLI VE MNOGOUGOLXNIK P NE QWLQETSQ WYPUKLYM , TO f (z) dz = 0 KAK SUMMA RAWNYH NUL@ (KAK TOLXKO ^TO BYLO P USTANOWLENO) INTEGRALOW PO WYPUKLYM MNOGOUGOLXNIKAM, OBRAZUEMYM STORONAMI MNOGOUGOLXNIKA P I IH PRODOLVENIQMI WNUTRX NEGO (RIS. 59, B). Q.E.D. lEMMA 3 (O SU]ESTWOWANII PERWOOBRAZNOJ). eSLI W OBLASTI1 D C FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ NEPRERYWNOJ , H
1
nE OBQZATELXNO ODNOSWQZNOJ .
160
I EE INTEGRAL PO L@BOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ P D RAWEN NUL@ , TO U \TOJ FUNKCII W OBLASTI D ESTX PERWOOBRAZNAQ FUNKCIQ: f (z)= '0(z) z 2 D.
rIS. 60
dOKAZATELXSTWO. dLQ FIKSIROWANNOJ TO^KI z1 I PEREdef R MENNOJ TO^KI z OBLASTI D PUSTX '(z) = f ( ) d , GDE Qz1!z
Qz1 !z | L@BAQ LOMANAQ , RASPOLOVENNAQ W OBLASTI D I WEDU]AQ IZ TO^KI z1 W TO^KU z (RIS. 60). fAKT SU]ESTWOWANIQ TAKOJ LOMANOJ WYTEKAET IZ SWOJSTWA LINEJNOJ SWQZNOSTI OBLASTEJ (VII, c. 107), A TO, ^TO ZNA^ENIE '(z) OPREDELENO DLQ KAVDOJ TO^KI z 2 D EDINSTWENNYM OBRAZOM (T. E. NE ZAWISIT OT WYBORA KONKRETNOJ LOMANOJ Qz1 !z D) | IZ USLOWIQ LEMMY1. oSTAETSQ DOKAZATX, ^TO OPREDELQEMAQ RAeSLI Qe z1!z | L@BAQ DRUGAQ LOMANAQ , PRINADLEVA]AQ OBLASTI D I WEDU]AQ IZ TO^KI z1 W TO^KU z , TO REZULXTAT EE PRODOLVENIQ LOMANOJ (Qz1 !z); ESTX ZAMKNUTAQ LOMANAQ P D, INTEGRAL PO KOTOROJ, S ODNOJ STORONY, ESTX RAZNOSTX INTEGRALOW PO LOMANYM Qe z1 !z I Qz1 !z (VIII, S. 128, SWOJSTWA 2 I 3), A S DRUGOJ | RAWEN NUL@ PO USLOWI@ LEMMY. 1
161
WENSTWOM '(z) def =
R
f ( ) d FUNKCIQ W SAMOM DELE SLUVIT
Qz1 !z
PERWOOBRAZNOJ PO OTNOENI@ K PODYNTEGRALXNOJ1. tAK KAK FUNKCIQ w = f (z) NEPRERYWNA W OBLASTI D, DLQ PROIZWOLXNO WZQTYH TO^KI z 2 D I ^ISLA " > 0 SU]ESTWUET KRUG S CENTROM z , W PREDELAH KOTOROGO ZNA^ENIQ \TOJ FUNKCII OTLI^A@TSQ OT EE ZNA^ENIQ W CENTRE DANNOGO KRUGA MENXE , ^EM NA ". eSLI | RADIUS \TOGO KRUGA, A Mz | L@BOE NENULEWOE KOMPLEKSNOE ^ISLO (\WEKTOR PRIRA]ENIQ") c jMzj < , TO PO OPREDELENI@ ZNA^ENIQ '(z) R R R '(z+Mz) ; '(z) = f ( ) d ; f ( ) d = f ( ) d , Qz1!z+Mz
Qz1 !z
Lz!z+Mz
GDE Lz!z+Mz | OTREZOK PRQMOJ S NA^ALXNOJ TO^KOJ z I KOR NE^NOJ z+Mz : TAK KAK ZNA^ENIE '(z+Mz) = f ( ) d NE Qz1!z+Mz
ZAWISIT OT WYBORA LOMANOJ Qz1 !z+Mz D , MOVNO S^ITATX, ^TO \TOJ LOMANOJ SLUVIT LOMANAQ Qz1!z , PRODOLVENNAQ OTREZKOM Lz!z+Mz . pOSKOLXKU = z + t M z t 2 0 1], | PUTX OBHODA \TOGO OTREZKA , 1 ;'(z+Mz) ; '(z ) = 1 R f ( ) d = 1 R1 f (z + tMz)Mzdt = Mz Mz Mz R1
Lz!z+Mz
0
= f (z + tMz) ; f (z) dt + f (z), 0 A TAK KAK f (z + tMz) ; f (z) <", WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA R1 '(z +Mz);'(z) 6 f (z + tMz) ; f (z) dt <", ; f ( z ) Mz 0 IZ KOTORYH SLEDUET, ^TO W L@BOJ TO^KE z 2 D SU]ESTWUET '0(z)= f (z). Q.E.D. eSLI BY OPREDELQ@]IJ ZNA^ENIE '(z) INTEGRAL ZAWISEL OT WYBORA LOMANOJ Qz1 !z , TO ON ZADAWAL BY W OBLASTI D MNOGOZNA^NU@ FUNKCI@ . 1
162
sOEDINENIE USTANOWLENNYH LEMM S FORMULOJ nX@TONA { lEJBNICA ZAWERAET DOKAZATELXSTWO TEOREMY kOI. zAME^ANIE . pRIMER FUNKCII w = z;1z0 , ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D = C r fz0 g, POKAZYWAET, ^TO NA NEODNOSWQZNYE OBLASTI D C TEOREMA kOI NE RASPROSTRANQETSQ . tEOREMA kOI DOPUSKAET RAZLI^NYE PEREFORMULIROWKI I OBOB]ENIQ W ^ASTNOSTI, BYWAET UDOBEN SLEDU@]IJ EE WARIANT DLQ SPECIALXNOGO TIPA ODNOSWQZNYH OBLASTEJ. oBLASTX D C NAZYWAETSQ ZWEZDNOJ , ESLI SU]ESTWUET TO^KA z? 2 D S TEM SWOJSTWOM, ^TO PRI PEREME]ENII TO^KI WDOLX GRANICY OBLASTI D TO^KI z? + ( ; z?) 0 6 < 1, OSTA@TSQ W PREDELAH \TOJ OBLASTI (RIS. 61).
rIS. 61
tEOREMA kOI OB INTEGRALE PO GRANICE ZWEZDNOJ OBLASTI eSLI TO^KI ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KON
TURA ; SOSTAWLQ@T GRANICU @D ZWEZDNOJ OBLASTI D C , TO DLQ L@BOJ FUNKCII w = f (z), ANALITI^ESKOJH W \TOJ OBLASTI I NEPRERYWNOJ WPLOTX DO EE GRANICY1, f (z)dz = 0. .
;
1
t. E. NEPRERYWNOJ NA ZAMYKANII D = D @D OBLASTI D .
163
dOKAZATELXSTWO . pUSTX OBLASTX D QWLQETSQ ZWEZDNOJ OTNOSITELXNO TO^KI z? I PUSTX : z = z(t) t 2 a b], | PUTX (KLASSA C 1 ) OBHODA KONTURA ;. tOGDA PRI L@BOM WYBORE ^ISLA 2 (0 1) FUNKCIQ z = z?+(z(t);z?), t 2 a b], ZADAET PUTX () (KLASSA C 1) OBHODA \GOMOTETI^NOGO" KONTURU ; ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ;(), CELIKOM LEVA]EGO W OBLASTI D (WWIDU EE ZWEZDNOSTI OTNOSITELXNO TO^KI z? RIS. 62).
rIS. 62
pOSKOLXKUH OBLASTX D ODNOSWQZNA 1, PRIMENENIE TEOREMY kOI DAET: f (z) dz = 0. oSTAETSQ PO\TOMU DOKAZATX, ^TO H
; H ;
;( ) H
f (z) dz =!lim f (z) dz , DLQ ^EGO SLEDUET OCENITX WELI^INU 1;0 H
;( )
Rb ;
Rb ;
f (z) dz ; f (z)dz = f z (t) z 0 (t) dt ; f z? + (z(t) ; z?) z0 (t) dt : ;( )
a
a
eE GRANICEJ SLUVIT SWQZNOE (VII, S. 109{110) MNOVESTWO TO^EK KONTURA ; (VIII, S. 126). 1
164 R f (z) dz
;
; R f (z)dz 6 (1; )Rabf ;z(t)z0(t)dt + ;(
)
b R ; f z (t)
+ ; f z? + (z(t) ; z? ) z0 (t) dt , a PRI \TOM PERWOE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI ESTX NI^TO INOE KAK R (1; ) f (z) dz I POTOMU STReMITSQ K 0 PRI ! 1;0 WTOROE ; VE SLAGAEMOE STREMITSQ K 0 PRI ! 1 ; 0 WWIDU a) OGRANI^ENNOSTI KAK ZADA@]EJ PUTX (KLASSA C 1 ) FUNKCII z = z(t), ;TAK I EE PROIZWODNOJ : 9h> 0 8t t 2 a b] =) jz(t)j 6 h ^ jz0(t)j 6 h B) NEPRERYWNOSTI , A POTOMU I RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII w = f (z) NA ZAMKNUTOM I OGRANI^ENNOM MNOVESTWE D = D ; @D : 8"> 0 9 > 0 8z18z2 z12 D ^ z22 D ^ jz1 ; z2j < =) =) jf (z1);f (z2)j <" , cLEDOWATELXNO , ESLI ^ISLO DOSTATO^NO BLIZKO K 1, TO ; z (t); z? +(z (t);z?) = (1;)jz (t);z?j 6 (1;)(h+jz?j) < , ; ; A POTOMU f z(t) ; f z? + (z(t) ; z?) <" DLQ WSEH t 2 a b], W SILU ^EGO b R ; ; 0 f z (t) ; f z? + (z (t) ; z?) z (t) dt 6 "h (b ; a).
a
;
uPRAVNENIE. pOKAZATX (NA PRIMERE FUNKCII w =(z; z0);1 W KOLXCE z 2 C : 1 < jz ; z0j < 2 ), ^TO DLQ NEODNOSWQZNOJ OBLASTI UTWERVDENIE LEMMY OB INTEGRALAH PO ZAMKNUTYM LOMANYM (c. 157) MOVET OKAZATXSQ NEWERNYM .
165
~TO WYRAVAET INTEGRALXNAQ FORMULA kOI I KAKOWY SWOJSTWA INTEGRALA kOI tEOREMA kOI WMESTE S PONQTIEM INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA (IX , S. 135) PRIWODQT K SLEDU@]EMU UTWERVDENI@. iNTEGRALXNAQ FORMULA kOI.1 eSLI W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ , TO DLQ L@BOGO RASPOLOVENNOGO W \TOJ OBLASTI ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ; I L@BOJ NE LEVA]EJ NA \TOM KONTURE TO^KI z0 2 D SPRAWEDLIWO RAWENSTWO 1 H f (z) dz = f (z ) ind(; z ) 0 0 2i z ;z0 XI .
;
W ^ASTNOSTI, ESLI KONTUR ; NE IMEET SAMOPERESE^ENIJ , a OBHOD IM WNUTRENNEJ PO OTNOENII K NEMU OBLASTI int; QWLQETSQ POLOVITELXNYM (IX , c. 144 RIS. 63), TO ( 1 H f (z) dz = f (z0) ESLI z0 2 int; . 2i z ;z0 0 ESLI z0 2 ext ; ;
dOKAZATELXSTWO. fUNKCIQ w = f (zz);;zf0(z0) W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ , ISKL@^AQ TO^KU z0 , W KOTOROJ ONA NE OPREDELENA , NO IMEET KONE^NYJ PREDEL : f (z);f (z0) = f 0 (z ). pO TEOREME kOI (X , S. 151) lim 0 z!z0 z ;z0 H H H z0) dz = 0 = 21i f (zz);;zf0(z0) dz = 21i zf;(zz)0 dz ; f2(i z ;z0 ;
; H ;f (z) 1 = 2i z;z0 dz ; f (z0) ind(; z0 ). Q.E.D. ; ;
sMENA OBOZNA^ENIJ z NA , a z0 NA z PRIWODIT K SLEDU@]EJ PEREFORMULIROWKE DOKAZANNOGO UTWERVDENIQ. 1
bYLA POLU^ENA kOI W 1831 G. (28], ser. II, t. XV, p. 449).
166
eSLI ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; RASPOLOVEN W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C , W KOTOROJ FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ , TO W NE LEVA]IH NA KONTURE ; TO^KAH z 2 D , DLQ KOTORYH ind (; z) 6= 0, ZNA^ENIQ f (z) \TOJ FUNKCII WOSSTANAWLIWA@TSQ PO EE ZNA^ENIQM f () NA KONTURE ; POSREDSTWOM INTEGRALXNOJ FORMULY kOI 1 H f () d = f (z) ind(; z ) . 2i ;z ;
rIS. 63
sU]ESTWENNO, ^TO LEWAQ ^ASTX INTEGRALXNOJ FORMULY kOI IMEET SMYSL I W BOLEE OB]IH PREDPOLOVENIQH, NEVELI TE, PRI KOTORYH BYLA POLU^ENA \TA FORMULA. a IMENNO, ESLI ; | KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR (NE OBQZATELXNO ZAMKNUTYJ), A w = '() | NEPRERYWNAQ NA \TOM KONTURE FUNKCIQ, TO W NE LEVA]IH NA KONTURE R; TO^KAH z 2 C OPREDELENY ZNA^ENIQ INTEGRALA kOI 1 21i ' ;(z) d FUNKCII w = '(). ;
tERMIN IZ ZAMETKI ITALXQNSKOGO MATEMATIKA mORERY (SNOSKA 2 NA S. 173) \Intorno all'integrale di Cauchy" (\oB INTEGRALE kOI") W 1
Rendiconti Reale Istituto Lombardo, ser. II, v. XXII, 1889, p. 191{200.
167
lEWAQ ^ASTX INTEGRALXNOJ FORMULY kOI (W ZAPISI NA S. 166) QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM INTEGRALA kOI, KOGDA: a) ; | ZAMKNUTYJ KUSO^NO - GLADKIJ KONTUR, CELIKOM RASPOLOVENNYJ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C , W KOTOROJ ZADANA ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ w = f (z) B) W KA^ESTWE '() BERUTSQ ZNA^ENIQ f () \TOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII NA \TOM KONTURE PRI \TOM INTEGRAL kOI WOSSTANAWLIWAET 1 UVE ZADANNU@ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w = f (z) PO EE ZNA^ENIQM NA (ZAMKNUTOM) KONTURE ;. R ' ( ) w OB]EM VE SLU^AE INTEGRAL kOI 21i ;z d PO ZA; DANNOJ NA KONTURE ;R FUNKCII w = '() OPREDELQET 2 NOWU@ FUNKCI@ f (z) def = 21i ' ;(z) d (PRI \TOM KONTUR ; NE OBQZAN ; BYTX ZAMKNUTYM , A ZADANNAQ NA NEM FUNKCIQ w = '() | ANALITI^ESKOJ ).
s CELX@ OTTENITX \TO RAZLI^IE, TERMIN INTEGRAL kOI NEKOTORYE OTNOSQT ISKL@^ITELXNO K LEWOJ ^ASTI INTEGRALXNOJ FORMULY kOI (S. 166), WOSSTANAWLIWA@]EJ ZADANNU@ ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ PO EE ZNA^ENIQM NA ZAMKNUTOM . sHODNU@ VE PO WIDU R '(KONTURE ) def 1 PRAWU@ ^ASTX RAWENSTWA f (z) = 2i ;z d , OPREDELQ@]EGO PO ZADAN; NOJ NA KONTURE ; (NE OBQZATELXNO ZAMKNUTOM ) NEPRERYWNOJ FUNKCII w = '(z) (NE OBQZATELXNO ANALITI^ESKOJ ) NOWU@ FUNKCI@ w = f (z), PREDPO^ITA@T NAZYWATX INTEGRALOM TIPA kOI , WOWSE NE VELAQ WYRAZITX TEM PRENEBREVENIE K WELIKOMU MATEMATIKU, A LIX SOKRA]AQ BOLEE DLINNOE NAZWANIE INTEGRAL TIPA INTEGRALA kOI .
fUNDAMENTALXNU@ ROLX IGRAET SLEDU@]EE SWOJSTWO INTEGRALA kOI (ILI TIPA kOI). 1 2
B TEH TO^KAH z 2 D, OTNOSITELXNO KOTORYH ind(; z ) 6= 0. w TO^KAH z 2 C , NE LEVA]IH NA KONTURE ;.
168
tEOREMA O PROIZWODNYH INTEGRALA kOI iNTEGR .
RAL kOI f (z) def = 21i ' ;(z) d NEPRERYWNOJ NA KUSO^NO-GLADKOM ; KONTURE ; C FUNKCII w = '( ) OPREDELQET WNE \TOGO KONTURA1 ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w = f (z), IME@]U@ PROIZWODNYE R '() k ! f (k) (z)= 2i ( ;z)k+1 d WSEH PORQDKOW. ;
rIS. 64
dOKAZATELXSTWO . pUSTX z | NE LEVA]AQ NA KONTURE ; TO^KA PLOSKOSTI C , C | OKRUVNOSTX (RADIUSA r ) S CENTROM z , NE ZAHWATYWA@]AQ TO^EK KONTURA ; r(VIII , S. 126) I Mz | NENULEWOE KOMPLEKSNOE ^ISLO S jMzj < 2 (RIS . 64). f (z +Mz);f (z) = 1 1 R '() d 1 R '() d = Mz Mz 2i ;z ;Mz 2i ;z ; ; R ' () 1 = 2i ( ;z;Mz)( ;z) d = R; '() R '()Mz 1 = 2i ( ;z)2 d + 21i ( ;z;M z )( ;z )2 d .
;
;
;
tO^NEE, W KAVDOJ OBLASTI , NA KOTORYE RASPADAETSQ MNOVESTWO NE LEVA]IH NA KONTURE ; TO^EK z 2 C . 1
169
w SILU NEPRERYWNOSTI NA KONTURE ; FUNKCIQ w = '() QWLQETSQ NA NEM OGRANI^ENNOJ (j'()j 6 h). s DRUGOJ STOROr NY, j;zj >r I j;z;Mzj > 2 DLQ WSEH TO^EK KONTURA ;. kAK SLEDSTWIE (VIII , c. 133, OCENKA INTEGRALA PO KONTURU ) MODULX WTOROGO SLAGAEMOGO W PRAWOJ ^ASTI PREDYDU]EJ SISTEMY RAWENSTW NE PREWOSHODIT WELI^INY 21 2r r12 h jMzj l(;), GDE l(;) | DLINA KONTURA ;. pOSKOLXKU \TA WELI^INA STREMITSQ K NUL@ PRI M z ! 0, SLEDUET WYWOD: W L@BOJ TO^KE z 2 C , NE LEVA]EJ NA KONTURE ;, INTEGRAL kOI (TO^NEE, def 1 R '() OPREDELQEMAQ IM FUNKCIQ ) f (z) = 2i ;z d IMEET PROIZ;R '() d I POTOMU f (z +Mz );f (z) 1 0 = WODNU@ f (z) = Mlim M z 2 i ( ;z )2 z!0 ; QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ W L@BOJ OBLASTI D C , NE SODERVA]EJ TO^EK KONTURA ;. dOKAZATX, ^TO \TA FUNKCIQ NA SAMOM DELE IMEET W L@BOJ TO^KE z 2= ; PROIZWODNU@ f (k) (z) L@BOGO PORQDKA k MOVNO LIBO RASSUVDENIQMI PO \TOJ VE SHEME (NO S WOZRASTA@]IMI TEHNI^ESKIMI SLOVNOSTQMI), LIBO OPIRAQSX NA SLEDU@]U@ LEMMU .
lEMMA O PROIZWODNOJ INTEGRALA PO PARAMETRU
.
eSLI ; I D | SOOTWETSTWENNO KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR I OBLASTX NA PLOSKOSTI C (ILI DWUH RAZLI^NYH EE \KZEMPLQRAH ), a FUNKCIQ w = ( z) 2 ; z 2 D , QWLQETSQ a) NEPRERYWNOJ (PO ) NA KONTURE ; PRI L@BOM z 2 D B) ANALITI^ESKOJ (PO z) W OBLASTI D PRI L@BOM 2 ;, R TO INTEGRAL ( z) d QWLQETSQ (PO PEREMENNOJ z ) ANALI; TI^ESKOJ FUNKCIEJ W OBLASTI D , PRI \TOM R 0 R
( z) d = z0 ( z) d . ;
;
170
dOKAZATELXSTWO LEMMY.1 dLQ PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KI z 2 D PUSTX K | KRUG S CENTROM z , PRINADLEVA]IJ OBLASTI D C | KONCENTRI^ESKAQ OKRUVNOSTX RADIUSA r , MENXEGO , ^EM RADIUS KRUGA K Mz | L@BOE KOMPLEKSNOE ^ISLO (\WEKTOR PRIRA]ENIQ"), DLQ KOTOROGO 0 < j M zj < 2r (KAK NA RIS. 64). eSLI ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w = ( z) (PEREMENNOJ z PRI FIKSIROWANNOJ TO^KE 2 ;) RASSMATRIWATX NE WO WSEJ OBLASTI D (KOTORAQ MOVET BYTX NEODNOSWQZNOJ ), A LIX W KRUGE K , TO PRIMENENIE K NEJ INTEGRALXNOJ FORMULY kOI c OKRUVNOSTX@ C (ODIN RAZ OBHODIMOJ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII ) W KA^ESTWE KONTURA INTEGRIROWANIQ DAET: R R 1 Mz ( z +Mz) d ; ( z) d = ;
;
R 1 H ( !) H ( !) 1 = Mz 2i !;z;Mz d! !;z d! d = C C ; R 1 H ( !) = 2i (!;z ;Mz )(!;z) d!d = ; C R H R 1 H ( !) ( !)Mz = 2i (!;z)2 d!d + 21i (!;z ;M z)(!;z)2 d!d . ; C ; C
;
pERWOE SLAGAEMOE W POSLEDNEJ SUMME ESTX (SOGLASNO UVE USTANOWLENNOJRFORMULE PROIZWODNOJ INTEGRALA kOI ) NI^TO INOE KAK z0 ( z) d , WTOROE VE PO MODUL@ NE BOLXE ;
WELI^INY 21 2r r12 h j M zj l(C ) l(;), GDE l(C ) I l(;) | DLINY SOOTWETSTWENNO OKRUVNOSTI C I KONTURA ;, A h | WERHNQQ GRANICA ZNA^ENIJ j( !)j NA ZAMKNUTOM I OGRANI^ENNOM dLQ NAGLQDNOSTI (I WWIDU OSOBOJ WAVNOSTI \TOGO SLU^AQ) OBLASTX D MOVNO S^ITATX MNOVESTWOM TO^EK z 2 C , NE LEVA]IH NA KONTURE ; (ILI ODNOJ IZ OBLASTEJ , NA KOTORYE RASPADAETSQ \TO MNOVESTWO). 1
171
MNOVESTWE SOWOKUPNOGO IZMENENIQ PEREMENNYH 2 ; ! 2 C . |TIM USTANOWLENO, ^TO DLQ L@BOJ TO^KI z OBLASTI D SU]ESTWUET R 0 1 R ( z +Mz) d ; R ( z) d =
( z) d = Mlim z!0 Mz ; ; ; R = z0 ( z)d . Q.E.D. ;
zAWERITX DOKAZATELXSTWO TEOREMY MOVNO POSLEDOWATELXNYM PRIMENENIEM DOKAZANNOJ LEMMY, POLAGAQ NA PERWOM AGE W EE USLOWII ( z) = 21i ' ;(z) 1 I POLU^AQ (POWTORNO, NO NA SEJ RAZ KAK SLEDSTWIE LEMMY) REZULXTAT: R R ' () 0 1 R '() 0 1 0 f (z) = 2i ;z d = 2i ;z d = 21!i (';(z))2 d . ; ; ; rASSUVDAQ DALEE PO INDUKCII, T. E. S^ITAQ UVE USTANOWLENNYM FAKT SU]ESTWOWANIQ R f (k;1) (z) = (k2;i1)! (';(z))k d , ;
DOSTATO^NO PRIMENITX LEMMU S ( z) = (k2;i1)!(';(z))k , DOKAZAW W REZULXTATE SU]ESTWOWANIE 0 (k;1)! R '() (k;1)! R '() 0 ( k ) f (z) = 2i ( ;z)k d = 2i ( ;z)k d = ;
;
R
= 2ki! ( ;'z())k+1 d . Q.E.D. ;
sOEDINENIE DOKAZANNOJ TEOREMY I INTEGRALXNOJ FORMULY kOI PRIWODIT K SLEDU@]EMU FUNDAMENTALXNOMU SWOJSTWU ANALITI^ESKIH FUNKCIJ. s^ITAQ, ^TO PROBEGAET KONTUR ;, A z | L@BU@ NE PERESEKA@]U@SQ S NIM OBLASTX D . 1
172
tEOREMA O PROIZWODNYH ANALITI^ESKOJ FUNKCII
.
eSLI FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C (T. E. IMEET PROIZWODNU@ f 0(z) W L@BOJ TO^Ke z 2 D ), TO ONA IMEET W OBLASTI D PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW1 W SLU^AE, ESLI OBLASTX D QWLQETSQ ODNOSWQZNOJ , SPRAWEDLIWA FORMULA kOI DLQ PROIZWODNYH : H f (k) (z) ind(; z) = 2ki! ( ;f z())k+1 d , z 2 D k = 1 2 : : : , ; GDE W KA^ESTWE ; MOVET BYTX WZQT L@BOJ NE PROHODQ]IJ ^EREZ TO^KU z 2 D ZAMKNUTYJ KUSO^NO - GLADKIJ KONTUR, CELIKOM RASPOLOVENNYJ W OBLASTI D . dOKAZATELXSTWO . dLQ PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KI z OBLASTI D PUSTX K | KRUG S CENTROM z , PRINADLEVA]IJ \TOJ OBLASTI, a C | L@BAQ KONCENTRI^ESKAQ OKRUVNOSTX MENXEGO RADIUSA. pRIMENENIE K ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) W KRUGE K (A NE WO WSEJ OBLASTI D , KOTORAQ MOVET BYTX NEODNOSWQZNOJ ) INTEGRALXNOJ FORMULY kOI S OKRUVNOSTX@ C W KA^ESTWE KONTURA (S^ITAQ EE ODNOKRATNO OBHODIMOJ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII) DAET PREDSTAWLENIE \TOJ FUNKCII HWNUTRI OKRUVNOSTI C W WIDE INTEGRALA kOI: f (z)= 21i f;(z) d , z 2 int C . oSTAETSQ PRIC MENITX TEOREMU O PROIZWODNYH INTEGRALA kOI: PRAWAQ (A POTOMU I LEWAQ ) ^ASTX POSLEDNEJ FORMULY IMEET WNUTRI OKRUVNOSTI C (S CENTROM W PROIZWOLXNO WZQTOJRTO^KE OBLASTI D) PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW f (k) (z)= 2ki! ( ;'(z))k+1 d . C w SLU^AE ODNOSWQZNOJ OBLASTI D WMESTO OKRUVNOSTI w \TOM SOSTOIT PRINCIPIALXNOE RAZLI^IE FUNKCIJ DEJSTWITELXNOJ I KOMPLEKSNOJ PEREMENNYH: FUNKCIQ DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ MOVET IMETX NA INTERWALE (OBLASTI NA PRQMOJ ) PERWU@ PROIZWODNU@, NO NE IMETX SLEDU@]IH (PRIMER: y = xjxj c y0 = 2jxj). 1
173
C (S CENTROM W PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KE z 2 D ) MOVNO WZQTX L@BOJ (NE PROHODQ]IJ ^EREZ \TU TO^KU) ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; D I, PRIMENIW WNA^ALE INTEGRALXNU@ FORMULU kOI, A ZATEM TEOREMU O PROIZWODNYH INTEGRALA kOI S U^ETOM SWOJSTWA POSTOQNSTWA INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA1, POSLEDOWATELXNO POLU^ITX: H f () 1 f (z) ind(; z) = 2i ;z d , f (k) (z)
; H f ( ) ind(; z) = 2ki! ( ;z)k+1 d , ;
k = 1 2 : : :
Q.E.D.
tEOREMA mORERY 2 eSLI W OBLASTI3 D C FUNKCIQ
.
w = f (z) NEPRERYWNA I DLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO H KUSO^NOGLADKOGO KONTURA ; (LEVA]EGO W OBLASTI D ) f (z) dz = 04 w = f (z)
;
D. dOKAZATELXSTWO. eSLI WYPOLNENY USLOWIQ TEOREMY, TO W SILU LEMMY O SU]ESTWOWANII PERWOOBRAZNOJ (X , c. 159) FUNKCIQ w = f (z) IMEET W OBLASTI D PERWOOBRAZNU@ : f (z)= '0 (z) z 2 D . fUNKCIQ w = '(z), IMEQ W OBLASTI D PROIZWODNU@ '0 (z) = f (z), QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W \TOJ OBLASTI I PO TEOREME O PROIZWODNYH ANALITI^ESKOJ FUNKCII (S. 172) IMEET W NEJ PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW. sLEDOWATELXNO, PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW IMEET W OBLASTI D I FUNKCIQ w = f (z)= '0 (z). Q.E.D. TO FUNKCIQ
QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI
w L@BOJ OBLASTI , NE SODERVA]EJ TO^EK \TOGO KONTURA (IX, c. 141), A SLEDOWATELXNO, W OKRESTNOSTI KAVDOJ NE LEVA]EJ NA NEM TO^KI. 2 iTALXQNSKIJ MATEMATIK mOR ERA (Morera, Giacinto, 1856{1909) OPUBLIKOWAL EE W 1886 G. (W Rendiconti Reale Istituto Lombardo, ser. II, t. XIX, p. 304{307) KAK \OBRATNU@ K TEOREME kOI" (\l'inverso del 1
teorema di Cauchy").
nE OBQZATELXNO ODNOSWQZNOJ . nA SAMOM DELE DOSTATO^NO, ^TOBY RAWNQLSQ NUL@ INTEGRAL \TOJ FUNKCII PO L@BOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ W OBLASTI D . 3 4
174 pOSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ ffn (z)g S^ITA@T 1 SHODQ]EJSQ RAWNOMERNO WNUTRI OBLASTI D K FUNKCII w = f (z) , ESLI DLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO KRUGA K D I L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " SU]ESTWUET TAKOE (ZAWISQ]EE OT KRUGA K I ^ISLA " ) NATURALXNOE ^ISLO n0 , ^TO PRI n > n0 NERAWENSTWO jfn (z);f (z)j < " OKAZYWAETSQ WYPOLNENNYM SRAZU DLQ WSEH TO^EK z 2 K .
sIMWOLI^ESKI DANNOE OPREDELENIE WYRAVAETSQ FORMULOJ ; 8z0 8r> 0 (z0 2 D ^ 8z (jz ; z0j6 r =) z 2 D)) =) =) 8"> 0 9n0 8n 8z (n > n0 ^ jz ; z0j6 r =) jfn (z ) ; f (z )j <") .
tEOREMA wEJERTRASSA2 O POSLEDOWATELXNOSTQH ANALITI^ESKIH FUNKCIJ eSLI POSLEDOWATELXNOSTX
(
ffn(z)g FUNKCIJ, ANALITI^ESKIH ).
W OBLASTI D , SHODITSQ RAWNOMERNO WNUTRI \TOJ OBLASTI K FUNKCII w = f (z), TO a) w = f (z) | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ W OBLASTI D B) DLQ L@BOGO k = 1 2 : : : POSLEDOWATELXNOSTX PROIZWODNYH ffn(k)(z)g SHODITSQ K PROIZWODNOJ f (k) (z) PREDELXNOJ FUNKCII RAWNOMERNO WNUTRI OBLASTI D . dOKAZATELXSTWO. pUSTX K0 | L@BOJ PRINADLEVA]IJ OBLASTI D KRUG , z0 | EGO CENTR , K | ZAMKNUTYJ KONCENTRI^ESKIJ KRUG M ENXEGO RADIUSA, C | OGRANI^IWA@(RIS. 65, a). B SILU NERAWENSTWA ]AQ KRUG K OKRUVNOSTX jfn(z);f (z)j<" ;WYPOLNQ@]EGOSQ DLQ WSEH TO^EK z 2 K PRI n > n0 (K ") I NERAWENSTWA jf (z) ;f ()j 6 jf (z); fn(z)j + jfn(z) ;fn()j + jfn() ;f ()j +1
oSNOWYWAQSX NA OPREDELENII wEJERTRASSA TOGO, ^TO RQD P fn (z) n=0 (T. E. POSLEDOWATELXNOSTX f0 (z) f0 (z)+ f1 (z) f0 (z)+ f1 (z)+ f2 (z) : : : ) FUNKCIJ SHODITSQ RAWNOMERNO W OKRESTNOSTI TO^KI a (\die Reihe convergire gleichmassig in der Nahe der Stelle a " 43], Bd. 2, S. 201{202). 2 pERWONA^ALXNYJ EE WARIANT BYL POLU^EN wEJERTRASSOM W 1841 G. 1
(43], Bd. 1, S. 73{74).
175
rIS. 65
PREDELXNAQ FUNKCIQ w = f (z) NEPRERYWNA W KRUGE K (A ZNA^IT, I NA OKRUVNOSTI C ), PO\TOMU DLQ USTANOWLENIQ ANALITI^NOSTI \TOJ FUNKCII W TO^KEH z0 DOSTATO^NO PROWERITX WYPOLNENIE RAWENSTWA f (z)= 21i f;(z) d WNUTRI OKRUVNOSTI C
C (S^ITAQ EE ODNOKRATNO OBHODIMOJ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII). w SILU INTEGRALXNOJ FORMULY kOI, PRIMENENNOJ K FUNKCIQM w = fn(z) W KRUGE K0 I TO^KAM z c jz ; z0 j < r ( r | RADIUS OKRUVNOSTI C ), A TAKVE WYPOLNQ@]EGOSQ DLQ WSEH TO^EK z 2 K PRI n > n0(K ") NERAWENSTWA jfn (z);f (z)j <" \TU PROWERKU DAET OCENKA INTEGRALA PO KONTURU (VIII , c. 133): H f () H f ();fn () 1 f (z) ; 1 2i ;z d = f (z) ; fn(z) ; 2i ;z d 6
6
f (z)
C
;
C
1 H fn ();f () d 6 " + 1 " 2r . 2i ( ;z0);(z ;z0) 2 r;jz ;z0j
fn(z)+
C
dLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO KRUGA K D PUSTX Ce | KONCENTRI^ESKAQ OKRUVNOSTX B OLXEGO RADIUSA, TAKVE PRINADLEVA]AQ (S OGRANI^IWAEMYM E@ KRUGOM ) OBLASTI D (RIS. 65, B). tAK KAK fn(z) ! f (z) RAWNOMERNO WNUTRI OBLASTI D , fn();f () <" ODNOWREMENNO DLQ WSEH TO^EK 2 Ce
176 e "), IZ ^EGO S PRIMENENIEM FORMUL kOI DLQ PRI n > n0(C PROIZWODNYH (c. 172) I OCENKI INTEGRALA (VIII , c. 133) SLEDUET, ^TO DLQ TO^EK z 2 K H fn ();f () k!2r " (k) fn (z) ; f (k) (z) = k 2i ( ;z)k+1 d < 2 (r; )k+1
Ce
(ZDESX r I | RADIUSY SOOTWETSTWENNO OKRUVNOSTI Ce I KRUGA K ). Q.E.D. W OBLASTI D C uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO ESLI NEPRERYWNAQ R
FUNKCIQ w = f (z) OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO f (z)dz = 0 DLQ L@BOGO L PRQMOLINEJNOGO OTREZKA L D , TO f (z) 0 W OBLASTI D . 2. dOKAZATX SLEDU@]IJ USILENNYJ WARIANT TEOREMY mORERY . H ESLI FUNKCIQ w = f (z) NEPRERYWNA W OBLASTI D C I f (z) dz = 0 T DLQ L@BOGO (RASPOLOVENNOGO W OBLASTI D ) TREUGOLXNIKA 1 T , TO \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D . 3. dOKAZATX SLEDU@]IJ FAKT, IZWESTNYJ KAK TEOREMA lIUWILLQ2. eSLI CELAQ (T, E. ANALITI^ESKAQ WO WSEJ PLOSKOSTI C ) FUNKCIQ QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ , TO \TA FUNKCIQ POSTOQNNA . ; uKAZANIE : DLQ PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KI z 2 C OCENITX INTEGRAL H f () ( ;z)2 d PO OKRUVNOSTI Cr RADIUSA r PRI r ! +1 , a ZATEM PRICr MENITX FORMULU kOI DLQ PROIZWODNOJ (c. 172) I PERWOE IZ USLOWIJ POSTOQNSTWA ANALITI^ESKOJ FUNKCII W OBLASTI (VII, c. 112). sLEDUET OTMETITX H , ^TO W SLU^AE NEODNOSWQZNOJ OBLASTI D IZ \TOGO NE SLEDUET , ^TO f (z) dz = 0 DLQ L@BOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ P , P RASPOLOVENNOJ W OBLASTI D (X, UPRAVNENIE NA S. 164). 2 fRANCUZSKIJ MATEMATIK lIUWI LLX (Liouville, Joseph, 1809{1882) OPUBLIKOWAL \TU TEOREMU W 1844 G. sWOE NEDOWOLXSTWO \TIM NEODNOKRATNO WYRAVAL kOI (28], ser. I, t. VIII, p. 378 t. XI, p. 374), S^ITAWIJ SEBQ AWTOROM \TOJ TEOREMY. 1
177
kAK OPERIRU@T TEOREMOJ I INTEGRALXNOJ FORMULOJ kOI I ^TO UTWERVDA@T TEOREMY tEJLORA I lORANA XII .
oBY^NYM PREPQTSTWIEM K PRAKTI^ESKOMU PRIMENENI@ TEOREMY kOI (RAWNO KAK I EE SLEDSTWIQ | INTEGRALXNOJ FORMULY kOI) WYSTUPAET NEODNOSWQZNOSTX OBLASTI, PO KOTOROJ PROHODIT KONTUR INTEGRIROWANIQ (I W KOTOROJ PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ .
wSTRE^A@]IESQ W LITERATURE POPYTKI RASPROSTRANITX TEOREMU kOI NA MNOGOSWQZNYE OBLASTI (OB]EGO WIDA) NEIZMENNO PRIWODQT K UTWERVDENIQM ^ASTNOGO HARAKTERA: W KA^ESTWE MNOGOSWQZNOJ OBLASTI W NIH WYSTUPAET KONKRETNAQ EE RAZNOWIDNOSTX, RAWNO KAK KONKRETNYM PREDSTAWLQETSQ I RASPOLOVENNYJ W NEJ KONTUR INTEGRIROWANIQ .
nEWOZMOVNOSTX PRQMOGO PRIMENENIQ TEOREMY kOI I INTEGRALXNOJ FORMULY kOI K INTEGRALAM FUNKCIJ W NEODNOSWQZNYH OBLASTQH WOWSE NE OZNA^AET, ^TO \TO ZATRUDNENIE NELXZQ OBOJTI. nAIBOLEE PROSTYM OKAZYWAETSQ SLU^AJ, KOGDA W ISHODNOJ NEODNOSWQZNOJ OBLASTI D C (W KOTOROJ LEVIT KONTUR INTEGRIROWANIQ , A PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ ) UDAETSQ WYDELITX ODNOSWQZNU@ OBLASTX D1 D, CELIKOM SODERVA]U@ KONTUR INTEGRIROWANIQ ;: SLEDUET LIX NA WREMQ ZABYTX PRO ISHODNU@ OBLASTX D I DEJSTWOWATX ISKL@^ITELXNO W RAMKAH ODNOSWQZNOJ OBLaSTI D1 . ~A]E VE WYHOD IZ ZATRUDNENIQ NAHODQT W PREOBRAZOWANII KONTURA INTEGRIROWANIQ | ZAMENE EGO (CELIKOM ILI PO U^ASTKAM) DRUGIM, NO S TEM VE ZNA^ENIEM INTEGRALA . pRIMEROM PRIMENENIQ \TOGO PRIEMA MOVET SLUVITX DOKAZATELXSTWO SLEDU@]EGO UTWERVDENIQ | WARIANTA TEOREMY kOI DLQ PROSTEJEJ NEODNOSWQZNOJ OBLASTI.
178 T
EOREM kOI DLQ KOLXCA.1 eSLI FUNKCIQ w = f (z) a
QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W KOLXCE A = z 2 C : r1 < jz ; z0 j
;
(LEVA]AQ W \TOM KOLXCE ) OKRUVNOSTX S CENTROM z0 , ODIN RAZ OBHODIMAQ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (RIS. 66, a)3. dOKAZATELXSTWO. pUSTX z1 | L@BAQ TO^KA KONTURA ; (WYBRANNAQ NA^ALXNOJ )4, L1 | PRQMAQ , PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KI z0 I z1 , L2 | PRQMAQ , PERESEKA@]AQ W TO^KE z0 PRQMU@ L1 (DLQ OPREDELENNOSTI POD PRQMYM UGLOM RIS. 66, B ). ESLI KONTUR ; NE IMEET OB]IH TO^EK S PRQMOJ L2 , TO UTWERVDENIE TEOREMY WERNO, TAK KAK ODNOWREMENNO H H ind(; z0 ) def = 21i z;dzz0 = 0 I f (z) dz = 0 ;
;
W SILU TEOREMY kOI, PRIMENENNOJ K ANALITI^ESKIM FUNKCIQM w = z;1z0 I w = f (z) W ODNOSWQZNOJ OBLASTI | POLUKOLXCE , \OTREZAEMOM" OT KOLXCA A PRQMOJ L2 .
u kOI W 28], ser. I, t. VIII, p. 162{163. pRI r1 =0 I r2 < +1 \TO KOLXCO ESTX KRUG S IZ_QTYM CENTROM z0, PRI r1 > 0 I r2 = +1 | WNENOSTX OKRUVNOSTI , A PRI r1 = 0 I r2 = +1 | PLOSKOSTX C S IZ_QTOJ TO^KOJ z0 (oBOZNA^ENIE KOLXCA A | PO NA^ALXNOJ BUKWE FR. anneau | KOLXCO ). 3 oKRUVNOSTX C | ^TOBY NE ZAGROMOVDATX RISUNOK | IZOBRAVENA NE PERESEKA@]EJ KONTUR ;, A \TOT KONTUR | ODNOKRATNO OBHODQ]IM CENTR KOLXCA W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII. H 4 OT EE WYBORA ZNA^ENIE f (z) dz NE ZAWISIT (VIII, c. 128). 1 2
;
179
rIS. 66
eSLI VE KONTUR ; IMEET OB]IE TO^KI S PRQMOJ L2 (KAK NA RIS. 66, B ), TO PUSTX z2 | PERWAQ IZ NIH (W PORQDKE SLEDOWANIQ TO^EK KONTURA ; OT TO^KI z1).
rIS. 67
pRIMENQQ TEOREMU kOI (X , S. 151) K FUNKCII w = f (z) W ODNOSWQZNOJ OBLASTI | KOLXCE A S \RAZREZOM" PO LU^U IZ TO^KI z0 WDOLX PRQMOJ L1 W NAPRAWLENII, PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENI@ NA TO^KU z1 , MOVNO SDELATX WYWOD: ZNA^ENIQ H f (z) dz I ind(; z0) NE IZMENQTSQ , ESLI U^ASTOK KONTURA ;
180 ; OT TO^KI z1 DO TO^KI z2 ZAMENITX KUSO^NO-GLADKIM KONTUROM , SOSTOQ]IM IZ OTREZKOW PRQMYH L1 L2 , SOEDINQ@]IH TO^KI z1 I z2 S OKRUVNOSTX@ C , I ^ETWERTI \TOJ OKRUVNOSTI (RIS. 67, A). dEJSTWIQ PO \TOJ SHEME (PRI KOTOROJ PRQMYE L1 I L2 POPEREMENNO MENQ@TSQ HROLQMI) PREOBRAZU@T KONTUR ; | S SOHRANENIEM ZNA^ENIJ f (z) dz I ind(; z0) | W SOSTOQ]IJ ; IZ ^ETWERTEJ OKRUVNOSTI C , SOEDINENNYH OTREZKAMI PRQMYH L1 I L2 (RIS. 67, B ). pOSKOLXKU KAVDYJ IZ \TIH OTREZKOW OBHODITSQ DWAVDY W PROTIWOPOLOVNYH NAPRAWLENIQH, INTEGRAL PO \TOMU KONTURU RAWEN INTEGRALU PO OKRUVNOSTI C , OBHODIMOJ STOLXKO VE RAZ, KAKOW ind(; z0). Q.E.D. tEOREMA tEJLORA.1 fUNKCIQ w=2 f (z), ANALITI^ESKAQ W KRUGE D = z 2 C : jz ; z0 j < r IMEET W \TOM KRUGE PREDSTAWLENIE W WIDE SUMMY SHODQ]EGOSQ STEPENNOGO RQDA +P 1 f (z) = cn(z ; z0)n z 2 D, n=0 KO\FFICIENTY KOTOROGO SWQZANY S NEJ SOOTNOENIQMI3 H (n) cn = f n(!z0) I cn = 21i ( ;fz(0))n+1 d , n =0 1 2 : : : , ; GDE ; | L@BOJ ZAMKNUTYJ KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR , RASPOLOVENNYJ W KRUGE D I ODIN RAZ OBHODQ]IJ EGO CENTR z0 W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (RIS. 68, A). nAZWANIE USLOWNO: \TU TEOREMU (USTANOWLENNU@ kOI W 1831 G. DLQ SLU^AQ z0 = 0 28], ser. II, t. XV, p. 448{450) PRAWILXNEE NAZYWATX TEOREMOJ kOI O RAZLOVENII ANALITI^ESKOJ FUNKCII W RQD tEJLORA. pO UDIWITELXNO ^ASTOMU POWTORENI@ EE FORMULIROWKI W RABOTAH kOI RAZNOGO WREMENI MOVNO SDELATX WYWOD, ^TO IMENNO EE (A NE TO, ^TO NYNE NAZYWA@T TEOREMOJ kOI ) ON S^ITAL GLAWNYM SWOIM REZULXTATOM. 2 wKL@^AQ SLU^AJ r =+1, KOGDA KRUG D ESTX WSQ PLOSKOSTX C . 3 pERWOE IZ KOTORYH I OZNA^AET, ^TO \TOT STEPENNOJ RQD QWLQETSQ RQDOM tEJLORA FUNKCII w = f (z) (II, S. 33). 1
181
rIS. 68
dOKAZATELXSTWO. pUSTX z | L@BAQ TO^KA KRUGA D , A C | L@BAQ OKRUVNOSTX S CENTROM z0 , RADIUS KOTOROJ UDOWLETWORQET NERAWENSTWAM jz ; z0 j < < r (RIS. 68, B). eSLI OKRUVNOSTX C RASSMATRIWATX KAK ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR , OBHODQ]IJ TO^KU z0 (A SLEDOWATELXNO, I TO^KU z ) ODIN RAZ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII, TO PRIMENENIE INTEGRALXNOJ FORMULY kOI (XI , c. 166) I FORMULY SUMMY GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII SO ZNAMENATELEM z;;zz00 (MODULQ jz ;z0j < 1 DLQ TO^EK 2 C ) DAET: H H f (z) = 21i f;(z) d = 21i ( ;z0f);(()z;z0) d = C
C
H = 21i f;(z)0 1+ z ;;zz00
C
+ ((z ;;zz00))2 + d =
2
H m = 21i f;(z)0 1+ z ;;zz00 + + ((z;;zz00))m d + C H m+1 + 21i ( ;z0f);(()z;z0) ((z ;;zz00))m+1 d = I1 + I2 .
C
tAK KAK NA OKRUVNOSTI C ANALITI^ESKAQ W KRUGE D FUNKCIQ w = f (z) OGRANI^ENA : 9h 8z (z 2 C =) jf (z)j 6 h),
182
WTOROe SLAGAEMOe W PRAWOJ ^ASTI PREDYDU]EJ SERII RAWENSTW DOPUSKAET OCENKU (VIII , c. 133): z ;z0 m+1 h jI2j 6 ;jz;z0j ;! 0 m ! +1. kAK SLEDSTWIE H 1 f () 1+ z ;z0 + + (z ;z0)m d = f (z) = mlim ;z0 ( ;z0)m !+1 2i C ;z0 m 1 H f () (z ;z0)n +P 1 P = mlim d
= cn(z ; z0)n, n +1 !+1 n=0 2i C ( ;z0) n=0 H GDE cn = 21i ( ;fz(0))n+1 d n = 0 1 2 : : : C pOSKOLXKU PODYNTEGRALXNYE FUNKCII (PEREMENNOJ ) W PRAWYH ^ASTQH POSLEDNIH FORMUL QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI W KRUGE D S IZ_QTYM CENTROM z0 , TEOREMA kOI DLQ \KOLXCA" (W DANNOM SLU^AE KOLXCA A = D r fz0g) POZWOLQET ZAMENITX W FORMULAH DLQ KO\FFICIENTOW cn OKRUVNOSTX C L@BYM ZAMKNUTYM KUSO^NO-GLADKIM KONTUROM ; D S TEM VE ZNA^ENIEM INDEKSA OTNOSITELXNO TO^KI z0 , T. E. ODIN RAZ OBHODQ]IM EE W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (KAK NA RIS. 68, A). |TO OZNA^AET, ^TO W POLU^ENNOM PREDSTAWLENII +1 FUNKCII f (z) = P cn(z ; z0)n KO\FFICIENTY cn NE ZAWISQT n=0 OT NA^ALXNOGO WYBORA TO^KI z 2 D, I POTOMU \TO PREDSTAWLENIe IMEET MESTO WO WSEM KRUGE D . s U^ETOM TEOREMY kOI { aDAMARA (II , c. 27) RADIUS SHO+P 1 DIMOSTI STEPENNOGO RQDA cn(z ;z0)n NE MENXE RADIUSA n=0 KRUGA D, A POTOMU PRIMENIMA TEOREMA O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO RQDA (II , c. 29), W SILU KOTOROJ FUNKCIQ w = f (z) IMEET W KRUGE D PROIZWODNU@ L@BOGO PORQDKA k =1 2 : : : +P 1 (k) f (k)(z)= cnn(n;1) (n;k+1)(z;z0 )n;k , OTKUDA ck = f k(!z0) . n=k
183
tEOREMA lORANA 1 eSLIFUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ 2
ANALITI^ESKOJ W KOLXCE A = z 2 C : r1 < jz ; z0 j < r2 , TO W \TOM KOLXCE SPRAWEDLIWO ee PREDSTAWLENIE +P 1 f (z) = cn(z ; z0 )n z 2 A, n=;1 W WIDE SUMMY OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA , KO\FFICIENTY cn KOTOROGO, SWQZANY S \TOJ FUNKCIEJ SOOTNOENIQMI H cn = 21i ( ;fz(0))n+1 d , n = 0 1 2 : : : , ; GDE ; | L@BOJ ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR , RASPOLOVENNYJ W KOLXCE A I ODIN RAZ OBHODQ]IJ EGO CENTR z0 W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (T. E. ind(; z0)=1 RIS. 69, A).
