Основы классического и современного анализа

И.И.Ляшко, В.Ф.Емельянов, А.К.Боярчук ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОГО И СОВРЕМЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Киев: Выща шк. Головное изд-во, 1988.— 591 c.

В пособии изложен математический анализ с основами теории функций комплексной и действительной переменных, а также некоторые разделы функционального анализа. Дифференциальное исчисление пос« троено на идеях Ферма — Лагранжа. В интегральном исчислении введен в рассмотрение интеграл Ньютона — Лейбница и показаны его приложения. Проведено сравнение интегралов Ньютона — Лейбница, Коши, Римана, Дарбу и Лебега. По-новому излагаются теории интеграла Лебега, рядов Фурье обобщенных фулкций, дифференциальных форм и другие вопросы. Теоретический материал иллюстрируется многими примерами. Даны упражнения для самостоятельного решения. Для студентов математических специальностей университетов. Предисловие 5 1. Грани множеств и предел последовательности 9 § 1. Элементы теории множеств и отображений 9 § 2. Отношение порядка. Понятие частично упорядоченного 22 пространства § 3. Верхняя и нижняя грани множества в частично упорядоченном 23 пространстве § 4. Топология упорядоченного пространства 26 § 5. Топологическое свойство граней множества. Полные пространства 28 § 6. Последовательность, ее предел и порядковые свойства предела 30 § 7. Связь между гранями множеств и пределом последовательности. 32 Теорема Вейерштрасса § 8. Последовательность. Частичный предел последовательности. 35 Верхний и нижний пределы § 9. Существование монотонной подпоследовательности. Теоремы 37 Больцано — Вейерштрасса и Кантора 2. Действительные и комплексные числа 39 § 1. Аксиоматическая теория действительного числа 39 § 2. Числовая последовательность и ее предел 50 § 3. Теория действительного числа по 58 § 4. Комплексные числа 68 3. Сумма и произведение числового семейства. Числовой ряд и 73 бесконечное произведение § 1. Сумма семейства чисел и ее свойства 73 § 2. Вычисление сумм с помощью предела 88 § 3. Признаки суммируемости последовательности комплексных чисел 89 § 4. Произведение семейства комплексных чисел 93 § 5. Числовые ряды 96 § 6. Теорема Римана о перестановке членов ряда. Бесконечные 103

произведения 4. Последовательности функций и функциональные ряды. Степенные ряды и § 1. Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость § 2. Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда § 3. Степенные ряды § 4. Элементарные функции 5. Предел и непрерывность функции § 1. Предел и непрерывность функции по Гейне § 2. Полунепрерывные функции. Предел и непрерывность функции в смысле Коши § 3. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора § 4. Обратные элементарные функции. Приемы решения задач § 5. Равностепенная непрерывность 6. Производная и интеграл § 1. Производная § 2. Физический и геометрический смысл производной. Теоремы Ролля, Дарбу Лагранжа § 3. Интеграл Ньютона — Лейбница § 4. Дифференцирование и интегрирование предела последовательности функций и суммы функционального ряда § 5. Существование первообразной. Интегралы Коши и Римана § 6. Вычисление интегралов и первообразных 7. Приложения производной и интеграла. Функции векторного аргумента § 1. Приложения производной и интеграла к исследованию функций § 2. Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков § 3. Производная Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано. § 4. Ряд Тейлора § 5. Выпуклые функции § 6. Элементарная теория интеграла, зависящего от параметра. Частные производные функции. К2-дифференцируемость § 7. Формула Тейлора. Экстремум функции векторного аргумента § 8. Элементарная теорема о неявной функции. Условный экстремум § 9. Криволинейные интегралы. Формулы Коши для функции и ее производных. Ряд Лорана и теория вычетов § 10. Потенциальное векторное поле § 11. Функции ограниченной вариации § 12. Интеграл Стилтьеса 8. Интеграл Лебега § 1. Интеграл как площадь фигуры. Теорема Дини о равномерной

