Введение в криптографию

ââë 32.81×6 ÷24 á×ÔÏÒÓËÉÊ ËÏÌÌÅËÔÉ×: ÷. ÷. ñÝÅÎËÏ (ÒÅÄÁËÔÏÒ, ÇÌÁ×Á 1), î. ð. ÷ÁÒÎÏ×ÓËÉÊ (ÇÌÁ×Ù 2, 3), à. ÷. îÅÓÔÅÒÅÎËÏ ...

Author: Ященко В. (ред.)

17 downloads 299 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

ââë 32.81×6 ÷24

á×ÔÏÒÓËÉÊ ËÏÌÌÅËÔÉ×: ÷. ÷. ñÝÅÎËÏ (ÒÅÄÁËÔÏÒ, ÇÌÁ×Á 1), î. ð. ÷ÁÒÎÏ×ÓËÉÊ (ÇÌÁ×Ù 2, 3), à. ÷. îÅÓÔÅÒÅÎËÏ (ÇÌÁ×Á 4), ç. á. ëÁÂÁÔÑÎÓËÉÊ (ÇÌÁ×Á 5), ð. î. äÅ×ÑÎÉÎ, ÷. ç. ðÒÏÓËÕÒÉÎ, á. ÷. þÅÒÅÍÕÛËÉÎ (ÇÌÁ×Á 6), ð. á. çÙÒÄÙÍÏ×, á. à. úÕÂÏ×, á. ÷. úÑÚÉÎ, ÷. î. ï×ÞÉÎÎÉËÏ× (ÇÌÁ×Á 7).

÷24

/ ðÏÄ ÏÂÝ. ÒÅÄ. ÷. ÷. ñÝÅÎËÏ. | 3-Å ÉÚÄ., ÄÏ. | í.: íãîíï: þÅòÏ, 2000. | 288 Ó. ISBN 5-900916-65-0 ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÀ

÷ ËÎÉÇÅ ×ÅÒ×ÙÅ ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÄÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁÕÞÎÙÈ ÏÓÎÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÏÔ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÒÉÍÅÒÏ× É ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÎÑÔÉÊ ÄÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÊ. ðÏÎÉÍÁÎÉÅ ÒÉÎ ÉÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÓÔÁÌÏ ÄÌÑ ÍÎÏÇÉÈ ÏÔÒÅÂÎÏÓÔØÀ × Ó×ÑÚÉ Ó ÛÉÒÏËÉÍ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÅÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÒÅÄÓÔ× ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÎÉÇÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÅÚÎÁ ÍÁÓÓÏ×ÏÍÕ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. ëÎÉÇÁ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎÁ ÎÁ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× Ï ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ.

ââë 32.81×6

ISBN 5-900916-65-0

íãîíï,

íãîíï,

1998 ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ, 2000

óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ

5

çÌÁ×Á 1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

8

1. 2. 3. 4. 5.

÷×ÅÄÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ðÒÅÄÍÅÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÎÏ×Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . îÏ×ÙÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . úÁËÌÀÞÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9 16 19 24

çÌÁ×Á 2. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ

25

çÌÁ×Á 3. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

41

1. 2. 3. 4. 5.

÷×ÅÄÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÇÉÏÔÅÚÁ P6=NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ïÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ðÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ . . . . . . . . . . . . . . .

1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ãÅÌÏÓÔÎÏÓÔØ. ðÒÏÔÏËÏÌÙ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ É ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. îÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØ. üÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ ÄÅÎØÇÉ . . . . . . . . . . . . . . 4. ðÒÏÔÏËÏÌÙ ÔÉÁ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÅ ÍÏÎÅÔÙ Ï ÔÅÌÅÆÏÎÕ . . . 5. åÝÅ ÒÁÚ Ï ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÉ ÓÅËÒÅÔÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. ðÏÉÇÒÁÅÍ × ËÕÂÉËÉ. ðÒÏÔÏËÏÌÙ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ . . . . . . . . . . . 7. úÁ ÒÅÄÅÌÁÍÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ. ëÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÅÒÅÄÁÞÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. ÷ÍÅÓÔÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

çÌÁ×Á 4. áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

1. 2. 3. 4. 5.

÷×ÅÄÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . óÉÓÔÅÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . óÌÏÖÎÏÓÔØ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× . . . . . . . . . . . . ëÁË ÏÔÌÉÞÉÔØ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÔ ÒÏÓÔÏÇÏ . . . . . . . . . . . . . ëÁË ÓÔÒÏÉÔØ ÂÏÌØÛÉÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 28 30 32 35

41

44 60 67 72 76 81 84 86

86 88 91 96 99

4

6. 7. 8. 9.

ëÁË ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÂÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÁ ÒÏÓÔÏÔÕ . . . . . . . . . . . . . ëÁË ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ . . . . . . . äÉÓËÒÅÔÎÏÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . úÁËÌÀÞÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102 107 110 115

çÌÁ×Á 5. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ

118

çÌÁ×Á 6. ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

130

çÌÁ×Á 7. ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

165

1. 2. 3. 4.

1. 2. 3. 4. 5.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

÷×ÅÄÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . òÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ ÄÏÓÔÕÁ . . ìÉÎÅÊÎÏÅ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . éÄÅÁÌØÎÏÅ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ É ÍÁÔÒÏÉÄÙ . . . . . . . . . . . . . ÷ÍÅÓÔÏ ××ÅÄÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . îÅÍÎÏÇÏ ÔÅÏÒÉÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ëÁË ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÆÁÊÌ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ðÏÕÞÉÍÓÑ ÎÁ ÞÕÖÉÈ ÏÛÉÂËÁÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÷ÍÅÓÔÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

÷×ÅÄÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ûÉÆÒÙ ÚÁÍÅÎÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ûÉÆÒÙ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . íÎÏÇÏÁÌÆÁ×ÉÔÎÙÅ ÛÉÆÒÙ ÚÁÍÅÎÙ Ó ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ ËÌÀÞÏÍ õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ ÏÌÉÍÉÁÄ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ . . õËÁÚÁÎÉÑ É ÒÅÛÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118 120 123 125 130 132 140 153 163

166 169 182 190 198 214

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ: ÏÔÒÙ×ÏË ÉÚ ÓÔÁÔØÉ ë. ûÅÎÎÏÎÁ ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

252

ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ Ë ÔÒÅÔØÅÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ

÷ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ × ÖÉÚÎÉ ÏÂÝÅÓÔ×Á ÏÓÔÏÑÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ (ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÒÅÓÕÒÓÙ, ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ É Ô. Ä.) É, ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ. óÅ ÉÁÌÉÓÔÙ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ É × ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÈ, É × ÎÁÕÞÎÙÈ ÕÞÒÅÖÄÅÎÉÑÈ, É × ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÉÈ ÆÉÒÍÁÈ. äÌÑ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ ÔÁËÉÈ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× × 1999{2000 ÇÇ. ÒÉÎÑÔÙ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÍÅÒÙ: × ÅÒÅÞÅÎØ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÙÓÛÅÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ×ËÌÀÞÅÎÏ 6 ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ ÂÌÏËÁ 070000 (ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÁÑ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ), × ÅÒÅÞÅÎØ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ | ÍÅÖÄÉÓ ÉÌÉÎÁÒÎÁÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔØ 051319. ÷ íÏÓËÏ×ÓËÏÍ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÉÍ. í. ÷. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á Ó ÓÅÎÔÑÂÒÑ 2000 Ç. ÎÁÞÁÔÏ ÏÂÕÞÅÎÉÅ Ï ÓÅ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑÍ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÚÁÝÉÔÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ðÒÏÇÒÁÍÍÎÏÅ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÅ ÚÁÝÉÔÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. îÁÕÞÎÙÊ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔ ÜÔÉÈ ÓÅ ÉÁÌÉÚÁ ÉÊ | ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ | ÎÁÕËÁ Ï ÛÉÆÒÁÈ. óÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÕÞÅÂÎÉËÏ× Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÏËÁ ÎÅÔ, ÏÎÉ ÂÕÄÕÔ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ Ï ÍÅÒÅ ÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÇÒÁÖÄÁÎÓËÏÇÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÁÑ ËÎÉÇÁ ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÕÖÅ ×ÙÄÅÒÖÁÌÁ Ä×Á ÉÚÄÁÎÉÑ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅËÏÍÅÎÄÏ×ÁÎÁ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÅÒ×ÏÇÏ ÕÞÅÂÎÏÇÏ ÏÓÏÂÉÑ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÕÀÝÉÈÓÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ. ëÎÉÇÁ ÎÁÉÓÁÎÁ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÁÍÉ-ËÒÉÔÏÇÒÁÆÁÍÉ Ó ÅÌØÀ ÏÕÌÑÒÉÚÁ ÉÉ ÎÁÕÞÎÙÈ ÏÓÎÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ É ÏÜÔÏÍÕ ÄÏÓÔÕÎÁ É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÅÚÎÁ ÍÁÓÓÏ×ÏÍÕ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. òÅËÔÏÒ íçõ, ÁËÁÄÅÍÉË òáî ÓÅÎÔÑÂÒØ 2000 Ç.

÷. á. óÁÄÏ×ÎÉÞÉÊ

6

ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ

÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÍ ×ÔÏÒÏÍ ÉÚÄÁÎÉÉ ÉÓÒÁ×ÌÅÎÙ ÏÅÞÁÔËÉ É ÎÅÔÏÞÎÏÓÔÉ, ÚÁÍÅÞÅÎÎÙÅ × ÅÒ×ÏÍ ÉÚÄÁÎÉÉ. ÓÅÎÔÑÂÒØ 1999 Ç.

÷. ñÝÅÎËÏ

ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ | ÎÁÕËÁ Ï ÛÉÆÒÁÈ | ÄÏÌÇÏÅ ×ÒÅÍÑ ÂÙÌÁ ÚÁÓÅËÒÅÞÅÎÁ, ÔÁË ËÁË ÒÉÍÅÎÑÌÁÓØ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ÄÌÑ ÚÁÝÉÔÙ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÈ É ×ÏÅÎÎÙÈ ÓÅËÒÅÔÏ×. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÍÅÔÏÄÙ É ÓÒÅÄÓÔ×Á ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×Á, ÎÏ É ÞÁÓÔÎÙÈ ÌÉ , É ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÊ. äÅÌÏ ÚÄÅÓØ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ × ÓÅËÒÅÔÁÈ. óÌÉÛËÏÍ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ Ó×ÅÄÅÎÉÊ ÇÕÌÑÅÔ Ï ×ÓÅÍÕ Ó×ÅÔÕ × ÉÆÒÏ×ÏÍ ×ÉÄÅ. é ÎÁÄ ÜÔÉÍÉ Ó×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ×ÉÓÑÔ ÕÇÒÏÚÙ ÎÅÄÒÕÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÚÎÁËÏÍÌÅÎÉÑ, ÎÁËÏÌÅÎÉÑ, ÏÄÍÅÎÙ, ÆÁÌØÓÉÆÉËÁ ÉÉ É Ô. . îÁÉÂÏÌÅÅ ÎÁÄÅÖÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÚÁÝÉÔÙ ÏÔ ÔÁËÉÈ ÕÇÒÏÚ ÄÁÅÔ ÉÍÅÎÎÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ. ðÏËÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÄÌÑ ÒÑÄÏ×ÏÇÏ ÏÔÒÅÂÉÔÅÌÑ | ÔÁÊÎÁ ÚÁ ÓÅÍØÀ ÅÞÁÔÑÍÉ, ÈÏÔÑ ÍÎÏÇÉÍ ÕÖÅ ÒÉÈÏÄÉÌÏÓØ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÍÉ ÓÒÅÄÓÔ×ÁÍÉ: ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÞÔÙ, ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÙÅ ÂÁÎËÏ×ÓËÉÅ ËÁÒÔÏÞËÉ É ÄÒ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÏÒÏÓ ÄÌÑ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ | ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÌÉ ÄÁÎÎÏÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÓÒÅÄÓÔ×Ï ÎÁÄÅÖÎÕÀ ÚÁÝÉÔÕ. îÏ ÄÁÖÅ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÜÔÏÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÊ ×ÏÒÏÓ ÎÅÒÏÓÔÏ. ïÔ ËÁËÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÚÁÝÉÝÁÅÍÓÑ? ëÁËÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ Õ ÜÔÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ? ëÁËÉÅ ÅÌÉ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÒÅÓÌÅÄÏ×ÁÔØ? ëÁË ÉÚÍÅÒÑÔØ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ ÚÁÝÉÔÙ? óÉÓÏË ÔÁËÉÈ ×ÏÒÏÓÏ× ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ. äÌÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÎÉÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÀ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ ÚÎÁÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÎÑÔÉÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. ðÏÕÌÑÒÎÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁÕÞÎÙÈ ÏÓÎÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ (ÒÅÞØ ÉÄÅÔ ÔÏÌØËÏ Ï ÎÅÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ; ÒÁÚÄÅÌÙ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØÀ, ÄÏÌÖÎÙ ÏÓÔÁ×ÁÔØÓÑ ÓÅËÒÅÔÎÙÍÉ) | ÅÌØ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ËÎÉÇÉ. åÅ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ É × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÞÅÂÎÏÇÏ ÏÓÏÂÉÑ. îÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ËÎÉÇ ÏËÁ ÎÅÔ. íÁÔÅÒÉÁÌÙ ÒÑÄÁ ÇÌÁ× ÕÂÌÉËÏ×ÁÌÉÓØ Á×ÔÏÒÁÍÉ ÒÁÎÅÅ × ÄÒÕÇÉÈ ÉÚÄÁÎÉÑÈ (ÇÌÁ×Á 1 | × ËÎÉÇÅ ó. á. äÏÒÉÞÅÎËÏ, ÷. ÷. ñÝÅÎËÏ, 25 ÜÔÀÄÏ× Ï ÛÉÆÒÁÈ, í.: üéó, 1994; ÇÌÁ×Ù 1,2,4,5 | × ÖÕÒÎÁÌÅ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ, ÔÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ, ×ÙÕÓË 2, í.: íãîíï, 1998; ÇÌÁ×Á 7 | × ÇÁÚÅÔÅ éÎÆÏÒÍÁÔÉËÁ (ÅÖÅÎÅÄÅÌØÎÏÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÇÁÚÅÔÅ ðÅÒ×ÏÅ ÓÅÎÔÑÂÒÑ), 4, ÑÎ×ÁÒØ 1998). ðÒÉ ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ ÎÁÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚÄÁÎÉÑ ÜÔÉ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ÂÙÌÉ ÅÒÅÒÁÂÏÔÁÎÙ É ÄÏÏÌÎÅÎÙ. éÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎÏ ÎÁ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÓËÌÁÄÏÍ ÕÍÁ. ÷ ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÇÌÁ×Ù ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ (ÜÔÏ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔÏ ÚÁ ÓÞÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ Ï×ÔÏÒÏ×) É ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÞÉÔÁÔØ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. çÌÁ×Õ 1 | ××ÏÄÎÕÀ | ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔÓÑ ÒÏÞÉÔÁÔØ ×ÓÅÍ, ÏÓËÏÌØËÕ × ÎÅÊ ÎÁ

7

ÏÕÌÑÒÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÒÁÚßÑÓÎÑÀÔÓÑ ×ÓÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ: ÛÉÆÒ, ËÌÀÞ, ÓÔÏÊËÏÓÔØ, ÜÌÅËÔÒÏÎÎÁÑ ÉÆÒÏ×ÁÑ ÏÄÉÓØ, ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ ÒÏÔÏËÏÌ É ÄÒ. ÷ ÄÒÕÇÉÈ ÇÌÁ×ÁÈ ÞÁÓÔØ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ, ÎÏ ÕÖÅ ÂÏÌÅÅ ÕÇÌÕÂÌÅÎÎÏ. ÷ ÇÌÁ×ÁÈ 2, 3, 4, 5 ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÉÚ ×ÙÓÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÕÞÅÎÉËÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÌÁÓÓÏ× É ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ. çÌÁ×Á 6 ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÚÎÁÔÏËÏ× ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ. çÌÁ×Á 7 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ÏÌÉÍÉÁÄ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× É ÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÅÅ ÞÔÅÎÉÑ ÎÉËÁËÉÈ ÚÎÁÎÉÊ, ×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÛËÏÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ. ðÒÅÄÕÒÅÖÄÅÎÉÅ: ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÓÒÅÄÓÔ×Á É ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÅ ÒÏÄÕËÔÙ, ÕÏÍÉÎÁÅÍÙÅ × ËÎÉÇÅ, ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÏÂÝÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÉÄÅÊ; Á×ÔÏÒÙ ÎÅ ÓÔÁ×ÉÌÉ Ó×ÏÅÊ ÅÌØÀ ÄÁ×ÁÔØ Ï ÅÎËÉ ÉÌÉ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ ÉÍÅÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÒÙÎËÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÓÒÅÄÓÔ×Á. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÂÙÌÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÎÁÕÞÎÕÀ ÏÓÎÏ×Õ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÁÂÏÔÁÍ ×ÙÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÇÏ ÕÞÅÎÏÇÏ ëÌÏÄÁ ûÅÎÎÏÎÁ. åÇÏ ÄÏËÌÁÄ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÂÙÌ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎ × ÓÅËÒÅÔÎÏÍ ×ÁÒÉÁÎÔÅ × 1945 Ç., ÒÁÓÓÅËÒÅÞÅÎ É ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎ × 1948 Ç., ÅÒÅ×ÅÄÅÎ ÎÁ ÒÕÓÓËÉÊ ÑÚÙË × 1963 Ç. ðÏÓËÏÌØËÕ òÁÂÏÔÙ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ËÉÂÅÒÎÅÔÉËÅ (1963 Ç.) ë. ûÅÎÎÏÎÁ ÓÔÁÌÉ ÂÉÂÌÉÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÒÅÄËÏÓÔØÀ, ÍÙ ×ËÌÀÞÉÌÉ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÞÁÓÔØ ÓÔÁÔØÉ ë. ûÅÎÎÏÎÁ ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ. üÔÕ ÏÓÎÏ×ÏÏÌÁÇÁÀÝÕÀ ÒÁÂÏÔÕ ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔÓÑ ÒÏÞÉÔÁÔØ ×ÓÅÍ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÍÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÅÊ. äÌÑ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× É ÕÍÅÎÉÑ Ï ÅÎÉ×ÁÔØ ÉÈ ÓÉÌØÎÙÅ É ÓÌÁÂÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÕÖÅ ÓÅÒØÅÚÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ (ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÁËÕÌØÔÅÔÏ× ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ×). üÔÏ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÇÌÕÂÏËÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÈ ÔÁËÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÁË ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ, ÔÅÏÒÉÑ ÞÉÓÅÌ, ÁÌÇÅÂÒÁ, ÔÅÏÒÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ÄÒ. öÅÌÁÀÝÉÍ ÓÅÒØÅÚÎÏ ÉÚÕÞÁÔØ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÀ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅËÏÍÅÎÄÏ×ÁÔØ ÏÂÚÏÒÎÕÀ ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÀ ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ × ÂÁÎËÏ×ÓËÏÍ ÄÅÌÅ áÎÏÈÉÎÁ í. é., ÷ÁÒÎÏ×ÓËÏÇÏ î. ð., óÉÄÅÌØÎÉËÏ×Á ÷. í., ñÝÅÎËÏ ÷. ÷., í.: íéæé, 1997. ÏËÔÑÂÒØ 1998 Ç.

÷. ñÝÅÎËÏ

çÌÁ×Á 1 ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

ëÁË ÅÒÅÄÁÔØ ÎÕÖÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÎÕÖÎÏÍÕ ÁÄÒÅÓÁÔÕ × ÔÁÊÎÅ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ? ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ × ÒÁÚÎÏÅ ×ÒÅÍÑ É Ó ÒÁÚÎÙÍÉ ÅÌÑÍÉ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÙÔÁÌÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÄÌÑ ÓÅÂÑ ÜÔÕ ÒÁËÔÉÞÅÓËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ (ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÄÁÌØÎÅÊÛÉÈ ÓÓÙÌÏË ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÅ ÚÁÄÁÞÁ ð, Ô. Å. ÚÁÄÁÞÁ ÁÊÎÏÊ ðÅÒÅÄÁÞÉ ). ÷ÙÂÒÁ× ÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÏÎ, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, Ï×ÔÏÒÉÌ ÉÚÏÂÒÅÔÅÎÉÅ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× ÓËÒÙÔÏÊ ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ËÏÔÏÒÙÍ ÕÖÅ ÎÅ ÏÄÎÁ ÔÙÓÑÞÁ ÌÅÔ. òÁÚÍÙÛÌÑÑ ÎÁÄ ÚÁÄÁÞÅÊ ð, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÒÉÊÔÉ Ë ×Ù×ÏÄÕ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÔÒÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. 1. óÏÚÄÁÔØ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÁÄÅÖÎÙÊ, ÎÅÄÏÓÔÕÎÙÊ ÄÌÑ ÄÒÕÇÉÈ ËÁÎÁÌ Ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÁÂÏÎÅÎÔÁÍÉ. 2. éÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÊ ËÁÎÁÌ Ó×ÑÚÉ, ÎÏ ÓËÒÙÔØ ÓÁÍ ÆÁËÔ ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. 3. éÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÊ ËÁÎÁÌ Ó×ÑÚÉ, ÎÏ ÅÒÅÄÁ×ÁÔØ Ï ÎÅÍÕ ÎÕÖÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ × ÔÁË ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÉÄÅ, ÞÔÏÂÙ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÅÅ ÍÏÇ ÔÏÌØËÏ ÁÄÒÅÓÁÔ. ðÒÏËÏÍÍÅÎÔÉÒÕÅÍ ÜÔÉ ÔÒÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. 1. ðÒÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÎÁÕËÉ É ÔÅÈÎÉËÉ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁËÏÊ ËÁÎÁÌ Ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÕÄÁÌÅÎÎÙÍÉ ÁÂÏÎÅÎÔÁÍÉ ÄÌÑ ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏÊ ÅÒÅÄÁÞÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÏÂßÅÍÏ× ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÅÁÌØÎÏ. 2. òÁÚÒÁÂÏÔËÏÊ ÓÒÅÄÓÔ× É ÍÅÔÏÄÏ× ÓËÒÙÔÉÑ ÆÁËÔÁ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÚÁÎÉÍÁÅÔÓÑ ÓÔÅÇÁÎÏÇÒÁÆÉÑ.

ðÅÒ×ÙÅ ÓÌÅÄÙ ÓÔÅÇÁÎÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÔÅÒÑÀÔÓÑ × ÇÌÕÂÏËÏÊ ÄÒÅ×ÎÏÓÔÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÔÁËÏÊ ÓÏÓÏÂ ÓËÒÙÔÉÑ ÉÓØÍÅÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ: ÇÏÌÏ×Õ ÒÁÂÁ ÂÒÉÌÉ, ÎÁ ËÏÖÅ ÇÏÌÏ×Ù ÉÓÁÌÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ É ÏÓÌÅ ÏÔÒÁÓÔÁÎÉÑ ×ÏÌÏÓ ÒÁÂÁ ÏÔÒÁ×ÌÑÌÉ Ë ÁÄÒÅÓÁÔÕ. éÚ ÄÅÔÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÓÏÂÙ ÔÁÊÎÏÉÓÉ ÍÅÖÄÕ ÓÔÒÏË ÏÂÙÞÎÏÇÏ, ÎÅÚÁÝÉÝÁÅÍÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ: ÏÔ ÍÏÌÏËÁ ÄÏ ÓÌÏÖÎÙÈ ÈÉÍÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÁËÔÉ×Ï× Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÏÂÒÁÂÏÔËÏÊ. ÁËÖÅ ÉÚ ÄÅÔÅËÔÉ×Ï× ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÍÅÔÏÄ ÍÉËÒÏÔÏÞËÉ : ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÔÅÈÎÉËÉ ÎÁ ÏÞÅÎØ ÍÁÌÅÎØËÉÊ ÎÏÓÉÔÅÌØ

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

9

(ÍÉËÒÏÔÏÞËÕ), ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅÓÙÌÁÅÔÓÑ Ó ÏÂÙÞÎÙÍ ÉÓØÍÏÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÄ ÍÁÒËÏÊ ÉÌÉ ÇÄÅ-ÎÉÂÕÄØ × ÄÒÕÇÏÍ, ÚÁÒÁÎÅÅ ÏÂÕÓÌÏ×ÌÅÎÎÏÍ ÍÅÓÔÅ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ × Ó×ÑÚÉ Ó ÛÉÒÏËÉÍ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÅÍ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÍÎÏÇÏ ÔÏÎËÉÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÚÁÒÑÔÙ×ÁÎÉÑ ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ×ÎÕÔÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÏÂßÅÍÏ× ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÈÒÁÎÑÝÅÊÓÑ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ. îÁÇÌÑÄÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÚÁÒÑÔÙ×ÁÎÉÑ ÔÅËÓÔÏ×ÏÇÏ ÆÁÊÌÁ × ÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × éÎÔÅÒÎÅÔÅ1); ÏÎ ÖÅ ÒÉ×ÅÄÅÎ × ÖÕÒÎÁÌÅ ëÏÍØÀÔÅÒÒÁ, 48 (225) ÏÔ 1 ÄÅËÁÂÒÑ 1997 Ç., ÎÁ ÓÔÒ. 62. (óÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ Á×ÔÏÒÙ ÓÔÁÔØÉ × ÖÕÒÎÁÌÅ ÏÛÉÂÏÞÎÏ ÏÔÎÏÓÑÔ ÓÔÅÇÁÎÏÇÒÁÆÉÀ Ë ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. ëÏÎÅÞÎÏ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÔÅÇÁÎÏÇÒÁÆÉÉ ÍÏÖÎÏ ÒÑÔÁÔØ É ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÔÅËÓÔÙ, ÎÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÔÅÇÁÎÏÇÒÁÆÉÑ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ | ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ × ÔÅÏÒÉÉ É ÒÁËÔÉËÅ ÚÁÝÉÔÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ.)

3. òÁÚÒÁÂÏÔËÏÊ ÍÅÔÏÄÏ× ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ (ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ) ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ó ÅÌØÀ ÅÅ ÚÁÝÉÔÙ ÏÔ ÎÅÚÁËÏÎÎÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÚÁÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ. ÁËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ É ÓÏÓÏÂÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÛÉÆÒÁÍÉ. ûÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ (ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ) | ÒÏ ÅÓÓ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÛÉÆÒÁ Ë ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, Ô. Å. ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ (ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ) × ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (ÛÉÆÒÔÅËÓÔ, ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ ) Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÉÌ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈÓÑ × ÛÉÆÒÅ. äÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ | ÒÏ ÅÓÓ, ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÀ, Ô. Å. ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ × ÚÁÝÉÝÁÅÍÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÉÌ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈÓÑ × ÛÉÆÒÅ. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ | ÒÉËÌÁÄÎÁÑ ÎÁÕËÁ, ÏÎÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÓÁÍÙÅ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ ÎÁÕË É, × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ×ÓÅ ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÕÒÏ×ÎÑ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÔÅÈÎÉËÉ É ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ, ÏÔ ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÈ ÓÒÅÄÓÔ× Ó×ÑÚÉ É ÓÏÓÏÂÏ× ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. 2. ðÒÅÄÍÅÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

þÔÏ ÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÍÅÔÏÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ? äÌÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÚÁÄÁÞÅ ð, ÞÔÏÂÙ ÕÔÏÞÎÉÔØ ÓÉÔÕÁ ÉÀ É ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÅ ÏÎÑÔÉÑ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÕÖÄÁÅÔÓÑ × ÚÁÝÉÔÅ. ïÂÙÞÎÏ × ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁÊÎÕ ÉÌÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ, ÒÉ×ÁÔÎÏÊ, ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ, ÓÅËÒÅÔÎÏÊ. äÌÑ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÉÉÞÎÙÈ, ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ ÓÉÔÕÁ ÉÊ ÔÁËÏÇÏ ÔÉÁ ××ÅÄÅÎÙ ÄÁÖÅ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ: { ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÔÁÊÎÁ; { ×ÏÅÎÎÁÑ ÔÁÊÎÁ; 1) http://www.geo ities. om/Sili onValley/Vista/6001/

10

çÌÁ×Á 1

{ ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÁÑ ÔÁÊÎÁ; { ÀÒÉÄÉÞÅÓËÁÑ ÔÁÊÎÁ; { ×ÒÁÞÅÂÎÁÑ ÔÁÊÎÁ É Ô. Ä. äÁÌÅÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÉÍÅÑ × ×ÉÄÕ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÉÚÎÁËÉ ÔÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ: { ÉÍÅÅÔÓÑ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ËÒÕÇ ÚÁËÏÎÎÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÍÅÀÔ ÒÁ×Ï ×ÌÁÄÅÔØ ÜÔÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ; { ÉÍÅÀÔÓÑ ÎÅÚÁËÏÎÎÙÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÒÅÍÑÔÓÑ Ï×ÌÁÄÅÔØ ÜÔÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÂÒÁÔÉÔØ ÅÅ ÓÅÂÅ ×Ï ÂÌÁÇÏ, Á ÚÁËÏÎÎÙÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑÍ ×Ï ×ÒÅÄ. äÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ ÍÙ ×ÎÁÞÁÌÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅÍ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÊ ÕÇÒÏÚÙ | ÕÇÒÏÚÙ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÄÒÕÇÉÅ ÕÇÒÏÚÙ ÄÌÑ ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÎÅÚÁËÏÎÎÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ: ÏÄÍÅÎÁ, ÉÍÉÔÁ ÉÑ É ÄÒ. ï ÎÉÈ ÍÙ ÏÇÏ×ÏÒÉÍ ÎÉÖÅ. ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÓÉÔÕÁ ÉÀ, × ËÏÔÏÒÏÊ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÚÁÄÁÞÁ ð, ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÈÅÍÏÊ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1). A

B ð òÉÓ. 1.

úÄÅÓØ A É B | ÕÄÁÌÅÎÎÙÅ ÚÁËÏÎÎÙÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ; ÏÎÉ ÈÏÔÑÔ ÏÂÍÅÎÉ×ÁÔØÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ Ï ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÏÍÕ ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ. ð | ÎÅÚÁËÏÎÎÙÊ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ (ÒÏÔÉ×ÎÉË ), ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÔØ ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÙÅ Ï ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ÙÔÁÔØÓÑ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÚ ÎÉÈ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÕÀ ÅÇÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. üÔÕ ÆÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÍÏÄÅÌØÀ ÔÉÉÞÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÚÁÝÉÔÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ.

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÚÁËÒÅÉÌÉÓØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÅÎÎÙÅ ÓÌÏ×Á (ÒÏÔÉ×ÎÉË, ÁÔÁËÁ ÎÁ ÛÉÆÒ É ÄÒ.) ïÎÉ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ ÏÔÒÁÖÁÀÔ ÓÍÙÓÌ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÏÎÑÔÉÊ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ ÛÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ×ÏÅÎÎÁÑ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÁÑ ÎÁ ÏÎÑÔÉÉ ËÏÄÁ (×ÏÅÎÎÏÍÏÒÓËÉÅ ËÏÄÙ, ËÏÄÙ çÅÎÅÒÁÌØÎÏÇÏ ÛÔÁÂÁ, ËÏÄÏ×ÙÅ ËÎÉÇÉ, ËÏÄÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ É Ô. .), ÕÖÅ ÎÅ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ × ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÚÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑ ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÌÁÓØ ÔÅÏÒÉÑ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ | ÂÏÌØÛÏÅ ÎÁÕÞÎÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ É ÉÚÕÞÁÅÔ ÍÅÔÏÄÙ ÚÁÝÉÔÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÉÓËÁÖÅÎÉÊ × ËÁÎÁÌÁÈ Ó×ÑÚÉ. é ÅÓÌÉ ÒÁÎÅÅ ÔÅÒÍÉÎÙ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ É ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÕÏÔÒÅÂÌÑÌÉÓØ ËÁË ÓÉÎÏÎÉÍÙ, ÔÏ ÔÅÅÒØ ÜÔÏ ÎÅÄÏÕÓÔÉÍÏ. ÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÞÅÎØ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ | ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÒÏÓÔÏ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÍ.

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÚÁÎÉÍÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÙ ÎÅ ÏÚ×ÏÌÉÌÉ ÒÏÔÉ×ÎÉËÕ ÉÚ×ÌÅÞØ ÅÅ ÉÚ ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÅÍÙÈ

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

11

ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. ðÒÉ ÜÔÏÍ Ï ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ ÕÖÅ ÎÅ ÓÁÍÁ ÚÁÝÉÝÁÅÍÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÅÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÛÉÆÒÁ, É ÄÌÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÓÌÏÖÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÛÉÆÒÁ. ÷ÓËÒÙÔÉÅ (×ÚÌÁÍÙ×ÁÎÉÅ ) ÛÉÆÒÁ | ÒÏ ÅÓÓ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÉÚ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÂÅÚ ÚÎÁÎÉÑ ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. ïÄÎÁËÏ ÏÍÉÍÏ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ É ×ÓËÒÙÔÉÑ ÛÉÆÒÁ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÙÔÁÔØÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÚÁÝÉÝÁÅÍÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÍÎÏÇÉÍÉ ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÓÏÓÏÂÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÇÅÎÔÕÒÎÙÊ, ËÏÇÄÁ ÒÏÔÉ×ÎÉË ËÁËÉÍ-ÌÉÂÏ ÕÔÅÍ ÓËÌÏÎÑÅÔ Ë ÓÏÔÒÕÄÎÉÞÅÓÔ×Õ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÚÁËÏÎÎÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ É Ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÇÏ ÁÇÅÎÔÁ ÏÌÕÞÁÅÔ ÄÏÓÔÕ Ë ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ÷ ÔÁËÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÂÅÓÓÉÌØÎÁ. ðÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÙÔÁÔØÓÑ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔØ, Á ÕÎÉÞÔÏÖÉÔØ ÉÌÉ ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÚÁÝÉÝÁÅÍÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÅÅ ÅÒÅÄÁÞÉ. üÔÏ | ÓÏ×ÓÅÍ ÄÒÕÇÏÊ ÔÉ ÕÇÒÏÚ ÄÌÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ É ×ÓËÒÙÔÉÑ ÛÉÆÒÁ. äÌÑ ÚÁÝÉÔÙ ÏÔ ÔÁËÉÈ ÕÇÒÏÚ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ Ó×ÏÉ ÓÅ ÉÆÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁ ÕÔÉ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÚÁËÏÎÎÏÇÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ Ë ÄÒÕÇÏÍÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ÚÁÝÉÝÁÔØÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÒÏÔÉ×ÏÓÔÏÑÝÉÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÕÇÒÏÚÁÍ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÅÉ ÉÚ ÒÁÚÎÏÔÉÎÙÈ Ú×ÅÎØÅ×, ËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÝÉÝÁÅÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÒÏÔÉ×ÎÉË ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ ÎÁÊÔÉ ÓÁÍÏÅ ÓÌÁÂÏÅ Ú×ÅÎÏ, ÞÔÏÂÙ Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍÉ ÚÁÔÒÁÔÁÍÉ ÄÏÂÒÁÔØÓÑ ÄÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. á ÚÎÁÞÉÔ, É ÚÁËÏÎÎÙÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ ÄÏÌÖÎÙ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ÜÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï × Ó×ÏÅÊ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ÚÁÝÉÔÙ: ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏ ÄÅÌÁÔØ ËÁËÏÅ-ÔÏ Ú×ÅÎÏ ÏÞÅÎØ ÒÏÞÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÅÓÔØ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÙÅ Ú×ÅÎØÑ (ÒÉÎ É ÒÁ×ÎÏÒÏÞÎÏÓÔÉ ÚÁÝÉÔÙ). îÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁÂÙ×ÁÔØ É ÅÝÅ ÏÂ ÏÄÎÏÊ ×ÁÖÎÏÊ ÒÏÂÌÅÍÅ: ÒÏÂÌÅÍÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÅÎÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÚÁÔÒÁÔ ÎÁ ÅÅ ÚÁÝÉÔÕ É ÚÁÔÒÁÔ ÎÁ ÅÅ ÄÏÂÙ×ÁÎÉÅ. ðÒÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÔÅÈÎÉËÉ ÓÁÍÉ ÓÒÅÄÓÔ×Á Ó×ÑÚÉ, Á ÔÁËÖÅ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÓÒÅÄÓÔ× ÅÒÅÈ×ÁÔÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÉÚ ÎÉÈ É ÓÒÅÄÓÔ× ÚÁÝÉÔÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÔÒÅÂÕÀÔ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÁÔÒÁÔ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÚÁÝÉÝÁÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÚÁÄÁÊÔÅ ÓÅÂÅ Ä×Á ×ÏÒÏÓÁ: 1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÏÎÁ ÄÌÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÂÏÌÅÅ ÅÎÎÏÊ, ÞÅÍ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÁÔÁËÉ; 2) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÏÎÁ ÄÌÑ ×ÁÓ ÂÏÌÅÅ ÅÎÎÏÊ, ÞÅÍ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÚÁÝÉÔÙ. éÍÅÎÎÏ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ É Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÁÀÝÉÍÉ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÓÒÅÄÓÔ× ÚÁÝÉÔÙ: ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ, ÓÔÅÇÁÎÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ, ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ É ÄÒ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÕÄÏÂÎÏ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÉÍÅÒÁÍÉ, ÏÜÔÏÍÕ ÓÄÅÌÁÅÍ ÎÅÂÏÌØÛÏÅ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÔÓÔÕÌÅÎÉÅ.

äÏÌÇÏÅ ×ÒÅÍÑ ÚÁÎÑÔÉÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÅÊ ÂÙÌÏ ÕÄÅÌÏÍ ÞÕÄÁËÏ×-ÏÄÉÎÏÞÅË. óÒÅÄÉ ÎÉÈ ÂÙÌÉ ÏÄÁÒÅÎÎÙÅ ÕÞÅÎÙÅ, ÄÉÌÏÍÁÔÙ, Ó×ÑÝÅÎÎÏÓÌÕÖÉÔÅÌÉ.

12

çÌÁ×Á 1

éÚ×ÅÓÔÎÙ ÓÌÕÞÁÉ, ËÏÇÄÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÓÞÉÔÁÌÁÓØ ÄÁÖÅ ÞÅÒÎÏÊ ÍÁÇÉÅÊ. üÔÏÔ ÅÒÉÏÄ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ËÁË ÉÓËÕÓÓÔ×Á ÄÌÉÌÓÑ Ó ÎÅÚÁÁÍÑÔÎÙÈ ×ÒÅÍÅÎ ÄÏ ÎÁÞÁÌÁ èè ×ÅËÁ, ËÏÇÄÁ ÏÑ×ÉÌÉÓØ ÅÒ×ÙÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÎÙÅ ÍÁÛÉÎÙ. ðÏÎÉÍÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ ÒÅÛÁÅÍÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÅÊ ÚÁÄÁÞ ÒÉÛÌÏ ÔÏÌØËÏ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ èè ×ÅËÁ | ÏÓÌÅ ÒÁÂÏÔ ×ÙÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÇÏ ÕÞÅÎÏÇÏ ë. ûÅÎÎÏÎÁ. éÓÔÏÒÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÄÉÌÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ É ×ÏÅÎÎÙÈ ÔÁÊÎ É ÏÜÔÏÍÕ ÏËÕÔÁÎÁ ÔÕÍÁÎÏÍ ÌÅÇÅÎÄ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÏÌÎÁÑ ËÎÉÇÁ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÏÌÅÅ ÔÙÓÑÞÉ ÓÔÒÁÎÉ . ïÎÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ × 1967 ÇÏÄÕ É ÎÁ ÒÕÓÓËÉÊ ÑÚÙË ÎÅ ÅÒÅ×ÅÄÅÎÁ1) . îÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÎÅÄÁ×ÎÏ ×ÙÛÅÌ × Ó×ÅÔ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÊ ÔÒÕÄ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ × òÏÓÓÉÉ2) . ó×ÏÊ ÓÌÅÄ × ÉÓÔÏÒÉÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÏÓÔÁ×ÉÌÉ ÍÎÏÇÉÅ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÞÎÏÓÔÉ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÑÒËÉÈ ÒÉÍÅÒÏ×. ðÅÒ×ÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÏÂ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÛÉÆÒÏ× × ×ÏÅÎÎÏÍ ÄÅÌÅ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ÉÍÅÎÅÍ ÓÁÒÔÁÎÓËÏÇÏ ÏÌËÏ×ÏÄ Á ìÉÓÁÎÄÒÁ (ÛÉÆÒ ó ÉÔÁÌÁ). ãÅÚÁÒØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌ × ÅÒÅÉÓËÅ ÛÉÆÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ×ÏÛÅÌ × ÉÓÔÏÒÉÀ ËÁË ÛÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ. ÷ ÄÒÅ×ÎÅÊ çÒÅ ÉÉ ÂÙÌ ÉÚÏÂÒÅÔÅÎ ×ÉÄ ÛÉÆÒÁ, ËÏÔÏÒÙÊ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÓÔÁÌ ÎÁÚÙ×ÁÔØÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔ ðÏÌÉÔÉÑ. ïÄÎÕ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ËÎÉÇ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÎÁÉÓÁÌ ÁÂÂÁÔ é. ÒÉÔÅÌÉÊ (1462{1516), ÖÉ×ÛÉÊ × çÅÒÍÁÎÉÉ. ÷ 1566 ÇÏÄÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ä. ëÁÒÄÁÎÏ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÒÁÂÏÔÕ Ó ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÉÚÏÂÒÅÔÅÎÎÏÊ ÉÍ ÓÉÓÔÅÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ (ÒÅÛÅÔËÁ ëÁÒÄÁÎÏ). æÒÁÎ ÉÑ èVI ×ÅËÁ ÏÓÔÁ×ÉÌÁ × ÉÓÔÏÒÉÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÛÉÆÒÙ ËÏÒÏÌÑ çÅÎÒÉÈÁ IV É òÉÛÅÌØÅ. ÷ ÕÏÍÑÎÕÔÏÊ ËÎÉÇÅ . á. óÏÂÏÌÅ×ÏÊ ÏÄÒÏÂÎÏ ÏÉÓÁÎÏ ÍÎÏÇÏ ÒÏÓÓÉÊÓËÉÈ ÛÉÆÒÏ×, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ÉÆÉÒÎÁÑ ÁÚÂÕËÁ 1700 ÇÏÄÁ, Á×ÔÏÒÏÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÂÙÌ ðÅÔÒ ÷ÅÌÉËÉÊ. (îÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ÉÚ ËÎÉÇÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÆÏÒÚÁ Å.) îÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÛÉÆÒÏ× É ÉÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ É × ÈÕÄÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ × ÒÉËÌÀÞÅÎÞÅÓËÏÊ, ÄÅÔÅËÔÉ×ÎÏÊ É ×ÏÅÎÎÏÊ. èÏÒÏÛÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏÅ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÅÊ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÛÉÆÒÏ× | ÛÉÆÒÁ ÚÁÍÅÎÙ É ÍÅÔÏÄÏ× ÅÇÏ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × Ä×ÕÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÒÁÓÓËÁÚÁÈ: úÏÌÏÔÏÊ ÖÕË ü. ðÏ É ðÌÑÛÕÝÉÅ ÞÅÌÏ×ÅÞËÉ á. ëÏÎÁÎ äÏÊÌÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ Ä×Á ÒÉÍÅÒÁ. ûÉÆÒ ó ÉÔÁÌÁ. üÔÏÔ ÛÉÆÒ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÓÏ ×ÒÅÍÅÎ ×ÏÊÎÙ óÁÒÔÙ ÒÏÔÉ× áÆÉÎ × V ×ÅËÅ ÄÏ Î.Ü. äÌÑ ÅÇÏ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ Ó ÉÔÁÌÁ | ÖÅÚÌ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÆÏÒÍÕ ÉÌÉÎÄÒÁ. îÁ Ó ÉÔÁÌÕ ×ÉÔÏË Ë ×ÉÔËÕ ÎÁÍÁÔÙ×ÁÌÁÓØ ÕÚËÁÑ ÁÉÒÕÓÎÁÑ ÌÅÎÔÁ (ÂÅÚ ÒÏÓ×ÅÔÏ× É ÎÁÈÌÅÓÔÏ×), Á ÚÁÔÅÍ ÎÁ ÜÔÏÊ ÌÅÎÔÅ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ó ÉÔÁÌÙ ÚÁÉÓÙ×ÁÌÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ. ìÅÎÔÁ ÒÁÚÍÁÔÙ×ÁÌÁÓØ É ÏÌÕÞÁÌÏÓØ (ÄÌÑ ÎÅÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ), ÞÔÏ ÏÅÒÅË ÌÅÎÔÙ × ÂÅÓÏÒÑÄËÅ ÎÁÉÓÁÎÙ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÂÕË×Ù. úÁÔÅÍ ÌÅÎÔÁ ÏÔÒÁ×ÌÑÌÁÓØ ÁÄÒÅÓÁÔÕ. áÄÒÅÓÁÔ ÂÒÁÌ ÔÁËÕÀ ÖÅ Ó ÉÔÁÌÕ, ÔÁËÉÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÍÁÔÙ×ÁÌ ÎÁ ÎÅÅ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÌÅÎÔÕ É ÞÉÔÁÌ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ó ÉÔÁÌÙ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÛÉÆÒÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ × ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ÂÕË× ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. 1) Kahn David. Codebreakers. The story of Se ret Writing. New York: Ma millan, 1967. 2) óÏÂÏÌÅ×Á . á. ÁÊÎÏÉÓØ × ÉÓÔÏÒÉÉ òÏÓÓÉÉ (éÓÔÏÒÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÓÌÕÖ-

ÂÙ òÏÓÓÉÉ XVIII { ÎÁÞÁÌÁ XX ×.). í., 1994.

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

13

ðÏÜÔÏÍÕ ËÌÁÓÓ ÛÉÆÒÏ×, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ É ÛÉÆÒ ó ÉÔÁÌÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÛÉÆÒÁÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. ûÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ. üÔÏÔ ÛÉÆÒ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ: ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÔÒÅÔØÅÊ ÏÓÌÅ ÎÅÅ ÂÕË×ÏÊ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÎÁÉÓÁÎÎÙÍ Ï ËÒÕÇÕ, Ô. Å. ÏÓÌÅ ÂÕË×Ù Ñ ÓÌÅÄÕÅÔ ÂÕË×Á Á. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ãÅÚÁÒØ ÚÁÍÅÎÑÌ ÂÕË×Õ ÔÒÅÔØÅÊ ÏÓÌÅ ÎÅÅ ÂÕË×ÏÊ, ÎÏ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÑÔØ É ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÄÒÕÇÏÊ. çÌÁ×ÎÏÅ, ÞÔÏÂÙ ÔÏÔ, ËÏÍÕ ÏÓÙÌÁÅÔÓÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÚÎÁÌ ÜÔÕ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÓÄ×ÉÇÁ. ëÌÁÓÓ ÛÉÆÒÏ×, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ É ÛÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÛÉÆÒÁÍÉ ÚÁÍÅÎÙ.

éÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÎÉÅ ÈÏÒÏÛÅÇÏ ÛÉÆÒÁ | ÄÅÌÏ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ Õ×ÅÌÉÞÉÔØ ×ÒÅÍÑ ÖÉÚÎÉ ÈÏÒÏÛÅÇÏ ÛÉÆÒÁ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÅÇÏ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌØÛÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. îÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÏÁÓÎÏÓÔØ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÕÖÅ ÒÁÚÇÁÄÁÌ (×ÓËÒÙÌ) ÛÉÆÒ É ÞÉÔÁÅÔ ÚÁÝÉÝÁÅÍÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. åÓÌÉ ÖÅ × ÛÉÆÒÅ ÅÓÔØ ÓÍÅÎÎÙÊ ËÌÀÞ, ÔÏ, ÚÁÍÅÎÉ× ËÌÀÞ, ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÙÅ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ ÍÅÔÏÄÙ ÕÖÅ ÎÅ ÄÁÀÔ ÜÆÆÅËÔÁ. ðÏÄ ËÌÀÞÏÍ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÏÎÉÍÁÀÔ ÓÍÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÛÉÆÒÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. îÁÒÉÍÅÒ, × ÛÉÆÒÅ ó ÉÔÁÌÁ ËÌÀÞÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÁÍÅÔÒ Ó ÉÔÁÌÙ, Á × ÛÉÆÒÁÈ ÔÉÁ ÛÉÆÒÁ ãÅÚÁÒÑ ËÌÀÞÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÓÄ×ÉÇÁ ÂÕË× ÛÉÆÒÔÅËÓÔÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÕË× ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. ïÉÓÁÎÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÌÉ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÓÔÁÌÁ ÏÒÅÄÅÌÑÔØÓÑ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ËÌÀÞÏÍ. óÁÍ ÛÉÆÒ, ÛÉÆÒÍÁÛÉÎÁ ÉÌÉ ÒÉÎ É ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÁÌÉ ÓÞÉÔÁÔØ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÒÏÔÉ×ÎÉËÕ É ÄÏÓÔÕÎÙÍÉ ÄÌÑ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ, ÎÏ × ÎÉÈ ÏÑ×ÉÌÓÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÄÌÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ËÌÀÞ, ÏÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ÅÅÒØ ÚÁËÏÎÎÙÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ, ÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÏÂÍÅÎÉ×ÁÔØÓÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ, ÄÏÌÖÎÙ ÔÁÊÎÏ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÏÂÍÅÎÑÔØÓÑ ËÌÀÞÁÍÉ ÉÌÉ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ËÌÀÞ ÎÁ ÏÂÏÉÈ ËÏÎ ÁÈ ËÁÎÁÌÁ Ó×ÑÚÉ. á ÄÌÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÏÑ×ÉÌÁÓØ ÎÏ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ | ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÌÀÞ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÌÅÇËÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÜÔÏÍ ËÌÀÞÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍÕ ÏÉÓÁÎÉÀ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ (ÒÉÓ. 1, ÓÔÒ. 10). ÅÅÒØ × ÎÅÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÎÅÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ | ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÅÄÏÓÔÕÎÙÊ ÄÌÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÁÎÁÌ Ó×ÑÚÉ ÄÌÑ ÏÂÍÅÎÁ ËÌÀÞÁÍÉ (ÓÍ. ÒÉÓ. 2). óÏÚÄÁÔØ ÔÁËÏÊ ËÁÎÁÌ Ó×ÑÚÉ ×ÏÌÎÅ ÒÅÁÌØÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÇÒÕÚËÁ ÎÁ ÎÅÇÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅÂÏÌØÛÁÑ. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÏÇÏ ÛÉÆÒÁ, ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÅ×. ÷ÙÂÏÒ ÓÏÓÏÂÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÅÅ ÅÎÎÏÓÔÉ É ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ×ÌÁÄÅÌØ Å× Ï ÚÁÝÉÔÅ Ó×ÏÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÄÞÅÒËÎÅÍ ÂÏÌØÛÏÅ

14

çÌÁ×Á 1

A

ËÌÀÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ

B

ð òÉÓ. 2.

ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÉÅ ×ÉÄÏ× ÚÁÝÉÝÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ: ÄÏËÕÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ, ÔÅÌÅÆÏÎÎÁÑ, ÔÅÌÅ×ÉÚÉÏÎÎÁÑ, ËÏÍØÀÔÅÒÎÁÑ É Ô. Ä. ëÁÖÄÙÊ ×ÉÄ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÉÍÅÅÔ Ó×ÏÉ ÓÅ ÉÆÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ, É ÜÔÉ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÓÉÌØÎÏ ×ÌÉÑÀÔ ÎÁ ×ÙÂÏÒ ÍÅÔÏÄÏ× ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. âÏÌØÛÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂßÅÍÙ É ÔÒÅÂÕÅÍÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÅÒÅÄÁÞÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ÷ÙÂÏÒ ×ÉÄÁ ÛÉÆÒÁ É ÅÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ ÚÁÝÉÝÁÅÍÙÈ ÓÅËÒÅÔÏ× ÉÌÉ ÔÁÊÎÙ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÁÊÎÙ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÅ, ×ÏÅÎÎÙÅ É ÄÒ.) ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÈÒÁÎÑÔØÓÑ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑÍÉ, Á ÎÅËÏÔÏÒÙÅ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÂÉÒÖÅ×ÙÅ) | ÕÖÅ ÞÅÒÅÚ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÞÁÓÏ× ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÇÌÁÓÉÔØ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ÔÁËÖÅ É ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÔÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ÏÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÁÝÉÝÁÅÔÓÑ ÄÁÎÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ. ïÄÎÏ ÄÅÌÏ | ÒÏÔÉ×ÏÓÔÏÑÔØ ÏÄÉÎÏÞËÅ ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÂÁÎÄÅ ÕÇÏÌÏ×ÎÉËÏ×, Á ÄÒÕÇÏÅ ÄÅÌÏ | ÍÏÝÎÏÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ. óÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÛÉÆÒÁ ÒÏÔÉ×ÏÓÔÏÑÔØ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÁÔÁËÁÍ ÎÁ ÎÅÇÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÔÏÊËÏÓÔØÀ ÛÉÆÒÁ. ðÏÄ ÁÔÁËÏÊ ÎÁ ÛÉÆÒ ÏÎÉÍÁÀÔ ÏÙÔËÕ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÜÔÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. ðÏÎÑÔÉÅ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÛÉÆÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÍ ÄÌÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. èÏÔÑ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÎÑÔØ ÅÇÏ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÌÅÇËÏ, ÎÏ ÏÌÕÞÅÎÉÅ ÓÔÒÏÇÉÈ ÄÏËÁÚÕÅÍÙÈ Ï ÅÎÏË ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÛÉÆÒÁ | ÒÏÂÌÅÍÁ ÎÅÒÅÛÅÎÎÁÑ. üÔÏ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×. (íÙ ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÀ ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ ÎÉÖÅ.) ðÏÜÔÏÍÕ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÛÉÆÒÁ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÕÔÅÍ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÙÔÏË ÅÇÏ ×ÓËÒÙÔÉÑ É ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ Ë×ÁÌÉÆÉËÁ ÉÉ ËÒÉÔÏÁÎÁÌÉÔÉËÏ×, ÁÔÁËÕÀÝÉÈ ÛÉÆÒ. ÁËÕÀ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÏ×ÅÒËÏÊ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ. ÷ÁÖÎÙÍ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÔÅÌØÎÙÍ ÜÔÁÏÍ ÄÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÛÉÆÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÄÕÍÙ×ÁÎÉÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÁÔÁËÏ×ÁÔØ ÛÉÆÒ. ðÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÔÁËÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ Õ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÏÂÙÞÎÏ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ÜÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÎÅÛÎÅÊ ÏÄÓËÁÚËÏÊ É ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÛÉÆÒÁ. ðÏÜÔÏÍÕ Ï ÅÎËÉ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÛÉÆÒÁ ×ÓÅÇÄÁ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÔÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÅÌÑÈ É ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÈ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÔÉ Ï ÅÎËÉ ÏÌÕÞÅÎÙ.

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

15

ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ËÁË ÜÔÏ ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ ×ÙÛÅ, ÏÂÙÞÎÏ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÚÎÁÅÔ ÓÁÍ ÛÉÆÒ É ÉÍÅÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÅÇÏ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ. ðÒÏÔÉ×ÎÉË ÔÁËÖÅ ÚÎÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÔÅËÓÔÏ×, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÂÝÕÀ ÔÅÍÁÔÉËÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ÉÈ ÓÔÉÌØ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÙ, ÆÏÒÍÁÔÙ É Ô. Ä. éÚ ÂÏÌÅÅ ÓÅ ÉÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÔÒÉ ÒÉÍÅÒÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ: { ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÔØ ×ÓÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÎÏ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÉÍ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÔÅËÓÔÏ×; { ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÔØ ×ÓÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ÄÏÂÙ×ÁÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÍ ÏÔËÒÙÔÙÅ ÔÅËÓÔÙ; { ÒÏÔÉ×ÎÉË ÉÍÅÅÔ ÄÏÓÔÕ Ë ÛÉÆÒÕ (ÎÏ ÎÅ Ë ËÌÀÞÁÍ!) É ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÅÔ ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÔØ É ÄÅÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. îÁ ÒÏÔÑÖÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ×ÅËÏ× ÓÒÅÄÉ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× ÎÅ ÕÔÉÈÁÌÉ ÓÏÒÙ Ï ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÛÉÆÒÏ× É Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÒÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÜÔÏÔ ÓÞÅÔ.

áÎÇÌÉÊÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË þÁÒÌØÚ âÅÂÂÉÄÖ (èIè ×.): ÷ÓÑËÉÊ ÞÅÌÏ×ÅË, ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ÚÎÁËÏÍ Ó ÔÅÈÎÉËÏÊ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÛÉÆÒÏ×, Ô×ÅÒÄÏ ÓÞÉÔÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÍÏÖÅÔ ÉÚÏÂÒÅÓÔÉ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÉÊ ÛÉÆÒ, É ÞÅÍ ÂÏÌÅÅ ÕÍÅÎ É ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎ ÜÔÏÔ ÞÅÌÏ×ÅË, ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ Ô×ÅÒÄÏ ÜÔÏ ÕÂÅÖÄÅÎÉÅ. ñ ÓÁÍ ÒÁÚÄÅÌÑÌ ÜÔÕ Õ×ÅÒÅÎÎÏÓÔØ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ÌÅÔ. ïÔÅ ËÉÂÅÒÎÅÔÉËÉ îÏÒÂÅÒÔ ÷ÉÎÅÒ: ìÀÂÏÊ ÛÉÆÒ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÓËÒÙÔ, ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ × ÜÔÏÍ ÅÓÔØ ÎÁÓÔÏÑÔÅÌØÎÁÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ É ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ËÏÔÏÒÕÀ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ, ÓÔÏÉÔ ÚÁÔÒÁÞÅÎÎÙÈ ÓÒÅÄÓÔ×, ÕÓÉÌÉÊ É ×ÒÅÍÅÎÉ á×ÔÏÒ ÛÉÆÒÁ PGP æ. úÉÍÍÅÒÍÁÎÎ (ëÏÍØÀÔÅÒÒÁ, 48 ÏÔ 1.12.1997, ÓÔÒ. 45{46): ëÁÖÄÙÊ, ËÔÏ ÄÕÍÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÚÏÂÒÅÌ ÎÅÒÏÂÉ×ÁÅÍÕÀ ÓÈÅÍÕ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, | ÉÌÉ ÎÅ×ÅÒÏÑÔÎÏ ÒÅÄËÉÊ ÇÅÎÉÊ, ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÎÁÉ×ÅÎ É ÎÅÏÙÔÅÎ ëÁÖÄÙÊ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔ ×ÏÏÂÒÁÖÁÅÔ ÓÅÂÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÏÍ, ÞÔÏ ×ÅÄÅÔ Ë ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÀ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÈÏÇÏ ËÒÉÔÏÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ :::

:::

:::

÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÓÄÅÌÁÅÍ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ | Ï ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÒÅÍÑ ÎÁÒÑÄÕ ÓÏ ÓÌÏ×ÏÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ É ÓÌÏ×Ï ËÒÉÔÏÌÏÇÉÑ, ÎÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏ. óÅÊÞÁÓ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÅ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÜÔÉÈ ÎÁÕÞÎÙÈ ÄÉÓ ÉÌÉÎ, ÕÔÏÞÎÑÀÔÓÑ ÉÈ ÒÅÄÍÅÔ É ÚÁÄÁÞÉ. ëÒÉÔÏÌÏÇÉÑ | ÎÁÕËÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÅÔ×ÅÊ: ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ É ËÒÉÔÏÁÎÁÌÉÚÁ. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ | ÎÁÕËÁ Ï ÓÏÓÏÂÁÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ (ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ) ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ó ÅÌØÀ ÅÅ ÚÁÝÉÔÙ ÏÔ ÎÅÚÁËÏÎÎÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ. ëÒÉÔÏÁÎÁÌÉÚ | ÎÁÕËÁ (É ÒÁËÔÉËÁ ÅÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ) Ï ÍÅÔÏÄÁÈ É ÓÏÓÏÂÁÈ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÛÉÆÒÏ×.

16

çÌÁ×Á 1

óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ É ËÒÉÔÏÁÎÁÌÉÚÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ: ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ | ÚÁÝÉÔÁ, Ô. Å. ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÛÉÆÒÏ×, Á ËÒÉÔÏÁÎÁÌÉÚ | ÎÁÁÄÅÎÉÅ, Ô. Å. ÁÔÁËÁ ÎÁ ÛÉÆÒÙ. ïÄÎÁËÏ ÜÔÉ Ä×Å ÄÉÓ ÉÌÉÎÙ Ó×ÑÚÁÎÙ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, É ÎÅ ÂÙ×ÁÅÔ ÈÏÒÏÛÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÏ×, ÎÅ ×ÌÁÄÅÀÝÉÈ ÍÅÔÏÄÁÍÉ ËÒÉÔÏÁÎÁÌÉÚÁ. 3. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÎÏ×Ù

âÏÌØÛÏÅ ×ÌÉÑÎÉÅ ÎÁ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÏËÁÚÁÌÉ ÏÑ×É×ÛÉÅÓÑ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ XX ×ÅËÁ ÒÁÂÏÔÙ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ëÌÏÄÁ ûÅÎÎÏÎÁ. ÷ ÜÔÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ ÂÙÌÉ ÚÁÌÏÖÅÎÙ ÏÓÎÏ×Ù ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, Á ÔÁËÖÅ ÂÙÌ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÁÒÁÔ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ ÎÁÕËÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ËÁË ÎÁÕËÁ ÒÏÄÉÌÁÓØ × 1948 ÇÏÄÕ ÏÓÌÅ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÒÁÂÏÔÙ ë. ûÅÎÎÏÎÁ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ1) . ÷ Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÅ ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ ëÌÏÄ ûÅÎÎÏÎ ÏÂÏÂÝÉÌ ÎÁËÏÌÅÎÎÙÊ ÄÏ ÎÅÇÏ ÏÙÔ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ ÛÉÆÒÏ×2) . ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÄÁÖÅ × ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÙÈ ÛÉÆÒÁÈ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÉÉÞÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔÏ× ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÔÁËÉÅ ÒÏÓÔÙÅ ÛÉÆÒÙ ËÁË ÛÉÆÒÙ ÚÁÍÅÎÙ, ÛÉÆÒÙ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÌÉ ÉÈ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ. ûÉÆÒ ÚÁÍÅÎÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÅÊÛÉÍ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÏÕÌÑÒÎÙÍ ÛÉÆÒÏÍ. ÉÉÞÎÙÍÉ ÒÉÍÅÒÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÛÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ, ÉÆÉÒÎÁÑ ÁÚÂÕËÁ ðÅÔÒÁ ÷ÅÌÉËÏÇÏ É ÌÑÛÕÝÉÅ ÞÅÌÏ×ÅÞËÉ á. ëÏÎÁÎ äÏÊÌÁ. ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÚ×ÁÎÉÑ, ÛÉÆÒ ÚÁÍÅÎÙ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÚÁÍÅÎÙ ÂÕË× ÉÌÉ ÄÒÕÇÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÎÁ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÞÁÓÔÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. ìÅÇËÏ ÄÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÛÉÆÒÁ ÚÁÍÅÎÙ. ðÕÓÔØ X É Y | Ä×Á ÁÌÆÁ×ÉÔÁ (ÏÔËÒÙÔÏÇÏ É ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ), ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÉÍ×ÏÌÏ×. ðÕÓÔØ ÔÁËÖÅ g : X → Y | ×ÚÁÉÍÎÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X × Y . ÏÇÄÁ ÛÉÆÒ ÚÁÍÅÎÙ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÔÁË: ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ x1 x2 : : : xn ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ × ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÔÅËÓÔ g(x1 )g(x2 ) : : : g(xn ). ûÉÆÒ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÎÁÚ×ÁÎÉÑ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÂÕË× × ÏÔËÒÙÔÏÍ ÔÅËÓÔÅ. ÉÉÞÎÙÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÛÉÆÒÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÛÉÆÒ ó ÉÔÁÌÁ. ïÂÙÞÎÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÉ ÒÁ×ÎÏÊ ÄÌÉÎÙ É ËÁÖÄÙÊ ÏÔÒÅÚÏË ÛÉÆÒÕÅÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ. ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÉÎÁ ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÁ×ÎÁ n É | ×ÚÁÉÍÎÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; 2; : : : ; n} × ÓÅÂÑ. ÏÇÄÁ ÛÉÆÒ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÔÁË: ÏÔÒÅÚÏË ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ x1 : : : xn ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ × ÏÔÒÅÚÏË ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ x(1) : : : x(n) . 1) Shannon C. E. A mathemati al theory of ommuni ation // Bell System Te hn. J. V. 27, 3, 1948. P. 379{423; V. 27, 4, 1948. P. 623{656. 2) óÍ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ.

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

17

÷ÁÖÎÅÊÛÉÍ ÄÌÑ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÂÙÌ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ë. ûÅÎÎÏÎÁ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÔÁËÉÍ ÛÉÆÒÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁËÁÑ-ÎÉÂÕÄØ ÆÏÒÍÁ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÌÅÎÔÙ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔÓÑ Ó ÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÔÁËÏÊ ÖÅ ÄÌÉÎÙ. üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÂÙÌ ÄÏËÁÚÁÎ ë. ûÅÎÎÏÎÏÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÏÇÏ ÉÍ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÛÉÆÒÏ×. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÚÄÅÓØ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÜÔÏÍ ÏÄÒÏÂÎÏ, ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÍ ÉÚÕÞÉÔØ ÒÁÂÏÔÕ ë. ûÅÎÎÏÎÁ1). ïÂÓÕÄÉÍ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÓÔÒÏÅÎÉÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÏÇÏ ÛÉÆÒÁ É ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÅÇÏ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ. ÉÉÞÎÙÍ É ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÏÇÏ ÛÉÆÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÛÉÆÒ ÷ÅÒÎÁÍÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÏÂÉÔÏ×ÏÅ ÓÌÏÖÅÎÉÅ n-ÂÉÔÏ×ÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ É n-ÂÉÔÏ×ÏÇÏ ËÌÀÞÁ: yi = xi ⊕ ki ; i = 1; : : : ; n: úÄÅÓØ x1 : : : xn | ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ, k1 ; : : : ; kn | ËÌÀÞ, y1 : : : yn | ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÔÅËÓÔ. ðÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ Ë ÌÅÎÔÅ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ: 1) ÏÌÎÁÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔØ (ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ) ËÌÀÞÁ (ÜÔÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ËÌÀÞ ÎÅÌØÚÑ ×ÙÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÁËÏÇÏ-ÌÉÂÏ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á); 2) ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÌÉÎÙ ËÌÀÞÁ É ÄÌÉÎÙ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ; 3) ÏÄÎÏËÒÁÔÎÏÓÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ËÌÀÞÁ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÒÕÛÅÎÉÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÛÉÆÒ ÅÒÅÓÔÁÅÔ ÂÙÔØ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÉÍ É ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÅÇÏ ×ÓËÒÙÔÉÑ (ÈÏÔÑ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÔÒÕÄÎÏ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÙÍÉ). îÏ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÉÍÅÎÎÏ ÜÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ É ÄÅÌÁÀÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÉÊ ÛÉÆÒ ÏÞÅÎØ ÄÏÒÏÇÉÍ É ÎÅÒÁËÔÉÞÎÙÍ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÔÁËÉÍ ÛÉÆÒÏÍ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ×ÓÅÈ ÁÂÏÎÅÎÔÏ× ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÚÁÁÓÏÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ É ÉÓËÌÀÞÉÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÉÈ Ï×ÔÏÒÎÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. á ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÅÏÂÙÞÁÊÎÏ ÔÒÕÄÎÏ É ÄÏÒÏÇÏ.

ëÁË ÏÔÍÅÞÁÌ ä. ëÁÎ: ðÒÏÂÌÅÍÁ ÓÏÚÄÁÎÉÑ, ÒÅÇÉÓÔÒÁ ÉÉ, ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÑ É ÏÔÍÅÎÙ ËÌÀÞÅÊ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÓÌÏÖÎÏÊ ÔÏÍÕ, ËÔÏ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÏÙÔÁ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ Ï ËÁÎÁÌÁÍ ×ÏÅÎÎÏÊ Ó×ÑÚÉ, ÎÏ × ×ÏÅÎÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÏÂßÅÍ ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÓÔÁ×ÉÔ × ÔÕÉË ÄÁÖÅ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÈ Ó×ÑÚÉÓÔÏ×. úÁ ÓÕÔËÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÙ ÓÏÔÎÉ ÔÙÓÑÞ ÓÌÏ×. óÏÚÄÁÎÉÅ ÍÉÌÌÉÏÎÏ× ËÌÀÞÅ×ÙÈ ÚÎÁËÏ× ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÏ ÂÙ ÏÇÒÏÍÎÙÈ ÆÉÎÁÎÓÏ×ÙÈ ÉÚÄÅÒÖÅË É ÂÙÌÏ ÂÙ ÓÏÒÑÖÅÎÏ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ ÚÁÔÒÁÔÁÍÉ ×ÒÅÍÅÎÉ. ÁË ËÁË ËÁÖÄÙÊ ÔÅËÓÔ ÄÏÌÖÅÎ ÉÍÅÔØ Ó×ÏÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ É ÎÅÏ×ÔÏÒÉÍÙÊ ËÌÀÞ, 1) óÍ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ.

18

çÌÁ×Á 1

ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÉÄÅÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÏ ÂÙ ÅÒÅÄÁÞÉ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÔÁËÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÚÎÁËÏ×, ËÏÔÏÒÏÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÓÅÍÕ ÏÂßÅÍÕ ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÏÊ ×ÏÅÎÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ÷ ÓÉÌÕ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÉÞÉÎ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÉÅ ÛÉÆÒÙ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÓÅÔÑÈ Ó×ÑÚÉ Ó ÎÅÂÏÌØÛÉÍ ÏÂßÅÍÏÍ ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÏÂÙÞÎÏ ÜÔÏ ÓÅÔÉ ÄÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ ÏÓÏÂÏ ×ÁÖÎÏÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ÅÅÒØ ÕÖÅ ÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÞÁÝÅ ×ÓÅÇÏ ÄÌÑ ÚÁÝÉÔÙ Ó×ÏÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÚÁËÏÎÎÙÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ÒÉÍÅÎÑÔØ ÎÅÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÉÅ ÛÉÆÒÙ. ÁËÉÅ ÛÉÆÒÙ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ, ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÓËÒÙÔÙ. ÷ÏÒÏÓ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ, È×ÁÔÉÔ ÌÉ Õ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÓÉÌ, ÓÒÅÄÓÔ× É ×ÒÅÍÅÎÉ ÄÌÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ É ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ïÂÙÞÎÏ ÜÔÕ ÍÙÓÌØ ×ÙÒÁÖÁÀÔ ÔÁË: ÒÏÔÉ×ÎÉË Ó ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍÉ ÒÅÓÕÒÓÁÍÉ ÍÏÖÅÔ ×ÓËÒÙÔØ ÌÀÂÏÊ ÎÅÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÉÊ ÛÉÆÒ. ëÁË ÖÅ ÄÏÌÖÅÎ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ × ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÚÁËÏÎÎÙÊ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ, ×ÙÂÉÒÁÑ ÄÌÑ ÓÅÂÑ ÛÉÆÒ? ìÕÞÛÅ ×ÓÅÇÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÂÙÌÏ ÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÏÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÓËÒÙÔØ ×ÙÂÒÁÎÎÙÊ ÛÉÆÒ, ÓËÁÖÅÍ, ÚÁ 10 ÌÅÔ É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÏÌÕÞÉÔØ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÅÝÅ ÎÅ ÄÁÅÔ ÎÕÖÎÙÈ ÔÅÏÒÅÍ | ÏÎÉ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÎÅÒÅÛÅÎÎÏÊ ÒÏÂÌÅÍÅ ÎÉÖÎÉÈ Ï ÅÎÏË ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞ. ðÏÜÔÏÍÕ Õ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÔØ | ÏÌÕÞÅÎÉÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÓÔÏÊËÏÓÔÉ. üÔÏÔ ÕÔØ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÜÔÁÏ×: { ÏÎÑÔØ É ÞÅÔËÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ, ÏÔ ËÁËÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÍÙ ÓÏÂÉÒÁÅÍÓÑ ÚÁÝÉÝÁÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ; ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÑÓÎÉÔØ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÎÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÚÎÁÅÔ ÉÌÉ ÓÍÏÖÅÔ ÕÚÎÁÔØ Ï ÓÉÓÔÅÍÅ ÛÉÆÒÁ, Á ÔÁËÖÅ ËÁËÉÅ ÓÉÌÙ É ÓÒÅÄÓÔ×Á ÏÎ ÓÍÏÖÅÔ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÄÌÑ ÅÇÏ ×ÓËÒÙÔÉÑ; { ÍÙÓÌÅÎÎÏ ÓÔÁÔØ × ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ É ÙÔÁÔØÓÑ Ó ÅÇÏ ÏÚÉ ÉÊ ÁÔÁËÏ×ÁÔØ ÛÉÆÒ, Ô. Å. ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÛÉÆÒÁ; ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ × ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÍÅÒÅ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÉÌ, ÓÒÅÄÓÔ× É ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ; { ÎÁÉÌÕÞÛÉÊ ÉÚ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÉ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÛÉÆÒÁ. úÄÅÓØ ÏÌÅÚÎÏ ÄÌÑ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÕÏÍÑÎÕÔØ Ï Ä×ÕÈ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÍÅÔÏÄÁÈ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÛÉÆÒÁ: ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÕÇÁÄÙ×ÁÎÉÅ ËÌÀÞÁ (ÏÎ ÓÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ Ó ÍÁÌÅÎØËÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ, ÚÁÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÁÌÅÎØËÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ) É ÅÒÅÂÏÒ ×ÓÅÈ ÏÄÒÑÄ ËÌÀÞÅÊ ×ÌÏÔØ ÄÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÏÇÏ (ÏÎ ÓÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ ×ÓÅÇÄÁ, ÚÁÔÏ ÉÍÅÅÔ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ). ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÎÕÖÎÁ ÁÔÁËÁ ÎÁ ËÌÀÞ: ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÛÉÆÒÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÒÁÚÕ, ÄÁÖÅ ÎÅ ÚÎÁÑ ËÌÀÞÁ, ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ Ï ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ.

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

19

4. îÏ×ÙÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ

÷ 1983 ÇÏÄÕ × ËÎÉÇÅ ëÏÄÙ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ í. î. áÒÛÉÎÏ×Á É ì. å. óÁÄÏ×ÓËÏÇÏ (ÂÉÂÌÉÏÔÅÞËÁ ë×ÁÎÔ) ÂÙÌÏ ÎÁÉÓÁÎÏ: ðÒÉÅÍÏ× ÔÁÊÎÏÉÓÉ | ×ÅÌÉËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, É, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÜÔÏ ÔÁ ÏÂÌÁÓÔØ, ÇÄÅ ÕÖÅ ÎÅÔ ÎÕÖÄÙ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÔØ ÞÔÏ-ÎÉÂÕÄØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÏ×ÏÅ. ïÄÎÁËÏ ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÏÞÅÒÅÄÎÏÅ ÂÏÌØÛÏÅ ÚÁÂÌÕÖÄÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. åÝÅ × 1976 ÇÏÄÕ ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ ÒÁÂÏÔÁ ÍÏÌÏÄÙÈ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× õ. äÉÆÆÉ É í. ü. èÅÌÌÍÁÎÁ îÏ×ÙÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ1) , ËÏÔÏÒÁÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚÍÅÎÉÌÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÀ, ÎÏ É ÒÉ×ÅÌÁ Ë ÏÑ×ÌÅÎÉÀ É ÂÕÒÎÏÍÕ ÒÁÚ×ÉÔÉÀ ÎÏ×ÙÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. ãÅÎÔÒÁÌØÎÙÍ ÏÎÑÔÉÅÍ ÎÏ×ÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÎÑÔÉÅ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÆÕÎË ÉÉ (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÂ ÜÔÏÍ ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 2). ïÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ F : X → Y , ÏÂÌÁÄÁÀÝÁÑ Ä×ÕÍÑ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: Á) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ F (x); Â) ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ F (Ô. Å. ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ F (x) = y ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ x, ÔÏÞÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÍ. ÎÁ ÓÔÒ. 30). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÉ×ÙÞÎÙÈ ÓÏ ÛËÏÌØÎÏÊ ÓËÁÍØÉ, ÉÚ-ÚÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÅÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ É ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ÷ÏÒÏÓ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÏËÁ ÏÔËÒÙÔ. åÝÅ ÏÄÎÉÍ ÎÏ×ÙÍ ÏÎÑÔÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÎÑÔÉÅ ÆÕÎË ÉÉ Ó ÓÅËÒÅÔÏÍ. éÎÏÇÄÁ ÅÝÅ ÕÏÔÒÅÂÌÑÅÔÓÑ ÔÅÒÍÉÎ ÆÕÎË ÉÑ Ó ÌÏ×ÕÛËÏÊ. æÕÎË ÉÅÊ Ó ÓÅËÒÅÔÏÍ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ FK : X → Y , ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ ÁÒÁÍÅÔÒÁ K É ÏÂÌÁÄÁÀÝÁÑ ÔÒÅÍÑ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: Á) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ FK (x) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ K É x; Â) ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ FK ÒÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ K ; ×) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ FK ÒÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ K . ðÒÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ Ó ÓÅËÒÅÔÏÍ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ ÓËÁÚÁÎÏ ÒÏ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ. äÌÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÅÌÅÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÂÙÌÏ ÏÓÔÒÏÅÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÆÕÎË ÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ Ó ÓÅËÒÅÔÏÍ. äÌÑ ÎÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×Ï Â) ÏËÁ ÓÔÒÏÇÏ ÎÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÎÏ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÄÁ×ÎÏ ÉÚÕÞÁÅÍÏÊ ÔÒÕÄÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÅ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ É ÏÕÌÑÒÎÏÊ ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÔÒÏÅÎ ÛÉÆÒ RSA (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÂ ÜÔÏÍ ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 4). 1) äÉÆÆÉ õ., èÅÌÌÍÁÎ í. ü. úÁÝÉÝÅÎÎÏÓÔØ É ÉÍÉÔÏÓÔÏÊËÏÓÔØ. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÀ // ééüò. . 67, 3, 1979.

20

çÌÁ×Á 1

ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ Ó ÓÅËÒÅÔÏÍ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ: 1) ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÏÂÍÅÎ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÔÏÌØËÏ ÏÔËÒÙÔÙÈ ËÁÎÁÌÏ× Ó×ÑÚÉ, Ô. Å. ÏÔËÁÚÁÔØÓÑ ÏÔ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ËÁÎÁÌÏ× Ó×ÑÚÉ ÄÌÑ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÂÍÅÎÁ ËÌÀÞÁÍÉ; 2) ×ËÌÀÞÉÔØ × ÚÁÄÁÞÕ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÛÉÆÒÁ ÔÒÕÄÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ Ï×ÙÓÉÔØ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÓÔØ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÛÉÆÒÁ; 3) ÒÅÛÁÔØ ÎÏ×ÙÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ (ÜÌÅËÔÒÏÎÎÁÑ ÉÆÒÏ×ÁÑ ÏÄÉÓØ É ÄÒ.). ïÉÛÅÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ . 1). ðÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ A, ËÏÔÏÒÙÊ ÈÏÞÅÔ ÏÌÕÞÁÔØ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÄÏÌÖÅÎ ×ÙÂÒÁÔØ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÆÕÎË ÉÀ FK Ó ÓÅËÒÅÔÏÍ K . ïÎ ÓÏÏÂÝÁÅÔ ×ÓÅÍ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÙÍ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÕÂÌÉËÕÅÔ) ÏÉÓÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ FK × ËÁÞÅÓÔ×Å Ó×ÏÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. îÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ K ÏÎ ÎÉËÏÍÕ ÎÅ ÓÏÏÂÝÁÅÔ É ÄÅÒÖÉÔ × ÓÅËÒÅÔÅ. åÓÌÉ ÔÅÅÒØ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ B ÈÏÞÅÔ ÏÓÌÁÔØ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÀ A ÚÁÝÉÝÁÅÍÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ x ∈ X , ÔÏ ÏÎ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ y = FK (x) É ÏÓÙÌÁÅÔ y Ï ÏÔËÒÙÔÏÍÕ ËÁÎÁÌÕ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÀ A. ðÏÓËÏÌØËÕ A ÄÌÑ Ó×ÏÅÇÏ ÓÅËÒÅÔÁ K ÕÍÅÅÔ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÔØ FK , ÔÏ ÏÎ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ x Ï ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ y. îÉËÔÏ ÄÒÕÇÏÊ ÎÅ ÚÎÁÅÔ K É ÏÜÔÏÍÕ × ÓÉÌÕ Ó×ÏÊÓÔ×Á Â) ÆÕÎË ÉÉ Ó ÓÅËÒÅÔÏÍ ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ Ï ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍÕ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ FK (x) ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÁÝÉÝÁÅÍÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ x. ïÉÓÁÎÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÏÊ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ FK Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÍ ÉÌÉ ÏÔËÒÙÔÙÍ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÒÅÍÑ ÔÁËÉÅ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ ÅÝÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ, ÏÓËÏÌØËÕ × ÎÉÈ ÅÓÔØ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÑ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÈ: ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÔÁËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÙÅ ÛÉÆÒÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ : × ÎÉÈ ËÌÀÞ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ. äÌÑ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ Ï ÎÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ïÉÓÁÎÎÕÀ ×ÙÛÅ ÉÄÅÀ äÉÆÆÉ É èÅÌÌÍÁÎ ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁËÖÅ ÄÌÑ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÉÆÒÏ×ÏÊ ÏÄÉÓÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÕÀ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÄÄÅÌÁÔØ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ðÕÓÔØ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÀ A ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÄÉÓÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ x. ïÎ, ÚÎÁÑ ÓÅËÒÅÔ K , ÎÁÈÏÄÉÔ ÔÁËÏÅ y, ÞÔÏ FK (y) = x, É ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÂÝÅÎÉÅÍ x ÏÓÙÌÁÅÔ y ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÀ B × ËÁÞÅÓÔ×Å Ó×ÏÅÊ ÉÆÒÏ×ÏÊ ÏÄÉÓÉ. ðÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ B ÈÒÁÎÉÔ y × ËÁÞÅÓÔ×Å ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÏÇÏ, ÞÔÏ A ÏÄÉÓÁÌ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ x. óÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÏÄÉÓÁÎÎÏÅ ÉÆÒÏ×ÏÊ ÏÄÉÓØÀ, ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ËÁË ÁÒÕ (x; y), ÇÄÅ x | ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, y | ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ FK (y) = x, FK : X → Y | ÆÕÎË ÉÑ Ó ÓÅËÒÅÔÏÍ, ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ×ÓÅÍ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÁÂÏÎÅÎÔÁÍ. éÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ FK ÏÞÅ×ÉÄÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÌÅÚÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÆÒÏ×ÏÊ ÏÄÉÓÉ:

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

21

1) ÏÄÉÓÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ x, Ô. Å. ÒÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ FK (y) = x, ÍÏÖÅÔ ÔÏÌØËÏ ÁÂÏÎÅÎÔ | ÏÂÌÁÄÁÔÅÌØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÅËÒÅÔÁ K ; ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÄÄÅÌÁÔØ ÏÄÉÓØ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ; 2) ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÏÄÌÉÎÎÏÓÔØ ÏÄÉÓÉ ÍÏÖÅÔ ÌÀÂÏÊ ÁÂÏÎÅÎÔ, ÚÎÁÀÝÉÊ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ, Ô. Å. ÓÁÍÕ ÆÕÎË ÉÀ FK ; 3) ÒÉ ×ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÉ ÓÏÒÏ× ÏÔËÁÚÁÔØÓÑ ÏÔ ÏÄÉÓÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ × ÓÉÌÕ ÅÅ ÎÅÏÄÄÅÌÙ×ÁÅÍÏÓÔÉ; 4) ÏÄÉÓÁÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (x; y) ÍÏÖÎÏ, ÎÅ ÏÁÓÁÑÓØ ÕÝÅÒÂÁ, ÅÒÅÓÙÌÁÔØ Ï ÌÀÂÙÍ ËÁÎÁÌÁÍ Ó×ÑÚÉ. ëÒÏÍÅ ÒÉÎ ÉÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ, äÉÆÆÉ É èÅÌÌÍÁÎ × ÔÏÊ ÖÅ ÒÁÂÏÔÅ ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÎÏ×ÕÀ ÉÄÅÀ | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÌÀÞÅÊ. ïÎÉ ÚÁÄÁÌÉÓØ ×ÏÒÏÓÏÍ: ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÔÁËÕÀ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÁÂÏÎÅÎÔÏ× A É B Ï ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÁÎÁÌÁÍ Ó×ÑÚÉ, ÞÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÄÁÞÉ: 1) ×ÎÁÞÁÌÅ Õ A É B ÎÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ÏÂÝÅÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÎÏ × ËÏÎ Å ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÔÁËÁÑ ÏÂÝÁÑ ÓÅËÒÅÔÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ (ÏÂÝÉÊ ËÌÀÞ) Õ A É B ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ, Ô. Å. ×ÙÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔÓÑ; 2) ÁÓÓÉ×ÎÙÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÅÔ ×ÓÅ ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ÚÎÁÅÔ, ÞÔÏ ÈÏÔÑÔ ÏÌÕÞÉÔØ A É B , ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ×ÙÒÁÂÏÔÁÎÎÙÊ ÏÂÝÉÊ ËÌÀÞ A É B . äÉÆÆÉ É èÅÌÌÍÁÎ ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÒÅÛÁÔØ ÜÔÉ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÆÕÎË ÉÉ F (x) = x mod p; ÇÄÅ p | ÂÏÌØÛÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, x | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÌÑ GF (p). ïÂÝÅÒÉÚÎÁÎÎÏ, ÞÔÏ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ x mod p, Ô. Å. ÄÉÓËÒÅÔÎÏÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÒÕÄÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. (ðÏÄÒÏÂÎÅÅ ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 4.) óÁÍÁ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÉÌÉ, ËÁË ÒÉÎÑÔÏ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÒÏÔÏËÏÌ ×ÙÒÁÂÏÔËÉ ÏÂÝÅÇÏ ËÌÀÞÁ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. áÂÏÎÅÎÔÙ A É B ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÙÂÉÒÁÀÔ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ | ÓËÁÖÅÍ xA É xB . üÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÎÉ ÄÅÒÖÁÔ × ÓÅËÒÅÔÅ. äÁÌÅÅ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÎÏ×ÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ: yA = xA mod p; yB = xB mod p: (þÉÓÌÁ p É ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÍÉ.) ðÏÔÏÍ ÏÎÉ ÏÂÍÅÎÉ×ÁÀÔÓÑ ÜÔÉÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ Ï ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ. ÅÅÒØ ÁÂÏÎÅÎÔ A, ÏÌÕÞÉ× yB É ÚÎÁÑ Ó×ÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ xA , ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÎÏ×ÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ: yBxA mod p = (xB )xA mod p: áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÓÔÕÁÅÔ ÁÂÏÎÅÎÔ B : yAxB mod p = (xA )xB mod p:

22

çÌÁ×Á 1

ÅÍ ÓÁÍÙÍ Õ A É B ÏÑ×ÉÌÓÑ ÏÂÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÌÑ, ÒÁ×ÎÙÊ xA xB . üÔÏÔ ÜÌÅÍÅÎÔ É ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ËÌÀÞÏÍ A É B . éÚ ÏÉÓÁÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÚÎÁÅÔ p; ; xA ; xB , ÎÅ ÚÎÁÅÔ xA É xB É ÈÏÞÅÔ ÕÚÎÁÔØ xA xB . ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÎÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ, ÞÅÍ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ, Á ÜÔÏ | ÔÒÕÄÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ. õÓÅÈÉ, ÄÏÓÔÉÇÎÕÔÙÅ × ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÓÈÅÍ ÉÆÒÏ×ÏÊ ÏÄÉÓÉ É ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÌÀÞÅÊ, ÏÚ×ÏÌÉÌÉ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÜÔÉ ÉÄÅÉ ÔÁËÖÅ É Ë ÄÒÕÇÉÍ ÚÁÄÁÞÁÍ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÕÄÁÌÅÎÎÙÈ ÁÂÏÎÅÎÔÏ×. ÁË ×ÏÚÎÉËÌÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÎÏ×ÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ | ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 3). ïÂßÅËÔÏÍ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÄÁÌÅÎÎÙÅ ÁÂÏÎÅÎÔÙ, ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÅ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ï ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÁÎÁÌÁÍ Ó×ÑÚÉ. ãÅÌØÀ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÁÂÏÎÅÎÔÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÚÁÄÁÞÉ. éÍÅÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÅÓÌÅÄÕÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÅÌÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÏÔÉ×ÎÉË × ÒÁÚÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ: ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÅÔ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ Ó ÁÂÏÎÅÎÔÁÍÉ ÏÔ ÉÍÅÎÉ ÄÒÕÇÉÈ ÁÂÏÎÅÎÔÏ× ÉÌÉ ×ÍÅÛÉ×ÁÔØÓÑ × ÏÂÍÅÎÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ ÍÅÖÄÕ ÁÂÏÎÅÎÔÁÍÉ É Ô. Ä. ðÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ ÍÏÖÅÔ ÄÁÖÅ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏÄÉÎ ÉÚ ÁÂÏÎÅÎÔÏ× ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÁÂÏÎÅÎÔÏ×, ×ÓÔÕÉ×ÛÉÈ × ÓÇÏ×ÏÒ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ× ÚÁÄÁÞ, ÒÅÛÁÅÍÙÈ ÕÄÁÌÅÎÎÙÍÉ ÁÂÏÎÅÎÔÁÍÉ. (þÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÍ Ï Ó×ÏÅÍÕ ×ËÕÓÕ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÉÄÕÍÁÔØ ÅÝÅ ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ ÒÉÍÅÒÙ.) 1. ÷ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÎÅ ÄÏ×ÅÒÑÀÝÉÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÁÂÏÎÅÎÔÁ. ïÎÉ ÈÏÔÑÔ ÏÄÉÓÁÔØ ËÏÎÔÒÁËÔ. üÔÏ ÎÁÄÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÄÏÕÓÔÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÉÔÕÁ ÉÀ: ÏÄÉÎ ÉÚ ÁÂÏÎÅÎÔÏ× ÏÌÕÞÉÌ ÏÄÉÓØ ÄÒÕÇÏÇÏ, Á ÓÁÍ ÎÅ ÏÄÉÓÁÌÓÑ. ðÒÏÔÏËÏÌ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÏÔÏËÏÌÏÍ ÏÄÉÓÁÎÉÑ ËÏÎÔÒÁËÔÁ. 2. ÷ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÎÅ ÄÏ×ÅÒÑÀÝÉÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÁÂÏÎÅÎÔÁ. ïÎÉ ÈÏÔÑÔ ÂÒÏÓÉÔØ ÖÒÅÂÉÊ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÏÎÅÔÙ. üÔÏ ÎÁÄÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÁÂÏÎÅÎÔ, ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÀÝÉÊ ÍÏÎÅÔÕ, ÎÅ ÍÏÇ ÉÚÍÅÎÉÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÏÓÌÅ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÄÏÇÁÄËÉ ÏÔ ÁÂÏÎÅÎÔÁ, ÕÇÁÄÙ×ÁÀÝÅÇÏ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. ðÒÏÔÏËÏÌ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÏÔÏËÏÌÏÍ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ.

ïÉÛÅÍ ÏÄÉÎ ÉÚ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ Ï ÔÅÌÅÆÏÎÕ (ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÓÈÅÍÁ âÌÀÍÁ-íÉËÁÌÉ). äÌÑ ÅÇÏ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ Õ ÁÂÏÎÅÎÔÏ× É ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ : → , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ: 1) | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÅÔÎÙÈ É ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; A

B

X

f

X

Y

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

23

2) ÌÀÂÙÅ ÞÉÓÌÁ 1 2 ∈ , ÉÍÅÀÝÉÅ ÏÄÉÎ ÏÂÒÁÚ ( 1 ) = ( 2 ), ÉÍÅÀÔ ÏÄÎÕ ÞÅÔÎÏÓÔØ; 3) Ï ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÏÂÒÁÚÕ ( ) ÔÒÕÄÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÞÅÔÎÏÓÔØ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ . òÏÌØ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ ÉÇÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ É ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÊ ×ÙÂÏÒ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ∈ , Á ÒÏÌØ ÏÒÌÁ É ÒÅÛËÉ | ÞÅÔÎÏÓÔØ É ÎÅÞÅÔÎÏÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÕÓÔØ | ÁÂÏÎÅÎÔ, ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÀÝÉÊ ÍÏÎÅÔÕ, Á | ÁÂÏÎÅÎÔ, ÕÇÁÄÙ×ÁÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. ðÒÏÔÏËÏÌ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÛÁÇÏ×: 1) ×ÙÂÉÒÁÅÔ (ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÅÔ ÍÏÎÅÔÕ), ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔ , Ô. e. ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ = ( ), É ÏÓÙÌÁÅÔ ÁÂÏÎÅÎÔÕ ; 2) ÏÌÕÞÁÅÔ , ÙÔÁÅÔÓÑ ÕÇÁÄÁÔØ ÞÅÔÎÏÓÔØ É ÏÓÙÌÁÅÔ Ó×ÏÀ ÄÏÇÁÄËÕ ÁÂÏÎÅÎÔÕ ; 3) ÏÌÕÞÁÅÔ ÄÏÇÁÄËÕ ÏÔ É ÓÏÏÂÝÁÅÔ , ÕÇÁÄÁÌ ÌÉ ÏÎ, ÏÓÙÌÁÑ ÅÍÕ ×ÙÂÒÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ; 4) ÒÏ×ÅÒÑÅÔ, ÎÅ ÏÂÍÁÎÙ×ÁÅÔ ÌÉ , ×ÙÞÉÓÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ( ) É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÅÇÏ Ó ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÛÁÇÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ . 3. ÷ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÁÂÏÎÅÎÔÁ A É B (ÔÉÉÞÎÙÊ ÒÉÍÅÒ: A | ËÌÉÅÎÔ ÂÁÎËÁ, B | ÂÁÎË). áÂÏÎÅÎÔ A ÈÏÞÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÁÂÏÎÅÎÔÕ B , ÞÔÏ ÏÎ ÉÍÅÎÎÏ A, Á ÎÅ ÒÏÔÉ×ÎÉË. X

x ;x

f x

f x

f x

x

x

X

x

A

A

y

B

x

f x

B

x

y

B

y

x

A

A

B

B

x

B

A

f x

y

ðÒÏÔÏËÏÌ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÏÔÏËÏÌÏÍ ÉÄÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÁÂÏÎÅÎÔÁ. 4. ÷ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÈ ÁÂÏÎÅÎÔÏ×, ÏÌÕÞÉ×ÛÉÈ ÒÉËÁÚÙ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÅÎÔÒÁ. þÁÓÔØ ÁÂÏÎÅÎÔÏ×, ×ËÌÀÞÁÑ ÅÎÔÒ, ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁÍÉ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÒÁÂÏÔÁÔØ ÅÄÉÎÕÀ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ, ×ÙÉÇÒÙÛÎÕÀ ÄÌÑ ÁÂÏÎÅÎÔÏ×. üÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÚÁÄÁÞÅÊ Ï ×ÉÚÁÎÔÉÊÓËÉÈ ÇÅÎÅÒÁÌÁÈ, Á ÒÏÔÏËÏÌ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÑ | ÒÏÔÏËÏÌÏÍ ×ÉÚÁÎÔÉÊÓËÏÇÏ ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÑ. ïÓÍÙÓÌÅÎÉÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× É ÍÅÔÏÄÏ× ÉÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÌÏ × 1985{1986 Ç.Ç. Ë ÏÑ×ÌÅÎÉÀ Ä×ÕÈ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÍÏÄÅÌÅÊ | ÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÔÉÈ ÎÏ×ÙÈ ÏÂßÅËÔÏ× ÏÚ×ÏÌÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ ÍÎÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ, ×ÅÓØÍÁ ÏÌÅÚÎÙÈ ÒÉ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÂ ÜÔÏÍ ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 2). ðÏÄ ÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á (P; V; S ) ÏÎÉÍÁÀÔ ÒÏÔÏËÏÌ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ Ä×ÕÈ ÁÂÏÎÅÎÔÏ×: P (ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ) É V (ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ). áÂÏÎÅÎÔ P ÈÏÞÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ V , ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ S ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÁÂÏÎÅÎÔ V ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ, ÂÅÚ ÏÍÏÝÉ P , ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ S (ÏÜÔÏÍÕ V É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÍ). áÂÏÎÅÎÔ P ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÈÏÞÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ V , ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ S ÉÓÔÉÎÎÏ, ÈÏÔÑ ÏÎÏ ÌÏÖÎÏ. ðÒÏÔÏËÏÌ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÍÎÏÇÉÈ ÒÁÕÎÄÏ× ÏÂÍÅÎÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ ÍÅÖÄÕ P É V É ÄÏÌÖÅÎ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ Ä×ÕÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ:

24

çÌÁ×Á 1

1) ÏÌÎÏÔÁ | ÅÓÌÉ S ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ, ÔÏ ÁÂÏÎÅÎÔ P ÕÂÅÄÉÔ ÁÂÏÎÅÎÔÁ V ÒÉÚÎÁÔØ ÜÔÏ; 2) ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ | ÅÓÌÉ S ÌÏÖÎÏ, ÔÏ ÁÂÏÎÅÎÔ P ×ÒÑÄ ÌÉ ÕÂÅÄÉÔ ÁÂÏÎÅÎÔÁ V , ÞÔÏ S ÉÓÔÉÎÎÏ. úÄÅÓØ ÓÌÏ×ÁÍÉ ×ÒÑÄ ÌÉ ÍÙ ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ ÚÁÍÅÎÉÌÉ ÔÏÞÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ. ðÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÓÉÓÔÅÍÙ (P; V; S ) ÎÅ ÄÏÕÓËÁÌÏÓØ, ÞÔÏ V ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ. á ÅÓÌÉ V ÏËÁÚÁÌÓÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÈÏÞÅÔ ×Ù×ÅÄÁÔØ Õ P ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÎÏ×ÕÀ ÏÌÅÚÎÕÀ ÄÌÑ ÓÅÂÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÏÂ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÉ S ? ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ P , ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÈÏÔÅÔØ, ÞÔÏÂÙ ÜÔÏ ÓÌÕÞÉÌÏÓØ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÒÏÔÏËÏÌÁ (P; V; S ). ðÒÏÔÏËÏÌ (P; V; S ), ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÔÁËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ É ÄÏÌÖÅÎ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ, ËÒÏÍÅ ÕÓÌÏ×ÉÊ 1) É 2), ÅÝÅ É ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ: 3) ÎÕÌÅ×ÏÅ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅ | × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÒÏÔÏËÏÌÁ (P; V; S ) ÁÂÏÎÅÎÔ V ÎÅ Õ×ÅÌÉÞÉÔ Ó×ÏÉ ÚÎÁÎÉÑ ÏÂ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÉ S ÉÌÉ, ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ ÉÚ×ÌÅÞØ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÔÏÍ, ÏÞÅÍÕ S ÉÓÔÉÎÎÏ. 5. úÁËÌÀÞÅÎÉÅ

úÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ×ÓÅ ÛÉÒÅ ×ÈÏÄÑÔ × ÎÁÛÕ ÖÉÚÎØ É ÄÁÖÅ ÂÙÔ. ÷ÏÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ×. ïÔÒÁ×ÌÑÑ Email, ÍÙ × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÔ×ÅÞÁÅÍ ÎÁ ×ÏÒÏÓ ÍÅÎÀ: îÕÖÅÎ ÌÉ ÒÅÖÉÍ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ? ÷ÌÁÄÅÌÅ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÊ ÂÁÎËÏ×ÓËÏÊ ËÁÒÔÏÞËÉ, ÏÂÒÁÝÁÑÓØ ÞÅÒÅÚ ÔÅÒÍÉÎÁÌ Ë ÂÁÎËÕ, ×ÎÁÞÁÌÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ ÒÏÔÏËÏÌ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ËÁÒÔÏÞËÉ. ðÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ ÓÅÔÉ éÎÔÅÒÎÅÔ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÚÎÁËÏÍÙ Ó ÄÉÓËÕÓÓÉÑÍÉ ×ÏËÒÕÇ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÒÉÎÑÔÉÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÁ ÉÆÒÏ×ÏÊ ÏÄÉÓÉ ÄÌÑ ÔÅÈ ÓÔÒÁÎÉ , ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ (ÀÒÉÄÉÞÅÓËÕÀ, ÒÁÊÓ-ÌÉÓÔÙ É ÄÒ.). ó ÎÅÄÁ×ÎÉÈ ÏÒ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ ÓÅÔÅÊ ÓÔÁÌÉ ÕËÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅ Ó×ÏÅÊ ÆÁÍÉÌÉÉ ÎÁÒÑÄÕ Ó ÕÖÅ ÒÉ×ÙÞÎÙÍ Email : : : É ÍÅÎÅÅ ÒÉ×ÙÞÎÏÅ | ïÔÅÞÁÔÏË ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ËÌÀÞÁ : : : . ó ËÁÖÄÙÍ ÄÎÅÍ ÔÁËÉÈ ÒÉÍÅÒÏ× ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ×ÓÅ ÂÏÌØÛÅ. éÍÅÎÎÏ ÎÏ×ÙÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ É Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÉÓÔÏÞÎÉËÏ× ÅÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ.

çÌÁ×Á 2 ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ïÓÎÏ×ÎÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÕÄÅÌÑÅÍ ÒÁÚßÑÓÎÅÎÉÀ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÉÄÅÊ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. éÚÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ | ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÔÉÉÞÎÙ ÍÎÏÇÏÓÔÒÁÎÉÞÎÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ó ÏÓÎÏ×ÁÍÉ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ: ÏÎÑÔÉÑÍÉ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ, ËÌÁÓÓÏ× P É NP (ÓÍ. [2℄), Á ÔÁËÖÅ Ó ÇÌÁ×ÏÊ 1 ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ËÎÉÇÉ. 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

÷ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÄÈÏÄÁ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× (× ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÔÁËÖÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÂÝÉÊ ÔÅÒÍÉÎ | ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÓÈÅÍÙ): ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÊ É ÔÅÏÒÅÔÉËÏÓÌÏÖÎÏÓÔÎÏÊ. ÅÏÒÅÔÉËÏ-ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÊ ÏÄÈÏÄ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ÁÔÁËÕÀÝÉÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÄÁÖÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÕÀ ÄÌÑ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ Ó×ÏÉÈ ÅÌÅÊ. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÚÄÅÓØ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÛÉÆÒ ÷ÅÒÎÁÍÁ Ó ÏÄÎÏÒÁÚÏ×ÙÍÉ ËÌÀÞÁÍÉ, ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÉÊ ÒÏÔÉ× ÁÓÓÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ. ðÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÔÏÌØ ×ÙÓÏËÏÊ ÓÔÏÊËÏÓÔØÀ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÏÂÙÞÎÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÓÔÏÑÝÕÀ ÅÒÅÄ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ ÚÁÄÁÞÕ, ÎÏ ÎÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ, Á × ÒÉÎ ÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ. ðÒÉÍÅÒ 1 (ëÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ). ëÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÒÅÍÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ: ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ËÌÀÞÅÊ, ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ËÌÀÞÅÊ G ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÅÎ; ×ÓÑËÉÊ ÖÅÌÁÀÝÉÊ ÍÏÖÅÔ ÏÄÁÔØ ÅÍÕ ÎÁ ×ÈÏÄ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÓÔÒÏËÕ r ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÄÌÉÎÙ É ÏÌÕÞÉÔØ ÁÒÕ ËÌÀÞÅÊ (K1 ; K2). ïÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ K1 ÕÂÌÉËÕÅÔÓÑ, Á ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ K2 É ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÓÔÒÏËÁ r ÈÒÁÎÑÔÓÑ × ÓÅËÒÅÔÅ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ EK1 É

26

çÌÁ×Á 2

ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ DK2 ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ ÅÓÌÉ (K1 ; K2) | ÁÒÁ ËÌÀÞÅÊ, ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ G, ÔÏ DK2 (EK1 (m)) = m ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ m. äÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ É ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÄÌÉÎÕ n. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ, ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ É ÏÂÁ ËÌÀÞÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÒÏËÁÍÉ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÁÔÁËÕÅÔ ÜÔÕ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ. åÍÕ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ K1 , ÎÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ K2. ðÒÏÔÉ×ÎÉË ÅÒÅÈ×ÁÔÉÌ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ d É ÙÔÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ m, ÇÄÅ d = EK1 (m). ðÏÓËÏÌØËÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÒÏÓÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÄÌÉÎÙ n, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ mi ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ di = EK1 (mi ) É ÓÒÁ×ÎÉÔØ di Ó d. Ï ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ di = d, É ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÙÍ ÏÔËÒÙÔÙÍ ÔÅËÓÔÏÍ. åÓÌÉ Ï×ÅÚÅÔ, ÔÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ. ÷ ÈÕÄÛÅÍ ÖÅ ÓÌÕÞÁÅ ÅÒÅÂÏÒ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎ ÚÁ ×ÒÅÍÑ ÏÒÑÄËÁ 2n T (n), ÇÄÅ T (n) | ×ÒÅÍÑ, ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ EK1 ÏÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÄÌÉÎÙ n. åÓÌÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÉÍÅÀÔ ÄÌÉÎÕ ÏÒÑÄËÁ 1000 ÂÉÔÏ×, ÔÏ ÔÁËÏÊ ÅÒÅÂÏÒ ÎÅÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÍ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ÎÉ ÎÁ ËÁËÉÈ ÓÁÍÙÈ ÍÏÝÎÙÈ ËÏÍØÀÔÅÒÁÈ. íÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÌÉ ÌÉÛØ ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÓÏÂÏ× ÁÔÁËÉ ÎÁ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ É ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÏÂÙÞÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ. éÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ÄÒÕÇÏÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ: ÍÅÔÏÄ ÇÒÕÂÏÊ ÓÉÌÙ. äÒÕÇÏÊ ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ | ÕÇÁÄÙ×ÁÎÉÅ. üÔÏÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÔÒÅÂÕÅÔ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ, ÎÏ ÓÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ Ó ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ (ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÄÌÉÎÁÈ ÔÅËÓÔÏ×). îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÙÔÁÔØÓÑ ÁÔÁËÏ×ÁÔØ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ, ÂÏÌÅÅ ÉÚÏÝÒÅÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÉÓËÁ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ ÓÔÏÊËÏÊ, ÅÓÌÉ ÌÀÂÏÊ ÔÁËÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÔÒÅÂÕÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÍÏÇÏ ÏÂßÅÍÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÉÌÉ ÓÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ Ó ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ. (ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ, ÎÏ É ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ.) üÔÏ É ÅÓÔØ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÏÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ. äÌÑ ÅÇÏ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÔÏÇÏ ÉÌÉ ÉÎÏÇÏ ÔÉÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: 1) ÄÁÔØ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÈÅÍÙ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÉÁ; 2) ÄÁÔØ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÓÈÅÍÙ; 3) ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÓÈÅÍÙ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÉÁ. úÄÅÓØ ÓÒÁÚÕ ÖÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÑÄ ÒÏÂÌÅÍ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍÁÈ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ×ÓÅÇÄÁ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×. îÁÒÉÍÅÒ, ËÒÉÔÏ-

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ

27

ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ ÄÌÑ ËÌÀÞÅÊ ÄÌÉÎÙ, ÓËÁÖÅÍ, × 256 ÉÌÉ 512 ÂÁÊÔÏ×. äÌÑ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÖÅ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÚÁÄÁÞÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ, ÂÙÌÁ ÍÁÓÓÏ×ÏÊ. ðÏÜÔÏÍÕ × ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÏÄÅÌÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ. üÔÉ ÍÏÄÅÌÉ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÂÏÌØÛÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ (ÏÂÙÞÎÏ ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÁÒÁÍÅÔÒ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÒÏÂÅÇÁÔØ ×ÅÓØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÊ ÒÑÄ). ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÓÈÅÍÙ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÔÏÉÔ ÅÒÅÄ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ, É ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÓÈÅÍÅ ÅÍÕ ÄÏÓÔÕÎÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÓÈÅÍ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÒÏÔÉ×ÎÉËÅ. ÷-ÔÒÅÔØÉÈ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÔÏÞÎÉÔØ, ËÁËÏÊ ÏÂßÅÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÍÙÍ. éÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏÓÔÏ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ, ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÔ ÒÁÓÔÕÝÅÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÔÅÚÉÓÏÍ üÄÍÏÎÄÓÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ ×ÒÅÍÑ ÅÇÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÏÌÉÎÏÍÏÍ ÏÔ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á (× ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÏÔ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ). ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ï ÄÁÎÎÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÍÙ. úÁÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÓÁÍÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÓÈÅÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍÉ, Ô. Å. ×ÓÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÒÅÄÉÓÁÎÎÙÅ ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÓÈÅÍÏÊ, ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ÷-ÞÅÔ×ÅÒÔÙÈ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÁËÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏÊ. ÷ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÔÁËÏ×ÏÊ ÌÀÂÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ËÏÔÏÒÁÑ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ p É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 1=p(n), ÇÄÅ n | ÁÒÁÍÅÔÒ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ. éÔÁË, ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ×ÓÅÈ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ, ÒÏÂÌÅÍÁ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÓÈÅÍÙ Ó×ÅÌÁÓØ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÅÛÁÅÔ ÚÁÄÁÞÕ, ÓÔÏÑÝÕÀ ÅÒÅÄ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ. îÏ ÚÄÅÓØ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÝÅ ÏÄÎÏ É ×ÅÓØÍÁ ÓÅÒØÅÚÎÏÅ ÒÅÑÔÓÔ×ÉÅ: ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÎÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ Ó×ÅÒÈÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÎÉÖÎÉÅ Ï ÅÎËÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. éÚ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÎÁ ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÁ ÌÉÛØ Ó ÒÉ×ÌÅÞÅÎÉÅÍ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÎÅÄÏËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÉÓËÅ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÙÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ (× ÉÄÅÁÌÅ | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÈ) ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÔÏÊËÉÈ ÓÈÅÍ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÔÉÏ×. ÷ ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÔÉÏ× | ÏÂÝÉÅ (ÉÌÉ

28

çÌÁ×Á 2

ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÅ) É ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÙÅ, Ô. Å. ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÚÁÄÁÞ. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÍÉ. îÉÖÅ ÍÙ ËÒÁÔËÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÂßÅËÔÏ×, ×ÏÚÎÉËÛÉÈ ÎÁ ÓÔÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÙÊ ÏÂÚÏÒ Ï ÜÔÉÍ ×ÏÒÏÓÁÍ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ËÎÉÇÅ [1℄.

=NP

2. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÇÉÏÔÅÚÁ P6

ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×-ÎÅÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ ËÌÁÓÓÁÍÉ P É NP É ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÇÉÏÔÅÚÏÊ P6=NP.

îÁÏÍÎÉÍ ×ËÒÁÔ Å ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. ðÕÓÔØ ∗ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÔÒÏË × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ = {0 1}. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ⊆ ∗ × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÑÚÙËÁÍÉ. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ (ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁ), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍ ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ×ÈÏÄÎÏÍ ÓÌÏ×Å ÄÌÉÎÙ ÍÁÛÉÎÁ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ( ) ÏÅÒÁ ÉÊ. íÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ ÒÁÓÏÚÎÁÅÔ (ÄÒÕÇÏÊ ÔÅÒÍÉÎ | ÒÉÎÉÍÁÅÔ) ÑÚÙË , ÅÓÌÉ ÎÁ ×ÓÑËÏÍ ×ÈÏÄÎÏÍ ÓÌÏ×Å ∈ ÍÁÛÉÎÁ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ × ÒÉÎÉÍÁÀÝÅÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ, Á ÎÁ ×ÓÑËÏÍ ÓÌÏ×Å ∈ | × ÏÔ×ÅÒÇÁÀÝÅÍ. ëÌÁÓÓ P | ÜÔÏ ËÌÁÓÓ ×ÓÅÈ ÑÚÙËÏ×, ÒÁÓÏÚÎÁ×ÁÅÍÙÈ ÍÁÛÉÎÁÍÉ ØÀÒÉÎÇÁ, ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÍÉ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. æÕÎË ÉÑ : ∗ → ∗ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÁ ×ÈÏÄ ÅÊ ÏÄÁÎÏ ÓÌÏ×Ï ∈ ∗ , ÔÏ × ÍÏÍÅÎÔ ÏÓÔÁÎÏ×Á ÎÁ ÌÅÎÔÅ ÂÕÄÅÔ ÚÁÉÓÁÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ( ). ñÚÙË ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ NP, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÅÄÉËÁÔ ( ): ∗ × ∗ → {0 1}, ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÊ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, É ÏÌÉÎÏÍ ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ = { |∃ ( )&| | 6 (| |)}. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÑÚÙË ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ NP, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÉÚ ÄÌÉÎÙ ÍÏÖÎÏ ÕÇÁÄÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÏÔ ÄÌÉÎÙ É ÚÁÔÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔÉ ÄÏÇÁÄËÉ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ P ⊆ NP. ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÜÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ ÓÔÒÏÇÉÍ | ÏÄÎÁ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× ÓÞÉÔÁÀÔ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÓÔÒÏÇÏÅ (ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÇÉÏÔÅÚÁ P6=NP). ÷ ËÌÁÓÓÅ NP ×ÙÄÅÌÅÎ ÏÄËÌÁÓÓ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÙÈ ÑÚÙËÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ NP-ÏÌÎÙÍÉ: ÌÀÂÏÊ NP-ÏÌÎÙÊ ÑÚÙË ÒÁÓÏÚÎÁ×ÁÅÍ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ P=NP. äÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÅÝÅ ÏÎÑÔÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ. ÷ ÏÂÙÞÎÙÈ ÍÁÛÉÎÁÈ ØÀÒÉÎÇÁ (ÉÈ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ, ÞÔÏÂÙ ÏÔÌÉÞÉÔØ ÏÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ) ÎÏ×ÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÅ ÍÁÛÉÎÁ ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÎÁ ÏÞÅÒÅÄÎÏÍ ÛÁÇÅ, ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÅËÕÝÉÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅÍ É ÔÅÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÂÏÚÒÅ×ÁÅÔ ÇÏÌÏ×ËÁ ÎÁ ÌÅÎÔÅ. ÷ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÍÁÛÉÎÁÈ ÎÏ×ÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÅÝÅ É ÏÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0 É 1 Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ 1 2 ËÁÖÄÏÅ. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ ÉÍÅÅÔ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØ;

L

M

p

n

M

p n

M

L

x

L

x = L

M

f

x

f x

L

P x; y p

;

x

L

yP x; y

y

L

p

L

n

n

P

=

x

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ

29

ÎÕÀ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÌÅÎÔÕ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÉÓÁÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ Ä×ÏÉÞÎÁÑ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÓÔÒÏËÁ. óÌÕÞÁÊÎÁÑ ÌÅÎÔÁ ÍÏÖÅÔ ÞÉÔÁÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ É ÅÒÅÈÏÄ × ÎÏ×ÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ ÓÉÍ×ÏÌÁ, ÏÂÏÚÒÅ×ÁÅÍÏÇÏ ÎÁ ÜÔÏÊ ÌÅÎÔÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ: ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÇÉÏÔÅÚÁ P6=NP ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÔÏÊËÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ? îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ, É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÞÔÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÒÉÍÅÒÕ 1. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÑÚÙË L = {(K1 ; d; i) | ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ m ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ EK1 (m) = d É ÅÇÏ i-ÙÊ ÂÉÔ ÒÁ×ÅÎ 1}. ñÓÎÏ, ÞÔÏ L ∈ NP: ×ÍÅÓÔÏ ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ ÍÏÖÎÏ ÒÏÓÔÏ ÕÇÁÄÁÔØ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ m É ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÞÔÏ EK1 (m) = d É i-ÙÊ ÂÉÔ m ÒÁ×ÅÎ 1. åÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ×ÈÏÄÎÏÅ ÓÌÏ×Ï (K1 ; d; i) ÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ, × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÏÔ×ÅÒÇÁÅÔÓÑ. ÷ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ P=NP ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÁÓÏÚÎÁÀÝÉÊ ÑÚÙË L. úÎÁÑ K1 É d, Ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÏÖÎÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ï ÂÉÔÕ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ m. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅÓÔÏÊËÁÑ. ÏÔ ÖÅ ÏÄÈÏÄ: ÕÇÁÄÁÔØ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ É ÒÏ×ÅÒÉÔØ (ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ) ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÄÏÇÁÄËÉ, ÒÉÍÅÎÉÍ × ÒÉÎ ÉÅ É Ë ÄÒÕÇÉÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÍ ÓÈÅÍÁÍ. ïÄÎÁËÏ, × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ Ï ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔÓÑ Õ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ÉÓËÏÍÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ (ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ, ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ É Ô. .) ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. þÔÏ ÖÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ ×ÏÒÏÓÁ Ï ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ P6=NP, ÔÏ ÚÄÅÓØ ÎÁÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÄÈÏÄ: ×ÙÂÒÁÔØ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ NPÏÌÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ É ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÁ ÅÅ ÏÓÎÏ×Å ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÚÁÄÁÞÁ ×ÚÌÏÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ (Ô. Å. ÚÁÄÁÞÁ, ÓÔÏÑÝÁÑ ÅÒÅÄ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ) ÂÙÌÁ ÂÙ NP-ÏÌÎÏÊ. ÁËÉÅ ÏÙÔËÉ ÒÅÄÒÉÎÉÍÁÌÉÓØ × ÎÁÞÁÌÅ 80-È ÇÏÄÏ×, × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ, ÎÏ Ë ÕÓÅÈÕ ÎÅ ÒÉ×ÅÌÉ. òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÏÙÔÏË ÓÔÁÌÏ ÏÓÏÚÎÁÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÆÁËÔÁ: ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ P6=NP, ÔÏ ÌÀÂÁÑ NP-ÏÌÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÔÒÕÄÎÏÊ ÌÉÛØ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÈÏÄÎÙÈ ÓÌÏ×. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÁ NP ÚÁÌÏÖÅÎÁ ÍÅÒÁ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ × ÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ. äÌÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÖÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÓÈÅÍÙ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÚÁÄÁÞÁ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÂÙÌÁ ÓÌÏÖÎÏÊ ÏÞÔÉ ×ÓÀÄÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÁÌÏ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ, ÞÅÍ P6=NP. á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ.

30

çÌÁ×Á 2

3. ïÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ

çÏ×ÏÒÑ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ | ÜÔÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÏÄ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÍÁÓÓÏ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ Ï ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÆÕÎË ÉÉ ÏÄÎÏÇÏ (ÌÀÂÏÇÏ) ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÚ ÒÏÏÂÒÁÚÁ (ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ). ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÑÔÉÅ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÆÕÎË ÉÉ | ÅÎÔÒÁÌØÎÏÅ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ÎÉÖÅ ÍÙ ÄÁÅÍ ÅÇÏ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ n = {0; 1}n | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ n. ðÏÄ ÆÕÎË ÉÅÊ f ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï {fn }, ÇÄÅ fn : n → m , m = m(n). äÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ n ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÅÓØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÊ ÒÑÄ É ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ fn ×ÓÀÄÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ. æÕÎË ÉÑ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÓÔÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍ q ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ n 6 q(m(n)) ÄÌÑ ×ÓÅÈ n. þÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ, ÅÓÌÉ 1. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ x ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ f (x). 2. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ A ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. ðÕÓÔØ ÓÔÒÏËÁ x ×ÙÂÒÁÎÁ ÎÁÕÄÁÞÕ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á n (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ x ∈R n ). ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ p É ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n P r{f (A(f (x))) = f (x)} < 1=p(n): ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÚÄÅÓØ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÔÒÏËÉ x É ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ A ÉÓÏÌØÚÕÅÔ × Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÅ. õÓÌÏ×ÉÅ 2 ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. ìÀÂÁÑ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ A ÍÏÖÅÔ Ï ÄÁÎÎÏÍÕ y ÎÁÊÔÉ x ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ f (x) = y ÌÉÛØ Ó ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÞÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÅÌØÚÑ ÏÕÓÔÉÔØ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÉÎÁ ×ÈÏÄÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á f (x) ÍÁÛÉÎÙ A ÒÁ×ÎÁ m, ÅÊ ÍÏÖÅÔ ÎÅ È×ÁÔÉÔØ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ (ÏÔ m) ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÏÓÔÏ ÎÁ ×ÙÉÓÙ×ÁÎÉÅ ÓÔÒÏËÉ x, ÅÓÌÉ f ÓÌÉÛËÏÍ ÓÉÌØÎÏ ÓÖÉÍÁÅÔ ×ÈÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ P6=NP. ïÄÎÁËÏ, ÎÅ ÉÓËÌÀÞÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ: P6=NP, ÎÏ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÅÔ. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÄÌÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÍÎÏÇÉÈ ÔÉÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ. ïÂÒÁÔÉÍÓÑ ÏÑÔØ Ë ÒÉÍÅÒÕ 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ f (r) = K1 . ïÎÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ G ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f | ÎÅ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÔÏ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1.

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ

31

ÎÅÓÔÏÊËÁÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ A, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÕÅÔ f Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ 1=p(n) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ p. úÄÅÓØ n | ÄÌÉÎÁ ËÌÀÞÁ K1 . ðÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÏÄÁÔØ ÎÁ ×ÈÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ A ËÌÀÞ K1 É ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ r′ ÉÚ ÒÏÏÂÒÁÚÁ. äÁÌÅÅ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÏÄÁÅÔ r′ ÎÁ ×ÈÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ G É ÏÌÕÞÁÅÔ ÁÒÕ ËÌÀÞÅÊ (K1 ; K2′ ). èÏÔÑ K2′ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó K2, ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ DK2 (EK1 (m)) = m ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ m. ðÏÓËÏÌØËÕ K2′ ÎÁÊÄÅÎ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ 1=p(n), ËÏÔÏÒÁÑ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÎÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏÊ, ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅÓÔÏÊËÁÑ. äÌÑ ÄÒÕÇÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ ÏÄÏÂÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅ ÓÔÏÌØ ÒÏÓÔÏ. ÷ ÒÁÂÏÔÅ éÍÁÌØÑ Ï É ìÕÂÉ [7℄ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÌÏÇÏ ÒÑÄÁ ÓÔÏÊËÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ. éÚ ×ÓÅÇÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÁÍÙÍ ÓÌÁÂÙÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅÍ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÔÏÊËÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÉÏ×. îÁ ×ÙÑÓÎÅÎÉÅ ÔÏÇÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÓÉÌÉÑ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ×. ÒÕÄÎÏÓÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ ÉÚ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÑÓÎÉÔØ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. ðÕÓÔØ f | ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ É ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÓÔÒÏÉÔØ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ Ó ÓÅËÒÅÔÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ . ÷ ÔÁËÏÊ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ËÌÀÞ | ÓÅËÒÅÔÎÙÊ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ É ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌÀ, É ÏÌÕÞÁÔÅÌÀ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ EK É ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ DK ÏÂÁ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÜÔÏÇÏ ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ K É ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ DK (EK (m)) = m ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ m. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ d ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ËÁË d = f (m), ÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ÅÒÅÈ×ÁÔÉ×ÛÉÊ d, ÍÏÖÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ m ÌÉÛØ Ó ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ. îÏ ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÎÅÏÎÑÔÎÏ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÍÏÖÅÔ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ m ÉÚ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÚÁËÏÎÎÙÊ ÏÌÕÞÁÔÅÌØ? ÷Ï×ÔÏÒÙÈ, ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÌÉÛØ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ×ÓÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÅÌÉËÏÍ. á ÜÔÏ | ×ÅÓØÍÁ ÎÉÚËÉÊ ÕÒÏ×ÅÎØ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ. öÅÌÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ÚÎÁÀÝÉÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ d, ÎÅ ÍÏÇ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÂÉÔÁ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. îÁ ÎÁÓÔÏÑÝÉÊ ÍÏÍÅÎÔ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÔÏÊËÉÈ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍ Ó ÓÅËÒÅÔÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ, Á ÔÁËÖÅ ÓÔÏÊËÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÔÉÏ×, ×ËÌÀÞÁÑ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ′

32

çÌÁ×Á 2

éÍÁÌØÑ Ï É òÕÄÉÈÁ [9℄, ËÏÔÏÒÙÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÉÌØÎÙÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏÍ × ÏÌØÚÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÉÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ (×ËÌÀÞÁÑ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÌÀÞÅÊ ÔÉÁ äÉÆÆÉèÅÌÌÍÁÎÁ) ÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÙÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÞÅÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÌÉÛËÏÍ ÓÌÏÖÎÙÊ, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÒÁÚßÑÓÎÉÔØ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Å. 4. ðÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÙ

óÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏË ÛÉÆÒÁ ÷ÅÒÎÁÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÌÀÞÉ ÏÄÎÏÒÁÚÏ×ÙÅ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÉÚÂÁ×ÉÔØÓÑ ÏÔ ÜÔÏÇÏ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÁ ÚÁ ÓÞÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÎÉÖÅÎÉÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ? ïÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ïÔÒÁ×ÉÔÅÌØ É ÏÌÕÞÁÔÅÌØ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÊ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ K ÄÌÉÎÙ n É Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ g ÇÅÎÅÒÉÒÕÀÔ ÉÚ ÎÅÇÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ r = g(K ) ÄÌÉÎÙ q(n), ÇÄÅ q | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÏÌÉÎÏÍ. ÁËÁÑ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ (ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÅ Cr) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ m (ÉÌÉ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ) ÄÌÉÎÏÊ ÄÏ q(n) ÂÉÔÏ× Ï ÆÏÒÍÕÌÅ d = r ⊕ m, ÇÄÅ ⊕ | ÏÒÁÚÒÑÄÎÏÅ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÂÉÔÏ×ÙÈ ÓÔÒÏË Ï ÍÏÄÕÌÀ 2. äÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ m = d ⊕ r. éÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ûÅÎÎÏÎÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÏÊËÏÊ, Ô. Å. ÓÔÏÊËÏÊ ÒÏÔÉ× ÌÀÂÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ (× ÞÅÍ, ×ÒÏÞÅÍ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ É ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ). îÏ ÞÔÏ ÂÕÄÅÔ, ÅÓÌÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÚÁÝÉÝÁÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÁÔÁËÏ×ÁÔØ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ ÌÉÛØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×? ëÁËÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ r É ÁÌÇÏÒÉÔÍ g, ÞÔÏÂÙ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ Cr ÂÙÌÁ ÓÔÏÊËÏÊ? ðÏÉÓËÉ ÏÔ×ÅÔÏ× ÎÁ ÜÔÉ ×ÏÒÏÓÙ ÒÉ×ÅÌÉ Ë ÏÑ×ÌÅÎÉÀ ÏÎÑÔÉÑ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ, ËÏÔÏÒÏÅ ÂÙÌÏ ××ÅÄÅÎÏ âÌÀÍÏÍ É íÉËÁÌÉ [3℄. ðÕÓÔØ g : {0; 1}n → {0; 1}q(n) | ÆÕÎË ÉÑ, ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ (ÏÔ n) ×ÒÅÍÑ. ÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ. éÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ, ÇÅÎÅÒÁÔÏÒ g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÒÏÖÄÁÅÍÙÅ ÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅÏÔÌÉÞÉÍÙ ÎÉËÁËÉÍ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÏÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÔÏÊ ÖÅ ÄÌÉÎÙ q(n). æÏÒÍÁÌØÎÏ ÜÔÏÔ ÏÂßÅËÔ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ A | ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÁ ×ÈÏÄÅ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ ÄÌÉÎÙ q(n) É ×ÙÄÁÅÔ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÙ ÏÄÉÎ ÂÉÔ. ðÕÓÔØ P1 (A; n) = P r{A(r) = 1 | r ∈R {0; 1}q(n)}:

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ

33

÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÚÄÅÓØ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÔÒÏËÉ r É ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ A ÉÓÏÌØÚÕÅÔ × Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÅ. ðÕÓÔØ P2 (A; n) = P r{A(g(s)) = 1 | s ∈R {0; 1}n}: üÔÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÔÒÏËÉ s É ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ A ÉÓÏÌØÚÕÅÔ × Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÅ. ðÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ g ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. çÅÎÅÒÁÔÏÒ g ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ ÓÔÏÊËÉÍ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ A, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ p É ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n |P1 (A; n) − P2 (A; n)| < 1=p(n): ÷ÓÀÄÕ ÎÉÖÅ ÍÙ ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ ÓÔÏÊËÉÅ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÙ ÒÏÓÔÏ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁÍÉ. ÁËÏÅ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÍ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÓÁÍÁ ÆÕÎË ÉÑ g ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. ÷ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ, ÄÏÌÇÏÅ ×ÒÅÍÑ ÏÓÔÁ×ÁÌÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ. ÷ 1982 Ç. ñÏ [10℄ ÏÓÔÒÏÉÌ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒ, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË, Ô. Å. ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÉÈ ÄÌÉÎÕ ×ÚÁÉÍÎÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. úÁ ÜÔÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÌÁ ÓÅÒÉÑ ÒÁÂÏÔ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ É ÂÏÌÅÅ ÏÓÌÁÂÌÑÌÏÓØ, ÏËÁ ÎÁËÏÎÅ × 1989{1990 ÇÇ. éÍÁÌØÑ Ï, ìÅ×ÉÎ É ìÕÂÉ [8℄ É èÏÓÔÁÄ [6℄ ÎÅ ÏÌÕÞÉÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. ÅÏÒÅÍÁ 1. ðÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ. ðÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÙ ÎÁÈÏÄÑÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ÎÏ É × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, É × ÄÒÕÇÉÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ïÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Ù. úÄÅÓØ ÖÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÉÓÁÎÎÕÀ × ÎÁÞÁÌÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ Cr, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÕÀ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ g. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÁÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÓÅËÒÅÔÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ. ðÕÓÔØ EK | ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÓÅËÒÅÔÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÅÇÏ ÒÁÂÏÔÙ d = EK (m), ÚÄÅÓØ K | ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ ÄÌÉÎÏÊ n ÂÉÔÏ×, Á m | ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ ÄÌÉÎÏÊ q(n)

34

çÌÁ×Á 2

ÂÉÔÏ×. þÅÒÅÚ mi ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ i-ÙÊ ÂÉÔ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. ðÕÓÔØ A | ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÁ ×ÈÏÄ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ d É ×ÙÄÁÅÔ ÁÒÕ (i; ), ÇÄÅ i ∈ {1; : : : ; q(n)}, ∈ {0; 1}. éÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ, ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÊËÏÊ, ÅÓÌÉ ÎÉËÁËÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ A ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÎÉ ÏÄÉÎ ÂÉÔ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÕÓÅÈÁ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌØÛÅÊ, ÞÅÍ ÒÉ ÒÏÓÔÏÍ ÕÇÁÄÙ×ÁÎÉÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. ëÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÏÊËÏÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ A, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ p É ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n 1 1 P r{A(d) = (i; ) & = mi K ∈R {0; 1}n; m ∈R {0; 1}q(n)} < + : 2 p(n) üÔÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ (×ÓÀÄÕ ÎÉÖÅ ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÍÙ ÅÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÒÏÓÔÏ P r) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ K , ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ×ÙÂÏÒÏÍ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ m ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ q(n) É ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ A ÉÓÏÌØÚÕÅÔ × Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÅ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ Cr Ó ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÊËÏÊ × ÓÍÙÓÌÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ, Ô. Å. ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ A É ÏÌÉÎÏÍ p ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ P r > 1=2 + 1=p(n) ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÉÈ n. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ B , ËÏÔÏÒÙÊ ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÁ ×ÈÏÄÅ Ä×ÏÉÞÎÕÀ ÓÔÒÏËÕ r ÄÌÉÎÙ q(n), ×ÙÂÉÒÁÅÔ m ∈R {0; 1}q(n), ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ d = m ⊕ r É ×ÙÚÙ×ÁÅÔ A ËÁË ÏÄÒÏÇÒÁÍÍÕ, ÏÄÁ×ÁÑ ÅÊ ÎÁ ×ÈÏÄ ÓÔÒÏËÕ d. ðÏÌÕÞÉ× ÏÔ A ÁÒÕ (i; ), B ÒÏ×ÅÒÑÅÔ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÌÉ mi = É ÅÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ×ÙÄÁÅÔ 1, × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | 0, É ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ B ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ (ÏÔ n) ×ÒÅÍÑ. õÂÅÄÉÍÓÑ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ B ÏÔÌÉÞÁÅÔ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ g, ÏÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ q(n). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ÓÔÒÏËÉ r, ÏÓÔÕÁÀÝÉÅ ÎÁ ×ÈÏÄ B , Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ, ÔÏ d | ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÛÉÆÒÁ ÷ÅÒÎÁÍÁ É, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ûÅÎÎÏÎÁ, P r = 1=2. åÓÌÉ ÓÔÒÏËÉ r ÏÒÏÖÄÅÎÙ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ g, ÔÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ d ÉÍÅÀÔ ÔÁËÏÅ ÖÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ËÁË × ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÅ Cr, É, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, P r > 1=2 + 1=p(n) ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÉÈ n. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ Cr. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÓÔÏÊËÏÓÔØ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÓÅËÒÅÔÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÒÏÔÉ× ÁÔÁËÉ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ: ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÔËÒÙÔÙÈ ÔÅËÓÔÏ× É ÏÌÕÞÉÔØ ÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÏÎ ÏÌÕÞÁÅÔ ÔÕ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÅÍÕ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ

35

ÏÄÉÎ ÂÉÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ Cr Ó ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÊËÏÊ É ÒÏÔÉ× ÁÔÁËÉ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÕÂÅÄÉÌÉÓØ, ÞÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ ÓÔÏÊËÉÅ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ. ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ | ÏÉÓË ÍÅÔÏÄÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏ× ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ. ðÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÚÄÅÓØ ÓÌÕÖÉÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ, ÚÁÔÒÁÞÉ×ÁÅÍÙÈ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÞÅÒÅÄÎÏÇÏ ÂÉÔÁ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. 5. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ áÌÉÓÁ ÚÎÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ É ÖÅÌÁÅÔ ÕÂÅÄÉÔØ âÏÂÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ ×ÅÒÎÁ. ëÏÎÅÞÎÏ, áÌÉÓÁ ÍÏÖÅÔ ÒÏÓÔÏ ÅÒÅÄÁÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï âÏÂÕ ÎÁ ÒÏ×ÅÒËÕ. îÏ ÔÏÇÄÁ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ âÏÂ ÓÍÏÖÅÔ ÓÁÍ, ÂÅÚ ÏÍÏÝÉ áÌÉÓÙ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÔÒÅÔØÉÍ ÌÉ ÁÍ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ. á ÍÏÖÅÔ ÌÉ áÌÉÓÁ ÕÂÅÄÉÔØ âÏÂÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÎÅ ÏÌÕÞÉÌ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÍÏÇÌÁ ÂÙ ÅÍÕ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ? üÔÉÍ Ä×ÕÍ, ËÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ ×ÚÁÉÍÎÏ ÉÓËÌÀÞÁÀÝÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÎÑÔÉÅ ÂÙÌÏ ××ÅÄÅÎÏ çÏÌØÄ×ÁÓÓÅÒ, íÉËÁÌÉ É òÁËÏÆÆÏÍ × 1985 Ç. [4℄. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÒÏÔÏËÏÌÁ. ÷ ÒÁÓÏÒÑÖÅÎÉÉ áÌÉÓÙ É âÏÂÁ ÉÍÅÀÔÓÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÅ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ P É V ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÒÅÓÕÒÓÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ áÌÉÓÁ, ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÍÁÛÉÎÁ V ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. íÁÛÉÎÙ P É V ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÕÀ ÌÅÎÔÕ ÄÌÑ ÏÂÍÅÎÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ. ðÏÓÌÅ ÚÁÉÓÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÕÀ ÌÅÎÔÕ ÍÁÛÉÎÁ ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÏÖÉÄÁÎÉÑ É ×ÙÈÏÄÉÔ ÉÚ ÎÅÇÏ, ËÁË ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÌÅÎÔÕ ÂÕÄÅÔ ÚÁÉÓÁÎÏ ÏÔ×ÅÔÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. íÁÛÉÎÙ P É V ÉÍÅÀÔ ÔÁËÖÅ ÏÂÝÕÀ ×ÈÏÄÎÕÀ ÌÅÎÔÕ, ÎÁ ËÏÔÏÒÕÀ ÚÁÉÓÁÎÏ ×ÈÏÄÎÏÅ ÓÌÏ×Ï x. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ áÌÉÓÁ, ÓÕÔØ x ∈ L, ÇÄÅ L | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ (ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ É áÌÉÓÅ, É âÏÂÕ) ÑÚÙË. þÔÏÂÙ ÉÚÂÅÖÁÔØ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÓÔÉ, ÑÚÙË L ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÔÒÕÄÎÙÍ (ÎÁÒÉÍÅÒ, NP-ÏÌÎÙÍ), ÉÎÁÞÅ âÏÂ ÓÍÏÖÅÔ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ x ∈ L. ðÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ, ÒÏÔÏËÏÌ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ âÏÂ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔØ, ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÒÏÓÙ, ÚÁÄÁÅÔ ÉÈ áÌÉÓÅ É ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÏÔ×ÅÔÏ×. ÷ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ÍÁÛÉÎÁ V ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ, ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÎÁ ×ÙÄÁÅÔ 1, ÅÓÌÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÉÎÑÔÏ, É 0 | × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.

36

çÌÁ×Á 2

ðÕÓÔØ A É B | Ä×Å ÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÅ, Ô. Å. ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÏÂÝÕÀ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÕÀ ÌÅÎÔÕ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÅ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ. þÅÒÅÚ [B (x); A(x)℄ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ | ×ÙÈÏÄÎÏÅ ÓÌÏ×Ï ÍÁÛÉÎÙ A, ËÏÇÄÁ A É B ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÎÁ ×ÈÏÄÎÏÍ ÓÌÏ×Å x. þÅÒÅÚ |x| ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÄÌÉÎÁ ÓÌÏ×Á x. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. éÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÄÌÑ ÑÚÙËÁ L ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÒÁ ÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÈ ÍÁÛÉÎ ØÀÒÉÎÇÁ (P; V) ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á ÕÓÌÏ×ÉÑ. 1. (ðÏÌÎÏÔÁ). äÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ L P r{[P(x); V(x)℄ = 1} = 1: 2. (ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ). äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ P∗ , ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ p É ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈= L ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ ÄÌÉÎÙ P r{[P∗ (x); V(x)℄ = 1} < 1=p(|x|): ðÏÌÎÏÔÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÈÏÄÎÏÅ ÓÌÏ×Ï ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÑÚÙËÕ L É ÏÂÁ ÕÞÁÓÔÎÉËÁ, É áÌÉÓÁ, É âÏÂ, ÓÌÅÄÕÀÔ ÒÏÔÏËÏÌÕ, ÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ×ÓÅÇÄÁ ÒÉÎÑÔÏ. ÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÚÁÝÉÝÁÅÔ âÏÂÁ ÏÔ ÎÅÞÅÓÔÎÏÊ áÌÉÓÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÙÔÁÅÔÓÑ ÏÂÍÁÎÕÔØ ÅÇÏ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÑ ÌÏÖÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ðÒÉ ÜÔÏÍ áÌÉÓÁ ÍÏÖÅÔ ËÁËÉÍ ÕÇÏÄÎÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÔËÌÏÎÑÔØÓÑ ÏÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ, ÒÅÄÉÓÁÎÎÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÏÍ, Ô. Å. ×ÍÅÓÔÏ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ P ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ ÍÁÛÉÎÕ P∗ . ÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÂÍÁÎÁ ÂÙÌÁ × ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏÊ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. éÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÊ ÒÏÔÏËÏÌ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÌÑ ÑÚÙËÁ L ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ Ó ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ, ÅÓÌÉ, ËÒÏÍÅ ÕÓÌÏ×ÉÊ 1 É 2, ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÅÝÅ É ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ. 3. (ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ). äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ V∗ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ MV , ÒÁÂÏÔÁÀÝÁÑ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ × ÓÒÅÄÎÅÍ ×ÒÅÍÑ, É ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ L ∗ MV (x) = [P(x); V (x)℄: íÁÛÉÎÁ MV ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÊ ÍÁÛÉÎÏÊ ÄÌÑ V∗ . ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ ×ÒÅÍÅÎÉ ÅÅ ÒÁÂÏÔÙ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ÏÌÉÎÏÍÏÍ ÏÔ ÄÌÉÎÙ x. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ÒÉÎ ÉÅ MV ÍÏÖÅÔ, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÉÍÕÔ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÅ × ÅÅ ÒÁÂÏÔÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÒÁÂÏÔÁÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏÌÇÏ. îÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ×ÒÅÍÑ ÅÅ ÒÁÂÏÔÙ ÒÅ×ÙÓÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÕÀ ÇÒÁÎÉ Õ, ÍÁÌÁ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÍÁÛÉÎÙ V∗ ÓÔÒÏÉÔÓÑ Ó×ÏÑ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ; ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ V∗ ËÁË ÏÄÒÏÇÒÁÍÍÕ. þÅÒÅÚ MV (x) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ | ×ÙÈÏÄÎÏÅ ÓÌÏ×Ï ÍÁÛÉÎÙ MV , ËÏÇÄÁ ÎÁ ×ÈÏÄÅ ÏÎÁ ÏÌÕÞÁÅÔ ÓÌÏ×Ï x. ∗

∗

∗

∗

∗ ∗

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ

37

ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÚÁÝÉÝÁÅÔ áÌÉÓÕ ÏÔ ÎÅÞÅÓÔÎÏÇÏ âÏÂÁ, ËÏÔÏÒÙÊ, ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÏÔËÌÏÎÑÑÓØ ÏÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ, ÒÅÄÉÓÁÎÎÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÏÍ (ÉÓÏÌØÚÕÑ V∗ ×ÍÅÓÔÏ V), ÙÔÁÅÔÓÑ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÚ ÅÇÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. õÓÌÏ×ÉÅ 3 ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ âÏÂ ÍÏÖÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÌÕÞÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÁËÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ËÏÔÏÒÕÀ ÏÎ ÓÍÏÇ ÂÙ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ É ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ (ÂÅÚ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ) ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÏÔÏËÏÌ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ ÄÌÑ ÑÚÙËÁ éúïíïòæéúí çòáæï÷ ÉÚ ÒÁÂÏÔÙ çÏÌØÄÒÁÊÈÁ, íÉËÁÌÉ É ÷ÉÇÄÅÒÓÏÎÁ [5℄. ÷ÈÏÄÎÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÒÁ ÇÒÁÆÏ× G1 = (U; E1 ) É G0 = (U; E0 ). úÄÅÓØ U | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ {1; : : : ; n}, E1 É E0 | ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ |E1 | = |E0 | = m. çÒÁÆÙ G1 É G0 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ' ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å U ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ (u; v) ∈ E0 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ('(u); '(v)) ∈ E1 (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ G1 = 'G0 ). úÁÄÁÞÁ ÒÁÓÏÚÎÁ×ÁÎÉÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÇÒÁÆÏ× | ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ NP-ÏÌÎÏÊ, ÈÏÔÑ ÅÓÔØ ×ÅÓËÉÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ. ðÒÏÔÏËÏÌ IG ðÕÓÔØ ' | ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ G1 É G0 . óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÞÅÔÙÒÅ ÛÁÇÁ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ × ÉËÌÅ m ÒÁÚ, ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ Ó ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ. 1. P ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å U , ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ H = G1 É ÏÓÙÌÁÅÔ ÜÔÏÔ ÇÒÁÆ V. 2. V ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÂÉÔ É ÏÓÙÌÁÅÔ ÅÇÏ P. 3. åÓÌÉ = 1, ÔÏ P ÏÓÙÌÁÅÔ V ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ , × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ◦ '. 4. åÓÌÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ V, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÍÅÖÄÕ G É H , ÔÏ V ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ É ÏÔ×ÅÒÇÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ. åÓÌÉ ÒÏ×ÅÒËÉ .4 ÄÁÌÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×Ï ×ÓÅÈ m ÉËÌÁÈ, ÔÏ V ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÒÏÔÏËÏÌÅ IG ÍÁÛÉÎÁ P ÏÌÕÞÁÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ' × ËÁÞÅÓÔ×Å ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÈÏÄÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á, ÔÏ ÅÊ ÄÌÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÎÅ ÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÒÅÓÕÒÓÙ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ P ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÍÁÛÉÎÏÊ ØÀÒÉÎÇÁ. ÅÏÒÅÍÁ 2 ([5℄). ðÒÏÔÏËÏÌ IG Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ Ó ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ ÄÌÑ ÑÚÙËÁ éúïíïòæéúí çòáæï÷.