.
rIS. 69 hOTQ PERWYM \TU TEOROMU DOKAZAL (W 1841 G.) wEJERTRASS (43], Bd. I, S. 51), ZA NEJ ZAKREPILOSX IMQ FRANCUZSKOGO WOENNOGO INVENERA lORANA (Laurent, Pierre Alphonce, 1813 {1854), KOTORYJ OPUBLIKOWAL EE W 1843 G. KAK \OBOB]ENIE TEOREMY kOI" (\Extension du theor*eme de M. Cauchy relatif *a la convergence du developpement d'une fonction suivant les puissances ascendentes de la variable x "), ^TO SAMIM kOI NEODNOKRATNO POD^ERKIWALOSX (28], ser. I, t. VIII, p. 115{117 147). 2 wKL@^AQ SLU^AI r =0 r =+1. 1 2 1
184
dOKAZATELXSTWO 1. dLQ PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KI z 2 A PUSTX C1 I C2 | OKRUVNOSTI S CENTROM z0 RADIUSOW 1 I 2 , UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWAM r1 < 1 < jz ;z0j < 2
C2 C1; ; (C1 | OKRUVNOSTX C1 , ODNOKRATNO OBHODIMAQ W OTRICATELXNOM NAPRAWLENII). dLQ \TOGO SLEDUET, SOEDINIW OKRUVNOSTI C1 I C2 DWUMQ NE PROHODQ]IMI ^EREZ TO^KU z PRQMOLINEJNYMI OTREZKAMIH , PREDSTAWITXH PRAWU@ ^ASTX RAWENSTWA W WIDE SUMMY 1 f () 1 f () 2i ;z d + 2i ;z d , GDE ZAMKNUTYE KUSO^NO-GLADKIE ;2 ;1 KONTURY ;1 I ;2 OBRAZOWANY DUGAMI OKRUVNOSTEJ C1; I C2 I SOEDINQ@]IMI IH OTREZKAMI , OBHODIMYMI W PROTIWOPOLOVNYH NAPRAWLENIQH | TAK, ^TO TO^KA z OKAZYWAETSQ WNUTRI KONTURA ;1 I WNE KONTURA ;2 (RIS. 70). wY^ISLITX INTEGRALY PO KONTURAM ;1 I ;2 MOVNO S POMO]X@ INTEGRALXNOJ FORMULY kOI (XI , S. 166), PRIMENQQ EE, SOOTWETSTWENNO, K ODNOSWQZNYM OBLASTQM ArL1 I ArL2 , GDE L1 L2 | KAKIE-LIBO LU^I , WYHODQ]IE IZ TO^KI z0 I NE PERESEKA@]IE , SOOTWETSTWENNO, KONTURY ;1 I ;2 (KAK NA RIS. 70). tAK KAK ind(;1 z)=1, A ind(;2 z)=0, 1 H f () d = f (z) A 1 H f () d =0. 2i ;z 2i ;z ;1
;2
pO SHEME DOKAZATELXSTWA TEOREMY tEJLORA (S. 181{182), NO S UDLINNQ@]IMI OSLOVNENIQMI, WYZWANNYMI NEODNOSWQZNOSTX@ KOLXCA. 1
185
rIS. 70
wTOROJ AG DOKAZATELXSTWA SOSTOIT (KAK I PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY tEJLORA NA S. 181) W PREOBRAZOWANII INTEGRALOW PO OKRUVNOSTQM C2 I C1; NA OSNOWE FORMULY SUMMY GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII I OGRANI^ENNOSTI ZNA^ENIJ ; f () jf ()j 6 h NA \TIH OKRUVNOSTQH : f () 1 H f () d = 1 H 2i ;z 2i ( ;z0);(z ;z0) d = C2
C2
H f () z ;z 2 1 = 2i ;z0 1+ ;z00 + ((z ;;zz00))2
C2
+ d =
H m = 21i f;(z)0 1+ z ;;zz00 + + ((z;;zz00))m d + C2 H m+1 + 21i ( ;z0f);(()z;z0) ((z ;;zz00))m+1 d , C2 PRI^EM SOGLASNO OCENKE INTEGRALA (VIII , c. 133) MODULX WTO-
ROGO SLAGAEMOGO W PRAWOJ ^ASTI NE PREWOSHODIT WELI^INY h 2 z ;z0 m+1, STREMQ]EJSQ K NUL@ PRI n ! +1, W SILU 2 ;jz ;z0j 2 ^EGO ISHODNYJ INTEGRAL ESTX PREDEL (PRI n ! +1) PERWOGO IZ DWUH SLAGAEMOYH W PRAWOJ ^ASTI:
186 m f () (z ;z0)n 1 H f () d = lim 1 H P d = 2i ;z m!+1 2i n=0 ;z0 ( ;z0)n C C 2
2
= mlim !+1 =
1 H f () (z ;z0)n d = ( ;z0)n+1 n=0 2i m P
C2
+P 1 1 H f () n+1 d (z n=0 2iC2 ( ;z0)
;z0)n
f () 1 H f () d = 1 H f () d = 1 H 2i ; ;z 2i ;z 2i (z ;z0);( ;z0) d = C1
;
C1
C1
H 2 = 21i zf;(z)0 1+ z;;zz00 + ((z;;zz00))2
C1
+ d =
H m = 21i zf;(z)0 1+ z;;zz00 + + ((z ;;zz00))m d + C1 H m+1 + 21i (z;z0f);(() ;z0) ((z;;zz00))m+1 d ,
C2
PRI \TOM MODULX POSLEDNEGO SLAGAEMOGO W PRAWOJ ^ASTI NE m+1 h 1 1 PREWOSHODIT WELI^INY jz;z0j; 1 z;z0 , STREMQ]EJSQ K NUL@ PRI m ! +1, IZ ^EGO SLEDUET, ^TO m f () ( ;z0)n 1 H f () d = lim 1 H P d = 2i ; ;z m!+1 2i n=0 z ;z0 (z ;z0)n C
C1
= mlim !+1
1
1 H f () ( ;z0)n d (n=;=k;1) (z ;z0)n+1 n=0 2i m P
C1
;1 1 H f () ( ;z0);k;1 P = mlim !+1 k=;m;1 2iC1 (z;z0);k d = ;1 1 H f () P k = k+1 d (z ; z0 ) . k=;1 2iC1 ( ;z0)
187
GDE
sLOVENIE INTEGRALOW PO OKRUVNOSTQM C2 I C1; DAET: +P 1 ;1 P f (z) = cn (z ; z0)n + ck (z ; z0)k , n=0 k=;1 H
H
cn = 21i ( ;fz(0))n+1 d , a ck = 21i ( ;fz(0))k+1 d . C2 C1 oSTAETSQ ZAMENITX W POSLEDNEM RAWENSTWE OBOZNA^ENIE k NA n I ZAMETITX, ^TO SOGLASNO TEOREMe kOI DLQ KOLXCA (c. 178) OBE OKRUVNOSTI C1 I C2 MOGUT BYTX ZAMENENY L@BYM ZAMKNUTYM KUSO^NO-GLADKIM KONTUROM ;, RASPOLOVENNYM W KOLXCE A I IME@]IM TOT VE (RAWNYJ 1) INDEKS OTNOSITELXNO EGO CENTRA z0 (T. E. ODNOKRATNO OBHODQ]IM TO^KU z0 W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (KAK NA RIS. 93, a). |TO OZNA^AET, ^TO HOTQ WYBOR OKRUVNOSTEJ C1 I C2 IZNA^ALXNO ZAWISEL OT WYBORA TO^KI z 2 A, KO\FFICIENTY cn W PREDSTAWLENII +P 1 ;1 +P 1 P f (z) = cn(z ; z0)n + cn(z ; z0)n = cn(z ; z0)n n=0 n=;1 n=;1 NE ZAWISQT OT \TOJ TO^KI, T. E. \TO PREDSTAWLENIE IMEET MESTO WO WSEM KOLXCE A. Q.E.D. uSTANAWLIWAEMYE TEOREMAMI tEJLORA (S. 180) I lORANA (S. 183) PREDSTAWLENIQ +P 1 +P 1 f (z)= cn(z ; z0)n I f (z)= cn(z ; z0 )n n=0 k=;1 FUNKCII w = f (z), ANALITI^ESKOJ , SOOTWETSTWENNO, W KRUGE D = z 2 C : jz;z0 j
mAKLORENA , ESLI z0 =0.
188
sWOJSTWO EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA eSLI FUNKCIQ w = f (z) KAKIM{TO SPOSOBOM PRED.
STAWLENA W KRUGE (ILI KOLXCE ) S CENTROM z0 W WIDE SUMMY +1 ; SHODQ]EGOSQ STEPENNOGO RQDA f (z) = P cn(z ; z0 )n ILI OBn=0 +P 1 OB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA f (z)= cn(z ; z0 )n , TO \TOT n=;1 RQD QWLQETSQ RQDOM tEJLORA (RQDOM lORANA ) \TOJ FUNKCII: EGO KO\FFICIENTY SWQZANY S NEJ SOOTNOENIQMI H cn = 21i ( ;fz(0))n+1 d n =0 1 2 : : : (n =0 1 2 : : : ), ;
GDE ; | L@BOJ ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR , NE WYHODQ]IJ ZA PREDELY \TOGO KRUGA (KOLXCA ) I ODIN RAZ OBHODQ]IJ EGO CENTR z0 W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII. dOKAZATELXSTWO. kAKOW BY NI BYL ZAMKNUTYJ KUSO^NOGLADKIJ KONTUR ; UKAZANNOGO WIDA, DLQ FIKSIROWANNOGO ZNA^ENIQ n (RAWNOGO, SOOTWETSTWENNO, 0 1 2 : : : W SLU^AE STEPENNOGO I 0 1 2 : : : W SLU^AE OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA) I k , PROBEGA@]EGO WSE PERE^ISLENNYE ZNA^ENIQ, P k 1 H f () d = 1 H k cn ( ;z0) d = 1 H Pc ( ;z )n;k;1 d = 0 2i ( ;z0)n+1 2i ( ;z0)n+1 2i k k ; ; ; HP 1 k ; n ; 1 ; 1 = 2i ck ( ; z0) + cn( ; z0) d = ; k=6 n = 21i
H P ( ;z0)k;n0
;
k6=n n;k
+ ;cnz0 d = 0 + cn ind(; z0) = cn,
^TO SLEDUET IZ TEOREMY O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO (A TAKVE OBOB]ENNOGO STEPENNOGO ) RQDA (II, c. 29 V, c. 72), FORMULQ nX@TONA { lEJBNICA (VIII , c. 133) I OPREDELENIQ INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA (IX , S. 138). Q.E.D.
189
pRIMERY. 1. sOGLASNO FORMULE SUMMY GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII SPRAWEDLIWY RAWENSTWA 1 2 3 1+z = 1 ; z + z ; z + jz j < 1, 1 1 ;1 ;2 ;3 ;4 1+z = z (1+z;1) = z ; z + z ; z + jz j > 1, PERWOE IZ KOTORYH ESTX1 RAZLOVENIE FUNKCII w = 1+1 z W RQD tEJLORA (TO^NEE, mAKLORENA ) W KRUGE z 2 C : jzj < 1 (W OKRESTNOSTI NULQ ), A WTOROE | W RQD lORANA W KOLXCE z 2 C : 1 < jzj < +1 (W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI ). 2. s U^ETOM PREDYDU]EGO PRIMERA I FORMULY PROIZWODNOJ SUMMY (OBOB]ENNOGO ) STEPENNOGO RQDA (V, c. 72) 1 0= ; 1+ ( 3 =z 1 ; 2z + 3z 6 ; 4z 9 + = ;6 ;9 ;12 ;15 z ; 2z + 3z ; 4z +
1 z3== 1 = (1+z 3)2 (1+)2
ESLI jzj < 1 ESLI jzj > 1: 3. pRIMENENIE TEOREMY tEJLORA K ODNOZNA^NYM WETWQM ; w =ln(1+z) def = ln j1+zj+i arg(1+z) I w =(1+z) def = exp ln(1+z) , W KRUGE fz 2 C : jzj < 1g2, W KOTOROM ONI QWLQ@TSQ ANALITI^ES; 0 1 KIMI FUNKCIQMI S PROIZWODNYMI ln(1+z) = 1+z (V, S. 78) I 0 ; 0 ; (1+z) = exp( ln(1+z)) = (1+z) 1+ z = (1+z);1 , PRIWODIT K RAZLOVENIQM mAKLORENA2 \TIH3 ODNOZNA^NYH WETWEJ : 4 z z z ln(1+ z) = ln 1 + z ; 2 + 3 ; 4 + jzj < 1 (ln 1 = 2ki k =0 1 2 : : : ) 3
w SILU SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA. |TO MAKSIMALXNYJ KRUG S CENTROM 0, W KOTOROM OPREDELENY \TI ODNOZNA^NYE WETWI QWNOE WYRAVENIE WETWEJ w = ln(1+ z) W ZAPISI z = x + iy PEREMENNOJ z W \TOM KRUGE DAETSQ RAWENSTWAMI p ln(1+ z) = ln j1+ z j + i arg(1+ z) = ln (1+ x)2 + y2 + i arctg 1+y x +2 k , GDE WYBOR ZNA^ENIQ k = 0 1 2 : : : OPREDELQET WYBOR KONKRETNOJ WETWI w =ln(1+z) (NAPRIMER, k =0 OTWE^AET TA, DLQ KOTOROJ ln 1=0). 1 2
190 ;2) z 3 + jz j < 1. (1+z) = 1 + 1 z+ (1;2 1) z2 + (;11)( 23 (1 =exp( 2ki) k =0 1 2 : : : ) 4. ~TOBY RAZLOVITX W RQD tEJLORA W OKRESTNOSTI TO^p p 1+ KI i ODNOZNA^NU@ WETWX w = z , DLQ KOTOROJ i = p2i , SLEDUET WWESTI OBOZNA^ENIE z;i i = I, S^ITAQ, ^TO j j < 1,
WOSPOLXZOWATXSQ1 RAZLOVENIEM mAKLORENA TOJ ODNOZNA^NOJ 1 2 =1: WETWI p w =(1+) 2 (PREDYDU]IJ PRIMER ), DLQ KOTOROJ 1 pz = (z ; i) + i = pi 1 + z;i = i 1+ i 1 1 1 2 = p2 1 + 2 ; 22 2! + 2333! 3; 12434!5 4 + = p i 1 + 21i (z ;i) ; (2i)12 2! (z ;i)2 + (21i)333! (z ;i)3 ; . = 1+ 2 5. rAZLOVENIQ lORANA W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI (RAZLI^A@]IHSQ ZNAKOM) ODNOZNA^NYH q WETWEJ DWUHZNA^NYH p FUNKCIJ w = (z ; a)(z ; b) I w = zz;;ab MOVNO POLU^ITX, ; ZAPISAW IH W WIDE w = z 1; az 1; zb , w = 1; az 1; zb , WOSPOLXZOWAWISX RAZLOVENIQMI lORANA SOMNOVITELEJ W PRAWYH ^ASTQH1 I, NAKONEC, WOSPOLXZOWAWISX PRAWILOM PEREMNOVENIQ STEPENNYH RQDOW (W DANNOM SLU^AE OTNOSITELXNO PEREMENNOJ z;1 II , c. 33): p 2 3 (z ; a)(z ; b) = z 1 ; a2 z;1 ; 2a2 2! z;2 ; a2313!3 z;3 ; 2 3 1 ; b z;1 ; 2b z;2 ; b 313 z;3 ; = 1 2
1 2
2
1 2
2 2!
1 2
1 2
2 3!
2 2 = z 1 ; a+2 b z;1 ; (a2;2 2!b) z;2 ; (a+b)(2a3;3!b) 13 z;3 ;
1
pOLU^IW IH IZ RAZLOVENIJ mAKLORENA : (1 ; ) 12 = 1 ; 21 ; 2212! 2 ; 21333! 3 ; 12434!5 4 ; j j < 1 (1 ; ); 12 = 1 + 12 + 2212! 2 + 21333! 3 + 12434!5 4 + j j < 1.
191 q
z ;a = z ;b
1 ; 2 ; 2 2! ; 2 3! ; 1 + 2b z;1 + 2b 2! z;2 + b2 13!3 z;3 + =
a z;1
a2 z;2 2 2
a3 13 z;3 3
3 3
2
2 ab+5b2) z;3 + . = 1 + b;2 a z;1 + (b;a2)(2 a2!+3b) z;2 + (b;a)(a2+2 3 2! 6. w KRUGE z 2 C : jz j < 2 OPREDELENY DWE (RAZLI^A@]IESQ ZNAKOM) ODNOZNA^NYE WETWI MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = pcos z \TO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO Re cos z = cos x ch y > 0, ESLI jz j = jx + iyj < 2 ,
A SLEDOWATELXNO, W UKAZANNOM KRUGE OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI ARGUMENTA , A PO\TOMU (IV, S. 68) I L@BOJ STEPENI cos z . pO TEOREME tEJLORA IMEET MESTO RAZLOVENIE pcos z = c + c z + c z 2 + c z 3 + jz j < , 0 1 2 3 2 KO\FFICIENTY KOTOROGO MOVNO NAJTI (SNA^ALA c0 , ZATEM c1 c2 etc.) ISHODQ IZ RAZLOVENIQ W RQD KOSINUSA (II, c. 37), TEOREMY O PEREMNOVENII STEPENNYH RQDOW (II, c. 34) I SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ : ; ; 2 4 z z 1 ; 2! + 4! = c0+ c1z + c2z 2+ c3 z 3+ c0+ c1z + c2z 2+ c3 z 3+ , ; OTKUDA c20 =1 (c0 = 1) 2c0 c1 =0 (c1 =0) 2c0 c2 = ; 2!1 c2 = ; c40 : : :
rIS. 71 7. fUNKCIQ w = ezz;1 QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W PLOSKOSTI C , ISKL@^AQ TO^KI 2ki k = 0 1 2 : : : , I, PO TEOREME lORANA, W KAVDOM IZ KOLEC Ak = fz 2 C : 2k < jz j < 2(k +1)g, k = 0 1 2 : : :
192 (RIS. 71, a) IMEET RAZLOVENIE PO STEPENQM z . nAJTI \TO RAZLOVENIE W KOLXCE A0 POZWOLQET TEOREMA O DELENII STEPENNYH RQDOW (II, c. 39), W
SILU KOTOROJ z z 2 ez ;1 = z ;1+ z + z2 + = c0 + c1z + c2z + , 2! 3! GDE KO\FFICIENTY c0 c1 : : : POSLEDOWATELXNO NAHODQTSQ IZ RAWENSTW: c0 = 1 c0 2!1 +c1 = 0 c0 3!1 +c1 2!1 +c2 = 0 : : : ~A]E, ODNAKO, IH ZAPISYWA@T KAK cn = Bnn! , n = 0 1 2 : : : , NAZYWAQ Bn ^ISLAMI bERNULLI 1. w +1 \TIH OBOZNA^ENIQH ezz;1 = P Bnn! z n W KOLXCE A0 (PRI 0 < jz j < 2). n=0 pOLU^ENNOMU RAZLOVENI@ MOVNO PRIDATX INOJ WID, ESLI U^ESTX, +1 z ;z ^TO P Bnn! z n = ezz;1 + z2 ;1 = z2 eez+1 ;1 = ;2z ee;z+1 ; 1 ;1 ;1 | ^ETNAQ n=2 FUNKCIQ, A PO\TOMU EE STEPENNOE RAZLOVENIE SODERVIT TOLXKO ^ETNYE STEPENI z KAK SLEDSTWIE, ^ISLA bERNULLI Bn S NE^ETNYMI NOMERAMI, BOLXIMI 1, RAWNY NUL@ I, TAKIM OBRAZOM, + 1 Bn n P z z +P1 B2k 2k ez ;1 = n=0 n! z = 1; 2 + k=1 (2k)! z 0 < jz j < 2. +1 pOLU^ITX RAZLOVENIE lORANA ezz;1 = P ecn z n W KOLXCE A1 MOVn=;1 NO IZ UVE POLU^ENNOGO RAZLOVENIQ (W KOLXCE A0 ) I FORMULY KO\FFIH z CIENTOW lORANA ecn = 21i (ez ;1) z n+1 dz n = 0 1 2 : : : (S. 183), ;e
BERQ W KA^ESTWE KONTURA INTEGRIROWANIQ ;e LEVA]U@ W KOLXCE A1 OKRUVNOSTX S CENTROM 0, ODNOKRATNO OBHODIMU@ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (RIS. 71, B). sLEDUET U^ESTX, ^TO PRI ZAMENE OKRUVNOSTI ;e KONCENTRI^ESKOJ OKRUVNOSTX@ ; RADIUSA, MENXEGO 2 (A PO\TOMU LEVA]EJ W KOLXCE A0 ), ZNA^ENIE PRAWOJ ^ASTI FORMULY OKAZYWAETSQ IZWESTNYM: ( Bn DLQ n =0 1 2 : : : z 1 H n! dz = c = n z n +1 2i (e ;1)z 0 DLQ n = ;1 ;2 : : : ; RAZNOSTX VE INTEGRALOW PO OKRUVNOSTQM ;e I ; RAWNA SUMME INTEG1
iH WWEL W OSNOWOPOLAGA@]EJ DLQ TEORII WEROQTNOSTEJ RABOTE
\iSKUSSTWO DOGADKI" (\Ars conjectanti"), WYEDEJ W 1713 G., STARIJ IZ WEJCARSKIH MATEMATIKOW bERNULLI (Bernoulli, Jakob, 1654{1705).
193 RALOW PO ZAMKNUTYM ;+ I ;; , IZOBRAVENNYM NA RIS. 72.
rIS. 72 iNTEGRALY PO KONTURAM ;+ I ;; WY^ISLQ@TSQ S POMO]X@ INTEG RALXNOJ FORMULY kOI , PRIMENQEMOJ K KOLXCU z 2 C : 0 < jz j < 4 S \RAZREZOM" SOOTWETSTWENNO WDOLX OTRICATELXNOJ I POLOVITELXNOJ ^ASTEJ MNIMOJ OSI S U^ETOM ANALITI^NOSTI (POSLE DOOPREDELENIQ ZNA^ENIEM 1) W TO^KAH 2i FUNKCIJ w = ezz2i2i;1 : 1 H z 1 H z ;2i dz 1 dz = 2i (ez ;1)z n+1 2i (ez;2i ;1)z n z ;2i = (2i)n ;+ ;H+ z 1 z +2i dz 1 1 H 2i (ez ;1)z n+1 dz = 2i (ez+2i ;1)z n z +2i = (;2i)n . ;; ;; wYWOD: W KOLXCE A1 = z 2 C : 2< jz j < 4 + 1 ;1 + 1 P P P z e cn z n + ec0 + ec1 z + ecn z n = cn z n = e ez ;1 = n=;1
ILI
n=;1 n=2 ;1 1 Bn P 1 + 1 1 + 1 n + +P n z + = n n n n (;2i) z , n=;1 (2i) (;2i) n=0 n! (2i) ;1 (;1)k 2 2k 1 B2k (;1)k 2 2k z = P 1 z + +P z + 3 ; + 2k z . 2 ez ;1 k=;1 (2)2k k=1 (2k)! (2)
194
nERAWENSTWA kOI DLQ KO\FFICIENTOW+1tEJLORA I lORANA 1 kO\FFICIENTY RAZLOVENIQ f (z) = nP=0 cn(z ; z0)n .
+P 1 SOOTWETSTWENNO f (z) = cn(z ; z0 )n FUNKCII w = f (z), n=;1 ANALITI^ESKOJ W KRUGE (SOOTWETSTWENNO KOLXCE ) S CENTROM z0 , UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWAM kOI jcnj 6 n n =0 1 2 : : : (SOOTWETSTWENNO n =0 1 2 : : : ), GDE | L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO, MENXEE RADIUSA \TOGO KRUGA (SOOTWETSTWENNO ^ISLO, PROMEVUTO^NOE MEVDU WNUTRENNIM I WNENIM RADIUcAMI KOLXCA ), A | WERHNQQ GRANICA ZNA^ENIJ jf (z)j NA OKRUVNOSTI C = fz 2 C : jz;z0 j = g. dOKAZATELXSTWO. B FORMULAH DLQ KO\FFICIENTOW RAZLOVENIJ tEJLORA (S. 180) I lORANA (S. 183) SLEDUET WZQTX W KA^ESTWE KONTURA ; OKRUVNOSTX C , ODNOKRATNO OBHODIMU@ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII, I WOSPOLXZOWATXSQ OCENKOJ INTEGRALA (VIII , c. 133): H jcnj = 21i ( ;fz(0))n+1 d 6 21 n+1 2 = n . Q.E.D. ;
C uPRAVNENIQ. 1. oB_QSNITX, PO^EMU DLQ L@BOJ ^ETNOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII RAZLOVENIE tEJLORA (lORANA ) W KRUGE (KOLXCE ) S CENTROM z0 =0 SODERVIT LIX ^ETNYE STEPENI z . 2. pOLXZUQSX PREDSTAWLENIEM 1=2 1=2 p p (z ; a)(z ; b) = (c ; a)(c ; b) 1+ cz;;ac 1+ zc;;bc , NAJTI NESKOLXKO NA^ALXNYH SLAGAEMYH W RAZLOVENIQH W RQDY tEJLORA W OKRESTNOSTI TO^KI c 6= a b ODNOZNA^NYH WETWEJ DWUHZNA^NOJ FUNKp CII w = (z ; a)(z ; b). 3. zAMETIW, ^TO ezz;1 + z2 2zi ctg 2zi , POLU^ITX (NA BAZE PRIMERA 7) RAZLOVENIQ lORANA FUNKCII w =ctg z DLQ 0 < jz j < I < jz j < 2. 1
u kOI W 28], ser. II, t. II, p. 161 t. XV., p. 450.
195
~TO SLEDUET IZ TEOREMY tEJLORA w PRILOVENIQH TEOREMU tEJLORA1 OBY^NO PRIMENQ@T W SLEDU@]EJ FORMULIROWKE. eSLI FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C , TO KAKOWA BY NI BYLA TO^KA z0 2 D , W KRUGE K S CENTROM z0 , PRINADLEVA]EM OBLASTI D (RIS. 73), IMEET MESTO RAZLOVENIE \TOJ FUNKCII W RQD tEJLORA : +P 1 (n) f (z) = f k(!z0) (z ; z0)n z 2 K .2 n=0 (kAK SLEDSTWIE, RADIUS SHODIMOSTI \TOGO RQDA NE MENXE RASSTOQNIQ OT TO^KI z0 DO GRANICY @D OBLASTI D.) XIII .
rIS. 73
pRIMER. pRIMENENIE FORMULY SUMMY GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII 1;1 q = 1 + q + q2 + jqj < 1, DAET SLEDU@]IE RAZLOVENIQ FUNKCII w = 1z , ANALITI^ESKOJ W OBLASTI
tO^NEE, TEOREMU kOI O RAZLOVENII ANALITI^ESKOJ FUNKCII W RQD tEJLORA (XII, c. 180, SNOSKA 1 ). 2 w SOEDINENII SO SWOJSTWOM \BESKONE^NOJ DIFFERENCIRUEMOSTI" SUMMY STEPENNOGO RQDA (II, c. 33, SLEDSTWIE 1) \TO SLUVIT DRUGIM OBOSNOWANIEM TOGO, ^TO FUNKCIQ, ANALITI^ESKAQ W OBLASTI , IMEET W \TOJ OBLASTI PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW (XI, c. 172). 1
196
D = C r f0g, W STEPENNYE RQDY (S UKAZANIEM IH RADIUSOW SHODIMOSTI RIS. 74): 1 = 1 = 1; (z ; 1) + (z ; 1)2 ; (z ; 1)3 + (r =1) z 1+(z ;1)
; z2;2 + (z;2 2) ; (z;2 2) + (r =2) z z +(1;i) (z +(1;i)) 1= 1 1 z (i;1)+(z +1;i) = ; 1;i ; (1;i) ; (1;i) ; p ;i)) ; (z +(1 (1;i) ; (r = 2).
1=
1 1 2+(z ;2) = 2
2
2
3
3
4
2
2
3
3
4
tO, ^TO \TO DEJSTWITELXNO RAZLOVENIQ W RQDY tEJLORA FUNKCII w = z1 (S RAZNYMI CENTRAMI I ZAWISQ]IMI OT NIH RADIUSAMI SHODIMOSTI ), WYTEKAET IZ SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA (XII, c. 188).
rIS. 74
197
tEOREMA lIUWILLQ 1 fUNKCIQ, ANALITI^ESKAQ WO WSEJ
.
PLOSKOSTI C (a TAKIE FUNKCII NAZYWA@T CELYMI ) QWLQETSQ LIBO NEOGRANI^ENNOJ, LIBO POSTOQNNOJ. dOKAZATELXSTWO. pRIMENENIE K FUNKCII w = f (z), ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOSTI C , TEOREMY tEJLORA S z0 =0, PRIWODIT K EE RAZLOVENI@ +P 1 (n) f (z)= cnzn z 2 C cn = f k!(0) . n=0 ; ; eSLI \TA FUNKCIQ OGRANI^ENA 9h > 0 8z jf (z)j 6 h , TO W SILU NERAWENSTW kOI (XII , S. 194) jcnj 6 hn n =0 1 2 : : : , PRI^EM | WWIDU ANALITI^NOSTI FUNKCII WO WSEJ PLOSKOSTI C | W KA^ESTWE MOVNO BRATX SKOLX UGODNO BOLXOE POLOVITELXNOE ^ISLO. uSTREMLQQ K +1, MOVNO ZAKL@^ITX: cn =0 DLQ n =1 2 : : : , T. E. RAZLOVENIE FUNKCII w = f (z) W PLOSKOSTI C PRINIMAET WID f (z)= c0 z 2 C . Q.E.D.
tEOREMA O SU]ESTWOWANII KORNQ U MNOGO^LENA 2 n n;1
l@BOJ MNOGO^LEN p(z) = a0 z +a1 z ++an;1 z +an STEPENI n > 1 S DEJSTWITELXNYMI ILI MNIMYMI KO\FFICIENTAMI (a0 6= 0) IMEET KORENX (T. E. PRINIMAET ZNA^ENIE 0) W PLOSKOSTI C . dOKAZATELXSTWO. eSLI BY TAKOJ MNOGO^LEN p(z) NE IMEL KORNEJ (T. E. NE OBRA]ALSQ W NULX) W PLOSKOSTI C , TO FUNKCIQ w = p(1z) OKAZYWALASX BY ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOS.
uVE WSTRE^ALASX WYE (XI, S. 176, UPRAVNENIE 3). pERWYM EE WYSKAZAL W WYEDEJ W 1629 G. KNIGE \nOWOE IZOBRETENIE W ALGEBRE" (\Invention nouvelle en l'alg*ebre") FRANCUZSKIJ MATEMATIK vIRAR (Girard, Albert, 1595{1632), a PERWOE PRIEMLEMOE DOKAZATELXSTWO OPUBLIKOWAL (W 1799 G., DAW WPOSLEDSTWII E]E TRI) gAUSS (33], Bd. III, S. 1{30). rASHOVEE EE NAZWANIE \OSNOWNAQ TEOREMA ALGEBRY" MOVET SOZDATX NEWERNOE PREDSTAWLENIE O DOSTIVENIQH \TOJ NAUKI. 1 2
198
KOSTI C (T. E. CELOJ ) I PRITOM OGRANI^ENNOJ : EE OGRANI^ENNOSTX WNE NEKOTOROGO ZAMKNUTOGO KRUGA z 2 C : jzj 6 r 1 =0, A NA \TOM KRUGE | TOESTX SLEDSTWIE TOGO, ^TO zlim p ( z) !1 1 GO, ^TO FUNKCIQ w = p(z) NEPRERYWNA NA NEM. pO TEOREME lIUWILLQ FUNKCIQ w = p(1z) OKAZYWALASX BY POSTOQNNOJ , 1 PRI \TOM RAWNOJ NUL@ (TAK KAK zlim !1 p(z) = 0) W PLOSKOSTI C . pREDPOLOVENIE OB OTSUTSTWII U MNOGO^LENA KORNEJ PRIWODIT, TAKIM OBRAZOM, K PROTIWORE^I@. Q.E.D. nULI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ nULQMI FUNKCII w = f (z) , ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C , NAZYWA@T WSE TE TO^KI \TOJ OBLASTI , W KOTORYH ZNA^ENIE FUNKCII RAWNO NUL@ . gOWORQT PRI \TOM, ^TO TO^Ka z0 2 D ESTX NULX KRATNOSTI (ILI PORQDKA ) k \TOJ FUNKCII, ESLI f (z0) = f 0(z0) = = f (k;1)(z0) = 0 TOGDa KAK f (k)(z0) 6= 0 NULI KRATNOSTI 1 NAZYWA@T PROSTYMI . sLEDU@]EE UTWERVDENIE DAET \KWIWALENTNYE OPISANIQ NULEJ I IH KRATNOSTEJ . eSLI w = f (z) | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ W OBLASTI D C , A z0 | TO^KA \TOJ OBLASTI, TO SLEDU@]IE TRI USLOWIQ \KWIWALENTNY : 1 f (z0) = f 0 (z0) = = f (k;1) (z0) = 0 a f (k) (z0) 6= 0, T. E. z0 ESTX NULX KRATNOSTI k \TOJ FUNKCII 2 RAZLOVENIE tEJLORA FUNKCII w = f (z) W PRINADLEVA]EM OBLASTI D KRUGE S CENTROM z0 IMEET WID +P 1 f (z)= cn(z;z0)n = ck (z;z0)k+ ck+1(z;z0)k+1+ (ck 6= 0) n=k 3 W NEKOTOROM KRUGE S CENTROM z0 SPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE f (z) = (z ; z0)k '(z), GDE w = '(z) | FUNKCIQ, ANALITI^ESKAQ I NE IME@]AQ NULEJ W \TOM KRUGE .
199
dOKAZATELXSTWO. rAWNOSILXNOSTX USLOWIJ 1 I 2 | PRQMOE SLEDSTWIE TEOREMY tEJLORA (XII;, c. 180). pRI WYPOLNE NII USLOWIQ 2 ZAPISX f (z)=(z ; z0)k ck + ck+1(z ; z0) + 1 OZNA^AET WYPOLNENIE USLOWIQ 3 , IZ KOTOROGO, SOGLASNO PODS^ETU PROIZWODNYH | NAPRIMER , PO FORMULE lEJBNICA2 n P (z ; z0)k '(z) (n) = Cnj (z ; z0)k ](j) '(z)](n;j) | j =0 SLEDUET, ^TO ( ESLI n =0 1 : : : k ;1 ( n ) f (n) (z0)= (z;z0)k '(z) z=z0= 0 k!'(z0) ESLI n = k A POTOMU WYPOLNENO USLOWIE 1 . Q.E.D. pRIMERY. 1 . sOGLASNO FORMULE |JLERAiz(II ;, izc. 38) NULI FUNKCII w =sin z | \TO KORNI URAWNENIQ e ;2ei =0, ILI, ^TO TO VE SAMOE, e2iz ; 1=0, T. E. z = 21i Ln1= 21i i2n = n, n = 0 1 2 : : : tAK KAK sin0(n)=cos(n) 6= 0, WSE TO^KI n QWLQ@TSQ PROSTYMI NULQMI FUNKCII w =sin z. 2 . tAK KAK 2 2 4 6 4 6 (1;cos z)(ez2;1)= z2! ; z4! + z6! ; z1! + z2! + z3! + = 2 4 2 4 = z4 2!1 ; z4! + z6! ; 1+ z2! + z3! + , TO^KA z =0 QWLQETSQ DLQ FUNKCII w =(1;cos z)(ez2;1) NULEM 4 -J KRATNOSTI . dRUGIE NULI \TOJ FUNKCII, KRATNOSTEJ (KAK POKAZYWAET WY^ISLENIE PROIZWODNYH ) SOOTWETSTWENNO 2 I 1, | \TO z = 2n I z = (1 i)pn , n =1 2 : : : 3 . tO^KA 1 QWLQETSQ NULEM (PROSTYM ) DLQ ODNOJ IZ DWUH WYDELQEMYH W EE OKRESTNOSTI ODNOZNA^NYH WETWEJ w =pz ;1. tAK KAK WZQTYJ W SKOBKI STEPENNOJ RQD SHODITSQ W KRUGE D (S CENTROM z0 ), EGO SUMMA , OBOZNA^AEMAQ '(z) (S '(z0)= ck 6= 0), QWLQETSQ ANALITI^ESKOJP FUNKCIEJ, NE RAWNOJ NUL@ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 . 2 (u v )(n) = n C j u(j) v (n;j) . j =0 n 1
200
sWOJSTW IZOLIROWANNOSTI NULEJ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ. l@BOJ NULX ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C o
FUNKCII w = f (z) (f (z) 6 0) IMEET KONE^NU@ KRATNOSTX, I WSE NULI QWLQ@TSQ IZOLIROWANNYMI : KAVDYJ OBLADAET OKRESTNOSTX@ , NE SODERVA]EJ DRUGIH NULEJ \TOJ FUNKCII. dOKAZATELXSTWO . wTORAQ ^ASTX UTWERVDENIQ (OB IZOLIROWANNOSTI NULEJ) ESTX SLEDSTWIE PERWOJ: ESLI z = z0 | NULX KONE^NOJ KRATNOSTI k ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z), TO IZ PREDSTAWLENIQ f (z) = (z ; z0)k '(z), GDE '(z) 6= 0 W KRUGE S CENTROM z0 (S. 198, USLOWIE 3 ), SLEDUET, ^TO W \TOM KRUGE NET OTLI^NYH OT z0 NULEJ \TOJ FUNKCII. dOSTATO^NO PO\TOMU PRIJTI K PROTIWORE^I@, PREDPOLOVIW, ^TO NEKAQ ANALITI^ESKAQ W OBLASTI D C FUNKCIQ w = f (z) (f (z) 6 0) IMEET W NEKOTOROJ TO^KE z0 2 D NULX BESKONE^NOJ KRATNOSTI, T. E. f (z0) = f 0(z0) = f 00(z0) = = 0. pUSTX z1 | L@BAQ TO^KA OBLASTI D, W KOTOROJ f (z1) 6= 0, A L | LOMANAQ , IDU]AQ W OBLASTI D OT TO^KI z0 K TO^KE z1 (VII , S. 107). wOSPRINIMAQ EE KAK \IZLOMANNYJ" OTREZOK DEJSTWITELXNOJ OSI , MOVNO UTWERVDATX SU]ESTWOWANIE TO^KI z 2 L, QWLQ@]EJSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA Z1 TEH TO^EK z 2 L, W KOTORYH FUNKCIQ w = f (z) IMEET NULX BESKONE^NOJ KRATNOSTI. oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO a) ESLI z 2 Z1 , T. E. f (z ) = f 0 (z ) = f 00 (z ) = = 0, TO IZ +P 1 (n) RAZLOVENIQ tEJLORA f (z) = f k(!z ) (z ; z)n (W SODERVAn=0 ]EMSQ W OBLASTI D KRUGE S CENTROM z ) SLEDOWALO BY, ^TO z NE QWLQETSQ WERHNEJ GRANICEJ MNOVESTWA Z1 B) ESLI z 2= Z1, T. E. FUNKCIQ w = f (z) W TO^KE z LIBO NE IMEET NULQ, LIBO IMEET NULX KONE^NOJ KRATNOSTI, TO W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI NET (OTLI^NYH OT z ) NULEJ \TOJ FUNKCII, TAK ^TO z NE MOVET BYTX TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA Z1.
201
w OBOIH SLU^AQH WOZNIKAET PROTIWORE^IE : ODNOWREMENNO ISTINNY RAWENSTWO z =sup Z1 I EGO OTRICANIE. Q.E.D. tEOREMA EDINSTWENNOSTI. eSLI w = f (z) I w = g(z) | ANALITI^ESKIE W OBLASTI D C FUNKCII, KOTORYE LIBO a) SOWPADA@T NA NEKOTOROM PODMNOVESTWE E D , IME@]EM PREDELXNU@ TO^KU W OBLASTI D (RIS. 75),1 LIBO B) SOWPADA@T WMESTE S PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW W NEKOTOROJ TO^KE z0 2 D : f (k)(z0)= g(k)(z0) k = 0 1 : : : , TO \TI FUNKCII SOWPADA@T TOVDESTWENNO W OBLASTI D : f (z) g(z) z 2 D.
rIS. 75
dOKAZATELXSTWO. w SLU^AE WYPOLNENIQ PERWOGO IZ USLOWIJ PUSTX z0 | TO^KA OBLASTI D, QWLQ@]AQSQ PREDELXNOJ DLQ MNOVESTWA E (POSLEDNEE PO OPREDELENI@ OZNA^AET, ^TO W L@BOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 ESTX OTLI^NYE OT NEE TO^KI z 2 E , A POTOMU IZ NIH MOVNO SOSTAWITX POSLEDOWATELXNOSTX fzng, SHODQ]U@SQ K TO^KE z0 | KAK NA RIS. 75). tAK KAK FUNKCIQ, ANALITI^ESKAQ W ;TO^KE, QWLQETSQ W NEJ NE PRERYWNOJ , f (z0) ; g(z0) = n!lim f (zn) ; g(zn) = 0. wYWOD: +1 k PRIMERU, SOWPADA@T W OKRESTNOSTI (SKOLX UGODNO MALOJ) KAKOJ-LIBO TO^KI z0 2 D. 1
202
TO^KA z0 2 D, PREDELXNAQ DLQ MNOVESTWa E D, NA KOTOROM ANALITI^ESKIE W OBLASTI D FUNKCII w = f (z) I w = g(z) SOWPADA@T, QWLQETSQ NEIZOLIROWANNYM NULEM DLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) ; g(z), ^TO (S. 200) WOZMOVNO LIX ESLI f (z) g(z) W OBLASTI D. eSLI VE WYPOLNENO WTOROE USLOWIE, T. E. f (z0)= g(z0) f 0(z0)= g0(z0) f 00(z0)= g00(z0) : : : , TO TO^KA z0 2 D OKAZYWAETSQ NULEM BESKONE^NOJ KRATNOSTI DLQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D FUNKCII w = f (z);g(z), ^TO OPQTX VE WOZMOVNO TOLXKO W SLU^AE f (z) g(z). Q.E.D. aNALITI^ESKOE PRODOLVENIE 1 tO, ^TO ZADANNAQ W OBLASTI D C ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ w = f (z) DOPUSKAET ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE IZ OBLASTI D W NE PRINADLEVA]U@ EJ TO^KU z , PO OPREDELENI@ OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET OBLASTX De C , SODERVA]AQ KAK OBLASTX D, TAK I TO^KU z (RIS. 76), I ANALITI^ESKAQ W NEJ FUNKCIQ w = fe(z), TAKAQ, ^TO fe(z) f (z) W OBLASTI D.
rIS. 76 tERMIN \ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE" QWLQETSQ SOBIRATELXNYM, TAK ^TO NARQDU S PREDLAGAEMYM ZDESX, KRATKIM I UPRO]ENNYM, IME@TSQ DRUGIE EGO TOLKOWANIQ. 1
203 +P 1 pRIMERY. 1 . fUNKCIQ w = zn OPREDELENA I QWLQETSQ n=0 ANALITI^ESKOJ W KRUGE SHODIMOSTI D = z 2 C : jzj < 1 STE+1 PENNOGO RQDA W PRAWOJ ^ASTI. tAK KAK P zn = 1;1 z z 2 D, n=0 FUNKCIQ w = 1;1 z OSU]ESTWLQET ANALITI^ESKOE PRODOLVE+P 1 NIE FUNKCII w = zn IZ KRUGA D W L@BU@ WYHODQ]U@ ZA n=0 EGO PREDELY I OTLI^NU@ OT 1 TO^KU PLOSKOSTI C . 2. pUSTX w = ln z = z | ODNOZNA^NAQ WETWX ln jz j + i arg 3 LOGARIFMA W OBLASTI z 2 C : ; 2 < arg z < 2 (T. E. PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO nNEOTRICATELXNOJ ^ASTI MNIMOJ (;1) ;1 ( n ) OSI). tAK KAK ln z = (n;1)! zn n = 1 2 : : : , A ln 1 = 0 (DLQ \TOJ ODNOZNA^NOJ WETWI ), ee RaZLOVENIEM tEJLORA PO STE+P 1 n;1 n PENQM z;1 QWLQETSQ ln z = (;1) n(z;1) jz;1j < 1. uKAn=1 ZANNAQ ODNOZNA^NAQ WETWX w = ln z OSU]ESTWLQET PO\TOMU +P 1 n;1 n ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE FUNKCII w = (;1) n(z;1) n=1 IZ KRUGA z 2 C : jz;1j < 1 | KRUGA SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA W PRAWOJ ^ASTI | W L@BU@ LEVA]U@ WNE \TOGO KRUGA, NO NE NA NEOTRICATELXNOJ ^ASTI MNIMOJ OSI, TO^KU z , NaPRIMER z = ;1, DLQ KOTOROJ ln(;1)=ln j;1j+i arg(;1)= ;i. nO NA TOM VE OSNOWANII ANALITI^ESKoE PRODOLVENIE +P 1 n;1 n FUNKCII w = (;1) n(z;1) | IZ TOGO VE KRUGA W TU n=1 VE TO^KU z = ;1 | OSU]ESTWLQET I DRUGAQ ODNOZNA^NAQ WETWX w= ln z = ln jzj + i arg z | TA, KOTORAQ OPREDELENA W OBLASTI z 2 C : ; 2 < arg z < 32 , I DLQ KOTOROJ, SLEDOWATELXNO, ln(;1)= i. kAK POKAZYWAET POSLEDNIJ PRIMER, ANALITI^ESKOE PRO-
204
DOLVENIE FUNKCII IZ OBLASTI D C W TO^KU z 2 C , z 2= D, NE OBQZATELXNO QWLQETSQ EDINSTWENNYM : DWE FUNKCII w = fe(z) I w = f^(z), ANALITI^ESKIE W DWUH RAZNYH OBLASTQH De I D^ , SODERVA]IH KAK OBLASTX D, TAK I TO^KU z (RIS. 77), I SOWPADA@]IE W OBLASTI D S FUNKCIEJ w = f (z), MOGUT IMET RAZNYE ZNA^ENIQ W TO^KE z. pROTIWORE^IQ S TEOREMOJ EDINSTWENNOSTI (c. 201) ZDESX NET: OSU]ESTWLQ@]IE ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE FUNKCII w = fe(z) I w = f^(z) QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI W RAZNYH OBLASTQH.
rIS. 77
tO, ^TO ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ w = f (z) IMEET RAZNYE ANALITI^ESKIe PRODOLVENIQ IZ OBLASTI D W ODNU I TU VE TO^KU z 2 C z 2= D, MOVNO SFORMULIROWATX INA^E: REZULXTATOM ANALITI^ESKIH PRODOLVENIJ \TOJ FUNKCII (IZ OBLASTI D) OKAZYWAETSQ MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ 1. nA MNOGOZNA^NYE FUNKCII , WOZNIKA@]IE W REZULXTATE ANALITI^ESKIH PRODOLVENIJ , RASPROSTRANQ@T (WSLED ZA wEJERTRASSOM) TERMIN ANALITI^ESKAQ | W OTLI^IE OT TERMINOW GOLOMORFNAQ I REGULQRNAQ (VII, S. 106), PRIMENIMYH TOLXKO K ODNOZNA^NYM FUNKCIQM. 1
205
mEHANIZM ANALITI^ESKIH PRODOLVENIJ (I WOZNIKNOWENIQ MNOGOZNA^NOSTI) PROQSNQET SLEDU@]IJ KOMMENTARIJ K TEOREME tEJLORA (W EE FORMULIROWKE NA S. 195). +P 1 (k) w SILU \TOJ TEOREMY RAZLOVENIE f (z)= f n(!z0) (z;z0)n n=0 FUNKCII w = f (z) W RQD tEJLORA (PO STEPENQM z;z0 ) IMEET MESTO W KRUGE S CENTROM z0 , CELIKOM PRINADLEVA]EM OBLASTI ANALITI^NOSTI D \TOJ FUNKCII. rADIUS SHODIMOSTI \TOGO RQDA ZAWEDOMO NE MENXE RASSTOQNIQ OT TO^KI z0 DO GRANICY @D OBLASTI ANALITI^NOSTI FUNKCII w = f (z), NO NE ISKL@^ENO, ^TO NA SAMOM DELE ON BOLXE \TOGO RASSTOQNIQ, INA^E GOWORQ, KRUG SHODIMOSTI RQDA tEJLORA FUNKCII WYHODIT ZA PREDELY OBLASTI EE ANALITI^NOSTI. tO, ^TO \TO DEJSTWITELXNO SLU^AETSQ, WIDNO NA PROSTEJ+1 EM PRIMERE FUNKCII w = P zn , OPREDELENNOJ I ANALITIn=0 ^ESKOJ W KRUGE D = z 2 C : jzj < 1 | KRUGE SHODIMOSTI \TOGO STEPENNOGO RQDA. w TO WREMQ KAK RQD tEJLORA \TOJ LIX W SODERVA]EMSQ FUNKCII POSTEPENQM z ; 12 SHODITSQ W D KRUGE z 2 C : jz ; 12 j < 12 , KRUGOM SHODIMOSTI EE RQDA 1 tEJLORA PO STEPENQM 1 z + 2 QWLQETSQ SODERVA]IJ D KRUG 1 3 z 2 C : jz + 2 j < 2 .
bOLEE INTERESNA W \TOM OTNOENII SITUACIQ S ODNOZNA^NOJ WETWX@ LOGARIFMA w = ln z = ln jz j + i arg z , WYDELQEMOJ (W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" WDOLX LU^A , WYHODQ]EGO IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM ; 6 K DEJSTWITELXNOJ OSI) USLOWIEM ; 6 < arg z < 116 . w TO WRE+1 n;1 MQ KAK RQD tEJLORA P (;1)n (z ; 1)n UKAZANNOJ ODNOZNA^NOJ WETn=1 WI w = ln z IMEET RADIUS SHODIMOSTI 1, A POTOMU SHODITSQ W KRUGE + 1 n;1 P z 2 C : jz ;1j < 1 , PREDSTAWLENIE ln z = (;1)n (z ;1)n IMEET MESTO n=1
1
wSE \TO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO
+ 1 P
z n = 1;1 z
n=0
W KRUGE D .
206 LIX W TOJ ^ASTI \TOGO KRUGA , KOTORAQ NE ZATRIHOWANA NA RIS. 78, +1 n;1 TOGDA KAK W ZATRIHOWANNOJ EGO ^ASTI ln z = P (;1)n (z ; 1)n + 2i. n=1
rIS. 78
w TOM SLU^AE, KOGDA PERESE^ENIE D \ K OBLASTI ANALITI^NOSTI D FUNKCII w = f (z) I KRUGA SHODIMOSTI K +1 (n) EE RQDA tEJLORA P f n(!z0) (z ; z0)n (S CENTROM RAZLOVENIQ n=0 z0 2 D ) OKAZYWAETSQ SWQZNYM MNOVESTWOM (T. E. PREDSTAWLQET SOBO@ OBLASTX RIS. 79), TO ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE FUNKCII w = f (z) IZ OBLASTI D W OB_EDINENIE D K \TOJ OBLASTI S KRUGOM K OSU]ESTWLQET FUNKCIQ 8 f (z) ESLI z 2 D < + 1 ( n ) w = : P f (z0) (z ; z0)n ESLI z 2 K n=0 n! ODNOZNA^NOSTX \TOJ FUNKCII | SOWPADENIE ZNA^ENIJ f (z) +1 (n) I P f n(!z0) (z ; z0)n W PERESE^ENII D \ K OBLASTI D I n=0 KRUGA K | WYTEKAET IZ TEOREMY EDINSTWENNOSTI (c. 201), PRIMENENNOJ K ANALITI^ESKIM W OBLASTI D \ K FUNKCIQM
207 +P 1 (n) w = f (z) I w = f n(!z0) (z ; z0)n (PERWAQ QWLQETSQ ANALITIn=0 ^ESKOJ W OBLASTI D, a WTORAQ | W KRUGE K ) I (W KA^ESTWE MNOVESTWA E IZ FORMULIROWKI TEOREMY EDINSTWENNOSTI) KONCENTRI^ESKOMU S K KRUGU K0 (D \ K ), W KOTOROM DANNYE FUNKCII SOWPADA@T PO TEOREME tEJLORA (S. 195).
rIS. 79
w SLU^AE VE, KOGDA PERESE^ENIE D \K OBLASTX@ NE QWLQ+1 (n) ETSQ (RIS. 80)1, SOWPADENIE ZNA^ENIJ f (z) I P f n(!z0) (z;z0)n n=0 DLQ WSEH TO^EK z 2 D \ K NE GARANTIROWANO 2, A POTOMU FUNKCIQ 8 f (z) ESLI z 2 D < w = :+P1 f (n)(z0) n n! (z ; z0) ESLI z 2 K n=0
kAK, NAPRIMER, W OBSUVDAWEJSQ NA SS. 205{206 SITUACII S ODNOZNA^NOJ WETWX@ LOGARIFMA . 2 TEOREMA EDINSTWENNOSTI ZDESX NE PRIMENIMA , TAK KAK MNOVESTWO D \ K NE QWLQETSQ OBLASTX@ . 1
208
OSU]ESTWLQ@]AQ ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE FUNKCII w = f (z), MOVET OKAZATXSQ MNOGOZNA^NOJ .
rIS. 80 uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, SLEDUQ SHEME DOKAZATELXSTWA TEOREMY lIUWILLQ (S. 197), ^TO L@BAQ CELAQ FUNKCIQ w = f (z) S OGRANI^ENIEM NA ROST jf (z)j6 c jz jn PRI z ! 1 ESTX MNOGO^LEN STEPENI NE WYE n. 2. nAJTI WSE CELYE FUNKCII w = f (z), UDOWLETWORQ@]IE TOVDESTWU f (z) f (az) DLQ NEKOTOROGO ^ISLA a c jaj6= 1. 3. ~TO MOVNO SKAZATX OB ANALITI^ESKIH W OBLASTI D C FUNKCIQH w = f (z) I w = g(z), ESLI f (z) g(z) 0 W \TOJ OBLASTI ?