109 109 110 117 122 127 127 135 137 138 143 151 151 159 165 173 178 183 198 199 208 215 220 224 234 249 261 265 283 285 294 319 320

сходимости. Класс функций L0 § 2. Нуль-множества § 3. Суммируемые функции. Класс L и интеграл Лебега. Теоремы Леви, Фату, Лебега § 4. Измеримые функции. Теорема Фреше § 5. Измеримые множества, их мера. Борелевские множества § 6. Интегрирование по множеству § 7. Сравнение различных теорий интегрирования § 8. Ячейки на прямой и представление суммируемой функции посредством характеристических функций ячеек j § 9. Теоремы Егорова и Лузина § 10. Интеграл Лебега функции многих переменных. Теоремы Фубини и Тонелли § 11. Плотность отображения. Замена переменных в интеграле § 12. Интегралы Эйлера. Свойства интегралов Лебега, зависящих от параметра § 13. Вторая теорема о среднем для интеграла Лебега. Абсолютно непрерывные функции 9. Ряд и интеграл Фурье § 1. Тригонометрический ряд и ряд Фурье § 2. Преобразование Фурье. Теорема Римана — Лебега § 3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации Римана. Признаки сходимости ряда Фурье § 4. Сингулярный интеграл Фурье. Принцип локализации и признаки сходимости § 5. Теоремы Фейера и Вейерштрасса и следствия из них § 6. Среднее Валле Пуссена. Теорема Харди § 7. Коэффициенты Фурье функции о ограниченным изменением. Признаки Дирихле — Жордана § 8. Операции дифференцирования и интегрирования рядов Фурье § 9. Векторное пространство над полем K. Пространства L и L2 § 10. Ортогональные ряды и ряды Фурье в гильбертовом пространстве § 11. Некоторые плотные множества в пространствах Lp. Полнота тригонометрической системы § 12. Преобразование Фурье в пространстве L § 13. Преобразование Фурье в пространстве L2. Теорема Планшереля 10. Обобщенные функции § 1. Пространство D' обобщенных функций § 2. Ряд Фурье обобщенной функции § 3. Преобразование Фурье обобщенных функций § 4. Секвенциальный подход к теории обобщенных функций 11. Поверхностные интегралы. Внешние дифференциальные формы § 1. Формула Гаусса — Остроградского

327 330 335 341 345 349 355 356 358 364 374 377 383 384 387 389 392 395 399 401 403 404 417 426 432 434 440 441 454 464 475 494 494

§ 2. Внешние дифференциальные формы 504 § 3. Формула Стокса 517 12. Некоторые вопросы функционального анализа 530 § 1. Расстояния и метрические пространства 531 § 2. Основные принципы функционального анализа 563 Предметный указатель 582 Список рекомендуемой литературы 588 Изометрия 533 Аддитивность интеграла 170 Изоморфизм линейный 566 —— счетная 346 — упорядоченных полей 41 — меры Лебега счетная 346 Интеграл Дарбу 352 Аксиома выбора 541 — двойной 246 — индукции 11 — зависящий от параметра 235 Аксиомы векторного пространства — криволинейный 266, 267 405 — Лебега неопределенный 448 — метрики 531 — неопределенный k-формы 515 — упорядоченного поля 40 — Ньютона — Лейбница 168, 169 База открытых множеств 541 Базис пространства 564 — ω-неопределенный 451 Бином Ньютона 11 .— от конечного набора Вариация функции 285, 286 элементарных k-форм 507 Вектор касательный к множеству — — произведения 444 160, 241 — поверхностный 496, 497 — ортогональный подпространству — по k-поверхности 507 422 — Римана 181 Верхняя грань множества 23 — Стилтьеса 295, 296 — — последовательности 32 Вычет — сходящийся 393, 436, 439 функции 277 — T-периодический 456 Гомеоморфизм 559 — тригонометрический 387 Градиент функции 242 — Фейера 396 Грань множества нижняя 23 — Фурье 387, 392 — последовательности нижняя 32 Интегралы Эйлера 374 Дельта-последовательность 486 Интегральная сумма Лебега 349 — — Римана 181 δ-функция 487, 461 — — Стилтьеса 295, 298 Дивергенция векторного поля 503 Каноническая запись k-формы 510 Дифференциал внешний 510 — произвольного порядка 254 k-поверхность класса Cν простая 506 — функции 253 — — простая ориентированная 506, Дифференцирование ряда Фурье 403 521 Задача изопериметрическая 463 — — противоположно Замечательные пределы 131 ориентированная 506 Замыкание множества 538 k-симплекс 520 Значение бесконечного произведения k-форма стандартная 508 107 — — элементарная 507 — повторного интеграла 393