38

çÌÁ×Á 2

ðÏÌÎÏÔÁ ÒÏÔÏËÏÌÁ IG ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÂÉÔ , ËÏÔÏÒÙÊ V ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÎÁ ÛÁÇÅ 2, ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ P, ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ ÉÚ ÇÒÁÆÏ× | G0 ÉÌÉ G1 | ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ Ó ÇÒÁÆÏÍ H . åÓÌÉ G0 É G1 ÎÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ, ÔÏ H ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ, × ÌÕÞÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÏ×ÅÒËÁ . 4 ÄÁÓÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ 6 1=2 × ÏÄÎÏÍ ÉËÌÅ É Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ 6 1=2m ×Ï ×ÓÅÈ m ÉËÌÁÈ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÅÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ×ÏÓÒÏÉÚ×ÏÄÉÍ ÔÏÌØËÏ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÉÄÅÀ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÍÁÛÉÎÙ V∗ | ÏÌÕÞÉÔØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÏÂ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ ÍÅÖÄÕ G0 É G1 . åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ V, ÂÕÄÅÔ ×ÙÄÁ×ÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÙÈÏÄÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÎÅ ÏÄÉÎ ÂÉÔ, Á ×ÓÀ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ×ËÌÀÞÁÑ ÓÏÄÅÒÖÉÍÏÅ Ó×ÏÅÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÌÅÎÔÙ, ÇÒÁÆÙ H É ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁ ÛÁÇÁÈ 1 É 3 ÒÏÔÏËÏÌÁ IG. íÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ MV ÄÏÌÖÎÁ ÕÍÅÔØ ÓÔÒÏÉÔØ ÔÁËÉÅ ÖÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ, ÇÒÁÆÙ É ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÎÅ ÚÎÁÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ '! ðÏÜÔÏÍÕ MV ÙÔÁÅÔÓÑ ÕÇÁÄÁÔØ ÔÏÔ ÂÉÔ , ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÚÁÒÏÓÏÍ ÍÁÛÉÎÙ V∗ ÎÁ ÛÁÇÅ 2. äÌÑ ÜÔÏÇÏ MV ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÂÉÔ , ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ É ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ H = G . äÁÌÅÅ MV ÚÁÏÍÉÎÁÅÔ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÁÛÉÎÙ V∗ (×ËÌÀÞÁÑ ÓÏÄÅÒÖÉÍÏÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÌÅÎÔÙ) É ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÅÅ ËÁË ÏÄÒÏÇÒÁÍÍÕ, ÏÄÁ×ÁÑ ÅÊ ÎÁ ×ÈÏÄ ÇÒÁÆ H . ïÔ×ÅÔÏÍ ÍÁÛÉÎÙ V∗ ÂÕÄÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÂÉÔ . åÓÌÉ = , ÔÏ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ × ÄÁÎÎÏÍ ÉËÌÅ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÏ ÕÓÅÛÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ MV ÍÏÖÅÔ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ. åÓÌÉ ÖÅ 6= , ÔÏ MV ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÒÁÎÅÅ ÓÏÈÒÁÎÅÎÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÁÛÉÎÙ V∗ É Ï×ÔÏÒÑÅÔ ÏÙÔËÕ. åÓÌÉ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ MV (x) É [P(x); V∗ (x)℄ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÈ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÏÞÔÉ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÌÉÓØ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÄÒÕÇÁÑ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× | ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÏ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ. åÝÅ ÏÄÉÎ ÔÉ | ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ÓÏÚÄÁ×ÁÌÁ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÏÔÌÉÞÉÍÏ ÏÔ [P(x); V∗ (x)℄ ÎÉËÁËÉÍ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ (ÎÅÏÔÌÉÞÉÍÏÓÔØ ÚÄÅÓØ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË ÜÔÏ ÄÅÌÁÌÏÓØ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ). ðÏÄÞÅÒËÎÅÍ ÏÓÏÂÏ, ÞÔÏ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÈ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÊ ÍÁÛÉÎÙ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÔÅÈ ÓÌÏ×ÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÑÚÙËÕ. ∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ É ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ

39

ðÏÍÉÍÏ ÉÎÔÅÒÅÓÁ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÍ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ ËÁË Ë ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂßÅËÔÕ, ÏÎÉ ÉÓÓÌÅÄÕÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ É × Ó×ÑÚÉ Ó ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍÉ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ É ×ÁÖÎÙÊ ÔÉ ÔÁËÉÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ | ÒÏÔÏËÏÌÙ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ (ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 3). ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ áÌÉÓÁ ÍÏÖÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ âÏÂÕ Ó×ÏÀ ÁÕÔÅÎÔÉÞÎÏÓÔØ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ áÌÉÓÁ | ÜÔÏ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÁÑ ÂÁÎËÏ×ÓËÁÑ ËÁÒÔÏÞËÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ P, Á âÏÂ | ÜÔÏ ËÏÍØÀÔÅÒ ÂÁÎËÁ, ×ÙÏÌÎÑÀÝÉÊ ÒÏÇÒÁÍÍÕ V. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÎÁÞÁÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÂÁÎËÏ×ÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ÂÁÎË ÄÏÌÖÅÎ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÏÄÌÉÎÎÏÓÔÉ ËÁÒÔÏÞËÉ É ÉÄÅÎÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÅÅ ×ÌÁÄÅÌØ Á, ÉÌÉ, ÇÏ×ÏÒÑ ÎÁ ÑÚÙËÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ËÁÒÔÏÞËÁ ÄÏÌÖÎÁ ÒÏÊÔÉ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÀ. ÷ ÒÉÎ ÉÅ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÅÌÉ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÒÏÔÏËÏÌ IG. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ × ÁÍÑÔÉ ÂÁÎËÏ×ÓËÏÇÏ ËÏÍØÀÔÅÒÁ ÈÒÁÎÉÔÓÑ ÁÒÁ ÇÒÁÆÏ× (G0 ; G1 ), ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ áÌÉÓÅ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÊ ËÁÒÔÏÞËÅ | ÔÁ ÖÅ ÁÒÁ ÇÒÁÆÏ× É ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ '. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ, ËÒÏÍÅ áÌÉÓÙ, ÜÔÏÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÎÉËÔÏ ÎÅ ÚÎÁÅÔ (ËÒÏÍÅ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, âÏÂÁ) É ÏÜÔÏÍÕ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÔÏËÏÌÁ IG ËÁÒÔÏÞËÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ Ó×ÏÀ ÁÕÔÅÎÔÉÞÎÏÓÔØ. ðÒÉ ÜÔÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÌÎÏÔÙ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ËÁÒÔÏÞËÁ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÄÏËÁÖÅÔ Ó×ÏÀ ÁÕÔÅÎÔÉÞÎÏÓÔØ. ó×ÏÊÓÔ×Ï ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÚÁÝÉÝÁÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÙ ÂÁÎËÁ ÏÔ ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ, ÎÅ Ñ×ÌÑÑÓØ ËÌÉÅÎÔÏÍ ÂÁÎËÁ, ÙÔÁÅÔÓÑ ÒÏÊÔÉ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÀ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ËÁÒÔÏÞËÕ. ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÚÁÝÉÝÁÅÔ ËÌÉÅÎÔÁ ÏÔ ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ, ÏÄÓÌÕÛÁ× ÏÄÎÏ ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÊ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÄÁÎÎÏÊ ËÁÒÔÏÞËÉ, ÙÔÁÅÔÓÑ ÒÏÊÔÉ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÀ ÏÄ ÉÍÅÎÅÍ áÌÉÓÙ. ëÏÎÅÞÎÏ, × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÁÒÁ ÇÒÁÆÏ× (G0 ; G1 ) ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÑÚÙËÕ éúïíïòæéúí çòáæï÷, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÁ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÑÚÙËÁ. ÷ÍÅÓÔÏ ÜÔÏÇÏ áÌÉÓÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÚÎÁÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ '. éÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÁËÏÇÏ ÔÉÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÍÉ ÚÎÁÎÉÑ. äÌÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÁ IG, ËÁË É ÄÒÕÇÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÚÎÁÎÉÑ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ P, ÏÌÕÞÉ×ÛÉÊ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÈÏÄÁ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ', ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ÷ÍÅÓÔÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ IG ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÌÀÂÏÅ ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ P ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. îÏ ÄÌÑ ÒÅÁÌØÎÙÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÒÏÔÏËÏÌ IG, ËÁË É ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÏÄÏÂÎÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×, ÎÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÅÎ: ÂÏÌØÛÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉËÌÏ×, ÓÌÉÛËÏÍ ÄÌÉÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É Ô. Ä. ðÏÉÓË ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÄÏËÁÚÕÅÍÏ ÓÔÏÊËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× | ÏÄÎÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ.

40

çÌÁ×Á 2

ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ Ë ÇÌÁ×Å 2

[1℄ áÎÏÈÉÎ í. é., ÷ÁÒÎÏ×ÓËÉÊ î. ð., óÉÄÅÌØÎÉËÏ× ÷. í., ñÝÅÎËÏ ÷. ÷. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ × ÂÁÎËÏ×ÓËÏÍ ÄÅÌÅ. í.: íéæé, 1997. [2℄ çÜÒÉ í., äÖÏÎÓÏÎ ä. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÍÁÛÉÎÙ É ÔÒÕÄÎÏ ÒÅÛÁÅÍÙÅ ÚÁÄÁÞÉ. í.: íÉÒ, 1982. [3℄ Blum M., Mi ali S. How to generate rytographi ally strong sequen es of pseudo-random bits // SIAM J. Comput. V. 13, No 4, 1984. P. 850{ 864. [4℄ Goldwasser S., Mi ali S., Ra ko C. The knowledge omplexity of intera tive proof systems // SIAM J. Comput. V. 18, No 1, 1989. P. 186{ 208. [5℄ Goldrei h O., Mi ali S., Wigderson A. Proofs that yield nothing but their validity or all languages in NP have zero-knowledge proof systems // J. ACM. V. 38, No 3, 1991. P. 691{729. [6℄ H astad J. Pseudo-random generators under uniform assumptions // Pro . 22nd Annu. ACM Symp. on Theory of Computing. 1990. P. 395{ 404. [7℄ Impagliazzo R., Luby M. One-way fun tions are essential for omplexity based ryptography // Pro . 30th Annu. Symp. on Found. of Comput. S i. 1989. P. 230{235. [8℄ Impagliazzo R. , Levin L., Luby M. Pseudo-random generation from one-way fun tions // Pro . 21st Annu. ACM Symp. on Theory of Computing. 1989. P. 12{24. [9℄ Impagliazzo R., Rudi h S. Limits on the provable onsequen es of oneway permutations // Pro . 21st Annu. ACM Symp. on Theory of Computing. 1989. P. 44{61. [10℄ Yao A.C. Theory and appli ations of trapdoor fun tions // Pro . 23rd Annu. Symp. on Found. of Comput. S i. 1982. P. 80{91.

çÌÁ×Á 3 ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ×ÏÚÎÉËÌÁ ËÁË ÎÁÕËÁ Ï ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, Ô. Å. ËÁË ÎÁÕËÁ Ï ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁÈ. ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÛÅÎÎÏÎÏ×ÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ Ó×ÑÚÉ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Á ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏ×ÅÒÑÀÝÉÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÕÞÁÓÔÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÄÁ×ÁÔØ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÎÅ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÕÀ ÄÌÑ ÔÒÅÔØÉÈ ÌÉ . ÁËÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÉÌÉ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ÚÁÄÁÞÁ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÓÔÉ, Ô. Å. ÚÁÝÉÔÙ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÔ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉ, | ÅÒ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. ïÎÁ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏ ÒÅÛÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÔÅÅÒØ ÓÅÂÅ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÉÔÕÁ ÉÀ. éÍÅÀÔÓÑ Ä×Á ÁÂÏÎÅÎÔÁ A É B ÓÅÔÉ Ó×ÑÚÉ, ÓËÁÖÅÍ, ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÓÅÔÉ. B | ÜÔÏ ÂÁÎË, × ËÏÔÏÒÏÍ Õ A ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÞÅÔ É A ÈÏÞÅÔ ÅÒÅÓÌÁÔØ B Ï ÓÅÔÉ × ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÌÁÔÅÖÎÏÅ ÏÒÕÞÅÎÉÅ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 10 ÆÁÎÔÉËÏ× ÓÏ Ó×ÏÅÇÏ ÓÞÅÔÁ ÎÁ ÓÞÅÔ ÄÒÕÇÏÇÏ ËÌÉÅÎÔÁ C . îÕÖÎÁ ÌÉ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÝÉÔÁ? ðÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÏÒÁÚÍÙÛÌÑÔØ É ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÚÁÝÉÔÁ É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ. îÏ ÚÄÅÓØ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ: Õ A É B ÎÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÌÉÅÎÔÙ ÅÒÅÓÙÌÁÀÔ ÂÁÎËÕ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÌÁÔÅÖÎÙÅ ÏÒÕÞÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏ É ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ. äÌÑ ÂÁÎËÁ ×ÁÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÉÓÈÏÄÉÔ ÏÔ A, Á ÏÓÌÅÄÎÅÍÕ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÉËÔÏ ÎÅ ÍÏÇ ÉÚÍÅÎÉÔØ ÓÕÍÍÕ, ÕËÁÚÁÎÎÕÀ × ÌÁÔÅÖÎÏÍ ÏÒÕÞÅÎÉÉ, ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÏÓÌÁÔØ ÏÄÄÅÌØÎÏÅ ÏÒÕÞÅÎÉÅ ÏÔ ÅÇÏ ÉÍÅÎÉ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÇÁÒÁÎÔÉÑ ÏÓÔÕÌÅÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÉÚ ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÏÇÏ ÉÓÔÏÞÎÉËÁ É × ÎÅÉÓËÁÖÅÎÎÏÍ ×ÉÄÅ. ÁËÁÑ ÇÁÒÁÎÔÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÅÌÏÓÔÎÏÓÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ×ÔÏÒÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ.

42

çÌÁ×Á 3

îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÒÉ ÅÒÅÓÙÌËÅ ÌÁÔÅÖÎÙÈ ÏÒÕÞÅÎÉÊ × ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÝÅ É ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÉÎÏÊ ÔÉ ÕÇÒÏÚ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ ËÌÉÅÎÔÏ×: ×ÓÑËÉÊ, ËÔÏ ÅÒÅÈ×ÁÔÉÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÏÔ A Ë B , ÕÚÎÁÅÔ, ÞÔÏ C ÏÌÕÞÉÌ ÏÔ A 10 ÆÁÎÔÉËÏ×. á ÞÔÏ ÂÕÄÅÔ, ÅÓÌÉ ÜÔÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÏÁÄÅÔ × ÒÕËÉ ÍÁÆÉÉ? ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ËÔÏ-ÔÏ ÉÚ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÓËÁÖÅÔ, ÞÔÏ ÚÄÅÓØ ËÁË ÒÁÚ É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÓÔØ. é ÂÕÄÅÔ ÎÅÒÁ×! îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ËÌÉÅÎÔÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÅÞÔÏ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÁÎÏÎÉÍÎÏÓÔÉ ÏÂÙÞÎÙÈ ÂÕÍÁÖÎÙÈ ÄÅÎÅÇ. èÏÔÑ ËÁÖÄÁÑ ÂÕÍÁÖÎÁÑ ËÕÀÒÁ ÉÍÅÅÔ ÕÎÉËÁÌØÎÙÊ ÎÏÍÅÒ, ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÔÏ ÅÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌ É × ËÁËÉÈ ÌÁÔÅÖÁÈ, ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. áÎÁÌÏÇ ÜÔÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØÀ. ïÂÅÓÅÞÅÎÉÅ ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔÉ | ÔÒÅÔØÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. åÓÌÉ ÚÁÄÁÞÁ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÓÔÉ ÒÅÛÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍ, ÔÏ ÄÌÑ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÌÏÓÔÎÏÓÔÉ É ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔÉ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ. éÍÅÀÔÓÑ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÔÌÉÞÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÏÔ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ: { ÒÏÔÏËÏÌÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÍÉ, Ô. Å. ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÒÁÕÎÄÏ×ÙÊ ÏÂÍÅÎ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ ÍÅÖÄÕ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ; { × ÒÏÔÏËÏÌÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×; { ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ÒÏÔÏËÏÌÁ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÄÏ×ÅÒÑÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÄÏÌÖÎÙ ÚÁÝÉÝÁÔØ ÉÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ÎÏ É ÏÔ ÎÅÞÅÓÔÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÁÒÔÎÅÒÏ×. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÏÎÑÔÉÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÔØ. Ï ÖÅ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ É Ë ÚÁÄÁÞÁÍ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÌÏÓÔÎÏÓÔÉ É ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔÉ. ðÏÄ ÒÏÔÏËÏÌÏÍ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÍ) ÏÂÙÞÎÏ ÏÎÉÍÁÀÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, Ô. Å. ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×, ÌÀÓ ÓÅ ÉÆÉËÁ ÉÉ ÆÏÒÍÁÔÏ× ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ÅÒÅÓÙÌÁÅÍÙÈ ÍÅÖÄÕ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ, ÌÀÓ ÓÅ ÉÆÉËÁ ÉÉ ÓÉÎÈÒÏÎÉÚÁ ÉÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×, ÌÀÓ ÏÉÓÁÎÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÒÉ ×ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÉ ÓÂÏÅ×. îÁ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÜÔÏÇÏ ÓÉÓËÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÂÒÁÔÉÔØ ÏÓÏÂÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÇÏ ÞÁÓÔÏ ÕÕÓËÁÀÔ ÉÚ ×ÉÄÕ, Á ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÙÊ Ï×ÔÏÒÎÙÊ ÕÓË ÍÏÖÅÔ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÁÚÒÕÛÉÔØ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÄÁÖÅ × ÓÔÏÊËÏÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÅ. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ | ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÍÏÌÏÄÁÑ ÏÔÒÁÓÌØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. ðÅÒ×ÙÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÏÑ×ÉÌÉÓØ ÏËÏÌÏ 20 ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ. ó ÔÅÈ ÏÒ ÜÔÁ ÏÔÒÁÓÌØ ÂÕÒÎÏ ÒÁÚ×É×ÁÌÁÓØ, É ÎÁ ÎÁÓÔÏÑÝÉÊ ÍÏÍÅÎÔ ÉÍÅÅÔÓÑ ÕÖÅ ÎÅ ÍÅÎÅÅ Ä×ÕÈ ÄÅÓÑÔËÏ× ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÉÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÔÉÙ ÍÏÖÎÏ ÕÓÌÏ×ÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ Ä×Å ÇÒÕÙ: ÒÉËÌÁÄÎÙÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ É ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ. ðÒÉËÌÁÄÎÏÊ ÒÏÔÏËÏÌ ÒÅÛÁÅÔ ËÏÎËÒÅÔÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ (ÉÌÉ ÍÏÖÅÔ ×ÏÚ-

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

43

ÎÉËÎÕÔØ) ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ. ðÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÖÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ËÁË Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÅ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÎÙÅ ÂÌÏËÉ ÒÉ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÒÉËÌÁÄÎÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×. úÁ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÒÅ×ÒÁÔÉÌÉÓØ × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÏÂßÅËÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ × ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ËÒÕÎÅÊÛÉÈ ÅÖÅÇÏÄÎÙÈ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑÈ Crypto É EUROCRYPT ÂÏÌØÛÁÑ ÞÁÓÔØ ÄÏËÌÁÄÏ× ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÉÍÅÎÎÏ ÒÏÔÏËÏÌÁÍ. âÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, ÔÁËÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ ÒÅÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ ÉÎÔÅÒÅÓÏ× ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÊ. îÏ ÄÌÑ ×Ù×ÏÄÁ Ï ÒÅ×ÒÁÝÅÎÉÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÏÂßÅËÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ ÉÍÅÀÔÓÑ É ÏÂßÅËÔÉ×ÎÙÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ. ëÁË ÍÏÖÎÏ ÏÎÑÔØ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÒÉÍÅÒÁ, × ÂÁÎËÏ×ÓËÉÈ ÌÁÔÅÖÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ × ÎÁÛÉ ÄÎÉ ×ÍÅÓÔÏ ÌÁÔÅÖÎÙÈ ÏÒÕÞÅÎÉÊ ÎÁ ÂÕÍÁÇÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÉÈ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÁÑ ÆÏÒÍÁ. ÷ÙÇÏÄÙ ÏÔ ÔÁËÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÏÝÕÔÉÍÙ, ÞÔÏ, Ï×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÂÁÎËÉ ÏÔ ÎÅÅ ÕÖÅ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÏÔËÁÖÕÔÓÑ, ËÁËÉÅ ÂÙ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÅ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ (Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÅÌÏÓÔÎÏÓÔÉ) ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅ ×ÏÚÎÉËÁÌÉ. îÏ ÌÁÔÅÖÎÙÅ ÏÒÕÞÅÎÉÑ | ÌÉÛØ ÏÄÉÎ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÔÉÏ× ÄÏËÕÍÅÎÔÏ×, ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × ÏÂÏÒÏÔÅ × ÓÆÅÒÅ ÂÉÚÎÅÓÁ. á ×ÅÄØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÅÝÅ ÄÏËÕÍÅÎÔÙ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÒÇÁÎÙ É ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ, ÀÒÉÄÉÞÅÓËÉÅ ÄÏËÕÍÅÎÔÙ É Ô. Ä. ÷ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ × ÒÁÚ×ÉÔÙÈ ÓÔÒÁÎÁÈ ÏÔÞÅÔÌÉ×Ï ÒÏÓÌÅÖÉ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÎÄÅÎ ÉÑ ÅÒÅ×ÏÄÁ ×ÓÅÇÏ ÄÏËÕÍÅÎÔÏÏÂÏÒÏÔÁ × ÜÌÅËÔÒÏÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕ. ïÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ×ÙÇÏÄ É ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÊ ÔÁËÏÇÏ ÛÁÇÁ ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Ù. äÌÑ ÎÁÓ ×ÁÖÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÅÒÅÈÏÄ ÎÁ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ ÄÏËÕÍÅÎÔÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÉÚÂÅÖÎÙÍ, ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ, × ËÁÖÄÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÌÏÓÔÎÏÓÔÉ É ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔÉ, Ô. Å. ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×. óËÁÚÁÎÎÏÅ ×ÙÛÅ ÏÒÏ×ÅÒÇÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÓÈÏÖÅÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ: ÏÓËÏÌØËÕ-ÄÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÙ ÎÁÕÞÉÌÉÓØ ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÔØ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÄÌÉÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ×ÙÄÅÒÖÉ×ÁÀÔ ×ÓÅ ÁÔÁËÉ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ × ÎÁÛÉ ÄÎÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÌÉÛØ ÁËÁÄÅÍÉÞÅÓËÉÊ ÉÎÔÅÒÅÓ. îÅ ËÁÓÁÑÓØ ÒÏÂÌÅÍ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁÍÉ, ÕËÁÖÅÍ ÌÉÛØ, ÞÔÏ × ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÈ ÍÎÏÇÉÈ ÔÉÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÓÄÅÌÁÎÙ ÔÏÌØËÏ ÅÒ×ÙÅ ÛÁÇÉ É ÅÝÅ ÍÎÏÇÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÒÅÄÓÔÏÉÔ ÒÅÛÉÔØ, ÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ ×ÏÊÄÕÔ × Ï×ÓÅÍÅÓÔÎÏÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ. ãÅÌØ ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Ù | ÏÚÎÁËÏÍÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÔÉÁÍÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× É ÏÂÒÉÓÏ×ÁÔØ ËÒÕÇ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ ÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÉÈ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ó ÇÌÁ×ÁÍÉ 1, 2 É 4.

44

çÌÁ×Á 3

2. ãÅÌÏÓÔÎÏÓÔØ. ðÒÏÔÏËÏÌÙ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ É ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ \÷ÏÒÏÔÉÔÓÑ ËÏÚÁ, ÏÓÔÕÞÉÔÓÑ × Ä×ÅÒØ É ÚÁÏÅÔ: | ëÏÚÌÑÔÕÛËÉ, ÒÅÂÑÔÕÛËÉ! ïÔÏÒÉÔÅÓÑ, ÏÔ×ÏÒÉÔÅÓÑ! ÷ÁÛÁ ÍÁÔØ ÒÉÛÌÁ | ÍÏÌÏËÁ ÒÉÎÅÓÌÁ. ëÏÚÌÑÔËÉ ÏÔÏÒÕÔ Ä×ÅÒØ É ×ÕÓÔÑÔ ÍÁÔØ. . . ÷ÏÌË ÏÄÓÌÕÛÁÌ ËÁË ÏÅÔ ËÏÚÁ. ÷ÏÔ ÒÁÚ ËÏÚÁ ÕÛÌÁ, ×ÏÌË ÏÄÂÅÖÁÌ Ë ÉÚÂÕÛËÅ É ÚÁËÒÉÞÁÌ ÔÏÌÓÔÙÍ ÇÏÌÏÓÏÍ: | ÷Ù ÄÅÔÕÛËÉ! ÷Ù ËÏÚÌÑÔÕÛËÉ! ïÔÏÒÉÔÅÓÑ, ÏÔ×ÏÒÉÔÅÓÑ, ÷ÁÛÁ ÍÁÔØ ÒÉÛÌÁ, ÍÏÌÏËÁ ÒÉÎÅÓÌÁ. ëÏÚÌÑÔÁ ÅÍÕ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ: | óÌÙÛÉÍ, ÓÌÙÛÉÍ | ÄÁ ÎÅ ÍÁÔÕÛËÉÎ ÜÔÏ ÇÏÌÏÓÏË!. . . ÷ÏÌËÕ ÄÅÌÁÔØ ÎÅÞÅÇÏ. ðÏÛÅÌ ÏÎ × ËÕÚÎÉ Õ É ×ÅÌÅÌ ÓÅÂÅ ÇÏÒÌÏ ÅÒÅËÏ×ÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ÅÔØ ÔÏÎÀÓÅÎØËÉÍ ÇÏÌÏÓÏÍ. . . ÏÌØËÏ ËÏÚÁ ÕÛÌÁ, ×ÏÌË ÏÑÔØ ÛÁÓÔØ Ë ÉÚÂÕÛËÅ, ÏÓÔÕÞÁÌÓÑ É ÎÁÞÁÌ ÒÉÞÉÔÙ×ÁÔØ ÔÏÎÀÓÅÎØËÉÍ ÇÏÌÏÓÏÍ: | ëÏÚÌÑÔÕÛËÉ, ÒÅÂÑÔÕÛËÉ! ïÔÏÒÉÔÅÓÑ, ÏÔ×ÏÒÉÔÅÓÑ! ÷ÁÛÁ ÍÁÔØ ÒÉÛÌÁ | ÍÏÌÏËÁ ÒÉÎÅÓÌÁ. ëÏÚÌÑÔÁ ÏÔ×ÏÒÉÌÉ Ä×ÅÒØ, ×ÏÌË ËÉÎÕÌÓÑ × ÉÚÂÕ É ×ÓÅÈ ËÏÚÌÑÔ ÓßÅÌ."

÷ÏÌË É ÓÅÍÅÒÏ ËÏÚÌÑÔ. òÕÓÓËÁÑ ÎÁÒÏÄÎÁÑ ÓËÁÚËÁ. ëÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ, ÏÎÑÔÉÅ ÅÌÏÓÔÎÏÓÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÎÅ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÉ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÅÔÏÄÙ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÌÏÓÔÎÏÓÔÉ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ Ä×ÕÈ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÈ É ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÈ ÔÉÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× | ÓÈÅÍ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ É ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ. îÁÚÎÁÞÅÎÉÅ É ÓÕÔØ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÔÁËÖÅ ÒÏÔÏËÏÌÁÍÉ ÉÄÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ) ÌÅÇËÏ ÏÎÑÔØ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁÂÏÔÁÅÔ × ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÓÅÔÉ É ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÄÏÓÔÕ Ë ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÄÁÎÎÙÍ. õ ÁÄÍÉÎÉÓÔÒÁÔÏÒÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÉÓÏË ×ÓÅÈ ÅÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÂÏÒÏÍ ÏÌÎÏÍÏÞÉÊ, ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÄÏÓÔÕÁ Ë ÒÅÓÕÒÓÁÍ ÓÉÓÔÅÍÙ. òÅÓÕÒÓÁÍÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, Á ÔÁËÖÅ ÆÕÎË ÉÉ, ×ÙÏÌÎÑÅÍÙÅ ÓÉÓÔÅÍÏÊ. ïÄÎÉÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÒÅÛÅÎÏ ÞÉÔÁÔØ ÏÄÎÕ ÞÁÓÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÄÒÕÇÉÍ | ÄÒÕÇÕÀ ÅÅ ÞÁÓÔØ, Á ÔÒÅÔØÉÍ | ÅÝÅ É ×ÎÏÓÉÔØ × ÎÅÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÏÄ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÅÌÏÓÔÎÏÓÔÉ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÒÅÄÏÔ×ÒÁÝÅÎÉÅ ÄÏÓÔÕÁ Ë

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

45

ÓÉÓÔÅÍÅ ÌÉ , ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ÅÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑÍÉ, Á ÔÁËÖÅ ÒÅÄÏÔ×ÒÁÝÅÎÉÅ ÄÏÓÔÕÁ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ Ë ÔÅÍ ÒÅÓÕÒÓÁÍ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ Õ ÎÉÈ ÎÅÔ ÏÌÎÏÍÏÞÉÊ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÒÁÚÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÄÏÓÔÕÁ, ÁÒÏÌØÎÁÑ ÚÁÝÉÔÁ, ÉÍÅÅÔ ÍÁÓÓÕ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÏ×. éÈ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÓÔÁÌÏ ÏÂÝÉÍ ÍÅÓÔÏÍ ÄÌÑ ÔÅËÓÔÏ× Ï ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÓÒÁÚÕ ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÒÏÔÏËÏÌÅ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Á ÕÞÁÓÔÎÉËÁ | áÌÉÓÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÄÏÌÖÎÁ ÄÏËÁÚÁÔØ Ó×ÏÀ ÁÕÔÅÎÔÉÞÎÏÓÔØ, É âÏÂ, ËÏÔÏÒÙÊ ÜÔÕ ÁÕÔÅÎÔÉÞÎÏÓÔØ ÄÏÌÖÅÎ ÒÏ×ÅÒÉÔØ. õ áÌÉÓÙ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Á ËÌÀÞÁ | ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÊ ÏÔËÒÙÔÙÊ K1 É ÓÅËÒÅÔÎÙÊ K2 . æÁËÔÉÞÅÓËÉ, áÌÉÓÅ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÚÎÁÅÔ K2 , É ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÚÎÁÑ ÔÏÌØËÏ K1 . úÁÄÁÞÁ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÕÖÅ ÏÂÓÕÖÄÁÌÁÓØ × ÇÌÁ×Å 2. ÁÍ ÖÅ ÂÙÌÉ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÙ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÍ ÄÏÌÖÅÎ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÓÔÏÊËÉÊ ÒÏÔÏËÏÌ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÏÔÏËÏÌ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÂÙÌ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ. ÷ ÇÌÁ×Å 2 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÒÏÔÏËÏÌ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ éúïíïòæéúí çòáæï÷. îÏ ÜÔÏÔ ÒÏÔÏËÏÌ ÉÍÅÅÔ ÎÅÒÉÅÍÌÅÍÏ ÂÏÌØÛÏÅ Ó ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÕÎÄÏ× ÏÂÍÅÎÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ ÍÅÖÄÕ áÌÉÓÏÊ É âÏÂÏÍ. îÉÖÅ ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÒÏÔÏËÏÌ ûÎÏÒÒÁ [1℄, ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ. äÌÑ ÅÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÕÄÕÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ É × ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Ù. ðÕÓÔØ p É q | ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ q ÄÅÌÉÔ p− 1. ûÎÏÒÒ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔ [1℄ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ p ÄÌÉÎÙ ÏÒÑÄËÁ 512 ÂÉÔÏ× É q | ÄÌÉÎÙ ÏÒÑÄËÁ 140 ÂÉÔÏ×. ðÕÓÔØ g ∈ Zp ÔÁËÏ×Ï, ÞÔÏ gq = 1 (mod p), g 6= 1. ðÕÓÔØ x ∈R Zq É y = gx (mod p). úÁÄÁÞÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x Ï ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ y ÒÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ p, q É g ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 4). äÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÇÉÏÔÅÚÁ Ï ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÅÅ ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏ. ðÕÓÔØ n | ÒÁÓÔÕÝÉÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÊ ÁÒÁÍÅÔÒ, ÞÉÓÌÏ p ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ ÄÌÉÎÙ n ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ p − 1 ÉÍÅÅÔ ÒÏÓÔÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÄÌÉÎÙ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ n" ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ " > 0, q | ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÞÉÓÌÁ p − 1, g | ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ g ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ gq = 1 (mod p), Á x ∈ Zq . ÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÑ f (x; p; q; g) = (gx mod p; p; q; g) | ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ (ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 2). òÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÉ, ÄÁÎÎÙÅ ûÎÏÒÒÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÉÎ ÞÉÓÅÌ p É q, ÍÏÖÎÏ ÔÒÁËÔÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. îÁ ÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ (1989 Ç.) ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ f ÓÞÉÔÁÌÏÓØ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ×ÙÏÌÎÉÍÙÍ ÕÖÅ

46

çÌÁ×Á 3

ÄÌÑ p É q ÄÌÉÎÙ ÏÒÑÄËÁ 512 É 140 ÂÉÔÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. úÄÅÓØ, ÏÄÎÁËÏ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÒÏÇÒÅÓÓ × ÏÂÌÁÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÔÅÈÎÉËÉ É × ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ (ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 4) ÍÏÖÅÔ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÅÒÅÓÍÏÔÒÁ ÜÔÉÈ ×ÅÌÉÞÉÎ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÓÈÅÍÙ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ áÌÉÓÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ x ÉÚ {1; : : : ; q − 1}. äÁÌÅÅ áÌÉÓÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ y = g−x mod p É ÕÂÌÉËÕÅÔ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ y. ïÔËÒÙÔÙÅ ËÌÀÞÉ ×ÓÅÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÓÈÅÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÕÂÌÉËÏ×ÁÔØÓÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÓËÌÀÞÁÌÁÓØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÉÈ ÏÄÍÅÎÙ (ÔÁËÏÅ ÈÒÁÎÉÌÉÝÅ ËÌÀÞÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÍ ÓÅÒÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÏÍ). üÔÁ ÒÏÂÌÅÍÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÞÁÓÔÏ ÒÏÂÌÅÍÏÊ ÁÕÔÅÎÔÉÞÎÏÓÔÉ ÏÔËÒÙÔÙÈ ËÌÀÞÅÊ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏÔÄÅÌØÎÙÊ ÒÅÄÍÅÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ É × ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Å ÎÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ. óÈÅÍÁ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ûÎÏÒÒÁ

1. áÌÉÓÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ k ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; : : : ; q − 1}, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ r = gk mod p É ÏÓÙÌÁÅÔ r âÏÂÕ. 2. âÏÂ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÚÁÒÏÓ e ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {0; : : : ; 2t − 1}, ÇÄÅ t | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÁÒÁÍÅÔÒ, É ÏÓÙÌÁÅÔ e áÌÉÓÅ. 3. áÌÉÓÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ s = (k + xe) mod q É ÏÓÙÌÁÅÔ s âÏÂÕ. 4. âÏÂ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ r = gs ye mod p É, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÏÔ×ÅÒÇÁÅÔ. ïÔÍÅÔÉÍ ÏÄÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÏÔ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ éúïíïòæéúí çòáæï÷, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ × ÇÌÁ×Å 2: ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÏÔÏËÏÌ ÍÎÏÇÏÒÁÕÎÄÏ×ÙÊ, × ÎÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÕÎÄÏ×, Ô. Å. ÏÓÙÌÏË ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÏÔ áÌÉÓÙ âÏÂÕ É ÏÂÒÁÔÎÏ, ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ Ó ÒÏÓÔÏÍ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ (ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ). á × ÒÏÔÏËÏÌÅ ûÎÏÒÒÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÕÎÄÏ× ÒÁ×ÎÏ ÔÒÅÍ, ×ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÒÕÇÉÈ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ Ó ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌ ûÎÏÒÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ. ðÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ Ë ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ, ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ÚÎÁÀÝÉÊ ÔÏÌØËÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ y, ÍÏÖÅÔ ÒÏÊÔÉ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÀ ÌÉÛØ Ó ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ. îÅÓÌÏÖÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÒÏÔÏËÏÌÁ ûÎÏÒÒÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÒÁÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ t. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ t ÎÅ×ÅÌÉËÏ, ÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÉÍÅÅÔ ÈÏÒÏÛÉÅ ÛÁÎÓÙ ÒÏÓÔÏ ÕÇÁÄÁÔØ ÔÏÔ ÚÁÒÏÓ e, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÎ ÏÌÕÞÉÔ ÏÔ âÏÂÁ ÎÁ ÛÁÇÅ 2. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ t = 1. ÏÇÄÁ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ÎÅ ÚÎÁÀÝÉÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ x, ÍÏÖÅÔ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÏÄÂÒÏÓÉ× ÍÏÎÅÔÕ, ÏÎ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÄÎÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ 0 ÉÌÉ 1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÇÏ ÞÅÒÅÚ e′ . äÁÌÅÅ ÒÏÔÉ×ÎÉË ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ s ÉÚ {0; : : : ; q − 1},

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

47

×ÙÞÉÓÌÑÅÔ r = gs ye mod p É ÏÓÙÌÁÅÔ r âÏÂÕ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÚÁÒÏÓ e, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÏÔ âÏÂÁ ÎÁ ÛÁÇÅ 2, ÓÏ×ÁÄÅÔ Ó e′ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ 1=2, É ÉÍÅÎÎÏ Ó ÔÁËÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÒÏÊÄÅÔ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÀ. åÓÌÉ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ t ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÅÌÉËÏ, ÔÏ ÛÁÎÓÙ ÕÇÁÄÁÔØ ÚÁÒÏÓ e ÍÁÌÙ. ûÎÏÒÒ [1℄ ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔ t = 72. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ 2−72 , Á ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÊ ÂÕÄÅÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÏÇÏ ÕÇÁÄÙ×ÁÎÉÑ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏÊ. îÏ ÞÔÏ ÂÕÄÅÔ, ÅÓÌÉ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÁÔÁËÕÅÔ ÓÈÅÍÕ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÂÏÌÅÅ ÉÚÏÝÒÅÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ? úÁÄÁÞÁ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ × ÔÏÍ É ÓÏÓÔÏÉÔ, ÞÔÏÂÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ ÒÏÔÉ× ÌÀÂÙÈ (ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ) ÁÔÁË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ. åÓÌÉ × ÓÈÅÍÅ ûÎÏÒÒÁ áÌÉÓÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ, ÔÏ ÎÁ ÛÁÇÅ 1 ×ÍÅÓÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ, ÒÅÄÉÓÁÎÎÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÏÍ, ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ×ÙÂÉÒÁÔØ r ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ (ÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ) ÏÂÒÁÚÏÍ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, áÌÉÓÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ r ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÅÇÏ ×ÙÂÏÒÁ. ðÕÓÔØ r | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ áÌÉÓÁ ÅÒÅÄÁÌÁ âÏÂÕ ÎÁ ÛÁÇÅ 1. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÎÁÊÔÉ Ä×Á ÚÁÒÏÓÁ e1 ; e2 ∈ {0; : : : ; 2t − 1}, e1 6= e2 , ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ áÌÉÓÁ ÍÏÖÅÔ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÊÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ s, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏ×ÅÒËÁ ÎÁ ÛÁÇÅ 4 ÄÁÓÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ s ÞÅÒÅÚ s1 É s2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. íÙ ÉÍÅÅÍ: r = gs1 ye1 (mod p); r = gs2 ye2 (mod p): ïÔÓÀÄÁ gs1 ye1 = gs2 ye2 (mod p); ÉÌÉ gs1 −s2 = ye2 −e1 (mod p): ðÏÓËÏÌØËÕ e1 6= e2 , ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (e2 − e1 )−1 mod q É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (s1 −s2 )(e2 −e1)−1 | ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÌÏÇÁÒÉÆÍ y, Ô. Å. (s1 −s2 )(e2 −e1 )−1 = x (mod q). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÉÂÏ ÚÁÒÏÓÙ e1 , e2 , e1 6= e2 , ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ áÌÉÓÁ ÍÏÖÅÔ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁÄÌÅÖÁÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁ ÏÂÁ ÉÚ ÎÉÈ (ÒÉ ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ r) ÎÁ ÛÁÇÅ 3 ÒÏÔÏËÏÌÁ, ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÄËÏ, É ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÁÔÁËÁ áÌÉÓÙ ÕÓÅÛÎÁ ÌÉÛØ Ó ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ. ìÉÂÏ ÔÁËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÁÄÁÀÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÞÁÓÔÏ, É ÔÏÇÄÁ ÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉÍÅÎÑÅÔ áÌÉÓÁ, ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ×. üÔÁ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÉÚÌÏÖÅÎÎÁÑ ÉÄÅÑ ÂÙÌÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÁ ûÎÏÒÒÏÍ [1℄ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ë ÚÁÄÁÞÅ, ÓÔÏÑÝÅÊ ÅÒÅÄ ÁÓÓÉ×ÎÙÍ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ, ′

48

çÌÁ×Á 3

Ô. Å. ÔÁËÉÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÙÔÁÅÔÓÑ ÒÏÊÔÉ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÀ, ÚÎÁÑ ÌÉÛØ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÈÅÍÁ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ûÎÏÒÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÊËÏÊ ÒÏÔÉ× ÁÓÓÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, Ô. Å. ËÏÒÒÅËÔÎÏÊ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÏÒÅËÉ ×ÅÓØÍÁ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÏÍÕ ÍÎÅÎÉÀ, ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ËÁË É ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÏÄÏÂÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× × ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÍ: ÅÓÌÉ ÚÁÄÁÞÁ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÔÒÕÄÎÁ ÄÌÑ ÞÉÓÅÌ (p É q) ÄÁÎÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, ÔÏ ÓÈÅÍÁ ûÎÏÒÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÒÅËÔÎÏÊ ÒÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÞÉÓÅÌ ÔÏÊ ÖÅ ÄÌÉÎÙ. áËÔÉ×ÎÙÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÅÁÎÓÏ× ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ Ó ÞÅÓÔÎÙÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÍ (ÉÌÉ ÏÄÓÌÕÛÁÔØ ÔÁËÉÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ) É ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÁÔÁËÏ×ÁÔØ ÓÈÅÍÕ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ. äÌÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÒÏÔÉ× ÁËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÏÔÏËÏÌ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÂÙÌ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ. ïÄÎÁËÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÈÅÍÙ ûÎÏÒÒÁ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÎÉËÏÍÕ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅ ÕÄÁÌÏÓØ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÎÁ ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ | ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÍÅÔÏÄ ÞÅÒÎÏÇÏ ÑÝÉËÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÍÅÔÏÄÅ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ (ÍÁÛÉÎÕ ØÀÒÉÎÇÁ V ∗ | × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÚ ÇÌÁ×Ù 2) ÌÉÛØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÒÁËÕÌÁ, Ô. Å. ÎÅ ÁÎÁÌÉÚÉÒÕÑ ÓÁÍ ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÄÁÅÔ ÅÍÕ ÎÁ ×ÈÏÄ ÌÀÂÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Ï Ó×ÏÅÍÕ ×ÙÂÏÒÕ É ÏÌÕÞÁÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. çÏÌØÄÒÁÊÈ É ëÒÁ×ÞÉË ÄÏËÁÚÁÌÉ [2℄, ÞÔÏ ÔÒÅÈÒÁÕÎÄÏ×ÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÌÅÄÎÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÞÅÒÎÏÇÏ ÑÝÉËÁ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉÛØ × ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, Ô. Å. ËÏÇÄÁ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ÍÏÖÅÔ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ, ÂÅÚ ×ÓÑËÏÊ ÏÍÏÝÉ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ, ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÍÏÇÏ. ÷ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÓÈÅÍÙ ûÎÏÒÒÁ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÌÉÂÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÌÉÂÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏËÁÚÁÎÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ÞÅÒÎÏÇÏ ÑÝÉËÁ. ÷ÏÒÏÓ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏËÁÚÁÎÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ÞÅÒÎÏÇÏ ÑÝÉËÁ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÈÅÍÁ ûÎÏÒÒÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ | Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÞÅÓÔÎÏÇÏ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÕÀ ÍÁÛÉÎÕ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÞÅÓÔÎÏÇÏ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁ ÛÁÇÅ 2 É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÚÁÒÏÓ e ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {0; : : : ; 2t − 1}.

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

49

÷ÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ËÏÔÏÒÕÀ ÏÌÕÞÁÅÔ âÏÂ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ | ÜÔÏ ÔÒÏÊËÁ ÞÉÓÅÌ (r; e; s) ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ r = gs ye (mod p) É r 6= 1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÔÒÏÅË ÞÅÒÅÚ . ÷ ÜÔÏÊ ÔÒÏÊËÅ ÞÉÓÌÏ e ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÚ {0; : : : ; 2t − 1}, Á r = gk mod p, ÇÄÅ k | ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; : : : ; q − 1}. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÔÁËÏÍ ×ÙÂÏÒÅ k ÚÎÁÞÅÎÉÅ r ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÏ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ÅÄÉÎÉ Ù ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÇÒÕÙ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ g. úÎÁÞÅÎÉÅ s ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÛÁÇÕ 3 ÒÏÔÏËÏÌÁ É ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ e É r ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ×ÙÂÏÒÏÍ ÞÉÓÅÌ e É k. íÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÓÏÚÄÁÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÔÁËÏÅ ÖÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ËÁË × ÒÏÔÏËÏÌÅ. îÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÎÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÉÚ ÛÁÇÁ 3, ÏÓËÏÌØËÕ × ÎÅÅ ×ÈÏÄÉÔ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ x. ÷ÍÅÓÔÏ ÜÔÏÇÏ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ e É s ÉÚ {0; : : : ; 2t − 1} É {0; : : : ; q − 1} ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ É ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ r = gs ye mod p. åÓÌÉ r = 1, ÔÏ ÏÙÔËÁ ÎÅÕÄÁÞÎÁ É ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÎÏ×ÙÅ e É s. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ×ÙÄÁÅÔ ÔÒÏÊËÕ (r; e; s). îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÞÅÓÔÎÏÇÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ. éÚ ÜÔÏÇÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ y ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÇÒÕÅ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ g, Ô. Å. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÏ x ∈ {1; : : : ; q − 1} ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ g−x = y (mod p). ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ÌÀÂÙÈ e É s ÞÉÓÌÏ r = gs ye = gs g−xe = gs−xe (mod p) ÔÁËÖÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÜÔÏÊ ÇÒÕÅ. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÌÉÛØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÞÉÓÌÏ s ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ e, ×ÅÌÉÞÉÎÁ (s − xe) mod q | ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {0; : : : ; q − 1}, ÔÁËÖÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÊ ÏÔ e. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ r, ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÊ ÍÁÛÉÎÏÊ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÇÒÕÙ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ g, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÍ ÏÔ e, Ô. Å. ÉÍÅÅÔ ÔÁËÏÅ ÖÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, ËÁË × ÒÏÔÏËÏÌÅ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ ÓÏÚÄÁÔØ Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ: ÌÉÂÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ k (Á, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, É r) É ×ÙÞÉÓÌÉÔØ s = (k + xe) mod q, ÌÉÂÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ s É ÏÌÕÞÉÔØ r = gs−xe mod p. ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÞÅÓÔÎÏÇÏ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÓÈÅÍÁ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ËÏÎÔÒÏÌÑ ÚÁ ÄÏÓÔÕÏÍ × ÏÈÒÁÎÑÅÍÏÅ ÏÍÅÝÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ áÌÉÓÁ | ÜÔÏ ÒÏÕÓË, ×ÙÏÌÎÅÎÎÙÊ × ×ÉÄÅ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÊ ËÁÒÔÏÞËÉ, Á âÏÂ | ËÏÍØÀÔÅÒ ÏÈÒÁÎÙ. ÷ ÔÁËÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ | ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÓÈÅÍÙ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ, Á ÚÁÝÉÝÁÔØÓÑ ÏÔ ÎÅÞÅÓÔÎÏÇÏ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏ. þÔÏ ÖÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÞÅÓÔÎÏÇÏ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ, ÔÏ ÏÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ÌÉÛÎÉÍ, ÔÁË ËÁË ÏÚ×ÏÌÑÅÔ

50

çÌÁ×Á 3

ÏÂÅÚÏÁÓÉÔØÓÑ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÄÓÌÕÛÉ×ÁÔØ ÓÅÁÎÓÙ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ Ó ÅÌØÀ ÉÚÇÏÔÏ×ÌÅÎÉÑ ÆÁÌØÛÉ×ÏÇÏ ÒÏÕÓËÁ. ðÒÉÍÅÒ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÒÉ×ÅÄÅÎ × ÜÉÇÒÁÆÅ Ë ÄÁÎÎÏÍÕ ÒÁÚÄÅÌÕ. ÷ ÜÔÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÅ ËÏÚÁ ×ÙÓÔÕÁÅÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ, Á ÓÅÍÅÒÏ ËÏÚÌÑÔ | × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ. ðÒÏÔÏËÏÌ ÒÉÚ×ÁÎ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÔØ ÅÌÏÓÔÎÏÓÔØ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÅÌÏÓÔÎÏÓÔØ ÓÅÍÅÒÙÈ ËÏÚÌÑÔ. ÷ ÜÉÇÒÁÆÅ ÏÉÓÁÎÁ É ÁÔÁËÁ ÎÁ ÒÏÔÏËÏÌ. ðÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ ×ÙÓÔÕÁÅÔ ×ÏÌË, É ÜÔÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÁËÔÉ×ÎÙÊ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÎ ÏÄÓÌÕÛÉ×ÁÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÁ, ÏÔÏÍ ÙÔÁÅÔÓÑ ÓÁÍ ÒÏÊÔÉ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ (ËÏÚÙ) É ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁËÁÌÉ×ÁÅÔ É ÁÎÁÌÉÚÉÒÕÅÔ ÏÌÕÞÁÅÍÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. ðÒÏÔÏËÏÌ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÎÅÓÔÏÊËÉÍ ÒÏÔÉ× ÁËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ. îÁÄÏ ÂÙÌÏ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ ÚÁ ËÏÎÓÕÌØÔÁ ÉÅÊ Ë ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÁÍ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÈÅÍÕ ûÎÏÒÒÁ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÚÁ×ÅÒÛÉÔØ ÒÁÚÇÏ×ÏÒ Ï ÒÏÔÏËÏÌÁÈ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÓÔÒÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÅÇÏ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ ×Ï ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÖÉÚÎÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÄÁÖÅ ÒÏÔÏËÏÌ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ ÎÅ ÚÁÝÉÝÁÅÔ ÏÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÁÔÁËÉ ÎÁ ÓÈÅÍÕ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ ÍÁÆÉÏÚÎÁÑ ÕÇÒÏÚÁ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ Ó ÅÎÁÒÉÉ ÉÍÅÀÔÓÑ ÞÅÔÙÒÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÁ: A, B , C É D. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ A ÚÁÛÅÌ × ËÁÆÅ ×ÙÉÔØ ÞÁÛÅÞËÕ ËÏÆÅ É ÒÁÓÌÁÞÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÒÅÄÉÔÎÏÊ ËÁÒÔÏÞËÉ. äÌÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÌÀÂÏÊ ÂÁÎËÏ×ÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ËÁÒÔÏÞËÁ ÄÏÌÖÎÁ ÉÄÅÎÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÓÅÂÑ, Ô. Å. ×ÙÏÌÎÉÔØ ÒÏÔÏËÏÌ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ. îÏ ×ÌÁÄÅÌÅ ËÁÆÅ, B , | ÍÁÆÉÏÚÉ, ÓÏÏÂÝÎÉË ËÏÔÏÒÏÇÏ C × ÔÏÔ ÖÅ ÓÁÍÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÍÁÇÁÚÉÎÅ À×ÅÌÉÒÁ D É ÙÔÁÅÔÓÑ ËÕÉÔØ ÂÒÉÌÌÉÁÎÔ, ÔÁËÖÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÒÅÄÉÔÎÏÊ ËÁÒÔÏÞËÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ C ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁË A, Á D ÒÏÓÉÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ. õÓÔÒÏÊÓÔ×Ï ÓÞÉÔÙ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ËÁÒÔÏÞÅË Õ B É ËÁÒÔÏÞËÁ Õ C | ÜÔÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÉÚÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÙÅ ÒÉÅÍÏ-ÅÒÅÄÁÀÝÉÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÛØ ÅÒÅÓÙÌÁÀÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ A É D. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ A, ÏÂÍÅÎÉ×ÁÑÓØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ Ó B , ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÉÄÅÎÔÉÆÉ ÉÒÕÅÔ ÓÅÂÑ ÄÌÑ D. íÙ ÚÄÅÓØ ÎÅ ÚÁÔÒÁÇÉ×ÁÅÍ ×ÏÒÏÓÁ Ï ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÍÏÓÔÉ ÍÁÆÉÏÚÎÏÊ ÕÇÒÏÚÙ. íÙ ÒÉ×ÅÌÉ ÅÅ ÒÏÓÔÏ ËÁË ÒÉÍÅÒ, ÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ ÔÏÌØËÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÔÏÇÏ ÉÌÉ ÉÎÏÇÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ. äÌÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÅÝÅ ÕÓÉÌÉÑ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× × ÏÂÌÁÓÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ Ï ÁÎÁÌÉÚÕ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÅÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. ÅÅÒØ ÍÙ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÀ ÄÒÕÇÏÇÏ ÔÉÁ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ | Ë ÒÏÔÏËÏÌÁÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ. ïÎÉ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÔ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÀ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, Ô. Å. ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÀÔ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

51

ÏÓÔÕÁÀÔ ÏÔ ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÏÇÏ ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌÑ É × ÎÅÉÓËÁÖÅÎÎÏÍ ×ÉÄÅ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÌÏÓÔÎÏÓÔØ ÚÄÅÓØ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ × ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ: ÏÌÕÞÁÔÅÌØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÕÂÅÖÄÁÅÔÓÑ × ÅÇÏ ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÏÓÔÉ, ÎÏ É ÏÌÕÞÁÅÔ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÕÀ ÏÄÉÓØ, ËÏÔÏÒÕÀ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÏÓÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÔÒÅÔØÉÍ ÌÉ ÁÍ (ÁÒÂÉÔÒÕ) × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌØ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÏÙÔÁÅÔÓÑ ÏÔËÁÚÁÔØÓÑ ÏÔ Ó×ÏÅÊ ÏÄÉÓÉ. úÄÅÓØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÌÎÁÑ ÁÎÁÌÏÇÉÑ ÏÂÙÞÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÎÁ ÂÕÍÁÇÅ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÄ ÁÒÂÉÔÒÏÍ ÏÂÙÞÎÏ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÜËÓÅÒÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÁÅÔ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ Ï ÏÄÌÉÎÎÏÓÔÉ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ, Ô. Å. ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÆÕÎË ÉÀ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÆÕÎË ÉÉ ÇÒÁÆÏÌÏÇÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÙÞÎÏÊ ÏÄÉÓÉ. îÁÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÍÙ ÕÖÅ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÌÁÔÅÖÎÙÈ ÏÒÕÞÅÎÉÊ. ÷ÓÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ, ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÍÙÅ ÄÌÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÍÉ (Ô. Å. ×ÅÓØ ÏÂÍÅÎ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÅÒÅÄÁÞÅ ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌÅÍ ÏÌÕÞÁÔÅÌÀ ÏÄÉÓÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ). üÔÏ ×ÙÚ×ÁÎÏ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍÉ Ë ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ. ëÁË ÏÂÙÞÎÏ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔ ÓÈÅÍÕ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ËÁË ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÓÈÅÍ, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÁ n, n > 0, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ. óÈÅÍÁ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ | ÜÔÏ ÔÒÏÊËÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× (G; S; V ), ÇÄÅ G | ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ËÌÀÞÅÊ. îÁ ×ÈÏÄÅ 1n ÁÌÇÏÒÉÔÍ G ×ÙÄÁÅÔ ÁÒÕ (K1 ; K2 ), ÇÄÅ K1 | ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ ÓÈÅÍÙ ÏÄÉÓÉ, Á K2 | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÅÍÕ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ. ëÌÀÞ K1 ÏÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÊ ÓÅÒÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÓÒÁ×ÏÞÎÉË; S | ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ÏÄÉÓÅÊ. îÁ ×ÈÏÄÅ (m; K2 ), ÇÄÅ m | ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ S ×ÙÄÁÅÔ ÏÄÉÓØ s ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m; V | ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÏ×ÅÒËÉ ÏÄÉÓÉ. åÓÌÉ V (K1 ; m; s) = = 1, ÔÏ ÏÄÉÓØ s ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m ÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ s | ËÏÒÒÅËÔÎÁÑ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m. åÓÌÉ V (K1 ; m; s) = 0, ÔÏ ÏÄÉÓØ s ÏÔ×ÅÒÇÁÅÔÓÑ. åÓÌÉ ÏÄÉÓØ s ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÁ ÎÁ ËÌÀÞÅ K2 Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ S , ÔÏ ×ÓÅÇÄÁ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ V (K1 ; m; s) = 1. úÄÅÓØ K1 , K2 , m É s | Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ, ÄÌÉÎÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÏÌÉÎÏÍÁÍÉ ÏÔ n. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÓÈÅÍÙ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉÎÑÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÒÏÔÉ×ÎÉËÅ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÍÏÖÅÔ ÙÔÁÔØÓÑ ÏÄÄÅÌÙ×ÁÔØ ÏÄÉÓÉ, ÚÎÁÑ ÔÏÌØËÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ ÓÈÅÍÙ. ÁËÏÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÓÓÉ×ÎÙÍ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÁÍÙÍ ÓÌÁÂÙÍ ÉÚ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏ×, ÔÁË ËÁË ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ ÓÈÅÍÙ ÏÄÉÓÉ

52

çÌÁ×Á 3

×ÓÅÇÄÁ ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÅÎ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÁÓÓÉ×ÎÙÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ËÁË É ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ, ÚÎÁÅÔ ÏÉÓÁÎÉÅ ÓÈÅÍÙ ÏÄÉÓÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ G, S É V ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙ. âÏÌÅÅ ÉÚÏÂÒÅÔÁÔÅÌØÎÙÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÓÏÂÒÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÓÈÅÍÅ ÏÄÉÓÉ, ÎÁÂÒÁ× ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÁÒ (ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÏÄÉÓØ). úÄÅÓØ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Á ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÁ. áÔÁËÁ Ó ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ (ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÏÌÉÎÏÍÏÍ ÏÔ n) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÄÉÓÁÎÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÎÉËÁË ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ×ÙÂÏÒ ÜÔÉÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. ðÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÜÔÏ | ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ÁÓÓÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ÔÁË ËÁË ÏÄÉÓÁÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÂÙÞÎÏ ÅÒÅÓÙÌÁÀÔÓÑ Ï ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÏÍÕ ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ (× ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÂÏÔÁÈ Ï ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÍÏÄÅÌØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÄÉÓÁÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÏÓÔÏ ÕÂÌÉËÕÀÔÓÑ). åÝÅ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÙÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÓÁÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÌÕÞÁÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÙÅ ÏÄÉÓÉ ÄÌÑ ÎÉÈ. ÁËÁÑ ÁÔÁËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÔÁËÏÊ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË | ÁËÔÉ×ÎÙÍ. ÷ÏÒÏÓ Ï ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÍÏÓÔÉ ÏÄÏÂÎÏÊ ÁÔÁËÉ ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ É × ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Å ÎÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ. ïÔÍÅÔÉÍ ÌÉÛØ, ÞÔÏ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÎÉËÁËÉÍÉ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÏÎÎÙÍÉ ÍÅÒÁÍÉ ÎÅÌØÚÑ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÁÔÁËÉ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ É ÚÄÅÓØ, ËÁË É ×ÓÀÄÕ × ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ × ÏÌØÚÕ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ. üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÉÓÓÌÅÄÕÅÔÓÑ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ × ÒÉÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÓÁÍÏÇÏ ÓÉÌØÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÁÔÁËÕ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. ðÏÍÉÍÏ ÁÔÁËÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÔÁËÖÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÕ ÕÇÒÏÚÕ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ ÓÈÅÍÙ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ, ÒÏÔÉ× ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÖÅÌÁÅÍ ÚÁÝÉÝÁÔØÓÑ. óÁÍÁÑ ÓÉÌØÎÁÑ ÕÇÒÏÚÁ | ÏÌÎÏÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÅ, Ô. Å. ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ K2. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ÏÄÏÂÎÕÀ ÕÇÒÏÚÕ, ÔÏ ÓÈÅÍÁ ÎÅÓÔÏÊËÁÑ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÒÏÔÉ× ÏÌÎÏÇÏ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÞÉÔÁÔØ ÓÈÅÍÕ ÏÄÉÓÉ ÓÔÏÊËÏÊ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ÓÈÅÍÕ. áÌÇÏÒÉÔÍ G ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ K2 É ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ K1 = f (K2 ), ÇÄÅ f | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ. ðÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m ÁÌÇÏÒÉÔÍ S ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ × ×ÉÄÅ s = g(m), ÇÄÅ g | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. æÕÎË ÉÑ g ÕÂÌÉËÕÅÔÓÑ ËÁË ÞÁÓÔØ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ËÌÀÞÁ, É ÒÏ×ÅÒËÁ ÏÄÉÓÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ g(m) É ÓÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÏÄÉÓÉ s Ó ÜÔÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÓÈÅÍÁ ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÊËÏÊ ÒÏÔÉ× ÏÌÎÏÇÏ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ K2 ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÔØ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÀÀ ÆÕÎË ÉÀ f . îÏ ×ÓÑËÉÊ ÖÅÌÁÀÝÉÊ ÍÏÖÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. üÔÏÔ ÒÉÍÅÒ ÏÕÞÉ-

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

53

ÔÅÌÅÎ ÅÝÅ É ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÓÔÁÔØÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÁÎÁÌÉÚ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÏÄÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ Ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÌÎÏÇÏ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ. îÁ ÄÒÕÇÏÍ ÏÌÀÓÅ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÓÁÍÁÑ ÓÌÁÂÁÑ ÉÚ ÕÇÒÏÚ | ÕÇÒÏÚÁ ÜËÚÉÓÔÅÎ ÉÁÎÁÌØÎÏÊ ÏÄÄÅÌËÉ. ÁËÁÑ ÕÇÒÏÚÁ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÍÁ, ÅÓÌÉ ÏÓÌÅ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÁÔÁËÉ ÎÁ ÓÈÅÍÕ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÏÄÄÅÌÁÔØ ÏÄÉÓØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ, ÕÓÔØ ÄÁÖÅ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏÇÏ, ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. óÔÏÊËÏÓÔØ ÓÈÅÍÙ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÁÒÙ (ÁÔÁËÁ, ÕÇÒÏÚÁ). îÁÉÂÏÌÅÅ ÓÔÏÊËÉÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÈÅÍÙ, ÓÔÏÊËÉÅ ÒÏÔÉ× ÓÁÍÏÊ ÓÌÁÂÏÊ ÉÚ ÕÇÒÏÚ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÓÁÍÏÊ ÓÉÌØÎÏÊ ÉÚ ÁÔÁË, Ô. Å. ÒÏÔÉ× ÜËÚÉÓÔÅÎ ÉÁÎÁÌØÎÏÊ ÏÄÄÅÌËÉ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÁÔÁËÉ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. ïÉÛÅÍ ÜÔÉ ÁÔÁËÕ É ÕÇÒÏÚÕ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ. óÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÁÔÁË É ÕÇÒÏÚ ÄÌÑ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÓÍ. × [3℄. ðÏÄ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÕÀ ÍÁÛÉÎÕ ØÀÒÉÎÇÁ A, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÁ ×ÈÏÄÅ 1n É K1 É ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔ Ó×ÏÀ ÒÁÂÏÔÕ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ (ÏÔ n) ×ÒÅÍÑ. íÁÛÉÎÁ A ÉÍÅÅÔ ÄÏÓÔÕ Ë ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ S ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ÏÄÉÓÅÊ (ÚÎÁÀÝÅÍÕ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ K2 ) ËÁË Ë ÏÒÁËÕÌÕ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ A ÍÏÖÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m1 ; : : : ; ml , ÇÄÅ l 6 p(n) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ p, É ÏÌÕÞÉÔØ ÄÌÑ ÎÉÈ ËÏÒÒÅËÔÎÙÅ ÏÄÉÓÉ s1 ; : : : ; sl ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÒÉ Ï ÅÎËÅ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÁÂÏÔÙ ÍÁÛÉÎÙ A ËÁÖÄÏÅ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ Ë ÏÒÁËÕÌÕ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ËÏÍÁÎÄÏÊ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ Ë ÍÏÍÅÎÔÕ ×ÙÂÏÒÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ mi ÍÁÛÉÎÁ A ÕÖÅ ÚÎÁÅÔ ÏÄÉÓÉ s1 ; : : : ; si−1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. ÁËÁÑ ÁÔÁËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÄÁÔÉ×ÎÏÊ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÍÁÛÉÎÁ A ÄÏÌÖÎÁ ÎÁÊÔÉ ÁÒÕ (m; s), ÇÄÅ m 6= mi ÄÌÑ ×ÓÅÈ i = 1; : : : ; l ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ s | ËÏÒÒÅËÔÎÁÑ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A(1n ; K1) → (m; s) ÓÏÂÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏ A ÎÁÈÏÄÉÔ ÔÁËÕÀ ÁÒÕ. óÈÅÍÁ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ (G; S; V ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÏÊËÏÊ ÒÏÔÉ× ÜËÚÉÓÔÅÎ ÉÁÎÁÌØÎÏÊ ÏÄÄÅÌËÉ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å (ÁÄÁÔÉ×ÎÏÊ) ÁÔÁËÉ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÍÁÛÉÎÙ ØÀÒÉÎÇÁ A ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ×ÉÄÁ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ P É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n P r{A(1n ; K1 ) → (m; s)} < 1=P (n): ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÚÄÅÓØ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× G, S É A. îÅÓÌÏÖÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÔÅÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÇÌÁ×Å 2, ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ, ÓÔÏÊËÉÈ ÒÏÔÉ× ÜËÚÉÓÔÅÎ ÉÁÎÁÌØÎÏÊ ÏÄÄÅÌËÉ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÁÔÁËÉ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. ïÄÎÏ ÉÚ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÊ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É

54

çÌÁ×Á 3

ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×ÅÓØÍÁ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ, ÎÉÖÅ ÍÙ ÌÉÛØ ÓÈÅÍÁÔÉÞÎÏ ÉÚÌÁÇÁÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÎÁÞÁÌÅ ÓÈÅÍÕ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ìÁÍÏÒÔÁ [4℄. ðÕÓÔØ f : n → n , ÇÄÅ = {0; 1}, | ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ É ÕÓÔØ r | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÏÄÉÓÙ×ÁÅÍÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (Ô. Å. ËÁÖÄÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ m = m1 : : : mr ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË r-ÂÉÔÏ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ). áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÍ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ËÌÀÞÅÊ ×ÙÂÉÒÁÅÔ 2r ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÓÔÒÏË ÉÚ n : 0 x1 ; x11 ; x02 ; x12 ; : : : ; x0r ; x1r . óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÜÔÉÈ 2r ÓÔÒÏË ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ ÓÈÅÍÙ ÏÄÉÓÉ. äÁÌÅÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ y10 = f (x01 ); y11 = f (x11 ); : : : ; yr0 = f (x0r ); yr1 = f (x1r ): óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÓÔÒÏË y10 ; y11 ; : : : ; yr0 ; yr1 ÕÂÌÉËÕÅÔÓÑ ËÁË ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ ÓÈÅÍÙ. ðÏÄÉÓØÀ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m = m1 : : : mr ÓÌÕÖÉÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ mr 1 ÓÔÒÏË (xm 1 ; : : : ; xr ). éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÄÌÑ i-ÇÏ ÂÉÔÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m ÏÔËÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x0i ÉÌÉ x1i × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÞÅÍÕ ÒÁ×ÅÎ i-ÙÊ ÂÉÔ mi | ÎÕÌÀ ÉÌÉ ÅÄÉÎÉ Å. ðÒÏ×ÅÒËÁ ÏÄÉÓÉ s = (s1 ; : : : ; sr ) ÏÞÅ×ÉÄÎÁ: ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; : : : ; r ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (si ) É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÓÔÒÏËÏÊ yimi ÉÚ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ËÌÀÞÁ. óÈÅÍÁ ìÁÍÏÒÔÁ ÏÄÎÏÒÁÚÏ×ÁÑ, ÏÎÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÄÉÓÁÔØ ÏÄÎÏ rÂÉÔÏ×ÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÎÁÄÏ ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÔØ ÎÏ×ÙÅ ËÌÀÞÉ É ÚÁÍÅÎÉÔØ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ × ÓÅÒÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ. îÏ Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÜÔÁ ÓÈÅÍÁ ÕÖÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÄÏÂÉ×ÁÅÍÓÑ: ÅÓÌÉ f | ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÔÏ ÓÈÅÍÁ ÓÔÏÊËÁÑ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÕÓÔØ Y = (y10 ; y11 ; : : : ; yr0; yr1 ) | ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ, Á (m; s) | ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ É ËÏÒÒÅËÔÎÁÑ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÎÅÇÏ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÓÅËÒÅÔÎÏÍ ËÌÀÞÅ X = (x01 ; x11 ; : : : ; x0r ; x1r ), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÏÔËÒÙÔÏÍÕ ËÌÀÞÕ Y . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÍÏÖÅÔ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ 1=P (n) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ P ÎÁÊÔÉ ÁÒÕ (m′ ; s′ ), ÇÄÅ m′ = 6 m, Á s′ | ËÏÒÒÅËÔÎÁÑ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ m′ . ðÕÓÔØ i0 | ÎÏÍÅÒ ÂÉÔÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m É m′ , É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ mi0 = 0, Á m′i0 = 1. ÏÇÄÁ × ÏÄÉÓÉ s ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x1i0 , Á × s′ ÄÏÌÖÎÏ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ËÁËÏÅ-ÌÉÂÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ f (x) = yi10 = f (x1i0 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ A, ËÏÔÏÒÙÍ ÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ s′ , ÄÏÌÖÅÎ ÕÍÅÔØ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÔØ ÆÕÎË ÉÀ f ÎÁ ÜÔÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ yi0 . ÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÕÄÅÔ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔØ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ. ðÕÓÔØ u ×ÙÂÒÁÎÏ ÎÁÕÄÁÞÕ ÉÚ n É v = f (u) ÚÁÄÁÎÏ ÎÁÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÈÏÄÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ j ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; : : : ; 2r}. äÌÑ ×ÓÅÈ i = 1; : : : ; 2r, i 6= j , ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ËÌÀÞÅÊ X É Y Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ G, Á ×ÍÅÓÔÏ j -ÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ËÌÀÞÁ Y ÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ v. äÁÌÅÅ ×ÙÚÙ×ÁÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ A, ÏÄÁ×ÁÑ ÅÍÕ ÎÁ ×ÈÏÄ ËÌÀÞ Y . ëÏÇÄÁ A ÚÁ-

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

55

ÒÏÓÉÔ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m, ÒÏ×ÅÒÑÅÍ, ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÌÉ ÄÌÑ ÏÄÉÓÁÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÏÏÂÒÁÚ ÚÎÁÞÅÎÉÑ v. åÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ÏÙÔËÁ ÎÅÕÄÁÞÎÁ (×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ 1=2). ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÏÚÄÁÅÍ ÏÄÉÓØ s ÄÌÑ m É ÅÒÅÄÁÅÍ ÅÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ A. åÓÌÉ A ÕÓÅÛÎÏ ÏÄÄÅÌÙ×ÁÅÔ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m′ , m′ = 6 m, ÔÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÍ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÌÉ ÜÔÁ ÏÄÉÓØ ÒÏÏÂÒÁÚ ÚÎÁÞÅÎÉÑ v . åÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ×ÙÄÁÅÍ ÜÔÏÔ ÒÏÏÂÒÁÚ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ ÕÓÅÈÁ ÏÉÓÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÕÅÔ ÆÕÎË ÉÀ f . ïÞÅ×ÉÄÎÏ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ï ÅÎÉÍ ÔÅÅÒØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÕÓÅÈÁ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ A ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÁ ×ÈÏÄ ÔÏÌØËÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ Y É ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Y ÔÁËÏÅ ÖÅ ËÁË × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ A ÁÔÁËÕÅÔ ÓÈÅÍÕ ÏÄÉÓÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÕÇÁÄÁÅÍ i0 É m′i0 (Ô. Å. ÒÏÉÚÏÊÄÅÔ ÓÏÂÙÔÉÅ j = 2 · i0 + m′i0 ) Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏ1 , ÓÔØÀ 1=2r. ïÂÝÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÕÓÅÈÁ ÂÕÄÅÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ 4rP (n) ÞÔÏ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 1=Q(n) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ Q (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ r ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ ÏÔ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ n).

÷ ËÁÞÅÓÔ×Å Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÏÇÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ËÕÒØÅÚÁ ÕËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÓÈÅÍÅ ìÁÍÏÒÔÁ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÏÄÉÓÙ×ÁÔØ ÌÀÂÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÄÌÉÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ , ÔÏ ÉÚ ÏÄÉÓÉ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÌÅÇËÏ ÓÏÚÄÁÔØ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÅÇÏ ÒÅÆÉËÓÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÉÚ ÏÄÉÓÉ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÓÏÂÏÊ ÚÎÁÍÅÎÉÔÕÀ ÆÒÁÚÕ ËÁÚÎÉÔØ ÎÅÌØÚÑ, ÏÍÉÌÏ×ÁÔØ ÍÏÖÎÏ ÉÚÇÏÔÏ×ÉÔØ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ËÁÚÎÉÔØ. ëÏÎÅÞÎÏ, × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÒÏÓÔÙÅ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ËÏÎÔÒÍÅÒÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ËÏÒÏÔËÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÄÏÏÌÎÑÌÉÓØ ÓÒÁ×Á Ä×ÏÉÞÎÙÍÉ ÎÕÌÑÍÉ ÄÏ ÄÌÉÎÙ . îÏ ÜÔÏÔ ËÕÒØÅÚ ÓÌÕÖÉÔ ÈÏÒÏÛÅÊ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÅÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÒÉÎ ÉÁ: ×ÓÑËÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÓÈÅÍÙ ÔÒÅÂÕÅÔ ÔÏÞÎÏÊ ÓÅ ÉÆÉËÁ ÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×ÓÅÈ ÅÅ ÁÒÁÍÅÔÒÏ× É ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÄÁÖÅ ÎÅÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÅ ÏÔÓÔÕÌÅÎÉÅ ÏÔ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÁÚÒÕÛÁÅÔ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÓÈÅÍÙ. r

m

r

ÅÅÒØ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÔÏÌØËÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÓÈÅÍÕ ìÁÍÏÒÔÁ × ÍÎÏÇÏÒÁÚÏ×ÕÀ. éÄÅÑ ÔÁËÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ: × ÍÏÍÅÎÔ ÏÄÉÓÁÎÉÑ ÏÞÅÒÅÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÎÏ×ÙÅ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ É ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞÉ X É Y É ÏÔÒÁ×ÉÔØ ÏÌÕÞÁÔÅÌÀ ÔÒÏÊËÕ (m; Y; s), ÇÄÅ s | ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ mkY . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÏÞËÁ ÏÔËÒÙÔÙÈ ËÌÀÞÅÊ Y1 ; Y2 ; : : : ; Yj ; : : : É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÉÍ ÏÄÉÓÅÊ s2 ; : : : ; sj ; : : : . úÄÅÓØ Y1 | ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ, ÈÒÁÎÑÝÉÊÓÑ × ÓÅÒÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, Á sj | ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ËÌÀÞÁ Yj , ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ Xj−1 , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÍÕ

56

çÌÁ×Á 3

ËÌÀÞÕ Yj−1 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÖÄÙÊ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ Yj ÂÕÄÅÔ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÅÏÞËÉ ÏÄÉÓÅÊ s2 ; : : : ; sj É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó ÓÅËÒÅÔÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ Xj ÄÌÑ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ É ÒÏ×ÅÒËÉ ÏÄÉÓÅÊ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. ðÒÏÂÌÅÍÁ, ÏÄÎÁËÏ, × ÔÏÍ, ÞÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÎÏÊ ÁÒÙ ËÌÀÞÅÊ (X; Y ) ÍÏÖÎÏ ÏÄÉÓÁÔØ ÔÏÌØËÏ r ÂÉÔÏ× ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, Á ÄÌÉÎÁ ÏÄÎÏÇÏ ÔÏÌØËÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÒÁ×ÎÁ 2rn ÂÉÔÁÍ. äÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÓÏÓÏÂÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÏ×ÏÅ ÏÎÑÔÉÅ | ÏÎÑÔÉÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÉ. èÜÛ-ÆÕÎË ÉÉ | ×ÅÓØÍÁ ÌÀÂÏÙÔÎÙÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ ÒÉÍÉÔÉ×, ÚÁÓÌÕÖÉ×ÁÀÝÉÊ ÏÔÄÅÌØÎÏÇÏ ÒÁÚÇÏ×ÏÒÁ. úÄÅÓØ ÖÅ ÍÙ ÌÉÛØ ËÒÁÔËÏ ÏÂÓÕÄÉÍ ÜÔÏ ÏÎÑÔÉÅ. çÏ×ÏÒÑ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÑ | ÜÔÏ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÓÖÉÍÁÀÝÁÑ ×ÈÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÉÓËÁ ËÏÌÌÉÚÉÊ. ëÏÌÌÉÚÉÅÊ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ h ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÒÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x, y, x 6= y, ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ h(x) = h(y). ðÏÓËÏÌØËÕ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÑ ÓÖÉÍÁÅÔ ×ÈÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ËÏÌÌÉÚÉÉ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÏÌÎÙÍ ÅÒÅÂÏÒÏÍ. îÏ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÎÉËÁËÏÊ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÅ ÎÁÊÄÅÔ ËÏÌÌÉÚÉÊ Õ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÉ. óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÊ ÂÙÌÏ ÄÁÎÏ îÁÏÒÏÍ É àÎÇÏÍ [4℄. ðÕÓÔØ n | ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÊ ÁÒÁÍÅÔÒ, n > 0 É Hn | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ h : n → k , ÇÄÅ k = k(n) < n. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ n < p(k) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ p. äÁÌÅÅ, ËÁÖÄÁÑ ÆÕÎË ÉÑ h ∈ Hn ÉÍÅÅÔ ÏÉÓÁÎÉÅ h É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁ ×ÈÏÄÅ 1n ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÏÉÓÁÎÉÊ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚ Hn . ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ, ÏÌÕÞÉ× ÎÁ ×ÈÏÄ ÏÉÓÁÎÉÅ h ÆÕÎË ÉÉ ÉÚ Hn É x ∈ n , ×ÙÄÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ h(x). ðÏÄ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÙÔÁÅÔÓÑ ÏÔÙÓËÁÔØ ËÏÌÌÉÚÉÉ, ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ B , ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÊ × Ä×Á ÜÔÁÁ. óÎÁÞÁÌÁ ÏÎ ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÁ ×ÈÏÄ 1n É ÄÏÌÖÅÎ ×ÙÄÁÔØ ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x ÉÚ n . ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ B ÏÌÕÞÁÅÔ h , ×ÙÂÒÁÎÎÏÅ ÎÁÕÄÁÞÕ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÏÉÓÁÎÉÊ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚ Hn . óÅÍÅÊÓÔ×Ï {Hn } ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ B , ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ P É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n P r{B (h ) = y | y ∈ n ; y 6= x & h(x) = h(y)} < 1=P (n): ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÊ {H2nr }, ÇÄÅ H2nr = {h : 2nr → k ; k < n}. ëÁË ÏËÁÚÁÌÉ îÁÏÒ É àÎÇ [4℄, Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁËÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÓÈÅÍÕ ìÁÍÏÒÔÁ ÍÏÖÎÏ ÒÅ×ÒÁÔÉÔØ × ÍÎÏÇÏÒÁÚÏ×ÕÀ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ h ÆÕÎË ÉÉ h ∈ H2nr É ÏÍÅÝÁÅÔ ÜÔÏ ÏÉÓÁÎÉÅ ×

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

57

ÓÅÒÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÓÒÁ×ÏÞÎÉË ×ÍÅÓÔÅ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ Y1 . ðÏÄÉÓÙ×ÁÅÍÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÉÍÅÀÔ ÄÌÉÎÕ n − k. ëÏÇÄÁ ÏÄÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÒ×ÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔÓÑ ÎÏ×ÁÑ ÁÒÁ ËÌÀÞÅÊ (X2 ; Y2 ) É ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ h(Y2 ). äÁÌÅÅ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÅÒ×ÙÈ n − k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÌÀÞÁ X1 ÏÄÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, Á Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÓÌÅÄÎÉÈ k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× | ÚÎÁÞÅÎÉÅ h(Y2 ). ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÎÏ×ÙÊ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ Y2 É ÏÄÉÓÉ ÏÓÙÌÁÀÔÓÑ ÏÌÕÞÁÔÅÌÀ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÄÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÓÅ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. äÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ ÏÄÉÓÉ ÎÕÖÎÏ ÌÉÂÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ×ÓÀ ÅÏÞËÕ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó Y1 , ÌÉÂÏ ÏÍÎÉÔØ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÉÍ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ. áÎÁÌÉÚ ÜÔÏÊ ÓÈÅÍÙ (ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ ÓÍ. × [4℄) ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÄÄÅÌËÉ ÏÄÉÓÅÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÄÏÌÖÅÎ ÕÍÅÔØ ÌÉÂÏ ÏÄÍÅÎÑÔØ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ Yj , ÎÅ ÍÅÎÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ h(Yj ), Á ÚÎÁÞÉÔ, ÎÁÈÏÄÉÔØ ËÏÌÌÉÚÉÉ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ h, ÌÉÂÏ ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÔØ ÆÕÎË ÉÀ f . ïÓÔÁÅÔÓÑ ÅÝÅ ÏÎÑÔØ, ÏÞÅÍÕ ÕËÁÚÁÎÎÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÎÁÈÏÄÉÔØ ËÏÌÌÉÚÉÉ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÊ. ÷ÅÄØ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÚÁÒÁÎÅÅ ÚÎÁÅÔ ÏÉÓÁÎÉÅ h É ÔÏÌØËÏ ÏÔÏÍ ÏÌÕÞÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ËÏÌÌÉÚÉÀ; Á ÚÎÁÞÉÔ, ÚÁÄÁÞÁ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÒÉ ÁÔÁËÅ ÎÁ ÓÈÅÍÕ ÏÄÉÓÉ ËÁÖÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÌÅÇËÏÊ, ÞÅÍ ÔÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÕËÁÚÁÎÁ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÈÜÛÆÕÎË ÉÊ. îÏ ÄÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ ×ÙÂÉÒÁÅÔ h É ×ÓÅ Xj ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, É ×ÓÅ Yj ÂÕÄÕÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÏÔ h . ðÏÜÔÏÍÕ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ÁÔÁËÕÀÝÉÊ ÈÜÛÆÕÎË ÉÀ, ÍÏÖÅÔ ÓÁÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Y ÔÁËÉÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁË ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔ ÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ, É ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ h . ìÅÇËÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÕÓÅÈÁ ÁÔÁËÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ. îÁÏÒ É àÎÇ [4℄ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÊ, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. òÏÍÅÌØ [5℄ ÕÓÉÌÉÌ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÄÏËÁÚÁ×, ÞÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ (ÌÀÂÏÊ) ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÆÕÎË ÉÉ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ, ÞÔÏ ÓÈÅÍÙ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ, ÓÔÏÊËÉÅ ÒÏÔÉ× ÜËÚÉÓÔÅÎ ÉÁÎÁÌØÎÏÊ ÏÄÄÅÌËÉ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÁÔÁËÉ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ. üÔÏÔ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÍÏÖÎÏ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÓÈÅÍÙ ÏÄÉÓÉ, ÓÔÏÊËÉÅ × ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ, ÄÁÖÅ ×ÅÓØÍÁ ÓÌÁÂÏÍ, ÓÍÙÓÌÅ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÓÈÅÍÙ, ÓÔÏÊËÉÅ ÒÏÔÉ× ÜËÚÉÓÔÅÎ ÉÁÎÁÌØÎÏÊ ÏÄÄÅÌËÉ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÁÔÁËÉ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, Ô. Å. ÓÈÅÍÙ, ÓÔÏÊËÉÅ × ÓÁÍÏÍ ÓÉÌØÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ ×ÙÛÅ, ÅÓÌÉ ÓÈÅÍÕ ÏÄÉÓÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ × ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ÓÍÙÓÌÅ ÓÔÏÊËÏÊ, ÔÏ ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÓÔÏÊËÏÊ ÒÏÔÉ× ÏÌÎÏÇÏ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ, Á ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÕÖÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÜÔÁ ÓÈÅÍÁ ÏÄÉÓÉ ÓÌÉÛËÏÍ ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÎÁ, ÞÔÏÂÙ ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÏÄÉÓÉ ÉÍÅÀÔ

58

çÌÁ×Á 3

ÓÌÉÛËÏÍ ÂÏÌØÛÕÀ ÄÌÉÎÕ. îÁ ËÁÖÄÙÊ ÏÄÉÓÙ×ÁÅÍÙÊ ÂÉÔ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ n ÂÉÔÏ× ÏÄÉÓÉ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÏÌÕÞÁÔÅÌØ ÄÏÌÖÅÎ ÈÒÁÎÉÔØ ×ÓÀ ÅÏÞËÕ ÏÔËÒÙÔÙÈ ËÌÀÞÅÊ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó Y1 , É ×ÓÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÄÉÓÁÎÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÄÌÑ ÒÅÄßÑ×ÌÅÎÉÑ ÉÈ ÁÒÂÉÔÒÕ × ÓÌÕÞÁÅ ×ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÑ ÓÏÒÏ× Ï ÏÄÌÉÎÎÏÓÔÉ ÏÄÉÓÅÊ. ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÈÉÝÒÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÏËÒÁÔÉÔØ ÄÌÉÎÙ ÅÏÞÅË É ÕÍÅÎØÛÉÔØ ÒÁÚÍÅÒ ÏÄÉÓÉ, ÎÏ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÉÚÂÁ×ÉÔØÓÑ ÏÔ ÜÔÉÈ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÏ× ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ. ÷ÏÒÏÓ Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÔÏÌØËÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÒÉÍÅÒ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÈÅÍÙ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ. ÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÓÈÅÍÅ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ûÎÏÒÒÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÅ ÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÚÁÒÏÓ e. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÓÌÉ ÂÙ Õ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ ÂÙÌ ÎÁÄÅÖÎÙÊ ÉÓÔÏÞÎÉË ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ, ÏÌØÚÕÀÝÉÊÓÑ ÄÏ×ÅÒÉÅÍ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ, ÔÏ ÒÏÔÏËÏÌ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÅÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÍ. æÉÁÔ É ûÁÍÉÒ [6℄ ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÓÏÓÏÂ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ × ÓÈÅÍÕ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÚÁÒÏÓÁ ÎÅËÉÍ ÓÕÒÒÏÇÁÔÏÍ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÕÓÔØ m | ÏÄÉÓÙ×ÁÅÍÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ É h | ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÑ. ÏÇÄÁ ×ÍÅÓÔÏ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ Ë ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÍÕ (ÏÎ ÖÅ | ÏÌÕÞÁÔÅÌØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ) ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ (ÏÎ ÖÅ | ÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ) ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ×ÅÌÉÞÉÎÕ h(m) É ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÅÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÚÁÒÏÓÁ e. üÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌÅÎ, ÔÁË ËÁË ÒÉÍÅÎÉÍ Ë ÛÉÒÏËÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ. ïÉÛÅÍ ÔÅÅÒØ ÏÌÕÞÁÅÍÕÀ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÔÁËÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÈÅÍÕ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ûÎÏÒÒÁ [1℄. ïÔËÒÙÔÙÊ É ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞÉ ÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÅÇÏ ÇÅÎÅÒÉÒÕÀÔÓÑ × ÜÔÏÊ ÓÈÅÍÅ ÔÁËÉÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁË × ÓÈÅÍÅ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ûÎÏÒÒÁ. ïÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ ÏÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÊ ÓÅÒÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÓÒÁ×ÏÞÎÉË. óÈÅÍÁ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ûÎÏÒÒÁ

1. ðÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ k ∈ {1; : : : ; q − 1} É ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ r = gk mod p. 2. ðÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ e = h(r; m), ÇÄÅ m | ÏÄÉÓÙ×ÁÅÍÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. 3. ðÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ s = (k + xe) mod q É ÏÓÙÌÁÅÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ m Ó ÏÄÉÓØÀ (e; s) ÏÌÕÞÁÔÅÌÀ. 4. ðÏÌÕÞÁÔÅÌØ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ r′ = gs ye mod p É ÒÏ×ÅÒÑÅÔ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÌÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï e = h(r′ ; m). åÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ÏÄÉÓØ ÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ, × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÏÔ×ÅÒÇÁÅÔÓÑ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÑ h ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÁÒÙ ÚÎÁÞÅÎÉÊ (r; m) × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {0; : : : ; 2t − 1}.

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

59

ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÄÉÓÉ, ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÏÔÏËÏÌÕ, ÒÏ×ÅÒËÁ . 4 ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÁ. óÔÏÊËÏÓÔØ ÓÈÅÍÙ ûÎÏÒÒÁ × ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ Ó×ÏÊÓÔ× ÆÕÎË ÉÉ h. åÓÌÉ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÕÍÅÅÔ ÏÔÙÓËÉ×ÁÔØ ËÏÌÌÉÚÉÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÉÄÁ, Ô. Å. Ï ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÁÒÅ (r; m) ÎÁÈÏÄÉÔØ ÄÒÕÇÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ m′ , m′ 6= m, ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ h(r; m) = h(r; m′ ), ÔÏ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÔØ ÜËÚÉÓÔÅÎ ÉÁÎÁÌØÎÕÀ ÏÄÄÅÌËÕ ÏÄÉÓÅÊ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÅÒÅÈ×ÁÔÉÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ m É ÏÄÉÓØ (e; s) ÄÌÑ ÎÅÇÏ, Á ÔÁËÖÅ ÎÁÊÔÉ ËÏÌÌÉÚÉÀ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÉÄÁ. ÏÇÄÁ ÁÒÁ (e; s) ÂÕÄÅÔ ÔÁËÖÅ ÏÄÉÓØÀ É ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m′ . èÜÛ-ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÏÔßÅÍÌÅÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ. üÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÏÄÉÓÙ×ÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÄÌÉÎÙ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÄÌÉÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉ×ÁÔØ ÎÁ ÂÌÏËÉ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÄÌÑ ÓÈÅÍÙ ÏÄÉÓÉ ÄÌÉÎÕ, É ÏÄÉÓÙ×ÁÔØ ËÁÖÄÙÊ ÂÌÏË. îÏ ÜÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ. îÁ ÒÁËÔÉËÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÕÀÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ × ÈÜÛ-ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÔÒÅÂÕÅÍÏÊ ÄÌÉÎÙ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÓÍÙÓÌÅ ÓÔÏÊËÏÊ ÒÏÔÉ× ÏÙÔÏË ÎÁÊÔÉ ËÏÌÌÉÚÉÉ. îÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÉ ËÏÎÓÔÒÕÉÒÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÄÌÉÎ ÈÜÛ-ÚÎÁÞÅÎÉÊ (ÓËÁÖÅÍ, 256 ÂÉÔÏ×), ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÜÔÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ, ÄÌÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÍÅÔÏÄÏ× ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÔÏÊËÏÓÔÉ. óÔÏÊËÉÅ ÓÈÅÍÙ ÏÄÉÓÉ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÍÉ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ. üÔÏ ÌÅÇËÏ ÏÎÑÔØ, ÅÓÌÉ ×ÓÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÊ ÍÁÛÉÎÙ, ËÏÔÏÒÁÑ, ÎÅ ÚÎÁÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ, ÓÏÚÄÁÅÔ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ×ÅÌÉÞÉÎ, ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙÈ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÍ, ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÎÅÏÔÌÉÞÉÍÏÅ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÒÏÔÏËÏÌÁ. îÏ ×ÓÅ, ÞÔÏ ×ÉÄÉÔ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ (ÏÎ ÖÅ | ÏÌÕÞÁÔÅÌØ) × ÒÏ ÅÓÓÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ, ÜÔÏ | ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ Ó ÏÄÉÓÑÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÍÏÖÅÔ ÏÄÄÅÌÙ×ÁÔØ ÏÄÉÓÉ, ÔÁË ËÁË ÓÏÚÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÅÀ ÏÄÉÓÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÎÅÏÔÌÉÞÉÍÙ ÏÔ ÏÄÌÉÎÎÙÈ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, É ÄÌÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÏ×ÅÒËÉ ÏÄÉÓÅÊ. óÔÏÊËÏÓÔØ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÒÏÔÉ× ÁÓÓÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ, ÚÎÁÑ ÔÏÌØËÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ, ÙÔÁÅÔÓÑ ÏÄÄÅÌÙ×ÁÔØ ÏÄÉÓÉ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏËÁÚÁÎÁ × ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÒÁËÕÌÏÍ. ÷ ÜÔÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ É ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ×ÍÅÓÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ h ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ Ë ÏÒÁËÕÌÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ×ÈÏÄÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ×ÙÈÏÄÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ É ×ÙÄÁÅÔ ÅÇÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÔ×ÅÔÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÁÒÁ (; ) ÚÁÏÍÉÎÁÅÔÓÑ É × ÓÌÕÞÁÅ Ï×ÔÏÒÎÏÇÏ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ Ó ×ÈÏÄÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÏÒÁËÕÌ ÓÎÏ×Á ×ÙÄÁÓÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ . ëÁË ÚÁÍÅÔÉÌÉ æÉÁÔ É ûÁÍÉÒ [6℄, ÉÚÌÏÖÅÎÎÁÑ ×ÙÛÅ ÉÄÅÑ

60

çÌÁ×Á 3

ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÓÈÅÍ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÒÉÍÅÎÉÍÁ × ÄÁÎÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÓÈÅÍ ÏÄÉÓÉ ÒÏÔÉ× ÁÓÓÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ. üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ× ÄÌÑ ÛÉÒÏËÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÓÈÅÍ ÏÄÉÓÉ, ×ËÌÀÞÁÀÝÅÇÏ ÓÈÅÍÕ ûÎÏÒÒÁ. æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÈÅÍÙ ÏÄÉÓÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÏÊËÉÍÉ (ÒÏÔÉ× ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÁÓÓÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ), ÅÓÌÉ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÑ ×ÅÄÅÔ ÓÅÂÑ, ËÁË ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ï-ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ËÁÓÁÀÝÉÍÓÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ, ÅÓÌÉ ÎÅ ÓÞÉÔÁÔØ ÒÁÂÏÔÙ [8℄, ÇÄÅ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÈÜÛ-ÆÕÎË ÉÑ ×ÅÄÅÔ ÓÅÂÑ, ËÁË ÆÕÎË ÉÑ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÏÊËÏÊ, × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ. 3. îÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØ. üÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ ÄÅÎØÇÉ \é ÏÎ ÓÄÅÌÁÅÔ ÔÏ, ÞÔÏ ×ÓÅÍ | ÍÁÌÙÍ É ×ÅÌÉËÉÍ, ÂÏÇÁÔÙÍ É ÎÉÝÉÍ, Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ É ÒÁÂÁÍ | ÏÌÏÖÅÎÏ ÂÕÄÅÔ ÎÁÞÅÒÔÁÎÉÅ ÎÁ ÒÁ×ÕÀ ÒÕËÕ ÉÈ ÉÌÉ ÎÁ ÞÅÌÏ ÉÈ, é ÞÔÏ ÎÉËÏÍÕ ÎÅÌØÚÑ ÂÕÄÅÔ ÎÉ ÏËÕÁÔØ, ÎÉ ÒÏÄÁ×ÁÔØ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ËÔÏ ÉÍÅÅÔ ÜÔÏ ÎÁÞÅÒÔÁÎÉÅ, ÉÌÉ ÉÍÑ Ú×ÅÒÑ, ÉÌÉ ÞÉÓÌÏ ÉÍÅÎÉ ÅÇÏ. úÄÅÓØ ÍÕÄÒÏÓÔØ. ëÔÏ ÉÍÅÅÔ ÕÍ, ÔÏÔ ÓÏÞÔÉ ÞÉÓÌÏ Ú×ÅÒÑ, ÉÂÏ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÅ; ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ÛÅÓÔØÓÏÔ ÛÅÓÔØÄÅÓÑÔ ÛÅÓÔØ."

ïÔËÒÏ×ÅÎÉÅ Ó×ÑÔÏÇÏ éÏÁÎÎÁ âÏÇÏÓÌÏ×Á, ÇÌÁ×Á 13. ìÅÔ ÑÔÎÁÄ ÁÔØ ÎÁÚÁÄ, Á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É ÂÏÌØÛÅ, ÖÉÔÅÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÊÏÎÏ× íÏÓË×Ù ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÌÉ × Ó×ÏÉÈ ÏÞÔÏ×ÙÈ ÑÝÉËÁÈ ÎÅÏÂÙÞÎÙÅ ÏÓÌÁÎÉÑ. îÁ ÌÉÓÔÏÞËÁÈ, ×ÙÒ×ÁÎÎÙÈ ÉÚ ÕÞÅÎÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÔÒÁÄÅÊ, ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÇÒÁÍÏÔÎÙÅ ÌÀÄÉ ÓÔÁÒÁÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÉÓÙ×ÁÌÉ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÔÅËÓÔ, Ï×ÅÓÔ×ÕÀÝÉÊ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÇÄÅ-ÔÏ × âÒÀÓÓÅÌÅ (ÎÅ ÉÎÁÞÅ, ËÁË × ÛÔÁÂË×ÁÒÔÉÒÅ îáï) ÏÑ×ÉÌÓÑ ËÏÎÆØÀÔÅÒ (ÓÏÈÒÁÎÑÅÍ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ Á×ÔÏÒÏ×) ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ ú×ÅÒØ É Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 666. é ÜÔÏÔ ËÏÎÆØÀÔÅÒ ÑËÏÂÙ ÒÅÄÎÁÞÅÒÔÁÌ ËÁÖÄÏÍÕ ÓÍÅÒÔÎÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÂÅÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅ ÔÏ ÞÔÏ ÏËÕÁÔØ ÉÌÉ ÒÏÄÁ×ÁÔØ, ÎÏ ÄÁÖÅ ÛÁÇÕ ÓÔÕÉÔØ ÎÅÌØÚÑ ÂÕÄÅÔ. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÒÅÄÒÅËÁÌÓÑ ÓËÏÒÙÊ ËÏÎÅ Ó×ÅÔÁ. âÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, ÜÔÏ ÓÏÞÉÎÅÎÉÅ, ËÁË É ×ÓÅ ÅÍÕ ÏÄÏÂÎÙÅ, ÎÅ ÚÁÓÌÕÖÉ×ÁÌÏ ÂÙ ÎÉËÁËÏÇÏ ×ÎÉÍÁÎÉÑ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÅÇÏ Á×ÔÏÒÙ, ÓÁÍÉ ÔÏÇÏ ÎÅ ×ÅÄÁÑ, ÎÅ ÎÁÝÕÁÌÉ ×ÅÓØÍÁ ÓÅÒØÅÚÎÕÀ ÕÇÒÏÚÕ, ËÏÔÏÒÕÀ ÎÅÓÅÔ ËÏÍØÀÔÅÒÉÚÁ ÉÑ ÒÁ×ÁÍ É Ó×ÏÂÏÄÁÍ ÌÉÞÎÏÓÔÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÁÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÏÓ×ÑÝÅÎ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÍ ÄÅÎØÇÁÍ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÔÕ ÕÇÒÏÚÕ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÏÓÔÏÍ ÒÉÍÅÒÅ. óÔÏÌØ ÏÕÌÑÒÎÁÑ ÎÙÎÅ ×Ï ×ÓÅÍ ÍÉÒÅ ËÒÅÄÉÔÎÁÑ ËÁÒÔÏÞËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÏÓÉÔÅÌØ

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

61

ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÌÁÔÅÖÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÉÄÅÎÔÉÆÉ ÉÒÕÅÔ Ó×ÏÅÇÏ ×ÌÁÄÅÌØ Á. é ÅÓÌÉ ×ÌÁÄÅÌÅ ËÁÒÔÏÞËÉ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÅÅ ÄÌÑ ÏËÕËÉ ÂÉÌÅÔÏ× ÎÁ ÔÒÁÎÓÏÒÔ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÔÓÌÅÄÉÔØ ×ÓÅ ÅÇÏ ÏÅÚÄËÉ, ÞÔÏ × É×ÉÌÉÚÏ×ÁÎÎÏÍ ÏÂÝÅÓÔ×Å ÂÅÚ ÓÁÎË ÉÉ ÒÏËÕÒÏÒÁ ÎÅÄÏÕÓÔÉÍÏ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ×ÌÁÄÅÌØ Á ËÒÅÄÉÔÎÙÈ ËÁÒÔÏÞÅË ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÓÏÂÉÒÁÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÔÏÍ, ËÁËÉÅ ÔÏ×ÁÒÙ É ÇÄÅ ÏÎ ÏËÕÁÅÔ, ËÁËÉÍÉ ÕÓÌÕÇÁÍÉ ÏÌØÚÕÅÔÓÑ, ËÁËÉÅ ËÕÌØÔÕÒÎÏ-ÚÒÅÌÉÝÎÙÅ ÍÅÒÏÒÉÑÔÉÑ ÏÓÅÝÁÅÔ É Ô. Ä. äÁÌØÛÅ | ÂÏÌØÛÅ. ïÒÇÁÎÉÚÁ ÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÇÏ ÄÏÓÔÕÁ Ë ÈÒÁÎÉÌÉÝÁÍ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ÅÒÅ×ÏÄ ÄÏËÕÍÅÎÔÏ× × ÜÌÅËÔÒÏÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÓÏÚÄÁÄÕÔ ÒÅÄÏÓÙÌËÉ ÄÌÑ ×ÅÄÅÎÉÑ ÄÏÓØÅ, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÈ ×ÅÓØ ËÒÕÇ ÉÎÔÅÒÅÓÏ× ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÇÒÁÖÄÁÎ. üÔÏÔ ÅÒÅÞÅÎØ ÕÇÒÏÚ ÒÁ×ÁÍ É Ó×ÏÂÏÄÁÍ ÌÉÞÎÏÓÔÉ, ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ1). òÅÚÀÍÉÒÕÑ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÍØÀÔÅÒÉÚÁ ÉÑ ÓÏÚÄÁÅÔ ÂÅÓÒÅ ÅÄÅÎÔÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÔÏÔÁÌØÎÏÊ ÓÌÅÖËÉ. õÇÒÏÚÁ ÜÔÁ ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ ÓÅÒØÅÚÎÁÑ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÅÝÅ ÎÅ ÏÓÏÚÎÁÎÁ ÄÁÖÅ ÍÎÏÇÉÍÉ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÁÍÉ. äÌÑ ÒÅÄÏÔ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÏÊ ÕÇÒÏÚÙ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÎÔÒÏÌÑ ÚÁ ÄÏÓÔÕÏÍ Ë ÒÅÓÕÒÓÁÍ, ËÏÔÏÒÁÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ä×ÕÍ, ËÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ×ÚÁÉÍÎÏ ÉÓËÌÀÞÁÀÝÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ×ÓÑËÉÊ ÖÅÌÁÀÝÉÊ ÄÏÌÖÅÎ ÉÍÅÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ Ë ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÁÎÏÎÉÍÎÏ, Á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÓÅ ÖÅ ÄÏËÁÚÁÔØ Ó×ÏÅ ÒÁ×Ï ÎÁ ÄÏÓÔÕ Ë ÔÏÍÕ ÉÌÉ ÉÎÏÍÕ ÒÅÓÕÒÓÕ. ïÂÙÞÎÙÅ ÂÕÍÁÖÎÙÅ ÄÅÎØÇÉ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÔ ÏÂÁ ÜÔÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×Á. åÓÌÉ ÒÅÓÕÒÓÏÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÔÏ×ÁÒ, ÔÏ ÎÁÌÉÞÉÅ Õ ÏËÕÁÔÅÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ËÕÀÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÅÇÏ ÒÁ×Á ÎÁ ÄÏÓÔÕ Ë ÒÅÓÕÒÓÕ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÈÏÔÑ ËÁÖÄÁÑ ÂÕÍÁÖÎÁÑ ËÕÀÒÁ É ÉÍÅÅÔ ÕÎÉËÁÌØÎÙÊ ÎÏÍÅÒ, ÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÔØ ËÕÀÒÙ Ï ÎÏÍÅÒÁÍ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ëÒÅÄÉÔÎÙÅ ËÁÒÔÏÞËÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÔÏÌØËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ. ÷ÓÀÄÕ ÎÉÖÅ ÏÄ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÍÉ ÄÅÎØÇÁÍÉ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÎÉÍÁÔØ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ ÌÁÔÅÖÎÙÅ ÓÒÅÄÓÔ×Á, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÉÅ ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØ. ðÏÎÑÔÉÅ ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔÉ, ÔÁËÖÅ ËÁË É ÅÌÏÓÔÎÏÓÔÉ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÎÏ É ÂÕÄÅÔ ÏÑÓÎÑÔØÓÑ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×. äÌÑ ÒÁÂÏÔÙ Ó ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÍÉ ÄÅÎØÇÁÍÉ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÒÏÔÏËÏÌÁÍÉ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÌÁÔÅÖÅÊ. ÷ ÔÁËÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÅ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÙ ÔÒÉ ÕÞÁÓÔÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ: ÂÁÎË, ÏËÕÁÔÅÌØ É ÒÏÄÁ×Å . ðÏËÕÁÔÅÌØ É ÒÏÄÁ×Å , ËÁÖÄÙÊ, ÉÍÅÀÔ ÓÞÅÔ × ÂÁÎËÅ, É ÏËÕÁÔÅÌØ ÖÅÌÁÅÔ ÚÁÌÁÔÉÔØ ÒÏÄÁ× Õ ÚÁ ÔÏ×ÁÒ ÉÌÉ ÕÓÌÕÇÕ. 1) ëÏÇÄÁ ÄÁÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÕÖÅ ÂÙÌ ÎÁÉÓÁÎ, ×ÙÛÅÌ ÉÚ ÅÞÁÔÉ ÖÕÒÎÁÌ ëÏÍØÀÔÅÒÒÁ 20 ÏÔ 20 ÍÁÑ 1998 Ç., × ËÏÔÏÒÏÍ ÜÔÉ ÕÇÒÏÚÙ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ. úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ Õ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ Á×ÔÏÒÏ× ×ÏÚÎÉËÌÉ ÔÅ ÖÅ ÁÓÓÏ ÉÁ ÉÉ ÓÏ ÓÌÏ×ÁÍÉ ÉÚ áÏËÁÌÉÓÉÓÁ.

62

çÌÁ×Á 3

÷ ÌÁÔÅÖÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÒÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ: { ÓÎÑÔÉÅ ÓÏ ÓÞÅÔÁ; { ÌÁÔÅÖ; { ÄÅÏÚÉÔ. ÷ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÓÎÑÔÉÑ ÓÏ ÓÞÅÔÁ ÏËÕÁÔÅÌØ ÏÌÕÞÁÅÔ ÏÄÉÓÁÎÎÕÀ ÂÁÎËÏÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÕÀ ÂÁÎËÎÏÔÕ ÎÁ ÚÁÔÒÅÂÏ×ÁÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÞÅÔ ÏËÕÁÔÅÌÑ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÎÁ ÜÔÕ ÓÕÍÍÕ. ÷ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÌÁÔÅÖÁ ÏËÕÁÔÅÌØ ÅÒÅÄÁÅÔ ÂÁÎËÎÏÔÕ ÒÏÄÁ× Õ É ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÕÍÍÕ ÌÁÔÅÖÁ. ðÒÏÄÁ×Å , × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÅÒÅÄÁÅÔ ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÂÁÎËÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÏÄÌÉÎÎÏÓÔØ ÂÁÎËÎÏÔÙ. åÓÌÉ ÂÁÎËÎÏÔÁ ÏÄÌÉÎÎÁÑ, ÂÁÎË ÒÏ×ÅÒÑÅÔ, ÎÅ ÂÙÌÁ ÌÉ ÏÎÁ ÏÔÒÁÞÅÎÁ ÒÁÎÅÅ. åÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ ÂÁÎË ÚÁÎÏÓÉÔ ÂÁÎËÎÏÔÕ × ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ÒÅÇÉÓÔÒ, ÚÁÞÉÓÌÑÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÎÁ ÓÞÅÔ ÒÏÄÁ× Á, Õ×ÅÄÏÍÌÑÅÔ ÒÏÄÁ× Á ÏÂ ÜÔÏÍ, É, ÅÓÌÉ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×Ï ÂÁÎËÎÏÔÙ ×ÙÛÅ, ÞÅÍ ÓÕÍÍÁ ÌÁÔÅÖÁ, ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏËÕÁÔÅÌÀ ÓÄÁÞÕ (ÞÅÒÅÚ ÒÏÄÁ× Á). ó ÏÍÏÝØÀ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÄÅÏÚÉÔÁ, ÏËÕÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏÌÏÖÉÔØ ÓÄÁÞÕ ÎÁ Ó×ÏÊ ÓÞÅÔ × ÂÁÎËÅ. âÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÂÁÎËÁ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÄÄÅÌÁÔØ ÅÇÏ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÂÁÎËÎÏÔÙ, ÉÌÉ, ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÉ× ÎÁÂÏÒ ÏÄÌÉÎÎÙÈ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÂÁÎËÎÏÔ, ÏÄÄÅÌÁÔØ ÏÄÉÓØ ÅÝÅ ÈÏÔÑ ÂÙ ÄÌÑ ÏÄÎÏÊ ÂÁÎËÎÏÔÙ. äÌÑ ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔÉ ÏËÕÁÔÅÌÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÂÁÎË, ÏÌÕÞÉ× ÂÁÎËÎÏÔÕ × ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÌÁÔÅÖÁ, ÎÅ ÍÏÇ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ËÏÍÕ ÏÎÁ ÂÙÌÁ ×ÙÄÁÎÁ. Ï ÖÅ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ É Ë ÓÄÁÞÅ. üÔÏ, ËÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ÁÒÁÄÏËÓÁÌØÎÏÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÈÅÍÙ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÚÁÔÅÍÎÅÎÎÏÊ (ÓÌÅÏÊ) ÏÄÉÓÉ: × ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÓÎÑÔÉÑ ÓÏ ÓÞÅÔÁ ÂÁÎË ÏÄÉÓÙ×ÁÅÔ ÎÅ ÂÁÎËÎÏÔÕ, Á ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÁÂÒÁËÁÄÁÂÒÕ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÏËÕÁÔÅÌØ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÏÄÉÓÁÎÎÕÀ ÂÁÎËÎÏÔÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÂÁÎË ÒÏÓÔÏ ÎÅ ÚÎÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÎÏ ÏÎ ÏÄÉÓÁÌ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÌÁÔÅÖÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÚÁÔÅÍÎÅÎÎÁÑ ÏÄÉÓØ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÓÈÅÍÅ ÏÄÉÓÉ RSA. ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÔÅÈ ÖÅ ÒÉÎ ÉÁÈ, ÞÔÏ É ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÁ RSA (ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 4). ðÏÄÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ, × ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÂÁÎË, ×ÙÂÉÒÁÅÔ Ä×Á ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÌÁ p É q ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ ÄÌÉÎÙ É ÕÂÌÉËÕÅÔ ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ N = pq. ðÕÓÔØ e É d, ÇÄÅ ed = 1 (mod '(N )), | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ É ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞÉ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ RSA. çÅÎÅÒÁ ÉÑ ÏÄÉÓÉ × ÓÈÅÍÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ RSA ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ m ÆÕÎË ÉÉ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ RSA: s = md mod N . äÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ ÏÄÉÓÉ ÎÕÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ Ë ÎÅÊ ÆÕÎË ÉÀ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. åÓÌÉ se = m (mod N ), ÔÏ s | ËÏÒÒÅËÔÎÁÑ ÏÄÉÓØ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m. éÔÁË, ÂÁÎË ×ÙÂÉÒÁÅÔ É ÕÂÌÉËÕÅÔ ÞÉÓÌÁ N É e, Á ÔÁËÖÅ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÀÀ ÆÕÎË ÉÀ f : ZN → ZN , ÎÁÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÁÎÅÔ ÑÓ-

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

63

ÎÏ ÉÚ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ. ðÁÒÁ ËÌÀÞÅÊ (e; d) ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÂÁÎËÏÍ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÂÁÎËÎÏÔ, Ô. Å. ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ, ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÎÁ ËÌÀÞÅ d, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÁÑ ÂÁÎËÎÏÔÁ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ, ÓËÁÖÅÍ, × 1 ÆÁÎÔÉË. ÷ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÓÎÑÔÉÑ ÓÏ ÓÞÅÔÁ ÏËÕÁÔÅÌØ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ n ∈ ZN É ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ f (n). åÍÕ ÎÕÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÄÉÓØ ÂÁÎËÁ ÎÁ ÜÔÏÊ ÂÁÎËÎÏÔÅ, Ô. Å. ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (n)d . îÏ ÒÏÓÔÏ ÏÓÌÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (n) ÂÁÎËÕ ÏËÕÁÔÅÌØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÓÎÑÔÉÑ ÄÅÎÅÇ ÓÏ ÓÞÅÔÁ ÏÎ ÄÏÌÖÅÎ ÉÄÅÎÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÓÅÂÑ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÂÁÎË ÏÌÕÞÁÅÔ f (n), ÏÎ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ×ÓÅÇÄÁ ÕÚÎÁÅÔ ÄÁÎÎÕÀ ÂÁÎËÎÏÔÕ É ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØ ÂÕÄÅÔ ÏÔÅÒÑÎÁ. òÅÛÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÚÁÔÅÍÎÅÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ: ÏËÕÁÔÅÌØ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ r ∈ ZN , r 6= 0, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ f (n)re mod N É ÏÓÙÌÁÅÔ ÜÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÂÁÎËÕ. íÎÏÖÉÔÅÌØ re ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÚÁÔÅÍÎÑÀÝÉÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ. âÁÎË ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (n)d · r mod N É ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÅÇÏ ÏËÕÁÔÅÌÀ. ðÏËÕÁÔÅÌØ ÌÅÇËÏ ÓÎÉÍÁÅÔ ÚÁÔÅÍÎÑÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ É ÏÌÕÞÁÅÔ ÏÄÉÓÁÎÎÕÀ ÂÁÎËÎÏÔÕ (n; f (n)d mod N ). ÷ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÌÁÔÅÖÁ ÏËÕÁÔÅÌØ ÅÒÅÄÁÅÔ ÒÏÄÁ× Õ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÕÀ ÂÁÎËÎÏÔÕ (n; f (n)d mod N ). ÷ ÒÉÎ ÉÅ, ÒÏÄÁ×Å ÍÏÖÅÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÏÄÌÉÎÎÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÂÁÎËÎÏÔÙ (n; s) ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ f (n) É ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ f (n) = se (mod N ). îÏ ÄÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ ÂÁÎËÎÏÔÙ, ËÁË É ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ × ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÌÅÇËÏ ËÏÉÒÏ×ÁÔØ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÞÅÓÔÎÙÊ ÏËÕÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÚÁÌÁÔÉÔØ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÂÁÎËÎÏÔÏÊ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ. äÌÑ ÒÅÄÏÔ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÏÇÏ ÚÌÏÕÏÔÒÅÂÌÅÎÉÑ ÒÏÄÁ×Å ÅÒÅÄÁÅÔ ÂÁÎËÎÏÔÕ ÎÁ ÒÏ×ÅÒËÕ ÂÁÎËÕ. âÁÎË ÒÏ×ÅÒÑÅÔ Ï ÓÅ ÉÁÌØÎÏÍÕ ÒÅÇÉÓÔÒÕ, ÎÅ ÂÙÌÁ ÌÉ ÜÔÁ ÂÁÎËÎÏÔÁ ÏÔÒÁÞÅÎÁ ÒÁÎÅÅ, É ÅÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ ÚÁÞÉÓÌÑÅÔ 1 ÆÁÎÔÉË ÎÁ ÓÞÅÔ ÒÏÄÁ× Á É Õ×ÅÄÏÍÌÑÅÔ ÅÇÏ ÏÂ ÜÔÏÍ. âÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÂÁÎËÁ × ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÌÁÔÅÖÅÊ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ×ÅÒÅ × ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÓÈÅÍÙ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ RSA. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ f × ÜÔÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ××ÉÄÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÓÈÅÍÙ RSA: ÅÓÌÉ s1 É s2 | ÏÄÉÓÉ ÄÌÑ m1 É m2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏ s1 s2 = md1 md2 mod N | ÏÄÉÓØ ÄÌÑ m1 m2 . ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÂÙ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÌÁÔÅÖÅÊ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÂÁÎËÎÏÔÙ ×ÉÄÁ (n; nd mod N ), ÔÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÏÄÌÉÎÎÙÈ ÂÁÎËÎÏÔ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÚÇÏÔÏ×ÉÔØ ÔÒÅÔØÀ. îÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØ ËÌÉÅÎÔÏ× × ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁ. ÷ÓÅ, ÞÔÏ ÏÓÔÁÅÔÓÑ Õ ÂÁÎËÁ ÏÔ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÓÎÑÔÉÑ ÓÏ ÓÞÅÔÁ, | ÜÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (n)d · r mod N , ËÏÔÏÒÏÅ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÚÁÔÅÍÎÑÀÝÅÍÕ ÍÎÏÖÉÔÅÌÀ r ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÒÏÓÔÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ZN . ðÏÜÔÏÍÕ Õ ÂÁÎËÁ ÎÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÔÏÍ, ËÁËÕÀ ÉÍÅÎÎÏ ÂÁÎËÎÏÔÕ ÏÎ ×ÙÄÁÌ ÄÁÎÎÏÍÕ ËÌÉÅÎÔÕ.

64

çÌÁ×Á 3

÷ ÜÔÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ÂÁÎË ×ÙÄÁÅÔ ÂÁÎËÎÏÔÙ ÔÏÌØËÏ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ × 1 ÆÁÎÔÉË É ×ÓÅ ÌÁÔÅÖÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ËÒÁÔÎÙ ÜÔÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ É ÂÏÌÅÅ ÇÉÂËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÌÁÔÅÖÅÊ ÉÚ ÒÁÂÏÔÙ ûÁÕÍÁ [9℄. úÄÅÓØ ÕÍÅÓÔÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÏÎÑÔÉÅÍ ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔÉ, ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÍÉ ÄÅÎØÇÁÍÉ É ÓÏ ÓÈÅÍÁÍÉ ÚÁÔÅÍÎÅÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÜÔÏÍÕ ÇÏÌÌÁÎÄÓËÏÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ. óÉÓÔÅÍÁ ÉÚ ÒÁÂÏÔÙ [9℄ ÔÁËÖÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÓÈÅÍÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ RSA. äÏÕÓËÁÑ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ×ÏÌØÎÏÓÔØ × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ n1=t mod N ×ÍÅÓÔÏ nd mod N , ÇÄÅ dt = 1 (mod '(N )), É ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÜÔÕ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ËÏÒÎÅÍ t-ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ n. ëÁË É ×ÙÛÅ, f : ZN → ZN | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ, ËÏÔÏÒÕÀ ×ÙÂÉÒÁÅÔ É ÕÂÌÉËÕÅÔ ÂÁÎË. õÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÅ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÍÕ ËÏÒÎÀ ÓÔÅÅÎÉ, ÒÁ×ÎÏÊ i-ÍÕ ÎÅÞÅÔÎÏÍÕ ÒÏÓÔÏÍÕ ÞÉÓÌÕ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÏÍÉÎÁÌ × 2i−1 ÆÁÎÔÉËÏ×. . Å. ÒÅÄßÑ×ÉÔÅÌØ ÁÒÙ (n; f (n)1=3 mod N ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÌÁÄÅÌØ ÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÂÁÎËÎÏÔÙ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ × 1 ÆÁÎÔÉË. åÓÌÉ × ÜÔÏÊ ÁÒÅ ×ÍÅÓÔÏ ËÏÒÎÑ ËÕÂÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ËÏÒÅÎØ 7-ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÔÏ ÂÁÎËÎÏÔÁ ÉÍÅÅÔ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×Ï 4 ÆÁÎÔÉËÁ, Á ÅÓÌÉ 21-ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ | ÔÏ 5 ÆÁÎÔÉËÏ×. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÄÌÑ ÂÁÎËÎÏÔÙ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ S ÆÁÎÔÉËÏ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍ ËÏÒÅÎØ ÓÔÅÅÎÉ, ÒÁ×ÎÏÊ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ×ÓÅÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÅÄÉÎÉ ÁÍ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ S . ÷ÓÅ ÂÁÎËÎÏÔÙ, ×ÙÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÂÁÎËÏÍ, ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×Ï. äÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÂÕÄÅÍ, ËÁË É × [9℄, ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÒÁ×ÎÏ 15 ÆÁÎÔÉËÁÍ. ÏÇÄÁ ÏÄÉÓØ ÂÁÎËÁ ÎÁ ÂÁÎËÎÏÔÅ, ÜÔÏ | ËÏÒÅÎØ h-ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÇÄÅ h = 3 · 5 · 7 · 11. äÌÑ ÜÔÏÊ ÓÈÅÍÙ ÎÕÖÅÎ ÔÁËÖÅ ÅÝÅ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ RSA N1 , ËÏÔÏÒÙÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ × ÒÁÂÏÔÅ Ó ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ËÏÉÌËÏÊ (ÓÍ. ÎÉÖÅ). üÔÏÔ ÍÏÄÕÌØ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ É ÕÂÌÉËÕÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁË É ÍÏÄÕÌØ N . ÒÁÎÚÁË ÉÑ ÓÎÑÔÉÑ ÓÏ ÓÞÅÔÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁË ÏÉÓÁÎÏ ×ÙÛÅ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏËÕÁÔÅÌØ ÏÌÕÞÁÅÔ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÕÀ ÂÁÎËÎÏÔÕ (n1 ; f (n1 )1=h mod N ). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÏËÕÁÔÅÌØ ÖÅÌÁÅÔ ÚÁÌÁÔÉÔØ ÒÏÄÁ× Õ 5 ÆÁÎÔÉËÏ×. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÎ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ f (n1 )1=3·7 mod N , ÒÏÓÔÏ ×ÏÚ×ÏÄÑ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÂÁÎËÎÏÔÕ × 55-ÕÀ ÓÔÅÅÎØ, É ÓÏÚÄÁÅÔ ËÏÉÌËÕ, ×ÙÂÉÒÁÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ j É ×ÙÞÉÓÌÑÑ f (j )s51·11 mod N1 . úÄÅÓØ ÏÑÔØ s15·11 | ÚÁÔÅÍÎÑÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ. ÒÁÎÚÁË ÉÑ ÌÁÔÅÖÁ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÅÒÅÓÙÌËÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n1 ; f (n1 )1=3·7 mod N , f (j )s15·11 mod N1 , Á ÔÁËÖÅ ÓÕÍÍÙ ÌÁÔÅÖÁ (5 ÆÁÎÔÉËÏ×) ÒÏÄÁ× Õ. ðÒÏÄÁ×Å , × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÅÒÅÄÁÅÔ ×ÓÀ ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÂÁÎËÕ. âÁÎË ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ, ÞÔÏ ÁÒÁ (n1 ; f (n1)1=3·7 ) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÄÌÉÎÎÕÀ ÂÁÎËÎÏÔÕ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ 5 ÆÁÎÔÉËÏ×. ïÎ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ Ï ÓÅ ÉÁÌØÎÏÍÕ ÒÅÇÉÓÔÒÕ, ÎÅ ÂÙÌÁ ÌÉ ÂÁÎËÎÏÔÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ n1 ÏÔÒÁÞÅÎÁ ÒÁÎÅÅ. åÓÌÉ ÎÅÔ, ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔ × ÒÅÇÉÓÔÒ ×ÎÏ×Ø ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÂÁÎËÎÏÔÕ, Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔ ÓÞÅÔ ÒÏÄÁ× Á ÎÁ 5 ÆÁÎÔÉËÏ× É ÏÓÙÌÁ-

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

65

ÅÔ ÒÏÄÁ× Õ Õ×ÅÄÏÍÌÅÎÉÅ Ï ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÉ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÌÁÔÅÖÁ, Á ÔÁËÖÅ ÓÄÁÞÕ (10 ÆÁÎÔÉËÏ×) ÏËÕÁÔÅÌÀ, ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÍÕÀ ÞÅÒÅÚ ËÏÉÌËÕ: f (j )1=5·11 s1 mod N1 . ÷ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÄÅÏÚÉÔÁ ÏËÕÁÔÅÌØ ÏÓÙÌÁÅÔ ÂÁÎËÕ ËÏÉÌËÕ (j; f (j )1=5·11 ). âÁÎË ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÅÅ ÔÁËÉÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁË É ÂÁÎËÎÏÔÕ × ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÌÁÔÅÖÁ, É ÅÓÌÉ ËÏÉÌËÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ j ÏÄÌÉÎÎÁÑ É ÒÁÎÅÅ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ × ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÄÅÏÚÉÔÁ, ÔÏ ÚÁÞÉÓÌÑÅÔ ÓÕÍÍÕ 10 ÆÁÎÔÉËÏ× ÎÁ ÓÞÅÔ ÏËÕÁÔÅÌÑ. åÓÌÉ ×ÓÅ ÌÁÔÅÖÉ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÍÙÅ ÏËÕÁÔÅÌÑÍÉ, ÄÅÌÁÀÔÓÑ ÎÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÕÍÍÕ (15 ÆÁÎÔÉËÏ×), ÔÏ ÓÈÅÍÁ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÕÀ (ÉÌÉ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÕÀ) ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØ ÏËÕÁÔÅÌÑ: ×ÙÄÁ×ÁÑ ÚÁÔÅÍÎÅÎÎÕÀ ÏÄÉÓØ, ÂÁÎË ÎÅ ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÎÏÍÅÒÅ ÏÄÉÓÙ×ÁÅÍÏÊ ÂÁÎËÎÏÔÙ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÄÅÏÚÉÔÁ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÏÔ ÂÁÎËÁ ÓÄÁÞÉ ÎÁÒÕÛÁÅÔ ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØ: ÂÁÎË ÚÁÏÍÉÎÁÅÔ ×ÓÅ ÌÁÔÅÖÉ, Á ÚÎÁÞÉÔ, É ×ÓÅ ÓÄÁÞÉ, É ÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÄÅÏÚÉÔÁ ÍÏÖÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÌÉÅÎÔÁ, ÅÓÌÉ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ×ÙÏÌÎÉÌ ÌÁÔÅÖ ÎÁ ÕÎÉËÁÌØÎÕÀ ÉÌÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÄËÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÕÀÓÑ ÓÕÍÍÕ. üÔÁ ÒÏÂÌÅÍÁ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÁ ÚÁ ÓÞÅÔ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ËÏÉÌËÉ × ÔÒÁÎÚÁË ÉÑÈ ÌÁÔÅÖÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏËÕÁÔÅÌØ ÏÌÕÞÉÌ × ÂÁÎËÅ ×ÔÏÒÕÀ ÂÁÎËÎÏÔÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ n2 É ÖÅÌÁÅÔ ÚÁÌÁÔÉÔØ ÔÏÍÕ ÖÅ ÉÌÉ ÄÒÕÇÏÍÕ ÒÏÄÁ× Õ ÓÕÍÍÕ × 3 ÆÁÎÔÉËÁ. ÏÇÄÁ × ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÌÁÔÅÖÁ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÏÉÌËÕ ÓÏ ÓÄÁÞÅÊ, ÏÓÔÁ×ÛÅÊÓÑ ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÌÁÔÅÖÁ, É ÏÓÌÁÔØ ÒÏÄÁ× Õ n2 , f (n2 )1=3·5 mod N , f (j )1=5·11 s27·11 mod N1 . ðÌÁÔÅÖ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁË ÂÙÌÏ ÏÉÓÁÎÏ ×ÙÛÅ, É × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏËÕÁÔÅÌØ ÏÌÕÞÉÔ ËÏÉÌËÕ f (j )1=5·11·7·11 mod N1. ÷ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÄÅÏÚÉÔÁ ÏËÕÁÔÅÌØ ËÌÁÄÅÔ ÎÁËÏÌÅÎÎÕÀ × ËÏÉÌËÅ ÓÕÍÍÕ ÎÁ Ó×ÏÊ ÓÞÅÔ × ÂÁÎËÅ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÎ ÏÓÙÌÁÅÔ ÂÁÎËÕ ÚÎÁÞÅÎÉÑ j , f (j )1=5·7·11·11 mod N1 É ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÕÍÍÕ. âÁÎË ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ËÏÉÌËÕ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÂÁÎËÎÏÔÕ, Ô. Å. ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÎÁÌÉÞÉÅ ×ÓÅÈ ËÏÒÎÅÊ Ó ÏÂßÑ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÏËÕÁÔÅÌÅÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÑÍÉ, Á ÔÁËÖÅ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ, ÞÔÏ ËÏÉÌËÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ j ÎÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ ÒÁÎÅÅ ÎÉ × ÏÄÎÏÊ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÄÅÏÚÉÔÁ. ðÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÂÁÎË ÚÁÞÉÓÌÑÅÔ ÓÕÍÍÕ, ÎÁÈÏÄÑÝÕÀÓÑ × ËÏÉÌËÅ, ÎÁ ÓÞÅÔ ÏËÕÁÔÅÌÑ. åÓÌÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÌÉÅÎÔÏ× × ÌÁÔÅÖÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÅÌÉËÏ É ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ × ÔÒÁÎÚÁË ÉÑÈ ÌÁÔÅÖÁ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ËÏÉÌËÕ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÁËÁÌÉ×ÁÅÍÁÑ × ÎÅÊ ÓÕÍÍÁ ÎÅ ÒÅ×ÙÓÉÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÒÅÄÅÌ (ÓËÁÖÅÍ, 100 ÆÁÎÔÉËÏ×), Á ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÓÒÁÚÕ ÖÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÄÅÏÚÉÔ, ÔÏ ÛÁÎÓÙ ÂÁÎËÁ ÏÔÓÌÅÄÉÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ËÏÇÏ-ÌÉÂÏ ÉÚ ËÌÉÅÎÔÏ× ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÉÞÔÏÖÎÙÍÉ. ïÂÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÕ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÅÎÔÒÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÏÔÌÉÞÉÔÅÌØÎÁÑ ÞÅÒÔÁ ËÏÔÏÒÙÈ | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÕÞÁÓÔÉÑ ÂÁÎËÁ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÒÁÎÚÁË ÉÑÈ ÌÁÔÅÖÁ. ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ

66

çÌÁ×Á 3

ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÒÉ×ÌÅËÁÔÅÌØÎÅÅ ×ÙÇÌÑÄÑÔ Á×ÔÏÎÏÍÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÌÁÔÅÖÅÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÄÁ×Å ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ, ÂÅÚ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ Ë ÂÁÎËÕ, ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÏÄÌÉÎÎÏÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÏÔ ÏËÕÁÔÅÌÑ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÄÅÎÅÇ. ðÏÓÌÅÄÎÉÅ, ÞÔÏÂÙ ÏÔÌÉÞÉÔØ Á×ÔÏÎÏÍÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÔ ÅÎÔÒÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÍÏÎÅÔÏÊ (ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÏÊ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ ÚÄÅÓØ ÎÅÔ). ëÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ ×ÙÛÅ, ÂÅÚ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ Ë ÂÁÎËÕ × ËÁÖÄÏÊ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÌÁÔÅÖÁ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÒÅÄÏÔ×ÒÁÔÉÔØ Ï×ÔÏÒÎÕÀ ÔÒÁÔÕ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÍÏÎÅÔÙ. ÷ÍÅÓÔÏ ÜÔÏÇÏ Á×ÔÏÎÏÍÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÔ ÉÄÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÀ ÎÁÒÕÛÉÔÅÌÑ post fa tum. ëÏÎÓÔÒÕË ÉÉ Á×ÔÏÎÏÍÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÌÁÔÅÖÅÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÌÏÖÎÙ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [10℄, [11℄), ÏÜÔÏÍÕ ÚÄÅÓØ ÍÙ ÏÉÓÙ×ÁÅÍ ÌÉÛØ ÉÈ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÉÄÅÀ, ÄÁ É ÔÏ × ÓÁÍÙÈ ÏÂÝÉÈ ÞÅÒÔÁÈ. îÁÛÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÓÈÅÍÙ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ûÎÏÒÒÁ, ÎÏ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ É ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÕÀ ×ÓÅÍÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ëÁÖÄÙÊ ËÌÉÅÎÔ ÂÁÎËÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ x, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÉÄÅÎÔÉÆÉËÁÔÏÒ ÜÔÏÇÏ ËÌÉÅÎÔÁ, É ÚÁÔÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ y = gx mod p. ÷ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÓÎÑÔÉÑ ÓÏ ÓÞÅÔÁ ËÌÉÅÎÔ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ k É ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ r = gk mod p. üÌÅËÔÒÏÎÎÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ y É r, É ÏÄÉÓÉ ÂÁÎËÁ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÒÕÄÎÏÓÔØ ÚÄÅÓØ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÂÁÎË ÄÏÌÖÅÎ ÏÄÉÓÁÔØ ÍÏÎÅÔÕ ÚÁÔÅÍÎÅÎÎÏÊ ÏÄÉÓØÀ, ÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÏÎÅÔÁ ÉÍÅÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ. ïÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÙÊ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÎÁÊÔÉ × ÒÁÂÏÔÅ ñËÏÂÉ [10℄. ÷ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÌÁÔÅÖÁ ÒÏÄÁ×Å ÓÎÁÞÁÌÁ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÏÄÉÓØ ÂÁÎËÁ, É, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ËÏÒÒÅËÔÎÁ, ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÚÁÒÏÓ e, ËÁË × ÓÈÅÍÅ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ûÎÏÒÒÁ, É ÏÓÙÌÁÅÔ e ÏËÕÁÔÅÌÀ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ s = (k + ex) mod q É ÏÓÙÌÁÅÔ s ÒÏÄÁ× Õ. ðÒÏÄÁ×Å ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÏÔ×ÅÔÁ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ r É y, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÍÏÎÅÔÅ. ÷ ÔÒÁÎÚÁË ÉÉ ÄÅÏÚÉÔÁ ÒÏÄÁ×Å ÏÓÙÌÁÅÔ ÂÁÎËÕ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÕÀ ÍÏÎÅÔÕ, Á ÔÁËÖÅ e É s. åÓÌÉ ÂÁÎË ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÕÖÅ ÂÙÌÁ ÏÔÒÁÞÅÎÁ ÒÁÎÅÅ, ÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÁÒÙ (e; s) É (e′ ; s′ ), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ × ÓÈÅÍÅ ûÎÏÒÒÁ ÒÉ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ y É r. ëÁË ÂÙÌÏ ÏËÁÚÁÎÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ, ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÂÁÎË ÓÍÏÇ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ x, Á ÚÎÁÞÉÔ, É ÉÄÅÎÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁÒÕÛÉÔÅÌÑ. úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï Á×ÔÏÎÏÍÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÌÁÔÅÖÅÊ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ, Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÔ ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØ ÞÅÓÔÎÙÈ ËÌÉÅÎÔÏ×, Á Ó ÄÒÕÇÏÊ | ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÉÄÅÎÔÉ-

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

67

ÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁÒÕÛÉÔÅÌÅÊ. îÏ × ÔÁËÉÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ ÂÁÎË ÉÄÅÔ ÎÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÒÉÓË, ÏÓËÏÌØËÕ × ÍÏÍÅÎÔ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÉÑ Ï×ÔÏÒÎÏÊ ÔÒÁÔÙ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÍÏÎÅÔÙ ÎÁ ÓÞÅÔÕ ÎÁÒÕÛÉÔÅÌÑ ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÓÕÍÍÙ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ÏËÒÙÔÉÑ ÅÒÅÒÁÓÈÏÄÁ. îÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ ÜÔÁ ÒÏÂÌÅÍÁ ÏÂÓÕÖÄÁÅÔÓÑ × [12℄. ÷ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å Á×ÔÏÎÏÍÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ ÍÏÎÅÔÙ ÍÏÇÕÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÌÉÛØ × ÏÄÎÏÍ ÌÁÔÅÖÅ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÄÅÏÚÉÔ. åÓÌÉ ÍÏÎÅÔÁ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÌÁÔÅÖÁÈ, ÂÅÚ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÄÅÏÚÉÔÏ×, ÔÏ ÔÁËÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÒÅ×ÏÄÉÍÏÊ. åÓÌÉ ÂÙ ÅÒÅ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÏÎÅÔÙ ÍÏÇÌÉ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ × ÏÂÒÁÝÅÎÉÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏÌÇÏ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÂÅÓÅÞÉÌÏ ÂÙ ÒÁËÔÉÞÅÓËÕÀ ÎÅÏÔÓÌÅÖÉ×ÁÅÍÏÓÔØ ËÌÉÅÎÔÏ×. îÏ Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÓÔÁÌÏ ÂÙ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÅÅ ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÔØ Ï×ÔÏÒÎÙÅ ÔÒÁÔÙ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÍÏÎÅÔÙ. åÝÅ ÏÄÉÎ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏË × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÉÎÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÍÏÊ ÍÏÎÅÔÙ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ Ó ËÁÖÄÙÍ ÅÅ ÅÒÅ×ÏÄÏÍ ÏÔ ËÌÉÅÎÔÁ Ë ËÌÉÅÎÔÕ. ó ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÜÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÏÎÅÔÁ ÄÏÌÖÎÁ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÕÀ ÂÁÎËÕ ÉÄÅÎÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁÒÕÛÉÔÅÌÑ, ÏÔÒÁÔÉ×ÛÅÇÏ ÍÏÎÅÔÕ Ä×ÁÖÄÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÁÖÄÙÊ ËÌÉÅÎÔ, ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÏÈÏÄÉÔ ÍÏÎÅÔÁ, ÄÏÌÖÅÎ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÎÁ ÎÅÊ Ó×ÏÉ ÏÔÅÞÁÔËÉ ÁÌØ Å×. ûÁÕÍ É ðÅÄÅÒÓÅÎ [13℄ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÅ ÄÌÉÎÙ ÅÒÅ×ÏÄÉÍÏÊ ÍÏÎÅÔÙ É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÎÅÉÚÂÅÖÎÏ. 4. ðÒÏÔÏËÏÌÙ ÔÉÁ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÅ ÍÏÎÅÔÙ Ï ÔÅÌÅÆÏÎÕ \| èÏÒÏÛÏ, ÄÁÊÔÅ ÖÅ ÓÀÄÁ ÄÅÎØÇÉ. | îÁ ÞÔÏ-Ö ÄÅÎØÇÉ? õ ÍÅÎÑ ×ÏÔ ÏÎÉ × ÒÕËÅ! ëÁË ÔÏÌØËÏ ÎÁÉÛÅÔÅ ÒÁÓÉÓËÕ, × ÔÕ ÖÅ ÍÉÎÕÔÕ ÉÈ ×ÏÚØÍÅÔÅ. | äÁ ÏÚ×ÏÌØÔÅ, ËÁË ÖÅ ÍÎÅ ÉÓÁÔØ ÒÁÓÉÓËÕ? ðÒÅÖÄÅ ÎÕÖÎÏ ×ÉÄÅÔØ ÄÅÎØÇÉ. þÉÞÉËÏ× ×ÙÕÓÔÉÌ ÉÚ ÒÕË ÂÕÍÁÖËÉ óÏÂÁËÅ×ÉÞÕ, ËÏÔÏÒÙÊ, ÒÉÂÌÉÚÉ×ÛÉÓØ Ë ÓÔÏÌÕ É ÎÁËÒÙ×ÛÉ ÉÈ ÁÌØ ÁÍÉ ÌÅ×ÏÊ ÒÕËÉ, ÄÒÕÇÏÀ ÎÁÉÓÁÌ ÎÁ ÌÏÓËÕÔËÅ ÂÕÍÁÇÉ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÔÏË Ä×ÁÄ ÁÔØ ÑÔØ ÒÕÂÌÅÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÁÓÓÉÇÎÁ ÉÑÍÉ ÚÁ ÒÏÄÁÎÎÙÅ ÄÕÛÉ ÏÌÕÞÅÎ ÓÏÌÎÁ."