209
kAK WYDELQ@T I KLASSIFICIRU@T OSOBYE TO^KI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ1 oSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) | \TO TE TO^KI RASIRENNOJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI C , W KOTORYH DANNAQ FUNKCIQ ANALITI^ESKOJ NE QWLQETSQ, NO W L@BOJ OKRESTNOSTI KOTORYH ESTX TO^KI ANALITI^NOSTI \TOJ FUNKCII.2 k PRIMERU, DLQ FUNKCII w = z1 OSOBYMI TO^KAMI QWLQ@TSQ 0 I 1, FUNKCIQ VE w = ez (KAK I L@BAQ CELAQ FUNKCIQ) IMEET EDINSTWENNU@ OSOBU@ TO^KU 1 DLQ FUNKCII +P 1 w = cnzn | SUMMY STEPENNOGO RQDA , IME@]EGO NENUn=0 LEWOJ RADIUS SHODIMOSTI r , | OSOBYE TO^KI SOSTAWLQ@T OKRUVNOSTX fz 2 C : jzj = rg | GRANICU KRUGA SHODIMOSTI fz 2 C : jzj
TO^Ka WETWLENIQ \MNOGOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII" NE MO-
VET BYTX USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ NI DLQ ODNOJ IZ EE ODNOZNA^NYH WETWEJ . 1 sLEDUET POD^ERKNUTX: RE^X IDET OB ODNOZNA^NYH ANALITI^ESKIH FUNKCIQH, W ^ASTNOSTI, TEH, KOTORYE QWLQ@TSQ ODNOZNA^NYMI WETWQMI \MNOGOZNA^NYH ANALITI^ESKIH FUNKCIJ" (XIII, SNOSKA NA S. 204). 2 wYRAVAQSX DRUGIMI SLOWAMI, OSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNKCII | \TO GRANI^NYE TO^KI OBLASTI ANALITI^NOSTI \TOJ FUNKCII. 3 pONQTIE USTRANIMOSTI RASPROSTRANQ@T I NA SLU^AJ z = 1, S^I0 , TAQ OSOBU@ TO^KU 1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) USTRANIMOJ ; ESLI 0 OKAZYWAETSQ USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ DLQ FUNKCII w = f 1z .
210 +P 1 pRIMERY. 1 . sUMMA STEPENNOGO RQDA zn QWLQETSQ ANAn=0 LITI^ESKOJ FUNKCIEJ W KRUGE fz 2 C : jzj < 1 , A TAK KAK WNE \TOGO KRUGA DANNYJ STEPENNOJ RQD RASHODITSQ , WSE TO^KI z 2 C c jzj = 1 QWLQ@TSQ OSOBYMI DLQ \TOJ FUNKCII. pO+P 1 +P 1 SKOLXKU zn = 1;1 z PRI jzj < 1, DLQ FUNKCII w = zn \TI n=0 n=0 OSOBYE TO^KI , KROME z =1, OKAZYWA@TSQ USTRANIMYMI .1 p sin z 2. fUNKCIQ w = pz , ESLI S^ITATX, ^TO W ^ISLITELE I ZNAMENATELE pz | L@BOE (IZ DWUH WOZMOVNYH), NO ODNo I TO VE ZNA^ENIe KWADRATNOGO KORNQ IZ ^ISLA z 6= 0, QWLQETSQ ODNOZNA^NOJ I ANALITI^ESKOJ W OBLASTI C r f0g. |TO SLEDUET IZ OPREDELENIQ SINUSA (II , c. 37), W SILU KOTOROGO pz +P 1 (;1)n(pz)2n+1 pz +P1 (;1)nzn sin 1 p p w= z = z = pz (2n+1)! , z 2 C rf0g n=0 (2n+1)! n=0 SOKRA]ENIE KWADRATNYH KORNEJ W PRAWOJ ^ASTI DAET ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE DANNOJ FUNKCII IZ OBLASTI C rf0g W TO^KU 0, OKAZYWA@]U@SQ PO\TOMU DLQ NEE USTRANIMOJ .
dRUGOJ OSOBOJ TO^KOJ \TOJ FUNKCII, NO UVE NEUSTRANIMOJ , QWLQETSQ 1 : O EE NEUSTRANIMOSTI SWIDETELXSTWUET NEOGRANI^ENNOSTX FUNKCII PRI z ! 1, POSKOLXKU PRI z = ;t2 t> 0, sinppz = sin it = et ;e;t ;! +1. it 2t t!+1 z
dLQ L@BOJ ODNOZNA^NOJ WETWI w = pz, WYDELQEMOJ W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO (L@BOMU) LU^U , WYHODQ]EMU IZ 3.
oSOBAQ TO^KA z = 1 QWLQETSQ DLQ NEE NEUSTRANIMOJ , TAK KAK W +1 SLU^AE WOZMOVNOSTI ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ FUNKCII w = P z n n=0 IZ KRUGA fz 2 C : jz j < 1 W \TU TO^KU ONA OKAZYWALASX BY OGRANI^ENNOJ + 1 n P 1 PRI z ! 1, ^TO NEWERNO, POSKOLXKU zlim !1 z = zlim !1 1;z = 1. 1
jzj<1 n=0
jzj<1
211
NA^ALA KOORDINAT (IV, S. 68), WSE TO^KI \TOGO LU^A QWLQ@TSQ NEUSTRANIMYMI pz OSOBYMI TO^KAMI (IV,pc. 69). (dLQ FUNKCII sin VE w = pz PRI TAKOM PONIMANII z WSE TO^KI \TOGO LU^A OKAZYWA@TSQ OSOBYMI , NO USTRANIMYMI .) 4 . dLQ FUNKCII w = ctg z OSOBYMI QWLQ@TSQ TO^KI 0 2 : : : , A TAKVE 1 WSE ONI NEUSTRANIMYE (WWIDU NEOGRANI^ENNOSTI FUNKCII W L@BOJ OKRESTNOSTI KAVDOJ IZ NIH). 3 5. fUNKCIQ w = sinz z IMEET TE VE OSOBYE TO^KI | 0 (USTRANIMU@ ) I 1 (NEUSTRANIMU@ ), | ^TO I FUNKCIQ IZ PRIMERA 2 . sLEDUET, ODNAKO, OTMETITX, ^TO TAK KAK 1 1 (;1)n z 2n+1 3 z 3 +P (;1)n z 2n 3 sin3 z = 1 +P = z z n=0 (2n+1)! z n=0 (2n+1)! , z 2 C r f0g, TO^KA 0 POSLE ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ W NEE FUNKCII, PRAKTI^ESKI OSU]ESTWLQEMOGO SOKRA]ENIEM NA z ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ DROBI W PRAWOJ ^ASTI, OKAZYWAETSQ (DLQ PRODOLVENNOJ FUNKCII !) NULEM KRATNOSTI 2 . w \TOM I PODOB3 NYH SLU^AQH GOWORQT, ^TO I SAMA ISHODNAQ FUNKCIQ w = sinz z (DLQ KOTOROJ TO^KA 0 QWLQETSQ OSOBOJ !) IMEET W \TOJ TO^KE NULX KRATNOSTI 2 .
zAME^ANIE. w SWQZI S POSLEDNIM PRIMEROM SLEDUET OTMETITX, ^TO SU]ESTWUET (NE RAZDELQEMOE AWTOROM) MNENIE, PO KOTOROMU USTRANIMYE OSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNKCII WOOB]E NE SLEDUET S^ITATX EE OSOBYMI TO^KAMI , A NAOBOROT, PRI^ISLQTX IH K TO^KAM ANALITI^ENOSTI \TOJ FUNKCII, NAZYWAQ IH EE PRAWILXNYMI TO^KAMI . w SOOTz WETSTWII S \TIM PODHODOM, NAPRIMER, FUNKCIQ w = sin sin z IMEET OSOBOJ TO^KOJ LIX 1 1 ILI DAVE2 WOOB]E NE IMEET OSOBYH TO^EK .
s^ITAETSQ, ^TO \OSOBENNOSTI" FUNKCII W TO^KAH k k 2 Z , \USTRANENY" EE ANALITI^ESKIM PRODOLVENIEM W NIH FUNKCIEJ w 1. 2 sNOSKA 3 NA S. 209. 1
212
iZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI I IH KLASSIFIKACIQ tO^KU z0 2 C NAZYWA@T IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) , ESLI U \TOJ TO^KI SU]ESTWUET OKRESTNOSTX 1, WSE TO^KI KOTOROJ (OTLI^NYE OT z0 ) QWLQ@TSQ TO^KAMI ANALITI^NOSTI \TOJ FUNKCII.2 nAPRIMER , DLQ ODNOZNA^NOJ WETWI \KWADRATNOGO KORNQ" p w = z, WYDELQEMOJ W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO KAKOMU{ LIBO LU^U , WYHODQ]EMU IZ TO^KI 0 (PRIMER 3 NA S. 110), WSE TO^KI \TOGO LU^A (WKL@^AQ 0 I 1) QWLQ@TSQ NEIZOLIROWANNYMI OSOBYMI TO^KAMI. dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = ctg :z (PRIMER 4 ) OSOBYE TO^KI 0 2 : : : QWLQ@TSQ IZOLIROWANNYMI , A OSOBAQ TO^KA 1 | NEIZOLIROWANNOJ . kLASSIFIKACIQ (OPISANIE HARAKTERNYH RAZNOWIDNOSTEJ) IZOLIROWANNYH OSOBYH TO^EK ANALITI^ESKIH FUNKCIJ BAZIRUETSQ NA TOM, ^TO W OKRESTNOSTI KAVDOJ SWOEJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 FUNKCIQ PO TEOREME lORANA (XII , S. 183)3 8 IMEET RAZLOVENIE W RQD lORANA : +P 1 > > cn(z ; z0)n PRI 0 < jz ; z0j
t. E. MNOVESTWO WIDA fz 2 C : 0 < jz ; z0 j < rg (PRI NEKOTOROM r 0 < r 6 +1), ESLI z0 2 C , I fz 2 C : r < jz j < +1g (PRI NEKOTOROM r > 0), ESLI z0 = 1. 2 |KWIWALENTNO: OSOBAQ TO^KA z ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) 0 S^ITAETSQ IZOLIROWANNOJ , ESLI W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 NET DRUGIH OSOBYH TO^EK \TOJ FUNKCII (W PROTIWNOM SLU^AE OSOBU@ TO^KU z0 NAZYWA@T NEIZOLIROWANNOJ ). 3 pRIMENENNOJ K KOLXCU WIDA fz 2 C : 0 < jz ; z j
213
TO^KI z0 RAZDELQ@T NA GLAWNU@ I PRAWILXNU@ ^ASTI .1 . gLAWNOJ ^ASTX@ RQDA lORANA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) W OKRESTNOSTI EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 S^ITA@T | SOOTWETSTWENNO SLU^AQM z0 2 C I z0 = 1 | ;1 P cn(z ; z0)n = zc;;z10 + (z;c;z20)2 + (z;c;z30)3 + n=;1 I +P 1 n cnz = c1 z + c2z2 + c3z3 + n=1 PRO^IE SLAGAEMYE RQDA lORANA 2 OTNOSQT K EGO PRAWILXNOJ ^ASTI . pOSKOLXKU SREDI KO\FFICIENTOW lORANA cn MOGUT BYTX I RAWNYE NUL@ , NE ISKL@^ENY SLU^AI, KOGDA GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA 3 SODERVIT LIX KONE^NOE ^ISLO (NENULEWYH) SLAGAEMYH ILI DAVE WOWSE OTSUTSTWUET. sOOTWETSTWENNO SLU^AQM, KOGDA W RQDE lORANA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) W OKRESTNOSTI EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 GLAWNAQ ^ASTX a) OTSUTSTWUET , B) SODERVIT KONE^NOE ^ISLO SLAGAEMYH, W) SODERVIT BESKONE^NOE ^ISLO SLAGAEMYH IZOLIROWANNU@ OSOBU@ TO^KU z0 FUNKCII w = f (z) NAZYWA@T A) USTRANIMOJ , B) POL@SOM , W) SU]ESTWENNO OSOBOJ .
dLQ RQDA lORANA FUNKCII W KOLXCE z 2 C : 0
214
pONQTIE POL@SA IMEET UTO^NENIE. s^ITAETSQ, ^TO POL@S z0 FUNKCII w = f (z) IMEET PORQDOK (ILI KRATNOSTX ) k , ESLI1 (z ;z0);k ESTX STARAQ OTRICATELXNAQ STEPENX z ;z0 ILI2 zk ESTX STARAQ POLOVITELXNAQ STEPENX z W GLAWNOJ ^ASTI RQDA lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI z0 . pOL@SY 1 -GO PORQDKA PRINQTO NAZYWATX PROSTYMI . nAPRIMER, DLQ FUNKCII w = z12 + z1 +z2+ z3 TO^KI 0 I 1 QWLQ@TSQ POL@SAMI SOOTWETSTWENNO 2 -GO I 3 -GO PORQDKOW . nAGLQDNU@ ILL@STRACI@ PERE^ISLENNYH TIPOW IZOLIROWANNYH OSOBYH TO^EK DA@T CELYE 3 FUNKCII w = f (z), DLQ KAVDOJ IZ KOTORYH WO WSEJ PLOSKOSTI C IMEET MESTO RAZLOVENIE tEJLORA f (z) = c0 + c1 z + c2z2 + c3z3 + z 2 C , ODNOWREMENNO4 QWLQ@]EESQ RAZLOVENIEM lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI . eDINSTWENNAQ OSOBAQ TO^KA 1 TAKOJ FUNKCII OKAZYWAETSQ DLQ NEE SOOTWETSTWENNO: A) USTRANIMOJ , B) POL@SOM (PORQDKA k ), W) SU]ESTWENNO OSOBOJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA \TA FUNKCIQ ESTX SOOTWETSTWENNO: a) POSTOQNNAQ (c1 = c2 = = 0), B) MNOGO^LEN (ck 6= 0 ck+1 = ck+2 = = 0), W) CELAQ TRANSCENDENTNAQ FUNKCIQ (III, c. 53). sMQG^ITX NEUDOBSTWO, SWQZANNOE S NEOBHODIMOSTX@ OTDELXNO RASSMATRIWATX SLU^AI KONE^NOJ (z0 2 C ) I BESKONE^NOJ (z0 = 1) OSOBOJ TO^KI , POZWOLQET ZAMENA PEREMENNOJ z +P 1 n cnz FUNKCII w = f (z), NA z1 , PRI KOTOROJ RQD lORANA n=;1 w SLU^AE z0 2 C . w SLU^AE z0 = 1. 3 t. E. ANALITI^ESKIe WO WSEJ PLOSKOSTI C . 4 w SILU SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA (XII, S. 188). 1 2
215
QWLQ@]EJSQ ANALITI^ESKOJ W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI +P 1 ;n (PRI jzj > r ), I RQD lORANA cnz FUNKCII w = f z1 , n=;1 OKAZYWA@]EJSQ ANALITI^ESKOJ W OKRESTNOSTI NULQ (PRI jzj < r;1), PEREHODQT DRUG W DRUGA S ODNOWREMENNYM PEREHODOM DRUG W DRUGA TAKVE I GLAWNYH ^ASTEJ \TIH RQDOW. nA OSNOWANII \TOGO MOVNO ZAKL@^ITX: oSOBAQ TO^KA z0 = 1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) QWLQETSQ a) USTRANIMOJ , B) POL@SOM (PORQDKA k), W) SU]ESTWENNO OSOBOJ , G) NEIZOLIROWANNOJ W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA z0 =0 OKAZYWAETSQ OSOBOJ TO^KOJ 1IMEN NO TAKOGO WIDA DLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f z . w ^ASTNOSTI, DLQ FUNKCII w = sin z1 TO^KI 0 I 1 QWLQ@TSQ SOOTWETSTWENNO SU]ESTWENNO OSOBOJ I USTRANIMOJ , 1 POSKOLXKU POSLE ZAMENY z NA z \TA FUNKCIQ PEREHODIT W w =sin 11=z | FUNKCI@, SOWPADA@]U@ (PRI z 6= 0) S w =sin z, A POTOMU IME@]U@3 RAZLOVENIE 1 = z ; z + z 5 ; z 7 + 0 < jz j < +1, sin 1=z 3! 5! 7! QWLQ@]EESQ EE RAZLOVENIEM W RQD lORANA I W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI (PO OTNOENI@ K KOTOROJ WESX RQD SOSTOIT IZ GLAWNOJ ^ASTI ), I W OKRESTNOSTI NULQ (PO OTNOENI@ K KOTOROJ RQD SOSTOIT TOLXKO IZ PRAWILXNOJ ^ASTI ).
pONQTIQMI POL@SA ANALITI^ESKOJ FUNKCII I EGO PORQDKA OPERIROWALI (E]E DO OFORMLENIQ \TIH TERMINOW) kOI (NAPRIMER, W 28], ser. II, t. II, p. 354 t. VI, p. 25) I rIMAN (15], S. 68{69). wEJERTRASS (43], Bd. II, S. 78) WWEL PONQTIE SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI 1, A OBRA]AQSX S POL@SAMI , NAZYWAL IH NESU]ESTWENNYMI OSOBYMI TO^KAMI 2. tERMIN POL@S WOEL W OBIHOD IZ KNIG nEJMANA (39], S. 94) I bRIO I bUKE (23], p. 15). 1 2
Wesentliche singul$are Stelle. Ausserwesentliche singul$are Stellen.
216
hARAKTERISTIKA USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KI dLQ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) SLEDU@]IE TRI USLOWIQ \KWIWALENTNY : 1 z0 | USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA FUNKCII w = f (z), T. E. RAZLOVENIE lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI z0 1 NE SODERVIT GLAWNOJ ^ASTI , IMEQ WID +P 1 f (z) = cn(z ; z0)n = c0 + c1(z ; z0) + c2 (z ; z0)2 + n=0 (ESLI z0 2 C ) ILI 0 P f (z) = cnzn = c0 + c;z 1 + cz;22 + (ESLI z0 = 1) n=;1 2 FUNKCIQ w = f (z) IMEET KONE^NYJ PREDEL PRI z ! z0 ; 3 FUNKCIQ w = f (z) OGRANI^ENA jf (z)j 6 h W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 . dOKAZATELXSTWO . pUSTX z0 | TO^KA KONE^NOJ PLOSKOSTI. +P 1 1 ) 2 . tAK KAK f (z) = cn(z ; z0)n W KOLXCE WIDA n=0 z 2 C : 0 < jz ; z0 j < r , \TO KOLXCO PRINADLEVIT KRUGU SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA W PRAWOJ ^ASTI, A POTOMU SU+P 1 ]ESTWUET zlim f ( z ) = lim c (z ; z0)n = c0. !z0 z!z0 n=0 n 2 ) 3 . l@BAQ FUNKCIQ, IME@]AQ KONE^NYJ PREDEL W TO^KE, QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI. 3 ) 1 . tAK KAK z0 | IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z), SU]ESTWUET KOLXCO WIDA fz 2 C : 0 < jz ; z0j < rg, W KOTOROM DANNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ I PO TEOREME lORANA (XII , c. 183) IMEET t. E. W KOLXCE WIDA z 2 C : 0 < jz ;z0 j < r , ESLI z0 KONE^NOJ PLOSKOSTI, I z 2 C : r< jz j < +1 , ESLI z0 = 1. 1
|
TO^KA
217 +P 1 RAZLOVENIE lORANA f (z) = cn(z ;z0)n 0 < jz ;z0 j
sTEPENNOJ RQD W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 , WKL@^AQ SAMU \TU TO^KU , A POTOMU EGO SUMMA OSU]ESTWLQET ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE FUNKCII W TO^KU z0 , T. E. USTRANQET OSOBENNOSTX W \TOJ TO^KE (W SMYSLE OPREDELENIQ USTRANIMOSTI , DANNOGO NA c. 209). 1
218
hARAKTERISTIKA POL@SA dLQ KONE^NOJ (z0 2 C ) IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) cLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY : 1 z0 | POL@S (PORQDKA k ) FUNKCII w = f (z), T. E. RAZLOVENIE lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI z0 IMEET W GLAWNOJ ^ASTI LIX KONE^NOE ^ISLO (NENULEWYH ) SLAGAEMYH : +P 1 f (z) = (z;c;zk0)k + + zc;;z10 + cn(z ; z0)n (GDE c;k 6= 0) n=0 ; 2 lim f (z) = 1 PRI \TOM SU]ESTWUET KONE^NYJ I NE z!z0 k f (z) RAWNYJ NUL@ zlim ( z ; z ) 0 !z0 3 z0 QWLQETSQ USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ DLQ FUNKCII w = f (1z) , PRI^EM | PRI DOOPREDELENII f (1z0) def = 0 | NULEM \TOJ FUNKCII (KRATNOSTI k). dOKAZATELXSTWO. 1 ) 2 . dOSTATO^NO ZAPISATX RAZLOVENIE lORANA FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI z0 W WIDE ; 1 f (z)= (z;z0)k c;k + c;k+1 (z ; z0)+ + c0 (z ; z0)k + (GDE c;k 6= 0). 2 ) 3 . tAK KAK lim f (z) = 1, f (z) 6= 0 W OKRESTNOSTI z!z0 TO^KI z0 , A POTOMU W \TOJ OKRESTNOSTI FyNKCIQ w = f (1z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ , IMEQ W TO^KE z0 NULEWOJ PREDEL, A SLEDOWATELXNO, USTRANIMU@ OSOBENNOSTX (S. 216, 2 ). pOSLE EE ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ W \TU TO^KU DOOPREDELENIEM f (1z) def = 0 \TA FUNKCIQ POLU^AET W OKRESTNOSTI TO^KI z0 +P 1 RAZLOVENIE tEJLORA WIDA f (1z) = bn (z ;z0)n, PODSTANOWKA n=0 KOTOROGO W USLOWIE 2 POKAZYWAET, ^TO b0 = = bk;1 = 0, A
219
bk 6= 0, T. E. FyNKCIQ w = f (1z) IMEET W TO^KE z0 NULX KRATNOSTI k (XIII , S. 198, 2 ). 3 ) 1 . pUSTX K | KRUG S CENTROM z0 , W KOTOROM FUNKCIQ w = f (1z) (POSLE USTRANENIQ OSOBENNOSTI W TO^KE z0 ) IMEET PREDSTAWLENIE f (1z) = (z;z0)k '(z), GDE w = '(z) | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ, NE OBRA]A@]AQSQ W NULX W \TOM KRUGE (XIII , c. 198, 3 ). pRIMENENIE TEOREMY tEJLORA K FUNKCII w = '(1z) (TAKVE ANALITI^ESKOJ W KRUGE K ) PRIWODIT K ee RAZLOVENI@ tEJLORA 1 1 = +P 1 n '(z) n=0an (z ; z0) (S a0 = '(z0) 6= 0), z 2 K , W SILU KOTOROGO DLQ FUNKCII w = f (z) = (z;z0);k '(1z) W \TOM VE KRUGE (NO UVE S ISKL@^ENNYM CENTROM z0 ) SPRAWEDLIWO RAZLOVENIE lORANA 1 +P 1 f (z)= (z ; z0);k an (z ; z0)n z 2 K z 6= z0 , n=0 a 0 c GLAWNOJ ^ASTX@ (z;z0)k + + za;k;z10 (a0 6= 0). Q.E.D. zAME^ANIE . dOKAZANNOE UTWERVDENIE RASPROSTRANQETSQ NA SLU^AJ z0 = 1 PEREHODOM OT FUNKCII w = f (z) (S IZO 1 LIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ z0 = 1 ) K FUNKCII w = f z (S IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ z0 =0). pRI \TOM SLEDUET A) STEPENI z ; z0 (W USLOWIQH 1 I 2 UTWERVDENIQ) ZAMENITX SOOTWETSTWU@]IMI STEPENQMI z1 B) S^ITATX IZOLIROWANNU@ OSOBU@ TO^KU z0 = 1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) EE NULEM (KRATNOSTI k), ESLI TO^KA z0 = 0 OKAZYWAETSQ NULEM (KRATNOSTI k) FUNKCII 1 def 1 w = f z (POSLE EE DOOPREDELENIQ f z = 0). 1
qWLQ@]EESQ TAKOWYM WWIDU SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI (XII, S. 188).
220
hARAKTERISTIKA SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI dLQ TOGO ^TOBY IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) BYLA SU]ESTWENNO OSOBOJ , NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DANNAQ FUNKCIQ NE IMELA PREDELA (NI KONE^NOGO , NI BESKONE^NOGO ) PRI z ! z0 . dOKAZATELXSTWO. l@BAQ IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) QWLQETSQ LIBO USTRANIMOJ , ^TO RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ U FUNKCII w = f (z) KONE^NOGO PREDELA PRI z ! z0 (c. 216), LIBO POL@SOM , ESLI zlim !z0f (z)= 1 (c. 218), LIBO SU]ESTWENNO OSOBOJ , DLQ KAKOGO SLU^AQ NE OSTAETSQ INOJ WOZMOVNOSTI KAK BYTX \KWIWALENTNYM OTSUTSTWI@ U FUNKCII w = f (z) PREDELA (KAK KONE^NOGO , TAK I BESKONE^NOGO ) PRI z ! z0 . Q.E.D. tEOREMA kAZORaTI{sOHOCKOGO{wEJERTRASSA.1 eSLI z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z), TO W L@BOJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI DANNAQ FUNKCIQ PRINIMAET ZNA^ENIQ, SKOLX UGODNO BLIZKIE K L@BOMU ZNA^ENI@ w0 2 C .2 1 sODERVITSQ W WYEDEJ W 1868 G. KNIGE 25] (NA S. 434) ITALXQNSKOGO MATEMATIKA kAZORATI (Casorati, Felice, 1835{1890), W MAGISTRSKOJ DISSERTACII (TOGO VE 1868 G.) PETERBURGSKOGO MATEMATIKA `LIANA wASILXEWI^A sOHOCKOGO (1842{1927) I (UVE W SOWREMENNYH TERMINAH) W STATXE wEJERTRASSA 1876 G. \Zur Theorie der eindeutige analytischen Functionen" (NA S. 124 W 43], Bd. II). wOPREKI ISTORI^ESKOJ PRAWDE W ROSSIJSKOJ LITERATURE AWTOROM DANNOJ TEOREMY OBY^NO NAZYWA@T ODNOGO sOHOCKOGO, W ZARUBEVNOJ | ODNOGO wEJERTRASSA. 2 t. E. KAKOWY BY NI BYLI TO^KA w 2 C I OKRESTNOSTI V 0 z0 I Vw0 TO^EK z0 I w0 , SU]ESTWUET TO^KA z 2 Vz0 , DLQ KOTOROJ f (z) 2 Vw0 . rAWNOSILXNAQ FORMULIROWKA TEOREMY: eSLI z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z), TO DLQ L@BOJ TO^KI w0 2 C SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX fzng! z0 , DLQ KOTOROJ ff (zn)g! w0 .
221
dOKAZATELXSTWO. pUSTX z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) I PUSTX WNA^ALE w0 | KAKOE{LIBO KONE^NOE KOMPLEKSNOE ZNA^ENIE (w0 2 C ). rASSUVDAQ \OT PROTIWNOGO", T. E. PREDPOLAGAQ, ^TO W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 DANNAQ FUNKCIQ NE PRINIMAET SKOLX UGODNO BLIZKIE K w0 ZNA^ENIQ (T. E. jf (z);w0j > > 0 DLQ WSEH z IZ UKAZANNOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 ), MOVNO SDELATX WYWOD: FUNKCIQ w = f (z)1;w0 QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ I OGRANI^ENNOJ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 I POTOMU IMEET W \TOJ TO^KE (SOGLASNO UTWERVDENI@ NA S. 216) USTRANIMU@ OSOBENNOSTX, A SLEDOWATELXNO (PO TOMU VE UTWERVDENI@), KONE^NYJ PREDEL PRI z ! z0 . nO OTS@DA WYTEKAET, ^TO FUNKCIQ w = f (z) ; w0 (A SLEDOWATELXNO, I FUNKCIQ w = f (z)) IMEET KONE^NYJ 1 ILI BESKONE^NYJ 2 PREDEL PRI z ! z0 , ^TO NEWOZMOVNO, POSKOLXKU z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA FUNKCII w = f (z). w SLU^AE w0 = 1 RASSUVDENIE GORAZDO PRO]E: W L@BOJ OKRESTNOSTI SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ w = f (z) ZAWEDOMO QWLQETSQ NEOGRANI^ENNOJ 3 , T. E. SREDI EE ZNA^ENIJ ESTX \SKOLX UGODNO BLIZKIE K BESKONE^NOSTI". Q.E.D.
uSILENIEM TEOREMY kAZORATI { sOHOCKOGO { wEJERTRASSA QWLQETSQ SLEDU@]EE (BOLEE TRUDNOE DLQ DOKAZATELXSTWA4) UTWERVDENIE. TEOREMA pIK ARA5 w L@BOJ OKRESTNOSTI SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ PRINIMAET L@BOE KOMPLEKSNOE ZNA^ENIE ZA WOZMOVNYM ISKL@^ENIEM LIX ODNOGO . 1 = 1 eSLI lim 6 0. z!z0 f (z);w0 1 2 eSLI lim z!z0 f (z);w0 =0. 3 iNA^E ONA IMELA BY W TO^KE z USTRANIMU@ OSOBENNOSTX (S. 216). 0 4 oNO ESTX, NAPRIMER, U a. i. mARKUEWI^A W 12] (S. 690{691).
Annales scienti#ques de l'E cole Normale Superieure, ser. II, t. 9, 1880, p. 165 Picard, E mile, 1856{1941, | FRANCUZSKIJ MATEMATIK. 5
222 sFORMULIROWANNU@ TEOREMU INOGDA NAZYWA@T \BOLXOJ TEOREMOJ pIKARA", SNABVAQ \PITETOM \MALAQ" TOT EE ^ASTNYJ SLU^AJ, KOGDA FUNKCIQ QWLQETSQ CELOJ (S SU]ESTWENNOJ OSOBOJ TO^KOJ 1).
wOT NESKOLXKO PRIMEROW KLASSIFIKACII IZOLIROWANNYH OSOBYH TO^EK NA OSNOWE PRIWEDENNYH HARAKTERISTIK. 1. oSOBYE TO^KI FUNKCII w = ctg z , KOTORAQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W PLOSKOSTI C S ISKL@^ENNYMI TO^KAMI k k 2 Z , | \TO UKAZANNYE TO^KI (WSE ONI IZOLIROWANNYE 1) I 1 (NEIZOLIROWANNAQ 2 ). pOSKOLXKU DLQ FUNKCII w = ctg1 z KAVDAQ TO^KA k QWLQETSQ USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ1, A POSLE USTRANENIQ W NEJ OSOBENNOSTI (PUTEM ZAMENY ctg z NA tg z) | PROSTYM NULEM , DLQ ISHODNOJ FUNKCII w =ctg z TO^KI k k 2 Z , QWLQ@TSQ PROSTYMI POL@SAMI . pRI PEREHODE K FUNKCII w = ctg z ; z1 OSOBAQ TO^KA 0 OKAZYWAETSQ USTRANIMOJ , ^TO; WIDNO IZ RAZLOVENIQ ; z 1;z 2=2!+ ; z ;z 3=3!+ 1 z cos z ; sin z ctg z z = sin z = , z ;z 3=3!+ I (POSLE USTRANENIQ OSOBENNOSTI ) | NULEM 2-J KRATNOSTI . tO^KI VE k k Z k = 0, DLQ FUNKCII w = ctg z 1 (KAK
;
2
6
;z
I DLQ FUNKCII w = ctg z ) QWLQ@TSQ PROSTYMI POL@SAMI \TO WYTEKAET IZ SLEDU@]EGO PROSTOGO, NO WESXMA POLEZNOGO W PRAKTIKE KLASSIFIKACII OSOBYH TO^EK UTWERVDENIQ | PRQMOGO SLEDSTWIQ TEOREMY lORANA (XII , S. 183). eSLI z0 QWLQETSQ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) I TO^KOJ ANALITI^NOSTI FUNKCII w = g(z), TO RQDY lORANA FUNKCIJ w = f (z) I w = f (z) g(z) W OKRESTNOSTI TO^KI z0 IME@T ODNU I TU VE GLAWNU@ ^ASTX . w {OKRESTNOSTI KAVDOJ IZ NIH NET DRUGIH OSOBYH TO^EK \TOJ FUNKCII. 2 w L@BOJ OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI ESTX TO^KI WIDA k . 1
223
dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = sin z21+1 OSOBYMI TO^KAMI QWLQ@TSQ i I 1 (WSE IZOLIROWANNYE ). tAK KAK PRI STREMLENII z K TO^KAM 1 i WDOLX MNIMOJ OSI (OT NA^ALA KOORDINAT ) WELI^INA z2+1 , WOZRASTAQ , PRINIMAET WSE 1DEJSTWITELXNYE ZNA^ENIQ OT 1 DO +1, FUNKCIQ w = sin z2+1 NE IMEET PREDELA PRI z ! i, A POTOMU OBE TO^KI i |1 SU]ESTWENNO OSOBYE DLQ \TOJ FUNKCII. tAK KAK zlim !1 sin z2+1 =0, OSOBAQ TO^KA 1 QWLQETSQ DLQ FUNKCII w = sin z21+1 USTRANIMOJ BOLEE TOGO, POSKOLXKU PRI ZAMENE z NA z1 FUNKCIQ w = sin z21+1 PEREHODIT W w = sin 1+zz2 (DLQ KOTOROJ NA^ALO KOORDINAT ESTX NULX KRATNOSTI 1), BESKONE^NOSTX QWLQETSQ (ZAME^ANIE NA S. 219) NULEM FUNKCII w =sin z21+1 KRATNOSTI 1. 1 3. dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =exp z sin z1 OSOBYMI TO^KAMI QWLQ@TSQ: 1 1 , 21 , 31 , : : : (IZOLIROWANNYE ) I 0 (NEIZOLIROWANNAQ ). TAK KAK 1 = z 1 lim exp 1 z!1 !0 ; 3!1 3+ 5!1 5; = exp 1 = e, z sin z = exp lim OSOBAQ TO^KA 1 QWLQETSQ USTRANIMOJ PRI STREMLENII VE z K L@BOJ IZ TO^EK k1 , k = 1 2 : : : , S RAZNYH STORON WDOLX DEJSTWITELXNOJ OSI ZNA^ENIE FUNKCII STREMITSQ W ODNOM SLU^AE K 0, A W DRUGOM K +1 SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ NE IMEET PREDELA NI W ODNOJ IZ \TIH TO^EK, A POTOMU KAVDAQ IZ NIH | SU]ESTWENNO OSOBAQ . ctg z 4. dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = cos z ;1 OSOBYMI QWLQ@TSQ TO^KI zk = k k = 0 1 2 : : : (WSE ONI IZOLIROWANNYE ) I 1 (NEIZOLIROWANNAQ ). tAK KAK DLQ FUNKCII z ;1) TO^KI z = k QWLQ@TSQ NULQMI w = ctg1 z = sin z(cos k cos z 2.
cos z ;1
224 (KRATNOSTI 1 DLQ NE^ETNYH k I KRATNOSTI 3 DLQ k ^ETNYH ), UKAZANNYE TO^KI OKAZYWA@TSQ DLQ FUNKCII w = cosctgz;z 1 POL@SAMI SOOTWETSTWU@]IH PORQDKOW . 2 2 5. oSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = zez++1 | \TO NULI ZNAMENATELQ , T. E. zk = i(2k;1) k =0 1 2 : : : (WSE IZOLIROWANNYE ) I 1 (NEIZOLIROWANNAQ ). pOSKOLXKU z 2+2 = (z +i)(z ;i) = (z ;z0)(z ;z1) = (z ;z0)(z ;z1) , + 1 +1 P n ez +1 1;ez;i(2k;1) 1 ; (z;nz!k) ; P (z;nz!k)n n=0 n=1 OSOBYE TO^KI zk PRI k =0 1 OKAZYWA@TSQ USTRANIMYMI , A PRI k = ;1 2 : : : | POL@SAMI 1-GO PORQDKA . 6. mNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ w = z +1pz IMEET W OKRESTNOSTI TO^KI z0 =1 DWE ODNOZNA^NYE ANALITI^ESKIE WETWI , p p OPREDELQEMYE SOOTWETSTWENNO ZNA^ENIQMI 1=1 I 1= ;1 TO^KA z0 =1 DLQ PERWOJ IZ NIH NE QWLQETSQ OSOBOJ , DLQ WTOROJ VE ONA SLUVIT POSKOLXKU DLQ POL@SOM 1-GO PORQDKA , 0 p 6= 0. \TOJ WETWI 11p = 1+ 1=0, a 11p z + z z =1 z + z z =1
iLL@STRIROWATX DANNYE WYE HARAKTERISTIKI IZOLIROWANNYH OSOBYH TO^EK MOGUT TAKVE SLEDU@]IE UTWERVDENIQ. eSLI DLQ CELOJ (T. E. ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOSTI C ) FUNKCII w = f (z) EDINSTWENNAQ EE OSOBAQ TO^KA 1 QWLQETSQ USTRANIMOJ , TO \TA FUNKCIQ ESTX POSTOQNNAQ , PRI \TOM f (z) zlim !1f (z). dOKAZATELXSTWO . l@BAQ CELAQ FUNKCIQ w = f (z) IMEET WO +P 1 WSEJ PLOSKOSTI C RAZLOVENIE tEJLORA f (z)= cnzn , ODNOn=0 WREMENNO QWLQ@]EESQ EE RAZLOVENIEM lORANA W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI . eSLI OSOBAQ TO^KA 1 \TOJ FUNKCII
225 +P 1 QWLQETSQ USTRANIMOJ , TO GLAWNAQ ^ASTX cnzn \TOGO RAZn=1 LOVENIQ DOLVNA OTSUTSTWOWATX, T. E. f (z)= c0 . Q.E.D. tEOREMA lIUWILLQ.1 sREDI CELYH FUNKCIJ OGRANI^ENNYMI QWLQ@TSQ LIX POSTOQNNYE . dOKAZATELXSTWO . eSLI CELAQ FUNKCIQ OGRANI^ENA , TO 1 QWLQETSQ DLQ NEE USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ (S. 216), A PO PREDYDU]EMU UTWERVDENI@ TAKAQ FUNKCIQ ESTX POSTOQNNAQ . Q.E.D.
tEOREMA O SU]ESTWOWANII KORNQ U MNOGO^LENA.1
l@BOJ MNOGO^LEN p(z) (STEPENI n > 1) IMEET KORENX z 2 C . dOKAZATELXSTWO . eSLI BY MNOGO^LEN p(z) STEPENI n > 1 NE OBRA]ALSQ W NULX NI W ODNOJ TO^KE z 2 C , TO FUNKCIQ w = p(1z) OKAZYWALASX BY CELOJ , PRI^EM | POSKOLXKU lim 1 =0 | IME@]EJ USTRANIMU@ OSOBENNOSTX W 1. |TO z!1 p(z) WOZMOVNO LIX ESLI \TA FUNKCIQ | POSTOQNNNAQ , PRI^EM 1 = lim 1 =0 | PROTIWORE^IE . p(z) z!1 p(z)
tEOREMA O RAZLOVENII PRAWILXNOJ RACIONALXNOJ DROBI NA PROSTYE. eSLI MNOGO^LENY p(z) I q(z) NE IME-
@T OB]IH NULEJ (KORNEJ ) I STEPENX PERWOGO MENXE STEPENI WTOROGO, TO OTNOENIE pq((zz)) | EGO W \TOM SLU^AE NAZYWA@T2 PRAWILXNOJ RACIONALXNOJ DROBX@ | PREDSTAWIMO, PRI^EM EDINSTWENNYM OBRAZOM, W WIDE p(z) = Ak + q(z) (z ;a)k
+ zA;a + (zB;mb)m + + zB;b + + (zC;nc)n + + zC;c , 1
1
1
1 2
uVE WSTRE^ALASX WYE (XIII, S. 197). sLEDUQ |JLERU 19], x38, c. 47.
226
GDE W ZNAMENATELQH PROSTYH DROBEJ W PRAWOJ ^ASTI a b : : : : : : c | NULI MNOGO^LENA q(z), A k m : : : n | KRATNOSTI \TIH NULEJ ^ISLITELQMI VE IH QWLQ@TSQ NEKOTORYE KOMPLEKSNYE ^ISLA (TRADICIONNO OBOZNA^AEMYE ZAGLAWNYMI BUKWAMI I OBY^NO NAHODIMYE METODOM NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW | SRAWNENIEM LEWOJ I PRAWOJ ^ASTEJ RAWENSTWA POSLE PRIWEDENIQ SOSTAWLQ@]IH IH DROBEJ K OB]EMU ZNAMENATEL@). dOKAZATELXSTWO . eDINSTWENNOSTX UKAZANNOGO PREDSTAWLENIQ SLEDUET IZ TOGO, ^TO TO^KA a QWLQETSQ OSOBOJ LIX DLQ PERWOJ (WZQTOJ W KWADRATNYE SKOBKI) GRUPPY PROSTYH DROBEJ W PRAWOJ ^ASTI, W SILU ^EGO \TA GRUPPA PROSTYH DROBEJ SOSTAWLQET W TO^NOSTI GLAWNU@ ^ASTX RQDA lORANA SUMMY WSEH DROBEJ W PRAWOJ ^ASTI, A SLEDOWATELXNO, I FUNKCII w = pq((zz)) W OKRESTNOSTI TO^KI a . pO TEM VE SOOBRAVENIQM (zB;mb)m + + zB;1b ESTX W TO^NOSTI GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA FUNKCII w = pq((zz)) W OKRESTNOSTI TO^KI b I T. D. pRAKTI^ESKI TAK VE DOKAZYWAETSQ SU]ESTWOWANIE UKAZANNOGO PREDSTAWLENIQ. tAK KAK TO^KI a b : : : c QWLQ@TSQ NULQMI (KRATNOSTEJ k m : : : n ) MNOGO^LENA p(z), ONI VE OKAZYWA@TSQ POL@SAMI (TEH VE PORQDKOW k m : : : n ) FUNKCII w = pq((zz)) . eSLI S^ITATX, ^TO (z;Aka)k + + zA;1a ESTX GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA FUNKCII w = pq((zz)) W OKRESTNOSTI TO^KI a, TO ZAMENA W NEJ pq((zz)) NA pq((zz)) ; (z;Aka)k + + zA;1a , S ODNOJ STORONY, DELAET OSOBU@ TO^KU a USTRANIMOJ , A S DRUGOJ | OSTAWLQET NEIZMENNYMI GLAWNYE ^ASTI RQDOW lORANA FUNKCII w = pq((zz)) W OKRESTNOSTQH TO^EK b : : : c (UTWERVDENIE NA S. 222).
227
pOWTORENIE \TIH RASSUVDENIJ PRIMENITELXNO K TO^KAM b : : : c POZWOLQET SDELATX WYWOD: FUNKCIQ w = pq((zz)) ; (z;Aka)k + + zA;1a ; (zB;mb)m + + zB;1b ; ; (zC;nc)n + + zC;1c IMEET W PLOSKOSTI C LIX USTRANIMYE OSOBYE TO^KI, A POTOMU POSLE USTRANENIQ W NEJ OSOBENNOSTEJ OKAZYWAETSQ CELOJ . tAK KAK PRI z ! 1 \TA FUNKCIQ (SUMMA PRAWILXNYH RACIONALXNYH DROBEJ) STREMITSQ K NUL@ , ONA (UTWERVDENIE NA c. 223) ESTX TOVDESTWENNYJ NULX . Q.E.D.
uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO OPREDELENIE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI NA S. 212 \KWIWALENTNO DANNOMU W SNOSKE NA TOJ VE STRANICE. 2. oBOSNOWATX I PROILL@STRIROWATX PRIMERAMI SLEDU@]U@ TABLICU WOZMOVNYH OSOBENNOSTEJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z)+g(z) W ZAWISIMOSTI OT WIDOW OSOBENNOSTEJ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ w = f (z) I w = g(z) W IH OB]EJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KE . USTRANIMAQ OSOPOL@S BAQ TO^KA, NULX PORQDKA g KRATNOSTI k l USTRANIMAQ OSOUSTRANIMAQ, POL@S BAQ TO^KA, NULX NULX KRATNOSTI PORQDKA KRATNOSTI m > minfk mg1 l POL@S POL@S POL@S PORQDKA PORQDKA PORQDKA n n 6 maxfl ng2 SU]ESTWENNO SU]ESTWENNO SU]ESTWENNO OSOBAQ OSOBAQ OSOBAQ TO^KA TO^KA TO^KA f
SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA OSOBENNOSTX L@BOGO WIDA
tO^NEE, KRATNOSTI minfk mg, ESLI m 6= k, I KRATNOSTI > k, ESLI m = k. 2 tO^NEE, PORQDKA maxfl ng, ESLI n 6= l , I PORQDKA 6 l (WKL@^AQ SLU^AJ USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KI ), ESLI n = l. 1
228 3. zAPOLNITX PODOBNU@ TABLICU DLQ FUNKCII w = f (z) g(z). 4. dOKAZATX, ^TO NA GRANICE KRUGA SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA NEPREMENNO ESTX NEUSTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA EGO SUMMY . 5. pROWERITX RAWNOSILXNOSTX FORMULIROWOK TEOREMY kAZORATI { sOHOCKOGO { wEJERTRASSA NA S. 220 I DANNOJ W SNOSKE NA TOJ VE STRANICE. 6. kAKU@ OSOBENNOSTX IMEET FUNKCIQ w = ef (z) W TO^KE z0 , ESLI DLQ FUNKCII w = f (z) \TA TO^KA QWLQETSQ a) POL@SOM ? B) SU]ESTWENNO OSOBOJ ? 7. pROWERITX UTWERVDENIE TEOREMY pIKARA (S. 221) DLQ FUNKCIJ w = cos z1 , w = exp 1z . 8. pRIWESTI PRIMER MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F (z), DLQ ODNOZNA^NYH WETWEJ KOTOROJ TO^KA z0 2 C BYLA BY OSOBOJ , PRI^EM DLQ ODNOJ WETWI | USTRANIMOJ , DLQ DRUGOJ | POL@SOM , DLQ TRETXEJ | SU]ESTWENNO OSOBOJ , DLQ ^ETWERTOJ | NEIZOLIROWANNOJ . p4 p4 z1;i sin p4 zz;+ii w = sin p2 , z0 =1. 4 z +1
229
~TO NAZYWA@T WY^ETAMI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ I KAK IMI OPERIRU@T XV.
wY^ETOM 1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) W EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^Ke z0 2 C NAZYWA@T OBOZNA^AEMYJ 2 res f (z) z=z0 KO\FFICIENT PRI (z ; z0 );1 W RAZLOVENII lORANA \TOJ +1 FUNKCII f (z) = P cn(z ; z0 )n W OKRESTNOSTI TO^KI z0 W n=;1 SLU^AE, ESLI \TA TO^KA KONE^NA : zres f (z) def = c;1 (z0 2 C ) =z0 WZQTYJ S MINUSOM KO\FFICIENT PRI z;1 W ee RAZLOVENII +P 1 lORANA f (z)= cnzn W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI , ESLI n=;1 z0 = 1 : zres f (z) def = ; c; 1 . =1 pONQTIE WY^ETA ANALITI^ESKOJ FUNKCII (PERWONA^ALXNO W EE POL@SE ) WWEL W 1826 G. kOI, WIDQ W NEM (W SLU^AE OBRA]ENIQ FUNKCII W BESKONE^NOSTX) NEKOTORU@ ANALOGI@ S PONQTIEM PROIZWODNOJ . wOT ^TO MOVNO PRO^ITATX NA S. 11 PERWOGO TOMA EGO \Exercices de Mathematiques" (= 28], ser. II, t. VI, p. 23), GDE WPERWYE POQWLQETSQ TERMIN WY^ET . \kOGDA NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x PRIDAETSQ BESKONE^NO MALOE PRIRA]ENIE ", FUNKCIQ f (x) \TOJ PEREMENNOJ SAMA POLU^AET, WOOB]E uSTOQWIJSQ PEREWOD TERMINA kOI le residu | OSTATOK PRI^INU WYBORA IMENNO \TOGO TERMINA DLQ WWODIMOGO IM PONQTIQ kOI W SWOIH RABOTAH NE OB_QSNIL. 2 w NASTOQ]EE WREMQ (NARQDU S WARIANTAMI \TOGO OBOZNA^ENIQ). pREDLOVENNOE kOI OBOZNA^ENIE WY^ETOW NA OSNOWE STILIZOWANNOJ BUKWY E | NA^ALXNOJ W NAZWANII OPERACII IZWLE^ENIQ WY^ETOW (Extraction des residus ) | NE PRIVILOSX. 1
230 GOWORQ, BESKONE^NO MALOE PRIRA]ENIE, PERWYJ ^LEN KOTOROGO PROPORCIONALEN ", I KONE^NYJ KO\FFICIENT PRI " W PRIRA]ENII FUNKCII ESTX TO, ^TO NAZYWA@T DIFFERENCIALXNYM KO\FFICIENTOM ... eSLI POSLE NAHOVDENIQ ZNA^ENIJ x, OBRA]A@]IH FUNKCI@ f (x) W BESKONE^NOSTX, PRIBAWITX K ODNOMU IZ \TIH ZNA^ENIJ, OBOZNA^EMOMU x1 , BESKONE^NO MALOE KOLI^ESTWO ", A ZATEM RAZLOVITX f (x1 + ") PO WOZRASTA@]IM STEPENQM \TOGO KOLI^ESTWA, TO PERWYE ^LENY RAZLOVENIQ BUDUT SODERVATX OTRICATELXNYE STEPENI ", I ODIN IZ NIH BUDET PROIZWEDENIEM 1" NA KONE^NYJ KO\FFICIENT, KOTORYJ MY BUDEM NAZYWATX WY^ETOM FUNKCII f (x) OTNOSITELXNO KONKRETNOGO ZNA^ENIQ x1 PEREMENNOJ x." 1 pRIMER. wY^ETY ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = z2z;1 W EE 1 , 1 , ;1: OSOBYH TO^KAH; 1 ;11 RAWNY SOOTWETSTWENNO 2 2 ;
; ; ;
;
z 1 1 1 1 1 z 2;1 = z ;1 1 z +1 = z ;1 1 2 1+(z ;1)=2 = ; ; 2 = z;1 1 1 12 1 z;2 1 + (z;221) z 1 < 2 1 = z = 1 ;1+ 1 = 1 ;1 1 z 2;1 z +1 z ;1 z +1 2 1+(z +1)=2 ; ; 1 1 1 1+ z +1 + (z +1)2 + = z+1 z +1 < 2 2 2 22
;
;
;
j;j
j j
w ORIGINALE: \Lorsqu'on attribue a une variable independante x un accroissement inniment petit ", une fonction f (x) de cette variable recoit elle-m^eme en general un accroissement inniment petit dont le premier terme est proportionnel a ", et le coecient ni de " dans l'accroissement de la fonction est ce qu'on nomme le coecient dierentiel... Si, apr es avoir cherche les valeurs de x qui rendent la fonction f (x) innie, on ajoute a l'une de ces valeurs, designee par x1 , la quantite inniment petite ", puis, que l'on developpe f (x1 + ") suivant les puissances ascendantes de la m^eme quantite, les premiers termes du developpement renfermeront des puissances negatives de ", et l'un d'eux sera le produit de 1" par un coecient, que nous appellerons le residu de la fonction f (x) relatif a la valeur particuli ere x1 de la variable x." 1
231 z = 1 1 = z ;1 ;1 + z ;2 + z ;4 + z ;1 z 1;z ;2 2
1 < jzj < +1.
kOMBINIRUQ DANNOE OPREDELENIE WY^ETA S FORMULOJ DLQ KO\FFICIENTA c;1 W RAZLOVENII lORANA (XII , S. 183), PRIHODQT K SLEDU@]EMU \KWIWALENTNOMU OPREDELENI@ WY^ETA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = fH(z) W EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ def 1 f ( z ) = 2i f (z) dz , GDE ; | L@BOJ ZAMKTO^KE z0 2 C : zres =z0 ; NUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR , LEVA]IJ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 (NE cODERVA]EJ DRUGIH OSOBYH TO^EK FUNKCII) I ODIN RAZ OBHODQ]IJ TO^KU z0 W POLOVITELXNOM NAPRaWLENII (T. E. TAK, ^TO ind(; z0 )=1)1.
sLEDUET OTMETITX, ^TO WY^ET ANALITI^ESKOJ FUNKCII W EE KONE^NOJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KE OPREDELQETSQ GLAWNOJ ^ASTX@ EE RQDA lORANA (W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI ), TOGDA KAK WY^ET W BESKONE^NOJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KE | EGO PRAWILXNOJ ^ASTX@ .
fORMULA WY^ETA W [email protected] eSLI TO^KA z0 2 C
POL@S ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) PORQDKA 6 k , TO 1 lim (z ; z )k f (z) (k;1) res f ( z )= . 0 (k;1)! z!z0 z=z0
|
dOKAZATELXSTWO . w OKRESTNOSTI POL@SA z0 PORQDKA 6 k RAZLOVENIE lORANA ANALITI^ESKOJ FUNKCII IMEET WID f (z) = (z;c;zk0)k + + zc;;z10 + c0 + c1(z ; z0) + c2 (z ; z0)2 + uMNOVENIE OBEIH ^ASTEJ \TOGO RAWENSTWA NA (z;z0)k , WZQTIE PROIZWODNOJ PORQDKA k;1 I PEREHOD K PREDELU PRI z ! z0 POSLEDOWATELXNO PRIWODQT K SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: (z ; z0)kf (z) = c;k + + c;1(z ; z0)k;1 + c0 (z ; z0)k + w SLU^AE z0 = 1 \TO OZNA^AET, ^TO ind(; 0)= ;1 (IX, c. 138). kOI OPERIROWAL EJ E]E DO OFORMLENIQ PONQTIQ \WY^ET" (NAPRIMER, W RABOTE 1825 G.: 28], ser. II, t. II, p. 61). 1 2
232 (z ; z0)kf (z) (k;1) = 1 2(k;1)c;1 + 2kc0 (z ; z0) + kf (z) (k;1) = (k ; 1)! c;1. Q.E.D. lim ( z ; z ) 0 z !z0
wOT PRIMER PRIMENENIQ \TOJ FORMULY S PRIWLE^ENIEM
(DLQ SOKRA]ENIQ WY^ISLENIJ) OPERACIJ DELENIQ , UMNOVENIQ I PO^LENNOGO DIFFERENCIROWANIQ STEPENNYH RQDOW (II , S. 39, 34, 33): 00 1 k=3 1 1 z3 z 2 + ;1
res = lim = 1 ; 2! z!0 sin z (1;cos z) 2! 3! z=0 sin z (1;cos z)
;1 00 00 2 2 2
2!1 ; z4! + z=0= 21 1+ z3! + 2 + z3! + z=0= 21 .
eSLI z0 | POL@S 1-GO PORQDKA (PROSTOJ POL@S) FUNKCII w = f (z), TO FORMULA WY^ETA PRINIMAET WID res f ( z )= lim ( z ; z ) f ( z ) , 0 z=z0 z!z0 A W ^ASTNOMSLU^AE, KOGDA FUNKCIQ ZADANA KAK OTNOENIE f (z) = '((zz)) DWUH ANALITI^ESKIH W TO^KE z0 FUNKCIJ S '(z) = '(z0) , POSKOLXKU '(z0) 6= 0 (z0)=0 0(z0) 6= 0, zres =z0 (z) 0(z0)
;
' (z) (z ;z0) '(z) '(z0) lim (z z0) (z) = zlim z!z0 !z0 (z); (z0) = 0(z0) NAPRIMER:
1)
1
1
0 res =; z= sin z (1;cos z) sin z (1;cos z) z=
= ; 12
ESLI w = p2z;+2z+1 | ODNOZNA^NAQ WETWX , OPREDELQEp1= ;1, TO MAQ W OKRESTNOSTI TO^KI z =1 USLOWIEM 2)
p z +2 = p z +2 0 = zp;+2 res 1 z=1 2;z+1 ( 2;z+1) z=1
2 2;z
z=1
=6
p
(DLQ DRUGOJ ODNOZNA^NOJ WETWI | OPREDELQEMOJ USLOWIEM 1 = 1 | TO^KA z =1 NE QWLQETSQ OSOBOJ ).