k-цепь с краем 522 Квадратичная форма 259 Класс борелевских множеств 344 — эквивалентности 21 Композиция отображений 18 — отображения и формы 517 — функции класса C ∞ (G ) и обобщенной функции 483 Коэффициенты Фурье 386, 430 Край k-цепи 528 — поверхности 528 — стандартного симплекса 523 Кривая кусочно-гладкая 269 — ориентированная гладкая 266, 268 — простая гладкая 265, 268 — противоположно ориентированная 266 Критерии полноты нормированного пространства 411 Критерий аналитичности функции 223 — выпуклости функции 228 —— интегрируемости по Стилтьесу 296 — компактности в себе 133 — — Арцела 149 — Копти 55, 56, 98, 113, 114 — сепарабельности метрического пространства 542 — суммируемости функции 336, 337, 347 — сходимости ортогонального ряда 418 Лемма о трех точках плоскости 225 — Цорна 574 Луч замкнутый 26 Мажоранта множества 23 Матрица Якоби 263 Мера измеримого множества 343 Метод Канторовича 234 — касательных 234 — математической индукции 11 —— множителей Лагранжа 265

— Ньютона 233 — хорд 233 Миноранта множества 23 Многочлен Тейлора 211 — тригонометрический 385 Множества равномощные 20 Множество бесконечное 20 — внешних точек 537 — вполне ограниченное 549 — — упорядоченное 572 — всюду плотное 147, 540 — замкнутое 27, 131, 538 — звездное 513, 514 — измеримое 343 — компактное 132, 149, 549 — конечное 20 — линейно-связное 167 — не более чем счетное 20 — нигде не плотное 540 — ограниченное 23, 534 — открытое 27, 133, 252, 535 — плотное 425, 540 — пустое 10 — равностепенно дифференцируемое 173 — — интегрируемое 243 — — непрерывное 145, 173 — симметричное 125 — счетное 20 — точек выпуклое 224 — членов последовательности 32 — элементарное 271 MS-последовательность 476 Наборы элементарных fe-форм эквивалентные 507, 522 Непрерывность алгебраического многочлена 131 — интеграла абсолютная 349 — —, зависящего от параметра 235 — меры 348 — семейства равностепенная 143 — суммы нормально сходящегося ряда 130 —— степенного ряда 131

— функции в точке по Гейне 128 — элементарных функций 131 Неравенство Коши — Буняковского 231 — Лагранжа 163 — Минковского 231 — устойчивое 135 Норма в пространстве 407 — оператора 566 — функции равномерная 110 Нормы эквивалентные 564 Нульмножество 328 Область замкнутая 553 Образ множества 18 — поверхности 528 — цепи 528 Окрестность множества открытая 536 — точки 26, 133, 135, 253. 556 оператор линейный 566 Операция дифференцирования обобщенных функций 480 — транспонирования бинарного отношения 15 Отношение бинарное 14, 15, 16 — порядка 22 — эквивалентности 21 Отображение аддитивное 41 — взаимно однозначное или биективное 18 — дифференцируемое 263 — конформное 162 — линейное 566 — локально ограниченное 367 — множеств 16, 17 — мультипликативное 41 — непрерывное 553, 555, 556 — n-линейное 569 — обратимое 18 — обратное 18 — постоянное 16 — равномерно непрерывное 558 — разрывное 554 — регулярное (MS-операция) 478 — тождественное или единичное 16