î. ÷. çÏÇÏÌØ. íÅÒÔ×ÙÅ ÄÕÛÉ, ÇÌÁ×Á 5. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ËÒÁÔËÏ ÏÂÓÕÄÉÍ ÔÅ ÔÉÙ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×, × ËÏÔÏÒÙÈ Ä×Á ÕÞÁÓÔÎÉËÁ ÄÏÌÖÎÙ ÏÂÍÅÎÑÔØÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ. îÏ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ÎÅ ÄÏ×ÅÒÑÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ É ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏÂÍÁÎÝÉËÏÍ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× Ï

68

çÌÁ×Á 3

ÎÅÏÓÔÏÒÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÕÓÔÉÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÉÚ ÒÕË ÒÅÖÄÅ×ÒÅÍÅÎÎÏ, ÔÏ × ÏÂÍÅÎ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÔÏ, Ï ÞÅÍ ÄÏÇÏ×ÁÒÉ×ÁÌÉÓØ, ÉÌÉ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔØ ÎÉÞÅÇÏ: ÒÏÂÌÅÍÙ ÚÄÅÓØ ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ É × ÒÏÔÏËÏÌÅ ÏÂÍÅÎÁ ÒÁÓÉÓËÉ ÎÁ ÁÓÓÉÇÎÁ ÉÉ Õ þÉÞÉËÏ×Á É óÏÂÁËÅ×ÉÞÁ. éÚ ×ÓÅÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÉÁ, ÏÖÁÌÕÊ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÎÁÇÌÑÄÎÙÍ, É Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÙÍ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÔÏËÏÌ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ Ä×ÕÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ, áÌÉÓÅ É âÏÂÕ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÂÒÏÓÉÔØ ÖÒÅÂÉÊ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÏÂÁ ÆÉÚÉÞÅÓËÉ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÍÅÓÔÅ, ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÂÙÞÎÏÊ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ. åÓÌÉ ËÔÏ-ÌÉÂÏ ÉÚ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÎÅ ÄÏ×ÅÒÑÅÔ ÍÏÎÅÔÅ, ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÒÕÇÉÅ ÉÓÔÏÞÎÉËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ. ðÒÁ×ÄÁ, ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÎÁÄÅÖÎÙÈ ÉÓÔÏÞÎÉËÏ× ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ | ×ÅÓØÍÁ ÎÅÒÏÓÔÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ÎÏ ÏÎÁ ÕÖÅ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÅ, Á ÎÅ Ë ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. åÓÌÉ ÖÅ áÌÉÓÁ É âÏÂ ÕÄÁÌÅÎÙ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ É ÍÏÇÕÔ ÏÂÝÁÔØÓÑ ÌÉÛØ Ï ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ, ÔÏ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÖÒÅÂÉÉ, ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ, ËÁÖÅÔÓÑ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÊ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ, ÓÌÅÄÕÑ ÏÂÙÞÎÏÊ ÒÏ ÅÄÕÒÅ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ, ÅÒ×ÙÊ ÈÏÄ ÄÅÌÁÅÔ áÌÉÓÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× | ÏÒÅÌ ÉÌÉ ÒÅÛËÁ, ÔÏ âÏÂ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÅÔ ÏÂßÑ×ÉÔØ ÔÏÔ ÉÓÈÏÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÅÍÕ ×ÙÇÏÄÅÎ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÂÙÌÁ ÒÅÛÅÎÁ âÌÀÍÏÍ [14℄. ìÀÂÏÙÔÎÏ, ÞÔÏ ÄÁÖÅ × ÚÁÇÏÌÏ×ËÅ Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÙ âÌÀÍ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÊ ÉÍ ÍÅÔÏÄ ËÁË ÍÅÔÏÄ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÒÅÛÁÅÍÙÈ ÚÁÄÁÞ. ìÅÇËÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÖÒÅÂÉÉ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÄÅÖÎÙÊ ÁÇÅÎÔ | ÔÒÅÔØÑ ÓÔÏÒÏÎÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ ÄÏ×ÅÒÉÅÍ É áÌÉÓÙ, É âÏÂÁ, É ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ (ÚÁËÒÙÔÙÅ) ËÁÎÁÌÙ Ó×ÑÚÉ Ó ÏÂÏÉÍÉ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ âÏÂ É áÌÉÓÁ ×ÙÂÉÒÁÀÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÂÉÔÙ b É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ É ÏÓÙÌÁÀÔ ÉÈ × ÔÁÊÎÅ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÁÇÅÎÔÕ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÖÄÅÔ, ÏËÁ ÎÅ ÏÓÔÕÑÔ ÏÂÁ ÂÉÔÁ, É ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÕÂÌÉËÕÅÔ b, É d = b ⊕ | ÉÓÈÏÄ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ. ÷ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÎÁÄÅÖÎÏÇÏ ÁÇÅÎÔÁ ÓÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ ÉÄÅÑ, ËÏÔÏÒÕÀ ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÏÎÑÔØ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÉÚÉÞÅÓËÏÊ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ. âÏÂ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÂÉÔ b, ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔ ÅÇÏ ÎÁ ÌÉÓÔÅ ÂÕÍÁÇÉ, ÚÁÉÒÁÅÔ ÜÔÏÔ ÌÉÓÔ × ÑÝÉËÅ, ÏÓÔÁ×ÌÑÑ ËÌÀÞ ÏÔ ÚÁÍËÁ Õ ÓÅÂÑ, É ÏÓÙÌÁÅÔ ÑÝÉË áÌÉÓÅ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ, ÎÅ ÉÍÅÑ ËÌÀÞÁ, áÌÉÓÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÄÏÂÒÁÔØÓÑ ÄÏ ÓÏÄÅÒÖÉÍÏÇÏ ÑÝÉËÁ. ðÏÌÕÞÉ× ÑÝÉË, áÌÉÓÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÂÉÔ É ÏÓÙÌÁÅÔ ÅÇÏ âÏÂÕ. ÷ ÏÔ×ÅÔ âÏÂ ÏÓÙÌÁÅÔ áÌÉÓÅ ËÌÀÞ ÏÔ ÑÝÉËÁ. éÓÈÏÄÏÍ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ ÂÕÄÅÔ ÏÑÔØ-ÔÁËÉ ÂÉÔ d = b ⊕ . îÉÖÅ ÍÙ ÉÚÌÁÇÁÅÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÀ ÔÏÊ ÖÅ ÉÄÅÉ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÕÀ ÎÁ ÚÁÄÁÞÅ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, É ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÚ ÒÁÚÄÅÌÁ 2.

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

69

ðÒÏÔÏËÏÌ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ

1. áÌÉÓÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ x ÉÚ Zq , ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ y = gx mod p É ÏÓÙÌÁÅÔ y âÏÂÕ. 2. âÏÂ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÂÉÔ b, ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ k ÉÚ Zq , ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ r = yb gk mod p É ÏÓÙÌÁÅÔ r áÌÉÓÅ. 3. áÌÉÓÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÂÉÔ É ÏÓÙÌÁÅÔ ÅÇÏ âÏÂÕ. 4. âÏÂ ÏÓÙÌÁÅÔ áÌÉÓÅ b É k. 5. áÌÉÓÁ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÌÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ r = yb gk (mod p). åÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÂÕÄÅÔ ÂÉÔ d = b ⊕ . úÎÁÞÅÎÉÅ r | ÜÔÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÏÇ ÔÏÇÏ ÑÝÉËÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÛÌÁ ÒÅÞØ × ÏÉÓÁÎÉÉ ÆÉÚÉÞÅÓËÏÊ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÑ r áÌÉÓÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÚ×ÌÅÞØ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÂÉÔÅ b. ðÏÓËÏÌØËÕ k ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÚ Zq , ÚÎÁÞÅÎÉÅ r × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ÒÉ b = 0 É b = 1, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÇÒÕÙ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ g, É ÏÜÔÏÍÕ ÎÅ ÎÅÓÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÂÉÔÁ b (ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, áÌÉÓÁ ÍÏÖÅÔ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÂÍÁÎÙ×ÁÔØ, ×ÙÂÉÒÁÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ y, ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÅ ÇÒÕÅ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ g; ÏÄÎÁËÏ âÏÂ ÌÅÇËÏ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔ ÔÁËÏÊ ÏÂÍÁÎ, ÒÏ×ÅÒÑÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ yq = 1 (mod p)). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, âÏÂ ÍÏÖÅÔ ÏÂÍÁÎÙ×ÁÔØ, Ô. Å. ÏÔËÒÙ×ÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÂÉÔÁ b Ï Ó×ÏÅÍÕ ÖÅÌÁÎÉÀ É ËÁË 0, É ËÁË 1, ÎÏ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÕÍÅÅÔ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÙ. üÔÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ, ËÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ ×ÙÛÅ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ r ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÇÒÕÅ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ g, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ∈ Zq ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ r = g (mod p). äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÔËÒÙÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ b = 0, âÏÂ ÄÏÌÖÅÎ ÏÓÌÁÔØ áÌÉÓÅ ÎÁ ÛÁÇÅ 4 ÞÉÓÌÏ , Á ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÔËÒÙÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ b = 1, | ÞÉÓÌÏ k = ( − x) mod q. ïÔÓÀÄÁ x = ( − k) mod q. ðÕÓÔØ M | ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ, ËÏÔÏÒÕÀ âÏÂ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÄÌÑ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ÏÂÍÁÎÁ. ÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÕÄÅÔ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÙ. 1. ðÅÒÅÄÁÅÍ ×ÈÏÄÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ y ÍÁÛÉÎÅ M . 2. ðÏÌÕÞÉ× × ÏÔ×ÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ r, ÚÁÏÍÉÎÁÅÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÁÛÉÎÙ M . 3. ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÂÉÔ É ÅÒÅÄÁÅÍ ÅÇÏ M . 4. ðÏÌÕÞÉ× ÏÔ M ÚÎÁÞÅÎÉÑ b É k, ÚÁÏÍÉÎÁÅÍ ÜÔÉ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÍ ÒÁÎÅÅ ÚÁÏÍÎÅÎÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÁÛÉÎÙ M É ÅÒÅÈÏÄÉÍ ÎÁ ÛÁÇ 3.

70

çÌÁ×Á 3

5. ëÁË ÔÏÌØËÏ ÓÒÅÄÉ ÁÒ (b; k) ÎÁÊÄÕÔÓÑ (0; k1 ) É (1; k2 ), ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ x = (k1 − k2 ) mod q | ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÌÏÇÁÒÉÆÍ ×ÅÌÉÞÉÎÙ y. îÁ ÏÓÎÏ×Å ÜÔÉÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ: × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÒÏÔÏËÏÌ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÊËÉÍ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÅÓØÍÁ ÓÌÁÂÏÊ ÆÏÒÍÙ ÜÔÏÇÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ áÌÉÓÁ ÍÏÖÅÔ ÒÅËÒÁÔÉÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÁ, ÅÓÌÉ Ó ÍÏÍÅÎÔÁ ÅÒÅÄÁÞÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y âÏÂÕ ÄÏ ÍÏÍÅÎÔÁ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÔ ÎÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ b É k ÒÏÈÏÄÉÔ ÂÏÌÅÅ, ÓËÁÖÅÍ, 30 ÓÅËÕÎÄ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÁ ÚÁ ÔÁËÏÅ ×ÒÅÍÑ. åÓÌÉ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ ×ÙÞÌÅÎÉÔØ ÛÁÇÉ 1, 2 É 4, ÔÏ ÏÌÕÞÉÍ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÒÏÔÏËÏÌ ÒÉ×ÑÚËÉ Ë ÂÉÔÕ (bit ommitment). ûÁÇÉ 1 É 2 × ÔÁËÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜÔÁÏÍ ÒÉ×ÑÚËÉ, Á ÛÁÇ 4 | ÜÔÁÏÍ ÏÔËÒÙÔÉÑ ÂÉÔÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÅ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ r, × ËÏÔÏÒÏÅ ÕÁËÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÂÉÔ b, (ÁÎÁÌÏÇ ÑÝÉËÁ × ÆÉÚÉÞÅÓËÏÊ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ) ÏÂÙÞÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÔÅÒÍÉÎ ÂÌÏÂ (blob), ÄÌÑ áÌÉÓÙ | ÏÌÕÞÁÔÅÌØ, Á ÄÌÑ âÏÂÁ | ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌØ. çÏ×ÏÒÑ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ÏÔ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÒÉ×ÑÚËÉ Ë ÂÉÔÕ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÂÌÏÂÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ä×ÕÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ: 1) ÏÓÌÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÜÔÁÁ ÒÉ×ÑÚËÉ ÏÌÕÞÁÔÅÌØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÁËÏÊ ÂÉÔ ÕÁËÏ×ÁÎ × ÂÌÏÂ; 2) ÎÁ ÜÔÁÅ ÏÔËÒÙÔÉÑ ÂÉÔÁ ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏÔËÒÙÔØ ÌÀÂÏÊ ÂÌÏÂ ÌÉÂÏ ÔÏÌØËÏ ËÁË 0, ÌÉÂÏ ÔÏÌØËÏ ËÁË 1. ÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ 1) ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, Ô. Å. ×ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÉÍÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÒÅÓÕÒÓÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÌÕÞÁÔÅÌØ, ÏÎ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÕÚÎÁÔØ, ËÁËÏÊ ÂÉÔ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÂÌÏÂÅ. ÷ ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÒÏÔÏËÏÌ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÕÀ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌÑ. ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÏÌÕÞÁÔÅÌÑ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅÄÏËÁÚÁÎÎÏÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ Ï ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ÁËÁÑ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ÔÉÉÞÎÁ ÄÌÑ ÍÎÏÇÉÈ ÔÉÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×. ïÎÁ ÉÍÅÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ Ó ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ. îÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÄÒÕÇÏÊ ÔÉ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÒÉ×ÑÚËÉ Ë ÂÉÔÕ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÕÖÅ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÏÌÕÞÁÔÅÌÑ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÁ, Á ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌÑ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅÄÏËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑÈ. äÌÑ ÍÎÏÇÉÈ ÔÉÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× Ó ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ ÏÓÔÒÏÅÎÙ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ. ðÒÏÔÏËÏÌ ÒÉ×ÑÚËÉ Ë ÂÉÔÕ | ÏÄÉÎ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÔÉÏ× ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×. ïÎ ÎÁÈÏÄÉÔ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÉ-

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

71

ÍÅÎÅÎÉÑ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÏÓÏÂ Ï×ÙÛÅÎÉÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÇÏ × ÇÌÁ×Å 2 ÒÏÔÏËÏÌÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ éúïíïòæéúí çòáæï÷. ÷ ÜÔÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÅ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ | ÂÏÌØÛÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÕÎÄÏ×, ÒÁÓÔÕÝÅÅ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏ ÒÁÚÍÅÒÕ ÇÒÁÆÁ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÉÄÅÑ | ×ÙÏÌÎÉÔØ ×ÓÅ ÜÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÁÕÎÄÙ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ. îÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ P ×ÙÂÉÒÁÅÔ m ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË 1 ; : : : ; m , ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ H1 = 1 G1 ; : : : ; Hm = m G1 É ÏÓÙÌÁÅÔ ×ÓÅ ÜÔÉ m ÇÒÁÆÏ× V. îÁ ×ÔÏÒÏÍ ÛÁÇÅ V ×ÙÂÉÒÁÅÔ m ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÂÉÔÏ× 1 ; : : : ; m É ÏÓÙÌÁÅÔ ÉÈ P, Á ÎÁ ÔÒÅÔØÅÍ P ÆÏÒÍÉÒÕÅÔ ×ÓÅ m ÔÒÅÂÕÅÍÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË É ÏÓÙÌÁÅÔ ÉÈ V. îÏ ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÔÁËÏÊ ÒÏÔÏËÏÌ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ? ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÒÏÔÏËÏÌ ÔÒÅÈÒÁÕÎÄÏ×ÙÊ, Á ËÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÕÖÅ ÕÏÍÉÎÁ×ÛÉÊÓÑ × ÒÁÚÄÅÌÅ 2 ÒÅÚÕÌØÔÁÔ çÏÌØÄÒÁÊÈÁ É ëÒÁ×ÞÉËÁ, ÔÒÅÈÒÁÕÎÄÏ×ÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ÏÔ ÍÅÔÏÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÓÑ × ÇÌÁ×Å 2 ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÊ ÍÁÛÉÎÙ, ÓÒÁÂÁÔÙ×ÁÌ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ÍÏÇÌÁ ÕÇÁÄÁÔØ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÁÕÎÄÅ ÚÁÒÏÓ i ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ 1=2. ÷ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÍ ÖÅ ×ÁÒÉÁÎÔÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÕÇÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÒÁ×ÎÁ 1=2m, Ô. Å. ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔ Ó×ÏÉ ÚÁÒÏÓÙ 1 ; : : : ; m , ÕÖÅ ÏÌÕÞÉ× ÏÔ P ×ÓÅ ÇÒÁÆÙ H1 ; : : : ; Hm, É ÍÏÖÅÔ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÉÈ (ÚÁÒÏÓÙ) ÚÁ×ÉÓÑÝÉÍÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÌÏÖÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÔ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÇÒÁÆÏ×. üÔÏ ÔÁËÖÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÅÏÄÏÌÉÍÙÍ ÒÅÑÔÓÔ×ÉÅÍ ÒÉ ÏÙÔËÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÊ ÍÁÛÉÎÙ. úÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ 1 ; : : : ; m ÏÔ H1 ; : : : ; Hm ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÏÔ×ÒÁÔÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ V ×ÙÂÉÒÁÅÔ Ó×ÏÉ ÚÁÒÏÓÙ × ÓÁÍÏÍ ÎÁÞÁÌÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ, ÅÝÅ ÄÏ ÔÏÇÏ, ËÁË Õ×ÉÄÉÔ H1 ; : : : ; Hm . ëÁÖÄÙÊ ÂÉÔ i ÕÁËÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ × ÂÌÏÂ ri , É V ÏÓÙÌÁÅÔ ×ÓÅ ÂÌÏÂÙ r1 ; : : : ; rm ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÅÍÕ. ÏÌØËÏ ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ P ÏÓÙÌÁÅÔ V ×ÓÅ ÇÒÁÆÙ H1 ; : : : ; Hm . ÷ ÏÔ×ÅÔ V ÏÔËÒÙ×ÁÅÔ ÂÌÏÂÙ, Á P, ÏÌÕÞÉ× 1 ; : : : ; m , ÆÏÒÍÉÒÕÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ É ÏÓÙÌÁÅÔ ÉÈ V. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÕÎÄÏ× × ÒÏÔÏËÏÌÅ ×ÏÚÒÏÓÌÏ, ÎÏ ÏÓÔÁÌÏÓØ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ (ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ 5 ÒÁÕÎÄÏ×). ðÒÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÒÉ×ÑÚËÉ Ë ÂÉÔÕ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÅÇÏ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÕÀ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌÑ, ÄÁÖÅ ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍÉ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÚ ÂÌÏÂÏ× r1 ; : : : ; rm ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÚÁÒÏÓÁÈ 1 ; : : : ; m . ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ. éÔÁË, ×ÔÏÒÏÅ ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÒÅÑÔÓÔ×ÉÊ ÕÓÔÒÁÎÅÎÏ. á ËÁË ÂÙÔØ Ó ÅÒ×ÙÍ? ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÊ ÍÁÛÉÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÕÇÁÄÙ×ÁÔØ ÚÁÒÏÓÙ V∗ . óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÁÑ ÉÄÅÑ

72

çÌÁ×Á 3

ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ × ÒÁÂÏÔÁÈ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÔÏËÏÌÁÍ (ÓÍ. [15℄). íÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ MV , ÏÌÕÞÉ× ÏÔ V∗ ÂÌÏÂÙ, ÚÁÏÍÉÎÁÅÔ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÁÛÉÎÙ V∗ , ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÇÒÁÆÙ H1′ ; : : : ; Hm′ , ËÁË ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÇÒÁÆÁ G0 , É ÅÒÅÄÁÅÔ ÉÈ V∗ . ÷ ÏÔ×ÅÔ V∗ ÏÔËÒÙ×ÁÅÔ ÂÌÏÂÙ, É MV ÏÌÕÞÁÅÔ ÚÁÒÏÓÙ 1 ; : : : ; m . ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔ ÇÒÁÆÙ H1 ; : : : ; Hm ËÁË ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ 1 ; : : : ; m , ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÚÁÏÍÎÅÎÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÁÛÉÎÙ V∗ É ÅÒÅÄÁÅÔ ÅÊ H1 ; : : : ; Hm . ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÏÔÏËÏÌ ÒÉ×ÑÚËÉ Ë ÂÉÔÕ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÔÏÊËÉÍ, ÍÁÛÉÎÁ MV ×ÎÏ×Ø ÏÌÕÞÉÔ ÔÅ ÖÅ ÓÁÍÙÅ ÂÉÔÙ 1 ; : : : ; m É ÕÓÅÛÎÏ ÚÁ×ÅÒÛÉÔ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ, ×ÙÄÁ×ÁÑ 1 ; : : : ; m , H1 ; : : : ; Hm , ÔÒÅÂÕÅÍÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, Á ÔÁËÖÅ ÂÌÏÂÙ r1 ; : : : ; rm É ÔÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÙÌÉ ×ÙÄÁÎÙ ÍÁÛÉÎÏÊ V∗ ÄÌÑ ÉÈ ÏÔËÒÙÔÉÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÔÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÒÉ×ÑÚËÉ Ë ÂÉÔÕ, ÓÔÁÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÍ ÆÁËÔÏÍ. îÁÒÉÍÅÒ, ÕÄÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. äÁÖÅ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÊ ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌØ × ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÒÏÔÏËÏÌÅ ÒÉ×ÑÚËÉ Ë ÂÉÔÕ ÍÏÖÅÔ ÕÇÁÄÁÔØ x ÈÏÔØ É Ó ÍÁÌÏÊ, ÎÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ, É ÏÂÍÁÎÕÔØ ÏÌÕÞÁÔÅÌÑ. éÚ-ÚÁ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÊ ÎÁÍÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÌÉÛØ ÓÏ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÅÍ. á ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ (ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 2) ÏÂÌÁÄÁÌ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ. ÷ ÒÁÂÏÔÅ âÅÌÌÁÒÁ, íÉËÁÌÉ É ïÓÔÒÏ×ÓËÉ [15℄, ÇÄÅ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ ÏÉÓÁÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÓÏÓÏÂ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× × ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÂÌÏÂÏ× ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ éúïíïòæéúí çòáæï÷, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÁÑ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÇÌÁÛÅÎÉÑ. ∗

∗

∗

5. åÝÅ ÒÁÚ Ï ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÉ ÓÅËÒÅÔÁ

÷ ÒÁÂÏÔÅ [16℄ ÓÏ ÓÓÙÌËÏÊ ÎÁ ËÎÉÇÕ Gent und seine s honheiten (Thill{Verlag, Brussel, 1990) ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉÊ ÒÉÍÅÒ. ÷ XIII{XIV ×ÅËÁÈ × Ç. çÅÎÔÅ ÂÙÌÁ ÏÓÔÒÏÅÎÁ ÒÁÔÕÛÎÁÑ ÂÁÛÎÑ. ÷ ÓÅËÒÅÔÅ (se reet), ÓÁÍÏÍ ÎÁÄÅÖÎÏÍ ÏÍÅÝÅÎÉÉ ÂÁÛÎÉ, ÈÒÁÎÉÌÉÓØ ÕÓÔÁ×Ù É ÒÉ×ÉÌÅÇÉÉ, ÉÍÅ×ÛÉÅ ×ÁÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. ðÏÍÅÝÅÎÉÅ ÉÍÅÌÏ Ä×Å Ä×ÅÒÉ, ËÁÖÄÁÑ Ó ÔÒÅÍÑ ÚÁÍËÁÍÉ, ËÌÀÞÉ ÏÔ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÈÏÄÉÌÉÓØ ×Ï ×ÌÁÄÅÎÉÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÈÏ×. äÏËÕÍÅÎÔÙ ÈÒÁÎÉÌÉÓØ × ÛËÁÆÕ, ËÏÔÏÒÙÊ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÔÁËÖÅ ÚÁÉÒÁÌÓÑ ÎÁ ÔÒÉ ËÌÀÞÁ. ïÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÌÀÞÅÊ ÈÒÁÎÉÌÓÑ Õ ÆÏÇÔÁ, Á Ä×Á ÄÒÕÇÉÈ | Õ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÛÅÆÆÅÎÁ.

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

73

íÙ ÒÉ×ÅÌÉ ÜÔÏÔ ÒÉÍÅÒ × ÒÁÚÄÅÌÅ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÁÍ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ, ÇÌÁ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ | ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÍÏÌÏÄÁÑ ÏÔÒÁÓÌØ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÛÁÀÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÔÏËÏÌÏ×, ×ÏÚÎÉËÌÉ ÏÞÅÎØ ÄÁ×ÎÏ É ÉÍÅÀÔ Ó×ÏÀ ÉÓÔÏÒÉÀ. ðÏÞÅÍÕ ÅÝÅ ÒÁÚ Ï ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÉ ÓÅËÒÅÔÁ? ÷ ÇÌÁ×Å 5 ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÁÑ, ÚÁÄÁÞÁ. úÄÅÓØ ÖÅ ÍÙ ÅÇÏ ÏÂÓÕÖÄÁÅÍ ËÁË ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ ÒÏÔÏËÏÌ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÚÎÁËÏÍ Ó ÇÌÁ×ÏÊ 5. ÷ ÒÏÔÏËÏÌÅ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÉÍÅÀÔÓÑ n ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× P1 ; : : : ; Pn , ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÏ ÅÓÓÏÒÁÍÉ, É ÏÄÉÎ ×ÙÄÅÌÅÎÎÙÊ ÕÞÁÓÔÎÉË D, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÄÉÌÅÒÏÍ (ÉÌÉ, ÉÎÏÇÄÁ, ÌÉÄÅÒÏÍ). ðÒÏÔÏËÏÌ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÆÁÚ. îÁ ÆÁÚÅ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÄÉÌÅÒ, ÚÎÁÀÝÉÊ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÓÅËÒÅÔ s, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ n ÄÏÌÅÊ ÓÅËÒÅÔÁ s1 ; : : : ; sn É ÏÓÙÌÁÅÔ si ÒÏ ÅÓÓÏÒÕ Pi Ï ÚÁÝÉÝÅÎÎÏÍÕ ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ. îÁ ÆÁÚÅ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÌÀÂÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÞÅÍ t +1 ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ×, ÇÄÅ t | ÁÒÁÍÅÔÒ ÒÏÔÏËÏÌÁ, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÓÅËÒÅÔ, ÏÂÍÅÎÉ×ÁÑÓØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ Ï ÚÁÝÉÝÅÎÎÙÍ ËÁÎÁÌÁÍ Ó×ÑÚÉ. á ÌÀÂÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ t ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ× ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÅËÒÅÔ (ÞÔÏ ÏÚÎÁÞÁÀÔ ÓÌÏ×Á ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÂÕÄÅÔ ÏÑÓÎÅÎÏ ÎÉÖÅ). ëÁË É × ÄÒÕÇÉÈ ÔÉÁÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×, × ÒÏÔÏËÏÌÅ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÄÏ×ÅÒÑÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ É ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ. ÷ ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ÄÉÌÅÒ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÚÁÝÉÔÕ ÞÅÓÔÎÙÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÄÁÖÅ É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ? âÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, ÎÅÞÅÓÔÎÙÊ ÄÉÌÅÒ ÍÏÖÅÔ ÒÏÓÔÏ ÓÁÂÏÔÉÒÏ×ÁÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÁ. îÏ ÅÓÌÉ ÄÉÌÅÒ ÙÔÁÅÔÓÑ ÏÂÍÁÎÕÔØ ÂÏÌÅÅ ÈÉÔÒÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÔÏ ÏÔ ÜÔÏÇÏ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÝÉÔÉÔØÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. æÁÚÁ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÉÌÅÒ ÕÂÌÉËÕÅÔ ÓÅËÒÅÔ s × ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÉÄÅ (ÔÏÞÎÅÅ ÂÙÌÏ ÂÙ ÓËÁÚÁÔØ | ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÒÉ×ÑÚËÕ Ë ÓÔÒÏËÅ s, Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÒÉ×ÑÚËÏÊ Ë ÂÉÔÕ). ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ËÁÖÄÙÊ ÒÏ ÅÓÓÏÒ Pi ÍÏÖÅÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ si , ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÉÍ ÏÔ ÄÉÌÅÒÁ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÌÅÊ ÓÅËÒÅÔÁ s. ÁËÏÊ ÒÏÔÏËÏÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÔÏËÏÌÏÍ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ. ÷ ÏÂÙÞÎÙÈ ÓÈÅÍÁÈ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÁÓÓÉ×ÎÙÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ t ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ, ÏÂßÅÄÉÎÉ× Ó×ÏÉ ÄÏÌÉ, ÙÔÁÀÔÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÓÅËÒÅÔÁ. îÁ ÆÁÚÅ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ × ÒÏÔÏËÏÌÅ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÁËÔÉ×ÎÙÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË: ÎÅÞÅÓÔÎÙÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ÍÏÇÕÔ ÒÅÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÅÌØ ÓÏÒ×ÁÔØ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ s ÞÅÓÔÎÙÍÉ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ, ÏÓÙÌÁÑ ÉÍ ×ÍÅÓÔÏ Ó×ÏÉÈ ÄÏÌÅÊ ÓÅËÒÅÔÁ ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ

74

çÌÁ×Á 3

ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. ïÔ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÞÅÓÔÎÙÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ, ÅÓÌÉ ÉÈ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ t + 1, ×ÓÅÇÄÁ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÌÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ s. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÉÚ ÒÁÂÏÔÙ [17℄. ëÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÚÁÄÁÞÅ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ ÓÏ ÓÈÅÍÏÊ ûÁÍÉÒÁ ÄÉÌÅÒ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍ Q(x) = a0 + a1 x + · · · + at xt ÓÔÅÅÎÉ t, ÇÄÅ a0 = s, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ri = gai mod p (i = 0; 1; : : : ; t) É ÕÂÌÉËÕÅÔ r0 ; : : : ; rt . ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ j = 1; : : : ; n ÄÉÌÅÒ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ sj = Q(j ) É ÏÓÙÌÁÅÔ ÜÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÏ ÅÓÓÏÒÕ Pj Ï ÚÁÝÉÝÅÎÎÏÍÕ ËÁÎÁÌÕ. ðÒÏ ÅÓÓÏÒ Pj , ÒÏ×ÅÒÑÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï t

gsj = r0 · (r1 )j · : : : · (rt )j (mod p); ÕÂÅÖÄÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ sj | ÄÏÌÑ ÓÅËÒÅÔÁ s. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, t

t

t

r0 · (r1 )j · : : : · (rt )j = ga0 · ga1 j · : : : · gat j = ga0 +a1 j+···+at j = gQ(j) (mod p):

ëÏÎÓÔÒÕË ÉÀ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÄÌÑ ÆÁÚÙ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ × ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÄÉÌÅÒ ÞÅÓÔÎÙÊ. îÁ ÜÔÏÊ ÆÁÚÅ ËÁÖÄÙÊ ÒÏ ÅÓÓÏÒ Pj ÏÓÙÌÁÅÔ ËÁÖÄÏÍÕ ÄÒÕÇÏÍÕ ÒÏ ÅÓÓÏÒÕ Pi Ó×ÏÀ ÄÏÌÀ sj . ÷ÓÑËÉÊ ÞÅÓÔÎÙÊ ÕÞÁÓÔÎÉË Pi , ÏÌÕÞÉ× ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ sj ÏÔ Pj , ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÜÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ËÁË ÏÉÓÁÎÏ ×ÙÛÅ, É ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÅÔ ×ÓÅ ÄÏÌÉ sj , ÎÅ ÒÏÛÅÄÛÉÅ ÒÏ×ÅÒËÕ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÅÓÔÎÙÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÎÅ ÍÅÎÅÅ t + 1, Pi ÏÌÕÞÉÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ t + 1 ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÄÏÌÅÊ ÓÅËÒÅÔÁ. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÉÚ ÓÈÅÍÙ ûÁÍÉÒÁ, Pi ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ s. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÓÈÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ × ÇÌÁ×Å 5, ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ Ï ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ × ÏÂÙÞÎÙÈ ÓÈÅÍÁÈ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÌÀÂÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×, ÎÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ Ë×ÏÒÕÍÁ, ÎÅ ÏÌÕÞÁÌÏ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÓÅËÒÅÔÅ, ÔÏ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÈÅÍÁÈ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÔÁËÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÉÛØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÅËÒÅÔ. ÷ ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÅÇÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÇÉÏÔÅÔÉÞÅÓËÉ ÔÒÕÄÎÕÀ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ. ÷ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÒÉÍÅÒÅ ×ÓÑËÉÊ ÕÞÁÓÔÎÉË ÍÏÇ ÂÙ ÕÚÎÁÔØ ÓÅËÒÅÔ s, ÅÓÌÉ ÂÙ ÏÎ ÕÍÅÌ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÙ. ïÄÎÏ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÓÈÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ | ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÑ ÈÒÁÎÅÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ËÌÀÞÅÊ. ó×ÏÊÓÔ×Ï ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ÌÉÛÎÉÍ ÄÌÑ ÔÁËÉÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ. îÏ ËÒÕÇ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÓÈÅÍ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÛÉÒÅ.

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

75

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÓÈÅÍÙ ÒÁÚÄÅÌÅÎÙ Ä×Á ÓÅËÒÅÔÁ s1 É s2 É ÞÔÏ ÏÂÁ ÜÔÉ ÓÅËÒÅÔÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁÍÉ. ÅÅÒØ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ ÓÉÔÕÁ ÉÀ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÁÓØ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÓÅËÒÅÔ s = s1 + s2. ëÏÎÅÞÎÏ, ÜÔÏ ÍÏÖÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ÄÉÌÅÒ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÏÇÏ ÖÅ ÒÏÔÏËÏÌÁ. á ÍÏÇÕÔ ÌÉ ÒÏ ÅÓÓÏÒÙ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÂÅÚ ÕÞÁÓÔÉÑ ÄÉÌÅÒÁ? ðÕÓÔØ Q1 (x) = a0 + a1 x + · · · + at xt É Q2 (x) = b0 + b1 x + · · · · · · + bt xt | ÏÌÉÎÏÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÄÌÑ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÏ× s1 É s2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÕÓÔØ ri1 = gai mod p É ri2 = gbi mod p ÄÌÑ i = 0; : : : ; t. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ j = 1; : : : ; n ÕÓÔØ s1j = Q1 (j ) É s2j = Q2 (j ) | ÄÏÌÉ ÓÅËÒÅÔÏ× s1 É s2 , ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÏ ÅÓÓÏÒÏÍ Pj . ñÓÎÏ, ÞÔÏ Q(x) = Q1 (x) + Q2 (x) | ÔÁËÖÅ ÏÌÉÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ t É Q(0) = s. ðÏÜÔÏÍÕ ËÁÖÄÙÊ ÒÏ ÅÓÓÏÒ Pj ÍÏÖÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÏÌÀ sj ÓÅËÒÅÔÁ s ÒÏÓÔÏ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ sj = s1j + s2j . üÔÉ ÄÏÌÉ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÙ Ó ÏÍÏÝØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ri = ri1 · ri2 mod p. òÁÂÉÎ É âÅÎ-ïÒ ÏËÁÚÁÌÉ [18℄, ÞÔÏ ×ÙÏÌÎÑÑ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁÄ ÄÏÌÑÍÉ ÓÅËÒÅÔÏ×, ÒÏ ÅÓÓÏÒÙ ÍÏÇÕÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÏÌÅÍ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ÏÂÌÁÓÔÉ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ (se ure multi party omputation). ÉÉÞÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÚÄÅÓØ ÔÁËÁÑ. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ f ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× y1 ; : : : ; ym . ó ÏÍÏÝØÀ ÓÈÅÍÙ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÄÏÌÉ x1 ; : : : ; xn ÜÔÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÄÏÌÑ xi ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÒÏ ÅÓÓÏÒÕ Pi É ÔÏÌØËÏ ÅÍÕ. ðÒÏÔÏËÏÌ ÄÏÌÖÅÎ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f (x1 ; : : : ; xn ) = f (y1 ; : : : ; ym ) ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÁ t: 1) × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÌÀÂÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ t ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ× ÎÅ ÏÌÕÞÁÌÏ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ xi ÄÒÕÇÉÈ ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ× (ËÒÏÍÅ ÔÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÉÍ ÄÏÌÅÊ É ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x1 ; : : : ; xn )); 2) ÒÉ ÌÀÂÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÑÈ ÎÅÞÅÓÔÎÙÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (x1 ; : : : ; xn ), ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÎÅÞÅÓÔÎÙÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ t. ðÒÏÔÏËÏÌÙ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ××ÉÄÕ Ó×ÏÅÊ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÙÊ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÉÎÔÅÒÅÓ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÎÏÇÉÅ ÔÉÙ ÒÉËÌÁÄÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÔÏËÏÌÙ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ) Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÓÌÕÞÁÑÍÉ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. ðÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑÈ Ï ÒÏ ÅÓÓÏÒÁÈ É Ï ÓÅÔÉ Ó×ÑÚÉ ÄÏËÁÚÁÎ ÒÑÄ ÔÅÏÒÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÔÉÁ: ÅÓÌÉ t ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÒÏÇÏ×ÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ (ÚÁ×ÉÓÑÝÅÇÏ ÏÔ n É ÏÔ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ), ÔÏ ×ÓÑËÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÏÔÏËÏÌ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ.

76

çÌÁ×Á 3

6. ðÏÉÇÒÁÅÍ × ËÕÂÉËÉ. ðÒÏÔÏËÏÌÙ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ \: : : ×ÓÅÏÂÝÅÅ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÅ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏ. : : : ÷Ù, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÉÔÅÓØ ÓÏ ÍÎÏÊ, ÞÔÏ ÇÅÎÉÁÌØ-

ÎÙÅ ÌÀÄÉ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÒÅÄËÏ, ÎÅ ÒÁ×ÄÁ ÌÉ? îÏ ÂÕÄÅÍ ÝÅÄÒÙ É ÄÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ×Ï æÒÁÎ ÉÉ ÉÈ ÓÅÊÞÁÓ ÉÍÅÅÔÓÑ ÞÅÌÏ×ÅË ÑÔØ. ðÒÉÂÁ×ÉÍ, Ó ÔÁËÏÊ ÖÅ ÝÅÄÒÏÓÔØÀ, Ä×ÅÓÔÉ ×ÙÓÏËÏÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÈ ÌÀÄÅÊ, ÔÙÓÑÞÕ ÄÒÕÇÉÈ, ÔÏÖÅ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÈ, ËÁÖÄÙÊ × Ó×ÏÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, É ÄÅÓÑÔØ ÔÙÓÑÞ ÞÅÌÏ×ÅË ÔÁË ÉÌÉ ÉÎÁÞÅ ×ÙÄÁÀÝÉÈÓÑ. ÷ÏÔ ×ÁÍ ÇÅÎÅÒÁÌØÎÙÊ ÛÔÁÂ × ÏÄÉÎÎÁÄ ÁÔØ ÔÙÓÑÞ Ä×ÅÓÔÉ ÑÔØ ÕÍÏ×. úÁ ÎÉÍ ÉÄÅÔ ÁÒÍÉÑ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ, ÚÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÓÑ ÍÁÓÓÁ ÄÕÒÁÞØÑ. á ÔÁË ËÁË ÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ É ÄÕÒÁËÉ ×ÓÅÇÄÁ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÇÒÏÍÎÏÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï, ÔÏ ÎÅÍÙÓÌÉÍÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÉ ÍÏÇÌÉ ÉÚÂÒÁÔØ ÒÁÚÕÍÎÏÅ ÒÁ×ÉÔÅÌØÓÔ×Ï."

ç. ÄÅ íÏÁÓÓÁÎ. ïÂÅÄ É ÎÅÓËÏÌØËÏ ÍÙÓÌÅÊ. ÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÙÍÉ ×ÅÝÁÍÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÏÂÓÕÄÉÍ, ËÁË ÏÍÏÞØ ÍÁÓÓÅ ÄÕÒÁÞØÑ ÉÚÂÒÁÔØ ÎÅÒÁÚÕÍÎÏÅ ÒÁ×ÉÔÅÌØÓÔ×Ï, Ô. Å. ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ. õ ÞÉÔÁÔÅÌÑ, ÏÚÎÁËÏÍÉ×ÛÅÇÏÓÑ Ó ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÒÁÚÄÅÌÁÍÉ, ÍÏÇÌÏ ÓÌÏÖÉÔØÓÑ ×ÅÞÁÔÌÅÎÉÅ, ÞÔÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ | × ÏÂÝÅÍ-ÔÏ ÎÅ ÔÁËÁÑ ÕÖ É ÓÌÏÖÎÁÑ ×ÅÝØ. îÏ ÄÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÌÉ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ, ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ, ÎÁ ÎÁÛ ×ÚÇÌÑÄ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏ ÏÎÑÔØ ÒÉ ÅÒ×ÏÍ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Å Ó ÒÅÄÍÅÔÏÍ. ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅÌÏÓØ ÎÁ ÏÌÕÆÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ, ÞÔÏÂÙ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ ÎÅ ÚÁÔÕÍÁÎÉ×ÁÌÉÓØ ÏÂÉÌÉÅÍ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÈ ÄÅÔÁÌÅÊ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÖÅ ÔÉÏ× ÒÉËÌÁÄÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÌÏÖÎÙ, É ÈÏÒÏÛÉÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÚÄÅÓØ ÓÌÕÖÁÔ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ. ëÁË ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ, ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ËÁË Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÅ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÎÙÅ ÂÌÏËÉ ÉÌÉ ËÕÂÉËÉ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉËÌÁÄÎÏÊ ÒÏÔÏËÏÌ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅ ÓÔÏÌØËÏ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÔÄÅÌØÎÏÇÏ ËÕÂÉËÁ, ÓËÏÌØËÏ ÒÏ ÅÓÓ ÓÂÏÒËÉ. ðÕÓÔØ × ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ l ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÅÊ V1 ; : : : ; Vl , ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÂÏÎÅÎÔÁÍÉ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÓÅÔÉ É ÏÄÁÀÔ Ó×ÏÉ ÇÏÌÏÓÁ × ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÆÏÒÍÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ, ÞÔÏ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÅ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÉÓÈÏÄÁ: ÚÁ É ÒÏÔÉ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÕÄÕÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØÓÑ ËÁË 1 É −1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. éÚ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ Ë ÒÏÔÏËÏÌÕ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÄÅÌÉÍ ÏËÁ Ä×Á ÏÓÎÏ×ÎÙÈ: 1) ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÔÁÊÎÙÍ; 2) ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÏÂÅÓÅÞÅÎÁ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÏÄÓÞÅÔÁ ÇÏÌÏÓÏ×.

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

77

ëÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ, ÒÏÔÏËÏÌÙ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. ÷ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ Õ ËÁÖÄÏÇÏ ÕÞÁÓÔÎÉËÁ Vi ÅÓÔØ ÓÅËÒÅÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ bi ∈P{−1; 1} | ÅÇÏ ÇÏÌÏÓ, | É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ f (b1 : : : ; bl ) = li=1 bi . ðÒÏÔÏËÏÌ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ä×ÕÍ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ, ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ÄÏÌÑ ÎÅÞÅÓÔÎÙÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ×ÅÌÉËÁ. õ ÔÁËÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÅÓÔØ ÏÄÎÏ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÅ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×Ï | × ÒÏÔÏËÏÌÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÉ, Ô. Å. ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÉËÁËÏÇÏ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÏÒÇÁÎÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÌØÚÏ×ÁÌÓÑ ÂÙ ÄÏ×ÅÒÉÅÍ ÇÏÌÏÓÕÀÝÉÈ. îÏ ÅÓÔØ É ×ÅÓØÍÁ ÓÅÒØÅÚÎÙÊ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏË. ðÒÏÔÏËÏÌÙ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÓÌÏÖÎÙ (Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ, ×ÙÏÌÎÑÅÍÙÈ ËÁÖÄÙÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÏÍ, É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÅÒÅÓÙÌÁÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ), ÞÔÏ ÕÖÅ ÒÉ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ l ÏÎÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ×ÙÏÌÎÉÍÙ. ïÓÔÁÅÔÓÑ ×ÔÏÒÏÊ ÕÔØ | ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÅÎÔÒÁ ÏÄÓÞÅÔÁ ÇÏÌÏÓÏ× (× ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÇÏ ÒÏÓÔÏ ÅÎÔÒ). óÎÁÞÁÌÁ ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ÞÅÓÔÎÙÊ É ÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÙÍ ÄÏ×ÅÒÉÅÍ ×ÓÅÈ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÅÊ. ÷ ÔÁËÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÎÁÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ãÅÎÔÒ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ x É ÏÔËÒÙÔÙÊ y | ËÌÀÞÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ | É ÕÂÌÉËÕÅÔ y. ëÁÖÄÙÊ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌØ Vi ÏÓÙÌÁÅÔ ÅÎÔÒÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÉÄÅÎÔÉÆÉËÁÔÏÒ ÜÔÏÇÏ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÑ É ÅÇÏ ÇÏÌÏÓ bi , ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ËÌÀÞÅ y. ãÅÎÔÒ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÏÄÁÎÎÙÈ ÂÀÌÌÅÔÅÎÅÊ ÓÉÓËÁÍ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÅÊ, ÒÁÓÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔ ÂÀÌÌÅÔÅÎÉ É ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÅÔ ÎÅÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ (× ËÏÔÏÒÙÈ ÇÏÌÏÓÁ ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ −1 É 1), ÏÄÓÞÉÔÙ×ÁÅÔ É ÕÂÌÉËÕÅÔ ÉÔÏÇ. õÖÅ × ÜÔÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ÓÈÅÍÅ ÅÓÔØ ÏÄ×ÏÄÎÙÊ ËÁÍÅÎØ. åÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌØ ÒÏÓÔÏ ÛÉÆÒÕÅÔ Ó×ÏÊ ÂÉÔ bi ÎÁ ËÌÀÞÅ y, ÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ ×ÓÅÇÏ Ä×Å É ÎÉ Ï ËÁËÏÊ ÁÎÏÎÉÍÎÏÓÔÉ ÇÏÌÏÓÏ× ÒÅÞÉ ÂÙÔØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ. íÏÖÎÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÓÔÒÏËÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÂÉÔÁ bi , ÄÏÏÌÎÅÎÎÏÇÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÒÁ×Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ. üÔÏ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ: ÓÔÁÒÛÉÊ ÂÉÔ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÔÒÕÄÎÙÍ, Ô. Å. ÚÁÄÁÞÁ ÅÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ (× ÓÍÙÓÌÅ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔÉ) ÚÁÄÁÞÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÓÅÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. ÁËÉÅ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ, ÎÏ ÌÕÞÛÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÇÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ (ÓÍ. [19℄), × ÎÅÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m ÎÁ ËÌÀÞÅ k ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁÎÄÏÍÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ: = Ek (m; r), ÇÄÅ r | ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÓÔÒÏËÁ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ Õ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏ ÍÎÏÇÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ËÌÀÞÅ. îÏ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÓÅÇÄÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ! ëÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÇÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÙÌÉ ××ÅÄÅÎÙ × ÒÁÂÏÔÅ çÏÌØÄ×ÁÓÓÅÒ É íÉËÁÌÉ [19℄, ÇÄÅ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑÈ ÄÏËÁÚÁÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍ ÔÁËÏÇÏ ÔÉÁ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ

78

çÌÁ×Á 3

ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÓÅÍÁÎÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÏÊËÏÓÔØÀ. üÔÏ | Ó×ÏÅÇÏ ÒÏÄÁ ÁÎÁÌÏÇ ÛÅÎÎÏÎÏ×ÓËÏÊ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ, ÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ÒÁÂÏÔÁÀÝÅÇÏ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. íÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ üÌØ-çÁÍÁÌÑ [20℄, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÊ ÎÁ ÚÁÄÁÞÅ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÚ ÒÁÚÄÅÌÁ 2 ÕÓÔØ Gq | ÏÄÇÒÕÁ Zp∗ , ÏÒÏÖÄÅÎÎÁÑ g. äÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ m ∈ Gq ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ∈R Zq É ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ (a; b), ÇÄÅ a = g mod p, b = y m mod p. ðÏÌÕÞÁÔÅÌØ, ÚÎÁÀÝÉÊ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ x, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ b=ax = y m=(g )x = y m=gx = y m=y = m (mod p): ÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÒÏÔÏËÏÌÕ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ. ðÕÓÔØ h | ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÇÒÕÙ Gq . ÏÇÄÁ ÄÌÑ b ∈ {−1; 1} ÂÀÌÌÅÔÅÎØ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ (g ; y hb ). ðÏÓÌÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÅÎÔÒ ÏÌÕÞÉÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ hb mod p, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÂÉÔ b ÍÏÖÎÏ ÉÚ×ÌÅÞØ, ÒÏÓÔÏ ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÏÂÁ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 1 É −1. ÷ ÔÁËÏÊ ÓÈÅÍÅ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÅ, Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÁÊÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÎÔÒ ÚÎÁÅÔ, ËÁË ÇÏÌÏÓÏ×ÁÌ ËÁÖÄÙÊ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌØ. îÏ Ó ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØÀ ÏÄÓÞÅÔÁ ÇÏÌÏÓÏ× ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÉÎÁÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÚÄÁÎÏ ÔÁÂÌÏ | ÈÒÁÎÉÌÉÝÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÑ ×ÙÄÅÌÅÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÁÑ ÓÔÒÏËÁ. üÔÁ ÓÔÒÏËÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÌÎÙÅ ÁÓÏÒÔÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÑ, É × ÜÔÕ ÓÔÒÏËÕ ÏÎ ÏÍÅÝÁÅÔ Ó×ÏÊ ÂÀÌÌÅÔÅÎØ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÔÁÂÌÏ ÄÏÓÔÕÎÏ ÎÁ ÞÔÅÎÉÅ ×ÓÅÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ, Á ÔÁËÖÅ ÓÔÏÒÏÎÎÉÍ ÎÁÂÌÀÄÁÔÅÌÑÍ. ðÏ ÉÓÔÅÞÅÎÉÉ ÓÒÏËÁ ÏÄÁÞÉ ÇÏÌÏÓÏ× ÔÁÂÌÏ ÚÁËÒÙ×ÁÅÔÓÑ, Ô. Å. ÆÉËÓÉÒÕÅÔÓÑ ÅÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ, × ÔÅÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ËÁÖÄÙÊ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌØ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÓÏÄÅÒÖÉÍÏÅ Ó×ÏÅÊ ÓÔÒÏËÉ ÎÁ ÔÁÂÌÏ. ÷ÓÅ ÒÅÔÅÎÚÉÉ ÒÁÚÂÉÒÁÀÔÓÑ, ÒÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ×ÎÏÓÑÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ É, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÅÎÙ, ÓÏÄÅÒÖÉÍÏÅ ÔÁÂÌÏ ÆÉËÓÉÒÕÅÔÓÑ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ. P ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÅÎÔÒ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ z = li=1 bi É ÕÂÌÉËÕÅÔ ÉÔÏÇ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ z . ðÕÓÔØ (gi ; yi hbi ) | ÂÀÌÌÅÔÅÎØ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÑ Vi . ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÂÀÌÌÅÔÅÎÉ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÎÁ ÔÁÂÌÏ, ÌÀÂÏÊ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌØ, Á ÔÁËÖÅ ×ÓÑËÉÊ ÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÎÁÂÌÀÄÁÔÅÌØ, ÍÏÖÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ (

l Y

gi mod p;

i−1 Ql i i=1 g

l Y

i=1

yi hbi mod p):

mod p, B = li=1 yi mod p. åÓÌÉ ÅÎÔÒ ïÂÏÚÎÁÞÉÍ A = ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÌ ÇÏÌÏÓÁ, ÔÏ ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï hz = Ql b = i=1 h i (mod p). ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ×ÔÏÒÕÀ ÉÚ ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ×ÅÌÉÞÉÎ ÏÄÅÌÉÔØ ÎÁ hz , ÔÏ ÄÏÌÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ B . ðÕÓÔØ Q l B ′ = ( i=1 yi hbi )=hz mod p. ðÒÏÂÌÅÍÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ÎÅ Q

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

79

ÚÎÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ B É ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ×ÙÑÓÎÉÔØ, ×ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ B ′ = B . îÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ B = Ax (mod p). ðÏÜÔÏÍÕ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ÍÏÖÅÔ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÏÔ ÅÎÔÒÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÆÁËÔÁ: ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÌÏÇÁÒÉÆÍ B ′ Ï ÏÓÎÏ×ÁÎÉÀ A ÒÁ×ÅÎ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÍÕ ÌÏÇÁÒÉÆÍÕ y Ï ÏÓÎÏ×ÁÎÉÀ g. íÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÅÌÉ ÒÏÔÏËÏÌ ûÁÕÍÁ É ðÅÄÅÒÓÅÎÁ [21℄, ÉÔÉÒÕÑ ÅÇÏ Ï ÒÁÂÏÔÅ [22℄. ðÒÏÔÏËÏÌ ûÁÕÍÁ É ðÅÄÅÒÓÅÎÁ

1. äÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ ×ÙÂÉÒÁÅÔ k ∈R Zq , ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ( ; ) = (gk mod p; Ak mod p) É ÏÓÙÌÁÅÔ ( ; ) ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÍÕ. 2. ðÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÚÁÒÏÓ e ∈R Zq É ÏÓÙÌÁÅÔ e ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÅÍÕ. 3. äÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ s = (k + ex) mod q É ÏÓÙÌÁÅÔ s ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÍÕ. 4. ðÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ÕÂÅÖÄÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ gs = ye mod p É As = B e mod p, É ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, | ÏÔ×ÅÒÇÁÅÔ. þÉÔÁÔÅÌØ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÓÑ ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ ÒÁÚÄÅÌÏÍ ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Ù, ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔ ÓÈÏÄÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÓÏ ÓÈÅÍÏÊ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ûÎÏÒÒÁ. ÁËÏÍÕ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÂÕÄÅÔ ÏÌÅÚÎÏ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÁÎÁÌÉÚ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ. ÷ ÒÉÎ ÉÅ ÅÎÔÒ ÍÏÖÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ B ′ = A (mod p) ËÁÖÄÏÍÕ ÖÅÌÁÀÝÅÍÕ. îÅÕÄÏÂÓÔ×Ï × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÏÔÏËÏÌ ÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÊ. îÏ ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÔ ÖÅ ÒÉÅÍ, ËÏÔÏÒÙÍ ÓÈÅÍÁ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ûÎÏÒÒÁ ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ × ÓÈÅÍÕ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ (ÓÍ. ÒÁÚÄÅÌ 2), ÍÏÖÎÏ É ÜÔÏÔ ÒÏÔÏËÏÌ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÅÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÍ. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÎÔÒ ÍÏÖÅÔ ÒÏÓÔÏ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÔØ ÎÅÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÔÏÇÏÍ z . ëÏÎÅÞÎÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÉ ÄÏ×ÅÒÑÀÔ ÏÄÎÏÍÕ ÅÎÔÒÕ ÏÄÓÞÅÔÁ ÇÏÌÏÓÏ×, ×ÅÓØÍÁ ÄÁÌÅËÏ ÏÔ ÒÅÁÌØÎÏÓÔÉ. íÏÖÎÏ ÓÏÚÄÁÔØ n ÅÎÔÒÏ× C1 ; : : : ; Cn . ÏÇÄÁ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ t ÅÎÔÒÏ× ÉÚ n ÞÅÓÔÎÙÅ, ÇÄÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ, t > 2n=3, ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÂÏÌÅÅ ÒÅÁÌÉÓÔÉÞÎÙÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÎÔÒÙ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ ×ÙÂÉÒÁÀÔ É ÕÂÌÉËÕÀÔ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ g, y É h ÇÒÕÙ Gq . âÀÌÌÅÔÅÎØ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÑ Vi ÆÏÒÍÉÒÕÅÔÓÑ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ×ÁÒÉÁÎÔÅ: (gi ; yi hbi ). îÏ ÔÅÅÒØ ÅÎÔÒÙ ÎÅ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ÓÁÍÉ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ. ÷ÍÅQl Ql i ÓÔÏ ÜÔÏÇÏ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ( i=1 g ; i=1 yi hbi ). éÚÂÉÒÁÔÅÌØ Vi Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÉÓÁÎÎÏÊ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÓÈÅÍÙ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÓÏÚÄÁÅÔ ÄÏÌÉ i1 ; : : : ; in ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ i É

80

çÌÁ×Á 3

ÅÒÅÄÁÅÔ ÄÏÌÀ ij ÅÎÔÒÕ Cj . äÁÌÅÅ, ×ÙÏÌÎÑÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁÄ ÄÏÌÑÍÉ P (ÓÍ. ÒÁÚÄÅÌ 5), ÅÎÔÒÙ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔ Æ = li=1 i mod p. åÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÈÏÔÑ ÂÙ t ÅÎÔÒÏ× ÞÅÓÔÎÙÅ, ÔÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÎÅ ÓÍÏÇÕÔ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÎÉ ÏÄÎÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ i . ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Æ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ: ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌQl Æ ÎÑÔØÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ g = i=1 g i mod p. åÓÌÉ ÏÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Æ ÕÂÌÉËÕÅÔÓÑ, É ÜÔÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ Q ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÔÏÇÁ ÇÏQl b Æ i i ÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ( i=1 y h )=y = li=1 hbi (mod p). ðÒÁ×ÄÁ, ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÔÏÇ z , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ. îÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ z ÎÅ×ÅÌÉËÏ (ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÉÚÂÉÒÁÔÅÌÅÊ l) ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÒÏÓÔÙÍ ÅÒÅÂÏÒÏÍ. ÷ ÜÔÏÊ ÓÈÅÍÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÎÏ×ÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÒÏÔÏËÏÌ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÎÔÒÙ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ ×ÙÂÉÒÁÀÔ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÅ g, y É h, ÒÉÞÅÍ ÔÁË, ÞÔÏ ÎÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎØÀ ÄÒÕÇÏÇÏ. üÔÕ ÒÏÂÌÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ. ðÕÓÔØ G | ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ. åÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÁ ×ÈÏÄÅ ÏÍÉÍÏ ÞÉÓÅÌ p É q ÅÝÅ É ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÓÔÒÏËÕ r ÔÒÅÂÕÅÍÏÊ ÄÌÉÎÙ. ÷ ÒÁÚÄÅÌÅ 4 ÂÙÌ ÏÉÓÁÎ ÒÏÔÏËÏÌ ÏÄÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÍÏÎÅÔÙ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ n ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×. ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁËÏÇÏ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÅÎÔÒÙ ÍÏÇÕÔ Ï ÂÉÔÕ ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÔØ ÓÔÒÏËÕ r (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÓÈÅÍÙ). åÓÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÚ ÅÎÔÒÏ× ÞÅÓÔÎÙÊ, ÔÏ r | ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÓÔÒÏËÁ. ðÏ ÏËÏÎÞÁÎÉÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÅÎÔÒÙ ÕÂÌÉËÕÀÔ r, g, y É h. ðÏÓËÏÌØËÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍ G ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ, ×ÓÑËÉÊ ÖÅÌÁÀÝÉÊ ÍÏÖÅÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ g, y É h ÏÌÕÞÅÎÙ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÔÒÏËÉ r. ÷ÓÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÒÅÛÅÎÙ? ïÔÎÀÄØ! åÓÌÉ × ÓÌÕÞÁÅ ÏÄÎÏÇÏ ÅÎÔÒÁ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÌ ×ÓÅ ÂÀÌÌÅÔÅÎÉ É ÒÏ×ÅÒÑÌ ÉÈ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ, ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÑ ÎÅÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ, ÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ n ÅÎÔÒÏ× ÎÅÞÅÓÔÎÙÊ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏÙÔÁÔØÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÂÀÌÌÅÔÅÎÑ ÓÏÒ×ÁÔØ ×ÙÂÏÒÙ ÉÌÉ ÉÓËÁÚÉÔØ ÉÈ ÉÔÏÇ. üÔÕ ÒÏÂÌÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ, ÅÓÌÉ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÂÀÌÌÅÔÅÎÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌØ ÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÞÔÏ ÂÀÌÌÅÔÅÎØ ÏÓÔÒÏÅÎ ÒÁ×ÉÌØÎÏ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÏÔÏËÏÌ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÂÀÌÌÅÔÅÎÑ (Ai ; Bi ) ÉÚÂÉÒÁÔÅÌØ Vi ÄÏËÁÚÙ×ÁÌ, ÞÔÏ ÏÎ ÚÎÁÅÔ i ∈ Zq É bi ∈ {−1; 1} ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ Ai = gi mod p, Bi = yi hbi mod p. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÏÔÏËÏÌ ÎÅ ÄÏÌÖÅÎ ÄÁ×ÁÔØ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÍÕ ÎÉËÁËÏÊ ÏÌÅÚÎÏÊ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ i É bi . ðÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÄÁÎ × ÒÁÂÏÔÅ [22℄; ÍÙ ÅÇÏ ÎÅ ×ÏÓÒÏÉÚ×ÏÄÉÍ ÚÄÅÓØ ××ÉÄÕ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÓÔÉ. ÅÅÒØ, ÎÁËÏÎÅ , ×ÓÅ? ïÑÔØ ÎÅÔ! . . . ÷ÒÏÞÅÍ, ÏÓÔÁ×ÉÍ ÎÁ ÜÔÏÍ ÔÏÞËÕ. îÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÕÖÅ ÕÂÅÄÉÌÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÏÔÏËÏÌÙ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ | ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÏÂßÅËÔ É ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÅÇÏ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÅ

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

81

ÁÓÅËÔÙ ÍÏÖÎÏ ÏÂÓÕÖÄÁÔØ ÅÝÅ ÏÞÅÎØ ÄÏÌÇÏ. ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÉ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ Ë ÒÏÔÏËÏÌÁÍ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ | ÁÎÏÎÉÍÎÏÓÔØ É ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÏÄÓÞÅÔÁ ÇÏÌÏÓÏ×. á ×ÅÄØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÄÒÕÇÉÅ. ðÒÉÞÅÍ ÎÏ×ÙÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ×ÏÚÎÉËÁÔØ ÕÖÅ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÁÎÁÌÉÚÁ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÇÄÁ ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ × ÎÙÎÅ ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÈ ÎÅÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ ×ÙÂÏÒÏ×. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÂÀÌÌÅÔÅÎÑ ÉÚÂÉÒÁÔÅÌØ Vi ÚÎÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ i É bi , ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÞÔÏ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÌ ÄÁÎÎÙÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÁ, Á ÎÅ ÒÏÔÉ×). üÔÏ ÓÏÚÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏËÕËÉ ÇÏÌÏÓÏ× É ÔÒÅÂÕÅÔ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÝÉÔÙ. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ ÓÍ. × ÒÁÂÏÔÁÈ [22℄, [23℄, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÉÍÓÔ×Ï×ÁÎÙ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÉÄÅÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×. é ÏÓÌÅÄÎÅÅ, Ï ÞÅÍ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÓËÁÚÁÔØ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ. ÷ÓÀÄÕ ×ÙÛÅ ÍÙ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ (ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ) ÌÉÛØ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÉÍÉÔÉ×Ï×, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ × ÒÏÔÏËÏÌÅ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ, Ï ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ. îÏ ÒÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÓÔÏÊËÉÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØÓÑ ÎÅÓÔÏÊËÉÊ. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÊ ÒÏÔÏËÏÌÏ× | ÅÝÅ ÏÄÎÁ, É ÚÁÞÁÓÔÕÀ ×ÅÓØÍÁ ÎÅÒÏÓÔÁÑ, ÚÁÄÁÞÁ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. 7. úÁ ÒÅÄÅÌÁÍÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ. ëÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÅÒÅÄÁÞÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ \Ù ÕÍÅÅÛØ ÓÞÉÔÁÔØ? | ÓÒÏÓÉÌÁ âÅÌÁÑ ëÏÒÏÌÅ×Á.| óËÏÌØËÏ ÂÕÄÅÔ ÏÄÉÎ ÌÀÓ ÏÄÉÎ ÌÀÓ ÏÄÉÎ ÌÀÓ ÏÄÉÎ ÌÀÓ ÏÄÉÎ ÌÀÓ ÏÄÉÎ ÌÀÓ ÏÄÉÎ ÌÀÓ ÏÄÉÎ ÌÀÓ ÏÄÉÎ ÌÀÓ ÏÄÉÎ? | ñ ÎÅ ÚÎÁÀ, | ÏÔ×ÅÔÉÌÁ áÌÉÓÁ. | ñ ÓÂÉÌÁÓØ ÓÏ ÓÞÅÔÁ. ïÎÁ ÎÅ ÕÍÅÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ,| ÓËÁÚÁÌÁ þÅÒÎÁÑ ëÏÒÏÌÅ×Á."

ì. ëÜÒÒÏÌÌ. áÌÉÓÁ × ÚÁÚÅÒËÁÌØÅ. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ × Ó×ÏÅÍ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ Ä×ÕÈ ËÁÔÅÇÏÒÉÊ. ÷ ÅÒ×ÕÀ ×ÈÏÄÑÔ ÒÏÔÏËÏÌÙ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÉÌÉ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ÓÔÏÊËÏÓÔØÀ. ÷ÔÏÒÁÑ ËÁÔÅÇÏÒÉÑ | ÜÔÏ ÔÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ, ÓÔÏÊËÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. ïÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÌÉÂÏ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÌÉÂÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÄÌÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ, Ô. Å. ÒÏÔÉ×ÎÉË, ÎÁÕÞÉ×ÛÉÊÓÑ ÒÅÛÁÔØ

82

çÌÁ×Á 3

ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ, ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ×ÚÌÁÍÙ×ÁÅÔ ÒÏÔÏËÏÌ. ÷ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ËÁË É ×Ï ×ÓÑËÏÊ ÎÁÕÞÎÏÊ ÄÉÓ ÉÌÉÎÅ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ. ïÄÎÏ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ | ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ, ÓÔÏÊËÉÈ ÒÉ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑÈ. òÁÂÏÔ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ÜÔÏÊ ÔÅÍÁÔÉËÅ, ÎÅÍÎÏÇÏ, ÎÏ ÏÎÉ ÅÓÔØ. é × ÜÔÏÍ ÚÁËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ, ÄÏËÁÚÕÅÍÏ ÓÔÏÊËÏÇÏ ÒÉ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ. úÁÄÁÞÁ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. éÍÅÀÔÓÑ Ä×Á ÕÞÁÓÔÎÉËÁ, áÌÉÓÁ É âÏÂ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÂÏÎÅÎÔÁÍÉ ÓÅÔÉ Ó×ÑÚÉ. õÞÁÓÔÎÉËÉ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ n ÒÏ×ÏÄÁÍÉ, Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÓÙÌÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ × ÏÂÅ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÒÏ×ÏÄÁÍÉ. îÉËÁËÏÊ ÏÂÝÅÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Õ áÌÉÓÙ É âÏÂÁ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÎÅÔ. õ áÌÉÓÙ ÉÍÅÅÔÓÑ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ m, É ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÙÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ ÅÒÅÄÁÔØ âÏÂÕ. ðÒÏÔÉ× ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÁËÔÉ×ÎÙÊ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÏÌÎÏÓÔØÀ ËÏÎÔÒÏÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ t ÒÏ×ÏÄÏ×. ðÏÌÎÙÊ ËÏÎÔÒÏÌØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÅÔ ×ÓÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÙÅ Ï ÄÁÎÎÏÍÕ ÒÏ×ÏÄÕ, É ÍÏÖÅÔ ÚÁÍÅÎÑÔØ ÉÈ ÌÀÂÙÍÉ ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ. åÓÌÉ ÏÌÏÖÉÔØ n = 1 É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÁÓÓÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÔÏÌØËÏ ÏÄÓÌÕÛÉ×ÁÅÔ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÍ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÕÀ ÍÏÄÅÌØ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ Ó×ÑÚÉ, ××ÅÄÅÎÎÕÀ ÅÝÅ ûÅÎÎÏÎÏÍ. úÁÄÁÞÁ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ × ÜÔÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ×ÓÅÇÄÁ ÒÅÛÁÌÁÓØ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍ. îÏ ×ÙÄÅÌÅÎÉÅ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍ × ÏÔÄÅÌØÎÕÀ ËÁÔÅÇÏÒÉÀ | ÜÔÏ, ÓËÏÒÅÅ, ÄÁÎØ ÔÒÁÄÉ ÉÉ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÏÔÏËÏÌ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁËÉÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÉÍÉÔÉ×Ù, ËÁË ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÒÏÔÏËÏÌ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÌÀÞÅÊ É Ô. Ä. îÁÒÉÍÅÒ, × ÓÌÕÞÁÅ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÒÉÍÉÔÉ×ÏÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É ÒÏÔÏËÏÌ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ, ÅÓÌÉ ÔÏÔ ÏÒÇÁÎ ( ÅÎÔÒ ÄÏ×ÅÒÉÑ), ËÏÔÏÒÏÍÕ ÏÒÕÞÅÎÏ ×ÅÓÔÉ ÓÅÒÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÓÒÁ×ÏÞÎÉË, ÚÁ×ÅÒÑÅÔ ×ÓÅ ÏÔËÒÙÔÙÅ ËÌÀÞÉ, ÈÒÁÎÑÝÉÅÓÑ × ÜÔÏÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, Ó×ÏÅÊ ÏÄÉÓØÀ. ÷ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ n > 2t + 1 ÚÁÄÁÞÁ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÄÁÎÎÏÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ áÌÉÓÁ É âÏÂ ÉÍÅÀÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÁÄÅÖÎÙÊ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÁÎÁÌ Ó×ÑÚÉ. åÓÌÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, áÌÉÓÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÓÌÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ x âÏÂÕ, ÔÏ ÏÎÁ ÏÓÙÌÁÅÔ x Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÒÏ×ÏÄÏ×, Á âÏÂ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÔÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÑ×ÉÌÏÓØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ t + 1 ÒÁÚ.

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

83

äÁÌÅÅ, ÕÓÔØ q | ÂÏÌØÛÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, q > n. áÌÉÓÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍ Q(x) ÓÔÅÅÎÉ t ÎÁÄ Zq . ðÕÓÔØ P = Q(0). éÄÅÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÅÒÅÄÁÔØ P âÏÂÕ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÎÏÒÁÚÏ×ÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÄÌÑ ÛÉÆÒÁ ÷ÅÒÎÁÍÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÕÖÎÏ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÔÁËÕÀ ÅÒÅÄÁÞÕ, ÞÔÏÂÙ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÎÅ ÍÏÇ ÕÚÎÁÔØ ÎÉÞÅÇÏ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÉ P . äÌÑ ÜÔÏÇÏ áÌÉÓÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÏÒÏÇÏ×ÕÀ ÓÈÅÍÕ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ, Ô. Å. ÏÓÙÌÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Q(j ) Ï j -ÍÕ ÒÏ×ÏÄÕ. ðÕÓÔØ rj , j = 1 : : : ; n | ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ âÏÂ ÏÌÕÞÉÌ Ï j -ÍÕ ÒÏ×ÏÄÕ. åÓÌÉ ×ÓÅ n ÁÒ (j; rj ) ÉÎÔÅÒÏÌÉÒÕÀÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍÏÍ ÓÔÅÅÎÉ t, ÔÏ ÅÒÅÄÁÞÁ ÕÓÅÛÎÁ É âÏÂ ÍÏÖÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÌÀÞ P . äÁÌÅÅ áÌÉÓÁ É âÏÂ ÏÂÝÁÀÔÓÑ Ï ÏÉÓÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ ÏÔËÒÙÔÏÍÕ ËÁÎÁÌÕ. åÓÌÉ âÏÂ ÏÌÕÞÉÌ ËÌÀÞ P , ÔÏ ÏÎ Õ×ÅÄÏÍÌÑÅÔ ÏÂ ÜÔÏÍ áÌÉÓÕ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅÍ. áÌÉÓÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ É ÏÓÙÌÁÅÔ âÏÂÕ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ z = (P + m) mod q. âÏÂ ÄÅÛÉÆÒÕÅÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ É ÏÌÕÞÁÅÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ m. åÓÌÉ ÁÒÙ (j; rj ) ÎÅ ÉÎÔÅÒÏÌÉÒÕÀÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍÏÍ ÓÔÅÅÎÉ t, ÔÏ âÏÂ ÏÓÙÌÁÅÔ ×ÓÅ ÜÔÉ ÁÒÙ áÌÉÓÅ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ j , ÞÔÏ rj 6= Q(j ). ñÓÎÏ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏ×ÏÄ ËÏÎÔÒÏÌÉÒÕÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ. áÌÉÓÁ ÏÓÙÌÁÅÔ âÏÂÕ ÓÉÓÏË ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÎÏÍÅÒÏ× j , É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÒÏ×ÏÄÁ ÉÓËÌÀÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ÒÁÂÏÔÙ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ áÌÉÓÁ É âÏÂ Ï×ÔÏÒÑÀÔ ×ÅÓØ ÒÏÔÏËÏÌ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÒÏ×ÏÄÁ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÎÅ ÂÏÌÅÅ t Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÅÒÅÄÁÞÁ ËÌÀÞÁ ÂÕÄÅÔ ÕÓÅÛÎÏÊ. äÁÎÎÙÊ ÒÏÔÏËÏÌ | ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÒÏÔÏËÏÌÁ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÉÚ ÒÁÂÏÔÙ äÏÌÅ×Á É ÄÒ. [24℄. ÷ ÜÔÏÊ ÒÁÂÏÔÅ ÒÅÄÌÏÖÅÎ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÒÏÔÏËÏÌ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉ ÔÏÍ ÖÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ n > 2t +1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÕÅÍÏ ÓÔÏÊËÉÍ ÒÏÔÉ× ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ. åÓÌÉ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÁÓÓÉ×ÎÙÊ, Ô. Å. ÏÎ ÌÉÛØ ÏÄÓÌÕÛÉ×ÁÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ t ÒÏ×ÏÄÏ×, ÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÓÅÍ ÒÏÓÔÏ. íÙ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÅÓÌÏÖÎÏÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÓËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÒÏÔÏËÏÌ ÒÉ n > t. ðÒÏÔÏËÏÌ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÕÅÍÏ ÓÔÏÊËÉÍ × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÕ ÎÅ È×ÁÔÁÅÔ ÒÅÓÕÒÓÏ×, ÞÔÏÂÙ ËÏÎÔÒÏÌÉÒÏ×ÁÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÌÏ×ÉÎÕ ÒÏ×ÏÄÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ áÌÉÓÁ É âÏÂ. üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÎÁ×ÏÄÉÔ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÑ. ÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÚÄÒÁ×ÙÊ ÓÍÙÓÌ ÏÄÓËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ Ó×ÑÚÉ ÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ÓÏÚÄÁÔØ ÚÁËÒÙÔÕÀ ÓÅÔØ Ó×ÑÚÉ, Ô. Å. ÔÁËÕÀ, ÄÏÓÔÕ Ë ËÏÔÏÒÏÊ ÓÉÌØÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ. îÏ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÄÅÖÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÓËÁÔØ × ÒÑÍÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ: ÏÂßÅÄÉÎÉÔØ ×ÓÅ ÓÅÔÉ Ó×ÑÚÉ × ÅÄÉÎÕÀ ÏÔËÒÙÔÕÀ ÓÅÔØ Ó ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÏÊ ÁÂÏÎÅÎÔÏ×. ëÏÎÅÞÎÏ, ÜÔÏ | ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÒÅÁÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. îÏ ÓËÏÌØËÏ

84

çÌÁ×Á 3

ÒÁÚ ÅÝÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ËÁË É × ÌÀÂÙÈ ÄÒÕÇÉÈ ÎÁÕÞÎÙÈ ÄÉÓ ÉÌÉÎÁÈ, ÚÁÓÔÁ×ÑÔ ÎÁÓ ÕÓÏÍÎÉÔØÓÑ × ÏÞÅ×ÉÄÎÏÓÔÉ ÔÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÄÓËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÚÄÒÁ×ÙÍ ÓÍÙÓÌÏÍ. 8. ÷ÍÅÓÔÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÒÁÚ×É×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÍÉ ÕÓÉÌÉÑÍÉ ÕÞÅÎÙÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÒÁÎ. óÒÅÄÉ Á×ÔÏÒÏ× ÒÁÂÏÔ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÁÍ, ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÉÍÅÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× óûá É éÚÒÁÉÌÑ, ëÁÎÁÄÙ É çÏÌÌÁÎÄÉÉ, éÔÁÌÉÉ É ñÏÎÉÉ, æÒÁÎ ÉÉ É çÅÒÍÁÎÉÉ, äÁÎÉÉ É ÷ÅÎÇÒÉÉ. üÔÏÔ ÓÉÓÏË ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ. é ÌÉÛØ ÎÁÛÁ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÛËÏÌÁ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÉËÁËÉÈ ÚÁÓÌÕÇ × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. âÕÄÅÍ ÎÁÄÅÑÔØÓÑ, ÞÔÏ × ÎÅÄÁÌÅËÏÍ ÂÕÄÕÝÅÍ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ É ÎÅ ÂÅÚ ÕÞÁÓÔÉÑ ËÏÇÏ-ÌÉÂÏ ÉÚ ÎÁÛÉÈ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ. ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ Ë ÇÌÁ×Å 3

[1℄ S hnorr C. P. EÆ ient identi ation and signatures for smart ards // Pro . Crypto'89, Le t. Notes in Comput. S i. V. 435, 1990. P. 239{252. [2℄ Goldrei h O., Kraw zyk H. On the omposition of zero-knowledge proof systems // SIAM J. Comput. V. 25, No 1, 1996. P. 169{192. [3℄ Goldwasser S., Mi ali S., Rivest R. A se ure digital signature s heme // SIAM J. Comput. V. 17, No 2, 1988. P. 281{308. [4℄ Naor M., Yung M. Universal one-way hash fun tions and their ryptographi appli ations // Pro . 21st Annu. ACM Symp. on Theory of Computing. 1989. P. 33{43. [5℄ Rompel J. One-way fun tions are ne essary and suÆ ient for se ure signatures // Pro . 22nd Annu. ACM Symp. on Theory of Computing. 1990. P. 387{394. [6℄ Fiat A., Shamir A. How to prove yourself: pra ti al solutions to identi ation and signature problems // Pro . Crypto'86, Le t. Notes in Comput. S i. V. 263, 1987. P. 186{194. [7℄ Feige U., Fiat A., Shamir A. Zero-knowledge proofs of identity // J. of Cryptology, V. 1, No 2, 1988. P. 77{94. [8℄ ÷ÁÒÎÏ×ÓËÉÊ î. ð. ï ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÓÈÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÄÉÓÉ Ó ÁÁÒÁÔÎÏÊ ÏÄÄÅÒÖËÏÊ. ÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÏÔÞÅÔ. ìÁÂÏÒÁÔÏÒÉÑ íçõ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÂÌÅÍÁÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, 1997. [9℄ Chaum D. Online ash he ks // Pro . EUROCRYPT'89, Le t. Notes in Comput. S i., V. 434, 1990. P. 288{293. [10℄ Ya obi Y. EÆ ient ele troni money // Pro . ASIACRYPT'94, Le t. Notes in Comput. S i., V. 739, 1994. P. 131{139.

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ

85

[11℄ Brands S. Untra eable o-line ash in wallets with observers // Pro . Crypto'93, Le t. Notes in Comput. S i., V. 773, 1994. P. 302{318. [12℄ áÎÏÈÉÎ í. é., ÷ÁÒÎÏ×ÓËÉÊ î. ð., óÉÄÅÌØÎÉËÏ× ÷. í., ñÝÅÎËÏ ÷. ÷. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ × ÂÁÎËÏ×ÓËÏÍ ÄÅÌÅ. í.: íéæé, 1997. [13℄ Chaum D., Pedersen T. P. Transferred ash grows in size // Pro . EUROCRYPT'92, Le t. Notes in Comput. S i., V. 658, 1993. P. 390{ 407. [14℄ Blum M. Coin ipping by telephone: A proto ol for solving impossible problems // Pro . 24th IEEE Comp. Conf., 1982. P. 133{137; reprinted in SIGACT News, V. 15, No 1, 1983. P. 23{27. [15℄ Bellare M., Mi ali S., Ostrovsky R. Perfe t zero-knowledge in onstant rounds // Pro . 22nd Annu. ACM Symp. on Theory of Computing. 1990. P. 482{493. [16℄ Kersten A. G. Shared se ret S hemes aus geometris hes si ht. Mitteilungen mathem. Seminar Giessen, Heft 208, 1992. [17℄ Feldman P. A pra ti al s heme for non-intera tive veri able se ret sharing // Pro . 28th Annu. Symp. on Found. of Comput. S i. 1987. P. 427{437. [18℄ Rabin T., Ben-Or M. Veri able se ret sharing and multiparty proto ols with honest majority // Pro . 21st Annu. ACM Symp. on Theory of Computing. 1989. P. 73{85. [19℄ Goldwasser S., Mi ali S. Probabilisti en ryption // J. of Computer and System S ien es, V. 28, No 2, 1984. P. 270{299. [20℄ El Gamal T. A publi -key ryptosystem and a signature s heme based on dis rete logarithms // IEEE Trans. Inf. Theory, IT-31, No 4, 1985. P. 469{472. [21℄ Chaum D., Pedersen T. P. Wallet databases with observers // Pro . Crypto'92, Le t. Notes in Comput. S i., V. 740, 1993. P. 89{105. [22℄ Cramer R., Gennaro R., S hoenmakers B. A se ure and optimally eÆ ient multi-authority ele tion s heme // Pro . EUROCRYPT'97, Le t. Notes in Comput. S i., V. 1233, 1997. P. 103{118. [23℄ Cramer R., Franklin M., S hoenmakers B., Yung M. Multi-authority se ret ballot ele tions with linear work // Pro . EUROCRYPT'96, Le t. Notes in Comput. S i., V. 1070, 1996. P. 72{83. [24℄ Dolev D., Dwork C., Waarts O., Yung M. Perfe tly se ure message transmission // Pro . 31st Annu. Symp. on Found. of Comput. S i. 1990. P. 36{45.

çÌÁ×Á 4 áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

÷ÏÒÏÓ ËÁË ÓÏÓÞÉÔÁÔØ? ×ÓÅÇÄÁ ÓÏÕÔÓÔ×Ï×ÁÌ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÙÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÍ. ÒÕÄÙ å×ËÌÉÄÁ É äÉÏÆÁÎÔÁ, æÅÒÍÁ É üÊÌÅÒÁ, çÁÕÓÓÁ, þÅÂÙÛÅ×Á É üÒÍÉÔÁ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÏÓÔÒÏÕÍÎÙÅ É ×ÅÓØÍÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÏÆÁÎÔÏ×ÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ×ÙÑÓÎÅÎÉÑ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÉÈ Ï ÔÅÍ ×ÒÅÍÅÎÁÍ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÁÉÌÕÞÛÉÈ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ É Ô. Ä. âÅÚ ÒÅÕ×ÅÌÉÞÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÑ ÔÅÏÒÉÑ ÞÉÓÅÌ ÒÏÎÉÚÁÎÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑ, ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÚÁÒÏÓÁÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ É ÛÉÒÏËÏÍÕ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÀ ü÷í, ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ Ï ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÍ ×ÏÒÏÓÁÍ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ ÅÒÅÖÉ×ÁÀÔ ÅÒÉÏÄ ÂÕÒÎÏÇÏ É ×ÅÓØÍÁ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ. íÙ ËÒÁÔËÏ ÚÁÔÒÏÎÅÍ ÚÄÅÓØ ÌÉÛØ ÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÁÓÅËÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ, ËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑÍÉ. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÍÁÛÉÎÙ É ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ ÓÒÅÄÓÔ×Á Ó×ÑÚÉ ÒÏÎÉËÌÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×Ï ×ÓÅ ÓÆÅÒÙ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ. îÅÍÙÓÌÉÍÁ ÂÅÚ ÎÉÈ É ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ. ûÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ É ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÔÅËÓÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ËÁË ÒÏ ÅÓÓÙ ÅÒÅÒÁÂÏÔËÉ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ü÷í, Á ÓÏÓÏÂÙ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ, ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. ÷ÓÅ ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÑ×ÌÅÎÉÅ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÍÅÔÏÄÏ× ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÒÑÄÁ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍ ÏÂÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÚÁÄÁÞ (ÓÍ. [22℄). îÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ü÷í ÉÍÅÀÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÇÒÁÎÉ Ù. ðÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÒÁÚÂÉ×ÁÔØ ÄÌÉÎÎÕÀ ÉÆÒÏ×ÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁ ÂÌÏËÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÄÌÉÎÙ É ÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ËÁÖÄÙÊ ÔÁËÏÊ ÂÌÏË ÏÔÄÅÌØÎÏ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÛÉÆÒÕÅÍÙÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ É Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ (ÓËÁÖÅÍ, ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ) ÞÉÓÌÁ m. ÁËÉÍ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÂÕÄÕÔ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ É ÞÉÓÌÁ, ÏÌÕÞÁÅÍÙÅ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. üÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

87

É ÔÅ, É ÄÒÕÇÉÅ ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÌØ Á ×ÙÞÅÔÏ× Z=mZ. ûÉÆÒÕÀÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ËÁË ×ÚÁÉÍÎÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ËÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× f : Z=mZ → Z=mZ; Á ÞÉÓÌÏ f (x) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ x × ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÉÄÅ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÛÉÆÒ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ | ÛÉÆÒ ÚÁÍÅÎÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ f : x 7→ x + k mod m ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÅÌÏÍ k. ðÏÄÏÂÎÙÊ ÛÉÆÒ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌ ÅÝÅ àÌÉÊ ãÅÚÁÒØ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ËÁÖÄÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÏÄÈÏÄÉÔ ÄÌÑ ÅÌÅÊ ÎÁÄÅÖÎÏÇÏ ÓÏËÒÙÔÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÂ ÜÔÏÍ ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 1). ÷ 1978 Ç., ÓÍ. [1℄, ÁÍÅÒÉËÁÎ Ù ò. òÉ×ÅÓÔ, á. ûÁÍÉÒ É ì. áÄÌÅÍÁÎ (R. L. Rivest, A. Shamir, L. Adleman) ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÒÉÍÅÒ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÊ ÒÑÄÏÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×. îÁ ÅÅ ÏÓÎÏ×Å ÂÙÌÁ ÏÓÔÒÏÅÎÁ ÒÅÁÌØÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÌÕÞÉ×ÛÁÑ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ Ï ÅÒ×ÙÍ ÂÕË×ÁÍ ÉÍÅÎ Á×ÔÏÒÏ× | ÓÉÓÔÅÍÁ RSA. üÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ Á) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f (x); Â) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f −1 (x); ×) ÆÕÎË ÉÑ f (x) ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÓÅËÒÅÔÏÍ, ÚÎÁÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÂÙÓÔÒÏ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f −1 (x); × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÖÅ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ f −1(x) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÔÒÕÄÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÊ × ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÅÊ, ÔÒÅÂÕÀÝÅÊ ÄÌÑ Ó×ÏÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÔÏÌØ ÍÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÞÔÏ Ï ÅÇÏ ÒÏÛÅÓÔ×ÉÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÅÒÅÓÔÁÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÉÎÔÅÒÅÓ ÄÌÑ ÌÉ , ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f × ËÁÞÅÓÔ×Å ÛÉÆÒÁ. ðÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÂ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ É ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÈ ÉÈ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ × ÇÌÁ×ÁÈ 1, 2. åÝÅ ÄÏ ×ÙÈÏÄÁ ÉÚ ÅÞÁÔÉ ÓÔÁÔØÉ [1℄ ËÏÉÑ ÄÏËÌÁÄÁ × íÁÓÓÁÞÕÓÅÔÓÓËÏÍ ÅÈÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÉÎÓÔÉÔÕÔÅ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÇÏ ÓÉÓÔÅÍÅ RSA, ÂÙÌÁ ÏÓÌÁÎÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍÕ ÏÕÌÑÒÉÚÁÔÏÒÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ í. çÁÒÄÎÅÒÕ, ËÏÔÏÒÙÊ × 1977 Ç. × ÖÕÒÎÁÌÅ S ienti Ameri an ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÓÔÁÔØÀ [2℄, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÕÀ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÒÕÓÓËÏÍ ÅÒÅ×ÏÄÅ ÚÁÇÌÁ×ÉÅ ÓÔÁÔØÉ çÁÒÄÎÅÒÁ Ú×ÕÞÉÔ ÔÁË: îÏ×ÙÊ ×ÉÄ ÛÉÆÒÁ, ÎÁ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÕ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÍÉÌÌÉÏÎÙ ÌÅÔ. éÍÅÎÎÏ ÓÔÁÔØÑ [2℄ ÓÙÇÒÁÌÁ ×ÁÖÎÅÊÛÕÀ ÒÏÌØ × ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÂ RSA, ÒÉ×ÌÅËÌÁ Ë ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÛÉÒÏËÉÈ ËÒÕÇÏ× ÎÅÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× É ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÓÏÓÏÂÓÔ×Ï×ÁÌÁ ÂÕÒÎÏÍÕ ÒÏÇÒÅÓÓÕ ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÒÏÉÚÏÛÅÄÛÅÍÕ × ÏÓÌÅÄÏ×Á×ÛÉÅ 20 ÌÅÔ.

88

çÌÁ×Á 4

2. óÉÓÔÅÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ RSA

÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÚÎÁËÏÍ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÆÁËÔÁÍÉ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. ÅÈ ÖÅ, ËÔÏ ÈÏÔÅÌ ÂÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ó ÎÉÍÉ ÉÌÉ ÎÁÏÍÎÉÔØ ÓÅÂÅ ÜÔÉ ÆÁËÔÙ, ÍÙ ÏÔÓÙÌÁÅÍ Ë ËÎÉÇÅ [3℄. ðÕÓÔØ m É e ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. æÕÎË ÉÑ f , ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÁÑ ÓÈÅÍÕ RSA, ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (1) f : x 7→ xe mod m: äÌÑ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ a = f (x) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ xe ≡ a (mod m): (2) ðÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÎÁ m É e ÜÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ x. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÉÓÁÔØ ÜÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ É ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÄÎÁ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ üÊÌÅÒÁ. üÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ m ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ '(m) É ÒÁ×ÎÑÅÔÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ ÏÔ 1 ÄÏ m, ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ Ó m. ÁË '(1) = 1 É '(pr ) = pr−1(p − 1) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ p É ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ r. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, '(ab) = '(a)'(b) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ a É b. üÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ '(m), ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÞÉÓÌÁ m ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. åÓÌÉ ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÓÔÅÅÎÉ e × ÓÒÁ×ÎÅÎÉÉ (2) ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó '(m), ÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (2) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÅÇÏ, ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ d, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ de ≡ 1 (mod '(m)); 1 6 d < '(m): (3) ÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ (e; '(m)) = 1, É ÒÉÔÏÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ. úÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ (a; b) ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØÓÑ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÅÌ a É b. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ üÊÌÅÒÁ, ÓÍ. [3℄, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x, ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏÇÏ Ó m, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ x'(m) ≡ 1 (mod m) É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (4) ad ≡ xde ≡ x (mod m): ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ (a; m) = 1, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (2) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ × ×ÉÄÅ x ≡ ad (mod m): (5) åÓÌÉ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ m ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ, ÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (5) ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ É ÂÅÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ (a; m) = 1. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ r = (a; m) É s = m=r. ÏÇÄÁ '(m) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ '(s), Á ÉÚ (2) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ (x; s) = 1. ðÏÄÏÂÎÏ (4), ÔÅÅÒØ ÌÅÇËÏ ÎÁÈÏÄÉÍ x ≡ ad (mod s). á ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÍÅÅÍ x ≡ 0 ≡ ad (mod r). ðÏÌÕÞÉ×ÛÉÅÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÓÉÌÕ (r; s) = 1 ÄÁÀÔ ÎÁÍ (5).

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

89

æÕÎË ÉÑ (1), ÒÉÎÑÔÁÑ × ÓÉÓÔÅÍÅ RSA, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ. ëÁË ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ, ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÞÕÔØ ÎÉÖÅ. ðÏËÁ ÏÔÍÅÔÉÍ ÌÉÛØ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë f (x) ÆÕÎË ÉÑ f −1 : x 7→ xd (mod m) ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ Ï ÔÅÍ ÖÅ ÒÁ×ÉÌÁÍ, ÞÔÏ É f (x), ÌÉÛØ Ó ÚÁÍÅÎÏÊ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÓÔÅÅÎÉ e ÎÁ d. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ (1) ÂÕÄÕÔ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á Á) É Â). äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ (1) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÎÁÔØ ÌÉÛØ ÞÉÓÌÁ e É m. éÍÅÎÎÏ ÏÎÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. á ×ÏÔ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÚÎÁÔØ ÞÉÓÌÏ d, ÏÎÏ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅËÒÅÔÏÍ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ × ÕÎËÔÅ ×). ëÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÓÔÏÉÔ, ÚÎÁÑ ÞÉÓÌÏ m, ÒÁÚÌÏÖÉÔØ ÅÇÏ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÁÔÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÒÁ×ÉÌ ÚÎÁÞÅÎÉÅ '(m) É, ÎÁËÏÎÅ , Ó ÏÍÏÝØÀ (3) ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÕÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ d. ÷ÓÅ ÛÁÇÉ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÅÒ×ÏÇÏ. éÍÅÎÎÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÞÉÓÌÁ m ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÏÅÍËÕÀ ÞÁÓÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. ÷ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÍÎÏÇÏÌÅÔÎÀÀ ÅÅ ÉÓÔÏÒÉÀ É ÎÁ ÏÞÅÎØ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÙÅ ÏÉÓËÉ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÎÉÈ 20 ÌÅÔ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÔÁË É ÎÅ ÎÁÊÄÅÎ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÍÏÖÎÏ, ÅÒÅÂÉÒÁÑ ×ÓÅ ÒÏÓÔÙÅ √ ÞÉÓÌÁ ÄÏ m, É, ÄÅÌÑ ÎÁ ÎÉÈ m, ÎÁÊÔÉ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ. îÏ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, √ ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÓÔÙÈ × ÜÔÏÍ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ, ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÒÁ×ÎÏ 2 m · (ln m)−1 , ÓÍ. [5℄, ÇÌ. 5, ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ m, ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍÏÍ 100 ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÍÉ ÉÆÒÁÍÉ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 4 · 1042 ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÄÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔØ m ÒÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÅÇÏ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. ïÞÅÎØ ÇÒÕÂÙÅ ÒÉËÉÄËÉ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ËÏÍØÀÔÅÒÕ, ×ÙÏÌÎÑÀÝÅÍÕ ÍÉÌÌÉÏÎ ÄÅÌÅÎÉÊ × ÓÅËÕÎÄÕ, ÄÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ m > 1099 ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÞÅÍ 1035 ÌÅÔ. éÚ×ÅÓÔÎÙ É ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÓÏÓÏÂÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÞÅÍ ÒÏÓÔÏÊ ÅÒÅÂÏÒ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ, ÎÏ É ÏÎÉ ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÏÞÅÎØ ÍÅÄÌÅÎÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÓÔÁÔØÉ í. çÁÒÄÎÅÒÁ ×ÏÌÎÅ ÏÒÁ×ÄÁÎÏ. á×ÔÏÒÙ ÓÈÅÍÙ RSA ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÞÉÓÌÏ m × ×ÉÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÒÏÓÔÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ p É q, ÒÉÍÅÒÎÏ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ. ÁË ËÁË '(m) = '(pq) = (p − 1)(q − 1); (6) ÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÁ ×ÙÂÏÒ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÓÔÅÅÎÉ e × ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ (1) ÅÓÔØ (e; p − 1) = (e; q − 1) = 1: (7) éÔÁË, ÌÉ Ï, ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÏÅ × ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÅÒÅÉÓËÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÈÅÍÙ RSA, ×ÙÂÉÒÁÅÔ Ä×Á ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÌÁ p É q. ðÅÒÅÍÎÏÖÁÑ ÉÈ, ÏÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔ ÞÉÓÌÏ m = pq. úÁÔÅÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ e, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (7), ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ (6) ÞÉÓÌÏ '(m) É Ó ÏÍÏÝØÀ (3) | ÞÉÓÌÏ d. þÉÓÌÁ m É e ÕÂÌÉËÕÀÔÓÑ,

90

çÌÁ×Á 4

ÞÉÓÌÏ d ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÅËÒÅÔÎÙÍ. ÅÅÒØ ÌÀÂÏÊ ÍÏÖÅÔ ÏÔÒÁ×ÌÑÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÅ Ó ÏÍÏÝØÀ (1) ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÕ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, Á ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒ ÌÅÇËÏ ÓÍÏÖÅÔ ÄÅÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÔØ ÉÈ Ó ÏÍÏÝØÀ (5). äÌÑ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ Ó×ÏÅÇÏ ÍÅÔÏÄÁ òÉ×ÅÓÔ, ûÁÍÉÒ É áÄÌÅÍÁÎ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÌÉ ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÁÎÇÌÉÊÓËÕÀ ÆÒÁÚÕ. óÎÁÞÁÌÁ ÏÎÁ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (a=01, b=02, . . . , z=26, ÒÏÂÅÌ=00) ÂÙÌÁ ÚÁÉÓÁÎÁ × ×ÉÄÅ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x, Á ÚÁÔÅÍ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (1) ÒÉ m

=11438162575788886766932577997614661201021829672124236256256184293 5706935245733897830597123563958705058989075147599290026879543541

É e = 9007. üÔÉ Ä×Á ÞÉÓÌÁ ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ, ÒÉÞÅÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ÓÏÏÂÝÁÌÏÓØ, ÞÔÏ m = pq, ÇÄÅ p É q | ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ 64 É 65 ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÍÉ ÚÎÁËÁÍÉ. ðÅÒ×ÏÍÕ, ËÔÏ ÄÅÛÉÆÒÕÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ

( ) =9686961375462206147714092225435588290575999112457431987469512093 0816298225145708356931476622883989628013391990551829945157815154

f x

;

ÂÙÌÁ ÏÂÅÝÁÎÁ ÎÁÇÒÁÄÁ × 100$. üÔÁ ÉÓÔÏÒÉÑ ÚÁ×ÅÒÛÉÌÁÓØ ÓÕÓÔÑ 17 ÌÅÔ × 1994 Ç., ÓÍ. [5℄, ËÏÇÄÁ D. Atkins, M. Gra, A. K. Lenstra É P. C. Leyland ÓÏÏÂÝÉÌÉ Ï ÄÅÛÉÆÒÏ×ËÅ ÆÒÁÚÙ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÊ × [1℄. ïÎÁ1) ÂÙÌÁ ×ÙÎÅÓÅÎÁ × ÚÁÇÏÌÏ×ÏË ÓÔÁÔØÉ [5℄, Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÞÉÓÌÁ p É q ÏËÁÚÁÌÉÓØ ÒÁ×ÎÙÍÉ p q

=3490529510847650949147849619903898133417764638493387843990820577 =32769132993266709549961988190834461413177642967992942539798288533 ;

:

éÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÅÓÑ ÍÏÇÕÔ ÎÁÊÔÉ ÄÅÔÁÌÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ × ÒÁÂÏÔÅ [5℄. úÄÅÓØ ÖÅ ÍÙ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ (ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ 129-ÚÎÁÞÎÏÇÏ ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ) ÂÙÌ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÍÅÔÏÄÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÔÁ. ÷ÙÏÌÎÅÎÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÏ ËÏÌÏÓÓÁÌØÎÙÈ ÒÅÓÕÒÓÏ×. ÷ ÒÁÂÏÔÅ, ×ÏÚÇÌÁ×ÌÑ×ÛÅÊÓÑ ÞÅÔÙÒØÍÑ Á×ÔÏÒÁÍÉ ÒÏÅËÔÁ, É ÒÏÄÏÌÖÁ×ÛÅÊÓÑ ÏÓÌÅ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÊ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ ÒÉÍÅÒÎÏ 220 ÄÎÅÊ, ÎÁ ÄÏÂÒÏ×ÏÌØÎÙÈ ÎÁÞÁÌÁÈ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌÏ ÏËÏÌÏ 600 ÞÅÌÏ×ÅË É ÒÉÍÅÒÎÏ 1600 ËÏÍØÀÔÅÒÏ×, ÏÂßÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÓÅÔØÀ Internet. îÁËÏÎÅ , ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅÍÉÑ × 100$ ÂÙÌÁ ÅÒÅÄÁÎÁ × Free Software Foundation. 1) The magi words are squeamish ossifrage. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÒÅ×ÏÄ Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÌÏ×, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÜÔÕ, Ï ×ÓÅÊ ×ÉÄÉÍÏÓÔÉ, ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÕÀ ÆÒÁÚÕ: squeamish | ÂÒÅÚÇÌÉ×ÙÊ, ÒÉ×ÅÒÅÄÌÉ×ÙÊ, ÏÂÉÄÞÉ×ÙÊ; ossifrage | ÓËÏÁ.

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

91

ïÉÓÁÎÎÁÑ ×ÙÛÅ ÓÈÅÍÁ RSA ÓÔÁ×ÉÔ ÒÑÄ ×ÏÒÏÓÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ É ÏÒÏÂÕÅÍ ÏÂÓÕÄÉÔØ ÎÉÖÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ËÁË ÒÏ×ÏÄÉÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, ×ÅÄØ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÅ ÎÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÒÅÍÎÏÖÁÔØ ÞÉÓÌÁ ÒÁÚÍÅÒÏÍ Ï 65 ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÈ ÚÎÁËÏ×? ëÁË ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÏÇÒÏÍÎÙÅ ÓÔÅÅÎÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ? þÔÏ ÚÎÁÞÉÔ ÂÙÓÔÒÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ É ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÓÌÏÖÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ? çÄÅ ×ÚÑÔØ ÂÏÌØÛÉÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ? ëÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ × 65 ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÈ ÚÎÁËÏ×? óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ ÄÒÕÇÉÅ ÓÏÓÏÂÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (2)? ÷ÅÄØ, ÅÓÌÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ (2), ÎÅ ×ÙÞÉÓÌÑÑ ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ÏËÁÚÁÔÅÌØ d ÉÌÉ ÎÅ ÒÁÚÌÁÇÁÑ ÞÉÓÌÏ m ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÄÁ ÅÝÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ, ×ÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁ RSA ÒÁÚ×ÁÌÉ×ÁÅÔÓÑ. îÁ×ÅÒÎÏÅ, ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÍÏÇÕÔ ÒÉÊÔÉ × ÇÏÌÏ×Õ É ÄÒÕÇÉÅ ×ÏÒÏÓÙ. îÁÞÎÅÍ Ó ËÏÎ Á. úÁ 17 ÌÅÔ, ÒÏÛÅÄÛÉÈ ÍÅÖÄÕ ÕÂÌÉËÁ ÉÑÍÉ ÒÁÂÏÔ [1℄ É [5℄, ÎÉËÔÏ ÔÁË É ÎÅ ÓÍÏÇ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÕÀ Á×ÔÏÒÁÍÉ RSA ÆÒÁÚÕ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÜÔÏ ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ËÏÓ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ RSA, ÎÏ ×ÓÅ ÖÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔÅÌØÎÏÅ. îÉÖÅ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÏÂÓÕÖÄÁÔØ, ËÁË ×ÙÏÌÎÑÔØ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ Ë ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ËÎÉÖËÅ ä. ëÎÕÔÁ [6, ÇÌ. 4℄. úÁÍÅÔÉÍ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÍÅÎØÛÉÅ ÂÌÏËÉ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ËÏÍØÀÔÅÒ ÍÏÖÅÔ ÏÅÒÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÍÙ ÏÅÒÉÒÕÅÍ Ó ÉÆÒÁÍÉ, ËÏÇÄÁ ÒÏ×ÏÄÉÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÒÕÞÎÕÀ ÎÁ ÂÕÍÁÇÅ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÕÖÎÙ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. óÏÚÄÁÎÙ É ÏÌÕÞÉÌÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÛÉÒÏËÏÅ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÅ ÄÁÖÅ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÑÚÙËÉ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. õËÁÖÅÍ ÚÄÅÓØ Ä×Á ÉÚ ÎÉÈ | PARI É UBASIC. üÔÉ ÑÚÙËÉ Ó×ÏÂÏÄÎÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÑÀÔÓÑ. éÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÉÈ ÏÌÕÞÉÔØ × ÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ËÎÉÇÅ [17℄. 3. óÌÏÖÎÏÓÔØ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×

óÌÏÖÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ ÏÂÙÞÎÏ ÒÉÎÑÔÏ ÉÚÍÅÒÑÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ (ÓÌÏÖÅÎÉÊ, ×ÙÞÉÔÁÎÉÊ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÊ É ÄÅÌÅÎÉÊ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ), ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÄÌÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ, ÒÅÄÉÓÁÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ. ÷ÒÏÞÅÍ, ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅ ÕÞÉÔÙ×ÁÅÔ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÞÉÓÅÌ, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÒÅÍÎÏÖÉÔØ Ä×Á ÓÔÏÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÌÁ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÅÅ, ÞÅÍ Ä×Á ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ, ÈÏÔÑ ÒÉ ÜÔÏÍ É × ÔÏÍ, É × ÄÒÕÇÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÌÉÛØ ÏÄÎÁ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÉÎÏÇÄÁ ÕÞÉÔÙ×ÁÀÔ ÅÝÅ É ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÞÉÓÅÌ, Ó×ÏÄÑ ÄÅÌÏ Ë ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÍ ÂÉÔÏ×ÙÍ ÏÅÒÁ ÉÑÍ, Ô. Å. Ï ÅÎÉ×ÁÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ Ó ÉÆÒÁÍÉ 0 É 1, × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÞÉÓÅÌ. üÔÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÔ ÅÌÅÊ Á×ÔÏÒÁ É Ô. Ä.

92

çÌÁ×Á 4

îÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÓÔÒÁÎÎÙÍ ÔÁËÖÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÅÒÁ ÉÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ÄÅÌÅÎÉÑ ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÀÔÓÑ Ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ Ë ÏÅÒÁ ÉÑÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ×ÙÞÉÔÁÎÉÑ. öÉÔÅÊÓËÉÊ ÏÙÔ ÏÄÓËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÕÍÎÏÖÁÔØ ÞÉÓÌÁ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÅÅ, ÞÅÍ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÉÈ. ÷ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÖÅ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏ ÎÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÉÌÉ ÄÅÌÅÎÉÅ ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÎÅ ÎÁÍÎÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ ÂÉÔÏ×ÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ÞÅÍ ÎÁ ÓÌÏÖÅÎÉÅ. ÷ ËÎÉÇÅ [7℄ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ û£ÎÈÁÇÅ { ûÔÒÁÓÓÅÎÁ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÍ ÂÙÓÔÒÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ æÕÒØÅ, É ÔÒÅÂÕÀÝÉÊ O(n ln n lnln n) ÂÉÔÏ×ÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÄÌÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ n-ÒÁÚÒÑÄÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ÁËÉÍ ÖÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÂÉÔÏ×ÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÊÔÉÓØ ÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÄÅÌÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ Ä×ÕÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍÙÈ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ n ÉÆÒÁÍÉ. äÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÌÏÖÅÎÉÅ n-ÒÁÚÒÑÄÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÔÒÅÂÕÅÔ O(n) ÂÉÔÏ×ÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. çÏ×ÏÒÑ × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ Ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ × ×ÉÄÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. ðÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× É ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ×ÅÒÈÎÉÈ Ï ÅÎÏË ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÏÂÙÞÎÏ È×ÁÔÁÅÔ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÙÈ ÏÎÑÔÉÊ ÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. æÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÑ ÖÅ ÜÔÉÈ ÏÎÑÔÉÊ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÌÉÛØ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ ÏÂ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÎÉÖÎÉÈ Ï ÅÎÏË ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. âÏÌÅÅ ÄÅÔÁÌØÎÏÅ É ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ×ÏÒÏÓÏ× ÓÍ. × ÇÌÁ×Å 2. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÅÅÒØ ÒÉÍÅÒÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× Ó Ï ÅÎËÁÍÉ ÉÈ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. úÄÅÓØ É × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÓÔÁÒÁÑÓØ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÓÍÙÓÌ ×ÙÏÌÎÑÅÍÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ad mod m ÚÁ O(ln m) ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ a É d ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÔ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ m. d 1. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ a mod m 1. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ d × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ d = d0 2r + · · · · · · + dr−1 2 + dr , ÇÄÅ di , ÉÆÒÙ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ, ÒÁ×ÎÙ 0 ÉÌÉ 1, d0 = 1. 2. ðÏÌÏÖÉÍ a0 = a É ÚÁÔÅÍ ÄÌÑ i = 1; : : : ; r ×ÙÞÉÓÌÉÍ ai ≡ a2i−1 · adi (mod m): 3. ar ÅÓÔØ ÉÓËÏÍÙÊ ×ÙÞÅÔ ad mod m. óÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ i ai ≡ ad0 2 +···+di (mod m); ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï i. ÁË ËÁË ËÁÖÄÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÎÁ ÛÁÇÅ 2 ÔÒÅÂÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÔÒÅÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÊ Ï ÍÏÄÕÌÀ m É ÜÔÏÔ ÛÁÇ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ r 6 log2 m ÒÁÚ, ÔÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ Ï ÅÎÅÎÁ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ O(ln m).

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

93

÷ÔÏÒÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ | ÜÔÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ ÚÁÄÁÎÎÙÍÉ Ä×Á ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁ a É b É ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÉÈ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ (a; b). 2. áÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ

1. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ r | ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ a ÎÁ b, a = bq + r, 0 6 r < b. 2. åÓÌÉ r = 0, ÔÏ b ÅÓÔØ ÉÓËÏÍÏÅ ÞÉÓÌÏ. 3. åÓÌÉ r 6= 0, ÔÏ ÚÁÍÅÎÉÍ ÁÒÕ ÞÉÓÅÌ ha; bi ÁÒÏÊ hb; ri É ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÛÁÇÕ 1. îÅ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÑÓØ ÎÁ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÉ, ÏÞÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔ (a; b), ÄÏËÁÖÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ Ï ÅÎËÕ ÅÇÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. ÅÏÒÅÍÁ 3. ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ (a; b) Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ å×ËÌÉÄÁ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 5p ÏÅÒÁ ÉÊ ÄÅÌÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ, ÇÄÅ p ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÆÒ × ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ a É b. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÌÏÖÉÍ r0 = a > b É ÏÒÅÄÅÌÉÍ r1 ; r2 ; : : : ; rn | ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ, ÏÑ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ × ÒÏ ÅÓÓÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÛÁÇÁ 1 ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ å×ËÌÉÄÁ. ÏÇÄÁ r1 = b; : : : ; 0 6 ri+1 < ri ; i = 0; 1; : : : n − 1: ðÕÓÔØ ÔÁËÖÅ u0 = 1; u1 = 1; uk+1 = uk + uk−1 ; k > 1, | ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ æÉÂÏÎÁÞÞÉ. éÎÄÕË ÉÅÊ Ï i ÏÔ i = n − 1 ÄÏ i = 0 ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ri+1 > un−i . á ÔÁË ËÁË un > 10(n−1)=5, ÔÏ ÉÍÅÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 10p > b = r1 > un > 10(n−1)=5 É n < 5p + 1. îÅÍÎÏÇÏ ÏÄÒÁ×É× ÁÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ, ÍÏÖÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÒÅÛÁÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ax ≡ 1 (mod b) ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ (a; b) = 1. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÏÉÓËÕ ÅÌÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ax + by = 1. 3. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ax + by = 1 1 0 0. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ E = 0 1 . 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ r | ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ a ÎÁ b, a = bq + r; 0 6 r < b. 2. åÓÌÉ r = 0, ÔÏ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù E ÄÁÅÔ ×ÅËÔÏÒ xy ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. 3. åÓÌÉ r 6= 0, ÔÏ ÚÁÍÅÎÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ E ÍÁÔÒÉ ÅÊ E · 01 −1q . 4. úÁÍÅÎÉÍ ÁÒÕ ÞÉÓÅÌ ha; bi ÁÒÏÊ hb; ri É ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÛÁÇÕ 1. åÓÌÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÞÅÒÅÚ Ek ÍÁÔÒÉ Õ E , ×ÏÚÎÉËÁÀÝÕÀ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÅÒÅÄ ÛÁÇÏÍ 2 ÏÓÌÅ k ÄÅÌÅÎÉÊ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ (ÛÁÇ 1),

94

çÌÁ×Á 4

ÔÏ × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 1 × ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ha; bi · Ek = hrk−1 ; rk i. åÇÏ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï k. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÁ a É b ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, ÉÍÅÅÍ rn = 1, É ÜÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ax + by = 1. âÕË×ÏÊ n ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÌÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÅÌÅÎÉÊ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ, ËÏÔÏÒÏÅ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÁËÏÅ ÖÅ, ËÁË É × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ å×ËÌÉÄÁ. ÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÒÁÚÒÑÄÕ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. üÔÏ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÎÏÓÑÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÅÒÈÕ ÓÔÅÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÄÌÉÎÙ ÚÁÉÓÉ ×ÈÏÄÑÝÉÈ ÞÉÓÅÌ (ÓÍ. ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ × ÇÌÁ×Å 2). åÓÌÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ, ÏÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÎÁ ×ÈÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ m, ÔÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÜÔÏÇÏ ÔÉÁ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ O(ln m) , ÇÄÅ | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ÷Ï ×ÓÅÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÒÉÍÅÒÁÈ = 1. ðÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ × ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ | ÂÏÌØÛÁÑ ÒÅÄËÏÓÔØ. äÁ É Ï ÅÎËÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÞÁÝÅ ×ÓÅÇÏ ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ËÁËÉÅÌÉÂÏ ÎÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÅ, ÎÏ ÒÁ×ÄÏÏÄÏÂÎÙÅ ÇÉÏÔÅÚÙ, ÏÂÙÞÎÏ ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. äÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ. éÎÏÇÄÁ × ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ×ÓÅ ÖÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ, ËÏÔÏÒÁÑ, ÅÓÌÉ Ï×ÅÚÅÔ, ÂÙÓÔÒÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÒÅÂÕÅÍÏÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÌÁÓÓ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÁÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÎÏ ÉÍÅÀÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÕÀ Ï ÅÎËÕ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÁÂÏÔÙ. ïÂÙÞÎÏ ÒÁÂÏÔÁ ÜÔÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×. ÷ ÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÉ ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏÌÇÏ. îÏ ÕÄÁÞÎÙÊ ×ÙÂÏÒ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÂÙÓÔÒÏÅ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÅ ÒÁÂÏÔÙ. ÁËÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÅÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÈÏÒÏÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÏ× ×ÅÌÉËÏ, ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ, ÈÏÔÑ É ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÈÏÒÏÛÉÈ Ï ÅÎÏË ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÎÏÇÄÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÌÏ×Á ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÔÌÉÞÁÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ × ÏÂÙÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÏÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ëÁË ÒÉÍÅÒ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ï ÒÏÓÔÏÍÕ ÍÏÄÕÌÀ. ðÕÓÔØ p | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÂÏÌØÛÉÍ, É f (x) ∈ Z[x℄ | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÓÔÅÅÎØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ. úÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÔÙÓËÁÎÉÉ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ f (x) ≡ 0 (mod p): (8) îÁÒÉÍÅÒ, ÒÅÞØ ÍÏÖÅÔ ÉÄÔÉ Ï ÒÅÛÅÎÉÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÅÓÌÉ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÒÁ×ÎÁ 2. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏÔÙÓËÁÔØ × ÏÌÅ Fp = Z=pZ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ f (x) = 0.

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

95

óÏÇÌÁÓÎÏ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ æÅÒÍÁ, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÌÑ Fp Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÙÍÉ ËÏÒÎÑÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ xp − x. ðÏÜÔÏÍÕ, ×ÙÞÉÓÌÉ× ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ d(x) = (xp − x; f (x)), ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ d(x), ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÒÎÅÊ ËÏÔÏÒÏÇÏ × ÏÌÅ Fp ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x), ÒÉÞÅÍ ×ÓÅ ÜÔÉ ËÏÒÎÉ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÙ. åÓÌÉ ÏËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ d(x) ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÕÀ ÓÔÅÅÎØ, Ô. Å. ÌÅÖÉÔ × ÏÌÅ Fp , ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ÏÚÎÁÞÁÔØ, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (8) ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ d(x) ÕÄÏÂÎÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (x) ≡ xp (mod f (x)), ÏÌØÚÕÑÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÏÄÏÂÎÙÍ ÏÉÓÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÅÎØ (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ p ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÂÏÌØÛÉÍ). á ÚÁÔÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÎÁÌÏÇÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ å×ËÌÉÄÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ d(x) = ( (x) − x; f (x)). ÷ÓÅ ÜÔÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÓÕÖÄÁÑ ÄÁÌÅÅ ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (8), ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ × ËÏÌØ Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Fp [x℄ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f (x) = (x − a1 ) · : : : · (x − an ); ai ∈ Fp ; ai 6= aj : 4. áÌÇÏÒÉÔÍ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ËÏÌØ Å

Fp [x℄

f (x)

1. ÷ÙÂÅÒÅÍ ËÁËÉÍ-ÌÉÂÏ ÓÏÓÏÂÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔ Æ ∈ Fp . 2. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØp 1 g(x) = (f (x); (x + Æ) 2 − 1). 3. åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g(x) ÏËÁÖÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ f (x), ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) ÒÁÓÁÄÅÔÓÑ ÎÁ Ä×Á ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ É Ó ËÁÖÄÙÍ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÎÕÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÒÏÄÅÌÁÔØ ×ÓÅ ÏÅÒÁ ÉÉ, ÒÅÄÉÓÙ×ÁÅÍÙÅ ÎÁÓÔÏÑÝÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x). 4. åÓÌÉ ÏËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ g(x) = 1 ÉÌÉ g(x) = f (x), ÓÌÅÄÕÅÔ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÛÁÇÕ 1 É, ×ÙÂÒÁ× ÎÏ×ÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Æ, ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. −

ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ÛÁÇÅ 2 Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ O(ln p), ÅÓÌÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÏ×ÏÄÉÔØ ÔÁË, ËÁË ÜÔÏ ÕËÁÚÙ×ÁÌÏÓØ ×ÙÛÅ ÒÉ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ d(x). ÷ÙÑÓÎÉÍ ÔÅÅÒØ, ÓËÏÌØ ÄÏÌÇÏ ÒÉÄÅÔÓÑ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÞÉÓÌÁ Æ, ÏËÁ ÎÁ ÛÁÇÅ 2 ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ f (x). p 1 p 1 ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (t + a1 ) 2 = (t + a2 ) 2 × ÏÌÅ Fp ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ p−2 3 . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï D ⊂ Fp , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× Æ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ p 1 p 1 (Æ + a1 ) 2 6= (Æ + a2 ) 2 ; Æ 6= −a1 ; Æ 6= −a2 ; ÓÏÓÔÏÉÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÞÅÍ ÉÚ p−2 1 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. õÞÉÔÙ×ÁÑ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ p 1 ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ b ∈ Fp ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× b 2 = 1, −

−

−

−

−

96

çÌÁ×Á 4

p−1

ÌÉÂÏ b 2 = −1, ÚÁËÌÀÞÁÅÍ,1 ÞÔÏ ÄÌÑ Æ ∈ D ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ a1 ; a2 ÂÕÄÅÔ p ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (x+Æ) 2 − 1, Á ÄÒÕÇÏÅ | ÎÅÔ. äÌÑ ÔÁËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× Æ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g(x), ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÎÁ ÛÁÇÅ 2 ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÂÕÄÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x). éÔÁË, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ p−2 1 ÕÄÁÞÎÙÈ ×ÙÂÏÒÏ× ÜÌÅÍÅÎÔÁ Æ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁ ÛÁÇÅ 2 ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) ÒÁÓÁÄÅÔÓÑ ÎÁ Ä×Á ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ Æ ∈ Fp , ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÅ ÒÁÚÌÏÖÉÔÓÑ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÏÓÌÅ k Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÛÁÇÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ 1{4, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 2−k . ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ Ó ÒÏÓÔÏÍ k ÕÂÙ×ÁÅÔ ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ. é ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ Ï ÅÎËÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ËÏÒÎÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x). ðÒÉ n > 2 ÜÔÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÅÝÅ ÍÅÎØÛÅ. âÏÌÅÅ ÔÏÎËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ Ï ÅÎÏË á. ÷ÅÊÌÑ ÄÌÑ ÓÕÍÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÎÅ ÒÁÓÁÓÔØÓÑ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÒÉ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÏÍ ÒÏÈÏÄÅ ÛÁÇÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ 1{4, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 2−n + O(p−1=2 ). úÄÅÓØ ÏÓÔÏÑÎÎÁÑ × O(·) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ n. äÅÔÁÌÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÍ. × [24℄. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ï ÅÎËÉ á. ÷ÅÊÌÑ (ÓÍ. [9℄). ÷ ËÎÉÇÅ [6℄ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ âÅÒÌÅËÜÍÕ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (8), ÔÒÅÂÕÀÝÉÊ O(pn3 ) ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. ïÎ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÂÅÓÏÌÅÚÅÎ ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ p, Á ×ÏÔ ÒÉ ÍÁÌÅÎØËÉÈ p É ÎÅ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÉÈ n ÏÎ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÄÏÌÇÏ. åÓÌÉ × ÓÒÁ×ÎÅÎÉÉ (8) ÚÁÍÅÎÉÔØ ÒÏÓÔÏÊ ÍÏÄÕÌØ p ÓÏÓÔÁ×ÎÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ m, ÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÎÁÍÎÏÇÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÏÊ. éÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ Ó×ÅÄÅÎÉÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ë ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ (8) Ï ÒÏÓÔÙÍ ÍÏÄÕÌÑÍ | ÄÅÌÉÔÅÌÑÍ m, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÎÉ ÔÒÅÂÕÀÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ m ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÞÔÏ, ËÁË ÕÖÅ ÕËÁÚÙ×ÁÌÏÓØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. −

4. ëÁË ÏÔÌÉÞÉÔØ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÔ ÒÏÓÔÏÇÏ

óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÓÏÓÏÂ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÍ, ÎÅ ÒÁÚÌÁÇÁÑ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ æÅÒÍÁ, ÅÓÌÉ ÞÉÓÌÏ N ÒÏÓÔÏÅ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÅÌÏÇÏ a, ÎÅ ÄÅÌÑÝÅÇÏÓÑ ÎÁ N , ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ aN −1 ≡ 1 (mod N ): (9) åÓÌÉ ÖÅ ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ a ÜÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÒÕÛÁÅÔÓÑ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ N | ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ. ðÒÏ×ÅÒËÁ (9) ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔ ÂÏÌØÛÉÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ, ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ 1. ÷ÏÒÏÓ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ, ËÁË ÎÁÊÔÉ ÄÌÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÇÏ N ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ a, ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ (9). íÏÖÎÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ù-

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

97

ÔÁÔØÓÑ ÎÁÊÔÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÞÉÓÌÏ a, ÉÓÙÔÙ×ÁÑ ×ÓÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÄÒÑÄ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó 2. éÌÉ ÏÒÏÂÏ×ÁÔØ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ 1 < a < N . ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÔÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÄÁÅÔ ÔÏ, ÞÔÏ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ. éÍÅÀÔÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÞÉÓÌÁ N , ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (9) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÅÌÏÇÏ a Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ (a; N ) = 1. ÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁÍÉ ëÁÒÍÁÊËÌÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÉÓÌÏ 561 = 3 · 11 · 17. ÁË ËÁË 560 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ 2, 10, 16, ÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ æÅÒÍÁ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ 561 ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ëÁÒÍÁÊËÌÁ. íÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ (Carmi hael, 1912), ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ëÁÒÍÁÊËÌÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ N = p1 · : : : · pr , r > 3, ÇÄÅ ×ÓÅ ÒÏÓÔÙÅ pi ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÒÉÞÅÍ N − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ËÁÖÄÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ pi − 1. ìÉÛØ ÎÅÄÁ×ÎÏ, ÓÍ. [10℄, ÂÙÌÁ ÒÅÛÅÎÁ ÒÏÂÌÅÍÁ Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÁËÉÈ ÞÉÓÅÌ. ÷ 1976 Ç. íÉÌÌÅÒ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÒÏ×ÅÒËÕ (9) ÒÏ×ÅÒËÏÊ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ. äÅÔÁÌÉ ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × [8℄. åÓÌÉ N | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, N − 1 = 2s · t, ÇÄÅ t ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ æÅÒÍÁ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ a Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ (a; N ) = 1 ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ÓËÏÂÏË × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ s 1 (at − 1)(at + 1)(a2t + 1) · : : : · (a2 t + 1) = aN −1 − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ N . ïÂÒÁÝÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ÏÔÌÉÞÁÔØ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÔ ÒÏÓÔÙÈ. ðÕÓÔØ N | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, N − 1 = 2s · t, ÇÄÅ t ÎÅÞÅÔÎÏ. îÁÚÏ×ÅÍ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ a, 1 < a < N , ÈÏÒÏÛÉÍ ÄÌÑ N , ÅÓÌÉ ÎÁÒÕÛÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: ) N ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ a; ) at ≡ 1 (mod N ) ÉÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÌÏÅ k, 0 6 k < s, ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ k a2 t ≡ −1 (mod N ): éÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÒÁÎÅÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ N ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÈÏÒÏÛÉÈ ÞÉÓÅÌ a. åÓÌÉ ÖÅ N ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ, ËÁË ÄÏËÁÚÁÌ òÁÂÉÎ, ÉÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 34 (N − 1). ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÊ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÔ ÒÏÓÔÙÈ. −

5. áÌÇÏÒÉÔÍ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ ÎÅÒÏÓÔÏÔÕ ÞÉÓÌÁ

1. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÞÉÓÌÏ a, 1 < a < N , É ÒÏ×ÅÒÉÍ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ) É ). 2. åÓÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÒÕÛÁÅÔÓÑ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ N ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ. 3. åÓÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÏÂÁ ÕÓÌÏ×ÉÑ ) É ), ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÍÓÑ Ë ÛÁÇÕ 1. éÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ËÁË ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ÏÓÌÅ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÏÇÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÛÁÇÏ× 1{3 Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÎÅ ÂÏÌØÛÅÊ 4−1 . á ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÇÏ ÏÓÌÅ k Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 4−k , Ô. Å. ÕÂÙ×ÁÅÔ ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ.

98

çÌÁ×Á 4

íÉÌÌÅÒ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ O(ln3 N ), ÏÄÎÁËÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÅÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÅÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ òÉÍÁÎÁ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÜÔÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑ ) É ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ a; 2 6 a 6 70 ln2 N . åÓÌÉ ÒÉ ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ a ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÒÏÍÅÖÕÔËÁ ÎÁÒÕÛÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ ) ÉÌÉ ), ÞÉÓÌÏ N ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÏ ÂÕÄÅÔ ÒÏÓÔÙÍ ÉÌÉ ÓÔÅÅÎØÀ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ. îÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÑÔÉÑ, ÓÍ. [4℄, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ òÉÍÁÎÁ. ïÎÉ ÏÎÁÄÏÂÑÔÓÑ ÎÁÍ É × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ. ðÕÓÔØ m > 2 | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. æÕÎË ÉÑ : Z → C ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ äÉÒÉÈÌÅ Ï ÍÏÄÕÌÀ m, ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ, ÅÓÌÉ ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÅÒÉÏÄÉÞÎÁ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ m, ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÞÉÓÌÁÈ, ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ Ó m, É ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁ, Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÅÌÙÈ u; v ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (uv) = (u)(v). äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ m ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ '(m) ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× äÉÒÉÈÌÅ. ïÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ Ï ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ. åÄÉÎÉÞÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÜÔÏÊ ÇÒÕÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ 0 , ÒÁ×ÎÙÊ 1 ÎÁ ×ÓÅÈ ÞÉÓÌÁÈ, ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ Ó m, É 0 ÎÁ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÌÁÈ. ðÏÒÑÄËÏÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÏÒÑÄÏË ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÙ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ×. ó ËÁÖÄÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ Ó×ÑÚÁÎÁ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ L-ÆÕÎË ÉÑ äÉÒÉÈÌÅ | ÆÕÎË ÉÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ s, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÒÑÄÏÍ ∞ X (n) L(s; ) = s . óÕÍÍÁ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÁ × ÏÂÌÁÓÔÉ Re s > 1 n=1 n É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉ ÒÏÄÏÌÖÅÎÁ ÎÁ ×ÓÀ Y ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ. óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ L(s; 0 ) = (s) (1 − p−s ) Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ p| m

L-ÆÕÎË ÉÀ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÕÀ ÇÌÁ×ÎÏÍÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÕ, Ó ÄÚÅÔÁ-ÆÕÎË ÉÅÊ òÉ∞ X 1 ÍÁÎÁ (s) = s . òÁÓÛÉÒÅÎÎÁÑ ÇÉÏÔÅÚÁ òÉÍÁÎÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ n n=0 ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÎÕÌÉ ×ÓÅÈ L-ÆÕÎË ÉÊ äÉÒÉÈÌÅ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÏÌÏÓÅ 0 < Re s < 1, ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ Re s = 12 . ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÎÅ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÄÁÖÅ ÒÏÓÔÅÊÛÁÑ ÆÏÒÍÁ ÜÔÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ | ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÇÉÏÔÅÚÁ òÉÍÁÎÁ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÁÑ ÔÁËÏÊ ÖÅ ÆÁËÔ Ï ÎÕÌÑÈ ÄÚÅÔÁ-ÆÕÎË ÉÉ. ÷ 1952 Ç. áÎËÅÎÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ òÉÍÁÎÁ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ q ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÊ ÎÅ×ÙÞÅÔ a, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ 2 6 a 6 70 ln2 q. ëÏÎÓÔÁÎÔÁ 70 ÂÙÌÁ ÓÏÓÞÉÔÁÎÁ ÏÚÄÎÅÅ. éÍÅÎÎÏ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ É ÌÅÖÉÔ × ÏÓÎÏ×Å ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ íÉÌÌÅÒÁ. ÷ 1957 Ç. âÅÒÄÖÅÓÓ ÄÏËÁÚÁÌ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

99

ÎÅ×ÙÞÅÔÁ ÂÅÚ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ òÉÍÁÎÁ, ÎÏ Ó ÈÕÄ1 ÛÅÊ Ï ÅÎËÏÊ 2 6 a 6 q 4 e + ", ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÊ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ " É q, ÂÏÌØÛÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÇÒÁÎÉ Ù, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÏÔ ". áÌÇÏÒÉÔÍ íÉÌÌÅÒÁ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ 5, ÔÁË ËÁË ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ N | ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ, ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅÄÏËÁÚÁÎÎÕÀ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÕÀ ÇÉÏÔÅÚÕ òÉÍÁÎÁ É ÏÔÏÍÕ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅ×ÅÒÎÙÍ. ÷ ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ 5 ÄÁÅÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÄÌÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ Ï ÅÎÏË ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ÏÎ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ×ÏÌÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔÅÌØÎÏ. √

5. ëÁË ÓÔÒÏÉÔØ ÂÏÌØÛÉÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ

íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÏÉÓÙ×ÁÔØ ÚÄÅÓØ ÉÓÔÏÒÉÀ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÍ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ Ë ËÎÉÇÅ [6℄ É ÏÂÚÏÒÁÍ [8, 9℄. ëÏÎÅÞÎÏ ÖÅ, ÂÏÌØÛÉÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÂÙÓÔÒÏ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÉÈ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ × ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÄÉÁÁÚÏÎÅ ×ÅÌÉÞÉÎ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÅÒÑÌÁ ÂÙ ×ÓÑËÉÊ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÓÉÓÔÅÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ RSA. îÁÉÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ ÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÍÁÌÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ æÅÒÍÁ. ÅÏÒÅÍÁ 4. ðÕÓÔØ N , S | ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, N −1 = S ·R, ÒÉÞÅÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ q ÞÉÓÌÁ S ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ a ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ N 1 aN −1 ≡ 1 (mod N ); (a q − 1; N ) = 1: (10) ÏÇÄÁ ËÁÖÄÙÊ ÒÏÓÔÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ p ÞÉÓÌÁ N ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ p ≡ 1 (mod 2S ): äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ p | ÒÏÓÔÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÌÁ N , Á q | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ S . éÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ (10) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× Fp ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ N 1 aN −1 = 1; a q 6= 1; ap−1 = 1: (11) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÕË×ÏÊ r ÏÒÑÄÏË ÜÌÅÍÅÎÔÁ a × ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÅ ÏÌÑ Fp . ðÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (11) ÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÞÔÏ q ×ÈÏÄÉÔ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÞÉÓÌÁ r × ÓÔÅÅÎÉ ÔÁËÏÊ ÖÅ, ËÁË É × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ N − 1, Á ÏÓÌÅÄÎÅÅ | ÞÔÏ p − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ r. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÖÄÙÊ ÒÏÓÔÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÌÁ S ×ÈÏÄÉÔ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ p − 1 × ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ÍÅÎØÛÅÊ, ÞÅÍ × S , ÔÁË ÞÔÏ p − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ S . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, p − 1 ÞÅÔÎÏ. ÅÏÒÅÍÁ 2 ÄÏËÁÚÁÎÁ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 2 É R 6 4S +2, ÔÏ N | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. −

−

100

çÌÁ×Á 4

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ N ÒÁ×ÎÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÎÅ ÍÅÎÅÅ Ä×ÕÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ. ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ ÔÅÏÒÅÍÙ 2, ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 2S + 1. îÏ ÔÏÇÄÁ (2S + 1)2 6 N = SR + 1 6 4S 2 + 2S + 1. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ É ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ËÁË Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÉÍÅÑ ÂÏÌØÛÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ S , ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌØÛÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ N . ÷ÙÂÅÒÅÍ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ R ÎÁ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ S 6 R 6 4S + 2 É ÏÌÏÖÉÍ N = SR + 1. úÁÔÅÍ ÒÏ×ÅÒÉÍ ÞÉÓÌÏ N ÎÁ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÍÁÌÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ, ÒÁÚÄÅÌÉ× ÅÇÏ ÎÁ ÍÁÌÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ; ÉÓÙÔÁÅÍ N ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ 5. åÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÙÑÓÎÉÔÓÑ, ÞÔÏ N | ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ ÎÏ×ÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ R É ÏÑÔØ Ï×ÔÏÒÉÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. ÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÅÌÁÔØ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎÏ ÞÉÓÌÏ N , ×ÙÄÅÒÖÁ×ÛÅÅ ÉÓÙÔÁÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ 5 ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÄÅÖÄÁ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ N | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, É ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÏÓÔÏÔÕ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÅÓÔÏ× ÔÅÏÒÅÍÙ 2. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÍÏÖÎÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÞÉÓÌÏ a, 1 < a < N , É ÒÏ×ÅÒÑÔØ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ aN −1 ≡ 1 (mod N ); (aR − 1; N ) = 1: (12) åÓÌÉ ÒÉ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍ a ÜÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ, ÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÀ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 2, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ N ÒÏÓÔÏÅ. åÓÌÉ ÖÅ ÜÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁÒÕÛÁÀÔÓÑ, ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÄÒÕÇÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ a É Ï×ÔÏÒÑÔØ ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ N ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ. úÁÄÁÄÉÍÓÑ ×ÏÒÏÓÏÍ, ÓËÏÌØ ÄÏÌÇÏ ÒÉÄÅÔÓÑ ÅÒÅÂÉÒÁÔØ ÞÉÓÌÁ a, ÏËÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎÏ ÔÁËÏÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÕÄÕÔ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÑ (12). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ N ÅÒ×ÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ (12), ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ æÅÒÍÁ, ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ×ÓÅÇÄÁ. Å ÖÅ ÞÉÓÌÁ a, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÒÕÛÁÅÔÓÑ ×ÔÏÒÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ (12), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ aR ≡ 1 (mod N ). ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ xR = 1 × ÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× FN ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ R ÒÅÛÅÎÉÊ. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ x = 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ 1 < a < N ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ R − 1 ÞÉÓÅÌ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ (12). üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ, ×ÙÂÉÒÁÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÞÉÓÌÁ a ÎÁ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ 1 < a < N , ÒÉ ÒÏÓÔÏÍ N ÍÏÖÎÏ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÂÏÌØÛÅÊ, ÞÅÍ 1 − O(S −1 ), ÎÁÊÔÉ ÞÉÓÌÏ a, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÕÄÕÔ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 2, É ÔÅÍ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ N ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ N ÂÕÄÅÔ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ N > S 2 , Ô. Å. ÂÕÄÅÔ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØÓÑ ×Ä×ÏÅ ÂÏÌØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÉÆÒ, ÞÅÍ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ S . úÁÍÅÎÉ× ÔÅÅÒØ ÞÉÓÌÏ S ÎÁ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ N É Ï×ÔÏÒÉ× Ó ÜÔÉÍ ÎÏ-

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

101

×ÙÍ S ×ÓÅ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ, ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÅÝÅ ÂÏÌØÛÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. îÁÞÁ× Ó ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÓËÁÖÅÍ, ÚÁÉÓÁÎÎÏÇÏ 10 ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÍÉ ÉÆÒÁÍÉ (ÒÏÓÔÏÔÕ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÅÌÅÎÉÅÍ ÎÁ ÍÁÌÅÎØËÉÅ ÔÁÂÌÉÞÎÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ), É Ï×ÔÏÒÉ× ÕËÁÚÁÎÎÕÀ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ, ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ ÎÕÖÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ. ïÂÓÕÄÉÍ ÔÅÅÒØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÏÒÏÓÙ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × Ó×ÑÚÉ Ó ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅÍ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ ×ÉÄÁ N = SR + 1, ÇÄÅ ÞÉÓÌÁ R É S ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ S 6 R 6 4S + 2. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ äÉÒÉÈÌÅ, ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÅÝÅ × 1839 Ç., ÒÏÇÒÅÓÓÉÑ 2Sn + 1, n = 1; 2; 3; : : : ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ. îÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÔ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÅÄÁÌÅËÏ ÏÔ ÎÁÞÁÌÁ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. ï ÅÎËÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ × ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ ÂÙÌÁ ÏÌÕÞÅÎÁ × 1944 Ç. à. ÷. ìÉÎÎÉËÏÍ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ × ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ 2Sn +1 ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ S C , ÇÄÅ C | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÁÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ÷ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ òÉÍÁÎÁ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, [11, ÓÔÒ. 272℄, ÞÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÔÁËÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ (") · S 2+" ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ". ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÎÉËÁËÉÈ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÇÁÒÁÎÔÉÊ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ N = SR + 1, S 6 R 6 4S + 2 ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÏÙÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÎÁ ü÷í ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ × ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÌÉÚËÏ Ë ÅÅ ÎÁÞÁÌÕ. õÏÍÑÎÅÍ × ÜÔÏÊ Ó×ÑÚÉ ÇÉÏÔÅÚÕ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ q Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ 2q + 1 ÔÁËÖÅ ÒÏÓÔÏÅ, Ô. Å. ÒÏÓÔÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÖÅ ÅÒ×ÙÊ ÞÌÅÎ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. ïÞÅÎØ ×ÁÖÅÎ × Ó×ÑÚÉ Ó ÏÉÓÙ×ÁÅÍÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ ÔÁËÖÅ ×ÏÒÏÓ Ï ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ ÍÅÖÄÕ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ÒÏÓÔÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ × ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. ÷ÅÄØ ÕÂÅÄÉ×ÛÉÓØ, ÞÔÏ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ R ÞÉÓÌÏ N = SR+1 ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ, ÍÏÖÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ R ×ÚÑÔØ ÒÁ×ÎÙÍ R + 2 É ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ÏËÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎÏ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ N . é ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ÒÏÓÔÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ × ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ ×ÅÌÉËÏ, ÎÅÔ ÎÁÄÅÖÄÙ ÂÙÓÔÒÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÕÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ N . ðÅÒÅÂÏÒ ÞÉÓÅÌ R ÄÏ ÔÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ, ËÁË ÍÙ ÎÁÔËÎÅÍÓÑ ÎÁ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ N ÏËÁÖÅÔÓÑ ÓÌÉÛËÏÍ ÄÏÌÇÉÍ. ÷ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÍ ×ÏÒÏÓÅ Ï ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ ÍÅÖÄÕ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ÒÏÓÔÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ pn É pn+1 × ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÒÑÄÅ ÄÏËÁÚÁ38 ÎÏ ÌÉÛØ, ÞÔÏ pn+1 − pn = O pn61 +" , ÞÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÏÞÅÎØ ÈÏÒÏÛÏ ÄÌÑ ÎÁÛÉÈ ÅÌÅÊ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÇÉÏÔÅÚÁ ëÒÁÍÅÒÁ (1936 Ç.), ÞÔÏ pn+1 − pn = O(ln2 pn ), ÄÁÀÝÁÑ ×ÏÌÎÅ ÒÉÅÍÌÅÍÕÀ Ï ÅÎËÕ. ðÒÉÍÅÒÎÏ ÔÁËÏÊ ÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÌÅÄÕÅÔ É ÉÚ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ òÉÍÁÎÁ. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁ ü÷í ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÙÅ

102

çÌÁ×Á 4

ÞÉÓÌÁ × ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÇÒÅÓÓÉÑÈ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÌÏÔÎÏ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÉÔÏÇÁ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÏÄÞÅÒËÎÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: ÅÓÌÉ ÒÉÎÑÔØ ÎÁ ×ÅÒÕ, ÞÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á ÔÁËÖÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ÒÏÓÔÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ × ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ 2Sn + 1 ÒÉ S 6 n 6 4S + 2 Ï ÅÎÉ×ÁÀÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ O(ln2 S ), ÔÏ ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÉÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÍÅÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÕÀ Ï ÅÎËÕ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÏÔÙÓËÉ×ÁÀÝÉÈ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ × ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÇÒÅÓÓÉÑÈ ÓÏ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ, ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ÜÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÁÂÏÔÁÀÔ ×ÏÌÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔÅÌØÎÏ. îÁ ÏÂÙÞÎÏÍ ÅÒÓÏÎÁÌØÎÏÍ ËÏÍØÀÔÅÒÅ ÂÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÚÁÔÒÁÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÒÑÄËÁ 10300 . ëÏÎÅÞÎÏ, ÓÏÓÏÂ ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ ÄÌÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ × ÓÈÅÍÅ RSA ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÍÁÓÓÏ×ÙÍ, Á ÓÁÍÉ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÓÍÙÓÌÅ ÈÏÒÏÛÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ. üÔÏ ×ÎÏÓÉÔ ÒÑÄ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÏÓÌÏÖÎÅÎÉÊ × ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ÷ÒÏÞÅÍ, ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÍÁÓÓÕ ×ÁÒÉÁ ÉÊ. ÷ÓÅ ÜÔÉ ×ÏÒÏÓÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ × ÓÔÁÔØÅ [12℄. îÁËÏÎÅ , ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÍÅÔÏÄÙ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÉÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÅ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÏÓÔÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ N − 1, ÎÏ É ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÞÉÓÅÌ N + 1, N 2 + 1, N 2 ± N + 1. ÷ ÏÓÎÏ×Å ÉÈ ÌÅÖÉÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÒÑÄËÏ×. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an , ÞÌÅÎÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ × ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ æÅÒÍÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ un+1 = aun, u0 = 1. 6. ëÁË ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÂÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÁ ÒÏÓÔÏÔÕ

åÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ × ÏÓÔÁÎÏ×ËÁÈ ÚÁÄÁÞ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ É ÎÁÓÔÏÑÝÅÇÏ ÒÁÚÄÅÌÏ×. ëÏÇÄÁ ÍÙ ÓÔÒÏÉÍ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ N , ÍÙ ÏÂÌÁÄÁÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ Ï ÎÅÍ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÊ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÔÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÎÉÅ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÞÉÓÌÁ N − 1. üÔÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÉÎÏÇÄÁ ÏÂÌÅÇÞÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏÓÔÏÔÙ N . ÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ ÌÉÛØ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÚÁÄÁÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ N , ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÂÒÁÎÎÏÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ, É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÅÇÏ ÒÏÓÔÏÔÕ, ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÍ. üÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ ÒÅÛÁÅÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÊ × . 4 ÁÌÇÏÒÉÔÍ íÉÌÌÅÒÁ. ïÄÎÁËÏ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÅÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ òÉÍÁÎÁ. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ N ×ÙÄÅÒÖÁÌÏ ÉÓ-

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

103

ÙÔÁÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ 5 ÄÌÑ 100 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÔÏ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÂÏÌØÛÅÊ, ÞÅÍ 1 − 4−100 . üÔÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÞÅÎØ ÂÌÉÚËÁ Ë ÅÄÉÎÉ Å, ÏÄÎÁËÏ ×ÓÅ ÖÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÔÅÎØ ÓÏÍÎÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÓÔÏÔÅ ÞÉÓÌÁ N . ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ N Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ, Á ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÌÉÛØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÏÓÔÏÔÙ ÞÉÓÅÌ. íÙ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÍÓÑ ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÎÉÈ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÍ × 1983 Ç. × ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ áÄÌÅÍÁÎÁ, ðÏÍÅÒÁÎ Á É òÁÍÅÌÉ [13℄. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÏÓÔÏÔÙ ÉÌÉ ÎÅÒÏÓÔÏÔÙ ÞÉÓÌÁ N ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÔÒÅÂÕÅÔ (ln N ) lnlnln N ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. úÄÅÓØ | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. æÕÎË ÉÑ ln ln ln N ÈÏÔØ É ÍÅÄÌÅÎÎÏ, ÎÏ ×ÓÅ ÖÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ Ó ÒÏÓÔÏÍ N , ÏÜÔÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ. îÏ ×ÓÅ ÖÅ ÅÇÏ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÔØ ÞÉÓÌÁ ÎÁ ÒÏÓÔÏÔÕ. óÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÕÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÕÒÏÝÅÎÉÑ × ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÂÙÌÉ ×ÎÅÓÅÎÙ × ÒÁÂÏÔÁÈ è. ìÅÎÓÔÒÙ É á. ëÏÅÎÁ [14, 15℄. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÉÓÙ×ÁÅÍÙÊ ÎÉÖÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ áÄÌÅÍÁÎÁ { ìÅÎÓÔÒÙ. ÷ ÏÓÎÏ×Å ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÌÅÖÉÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÔÉÁ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ æÅÒÍÁ, ÎÏ × ËÏÌØ ÁÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÏÌÅÊ, Ô. Å. ÏÌÅÊ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÎÁÄ ÏÌÅÍ Q ÞÉÓÌÁÍÉ p = e2i=p | ËÏÒÎÑÍÉ ÉÚ 1. ðÕÓÔØ q | ÒÏÓÔÏÅ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É | ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ Ï ÍÏÄÕÌÀ q, Ô. Å. ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÙ ÏÌÑ Fq , ËÏÔÏÒÁÑ ÉËÌÉÞÎÁ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x, ÎÅ ÄÅÌÑÝÅÇÏÓÑ ÎÁ q, ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÇÏ ÉÎÄÅËÓ, indq x ∈ Z=(q − 1)Z, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÔÁËÖÅ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÍ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏÍ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ x ≡ indq x (mod q). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÁÌÅÅ Ä×Á ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÌÁ p; q Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ, ÞÔÏ q − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p, ÎÏ ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p2 . óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ( 0; ÅÓÌÉ q|x; (x) = indq x p ; ÅÓÌÉ (x; q) = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ q É ÏÒÑÄÏË ÜÔÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ ÒÁ×ÅÎ p. óÕÍÍÁ

() = −

q −1 X

x=1

(x)qx ∈ Z[p ; q ℄

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ çÁÕÓÓÁ. æÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÁÑ ÎÉÖÅ ÔÅÏÒÅÍÁ 3 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÁÎÁÌÏÇ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ æÅÒÍÁ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ áÄÌÅÍÁÎÁ { ìÅÎÓÔÒÙ.