233
tEOREM O WY^ETAH.1 eSLI FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ
ANALITI^ESKOJ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA OSOBYH TO^EK z1 : : : zm 2 D, TO KAKOW BY NI BYL LEVA]IJ W OBLASTI D I NE PROHODQ]IJ ^EREZ \TI TO^KI ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR , SPRAWEDLIWO RAWENSTWO a
H
;
f (z) dz = 2i
m; P
j =1
res f (z) ind(; zj ) z=zj
W ^ASTNOSTI, ESLI KONTUR ; NE IMEET SAMOPERESE^ENIJ , I OBHOD IM WNUTRENNEJ PO OTNOENI@ K NEMU OBLASTI int; QWLQETSQ POLOVITELXNYM (KAK NA RIS. 81), TO H
;
f (z) dz = 2i
P
res f (z) .
zj2int; z=zj
rIS. 81 1
w PERWONA^ALXNOM WIDE
|
W SLU^AE PROSTYH POL@SOW FUNKCII
(I E]E DO OFORMLENIQ PONQTIQ \WY^ET") | SODERVITSQ W ZNAMENITOM MEMUARE kOI 1825 G. 27], p. 26 (=28], ser. II, t. XV, p. 59). w OB]EJ FORMULIROWKE WIDE BYLA POLU^ENA IM W 1831 G. (28], ser. I, t. XI, p. 307).
234 +P 1 dOKAZATELXSTWO. pUSTX f (z)= cn(z;z1)n | RAZLOVEn=;1 NIE DANNOJ FUNKCII W RQD lORANA W KRUGE S IZ_QTYM CENTROM z1 , NE WYHODQ]EM ZA PREDELY OBLASTI D I NE SODERVA]EM TO^EK z2 : : : zm (RIS. 81). ;1 P gLAWNAQ ^ASTX cn(z ; z1)n \TOGO RQDA (BEZ NEOTRIn=;1 CATELXNYH STEPENEJ z ;z1 ) SHODITSQ NE TOLXKO W UKAZANNOM KRUGE , NO I WO WSEJ PLOSKOSTI C S ISKL@^ENNOJ TO^KOJ z1 ;1 P (II , S. 29), WSLEDSTWIE ^EGO EE SUMMA g1(z) = cn(z ; z1)n n=;1 QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ W OBLASTI C r fz1 g. sLEDUET WYWOD (XIV, UTWERVDENIE NA S. 222): ZAMENA f (z) NA f (z) ; g1 (z), USTRANQQ GLAWNU@ ^ASTX RQDA lORANA FUNKCII w = f (z) W OKRESTNOSTI EE OSOBOJ TO^KI z1 , OSTAWLQET NEIZMENNYMI GLAWNYE ^ASTI RQDOW lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTQH PRO^IH EE OSOBYH TO^EK ( z2 : : : zm) I NE DOBAWLQET K NIM NOWYH . pOWTORENIE PROWEDENNYH RASSUVDENIJ POSLEDOWATELXNO DLQ TO^EK z2 : : : zm S OBOZNA^ENIEM g2(z) : : : gm (z) SUMM GLAWNYH ^ASTEJ RQDOW lORANA FUNKCII w = f (z) W OKRESTNOSTQH \TIH TO^EK POZWOLQET ZAKL@^ITX: W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D FUNKCIQ w = f (z) ; g1 (z) ; ; gm(z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA OSOBYH TO^EK z1 : : : zm , OKAZYWA@]IHSQ DLQ \TOJ FUNKCII USTRANIMYMI , I W KOTORYH, SLEDOWATELXNO, ONA IMEET KONE^NYE PREDELY . pRIMENQQ K FUNKCII w =f (z);g1(z);;gm (z) TEOREMU kOI (X , c. 151), MOVNO PRIJTI K PREDWARITELXNOMU WYWODU: DLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ;, RASPOLOVENNOGO W OBLASTI D I NE PROHODQ]EGO ^EREZ TO^KI z1 : : : zm ,
235 H
A POTOMU
H
;
;
f (z) ; g1(z) ; ; gm(z) dz =0,
H
H
;
;
f (z) dz = g1(z)dz + + gm(z)dz.
oSTAETSQ PRIMENITX K PERWOMU, A ZATEM I KO WSEM POSLEDU@]IM SLAGAEMYM W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO RAWENSTWA FORMULU nX@TONA { lEJBNICA (VIII , c. 133) I WOSPOLXZOWATXSQ OPREDELENIEM INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA (IX , c. 138): H H P ;1 g1 (z) dz = cn(z ; z1)ndz = ; ; n=;1 H P ;2 n ; 1 = cn(z ; z1) + c;1(z ; z1) dz = ; n=;1 H P H ;2 (z;z1)n+1 0 = cn n+1 dz + zc;;z11 dz = ; nH=;1 ; c ; 1 f (z) ind(; z1 ), = 0 + z;z1 dz = 2i zres =z1 I, SLEDOWATELXNO, ; H m; P f (z) dz = 2i zres f ( z ) ind(; z ) . Q.E.D. j =zj j =1
;
TI a
k PRIMERU, WY^ISLENIE WY^ETOW NA S. 232 POZWOLQET NAJH
jz j=3 H
1 dz = i , sin z (1;cos z) = 2i zres =0 sin z (1;cos z)
1 = ;i sin z (1;cos z) = 2i k=;1 zres =k sin z (1;cos z) jz j=5 (PREDPOLAGAETSQ, ^TO KAVDAQ IZ OKRUVNOSTEJ | RADIUSOW 3 I 5 | ODNOKRATNO OBHODITSQ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII). dOSTATO^NO PRIMENITX TEOREMU O WY^ETAH K FUNKCII
dz
1 P
236
w = sin z(11;cos z) , BERQ W KA^ESTWE ODNOSWQZNOJ OBLASTI D NE WS@ PLOSKOSTX C (W NEJ DANNAQ FUNKCIQ IMEET BESKONE^NOE ^ISLO OSOBYH TO^EK ), A KAKOJ-NIBUDX KRUG , SODERVA]IJ KONTURY INTEGRIROWANIQ (RIS. 82).
rIS. 82
dOPOLNENIEM K TEOREME O WY^ETAH SLUVIT SLEDU@]EE UTWERVDENIE, INOGDA UPRO]A@]EE EE PRIMENENIE. eSLI FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOSTI C , ISKL@^AQ KONE^NOE ^ISLO OSOBYH TO^EK m P res f (z) + zres f (z) = 0 . z1 : : : zm , TO z=zj =1 j =1
dOKAZATELXSTWO . eSLI ZA KONTUR ; WZQTX OKRUVNOSTX S CENTROM 0 RADIUSA r > maxfjz1j : : : jzmjg, ODNOKRATNO OBHODIMU@ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII, TO PRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH I OPREDELENIQ WY^ETA W BESKONE^NOSTI PRIWODIT K RAWENSTWAM : H m P 1 H f (z)dz , f (z) dz = 2i zres f ( z ) res f ( z ) = 2i =zj z=1 ;
j =1
SRAWNENIE KOTORYH DAET:
m P
;;
res f (z) = ;zres f (z). =1
j =1 z=zj
Q.E.D.
237
oPERIRUQ \TIM UTWERVDENIEM, ^ASTO POLXZU@TSQ TEM, ^TO ESLI ANALITI^ESKAQ W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI FUNKCIQ w = f (z) LIBO QWLQETSQ ^ETNOJ , LIBO IMEET W BESKONE^NOSTI NULX KRATNOSTI k > 1, TO zres f (z) = 0: W OBOIH SLU=1 ; 1 ^AQH KO\FFICIENT PRI z W RAZLOVENII lORANA FUNKCII W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI RAWEN [email protected] pUSTX, NAPRIMER, TREBUETSQ WY^ISLITX z4dz+1 , GDE KON; TUROM ; SLUVIT ODNOKRATNO OBHODIMYJ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII \LLIPS fz = x+iy 2 C : x2 ;xy +y2 +x;y ;1=0g. oSOBYE TO^KI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII | \TO z1 = p12 + pi2 , z2 = ; p12 + pi2 , z3 = ; p12 ; pi2 , z4 = p12 ; pi2 (KORNI 4 -J STEPENI IZ ;1), IZ KOTORYH z1 z2 z3 RASPOLOVENY WNUTRI , A z4 | WNE DANNOGO \LLIPSA 1. H 3 P 1 po TEOREMe O WY^ETAH z4dz+1 = 2i zres 4 +1 , TOGDA z = z j j =1 ; KAK DOPOLNENIe K NEJPOZWOLQETSOKRATITX WY^ISLENIQ : H dz 1 = ;2i 1 = (1p;i) z 4+1 = 2i ;zres 4z43 2 2 =z4 z 4 +1 ; (WY^ET FUNKCII W BESKONE^NOSTI RAWEN NUL@, TAK KAK \TA FUNKCIQ ^ETNAQ , I K TOMU VE BESKONE^OSTX QWLQETSQ DLQ NEE NULEM 4 -J KRATNOSTI ). pRIMEROM PRIMENENIQ TEOREMY O WY^ETAH K WY^ISLENI@ INTEGRALOW ODNOZNA^NYH WETWEJ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ MOH p VET SLUVITX WY^ISLENIE z z2dz+z+1 SOOTWETSTWENNO SLUjz j=r
^AQM 0
~TOBY W \TOM UBEDITXSQ, DOSTATO^NO OPREDELITX ZNAKI LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ \LLIPSA PRI PODSTANOWKE W NEE x = p12 y = p12 . 1
238
w SLU^AE 0
SOOTWETSTWENNO WYBORU ODNOZNA^NOJ WETWI w = zpz21+z+1 . H p dz eSLI VE r > 1, TO z z 2+z +1 = 0 DLQ OBEIH ODNOjz j=r
ZNA^NYH WETWEJ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, WYDELQEMYH W ;2 z KOLXCE A = fz 2 C : 1 < jzj < +1g ZAPISX@ w = pz;2+z;1+1 ; ;1 2 D: PO TEOREME kOI DLQ KOLXCA (XII , POSKOLXKU z H p dz c. 178) z z 2 +z +1 NE ZAWISIT OT r > 1, A W SILU OCENKI jz j=r
KONTURNOGO INTEGRALA (VIII , c. 133)
H
jz j=r
;!
p dz z z 2+z +1 r!+1 0.
rAZLOVENIE MEROMORFNYH FUNKCIJ W RQDY PROSTYH DROBEJ mEROMORFNYMI 2 NAZYWA@T FUNKCII, ANALITI^ESKIE W PLOSKOSTI C ZA WOZMOVNYM ISKL@^ENIEM POL@SOW .3 eSLI DLQ z = x + iy 2 D ^ISLO z 2 + z +1 = x2 ; y2 + x +1 + i (2xy + y) QWLQETSQ DEJSTWITELXNYM , TO LIBO x = ; 21 , A SLEDOWATELXNO, y2 < 34 , LIBO y =0, PRI^EM W OBOIH SLU^AQH z 2 + z +1 = x2 ; y2 + x +1 > 0. 2 t. E. PODOBNYE DROBNYM : GRE^. " o& | ^ASTX, DOLQ o | WID. tERMIN WWEDEN WO 2-M IZDANII MONOGRAFII bRIO I bUKE 23] (p. 15). 3 eSLI CELYE (ANALITI^ESKIE WO WSEJ PLOSKOSTI C ) FUNKCII S^ITATX OBOB]ENIQMI MNOGO^LENOW , TO MEROMORFNYE FUNKCII SLEDUET RASSMATRIWATX KAK OBOB]ENIQ RACIONALXNYH . 1
239
eSLI MEROMORFNAQ FUNKCIQ w = f (z) IMEET LIX KONE^NOE ^ISLO POL@SOW z1 : : : zm , TO ONA PREDSTAWIMA W WIDE SUMMY CELOJ FUNKCII I PROSTYH DROBEJ . dOSTATO^NO ZAPISATX \TU FUNKCI@ W WIDE w = f (z) ; g1(z) ; ; gm(z) + g1(z) + + gm(z), GDE g1(z) : : : gm(z) | GLAWNYE ^ASTI EE RQDOW lORANA W OKRESTNOSTQH EE OSOBYH TO^EK (POL@SOW ) z1 : : : zm . pERWOE SLAGAEMOE (W KWADRATNYH SKOBKAH) IMEET W \TIH TO^KAH USTRANIMYE OSOBENNOSTI I (POSLE IH USTRANENIQ ) PREDSTAWLQET SOBOJ CELU@ FUNKCI@. dLQ MEROMORFNYH FUNKCIJ, IME@]IH BESKONE^NOE ^ISLO POL@SOW , kOI1 PREDLOVIL SPOSOB IH RAZLOVENIQ W RQDY RACIONALXNYH FUNKCIJ , W ^ASTNOSTI, PROSTYH DROBEJ . sPOSOB BAZIRUETSQ NA SLEDU@]EM UTWERVDENII. lEMMA. pUSTX g(z) = (z;c;zk0)k + + zc;;z10 | GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) W OKRESTNOSTI EE POL@SA z0 (PORQDKA k), a | L@BAQ TO^KA, W KOTOROJ \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ TOGDA f (z) = ; g (). res f (z) = f (), a zres =z0 z ; z= z ; dOKAZATELXSTWO . pERWOE RAWENSTWO | PRQMOE SLEDSTWIE FORMULY WY^ETA W POL@SE 1-GO PORQDKA (c. 232). pOLU^ITX WTOROE POZWOLQ@T RAZLOVENIQ FUNKCIJ w = f (z) I w = z;1 W RQDY lORANA W OKRESTNOSTI TO^KI z0 : f (z) = (z;c;zk0)k + + zc;;z10 + c0 + c1(z ; z0) + , 1 1 z ; = ; ;z0
; (z;;zz ) ; ; (z(;;zz)k);k ; ((z;;zz)k)k ; 0 2 0
1
0
0
0
0
+1
w RABOTE 1827 G. \Sur le developpement des fonctions d'une seule variable en fonctions rationnelles" (28], ser. II, t. VII, p. 324{344). 1
240
A IMENNO, WYDELIW IZ REZULXTATA PEREMNOVENIQ \TIH RQDOW KO\FFICIENT PRI (z ; z0);1, MOVNO ZAKL@^ITX, ^TO f (z) = ; c;k ; ; c;1 = ; g (). Q.E.D. res z ( ;z0)k ;z0 z=z0 ; sUTX SPOSOBA kOI RAZLOVENIQ MEROMORFNYH FUNKCIJ W RQDY PROSTYH DROBEJ WYRAVAET SLEDU@]EE UTWERVDENIE. pUSTX w = f (z) | MEROMORFNAQ FUNKCIQ S POL@SAMI z1 z2 : : : I PUSTX g1(z) g2(z) : : : | GLAWNYE ^ASTI EE RQDOW lORANA W OKRESTNOSTQH UKAZANNYH POL@SOW . dOPOLNITELXNO , ^TO SU]ESTWUET POSLEDOWATELX PREDPOLAGAETSQ NOSTX ;n ZAMKNUTYH KUSO^NO - GLADKIH KONTUROW BEZ SAMOPERESE^ENIJ SO SWOJSTWAMI: 1 KAVDYJ IZ KONTUROW ;n LEVIT WNUTRI SLEDU@]EGO 2 PRI n ! +1 RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO BLIVAJEJ K NEMU TO^KI KONTURA ;n NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET , PRI \TOM OTNOENIE DLINY KONTURA ;n K \TOMU RASSTOQNI@ OSTAETSQ OGRANI^ENNYM 3 WDOLX POSLEDOWATELXNOSTI KONTUROW ;n ZNA^ENIQ f (z) STREMQTSQ K NUL@ : sup jf (z)j n;! 0.1 ! + 1 z2;n tOGDA W OBLASTI C r fz1 z2 : : : g IMEET MESTO SLEDU@]EE RAZLOVENIE FUNKCII W RQD PROSTYH DROBEJ : +P 1 P f (z) = gj (z) def =n!lim gj (z) z 2 C z 6= z1 z2 : : : 2 + 1 j =1 zj 2int;n mEROMORFNYE FUNKCII S TAKIM SWOJSTWOM MOVNO RASSMATRIWATX KAK OBOB]ENIQ PRAWILXNYH RACIONALXNYH DROBEJ . +1 2 sLEDUET POD^ERKNUTX: SUMMA RQDA P g (z) PONIMAETSQ ZDESX NE j j =1 KAK PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI ^ASTI^NYH SUMM (ON MOVET NE SU]ESTWOWATX), A KAK PREDEL EE PODPOSLEDOWATELXNOSTI PRI GRUPPIROWKE (WOZMOVNO, S PERESTANOWKOJ ) SLAGAEMYH PO PRINCIPU zj 2 int;n . 1
241
dOKAZATELXSTWO . pUSTX | L@BAQ OTLI^NAQ OT z1 z 2 : : : TO^KA PLOSKOSTI C , A n | NASTOLXKO BOLXOE NATURALXNOE ^ISLO, ^TO 2 int;n (SWOJSTWO 2 ). HpRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH K KONTURNOMU INTEGRALU zf;(z) dz W ODNOSWQZNOJ ;n OBLASTI int;n+1 (W SILU SWOJSTWA 2 SODERVA]EJ KONTUR ;n ) DAET W SO^ETANII S DOKAZANNOJ LEMMOJ : 1 H f (z ) dz = res f (z) + P res f (z) = f () ; P g (). j 2i z ; z= z ; zj2int;n z=zj z ; zj2int;n ;n oSTAETSQ PRIMENITX K LEWOJ ^ASTI RAWENSTWA OCENKU INTEGRALA (VIII , S. 133), IZ KOTOROJ S U^ETOM SWOJSTW 2 I 3 H WYTEKAET, ^TO 21i zf;(z) dz n;! !+10, A SLEDOWATELXNO, ;n +P 1 f () = gj () 2 C 6= z1 z2 : : : , j =1 P ESLI PRAWU@ ^ASTX PONIMATX KAK n!lim g (). Q.E.D. +1zj 2int;n j sU]ESTWENNO, ^TO IZLOVENNYJ SPOSOB RAZLOVENIQ PRIMENIM I K MEROMORFNYM FUNKCIQM w = f (z), UDOWLETWORQ@]IM BOLEE SLABOMU, NEVELI 3 , USLOWI@ 3e sup jz;mf (z)j ;! 0 PRI NEKOTOROM NATURALXNOM m n!+1 z2;n DOSTATO^NO PEREJTI K WSPOMOGATELXNOJ MEROMORFNOJ FUNK+1 CII w = z;mf (z), POLU^ITX EE RAZLOVENIE z;mf (z)= P gj (z) j =1 +P 1m W RQD PROSTYH DROBEJ I IZ NEGO RAZLOVENIE f (z)= z gk (z) k=1 ISHODNOJ MEROMORFNOJ FUNKCII W RQD RACIONALXNYH (S POSLEDU@]IM RAZLOVENIEM IH NA PROSTYE )1. bOLEE RASPROSTRANENNYJ PRIEM RAZLOVENIQ MEROMORFNYH FUNKCIJ SO SWOJSTWOM 3e, IZLOVEN W 4], GL. VI, x7 I 12], GL. IV, x7. 1
242
pRIMER. u MEROMORFNOJ FUNKCII w = ctg z POL@SAMI (1-GO PORQDKA ) SLUVAT TO^KI zj = j j = 0 1 2 : : : .
rIS. 83
eSLI ZA POSLEDOWATELXNOSTX ;n KONTUROW WZQTX POSLEDOWATELXNOSTX ODNOKRATNO OBHODIMYH W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII ; KWADRATOW ; ;n = z 2 C : jRe zj = n + 21 _jIm zj = n + 12 (RIS. 83), TO USLOWIQ 1 I 2 BUDyT ZAWEDOMO WYPOLNENY. oSTAETSQ (DLQ PROWERKI WYPOLNENIQ USLOWIQ 3 ) OCENITX WELI^INU jctg zj NA STORONAH \TIH KWADRATOW . pOSKOLXKU 2 x+iy) e;2y +e2y +2 cos 2x jctg zj2 = cos( sin(x+iy) = e;2y +e2y;2 cos 2x , ; NA \WERTIKALXNYH" STORONAH , T. E. PRI z = n + 12 + iy, jctg zj2 = ee;;22yy++ee22yy;+22 < 1, ; TOGDA KAK NA \GORIZONTALXNYH", T. E. PRI z = x i n + 21 , jctg zj2 6 ee;;(2(2nn+1)+1)++ee(2(2nn+1)+1);+22 n;! !+1 1. |TO OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ w =ctgz OGRANI^EN a NA DAN NOJ POSLEDOWATELXNOSTI KONTUROW ;n I POTOMU (NE OBLADAQ SWOJSTWOM 3 ) UDOWLETWORQET USLOWI@ 3e S m =1.
243
pEREHOD K FUNKCII w = z;1ctg z , GLAWNYMI ^ASTQMI RQDOW lORANA KOTOROJ W OKRESTNOSTQH TO^EK: z0 = 0 | ee POL@SA 2-GO PORQDKA I zj = j j = 1 2 : : : , | ee POL@SOW 1-GO PORQDKA ) QWLQ@TSQ SOOTWETSTWENNO res ctg z res (z;1 ctg z ) 0 1 1 1 z =0 z =0 g0(z) = z2 + = cos z sin0 0 z 2 + 0 z = z 2 I res (z;1 ctg z ) z=j cos j 1 1 1 gj (z) = z;j = (z sin z )z0 =j z ;j = j z ;j , PRIWODIT K RAZLOVENIQM W OBLASTI C r f0 2 : : : g:
P 1 + P 1 1 = z;1ctg z = n!lim g ( z ) = lim +1zj 2int;n j n!+1 z 2 ;n6j 6nj z ;j j= 60 11 1 1 +P 1 = z2 + j z;j ; z+j j =1 +P 1 +P 1 ctg z = z1 + z2;2(zj )2 = z1 + z;1j + z+1j j =1 j =1
(\RASKRYTIE SKOBOK" W PRAWYH ^ASTQH OBOIH RAZLOVENIJ NE +P 1 +P 1 DOPUSKAETSQ : OBA RQDA z;1j I z+1j PO OTDELXNOSTI j =1 j =1 RASHODQTSQ !).
zAPISAW POSLEDNEE RAZLOVENIE W WIDE +P 1 1 1 , z 2 C z 6= 2 : : : ,1 ctg z ; z1 = + j =1 z ;j z +j MOVNO UTWERVDATX , ^TO ESLI TO^KA z OSTAETSQ W PREDELAH ; KRUGA RADIUSA r S CENTROM 0 T. E. jzj 6 r , TO DLQ L@BOGO (SKOLX UGODNO MALOGO) POLOVITELXNOGO ^ISLA " dLQ FUNKCII w = ctg z ; 1z OSOBAQ TO^KA z = 0 QWLQETSQ USTRANIMOJ , A POTOMU ZNA^ENIE z = 0 OKAZYWAETSQ DLQ \TOJ FUNKCII (PRI def 1 DOOPREDELENII ctg z ; z = 0) DOPUSTIMYM . 1
z=0
244
ctg z ;
n 1 1 P 1 z j =1 z ;j + z +j 6
;
1
+ P
+1
1 + 1 6 2 P 1 <" 6 j =n+1 z ;j z +j j =n+1 j ;r ; LIX TOLXKO n DOSTATO^NO WELIKO n > n0 (" r) 1.
rIS. 84
s^ITAQ TEPERX, ^TO z | L@BAQ (NO FIKSIROWANNAQ ) TO^KA OBLASTI C r f 2 : : : g, a L | KAKAQ - LIBO LOMANAQ (DLINY l(L)) S NA^ALXNOJ TO^KOJ 0 I KONE^NOJ z , NE WYHODQ]AQ ZA PREDELY \TOJ OBLASTI (RIS. 84), MOVNO UTWERVDATX, ^TO DLQ cKOLX UGODNO MALOGO ^ISLA " > 0 I L@BOJ TO^KI 2 C c j j 6 l(L) n 1 1 1 P 1 6 2 +P ctg z ; 1 ; + z z ;j z +j j ;l(L) <" j =1
;
j =n+1
LIX TOLXKO n DOSTATO^NO WELIKO n > n0 (" L) . s U^ETOM OCENKI INTEGRALA (VIII , c. 133) IZ \TIH NERAWENSTW SLEDUET, ^TO R n R 1 P 1 ctg ; 1 d ; ;j + +j d < " l(L), j =1 L L 1 t. E. RQD DROBEJ W RAZLOVENII KOTANGENSA SHODITSQ RAWNOMERNO NA KAVDOM OGRANI^ENNOM MNOVESTWE OBLASTI C r 0 2 : : : .
245
A SLEDOWATELXNO, | W SILU WOZMOVNOSTI PEREHODA K PREDELU PRI " ! 0 (WLEKU]EMU STREMLENIE n K +1 ) | R n R 1 P 1 d . ctg ; 1 d = n!lim + ;j +j +1 j =1 L
L
pRIMENENIE K INTEGRALAM FORMULY nX@TONA { lEJBNICA
(SLU^AJ MNOGOZNA^NOJ PERWOOBRAZNOJ IX, c. 135) I POSLEDU@]EE POTENCIROWANIE DA@T : R ctg ; 1 d = MLn sin = ln sin L
R 1
1 d
;j + +j
L
L
= MLn( ; j)L+ MLn( + j)L=
2 ; ; = ln(z ;j) ; ln(;j) + ln(z +j) ; ln(j) = ln 1; jz
(ZNA^ENIQ LOGARIFMOW ZAWISQT OT WYBORA IH ODNOZNA^NYH WETWEJ WDOLX LOMANOJ L, NO IZMENENIQ SWODQTSQ K SLAGAEMYM , KRATNYM 2i, A POTOMU \IS^EZA@]IM" PRI POTENCIROWANII ) n z 2 sin z = expln sin z = exp lim P ln 1; j = z z n!+1 = n!lim exp +1
n P
j =1 z 2
ln 1; j j =1
= n!lim +1
n Q
j =1
2 1; jz .
wYWOD: IMEET MESTO RAZLOVENIE SINUSA W BESKONE^NOE PROIZWEDENIE 1 +Q 1 z 2 z z z z sin z = z 1; j = z 1; 1+ 1; 2 1+ 2 , j =1
SLEDSTWIEM KOTOROGO (PRI z = 2 ) QWLQETSQ FORMULA wALLISA = 22 4 4 6 6 2
1
13 35 57
def= n!lim+1 13325254(24n;2n1)2(2nn+1)
.
wYWEDENNOE |JLEROM (IZ DRUGIH SOOBRAVENIJ) W 19], GL. IX.
246 |TA FORMULA BYLA WYWEDENA wALLISOM1 W IZDANNOJ W 1656 G. \aRIFMETIKE BESKONE^NOSTEJ" (\Arithmetica In#nitorum") POSREDSTWOM CEPI R p PREOBRAZOWANIJ INTEGRALA W RAWENSTWE 4 = 01 1 ; x2 dx. o ROLI \TOGO AWTORA W RAZWITII MATEMATIKI GOWORIT UVE TO, ^TO IMENNO ON WWEL SIMWOL 1 (I, S. 22) I TERMIN \INTERPOLQCIQ" NAEL p ZNA^ENIE \LEMENTA (TO^NEE, DIFFERENCIALA ) DLINY GLADKOJ DUGI : dl = 1+(y 0(x))2 dx POKAZAL \REALXNOSTX" MNIMYH ^ISEL 2 I DAL KL@^ K IH GEOMETRI^ESKOJ TRAKTOWKE, PRIWEDQ W SWOEM IZDANNOM W 1685 G. \kURSE aLGEBRY" (\Treatise of Algebra") SLEDU@]IE RASSUVDENIQ: \These Imaginary Quantities (as they are commonly called) arising from the supposed root of a negative square (when they happen) are reputed to imply that the case proposed is Impossible . But suppose that we gain from the sea 10 acres, but that we lose 20. Our gain must be ;10 acres, or ;1600 square perches3. Now suppose this negative plain, ;1600 square perches, to be in the form of a square, must not this supposed square be supposed to have a side? And ifpso, what shallpthis side be? We cannot say that it is 40 or ;40, but it is ;1600, or 40 ;1, where p signies a mean proportional between a positive and a negative quantity". uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO MEROMORFNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ RACIONALXNOJ W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA 1 QWLQETSQ DLQ NEE USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ ILI POL@SOM . 2. dOKAZATX, ^TO ESLI DLQ FUNKCII w = f (z) BESKONE^NOSTX QWLQETSQ a) USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ ILI B) POL@SOM PORQDKA 6 k, TO ; k+2 (k+1) ; 2 0 1 k a) zres f (z) = zlim f (z) = (;1) (k+1)! zlim (z) . =1 !1 z f (z) B) zres =1 !1 z f 3. oPIRAQSX NA TEOREMU wEJERTRASSA (XI, c. 174), POLU^ITX DIFFERENCIROWANIEM RAZLOVENIQ KOTANGENSA (c. 243) RAZLOVENIE + 1 P 1 1 (z ;j)2 , z 2 C z 6= 0 2 : : : sin2 z = j =;1
1 2
I, SNOSKA 2 NA S. 13.
w PROTIWOWES IH IZOBRETATELQM
|
ITALXQNSKIM MATEMATIKAM
XVI W. (I, S. 12), S^ITAWIM IH \FIKCIEJ". 3 aNGL. perch (EST ) | MERA DLINY (=5,03 M) square perch (KWADRATNYJ EST) | MERA PLO]ADI (=25,3 M2 ).
247
kAK, PRIMENQQ WY^ETY, WY^ISLQ@T INTEGRALY PO NEZAMKNUTYM KONTURAM
XVI .
iSPOLXZUQ DEMONSTRIRUEMYE NIVE PRIEMY, WY^ISLENIe KONTURNYH INTEGRALOW S POMO]X@ WY^ETOW MOVNO RASPROSTRANITX1 NA INTEGRALY PO NEZAMKNUTYM KONTURAM I PREVDE WSEGO | PO PROMEVUTKAM DEJSTWITELXNOJ OSI . sUTX \TIH PRIEMOW SOSTOIT W DOPOLNENII NEZAMKNUTYH KONTUROW DO ZAMKNUTYH S POSLEDU@]EJ OCENKOJ INTEGRALOW PO \ZAMYKA@]IM" GLADKIM DUGAM. sDELATX \TU OCENKU BOLEE EDINOOBRAZNOJ POZWOLQ@T SLEDU@]IE UTWERVDENIQ.
lEMMY OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ 2 .
pUSTX FUNKCIQ w = f (z) OBLADAET SWOJSTWAMI: R 1) INTEGRAL f (z) dz , GDE Cr | DUGa OKRUVNOSTI RACr DIUSA r S CENTROM 0 (RIS. 85), OPREDELEN DLQ DOSTATO^NO BOLXIH (SOOTWETSTWENNO DOSTATO^NO MALYH ) r> 0 1.
rIS. 85 iDEQ \TOGO RASPROSTRANENIQ WOSHODIT K MEMUARU kOI 27]. iMENNO DUGAMI OKRUVNOSTEJ OBY^NO DOPOLNQ@T NEZAMKNUTYE KONTURY S CELX@ PREOBRAZOWANIQ IH W ZAMKNUTYE . 1 2
248
z f (z) ! 0 PRI z !1 (SOOTWETSTWENNO z ! 0)1 R TOGDA f (z) dz ! 0 PRI r ! +1 (SOOTWETSTWENNO r ! 0)2. 2)
Cr
2. eSLI DLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z)TO^KA z0 QWLQETSQ POL@SOM 1-GO PORQDKA , a GLADKIE DUGI L1 I L2 PERESEKA@TSQ W \TOJ RTO^KE POD UGLOM (0 6 6 2 RIS. 86), TO DLQ INTEGRALOW f (z) dz PO ZAKL@^ENNYM MEVDU L1 I L2
Cr
DUGAM Cr OKRUVNOSTEJ z 2 C : jz ; z0j = r (OBHODIMYM W POLOVITELXNOMRNAPRAWLENII), SPRAWEDLIWO PREDELXNOE SOOTNOENIE rlim f (z). !0 Crf (z)dz = izres =z0
rIS. 86
LEMMA vORDANA 3 pUSTX FUNKCIQ w = f (z) (NE
3 (
).
OBQZATELXNO ANALITI^ESKAQ ) OBLADAET SWOJSTWAMI:
pO KRAJNEJ MERE PO MNOVESTWU , SODERVA]EMU WSE DUGI Cr . nEZAWISIMO OT RASTWORA I NAPRAWLENIQ OBHODA DUG Cr . 3 pRIWEDENA WO 2-M TOME \kURSE ANALIZA" (\Cours d'Analyse de l'E cole Polytechnique") FRANCUZSKOGO MATEMATIKA vORDANA (Jordan, Camille, 1838 {1922): W IZDANII 1913 G. NA S. 331. 1 2
249 1)
R
DLQ POLOVITELXNOGO ^ISLA INTEGRAL f (z) eiz dz Cr
PO POLUOKRUVNOSTI Cr = z 2 C : jzj = r ^ 0 6 arg z 6 (RIS. 87, a) OPREDELEN DLQ DOSTATO^NO BOLXIH r> 0
rIS. 87 2)
lim f (z) = 0
z!1 Im z>0
R
TOGDA r!lim f (z) eiz dz = 0. +1 Cr
dOKAZATELXSTWa. 1 . w SILU WTOROGO IZ USLOWIJ LEMMY DLQ L@BOGO (SKOLX UGODNO MALOGO) ^ISLA " > 0 SU]ESTWUET NASTOLXKO BOLXOE NASTOLXKO MALOE ) ^ISLO (SOOTWETSTWENNO " r" > 0, ^TO z f (z) < 2 PRI jzj > r" (SOOTWETSTWENNO PRI 0 < jzj < r"). tOGDA SOGLASNO OCENKE INTEGRALA PO KONTURU
(VIII , c. 133) R R z f (z) dz < " 1 l(C ) 6 " 2r = " f (z) dz = r z 2 r 2r Cr Cr LIX TOLXKO r>r" (SOOTWETSTWENNO 0
250 R r ;
R
Cr
f (z) dz = f z0 + reit reitidt = r
R r ;
= f z0 + reit reiti ; i zres f (z) + i zres f (z) dt = =z0 =z0
r R r ;
= i f z0 + reit reit ;zres f (z) dt + i r ; r zres f (z). =z =z
r
;
0
0
pRI r ! 0 WTOROE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI STREMITSQ1 K izres f (z), PERWOE VE (INTEGRALXNOE) SLAGAEMOE STREMITSQ =z0 K NUL@ , TAK KAK PO FORMULE WY^ETA FUNKCII W POL@SE 1-GO ; PORQDKA zres f (z) = zlim f (z)(z ; z0) (XV, c. 232), A POTOMU =z0 ! z0 DLQ SKOLX UGODNO MALOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " SU]ESTWUET TAKOE (ZAWISQ]EE OT NEGO) POLOVITELXNOE ^ISLO , ^TO f (z)(z ; z0) ; res f (z) < " KAK TOLXKO 0 < jz ; z0 j < , 2 z=z0 I, SLEDOWATELXNO, ESLI 0
w SILU WTOROGO IZ USLOWIJ LEMMY DLQ L@BOGO (SKOLX UGODNO MALOGO) ^ISLA "> 0"SU]ESTWUET NASTOLXKO BOLXOE ^ISLO r" > 0, ^TO f (z) < PRI jzj > r" Im z > 0. pREDcTAWLENIE VE TO^EK z 2 Cr W WIDE z = reit = r(cos t + i sin t), t 2 0 ], POZWOLQET ZAPISATX PRI r > r": R R ; f (z)eiz dz = f reit eir(cos t+i sin t) reit idt 6 3.
0
Cr
6
R " ;r sin t R ; it ;r sin t R2 " ;r sin t f re e rdt < e rdt = 2 e rdt,
0
0
A SLEDOWATELXNO (TAK KAK sin t > 2 t PRI 1
pOSKOLXKU rlim !0(r ; r) = .
0 6 t 6 RIS. 87, B ), 0
2
251 R
R2 ; e;r 2 t 2 = f (z)eiz dz < 2 " e;r 2 t rdt = 2 r " 2 r t=0 0 Cr ; ; r = " 1 e <". Q.E.D.
;
pRIMEROM TOGO, KAK OPERIRU@T S INTEGRALAMI PO \BESKONE^NYM " KONTURAM MOVET SLUVITX WY^ISLENIE INTEGRAR dz p LA 1+z2(1+z4) PO PARABOLE ; = z = x + iy 2 C : x = y2 , ; OBHODIMOJ W NAPRAWLENII WOZRASTANIQ py (RIS. 88, a) PODRAZUMEWAETSQ ODNOZNA^NAQ WETWX w = 1+ z2, DLQ KOToROJ p1+02 = 1. TAiNTEGRAL W TAKIH SLU^AQH PONIMA@T W SMYSLE 1 GLAWNOGO ZNA^ENIQ : W DANNOM KONKRETNOM PRIMERE | KAK R
R
p dz =r!lim v.p. p1+zdz2(1+z4) def 1+z 2(1+z 4) , +1 ;r ; GDE ;r | ^ASTX \BESKONE^NOGO" KONTURA ; (W DANNOM SLU^AE PARABOLY ) MEVDU TO^KAMI EGO PERESE^ENIQ S OKRUVNOSTX@ RADIUSA r S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT (RIS. 88, B).
rIS. 88 fR. valeur principale (PROIZNOSITSQ PRIMERNO KAK WALER PRENSIPALX) | PONQTIE, WWEDENNOE kOI W 1822 G. (28], ser. I, t. I, p. 289). nA^ALXNYE BUKWY v.p. | OB]EPRINQTOE EGO OBOZNA^ENIE. 1
252 dLQ L@BOGO ^ISLA r > 1 PUSTX ;r = ;r Cr | ZAMKNUTYJ KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR, SOSTAWLENNYJ IZ DUGI PARABOLY ;r I DUGI OKRUVNOSTI Cr , OBHODIMYH \PO HODU ^ASOWOJ H dz p STRELKI" (RIS. 89). wY^ISLITX 1+z2(1+z4) MOVNO S POMO-
;r
]X@ TEOREMY O WY^ETAH , BERQ W KA^ESTWE ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C (SODERVA]EJ ZAMKNUTYJ KONTUR ;r ) OB_EDINENIE \PRAWOJ POLUPLOSKOSTI " I \EDINI^NOGO KRUGA", T. E. D = z 2 C : Im z > 0 _ jzj < 1 (RIS. 89).
rIS. 89 BYBOR \TOJ OBLASTI OBUSLOWLEN TEM, ^TO PRI L@BOM z 2 D ZNA^ENIE 1+ z 2 NE WYHODIT ZA PREDELY PLOSKOSTI C c \RAZREZOM" OT NULQ WDOLX OTRICATELXNOJ ^ASTI DEJSTWITELXNOJ OSI , A SLEDOWATELXNO (IV, c. 68), W OBLASTI Dp OPREDELENY DWE (RAZLI^A@]IESQ p ZNAKOM) ODNOZNA^NYE WETWI w = 1+ z 2, DLQ ODNOJ IZ KOTORYH 1+02 = 1.
pRIMENENIE K INTEGRALU PO KONTURU ;r D TEOREMY O WY^ETAH (XV, S. 233) S OBOZNA^ENIEM z1234 = p12 pi2 KORNEJ 4-J STEPENI IZ ;1 (KAK NA RIS. 89) DAET:
253 H
4 P dz 1 p = 2 i res ind(; z ) r j = 1+z 2(1+z 4) z=zj 1+z 2(1+z 4) j =1 ;r
p
p 1 = ; 2i zres + res p 1 = =z1 1+z 2 (1+z 4) z =z4 1+z 2 (1+z 4) z ; z z ; z 4 1 p p = ; 2i zlim !z4 1+z2(1+z4) = !z1 1+z2(1+z4) + zlim
= p2 p1;i1(1;i)
;
p
p
3 1+ 2 i p 1 4 1+i (1+i) = 2 Im(1+i) = i 2 .
oSTAETSQ ZAPISATX INTEGRAL PO ^ASTI ;r KONTURA ;r KAK RAZNOSTX INTEGRALOW PO ;r I Cr I PEREJTI K PREDELU PRI r ! +1, PRIMENIW LEMMU 1 (S. 247{248): R
R dz p dz = lim 1+z 2(1+z 4) r!+1 1+z 2(1+z 4) = ; ;r
p
H
p dz = r!lim +1 1+z 2(1+z 4) ; r
;
R
p
p
1+ 2 p dz = i 2 4 2 . 1+z (1+z ) Cr
sREDI WY^ISLQEMYH S PRIMENENIEM WY^ETOW INTEGRALOW FUNKCIJ DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ (KAK SOBSTWENNYH , TAK I NESOBSTWENNYH ) WYDELQ@T NESKOLXKO KLASSI^ESKIH TIPOW. oDIN IZ NIH | INTEGRALY RACIONALXNYH KOMBINACIJ sin ' I cos ' (c KONSTANTAMI ), KOTORYE MOVNO WY^ISLQTX PEREHODOM K KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z = ei'. dLQ NA^ALA R2 SOWSEM PROSTOJ PRIMER: I = cos2n'd' (n =1 2 : : : ). 0 dANNYJ INTEGRAL SLEDUET, PREDWARITELXNO ZAPISAW EGO R2 KAK 14 cos2n 'd', PREOBRAZOWATX W KONTURNYJ | WZQTYJ PO 0 OKRUVNOSTI C = z 2 C : jzj = 1 , ODNOKRATNO OBHODIMOJ (OT TO^KI z =1) W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (RIS. 90):
254 R2 i' ;i'2n R2 i' ;i' 2n i' I = 14 e +2e d' = 22n1+2 (e +eiei') ie d' = 0 0
H ;1 2n (z +z;1)2n = 22n1+2 (z+ziz ) dz = 22n+1 zres = (n!)2(22n2n)!+1 . z =0
C
rIS. 90 R
' d', GDE a> 0. wOT BOLEE SLOVNYJ PRIMER: I = 1;cos 2 a sin ' ; pRI 0 1 | NESOBSTWENNYM , PRI^EM RASHODQ]IMSQ I PO\TOMU PONIMAEMYM W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ (KAK IMENNO | ^UTX NIVE). pUSTXi'WNA^ALE 0 < a < i'1. pRIMENENI e FORMUL |JLERA ;i' ;i' e + e e ; e cos ' = 2 , sin ' = 2i I PODSTANOWKA ei' = z PREOBRAZU@TINTEGRAL W KONTURNYJ | WZQTYJ PO OKRUV NOSTI C = z 2 C : jzj = 1 , ODNOKRATNO OBHODIMOJ (OT TO^KI z = ;1) W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (RIS. 91): R
2
R (e2i' +2+e;2i') (e4i' +2e2i'+1) iei' d' = 2 i' ; 2 i' 4 i' ;2i' i' d' = ; 4+a(e ;2+e ) ; (ae ;(2a;4)e +a) ie H 4 z 2+1) dz = H (z 4 +2z 2+1) = (az4;(z(2+2 a;4)z 2+a)iz iaz (z ;z1)(z ;z2)(z ;z3)(z ;z4) dz ,
C
C
255 p p p ; i (1;p 1;a ) ; i (1+p 1;a ) i (1;p 1;a ) GDE z1 = , z2 = , z3 = , a a a p z4 = i (1+pa1;a ) , PRI \TOM jz1 j < 1 jz3j < 1 jz2 j > 1 jz4 j > 1.
rIS. 91
tAK KAK WY^ETY PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII W EE (LEVA]IH WNUTRI OKRUVNOSTIp C ) OSOBYH p1;a TO^KAH 0 z1 z3 RAW1 ; a 1 NY SOOTWETSTWENNO ia 2ia 2ia , PRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH (XV, S. 233) POZWOLQ@T ZAKL@^ITX: ZNA^ENIE KONTURNOGO (A SLEDOWATELXNO p1;a, I ISHODNOGO) INTEGRALA W SLU^AE 1+ 0
' d'def v.p. 1;cos = 2 ; a sin ' 2
def
= "lim j !0
R;"1 '2R;"2 '3R;"3 '4R;"4
'1
j =1234
= "lim j !0
j =1234
; R
L"1
+
+
+
+
R
'1 +"1 '2 +"2 '3 +"3 '4 +"4
R
R
R
L"2
L"3
L"4
+ + +
cos2 ' d' = 1;a sin2 '
(z 4 +2z 2+1) iaz (z ;z1)(z ;z2)(z ;z3)(z ;z4) dz ,
256
GDE '1 '2 '3 '4 | KORNI URAWNENIQ 1 ; a sin2' = 0 NA OTREZKE ; ], a L1" L2" L3" L4" | DUGI OKRUVNOSTI C S NA^ALXNYMI I KONE^NYMI , SOOTWETSTWENNO, ei('1 +"1) I ei('2 ;"2) , ei('2 +"2) I ei('3 ;"3) , ei('3 +"3) I ei('4;"4), ei('4 +"4) Ipei('1 ;"1) (MOVNO BRATX "1 = "2 = "3 = "4), PRI \TOM z1 = ; pa;a1;i = ei'1 , p
p
p
z2 = ap;a1;i = ei'2, z3 = ap;a1+i = ei'3, z4 = ; pa;a1;i = ei'4
(RIS. 92).
rIS. 92
pUSTX Cr1 Cr2 Cr3 Cr4 | DUGI OKRUVNOSTEJ S CENTRAMI z1 z2 z3 z4 , DOPOLNQ@]IE DUGI L1" L2" L3" L4" DO ZAMKNUTOGO KUSO^NO - GLADKOGO KONTURA ;", IZOBRAVENNOGO NA RIS. 93, a1. " rADIUS rj DUGI Crj RAWEN 2 sin 2j , PO\TOMU "j ! 0 () rj ! 0, j =1 2 3 4. 1
257
rIS. 93 H
z +1) pO TEOREME O WY^ETAH iaz (z;z1()(zz+2 dz RA; z 2)(z ;z3)(z ;z4) ;" WEN UMNOVENNOMU NA 2i WY^ETU PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII 1 W NULE . tAK KAK \TOT WY^ET RAWEN ia , ZNA^ENIEM INTEGRALA QWLQETSQ 2a . nAHOVDENIE VE WY^ETOW W TO^KAH z1 z2 z3 z4 pa;1 (A ONI RAWNY 2apa(pa;1i) I SOSTAWLQ@T W SUMME 0), A TAKVE PRIMENENIE K INTEGRALAM PO DUGAM Cr;1 Cr;2 Cr;3 Cr;4 LEMMY 2 (S. 248) S = (RIS. 93, B) DAET: R
4
' d'def v.p. 1;cos 2 a sin ' = ;
2
2
H
4 R P
(z +2z +1) = "lim + dz = 2a . iaz ( z ; z )( z ; z )( z ; z )( z ; z ) 1 2 3 4 ! 0 j " j =1Cr; j =1234 ; j 4
2
R
d' pO \TOJ VE SHEME WY^ISLQETSQ INTEGRAL 1;2a cos '+a2 ; (a 2 C a 6= 1)1. 1
pRI a = 1 ON PRINIMAET WID
R
d'
2' ;4 sin 2
ILI
R
d' ' 2 ;4 cos 2
I RAWEN +1.
