Асимптотики решений многомерных интегрируемых уравнений и их возмущений

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 11 (2004). С. 3–149 УДК 514.7+514.8+517.95

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ c 2004 г.

ОЛЕГ МИХАЙЛОВИЧ КИСЕЛЕВ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ Глава 1. Метод обратной задачи и D-проблема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1. Решение уравнения Деви—Стюартсона-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2. Решение уравнений Ишимори-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3. Решение уравнения Кадомцева—Петвиашвили-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Структурная неустойчивость солитона уравнения Деви—Стюартсона-2 . . . . . . . . . . 1.1. Однозначная разрешимость и устойчивость задачи рассеяния для эллиптической системы Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Структурная неустойчивость двумерного алгебраического солитона. . . . . . . . . . 1.3. Асимптотика солитоноподобного пакета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ 2. Временные асимптотики решений D-задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Асимптотика бессолитонного решения уравнения Деви—Стюартсона-2. . . . . . . . 2.2. Асимптотика решения уравнений Ишимори-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Асимптотика решения уравнения Кадомцева—Петвиашвили. . . . . . . . . . . . . . 3. Возмущение нелинейного уравнения Клейна—Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Возмущение солитона уравнения синус-Гордона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Неинтегрируемое нелинейное уравнение Клейна—Гордона. . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Взаимодействие кинка с бегущей волной малой амплитуды. . . . . . . . . . . . . . 3.4. Возмущенное уравнение φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Метод обратной задачи и нелокальная задача Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Решение уравнения Деви—Стюартсона-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Временные асимптотики нелокальной задачи Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Асимптотика решения уравнения Деви—Стюартсона-1. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Формула для асимптотики решения уравнения Кадомцева—Петвиашвили-1. . . . . 6. Теория возмущений солитона уравнения Деви—Стюартсона-1 . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Теория возмущений гиперболической системы Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Возмущение дромиона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Асимптотики многомерных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Асимптотика двукратных интегралов со слабой особенностью. . . . . . . . . . . . . 7.2. Асимптотика многомерного интеграла типа Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 12 12 15 15 16 16 25 30 37 37 45 46 67 68 82 85 96 104 105 110 110 116 117 117 127 132 132 137 143

ВВЕДЕНИЕ Изучение асимптотических свойств решений лежит в основании современных исследований в области нелинейных уравнений математической физики. Достаточно вспомнить, что Дж. Рассел в 1834 г. заинтересовался уединенной волной из-за неизменности ее специфической формы, сохраняющейся на большом промежутке времени. Да и знаменитое уравнение Кортевега—де Фриза Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант № 03-01-00716, гранта для научных школ 1446.2003.1 и INTAS № 03-51-4286. c

2004 МАИ

3

4

Введение

получено как асимптотический предел уравнения для поверхностных волн. Возрождение интереса к уравнению КдФ в шестидесятых годах 20 в. началось с изучения поведения на больших временах цепочки Ферми—Паста—Улама — нелинейно взаимодействующих осцилляторов. Последующие работы М. Крускала и Н. Забусски [159] и Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [125] привели к открытию солитона, а затем и метода обратной задачи рассеяния. История этого вопроса всесторонне и в подробностях изложена в книгах М. Абловица и Х. Сигура [1], А. Ньюэлла [74], а также в замечательной книжке А. Т. Филиппова [88]. Нелинейные интегрируемые уравнения и метод обратной задачи рассеяния, разработанный для их решения, распахнули новые горизонты в математической физике конца двадцатого века. Это утверждение — вовсе не преувеличение. Достаточно взглянуть на длинные списки статей об интегрируемых уравнениях, приводимые в монографиях. С одной стороны, большое число работ связано с модной темой и, как следствие, с появлением новых журналов и выделением фондов на исследования в области нелинейных уравнений. Однако, это только внешняя сторона. На самом деле, причина кроется в методе решения интегрируемых уравнений с помощью обратной задачи рассеяния. Он привел к переосмыслению некоторых известных результатов, а также к постановке новых задач. Метод обратной задачи рассеяния обычно связывает нелинейное уравнение с парой систем линейных уравнений с переменными коэффициентами и дополнительным «спектральным» параметром. Для каждого нелинейного уравнения эта пара своя. Более того, каждому решению нелинейного уравнения соответствует свой вид коэффициентов в системах линейных уравнений. То есть, для изучения свойств решения или какого-либо класса решений нелинейного интегрируемого уравнения с помощью метода обратной задачи рассеяния приходится развивать теорию решений класса линейных систем уравнений с переменными коэффициентами и исследовать свойства их решений в зависимости от дополнительного «спектрального» параметра. Теперь осталось вспомнить, что построение такой теории для одного обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка u00 + q(x)u = k 2 u длится более ста лет и пока далеко от завершения. Вместо исследования столь широкого круга задач обычно ограничиваются изучением свойств решений небольшого списка интегрируемых уравнений. Среди (1+1)-мерных уравнений (одна пространственная переменная и одна временн´ая) обычно говорят об уравнении Кортевега—де Фриза, нелинейном уравнении Шр¨едингера, уравнении синус-Гордона, системе N -волн. Ограничен и список классов изучаемых решений. Прежде всего, это точные решения, имеющие конечное число параметров — солитонные и конечнозонные. Получить решение в виде уединенной волны (солитона) с помощью редукции к обыкновенному уравнению для перечисленных интегрируемых уравнений достаточно просто. Такое решение было найдено Буссинеском [108]. Нетривиален следующий шаг — построение решения, которое содержит несколько таких волн-солитонов. Преобразования, переводящие одно решение уравнения синус-Гордона в другое, были описаны Бэклундом в 1880 году (см., например, [1]). Особенно активно такие преобразования изучаются начиная с работы Миуры [152]. Построение конечнозонных решений интегрируемых уравнений, полученных С. П. Новиковым, опирается на метод обратной задачи рассеяния (см. [26, 70]), но может быть также сведено к решению системы интегрируемых обыкновенных уравнений. Решения, содержащие функциональный произвол, позволяют решать задачи Коши или Гурса. В общем случае исследование свойств этих решений опирается на метод обратной задачи рассеяния. Перечисленные выше (1 + 1)-мерные нелинейные интегрируемые уравнения в методе обратной задачи связаны с системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Конечные формулы для решений исходных нелинейных уравнений имеют неявный характер. Их неудобно использовать для каких-либо вычислений без дополнительного, как правило, асимптотического анализа. Более того, зачастую по смыслу исходной задачи интересным оказывается именно асимптотическое поведение решения нелинейного уравнения. Здесь нет возможности перечислить даже основные работы об асимптотиках убывающих решений (1 + 1)-мерных интегрируемых уравнений (см., например, [29, 35, 64, 72, 73, 93, 101, 151]). Формулы для асимптотик в (1 + 1)-мерном случае содержат

Введение

5

один большой параметр, например, время, и один медленно меняющийся параметр, как правило, это отношение пространственной переменной ко времени. Для получения равномерных по медленной переменной асимптотических решений используется сингулярная теория возмущений. Обоснование асимптотик решений (1 + 1)-мерных интегрируемых уравнений можно найти в работах П. Дейфта и К. Жу. Ими были получены оценки решений для обратной задачи — задачи Римана — Гильберта в Lp -нормах [110]. Это позволило получить оценку остатка для известной ранее асимптотики решения задачи Римана — Гильберта [111] и сформулировать утверждение об асимптотике слабого решения нелинейного уравнения Шр¨едингера [112]. Некоторые результаты, связанные с краевыми задачами, можно найти в [6, 44, 45, 55, 61, 81, 82, 89, 120]. Применение теории возмущений к интегрируемым уравнениям позволяет исследовать их неинтегрируемые возмущения. Наиболее полно исследованы возмущения солитонных решений. В теории возмущений солитонных решений один из основных вопросов — вычисление медленной модуляции параметров под воздействием возмущения в течение длительного временного промежутка. Главный член асимптотики, как правило, зависит от параметров решения аналитически. В частности, формальные асимптотические решения неинтегрируемых возмущений (1 + 1)-мерных уравнений с солитоном в главном члене изучались в [40,42,43,52,67,134,135,138,139,143], а возмущения конечнозонных решений, например, в работах [20–23, 56, 57, 117]. Приведенные здесь и в предыдущем абзаце ссылки ни в коей мере не претендуют на полноту. Среди (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений (две пространственные переменные и время) чаще всего упоминаются уравнение Кадомцева—Петвиашвили, система Деви—Стюартсона, система N -волн. К этому короткому списку трудно что-либо добавить, за исключением уравнения для двумеризованной цепочки Тоды, относящейся к дискретным (2 + 1)-мерным моделям. При решении (2 + 1)-мерных уравнений возникают дополнительные сложности. В отличие от (1 + 1)-мерных уравнений, (2 + 1)-мерные связаны с системами линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Дополнительный «спектральный» параметр входит в решение вспомогательной линейной системы через краевые условия. По этим причинам формулы решений задач для двумерных интегрируемых уравнений более сложны. Вопрос исследования асимптотических свойств решений (2 + 1)-мерных уравнений в настоящее время весьма актуален. При построении асимптотик решений (2 + 1)-мерных нелинейных уравнений возникают существенные трудности. В первую очередь, это связано с зависимостью от дополнительной пространственной переменной. При построении равномерных асимптотик возникают задачи с двумя малыми параметрами, не связанными какими-либо соотношениями. Поэтому приходится иметь дело с двойными асимптотиками. Одним из наиболее действенных методов в этой области является метод согласования асимптотических разложений (см., например, [34]). Еще одно затруднение связано с неаналитической зависимостью вспомогательной линейной задачи от «спектрального параметра». Теория возмущений таких задач существенно отличается от хорошо разработанной теорий возмущений для задач с аналитической зависимостью от параметров (см., например, [133]). По существу, основной мотив работы — развитие и обоснование асимптотических методов и теории возмущений солитонных решений для (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений. Объект исследований. Исследованы убывающие по пространственным направлениям решения (2 + 1)-мерных (две пространственные переменные и время) интегрируемых уравнений. В качестве основных представителей таких уравнений выбраны уравнения Кадомцева—Петвиашвили: ∂x (∂t u + 6u∂x u + ∂x3 u) = −3α2 ∂y2 u,

(0.1)

Деви—Стюартсона i∂t A + ∂x2 A + α2 ∂y2 A + 2κ|A|2 A + Ap = 0, ∂x2 p − α2 ∂y2 p = −4κ∂x2 (|A|2 ), κ = ±1,

(0.2)

а также Ишимори ~=0 ~ + ∂y w∂x S ~ +S ~ × (∂x2 S ~ + α2 ∂y2 S) ~ + ∂x w∂y S ∂t S ~ = 0, ~ × ∂y S) ~ xS ∂x2 w − α2 ∂y2 w + 2α2 S(∂ ~2

~ = (S1 , S2 , S3 ), S = 1. S Во всех этих уравнениях α2 = ±1.

(0.3)

6

Введение

В текст включены результаты о временн´ой асимптотике убывающих решений этих уравнений, а также о возмущении солитонных решений уравнений Деви—Стюартсона. Асимптотическая природа уравнений Кадомцева—Петвиашвили и Деви—Стюартсона. Происхождение уравнений Кадомцева—Петвиашвили (КП) и Деви—Стюартсона (ДС) тесно связано с теорией волн и асимптотическими методами. Уравнение КП и система уравнений ДС являются нелинейными интегрируемыми асимптотическими пределами более сложных, до сих пор не проинтегрированных уравнений. Уравнение КП было получено в работе [37] при исследовании устойчивости уединенной волны, слабо модулированной в поперечном направлении. Ниже показано, как это уравнение выводится формально при рассмотрении модуляции волн малой амплитуды на больших временах в нелинейном волновом уравнении: utt − uxx − uyy + aux uxx + ε2 buxxxx = 0,

0 < ε  1.

Если искать решение в виде u(x, y, t; ε) = ε2 u1 (x, εy, t, εt) + ε4 u2 (x, εy, t, εt) + . . . ,

(0.4)

то для членов порядка ε2 и ε4 получается система уравнений ∂tt u1 − ∂xx u1 = 0, ∂tt u2 − ∂xx u2 = ∂η2 u1 + ∂x ∂ξ u1 − ∂t ∂τ u1 − a∂x u1 ∂x2 u1 + b∂x4 u1 .

(0.5)

Здесь через ξ и η обозначены медленные пространственные переменные ξ = εx и η = εy. Зависимость главного члена формальной асимптотики от переменных x и t легко определяется: u1 (x, εy, t, εt) = w+ (x + t, η, ξ, τ ) + w− (x − t, η, ξ, τ ). Чтобы асимптотика (0.4) была пригодна для больших значений переменных s+ = x+t и s− = x−t, необходимо избавиться от растущих по s+ и s− решений во втором уравнении из (0.5). Это приводит к двум уравнениям, определяющим зависимость функции u1 от медленных переменных: ∂s (±2∂τ w± + aw± ∂s w± + b∂s3 w± ) = ∂η2 w± . Каждое из этих уравнений и есть уравнение Кадомцева—Петвиашвили. Конечно, приведенных соображений недостаточно, чтобы утверждать, что решение уравнения КП играет важную роль в теории распространения волн. Нужно еще доказать, что построенная с его помощью асимптотика (0.4) действительно является асимптотикой решения исходного нелинейного волнового уравнения. Такое строгое обоснование вывода уравнения КП получено в работе Л. А. Калякина [38]. Формулировка результата имеется в обзоре [39]. Асимптотическую природу имеет и система уравнений Деви—Стюартсона. Эта система описывает взаимодействие длинной и короткой волн малой амплитуды на поверхности жидкости. Формальный вывод системы уравнений ДС из уравнений поверхностных волн для потенциального течения жидкости над ровным дном представляется более громоздким (см. [109, 113]), чем приведенный вывод уравнения КП. Однако, исходные предположения и окончательный результат будут полезны для выяснения естественных постановок задач для уравнений ДС. Пусть P — потенциал скорости внутри бесконечного в направлениях x и y слоя жидкости. Глубина h этого слоя конечна. Уравнение потенциального течения ∆P = 0. На дне выполняется так называемое условие непротекания ∂z P |z=−h = 0. Поверхность жидкости свободна. На этой поверхности z = ζ(x, y, t). Скорость жидкости в вертикальном направлении выражается в виде ∂z P = ∂t ζ + ∂x P ∂x ζ + ∂y P ∂y ζ. Кроме того, на свободной поверхности выполняется еще и закон сохранения 2gζ + 2∂t P + (∂x P )2 + (∂y P )2 + (∂z P )2 = 0.

Введение

7

Формальное асимптотическое решение уравнения Лапласа с условием непротекания на дне и двумя условиями на поверхности жидкости можно искать в виде P = ε(p01 + p11 E + c.c.) + . . . , а форму свободной поверхности — в виде ζ = ε(ζ01 + ζ11 E + c.c.) + . . . , где E = exp(i(ky + ωt)), функции pij и ζij зависят от медленных переменных ξ = ε(x + cg t) (cg = const), η = εy и τ = ε2 t; значки c.c. в формулах означают комплексно сопряженные слагаемые; многоточия — слагаемые меньшего порядка по ε. Следуя работе А. Деви и К. Стюартсона [109], можно получить необходимые условия пригодности асимптотического разложения. Эти условия имеют вид уравнений ДС в форме i∂τ A + λ∂ξ2 A + µ∂η2 A + ν|A|2 A + ν1 Ap = 0, α∂ξ2 p + β∂η2 p = κ∂ν2 (|A|2 ), где λ, µ, ν, ν1 , α, β — некоторые постоянные. Функции p01 и p11 связаны с p и A формулами p11 =

ch(k(z + h)) A(ξ, η, τ ), p = α1 ∂ξ p01 + β1 |a|2 , α1 , β1 = const. ch(kh)

Для некоторого соотношения постоянных эта система уравнений может быть приведена к интегрируемой системе уравнений ДС (0.2) при α2 = −1 (конечно, в (0.2) надо заменить переменные x, y, t на ξ, η, τ , соответственно). В этом случае система (0.2) обычно называется системой уравнений ДС-2. Другой вид интегрируемой системы уравнений ДС c α2 = 1 называется системой уравнений ДС-1. Эта система уравнений выведена в работе В. Д. Джорджевика и Л. Дж. Редекоппа [113] также из уравнений поверхностных волн при учете поверхностного натяжения. Замечание 0.1. Уравнения Ишимори (0.3) были получены как пространственно-двумерное обобщение уравнений магнетика Гейзенберга [131]. Постановки задач. Естественные постановки задач для уравнений КП и ДС можно получить из их связи с исходными уравнениями теории волн. Из преобразований координат, приводящих исходные задачи теории волн к уравнениям КП и ДС, легко видеть, что роль времени играет медленное время исходной задачи, а роль пространственных переменных — медленные пространственные переменные в линейной комбинации с медленным временем задачи из теории волн. Поэтому задача Коши выглядит естественной для уравнений КП и ДС. Вопрос о том, к каким задачам можно свести с помощью асимптотических процедур краевые задачи для нелинейной теории волн, не совсем ясен и представляется достаточно интересным. Без всякого отношения к этому, краевые задачи для уравнений Деви—Стюартсона и Ишимори оказываются интересными и с точки зрения свойства интегрируемости. В этом аспекте они рассматривались И. Т. Хабибуллиным [90, 91]. В настоящей работе приведены результаты о временной асимптотике решений начальных задач для уравнений КП, ДС и Ишимори. Теоремы о существовании решений задач Коши для уравнений КП и ДС в различных классах функций получены А. В. Фаминским, Дж. Чидаглия и Дж. Саутом, М. М. Шакирьяновым [86,95, 126]. Асимптотические свойства решений уравнений Деви—Стюартсона в неинтегрируемом случае и обобщенного уравнения Кадомцева—Петвиашвили изучались в работах Н. Хаяши, П. Наумкина, Дж. Саута, Х. Хираты [128, 129]. Метод обратной задачи рассеяния. Для построения решений нелинейных интегрируемых уравнений используется метод обратной задачи рассеяния. Впервые метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) был применен к интегрированию нелинейного уравнения Кортевега—де Фриза (КдФ) в работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [125]. Позднее В. Е. Захаровым и А. Б. Шабатом было показано, что прием, похожий на использованный в [125] для решения уравнения КдФ, можно применить и к нелинейному уравнению Шр¨едингера [32]. Далее, в работах М. Абловица, Д. Каупа, А. Ньюэлла, Х. Сегура [100] и В. Е. Захарова и А. Б. Шабата [33] метод обратной задачи