104

çÌÁ×Á 4

ðÕÓÔØ N | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, (N; pq) = 1. ÏÇÄÁ × ËÏÌØ Å Z[p ; q ℄ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ()N ≡ (N )−N · (N ) (mod NZ [p ; q ℄): åÓÌÉ ÒÉ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÞÉÓÌÁÈ p; q ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 3 ÎÁÒÕÛÁÅÔÓÑ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ N ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, ÏÎÏ ÄÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÑÈ ÞÉÓÌÁ N . óÏÂÒÁ× ÔÁËÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ p; q, × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÕÄÁÅÔÓÑ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ N ÉÍÅÅÔ ÌÉÛØ ÏÄÉÎ ÒÏÓÔÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ p = 2 ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 3 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍÕ × ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ N −1 q q 2 ≡ (mod N ); (13) N q ÇÄÅ | ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÉÍ×ÏÌ ñËÏÂÉ. èÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÔÁËÖÅ, N ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÒÏÓÔÙÈ q, ÎÏ É ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÅÌÙÈ q, ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ Ó N . úÁÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÉÍ×ÏÌÁ ñËÏÂÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÙÓÔÒÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ÚÁËÏÎÅ ×ÚÁÉÍÎÏÓÔÉ çÁÕÓÓÁ É, × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÏÄÏÂÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ å×ËÌÉÄÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÔÉÁ (13) ÄÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÑÈ ÞÉÓÌÁ N . ðÒÉÍÅÒ 1 (è. ìÅÎÓÔÒÁ). ðÕÓÔØ N | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, (N; 6) = 1, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ N −1 a a 2 ≡ (mod N ); ÒÉ a = −1; 2; 3; (14) N Á ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ b ÉÍÅÅÍ N −1 b 2 ≡ −1 (mod N ): (15) ëÁË ÕÖÅ ÕËÁÚÙ×ÁÌÏÓØ, ÒÉ ÒÏÓÔÏÍ N ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (14) ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a, ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏÇÏ Ó N , Á ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (15) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ b ÅÓÔØ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ Ï ÍÏÄÕÌÀ N . ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÒÁ×ÎÏ '(N − 1), Ô. Å. ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÅÌÉËÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ b Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ (15) ÒÉ ÒÏÓÔÏÍ N ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ É ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÒÏ×ÅÒËÉ (15). äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÉÚ ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔÉ (14{15) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ r ÞÉÓÌÁ N ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ r ≡ 1 (mod 24) ÉÌÉ r ≡ N (mod 24): (16) îÅ ÕÍÅÎØÛÁÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ r | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÷×ÅÄÅÍ ÔÅÅÒØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ N − 1 = u · 2k , r − 1 = v · 2m , ÇÄÅ u É v | ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÅÏÒÅÍÁ 5.

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

105

ÞÉÓÌÁ. éÚ (15) É ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ br−1 ≡ 1 (mod r) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ m > k. äÁÌÅÅ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (14), ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ v u k 1 m 1 a a a a = ≡ auv2 = ≡ auv2 (mod r); (mod r); N N r r ÏÚÎÁÞÁÀÝÉÅ (× ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÉÍ×ÏÌ ñËÏÂÉ ÍÏÖÅÔ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ÌÉÛØ −1 ÉÌÉ +1), ÞÔÏ 2m k a a : = N r a ðÒÉ m > k ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ = 1 ÒÉ a = −1; 2; 3, É, r a a = ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, r ≡ 1 (mod 24). åÓÌÉ ÖÅ m = k, ÔÏ ÉÍÅÅÍ N r É r ≡ N (mod 24). üÔÉÍ (16) ÄÏËÁÚÁÎÏ. éÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ É × ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ p É q Ó ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ ×ÙÛÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ïÉÛÅÍ (ÏÞÅÎØ ÇÒÕÂÏ) ÓÈÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ áÄÌÅÍÁÎÁ { ìÅÎÓÔÒÙ ÄÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ ÒÏÓÔÏÔÙ N : 1) ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ p1 ; : : : ; pk É ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÎÅÞÅÔÎÙÅ q1 ; : : : ; qs ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ Á) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ j ×ÓÅ ÒÏÓÔÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÞÉÓÌÁ qj − 1 ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÓÒÅÄÉ p1 ; : : : ; pk É qj − √ 1 ÎÅ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, Â) S = 2q1 · : : : · qs > N ; 2) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÙ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ p, q ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÔÅÓÔÙ, ÏÄÏÂÎÙÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 3. åÓÌÉ N ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ËÁËÏÍÕ-ÌÉÂÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÅÓÔÏ× | ÏÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ 3) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÔÏÌØËÏ É ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÓÒÁ×ÎÉÍÙ ÒÏÓÔÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ N . á ÉÍÅÎÎÏ, ËÁÖÄÙÊ ÒÏÓÔÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ r ÞÉÓÌÁ N ÄÏÌÖÅÎ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ ×ÉÄÁ r ≡ N j (mod S ); 0 6 j < T = p1 · : : : · pk ; 4) ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÌÉ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÌÉÔÅÌÉ N . åÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÎÅ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÙ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ N | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ N ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ, ÏÎÏ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÅÔ ÒÏÓÔÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ r, √ ÍÅÎØÛÉÊ N < S , ËÏÔÏÒÙÊ ÓÁÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÓÔÁÔËÏ×. éÍÅÎÎÏ ÎÁ ÜÔÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Å ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ 4) ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. ðÒÉÍÅÒ 2. åÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ {p} = {2; 3; 5; 7} É {q } = {3; 7; 11; 31; 43; 71; 211}; ÔÏ ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÕÄÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ÒÏÓÔÏÔÕ ÞÉÓÅÌ N < 8;5 · 1019. −

−

−

106

çÌÁ×Á 4

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÒÁÂÏÔÅ [13℄ ÄÌÑ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÎÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 3, Á ÚÁËÏÎ ×ÚÁÉÍÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ×ÙÞÅÔÏ× É ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÓÕÍÍÙ ñËÏÂÉ. óÕÍÍÁ ñËÏÂÉ

J (1 ; 2 ) = −

q −1 X

x=2

1 (x)2 (1 − x)

ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× 1 ; 2 Ï ÍÏÄÕÌÀ q. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÙ ÉÍÅÀÔ ÏÒÑÄÏË p, ÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÓÕÍÍÁ ñËÏÂÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÏÌØ Õ Z[p ℄. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÁ p, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÅ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ, ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅ×ÅÌÉËÉ, ÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ó ÓÕÍÍÁÍÉ ñËÏÂÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔÓÑ × ÏÌÑÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÞÅÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ó ÓÕÍÍÁÍÉ çÁÕÓÓÁ. üÔÏ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÒÉÞÉÎÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÍÍÙ ñËÏÂÉ ÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÅÅ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. ðÒÉ 1 2 6= 0 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (1 ) · (2 ) ; J (1 ; 2 ) = (1 · 2 ) Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÅ ÓÕÍÍÙ çÁÕÓÓÁ Ó ÓÕÍÍÁÍÉ ñËÏÂÉ É ÏÚ×ÏÌÑÀÝÅÅ ÅÒÅÉÓÁÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 3 × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÓÕÍÍ ñËÏÂÉ (ÓÍ. [16℄). ÁË, ÒÉ p = 3 É q = 7 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÅ ÄÌÑ ÒÏÓÔÙÈ N , ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ 2, 3, 7, ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ [N ℄ [ 2N ℄ (−3 − 2) 3 · (3 + 1) 3 ≡ (mod N Z[ ℄); ÇÄÅ = e2i=3 É | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÏÒÅÎØ ËÕÂÉÞÅÓËÉÊ ÉÚ 1. ÷ 1984 Ç. × ÒÁÂÏÔÅ [15℄ ÂÙÌÏ ×ÎÅÓÅÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÕÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ × ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÚ×ÏÌÉ×ÛÅÅ ÏÓ×ÏÂÏÄÉÔØÓÑ ÏÔ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ q − 1 ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÂÒÁ× ÞÉÓÌÏ T = 24 · 32 · 5 · 7 = 5040 É ×ÚÑ× S ÒÁ×ÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ q Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ, ÞÔÏ T ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ q − 1, ÏÌÕÞÉÍ S > 1;5 · 1052, ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÒÏÓÔÏÔÕ ÞÉÓÅÌ N , ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍÙÈ ÓÏÔÎÅÊ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÈ ÚÎÁËÏ×. ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ ÒÏ×ÏÄÉÔØÓÑ × ÏÌÑÈ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑÍÉ ÉÚ 1 ÓÔÅÅÎÅÊ 16, 9, 5 É 7. íÏÊ ÅÒÓÏÎÁÌØÎÙÊ ËÏÍØÀÔÅÒ Ó ÒÏ ÅÓÓÏÒÏÍ Pentium-150, ÏÌØÚÕÑÓØ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÅÊ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÑÚÙËÅ UBASIC, ÄÏËÁÚÁÌ ÒÏÓÔÏÔÕ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍÏÇÏ 65 ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÍÉ ÚÎÁËÁÍÉ, ÂÏÌØÛÅÇÏ ÉÚ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ × ÒÉÍÅÒÅ òÉ×ÅÓÔÁ, ûÁÍÉÒÁ É áÄÌÅÍÁÎÁ (ÓÍ. ÒÁÚÄÅÌ 1) ÚÁ 8 ÓÅËÕÎÄ. óÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÜÔÉÈ 8 ÓÅËÕÎÄ É 17 ÌÅÔ, ÏÔÒÅÂÏ×Á×ÛÉÈÓÑ ÄÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÇÏ × ÒÉÍÅÒÅ ÞÉÓÌÁ, ËÏÎÅÞÎÏ, ×ÅÞÁÔÌÑÅÔ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ï ÅÎËÁ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÔÒÕÄÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. ëÁË ÕÖÅ ÕËÁÚÙ×ÁÌÏÓØ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ (ln N ) lnlnln N . ïÄÎÁËÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÞÉÓÌÁ S É T , ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ Ñ×ÎÏ ÕËÁÚÁÎÙ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ N . äÏËÁÚÁÎÏ ÌÉÛØ

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

107

ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÞÉÓÅÌ S É T , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ Ï ÅÎËÁ. ÷ÒÏÞÅÍ, ÅÓÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ ÒÏÓÔÏÔÕ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ N ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÂÏÌØÛÅÊ 1 − 2−k ÚÁ O(k(ln N ) lnlnln N ) ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. á × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ òÉÍÁÎÁ ÜÔÁ Ï ÅÎËÁ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÁ ÒÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ S É T . 7. ëÁË ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ

íÙ ÌÉÛØ ËÒÁÔËÏ ËÏÓÎÅÍÓÑ ÜÔÏÊ ÔÅÍÙ, ÏÔÓÙÌÁÑ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ Ë ËÎÉÇÁÍ [6, 16, 17℄. óÒÅÄÉ ÍÎÏÇÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÙ ×ÙÂÅÒÅÍ ÔÕ ÌÉÎÉÀ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÉ×ÅÌÁ Ë ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÀ ÞÉÓÌÁ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÇÏ RSA. ðÏÉÓËÏÍ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÚÁÎÉÍÁÀÔÓÑ ÕÖÅ ÏÞÅÎØ ÄÁ×ÎÏ. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÌÁ ×ÙÄÁÀÝÉÈÓÑ ÕÞÅÎÙÈ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. ÷ÅÒÏÑÔÎÏ æÅÒÍÁ ÂÙÌ ÅÒ×ÙÊ, ËÔÏ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÒÁÚÌÁÇÁÅÍÏÅ ÞÉÓÌÏ N × ×ÉÄÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× N = x2 − y2 , Á ÚÁÔÅÍ, ×ÙÞÉÓÌÑÑ (N; x − y), ÏÙÔÁÔØÓÑ ÎÁÊÔÉ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ N . ïÎ ÖÅ ÒÅÄÌÏÖÉÌ É ÓÏÓÏÂ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ ÎÁÊÔÉ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÒÁÚÌÁÇÁÅÍÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÎÅ ÏÞÅÎØ ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ, ÜÔÏÔ ÓÏÓÏÂ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÈ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÒÏÓÔÏÊ ÅÒÅÂÏÒ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ. ìÅÖÁÎÄÒ ÏÂÒÁÔÉÌ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 ≡ y2 (mod N ): (17) ëÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÅÍÕ, ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ N ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. üÊÌÅÒ É çÁÕÓÓ ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÓÏÂÙ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÉÓÅÌ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ (17). ìÅÖÁÎÄÒ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÅÌÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÄÒÏÂÉ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ [b0 ; b1 ; b2 ; : : : ℄, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÅÇÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ. üÔÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ 1 x0 = ; bi = [xi ℄; xi+1 = ; i = 0; 1; 2; : : : : xi − bi ìÅÖÁÎÄÒ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÄÒÏÂØ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ√ÅÒÉÏÄÉÞÎÁ. åÓÌÉ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ × ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÄÒÏÂØ ÞÉÓÌÏ ÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ xi ÉÍÅÀÔ = N, √ √ N + Pi Ó ÅÌÙÍÉ Pi ; Qi , ÒÉÞÅÍ ×ÓÅÇÄÁ 0 6 Pi < N , ×ÉÄ xi = Q i √ 0 < Qi < 2 N . ó ËÁÖÄÏÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ ÍÏÖÎÏ Ó×ÑÚÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ-

108

çÌÁ×Á 4

×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÄÒÏÂÅÊ, Ai , i > 0, ×ÙÞÉÓÌÑÅÍÙÈ Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ Bi Ai+1 = bi+1 Ai + Ai−1 ; Bi+1 = bi+1 Bi + Bi−1 ; i > 0; A0 = b0; B0 = A−1 = 1; B−1 = 0 É ÓÔÒÅÍÑÝÉÈÓÑ Ë ÒÁÚÌÁÇÁÅÍÏÍÕ ÞÉÓÌÕ. åÓÌÉ × ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÄÒÏÂØ ÒÁÚ√ ÌÁÇÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ = N , ÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (18) A2i−1 − NBi2−1 = (−1)i Qi ; ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ A2i−1 ≡ (−1)i Qi (mod N ): (19) úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÉÎÁ ÅÒÉÏÄÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÄÒÏÂØ √ √ ÞÉÓÌÁ = N ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÏÌØÛÏÊ É ÄÏÓÔÉÇÁÔØ ×ÅÌÉÞÉÎ ÏÒÑÄËÁ N . ÷ 1971 Ç. ûÅÎËÓ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (19) ÄÌÑ ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ (17). åÓÌÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÏ×ÏÄÉÔØ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÒÉ ÞÅÔÎÏÍ i ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ Qi = R2 ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÅÌÏÍ R, ÔÏ ÁÒÁ ÞÉÓÅÌ hAi−1 ; Ri ÂÕÄÅÔ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ (17) É Ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ ÍÏÖÎÏ ÎÁÄÅÑÔØÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ N ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. ÷ 1975 Ç. íÏÒÒÉÓÏÎ É âÒÉÌÌÈÁÒÔ ÓÔÁÌÉ ÅÒÅÍÎÏÖÁÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (19) ÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ i Ó ÔÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÏÌÕÞÉÔØ Ë×ÁÄÒÁÔ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ. üÔÏÔ ÍÅÔÏÄ, ÍÅÔÏÄ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ, ÏÚ×ÏÌÉÌ ×ÅÒ×ÙÅ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÓÅÄØÍÏÅ ÞÉÓÌÏ æÅÒÍÁ F7 = 2128 +1. äÌÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÂÁÚÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ {p1 ; p2 ; : : : ; ps }. ÷ ÎÅÅ ×ÈÏÄÑÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ N = 1. ðÏÓÌÅÄÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ pi ÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (18), × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÞÉÓÅÌ Qi ÍÏÇÕÔ ×ÈÏÄÉÔØ ÌÉÛØ ÔÅ ÒÏÓÔÙÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ N Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍ ×ÙÞÅÔÏÍ. îÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ËÁÖÄÏÅ ÏÞÅÒÅÄÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Qi ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ p1 ; p2 ; : : : ; ps É, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÎÅ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÌÎÏÓÔØÀ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÔÅÅÎÅÊ ÜÔÉÈ ÒÏÓÔÙÈ, ÔÏ ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÅÔÓÑ. éÎÁÞÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (−1)i Qi = (−1)a0

s Y paj j : j =1

(20)

üÔÏÍÕ ÎÏÍÅÒÕ i ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ (a0 ; a1 ; : : : ; as ) (×ÅËÔÏÒ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ). úÁÔÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Qi+1 , É Ó ÎÉÍ ÒÏÄÅÌÙ×ÁÅÔÓÑ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÁËÁÑ ÖÅ ÒÏ ÅÄÕÒÁ. üÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎÏ s + 2 ×ÅËÔÏÒÁ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ. ÷ ÏÌÕÞÉ×ÛÅÊÓÑ ÍÁÔÒÉ Å ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÏÄÏÂÒÁÔØ ×ÅËÔÏÒÁ-ÓÔÒÏËÉ ÔÁË, ÞÔÏ ÉÈ ÓÕÍÍÁ ÂÕÄÅÔ ×ÅË-

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

109

ÔÏÒÏÍ Ó ÞÅÔÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ 2(b0 ; b1 ; : : : bs ). åÓÌÉ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÏÍÅÒÏ× ×ÅËÔÏÒÏ×, ×ÏÛÅÄÛÉÈ × ÜÔÕ ÓÕÍÍÕ, ÔÏ, ËÁË ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ (19), ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ 2 s Y  Ai−1  ≡  pbjj  j =1 i∈ 

Y

2



(mod N ):

åÓÌÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÇÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ N ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÄÒÏÂØ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ, ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ É Ô. Ä. √ ÷ ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÙÌ ×ÎÅÓÅÎ ÒÑÄ ÕÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎÉÊ: ×ÍÅÓÔÏ N √ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ × ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÄÒÏÂØ ÞÉÓÌÏ kN , ÇÄÅ ÍÁÌÅÎØËÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ k ÏÄÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ÂÁÚÕ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ×ÏÛÌÉ ×ÓÅ ÍÁÌÙÅ ÒÏÓÔÙÅ; ÂÙÌÁ ÒÅÄÌÏÖÅÎÁ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ ÒÁÎÎÅÇÏ ÏÂÒÙ×Á É Ô. Ä. óÌÏÖÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÂÙÌÁ Ï ÅÎÅÎÁ × 1982 Ç. ×Å√ ÌÉÞÉÎÏÊ O(exp( 1;5 · ln N · lnln N )). ðÒÉ ×Ù×ÏÄÅ ÜÔÏÊ Ï ÅÎËÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÓÑ ÒÑÄ ÒÁ×ÄÏÏÄÏÂÎÙÈ, ÎÏ ÎÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÈ ÇÉÏÔÅÚ Ï ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ. ðÏÌÕÞÉ×ÛÁÑÓÑ × Ï ÅÎËÅ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁÓÔÅÔ ÍÅÄÌÅÎÎÅÅ ÌÀÂÏÊ ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÏÂÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÌÕÞÉÌÉ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÓÕÂÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ (× ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ln N ). ÷ 1982 Ç. ðÏÍÅÒÁÎ ÏÍ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÓÕÂÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ | ÁÌÇÏÒÉÔÍ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÔÁ. åÇÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÖÅ ÆÕÎË ÉÅÊ, ËÁË É × ÍÅÔÏÄÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ, h√ ÎÏ i ×ÍÅÓÔÏ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ 1;5 ÏÌÕÞÅÎÁ ÌÕÞÛÁÑ | 9=8. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ m = N , Q(x) = (x + m)2 − N É ×ÙÂÅÒÅÍ ÔÕ ÖÅ ÂÁÚÕ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ, ÞÔÏ É × ÍÅÔÏÄÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. ðÒÉ ÍÁÌÙÈ ÅÌÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ x ×ÅÌÉÞÉÎÁ Q(x) ÂÕÄÅÔ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅ×ÅÌÉËÁ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÛÁÇ ÏÂßÑÓÎÑÅÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ | Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÅ ÒÅÛÅÔÏ. ÷ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÅÒÅÂÉÒÁÔØ ÞÉÓÌÁ x É ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Q(x) ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÒÁÚÕ ÏÔÓÅÉ×ÁÅÔ ÎÅÇÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x, ÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÌÉÛØ ÔÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ Q(x) ÉÍÅÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÓÒÅÄÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÂÁÚÙ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ. úÁÄÁ× ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÇÒÁÎÉ Õ B , ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ p, ×ÈÏÄÑÝÅÇÏ × ÂÁÚÕ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ, É ËÁÖÄÏÇÏ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÓÔÅÅÎÉ a, Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ pa 6 B ÎÁÈÏÄÉÍ ÒÅÛÅÎÉÑ x Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÇÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Q(x) ≡ ≡ 0 (mod pa ). íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÕË×ÏÊ . éÔÁË, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ x ∈ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ ÂÁÚÙ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ, Á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É ÎÅ ÏÄÉÎ, ×ÈÏÄÑÝÉÊ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÞÉÓÌÁ Q(x). Å ÞÉÓÌÁ x, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Q(x) ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÁÚÌÏÖÅÎÎÙÍÉ, ÄÁÀÔ ÎÁÍ ×ÅËÔÏÒ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ, ËÁË É × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. åÓÌÉ ÔÁËÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏËÁÖÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÎÏÇÏ, Ó ÎÉÍÉ ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÅÌÁÔØ ÔÅ ÖÅ ÏÅÒÁ ÉÉ, ÞÔÏ É × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÎÅ-

110

çÌÁ×Á 4

ÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. íÙ ËÒÁÔËÏ ÏÉÓÁÌÉ ÚÄÅÓØ ÌÉÛØ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÉÄÅÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. ðÏÍÉÍÏ ÜÔÏÇÏ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏ ÄÒÕÇÉÈ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ É ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÈ ÒÉÅÍÏ×. îÁÒÉÍÅÒ, ÁÎÁÌÏÇ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (20) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

Q(x) = q1 q2 (−1)a0

s Y paj j j =1

(mod N ):

(21)

÷ ÎÅÍ ÄÏÕÓËÁÅÔÓÑ ÎÁÌÉÞÉÅ Ä×ÕÈ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÂÏÌØÛÉÈ ÒÏÓÔÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ B1 < qi < B2 . üÔÉ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÒÉ ÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Q(x) ÉÓËÌÀÞÁÀÔÓÑ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÄÅÔÁÌÉ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ÒÁÂÏÔÅ [6℄. ïÔÍÅÔÉÍ ÚÄÅÓØ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÌÏÓØ ÞÉÓÌÏ 5N , ÂÁÚÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÓÏÓÔÏÑÌÁ ÉÚ −1 É 524338 ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÍÅÎØÛÉÈ, ÞÅÍ B1 = 16333609. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÂÙÌÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÏ B2 = 230 . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÏÓÅÉ×ÁÎÉÑ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ 112011 ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ (21) ÂÅÚ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ qi , 1431337 ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ Ó ÏÄÎÉÍ ÔÁËÉÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ É 6881138 ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ Ó Ä×ÕÍÑ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÍÉ. éÍÅÎÎÏ ÎÁ ÏÉÓË ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÏÎÁÄÏÂÉÌÉÓØ 220 ÄÎÅÊ É ÂÏÌØÛÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÂÏÔÁ×ÛÉÈ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ËÏÍØÀÔÅÒÏ×. îÁ ×ÔÏÒÏÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ËÏÇÄÁ ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (21) ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÌÉÓØ ÞÅÔÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÓÔÅÅÎÅÊ, ÒÉÈÏÄÉÌÏÓØ ÒÁÂÏÔÁÔØ Ó ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ, ÒÁÚÍÅÒÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÚÍÅÒÑÌÉÓØ ÓÏÔÎÑÍÉ ÔÙÓÑÞ ÂÉÔÏ×. üÔÏÔ ×ÔÏÒÏÊ ÛÁÇ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌ 45 ÞÁÓÏ× ÒÁÂÏÔÙ. õÖÅ ÞÅÔ×ÅÒÔÙÊ ×ÅËÔÏÒ Ó ÞÅÔÎÙÍÉ ÏËÁÚÁÔÅÌÑÍÉ ÒÉ×ÅÌ Ë ÉÓËÏÍÏÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÀ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. 8. äÉÓËÒÅÔÎÏÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ

ðÕÓÔØ p | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. åÝÅ üÊÌÅÒ ÚÎÁÌ, ÞÔÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ ËÏÌØ Á Z=pZ ÉËÌÉÞÎÁ, Ô. Å. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ a, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ax ≡ b (mod p) (22) ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ x ÒÉ ÌÀÂÏÍ b ∈ Z, ÎÅ ÄÅÌÑÝÅÍÓÑ ÎÁ p. þÉÓÌÁ a Ó ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÍÉ ËÏÒÎÑÍÉ, É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÈ ÒÁ×ÎÏ '(p − 1), ÇÄÅ ' | ÆÕÎË ÉÑ üÊÌÅÒÁ. ãÅÌÏÅ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ (22), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÅËÓÏÍ ÉÌÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÍ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏÍ ÞÉÓÌÁ b. ÷ ÁÒÁÇÒÁÆÅ 2 ÍÙ ÏÉÓÁÌÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ Ï ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ x ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ax mod p. ïÂÒÁÔÎÁÑ ÖÅ ÏÅÒÁ ÉÑ | ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ Ï ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ b ÅÇÏ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÏÊ × ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÅÊ. éÍÅÎÎÏ ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ É ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ × ÅÇÏ ÍÎÏ-

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

111

ÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑÈ (ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 1). îÁÉÂÏÌÅÅ ÂÙÓÔÒÙÅ (ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ) ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÍ ÍÅÔÏÄÅ ÒÅÛÅÔÁ ÞÉÓÌÏ×ÏÇÏ ÏÌÑ, ÔÒÅÂÕÀÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ exp( (ln p)1=3 (ln ln p)2=3 ) ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ (ÓÍ. [25℄), ÇÄÅ

| ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. üÔÏ ÓÒÁ×ÎÉÍÏ ÓÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÙÓÔÒÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÕËÁÚÁÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÏÌÕÞÅÎÁ ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁ×ÄÏÏÄÏÂÎÙÈ ÇÉÏÔÅÚ. çÏ×ÏÒÑ Ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÍÙ ÉÍÅÌÉ × ×ÉÄÕ ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ. ÷ÅÄØ É ÂÏÌØÛÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÅÇËÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÏ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÜÔÉ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÎÅ ÏÞÅÎØ ×ÅÌÉËÉ. éÚ×ÅÓÔÅÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ ÂÙÓÔÒÏ ÒÅÛÁÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÅÓÌÉ p − 1 ÅÓÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÌÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ. p 1 ðÕÓÔØ q | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÄÅÌÑÝÅÅ p − 1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ≡ a q (mod p), ÔÏÇÄÁ ËÌÁÓÓÙ ×ÙÞÅÔÏ× 1; ; 2; : : : ; q−1 ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙ É ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÌÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ xq = 1 × ÏÌÅ Fp = Z=pZ. åÓÌÉ q ÎÅ ×ÅÌÉËÏ É ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ d ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ xq ≡ 1 (mod p), ÔÏ ÏËÁÚÁÔÅÌØ k, 0 6 k < q, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ d ≡ k (mod p), ÌÅÇËÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÅÒÅÂÏÒÁ. éÍÅÎÎÏ ÎÁ ÜÔÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Å ÏÓÎÏ×ÁÎ ÕÏÍÑÎÕÔÙÊ ×ÙÛÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ p − 1 = qk h, (q; h) = 1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÓÔÒÏÉÔ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ uj , j = 0; 1; : : : ; k, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ qk j bh a−huj ≡ 1 (mod p): (23) k hq ÁË ËÁË ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ b ≡ 1 (mod p), ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÅÌÏÅ q 1 ÞÉÓÌÏ u0 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ bhq ≡ u0 (mod p). ðÒÉ ÔÁËÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (23) Ó j = 0, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÎÏ ÞÉÓÌÏ uj , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ (23). ÏÇÄÁ ÏÒÅÄÅÌÉÍ t Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ qk j 1 bh a−huj ≡ t (mod p); (24) j É ÏÌÏÖÉÍ uj+1 = uj + tq . éÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ −

−

−

− −

q k −j −1

k −1

bh a−huj+1 ≡ t a−thq ≡ 1 (mod p); (25) ÏÚÎÁÞÁÀÝÉÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ (23) ÒÉ j + 1. ðÒÉ j = k ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (23) ÏÚÎÁÞÁÅÔ × ÓÉÌÕ (22), ÞÔÏ a(x−uk )h ≡ ≡ 1 (mod p). ãÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ a ÅÓÔØ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ Ï ÍÏÄÕÌÀ p, ÏÜÔÏÍÕ ÉÍÅÅÍ (x − uk )h ≡ 0 (mod p − 1) É x ≡ uk (mod qk ): åÓÌÉ p − 1 = q1k1 · : : : · qsks , ÇÄÅ ×ÓÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ qj ÍÁÌÙ, ÔÏ ÕËÁ-

112

çÌÁ×Á 4

ÚÁÎÎÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ×ÙÞÅÔÙ x mod qiki , i = 1; : : : ; s, É, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÉÔÁÊÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÂ ÏÓÔÁÔËÁÈ, ×ÙÞÅÔ x mod p − 1, Ô. Å. ÒÅÛÉÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (22). ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÙÞÎÙÈ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ× × ÏÌÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ e = 2;171828 : : : , ÏÚ×ÏÌÑÀÝÅÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÌÏÇÁÒÉÆÍÙ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ. îÁÒÉÍÅÒ, ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÂÙÓÔÒÏ ÓÈÏÄÑÝÅÇÏÓÑ ÒÑÄÁ x3 x5 1+x = 2(x + + + : : : ); |x| < 1: (26) ln 1−x 3 5 ìÏÇÁÒÉÆÍÙ Ï ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍÕ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÀ Ó ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÙ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ln x : (27) log x = ln ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ× ÎÅÔ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ, Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ ÌÏÇÁÒÉÆÍÙ ×ÙÞÉÓÌÑÌÉÓØ ÂÙ ÓÔÏÌØ ÖÅ ÂÙÓÔÒÏ, ËÁË ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ × ÏÌÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÁ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÁÑ ÌÏÇÁÒÉÆÍÙ Ó ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÊ É ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÕÄÏÂÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÎÏ×ÏÇÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ Log ÂÙÌ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó p − 1. ÏÇÄÁ × ÆÏÒÍÕÌÅ (27) ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÄÅÌÅÎÉÅ Ï ÍÏÄÕÌÀ p − 1. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ | ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ. éÚ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ òÉÍÁÎÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ Ï ÍÏÄÕÌÀ p ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ O(log6 p). ðÏÜÔÏÍÕ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ a × (22) ÎÅ×ÅÌÉËÏ, ÉÍÅÎÎÏ a = O(log6 p). ÁË ËÁË ÏÌÅ Fp ÎÅÏÌÎÏ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ× ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÅÄÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÈÏÄ É ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÉÎÙÈ ÒÉÎ ÉÁÈ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÎÕÖÎÙÊ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÌÏÇÁÒÉÆÍ Log b ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÓÁÍ Ï ÓÅÂÅ, Á ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØÀ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ× ÒÑÄÁ ÄÒÕÇÉÈ ÞÉÓÅÌ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ q1k1 · : : : · qsks ≡ q1m1 · : : : · qsms (mod p); (28) ÇÄÅ qi ; ki ; mi ∈ Z, ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÍÅÖÄÕ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁÍÉ (29) (k1 − m1 ) Log q1 + · · · + (ks − ms ) Log qs ≡ 0 (mod p − 1): á ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ a ≡ q1r1 · : : : · qsrs (mod p − 1) b ≡ q1x1 · : : : · qsxs (mod p); ÔÏ (30) r1 Log q1 + · · · + rs Log qs ≡ 1 (mod p − 1); É Log b ≡ x1 Log q1 + · · · + xs Log qs (mod p − 1): (31) éÍÅÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÏ× k1 ; : : : ; ks , m1 ; : : : ; ms Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ (28),

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

113

ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ (29), (30). åÓÌÉ ÜÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÔÏ ÉÍ ËÁË ÒÁÚ É ÂÕÄÅÔ ÎÁÂÏÒ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ× Log q1 ; : : : ; Log qs . úÁÔÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ (31) ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ Log b. íÙ ÏÉÛÅÍ ÎÉÖÅ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÀ ÜÔÏÊ ÉÄÅÉ, ×ÚÑÔÕÀ ÉÚ ÒÁÂÏÔÙ [18℄. ü×ÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÚ×ÏÌÉÌÉ Á×ÔÏÒÁÍ [18℄ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ √ ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÊ ÉÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÔÒÅÂÕÅÔ L1+" , ÇÄÅ L = exp( ln p · ln ln p), ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Log b. ðÏÌÏÖÉÍ √ H = [ p℄ + 1; J = H 2 − q: √ ÏÇÄÁ 0 < J < 2 p + 1, É, ËÁË ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ 1 ; 2 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (H + 1 )(H + 2 ) ≡ J + ( 1 + 2 )H + 1 2 (mod p): (32) 1 = 2+ " ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ " > 0, åÓÌÉ ÞÉÓÌÁ i ÎÅ ÏÞÅÎØ ×ÅÌÉËÉ, ÓËÁÖÅÍ i 6 L ÔÏ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (32) ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ p1=2+"=2 . íÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ x < p1=2+"=2 ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÍÅÎØÛÉÈ L1=2 , Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÂÏÌØÛÅÊ, ÞÅÍ L−1=2−"=2 . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S = {q1 ; : : : ; qs } ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ q < L1=2 , Á ÔÁËÖÅ ×ÓÅÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ×ÉÄÁ H + ÒÉ 0 < < L1=2+" . ÏÇÄÁ s = O(L1=2+" ). âÕÄÅÍ ÔÅÅÒØ ÅÒÅÂÉÒÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÞÉÓÌÁ É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÁËÏÊ ÁÒÙ ÙÔÁÔØÓÑ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (32). äÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÅÌÅÎÉÅÍ ÎÁ ×ÓÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÍÅÎØÛÉÅ ÞÅÍ L1=2 . ðÅÒÅÂÒÁ× ×ÓÅ 12 (L1=2+" )2 = O(L1+2" ) ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÁÒ 1 ; 2 , ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ, ËÁË ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÎÅ ÍÅÎÅÅ (33) L−1=2−"=2 · O(L1+2" ) = O(L1=2+3"=2 ) ÁÒ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (32) ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÍÅÎØÛÉÅ L1=2 . óÒÁ×ÎÅÎÉÅ (32), ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ (28). ÁË ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÔÉÁ (29). îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ a, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÎÁÛÅÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ L1=2 . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÏ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {q1 ; : : : ; qs }, É ÜÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ (30). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï (33) ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÔÉÁ (29) ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÞÉÓÌÏ s. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Log qi ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÊ ÍÏÖÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÙÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ. ïÄÎÁ ÉÚ ÒÁ×ÄÏÏÄÏÂÎÙÈ ÇÉÏÔÅÚ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ,

114

çÌÁ×Á 4

ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ×ÓÅ- ÔÁËÉ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, É, ÒÅÛÉ× ÅÅ, ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÙ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ qi . îÁ ÜÔÏÍ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔÓÑ ÅÒ×ÙÊ ÜÔÁ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÉÚ [18℄. ëÁË ÂÙÌÏ ÏÔÍÅÞÅÎÏ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ, ÓÔÏÑÝÉÈ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (32), ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ p1=2+"=2 . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÏ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅ ÂÏÌÅÅ O(ln p) ÒÏÓÔÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ (29) ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÌÉÛØ O(ln p) ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ÎÕÌÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. íÁÔÒÉ Á ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÂÕÄÅÔ ÒÁÚÒÅÖÅÎÎÏÊ, ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÉÍÅÎÑÔØ ÄÌÑ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ Ó ÍÅÎØÛÅÊ Ï ÅÎËÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, ÞÅÍ ÏÂÙÞÎÙÊ ÇÁÕÓÓÏ× ÍÅÔÏÄ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ÷ÍÅÓÔÏ ÅÒÅÂÏÒÁ ×ÓÅÈ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ i × [18℄ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÒÅÛÅÔÏ, ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÀÝÅÅ ×ÓÅ ÁÒÙ ÜÔÉÈ ÞÉÓÅÌ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ (32) ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÌÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ 1 É ËÁÖÄÏÊ ÍÁÌÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ q′ < L1=2 ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÓÅ ÒÅÛÅÎÉÑ 2 < L1=2 ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ J + ( 1 + 2 )H + 1 2 ≡ 0 (mod q′ ): ïÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜÔÁ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÏÔÂÉÒÁÅÔ ×ÓÅ ÎÕÖÎÙÅ ÁÒÙ ÞÉÓÅÌ 1 ; 2 É ÄÁÅÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÒÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ (32). éÔÁË, ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÜÔÁÁ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÎÁÛÅÍ ÒÁÓÏÒÑÖÅÎÉÉ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÙ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . ÷ÔÏÒÏÊ ÜÔÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ó×ÏÄÉÔ ÏÉÓË ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ ÞÉÓÌÁ b Ë ÏÉÓËÕ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ× ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÉÓÅÌ u, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÈ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ L2 . ÷ÙÂÉÒÁÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÞÉÓÌÏ w ÎÅ ÂÏÌÅÅ L1=4 ÒÁÚ, ÍÏÖÎÏ, ËÁË ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ w, ÞÔÏ ×ÙÞÅÔ aw b mod p ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÍÅÎØÛÉÈ L2. ðÕÓÔØ

aw b ≡

s t Y Y qiyi uzj j i=1 j =1

(mod p)

ÔÁËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ, ÇÄÅ u1 ; : : : ; ut | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ L1=2 < u < L2 . îÁ ÏÉÓË ÜÔÏÇÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ O(L1=2 ) ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ ÞÉÓÌÁ b Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ t ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ× ÄÌÑ ÞÉÓÅÌ uj , 1 6 j 6 t ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ. îÁËÏÎÅ , ÎÁ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÜÔÁÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ× ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ uj . ðÕÓÔØ u | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ L1=2 < u < L2 .

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

ïÂÏÚÎÁÞÉÍ

115

√

p ; I = HGu − p: u äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ 1 ; 2 < L1=2+" ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (H + 1 )(H + 2 )u ≡ I + ( 1 G + 2 H + 1 2 )u (mod p): (34) ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ p1=2 L5=2+" . ðÒÏÓÅÉ×ÁÑ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ 1 ; 2 ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ G + 2 É ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (34) ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÒÏÓÔÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÈ L1=2 . ÏÇÄÁ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (34) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ Log u. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ Log b ÒÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÕÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ Log qi ÔÒÅÂÕÅÔ L1=2+" ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÄÒÕÇÉÅ ÓÏÓÏÂÙ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (28). ÷ [23℄ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ × ÏÌÑÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÞÉÓÅÌ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ ÔÉÁ (28) ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÎÏ É ÒÏÓÔÙÅ ÉÄÅÁÌÙ Ó ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÎÏÒÍÏÊ. úÁÄÁÞÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ× ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ÔÁËÖÅ É × ÏÌÑÈ Fpn , ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ pn ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, × ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÈ ÇÒÕÁÈ ËÌÁÓÓÏ× ×ÙÞÅÔÏ× (Z=mZ)∗ , × ÇÒÕÁÈ ÔÏÞÅË ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ É ×ÏÏÂÝÅ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÇÒÕÁÈ. ó ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÏÊ Ï ÜÔÏÍÕ ×ÏÒÏÓÕ ÍÏÖÎÏ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ï ÒÁÂÏÔÅ [19℄. G=

9. úÁËÌÀÞÅÎÉÅ

íÙ ÚÁÔÒÏÎÕÌÉ × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÌÉÛØ ÎÅÂÏÌØÛÕÀ ÞÁÓÔØ ×ÏÒÏÓÏ×, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÙÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ É Ï ÅÎËÁÍÉ ÉÈ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. íÙ ÎÅ ÏÉÓÙ×ÁÌÉ ÅÒÓÅËÔÉ×ÎÙÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÅÛÅÔÁ ÎÁ ÏÌÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÞÉÓÅÌ (ÒÅÛÅÔÏ ÞÉÓÌÏ×ÏÇÏ ÏÌÑ), É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÉÈ ÄÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÉÌÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÓÍ. [20℄. éÍÅÎÎÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÄÏÓÔÉÇÎÕÔÙ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÅ Ï ÅÎËÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ exp( (ln N )1=3 (ln ln N )2=3 ): îÅ ÂÙÌÉ ÚÁÔÒÏÎÕÔÙ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ, Ô. Å. ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÂÒÁÔÉÍÏÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË Ea;b = {(x; y; z ) ∈ (Z=mZ)3 |y2 z = x3 + axz 2 + bz 3}; ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ ÇÒÕÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ. ó ÉÈ ÏÍÏÝØÀ ÕÄÁÌÏÓØ ÏÓÔÒÏÉÔØ ×ÅÓØÍÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ É ÒÏ×ÅÒËÉ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÒÏÓÔÏÔÕ. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÙ (Z=mZ)∗ ÏÒÑÄÏË ÇÒÕÙ Ea;b ÒÉ ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ m ÍÅÎÑÅÔÓÑ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÅÌÙÈ ÁÒÁÍÅÔÒÏ× a, b. üÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÓØÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÞÉÓÅÌ m ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. íÙ

116

çÌÁ×Á 4

ÏÔÓÙÌÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÚÁ ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÑÍÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ Ë ÓÔÁÔØÅ [21℄. ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ Ë ÇÌÁ×Å 4

[1℄ Rivest R. L., Shamir A., Adleman L. A method for obtaining digital signatures and publi key ryptosystems // Commun. ACM. V.21, No 2, 1978. P. 120{126. [2℄ Gardner M. A new kind of ipher that would take millions of years to break // S i. Amer. 1977. P. 120{124. [3℄ ÷ÉÎÏÇÒÁÄÏ× é. í. ïÓÎÏ×Ù ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. í.: îÁÕËÁ, 1972. [4℄ ëÁÒÁ ÕÂÁ á. á. ïÓÎÏ×Ù ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. í.: îÁÕËÁ, 1983 Ç. [5℄ Atkins D., Gra M., Lenstra A. K. and Leyland P. C. The magi words are squeamish ossifrage // ASIACRYPT{94, Le t. Notes in Comput. S i. V. 917. Springer, 1995. [6℄ ëÎÕÔ ä. éÓËÕÓÓÔ×Ï ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ü÷í. .2: ðÏÌÕÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ. í.: íÉÒ, 1977. [7℄ áÈÏ á., èÏËÒÏÆÔ äÖ., õÌØÍÁÎ äÖ. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ É ÁÎÁÌÉÚ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. í.: íÉÒ, 1979. [8℄ Williams H. C. Primality testing on a omputer // Ars Combin., 5, 1978. P. 127{185. (òÕÓÓËÉÊ ÅÒÅ×ÏÄ: ëÉÂÅÒÎÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÓÂÏÒÎÉË, ×Ù. 23, 1986. ó. 51{99.) [9℄ ÷ÁÓÉÌÅÎËÏ ï. î. óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÓÏÓÏÂÙ ÒÏ×ÅÒËÉ ÒÏÓÔÏÔÙ ÞÉÓÅÌ // ëÉÂÅÒÎÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÓÂÏÒÎÉË, ×Ù. 25, 1988. ó. 162{188. [10℄ Alford W. R., Granville A., Pomeran e C. There are in nitely many Carmi hael numbers // Ann. Math. 140, 1994. P. 703{722. [11℄ ðÒÁÈÁÒ ë. òÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ. í.: íÉÒ, 1967. [12℄ Plaisted D. A. Fast veri ation, testing, and generation of large primes // Theor. Comp. S i. 9, 1979. P. 1{16. [13℄ Adleman L. M., Pomeran e C., Rumely R. S. On distinguishing prime numbers from omposite numbers // Annals of Math. 117, 1983. P. 173{ 206. [14℄ Lenstra H. W. (jr.) Primality testing algorithms (after Adleman, Rumely and Williams) // Le ture Notes in Math. V. 901, 1981. P. 243{ 257. [15℄ Cohen H., Lenstra H. W. (jr.) Primality testing and Ja obi sums // Math. of Comput. V. 42, 165, 1984. P. 297{330. [16℄ Riesel H. Prime numbers and omputer methods for fa torization. Birkhauser, 1985.

áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ

117

[17℄ Cohen H. A ourse in omputational algebrai number theory. GraduateTexts in Math. V. 138. New York, Springer, 1993. [18℄ Coppersmith D., Odlyzko A. M., S hroeppel R. Dis rete logarithms in GF (p) // Algorithmi a. V. 1, 1986. P. 1{15. [19℄ M Curley K. S. The dis rete logarithm problem // Pro . of Symp. in Appl. Math. V. 42, 1990. P. 49{74. [20℄ Lenstra A. K., Lenstra H. W., Manasse M. S., Pollard J. M. The number eld sieve // Pro . 22nd Ann. ACM Symp. on Theory of Computing. Baltimore, May 14{16, 1990. P. 564{572. [21℄ Lenstra H. W. (jr.) Ellipti urves and number-theoreti algorithms // ICM86. P. 99{120. (òÕÓÓËÉÊ ÅÒÅ×ÏÄ: íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× × âÅÒËÌÉ, í.: íÉÒ, 1991, ó. 164{193.) [22℄ Koblitz N. A Course in Number Theory and Cryptography. 2nd ed. Springer, 1994. [23℄ Lenstra A. K., Lenstra H. W. (jr.) The Development of the Number Field Sieve. Le t. Notes in Math. V. 1554. Springer, 1993. [24℄ Ben-Or M. Probabilisti algorithms in nite elds. Pro . 22 IEEE Symp. Found. Comp. S i, 1981. P. 394{398. [25℄ Gordon D.M. Dis rete logarithms in GF (p), using the number eld sieve. SIAM J. Dis . Math. V.6, 1, 1993. P. 124{138.

çÌÁ×Á 5 íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ, × ÎÁÛÅ ×ÒÅÍÑ ×ÏÌÎÅ ÒÅÁÌØÎÕÀ ÓÉÔÕÁ ÉÀ. ä×Á ÓÏ×ÌÁÄÅÌØ Á ÄÒÁÇÏ ÅÎÎÏÓÔÉ ÈÏÔÑÔ ÏÌÏÖÉÔØ ÅÅ ÎÁ ÈÒÁÎÅÎÉÅ × ÓÅÊÆ. óÅÊÆ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÊ, Ó ÉÆÒÏ×ÙÍ ÚÁÍËÏÍ ÎÁ 16 ÉÆÒ. ÁË ËÁË ÓÏ×ÌÁÄÅÌØ Ù ÎÅ ÄÏ×ÅÒÑÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ, ÔÏ ÏÎÉ ÈÏÔÑÔ ÚÁËÒÙÔØ ÓÅÊÆ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÉ ÍÏÇÌÉ ÏÔËÒÙÔØ ÅÇÏ ×ÍÅÓÔÅ, ÎÏ ÎÉËÁË ÎÅ ÏÒÏÚÎØ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÎÉ ÒÉÇÌÁÛÁÀÔ ÔÒÅÔØÅ ÌÉ Ï, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÄÉÌÅÒÏÍ, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÏÎÉ ÏÂÁ ÄÏ×ÅÒÑÀÔ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÏÎÏ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔ ÂÏÌØÛÅ ÄÏÓÔÕ Ë ÓÅÊÆÕ). äÉÌÅÒ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÙÂÉÒÁÅÔ 16 ÉÆÒ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ, ÞÔÏÂÙ ÚÁËÒÙÔØ ÓÅÊÆ, É ÚÁÔÅÍ ÓÏÏÂÝÁÅÔ ÅÒ×ÏÍÕ ÓÏ×ÌÁÄÅÌØ Õ ×ÔÁÊÎÅ ÏÔ ×ÔÏÒÏÇÏ ÅÒ×ÙÅ 8 ÉÆÒ ËÌÀÞÁ, Á ×ÔÏÒÏÍÕ ÓÏ×ÌÁÄÅÌØ Õ ×ÔÁÊÎÅ ÏÔ ÅÒ×ÏÇÏ | ÏÓÌÅÄÎÉÅ 8 ÉÆÒ ËÌÀÞÁ. ÁËÏÊ ÓÏÓÏÂ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ Ó ÔÏÞËÉ ÚÄÒÁ×ÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÍ, ×ÅÄØ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÓÏ×ÌÁÄÅÌØ Å× ÏÌÕÞÉÌ ÏÌËÌÀÞÁ É ÞÔÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÕÞÛÅ?! îÅÄÏÓÔÁÔËÏÍ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÓÏ×ÌÁÄÅÌØ Å×, ÏÓÔÁ×ÛÉÓØ ÎÁÅÄÉÎÅ Ó ÓÅÊÆÏÍ, ÍÏÖÅÔ ÚÁ ÁÒÕ ÍÉÎÕÔ ÎÁÊÔÉ ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÉÅ ÏÌËÌÀÞÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅÓÌÏÖÎÏÇÏ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á, ÅÒÅÂÉÒÁÀÝÅÇÏ ËÌÀÞÉ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 1 íç . ëÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÙÈÏÄ | × Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÉ ÒÁÚÍÅÒÁ ËÌÀÞÁ, ÓËÁÖÅÍ, ×Ä×ÏÅ. îÏ ÅÓÔØ ÄÒÕÇÏÊ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÙÈÏÄ, ÏÒÏ×ÅÒÇÁÀÝÉÊ (× ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | Ë ÓÞÁÓÔØÀ) ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÚÄÒÁ×ÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÄÉÌÅÒ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ×ÙÂÉÒÁÅÔ Ä×Å ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ï 16 ÉÆÒ × ËÁÖÄÏÊ, ÓÏÏÂÝÁÅÔ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÓÏ×ÌÁÄÅÌØ Å× ×ÔÁÊÎÅ ÏÔ ÄÒÕÇÏÇÏ ÅÇÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, Á × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ, ÞÔÏÂÙ ÚÁËÒÙÔØ ÓÅÊÆ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ 10 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÉÆÒ Ä×ÕÈ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. äÏ×ÏÌØÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ (É ÎÉÖÅ ÍÙ ÜÔÏ ÄÏËÁÖÅÍ), ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÏ×ÌÁÄÅÌØ Å× ×ÓÅ 1016 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ×ÅÒÏÑÔÎÙ É ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÅÒÅÂÉÒÁÔØ ÉÈ, ÞÔÏ ÏÔÒÅÂÕÅÔ × ÓÒÅÄÎÅÍ ÂÏÌÅÅ ÏÌÕÔÏÒÁ ÌÅÔ ÄÌÑ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á, ÅÒÅÂÉÒÁÀÝÅÇÏ ËÌÀÞÉ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 100 íç . é Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ, É Ó ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÎÅÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÓÌÕÞÁÅ Ä×ÕÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× É ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ

íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ

119

ÏÂÝÕÀ ÓÉÔÕÁ ÉÀ. îÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÈÅÍÁ, ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÁÑ ÓÅËÒÅÔ (óòó) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÅËÒÅÔ ÍÅÖÄÕ n ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÚÁÒÁÎÅÅ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÍÏÇÌÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÅËÒÅÔ (ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ÄÏÓÔÕÁ), Á ÎÅÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÅ | ÎÅ ÏÌÕÞÁÌÉ ÎÉËÁËÏÊ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ Ë ÉÍÅÀÝÅÊÓÑ ÁÒÉÏÒÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÓÅËÒÅÔÁ. óòó Ó ÏÓÌÅÄÎÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÍÉ (É ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ). éÓÔÏÒÉÑ óòó ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó 1979 ÇÏÄÁ, ËÏÇÄÁ ÜÔÁ ÒÏÂÌÅÍÁ ÂÙÌÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ É ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÒÅÛÅÎÁ ç. âÌÅÊËÌÉ [1℄ É á. ûÁÍÉÒÏÍ [2℄ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÏÒÏÇÏ×ÙÈ (n; k)-óòó (Ô. Å. ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÀÂÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ k ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×). ïÓÏÂÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ×ÙÚ×ÁÌÉ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÉÄÅÁÌØÎÙÅ óòó, Ô. Å. ÔÁËÉÅ, ÇÄÅ ÒÁÚÍÅÒ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÍÏÊ ÕÞÁÓÔÎÉËÕ, ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÁ ÓÅËÒÅÔÁ (Á ÍÅÎØÛÅ, ËÁË ÂÙÌÏ ÏËÁÚÁÎÏ, ÏÎ É ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ). ïËÁÚÁÌÏÓØ [3℄, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÔÁËÏÊ óòó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÔÒÏÉÄ (ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÏÅ, ÓÍ. × . 4) É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÏÓÔÕÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÉÄÅÁÌØÎÏÅ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÂÙÌÏ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÕÀ óòó, ÏÄÎÁËÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×ÅÓØÍÁ ÎÅÜËÏÎÏÍÎÙ. ÷ ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ÒÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÁÎÁÌÉÚÅ ÓÈÅÍ, ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÈ ÓÅËÒÅÔ. ÷ÏÔ ÒÉÍÅÒ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× {L0; : : : ; Ln} ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L ÎÁÄ ÏÌÅÍ K ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ×ÓÅ ÉÌÉ ÎÉÞÅÇÏ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ⊂ {1; : : : ; n} ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× {La : a ∈ A} ÌÉÂÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï L0 ÅÌÉËÏÍ, ÌÉÂÏ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÎÉÍ ÔÏÌØËÏ Ï ×ÅËÔÏÒÕ 0. ÷ . 3 ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÚÁÄÁÅÔ ÌÉÎÅÊÎÕÀ óòó, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ⊂ {1; : : : ; n} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÍ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× {La : a ∈ A} ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï L0 ÅÌÉËÏÍ. ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ÏÎÑÔÉÅÍ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÑÄ ×ÏÒÏÓÏ×. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÏÌÅ K ËÏÎÅÞÎÏ (|K | = q) É ×ÓÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á {L0 ; : : : ; Ln } ÏÄÎÏÍÅÒÎÙ, ÔÏ ËÁËÏ×Ï ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× n ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÒÏÇÏ×ÙÈ (n; k)-óòó (k > 1)? éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ËÁËÏ×Ï ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅËÔÏÒÏ× {h0 ; : : : ; hn } ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ k ×ÅËÔÏÒÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ×ÅËÔÏÒ h0 , ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, Á ÌÀÂÙÅ k +1 ×ÅËÔÏÒÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ×ÅËÔÏÒ h0 , ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ, ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÍÕ, Ó×ÏÊÓÔ×Õ: ÌÀÂÙÅ k ×ÅËÔÏÒÏ× ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, Á ÌÀÂÙÅ k + 1 | ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ. ÁËÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚÕÞÁÌÉÓØ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ËÁË N -ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (N = n + 1) × ËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ P G(k − 1; q), × ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÅ ËÁË ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù

120

çÌÁ×Á 5

ÓÉÌÙ k É ÉÎÄÅËÓÁ = 1, × ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÁË ÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù íäò ËÏÄÏ× (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÓÍ. [4℄). ÷ . 3 ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× Ó N = q + 1, Á ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÔÁÒÁÑ ÇÉÏÔÅÚÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ É ÅÓÔØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ N , ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÓÌÕÞÁÅ×: ÓÌÕÞÁÑ q < k, ËÏÇÄÁ N = k + 1, É ÓÌÕÞÁÑ q = 2m, k = 3 ÉÌÉ k = q − 1, ËÏÇÄÁ N = q + 2: 2. òÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ ÄÏÓÔÕÁ

îÁÞÎÅÍ Ó ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ. éÍÅÅÔÓÑ n+1 ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S0 ; S1 ; : : : ; Sn É (ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÅ) ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ P ÎÁ ÉÈ ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ S = S0 × · · · × Sn . óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ Si . éÍÅÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; : : : ; n}, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ÄÏÓÔÕÁ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ðÁÒÁ (P; S ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ óòó , ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÅÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÏÓÔÕÁ , ÅÓÌÉ P (S0 = 0 | Si = i ; i ∈ A) ∈ {0; 1} ÄÌÑ A ∈ ; (1) P (S0 = 0 | Si = i ; i ∈ A) = P (S0 = 0 ) ÄÌÑ A ∈= : (2) üÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÉÓÔÏÌËÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. éÍÅÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S0 ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÅËÒÅÔÏ×, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÅËÒÅÔ s0 ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ p(s0 ), É ÉÍÅÅÔÓÑ óòó, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁÓÒÅÄÅÌÑÅÔ ÓÅËÒÅÔ s0 ÍÅÖÄÕ n ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ, ÏÓÙÌÁÑ ÒÏÅË ÉÉ s1 ; : : : ; sn ÓÅËÒÅÔÁ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ Ps0 (s1 ; : : : ; sn ). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ i-Ê ÕÞÁÓÔÎÉË ÏÌÕÞÁÅÔ Ó×ÏÀ ÒÏÅË ÉÀ si ∈ Si É ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÄÒÕÇÉÈ ÒÏÅË ÉÊ, ÏÄÎÁËÏ ÚÎÁÅÔ ×ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Si , Á ÔÁËÖÅ ÏÂÁ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ p(s0 ) É Ps0 (s1 ; : : : ; sn ): üÔÉ Ä×Á ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÚÁÍÅÎÅÎÙ ÎÁ ÏÄÎÏ: P (s0 ; s1 ; : : : ; sn ) = p(s0 )Ps0 (s1 ; : : : ; sn ), ÞÔÏ É ÂÙÌÏ ÓÄÅÌÁÎÏ ×ÙÛÅ. ãÅÌØ óòó, ËÁË ÕËÁÚÙ×ÁÌÏÓØ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ: Á) ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ÉÚ ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A (Ô. Å. A ∈ ) ×ÍÅÓÔÅ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ | ÜÔÏ ÏÔÒÁÖÅÎÏ × Ó×ÏÊÓÔ×Å (1); Â) ÕÞÁÓÔÎÉËÉ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÎÅÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A (A ∈= ), ÎÅ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÏÂ s0 , Ô. Å., ÞÔÏÂÙ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ S0 = 0 , ÎÅ ÚÁ×ÉÓÅÌÁ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÒÏÅË ÉÊ Si ÒÉ i ∈ A | ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï (2). úÁÍÅÞÁÎÉÅ Ï ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ. ÷ ÁÎÇÌÏÑÚÙÞÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÒ ÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÏÓÙÌÁÅÍÏÊ ÕÞÁÓÔÎÉËÕ óòó, ÂÙÌÉ ××ÅÄÅÎÙ ÔÅÒÍÉÎÙ share (á. ûÁÍÉÒ) É shadow (ç. âÌÅÊËÌÉ). ðÅÒ×ÙÊ

íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ

121

ÔÅÒÍÉÎ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÏÕÌÑÒÎÙÍ É Á×ÔÏÒ ÄÏÌÇÏ ÂÏÒÏÌÓÑ Ó ÓÏÂÌÁÚÎÏÍ ÒÉ×ÌÅÞØ ÍÁÓÓÏ×ÏÇÏ ÞÉÔÁÔÅÌÑ, ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÅÇÏ ÅÒÅ×ÏÄÁ ÓÌÏ×Ï ÁË ÉÑ. îÅÁÄÅË×ÁÔÎÁÑ (×Ï ×ÓÅÈ ÓÍÙÓÌÁÈ) ÚÁÍÅÎÁ ÁË ÉÉ ÎÁ ÒÏÅË ÉÀ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÒÁ×ÄÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÉÍÅÒÏÍ. ðÒÉÍÅÒ 1. íÎÏÖÅÓÔ×Ï S0 ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÅËÒÅÔÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 0, 1 É 2, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ: ÛÁÒÏÍ; ËÕÂÏÍ, ÒÅÂÒÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÏÓÑÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ; ÉÌÉÎÄÒÏÍ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÏÓÉ Z . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÉÁÍÅÔÒÙ ÛÁÒÁ É ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÉÌÉÎÄÒÁ, É ÄÌÉÎÙ ÒÅÂÒÁ ËÕÂÁ É ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ ÉÌÉÎÄÒÁ, ÒÁ×ÎÙ. ðÅÒ×ÙÊ ÕÞÁÓÔÎÉË ÏÌÕÞÁÅÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å Ó×ÏÅÊ ÄÏÌÉ ÓÅËÒÅÔÁ ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÀ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ XY , Á ×ÔÏÒÏÊ | ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ XZ . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÅ ÏÎÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÑÔ ÓÅËÒÅÔ, Á ÏÒÏÚÎØ | ÎÅ ÍÏÇÕÔ. ïÄÎÁËÏ, ÜÔÁ óòó ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ, ÔÁË ËÁË ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÏÌÕÞÁÅÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÓÅËÒÅÔÅ, ÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ËÁË ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÒÉ ÄÁÎÎÏÊ ÒÏÅË ÉÉ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÒÏÅË ÉÑ | Ë×ÁÄÒÁÔ, ÔÏ ÛÁÒ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ). åÝÅ ÏÄÎÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ. üÌÅÍÅÎÔ (ÕÞÁÓÔÎÉË) x ∈ {1; : : : ; n} ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ x ÔÁËÖÅ ÎÅÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÎÅÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÎÅÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ ÄÌÑ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ, ÞÔÏ ÉÍ ÒÏÓÔÏ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÏÓÙÌÁÔØ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÁÌÅÅ, ÂÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÔÁËÉÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÏÓÔÕÁ , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ, Ô. Å. ÉÚ A ⊂ B; A ∈ ÓÌÅÄÕÅÔ B ∈ : ðÒÉÍÅÒ 2. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÓÔÅÊÛÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÏÓÔÕÁ | (n; n)-ÏÒÏÇÏ×ÕÀ ÓÈÅÍÕ, Ô. Å. ×ÓÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ×ÍÅÓÔÅ ÍÏÇÕÔ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÅËÒÅÔ, Á ÌÀÂÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÓÅËÒÅÔÅ. âÕÄÅÍ ÓÔÒÏÉÔØ ÉÄÅÁÌØÎÕÀ óòó, ×ÙÂÉÒÁÑ É ÓÅËÒÅÔ, É ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÉ ÉÚ ÇÒÕÙ Zq ×ÙÞÅÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ q, Ô. Å. S0 = S1 = = : : : = Sn = Zq : äÉÌÅÒ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ n − 1 ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÎÁ Zq ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ xi É ÏÓÙÌÁÅÔ i-ÍÕ ÕÞÁÓÔÎÉËÕ (i = 1; : : : ; n − 1) ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÀ si = xi , Á n-ÍÕ ÕÞÁÓÔÎÉËÕ ÏÓÙÌÁÅÔ sn = s0 − (s1 + · · · + sn−1 ). ëÁÖÕÝÅÅÓÑ ÎÅÒÁ×ÎÏÒÁ×ÉÅ n-ÏÇÏ ÕÞÁÓÔÎÉËÁ ÔÕÔ ÖÅ ÉÓÞÅÚÁÅÔ, ÅÓÌÉ ÍÙ ×ÙÉÛÅÍ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ps0 (s1 ; : : : ; sn ), ËÏÔÏÒÏÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÒÁ×ÎÏ 1=qn−1, ÅÓÌÉ s0 = s1 + · · · + sn , É ÒÁ×ÎÏ 0 | × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ. ÅÅÒØ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ É Ó×ÏÊÓÔ×Ï (2), ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÅ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ S0 ÏÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ {Si : i ∈ A} ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å A. äÁÎÎÏÅ ×ÙÛÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ óòó, ÏÅÒÉÒÕÀÝÅÅ ÓÌÏ×ÁÍÉ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÎÉÖÅ ÅÒÅ×ÅÄÅÎÏ, ÏÞÔÉ ÂÅÚ ÏÔÅÒÉ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÎÁ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÑÚÙË, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ Á×ÔÏÒÕ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÍ ÄÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ M × (n + 1)-ÍÁÔÒÉ Á V , ÓÔÒÏËÉ ËÏÔÏÒÏÊ

122

çÌÁ×Á 5

ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ v = (v0 ; v1 ; : : : ; vn ), ÇÄÅ vi ∈ Si , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ óòó, Á ÅÅ ÓÔÒÏËÉ | ÒÁ×ÉÌÁÍÉ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ. äÌÑ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ s0 ÄÉÌÅÒ óòó ÓÌÕÞÁÊÎÏ É ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÏ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÔÒÏËÕ v ÉÚ ÔÅÈ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù V , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÕÌÅ×ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÒÁ×ÎÏ s0 . ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. íÁÔÒÉ Á V ÚÁÄÁÅÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÕÀ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÕÀ óòó , ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÏÓÔÕÁ , ÅÓÌÉ, ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ∈ ÎÕÌÅ×ÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ÌÀÂÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù V ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÅÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, É, ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ∈= É ÌÀÂÙÈ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÞÉÓÌÏ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù V Ó ÄÁÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÎÕÌÅ×ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ . óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ óòó, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÁÒÏÊ (P; S ), ÍÁÔÒÉ Õ V; ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÓÔÒÏË s ∈ S , ÔÁËÉÈ ÞÔÏ P (s) > 0. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ 1 ÏÌÏÖÉÔØ ×ÓÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ P ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ, Á ÕÓÌÏ×ÉÑ (1) É (2) ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÍ ÑÚÙËÅ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. üÔÏ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÄÏÕÓÔÉÔØ × ÍÁÔÒÉ Å V Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÓÔÒÏËÉ, ÞÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ 1, ËÏÇÄÁ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ P (s) | ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÒÉÍÅÒ 2 (ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ). ðÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÄÁÎÎÕÀ ×ÙÛÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ (n; n)-ÏÒÏÇÏ×ÏÊ óòó ÎÁ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÍ ÑÚÙËÅ. óÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù V Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ s ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ −s0 + s1 + · · · + sn = 0. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á V ÚÁÄÁÅÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÕÀ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÕÀ óòó ÄÌÑ = {1; : : : ; n}, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ⊂ {1; : : : ; n} É ÌÀÂÙÈ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÞÉÓÌÏ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù V Ó ÄÁÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÎÕÌÅ×ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÒÁ×ÎÏ qn−1−|A| . õÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÎÏ ÒÏÓÔÏÊ ÓÈÅÍÙ ÒÉÍÅÒÁ 2 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÉÚ ÎÅÅ, ËÁË ÉÚ ËÉÒÉÞÉËÏ×, ÏÓÔÒÏÉÔØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÕÀ óòó ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÏÓÔÕÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, Ô. Å. ÄÌÑ A ∈ ; ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍ ÏÉÓÁÎÎÕÀ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÏÒÏÇÏ×ÕÀ (|A|; |A|)-óòó, ÏÓÌÁ× ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ i-ÍÕ ÕÞÁÓÔÎÉËÕ ÓÔÏÌØËÏ ÒÏÅË ÉÊ sAi , ÓËÏÌØËÉÍ ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ ÏÎ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ. üÔÏ ÓÌÏ×ÅÓÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÎÁ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÑÚÙË Ó×ÏÊÓÔ× ÍÁÔÒÉ Ù V É ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÁ óòó ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÁ. ëÁË ÜÔÏ ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ, ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÁÑ ÎÅ ÚÎÁÞÉÔ ÜËÏÎÏÍÎÁÑ, É Õ ÄÁÎÎÏÊ óòó ÒÁÚÍÅÒ ÒÏÅË ÉÉ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ×Ï ÍÎÏÇÏ ÒÁÚ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÒÁÚÍÅÒ ÓÅËÒÅÔÁ. üÔÕ ÓÈÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÂÏÌÅÅ ÜËÏÎÏÍÎÏÊ, ÔÁË ËÁË ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÏÒÏÇÏ×ÙÅ (|A|; |A|)-óòó ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A, Ô. Å. ÄÌÑ A ∈ min, ÇÄÅ min | ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ) ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚ . ÅÍ

íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ

123

ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÄÌÑ ÏÒÏÇÏ×ÏÊ (n; n=2)-óòó ÒÁÚÍÅÒ ÒÏÅË ÉÉ (ÉÚÍÅÒÅÎÎÙÊ, √ ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÂÉÔÁÈ) ÂÕÄÅÔ × Cnn=2 ∼ 2n= 2n ÒÁÚ ÂÏÌØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÁ ÓÅËÒÅÔÁ (ÜÔÏ ÎÁÉÈÕÄÛÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÄÌÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ËÁË ÍÙ ÕÂÅÄÉÍÓÑ ÞÕÔØ ÏÚÖÅ, ÌÀÂÁÑ ÏÒÏÇÏ×ÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÏÓÔÕÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÁ ÉÄÅÁÌØÎÏ, Ô. Å. ÒÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÈ ÒÁÚÍÅÒÁÈ ÒÏÅË ÉÉ É ÓÅËÒÅÔÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁËÏ×Ï ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÒÅ×ÙÛÅÎÉÅ ÒÁÚÍÅÒÁ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁÄ ÒÁÚÍÅÒÏÍ ÓÅËÒÅÔÁ ÄÌÑ ÎÁÉÈÕÄÛÅÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÏÓÔÕÁ ÒÉ ÎÁÉÌÕÞÛÅÊ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ. æÏÒÍÁÌØÎÏ, R(n) = max R( ), ÇÄÅ max ÂÅÒÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ log |Si | , ÇÄÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÍ ÄÏÓÔÕÁ ÎÁ n ÕÞÁÓÔÎÉËÁÈ, Á R( ) = min max log |S0 | min ÂÅÒÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ óòó, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÍ ÄÁÎÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÏÓÔÕÁ , Á max | Ï i = 1; : : : ; n. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ R(n) 6 Cnn=2 . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ËÁË ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ ÌÉÛØ ÎÅÄÁ×ÎÏ [5℄, R(n) > n= log n. ÁËÁÑ ÏÇÒÏÍÎÁÑ ÝÅÌØ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÈÎÅÊ É ÎÉÖÎÅÊ Ï ÅÎËÏÊ ÄÁÅÔ, Ï ÎÁÛÅÍÕ ÍÎÅÎÉÀ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÒÏÓÔÏÒ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ (Á×ÔÏÒ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔ, ÞÔÏ R(n) ÒÁÓÔÅÔ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏ ÏÔ n). 3. ìÉÎÅÊÎÏÅ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ.

îÁÞÎÅÍ Ó ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÊ á. ûÁÍÉÒÏÍ [2℄ ÜÌÅÇÁÎÔÎÏÊ ÓÈÅÍÙ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ÄÌÑ ÏÒÏÇÏ×ÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ ÄÏÓÔÕÁ. ðÕÓÔØ K = GF (q) ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (ÎÁÒÉÍÅÒ, q = p | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ É K = Zp ) É q > n: óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÌÑ {a1 ; : : : ; an } É ÏÌÏÖÉÍ a0 = 0. ðÒÉ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÓÅËÒÅÔÁ s0 ÄÉÌÅÒ óòó ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ k − 1 ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÎÁ GF (q) ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ fj (j = 1; : : : ; k − 1) É ÏÓÙÌÁÅÔ i-ÍÕ ÕÞÁÓÔÎÉËÕ (i = 1; : : : ; n) ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ si = f (ai ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) = f0 + f1 x + · · · + fk−1 xk−1 , ÇÄÅ f0 = s0 . ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ k − 1 ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ k ÔÏÞËÁÈ (ÎÁÒÉÍÅÒ, Ï ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ìÁÇÒÁÎÖÁ), ÔÏ ÌÀÂÙÅ k ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ×ÍÅÓÔÅ ÍÏÇÕÔ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ ËÁË s0 = f (0). ðÏ ÜÔÏÊ ÖÅ ÒÉÞÉÎÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ k − 1 ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×, ÌÀÂÙÈ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÉÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÒÏÅË ÉÊ si É ÌÀÂÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ s0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, Ô. Å. ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ si = f (ai ) É s0 = f (0). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÔÁ ÓÈÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ 2. ìÉÎÅÊÎÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÊ ÓÈÅÍÙ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÑÓÎÁ, ÅÓÌÉ ÚÁÉÓÁÔØ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ × ×ÅËÔÏÒÎÏ-ÍÁÔÒÉÞÎÏÍ ×ÉÄÅ: s = f H; (3) ÇÄÅ s = (s0 ; : : : ; sn ); f = (f0 ; : : : ; fk−1 ), k × (n + 1)-ÍÁÔÒÉ Á H = (hij ) = = (aji −1 ) É h00 = 1. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ k ÓÔÏÌÂ Ï× ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù

124

çÌÁ×Á 5

ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÔÏÌÂ Ï× ÍÁÔÒÉ Ù H ÒÁ×ÎÏ q, É ÞÔÏÂÙ ÄÏÂÉÔØÓÑ ÏÂÅÝÁÎÎÏÇÏ × . 1 ÚÎÁÞÅÎÉÑ q + 1 ÎÁÄÏ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÓÔÏÌÂÅ , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÔÏÞËÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ. õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÒÉÄÕÍÁÊÔÅ ÓÁÍÉ, ËÁË ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ. ÷ÏÚØÍÅÍ × (3) × ËÁÞÅÓÔ×Å H ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ r × (n + 1)-ÍÁÔÒÉ Õ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÏÌÑ K . ðÏÌÕÞÁÅÍÕÀ óòó ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ óòó. ïÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ óòó ÓÏ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ÄÏÓÔÕÁ , ÓÏÓÔÏÑÝÅÊ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× A ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ h0 ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ×ÅËÔÏÒÏ× {hj : j ∈ A}; ÇÄÅ hj ÜÔÏ j -ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù H: óÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù V , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÄÁÎÎÏÊ óòó Ñ×ÌÑÀÔÓÑ, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ (3), ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù H . ðÅÒÅÉÛÅÍ (3) × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ sj = (f ; hj ) ÄÌÑ j = 0; 1; : : : ; n; ÇÄÅ (f ; hj ) P | ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× f É hj . åÓÌÉ A ∈ , Ô. Å. ÅÓÌÉ h0 = j hj , ÔÏ X X X s0 = (f ; h0 ) = (f ; j hj ) = j (f ; hj ) = j sj É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ Ï ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÑÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ×ÅËÔÏÒ h0 ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ×ÅËÔÏÒÏ× {hj : j ∈ A}. îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÞÉÓÌÏ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù V Ó ÄÁÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÎÕÌÅ×ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÜÔÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÅ× (3) ËÁË ÓÉÓÔÅÍÕ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ fi É ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÁÎÇ ÍÁÔÒÉ Ù ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÁ×ÅÎ ÒÁÎÇÕ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù, Á ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ Õ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï É ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÒÅÛÅÎÉÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. õËÁÚÁÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÔÅ Ä×Å ÓÉÓÔÅÍÙ: ÂÅÚ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (Ô. Å. ÓÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ) É Ó ÎÉÍ. ÁË ËÁË ×ÅËÔÏÒ h0 ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ×ÅËÔÏÒÏ× {hj : j ∈ A}, ÔÏ ÒÁÎÇ ÍÁÔÒÉ Ù ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ×ÔÏÒÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁ 1 ÂÏÌØÛÅ ÒÁÎÇÁ ÍÁÔÒÉ Ù ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÅÒ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ïÔÓÀÄÁ ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÅÒ×ÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÁ, ÔÏ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÁ É ×ÔÏÒÁÑ ÒÉ ÌÀÂÏÍ s0 . üÔÁ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÏÄ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÂÝÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ óòó. ðÕÓÔØ ÓÅËÒÅÔ É ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ËÁË ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÅ ×ÅËi ÔÏÒÙ si = (s1i ; : : : ; sm i ) É ÇÅÎÅÒÉÒÕÀÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ si = f Hi ; ÇÄÅ Hi | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ r × mi -ÍÁÔÒÉ Ù. óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÊ ÍÁÔÒÉ Å Hi ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Li ÅÅ ÓÔÏÌÂ Ï× (Ô. Å. ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ×ÅËÔÏÒ-ÓÔÏÌÂ Ï× ÍÁÔÒÉ Ù Hi ). îÅÓÌÏÖÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÄÌÑ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ (×ÓÅ mi = 1), ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÄÁÅÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÕÀ óòó ÔÏÇÄÁ É

íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ

125

ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× {L0 ; : : : ; Ln } ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á K r ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÏÍÑÎÕÔÏÍÕ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ×ÓÅ ÉÌÉ ÎÉÞÅÇÏ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÍ (A ∈ ), ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× {La : a ∈ A} ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï L0 ÅÌÉËÏÍ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÍ (A ∈= ), ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× {La : a ∈ A} ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ L0 ÔÏÌØËÏ Ï ×ÅËÔÏÒÕ 0. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÂÙ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ A ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ L0 É ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ {La : a ∈ A} ÂÙÌÏ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ, ÔÏ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ A ÎÅ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÅËÒÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, ÎÏ ÏÌÕÞÁÌÉ ÂÙ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÎÅÍ, Ô. Å. ÓÈÅÍÁ ÎÅ ÂÙÌÁ ÂÙ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ. ðÒÉÍÅÒ 3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÏÓÔÕÁ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÞÅÔÙÒÅÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ min = {{1; 2}; {2; 3}; {3; 4}}: ïÎÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ËÁË ÅÒ×ÙÊ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÏÓÔÕÁ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÄÅÁÌØÎÏÊ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÅÅ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ R( ) > 3=2. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÏ×ÅÒËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÂÏÒ ÍÁÔÒÉ H0 ; H1 ; : : : ; H4 , ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ × ÔÁÂÌ. 1, ÄÁÅÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÕÀ ÌÉÎÅÊÎÕÀ óòó Ó R = 3=2, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ ÜÔÕ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, ËÏÔÏÒÁÑ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ (ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÜËÏÎÏÍÎÏÊ) óòó. ÁÂÌÉ Á 1.

      10 00 100 001 00 0 1  0 0  0 1 0  0 0 0  0 1            00 1 0  1 0 0  0 0 0  0 0  H0 =   ; H1 =  ; H2 =  ; H3 =  ; H4 =   : 0 0  0 1  0 1 0  0 1 0  0 0  0 0  0 0  0 0 1  0 0 1  1 0  00 00 000 100 01 

4. éÄÅÁÌØÎÏÅ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÁ É ÍÁÔÒÏÉÄÙ

îÁÞÎÅÍ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÄÅÁÌØÎÙÈ óòó. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ óòó. óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ óòó [3℄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÁÖÅ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÍ, ÞÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1, ÏÓËÏÌØËÕ ÕÓÌÏ×ÉÅ (2) ÚÁÍÅÎÅÎÏ × ÎÅÍ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÏÅ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ⊆ {0; 1; : : : ; n} ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ VB M × |B |-ÍÁÔÒÉ Õ, ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù V ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ ÓÔÏÌÂ Ï×,

126

çÌÁ×Á 5

ÎÏÍÅÒÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B . ðÕÓÔØ ||W || ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÒÏË × ÍÁÔÒÉ Å W . ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. íÁÔÒÉ Á V ÚÁÄÁÅÔ âä-ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÕÀ óòó, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÏÓÔÕÁ , ÅÓÌÉ ||VA∪0 || = ||VA || × ||V0 ||Æ (A) ; (4) ÇÄÅ Æ (A) = 0, ÅÓÌÉ A ∈ , É Æ (A) = 1 × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. üÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ 1 É 2 ÔÅÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÎÅÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÁÂÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÅÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÒÏË V Ó ÄÁÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÅÕÓÔÏ, ÔÏ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ × ÎÕÌÅ×ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÅ ÜÔÉÈ ÓÔÒÏË (ÂÅÚ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÞÁÓÔÏ ËÁË × ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ 2 ÉÌÉ ÖÅ Ó ÁÒÉÏÒÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ËÁË × ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ 1). ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á ÌÀÂÏÊ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ óòó ÚÁÄÁÅÔ âä-ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÕÀ óòó, ÎÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ óòó, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ V , ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A ⊆ {0; 1; : : : ; n} ÆÕÎË ÉÀ h(A) = logq ||VA ||; ÇÄÅ q = |S0 |: ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ max{h(A); h(B )} 6 h(A ∪ B ) 6 6 h(A) + h(B ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B , Á ÕÓÌÏ×ÉÅ (4) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒÅÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ hq (VA∪0 ) = hq (VA ) + Æ (A)hq (V0 ); ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ âä-ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ óòó ÅÓÌÉ A ∈ = É {A ∪ i} ∈ , ÔÏ h(i) > h(0). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÌÅÍÍÙ h(A ∪ 0) = h(A) + h(0) É h(A ∪ i ∪ 0) = h(A ∪ i). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, h(A) + h(i) > h(A ∪ i) = h(A ∪ i ∪ 0) > h(A ∪ 0) = h(A) + h(0): ÁË ËÁË ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ i ∈ {1; : : : ; n} ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ, Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ A ∈= É {A ∪ i} ∈ , ÔÏ ÉÚ ÌÅÍÍÙ ×ÙÔÅËÁÅÔ óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ âä-ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ óòó |Si | > |S0 | ÄÌÑ ×ÓÅÈ i = = 1; : : : ; n. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ËÁË ÍÙ É ÒÅÄÕÒÅÖÄÁÌÉ × ÎÁÞÁÌÅ ÓÔÁÔØÉ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÈ óòó ÒÁÚÍÅÒ ÒÏÅË ÉÉ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÅÎØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÁ ÓÅËÒÅÔÁ. ðÏÜÔÏÍÕ âä-ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÁÑ óòó ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÄÅÁÌØÎÏÊ, ÅÓÌÉ |Si | = |S0 | ÄÌÑ ×ÓÅÈ i = 1; : : : ; n. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |Si | > |S0 | ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï É ÄÌÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ óòó, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÚÁÄÁÀÔ âä-ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÅ óòó. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ ÄÏÓÔÕÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÅ ÉÈ ÉÄÅÁÌØÎÙÅ (×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÅ ÉÌÉ ËÏÍÂÉ-

íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ

127

ÎÁÔÏÒÎÙÅ) óòó. ëÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ, ÎÁÉÌÕÞÛÉÊ ÎÁ ÓÅÇÏÄÎÑÛÎÉÊ ÄÅÎØ ÏÔ×ÅÔ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÓÌÏ×Ï ÍÁÔÒÏÉÄ. îÁÏÍÎÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÁÔÒÏÉÄÏ× É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á (ÓÍ. [6℄). íÁÔÒÏÉÄÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X É ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï I ÅÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ (ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ), ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á: ∅ ∈ I; (5.1) (5.2) åÓÌÉ A ∈ I É B ⊂ A; ÔÏ B ∈ I ; åÓÌÉ A; B ∈ I É |A| = |B | + 1; ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ a ∈ A\B ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ a ∪ B ∈ I: (5.3) ðÒÉÍÅÒ 4. íÎÏÖÅÓÔ×Ï X | ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, Á ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÅËÔÏÒÏ×. óÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ Ó ÜÔÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ É ÎÁÞÁÌÁÓØ ÔÅÏÒÉÑ ÍÁÔÒÏÉÄÏ×, ×ÎÁÞÁÌÅ ËÁË ÏÙÔËÁ ÄÁÔØ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÏ× ÞÅÒÅÚ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, Ô. Å. ÎÅ ÁÅÌÌÉÒÕÑ Ë ÏÎÑÔÉÀ ×ÅËÔÏÒÁ. ë ÓÞÁÓÔØÀ, ÏÙÔËÁ ÎÅ ÕÄÁÌÁÓØ, ÔÁË ËÁË ÎÁÛÌÉÓØ ÍÁÔÒÏÉÄÙ, ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÅ ËÁË ÌÉÎÅÊÎÙÅ (Ô. Å. ËÁË ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ×), Á ÓÁÍÁ ÔÅÏÒÉÑ ÍÁÔÒÏÉÄÏ× ÒÁÚÒÏÓÌÁÓØ ÄÁÌÅËÏ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ (ÓÍ. [6℄). ðÒÉÍÅÒ 5 (ÍÁÔÒÏÉÄ ÷ÁÍÏÓÁ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï: X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} É ÏÌÏÖÉÍ a = {1; 2}, b = {3; 4}, = {5; 6} É d = {7; 8}. íÁÔÒÏÉÄ ÷ÁÍÏÓÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÍÁÔÒÏÉÄ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á a ∪ , a ∪ d, b ∪ , b ∪ d, ∪ d, Á ÔÁËÖÅ ×ÓÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ ÑÔÉ ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÍÁÔÒÏÉÄ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ. íÁÔÒÏÉÄ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ ÒÁÎÇÏ×ÕÀ ÆÕÎË ÉÀ r(A) ÍÁÔÒÏÉÄÁ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÕÀ ËÁË ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ⊆ A. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (É ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ) ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ r(A) = |A|. òÁÎÇÏ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÍÁÔÒÏÉÄÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ r(A) ∈ Z; r(∅) = 0; (6.1) (6.2) r(A) 6 r(A ∪ b) 6 r(A) + 1; åÓÌÉ r(A ∪ b) = r(A ∪ ) = r(A); ÔÏ r(A ∪ b ∪ ) = r(A): (6.3) ïÂÒÁÔÎÏ, ÕÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÆÕÎË ÉÑ r(A) ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (6). îÁÚÏ×ÅÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ r(A) = |A|. ÏÇÄÁ ÜÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÁÄÁÀÔ ÍÁÔÒÏÉÄ, Á ÆÕÎË ÉÑ r Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÒÁÎÇÏ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÁÔÒÏÉÄ ÞÅÒÅÚ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÉËÌÁÍÉ. íÁÔÒÏÉÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÅÇÏ ÔÏÞÅË ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÉÈ ÉËÌ.

128

çÌÁ×Á 5

ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. ([3℄). äÌÑ ÌÀÂÏÊ âä-ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ÉÄÅÁÌØÎÏÊ óòó, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÅÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÏÓÔÕÁ , ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ log|S0 | ||VA || = |A|, ÚÁÄÁÀÔ Ó×ÑÚÎÙÊ ÍÁÔÒÏÉÄ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {0; 1; : : : ; n}. ÷ÓÅ ÉËÌÙ ÜÔÏÇÏ ÍÁÔÒÏÉÄÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÔÏÞËÕ 0, ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ 0 ∪ A, ÇÄÅ A ∈ min . çÌÁ×ÎÙÍ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒËÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ h(A). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, h(·) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (6) É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÎÇÏ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ É ÚÁÄÁÅÔ ÍÁÔÒÏÉÄ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ É ÎÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × [7℄. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÙÍ ÉÄÅÁÌØÎÙÍ óòó, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÍ ÄÁÎÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÏÓÔÕÁ , ×ÓÅÇÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÍÁÔÒÏÉÄ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÁÔÒÏÉÄ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÓÅÍÉ ÉËÌÁÍÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÍÉ ÞÅÒÅÚ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ (ÓÍ. [6℄). ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ËÁÖÄÏÊ ÉÄÅÁÌØÎÏ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ ÄÏÓÔÕÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÍÁÔÒÏÉÄ. ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÔÅÏÒÅÍÏÊ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÏÒÏÓÏ×. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÎÅ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÌÉ ÉÄÅÁÌØÎÙÅ óòó ×ÓÅ ÍÁÔÒÏÉÄÙ? îÅÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÁÔÒÏÉÄ ÷ÁÍÏÓÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎ ËÁË ÍÁÔÒÏÉÄ ÉÄÅÁÌØÎÏÊ óòó [8℄. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÍÁÔÒÏÉÄÙ ÅÓÔØ ÎÉ ÞÔÏ ÉÎÏÅ ËÁË ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÅ × . 3 ÉÄÅÁÌØÎÙÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ óòó. ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÏÓÔÕÁ , ËÏÔÏÒÕÀ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ × ×ÉÄÅ ÉÄÅÁÌØÎÏÊ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ óòó, ÎÏ ÍÏÖÎÏ × ×ÉÄÅ ÉÄÅÁÌØÎÏÊ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ óòó. îÅÄÁ×ÎÏ ÔÁËÏÊ ÒÉÍÅÒ ÂÙÌ ÏÓÔÒÏÅÎ [9℄, É, ÚÎÁÞÉÔ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÍÁÔÒÏÉÄÁÈ ËÁË ËÌÁÓÓÅ ÍÁÔÒÏÉÄÏ× ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÍ, ÞÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÅ. éÔÁË, ÉÄÅÁÌØÎÙÈ óòó ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÍÁÔÒÏÉÄÏ×, ÎÏ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ×ÓÅÈ ÍÁÔÒÏÉÄÏ×. õÔÏÞÎÉÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÂÏÌØÛÅ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÉÄÅÁÌØÎÏ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÏÓÔÕÁ , ËÏÔÏÒÕÀ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÉÄÅÁÌØÎÕÀ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÕÀ óòó? ÅÏÒÅÍÁ

ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ Ë ÇÌÁ×Å 5

[1℄ Blakley G. R. Safeguarding ryptographi keys // Pro . AFIPS 1979 National Computer Conferen e. V. 48. N. Y., 1979. P. 313{317. [2℄ Shamir A. How to Share a Se ret // Comm. ACM. V. 22, No 1, 1979. P. 612{613. [3℄ Bri kell E. F., Davenport D. M. On the lassi ation of Ideal Se ret Sharing S hemes. // J. Cryptology. V. 4, 1991. P. 123{134.

íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÁ

129

[4℄ íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ æ. äÖ., óÌÏÜÎ î. äÖ. á. ÅÏÒÉÑ ËÏÄÏ×, ÉÓÒÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÏÛÉÂËÉ. í.: ó×ÑÚØ, 1979. [5℄ Csirmaz L. The size of a share must be large // J. Cryptology. V. 10, No 4, 1997. P. 223{232. [6℄ Welsh D. J. A. Matroid Theory. A ademi Press, 1976. [7℄ âÌÅÊËÌÉ ç. ò., ëÁÂÁÔÑÎÓËÉÊ ç. á. ïÂÏÂÝÅÎÎÙÅ ÉÄÅÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ, ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÅ ÓÅËÒÅÔ, É ÍÁÔÒÏÉÄÙ // ðÒÏÂÌÅÍÙ ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. . 33, ×Ù. 3, 1997. ó. 102{110. [8℄ Seymour P. O. On Se ret-Sharing Matroids. // J. Comb. Theory. Ser. B. V. 56, 1992. P. 69{73. [9℄ Ashihmin A., Simonis J. Almost AÆne odes. // Designs, odes and

ryptography.

çÌÁ×Á 6 ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ \. . . ÚÁÄÁÞÁ ×ÏÅ×ÏÄÓÔ×Á ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ × ÔÏÍ ÓÏÓÔÏÉÔ, ÞÔÏÂÙ ÄÏÓÔÉÇÁÔØ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÍÅÞÔÁÔÅÌØÎÏÇÏ

ÂÌÁÇÏÏÌÕÞÉÑ, Á ×

ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÓÓÔÁÒÉ ÚÁ×ÅÄÅÎÎÙÊ ÏÒÑÄÏË (ÈÏÔÑ ÂÙ É ÎÅ ÂÌÁÇÏÏÌÕÞÎÙÊ) ÏÔ Ï×ÒÅÖÄÅÎÉÊ ÏÂÅÒÅÇÁÔØ É ÏÇÒÁÖÄÁÔØ."

í. å. óÁÌÔÙËÏ×-ýÅÄÒÉÎ 1. ÷ÍÅÓÔÏ ××ÅÄÅÎÉÑ äÌÑ ÞÅÇÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÎÕÖÅÎ ËÏÍØÀÔÅÒ?

ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ | ÏÄÎÁ ÉÚ ÄÒÅ×ÎÅÊÛÉÈ ÎÁÕË. ï ÎÅÊ ×ÓÏÍÉÎÁÀÔ ×ÓÅÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÓËÒÙ×ÁÔØ ÔÁÊÎÙ. îÏ ÏÄÎÉÍ ËÁÒÁÎÄÁÛÏÍ É ÂÕÍÁÇÏÊ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÒÕÄÏÅÍËÏ É ÏÂÒÅÍÅÎÉÔÅÌØÎÏ. é Ó ÄÒÅ×ÎÅÊÛÉÈ ×ÒÅÍÅÎ ÞÅÌÏ×ÅË ÙÔÁÅÔÓÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÏÒÕÄÉÑ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÅ ÏÂÌÅÇÞÉÔØ ÔÒÕÄ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉËÁ. ðÏÓÌÅ ÍÎÏÇÏ×ÅËÏ×ÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ×ÅÒÅ×ÏÞÅË, ÖÅÚÌÏ×, ÏÌÏÓÏË, ÌÅÎÔÏÞÅË, ÌÁÎÛÅÔÏ×, ÔÒÁÆÁÒÅÔÏ×, ÄÉÓËÏ× É Ô. Ä. É Ô. ., ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ × ÎÁÞÁÌÅ èè ×ÅËÁ ÏÓÔÁ×ÉÌÁ ÓÅÂÅ ÎÁ ÓÌÕÖÂÕ ÍÁÓÓÕ ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÈ, ÎÅ×ÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ, ÜÌÅËÔÒÉÞÅÓËÉÈ, Á ÚÁÔÅÍ É ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×. ÷ 40-È ÇÏÄÁÈ ÏÎÁ ÒÉÄÕÍÁÌÁ ÄÌÑ Ó×ÏÉÈ ÎÕÖÄ ÅÒ×ÙÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌÉ. ðÏÑ×ÌÅÎÉÅ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× ÔÁËÖÅ ÏÎÁÞÁÌÕ ÂÙÌÏ ×ÏÓÒÉÎÑÔÏ ÉÍÅÎÎÏ ËÁË ÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÍÏÝÎÅÊÛÅÇÏ ÏÍÏÝÎÉËÁ ÄÌÑ ÌÀÄÅÊ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈÓÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÏÊ É ÁÎÁÌÉÚÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. ëÓÔÁÔÉ, ÅÒ×ÙÊ ËÏÍØÀÔÅÒ Ó ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ Colossus, × ÓÏÚÄÁÎÉÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉË á. ØÀÒÉÎÇ, ÂÙÌ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎ × áÎÇÌÉÉ ÉÍÅÎÎÏ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÇÅÒÍÁÎÓËÏÊ ÛÉÆÒÍÁÛÉÎÙ Enigma × ÓÁÍÏÍ ÎÁÞÁÌÅ ÷ÔÏÒÏÊ ÍÉÒÏ×ÏÊ ×ÏÊÎÙ. îÏ ËÏÍØÀÔÅÒÙ ÎÅ ÏÂÌÅÇÞÉÌÉ ÉÚÎÕÒÑÀÝÉÊ ÔÒÕÄ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÁ, Á ÔÏÌØËÏ ÒÉ×ÎÅÓÌÉ ÍÁÓÓÕ ÎÏ×ÙÈ ÒÏÂÌÅÍ. ðÏÑ×ÉÌÉÓØ ÎÏ×ÙÅ ×ÉÄÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÔÒÅÂÕÀÝÅÊ ÚÁËÒÙÔÉÑ, ÎÏ×ÙÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÍÅÔÏÄÏ×, Á ÓÁÍÏÅ ÇÌÁ×ÎÏÅ | ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÒÏÓÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ Ï ÒÁÓËÒÙÔÉÀ ÒÉÍÅÎÑ×ÛÉÈÓÑ ÒÁÎÅÅ ÛÉÆÒÏ×.

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

131

ðÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑ ÏÓÌÅ Ó×ÏÅÇÏ ÏÑ×ÌÅÎÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒÙ ÏÒÁ×ÄÙ×ÁÌÉ Ó×ÏÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØ É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌÉ ÓÏÂÏÊ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔ ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ É ×ÚÌÏÍÁ ÓÔÁÒÙÈ ÛÉÆÒÏ×. ÷ ×ÏÓØÍÉÄÅÓÑÔÙÅ ÇÏÄÙ ÒÏÉÚÏÛÌÁ ÎÅÉÚÂÅÖÎÁÑ ÅÒÅÏ ÅÎËÁ ÅÎÎÏÓÔÅÊ. éÚ ÏÄÓÏÂÎÏÇÏ ÓÒÅÄÓÔ×Á, ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌÑ, ËÏÍØÀÔÅÒ ÓÔÁÌ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÍ Ú×ÅÎÏÍ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ×ÙÏÌÎÑÀÝÉÈ ÓÁÍÙÅ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. üÔÏ | ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ, ÓÉÓÔÅÍÙ Ó×ÑÚÉ É ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ, ÓÉÓÔÅÍÙ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ, Á×ÔÏÍÁÔÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ×ËÌÀÞÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×ÅÎÎÕÀ, ×ÏÅÎÎÕÀ, ÆÉÎÁÎÓÏ×ÕÀ, ÜËÏÎÏÍÉÞÅÓËÕÀ, ÍÅÄÉ ÉÎÓËÕÀ, É ÍÎÏÇÉÅ ÄÒÕÇÉÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏÇÁÄÁÔØÓÑ, ÞÔÏ É × ÏÂÌÁÓÔÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ËÏÍØÀÔÅÒ ÚÁÎÑÌ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÅ ÍÅÓÔÏ, ×ÚÑ× ÎÁ ÓÅÂÑ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ×ËÌÀÞÁÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÒÏ×ÅÒËÕ ÉÈ ËÁÞÅÓÔ×Á, ÇÅÎÅÒÁ ÉÀ É ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÌÀÞÅÊ, Á×ÔÏÍÁÔÉÚÁ ÉÀ ÒÁÂÏÔÙ Ï ÁÎÁÌÉÚÕ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ É ÒÁÓËÒÙÔÉÀ ÛÉÆÒÏ× É Ô. Ä. îÁËÏÎÅ , ÓÅÊÞÁÓ, × ËÏÎ Å ÄÅ×ÑÎÏÓÔÙÈ ÇÏÄÏ× × Ó×ÑÚÉ Ó ÏÑ×ÌÅÎÉÅÍ ÇÌÏÂÁÌØÎÙÈ ÓÅÔÅÊ, ÍÙ ÎÁÞÉÎÁÅÍ ÏÓÏÚÎÁ×ÁÔØ ÎÅÉÚÂÅÖÎÏÓÔØ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ × ÍÉÒÏ×ÏÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ËÉÂÅÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÔÒÅÍÉÔÅÌØÎÏ ÒÁÚ×É×ÁÅÔÓÑ Ï Ó×ÏÉÍ ÚÁËÏÎÁÍ, ÚÁÓÁÓÙ×ÁÑ ÍÉÌÌÉÏÎÙ ÎÏ×ÙÈ É ÎÏ×ÙÈ ÏÂÉÔÁÔÅÌÅÊ. ðÒÏ×ÁÌÉ×ÁÑÓØ × ÎÅÇÏ, ÍÙ ÚÁÂÙ×ÁÅÍ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ×ÒÅÍÅÎÉ É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÔÅÒÑÅÍ ÇÒÁÎØ ÍÅÖÄÕ ÒÅÁÌØÎÏÓÔØÀ É ×ÙÍÙÓÌÏÍ. óÁÍÙÅ ÆÁÎÔÁÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÉ ÎÁÈÏÄÑÔ × ÎÅÍ ÒÏÓÔÏÅ É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÏÌÏÝÅÎÉÅ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÍ, Á ×ÉÒÔÕÁÌØÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍ. õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔØ, ÏÌÎÁÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÏÓÔØ É ×ÚÁÉÍÏÓ×ÑÚÁÎÎÏÓÔØ ÕÄÁÌÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× ÏÚ×ÏÌÑÀÔ, Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÎÏ×ÙÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÉ, Á Ó ÄÒÕÇÏÊ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁÓÛÉÒÉÔØ ÏÂÌÁÓÔÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ×ÏÓÈÉÝÁÑÓØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍÉ ËÏÍØÀÔÅÒÏ×, ÎÅ ÎÁÄÏ ÚÁÂÙ×ÁÔØ Ï ÒÏÓÔÙÈ ×ÅÝÁÈ. ëÁË ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÚÁÍÅÔÉÌ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË îÉÌ ëÏÂÌÉ | Á×ÔÏÒ ËÎÉÇÉ ëÕÒÓ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, | ×ÙÓÔÕÁÑ ÎÁ ÓÅÍÉÎÁÒÅ × íÏÓËÏ×ÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ, ÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍÉ ËÌÀÞÁÍÉ ÓÏÚÄÁÎÙ ÄÌÑ ÌÀÄÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÞÅÎØ ÓÉÌØÎÏ ÎÅ ÄÏ×ÅÒÑÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ, ÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÏ×ÅÒÑÀÔ Ó×ÏÉÍ ËÏÍØÀÔÅÒÁÍ. äÌÑ ÞÅÇÏ ËÏÍØÀÔÅÒÕ ÎÕÖÎÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ?

ðÏËÁ ËÏÍØÀÔÅÒÙ ÂÙÌÉ ÂÏÌØÛÉÍÉ, ÉÈ ÏÂÓÌÕÖÉ×ÁÌÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÙÅ ÉÎÖÅÎÅÒÙ-ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÙ, ÓÉÓÔÅÍÝÉËÉ, ÁÁÒÁÔÞÉËÉ, ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÝÉËÉ, Á ÔÁËÖÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ É ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÅÒÓÏÎÁÌ. äÏÓÔÕ Ë ÈÒÁÎÑÝÅÊÓÑ É ÏÂÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÍÏÊ × ÎÉÈ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÉÍÅÌ ÔÁËÖÅ

132

çÌÁ×Á 6

ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÊ ËÒÕÇ ÌÀÄÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÏÂÌÅÍÙ ÚÁÝÉÔÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ Ó×ÏÄÉÌÉÓØ Ë Ï×ÙÛÅÎÉÀ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÒÁÂÏÔÙ, ÄÕÂÌÉÒÏ×ÁÎÉÀ ËÒÉÔÉÞÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÏÎÎÙÍ ÍÅÒÁÍ. ðÏÚÄÎÅÅ ÂÙÌÏ ÏÓÏÚÎÁÎÏ, ÞÔÏ ÎÁÒÑÄÕ Ó ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØÀ ÄÁÎÎÙÈ ÏÇÒÏÍÎÕÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÅÔ ÔÁËÖÅ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÎÏÇÏ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ É ÁÁÒÁÔÎÙÈ ÓÒÅÄÓÔ×. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÔÁÌÉ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ. îÁËÏÎÅ , Ó ÏÑ×ÌÅÎÉÅÍ Á×ÔÏÍÁÔÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÏÂÒÁÂÏÔËÉ ÄÁÎÎÙÈ (ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÓÏÂÏÊ ÎÅÒÁÚÒÙ×ÎÏÅ ÅÌÏÅ ÉÚ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÎÙÈ × ÓÅÔØ ËÏÍØÀÔÅÒÏ×, ÓÒÅÄÓÔ× ÔÅÌÅËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÊ, ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÈ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ É ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÈ ÍÁÓÓÉ×Ï×) ÓÔÁÌÉ ÂÏÌØÛÅ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÏÂ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ × ÅÌÏÍ, ÏÎÉÍÁÑ ÏÄ ÜÔÉÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÚÁÝÉÝÅÎÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ÒÏ ÅÓÓÏ× ÏÂÒÁÂÏÔËÉ, ÈÒÁÎÅÎÉÑ É ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ × ÓÉÓÔÅÍÅ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÚÁÎÑÌÁ × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÄÏÂÁÀÝÅÅ ÅÊ ÍÅÓÔÏ, ÒÅÄÏÓÔÁ×É× ÍÁÓÓÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÄÌÑ ÚÁËÒÙÔÉÑ ÈÒÁÎÉÍÏÊ É ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÏÊ ËÏÎÆÉÄÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ëÁË ÎÉ ÓÔÒÁÎÎÏ, ÎÏ ÄÁÖÅ ÄÌÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÏÂÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÝÉÈ ÔÏÌØËÏ ÏÔËÒÙÔÕÀ É ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÔÁËÖÅ ÎÅ ÕÄÁÌÏÓØ ÏÂÏÊÔÉÓØ ÂÅÚ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÄÏ×ÅÒÑÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ ÏÔ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÄÁÎÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ÉÚÍÅÎÅÎÙ, ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÙ ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÕÎÉÞÔÏÖÅÎÙ ËÅÍ-ÔÏ ÉÚ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ËÏÍÕ ÎÕÖÎÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ Ó ÎÅÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ, ÉÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÒÉÎÑÔÉÑ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÒÁÂÏÔÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÉÌÉ ÏÄÔÁÓÏ×ÁÎÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ? éÍÅÎÎÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅÚÁÍÅÎÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ ÓÒÅÄÓÔ× ÄÌÑ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ ÒÁÂÏÔÙ ÓÉÓÔÅÍÙ, ÔÁËÉÅ ËÁË ÜÌÅËÔÒÏÎÎÁÑ ÉÆÒÏ×ÁÑ ÏÄÉÓØ, ÒÏÔÏËÏÌÙ ÉÄÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ É ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÁÂÏÎÅÎÔÏ×, ËÏÄÙ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ É ÍÎÏÇÏÅ ÄÒÕÇÏÅ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ËÁË ÜÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÂÙ×ÁÅÔ, ÒÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÄÁÖÅ ÓÁÍÙÈ ÈÏÒÏÛÉÈ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÍÁÌÅÎØËÉÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ. þÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÚÁ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ, ÒÏÁÎÁÌÉÚÉÒÕÅÍ ÒÏ ÅÓÓ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÁÊÌÏ×. 2. îÅÍÎÏÇÏ ÔÅÏÒÉÉ þÔÏ ÎÁÄÏ ÚÎÁÔØ ÅÒÅÄ ÎÁÉÓÁÎÉÅÍ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ

ó ÏÑ×ÌÅÎÉÅÍ ÅÒÓÏÎÁÌØÎÙÈ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÒÉÏÂÒÅÌÁ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÏ×ÏÅ ÌÉ Ï. èÏÔÑ ËÏÍØÀÔÅÒÙ ÒÉ×ÎÅÓÌÉ ÎÅÍÁÌÏ ÎÏ×ÏÇÏ É × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÀ, ×ÓÅ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÒÁÄÉËÁÌØÎÏÅ ÎÏ×ÛÅÓÔ×Ï ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÓÔÁÌÉ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÏÔËÒÙÔÏ É ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÕÇÌÕ. çÄÅ ÅÓÔØ ËÏÍØÀÔÅÒÙ, ÔÁÍ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÏÒÏÓÙ Ï ÚÁÝÉÔÅ

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

133

ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. á ÇÄÅ ÎÁÞÉÎÁÀÔ ÚÁÄÕÍÙ×ÁÔØÓÑ Ï ÚÁÝÉÔÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ | ÔÁÍ ÎÅÉÚÂÅÖÎÏ ×ÓÏÍÉÎÁÀÔ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ | ÏÞÅÎØ ÔÁÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ É ÈÉÔÒÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÎÉÊ. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ï ÎÅÊ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÏÞÅÎØ ÍÁÌÏ. óÅÊÞÁÓ ÖÅ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÉÚÍÅÎÉÌÁÓØ, É Ï ÎÅÊ ÉÛÕÔ ÍÎÏÇÏ. ðÁÒÁÄÏËÓ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÅÍ ÂÏÌØÛÅ Ï ÎÅÊ ÉÛÕÔ, ÔÅÍ ÍÅÎØÛÅ × ÎÅÊ ÏÎÉÍÁÅÛØ. ÏÞÎÅÅ, ÔÅÍ ÂÏÌØÛÅ ÏÎÉÍÁÅÛØ, ÞÔÏ ÔÙ × ÎÅÊ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÎÉÍÁÅÛØ. îÅ ÓÅËÒÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ, ËÔÏ ÈÏÔØ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÒÁÂÏÔÁÌ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ, ÎÅ ÒÁÚ ÚÁÄÕÍÙ×ÁÌÓÑ Ï ÚÁÝÉÔÅ Ó×ÏÉÈ ÆÁÊÌÏ×. îÅ×ÁÖÎÏ ÏÔ ËÏÇÏ. ðÒÏÓÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÁÓ ÎÅ ÌÀÂÉÔ, ËÏÇÄÁ × ÅÇÏ ÄÅÌÁÈ ËÔÏ-ÔÏ ËÏÁÅÔÓÑ. á ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó ÅÒÓÏÎÁÌØÎÙÍ ËÏÍØÀÔÅÒÏÍ (ðë) ÏÓÔÏÑÎÎÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÓÉÔÕÁ ÉÑ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÂÅÚÒÁÚÄÅÌØÎÏÊ ×ÌÁÓÔÉ, × ÏÂÝÅÍ-ÔÏ, ÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ×ÁÍ ÌÀÄÅÊ. ë ÓÏÂÌÁÚÎÕ ÏÒÏÂÏ×ÁÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÆÁÊÌÙ, ÄÉÒÅËÔÏÒÉÉ ÉÌÉ ÄÉÓËÉ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÏÄÔÁÌËÉ×ÁÀÔ ÎÁÓ É ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÓÏ ×ÓÔÒÏÅÎÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ: ÎÏÒÔÏÎÏ×ÓËÉÊ Diskreet, Se retdisk, ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÁÒÈÉ×ÁÔÏÒÙ, ÒÅÄÁËÔÏÒÙ É Ô. Ä. ðÏÜÔÏÍÕ ÂÅÚ ÒÅÕ×ÅÌÉÞÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ó ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÅÊ ÓÔÁÌËÉ×ÁÌÓÑ ËÁÖÄÙÊ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ðë. îÁ ÂÏÌÅÅ ÓÅÒØÅÚÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÓÔÒÏÉÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÅÊ ÔÅÍ, ËÔÏ ÉÍÅÅÔ Ó×ÏÅ ÄÅÌÏ É ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ðë ÉÌÉ ÌÏËÁÌØÎÕÀ ÓÅÔØ ðë × Ó×ÏÅÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÉÌÉ ÆÉÒÍÅ. úÄÅÓØ ÕÖÅ ÏÔÅÒÉ ÏÔ ÎÅÂÒÅÖÎÏÇÏ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ ÓÏ Ó×ÏÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ ÍÏÇÕÔ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÎÅÏÒÁ×ÉÍÙÍ ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÑÍ. îÅ ÂÕÄÅÍ ÕÔÏÍÌÑÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÒÉÍÅÒÁÍÉ ÉÚ ÖÉÚÎÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÞÉÔÁÌ ÏÂ ÜÔÏÍ × ÇÁÚÅÔÁÈ ÉÌÉ ÓÌÙÛÁÌ ÏÔ ÄÒÕÚÅÊ. äÅÌÏ ÎÅ × ÒÉÍÅÒÁÈ, Á × ÓÕÔÉ ÄÅÌÁ. á ÓÕÔØ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÂÅÚ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ×ÁÛÉÈ ÔÁÊÎ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. îÅ ÂÕÄÅÍ ÔÒÁÔÉÔØ ×ÒÅÍÑ ÎÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÔÅÚÉÓÁ. éÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ÜÔÏ ÏÎÉÍÁÀÔ ×ÓÅ, ÈÏÔÑ Õ ÎÅÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× É ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÉÎÏÇÄÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÕ×ÓÔ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÓÏÒÏÔÉ×ÌÅÎÉÑ. éÔÁË, ×Ù ÏÎÑÌÉ, ÞÔÏ ×ÁÍ ÎÁÄÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÒÏÇÒÁÍÍÏÊ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. é ×ÏÔ ÚÄÅÓØ-ÔÏ ÓÒÁÚÕ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÒÅÏÄÏÌÉÍÙÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ. Ï, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÅÒÅÏÄÏÌÉÍÙÅ, ×Ù ÏÎÉÍÁÅÔÅ ÞÕÔØ ÏÚÄÎÅÅ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÂÒÁÔØ ÄÌÑ ÓÅÂÑ ÎÕÖÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ÎÁÄÏ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ Ï ÅÎÉ×ÁÔØ ÅÅ ËÁÞÅÓÔ×Ï É ÕÍÅÔØ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ ÔÁËÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. á ×ÏÔ ÚÄÅÓØ-ÔÏ ÎÉËÁËÉÈ ËÒÉÔÅÒÉÅ× ×ÁÍ ÎÉËÔÏ É ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÒÁÓÓËÁÖÅÔ, ÄÁ É × ËÎÉÇÁÈ ×Ù ÎÉÞÅÇÏ ÕÔÎÏÇÏ ÎÅ ÒÏÞÉÔÁÅÔÅ. á ×ÅÒÉÔØ ÒÏÄÁ× Õ Ó ÅÇÏ ÎÁ×ÑÚÞÉ×ÏÊ É ËÒÉËÌÉ×ÏÊ ÒÅËÌÁÍÏÊ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÁÂÓÕÒÄÎÏ, ÔÁË ËÁË ÒÏÄÁ× ÏÍ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ×ÁÛ ËÏÎËÕÒÅÎÔ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ×ÙÔÅËÁÀÝÉÍÉ ÏÔÓÀÄÁ ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÑÍÉ. ÷ÅÒÉÔØ ÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÔÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ, ËÏÔÏÒÕÀ ×Ù ÎÁÉÓÁÌÉ ÓÁÍÉ. åÓÌÉ ×Ù Ó ÜÔÉÍ ÎÅ ÓÏÇÌÁÓÎÙ, ÚÎÁÞÉÔ Õ ×ÁÓ ÅÝÅ ×ÓÅ ×ÅÒÅÄÉ. ÷ÁÛÉ ÉÌÌÀÚÉÉ ÅÝÅ ÎÅ ÓËÏÒÏ ÒÁÓÓÅÀÔÓÑ.

134

çÌÁ×Á 6

éÔÁË, ÒÉÓÔÕÉÍ Ë ÎÁÉÓÁÎÉÀ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÁÊÌÏ×. ðÏÎÁÞÁÌÕ ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÔÁËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ËÁÖÅÔÓÑ ×ÏÌÎÅ ÄÏÓÔÕÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÖÅÔ ÓÒÁ×ÉÔØÓÑ ÌÀÂÏÊ ÞÅÌÏ×ÅË, ÉÚÕÞÉ×ÛÉÊ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÑÚÙË ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÅÔ ÎÉÞÅÇÏ ÒÏÝÅ. ÷Ù ×ÙÂÉÒÁÅÔÅ ÓÁÍÙÊ ÎÁÄÅÖÎÙÊ ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ×ÁÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ ÏÉÓÁÎÎÙÊ × çïó 28147, ÓÁÄÉÔÅÓØ ÚÁ ËÏÍØÀÔÅÒ, É ÞÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ Õ ×ÁÓ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÂÏÔÁÀÝÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ. èÏÔÑ ÏÎÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ É ÉÎÔÅÒÆÅÊÓ Õ ÎÅÅ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÕÄÏÂÎÙÊ, ÏÎÁ ×ÁÓ ×ÏÌÎÅ ÕÓÔÒÁÉ×ÁÅÔ É ×Ù ÅÊ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏ×ÅÒÑÅÔÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ×ÁÛÁ ÒÏÇÒÁÍÍÁ. îÏ ÓÏ ×ÒÅÍÅÎÅÍ Õ ×ÁÓ ÏÑÔØ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÒ×Ø ÓÏÍÎÅÎÉÑ. ÷Ù ÏÑÔØ ÎÁÞÉÎÁÅÔÅ ÚÁÄÕÍÙ×ÁÔØÓÑ Ï ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ×ÁÛÅÊ ÚÁÝÉÔÙ É ÏÎÉÍÁÅÔÅ, ÞÔÏ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ Ó×ÏÊ ÂÏÇÁÔÙÊ ÏÙÔ × ÏÂÌÁÓÔÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ×Ù × ÓÕÝÎÏÓÔÉ ÎÉÞÅÇÏ × ÜÔÏÍ ÎÅ ÏÎÉÍÁÅÔÅ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ, ÞÔÏ ÓÏÇÒÅ×ÁÅÔ ÄÕÛÕ × ÔÁËÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÔÁË ÜÔÏ ÔÏ, ÞÔÏ ×Ù ÔÅÅÒØ ÑÓÎÏ ÏÓÏÚÎÁÅÔÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÓÅÒØÅÚÎÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ. á ÜÔÏ ÕÖÅ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ. ó ÜÔÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ É ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ×ÁÛÁ ÒÁÂÏÔÁ Ï ÏÓ×ÏÅÎÉÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. ëÁËÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÒÁÔØ?

íÙ ÒÁÚÇÏ×ÁÒÉ×ÁÌÉ ÓÏ ÍÎÏÇÉÍÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÁÍÉ, É ×ÓÅ ÏÎÉ ÎÁÞÉÎÁÌÉ Ó ÏÂßÑÓÎÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÛÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ. ïÎ ÒÏÓÔ É ÕÄÏÂÅÎ × ÏÂÒÁÝÅÎÉÉ, ÎÏ ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏË | ÒÁÓËÒÙÔØ ÅÇÏ ÍÏÖÅÔ ËÁÖÄÙÊ ÛËÏÌØÎÉË. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÎÁ ÎÅÍ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØÓÑ É ÓÒÁÚÕ ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÛÉÆÒÕ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ, ÌÉÂÏ ÷ÅÒÎÁÍÁ, ÌÉÂÏ ÌÀÂÏÍÕ ÄÒÕÇÏÍÕ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÎÁÌÏÖÅÎÉÀ ÏÄÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁ ÄÒÕÇÕÀ. ëÁË ÒÉÚÎÁÀÔ ×ÓÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÙ, ÒÉ ÏÄÎÏÒÁÚÏ×ÏÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÔÁËÏÇÏ ÔÉÁ ÛÉÆÒÏ× ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÓÏÓÏÂ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ | ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÚÎÁËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÖÎÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. äÌÑ ÎÁÌÏÖÅÎÉÑ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÕÖÎÁ ÎÅ ÌÀÂÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, Á ÉÍÅÎÎÏ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ. þÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÏÅ? îÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÎÅÔ ÒÏÂÌÅÍ. òÁÚÌÉÞÎÙÈ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ×ÅÌÉËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ëÁËÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ×ÙÂÒÁÔØ? ïÔ×ÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÅÎ | ÔÏÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ×ÙÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÕÀ Ë ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ. á ÔÅÅÒØ ÏÒÏÂÕÊÔÅ ÄÁÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. äÌÑ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁ ÏÒÏÓÉÔÅ ËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ, É ÏÎ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÓËÁÖÅÔ ×ÁÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏ, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÏ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÉÌÉ ÞÔÏ-ÎÉÂÕÄØ ×ÒÏÄÅ ÜÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÅÊ ÓÈÅÍÙ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉÓÙÔÁÎÉÊ, ÉÌÉ | ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÙÂÏÒËÉ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ Ó ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÙÍ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ.

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

135

îÅÄÏÓÔÁÔÏË ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ÄÌÑ ÅÌÅÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÒÉ ×ÚÇÌÑÄÅ ÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0: ïÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÊ ÓÈÅÍÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉÓÙÔÁÎÉÊ É ÎÉ × ÞÅÍ ÎÅ ÕÓÔÕÁÅÔ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 1; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 0; 1; ÔÁË ËÁË ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÉÈ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÔÁËÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÄÁÔÞÉËÁ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù. ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ, ÒÁÚÎÉ Ù ÎÅÔ ÎÉËÁËÏÊ, ÎÏ ÏÒÏÂÕÊÔÅ ÉÈ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÛÁ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÏÌÕÞÅÎÁ Ï ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÓÈÅÍÅ, ÎÏ ÅÝÅ É ÂÙÔØ ÏÈÏÖÅÊ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ (×ÅÄØ ÎÉËÏÍÕ ÎÅ ÒÉÄÅÔ × ÇÏÌÏ×Õ ÎÁÚ×ÁÔØ ÅÒ×ÕÀ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ). îÏ ËÔÏ ÍÏÖÅÔ ÏÔ×ÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÉÔ ÏÈÏÖÅÊ? îÁ ÞÔÏ ÏÈÏÖÁ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 38765043353179975014693910353191097086635896251806230 29822890926723711514115245155566479256098717968310496 83605391251330391031054184702591128155858755970005635 69377039492262413967236168374702472481350482084517454 3990212200528238143667515252273? ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÏÔÌÉÞÉÔØ ÅÅ ÏÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÓÅ ÉÁÌÉÓÔ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ ÓËÁÖÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ 2829 + 1. á ÔÅÅÒØ ÏÄÕÍÁÊÔÅ, ËÁË ÜÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ. ëÁËÏ×Ù ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ËÒÉÔÅÒÉÉ ÏÈÏÖÅÓÔÉ? ìÅÇËÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÏÈÏÖÅÓÔÉ ÏÄÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁ ÄÒÕÇÕÀ. îÏ ËÁË ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÉÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÈÏÖÁ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ? üÔÁ ÒÏÂÌÅÍÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ. åÓÔØ ÍÎÏÇÏ ÏÄÈÏÄÏ× Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÎÑÔÉÑ ÏÈÏÖÅÓÔÉ, ÎÏ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÓÔÒÁÄÁÅÔ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÏÓÔØÀ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÔ ×ÙÂÒÁÎÎÏÇÏ ×ÁÍÉ ÏÄÈÏÄÁ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÚÁ×ÉÓÉÔ ËÁÞÅÓÔ×Ï ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. õÄÏÂÎÏ ÌÉ ÎÏÓÉÔØ ÂÏÌØÛÕÀ Ó×ÑÚËÕ ËÌÀÞÅÊ?

ðÅÒÅÄ ×ÁÍÉ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. þÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅËÒÅÔÎÙÍ × ÜÔÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ? óÁÍÁ ÒÏÇÒÁÍÍÁ? éÓÈÏÄÎÙÊ ÔÅËÓÔ? ïÉÓÁÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ? ïÔ×ÅÔ, ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÅÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÌÕÞÛÅ ×ÓÅÇÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÁÛ ËÏÎËÕÒÅÎÔ ÎÅ ÉÍÅÌ ÎÉ ÔÏÇÏ, ÎÉ ÄÒÕÇÏÇÏ, ÎÉ ÔÒÅÔØÅÇÏ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÙÞÎÏ ÏÄÏÂÎÙÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÚÁÝÉÝÁÀÔ É ÏÔ ËÏÉÒÏ×ÁÎÉÑ, É ÏÔ ÄÉÚÁÓÓÅÍÂÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ, É ÏÔ ÒÁÂÏÔÙ ÏÄ ÏÔÌÁÄÞÉËÏÍ É Ô. Ä. åÓÌÉ ÏÎÁ ÚÁÝÉÝÅÎÁ ÇÒÁÍÏÔÎÙÍ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏÍ, ÔÏ ÒÏÊÄÅÔ

136

çÌÁ×Á 6

ÎÅ ÏÄÉÎ ÍÅÓÑ , ÏËÁ ÚÁÝÉÔÁ ÂÕÄÅÔ ÓÎÑÔÁ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÒÏÇÒÁÍÍÁ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÉÔÅÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, Á ÈÁËÅÒÏ× ÓÅÊÞÁÓ ×ÅÌÉËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ðÏÜÔÏÍÕ ÌÕÞÛÅ ÓÒÁÚÕ ÉÓÈÏÄÉÔØ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ×ÓÅ Ó×ÑÚÁÎÎÏÅ Ó ÒÏÇÒÁÍÍÏÊ ÓÅËÒÅÔÁ ÎÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ. þÔÏ ÅÝÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓ ÄÌÑ ×ÁÛÅÇÏ ËÏÎËÕÒÅÎÔÁ? úÁËÒÙÔÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ? ïÔ ÎÅÅ ÎÉËÔÏ ÎÅ ÏÔËÁÖÅÔÓÑ, ÎÏ ÏÎÁ ÍÁÌÏ ÞÔÏ ÄÁÅÔ. åÓÌÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÂÒÁÎ ÎÁÄÅÖÎÙÊ, ÔÏ ÚÁËÒÙÔÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÅËÒÅÔÁ, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÁ ÄÌÑ ÈÒÁÎÅÎÉÑ É ÅÒÅÄÁÞÉ × ÏÔËÒÙÔÏÍ ×ÉÄÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÓÌÅÄÏ× ÎÅ ÕÎÉÞÔÏÖÅÎÎÏÊ ÏÔËÒÙÔÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÍÏÖÎÏ ÂÙÔØ ÓÏËÏÊÎÙÍ. ïÓÔÁÀÔÓÑ ËÌÀÞÉ. éÍÅÑ ËÌÀÞÉ, ×ÁÛÉ ËÏÎËÕÒÅÎÔÙ ÏÔËÒÏÀÔ ×ÓÅ ÚÁËÒÙÔÙÅ Ä×ÅÒÉ. üÔÏ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÓÅËÒÅÔ ×Ï ×ÓÅÍ ÒÏ ÅÓÓÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, É, ÍÏÖÅÔÅ ÎÅ ÓÏÍÎÅ×ÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÕÓÉÌÉÑ ×ÁÛÅÇÏ ËÏÎËÕÒÅÎÔÁ ÂÕÄÕÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ÉÍÅÎÎÏ ÎÁ ÏÄËÕ ÅÒÓÏÎÁÌÁ, ÉÍÅÀÝÅÇÏ ÄÏÓÔÕ Ë ËÌÀÞÁÍ. îÏ ËÁË ××ÏÄÉÔØ ËÌÀÞ × ÒÏÇÒÁÍÍÕ É ÇÄÅ ÈÒÁÎÉÔØ ËÌÀÞÉ? åÓÌÉ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏ, ÔÏ ËÌÀÞÅÊ ÎÕÖÎÏ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ. çÄÅ ÉÈ ÂÒÁÔØ É ËÁË ÚÁÍÅÎÑÔØ ÏÄÉÎ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ? óËÕÏÊ ÒÙ ÁÒØ ÈÒÁÎÉÌ Ó×ÏÉ ÓÏËÒÏ×ÉÝÁ × ÓÕÎÄÕËÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÙÌÉ ÚÁËÒÙÔÙ Ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁÍËÏ×, ËÌÀÞÉ ÏÔ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÎÏÓÉÌ Ó ÓÏÂÏÊ. ïÎ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÄÅÌÁÌ, ÞÔÏ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÒÁÓÓÔÁ×ÁÌÓÑ Ó ËÌÀÞÁÍÉ. îÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎ ÂÙÌ ÏÞÅÎØ ÂÏÇÁÔ, ÔÏ ËÌÀÞÅÊ Õ ÎÅÇÏ ÂÙÌÏ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ, É ÎÏÓÉÔØ ÔÁËÕÀ Ó×ÑÚËÕ ÅÍÕ, ÎÁ×ÅÒÎÏ, ÂÙÌÏ ÏÞÅÎØ ÎÅÕÄÏÂÎÏ. ÷ÏÏÂÝÅ-ÔÏ, ÏÎ ÍÏÇ ÚÁ×ÅÓÔÉ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÓÕÎÄÕË, ËÕÄÁ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÓÌÏÖÉÔØ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ. ÏÇÄÁ ÂÙ ÅÍÕ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÎÏÓÉÔØ ×ÓÅÇÏ ÏÄÉÎ ËÌÀÞ. éÍÅÎÎÏ ÜÔÁ ÉÄÅÑ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ × ËÌÀÞÅ×ÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ Ó ÇÌÁ×ÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ, ËÒÏÍÅ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ, ÈÒÁÎÑÔÓÑ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ ÎÁ ×ÉÎÞÅÓÔÅÒÅ × ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÉÄÅ. èÏÔÑ ÔÁËÏÊ ÓÏÓÏÂ ÈÒÁÎÅÎÉÑ ËÌÀÞÅÊ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÓÌÏÖÎÑÅÔ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÄÏÓÔÕÁ Ë ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Á ÚÄÅÓØ ÎÅÏÓÏÒÉÍÙ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÍÏÖÅÔÅ ÌÉ ×Ù ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÅÂÅ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÍÎÉÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÏÔÅÎ ËÌÀÞÅÊ? ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÀ ÎÁÄÅÖÎÏÇÏ ÈÒÁÎÅÎÉÑ ×ÓÅÇÏ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ. ðÒÁ×ÄÁ, ÒÉ ÜÔÏÍ ÅÎÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÒÅÚËÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ É ÎÏÓÉÔØ ÅÇÏ × ËÁÒÍÁÎÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÏÁÓÎÙÍ. îÅ ÔÏÌØËÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÌÀÄÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÕÄÕÔ ÉÓÙÔÙ×ÁÔØ ÎÅÒÅÏÄÏÌÉÍÏÅ ÖÅÌÁÎÉÅ ×ÚÑÔØ Õ ×ÁÓ ÅÇÏ, ÈÏÔÑ ÂÙ ÎÁ ×ÒÅÍÑ; ÎÏ ÅÝÅ É ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÎ ÏÔÅÒÑÅÔÓÑ ÉÌÉ ÉÓÏÒÔÉÔÓÑ, ÏÌÕÞÉ× ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÏÅ Ï×ÒÅÖÄÅÎÉÅ, ÔÏ ×Ù ÕÖÅ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÓÍÏÖÅÔÅ ÎÉÞÅÇÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÚ ÔÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ËÏÔÏÒÕÀ ×Ù ÈÒÁÎÉÌÉ × Ó×ÏÅÍ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. ó ËÌÀÞÁÍÉ ÎÁÄÏ ÂÙÔØ ÏÞÅÎØ ÏÓÔÏÒÏÖÎÙÍ. ÷ 1976 ÇÏÄÕ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ äÉÆÆÉ É èÅÌÌÍÁÎ ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÓÉÓÔÅÍÁÍ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ. äÁ×ÁÊÔÅ ÉÚÄÁÄÉÍ ËÎÉÇÕ-

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

137

ÓÒÁ×ÏÞÎÉË Ó ÏÔËÒÙÔÙÍÉ ËÌÀÞÁÍÉ ×ÓÅÈ ËÏÒÒÅÓÏÎÄÅÎÔÏ× É ÏÍÅÓÔÉÍ ÅÅ ÎÁ ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÏÍ ÓÅÒ×ÅÒÅ. üÔÏ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÎÉÍÅÔ ÒÏÂÌÅÍÕ Ó ÈÒÁÎÅÎÉÅÍ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ËÌÀÞÅÊ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏÇÁÄÁÔØÓÑ, ÓËÏÌØ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÊ É ÛÏËÉÒÕÀÝÉÊ ÜÆÆÅËÔ ÜÔÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÅÌÏ ÎÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ. îÏ ÕÖ ÂÏÌØÎÏ ÚÁÍÁÎÞÉ×Ù ÂÙÌÉ ÔÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÌÁ ÔÁËÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ. ëÁË ÏËÁÚÁÌÉ Á×ÔÏÒÙ ÉÄÅÉ, ÔÁËÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÄÉÓÙ×ÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÉÆÒÏ×ÏÊ ÏÄÉÓØÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÒÏÌØ ÏÂÙÞÎÏÊ ÏÄÉÓÉ ÏÄ ÄÏËÕÍÅÎÔÏÍ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÒÁÚÕ ÓÎÉÍÁÌÓÑ ÔÑÖËÉÊ ÇÒÕÚ Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Õ, ÚÁÏÍÉÎÁÎÉÀ, ÈÒÁÎÅÎÉÀ, ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÀ É ÕÎÉÞÔÏÖÅÎÉÀ ÏÇÒÏÍÎÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ, ÄÁ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÏÔËÒÙ×ÁÌÉÓØ ÎÏ×ÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ É ÓÆÅÒÙ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÏÓÔØ ÉÄÅÉ ×ÙÒÁÚÉÌÁÓØ × ÒÏÑ×ÌÅÎÉÉ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÁ Ë ÎÅÊ Õ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ËÒÕÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. ÷ÅÄØ ÄÌÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÕÖÎÙ ÂÙÌÉ ÔÒÕÄÎÏÒÅÛÁÅÍÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. á ËÔÏ, ËÒÏÍÅ ÓÁÍÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÍÏÖÅÔ ÒÉÄÕÍÁÔØ ÔÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ! ðÏÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÁË ÏÒÇÁÎÉÚÕÅÔÓÑ ×ÙÒÁÂÏÔËÁ ËÌÀÞÅÊ × ÛÉÒÏËÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÅ SSH (Se ure Shell). äÁÎÎÙÊ ÒÏÔÏËÏÌ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÁÕÔÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÀ É ÚÁËÒÙÔÉÅ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÊ ÒÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÉ UNIX ÍÁÛÉÎ. äÌÑ ×ÙÒÁÂÏÔËÉ ËÌÀÞÅÊ × ÎÅÍ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÒÏÔÏËÏÌ, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÅÊ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÏÂÍÅÎÁ ËÌÀÞÁÍÉ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÇÏ äÉÆÆÉ É èÅÌÌÍÁÎÏÍ. ðÕÓÔØ p | ÂÏÌØÛÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ É q = (p − 1)=2. ðÕÓÔØ g | ÞÉÓÌÏ, ÉÍÅÀÝÅÅ ÏÒÑÄÏË ÒÁ×ÎÙÊ q Ï ÍÏÄÕÌÀ p. ïÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÙ ÏÒÑÄËÁ q. ðÏÍÉÍÏ ÏÅÒÁ ÉÉ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÅÎØ × ÒÏÔÏËÏÌÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ ÈÅÛÉÒÏ×ÁÎÉÑ SHA (se ure hash algorithm) É ÉÆÒÏ×ÏÊ ÏÄÉÓÉ DSS (digital signature standard), ÒÉÎÑÔÙÅ × óûá × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÔÁÎÄÁÒÔÏ×. ðÒÏÔÏËÏÌ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ (ÓÍ. [6℄). 1. ëÌÉÅÎÔ C ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ x, 1 < x < q, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ e = gx mod p É ÏÔÒÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ e ÓÅÒ×ÅÒÕ S. 2. óÅÒ×ÅÒ S ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ y, 1 < y < q, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f = gy mod p, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÌÀÞÁ K = ey mod p, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ H = hash(V; Ks; e; f; K ) (ÚÄÅÓØ hash | ÆÕÎË ÉÑ ÈÅÛÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ SHA, V | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÔÒÏËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÉÄÅÎÔÉÆÉ ÉÒÕÀÝÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ËÌÉÅÎÔÅ É ÓÅÒ×ÅÒÅ, Ks | ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ ÓÅÒ×ÅÒÁ), ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÆÒÏ×ÏÊ ÏÄÉÓÉ m ÏÄ H ÎÁ Ó×ÏÅÍ ÓÅËÒÅÔÎÏÍ ËÌÀÞÅ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ DSS, Á ÚÁÔÅÍ ÏÔÒÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (Ks ; H; m; f ) ËÌÉÅÎÔÕ C.

138

çÌÁ×Á 6

3. ëÌÉÅÎÔ C ÒÏ×ÅÒÑÅÔ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÌÉ Ks Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÀÞÏÍ ÓÅÒ×ÅÒÁ. åÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÌÀÞÁ K = f x mod p, ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ H . îÁËÏÎÅ , ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÏÄÉÓØ ÏÄ ÜÔÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÒÏÔÏËÏÌÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ p ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÛËÏÌØÎÉËÕ ÞÉÓÌÁ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ p = 21024 − 2960 − 1 + 264 2894 + 12903 ; É ÒÁ×ÎÏ 179769313486231590770839156793787453197860296048756011706444 423684197180216158519368947833795864925541502180565485980503 646440548199239100050792877003355816639229553136239076508735 759914822574862575007425302077447712589550957937778424442426 617334727629299387668709205606050270810842907692932019128194 467627007: åÇÏ ÛÅÓÔÎÁÄ ÁÔÉÒÉÞÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÉÍÅÅÔ ÍÅÎÅÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ×ÉÄ FFFFFFFF 29024E08 EF9519B3 E485B576 EE386BFB FFFFFFFF

FFFFFFFF C90FDAA2 8A67CC74 020BBEA6 CD3A431B 302B0A6D 625E7EC6 F44C42E9 5A899FA5 AE9F2411 FFFFFFFF.