258
eSLI jaj 6= 1, TO INTEGRAL QWLQETSQ SOBSTWENNYM I WY^ISLQETSQ PREOBRAZOWANIEM W KONTURNYJ | PO OKRUVNOSTI C = z 2 C : jzj = 1 , ODNOKRATNO OBHODIMOJ (OT TO^KI z = ;1) W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (KAK NA RIS. 91) | PEREHODOM K PEREMENNOJ z = ei': R
d'
R
d' 2 = 1;a (ei' +e;i')+a2 = 1 ; 2 a cos ' + a ; ; R iei'd' 1H 1 = ; = 1i ;ae2i'+(1+ 2 i' 2 ;(1+a2 )z +a dz = a ) e ; a i az ; C 8 ;2 2 = 2 2 ESLI jaj < 1 ;22 > = > 2
pRI jaj = 1 (a 6= 1) INTEGRAL OKAZYWAETSQ NESOBSTWENR R d' ;ei'd' NYM : 1;2a cos 2 = 2i' ;(1+a2) ei' +a (S \OSOBENNOSTQ' + a ae ; ; MI" W TEH TO^KAH ' 2 ; ], GDE ei' = a1 , T. E. '12 = arg a) I PONIMATX EGO PRIHODITSQ W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ , T. E. (ESLI S^ITATX, ^TO '1 < 0, A '2 > 0) KAK '1 ;"1 '2 ;"2 R R R ;ei' d' lim + + .1 2 i' "1 !0+0 ; '1 +"1 '2 +"2 ae ;(1+a2)ei' +a "2 !0+0 H wWODITSQ WSPOMOGATELXNYJ INTEGRAL ; 1i az2;(1+1 a2)z+a dz , ;" i' " GDE z = e , A ; | ZAMKNUTYJ KUSO^NO - GLADKIJ KONTUR, SHODNYJ S IZOBRAVENNYM NA RIS. 93, A, NO NE S ^ETYRXMQ, A LIX S DWUMQ OSOBYMI TO^KAMI 2 PODYNTEGRALXNOJ FUNK CII NA OKRUVNOSTI C = z 2 C : jzj = 1 . tO^NEE, KONTUR ;" 1 2
mOVNO BRATX "1 = "2 . a1 , ILI, ^TO TO VE SAMOE, ei'1 ei'2 .
259
SOSTOIT IZ DWUH (OBHODIMYH \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI") DUG \TOJ OKRUVNOSTI OT TO^KI ei('2 +"2) DO TO^KI ei('1 ;"1) (^EREZ TO^KU ;1) I OT TO^KI ei('1 +"1) DO TO^KI ei('2 ;"2) (^EREZ TO^KU 1), I DWUH (OBHODIMYH \PO HODU ^ASOWOJ STRELKI") DUG OKRUVNOSTEJ S CENTRAMI ei'1 I ei'2 , SOEDINQ@]IH TO^KU ei('1 ;"1) S TO^KOJ ei('1 +"1) I TO^KU ei('2 ;"2) S TO^KOJ ei('2 +"6).1 pOSKOLXKU WNUTRI KONTURA ;" NET OSOBYH TO^EK PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII,
; 1i H" az ;(1+dza )z+a = 0, ;
2
2
A POTOMU PRIMENENIE LEMMY 2 (S. 248) K DUGAM OKRUVNOSTEJ S CENTRAMI ei'1 I ei'2 , NO OBHODIMYM NE \PO ", A \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" (PRI \TOM = ), POZWOLQET ZAKL@^ITX: PRI jaj =1 (NO a 6= 1) '1 ;" '2 ;" R R R R ;ei'd' d' + + = v.p. 1;2a cos '+a2 ="!lim 2 i' 0+0 ; '1 +" '2 +" ae ;(1+a2)ei' +a ; H
dz = ; 1i "!lim 2 ;(1+a2 )z +a + az 0+0 " ;
1 + i zres + i res1 az2;(1+1 a2)z+a = =a az 2 ;(1+a2 )z +a z=
;
2)
a
= 1i 0 + 2az;i(1+a + 2az;i(1+a2) 1 = 0. z=a z= a
pROSTEJIJ TIP INTEGRALOW PO DEJSTWITELXNOJ OSI , WY^ISLQEMYH S POMO]X@ WY^ETOW , | INTEGRALY RACIONALXNYH FUNKCIJ , U KOTORYH STEPENX ^ISLITELQ PO KRAJNEJ MERE NA 2 EDINICY MENXE STEPENI ZNAMENATELQ. w KA^ESTWE PRIrAZUMEETSQ, W PREDPOLOVENII, ^TO POLOVITELXNYE ^ISLA "1 I "2 DOSTATO^NO MALY. nA RIS. 93, A | \TO LIBO PARA DUG Cr1 Cr4 , LIBO PARA DUG Cr2 Cr3 . 1
260 +R1 2 +R1 2 MEROW PRIWEDENY WY^ISLENIQ x4x+1 dx I v.p. x4x;1 dx.1 ;1 ;1 rASPROSTRANQQ PODYNTEGRALXNYE FUNKCII W KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX (POPROSTU ZAMENQQ DEJSTWITELXNU@ PEREMENNU@ x NA KOMPLEKSNU@ H z 2 z ), WWODQT H z 2WSPOMOGATELXNYE KONTURNYE INTEGRALY z4+1 dz I z4;1 dz | PO ZAMKNUTYM ;0r ;r 0 KUSO^NO - GLADKIM KONTURAM ;r I ;r , SOSTAWLENNYM IZ OTREZKOW
DEJSTWITELXNOJ OSI I POLUOKRUVNOSTEJ 2 (OBHODIMYx KAK UKAZANO NA RIS. 94 A, B ).
rIS. 94
oBA KONTURNYH INTEGRALA WY^ISLQ@TSQ PRIMENENIEM TEOREMY O WY^ETAH 3 : pERWYJ IZ \TIH NESOBSTWENNYH INTEGRALOW SHODITSQ , WTOROJ VE (IZ-ZA \OSOBENNOSTEJ" W TO^KAH 1) PRIHODITSQ PONIMATX W SMYSLE ;1R;r2 1;Rr3 Rr1 2 x GLAWNOGO ZNA^ENIQ | KAK r ! lim+1 + + x4 ;1 dx. 1
1 r2 !0+0 ;r1 ;1+r2 1+r3 r3 !0+0 Cr (RIS. 94, A) I Cr1 Cr2 Cr3 (RIS. 94, B ), POD^INENNYH
rADIUSOW USLOWIQM r> 1 r1 > 1 r2 < 1 r3 < 1. 3 i SPOSOBA WY^ISLENIQ WY^ETA W POL@SE 1-GO PORQDKA (XV, S. 232). 2
261 a)
H z2 z 4 +1 dz ;r
z + res z = = 2i zres =z1 z 4 +1 z =z2 z 4 +1 2
2
2 2 = 24i z11 + z12 = p2 , = 2i (z4z+1)0 + (z4z+1)0 z=z1 z=z2 1+ i ; 1+ i ( z1 = p2 , z2 = p2 | TE IZ KORNEJ z1 z2 z3 z4 URAWNENIQ z4 +1=0,1 KOTORYE LEVAT WNUTRI KONTURA ;r RIS. 94, A)
H 2 B) z4z;1 dz ;0r
z2 z 2 = 2i res 4 ;1 = 2i (z 4 ;1)0 = 2 . z z=i z=i
oSTAETSQ WYDELITX INTeGRALY PO OTREZKAM DEJSTWITELXNOJ OSI (POLAGAQ NA NIH z = x) I USTREMITX r I r1 K +1, A r2 I r3 K 0, PRIMENQQ K INTEGRALAM PO POLUOKRUVNOSTQM Cr I Cr1 PERWU@, A PO POLUOKRUVNOSTQM Cr;2 I Cr;3 WTORU@ IZ LEMM OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ (S. 247{248): x2 dx = H z 2 dz R z 2 dz p 4 +1 4 +1 x +1 z z 2 r ! + 1 ;r ;r Cr ;1R;r2 1; H z2 R z2 R r3 Rr1 x2 B) + + dx = dz 4 4 z ;1 z 4;1 dz + ;r1 ;1+r2 1+r3 x ;1 0 ;r Cr1 R z2 R z2 + z4;1 dz + z4;1 dzr !+1 2 + 1 Cr;3 Cr;2 r2 !0+0
a)
Rr
4
;
;!
; ;!
r3 !0+0 2 z + res z 2 = . + i zres 4 2 =;i z ;1 z =i z 4 ;1
+R1 2 +R1 2 sLEDOWATELXNO, x4x+1 dx = p2 , A v.p. x4x;1 dx = 2 . ;1 ;1 wOT E]E PRIMERY WY^ISLENIQ NESOBSTWENNYH INTEGRALOW SWEDENIEM IH K KONTURNYM I PRIMENENIEM LEMM OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ (S. 247{249). 1
qWLQ@]IHSQ POL@SAMI 1-GO PORQDKA PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII.
262 +R1
a cos bx dx, +R1x sin bx dx ( a 2 2 2 2 0 x +a 0 x +a
I b | POLOVITELXNYE ^ISLA). pOSKOLXKU WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ +R1 a cos bx dx = 1 +R1a cos bx dx = 1 Re +R1 aeibx dx , 2 2 2 ;1 x2 +a2 2 ;1x2 +a2 0 x +a +R1 x sin bx dx = 1 +R1x sin bx dx = 1 Im +R1 xeibx dx, 2 2 2 ;1 x2 +a2 2 ;1x2 +a2 0 x +a +R1 ibx +R1 ibx DOSTATO^NO WY^ISLITX INTEGRALY xae2 +a2 dx I xxe2 +a2 dx . ;1 H;1aeibz s \TOJ CELX@ WWODQTSQ KONTURNYE INTEGRALY z2+a2 dz I 1.
;r
H zeibz z 2 +a2 dz , ;r
GDE W OBOIH SLU^AQH ZAMKNUTYJ KONTUR ;r SOSTOIT IZ OTREZKA ;r r] DEJSTWITELXNOJ OSI I \WERHNEJ" POLUOKRUVNOSTI RADIUSA r S CENTROM 0 (OBHODIMOJ \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" | KAK NA RIS. 94, A). tAK KAK PRI L@BOM (DOSTATO^NO BOLXOM) r WNUTRX KONTURA ;r POPADAET LIX OSOBAQ TO^KA z = ia PODYNTEGRALXNYH FUNKCIJ, IZ TEOREMY O WY^ETAH (XV, S. 233) SLEDUET, ^TOH ibz ae dz = 2i res aeibz = 2i aeibz = e;ab , 2 2 2 2
z +a 2z z=ia z=ia z +a ;r H zeibz zeibz = 2i iaeibz = ie;ab , dz = 2 i res z 2+a2 2z z=ia z=ia z 2+a2 ;r A POTOMU | S U^ETOM VE LEMMY vORDANA (S. 248{249) | H R r ibx +R1 ibx R ae dx = lim aeibz dz = e;ab , ae dx = lim 2 2 2 2 z 2 +a2 r!+1 ;r x +a r!+1 ;1x +a ;r Cr +R1 ibx xe dx = lim Rr xeibx dx = lim H R zeibz dz = ie;ab 2 2 z 2+a2 r!+1 ;r x2 +a2 r!+1 ;1x +a ;r Cr
; ;
263 +R1
a cos bx dx = +R1x sin bx dx = e;ab .1 2 2 2 2 2 0 x +a 0 x +a
KAK SLEDSTWIE
2 . pO TAKOJ VE SHEME WY^ISLQ@TSQ GLAWNYE ZNA^ENIQ RASHODQ]IHSQ (IZ-ZA \OSOBENNOSTI" W TO^KE a ) INTEGRALOW +R1 a cos bx dx I +R1x sin bx dx. wWODQTSQ KONTURNYE INTEGRALY x2 ;a2 x2 ;a2 0 0 H zeibz H aeibz 0 2 2 dz I 2 2 dz , GDE ;r | ZAMKNUTYJ KONTUR, IZOB-
;0r
z ;a
;0r
z ;a
RAVENNYJ NA RIS. 94, B , S TEM LIX OTLI^IEM, ^TO CENTRAMI POLUOKRUVNOSTEJ Cr2 I Cr3 SLUVAT TO^KI ;a I a | POL@SY (1-GO PORQDKA ) PODYNTEGRALXNYH FUNKCIJ, OKAZYWA@]IESQ WNE KONTURA ;r0 . s U^ETOM LEMM 2 I 3 (S. 248{249) ;a;r2 a;r3 +R1 aeibx R R Rr1 aeibx dx = v.p. x2 ;a2 dx def =r! lim+1 + + 1 ;1 ;r1 ;a+r2 a+r3 x2 ;a2 r2 ! 0 H R r3R! 0 R aeibz =r ! lim ; + + z 2;a2 dz = 0 ; 0 + 1 +1 0 ; C C C r1 r2 r2 r2 ! 0 r r3 ! 0 aeibz + i res aeibz = i ae;iab + i aeiab = ; sin ab, + izres ;2a 2a z=a z 2;a2 =;a z 2 ;a2 ;a;r2 a;r3 +R1 xeibx R R Rr1 def xeibx dx = v.p. x2 ;a2 dx = r ! lim+1 + + x2 ;a2 1 ;1 ; r ; a + r 1 2 a+r3 r2 ! 0 r3 ! 0 ibz ze zeibz = i ;ae;iab + i aeiab = cos ab + izres + i res 2 2 ;2a 2a z=a z 2 ;a2 =;a z ;a KAK SLEDSTWIE +R1a cos bx v.p.
0
sin ab, v.p.+R1x sin bx dx = cos ab .1 dx = ; 2 2 x2 ;a2 2 2 0 x ;a
sPOSOB WY^ISLENIQ \TIH INTEGRALOW S POMOX@ WY^ETOW (E]E DO POQWLENIQ TERMINA \WY^ET") BYL UKAZAN kOI W 27] (p. 63). 1
264 +R1px+i eix
dx, GDE POD KWADRATNYM KORNEM W ^ISLITELE 2 ;1 x +1 PODRAZUMEWA@TSQ ZNA^ENIQ p OSI TOJ ODNOp NA DEJSTWITELXNOJ ZNA^NOJ WETWI w = z + i,1 DLQ KOTOROJ 0+ i = e i4 . 3.
rIS. 95
wZQW W KA^ESTWE ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C PLOSKOSTX C c \RAZREZOM" PO L@BOMU (NO NE PERESEKA@]EMU DEJSTWITELXNOJ OSI ) LU^U L OT TO^KI ;i DO 1 I PRIMENQQ TEOREMU O WY^ETAH K INTEGRALU PO ZAMKNUTOMU KONTURU ;r D, SOSTOQ]EMU IZ POLUOKRUVNOSTI Cr RADIUSA r > 1 I OTREZKA ;r r] (OBHODIMYH KAK UKAZANO NA RIS. 95, a), MOVNO ZAKL@^ITX:p p H z +i eiz z +i eiz = p2 e i4 e;1 = (1+ i)e;1. dz = 2 i res 2 z +1 z=i z 2+1 ;r
s DRUGOJ STORONY, H pz +i eiz z 2+1 dz ;r
p
eE MOVNO WYDELITX W PLOSKOSTI OT TO^KI ;i DO 1 (IV, c. 68). 1
p
i eix dx + R z +i eiz dz , = xx+2 +1 z 2 +1 ;r Cr Rr
C
S \RAZREZOM" PO L@BOMU LU^U
265
PRI^EM KO WTOROMU INTEGRALURWpPRAWOJ ^ASTI PRIMENIMA iz z + i e LEMMA vORDANA (S. 248{249): 0. wMESTE z 2+1 dz r;! ! +1 Cr \TI SOOTNOENIQ DA@T: p p +R1p x+i eix dx = lim Rr x+i eix dx = lim H z +i eiz dz = (1+i) . 2 z 2 +1 e r!+1;r x2 +1 r!+1 ;1 x +1 ;r ;Rr2 Rr1 +R1 i x def e ei x dx PRI L@4 . nAJTI v.p. dx = lim + r1 ! +1 ;r1 r2 x ;1 x r2 ! 0+0 BOM > 0 MOVNO ISHODQ IZ TOGO, ^TO DLQ ZAMKNUTOGO KONTURA ;r , SOSTOQ]EGO IZ OTREZKOW ;r1 ;r2 ] I r2 r1 ] I POLUOKRUVNOSTEJ Cr1 I Cr2 (OBHODIMYH KAK NA RIS. 95, B ), H ei z 1 z dz = 0 . oSTAETSQ PEREJTI K PREDELU PRI r1 ! +1 I ;r r2 ! 0 + 0 I PRIMENITX K INTEGRALAM PO POLUOKRUVNOSTQM Cr1 I Cr;2 SOOTWETSTWENNO LEMMU 3 I LEMMU 2 (S. 248{249): H +R1 i x R R ei z ei z = i . ; + dz = i res v.p. ex dx =r lim z z=0 z 1 !+1 ;1 r2 !0+0 ;r Cr1 Cr;2 tAK KAK +R1 +R1 i x v.p. e x dx = v.p. cos x+xi sin x dx = ;1 ;1 +R1 +R1 = v.p. cosxx dx + i sinxx dx ,2 ;1 ;1 +R1 +R1 SLEDUET WYWOD: sinxx dx = , a v.p. cosxx dx = 0. ;1 ;1 pO TEOREME kOI (XV, S. 151), PRIMENENNOJ K ODNOSWQZNOJ OBLASTI | PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" OT 0 WNIZ PO MNIMOJ OSI (NE IZOBRAVENNOM NA RIS. 95, B ). 2 pOSLEDNIJ INTEGRAL SHODITSQ , I POTOMU SIMWOL v.p. PERED NIM MOVET BYTX OPU]EN. 1
266 +Ri1 pt R+ir pt e dp ,1 wY^ISLITX 21i v.p. pen+1 dp def = 21i r!lim n+1 p + 1 ;i1 ;ir t> 0, n = 0 1 2 : : : , POZWOLQET ZAMENA PEREMENNOJ z = p;i I WWEDENIE ZAMKNUTOGO KONTURA ;r , SOSTOQ]EGO IZ OTREZKA ;r r] I POLUOKRUVNOSTI Cr (OBHODIMYH KAK UKAZANO NA RIS. 96, B), S PRIMENENIEM TEOREMY O WY^ETAH , LEMMY vORDANA (S. 248{249) I FORMULY WY^ETA W POL@SE (XV, S. 231): 1 v.p.+Ri1 ept dp = 1 lim Rr et eitz i dz = 2i ;i1 pn+1 2i r!+1 ;r (+iz )n+1 H R eitz t et 2i res eitz = ; dz = = e2 r!lim n +1 (+iz ) 2 +1 z=i (+iz )n+1 5.
;r Cr
itz (z ;i )n+1 (n) e t 1 ;eitz (n) = tn . lim = e n +1 z=i n! n! z!i (+iz) n! in
= et i 1
rIS. 96 gLAWNOE ZNA^ENIE INTEGRALA PO PRQMOJ p 2 C : Re p = > 0 (RIS. 96, A) p | OBOZNA^ENIE KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, PRINQTOE W OPERACIONNOM IS^ISLENII (XIX, S. 309). 1
267 6.
H
wY^ISLITX
+R1
x2 ln x dx 2 2 0 (x +1)
MOVNO PEREHODOM K INTEG-
ln z dz PO ZAMKNUTOMU KONTURU ; , IZOBRAVENRALU (zz2+1) r 2 ;r NOMU NA RIS. 95, B , PONIMAQ POD LOGARIFMOM EGO ODNOZNA^NU@ WETWX , OPREDELENNU@ W PLOSKOSTI C c \RAZREZOM" OT 0 WNIZ PO MNIMOJ OSI KAK ln z =ln jzj+i arg z ; 2 < arg z < 32 . pO HTEOREME O WY^ETAH z 2 ln z dz = 2i res z 2 ln z = 2i z 2 ln z 0 = + i 2 . (z 2 +1)2 (z +i)2 2 4 z=i (z 2 +1)2 2
z=i
;r
pRIMENENIE VE SWOJSTWA ADDITIWNOSTI INTEGRALA, ZAMENY x NA ;x W INTEGRALE PO OTREZKU ;r1 ;r2] (S U^ETOM TOGO, ^TO ln x = ln jxj + i DLQ x < 0) I, NAKONEC, LEMMY 1 (S. 247{248) DAET: H z 2 ln z (z 2 +1)2 dz = ;r ;Rr2 2 ln x H z 2 ln z Rr1 x2 ln x = (xx2 +1) dx + dx + 2 2 2 (z 2 +1)2 dz ;r r (x +1) 1
=
Rr1 x2(ln x+i)
2 2 r2 (x +1)
Cr2
2
+
H z 2 ln z (z 2 +1)2 dz
Cr1
=
H z 2 ln z H z 2 ln z 2 ln x dx + (xx2 +1) dx + dz + 2 (z 2 +1)2 (z 2 +1)2 dzr1!+1 r2 Cr1 Cr2 r !0 Rr1
;! 2
+1
+R1 x ln x dx + i R x dx . ;! 2 r !+1 0 (x +1) 0 (x +1)
r2 ! 0
1
2 2
2
2
2
H
2
ln z dz sRAWNENIE S NAJDENNYM WYE ZNA^ENIEM (zz2+1) 2 ;r +R1 2 ln x dx = (W KA^ESTWE \BESPOZWOLQET ZAKL@^ITX: (xx2 +1) 2 4 0 +R1 2 PLATNOGO PRILOVENIQ" POLU^ENO ZNA^ENIE (x2x+1)2 dx = 4 ). 0
2
268 +R1 ;1 pRI WY^ISLENII xx+b dx (0 << 1 1, b 6= 0) KONTUR 0 INTEGRIROWANIQ WSPOMOGATELXNOGO KONTURNOGO INTEGRALA H z ;1 z +b dz WYBIRAETSQ W ZAWISIMOSTI OT ZNAKA ^ISLA b. 7.
;r
eSLI b> 0, TO \TOT INTEGRAL BERETSQ PO ZAMKNUTOMU KONTURU ;r , IZOBRAVENNOMU NA RIS. 97, A ,2 ODNAKO ^TOBY ARGUMENTIROWANNO PRIMENITX TEOREMU O WY^ETAH , NEOBHODIMO WNA^ALE PRIDATX SMYSL \TOMU INTEGRALU, T. E. RAZOBRATXSQ S ODNOZNA^NYMI WETWQMI .HdLQ;1\TOGO INTEGRAL LU^H zSTEPENI ;1 E PREDSTAWITX W WIDE z+b dz + zz+b dz , GDE ZAMKNUTYE ;00r ;0r KONTURY ;0r ;00r IZOBRAVENY NA RIS. 97, B .3
rIS. 97 iNTEGRAL SHODITSQ TOLXKO DLQ \TIH ZNA^ENIJ . nAPRAWLENIQ OBHODA OKRUVNOSTEJ Cr1 I Cr2 UKAZANY STRELKAMI, A IH RADIUSY UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWAM r2
269
k PERWOMU INTEGRALU TEOREMA O WY^ETAH PRIMENQETSQ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI C r L0 , GDE L0 | LU^ , IDU]IJ IZ TO^KI 0 WNIZ PO MNIMOJ OSI 1. wNUTRI KONTURA H;0r NET OSOBYH ;1 z TO^EK PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, A POTOMU z+b dz = 0. ;0r 00 k INTEGRALU PO KONTURU ;r TEOREMA O WY^ETAH PRIMENQETSQ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI C r L00, GDE L00 | LU^ , IDU]IJ IZ TO^KI 0 WWERH PO MNIMOJ OSI 2 : H z ;1 z ;1 = 2i(;b);1 = 2ib;1 ei(;1) . dz = 2 i res z +b z=;b z +b ;00r
sLOVENIE REZULXTATOW I PRIMENENIE K INTEGRALAM PO DUGAM Cr0 1 Cr001 Cr0 2 Cr002 OKRUVNOSTEJ Cr1 Cr2 LEMMY 1 (S. 247{ 248) DA@T: H H z ;1 H z ;1 ; 1 ( ; 1) i dz = + dz = 2ib e =
z +b ;0r ;00r H ;1 H ;1 Rr1 ;1 Rr2 ;1 i2(;1) = xx+b dx + x xe+b dx + zz+b dz + zz+b dzr !+1 1 r r ;r
2
z +b
1
Cr1
;!
r2 ! 0 +R1 ;1 (1;ei2(;1) ) xx+b dx r1 !+1 0 r !0
;!
+R1 ;1 x
Cr2
2
;1 i(;1)
;1
e b . dx = 2ib = sin (;1)2i x + b 1 ; e 0 H ;1 w SLU^AE b< 0 ZA OSNOWU BERETSQ INTEGRAL zz+b dz , WZQ-
KAK SLEDSTWIE
;r
TYJ PO KONTURU ;r , IZOBRAVENNOMU NA RIS. 98, a. zAPISAW
B \TOJ OBLASTI z ;1 def = e(;1)(ln jzj+i arg z), GDE ; 2 < arg z < 32 . 2 B \TOJ OBLASTI z ;1 def = e(;1)(ln jzj+i arg z), GDE 2 < arg z < 52 NA ; 1 OTREZKE L ZNA^ENIQ z W OBEIH OBLASTQH SOWPADA@T , TOGDA KAK NA OTREZKE r2 r1 ] ONI RAZLI^A@TSQ MNOVITELEM e(;1)2i . 1
270 H ;1 H ;1 EGO KAK zz+b dz+ zz+b dz (RIS. 98, B ), OSTAETSQ PRIMENITX
;0r
;00r
K OBOIM SLAGAEMYM TEOREMU kOI W ODNOSWQZNYH OBLASTQH C rL0 I C rL00, GDE L0 I L00 | LU^I , IDU]IE IZ TO^KI 0 SOOTWETSTWENNO WNIZ I WWERH PO MNIMOJ OSI , I WOSPOLXZOWATXSQ LEMMAMI OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ (S. 247{248)1: ;bR;r3 x;1 R z ;1 H ;1 Rr1 x;1 dx ; dz + dx + 0 = zz+b dz = z +b r2 x+b ;b+r3 x+b ;r Cr0 3; ;bR+r3x;1 ei2(;1) R z ;1 Rr2 x;1 ei2(;1) + dx ; dz + dx + z +b x+b r 00 ; ;b;r3 x+b 1 Cr3 +R1x;1(1;ei2(;1)) H z ;1 H z ;1 v.p. dx ; + z+b dz + z+b dz r ;! x+b 1 !+1 0 Cr2 Cr1 r2 ! 0 r3 ! 0 ;1 ;1 z z ; i zres + res , =;b z +b z =;b z +b
rIS. 98 pRIMENQQ LEMMU 1 K INTEGRALAM PO DUGAM Cr0 1 Cr001 Cr0 2 Cr002 , A LEMMU 2 | K INTEGRALAM PO DUGAM Cr0 3; Cr003; . 1
271
PRI \TOM SLAGAEMYE W SKOBKAH | \TO WY^ETY DWUH RAZ ;1 z NYH ODNOZNA^NYH WETWEJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = z+b (S RAZNYMI ZNA^ENIQMI (;b);1 ). dLQ ODNOJ IZ \TIH ; WETWEJ , 3 0 WYDELQEMOJ W OBLASTI C r L , W KOTOROJ arg z 2 ; 2 2 , z ;1 = e(;1) ;ln j; bj + i arg(;b) = e(;1) ln jbj = jbj;1 , res z = ; b z +b ; DLQ DRUGOJ VE | W OBLASTI C r L00, GDE arg z 2 2 52 , | z ;1 = e(;1) ;ln j; bj + i arg(;b) = jbj;1 ei2(;1) . res z=;b z +b wYWOD: PRI b< 0 ; +R1 ;1 ijbj;1 1+ei2(;1) x v.p. x+b dx = = jbj;1 ctg ( ; 1). i2(;1) 1 ; e 0 +R1ln(1+x2) 8 . pRI WY^ISLENII x2 (1+x2) dx WSPOMOGATELXNYM SLUH ;iz) VIT zln(1 2 (1+z 2) dz ;r
0
PO ZAMKNUTOMU KONTURU ;r , SOSTOQ]EMU IZ DWUH OTREZKOW ;r1 ;r2] r2 r1 ] I DWUH POLUOKRUVNOSTEJ Cr1 Cr2 (NAPRAWLENIQ IH OBHODA UKAZANY NA RIS. 99).
rIS. 99
272
sU]ESTWENNO, ^TO DANNYJ KONTUR PRINADLEVIT ODNOSWQZNOJ OBLASTI | PLOSKOSTI S \RAZREZOM" OT TO^KI ;i WNIZ PO MNIMOJ OSI : W \TOJ OBLASTI ; 2 < arg(z ; (;i)) < 32 , A SLEDOWATELXNO, LOGARIFM W ^ISLITELE PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII IMEET ODNOZNA^NU@ WETWX ln(1 ; iz) def = ln j1 ; izj + i arg(1 ; iz) = ; ; = ln j1;izj + i arg (;i)(z +i) = ln j1;izj + i arg(z ;(;i)); 2 . pRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH DAET: H ln(1;iz) ln(1;iz) ln(1;iz) = 2i z2(z+i) = ; ln 2 z 2(1+z 2) dz = 2i res z=i z 2 (1+z 2) z=i
;r
W SILU VE SWOJSTWA ADDITIWNOSTI INTEGRALA WKUPE S LEMMAMI 1, 2 (S. 247{248) ;Rr2 ln(1;ix) H ln(1;iz) H ln(1;iz) Rr1 ln(1;ix) dz = dx + dx + 2 2 2 2 2 2 dz + z 2 (1+z 2) r2 x (1+x ) ;r1 x (1+x ) Cr1 z (1+z ) ;r
H ;iz) dz = Rr1(ln(1;ix)+ln(1+ix)) dx + H ln(1;iz) dz + + zln(1 2 (1+z 2) x2 (1+x2) z 2(1+z 2) r2 Cr1 Cr2 +R1 ln(1+x2) H ln(1;iz) . ;iz) dx ; i zres + zln(1 2 (1+z 2) dz ;! r1 !+1 0 x2 (1+x2) =0 z 2 (1+z 2) Cr2 r2 ! 0
wY^ISLENIE POSLEDNEGO WY^ETA 1
ln(1;iz) ln(1;iz) ;iz ;(iz)2=2; = ;i res = lim = lim 2 2 2 2 z (1+z 2) z=0 z (1+z ) z!0 z (1+z ) z!0 I SOPOSTAWLENIe WYWEDENNYH SOOTNOENIJ DA@T TREBUEMYJ +R1 x2) dx = (1 ; ln 2). OTWET: xln(1+ 2 (1+x2) 0
tO^KA z = 0 QWLQETSQ POL@SOM 1-GO PORQDKA , TAK KAK DLQ WYDELENNOJ ODNOZNA^NOJ WETWI w = ln(1 ; iz) SPRAWEDLIWY RAWENSTWA ln(1 ; iz)z=0 = 0 I ln(1 ; iz)0z=0 = ;i. 1
273 +R1 +R1 iNTEGRALY fRENELQ 1 cos x2dx I sin x2 dx MOVNO 0 p 0 +R1 2 WY^ISLITX, ZNAQ ZNA^ENIE e;x dx = 2 ,2 ISHODQ IZ INTEG0 H RALA eiz2 dz , WZQTOGO PO ZAMKNUTOMU KONTURU ;r , SOSTOQ;r ]EMU IZ DWUH OTREZKOW I WOSXMOJ ^ASTI OKRUVNOSTI Cr RADIUSA r S CENTROM 0 (RIS. 100). 9.
rIS. 100
w SILU TEOREMY kOI (X , S. 151)3 I SWOJSTWA ADDITIWNOSTI INTEGRALA S U^ETOM TOGO, ^TO NA NEOTRICATELXNOJ ^ASTI DEJSTWITELXNOJ OSI z = x, A NA BISSEKTRISSE PERWOGO KOORDINATNOGO UGLAr z = xei 4 r x > 0, H R R R 0 = eiz2dz = eix2dx ; e;x2ei 4 dx + eiz2dz. ;r
0
0
Cr
iME@]IE PRILOVENIE W TEORII DIFRAKCII SWETA I NAZWANNYE W ^ESTX EE SOZDATELQ | FRANCUZSKOGO FIZIKA fRENELQ (Fresnel, Augustin 1
Jean, 1788 {1827).
eGO WY^ISLQ@T W KURSE DEJSTWITELXNOGO ANALIZA SWEDENIEM K NESOBSTWENNOMU DWOJNOMU INTEGRALU. 3 iLI TEOREMY O WY^ETAH (XV, S. 233). 2
274
pRI POSLEDU@]EM PEREHODE W \TIH RAWENSTWAH K PREDELURPRI2 r ! +1 NEBOLXAQ TRUDNOSTX SOSTOIT W TOM, ^TO K eiz dz LEMMA 1 NAPRQMU@ NE PRIMENIMA: NE WYPOLNENO Cr USLOWIE 2) \TOJ LEMMY . ~TOBY OBOJTI \TU TRUDNOSTX, SLEDU 2 0 iz iz2 2 1 e ET ZAPISATX eiz = 2i z + 2eiz2 I, PREDSTAWIW INTEGRAL PO DUGE Cr W WIDE SUMMY DWUH, PRIMENITX K PERWOMU FORMULU nX@TONA { lEJBNICA (VIII , S. 133), A KO WTOROMU | UPOMQNUTU@ LEMMU : R 2 ;r2 eir2 R eiz2 e 1 iz e dz = 2i rei 4 ; r + 2iz2 dz r;! !+1 0. Cr Cr +R1 +R1 wYWOD: eix2 dx = e;x2ei 4 dx , T. E. 0 0 +R1 +R1 +R1 ; cos x2dx + i sin x2 dx = e;x2 cos 4 + i sin 4 dx, 0 0 0 +R1 +R1 p A SLEDOWATELXNO, cos x2dx = sin x2 dx = 12 2 . 0
0
uPRAVNENIQ. 1 (K POSLEDNEMU PRIMERU). w KAKOJ ^ASTI PLOSKOSTI FUNKCIQ w = eiz2 QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ ? ln(1;iz) (S. 272) MOVNO I PO 2 (K PRIMERU 8). pO^EMU WY^ISLITX zres 2 (1+z 2) z =0 ln(1;iz) 0 ln(1 ; iz ) FORMULE zres 2 2 = 1+z 2 , A WO WSPOMOGATELXNOM KONTURNOM =0 z (1+z ) INTEGRALE (c. 271) NELXZQ WMESTO ln(1 ; iz ) WZQTX ln(z + i) ? H ;1 H ;1 3 (K PRIMERU 7). kAK PONIMATX z z+bdz I z z+bdz (INTEGRALY
C
Cr1
Cr2
PO OKRUVNOSTQM Cr1 Cr2 ) NA S. 269{270? +R1 2 x dx , WY^ISLQQ H z2 ln2z dz PO ZAMK4 (K PRIMERU 6). nAJTI x(xln2 +1) 2 (z 2 +1)2 0 ;r NUTOMU KONTURU ;r , PREDSTAWLENNOMU NA RIS. 97, a.
275
w ^EM SOSTOIT PRINCIP ARGUMENTA I ^TO UTWERVDAET TEOREMA rUE
XVII .
tEOREMA PRINCIP ARGUMENTA 1 pUSTX W ODNOSWQZ-
NOJ OBLASTI D C FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ , ISKL@^AQ LIX KONE^NOE ^ISLO POL@SOW , I IMEET W \TOJ OBLASTI LIX KONE^NOE ^ISLO NULEJ 2 TOGDA DLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO I NE IME@]EGO SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO GLADKOGO KONTURA ; D , OBHODQ]EGO WNUTRENN@@ PO OTNOENI@ K NEMU OBLASTX int; W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII I NE PROHODQ]EGO ^EREZ NULI I POL@SY DANNOJ FUNKCII, SPRAWEDLIWO RAWENSTWo Nf int; ; Pf int; = 21 MArg f (z); , LEWAQ ^ASTX KOTOROGO | RAZNOSTX MEVDU ^ISLAMI NULEJ I POL@SOW 3 FUNKCII w = f (z) WNUTRI KONTURA ;, a PRAWAQ | DELENNOE NA 2 POLNOE PRIRA]ENIE ARGUMENTA WEKTORA f (z) (ILI, ^TO TO VE SAMOE, SUMMARNOE ^ISLO EGO OBOROTOW 4) PRI PEREME]ENII TO^KI z WDOLX KONTURA ;. DWUMQ SPOSOBAMI NAJTI ZNAdOKAZATELXSTWO. dOSTATO^NO H f 0 (z) 1 ^ENIE INTEGRALA 2i f (z) dz , PRIMENQQ: 1) TEOREMU O WY^E; TAH (XV, c. 233), 2) FORMULU nX@TONA { lEJBNICA W WARIANTE S \MNOGOZNA^NOJ PERWOOBRAZNOJ", OBSUVDAWEMSQ W IX (
).
(c. 135|137).
u kOI W 28], ser. I, t. XII, p. 266. wKL@^AQ SLU^AI OTSUTSTWIQ U FUNKCII NULEJ I/ILI POL@SOW . 3 nA RIS. 101 z : : : z 1 m | NULI I POL@SY FUNKCII w = f (z), PRI \TOM KAVDYJ NULX S^ITAETSQ STOLXKO RAZ, KAKOWA EGO KRATNOSTX , A KAVDYJ POL@S | STOLXKO RAZ, KAKOW EGO PORQDOK . 4 oBOROTY \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" BERUTSQ SO ZNAKOM +, A W PROTIWOPOLOVNU@ STORONU | SO ZNAKOM ;. 1 2
276
rIS. 101 0
w USLOWIQH TEOREMY FUNKCIQ w = ff ((zz)) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D , ISKL@^AQ LIX a) NULI I B) POL@SY FUNKCII w = f (z). pUSTX z = a | NULX FUNKCII w = f (z) KRATNOSTI k (XIII , S. 198), T. E. RAZLOVENIE tEJLORA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI a IMEET WID f (z) = ck (z ; a)k + ck+1(z ; a)k+1 + (c ck 6= 0), A TAK KAK f 0(z) = kck (z ; a)k;1 + (k +1)ck+1(z ; a)k + , DLQ ^ASTNOGO 0 f (z) = kck +(k+1)ck+1 (z ;a)+ f (z) (z ;a)ck +ck+1 (z ;a)+ ]
z = a QWLQETSQ POL@SOM 1-GO PORQDKA S WY^ETOM f 0 (z) = lim kck +(k+1)ck+1 (z ;a)+ (z ; a) = k. res z!a (z ;a)ck +ck+1 (z ;a)+ ] z=a f (z) pUSTX TEPERX z = b | POL@S FUNKCII w = f (z) PORQDKA n (XIV, c. 218), T. E. RAZLOVENIE lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI b IMEET WID f (z) = (zc;;bn)n + (zc;;bn)+1n;1 + (c c;n 6= 0),
277
TAK ^TO
(;n+1) c;n+1 n f 0(z) = (z;;nc b)n+1 + (z ;b)n + , A PO\TOMU DLQ ^ASTNOGO f 0 (z) = ;nc;n+(;n+1) c;n+1 (z ;b)+ f (z) (z ;b)c;n +c;n+1(z ;b)+ ] z = b QWLQETSQ POL@SOM 1- GO PORQDKA S WY^ETOM f 0 (z) = lim ;nc;n+(;n+1) c;n+1 (z ;b)+ (z ; b) = ;n. res z=b f (z) z!b (z ;b)c;n +c;n+1(z ;b)+ ] 0
|TIM USTANOWLENO, ^TO WY^ET FUNKCII w = ff ((zz)) W NULE FUNKCII w = f (z) RAWEN KRATNOSTI \TOGO NULQ , A W POL@SE FUNKCII w = f (z) | WZQTOMU SO ZNAKOM \MINUS" PORQDKU \TOGO POL@SA . pRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH (XV, c. 233) POZWOLQET PO\TOMU UTWERVDATX: ESLI z1 : : : zm | OB]IJ SPISOK NULEJ I POL@SOW FUNKCII w = f (z) W OBLASTI D , TO DLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO KUSO^NO -GLADKOGO KONTURA ; D BEZ SAMOPERESE^ENIJ , KOTORYJ NE PROHODIT ^EREZ TO^KI z1 : : : zm I OBHODIT WNUTRENN@@ PO OTNOENI@ K NEMU OBLASTX int; W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII1, WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ 1 H f 0 (z) dz = P res f 0 (z) = N f int; ; Pf int; . 2i f (z) z=zj f (z) z 2 int; j ; H 0 s DRUGOJ STORONY, PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W 21i ff ((zz)) dz ; W OBLASTI D0 = D r fz1 : : : zmg (KAK I WYE, z1 : : : zm | OB]IJ SPISOK NULEJ I POL@SOW FUNKCII w = f (z) W OBLASTI D ) IMEET \MNOGOZNA^NU@ PERWOOBRAZNU@" w =Ln f (z) (VIII , S. 135): W OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI OBLASTI; D0 OPREDELENA 0 ODNOZNA^NAQ WETWX w =ln f (z) S PROIZWODNOJ ln f (z) 0 = ff ((zz)) . 1
|TO OZNA^AET, ^TO ind(; z ) = 1 DLQ TO^EK z 2 int; (IX, c. 144).
278
~TOBY W \TOM UBEDITXSQ, DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO L@BAQ TO^KA 2 D0 IMEET OKRESTNOSTX , WO WSEH TO^KAH z KOTOROJ jf (z) ; f ()j < jf ()j, I W KOTOROJ PO\TOMU OPREDELENA ODNOZNA^NAQ WETWX ' = arg f (z), A SLEDOWATELXNO, I ODNOZNA^NAQ WETWX w =ln f (z) = ln jf (z)j + i arg f (z). pRIMENENIE (K UVE WY^ISLENNOMU S POMO]X@ WY^ETOW INTEGRALU) FORMULY nX@TONA { lEJBNICA | PUTEM RAZDELENIQ KONTURA ; NA U^ASTKI, CELIKOM POPADA@]IE W OBLASTI OPREDELENIQ ODNOZNA^NYH WETWEJ w =ln f (z), | DAET: H 0 Nf int; ; Pf int; = 21i ff ((zz)) dz = 21i M Ln f (z) = ; ; 1 = 2i M ln f (z) + iArg f (z) ; = 21 MArg f (z);
j j
M ln jf (z)j; = 0, TAK KAK KONTUR ; ZAMKNUT . Q.E.D. wOT WAVNOE SLEDSTWIE PRINCIPA ARGUMENTA. tEOREMA rUE.1 pUSTX ; | ZAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR, NE WYHODQ]IJ ZA PREDELY ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C , W KOTOROJ FUNKCII w = '(z) I w = (z) QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI I IME@T NE BOLEE KONE^NOGO ^ISLA NULEJ . tOGDA ESLI NA \TOM KONTURE WYPOLNENO NERAWENSTWO j'(z);(z)j < j(z)j, TO WNUTRI \TOGO KONTURA FUNKCII w = '(z) I w = (z) IME@T ODINAKOWOE ^ISLO NULEJ 2.
;
fRANCUZSKIJ MATEMATIK rUE (Rouche, Eug*ene, 1832{1910) USTANOWIL \TU TEOREMU W 1861 G. OPUBLIKOWANA W Journal de l'E cole Imperiale Polytechnique ZA 1862 G. (t. 22, p. 217{218). 2 kAVDYJ NULX S^ITAETSQ STOLXKO RAZ, KAKOWA EGO KRATNOSTX . rAZUMEETSQ, PRAWU@ ^ASTX NERAWENSTWA j'(z); (z)j < j (z)j W USLOWII TEOREMY MOVNO ZAMENITX NA j'(z)j . iZWESTNY RAZLI^NYE PEREFORMULIROWKI I OBOB]ENIQ \TOJ TEOREMY W ^ASTNOSTI, UPOMQNUTOE NERAWENSTWO W EE USLOWII DOPUSKAET ZAMENU NA j'(z) ; (z)j < j'(z)j + j (z)j (T.Estermann. 1
Complex numbers and functions. London, 1962, p. 156).
279
dOKAZATELXSTWO. wWIDU WYPOLNENIQ W TO^KAH KONTURA ; NERAWENSTWA j'(z) ; (z)j < j(z)j \TOT KONTUR NE PROHODIT ^EREZ NULI FUNKCIJ w = '(z) I w = (x), A TAK KAK U \TIH FUNKCIJ NET OSOBYH TO^EK W OBLASTI D , PRINCIP ARGUMENTA POZWOLQET SDELATX WYWOD: KOLI^ESTWA N' int; I N int; NULEJ , KOTORYE IME@T FUNKCII w = '(z) I w = (z) WNUTRI KONTURA ;, SOWPADA@T S KOLI^ESTWAMI OBOROTOW WEKTOROW '(z) I (z) PRI OBHODE TO^KOJ z \TOGO KONTURA. oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO (OPQTX VE W SILU USLOWIQ j'(z);(z)j < j(z)j) UGOL MEVDU WEKTORAMI '(z) I (z) PRI PEREME]ENII TO^KI WDOLX KONTURA ; OSTAETSQ OSTRYM (RIS. 102), A POTOMU RAZNOSTX MEVDU KOLI^ESTWAMI OBOROTOW , SOWERENNYH \TIMI WEKTORAMI PO ZAWERENI@ OBHODA TO^KOJ z KONTURA ; RAWNA NUL@ . Q.E.D.
rIS. 102
tEOREMA rUE DAET ODIN IZ SPOSOBOW DOKAZATELXSTWA TEOREMY O SU]ESTWOWANII KORNEJ MNOGO^LENOW (XIII , c. 197) I DAVE W BOLEE SILXNOJ FORMULIROWKE: l@BOJ MNOGO^LEN STEPENI n > 1 IMEET W PLOSKOSTI C ROWNO n KORNEJ .
280
dOKAZATELXSTWO. pUSTX p(z) | MNOGO^LEN STEPENI n S KOp (z);a0 z n n \FFICIENTOM a0 PRI z . tAK KAK zlim !1 a0zn = 0, NA L@BOJ OKRUVNOSTI S CENTROM 0 DOSTATO^NO BOLXOGO RADIUSA WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO ja0zn ; p(z)j < ja0zn j, A POTOMU SOGLASNO TEOREME rUE (WZQW W NEJ '(z) = p(z) (z) = a0zn ) MOVNO UTWERVDATX, ^TO WNUTRI L@BOJ TAKOJ OKRUVNOSTI MNOGO^LEN p(z) IMEET STOLXKO VE NULEJ (ILI KORNEJ ), SKOLXKO IH IMEET ODNO^LEN a0 zn , T. E. ROWNO n (DLQ NEGO NA^ALo KOORDINAT QWLQETSQ n-KRATNYM NULEM). Q.E.D. sLEDU@]IE PRIMERY POKAZYWA@T, KAK, ISPOLXZUQ PRINCIP ARGUMENTA I TEOREMU rUE , POLU^ATX INFORMACI@ NE TOLXKO O KOLI^ESTWE , NO I O RASPOLOVENII NULEJ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ (PREVDE WSEGO MNOGO^LENOW ). 1. nAJTI ^ISLO KORNEJ URAWNENIQ z 4 + z 3 ; 4z + 1 = 0 W KOLXCE fz 2 C : 1 < jzj < 2g. dOSTATO^NO PRIMENITX TEOREMU rUE , WZQW W KA^ESTWE KONTURA ; WNA^ALE OKRUVNOSTX RADIUSA 1, A ZATEM OKRUVNOSTX RADIUSA 2 (OBE S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT), A W KA^ESTWE FUNKCIJ | SOOTWETSTWENNO ( ( '(z) = z4 + z3 ; 4z + 1 I '(z) = z4 + z3 ; 4z + 1 (z) = ;4z (z) = z4 + 1: nA PERWOJ OKRUVNOSTI j'(z) ; (z)j = jz4 + z3 + 1j 6 3, a j(z)j = j; 4zj = 4, POTOMU WNUTRI NEE LEVIT STOLXKO VE KORNEJ DANNOGO URAWNENIQ, SKOLXKO IH IMEET URAWNENIE ;4z = 0, T. E. ODIN . pOLU^ITX SOOTWETSTWU@]IE OCENKI NA WTOROJ OKRUVNOSTI (PRI jzj = 2) NE STOLX PROSTO. rASSUVDATX MOVNO, NAPRIMER, TAK. dLQ TO^EK z c jzj =2 WNE DUG , OPREDELQEMYH NERAWENSTWAMI + k 6 arg z 6 3 + k k 2 Z (RIS. 103, a), 8 2 8 2
281
rIS. 103
j(z)j = jz4 + 1j > jz4j = 16 (UGOL MEVDU WEKTORAMI z4 I 1 OSTRYJ RIS. 103, B ), PRI \TOM j'(z) ; (z)j = jz3 ; 4zj 6 16. dLQ TO^EK VE z Na UKAZANNYH DUGAH j(z)j = jz4+ 1j > 15, TOGDA KAK j'(z);(z)j = jz(z2; 4)j 6 2 8 sin 38 < 15, POSKOLXKU 2 UGOL MEVDU WEKTORAMI z I 4 (OBA DLINY 4) MENXE , ^EM 3 (RIS. 104). 4
rIS. 104
pRIMENENIE TEOREMY rUE DAET: WNUTRI WTOROJ OKRUVNOSTI URAWNENIQ z4+ z3; 4z +1 = 0 I z4+1 = 0 IME@T RAWNOE
282
^ISLO KORNEJ, T. E. ^ETYRE . tAK KAK NA SAMIH OKRUVNOSTQH KORNEJ NET , SLEDUET OTWET: ISKOMOE ^ISLO RAWNO 3. 2. sKOLXKO KORNEJ IMEET W KAVDOM KOORDINATNOM UGLE URAWNENIE 2z4 ; 3z3 + 3z2 ; z + 1 = 0? oTWET: W KAVDOM KOORDINATNOM UGLE LEVIT PO ODNOMU KORN@ DANNOGO URAWNENIQ. |TO WYTEKAET IZ SLEDU@]IH RASSUVDENIJ. nA DEJSTWITELXNOJ OSI LEWAQ ^ASTX URAWNENIQ IMEET LIX POLOVITELXNYE ZNA^ENIQ: ESLI z = x x 2 R , TO 2z4 ;83z3 + 3z2 ; z +1 = 4 2 > DLQ 0 6 x 6 1 <(2x ; x +1)+3x (;x +1) > 0 = >x2(2x2 ; 3x +2)+(x2 ; x +1) > 0 DLQ 1 <x< +1 : 4 (2x + 3x2 +1) ; 3x(x2 +1) > 0 DLQ x< 0: nA LEVA]EJ W PERWOM KOORDINATNOM UGLE DUGE OKRUV i' NOSTI RADIUSA r S CENTROM 0, T. E. DLQ z = re 0 6 '6 2 , 2z4 ; 3z3 + 3z2 ; z + 1 = 2z4 1 ; 23z + 23z2 ; 21z3 + 21z4 = ; = 2r4ei4' 1+ o(1) PRI r ! +1, W SILU ^EGO PRI OBHODE UKAZANNOJ DUGI W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII ARGUMENT WELI^INY 2z4 ; 3z3 + 3z2 ; z + 1 POLU^AET PRIRA]ENIE 1 2 + o(1) PRI r ! +1. nA MNIMOJ OSI | DLQ z = iy, y 2 R , | WELI^INA 2z4 ; 3z3 + 3z2 ; z + 1 = (2y2 ; 1)(y2 ; 1) + iy(3y2 ; 1) SOHRANQET ZNAKI DEJSTWITELXNOJ I MNIMOJ ^ASTEJ W PROMEVUTKAH MEVDU TO^KAMI y =0 pi3 , pi2 , 1. iZ \TIH NABL@DENIJ SLEDUET WYWOD: PRI OBHODE TO^KOJ z ZAMKNUTOGO KONTURA ;r , IZOBRAVENNOGO NA RIS. 105, A, HOD IZMENENIQ WELI^INY 2z4 ; 3z3 + 3z2 ; z + 1 SHEMATI^ESKI WYRAVAET LINIQ, PREDSTAWLENNAQ NA RIS. 105, B . 1
PAWNOE SUMME PRIRA]ENIJ ARGUMENTOW WELI^IN ei' I 1+ o(1).