Первообразная обобщенной функции 451 — функция 166 Плотность отображения 364 Поверхность ориентированная 497 — простая регулярная 494 — элементарная 494 Подпоследовательность 35 Подпространство 422, 548 Поле векторное 283 — полное 142 — рациональное 41 — упорядоченное 39 Полнота пространства 24 — тригонометрической системы 429 Полюс 276, 277 Поля изоморфные 41 Пополнение пространства 544 Порядок обобщенной функции 460 — полюса 276 Последовательности комплексных чисел с ограниченным изменением 100 — конфинальные 544 —.— монотонные 33 — эквивалентные 476 Последовательность бесконечно малая 51 — — большая 55 — векторов фундаментальная 411 — комплексных чисел бимонотонная 115 — невозрастающая (убывающая) 33 — неубывающая (возрастающая) 33 —стационарная 51 — сходящаяся 442, 445, 467, 489, 532 — точек 20, 533 — фундаментальная 55 — функций поточечно сходящаяся 110 — — равномерно сходящаяся 112 — функциональная 109 — элементов кратная 429 Поток векторного поля 499

Правило дифференцирования произведения функций 157 — — свертки 486 — замены переменной 111 — Лопиталя 206, 207 Предел интегральных сумм Лебега 350 — отображения 553, 555 — последовательности 30, 35, 36, 112, 408, 532, 553 — функции в точке по Гейне 128 — — в смысле Коши 136 — — частичный 127 Представление гладкой траектории параметрическое 167 — k-формы 507 — кривой параметрическое 266, 268 — кусочно-гладкого пути параметрическое 167 — отрезка параметрическое 178 — поверхности параметрическое 494, 506 — простой k-поверхности параметрическое 521 — упорядоченного поля действительных чисел 42 — цепи 522 Преобразование &-формы 517 — Фурье 387, 437, 465, 469 Признак Вейерштрасса 114 — Дини 391 — Липшица 392 — ортогональности вектора подпространству 422 — полноты нормированного пространства 414 — суммируемости почти всюду 333 Признаки равномерной сходимости функциональных рядов 114 — суммируемости последовательности комплексных чисел 89 Принцип вложенных шаров 542 — выбора общий 541

— двойственности 13 — локализации Римана 390 — максимальности Хаусдорфа 573 — неподвижной точки 546 — открытости отображений 563 — продолжения 563 — равномерной ограниченности 563 Произведение алгебраического многочлена и обобщенной функции 471 — бесконечное 107 — — абсолютно сходящееся 108 — — безусловно сходящееся 107 — — сходящееся 107 — — условно сходящееся 107 —— множеств декартово 14 — пространств 561 — скалярное 107 — степенных рядов 119 — форм внешнее 508, 509 — числовых рядов в смысле Коши 119 Производная интеграла по параметру 235 — обобщенной функции 446, 472 — отображения 263 — произведения обобщенной и классической функций 453 — сложной функции 241, 256 — Ферма — Лагранжа 215 — функции в точке 154 — частная 236, 237, 249 Пространства линейно изоморфные 566 Пространство алгебраическое сопряженное 566 — Банаха 411 — бесконечномерное 564 — векторное 405 — Гильберта 415 — касательное 161, 243 — квазитопологическое 413 — метрическое 531, 552, 560 — нормированное 408 >

— основное 442 — полное 411, 533 — — упорядоченное 29 — противоположное 23 — сепарабельное 34, 425, 540 — счетно-полное 34 — топологическое 133 — частично упорядоченное 22 Прямое произведение функций 239 Равенство Парсеваля обобщенное 459 — Парсеваля — Планшереля 434, 437 Ротор векторного поля 503 Ряд абсолютно сходящийся 98, 411 — безусловно сходящийся 105, 418, 430 — Лорана 275 — n-кратный 430 — нормально сходящийся 114 — поточечно сходящийся ПО — равномерно сходящийся 113 — равностепенно непрерывный 177 — расходящийся 96, 98 — степенной 117 — суммируемый методом Эйлера — Абеля 120 — сходящийся 96, 98, 411, 413 — Тейлора 223 — тригонометрический 386 — условно сходящийся 105 —— функциональный 110 — Фурье 386, 419, 430, 453 — числовой 97 Свертка классических функций 484 — обобщенной функции с классической 485 Свойства интеграла Стилтьеса основные 302 — непрерывности меры Лебега 348 — плотности отображения 366 — полной вариации функции основные 288 — суммы семейства действительных чисел 81