8

Введение

рассеяния был развит для целого класса нелинейных уравнений. В частности, интегрируемость методом обратной задачи уравнения КП была доказана в работах В. С. Дрюма [25] и В. Е. Захарова и А. Б. Шабата [33]. Наиболее развит алгоритм решения для задач с начальными условиями. В работе А. Фокаса и М. Абловица [119] разработан формальный метод решения уравнений ДС для начальных задач с достаточно малым и быстро убывающим по всем пространственным направлениям начальным условием для функции A и нулевым условием на бесконечности по пространственным переменным для функции p. Позднее, А. Фокасом и П. Сантини в статье [122] был предложен метод решения начально-краевой задачи для уравнения ДС-1 с ненулевым краевым условием для функции p. Такое обобщение оказалось важным для описания с помощью МОЗР так называемых дромионов — уединенных волн, найденных ранее в [104]. Подробное исследование обратных задач для гиперболических уравнений, связанных с ДС-1 и цепочкой Тоды, проведено в монографии Л. П. Нижника [69]. Алгоритм решения уравнения КП в предположении, что решение достаточно быстро убывает по всем пространственным направлениям, развит М. Абловицем, Бар Яковом и А. Фокасом [97]. Метод обратной задачи рассеяния для обобщенных уравнений ДС и Ишимори был развит в работах Б. Г. Конопельченко, И. Е. Маткаримова и В. Г. Дубровского [115, 144]. Среди других многомерных интегрируемых уравнений следует отметить уравнения N -волн. Это система N гиперболических уравнений первого порядка с квадратичной нелинейностью специального вида. Система уравнений N -волн получена при асимптотическом анализе N гармоник при наличии квадратичного резонанса [5]. Интегрируемость этой системы методом обратной задачи рассеяния обсуждалась в [98]. Метод обратной задачи рассеяния для многомерной системы уравнений N -волн исследовался в статьях Д. Каупа, А. Фокаса и Л. Сана [123, 137]. Число найденных интегрируемых многомерных уравнений различного вида достаточно велико (см. например, диссертацию В. Г. Дубровского [27]). Большинство из них рассматривается как абстрактные нелинейные многомерные модели и не имеет столь явной физической интерпретации, как, например, уравнения ДС, КП или N -волн. Прямая задача рассеяния для линейных уравнений, связанных с интегрируемыми нелинейными, как правило, не решается в явном виде, поэтому для получения решений нелинейных уравнений часто ограничиваются обратной задачей рассеяния. Полагают, что данные рассеяния уже известны и по ним строят решение нелинейного уравнения. Здесь оказывается очень важной задача о выделении спектральных данных, отвечающих потенциалам с быстро убывающим или периодическим поведением для вспомогательных линейных задач. В связи с нелинейными (2 + 1)-мерными интегрируемыми уравнениями задача о связи между данными рассеяния и потенциалом обсуждалась, например, в работах В. Е. Захарова, С. В. Манакова, П. Г. Гриневича, Р. Г. Новикова, Г. М. Хенкина, Л. П. Нижника, А. Фокаса, Л. Сана [18, 19, 30, 69, 71, 123]. Обзор результатов и их связь с интегрируемыми многомерными нелинейными уравнениями можно найти для гиперболической системы типа Дирака и уравнений ДС в книге Л. П. Нижника [69], для вспомогательных линейных задач, связанных с уравнениями КП — в диссертации П. Г. Гриневича [17]. Стандартная схема метода обратной задачи подразумевает, что свойства начальной функции (гладкость и, например, убывание на бесконечности) сохраняются в динамике. Это обычно надо либо доказывать для каждого уравнения отдельно, либо, как, например, в монографии Л. П. Нижника [69], а также в работах М. Викенхаузера, А. Фокаса и Л. Сана [123, 158], исследовать связь между данными рассеяния, классом начальных функций и свойствами решения при ненулевом значении времени. Однако, результаты в этом направлении пока нельзя считать исчерпывающими. С современным состоянием исследований для уравнения КП-1 можно ознакомиться, например, по обзору М. Боити, Ф. Пемпинелли, А. Погребкова и Б. Принари [106].

Асимптотики решений с функциональным произволом. Трудности в исследовании решений начальных задач для нелинейных интегрируемых уравнений вызваны неявным представлением решения и громоздкими формулами, связывающими начальные данные и данные рассеяния, которые оказываются более удобными для исследования свойств решения. Поэтому вместо исследования свойств решения начальной задачи для класса начальных условий обычно рассматривают классы решений нелинейных интегрируемых уравнений в терминах данных рассеяния. Класс решений,

Введение

9

как правило, допускает функциональный произвол в терминах данных рассеяния и поэтому соответствует классу начальных условий тоже с функциональным произволом. Такой подход оказался достаточно эффективным как для одномерных интегрируемых уравнений, так и для многомерных. В частности, он позволяет исследовать асимптотики решений уравнений Кадомцева—Петвиашвили и Деви—Стюартсона с различной степенью строгости. Видимо, первыми в этом направлении были работа С. В. Манакова, П. М. Сантини и Л. А. Тахтаджяна [147], в которой построено убывающее формальное асимптотическое решение уравнения КП-1, и статья В. Ю. Новокшенова [73], где построена асимптотика решения для уравнения двумеризованной цепочки Тоды. Равномерные по пространственным переменным асимптотики убывающих решений уравнений ДС и уравнения КП-2 получены в работах автора [48, 49, 142]. Асимптотические свойства неубывающих решений с функциональным произволом для уравнений КП-1 и КП-2 в области перестройки — фронта решений — исследовались в работах И. А. Андерса, В. П. Котлярова, Е. Я. Хруслова, Д. Ю. Остапенко и А. П. Паль-Валя [3, 76]. Временные ´ асимптотики решений уравнений Ишимори, видимо, впервые выписаны в предлагаемой работе. Впрочем, они легко получаются из асимптотики решения вспомогательной линейной задачи, связанной с уравнениями ДС. Формула, связывающая решение вспомогательной линейной задачи для уравнений ДС с решением уравнений Ишимори, приведена, например, в [144]. Решения с конечным числом параметров. Наиболее известные результаты в области нелинейных интегрируемых уравнений, достигнутые с помощью метода обратной задачи рассеяния — это явные формулы для решений. Простейшие из них обычно называются солитонами, несмотря на существенные различия в природе и свойствах этих решений. Видимо, самыми простыми найденными солитонными решениями уравнений КП и ДС являются так называемые алгебраические солитоны или лампы. Они построены в работе С. В. Манакова, В. Е. Захарова, Л. А. Бордаг, А. Р. Итса и В. Б. Матвеева [148] для уравнения КП-1 и в работе А. Фокаса и М. Абловица [119] для уравнений ДС-2. Отметим, что в [119] были построены только сингулярные алгебраические лампы, позднее В. А. Аркадьевым, А. К. Погребковым и М. С. Поливановым [102] были найдены и регулярные алгебраические решения, убывающие во всех пространственных направлениях. Экпоненциально убывающие солитонные решения уравнения КП-2 найдены в [148]. Локализованные, экспоненциально убывающие во всех пространственных направлениях решения уравнений ДС-1, были построены М. Боити, Дж. Леоном, Л. Мартиной и Ф. Пемпинелли [104]. Еще один класс решений с конечным числом параметров для нелинейных интегрируемых уравнений, обычно обсуждающийся в работах по методу обратной задачи рассеяния — условно периодические, так называемые конечнозонные решения. Эти решения обычно выражаются через тэта-функции нескольких переменных. Для уравнений КП такие решения изучались в работах И. М. Кричевера [54,59]. Перечисленные решения содержат конечное число свободных параметров. Кроме них, для уравнений КП известен набор решений с произволом в виде функции одной переменной. Обзор различных решений уравнений КП и методов их построения имеется в книге [31]. Точные решения уравнений Деви—Стюартсона с помощью преобразований Бэклунда построены, например, в работах Дж. Сатсумы, М. Абловица, М. Салля, Я. Хиетаринты и Р. Хироты [80, 130, 156]. Явные формулы для некоторых решений уравнений Ишимори построены, например, в [115, 144]. Решения некоторых других (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений можно найти в работах [27, 114, 116]. Задачи теории возмущений. Применение теории возмущений для (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений связано с самим выводом уравнения Кадомцева—Петвиашвили [37]. В [37] Б. Б. Кадомцев и В. И. Петвиашвили показали, что плоская уединенная волна уравнения КП-2 неустойчива по отношению к поперечным возмущениям. Этот результат и открытие метода обратной задачи рассеяния для (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений породили работы, в которых исследовалось явление поперечной устойчивости (см. например, [8, 28, 78]). С другой стороны, интересна задача о возмущении двумерных солитонов (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений. Возмущения этих решений разумно рассматривать как по отношению к начальным условиям, так и по отношению к уравнениям. Если рассматривать только возмущения

10

Введение

точных решений, это существенно расширяет класс решений, поддающихся анализу. Если же исследовать еще и возмущения уравнений, то можно изучать более широкий класс уравнений, и, в какой-то мере, более адекватные математические модели физических процессов. Задачи теории возмущений для (1 + 1)-мерных интегрируемых уравнений на формальном уровне исследованы довольно подробно (см., например, [42, 43, 134, 138, 143]). Исследование возмущений (2 + 1)-мерных решений началось сравнительно недавно. Известны формальные результаты о возмущении конечнозонных решений уравнения КП, полученные И. М. Кричевером [58,59]. В классе убывающих решений результаты пока относятся только к уравнениям ДС, исследованным в совместных работах Р. Р. Гадыльшина и автора [12, 13, 124, 141]. Одна из причин, по которой исследование двумерных солитонов не проводилось до сих пор, — не был разработан метод решения линеаризованных на ненулевом решении (2 + 1)-мерных уравнений. Для линеаризованных (1 + 1)-мерных уравнений в работах Дж. Каупа, Дж. Кинера, Д. Маклафлина, В. С. Герджикова и Е. К. Христова был разработан метод решения, который является не чем иным, как методом Фурье для уравнений с переменными коэффициентами специального вида, получающихся линеаризацией (1 + 1)-мерных нелинейных интегрируемых уравнений [15,16,135,138]. Для линеаризованных (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений такие результаты были получены позже: для линеаризованного на конечнозонном решении уравнения КП — в работах И. М. Кричевера [58, 59], для линеаризованных на убывающих решениях уравнений ДС — в работах автора [50, 51]. Применение этих результатов позволило исследовать задачи о возмущении точных решений уравнений КП [58] и ДС [124, 141].

Результаты. В настоящей работе приведены следующие результаты: • Формальное асимптотическое решение задачи о возмущении алгебраического солитона уравнения Деви—Стюартсона-2. Оказалось, что солитонная структура решения уравнения ДС-2 неустойчива по отношению к малому гладкому финитному возмущению начального условия. Показано, что возмущение приводит к бессолитонным данным рассеяния. Удалось построить главный член формального асимптотического решения, пригодный на временах порядка обратной величины параметра возмущения. • Исследована асимптотика решения убывающего решения уравнений Деви—Стюартсона-2 на больших временах. Эта асимптотика и известные явные формулы, связывающие решения уравнений ДС-2 и Ишимори-1, позволили написать также и асимптотику при больших временах решения уравнений Ишимори-1. • Построена и обоснована асимптотика на больших временах убывающего решения уравнения КП-2. На этом пути исследована асимптотика решения эллиптической системы уравнений второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами, связанная с обратной задачей для уравнения КП-2. • Построена асимптотика на больших временах убывающего решения уравнения ДС-1. Для этого исследована асимптотика решения нелокальной задачи Римана с быстро осциллирующими коэффициентами. • Построена теория возмущений гиперболической двумерной системы Дирака — вспомогательной линейной системы, связанной с уравнениями ДС-1. На базе решений двумерной системы Дирака построено обратимое преобразование для достаточно гладких интегрируемых функций. Это позволило разработать метод Фурье для решения линеаризованной системы уравнений ДС-1. • Построено формальное асимптотическое решение возмущенной системы уравнений ДС-1 с солитоном в главном члене, пригодное на временах порядка обратной величины параметра возмущения. Самостоятельную теоретическую ценность представляет ряд результатов, полученных в процессе решения поставленных в работе задач. С точки зрения основной темы работы, они являются вспомогательными, так как связаны с линейными уравнениями. Однако, именно эта связь позволяет их рассматривать в более широком смысле. К таковым относятся:

Введение

11

• Теоремы о представлении функции в виде интегралов по произведениям решений сопряженных двумерных систем Дирака как эллиптического, так и гиперболического типа. В частности, такие представления дают возможность решить линеаризованные уравнения Деви— Стюартсона методом Фурье. Кроме того, полученные интегральные представления распространяют известные результаты о возмущении данных рассеяния при возмущении потенциала для одномерного уравнения Шр¨едингера, на двумерные системы Дирака. • Формальная асимптотика по двум параметрам собственного значения интегрального оператора, связанного с двумерной эллиптической системой Дирака, неаналитически зависящая от одного из параметров. • Исследование решения краевой двумерной эллиптической системы Дирака с быстро осциллирующими коэффициентами. В частности, построены и обоснованы равномерные асимптотики по четырем параметрам. • Асимптотики многомерных интегралов типа Коши с быстро осциллирующей экспонентой. Содержание и структура работы. Работа состоит из введения, восьми параграфов и списка литературы. В первом параграфе приведен известный формализм метода обратной задачи рассеяния для уравнений ДС-2, Ишимори-1 и КП-2. Здесь будем следовать изложению работ [97, 102, 144]. Для ¯ перечисленных уравнений этот формализм связан с так называемой D-задачей. Для наших целей оказалось удобным переписать эту задачу в виде краевой задачи для эллиптической двумерной системы уравнений Дирака. Во втором параграфе развита теория возмущений для системы уравнений ДС-2. В первом пункте этого параграфа доказана теорема существования решений краевой задачи для линейной вспомогательной эллиптической двумерной системы уравнений Дирака. Исследована асимптотика решений этой системы по дополнительному параметру, входящему в решение через краевое условие. Центральное место здесь занимает теорема об обратимом преобразовании, основанном на наборе функций, связанных с решениями системы Дирака. Оказывается, что эти функции одновременно являются и решениями линеаризованной системы уравнений ДС-2. Это позволяет решать линеаризованную систему уравнений методом Фурье. Второй и третий пункты второго параграфа посвящены построению формального асимптотического решения системы уравнений ДС-2 с солитонным начальным условием, возмущенным малой гладкой финитной функцией. Во втором пункте второго параграфа показано, что солитонная структура обратной задачи соответствует нулевому собственному значению некоторого компактного интегрального оператора при значении дополнительного параметра k = k0 . С помощью формальных асимптотических построений доказано, что возмущенный интегральный оператор не имеет нулевого собственного значения в окрестности точки k = k0 . Это говорит о структурной неустойчивости солитона системы ДС-2. Следующий, третий пункт второго параграфа посвящен построению асимптотического решения системы ДС-2 с начальным условием, близким к солитонному. Показано, что несмотря на потерю солитонной структуры данными рассеяния, решение системы ДС-2 сохраняет солитонную форму в главном члене, вплоть до времен порядка обратной величины параметра возмущения. Третий параграф посвящен построению асимптотик убывающих решений уравнений ДС-2, Ишимори-1 и КП-2 при больших значениях времени. Построение этих асимптотик связано с построением решений эллиптической системы уравнений Дирака с быстро осциллирующими коэффициентами. Несмотря на сходство задач для системы Дирака, построение асимптотики решения уравнения КП-2 существенно сложнее, чем соответствующие асимптотики для уравнений ДС-2 и Ишимори-1. Это связано с различием фаз быстро осциллирующих экспонент в коэффициентах системы Дирака. Для уравнений ДС-2 и Ишимори-1 фаза имеет только одну стационарную точку, в то время как для уравнения КП-2 фазовая функция зависит от четырех параметров и в зависимости от их значений может иметь либо две простые стационарные точки, либо одну вырожденную. Построение асимптотики в окрестности вырожденной стационарной точки приводит к существенным усложнениям. Полученные в этой главе асимптотики решений нелинейных уравнений имеют огибающую порядка O(t−1 ) и осциллируют. Определена зависимость огибающей от данных рассеяния и фаза осциллирующей экспоненты. В четвертом параграфе с помощью теории возмущений исследованы возмущения солитонных решений (1 + 1)-мерных уравнений Клейна — Гордона — синус-Гордон и уравнение φ4 . В обоих

12

Введение

случаях асимптотическое решение состоит из уединенной волны и интеграла типа Фурье, определяющего решение вне волны. Выведены уравнения модуляции для параметров уединенной волны. Приведен вывод уравнений модуляции интегральной составляющей в асимптотике. В пятом параграфе приведен известный [122] формализм метода обратной задачи рассеяния, связанный с уравнениями ДС-1. Этот формализм использует задачу Гурса для двумерной гиперболической системы Дирака в прямой задаче рассеяния и так называемую нелокальную задачу Римана в обратной задаче рассеяния. В шестом параграфе построена асимптотика при большом значении времени убывающего решения системы уравнений ДС-1. На этом пути получена асимптотика решения нелокальной задачи Римана с быстро осциллирующим коэффициентом. В седьмом параграфе изучалась теория возмущений для системы уравнений ДС-1. С помощью набора произведений решений гиперболической двумерной системы Дирака построено обратимое преобразование для достаточно гладких интегрируемых функций. Это позволило построить формальное асимптотическое решение системы ДС-1 с солитоном в главном члене асимптотики. Решение пригодно вплоть до времен порядка обратной величины параметра возмущения. Восьмой параграф содержит доказательства теорем об асимптотике многомерных интегралов. В первом пункте этого параграфа построена асимптотика интегралов со слабой особенностью. Во втором — интегралов типа Коши с быстро осциллирующей экспонентой в подынтегральной функции. Благодарности. Выражаю признательность Л. А. Калякину за обсуждения постановок задач и результатов, Р. Р. Гадыльшину, В. Ю. Новокшенову и Б. И. Сулейманову за ценные советы и комментарии, а также П. Г. Гриневичу, Я. Т. Султанаеву и Е. Я. Хруслову за интерес и поддержку.