283
rIS. 105
aNALIZ \TOJ LINII I PRINCIP ARGUMENTA POZWOLQ@T ZAKL@^ITX: CELAQ FUNKCIQ w = 2z4 ; 3z3 + 3z2 ; z + 1 IMEET WNUTRI KONTURA ;r (ESLI ZNA^ENIE r DOSTATO^NO WELIKO) ROWNO ODIN NULX, INA^E GOWORQ, ^ISLO KORNEJ URAWNENIQ 2z4; 3z3+3z2; z +1 = 0 W PERWOM KOORDINATNOM UGLE RAWNO EDINICE . tAK KAK 2z4 ; 3z3 + 3z2 ; z + 1 = 0 () 2 z 4 ; 3 z 3 + 3 z 2 ; z + 1 = 0, ^ISLO, KOMPLEKSNO-SOPRQVENNOE L@BOMU KORN@ \TOGO URAWNENIQ, TAKVE QWLQETSQ EGO KORNEM , A SLEDOWATELXNO, ROWNO ODIN KORENX \TOGO URAWNENIQ ESTX I W ^ETWERTOM KOORDINATNOM UGLE . oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO WSEGO KORNEJ U DANNOGO URAWNENIQ ^ETYRE , PRI^EM NA DEJSTWITELXNOJ OSI IH NET . 3. dOKAZATX, ^TO KAKOWO BY NI BYLO ^ISLO r> 0, SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO2 n0, ^TO PRI n > n0 KAVDYJ KORENX MNOGOn z z z ^LENA 1 + 1! + 2! + + n! PO MODUL@ BOLXE r. +P 1rn SHOpUSTX r > 0 I "r = min j exp z j . pOSKOLXKU RQD jzj=r k=0n! DITSQ I SUMMA EGO RAWNA exp r , SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO n0 ,
284
+P 1 rk
<"r , ^TO DLQ WSEH n > n0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO k ! k=n+1 A SLEDOWATELXNO, I SOOTNOENIQ n +1 P zn P zk ; exp z = k=n+1k! <"r 6 j exp zj jzj 6 r. k=0 n! pRIMENENIE TEOREMY rUE DAET: PRI n > n0 MNOGO^LEN n zn P IMEET WNUTRI OKRUVNOSTI z 2 C : j z j = r STOLXKO k=0 n! VE NULEJ , SKOLXKO IH IMEET exp z , T. E. NI ODNOGO .
uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO UTWERVDENIE TEOREMY rUE OSTAETSQ W SILE PRI ZAMENE W EE USLOWII NERAWENSTWA j'(z) ; (z)j < j (z)j NA j'(z) ; (z)j < j'(z)j + j (z)j (SNOSKA 2 NA S. 278). 2 4 2n 2. pUSTX n | ^ISLO KORNEJ MNOGO^LENA 1+ z3! + z5! + + (2nz +1)! W KRUGE z 2 C : jz j < 100 . nAJTI lim n .
285
kAKIE OB]IE PRINCIPY SWOJSTWENNY OTOBRAVENIQM ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI
XVIII .
nAGLQDNO PREDSTAWLQQ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z) KAK OTOBRAVENIQ | WOOBRAVAEMYE SOOTNESENIQ (SOPOSTAWLENIQ ) TO^KAM z ODNOGO \KZEMPLQRA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI (PLOSKOSTI C = C z PEREMENNOJ z) TO^EK w = f (z) DRUGOGO EE \KZEMPLQRA (PLOSKOSTI C = C w PEREMENNOJ w RIS. 106), PRINIMA@T SLEDU@]U@ TERMINOLOGI@ (I OBOZNA^ENIQ).
rIS. 106
zNA^ENIE FUNKCII w = f (z) W TO^KE z 2 C ESTX OBRAZ \TOJ TO^KI PRI OTOBRAVENII DANNOJ FUNKCIEJ. mNOVESTWO ZNA^ENIJ FUNKCII w = f (z), KOGDA z PROBEGAET TO ILI INOE MNOVESTWO E C (DOPUSTIMYH ZNA^ENIJ \TOJ FUNKCII), ESTX OBRAZ \TOGO MNOVESTWA, OBOZNA^AEMYJ f (E): def f (E) = w 2 C : 9z (z 2 E ^ f (z)= w GOWORQT PRI \TOM, ^TO FUNKCIQ w = f (z) OTOBRAVAET MNOVESTWO E NA MNOVESTWO f (E) (KAK NA RIS. 106).
286
fUNKCI@ w = f (z) NAZYWA@T ODNOLISTNOJ NA MNOVESTWE E , ESLI ONA OTOBRAVAET MNOVESTWO E NA EGO OBRAZ f (E ) WZAIMNO - ODNOZNA^No , T. E. RAZNYM TO^KAM MNOVESTWA E SOOTWETSTWU@T RAZNYE TO^KI MNOVESTWA f (E): 8z 8 ;z 2 E ^ 2 E ^ z 6= =) f (z) 6= f (). pOMIMO SWOJSTWA KONFORMNOSTI | W TEH TO^KAH z , GDE f 0(z) 6= 0 (V, c. 81), | OTOBRAVENIQM , OSU]ESTWLQEMYM ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI w = f (z), PRISU]I I DRUGIE OB]IE SWOJSTWA, ILI, KAK PRINQTO GOWORITX, PRINCIPY. pRINCIP SOHRANENIQ OBLASTI. fUNKCIQ w = f (z), ANALITI^ESKAQ I NE QWLQ@]AQSQ POSTOQNNOJ W OBLASTI G C , OTOBRAVAET \TU OBLASTX NA OBLASTX .1 dOKAZATELXSTWO. tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO OBRAZ f (G) OBLASTI G ESTX OTKRYTOE MNOVESTWO I OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO DLQ L@BYH DWUH TO^EK w1 w2 2 f (G) W MNOVESTWE f (G) SU]ESTWUET SOEDINQ@]IJ IH PUTX (VII, c. 107). dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO f (G) OTKRYTO , ZNA^IT DOKAZATX, ^TO KAVDAQ EGO TO^KA QWLQETSQ WNUTRENNEJ , T. E. OBLADAET OKRESTNOSTX@ , PRINADLEVA]EJ \TOMU MNOVESTWU. pUSTX w0 | KAKAQ-LIBO TO^KA MNOVESTWA f (G), T. E. w0 = f (z0) DLQ NEKOTOROGO z0 2 G. w \TOM SLU^AE TO^KA z0 QWLQETSQ NULEM FUNKCII w = f (z) ; w0 , PRI^EM | WWIDU NEPOSTOQNSTWA \TOJ FUNKCII | EE IZOLIROWANNYM NULEM . |TO OZNA^AET (XIII , c. 200), ^TO SU]ESTWUET OKRESTNOSTX TO^KI z0 | KRUG K G S CENTROM z0 , GDE NET DRUGIH NULEJ FUNKCII w = f (z) ; w0. mOVNO UTWERVDATX PO\TOMU, ^TO ESLI C | OKRUVNOSTX S CENTROM z0 , SODERVA]AQSQ W KRUGE K (RIS. 107), TO ^ISLO = zinf 2C jf (z) ; w0j POLOVITELXNO . oBRAZ OBLASTI PRI OTOBRAVENII POSTOQNNOJ FUNKCIEJ SOSTOIT IZ ODNOJ TO^KI I POTOMU OBLASTX@ NE QWLQETSQ. 1
287
rIS. 107
dLQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO w0 | WNUTRENNQQ TO^KA MNOVESTWA f (G), DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO KRUG w 2 C : jw ; w0j < (ZATRIHOWAN NA RIS. 107) SODERVITSQ W OBRAZE KRUGA K | MNOVESTWe f (K) f (G). dOKAZYWAQ \TO \OT PROTIWNOGO", SLEDUET PREDPOLOVITX SU]ESTWOWANIE TO^KI we c jwe ; w0 j <, NE QWLQ@]EJSQ OBRAZOM NI ODNOJ IZ TO^EK KRUGA K . |TO PREDPOLOVENIE SRAZU VE PRIWODIT K PROTIWORE^I@ S TEOREMOJ rUE : ESLI W EE FORMULIROWKE (XVII , c. 278) WZQTX '(z) = f (z) ; we, (z) = f (z) ; w0 , A W KA^ESTWE ODNOSWQZNOJ OBLASTI D I ZAMKNUTOGO KONTURA ; | KRUG K I OKRUVNOSTX C , TO, TAK KAK NA OKRUVNOSTI C j(f (z); we) ; (f (z);w0)j = jwe ;w0j < 6 jf (z); w0j, FUNKCIQ w = f (z) ; we IMEET WNUTRI OKRUVNOSTI C STOLXKO VE NULEJ , SKOLXKO IH IMEET FUNKCIQ w = f (z) ; w0, T. E. PO KRAJNEJ MERE ODIN (POSKOLXKU f (z0)= w0). pUSTX TEPERX w1 w2 | L@BYE DWE TO^KI MNOVESTWA f (G), T. E. w1 = f (z1) w2 = f (z2) DLQ NEKOTORYH TO^EK z1 z2 2 G. tAK KAK G | OBLASTX , W NEJ SU]ESTWUET SOEDINQ@]IJ \TI TO^KI PUTX | NEPRERYWNAQ NA NEKOTOROM OTREZKE a b] 2 R FUNKCIQ z = z(t) SO SWOJSTWAMI: z(a) = z1 z(b) = z2 , z(t) 2 G
288
PRI a
pRINCIP MAKSIMUMA MODULQ eSLI w = f (z) | NEPO-
STOQNNAQ ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ W OBLASTI G C , TO WELI^INA jf (z)j; NE DOSTIGAET MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ W \TOJ OBLASTI : 8z0 z0 2 G =) jf (z0)j < supjf (z)j . z2G .
rIS. 108
dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVENIE, ^TO supjf (z)j = jf (z0)j z 2G DLQ NEKOTOROJ TO^KI z0 2 G PRIWODIT K PROTIWORE^I@ S PRINCIPOM SOHRANENIQ OBLASTI: TAK KAK OBRAZ f (G) OBLASTI G ESTX OBLASTX , L@BAQ EGO TO^KA,W ^ASTNOSTI f (z0), QWLQeTSQ WNUTRENNEJ , T. E. MNOVESTWO f (G) SODERVIT NEKOTORYJ KRUG S CENTROM f (z0) (RIS. 108), A POTOMU SREDI TO^EK f (z) 2 f (G) ESTX BOLEE UDALENNYE OT NA^ALA KOORDINAT , ^EM f (z0), TAK ^TO jf (z0)j < supjf (z)j. Q.E.D. z 2G
289
pRINCIP LOKALXNOJ ODNOLISTNOSTI. pUSTX z0 | L@BAQ TO^KA OBLASTI G C , W KOTOROJ FUNKCIQ w = f (z), f (z) 6 const, QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ . tOGDA: ESLI f 0(z0) 6= 0, TO W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 FUNKCIQ w = f (z) OKAZYWAETSQ ODNOLISTNOJ : W RAZNYH TO^KAH \TOJ OKRESTNOSTI ONA PRINIMAET RAZNYE ZNA^ENIQ ESLI VE f 0(z0) = 0, TO NI W KAKOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 FUNKCIQ w = f (z) ODNOLISTNOJ NE QWLQETSQ, A IMENNO : ESLI f 0(z0) = = f (k;1) (z0) = 0, NO f (k) (z0) 6= 0, TO W L@BOJ DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 FUNKCIQ w = f (z) PRINIMAET KAVDOE SWOE ZNA^ENIE ROWNO k RAZ. dOKAZATELXSTWO. pUSTX z0 | L@BAQ TO^KA OBLASTI G I f (z0) = w0 , T. E. z0 ESTX NULX FUNKCII w = f (z) ; w0 , PRI^EM (POSKOLXKU f (z) 6 const) IZOLIROWANNYJ (XIII , c. 200). sU]ESTWUET PO\TOMU KRUG K c CENTROM z0 2 G, NE SODERVA]IJ OTLI^NYH OT z0 NULEJ FUNKCII w = f (z) ; w0 BOLEE TOGO, KAK PRI f 0(z0) 6= 0, TAK I PRI f 0(z0) = 0, MOVNO S^ITATX, ^TO f 0(z) 6= 0 W KAVDOJ OTLI^NOJ OT z0 TO^KE z \TOGO KRUGA 1.
rIS. 109 eSLI f 0 (z0) 6= 0, TO (W SILU NEPRERYWNOSTI PROIZWODNOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII) f 0 (z) 6= 0 W OKRESTNOSTI TO^KI z0 , ESLI VE f 0 (z0)=0, TO (TAK KAK f (z) 6 0) z0 ESTX IZOLIROWANNYJ NULX FUNKCII w = f 0 (z). 1
290
dALEE, PUSTX Ce | KAKAQ-LIBO OKRUVNOSTX S CENTROM z0 , PRINADLEVA]AQ KRUGU K , a C | KONCENTRI^ESKAQ OKRUVNOSTX MENXEGO RADIUSA (RIS. 109), NA KOTOROJ (POSKOLXKU f (z) ; w0 6= 0 W KRUGE K ) zinf 2Cjf (z) ; w0j = > 0. kAKOWO BY NI BYLO ZNA^ENIE we c jwe ; w0 j <, WZQW W KA^ESTWE ODNOSWQZNOJ OBLASTI D I KONTURA ; SOOTWETSTWENNO WNUTRENNOSTX OKRUVNOSTI Ce I OKRUVNOSTX C , K FUNKCIQM w = f (z);we I w = f (z);w0 MOVNO PRIMENITX TEOREMU rUE 1 : TAK KAK NA OKRUVNOSTI C j(f (z); we) ; (f (z);w0)j = jwe ;w0j < 6 jf (z); w0j, WNUTRI \TOJ OKRUVNOSTI FUNKCIQ w = f (z);we IMEET STOLXKO VE NULEJ , SKOLXKO IH U FUNKCII w = f (z) ; w0, A IMENNO: ROWNO ODIN , ESLI f 0(z0) 6= 0, TAK KAK EDINSTWENNYJ NULX z0 FUNKCII w = f (z) ; w0 QWLQETSQ PROSTYM ROWNO k , ESLI f 0(z0) = = f (k;1) (z0) = 0, a f (k) (z0) 6= 0, TAK KAK EDINSTWENNYJ NULX z0 FUNKCII w = f (z) ; w0 W \TOM SLU^AE IMEET KRATNOSTX k , A KAVDYJ NULX FUNKCII w = f (z);we QWLQETSQ PROSTYM ( f 0(z) 6= 0 DLQ z 2 K z 6= z0 ). w \KWIWALENTNOJ PEREFORMULIROWKE \TO OZNA^AET, ^TO WNUTRI OKRUVNOSTI C FUNKCIQ w = f (z) PRINIMAET KAVDOE SWOE ZNA^ENIE ROWNO ODIN RAZ (QWLQETSQ ODNOLISTNOJ ), ESLI f 0(z0) 6= 0, I ROWNO k RAZ (W k RAZLI^NYH TO^KAH WNUTRENNOSTI OKRUVNOSTI C ), ESLI f 0(z0) = = f (k;1) (z0) = 0, a f (k) (z0) 6= 0. Q.E.D. zAME^ANIE. pRIMER FUNKCII w = exp z (S exp0z 6= 0 W PLOSKOSTI C ) POKAZYWAET, ^TO USLOWIE f 0(z) 6= 0 OBESPE^IWAET LIX LOKALXNU@ (NO NE GLOBALXNU@ ) ODNOLISTNOSTX CLEDUET OTMETITX, ^TO FUNKCIQ w = f (z);we MOVET IMETX WNUTRI OKRUVNOSTI Ce LIX KONE^NOE ^ISLO NULEJ : W PROTIWNOM SLU^AE \TI NULI IMELI BY PREDELXNU@ TO^KU (WNUTRI ILI NA OKRUVNOSTI Ce ), OKAZYWA@]U@SQ DLQ \TOJ FUNKCII NEIZOLIROWANNYM NULEM . 1
291
ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) | NE NA WSEM MNOVESTWE , GDE \TO USLOWIE WYPOLNQETSQ, A TOLXKO W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI KAVDOJ EGO TO^KI. iMENNO, WWIDU 2i-PERIODI^NOSTI FUNKCII w =exp z ONA NE QWLQETSQ ODNOLISTNOJ W PLOSKOSTI C (I POTOMU OBRATNOJ K NEJ QWLQETSQ \MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ" z =Ln w ). w OKRESTNOSTI VE L@BOJ TO^KI z0 2 C FUNKCIQ w =exp z ODNOLISTNA I POTOMU DLQ NEE W OKRESTNOSTI TO^KI w0 = exp z0 SU]ESTWUET OBRATNAQ z = ln w | ODNOZNA^NAQ WETWX MNOGOZNA^NOJ FUNKCII z =Ln w . pRINCIP SOOTWETSTWIQ GRANIC. pUSTX ; | ZAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR, RASPOLOVENNYJ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C , W KOTOROJ FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ . tOGDA ESLI \TA FUNKCIQ WZAIMNO - ODNOZNA^NO OTOBRAVAET KONTUR ; NA ZAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NOGLADKIJ KONTUR ;e c cOHRANENIEM NAPRAWLENIQ OBHODA 1, TO ONA OTOBRAVAET | WZAIMNO-ODNOZNA^NO I KONFORMNO | WNUTRENNOSTX int; KONTURA ; NA WNUTRENNOSTX int ;e KONTURA ;e.
rIS. 110 |TO OZNA^AET, ^TO POLOVITELXNOMU OBHODU (TO^KOJ z ) KONTURA ; e SOOTWETSTWUET POLOVITELXNYJ OBHOD (TO^KOJ f (z)) KONTURA ;. 1
292
dOKAZATELXSTWO. tAK KAK FUNKCIQ w = f (z) WZAIMNO - ODe ONA NE PRININOZNA^NO OTOBRAVAET KONTUR ; NA KONTUR ;, e MAET W OBLASTI int; ZNA^ENIJ w , LEVA]IH NA KONTURE ;. e dLQ PROIZWOLXNO WZQTOGO VE ZNA^ENIQ we 2 int ; PRIMENENIE K FUNKCII w = f (z) ; we W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D PRINCIPA ARGUMENTA (XVII , c. 275) POZWOLQET ZAKL@^ITX: TAK KAK PRI OBHODE (TO^KOJ z ) KONTURA ; WEKTOR f (z) ; we SOWERAET ROWNO ODIN OBOROT (RIS. 110), FUNKCIQ w = f (z);we IMEET WNUTRI KONTURA ; ROWNO ODIN NULX. pO TEM VE SOOBRAVENIQM DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ wb 2 ext ;e FUNKCIQ w = f (z);wb NE IMEET NULEJ WNUTRI KONTURA ;. |TO OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ w = f (z) PRINIMAET W OBe I KAVDOE IZ \TIH LASTI int; TOLXKO ZNA^ENIQ we 2 int ;, ZNA^ENIJ PRINIMAET W EDINSTWENNOJ TO^KE ze 2 int; GOWORQ DRUGIMI SLOWAMI, FUNKCIQ w = f (z) WZAIMNO - ODNOZNA^NO e OTOBRAVAET OBLASTX int; NA OBLASTX int ;. dLQ DOKAZATELXSTWA KONFORMNOSTI \TOGO OTOBRAVENIQ DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO f 0(z) 6= 0 W L@BOJ TO^KE OBLASTI int;. nO \TO NAPRQMU@ WYTEKAET IZ PRINCIPA LOKALXNOJ ODNOLISTNOSTI: ESLI BY W KAKOJ-TO TO^KE z0 2 int; WYPOLNQLOSX RAWENSTWO f 0(z0) = 0, TO W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI OTOBRAVENIE w = f (z) NE BYLO BY WZAIMNO - ODNOZNA^NYM (S. 289). Q.E.D. pRINCIP NEPRERYWNOGO PRODOLVENIQ. pUSTX IZ_QTIEM IZ OBLASTI D C OTKRYTOGO 1 PRQMOLINEJNOGO PROMEVUTKA L D ONA RAZDELQETSQ NA DWE OBLASTI G1 I G2 (RIS. 111, a), W KOTORYH ZADANY ANALITI^ESKIE FUNKCII | SOOTWETSTWENNO, w = f1(z) I w = f2(z), | QWLQ@]IESQ NEPRERYWNYMI WPLOTX DO PROMEVUTKA L I SOWPADA@]IE W EGO 1
t. E. BEZ WKL@^ENIQ W NEGO KONCEWYH TO^EK .
293
TO^KAH .1 tOGDA FUNKCIQ w = f (z), GDE 8 > f1(z) ESLI z 2 G1 < def f (z) = > f2(z) ESLI z 2 G2 : f1(z)= f2 (z) ESLI z 2 L OAZYWAETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D (GOWORQT PRI \TOM, ^TO FUNKCII w = f1(z) I w = f2(z) SLUVAT ANALITI^ESKIMI PRODOLVENIQMI DRUG DRUGA ^EREZ PROMEVUTOK L).
rIS. 111
dOKAZATELXSTWO. dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KE z 2 L. pUSTX K | KRUG S CENTROM z 2 L NASTOLXKO MALOGO RADIUSA, ^TO ON SODERVITSQ W OBLASTI D , RAZDELQQSX PROMEVUTKOM L NA DWA POLUKRUGA (RIS. 111, B ). tAK KAK IZ OPREDELENIQ FUNKCII w = f (z) SLEDUET EE NEPRERYWNOSTX W OBLASTI D (I, W ^ASTNOSTI, W KRUGE K ), 1
t. E. zlim f (z) = f1 () = f2 () = zlim f (z) DLQ WSEH TO^EK 2 L. ! 1 ! 2 z2G1 L
z2G2 L
294
DLQ DOKAZATELXSTWA EE ANALITI^NOSTI W KRUGE K DOSTATO^NO W SILU TEOREMY mORERY (XI , c. 173) USTANOWITX, ^TO H f (z) dz = 0 DLQ L@BOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ P K (RIS. 112, P a). sOGLASNO LEMME OB INTEGRALAH PO ZAMKNUTYM LOMANYM (X , c.H 157) DLQ \TOGO, W SWO@ O^EREDX, DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO f (z) dz = 0 DLQ L@BOGO TREUGOLXNIKA T K . T
rIS. 112
oSU]ESTWITX \TU PROWERKU POZWOLQET TEOREMA kOI OB INTEGRALE PO GRANICE ZWEZDNOJ OBLASTI (X , c. 162), PRIMENENNAQ (W ZAWISIMOSTI OT POLOVENIQ TREUGOLXNIKA T PO OTNOENI@ K PROMEVUTKU L) K ODNOJ ILI DWUM ZWEZDNYM OBLASTQM : LIBO WNUTRENNEJ ^ASTI TREUGOLXNIKA T , ESLI ON LEVIT PO ODNU STORONU OT PROMEVUTKA L, LIBO WNUTRENNIM ^ASTQM TREUGOLXNIKA I WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKa (ILI DWUH TREUGOLXNIKOW ), OBRAZU@]IMSQ W SLU^AE PERESE^ENIQ TREUGOLXNIKA T PROMEVUTKOM L (RIS. 112, B). sLEDUET LIX ZAMETITX, ^TO W KAVDOJ IZ \TIH ZWEZDNYH OBLASTEJ FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ , A NA OGRANI^IWA@]EM EE KONTURE | NEPRERYWNOJ . Q.E.D.
295
pRINCIP SIMMETRII 1 pUSTX OBLASTX G C RASPOLO-
VENA PO ODNU STORONU OT PRQMOJ L, A EE GRANICA @D SODERVIT OTKRYTYJ PROMEVUTOK L \TOJ PRQMOJ. dALEE, PUSTX FUNKCIQ w = f (z), ANALITI^ESKAQ W OBLASTI G, QWLQETSQ NEPRERYWNOJ WPLOTX DO PROMEVUTKA L I OTOBRAVAET EGO NA OTKRYTYJ PROMEVUTOK Le PRQMOJ Le (RIS. 113). tOGDA SO; def OTNOENIE f (z) = f (z) , GDE; z | TO^KA, SIMMETRI^NAQ z OTNOSITELXNO PRQMOJ L, a f (z) | TO^KA, SIMMETRI^NAQ f (z) OTNOSITELXNO PRQMOJ Le, OPREDELQET W SIMMETRI^NOJ G OBLASTI G ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w = f (z), SLUVA]U@ ANALITI^ESKIM PRODOLVENIEM FUNKCII w = f (z) IZ OBLASTI G W OBLASTX G ^EREZ PROMEVUTOK L.2 .
rIS. 113 nAZYWAEMYJ E]E PRINCIPOM SIMMETRII rIMANA { {WARCA {WARC (Schwarz, Hermann Amandus, 1843 -1921) | NEMECKIJ MATEMATIK, U^ENIK I POSLEDOWATELX wEJERTRASSA I rIMANA. 2 pRIWLE^ENIE WSPOMOGATELXNYH DROBNO-LINEJNYH PREOBRAZOWANIJ W PLOSKOSTQH PEREMENNYH z I w POZWOLQET RASPROSTRANITX PRINCIP SIMMETRII NA SLU^AJ OBLASTEJ, SIMMETRI^NYH OTNOSITELXNO OKRUVNOSTEJ , PRI \TOM ROLX PRQMOLINEJNYH PROMEVUTKOW L I Le BUDUT WYPOLNQTX DUGI \TIH OKRUVNOSTEJ . 1
296
dOKAZATELXSTWO. wSPOMOGATELXNYMI LINEJNYMI PREOBRAZOWANIQMI PEREMENNYH z I w (SDWIGOM I POWOROTOM PLOSKOSTEJ C z I C w ) MOVNO DOBITXSQ TOGO, ^TOBY PRQMYE L I Le OKAZYWALISX DEJSTWITELXNYMI OSQMIe \TIH PLOSKOSTEJ. sIMMETRII OTNOSITELXNO PRQMYH L I L SWODQTSQ PRI \TOM K KOMPLEKSNYM SOPRQVENIQM , I, SLEDOWATELXNO, ; def f (z) = f (z) = f (z) DLQ z 2 G (RIS. 114).
rIS. 114
aNALITI^NOSTX FUNKCII w = f (z) W OBLASTI G WYTEKAET IZ SU]ESTWOWANIQ W L@BOJ TO^KE z0 2 G PROIZWODNOJ f (z);f (z0) = lim f (z);f (z0) = (f )0(z0) = zlim !z0 z;z0 z!z0 z ;z0 f (z);f (z0) f (z);f (z0) 0 = zlim !z0 z;z0 = zlim !z0 z;z0 = f (z0). dLQ TO^EK VE 2 L (U^ITYWAQ, ^TO L ESTX PROMEVUTOK DEJSTWITELXNOJ OSI , I FUNKCIQ w = f (z) OTOBRAVAET EGO NA PROMEVUTOK Le DEJSTWITELXNOJ OSI )
297 lim f (z) = zlim f (z) = f () = f () = f (), ! f (z) = zlim ! z 2G L z2G L A \TO OZNA^AET, ^TO ANALITI^ESKAQ W OBLASTI G FUNKCIQ w = f (z) NEPRERYWNA WPLOTX DO PROMEVUTKA L, SOWPADAQ NA NEM S FUNKCIEJ w = f (z). oSTAETSQ PRIMENITX PRINCIP NEPRERYWNOGO PRODOLVENIQ, POLAGAQ W EGO FORMULIROWKE (S. 292) G1 = G G2 = G , f1(z)= f (z) f2 (z8 )= f (z). w SOOTWETSTWII S NIM FUNKCIQ1 > f (z) ESLI z 2 G < w = > f (z) ESLI z 2 G : f (z)= f (z) ESLI z 2 L QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D = G G L, PRI^EM SLEDUET DOBAWITX ; , ^TO OBRAZOM \TOJ OBLASTI OKAZYWAETSQ OBLASTX f (G) f (G) Le . Q.E.D. z ! z2G L
rIS. 115
zAME^ANIe. pRIMER ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = pz | ODNOZNA^NOJ WETWI KWADRATNOGO KORNQ , OPREDELQEMOJ W OBp LASTI G = z 2 C : 0 < arg z < USLOWIEM 0 < arg z < =2,
oDNOZNA^NAQ WWIDU OTSUTSTWIQ U OBLASTEJ G I G OB]IH TO^EK (POSKOLXKU \TI OBLASTI LEVAT PO RAZNYE STORONY OT PRQMOJ L ). 1
298
POKAZYWAET, ^TO ESLI OBLASTI G I G, SIMMETRI^NYE OTNOSITELXNO PRQMOJ L (W DANNOM SLU^AE DEJSTWITELXNOJ OSI ), IME@T OB]IE TO^KI (PRI < 6 2 RIS. 115), TO PRI ANALITI^ESKOM PRODOLVENII \TOJ ODNOZNA^NOJ WETWI W SOOTWETSTWII S PRINCIPOM SIMMETRII (W DANNOM SLU^AE ^EREZ PRQMOLINEJNYJ PROMEVUTOK L = (0 +1)) MOVET WOZNIKNUTX MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ : ;1 2 G \ G , PRI \TOM p p;1= i a p;1 = ;1 = ;i.
oSOBOE MESTO W \TOM PRIMERE ZANIMAET SLU^AJ = 2, KOGDA OBLASTX G = z 2 C : 0 < arg z < 2 I SIMMETRI^NAQ EJ (OTNOSITELXNO DEJSTWITELXNOJ OSI ) OBLASTX G SOWPADA@T , A ROLX OTKRYTOGO PROMEVUTKA L (KAK I PROMEVUTKA Le ) WYPOLNQET LU^ (0 +1) DEJSTWITELXNOJ OSI (RIS. 116). reZULXTATOM PRIMENENIQ K FUNKCII p w = z z2 G,pPRINCIPA SIMMETRII 1 OKAZYWAETSQ DWUHZNA^NAQFUNK p CIQ w = p z ;pz ,OTOBRAVA@]AQ OBLASTX G G L = C r 0 NA OBLASTX G G Le = C r (;1 0].
rIS. 116 nEPRERYWNOSTX \TOJ FUNKCII WPLOTX DO PROMEVUTKA L PONIMAETSQ W DANNOM SLU^AE KAK EE NEPRERYWNOSTX W TO^KAH z 2 L LIBO IZ WERHNEJ , LIBO IZ NIVNEJ POLUPLOSKOSTI , cOOTWETSTWENNO WYBORU DLQ WSEH TO^EK z 2 L ODNOGO IZ DWUH ZNA^ENIJ arg pz : LIBO 0, LIBO (ZDESX WYBRANO ZNA^ENIE 0). 1
299 nAGLQDNO PREDSTAWITX \TU DWUHZNA^NU@ FUNKCI@ KAK ODNOZNA^NU@ POZWOLQET SLEDU@]AQ KONSTRUKCIQ. oBLASTX G = G PREDSTAWLQ@T KAK WTOROJ \KZEMPLQR OBLASTI G, \SKLEENNYJ p" S PERWYM PO PROMEVUTKU L p (NA KOTOROM PREDELXNYE ZNA^ENIQ z I z SOWPADA@T RIS. 117, a). kAVDAQ TO^KA z 2 G G OTME^AETSQ NA OBOIH \KZEMPLQRAH, ILI, KAK GOWORQT, \pLISTAH", PRI^EM TO^KE z pNA PERWOM \LISTE" (z 2 G) OTWE^AET ZNA^ENIE z (DLQ KOTOROGO 0p< arg z<),pA EE \DWOJNIKU" NA WTOROM \LISTE" (z 2 G ) | ZNA^ENIE z (;< arg z< 0 RIS. 117, B ).
rIS. 117
p pOSKOLXKU PREDELXNYE ZNA^ENIQ pz I z SOWPADA@T TAKVE I NA PROTIWOPOLOVNYH STORONAH WERHNEGO I NIVNEGO \LISTOW" (IZOBRAVENNYH \OTOGNUTYMI" SOOTWETSTWENNO WWERH I WNIZ NA RIS. 117, a), PRIMENENIE PRINCIPA NEPRERYWNOSTI PRIWODIT K \SKLEJKE" TAKVE I \TIH STORON | RAZUMEETSQ, WOOBRAVAEMOJ (I TO S TRUDOM, POSKOLXKU NA REALXNOJ MODELI \TO SDELATX NEWOZMOVNO). tAKIE KONSTRUKCII, \SKLEENNYE" IZ NESKOLXKIH (INOGDA BESKONE^NOGO ^ISLA) \LISTOW" | \KZEMPLQROW PLOSKOSTI C ILI EE ^ASTEJ1, | 1 ~ISLO \LISTOW", A TAKVE SPOSOB IH SOEDINENIQ (PUTEM \RAZREZANIJ" I \SKLEIWANIJ") OPREDELQ@TSQ KONKRETNOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCIEJ w = F (z), PRI^EM EE ZNA^ENIQM NA OTDELXNYH \LISTAH" OTWE^A@T RAZLI^NYE ODNOZNA^NYE WETWI w = f (z) \TOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII .
300 POLU^ILI NAZWANIE RIMANOWYH POWERHNOSTEJ | PO IMENI IH IZOBRETATELQ (IV, S. 59{61.) | I DALI IMPULXS RAZWITI@ KAK OTDELXNOJ MATEMATI^ESKOJ NAUKI TOPOLOGII 1 (S EE RAZLI^NYMI SPECIALIZACIQMI), TAK I NOWYH RAZDELOW ANALIZA, W ^ASTNOSTI TEORII FUNKCIJ NA RIMANOWYH POWERHNOSTQH . w RAMKAH VE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI ROLX \TIH KONSTRUKCIJ NE STOLX WELIKA, TAK KAK NA PERWYJ PLAN WYHODIT NE NAGLQDNOE IZOBRAVENIE MNOGOZNA^NOSTI FUNKCII , A PRAKTI^ESKOE WYDELENIE EE ODNOZNA^NYH WETWEJ .
pRIMEROM PRAKTI^ESKOGO PRIMENENIQ PRINCIPA SIMMETRII MOVET SLUVITX REENIE SLEDU@]EJ ZADA^I. nAJTI ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w = f (z), WZAIMNO - ODNOZNA^NO I KONFORMNO OTOBRAVA@]U@ OBLASTX G | PLOSKOSTX C S \RAZREZAMI" PO POLOVITELXNOJ ^ASTI DEJSTWITELXNOJ OSI I OTREZKAM BISSEKTRIS KOORDINATNYH UGLOW MEVDU KORNQMI 4-J STEPENI IZ ;1 (RIS. 118, a) | NA WERHN@@ POLUPLOSKOSTX .
rIS. 118 1
oT GRE^. oo& | MESTO , o o& | SLOWO, S^ET, U^ENIE .
301
rEENIE. pUSTX G1 | PERESE^ENIE DANNOJ OBLASTI G S 1-M KOORDINATNYM UGLOM (RIS. 118, B ). oDNOZNA^NAQ WETWX p 8 4 FUNKCIIp = z +1, OPREDELQEMAQ W OBLASTI G1 USLOWIEM 8 4 0 < arg z +1 < 4 ,OTOBRAVAET EE WZAIMNO - ODNOZNA^NO I KONFORMNO NA UGOL 2 C : 0 < arg < 4 (RIS. 118, W, G ). pRINCIP SIMMETRII PO OTNOENI@ K PROMEVUTKAM L1 e I L1 (SOOTWETSTWENNO, MNIMOJ OSI I BISSEKTRISY 1-GO KOORDINATNOGO UGLA ), OBOZNA^ENNYM PUNKTIROM NA RIS. 118, B, G , S U^ETOM TOGO, ^TO PREOBRAZOWANIQ SIMMETRII OTNOSITELXNO MNIMOJ OSI PLOSKOSTI C z I BISSEKTRISY 1-GO KOORDINATNOGO UGLA PLOSKOSTI C IME@T, SOOTWETSTWENNO, WID z 7! ;z I 7! i , POZWOLQET UTWERVDATX: FUNKCIQ (p 8 4 z +1 ESLI z 2 G1 L1 = f1 (z) def = p i 8 (;z)4 +1 ESLI z 2 G1 L1
rIS. 119
PREOBRAZUET OBLASTX G2 = G1 G1L1 | WERHN@@ POLUPLOSKOSTX S \RAZREZAMI" DLINY 1 PO BIcSEKTRISAM 1-GO I 2 -GO
302
KOORDINATNYH UGLOW (RIS. 119, A) | WZAIMNO - ODNOZNA^NO I KONFORMNO NA 1-J KOORDINATNYJ UGOL S \RAZREZOM" DLINY 1 PO EGO BIcSEKTRISE (RIS. 119, B ). p oDNOZNA^NAQ WETWX FUNKCII ! =p4 4 +1, OPREDELQEMAQ W TO^KAH \TOGO UGLA USLOWIEM 0 < arg 4 4 +1 < 4 , OTOBRAVAET EGO NA TAKOJ VE UGOL BEZ \RAZREZA" (RIS. 119, W), POSLE ^EGO PRIMENENIE PRINCIPA SIMMETRII | NA SEJ RAZ OTNOSITELXNO PROMEVUTKA L2 = (;1 0) DEJSTWITELXNOJ OSI PLOSKOSTI C z I MNIMOJ OSI PLOSKOSTI C ! (PREOBRAZOWANIQ SIMMETRII IME@T, SOOTWETSTWENNO, WID z 7! z I w 7! ;w ) | PRIWODIT K WZAIMNO - ODNOZNA^NOMU I KONFORMNOMU OTOBRAVENI@ (p 4 (f1 (z))4 +1 ESLI z 2 G2 L2 def ! = f2(z) = p ; 4 (f1(z))4 +1 ESLI z 2 G2 L2 ISHODNOJ OBLASTI G = G2 G2 L2 NA WERHN@@ POLUPLOSKOSTX S \RAZREZOM" PO OTREZKU OT 0 DO i (RIS. 119, G ). oSTAETSQ p LIX PRIMENITX TU ODNOZNA^NU@ WETWX FUNKCII w = !2 +1, KOTORAQ OTOBRAVAET WERHN@@ POLUPLOSKOSTX S \RAZREZOM" PO OTREZKU OT 0 DO i NA WERHN@@ POLUPLOSKOSTX (BEZ \RAZREZA"), ^TO I DAET OKON^ATELXNYJ OTWET: TREBUEMOE OTOBRAVENIE ZADANNOJ OBLASTI pG NA WERHN@@ POLUPLOSKOSTX OSU]ESTWLQET FUNKCIQ w = (f2 (z))2 +1. tEOREMA OB OBRATNOJ FUNKCII. eSLI W OBLASTI G C FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ I ODNOLISTNOJ , TO W OBLASTI f (G), NA KOTORU@ \TA FUNKCIQ OTOBRAVAET OBLASTX G, OPREDELENA OBRATNAQ FUNKCIQ z = f ;1(w), TAKVE QWLQ@]AQSQ ANALITI^ESKOJ I ODNOLISTNOJ , PRI \TOM ; a) f ;1 0 (w)= f 01(z) W TO^KAH w = f (z) OBLASTI f (G) B) OTOBRAVENIQ FUNKCIQMI w = f (z) I z = f ;1(w) OBLASTEJ G I f (G) DRUG NA DRUGA QWLQ@TSQ KONFORMNYMI .
303
dOKAZATELXSTWO. tO, ^TO MNOVESTWO f (G) ESTX OBLASTX I W \TOJ OBLASTI OPREDELENA FUNKCIQ z = f ;1(w), OBRATNAQ K w = f (z) (I WMESTE S NEJ QWLQ@]AQSQ ODNOLISTNOJ ), SLEDUET IZ ODNOLISTNOSTI (WZAIMNO - ODNOZNA^NOSTI ) FUNKCII w = f (z) I PRINCIPA SOHRANENIQ OBLASTI (c. 286). dLQ DOKAZATELXSTWA ANALITI^NOSTI FUNKCII z = f ;1(w) W OBLASTI f (G) SLEDUET WNA^ALE DOKAZATX EE NEPRERYWNOSTX W PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KE w0 = f (z0) \TOJ OBLASTI . pUSTX " | L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO. wZQW POLOVITELXNOE ^ISLO "0 6 " NASTOLXKO MALYM, ^TO KRUG K RADIUSA "0 S CENTROM z0 PRINADLEVIT OBLASTI G (RIS. 120), MOVNO UTWERVDATX (NA OSNOWANII PRINCIPA SOHRANENIQ OBLASTI), ^TO OBRAZ f (K) \TOGO KRUGA PRI OTOBRAVENII FUNKCIEJ w = f (z) ESTX OBLASTX , SODERVA]AQ TO^KU w0 , A WMESTE S NEJ I KRUG S CENTROM w0 DOSTATO^NO MALOGO RADIUSA . kAKOWA BY NI BYLA TO^KA w c jw;w0j < , ZNA^ENIE z = f ;1(w) W \TOM SLU^AE BUDET OTLI^ATXSQ OT z0 = f ;1(w0) MENXE, ^EM NA "0 6 ". tEM SAMYM USTANOWLENA ISTINNOSTX UTWERVDENIQ 8"> 0 9 > 0 8w ;jw ;w0j < =) f ;1(w) ;f ;1(w0) <", T. E. NEPRERYWNOSTX FUNKCII z = f ;1(w) (W PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KE w0 2 f (G)).
rIS. 120
304
tEPERX MOVNO DOKAZATX I ANALITI^NOSTX \TOJ FUNKCII W OBLASTI f (G), T. E. SU]ESTWOWANIE U NEE PROIZWODNOJ W L@BOJ TO^KE w0 2 f (G). tAK KAK z ! z0 () w ! w0 (WWIDU NEPRERYWNOSTI FUNKCIJ w = f (z) I z = f ;1(w)), A f 0(z0) 6= 0 (W SILU PRINCIPA LOKALXNOJ ODNOLISTNOSTI), ; ;10 f ;1(w);f ;1(w0) = lim z ;z0 = f (w0) def =wlim !w0 w;w0 w!w0 f (z);f (z0)
z ;z0 = 1 . = zlim f ( z !z0 );f (z0) f 0(z0) kONFORMNOSTX OSU]ESTWLQEMYH FUNKCIQMI w = f (z) I z = f ;1(w) OTOBRAVENIJ OBLASTEJ G I f (G) DRUG NA DRUGA WYTEKAET IZ NEOBRA]ENIQ W NULX PROIZWODNYH OBEIH FUNKCIJ. Q.E.D. pRIMER. tAK KAK CELAQ FUNKCIQ w =exp z QWLQETSQOD NOLISTNOJ W L@BOJ POLOSE z 2 C : < Im z < +2 1 I OTOBRAVAET EE NA OBLASTX w 2 C : < arg w < +2 (III , c. 45-46), PRIMENENIE TEOREMY OB OBRATNOJ FUNKCII DAET: W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO KAKOMU-LIBO LU^U L, WYHODQ]EMU IZ TO^KI 0, OPREDELENA OBRATNAQ FUNKCIQ z =exp;1w , ILI (W BOLEE PRIWY^NYM OBOZNA^ENII) z =ln w | ODNOZNA^NAQ WETWX LOGARIFMA , KOTORAQ OTOBRAVAET UKAZANNU@ PLOS KOSTX S \RAZREZOM" NA POLOSU z 2 C : < Im z < +2 , GDE | WELI^INA UGLA, POD KOTORYM LU^ \RAZREZA" L WYHODIT IZ TO^KI 0. pOSKOLXKU UGOL OPREDELEN S TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO, KRATNOGO 2 , FAKTI^ESKI WOZNIKAET BESKONE^NYJ NABOR ODNOZNA^NYH WETWEJ z = ln w , RAZLI^A@]IHSQ SLAGAEMYMI , KRTANYMI 2i, NO DLQ KAVDOJ IZ KOTORYH 1 0 ln w = exp0z = exp1 z = w1 . iZMENQQ NAPRAWLENIE LU^A L , POLU^A@T RAZNYE NABORY ODNOZNA^NYH WETWEJ LOGARIFMA .
|TO SLEDUET IZ FORMULY |JLERA (II, S. 37): ESLI z1 = x1 + iy1 , A z2 = x2 + iy2 , TO exp z1 = exp z2 W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA ex1 = ex2 a y1 ; y2 =2k k 2 Z . 1
305
tEOREMA EDINSTWENNOSTI OTOBRAVENIQ. kAKOWY BY NI BYLI TO^KA z0 OBLASTI G C I DEJSTWITELXNOE ^ISLO , cU]ESTWUET NE BOLEE ODNOJ FUNKCII w = f (z), ANALITI^ESKOJ I ODNOLISTNOJ W OBLASTI G, KOTORAQ BY OTOBRAVA LA \TU OBLASTX NA EDINI^NYJ KRUG D = w 2 C : jwj < 1 S WYPOLNENIEM USLOWIJ f (z0)=0 arg f 0(z0)= . dOKAZATELXSTWO. pUSTX w = f (z) I w = fe(z) | DWE FUNKCII, OBLADA@]IE PERE^ISLENNYMI SWOJSTWAMI. pRIMENENIE K TOJ I DRUGOJ TEOREMY OB OBRATNOJ ZA; ;1 FUNKCII ; ;1 POZWOLQET e e KL@^ITX: OBE KOMPOZICII f f (w) I f f (w) (RIS. 121) OPREDELQ@T W KRUGE D OBRATNYE DRUG DRUGU ANALITI^ESKIE FUNKCII cO SWOJSTWAMI : ; ; ; 1 ; 1 f fe (w) < 1 I fe f (w) < 1 W KRUGE D (T.E. PRI jw j < 1) ; ; f fe;1(0) = f (z0)=0 fe f ;1(0) = fe(z0)=0 0 ; ; ; ; e0 arg f fe;1 0(0)=arg f (z0) =0 arg fe f ;1) 0(0)=arg f 0(z0) =0. f (z0)
fe0(z0)
rIS. 121
zAWERITX DOKAZATELXSTWO TEOREMY POZWOLQET SLEDU@]EE ZNAMENITOE UTWERVDENIE, WYWODIMOE IZ PRINCIPA MAKSIMUMA MODULQ
(c. 288).
306 lEMMA {WARCA .1 pUSTX = '(z) | ANALITI^ESKAQ FUNK
D = z 2 C : jzj < 1 SO SWOJSTWAMI : a) j'(z)j < 1 W KRUGE D B) '(0)=0 TOGDA j'(z)j6jzj W KRUGE D , PRI^EM RAWENSTWO (HOTQ BY W ODNOJ TO^KE z 2 D ) MOVET WYPOLNQTXSQ LIX DLQ FUNKCII '(z) = ei z ( | DEJSTWITELXNOE ^ISLO ). dOKAZATELXSTWO LEMMY. w SILU TEOREMY tEJLORA (XII , c. 180) '(z)= c0+c1 z+c2 z 2+ W KRUGE D , PRI \TOM c0 = '(0)=0, A SLEDOWATELXNO, '(z) = z (z), GDE = (z) | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ W KRUGE D . wZQW L@BOE ^ISLO r 2 (0 1), MOVNO UTWERVDATX , ^TO MAKSI MUM MODULQ \TOJ FUNKCII W ZAMKNUTOM KRUGE z 2 C : jz j 6 r (A ON DOSTIGAETSQ W SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII u = j (z)j W \TOM ZAMKNUTOM KRUGE ) FAKTI^ESKI DOSTIGAETSQ NA GRANICE \TOGO KRUGA : sup j (z)j = j (z0)j DLQ NEKOTOROJ TO^KI z0 c jz0 j = r. jzj6r |TO ZAWEDOMO TAK, ESLI = (z) | POSTOQNNAQ FUNKCIQ, W SLU^AE VE NEPOSTOQNNOJ FUNKCII
= (z ) DOSTATO^NO PRIMENITX K NEJ W OTKRYTOM KRUGE z 2 C : jzj
jzj6r IZ ^EGO WWIDU PROIZWOLXNOSTI ^ISLA r 2 (0 1) SLEDUET, ^TO j (z)j6 1, T. E. j'(z)j6jzj W L@BOJ TO^KE z 2 D. ;
nA ZNA^IMOSTX \TOGO UTWERVDENIQ IZ WKL@^ENNOJ W PROGRAMMU fEDERALXNOJ pOLITEHNI^ESKOJ {KOLY W c@RIHE ZA 1869{70 U^. G. RABOTY {WARCA (SNOSKA 1 NA S. 295) \Zur Theorie der Abbildung" (\k TEORII OTOBRAVENIQ") WPERWYE UKAZAL NEMECKIJ MATEMATIK kARATEODORI (Caratheodori, Constantin, 1873{1950), W ^XEJ FORMULIROWKE (W Mathematische Annalen, B. 72, 1912, S. 110, A TAKVE W 7], S. 50{51) \TO UTWERVDENIE I PRIWODITSQ ZDESX. 1
307
eSLI PREDPOLOVITX, ^TO j'(ze)j = jzej (T. E. j (ze)j = 1) W NEKOTO^KE ze 2 D , TO OTS@DA BUDET SLEDOWATX, ^TO WELI^INA j (z)j W KRUGE D DOSTIGAET MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ (RAWNOGO 1) W TO^KE ze \TOGO KRUGA , A POTOMU, SOGLASNO PRINCIPU MAKSIMUMA MODULQ, FUNKCIQ = (z) QWLQETSQ POSTOQNNOJ W KRUGE D (RAWNOJ PO MODUL@ 1), T. E. (z) = ei, ILI, ^TO TO VE SAMOE, '(z) = ei z W KRUGE D DLQ NEKOTOROGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA . Q.E.D. wOZWRA]AQSX K DOKAZATELXSTWU TEOREMY, SLEDUET PRIMENITX LEMMU {WARCA, POLAGAQ W; NEJ (S PEREOBOZNA^ENIEM; PEREMENNOJ z NA w ) WNA^ALE '(w)= f fe;1(w) , A ZATEM '(w)= fe f ;1(w) : ; ; f fe;1(w) 6 jwj fe f ;1(w) 6 jwj w 2 D , ; PRI \TOM ZAMENA W PERWOM; NERAWENSTWE w NA fe f ;1(w) PRIWO DIT K NERAWENSTWU jwj6jfe f ;1(w) j, KOTOROE W SO^ETANII SO WTORYM LEMMY {WARCA PRIWODIT K SOOTNOENI@ ; I UTWERVDENIEM fe f ;1(w) ei w w 2 D (DLQ NEKOTOROGO DEJSTWITELXNOGO ^IS; 0 ; ; 1 LA ), A ESLI U^ESTX, ^TO arg fe(f ) (0)=0, TO fe f ;1(w) w W KRUGE D , T. E. fe(z) f (z) W OBLASTI G. Q.E.D. sLEDSTWIEM DOKAZANNOJ TEOREMY QWLQETSQ SLEDU@]IJ INTERESNYJ FAKT. eSLI FUNKCIQ w = f (z), ANALITI^ESKAQ W KRUGE ILI POLUPLOSTOROJ
KOSTI , WZAIMNO - ODNOZNA^NO OTOBRAVAET EGO ILI EE NA KRUG ILI NA POLUPLOSKOSTX , TO \TA FUNKCIQ QWLQETSQ DROBNO-LINEJNOJ .
pOSKOLXKU NADLEVA]IM DROBNO-LINEJNYM OTOBRAVENIEM L@BOJ KRUG , RAWNO KAK I L@BAQ POLUPLOSKOSTX , WZAIMNO - ODNOZNA^NO PEREWODITSQ NA EDINI^NYJ KRUG (VI , S. 97, SWOJSTWO 2), A KOMPOZICIQ DROBNO-LINEJNYH OTOBRAVENIJ I OBRATNOE K DROBNO-LINEJNOMU TAKVE QWLQ@TSQ DROBNO-LINEJNYMI (VI , S. 90), DOSTATO^NO RAZOBRATX SLU^AJ, KOGDA w = f (z) | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ , WZAIMNO - ODNOZNA^NO OTOBRAVA@]AQ KRUG z 2 C : jz j < 1 NA KRUG w 2 C : jwj < 1 . pUSTX z0 | TA TO^KA, KOTORU@ FUNKCIQ w = f (z) PEREWODIT W 0. pOLAGAQ =arg f 0(z0) dOKAZATELXSTWO .
308
I ZAME^AQ, ^TO DROBNO-LINEJNAQ FUNKCIQ w = ei 1z;;zz00z TAKVE 0 z ; z 0 i PEREWODIT TO^KU z0 W 0 I arg e 1;z0 z = , PRIHODITSQ DEz=z0 LATX WYWOD: f (z) ei 1z;;zz00z . Q.E.D.