2168C234 3B139B22 F25F1437 A637ED6B 7C4B1FE6

C4C6628B 514A0879 4FE1356D 0BFF5CB6 49286651

80DC1CD1 8E3404DD 6D51C245 F406B7ED ECE65381

äÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÓÔÒÏÅÎÏ òÉÞÁÒÄÏÍ ûÒÅÅÌÅÍ ÉÚ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÛÔÁÔÁ áÒÉÚÏÎÁ, Á ÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÉÓÁÎÙ × ÒÁÂÏÔÅ [7℄. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÚÑÔÏ ÞÉÓÌÏ g = 2. ÷ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÓÔÅÅÎØ ÔÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ, ÔÁË ËÁË ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ 2 | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏÊ ÓÄ×ÉÇ Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÞÉÓÌÁ × ÓÔÏÒÏÎÕ ÓÔÁÒÛÉÈ ÒÁÚÒÑÄÏ×. 49783156431138-Ñ ÏÙÔËÁ

ÅÅÒØ ×ÓÔÁÎÅÍ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÕ ÎÁÁÄÁÀÝÅÊ ÓÔÏÒÏÎÙ É ÏÒÏÂÕÅÍ ÎÁÉÓÁÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ. ðÕÓÔØ Õ ×ÁÓ ÅÓÔØ ÉÓÈÏÄÎÙÊ É ÚÁËÒÙÔÙÊ ÆÁÊÌÙ. åÓÌÉ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË, ÔÏ ÎÁÄÏ ÏÓÔÁÒÁÔØÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÂÝÅÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÆÁÊÌ: ÉÓÏÌÎÑÅÍÙÊ ËÏÄ, ÔÅËÓÔ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÎÁ ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ÑÚÙËÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÔÅËÓÔ × ËÏÄÉÒÏ×ËÅ ASCII, ANSI, KOI-8 É Ô. . åÓÌÉ ÄÁÖÅ ÜÔÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÚÁÞÁÓÔÕÀ ×ÏÏÂÝÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÁÔÉÞÎÏÊ. îÏ ÎÅ ÂÕÄÅÍ Ï ÇÒÕÓÔÎÏÍ. ðÕÓÔØ Õ ×ÁÓ ÅÓÔØ ÏÂÁ ÆÁÊÌÁ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÎÁÉÓÁÎÎÏÊ ÒÁÎÅÅ ÒÏÇÒÁÍÍÏÊ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÄÏÂÁ×ÉÍ Ë ÎÅÊ ÂÌÏËÉ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ËÌÀÞÅÊ É ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ Ó ÉÍÅÀÝÉÍÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ. ðÒÅÖÄÅ

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

139

ÞÅÍ ÚÁÕÓÔÉÔØ ÎÁ ÉÓÏÌÎÅÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ÏÄÕÍÁÅÍ, ÓËÏÌØËÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÒÁÂÏÔÁÔØ. óÎÁÞÁÌÁ ÎÁÊÄÅÍ ÓÒÅÄÎÅÅ ÞÉÓÌÏ ÚÎÁËÏ× ÔÅËÓÔÁ, ËÏÔÏÒÏÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÔÂÒÁËÏ×ËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÛÁ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔ ÂÉÔÙ ÔÅËÓÔÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ, Ó ÂÉÔÁÍÉ ÉÍÅÀÝÅÇÏÓÑ ÚÁËÒÙÔÏÇÏ ÆÁÊÌÁ. åÓÌÉ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÙÊ × ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÛÉÆÒ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÈÏÒÏÛÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ É ÄÁÅÔ ÛÉÆÒÔÅËÓÔ, ÏÈÏÖÉÊ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÔÏ Ï ÅÒ×ÏÍÕ ÂÉÔÕ ÂÕÄÅÔ ÚÁÂÒÁËÏ×ÁÎÁ ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ ÏÌÏ×ÉÎÁ ËÌÀÞÅÊ, Ï ×ÔÏÒÏÍÕ | ÅÝÅ ÞÅÔ×ÅÒÔØ, É Ô. Ä. ÷ ÉÔÏÇÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÎÅÅ ÞÉÓÌÏ ÚÎÁËÏ× ÄÌÑ ÏÔÂÒÁËÏ×ËÉ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ∞ X i i: 2 i=1

íÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÚÎÁÀÔ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ Ä×ÕÍ. ðÏÜÔÏÍÕ, ËÁË ÜÔÏ ÎÉ ÓÔÒÁÎÎÏ, ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ × ÓÒÅÄÎÅÍ ×ÓÅÇÏ Ä×Á ÂÉÔÁ ÔÅËÓÔÁ ÄÌÑ ÏÔÂÒÁËÏ×ËÉ ÌÏÖÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ. üÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÁÒÁÄÏËÓÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. á ×ÅÄØ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÌÀÞ ÎÁÊÄÅÎ ÒÁ×ÉÌØÎÏ, ÎÁÄÏ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ×ÅÓØ ÔÅËÓÔ. äÁÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÂÎÁÄÅÖÉ×ÁÅÔ Ó×ÏÅÊ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏÓÔØÀ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÒÁÚÕ ÅÒÅÈÏÄÉÍ ËÏ ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ É ÎÁÊÄÅÍ, ÓËÏÌØËÏ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ × ÓÒÅÄÎÅÍ ÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÌÀÞÁ ÄÏ ÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÉÓËÏÍÏÇÏ. óÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ÒÁ×ÎÏÒÁ×ÎÙ. ðÅÒÅÎÕÍÅÒÕÅÍ ÉÈ É ÎÁÞÎÅÍ Ï ÏÞÅÒÅÄÉ ÒÏ×ÅÒÑÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÁÛÅÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. îÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÒÑÄËÁ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ËÌÀÞÅÊ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ Õ ×ÁÓ ÅÓÔØ ÄÁÒ ÒÅÄ×ÉÄÅÎÉÑ É ×Ù ×ÙÂÒÁÌÉ ÔÁËÏÊ ÏÒÑÄÏË, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÙÊ ËÌÀÞ ÉÍÅÅÔ ÅÒ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ, ÔÏ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÓÒÁÂÏÔÁÅÔ ÕÖÅ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ. îÏ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ×ÅÒÉÔØ × ÞÕÄÏ É ÎÁÊÄÅÍ ÓÒÅÄÎÅÅ ÞÉÓÌÏ ÛÁÇÏ× ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ïÎÏ ÒÁ×ÎÏ n X iki ; i=1 n!

ÇÄÅ ki | ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ n ËÌÀÞÅÊ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÓÔÉÎÎÙÊ ËÌÀÞ ÓÔÏÉÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i. ÁË ËÁË ÌÅÇËÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ki = (n − 1)!, ÔÏ ÎÁÛÁ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ n n X iki X i n(n + 1) (n + 1) = = = : 2n 2 i=1 n! i=1 n éÔÁË, × ÓÒÅÄÎÅÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ÅÒÅÂÒÁÔØ ÞÕÔØ ÂÏÌØÛÅ ÏÌÏ×ÉÎÙ ×ÓÅÈ ËÌÀÞÅÊ. ÅÅÒØ ×ÅÒÎÅÍÓÑ ÏÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ë ÓÕÒÏ×ÏÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ ×Ù ÎÁÉÓÁÌÉ ×ÅÌÉËÏÌÅÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÚÁ ÏÄÎÕ

140

çÌÁ×Á 6

ÓÅËÕÎÄÕ ÏÄÉÎ ÍÉÌÌÉÏÎ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÌÀÞÁ. ÏÇÄÁ ÚÁ ÞÁÓ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÅÒÅÂÅÒÅÔ 3600 000 000 ËÌÀÞÅÊ, ÚÁ ÓÕÔËÉ | 86 400 000 000 ËÌÀÞÅÊ, Á ÚÁ ÇÏÄ | ÂÏÌÅÅ 30 000 000 000 000. ëÏÒÏÞÅ, ÄÌÑ ÅÒÅÂÏÒÁ 256 ËÌÀÞÅÊ ÛÉÆÒÁÔÏÒÁ DES ×ÁÛÅÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ × ÓÒÅÄÎÅÍ ÞÕÔØ ÂÏÌÅÅ 1500 ÌÅÔ. ÷ÄÏÈÎÏ×ÌÑÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÎÅ ÒÁ×ÄÁ ÌÉ? á ÔÅÅÒØ ÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ, ÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÁÛÅÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ Õ ÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ çïó 28147, × ËÏÔÏÒÏÍ ÞÉÓÌÏ ËÌÀÞÅÊ ÒÁ×ÎÏ 2256 . ðÏÄÏÂÎÙÅ Ï ÅÎËÉ ÏÍÏÇÕÔ ×ÁÍ ÉÚÂÅÖÁÔØ ÉÚÌÉÛÅÓÔ× É ÒÁ×ÉÌØÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÄÌÉÎÕ ËÌÀÞÁ ÄÌÑ ×ÁÛÅÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. á ÔÅÅÒØ ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ×ÏÒÏÓÏ×. 3. ëÁË ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÆÁÊÌ? òÕËÉ ÒÏÞØ ÏÔ ÍÏÉÈ ÆÁÊÌÏ×!

ðÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ ÓÅÂÅ: ×Ù ÒÉÈÏÄÉÔÅ ÄÏÍÏÊ ÏÓÌÅ ÔÒÕÄÎÏÇÏ ÄÎÑ É × ÒÉÈÏÖÅÊ ×ÁÓ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔ ×ÁÛ ÍÌÁÄÛÉÊ ÂÒÁÔ, ÇÒÏÍËÏ ÄÅËÌÁÍÉÒÕÑ ×ÁÛÉ ÓÔÉÈÉ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÅ ÌÀÂÉÍÏÊ ÄÅ×ÕÛËÅ ÉÚ ÓÏÓÅÄÎÅÇÏ ËÌÁÓÓÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ×Ù ×ÞÅÒÁ ÎÁÂÒÁÌÉ ÎÁ Ó×ÏÅÍ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. é ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÅËÌÁÍÉÒÕÅÔ, Á ÅÝÅ É ËÏÍÍÅÎÔÉÒÕÅÔ, É ÉÚ ÅÇÏ ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÅ× ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ðÕÛËÉÎÁ ÉÚ ×ÁÓ ÎÕ ÎÉËÁË ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ. ÷Ù, ËÏÎÅÞÎÏ, ÍÏÖÅÔÅ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÂÒÁÔÕ, ÞÔÏ ÏÎ ÎÅ ÒÁ×, ÏÄËÒÅÉ× Ó×ÏÉ ÓÌÏ×Á ÁÒÏÊ ÏÄÚÁÔÙÌØÎÉËÏ× É ÄÒÕÇÉÍÉ ×ÅÓÏÍÙÍÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁÍÉ. üÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÄÍÉÎÉÓÔÒÁÔÉ×ÎÙÅ ÍÅÒÙ ÚÁÝÉÔÙ. ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÁÒÏÌØ ÎÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ ËÏÍØÀÔÅÒÁ. ëÁË ÄÕÍÁÅÔÅ, ÓËÏÌØËÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÚÁÝÉÔÁ? ðÒÁ×ÉÌØÎÏ. äÎÑ ÔÒÉ-ÞÅÔÙÒÅ. ðÏÔÏÍ ×ÁÛ ÂÒÁÔ ÚÁÍÕÞÁÅÔ ×ÁÓ ÒÏÓØÂÁÍÉ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÅÍÕ ÏÉÇÒÁÔØ × WarCraft, É ×ÁÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ÏÄÅÌÉÔØÓÑ Ó ÎÉÍ ÁÒÏÌÅÍ. âÙÌÏ ÂÙ ÈÏÒÏÛÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÁÛ ÂÒÁÔ ÍÏÇ ÂÙ ÂÅÓÒÅÑÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÇÒÁÔØ × ÌÀÂÉÍÙÅ ÉÇÒÙ, Á ÄÏÓÔÕ Ë ÞÕÖÉÍ ÆÁÊÌÁÍ ÂÙÌ ÂÙ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÚÁËÒÙÔ. üÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÄÏÓÔÕÁ. ëÁË ÖÅ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÒÁÚÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÄÏÓÔÕÁ ÎÁ Ó×ÏÅÍ ËÏÍØÀÔÅÒÅ? åÓÌÉ ÂÙ Õ ×ÁÓ ÂÙÌÁ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÁ ÎÅ Windows 95, Á Windows NT ÉÌÉ UNIX, ×Ù ÌÅÇËÏ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØ ÄÏÓÔÕ Ë Ó×ÏÉÍ ÆÁÊÌÁÍ. ÷ UNIX ×ÁÍ ÒÉÛÌÏÓØ ÂÙ ÎÁÂÒÁÔØ ËÏÍÁÎÄÕ hmod Ó ÎÕÖÎÙÍÉ ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ, Á × Windows NT È×ÁÔÉÌÏ ÂÙ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÍÙÛØÀ. îÏ Õ ×ÁÓ ÓÔÏÉÔ Windows 95, Á Windows 95 ÒÁÚÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÄÏÓÔÕÁ ÎÅ ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÅÔ. ÁË ÞÔÏ ÖÅ ×ÁÍ ÄÅÌÁÔØ? îÅÕÖÅÌÉ ÎÅÌØÚÑ ÚÁÝÉÔÉÔØ Ó×ÏÉ ÆÁÊÌÙ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ? íÏÖÎÏ. ÕÔ ÎÁÍ ÎÁ ÏÍÏÝØ ÒÉÈÏÄÉÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ. åÓÌÉ ×Ù ÎÅ ÈÏÔÉÔÅ, ÞÔÏÂÙ ÄÒÕÇÉÅ ÞÉÔÁÌÉ ×ÁÛ ÆÁÊÌ, ÜÔÏÔ ÆÁÊÌ ÎÕÖÎÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÔØ. ðÕÓÔØ ÅÇÏ ÔÅÅÒØ ÞÉÔÁÀÔ ×ÓÅ ËÏÍÕ ÎÅ ÌÅÎØ. ÷ÓÅ ÒÁ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ËÔÏ-

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

141

ÔÏ, ËÒÏÍÅ ×ÁÓ, ÒÏÞÉÔÁÅÔ ÜÔÏÔ ÆÁÊÌ, ÏÎ Õ×ÉÄÉÔ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÍÏÅ ÆÁÊÌÁ, Á ÛÉÆÒÔÅËÓÔ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ ÛÉÆÒ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÔÏÊËÉÍ. ëÁË ××ÏÄÉÔØ ËÌÀÞ?

ëÁË ×Ù ÓÏÂÉÒÁÅÔÅÓØ ××ÏÄÉÔØ ËÌÀÞ × ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ? ðÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ | Ó ËÌÁ×ÉÁÔÕÒÙ. éÍÅÎÎÏ ÜÔÏÔ ×ÁÒÉÁÎÔ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎ × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÇÏÔÏ×ÙÈ ÒÏÇÒÁÍÍ, É ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï Ó ÎÉÍÉ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ×ÅÖÌÉ×ÏÇÏ ÒÉÇÌÁÛÅÎÉÑ: enter your password: . . . . ÏÌØËÏ ÉÍÅÊÔÅ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ ÁÒÏÌØ, ××ÏÄÉÍÙÊ Ó ËÌÁ×ÉÁÔÕÒÙ, ÍÏÖÎÏ ÏÄÓÍÏÔÒÅÔØ. åÓÌÉ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ ××ÏÄÅ ÁÒÏÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÅÇÏ ÎÁ ÜËÒÁÎÅ, ÔÁËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÏÊ ÌÕÞÛÅ ÎÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ. ëÏÇÄÁ ÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÁÊÌÁ ×Ù ××ÏÄÉÔÅ ÁÒÏÌØ, ÏÎ ÔÏÖÅ ÎÅ ÄÏÌÖÅÎ ÏÔÏÂÒÁÖÁÔØÓÑ ÎÁ ÜËÒÁÎÅ. á ÞÔÏ ÓÌÕÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÒÉ ××ÏÄÅ ÁÒÏÌÑ ×Ù ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÎÁÖÁÌÉ ÎÅ ÔÕ ËÌÁ×ÉÛÕ? ÷Ù ÄÕÍÁÅÔÅ, ÞÔÏ ××ÅÌÉ ÏÄÉÎ ÁÒÏÌØ, Á ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ××ÅÌÉ ÄÒÕÇÏÊ. ðÒÏÂÕÅÔÅ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÆÁÊÌ, Á ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÇÏ×ÏÒÉÔ: ðÁÒÏÌØ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. þÔÏÂÙ ÔÁËÏÇÏ ÎÅ ÂÙÌÏ, ÏÂÙÞÎÏ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ ××ÏÄÅ ÁÒÏÌÑ ÄÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÁÊÌÁ ÒÏÓÑÔ ××ÅÓÔÉ ÁÒÏÌØ Ä×ÁÖÄÙ. åÓÌÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ × ÅÒ×ÙÊ ÒÁÚ ××ÅÌ ÏÄÉÎ ÁÒÏÌØ, Á ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÒÁÚ | ÄÒÕÇÏÊ, ÚÎÁÞÉÔ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÒÁÚ ÏÎ ÏÛÉÂÓÑ. á ÅÓÌÉ ÏÂÁ ÒÁÚÁ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ××ÅÌ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ, ÚÎÁÞÉÔ, ×ÓÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÏ. ÷ÒÑÄ ÌÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ Ä×ÁÖÄÙ ÏÛÉÂÅÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ëÁË ÒÏ×ÅÒÑÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ËÌÀÞÁ?

ëÓÔÁÔÉ, Á ËÁË ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÒÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÁÊÌÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ, ÞÔÏ ÁÒÏÌØ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ? ðÏ-ÒÁÚÎÏÍÕ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÒÏ×ÅÒÑÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÁÒÏÌÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ×Ù ××ÅÌÉ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÁÒÏÌØ, ÆÁÊÌ ËÁË ÂÙ ÒÁÓÛÉÆÒÕÅÔÓÑ, ÎÏ ×Ù Õ×ÉÄÉÔÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÔÏ, ÞÔÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÌÉ. üÔÏ ÎÅÕÄÏÂÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ×Ù ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÌÉ ÆÁÊÌ ÍÅÇÁÂÁÊÔ × 50 Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ çïó. óËÏÌØËÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÎ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÔØÓÑ? åÓÌÉ Õ ×ÁÓ ÄÏÍÁ ÓÔÏÉÔ ÏÂÙÞÎÙÊ Pentium, ÔÏ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÍÉÎÕÔÕ. á ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÍÉÎÕÔÙ ÔÒÉ. ÷Ù ×ÓÅ ÜÔÏ ×ÒÅÍÑ ÓÉÄÉÔÅ, ÖÄÅÔÅ, Á ÏÔÏÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÚÒÑ ÖÄÁÌÉ | ÁÒÏÌØÔÏ ××ÅÌÉ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. á ÅÓÌÉ ×Ù exe-ÆÁÊÌ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÌÉ, Á ÏÔÏÍ ÚÁÕÓÔÉÌÉ ÎÁ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ? óËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÒÉÄÅÔÓÑ ÄÁ×ÉÔØ Reset. ÁË ÞÔÏ ÌÕÞÛÅ, ËÏÇÄÁ ÅÒÅÄ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÁÒÏÌÑ. ïÓÔÁÅÔÓÑ ×ÏÒÏÓ: ËÁË ÒÏ×ÅÒÑÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÁÒÏÌÑ? íÏÖÎÏ ÒÏÓÔÏ ×ÉÓÁÔØ ÁÒÏÌØ × ÎÁÞÁÌÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÆÁÊÌÁ ÅÒÅÄ ÛÉÆÒÔÅËÓÔÏÍ. ðÒÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ×Ù ××ÏÄÉÔÅ ÁÒÏÌØ, ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÞÉÔÁÅÔ ÎÁÞÁÌÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÆÁÊÌÁ É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔ ÔÏ, ÞÔÏ ×Ù ××ÅÌÉ, É ÔÏ, ÞÔÏ × ÆÁÊÌÅ. åÓÌÉ ÓÏ×ÁÌÏ, ÚÎÁÞÉÔ, ÁÒÏÌØ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. á ÅÓÌÉ ÎÅ

142

çÌÁ×Á 6

ÓÏ×ÁÌÏ | ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. ðÒÏÓÔÏ É ÕÄÏÂÎÏ. ÏÌØËÏ ÞÔÏ ÒÏÉÚÏÊÄÅÔ, ÅÓÌÉ ËÔÏ-ÎÉÂÕÄØ ÄÒÕÇÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÒÏÓÍÏÔÒÉÔ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÆÁÊÌ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó ÏÍÏÝØÀ Norton Commander? ÷ÅÓØ ÆÁÊÌ | ÓÌÏÛÎÁÑ ÁÂÒÁËÁÄÁÂÒÁ, Á × ÎÁÞÁÌÅ ÆÁÊÌÁ | ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï. îÅ ÎÕÖÎÏ ÂÙÔØ ÓÅÍÉ ÑÄÅÊ ×Ï ÌÂÕ, ÞÔÏÂÙ ÄÏÇÁÄÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÏ É ÅÓÔØ ÁÒÏÌØ. ÁË ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÔØ ÞÔÏ-ÔÏ ÄÒÕÇÏÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜÔÁÌÏÎ ÁÒÏÌÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÈÒÁÎÉÔÓÑ × ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÆÁÊÌÅ, ÔÏÖÅ ÎÁÄÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÔØ. ÏÌØËÏ ËÁË? ðÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÁÒÏÌØ Ï ÔÏÊ ÖÅ ÓÈÅÍÅ, ÞÔÏ É ÔÅËÓÔ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÆÁÊÌÁ. åÓÌÉ ÛÉÆÒ ÓÔÏÊËÉÊ (Á ÉÎÁÞÅ ÅÇÏ É ÎÅ ÓÔÏÉÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ), ÁÒÏÌØ ÂÕÄÅÔ ÚÁËÒÙÔ ÎÁÄÅÖÎÏ. á ÞÔÏ ÂÒÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ? íÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ. ÏÇÄÁ × ËÁÖÄÏÍ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÆÁÊÌÅ ÜÔÁÌÏÎ ÁÒÏÌÑ ÂÕÄÅÔ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎ ÎÁ ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ËÌÀÞÅ. ÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÅÌÁÅÔ ×ÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÁÊÌÏ× ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÏÞÔÙ Sprint Mail. ÏÌØËÏ ÔÁÍ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÒÏÌØ ÈÒÁÎÉÔÓÑ ÎÅ × ÎÁÞÁÌÅ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÆÁÊÌÁ, Á × ËÏÎ Å. îÏ ÞÔÏ ÂÕÄÅÔ, ÅÓÌÉ ËÔÏ-ÔÏ ÕÚÎÁÅÔ ËÌÀÞ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÛÉÆÒÕÀÔÓÑ ×ÓÅ ÁÒÏÌÉ? ïÎ ÓÍÏÖÅÔ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÔØ ×ÓÅ ÆÁÊÌÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ×Ù ÚÁÛÉÆÒÕÅÔÅ. é ÎÅ ×ÁÖÎÏ, ÞÔÏ ÁÒÏÌÉ ÒÁÚÎÙÅ | ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉË ×ÏÚØÍÅÔ ÎÕÖÎÙÊ ÁÒÏÌØ ÒÑÍÏ ÉÚ ÆÁÊÌÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÈÏÞÅÔ ÒÏÞÅÓÔØ. ÷Ù, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÏÄÕÍÁÌÉ: Á ÏÔËÕÄÁ ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉË ÕÚÎÁÅÔ ËÌÀÞ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÛÉÆÒÕÀÔÓÑ ÜÔÁÌÏÎÙ ÁÒÏÌÅÊ? üÔÏÔ ËÌÀÞ ×ÓÔÒÏÅÎ × ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÅÇÏ ÎÉËÔÏ ÎÅ ÚÎÁÅÔ, ÄÁÖÅ ×Ù ÅÇÏ ÎÅ ÚÎÁÅÔÅ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÅÓÌÉ ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉË ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÕÍÅÅÔ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÄÉÚÁÓÓÅÍÂÌÅÒÏÍ É ÏÔÌÁÄÞÉËÏÍ, ÜÔÏÔ ËÌÀÞ ÏÎ ÕÚÎÁÅÔ ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ. ïÂÙÞÎÏ ÎÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÁËÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÕÈÏÄÉÔ ×ÓÅÇÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÞÁÓÏ×. ëÁË ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ | ÔÅÍÁ ÏÔÄÅÌØÎÏÊ ÓÔÁÔØÉ. ðÏËÁ Ï×ÅÒØÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×Ï | ÉÍÅÑ ÔÏÌØËÏ exe-ÆÁÊÌ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÎÁ×ÙËÉ É ÍÎÏÇÏ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÅÌÁÅÔ ÒÏÇÒÁÍÍÁ, ÄÏ ÍÅÌØÞÁÊÛÉÈ ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÅÊ. ìÕÞÛÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÜÔÁÌÏÎ ÁÒÏÌÑ ÓÁÍ ÎÁ ÓÅÂÅ. ÷ÚÑÔØ ÁÒÏÌØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ É ×ÚÑÔØ ÔÏÔ ÖÅ ÁÒÏÌØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ. ðÒÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÁÊÌÁ, ËÏÇÄÁ ×Ù ××ÏÄÉÔÅ ÁÒÏÌØ, ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÙÔÁÅÔÓÑ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÎÁÞÁÌÏ ÆÁÊÌÁ. åÓÌÉ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÓÔÒÏËÁ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÁÑ Ó ÁÒÏÌÅÍ, ÚÎÁÞÉÔ, ÁÒÏÌØ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ, É ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÔØ ÆÁÊÌ ÄÁÌØÛÅ. á ÅÓÌÉ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ ÞÔÏ-ÔÏ ÄÒÕÇÏÅ, ÚÎÁÞÉÔ, ÁÒÏÌØ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÛÉÆÒÕÀÔ ÁÒÏÌÉ ÉÎÁÞÅ. âÅÒÅÔÓÑ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÓÔÒÏËÁ, ×ÓÅÇÄÁ ÏÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ, ÛÉÆÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÁÒÏÌÅ É ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÆÁÊÌ. Diskreet, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÛÉÆÒÕÅÔ ÎÁ ÁÒÏÌÅ ÓÔÒÏËÕ ABCDEFGHENRIXYZ (ÜÔÁ ÓÔÒÏËÁ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔÓÑ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÂÁÊÔÏÍ, ËÁË ÒÉÎÑÔÏ × ÑÚÙËÅ C). ëÏÇÄÁ Diskreet ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÁÒÏÌØ, ÏÎ ÂÅÒÅÔ ÎÁÞÁÌÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÆÁÊÌÁ (ÔÏÞÎÅÅ, ÂÁÊÔÙ Ó 16-ÇÏ Ï 31-Ê) É ÒÁÓÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔ ÉÈ ÎÁ ÁÒÏÌÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ××ÅÌ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ. åÓÌÉ ÏÓÌÅ ÒÁÓÛÉ-

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

143

ÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ ABCDEFGHENRIXYZ | ÁÒÏÌØ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ, ÅÓÌÉ ÎÅ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ | ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. îÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÓÈÅÍÁ ÈÕÖÅ, ÞÅÍ ÒÅÄÙÄÕÝÁÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉËÕ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÎÉ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ, ÎÉ ËÌÀÞ, Á × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÔÏÌØËÏ ËÌÀÞ, Á ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ. îÏ ÅÓÌÉ ×Ù ÅÝÅ ÏÍÎÉÔÅ, ÞÔÏ ÂÙÌÏ ÎÁÉÓÁÎÏ × ÎÁÞÁÌÅ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Ù, ÔÏ, ÎÁ×ÅÒÎÏÅ, ÕÖÅ ÏÎÑÌÉ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÈÅÍÁ ÎÉÞÕÔØ ÎÅ ÓÌÁÂÅÅ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ. åÓÌÉ ÛÉÆÒ ÓÔÏÊËÉÊ, ÔÏ ËÌÀÞ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ É ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ, É ÛÉÆÒÔÅËÓÔ. ëÁËÏÊ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÁÒÏÌØ?

ëÁËÏÊ ÄÌÉÎÙ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÁÒÏÌØ, ÞÔÏÂÙ ÚÁÝÉÔÁ ÂÙÌÁ ÓÔÏÊËÏÊ? þÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÁÒÏÌÑ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÞÉÓÌÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ. åÓÌÉ ×Ù ÛÉÆÒÕÅÔÅ ÆÁÊÌ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ çïó, Á ÄÌÑ ÁÒÏÌÑ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÅ ÔÏÌØËÏ ÓÔÒÏÞÎÙÅ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÅ ÂÕË×Ù É ÈÏÔÉÔÅ, ÞÔÏÂÙ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÚÁÝÉÔÙ ÂÙÌÁ ÎÅ ÎÉÖÅ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ çïóÁ, ÔÏ ÄÌÉÎÁ ÁÒÏÌÑ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ log26 2256 = 54;46298970967. (úÄÅÓØ 2256 | ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ çïó, Á 26 | ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÈ ÂÕË×.) ÁË ÞÔÏ ×ÁÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÔØ 55-ÂÕË×ÅÎÎÙÊ ÁÒÏÌØ. ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÕÞÔÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×Ù ÉÓÏÌØÚÕÅÔÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÏÌÑ ÎÅ ÈÁÏÔÉÞÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕË×, Á ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÕÀ ÆÒÁÚÕ, ÔÏ ÎÕÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÏÒÁ×ËÕ ÎÁ ÉÚÂÙÔÏÞÎÏÓÔØ ÑÚÙËÁ. åÓÌÉ × ÁÒÏÌØ ×ÈÏÄÑÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÓÔÒÏÞÎÙÅ ÂÕË×Ù, ÎÏ É ÚÁÇÌÁ×ÎÙÅ, ÔÏ ÄÌÑ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ËÌÀÞÅÊ çïó ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ 51 ÓÉÍ×ÏÌÁ. ÏÌØËÏ ÉÍÅÊÔÅ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÌÕÞÉ× ÁÒÏÌØ, ÒÅÏÂÒÁÚÕÀÔ ×ÓÅ ÅÇÏ ÂÕË×Ù Ë ÏÄÎÏÍÕ ÒÅÇÉÓÔÒÕ. îÁÒÉÍÅÒ, Diskreet ÄÅÌÁÅÔ ×ÓÅ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÅ ÂÕË×Ù, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÁÒÏÌØ, ÚÁÇÌÁ×ÎÙÍÉ. ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ × ÁÒÏÌÅ ÒÕÓÓËÉÅ ÂÕË×Ù, ÎÏ ÂÕÄØÔÅ ÏÓÔÏÒÏÖÎÙ! îÅ ×ÓÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÒÁÂÏÔÁÀÔ Ó ÒÕÓÓËÉÍÉ ÁÒÏÌÑÍÉ. ÁÂÌÉ Á 1 ÏÍÏÖÅÔ ×ÁÍ Ï ÅÎÉÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÄÌÉÎÕ ÁÒÏÌÑ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ. éÍÅÊÔÅ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÙÅ × ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÔÏÍÕ ÓÌÕÞÁÀ, ËÏÇÄÁ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÏÌÑ ÂÅÒÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏ×. åÓÌÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÏÌÑ ×Ù ÉÓÏÌØÚÕÅÔÅ ÔÏÌØËÏ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÙÅ ÓÌÏ×Á É ÆÒÁÚÙ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÁÒÏÌÑ ÂÕÄÅÔ ÇÏÒÁÚÄÏ ÍÅÎØÛÅ. åÓÌÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÏÌÑ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÉÎÎÁÑ ÆÒÁÚÁ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ, ÔÏ, ËÁË ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÅÏÒÅÔÉËÏÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ ÎÅ 33n , ÇÄÅ n | ÞÉÓÌÏ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ×Ï ÆÒÁÚÅ, Á ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ 2n (ÜÔÁ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ×ÅÒÎÁ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ n). ÁË ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ DES ÒÉÄÅÔÓÑ ÂÒÁÔØ ÁÒÏÌØ ÄÌÉÎÏÊ 56 ÓÉÍ×ÏÌÏ×, Á ÄÌÑ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ çïó | 256 ÓÉÍ×ÏÌÏ×.

144

çÌÁ×Á 6

ÁÂÌÉ Á 1.

áÌÆÁ×ÉÔ

íÏÝÎÏÓÔØ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ

äÌÉÎÁ ÁÒÏÌÑ ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÌÑ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÓÔÏÊËÏÓÔÉ ÓÔÏÊËÏÓÔÉ 6-ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÇÏ DES =256 = çïó =2256 = ÁÒÏÌÑ = 7;21 · 1016 = 1;16 · 1077

ÓÔÒÏÞÎÙÅ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÅ ÂÕË×Ù

26

3;09 · 108

12

55

ÓÔÒÏÞÎÙÅ ÒÕÓÓËÉÅ ÂÕË×Ù

33

1;29 · 109

12

51

ÓÔÒÏÞÎÙÅ É ÚÁÇÌÁ×ÎÙÅ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÅ ÂÕË×Ù

52

1;97 · 1010

10

45

ÓÔÒÏÞÎÙÅ É ÚÁÇÌÁ×ÎÙÅ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÅ ÂÕË×Ù É ÉÆÒÙ

62

5;68 · 1010

10

43

ÓÔÒÏÞÎÙÅ É ÚÁÇÌÁ×ÎÙÅ ÒÕÓÓËÉÅ ÂÕË×Ù

66

8;27 · 1010

10

43

ÓÔÒÏÞÎÙÅ É ÚÁÇÌÁ×ÎÙÅ ÒÕÓÓËÉÅ ÂÕË×Ù É ÉÆÒÙ

76

1;93 · 1011

9

41

ÓÔÒÏÞÎÙÅ É ÚÁÇÌÁ×ÎÙÅ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÅ ÂÕË×Ù, ÉÆÒÙ É ÚÎÁËÉ ÒÅÉÎÁÎÉÑ

94

6;90 · 1011

9

40

ÓÔÒÏÞÎÙÅ É ÚÁÇÌÁ×ÎÙÅ ÒÕÓÓËÉÅ ÂÕË×Ù, ÉÆÒÙ É ÚÎÁËÉ ÒÅÉÎÁÎÉÑ

108

1;59 · 1012

9

38

×ÓÅ ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏ ÉÆÒÏ×ÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ ÒÕÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ËÌÁ×ÉÁÔÕÒÙ

160

1;68 · 1013

8

35

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

145

ÁË ÓÔÏÉÔ ÌÉ ×ÏÏÂÝÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÁÒÏÌØ, ××ÏÄÉÍÙÊ Ó ËÌÁ×ÉÁÔÕÒÙ? äÌÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÎÁÄÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÄÌÑ ÓÅÂÑ | ÏÔ ËÏÇÏ ×Ù ÓÏÂÉÒÁÅÔÅÓØ ÚÁÝÉÝÁÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. åÓÌÉ ×ÁÛ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÕÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÂÉÒÁÔØ ÁÒÏÌØ Ó ËÌÁ×ÉÁÔÕÒÙ, ÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÏÌÑ ÌÕÞÛÅ ×ÓÅÇÏ ×ÚÑÔØ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï ÄÌÉÎÏÊ 6{8 ÓÉÍ×ÏÌÏ×. çÌÁ×ÎÏÅ, ÞÔÏÂÙ ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉËÕ ÂÙÌÏ ÔÒÕÄÎÏ ÄÏÇÁÄÁÔØÓÑ ÄÏ ÜÔÏÇÏ ÓÌÏ×Á. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁÄÏ ÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÎÅÌØÚÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÏÌÑ: { Ó×ÏÅ ÉÍÑ (ÆÁÍÉÌÉÀ, ÏÔÞÅÓÔ×Ï, ÒÏÚ×ÉÝÅ, . . . ); { Ó×ÏÀ ÄÁÔÕ ÒÏÖÄÅÎÉÑ (ÎÏÍÅÒ ÔÅÌÅÆÏÎÁ, ÎÏÍÅÒ ÁÓÏÒÔÁ, . . . ); { ÉÍÑ ÔÏÇÏ ÆÁÊÌÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ×ÁÍ ÎÁÄÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÔØ; { É ×ÓÅ ÄÒÕÇÉÅ ÁÒÏÌÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÅÇËÏ ÕÇÁÄÁÔØ. åÓÌÉ ×ÁÛ ÒÏÔÉ×ÎÉË, ÏÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×Ù ÚÁÝÉÝÁÅÔÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÕÍÅÅÔ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÔØ, ÔÏ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÎÁÉÓÁÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÕÄÅÔ ÏÄÂÉÒÁÔØ ÁÒÏÌØ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ. äÁÖÅ ÅÓÌÉ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÎÅ ÕÍÅÅÔ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÔØ, ÏÎ ÍÏÖÅÔ ×ÚÑÔØ ÔÁËÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÉÚ Internet | ÔÁÍ ÔÁËÉÈ ÒÏÇÒÁÍÍ ÍÎÏÇÏ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÁÒÏÌØ ÎÅ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ. ÷ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÏÂÙÞÎÏ ÕÏÔÒÅÂÌÑÅÔÓÑ ×ÓÅÇÏ ÏËÏÌÏ 100 000 ÓÌÏ×, × ÒÕÓÓËÏÍ | ÞÕÔØ ÂÏÌØÛÅ. ðÅÒÅÂÒÁÔØ 100 000 ÁÒÏÌÅÊ ÍÏÖÎÏ ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ. åÓÌÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÛÉÆÒÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ DES, ÎÁ ÒÏ ÅÓÓÏÒÅ Pentium ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÓÅ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÅ ÓÌÏ×ÁÁÒÏÌÉ ×ÓÅÇÏ ÚÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÅËÕÎÄ. äÁÖÅ ÅÓÌÉ ÁÒÏÌØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÌÏ×Ï, ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÔ × ÓÌÏ×ÁÒÅ, ÅÇÏ ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÍÏÖÎÏ ÌÅÇËÏ ÕÇÁÄÁÔØ. ÷Ù ÕÖÅ ÚÎÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÏÒÑÄÏË ÂÕË× × ÓÌÏ×ÁÈ É ÆÒÁÚÁÈ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÏÄÞÉÎÑÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÑÍ. îÁÒÉÍÅÒ, × ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÂÕË× ÉÊ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÏ, Á ÏØ | ÎÉËÏÇÄÁ. äÌÑ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÏ× ÓÔÁÔÉÓÔÉËÁ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍÏÓÔÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÄÏËÕÍÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÁ. åÓÌÉ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ ×ÎÁÞÁÌÅ ÏÄÂÉÒÁÅÔ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÅÒÏÑÔÎÙÅ ÁÒÏÌÉ, Á ÍÅÎÅÅ ×ÅÒÏÑÔÎÙÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÏÔÏÍ, ÔÏ ÅÒÅÂÏÒ ÓÏËÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÄÅÓÑÔËÉ É ÓÏÔÎÉ ÒÁÚ. ïÄÉÎ ÉÚ Á×ÔÏÒÏ× ×ÉÄÅÌ, ËÁË ÏÄÏÂÎÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÏÄÏÂÒÁÌÁ ÁÒÏÌØ natenok ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ Ó ÒÏ ÅÓÓÏÒÏÍ 386DX{40 ×ÓÅÇÏ ÚÁ 10 ÍÉÎÕÔ. ïÂÝÁÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÅÒÅÂÏÒÁ ÂÙÌÁ ÒÁ×ÎÁ 8;03 · 109. ÷ÏÔ ÄÒÕÇÉÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ Á×ÔÏÒÁÍ ÓÌÕÞÁÉ ÕÄÁÞÎÏÇÏ ÏÄÂÏÒÁ ÁÒÏÌÅÊ: óÌÏÖÎÏÓÔØ ÅÒÅÂÏÒÁ1) ÷ÒÅÍÑ ÏÄÂÏÒÁ É ÒÏ ÅÓÓÏÒÁ 2;08 · 1011 15 ÍÉÎÕÔ 486DX/4{100 5;68 · 1010 8 ÞÁÓÏ× Pentium{120

÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÁÒÏÌØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌ ÓÏÂÏÊ Ä×Á ÁÎÇÌÉÊÓËÉÈ ÓÌÏ×Á, ÚÁÉÓÁÎÎÙÈ ÏÄÒÑÄ ÂÅÚ ÒÏÂÅÌÁ. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÂÙÌÏ ÔÒÅÈÂÕË×ÅÎÎÙÍ, 1) éÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÔÏÔÁÌØÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÁÌØÎÏ ÒÏ×ÏÄÉÌÓÑ ÏÔÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ, ÅÇÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÂÙÌÁ ÇÏÒÁÚÄÏ ÍÅÎØÛÅ. üÔÉÍ É ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÎÅÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÅÒÅÂÏÒÁ É ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÄÂÏÒÁ.

146

çÌÁ×Á 6

ÄÒÕÇÏÅ | ÑÔÉÂÕË×ÅÎÎÙÍ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÁÒÏÌØ ÓÏÓÔÏÑÌ ÉÚ ÔÒÅÈ ÓÔÒÏÞÎÙÈ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÈ ÂÕË×, Ä×ÕÈ ÚÁÇÌÁ×ÎÙÈ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÈ ÂÕË× É ÏÄÎÏÊ ÉÆÒÙ. üÔÏÔ ÁÒÏÌØ ÂÙÌ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÙÍ. ÷Ù×ÏÄÙ ÄÅÌÁÊÔÅ ÓÁÍÉ. ìÕÞÛÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Ï ÏÄÂÏÒÕ ËÌÀÞÁ ÂÙÌ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔ × 1997 ÇÏÄÕ, ËÏÇÄÁ × ÓÅÔÉ Internet ÂÙÌ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎ ÆÁÊÌ, ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ Ó ÏÍÏÝØÀ DES. ÷ ÏÄÂÏÒÅ ËÌÀÞÁ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÄÅÓÑÔËÉ ÔÙÓÑÞ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ Internet. ÷ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÌÀÞÅÊ ÂÙÌÏ ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ËÁÖÄÙÊ ÅÒÅÂÉÒÁÌ ËÌÀÞÉ ÉÚ Ó×ÏÅÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÅÒÅÂÏÒ ÄÌÉÌÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÅÄÅÌØ. òÕËÏ×ÏÄÉÌ ÒÁÂÏÔÏÊ ÄÏÂÒÏ×ÏÌØÎÏÊ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÏÊ ÂÒÉÇÁÄÙ ×ÚÌÏÍÝÉËÏ× ÓÏ Ó×ÏÅÇÏ ÓÅÒ×ÅÒÁ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔ òÏËËÉ ÷ÅÒÓÅÒ | Á×ÔÏÒ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÅÒÅÂÉÒÁÀÝÅÊ ËÌÀÞÉ. ïÂÝÁÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÅÒÅÂÏÒÁ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÌÁ 7;21 · 1016, ÎÏ ËÌÀÞ ÂÙÌ ÎÁÊÄÅÎ ÏÓÌÅ ÅÒÅÂÏÒÁ ×ÓÅÇÏ 25% ËÌÀÞÅÊ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÁÓËÏÌÏÌ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ËÏÍØÀÔÅÒ Ó ÒÏ ÅÓÓÏÒÏÍ Pentium/90 16 íÂÁÊÔ ÏÅÒÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÍÑÔÉ. ïÎÏ ÇÌÁÓÉÌÏ: îÁÄÅÖÎÁÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÄÅÌÁÅÔ ÍÉÒ ÂÅÚÏÁÓÎÙÍ. á ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÏÂÏÊÔÉÓØ ÂÅÚ ÁÒÏÌÑ?

ëÁË ×ÉÄÉÔÅ, ÒÉÍÅÎÑÔØ ÁÒÏÌØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÔÁË ÕÄÏÂÎÏ, ËÁË ËÁÖÅÔÓÑ ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ. ìÉÂÏ ÚÁÝÉÔÁ ÂÕÄÅÔ ÎÅÓÔÏÊËÏÊ, ÌÉÂÏ ÁÒÏÌØ ÔÒÕÄÎÏ ÚÁÏÍÎÉÔØ É ××ÅÓÔÉ ÂÅÚ ÏÛÉÂÏË. åÓÌÉ ×Ù ÈÏÔÉÔÅ ÏÓÔÒÏÉÔØ Ï-ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ÎÁÄÅÖÎÕÀ ÚÁÝÉÔÕ, ×ÍÅÓÔÏ ÁÒÏÌÑ ÎÕÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÞÔÏ-ÔÏ ÄÒÕÇÏÅ. íÏÖÎÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÈÒÁÎÉÔØ ËÌÀÞ ÎÁ ÄÉÓËÅÔÅ1) . ÷Ù ÓÏÚÄÁÅÔÅ ËÁËÉÍÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ (ËÁËÉÍ | ÏÂÓÕÄÉÍ ÏÚÖÅ) ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ, ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÊ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÉÎÎÙÊ ËÌÀÞ É ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÅ ÅÇÏ ÎÁ ÄÉÓËÅÔÕ. ëÏÇÄÁ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁÒÁÛÉ×ÁÅÔ ËÌÀÞ, ×Ù ××ÏÄÉÔÅ ËÌÀÞ ÎÅ Ó ËÌÁ×ÉÁÔÕÒÙ, Á Ó ÄÉÓËÅÔÙ. ÷Ù ÒÏÓÔÏ ×ÓÔÁ×ÌÑÅÔÅ ÄÉÓËÅÔÕ × ÄÉÓËÏ×ÏÄ, Á ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÓÞÉÔÙ×ÁÅÔ ÏÔÔÕÄÁ ËÌÀÞ É ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔ ÆÁÊÌ ÎÁ ÜÔÏÍ ËÌÀÞÅ. ðÒÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÁÊÌÁ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÒÏÓÉÔ ÷ÓÔÁ×ØÔÅ ËÌÀÞÅ×ÕÀ ÄÉÓËÅÔÕ × ÄÉÓËÏ×ÏÄ. ÷Ù ×ÓÔÁ×ÌÑÅÔÅ ÄÉÓËÅÔÕ × ÄÉÓËÏ×ÏÄ, ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÓÞÉÔÙ×ÁÅÔ ÏÔÔÕÄÁ ËÌÀÞ, ÒÏ×ÅÒÑÅÔ ÅÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ É, ÅÓÌÉ ËÌÀÞ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ, ÒÁÓÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔ ÆÁÊÌ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ÕÍÅÔØ ÒÁÂÏÔÁÔØ Ó ËÌÀÞÅ×ÙÍÉ ÄÉÓËÅÔÁÍÉ. ëÌÀÞÅ×ÕÀ ÄÉÓËÅÔÕ ÎÕÖÎÏ ÈÒÁÎÉÔØ × ÍÅÓÔÅ, ÎÅÄÏÓÔÕÎÏÍ ÄÌÑ ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉËÏ×. åÓÌÉ ËÔÏ-ÔÏ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ×ÁÛÅÊ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÄÉÓËÅÔÏÊ, ÔÏ ÏÎ ÓÍÏÖÅÔ ÒÏÞÅÓÔØ ×ÓÅ, ÞÔÏ ×Ù ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÌÉ Ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ. îÅ ÔÅÒÑÊÔÅ ËÌÀÞÅ×ÙÅ ÄÉÓËÅÔÙ! åÓÌÉ ×Ù ÏÔÅÒÑÅÔÅ ÔÁËÕÀ ÄÉÓËÅÔÕ, ÔÏ ÔÅÍ 1) éÌÉ ÎÁ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÍ ËÌÀÞÅ Tou h Memory, ÉÌÉ ÎÁ ÌÁÓÔÉËÏ×ÏÊ ËÁÒÔÅ. ÏÌØËÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ × ×ÁÛÅÍ ËÏÍØÀØÅÒÅ ÂÙÌÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï ××ÏÄÁ.

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

147

ÓÁÍÙÍ ×Ù ÏÔÅÒÑÅÔÅ ×ÓÅ ÄÁÎÎÙÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ×Ù ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÌÉ Ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ. õÄÏÂÎÏ ÌÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ËÌÀÞÅ×ÙÍÉ ÄÉÓËÅÔÁÍÉ? îÅÔ. îÏ ÚÁ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ ÚÁÝÉÔÙ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÌÁÔÉÔØ. ÷ÏÏÂÝÅ, ÜÔÏ ÏÂÝÁÑ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔØ | ÞÅÍ ÎÁÄÅÖÎÅÅ ÓÉÓÔÅÍÁ ÚÁÝÉÔÙ, ÔÅÍ ÔÒÕÄÎÅÅ Ó ÎÅÊ ÒÁÂÏÔÁÔØ. é ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÞÅÍ ÓÉÓÔÅÍÁ ÚÁÝÉÔÙ ÕÄÏÂÎÅÅ × ÏÂÒÁÝÅÎÉÉ, ÔÅÍ ÏÎÁ ÓÌÁÂÅÅ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÑ ÓÉÓÔÅÍÕ ÚÁÝÉÔÙ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÄÅÌÁÔØ ÏÛÉÂÏË, É ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÌÕÞÉÔÓÑ É ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÊ, É ÎÅÕÄÏÂÎÏÊ. îÏ ÅÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÌÁÓØ ÎÁ ÓÏ×ÅÓÔØ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ×ÙÛÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÞÔÉ ×ÓÅÇÄÁ ×ÅÒÎÏ. íÏÖÎÏ ÌÉ ËÁË-ÎÉÂÕÄØ ÚÁÝÉÔÉÔØ ËÌÀÞ, ÈÒÁÎÑÝÉÊÓÑ ÎÁ ÄÉÓËÅÔÅ? ëÏÎÅÞÎÏ! åÇÏ ÔÏÖÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÔØ. é ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÔØ ÓÌÏÖÎÙÊ ÛÉÆÒ | ×ÏÌÎÅ È×ÁÔÉÔ ÓÁÍÏÇÏ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÎÁÏÄÏÂÉÅ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ. ðÏÞÅÍÕ? äÁ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ËÌÀÞ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ | ÔÅËÓÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ É ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÊ. îÁ ÞÅÍ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÍÅÔÏÄ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÛÉÆÒÁ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ? îÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ | ÜÔÏ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÙÊ ÔÅËÓÔ. á × ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏÍ ÔÅËÓÔÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÉ. îÏ × ËÌÀÞÅ ÎÉËÁËÉÈ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÎÅÔ | ËÌÀÞ ÓÌÕÞÁÅÎ É ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÅÎ! þÔÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÛÉÆÒÕÅÔÓÑ ËÌÀÞ? íÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÁÒÏÌØ, ÎÏ, ËÁË ×Ù ÕÖÅ ÚÎÁÅÔÅ, ÜÔÏ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÎÁÄÅÖÎÏ. íÏÖÎÏ ÚÁ×ÅÓÔÉ ×ÔÏÒÕÀ ËÌÀÞÅ×ÕÀ ÄÉÓËÅÔÕ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÈÒÁÎÉÔØ ËÌÀÞ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÄÌÑ ÄÏÓÔÕÁ Ë ÅÒ×ÏÊ. îÏ ÔÏÇÄÁ ÒÉÄÅÔÓÑ ÚÁ×ÏÄÉÔØ ÔÒÅÔØÀ ÄÉÓËÅÔÕ, ÞÔÏÂÙ ÚÁÝÉÔÉÔØ ×ÔÏÒÕÀ, Á ÏÔÏÍ ÚÁ×ÏÄÉÔØ ÞÅÔ×ÅÒÔÕÀ, ÞÔÏÂÙ ÚÁÝÉÔÉÔØ ÔÒÅÔØÀ . . . ÁË ËÁË ÖÅ ÂÙÔØ? ðÏÄÕÍÁÊÔÅ ÓÁÍÉ. ïÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÔ×ÅÔÏ× ×Ù ÎÁÊÄÅÔÅ × ËÏÎ Å ÇÌÁ×Ù. çÄÅ ×ÚÑÔØ ËÌÀÞÉ?

ëÁËÉÍ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ËÌÀÞ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ? óÌÕÞÁÊÎÙÍ É ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍ. á ËÁË ÏÌÕÞÉÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ É ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏ×? ðÒÁ×ÉÌØÎÏ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. îÁÉÓÁÔØ Ó×ÏÊ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏ. èÏÒÏÛÉÅ Ï ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ : rn+1 = (arn + b) mod m; ÇÄÅ ri | i-Ê ÞÌÅÎ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ; a, b, m | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. ëÁÞÅÓÔ×Ï ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ a, b É m. üÔÉ ÞÉÓÌÁ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ. åÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÒÁ×ÉÌÁ ×ÙÂÏÒÁ ÜÔÉÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×, Ï ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ × [1℄. ÷ Diskreet, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒ

148

çÌÁ×Á 6

ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ: rn+1 = (214013rn + 2531011) mod 232 : ëÁË ×ÉÄÉÔÅ, ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÞÅÒÅÄÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁ | ËÁÖÄÙÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ: ÏÔËÕÄÁ ÂÅÒÅÔÓÑ ÅÒ×ÙÊ ÞÌÅÎ? ïÂÙÞÎÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å r1 ÂÅÒÕÔ ÔÅËÕÝÅÅ ×ÒÅÍÑ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÔÉËÁ ÔÁÊÍÅÒÁ (0,054945 ÓÅË.). åÓÌÉ ÄÌÑ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ËÌÀÞÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙÊ ÍÅÔÏÄ, ËÌÀÞÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ (r1 ; r2 ; : : : ; rN ), ÇÄÅ (ÄÌÉÎÁ ËÌÀÞÁ) : N= (ÄÌÉÎÁ ri × ÂÁÊÔÁÈ) ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (r1 ; r2 ; : : : ; r128 ), ÇÄÅ ËÁÖÄÏÅ ri ÅÓÔØ ËÏÒÏÔËÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ (16 ÂÉÔ). óÏÚÄÁÎÎÙÊ ËÌÀÞ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÉÎÏÊ 256 ÂÁÊÔ. ï ÅÎÉÍ, ÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÌÀÞÁ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ Ï ÄÁÎÎÏÊ ÓÈÅÍÅ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ r1 . ëÁËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ r2 ? ÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. åÓÌÉ r1 ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ, ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ r2 ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ: r2 = (ar1 + b) mod m: úÎÁÞÅÎÉÅ r3 ÔÏÖÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. ïÎÏ ÒÁ×ÎÏ r3 = (ar2 + b) mod m = (a((ar1 + b) mod m) + b) mod m: ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ r1 ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ðÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ (r1 ; r2 ; : : : ; r128 ) × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ, ÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ r1 . ÷ ÎÁÛÅÍ ÒÉÍÅÒÅ r1 | ËÏÒÏÔËÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÔ 0 ÄÏ 216 − 1 = 65535. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÌÀÞÁ) ÒÁ×ÎÁ ÎÅ 2256 , Á ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ 216, ÞÔÏ × 1;77 · 1072 ÒÁÚ ÍÅÎØÛÅ! ðÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÅÊ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÅÌØÚÑ. á ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ? ÷ ÞÅÍ ÓÌÁÂÏÓÔØ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ? ÷ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙ. ðÅÒ×ÙÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ. þÔÏÂÙ ËÌÀÞ ÂÙÌ Ï-ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ É ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÎÅ ÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÏÊ, Á ÉÓÔÉÎÎÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ. çÄÅ ×ÚÑÔØ ÉÓÔÉÎÎÏ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ?

îÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ, ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÁ. íÏÖÎÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÁÄÒÅÓ ÁÍÑÔÉ É ×ÚÑÔØ ÏÔÔÕÄÁ ÄÁÎÎÙÅ. éÌÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÎÏÍÅÒ ÓÅËÔÏÒÁ ÎÁ ÄÉÓËÅ É ×ÚÑÔØ ÄÁÎÎÙÅ ÏÔÔÕÄÁ.

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

149

üÔÉ ÄÁÎÎÙÅ, ÂÅÓÓÏÒÎÏ, ÂÕÄÕÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ. îÏ ËÁËÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ ÞÌÅÎÙ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ? îÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ. åÓÌÉ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÆÒÁÇÍÅÎÔ ÔÅËÓÔÏ×ÏÇÏ ÆÁÊÌÁ, ÔÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÉÍ×ÏÌÏ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÂÁÊÔÁÍÉ ÆÁÊÌÁ, ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÏ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÆÒÁÇÍÅÎÔ ÍÁÛÉÎÎÏÇÏ ËÏÄÁ | ÓÏ×ÓÅÍ ÄÒÕÇÏÅ. ïÄÎÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ ÔÏÞÎÏ | ÜÔÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÞÔÉ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÙÍ. îÉÖÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÙ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍÏÓÔÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÉÄÏ× ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ.

150

çÌÁ×Á 6

ëÁË ×ÉÄÉÔÅ, ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍ ÔÏÌØËÏ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÂÏÌÅÅ-ÍÅÎÅÅ ÏÈÏÖÁ ÎÁ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÕ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ ÒÉÇÌÑÄÅÔØÓÑ Ï×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÅÅ, × ÎÅÊ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ ÉË ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Y (×ÒÏÞÅÍ, ÜÔÏÔ ÉË ÎÅÔÉÉÞÅÎ ÄÌÑ ÁÒÈÉ×Ï× pkzip | ÏÎ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÂÒÁÎÎÙÊ ÁÒÈÉ× ×ËÌÀÞÁÌ × ÓÅÂÑ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ ËÏÒÏÔËÉÈ ÆÁÊÌÏ×). ëÏÎÅÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÎÏ ÁÒÉÏÒÎÏ, ÕÔÅÍ ÎÅÓÌÏÖÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÜÔÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÒÅ×ÒÁÔÉÔØ × ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ. îÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÄÌÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÈÒÁÎÉÍÏÊ × ÁÍÑÔÉ É ÎÁ ÄÉÓËÁÈ ËÏÍØÀÔÅÒÁ, ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÄÁÖÅ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÏÔËÕÄÁ ÜÔÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ×ÚÑÌÁÓØ. ðÏÓÍÏÔÒÉÔÅ ÎÁ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÕ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍÏÓÔÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ× × ÔÅËÓÔÅ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Ù. á ÔÅÅÒØ ÏÓÍÏÔÒÉÔÅ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÕ.

ëÁË ×ÉÄÉÔÅ, ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÉÌØÎÏ. ðÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÄÏËÕÍÅÎÔÅ ÅÓÔØ ËÁÒÔÉÎËÉ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÄÎÏ, Á ÅÓÌÉ ÎÅÔ | ÓÏ×ÓÅÍ ÄÒÕÇÏÅ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÙÈ ÔÅËÓÔÁÈ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É × ÔÅËÓÔÁÈ exeÆÁÊÌÏ×, ÂÁÚ ÄÁÎÎÙÈ É Ô. Ä.) ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÉ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. åÓÌÉ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÕ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍÏÓÔÉ ÂÉÇÒÁÍÍ É ÔÒÉÇÒÁÍÍ, ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÅÝÅ ÍÅÎÅÅ ÏÈÏÖÁ ÎÁ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÕÀ ÌÉÎÉÀ (ÞÔÏ ÄÏÌÖÎÏ ÉÍÅÔØ ÍÅÓÔÏ ÒÉ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÍ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÉ), ÞÅÍ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÁ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍÏÓÔÉ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ×. îÁÒÉÍÅÒ, × exe-ÆÁÊÌÅ, ÓËÏÍÉÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ Ó ÏÍÏÝØÀ Visual C++ , ÍÁÛÉÎÎÙÊ ËÏÄ ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÆÕÎË ÉÊ (ÏÄÒÏÇÒÁÍÍ) ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÂÁÊÔÁÍÉ 55 8B EC 83 EC1)

1) íÁÛÉÎÎÙÅ ËÏÍÁÎÄÙ

push ebp mov ebp,esp sub esp, ...

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÂÁÊÔÁÍÉ

151

8B E5 5D C31) .

ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÁÊÔÏ×, ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÉÚ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÍÅÓÔÁ ÏÅÒÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÍÑÔÉ ÉÌÉ ÄÉÓËÁ, ÎÅÌØÚÑ ÓÞÉÔÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ. ÷ ÔÁËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÅÓÔØ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ. ÁË ÇÄÅ ÖÅ ×ÚÑÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ?

÷ÏÚÍÏÖÎÏ, Õ ×ÁÓ ÕÖÅ ÏÑ×ÉÌÁÓØ ÍÙÓÌØ, ÞÔÏ ÉÓÔÉÎÎÏ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÍ ÕÔÅÍ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔØ. üÔÏ ÎÅ ÔÁË. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÏÄÉÎ ÓÏÓÏÂ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÁÊÔÏ×. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÜÔÏÇÏ ÓÏÓÏÂÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÉ×ÌÅÞØ Ë ÒÏ ÅÓÓÕ ×ÙÒÁÂÏÔËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÁÍÏÇÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ. ðÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÒÁÂÏÔÁÅÔ Ó ËÏÍØÀÔÅÒÏÍ. ïÎ Ä×ÉÇÁÅÔ ÍÙÛØ, ÎÁÖÉÍÁÅÔ ËÌÁ×ÉÛÉ ÎÁ ËÌÁ×ÉÁÔÕÒÅ. ðÏÒÏÂÕÅÍ ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÅÖÄÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÎÁÖÁÔÉÑÍÉ ËÌÁ×ÉÛ. ëÁËÁÑ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ? óÌÕÞÁÊÎÁÑ? îÅÓÏÍÎÅÎÎÏ. òÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ? ÷ÒÑÄ ÌÉ. ëÁËÏÅ Õ ÎÅÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ? ÒÕÄÎÏ ÓËÁÚÁÔØ. åÓÌÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÎÁÂÉÒÁÅÔ ÔÅËÓÔ, ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÄÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÒÁÂÏÔÁÅÔ Ó Norton Commander | ÄÒÕÇÏÅ, ÅÓÌÉ ÉÇÒÁÅÔ × Tetris | ÔÒÅÔØÅ. âÕÄÕÔ ÌÉ ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ? óËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÄÁ. ëÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÉÈ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ× Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÅÄÙÄÕÝÉÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÎÅÔ. ïÄÎÁËÏ × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÍÅÔÏÄÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÓÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ. äÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÏÓÍÏÔÒÉÍ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÎÁÉÓÁÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ËÌÀÞÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÂÙÌÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. éÓÈÏÄÎÁÑ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ Õ ÎÁÓ | ÜÔÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÍÅÖÄÕ ÎÁÖÁÔÉÑÍÉ ËÌÁ×ÉÛ. ÷ ÒÁÚÎÙÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ ÜÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÁ Ï-ÒÁÚÎÏÍÕ. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÓÉÔÕÁ ÉÀ, ËÏÇÄÁ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÌÅÇËÏ ÏÓÞÉÔÁÔØ. ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ × ÒÏ ÅÓÓÅ ×ÙÒÁÂÏÔËÉ ËÌÀÞÁ ÉÇÒÁÅÔ × Tetris. ðÒÉ ÉÇÒÅ × Tetris ÞÁÓÔÏÔÁ ÎÁÖÁÔÉÊ ÎÁ ËÌÁ×ÉÛÉ ÍÁÌÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ, ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ×ÓÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ, ÉÇÒÁÑ × Tetris, ÎÁÖÉÍÁÀÔ ÎÁ ËÌÁ×ÉÛÉ ÒÉÍÅÒÎÏ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÞÁÓÔÏ (ËÏÎÅÞÎÏ, ËÒÏÍÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÇÒÁÀÔ × Tetris ÅÒ×ÙÊ ÒÁÚ × ÖÉÚÎÉ). 1) íÁÛÉÎÎÙÅ ËÏÍÁÎÄÙ

mov ebp,esp pop ebp ret

152

çÌÁ×Á 6

òÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ×ÒÅÍÅÎÉ ÍÅÖÄÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÎÁÖÁÔÉÑÍÉ ÎÁ ËÌÁ×ÉÛÉ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÒÁÓÓÞÉÔÁÔØ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÕÖÎÏ ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÒÅÚÉÄÅÎÔÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÌÁ ÂÙ ÒÅÒÙ×ÁÎÉÅ 16h, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÕ Ó ËÌÁ×ÉÁÔÕÒÏÊ, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ×ÙÚÏ×Å ÒÅÒÙ×ÁÎÉÑ ÏÌÕÞÁÌÁ ÂÙ ÔÅËÕÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÁÊÍÅÒÁ, ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÌÁ ÅÇÏ Ó ÒÅÄÙÄÕÝÉÍ ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ, ×ÙÞÉÓÌÑÌÁ ÒÁÚÎÏÓÔØ É ÚÁÉÓÙ×ÁÌÁ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ × ÆÁÊÌ1) . úÁÔÅÍ ÎÕÖÎÏ ÚÁÕÓÔÉÔØ ÜÔÕ ÒÏÇÒÁÍÍÕ É, ÏËÁ ÏÎÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ, ÏÉÇÒÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ × Tetris. ðÒÏ×ÅÄÉÔÅ ÜÔÏÔ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. ðÏÓÍÏÔÒÉÔÅ ÎÁ ÒÉÓÕÎÏË. òÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁÛÅÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÒÉÍÅÒÎÏ ÔÁË:

p

ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÕÖÅ ÒÉÎÑÌ ÒÅÛÅÎÉÅ, ËÕÄÁ ÕËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÆÉÇÕÒÕ, É ÎÁÖÉÍÁÅÔ ËÌÁ×ÉÛÉ, ÎÅ ÄÕÍÁÑ

ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÄÕÍÁÅÔ, ËÕÄÁ ÖÅ ÅÍÕ ÏÌÏÖÉÔØ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÆÉÇÕÒÕ

t òÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ñ×ÎÏ ÎÅÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ, ÎÏ ÜÔÏ É ÎÅ ×ÁÖÎÏ. ÷ÁÖÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÒÉ ÒÁÚÎÙÈ ÉÓÙÔÁÎÉÑÈ ÒÉÍÅÒÎÏ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÜÔÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ × ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÓÌÏÖÎÏ. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÒÏÂÌÅÍÕ. ÁÊÍÅÒ ËÏÍØÀÔÅÒÁ ÔÉËÁÅÔ Ó ÞÁÓÔÏÔÏÊ 18,2 ÒÁÚÁ × ÓÅËÕÎÄÕ, Ô. Å. ÏÄÉÎ ÔÉË ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÒÉÍÅÒÎÏ 55 ÍÉÌÌÉÓÅËÕÎÄ. ëÏÇÄÁ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÎÁÖÉÍÁÅÔ ËÌÁ×ÉÛÉ ÏÄÒÑÄ, ÎÅ ÄÕÍÁÑ, ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÄÅÒÖÉÔ ËÌÁ×ÉÛÕ ÎÁÖÁÔÏÊ, ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÅÖÄÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÎÁÖÁÔÉÑÍÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ 100{200 ÍÉÌÌÉÓÅËÕÎÄ. ðÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÅÒ×ÙÊ ÉË ÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÉËÅ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÒÉÍÅÒÎÏ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ. 1) îÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÅÒÓÉÉ Tetris ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÄÌÑ ÒÁÂÏÔÙ Ó ËÌÁ×ÉÁÔÕÒÏÊ ÒÅÒÙ×ÁÎÉÅ 9. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÉÓÁÔØ ÔÁËÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÎÅÍÎÏÇÏ ÓÌÏÖÎÅÅ.

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

153

á ÜÔÏ ÎÅÈÏÒÏÛÏ | × ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ 2 É 3 ÂÕÄÕÔ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ ÇÏÒÁÚÄÏ ÞÁÝÅ, ÞÅÍ ÌÀÂÙÅ ÄÒÕÇÉÅ. ðÏÓÌÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ Ë ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÍÕ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ ÞÉÓÅÌ ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ, ÎÏ ÓÁÍ ÆÁËÔ ÎÁÌÉÞÉÑ Ä×ÕÈ-ÔÒÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÌØ×ÉÎÁÑ ÄÏÌÑ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ, ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ. ðÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÍÅÛÁÅÔ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÓÔØ ÔÁÊÍÅÒÁ ÅÒÓÏÎÁÌØÎÏÇÏ ËÏÍØÀÔÅÒÁ. ëÁË ÏÔ ÎÅÅ ÉÚÂÁ×ÉÔØÓÑ? ðÏÄÕÍÁÊÔÅ ÓÁÍÉ. ïÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÔ×ÅÔÏ× ×Ù ÎÁÊÄÅÔÅ × ËÏÎ Å ÇÌÁ×Ù. 4. ðÏÕÞÉÍÓÑ ÎÁ ÞÕÖÉÈ ÏÛÉÂËÁÈ õÄÏÂÎÏ, ËÒÁÓÉ×Ï, ÎÏ . . .

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× × ÛÉÒÏËÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÈ ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÈ ÒÏÄÕËÔÁÈ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÒÅÍÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÚÁÝÉÔÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÅÒÅÓÔÁÌÁ ÂÙÔØ ÇÏÌÏ×ÎÏÊ ÂÏÌØÀ ÔÏÌØËÏ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ, ÎÁÄ ÎÅÀ ÎÁÞÉÎÁÀÔ ÚÁÄÕÍÙ×ÁÔØÓÑ ÍÎÏÇÉÅ ÏÂÙÞÎÙÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ ðë. éÄÑ ÎÁ×ÓÔÒÅÞÕ ÉÈ ÏÖÅÌÁÎÉÑÍ, ÍÎÏÇÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌÉ ÒÏÇÒÁÍÍ ÓÔÁÌÉ ×ËÌÀÞÁÔØ × Ó×ÏÉ ÒÏÄÕËÔÙ ÆÕÎË ÉÉ ÚÁÝÉÔÙ ÄÁÎÎÙÈ. ïÄÎÁËÏ × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ× ÒÁÚÒÁÂÏÔÞÉËÉ ÔÁËÉÈ ÒÏÇÒÁÍÍ ÎÅ ÓÔÁ×ÑÔ Ó×ÏÅÊ ÅÌØÀ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ × ÎÉÈ ÓËÏÌØËÏ-ÎÉÂÕÄØ ÓÔÏÊËÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ. ïÎÉ ÓÞÉÔÁÀÔ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ Ó×ÏÅÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÉÔØ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÚÁÝÉÔÉÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÌÉÂÏ ÏÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÎÅÓÁÎË ÉÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÄÏÓÔÕÁ, ÌÉÂÏ ÏÔ ÎÅË×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÚÌÏÍÝÉËÁ. ðÒÏÇÒÁÍÍÎÙÅ ÒÏÄÕËÔÙ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÞØ ÏÊÄÅÔ ÎÉÖÅ, ÛÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ. ïÎÉ, ÓËÏÒÅÅ, ÍÁÓËÉÒÕÀÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÞÅÍ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÎÁÄÅÖÎÏÇÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÚÁËÒÙÔÉÑ. íÎÏÇÉÅ ÉÚ ×ÁÓ, ÎÁ×ÅÒÎÏÅ, ÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÄÌÑ ÒÅÄÁËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏËÕÍÅÎÔÏ× ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÍ ÒÏÄÕËÔÏÍ Mi rosoft Word. üÔÁ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÀ ÛÉÒÏËÉÊ ÓÅËÔÒ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÒÁÂÏÔÙ Ó ÄÏËÕÍÅÎÔÁÍÉ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ × ÆÁÊÌÁÈ × ÒÁÚÌÉÞÎÏÍ ÆÏÒÍÁÔÅ. åÓÌÉ ×Ù ÏÓÍÏÔÒÉÔÅ × ÍÅÎÀ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÄÏËÕÍÅÎÔÏ× ÒÏÇÒÁÍÍÙ Word, ÔÏ × ÁÒÁÍÅÔÒÁÈ ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÕËÁÚÁÔØ ÁÒÏÌØ ÄÌÑ ÄÏÓÔÕÁ Ë ÄÏËÕÍÅÎÔÕ. Ï ÅÓÔØ ÄÌÑ ÅÇÏ ÏÔËÒÙÔÉÑ É ÄÁÌØÎÅÊÛÅÊ ÒÁÂÏÔÙ Ó ÎÉÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÄÏÌÖÅÎ ××ÅÓÔÉ ÁÒÏÌØ. þÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ó ÄÏËÕÍÅÎÔÏÍ, ÅÓÌÉ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÏÌÅ ÁÒÁÍÅÔÒÏ× ××ÅÓÔÉ ÁÒÏÌØ? äÌÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ Ä×Á ÄÏËÕÍÅÎÔÁ, ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÉÄÅÎÔÉÞÎÙÈ Ï ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÀ, ÎÏ ÓÏÈÒÁÎÅÎÎÙÈ Ó ÁÒÏÌÅÍ É ÂÅÚ ÎÅÇÏ. ÷ ÒÅÄÁËÔÏÒÅ ÏÎÉ ÂÕÄÕÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ïÄÎÁËÏ, ÏÔËÒÏÅÍ ÜÔÉ ÄÏËÕÍÅÎÔÙ (ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ .do ) ËÁËÏÊÎÉÂÕÄØ ÒÏÇÒÁÍÍÏÊ ÒÏÓÍÏÔÒÁ ÆÁÊÌÏ×.

154

çÌÁ×Á 6

íÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÆÁÊÌ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÄÏËÕÍÅÎÔ × ÆÏÒÍÁÔÅ Mi rosoft Word, ÉÍÅÅÔ ÓÌÏÖÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ. ïÎ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÚÁÇÏÌÏ×ËÁ É ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÉÓÙ×ÁÀÔ ÔÅËÓÔ, Á ÔÁËÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÄÁÎÎÙÅ Ï ÒÁÂÏÔÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ Ó ÄÏËÕÍÅÎÔÏÍ É ÓÌÕÖÅÂÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. ÷ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÆÁÊÌÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÄÏËÕÍÅÎÔÕ ÂÅÚ ÁÒÏÌÑ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ Õ×ÉÄÅÔØ ÓÁÍ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ. ðÒÉ ÜÔÏÍ × ÔÏÍ ÖÅ ÒÁÚÄÅÌÅ ÆÁÊÌÁ Ó ÁÒÏÌÅÍ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ ÕÖÅ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏ×. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÁÒÏÌØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÓÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ ÄÏÓÔÕÁ Ë ÄÏËÕÍÅÎÔÕ ÒÉ ÅÇÏ ÏÔËÒÙÔÉÉ, ÎÏ É Ñ×ÌÑÌÓÑ ËÌÀÞÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÓÈÅÍÙ, ÚÁÛÉÆÒÏ×Á×ÛÅÊ ÔÅËÓÔ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÅ ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÔØ ÔÅËÓÔ, ÔÏ ÓÁÍÁ ÉÄÅÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÁÒÏÌØ ÂÙÌÁ ÂÙ ÂÅÓÏÌÅÚÎÏÊ. ìÀÂÏÊ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÓÎÁÞÁÌÁ ÍÏÇ ÂÙ ×ÙÔÁÝÉÔØ ÒÕËÁÍÉ ÉÚ ÆÁÊÌÁ ÂÏÌØÛÕÀ ÞÁÓÔØ ÔÅËÓÔÁ, Á ÏÔÏÍ ÅÒÅÎÅÓÔÉ ÅÇÏ × Word. ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ, ×ÙÂÒÁÎÎÁÑ × Mi rosoft Word ÓÈÅÍÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔ ÔÏÌØËÏ ÎÁÞÉÎÁÀÝÅÇÏ ÈÁËÅÒÁ [4℄. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÅ ÏÄÒÏÂÎÅÅ. éÚ ÁÒÏÌÑ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ Word ×ÙÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ ÍÁÓÓÉ× ÄÌÉÎÏÊ 16 ÂÁÊÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÇÁÍÍÏÊ (gamma[0..15℄). äÁÌÅÅ, ËÁÖÄÙÊ ÂÁÊÔ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ (plain text[i℄) ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÉÔÎÏ (XOR) Ó ÂÁÊÔÏÍ ÇÁÍÍÙ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÚÎÁËÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ( ipher text[i℄), ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÉÄÅÔØ × ÆÁÊÌÅ Ó ÁÒÏÌÅÍ. Ï ÅÓÔØ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:

ipher text[i℄ := plain text[i℄ XOR gamma [imod16℄; ÇÄÅ mod 16 | ÏÅÒÁ ÉÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÓÔÁÔËÁ ÏÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 16. ðÅÒÅÄ ÎÁÍÉ ÔÉÉÞÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÓÈÅÍÙ ÇÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÒÏÔËÏÊ ÇÁÍÍÏÊ. ÁË ËÁË ËÁÖÄÙÊ ÛÅÓÔÎÁÄ ÁÔÙÊ ÓÉÍ×ÏÌ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ë ÓÉÍ×ÏÌÕ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÇÁÍÍÙ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó 16-À ÒÏÓÔÙÍÉ ÚÁÍÅÎÁÍÉ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÛÅÓÔÎÁÄ ÁÔÉ ÏÚÉ ÉÊ ÓÉÍ×ÏÌÁ × ÔÅËÓÔÅ ÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÔÁÂÌÉ Õ ÞÁÓÔÏÔ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ×ÙÂÅÒÅÍ × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÉÍ×ÏÌÁ, ×ÓÔÒÅÔÉ×ÛÅÇÏÓÑ ÞÁÝÅ ÄÒÕÇÉÈ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÁÍÙÊ ÞÁÓÔÙÊ ÓÉÍ×ÏÌ × ÄÏËÕÍÅÎÔÅ Word | ÜÔÏ ÒÏÂÅÌ (ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ËÏÄÉÒÏ×ËÅ ASCII ÅÓÔØ 0x20). ÷ ÜÔÏÍ ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÄÏËÕÍÅÎÔ × ÛÅÓÔÎÁÄ ÁÔÉÒÉÞÎÏÍ ÆÏÒÍÁÔÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÁÍÙÍ ÞÁÓÔÙÍ ÓÉÍ×ÏÌÁÍ × ÔÁÂÌÉ Å ÞÁÓÔÏÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÒÏÂÅÌÙ, É, ÓËÌÁÄÙ×ÁÑ ÏÂÉÔÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× Ó 0x20, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ×ÓÅ 16 ÚÎÁËÏ× ÇÁÍÍÙ. äÁÌÅÅ, ÚÎÁÑ ÇÁÍÍÕ, ÒÁÓÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÍ ×ÅÓØ ÔÅËÓÔ. îÅ ÒÁ×ÄÁ ÌÉ, ÒÏÓÔÏ!

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

155

îÁ ÜÔÕ ÏÞÅ×ÉÄÎÕÀ ÓÌÁÂÏÓÔØ ÍÎÏÇÉÅ ÓÒÁÚÕ ÏÂÒÁÔÉÌÉ ×ÎÉÍÁÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÆÉÒÍÁ Mi rosoft ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ×ÅÒÓÉÊ ÔÅËÓÔÏ×ÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÏÒÁ Mi rosoft Word, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó Word 97, ÏÌÎÏÓÔØÀ ÉÚÍÅÎÉÌÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÁÊÌÏ×, ×ÓÔÒÏÉ× × ÎÅÇÏ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ RC4 É ÈÅÛÉÒÏ×ÁÎÉÑ MD5. ÅÅÒØ ÏÓÍÏÔÒÉÍ, ËÁË ÚÁÝÉÝÁÀÔÓÑ ÁÒÏÌÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ × ÏÅÒÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ (ïó) Mi rosoft Windows 95 ÅÒ×ÙÈ ×ÅÒÓÉÊ (ÄÏ OSR 2). âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÓÅÔÅ×ÙÈ ïó Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØÓËÉÍÉ, ÜÔÏ É Novell NetWare, É Mi rosoft Windows NT, É Ô. Ä. äÌÑ ÒÁÚÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÄÏÓÔÕÁ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ Ë Ó×ÏÉÍ ÒÅÓÕÒÓÁÍ ÜÔÉ ïó ÔÒÅÂÕÀÔ ÏÔ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÄÏËÁÚÁÔØ Ó×ÏÀ ÏÄÌÉÎÎÏÓÔØ. äÅÌÁÅÔÓÑ ÜÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÒÏÌÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ É ïó, É ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÀ. ñÓÎÏ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ×ÁÖÎÏ ÓÉÓÔÅÍÅ ÄÌÑ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÅ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ ÎÁÄÅÖÎÏ É ÎÅÄÏÓÔÕÎÏ ÄÌÑ ÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÄÏÓÔÕÁ ÈÒÁÎÉÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÁÒÏÌÑÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ. ïó Mi rosoft Windows 95 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØÓËÏÊ É ÎÅ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑÍ ÒÁÚÄÅÌÑÔØ Ó×ÏÉ ÒÅÓÕÒÓÙ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÒÁÂÏÔÙ ÏÎÁ ÚÁÒÁÛÉ×ÁÅÔ Õ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ÒÉ ×ÈÏÄÅ × ÓÉÓÔÅÍÕ ÅÇÏ ÉÍÑ É ÁÒÏÌØ. îÏ ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÔ×ÅÔÉÔ (ÎÁÖÍÅÔ ËÎÏËÕ Can el), ïó ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÔ ÅÍÕ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÄÁÌØÛÅ. äÌÑ ÞÅÇÏ ÖÅ ÔÏÇÄÁ ÚÁÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ ÁÒÏÌØ? äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ðë ÍÏÖÅÔ ÒÁÂÏÔÁÔØ × ÌÏËÁÌØÎÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÅÔÉ (ì÷ó), ÇÄÅ ÅÍÕ ÄÏÓÔÕÎÙ ÒÅÓÕÒÓÙ ÉÌÉ ÓÅÒ×ÅÒÙ, ÄÌÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÁÒÏÌÉ, ÒÉÞÅÍ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ. þÔÏÂÙ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÀ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÂÙÌÏ ÉÈ ×ÓÅ ÚÁÏÍÉÎÁÔØ, ïó Mi rosoft Windows 95 ÚÁÏÍÉÎÁÅÔ ÁÒÏÌÉ ÄÌÑ ÄÏÓÔÕÁ Ë ÒÅÓÕÒÓÁÍ ì÷ó × ÓÅ ÉÁÌØÎÏÍ ÆÁÊÌÅ Ó ÉÍÅÎÅÍ ÉÍÑ_ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ.pwl. ÷ ÜÔÏÍ ÆÁÊÌÅ ÄÁÎÎÙÅ ÛÉÆÒÕÀÔÓÑ ÎÁ ÔÏÍ ÓÁÍÏÍ ÁÒÏÌÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÉÓÔÅÍÁ ÚÁÒÁÛÉ×ÁÅÔ Õ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ÒÉ ÅÇÏ ×ÈÏÄÅ × ÓÉÓÔÅÍÕ. åÓÌÉ ÁÒÏÌØ ××ÅÄÅÎ ÒÁ×ÉÌØÎÏ, ÔÏ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ïó ÓÁÍÁ ÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÁÒÏÌØ ÒÉ ÚÁÒÏÓÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ÎÁ ÄÏÓÔÕ Ë ÒÅÓÕÒÓÁÍ ÉÌÉ ÓÅÒ×ÅÒÁÍ ì÷ó. äÁÎÎÙÅ × .pwl ÆÁÊÌÁÈ ÛÉÆÒÕÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ [5℄. éÚ ÁÒÏÌÑ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ Ï ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ RC4 ×ÙÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÁÍÍÁ. ëÁÖÄÙÊ ÁÒÏÌØ ÎÁ ÄÏÓÔÕ Ë ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍÕ ÒÅÓÕÒÓÕ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÕÖÅÂÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ ÓÕÍÍÉÒÕÅÔÓÑ ÏÂÉÔÎÏ Ó ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÇÁÍÍÏÊ. Ï ÅÓÔØ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÒÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ ÇÁÍÍÁ. åÓÌÉ ÕÞÅÓÔØ, ÞÔÏ .pwl ÆÁÊÌ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÚÁÉÓØ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÕÀÓÑ Ó ÉÍÅÎÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ, ÄÏÏÌÎÅÎÎÏÇÏ ÄÏ 20 ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÒÏÂÅÌÁÍÉ, ÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÁÒÏÌÑ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ. ðÏÌÕÞÉ× ÅÒ×ÙÅ 20 ÚÎÁËÏ× ÇÁÍÍÙ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÓÏÈÒÁÎÅÎÎÙÊ × ÆÁÊÌÅ ÁÒÏÌØ (ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï, ÞÔÏ ÒÅÄËÏ ËÏÇÄÁ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÁÒÏÌÉ ÄÌÉÎÏÊ ÂÏÌÅÅ 10 ÓÉÍ×ÏÌÏ×). óÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÁÍ Ï ÓÅÂÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ RC4 ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÙÊ, É × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÓÌÁÂÏÓÔÉ ÎÅ ÓÁÍÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ,

156

çÌÁ×Á 6

Á ÓÈÅÍÙ ÅÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ, Á ÉÍÅÎÎÏ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÊ ÇÁÍÍÙ. óËÏÌØËÏ ÄÙÒÏË × ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÅÔÑÈ?

ðÒÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ É ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÈ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ ÄÁÖÅ ÏÂÙÞÎÙÊ ÄÏÍÁÛÎÉÊ ðë ÕÖÅ ÎÅ ÍÙÓÌÉÔÓÑ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÏÔ ×ÓÅÇÏ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÇÏ ËÉÂÅÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ðÒÏÎÉËÎÏ×ÅÎÉÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÅÔÅÊ ×ÓÀÄÕ, ÇÄÅ ÅÓÔØ ËÏÍØÀÔÅÒÙ, ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ ÓÁÍÉÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÏÂßÅÄÉÎÑÔØÓÑ ×ÙÎÅÓÌÏ ÎÁ ÅÒÅÄÎÉÊ ÌÁÎ ÌÏÚÕÎÇ ËÏÍÁÎÉÉ Sun Mi rosystem óÅÔØ | ÜÔÏ ËÏÍØÀÔÅÒ. òÁÚÒÁÂÏÔÞÉËÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÎÏÇÏ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÔÁËÖÅ ÓÔÁÌÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÓÅÔÅ×ÙÈ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ É ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÕÄÏÂÎÙÍÉ ÓÒÅÄÓÔ×ÁÍÉ ÄÌÑ ÒÁÂÏÔÙ Ó ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÒÅÓÕÒÓÁÍÉ É ÕÄÁÌÅÎÎÙÍÉ ÉÓÔÏÞÎÉËÁÍÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. íÎÏÇÉÅ ÉÚ ×ÁÓ ÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÒÅÓÕÒÓÁÍÉ ÇÌÏÂÁÌØÎÏÊ ÓÅÔÉ Internet, ËÔÏ-ÔÏ ÉÍÅÌ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÁÂÏÔÁÔØ × ÌÏËÁÌØÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÅÔÑÈ (ì÷ó). îÁ×ÅÒÎÏÅ, ÒÉ ÜÔÏÍ ×Ù ÚÁÄÁ×ÁÌÉ ÓÅÂÅ ×ÏÒÏÓÙ: { ËÁË ÚÁÝÉÝÁÅÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÁÑ Ï ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÁÎÁÌÁÍ Ó×ÑÚÉ; { ÍÏÖÎÏ ÌÉ, ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÑ ÄÁÎÎÙÅ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÏÂÍÅÎÉ×ÁÀÔÓÑ ËÏÍØÀÔÅÒÙ × ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÅÔÉ, ÏÌÕÞÉÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÑÈ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÈ ÎÁ ÎÉÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ; { ÍÏÖÎÏ ÌÉ ×ÍÅÛÁÔØÓÑ × ÒÏÔÏËÏÌ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒÏ×; { ËÁË ÚÁÝÉÔÉÔØ Ó×ÏÉ ÄÁÎÎÙÅ ÒÉ ÉÈ ÅÒÅÄÁÞÅ Ï ËÁÎÁÌÁÍ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ÉÌÉ ÇÌÏÂÁÌØÎÙÈ ÓÅÔÅÊ. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÙÔÁÔØÓÑ ÄÁÔØ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÝÉÅ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ×ÙÛÌÉ ÂÙ ÄÁÌÅËÏ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Ù. ðÏÒÏÂÕÅÍ ÒÏÓÔÏ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÓÅÊÞÁÓ ÏÕÌÑÒÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ËÁË ÜÔÉ ×ÏÒÏÓÙ ÒÅÛÁÀÔÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ËÁË ÚÁÝÉÝÁÅÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÁÑ Ï ËÁÎÁÌÁÍ ì÷ó É × ÇÌÏÂÁÌØÎÙÈ ÓÅÔÑÈ? äÌÑ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÈ ÓÅÔÅ×ÙÈ ïó ÍÏÖÎÏ ÏÔ×ÅÔÉÔØ | ÎÉËÁË! éÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÍÅÖÄÕ ËÏÍØÀÔÅÒÁÍÉ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ × ÏÔËÒÙÔÏÍ ×ÉÄÅ Ï ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÍ ÒÏÔÏËÏÌÁÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍÉ ÒÏÇÒÁÍÍÁÍÉ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ É ÁÎÁÌÉÚÁ ÄÁÎÎÙÈ ÓÅÔÅ×ÏÇÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÂÍÅÎÁ. ÁËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÛÉÒÏËÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÊ ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÊ ÁËÅÔ LANalyzer for Windows ÆÉÒÍÙ Novell. äÌÑ ÅÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÎÁ×ÙËÏ× ÒÁÂÏÔÙ × ì÷ó. äÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÖÁÔØ ËÎÏËÕ Start, Á ÄÌÑ ÒÏÓÍÏÔÒÁ ÏÊÍÁÎÎÙÈ ÁËÅÔÏ× ËÎÏËÕ View. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ-

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

157

ÓÔÉ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÎÁÒÉÍÅÒ ÎÁÓÔÒÏÊËÉ ÆÉÌØÔÒÏ× ÅÒÅÈ×ÁÔÁ, ÍÏÖÎÏ ÉÚÕÞÉÔØ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ, Ï ÈÏÄÕ ÄÅÌÁ. ðÒÏÓÍÏÔÒÅ× ÕÌÏ×, ×Ù ÏÂÎÁÒÕÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÁËÅÔ ÉÍÅÅÔ ×ÅÓØÍÁ ÓÌÏÖÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÉÅÒÁÒÈÉÀ ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÓÅÔÅ×ÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×. îÏ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÎÅ × ÜÔÏÍ. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÅÒÅÈ×ÁÔÉÔØ ÁËÅÔÙ, ËÏÇÄÁ Ó ÏÄÎÏÇÏ ËÏÍØÀÔÅÒÁ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ ËÏÉÒÕÅÔÓÑ ÔÅËÓÔÏ×ÙÊ ÆÁÊÌ. âÅÚ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ×Ù ÎÁÊÄÅÔÅ ÆÁÊÌ × ÅÒÅÈ×ÁÔÅ. åÓÌÉ ÏÎ ÍÁÌÅÎØËÉÊ, ÔÏ ÏÎ ÒÁÚÍÅÝÅÎ × ÏÄÎÏÍ ÁËÅÔÅ, ÅÓÌÉ ÂÏÌØÛÏÊ, ÔÏ × ÎÅÓËÏÌØËÉÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ÕÓÔØ ËÏÉÒÕÅÔÓÑ ÆÁÊÌ help.txt Ó ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅÍ: Help, I need somebody, Help, not just anybody, Help, you know I need someone, help.

üÔÏÔ ÆÁÊÌ ÍÏÖÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÒÉ ÅÒÅÄÁÞÅ Ï ËÁÎÁÌÁÍ ì÷ó ÔÁË (ÁËÅÔ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎ ÒÏÇÒÁÍÍÏÊ LANalyzer): ip: ======================= Internet Proto ol ======================= Station:127.0.0.1 ---->127.0.0.2 Proto ol: TCP Version: 4 Header Length (32 bit words): 5 Pre eden e: Routine Normal Delay, Normal Throughput, Normal Reliability Total length: 194 Identifi ation: 12292 Fragmentation not allowed, Last fragment Fragment Offset: 0 Time to Live: 128 se onds Che ksum: 0xB689(Valid) t p: ================= Transmission Control Proto ol ================= Sour e Port: 1091 Destination Port: NETBIOS-SSN Sequen e Number: 20624641 A knowledgement Number: 849305 Data Offset (32-bit words): 5 Window: 7473 Control Bits: A knowledgement Field is Valid (ACK) Push Fun tion Requested (PSH) Che ksum: 0xCB85(Valid) Urgent Pointer: 0 Data: 0: 00 00 00 96 FF 53 4D 42 2F 00 00 00 00 18 03 80 |.....SMB/....... 10: 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 08 FE CA |................ 20: 00 08 00 06 0E FF 00 00 00 00 08 00 00 00 00 FF |................ 30: FF FF FF 00 00 57 00 00 00 57 00 3F 00 00 00 00 |.....W...W.?.... 40: 00 57 00 48 65 6C 70 2C 20 49 20 6E 65 65 64 20 |.W.Help, I need 50: 73 6F 6D 65 62 6F 64 79 2C 0D 0A 48 65 6C 70 2C |somebody,..Help, 60: 20 6E 6F 74 20 6A 75 73 74 20 61 6E 79 62 6F 64 | not just anybod 70: 79 2C 0D 0A 48 65 6C 70 2C 20 79 6F 75 20 6B 6E |y,..Help, you kn 80: 6F 77 20 49 20 6E 65 65 64 20 73 6F 6D 65 6F 6E |ow I need someon 90: 65 2C 20 68 65 6C 70 2E 0D 0A |e, help...

158

çÌÁ×Á 6

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉË ÎÁÛÅÌ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÄËÌÀÞÉÔØÓÑ Ë ì÷ó É ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÒÏÇÒÁÍÍÎÏÅ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÅ, ÔÏ ÏÎ ÂÅÚ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ÍÏÖÅÔ ÓÏÂÉÒÁÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÒÁÂÏÔÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÓÅÔÉ, ÚÁÕÓËÁÅÍÙÈ ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÈ ÒÏÄÕËÔÁÈ, ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÉ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÍÙÈ ÄÏËÕÍÅÎÔÏ× É Ô. . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉË ÉÎÏÇÄÁ ÍÏÖÅÔ ×ÍÅÛÉ×ÁÔØÓÑ × ÒÁÂÏÔÕ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÓÅÔÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÁÔÁËÉ ÎÁ ÓÅÔÅ×ÙÅ ïó ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÓÌÁÂÏÓÔÉ ÒÏÔÏËÏÌÏ× ÉÄÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÏÌÕÞÁÔÅÌÅÊ É ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ × ì÷ó. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÁËÅÔ, ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÙÊ Ï ËÁÎÁÌÁÍ ì÷ó, ÓÎÁÂÖÁÅÔÓÑ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÍÉ ÓÅÔÅ×ÙÍÉ ÁÄÒÅÓÁÍÉ ËÏÍØÀÔÅÒÁ-ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌÑ ÁËÅÔÁ É ËÏÍØÀÔÅÒÁ, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÜÔÏÔ ÁËÅÔ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎ. üÔÏ ËÁË ÁÄÒÅÓÁ ÎÁ ÏÞÔÏ×ÙÈ ËÏÎ×ÅÒÔÁÈ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ 90-È ÇÏÄÏ× ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ ÓÅÔÅ×ÁÑ ïó Novell NetWare ver 3.11. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÓÌÁÂÏÓÔØÀ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ × ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÅÔÅ×ÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×, ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉË Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÏÄÍÅÎÑÀÝÅÊ ÓÅÔÅ×ÙÅ ÁÄÒÅÓÁ, ÍÏÇ ×ÙÄÁÔØ Ó×ÏÊ ËÏÍØÀÔÅÒ ÚÁ ËÏÍØÀÔÅÒ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÄÒÕÇÏÊ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ óÕÅÒ×ÉÚÏÒ [2℄. ðÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÍÏÇ ÄÁ×ÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÅ ÌÀÂÙÅ ÚÁÒÏÓÙ ÎÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÅÅ ÒÅÓÕÒÓÏ×, ÚÁ×ÏÄÉÔØ ÎÏ×ÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ, ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØ ÉÈ ÒÁ×Á ÄÏÓÔÕÁ. äÁÎÎÙÊ ÓÏÓÏÂ ÏÄÍÅÎÙ ÓÅÔÅ×ÙÈ ÁÄÒÅÓÏ× ÏÌÕÞÉÌ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ çÏÌÌÁÎÄÓËÁÑ ÁÔÁËÁ É ÛÉÒÏËÏ ÏÉÓÁÎ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó Novell NetWare ver 3.11, ÏÌØÚÕÑÓØ ÏÉÓÁÎÎÙÍÉ ×ÙÛÅ ÓÌÁÂÏÓÔÑÍÉ, ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÓÏÚÄÁ×ÁÔØ × ì÷ó ÌÏÖÎÙÅ ÓÅÒ×ÅÒÙ (ËÏÍØÀÔÅÒÙ, ÇÄÅ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑÈ É ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÅÓÕÒÓÙ ÓÅÔÉ) É ÎÁÒÁ×ÌÑÔØ ÚÁÒÏÓÙ ÄÒÕÇÉÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÞÅÒÅÚ Ó×ÏÊ ËÏÍØÀÔÅÒ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ×ÁÖÎÙÊ ×ÏÒÏÓ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÊ Ó ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØÀ ÓÅÔÅ×ÙÈ ïó. ÷ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ× ËÏÍØÀÔÅÒÙ ì÷ó ÏÂßÅÄÉÎÑÀÔÓÑ × ÇÒÕÙ, ËÏÔÏÒÙÅ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ Ï ÒÁÚÎÏÍÕ: ÏÄÓÅÔØ, ÄÏÍÅÎ, ÒÁÂÏÞÁÑ ÇÒÕÁ É Ô. Ä. ïÄÎÁËÏ ÞÁÓÔÏ ÜÔÉ ÇÒÕÙ ÉÍÅÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÂÝÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ. ÷ ÇÒÕÅ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÄÉÎ (ÉÎÏÇÄÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ) ÍÏÝÎÙÊ ËÏÍØÀÔÅÒ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÅÒ×ÅÒÏÍ ÉÌÉ ËÏÎÔÒÏÌÌÅÒÏÍ ÄÏÍÅÎÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÚÁ ÏÂÝÕÀ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ËÏÍØÀÔÅÒÙ (ÒÁÂÏÞÉÅ ÓÔÁÎ ÉÉ) ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÁÀÔÓÑ ÄÌÑ ÒÁÂÏÔÙ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÓÅÔÉ. óÅÒ×ÅÒ ÎÅÓÅÔ ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÚÁ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÅ ÓÁÎË ÉÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÄÏÓÔÕÁ Ë ÒÅÓÕÒÓÁÍ ×ÓÅÊ ÇÒÕÙ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ë ÈÒÁÎÑÝÉÍÓÑ ÎÁ ÎÅÍ ÆÁÊÌÁÍ ÉÌÉ ÓÅÔÅ×ÙÍ ÒÉÎÔÅÒÁÍ. ïÎ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ É ÚÁ ÄÏÕÓË × ÓÅÔØ ÚÁÒÅÇÉÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ. åÓÌÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÈÏÞÅÔ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÒÅÓÕÒÓÁÍÉ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× ÇÒÕÙ, ÏÎ ÄÏÌÖÅÎ ÏÔÒÁ×ÉÔØ ÎÁ ÓÅÒ×ÅÒ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÏÄÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÕÀ Ó×ÏÀ ÏÄÌÉÎÎÏÓÔØ. ëÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ ×ÙÛÅ, ÞÁÝÅ ×ÓÅÇÏ ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÒÏÌÑ. ðÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÎÁ ÒÁÂÏÞÅÊ ÓÔÁÎ ÉÉ ××ÏÄÉÔ Ó×ÏÉ

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

159

ÉÍÑ É ÁÒÏÌØ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÒÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÁ ÓÅÒ×ÅÒ ÄÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ. óÅÒ×ÅÒ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ Ó ÈÒÁÎÑÝÉÍÓÑ Õ ÎÅÇÏ ÜÔÁÌÏÎÎÙÍ ÁÒÏÌÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ É Ï ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ ÒÏ×ÅÒËÉ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ Ï ÄÏÓÔÕÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ Ë ÒÅÓÕÒÓÁÍ ÇÒÕÙ. ÁË ÏÓÔÕÁÀÔ ÓÅÒ×ÅÒÙ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. îÏ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÁÑ Ï ËÁÎÁÌÁÍ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÅÔÅÊ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÁ ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉËÏÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÁÒÏÌØ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ÄÏÌÖÅÎ ÅÒÅÄÁ×ÁÔØÓÑ Ó ÒÁÂÏÞÅÊ ÓÔÁÎ ÉÉ ÎÁ ÓÅÒ×ÅÒ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ, ÄÁÖÅ ÅÒÅÈ×ÁÔÉ× ÅÇÏ, ÉÍ ÎÅÌØÚÑ ÂÙÌÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ. úÄÅÓØ ÎÁ ÏÍÏÝØ ÒÉÈÏÄÉÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ. òÁÚÂÅÒÅÍ ÜÔÏ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÓÅÔÅ×ÏÊ ïó Novell NetWare ver 3.11. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ×ÅÒÓÉÉ 2.12 ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÁÒÏÌØ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ×ÏÏÂÝÅ ÅÒÅÄÁ×ÁÌÓÑ × ÏÔËÒÙÔÏÍ ×ÉÄÅ. äÁÎÎÏÅ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÅÌÁÌÏ ×ÓÅ ÕÓÉÌÉÑ Ï ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÒÁÚÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÄÏÓÔÕÁ Ë ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÂÅÓÏÌÅÚÎÙÍÉ. ÷ ×ÅÒÓÉÉ 3.11 ÂÙÌ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÒÏÔÏËÏÌ ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÁÒÏÌÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÛÁÇÏ×. ûÁÇ 1. ðÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÒÁÂÏÞÅÊ ÓÔÁÎ ÉÉ × ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ ÓÉÓÔÅÍÙ ××ÏÄÉÔ Ó×ÏÅ ÉÍÑ É ÁÒÏÌØ. ûÁÇ 2. òÁÂÏÞÁÑ ÓÔÁÎ ÉÑ ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔ ÁÒÏÌØ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ, ×ÙÞÉÓÌÑÑ ÍÁÓÓÉ× ÄÁÎÎÙÈ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÌÉ Ó×ÅÒÔËÏÊ ÁÒÏÌÑ. ûÁÇ 3. òÁÂÏÞÁÑ ÓÔÁÎ ÉÑ ÚÁÒÁÛÉ×ÁÅÔ Õ ÓÅÒ×ÅÒÁ ÒÁÚÏ×ÙÊ ËÌÀÞ (ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÍÁÓÓÉ× ÄÁÎÎÙÈ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ, ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ×ÈÏÄÁ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ × ÓÉÓÔÅÍÕ). ûÁÇ 4. ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÒÁÚÏ×ÏÇÏ ËÌÀÞÁ É ÏÂÒÁÚÁ ÁÒÏÌÑ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ÒÁÂÏÞÁÑ ÓÔÁÎ ÉÑ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÒÁÚÏ×ÙÊ ÂÉÌÅÔ ÎÁ ×ÈÏÄ × ÓÉÓÔÅÍÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÔÒÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÓÅÒ×ÅÒ ÄÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ. ûÁÇ 5. óÅÒ×ÅÒ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÒÏ×ÅÒËÕ ÂÉÌÅÔÁ É ÎÁÒÁ×ÌÑÅÔ ÒÁÂÏÞÅÊ ÓÔÁÎ ÉÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ Ï ÅÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ. åÓÌÉ ÒÏ×ÅÒËÁ ÒÏÛÌÁ ÕÓÅÛÎÏ, ÔÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÏÌÕÞÁÅÔ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÅ ÎÁ ÄÏÓÔÕ × ÓÉÓÔÅÍÕ. ðÒÉ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÒÅÛÁÌÓÑ ÒÑÄ ÚÁÄÁÞ Ï ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÀ ÅÇÏ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ: { ÓÄÅÌÁÔØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÔÒÕÄÎÙÍ ÏÄÂÏÒ ÁÒÏÌÑ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉËÏÍ, ÅÒÅÈ×ÁÔÉ×ÛÉÍ × ì÷ó ÒÁÚÏ×ÙÊ ËÌÀÞ É ÂÉÌÅÔ; { ÄÏÂÉÔØÓÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ Ï×ÔÏÒÎÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÂÉÌÅÔÁ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÄÏÓÔÕÁ Ë ÒÅÓÕÒÓÁÍ ÓÉÓÔÅÍÙ. ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÏÉÓÁÎÉÑ ÒÏÔÏËÏÌÁ, ×ÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÂÙÌÁ ÕÓÅÛÎÏ ÒÅÛÅÎÁ. ðÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÚÁÒÏÓÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ÎÁ ×ÈÏÄ × ÓÉÓÔÅÍÕ ÂÉÌÅÔ ×ÙÞÉÓÌÑÌÓÑ Ó ÕÞÁÓÔÉÅÍ ÒÁÚÏ×ÏÇÏ ËÌÀÞÁ, Á ÚÎÁÞÉÔ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÏÎ ÎÅ Ï×ÔÏÒÑÌÓÑ É ÎÅ ÍÏÇ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÅÝÅ ÒÁÚ.

160

çÌÁ×Á 6

äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÅÒ×ÏÊ ÚÁÄÁÞÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÁÚÏ×ÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÊ × ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ ÁÒÏÌÑ × ÅÇÏ ÏÂÒÁÚ ÎÁ ûÁÇÅ 2 É × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÒÁÚÏ×ÏÇÏ ÂÉÌÅÔÁ ÎÁ ûÁÇÅ 4. áÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÅÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ ÍÁÓÓÉ× ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÉÎÏÊ 32 ÂÁÊÔÁ, ÅÇÏ ÓÈÅÍÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÉÖÅ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1). îÁ ÎÅÊ: Array | ÍÁÓÓÉ× ÄÁÎÎÙÈ ÉÚ 32 ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (ÂÁÊÔÏ×), ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÛÁÇÁ ÒÁÂÏÔÙ ÓÈÅÍÙ ÚÁÏÌÎÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Á ÓÄ×ÉÇÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÌÅ×Ï, Á × Array[31℄ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÂÉÔÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ; T ab | ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÚ 32 ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (ÂÁÊÔÏ×), ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÛÁÇÁ ÒÁÂÏÔÙ ÓÈÅÍÙ ÚÁÏÌÎÅÎÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉËÌÉÞÅÓËÉ ÓÄ×ÉÇÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÌÅ×Ï; Elem | ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ÁÍÑÔÉ (ÂÁÊÔ); XOR | ÏÅÒÁ ÉÑ ÏÂÉÔÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÂÁÊÔÏ×; + É − | ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ×ÙÞÉÔÁÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÂÁÊÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ 256; mod 32 | ÏÅÒÁ ÉÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÓÔÁÔËÁ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 32, ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ËÁË ÉÎÄÅËÓ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÁÓÓÉ×Á Array.

T ab 0 1 2

:::

B

30 31

A−B A

mod 32

Array 0 1 2

:::

30 31

XOR

+

Elem

+

òÉÓ. 1. óÈÅÍÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÏÇÏ ïó Novell NetWare.

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

161

óÈÅÍÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ 64 ÔÁËÔÁ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ËÁÖÕÝÕÀÓÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÓÈÅÍÙ, ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÑÄ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÏ×, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÈ, ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÂÌÁÇÏÒÉÑÔÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ, ÏÄÂÉÒÁÔØ ÁÒÏÌØ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ [2℄. îÁÒÉÍÅÒ, ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉË, ÅÒÅÈ×ÁÔÉ× ÒÁÚÏ×ÙÊ ËÌÀÞ É ÂÉÌÅÔ, ÍÏÇ ÏÙÔÁÔØÓÑ × ÌÏÂ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÁÒÏÌØ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÎ ÍÏÇ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÌÏ×ÁÒÉ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ ÁÒÏÌÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ×ÁÓ ÍÏÖÅÔ ÎÁÊÔÉ × Internet. ëÏÎÅÞÎÏ, ÁÒÏÌØ ÎÅ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ÕÄÁÓÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÄÏÂÒÁÔØ. îÏ ÜÔÏ ÓÌÁÂÏÅ ÕÔÅÛÅÎÉÅ. ëÁËÏÊ ÖÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎ ×ÙÈÏÄ ÄÌÑ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ, ÖÅÌÁÀÝÉÈ ÎÁÄÅÖÎÏ ÚÁÝÉÔÉÔØ Ó×ÏÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÒÉ ÅÅ ÅÒÅÄÁÞÅ Ï ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÁÎÁÌÁÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÅÔÅÊ? ïÔ×ÅÔ ÚÄÅÓØ ÏÄÉÎ | ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÎÁÄÅÖÎÙÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ. úÄÅÓØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÌÏÖÅÎÏ Ä×Á ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÄÈÏÄÁ Ï ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ: { ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÅÒÅÄ ÅÒÅÄÁÞÅÊ ÅÅ Ï ÓÅÔÉ; { ÒÏÚÒÁÞÎÏÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÁËÅÔÏ× ÓÅÔÅ×ÏÇÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÂÍÅÎÁ. ðÅÒ×ÙÊ ÏÄÈÏÄ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÅÎ × ÇÌÏÂÁÌØÎÙÈ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅÔÑÈ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Internet. óÕÔØ ÅÇÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ, ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÍÅÎÑ×ÛÉÓØ ËÌÀÞÁÍÉ, ÛÉÆÒÕÀÔ Ó×ÏÉ ÄÁÎÎÙÅ, Á ÏÔÏÍ ÅÒÅÄÁÀÔ ÉÈ Ï ËÁÎÁÌÁÍ ÓÅÔÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ ÓÒÅÄÓÔ×ÁÍÉ ÆÁÊÌÏ×ÏÇÏ ÏÂÍÅÎÁ. ÷ÙÇÏÄÙ ÜÔÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÙ, ÏÎ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑÍ, ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÍ Ó ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ïó, ÂÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÚÁÔÒÁÔ ÏÂÍÅÎÉ×ÁÔØÓÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÄÁÎÎÙÍÉ. ÁË ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÉ ÒÏÇÒÁÍÍÙ Pretty Good Private (PGP), ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÏÊ æÉÌÉÏÍ úÉÍÍÅÒÍÁÎÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ 90-È ÇÏÄÏ× É ÛÉÒÏËÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÏÊ ×Ï ×ÓÅÍ ÍÉÒÅ. PGP ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÙÅ ËÌÀÞÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ, ÂÅÚÏÁÓÎÏ ÉÍÉ ÏÂÍÅÎÉ×ÁÔØÓÑ É ÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÄÁÎÎÙÅ. ÷ ÎÅÍ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÏÞÎÏÇÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ IDEA É ÓÈÅÍÁ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÌÀÞÅÊ RSA. åÓÌÉ ×Ù ÎÅ ÄÏ×ÅÒÑÅÔÅ PGP (É ÜÔÏ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÒÁ×ÉÌØÎÏ), ÔÏ ÍÏÖÅÔÅ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÔØ Ó×ÏÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ×ÚÑ× ÚÁ ÏÓÎÏ×Õ ÔÏÌØËÏ ÅÇÏ ÏÂÝÕÀ ÓÈÅÍÕ. äÌÑ ÒÁÂÏÔÙ × ì÷ó ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÅÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ×ÔÏÒÏÊ ÏÄÈÏÄ. ó×ÑÚÁÎÏ ÜÔÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ × ÌÏËÁÌØÎÙÈ ÓÅÔÑÈ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÙÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÊ ÏÂÍÅÎ, É ÏÜÔÏÍÕ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÕÄÏÂÎÙÍ É ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÍÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ. ðÒÏÚÒÁÞÎÏÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÁËÅÔÏ× ÓÅÔÅ×ÏÇÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÂÍÅÎÁ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÚÁÝÉÔÕ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÁÎÎÙÈ ÆÁÊÌÏ× ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ, ÎÏ É ÓÌÕÖÅÂÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÏÊ Ï ËÁÎÁÌÁÍ ì÷ó, Ï ÞÅÍ

162

çÌÁ×Á 6

ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ É ÎÅ ÏÄÏÚÒÅ×ÁÔØ. îÁÒÉÍÅÒ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÕÔ ÛÉÆÒÏ×ÁÔØÓÑ ÄÁÎÎÙÅ Ï ÁÒÏÌÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ, ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÎÁ ÓÅÒ×ÅÒ ÄÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ, ÄÁÎÎÙÅ Ï ÚÁÒÏÓÁÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑ ÎÁ ÄÏÓÔÕ Ë ÒÅÓÕÒÓÁÍ ÓÉÓÔÅÍÙ, Á ÔÁËÖÅ ÄÁÎÎÙÅ, ÏÓÙÌÁÅÍÙÅ ÎÁ ÅÞÁÔØ. ïÄÎÁËÏ, ÄÁÎÎÙÊ ÏÄÈÏÄ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÅÅ ÄÌÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ. âÏÌØÛÅ ÔÏÇÏ, × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÓÒÅÄÉ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÙÎËÅ ÓÅÔÅ×ÙÈ ïó ÎÅÔ ÎÉ ÏÄÎÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÙ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÌÁ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑÍ ÔÁËÕÀ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ. óËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÄÏÓÔÕÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÒÏÚÒÁÞÎÏÇÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÁËÅÔÏ× | ÄÅÌÏ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÂÕÄÕÝÅÇÏ. ÷ ÇÌÏÂÁÌØÎÙÈ ÓÅÔÑÈ ÄÅÌÁ Ó ÜÔÉÍ ÏÂÓÔÏÑÔ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÌÕÞÛÅ. õÖÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÁ×ÎÏ ÏÌÕÞÉÌÉ ÛÉÒÏËÏÅ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÅ ÒÏÄÕËÔÙ, ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÑÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÏÚÒÁÞÎÏÇÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÁÎÎÙÈ, ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÙÈ Ï ÓÅÔÉ. îÁÒÉÍÅÒ, Nets ape Navigator, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÊ 75% ÒÙÎËÁ ÒÏÇÒÁÍÍ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÈ ÄÌÑ ÒÁÂÏÔÙ Ó World Wide Web (WWW) ÓÅÔÉ Internet É ÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÞÅÒÅÚ Internet ÒÁÓÞÅÔÏ× Ï ËÒÅÄÉÔÎÙÍ ËÁÒÔÏÞËÁÍ, ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ ÏÄÓÉÓÔÅÍÕ. Nets ape ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÍÉÌÌÉÏÎÙ ÌÀÄÅÊ Ï ×ÓÅÍÕ ÍÉÒÕ, ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, × ÜÔÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÂÙÌÉ ÎÁÊÄÅÎÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÄÙÒÙ. òÁÎÎÉÅ ×ÅÒÓÉÉ Nets ape ÓÏÄÅÒÖÁÌÉ ÉÚßÑÎÙ × Ä×ÕÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÏÄÓÉÓÔÅÍÙ [5℄: { ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ × ÓÁÍÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ; { ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ËÌÀÞÅÊ. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚßÑÎ ÓÏÓÔÏÑÌ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÁÎÎÙÈ ÓÅÔÅ×ÏÇÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÂÍÅÎÁ × ÒÏÇÒÁÍÍÅ Nets ape × ×ÁÒÉÁÎÔÅ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÍ ÄÌÑ ÜËÓÏÒÔÁ ÉÚ óûá (Á ÉÍÅÎÎÏ ÉÍ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï É ÏÌØÚÕÅÔÓÑ), ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÇÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ RC4 [6℄ Ó ËÌÀÞÏÍ 40 ÂÉÔ ! ÷ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÔÅÈÎÉËÉ ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ ËÌÀÞ ÔÁËÏÊ ÄÌÉÎÙ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÏÓÔÙÍ ÅÒÅÂÏÒÏÍ × ÔÅÞÅÎÉÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÄÎÅÊ. ëÁËÏÅ-ÔÏ ×ÒÅÍÑ ÓÒÅÄÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÓÅÔÉ Internet ÄÁÖÅ ÒÁÚ×ÅÒÎÕÌÏÓØ ÎÅÞÔÏ ×ÒÏÄÅ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ | ËÔÏ ÂÙÓÔÒÅÅ ÓÍÏÖÅÔ ÎÁÊÔÉ ËÌÀÞ. ÷ ÉÀÌÅ 1994 ÇÏÄÁ ËÌÀÞ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÙÌ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎ ÚÁ 8 ÄÎÅÊ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÅÓÕÒÓÏ× 120 ÒÁÂÏÞÉÈ ÓÔÁÎ ÉÊ É Ä×ÕÈ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÓÕÅÒËÏÍØÀÔÅÒÏ×. ÷ Á×ÇÕÓÔÅ 1995 ÇÏÄÁ ÄÁÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÂÙÌÁ ÒÅÛÅÎÁ ÚÁ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÏËÏÌÏ 100 ËÏÍØÀÔÅÒÏ×. ÷ ÄÅËÁÂÒÅ 1995 ÇÏÄÁ ÏÄÉÎ ÓÕÅÒËÏÍØÀÔÅÒ ÏÄÏÂÒÁÌ ËÌÀÞ ÚÁ 7 ÄÎÅÊ. ÷ÔÏÒÁÑ ÄÙÒÁ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÚÁÝÉÔÙ ÂÙÌÁ ×ÙÑ×ÌÅÎÁ Õ ÒÏÇÒÁÍÍÙ Nets ape (×ÅÒÓÉÑ 1.2) Ä×ÕÍÑ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍÉ ëÁÌÉÆÏÒÎÉÊÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ × ÓÅÎÔÑÂÒÅ 1995 ÇÏÄÁ. óÕÔØ ÅÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÂÙÌÉ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÓÌÁÂÏÓÔÉ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ËÌÀÞÅÊ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. ëÌÀÞ

ëÏÍØÀÔÅÒ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ

163

ÄÏÌÖÅÎ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ÷ Nets ape ÄÌÑ ÅÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÂÙÌ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÁ ÉÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ÏËÁÚÁÎÉÉ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÔÁÊÍÅÒÁ É ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÓÅÔÅ×ÙÈ ÁÄÒÅÓÏ×. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÁÎÁÌÉÚÁ ÉÍÉ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÄÂÏÒÁ ËÌÀÞÁ × ÔÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÇÏ ÏÄÎÏÊ ÍÉÎÕÔÙ, Á ÒÏÇÒÁÍÍÁ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÁÑ ÄÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ × Internet. 5. ÷ÍÅÓÔÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ ðÏÌÅÚÎÙÅ ÓÏ×ÅÔÙ

1. âÏÊÔÅÓØ ÄÁÎÁÊ Å×, ÄÁÒÙ ÒÉÎÏÓÑÝÉÈ. îÅ ×ÅÒØÔÅ ÔÏÍÕ, ËÔÏ ÚÁ×ÅÒÑÅÔ ×ÁÓ, ÞÔÏ ÏÎ ÓÏÓÏÂÅÎ ÎÁÄÅÖÎÏ ÚÁÝÉÔÉÔØ ×ÁÛÉ ÓÅËÒÅÔÙ. ïÎ ÌÉÂÏ ÂÅÚÎÁÄÅÖÎÙÊ ÇÌÕÅ , ÌÉÂÏ ×ÁÛ ËÏÎËÕÒÅÎÔ. óÅ ÉÁÌÉÓÔ × ÌÀÂÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÂÕÄÅÔ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÔØ ÓÏÍÎÅÎÉÑ × ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÏÊ ÉÍ ÚÁÝÉÔÙ É ÕÖ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÕËÁÖÅÔ ×ÁÍ ÅÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÌÁÂÏÓÔÉ. 2. îÅ ÂÕÄØÔÅ ÓÁÍÏÕ×ÅÒÅÎÎÙ É ÎÅ ÉÔÁÊÔÅ ÉÌÌÀÚÉÊ. îÅ ÒÁÓÓÞÉÔÙ×ÁÊÔÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÎÁ Ó×ÏÊ ÉÎÔÅÌÌÅËÔ É ÓÏÏÂÒÁÚÉÔÅÌØÎÏÓÔØ. óÏ ×ÒÅÍÅÎÅÍ ×ÁÓ ÏÓÅÎÉÔ, É ×ÁÛÅ ÏÓÔÒÏÕÍÉÅ ÏÄÓËÁÖÅÔ ×ÁÍ, × ÞÅÍ ÓÌÁÂÏÓÔÉ × ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÊ ×ÁÍÉ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ×ÅÌÏÓÉÅÄÁ. 3. ëÁË ÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÅ ÒÅËÌÁÍÙ. îÅ È×ÁÓÔÁÊÔÅÓØ Ó×ÏÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ É ×ÏÏÂÝÅ, ÓÔÁÒÁÊÔÅÓØ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÅ ÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÄÒÕÇÉÍ Ó×ÏÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ. óÌÅÄÕÊÔÅ ÁÆÏÒÉÚÍÕ äÏÎÁ èÕÁÎÁ: îÅ ÒÁÓÈ×ÁÌÉ×ÁÊÔÅ × ËÒÕÇÕ ÄÒÕÚÅÊ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ× Ó×ÏÅÊ ÓÕÒÕÇÉ. ïÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÚÁÈÏÞÅÔ × ÜÔÏÍ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. 4. îÅ ÕÏÄÏÂÌÑÊÔÅÓØ ÕÞÅÎÙÍ. äÁÖÅ ÅÓÌÉ ×ÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ×ÓËÒÙÔÉÑ ×ÁÛÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÚÁÝÉÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÁ, ÎÅ ÒÁÓÓÌÁÂÌÑÊÔÅÓØ. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÏÎÑÔØ, ÏÞÅÍÕ ÎÅ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÁÍÉ ÔÅÏÒÅÍÙ. 5. úÁÝÉÔÁ ÚÁÝÉÔÙ. óÏÚÄÁ× ÎÁÉÌÕÞÛÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÚÁÝÉÔÙ, ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÚÁÝÉÝÅÎÁ ÌÉ ÏÎÁ. ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÏÒÏÓ.

îÁÄÏ ÔÁË ÎÁÉÓÁÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÞÔÏÂÙ ÏÓÌÅ N ÎÅÕÄÁÞÎÙÈ ÏÙÔÏË ××ÏÄÁ ÁÒÏÌÑ ÎÁ ÄÏÓÔÕ Ë ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÄÉÓËÅÔÅ ËÌÀÞ Ó ÄÉÓËÅÔÙ ÓÔÉÒÁÌÓÑ. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ N ÓÌÉÛËÏÍ ×ÅÌÉËÏ, ÚÌÏÕÍÙÛÌÅÎÎÉË, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÓÕÍÅÅÔ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÁÒÏÌØ. á ÅÓÌÉ N ÓÌÉÛËÏÍ ÍÁÌÏ, ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÞÉÔØÓÑ ÔÁË, ÞÔÏ ×Ù ÓÁÍÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÉÓÏÒÔÉÔÅ Ó×ÏÀ ËÌÀÞÅ×ÕÀ ÄÉÓËÅÔÕ. ãÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ N × ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ 5 6 N 6 100. ðÁÒÏÌØ ÎÁ ÄÏÓÔÕ Ë ÄÉÓËÅÔÅ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÄÅÌÁÔØ ÏÞÅÎØ ÄÌÉÎÎÙÍ É ÓÌÏÖÎÙÍ. çÌÁ×ÎÏÅ, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÎÅÌØÚÑ ÂÙÌÏ ÕÇÁÄÁÔØ ÚÁ N ÏÙÔÏË.

164

çÌÁ×Á 6

ïÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ ×ÏÒÏÓ.

îÁÄÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ ÎÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ ×ÒÅÍÅÎÉ ÍÅÖÄÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÎÁÖÁÔÉÑÍÉ ËÌÁ×ÉÛ, Á ÓÕÍÍÕ n ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ×. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÎÏ×ÙÊ ÞÌÅÎ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅ ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÎÁÖÁÔÉÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÍ ËÌÁ×ÉÛÉ, Á ÒÉ ËÁÖÄÏÍ n-ÏÍ ÎÁÖÁÔÉÉ. þÉÓÌÏ n ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ × ÄÉÁÁÚÏÎÅ 5 6 n 6 10. åÓÌÉ n ÓÌÉÛËÏÍ ÍÁÌÏ, ÄÉÓËÒÅÔÎÏÓÔØ ÓÏÈÒÁÎÉÔÓÑ, Á ÅÓÌÉ ÓÌÉÛËÏÍ ×ÅÌÉËÏ | ËÌÀÞ ÂÕÄÅÔ ×ÙÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØÓÑ ÓÌÉÛËÏÍ ÍÅÄÌÅÎÎÏ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÏÂÅ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ É ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ Ë ÇÌÁ×Å 6

[1℄ ä. ëÎÕÔ. éÓËÕÓÓÔ×Ï ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ü÷í. . 2, í.: íÉÒ, 1977. [2℄ ÅÏÒÉÑ É ÒÁËÔÉËÁ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÊ ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔÉ. ðÏÄ ÒÅÄÁË ÉÅÊ ð. ä. úÅÇÖÄÙ. í.: éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï áÇÅÎÔÓÔ×Á ñÈÔÓÍÅÎ, 1996. 192 Ó. [3℄ ò. óÁÊËÁ. 56-ÒÁÚÒÑÄÎÙÊ ËÏÄ DES ÒÁÓËÏÌÏÔ ÎÁ ÅÒÓÏÎÁÌØÎÏÍ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. Computerworld òÏÓÓÉÑ, 29 ÉÀÌÑ 1997. [4℄ http://www.softseek. om/ Business_and_Produ tivity/Mi rosoft_Offi e/ Word_Add_Ons/Review_14603_index.html [5℄ http://oliver.efri.hr/~ rv/se urity/bugs/NT

[6℄ T. Ylonen, T. Kivinen, M. Saarinen. SSH Transport Layer Proto ol. Internet-Draft, November 1997. draft-ietf-se sh-transport-03.txt.

[7℄ Orman H., The Oakley Key Determination Proto ol. Version 1, TR9792. Department of Computer S ien e Te hni al Report, University of Arizona.

çÌÁ×Á 7 ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ

C 1991 Ç. éÎÓÔÉÔÕÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, Ó×ÑÚÉ É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ áËÁÄÅÍÉÉ æóâ òÏÓÓÉÊÓËÏÊ æÅÄÅÒÁ ÉÉ ÒÏ×ÏÄÉÔ ÅÖÅÇÏÄÎÙÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× Ç. íÏÓË×Ù É ðÏÄÍÏÓËÏ×ØÑ. çÏÄ ÏÔ ÇÏÄÁ ÒÁÓÔÅÔ ÏÕÌÑÒÎÏÓÔØ ÜÔÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ, Ï ÞÅÍ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÏ, ÞÔÏ × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÉÚ ÎÉÈ ÒÉÎÑÌÏ ÕÞÁÓÔÉÅ ÂÏÌÅÅ ÑÔÉÓÏÔ ÛËÏÌØÎÉËÏ× 9{11 ËÌÁÓÓÏ×. ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ×ÙÚÙ×ÁÀÔ ÉÎÔÅÒÅÓ Õ ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÎÅÏÂÙÞÎÏÓÔØÀ Ó×ÏÅÇÏ ÖÁÎÒÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÒÉÚÅÒÁÍ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÌØÇÏÔÙ ÒÉ ÏÓÔÕÌÅÎÉÉ × éÎÓÔÉÔÕÔ. ûËÏÌØÎÉËÉ ÞÁÓÔÏ ÓÒÁÛÉ×ÁÀÔ, Ó ËÁËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÏÊ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÉÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÕÓÅÛÎÏ ×ÙÓÔÕÉÔØ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÅ. îÉËÁËÉÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÎÉÊ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ | × ÜÔÏÍ ×Ù ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÏÚÎÁËÏÍÉ×ÛÉÓØ Ó ÚÁÄÁÞÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ × ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Å. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÏÔÒÉ ÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÅ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï Ó ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÅÊ ÏÌÅÚÎÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÞÉÓÔÏ ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÎÅÛÎÉÊ ×ÉÄ ÚÁÄÁÞ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÎÅÏÂÙÞÎÙÍ. íÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÛÅÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ | ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ. þÁÓÔØ ÚÁÄÁÞ ÉÍÅÅÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ ÏËÒÁÓËÕ, ÎÏ ÉÈ ÓÕÔØ | ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ. ïÔÄÅÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ | ÞÉÓÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ. ðÒÉ ÏÄ×ÅÄÅÎÉÉ ÉÔÏÇÏ× ËÁÖÄÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÍÙ ÚÎÁËÏÍÉÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× Ó ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÍÉ ËÎÉÇÁÍÉ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ËÏÔÏÒÙÈ × ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÎÏÇÏ. ïÄÎÁËÏ ÜÔÉ ËÎÉÇÉ ÌÉÂÏ ÓÌÉÛËÏÍ ÓÌÏÖÎÙ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÌÉÂÏ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÎÙ ÉÌÉ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÌÎÙ, ÌÉÂÏ ÍÁÌÏÄÏÓÔÕÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ Á×ÔÏÒÙ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Ù ÏÓÔÁ×ÉÌÉ ÅÒÅÄ ÓÏÂÏÊ Ä×Å ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÅÌÉ: ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÀ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÞÕÄÅÓÎÙÅ ÄÅÔÅËÔÉ×ÎÙÅ ÓÀÖÅÔÙ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ö. ÷ÅÒÎÁ, á. ëÏÎÁÎ äÏÊÌÁ, ü. ðÏ, ÷. ëÁ×ÅÒÉÎÁ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ; ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÒÉ×ÅÓÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ ×ÓÅÈ ÎÁÛÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ Ó ÏÔ×ÅÔÁÍÉ É ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ.