ГЛАВА 1 ¯ МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И D-ПРОБЛЕМА Здесь приведены предварительные сведения — алгоритмы решения уравнений ДС-2, КП-2 и Ишимори-1 методом обратной задачи рассеяния. Эти уравнения объединены тем, что в МОЗР решение обратной задачи для них связано c решением эллиптической системы уравнений, обычно ¯ называемой D-проблемой. В этом параграфе не уделяется внимания вопросам существования решений с необходимыми свойствами. Формулы этого параграфа достаточно хорошо известны. Они будут использованы в дальнейшем при исследовании асимптотических свойств решений уравнений ДС-2, КП-2 и Ишимори-1. 0.1. Решение уравнения Деви—Стюартсона-2. Систему уравнений ДС-2 мы будем рассматривать в виде: i∂t q + 2(∂z2 + ∂z¯2 )q + (g + g)q = 0, (0.6) ∂z¯g = −κ∂z |q|2 . Черта означает комплексное сопряжение. Уравнения ДС-2 в таком виде были рассмотрены в работе [102]. Эту форму уравнений можно получить из стандартной (0.2) при α2 = −1. Для перехода к уравнениям (0.6) надо сделать замены z = x+iy, ∂z = 21 (∂x −i∂y ), функцию A(x, y, t) заменить на q(z, t), функция g связана с функциями p и A формулой ∂x g = 12 (∂y p + i∂x p) + κ∂x |A|2 . Система уравнений (0.6) является условием существования совместного решения систем уравнений     1 0 q(z, t) ∂z¯ 0 φ= φ (0.7) 0 ∂z 0 2 κq(z, t) и   2i∂z2 + ig iφ2 ∂z q − iq∂z¯ ∂t φ = φ. (0.8) iκ∂z q¯ + iκ¯ q ∂z −2i∂z¯2 − ig Ниже кратко изложена часть результатов работ [102, 119].

Введение

13

0.1.1. Прямая задача рассеяния для уравнения ДС-2 и эволюция элементов T -матрицы. Прямой задачей рассеяния обычно называется задача о построении матричного решения системы уравнений (0.7), удовлетворяющего краевому условию E(−kz)φ(k, z)||z|→∞ = I,

(0.9)

и вычисление связанных с этим решением так называемых данных рассеяния. В (0.9) приняты обозначения:     exp(kz) 0 1 0 E(zk) = , I= . 0 1 0 exp(kz) Иногда удобно вместо краевой задачи (0.7), (0.9) рассматривать эквивалентную ей систему интегральных уравнений [102]: (I − G[q, k])φ = E(kz), (0.10) где G[q, k] — интегральный оператор:  Z Z 0  1 ¯  G[q, k]φ = dξ ∧ dξ  κ¯ q (ξ) exp(k(z − ξ)) 4iπ C z−ξ

 q(ξ) exp(k(z − ξ))  z−ξ  φ(ξ, k).  0

Можно заметить, что для матрицы φ справедлива следующая формула [102]:   0 1 −1 φ = σ φσ, σ = . κ 0

(0.11)

(0.12)

Существование и аналитические свойства решения краевой задачи (0.7), (0.9) определяются потенциальной функцией q(z). Для простоты предположим, что краевая задача разрешима при любых k ∈ C. С решением краевой задачи и функцией q(z) в методе обратной задачи связывается T -матрица [102]:     Z Z −i a(k) b(k) q(z)φ21 exp(−kz) q(z)φ22 exp(−kz) = T (k) = dz ∧ d¯ z . (0.13) q (z)φ12 exp(−kz) κ¯ q (z)φ11 exp(−kz) κ¯ κb(k) a(k) 4π C Функцию b(k) из этой матрицы обычно называют данными рассеяния. Построением T -матрицы заканчивается этап решения прямой задачи рассеяния. Следующий шаг — выяснение зависимости элементов этой матрицы от времени при условии, что зависимость функции q от времени определяется уравнениями Деви—Стюартсона. В этом случае матрица φ удовлетворяет системе уравнений (0.8). Вычисление производной по времени после некоторых преобразований интегралов приводит к формулам [102] ∂t b = 2i(k¯2 + k 2 )b, ∂t a = 0. (0.14) Замечание 0.2. При вычислении эволюции элементов матрицы рассеяния в [102] предполагается, что все интегралы в промежуточных выражениях сходятся равномерно по времени. Это дополнительное предположение о свойствах решений уравнений ДС-2 выполняется для некоторых классов решений. В терминах функций переменной z ∈ C эти классы в общем виде до сих пор не описаны. 0.1.2. Обратная задача рассеяния. Замечательное наблюдение, сделанное в [119], состоит в том, что, наряду с эллиптической системой уравнений по z и z¯, матрица, составленная из функций φij , удовлетворяет еще краевой задаче     ∂k¯ 0 0 κ¯b(k, t) φT = φT , E(−kz)φT ||k|→∞ = I. (0.15) 0 ∂k b(k, t) 0 Здесь φT — транспонированная матрица φ. ¯ Краевая задача (0.15) обычно называется D-задачей. Она позволяет определить зависимость матрицы-функции φ через данные рассеяния. Бывает удобно рассматривать вместо (0.15) систему интегральных уравнений (I − 2G[κ¯b, k])φT = E(kz).

(0.16)

14

Введение

Задача построения решения (0.15) и вычисление функций q(z, t) и g(z, t) по формулам Z Z −i q(z, t) = dp ∧ dp b(p) exp(2it(p2 + p¯2 ) − pz)φ11 (p, z, t), π C Z Z dv ∧ d¯ v |q(v, t)|2 g = −v.p. 2πi(v − z)2 C

(0.17) (0.18)

называется обратной задачей рассеяния для уравнения ДС-2. Замечание 0.3. Из-за того, что для данных рассеяния эволюционная задача линейна, классы решений уравнений ДС-2 удобно определять в терминах данных рассеяния — функции b(k). Поэтому задача об исследовании свойств решений нелинейных интегрируемых уравнений часто формулируется в терминах данных рассеяния. Вопрос о сопоставлении классов начальных данных и классов данных рассеяния относится не столько к эволюционным нелинейным уравнениям, сколько к спектральной теории для краевой задачи (0.7). 0.1.3. Солитонные решения. Солитоны в решении уравнений ДС-2 возникают тогда, когда решение прямой задачи рассеяния (0.7) имеет особенности первого порядка в некоторых точках k = kj , j = 1, . . . , n. Здесь для простоты рассмотрим случай, когда есть только одна такая особая точка и, соответственно, один солитон. Случай n-солитонного решения описан в [102]. Обозначим особую точку решения k0 . Разложим в окрестности этой особой точки функцию φ в ряд по степеням k − k0 . В соответствии с нашим предположением, это разложение начинается с членов порядка (k − k0 )−1 . Если подставить разложение в интегральное уравнение (0.10) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях (k − k0 ), получим, что коэффициент при главном члене разложения решения по k−k0 в окрестности точки kj является решением однородной системы интегральных уравнений: A − G[q, k0 ]A = 0. (0.19) Обозначим через A(1) столбец-решение этого уравнения, для определенности, нормированный в соответствии с условием     ∂k 0 exp(zk0 ) G[q, k] A(1) (z) = . 0 ∂k¯ 0 k=k 0

Можно заметить, что столбец, полученный по формуле A(2) = σA(1) , также является решением системы уравнений (0.19). Ниже удобно перейти от матрицы φ к рассмотрению только первого столбца этой матрицы φ(1) . Зная первый столбец, второй столбец легко восстановить по формуле φ(2) = σφ(1) . В самом простом случае, в окрестности k0 столбец φ(1) может быть представлен в следующем виде [102, 119]: A(1) (z) φ(1) (z, k)|k→k0 = + O(1). k − k0 Гладкая часть первого столбца φ(1) в окрестности точки k0 может быть представлена в виде [102]: ∂k [(k − k0 )φ(1) (k, z)]|k=k0 = µA(1) (z) + νσA(1) (z). Набор параметров k0 , µ, ν называется дискретной частью данных рассеяния, функция b(k) — непрерывной частью данных рассеяния. Параметр k0 не меняется со временем, зависимость от времени остальных параметров дискретной части данных рассеяния имеет следующий вид [102]: µ(t) = µ + 4ik0 t,

ν(t) = ν exp(−2it(k02 − k¯02 )).

¯ Если данные рассеяния содержат дискретную (солитонную) часть, то прежде чем решать Dзадачу, матрицу φ надо регуляризовать — вычесть из нее сингулярные слагаемые. В результате мы

Введение

15

¯ получим D-задачу для регулярной функции во всей комплексной плоскости. Для первого столбца φ(1) эта задача сводится к интегральному уравнению [102]: Z Z N X (A(1) )j 1 dp ∧ d¯ p¯ exp((k − kj )z) = E(1) (kz) + b(p) exp((k − p)z)σφ(1) (p, z). (0.20) φ(1) + k − kj 2iπ C k−p j=1

Однако, этого уравнения недостаточно. Для однозначного построения решения необходимо воспользоваться соотношением для гладкой части φ(1) в окрестности k0 [102]: Z Z dζ ∧ dζ¯¯ 1 v.p. b(ζ) exp(−it(ζ 2 + ζ¯2 ) + z(k0 − ζ))× E(1) (k0 z) + 2iπ k − ζ j C ×σφ(1) (ζ, z, t) = (z + µ)A(1) (z) + νσA(1) (z).

(0.21)

Здесь важно заметить, что интеграл в смысле главного значения существует, так как вблизи k − k0 ˜ особенности kj функция ¯b(k) может быть представлена в виде ¯b(k) = b(k), где ˜b(k) регулярна k − k0 в окрестности точки kj [102]. Формула для функции q(z, t) в этом случае имеет вид Z Z −i q(z, t) = dp ∧ dp b(p) exp(2it(p2 + p¯2 ) − pz)φ11 (p, z, t) − (A(1) )2 (z) exp(−k0 z). (0.22) π C В самом простом случае, непрерывная часть данных рассеяния — функция b(k) — тождественно равна нулю на всей комплексной плоскости. Тогда система уравнений (0.21) легко решается. Матрица, составленная из решений однородного интегрального уравнения (0.19), имеет вид   (z − µ) exp(zk0 ) ν¯ exp(zk0 )  |z + µ|2 − κ|ν|2 |z + µ|2 − κ|ν|2  ; A(z) = [A(1) , A(2) ](z) =  (0.23)  ν exp(zk0 ) (z − µ) exp(zk0 )  |z + µ|2 − κ|ν|2 |z + µ|2 − κ|ν|2   exp((k − k0 )z) 0   k − k0  A(z). φ = E(kz) −  (0.24)  exp((k − k0 )z)  0 k − k0 Односолитонное решение уравнений Деви—Стюартсона [102] −4(z + 4itk0 + µ)2 2¯ ν exp(−it(k02 + k¯02 ) + k0 z − k0 z) . (0.25) q(z, t) = , g(z, t) = 2 2 (|z + 4itk0 + µ|2 − κ|ν|2 )2 |z + 4ik0 t + µ| − κ|ν| 0.2. Решение уравнений Ишимори-1. Для уравнений Ишимори-1 (в (0.3) α2 = 1) метод обратной задачи рассеяния изложен, например, в [144]. Здесь, вместо того, чтобы приводить его полностью, воспользуемся формулой, связывающей решения уравнений Ишимори и решения вспомогательной линейной задачи (0.7) для уравнений ДС-2. ~ σ , где ~σ = (σ1 , σ2 , σ3 ), а σ1,2,3 — матрицы Паули: Следуя [144], обозначим S˜ = S~       0 1 0 −i 1 0 σ1 = , σ2 = , σ3 = . 1 0 i 0 0 −1 Тогда S˜ = −φ−1 σ3 φ, где φ — решение краевой задачи (0.7) с потенциалом q — решением уравнений ДС-2.

(0.26)

0.3. Решение уравнения Кадомцева—Петвиашвили-2. Свойства решений и процедура интегрирования уравнения КП (0.1) зависят от знака α2 . В случае α2 = 1 это уравнение называется КП-2. Формализм МОЗР для уравнения КП-2 был предложен в [97]. Решение задачи Коши для (0.1) с помощью метода обратной задачи рассеяния состоит из двух этапов. Первый, решение прямой задачи рассеяния, состоит в построении решения краевой задачи −∂y ϕ + ∂x2 ϕ + 2ik∂x ϕ + uϕ = 0,

ϕ||k|→∞ = 1,

(0.27)

16

Введение

и вычислении данных рассеяния по формуле Z Z sgn(−<(k)) ¯ − (k 2 − k¯2 )y). b(k) = dx dy u0 (x, y)ϕ(x, y, k, 0) exp(−i(k + k)x 2π 2 R Здесь u0 (x, y) — начальное условие. Замечание 0.4. Здесь мы будем считать, что решение задачи (0.27) не имеет особенностей при k ∈ C. Для экспоненциально убывающих функций u0 (x, y) в [127] показано, что задача (0.27) разрешима при k ∈ C. Следующий этап — решение обратной задачи рассеяния. На этом этапе определяется зависимость данных рассеяния от времени: она имеет вид b(k; t) = b(k) exp(4it(k 3 + k¯3 )). ¯ Обратная задача рассеяния для уравнения КП-2 обычно ассоциируется с нелокальной Dзадачей — решением функционально-дифференциального уравнения [97]: ¯ exp(i(k + k)x ¯ − i(k 2 − k¯2 )y). ∂k¯ ϕ(x, y; k) = b(k; t)ϕ(x, y, −k) (0.28) Однако, нам удобнее рассматривать вместо (0.28) систему эллиптических уравнений, как и в случае обратной задачи для уравнений ДС-2. Для перехода от уравнения (0.28) к системе уравнений обозначим: ¯ t) exp(i(k + k)x ¯ − i(k 2 − k¯2 )y). ψ(x, y; k, t) = ϕ(x, y; −k, ¯ Тогда для функций ϕ и ψ получим D-задачу:     ¯ exp(itS), ϕ 1 ∂k¯ ϕ = ψ b(−k) ||k|→∞ = . ψ 1 ∂k ψ = −ϕ b(k) exp(−itS);

(0.29)

¯ − i(k 2 − k¯2 )η, ξ = x/t, η = y/t, функция b(k) — неаналитическая Здесь S = 4(k 3 + k¯3 ) + (k + k)ξ функция комплексного переменного k ∈ C. Последний шаг в решении уравнения КП-2 состоит в вычислении интеграла, дающего решение исходной задачи Коши [97]: Z Z u(x, y, t) = ∂x dk ∧ dk¯ b(k)ψ(k, x, y, t) exp(itS). (0.30) C

1. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДЕВИ—СТЮАРТСОНА-2

В этом параграфе рассмотрен вопрос об устойчивости задачи рассеяния по отношению к малому возмущению потенциала. Изучено два различных случая. Если потенциал в системе уравнений достаточно мал, то прямая и обратная задачи рассеяния оказываются устойчивыми. В п. 1.1, следуя работе автора [141], подробно и строго исследован именно этот случай. Другой, несколько неожиданный, результат получен для солитонного потенциала, заведомо не удовлетворяющего условию достаточной малости из п. 1.1. Оказывается, что солитонная структура данных рассеяния неустойчива по отношению к малому финитному возмущению потенциала. Этот факт был замечен и исследован с помощью сингулярной теории возмущений на формальном уровне в работах Р. Р. Гадыльшина и автора [12, 13]. Подробному описанию результатов этих двух работ посвящен п. 1.2. В п. 1.3, также с помощью сингулярной теории возмущений, следуя еще одной совместной работе с Р. Р. Гадыльшиным [124], мы покажем, к каким изменениям в решении уравнения ДС-2 ведет неустойчивость задачи рассеяния. 1.1. Однозначная разрешимость и устойчивость задачи рассеяния для эллиптической системы Дирака. Основная часть этого пункта посвящена построению обратимого преобразования (типа преобразования Фурье) для гладких интегрируемых функций двух вещественных переменных. Это преобразование построено с помощью функций, связанных с решением краевой задачи (0.7), (0.9). Операторы прямого и обратного преобразований позволяют исследовать прямую и обратную задачу для вариаций потенциала и вариаций данных рассеяния. Установленное однозначное соответствие между вариациями потенциала и вариациями данных рассеяния позволяет

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

17

говорить об устойчивости преобразования рассеяния для потенциалов из указанного класса функций. Результаты этого пункта в кратком виде изложены в [141]. Здесь они приведены с подробными доказательствами. Замечательное свойство образов функций состоит в их специфической эволюции по времени, если в задаче (0.7), (0.9) потенциал q эволюционирует в соответствии с решением уравнения ДС-2. Рассмотрим линеаризованную на q, g систему уравнений ДС-2 (лДС-2): i∂t U + (∂z2 − ∂z¯2 )U + (g + g¯)U + (v + v¯)q = iF, ¯ q + U q¯). ∂z¯v = ∂z (U

(1.1)

Преобразование функции U , построенное с помощью решений задачи (0.7), (0.9), разделяет зависимость от пространственных переменных и времени, как это происходит в методе Фурье. Такое разделение переменных в рамках гамильтонова формализма обычно интерпретируют как следствие существования переменных типа действие-угол для системы уравнений ДС-2 [60, 157]. Здесь на случай двух измерений обобщены результаты о полноте квадратов решений одномерной системы Дирака [16,135]. С другой стороны, полученные здесь результаты открывают возможность полного исследования системы уравнений лДС-2 методом Фурье. Таким образом, на (2+1)-мерную (две пространственные переменные и время) систему уравнений лДС-2 распространен известный подход к решению линеаризаций (1 + 1)-мерных интегрируемых МОЗР уравнений [15, 16, 135, 138]. 1.1.1. Теорема о разложении. Приведем формулу представления гладкой интегрируемой функции в виде интеграла типа Фурье по функциям, связанным с решением задачи (0.7), (0.9). Эту формулу удобно записать, воспользовавшись обозначениями для полуторалинейных форм: Z Z (φ(i) , ψ(j) )f = dz ∧ d¯ z (f¯(z)φ1i (z, k)ψ1j (z, k) + f (z)φ2i (z, k)ψ2j (z, k)), (1.2) C Z Z (i) (j) ¯ ¯ i1 (z, k)ψj1 (z, k)h(k) dk ∧ dk(φ − φi2 (z, k)ψj2 (z, k) h(k)). (1.3) hφ , ψ ih = C

Здесь φ(i) — i-тый столбец матрицы φ, φ(i) — i-тая строка матрицы φ. Основной результат раздела содержится в следующем утверждении. Теорема 1.1 (о разложении). Пусть функция q в задаче (0.7), (0.9) такова, что q, |q|, ∂z q, ∂z¯q, ∂z2 q, ∂z¯2 q — гладкие интегрируемые функции вещественных переменных x = 1 1 ¯), y = 2i (z − z¯) и выполнено условие 2 (z + z Z Z |q(x + iy)| sup dxdy < 2π. (1.4) |z − (x + iy)| z∈C Тогда функция u ∈ C 1 ∩ L1 представима в виде −i (2) (2) u(z) = hφ , ψ iuˆ , (1.5) π где коэффициенты разложения u ˆ(k) определены формулой i u ˆ= (φ , ψ )u . (1.6) 4π (2) (2) Здесь ψ — решение задачи, сопряженной к (0.7), (0.9) относительно полуторалинейной формы (1.2). Замечание 1.1. Условие (1.4) является достаточным для существования решения задачи (0.7), (0.9) ∀k ∈ C. Специальный характер эволюции решения задачи (0.7), (0.9), если q эволюционирует в соответствии с уравнениями ДС-2, позволяет воспользоваться разложением (1.5) для решения начальнокраевой задачи для системы уравнений лДС-2. Теорема 1.2 (о решении методом Фурье). Пусть q, функция из решения системы (0.6), удовлетворяет условиям теоремы о разложении при 0 ≤ t < T0 = const, тогда функцию U из решения начально-краевой задачи для (1.1) U |t=0 = U0 (z),

v||z|→∞ = 0,

(1.7)

18

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

можно представить в виде U (z, z¯, t) =

−i (2) (2) hφ , ψ iUˆ , π

(1.8)

ˆ — решение задачи Коши где U ˆ − 2i(k 2 + k¯2 )U ˆ = Fˆ (k, t), ∂t U Здесь Fˆ (k, t) =

ˆ |t=0 = i (φ(2) , ψ(2) )U . U 0 4π

i 4π (φ(2) , ψ(2) )F .

1.1.2. Разрешимость прямой задачи рассеяния. Мы показали, что решение задачи (0.7), (0.9) существует ∀k ∈ C, если потенциал удовлетворяет условию (1.4). Заметим, что это условие позволяет рассматривать потенциальные функции q из более широкого класса по сравнению с [122], где прямая задача рассматривалась для потенциалов из класса Шварца. Теорема 1.3. Пусть q удовлетворяет условию (1.4), тогда решение задачи (0.7), (0.9) существует ∀k ∈ C. Во второй части этого раздела построена асимптотика при |k| → ∞ решения задачи (0.7), (0.9). В [102] эта асимптотика использовалась для построения функции q по данным рассеяния задачи (0.7), (0.9). Теорема 1.4. Пусть q, |q|, ∂z q, ∂z q, ∂z2 q, ∂z¯2 q — гладкие интегрируемые функции веществен1 ных переменных x = 12 (z + z¯), y = 2i (z − z¯) и q удовлетворяет условию (1.4), тогда решение задачи (0.7), (0.9) при |k| → ∞ имеет вид   1 −1 −2 φ11 (z, k) = 1 + ∂z¯ |q| + O(|k| ) exp(kz), 4k   (1.9) 1 −2 φ12 (z, k) = − ¯ q¯ + O(|k| ) exp(kz); 2k здесь Z Z dw ∧ dwf ¯ (w) −1 ∂z¯ f = . z−w C Для доказательства теоремы 1.3 перейдем от задачи (0.7), (0.9) к эквивалентной системе интегральных уравнений (0.10). Решение системы уравнений (0.10) будем искать в классе X 0 непрерывных по z, z¯ ограниченных матриц, первая строка которых дифференцируема по z¯, вторая — по z. Норма определяется следующей формулой: kφk = max sup(|Ejj (−kz)φj1 (z, k)| + |Ejj (−kz)φj2 (z, k)|). j=1,2 z∈C

Здесь Elm (−kz) и φlm (z, k) — элементы матриц E(−kz) и φ соответственно. Исследуем свойства оператора G в интегральном уравнении (0.10). Исходя из определения оператора G и пространства функций X 0 , можно доказать следующее утверждение. Лемма 1.1. Пусть φ ∈ X 0 , тогда kG[q, k]φk ≤ M kφk, где Z Z |q(ζ, z ¯ )| 1 . M= sup dζ ∧ dζ¯ 4π |z − ζ| z∈C

C

Доказательство. Оценка величины kG[q, k]φk получается после прямой подстановки в выражение G[q, k]φ нормы φ. В результате получается доказываемое неравенство. Лемма доказана. Доказательство теоремы 1.3. Оператор G является оператором со слабым ядром, поэтому этот оператор непрерывные по z, z¯ функции переводит в непрерывные (см. [11, c. 287]). Кроме того, из формулы определения оператора G и формулы Коши — Грина следует, что он переводит непрерывные по z, z¯ матрицы-функции в матрицы-функции с первой строкой, дифференцируемой по z¯, и со второй строкой, дифференцируемой по z. Ограниченность оператора G следует из леммы 1.1. Тогда G — сжимающий оператор в пространстве X 0 , если выполнено условие (1.4). Следовательно, интегральное уравнение (0.10) имеет решение ∀k ∈ C. Следовательно, разрешима и краевая задача (0.7), (0.9). Теорема 1.3 доказана.

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

19

Доказательство теоремы 1.4 состоит из двух частей. В первой части строится формальная асимптотика при |k| → ∞ решения задачи (0.7), (0.9). Во второй части проводится оценка остатка асимптотики. Условие (1.4) используется только во второй части доказательства, при оценке остатка асимптотики. Лемма 1.2. Пусть q, |q|, ∂z q, ∂z q — гладкие интегрируемые функции вещественных перемен1 ных x = 12 (z+ z¯), y = 2i (z − z¯), тогда формальное асимптотическое при |k| → ∞ по mod O(|k|−2 ) решение задачи (0.7), (0.9) имеет вид (1.9). Доказательство. Будем искать формальную асимптотику при |k| → ∞ решения задачи (0.7), (0.9) в виде E(kz)ϕ, где   1 1 ϕ = I + E(−kz) χ + 2κ . (1.10) |k| |k| Подставим (1.10) в (0.7), приравняем коэффициенты при |k|0 , |k|−1 . В результате получим:   −k¯ −1 |q|2 k q χ11 = ∂z¯ , χ12 = ; |k| 4 |k| 2   k¯  q¯ −k −1 |q|2 χ21 = − , χ22 = ∂ − ; |k| 2 |k| z 4  |k|  q κ12 = ¯ −∂z¯χ12 − χ22 , 2 k |k|  q¯  κ21 = −∂z χ21 − χ11 . k 2 Компоненты κ11 и κ22 не влияют на построение асимптотического решения по mod O(|k|−2 ). Для определенности, примем их равными нулю. Лемма 1.2 доказана. При дополнительном условии (1.4) удается доказать, что (1.10) является асимптотикой решения задачи (0.7), (0.9). Доказательство теоремы 1.4. Будем искать решение (0.7), (0.9) в виде φ = E(kz)ϕ +

1 Φ. |k|2

(1.11)

Подставим (1.11) в (0.7). Перейдем для Φ к эквивалентной системе интегральных уравнений (I − G[q, k])Φ = F, где  F =

i 2π

Z Z C

 dζ ∧ dζ¯ 

0 1 z−ζ

 1  q κ −∂ κ exp(k(z − ζ)) 21 z ¯ 12 z − ζ  2 .  −¯ q −∂z κ21 exp (k(z − ζ)) κ12 0 2

Можно показать, что F ∈ X 0 . Далее, следуя доказательству теоремы 1.3, получим, что Φ ∈ X 0 . Теорема 1.4 доказана. 1.1.3. Сопряженная матрица. Приведем интегральные уравнения, сопряженные относительно полуторалинейных форм (1.2) и (1.3), и покажем, что решением этих уравнений является одна и та же матрица-функция. Обозначим через G∗ [q, k] оператор, сопряженный G[q, k] относительно полуторалинейной формы (1.2): (G[q, k]φ, ψ)q = (φ, G∗ [q, k]ψ)q .

20

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

Приведем формальный вывод оператора G∗ [q, k]: Z Z −i dz ∧ d¯ z× (G[q, k]φ(j) , ψ(j) )q = 4π C Z Z   exp(kz − kξ) ¯ × q(z) dξ ∧ dξ q(ξ) φ2j (ξ, k) ψ1j (z, k)+ z−ξ C Z Z   −q(ξ) exp(kz − kξ) ¯ +q(z) dξ ∧ dξ φ1j (ξ, k) ψ2j (z, k) = z−ξ C  Z Z  Z Z −i exp(kz − kξ) ¯ dξ ∧ dξ q(ξ)φ1j (ξ, k) = dz ∧ d¯ z κq(z) ψ2j (z, k) + 4π z−ξ C C  Z Z exp(kz − kξ) ψ1j (z, k) . +q(ξ)φ2j (ξ, k) dz ∧ d¯ z q(z) k−l C В результате получим выражение для сопряженного оператора G∗ [q, k]:  exp(kξ − kz) Z Z 0 κq(ξ)  i ξ−z G∗ [q, k]ψ = dξ ∧ dξ¯   − kz) exp(kξ 4π C 0 q(ξ) ξ−z

   ψ(ξ, k). 

Матрица ψ удовлетворяет уравнению ψ = G∗ [q, k]ψ + E(−kz).

(1.12)

Полностью повторив предыдущий пункт, можно доказать, что решение этой задачи существует ∀k ∈ C, и его асимптотика при k → ∞ имеет ту же структуру, за исключением знака в экспоненте. ¯ Для матрицы ψ(z, k) можно так же, как и для матрицы φ, получить формулы D-задачи. Для ¯ этого формально продифференцируем по k первый столбец интегрального уравнения (1.12). В результате получим: Z Z −1 exp(kξ − kz) ¯ ∂k¯ ψ11 − dξ ∧ dξκq(ξ) ∂k¯ ψ21 = 0, 4π ξ−z C Z Z Z Z −i exp(kξ − kz) −i ¯ ¯ ∂k¯ ψ21 − dξ ∧ dξq(ξ) ∂k¯ ψ11 − dξ ∧ dξq(ξ) exp(kξ − kz)ψ11 (ξ, k). 4π 4π ξ−z C C Обозначим β(k) =

−i 4π

Z Z

¯ dξ ∧ dξq(ξ) exp(kξ)ψ11 (ξ, k).

C

Покажем, что β(k) ≡ b(k). Для этого воспользуемся формулой для ¯b(k): 4πi¯b(k) = (φ(1) , E(1) (−kz))q = (φ(1) , ψ(1) )q − (φ(1) G∗ ψ(1) )q = = (φ(1) , ψ(1) )q − (Gφ(1) , ψ(1) )q = (E(1) (kz), ψ(1) )q . Тогда ¯b(k) = β(k) ¯ или

Z Z −i b(k) = dz ∧ d¯ z q(z) exp(kz)ψ11 (z, k). 4π C Теперь можно заметить, что столбец ∂k¯ ψ(1) удовлетворяет тому же уравнению, что и столбец β(k)ψ(2) . Следовательно,     ψ11 ψ12 ∂k¯ = b(k) . ψ21 ψ22 ¯ Чтобы написать уравнения D-задачи для второго столбца матрицы ψ, можно воспользоваться свойством симметрии: ψ = σ −1 ψσ,

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

21

которое справедливо не только для матрицы φ (0.12), но и для решений сопряженной задачи. В ¯ результате получим систему уравнений D-задачи для матрицы ψ:     0 b(k) ∂k¯ ψ11 ∂k ψ12 =ψ ∂k¯ ψ21 ∂k ψ22 −¯b(k) 0 Асимптотика решения при k → ∞: E(kz)ψ T (z, k)||k|→∞ = I. ¯ Ниже нам потребуется решение задачи, сопряженной к D-задаче относительно полуторалинейной формы (1.3). Интегральное уравнение для φ, эквивалентное задаче (0.15), имеет вид (1.13)

φ = B[b, z]φ + E(kz), где  B[b, z]φ =

i 2π

Z Z

 dl ∧ d¯lφ(z, l)  

0

 b(l) exp(−lz + kz)  k−l .  0

b(l) exp(−lz + kz) k−l Обозначим через B∗ [b, z] оператор, формально сопряженный оператору B[b, z] относительно полуторалинейной формы h·, ·ib , т.е., удовлетворяющий формуле C

hB[b, z]φ(j) , ψ (j) ib = hφ(j) , B∗ [b, z]ψ (j) ib . Вывод не отличается от вывода G∗ [q, k], данного выше. Приведем явный вид оператора   −b(l) exp(−kz + lz) Z Z 0   −i . −l + k B∗ [b, z]ψ = dl ∧ d¯lψ(z, l)    −b(l) exp(−kz + lz) 2π C 0 −l + k ¯ С помощью этого оператора D-задачу для ψ можно записать в виде ψ = B∗ [b, z]ψ + E(−kz).

(1.14)

1.1.4. Формула для вариации потенциала. Здесь приведена формула для вычисления вариации потенциала задачи рассеяния по вариации данных рассеяния. Она получена с помощью формальных вычислений. Ниже эта формула используется для построения базисной системы функций, связанных с задачей (0.7), (0.9). Данные рассеяния для задачи (0.7), (0.9) в бессолитонном случае вычисляются как элемент матрицы из формулы (0.13): Z Z −i b(k) = dz ∧ dzq(z)φ22 (z, k, t) exp(−kz), (1.15) 4π C где φij — элемент матрицы φ. Пусть δq(z) — инфинитезимальная вариация функции q(z). Тогда, по крайней мере формально, вариацию данных рассеяния можно представить в виде −i δb(k) = ((φ(2) , E(2) (−kz))δq + (δφ(2) , E(2) (−kz))q ). 4π Здесь δφ — решение уравнения δφ = G[q, k]δφ + G[δq, k]φ. В формуле для δb(k) заменим E(2) (−kz) на ψ(2) − G[q, k]ψ(2) . В результате имеем: (φ(2) , E(2) (−kz))δq + (δφ(2) , E(2) (−kz))q = (φ(2) , ψ(2) )δq − −(φ(2) , G∗ [q, k]ψ(2) )δq + (δφ(2) , ψ(2) )q − (δφ(2) G∗ [q, k]ψ(2) )q . В форме (δφ(2) , ψ(2) )q заменим δφ в соответствии с интегральным уравнением: (δφ(2) , ψ(2) )q = (G[δq, k]φ(2) , ψ(2) )q + (G[q, k]δφ(2) , ψ(2) )q .