~TO KASAETSQ SU]ESTWOWANIQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII, O KOTOROJ GOWORITSQ W TEOREME EDINSTWENNOSTI OTOBRAVENIQ, SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ TEOREMA, PERWONA^ALXNYJ WARIANT KOTORYE SODERVITSQ W DISSERTACII rIMANA (IV, SNOSKA 1 NA S. 59). tEOREMA rI MANA.1 kAKOWA BY NI BYLA ODNOSWQZNAQ OBLASTX G RASIRENNOJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI, GRANICA @G KOTOROJ SODERVIT BOLEE ODNOJ TO^KI, SU]ESTWUET ANALITI^ESKAQ 2 FUNKCIQ w = f (z), WZAIMNO - ODNOZNA^NO I KONFORMNO OTOBRAVA@]AQ OBLASTX G NA EDINI^NYJ KRUG MOVNO PRI \TOM POTREBOWATX, ^TOBY WZQ; PROIZWOLXNO TAQ TO^KA z0 2 G PEREHODILA W CENTR KRUGA f (z0) = 0 , A ARGUMENT PROIZWODNOJ FUNKCII W \TOJ TO^KE IMEL L@BOE ZADANNOE ZNA; ^ENIE arg f 0 (z0) = 2 R , I TOGDA FUNKCIQ w = f (z) OKAZYWAETSQ EDINSTWENNOJ .3 uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO NI W KAKOJ OKRESTNOSTI SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ NE QWLQETSQ ODNOLISTNOJ : 2. dOKAZATX, ^TO ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ODNOLISTNOJ W OKRESTNOSTI POL@SA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA \TO POL@S 1-GO PORQDKA . 3. wYWESTI IZ PREDYDU]IH UPRAVNENIJ, ^TO ESLI CELAQ FUNKCIQ WZAIMNO - ODNOZNA^NO OTOBRAVAET PLOSKOSTX C NA PLOSKOSTX C , TO \TA FUNKCIQ QWLQETSQ LINEJNOJ . eE DOKAZATELXSTWA (TREBU@]IE PRIWLE^ENIQ SPECIALXNYH PONQTIJ) IME@TSQ, NAPRIMER, U k. kARATEODORI 7] (WMESTE S ISTORI^ESKIM O^ERKOM \TOJ TEOREMY), a. kARTANA 8] I a. i. mARKUEWI^A 12]. 2 aNALITI^NOSTX FUNKCII W BESKONE^NOSTI (ESLI 12 G) PONIMAETSQ KAK USTRANIMOSTX ee OSOBOJ TO^KI z = 1. 3 w PERWONA^ALXNOJ FORMULIROWKE rIMANA 15] (S. 83{84) \NORMIROWO^NYMI USLOWIQMI" BYLI: PROIZWOLXNO WZQTAQ TO^KA z0 2 G PEREHODIT W CENTR EDINI^NOGO KRUGA, A PROIZWOLXNO WZQTAQ TO^KA GRANICY OBLASTI G | W L@BU@ ZADANNU@ TO^KU GRANICY \TOGO KRUGA. 1
309
~TO TAKOE PREOBRAZOWANIE lAPLASA I KAKOWY EGO SWOJSTWA +R1 nESOBSTWENNYE INTEGRALY f (t) e;pt dt (S KOMPLEKSNYM
XIX .
0
PARAMETROM p ) PRINQTO NAZYWATX INTEGRALAMI lAPLASA 1 . kAVDYJ TAKOJ INTEGRAL (ESLI ON SHODITSQ HOTQ BY DLQ NEKOTORYH ZNA^ENIJ p 2 C ) ZADAET PREOBRAZOWANIE lAPLASA +R1 f (t) 7! F (p) def = f (t) e;pt dt, 0 FUNKCII = f (t) DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ2 , NAZYWAEMOJ W \TOM SLU^AE ORIGINALOM 3 , W FUNKCI@ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = F (p) (oBOZNA^AEMU@ SOOTWETSTWU@]EJ ZAGLAWNOJ BUKWOJ 4 FUNKCI@ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, KOTORU@ NAZYWA@T IZOBRAVENIEM (PO lAPLASU) DANNOGO ORIGINALA , S ISPOLXZOWANIEM OBOZNA^ENIJ f (t) : F (p) I F (p) f (t).5 k FUNKCIQM - ORIGINALAM = f (t) OBY^NO PRED_QWLQ@T SLEDU@]IJ NABOR TREBOWANIJ, NE QWLQ@]IHSQ STROGO OBQZATELXNYMI DLQ SU]ESTWOWANIQ IZOBRAVENIJ, NO PRIDA@]IH PREOBRAZOWANI@ lAPLASA UDOBNYE DLQ OBRA]ENIQ S NIM SWOJSTWA:
hOTQ DO lAPLASA (Laplace, 1749{1827) IMI OPERIROWAL |JLER. zNA^ENIQ \TOJ FUNKCII MOGUT BYTX KOMPLEKSNYMI . 3 iLI FUNKCIEJ - ORIGINALOM LAT. originalis | PERWONA^ALXNYJ . 4 kAK W KNIGE dV. kARSONA 24], GDE WPERWYE BYLO DANO SISTEMATI^ESKOE OBOSNOWANIE \OPERACIONNOGO IS^ISLENIQ" | PREDLOVENNOGO ANGLIJSKIM FIZIKOM hEWISAJDOM (Heaviside, Oliver, 1850 {1925) SPOSOBA OBRA]ENIQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ W ALGEBRAI^ESKIE (\The 1 2
process of algebraisation, or conversion from di erential to algebraic form" 36], p. iv) ZAMENOJ PROIZWODNOJ PO WREMENI (the time di erentiator) d=dt ALGEBRAI^ESKIM SIMWOLOM p. pODROBNO O hEWISAJDE I EGO DEQTELXNOSTI MOVNO PRO^ITATX W @BILEJNOM IZDANII The Heaviside Centenary Volume. London, 1950 (ESTX W rOSSIJSKOJ GOSUDARSTWENNOJ BIBLIOTEKE). 5 iME@T HOVDENIE I DRUGIE OBOZNA^ENIQ.
310 1
FUNKCIQ -ORIGINAL = f (t) OPREDELENA I QWLQETSQ NEPRERYWNOJ (A WMESTE S NEJ I EE PROIZWODNYE DO SPECIALXNO OGOWARIWAEMOGO PORQDKA) NA WSEJ OSI ; 1
pERWOE TREBOWANIE GARANTIRUET (DAVE S ZAPASOM) SU]ESTWOWANIE Rb DLQ L@BOGO b > 0 INTEGRALA f (t) e;pt dt DLQ WYPOLNENIQ WTOROGO TRE0 BOWANIQ (PRI WYPOLNENII PERWOGO ) DOSTATO^NO S^ITATX, ^TO 8 > ESLI t> 0 > < f (t) f (t) ESLI t =0 (RIS. 122) f (t) = >t!lim 0+0 > : 0 ESLI t< 0 TRETXE TREBOWANIE OBESPE^IWAET (OPQTX VE S IZBYTKOM) SHODIMOSTX +R1 Rb (PRI^EM ABSOL@TNU@ ) INTEGRALA f (t) e;pt dt def = b!lim f (t) e;pt dt +1 0 0 DLQ ZNA^ENIJ PARAMETRA p S ABSCIcSOJ (DEJSTWITELXNOJ ^ASTX@ ), BOLXEJ POKAZATELQ ROSTA ORIGINALA.
rIS. 122
311
pOKAZATELEM ROSTA FUNKCII-ORIGINALA = f (t) NAZY ; t WA@T ^ISLO f =inf 2 R : f (t)= O e . |KWIWALENTNO: POKAZATELX ROSTA FUNKCII-ORIGINALA ; = f (t) | \TO TAKOE ^ISLO 1 f , ^TO OCENKA f (t) = O et 2 WYPOLNQETSQ PRI L@BOM >f I NE WYPOLNQETSQ NI DLQ KAKOGO <f (PRI = f \TA OCENKA MOVET KAK WYPOLNQTXSQ, TAK I NE WYPOLNQTXSQ 3). iZ \TOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO POKAZATELX ROSTA SUMMY ORIGINALOW NE WYE MAKSIMALXNOGO IZ POKAZATELEJ ROSTA SLAGAEMYH, A POKAZATELX ROSTA PROIZWEDENIQ | NE WYE SUMMY POKAZATELEJ ROSTA SOMNOVITELEJ: f +g 6 max f g fg 6 f + g . tEOREMA SU]ESTWOWANIQ IZOBRAVENIQ. eSLI ORIGINAL = f (t) IMEET POKAZATELX ROSTA f , TO EGO IZOBRAVE+R1 NIE PO lAPLASU F (p) = f (t) e;pt dt OPREDELENO4 PO KRAJNEJ 0 MERE DLQ WSEH p S Re p> f (INA^E GOWORQ, W POLUPLOSKOSTI p 2 C : Re p >f ), PRI \TOM F (p) ! 0, KOGDA Re p ! +1. dOKAZATELXSTWO. pUSTX p | L@BOE KOMPLEKSNOE ^ISLO S Re p>f ;I PUSTX = Re p2; f (RIS. 123). pRIMENENIE OCENKI f (t) = O e(f + )t PRIWODIT K SOOTNOENIQM f (t) e;pt = jf (t)je;Re p t = jf (t)je;(f + )t e; t 6 he; t nE ISKL@^ENO, ^TO ONO RAWNO ;1 (NAPRIMER, W SLU^AE FUNKCIIORIGINALA f (t) = e;t2 ), ODNAKO WS@DU NIVE PREDPOLAGAETSQ, ^TO f | KONE^NOE ^ISLO (POKAZATELX ROSTA f < 0 SLEDUET WOSPRINIMATX KAK \POKAZATELX UBYWANIQ" ORIGINALA ;). 2 T. E. UTWERVDENIE 9h> 0 8t f (t)e;t 6 h . ; 3 nAPRIMER, W SLU^AE f (t) = et ( = Re ) OCENKA f (t) = O ef t f WYPOLNQETSQ, A W SLU^AE f (t)= t (f =0) | NET. 4 t. E. INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ . 1
312 (S POSTOQNNOJ h > 0), W SILU KOTORYH SHODITSQ INTEGRAL +R1 +R1 f (t) e;ptdt, A S NIM I INTEGRAL f (t) e;pt dt = F (p). oSTA0 0 ETSQ ZAMETITX, ^TO (W SILU TEH VE SOOTNOENIJ) jF (p)j 6 +R01f (t)e;ptdt 6 +R01he; tdt = h = Re p2;h f , TAK ^TO F (p) ! 0, KOGDA Re p ! +1. Q.E.D.
rIS. 123
rIS. 124
313
tEOREMA ANALITI^NOSTI IZOBRAVENIQ. eSLI ORIGINAL = f (t) IMEET POKAZATELX ROSTA f , TO IZOBRAVENIE PO +R1 lAPLASU F (p) = f (t) e;ptdt \TOGO ORIGINALA QWLQETSQ ANA0 LITI^ESKOJ FUNKCIEJ W POLUPLOSKOSTI p 2 C : Re p>f 1 +R1 S PROIZWODNOJ F 0(p) = (;t) f (t) e;pt dt. 0 dOKAZATELXSTWO. dLQ FIKSIROWANNOGO p 2 C c Re p>f I PEREMENNOGO Mp 2 C c 0 < jMpj < = Re p4; f (RIS. 124) F (p +Mp);F (p) = 1 +R1f (t) e;(p+Mp)t dt ; +R1f (t) e;pt dt = Mp Mp 0 0 +R1 ; = f (t) e;ptM1p e;Mpt ; 1)dt = 0 +R1 2 3 ( ;M pt ) ( ;M pt ) 1 ; pt = f (t)e Mp ;Mpt + 2! + 3! + dt = 0 +R1 2 = (;t)f (t) e;pt 1 + ;M2!pt + (;M3!pt) + dt = 0 +R1 = (;t) f (t) e;pt dt + MpJ (Mp), 0 +R1 2 GDE J (Mp) = t2 f (t) e;pt 2!1 + ;M3!pt + (;M4!pt) + dt. 0 dLQ DOKAZATELXSTWA SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ F (p +Mp) ; F (p) , RAWNOJ +R1(;t) f (t)e;pt dt, F 0(p) = Mlim Mp p!0 0 DOSTATO^NO PO\TOMU USTANOWITX, ^TO INTEGRAL J (Mp) OSTAETSQ OGRANI^ENNYM PRI Mp ! 0. |TO WYTEKAET IZ SLEDU@]IH OCENOK SOMNOVITELEJ EGO PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII: tEOREMA NE ISKL@^AET ANALITI^NOSTI IZOBRAVENIQ I WNE UKAZANNOJ POLUPLOSKOSTI . 1
314
jf (t)j 6 he(f + )t
I
t2 6 h1 e t (S POSTOQNNYMI h> 0 I h1 > 0)
1 ;Mpt (;Mpt)2 2! + 3! + 4!
+ 6 2!1 + j;M3!ptj + j;M4!ptj + 6 2
6 2!1 + t3! + (t4!) + < 1 + t1! + (t2!) + = e t 2
2
A IMENNO, jJ (Mp)j 6 +R01t2jf (t)jje;ptj 2!1 + ;M3!pt + (;M4!pt)2 + dt 6 +R1 +R1 6 h1 he(f +2 ) t e;Re pte t dt = h1he; t dt = h1h . Q.E.D. 0
0
pRIMERY. 1. fUNKCIQ = e!t (! | KOMPLEKSNOE ^ISLO) QWLQETSQ ORIGINALOM 1 c POKAZATELEM ROSTA Re ! (TAK KAK e!t = eRe !t ). eSLI Re p > Re ! , TO R +1 !t ;pt R b ;(p;!)t 1;e;(p;!)b = 1 lim e dt = lim 0 e e dt =b! 0 p;! +1 b!+1 p;! ; POSKOLXKU e;(p;!)b = e;Re(p;!)bb!;! 0 . wYWOD: +1 e!t : p;1 ! W ^ASTNOSTI, 1 : 1p . tEOREMA OB ANALITI^NOSTI IZOBRAVENIQ GARANTIRUeT ANALITI^NOSTX FUNKCII w = p;1 ! KAK IZOBRAVENIQ FUNKCII-ORIGINALA (S POKAZATELEM ROSTA Re ! ) W POLUPLOSKOSTI p 2 C : Re p > Re ! . nA SAMOM VE DELE \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOSTI C , KROME TO^KI !. kROME TOGO, \TA FUNKCIQ STREMITSQ K NUL@ PRI L@BOM STREMLENII p K 1, A NE TOLXKO KOGDA Re p ! +1 (KAK UTWERVDAET TEOREMA O SU]ESTWOWANII IZOBRAVENIQ) nI TO, NI DRUGOE, ODNAKO, NE PROTIWORE^IT UTWERVDENIQM NAZWANNYH TEOREM . 1 eSLI, KAK UVE OTME^ALOSX (S. 310), S^ITATX WSE PODWERGAEMYE PREOBRAZOWAI@ lAPLASA FUNKCII RAWNYMI NUL@ DLQ OTRICATELXNYH ZNA^ENIJ t.
315
sOGLASNO OPREDELENI@ GAMMA-FUNKCII (INTEGRALA +R1 |JLERA 2-GO RODA ) ;(a) = xa;1 e;xdx a> 0. zAMENA x = pt 0 (p | L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO) PRIWODIT K RAWENSTWU +R1 ;(a) = pa ta;1 e;ptdt. pOSKOLXKU PRAWAQ ^ASTX \TOGO RAWEN0 STWA OPREDELENA I DLQ KOMPLEKSNYH ZNA^ENIJ p c Re p > 0 ; a p =exp(a ln p), a INTEGRAL PRI Re p> 0 cHODITSQ , SLEDUET WYWOD: ta;1 : ;(paa) PRI L@BOM a> 0 . 2.
pRI 0 < a < 1 FUNKCIQ = ta;1 NE QWLQETSQ POLNOWESNYM ORIGINALOM (W SMYSLE OPREDELENIQ NA S. 310), POSKOLXKU IMEET BESKONE^NYJ PREDEL PRI t ! 0+0. tEM NE MENEE ONA IMEET IZOBRAVENIE PO lAPLASU : +R1 Rb a;1 ;pt INTEGRAL ta;1 e;pt dt = b!lim t e dt cHODITSQ PRI a> 0. +1 0
!0+0
sLEDU@]IE SWOJSTWA PREOBRAZOWANIQ lAPLASA (WPERWYE AKKURATNO SFORMULIROWANNYE dV. kARSONOM Car]) USTANAWLIWA@T SOOTWETSTWIQ DEJSTWIJ S ORIGINALAMI DEJSTWIQM c IZOBRAVENIQMI \TIH ORIGINALOW . pERWOE IZ NIH NAPRQMU@ WYTEKAET IZ SWOJSTWA LINEJNOSTI INTEGRALA. sWOJSTWO LINEJNOSTI. ESLI f (t) : F (p) I g(t) : G(p), TO f (t) + g(t) : F (p) + G(p) DLQ L@BYH KOMPLEKSNYH POSTOQNNYH I . pRIMERY PRIMENENIQ: ; cos !t = 12 ei!t + e;i!t : 12 p;1i! + p+1i! = p2+p !2 ; sin !t = 21i ei!t ; e;i!t : 21i p;1i! ; p+1i! = p2+!!2 ; ch !t = 12 e!t + e;!t : 21 p;1 ! + p+1 ! = p2;p !2 ; sh !t = 12 e!t + e;!t : 21 p;1 ! + p+1 ! = p2+!!2 ; !2 sin2 !t = 12 1 ; cos 2 !t : 12 p1 ; p2+4p !2 = p(p22+4 !2)
316
et cos t = 21 e(+i )t + e(;i )t : : 12 p;1;i + p;1+i = (p;p;)2+2 ; et sin t = 1 e(+i )t ; e(;i )t : ;
2i : 21i p;1;i
; p;1+i = (p;) + 2
2
.
dIFFERENCIROWANIE ORIGINALA. eSLI FUNKCIQ-ORI-
GINAL = f (t) IMEET PROIZWODNU@ , TOVE QWLQ@]U@SQ ORIGINALOM , I f (t) : F (p), TO f 0(t) : pF (p) ; f (0). dOKAZATELXSTWO. pUSTX p | L@BOE KOMPLEKSNOE ^ISLO, DEJSTWITELXNAQ ^ASTX KOTOROGO BOLXE POKAZATELQ ROSTA f FUNKCII-ORIGINALA = f (t). tOGDA SOGLASNO FORMULE INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM, +R1 Rb 0 f 0(t) : f 0(t) e;ptdt = b!lim f (t) e;ptdt = +1 0 0 ;pt b ; (;p)Rb f (t) e;ptdt= ;f (0) + pF (p), =b!lim f ( t ) e +1 t=0 0
; f (t)= O e(f + )t
ESLI U^ESTX, ^TO DLQ POLOVITELXNOGO ^ISRe p;f LA = 2 , A SLEDOWATELXNO, ; ; f (b)e;pb = O e(f + )b e;Re pb = O e; b ;! 0. Q.E.D. b!+1 dWUKRATNOE PRIMENENIE POLU^ENNOGO SOOTWETSTWIQ c ZAMENOJ W NEM f (t) NA f 0(t), a f 0(t) NA f 00(t) (ESLI I WTORAQ PROIZWODNAQ ORIGINALA QWLQETSQ ORIGINALOM ) DAET: ; f 00(t) : p pF (p) ; f (0) ; f 0(0) = p2F (p) ; pf (0) ; f 0(0). nAPRIMER, POLAGAQ sin !t : X (p) I POLXZUQSX RAWENSTWOM (sin !t)00 = ;!2 sin !t I USTANOWLENNYM PRAWILOM IZOBRAVENIQ WTOROJ PROIZWODNOJ , MOVNO PRIJTI K!SOOTNOENI@ p2 X (p) ; p 0 ; ! = ;!2X (p), OTKUDA X (p)= p2+!2 .
317
dIFFERENCIROWANIE IZOBRAVENIQ. eSLI f (t) : F (p), TO F 0(p) ;tf (t) (PEREHOD K PROIZWODNOJ IZOBRAVENIQ SOOTWETSTWUET UMNOVENI@ ORIGINALA NA ;t ). dANNOE SWOJSTWO | PRQMOE SLEDSTWIE TEOREMY ANALITI^NOSTI IZOBRAVENIQ (c. 313). 0 pRIMERY PRIMENENIQ: t sin !t : ; p2+!w2 = (p22+!p!2)2 0 0 te!t : ; p;1 ! = (p;1!)2 , t2 e!t: ; (p;1!)2 = (p;1!2)3 I WOOB]E tne!t : (p;n!!)n+1 , W ^ASTNOSTI, tn : pnn+1! n 2 N IZOBRAVENIE X (p) FUNKCII - ORIGINALA = sint t (S NULEWYM POKAZATELEM ROSTA) MOVNO NAJTI, REIW WYTEKA@]EE IZ SOOTNOENIQ t sint t : p21+1 URAWNENIE ;X 0(p) = p21+1 : TAK KAK X ( p )Re;! 0, EGO REENIEM (PRI Re p> 0) SLUVIT p!+1 ; X (p)= 21i ln(p + i) ; ln(p ; i) = 21i ln jj pp +; ii jj + arg(p + i);2 arg(p ; i) , ; 2 < arg(p ; i) < arg(p + i) < 2 (RIS. 125, a), | PRODOLVENIE FUNKCII ' =arcctg p S DEJSTWITELXNOJ POLUOSI 0
rIS. 125
318
sWOJSTWO PODOBIQ eSLI f (t) : F (p), A a | POLOVI1 p .
TELXNOE ^ISLO, TO f (at) : a F a . dOKAZATELXSTWO. s ISPOLXZOWANIEM PODSTANOWKI = at +R1 Rb f (at) : f (at) e;ptdt = b!lim f (at) e;ptdt = + 1 0 0 Rab p ; a 1 d = 1+R1f ( ) e; pa d = 1 F p = b!lim f ( ) e a a0 a a +1 0 ; W PREDPOLOVENII, ^TO Re p > f , GDE f | POKAZATELX ROSTA FUNKCII-ORIGINALA = f (t) . Q.E.D. nAPRIMER, WYE BYLO USTANOWLENO, ^TO sint t : 21i ln pp;+ii , PO\TOMU sint 2t = 2 sin2t2t : 21i ln pp;+22ii . sME]ENIE IZOBRAVENIQ. eSLI f (t) : F (p), A | t KOMPLEKSNOE ^ISLO, TO F (p ; ) e f (t) (SME]ENIE IZOBRAVENIQ | ZAMENA PEREMENNOJ p NA p ; | SOOTWETSTWUET UMNOVENI@ ORIGINALA NA et ). +R1 dOKAZATELXSTWO. etf (t) : et f (t) e;ptdt = 0 +R1 = f (t)e;(p;)t dt = F (p ; ). Q.E.D. 0
k PRIMERU, ZAPISX p2;pp+1 = p1;22 +;2p32 S U^ETOM IZ(p; 2 ) + 2 OBRAVENIJ SINUSA I KOSINUSA (c. 315) POZWOLQET SDELATX WYp WOD: FUNKCIQ w = p2;pp+1 SLUVIT IZOBRAVENIEM FUNKCII p3 t; 3 1 ORIGINALA = e 2 cos 2 t + p3 sin 2 t . zAPAZDYWANIE ORIGINALA. eSLI f (t) : F (p),;Ap | POLOVITELXNOE ^ISLO, TO f (t) : F (p), TO f (t; ) : e F (p) (WKL@^ENI@ ORIGINALA S ZAPAZDYWANIEM SOOTWETSTWUET UMNOVENIE IZOBRAVENIQ NA e;p )1. 1
1
1
wMESTO f (t ; ) INOGDA ISPOLXZU@T ZAPISX f (t).
319
rIS. 126
dOKAZATELXSTWO. s U^ETOM TOGO, ^TO f (t; )=0 PRI t< (RIS. 126), PEREHOD K PEREMENNOJ u = t ; DAET: +R1 Rb f (t ; ) : f (t ; ) e;ptdt = b!lim f (t ; ) e;ptdt = +1 0 0 bR; ;p(+u) du = +R1f (u) e;pe;pudu = = b!lim f ( u ) e +1 0 0 = e;p F (p). Q.E.D.
rIS. 127
k PRIMERU, PROSTEJIJ SPOSOB POLU^ITX IZOBRAVENIQ FUNKCIJ - ORIGINALOW , PREDSTAWLENNYH NA RIS. 127, a, B , | ZAPISATX IH KAK a) f (t)= t ; t1 ; t2 + t3 I B) g(t)= t ; t1 ;11 I PRIMENITX SWOJSTWO ZAPAZDYWANIQ ORIGINALA:
320 ;p ;e;2p) ;p ;2p ;3p f (t) : p12 ; ep2 ; ep2 + ep2 = (1;e )(1 p2 ;p e;p e 1 B) g(t) : p2 ; p2 ; p . iZOBRAVENIE PERIODI^ESKOGO ORIGINALA. eSLI ORIGINAL = f (t) QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ S PERIODOM Rl l , TO f (t) : 1;e1;pl f (t) e;ptdt. 0 dOKAZATELXSTWO. tAK KAK L@BAQ PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ - ORIGINAL = f (t) QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ (I POTOMU IMEET NULEWOJ PORQDOK ROSTA), IZOBRAVA@]IJ EE INTEGRAL lAPLA+R1 SA f (t) e;ptdt SHODITSQ DLQ WSEH p 2 C c Re p> 0. s U^ETOM 0 l -PERIODI^NOSTI FUNKCII = f (t) DLQ L@BOGO TAKOGO p +R1 Rnl f (t) : f (t) e;ptdt =n!lim f (t) e;ptdt = +1 a)
0
Rl
=n!lim +1
0
0
f (t) e;pt dt + +
Rnl
(n;1) l
f (t) e;pt dt =
;pl + + e;(n;1) pl Rl f (t) e;pt dt = =n!lim 1 + e +1 ;
0
Rl ;npl Rl 1 ; e 1 ; pt =n!lim f (t) e dt = 1;e;pl f (t) e;ptdt +1 1;e;pl
(POSKOLXKU je;plj < 1).
0
0
Q.E.D.
rIS. 128
321
w ^ASTNOSTI, ESLI PREDSTAWLENNYE NA RIS. 127 ORIGINALY f (t)= t ; t1 ; t2 + t3 I g(t)= t ; t1 ;11 S^ITATX PERIODI^ESKI PRODOLVENNYMI (S PERIODAMI , SOOTWETSTWENNO, l =3 I l =1 RIS. 128), TO;pIH IZOBRAVENIQMI OKAVUTSQ, SOOTWETSTWENNO, ;p ;p (1;e )(1;e;2p) F (p) = (1;e;3p) p2 I G(p) = 1;(1e;e;;pe) p2p . iZOBRAVENIE SWERTKI. eSLI f (t) : F (p), a g(t) : G(p), Rt TO F (p) G(p) f ( ) g(t; ) d , T. E. yMNOVENI@ IZOBRAVENIJ 0 OTWE^AET SWERTKA ORIGINALOW 1. dOKAZATELXSTWO. pUSTX | NAIBOLXIJ IZ POKAZATELEJ ROSTA FUNKCIJ - ORIGINALOW = f (t) I = g(t), I PUSTX p | L@BOE KOMPLEKSNOE ^ISLO c Re p > . ;pOSKOLX Re p ; ( + ) t KU = ; 2 > 0, WYPOLNQ@TSQ OCENKI f (t) = O e I ( + ) t g(t) = O e , T. E. NERAWENSTWA jf (t)j 6 h1e(+ )t I jg(t)j 6 h2 e(+ )t t 2 0 +1), GDE h1 I h2 | NEKOTORYE POLOVITELXNYE POSTOQNNYE. dLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA b PUSTX P | PARALLELOGRAMM W PLOSKOSTI R 2 PEREMENNYH t I , ZADAWAEMYJ SOOTNOENIQMI = 0 = b = t = t ; b I RAZDELQEMYJ DIAGONALX@ (t = b) NA TREUGOLXNIKI T1 I T2 (RIS. 129). INTEGRALA (PO PARALLELOGRAMMU) RR pEREHOD OT DWOJNOGO f ( ) g(t ; ) e;pt dtd K POWTORNYM WKUPE SO SWOJSTWOM P
ADDITIWNOSTI DWOJNOGO INTEGRALA DAET, S ODNOJ STORONY,
wOOB]E SWERTKOJ FUNKCIJ = f (t) I = g(t) NA ^ISLOWOJ OSI NAZYWA@T FUNKCI@ , OBOZNA^AEMU@ SIMWOLOM f g I OPREDELQEMU@ SO+R1 OTNOENIEM (f g)(t) def = f ( )g(t ; ) d ;1 < t < +1, KOTOROE DLQ ;1 FUNKCIJ-ORIGINALOW PRINIMAET UKAZANNYJ WYE WID. CWERTKA OBLADAET SWOJSTWOM PERESTANOWO^NOSTI : f g = g f , ^TO PROWERQETSQ ZAMENOJ NA u = t ; . 1
322
rIS. 129 RR
P
Rb f ( ) g(t ; ) e;ptdtd =
0
Rb
R+b
f ( ) g(t ; ) e;pt dt d t;= =u
Rb
= f ( ) e;p d g(u) e;pudu b!;! F (p) G(p), +1 0
0
ARRS DRUGOJ | f ( ) g(t ; ) e;ptdtd = P
=
Rb Rt
0 0
RR f ( ) g(t ; ) d e;ptdt + f ( ) g(t ; ) e;pt dtd
T2
SO SLEDU@]EJ OCENKOJ DWOJNOGO INTEGRALA PO TREUGOLXNIKU T 2 : RR RR ; pt f ( ) g (t ; )e;ptdtd 6 6 f ( ) g ( t ; ) e dtd T2 RR T2 6 h1e(+ ) h2 e(+ )(t;) e;Re ptdtd = RR
T2
0. = h1 h2 e(+ ;Re p)t dtd < b2 h1h2 e; b b!;! +1 T2
2
sOPOSTAWLENIE \TIH SOOTNOENIJ DAET:
323 Rt
0
f ( ) g(t ; ) d : RbRt
+R1Rt 0 0
f ( ) g(t ; ) d e;ptdt =
f ( ) g(t ; ) d e;ptdt = F (p) G(p). Q.E.D. 0 0 pRIMERY PRIMENENIQ: Rt ESLI f (t) : F (p), TO f ( ) d = (f 1)(t) : F p(p) (SWOJSTWO 0 INTEGRIROWANIQ ORIGINALA ) 1 Rt sin sin(t ; ) d = 1 Rtcos(2 ; t) ; cos t d = 2 (p +1)2 0 20 ; = 12 sin t ; t cos t . tEOREMA OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA. w TEH TO^KAH, GDE FUNKCIQ - ORIGINAL = f (t) IMEET PROIZWODNU@1, ONA WOSSTANAWLIWAETSQ PO SWOEMU IZOBRAVENI@ +R1 F (p) = f (t) e;pt dt POSREDSTWOM FORMULY OBRA]ENIQ 0 +Ri1 R+ir f (t) = 21i v.p. F (p) eptdp def = 21i r!lim F (p)eptdp , + 1 ;i1 ;ir W KOTOROJ | L@BOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO, B OLXEE POKAZATELQ ROSTA f FUNKCII - ORIGINALA , A INTEGRAL OT ; ir DO + ir BERETSQ PO PRQMOLINEJNOMU OTREZKU , PLOSKOSTI PEREMENNOJ p, SOEDINQ@]EMU \TI TO^KI. dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY MOVNO DATX, SOSLAWISX NA TEOREMU OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ fURXE 2, RASSUVDAQ SLEDU@]IM OBRAZOM. = b!lim +1
iLI, BUDU^I NEPRERYWNOJ , IMEET OBE ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE . rAZUMEETSQ, SSYLKA BUDET KORREKTNOJ, LIX ESLI NAZWANNAQ TEOREMA BYLA USWOENA W PREDESTWU@]EM KURSE DEJSTWITELXNOGO ANALIZA: W PROTIWNOM SLU^AE DOKAZATELXSTWO S TAKOJ SSYLKOJ OKAZYWAETSQ LIX NOMINALXNYM. 1 2
324
dLQ L@BOGO ^ISLA > f FUNKCIQ = f(t) def = e;t f (t) NA OSI ;1
325 +i 1 R+ir F (p) ept0 dp = 1 R+ir +R1f (t) e;pt dt ept0 dp p== 2i;ir 2i;ir 0 Rr +R1 = 21 d f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) dt, ;r 0
PRI \TOM OCENKA f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) 6 he(f +)t e;(t;t0) 6 et0 he;t (GDE = ;f ), 2 WYTEKA@]IE IZ NEE SOOTNOENIQ Rr +R1 d f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) dt ! ;! 0, +1 ;r +R1 Rr
dt f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) d ! ;! 0, +1 ;r I, NAKONEC, WOZMOVNOSTX POMENQTX PORQDOK INTEGRIROWANIQ PO OTREZKAM 0 6 t 6 I ;r 6 6 r 1 PRIWODIT K SOOTNOENIQM
1 R+ir F (p) ept0 dp = 1 Rr d+R1f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) dt = 2i;ir 2 ;r 0 +R1 Rr +R1 = 21 dt f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) d = 1 f (t) e;(t;t0) sintr;(tt;0 t0) dt. ;r 0 0
wZQW SKOLX UGODNO MALOE ^ISLO "> 0, POSLEDNIJ INTEGRAL SLEDUET RAZBITX NA TRI: J1 | OT 0 DO t0 ; ", J2 | OT t0 ; " DO t0 + " I J3 | OT t0 + " DO +1, A ZATEM K INTEGRALAM J1 I J3 PRIMENITX IZWESTNU@ IZ KURSA DEJSTWITELXNOGO ANALIZA (NAPRIMER, 17], n 682) LEMMU Rb rIMANA, UTWERVDA@]U@, ^TO ESLI INTEGRAL g(t) dt SU]ESTWUET (KAK a SOBSTWENNYJ ILI KAK NESOBSTWENNYJ , NO ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ ), TO Rb g(t) sin rtdt r!;! 0. +1 a pRIMENENIE \TOJ LEMMY DAET: t0R;" ;(t;t ) J1 = 1 f (t) et;t0 0 sin r(t;t0) dt r!;! 0 I (TO^NO TAK VE) J3 r! ;! 0. +1 +1 0
~TO KASAETSQ INTEGRALA J2 , TO EGO, W SWO@ O^EREDX, SLEDUET ZAPISATX W WIDE
nAPRIMER, NA OSNOWANII TEOREMY O PEREHODE OT DWOJNOGO INTEGRALA (PO PRQMOUGOLXNIKU ) K POWTORNYM . 1
326 1 t0R+" f (t) e;(t;t0) ;f (t0) sin r(t ; t ) dt + 1 t0R+" f (t0) sin r (t ; t ) dt 0 0 t0;" t;t0 t0;" t;t0
I PRIMENITX K PERWOMU INTEGRALU LEMMU rIMANA1, A WO WTOROM SDELATX +R1 PODSTANOWKU r(t;t0) = x (I WSPOMNITX, ^TO sinx x dx = XVI, c. 265): ;1
1 t0R+" f (t) e;(t;t0) ;f (t0)
sin r(t ; t0) dt r!;! 0, t0;" t;t0 +1 1 t0R+" f (t0) sin r(t ; t ) dt = f (t ) 1 Rr" sin x dx ;! f (t ), 0 0 t0;" t;t0 r!+1 0 ;r" x
A SLEDOWATELXNO, +R1 f (t0). J2 = 1 f (t) e;(t;t0) sintr;(tt;0 t0) dt r!;! +1 0 oB_EDINENIE POLU^ENNYH PREDELXNYH SOOTNOENIJ DLQ INTEGRALOW J1 J2 J3 DAET OKON^ATELXNO: +Ri1 1 1 R+ir F (p) ept0 dp = F (p) ept0 dp def = r!lim 2i v.p. 2 +1 i ;i1
1 = r!lim +1
;ir f (t) e;(t;t0) sin r(t;t0) dt =
+R1 0
;
t;t0
= r!lim J1 + J2 + J3 = f (t0). Q.E.D. +1
dLQ PRAKTI^ESKOGO WOSSTANOWLENIQ ORIGINALA PO EGO IZOBRAVENI@ TEOREMU OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA PRIMENQ@T SRAWNITELXNO REDKO (XVI , c. 266, PRIMER 5). ~A]E S \TOJ CELX@ ISPOLXZU@T2 SLEDU@]IE WYWODIMYE IZ NEE UTWERVDENIQ. iMENNO ZDESX ISPOLXZUETSQ SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ (ILI HOTQ BY ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH ) U FUNKCII - ORIGINALA W TO^KE t0 : t0R+" ;(t;t ) PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W f (t) e t;t00 ;f (t0) dt IMEET W \TOM SLUt0;" ^AE W TO^KE t0 USTRANIMYJ RAZRYW (ILI VE RAZRYW 1-GO RODA ), ^TO OBESPE^IWAET SU]ESTWOWANIE DANNOGO INTEGRALA. 2 hOTQ, RAZUMEETSQ, NE TAK ^ASTO, KAK RAZNOJ STEPENI PODROBNOSTI SPRAWO^NYE TABLICY \ORIGINAL"{\IZOBRAVENIE" I (W PROSTYH SLU^AQH) IZLOVENNYE WYE SWOJSTWA PREOBRAZOWANIQ lAPLASA. 1
327
tEOREMY RAZLOVENIQ 1
. 1. eSLI ORIGINAL = f (t) IMEET SWOIM IZOBRAVENIEM (PO lAPLASU ) FUNKCI@, ANALITI^ESKU@ W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI , S RAZLOVENIEM +P 1 ak tk +P 1 k , TO f (t) = , t> 0. lORANA F (p) = pak+1 k=0 k! k=0 2. eSLI ORIGINAL = f (t) IMEET SWOIM IZOBRAVENIEM (PO lAPLASU ) RACIONALXNU@ FUNKCI@ S POL@SAMI p1 : : : pm, m ; pt t> 0. TO f (t) = P pres F ( p ) e j =1 =pj dOKAZATELXSTWA. B USLOWIQH OBOIH UTWERVDENIJ SU]ESTWUET POLOVITELXNOE ^ISLO S TEM SWOJSTWOM, ^TO DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLXIH ZNA^ENIJ r> 0 ZAMKNUTYJ KONTUR ;r , SOSTOQ]IJ IZ OTREZKA PRQMOJ p 2 C : Re p = OT TO^KI ; ir DO TO^KI + ir I POLUOKRUVNOSTI Cr (DLQ KOTOROJ \TOT OTREZOK SLUVIT DIAMETROM RIS. 130), CELIKOM LEVIT W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI , GDE FUNKCIQ - IZOBRAVENIE w = F (p) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ .
rIS. 130 \Expansion Theorem" | TAK NAZYWAL hEWISAJD SFORMULIROWANNYJ IM WARIANT WTOROJ IZ \TIH TEOREM (36], p. 126{131). 1
328
w SOOTWETSTWII S \KWIWALENTNYMI OPREDELENIQMI WY^ETA W BESKONE^NOSTI (XV, c. 229, 231) I TEOREMOJ O WY^ETAH (XV, c. 233) W USLOWIQH PERWOGO UTWERVDENIQ 1 H F (p) eptdp = ; res ;F (p) ept = 2i p=1 ;r
a a1 + a2 + 1+ pt + (pt)2 + = 0 = ;pres + p2 p3 1! 2! =1 p
= a0 + a1!1t + a2!2 t + 1 , 2
A W USLOWIQH WTOROGO | H m 1 pt dp = P res ;F (p) ept. F ( p ) e 2i p=pj ;r
j =1
s DRUGOJ STORONY, 1 H F (p) ept dp = 1 R+irF (p) ept dp + 1 R F (p)ept dp, 2i 2i;ir 2i Cr ;r p ; PRI \TOM WWEDENIE PEREMENNOJ zR= i PREOBRAZUET WTOROE t SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI W 2ei F (+iz) eitz dz | INTEGRAL Cr PO IZOBRAVENNOJ NA RIS. 96, B (XVI , S. 266) POLUOKRUVNOSTI Cr , K KOTOROMU PRI L@BOM t> 0 PRIMENIMA LEMMA vORDANA (XVI , c. 248{249) S = t I f (z)= F ( + iz)2 : 1 R F (p) eptdp = lim et R F ( + iz) eitz dz = 0, lim r!+1 2i r!+1 2i Cr
Cr
wZQTYJ SO ZNAKOM \MINUS" KO\FFICIENT PRI p;1 W PROIZWEDENII STOQ]IH W SKOBKAH ABSOL@TNO SHODQ]IHSQ RQDOW. 2 wYPOLNENIE USLOWIQ f (z) ;! 0 W SLU^AE PERWOGO UTWERVDENIQ z!1 +1 k , A W SLU^AE WTOROGO | WYTEKAET IZ PREDSTAWLENIQ F (p) = P pak+1 k=0 IZ TOGO, ^TO F (p) ESTX PRAWILXNAQ RACIONALXNAQ DROBX , POSKOLXKU F (p) Re ;! 0 (S. 311). p!+1 1
329
A SLEDOWATELXNO (S U^ETOM TEOREMY OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA) DLQ WSEH TO^EK t > 0, W KOTORYH FUNKCIQ ORIGINAL IMEET PROIZWODNU@ f 0(t)1, 1 R+irF (p) ept dp = lim 1 H F (p) ept dp, f (t) = r!lim +1 2i;ir r!+1 2i ;r +P 1 ak tk A POTOMU f (t) = k! W USLOWIQH PERWOGO UTWERVDENIQ I m P
k=0 F (p) ept
;
W USLOWIQH WTOROGO . Q.E.D. zAME^ANIE. eSLI ZARANEE NE IZWESTNO , ^TO DANNAQ FUNKCIQ w = F (p) DEJSTWITELXNO SLUVIT IZOBRAVENIEM NEKOTOROGO ORIGINALA , TO NAJDENNU@ PO PRIWEDENNYM FORMULAM FUNKCI@ = f (t) SLEDUET RASSMATRIWATX LIX KAK \PREDPOLAGAEMYJ" ORIGINAL, TREBU@]IJ PROWERKI, ^TO W SAMOM +R1 DELE f (t) : F (p), T. E. f (t) e;ptdt = F (p). f (t) =
res
j =1 p=pj
0
pREDLAGAEMYE INOGDA DOSTATO^NYE PRIZNAKI TOGO, ^TO TA ILI INAQ FUNKCIQ w = F (p) SLUVIT IZOBRAVENIEM PO lAPLASU NEKOTOROJ FUNKCII = f (t), QWLQ@TSQ TIPI^NYMI PRIMERAMI \DISSERTACIONNYH" TEOREM - PUSTOCWETOW, BESPOLEZNYH W PLANE IH KONKRETNOGO PRIMENENIQ. sUDITX OB \TOM MOVNO PO IH FORMULIROWKAM (NAPRIMER, W 11], S. 404, TEOREMA 4): eSLI FUNKCIQ F (p) ANALITI^NA W POLUPLOSKOSTI Re p > s0 , STREMITSQ K NUL@ PRI jpj!1 W L@BOJ POLUPLOSKOSTI Re p > a>s0 RAWNOa+Ri1 MERNO OTNOSITELXNO arg p I INTEGRAL F (p) dp ABSOL@TNO SHODITa;i1
SQ, TO F (p) QWLQETSQ IZOBRAVENIEM FUNKCII f (t) = 21i
a+Ri1
eptF (p) dp.
a;i1
1 pRIMER. iZ RAZLOVENIQ DROBI (p2+1) 3 W RQD lORANA
iLI, BUDU^I W NIH NEPRERYWNOJ , IMEET W NIH ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE . 1
330
1 (;1)j (j +2)(j +1) 1 = 1 1 +P = , (p2 +1)3 p6 (1+p;2)3 2 j =0 p6+3j
jpj > 1,
I PERWOJ IZ TEOREM RAZLOVENIQ MOVNO ZAKL@^ITX, ^TO 1 (;1)j (j +2)(j +1) 5+3j 1 1 +P t . 2 3 (p +1) 2 j =0 (5+3j)! gORAZDO BOLEE WNQTNYJ OTWET DAET WTORAQ IZ TEOREM RAZLOVENIQ: ept ept 1 2 +1)3 + res (p2 +1)3 = (p2 +1)3 res ( p p=i p=;i 00 pt pt 00 = 12 (pe+i)3 + 12 (pe;i)3 = ; 81 t2sin t ; 38 t cos t + 83 sin t. p=i p=;i |TOT VE REZULXTAT (PRIBLIZITELXNO S TEM VE OB_EMOM WY^ISLITELXNOJ RABOTY) MOVNO POLU^ITX, RAZLAGAQ DROBX 1 (p2 +1)3 NA PROSTYE (XIV, S. 225)
1 A B C D E F (p2 +1)3 = (p+i)3 + (p+i)2 + p+i + (p;i)3 + (p;i)2 + p;i S A = 81i , B = 163 , C = 163 i , D = 81i , E = 163 , F = 163 i
;
;
;
;
I OPERIRUQ ZATEM SWOJSTWOM DIFFERENCIROWANIQ IZOBRAVENIQ (S. 317). (
t 2= N uPRAVNENIQ. 1. pROWERITX, ^TO FUNKCIQ f (t) = e0t2 PRI PRI t 2 N IMEET BESKONE^NYJ PORQDOK ROSTA, NO EE IZOBRAVENIE PO lAPLASU OPREDELENO DLQ WSEH KOMPLEKSNYH ZNA^ENIJ p. H 2. pRIMENIW TEOREMU kOI K INTEGRALU eieze;pz dz PO PRQMOPb UGOLXNIKU Pb S WERINAMI 0 b b + i 2 , i 2 (b > 0), A ZATEM LEMMU vORDANA K EGO SOSTAWLQ@]EJ PO OTREZKU MEVDU TO^KAMI b I b + i 2 (PRI b ! +1 S PEREHODOM K PEREMENNOJ = ez ), DOKAZATX, ^TO t ie a) FUNKCIQ - ORIGINAL f (t)= e IMEET NULEWOJ POKAZATELX ROSTA B) EE IZOBRAVENIE PO lAPLASU OPREDELENO DLQ WSEH p c Re p> ;1.
331 XX .
kAK OPERIRU@T PREOBRAZOWANIEM lAPLASA
tRADICIONNYM PRILOVENIEM PREOBRAZOWANIQ lAPLASA , ILI, KAK E]E GOWORQT, OPERACIONNOGO IS^ISLENIQ 1, QWLQETSQ REENIE \OPERACIONNYM METODOM" LINEJNYH DIFFERENCIALXNYH (A TAKVE INTEGRALXNYH I INTEGRODIFFERENCIALXNYH) URAWNENIJ I SISTEM, WOZNIKA@]IH, W ^ASTNOSTI, PRI RAS^ETE \LEKTRI^ESKIH CEPEJ | ZANQTII, PODWIGEM BYWEGO SOTRUDNIKA TELEGRAFNOJ KOMPANII hEWISAJDA (XIX , SNOSKA 4 NA S. 309) K IZOBRETENI@ TOGO, ^TO STALI NAZYWATX OPERACIONNYM IS^ISLENIEM . oB]AQ SHEMA METODA WESXMA PROSTA I, ESLI ESTX OSNOWANIQ S^ITATX ISKOMYE (RAWNO KAK I ZADANNYE) FUNKCII ORIGINALAMI , SWODITSQ K SLEDU@]EMU: a) OT ISHODNOGO URAWNENIQ, PRIMENQQ K OBEIM EGO ^ASTQM PREOBRAZOWANIE lAPLASA I U^ITYWAQ IME@]IESQ (ILI DOPOLNITELXNO ZADAWAEMYE) NA^ALXNYE USLOWIQ , PEREHODQT K TAK NAZYWAEMOMU URAWNENI@ W IZOBRAVENIQH B) REAQ POLU^ENNOE URAWNENIE (A ONO, ESLI, K PRIMERU, ISHODNOE URAWNENIE BYLO DIFFERENCIALXNYM , OKAZYWAETSQ ALGEBRAI^ESKIM 2 ) NAHODQT IZOBRAVENIQ ISKOMYH FUNKCIJ W) PO NAJDENNYM IZOBRAVENIQM NAHODQT FUNKCII-ORIGINALY , ISPOLXZUQ IME@]IESQ SPRAWO^NYE TABLICY ILI INYE SPOSOBY WOSSTANOWLENIQ ORIGINALOW PO IH IZOBRAVENIQM . wOT NESKOLXKO PRIMEROW, ILL@STRIRU@]IH KAK SAMU \TU SHEMU, TAK I TIPOWYE PRIEMY EE REALIZACII. nA SAMOM DELE TERMIN OPERACIONNOE IS^ISLENIE IMEET BOLEE IROKIJ SMYSL: POMIMO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA ON OHWATYWAET WSE METODY SWEDENIQ DIFFERENCIALXNYH (I INTEGRALXNYH ) URAWNENIJ K ALGEBRAI^ESKIM . 2 iLI DIFFERENCIALXNYM , NO S MENXIM ^ISLOM PEREMENNYH. 1
332
nAJTI OB]EE REENIE URAWNENIQ x" + !2x = f (t), A DLQ SLU^AEW A) f (t) = cos t ( 6= !) I B) f (t) = cos !t NAJTI EGO ^ASTNYE REENIQ, OTWE^A@]IE NULEWYM NA^ALXNYM USLOWIQM: x(0)=0 x_ (0)=0. dLQ NAHOVDENIQ OB]EGO REENIQ URAWNENIQ ZA NA^ALXNYE ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII BERUT PROIZWOLXNYE ^ISLA: x(0) = c1 x_ (0) = c2, POSLE ^EGO, POLAGAQ x(t) : X (p), a f (t) : F (p), PRIHODQT K URAWNENI@ W IZOBRAVENIQH : ; 2 p X (p) ; px(0) ; x_ (0) + !2 X (p) = F (p). w EGO REENII X (p) = pF2+(p!)2 + cp12p++!c22 PERWOE SLAGAEMOE ESTX Rt IZOBRAVENIE SWERTKI !1 f () sin !(t;) d , WTOROE VE | LI0 NEJNOJ KOMBINACII c1 cos !t + c2 !1 sin !t. wWIDU PROIZWOLXNOSTI ^ISEL c1 c2 (I WOZMOVNOSTI IH PEREOBOZNA^ENIQ) OB]IM REENIEM ISHODNOGO NEODNORODNOGO URAWNENIQ BUDET ; Rt x(t) = !1 f () sin !(t ; ) d + c1 cos !t + c2 sin !t , 0 T. E. (KAK I SLEDOWALO OVIDATX) SUMMA EGO ^ASTNOGO REENIQ (S NULEWYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI) I OB]EGO REENIQ SOOTWETSTWU@]EGO ODNORODNOGO URAWNENIQ. w SLU^AE f (t) = cos t (I NULEWYH NA^ALXNYH USLOWIJ) REENIEM URAWNENIQ W IZOBRAVENIQH QWLQETSQ p p 1 X (p)= (p2 +2)(p2 +!2) = !2;2 p2+2 ; p2+p !2 PRI 6= ! I 0 X (p) = (p2+p!2)2 = ; 12 p2+1 !2 PRI = !, SOOTWETSTWENNO ^EMU ; x(t) = !2;1 2 cos t ; cos !t PRI 6= ! I x(t) = t 21! sin !t PRI = ! (REZONANSNYJ SLU^AJ). 1.
333 8 > <x_ = y
;z
rEITX SISTEMU URAWNENIJ >y_ = x + y S NA^ALXNYMI : z_ = x + z USLOWIQMI x(0)=1 y(0)=2 z(0)=3. 8 >
1
w KOTOROM TRIH OBOZNA^AET PROIZWODNU@ PO p.