166

çÌÁ×Á 7

1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

åÓÌÉ ×Ù ÈÏÔÉÔÅ ÅÒÅÄÁÔØ Ó×ÏÅ ÔÅËÓÔÏ×ÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ) ÁÄÒÅÓÁÔÕ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎÏ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÔÁÊÎÙÍ ÄÌÑ ÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÌÉ , ÔÏ Õ ×ÁÓ ÅÓÔØ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, Ä×Å ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÓËÒÙÔØ ÓÁÍ ÆÁËÔ ÅÒÅÄÁÞÉ ÔÅËÓÔÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÒÉÂÅÇÎÕÔØ Ë ÍÅÔÏÄÁÍ ÓÔÅÇÁÎÏÇÒÁÆÉÉ, × ÁÒÓÅÎÁÌÅ ËÏÔÏÒÏÊ | ÓÉÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ (ÎÅ×ÉÄÉÍÙÅ) ÞÅÒÎÉÌÁ, ÍÉËÒÏÔÏÞËÉ É ÔÏÍÕ ÏÄÏÂÎÙÅ ÓÒÅÄÓÔ×Á. äÒÕÇÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÙÔËÅ ÓËÒÙÔØ ÓÍÙÓÌ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÔ ÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÌÉ , ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÉÌÉ ÎÁÍÅÒÅÎÎÏ ÏÚÎÁËÏÍÉ×ÛÉÈÓÑ Ó ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÙÍ ÔÅËÓÔÏÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×Ù ÍÏÖÅÔÅ ÒÉÂÅÇÎÕÔØ Ë ÍÅÔÏÄÁÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. ÅÒÍÉÎ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÏÔ Ä×ÕÈ ÇÒÅÞÅÓËÉÈ ÓÌÏ×: ËÒÉÔÏÓ | ÔÁÊÎÁ É ÇÒÁÆÅÊÎ | ÉÓÁÔØ, É ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÔÁÊÎÏÉÓØ. ÁÊÎÏÉÓØ ËÁË ÒÁÚ É ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ×Ù ÓËÒÙ×ÁÅÔÅ ÓÍÙÓÌ Ó×ÏÅÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. óÏÏÂÝÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ×Ù ÈÏÔÉÔÅ ÅÒÅÄÁÔØ ÁÄÒÅÓÁÔÕ, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÔËÒÙÔÙÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅÍ. îÁÒÉÍÅÒ, × ÚÁÄÁÞÅ 2.5 (ÒÁÚÄÅÌ õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ) ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÒÁÚÁ: ëïòáâìé ïèïäñ ÷åþåòïí

äÌÑ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ × ÔÁÊÎÅ ÏÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ É ÔÏÌØËÏ ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ ÁÄÒÅÓÁÔÕ. ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅÍ (ÉÌÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅÍ). äÒÕÇÏÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ | ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ (ÉÌÉ ÛÉÆÒÔÅËÓÔ). ÷ ÚÁÄÁÞÅ 2.5 ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÔÁË: àðñâîýíóäìöçðóçèóãã

úÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÂÕË×, ËÁË × ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÚÁÄÁÞÅ. þÁÓÔÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÏÂÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÆÒ ÉÌÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÚÎÁËÏ× (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÌÑÛÕÝÉÈ ÞÅÌÏ×ÅÞËÏ×). ðÒÏ ÅÓÓ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ × ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÉÌÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅÍ. áÄÒÅÓÁÔÕ ÚÁÒÁÎÅÅ ÓÏÏÂÝÁÅÔÓÑ, ËÁË ÉÚ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔËÒÙÔÏÅ. üÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÉÌÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅÍ. ðÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÒÁ×ÉÌÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÄÏ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏÂÙ ÏÓÔÏÒÏÎÎÉÅ ÌÉ Á, ÎÅ ÚÎÁÀÝÉÅ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÎÅ ÓÍÏÇÌÉ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×Ù ÓËÒÏÅÔÅ ÓÍÙÓÌ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ÏÂÅÓÅÞÉÔÅ ÔÁÊÎÏÉÓØ. äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÕË×ÏÊ A | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, B | ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, f | ÒÁ×ÉÌÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, g | ÒÁ×ÉÌÏ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ A × ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ B ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

167

f (A) = B . ïÂÒÁÔÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ (ÔÏ ÅÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ A ÕÔÅÍ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ B ) ÚÁÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ g(B ) = A. ðÒÁ×ÉÌÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ f ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ. ïÎÏ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÔÁËÉÍ, ÞÔÏÂÙ Ï ÛÉÆÒÔÅËÓÔÕ B Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ g ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ A. ïÄÎÏÔÉÎÙÅ ÒÁ×ÉÌÁ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÏÂßÅÄÉÎÉÔØ × ËÌÁÓÓÙ. ÷ÎÕÔÒÉ ËÌÁÓÓÁ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÁ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÞÉÓÌÏÍ, ÔÁÂÌÉ ÅÊ É Ô. Ä. ÷ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÌÀÞÏÍ. ðÏ ÓÕÔÉ ÄÅÌÁ, ËÌÀÞ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ËÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÄÁÎÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÒÁ×ÉÌ. úÁÞÅÍ ÏÎÁÄÏÂÉÌÏÓØ ××ÏÄÉÔØ ÏÎÑÔÉÅ ËÌÀÞÁ? åÓÔØ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, Ä×Á ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÏÎÑÔØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÏÂÙÞÎÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×. õ ×ÁÓ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÉÚÍÅÎÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á, ÞÔÏÂÙ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÎÅ ÓÍÏÇÌÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÄÁÖÅ ÌÉ Á, ÉÍÅÀÝÉÅ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÏÅ ÖÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï, ÎÏ ÎÅ ÚÎÁÀÝÉÅ ×ÙÂÒÁÎÎÏÇÏ ×ÁÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÒÁ×ÉÌÁ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ f ÄÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÔÅËÓÔÏ× ÓÏÚÄÁÅÔ ÒÅÄÏÓÙÌËÉ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ Ï ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÂÅÚ ÚÎÁÎÉÑ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ g. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ Ó×ÏÅ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÍÅÎÑÔØ ÒÁ×ÉÌÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. éÓÏÌØÚÕÑ ÏÎÑÔÉÅ ËÌÀÞÁ, ÒÏ ÅÓÓ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ f (á) = B; × ËÏÔÏÒÏÍ | ×ÙÂÒÁÎÎÙÊ ËÌÀÞ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌÀ É ÁÄÒÅÓÁÔÕ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÛÉÆÒÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ f ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ, ÔÏ ÅÓÔØ ÄÏÌÖÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ g , ËÏÔÏÒÏÅ ÒÉ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍ ËÌÀÞÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ A Ï ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ B : g (B ) = A: óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ f É ÎÁÂÏÒ ËÌÀÞÅÊ, ËÏÔÏÒÙÍ ÏÎÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÛÉÆÒÏÍ. óÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÛÉÆÒÏ× ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ Ä×Á ÂÏÌØÛÉÈ ËÌÁÓÓÁ: ÛÉÆÒÙ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ É ÛÉÆÒÙ ÚÁÍÅÎÙ. ûÉÆÒÁÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÛÉÆÒÙ, ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÉÚÍÅÎÅÎÉÀ ÔÏÌØËÏ ÏÒÑÄËÁ ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ðÒÉÍÅÒÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØÓÑ × ÛÉÆÒÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁ×ÉÌÏ. ëÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÓÔÏÑÝÁÑ × ÔÅËÓÔÅ ÎÁ ÏÚÉ ÉÉ Ó

168

çÌÁ×Á 7

ÞÅÔÎÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ, ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÍÅÓÔÁÍÉ Ó ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÅÊ ÂÕË×ÏÊ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ É ÉÓÈÏÄÎÏÅ, É ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ ÂÕË×. ûÉÆÒÁÍÉ ÚÁÍÅÎÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÛÉÆÒÙ, ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÚÁÍÅÎÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÉÍ×ÏÌÁ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁ ÄÒÕÇÉÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ | ÛÉÆÒÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÒÉÞÅÍ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÛÉÆÒÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÒÑÄËÏÍ ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØÓÑ × ÛÉÆÒÅ ÚÁÍÅÎÙ, ÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ. ëÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÅÅ ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÂÕË×ÅÎÎÙÊ ÔÅËÓÔ ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ × ÞÉÓÌÏ×ÏÊ. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, × ÚÁÄÁÞÁÈ ÏÌÉÍÉÁÄ ÛÉÆÒ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ, Á ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÙÊ ËÌÀÞ | ÎÅÔ. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ Ï ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÒÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ËÌÀÞÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙ Ä×Á ÏÄÈÏÄÁ: ÅÒ×ÙÊ | ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÌÀÞ É ÚÁÔÅÍ ÎÁÊÔÉ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅÍ; ×ÔÏÒÏÊ | ÎÁÊÔÉ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÂÅÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÌÀÞÁ. ðÏÌÕÞÅÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ Ï ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÂÅÚ ÚÁÒÁÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÓËÒÙÔÉÅÍ ÛÉÆÒÁ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ | ËÏÇÄÁ ËÌÀÞ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ×ÓËÒÙÔÉÅ ÛÉÆÒÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÞÔÏ É ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÀÔ ÏÂÅÄÉÔÅÌÉ ÎÁÛÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ. ðÏÄ ÓÔÏÊËÏÓÔØÀ ÛÉÆÒÁ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÒÏÔÉ×ÏÓÔÏÑÔØ ÏÙÔËÁÍ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÅÇÏ ×ÓËÒÙÔÉÅ. ðÒÉ ÁÎÁÌÉÚÅ ÛÉÆÒÁ ÏÂÙÞÎÏ ÉÓÈÏÄÑÔ ÉÚ ÒÉÎ ÉÁ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÏÌÌÁÎÄ ÅÍ ïÇÕÓÔÏÍ ëÅÒËÇÏÆÆÓÏÍ (1835{1903). óÏÇÌÁÓÎÏ ÜÔÏÍÕ ÒÉÎ ÉÕ ÒÉ ×ÓËÒÙÔÉÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÒÏÔÉ×ÎÉËÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ Ï ÛÉÆÒÅ ×ÓÅ, ËÒÏÍÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÏÇÏ ËÌÀÞÁ. ïÄÎÏÊ ÉÚ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉË ÛÉÆÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ. ÷ÅÄØ ×ÓËÒÙÔÉÅ ÛÉÆÒÁ ÍÏÖÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÔØ ÅÒÅÂÏÒÏÍ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÅÇÏ ËÌÀÞÅÊ. íÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ÞÔÏ × ÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÎÉÖÅ ÚÁÄÁÞÁÈ ÏÌÉÍÉÁÄ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÛÉÆÒ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÎÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ ×ÙÂÒÁÎÎÙÊ ËÌÀÞ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÉÎ ÉÕ ëÅÒËÇÏÆÆÓÁ. ÁË, × ÚÁÄÁÞÅ 4.4 ×ÓÅ ÄÅÌÏ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÅÒÅÂÏÒÕ 24 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÌÀÞÁ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÄÁÅÔ ÞÉÔÁÅÍÙÊ ÔÅËÓÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÎÏÇÉÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÓÍÏÇÌÉ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÎÁ ÌÁÔÉÎÓËÏÍ ÑÚÙËÅ, ÄÁÖÅ ÎÅ ÚÎÁÑ ÜÔÏÇÏ ÑÚÙËÁ. ðÏÄÞÁÓ ÓÍÅÛÉ×ÁÀÔ Ä×Á ÏÎÑÔÉÑ: ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ É ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ. íÙ ÕÖÅ ÄÏÇÏ×ÏÒÉÌÉÓØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÄÏ ÚÎÁÔØ ÛÉÆÒ É ÓÅËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ. ðÒÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÎÅÔ ÎÉÞÅÇÏ ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ, ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÚÁÍÅÎÁ ÂÕË× ÉÌÉ ÓÌÏ× ÎÁ ÚÁÒÁÎÅÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ. íÅÔÏÄÙ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ÎÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏÂÙ ÓËÒÙÔØ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, Á ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÅÇÏ × ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÍ ×ÉÄÅ ÄÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ Ï ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÍ ÓÒÅÄÓÔ×ÁÍ Ó×ÑÚÉ, ÄÌÑ ÕÍÅÎØÛÅÎÉÑ ÄÌÉÎÙ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É Ô. Ä. ÷ ÒÉÎ ÉÅ, ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ, ËÏÎÅÞÎÏ ÖÅ, ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÛÉÆÒ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

169

ÚÁÍÅÎÙ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÂÕË×Á Á × ÁÚÂÕËÅ íÏÒÚÅ ×ÓÅÇÄÁ ËÏÄÉÒÕÅÔÓÑ ÚÎÁËÁÍÉ • É ÜÔÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅËÒÅÔÏÍ). ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÄÌÑ ÚÁÝÉÔÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÎÙÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á. ÷ÁÖÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ÔÁËÉÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÏÇÏ ÛÉÆÒÁ, ÎÏ É ×ÙÓÏËÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ ÒÏ ÅÓÓÏ× ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. äÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ É ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÇÒÁÍÏÔÎÏÊ ÜËÓÌÕÁÔÁ ÉÉ ÔÁËÏÊ ÔÅÈÎÉËÉ ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, × ÏÓÎÏ×Å ËÏÔÏÒÏÊ ÌÅÖÁÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÁ, ÆÉÚÉËÁ, ÜÌÅËÔÒÏÎÉËÁ É ÄÒÕÇÉÅ ÎÁÕËÉ. óÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÂÕÒÎÏ ÒÁÚ×É×ÁÅÔÓÑ. ÷ ÎÅÊ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÏ×ÙÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ. ÁË, Ó 1976 ÇÏÄÁ ÒÁÚ×É×ÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÁÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ. åÅ ÏÔÌÉÞÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ËÌÀÞÅÊ ÄÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ËÌÀÞ ÄÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÅÌÁÔØ ÓÅËÒÅÔÎÙÍ, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÍ É ÓÏÄÅÒÖÁÔØÓÑ × ÔÅÌÅÆÏÎÎÏÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÆÁÍÉÌÉÅÊ É ÁÄÒÅÓÏÍ ÅÇÏ ×ÌÁÄÅÌØ Á. ðÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÂ ÜÔÏÍ É ÄÒÕÇÉÈ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ × ÇÌÁ×ÁÈ 1, 2, 3 ÜÔÏÊ ËÎÉÇÉ. îÁÒÑÄÕ Ó ÔÅÒÍÉÎÏÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÔÅÒÍÉÎ ËÒÉÔÏÌÏÇÉÑ, ÔÁËÖÅ ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÉÊ ÏÔ ÇÒÅÞÅÓËÉÈ ËÏÒÎÅÊ, ÏÚÎÁÞÁÀÝÉÈ ÔÁÊÎÙÊ É ÓÌÏ×Ï. üÔÏÔ ÔÅÒÍÉÎ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÓÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ Ó×ÑÚÉ. ëÒÉÔÏÌÏÇÉÀ ÄÅÌÑÔ ÎÁ Ä×Å ÞÁÓÔÉ: ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÀ É ËÒÉÔÏÁÎÁÌÉÚ. ëÒÉÔÏÇÒÁÆ ÙÔÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÍÅÔÏÄÙ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ËÒÉÔÏÁÎÁÌÉÔÉË ÙÔÁÅÔÓÑ ÒÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ËÌÀÞÅ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÞÁÓÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ËÒÉÔÏÁÎÁÌÉÔÉË ×ÓËÒÙÌ ÛÉÆÒ, ÈÏÔÑ ÞÁÝÅ ÏÎ ×ÓËÒÙ×ÁÅÔ ËÌÀÞ ÚÁÒÁÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. 2. ûÉÆÒÙ ÚÁÍÅÎÙ

îÁÉÂÏÌÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ É ÞÁÓÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÍÉ ÛÉÆÒÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÛÉÆÒÙ ÚÁÍÅÎÙ. ïÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÞÁÓÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (ÂÕË×Ù, ÓÌÏ×Á, : : : ) ÚÁÍÅÎÑÀÔÓÑ ÎÁ ËÁËÉÅ-ÌÉÂÏ ÄÒÕÇÉÅ ÂÕË×Ù, ÞÉÓÌÁ, ÓÉÍ×ÏÌÙ É Ô. Ä. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÚÁÍÅÎÁ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÔÏÍ Ï ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ É ÒÉ ÜÔÏÍ ÚÁÍÅÎÅ ÏÄÌÅÖÉÔ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. æÏÒÍÁÌØÎÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÛÉÆÒ ÚÁÍÅÎÙ ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÍ×ÏÌÏ× M ÔÁË, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M É M ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÒÉ 6= , ÔÏ ÅÓÔØ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ

170

çÌÁ×Á 7

ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. íÎÏÖÅÓÔ×Ï M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÛÉÆÒÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÌÑ ÂÕË×Ù . ÁÂÌÉ Á Á Â × ::: Ñ (1) íÁ íÂ í× : : : íÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÀÞÏÍ ÛÉÆÒÁ ÚÁÍÅÎÙ. úÎÁÑ ÅÅ, ÍÏÖÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ËÁË ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ, ÔÁË É ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ. ðÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÅÒ×ÏÊ, ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÌÀÂÙÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á í . åÓÌÉ × ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÂÕË× , ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÎÉÈ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÓÉÍ×ÏÌ ÉÚ í . úÁ ÓÞÅÔ ÜÔÏÇÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ (1) ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ËÌÀÞÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉ Á Á 21 40 10

Â 37 26 03

Ó 20 52 89

× 14 63 71

Ô 13 39 67

Ç 22 47 82

Õ 59 07 93

Ä 01 31 15

Æ 25 49 76

Å 24 83 70

È 75 33 18

Ö 62 88 11

43 85 51

Ú 73 30 55

Þ 19 58 87

É 46 02 90

Û 29 80 66

Ë 23 91 69

Ý 06 50 81

Ì 12 72 38

ß 65 34 92

Í 08 32 61

Ù 74 17 42

Î 27 77 54

Ø 48 56 79

Ï 53 68 09

Ü 36 78 86

35 60 84

À 28 64 05

Ò 04 44 45

Ñ 16 41 57

ÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ Ñ ÚÎÁËÏÍ Ó ÛÉÆÒÁÍÉ ÚÁÍÅÎÙ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÌÀÂÙÍ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÔÒÅÈ ÓÏÓÏÂÏ×: 16 55 54 10 69 09 61 89 29 90 49 44 10 08 02 73 21 32 83 54 74 41 55 77 10 23 68 08 20 66 90 76 44 21 61 90 55 21 61 83 54 42 57 30 27 10 91 68 32 20 80 02 49 45 40 32 46 55 40 08 83 27 42 ÁË ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á íÁ, íÂ , í× , : : : , íÑ ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ,

ÔÏ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÓÉÍ×ÏÌÕ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÁËÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÏÎ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÁËÕÀ ÂÕË×Õ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÎ ÚÁÍÅÎÑÅÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ É ÏÔËÒÙÔÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. þÁÓÔÏ í ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. îÁÒÉÍÅÒ, × ÒÏÍÁÎÅ ö. ÷ÅÒÎÁ ðÕÔÅÛÅÓÔ×ÉÅ Ë ÅÎÔÒÕ úÅÍÌÉ × ÒÕËÉ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ ìÉÄÅÎÂÒÏËÁ ÏÁÄÁÅÔ ÅÒÇÁÍÅÎÔ Ó ÒÕËÏÉÓØÀ ÉÚ ÚÎÁËÏ× ÒÕÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÓØÍÁ. ëÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï í ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. üÌÅÍÅÎÔ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ×ÉÄÁ (2) ÷ ÒÁÓÓËÁÚÅ á. ëÏÎÁÎ äÏÊÌÁ ðÌÑÛÕÝÉÅ ÞÅÌÏ×ÅÞËÉ ËÁÖÄÙÊ ÓÉÍ×ÏÌ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

171

ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔ ÌÑÛÕÝÅÇÏ ÞÅÌÏ×ÅÞËÁ × ÓÁÍÙÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÚÁÈ (3) îÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÞÅÍ ÈÉÔÒÅÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ, ÔÅÍ ÔÒÕÄÎÅÅ ×ÓËÒÙÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÎÅ ÉÍÅÑ ËÌÀÞÁ. üÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÔÁË. åÓÌÉ ËÁÖÄÏÍÕ ÓÉÍ×ÏÌÕ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÂÕË×Õ ÉÌÉ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÌÅÇËÏ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ ÉÚ ÂÕË× ÉÌÉ ÞÉÓÅÌ. ÷ ÒÏÍÁÎÅ ö. ÷ÅÒÎÁ ðÕÔÅÛÅÓÔ×ÉÅ Ë ÅÎÔÒÕ úÅÍÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÒÕÎÉÞÅÓËÉÊ ÚÎÁË ÂÙÌ ÚÁÍÅÎÅÎ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÂÕË×Õ ÎÅÍÅ ËÏÇÏ ÑÚÙËÁ, ÞÔÏ ÏÂÌÅÇÞÉÌÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÏ× ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÎÅ ÕÓÌÏÖÎÑÅÔ ÛÉÆÒÁ. ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÂÕË× ÉÌÉ ÉÆÒ, ÔÏ ×ÓËÒÙ×ÁÔØ ÔÁËÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÕÄÏÂÎÅÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ÛÉÆÒÏ× ÚÁÍÅÎÙ. ðÕÓÔØ ËÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï í ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù. îÁÒÉÍÅÒ, Á Â × Ç Ä Å Ö Ú É Ë Ì Í Î Ï Ò Ç Ì Ø Ä Ò Á Í × Ü ß È Ï Â Î Ó Ô Õ Æ È Þ Û Ý ß Ù Ø Ü À Ñ Ó Ö Ñ É À Ë Ý Æ Å Õ Ù Þ Û Ô Á

(4)

ÁËÏÊ ÛÉÆÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÛÉÆÒÏÍ ÒÏÓÔÏÊ ÏÄÎÏÂÕË×ÅÎÎÏÊ ÚÁÍÅÎÙ. ðÏ ËÌÀÞÕ (4) ÕÄÏÂÎÏ ÒÏ×ÏÄÉÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ É ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ: ÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÂÕË×Õ ÉÚ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ (Á ÎÁ Ç É Ô. Ä.) ðÒÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, Ç ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ Á É Ô. Ä. ðÒÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ É ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÎÁÄÏ ÏÍÎÉÔØ ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏÞËÕ × (4), ÔÏ ÅÓÔØ ËÌÀÞ. úÁÏÍÎÉÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÂÕË× ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÌÏÖÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅÇÄÁ ÙÔÁÌÉÓØ ÒÉÄÕÍÁÔØ ËÁËÏÅ-ÌÉÂÏ ÒÁ×ÉÌÏ, Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÏÓÔÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏÞËÕ × (4). ïÄÎÉÍ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÛÉÆÒÏ×, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÉÚ ÉÓÔÏÒÉÉ, ÂÙÌ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÛÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÔÏÒÁÑ ÓÔÒÏËÁ × (4) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ, ÚÁÉÓÁÎÎÏÊ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ, ÎÏ ÎÁÞÉÎÁÀÝÅÊÓÑ ÎÅ Ó ÂÕË×Ù Á: Á Â × ::: Ø Ü À Ñ (5) Ç Ä Å ::: Ñ Á Â × ÷ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÚÁÄÁÞ (ÚÁÄÁÞÁ 4.4) ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÛÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ. úÁÏÍÎÉÔØ ËÌÀÞ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÓÔÏ | ÎÁÄÏ ÚÎÁÔØ ÅÒ×ÕÀ ÂÕË×Õ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ (4) (ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ). ïÄÎÁËÏ ÔÁËÏÊ ÛÉÆÒ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÂÏÌØÛÉÍ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÏÍ. þÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ. ðÅÒÅÂÒÁ× ÜÔÉ ×ÁÒÉÁÎÔÙ, ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÔÁË ËÁË ÒÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÍ

172

çÌÁ×Á 7

×ÙÂÏÒÅ ËÌÀÞÁ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÙÊ ÔÅËÓÔ. ÷ ÄÒÕÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÂÙÞÎÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅÞÉÔÁÅÍÙÊ ÔÅËÓÔ. úÁÄÁÞÁ 4.4 ÉÍÅÎÎÏ ÎÁ ÜÔÏ É ÒÁÓÓÞÉÔÁÎÁ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÆÒÁÚÁ ÎÁ ÌÁÔÉÎÓËÏÍ ÑÚÙËÅ, ËÏÔÏÒÏÇÏ ÛËÏÌØÎÉËÉ ÎÅ ÚÎÁÀÔ, ÍÎÏÇÉÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÓÍÏÇÌÉ ÕËÁÚÁÔØ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. äÒÕÇÉÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÛÉÆÒÁ ÚÁÍÅÎÙ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÌÏÚÕÎÇÏ×ÙÊ ÛÉÆÒ. úÄÅÓØ ÚÁÏÍÉÎÁÎÉÅ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÌÏÚÕÎÇÅ | ÌÅÇËÏ ÚÁÏÍÉÎÁÅÍÏÍ ÓÌÏ×Å. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÂÅÒÅÍ ÓÌÏ×Ï-ÌÏÚÕÎÇ ÕÞÅÂÎÉË É ÚÁÏÌÎÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÔÁÂÌÉ Ù Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ: ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÙÉÓÙ×ÁÅÍ ÓÌÏ×Ï-ÌÏÚÕÎÇ, Á ÚÁÔÅÍ ×ÙÉÓÙ×ÁÅÍ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ ÂÕË×Ù ÁÌÆÁ×ÉÔÁ, ÎÅ ×ÏÛÅÄÛÉÅ × ÓÌÏ×Ï-ÌÏÚÕÎÇ. ÷ÔÏÒÁÑ ÓÔÒÏËÁ × (4) ÒÉÍÅÔ ×ÉÄ Õ Þ Å Â Î É Ë Á × Ç Ä Ö Ú Ì Í Ï Ò Ó Ô Æ È Û Ý ß Ù Ø Ü À Ñ

÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÞÉÓÌÏ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÌÀÞÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌØÛÅ ÞÉÓÌÁ ÂÕË× ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÅ ÛÉÆÒÙ ÉÍÅÀÔ ÏÄÎÕ ÓÌÁÂÏÓÔØ. åÓÌÉ × ÏÔËÒÙÔÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ËÁËÁÑ-ÌÉÂÏ ÂÕË×Á, ÔÏ × ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ ÞÁÓÔÏ ÂÕÄÅÔ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÅÊ ÓÉÍ×ÏÌ ÉÌÉ ÂÕË×Á. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ×ÓËÒÙÔÉÉ ÛÉÆÒÁ ÚÁÍÅÎÙ ÏÂÙÞÎÏ ÓÔÁÒÁÀÔÓÑ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÍÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÁÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÓÔÁ×ÉÔØ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÂÕË×Ù ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍÏÊ ÞÁÓÔÏÔÏÊ ÏÑ×ÌÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ, ÔÏ ÜÔÏÔ ÕÔØ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÕÓÅÈÕ, ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ×Ù ÎÅ ÚÎÁÅÔÅ ËÌÀÞÁ. ëÒÏÍÅ ÞÁÓÔÏÔÙ ÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÂÕË×, ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ ÄÒÕÇÉÅ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Á, ÏÍÏÇÁÀÝÉÅ ÒÁÓËÒÙÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÒÁÚÂÉ×ËÁ ÎÁ ÓÌÏ×Á, ËÁË × ÚÁÄÁÞÅ 4.2, É ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÚÎÁËÉ ÒÅÉÎÁÎÉÑ. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÎÅÂÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÚÁÍÅÎÙ ÄÌÑ ÒÅÄÌÏÇÏ× É ÓÏÀÚÏ×, ÍÏÖÎÏ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÞÁÓÔØ ËÌÀÞÁ. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ, ËÁËÉÅ ÇÌÁÓÎÙÅ ÉÌÉ ÓÏÇÌÁÓÎÙÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÕÄ×ÏÅÎÎÙÍÉ: ÎÎ, ÅÅ, ÉÉ É ÄÒ. ðÒÉ ÁÎÁÌÉÚÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÓÈÏÄÉÔØ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÄÌÑ ÞÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÎÅ ÔÁËÏÅ ÕÖ ÂÏÌØÛÏÅ, ÅÓÌÉ ×Ù ÎÁÈÏÄÉÔÅÓØ ÎÁ ÒÁ×ÉÌØÎÏÍ ÕÔÉ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÉÂÏ ×Ù ÏÌÕÞÉÔÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ, ÌÉÂÏ ÞÉÓÌÏ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÌÀÞÁ ÂÕÄÅÔ ÓÉÌØÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÔØ. ïÂÙÞÎÏ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÄÅÌÏÍ ÔÅÈÎÉËÉ. ÁË, × ÚÁÄÁÞÅ 4.2, ÅÓÌÉ ×Ù ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÄÅÎÎÏ É ÎÏÝÎÏ, ÔÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÒÕÄÁ. ÷ÏÏÂÝÅ-ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓËÒÙÔÉÅ ÛÉÆÒÏ× ÚÁÍÅÎÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓËÕÓÓÔ×ÏÍ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÒÕÄÎÏ ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ. ðÏÕÌÑÒÎÙÅ Õ ÛËÏÌØÎÉËÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ (ÔÉÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÊ ×

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

173

ÚÁÄÁÞÅ 1.5) Ï ÓÕÔÉ ÄÅÌÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÛÉÆÒÏÍ ÚÁÍÅÎÙ Ó ËÌÀÞÏÍ 0 Û

1 É

2 Æ

3 Ò

4 Ú

5 Á

6 Í

7 Å

8 Î

9 Ù

× ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÏÊ ÉÆÒÅ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÂÕË×Á. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÂÌÀÄÁÔØÓÑ ÒÁ×ÉÌÁ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ. üÔÉ ÒÁ×ÉÌÁ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÌÅÇÞÁÀÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ, ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÁ ÓÉÎÔÁËÓÉÓÁ É ÏÒÆÏÇÒÁÆÉÉ × ÚÁÄÁÞÅ 4.2 ÏÂÌÅÇÞÁÀÔ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÞÅÔ×ÅÒÏÓÔÉÛÉÑ ÷. ÷ÙÓÏ ËÏÇÏ. ìÀÂÙÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÔÅËÓÔÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, | ×ÁÛÉ ÏÍÏÝÎÉËÉ. îÁÒÉÍÅÒ, × ÚÁÄÁÞÅ 5.2 ÒÑÍÏ ÓËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ × ÔÅËÓÔÅ ÅÓÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÚÔ, ÔÞË, ËÁË ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ × ÒÅÁÌØÎÙÈ ÔÅÌÅÇÒÁÍÍÁÈ. é ÜÔÁ ÏÄÓËÁÚËÁ | ÕÔØ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ. ûÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÄÁÖÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ÔÅËÓÔÏ× ÎÁ ÏÄÎÏÍ ËÌÀÞÅ ÄÌÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÛÉÆÒÏ× ÚÁÍÅÎÙ ÓÏÚÄÁÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÄÌÑ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÔÁËÉÅ ÛÉÆÒÙ ÙÔÁÌÉÓØ ÕÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÔØ. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ | ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÛÉÆÒÏ× ÒÁÚÎÏÚÎÁÞÎÏÊ ÚÁÍÅÎÙ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Å ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÏÄÉÎ ÉÌÉ Ä×Á ÓÉÍ×ÏÌÁ. (ðÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÒÉÍÅÒÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÛÉÆÒ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ × ÚÁÄÁÞÅ 4.2.) îÁÒÉÍÅÒ, Á Â × Ç Ä Å Ö Ú É Ë Ì Í Î Ï Ò 73 74 51 65 2 68 59 1 60 52 75 61 8 66 58 3 Ó Ô Õ Æ È Þ Û Ý ß Ù Ø Ü À Ñ 69 64 53 54 9 62 71 4 67 56 72 63 55 70 57

åÓÌÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÎÁÉÓÁÎÏ ÂÅÚ ÒÏÂÅÌÏ× ÍÅÖÄÕ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ, ÔÏ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÔÒÕÄÎÏÓÔØ ÒÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ É ÓÌÏ×Á. äÒÕÇÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÛÉÆÒÏ× ÚÁÍÅÎÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÛÉÆÒÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ í ÓÏÄÅÒÖÁÌÉ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. ÁËÉÅ ÛÉÆÒÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÛÉÆÒÏ× ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÏÊ ÚÁÍÅÎÙ. ïÎÉ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÓËÒÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÕÀ ÞÁÓÔÏÔÕ ÂÕË× ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁÔÒÕÄÎÑÅÔ ×ÓËÒÙÔÉÅ ÜÔÉÈ ÛÉÆÒÏ×. çÌÁ×ÎÁÑ ÔÒÕÄÎÏÓÔØ, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÔÁËÉÈ ÛÉÆÒÏ×, ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÚÁÏÍÉÎÁÎÉÉ ËÌÀÞÁ. îÁÄÏ ÚÁÏÍÎÉÔØ ÎÅ ÏÄÎÕ ÓÔÒÏÞËÕ, Á ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÁÌÆÁ×ÉÔÁ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ ÛÉÆÒÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ í . ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× í Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁ. éÚ ÈÕÄÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ É ËÉÎÏÆÉÌØÍÏ× ÒÏ ÒÁÚ×ÅÄÞÉËÏ× ×ÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ×Ï ×ÒÅÍÑ ×ÔÏÒÏÊ ÍÉÒÏ×ÏÊ ×ÏÊÎÙ ÞÁÓÔÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ËÎÉÖÎÙÅ ÛÉÆÒÙ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÛÉÆÒÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÓÅÍÉ ÑÔÉÚÎÁÞÎÙÍÉ ÎÁÂÏÒÁÍÉ ÉÆÒ, × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÒ×ÙÅ Ä×Å ÉÆÒÙ ÕËÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÏÍÅÒ ÓÔÒÁÎÉ Ù, ÔÒÅÔØÑ ÉÆÒÁ | ÎÏÍÅÒ ÓÔÒÏËÉ, ÞÅÔ×ÅÒÔÁÑ É ÑÔÁÑ ÉÆÒÙ | ÎÏÍÅÒ ÍÅÓÔÁ ÄÁÎÎÏÊ ÂÕË×Ù × ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÓÔÒÏËÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ÏÉÍËÅ ÒÁÚ×ÅÄÞÉËÁ ×ÓÅÇÄÁ ÙÔÁÌÉÓØ ÎÁÊÔÉ ËÎÉÇÕ,

174

çÌÁ×Á 7

ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÇÌÁ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÁ ÉÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ. íÙ ÎÅ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÍÓÑ ÚÄÅÓØ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ ÍÅÔÏÄÁÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÛÉÆÒÏ× ÚÁÍÅÎÙ. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÏ× ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ Ï ÅÎÉÔØ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ÔÁËÉÈ ÛÉÆÒÏ×. îÏ ×ÓÅ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ ÓÅÒØÅÚÎÙÊ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏË | ÎÁ ÏÄÎÏÍ ËÌÀÞÅ ÎÅÌØÚÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÉÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÛÉÆÒÙ ÚÁÍÅÎÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ × ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÛÉÆÒÁÍÉ. þÁÝÅ ×ÓÅÇÏ | Ó ÛÉÆÒÁÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ×Ù ÒÏÞÉÔÁÅÔÅ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ, ÓÌÅÄÕÑ ÇÅÒÏÑÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ, ×ÓËÒÏÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÛÉÆÒÙ ÚÁÍÅÎÙ. ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ËÁËÉÅ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÅ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Á ÒÉ ÜÔÏÍ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ×ÓËÒÙÔÉÅ ÛÉÆÒÏ× | ÉÓËÕÓÓÔ×Ï. á. ëÏÎÁÎ äÏÊÌ, ðÌÑÛÕÝÉÅ ÞÅÌÏ×ÅÞËÉ

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÓÓËÁÚÅ èÏÌÍÓÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÂÙÌÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÔÅËÓÔÙ ÑÔÉ ÚÁÉÓÏË: I. II. III. IV. V. ðÅÒ×ÁÑ ÚÁÉÓËÁ ÂÙÌÁ ÔÁË ËÏÒÏÔËÁ, ÞÔÏ ÄÁÌÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ èÏÌÍÓÕ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ÏÄÎÏ ÒÁ×ÄÏÏÄÏÂÎÏÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ, ÏËÁÚÁ×ÛÅÅÓÑ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ. ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÆÌÁÇÉ ÕÏÔÒÅÂÌÑÀÔÓÑ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÔÍÅÞÁÔØ ËÏÎ Ù ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÓÌÏ×. âÏÌØÛÅ ÎÉÞÅÇÏ Ï ÅÒ×ÏÊ ÚÁÉÓËÅ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÂÙÌÏ ÎÅÌØÚÑ. þÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÚÁÉÓËÁ, Ï ×ÓÅÊ ×ÉÄÉÍÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÌÁ ×ÓÅÇÏ ÏÄÎÏ ÓÌÏ×Ï, ÔÁË ËÁË × ÎÅÊ ÎÅ ÂÙÌÏ ÆÌÁÇÏ×. ÷ÔÏÒÁÑ É ÔÒÅÔØÑ ÚÁÉÓËÉ ÎÁÞÉÎÁÌÉÓØ, ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, Ó ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÓÌÏ×Á ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÂÕË×. ÷ÏÔ ÜÔÏ ÓÌÏ×Ï:

ïÎÏ ËÏÎÞÁÅÔÓÑ ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×ÏÊ, ËÁËÏÊ É ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ. óÞÁÓÔÌÉ×ÁÑ ÍÙÓÌØ: ÉÓØÍÁ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÉÍÅÎÉ ÔÏÇÏ, ËÏÍÕ ÉÓØÍÏ ÁÄÒÅÓÏ×ÁÎÏ. þÅÌÏ×ÅË, ÉÓÁ×ÛÉÊ ÍÉÓÓÉÓ ëØÀÂÉÔ ÜÔÉ ÏÓÌÁÎÉÑ, ÂÙÌ, ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, ÂÌÉÚËÏ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

175

Ó ÎÅÊ ÚÎÁËÏÍ. ÷ÏÌÎÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔ ÅÅ ÒÏÓÔÏ Ï ÉÍÅÎÉ. á ÚÏ×ÕÔ ÅÅ éÌÓÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, èÏÌÍÓÕ ÓÔÁÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÔÒÉ ÂÕË×Ù: é, ì É ó. ÷ Ä×ÕÈ ÚÁÉÓËÁÈ ÉÈ Á×ÔÏÒ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ Ë ÍÉÓÓÉÓ ëØÀÂÉÔ Ï ÉÍÅÎÉ É, ×ÉÄÉÍÏ, ÞÅÇÏ-ÔÏ ÔÒÅÂÕÅÔ ÏÔ ÎÅÅ. îÅ ÈÏÞÅÔ ÌÉ ÏÎ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÁ ÒÉÛÌÁ ËÕÄÁ-ÎÉÂÕÄØ, ÇÄÅ ÏÎ ÍÏÇ Ó ÎÅÊ ÏÇÏ×ÏÒÉÔØ? èÏÌÍÓ ÏÂÒÁÔÉÌÓÑ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÓÌÏ×Õ ÔÒÅÔØÅÊ ÚÁÉÓËÉ. ÷ ÎÅÍ 7 ÂÕË×, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÒÅÔØÑ É ÏÓÌÅÄÎÑÑ | é. èÏÌÍÓ ÒÅÄÏÌÏÖÉÌ, ÞÔÏ ÓÌÏ×Ï ÜÔÏ | ðòéèïäé, É ÓÒÁÚÕ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÏÂÌÁÄÁÔÅÌÅÍ ÅÝÅ 5 ÂÕË×: ð, ò, è, ï, ä. ÏÇÄÁ ÏÎ ÏÂÒÁÔÉÌÓÑ Ë ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÚÁÉÓÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÑ×ÉÌÁÓØ ÎÁ Ä×ÅÒÉ ÓÁÒÁÑ. èÏÌÍÓ ÒÅÄÏÌÏÖÉÌ, ÞÔÏ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔ×ÅÔÏÍ É ÞÔÏ ÎÁÉÓÁÌÁ ÅÅ ÍÉÓÓÉÓ ëØÀÂÉÔ. ðÏÄÓÔÁ×É× × ÔÅËÓÔ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÂÕË×Ù, ÏÎ ÏÌÕÞÉÌ: -é-ï-ä-. þÔÏ ÖÅ ÍÏÇÌÁ ÍÉÓÓÉÓ ëØÀÂÉÔ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ÒÏÓØÂÕ ÒÉÊÔÉ? ÷ÎÅÚÁÎÏ èÏÌÍÓ ÄÏÇÁÄÁÌÓÑ: îéëïçäá ÷ÏÚ×ÒÁÔÉ×ÛÉÓØ Ë ÅÒ×ÏÊ ÚÁÉÓËÅ, èÏÌÍÓ ÏÌÕÞÉÌ: - -ä-ó- á- óì-îé ïÎ ÒÅÄÏÌÏÖÉÌ, ÞÔÏ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÅ ÓÌÏ×Ï | óìåîé üÔÏ | ÆÁÍÉÌÉÑ, ÞÒÅÚ-

×ÙÞÁÊÎÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÁÑ × áÍÅÒÉËÅ. ëÏÒÏÔÅÎØËÏÅ ÓÌÏ×Ï ÉÚ Ä×ÕÈ ÂÕË×, ÓÔÏÑÝÅÅ ÅÒÅÄ ÆÁÍÉÌÉÅÊ, Ï ×ÓÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, ÉÍÑ. ëÁËÏÅ ÖÅ ÉÍÑ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ Ä×ÕÈ ÂÕË×? ÷ áÍÅÒÉËÅ ×ÅÓØÍÁ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÏ ÉÍÑ áÂ. ÅÅÒØ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÅÒ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï ÆÒÁÚÙ; ÏÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ×ÓÅÇÏ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù, É ÏÔÇÁÄÁÔØ ÅÇÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ: ÜÔÏ | ÍÅÓÔÏÉÍÅÎÉÅ ñ. äÁÌÅÅ èÏÌÍÓ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ×ÔÏÒÏÊ ÚÁÉÓËÉ: éìóé ñ

-é- ∗

◦

- -ìòéä-á ◦

∗

úÄÅÓØ ÕËÁÚÁÎÙ ÇÒÁÎÉ Ù ÓÌÏ×, Á ÓÎÉÚÕ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ ÏÔÍÅÞÅÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÂÕË×Ù. þÅÔ×ÅÒÔÏÅ ÓÌÏ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù (Ï×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÜÔÏ ÓÏÀÚ ÉÌÉ ÒÅÄÌÏÇ). âÕË×Ù ï É é ÕÖÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ, ó, á É ë | ÔÏÖÅ. ïÓÔÁÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ: ÜÔÏ | ÌÉÂÏ ÷, ÌÉÂÏ õ. ÷ÒÑÄ ÌÉ ÜÔÏ | ÷, ÔÁË ËÁË × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ ÂÙ ÎÅÞÉÔÁÅÍÏÅ ÔÒÅÔØÅ ÓÌÏ×Ï -é-÷. ðÏÜÔÏÍÕ, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ | ÜÔÏ ÒÅÄÌÏÇ õ. îÅÂÏÌØÛÏÊ ÅÒÅÂÏÒ ÎÅÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÎÙÈ ÂÕË× ÄÁÅÔ ÒÁ×ÄÏÏÄÏÂÎÕÀ ÇÉÏÔÅÚÕ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÓÌÏ×Á: öé÷õ. óËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÓÌÏ×Ï (-ìòéäöá) | ÍÕÖÓËÏÅ ÉÍÑ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÂÕË×Á | ü. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÔÏÒÁÑ ÚÁÉÓËÁ ÇÌÁÓÉÔ: éìóé ñ öé÷õ õ üìòéäöá èÏÌÍÓ ÏÓÌÁÌ ÔÅÌÅÇÒÁÍÍÕ × ÎØÀ-ÊÏÒËÓËÏÅ ÏÌÉ ÅÊÓËÏÅ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÅ Ó ÚÁÒÏÓÏÍ Ï ÔÏÍ, ËÔÏ ÔÁËÏÊ áÂ óÌÅÎÉ. ðÏÓÔÕÉÌ ÏÔ×ÅÔ: óÁÍÙÊ ÏÁÓÎÙÊ ÂÁÎÄÉÔ × þÉËÁÇÏ. óÒÁÚÕ ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÑ×ÉÌÁÓØ ÏÓÌÅÄÎÑÑ (5-Ñ) ÚÁÉÓËÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅ È×ÁÔÁÌÏ ÔÒÅÈ ÂÕË×: éìóé çï-ï÷øóñ ë ó-åò-é, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÒÁÚÕ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÂÕË×Ù í É : éìóé çïï÷øóñ ë óíåòé

176

çÌÁ×Á 7

ûÅÓÔÁÑ ÚÁÉÓËÁ ÂÙÌÁ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÁ èÏÌÍÓÏÍ ÒÅÓÔÕÎÉËÕ:

ü. ðÏ, úÏÌÏÔÏÊ ÖÕË

îÁÊÄÅÎ ÅÒÇÁÍÅÎÔ Ó ÔÅËÓÔÏÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ. äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÒÏÎÕÍÅÒÕÅÍ Ï ÏÒÑÄËÕ ×ÓÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ ÜÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

53##+305) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 # • ) 4 # ) ; 8 0 6 * ; 4 8 + 8 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 6 0 ) ) 8 5 ; ; ℄ 8 * ; : # * 8 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 + 8 3 ( 8 8 ) 5 * + ; 4 6 ( ; 8 8 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 * 9 6 * ? ; 8 ) * # ( ; 4 8 5 ) ; 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 5 * + 2 : * # ( ; 4 9 5 6 * 2 ( 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 5 * = 4 ) 8 8 * ; 4 0 6 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 9 2 8 5 ) ; ) 6 + 8 ) 4 # 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 # ; 1 ( # 9 ; 4 8 0 8 1 ; 8 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 : 8 # 1 ; 4 8 + 8 5 ; 4 ) 4 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 8 5 + 5 2 8 8 0 6 * 8 1 ( 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 # 9 ; 4 8 ; ( 8 8 ; 4 ( # 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 ? 3 4 ; 4 8 ) 4 # ; 1 6 1 196 197 198 199 200 201 202 203 204 ; : 1 8 8 ; # ? ; 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÎÁ ÅÒÇÁÍÅÎÔÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÞÅÒÅ É ËÏÚÌÅÎÏË. çÌÁ×ÎÙÊ ÇÅÒÏÊ ÒÁÓÓËÁÚÁ ÒÁÓÓÕÖÄÁÌ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÏ ÁÎÇÌÉÊÓËÉ ËÏÚÌÅÎÏË | kid; ÞÅÒÅ Ó×ÑÚÁÎ Ó ËÁÉÔÁÎÏÍ ëÉÄÄÏÍ, Ï ÁÎÇÌÉÊÓËÉ | kidd. ëÏÚÌÅÎÏË

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

177

ÂÙÌ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎ ÎÁ ÅÒÇÁÍÅÎÔÅ × ÔÏÍ ÍÅÓÔÅ, ÇÄÅ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ ÏÄÉÓØ. éÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÞÅÒÅÁ × ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÍ Ï ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÕÇÌÕ ÎÁ×ÏÄÉÌÏ ÎÁ ÍÙÓÌØ Ï ÅÞÁÔÉ ÉÌÉ ÇÅÒÂÅ. ëÁÉÔÁÎ ëÉÄÄ ×ÌÁÄÅÌ ÎÅÓÍÅÔÎÙÍ ÂÏÇÁÔÓÔ×ÏÍ. ëÉÄÄ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÕÄÉÔØ Ï ÎÅÍ, ÎÅ ÓÕÍÅÌ ÂÙ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏ ÓÌÏÖÎÕÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ. ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÜÔÏ ÂÙÌÁ ÒÏÓÔÁÑ ÚÁÍÅÎÁ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ×ÏÒÏÓ Ï ÑÚÙËÅ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÂÙÌ ÎÁÉÓÁÎ ÔÅËÓÔ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÅÊ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÑÚÙËÁ ÎÅ ÂÙÌÏ: ÏÄÉÓØ ÄÁ×ÁÌÁ ÒÁÚÇÁÄËÕ. éÇÒÁ ÓÌÏ× kid É kidd ×ÏÚÍÏÖÎÁ ÌÉÛØ × ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ. ÅËÓÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÉÄÅÔ × ÓÌÏÛÎÕÀ ÓÔÒÏËÕ. úÁÄÁÞÁ ÂÙÌÁ ÂÙ ÎÁÍÎÏÇÏ ÒÏÝÅ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÌÏ×Á ÂÙÌÉ ÏÔÄÅÌÅÎÙ ÒÏÂÅÌÁÍÉ. ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÎÁÞÁÔØ Ó ÁÎÁÌÉÚÁ É ÓÌÉÞÅÎÉÑ ÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÈ ÓÌÏ×, É ËÁË ÔÏÌØËÏ ÎÁÛÌÏÓØ ÂÙ ÓÌÏ×Ï ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÅÓÔÏÉÍÅÎÉÅ Ñ ÉÌÉ ÓÏÀÚ É | ÄÌÑ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ), ÎÁÞÁÌÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÌÏÖÅÎÏ. îÏ ÒÏÓ×ÅÔÏ× × ÓÔÒÏËÅ ÎÅ ÂÙÌÏ. ðÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÏÄÓÞÉÔÙ×ÁÔØ ÞÁÓÔÏÔÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ×, ÞÔÏÂÙ ÕÚÎÁÔØ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÎÉÈ ÞÁÝÅ, Á ËÁËÉÅ ÒÅÖÅ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ × ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÔÁÂÌÉ Á ÞÁÓÔÏÔ ×ÓÅÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ×:

8 ; 4 ) # * 5 6 (+1029:3?•℄=

34 27 19 16 15 14 12 11 9 8 7 6 5 5 4 4 3 2 1 1 1 ÷ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÊ ÉÓØÍÅÎÎÏÊ ÒÅÞÉ ÓÁÍÁÑ ÞÁÓÔÁÑ ÂÕË×Á | e. äÁÌÅÅ ÉÄÕÔ × ÎÉÓÈÏÄÑÝÅÍ ÏÒÑÄËÅ: a, o, i, d, h, n, r, s, t, u, y, , f, g, l, m, w, b, k, p, q, x, z. âÕË×Á e, ÏÄÎÁËÏ, ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÔÒÕÄÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÆÒÁÚÕ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎÁ ÎÅ ÚÁÎÉÍÁÌÁ ÂÙ ÇÏÓÏÄÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ. éÔÁË, ÕÖÅ ÓÒÁÚÕ Õ ÎÁÓ × ÒÕËÁÈ ÕÔÅ×ÏÄÎÁÑ ÎÉÔØ. óÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÔÁÂÌÉ Á, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÞÅÎØ ÏÌÅÚÎÁ, ÎÏ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÁ ÏÎÁÄÏÂÉÌÁÓØ ÌÉÛØ × ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÂÏÔÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÉÍ×ÏÌ 8 ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÞÁÝÅ ÄÒÕÇÉÈ, ÒÉÍÅÍ ÅÇÏ ÚÁ ÂÕË×Õ e ÁÎÇÌÉÊÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. äÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ ÜÔÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ ×ÚÇÌÑÎÅÍ, ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÌÉ ÜÔÏÔ ÓÉÍ×ÏÌ Ä×ÁÖÄÙ ÏÄÒÑÄ, ÔÁË ËÁË × ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÂÕË×Á e ÞÁÓÔÏ ÕÄ×ÁÉ×ÁÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÓÌÏ×ÁÈ meet, eet, speed, seen, seed, been, agree, É Ô. Ä. èÏÔÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÎÅ×ÅÌÉËÁ, ÁÒÁ 88 ÓÔÏÉÔ × ÎÅÍ ÑÔØ ÒÁÚ. óÁÍÏÅ ÞÁÓÔÏÅ ÓÌÏ×Ï × ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ | ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÁÒÔÉËÌØ the. ðÏÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÅ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ ÌÉ Õ ÎÁÓ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÉÚ ÔÒÅÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ×, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ × ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÏËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÈÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 8. åÓÌÉ ÔÁËÏÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ, ÔÏ ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ, Ï ×ÓÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, the. ðÒÉÇÌÑÄÅ×ÛÉÓØ, ÎÁÈÏÄÉÍ ÓÅÍØ ÒÁÚ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÉÚ ÔÒÅÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ;48. éÔÁË, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×Ï ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÓÉÍ×ÏÌ ; | ÜÔÏ ÂÕË×Á t, Á 4 | h; ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ ÏÄÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ 8 | ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ e. íÙ ÓÄÅÌÁÌÉ ×ÁÖÎÙÊ ÛÁÇ ×ÅÒÅÄ. Ï, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÌÉ ÅÌÏÅ ÓÌÏ×Ï, ÏÔÏÍÕ ÔÁË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÇÒÁÎÉ Ù ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÄÒÕÇÉÈ ÓÌÏ×. äÌÑ ÒÉÍÅÒÁ ×ÏÚØÍÅÍ

178

çÌÁ×Á 7

ÒÅÄÏÓÌÅÄÎÅÅ ÉÚ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÜÔÏÇÏ ÒÏÄÁ ;48 (ÏÚÉ ÉÉ 172{174). éÄÕÝÉÊ ÓÒÁÚÕ ÚÁ 8 ÓÉÍ×ÏÌ ; ÂÕÄÅÔ, ËÁË ×ÉÄÎÏ, ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÂÕË×ÏÊ ÎÏ×ÏÇÏ ÓÌÏ×Á. ÷ÙÉÛÅÍ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÎÅÇÏ, 6 ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÏÄÒÑÄ. ÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÍ ÎÅÚÎÁËÏÍ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ ÂÕË×ÁÍÉ É ÏÓÔÁ×ÉÍ Ó×ÏÂÏÄÎÏÅ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÓÉÍ×ÏÌÁ (ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÇÏ ÔÏÞËÏÊ) t.eeth, ÎÉ ÏÄÎÏ ÓÌÏ×Ï, ÎÁÞÉÎÁÀÝÅÅÓÑ Ó t É ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ 6 ÂÕË×, ÎÅ ÉÍÅÅÔ × ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ th. ÷ ÜÔÏÍ ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁ Ó×ÏÂÏÄÎÏÅ ÍÅÓÔÏ ×ÓÅ ÂÕË×Ù Ï ÏÞÅÒÅÄÉ. ðÏÒÏÂÕÅÍ ÏÔÂÒÏÓÉÔØ Ä×Å ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÂÕË×Ù É ÏÌÕÞÉÍ t.ee, ÄÌÑ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÅÓÔÁ ÍÏÖÎÏ ÓÎÏ×Á ×ÚÑÔØÓÑ ÚÁ ÁÌÆÁ×ÉÔ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÅÒÎÙÍ ÒÏÞÔÅÎÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÂÕÄÅÔ tree (ÄÅÒÅ×Ï). ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÕÚÎÁÅÍ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÂÕË×Õ | r, ÏÎÁ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ( É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏÞÉÔÁÔØ Ä×Á ÓÌÏ×Á ÏÄÒÑÄ the tree, × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÜÔÁ ÇÉÏÔÅÚÁ ÍÏÖÅÔ ÌÉÂÏ ÏÄÔ×ÅÒÄÉÔØÓÑ, ÌÉÂÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÎÅÞÉÔÁÅÍÏÍÕ ÆÒÁÇÍÅÎÔÕ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÙÔÁÔØÓÑ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÌÉÂÏ ÓÌÏ×Ï t.e, ÌÉÂÏ t.eet, ÌÉÂÏ ÓÌÏ×Ï, ÅÌÉËÏÍ ×ËÌÀÞÁÀÝÅÅ × ÓÅÂÑ t.eeth òÁÚ×É×ÁÅÍ ÕÓÅÈ. îÅÍÎÏÇÏ ÄÁÌÅÅ (186{188) ÎÁÈÏÄÉÍ ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÏÅ ÎÁÍ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ;48. ðÒÉÍÅÍ ÅÇÏ ÏÑÔØ ÚÁ ÇÒÁÎÉ Õ ÎÏ×ÏÇÏ ÓÌÏ×Á É ×ÙÉÛÅÍ ÅÌÙÊ ÏÔÒÙ×ÏË, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó Ä×ÕÈ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁÍÉ ÓÌÏ×. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÔÁËÕÀ ÚÁÉÓØ:

;4(#?34 the the tree thr#?3h the the tree

úÁÍÅÎÉÍ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ ÂÕË×ÁÍÉ: Á ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ | ÔÏÞËÁÍÉ:

the tree thr...h the

îÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÓÏÍÎÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÎÅÑÓÎÏÅ ÓÌÏ×Ï | through (ÞÅÒÅÚ). üÔÏ ÏÔËÒÙÔÉÅ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÅÝÅ ÔÒÉ ÂÕË×Ù | o, u É g, ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÎÙÅ × ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ # ? É 3. îÁÄÉÓÙ×ÁÑ ÎÁÄ ÕÖÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÎÁÈÏÄÉÍ ×ÂÌÉÚÉ ÏÔ ÅÅ ÎÁÞÁÌÁ (ÏÚÉ ÉÉ 54{58) ÇÒÕÕ ÓÉÍ×ÏÌÏ× 83(88, ËÏÔÏÒÁÑ ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÔÁË egree, ÜÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÓÌÏ×Ï degree (ÇÒÁÄÕÓ) ÂÅÚ ÅÒ×ÏÊ ÂÕË×Ù. ÅÅÒØ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÂÕË×Á d ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ +. ÷ÓÌÅÄ ÚÁ ÓÌÏ×ÏÍ degree ÞÅÒÅÚ 4 ÓÉÍ×ÏÌÁ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍ ÇÒÕÕ ;46(;88*. úÁÍÅÎÉÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ ÂÕË×ÁÍÉ, Á ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ | ÔÏÞËÁÍÉ th.rtee, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÅÒÅÄ ÎÁÍÉ ÓÌÏ×Ï thirteen (ÔÒÉÎÁÄ ÁÔØ). ë ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÎÁÍ ÂÕË×ÁÍ ÒÉÂÁ×ÉÌÉÓØ i É n, ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÎÙÅ × ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ 6 É *. ëÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÔÁË: 53##+. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù É ÔÏÞËÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ .good, ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÁÑ ÂÕË×Á, ËÏÎÅÞÎÏ, a, É, ÚÎÁÞÉÔ, Ä×Á ÅÒ×ÙÈ ÓÌÏ×Á ÂÕÄÕÔ ÞÉÔÁÔØÓÑ ÔÁË: a good (ÈÏÒÏÛÉÊ). ïÒÅÄÅÌÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ 11 ÓÉÍ×ÏÌÏ×:

5 + 8 3 4 6 * # ( ; ? a

d

e

g

h

i

n

o

r

t

u

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

179

îÁ ÜÔÏÍ ÁÎÁÌÉÚ ü. ðÏ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ. äÁÌØÎÅÊÛÕÀ ÒÁÂÏÔÕ ÒÏÄÅÌÁÅÍ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. þÅÔ×ÅÒÔÙÊ Ï ÞÁÓÔÏÔÅ (16 ×ÈÏÖÄÅÎÉÊ) ÓÉÍ×ÏÌ ) ÅÝÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎ. ÷ÏÚ×ÒÁÔÉÍÓÑ Ë ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍÏÓÔÉ ÂÕË× ÁÎÇÌÉÊÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ. óÒÅÄÉ ÅÒ×ÏÇÏ ÄÅÓÑÔËÁ ÂÕË× ÜÔÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ Õ ÎÁÓ ÎÅ ×ÓÔÒÅÔÉÌÁÓØ ÌÉÛØ ÂÕË×Á s. ïÎÁ | ÅÒ×ÙÊ ÒÅÔÅÎÄÅÎÔ ÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÉÍ×ÏÌÁ ). üÔÁ ÇÉÏÔÅÚÁ ÏÄÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ×ÒÑÄ ÌÉ ) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÇÌÁÓÎÕÀ ÂÕË×Õ, ÔÁË ËÁË × ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÂÙ ÎÅÞÉÔÁÅÍÙÅ ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ 6 g

7 .

8 a

ÉÌÉ 37 i

38 .

9

10

11 i

12 n

39

40

41 e

42 a

) )

) )

Ï, ÞÔÏ ÓÉÍ×ÏÌ ) | ÜÔÏ ÂÕË×Á s, ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÎÁ ÕÞÁÓÔËÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ Ó 60-Ê Ï 89-À ÏÚÉ ÉÉ .and thirteen .inutes north east and ðÏÜÔÏÍÕ ÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÓÉÍ×ÏÌ ) | ÜÔÏ s. ðÏÕÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÌÏÓØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÉÍ×ÏÌÁ 9, ÜÔÏ | m. ðÅÒÅÂÉÒÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÉÍ×ÏÌÁ 0, ÓÔÏÑÝÅÇÏ ÎÁ ÏÚÉ ÉÑÈ 7 É 28 ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÉÛØ ÂÕË×Á l (glass | ÓÔÅËÌÏ, hostel | ÏÂÝÅÖÉÔÉÅ, ÇÏÓÔÉÎÉ Á ÉÌÉ ÔÒÁËÔÉÒ). ïÒÅÄÅÌÑÅÍ, ÄÁÌÅÅ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÉÍ×ÏÌÁ ËÁË v Ï ÆÒÁÇÍÅÎÔÕ ÔÅËÓÔÁ × ÏÚÉ ÉÑÈ 107{113. ÅÅÒØ ÎÁ ÕÞÁÓÔËÅ ÔÅËÓÔÁ Ó 22-Ê Ï 70-À ÏÚÉ ÉÉ ÏÓÔÁÌÉÓØ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÌÉÛØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ℄ É :, ×ÓÔÒÅÔÉ×ÛÉÈÓÑ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÓÉÍ×ÏÌ ℄ | ÜÔÏ w, Á ÓÉÍ×ÏÌ : | ÜÔÏ y. ÅÅÒØ ÎÁ ÕÞÁÓÔËÅ ÔÅËÓÔÁ Ó 172-Ê Ï 204-À ÏÚÉ ÉÉ ÎÅ ×ÙÑ×ÌÅÎÏ ÌÉÛØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÉÍ×ÏÌÁ 1, ËÏÔÏÒÏÅ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÉÛØ ÂÕË×ÏÊ f. óÉÍ×ÏÌ 2, ÓÔÏÑÝÉÊ ÎÁ ÏÚÉ ÉÑÈ 117 É 90, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÚÁÍÅÎÑÅÔ ÂÕË×Õ b. ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÌÉÛØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÉÍ×ÏÌÏ× • É =. îÅÂÏÌØÛÏÊ ÅÒÅÂÏÒ ÅÝÅ ÎÅÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÙÈ ÂÕË× ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÉÍ×ÏÌ = | ÜÔÏ , Á ÓÉÍ×ÏÌ • ÍÏÖÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÏÄÎÕ ÉÚ ÂÕË× k, p, q, x ÉÌÉ z. ïÂÒÁÔÉ×ÛÉÓØ Ë ÓÌÏ×ÁÒÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÏËÏÎÞÁÎÉÅ p ÓÌÏ×Á bishop (ÅÉÓËÏ, ÓÌÏÎ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉÓØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ 21 ÓÉÍ×ÏÌÏ×, ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ × ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ. ðÏÌÕÞÉÌÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÅËÓÔ: A good glass in the bishop's hostel in the devil's seat twenty one degrees and thirteen minutes northeast and by north main bran h seventh limb east side shoot from the left eye of the death's head a bee line from the tree through the shot fty feet out.

180

çÌÁ×Á 7

÷ ÅÒÅ×ÏÄÅ ÎÁ ÒÕÓÓËÉÊ ÑÚÙË: èÏÒÏÛÅÅ ÓÔÅËÌÏ × ÔÒÁËÔÉÒÅ ÅÉÓËÏÁ ÎÁ ÞÅÒÔÏ×ÏÍ ÓÔÕÌÅ Ä×ÁÄ ÁÔØ ÏÄÉÎ ÇÒÁÄÕÓ É ÔÒÉÎÁÄ ÁÔØ ÍÉÎÕÔ ÓÅ×ÅÒÏ-ÓÅ×ÅÒÏ×ÏÓÔÏË ÇÌÁ×ÎÙÊ ÓÕË ÓÅÄØÍÁÑ ×ÅÔ×Ø ×ÏÓÔÏÞÎÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÓÔÒÅÌÑÊ ÉÚ ÌÅ×ÏÇÏ ÇÌÁÚÁ ÍÅÒÔ×ÏÊ ÇÏÌÏ×Ù ÒÑÍÁÑ ÏÔ ÄÅÒÅ×Á ÞÅÒÅÚ ×ÙÓÔÒÅÌ ÎÁ ÑÔØÄÅÓÑÔ ÆÕÔÏ×. ÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÁÑ ÒÏÓÔÁÑ ÚÁÍÅÎÁ:

A B C D E F G H I L M N O P R S T U V W Y

52=+8134609*#•();?℄ : ö. ÷ÅÒÎ, ðÕÔÅÛÅÓÔ×ÉÅ Ë ÅÎÔÒÕ úÅÍÌÉ

÷ ÒÕËÉ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ ìÉÄÅÎÂÒÏËÁ ÏÁÄÁÅÔ ÅÒÇÁÍÅÎÔ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÒÕËÏÉÓØÀ:

üÔÏ | ÒÕÎÉÞÅÓËÉÅ ÉÓØÍÅÎÁ; ÚÎÁËÉ ÜÔÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÈÏÖÉ ÎÁ ÚÎÁËÉ ÍÁÎÕÓËÒÉÔÁ óÎÏÒÒÅ. îÏ . . . ÞÔÏ ÖÅ ÏÎÉ ÏÚÎÁÞÁÀÔ? | ÓÒÁÛÉ×ÁÅÔ ÒÏÆÅÓÓÏÒ, | . . . ÷ÅÄØ ÜÔÏ ×ÓÅ ÖÅ ÄÒÅ×ÎÅÉÓÌÁÎÄÓËÉÊ ÑÚÙË, | ÂÏÒÍÏÔÁÌ ÏÎ ÓÅÂÅ ÏÄ ÎÏÓ. éÚÕÞÅÎÉÅ ÒÕËÏÉÓÉ ÒÉ×ÅÌÏ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ Ë ×Ù×ÏÄÕ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. äÌÑ ÅÇÏ ÒÏÞÔÅÎÉÑ ÒÏÆÅÓÓÏÒ ÒÅÛÉÌ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÂÕË×Ù ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÉÈ ÁÎÁÌÏÇÁÍÉ × ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍ ÎÅÍÅ ËÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ: á ÔÅÅÒØ Ñ ÂÕÄÕ ÄÉËÔÏ×ÁÔØ ÔÅÂÅ, | ÇÏ×ÏÒÉÔ ÏÎ Ó×ÏÅÍÕ ÏÍÏÝÎÉËÕ, | ÂÕË×Ù ÎÁÛÅÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÜÔÉÈ ÉÓÌÁÎÄÓËÉÈ ÚÎÁËÏ×. ïÎ ÎÁÚÙ×ÁÌ ÏÄÎÕ ÂÕË×Õ ÚÁ ÄÒÕÇÏÊ, É ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÌÁÓØ ÔÁÂÌÉ Á ÎÅÏÓÔÉÖÉÍÙÈ ÓÌÏ×: m.rnlls sgtssmf kt,samn emtnaeI Atvaar

drmi dt,ia

esreuel unteief atrateS nuae t .ns r eeutul oseibo

see Jde niedrke Saodrrn rrilSa ieaabs frantu KediiI

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

181

íÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÓÄÅÌÁÎÁ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÏÂÌÁÄÁÔÅÌÅÊ ËÎÉÇÉ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÈÏÄÉÌÓÑ ÅÒÇÁÍÅÎÔ. îÅ ÏÓÔÁ×ÉÌ ÌÉ ÏÎ Ó×ÏÅÇÏ ÉÍÅÎÉ ÎÁ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÓÔÒÁÎÉ Å? îÁ ÏÂÏÒÏÔÅ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÁÎÉ Ù ÒÏÆÅÓÓÏÒ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ ÞÔÏ-ÔÏ ×ÒÏÄÅ ÑÔÎÁ, ÏÈÏÖÅÇÏ ÎÁ ÞÅÒÎÉÌØÎÕÀ ËÌÑËÓÕ. ÷ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÌÕÏÊ, ÏÎ ÒÁÚÌÉÞÉÌ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÁÏÌÏ×ÉÎÕ ÓÔÅÒÔÙÈ ÚÎÁËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ. ðÏÌÕËÏÔÏÒÁÑ ÞÉÔÁÌÁÓØ ËÁË ÞÉÌÁÓØ ÚÁÉÓØ ÁÒÎÅ ÓÁËÎÕÓÓÅÍ | ÉÍÑ ÕÞÅÎÏÇÏ XVI ÓÔÏÌÅÔÉÑ, ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÇÏ ÁÌÈÉÍÉËÁ! äÁÌÅÅ ÒÏÆÅÓÓÏÒ ÒÁÓÓÕÖÄÁÌ ÔÁË: äÏËÕÍÅÎÔ ÓÏÄÅÒÖÉÔ 132 ÂÕË×Ù, 79 ÓÏÇÌÁÓÎÙÈ É 53 ÇÌÁÓÎÙÈ. ðÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ ÔÁËÏÅ ÖÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ × ÀÖÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÎÁÒÅÞÉÑ ÓÅ×ÅÒÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÇÁÞÅ ÓÏÇÌÁÓÎÙÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÀÖÎÙÈ ÑÚÙËÏ×. . . . óÁËÎÕÓÓÅÍ, | ÒÏÄÏÌÖÁÌ ÒÏÆÅÓÓÏÒ, | ÂÙÌ ÕÞÅÎÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË; ÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚ ÏÎ ÉÓÁÌ ÎÅ ÎÁ ÒÏÄÎÏÍ ÑÚÙËÅ, ÔÏ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÌ ÏÔÄÁ×ÁÔØ ÒÅÄÏÞÔÅÎÉÅ ÑÚÙËÕ, ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÏÍÕ ÓÒÅÄÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÕÍÏ× XVI ×ÅËÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ | ÌÁÔÉÎÓËÏÍÕ. åÓÌÉ Ñ ÏÛÉÂÁÀÓØ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÉÓÒÏÂÏ×ÁÔØ ÉÓÁÎÓËÉÊ, ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÊ, ÉÔÁÌØÑÎÓËÉÊ, ÇÒÅÞÅÓËÉÊ ÉÌÉ Å×ÒÅÊÓËÉÊ. îÏ ÕÞÅÎÙÅ XVI ÓÔÏÌÅÔÉÑ ÉÓÁÌÉ ÏÂÙÞÎÏ Ï-ÌÁÔÉÎÓËÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ñ ×ÒÁ×Å ÒÉÚÎÁÔØ ÎÅ ÏÄÌÅÖÁÝÉÍ ÓÏÍÎÅÎÉÀ, ÞÔÏ ÜÔÏ | ÌÁÔÙÎØ. ÷ÓÍÏÔÒÉÍÓÑ ÈÏÒÏÛÅÎØËÏ, | ÓËÁÚÁÌ ÏÎ, ÓÎÏ×Á ×ÚÑ× ÉÓÉÓÁÎÎÙÊ ÌÉÓÔÏË. | ÷ÏÔ ÒÑÄ ÉÚ 132 ÂÕË×, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ËÒÁÊÎÅ ÂÅÓÏÒÑÄÏÞÎÏ. ÷ÏÔ ÓÌÏ×Á, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÓÏÇÌÁÓÎÙÅ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÅÒ×ÏÅ m.rnlls; × ÄÒÕÇÉÈ, ÎÁÒÏÔÉ×, ÒÅÏÂÌÁÄÁÀÔ ÇÌÁÓÎÙÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÑÔÏÍ unteief, ÉÌÉ × ÒÅÄÏÓÌÅÄÎÅÍ | oseibo. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÇÒÕÉÒÏ×ËÁ ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÁ; ÏÎÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÁ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ, ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÎÁÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÒÅÄÅÌÉÌÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÜÔÉÈ ÂÕË×. ñ ÓÞÉÔÁÀ ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÙÍ, ÞÔÏ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÁÑ ÆÒÁÚÁ ÂÙÌÁ ÎÁÉÓÁÎÁ ÒÁ×ÉÌØÎÏ, ÎÏ ÚÁÔÅÍ Ï ËÁËÏÍÕ-ÔÏ ÒÉÎ ÉÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ, ÏÄ×ÅÒÇÌÁÓØ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ. ÏÔ, ËÔÏ ×ÌÁÄÅÌ ÂÙ ËÌÀÞÏÍ ÜÔÏÇÏ ÛÉÆÒÁ, Ó×ÏÂÏÄÎÏ ÒÏÞÅÌ ÂÙ ÅÅ. îÏ ÞÔÏ ÜÔÏ ÚÁ ËÌÀÞ? ðÒÉ ÖÅÌÁÎÉÉ ÚÁÔÅÍÎÉÔØ ÓÍÙÓÌ ÆÒÁÚÙ ÅÒ×ÏÅ, ÞÔÏ ÒÉÈÏÄÉÔ ÎÁ ÕÍ, ËÁË ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÜÔÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÓÌÏ×Á × ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ, Á ÎÅ × ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÍ. ðÒÏ×ÅÒÑÑ ÜÔÕ ÇÉÏÔÅÚÕ, ÏÎ ÎÁÞÁÌ ÄÉËÔÏ×ÁÔØ, ÎÁÚÙ×ÁÑ ÓÎÁÞÁÌÁ ÅÒ×ÙÅ ÂÕË×Ù ËÁÖÄÏÇÏ ÓÌÏ×Á, ÏÔÏÍ ×ÔÏÒÙÅ; ÏÎ ÄÉËÔÏ×ÁÌ ÂÕË×Ù × ÔÁËÏÍ ÏÒÑÄËÅ: messunkaSenrA.i efdoK.segnittamur tne e rtserrette,rotaivsadua,edne se dsadnelak artniiiluJsiratra Sarbmuta biledmekmeret ar silu oIsleffenSn I

ó ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ ÔÅËÓÔÏÍ Õ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ ÄÏÌÇÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ×ÙÈÏÄÉÌÏ. üÔÏ ÏÞÔÉ ÒÉ×ÅÌÏ ÅÇÏ × ÏÔÞÁÑÎÉÅ. ïÄÎÁËÏ : : : ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÍÁÛÉÎÁÌØÎÏ Ñ

182

çÌÁ×Á 7

ÓÔÁÌ ÏÂÍÁÈÉ×ÁÔØÓÑ ÜÔÉÍ ÌÉÓÔËÏÍ ÂÕÍÁÇÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÌÉ Å×ÁÑ É ÏÂÏÒÏÔÎÁÑ ÓÔÏÒÏÎÙ ÌÉÓÔËÁ ÏÅÒÅÍÅÎÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÁÌÉ ÅÒÅÄ ÍÏÉÍÉ ÇÌÁÚÁÍÉ. . . . ëÁËÏ×Ï ÖÅ ÂÙÌÏ ÍÏÅ ÉÚÕÍÌÅÎÉÅ, ËÏÇÄÁ ×ÄÒÕÇ ÍÎÅ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÅÒÅÄÏ ÍÎÏÊ ÒÏÍÅÌØËÎÕÌÉ ÚÎÁËÏÍÙÅ, ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÑÓÎÙÅ ÓÌÏ×Á, ÌÁÔÉÎÓËÉÅ ÓÌÏ×Á: raterem, terrestre! äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔØ ÜÔÏÔ ÔÅËÓÔ ÎÕÖÎÏ ÂÙÌÏ ÎÅ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ, Á ÎÁÏÂÏÒÏÔ! ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÌÕÞÁÊ ÏÍÏÇ ÒÏÆÅÓÓÏÒÕ ÎÁÊÔÉ ËÌÀÞ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ. äÏËÕÍÅÎÔ ÇÌÁÓÉÌ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: In Sneels Io ulis raterem kem delibat umbra S artaris Julii intra

alendas des ende, audas viator, et terrestre entrum attinges. Kod fe i. Arne Saknussem. ÷ ÅÒÅ×ÏÄÅ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÌÏ: óÕÓÔÉÓØ × ËÒÁÔÅÒ åËÕÌØ óÎÁÊÆÅÄÌØÓ, ËÏÔÏÒÙÊ ÔÅÎØ óËÁÒÔÁÒÉÓÁ ÌÁÓËÁÅÔ ÅÒÅÄ ÉÀÌØÓËÉÍÉ ËÁÌÅÎÄÁÍÉ, ÏÔ×ÁÖÎÙÊ ÓÔÒÁÎÎÉË, É ÔÙ ÄÏÓÔÉÇÎÅÛØ ÅÎÔÒÁ úÅÍÌÉ. üÔÏ Ñ ÓÏ×ÅÒÛÉÌ. áÒÎÅ óÁËÎÕÓÓÅÍ. 3. ûÉÆÒÙ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ

ûÉÆÒ, ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚÍÅÎÑÀÔ ÔÏÌØËÏ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ, ÎÏ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÀÔ ÉÈ ÓÁÍÉÈ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÛÉÆÒÏÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ (ûð). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÉÚ ûð, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÅ ÄÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÄÌÉÎÏÊ n ÓÉÍ×ÏÌÏ×. åÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉ Ù 1 2 ::: n ; (6) i1 i2 : : : in ÇÄÅ i1 | ÎÏÍÅÒ ÍÅÓÔÁ ÛÉÆÒÔÅËÓÔÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÅ ÏÁÄÁÅÔ ÅÒ×ÁÑ ÂÕË×Á ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÉ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ, i2 | ÎÏÍÅÒ ÍÅÓÔÁ ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÊ ÂÕË×Ù É Ô. Ä. ÷ ×ÅÒÈÎÅÊ ÓÔÒÏËÅ ÔÁÂÌÉ Ù ×ÙÉÓÁÎÙ Ï ÏÒÑÄËÕ ÞÉÓÌÁ ÏÔ 1 ÄÏ n, Á × ÎÉÖÎÅÊ | ÔÅ ÖÅ ÞÉÓÌÁ, ÎÏ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. ÁËÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÓÔÅÅÎÉ n. úÎÁÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ, ÚÁÄÁÀÝÕÀ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, ÍÏÖÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ËÁË ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ, ÔÁË É ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÔÅËÓÔÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ 1 2 3 4 5 6 5 2 3 1 4 6 É × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÅÊ ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÓÌÏ×Ï íïóë÷á, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ëïó÷íá. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ îþåéõë, ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ×ÙÉÓÁÔØ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÚÁÄÁÀÝÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÎÉÖÅ ÔÒÅÈ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

183

ÒÉÍÅÒÁÈ ÛÉÆÒÏ× ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. ïÔ×ÅÔÙ ÏÍÅÝÅÎÙ × ËÏÎ Å ÒÁÚÄÅÌÁ. þÉÔÁÔÅÌØ, ÚÎÁËÏÍÙÊ Ó ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÍÏÖÅÔ ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 1 · 2 · 3 · : : : · n (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ n!, ÞÉÔÁÅÔÓÑ n ÆÁËÔÏÒÉÁÌ) ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù (6). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÛÉÆÒÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÇÏ ÄÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÄÌÉÎÙ n, ÍÅÎØÛÅ ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÏ n! (ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÈÏÄÉÔ É ×ÁÒÉÁÎÔ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ×ÓÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ ÎÁ Ó×ÏÉÈ ÍÅÓÔÁÈ!). ó Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅÍ ÞÉÓÌÁ n ÚÎÁÞÅÎÉÅ n! ÒÁÓÔÅÔ ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÁÂÌÉ Õ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n! ÄÌÑ ÅÒ×ÙÈ 10 ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n! 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 ðÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ n ÄÌÑ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ n! ÍÏÖÎÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ óÔÉÒÌÉÎÇÁ n n √ ; n! ≈ 2n e ÇÄÅ Å = 2; 718281828 : : : . ðÒÉÍÅÒÏÍ ûð, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÇÏ ÄÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÄÌÉÎÙ n, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÛÉÆÒ, × ËÏÔÏÒÏÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ËÌÀÞÅÊ ×ÚÑÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÄÓÔÁÎÏ×ÏË ÓÔÅÅÎÉ n, Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÛÉÆÒÁ ÚÁÄÁÀÔÓÑ, ËÁË ÂÙÌÏ ÏÉÓÁÎÏ ×ÙÛÅ. þÉÓÌÏ ËÌÀÞÅÊ ÔÁËÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÒÁ×ÎÏ n!. äÌÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ÔÁËÏÊ ÛÉÆÒ ÎÅ ÕÄÏÂÅÎ, ÔÁË ËÁË ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÒÁÂÏÔÁÔØ Ó ÄÌÉÎÎÙÍÉ ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ. ûÉÒÏËÏÅ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÅ ÏÌÕÞÉÌÉ ÛÉÆÒÙ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÆÉÇÕÒÕ. ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÓÏÓÔÏÑÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÆÉÇÕÒÕ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÔÅËÓÔ ×ÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ï ÈÏÄÕ ÏÄÎÏÇÏ ÍÁÒÛÒÕÔÁ, Á ÚÁÔÅÍ Ï ÈÏÄÕ ÄÒÕÇÏÇÏ ×ÙÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ó ÎÅÅ. ÁËÏÊ ÛÉÆÒ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÁÒÛÒÕÔÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ×ÉÓÙ×ÁÔØ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ, ×ÙÂÒÁ× ÔÁËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ: Ï ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌÉ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÌÅ×ÏÇÏ ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÕÇÌÁ ÏÏÞÅÒÅÄÎÏ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï É ÓÒÁ×Á ÎÁÌÅ×Ï. ÷ÙÉÓÙ×ÁÔØ ÖÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÂÕÄÅÍ Ï ÄÒÕÇÏÍÕ ÍÁÒÛÒÕÔÕ: Ï ×ÅÒÔÉËÁÌÉ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÒÁ×ÏÇÏ ÕÇÌÁ É Ä×ÉÇÁÑÓØ ÏÏÞÅÒÅÄÎÏ Ó×ÅÒÈÕ ×ÎÉÚ É ÓÎÉÚÕ ××ÅÒÈ. úÁÛÉÆÒÕÅÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÕËÁÚÁÎÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÆÒÁÚÕ: ðòéíåòíáòûòõîïêðåòåóáîï÷ëé

ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË ÒÁÚÍÅÒÁ 4 × 7: ð î ï é

ò ê ë

é õ ð ÷

í ò å ï

å û ò î

ò ò å á

í á ó

184

çÌÁ×Á 7

úÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÆÒÁÚÁ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÔÁË:

íáóáåòòåûòîïåòíéõð÷ëêòðîïé

ÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ ÍÁÒÛÒÕÔÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌÅÅ ÉÚÏÝÒÅÎÎÙÍÉ, ÏÄÎÁËÏ ÚÁÕÔÁÎÎÏÓÔØ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÕÓÌÏÖÎÑÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÔÁËÉÈ ÛÉÆÒÏ×. îÉÖÅ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÔÒÅÈ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔÅÊ ÛÉÆÒÏ× ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ×ÓÔÒÅÞÁ×ÛÉÈÓÑ × ÚÁÄÁÞÁÈ ÏÌÉÍÉÁÄ. ûÉÆÒ ó ÉÔÁÌÁ. ïÄÎÉÍ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÅÒ×ÙÈ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÎÙÈ ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÉÊ ÂÙÌ ÖÅÚÌ (ó ÉÔÁÌÁ), ÒÉÍÅÎÑ×ÛÉÊÓÑ ÅÝÅ ×Ï ×ÒÅÍÅÎÁ ×ÏÊÎÙ óÁÒÔÙ ÒÏÔÉ× áÆÉÎ × V ×ÅËÅ ÄÏ Î. Ü. üÔÏ ÂÙÌ ÉÌÉÎÄÒ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ×ÉÔÏË Ë ×ÉÔËÕ ÎÁÍÁÔÙ×ÁÌÁÓØ ÕÚËÁÑ ÁÉÒÕÓÎÁÑ ÌÅÎÔÁ (ÂÅÚ ÒÏÓ×ÅÔÏ× É ÎÁÈÌÅÓÔÏ×), Á ÚÁÔÅÍ ÎÁ ÜÔÏÊ ÌÅÎÔÅ ×ÄÏÌØ ÅÇÏ ÏÓÉ ÚÁÉÓÙ×ÁÌÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÄÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ ÔÅËÓÔ. ìÅÎÔÁ ÓÍÁÔÙ×ÁÌÁÓØ Ó ÉÌÉÎÄÒÁ É ÏÔÒÁ×ÌÑÌÁÓØ ÁÄÒÅÓÁÔÕ, ËÏÔÏÒÙÊ, ÉÍÅÑ ÉÌÉÎÄÒ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÏÇÏ ÖÅ ÄÉÁÍÅÔÒÁ, ÎÁÍÁÔÙ×ÁÌ ÌÅÎÔÕ ÎÁ ÎÅÇÏ É ÒÏÞÉÔÙ×ÁÌ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÓÏÓÏÂ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÍÅÓÔÁÍÉ ÂÕË× ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ûÉÆÒ ó ÉÔÁÌÁ, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ 2.1, ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ n ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË (n, Ï ÒÅÖÎÅÍÕ, | ÄÌÉÎÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÜÔÏÔ ÛÉÆÒ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÛÉÆÒÕ ÍÁÒÛÒÕÔÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ: × ÔÁÂÌÉ Õ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ m ÓÔÏÌÂ Ï×, ÏÓÔÒÏÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ×ÙÉÓÙ×ÁÀÔ ÂÕË×Ù Ï ÓÔÏÌÂ ÁÍ. þÉÓÌÏ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÎÙÈ ÓÔÏÌÂ Ï× ÔÁÂÌÉ Ù ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔØ ÄÌÉÎÙ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. éÍÅÀÔÓÑ ÅÝÅ É ÞÉÓÔÏ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ, ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÍÙÅ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÅÊ ÛÉÆÒÁ ó ÉÔÁÌÁ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÄÉÁÍÅÔÒ ÖÅÚÌÁ ÎÅ ÄÏÌÖÅÎ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔØ 10 ÓÁÎÔÉÍÅÔÒÏ×. ðÒÉ ×ÙÓÏÔÅ ÓÔÒÏËÉ × 1 ÓÁÎÔÉÍÅÔÒ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ×ÉÔËÅ ÔÁËÏÇÏ ÖÅÚÌÁ ÕÍÅÓÔÉÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 32 ÂÕË× (10 < 32). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË, ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÙÈ ó ÉÔÁÌÏÊ, ×ÒÑÄ ÌÉ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 32. ûÉÆÒ ðÏ×ÏÒÏÔÎÁÑ ÒÅÛÅÔËÁ. äÌÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÛÉÆÒÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ Ï×ÏÒÏÔÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÏÊ, ÉÚÇÏÔÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÔÒÁÆÁÒÅÔ ÉÚ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÌÉÓÔÁ ËÌÅÔÞÁÔÏÊ ÂÕÍÁÇÉ ÒÁÚÍÅÒÁ 2m × 2k ËÌÅÔÏË. ÷ ÔÒÁÆÁÒÅÔÅ ×ÙÒÅÚÁÎÏ mk ËÌÅÔÏË ÔÁË, ÞÔÏ ÒÉ ÎÁÌÏÖÅÎÉÉ ÅÇÏ ÎÁ ÞÉÓÔÙÊ ÌÉÓÔ ÂÕÍÁÇÉ ÔÏÇÏ ÖÅ ÒÁÚÍÅÒÁ ÞÅÔÙÒØÍÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÅÇÏ ×ÙÒÅÚÙ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏËÒÙ×ÁÀÔ ×ÓÀ ÌÏÝÁÄØ ÌÉÓÔÁ. âÕË×Ù ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ×ÙÒÅÚÙ ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ (Ï ÓÔÒÏËÁÍ, × ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï) ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÅÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÌÏÖÅÎÉÊ × ÚÁÒÁÎÅÅ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. ðÏÑÓÎÉÍ ÒÏ ÅÓÓ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ. ðÕÓÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÒÅÛÅÔËÁ 6 × 10, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 1. úÁÛÉÆÒÕÅÍ Ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ ÔÅËÓÔ ûéæòòåûåëáñ÷ìñåóñþáóîùíóìõþáåíûéæòáíáòûòõîïêðåòåóáîï÷ëé

îÁÌÏÖÉ× ÒÅÛÅÔËÕ ÎÁ ÌÉÓÔ ÂÕÍÁÇÉ, ×ÉÓÙ×ÁÅÍ ÅÒ×ÙÅ 15 (Ï ÞÉÓÌÕ ×ÙÒÅ-

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

185

òÉÓ. 1.

ÚÏ×) ÂÕË× ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ: ûéæòòåûåëáñ÷ìñ.... óÎÑ× ÒÅÛÅÔËÕ, ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ÔÅËÓÔ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 2. ðÏ×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÍ ÒÅÛÅÔËÕ ÎÁ 180◦. ÷ ÏËÏÛÅÞËÁÈ ÏÑ×ÑÔÓÑ ÎÏ×ÙÅ, ÅÝÅ ÎÅ ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÅ ËÌÅÔËÉ. ÷ÉÓÙ×ÁÅÍ × ÎÉÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ 15 ÂÕË×. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÚÁÉÓØ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 3. úÁÔÅÍ ÅÒÅ×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÍ ÒÅÛÅÔËÕ ÎÁ ÄÒÕÇÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ É ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÍ ÏÓÔÁÔÏË ÔÅËÓÔÁ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (ÒÉÓ. 4, 5). é

û

æ

å á

ñ

û

ò ò

÷ ì

ë

å ñ

å û ó ñ é æ ò ò þ å á û ó å î ë ù á í ó ì õ ñ ÷ ì þ ñ

òÉÓ. 2.

å û é é å á ò á

á ó æ á æ î í ó û ñ

å í ò û ó í ì ò ÷ ì

òÉÓ. 4.

òÉÓ. 3.

ñ û ò þ å ò ë ù á õ õ þ ñ

å é ò ò ï

û é å á á

á ï á í ñ

ê æ ó ÷

ó æ å î û ë

å ð û í ì ÷

í ò ó á ò ì

ñ ò ò ë õ é

î þ ó ù î þ

û å å á õ ñ

òÉÓ. 5.

ðÏÌÕÞÁÔÅÌØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÕÀ ÖÅ ÒÅÛÅÔËÕ, ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ ÒÏÞÔÅÔ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÔÅËÓÔ, ÎÁÌÏÖÉ× ÒÅÛÅÔËÕ ÎÁ ÛÉÆÒÔÅËÓÔ Ï ÏÒÑÄËÕ ÞÅÔÙÒØÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. íÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÒÁÆÁÒÅÔÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÌÀÞÅÊ ÛÉÆÒÁ ÒÅÛÅÔËÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ = 4mk (ÓÍ. ÚÁÄÁÞÕ 1.1). üÔÏÔ ÛÉÆÒ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎ ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÄÌÉÎÙ n = 4mk. þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ

186

çÌÁ×Á 7

ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË × ÔÅËÓÔÅ ÔÁËÏÊ ÄÌÉÎÙ ÓÏÓÔÁ×ÉÔ (4mk)!, ÞÔÏ ×Ï ÍÎÏÇÏ ÒÁÚ ÂÏÌØÛÅ ÞÉÓÌÁ . ïÄÎÁËÏ, ÕÖÅ ÒÉ ÒÁÚÍÅÒÅ ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ 8 × 8 ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÅÛÅÔÏË ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 4 ÍÉÌÌÉÁÒÄÁ. ûÉÒÏËÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÁ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ÛÉÆÒÁ ÍÁÒÛÒÕÔÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÛÉÆÒÏÍ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ (û÷ð). ÷ ÎÅÍ ÓÎÏ×Á ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË, × ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ×ÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ (Ï ÓÔÒÏËÁÍ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï). ÷ÙÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÕË×Ù Ï ×ÅÒÔÉËÁÌÉ, Á ÓÔÏÌÂ Ù ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÅÒÕÔÓÑ × ÏÒÑÄËÅ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÍ ËÌÀÞÏÍ. ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÜÔÏÔ ËÌÀÞ ÔÁËÏ×: (5,4,1,7,2,6,3), É Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ÎÁÄÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ: ÷ïðòéíåòûéæòá÷åòéëáìøîïêðåòåóáîï÷ëé

÷ÉÛÅÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË, ÓÔÏÌÂ Ù ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ËÌÀÞÏÍ: 5 1 4 7 2 6 3 ÷ å ÷ ì ò ÷

ï ò å ø å ë

û ò î ó é

ð é ï -

ò æ é ê á -

é ò ë ð î -

í á á å ï -

ÅÅÒØ, ×ÙÂÉÒÁÑ ÓÔÏÌÂ Ù × ÏÒÑÄËÅ, ÚÁÄÁÎÎÏÍ ËÌÀÞÏÍ, É ×ÙÉÓÙ×ÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÂÕË×Ù ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ Ó×ÅÒÈÕ ×ÎÉÚ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÁËÕÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ: ïòåøåëòæéêá-íááåï-ûòîóé÷å÷ìò÷éòëðî-ðéï-

þÉÓÌÏ ËÌÀÞÅÊ û÷ð ÎÅ ÂÏÌÅÅ m!, ÇÄÅ m | ÞÉÓÌÏ ÓÔÏÌÂ Ï× ÔÁÂÌÉ Ù. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, m ÇÏÒÁÚÄÏ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÄÌÉÎÁ ÔÅËÓÔÁ n (ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÕËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÔÒÏË Ï m ÂÕË×), Á, ÚÎÁÞÉÔ, É m! ÍÎÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ n!. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ óÔÉÒÌÉÎÇÁ ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ m É n, ÏÙÔÁÊÔÅÓØ Ï ÅÎÉÔØ, ×Ï ÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË û÷ð Ó m ÓÔÏÌÂ ÁÍÉ ÍÅÎØÛÅ ÞÉÓÌÁ ×ÓÅÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÎÁ ÔÅËÓÔÅ ÄÌÉÎÙ n, ËÒÁÔÎÏÍ m. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÌÀÞ û÷ð ÎÅ ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔÓÑ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÉÚ×ÌÅËÁÔØ ÉÚ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÌÅÇËÏ ÚÁÏÍÉÎÁÀÝÅÇÏÓÑ ÓÌÏ×Á ÉÌÉ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏ ÓÏÓÏÂÏ×. îÁÉÂÏÌÅÅ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÊ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÉÉÓÙ×ÁÔØ ÂÕË×ÁÍ ÞÉÓÌÁ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÂÙÞÎÙÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ ÂÕË×. îÁÒÉÍÅÒ, ÕÓÔØ ËÌÀÞÅ×ÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ ÂÕÄÅÔ ðåòåóáîï÷ëá. ðÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ × ÎÅÍ ÂÕË×Á á ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÏÍÅÒ 1. åÓÌÉ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÂÕË×Á ×ÈÏÄÉÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ, ÔÏ ÅÅ ÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÎÕÍÅÒÕÀÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÔÏÒÏÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÅ ÂÕË×Ù á ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÏÍÅÒ 2. ðÏÓËÏÌØËÕ ÂÕË×Ù â × ÜÔÏÍ ÓÌÏ×Å ÎÅÔ, ÔÏ ÂÕË×Á ÷

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

187

ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÏÍÅÒ 3 É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. ðÒÏ ÅÓÓ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ×ÓÅ ÂÕË×Ù ÎÅ ÏÌÕÞÁÔ ÎÏÍÅÒÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ËÌÀÞ: ð

å

ò

å

ó

á

î

ï

÷

ë

á

9 4 10 5 11 12 1 7 8 3 6 2 ðÅÒÅÊÄÅÍ Ë ×ÏÒÏÓÕ Ï ÍÅÔÏÄÁÈ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÛÉÆÒÏ× ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. ðÒÏÂÌÅÍÁ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÁÑ ÒÉ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ûð, ÓÏÓÔÏÉÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ×ÅÌÉËÏ ÄÁÖÅ ÒÉ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ÄÌÉÎÁÈ ÔÅËÓÔÁ. åÓÌÉ É ÕÄÁÓÔÓÑ ÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÓÅ ÄÏÕÓÔÉÍÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË, ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÑÓÎÏ, ËÁËÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÉÓÔÉÎÎÙÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÕÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÔÅËÓÔ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ áïçò, É ÎÁÍ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÉÍÅÎÑÌÓÑ ÛÉÆÒ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. ëÁËÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏÇÏ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÒÉÚÎÁÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ: çïòá ÉÌÉ òïçá? á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ áòçï? ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÍÅÒ ÅÝÅ ÂÏÌÅÅ ÚÁÕÔÁÎÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ. ðÕÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ááîéîë-åïíì,ú.øøúé÷ìð-øñï

ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÛÉÆÒÏÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. ÷ÏÚÍÏÖÎÙ, ËÁË ÍÉÎÉÍÕÍ, Ä×Á ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ: ëáúîéø,-îåìøúñ-ðïíéìï÷áø. É ëáúîéø-îåìøúñ,-ðïíéìï÷áø.

üÔÉ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÉÍÅÀÔ ÒÑÍÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ ÓÍÙÓÌ É × ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ Õ ÎÁÓ ÎÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÁËÏÊ ÉÚ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÉÓÔÉÎÎÙÊ. éÎÏÇÄÁ, ÚÁ ÓÞÅÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÅÊ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÛÉÆÒÁ, ÕÄÁÅÔÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÏÂ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ (ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÛÉÆÒ ó ÉÔÁÌÁ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 2.1. ÷ÙÛÅ ÕÖÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÓÑ ×ÏÒÏÓ Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË, ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÙÈ ó ÉÔÁÌÏÊ. éÈ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 32. üÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÅ×ÅÌÉËÏ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ÅÒÅÂÏÒ ×ÓÅÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. ðÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÊ ÄÌÉÎÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÍÙ, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÏÌÕÞÉÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÞÉÔÁÅÍÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÔÅËÓÔÁ. ïÄÎÁËÏ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÉ ÌÉÎÉÊ, ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉËÏÍ, ÕÄÁÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÄÉÁÍÅÔÒ ÓÔÅÒÖÎÑ, Á ÚÎÁÞÉÔ, É ×ÏÚÎÉËÁÀÝÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÂÕË× (ÓÍ. ÚÁÄÁÞÕ 2.1). ÷ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË Ï ÎÅÏÓÔÏÒÏÖÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁ×ÉÌ ÎÁ ÁÉÒÕÓÅ ÓÌÅÄÙ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÅ ÎÁÍ ÌÅÇËÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. ÷ÏÚÍÏÖÎÙ É ÄÒÕÇÉÅ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ËÏÇÄÁ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÇÒÁÍÏÔÎÏÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÛÉÆÒÁ ÏÂÌÅÇÞÁÅÔ ×ÓËÒÙÔÉÅ ÅÒÅÉÓËÉ. ÷ ÚÁÄÁÞÅ 5.2 ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÒÉÍÅÒ ÔÅËÓÔÁ, ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ û÷ð. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÒÏÂÅÌÙ ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ ÒÉ ÚÁÉÓÉ ÔÅËÓÔÁ × ÔÁÂÌÉ Õ ÏÕÓËÁÌÉÓØ. ðÏÜÔÏÍÕ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÓÔÏÌÂ Ù, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÒÏÂÅÌ × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏËÅ, ÄÏÌÖÎÙ ÓÔÏÑÔØ × ËÏÎ Å ÔÅËÓÔÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,

188

çÌÁ×Á 7

×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÓÔÏÌÂ Ï× ÎÁ Ä×Å ÇÒÕÙ (ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ 6 ÂÕË×, É ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ 5 ÂÕË×). äÌÑ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÏÌÂ Ï× × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÇÒÕ × ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÇÏÒÁÚÄÏ ÒÏÝÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ É ÒÉ ÎÅÏÌÎÏÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÛÉÆÒÁ ÒÅÛÅÔËÁ (ÓÍ. ÚÁÄÁÞÕ 4.1). ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÅÛÅÔËÁ ÒÁÚÍÅÒÁ m × r, É ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ Ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÄÌÉÎÙ mr − k, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÒÏÂÅÌÏ×. îÅÚÁÏÌÎÅÎÎÙÅ k ÍÅÓÔ × ÒÅÛÅÔËÅ ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ k 6 mr=4, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÙÒÅÚÁÍ × ÞÅÔ×ÅÒÔÏÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ ÒÅÛÅÔËÉ. îÁ ÏÓÎÏ×Å ÔÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÒÅÚËÏÅ ÕÍÅÎØÛÅÎÉÅ ÞÉÓÌÁ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÒÅÛÅÔÏË (ÉÈ ÂÕÄÅÔ 4mr=4−k ). þÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÞÉÓÌÏ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÒÅÛÅÔÏË ÒÉ k > mr=4. îÁ ÒÉÍÅÒÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ 5.2 ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÏÄÈÏÄ Ë ×ÓËÒÙÔÉÀ ÛÉÆÒÏ× ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ | ÌÉÎÇ×ÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ. ïÎ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÂÕË× ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÞÁÓÔÏ, ÄÒÕÇÉÅ | ÇÏÒÁÚÄÏ ÒÅÖÅ, Á ÍÎÏÇÉÅ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ (ÎÁÒÉÍÅÒ | ÙØß). âÕÄÅÍ ÏÄÂÉÒÁÔØ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÏÌÂ Ï× ÄÒÕÇ ÚÁ ÄÒÕÇÏÍ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×Ï ×ÓÅÈ ÓÔÒÏËÁÈ ÜÔÉÈ ÓÔÏÌÂ Ï× ÏÌÕÞÁÌÉÓØ ÞÉÔÁÅÍÙÅ ÏÔÒÅÚËÉ ÔÅËÓÔÁ. ÷ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÅ ÔÅËÓÔÁ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÏÄÂÏÒÁ ÅÏÞËÉ ÉÚ ÔÒÅÈ ÓÔÏÌÂ Ï× ÅÒ×ÏÊ ÇÒÕÙ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏËÅ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ þë, ÔÁË ËÁË ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ. äÁÌÅÅ ÏÄÂÉÒÁÀÔÓÑ ÓÔÏÌÂ Ù, ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÉÅ ÕÞÁÓÔËÉ ÔÅËÓÔÁ × ÄÒÕÇÉÈ ÓÔÒÏËÁÈ, É Ô. Ä. óÏÞÅÔÁÎÉÅ ÌÉÎÇ×ÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÍÏÖÅÔ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ×ÓËÒÙÔÉÀ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÁÓÓËÁÚÁ Ï ÛÉÆÒÁÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÉÓÔÏÒÉÀ Ó ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÍ Á×ÔÏÇÒÁÆÏÍ á. ó. ðÕÛËÉÎÁ, ÏÉÓÁÎÎÕÀ × ÒÏÍÁÎÅ ÷. ëÁ×ÅÒÉÎÁ éÓÏÌÎÅÎÉÅ ÖÅÌÁÎÉÊ. çÌÁ×ÎÙÊ ÇÅÒÏÊ ÒÏÍÁÎÁ | ÓÔÕÄÅÎÔ-ÉÓÔÏÒÉË î. ÒÕÂÁÞÅ×ÓËÉÊ, | ÚÁÎÉÍÁ×ÛÉÊÓÑ ÒÁÂÏÔÏÊ × ÁÒÈÉ×Å Ó×ÏÅÇÏ ÕÞÉÔÅÌÑ | ÁËÁÄÅÍÉËÁ âÁÕÜÒÁ ó. é., | ÎÁÛÅÌ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÑÝÉËÏ× ÕÛËÉÎÓËÏÇÏ ÂÀÒÏ ÆÒÁÇÍÅÎÔ ÎÅÄÏÉÓÁÎÎÏÊ è ÇÌÁ×Ù å×ÇÅÎÉÑ ïÎÅÇÉÎÁ. üÔÏ ÂÙÌ ÅÒÅÇÎÕÔÙÊ ×Ä×ÏÅ ÏÌÕÌÉÓÔ ÌÏÔÎÏÊ ÇÏÌÕÂÏ×ÁÔÏÊ ÂÕÍÁÇÉ Ó ×ÏÄÑÎÙÍ ÚÎÁËÏÍ 1829 ÇÏÄÁ. îÁ ÌÉÓÔÅ ÂÙÌÏ ÎÁÉÓÁÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

÷ÌÁÓÔÉÔÅÌØ ÓÌÁÂÙÊ É ÌÕËÁ×ÙÊ åÇÏ ÍÙ ÏÞÅÎØ ÓÍÉÒÎÙÍ ÚÎÁÌÉ çÒÏÚÁ Ä×ÅÎÁÄ ÁÔÏÇÏ ÇÏÄÁ îÏ âÏÇ ÏÍÏÇ | ÓÔÁÌ ÒÏÏÔ ÎÉÖÅ é ÞÅÍ ÖÉÒÎÅÅ, ÔÅÍ ÔÑÖÅÌÅ á×ÏÓØ, Ï ûÉÂÏÌÅÔ ÎÁÒÏÄÎÙÊ á×ÏÓØ, ÁÒÅÎÄÙ ÚÁÂÙ×ÁÑ óÅÊ ÍÕÖ ÓÕÄØÂÙ, ÓÅÊ ÓÔÒÁÎÎÉË

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

îÅÞÁÑÎÎÏ ÒÉÇÒÅÔÙÊ ÓÌÁ×ÏÊ ïÒÌÁ Ä×ÕÇÌÁ×ÏÇÏ ÝÉÁÌÉ ïÓÔÅÒ×ÅÎÅÎÉÅ ÎÁÒÏÄÁ íÙ ÏÞÕÔÉÌÉÓÑ × ðÁÒÉÖÅ óËÁÖÉ, ÚÁÞÅÍ ÔÙ × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ îÏ ÓÔÉÈÏÌÅÔ ×ÅÌÉËÏÒÏÄÎÙÊ á×ÏÓØ Ï ÍÁÎØÀ îÉËÏÌÁÑ óÅÊ ×ÓÁÄÎÉË, ÁÏÀ ×ÅÎÞÁÎÎÙÊ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

ÂÒÁÎÎÙÊ 9. ÒÑÓÌÉÓÑ ÇÒÏÚÎÏ ðÉÒÉÎÅÉ 10. ñ ×ÓÅÈ ÕÊÍÕ Ó ÍÏÉÍ ÎÁÒÏÄÏÍ 11. ðÏÔÅÛÎÙÊ ÏÌË ðÅÔÒÁ ÉÔÁÎÁ 12. òÏÓÓÉÑ ÒÉÓÍÉÒÅÌÁ ÓÎÏ×Á 13. õ ÎÉÈ Ó×ÏÉ ÂÙ×ÁÌÉ ÓÈÏÄËÉ 14. ÷ÉÔÉÊÓÔ×ÏÍ ÒÅÚËÉÍ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙ 15. äÒÕÇ íÁÒÓÁ, ÷ÁËÈÁ É ÷ÅÎÅÒÙ 16. ÁË ÂÙÌÏ ÎÁÄ îÅ×ÏÀ ÌØÄÉÓÔÏÊ 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

ðÌÅÛÉ×ÙÊ ÝÅÇÏÌØ, ×ÒÁÇ ÔÒÕÄÁ ëÏÇÄÁ ÎÅ ÎÁÛÉ Ï×ÁÒÁ îÁÓÔÁÌÁ | ËÔÏ ÔÕÔ ÎÁÍ ÏÍÏÇ? é ÓËÏÒÏ ÓÉÌÏÀ ×ÅÝÅÊ ï ÒÕÓÓËÉÊ ÇÌÕÙÊ ÎÁÛ ÎÁÒÏÄ ÅÂÅ Â Ñ ÏÄÕ ÏÓ×ÑÔÉÌ èÁÎÖÁ ÚÁÒÅÔÓÑ × ÍÏÎÁÓÔÙÒØ ðÒÅÄ ËÅÍ ÕÎÉÚÉÌÉÓØ ÁÒÉ ÷ÏÌËÁÎ îÅÁÏÌÑ ÙÌÁÌ îÁÛ ÁÒØ × ËÏÎÇÒÅÓÓÅ ÇÏ×ÏÒÉÌ äÒÕÖÉÎÁ ÓÔÁÒÙÈ ÕÓÁÞÅÊ é ÕÝÅ ÁÒØ ÏÛÅÌ ËÕÔÉÔØ ïÎÉ ÚÁ ÞÁÛÅÀ ×ÉÎÁ óÂÉÒÁÌÉÓØ ÞÌÅÎÙ ÓÅÊ ÓÅÍØÉ ÕÔ ìÕÎÉÎ ÄÅÒÚËÏ ÒÅÄÌÁÇÁÌ îÏ ÔÁÍ, ÇÄÅ ÒÁÎÅÅ ×ÅÓÎÁ

189

9. âÅÚÒÕËÉÊ ËÎÑÚØ ÄÒÕÚØÑÍ íÏÒÅÉ 10. á ÒÏ ÓÅÂÑ É × ÕÓ ÎÅ ÄÕÅÔ 11. ðÒÅÄÁ×ÛÉÈ ÎÅËÏÇÄÁ ÔÉÒÁÎÁ 12. îÏ ÉÓËÒÁ ÌÁÍÅÎÉ ÉÎÏÇÏ 13. ïÎÉ ÚÁ ÒÀÍËÏÊ ÒÕÓÓËÏÊ ×ÏÄËÉ 14. õ ÂÅÓÏËÏÊÎÏÇÏ îÉËÉÔÙ 15. ó×ÏÉ ÒÅÛÉÔÅÌØÎÙÅ ÍÅÒÙ 16. âÌÅÓÔÉÔ ÎÁÄ ËÁÍÅÎËÏÊ ÔÅÎÉÓÔÏÊ 17. îÁÄ ÎÁÍÉ ÁÒÓÔ×Ï×ÁÌ ÔÏÇÄÁ 18. õ âÏÎÁÁÒÔÏ×Á ÛÁÔÒÁ 19. âÁÒËÌÁÊ, ÚÉÍÁ ÉÌØ ÒÕÓÓËÉÊ ÂÏÇ? 20. á ÒÕÓÓËÉÊ ÁÒØ ÇÌÁ×ÏÊ ÁÒÅÊ 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. íÅÎÑ ÕÖÅ ÒÅÄÕÒÅÄÉÌ 23. óÅÍÅÊÓÔ×ÁÍ ×ÏÚ×ÒÁÔÉÔ óÉÂÉÒØ 24. éÓÞÅÚÎÕ×ÛÉÊ ËÁË ÔÅÎØ ÚÁÒÉ 25. éÚ ëÉÛÉÎÅ×Á ÕÖ ÍÉÇÁÌ 26. Ù ÁÌÅËÓÁÎÄÒÏ×ÓËÉÊ ÈÏÌÏ (?) 27. ó×ÉÒÅÏÊ ÛÁÊËÅ ÁÌÁÞÅÊ 28. õÖÅ ÉÚÄÁ×ÎÁ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. õ ÏÓÔÏÒÏÖÎÏÇÏ éÌØÉ 31. é ×ÄÏÈÎÏ×ÅÎÎÏ ÂÏÒÍÏÔÁÌ 32. é ÎÁÄ ÈÏÌÍÁÍÉ ÕÌØÞÉÎÁ

âÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÕÓÉÌÉÊ ÒÕÂÁÞÅ×ÓËÉÊ ÒÏÞÉÔÁÌ ÒÕËÏÉÓØ, É ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÎÑÌ. ïÎ ÅÒÅÉÓÁÌ ÅÅ, ÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÂÅÓÓ×ÑÚÎÁÑ ÞÅÕÈÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÄÎÁ ÓÔÒÏËÁ, ÅÄ×Á ÎÁÞÁ×ÛÁÑ ÍÙÓÌØ, ÅÒÅÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÄÒÕÇÏÊ, Á ÔÁ | ÔÒÅÔØÅÊ, ÅÝÅ ÂÏÌÅÅ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏÊ É ÂÅÓÓ×ÑÚÎÏÊ. ïÎ ÏÒÏÂÏ×ÁÌ ÒÁÚÂÉÔØ ÒÕËÏÉÓØ ÎÁ ÓÔÒÏÆÙ, | ÏÑÔØ ÎÅ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ. óÔÁÌ ÉÓËÁÔØ ÒÉÆÍÙ, | ËÁË ÂÕÄÔÏ É ÒÉÆÍ ÎÅ ÂÙÌÏ, ÈÏÔÑ ÎÁ ÂÅÌÙÊ ÓÔÉÈ ×ÓÅ ÜÔÏ ÍÁÌÏ ÏÈÏÖÅ. ðÒÏÓÞÉÔÁÌ ÓÔÒÏËÕ | ÞÅÔÙÒÅÈÓÔÏÎÙÊ ÑÍÂ, ÒÁÚÍÅÒ, ËÏÔÏÒÙÍ ÎÁÉÓÁÎ å×ÇÅÎÉÊ ïÎÅÇÉÎ. ÒÕÂÁÞÅ×ÓËÉÊ Ó ÁÚÁÒÔÏÍ ×ÚÑÌÓÑ ÚÁ ÒÕËÏÉÓØ, ÙÔÁÌÓÑ ÞÉÔÁÔØ ÅÅ, ÒÏÕÓËÁÑ Ï ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏËÅ, ÏÔÏÍ Ï Ä×Å, Ï ÔÒÉ, ÎÁÄÅÑÓØ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÕÇÁÄÁÔØ ÔÁÊÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÂÙÌÉ ÚÁÉÓÁÎÙ ÓÔÒÏËÉ. õ ÎÅÇÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÌÕÞÁÌÏÓØ. ÏÇÄÁ ÏÎ ÓÔÁÌ ÞÉÔÁÔØ ÔÒÅÔØÀ ÓÔÒÏËÕ ×ÓÌÅÄ ÚÁ ÅÒ×ÏÊ, ÑÔÕÀ ÚÁ ÔÒÅÔØÅÊ, ×ÏÓØÍÕÀ ÚÁ ÑÔÏÊ, ÒÅÄÏÌÏÖÉ×, ÞÔÏ ÒÏÕÓËÉ ÄÏÌÖÎÙ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÔØÓÑ × ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. ÷ÓÅ ÔÏ ÖÅ! ïÔÞÁÑ×ÛÉÓØ, ÏÎ ÂÒÏÓÉÌ ÜÔÕ ÚÁÔÅÀ. ïÄÎÁËÏ, ÏÎÁ ÎÅ ÄÁ×ÁÌÁ ÅÍÕ ÏËÏÑ ÎÉ ÎÁ ÌÅË ÉÉ, ÎÉ × ÔÒÁÍ×ÁÅ: : : ëÁË ÛÁÈÍÁÔÉÓÔ, ÉÇÒÁÀÝÉÊ × ÕÍÅ, ÏÎ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÚÎÁÌ ÎÁÉÚÕÓÔØ ËÁÖÄÕÀ ÓÔÒÏÞËÕ, ÏÎ ×ÉÄÅÌ ÅÅ × ÄÅÓÑÔÉ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÈ ÓÒÁÚÕ. ðÒÏÛÌÏ ×ÒÅÍÑ. ïÄÎÁÖÄÙ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÓÍÏÔÒÅÌ ÎÁ Ó×ÅÔÌÙÅ ÑÔÎÁ ÏËÏÎ

190

çÌÁ×Á 7

ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ Ë ÅÒÒÏÎÕ ÏÅÚÄÁ, ËÁËÉÍ-ÔÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍ ÚÒÅÎÉÅÍ ÏÎ Õ×ÉÄÅÌ ÅÒÅÄ ÓÏÂÏÊ ×ÓÀ ÒÕËÏÉÓØ | É Ó ÔÁËÏÊ ÎÅÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÊ ÏÔÞÅÔÌÉ×ÏÓÔØÀ, ËÁË ÜÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ×Ï ÓÎÅ. óÍÏÖÅÔÅ ÌÉ ×Ù ÒÏÞÉÔÁÔØ ÜÔÉ ÓÔÉÈÉ? ïÔ×ÅÔ ×Ù ÎÁÊÄÅÔÅ × ÒÏÍÁÎÅ ÷. ëÁ×ÅÒÉÎÁ. ïÔ×ÅÔÙ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÀ.

1) ûÉÆÒ ÍÁÒÛÒÕÔÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 24 17 16 9 8 1 2 7 10 15 18 23 26 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 27 22 19 14 11 6 3 4 5 12 13 20 21 28 2) ûÉÆÒ ÒÅÛÅÔËÁ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 11 15 17 18 22 26 30 34 38 42 53 56 57 60 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 4 5 8 19 23 27 31 35 39 43 44 46 50 59 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 3 6 7 10 12 24 28 32 36 40 41 45 47 48 52 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 9 13 14 16 20 21 25 29 33 37 49 51 54 55 58 3) û÷ð 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 1 17 34 7 29 12 24 2 18 35 8 30 13 25 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3 19 36 9 31 14 26 4 20 37 10 32 15 27 5 31 32 33 34 35 36 37 38 21 38 11 33 16 28 6 22 4. íÎÏÇÏÁÌÆÁ×ÉÔÎÙÅ ÛÉÆÒÙ ÚÁÍÅÎÙ Ó ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ ËÌÀÞÏÍ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ 30-ÂÕË×ÅÎÎÙÊ ÁÌÆÁ×ÉÔ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ:

á â ÷ ç ä å ö ú é ë ì í î ï ð ò ó õ æ è ã þ û ý ø ù ü à ñ. ÷ ÜÔÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÂÕË×Ù ³, ê É ÿ, ÞÔÏ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ

ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ Ï ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÚÁÍÅÎÁ ÂÕË×Ù ³ ÎÁ ÂÕË×Õ å, ÂÕË×Ù ê | ÎÁ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

191

ÂÕË×Õ é, Á ÂÕË×Ù ÿ | ÎÁ ÂÕË×Õ ø ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÎÑÔØ ÓÍÙÓÌ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ÷ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÌÀÂÏÇÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÂÕË×Ù ÓÌÅÄÕÀÔ ÄÒÕÇ ÚÁ ÄÒÕÇÏÍ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. üÔÏ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÉÓ×ÏÉÔØ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Å ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÅÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ. ÁË, × ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÂÕË×Å á ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ 1, ÂÕË×Å ï | ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ 14, Á ÂÕË×Å ù | ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ 27. åÓÌÉ × ÏÔËÒÙÔÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ ËÁÖÄÕÀ ÂÕË×Õ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÅÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÒÑÄËÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ, ÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÞÉÓÌÏ×ÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ × ÂÕË×ÅÎÎÏÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÞÉÓÌÏ×ÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ 1 11 20 1 3 9 18 ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ × ÂÕË×ÅÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ: áìæá÷é. äÏÏÌÎÉÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÚÁ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÂÕË×ÏÊ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÅÇÏ ÅÒ×ÁÑ ÂÕË×Á. ÁËÏÊ ÏÒÑÄÏË ÂÕË× ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ ÉÈ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ. ðÒÉ ÔÁËÏÍ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÉ ÍÏÖÎÏ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÂÕË× ÒÉÓ×ÏÉÔØ ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÀÂÏÊ ÂÕË×Ù ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ÁËÏÊ ÎÏÍÅÒ ÎÁÚÏ×ÅÍ à ñ á â ÷ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÍ ÏÒÑÄËÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ. ü ç ä úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÞÉÓÌÏ ÂÕË× × ÁÌÆÁ×Éù ø å ÔÅ ÒÁ×ÎÏ z , ÔÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÒÑÄËÏý ö ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ ÄÁÎÎÏÊ ÂÕË×Ù ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉû ú ÍÁÔØ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÔ 0 ÄÏ (z − 1) × ÚÁ×Éþ é ÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÂÕË×Ù, ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÔÏã ë ÒÏÊ ÏÎ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ. äÌÑ ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓè ì ÓÍÏÔÒÉÍ ÉÓÈÏÄÎÙÊ 30-ÂÕË×ÅÎÎÙÊ ÁÌÆÁæ í õ î ×ÉÔ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ó ò ð ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÒÉÓ.). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ ÂÕË×Ù á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÕË×Ù á ÒÁ×ÅÎ 0, ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÕË×Ù ñ ÏÎ ÕÖÅ ÒÁ×ÅÎ 1 É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÕË×Ù â ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ á ÒÁ×ÅÎ 29. úÎÁÞÅÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÈ ÏÒÑÄËÏ×ÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÂÕË× ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÉÚ z ÂÕË× ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÓÔÁÔËÏ× ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z . õÂÅÄÉÔÅÓØ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÂÕË×Ù ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÒÕÇÏÊ ÂÕË×Ù ÒÁ×ÅÎ ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÈ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÒÑÄËÏ×ÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÎÁ ÞÉÓÌÏ ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ: D(N1 ; N2 ) | ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ ÂÕË×Ù Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÒÑÄËÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ N1 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÕË×Ù Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÒÑÄËÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ N2 ; rm (N ) | ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ N ÎÁ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ m. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï D(N1 ; N2 ) = rz (N1 − N2 ), ÇÄÅ z | ÞÉÓÌÏ ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ.

192

çÌÁ×Á 7

äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ N1 N2 = rz (N1 − N2), N1 N2 = rz (N1 + + N2 ). ÏÇÄÁ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:

D(N1 ; N2 ) = N1 N2 ; (7) (8) N1 = N2 D(N1 ; N2 ): æÏÒÍÕÌÁ (8) ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ (7) É ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÚÁÍÅÎÙ ÂÕË×Ù Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÒÑÄËÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ N2 ÎÁ ÂÕË×Õ Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÒÑÄËÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ N1 . þÉÓÌÏ D(N1 ; N2 ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÎÁËÏÍ ÇÁÍÍÙ. äÌÑ ÕÑÓÎÅÎÉÑ ××ÅÄÅÎÎÙÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. 1. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÅÌÙÈ N1 , N2 É ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ N1 − N2 · z , ÇÄÅ z ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: D(N1 ; N2 ) = N1 − N2 − z [X ℄ | ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ÞÉÓÌÁ X (ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅ ÞÉÓÌÁ è ). 2. äÏËÁÖÉÔÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (8) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: N2 = N1 D(N1 ; N2 ): (9) äÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ N ÂÕË×, Ó ÏÍÏÝØÀ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ N ÚÎÁËÏ× ÇÁÍÍÙ: Ï ÏÄÎÏÍÕ ÎÁ ËÁÖÄÕÀ ÂÕË×Õ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÚÎÁËÏ× ÇÁÍÍÙ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁÑ ÄÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÀÞÏÍ ÄÁÎÎÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÚÎÁËÏ× ÇÁÍÍÙ ÉÍÅÅÔ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ (Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÄÌÉÎÏÊ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ) ÅÒÉÏÄ, ÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÛÉÆÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÛÉÆÒÏÍ ÚÁÍÅÎÙ Ó ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ ËÌÀÞÏÍ. ëÌÀÞÏÍ ÔÁËÏÇÏ ÛÉÆÒÁ, Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÅÚÏË ÇÁÍÍÙ, ÒÁ×ÎÙÊ Ï ÄÌÉÎÅ ÅÒÉÏÄÕ. þÉÓÌÏ ÏÔÒÅÚËÏ× ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÄÌÉÎÙ , ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ÏÔ 0 ÄÏ (z − 1) ÒÁ×ÎÏ z , ÔÁË ËÁË ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÏÚÉ ÉÊ ÏÔÒÅÚËÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÏÅ ÉÚ z ÞÉÓÅÌ (ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÞÉÓÅÌ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ ÎÁ ÄÒÕÇÉÈ ÏÚÉ ÉÑÈ). äÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ z ÒÉ z = 30 × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ : 1 2 3 4 5 6 7 30 30 900 27000 810000 24300000 0; 729 · 109 0; 2187 · 1011 8 9 10 12 14 30 0; 6561 · 10 0; 19683 · 10 0; 59049 · 1015 ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù, ÞÉÓÌÏ ËÌÀÞÅÊ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÚÁÍÅÎÙ Ó ËÌÀÞÏÍ ÅÒÉÏÄÁ 10, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÎÕÛÉÔÅÌØÎÏ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÕÖÅ ÓÏÔÎÉ ÔÒÉÌÌÉÏÎÏ×. üÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÅÌÁÅÔ ÒÁËÔÉÞÅ-

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

193

ÓËÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ×ÓËÒÙÔÉÅ ÛÉÆÒÁ ÍÅÔÏÄÏÍ ÅÒÅÂÏÒÁ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ËÌÀÞÅÊ ÄÁÖÅ ÒÉ ÍÅÎØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÉÏÄÁ ÇÁÍÍÙ. äÌÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ ÂÕË×Ù ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ, ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÚÎÁËÏÍ ÇÁÍÍÙ, Ï ÓÕÔÉ, ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÙ ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÛÉÆÒÏÍ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ËÌÀÞÅ×ÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÜÔÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ÒÉ ÚÎÁËÅ ÇÁÍÍÙ, ÒÁ×ÎÏÍ 1, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: áâ÷çäåöúéëìíîïðòóõæèãþûýøùüàñ â÷çäåöúéëìíîïðòóõæèãþûýøùüàñá

÷ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÜÔÏÊ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÌÆÁ×ÉÔÏÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÄÁÎÎÏÍÕ ÚÎÁËÕ ÇÁÍÍÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍ ÛÉÆÒÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÇÁÍÍÙ ÏÔ 0 ÄÏ 29, ÔÏ ÄÁÎÎÙÊ ÛÉÆÒ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË 30-ÁÌÆÁ×ÉÔÎÙÊ ÛÉÆÒ ÚÁÍÅÎÙ. åÓÌÉ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÜÔÉÈ ÁÌÆÁ×ÉÔÏ× ÏÓÔÁ×ÉÔØ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÅÇÏ ÅÒ×ÕÀ ÂÕË×Õ, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÚÎÁË ÇÁÍÍÙ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÜÔÏÊ ÂÕË×ÏÊ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÌÀÞ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÓÌÏ×ÏÍ × ÜÔÏÍ ÖÅ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ. ÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÁÌÆÁ×ÉÔÎÙÊ ÛÉÆÒ ÚÁÍÅÎÙ ÂÙÌ ÏÉÓÁÎ × 1585 ÇÏÄÕ ÆÒÁÎ ÕÚÏÍ âÌÅÚÏÍ ÄÅ ÷ÉÖÅÎÅÒÏÍ × ÅÇÏ ÒÁËÔÁÔÅ Ï ÛÉÆÒÁÈ: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ BCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZA CDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZAB DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC EFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCD FGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDE GHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEF HIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFG IJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGH JKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHI KLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJ LMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJK MNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKL NOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLM OPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMN PQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNO QRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOP RSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQ STUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQR TUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRS UVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRST VWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU WXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUV XYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW YZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX

194

çÌÁ×Á 7

ZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXY

÷ÓÅ ÁÌÆÁ×ÉÔÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÁÔÉÎÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÂÙÌÉ Ó×ÅÄÅÎÙ ÉÍ × ÔÁÂÌÉ Õ, ÏÌÕÞÉ×ÛÕÀ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÅÅ Á×ÔÏÒÁ. ÷ÙÛÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÔÁÂÌÉ Á ÷ÉÖÅÎÅÒÁ ÄÌÑ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÌÁÔÉÎÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ, ÏÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÉÓËÁ 26 ÁÌÆÁ×ÉÔÏ× ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. óÏÓÏÂ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉ Ù ÷ÉÖÅÎÅÒÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÁÌÆÁ×ÉÔÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÆÁ×ÉÔÕ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ, Á ÂÕË×Å ËÌÀÞÅ×ÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÆÁ×ÉÔ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÉÓËÁ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ Ó ÜÔÏÊ ÂÕË×Ù. âÕË×Á ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÍÅÓÔÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÄÁÎÎÏÊ ÂÕË×Å ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. ðÒÏÓÔÏÔÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÷ÉÖÅÎÅÒÁ ÄÅÌÁÅÔ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÒÉ×ÌÅËÁÔÅÌØÎÏÊ ÄÌÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒ ×ÓËÒÙÔÉÑ ÍÎÏÇÏÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÚÁÍÅÎÙ Ó ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ ËÌÀÞÏÍ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊÓÑ × ÒÁÓÓËÁÚÅ öÀÌÑ ÷ÅÒÎÁ öÁÎÇÁÄÁ. ÷ÏÔ ÔÅËÓÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÙÌ ÏÌÕÞÅÎ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁËÏÇÏ ÔÉÁ ÛÉÆÒÁ: óçõþð÷üììúêòåðîìîæçéîâïòçêõ çìþäëïèöçõõíúäèòÿóçóàäðÿáò ÷êççéý÷þüåãóõö÷óå÷èáèñæâøâå æúóüæèöúâúÿçæâýéèèòéðöú÷ öêçïêâîææåïéèåçééïëúðæì åõçóæéðøíïæïëóèíçâöæùçõþïà îæîûúçüììûòõäåîëïìççîóâëóóåõ ðîæãåååççóöîïåùéïîòóéëãøåäâ õâåìïâæãóâàêðíðúöðõæëäç

äÏÇÁÄÁ×ÛÉÓØ, ÞÔÏ ËÌÀÞÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÅÒÓÏÎÁÖ öÁÎÇÁÄÙ, ÓÕÄØÑ öÁÒÒÉËÅÓ, ÏÂßÑÓÎÑÅÔ ÓÙÎÕ ÏÂ×ÉÎÑÅÍÏÇÏ íÁÎÏÜÌÀ, ËÁË ÂÙÌ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎ ÄÏËÕÍÅÎÔ: |äÁ×ÁÊÔÅ ×ÏÚØÍÅÍ ÆÒÁÚÕ, ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ËÁËÕÀ, ÎÕ ÈÏÔÑ ÂÙ ×ÏÔ ÜÔÕ: õ óõäøé öáòòéëåóá ðòïîéãáåìøîùê õí

á ÔÅÅÒØ Ñ ×ÏÚØÍÕ ÎÁÕÄÁÞÕ ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ ÞÉÓÌÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÉÚ ÜÔÏÊ ÆÒÁÚÙ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÉÆÒ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 4, 2 É 3. ñ ÏÄÉÓÙ×ÁÀ ÞÉÓÌÏ 423 ÏÄ ÓÔÒÏÞËÏÊ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÄ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×ÏÊ ÓÔÏÑÌÁ ÉÆÒÁ, É Ï×ÔÏÒÑÀ ÞÉÓÌÏ, ÏËÁ ÎÅ ÄÏÊÄÕ ÄÏ ËÏÎ Á ÆÒÁÚÙ. ÷ÏÔ ÞÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ: õóõäøéöáòòéëåóáðòïîéãáåìøîùêõí 4234234234234234234234234234234

âÕÄÅÍ ÚÁÍÅÎÑÔØ ËÁÖÄÕÀ ÂÕË×Õ ÎÁÛÅÊ ÆÒÁÚÙ ÔÏÊ ÂÕË×ÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÔÏÉÔ ÏÓÌÅ ÎÅÅ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ áâ÷çäåöúéêëìíîïðòóõæèãþûýÿùøüàñ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

195

ÎÁ ÍÅÓÔÅ, ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÉÆÒÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÏÄ ÂÕË×ÏÊ á ÓÔÏÉÔ ÉÆÒÁ 3, ×Ù ÏÔÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÅ ÔÒÉ ÂÕË×Ù É ÚÁÍÅÎÑÅÔÅ ÅÅ ÂÕË×ÏÊ ç. åÓÌÉ ÂÕË×Á ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ËÏÎ Å ÁÌÆÁ×ÉÔÁ É Ë ÎÅÊ ÎÅÌØÚÑ ÒÉÂÁ×ÉÔØ ÎÕÖÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÂÕË×, ÔÏÇÄÁ ÏÔÓÞÉÔÙ×ÁÀÔ ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÉÅ ÂÕË×Ù Ó ÎÁÞÁÌÁ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. äÏ×ÅÄÅÍ ÄÏ ËÏÎ Á ÎÁÞÁÔÕÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÕÀ ÎÁ ÞÉÓÌÅ 423, É ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÆÒÁÚÁ ÚÁÍÅÎÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ: þõãéàìë÷õæëîêõçõóóëýäæéðàòñìãò

îÏ ËÁË ÎÁÊÔÉ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ËÌÀÞ? ðÏÄÓÞÅÔ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÊ öÁÒÒÉËÅÓÏÍ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÉÓË ËÌÀÞÁ ÅÒÅÂÏÒÏÍ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÉÚ 10 ÉÆÒ, ÏÔÒÅÂÕÅÔ ÂÏÌÅÅ ÔÒÅÈÓÏÔ ÌÅÔ. óÕÄØÑ ÙÔÁÅÔÓÑ ÎÁÕÄÁÞÕ ÏÔÇÁÄÁÔØ ÚÁ×ÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. îÁÓÔÕÁÅÔ ÄÅÎØ ËÁÚÎÉ. ïÂ×ÉÎÑÅÍÏÇÏ öÏÁÍÁ äÁËÏÓÔÕ ×ÅÄÕÔ ÎÁ ×ÉÓÅÌÉ Õ: : : îÏ ×ÓÅ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÂÌÁÇÏÏÌÕÞÎÏ. ðÏÍÏÇ ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÊ ÓÌÕÞÁÊ. äÒÕÇÕ öÏÁÍÁ ÕÄÁÅÔÓÑ ÕÚÎÁÔØ, ÞÔÏ Á×ÔÏÒÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ Ú×ÁÌÉ ïÒÔÅÇÁ. ðÏÓÔÁ×É× ÂÕË×Ù ï, ò, , å, ç, á ÎÁÄ ÏÓÌÅÄÎÉÍÉ ÛÅÓÔØÀ ÂÕË×ÁÍÉ ÄÏËÕÍÅÎÔÁ É ÏÄÓÞÉÔÁ×, ÎÁ ÓËÏÌØËÏ ÜÔÉ ÂÕË×Ù Ï ÁÌÆÁ×ÉÔÕ ÓÄ×ÉÎÕÔÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÕË× ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÓÕÄØÑ, ÎÁËÏÎÅ , ÎÁÈÏÄÉÔ ËÌÀÞ Ë ÄÏËÕÍÅÎÔÕ: ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ï ò å ç á ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ õ æ ë ä ç ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ÓÄ×ÉÇ ÂÕË× 4 3 2 5 1 3 ç. á. çÕÒÅ×ÉÞ × ÓÔÁÔØÅ ëÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ öÀÌÑ ÷ÅÒÎÁ (ÖÕÒÎÁÌ ë×ÁÎÔ 9, 1985 Ç.) ÏÂÒÁÝÁÅÔ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÓÕÄØÑ ÒÏÛÅÌ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÅÓØ ÕÔØ ÄÏ ÏÔÇÁÄËÉ. âÕÄÕÞÉ Õ×ÅÒÅÎÎÙÍ, ÞÔÏ × ÄÏËÕÍÅÎÔÅ ÕÏÍÉÎÁÅÔÓÑ ÉÍÑ öÏÁÍÁ äÁËÏÓÔÙ, ÓÕÄØÑ ÓÔÒÏÉÔ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ: åÓÌÉ ÂÙ ÓÔÒÏÞËÉ ÂÙÌÉ ÒÁÚÄÅÌÅÎÙ ÎÁ ÓÌÏ×Á, ÔÏ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÓÌÏ×Á, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ ÓÅÍÉ ÂÕË×, ËÁË É ÆÁÍÉÌÉÑ äÁËÏÓÔÁ, É, ÏÒÏÂÕÑ ÉÈ ÏÄÎÏ ÚÁ ÄÒÕÇÉÍ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É ÏÔÙÓËÁÌÉ ÂÙ ÞÉÓÌÏ, Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ËÌÀÞÏÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ. íÁÎÏÜÌØ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÏÎÑ× ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÉÄÅÀ ÓÕÄØÉ, ÒÅÄÌÁÇÁÅÔ ÏÒÏÂÏ×ÁÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÓÌÏ×Á äáëïóá × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÔÅËÓÔÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÅËÓÔ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 252 ÂÕË×, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÒÏÂÏ×ÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 246 ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. ÷ ÏÄÉÎ ÒÅËÒÁÓÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ, ÚÁÉÓÁ× ÎÁÄ ÆÒÁÇÍÅÎÔÏÍ êâîææå ÓÌÏ×Ï äáëïóá, ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÂÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÆÒ 5134325. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ 5 | ÎÁÞÁÌÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÅÒÉÏÄÁ: ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ... ä á ë ï ó á ... ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ . . . ê â î æ æ å . . . ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ÓÄ×ÉÇ ÂÕË× . . . 5 1 3 4 3 2 5 . . . ÷ÍÅÓÔÏ ËÌÀÞÁ 432513 ÍÙ ÎÁÛÌÉ ÅÇÏ ÉËÌÉÞÅÓËÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ 513432, ÞÔÏ ÎÉ × ËÏÅÊ ÍÅÒÅ ÎÅ ÍÅÛÁÅÔ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÀ ÔÅËÓÔÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ

196

çÌÁ×Á 7

ÂÕË×Õ, ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÄÁÎÎÁÑ ÂÕË×Á ÓÄ×ÉÎÕÔÁ ÎÁ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÉÆÒÙ ËÌÀÞÁ: ó 4 î ç 3 á ä 2 ÷ è 5 ò ý 1 û é 3 å ï 4 ë ì 3 é å 2 ç â 5 ø ä 1 ç

ç 3 á ê 2 ú 5 î á 1 ñ é 3 å è 4 ó æ 3 ó ì 2 ê å 5 á 1 ó ç 3 á

õ 2 ó õ 5 ï ð 1 ï è 3 è 4 ó 3 ð ï 2 í û 5 õ å 1 ä å 3 ÷

þ 5 ç 1 ÷ ÿ 3 þ ñ 4 ù è 3 2 ò ë 5 å ò 1 ð ç 3 á 4 ï

ð 1 ï ì 3 é á 4 ø æ 3 ó ò 2 ï å 5 á ó 1 ò õ 3 ò ç 4 ñ ì 3 é

÷ 3 ñ þ 4 õ ò 3 î â 2 ñ é 5 ç ç 1 ÷ è 3 ä 4 á ó 3 ï ï 2 í

ü 4 ý ä 3 â ÷ 2 á ø 5 þ ð 1 ï é 3 å í 4 é å 3 ÷ ö 2 ä 5 î

ì 3 é ë 2 é ê 5 ä â 1 á ö 3 ç é 4 ä ç 3 á î 2 ì î 5 é â 1 á

ì 2 ê ï 5 ê ç 1 ÷ å 3 ÷ 4 ï ï 3 ì â 2 ñ ë 5 å ï 1 î æ 3 ó

ú 5 ÷ 1 ó ç 3 á 4 ï ú 3 ä ë 2 é 5 î ï 1 î å 3 ÷ ã 4

ê 1 é è 3 é 4 ä æ 3 ó ÷ 2 á ú 5 ÷ ö 1 å ì 3 é ù 4 þ ó 3 ï

ò 3 î ö 4 ÷ ý 3 ã ú 2 å 5 î ð 1 ï æ 3 ó ç 4 ñ é 3 å â 2 ñ

4 ï ç 3 á ÷ 2 á ó 5 í ö 1 å 3 ð ù 4 þ ç 3 á ï 2 í à 5 ý

å 3 ÷ õ 2 ó þ 5 ü 1 ø ê 3 ö æ 4 ò ç 3 á î 2 ì î 5 é ê 1 é

ð 2 î õ 5 ï ü 1 ø æ 3 ó 4 ï ì 3 é õ 2 ó ó 5 í ò 1 ð ð 3 í

î 5 é í 1 ì å 3 ÷ 4 ï ç 3 á å 2 ç þ 5 â 1 á ó 3 ï í 4 é

ì 1 ë ú 3 ä ã 4 è 3 ï 2 í õ 5 ï ï 1 î ë 3 ú é 4 ä ð 3 í

î 3 ë ä 4 á ó 3 ï ö 2 ä ê 5 ä ç 1 ÷ à 3 ù ó 4 î 3 ð ú 2 å

æ 4 ò è 3 2 ò ú 5 ÷ â 1 á ó 3 ï î 4 ê ó 3 ï ë 2 é 5 î

ç 3 á ò 2 ï õ 5 ï â 1 á î 3 ë æ 4 ò æ 3 ó å 2 ç ã 5 ó ö 1 å

é 2 ö ÿ 5 è ö 1 å ú 3 ä 4 ï é 3 å î 2 ì ð 1 ï ø 1 ù ð 3 í

î 5 é ó 1 ò ÷ 3 ñ ÿ 4 ã æ 3 ó ð 2 î û 5 õ õ 5 ï å 3 ÷ 4 ï

â 1 á ç 3 á ó 4 î ç 3 á æ 2 5 î ú 1 ö î 3 ë ä 4 á õ 3 ò

ï 3 ì ó 4 î å 3 ÷ æ 2 å 5 á ø 1 ù ç 3 á æ 4 ò â 3 à æ 2

ò 4 í à 3 ù ÷ 2 á â 5 ø ï 1 î í 3 ê ü 4 ý ã 3 õ õ 2 ó ë 5 å

éÔÁË, ÅÒ×ÁÑ ÉÄÅÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÌÏ×Á, ËÏÔÏÒÏÅ Ó ÂÏÌØÛÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØÓÑ × ÄÁÎÎÏÍ ÏÔËÒÙÔÏÍ ÔÅËÓÔÅ. òÅÞØ ÉÄÅÔ × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É Ï ÓÌÏ×ÁÈ, ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅ-

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

197

ÞÁÀÝÉÈÓÑ × ÌÀÂÙÈ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÔÅËÓÔÁÈ. ë ÎÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÓÌÏ×Á ËÁË ëïïòùê, ïçäá, þï, åóìé, ÒÉÓÔÁ×ËÉ ðòé, ðòå, ðïä É Ô. . ÷ÔÏÒÁÑ ÉÄÅÑ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÂÕË×Ù ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÏÔËÒÙÔÏÍ ÔÅËÓÔÅ ÎÁ ×ÏÌÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÏÚÉ ÉÑÈ. åÓÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ× ÉÈ ÏÚÉ ÉÊ ÏËÁÖÅÔÓÑ ËÒÁÔÎÏÊ ÅÒÉÏÄÕ ÇÁÍÍÙ, ÔÏ ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÁ ÜÔÉÈ ÏÚÉ ÉÑÈ ÂÕË×Ù ÂÕÄÕÔ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÙ ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÚÎÁËÏÍ ÇÁÍÍÙ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÞÁÓÔÉ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÏËÁÖÕÔÓÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÛÉÆÒÏÍ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ. üÔÕ ÉÄÅÀ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÅÒÉÏÄÁ ËÌÀÞÁ ÍÎÏÇÏÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÚÁÍÅÎÙ. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÅÒÉÏÄÁ ÇÁÍÍÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÉÍÅÎÅÎÙ Ä×Á ÓÏÓÏÂÁ. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ËÁË ÔÅÓÔ ëÁÚÉÚËÉ, ×ÔÏÒÏÊ ÓÏÓÏÂ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÉÎÄÅËÓ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ. ÅÓÔ ëÁÚÉÚËÉ ÂÙÌ ÏÉÓÁÎ × 1863 ÇÏÄÕ æÒÉÄÒÉÈÏÍ ëÁÚÉÚËÉ. ïÎ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÉ: Ä×Á ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÏÔÒÅÚËÁ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÂÕÄÕÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ Ä×ÕÍ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ ÏÔÒÅÚËÁÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ, ÅÓÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ× ÏÚÉ ÉÊ ÉÈ ÎÁÞÁÌ ËÒÁÔÎÁ ÅÒÉÏÄÕ ÇÁÍÍÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ Ä×Á ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÏÔÒÅÚËÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË×, ÔÏ Ó ÂÏÌØÛÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÏÔÒÅÚËÉ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ (ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÅ ÍÁÌÏ×ÅÒÏÑÔÎÏ). ÅÓÔ ëÁÚÉÚËÉ, Ï ÓÕÔÉ, ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÔÅËÓÔÅ ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ÁÒÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ×, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÎÏÍÅÒÏ× ÏÚÉ ÉÊ ÉÈ ÎÁÞÁÌ É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÂÝÉÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÒÁ×ÅÎ ÅÒÉÏÄÕ ÇÁÍÍÙ. äÌÑ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÉÏÄÁ ÇÁÍÍÙ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÉÎÄÅËÓ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÊ × 1920 ÇÏÄÕ õÉÌØÑÍÏÍ æÒÉÄÍÁÎÏÍ. äÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÂÕË× ÉÎÄÅËÓ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÞÉÓÌÏ, ÒÁ×ÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ ÁÒ ÎÏÍÅÒÏ× ÏÚÉ ÉÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÂÕË×Ù, ÄÅÌÅÎÎÏÍÕ ÎÁ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÁÒ ÎÏÍÅÒÏ× ÏÚÉ ÉÊ ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, Ô. Å. ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÞÉÓÌÕ ÁÒ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÕË×. ðÒÉÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÛÉÆÒÁ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ÕËÁÚÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. äÌÑ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÜÔÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÏÔ ÖÅ ÓÁÍÙÊ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÔÅËÓÔ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ×ÉÄÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÔÏÌÂ Ï×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ Ï ÛÅÓÔØ ÏÄÒÑÄ ÉÄÕÝÉÈ ÂÕË× ÔÅËÓÔÁ × ËÁÖÄÏÍ (ÏÄÒÑÄ ÉÄÕÝÉÅ ÂÕË×Ù ÔÅËÓÔÁ ÒÁÓÏÌÁÇÁÀÔÓÑ × ÓÔÏÌÂ ÁÈ Ó×ÅÒÈÕ ×ÎÉÚ):

198

çÌÁ×Á 7

óüæòþöäóáéãóñÿèèéææïíùîüäçóæçùéäãí çìåççäçèàòýóåææèçèúçæïìéæççæìåçóãóéâìóðõ õìðéêëõòä÷÷÷âúöæò÷ïæëåðïâõîìîîååöïëõïâúæ þúîîõïõÿêþõèøóúâéêååúõëþûûëóõåîîãâàë ðêìâçíóðçüöáâüâýðöâïçðçøóöïúòïâðåïòøâêöä ÷òîïìèúçÿçå÷èåæúéöêîééóíèæàçõìëîçåóååæððç

óÏÓÔÁ×ÉÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ 6 ÏÌÕÞÉ×ÛÉÈÓÑ ÓÔÒÏË ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÅÊ ÎÁÂÏÒ ÞÁÓÔÏÔ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍÏÓÔÉ ÂÕË× × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ: 1 2 3 4 5 6

ÓÔÒÏËÁ ÓÔÒÏËÁ ÓÔÒÏËÁ ÓÔÒÏËÁ ÓÔÒÏËÁ ÓÔÒÏËÁ

á 1 0 0 0 1 0

â 0 1 3 2 6 0

÷ 0 0 4 0 0 2

ç 2 9 0 0 4 5

ä 3 1 1 0 1 0

å 0 3 3 4 1 5

ö 1 0 2 0 4 1

ú 0 1 2 3 1 2

é 3 2 1 1 0 3

ê 0 0 1 2 2 1

ë 0 0 3 3 0 1

ì 0 4 2 0 0 2

í 2 0 0 0 1 1

î 1 0 3 4 0 3

ï 1 1 4 1 4 1

ð 0 1 2 0 5 2

1 2 3 4 5 6

ÓÔÒÏËÁ ÓÔÒÏËÁ ÓÔÒÏËÁ ÓÔÒÏËÁ ÓÔÒÏËÁ ÓÔÒÏËÁ

ò 1 1 2 0 2 1

ó 4 4 0 2 2 2

8 2 2 6 2 1

õ 0 1 4 4 0 1

æ 4 5 3 0 0 3

è 2 3 0 1 0 3

ã 2 1 0 1 0 0

þ 1 0 0 3 0 0

û 0 0 0 2 0 0

ý 0 1 0 0 1 0

ÿ 1 0 0 1 0 1

ù 2 0 0 0 0 0

ø 0 0 0 1 2 0

ü 2 0 0 0 2 0

à 0 1 0 1 0 1

ñ 1 0 0 0 0 0

ðÏ ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÞÁÓÔÏÔ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍÏÓÔÉ ÂÕË× ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÅÊ ÉÎÄÅËÓ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ: îÏÍÅÒ ÓÔÒÏËÉ 1 2 3 4 5 6 éÎÄÅËÓ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ 0,060 0,077 0,045 0,053 0,057 0,057 äÌÑ ×ÓÅÇÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÉÎÄÅËÓ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ 0,040, ÞÔÏ ÚÁÍÅÔÎÏ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÉÎÄÅËÓ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÓÔÒÏË. üÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÏÒÏÛÉÍ ÏÄÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅÍ ÇÉÏÔÅÚÙ Ï ÄÌÉÎÅ ÅÒÉÏÄÁ ÇÁÍÍÙ. äÒÕÇÉÅ ÉÄÅÉ ÏÄÈÏÄÏ× Ë ×ÓËÒÙÔÉÀ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÛÉÆÒÏ× ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÔÅÈ ÉÌÉ ÉÎÙÈ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÑÈ ÉÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ (ÓÍ. ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ 1.2, 2.2, 2.5, 2.6, 3.4, 3.5, 4.6). 5. õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ ÏÌÉÍÉÁÄ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ

îÉÖÅ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÚÁÄÁÞÉ ÓÅÍÉ ÏÌÉÍÉÁÄ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. îÕÍÅÒÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞ Ä×ÏÊÎÁÑ: ÅÒ×ÁÑ ÉÆÒÁ | ÎÏÍÅÒ ÏÌÉÍÉÁÄÙ,

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

199

×ÔÏÒÁÑ | ÎÏÍÅÒ ÚÁÄÁÞÉ × ÏÌÉÍÉÁÄÅ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÎÉÊ. ÷ÓÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÄÁÎÙ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ. úÁÄÁÞÉ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎÙ ÎÁ ÕÞÁÝÉÈÓÑ 9, 10 É 11 ËÌÁÓÓÏ×. 1.1. ëÌÀÞÏÍ ÛÉÆÒÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ Ï×ÏÒÏÔÎÁÑ ÒÅÛÅÔËÁ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÒÁÆÁÒÅÔ, ÉÚÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÌÉÓÔÁ ËÌÅÔÞÁÔÏÊ ÂÕÍÁÇÉ ÒÁÚÍÅÒÁ n × n (n | ÞÅÔÎÏ). îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ËÌÅÔÏË ×ÙÒÅÚÁÀÔÓÑ. ïÄÎÁ ÉÚ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ ÏÍÅÞÅÎÁ. ðÒÉ ÎÁÌÏÖÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ ÎÁ ÞÉÓÔÙÊ ÌÉÓÔ ÂÕÍÁÇÉ ÞÅÔÙÒØÍÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ (ÏÍÅÞÅÎÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ ××ÅÒÈ, ×ÒÁ×Ï, ×ÎÉÚ, ×ÌÅ×Ï) ÅÇÏ ×ÙÒÅÚÙ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏËÒÙ×ÁÀÔ ×ÓÀ ÌÏÝÁÄØ Ë×ÁÄÒÁÔÁ, ÒÉÞÅÍ ËÁÖÄÁÑ ËÌÅÔËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄ ×ÙÒÅÚÏÍ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. âÕË×Ù ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÉÍÅÀÝÅÇÏ ÄÌÉÎÕ n2 , ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ×ÙÒÅÚÙ ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ, ÓÎÁÞÁÌÁ ÎÁÌÏÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÞÉÓÔÙÊ ÌÉÓÔ ÂÕÍÁÇÉ ÏÍÅÞÅÎÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ ××ÅÒÈ. ðÏÓÌÅ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ×ÙÒÅÚÏ× ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ ÂÕË×ÁÍÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÔÒÁÆÁÒÅÔ ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ É Ô. Ä. ðÏÓÌÅ ÓÎÑÔÉÑ ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ ÎÁ ÌÉÓÔÅ ÂÕÍÁÇÉ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. îÁÊÄÉÔÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n. 1.2. ÷ ÁÄÒÅÓ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÒÉÛÌÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ: æ ÷ í å ö é ÷ æ à

îÁÊÄÉÔÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÛÉÆÒÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÚÁËÌÀÞÁÌÏÓØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ðÕÓÔØ x1 , x2 | ËÏÒÎÉ ÔÒÅÈÞÌÅÎÁ x2 + 3x + 1. ë ÏÒÑÄËÏ×ÏÍÕ ÎÏÍÅÒÕ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÒÕÓÓËÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ (33 ÂÕË×Ù) ÒÉÂÁ×ÌÑÌÏÓØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) = x6 + 3x5 + x4 + + x3 + 4x2 + 4x + 3, ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÌÉÂÏ ÒÉ x = x1 , ÌÉÂÏ ÒÉ x = x2 (× ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÎÁÍ ÏÒÑÄËÅ), Á ÚÁÔÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÚÁÍÅÎÑÌÏÓØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÅÍÕ ÂÕË×ÏÊ. 1.3. äÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÔ ÒÅÚÉÄÅÎÔÁ çÁÒÒÉ×ÁÓÁ × îÁÇÏÎÉÉ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ×ÎÅÄÒÅÎÎÏÍÕ ÒÁÚ×ÅÄÞÉËÕ ÂÙÌ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÒÑÄÏË. ÷ÓÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÅÚÉÄÅÎÔÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÚÁÒÁÎÅÅ É ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ ÞÉÓÌÁÍÉ 1; 2; 3; : : : . òÁÚ×ÅÄÞÉË, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ ÆÅÎÏÍÅÎÁÌØÎÏÊ ÁÍÑÔØÀ, ÏÌÎÏÓÔØÀ ÚÁÏÍÎÉÌ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ É ÉÈ ÎÏÍÅÒÁÍÉ. ÅÅÒØ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÅÒÅÄÁÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÒÁÚ×ÅÄÞÉËÕ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÌÏ ÓÏÏÂÝÉÔØ ÅÍÕ ÌÉÛØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÞÉÓÌÏ. äÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ ÞÉÓÌÁ × ÕÓÌÏ×ÌÅÎÎÏÍ ÍÅÓÔÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÌÁÓØ ÒÁ×ÎÁÑ ÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÄÅÎÅÖÎÁÑ ÓÕÍÍÁ. îÁ ÍÏÍÅÎÔ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ ÏÅÒÁ ÉÉ × îÁÇÏÎÉÉ ÉÍÅÌÉ ÈÏÖÄÅÎÉÅ ÄÅÎÅÖÎÙÅ ËÕÀÒÙ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ 1,3,7 É 10 ÂÕÔ (ÂÕÔ | ÄÅÎÅÖÎÁÑ ÅÄÉÎÉ Á îÁÇÏÎÉÉ). ïÄÎÁËÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÄÅÎÅÖÎÏÊ ÒÅÆÏÒÍÙ ËÕÀÒÙ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ 1 É 3 ÂÕÔ ÂÙÌÉ ÉÚßÑÔÙ ÉÚ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ.

200

çÌÁ×Á 7

÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ËÁËÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÄÁÔØ ÒÁÚ×ÅÄÞÉËÕ ÌÀÂÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÏÌØÚÕÑÓØ ÔÏÌØËÏ ÏÓÔÁ×ÛÉÍÉÓÑ × ÏÂÒÁÝÅÎÉÉ ËÕÀÒÁÍÉ. 1.4. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ a É b, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÉÈ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ d = 6 É ÉÈ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÏÂÝÅÅ ËÒÁÔÎÏÅ m = 6930. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ ÏÔ×ÅÔ É × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ d É m ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. 1.5. äÁÎÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ: æî × ù = æáæ + × − åå + å = îú = = = éûá + íò = éíî ÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÉÆÒÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÂÕË×, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ×ÓÅ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÅÓÌÉ ÒÁÚÎÙÍ ÂÕË×ÁÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ. òÁÓÓÔÁ×ØÔÅ ÂÕË×Ù × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÉÈ ÉÆÒÏ×ÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ É ÏÌÕÞÉÔÅ ÉÓËÏÍÙÊ ÔÅËÓÔ. 1.6. ïÄÎÁ ÆÉÒÍÁ ÒÅÄÌÏÖÉÌÁ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï ÄÌÑ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏ×ÅÒËÉ ÁÒÏÌÑ. ðÁÒÏÌÅÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÏÊ ÎÅÕÓÔÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ {a; b; }. âÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÔÁËÉÅ ÎÁÂÏÒÙ ÂÏÌØÛÉÍÉ ÌÁÔÉÎÓËÉÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ. õÓÔÒÏÊÓÔ×Ï ÅÒÅÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ ××ÅÄÅÎÎÙÊ × ÎÅÇÏ ÎÁÂÏÒ P × ÎÁÂÏÒ Q = '(P ). ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ' ÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÓÅËÒÅÔÅ, ÏÄÎÁËÏ ÒÏ ÎÅÇÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÎÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÂÕË× É ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÂÕË× P 1) '(aP ) = P ; 2) '(bP ) = '(P )a'(P ); 3) ÎÁÂÏÒ '( P ) ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ '(P ) ×ÙÉÓÙ×ÁÎÉÅÍ ÂÕË× × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. õÓÔÒÏÊÓÔ×Ï ÒÉÚÎÁÅÔ ÒÅÄßÑ×ÌÅÎÎÙÊ ÁÒÏÌØ ×ÅÒÎÙÍ, ÅÓÌÉ '(P )=P . îÁÒÉÍÅÒ, ÔÒÅÈÂÕË×ÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ bab Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍ ÁÒÏÌÅÍ, ÔÁË ËÁË '(bab) = '(ab)a'(ab) = bab. ðÏÄÂÅÒÉÔÅ ×ÅÒÎÙÊ ÁÒÏÌØ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË×. 2.1. ÷ ÄÒÅ×ÎÅÍ ÛÉÆÒÅ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ ó ÉÔÁÌÁ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ ÏÌÏÓËÁ ÁÉÒÕÓÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÍÁÔÙ×ÁÌÁÓØ ÎÁ ËÒÕÇÌÙÊ ÓÔÅÒÖÅÎØ ×ÉÔÏË Ë ×ÉÔËÕ ÂÅÚ ÒÏÓ×ÅÔÏ× É ÎÁÈÌÅÓÔÏ×. äÁÌÅÅ, ÒÉ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ ÓÔÅÒÖÎÑ, ÎÁ ÁÉÒÕÓ ÏÓÔÒÏÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÌÓÑ ÔÅËÓÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÌÏÓËÁ ÁÉÒÕÓÁ Ó ÚÁÉÓÁÎÎÙÍ ÎÁ ÎÅÊ ÔÅËÓÔÏÍ ÏÓÙÌÁÌÁÓØ ÁÄÒÅÓÁÔÕ, ÉÍÅÀÝÅÍÕ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÏÊ ÖÅ ÓÔÅÒÖÅÎØ, ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÌÏ ÅÍÕ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. ÷ ÎÁÛ ÁÄÒÅÓ ÏÓÔÕÉÌÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÛÉÆÒÁ ó ÉÔÁÌÁ. ïÄÎÁËÏ ÅÅ Á×ÔÏÒ, ÚÁÂÏÔÑÓØ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÓÔÒÏÞËÉ ÂÙ-

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

201

ÌÉ ÒÏ×ÎÙÅ, ×Ï ×ÒÅÍÑ ÉÓØÍÁ ÒÏ×ÏÄÉÌ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÅ ÌÉÎÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÔÁÌÉÓØ ÎÁ ÏÌÏÓËÅ × ×ÉÄÅ ÞÅÒÔÏÞÅË ÍÅÖÄÕ ÂÕË×ÁÍÉ. õÇÏÌ ÎÁËÌÏÎÁ ÜÔÉÈ ÞÅÒÔÏÞÅË Ë ËÒÁÀ ÌÅÎÔÙ ÒÁ×ÅÎ , ÛÉÒÉÎÁ ÏÌÏÓËÉ ÒÁ×ÎÁ d, Á ÛÉÒÉÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÒÁ×ÎÁ h. õËÁÖÉÔÅ, ËÁË, ÏÌØÚÕÑÓØ ÉÍÅÀÝÉÍÉÓÑ ÄÁÎÎÙÍÉ, ÒÏÞÉÔÁÔØ ÔÅËÓÔ. 2.2. éÓÈÏÄÎÏÅ ÉÆÒÏ×ÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ËÏÍÍÅÒÓÁÎÔ ÛÉÆÒÕÅÔ É ÅÒÅÄÁÅÔ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÎ ÄÅÌÉÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÆÒ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁ ÇÒÕÙ Ï ÑÔØ ÉÆÒ × ËÁÖÄÏÊ É ÏÓÌÅ Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÇÒÕ ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔ ÅÝÅ Ä×Å ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÉÆÒÙ ÓÕÍÍÙ ÞÉÓÅÌ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÜÔÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÇÒÕÁÍÉ. úÁÔÅÍ Ë ËÁÖÄÏÊ ÉÆÒÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÎ ÒÉÂÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ Ï ÎÏÍÅÒÕ ÞÌÅÎ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ÚÁÍÅÎÑÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÏÓÔÁÔËÏÍ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÅÇÏ ÎÁ 10. îÁÊÄÉÔÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÉÆÒÏ×ÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ Ï ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ: 423461405313 2.3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÉÆÒÏ×ÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÉÆÒÁ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÓÔÁÔËÏÍ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (È) = b(x3 + 7x2 + 3x + a) ÎÁ ÞÉÓÌÏ 10, ÇÄÅ a, b | ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ a, b ÕËÁÚÁÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÛÉÆÒÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ (Ô. Å. ÄÏÕÓËÁÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ). 2.4. ðÒÉ ÕÓÔÁÎÏ×ËÅ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ÚÁÍËÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ 26 ÌÁÔÉÎÓËÉÈ ÂÕË×, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÅÇÏ ËÌÁ×ÉÁÔÕÒÅ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ÌÉÛØ ÏÂÌÁÄÁÔÅÌÀ ÚÁÍËÁ. òÁÚÎÙÍ ÂÕË×ÁÍ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÏÓÌÅ ÎÁÂÏÒÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÂÕË× ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁÂÒÁÎÎÙÍ ÂÕË×ÁÍ. úÁÍÏË ÏÔËÒÙ×ÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÕÍÍÁ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 26. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÂÕË× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ, ÏÔËÒÙ×ÁÀÝÁÑ ÚÁÍÏË. 2.5. óÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÚÁÉÓÁÎÎÏÅ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ áâ÷çäåöúéëìíîïðòóõæèãþûýøùüàñ

ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÂÕË× ÜÔÏÇÏ ÖÅ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. äÌÉÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÁ ÄÌÉÎÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ûÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÏÖÅÎÉÉ ÅÅ ÏÒÑÄËÏ×ÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ Ó ÏÒÑÄËÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÂÕË×Ù ÛÉÆÒÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÚÁÍÅÎÅ ÔÁËÏÊ ÓÕÍÍÙ ÎÁ ÂÕË×Õ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ, ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 30, ÞÔÏ É ÜÔÁ ÓÕÍÍÁ.