(1.16)

22

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

Здесь удобно воспользоваться сопряженностью операторов G[q, k] и G∗ [q, k]: (δφ(2) , ψ(2) )q = (φ(2) , G∗ [q, k]ψ(2) )δq + (δφ(2) , G∗ [q, k]ψ(2) )q . Подставив это выражение в (1.16), получим: (φ(2) , E(2) (−kz))δq + (δφ(2) , E(2) (−kz))q = (φ(2) , ψ(2) )δq + +(φ(2) , G∗ [q, k]ψ(2) )δq + (δφ(2) , G∗ [q, k]ψ(2) )q − (φ(2) , G∗ [q, k]ψ(2) )δq + +(δφ(2) , ψ(2) )q − (δφ(2) G∗ [q, k]ψ(2) )q . После сокращения подобных слагаемых получается формула −i (φ , ψ )δq . (1.17) 4π (2) (2) Следующий шаг в этом параграфе — формула для вычисления вариации потенциала по известной вариации данных рассеяния. Формула для вычисления q(z) имеет вид [102, 119] Z Z 1 ¯ 11 (z, k) exp(−kz). q(z) = dk ∧ dk b(k, k)φ (1.18) iπ C δb(k) =

Приведем формальный вывод формулы (1.21). Пусть δb(k) — инфинитезимальная вариация данных рассеяния. Из (1.18) следует, что формула для вариации потенциала имеет вид
−1 δq(z, z¯) = hφ(2) , E (2) (−kz)iδb + hδφ(2) , E (2) (−kz)ib , (1.19) iπ где E (2) (−kz) — вторая строка матрицы E(−kz). Формула (1.19) содержит вариацию δφ. Матрица δφ — решение интегрального уравнения δφ − B[b, k]δφ − B[δb, k]φ = 0.

(1.20)

Для преобразования (1.19) к более удобному для вычислений виду можно проделать с ней те же манипуляции, что и с формулой для вариации данных рассеяния. При этом надо использовать ¯ свойства полуторалинейной формы h·, ·ib и интегральное уравнение D-задачи для матрицы ψ. В результате получим формулу для вариации потенциала: δq(z) =

1 (2) (2) hφ , ψ iδb . iπ

Замечание 1.2. Формула для вариационной производной

(1.21) δb использовалась в [60, 157] при выδq

числении скобок Пуассона данных рассеяния. 1.1.5. Интегральное преобразование типа Фурье. Здесь приведено интегральное преобразование для интегрируемых функций двух вещественных переменных, удовлетворяющих условию Дини по каждой из этих переменных. Специальный характер эволюции подынтегральных функций по времени позволяет решить лДС-2 методом Фурье. Выше были получены формулы для вычисления вариации данных рассеяния по вариации потенциала и наоборот, вариации потенциала по вариации данных рассеяния: 1 −i (φ , ψ )δq , δq(z) = hφ(2) , ψ (2) iδb . 4π (2) (2) iπ Это формальные выражения, однако, глядя на них, естественно предположить, что они являются прямым и обратным преобразованиями для функций двух вещественных переменных. Воспользуемся этими формулами, чтобы устроить отображение из подходящего пространства функций двух вещественных переменных в пространство коэффициентов разложения и обратно. δb =

Теорема 1.5. Пусть решение задачи (0.7), (0.9) существует ∀k ∈ C и имеет асимптотику (1.9), тогда преобразование f 7→ fˆ, −i fˆ = (φ , ψ )f 4π (2) (2)

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

23

1 обратимо для функций f (z), интегрируемых по x и y в R2 , где x = 12 (z + z¯), y = 2i (z − z¯), и удовлетворяющих условию Дини по переменным x и y. Обратное преобразование fˆ 7→ f производится по формуле −1 (2) (2) f= hφ , ψ ifˆ. iπ Доказательство. Прямое и затем обратное преобразования дают: Z Z 1 ¯ f¯ˆφ21 (z, k)ψ21 (z, k) − fˆφ22 (z, k)ψ22 (z, k)) = h= dk ∧ dk( iπ  Z Z C Z Z 1 −i ¯ = dk ∧ dk dz 0 ∧ d¯ z 0 (f (z 0 )φ12 (z 0 , k)ψ21 (z 0 , k) + iπ 4π C C

+f (z 0 )φ22 (z 0 , k)ψ22 (z 0 , k))φ21 (z, k)ψ21 (z, k) − Z Z −i − dz 0 ∧ d¯ z 0 (f (z 0 )φ12 (z 0 , k)ψ12 (z 0 , k) + 4π C  0 0 0 +f (z )ψ22 (z , k)ψ22 (z , k))φ22 (z, k)ψ22 (z, k) . Интегралы по z 0 , z¯0 сходятся из-за интегрируемости f ; двойной интеграл по k, k¯ представим как несобственный интеграл по кругу CR радиуса R при R → ∞. Поменяем порядок интегрирования ¯ Заменим в подынтегральных выражениях комплексные сопряжения элементов по z 0 , z¯0 и по k, k. ¯ матриц φ и ψ: φ11 = φ22 , φ¯21 = −φ12 , ψ¯11 = ψ22 , ψ¯21 = −ψ12 . В результате получим:  Z Z Z Z −1 0 0 0 h = 2 lim dz ∧ d¯ z f (z ) dk ∧ dk¯ × 4π R→∞ C CR ×(−φ11 (z 0 , k)ψ22 (z 0 , k)φ12 (z, k)ψ21 (z, k) + +φ12 (z 0 , k)ψ21 (z 0 , k)φ11 (z, k)ψ22 (z, k)) + +f (z 0 )

Z Z

¯ 21 (z 0 , k)φ12 (z 0 , k)φ12 (z, k)ψ21 (z, k) − dk ∧ dk(φ CR  0 0 −φ22 (z , k)ψ11 (z , k)φ11 (z, k)ψ22 (z, k)) .

Обозначим: ¯ ω1 (z, z 0 , k) = φ22 (z 0 , k)ψ22 (z, k)dk − φ21 (z 0 , k)ψ21 (z, k) dk, ω2 (z, z 0 , k) = φ11 (z, k)ψ11 (z 0 , k)dk¯ − φ12 (z, k)ψ12 (z 0 , k)dk, ω3 (z, z 0 , k) = −φ11 (z 0 , k)ψ21 (z, k)dk¯ + φ12 (z 0 , k)ψ22 (z, k)dk, ¯ ω4 (z, z 0 , k) = −φ12 (z, k)ψ22 (z 0 , k)dk + φ11 (z, k)ψ21 (z 0 , k)dk. Используя эти обозначения, мы можем представить интегралы по CR в последней формуле для h в следующем виде: Z Z ¯ 21 (z 0 , k)ψ12 (z 0 , k)φ12 (z, k)ψ21 (z, k) − I1 = dk ∧ dk(φ CR

−φ22 (z 0 , k)ψ11 (z 0 , k)φ11 (z, k)ψ22 (z, k)) = Z Z = ω1 (z, z 0 , k) ∧ ω2 (z, z 0 , k); CR

Z Z I2 =

¯ 12 (z 0 , k)ψ21 (z 0 , k)φ11 (z, k)ψ21 (z, k) − dk ∧ dk(φ

CR

−φ11 (z 0 , k)φ22 (z 0 , k)φ12 (z, k)ψ21 (z, k)) = Z Z = ω4 (z, z 0 , k) ∧ ω3 (z, z 0 , k). CR

Заметим, что 1-формы ωj , j = 1, . . . , 4, замкнуты, следовательно, для вычисления интегралов I1,2 можно применить формулу Стокса.

24

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

Обозначим через Ωj (z, z 0 , k) первообразную 1-формы ω1 (z, z 0 , k), то есть dΩj (z, z 0 , k) = ω1 (z, z 0 , k). Ниже понадобится асимптотика dΩj при |k| → ∞. Для построения этой асимптотики приведем асимптотики элементов матрицы ψ при |k| → ∞:   1 ψ11 (z, k) = 1 − ∂z¯−1 |q|2 + O(|k|−2 ) exp(−kz), 4k   1 −2 ψ12 (z, k) = q + O(|k| ) exp(−kz). 2k¯ Здесь Z Z |q(w, w)| ¯ 2 −1 2 . ∂z¯ |q| = dw ∧ dw ¯ z−w C Можно показать (так же, как в теореме об асимптотике матрицы-функции φ), что условий на функцию q, сформулированных в теореме 1, достаточно для обоснования приведенных здесь асимптотик по k компонент матрицы ψ. Пользуясь асимптотиками φ и ψ, можно показать, что Z Z exp(k(z 0 − z) + k(z − z 0 )) dΩ1 (z, z 0 , k) ∧ dΩ2 (z, z 0 , k) = (1 + O(R−1 )); 0 0 (z − z)(z − z ) CR Z Z dΩ4 (z, z 0 , k) ∧ dΩ3 (z, z 0 , k) = O(R−1 ). CR

После подстановки этих формул в интеграл для h получим: Z Z −1 exp(k(z 0 − z) + k(z − z 0 )) h = 2 lim dz 0 ∧ d¯ z 0 f (z 0 ) . 4π R→∞ (z 0 − z)(z − z 0 ) C Функция f интегрируема и удовлетворяет условию Дини по обеим переменным. Тогда из определения прямого и обратного преобразования Фурье получим: h(z) = f (z). Теорема 1.5 доказана. ˆ , когда U 1.1.6. Эволюция коэффициентов разложения. Здесь определена эволюция функции U ˆ и v удовлетворяют системе уравнений (1.1). Функцию U (k, t) при k ∈ C будем называть коэффициентом Фурье. Теорема 1.6. Пусть в задаче (0.7), (0.9) функция q, одна из компонент решения системы уравнений ДС-2, удовлетворяет условиям теоремы 1.1, если функция U — одна из компонент решения начально-краевой задачи (1.7) для системы уравнений лДС-2 (1.1). Тогда коэффициент ˆ (k, t) удовлетворяет уравнению Фурье U ˆ − 2i(k 2 + k¯2 )U ˆ = Fˆ . ∂t U (1.22) Доказательство. Матрица φ удовлетворяет системе уравнений эволюции по t [102, 119]:   2i(∂z2 − k 2 ) + ig i∂z¯q − iq∂z¯ ∂t φ = φ. i∂z q¯ − i¯ q ∂z −2i(∂z¯2 − k¯2 ) − i¯ g Похожему уравнению удовлетворяет и матрица ψ:   −2i(∂z2 − k 2 ) + ig −i∂z¯q¯ + i¯ q ∂z¯ ∂t ψ = ψ. i∂z q − iq∂z 2i(∂z¯2 − k¯2 ) + i¯ g ˆ: Продифференцируем по t коэффициент Фурье U ˆ = (∂t φ(2) , ψ(2) )U + (φ(2) , ∂t ψ(2) )U + (φ(2) , ψ(2) )∂ U . ∂t U t

(1.23)

(1.24)

(1.25)

Производную ∂t φ(2) заменим согласно системе (1.23), производную ∂t ψ(2) — согласно системе (1.24), производную ∂t U — согласно системе уравнений (1.1). В результате в правой части формулы (1.25) не содержится выражений от производных по t. Однако, останутся производные по пространственным переменным от функций ψ, φ, u, u ¯ , g и g¯. Оставшиеся интегралы нужно взять несколько раз по частям так, чтобы производные по пространственным переменным от функций

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

25

φ и ψ перенести на производные по пространственным переменным функций u, u ¯, g и g¯. Далее, после довольно громоздких преобразований интегралов по z и z¯ в правой части (1.25), формула (1.25) приводится к виду (1.22). Теорема 1.2 является следствием теорем 1.5 и 1.6. 1.2. Структурная неустойчивость двумерного алгебраического солитона. В этом пункте с помощью теории возмущений исследована задача об устойчивости алгебраического солитонного решения по отношению к малому возмущению начального условия. Солитонному решению соответствуют данные рассеяния с постоянными k0 , µ0 , ν0 в дискретной части. При возмущении солитонного начального условия результат оказывается неожиданным: солитонная структура данных рассеяния разрушается при малом возмущении [12]. Этот результат можно объяснить, прибегнув к задаче на собственные значения интегрального оператора (I − G∗ [k, q])B = λB.

(1.26)

В терминах задачи на собственные значения солитонная структура соответствует существованию нулевого кратного собственного значения. Подробное исследование задачи рассеяния показало, что кратное собственное значение при возмущении потенциала q распадается на простые ненулевые собственные значения в окрестности k = k0 . Ненулевые собственные значения оператора (1.26) не приводят к солитонам в решении. Это означает, что двумерный солитон уравнения ДС-2 структурно неустойчив при возмущении начального условия. Технически сформулированное утверждение получено при дополнительном предположении, что нулевое собственное значение интегрального оператора (I − G∗ [q0 , k]) является двойным полупростым. Предположение. Оператор (I − G∗ [q0 , k]) с солитонным потенциалом q0 (z) имеет только две линейно независимые вектор-функции B (1) (z) и B (2) (z), такие, что: E(kz)B (j) (z)||z|→∞ = 0. Вообще говоря, интегральный оператор может быть представлен в виде суммы конечномерного и сжимающего операторов в пространстве непрерывных вектор-функций X 0 . Исходя из этого, можно предполагать существование конечного числа линейно независимых функций с нулевым собственным значением. К сожалению, ни доказать, ни опровергнуть предположение 1 не удалось. 1.2.1. Компактность интегрального оператора. Солитонный потенциал не удовлетворяет условию (1.4), которое обеспечивает сжимаемость интегрального оператора в пространстве функций X 0 из п. 1.1.2. Интегральный оператор G[q, k] для солитонного потенциала компактен в пространстве функций X 0 . Этим свойством мы и будем пользоваться для исследования возмущенной задачи. Для удобства вместо оператора G[q, k], который действует в пространстве функций с экспоненциальным весом, перейдем к оператору G[h, k]: ˆ k], G[h, k] = E(−kz)G[h,

ˆ k) = h(ζ) exp{kζ}. h(ζ,

Можно показать, что, если q — непрерывная функция и |q| ∼ |z|−2 при |z| → ∞, то G[q, k] — компактный оператор в пространстве C(C) непрерывных вектор-функций с нормой kuk = sup((1 + |z|)(|u1 (z)| + |u2 (z)|)), z∈C

где uj — компоненты u. Лемма 1.3. Оператор G[q, k] с непрерывным потенциалом q, убывающим как |z|−2 при |z| → ∞, является компактным в C. Доказательство. Пусть pM (z) — гладкая срезающая функция такая, что pM (z) = 0 при |z| ≥ 2M и pM (z) = 1 при |z| ≤ M, M = const > 0. Представим G в виде G = (1 − pM )G + pM GpM + pM G(1 − pM )

26

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

и оценим вначале оператор (1 − pM )G:  Z i q(ζ) exp(kζ − kζ)φ2 (ζ) dζ ∧ dζ k(1 − pM )Gφk = sup (1 + |z|) + 4π z−ζ |z|≥M

C

 Z Z i C q(ζ) exp(kζ − kζ) 1 kφk sup (1 + |z|) dx0 dy 0 . dζ ∧ dζ φ1 (ζ) ≤ + 2π |z − ζ|(1 + |ζ|)(1 + |ζ|2 ) 4π z−ζ |z|≥M R2

C

Здесь ζ = x0 + iy 0 , φj — компоненты φ, функция q(ζ) оценена как C(1 + |ζ|2 )−1 , а функции φj (ζ) оценены через норму: kφ(ζ, k)k(1 + |ζ|)−1 . Заменив в интеграле ζ на ζ/z, получаем, что k(1 − pM )Gk → 0 при M → ∞. Аналогично получается оценка для оператора pM G(1 − pM ): Z dx0 dy 0 kpM G(1 − pM )φk ≤ Ckφk sup ≤ CM kφk, (1.27) |z − ζ|(1 + |ζ|)(1 + |ζ|2 ) |z|≤2M |ζ|≥M

где CM → 0 при M → ∞. Оставшийся интегральный оператор pM GpM действует из C в пространство финитных функций. Ядро K этого оператора равно нулю вне множества D = {|ζ| ≤ 2M, |z| ≤ 2M }. Внутри этого множества его можно с любой степенью точности аппроксимировать вырожденными ядрами [11]: K = P + Q, где P — вырожденное непрерывное ядро, а Q — полярное ядро со сколь угодно малой нормой. Тогда оператор G можно представить в виде G = K + Q, где K — оператор с вырожденным ядром, а Q — оператор со сколь угодно малой нормой. Следовательно, G является компактным оператором в C. 1.2.2. Задача о нулевом собственном значении. Ответ на вопрос о разрешимости уравнения (0.10) дает альтернатива Фредгольма для союзного уравнения:   exp(k0 (z − ξ))  Z 0   1 0 q z−ξ  χ = 0. χ+ dξ ∧ dξ¯    exp(k0 (z − ξ)) q 0 4πi −¯ C 0 z−ξ Это союзное уравнение заменой  ψ=

0 q −¯ q 0

−1 χ

приводится к уравнению, сопряженному относительно полуторалинейной формы: (I − G∗ [q, k0 ])ψ = 0. Из альтернативы Фредгольма следует, что уравнение (0.10) неразрешимо при некотором k = k0 , если выполнены условия: 1) существует нетривиальное однородное решение краевой задачи (I − G∗ [q, k0 ])B = 0,

E(zk0 )B||z|→∞ = 0,

(1.28)

где G∗ [q, k] — формально сопряженный к G[q, k] оператор относительно полуторалинейной формы (1.2); 2) существует пара чисел (l, m) такая, что (E(l) (kz), B(m) )q 6= 0, где l = 1, 2, m = 1, 2, . . . , N , N — число линейно независимых решений B(m) интегрального уравнения (1.28). Оба эти условия выполнены для солитонного потенциала q0 (z) =

2¯ ν exp(k0 z − k0 z) . |z + µ0 |2 + |ν0 |2

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

27

Однородное интегральное уравнение (1.28) имеет два линейно независимых решения B(1) (z) и B(2) (z), таких что (E(1) (k0 z), B(1) )q0 = 0,

(E(1) (k0 z), B(2) )q0 = 4iπ,

(E(2) (k0 z), B(1) )q0 = 4iπ,

(E(2) (k0 z), B(2) )q0 = 0.