— — — комплексных чисел 86 — — — неотрицательных чисел 75 — функций ограниченной вариации основные 287 Свойство абсолютной суммируемости функции 331 — граней множества топологическое 28 — регулярности 494 — счетной аддитивности 325 Семейство векторов 409, 424 — линейно зависимое 563 — — независимое 563 — функций равностепенно непрерывное 173 — элементов замкнутое 421 Символы Ландау 50 Симплекс стандартный 505 Система биортогонально сопряженная 570 — векторов линейно независимая 424 — фундаментальная 536 Сумма двойная 79 — k-форм 508 — повторная 79 — ряда 96, 97, 110, 113, 413, 430 — числового семейства 74 — Эйлера — Абеля числового ряда 120 Сходимость поточечная 445 — функционального ряда 114 Таблица первообразных 167 — производных 158 Тензор 569 — ранга k антисимметричный 510 Теорема Абеля 92, 115, 118, 121 — Абеля — Дирихле 100 — Арцела 148 — Банаха об обратном операторе 579 — Банаха — Штейнхауза 576 — Больцано — Вейерштрасса 38 — Бэра 543 — Балле Пуссена 400 — Вейерштрасса 34, 62, 134, 397 — В.Юнга 230

— Гаусса — Остроградского 502 — Гельдера 231 — Грина 270, 271, 272 — Дарбу 162, 232 — Дини 323, 394 — Дирихле 116, 210, 389 — Дирихле — Жордана 402, 403 — Егорова 356 — Иенсена 229 — Кантора 20, 38, 137, 559 — Коши 58, 91, 203, 232, 272, 273 — Коши — Адамара 118 — Лагранжа 163, 164, 201, 203, 210, 226, 264 — Лебега 335, 340, 350 — Леви 332, 336, 338 — Липшица 394 — Лиувилля 282 — Лорана 275 — Лузина 358 — Ньютона — Лейбница — Грина — Гаусса — Остроградского 524 — об абсолютной измеримости функции 337 — —— непрерывности интеграла 349 — — абсолютно непрерывной замене переменной 381 — о безусловной сходимости ортогонального ряда 418 — об изоморфизме рациональных полей 44 — — — полных упорядоченных полей 45 — — интегрирования по частям 171 — — интегрируемости по Риману непрерывной функции 182 — — обращении формулы Тейлора — Пеано 216 — — ограниченности компакта 133 — — О-соотношении для интегралов 206 — — условии монотонности функции 202, 203

— — эквивалентных свойствах полных систем 421 — — экстремальных свойствах компакта 134 — — внешнем дифференциале композиции отображения и формы 519 — — замене индекса суммирования 78, 84 — — — переменной 171, 364, 368 — — логарифмическом вычете 278 — — монотонной последовательности 37 — — монотонности верхней грани 25 — — — нижней грани 26 — — наилучшем приближении вектора 423 — — неопределенном интеграле 515 — — непрерывном образе компакта 133, 554 — — непрерывности дифференцируемой функции 156 — — — интеграла по параметру 375 — — — композиции отображений 554 — — — нормы 408 ———— обратного отображения 555 — —— обратной функции 134 — — — скалярного произведения 408 — — неявной функции 261 — — подстановке в интеграле 380 ——— положительной однородности интеграла 326 — — полноте кратной тригонометрической системы 431 ——— пополнении ортонормированной системы 425 — — порядковом признаке предела 31 — — пределе композиции функций