202

çÌÁ×Á 7

÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ Ä×Á ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÏ×Ï ëïòáâìé, ÅÓÌÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÉÈ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÛÉÆÒÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ: àðãáòçûáìööå÷ãýùò÷õõ É àðñâîýíóäìöçðóçèóãã 2.6. âÕË×Ù ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÔÁÂÌÉ ÅÊ: áâ÷çäåöúé ë ì í î ï ð ò ó õ æ è ã þ û ý ø ù ü à ñ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

äÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ÂÕË×, ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ËÌÀÞ ë | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ n ÂÕË× ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. úÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÏÖÅÎÉÉ ÅÅ ÎÏÍÅÒÁ × ÔÁÂÌÉ Å Ó ÎÏÍÅÒÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÂÕË×Ù ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÚÁÍÅÎÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÎÁ ÂÕË×Õ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ, ÎÏÍÅÒ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 30, ÞÔÏ É ÜÔÁ ÓÕÍÍÁ. ðÒÏÞÔÉÔÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ: òâøîóéóòòåúïè, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÛÉÆÒÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÌÁ ÎÉËÁËÉÈ ÂÕË×, ËÒÏÍÅ á, â É ÷. 3.1. õÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÓÏÚÄÁÔØ ÒÏ×ÏÄÎÕÀ ÔÅÌÅÆÏÎÎÕÀ ÓÅÔØ Ó×ÑÚÉ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ 993 ÁÂÏÎÅÎÔÏ×, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÙÌ ÂÙ Ó×ÑÚÁÎ ÒÏ×ÎÏ Ó 99 ÄÒÕÇÉÍÉ. 3.2. ûÉÆÒÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ A = {a1 ; a2 ; : : : : : : ; an }, ÓÏÓÔÏÑÝÅÍ ÉÚ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÂÕË×, ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÚÁÍÅÎÅ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÛÉÆÒÕÅÍÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÂÕË×ÏÊ ÔÏÇÏ ÖÅ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ, ÒÉÞÅÍ ÒÁÚÎÙÅ ÂÕË×Ù ÚÁÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÍÉ. ëÌÀÞÏÍ ÛÉÆÒÁ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉ Á, × ËÏÔÏÒÏÊ ÕËÁÚÁÎÏ, ËÁËÏÊ ÂÕË×ÏÊ ÎÁÄÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ËÁÖÄÕÀ ÂÕË×Õ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ A. åÓÌÉ ÓÌÏ×Ï óòïþîï ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÌÀÞÁ: á â ÷ ç ä å ö ú é ë ì í î ï ð ò ó õ æ è ã þ û ý ø ù ü à ñ þ ñ à ü ù ø ý û ã è æ õ â ä ú ÷ ò ð í ì ë á é ï ö å ó ç î

ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÓÌÏ×Ï ÷úäáâä. úÁÛÉÆÒÏ×Á× ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÏÇÏ ÖÅ ËÌÀÞÁ ÅÝÅ ÒÁÚ, ÏÌÕÞÉÍ ÓÌÏ×Ï àûùþñù. óËÏÌØËÏ ×ÓÅÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÌÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÅÓÌÉ ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ÒÏ ÅÓÓ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÄÏÌÖÁÔØ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ? 3.3. óÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ × ÕÎËÔÅ á ÛÉÆÒÏÍ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÉÚ ÂÕË× ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ É ÚÎÁËÁ ÒÏÂÅÌÁ (-) ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ × ÕÎËÔ â ÏÔÒÅÚËÁÍÉ Ï 12 ÓÉÍ×ÏÌÏ×. ðÒÉ ÅÒÅÄÁÞÅ ÏÞÅÒÅÄÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÓÎÁÞÁÌÁ ÅÒÅÄÁÀÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÁ ÞÅÔÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÉÈ ÎÏÍÅÒÏ×, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÇÏ, Á ÚÁÔÅÍ | ÓÉÍ×ÏÌÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÁ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ (ÔÁËÖÅ × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÉÈ ÎÏÍÅÒÏ×), ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÅÒ×ÏÇÏ. ÷ ÕÎËÔÅ B ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

203

ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ÛÉÆÒÕÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ × ÔÏÍ ÖÅ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ, Á ÚÁÔÅÍ ÔÁËÉÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁË É ÉÚ ÕÎËÔÁ á, ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ × ÕÎËÔ ÷. ðÏ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÙÍ × ÕÎËÔÅ ÷ ÏÔÒÅÚËÁÍ: ó ò ó ó õ

ï ó å ð í ì

ã ë

ç ë ð å è ì

ö ä æ ï â -

ë ð ë ü é

ð ó õ ö ë ë

î ð â õ ç î

â è õ ï

ì å à ì ý ì

ö õ ï ö ð ö

ï â â ì ù ç

×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÚÎÁÑ, ÞÔÏ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÅÒÅÄÁÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÏ ÓÌÏ×Ï ëòéðïçòáæéñ. 3.4. äÁÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ C1 ; C2 ; : : : ; Cn ; : : : × ËÏÔÏÒÏÊ Cn ÅÓÔØ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ ÞÉÓÌÁ nn . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ É ÅÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÅÒÉÏÄ ÒÁ×ÅÎ 20. 3.5. éÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÂÕË× ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ É ÚÎÁËÁ ÒÏÂÅÌÁ (-) ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ × ÉÆÒÏ×ÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÁÖÄÏÇÏ ÅÇÏ ÓÉÍ×ÏÌÁ ÁÒÏÊ ÉÆÒ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÁÂÌÉ Å: á â ÷ ç ä å ö ú é ë ì í î ï ð ò ó õ æ è ã þ û ý ø ù ü à ñ 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

äÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÉÆÒÏ×ÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÔÒÅÚÏË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 3.4, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÞÌÅÎÁ Ck . ðÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ËÁÖÄÁÑ ÉÆÒÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÉÆÒÏÊ ÏÔÒÅÚËÁ É ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÉÆÒÏÊ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ. ÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ: 2339867216458160670617315588

òÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC ÒÁÚÂÉÔ ÎÁ ÞÅÔÙÒÅ ÞÁÓÔÉ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, ÇÄÅ M É N | ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ AB É BC ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ò ë ⊥ MQ É NL ⊥ MQ. ÷ ËÁËÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÔÏÞËÉ ò É Q ÄÅÌÑÔ ÓÔÏÒÏÎÕ AC , ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ Ë×ÁÄÒÁÔ? 3.6.

B M A

P

K L

N Q

C

204

çÌÁ×Á 7

òÉÓ. 6.

4.1. ëÌÀÞÏÍ ÛÉÆÒÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÒÅÛÅÔËÏÊ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÔÒÁÆÁÒÅÔ ÒÁÚÍÅÒÁ 6 × 10 ËÌÅÔÏË. ÷ ÔÒÁÆÁÒÅÔÅ ×ÙÒÅÚÁÎÙ 15 ËÌÅÔÏË ÔÁË, ÞÔÏ ÒÉ ÎÁÌÏÖÅÎÉÉ ÅÇÏ ÎÁ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÌÉÓÔ ÂÕÍÁÇÉ ÒÁÚÍÅÒÁ 6 × 10 ËÌÅÔÏË ÞÅÔÙÒØÍÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÅÇÏ ×ÙÒÅÚÙ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏËÒÙ×ÁÀÔ ×ÓÀ ÌÏÝÁÄØ ÌÉÓÔÁ. âÕË×Ù ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (ÂÅÚ ÒÏÕÓËÏ×) ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ×ÙÒÅÚÙ ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ (Ï ÓÔÒÏËÁÍ, × ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï) ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÅÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÌÏÖÅÎÉÊ. ðÒÏÞÔÉÔÅ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÔÅËÓÔ, ÅÓÌÉ ÏÓÌÅ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÌÉÓÔÅ ÂÕÍÁÇÉ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÔÅËÓÔ (ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ):

ò ï î -

ð ñ õ ð é å

ë ø æ

å á ø ú -

û ì å ù -

á ñ õ ñ ò

÷ ø á å ï

å ú ø û í -

ó ì ó

ì ó ó ï í

ëÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ 12 2 24 5 3 21 6 29 28 2 20 18 20 21 5 10 27 17 2 11 2 16 | 19 2 27 5 8 29 12 31 22 2 16, 19 2 19 5 17 29 8 29 6 29 16: 8 2 19 19 29 10 19 29 14 19 29 29 19 10 2 24 2 11 2 16 10 14 18 21 17 2 20 2 28 29 16 21 29 28 6 29 16. ÏÌÕÞÅÎÁ ÚÁÍÅÎÏÊ ÂÕË× ÎÁ ÞÉÓÌÁ (ÏÔ 1 ÄÏ 32) ÔÁË, ÞÔÏ ÒÁÚÎÙÍ ÂÕË×ÁÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ïÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÌÏ×Á ÒÁÚÄÅÌÅÎÙ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÒÏÂÅÌÁÍÉ, ÂÕË×Ù | ÏÄÎÉÍ ÒÏÂÅÌÏÍ, ÚÎÁËÉ ÒÅÉÎÁÎÉÑ ÓÏÈÒÁÎÅÎÙ. âÕË×Ù Å É £ ÎÅ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ. ðÒÏÞÔÉÔÅ ÞÅÔ×ÅÒÏÓÔÉÛÉÅ ÷. ÷ÙÓÏ ËÏÇÏ. 4.3. ûÉÆÒÏ×ÁÌØÎÙÊ ÄÉÓË ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. ïÎ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÇÏ ÄÉÓËÁ É ÓÏÏÓÎÏ ×ÒÁÝÁÀÝÅÇÏÓÑ ÎÁ ÎÅÍ ÄÉÓËÁ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. îÁ ÏÂÏÉÈ ÄÉÓËÁÈ ÎÁÎÅÓÅÎÙ ÉÆÒÙ ÏÔ 0 ÄÏ 9, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ 10-ÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÄÉÓËÉ. ãÉÆÒÁ X ÎÁ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÍ ÄÉÓËÅ ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ × ÉÆÒÕ Y ÏÄ×ÉÖÎÏÇÏ ÄÉÓËÁ, ÌÅÖÁÝÕÀ ÎÁ ÔÏÍ ÖÅ ÒÁÄÉÕÓÅ, ÞÔÏ É X . äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ 10-ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÂÅÚ ÔÒÁÎÓÏÒÔÉÒÁ ÎÁÄÏ ÕÍÅÔØ ÓÔÒÏÉÔØ ÕÇÏÌ × 36◦ . ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ 0,1 ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÔÁËÏÇÏ ÕÇÌÁ ÂÅÚ ÔÁÂÌÉ É ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÁ. 4.4. úÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÒÁÚÙ ÎÁ ÌÁÔÉÎÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÏ × Ä×Á ÜÔÁÁ. îÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÔÅËÓÔÁ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ (ÏÓÌÅÄÎÑÑ Z ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÅÒ×ÕÀ A). îÁ 4.2.

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

205

×ÔÏÒÏÍ ÜÔÁÅ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÛÉÆÒ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍÅÎÙ Ó ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ. åÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÚÁÍÅÎÅ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÛÉÆÒÕÅÍÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÂÕË×ÏÊ ÔÏÇÏ ÖÅ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ, ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÁÚÎÙÅ ÂÕË×Ù ÚÁÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ. ëÌÀÞÏÍ ÔÁËÏÇÏ ÛÉÆÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉ Á, × ËÏÔÏÒÏÊ ÕËÁÚÁÎÏ, ËÁËÏÊ ÂÕË×ÏÊ ÎÁÄÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ËÁÖÄÕÀ ÂÕË×Õ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ðÏ ÄÁÎÎÏÍÕ ÛÉÆÒÔÅËÓÔÕ OSZJX FXRE YOQJSZ RAYFJ

×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ (ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ) ËÌÀÞÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÒÑÄËÁ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÜÔÁÏ× ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ðÒÏÂÅÌÙ × ÔÅËÓÔÅ ÒÁÚÄÅÌÑÀÔ ÓÌÏ×Á. ìÁÔÉÎÓËÉÊ ÁÌÆÁ×ÉÔ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ 24 ÂÕË×: A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Y Z.

4.5.

ÔÁ

äÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ ÔÅÌÅÔÁÊÁ, ÅÞÁÔÁÀÝÅÇÏ ÂÕË×ÁÍÉ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×Éáâ÷çäå³öúéêëìíîïðòóõæèãþûýÿùøüàñ

ÅÒÅÄÁÎ ÎÁÂÏÒ ÉÚ 9 ÓÌÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ×ÓÅ 33 ÂÕË×Ù ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÅÉÓÒÁ×ÎÏÓÔÉ ÔÅÌÅÔÁÊÁ ÎÁ ÒÉÅÍÎÏÍ ËÏÎ Å ÏÌÕÞÅÎÙ ÓÌÏ×Á çÿê áüå âðòë åöýà îíøþ óùìú ûäõ ãèï ñæ÷é

÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÔÅËÓÔ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÎÅÉÓÒÁ×ÎÏÓÔÉ ÔÁËÏ×, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ, ÏÔÓÔÏÑÝÅÊ ÏÔ ÎÅÅ × ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÎÅ ÄÁÌØÛÅ, ÞÅÍ ÎÁ Ä×Å ÂÕË×Ù. îÁÒÉÍÅÒ, ÂÕË×Á â ÍÏÖÅÔ ÅÒÅÊÔÉ × ÏÄÎÕ ÉÚ ÂÕË× {á, â, ÷, ç}. 4.6. éÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÉÚ ÂÕË× ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ × ÞÉÓÌÏ×ÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÁÖÄÏÊ ÅÇÏ ÂÕË×Ù ÞÉÓÌÏÍ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÁÂÌÉ Å: á â ÷ ç ä å ö ú é ë ì í î ï ð ò ó õ æ è ã þ û ý ø ù ü à ñ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

äÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÏ×ÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÛÉÆÒÕÀÝÉÊ ÏÔÒÅÚÏË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A1 ; A2 ; : : : ÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ÄÌÉÎÙ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ Ó A100 . ðÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ËÁÖÄÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÉÓÌÏ×ÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ÛÉÆÒÕÀÝÅÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ. úÁÔÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÎÁ 30, ËÏÔÏÒÙÊ Ï ÄÁÎÎÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ. ÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ëåîúüòå, ÅÓÌÉ ÛÉÆÒÕÀÝÉÊ ÏÔÒÅÚÏË ×ÚÑÔ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ A1 = 3 É Ak+1 = Ak + 3(k2 + k + 1) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ k. 4.7. þÔÏÂÙ ÚÁÏÍÎÉÔØ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉ ÍÅÎÑÀÝÉÊÓÑ ÁÒÏÌØ × ü÷í, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÉÄÕÍÁÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÓÏÓÏÂ. ðÒÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÞÉÓÌÅ a (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÏÍÅÒÅ ÍÅÓÑ Á × ÇÏÄÕ), ÁÒÏÌØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÅÒ×ÙÅ ÛÅÓÔØ

206

çÌÁ×Á 7

ÉÆÒ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

x 1+ : a (þÉÓÌÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÚÎÁÞÎÏÓÔÉ ÄÏÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÒÁ×Á ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÎÕÌÅÊ.) òÅÛÉÔÅ ÔÁËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ a > 0. 5.1. ëÏÍÂÉÎÁ ÉÑ (x; y; z ) ÔÒÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÌÅÖÁÝÉÈ × ÄÉÁÁÚ ÏÎÅ ÏÔ 10 ÄÏ 20 ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÉÒÁ ÀÝÅÊ ÄÌÑ ËÏÄ Ï×ÏÇÏ ÚÁÍËÁ, ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ F (x; y; z ) = 99. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÏÔÉÒÁÀÝÉÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÄÌÑ ÚÁÍËÁ Ó F (x; y; z ) = 3x2 − y2 − 7z: 5.2. óÏÏÂÝÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÏÓÔÒÏÞ ÎÏ ÚÁ ÉÓ ÁÎÏ × ÔÁÂÌÉ Õ, ÉÍÅ ÀÝÕÀ 20 ÓÔÏÌÂ Ï×. ðÒÉ ÜÔÏÍ × ËÁÖÄÕÀ ËÌÅÔËÕ ÔÁÂÌÉ Ù ÚÁÉÓÙ×ÁÌÏÓØ Ï ÏÄÎÏ Ê ÂÕË×Å ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÒÏÂÅÌÙ ÍÅÖÄÕ Ó ÌÏ×ÁÍÉ ÂÙÌÉ ÏÕÝÅÎÙ, Á ÚÎ ÁËÉ ÒÅÉÎÁÎÉ Ñ ÚÁÍÅÎÅÎÙ ÎÁ ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ: Ô ÏÞËÁ | þë, ÚÁÑÔÁÑ | úð. úÁÔÅ Í ÓÔÏÌÂ Ù ÔÁÂÌÉ Ù ÂÙÌÉ ÎÅË ÏÔÏÒÙÍ ÏÂÒÁ ÚÏÍ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÅÎÙ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ ÂÙÌ ÏÌÕÞÅÎ ÔÅË ÓÔ: a(x2 − 1) =

ñ ê þ î ù é

î ì ò õ ë

ì ä ì ä ó

÷ á þ á ï é

ë ì é å å -

ò æ å ò í

á ù ó å ð þ

ä é í â ð î

ï ð ï ù ï

å å î ù ý -

õ ä å ÷ -

r

å é ë å á å

ò ï è ú î -

ç ï é é é ì

ï ç î ï ð õ

í å î ì

é ä é î ñ -

ú â ë ù ú

ñ ï å þ ó -

å ò ï ä ì ö

ðÒÏÞÔÉÔÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. 5.3. éÚ ÔÏÞËÉ ï × ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÎÁ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÙ AB , BC , AC ÏÕÝÅÎÙ ÅÒÅÎ ÄÉËÕÌÑÒÙ OP , OQ, OR. äÏËÁ ÖÉÔÅ, ÞÔÏ OA + OB + + OC > 2(OP + OQ + OR). 5.4. úÁÛ ÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÚÁÍÅÎÅ ÂÕË× ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÎÁ ÁÒÙ ÉÆÒ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ (ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÔÏÌ ØËÏ ÏÔÒÁ×É ÔÅÌÀ É ÏÌÕÞÁÔÅÌÀ) Ô ÁÂÌÉ ÅÊ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁÚÎÙÍ ÂÕË×ÁÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÓÏÏÔ×Å ÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÁÒÙ ÉÆÒ. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÕ ÄÁÌÉ ÚÁÄÁÎÉÅ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÔÅË ÓÔ. ÷ ËÁËÏÍ Ó ÌÕÞÁÅ ÅÍÕ ÂÕÄÅÔ ÌÅÇÞÅ ×ÙÏÌÎÉÔØ Ú ÁÄÁ ÎÉÅ: ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÒ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ | ÔÅÒÍÏÍÅÔÒ ÉÌÉ ÞÔÏ ÅÒ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÒÏËÉ | ÒÅÍÏÎÔ? ïÂÏÓÎÕÊÔÅ Ó×ÏÊ ÏÔ×ÅÔ. (ðÒÅÄ ÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÔÁ ÂÌÉ Á ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÕ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁ). 5.5. òÅÛÉÔÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: √

√

√

q

√

3x + 1 3x + 71 − (7 + 2x − 1) 2x + 14 2x − 1 + 118 = 0: 5.6. ðÒÉ ÅÒÅÄÁÞ Å ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÛÉÆÒ. ðÕÓÔØ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÔÒÅÈ ÛÉ ÆÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÔÅËÓÔÏ×

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

207

êíù÷ïóøìëÿç÷ãáññ õëíáðïþóòëý÷úáè ûíæüïçþóêÿëæø÷ùåáëë ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÌÏ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ íïóë÷á. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÒÁÓÛÉÆÒÏ-

×ÁÔØ ÔÒÉ ÔÅËÓÔÁ

ðåïéò÷îíïìáòçåéáî÷éìåäîíááçäøëõâþëçåéûîåéáñòñ ìóéåíçïòëòïíé÷á÷ëîïðëòáóåïçîáøåð òðáéïí÷ó÷éåïâðòïåîîéçøëååáíáì÷äøóïõíþûóåïîûøéáñë

ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ Ä×ÕÍ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. óÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ËÒÙÌÁÔÙÅ ÆÒÁÚÙ. 6.1. ÷ ÓÉÓÔÅÍÅ Ó×ÑÚÉ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÊ ÉÚ 1997 ÁÂÏÎÅÎÔÏ×, ËÁÖÄÙÊ ÁÂÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÁÎ ÒÏ×ÎÏ Ó N ÄÒÕÇÉÍÉ. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ N . 6.2. ë×ÁÄÒÁÔÎÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÒÁÚÍÅÒÏÍ 1997 × 1997 ÚÁÏÌÎÅÎÁ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 1997 ÔÁË, ÞÔÏ × ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ÏÔ 1 ÄÏ 1997. îÁÊÄÉÔÅ ÓÕÍÍÕ ÞÉÓÅÌ, ÓÔÏÑÝÉÈ ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ÌÅ×ÙÊ ×ÅÒÈÎÉÊ É ÒÁ×ÙÊ ÎÉÖÎÉÊ ÕÇÌÙ ÔÁÂÌÉ Ù, ÅÓÌÉ ÚÁÏÌÎÅÎÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. 6.3. ÅËÓÔ í é é é

é ó û ã

í á é ÷

ï æ ó ù

ð å á é

ò é î ð

á é î é

ó â ó ñ

ï ê ä

å å ó ð

á é

é ë ï ý

ò ö ï ð

á ò ì ø

ó ç ð

é ì ì ó

ó å å å

ð ï ñ à

ä ìï õ ññ

õ þ ã è

ý í å å

æ ä à û

í ÷ ý ò

û ë æ

ð û ð ç

ä â í ä

ò å å é

å å þ æ

ã þ ð ò

þ ä í ó

å æ å ñ

û ü ò ù

à ð ý ì

û ê í ë

þ ý å ä

ä ç ï æ

á û æ æ

ë æ þ å

ÏÌÕÞÅÎ ÉÚ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÅÇÏ ÂÕË×. ÅËÓÔ å ý ý å

ÏÌÕÞÅÎ ÉÚ ÔÏÇÏ ÖÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÎÁ ÄÒÕÇÕÀ ÂÕË×Õ ÔÁË, ÞÔÏ ÒÁÚÎÙÅ ÂÕË×Ù ÚÁÍÅÎÅÎÙ ÒÁÚÎÙÍÉ, Á ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ | ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ. ÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. 6.4. îÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÔÒÅÈ ÏÓÅÊ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ Ï ÏÄÎÏÊ ×ÒÁÝÁÀÝÅÊÓÑ ÛÅÓÔÅÒÅÎËÅ É ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ. ûÅÓÔÅÒÅÎËÉ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ. îÁ ÅÒ×ÏÊ ÛÅÓÔÅÒÅÎËÅ 33 ÚÕÂ Á, ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ | 10, ÎÁ ÔÒÅÔØÅÊ | 7. îÁ ËÁÖÄÏÍ ÚÕÂ Å ÅÒ×ÏÊ ÛÅÓÔÅÒÅÎËÉ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ ÎÁÉÓÁÎÏ Ï ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Å ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ: áâ÷çäå³öúéêëìíîïðòóõæèãþûýÿùøüàñ

îÁ ÚÕÂ ÁÈ ×ÔÏÒÏÊ É ÔÒÅÔØÅÊ ÛÅÓÔÅÒÅÎËÉ × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ ÎÁÉÓÁÎÙ ÉÆÒÙ ÏÔ 0 ÄÏ 9 É ÏÔ 0 ÄÏ 6 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ëÏÇÄÁ ÓÔÒÅÌËÁ ÅÒ×ÏÊ ÏÓÉ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÁ ÂÕË×Õ, ÓÔÒÅÌËÉ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ÏÓÅÊ ÕËÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÁ ÉÆÒÙ.

208

çÌÁ×Á 7

âÕË×Ù ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÛÉÆÒÕÀÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ. úÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÅÒ×ÏÊ ÛÅÓÔÅÒÅÎËÉ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ ÄÏ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÁÄÁÎÉÑ ÛÉÆÒÕÅÍÏÊ ÂÕË×Ù ÏÄ ÓÔÒÅÌËÕ. ÷ ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÆÒÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÕËÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÔÏÒÁÑ É ÔÒÅÔØÑ ÓÔÒÅÌËÉ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÒÅÌËÁ 1-ÇÏ ËÏÌÅÓÁ ÕËÁÚÙ×ÁÌÁ ÎÁ ÂÕË×Õ á, Á ÓÔÒÅÌËÉ 2-ÇÏ É 3-ÇÏ ËÏÌÅÓ | ÎÁ ÉÆÒÕ 0. Á) ÚÁÛÉÆÒÕÊÔÅ ÓÌÏ×Ï ï ì é í ð é á ä á; Â) ÒÁÓÛÉÆÒÕÊÔÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ 2 4 8 0 9 2 8 3 9 1 1 2 1 1. 6.5. ãÉÆÒÙ ÏÔ 1 ÄÏ 9 ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. ðÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÆÒÏ×ÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ËÁÖÄÁÑ ÏÔÌÉÞÎÁÑ ÏÔ 0 ÉÆÒÁ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÓÏÓÅÄÎÀÀ Ó ÎÅÊ ÉÆÒÕ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ, Á ÒÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ | ÎÁ ÓÏÓÅÄÎÀÀ Ó ÎÅÊ ÉÆÒÕ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ. ãÉÆÒÁ 0 ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ. õËÁÖÉÔÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÑÄÏË ÉÆÒ ÎÁ ÄÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ Ï Ä×ÕÍ ÉÆÒÏ×ÙÍ ÔÅËÓÔÁÍ | ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÉÆÒÏ×ÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. 6.6. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ Ò ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a1 ; a2 ; a3 ; : : : Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ 2, ÅÓÌÉ an ÒÁ×ÎÏ ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ pn+2 ÎÁ 24 ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1. 6.7. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ : : : | x − a| − a − : : : − = 1996: | | {z } {z } 1996 ÒÁÚ 1996 ÒÁÚ

ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ 1997 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. 7.1. ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÊ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÒÏ×ÏÄÎÏÊ ÓÅÔÉ Ó×ÑÚÉ ÉÚ 10 ÕÚÌÏ×, ÞÔÏÂÙ ÒÉ ×ÙÈÏÄÅ ÉÚ ÓÔÒÏÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÕÚÌÏ× Ó×ÑÚÉ ÓÏÈÒÁÎÑÌÁÓØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÏÓÔÁ×ÛÉÍÉÓÑ (ÈÏÔÑ ÂÙ Ï ÅÏÞËÅ ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÉÅ ÕÚÌÙ)? 7.2. ÷ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÓÅÔÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÁÒÏÌÉ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ ÉÆÒ. þÔÏÂÙ ÉÚÂÅÖÁÔØ ÈÉÝÅÎÉÑ ÁÒÏÌÅÊ, ÉÈ ÈÒÁÎÑÔ ÎÁ ÄÉÓËÅ × ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÉÄÅ. ðÒÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÁÒÏÌÑ. úÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÁÒÏÌÑ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÏÓÉÍ×ÏÌØÎÏ ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ. ðÅÒ×ÁÑ ÉÆÒÁ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ, Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ËÁÖÄÏÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÉÆÒÙ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÎÅÅ É ÏÔ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÉÆÒÙ. éÚ×ÅÓÔÅÎ ÓÉÓÏË ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ: 4249188780319, 4245133784397, 5393511, 428540012393,

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

209

4262271910365, 4252370031465, 4245133784735 É Ä×Á ÁÒÏÌÑ 4208212275831, 4242592823026, ÉÍÅÀÝÉÅÓÑ × ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÉÄÅ × ÜÔÏÍ ÓÉÓËÅ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÁËÉÅ-ÌÉÂÏ ÄÒÕÇÉÅ ÁÒÏÌÉ? åÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÉÈ. 7.3. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÂÕË× ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ: âéðþøìïñþùøïðõîîïîúìöáþïøïõîéõèîéððïìïøþïåìïìó

ðÒÏÞÔÉÔÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÂÙÌÏ ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÄÌÉÎÙ r, × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÕË×Ù ÅÒÅÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ. âÕË×Á ÏÔÒÅÚËÁ, ÉÍÅÀÝÁÑ ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ È (È = 1; 2; : : : ; r), × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÏÔÒÅÚËÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ f (x) = ax ⊕ b, ÇÄÅ a É b | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ax ⊕ b ÒÁ×ÎÏ ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ ax + b ÎÁ r, ÅÓÌÉ ÏÓÔÁÔÏË ÎÅ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ, É ÒÁ×ÎÏ r, ÅÓÌÉ ÏÓÔÁÔÏË ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ. 7.4. úÎÁÍÅÎÉÔÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ìÅÏÎÁÒÄ üÊÌÅÒ × 1759 Ç. ÎÁÛÅÌ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ ÏÂÈÏÄÁ ä ì ò é ì ð î â ×ÓÅÈ ËÌÅÔÏË ÛÁÈÍÁÔÎÏÊ ÄÏÓËÉ ÈÏÄÏÍ ËÏÎÑ ÒÏ×- õ ë á ï õ ó ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ. ðÒÏÞÔÉÔÅ ÔÅËÓÔ, ×ÉÓÁÎÎÙÊ ï ï ï á î ï é ò × ËÌÅÔËÉ ÛÁÈÍÁÔÎÏÊ ÄÏÓËÉ Ï ÔÁËÏÍÕ ÍÁÒÛÒÕ- â ç ë õ ë ë ï å ï ò á ÷ ï ÔÕ (ÓÍ. ÒÉÓ. 7). îÁÞÁÌÏ ÔÅËÓÔÁ × a4. ë ä ç ð ÷ ì å 7.5. ðÒÉ a > 0, b > 0, > 0 ÄÏËÁÖÉÔÅ ÎÅÒÁ á î ò í á ç ï ×ÅÎÓÔ×Ï: å á ï ÷ é ä õ ì 1 a3 + b3 + 3 + 6ab > (a + b + )3 : 4 òÉÓ. 7. 7.6. äÌÑ ÒÉÓÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÂÏÌØÛÏÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÄÏÓËÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÍÅÌ Ó Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍ ÓÅÞÅÎÉÅÍ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1 ÓÍ. ðÒÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ÍÅÌÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÓÅÞÅÎÉÑ ×ÓÅÇÄÁ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ËÒÁÑÍ ÄÏÓËÉ. ëÁË ÎÁÞÅÒÔÉÔØ ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÌÏÝÁÄØÀ 1 Í2 Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÌÏÝÁÄØÀ ÇÒÁÎÉ Ù (ÌÏÝÁÄØ ÇÒÁÎÉ Ù ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÌÏÝÁÄØ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ)? 7.7. ãÉÆÒÙ 0; 1; : : : ; 9 ÒÁÚÂÉÔÙ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÇÒÕ. éÚ ÉÆÒ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÕÙ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÄÌÑ ÚÁÉÓÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ÉÆÒÙ ÇÒÕÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ (ÕÞÉÔÙ×ÁÀÔÓÑ É ÚÁÉÓÉ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅÓÑ Ó ÎÕÌÑ). ÷ÓÅ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÒÁÓÏÌÏÖÉÌÉ × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ É k-ÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÏÓÔÁ×ÉÌÉ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ k-ÕÀ ÂÕË×Õ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ áâ÷çäå³öúéêëìíîïðòóõæèãþûýÿùøüàñ

ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Å ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÏ É ËÁÖÄÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÂÕË×Á. ûÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÅÊ ÞÉÓÌÏÍ. åÓÌÉ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÎÕÌÑ, ÔÏ ÒÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÏÔ ÎÕÌØ ÎÅ ×ÙÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ.

210

çÌÁ×Á 7

÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ 873146507381 É ÕËÁÖÉÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÚÁÍÅÎÙ ÂÕË×

ÞÉÓÌÁÍÉ.

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

211

îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÜÍÂÌÅÍÁ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. ïÎÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÕÀ ÌÅÎÔÕ, ÓÌÏÖÅÎÎÕÀ ÔÁË, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÉÅÓÑ ÒÏÓ×ÅÔÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ. åÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÍÅÓÔÅ ÌÅÎÔÕ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏ Ë ÅÅ ËÒÁÑÍ É ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔØ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË. îÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎ. 8.2. óÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ ÉÚ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ , ÛÉÆÒÕÅÔÓÑ Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÒÉ òÉÓ. 8. ÅÒ×ÏÍ ÓÏÓÏÂÅ ËÁÖÄÙÊ ÎÕÌØ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ k1 ÎÕÌÅÊ É ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÚÁ ÎÉÍÉ k2 ÅÄÉÎÉ , Á ËÁÖÄÁÑ ÅÄÉÎÉ Á ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ k3 ÎÕÌÅÊ. ðÒÉ ×ÔÏÒÏÍ ÓÏÓÏÂÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ËÁÖÄÁÑ ÅÄÉÎÉ Á ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ k4 ÅÄÉÎÉ É ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÚÁ ÎÉÍÉ k5 ÎÕÌÅÊ, Á ËÁÖÄÙÊ ÎÕÌØ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ k6 ÎÕÌÅÊ. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ki , i = 1; 2; : : : ; 6, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÂÕÄÅÔ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÏ ÏÂÏÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ? õËÁÖÉÔÅ ÏÂÝÉÊ ×ÉÄ ÔÁËÉÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. 8.3. óÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÏÄÌÅÖÁÝÅÅ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÀ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÉÆÒÏ×ÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÉÚ ÄÁÔ ÒÏÖÄÅÎÉÑ 6 ÞÌÅÎÏ× ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. ëÁÖÄÁÑ ÄÁÔÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÚ 8 ÉÆÒ, ÅÒ×ÙÅ Ä×Å ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÄÅÎØ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Å | ÍÅÓÑ , Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ | ÇÏÄ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÁÔÁ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ×ÅÌÉËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ì. üÊÌÅÒÁ 4 ÁÒÅÌÑ 1707 ÇÏÄÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 04041707. äÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ËÌÀÞÅ×ÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÉÎÙ 48. äÌÑ ÅÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×ÓÅ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÍÅÎØÛÉÅ 100, ×ÙÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÚÁÑÔÕÀ × ÔÁËÏÍ ÏÒÑÄËÅ, ÞÔÏ ÍÏÄÕÌØ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÞÉÓÅÌ ÅÓÔØ ÔÁ ÉÌÉ ÉÎÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÞÉÓÌÁ 2. ðÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÙÉÓÁÎÏ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, Á ÞÉÓÌÁ 3, 5 É 7 ÚÁÉÓÁÎÙ × ×ÉÄÅ 03, 05 É 07 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. õÄÁÌÉ× ÚÁÑÔÙÅ ÉÚ ÚÁÉÓÉ ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÉÍ ÉÓËÏÍÕÀ ËÌÀÞÅ×ÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. ðÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÆÒÏ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÅÅ ÉÆÒÙ ÏÞÌÅÎÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÉÆÒÁÍÉ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÅÅ ÏÓÔÁÔËÏÍ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 10. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ: 8.1.

150220454213266744305682533362327363924975709849

ïÒÅÄÅÌÉÔÅ ÄÁÔÙ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÞÌÅÎÏ× ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ ÏÌÉÍÉÁÄÙ.

212

çÌÁ×Á 7

8.4. ë×ÁÄÒÁÔ ÒÁÚÍÅÒÁ 13 × 13 ÒÁÚÂÉÔ ÎÁ ËÌÅÔËÉ ÒÁÚÍÅÒÁ 1 × 1. ÷ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ËÌÅÔËÉ ÏËÒÁÛÅÎÙ × ÞÅÒÎÙÊ ×ÅÔ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ | × ÂÅÌÙÊ. ðÏ ËÌÅÔËÁÍ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÒÙÇÁÅÔ ëÒÉÔÏÛÁ. ÷ ÍÏÍÅÎÔ ÏÁÄÁÎÉÑ ëÒÉÔÏÛÉ × ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ËÌÅÔËÕ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ×ÅÔÁ ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ Õ ×ÓÅÈ ÔÅÈ ËÌÅÔÏË, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ ÅÎÔÒÏ× ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏ ÅÎÔÒÁ ËÌÅÔËÉ Ó ëÒÉÔÏÛÅÊ ÅÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ëÒÉÔÏÛÁ ÏÂÙ×ÁÌ × ËÁÖÄÏÊ ËÌÅÔòÉÓ. ËÅ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÒÏ×ÎÏ 1999 ÒÁÚ, Ë×ÁÄÒÁÔ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÙÍ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ. ÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ×ÅÔ ×ÓÅÈ ËÌÅÔÏË Ë×ÁÄÒÁÔÁ × ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ. 8.5. äÌÑ ×ÓÅÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ a, b ÒÅÛÉÔÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ a b = : 1 − bx 1 − ax

9.

òÁÚÌÏÖÉÔÅ ÞÉÓÌÏ 230 + 1 ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. 9.1. óÕÍÍÏÊ Ä×ÕÈ ÂÕË× ÎÁÚÏ×£Í ÂÕË×Õ, ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ ËÏÔÏÒÏÊ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ ÞÉÓÌÏ ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ, ÞÔÏ É ÓÕÍÍÁ ÏÒÑÄËÏ×ÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÉÓÈÏÄÎÙÈ Ä×ÕÈ ÂÕË×. óÕÍÍÏÊ Ä×ÕÈ ÂÕË×ÅÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÄÌÉÎÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÂÕË×ÅÎÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÔÏÊ ÖÅ ÄÌÉÎÙ, ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ ÂÕË× ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÓÔÏÑÝÉÈ ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÍÅÓÔÁÈ. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ 33 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÂÕË× ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ, ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ Ó ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÂÕË×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÓÏÂÏÊ ÓÁÍ ÜÔÏÔ ÁÌÆÁ×ÉÔ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÕË×. Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÌÀÂÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÚ 26 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÂÕË× ÁÎÇÌÉÊÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ Ó ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÂÕË×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÓÏÂÏÊ ÓÁÍ ÜÔÏÔ ÁÌÆÁ×ÉÔ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ Ä×ÕÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÕË×. 9.2. îÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ ÂÕË× ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ 8.6.

áâ÷çäå³öúéêëìíîïðòóõæèãþûýÿùøüàñ

19491999 ÒÁÚ ÒÉÂÁ×ÉÌÉ Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÚÁÄÁÞÉ 9.1 Ë ÓÌÏ×Õ ëòéðïûá. ðÏÌÕÞÉÌÉ ÓÌÏ×Ï áîáìééë. îÁÊÄÉÔÅ ÜÔÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ ÎÁÄÏ ÒÉÂÁ×ÉÔØ ÅÅ Ë ÓÌÏ×Õ áîáìééë, ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÓÌÏ×Ï ëòéðïûá? 9.3. ëÁÖÄÕÀ ÂÕË×Õ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÚÁÍÅÎÉÌÉ ÅÅ Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÍ ÏÒÑÄËÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ × ÒÕÓÓËÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÁÂÌÉ Å

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

213

á â ÷ ç ä å ³ ö ú é ê ë ì í î ï ð 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 ò ó õ æ è ã þ û ý ÿ ù ø ü à ñ 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

ðÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÉÆÒÏ×ÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÁÚÂÉÌÉ (ÓÒÁ×Á ÎÁÌÅ×Ï) ÎÁ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÅ ÉÆÒÏ×ÙÅ ÇÒÕÙ ÂÅÚ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ É ÒÏÕÓËÏ×. úÁÔÅÍ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÕÍÎÏÖÉÌÉ ÎÁ 77 É ÏÓÔÁ×ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÔÒÉ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÉÆÒÙ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÆÒ: 317564404970017677550547850355: ÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. 9.4. ëÌÅÔËÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 4 × 4 ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÌÉ ÔÁË, ÞÔÏ ËÌÅÔËÁ × ÒÁ×ÏÍ ÎÉÖÎÅÍ ÕÇÌÕ ÏÌÕÞÉÌÁ ÎÏÍÅÒ 1, Á ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÏÌÕÞÉÌÉ ÒÁÚÎÙÅ ÎÏÍÅÒÁ ÏÔ 2 ÄÏ 16. ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÙ ÎÏÍÅÒÏ× ËÌÅÔÏË ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ, ËÁÖÄÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á, Á ÔÁËÖÅ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ Ä×ÕÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù (ÍÁÇÉÞÅÓËÉÊ Ë×ÁÄÒÁÔ). ëÌÅÔËÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÚÁÏÌÎÉÌÉ ÂÕË×ÁÍÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÔÁË, ÞÔÏ ÅÇÏ ÅÒ×ÁÑ ÂÕË×Á ÏÁÌÁ × ËÌÅÔËÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 1, ×ÔÏÒÁÑ | × ËÌÅÔËÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 2 É Ô. Ä. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÓÔÒÏÞÎÏÇÏ ×ÙÉÓÙ×ÁÎÉÑ ÂÕË× ÚÁÏÌÎÅÎÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ (ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï É Ó×ÅÒÈÕ ×ÎÉÚ) ÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕË× ù ò å õ ó å ÷ ø á â å ÷ ë ð. ÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÍÁÇÉÞÅÓËÉÊ Ë×ÁÄÒÁÔ É ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. 9.5. ïËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÁ 5 Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏÓØ ÁÂÓ ÉÓÓ × ÔÏÞËÁÈ A(−5; 0) É D(5; 0). õËÁÖÉÔÅ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË B , C É å , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÞÅÔÙÒÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ: (1) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅË ÷ , C É å | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ; (2) ÏÒÄÉÎÁÔÁ ÔÏÞËÉ å ÍÅÎØÛÅ ÎÕÌÑ, Á ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅË ÷ É C ÂÏÌØÛÅ ÎÕÌÑ; (3) ÁÂÓ ÉÓÓÁ ÔÏÞËÉ ÷ ÍÅÎØÛÅ ÁÂÓ ÉÓÓÙ ÔÏÞËÉ C ; (4) ÓÕÍÍÁ ÌÏÝÁÄÅÊ ÞÁÓÔÅÊ ËÒÕÇÁ, ÌÅÖÁÝÉÈ ×ÎÕÔÒÉ ÕÇÌÏ× ABE É ECD ÒÁ×ÎÁ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÌÏÝÁÄÉ ËÒÕÇÁ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ. 9.6. äÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÒÅÛÉÔÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï p p −x2 − x − 0;25 + a2 > 1 + −x2 + x + 3;75 :

214

çÌÁ×Á 7

6. õËÁÚÁÎÉÑ É ÒÅÛÅÎÉÑ

÷ÓÅ ËÌÅÔËÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÒÁÚÍÅÒÁ n × n ÒÁÚÏÂØÅÍ ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÇÒÕÙ Ï ÞÅÔÙÒÅ ËÌÅÔËÉ × 1 2 3 4 5 1 ËÁÖÄÏÊ. ïÔÎÅÓÅÍ ËÌÅÔËÉ Ë ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÇÒÕ- 5 6 7 8 6 2 Å, ÅÓÌÉ ÒÉ ËÁÖÄÏÍ Ï×ÏÒÏÔÅ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÄÏ ÅÇÏ ÓÁ- 4 8 9 9 7 3 ÍÏÓÏ×ÍÅÝÅÎÉÑ ÏÎÉ ÅÒÅÍÅÝÁÀÔÓÑ ÎÁ ÍÅÓÔÁ ËÌÅÔÏË 3 7 9 9 8 4 ÜÔÏÊ ÖÅ ÇÒÕÙ. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÏËÁÚÁÎÏ ÔÁËÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÎÁ ÇÒÕÙ ×ÓÅÈ ËÌÅÔÏË Ë×ÁÄÒÁÔÁ 6 × 6, ÒÉÞÅÍ 2 6 8 7 6 5 ËÌÅÔËÉ ÏÄÎÏÊ ÇÒÕÙ ÏÍÅÞÅÎÙ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ É- 1 5 4 3 2 1 ÆÒÏÊ. ÷ÓÅÇÏ ÔÁËÉÈ ÇÒÕ ÂÕÄÅÔ n2 =4 ( ÅÌÏÅ, ÔÁË ËÁË n | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). ðÒÉ ÎÁÌÏÖÅÎÉÉ ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ËÌÅÔËÁ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÕÙ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÏÄ ÅÇÏ ×ÙÒÅÚÁÍÉ. ëÁÖÄÏÍÕ ÔÒÁÆÁÒÅÔÕ ÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ×ÓÅÈ ËÌÅÔÏË ÉÚ ÔÁËÉÈ ÇÒÕ, ÏËÁÚÁ×ÛÉÈÓÑ ÏÄ ×ÙÒÅÚÁÍÉ ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ ÒÉ ÎÁÌÏÖÅÎÉÉ ÅÇÏ ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔ ÏÍÅÞÅÎÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ ××ÅÒÈ. ÁËÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÏÍÕ ËÌÀÞÕ ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÉÚ n2 =4 ËÌÅÔÏË (Ï ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÕÙ), ×ÙÒÅÚÁÎÎÙÈ × ÔÒÁÆÁÒÅÔÅ, É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. ÷ÓÅÇÏ ÔÁËÉÈ ÎÁÂÏ2 ÒÏ× 4n =4 . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÞÅÔÙÒÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ×ÙÂÏÒÁ ËÌÅÔËÉ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÕÙ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ËÌÅÔÏË ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ ÔÁËÉÈ ÇÒÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ÛÉÆÒÁ 2 Ï×ÏÒÏÔÎÁÑ ÒÅÛÅÔËÁ ÒÉ ÞÅÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ÒÁ×ÎÏ 4n =4 . 2 4 1.2. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ f (x) = (x + 3x + 1)(x + x + 1) + 2. ïÔÓÀÄÁ f (x1 ) = f (x2 ) = 2, ÇÄÅ x1 ; x2 | ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x2 + 3x + 1. ðÏÌÕÞÁÅÍ 1.1.

âÕË×Á Û.Ó. æ ÷ í å îÏÍÅÒ 22 3 14 7

ö é ÷ æ à 8 20 10 3 22 32

îÏÍÅÒ 20 1 12 5 âÕË×Á Ï.Ó. á ë ä

6 18 8 å ò ö

1 20 30 á ø

ïÔ×ÅÔ : áëäåòöáø 1.3.

ïÔ×ÅÔ : ÎÁÞÉÎÁÑ Ó 54.

òÁÚÌÏÖÉÍ ÞÉÓÌÁ m É d ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ: d = 6 = 2 · 3; m = 6930 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÕË×ÏÊ t ÞÉÓÌÏ m=d, ÒÁ×ÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ 3 · 5 · 7 · 11. îÁÊÄÅÍ ×ÓÅ ÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÉ q ×ÉÄÁ: q = 3x5y 7z 11u , ÇÄÅ ÞÉÓÌÁ x, y, z É u ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÔÏÌØËÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0 É 1. ÏÇÄÁ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÉÓÌÁ q É t=q ÏËÁÖÕÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÍÉ. ðÏÌÁÇÁÑ Á = dq É b = dt=q, ÏÌÕÞÉÍ ×ÓÅ ÉÓËÏÍÙÅ ÁÒÙ (a; b). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, × ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÔÁËÏÊ ÁÒÙ ÒÁ×ÅÎ d, Á ÅÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÏÂÝÅÅ ËÒÁÔÎÏÅ ÒÁ×ÎÏ dqt=q = dt = dm=d = m. ÁËÉÍ

1.4.

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

215

ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓËÏÍÏÅ ÞÉÓÌÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ×ÓÅÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ q ×ÉÄÁ: 3x 5y 7z 11u, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ×ÓÅÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÄÌÉÎÙ 4 É ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÔÏÌØËÏ ÉÚ 0 É 1. þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÒÁ×ÎÏ 24 = 16, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÅÓÔÁ × ÎÁÂÏÒÁÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ 2 ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÁ ÄÒÕÇÉÈ ÍÅÓÔÁÈ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÞÉÓÌÏ m=d ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ m=d = pi rj : : : sh , ÇÄÅ p, r, . . . , s | ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á i, j , . . . , h | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ×ÉÄÁ: q = pxry : : : sz , ÇÄÅ ÞÉÓÌÁ x, y, . . . , z ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÔÏÌØËÏ Ï Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ (0 É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÊ ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÓÔÅÅÎÉ × ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ m=d), ÒÁ×ÎÏ 2k , ÇÄÅ k | ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÞÉÓÌÁ m=d. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ × ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ m=d ÒÁ×ÎÏ k, ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ (a; b) ÒÁ×ÎÏ 2k . ïÔ×ÅÔ : 16 ÁÒ (ÁÒÙ (a; b) É (b; a) ÒÁÚÎÙÅ). ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÞÉÓÌÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÒÁ×ÎÏ 2k , ÇÄÅ k | ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ m=d. 1.5. éÚ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏÞËÉ ÌÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ û=0. ÏÇÄÁ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ é=1. úÁÔÅÍ ÉÚ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÎÁÈÏÄÉÍ æ=2. éÔÁË, 2î × ù = 2á2 × − + åå + å = îú = = = 10á + íò = 1íî éÚ ÓÒÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ î>å. éÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÎÁÈÏÄÉÍ å=7. éÚ ÓÒÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ î É ú: î=8 É ú=4. ðÏÌÕÞÉÍ 28 × ù = 2á2 + × − 77 + 7 = 84 = = = 10á + íò = 1í8 äÁÌÅÅ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ: á=5,ù=9, í=6, ò=3. òÁÓÓÔÁ×ÉÍ ÂÕË×Ù × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÉÈ ÉÆÒÏ×ÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ É ÏÌÕÞÉÍ ÔÅËÓÔ ûéæòúáíåîù ïÔ×ÅÔ : ûéæòúáíåîù ïÔ×ÅÔ : ÎÁÒÉÍÅÒ, b a b . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ '(P ) | ÎÁÂÏÒ '(P ), ×ÙÉÓÁÎÎÙÊ × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. '( b a b ) ='(b a b ) = '( a b )a'( a b ) =

1.6.

='(a b )a'(a b ) = b a b = b a b = b a b :

216

çÌÁ×Á 7

÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÓËÏÍÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÌÏ× ×ÉÄÁ: 

b | :{z: : } a b | :{z: : } k | ÎÅÞÅÔÎÏÅ;    k ÒÁÚ P = b :k:ÒÁÚ : ab : : : k | ÞÅÔÎÏÅ.   

| {z } k ÒÁÚ

| {z } k ÒÁÚ

A B òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÉÎ ×ÉÔÏË ÌÅÎÔÙ ÎÁ ÒÁÚ×ÅÒÔËÅ ÉÌÉÎÄÒÁ (ÒÁÚÒÅÚ Ï ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÌÉÎÉÉ). ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ×ÙÓÏÔÁ CE , ÏÕÝÅÎÎÁÑ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÕ n·h AD, ÒÁ×ÎÁ d. õÇÏÌ DAC ÒÁ×ÅÎ (90 − )◦ . ïÔÓÀÄÁ AC ÒÁ×ÎÏ d= os . ÁË ËÁË ×ÙÓÏÔÁ ÓÔÒÏËÉ ÒÁ×ÎÁ E h, ÔÏ ×ÓÅÇÏ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ×ÉÔËÅ n = d=(h · os ) ÂÕË×. d ïÔ×ÅÔ : ÞÔÏÂÙ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÔÅËÓÔ, ÎÁÄÏ ÒÁÚÒÅC ÚÁÔØ ÌÅÎÔÕ ÎÁ ÕÞÁÓÔËÉ Ï n = d=(h · os ) ÂÕË× É D ÓÌÏÖÉÔØ ÉÈ ÒÑÄÏÍ. òÉÓ. 10. 2.2. óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÑÔÅÒÏË ÉÆÒ: A1 A2 A3 A4 A5 É B1 B2 B3 B4 B5 . ðÕÓÔØ C1 C2 | ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Å ÉÆÒÙ ÓÕÍÍÙ ÞÉÓÅÌ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÜÔÉÍÉ ÑÔÅÒËÁÍÉ. þÅÒÅÚ a ⊕ b ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÉÆÒÕ ÓÕÍÍÙ ÞÉÓÅÌ a É b. ðÕÓÔØ D ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÉÆÒÕ ÅÒÅÎÏÓÁ ( ÉÆÒÕ ÄÅÓÑÔËÏ×) ÓÕÍÍÙ (A5 + B5 ). ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ A5 ⊕ B5 = C2 É (A4 ⊕ B4 ) ⊕ D = C1 . ðÕÓÔØ 1 | ÅÒ×ÙÊ ÞÌÅÎ, Á X | ÒÁÚÎÏÓÔØ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ËÏÔÏÒÕÀ ËÏÍÍÅÒÓÁÎÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌ ÒÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ. ÏÇÄÁ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ: (1) A1 ⊕ 1 = 4; A2 ⊕ ( 1 + X ) = 2; (2) (3) A3 ⊕ ( 1 + 2X ) = 3; A4 ⊕ ( 1 + 3X ) = 4; (4) A5 ⊕ ( 1 + 4X ) = 6; (5) (6) B1 ⊕ ( 1 + 5X ) = 1; B2 ⊕ ( 1 + 6X ) = 4; (7) (8) B3 ⊕ ( 1 + 7X ) = 0; B4 ⊕ ( 1 + 8X ) = 5; (9) B5 ⊕ ( 1 + 9X ) = 3; (10) ((A4 ⊕ B4 ) ⊕ D) ⊕ ( 1 + 10X ) = 1; (11) (A5 ⊕ B5 ) ⊕ ( 1 + 11X ) = 3: (12) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ A ≡ B ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÓÔÁÔËÏ× ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 10 ÞÉÓÅÌ A É B . ÏÇÄÁ ÚÁÉÓÉ A ⊕ B = C É (A + B ) ≡ C ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ

2.1.

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

217

ÓÍÙÓÌ. åÓÌÉ A ≡ B É C ≡ D, ÔÏ A + B ≡ C + D, A − B ≡ C − D. BÓÅÇÄÁ A ≡ A, ÔÁË ËÁË ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎ. éÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (4), (5), (9) É (10) ÎÁÈÏÄÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ: (13) A4 ≡ 4 − ( 1 + 3X ); (14) A5 ≡ 6 − ( 1 + 4X ); B4 ≡ 5 − ( 1 + 8X ); (15) B5 ≡ 3 − ( 1 + 9X ): (16) ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (11) É (12), ÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: 9 + D − − X ≡ 1 É 9 − − 2X ≡ 3. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ X ≡ (−2 − D); (17) (18) 1 ≡ 2D: ðÏÄÓÔÁ×É× X ÉÚ (17) É 1 ÉÚ (18) × (1), (2),(3), (13), (14), (6), (7), (8), (15), (16), ÎÁÊÄÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÉÆÒ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ: A1 ≡ 4 − 2D; A2 ≡ 4 − D; A3 ≡ 7; A4 ≡ D; A5 ≡ 4 + 2D; B1 ≡ 1 + 3D; B2 ≡ 6 + 4D; B3 ≡ 4 + 5D; B4 ≡ 1 + 6D; B5 ≡ 1 + 7D: îÁÊÄÅÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÁÀÔ Ä×Á ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ: 4470416411 (ÒÉ D = 0), 2371640978 (ÒÉ D = 1). ïÔ×ÅÔ : a | ÌÀÂÏÅ, b | ÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 2 É ÎÁ 5. õËÁÚÁÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ f (x) | ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) ÎÁ 10. äÌÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÚÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ x ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f (x). ðÏÜÔÏÍÕ f (0), f (1), . . . , f (9) ÒÉÎÉÍÁÀÔ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÔ 0 ÄÏ 9. îÁÊÄÅÍ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ: f (0) = r10 (b(a + 0)) f (1) = r10 (b(a + 1)) f (2) = r10 (b(a + 2)) f (3) = r10 (b(a + 9)) f (4) = r10 (b(a + 8)) f (5) = r10 (b(a + 5)) f (6) = r10 (b(a + 6)) f (7) = r10 (b(a + 7)) f (8) = r10 (b(a + 4)) f (9) = r10 (b(a + 3)); ÇÄÅ r10 (y) | ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ y ÎÁ 10. ïÔÓÀÄÁ, ÏÌØÚÕÑÓØ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÓÔÁÔËÏ×, ÚÁÍÅÞÁÅÍ, ÞÔÏ b ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÎÅÞÅÔÎÙÍ (ÉÎÁÞÅ f (x) ÂÕÄÕÔ ÔÏÌØËÏ ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ) É b ÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 5 (ÉÎÁÞÅ f (x) ÂÕÄÕÔ ÔÏÌØËÏ 0 É 5). îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÏ×ÅÒËÏÊ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ a É ÒÉ ×ÓÅÈ b, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔØ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. 2.3.

218

çÌÁ×Á 7

2.4. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S (n) ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 26 ÓÕÍÍÙ ÞÉÓÅÌ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÅÒ×ÙÍ n ÂÕË×ÁÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ (n = 1; 2; : : : ; 26) 0 6 S (n) 6 25. åÓÌÉ ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ S (1); S (2); : : : ; S (26) ÅÓÔØ ÎÕÌØ: S (t) = 0, ÔÏ ÉÓËÏÍÏÊ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÏÞËÁ ÅÒ×ÙÈ t ÂÕË× ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. åÓÌÉ ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ S (1); S (2); : : : ; S (26) ÎÅÔ ÎÕÌÑ, ÔÏ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÞÉÓÌÁ: S (k) = S (m) (ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ k < m). ÏÇÄÁ ÉÓËÏÍÏÊ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÞÁÓÔÏË ÁÌÆÁ×ÉÔÁ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ Ó (k + 1)-Ê É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ m-Ê ÂÕË×ÏÊ. 2.5. åÓÌÉ Ä×Å ÂÕË×Ù Ó ÏÒÑÄËÏ×ÙÍÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ 1 É 2 ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÙ × ÂÕË×Ù Ó ÏÒÑÄËÏ×ÙÍÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ ó1 É ó2 Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×Ù, ÔÏ ÏÓÔÁÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÅÌ (ó1 − 1 ) É (ó2 − 2 ) ÎÁ 30 ÒÁ×ÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ É ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÏÒÑÄËÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ ÛÉÆÒÕÀÝÅÊ ÂÕË×Ù (ÏÒÑÄËÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ ÂÕË×Ù ñ ÕÄÏÂÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÞÉÓÌÏ 0). ÏÇÄÁ, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÑ Ï ÏÒÑÄËÏ×ÏÍ ÎÏÍÅÒÅ ÂÕË×Ù ñ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï, ÞÔÏ 1 ÒÁ×ÅÎ ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ (2 + (ó1 − ó2 )) ÎÁ 30, Á, ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, 2 ÒÁ×ÅÎ ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ (1 + (ó2 − ó1 )) ÎÁ 30. åÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ × ÓËÏÂËÁÈ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÏÓÔÁÔËÏÍ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 30, ÔÏ ÕÏÍÑÎÕÔÁÑ Ó×ÑÚØ ÎÅ ÎÁÒÕÛÉÔÓÑ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÎÁÂÏÒÁ ÏÒÑÄËÏ×ÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Û. Ó. 1 É Û. Ó. 2) É ÓÌÏ×Ï ëïòáâìé:

ÓÌÏ×Ï

ë 10

ï 14

ò 16

á 1

â 2

ì 11

é 9

Û.Ó.1 à ð ã á ò ç û á ì ö ö å ÷ ã ý ù ò ÷ õ õ ó1 29 15 18 22 1 16 4 24 1 11 7 7 6 3 22 25 27 16 3 19 19 Û.Ó.2 à ð ñ â î ý í ó ä ì ö ç ð ó ç è ó ã ã ó2 29 15 0 18 2 13 25 12 17 5 18 11 7 4 15 17 4 21 17 22 22

÷ÏÚÍÏÖÎÙ 15 ×ÁÒÉÁÎÔÏ× (ÎÏÍÅÒ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÕË×ÏÊ k) ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÓÌÏ×Á ëïòáâìé × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ (É. Ó. 1, É. Ó. 2). ÷ÎÁÞÁÌÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ 15 ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÓÌÏ×Á ëïòáâìé × É. Ó. 1 ÎÁÊÄÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÕÞÁÓÔÏË É. Ó. 2. éÍÅÅÍ: ó2 − ó1 0 0 12 26 1 27 21 18 16 24 11 4 1 1 23 22 7 5 14 3 3

1 10 14 16 1 2 11 9 2 21 22 23 24 25 26 27

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

219

ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÕÞÁÓÔËÁ É. Ó. 2 ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ 15 ×ÁÒÉÁÎÔÏ×: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 10 10 22 6 11 7 1 28 26 4 21 14 11 11 3 22 14 26 10 15 11 5 2 0 8 25 18 15 15 7 6 23 28 12 17 13 7 4 2 10 27 20 17 17 9 8 23 24 27 2 28 22 19 17 25 12 5 2 2 24 23 8 6 25 3 29 23 20 18 26 13 6 3 3 25 24 9 7 16 26 28 2 29 27 5 22 15 12 12 4 3 18 16 25 14 27 0 27 25 3 20 13 10 10 2 1 16 14 23 12 12 ÅÅÒØ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ 15 ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÓÌÏ×Á ëïòáâìé × É. Ó. 2 ÎÁÊÄÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÕÞÁÓÔÏË É. Ó. 1. éÍÅÅÍ: ó1 − ó2 0 0 18 4 29 3 9 12 14 6 19 26 29 29 7 8 23 25 16 27 27

2 10 14 16 1 2 11 9 1 11 12 13 14 15 16 17

ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÕÞÁÓÔËÁ É. Ó. 1 ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ 15 ×ÁÒÉÁÎÔÏ×: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 10 10 28 14 9 13 19 22 24 16 29 6 9 9 17 12 14 2 18 13 17 23 26 28 20 3 10 13 13 21 22 13 4 20 15 19 25 28 0 22 5 12 15 15 23 24 9 14 5 0 4 10 13 15 7 20 27 0 0 8 9 24 26 15 1 5 11 14 16 8 21 28 1 1 9 10 25 27 18 16 14 20 23 25 17 0 7 10 10 18 19 4 6 27 8 17 18 21 23 15 28 5 8 8 16 17 2 4 25 6 6 úÁÍÅÎÉÍ ÏÒÑÄËÏ×ÙÅ ÎÏÍÅÒÁ × ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÁÈ ÕÞÁÓÔËÏ× É. Ó. 1 É É. Ó. 2 ÎÁ ÂÕË×Ù ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ë ï ÕÞÁÓÔÏË ü É.Ó.2 ù ÷ ü ñ

ë ø í â à â ù

ã ë ó ü þ à ý

å ð î ã æ ù ÷

ì ì ö õ ä æ

ö ä ç ó ø ã î

á â â ý î ð ë

ü ñ ë í å í ë

ø ú ù ä ÷ í â

ç ý æ â ÷ ç á

è ó â ý ÷ ò

ï ð ó û û ï

ì ð é þ é ò þ

ì ö ú ú ö ý í

÷ å þ å ò ï í

220

çÌÁ×Á 7

k

1 ë ï ÕÞÁÓÔÏË ç É.Ó.1 ä á ï

2 ë â æ ñ ä æ è

3 ü ð ç ì þ þ

4 ï î õ ë ï ý ð

5 é ó ý î ò ó ü

6 î þ ü ð ú ñ ä

7 õ ø ñ ö è ö ú

8 ã ü ã æ ü ë ú

9 û æ ä ù á ë ò

10 ò ÷ í ñ á ó

11 à ë ð ñ é õ â

12 å î ð ú ë ç ç

13 é î þ é ý å ý

14 é è û û ù ù å

15 ó ã é ø ú å

éÚ ÔÁÂÌÉ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÙÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÁÒÉÁÎÔÙ: É.Ó.1 = ë ï ç ä á ï . . . . . . . ë ï ò á â ì é É.Ó.2 = ë ï ò á â ì é . . . . . . . ÷ å þ å ò ï í

åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ × ÅÒ×ÏÍ ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ ÏÂ ÏÔÌÙÔÉÉ ËÏÒÁÂÌÅÊ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉ×, ÞÔÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÕÞÁÓÔËÏÍ ÅÒ×ÏÇÏ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÈÏÄÑÝÁÑ Ï ÓÍÙÓÌÕ ÞÁÓÔØ ÓÌÏ×Á ïðìù÷áà, ÎÁÈÏÄÉÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÞÁÓÔØ ×ÔÏÒÏÇÏ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ: ÓÌÏ×Ï ïèïäñ. ëÁÖÄÕÀ ÂÕË×Õ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÁÓÛÉÆÒÕÅÍ × ÔÒÅÈ ×ÁÒÉÁÎÔÁÈ, ÒÅÄÏÌÁÇÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÂÕË×Á ÛÉÆÒÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÅÓÔØ ÂÕË×Á á, â ÉÌÉ ÂÕË×Á ÷:

2.6.

ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ×ÁÒÉÁÎÔ á ×ÁÒÉÁÎÔ â ×ÁÒÉÁÎÔ ÷

ò â ø î ð ó é ó ò ò å ú ï è ð á ý í ï ó ò ú ó ò ð ð ä ö î æ ï ñ û ì î ò ð ö ò ð ï ï ç å í õ î à þ ë í ð ï å ð ï î î ÷ ä ì

÷ÙÂÉÒÁÑ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ËÏÌÏÎËÉ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Å, ÎÁÈÏÄÉÍ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ îáûëïòòåóðïîäåî, ËÏÔÏÒÏÅ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓËÏÍÙÍ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÚ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ËÁË îáû íïòïú ðïðï÷ åíõ

ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÙÍ, ÞÅÍ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ×ÙÛÅ. á ÅÓÌÉ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ ÏÄÎÏ ÉÓËÁÖÅÎÉÅ × ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ (ÓËÁÖÅÍ, × ËÁÞÅÓÔ×Å 11-Ê ÂÕË×Ù ÂÙÌÁ ÂÙ ÒÉÎÑÔÁ ÎÅ ÂÕË×Á ò, Á ÂÕË×Á ð), ÔÏ, ÎÁÒÑÄÕ Ó ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ É ÔÁËÏÊ: îáû íïòïú ðïíïç åíõ

þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÂÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÏ 316 ÉÌÉ 43046721, Ô. Å. ÂÏÌÅÅ 40 ÍÉÌÌÉÏÎÏ×!

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

221

åÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ 993 ÁÂÏÎÅÎÔÏ× Ó×ÑÚÁÎ Ó 99 ÁÂÏÎÅÎÔÁÍÉ, ÔÏ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ 993 · 99=2 ÌÉÎÉÊ Ó×ÑÚÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ïÔ×ÅÔ : ÎÅÌØÚÑ. 3.1.

îÅÓÌÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÛÉÆÒ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÒÁÚÎÙÅ ÂÕË×Ù ÚÁÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÏ× ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÅ ÓÌÏ×Á. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÂÕË×Ù ÚÁÍÅÎÑÀÔÓÑ ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÉËÌÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÔÁË ËÁË ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ËÌÀÞ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÌÏ× ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÓÌÏ×Á. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÌÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ × ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÒÏ ÅÓÓÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ óòïþîï, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÎÏÍÅÒÏÍ ÉËÌÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÄÁÀÝÅÍ ÜÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÓÌÏ×Ï. ÁË ËÁË ÂÕË×Á ó Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ × ËÁÖÄÏÍ ÉËÌÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÎÏÍÅÒ ËÏÔÏÒÏÇÏ ËÒÁÔÅÎ 5, Á ÂÕË×Ù ò, ï, þ, î | × ËÁÖÄÏÍ ÉËÌÅ, ÎÏÍÅÒÁ ËÏÔÏÒÙÈ ËÒÁÔÎÙ 13, 7, 2 É 3 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏ ÓÌÏ×Ï óòïþîï ÏÑ×ÉÔÓÑ ×ÅÒ×ÙÅ × ÉËÌÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ, ÒÁ×ÎÙÍ îïë (2; 3; 5; 7; 13) = = 2 · 3 · 5 · 7 · 13 = 2730: ïÔ×ÅÔ : 2730.

3.2.

3.3. åÓÌÉ ÓÉÍ×ÏÌÙ ÏÄÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 12, ÔÏ ÏÓÌÅ ÅÒÅÄÁÞÉ ÅÇÏ ÉÚ á × â ÓÉÍ×ÏÌÙ ÒÁÓÏÌÏÖÁÔÓÑ × ÏÒÑÄËÅ (2,4,6,8,10,12,1,3,5,7,9,11), Á ÏÓÌÅ ÅÒÅÄÁÞÉ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ (ÚÁÍÅÎÁ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ ÏÒÑÄËÁ) ÉÚ â × ÷ | × ÏÒÑÄËÅ (4,8,12,3,7,11,2,6,10,1,5,9). ðÅÒÅÓÔÁ×ÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÙ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÉÈ ÎÏÍÅÒÁÍÉ ÄÏ ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÚ ÕÎËÔÁ á. ðÏÌÕÞÉÍ ÏÔÒÅÚËÉ ×ÉÄÁ:

ì ð ç ó ö î ö ï ï â

-

å ó ë ò õ ð ä ó â è ë

à õ ð - ï â æ å â - ð

-

ì ö å ó ö õ ï ð ì õ ë

-

ý ë è ó ð ç â í ù ï ü

ã

ì ë ì õ ö î - ì ç é ë

ðÏÓËÏÌØËÕ × ÕÎËÔÁÈ á É â ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÂÕË×Ù ÚÁÍÅÎÑÌÉÓØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ, Á ÒÁÚÎÙÅ | ÒÁÚÎÙÍÉ, ÔÏ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÏÔÒÅÚËÉ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÚÁÍÅÎÕ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ, Á ÒÁÚÎÙÈ | ÒÁÚÎÙÍÉ. óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÍÅÓÔÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÕË× ÓÌÏ×Á

222

çÌÁ×Á 7

ëòéðïçòáæéñ É ÍÅÓÔÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× × ÏÔÒÅÚËÁÈ, ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ ÓÌÏ×Ï ëòéðïçòáæéñ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÏ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ. üÔÏ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÎÁÊÔÉ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÇÉÏÔÅÚÙ Ï ÞÁÓÔÙÈ ÂÕË×ÁÈ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ É ÓÍÙÓÌÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ïÔ×ÅÔ : ó ë ü ó û ó

ï ò å é é

÷ é ï ë æ ó

ò ð ò ò

å î å ï å

í ï á ÷ í

å ç õ î á -

î ò ë ï ì ó

î á á ó ø ÷

á æ î ñ

ñ é ñ ï é ù è ú é

3.4. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ 20 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÉÏÄÏÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Õ Ä×ÕÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Á É b ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÉÆÒÙ ÅÄÉÎÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÈ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 10. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÄÏÓÔÉÇÎÅÍ ÅÌÉ, ÅÓÌÉ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÏÓÔØ (n + 20)n+20 − nn ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 10 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. éÓÈÏÄÑ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ pk − qk ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ (p − q), ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ (n + 20)n+20 − nn+20 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ((n + 20) − 20) = 20. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, nn+20 − nn = nn (n20 − 1) = nn ((n4 )5 − 1) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ n(n4 − 1) ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > 1. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, n(n4 − 1) = n(n − 1)(n + 1)(n2 + 1) = n(n − 1)((n + 2)(n − 2) + 5) = = (n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n − 1)n(n + 1); ÇÄÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 2 (ÔÁË ËÁË ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ n(n + 1)) É ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 5 (ÏÓËÏÌØËÕ ÅÒ×ÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÅÓÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÑÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, Á ×ÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ 5). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, nn+20 − nn ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 10. þÉÓÌÏ (n + 20)n+20 − nn = (n + 20)n+20 − nn+20 + (nn+20 − nn ) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 10, ÔÁË ËÁË ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 10. ðÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ 20 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÅÒÉÏÄÏÍ. ÷ÙÉÓÙ×ÁÑ ÅÒ×ÙÅ 20 ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ó1 , ó2 , . . . 1476536901636567490 ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÅÒÉÏÄÁ ÍÅÎØÛÅÊ ÄÌÉÎÙ. 3.5. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÎÁÊÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÉÆÒÏ×ÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÉÚ ÎÅÇÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉ Ù ÚÁÍÅÎÙ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÎÁ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ ÉÆÒÏ×ÏÇÏ ÏÂÒÁÚÁ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ÉÆÒÙ 0, 1, 2 É 3. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÍÅÓÔÁ ÉÆÒÏ×ÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÉÆÒÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÎÁÊÄÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÉÆÒ ÛÉÆÒÕÀÝÅÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÓÔÁÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÉÆÒ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ É ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÉÆÒÏ×ÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ:

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ ÍÅÓÔÁ k ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ Sk ×ÁÒÉÁÎÔ 0 ÄÌÑ çk ×ÁÒÉÁÎÔ 1 ÄÌÑ k ×ÁÒÉÁÎÔ 2 ÄÌÑ k ×ÁÒÉÁÎÔ 3 ÄÌÑ k

1 2 2 1 0 9

3 3 3 2 1 0

5 8 8 7 6 5

7 7 7 6 5 4

9 1 1 0 9 8

11 4 4 3 2 1

13 8 8 7 6 5

15 6 6 5 4 3

17 6 6 5 4 3

19 0 0 9 8 7

21 1 1 0 9 8

223

23 3 3 2 1 0

25 5 5 4 3 2

27 8 8 7 6 5

ðÏ ÚÁÄÁÞÅ 3.4 ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÂÒÁÎ ÛÉÆÒÕÀÝÉÊ ÏÔÒÅÚÏË, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ 20. éÚ ÔÁÂÌÉ Ù ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÉÆÒ ÛÉÆÒÕÀÝÅÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ 5-Ñ ÅÇÏ ÉÆÒÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÁ 5, 6, 7 ÉÌÉ 8, Á ÅÇÏ 25-Ñ ÉÆÒÁ | 2, 3, 4 ÉÌÉ 5. ïÔÓÀÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ 5 = 25 = 5. îÁ ÅÒÉÏÄÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÂÒÁÎ ÛÉÆÒÕÀÝÉÊ ÏÔÒÅÚÏË, ÅÓÔØ Ä×Å ÉÆÒÙ 5: ó5 É ó15 . ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ. åÓÌÉ 5 = ó5 , ÔÏ 7 = ó7 = 3. üÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÔÁÂÌÉ Å ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÉÆÒ ÛÉÆÒÕÀÝÅÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ 7 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÁ 4, 5, 6 ÉÌÉ 7. åÓÌÉ ÖÅ 5 = ó15 , ÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÛÉÆÒÕÀÝÉÊ ÏÔÒÅÚÏË: 1636567490147656369016365674 ÈÏÒÏÛÏ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÔÁÂÌÉ ÅÊ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÇÏ ÉÆÒ. ÷ÙÞÉÔÁÑ ÉÆÒÙ ÎÁÊÄÅÎÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÉÚ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÉÆÒ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ÚÁÍÅÎÑÑ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÈ ÏÓÔÁÔËÁÍÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 10, ÏÌÕÞÉÍ Ï ÔÁÂÌÉ Å ÚÁÍÅÎÙ ÁÒ ÉÆÒ ÎÁ ÂÕË×Ù ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ: ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÛÉÆÒÕÀÝÉÊ ÏÔÒÅÚÏË ÉÆÒÏ×ÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ

23 39 86 72 16 45 81 60 67 06 17 31 55 88 16 36 56 74 90 14 76 56 36 90 16 36 56 74 17 03 30 08 26 31 15 14 31 16 01 05 09 14 ó ÷

ñ ú ø - ð

ï - ò

á ä

ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÎÑÔÎÙ ÉÚ ÒÉÓ. 11. 1) MK1P1 B ÅÎÔÒÁÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÎ MKP A ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ M . 2) NL1 Q1 B ÅÎÔÒÁÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÎ NLQC ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ N . 3) P1 K2Q1 = P KQ (ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ). 4) LK1K2 L1 | Ë×ÁÄÒÁÔ. 5) MT ⊥ AC , NS ⊥ AC . 6) P MT = QNS (MT = NS , P M = QN , ∠T = ∠S = 90◦). 7) âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ AB = BC = CA = 1. 1 1 1 8) P T = QS = x, AP = ∓ x, P Q = , QC = ± x. 4 2 4 3.6.

é ï

224

çÌÁ×Á 7

K2 P1

Q1

B

L1

K1 M

N K

A

L P T

C

QS òÉÓ. 11.

9) P MK = NQL (P M =QN , ∠M =∠Q, ∠K =∠L=90◦) ⇒ MK = QL. 10) MQ = ML + LQ =√ML + MK = ML + K1 M = K1 L = y. √ 4 3 3 ÒÁ×ÎÁ ÌÏÝÁÄÉ LK1 K2L1 = y2 , y = . 11) ðÌÏÝÁÄØ ABC = 4 2 √ 3 (ÏÌÏ×ÉÎÁ ×ÙÓÏÔÙ ABC ). 12) MT = 4 1 13) QT = P Q − P T = ∓ x. 2 14) MQ2 = MT 2 + QT 2 (ÔÅÏÒÅÍÁ ðÉÆÁÇÏÒÁ), Ô. Å. !2 √ 4

3 2

√ !2

3 3 1 1 (x<1=2) = − x ⇐⇒ ∓ x)2 ⇐⇒ − 2 4 16 2 q 1 1 √ 4 3 − 3: ⇐⇒ x = − 2 4 1 1 p √ 1 p √ 4 3 − 3 − 1 : : 3 − ( 4 3 − 3) = 15) AP : P Q : QC = 2 4p √ 4p √ = 4 3−3−1 :2: 3− 4 3−3 :

=

3 4

s√

+(

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÏÞËÉ P É Q ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÉÒËÕÌÑ É ÌÉÎÅÊËÉ. ðÏÄÕÍÁÊÔÅ, ËÁË ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ.

p √

p √

ïÔ×ÅÔ : AP : P Q : QC = 4 3−3−1 :2: 3− 4 3−3 . 4.1. éÓÈÏÄÎÙÊ ÔÅËÓÔ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 48 ÂÕË×, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÂÙÌÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÏ ÔÒÉ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÒÅÛÅÔËÉ ÏÌÎÏÓÔØÀ É ÅÝÅ ÔÒÉ ÂÕË×Ù ×ÉÓÁÎÙ × ÞÅÔ×ÅÒÔÏÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ. úÎÁÞÉÔ, ÎÅÚÁÏÌÎÅÎÎÙÅ 12 ËÌÅÔÏË ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ×ÙÒÅÚÁÍÉ ÒÅÛÅÔËÉ × ÞÅÔ×ÅÒÔÏÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ. ÁË ËÁË

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

225

ÔÅËÓÔ ×ÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÎÁÍ ÔÒÉ ×ÙÒÅÚÁ ÍÏÇÕÔ ÒÁÓÏÌÁÇÁÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÔÁÂÌÉ Ù É ÅÒ×ÙÈ ÑÔÉ ËÌÅÔËÁÈ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ (ÄÏ ÅÒ×ÏÇÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ×ÙÒÅÚÁ). óÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÔÒÁÆÁÒÅÔ ÌÅÖÉÔ × ÞÅÔ×ÅÒÔÏÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ. õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ × ÏÄÎÕ ËÌÅÔËÕ ÌÉÓÔÁ ÎÅÌØÚÑ ×ÉÓÁÔØ Ä×Å ÂÕË×Ù, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÒÅÚÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ × ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÚÎÁËÏÍ ? ÍÅÓÔÁÈ ÔÒÁÆÁÒÅÔÁ (∗ | ÍÅÓÔÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ×ÙÒÅÚÏ×): ? ∗ ∗

?

? ? ∗ ∗ ∗

∗

∗

∗

∗ ∗

∗

∗

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÉÚ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ Ä×ÕÈ ËÌÅÔÏË ×ÙÒÅÚÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ (ÔÁË ËÁË ÏÎÉ ÓÏ×ÍÅÝÁÀÔÓÑ Ï×ÏÒÏÔÏÍ). ðÏÌÕÞÁÅÍ Ä×Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÒÅÛÅÔËÉ (ÌÉÂÏ ÅÒ×ÙÊ ?, ÌÉÂÏ ×ÔÏÒÏÊ ? × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ). þÉÔÁÅÍÙÊ ÔÅËÓÔ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÉ ×ÔÏÒÏÍ ×ÁÒÉÁÎÔÅ. ïÔ×ÅÔ : ðïìøúõñóøûéæòïíòåûåëáîåìøúñïóá÷ìñøðõóùåíåóá ïÄÉÎ ÉÚ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÜÔÁÏ×. 1. 19=Î ÉÚ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ (19,2 19,5). 2. 29=Ï ÉÚ ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÒÏËÉ (29,Î,10) É 10=Á ÉÌÉ 10=É. 3. 14=Ý ÉÚ ÎÏ,14,ÎÏ. 4. 8=Ä, 2=Å, 10=É ÉÚ ÄÅÎÎÏ É ÎÏÝÎÏ. ðÏÌÕÞÉÌÉ ÔÅËÓÔ: 12 Å 24 5 3 21 6 Ï 28 Å 20 18 20 21 5 É 27 17 Å 11 Å 16 | Î Å 27 5 Ä Ï 12 31 22 Å 16, Î Å Î 5 17 Ï Ä Ï 6 Ï 16: Ä Å Î Î Ï É Î Ï Ý Î Ï Ï Î É Å 24 Å 11 Å 16 É Ý 18 21 17 Å 20 Å 28 Ï 16 21 Ï 28 6 Ï 16. 5. 5=Á É 27=Ú ÉÚ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ. 6. 17=× 6= 16=Ê | ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÓÌÏ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ | ×ÏÄÏÏÊ. ðÏÌÕÞÉÌÉ ÔÅËÓÔ: 12 Å 24 Á 3 21 Ï 28 Å 20 18 20 21 Á É Ú × Å 11 Å Ê | Î Å Ú Á Ä Ï 12 31 22 Å Ê, Î Å Î Á × Ï Ä Ï Ï Ê: Ä Å Î Î Ï É Î Ï Ý Î Ï Ï Î É Å 24 Å 11 Å Ê É Ý 18 21 × Å 20 Å 28 Ï Ê 21 Ï 28 Ï Ê. 7. 21=Ô 18=Õ 28=Ì 20=Ó ÉÚ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ ÉÝÕÔ ×ÅÓÅÌÏÊ ÔÏÌÏÊ. 8. 11=Ò ÉÚ Ú × Å 11 Å Ê ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ.

4.2.

226

çÌÁ×Á 7

éÔÁË,

12 Å 24 Á 3 Ô Ï Ì Å Ó Õ Ó Ô Á É Ú × Å Ò Å Ê | Î Å Ú Á Ä Ï 12 31 22 Å Ê, Î Å Î Á × Ï Ä Ï Ï Ê: Ä Å Î Î Ï É Î Ï Ý Î Ï Ï Î É Å 24 Å Ò Å Ê É Ý Õ Ô × Å Ó Å Ì Ï Ê Ô Ï Ì Ï Ê. 9. 24=Ç ÉÚ ÅÇÅÒÅÊ. 10. 12=Â 3=À ÉÚ ÂÅÇÁÀÔ. 11. 31=Ù 22=Þ ÉÚ ÄÏÂÙÞÅÊ. ïÔ×ÅÔ : âÅÇÁÀÔ Ï ÌÅÓÕ ÓÔÁÉ Ú×ÅÒÅÊ | îÅ ÚÁ ÄÏÂÙÞÅÊ, ÎÅ ÎÁ ×ÏÄÏÏÊ: äÅÎÎÏ É ÎÏÝÎÏ ÏÎÉ ÅÇÅÒÅÊ éÝÕÔ ×ÅÓÅÌÏÊ ÔÏÌÏÊ. √

ïÔ×ÅÔ : os 36◦ = (1 + 5)=4 ≈ 0;8. 4.4. úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÂÕË×Ù ÌÁÔÉÎÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 24. ðÕÓÔØ x | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÔ 1 ÄÏ 24, Á f (x) | ÞÉÓÌÏ, × ËÏÔÏÒÏÅ ÅÒÅÈÏÄÉÔ x ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÜÔÁÅ. ÏÇÄÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÓÔØ ÜÔÁÏ× ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ: f (x + 1) = f (x) + 1; Ô. Å. f (x + 1) − f (x) = 1: üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÞÉÓÌÁ x É x + 1 ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÜÔÁÅ ÅÒÅÈÏÄÑÔ × ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÖÅ ÞÉÓÌÁ f (x) É f (x + 1), Ô. Å. ×ÔÏÒÏÊ ÜÔÁ | ÔÏÖÅ ÓÄ×ÉÇ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÓÄ×ÉÇÏ× | ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÔÏÖÅ ÓÄ×ÉÇ É ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ 24 ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÄ×ÉÇÏ×. þÉÔÁÅÍÙÊ ÔÅËÓÔ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. ïÓÌÏÖÎÅÎÉÑ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÅÒÅÈÏÄÏÍ Z × A, ÕÓÔÒÁÎÑÀÔÓÑ ÌÉÂÏ ÅÒÅÈÏÄÏÍ Ë ÏÓÔÁÔËÁÍ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 24, ÌÉÂÏ ×ÙÉÓÙ×ÁÎÉÅÍ ÏÓÌÅ ÂÕË×Ù Z ×ÔÏÒÏÊ ÒÁÚ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ AB. . . Z. ïÔ×ÅÔ : INTER ARMA SILENT MUSAE (ÉÎÔÅÒ ÁÒÍÁ ÓÉÌÅÎÔ ÍÕÚÜ | ËÏÇÄÁ ÇÒÅÍÉÔ ÏÒÕÖÉÅ, ÍÕÚÙ ÍÏÌÞÁÔ). 4.5. óÏÓÔÁ×ÉÍ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÅÒÅÄÁÎÎÙÈ ÂÕË×: 4.3.

çÿê áüå âðòë åöýà îíøþ óùúì ûäõ ãèï ñæ÷é âûú áù÷ áîïé çåþø ìëÿè ðýåê ã÷ó æõíò üáö ÷ýé âøå âïðê ä³ûü íìùã òÿöë þç èæîó àõâú çÿê ÷ü³ ÷ðòë åöýà îíøþ óøúì ûäõ ãèï ñæ÷é äùë àö çòóì ³úÿñ ïîüû øéí ýåæ þãðõ èçê åøì ñú óí öéù ðïàý õüêî ÿ³è ûþòæ ãäë

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

227

÷ÙÂÉÒÁÑ ×ÔÏÒÕÀ É ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÇÒÕÕ ÂÕË× (ÇÄÅ ÅÓÔØ ËÏÒÏÔËÉÅ ËÏÌÏÎËÉ ÂÕË×), ÏÒÅÄÅÌÑÅÍ ÓÌÏ×Á, ÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ: ÷ñú, üáö. ÷ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÓÌÏ×ÁÈ 33 ÂÕË×Ù, ÏÜÔÏÍÕ ÂÕË×Ù ÷, ñ, ú, ü, , á, ö ÕÖÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ É ÉÈ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÅÒËÎÕÔØ ÉÚ ×ÓÅÈ ËÏÌÏÎÏË: çÿê áüå âðòë åöýà îíøþ âû îïé çåþø ìëÿè ýé âïðê ä³û íìùã çÿê ÷ ðòë å ý îíøþ çòóì ³ ÿ ïî åøì ñú ó í éù ðï

óùúì ðýåê òÿ ë óø ì øéí õ êî

ûäõ ã ó þç ûäõ ýåæ ÿ³è

ãèï ñæ÷é æõíò üáö èæîó ãèï þãðõ ûþòæ

éÚ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÔÒÅÔØÅÊ ÇÒÕÅ: çîïê çîïí

çòïí

×ÙÂÉÒÁÅÍ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÌÕÞÉÍ ÏÔ×ÅÔ. ïÔ×ÅÔ : âùë ÷ñú çîïê äéþø ðìàý óÿ³í ãåè ûõòæ üáö 3 3 4.6. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ak+1 − Ak = (k +1) − k +2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ k . óËÌÁÄÙ×ÁÑ ÏÞÌÅÎÎÏ ÜÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÒÉ k = 1; 2; : : : ; (n − 1), ÏÌÕÞÉÍ An − A1 = n3 − 3 + 2n. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ A1 = 3. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ An = n3 + 2n. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É ÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ, ×ÍÅÓÔÏ ÞÉÓÅÌ A100 , A101 , A102 , A103 , A104 , A105 , A106 ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÈ ÏÓÔÁÔËÁÍÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 30. ÁË ËÁË ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÅÌÏÇÏ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ i (100 + i)3 + 2(100 + i) = i3 + 2i + 30z; ÇÄÅ z | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÓÔÁÔËÉ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÞÉÓÅÌ A100 ; : : : ; A106 ÎÁ 30:

A100 0

A101 3

A102 12

A103 3

A104 12

A105 15

A106 18

úÁËÌÀÞÉÔÅÌØÎÙÊ ÜÔÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ÔÁÂÌÉ Å: ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÞÉÓÌÏ×ÏÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÛÉÆÒÕÀÝÉÊ ÏÔÒÅÚÏË ÞÉÓÌÏ×ÏÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ

ë å î ú ü

ò

å

9 5 12 7 27 15 5 0 3 12 3 12 15 18 9 2 0 4 15 0 17 ë ÷ á ä ò á

228

çÌÁ×Á 7

ïÔ×ÅÔ : √ 1 + 4a2 + 1 ÒÉ 0 < a < 1; x= 2a √ √ − 4a2 − 3 − 1 1 + 4a2 + 1 ; x2 = ÒÉ a > 1. x1 = 2a 2a 5.1. õËÁÚÁÎÉÅ. îÁÊÄÉÔÅ ÄÏÕÓÔÉÍÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÄÌÑ ÏÓÔÁÔËÏ× ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ x É y ÎÁ 7. ÁËÉÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÂÕÄÅÔ ×ÏÓÅÍØ. õÞÉÔÙ×ÁÑ ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔØ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ Ë ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÄÉÁÁÚÏÎÕ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÄÏÕÓÔÉÍÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÄÌÑ (x; y) (19 ×ÁÒÉÁÎÔÏ×). äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÙ (x; y) ÎÁÊÄÉÔÅ z . ÷ ÄÉÁÁÚÏÎ 10; : : : ; 20 ÏÁÄÁÀÔ ÔÏÌØËÏ ÔÒÉ ÒÅÛÅÎÉÑ: (12,16,11), (13,17,17), (13,18,12). 5.2. ÁË ËÁË ÒÉ ÚÁÉÓÙ×ÁÎÉÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ × ÔÁÂÌÉ Õ ÒÏÂÅÌÙ ÏÕÓËÁÌÉÓØ, ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ ÓÔÏÌÂ Ù, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÒÏÂÅÌ × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ËÌÅÔËÅ, ÄÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÔÏÑÌÉ × ËÏÎ Å ÔÁÂÌÉ Ù. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÏÌÂ Ù ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ÇÒÕÙ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 12. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÔÏÌÂ Ù ÔÏÌØËÏ ×ÎÕÔÒÉ ÇÒÕ. 4.7.

ñ ê þ î ù é

î ì ò õ ë

ì ä ì ä ó

÷ á þ á ï é

ò æ å ò í

á ù ó å ð þ

ì é í â ð î

ï ð ï ù ï

å é ë å á å

ç ï é é é ì

ï ç î ï ð õ

í å î ì

ú â ë ù ú

å ò ï ä ì ö

ë ì é å å -

å å î ù ý -

õ ä å ÷ -

ò ï è ú î -

é ä é î ñ -

ñ ï å þ ó -

òÉÓ. 12.

åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÏËÁÎÞÉ×ÁÌÏÓØ ÔÏÞËÏÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁ ÔÒÅÔØÅÍ Ó ËÏÎ Á ÍÅÓÔÅ × ÅÒ×ÏÊ ÇÒÕÅ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÓÔÏÌÂÅ , ÏËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÎÁ , ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ | ÎÁ þ, ÎÁ ÏÓÌÅÄÎÅÍ | ÎÁ ë. ðÏÌÕÞÁÅÍ Ä×Á ×ÁÒÉÁÎÔÁ (ÒÉÓ. 10), ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÒ×ÙÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ñ×ÎÏ ÎÅÞÉÔÁÅÍÙÍ. òáî æùì åóò òåõ íð þë

úáî âùì ëóò ùåõ úð þë

ñì÷òìïåçïíå êáæéðéïçåò þäþåíïëéîï îìáòâùåéïîä ùäïíðáéðì éóéîïåìõìö

òÉÓ. 13.

úáîñéåëò âùìïõäåìï ëóòåäéîéè ùåõþåîùåú úðó÷ñýåî þë-----òÉÓ. 14.

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÄÁÌÏÓØ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÔÒÉ ÓÔÏÌÂ Á ÅÒ×ÏÊ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

229

ÇÒÕÙ. ðÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÓÔÏÌÂ Ù ×ÔÏÒÏÊ ÇÒÕÙ, ÉÝÅÍ ÞÉÔÁÅÍÙÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÔÏÌÂ Ï× (ÒÉÓ. 11). äÅÊÓÔ×ÕÑ ÄÁÌÅÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó ÏÓÔÁ×ÛÉÍÉÓÑ ÓÔÏÌÂ ÁÍÉ ÅÒ×ÏÊ ÇÒÕÙ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÌÅÇËÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. ïÔ×ÅÔ : ä é í â ð î

ï ð ï ù ï

ì ä ì ä ó

ç ï é é é ì

ï ç î ï ð õ

å ò ï ä ì ö

÷ á þ á ï é

ò æ å ò í

å é ë å á å

í å î ì

ñ ê þ î ù é

ú â ë ù ú

á ù ó å ð þ

î ì ò õ ë

ñ ï å þ ó

õ ä å ÷

é ä é î ñ

å å î ù ý

ë ì é å å

ò ï è ú î

÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÁÒÙ ÉÆÒ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÛÉÆÒÕÀÔÓÑ ÂÕË×Ù Ò, Å, Í, Ï, Î, Ô, Á × ÅÒ×ÏÍ | ÁÒÙ ÉÆÒ ÄÌÑ ÔÅÈ ÖÅ ÂÕË×, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÂÕË×Ù Î. ïÔ×ÅÔ : ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÅÇÞÅ. 5.5. ïÔ×ÅÔ : 481. 5.6. íÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕË× íïóë÷á ×ÈÏÄÉÔ ËÁË ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ × ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÛÉÆÒÔÅËÓÔÏ× ÅÒ×ÏÊ ÔÒÏÊËÉ: 5.4.

Ê íÙ×ïÔ óØÌëßÇ÷ áÑÑ ÕËíÁïÞ óÒ ëÝ ÷Ú áÈ Û íÆÜïÇÞóÊßëÆØ÷ÙÅáËË

îÁ ÏÓÎÏ×Å ÜÔÏÇÏ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ÷ ËÁÖÄÙÊ ÒÏÍÅÖÕÔÏË ÍÅÖÄÕ ÂÕË×ÁÍÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (ÎÁÞÁÌÏ É ËÏÎÅ ÔÁËÖÅ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÏÍÅÖÕÔËÁÍÉ) ×ÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÁ ÌÉÂÏ Ä×Å ÂÕË×Ù × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÔÏÌØËÏ ÏÔÒÁ×ÉÔÅÌÀ É ÏÌÕÞÁÔÅÌÀ ËÌÀÞÏÍ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÅÒ×ÁÑ ÂÕË×Á ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ÏÁÓÔØ ÎÁ 2-Å ÉÌÉ 3-Å ÍÅÓÔÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÂÕË×Ù, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÁ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ × ÏÄÌÅÖÁÝÉÈ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁÈ, ÄÅÌÁÅÍ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÒ×ÏÍÕ É ÔÒÅÔØÅÍÕ ÛÉÆÒÔÅËÓÔÕ É ÞÔÏ ÅÒ×ÁÑ ÂÕË×Á ÜÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ | ð. òÁÓÓÕÖÄÁÑ ÄÁÌÅÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÔÏÒÏÊ ÂÕË×ÏÊ Ï×ÔÏÒÑÀÝÅÇÏÓÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ï (ÓÏÏÓÔÁ×ÉÌÉ ïé ÉÚ 1-Ê ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ É éï ÉÚ 3-Ê) É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. ÷ ÉÔÏÇÅ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÅÒ×ÏÊ É ÔÒÅÔØÅÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ðï÷ïòåîéåíáøõþåîéñ

ÅÅÒØ ÒÁÓÛÉÆÒÕÅÍ ×ÔÏÒÕÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ. ðÅÒ×ÏÊ ÂÕË×ÏÊ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ó ÉÌÉ é. äÁÌÅÅ, ÏÄÂÉÒÁÑ Ë ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÂÕË× É ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÑ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅÞÉÔÁÅÍÙÅ ÅÏÞËÉ ÂÕË×, ÏÌÕÞÉÍ: óå, óí, éí, éç óåç, ÓÅÏ, óíï, óíò, éíï, éíò, éçò, ÉÇÔ

230

çÌÁ×Á 7

ÓÅÇÒ, ÓÅÇÔ, óíï, óíïë, ÓÍÒË, ÓÍÒÒ, éíï, éíïë, ÉÍÒË, ÉÍÒÒ, ÉÇÒË, ÉÇÒÒ óíïò, óíïï, óíïëï, ÓÍÏËÍ, éíïò, éíïï, éíïëï, ÉÍÏËÍ óíïòí, óíïòé, ÓÍÏÔÏÉ, ÓÍÏÔÏÔ, ÓÍÏËÏÉ, ÓÍÏËÏÔ, ÉÍÏÔÒÍ, ÉÍÏÔÒÉ, ÉÍÏÔÏÉ, ÉÍÏÔÏÔ, ÉÍÏËÏÉ, ÉÍÏËÏÔ óíïòé÷, óíïòéá óíïòé÷÷, óíïòé÷ë, óíïòéáë, óíïòéáî É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. ÷ ÉÔÏÇÅ ÏÌÕÞÉÍ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ óíïòé÷ëïòåîø. ïÔ×ÅÔ : 1,3 | ðï÷ïòåîéåíáøõþåîéñ 2 | óíïòé÷ëïòåîø

ïÂÒÁÔÉ× ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ × ÔÅËÓÔÅ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÚÁÄÁÞ ÑÔÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÎÁÂÒÁÎÙ ×ÙÄÅÌÅÎÎÙÍ ÛÒÉÆÔÏÍ, É ×ÙÉÓÁ× ÜÔÉ ÓÉÍ×ÏÌÙ × ÏÒÑÄËÅ ÉÈ ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÅËÓÔ: ÚÁÄÁÞÁÓÅÍØÏÑÓÎÉÔÅËÁË×ÙÎÁÛÌÉÔÅËÓÔÚÁÄÁÞÉ 6.1. ÁË ËÁË ËÁÖÄÙÊ ÉÚ 1997 ÁÂÏÎÅÎÔÏ× Ó×ÑÚÁÎ ÒÏ×ÎÏ Ó N ÄÒÕÇÉÍÉ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ Ó×ÑÚÉ ÒÁ×ÎÏ 1997N . ïÔÓÀÄÁ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÁÒ ÁÂÏÎÅÎÔÏ× ÒÁ×ÎÏ 1997N=2, ÔÁË ËÁË ËÁÖÄÁÑ Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ ÁÒÁ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ 2 ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ Ó×ÑÚÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ 1997N=2 ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÅÌÙÍ, Á ÞÉÓÌÏ 1997 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ N ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÞÅÔÎÙÍ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ N = 2T ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁ Ó×ÑÚÉ ÉÚ 1997 ÁÂÏÎÅÎÔÏ×, × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÙÊ Ó×ÑÚÁÎ ÒÏ×ÎÏ Ó N ÄÒÕÇÉÍÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÁÓÏÌÏÖÉ× ×ÓÅÈ ÁÂÏÎÅÎÔÏ× ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É Ó×ÑÚÁ× ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ Ó ÂÌÉÖÁÊÛÉÍÉ Ë ÎÅÍÕ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ É Ó ÂÌÉÖÁÊÛÉÍÉ Ë ÎÅÍÕ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, ÏÌÕÞÉÍ ÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÊ ÓÅÔÉ Ó×ÑÚÉ. 6.2. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ÏÔ 1 ÄÏ 1997. ðÕÓÔØ ÞÉÓÌÏ a ∈ {1; : : : ; 1997} ÎÅ ÓÔÏÉÔ ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. ÏÇÄÁ, × ÓÉÌÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÔÁÂÌÉ Ù, ÞÉÓÌÏ a ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÞÅÔÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ a Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÅ, ×ÓÅÇÏ × ÔÁÂÌÉ Å ÞÉÓÅÌ a ÎÅÞÅÔÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï (1997). ðÏÌÕÞÉÌÉ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ÷ÓÅÇÏ ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ 1997 ËÌÅÔÏË, ÏÜÔÏÍÕ ËÁÖÄÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; : : : ; 1997} ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ. ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÓÕÍÍÕ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ÎÁÈÏÄÉÍ ÏÔ×ÅÔ. ïÔ×ÅÔ : 1995003. 6.3. ïÔ×ÅÔ : ûåóáñïìéíðéáäáðïëòéðïçòáæééðïó÷ñýåîáóåíéäåóñé 5.7.

ðñéìåéàóðåãéáìøîïêóìõöâùòïóóéé

õËÁÚÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÂÕË×Á ÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÅÒ×ÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÚÁÍÅÎÑÌÁÓØ ÎÁ ÂÕË×Õ . ÏÇÄÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï Ï×ÔÏÒÏ× ÂÕË×Ù × ÅÒ×ÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ Ï×ÔÏÒÏ× ÂÕË×Ù ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ.

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

231

Á) ïÒÅÄÅÌÉÍ ÍÏÍÅÎÔÙ ÏÓÔÁÎÏ×ÏË ÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Å ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÒÉÉÛÅÍ ÅÅ ÏÒÑÄËÏ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ: á | 0, â | 1, É Ô. Ä. ÏÇÄÁ ÂÕË×ÁÍ ÉÚ ÛÉÆÒÕÅÍÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÂÕÄÕÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÎÏÍÅÒÁ: ï | 15, ì | 12, é | 9, í | 13, ð |16, á | 0, ä | 4. íÏÍÅÎÔÙ ÏÓÔÁÎÏ×ÏË ÂÕÄÅÍ ÕËÁÚÙ×ÁÔØ ÞÉÓÌÏÍ ÏÄÎÏÛÁÇÏ×ÙÈ (ÎÁ ÏÄÉÎ ÚÕÂÅ ) Ï×ÏÒÏÔÏ× I ËÏÌÅÓÁ ÄÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ. 6.4.

ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 âÕË×Á I ËÏÌÅÓÁ ï ì é í ð é á ä á þÉÓÌÏ ÏÄÎÏÛÁÇÏ×ÙÈ Ï×ÏÒÏÔÏ× 15 45 75 79 82 108 132 136 165 ÏÔ ÎÁÞÁÌÁ ÄÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ãÉÆÒÁ II ËÏÌÅÓÁ 5 5 5 1 8 2 8 4 5 ãÉÆÒÁ III ËÏÌÅÓÁ 1 2 5 2 5 3 6 3 4 éÓËÏÍÙÊ ÛÉÆÒÔÅËÓÔ: 515355128523864354 Â) ðÕÓÔØ tk | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÄÎÏÛÁÇÏ×ÙÈ Ï×ÏÒÏÔÏ× I ËÏÌÅÓÁ ÏÔ ÎÁÞÁÌÁ

ÄÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ k, k = 1; 2; : : : , ak | ÉÆÒÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÕÀ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÔÒÅÌËÁ II ËÏÌÅÓÁ × ÍÏÍÅÎÔ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ k, bk | ÉÆÒÁ III ËÏÌÅÓÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÕÀ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÔÒÅÌËÁ III ËÏÌÅÓÁ × ÍÏÍÅÎÔ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ k. ÏÇÄÁ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÓÔÒÅÌÏË ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÂÕË×Å á ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ËÏÌÅÓÅ É 0 ÎÁ II É III ËÏÌÅÓÁÈ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á tk = 10mk − ak ; k = 1; 2; : : : (1) tk = 7nk + bk ; k = 1; 2; : : : (2) ÄÌÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ mk É nk . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 1 = 7 · 3 − 10 · 2. ïÔÓÀÄÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ak = 7 · (3ak ) − 10 · (2ak ); k = 1; 2; : : : bk = 7 · (3bk ) − 10 · (2bk ); k = 1; 2; : : : ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1) É (2), ÏÌÕÞÉÍ tk = 10(mk + 2ak ) − 7(3ak ); k = 1; 2; : : : tk = 7(nk + 3bk ) − 10(2bk ); k = 1; 2; : : : óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 10(mk + 2ak ) − 7(3ak ) = 7(nk + 3bk ) − 10(2bk ); k = 1; 2; : : : ðÒÁ×ÁÑ É ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔÉ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ 70, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ 70sk ÄÌÑ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÅÌÏÇÏ sk . ðÏÜÔÏÍÕ mk = 7sk − 2(ak + bk ); k = 1; 2; : : : nk = 10sk − 3(ak + bk ); k = 1; 2; : : :

232

çÌÁ×Á 7

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ mk × (1), ÏÌÕÞÉÍ tk = 70sk − 21ak − 20bk ; k = 1; 2; : : : : õÞÉÔÙ×ÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÅ 0 < t1 < t2 < · · · < t7 É ÔÏ, ÞÔÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ËÏÌÅÓ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ × ÍÏÍÅÎÔ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÛÉÆÒÕÅÍÏÊ ÂÕË×Ù ÏÄ ÓÔÒÅÌËÏÊ I ËÏÌÅÓÁ, ÉÍÅÅÍ k

ak bk −(21ak + 20bk ) tk âÕË×Ù

1 2 4

−122

18 C

2 8 0

−168

42 é

3 9 2

−229

51 ó

4 8 3

−228

52

5 9 1

−209

71 å

6 1 2

−61

79 í

7 1 1

−41

99 á

õËÁÚÁÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÕ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÉÆÒ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ÁÒÕ (a; b) ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÉÆÒ ÎÁ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁÚÏ×ÅÍ 1-ÓÏÓÅÄÎÅÊ, ÅÓÌÉ b Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÓÅÄÎÅÊ Ó a Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ. ðÁÒÕ (a; ) ÎÁÚÏ×ÅÍ 2-ÓÏÓÅÄÎÅÊ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÆÒÁ b, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÁÒÙ (a; b) É (b; ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ 1-ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ. ëÁÖÄÏÊ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÉÆÒ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÏÞËÁ 1-ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÁÒ ×ÉÄÁ: (1; a1 ), (a1 ; a2 ), (a2 ; a3 ), . . . , (a7 ; a8 ), (a8 ; 1), ËÏÔÏÒÏÊ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÏÞËÁ 2-ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÁÒ ×ÉÄÁ: (1; a2 ); (a2 ; a4 ); (a4 ; a6 ); (a6 ; a8 ); (a8 ; a1 )(a1 ; a3 )(a3 ; a5 )(a5 ; a7 )(a7 ; 1); (∗) ÇÄÅ a2 ; a3 ; : : : ; a8 ∈ {2; : : : ; 9} É ai 6= aj ÒÉ i 6= j . åÓÌÉ ÉÚ ÅÏÞËÉ (∗) ÕÄÁÌÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ, ÔÏ Ï ÏÓÔÁ×ÛÉÍÓÑ ÁÒÁÍ ÏÎÁ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. åÓÌÉ ÉÚ ÅÏÞËÉ (∗) ÕÄÁÌÉÔØ Ä×Å ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÁÒÙ, ÔÏ ÏÎÁ ÔÁËÖÅ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. õÄÁÌÅÎÉÅ ÉÚ (∗) ÌÀÂÙÈ ÔÒÅÈ ÁÒ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔÉ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÅÏÞËÉ (∗). ÷ ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÅ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ÅÏÞËÉ ×ÉÄÁ (∗): (a; b)(b; )( ; d) É (a; )( ; b)(b; d); (a; b; ; d | ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ); (a; b) ( ; d)(d; e) É (a; d)(d; b) ( ; e); (a; b; ; d; e | ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ); (a; b) ( ; d) (e; f ) É (a; d)(e; b) ( ; f ); (a; b; ; d; e; f | ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ): ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ Ä×ÕÈ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÉÆÒÏ×ÙÈ ÔÅËÓÔÏ× ÎÁÍ ÂÕÄÕÔ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ 2-ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÁÒÙ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÅÒ×ÁÑ ÉÆÒÁ ÂÅÒÅÔÓÑ ÉÚ ÅÒ×ÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, Á ×ÔÏÒÁÑ | ÉÚ ×ÔÏÒÏÊ. ðÏÜÔÏÍÕ Ó ÕÞÅÔÏÍ ×ÙÛÅÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÏÒÑÄËÁ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÆÒ ÎÁ ÄÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. 6.5.

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

233

ïÔ×ÅÔ : ÄÌÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÆÒ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÉÆÒÏ×ÙÈ ÔÅËÓÔÏ× ÂÙÌÏ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 7 ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÉÆÒ (ÜÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÄÁÌÅÎÉÀ ÉÚ ÅÏÞËÉ 2-ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÁÒ ×ÉÄÁ (∗) ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÉÚ ÎÉÈ). 6.6. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÓÔÁÔËÏ× ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÅÌ a1 ; a2 ; : : : ÎÁ 24 | ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ 2, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï: · 2n−1 ; ÒÉ p = 2 an+2 − an = pn+4 − pn+2 = 24 n +1 p (p3 − p); ÒÉ p > 3 : ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, p3 − p = (p − 1)p(p + 1) ËÒÁÔÎÏ 24, ÔÏ ÅÓÔØ ÏÓÔÁÔËÉ Õ an+2 É an ÒÁ×ÎÙ. 6.7. ïÔ×ÅÔ : a = 1996; ×ÓÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ ±3992k + 1996, k = 0; 1; : : : ; 998. õËÁÚÁÎÉÅ. ðÒÉ a 6 0 ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ |x − a| − 1995a = 1996, ËÏÔÏÒÏÅ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ðÒÉ a > 0 ÉÚ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎË ÉÉ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ 1996 ∈ (0; a), ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÂÕÄÅÔ ÞÅÔÎÙÍ, ÏÜÔÏÍÕ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÏ 1997. åÓÌÉ 1996 ∈ (a; +∞), ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ 2 ÒÅÛÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÖÅ a = 1996, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ 1997 ÒÅÛÅÎÉÊ. 7.1. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÏÈÒÁÎÉÌÁÓØ Ó×ÑÚØ ÒÉ ×ÙÈÏÄÅ ÉÚ ÓÔÒÏÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÕÚÌÏ×, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ × ËÁÖÄÙÊ ÕÚÅÌ ×ÈÏÄÉÌÏ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÔÒÅÈ ÌÉÎÉÊ Ó×ÑÚÉ. óÉÔÕÁ ÉÑ B

A C

ÎÅÄÏÕÓÔÉÍÁ, ÉÂÏ ÒÉ ×ÙÈÏÄÅ ÉÚ ÓÔÒÏÑ ÕÚÌÏ× B É C ÕÚÅÌ A ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ 10 × 3 ÎÅÄÏÓÔÕÎÙÍ. úÎÁÞÉÔ, ×ÓÅÇÏ ÌÉÎÉÊ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ = 15. 2 ÷ÏÔ Ä×Á ÒÉÍÅÒÁ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÚÁÄÁÞÉ Ó 15-À ÌÉÎÉÑÍÉ Ó×ÑÚÉ:

ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÌÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ. åÓÌÉ ×ÙÛÌÉ ÉÚ ÓÔÒÏÑ Ä×Á ÕÚÌÁ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÅ, ÔÏ Ó×ÑÚØ ÓÏÈÒÁÎÉÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÉÅ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÉ. åÓÌÉ ×ÙÛÌÉ ÉÚ ÓÔÒÏÑ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÕÚÌÕ ÎÁ ÒÁÚÎÙÈ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁÈ, ÔÏ Ó×ÑÚØ ÓÏÈÒÁÎÉÔÓÑ Ï ÌÉÎÉÑÍ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÍ ÜÔÉ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÉ. ïÔ×ÅÔ : 15.

234

çÌÁ×Á 7

ðÒÏ ÅÄÕÒÁ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÉÓÁÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ ÔÁÂÌÉ ÅÊ 10 × 10. îÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÓÔÒÏËÉ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i É ÓÔÏÌÂ Á Ó ÎÏÍÅÒÏÍ j ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ ÉÆÒÕ, × ËÏÔÏÒÕÀ ÒÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÉÆÒÁ j , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÓÔÏÉÔ × ÁÒÏÌÅ ÏÓÌÅ ÉÆÒÙ i. éÚ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÅ ËÁÖÄÁÑ ÉÆÒÁ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Û1 ; Û2 ; : : : ; Û7 É Ï1 ; Ï2 ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÁÒÏÌÉ É Ä×Á ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÁÒÏÌÑ × ÏÒÑÄËÅ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÚÁÄÁÞÉ. ðÒÏ ÅÄÕÒÁ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÄÌÉÎÕ, ÏÜÔÏÍÕ Û3 É Û4 ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÎÉ Ï1 , ÎÉ Ï2 . ðÒÅÄÏÌÏÖÉ×, ÞÔÏ Û1 ÓÏÏÔ×ÅÓÔ×ÕÅÔ Ï1 , ÏÌÕÞÉÍ ÞÁÓÔØ ÔÁÂÌÉ Ù, × ËÏÔÏÒÏÊ × ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏËÅ Ä×Å ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÉÆÒÙ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ. óÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÔÁÂÌÉ Ù, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ Ï2 ÎÅ ÛÉÆÒÕÅÔÓÑ ÎÉ × Û6, ÎÉ × Û7, ÎÉ × Û5. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÔÁËÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ×ÁÒÉÁÎÔ ÅÒÅÈÏÄÁ Ï1 − Û2 , Ï2 − Û5. úÁÏÌÎÅÎÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÂÕÄÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ:

7.2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 1 3 2 4 3 7 8 3 7 4 2 5 3 6 7 4 8 1 9 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 6 5 1 3 2 4 3 7 0 6 2 5 8 9 3 3 7 4 2 5 3 7 6 7 4 8 1 9 9 1

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÓÔÒÏËÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 2 × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ËÌÅÔËÅ ÓÔÏÉÔ 1. úÎÁÎÉÅ ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÔØ Û3: ÏÌÕÞÉÔÓÑ 5830829. ðÁÒÏÌÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ Û1 , Û4 , Û6, Û7 , ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ. ïÔ×ÅÔ : ÏÌÎÏÓÔØÀ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ 5393511, ÏÌÕÞÉÔÓÑ 5830829. 7.3. óÏÏÂÝÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 3 × 17 = 51 ÂÕË×Ù. ðÏÜÔÏÍÕ r = 3 ÉÌÉ r = 17 (ÒÉ r = 1 É r = 51 | ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅÞÉÔÁÅÍÙÊ ÔÅËÓÔ). ðÒÉ r = 3 ÎÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÒÉ ×ÓÅÈ ÛÅÓÔÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÁÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÂÕË× (a = 1; 2, b = 0; 1; 2). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ r = 17: 1 â î õ

2 è

3 é î î

4 ð ï é

5 þ î ð

6 ø ú ð

7 ì ì ï

8 ï ö ì

9 ñ á ï

10 þ þ ø

11 ù ï þ

12 ø ø ï

13 ï å

14 ï ì

15 õ ï

16 ð î ì

17 õ é ó

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

235

óÏÓÅÄÎÉÅ ÂÕË×Ù ÒÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ÅÒÅÈÏÄÑÔ × ÂÕË×Ù, ÏÔÓÔÏÑÝÉÅ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ: ÂÕË×Á ÎÁ È-Í ÍÅÓÔÅ ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÎÁ ÍÅÓÔÏ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÏÓÔÁÔËÏÍ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ax + b ÎÁ 17, Á ÂÕË×Á ÎÁ (È+1)-Í ÍÅÓÔÅ | ÎÁ ÍÅÓÔÏ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÏÓÔÁÔËÏÍ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ (ax+b)+a ÎÁ 17. üÔÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ È. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÓÔØ ×ÓÅÇÏ 16 ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÅÒÅÈÏÄÏ× ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÂÕË× (ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÔÅËÓÔ ÎÅÞÉÔÁÅÍ), ËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÅÒÅÈÏÄÙ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÂÕË×. ðÅÒÅÂÉÒÁÑ ÉÈ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÞÉÔÁÅÍÙÅ ÔÅËÓÔÙ ×Ï ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÒÏÍÅ ÏÄÎÏÇÏ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÁÅÔ ÔÅËÓÔ: þ é ø ð ñ ø þ ï â ù ð ï ì õ þ î ï ú î á ø î õ ö î ï ï ì é ø î å ð ì ï è ï ð ï ì õ þ é ì ï ó

éÚ ÔÒÅÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÎÁÞÁÌÁ ÔÅËÓÔÁ ÌÅÇËÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÓÔÉÎÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ. ïÔ×ÅÔ: þïâùðïìõþéøðñøîõöîïïìéþîïúîáøðïìõþéìïóøîåðìïèï

7.4.

ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÂÈÏÄÁ ÄÏÓËÉ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ: 37 62 43 56 35 60 41 50 44 55 36 61 42 49 34 59 63 38 53 46 57 40 51 48 54 45 64 39 52 47 58 33 1 26 15 20 7 32 13 22 16 19 8 25 14 21 6 31 27 2 17 10 29 4 23 12 18 9 28 3 24 11 30 5

ïÔ×ÅÔ: ëÁ×ÁÌÅÒÇÁÒÄÏ× ×ÅË ÎÅÄÏÌÏÇ é ÏÔÏÍÕ ÔÁË ÓÌÁÄÏË ÏÎ. ÒÕÂÁ ÔÒÕÂÉÔ, ÏÔËÉÎÕÔ ÏÌÏÇ. . . 7.5. éÚ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ÞÌÅÎÏ× ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ a3 + b3 + 3 + 6ab > 1=4 ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ a + b + = 1, a > 0, b > 0, > 0. ðÕÓÔØ Ó | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ a; b; (0 < 6 1=3) É a = x. ÏÇÄÁ 1 A = a3 + b3 + 3 + 6ab − = 4 1 3 = x + (1 − − x)3 + 3 + 6x(1 − − x) − = 4

236

çÌÁ×Á 7

1 = 3(1 − 3 )x2 − 3(1 − )(1 − 3 )x + (1 − )3 + 3 − : 4 îÁÈÏÄÉÍ ÍÉÎÉÍÕÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÔÒÅÈÞÌÅÎÁ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ Ó É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÒÉ È2 . íÉÎÉÍÕÍ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ × ÔÏÞËÅ x = (1 − )=2, ÒÉ ÜÔÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ A ÂÕÄÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ. 7.6. åÓÌÉ ÍÅÌÏÍ Ó Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍ ÓÅÞÅÎÉÅÍ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÁ ÄÏÓËÅ ÏÔÒÅÚÏË ÒÑÍÏÊ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÓÔÏÒÏÎÙ ÓÅÞÅÎÉÑ ÂÙÌÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ËÒÁÑÍ ÄÏÓËÉ, ÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÌÉÎÉÉ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ ÌÏÝÁÄÉ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÌÉÎÉÉ Ó ÔÁËÉÍÉ ÖÅ ËÏÎ ÁÍÉ (ÓÍ. ÒÉÓ. 15). åÓÌÉ ÎÁ ÄÏÓËÅ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ (×ÙÕËÌÙÊ) ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË, ÔÏ ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÌÉÖÁÊÛÉÍÉ Ë ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ËÒÁÅ× ÄÏÓËÉ. ðÌÏÝÁÄØ ÇÒÁÎÉ Ù ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÔÏÞËÉ, ÒÁ×ÎÁ ÌÏÝÁÄÉ ÇÒÁÎÉ Ù ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 16). ÷

s

ð

s

s s òÉÓ. 15.

s1 s1

ì î òÉÓ. 16.

ÁËÏÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË ÎÁÚÏ×ÅÍ ÏËÁÊÍÌÑÀÝÉÍ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÏËÁÊÍÌÑÀÝÅÇÏ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÌÏÝÁÄÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. úÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÄÁÎÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË ÔÁËÏÊ ÖÅ ÌÏÝÁÄÉ, ÎÏ Ó ÌÏÝÁÄØÀ ÇÒÁÎÉ Ù ÎÅ ÂÏÌØÛÅÊ, ÞÅÍ ÌÏÝÁÄØ ÇÒÁÎÉ Ù ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ a É b ÉÍÅÅÔ ÌÏÝÁÄØ 10000 ÓÍ2 , ÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ Ù ÒÁ×ÎÁ √ 100 20000 + 4 = 2( a − √ )2 + 404: 2a + 2b + 4 = 2a + a a íÉÎÉÍÕÍ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ×ÏÚ×ÏÄÉÍÏÅ × Ë×ÁÄÒÁÔ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏ 0. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ a = 100, ÞÔÏ ×ÌÅÞÅÔ b = 100. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÌÏÝÁÄØ ÇÒÁÎÉ Ù, ÒÁ×ÎÕÀ 404 ÓÍ2 , ÉÍÅÅÔ Ë×ÁÄÒÁÔ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1 Í. ïÔ×ÅÔ : Ë×ÁÄÒÁÔ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1 Í; ÌÏÝÁÄØ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ Ù | 404 ÓÍ2 . 7.7. åÓÌÉ ÇÒÕÁ ÉÆÒ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ k ÉÆÒ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ k! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÄÌÑ ÚÁÉÓÉ ËÏÔÏÒÙÈ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

237

ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ×ÓÅ ÉÆÒÙ ÇÒÕÙ ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ. çÒÕÕ ÉÚ k ÉÆÒ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ Gk . ðÏÓËÏÌØËÕ × ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÉÆÒÙ 2 É 9, ÜÔÉ ÉÆÒÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÌÉÂÏ Ä×Å ÇÒÕÙ Ï ÏÄÎÏÊ ÉÆÒÅ, ÌÉÂÏ ÏÄÎÕ ÇÒÕÕ ÉÚ Ä×ÕÈ ÉÆÒ. ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÜÔÉ ÉÆÒÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ ÄÌÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÏ×ÎÏ Ä×ÕÈ ÂÕË× ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ÁË ËÁË 31 = 1! + 3! + 4!, ÔÏ {1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 0} = G1 ∪ G3 ∪ G4 . åÓÌÉ G1 6= {1}, ÔÏ ÉÚ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁÈÏÄÉÍ: Á) G4 = {1; 3; 7; 8}, G3 = {0; 5; 6}, G1 = {4} ÌÉÂÏ Â) G4 = {1; 3; 7; 8}, G3 = {4; 5; 6}, G1 = {0}. á â ÷ ç ä å ³ ö ú é ê

óÌÕÞÁÊ Á óÌÕÞÁÊ Â 2 (4) 0 4 (29) 2 (29) 9 (56) 9 (92) 56 (65) 456 65 (92) 465 506 546 605 564 650 645 650 654 1378 1378 1387 1387

ë ì í î ï ð ò ó õ æ

óÌÕÞÁÊ Á óÌÕÞÁÊ Â óÌÕÞÁÊ Á óÌÕÞÁÊ Â 1738 1738 è 7183 7183 1783 1783 ã 7318 7318 1837 1837 þ 7381 7381 1873 1873 û 7813 7813 3178 3178 ý 7831 7831 3187 3187 ÿ 8137 8137 3718 3718 ù 8173 8173 3781 3781 ø 8317 8317 3817 3817 ü 8371 8371 3871 3871 à 8713 8713 7138 7138 ñ 8731 8731

óÏÏÂÝÅÎÉÅ ÏÓÌÅ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: Á) ñáúþ ÉÌÉ Â) ñäáþ, Ô. Å. ÎÅ ÞÉÔÁÅÔÓÑ. åÓÌÉ G1 = {1}, ÔÏ ÉÚ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁÈÏÄÉÍ G3 = {3; 7; 8}, G4 = = {0; 4; 5; 6}. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÁÂÌÉ Á ÚÁÍÅÎÙ ÂÕË× ÞÉÓÌÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: á 1 â 2(29) ÷ 9(92) ç 378

³ ö ú é

465 546 564 645

ì 783 í 837 î 873 ï 4056

ó õ æ

ä å

ê 654 ë 738

ð 4065 ò 4506

è 5064 ã 5406

387 456

4560 4605 4650 5046

óÏÏÂÝÅÎÉÅ ÌÅÇËÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ: îáõëá.

þ û ý ÿ

5460 5604 5640 6045

ù 6054 ø 6405

ü 6450 à 6504 ñ 6540

238

çÌÁ×Á 7

8.1. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÒÑÍÙÅ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÇÒÁÎÉ ÓÌÏÖÅÎÎÏÊ ÌÅÎÔÙ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÅÅ ËÒÁÑÍ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ ÌÅÎÔÁ ÒÁÚÏÂØÅÔÓÑ ÎÁ ÒÁ×ÎÙÅ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ. ïÔÍÅÔÉÍ ÉÆÒÏÊ 0 ×ÓÅ ÒÏÓ×ÅÔÙ, Á ÉÆÒÏÊ 2 ×ÓÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÌÕÞÉÌÉÓØ ÎÁÌÏÖÅÎÉÅÍ ÄÒÕÇ ÎÁ ÄÒÕÇÁ Ä×ÕÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× × ÓÌÏÖÅÎÎÏÊ ÌÅÎÔÅ. ðÏÓÔÒÏÉÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÄ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ×ÎÅ ÜÍÂÌÅÍÙ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ 17. ÷ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÆÉÇÕÒÅ ÞÉÓÌÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÉÆÒÏÊ 2, ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÉÆÒÏÊ 0. ðÏÜÔÏÍÕ ÌÏÝÁÄØ ×ÓÅÊ ÌÅÎÔÙ ÒÁ×ÎÁ ÌÏÝÁÄÉ ÔÒÁÅ ÉÉ ABCD. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× × ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÒÑÄÁÈ ABCD Ñ×ÌÑÀÔÓÑ 9 ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÞÌÅÎÁÍÉ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ Ó ÅÒ×ÙÍ ÞÌÅÎÏÍ, ÒÁ×ÎÙÍ 3 (ÎÉÖÎÉÊ ÒÑÄ), É ÒÁÚÎÏÓÔØÀ 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÒÁ×ÎÏ A B 2 · 3 + (9 − 1) · 2 0 0 0 02 2 0 0 N= · 9 = 99: 2 02 22 2 åÓÌÉ h | ÛÉÒÉÎÁ ÌÅÎÔÙ, ÔÏ ÌÏ02 2220 ÝÁÄØ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅ0 ÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ×ÙÓÏÔÏÊ h ÒÁ×ÎÁ √ 2 S0 = h2 tg 60◦ = h2 = 3: 0 ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ ÄÌÉÎÁ ÒÑ2 0 ÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÏÓÌÅ ÒÁÚÒÅÚÁÎÉÑ ÌÅÎÔÙ, ÒÁ×ÎÁ l, ÔÏ S = 2 = lh. ïÔÓÀÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ ÉÓËÏÍÕÀ ×ÅD C √ ÌÉÞÉÎÕ: l=h = 33 3. òÉÓ. 17. √ ïÔ×ÅÔ : 33 3. 8.2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ k ÎÕÌÅÊ ÉÌÉ k ÅÄÉÎÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÞÅÒÅÚ 0k ÉÌÉ 1k . ÏÇÄÁ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÚÎÁËÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÚÁÍÅÎÅ 0 → 0k1 1k2 ÄÌÑ I ÓÏÓÏÂÁ, 1 → 1k4 0k5 ÄÌÑ II ÓÏÓÏÂÁ. (1) k 3 1→0 0 → 0k6

÷ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ ×ÓÅ ÓÅÒÉÉ ÉÚ ÅÄÉÎÉ ÉÍÅÀÔ ÄÌÉÎÕ k2 ÄÌÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÏÓÏÂÁ É ÄÌÉÎÕ k4 ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÓÏÓÏÂÁ, ÏÜÔÏÍÕ, ÄÌÑ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ k2 = k4 : (2) ÅÅÒØ ÌÅÇËÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÞÔÏ × ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ . ðÕÓÔØ n | ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅÊ × ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ. ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅÊ × ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ I ÓÏÓÏÂÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ ÒÁ×ÎÏ nk1 +nk3 , Á II ÓÏÓÏÂÏÍ | nk5 +nk6 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, nk1 + nk3 = nk5 + nk6 : (3)

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

239

éÚ (1) ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó ÎÕÌÑ É ÏËÁÎÞÉ×ÁÔØÓÑ ÅÄÉÎÉ ÅÊ. ðÕÓÔØ ÅÒÅÄ ÅÒ×ÏÊ ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ a ÎÕÌÅÊ. ÏÇÄÁ ÅÒ×ÙÅ Á + 1 ÚÎÁËÏ× ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ × ×ÉÄÅ: 0k1 1k2 0k3 ÄÌÑ I ÓÏÓÏÂÁ, ÒÉ Á = 1 0k6 1k4 0k5 ÄÌÑ II ÓÏÓÏÂÁ, k k k k (4) 1 1 2 0 1 1 2 : : : 0k1 1k2 0k3 0 ÄÌÑ I ÓÏÓÏÂÁ, ÒÉ Á > 1 0ak6 1k4 0k5 ÄÌÑ II ÓÏÓÏÂÁ. ðÒÉ a = 1 ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á k1 = k6 , Á ÚÎÁÞÉÔ, Ó ÕÞÅÔÏÍ (3) | ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á k3 = k5 . ðÒÉ Á > 1 ÏÌÕÞÁÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÑ: k1 = ak6 ; Á | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ, k1 = k5 + bk6 ; b | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÉÌÉ ÎÕÌØ: ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ k1 = k5 + bk6 × (3), ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï k3 = (1 − b)k6 , ËÏÔÏÒÏÅ ÒÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ k3 , k6 É b > 0 ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉÛØ × ÓÌÕÞÁÅ b = 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, k3 = k6 , Á ÚÎÁÞÉÔ, Ó ÕÞÅÔÏÍ (3) k1 = k5 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ Á > 1 ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ ÕÓÌÏ×ÉÑ k2 = k4 , k5 = k1 = = ak6 = ak3 , ÇÄÅ a | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ. éÚ (4) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ 0 : : : 01 : : : 1, ÇÄÅ ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅÊ É ÞÉÓÌÏ ÅÄÉÎÉ ÒÁ×ÎÏ a. ïÔ×ÅÔ: ðÒÉ k2 = k4 , k1 = k6 , k3 = k5 ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ×ÉÄÁ 0101 : : : 01 ÛÉÆÒÕÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ðÒÉ k2 = k4 , k5 = k1 = ak6 = ak3 , ÇÄÅ a | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ, ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ×ÉÄÁ (0 : : : 01 : : : 1) : : : (0 : : : 01 : : : 1) (ÇÒÕÙ ÉÚ a ÎÕÌÅÊ É a ÅÄÉÎÉ ) ÛÉÆÒÕÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ðÒÉÍÅÞÁÎÉÅ. ðÅÒ×ÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÉ a = 1. 8.3. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ ÒÏÄÉÌÉÓØ × èè ×ÅËÅ. ïÔÓÀÄÁ ÓÒÁÚÕ ÚÁÍÅÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÎÁ 3, 7, 11, 15, 19 É 23 ÍÅÓÔÁÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÞÉÓÌÁ 11, 17, 47, 53, 83 É 89 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ÙÑÓÎÉÍ, ËÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ Ó ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ ÛÅÓÔØÀ ÞÉÓÌÁÍÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÓÅÄÅÊ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÉÍÅÅÍ: ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÅÄÉ 11 13, 19, 43, 7, 3 17 13, 19 47 79, 43, 31 53 61, 37 83 79, 67, 19 89 97, 73.

240

çÌÁ×Á 7

õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ ÅÒ×ÁÑ ÉÆÒÁ × ÎÏÍÅÒÅ ÍÅÓÑ Á ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÔÏÌØËÏ 0 ÉÌÉ 1, ÏÓÔÒÏÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ:

15 02 20 45 42 13 26 67 44 30 56 82 53 33 62 32 73 63 92 49 75 70 98 49 19 19 19 19 19 19 03 07

11

03 07 13 19 43

13 19

03 07 13 19 43

13 19

03 07 13 19

13 19

17

13 19

31 47

43 79

37 53 61

67 83

19 79

73 89 97

ÇÄÅ × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÅ | ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÕÞÁÓÔËÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, × ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÒÏËÅ | ÓÔÁ×ÛÉÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÕÞÁÓÔËÉ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÔÒÏËÁÈ | ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÏÚÉ ÉÑÈ. ðÒÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÕÞÉÔÙ×ÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÞÉÓÌÏ ÄÏÌÖÎÏ ×ÓÔÒÅÔÉÔØÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ðÏÚÉ ÉÉ ÞÉÓÅÌ 31, 37, 67, 73 ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. éÈ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÍÅÓÔÁ ÄÌÑ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ 61 É 97. óÎÏ×Á ×ÙÉÛÅÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ É ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÄÌÑ ÉÈ ÓÏÓÅÄÅÊ (ÅÒ×ÙÅ Ä×Å ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÎÁ ÜÔÏÍ ÛÁÇÅ ÎÅ ÏÎÁÄÏÂÑÔÓÑ):

03 07

11

17

13 19

31 47

43 79

37 53 61

67 83

19 79

73 89 97

÷ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÏÓÅÄÉ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ 61 | ÌÉÛØ 59 É 29, Á ÄÌÑ 67 | ÌÉÛØ 59 É 3. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÅÖÄÕ 61 É 67 ÍÏÖÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÞÉÓÌÏ 59. ÷ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÓÅÄÑÍÉ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ 73 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ 89, 71 É 41. îÉ ÏÄÎÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÏÓÅÄÏÍ ÄÌÑ 19, Á ÄÌÑ 79 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ 71. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÞÉÓÅÌ 71 É 79. äÌÑ ÞÉÓÌÁ 47 ÏÓÔÁÌÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ËÁÎÄÉÄÁÔ × ÓÏÓÅÄÉ ÓÒÁ×Á | ÞÉÓÌÏ 43. ïÂÝÉÍ ÓÏÓÅÄÏÍ ÄÌÑ 43 É 37 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ 41. óËÏÒÒÅËÔÉÒÕÅÍ ÔÁÂÌÉ Õ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ ×Ù×ÏÄÏ×:

03 07

11

17

13 29 19 23

31 47 43 41 37 53 61 59 67 83 79 71 73 89 97

õÞÁÓÔÏË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 17 ∗ ∗ 31 ÉÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÄÏÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ: (Á) 17−19−23−31 É (Â) 17−13−29−31. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÂÁ ÓÌÕÞÁÑ.

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

241

Á) ÷ÙÉÛÅÍ ÆÒÁÇÍÅÎÔ ÔÁÂÌÉ Ù ÄÌÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ:

03 07

11

03 07

13 17 19 23 31

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ 3 É 7 ÄÏÌÖÎÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÂÙÔØ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ Ó ÞÉÓÌÏÍ 11. þÉÓÌÏ 29 ÅÝÅ ÎÅ ×ÓÔÒÅÞÁÌÏÓØ, ÚÎÁÞÉÔ ÏÎÏ ÄÏÌÖÎÏ ÒÁÓÏÌÁÇÁÔØÓÑ ÌÉÂÏ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ, ÌÉÂÏ ÎÁ ÑÔÏÍ. é ÔÏ É ÄÒÕÇÏÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË × ÏÂÏÉÈ ÏÚÉ ÉÑÈ ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÓÅÄÏÍ ÌÉÂÏ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ 3, ÌÉÂÏ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ 7, ÞÔÏ ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (ÏÔÌÉÞÉÅ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÓÔÅÅÎØ Ä×ÏÊËÉ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ. Â) ÷ÙÉÛÅÍ ÆÒÁÇÍÅÎÔ ÔÁÂÌÉ Ù ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ: 05

03 07

11

03 07

23 19 17 13 29 31

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ 3 É 7 ÄÏÌÖÎÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÂÙÔØ ÓÏÓÅÄÑÍÉ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ 11. þÉÓÌÏ 5 ÍÏÖÅÔ ÏÁÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÅÒ×ÕÀ ÏÚÉ ÉÀ (Ô.Ë. ÏÎÏ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ ÒÑÄÏÍ Ó 19). úÎÁÞÉÔ, × ÑÔÏÊ ÏÚÉ ÉÉ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÞÉÓÌÏ 23. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ 3 É 7 ÔÅÅÒØ ÒÁÓÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ×Ù×ÏÄÕ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÅÎ ×ÓÅÇÏ ÏÄÉÎ ×ÁÒÉÁÎÔ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ðÏÌÕÞÉÍ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÔÁÂÌÉ Ù É ÎÁÊÄÅÍ ÏÔ×ÅÔ:

15 02 20 45 42 13 26 67 44 30 56 82 53 33 62 32 73 63 92 49 75 70 98 49

10 09 19 48 29 04 19 54 25 09 19 49 12 06 19 71 24 06 19 70 04 07 19 52

05 03 11 07 23 19 17 13 29 31 47 43 41 37 53 61 59 67 83 79 71 73 89 97 ïÔ×ÅÔ: 10.09.1948 29.04.1954 25.09.1949 12.06.1971 24.06.1970 04.07.1952

8.4. úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌÉ É ×ÅÒÔÉËÁÌÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 13 Ó×ÅÒÈÕ ×ÎÉÚ É ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ËÌÅÔËÁ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÁÒÏÊ ÞÉÓÅÌ (i; j ), ÇÄÅ i | ÎÏÍÅÒ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌÉ, Á j | ÎÏÍÅÒ ×ÅÒÔÉËÁÌÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ËÌÅÔËÁ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÅÎÔÒÏÍ ËÌÅÔËÉ (a; b) É ÅÎÔÒÏÍ ËÌÅÔËÉ ( ; d) ÒÁ×p ÎÏ (a − )2 + (b − d)2 . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ |a − | ∈ {0; 1; : : p : ; 12} É |b − d| ∈ ∈ {0; 1; : : : ; 12}. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ x = |a − |, y = |b − d|, z = x2 + y 2 . ÏÇÄÁ z | ÞÉÓÌÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ, ÅÓÌÉ x2 = (z + y)(z − y). ïÔÓÀÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ 1 1 = (z + y)(z − y) ⇐⇒ zy = =0; 2 22 = (z + y)(z − y) ⇐⇒ zy = =0; 3 ÉÌÉ z = 5 ; É Ô. Ä. 32 = (z + y)(z − y) ⇐⇒ zy = =0 y=4

242

çÌÁ×Á 7

12 z = 15 z = 20 122 = (z + y)(z − y) ⇐⇒ zy = = 0 ÉÌÉ y = 9 ÉÌÉ y = 16 ÉÌÉ z = 37 ÉÌÉ z = 13 : y = 35 y=5 2 ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ x = mn , ÔÏ  z = m + n 2 : y = m − n 2 ñÓÎÏ, ÞÔÏ m É n ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÞÅÔÎÏÓÔÉ. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, y 6 12, ÏÜÔÏÍÕ ÉÓËÏÍÙÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÂÕÄÕÔ ÔÏÌØËÏ ÁÒÙ (x; y) ∈ A ={(3; 4); (4; 3); (6; 8); (8; 6); (9; 12); (12; 9); (5; 12); (12; 5)} ∪{(0; a); (a; 0); a = 1; : : : ; 12}: ëÌÅÔËÕ (a; b) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÄÌÑ ËÌÅÔËÉ ( ; d), ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (|a − |; |b − d|) ∈ A. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ×ÅÔ ÄÁÎÎÏÊ ËÌÅÔËÉ ÍÅÎÑÌÓÑ ÌÉÛØ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ëÒÉÔÏÛÁ ÎÁÈÏÄÉÌÓÑ × ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÄÌÑ ÎÅÅ ËÌÅÔËÅ. á ÔÁË ËÁË × ËÁÖÄÏÊ ËÌÅÔËÅ ëÒÉÔÏÛÁ ÏÂÙ×ÁÌ ÒÏ×ÎÏ 1999 ÒÁÚ (ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ), ÔÏ ×ÅÔ ÄÁÎÎÏÊ ËÌÅÔËÉ ÉÚÍÅÎÉÌÓÑ, ÅÓÌÉ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÄÌÑ ÎÅÅ ËÌÅÔÏË ÎÅÞÅÔÎÏ. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÅÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ ×ÓÅÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÌÅÔÏË ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ËÌÅÔËÉ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ Õ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ËÌÅÔÏË ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÉÌÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÇÏ ÉÌÉ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÏ× ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ ÂÕÄÕÔ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù. üÔÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÕËÁÚÁÎÎÕÀ ÞÅÔÎÏÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ËÌÅÔÏË (a; b), ÇÄÅ a = 1; : : : ; 5, b = = a + 1; : : : ; 6 (ÜÔÉÈ ËÌÅÔÏË 15, ÚÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÉÈ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 18). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Õ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÌÅÔÏË ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÑÈ Ë×ÁÄÒÁÔÁ, Á ÔÁËÖÅ Õ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÌÅÔÏË ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÇÏ É ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÏ× ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÂÕÄÅÔ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÄÌÑ ÎÅÅ ËÌÅÔÏË. úÏÎÏÊ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÄÌÑ ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ËÌÅÔËÉ ÍÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÅÈ ËÌÅÔÏË, ËÏÔÏÒÙÅ × ÒÅÄÅÌÁÈ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ËÌÅÔÏË, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÇÏ, ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÇÏ É ÒÁ×ÏÇÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÄÁÎÎÕÀ ËÌÅÔËÕ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ËÌÅÔËÉ ÞÉÓÌÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÌÅÔÏË, ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÈ × ÅÅ ÚÏÎÅ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÉ, ÞÅÔÎÏ. îÁ ÒÉÓ. 18 ÏËÁÚÁÎÁ ÚÏÎÁ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÄÌÑ ËÌÅÔËÉ 1, Á ÔÁËÖÅ ×ÓÅ ËÌÅÔËÉ ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÌÅ×ÏÇÏ ÕÇÌÁ 6 × 6, ÍÅÎÑÀÝÉÅ Ó×ÏÊ ×ÅÔ. ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÒÉÓ. 19. 8.5. ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁÄÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ: a 6= 0, b 6= 0, a − b 6= 0, a + b 6= 0. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÉÈ ÓÒÁÚÕ.