Эти решения имеют следующий вид: 1 B(1) (z) = |z + µ|2 + |ν|2



1 B(2) (z) = |z + µ|2 + |ν|2



−(z + µ) exp(−zk0 ) −¯ ν exp(−zk0 )



− κ1 ν exp(−zk0 ) −(z + µ) exp(−zk0 )



; .

В соответствии с предположением 1 будем считать, что алгебраическая кратность нулевого собственного значения при k = k0 равна двум. Легко видеть, что краевая задача (1.28) может быть сведена к задаче о построении нетривиального, убывающего на бесконечности решения уравнения (I − G ∗ [q, k0 ])χ = 0.

(1.29)

Два линейно независимых решения этого уравнения легко получить из столбцов B(1) и B(2) : B(j) = E(k0 z)B(j) ,

j = 1, 2.

Удобно новому оператору G ∗ [q, k] поставить в соответствие полуторалинейную форму с весовой функцией, домноженной на осциллирующую экспоненту: (·, ·)q˜,

где q˜(z, k) = exp(−kz + kz)q(z).

Необходимым условием существования солитона уравнения ДС-2 является существование нулевого собственного значения λ(k) = 0 уравнения (I − G ∗ [q, k])B = λ(k)B.

(1.30)

1.2.3. Равномерная асимптотика собственного значения. В этом пункте показано, что для потенциала q(z) = q0 (z) + q1 (z), где q1 (z) — гладкая финитная функция, формальная асимптотика собственного значения оператора (1.26) при ε → 0 по mod(o(ε)) в окрестности k = k0 имеет вид   1 k − k0 ˜ , j = 1, 2, λj (ε, k) = ελj ε 1 1 |4iπ κ ¯ + Q2 |2 + |Q1 |2 λ1 λ2 = . |ν|2 Здесь Qj = (A(1) , B(j) )q1 , k = k0 . 1 1

Если Q1 6= 0, то λ1 λ2 6= 0 для ε > 0 и k, достаточно близкого k0 . Заметим, что из-за произвола в выборе функции q1 ее можно подобрать так, чтобы Q1 было отличным от нуля. Таким образом, формальные асимптотические построения показывают, что собственные значения возмущенной задачи не равны нулю (в случае общего положения). Следовательно, решение (0.7) при возмущенном потенциале не имеет особенностей при k, близких к k0 . Обоснование построенных здесь асимптотик собственных значений приводится в следующем разделе. Перейдем к формальным построениям. Рассмотрим возмущенный потенциал: q(z) = q0 (z) + εq1 (z),

(1.31)

где q1 — гладкая финитная функция и 0 < ε  1. Главные члены асимптотик собственного значения и собственной функции уравнения (1.30) в возмущенном случае строятся в следующем виде: 1

˜ k) = ελ(κ), λ(ε, 0

(1.32)

1

˜ k, ε) = B(z, κ) + εB(z, κ), B(z,

(1.33)

28

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

где κ = (k − k0 )ε−1 . Подставляя (1.31)–(1.33) в (1.30) и учитывая формальное асимптотическое по ε разложение оператора G ∗ [q0 + εq1 , k] в окрестности точки k0 , получаем следующие уравнения: 0

(I − G ∗ [q0 , k0 ])B = 0, 1

(1.34)

1

(I − G ∗ [q0 , k0 ])B = F ,

(1.35)

где 1

0

0

0

1

0

F = G ∗ [q1 , k0 ]B + κ∂k G ∗ [q0 , k0 ]B + κ∂ ¯ k¯ G ∗ [q0 , k0 ]B + λ(κ)B.

(1.36)

Очевидно, функция 0

B(z, κ) = α1 (κ)B(1) (z) + α2 (κ)B(2) (z)

(1.37)

удовлетворяет уравнению (1.34) при любых α1 и α2 . Для сопряженного к (I + G ∗ [q0 , k0 ]) относительно полуторалинейной формы (·, ·)q˜0 оператора (I + G[q0 , k0 ]) интегральный оператор имеет вид ˜ k], G[h, k] = E(−kz)G[h,

˜ k) = h(ζ) exp{2kζ − kζ}. h(ζ,

Первый и второй столбцы A(1) и A(2) матрицы E(−k0 z)A(z) — решения однородного уравнения: (I + G[q0 , k0 ])A = 0. В силу альтернативы Фредгольма условие разрешимости для уравнения (1.35) принимает следующий вид: 1

(A(j) , F )q˜0 = 0,

(1.38)

j = 1, 2.

Столбцы B(1) и A(1) нормированы так, что (A(1) , I(1) )q˜0 = 0,

(A(1) , I(2) )q˜0 = 4iπ,

где I(1) , I(2) — столбцы единичной матрицы. Кроме того, при k = k0 : (A(1) , B(1) )q˜0 = −2ν,

(A(2) , B(2) )q˜0 = −2¯ ν,

(A(1) , B(2) )q˜0 = (A(2) , B(1) )q˜0 = 0. Подставив (1.36) в (1.38) и учитывая нормировку A(1) и B(1) , получим систему линейных уравнений относительно α1 и α2 : 1

4iπν λα1 + α1 Q1 + α2 Q2 + 4iπα2 κ ¯ = 0,

(1.39)

1

¯ 2 − α2 Q ¯ 1 − 4iπα1 κ = 0, −4iπ¯ ν λα2 + α1 Q где Qj = (A(1) , B(j) )q˜1 , k = k0 . 1

Условие разрешимости (1.39) приводит к квадратному уравнению для λ: 2

12

1

¯ + Q2 |2 + |Q1 |2 = 0. |ν| λ + 2<(νQ1 )λ + |4iπ κ

(1.40)

1

В силу теоремы Виета для решений λi уравнения (1.40) справедливо равенство, приведенное в начале этого раздела: 1

1

λ1 (κ)λ2 (κ) =

|4iπ κ ¯ + Q2 |2 + |Q1 |2 . |ν|2

(1.41)

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

29

1.2.4. Обоснование асимптотик собственных значений. Здесь будет показано, что полученные в предыдущем пункте асимптотические формулы для собственных значений возмущенной задачи справедливы. Результаты этого пункта были получены Р. Р. Гадыльшиным и опубликованы в совместной работе [13]. 1

Большая часть рассуждений в этом параграфе не зависит от индекса i в обозначении λi . Поэтому там, где это не приводит к разночтениям, индекс будет опускаться. Кроме того, в силу произвола в 1

выборе q1 будем считать это возмущение таким, что (1.40) имеет два различных решения λ1 (κ) 6= 1

λ2 (κ). Нормируем (1.37) следующим равенством: α1 + |α2 | = 1,

α1 ≥ 0.

(1.42)

Из (1.40) следует, что 1

|λ| = O(1 + |κ|).

(1.43)

Из (1.36), (1.37), (1.42) и (1.43) вытекает оценка 1

kF k = O(1 + |κ|).

(1.44)

Так как решение уравнения (1.35) определяется с точностью до линейной комбинации B(j) , то 1

нормируем B следующим условием: 1

(A(j) , B)q˜0 = 0,

k = k0 , j = 1, 2.

Покажем, что при такой нормировке из оценки (1.44) следует, что 1

kBk = O(1 + |κ|).

(1.45)

Для этого достаточно показать, что, если u ∈ C и (A(j) , u)q˜0 = 0, то kuk ≤ Ck(I − G ∗ [q0 , k0 ])uk.

(1.46)

Допустим противное, т.е. существование последовательности функций un таких, что (A(j) , un )q0 = 0 и kun k > nk(I − G ∗ [q0 , k0 ])un k. Не ограничивая общности, будем считать, что kun k = 1. Тогда из последнего неравенства следует, что k(I − G ∗ [q0 , k0 ])un k → 0. В силу компактности оператора G из этой сходимости вытекает существование подпоследовательности, для которой имеет место сходимость un → u∗ 6= 0, причем (I − G ∗ [q0 , k0 ])u∗ = 0. С другой стороны, из этой сходимости вытекает нормировка (A(j) , u∗ )q˜0 = 0, что, легко видеть, противоречит предположению о двукратности нулевого собственного значения оператора (I − G ∗ [q0 , k0 ]). Из этого противоречия следует оценка (1.46), а следовательно, и оценка (1.45). ˜ k). Очевидно, собственные значения µ(ε, k) оператора Обозначим T (ε, k) = I −G ∗ [q0 +εq1 , k]−λ(ε, T (ε, k) и собственные значения λ(ε, k) оператора I − G ∗ [q, k] связаны соотношением ˜ k) + µ(ε, k). λ(ε, k) = λ(ε,

(1.47)

Из (1.32)–(1.37), (1.42), (1.43) и (1.45) следует, что T (ε, k)B˜ = o(ε + |k − k0 |),

˜ ≥ C > 0. kBk

(1.48)

Пусть γ — окружность на комплексной плоскости достаточно малого радиуса с центром в нуле, такая что в ограничиваемом ею круге лежит только нулевое собственное значение оператора T (0, k0 ). Обозначим Z 1 P (ε, k) = − (T (ε, k) − ζ)−1 dζ, 2πi (1.49) γ U (ε, k) = (1 − (P (ε, k) − P (0, k0 ))2 )−1/2 (1 − P (ε, k) − P (0, k0 )).

30

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

Известно [133], что проектор P (ε, k) и трансформирующая функция U (ε, k) позволяют свести задачу на собственные значения для оператора T (ε, k) к задаче на собственные значения для двумерного оператора Tˆ(ε, k) = P (0, k0 )U −1 (ε, k)T (ε, k)U (ε, k)P (0, k0 ), определенного в P (0, k0 )C, причем оба собственных значения Tˆ и оба собственных значения T ˆ k) = (при ε → 0 и k → k0 ) совпадают. Из определения Tˆ и (1.48) следует, что для Tˆ и B(ε, −1 ˜ U (ε, k)B(ε, k) справедливы следующие соотношения: Tˆ(ε, k) = εTˆ1 (ε, k) + (k − k0 )Tˆ2 (ε, k), kTˆj k ≤ C, ˆ ≥ C > 0. Tˆ(ε, k)Bˆ = o(ε + |k − k0 |), kBk

(1.50)

В свою очередь, из (1.50) вытекает, что для (2 × 2)-матрицы B(ε, k) = (ε + |k − k0 |)−1 Tˆ(ε, k) имеют место следующие соотношения: ˆ ≥ C > 0, B Bˆ = o(1), kBk ≤ C, kBk (1.51) а ее собственные значения ν(ε, k) связаны с собственными значениями µ(ε, k) матрицы Tˆ(ε, k) равенством µ(ε, k) = (ε + |k − k0 |)ν(ε, k). (1.52) Из (1.51) следует, что существует стремящееся к нулю ν(ε, k) и, следовательно, в силу (1.47) и (1.52) существует собственное значение ˜ k) + o(ε + |k − k0 |). λ(ε, k) = λ(ε, (1.53) Здесь мы заметим, что на самом деле построены две асимптотики, соответствующие индексу i = 1, 2. Поэтому ниже будем вновь добавлять этот индекс в полученных формулах. Обозначим через λi , i = 1, 2 собственные значения оператора (I − G[q 0 , k]), стремящиеся к нулю ˜ 1 6= λ ˜ 2 , то λ1 6= λ2 , и из (1.32), (1.41) и (1.53) следует, что при k → k0 и ε → 0. Так как λ λ1 λ2 =

|4iπ(k − k0 ) + εQ2 |2 + ε2 |Q1 |2 + o(ε2 + ε|k − k0 | + |k − k0 |2 ). |ν|2

(1.54)

Из (1.54) следует, что, если Q1 6= 0, то λ1 λ2 6= 0 для ε > 0 и любого k, близкого к k0 . Таким образом, структура данных рассеяния (в терминах метода обратной задачи рассеяния [102]) неустойчива по отношению к малым возмущениям начальных данных. 1.3. Асимптотика солитоноподобного пакета. В этом разделе показано, что, несмотря на бессолитонную структуру данных рассеяния возмущенной задачи для уравнений ДС-2, ее решение сохраняет солитоноподобную форму главного члена асимптотики вплоть до времен порядка ε−1 . Здесь вычислена модуляция параметров этого солитоноподобного решения. Формулы этого раздела носят формально-асимптотический характер и существенно опираются на предположение о двукратности и полупростоте нулевого собственного значения оператора (I + G∗ [q0 , k]) в точке k0 . 1.3.1. Постановка задачи и формулировка результатов. Рассмотрим начально-краевую задачу для системы уравнений ДС-2 (0.6) при κ = −1 с краевым условием для функции g → 0 при |z| → ∞ и с возмущенным начальным условием: q ε (z, 0) = qε (z) = q0 (z) + εq1 (z),

(1.55)

где q1 — гладкая функция с конечным носителем, а ε — малый положительный параметр. Ниже с помощью теории возмущений показано, что решение уравнений (0.6) вплоть до t = O(ε−1 ) имеет формальную асимптотику при ε → 0: 2

2ν0 exp(k0 z − k0 z + 2i(k32 + k 0 )t) , q (z, t) ∼ |z + 4itk0 + µ0 + εtµ1 |2 + |ν0 |2 ε

(1.56)

2

g ε (z, t) ∼

−4(z + 4itk0 + +µ0 + εtµ1 ) , (|z + 4itk0 + µ0 + εtµ1 |2 + |ν0 |2 )2

(1.57)

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

31

где 2i µ1 = − π

Z dz ∧ d¯ z

z + µ0 =(q1 ν0 exp{zk0 − zk0 }). (|z + µ0 |2 + |ν0 |2 )2

(1.58)

1.3.2. Асимптотика данных рассеяния. Как показано в разделе 1.2, при возмущении солитонного потенциала пропадает нулевое собственное значение вспомогательной линейной задачи, а следовательно, и дискретная часть данных рассеяния. Вместо дискретной возникает непрерывная часть данных рассеяния. Здесь построена формальная асимптотика непрерывной части данных рассеяния, соответствующих начально-краевой задаче для уравнений ДС-2 с начальным условием (1.55). Эта асимптотика имеет составной характер: bε (k) ∼ εb1 (k) при |k − k0 | > ε1/2 ,     k − k0 k − k0 −1 bε (k) ∼ ε b−1 + b0 при |k − k0 | < 2ε1/2 , ε ε b−1 (κ) = −

|2

Q1 , + |Q2 + κ|2

(1.59) (1.60) (1.61)

|Q1 0 i 0 b1 (k) = − (φ(1) , ψ (1) )q1 . 4π

(1.62)

Здесь и далее Qj =

1 (A , B )q , 4πi (1) (j) 1

(1.63)

0

а через φ(1) обозначен первый столбец матрицы φ, соответствующей солитонному потенциалу 0

(0.24), вектор ψ (1) определен формулой: 0

exp{(−k + k0 )z} B(1) (z). (1.64) k − k0 Для построения асимптотики данных рассеяния необходима формальная асимптотика функции φ — решения задачи (0.7), (0.9) для возмущенного потенциала q(z, 0) = qε (z). Сформулируем результат этого построения. Формальная асимптотика решения задачи (0.7), (0.9) для возмущенного потенциала по mod(o(ε)) при |k − k0 | > ε1/2 имеет вид: ψ (1) (z, k) = E(1) (−kz) +

0

1

φ(z, ε) = φ(z) + εφ(z), 0

где φ(z) — решение задачи (0.7), (0.9) с солитонным потенциалом; по mod(o(1)) при |k−k0 | < 2ε1/2 : −1

0

φε (k, z) = E(kz)(ε−1 Φ (κ, z) + Φ(κ, z)), где −1

Φ (κ, z) = E(−k5 z)A(z)α(κ), α1 (κ) = −

(O2 + κ) , |Q1 + |Q2 + κ|4 |2

α2 (κ) = −

|Q1

|2

Q1 . + |Q2 + κ|2

Построим асимптотику решения φ = φε задачи рассеяния (0.7), (0.9) для возмущенного потенциала q(z, 0) = qε (z). Из асимптотики φε и формулы для непрерывной части данных рассеяния (0.13) будет следовать (1.59)–(1.61). Так как асимптотика qε имеет вид (1.55), естественно строить асимптотику φε в таком же виде: 0

1

φε (z) = φ(z) + εφ(z) + . . . .