130 — — предельном переходе под знаком суммы ряда 175 — — представлении суммируемой функции 356 — — произведении рядов по Коши 121 — — производной интеграла, зависящего от параметра 375 — — — композиции 155 — — — — отображений 263 — — — неопределенного интеграла Лебега 448 — — — частного 157 — — — n-интеграла по пределам интегрирования 210 — — равенстве интегралов Римана и Ньютона — Лейбница 181 — — — нулю интеграла Ньютона — Лейбница 203 — —— повторных интегралов 362 — — — — пределов 174 — — равномерной непрерывности функции 145 — — равномерном пределе произведения 112 — — равностепенной непрерывности функции 145 — — равносходимости рядов 100, 101 — — разложении ячеек 355 — — регуляризации 443 — — сечениях нуль-множества 360 — — среднем 315, 377 — — структуре периодических функций 460 — — существовании и единственности суммы 63 — — — полной ортонормированной системы 425 — — сходимости ряда Фурье 420 — — счетной аддитивности интеграла 324 — — счетном объединении нуль-

множеств 328 — — счетности суммируемого семейства 88 —— Парсеваля — Стеклова 420 — Пифагора 423 — Планшереля 436, 439 — Пуанкаре 513, 517 — Римана 103, 108 — Римана — Лебега 388 — Ролля 162, 201 — Сарда 368 — Сохоцкого 282 — Стокса 528 — Тейлора 257 — Тейлора — Пеано 258 — Тонелли 362, 563 — Фату 334 — Фейера 396 — Ферма 153, 155, 218, 226, 260 — Фишера —Рисса 414, 415, 416, 420 — Фреше 339, 550 — Фубини 361, 362 — Фубини — Тонелли 79, 359, 363 — Фурье 470 — Хана — Банаха 574 — Харди 400, 401 — Хаусдорфа 544, 549 — Цермело 572 — Шварца 407, 459 — Штольца 58 — Э. Шмидта 424 Точка множества внутренняя 537 — — граничная 539 — — изолированная 540 — — предельная 539 — неподвижная 546 — особая однозначного характера 276 — — устранимая 276 — прикосновения множества 27, 127, 538 — существенно особая 277 — устранимого разрыва 128 T-разложение единицы 455

T-свертка 461 Форма замкнутая 512 — линейная 566 — n-линейная 568 — точная 512 Формула Гаусса 184 — Грина 272 — интегрирования по частям 316, 381, 382 — квадратурная 184, 186 — Коши 211 — Лагранжа 211 — Лейбница 236 .. • — Ньютона — Лейбница 169, 209 — прямоугольников 185 — Симпсона 186 — Стокса классическая 529 — Тейлора 211, 257 — Тейлора — Пеано 216, 258 — Фубини 80, 85 — Шлемильха — Роша 211 Формулы асимптотические 140 — Стокса 504 — Эйлера 72 Формы внешние дифференциальные 512 Функции выпуклые 49 — медленного роста обобщенные 473 — монотонные 202 —— экспоненциального роста целые 467 Функционал 441 — линейный 566 Функция абсолютно непрерывная 378, 382 — аналитическая 223 — бесконечно дифференцируемая 224

— выпуклая 224 — измеримая 336, 337 — — по Борелю 345 — интегрируемая 337 — — в смысле Дарбу 352 — — по Ньютону — Лейбницу 246 — — — Риману 181, 199, 200 — кусочно-гладкая 269 — кусочно-непрерывная 313 — неинтегрируемая 337 — неограниченной вариации 286 — непрерывная 131, 136, 252, 253 — неявная 261 — обобщенная 444, 447, 476 — ограниченной вариации 285 — p-непрерывно дифференцируема 255 — полунепрерывная сверху (снизу) 136 — равномерно непрерывная 137 — рациональная 131 — рекуррентно n-дифференцируема218 — сингулярная 380 — с ограниченным изменением 401 — суммируемая 330, 345 — T-периодическая 384, 454 — финитная 320, 358 — характеристическая 327, 341 — n-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа 215 Цепи 501 Шар замкнутый 534 Экстремум условный 264 — функции 260 ε-регуляризация обобщенной функции 445 ε-сеть множества 549