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

243

15 13 10 6 1 14 11 7 2 12 8 3 9 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 òÉÓ. 18. äÌÑ ËÌÅÔËÉ 1 ÖÉÒÎÙÍÉ ÌÉÎÉÑÍÉ ×ÙÄÅÌÅÎÁ ÚÏÎÁ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. óÅÒÙÍ ×ÅÔÏÍ ÏÔÍÅÞÅÎÙ ËÌÅÔËÉ ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÌÅ×ÏÇÏ ÕÇÌÁ Ó×ÏÊ ×ÅÔ

6 × 6, ÍÅÎÑÀÝÉÅ

òÉÓ. 19.

1. ðÕÓÔØ Á = 0, b = 0. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 −0 0x = 1 −0 0x , ÔÏ ÅÓÔØ x | ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ. 2. ðÕÓÔØ a = 0, b 6= 0. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 −0 bx = 1 −b 0x , ÉÌÉ 0 = b, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ. 3. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÒÉ b = 0, a 6= 0 ÎÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ. 4. ðÒÉ a 6= 0, b 6= 0 ÕÄÏÂÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ: Á) a = b, b) a = −b, ) a 6= ±b. a) a = b: 1 −a ax = 1 −a ax , x 6= a1 ,

x | ÌÀÂÏÅ, ËÒÏÍÅ 1 . a

244

çÌÁ×Á 7

−a b) a = −b: 1 +aax = 1 − , x 6= ± a1 , a1 + x = − a1 + x, a2 = 0, ÒÅÛÅÎÉÊ ax ÎÅÔ.

) a 6= ±b: a 1 1 b = ; x 6= ; x 6= ; 1 − bx 1 − ax a b 1 a 1 b − x = − x; a a b b a b 1 1 x − = − ; b a b a 1 (a − b)ab = : x= ab(a2 − b2 a + b ïÔ×ÅÔ. ðÒÉ a = b = 0 x | ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÒÉ a = b 6= 0 x ∈ (−∞; a1 ) ∪ ( a1 ; ∞). ðÒÉ a= 0; b 6= 0 ÉÌÉ a 6= 0; b = 0 ÉÌÉ a = −b 6= 0 ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÔ. a 6= −b    6= 0 x = a +1 b . ðÒÉ ba 6= 0   a 6= +b 30 8.6. þÉÓÌÏ 2 + 1 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÕÍÍÕ ËÕÂÏ×, ÓÕÍÍÕ ÑÔÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ, Á ÔÁËÖÅ ÉÚ ÎÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ. ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ: 230 + 1 =210×3 + 13 = (210 + 1)(220 − 210 + 1) = 1025 × (220 − 210 + 1) = =41 × 25 × (220 − 210 + 1):

230 + 1 =26×5 + 15 = (26 + 1)(224 − 218 + 212 − 26 + 1) = =65 × (224 − 218 + 212 − 26 + 1) = =13 × 5 × (224 − 218 + 212 − 26 + 1):

230 + 1 =(215 + 1)2 − 2 × 215 = (215 + 28 + 1)(215 + 1 − 28 ) = =33025 × 32513 = 25 × 1321 × 32513: ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÞÉÓÌÁ 230 + 1 ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ 41, 13, 5. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÏ×ÅÒËÏÊ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 32513 = 41 × 793 = 41 × 13 × 61. ïÓÔÁÌÏÓØ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ 1321 - ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ 1321 ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÉ ÎÁ ÏÄÎÏ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÍÅÎØÛÅÅ 37 (372 = 1369, 1369 > 1321). ïÔ×ÅÔ: 230 + 1 = 5 × 5 × 13 × 41 × 61 × 1321.

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

245

Á) äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ 33 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÂÕË×, ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ Ó ÒÕÓÓËÉÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÏÍ ÉÚ 33 ÂÕË× ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÕË×. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÉÓËÏÍÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÏÚØÍÅÍ ÓÁÍ ÁÌÆÁ×ÉÔ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ Ó ÓÁÍÉÍ ÓÏÂÏÊ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÕË×. ðÕÓÔØ m É n | ÏÒÑÄËÏ×ÙÅ ÎÏÍÅÒÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÂÕË× ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ÏÇÄÁ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÂÕË× ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ 2m É 2n ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÏÓÔÁÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 33. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÏÎÉ ÂÙÌÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, ÔÏ ÞÉÓÌÏ 2m − 2n ÄÅÌÉÌÏÓØ ÂÙ ÎÁ 33 ÂÅÚ ÏÓÔÁÔËÁ. ÷ ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ ÞÔÏ îïä(2; 33) = 1, ÒÁÚÎÏÓÔØ m − n ÔÁËÖÅ ÄÅÌÉÌÁÓØ ÂÙ ÎÁ 33 ÂÅÚ ÏÓÔÁÔËÁ, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ Á) ÄÏËÁÚÁÎÏ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ Á) ÏÓÔÁÅÔÓÑ × ÓÉÌÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÉÚ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÂÕË×. Â) ðÒÉ ÓÌÏÖÅÎÉÉ Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÓÕÍÍÁ ÏÒÑÄËÏ×ÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ×ÓÅÈ ÂÕË× ÏÌÕÞÁÅÍÏÊ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÓÕÍÍÁ ÏÒÑÄËÏ×ÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ×ÓÅÈ ÂÕË× ÏÂÏÉÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 26. úÎÁÞÉÔ, ÒÁÚÎÏÓÔØ ÕÏÍÑÎÕÔÙÈ ÓÕÍÍ ÄÏÌÖÎÁ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 26 ÂÅÚ ÏÓÔÁÔËÁ. äÏËÁÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ Â) ÍÅÔÏÄÏÍ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ 26 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÂÕË× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÕÏÍÑÎÕÔÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ÏÒÑÄËÏ×ÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÂÕË× ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ïÄÎÁËÏ ÓÕÍÍÁ 1 + 2 + · · · + 26 = 13 · 27 = 26 · 13 + 13 ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 26 ÉÍÅÅÔ ÏÓÔÁÔÏË 13. üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ Â). úÁÍÅÞÁÎÉÅ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ Â) ÏÓÔÁÅÔÓÑ × ÓÉÌÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÉÚ ÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÂÕË×. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÎËÔÁ Â), ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. ðÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÞÅÔÎÙÈ ÉÌÉ Ä×ÕÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÊ ÏÓÔÁÔÏË, Á ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÓÕÍÍÙ ÞÅÔÎÏÇÏ É ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÅÌ | ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÏÓÔÁÔÏË. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÂÕË×Ù ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÍÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ËÁË ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ, ÔÁË É ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÞÅÔÎÏÓÔÉ. (äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÂÕË×Õ ÞÅÔÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÅÅ ÎÏÍÅÒ ÞÅÔÅÎ, É ÎÅÞÅÔÎÏÊ | ÅÓÌÉ ÎÏÍÅÒ ÎÅÞÅÔÅÎ.) âÕÄÅÍ ÒÅÛÁÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÕÅÍÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ÷ÓÅÇÏ × ÓÌÏÖÅÎÉÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ 52 ÂÕË×Ù. ðÁÒ ÂÕË× ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ É ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÞÅÔÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï, Á ÉÍÅÎÎÏ 13 (ÔÁË ËÁË × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÄÏÌÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØÓÑ 13 ÞÅÔÎÙÈ É 13 ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÂÕË×). ðÁÒÙ ÂÕË× ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÞÅÔÎÏÓÔÉ ×ËÌÀÞÁÀÔ × ÓÅÂÑ 26 ÂÕË×. ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ 26 ÂÕË× ×ÈÏÄÑÔ × 13 ÁÒ ÂÕË× ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÞÅÔÎÏÓÔÉ. ïÄÎÁËÏ, 13 ÁÒ ÂÕË× ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÞÅÔÎÏÓÔÉ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÅÔÎÙÈ É ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÂÕË× (ÔÁË ËÁË 13 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ Â). 9.1.

246

çÌÁ×Á 7

9.2. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÕÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÉÓÁÔØ a ≡ b, ÅÓÌÉ ÞÉÓÌÁ a É b ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÏÓÔÁÔËÉ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 33. ðÕÓÔØ n | ÎÏÍÅÒ ÅÒ×ÏÊ ÂÕË×Ù ÉÓËÏÍÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. üÔÕ ÂÕË×Õ ÕËÁÚÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ ÒÉÂÁ×ÉÌÉ Ë ÂÕË×Å ë, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÌÉ ÂÕË×Õ á. úÁÉÛÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: (1) 12 + 19491999 · n ≡ 1: éÍÅÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÅÏÞËÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ: 19491999 ≡ 25·399+4 ≡ (−1)399 · 16 ≡ −16 ≡ 17: õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ: 12 + 17 · n ≡ 1, ÉÌÉ 17 · n ≡ 22: (2) ðÏÌØÚÕÑÓØ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÏÊ ÏÓÔÁÔËÏ×, ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ

á â ÷ ç ä å ³ ö ú é ê ë ì í î ï ð ò ó õ æ

17 1 18 2 19 3 20 4 21 5 22 6 23 7 24 8 25 9 26 10 27 11 è ã þ û ý ÿ ù ø ü à ñ

28 12 29 13 30 14 31 15 32 16 0 úÄÅÓØ ÏÄ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×ÏÊ ÏÄÉÓÁÎ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 33 ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÅÅ ÎÏÍÅÒÁ ÎÁ 17. ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÁÂÌÉ Ù, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 2 ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ n = 11, Ô. Å. ÅÒ×ÁÑ ÂÕË×Á ÉÓËÏÍÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ | ê. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÙ É ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÂÕË×Ù. éÓËÏÍÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ êýîþìöáæ: (3) åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (3) ÒÉÂÁ×ÉÔØ 17 ÒÁÚ Ë ÓÌÏ×Õ ëòéðïûá, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÓÌÏ×Ï áîáìééë. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (3) ÒÉÂÁ×ÉÔØ Ë ÓÌÏ×Õ ëòéðïûá 33 ÒÁÚÁ, ÔÏ ×ÎÏ×Ø ÏÌÕÞÉÔÓÑ ëòéðïûá. úÎÁÞÉÔ, ÅÓÌÉ (3) ÒÉÂÁ×ÉÔØ 16 ÒÁÚ Ë ÓÌÏ×Õ áîáìééë, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ëòéðïûá. ðÏÌÕÞÉÔØ ÓÌÏ×Ï ëòéðïûá ÍÅÎØÛÅ ÞÅÍ ÚÁ 16 ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÊ ÎÅ ÕÄÁÓÔÓÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÅÄÏÓÌÅÄÎÉÅ ÂÕË×Ù × ÜÔÉÈ ÓÌÏ×ÁÈ É × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (3): û, é, á. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÂÕË×Ù û ÉÚ ÂÕË×Ù é ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÂÕË×Õ á ÒÉÂÁ×ÉÔØ Ë é Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ 16 ÒÁÚ. ïÔ×ÅÔ: êýîþìöáæ; 16 ÒÁÚ. 9.3. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÕÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÉÓÁÔØ a ≡ b, ÅÓÌÉ ÞÉÓÌÁ a É b ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÏÓÔÁÔËÉ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 1000. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÂÕË×Ù ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 77 · n ≡ 355: (1) úÄÅÓØ n | ÏËÁ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÕÓÔØ n = 100·a+10·b+ (a, b, | ÉÆÒÙ). ÏÇÄÁ

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

247

(100 · a + 10 · b + ) · 77 ≡ 355 ⇐⇒ ⇐⇒ 7000 · a + 700 · b + 70 · + 700 · a + 70 · b + 7 · ≡ 355 ⇐⇒ ⇐⇒ 700 · (a + b) + 70 · (b + ) + 7 · ≡ 355: úÎÁÞÉÔ, Ó = 5. äÁÌÅÅ, 700 · (a + b) + 70 · b + 30 ≡ 0: ïÔÓÀÄÁ b = 1. ÏÇÄÁ 700 · a + 800 ≡ 0: úÎÁÞÉÔ, a = 6 É ÏÜÔÏÍÕ n = 615. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) ÍÏÇÌÏ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÏ ÉÎÁÞÅ. õÍÎÏÖÉ× ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ (1) ÎÁ 13, ÏÌÕÞÉÍ 1001 · n ≡ 13 · 355. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÔÒÉ ÉÆÒÙ ÞÉÓÌÁ, ÓÔÏÑÝÅÇÏ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÒÅÍÑ ÏÓÌÅÄÎÉÍÉ ÉÆÒÁÍÉ ÓÁÍÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n. ÷ÙÞÉÓÌÉ× 13 · 355 = 4615, ÎÁÊÄÅÍ n = 615. ÅÅÒØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÛÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1), × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÏÑÔ ÄÒÕÇÉÅ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÅ ÉÆÒÏ×ÙÅ ÇÒÕÙ ÛÉÆÒÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (850, 547, 550 É Ô. Ä.). éÓËÏÍÁÑ ÉÆÒÏ×ÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 121332252610221801150111050615: ïÔ×ÅÔ: ëìàþûéæòáîáêäåî. 9.4. óÎÁÞÁÌÁ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÍ ÍÁÇÉÞÅÓËÉÊ Ë×ÁÄÒÁÔ. óÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ ×Ï ×ÓÅÈ ËÌÅÔËÁÈ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÒÁ×ÎÁ 1 + 2 + : : : + 16 = 16 2· 17 = 136, ÚÎÁÞÉÔ, × ËÁÖÄÏÍ ÓÔÏÌÂ Å (Á ÔÁËÖÅ × ÓÔÒÏËÅ, ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ) ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ 136 : 4 = 34. ðÏÙÔÁÅÍÓÑ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÍÁÇÉÞÅÓËÉÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ Ó ÓÕÍÍÏÊ ÎÁ ÌÉÎÉÉ, ÒÁ×ÎÏÊ 34, É ÅÄÉÎÉ ÅÊ × ÒÁ×ÏÍ ÎÉÖÎÅÍ ÕÇÌÕ. éÍÅÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÔÁËÉÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×. îÁÒÉÍÅÒ, 4 10 7 13 10 5 11 8 12 2 5 15 16 3 2 13 5 15 2 12 6 9 7 12 7 13 10 4 5 10 11 8 9 3 14 8 3 4 14 13 9 3 8 14 9 6 7 12 16 6 11 1 15 16 2 1 6 16 11 1 4 15 14 1 òÁÓÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ, ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÍ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÍÕ Ë×ÁÄÒÁÔÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÞÉÔÁÅÍÙÊ ÔÅËÓÔ: ù ó ø å

ïÔ×ÅÔ:

16 5 9 4

3 10 6 15

2 11 7 14

ò ÷

å å á ë

õ ÷ â ð

ð ó ø õ

å ë

ò á å ÷

å ÷ â ù

13 8 12 ; ðåòåóá÷øåâõë÷ù: 1

248

çÌÁ×Á 7

ðÕÓÔØ ∠AOB = , ∠COD = , ∠AOE = , r ÒÁÄÉÕÓ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÒÉÓ. 20). õÓÌÏ×ÉÅ (4) ÚÁÄÁÞÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ SABE + SCED = SAED : ó ÕÞÅÔÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ SAOB + SAOE − SBOE = SABE É SEOD + SOCD − − SCOE = SECD , ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ: r2 (sin + sin ) − r2 sin( + ) + r2 (sin + sin ) − r2 sin(180◦ − + ) = = 2r2 sin ⇐⇒ sin + sin = sin( + ) + sin( − ) ⇐⇒ ⇐⇒ (1 − os ) · sin + (1 + os ) · sin = sin · ( os + os ): (1) 9.5.

B

C

α A γ

β O

D

E òÉÓ. 20.

âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ 6 90◦. äÁÌÅÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ E | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÍÅÎØÛÉÅ 5, ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÍÅÓÔÏ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ. óÌÕÞÁÊ 1. sin = 1. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1) ÒÉÍÅÔ ×ÉÄ: sin + sin = os + + os . üÔÏ ÄÁÅÔ Ä×Á ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË: 1) B (−3; 4), C (4; 3), E (0; −5); 2) B (−4; 3), C (3; 4), E (0; −5). óÌÕÞÁÊ 2. sin = 35 ; os = 54 . éÚ (1) ÏÌÕÞÁÅÍ: sin + 9 · sin = = 3 · os + 3 · os . ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ 6, Á ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 53 + 9 · 35 = 6.

óÌÕÞÁÊ 3. sin = 54 ; os = 35 . òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1) ÚÁÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ: sin + + 4 · sin = 2 · os + 2 · os . üÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË sin + 4 · sin > 35 + 4 · 35 É 2 · os + 2 · os 6 2 · 45 . ïÔ×ÅÔ: 1) B (−3; 4), C (4; 3), E (0; −5); 2) B (−4; 3), C (3; 4), E (0; −5).

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

9.6.

249

÷ÙÄÅÌÉÍ ÏÄ ÚÎÁËÁÍÉ ÒÁÄÉËÁÌÁ ÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ:

s s 1 2 1 2 2 +a > 1+ − x− + 4: − x+

2

2

÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÚÁÍÅÎÙ x + 21 = t ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÉÍÅÔ ×ÉÄ: p

p

a2 − t2 > 1 + 4 − (t − 1)2 : äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÉÚÕÞÉÍ ×ÚÁÉÍÎÏÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ (t; y) ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ p y1 (t) = a2 − t2 ( ÅÎÔÒ (0; 0); ÒÁÄÉÕÓ |a|) É p y2 (t) = 1 + 4 − (t − 1)2 ( ÅÎÔÒ (1; 1); ÒÁÄÉÕÓ 2): ÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ (ÅÓÌÉ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË Ä×Å) ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ÉÈ ÅÎÔÒÙ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÒÑÍÁÑ y = t. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÎÁÞÁÌÅ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÚÁÉÍÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. åÓÌÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁ |a| ÍÁÌÁ, ÔÏ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ (ÒÉÓ. 21). ó ÒÏÓÔÏÍ |a| Õ y

y

C(1; 3)

y2 (t) B y=1

A

y1 (t)

y2 (t)

A

y1 (t) O

t0 O

t

òÉÓ. 21.

t

òÉÓ. 22.

y

y

y=t

y1 (t)

y2 (t)

O òÉÓ. 23.

t1

t2

t

−1

O

3

t

òÉÓ. 24.

ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÁÑ ÔÏÞËÁ B (Ó ÁÂÓ ÉÓÓÏÊ t0 ) (ÒÉÓ. 22). ðÒÉ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÉ |a| ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ B Ä×ÉÖÅÔÓÑ Ï ÏË-

250

çÌÁ×Á 7

ÒÕÖÎÏÓÔÉ y2 (t) Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ. úÎÁÞÅÎÉÅ |a|, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÔÏÞËÁ B ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÔÏÞËÏÊ C (1; 3), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÍ, ÔÁË ËÁË ÒÉ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÉ |a| ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÉÍÅÀÔ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ (ÒÉÓ. 23). é, ÎÁËÏÎÅ , ÒÉ |a|, ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ×ÎÏ×Ø ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ (ÒÉÓ. 24). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÏÄÒÏÂÎÏ. √ óÌÕÞÁÊ 1. ðÒÉ |a| < OA = 2 ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅ ÉÍÅÅÔ (ÒÉÓ. 21). óÌÕÞÁÊ 2. ðÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÉÍÅÀÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ√ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ √ Ó ÁÂÓ ÉÓÓÏÊ t0 < 1 (ÒÉÓ. 22). ðÒÉ ÜÔÏÍ 2 6 |a| < OC = 10. òÅÛÅÎÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ t ∈ [−1; t0℄. óÌÕÞÁÊ √3. ðÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ √ ÉÍÅÀÔ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ (ÒÉÓ. 23). ðÒÉ ÜÔÏÍ 10 6 |a| 6 2 + √2. òÅÛÅÎÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ t ∈ ∈ [−1; t1 ℄∪[t2 ; 3℄. ðÒÉ |a| = 2+ 2 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ËÁÓÁÎÉÅ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ (ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÞÅË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ï-ÒÅÖÎÅÍÕ Ä×Å, ÎÏ ÒÏÓÔÏ ÏÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ). √ óÌÕÞÁÊ 4. ðÒÉ |a| > 2 + 2 ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ×ÎÏ×Ø ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÔÏÞÅË, É t ∈ [−1; 3℄. îÁÊÄÅÍ ÔÅÅÒØ ÔÏÞÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÁÂÓ ÉÓÓ t1 ; t2 ÔÏÞÅË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. üÔÉ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÉÓÔÅÍÅ (2 2 2 t2 + y2 = a2 ⇐⇒ t + y = a 2 =⇒ t2 + a2 −2 −t 2 = a2 : (t−1)2 + (y−1)2 = 4 2 t + y = a 2−2 òÅÛÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÁÈÏÄÉÍ √ a2 − 2 ∓ 12 · a2 − a4 − 4 : t1;2 = 4 éÔÁË, ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: √ 1. |√a| < 2 =⇒√ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÔ. 2. √2 6 |a| < 10 = √⇒ t ∈ [−1; t1 ℄. 3. 10 6 |a|√6 2 + 2 =⇒ t ∈ [−1; t1℄ ∪ [t2 ; 3℄. 4. |a| > 2 + 2 =⇒ t ∈ [−1; 3℄. ðÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x É ÉÓÏÌØÚÕÑ Ñ×ÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ t1 ; t2 , ÏÌÕÞÁÅÍ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ïÔ×ÅÔ: √ 1. |a| < 2 =⇒ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÔ. √ 2 √ √ 2 4 2. 2 6 |a| < 10 =⇒ x ∈ [− 32 ; a − 2 − 124· a − a − 4 ℄. √ √ 3. 10 6 |a| 6 2 +√ 2 =⇒ √ 2 2 2 4 2 4 x ∈ [− 32 ; a − 2 − 124· a − a − 4 ℄ ∪ [ a − 2 + 124· a − a − 4 ; 52 ℄. 4. |a| > 2 + 2 =⇒ x ∈ [− 32 ; 25 ℄. √

ïÌÉÍÉÁÄÙ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

251

ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ Ë ÇÌÁ×Å 7

[1℄ í. çÁÒÄÎÅÒ. ïÔ ÍÏÚÁÉË ðÅÎÒÏÕÚÁ Ë ÎÁÄÅÖÎÙÍ ÛÉÆÒÁÍ. í.: íÉÒ, 1993. [2℄ õ. âÏÌÌ, ç. ëÏËÓÔÅÒ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÜÓÓÅ É ÒÁÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ. í.: íÉÒ, 1986. [3℄ ó. á. äÏÒÉÞÅÎËÏ, ÷. ÷. ñÝÅÎËÏ. 25 ÜÔÀÄÏ× Ï ÛÉÆÒÁÈ. í.: üéó, 1994. [4℄ ÷. öÅÌØÎÉËÏ×. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ ÏÔ ÁÉÒÕÓÁ ÄÏ ËÏÍØÀÔÅÒÁ. í.: ABF, 1996. [5℄ ç. æÒÏÌÏ×. ÁÊÎÙ ÔÁÊÎÏÉÓÉ. í., 1992. [6℄ þ. õÜÚÅÒÅÌÌ. üÔÀÄÙ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ×. í.: íÉÒ, 1982. [7℄ á. óÁÌÏÍÁÁ. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÑ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ. í.: íÉÒ, 1995. [8℄ . á. óÏÂÏÌÅ×Á. ÁÊÎÏÉÓØ × ÉÓÔÏÒÉÉ òÏÓÓÉÉ (éÓÔÏÒÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÓÌÕÖÂÙ òÏÓÓÉÉ XVIII { ÎÁÞÁÌÁ XX ×.). í., 1994. [9℄ â. áÎÉÎ, á. ðÅÔÒÏ×ÉÞ. òÁÄÉÏÛÉÏÎÁÖ. í.: íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, 1996. [10℄ ç. á. çÕÒÅ×ÉÞ. ëÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ öÀÌÑ ÷ÅÒÎÁ. // ë×ÁÎÔ, 9, 1985. [11℄ ÷. ëÁ×ÅÒÉÎ. óÏÂÒÁÎÉÅ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ × 6 Ô., Ô. 2. éÓÏÌÎÅÎÉÅ ÖÅÌÁÎÉÊ ó. 211{552. í.: èÕÄÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÁ, 1964. [12℄ ü. ðÏ. óÔÉÈÏÔ×ÏÒÅÎÉÑ. ðÒÏÚÁ (úÏÌÏÔÏÊ ÖÕË ó. 433{462). í.: èÕÄÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÁ, 1976. [13℄ á. ëÏÎÁÎ äÏÊÌ. úÁÉÓËÉ Ï ûÅÒÌÏËÅ èÏÌÍÓÅ. ðÌÑÛÕÝÉÅ ÞÅÌÏ×ÅÞËÉ ó. 249{275. í.: ðÒÁ×ÄÁ, 1983. [14℄ ö. ÷ÅÒÎ. óÏÂÒÁÎÉÅ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ × 12 Ô. ðÕÔÅÛÅÓÔ×ÉÅ Ë ÅÎÔÒÕ úÅÍÌÉ ó. 7{225. í.: èÕÄÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÁ, 1995. [15℄ ö. ÷ÅÒÎ. öÁÎÇÁÄÁ. âÉÂÌÉÏÔÅÞËÁ ÒÉËÌÀÞÅÎÉÊ. . 9. í.: äÅÔÓËÁÑ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÁ, 1967.

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ ïÔÒÙ×ÏË ÉÚ ÓÔÁÔØÉ ë. ûÅÎÎÏÎÁ

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ1)

íÁÔÅÒÉÁÌ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÁÔØÅ, ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÌ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÎÏÇÏ ÄÏËÌÁÄÁ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ÄÁÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ 1 ÓÅÎÔÑÂÒÑ 1945 Ç., ËÏÔÏÒÙÊ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ2) ÒÁÓÓÅËÒÅÞÅÎ. 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ É ËÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ

÷ÏÒÏÓÙ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ É ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÏÔËÒÙ×ÁÀÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÊ ÔÅÏÒÉÉ Ó×ÑÚÉ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÅ ÒÁÚ×É×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÉÑ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. éÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅÄÅÔÓÑ × ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÍ ÌÁÎÅ É ÉÍÅÅÔ Ó×ÏÅÊ ÅÌØÀ ÄÏÏÌÎÉÔØ ÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ × ÏÂÙÞÎÙÈ ÒÁÂÏÔÁÈ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. ÷ ÜÔÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ ÄÅÔÁÌØÎÏ ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ ÍÎÏÇÉÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÔÉÙ ËÏÄÏ× É ÛÉÆÒÏ×, Á ÔÁËÖÅ ÓÏÓÏÂÙ ÉÈ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÉ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ Ó ÏÂÝÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ É Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. îÁÛÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ × ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ. ÷ÏÅÒ×ÙÈ, ÉÍÅÀÔÓÑ ÔÒÉ ÏÂÝÉÈ ÔÉÁ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ: 1) ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÁÓËÉÒÏ×ËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ËÌÀÞÁÀÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÔÁËÉÈ ÍÅÔÏÄÏ×, ËÁË ÎÅ×ÉÄÉÍÙÅ ÞÅÒÎÉÌÁ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ × ÆÏÒÍÅ ÂÅÚÏÂÉÄÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÉÌÉ ÍÁÓËÉÒÏ×ËÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, É ÄÒÕÇÉÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÒÉ ÏÍÏÝÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÆÁËÔ ÎÁÌÉÞÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓËÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ; 2) ÔÁÊÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÉÎ×ÅÒÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÅÞÉ), × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÌÑ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÂÏÒÕÄÏ×ÁÎÉÅ; 3) ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ, ÇÄÅ ÓÍÙÓÌ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓËÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÛÉÆÒÁ, ËÏÄÁ É Ô. Ä., ÎÏ ÓÁÍÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÅ ÓËÒÙ×ÁÅÔÓÑ É ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÌÀÂÙÍ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍ ÏÂÏÒÕÄÏ×ÁÎÉÅÍ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÄÌÑ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ É ÚÁÉÓÉ ÅÒÅÄÁÎÎÙÈ ÓÉÇÎÁÌÏ×. úÄÅÓØ ÂÕÄÅÔ 1) ðÅÞÁÔÁÅÔÓÑ Ï ÉÚÄÁÎÉÀ: ë. ûÅÎÎÏÎ òÁÂÏÔÙ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ËÉÂÅÒÎÅÔÉËÅ, í., éì, 1963, Ó. 333{369 (ÅÒÅ×ÏÄ ÷. æ. ðÉÓÁÒÅÎËÏ). 2) 1949 ÇÏÄ | ÒÉÍ. ÒÅÄ.

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

253

ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎ ÔÏÌØËÏ ÔÒÅÔÉÊ ÔÉ ÓÉÓÔÅÍ, ÔÁË ËÁË ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÁÓËÉÒÏ×ËÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÂÌÅÍÕ, Á ÔÁÊÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ | ÔÅÈÎÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÂÌÅÍÕ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÎÁÛÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ÓÌÕÞÁÅÍ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÇÄÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÏ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ×, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÂÒÁÎ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. üÔÉ ÓÉÍ×ÏÌÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÂÕË×ÁÍÉ ÉÌÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÑÚÙËÁ, ÁÍÌÉÔÕÄÎÙÍÉ ÕÒÏ×ÎÑÍÉ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÅÞÉ ÉÌÉ ×ÉÄÅÏÓÉÇÎÁÌÁ É Ô. Ä., ÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÕÄÁÒÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÓÄÅÌÁÎÏ ÎÁ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕË×. óÔÁÔØÑ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÔÒÉ ÞÁÓÔÉ. òÅÚÀÍÉÒÕÅÍ ÔÅÅÒØ ËÒÁÔËÏ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÅÒ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÉÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. ÷ ÔÅÏÒÉÉ Ó×ÑÚÉ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÑÚÙË ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÒÏ ÅÓÓ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÚÄÁÅÔ ÄÉÓËÒÅÔÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏ× × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ. ó ËÁÖÄÙÍ ÑÚÙËÏÍ Ó×ÑÚÁÎ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÁÒÁÍÅÔÒ D, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÉÚÂÙÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÜÔÏÇÏ ÑÚÙËÁ. éÚÂÙÔÏÞÎÏÓÔØ ÉÚÍÅÒÑÅÔ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÕÍÅÎØÛÅÎÁ ÄÌÉÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÂÅÚ ÏÔÅÒÉ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÞÁÓÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ðÒÏÓÔÏÊ ÒÉÍÅÒ: ÔÁË ËÁË × ÓÌÏ×ÁÈ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÚÁ ÂÕË×ÏÊ q ×ÓÅÇÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÏÌØËÏ ÂÕË×Á u, ÔÏ u ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÅÚ ÕÝÅÒÂÁ ÏÕÝÅÎÁ. úÎÁÞÉÔÅÌØÎÙÅ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ × ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÍÏÖÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÅÇÏ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, ÞÁÓÔÕÀ Ï×ÔÏÒÑÅÍÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÂÕË× ÉÌÉ ÓÌÏ×, É Ô. Ä. éÚÂÙÔÏÞÎÏÓÔØ ÉÇÒÁÅÔ ÅÎÔÒÁÌØÎÕÀ ÒÏÌØ × ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. óÅËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏ ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á (ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ) × ÄÒÕÇÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ). ëÁÖÄÏÅ ËÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÓÏÂÕ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ËÌÀÞ, ÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÏ ÅÓÓÁ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÉ ×ÏÚÍÏÖÅÎ ÌÉÛØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÄÁÌÅÅ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÍÕ ËÌÀÞÕ (É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÁÖÄÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÁÒÉÏÒÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ | ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ×ÙÂÒÁÔØ ÜÔÏÔ ËÌÀÞ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ËÁÖÄÏÍÕ ×ÏÚÍÏÖÎÏÍÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÁÒÉÏÒÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÚÁÄÁÀÝÉÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÍ ÒÏ ÅÓÓÏÍ. üÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ É ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÁÒÉÏÒÎÙÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉËÁ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ É ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔ ÅÇÏ ÁÒÉÏÒÎÙÅ ÚÎÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÅÊ ÅÇÏ ÒÏÂÌÅÍÙ.

254

ë. ûÅÎÎÏÎ

þÔÏÂÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁËÕÀ ÓÅËÒÅÔÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÌÀÞ É ÏÓÙÌÁÅÔÓÑ × ÔÏÞËÕ ÒÉÅÍÁ. ÷ÙÂÏÒ ËÌÀÞÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ËÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÓÉÓÔÅÍÕ. úÁÔÅÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ É Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍÕ ËÌÀÞÕ, ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ. üÔÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ × ÔÏÞËÕ ÒÉÅÍÁ Ï ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ËÁÎÁÌÕ É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÁ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ. îÁ ÒÉÅÍÎÏÍ ËÏÎ Å Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍÕ, ÉÚ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÔ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÅÒÅÈ×ÁÔÉÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ, ÏÎ ÍÏÖÅÔ Ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ ÓÏÓÞÉÔÁÔØ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ É ËÌÀÞÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÌÉ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ ÄÌÑ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ. üÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÅÇÏ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ËÌÀÞÁÈ É ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÈ ÏÓÌÅ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ. ó×ÅÄÅÎÉÑ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÍ ÒÉÉÓÁÎÙ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÉ. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÉ ÏÎÑÔÉÑ ÒÏÓÔÙÍ ÒÉÍÅÒÏÍ. ÷ ÛÉÆÒÅ ÒÏÓÔÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÉÍÅÅÔÓÑ 26! ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ 26! ÓÏÓÏÂÁÍ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÍÅÎÉÔØ 26 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÂÕË×. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÓÏÓÏÂÙ ÒÁ×ÎÏ×ÏÚÍÏÖÎÙ, É ÏÜÔÏÍÕ ËÁÖÄÙÊ ÉÍÅÅÔ ÁÒÉÏÒÎÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ 1=26! åÓÌÉ ÔÁËÏÊ ÛÉÆÒ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ë ÎÏÒÍÁÔÉ×ÎÏÍÕ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍÕ ÑÚÙËÕ É ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÎÅ ÚÎÁÅÔ ÎÉÞÅÇÏ ÏÂ ÉÓÔÏÞÎÉËÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÓÏÚÄÁÅÔ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÊ ÔÅËÓÔ, ÔÏ ÁÒÉÏÒÎÙÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÉÚ N ÂÕË× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÓÔÏ ÉÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÁÓÔÏÔÙ × ÎÏÒÍÁÔÉ×ÎÏÍ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÔÅËÓÔÅ. åÓÌÉ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÅÒÅÈ×ÁÔÉÌ ÔÁËÕÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ ÉÚ N ÂÕË×, ÅÇÏ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ. åÓÌÉ N ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÅÌÉËÏ (ÓËÁÖÅÍ, 50 ÂÕË×), ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ Ó ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ, ÂÌÉÚËÏÊ Ë ÅÄÉÎÉ Å, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ×ÓÅ ÄÒÕÇÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÉÍÅÀÔ ÓÕÍÍÁÒÎÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÂÌÉÚËÕÀ Ë ÎÕÌÀ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÔÓÑ, Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÁËÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ. äÌÑ ÍÅÎØÛÉÈ N (ÓËÁÖÅÍ, N = 15) ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ É ËÌÀÞÅÊ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÒÁ×ÎÉÍÙ, É ÎÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ËÌÀÞÁ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ, ÂÌÉÚËÏÊ Ë ÅÄÉÎÉ Å. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ËÁË ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÄÒÕÇÏÅ, ×ÏÚÎÉËÁÀÔ Ä×Å ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÉÚ Ä×ÕÈ ÄÁÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÔÒÅÔØÀ. ðÅÒ×ÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

255

ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ (ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ) É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÚÁÛÉÆÒÏ×ËÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÉÓÔÅÍÙ R Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁÛÉÆÒÏ×ËÏÊ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÉÓÔÅÍÙ S , ÒÉÞÅÍ ËÌÀÞÉ R É S ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ. ðÏÌÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ (× ÏÂÙÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ S ÎÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÉÚ R. ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÅÚÕÌØÔÉÒÕÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ Ä×ÕÈ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. ÷ÔÏÒÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×Ú×ÅÛÅÎÎÙÍ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ: T = pR + qS; p + q = 1: ïÎÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. óÎÁÞÁÌÁ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÙÂÏÒ, ËÁËÁÑ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍ R ÉÌÉ S ÂÕÄÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ, ÒÉÞÅÍ ÓÉÓÔÅÍÁ R ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ Ò, Á ÓÉÓÔÅÍÁ S Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ q. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ×ÙÂÒÁÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÉÓÁÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÓÏÓÏÂÏÍ. âÕÄÅÔ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÜÔÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÂÒÁÚÕÀÔ, Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ, ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ, | ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÊ ÏÂßÅËÔ, ÏÄÒÏÂÎÏ ÉÚÕÞÁ×ÛÉÊÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ. óÒÅÄÉ ÍÎÏÇÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÔÉ Ó ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ÏÓÏÂÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. üÔÏÔ ÔÉ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÞÉÓÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ. óÉÓÔÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÏÊ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ É ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÒÅÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ i , j , Tk ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ti Tj−1Tk ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. Ï ÅÓÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ËÁ, ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÁ É ÓÎÏ×Á ÚÁÛÉÆÒÏ×ËÁ Ó ÌÀÂÙÍÉ ÔÒÅÍÑ ËÌÀÞÁÍÉ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÚÁÛÉÆÒÏ×ËÅ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ËÌÀÞÏÍ. íÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÞÉÓÔÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ | ×ÓÅ ÏÎÉ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÓÁÍÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ. âÏÌØÛÅ ÔÏÇÏ, ËÁÖÄÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ (ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ËÌÁÓÓ), ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÇÌÁ ÂÙ ÏÌÕÞÉÔØÓÑ ÜÔÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ, Á ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ × ÜÔÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ ÁÒÉÏÒÎÙÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍ. ÷ÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ËÏÔÏÒÕÀ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÏÌÕÞÉÌ ÂÙ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÉ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. íÎÏÇÉÅ ÉÚ ÏÂÙÞÎÙÈ ÛÉÆÒÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÓÔÙÍÉ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÒÏÓÔÁÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ Ó ÔÁËÉÍ

256

ë. ûÅÎÎÏÎ

ÖÅ ÎÁÂÏÒÏÍ ÂÕË×ÅÎÎÙÈ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, ËÁË × ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, Ä×Å ÓÉÓÔÅÍÙ R É S Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÏÂÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ A (ÉÍÅÀÝÅÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ A−1 ) ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ R = AS: åÓÌÉ R É S ÏÄÏÂÎÙ, ÔÏ ÍÅÖÄÕ ÏÌÕÞÁÀÝÉÍÉÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÓÉÓÔÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ ÍÏÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ×ÚÁÉÍÎÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ, ÒÉ×ÏÄÑÝÅÅ Ë ÔÅÍ ÖÅ ÓÁÍÙÍ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍ. ÁËÉÅ Ä×Å ÓÉÓÔÅÍÙ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ÷Ï ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÔÁÔØÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ. îÁÓËÏÌØËÏ ÌÅÇËÏ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÄÄÁÅÔÓÑ ÒÁÓËÒÙÔÉÀ ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÁÎÁÌÉÚÁ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ×ÒÅÍÅÎÉ É ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ×? üÔÁ ÒÏÂÌÅÍÁ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ×ÏÒÏÓÁÍÉ Ó×ÑÚÉ ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÛÕÍÏ×, É ÏÎÑÔÉÑ ÜÎÔÒÏÉÉ É ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, ××ÅÄÅÎÎÙÅ × ÔÅÏÒÉÉ Ó×ÑÚÉ, ÎÁÈÏÄÑÔ ÒÑÍÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. óÏ×ÅÒÛÅÎÎÁÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍÉ Ë ÓÉÓÔÅÍÅ. ÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÏÓÌÅ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÂÙÌÉ ÂÙ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙ ÁÒÉÏÒÎÙÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍ ÔÅÈ ÖÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÄÏ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÁÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÁ, ÎÏ ÔÒÅÂÕÅÔ × ÓÌÕÞÁÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÔÏÇÏ ÖÅ ÓÁÍÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ. åÓÌÉ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÓÏÚÄÁÅÔÓÑ Ó ÄÁÎÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ R (ÏÎÑÔÉÅ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÂÕÄÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÏÚÖÅ), ÔÏ ËÌÀÞ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÚÄÁ×ÁÔØÓÑ Ó ÔÏÊ ÖÅ ÓÁÍÏÊ ÉÌÉ Ó ÂÏÌØÛÅÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ. åÓÌÉ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÅËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ É ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÙ N ÂÕË× ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÔÏ ÄÌÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÂÕÄÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÓÏÚÄÁÔØ ÜÔÕ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ. ó Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅÍ N ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂÙÞÎÏ ÓÕÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ: ÏÄÎÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ, ÂÌÉÚËÏÊ Ë ÅÄÉÎÉ Å, Á ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ, ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÎÕÌÀ. ÷ ÒÁÂÏÔÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ H (N ), ÎÁÚ×ÁÎÎÁÑ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔØÀ. üÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÉÚÍÅÒÑÅÔ (× ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ), ÎÁÓËÏÌØËÏ ÂÌÉÚËÁ ÓÒÅÄÎÑÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÉÚ N ÂÕË× Ë ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÒÅÛÅÎÉÀ, Ô. Å. ÎÁÓËÏÌØËÏ ÎÅÔÏÞÎÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÕ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÏÓÌÅ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÉÚ N ÂÕË×. äÁÌÅÅ

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

257

×Ù×ÏÄÑÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ: ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ ËÌÀÞÁ ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ Ó ÒÏÓÔÏÍ N . üÔÁ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ | ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÏÔÉ×ÎÉËÕ ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÔØ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ ÌÉÛØ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ ÚÁÁÓÏÍ ×ÒÅÍÅÎÉ. ÷ ÜÔÏÊ ÖÅ ÞÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ H (N ) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÅÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÔÉÏ× ÛÉÆÒÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ÛÉÆÒÁÍÉ. ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ×ÉÄÏÉÚÍÅÎÅÎÉÑÍÉ ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÉÍÅÎÅÎÁ ËÏ ÍÎÏÇÉÍ ÓÌÕÞÁÑÍ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÊ ÉÎÔÅÒÅÓ. üÔÏ ÄÁÅÔ ÓÏÓÏÂ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÅÒÅÈ×ÁÔÉÔØ, ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. éÚ ÏÄÏÂÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÂÙÞÎÙÈ ÑÚÙËÏ× É ÏÂÙÞÎÙÈ ÔÉÏ× ÛÉÆÒÏ× (ÎÏ ÎÅ ËÏÄÏ×) ÜÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÏ ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ H (K )=D. úÄÅÓØ î (ë ) | ÞÉÓÌÏ, ÉÚÍÅÒÑÀÝÅÅ ÏÂßÅÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ËÌÀÞÅÊ. åÓÌÉ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ÁÒÉÏÒÉ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ, ÔÏ î (ë ) ÒÁ×ÎÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÕ ÞÉÓÌÁ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ. ÷×ÏÄÉÍÏÅ ÞÉÓÌÏ D | ÜÔÏ ÉÚÂÙÔÏÞÎÏÓÔØ ÑÚÙËÁ. ïÎÏ ÉÚÍÅÒÑÅÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ, ÎÁÌÁÇÁÅÍÙÈ ÑÚÙËÏÍ. äÌÑ ÒÏÓÔÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÎÁÛÅ î (ë ) ÒÁ×ÎÏ log10 26! ÉÌÉ ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ 20, Á D (× ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÈ ÅÄÉÎÉ ÁÈ ÎÁ ÂÕË×Õ) ÄÌÑ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÒÁ×ÎÏ ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ 0,7. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ ÒÉ 30 ÂÕË×ÁÈ. äÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÑÚÙËÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÔÁËÉÅ ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔØ ÎÅ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÒÉ N → ∞. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÎÅ ÏÌÕÞÉÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ÛÉÆÒÁ, ÓËÏÌØËÏ ÂÙ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ ÏÎ ÎÅ ÅÒÅÈ×ÁÔÉÌ, É Õ ÎÅÇÏ ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÁ×ÁÔØÓÑ ÍÎÏÇÏ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ× Ó ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÂÏÌØÛÉÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ. ÁËÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÉÄÅÁÌØÎÙÍÉ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ. ÷ ÌÀÂÏÍ ÑÚÙËÅ ÍÏÖÎÏ ÁÒÏËÓÉÍÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁËÕÀ ÓÉÔÕÁ ÉÀ, Ô. Å. ÏÔÓÒÏÞÉÔØ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ H (N ) Ë ÎÕÌÀ ÄÏ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ N . ïÄÎÁËÏ ÔÁËÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÉÍÅÀÔ ÍÎÏÇÏ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÏ×, ÔÁËÉÈ ËÁË ÓÌÏÖÎÏÓÔØ É ÞÕ×ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔØ Ë ÏÛÉÂËÁÍ ÒÉ ÅÒÅÄÁÞÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ. ÒÅÔØÑ ÞÁÓÔØ ÓÔÁÔØÉ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ. ä×Å ÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ ÏÂßÅÍÏÍ ËÌÀÞÁ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÂÅ ÒÁÚÒÅÛÉÍÙ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÇÄÁ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÏ N ÂÕË×, ÎÏ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ×ÒÅÍÅÎÉ É ÕÓÉÌÉÊ, ÚÁÔÒÁÞÉ×ÁÅÍÙÈ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÑ. îÁ ÏÓÎÏ×Å ÁÎÁÌÉÚÁ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÏ× ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÒÅÄÌÁÇÁÀÔÓÑ ÍÅÔÏÄÙ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍ, ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÂÏÌØÛÉÅ ÚÁÔÒÁÔÙ ×ÒÅÍÅÎÉ É ÓÉÌ. îÁËÏÎÅ , ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÙÈ ËÁÞÅÓÔ× ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ.

258

ë. ûÅÎÎÏÎ

þÁÓÔØ I íáåíáéþåóëáñ óòõëõòá óåëòåîùè óéóåí

2. óÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ

þÔÏÂÙ ÒÉÓÔÕÉÔØ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÁÎÁÌÉÚÕ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ××ÅÓÔÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔÅÌØÎÕÀ ÉÄÅÁÌÉÚÁ ÉÀ É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÒÉÅÍÌÅÍÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÞÔÏ ÂÕÄÅÔ ÏÎÉÍÁÔØÓÑ ÏÄ ÔÅÒÍÉÎÏÍ ÓÅËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ. óÈÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 1. îÁ ÅÒÅÄÁÀÝÅÍ ËÏÎ Å ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Á ÉÓÔÏÞÎÉËÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ | ÉÓÔÏÞÎÉË ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ É ÉÓÔÏÞÎÉË ËÌÀÞÅÊ. éÓÔÏÞÎÉË ËÌÀÞÅÊ ÏÔÂÉÒÁÅÔ E -

-

-

M

TK

E

K

E

−1 TK

M

K

òÉÓ. 1. óÈÅÍÁ ÏÂÝÅÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ.

ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. üÔÏÔ ËÌÀÞ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÎÁ ÒÉÅÍÎÙÊ ËÏÎÅ , ÒÉÞÅÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÎÅÌØÚÑ ÅÒÅÈ×ÁÔÉÔØ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÌÀÞ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ ÏÓÙÌØÎÙÍ). éÓÔÏÞÎÉË ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (ÎÅÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ), ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÔÅÍ ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ, É ÇÏÔÏ×ÁÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÒÉÅÍÎÙÊ ËÏÎÅ , ÒÉÞÅÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÁ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÅÒÅÓÙÌÁÅÔÓÑ Ï ÒÁÄÉÏ). îÁ ÒÉÅÍÎÏÍ ËÏÎ Å ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË Ó ÏÍÏÝØÀ ËÌÀÞÁ Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÎÁ ÅÒÅÄÁÀÝÅÍ ËÏÎ Å ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÏÅÒÁ ÉÀ. åÓÌÉ í | ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ë | ËÌÀÞ É å | ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ), ÔÏ ÉÍÅÅÍ E = f (M; K );

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

259

Ô. Å. å Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÔ í É ë . õÄÏÂÎÅÅ, ÏÄÎÁËÏ, ÏÎÉÍÁÔØ å ÎÅ ËÁË ÆÕÎË ÉÀ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, Á ËÁË (ÏÄÎÏÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ) ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ ÉÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, É ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÅÇÏ × ×ÉÄÅ: å = i í: ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ i , ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÅ Ë ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ í , ÄÁÅÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ å . éÎÄÅËÓ i ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍÕ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÏÍÕ ËÌÀÞÕ. ÷ÏÏÂÝÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ, ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ pi . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÔÏÞÎÉË ËÌÀÞÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÒÏ ÅÓÓÏÍ, ÉÌÉ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×ÏÍ, ËÏÔÏÒÏÅ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÏÄÎÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ T1; : : : ; m Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ p1 ; : : : pm ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. âÕÄÅÍ ÔÁËÖÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ËÏÎÅÞÎÏ É ÜÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ M1 ; : : : ín ÉÍÅÀÔ ÁÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ q1 ; : : : ; qn . îÁÒÉÍÅÒ, ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÂÙÔØ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÈ ÂÕË×, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ Ï N ÂÕË× ËÁÖÄÁÑ, Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ ÔÏÇÄÁ ÂÙÌÉ ÂÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÁÓÔÏÔÙ ÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ × ÎÏÒÍÁÔÉ×ÎÏÍ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÔÅËÓÔÅ. äÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØ í ÎÁ ÒÉÅÍÎÏÍ ËÏÎ Å, ËÏÇÄÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ å É ë . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Ti ÉÚ ÎÁÛÅÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÄÏÌÖÎÏ ÉÍÅÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Ti−1, ÔÁË ÞÔÏ Ti Ti−1 = I , ÇÄÅ I | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: í = i−1å: ÷Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÜÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ i−1 ÄÏÌÖÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ É ÂÙÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ å , ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÏ ÉÚ í Ó ÏÍÏÝØÀ ËÌÀÞÁ i. ðÒÉÈÏÄÉÍ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ: ÓÅËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÅÓÔØ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ i ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ, ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Ti ÉÍÅÅÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ Òi . ïÂÒÁÔÎÏ, ÌÀÂÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂßÅËÔÏ× ÔÁËÏÇÏ ÔÉÁ ÂÕÄÅÔ ÎÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÂÕÄÅÔ ÎÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ | ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ. ä×Å ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÙ ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Ti É ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ É ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ, ÒÉÞÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ËÌÀÞÅÊ × ÜÔÉÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ ÔÁËÖÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. óÅËÒÅÔÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÍÁÛÉÎÕ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ÅÒÅËÌÀÞÁÀÝÉÍÉ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕË× (ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ) ÏÓÔÕÁÅÔ ÎÁ ×ÈÏÄ ÍÁÛÉÎÙ, Á ÎÁ ×ÙÈÏ-

260

ë. ûÅÎÎÏÎ

ÄÅ ÅÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÒÕÇÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. ëÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÅÒÅËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍÕ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÏÍÕ ËÌÀÞÕ. äÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ËÌÀÞÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÎÁÛÕ ÒÏÂÌÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉËÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÎ ÚÎÁÅÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Ti É ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ×ÙÂÏÒÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ. íÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ, ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ×ÏÚÒÁÚÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÎÅÒÅÁÌÉÓÔÉÞÎÏ, ÔÁË ËÁË ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÞÁÓÔÏ ÎÅ ÚÎÁÅÔ, ËÁËÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ ÉÌÉ ÞÅÍÕ ÒÁ×ÎÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ. îÁ ÜÔÏ ×ÏÚÒÁÖÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔÓÑ Ä×Á ÏÔ×ÅÔÁ. 1. îÁÌÏÖÅÎÎÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÓÌÁÂÅÅ, ÞÅÍ ËÁÖÅÔÓÑ Ó ÅÒ×ÏÇÏ ×ÚÇÌÑÄÁ, ÉÚ-ÚÁ ÛÉÒÏÔÙ ÎÁÛÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÅÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ É ÎÅ ÚÎÁÅÔ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ ÌÉ ÚÄÅÓØ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÉÌÉ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ, ÉÌÉ ÛÉÆÒ ÔÉÁ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ. ïÎ ÍÏÖÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÉÓÔÅÍÙ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔØ ËÌÀÞÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕËÁÚÁÎÉÅÍ ÔÏÇÏ, ËÁËÏÊ ÉÚ ÔÒÅÈ ÔÉÏ× ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ ËÌÀÞÅÊ ÂÙÌ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ, Á ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÞÁÓÔØ | ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ ÜÔÏÇÏ ÔÉÁ. õËÁÚÁÎÎÙÍ ÔÒÅÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÓÅ ÉÍÅÀÝÉÅÓÑ Õ ÎÅÇÏ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÏÂ ÁÒÉÏÒÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÈ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉËÏÍ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÉÏ× ÛÉÆÒÏ×. 2. îÁÛÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÏÂÙÞÎÏ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÈ. ïÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÓÓÉÍÉÓÔÉÞÎÙÍ, ÎÏ ÂÅÚÏÁÓÎÏ, É × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÓÞÅÔÅ ÒÅÁÌÉÓÔÉÞÎÏ, ÔÁË ËÁË ÍÏÖÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÏÚÄÎÏ ÒÁÓËÒÏÅÔ ÌÀÂÕÀ ÓÅËÒÅÔÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÁÖÅ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÁ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÏ×ÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ, ÔÁË ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÉÉÓÁÔØ ÅÊ ÎÉËÁËÉÈ ÁÒÉÏÒÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÎ ÅÅ ÕÖÅ ÎÅ ÒÁÓËÒÙÌ, ÎÕÖÎÏ ÉÍÅÔØ × ×ÉÄÕ ÅÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÕÀ ÏÓ×ÅÄÏÍÌÅÎÎÏÓÔØ. üÔÁ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÊ × ÔÅÏÒÉÉ ÉÇÒ, ÇÄÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÁÒÔÎÅÒ ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÅÔ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÕÀ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ ÉÇÒÙ. ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÜÔÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÓÌÕÖÉÔ ÄÌÑ ÂÏÌÅÅ ÞÅÔËÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ Ó×ÅÄÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔ ÒÏÔÉ×ÎÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ. ÷ÔÏÒÏÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ×ÏÚÒÁÖÅÎÉÅ ÒÏÔÉ× ÎÁÛÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÎÅÍ ÎÅ ÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ × ÒÁÓÞÅÔ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÅ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ×ÓÔÁ×ËÉ × ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÎÕÌÅ×ÙÈ ÚÎÁËÏ× É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÙÈ ÏÄÓÔÁÎÏ×ÏË. ÷ ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ËÌÀÞÁ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ É ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÍÏÖÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ Ï Ó×ÏÅÍÕ ÖÅÌÁÎÉÀ ÏÄÎÕ ÉÚ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ. üÔÕ ÓÉÔÕÁ ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ, ÎÏ ÜÔÏ ÔÏÌØËÏ ×ÎÅÓÌÏ ÂÙ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ÎÁ

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

261

ÄÁÎÎÏÍ ÜÔÁÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÂÅÚ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ×Ù×ÏÄÏ×. åÓÌÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÓÏÚÄÁÀÔÓÑ ÍÁÒËÏ×ÓËÉÍ ÒÏ ÅÓÓÏÍ, ÔÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ÜÔÏÇÏ ÍÁÒËÏ×ÓËÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ. ïÄÎÁËÏ ÏÄÏÊÄÅÍ Ë ×ÏÒÏÓÕ Ó ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ É ÂÕÄÅÍ ÔÒÁËÔÏ×ÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÏÓÔÏ ËÁË ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂßÅËÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÍ ÒÉÉÓÁÎÙ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, ÒÉÞÅÍ ÜÔÉ ÏÂßÅËÔÙ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÂÕË× É ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÚÄÁÀÔÓÑ ÍÁÒËÏ×ÓËÉÍ ÒÏ ÅÓÓÏÍ. óÌÅÄÕÅÔ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ ÄÁÌÅÅ ×Ï ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓÅËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÅ ÏÄÎÏ, Á ÅÌÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ×ÙÂÒÁÎ ËÌÀÞ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ É ÏÔÓÀÄÁ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÒÉÊÔÉ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ËÁË ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÑÚÙËÁ. ïÄÎÁËÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÎÅ ÚÎÁÅÔ, ËÁËÏÊ ËÌÀÞ ×ÙÂÒÁÎ, É ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ËÌÀÞÉ ÓÔÏÌØ ÖÅ ×ÁÖÎÙ ÄÌÑ ÎÅÇÏ, ËÁË É ÉÓÔÉÎÎÙÊ. éÍÅÎÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÜÔÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ É ÒÉÄÁÅÔ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔØ. ÁË ËÁË ÍÙ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÍÓÑ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔØÀ, ÔÏ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ÒÅÄÏÞÅÓÔØ ÄÁÎÎÏÅ ÎÁÍÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÎÑÔÉÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. É ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ËÏÇÄÁ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÔÁË ÖÅ ×ÁÖÎÙ, ËÁË É ÏÓÕÝÅÓÔ×É×ÛÁÑÓÑ, ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × ÓÔÒÁÔÅÇÉÞÅÓËÉÈ ÉÇÒÁÈ. èÏÄ ÛÁÈÍÁÔÎÏÊ ÉÇÒÙ × ÂÏÌØÛÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ËÏÎÔÒÏÌÉÒÕÅÔÓÑ ÕÇÒÏÚÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÀÔÓÑ. îÅÞÔÏ ÏÄÏÂÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÚ ÓÅÂÑ ÆÁËÔÉÞÅÓËÏÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÎÅÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ × ÔÅÏÒÉÉ ÉÇÒ. óÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÑÚÙËÏÍ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÒÉ ÎÁÛÅÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÔÉ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. üÔÏ | ÓÉÓÔÅÍÁ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÍÅÅÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÒÁ×ÎÕÀ ÅÄÉÎÉ Å. ÷ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÎÅÔ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ | ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÎÁÈÏÄÉÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÒÉÍÅÎÑÑ Ë ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÔÁËÖÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ × ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ É ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÏÌÕÞÁÔÅÌÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÒÁÓÏÌÁÇÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÖÅ ÓÌÕÞÁÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÉÞÉÅ ÉÈ Ó×ÅÄÅÎÉÊ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÅÍÕ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ËÏÎËÒÅÔÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÊÓÑ ËÌÀÞ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÌÉÛØ ÁÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ÉÚ ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÒÏ ÅÓÓ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÉ ÄÌÑ ÏÌÕÞÁÔÅÌÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ËÏÎËÒÅÔÎÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÄÌÑ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ. ðÒÏ ÅÓÓ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÉ ÄÌÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÙÔËÕ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (ÉÌÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ËÌÀÞ), ÉÍÅÑ × ÒÁÓÏÒÑÖÅÎÉÉ ÔÏÌØËÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ É ÁÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ É ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ.

262

ë. ûÅÎÎÏÎ

óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏ ÔÒÕÄÎÙÈ ÜÉÓÔÅÍÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ×ÏÒÏÓÏ×, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ, ÉÌÉ ×ÅÒÎÅÅ Ó ÌÀÂÏÊ ÔÅÏÒÉÅÊ, Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ Ó ÒÅÁÌØÎÙÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ×ÏÒÏÓÏ× ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ (ÔÁË ÏÂÓÔÏÉÔ ÄÅÌÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ó ÁÒÉÏÒÎÙÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ, ÔÅÏÒÅÍÏÊ âÁÊÅÓÁ É Ô. Ä.). ÒÁËÔÕÅÍÁÑ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏ ÔÅÏÒÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÚÌÏÖÅÎÁ ÎÁ ÓÔÒÏÇÉÈ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÎÏ×ÁÈ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÍÅÒÙ. ïÄÎÁËÏ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÑÈ Ë ÆÉÚÉÞÅÓËÉÍ ÓÉÔÕÁ ÉÑÍ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ ËÏÇÄÁ ÄÅÌÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÓÕÂßÅËÔÉ×ÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ É ÎÅÏ×ÔÏÒÉÍÙÈ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÏ×, ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÅÍ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÎÁÛÅÍ ÏÄÈÏÄÅ Ë ÒÏÂÌÅÍÅ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ ÄÏÕÓËÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÁÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ É ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉËÕ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ÎÏ ËÁË ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÈ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÄÁÖÅ ÒÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ×ÓÅÈ Ó×ÏÉÈ Ó×ÅÄÅÎÉÊ Ï ÄÁÎÎÏÊ ÏÂÓÔÁÎÏ×ËÅ? íÏÖÎÏ ÓÏÚÄÁÔØ ÉÓËÕÓÓÔ×ÅÎÎÙÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÔÉÁ ÕÒÎÙ É ÉÇÒÁÌØÎÏÊ ËÏÓÔÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÁÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÉÍÅÀÔ ×ÏÌÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÓÍÙÓÌ É ÉÄÅÁÌÉÚÁ ÉÑ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÚÄÅÓØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÏÄÈÏÄÑÝÅÊ. îÏ × ÄÒÕÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÓÅÂÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÅÒÅÈ×ÁÔÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÍÁÒÓÉÁÎÁÍÉ, ×ÙÓÁÄÉ×ÛÉÍÉÓÑ ÎÁ úÅÍÌÀ, ÁÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÂÙÌÉ ÂÙ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ, ÞÔÏ ÎÅ ÉÍÅÌÉ ÂÙ ÎÉËÁËÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÌÅÖÁÔ ÇÄÅ-ÔÏ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ËÒÁÊÎÉÍÉ ÒÅÄÅÌÁÍÉ. ûÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÖÅÌÁÎÉÅ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ ÒÉÅÍÌÅÍÙÈ, ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ, ÎÏ ÍÁÌÏÒÁ×ÄÏÏÄÏÂÎÙÈ É ÎÅÒÉÅÍÌÅÍÙÈ, ÎÏ ÞÕ×ÓÔ×ÕÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏÅ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅ ÉÍÅÌÏ ÂÙ ÓÍÙÓÌÁ. ë ÓÞÁÓÔØÀ, ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ÔÏÌØËÏ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÉÅ ÏÛÉÂËÉ × ÁÒÉÏÒÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÈ ËÌÀÞÅÊ É ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÍÏÇÕÔ ×ÙÚ×ÁÔØ ÚÁÍÅÔÎÙÅ ÏÛÉÂËÉ × ×ÁÖÎÙÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁÈ. üÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÉÚ-ÚÁ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ É ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ ×ÅÄÅÔ ÓÅÂÑ ËÁË ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, Á ÉÚÍÅÒÑÅÔÓÑ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÒÏÊ. 3. óÏÓÏÂÙ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍ

óÅËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ, × ÔÏÍ ×ÉÄÅ ËÁË ÏÎÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ×ÙÛÅ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ïÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ (ÕÄÏÂÎÙÊ ÄÌÑ ÅÌÅÊ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ) ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÓÈÅÍÙ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÅ ÎÁ ÒÉÓ. 2 É ÒÉÓ. 4. ÷ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÓÌÅ×Á, Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ | ÔÏÞËÁÍÉ ÓÒÁ×Á. åÓÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÌÀÞ, ÓËÁÖÅÍ, ËÌÀÞ 1, ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ M2 × ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ E2 , ÔÏ M2

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

1

M1

3

E1

2

E1

2

M2

263

1 1

E2

3

M1

2

3

E2 2

3 2

M3

E3

1 1

M4

M2

1

3

E3

2 3

E4

úÁÍËÎÕÔÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ

îÅÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ

òÉÓ. 2. óÈÅÍÙ ÒÏÓÔÙÈ ÓÉÓÔÅÍ.

É E2 ÓÏÅÄÉÎÑÀÔÓÑ ÌÉÎÉÅÊ, ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÎÏÊ ÚÎÁÞËÏÍ 1 É Ô.Ä. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ×ÙÈÏÄÉÔØ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÌÉÎÉÑ. åÓÌÉ ÜÔÏ ÖÅ ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÓËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ. âÏÌÅÅ ÏÂÝÉÊ ÓÏÓÏÂ ÏÉÓÁÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÚÁÄÁÎÉÉ ÏÅÒÁ ÉÉ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÏÊ, ÒÉÍÅÎÑÑ Ë ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ËÌÀÞ, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÎÅÑ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ÉÌÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁÄÁÎÉÑ ÓÏÓÏÂÁ ×ÙÂÏÒÁ ËÌÀÞÅÊ, ÉÌÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÉÓÁÎÉÑ Ó×ÅÄÅÎÉÊ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ËÌÀÞÉ ÒÏÔÉ×ÎÉË. ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÒÏÓÔÏ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÛÉÈ ÁÒÉÏÒÎÙÈ Ó×ÅÄÅÎÉÊ Ï ÑÚÙËÅ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ÔÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÂÓÔÁÎÏ×ËÅ (ËÏÔÏÒÁÑ ÂÕÄÅÔ ×ÌÉÑÔØ ÎÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ) É ÌÀÂÏÊ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ. 4. ðÒÉÍÅÒÙ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ

÷ ÄÁÎÎÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ× ÛÉÆÒÏ×. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ × ÅÌÑÈ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÂÕÄÅÍ ÞÁÓÔÏ ÓÓÙÌÁÔØÓÑ ÎÁ ÜÔÉ ÒÉÍÅÒÙ. 1. ûÉÆÒ ÒÏÓÔÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ. ÷ ÔÁËÏÍ ÛÉÆÒÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÚÁÍÅÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×Ù ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÓÉÍ×ÏÌ (ÏÂÙÞÎÏ ÔÁËÖÅ ÎÁ ÂÕË×Õ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ M = m1 m2 m3 m4 : : : ;

264

ë. ûÅÎÎÏÎ

ÇÄÅ m1 ; m2 ; : : : | ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÅ ÂÕË×Ù, ÅÒÅÈÏÄÉÔ × å = e1 e2 e3 e4 · · · = f (m1 )f (m2 )f (m3 )f (m4 ) : : : ; ÒÉÞÅÍ ÆÕÎË ÉÑ f (m) ÉÍÅÅÔ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. ëÌÀÞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ (ÅÓÌÉ ÂÕË×Ù ÚÁÍÅÎÑÀÔÓÑ ÎÁ ÂÕË×Ù), ÎÁÒÉÍÅÒ, XGUACDT BF HRSLMQV Y ZW IEJOKNP: ðÅÒ×ÁÑ ÂÕË×Á | è ÚÁÍÅÎÑÅÔ ÂÕË×Õ A, G ÚÁÍÅÎÑÅÔ ÷ É Ô. Ä. 2. ÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ Ó ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÅÒÉÏÄÏÍ d. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÇÒÕÙ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÄÌÉÎÙ d É Ë ËÁÖÄÏÊ ÇÒÕÅ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ. üÔÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÀÞÏÍ; ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÅÒ×ÙÈ d ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ d = 5 × ËÁÞÅÓÔ×Å ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ 2 3 1 5 4. üÔÏ ÂÕÄÅÔ ÏÚÎÁÞÁÔØ, ÞÔÏ m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 : : : ÅÒÅÈÏÄÉÔ × m2 m3 m1 m5 m4 m7 m8 m6 m10 m9 : : : : ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ ÂÕÄÅÔ ÎÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÊ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÅÊ. åÓÌÉ ÅÒÉÏÄÙ ÜÔÉÈ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ d1 , . . . , ds , ÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ ÅÒÉÏÄÁ d, ÇÄÅ d | ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÏÂÝÅÅ ËÒÁÔÎÏÅ d1 ; : : : ; ds . 3. ûÉÆÒ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ É ÅÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÙ. ÷ ÛÉÆÒÅ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ ËÌÀÞ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒÏÍ ÉÚ d ÂÕË×. ÁËÉÅ ÎÁÂÏÒÙ ÏÄÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÅÍ ÏÄ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅÍ É ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ Ä×Å ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ Ï ÍÏÄÕÌÀ 26 (ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÎÕÍÅÒÕÅÔÓÑ ÏÔ A = 0 ÄÏ Z = 25). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, li = mi + ki (mod 26); ÇÄÅ ki | ÂÕË×Á ËÌÀÞÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅÍ ÞÉÓÌÁ i Ï ÍÏÄÕÌÀ d. îÁÒÉÍÅÒ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÌÀÞÁ GAH ÏÌÕÞÁÅÍ óÏÏÂÝÅÎÉÅ N ï W I S î å ðÏ×ÔÏÒÑÅÍÙÊ ËÌÀÞ G A î G á î G á ëÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ T O D O S A N E ûÉÆÒ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ 1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÛÉÆÒÏÍ ãÅÚÁÒÑ. ïÎ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÒÏÓÔÕÀ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ, × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ í ÓÄ×ÉÇÁÅÔÓÑ ×ÅÒÅÄ ÎÁ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÅÓÔ Ï ÁÌÆÁ×ÉÔÕ. üÔÏ ÞÉÓÌÏ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÀÞÏÍ; ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÙÍ ÏÔ 0 ÄÏ 25. ÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÛÉÆÒ âÏÆÏÒÁ (Beaufort) É ×ÉÄÏÉÚÍÅÎÅÎÎÙÊ ÛÉÆÒ âÏÆÏÒÁ

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

265

ÏÄÏÂÎÙ ÛÉÆÒÕ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ. ÷ ÎÉÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÀÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁ×ÅÎÓÔ× li = ki − mi (mod 26) É li = mi − ki (mod 26) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ûÉÆÒ âÏÆÏÒÁ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ 1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÎÙÍ ÛÉÆÒÏÍ ãÅÚÁÒÑ. ðÏ×ÔÏÒÎÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ÛÉÆÒÏ× ÷ÉÖÅÎÅÒÁ ÂÕÄÅÔ ÎÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÍ ÛÉÆÒÏÍ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ. ïÎ ÉÍÅÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ li = mi + ki + li + · · · + si (mod 26); ÇÄÅ ki ; li ; : : : ; si ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÅÒÉÏÄÙ. ðÅÒÉÏÄ ÉÈ ÓÕÍÍÙ ki + li + · · · + si , ËÁË É × ÓÏÓÔÁ×ÎÏÊ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ, ÂÕÄÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÏÂÝÉÍ ËÒÁÔÎÙÍ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÅÒÉÏÄÏ×. åÓÌÉ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÛÉÆÒ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ Ó ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÍÓÑ ËÌÀÞÏÍ, ÔÏ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÛÉÆÒ ÷ÅÒÎÁÍÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ li = mi + ki (mod 26) É ki ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ 0, 1, . . . , 25. åÓÌÉ ËÌÀÞÏÍ ÓÌÕÖÉÔ ÔÅËÓÔ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÓÍÙÓÌ, ÔÏ ÉÍÅÅÍ ÛÉÆÒ ÂÅÇÕÝÅÇÏ ËÌÀÞÁ. 4. äÉÇÒÁÍÍÎÁÑ, ÔÒÉÇÒÁÍÍÎÁÑ É n-ÇÒÁÍÍÎÁÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ. ÷ÍÅÓÔÏ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ ÄÉÇÒÁÍÍ, ÔÒÉÇÒÁÍÍ É Ô. Ä. äÌÑ ÄÉÇÒÁÍÍÎÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ × ÏÂÝÅÍ ×ÉÄÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ËÌÀÞ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË 262 ÄÉÇÒÁÍÍ. ïÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉ Ù, × ËÏÔÏÒÏÊ ÒÑÄ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÒ×ÏÊ ÂÕË×Å ÄÉÇÒÁÍÍÙ, Á ÓÔÏÌÂÅ | ×ÔÏÒÏÊ ÂÕË×Å, ÒÉÞÅÍ ËÌÅÔËÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÚÁÏÌÎÅÎÙ ÚÁÍÅÎÑÀÝÉÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ (ÏÂÙÞÎÏ ÔÁËÖÅ ÄÉÇÒÁÍÍÁÍÉ). 5. ûÉÆÒ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ Ó ÅÒÅÍÅÛÁÎÎÙÍ ÏÄÉÎ ÒÁÚ ÁÌÆÁ×ÉÔÏÍ. ÁËÏÊ ÛÉÆÒ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÒÏÓÔÕÀ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÛÉÆÒÁ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ li = f (mi ) + ki ; mi = f −1 (li − ki ): ïÂÒÁÔÎÙÍ Ë ÔÁËÏÍÕ ÛÉÆÒÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÛÉÆÒ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÒÏÓÔÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ li = g(mi + ki ); mi = g−1(li ) − ki : 6. íÁÔÒÉÞÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ éÍÅÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÍÅÔÏÄ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ n-ÇÒÁÍÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍ n-ÇÒÁÍÍÁÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù, ÉÍÅ-

266

ë. ûÅÎÎÏÎ

ÀÝÅÊ ÏÂÒÁÔÎÕÀ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÂÕË×Ù ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ ÏÔ 0 ÄÏ 25 É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÌØ Á. åÓÌÉ Ë n-ÇÒÁÍÍÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ aij , ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ n-ÇÒÁÍÍÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ

li =

n X j =1

aij mj ;

i = 1; : : : ; n:

íÁÔÒÉ Á aij Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÀÞÏÍ, É ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù. ïÂÒÁÔÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÂÕÄÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ |Áij | ÉÍÅÅÔ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ × ÎÁÛÅÍ ËÏÌØ Å. 7. ûÉÆÒ ðÌÜÊÆÅÒ üÔÏÔ ÛÉÆÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ×ÉÄÏÍ ÄÉÇÒÁÍÍÎÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÅÒÅÍÅÛÁÎÎÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÉÚ 25 ÂÕË×, ÚÁÉÓÁÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 5 × 5. (âÕË×Á J ÞÁÓÔÏ ÏÕÓËÁÅÔÓÑ ÒÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÂÏÔÅ, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ ÒÅÄËÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ, É × ÔÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ, ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÂÕË×ÏÊ I ). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ËÌÀÞÅ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: L Z Q ó ò A G N ï U R D M I F ë Y î V S è ÷ å W: ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÉÇÒÁÍÍÁ AC , ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÁÒÕ ÂÕË×, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ × ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÕÇÌÁÈ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÇÏ ÂÕË×ÁÍÉ A É C , Ô. Å. ÎÁ LO, ÒÉÞÅÍ L ×ÚÑÔÁ ÅÒ×ÏÊ, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ ×ÙÛÅ A. åÓÌÉ ÂÕË×Ù ÄÉÇÒÁÍÍÙ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌÉ, ÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÓÔÏÑÝÉÅ ÓÒÁ×Á ÏÔ ÎÉÈ ÂÕË×Ù. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, RI ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ DF , RF ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ DR. åÓÌÉ ÂÕË×Ù ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÔÉËÁÌÉ, ÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÂÕË×Ù, ÓÔÏÑÝÉÅ ÏÄ ÎÉÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, P S ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ UW . åÓÌÉ ÏÂÅ ÂÕË×Ù ÄÉÇÒÁÍÍÙ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÉÈ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÎÕÌØ ÉÌÉ ÖÅ ÏÄÎÕ ÉÚ ÂÕË× ÏÕÓÔÉÔØ É Ô. . 8. ðÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÎÉÅ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÛÉÆÒÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ d ÒÏÓÔÙÈ ÏÄÓÔÁÎÏ×ÏË. ÁË, ÅÓÌÉ d = 4, ÔÏ m1 m2 m3 m4 m5 m6 : : : ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ f1 (m1 )f2 (m2 )f3 (m3 )f4 (m4 )f1 (m5 )f2 (m6 ) : : : É Ô. Ä.

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

267

9. ûÉÆÒ Ó Á×ÔÏËÌÀÞÏÍ. ûÉÆÒ ÔÉÁ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÉÌÉ ÓÁÍÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÉÌÉ ÒÅÚÕÌØÔÉÒÕÀÝÁÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÛÉÆÒÏÍ Ó Á×ÔÏËÌÀÞÏÍ. ûÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÅÒ×ÉÞÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ (ËÏÔÏÒÙÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÓÔÏÑÝÉÍ ËÌÀÞÏÍ × ÎÁÛÅÍ ÓÍÙÓÌÅ) É ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÉÌÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÓÍÅÝÅÎÎÏÊ ÎÁ ÄÌÉÎÕ ÅÒ×ÉÞÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ, ËÁË × ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÎÉÖÅ ÒÉÍÅÒÅ, ÇÄÅ ÅÒ×ÉÞÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÂÕË× COMET . ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ: S E N D S U P P L I E S ::: óÏÏÂÝÅÎÉÅ ëÌÀÞ C O M E T S E N D S U P ::: ëÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ U S Z H L M T C O A Y H : : : åÓÌÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ1) óÏÏÂÝÅÎÉÅ S E N D S U P P L I E S ::: C O M E T U S Z H L O î ::: ëÌÀÞ ëÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ U S Z H L O H O S T T S : : : 10. äÒÏÂÎÙÅ ÛÉÆÒÙ. ÷ ÜÔÉÈ ÛÉÆÒÁÈ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÓÎÁÞÁÌÁ ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ × Ä×Å (ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ) ÂÕË×Ù ÉÌÉ × Ä×Á (ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ) ÞÉÓÌÁ, ÚÁÔÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ ËÁËÉÍ-ÌÉÂÏ ÓÏÓÏÂÏÍ ÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÀÔÓÑ (ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ), ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÓÎÏ×Á ÅÒÅ×ÅÓÔÉ × ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÁÌÆÁ×ÉÔ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÏÌØÚÕÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ ÅÒÅÍÅÛÁÎÎÙÊ 25-ÂÕË×ÅÎÎÙÊ ÁÌÆÁ×ÉÔ, ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÂÕË×Ù × Ä×ÕÈÚÎÁÞÎÙÅ ÑÔÅÒÉÞÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉ Ù: 0 1 2 3 4 0 L Z Q ó ò 1 A G N ï U 2 R D M I F 3 ë Y H V S 4 X ÷ å W îÁÒÉÍÅÒ, ÂÕË×Å ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÏ 41. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÑÄ ÞÉÓÅÌ ÏÄ×ÅÒÇÎÕÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÓÎÏ×Á ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÁÒÙ ÞÉÓÅÌ É ÅÒÅÊÔÉ Ë ÂÕË×ÁÍ. 11. ëÏÄÙ. ÷ ËÏÄÁÈ ÓÌÏ×Á (ÉÌÉ ÉÎÏÇÄÁ ÓÌÏÇÉ) ÚÁÍÅÎÑÀÔÓÑ ÇÒÕÁÍÉ ÂÕË×. éÎÏÇÄÁ ÚÁÔÅÍ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÛÉÆÒ ÔÏÇÏ ÉÌÉ ÉÎÏÇÏ ×ÉÄÁ. 1) üÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÊ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ, ÔÁË ËÁË, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÅÒ×ÙÈ d ÂÕË×, × ÒÁÓÏÒÑÖÅÎÉÉ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÉÍÅÅÔÓÑ ×ÅÓØ ËÌÀÞ.

268

ë. ûÅÎÎÏÎ

5. ï ÅÎËÁ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ

éÍÅÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÒÉÔÅÒÉÅ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ ËÁÞÅÓÔ×Á ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÒÉÔÅÒÉÅ×. 1. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÍÉ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÎÅ ÏÂÌÅÇÞÁÅÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÅÒÅÈ×ÁÔÁ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. äÒÕÇÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ, ÈÏÔÑ É ÄÁÀÔ ÒÏÔÉ×ÎÉËÕ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÒÉ ÅÒÅÈ×ÁÔÅ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÎÏ ÎÅ ÄÏÕÓËÁÀÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. óÉÓÔÅÍÙ, ÄÏÕÓËÁÀÝÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÏÞÅÎØ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙ ËÁË Ï ÚÁÔÒÁÔÅ ×ÒÅÍÅÎÉ É ÓÉÌ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÔÁË É Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÈ×ÁÔÉÔØ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. 2. ïÂßÅÍ ËÌÀÞÁ. ëÌÀÞ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÅÒÅÄÁÎ ÉÚ ÅÒÅÄÁÀÝÅÇÏ ÕÎËÔÁ × ÒÉÅÍÎÙÊ ÕÎËÔ ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÎÅÌØÚÑ ÂÙÌÏ ÅÒÅÈ×ÁÔÉÔØ. éÎÏÇÄÁ ÅÇÏ ÎÕÖÎÏ ÚÁÏÍÎÉÔØ. ðÏÜÔÏÍÕ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÔØ ËÌÀÞ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÍÁÌÙÊ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ. 3. óÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÅÒÁ ÉÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ïÅÒÁ ÉÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ, ËÏÎÅÞÎÏ, Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÙÍÉ. åÓÌÉ ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔÓÑ ×ÒÕÞÎÕÀ, ÔÏ ÉÈ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÔÅÒÅ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÏÑ×ÌÅÎÉÀ ÏÛÉÂÏË É Ô. Ä. åÓÌÉ ÏÎÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔÓÑ ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÉ, ÔÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÀ ÂÏÌØÛÉÈ É ÄÏÒÏÇÉÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×. 4. òÁÚÒÁÓÔÁÎÉÅ ÞÉÓÌÁ ÏÛÉÂÏË. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÉÁÈ ÛÉÆÒÏ× ÏÛÉÂËÁ × ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Å, ÄÏÕÝÅÎÎÁÑ ÒÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÌÉ ÅÒÅÄÁÞÅ, ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÂÏÌØÛÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÏÛÉÂÏË × ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÔÅËÓÔÅ. ÁËÉÅ ÏÛÉÂËÉ ÒÁÚÒÁÓÔÁÀÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ×ÙÚÙ×ÁÑ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÕÀ ÏÔÅÒÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ÞÁÓÔÏ ÔÒÅÂÕÑ Ï×ÔÏÒÎÏÊ ÅÒÅÄÁÞÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÜÔÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÅ ÞÉÓÌÁ ÏÛÉÂÏË. 5. õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅ ÏÂßÅÍÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÉÁÈ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÏÂßÅÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. üÔÏÔ ÎÅÖÅÌÁÔÅÌØÎÙÊ ÜÆÆÅËÔ ÍÏÖÎÏ ÎÁÂÌÀÄÁÔØ × ÓÉÓÔÅÍÁÈ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÏÙÔËÁ ÏÔÏÉÔØ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ × ÍÁÓÓÅ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ×, ÉÌÉ ÇÄÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÙÅ ÚÁÍÅÎÙ. ïÎ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÁËÖÅ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ ÔÉÁ ÍÁÓËÉÒÏ×ËÉ (ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÂÙÞÎÙÍÉ ÓÅËÒÅÔÎÙÍÉ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ × ÓÍÙÓÌÅ ÎÁÛÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ).

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

269

6. áÌÇÅÂÒÁ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ

åÓÌÉ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Å ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ T É R, ÉÈ ÞÁÓÔÏ ÍÏÖÎÏ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÎÏ×ÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ S . åÓÌÉ É R ÉÍÅÀÔ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÏÂÌÁÓÔØ (ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ), ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ Ó×ÏÅÇÏ ÒÏÄÁ ×Ú×ÅÛÅÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ S = pT + qR; ÇÄÅ Ò + q = 1. üÔÁ ÏÅÒÁ ÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ, ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÉÚ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ ÓÉÓÔÅÍ ÉÌÉ R Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ Ò É q. üÔÏÔ ×ÙÂÏÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔØÀ ËÌÀÞÁ S . ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÜÔÏÔ ×ÙÂÏÒ ÓÄÅÌÁÎ, ÓÉÓÔÅÍÙ ÉÌÉ R ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÉÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍÉ. ðÏÌÎÙÊ ËÌÀÞ S ÄÏÌÖÅÎ ÕËÁÚÙ×ÁÔØ, ËÁËÁÑ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍ ÉÌÉ R ×ÙÂÒÁÎÁ É Ó ËÁËÉÍ ËÌÀÞÏÍ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ×ÙÂÒÁÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ. åÓÌÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ T1 ; : : : ; Tm Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ p1 ; : : : : : : ; pm , Á R | ÉÚ R1 ; : : : ; Rk Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ q1 ; : : : ; qk , ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ S = = Ò + qR ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ T1 ; : : : ; Tm; R1 ; : : : ; Rk Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ pp1 ; : : : : : : ; ppm ; qq1 ; : : : ; qqk ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ïÂÏÂÝÁÑ ÄÁÌÅÅ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÓÕÍÍÕ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ X pi = 1: S = p1 T + p2 R + · · · + pm U;

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÁ ËÁË ÓÕÍÍÁ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ = p1 T1 + p2 2 + · · · + pm Tm; ÇÄÅ i | ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ × ÓÉÓÔÅÍÅ , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ×ÙÂÏÒÕ ËÌÀÞÁ i, ÒÉÞÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÁËÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ ÒÁ×ÎÁ Òi . ÷ÔÏÒÏÊ ÓÏÓÏÂ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ä×ÕÈ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÓÈÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÎÁ ÒÉÓ. 3. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ É R | ÔÁËÉÅ Ä×Å ÓÉÓÔÅÍÙ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ (ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÑÚÙËÁ) ÓÉÓÔÅÍÙ R ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÁ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ (ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ) ÓÉÓÔÅÍÙ . ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÓÎÁÞÁÌÁ ÓÉÓÔÅÍÕ Ë ÎÁÛÅÍÕ ÑÚÙËÕ, Á ÚÁÔÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ R Ë ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ, ÞÔÏ ÄÁÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÉÒÕÀÝÕÀ ÏÅÒÁ ÉÀ S , ËÏÔÏÒÕÀ ÚÁÉÛÅÍ × ×ÉÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ S = RT: ëÌÀÞ ÓÉÓÔÅÍÙ S ÓÏÓÔÏÉÔ ËÁË ÉÚ ËÌÀÞÁ ÓÉÓÔÅÍÙ , ÔÁË É ÉÚ ËÌÀÞÁ ÓÉÓÔÅÍÙ R, ÒÉÞÅÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÉ ËÌÀÞÉ ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÈ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ m ËÌÀÞÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ p1 ; p2 ; : : : ; pm ; Á n ËÌÀÞÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ R ÉÍÅÀÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ p′1 ; p′2 ; : : : ; p′n ;

270

ë. ûÅÎÎÏÎ

ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ S ÉÍÅÅÔ ÓÁÍÏÅ ÂÏÌØÛÅÅ mn ËÌÀÞÅÊ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ pi p′j . ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Ri Tj ÂÕÄÕÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ É ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÓÇÒÕÉÒÏ×ÁÎÙ ×ÍÅÓÔÅ, Á ÉÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÌÏÖÁÔÓÑ. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÛÉÆÒÏ× ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÞÁÓÔÏ; ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÓÌÅ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÒÉÍÅÎÑÀÔ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÀ ÉÌÉ ÏÓÌÅ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ | ËÏÄ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ; ÉÌÉ ÖÅ ÒÉÍÅÎÑÀÔ ËÏÄ Ë ÔÅËÓÔÕ É ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÀÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ, ÄÒÏÂÎÙÍ ÛÉÆÒÏÍ É Ô. Ä. íÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏ (Ô. Å. ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ RS = SR), ÈÏÔÑ × ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ (ÔÁËÉÈ, ËÁË ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ É ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ) ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ. ÁË ËÁË ÎÁÛÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÅÒÁ ÉÀ, ÏÎÏ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏ, Ô. Å. R(ST ) = (RS )T = RST . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ×ÅÒÎÙ ÚÁËÏÎÙ Ò(Ò′ + q′ R) + qS = ÒÒ′ + pq′ R + qS (×Ú×ÅÛÅÎÎÙÊ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÙÊ ÚÁËÏÎ ÄÌÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ); T (pR + qS ) = pT R + qT S (pR + qS ) = pRT + qST (ÒÁ×Ï- É ÌÅ×ÏÓÔÏÒÏÎÎÉÅ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÙÅ ÚÁËÏÎÙ), Á ÔÁËÖÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï p1 T + p2 + p3 R = (p1 + Ò2 ) + p3 R: óÌÅÄÕÅÔ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ Ë ÓÅËÒÅÔÎÙÍ ÓÉÓÔÅÍÁÍ × ÅÌÏÍ. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ T R ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÍÅÛÉ×ÁÔØ Ó ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ × ÓÉÓÔÅÍÁÈ Ti Rj , ËÏÔÏÒÏÅ ÔÁËÖÅ ÞÁÓÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÒÁÂÏÔÅ. ðÅÒ×ÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ; ×ÔÏÒÏÅ | Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ. äÁÌÅÅ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÓÕÍÍÁ Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ pR + qT Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ, ÓÕÍÍÁ Ä×ÕÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ. óÉÓÔÅÍÙ É R ÍÏÇÕÔ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÔØ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ Rj É Ti ÎÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ R | ÓÉÓÔÅÍÁ âÏÆÏÒÁ ÄÁÎÎÏÇÏ ÅÒÉÏÄÁ, T

R

K1

K2

R−1

T −1

òÉÓ. 3. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ S = RT.

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

271

×ÓÅ ËÌÀÞÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ, ÔÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, Ri Rj 6= Rj Ri ; ÎÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ RR ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÒÑÄËÁ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ; ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ RR = V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ ÔÏÇÏ ÖÅ ÓÁÍÏÇÏ ÅÒÉÏÄÁ ÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ i É Rj Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ É R ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ, ÔÏ É ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ. óÉÓÔÅÍÙ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á í É å ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ (ÜÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÞÁÓÔÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÂÕË× ÒÅÏÂÒÁÚÕÀÔÓÑ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÂÕË×), ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÎÁÚ×ÁÎÙ ÜÎÄÏÍÏÒÆÎÙÍÉ. üÎÄÏÍÏÒÆÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÁ × ÓÔÅÅÎØ T n. óÅËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ , ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ÓÁÍÕ ÓÅÂÑ ÒÁ×ÎÏ , Ô. Å. ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ = ; ÂÕÄÅÔ ÎÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÓÔÁÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ Ò, ÓÉÓÔÅÍÁ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ Ò (×ÓÅ Ó ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍÉ ËÌÀÞÁÍÉ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÙÍÉ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÜÎÄÏÍÏÒÆÎÙÈ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ × ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ, Ô. Å. ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ×ÉÄ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÅÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÅÚÀÍÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÜÎÄÏÍÏÒÆÎÙÈ ÛÉÆÒÏ× Ó ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ É Ä×ÕÍÑ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ | ÏÅÒÁ ÉÅÊ ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ | ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ, Ó ÔÏÊ ÌÉÛØ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØÀ, ÞÔÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ×Ï ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÍ ÓÌÏÖÅÎÉÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ, Á ÉÈ ÓÕÍÍÁ ÄÏÌÖÎÁ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ÅÄÉÎÉ Å.

üÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÁÀÔ ÓÏÓÏÂÙ ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÎÏÇÉÈ ÎÏ×ÙÈ ÔÉÏ× ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ËÁË ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÏËÁÚÁÎÏ × ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ. éÈ ÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÔÓÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÙÔÁÅÔÓÑ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÔÉÁ. æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÏÎ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔ ÓÅËÒÅÔÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÔÉÁ X pi = 1; = Ò1 A + Ò2 B + · · · + pr S + p′ X;

272

ë. ûÅÎÎÏÎ

ÇÄÅ A; ÷; : : : ; S × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÔÉÙ ÛÉÆÒÏ× Ó ÉÈ ÁÒÉÏÒÎÙÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ pi , Á Ò′ è ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. 7. þÉÓÔÙÅ É ÓÍÅÛÁÎÎÙÅ ÛÉÆÒÙ

îÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÉÙ ÛÉÆÒÏ×, ÔÁËÉÅ ËÁË ÒÏÓÔÁÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÅÒÉÏÄÏÍ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÅÒÉÏÄÏÍ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ ÓÏ ÓÍÅÛÁÎÎÙÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÏÍ É Ô. Ä. (×ÓÅ Ó ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍÉ ËÌÀÞÁÍÉ), ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔØÀ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ËÌÀÞÕ. ëÁËÏ× ÂÙ ÎÉ ÂÙÌ ËÌÀÞ, ÒÏ ÅÓÓÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÁÄÒÅÓÁÔÏÍ É ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÔÅÍÉ ÖÅ ÓÁÍÙÍÉ. üÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÏÖÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÅ Ó ÛÉÆÒÏÍ pS + qT; ÇÄÅ S | ÒÏÓÔÁÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ, Á | ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÅÒÉÏÄÏÍ. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏ ÅÓÓÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÁÄÒÅÓÁÔÏÍ ÉÌÉ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÍÅÎÑÀÔÓÑ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÉÌÉ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ. ïÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ



M1

     M2  C1      M3    M4



C2   

C3

"

M5

1

3

1 2 4 1

2 2

3 4

E4

1 1

4

E5

2 3 3 2

E6

1 1

M7



    E2    ′  C1   E3    

3

4

M6

2 3

4 4

E1

ïÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ

2

3

4

þÉÓÔÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ òÉÓ. 4.

E7



 ′ C  2

#

C3′

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

273

ðÒÉÞÉÎÁ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔÉ ÔÁËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ ÌÅÖÉÔ × ÇÒÕÏ×ÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Å: ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÒÉÍÅÒÁÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÛÉÆÒÏ× ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ti Tj ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÁ×ÎÏ ÔÒÅÔØÅÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ Tk ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Ti Sj ÎÅ ÒÁ×ÎÏ ËÁËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ ÄÌÑ ÛÉÆÒÁ pS + qT; ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ É ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ, ÎÏ ÎÅ ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. âÙÌÏ ÂÙ ÍÏÖÎÏ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÞÉÓÔÙÊ ÛÉÆÒ ËÁË ÛÉÆÒ, × ËÏÔÏÒÏÍ j ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ. ïÄÎÁËÏ ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÓÌÉÛËÏÍ ÓÉÌØÎÙÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ, ÔÁË ËÁË ÔÏÇÄÁ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÂÙ, ÞÔÏÂÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï å ÓÏ×ÁÄÁÌÏ Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ í , Ô. Å. ÞÔÏÂÙ ÓÉÓÔÅÍÁ ÂÙÌÁ ÜÎÄÏÍÏÒÆÎÏÊ. äÒÏÂÎÁÑ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ ÔÁË ÖÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁ, ËÁË É ÏÂÙÞÎÁÑ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ, ÎÏ ÏÎÁ ÎÅ ÜÎÄÏÍÏÒÆÎÁ. ðÏÄÈÏÄÑÝÉÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ: ÛÉÆÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÙÍ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÙÈ i ; Tj ; k ÉÍÅÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ Ts , ÞÔÏ Ti Tj−1Tk = Ts ; É ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÛÉÆÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÍÅÛÁÎÎÙÍ. ûÉÆÒÙ ÎÁ ÒÉÓ. 2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÍÅÛÁÎÎÙÍÉ, Á ÎÁ ÒÉÓ. 4 | ÞÉÓÔÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ. ÷ ÞÉÓÔÏÍ ÛÉÆÒÅ ÏÅÒÁ ÉÉ i−1j , ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ × ÓÅÂÑ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ, ÏÒÑÄÏË ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ m | ÞÉÓÌÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ.

ÅÏÒÅÍÁ 1.

ÁË ËÁË

Tj−1Tk Tk−1 Tj = I; ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÍÅÅÔ ÏÂÒÁÔÎÙÊ. áÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÙÊ ÚÁËÏÎ ×ÅÒÅÎ, ÔÁË ËÁË ÜÔÏ ÏÅÒÁ ÉÉ, Á ÇÒÕÏ×ÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ Ti−1 Tj Tk−1Tl = Ts−1Tk Tk−1 Tl = Ts−1Tl ; ÇÄÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÏÓØ, ÞÔÏ Ti−1Tj = Ts−1Tk ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ s. ïÅÒÁ ÉÑ i−1 j ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÌÀÞÁ j Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÌÀÞÁ i, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ ÎÁÚÁÄ Ë ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. åÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÜÎÄÏÍÏÒÆÎÁ, Ô. Å. i ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï M × ÓÁÍÏ ÓÅÂÑ (ÞÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÛÉÆÒÏ×, × ËÏÔÏÒÙÈ É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÂÕË×), É ÅÓÌÉ Ti ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ É ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ, ÔÏ | ÞÉÓÔÙÊ ÛÉÆÒ, ÔÁË ËÁË Ti Tj−1Tk = Ti Tr = Ts :

274

ë. ûÅÎÎÏÎ

ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÞÉÓÔÙÈ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÛÉÆÒÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÙÍ ÛÉÆÒÏÍ. åÓÌÉ É R ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ, ÔÏ Ti Rj = Rl Tm ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ i; j ÒÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ l; m. ÏÇÄÁ Ti Rj (Tk Rl )−1 TmRn = Ti Rj Rl−1 Tk−1Tm Rn = Ru Rv−1 Rw Tr Ts−1Tt = Rh Tg : õÓÌÏ×ÉÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÄÎÁËÏ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÞÉÓÔÙÍ ÛÉÆÒÏÍ. óÉÓÔÅÍÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ, Ô. Å. ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ T1, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÙÍ ÛÉÆÒÏÍ, Ô. Å. ÒÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÉÎÄÅËÓÏ× ÉÍÅÅÍ T1 T1−1T1 = T1 : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÛÉÆÒÁ × ÓÕÍÍÕ ÔÁËÉÈ ÒÏÓÔÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÅÇÏ ÓÕÍÍÕ ÞÉÓÔÙÈ ÛÉÆÒÏ×. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÒÉÍÅÒÁ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 4, ×ÓËÒÙ×ÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÞÉÓÔÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. óÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÁÓÁÄÁÀÔÓÑ ÎÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍÉ ËÌÁÓÓÁÍÉ, É ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÔÁËÖÅ ÒÁÓÁÄÁÀÔÓÑ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÍ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ. ïÔ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ × ÌÀÂÏÍ ËÌÁÓÓÅ Ë ËÁÖÄÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ËÌÁÓÓÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÏÄÎÏÊ ÌÉÎÉÉ É ÎÅÔ ÌÉÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÎÅÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ËÌÁÓÓÁÍÉ. þÉÓÌÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ × ËÌÁÓÓÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÏÌÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ËÌÀÞÅÊ. þÉÓÌÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÌÉÎÉÊ ÏÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ í Ë ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ËÌÁÓÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ËÌÀÞÅÊ, ÄÅÌÅÎÎÏÍÕ ÎÁ ÞÉÓÌÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ × ËÌÁÓÓÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍ ÜÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (ÉÌÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ). ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ1) ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÞÉÓÔÙÈ ÛÉÆÒÏ× É × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ. òÅÚÀÍÉÒÕÑ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÅÏÒÅÍÁ 3. ÷ ÞÉÓÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× C1 ; : : : ; Cs , Á ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ | ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× C1′ ; : : : ; Cs′ . üÔÉ ËÌÁÓÓÙ ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á: 1. ïÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ×ÚÁÉÍÎÏ ÉÓËÌÀÞÁÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ É ÓÏÄÅÒÖÁÔ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ. 2. åÓÌÉ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÔØ ÌÀÂÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ Ci Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÀÂÏÇÏ ËÌÀÞÁ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ Ci′ . äÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÌÀÂÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ Ci′ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÀÂÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ Ci . 1) éÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÏÌÎÏÍÕ ÔÅËÓÔÕ ÒÁÂÏÔÙ ë. ûÅÎÎÏÎÁ. | ÒÉÍ. ÒÅÄ.

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

275

3. þÉÓÌÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ × ËÌÁÓÓÅ Ci , ÓËÁÖÅÍ, 'i , ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ × ËÌÁÓÓÅ Ci′ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ k | ÞÉÓÌÁ ËÌÀÞÅÊ. 4. ëÁÖÄÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ Ci ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÏ × ËÁÖÄÕÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ Ci′ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÔÏÞÎÏ k='i ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ. Ï ÖÅ ÓÁÍÏÅ ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. óÍÙÓÌ ÏÎÑÔÉÑ ÞÉÓÔÙÊ ÛÉÆÒ (É ÒÉÞÉÎÁ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÔÁËÏÇÏ ÔÅÒÍÉÎÁ) ÌÅÖÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÞÉÓÔÏÍ ÛÉÆÒÅ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ. ëÁËÏÊ ÂÙ ËÌÀÞ ÎÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÓÑ ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÂÕÄÕÔ ÔÅÍÉ ÖÅ ÓÁÍÙÍÉ. þÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÁ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÙÈ Ë ÏÄÎÏÍÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ, ÄÁÄÕÔ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ Ä×Å ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, ÓËÁÖÅÍ Ci′ . ðÏÜÔÏÍÕ ÜÔÉ Ä×Å ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÙ Ó ÏÍÏÝØÀ k='i ËÌÀÞÅÊ × ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ × ËÌÁÓÓÅ Ci É ÂÏÌØÛÅ ÎÉ × ËÁËÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ÁË ËÁË ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ, ÔÏ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÙ P (M ) · PM (E ) P (M ) P (M ) · PM (E ) = = ; PE (M ) = P (E ) M P (M )PM (E ) P (Ci ) ÇÄÅ í | ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ Ci , å | ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ Ci′ É ÓÕÍÍÁ ÂÅÒÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ í ÉÚ ËÌÁÓÓÁ Ci . åÓÌÉ å É í ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ËÌÁÓÓÁÍ, ÔÏ På (í ) = 0. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÂÏÒ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ×ÓÅÇÄÁ ÏÄÉÎÁËÏ×, ÎÏ ÜÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÓÔÁ×ÑÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÌÀÞÁÍ ÌÉÛØ ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÕÖÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÌÀÞ. ðÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ På (ë ) ÏÄ×ÅÒÇÁÅÔÓÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÉÍÅÅÍ: ÅÏÒÅÍÁ 4. ÷ ÞÉÓÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ PE (M ) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ËÌÀÞÁ. áÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ËÌÀÞÅÊ På (ë ) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÎÁÂÏÒ ×ÅÌÉÞÉÎ, ÎÏ ÏÄ×ÅÒÇÁÀÔÓÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÙÂÏÒÏ× ËÌÀÞÁ. çÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ×ÙÂÏÒ ËÌÀÞÁ × ÞÉÓÔÏÍ ÛÉÆÒÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ ÔÒÕÄÎÏÓÔÑÍ ÒÉ ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÌÀÞÉ ×ÓÅ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, ÔÏ ×ÓÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ | ÏÎÉ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÔÅÍ ÖÅ ÓÁÍÙÍ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ É, ÅÓÌÉ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, Ë ÔÅÍ ÖÅ ÓÁÍÙÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍ ËÌÀÞÅÊ.

276

ë. ûÅÎÎÏÎ

÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÞÉÓÔÏÇÏ ÛÉÆÒÁ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÒÏÓÔÁÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ Ó ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍÉ ËÌÀÞÁÍÉ. ïÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ËÌÁÓÓ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ å , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÓÅÈ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÙ ÉÚ å Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÊ Tj Tk−1å . ÷ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÅÒÁ ÉÑ Tj Tk−1 ÓÁÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ É ÏÜÔÏÍÕ ÌÀÂÁÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ å × ÄÒÕÇÏÊ ÞÌÅÎ ÔÏÇÏ ÖÅ ÓÁÍÏÇÏ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ; ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ å = XCP P GCF Q; ÔÏ

E1 = RDHHGDSN; E2 = ABCCDBEF É Ô. Ä. ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. ÷ÓÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ × ÒÏÓÔÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÅ ÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÚÁËÌÀÞÅÎÏ × ÈÁÒÁËÔÅÒÅ Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ ÂÕË×, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÓÁÍÉ ÂÕË×Ù Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÍÁÓËÉÒÏ×ËÏÊ. ÷ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÂÙ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÂÏÊÔÉÓØ ÂÅÚ ÎÉÈ, ÕËÁÚÁ× ÈÁÒÁËÔÅÒ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÂÕË× × å ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:

üÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ËÌÁÓÓ, ÎÏ ÕÓÔÒÁÎÑÅÔ ×ÓÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÞÌÅÎÏ× ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ; ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁË ÒÁÚ ÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉËÁ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÍÅÔÏÄÏ× ÏÄÈÏÄÁ Ë ÒÁÓËÒÙÔÉÀ ÛÉÆÒÏ× ÔÉÁ ÒÏÓÔÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÙÈ ÓÌÏ×. ÷ ÛÉÆÒÅ ÔÉÁ ãÅÚÁÒÑ ÉÍÅÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÏÌØËÏ ÅÒ×ÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ Ï ÍÏÄÕÌÀ 26. ä×Å ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ÓÁÍÙÍÉ ÒÁÚÎÏÓÔÑÍÉ (ei ) ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ Ë ÏÄÎÏÍÕ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ. üÔÏÔ ÛÉÆÒ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓËÒÙÔØ ÕÔÅÍ ÒÏÓÔÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ ×ÙÉÓÙ×ÁÎÉÑ Ä×ÁÄ ÁÔÉ ÛÅÓÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ É ×ÙÂÏÒÁ ÔÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ, ËÏÔÏÒÏÅ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ. ûÉÆÒ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ d ÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÒÉÍÅÒ ÞÉÓÔÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. úÄÅÓØ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ÅÒ×ÙÍÉ ÒÁÚÎÏÓÔÑÍÉ, ÞÔÏ É Õ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÄÌÑ ÂÕË×, ÏÔÓÔÏÑÝÉÈ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d. äÌÑ

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

277

d = 3 ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁ×ÅÎÓÔ× m1 − m4 = e1 − e4 m2 − m5 = e2 − e5 m3 − m6 = e3 − e6 m4 − m7 = e4 − e7 ::: ::: ::: ÇÄÅ å = e1e2 : : : | ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ, Á m1 m2 : : : Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÀÂÙÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅÍ í × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍ ËÌÁÓÓÅ. ÷ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ d ÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ÏË ÓÉÍ×ÏÌÏ× ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÉËÁËÏÅ ei ÎÅ ×ÙÄ×ÉÇÁÅÔÓÑ ÉÚ Ó×ÏÅÇÏ ÂÌÏËÁ ÄÌÉÎÙ d É ÌÀÂÙÅ Ä×Á ei Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÁ ÔÁËÏÍ ÖÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ. üÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÛÉÆÒÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÂÌÏËÏ× ÄÌÉÎÙ d ÏÄÉÎ ÏÄ ÄÒÕÇÉÍ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÉÖÅ (ÄÌÑ d = 5) e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 : : : : : : : : : : : :::::::::::::::::::::: úÁÔÅÍ ÓÔÏÌÂ Ù ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÙÊ ÔÅËÓÔ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÒÁÚÂÉÔÁ ÎÁ ÓÔÏÌÂ Ù, ÏÓÔÁ×ÛÅÊÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ËÌÁÓÓ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ. −1 ÅÏÒÅÍÁ 5. åÓÌÉ ÛÉÆÒ | ÞÉÓÔÙÊ, ÔÏ Ti Tj T = T , ÇÄÅ Ti ; Tj | ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÉÚ . ïÂÒÁÔÎÏ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÛÉÆÒÕ Ti ; Tj , ÔÏ ÛÉÆÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÙÍ. ðÅÒ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÔÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ×ÔÏÒÕÀ ÞÁÓÔØ, ÚÁÍÅÔÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ i j−1 = , ÔÏ i j−1Ts Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍPÉÚ . ïÓÔÁÅÔÓÑ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ. éÍÅÅÍ = s ps Ts É X

s

ps i j−1Ts =

X

s

ps Ts :

óÌÁÇÁÅÍÏÅ × ÓÔÏÑÝÅÊ ÓÌÅ×Á ÓÕÍÍÅ Ó s = j ÄÁÅÔ pj Ti . åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÍ Ó Ti × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Òi i . ÁË ËÁË ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ, ÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ pj 6 pi :

278

ë. ûÅÎÎÏÎ

Ï ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ, ÅÓÌÉ i É j ÏÍÅÎÑÔØ ÍÅÓÔÁÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, pi = pj É T | ÞÉÓÔÙÊ ÛÉÆÒ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÓÌÏ×ÉÅ i j−1 = ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÄÒÕÇÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÔÏÇÏ ÛÉÆÒÁ. 8. ðÏÄÏÂÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ

ä×Å ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ R É S ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÄÏÂÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ A, ÉÍÅÀÝÅÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ A−1 , ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ R = AS: üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ Ó ÏÍÏÝØÀ R ÄÁÓÔ ÔÏ ÖÅ, ÞÔÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ Ó ÏÍÏÝØÀ S Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ A. åÓÌÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÚÁÉÓØ R ≈ S ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ R ÏÄÏÂÎÏ S , ÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÉÚ R ≈ S ÓÌÅÄÕÅÔ S ≈ R. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÚ R ≈ S É S ≈ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ R ≈ É, ÎÁËÏÎÅ , R ≈ R. òÅÚÀÍÉÒÕÑ ×ÙÛÅÉÚÌÏÖÅÎÎÏÅ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÄÏÂÉÅ ÓÉÓÔÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ëÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÏÄÏÂÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ R ≈ S , ÔÏ R É S | ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÅÔ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ S , ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÅÅ × ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ R ÒÏÓÔÙÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ Ë ÎÅÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ A. ïÂÒÁÔÎÏ, ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ R ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ S Ó ÏÍÏÝØÀ A−1 . åÓÌÉ R É S ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ Ë ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ ÖÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÉÌÉ ÑÚÙËÕ, ÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÏÌÕÞÁÀÝÉÍÉÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁÍÉ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÄÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. åÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÓÏÂ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ R, ÔÏ ÌÀÂÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ S , ÏÄÏÂÎÁÑ R, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÓËÒÙÔÁ ÏÓÌÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÅÅ Ë R Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ A. üÔÏÔ ÓÏÓÏÂ ÞÁÓÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÓÔÕÀ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÂÕË×Ù ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÚÁÍÅÎÑÀÔÓÑ ÎÅ ÂÕË×ÁÍÉ, Á ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ. ïÎÁ ÏÄÏÂÎÁ ÏÂÙÞÎÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÅ Ó ÚÁÍÅÎÏÊ ÎÁ ÂÕË×Ù. ÷ÔÏÒÙÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÍÏÇÕÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÛÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ É ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÛÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÏÇÄÁ ÒÁÓËÒÙ×ÁÀÔ, ÅÒÅ×ÏÄÑ ÅÇÏ ÓÎÁÞÁÌÁ × ÛÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ, ÏÂÒÁÔÉ× ÁÌÆÁ×ÉÔ × ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ. ûÉÆÒÙ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ, âÏÆÏÒÁ É ×ÁÒÉÁÎÔ âÏÆÏÒÁ ×ÓÅ ÏÄÏÂÎÙ, ÅÓÌÉ ËÌÀÞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ. ûÉÆÒ Ó Á×ÔÏËÌÀÞÏÍ (Ô. Å. ÓÏÏÂÝÅÎÉÅÍ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÌÀÞÁ) Ó ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÍÉ ×ÎÁÞÁÌÅ ËÌÀÞÁÍÉ

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

279

K1K2 : : : Kd ÏÄÏÂÅÎ ÛÉÆÒÕ ÷ÉÖÅÎÅÒÁ Ó ËÌÀÞÏÍ, ÏÏÞÅÒÅÄÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÍÙÍ É ×ÙÞÉÔÁÅÍÙÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ 26. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ A × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÄÅÛÉÆÒÏ×ËÕ Á×ÔÏËÌÀÞÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÚ d ÔÁËÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ. þ Á Ó Ô Ø II åïòåéþåóëáñ óåëòåîïóø

9. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÏÒÏÓÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔØÀ ÓÉÓÔÅÍ. îÁÓËÏÌØËÏ ÕÓÔÏÊÞÉ×Á ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ, ÅÓÌÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ×ÒÅÍÅÎÅÍ É ÏÂÌÁÄÁÅÔ ×ÓÅÍÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍÉ ÓÒÅÄÓÔ×ÁÍÉ ÄÌÑ ÁÎÁÌÉÚÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ? éÍÅÅÔ ÌÉ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØÓÑ ÔÁËÏÊ ÏÂßÅÍ ÒÁÂÏÔ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÌØÚÑ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÉÔØ), Á ÅÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ ÓËÏÌØËÏ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÒÉÅÍÌÅÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ? ëÁËÏÊ ÏÂßÅÍ ÔÅËÓÔÁ, ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ × ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ, ÎÕÖÎÏ ÅÒÅÈ×ÁÔÉÔØ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÔÁÌÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ? óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅÌØÚÑ ÎÁÊÔÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÏ× ÏÂßÅÍ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÏÇÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ? óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÎÅ ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓËÏÌØËÏ ÂÙ ÏÎ ÎÉ ÅÒÅÈ×ÁÔÙ×ÁÌ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ? ÷ ÁÎÁÌÉÚÅ ÜÔÉÈ ×ÏÒÏÓÏ× ÎÁÊÄÕÔ ÛÉÒÏËÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÏÎÑÔÉÑ ÜÎÔÒÏÉÉ, ÉÚÂÙÔÏÞÎÏÓÔÉ, Á ÔÁËÖÅ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÎÑÔÉÑ, ××ÅÄÅÎÎÙÅ × ÒÁÂÏÔÅ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ1). 10. óÏ×ÅÒÛÅÎÎÁÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔØ

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ M1; : : : ; Mn Ó ÁÒÉÏÒÎÙÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ ò (í1 ); : : : ; ò (ín ) É ÞÔÏ ÜÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÒÅÏÂÒÁÚÕÀÔÓÑ × ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ E1 ; : : : ; Em , ÔÁË ÞÔÏ E = Ti M: ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÅÒÅÈ×ÁÔÉÌ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ å , ÏÎ ÍÏÖÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ × ÒÉÎ ÉÅ, ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ På (í ). åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÕÀ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ: ÄÌÑ ×ÓÅÈ å ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙ ÁÒÉÏÒÎÙÍ ×ÅÒÏÑÔ1) ðÅÒÅ×ÏÄ ÜÔÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ÓÍ. × ËÎÉÇÅ ë. ûÅÎÎÏÎ òÁÂÏÔÙ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ËÉÂÅÒÎÅÔÉËÅ, í., éì, 1963, Ó. 243{332. | ðÒÉÍ. ÒÅÄ.

280

ë. ûÅÎÎÏÎ

ÎÏÓÔÑÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÜÔÉÈ ÏÓÌÅÄÎÉÈ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÒÅÈ×ÁÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÎÅ ÄÁÅÔ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉËÕ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÎÉËÁËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ1) . ÅÅÒØ ÏÎ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ËÏÒÒÅËÔÉÒÏ×ÁÔØ ÎÉËÁËÉÅ Ó×ÏÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÅ, ÔÁË ËÁË ×ÓÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÀÔÓÑ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÎÅ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, ÔÏ ÉÍÅÀÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÓÌÕÞÁÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ É ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ×ÙÂÏÒÏ× ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÏÔ ÁÒÉÏÒÎÙÈ. á ÜÔÏ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÍÏÖÅÔ Ï×ÌÉÑÔØ ÎÁ ×ÙÂÏÒ ÒÏÔÉ×ÎÉËÏÍ Ó×ÏÉÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ É, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅÉÚÂÅÖÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÎÁÛÅÇÏ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ Ï ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÉÓÔÅÍÁ ÂÙÌÁ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ âÁÊÅÓÁ P (M ) · PM (E ) ; PE (M ) = P (E ) ÇÄÅ ò (í ) | ÁÒÉÏÒÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ í ; Pí (å ) | ÕÓÌÏ×ÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ å ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ×ÙÂÒÁÎÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ í , Ô. Å. ÓÕÍÍÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ×ÓÅÈ ÔÅÈ ËÌÀÞÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅ×ÏÄÑÔ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ í × ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ å ; ò (å ) | ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ å ; På (í ) | ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ í ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ å . äÌÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅÌÉÞÉÎÙ På (í ) É ò (í ) ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ å É í . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×: ÉÌÉ ò (í ) = 0 [ÜÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÔÂÒÏÛÅÎÏ, ÔÁË ËÁË ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÌÏÓØ ÒÉ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ò (í )℄, ÉÌÉ ÖÅ PM (E ) = ò (å ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ í É å . îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ PM (å ) = ò (å ), ÔÏ PE (M ) = P (M ); 1) ðÕÒÉÓÔ ÍÏÇ ÂÙ ×ÏÚÒÁÚÉÔØ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÎÉË ÏÌÕÞÉÌ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, Á ÉÍÅÎÎÏ ÏÎ ÚÎÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÓÌÁÎÏ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. îÁ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ ÓÒÅÄÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÞÉÓÔÙÊ ÂÌÁÎË, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÀ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÎÅ ÓÏÚÄÁÅÔÓÑ ÎÉËÁËÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÔÏ ÞÉÓÔÙÊ ÂÌÁÎË ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ É ÏÓÙÌÁÅÔÓÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ. ÏÇÄÁ ÕÓÔÒÁÎÑÅÔÓÑ ÄÁÖÅ ÜÔÁ ËÒÕÉÎËÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ.

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

281

É ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ PM (å ) = ò (å ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ í É å , Ô. Å. PM (å ) ÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ í .

ÅÏÒÅÍÁ 6.

äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÌÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ËÌÀÞÅÊ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ Mi × ÄÁÎÎÕÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ E , ÒÁ×ÎÁ ÏÌÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ËÌÀÞÅÊ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ íj × ÔÕ ÖÅ ÓÁÍÕÀ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÕ å ÄÌÑ ×ÓÅÈ íi ; íj É å . äÁÌÅÅ, ÄÏÌÖÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ å , ÓËÏÌØËÏ É ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ í , ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ i ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Ti ÄÁÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ×ÓÅÍÉ í É ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÉÚ å . äÌÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÜÔÉÈ å É ÌÀÂÏÇÏ í PM (å ) = ò (å ) 6= 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ËÌÀÞ, ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÊ ÄÁÎÎÏÅ í × ÌÀÂÏÅ ÉÚ å . îÏ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ, ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÅ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ í × ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ å , ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ, É ÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÞÉÓÌÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ í . ëÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÕÀ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔØ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÔÏÞÎÏ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ËÌÀÞÅÊ. ðÕÓÔØ íi ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ n, ÔÁË ÖÅ ËÁË É Ei , É ÕÓÔØ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ n ËÌÀÞÅÊ. ÏÇÄÁ Ti Mj = Es ; ÇÄÅ s = i + j (mod n). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï På (í ) = n1 = ò (å ) É ÓÉÓÔÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ. ïÄÉÎ ÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏËÁÚÁÎ ÎÁ ÒÉÓ. 5, ÇÄÅ s = j + i − 1 (mod 5): óÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÏ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, Á ÔÁËÖÅ ÞÉÓÌÕ ËÌÀÞÅÊ, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ä×ÕÍÑ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: 1) ËÁÖÄÏÅ í Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó ËÁÖÄÙÍ å ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÊ ÌÉÎÉÅÊ; 2) ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÁÔÒÉÞÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÁÔÉÎÓËÉÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ. ÷ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ Ó×ÑÚÉ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÕÄÏÂÎÏ ÉÚÍÅÒÑÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÜÎÔÒÏÉÉ. åÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ p1 ; : : : ; pn , ÔÏ ÜÎÔÒÏÉÑ ÄÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅÍ

H =−

X

pi log pi :

282

ë. ûÅÎÎÏÎ

M1

1 5

M2

5

1 2

4

E2 3

4

M3

E1

2 3 4

5 1

E3

2 3 3

M4

1 2 2

M5

4 5

E4

3 4 5 1

E5

òÉÓ. 5. óÏ×ÅÒÛÅÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ.

óÅËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ Ä×Á ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ×ÙÂÏÒÁ: ×ÙÂÏÒ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ×ÙÂÏÒ ËÌÀÞÁ. íÏÖÎÏ ÉÚÍÅÒÑÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÚÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÞÅÒÅÚ î (í )

î (í ) = −

X

ò (í ) log ò (í );

ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔØ, Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ ËÌÀÞÁ, ÄÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅÍ X H (K ) = − P (K ) log P (K ):

÷ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÔÉÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ × ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ ÒÁ×ÎÏ ÓÁÍÏÅ ÂÏÌØÛÅÅ log n (ÜÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÄÌÑ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ). üÔÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓËÒÙÔÁ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÌÉÛØ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔØ ËÌÀÞÁ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ log n. üÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒ×ÙÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÏÂÝÅÇÏ ÒÉÎ ÉÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ ÎÉÖÅ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÄÅÌ, ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÌØÚÑ ÒÅ×ÚÏÊÔÉ ÒÉ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ËÌÀÞÁ | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ××ÅÄÅÎÏ × ÒÅÛÅÎÉÅ, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÏÌØÛÅ ÞÅÍ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔØ ËÌÀÞÁ. ðÏÌÏÖÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÓÌÏÖÎÑÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÞÉÓÌÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÏÒÏÖÄÁÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÍÁÒËÏ×ÓËÉÍ ÒÏ ÅÓÓÏÍ × ×ÉÄÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÂÕË×. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÏÊ ËÏÎÅÞÎÙÊ ËÌÀÞ ÎÅ ÄÁÓÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÏÇÄÁ, ÞÔÏ ÉÓÔÏÞÎÉË ËÌÀÞÁ ÏÒÏÖÄÁÅÔ ËÌÀÞ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ô. Å. ËÁË ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏ×.

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

283

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÄÁÌÅÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÄÌÉÎÙ LM ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÄÌÉÎÁ ËÌÀÞÁ LK . ðÕÓÔØ ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÞÉÓÌÁ ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÂÕÄÅÔ RM , Á ÔÁËÏÊ ÖÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÄÌÑ ËÌÀÞÁ | RK . ÏÇÄÁ ÉÚ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÏÌÎÑÌÏÓØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï RM LM 6 RK LK : ÁËÏÊ ×ÉÄ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÷ÅÒÎÁÍÁ. üÔÉ ×Ù×ÏÄÙ ÄÅÌÁÀÔÓÑ × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÁÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÉÌÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÌÀÞ, ÔÒÅÂÕÅÍÙÊ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÉÍÅÌÁ ÍÅÓÔÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÁÑ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔØ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÌÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. íÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÖÉÄÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÉÍÅÀÔÓÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÑÚÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ R × ÓÍÙÓÌÅ, ÒÉÎÑÔÏÍ × íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ Ó×ÑÚÉ, ÔÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÏÂßÅÍ ËÌÀÞÁ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÓÎÉÚÉÔØ × ÓÒÅÄÎÅÍ × R=RM ÒÁÚ, É ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ×ÅÒÎÏ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÏÕÓÔÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØ, ËÏÔÏÒÙÊ ÕÓÔÒÁÎÑÅÔ ÉÚÂÙÔÏÞÎÏÓÔØ É ÕÍÅÎØÛÁÅÔ ÓÒÅÄÎÀÀ ÄÌÉÎÕ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ËÁË ÒÁÚ ×Ï ÓÔÏÌØËÏ ÒÁÚ. úÁÔÅÍ Ë ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÛÉÆÒ ÷ÅÒÎÁÍÁ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÂßÅÍ ËÌÀÞÁ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÏÇÏ ÎÁ ÂÕË×Õ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ R=RM , É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÔÏÞÎÉË ËÌÀÞÁ É ÉÓÔÏÞÎÉË ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎ | ÏÄÉÎ ÂÉÔ ËÌÀÞÁ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÓËÒÙ×ÁÅÔ ÏÄÉÎ ÂÉÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ó ÏÍÏÝØÀ ÍÅÔÏÄÏ×, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÙÈ × íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ Ó×ÑÚÉ, ÌÅÇËÏ ÔÁËÖÅ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÌÕÞÛÅÅ, ÞÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔØ. óÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÏÇÕÔ ÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ É ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÉÌÉ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÏÌÎÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ ÒÉÄÁÅÔÓÑ ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏËÕÍÅÎÔÏ× ×ÙÓÛÉÈ ×ÏÅÎÎÙÈ ÉÎÓÔÁÎ ÉÊ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÉÌÉ ÖÅ × ÓÌÕÞÁÑÈ, ÇÄÅ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÍÁÌÏ. ÁË, ÂÅÒÑ ËÒÁÊÎÉÊ ÒÉÍÅÒ, ËÏÇÄÁ ÉÍÅÀÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ | ÄÁ ÉÌÉ ÎÅÔ, | ÍÏÖÎÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ: í ë á ÷ ÄÁ 0 1 ÎÅÔ 1 0 îÅÄÏÓÔÁÔËÏÍ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ËÏÒÒÅÓÏÎÄÅÎ ÉÉ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÏÂßÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÔÏ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÓÙÌÁÔØ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ ÏÂßÅÍ ËÌÀÞÁ. ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎ

284

ë. ûÅÎÎÏÎ

×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ÞÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔØ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÍÅÎØÛÉÈ ÏÂßÅÍÏ× ËÌÀÞÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ. 11. îÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÛÉÆÒ ÒÏÓÔÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ É ÞÔÏ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÓËÁÖÅÍ N , ÂÕË× ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. åÓÌÉ N ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÅÌÉËÏ, ÓËÁÖÅÍ ÂÏÌÅÅ 50, ÔÏ ÏÞÔÉ ×ÓÅÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÛÉÆÒÁ, Ô. Å. ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÉÍÅÀÝÁÑ ÓÍÙÓÌ ÎÁ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ, × ËÏÔÏÒÕÀ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÙÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÓÔÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ. äÌÑ ÍÅÎØÛÉÈ N ÛÁÎÓÙ ÎÁ ÎÅÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÀÔÓÑ; ÄÌÑ N = 15, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÂÕÄÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÏÔÒÙ×ËÏ× ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏÇÏ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÄÌÑ N = 8 ÏËÁÖÅÔÓÑ ÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ (ÏÒÑÄËÁ 1=8) ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÁÝÉÈ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÔÁËÏÊ ÄÌÉÎÙ, ÔÁË ËÁË ÉÚ ×ÏÓØÍÉ ÂÕË× ÒÅÄËÏ Ï×ÔÏÒÉÔÓÑ ÂÏÌØÛÅ ÞÅÍ ÏÄÎÁ. ðÒÉ N = 1, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÏÚÍÏÖÎÁ ÌÀÂÁÑ ÂÕË×Á É ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÂÕË×Ù ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ ÅÅ ÁÒÉÏÒÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ. äÌÑ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù ÓÉÓÔÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ. üÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÒÁÚÒÅÛÉÍÙÍÉ ÛÉÆÒÁÍÉ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ, ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÅÂÅ ÁÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍÉ, Á ÔÁËÖÅ Ó ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ËÌÀÞÁÍÉ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎ, ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉË ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÉÈ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ. ðÒÉ Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ N ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ, ÎÏ ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÏÎÉ ÕÂÙ×ÁÀÔ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÉÍÅÀÝÅÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÂÌÉÚËÕÀ Ë ÅÄÉÎÉ Å, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÏÌÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÄÒÕÇÉÈ ÂÌÉÚËÁ Ë ÎÕÌÀ. äÌÑ ÓÁÍÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÜÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ×ÙÏÌÎÉÔØ. ÁÂÌÉ Á I ÄÁÅÔ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÛÉÆÒÁ ãÅÚÁÒÑ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÇÏ Ë ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍÕ ÔÅËÓÔÕ, ÒÉÞÅÍ ËÌÀÞ ×ÙÂÉÒÁÌÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÉÚ 26 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÂÙÞÎÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÞÁÓÔÏÔ ÂÕË×, ÄÉÇÒÁÍÍ É ÔÒÉÇÒÁÍÍ, ÔÅËÓÔ ÂÙÌ ÎÁÞÁÔ × ÓÌÕÞÁÊÎÏÍ ÍÅÓÔÅ (ÎÁ ÓÔÒÁÎÉ Õ ÏÔËÒÙÔÏÊ ÎÁÕÇÁÄ ËÎÉÇÉ ÂÙÌ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÏÕÝÅÎ ËÁÒÁÎÄÁÛ). óÏÏÂÝÅÎÉÅ, ×ÙÂÒÁÎÎÏÅ ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó reases to (ËÁÒÁÎÄÁÛ ÏÕÝÅÎ ÎÁ ÔÒÅÔØÀ ÂÕË×Õ ÓÌÏ×Á in reases). åÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÎÅ Ó ÓÅÒÅÄÉÎÙ, Á Ó ÎÁÞÁÌÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ, ÔÏ ÎÕÖÎÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÎÏÊ ÔÁÂÌÉ ÅÊ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÞÁÓÔÏÔÁÍ ÂÕË×, ÄÉÇÒÁÍÍ É ÔÒÉÇÒÁÍÍ, ÓÔÏÑÝÉÈ × ÎÁÞÁÌÅ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ.

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

ÁÂÌÉ Á I.

285

áÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÔÉÁ

ãÅÚÁÒÑ

òÁÓÛÉÆÒÏ×ËÉ CREAS DSF BT ET GCU F UNDV GV IEW HW JF X IXKGY JY LHZ KZMIA LANJB í÷ïëó NCP LD ODQME P ERNF QF SOG RGT P H SHUQI T IV RJ UJW SK V KXT L W LY UM XMZV N Y NAW O ZOBXP AP CY Q BQDZR H (ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÈ ÅÄÉÎÉ )

N =1 0,028 0,038 0,131 0,029 0,020 0,053 0,063 0,001 0,004 0,034 0,025 0,071 0,080 0,020 0,001 0,068 0,061 0,105 0,025 0,009 0,015 0,002 0,020 0,001 0,082 0,014 1,2425

N =2 N =3 N =4 N =5 0,0377 0,1111 0,3673 1 0,0314 0,0881 0,0189 0,0063 0,0126 0,1321 0,2500 0,0222 0,1195 0,0377 0,0818 0,4389 0,6327 0,0126 0,0881 0,0056 0,2830 0,1667 0,0056

0,0503 0,9686 0,6034

0,285

0

286

ë. ûÅÎÎÏÎ

ûÉÆÒ ãÅÚÁÒÑ ÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÙÍ, É ×ÙÂÏÒ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ËÌÀÞÁ ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ. þÔÏÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÜÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, ÎÁÄÏ ÒÏÓÔÏ ×ÙÉÓÁÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ×ÓÅÈ ËÌÀÞÅÊ É ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÈ ÁÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ. áÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÌÕÞÁÔÓÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÓÌÅÄÎÉÈ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÄÅÌÅÎÉÑ ÉÈ ÎÁ ÉÈ ÓÕÍÍÕ. üÔÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÉ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÜÔÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÎÁÊÄÅÎÙ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÏÂÅÇÁÎÉÑ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ, × ÔÁÂÌÉ Å I ÏÎÉ ÄÁÎÙ ÓÌÅ×Á. äÌÑ ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÏÊ ÂÕË×Ù ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙ ÁÒÉÏÒÎÙÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÂÕË×1) (ÏÎÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å ÏÄ ÒÕÂÒÉËÏÊ N = 1). äÌÑ Ä×ÕÈ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÙÈ ÂÕË× ÜÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙ ÁÒÉÏÒÎÙÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍ ÄÉÇÒÁÍÍ, ÒÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÎÁ ÉÈ ÓÕÍÍÕ (ÏÎÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÓÔÏÌÂ Å N = 2). ÒÉÇÒÁÍÍÎÙÅ ÞÁÓÔÏÔÙ ÏÌÕÞÅÎÙ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ É ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÓÔÏÌÂ Å N = 3. äÌÑ ÞÅÔÙÒÅÈ- É ÑÔÉÂÕË×ÅÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÎÁÈÏÄÉÌÉÓØ ÉÚ ÔÒÉÇÒÁÍÍÎÙÈ ÞÁÓÔÏÔ Ó ÏÍÏÝØÀ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ, ÔÁË ËÁË Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅÍ p(ijkl) = p(ijk)pjk (l): úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÔÒÅÈ ÂÕË× ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÓÎÉÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÞÅÔÙÒÅÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÓÏËÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, ÒÉÞÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ÄÒÕÇÉÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÍÁÌÙ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ ÜÔÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. äÌÑ ÞÅÔÙÒÅÈ ÂÕË× ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ÄÌÑ ÑÔÉ | ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ, Á ÉÍÅÎÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÄÅÛÉÆÒÏ×ËÁ. ÷ ÒÉÎ ÉÅ ÜÔÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏ×ÅÄÅÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, ÏÄÎÁËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÏÂßÅÍ ËÌÀÞÁ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÍÁÌ, ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ×ÅÌÉËÏ, ÞÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ×ÙÏÌÎÉÍÙÍÉ. ðÏÌÕÞÁÅÍÏÅ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÏÉÓÙ×ÁÅÔ, ËÁË ÏÓÔÅÅÎÎÏ, Ï ÍÅÒÅ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ, ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÙÍÉ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉËÁ ÒÏÔÉ×ÎÉËÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ËÌÀÞÁ. üÔÏ ÏÉÓÁÎÉÅ, ÏÄÎÁËÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÉÛËÏÍ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÝÉÍ É ÓÌÉÛËÏÍ ÓÌÏÖÎÙÍ ÄÌÑ ÎÁÛÉÈ ÅÌÅÊ. èÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÉÍÅÔØ ÕÒÏÝÅÎÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ Ë ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ × ÔÅÏÒÉÉ Ó×ÑÚÉ, ËÏÇÄÁ ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÙÊ ÓÉÇÎÁÌ ÉÓËÁÖÁÅÔÓÑ ÛÕÍÏÍ. úÄÅÓØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ××ÅÓÔÉ ÏÄÈÏÄÑÝÕÀ ÍÅÒÕ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÂÙÌÏ ÅÒÅÄÁÎÏ, ÒÉ 1) ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ × ÒÉ×ÏÄÉÍÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÂÙÌÉ ×ÚÑÔÙ ÉÚ ÔÁÂÌÉ ÞÁÓÔÏÔ, ÄÁÎÎÙÈ × ËÎÉÇÅ òratt F., Se ret and Urgent, Blue Ribbon Books, New York, 1939. èÏÔÑ ÜÔÉ ÔÁÂÌÉ Ù É ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÎÙÍÉ, ÎÏ ÄÌÑ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ ÅÌÅÊ ÉÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ.

ÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ × ÓÅËÒÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ

287

ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÔÏÌØËÏ ÉÓËÁÖÅÎÎÙÊ ÛÕÍÏÍ ×ÁÒÉÁÎÔ | ÒÉÎÑÔÙÊ ÓÉÇÎÁÌ. ÷ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ Ó×ÑÚÉ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÒÏÊ ÜÔÏÊ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÁÑ ÜÎÔÒÏÉÑ ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÏÇÏ ÓÉÇÎÁÌÁ ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÒÉÎÑÔÙÊ ÓÉÇÎÁÌ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ. üÔÁ ÕÓÌÏ×ÎÁÑ ÜÎÔÒÏÉÑ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÂÕÄÅÔ ÎÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔØÀ. ó ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÅËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÞÔÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÁ ÓÉÓÔÅÍÅ Ó×ÑÚÉ ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÛÕÍÁ. îÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (ÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÙÊ ÓÉÇÎÁÌ) ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ (ÓÅËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ Ó ÅÅ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉ ×ÙÂÒÁÎÎÙÍ ËÌÀÞÏÍ). ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ (ÁÎÁÌÏÇ ÉÓËÁÖÅÎÎÏÇÏ ÓÉÇÎÁÌÁ), ÏÄÌÅÖÁÝÁÑ ÄÅÛÉÆÒÉÒÏ×ÁÎÉÀ. ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÒÁÚÌÉÞÉÅ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ: ×ÏÅÒ×ÙÈ, × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÛÉÆÒÁ ÉÍÅÅÔ ÏÂÙÞÎÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÕÀ ÒÉÒÏÄÕ, ÞÅÍ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÅ ÚÁ ÓÞÅÔ ÛÕÍÁ × ËÁÎÁÌÅ; É, ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ËÌÀÞ × ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÙÞÎÏ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÛÕÍ × ËÁÎÁÌÅ ÞÁÝÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÍ, ×ÙÂÒÁÎÎÙÍ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÉÚ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. õÞÉÔÙ×ÁÑ ÜÔÉ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÒÙ ÓÅËÒÅÔÎÏÓÔÉ. óÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Å ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ: ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ ËÌÀÞÁ É ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. ïÎÉ ÂÕÄÕÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØÓÑ ÞÅÒÅÚ Hå (ë ) É HE (M ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. éÈ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ

HE (K ) = − HE (M ) = −

X

E;K X

E;M

P (E; K ) log PE (K ); P (E; M ) log PE (M );

ÇÄÅ å , í É ë | ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ, ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ É ËÌÀÞ; ò (å; ë ) | ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ËÌÀÞÁ K É ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ å ; På (ë ) | ÁÏÓÔÅÒÉÏÒÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ËÌÀÞÁ K , ÅÓÌÉ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÁ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁ å ; ò (å; í ) É PE (í ) | ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, ÎÏ ÎÅ ÄÌÑ ËÌÀÞÁ, Á ÄÌÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ. óÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ × Hå (ë ) ÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÄÌÉÎÙ (ÓËÁÖÅÍ, N ) É Ï ×ÓÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ËÌÀÞÁÍ. äÌÑ Hå (í ) ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍ É ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁÍ ÄÌÉÎÙ N . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Hå (ë ) É HE (M ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÏÔ N | ÞÉÓÌÁ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÙÈ ÂÕË×. üÔÏ ÂÕÄÅÔ ÉÎÏÇÄÁ ÕËÁÚÙ×ÁÔØÓÑ × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÉ ÔÁË: HE (K; N ), HE (M; N ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÎÙÍÉ, Ô. Å. ÎÅ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ N Ó ÔÅÍ,

288

ë. ûÅÎÎÏÎ

ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÓËÏÒÏÓÔØ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÁÓØ × ÒÁÂÏÔÅ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ Ó×ÑÚÉ. Å ÖÅ ÓÁÍÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÙÌÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ × íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ Ó×ÑÚÉ ÄÌÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ××ÅÄÅÎÉÑ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÅÒÙ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ × ÔÅÏÒÉÉ Ó×ÑÚÉ, ÒÉÍÅÎÉÍÙ É ÚÄÅÓØ. ÁË, ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÄÎÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (ÉÌÉ ËÌÀÞ) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, Á ×ÓÅ ÄÒÕÇÉÅ | ÎÕÌÅ×ÕÀ. üÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÎÏÊ ÏÓ×ÅÄÏÍÌÅÎÎÏÓÔÉ ÛÉÆÒÏ×ÁÌØÝÉËÁ. ðÏÓÔÅÅÎÎÏÅ ÕÂÙ×ÁÎÉÅ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ Ó ÒÏÓÔÏÍ N ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÀ Ó×ÅÄÅÎÉÊ ÏÂ ÉÓÈÏÄÎÏÍ ËÌÀÞÅ ÉÌÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÉ. ëÒÉ×ÙÅ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ËÌÀÞÁ, ÎÁÎÅÓÅÎÎÙÅ ÎÁ ÇÒÁÆÉË ËÁË ÆÕÎË ÉÉ ÏÔ N , ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁÍÉ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÓÅËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ÷ÅÌÉÞÉÎÙ HE (K; N ) É HE (M; N ) ÄÌÑ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ ÛÉÆÒÁ ãÅÚÁÒÑ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÊ ×ÙÛÅ, ÓÏÓÞÉÔÁÎÙ É ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÅ ÔÁÂÌ. I. þÉÓÌÁ HE (K; N ) É HE (M; N ) × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÎÙ É ÄÁÎÙ × ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÈ ÅÄÉÎÉ ÁÈ (Ô. Å. ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ ÂÒÁÌÏÓØ 10). óÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÎÅÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ ÚÄÅÓØ ÓÏÓÞÉÔÁÎÁ ÄÌÑ ÞÁÓÔÎÏÊ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÙ, ÔÁË ËÁË ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅÄÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ Ï í (ÉÌÉ K ), ÎÏ ÎÅ Ï å . ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÒÏ×ÏÄÉÔØÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÅÒÅÈ×ÁÞÅÎÎÙÍ ËÒÉÔÏÇÒÁÍÍÁÍ ÄÌÉÎÙ N , × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ ÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÂÙ ÓÒÅÄÎÑÑ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔØ. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÎÅ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ.

÷×ÅÄÅÎÉÅ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÀ

ðÏÄ ÏÂÝÅÊ ÒÅÄÁË ÉÅÊ ÷. ÷. ñÝÅÎËÏ

éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ãÅÎÔÒÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï þÅòÏ äÉÒÅËÔÏÒ ÉÚÄÁÔÅÌØÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÁ é. ÷. ñÝÅÎËÏ ÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÅÄÁËÔÏÒ í. î. ÷ÑÌÙÊ ìÉ ÅÎÚÉÑ ìò 071150 ÏÔ 11.04.95 Ç. ðÏÄÉÓÁÎÏ × ÅÞÁÔØ 27.09.2000 Ç. æÏÒÍÁÔ 60 × 90 1 16 âÕÍÁÇÁ ÏÆÓÅÔÎÁÑ 1. ðÅÞÁÔØ ÏÆÓÅÔÎÁÑ. ðÅÞ. Ì. 18,0 ÉÒÁÖ 5000. úÁËÁÚ =

íãîíï 121002, íÏÓË×Á, âÏÌØÛÏÊ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., Ä. 11 ïï þÅòÏ òÅÄÁË ÉÏÎÎÏ-ÉÚÄÁÔÅÌØÓËÉÊ ÏÔÄÅÌ

121002, íÏÓË×Á, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., Ä. 11, ËÏÍÎ. 208 ÅÌ. (095) 241 33 90, (095) 241 18 69 ïÔÄÅÌ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ

118899, íÏÓË×Á, ÕÌ. áËÁÄ. èÏÈÌÏ×Á, Ä. 11 ÅÌ. (095) 939 47 09, (095) 939 34 93

Введение в криптографию

Recommend Documents