334
X = p2(pC; 1) C = C (p) (p2 ; p) p2(Cp ; 1) = 2 x(0), ;
0
e C = x(0) p2 + C X = xp(0)2(pp ;+1)C = px;(0)1 + pC;e 1 ; pCe2 ; Cpe ; PEREHOD K ORIGINALU DAET: x(t) = x(0)+ Ce et ; Ce(t +1) ILI (POSLE PEREOBOZNA^ENIQ KONSTANT) x(t)= c1 et + c2(t +1). 4. nAJTI REENIE URAWNENIQ t x" +2 x_ + tx = sin t, UDOWLETWORQ@]EE NULEWYM NA^ALXNYM USLOWIQM: x(0)=0 x_ (0)=0. sOOTWETSTWU@]IM URAWNENIEM W IZOBRAVENIQH BUDET ;(p2X )0 + 2pX ; X 0 = p21+1 , 1 . s U^ETOM SWOJSTWA DIFFERENCIW SILU ^EGO X 0= ; ( p2+1) 2 ROWANIQ IZOBRAVENIQ (XIX , c. 317) I IZOBRAVENIQ SWERTKI (XIX , c. 321) POSLEDNEE RAWENSTWO POZWOLQET ZAKL@^ITX, ^TO ;tx(t) : ;Rt sin sin(t; )d = 21 Rt;cos t ; cos(2 ; t)d = 2
0
e
0
= 21 t cos t ; 14 sin(2 ;t)t =0 = 12 t cos t ; sin t , I OKON^ATELXNO x(t)= 12 sint t ; cos t . 5. rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXT ERRY1 (TIPA Rt SWERTKI)2 x(t) = t + sin(t ; u) x(u) du. 0 pOLAGAQ x(t) : X (p) I WSPOMINAQ IZOBRAVENIE SWERTKI 2 , URAWNENIE MOVNO ZAPISATX W IZOBRAVENIQH : X (p)= p12 + p21+1 X (p) REENIE EGO I WOZWRA]ENIE K ORIGINALU DA@T:
X (p) = 1 2
1
p2 1; p21+1
;
= p12 + p14 , A SLEDOWATELXNO, x(t) = t + t6 . 3
wOLXTERRA (Volterra, Vito, 1860 {1940) | ITALXQNSKIJ MATEMATIK. XIX, S. 321.
335
rIS. 131
nAJTI WELI^INU TOKA ^EREZ KONDENSATOR W SHEME, IZOBRAVENNOJ NA RIS. 131, ESLI NA WHOD PODANO NAPRQVENIE u0 = 100 B, EMKOSTX KONDENSATORA C = 100 MKf, INDUKTIWNOSTX KATUKI L =29 4 MgN, SOPROTIWLENIE R =10 Om, A KL@^ WKL@^AETSQ W MOMENT WREMENI t =0. pUSTX iC = iC (t) I iL = iL (t) | TOKI SOOTWETSTWENNO ^EREZ KONDENSATOR I KATUKU , PRI \TOM iC (0) = iL(0) = 0. pOSKOLXKU NA^ALXNOE PADENIE NAPRQVENIQ NA KONDENSATORe RAWNQLOSX u0 , K MOMENTU WREMENI t ONO OKAZYWAETSQ ; Rt RAWNYM u0 + 1=C iC (t) dt, PADENIE VE NAPRQVENIQ NA KA0 TUKE RAWNO (PO ZAKONU lENCA) Li0L c U^ETOM ZAKONA oMA \TO PRIWODIT K SISTEME URAWNENIJ 8 t
336
IZ KOTOROJ SLEDUET, ^TO u0 ; ; u 0 ; IC = 1 L = p2+ p L+ 1 = p Cp + RC +Lp RC LC
; 29410010;3
3400 = p2+ = ; 2 +3002 , p 1 ( p +500) + 10 100 10;6 294 10;3100 10;6 I (PO PEREHODU K ORIGINALU) iC (t) = 11 3 e;500 t sin 300 t A]. 7. w SHEME, IZOBRAVENNOJ NA RIS. 132, a, NAJTI WYHODNOE NAPRQVENIE uR2 (t), ESLI R1 = R2 = 1 KOM, C = 2000 MKf, A ZAWISIMOSTX u = u(t) WHODNOGO NAPRQVENIQ OT WREMENI PREDSTAWLENA NA RIS. 132, B .
rIS. 132
pRI OBOZNA^ENII i1 = i1 (t) I i2 = i2 (t) TOKOW SOOTWETSTWENNO ^EREZ KONDENSATOR I PARALLELXNOE EMU SOPROTIWLENIE (KAK NA RIS. 132, a) DLQ NIH MOVNO ZAPISATX SISTEMU URAWNENIJ 8 t
337
eSLI S^ITATX, ^TO i1 (t) : I1 (p) i2 (t) : I2 (p), a u(t) : U (p), TO SISTEMOJ URAWNENIJ W IZOBRAVENIQH BUDET ( R1(I1 + I2) + I1=(Cp) = U R1(I1 + I2) + R2I2 = U: iZ NEE SLEDUET, ^TO I2 = R1 R2 Cp U+(R1+R2) , A SLEDOWATELXNO, 2U uR2(t) = R2 i2 (t) : R2 I2 = R1R2 CpR+( R1 +R2) = 3 U 1 Rt u( ) e;(t;) d . = = 3 3 10 U ;6 3 10 10 2000 10 p +2 10
2(p+1)
20
pRIMENITELXNO VE K ZADANNOMU WHODNOMU NAPRQVENI@ (RIS. 132, B ) WY^ISLENIE POSLEDNEGO INTEGRALA DAET: ESLI 0 6 t 6 1, TO Rt uR2 (t) = 12 100 e;t d = 0
; Rt = 50 e;t t =0 ; e;t d = 50 t ; 1+ e;t B], 0 ESLI VE t > 1, TO R1 Rt uR2 (t) = 12 100 e;t d + 100( ; 1)e;t d = 0 1 ; = 50 e;t + t ; 2+ ee;t B].
dLQ UPRO]ENIQ RAS^ETA \LEKTRI^ESKIH CEPEJ IH RAZDELQ@T NA OTDELXNYE U^ASTKI (KONTURY), HARAKTERIZU@]IESQ (WNE ZAWISIMOSTI OT INDIWIDUALXNOGO USTROJSTWA KAVDOGO) NALI^IEM DWUH KLEMM WHODNOGO NAPRQVENIQ I DWUH KLEMM WYHODNOGO . tAKIE U^ASTKI W \LEKTROTEHNIKE NAZYWA@T ^ETYREHPOL@SNIKAMI . oTNOENIE IZOBRAVENIQ NAPRQVENIQ NA WYHODE ^ETYREHPOL@SNIKA K IZOBRAVENI@ NAPRQVENIQ NA WHODE NAZYWA@T PEREDATO^NOJ FUNKCIEJ ^ETYREHPOL@SNIKA. w ^ASTNOSTI, ^ETYREHPOL@SNIK W RAZOBRANNOM PRIMERE IMEET PEREDATO^NU@ U FUNKCI@ UR2 = R1 R2 CpR+(2 R1 +R2) . pRI POSLEDOWATELXNOM WKL@^ENII ^ETYREHPOL@SNIKOW IH PEREDATO^NYE FUNKCII PEREMNOVA@TSQ .
338 8. nAJTI FORMULU RASPROSTRANENIQ \LEKTRI^ESKOGO POTENCIALA u = u(x t) W POLUBESKONE^NOJ PROWODNOJ LINII (0 6 x< +1), NA WHOD KOTOROJ (x =0) PODAETSQ (PRI t > 0) POTENCIAL " = "(t) ZA \POLOVITELXNOE" NAPRAWLENIE TOKA i = i(x t) PRINIMAETSQ NAPRAWLENIE WOZRASTANIQ x (RIS. 133), PRI \TOM NA^ALXNYE ZNA^ENIQ POTENCIALA I TOKA S^ITA@TSQ NULEWYMI : u(x 0) = 0 i(x 0) = 0. pARAMETRAMI LINII SLUVAT OTNESENNYE K EDINICE DLINY LINII a) AKTIWNOE (OMI^ESKOE) SOPROTIWLENIE1 R B) INDUKTIWNOSTX2 L W) EMKOSTX3 C G) KO\FFICIENT POTERX4 G. zADA^U REITX W SLU^AE LG = RC | LINII \BEZ ISKAVENIJ" (SMYSL TERMINA WYQSNITSQ NIVE).
rIS. 133 zAWISQ]EE OT MATERIALA I SE^ENIQ PROWODA. kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI MEVDU |ds SAMOINDUKCII I SKOROSTX@ IZMENENIQ TOKA. 3 kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI MEVDU SKOPIWIMSQ ZARQDOM I POTENCIALOM (OBKLADKAMI \KONDENSATORA" SLUVAT PROWOD I \ZEMLQ" S OKRUVA@]IMI PROWOD PREDMETAMI). 4 kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI MEVDU POTOKOM STEKA@]EGO ^EREZ IZOLQCI@ ZARQDA I POTENCIALOM PROWODA. 1 2
339
pRIMENENIE ZAKONA oMA K U^ASTKU LINII OT x DO x+Mx PRIWODIT K SOOTNOENI@ u(x t) ; u(x+Mx t) = RMxi(x t) + LMxi0t (x t) (POD ZNA^ENIQMI TOKA I EGO PROIZWODNOJ PONIMA@TSQ IH USREDNENIQ NA U^ASTKE OT x DO x+Mx). dELENIE EGO PRAWOJ I LEWOJ ^ASTEJ NA Mx I USTREMLENIE Mx K NUL@ PRIWODIT K PERWOMU IZ TAK NAZYWAEMYH TELEGRAFNYH URAWNENIJ : u0x + Ri + Li0t = 0 . s DRUGOJ STORONY, SOSTAWLENIE BALLANSA ZARQDA ZA PROMEVUTOK WREMENI OT t DO t+Mt POZWOLQET ZAPISATX: ; i(x t) ; i(x+Mx t) Mt = ; = CMx u(x t+Mt) ; u(x t) + GMxu(x t)Mt (ZNA^ENIQ TOKA I POTENCIALA PONIMA@TSQ KAK USREDNENNYE SOOTWETSTWENNO PO WREMENI I/ILI KOORDINATE) DELENIE OBEIH ^ASTEJ RAWENSTWA NA Mx I Mt S POSLEDU@]IM USTREMLENIEM IH K NUL@ DA@T WTOROE TELEGRAFNOE URAWNENIE : i0x + Cu0t + Gu = 0 . iSKL@^ENIE TOKA IZ POLU^ENNOJ SISTEMY TELEGRAFNYH URAWNENIJ (WY^ITANIEM IZ PERWOGO URAWNENIQ, PRODIFFERENCIROWANNOGO PO x, WTOROGO URAWNENIQ, UMNOVENNOGO NA L I PRODIFFERENCIROWANNOGO PO t, S POSLEDU@]IM WYRAVENIEM i0x ^EREZ u I u0t IZ WTOROGO URAWNENIQ) PRIWODIT K TELEGRAFNOMU URAWNENI@ WTOROGO PORQDKA OTNOSITELXNO u: u00xx ; LCu00tt ; (LG + RC) u0t; RGu = 0: () s U^ETOM USLOWIJ u(x 0) = 0 i(x 0) = 0 (I WTOROGO TELEGRAFNOGO URAWNENIQ) WOZNIKAET ZADA^A kOI: NAJTI REENIE u = u(x t) URAWNENIQ (), UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM u(x 0) = 0 u0t(x 0) = 0 I GRANI^NOMU USLOWI@ u(0 t) = "(t).
340
mETOD REENIQ \TOJ ZADA^I | PRIMENENIE PREOBRAZOWANIQ lAPLASA PO PEREMENNOJ t: +R1 +R1 u(x t) : U (x p) = u(x t) e;ptdt, "(t) : E (p) = "(t) e;ptdt, 0 0 0 ut(x t) : pU (x p) ; u(x 0) = pU (x p), u00tt (x t) : p2U (x p) ; pu(x 0) ; u0t(x 0) = p2U (x p), +R1 u00xx(x t) : u00xx(x t) e;ptdt = U 00(x p).1 0 sFORMULIROWANNAQ ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQ W ^ASTNYH2 PROIZWODNYH (*) PEREHODIT PRI \TOM W KRAEWU@ ZADA^U d U ; ;LCp2 + (LG + RC)p + RGU = 0 U (0 p) = E (p) dx2 DLQ LINEJNOGO ODNORODNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ S POSTOQNNYMI (PO OTNOENI@ K PEREMENNOJ x ) KO\FFICIENTAMI. w SLU^AE LG =;RCp KORNQMI p EGO HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ SLUVAT p LC + RG ,2 A POTOMU OB]EE REENIE DANNOGO DIFFERENCIALXNOGO pLC+pRG)x URAWNENIQ pLC+IMEET pRG) xWID p ; p ( ( U (x p) = c1e + c2 e , GDE c1 c2 | PROIZWOLXNYE KO\FFICIENTY (NE ZAWISQ]IE OT x, NO, WOZMOVNO, ZAWISQ]IE OT p). tAK KAK DOLVNO WYPOLNQTXSQ USLOWIE U (x p) Re;! 0 p!+1 (XIX , S. 311), A IZ DWUH \KSPONENT W PREDSTAWLENII U (x p) LIX WTORAQ STREMITSQ K NUL@ PRI Re p ! +1, KO\FFICIENT c1 DOLVEN RAWNQTXSQ NUL@ , IZ USLOWIQ VE U (0 p)= E (p)
pOSLEDNEE RAWENSTWO OZNA^AET WOZMOVNOSTX DIFFERENCIROWANIQ +R1 INTEGRALA u(x t) e;pt dt PO PARAMETRU x, DLQ OBOSNOWANIQ KOTOROGO 0 NET DOSTATO^NOJ INFORMACII O PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII. zAMENOJ \TOGO OBOSNOWANIQ MOVET SLUVITX PRQMAQ PROWERKA OKON^ATELXNOGO REZULXTATA. 2 pRI LG = RC MNOGO^LEN 2-J STEPENI LCp2 + (LG + RC)p + RG p ; p PRINIMAET WID p LC + RG 2 . 1
341
SLEDUET, ^TO c2 = E (p). oSTAETSQ PRIMENITX K POLU^ENNOMU REENI@ W IZOBRAVENIQH p p p ; p U (x p) = E (p) e;(p LC + RG)x = e;p LC e;x RGE (p) SWOJSTWO ZAPAZDYWANIQ ORIGINALA , c. 318): pRG ; (XIX p ; x " t ; x LC . u(x t)= e wYWOD: W SLU^AE LG = RC PODAWAEMYJ NA WHOD1 SIGNAL (POTENCIAL ) "(t) RASPROSTRANQETSQ SO SKOROSTX@ pLC , PRI \TOM FORMA SIGNALA NE ISKAVAETSQ, A EGO AMPLITUDA (PO pRG x PRIHODU SIGNALA W TO^KU x ) UMENXAETSQ W e RAZ. pRILOVENIQ K RAZNOSTNYM URAWNENIQM. aNALOGAMI DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ , KOGDA W KA^ESTWE U^ASTWU@]IH W NIH FUNKCIJ WYSTUPA@T POSLEDOWATELXNOSTI , QWLQ@TSQ RAZNOSTNYE URAWNENIQ . k PRIMERU, LINEJNOE RAZNOSTNOE URAWNENIE k-GO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI IMEET WID xn+k + a1 xn+k;1 + + ak xn = bn n = 0 1 2 : : : , GDE a1 : : : ak | ZADANNYE ^ISLA , A fbng = b0 b1 b2 : : : | ZADANNAQ ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX .1 zADA^A kOI DLQ TAKOGO RAZNOSTNOGO URAWNENIQ IMEET SLEDU@]U@ FORMULIROWKU: NAJTI ^ISLOWU@ POSLEDOWATELXfAKTI^ESKI TAKOE RAZNOSTNOE URAWNENIE (A W SLU^AE, ESLI WSE bn =0, EGO NAZYWA@T ODNORODNYM ) ESTX BESKONE^NAQ SISTEMA LINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ . rAZNOSTNYE URAWNENIQ ^ASTO WOZNIKA@T KAK DISKRETNYE PRIBLIVENIQ DIFFERENCIALXNYH, KOGDA FUNKCII ZAMENQ@T POSLEDOWATELXNOSTQMI IH ZNA^ENIJ W (OBY^NO RAWNOOTSTOQ]IH) TO^KAH ^ISLOWOJ OSI. nAPRIMER, SOOTWETSTWU@]IM RAZNOSTNYM URAWNENIEM (ODNORODNYM ) DLQ URAWNENIQ KOLEBANIQ MAQTNIKA x$ + !2 x =0 BUDET xn+2 ;2xn+1 +xn + !2x =0, ILI x + (h2 !2 ; 2)x + x = 0, n+1 n+2 n+1 n h2 GDE xn = x(nh) n = 0 1 2 : : : , | ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII PRI t = 0 h 2h 3h : : : 1
342
NOSTX fxng = x0 x1 x2 : : : , UDOWLETWORQ@]U@ DANNOMU RAZNOSTNOMU URAWNENI@ I IME@]U@ W KA^ESTWE NA^ALXNYH k \LEMENTOW ( x0 : : : xk;1) ZADANNYE k ^ISEL. tO, ^TO REENIE \TOJ ZADA^I (POSLEDOWATELXNOSTX fxng S \TIMI SWOJSTWAMI) SU]ESTWUET I QWLQETSQ EDINSTWENNYM , NAPRQMU@ WYTEKAET IZ WOZMOVNOSTI WY^ISLENIQ \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng, NA^INAQ S xk , PO k PREDYDU]IM. iNTERES VE PREDSTAWLQET POLU^ENIE OB]EJ FORMULY \TIH \LEMENTOW. k ZADA^E kOI DLQ LINEJNOGO ODNORODNOGO RAZNOSTNOGO yRAWNENIQ (2-GO PORQDKA) PRIWODIT SLEDU@]AQ \zADA^A O KROLIKAH" IZ \kNIGI ABAKA" (\Liber abaci")1 ITALXQNSKOGO MATEMATIKA lEON ARDO pIZ ANSKOGO, ILI fIBON A^^I2 w PERWYJ DENX QNWARQ W ZAGON POME]A@T PARU KROLIKOW, KOTORYE PROIZWODQT NOWU@ PARU KROLIKOW W PERWYJ DENX FEWRALQ I ZATEM W PERWYJ DENX KAVDOGO SLEDU@]EGO MESQCA. kAVDAQ NOWOROVDENNAQ PARA STANOWITSQ ZRELOJ UVE ^EREZ MESQC I ZATEM ^EREZ MESQC DAET VIZNX NOWOJ PARE KROLIKOW. sKOLXKO PAR KROLIKOW BUDET W ZAGONE ^EREZ GOD, T. E. ^EREZ 12 MESQCEW S NA^ALA RAZMNOVENIQ? oBOZNA^AQ xn n = 0 1 : : : 12, ^ISLO PAR KROLIKOW (ZRELYH) W PERWYJ DENX n-GO MESQCA (S^ITAQ x0 = 0), PRIHODQT K ZADA^E kOI DLQ ODNORODNOGO RAZNOSTNOGO URAWNENIQ 3 xn+2; xn+1; xn = 0 S NA^ALXNYMI USLOWIQMI x0 =0 x1 =1. pOSKOLXKU PREOBRAZOWANIE lAPLASA K POSLEDOWATELXNOSTQM NAPRQMU@ NE PRIMENIMO, EGO PRIWLE^ENIE K REENI@ 1 lAT. abacus | S^ETNAQ DOSKA W \TOJ WPERWYE WYEDEJ W 1202 G.
RUKOPISNOJ KNIGE BYLI IZLOVENY DOSTIVENIQ ARABSKIH MATEMATIKOW, I S NEE NA^ALSQ PEREHOD W eWROPE OT RIMSKIH CIFR K ARABSKIM. 2 Leonardo Pisano (Fibonacci | ZNA^IT SYN bONA^^O ) RODILSQ MEVDU 1170 I 1180 GG., UMER NE RANEE 1240 G. o EGO VIZNI, EGO WREMENI, EGO PUTEESTWIQH I KNIGAH O^ENX INTERESNO NAPISANO W 34]. 3 oB OGRANI^ENII n 6 12, RAZUMEETSQ, MOVNO ZABYTX.
343
RAZNOSTNYH URAWNENIJ ORGANIZU@T SLEDU@]IM OBRAZOM. oT POSLEDOWATELXNOSTEJ fxng = x0 x1 x2 : : : PEREHODQT K STUPEN^ATYM FUNKCIQM 8 > 0 ESLI t< 0 > > > > > <x0 ESLI 0 6 t< 1 def xe(t) = >x1 ESLI 1 6 t< 2 > > x2 ESLI 2 6 t< 3 > > >
:
I UVE K NIM, PREDPOLAGAQ, ^TO ONI QWLQ@TSQ ORIGINALAMI (XIX , c. 310)1 PRIMENQ@T PREOBRAZOWANIE lAPLASA : +R1 nR+1 xe(t) : Xe (p) = xe(t) e;pt dt =n!lim xe(t) e;ptdt = +1 0
0
;ptdt + x1 e;ptdt + + nR+1xn e; ptdt = =n!lim x e 0 +1 0 1 n 1 ;np ; ; p 1;e x + x e;p + + x e;np = 1;e;p +P =n!lim xn e . 0 1 n p +1 p R1
R2
n=0
oPUSKAQ OB]IJ DLQ IZOBRAVENIJ TAKIH STUPEN^ATYH ;p 1 ; e FUNKCIJ MNOVITELX p , OPREDELQ@T DISKRETNOE PREOBRAZOWANIE lAPLASA ISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxng: fxng :D +P1xn e;np = x0 + x1e;p +x2 e;2p + x3 e;3p + , n=0
WOSPRINIMAQ EGO ISKL@^ITELXNO KAK SOKRA]ENNU@ ZAPISX OBY^NOGO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA SOOTWETSTWU@]EJ STUPEN^ATOJ FUNKCII 2. a \TO RAWNOSILXNO TOMU, ^TO DLQ NEKOTOROGO ^ISLA WYPOLNQETSQ OCENKA xn = O(en ). 2 w OBOZNA^ENII ep = z DISKRETNOE PREOBRAZOWANIE lAPLaSA NAZYWA@T E]E Z -PREOBRAZOWANIEM . pODROBNEE OB \TOM | U g. d$E^A 6]. 1
344 nEKOTORYE, WPRO^EM, PREDPO^ITA@T OPERIROWATX DISKRETNYM PREOBRAZOWANIEM lAPLASA KAK OBY^NYM (INTEGRALXNYM), NO TOLXKO NE POSLEDOWATELXNOSTI fxng, A OBOB]ENNOJ FUNKCII (PSEWDOFUNKCII , RAS+ 1 P PREDELENIQ ) x (t) = xn (t ; n), GDE (t) | TAK NAZYWAEMAQ \DELXTA n=0 - FUNKCIQ" dIRAKA1 SO SLEDU@]IM FORMALXNYM PRAWILOM INTEGRIRO+R1 WANIQ EE PROIZWEDENIQ S \OBY^NOJ" FUNKCIEJ: f (t) (t ; a) dt = f (a). ;1 wWIDU \TOGO SWOJSTWA FORMALXNO +R1 + 1 + 1 D P P x (t) : xn (t ; n) e;ptdt = xn e;np fxng. n=0 0 n=0 pODROBNO OB \TOM PODHODE MOVNO PRO^ITATX U g. bREMERMANA 1].
tAK KAK PRI Re p > ln jqj +P 1 n ;np 1 , q e = 1+ qe;p +(qe;p)2 +(qe;p)3 + = 1;qe ;p n=0 SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ FORMULA DISKRETNOGO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII : fqng :D +P1qn e;np = epe;p q . n=0
hOROIJ PRIMER PRIMENENIQ DISKRETNOGO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA | OTYSKANIE FORMULY ^ISEL fIBONA^^I 2, T. E. REENIE RAZNOSTNOGO URAWNENIQ xn+2 ; xn+1 ; xn = 0 S NA^ALXNYMI USLOWIQMI x0 =0 x1 =1 (c. 342). pOLAGAQ fxng :D X (p) def= x0 + x1e;p + x2e;2p + x3e;3p + , MOVNO PRIJTI K SOOTNOENIQM hOTQ PRINQTO S^ITATX, ^TO EE WWEL ANGLIJSKIJ FIZIK dIRAK (TO^NEE, dIR\K Dirac Paul Adrien Maurice, 1902{1984), \TOJ \FUNKCIEJ" OPERIROWALI I DO NEGO | NAPRIMER, kOI W OPUBLIKOWANNOM W 1827 G. MEMUARE O RASPROSTRENENII WOLN (\Theorie de la propogation des ondes") 28], ser. I, t. I, p. 5{318 (KONKRETNO NA S. 28{29, 61, 63). 2 1 1 2 3 5 8 13 21 : : : (x = x = 1, A KAVDOE SLEDU@]EE ESTX 1 2 SUMMA DWUH PREDYDU]IH). 1
345
fxn+1g :D x1 + x2 e;p + x3 e;2p + x4 e;3p + = (X (p) ;x0)ep, fxn+2g :D x2 + x3e;p + x4e;2p + = (X (p); x0 ; x1e;p)e2p, TAK ^TO PEREHOD W RAZNOSTNOM URAWNENII xn+2;xn+1;xn = 0 K IZOBRAVENIQM (S U^ETOM NA^ALXNYH USLOWIJ x0 =0 x1 =1) PRIWODIT K URAWNENI@ (X(p) ; e;p)e2 p ; Xp (p)ep ; X(p) = 0, REENIEM KOTOROGO QWLQETSQ X (p) = e p;eep;1 . wOSSTANOWITX PO \TOMU REENI@ SAMU POSLEDOWATELXNOSTX fxng PRO]E 1 2
WSEGO PUTEM RAZLOVENIQ DROBI e2 p;ep;1 NA PROSTYE:
1 1 1 1 e2 p ;ep;1 = (ep ;q1)(ep ;q2) = q1 ;q2 ep;q1 ; ep ;q2 , A SLEDOWATELXNO, p ep = 1 ep ; ep , GDE q = 1 5 . 12 e2 p ;ep;1 q1 ;q2 ep;q1 ep ;q2 2 D p pOSKOLXKU fqng : epe;q , SLEDUET OKON^ATELXNYJ OTWET: p n p n xn = p15 1+2 5 ; 1;2 5 , n = 1 2 : : : | 1
TAK NAZYWAEMAQ FORMULA bIN E 1 ^ISEL fIBONA^^I .
kAK SLEDSTWIE, DLQ ^ISEL fIBONA^^I WYPOLNQETSQ (W PREDELE p PRI x 5;1 n ! +1) \BOVESTWENNAQ (ZOLOTAQ ) PROPORCIQ" 2 : xnn+1 n;! !+1 2 . uPRAVNENIQ. 1. nAJTI DISKRETNOE lAPLASA POSLE PREOBRAZOWANIE D ep DOWATELXNOSTI fng = 0 1 2 3 : : : oTWET: fng : (ep ;1)2 . 2. nAJTI FORMULU OB]EGO \LEMENTA POSLEDOWATELXNOSTI fxng, OPRExn +xn+1 (PRI PROIZWOLXNYH x I x ). 0 1 DELQEMOJ SOOTNOENIEM xn+2 = 2 x x 0 +2x1 n 0 ;x1 oTWET: xn = 3 +(;1) 32n;1 . Binet, Jacques (1786{1856) | FRANCUZSKIJ ASTRONOM I MATEMATIK. mENXAQ ^ASTX TAK OTNOSITSQ K BOLXEJ, KAK BOLXAQ K CELOMU. bOVESTWENNOJ NAZWAL \TU PROPORCI@ ITALXQNSKIJ MATEMATIK pA^OLI (Pacioli, Luca, 1445{1515) W KNIGE 41], WPERWYE WYEDEJ W 1509 G. S ILL@STRACIQMI PRIQTELQ pA^OLI | lEONARDO DA wIN^I (1452{1519). 1 2
346
pRILOVENIE. bUKWY DREWNEGRE^ESKOGO PISXMA
nAPISANIE
nAZWANIE
pEREDAWAEMYJ ZWUK
A ALXFA B B ETA ; G AMMA %
D ELXTA E " \ PSIL ON Z DZ ETA H \TA & T ETA I I OTA K K APPA ' L AMBDA M M@ (MI) N N@ (NI) ( KSI O o o MIKR ON ) PI P RO * & (W KONCE SLOWA) SI GMA T T AU + I PSIL ON ' FI X HI , PSI - ! O M EGA
T] (S PRIDYHANIEM) I] K] L] M] N] KS] o] (KRATKOE) P] R] c] T] MEVDU I] I U] F] x] PS] o] (DOLGOE)
(" & | BOLXOJ, o& | MALYJ, o&
| GOLYJ, KRATKIJ)
a] B] G] D]
e] (KRATKOE) DZ] e] (DOLGOE)
347
sPISOK CITIROWANNOJ LITERATURY1 1. bREMERMAN g.
rASPREDELENIQ, KOMPLEKSNYE PEREMENNYE I PREOBRAZOWANIQ fURXE. m.: mIR, 1968. 2. gARDI g. iNTEGRIROWANIE \LEMENTARNYH FUNKCIJ. m.{ l.: onti, 1935.2 3. gILXBERT d., kON-fOSSEN s. nAGLQDNAQ GEOMETRIQ. M.: nAUKA, 1981.
4. gURWIC a.
tEORIQ ANALITI^ESKIH I \LLIPTI^ESKIH FUNKCIJ. m.{ l.: gtti, 1933.2 5. gURSA |. kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. t. II. m.{ l.: onti,
1936.2 6. d E^ g. rUKOWODSTWO K PRAKTI^ESKOMU PRIMENENI@ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA. m.: nAUKA, 1965. 7. kARATEODORI k. kONFORMNOE OTOBRAVENIE. m.{ l.: onti, 1934.2 8. kARTAN a. |LEMENTARNAQ TEORIQ FUNKCIJ ODNOGO I NESKOLXKIH KOMPLEKSNYH PEREMENNYH. m.: il., 1963. 9. kOLXMAN |. bERNARD bOLXCANO. m.: iZD-WO an sssr, 1955. 10. kURANT r. gEOMETRI^ESKAQ TEORIQ FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ. m.{ l.: onti, 1934. 11. lAWRENTXEW m. a., {ABAT b. w. mETODY TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. m.{ l.: gittl, 1951. 12. mARKUEWI^ a. i. tEORIQ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ. m.{ l.: gittl, 1950. 13. mATWIEWSKAQ g. p. o^ERKI ISTORII TRIGONOMETRII. tAKENT: \fan", 1990.2 14. oKUNEW l. q. wYSAQ ALGEBRA. m.{ l.: gittl, 1949. 1 pOMIMO PRIWEDENNOJ W TEKSTE. dLQ SRAWNITELXNO REDKIH I ZARUBEVNYH IZDANIJ UKAZANO, GDE IH MOVNO NAJTI. 2 iMEETSQ W rOSIJSKOJ GOSUDARSTWENNOJ BIBLIOTEKE.
348 15. rIMAN b. sO^INENIQ. m.{ l.: gittl, 1948. 16. tIT^MAR e. tEORIQ FUNKCIJ. m.{ l.: gittl, 1951. 17. fIHTENGOLXC g.m. kURS DIFFERENCIALXNOGO I INTEGRALXNO-
GO IS^ISLENIQ. t. III. m.: nAUKA, 1966. 18. fORD l. r. aWTOMORFNYE FUNKCII. m.{ l.: onti, 1936.1 19. |JLER l. wWEDENIE W ANALIZ BESKONE^NO MALYH. t. 1. m.{ l.: onti, 1936. 20. |JLER l. tRI STATXI PO MATEMATI^ESKOJ KARTOGRAFII. m.: gEODEZIZDAT, 1959.1
21. Argand R. Essai sur une mani ere de repr esenter les quantit es
imaginaires dans les constructions g eom etriques. 2-me edition. Paris, 1874.1 22. Borel E. Le cons sur les fonctions monog enes uniformes d'une variable complexe. Paris, 1917.1 23. Briot et Bouquet. Th eorie des fonctions elliptiques. 2-me edition. Paris, 1875.1 24. Carson J.R. Electric circuit theory and the operational calculus. New York{London, 1926.1 25. Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. V. I. Pavia, 1868.1 ,2 cole Royale Polytechnique. 26. Cauchy A.-L. Cours d'Analyse de l'E 2 Paris, 1821. 27. Cauchy A.-L. M emoire sur les int egrales d e!nies. Paris, 1825.1 28. Cauchy A.-L. "uvres compl etes. S er. I { II. Paris, 1887{1974.1 ,2 29. da Cunha J.-A. Principes math ematiques. Bordeaux, 1811.1 30. Descartes R. La g eom etrie (nouvelle edition). Paris, 1927.2 31. Euler L. Opera omnia, series prima. V. VI. Lipsiae et Berolini, 1921.1 1 iMEETSQ W rOSSIJSKOJ GOSUDARSTWENNOJ BIBLIOTEKE. 2 iMEETSQ W BIBLIOTEKE MEH.- MAT. F -TA mgu.
349 32. Euler L. Opera omnia, series prima. V. XIX. Turici, 1932.1 33. Gauss C. F. Werke. G ottingen, 1863{1933.2 34. Gies J., Gies F. Leonard of Pisa and the new mathematics of
the middle ages. New York, 1969.1 35. Hamilton W.R. Lectures on quaternions. London{Cambridge, 1853.2 36. Heaviside O. Electromagnetic theory. V. II. London, 1899.1 37. Lagrange. Th eorie des fonctions analytiques. Paris, 1813.1 ,2 38. Maclaurin C. A treatise of #uxions. Edinburgh, 1742.2 39. Neumann C. Vorlesungen u ber Riemann's Theorie der abelschen Integrale. Leipzig, 1865.1 40. Ore O. Cardano the gambling scholar. Prinston, N.-J., 1953.1 41. Pacioli L. De divina proportione. Milano, 1956.1 42. Scott J.F. The mathematical work of John Wallis. New York, 1981.1 43. Weierstrass K. Mathematische Werke. Berlin, 1894{1927.2 44. Wessel C. On the Analytical Representation of Direction. An Attempt Applied Chie#y to Solving Plane and Spherical Polygons. Copenhagen, 1999.2
1 2
iMEETSQ W rOSSIJSKOJ GOSUDARSTWENNOJ BIBLIOTEKE. iMEETSQ W BIBLIOTEKE MEH.- MAT. F -TA mgu.
350
pREDMETNYJ UKAZATELX
aBELQ TEOREMA 41
aLGEBRAI^ESKAQ FUNKCIQ 52{53 aNALITI^ESKAQ FUNKCIQ 105 aNALITI^ESKOE PRODOLVENIE 202 aNALITI^NOSTX 106 aRGUMENT KOMPLEKSNOGO ^ISLA 15 bERNULLI ^ISLA 192 bESKONE^NO UDALENNAQ TO^KA (BESKONE^NOSTX) 22 bINE FORMULA 345 \bOVESTWENNAQ PROPORCIQ" 345 wEJERTRASSA TEOREMA O POSLEDOWATELXNOSTQH ANALITI^ESKIH FUNKCIJ 174 ; (kAZORATI { sOHOCKOGO) TEOREMA 220 wERHNIJ PREDEL 27 wETWLENIE 69 wETWLENIQ TO^KA 62 wETWX (ODNOZNA^NAQ) 61 wOSSTANOWLENIE ANALITI^ESKOJ FUNKCII PO EE DEJSTWITELXNOJ (MNIMOJ) ^ASTI 113{115 wY^ET 229 gAMMA-FUNKCIQ 315 gARMONI^ESKAQ FUNKCIQ 115 gIDROMEHANI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ 83 gIPERBOLI^ESKIE KOSINUS I SINUS 38
gLAWNOE ZNA^ENIE INTEGRALA 251 gLADKAQ DUGA 117 ; ; ORIENTIROWANNAQ 121 gLADKOE SOEDINENIE DUG 120{121
gOLOMORFNOSTX 106 gRANICA OBLASTI 149 dELENIE STEPENNYH RQDOW 39 dELXTA - FUNKCIQ (dIRAKA) 344 dISKRETNOE PREOBRAZOWANIE lAPLASA 343 dIFFERENCIROWANIE IZOBRAVENIQ 317
; ORIGINALA 316 dIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII 72 dROBNO -LINEJNAQ FUNKCIQ, OTOBRAVENIE 89 vORDANA LEMMA 248{249 ; SWOJSTWO 144 vUKOWSKOGO FUNKCIQ 100 zAPAZDYWANIE ORIGINALA 318 \zOLOTAQ PROPORCIQ" 345 iZOBRAVENIE (PO lAPLASU) 309 ; PERIODI^ESKOGO ORIGINALA 320 ; SWERTKI 321 iZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA 212 iNDEKS ZAMKNUTOGO KONTURA 138 iNTEGRAL WDOLX PUTI (KLASSA C 1 ) 127
; (TIPA) kOI 166{167 ; PO KUSO^NO -GLADKOMU KONTURU 127
; lAPLASA 309 ; |JLERA 2-GO RODA 315 iNTEGRALA OCENKA 133 iNTEGRALY fRENELQ 273 iNTEGRALXNAQ FORMULA kOI 165 kAZORATI { sOHOCKOGO { wEJERTRASSA TEOREMA 220
351 kARDANO FORMULA 12 kARTA mERKATORA 48 kOLXCO SHODIMOSTI (OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA) 29 kOMPLEKSNAQ PLOSKOSTX 5 ; ; KONE^NAQ, RASIRENNAQ 22 kOMPLEKSNYE ^ISLA 8, 10 kOMPLEKSNYJ POTENCIAL 85 kONTUR (KUSO^NO -GLADKIJ, GLADKIJ, ZAMKNUTYJ) 121 kONFORMNOSTX OTOBRAVENIQ 81 kORENX IZ KOMPLEKSNOGO ^ISLA 6, kOI INTEGRAL 166 ; TEOREMA 151 ; INTEGRALXNAQ FORMULA ; NERAWENSTWA DLQ KO\FFICIENTOW tEJLORA I lORANA 194 ; FORMULA DLQ PROIZWODNYH 172 kOI { aDAMARA TEOREMA 27 kO\FFICIENT LOKALXNOGO RASTQVENIQ 82 kRATNOSTX (PORQDOK) NULQ 198 kRITERIJ kOI SHODIMOSTI ^ISLOWOJ SLEDOWATELXNOSTI 18 ; ; ; ^ISLOWOGO RQDA 25{26 ; SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ 73 kRUG SHODIMOSTI (STEPENNOGO RQDA) 28 \kRUGOWOE" SWOJSTWO DROBNO -LINEJNYH OTOBRAVENIJ 92 kUSO^NO -GLADKIJ KONTUR 121 ; ; BEZ SAMOPERESE^ENIJ 123 ; ; ZAMKNUTYJ 121 lAPLASA INTEGRAL 309 ; PREOBRAZOWANIE 309 ; ; DISKRETNOE 343 lEMMA vORDANA 248{249 ; O PROIZWODNOJ INTEGRALA PO
PARAMETRU 169 ; O SU]ESTWOWANII PERWOOBRAZNOJ 159{160 ; OB INTEGRALAH PO ZAMKNUTYM LOMANYM 157 ; OB INTEGRALE PO TREUGOLXNIKU 154
; {WARCA 306 lEMMY OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ 247{249 lIUWILLQ TEOREMA 176, 197, 225 lOGARIFM 43 lOMANAQ (ORIENTIROWANNAQ) 123 lORANA RAZLOVENIE, RQD 187 ; TEOREMA 183 mAKLORENA RAZLOVENIE, RQD 187 mERKATORA PROEKCIQ, KARTA 48 mNIMAQ ^ASTX ^ISLA 14 mNIMYE ^ISLA 13 mNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ 45, 59 ; PERWOOBRAZNAQ 135 mNOVESTWO ZAMKNUTOE 126 ; LINEJNO SWQZNOE 109 ; OTKRYTOE 107 ; SWQZNOE ; SHODIMOSTI RQDA 26 ; TO^EK KONTURA 126 mODULX KOMPLEKSNOGO ^ISLA 15 mONOGENNOSTX 106 mORERY TEOREMA 173 mUAWRA FORMULA 15{16 nEIZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA 212 nEKASATELXNOE STREMLENIE K EDINI^NOJ OKRUVNOSTI 41 nEPODWIVNAQ TO^KA DROBNO -LINEJNOGO OTOBRAVENIQ 90 nEPRERYWNOSTX FUNKCII 19 nERAWENSTWA kOI DLQ KO\FFICI-
352 ENTOW tEJLORA I lORANA 194 ; TREUGOLXNIKA 17 nULI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ 198 oBLASTX 107 ; WNENQQ, WNUTRENNQQ 144 ; ZWEZDNAQ 162 ; ODNOSWQZNAQ 149 oBOB]ENNYJ STEPENNOJ RQD 29 oBRAZ TO^KI, MNOVESTWA 285 oGRANI^ENNOSTX FUNKCII 19 oDNOZNA^NYE WETWI 61 ; ; ARGUMENTA 65 ; ; LOGARIFMA, STEPENI 68 oKRESTNOSTX TO^KI 18 ; BESKONE^NOSTI 23 oRIGINAL 309 oRIENTIROWANNAQ GLADKAQ DUGA 121 ; LOMANAQ 123 oSOBAQ TO^KA (ANALITI^ESKOJ FUNKCII) 209 ; ; IZOLIROWANNAQ, NEIZOLIROWANNAQ 212 ; ; SU]ESTWENNO OSOBAQ 213, 220 ; ; USTRANIMAQ 209, 213, 216 oTOBRAVENIE 78, 285 ; DROBNO -LINEJNOE 89 ; KONFORMNOE 81{82 oCENKA INTEGRALA PO KONTURU 133 pERWOOBRAZNAQ 133 pEREDATO^NAQ FUNKCIQ 337 pIKARA TEOREMA 221 pLOSKOSTX KOMPLEKSNAQ 5 ; ; RASIRENNAQ 22 pOKAZATELX ROSTA ORIGINALA 311 pOL@S (FUNKCII) 213{216, 218 pOLQRNAQ (TRIGONOMETRI^ESKAQ) FORMA KOMPLEKSNOGO ^ISLA 15 pOSTOQNSTWO RASTQVENIQ 82
pORQDOK POL@SA 214 pOTENCIALXNAQ FUNKCIQ 84 pRAWILXNAQ TO^KA 211 pREDEL (FUNKCII) 18{19 pREOBRAZOWANIE lAPLASA 309 ; ; DISKRETNOE 343 pRINCIP ARGUMENTA 275 ; LOKALXNOJ ODNOLISTNOSTI 289 ; MAKSIMUMA MODULQ 288 ; NEPRERYWNOGO PRODOLVENIQ 292 ; SIMMETRII (rIMANA {{WARCA) 295
; SOOTWETSTWIQ GRANIC 291 ; SOHRANENIQ OBLASTI 286 pROEKCIQ mERKATORA 48 pROIZWODNAQ ODNOZNA^NYH WETWEJ LOGARIFMA, STEPENI 78 ; SUMMY OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA 72 ; SUMMY STEPENNOGO RQDA 29 ; FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ 71 pUTX (NA PLOSKOSTI C ) 107, 124 ; KLASSA C 1 124 ; OBHODA KONTURA 124 rAWNOMERNAQ NEPRERYWNOSTX (FUNKCII NA MNOVESTWE) 19 rAZLOVENIE MEROMORFNYH FUNKCIJ W RQDY PROSTYH DROBEJ 238 ; PRAWILXNOJ RACIONALXNOJ DROBI NA PROSTYE ; tEJLORA (mAKLORENA), lORANA 187
rAZNOSTNOE URAWNENIE 341 rASIRENNAQ KOMPLEKSNAQ PLOSKOSTX 22 rEGULQRNOSTX 106 rIMANA TEOREMA 308
353 rIMANOWA POWERHNOSTX 59, 300 ; ; ARGUMENTA, LOGARIFMA 60{61 ; ; KORNQ n-J STEPENI 63{64 ; ; OBRATNOJ K FUNKCII vUKOWSKOGO 70 rUE TEOREMA 278 rQD, EGO ^ASTI^NYE SUMMY, SHODIMOSTX, SUMMA 25 ; ; SUMMIROWANIE PO aBEL@ 42 ; lORANA 187 ; ; EGO GLAWNAQ I PRAWILXNAQ ^ASTI 213 ; tEJLORA (mAKLORENA) 33, 187 sWERTKA FUNKCIJ 321 sWOJSTWO EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA 188 ; vORDANA 144 ; IZOLIROWANNOSTI NULEJ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ 200 ; KONFORMNOSTI 81 ; ; DROBNO -LINEJNOGO OTOBRAVENIQ 92 ; LINEJNOSTI PREOBRAZOWANIQ lAPLASA 315 ; PODOBIQ 318 ; SOHRANENIQ SIMMETRII (DROBNO -LINEJNOuj OTOBRAVENIQ 94 sWQZNOE MNOVESTWO 109 sISTEMA KOMPLEKSNYH ^ISEL 10 sOPRQVENNYE GARMONI^ESKIE FUNKCII 116 ; ^ISLA 17 sOHOCKOGO (kAZORATI { wEJERTRASSA) TEOREMA 220 sOHRANENIE UGLOW 81 sTEPENNOJ RQD 26 sTEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ 21 sUMMIRUEMOSTX RQDA PO aBEL@ 42
sU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA 213{215, 220
sFERA rIMANA (nEJMANA) 22 sHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI 18 ; ; FUNKCIJ, RAWNOMERNAQ WNUTRI OBLASTI 174 ; RQDA 25 tEJLORA RAZLOVENIE, RQD 187 ; TEOREMA 183, 195 tEOREMA aBELQ 41 ; ANALITI^NOSTI IZOBRAVENIQ 313 ; wEJERTRASSA O POSLEDOWATELXNOSTQH ANALITI^ESKIH FUNKCIJ 174 ; EDINSTWENNOSTI 201 ; ; OTOBRAVENIQ 305 ; kAZORATI { sOHOCKOGO { wEJERTRASSA 220 ; kOI 151 ; ; DLQ KOLXCA 178 ; ; O PEREMNOVENII RQDOW 34 ; ; OB INTEGRALE PO GRANICE ZWEZDNOJ OBLASTI 162 ; kOI { aDAMARA 27 ; lORANA 183 ; lIUWILLQ 176, 197, 225 ; mORERY 173 ; O WY^ETAH 233 ; O DELENII STEPENNYH RQDOW 39 ; O PEREMNOVENII STEPENNYH RQDOW 34 ; O PODSTANOWKE STEPENNOGO RQDA W STEPENNOJ RQD 38 ; O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO RQDA 29 ; O PROIZWODNYH ANALITI^ESKOJ FUNKCII 172 ; O PROIZWODNYH INTEGRALA kO-
354 fORMULA bINE 345 I 168 ; O RAZLOVENII PRAWILXNOJ RA- ; kARDANO 12 CIONALXNOJ DROBI NA PROSTYE ; kOI DLQ PROIZWODNYH 172 ; mUAWRA 15{16 225 ; O SU]ESTWOWANII KORNQ U MNO- ; nX@ TONA { lEJBNICA 133 ; |JLERA 37 GO^LENA 197, 225 fRENELQ INTEGRALY 273 ; OB OBRATNOJ FUNKCII 302 ; OB OBRA]ENII PREOBRAZOWANIQ fROBENIUSA TEOREMA 6 fUNKCIQ ALGEBRAI^ESKAQ 52{53 lAPLASA 323 ; ANALITI^ESKAQ 105 ; pIKARA 221 ; GARMONI^ESKAQ 115 ; ; \BOLXAQ", \MALAQ" 222 ; ; SOPRQVENNAQ 116 ; rIMANA 308 ; GOLOMORFNAQ 105{106 ; rUE 278 ; SU]ESTWOWANIQ IZOBRAVENIQ 311 ; DROBNO { LINEJNAQ 52, 89 ; vUKOWSKOGO 100 ; tEJLORA 180, 195 ; LINEJNAQ 52, 89 ; fROBENIUSA 6 ; LOGARIFMI^ESKAQ 43 tEOREMY RAZLOVENIQ 327 ; MEROMORFNAQ 238 tO^KA WETWLENIQ MNOGOZNA^NOJ ; MONOGENNAQ 105 FUNKCII 62 ; MONODROMNAQ 105 ; ; KORNQ n-J STEPENI 63 ; OBRATNAQ 302 ; ; ARGUMENTA 66 ; NEPODWIVNAQ (DROBNO { LINEJ- ; ODNOLISTNAQ 286 ; PEREDATO^NAQ 337 NOGO OTOBRAVENIQ) 90 ; OSOBAQ (ANALITI^ESKOJ FUNK- ; RACIONALXNAQ 52 ; REGULQRNAQ 105 CII) 209 ; SINEKTI^ESKAQ 105 ; ; IZOLIROWANNAQ 212 ; STEPENNAQ 54 ; ; NEIZOLIROWANNAQ 212 ; TOKA 84 ; ; USTRANIMAQ 209, 213{216 ; SU]ESTWENNO OSOBAQ 213{215, ; TRANSCENDENTNAQ 53 ; CELAQ 105 220 RACIONALXNAQ 52 uSLOWIQ kOI { rIMANA (D'aLAM- ;; ;\KSPONENCIALXNAQ 36 BERA { |JLERA) 73{74 ; \LEMENTARNAQ 51 ; ; W POLQRNYH KOORDINATAH 77 uSLOWIQ POSTOQNSTWA ANALITI^ES- ~ISLA bERNULLI 192 ; KOMPLEKSNYE 8{10 KOJ FUNKCII W OBLASTI 112 ; MNIMYE, ^ISTO MNIMYE 13 uSTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA 209, ; SOPRQVENNYE 17 213{216 ; fIBONA^^I 344 fIBONA^^I ^ISLA 344
355
oGLAWLENIE pREDISLOWIE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 I. ~TO NAZYWA@T KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTX@ I W ^EM EE OTLI^IE OT DEJSTWITELXNOJ : : : : : : : : : : : : : : 5 II. kAK OPERIRU@T SO STEPENNYMI RQDAMI : : : : : : : : : : : : : 25 III. kAKIE FUNKCII NAZYWA@T \LEMENTARNYMI I PO^EMU SREDI NIH ESTX MNOGOZNA^NYE : : : : : : : : : : : : 43 IV. ~TO NAZYWA@T ODNOZNA^NYMI WETWQMI I TO^KAMI WETWLENIQ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ : : : : : : 59 V. w ^EM SUTX PONQTIQ PROIZWODNOJ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :71 VI. kAKIMI SWOJSTWAMI OBLADA@T OTOBRAVENIQ DROBNO -LINEJNYMI FUNKCIQMI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89 VII. kAKIE MNOVESTWA NA PLOSKOSTI C NAZYWA@T OBLASTQMI, A FUNKCII | ANALITI^ESKIMI: : : : : : : : :105 VIII. kAK WWODITSQ INTEGRAL PO KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 IX. ~TO NAZYWA@T INDEKSOM ZAMKNUTOGO KONTURA I NA ^TO ON UKAZYWAET : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 135 X. kAKU@ OBLASTX NAZYWA@T ODNOSWQZNOJ I ^TO UTWERVDAET TEOREMA kOI : : : : : : : : : : : : : : : : : 149 XI. ~TO WYRAVAET INTEGRALXNAQ FORMULA kOI I KAKOWY SWOJSTWA INTEGRALA kOI : : : : : : : : : : : : : : : 165 XII. kAK OPERIRU@T TEOREMOJ I INTEGRALXNOJ FORMULOJ kOI I ^TO UTWERVDA@T TEOREMY tEJLORA I lORANA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 177 XIII. ~TO SLEDUET IZ TEOREMY tEJLORA : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195 XIV. kAK WYDELQ@T I KLASSIFICIRU@T OSOBYE TO^KI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 209
356
~TO NAZYWA@T WY^ETAMI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ I KAK IMI OPERIRU@T : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 229 XVI. kAK, PRIMENQQ WY^ETY, WY^ISLQ@T INTEGRALY PO NEZAMKNUTYM KONTURAM : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 247 XVII. w ^EM SOSTOIT PRINCIP ARGUMENTA I ^TO UTWERVDAET TEOREMA rUE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 275 XVIII. kAKIE OB]IE PRINCIPY SWOJSTWENNY OTOBRAVENIQM ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI : : : : : : : : : 285 XIX. ~TO TAKOE PREOBRAZOWANIE lAPLASA I KAKOWY EGO SWOJSTWA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 309 XX. kAK OPERIRU@T PREOBRAZOWANIEM lAPLASA : : : : : : : : : : : : 331 pRILOVENIE. bUKWY DREWNEGRE^ESKOGO PISXMA : : : : : : : :346 sPISOK CITIROWANNOJ LITERATURY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 347 pREDMETNYJ UKAZATELX : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 350 XV.