(1.65)

Используя формулу Коши — Грина, запишем граничную задачу (0.7), (0.9) в форме интегрального уравнения (I − G[qε , k])φε = E(kz). (1.66)

32

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

Подставляя (1.65) и (1.55) в (1.66) и выписывая равенства при одинаковых степенях ε, получаем 0

1

уравнение для φ и φ: 0

(I − G[q0 , k])φ = E(kz), 1

(1.67)

0

(I − G[q0 , k])φ = G[q1 , k]φ.

(1.68)

Решение уравнения (1.67) имеет вид (0.24). Это решение для солитонного потенциала, полученное в [102]. Для исследования разрешимости уравнения (1.68) воспользуемся матричным решением однородного уравнения, определенного в (0.23). Из определений полуторалинейных форм получим ¯ k]v)q (A[q, k]w, v)h = (w, G[h,

(1.69)

и, в частности, ¯ k]v)h . (G[h, k]w, v)h = (w, G[h, Условия разрешимости уравнения (I − G[q0 , k0 ])W = F имеют вид (F, B(i) )q0 = 0,

(1.70)

i = 1, 2.

Решение уравнения (1.68) имеет особенность более чем первого порядка, если выполнено одно из неравенств: 0

( lim ((k − k0 )G[q1 , k]φ(1) ), B(i) )q0 6= 0, k→k0

i = 1, 2.

Эти условия эквивалентны неравенствам (A(1) , B(i) )q1 6= 0,

i = 1, 2,

или, по определению (1.63), Qi 6= 0. Постоянные Qi определяются возмущением q1 . Рассмотрим функцию q1 такую, что Q1 6= 0. В этом случае возмущение q1 будем называть невырожденным возмущением. Для невырожденного возмущения порядок особенности в поправочных членах асимптотики (1.65) нарастает. Это приводит к тому, что асимптотика, пригодная при |k − k0 | > Cεγ (для любого C > 0 и 0 ≤ γ < 1 и, в частности, для C = 1 и γ = 1/2), становится непригодной в малой окрестности k = k0 . Поэтому для k, близких к k0 , мы строим асимптотическое разложение в другой форме, используя метод согласования асимптотических разложений [34]. 0

При k → k0 матрица-функция φ может быть записана в виде −1

0

0

φ(z) = E(kz)(ε−1 V (κ, z) + V (κ, z) + . . . ),

(1.71)

где −1

1 = − exp{−k0 z}A(1) ,  κ 0 1 V (1) (κ, z) = + O(z −1 ), z → ∞. 0 V

−1

(1) (κ, z)

(1.72) (1.73)

0

Вторые столбцы матриц V и V восстанавливаются благодаря свойству симметрии V = σ −1 V . Далее, следуя методу согласования асимптотических разложений и принимая во внимание (1.71)–(1.73), при |k − k0 | < 2ε1/2 асимптотическое решение задачи (0.7), (0.9) будем искать в виде −1

0

φε (k, z) = E(kz)(ε−1 Φ (κ, z) + Φ(κ, z) + . . . ),

(1.74)

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

33

где −1

1 Φ (1) (κ, z) ∼ − exp{−k0 z}A(1) , κ → ∞,  κ 0 1 Φ(1) (κ, z) = + O(z −1 ), z → ∞, κ → ∞. 0

(1.75) (1.76)

Обозначим ˆ k], G[h, k] = E(−kz)G[h,

ˆ k) = h(ζ) exp{kζ}. h(ζ,

(1.77)

Подставляя (1.74) в (1.66) и учитывая краевые условия (1.75) и (1.76), получаем следующие уравнения: −1

(I − G[q0 , k0 ]) Φ = 0, −1

0

(1.78) −1

−1

(I − G[q0 , k0 ])Φ = I + G[q1 , k0 ] Φ + κ∂k G[q0 , k0 ] Φ + κ∂k G[q0 , k0 ] Φ .

(1.79)

Принимая во внимание (1.77), легко показать, что функция −1

(1.80)

Φ (κ, z) = E(−k0 z)A(z)α(κ),

где A — матрица со столбцами A(j) , j = 1, 2, является решением однородного уравнения (1.78) для любого вектора α(κ). С другой стороны, из (1.70) и (1.77) следует, что условия разрешимости для уравнения (I − G[q0 , k0 ])W = F имеют вид (E(k0 z)F, B(i) )q0 = 0,

(1.81)

i = 1, 2.

Вектор α определяется из условия разрешимости (1.81) для (1.79). Заметим, что из определений G[h, k] и G[h, k] следует, что ˜ k0 ], где h(ζ, ˜ κ) = h(ζ)(ζκ − ζκ). κ∂k G[h, k0 ] + κ∂k G[h, k0 ] = G[h,

(1.82)

Подставляя правую часть (1.79) в (1.81) и используя (1.80), (1.82) и (1.77), (1.69), получаем для компонент α следующие равенства: α1 (κ) = −

(O2 + κ) , |Q1 + |Q2 + κ|4 |2

α2 (κ) = −

|Q1

|2

Q1 . + |Q2 + κ|2

(1.83)

В результате, функция Φ−1 , определенная в (1.80) и (1.83), удовлетворяет условиям согласования (1.75) и не имеет сингулярностей по κ. Таким образом, для невырожденного возмущения (Q1 6= 0) асимптотическое решение (0.7), (0.9) имеет вид (1.65) при |k − k2 | > ε1/2 и имеет вид (1.74), (1.80), (1.83) при |k − k0 | < 2ε1/2 . Далее, подставляя асимптотику (1.65), (1.74) и (1.55) в (1.15) и учитывая, что Z 0 i b0 (k) = − dz ∧ dz q0 (z)φ11 (z) exp{−kz} = 0, 4π получаем, что bε имеет структуру (1.59), (1.60), где Z 1 0 −i b1 (k) = dz ∧ dz(q0 (z)φ11 (z) + q1 (z)φ11 (z)) exp(−kz), 4π Z −1 i b−1 (κ) ∼ − dz ∧ dzq0 Φ 11 exp(kz − kz). 4π

(1.84) (1.85)

Подставляя (1.80) и (1.83) в (1.85), получаем равенство (1.61). Учитывая (1.68), легко показать, что 0

0

1

0

(φ(1) , ψ (1) )q1 = (φ(1) , E(1) (−kz))q0 + (φ(1) , E(1) (−kz))q1 .

(1.86)

Из (1.84), (1.86) следует (1.62). Таким образом, построена формальная асимптотика данных рассеяния.

34

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

1.3.3. Асимптотика решения обратной задачи. Здесь построена составная формальная асимптотика решения краевой задачи для функции φ, равномерная при 0 < t ≤ O(ε−1 ). Эта формальная асимптотика носит составной характер, который диктуется составным же видом асимптотики данных рассеяния bε (k). Области комплексного параметра k, в которых построены части составной асимптотики, определяются неравенствами |k − k0 | > ε1/2 и |k − k0 | < 2ε1/2 . В области пересечения асимптотики матриц-функции φ согласованы. При |k − k0 | > ε1/2 формальная асимптотика имеет вид 0

1

ϕε (z, t, k) = ϕ(z, t, k) + εϕ(z, t, k). При |k − k0 | ≤ 2ε1/2 : −1

0

ϕε = ε−1 χ + χ. Перейдем к построению асимптотики φ. Из результатов предыдущих разделов следует, что ¯ решение начально-краевой задачи для (0.6) сводится к исследованию возмущенной D-задачи при b(k) ≡ bε (k). Обозначим матрицу φT — решение задачи (0.15) — через ϕ = ϕε . При b(k) = bε (k) и |k − k0 | > 1/2 ε , асимптотическое решение задачи (0.15) будем строить в виде 0

1

ϕε (z, t, k) = ϕ(z, t, k) + εϕ(z, t, k) + . . . .

(1.87)

Для простоты в этом разделе часто вместо того, чтобы писать уравнения для матриц, мы будем использовать только уравнения для первых столбцов. Вторые столбцы определяются из свойства симметрии: j

j

ϕ(2) = σ ϕ(1) . 0

Подставив (1.87) и (1.59) в (0.15), получаем задачу для ϕ(1) :     0 0 ∂k 0 1 ϕ(1) = 0, ϕ(1) → , 0 ∂k 0

k → ∞.

(1.88)

Очевидно, что функция  β (1)  1+ k−k  0 0  ϕ(1) =  (1.89)   β (2) k − k2 (m) удовлетворяет (1.88) для любых β , не зависящих от k. При |k − k0 | < 2ε1/2 функция bε имеет вид (1.60). Поэтому естественно в (0.15) перейти к растянутой переменной κ = (k − k0 )ε−1 . В этой области асимптотику ϕε будем строить методом согласования асимптотических разложений. Следуя этому методу, перепишем асимптотики(1.87), (1.89) при k → k0 во внутренней переменной κ, в результате получим:  (1)    β 1 ε −1   (ϕ )(1) = ε + + .... κ 0 β (2) κ 

Последнее равенство приводит к тому, что при |k − k0 | < 2ε1/2 (или |κ| < 2ε−1/2 ) асимптотика ϕε имеет следующую структуру: −1

0

ϕε = ε−1 χ + χ + . . . , где коэффициенты удовлетворяют граничным условиям   β (1)   −1 κ  χ (1) =   β (2)  (1 + o(1)) при κ → ∞, κ  0 1 χ(1) → при κ → ∞. 0

(1.90)

(1.91)

(1.92)

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

35

Обозначим s0 = s(z, t, k0 ), l = 4ik0 t + z, T = ε2t. В этих переменных получаем, что s(z, t, k) = s0 − εi(lκ − lκ) + εT (κ 2 + κ ¯ 2 ).

(1.93) j

Подставляя (1.90) и (1.60) в (0.15) и принимая во внимание (1.93), получаем уравнения для χ:     −1 ∂κ 0 0 −Ω0 −1 χ = χ, (1.94) 0 ∂κ Ω0 0       0 0 ∂κ 0 0 −Ω0 0 −(Ω1 + Z) −1 χ= χ+ χ, (1.95) 0 ∂κ Ω0 0 Ω1 + Z 0 где Ω0 (κ, s0 ) = −

Q1 exp{is0 } , |Q1 |2 + |Q2 + κ|2

Ω1 (κ, s0 ) = b0 (κ) exp{is0 },

Z(κ, l, s0 , T ) = Ω0 (κ, s0 )((κl − κl) + iT (κ 2 + κ ¯ 2 )). Замечание 1.3. При выводе этих уравнений отброшены члены вида [ε2 (O(T 2 ) + O((κl − κl) + iT (κ 2 + κ ¯ 2 ))2 )]. Поэтому эти уравнения можно рассматривать вплоть до T = 2εt < const и не слишком далеко от центра уединенной волны: |l|  ε−1 . Уравнение (1.94) имеет два линейно независимых решения, убывающих при κ → ∞:   1 Q2 + κ X(1) = , X(2) = σX(1) . Q1 exp{is0 } |κ + Q2 |2 + |Q1 |2 Следовательно, решение (1.94), (1.91) имеет вид −1

χ = X β,

(1.96)

где X — матрица со столбцами X(j) и β — вектор с компонентами βm . Для вычисления β рассмотрим задачу (1.95), (1.92) для χ0 . Используя формулу Коши — Грина, перепишем граничную задачу (1.95), (1.92) в виде интегрального уравнения: 0

(I − H[Ω0 ])χ = F,

(1.97)

где I — единичная матрица,  (H[h]s)(κ) = −

i 2π

0

Z  dm ∧ dm  

F =

1 0

h(m) m−κ



 h(m) − m−κ   w(m), 0 −1

+ H[(Ω1 + Z)] χ .

(1.98)

Воспользовавшись обозначениями для полуторалинейных форм, легко видеть, что ¯ g¯ hH[g]w, vi¯ = hw, H[h]vi h

(1.99)

и, в частности, ¯ ¯. hH[h]w, vih¯ = hw, H[h]vi h Следовательно,   1 Q2 + κ Y(1) = , Q1 exp{−is0 } |κ + Q2 |2 + |Q1 |2 — убывающие решения сопряженного уравнения (I − H[Ω0 ])Y(j) = 0,

Y(2) = σY(1)

(1.100)

и условия разрешимости (1.97) имеют вид hF, Y(i) iΩ0 = 0,

i = 1, 2.

(1.101)

36

2. СТРУКТУРНАЯ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНА

ДС-2

Подставив (1.98) в (1.101) и используя (1.99), (1.100), получаем, что условия разрешимости сводятся к равенствам Z 2 X 1 dκ ∧ dκ(Ω ¯ 0 Y(m) )+ βj (hX(j) , Y(m) iΩ1 + hX(j) , Y(m) iZ ) = 0, (1.102) j=1

где m = 1, 2,

1 Y(m)

— первая компонента вектора Y(m) . Прямые вычисления показывают, что

hX(j) , Y(j) iZ = 0, hX(1) , Y(2) iZ = hX(2) , Y(1) iZ = −2π(2T Q2 + il), Z Z (2) 1 dκ ∧ dκ(Ω ¯ 0 Y(1) ) = 0, dκ ∧ dκ(Ω ¯ 0 Y1 ) = −2πi,

(1.103)

hX(2) , Y(1) iΩ1 = hX(1) , Y(2) iΩ = a2 ,

hX(1) , Y(1) iΩ1 = −hX(2) , Y(2) iΩ = a1 exp(is0 ),

1

1

где aj — некоторые постоянные. Подставив (1.103) в (1.101), получаем систему уравнений для определения компонент вектора β: ¯ 2 − il))β2 = 0, a1 exp(is0 )β1 + (a2 − 2π(2T Q (1.104) (¯ a2 − 2π(2T Q2 + il))β1 − a ¯1 exp(−is0 )β2 = 2iπ, разрешая которую, находим ¯ 2 − il)) 2πi(a2 − 2π(2T Q β1 (l, T, s0 ) = 2 ¯ 2 − il)|2 , |a1 | + |a2 − 2π(2T Q (1.105) 2iπa1 exp{is0 } β2 (l, T, s0 ) = − ¯ 2 − il)|2 . |a1 |2 + |a2 − 2π(2T Q Таким образом, асимптотическое решение системы (0.15) имеет вид (1.87), (1.89) при |k − k0 | > и имеет вид (1.90), (1.96), (1.105) при |k − k0 | < 2ε1/2 .

ε1/2

1.3.4. Асимптотика солитоноподобного решения уравнения ДС-2. Как упоминалось выше, в бессолитонном случае решение уравнения ДС-2 может быть получено по формуле (0.17). Подставив асимптотику (1.59), (1.60) данных рассеяния и асимптотическое представление (1.87), (1.90) для ϕε в (0.17), получаем, что q ε ∼ I ex + I in при ε → 0, (1.106) где Z i 0 ex I =ε dk ∧ dk¯ϕ(1) (k)b0 (k), (1.107) π |k−k0 |>ε1/2

I

in

=ε

−2

i π

Z

−1 dk ∧ dk¯ χ (1) (κ)b−1 (κ).

(1.108)

|k−k0 |<ε1/2 0

−1

0

−1

Здесь ϕ(1) и χ (1) — первые компоненты векторов ϕ и χ , соответственно. Подставляя (1.59) и (1.89) в (1.107) и используя (1.64), находим, что I ex = O(ε1/2 ).

(1.109)

Подставив (1.61) и (1.96) в (1.108) и перейдя в (1.108) к переменной κ, получаем, что I in ∼ −2β2 .

(1.110)

Теперь, подставляя (1.109), (1.110) и (1.105) в (1.106), находим, что q ε (z, t) ∼

(|a1

|2

4iπa1 exp(is0 ) . + |a2 − 2π(2T Q2 − il)|2 )

(1.111)

Принимая во внимание, что q ε (z, 0) ∼ q0 (z), из (1.111) получаем, что a1 = −i2πν0 ,

a2 = i2πµ0 .

(1.112)

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

37

Наконец, подставив (1.112) в (1.111), получим формулу (1.56). Эта формула и равенство (0.18) приводят к (1.56)–(1.58). 2.

ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

В этом разделе приведены асимптотики по времени убывающих решений уравнений ДС-2, Ишимори-1 и КП-2. Построение решений этих уравнений основано на решении обратной задачи рассеяния (0.15), которая сводится к краевой задаче     ∂k¯ A = −¯b exp(−itS)B, 1 A = . (2.1) 0 B ∂k B = b exp(itS)A, |k|→∞ Данные рассеяния не имеют солитонной (дискретной) составляющей и считаются заданной гладкой интегрируемой функцией. Для построения асимптотики решения уравнений Ишимори используется асимптотика решения задачи (2.1) и формула (0.26). Краевые задачи для уравнений ДС-2 и КП-2 отличаются, во-первых, видом фазовой функции S. В случае уравнения ДС-2 функция S имеет только простую стационарную точку, а соответствующая уравнению КП-2 имеет вырожденную стационарную точку. Во-вторых, тем, что связанная с ¯ КП-2 D-задача для класса гладких и достаточно быстро убывающих по (x, y) начальных условий связана с разрывной на мнимой оси функцией b(k). Поэтому, несмотря на общий характер асимптотических построений, решение уравнения КП-2 устроено существенно сложнее, как с технической, так и с идейной стороны. 2.1. Асимптотика бессолитонного решения уравнения Деви—Стюартсона-2. Здесь строится асимптотика по времени бессолитонного решения системы уравнений ДС-2. Качественная картина асимптотического по t решения при t → ∞ проста: решение быстро осциллирует, амплитуда осцилляций убывает как t−1 . Асимптотика решения уравнения ДС-2 получена в работе автора [48]. Сформулируем утверждение об асимптотике решения уравнений ДС-2. Теорема 2.1. Пусть данные рассеяния задачи состоят из функции b(k) такой, что она сама и все ее производные по k и k¯ до второго порядка — гладкие интегрируемые в R2 , функция kb(k) интегрируема в R2 и b(k) удовлетворяет требованию: Z Z |b(λ + iµ)| 1 max dλdµ < 1, (2.2) π ζ∈C |λ + iµ − ζ| R2 тогда асимптотика при t → ∞ решения ДС-2 имеет вид     iz it 2 ¯2 −1 1 q(z, t) = t b exp (ξ + ξ ) + O(t−5/4 ), 2 4t 8
2 Z Z dv ∧ d¯ v |b iv −2 4t | g = −t v.p. + O(t−9/4 ), 2 C 2iπ(v − z)

(2.3) (2.4)

где ξ = z/t, равномерно по z ∈ C. Замечание 2.1. Если функция b(k) не удовлетворяет условию (2.2), то удается построить формальное асимптотическое при t → ∞ решение (0.6):     iz it 2 ¯2 −1 1 q˜(z, t) = t b exp (ξ + ξ ) , 2 4t 8 Z Z 2 dv ∧ d¯ v |b( iv 4t )| . g˜(z, t) = −t−2 v.p. (v − z)2 C Функции q˜ и g˜ удовлетворяют первому уравнению в (0.6) с точностью O(t−3/2 ), второму — с точностью O(t−5/2 ).

38

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

¯ 2.1.1. Асимптотическое решение D-задачи. В этом пункте построено асимптотическое решение задачи (0.15) при больших значениях t методом согласования асимптотических разложений [34]. В решении системы (0.15) удобно выделить осциллирующие экспоненты. Для этого примем обозначения: φ11 (k, z, t) = A(k, z, t) exp(kz),

(2.5)

φ12 (k, z, t) = B(k, z, t) exp(kz).

Перепишем задачу (0.15) для функций A и B. В результате получим систему уравнений (2.1) с фазовой функцией специального вида: S = 2(k 2 + k¯2 ) − i(kz − kz)/t. Структура формального асимптотического решения задачи (2.1) определяется фазой S осциллирующей экспоненты. Асимптотическое по t при t → ∞ решение (2.1) имеет составной характер. Вне некоторой окрестности стационарной точки фазы S формальное асимптотическое решение строится по целым обратным степеням t (внешнее разложение). В малой при t → ∞ окрестности стационарной точки построено так называемое внутреннее разложение. Здесь в качестве калибровочной последовательности используется tn/2 , n = 1, 2, . . . . Существует некоторая область в окрестности стационарной точки, где пригодны оба асимптотических разложения, как внутреннее, так и внешнее. Это общий факт в методе согласования асимптотических разложений [34]. Здесь он используется для однозначного определения коэффициентов разложения. В этом пункте доказано следующее утверждение. Теорема 2.2. Пусть b(k) — гладкая по k, k¯ функция такая, что b(k) и все ее производные по k и k¯ до второго порядка — гладкие интегрируемые в R2 функции. Тогда формальное асимптотическое по mod(o(t−1 )) решение задачи (2.1) при t → ∞ имеет составной характер. При |k − iξ4 | ≥ Ct−1/2+γ , для ∀γ > 0, где ξ = z/t: 

1

1

A˜ ˜ B



 =

1



1 0

1

 + t−1 

1

1



A  , 1 B

(2.6)

1

¯ ξ) + B 1 (k, ξ) exp(itS), поправки A, B 0 и B 1 определены в (2.15), (2.14), (2.26). где B = B 0 (k, iξ При |k − 4 | ≤ Ct−δ для ∀δ > 0: 

где l =

√

t(k −

A˜ ˜ B

iξ 4 ),



 =

1 0



+ t−1/2



!

0 1

β(l, ξ) exp(itS)

+ t−1 

2

α(l, ξ) 2

β(l, ξ) exp(itS)

 ,

(2.7)

n n

поправки α, β, n = 1, 2 определены в (2.24), (2.25) и (2.28).

Доказательство. Доказательство теоремы 2.2 состоит из двух частей: построения так называемого внешнего формального асимптотического по t при t → ∞ решения (2.5) в области вне малой при t → ∞ окрестности точки k = iξ/4 и построения внутреннего разложения (2.1) в окрестности точки k = iξ/4. Решение задачи (2.1) будем искать в виде 1

2

A(k, ξ, t) = 1 + t−1 A(k, ξ) + t−2 A(k, ξ) exp(−itS) + . . . , 1

(2.8)

2

B(k, ξ, t) = t−1 B + t−2 B(k, ξ) exp(itS) + . . . . Здесь многоточием обозначены члены меньших порядков по t.

(2.9)

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

39

Подставим (2.8), (2.9) в (2.1), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t−1 . В результате получим: 1

1

i∂k S B 1 = b(k), 1

2

1

B 1 ||k|→∞ = 0;

(2.10)

1

−iA exp(−itS)∂k¯ S + ∂k¯ A = −¯bB 1 − ¯bB 0 exp(−itS),

(2.11)

1

A||k|→∞ = 0; 2

1

1

i∂k S B + ∂k B 1 = b(k)A,

(2.12)

2

B||k|→∞ = 0.

(2.13)

Уравнение (2.10) разрешимо, когда ∂k S 6= 0. Из представления S легко видеть, что ∂k S = 0 при k = iξ/4. Тогда, с точностью до убывающего при |k| → ∞ решения однородного уравнения для B из (2.1), решение уравнения (2.10) при k 6= iξ/4 имеет вид 1

B1 =

b(k) . −i∂k S

(2.14)

Не определенное здесь решение однородного уравнения для B — аналитическая функция от k¯ — получено ниже, после анализа асимптотического разложения в окрестности точки k = iξ/4. 1

Уравнение для A определяется неосциллирующими членами уравнения (2.10). С помощью формулы Коши — Грина получим: Z Z 1 −1 dp ∧ d¯ p |b(p)|2 . (2.15) A(k, ξ) = iξ 8iπ C k−p p− 4 2

Поправка A определяется осциллирующими членами (2.10): 1

¯b(k)B 0 A= . i∂k¯ S 2

1

2

В этой формуле присутствует B 0 , поэтому A может быть построена после анализа асимптотики в окрестности k = iξ/4. Установим область, в которой пригодно асимптотическое разложение (2.8), (2.9). В этой области для слагаемых в формуле (2.9) выполняется условие 2

1

t−2 B(k, ξ) = o(t−1 B 1 (k, ξ)). 1

Из формулы (2.14) легко видеть, что функция B 1 в точке k = iξ/4 имеет полюс первого порядка 2

по k. Решение уравнения (2.13), функция B, в точке k = iξ/4 имеет полюс третьего порядка по k. Поэтому асимптотическое разложение (2.6) пригодно при |k − iξ4 | ≥ Ct−1/2+γ ∀γ > 0. Построим внутреннее разложение, справедливое в малой окрестности точки k = iξ4 . Перейдем к растянутым координатам:   √ iξ l= t k− . 4 В этих координатах фаза экспоненты в системе (2.1) имеет вид itS = 2i(l2 + ¯l2 ) + itS0 . Здесь

1 S0 = S|k= iξ = (ξ 2 + ξ¯2 ). 4 8 Оператор дифференцирования по k в системе уравнений (2.1) перепишем через дифференцирование по l. В результате система уравнений (2.1) примет вид √ t∂¯l A = −¯b exp(−2i(l2 + ¯l2 ) − itS0 )B, (2.16) √ t∂l B = b exp(2i(l2 + ¯l2 ) + itS0 )A.

40

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

Формальное асимптотическое решение системы (2.16) будем искать в виде 2

1

A = 1 + t−1/2 α(l, ξ) + t−1 α(l, ξ) + . . . , B = (t

−1/2

1

β(l, ξ) + t

−1

(2.17)

2

β(l, ξ) + . . . ) exp(2i(l + ¯l2 ) + itS0 ). 2

Подставим (2.17) в (2.16). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t, в результате 1 1

получим уравнения для α, β: ∂ 1 α = 0, ∂ ¯l 

1 ∂ 1 β + 4ilβ = b ∂l

iξ 4



(2.18)

2 2

и уравнения для α, β:   ∂ 2 iξ 1 α = −b β, 4 ∂ ¯l   2 ∂ 2 iξ 1 β + 4ilβ = b α + lb1 + ¯lb2 . ∂l 4 Здесь b1 = ∂k b|k= iξ , 4

(2.19)

b2 = ∂k¯ b|k= iξ . 4

Область |l| ≤ const t1/2−δ ∀δ > 0, где справедливо внутреннее разложение, при δ < 1/2 пересекается с областью |k − iξ4 | ≥ t−1/2+γ const при γ < 1/2, в которой пригодно внешнее разложение. Следуя методу согласования асимптотических разложений [34], асимптотики при |l| → ∞ для (2.18), (2.19) можно получить из согласования внутреннего и внешнего асимптотических разложений в области, где пригодны оба разложения. 1

Асимптотика B 1 при k →

iξ 4:

−1 B1 = b i(4k − iξ) 1



iξ 4

1

Вычислим асимптотику A при k → 1

A=

−1 k−

iξ 4

1 8iπ



  (k − iξ4 ) iξ 1 b2 + O k − . − b1 − 4i 4 4i(k − iξ4 )

(2.20)

iξ 4:

Z Z

" dp ∧ d¯ p|b(p)|2

C

# 1 1 . − k − p p − iξ 4

1

Подынтегральная функция в интеграле для A представлена в виде разности. Рассмотрим этот интеграл как разность интегралов от соответствующих функций. В первом из получившихся интегралов сделаем замену переменной r = p − (k − iξ4 ). Представим числитель подынтегральной функции в первом интеграле в виде отрезка ряда Тейлора в окрестности точки r. В результате получим: ! Z Z iξ 1 k − −1 dr ∧ d¯ r 1 4 ∂r¯|b(r)|2 = A= ∂r |b(r)|2 + iξ 2iπ k − iξ4 C 4 − r 4i     iξ   iξ iξ 1 k − 4 iξ 2 b +C + O k − , (2.21) = iξ 4 4 4 4i k − 4 где  C

iξ 4



−1 = 2iπ

Z Z C

dr ∧ d¯ r 1 ∂r |b(r)|2 . iξ 4i −r 4

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

41

Из требования согласования асимптотических разложений (2.6) и (2.7) и формул (2.20), (2.21) получаются краевые условия: 1

α = 0 при |l| → ∞, (2.22) 1 β = O(l−1 ) при |l| → ∞;   ¯l  iξ  2 iξ 2 b +C + O(|l|−1 ) при |l| → ∞, α= 4il 4 4 (2.23) ¯l 2 1 −1 b2 + O(|l| ) при |l| → ∞. β = b1 − 4i 4il Решение первого из уравнений (2.18) совместно с краевым условием из (2.22) имеет вид 1

α = 0.

(2.24)

Ограниченное решение уравнения (2.18) с краевым условием из (2.22) получается с помощью формулы Коши — Грина:   Z Z 1 iξ −1 dn ∧ d¯ n β = exp(−2i(l2 + ¯l2 ))b exp(2i(n2 + n ¯ 2 )). (2.25) 4 2iπ C n−l 1

Асимптотика β при |l| → ∞ имеет вид b( iξ4 ) exp(−2i(l2 + ¯l2 )) b( iξ4 ) − + O(|l|2 ). 4il 2¯l Из согласования асимптотик (2.20), (2.26) и (2.6) получим:   1 b( iξ4 ) iξ ¯ B 0 k, = . 4 2(k − iξ4 ) 1

β||l|→∞ =

(2.26)

(2.27)

Уравнения (2.19) с краевыми условиями (2.23) решаются с помощью формулы Коши — Грина:     Z Z iξ iξ −1 dn ∧ d¯ n1 2 α=C +b β(n, n ¯ ), 4 4 2iπ C n−l (2.28) Z Z 2 dn ∧ d¯ n −1 2 2 2 2 β = exp(−2i(l + ¯l )) exp(2i(n + n ¯ ))(nb1 + n ¯ b2 ). 2iπ C n−l Теорема 2.2 об асимптотике решения задачи (2.1) доказана. 2.1.2. Оценка остатка асимптотики. В этом пункте доказано, что формулы (2.6), (2.7) определяют асимптотику решения задачи (2.1). Рассматривается система интегральных уравнений, соответствующая краевой задаче (2.1). При ограничении (2.2) на функцию b(k) интегральный оператор в этой системе оказывается сжимающим. На основе формул (2.6), (2.7) построено составное асимптотическое разложение (2.6). Малость остатка асимптотики следует из свойства интегрального оператора и малости невязки, которая получается при подстановке составного разложения в систему интегральных уравнений. Справедливо следующее утверждение. Теорема 2.3. Пусть b(k) — гладкая функция такая, что все ее производные по k и k¯ до второго порядка — гладкие интегрируемые в R2 , и выполнено условие Z Z 1 |b(λ + iµ)| max dλdµ < 1, π ζ∈C |λ + iµ − ζ| R2 тогда решение задачи (2.1) существует. Его асимптотика при t → ∞ определяется формулами (2.6), (2.7) с точностью O(t−5/4 ). Производные по z и z¯ остатка асимптотики, непрерывные равномерно ограниченные при k, z ∈ C, равны O(t−5/4 ).

42

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

Доказательство. Перейдем к доказательству этой теоремы. Вместо системы уравнений (2.1) рассмотрим соответствующую ей систему интегральных уравнений [102]: Z Z −1 dp ∧ d¯ p ¯ t), A=1+ b(p) exp(−itS)B(p, ξ, ξ, 2iπ k − p Z Z C (2.29) 1 dp ∧ d¯ p ¯ t). B= b(p) exp(itS)A(p, ξ, ξ, 2iπ C k−p Пусть X — пространство непрерывных по k вектор-функций с нормой kφk = sup |φ1 (k, z)| + sup |φ2 (k, z)|. k,z∈C

k,z∈C

Обозначим интегральный оператор в правой части (2.29) через G. Свойства оператора G будем исследовать в пространстве X. Лемма 2.1. kGφk ≤ M kφk, где M < 1. Доказательство. " Z Z # i dp ∧ d¯ p kGφk = sup b(p) exp(−itS)φ2 (p, ξ, t) + 2π k,z∈C C k−p " Z Z # i dp ∧ d¯ p b(p) exp(itS)φ1 (p, ξ, t) ≤ + sup 2π k,z∈C C k−p Z Z 1 dx0 dy 0 ≤ kφk max |b(x0 + iy 0 )| = M kφk, 0 0 k∈C π |k − (x + iy )| R2 где 1 M= π

Z Z R2

dx0 dy 0 |b(x0 + iy 0 )|. |k − x0 − iy 0 |

Лемма доказана. Лемма 2.2. Оператор G переводит вектор-функции из X в вектор-функции из X. Для доказательства достаточно показать непрерывность по k вектор-функции G[b, k; z, t]φ. Это можно сделать аналогично [11] (см. 1.2.1). Из приведенных лемм легко видеть, что при выполнении условия (2.2) оператор G является сжимающим в пространстве X. Из теоремы о сжимающих отображениях [53] следует, что интегральное уравнение φ = Gφ + h, (2.30) где h ∈ X, имеет единственное решение в X. Для φ справедлива оценка kφk ≤ const khk. Построим составное асимптотическое разложение для формального асимптотического решения системы уравнений (2.1). Для этого воспользуемся гладкой срезающей функцией χ(k, ξ, t) такой, что χ ≡ 1 при |k − iξ4 | > 2t−1/4 и χ ≡ 0, при |k − iξ4 | < t−1/4 . Составное разложение имеет вид 1

2 ˜ ξ, t) = 1 + χ t−1 A + (1 − χ)t−1 α; A(k, 1

1

(2.31)

2

˜ ξ, t) = [χ(t−1 B) + (1 − χ)(t−1/2 β + t−1 β)] exp(itS). B(k,

(2.32)

Подсчитаем невязку, которая получается при подстановке составного асимптотического разложения (2.31), (2.32) в (2.1): ˜ f1 = −∂¯ A˜ − ¯b exp(−itS)B, k

˜ + b exp(itS)A. ˜ f2 = −∂k B Невязки f1 и f2 вне переходного слоя t−1/4 < |k − iξ4 | < 2t−1/4 легко вычисляются, исходя из асимптотик (2.6), (2.7). В переходном слое в невязки вносят вклад производные по k и k¯ срезающей

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

43

функции χ. Ширина этого слоя равна t−1/4 . В качестве χ можно выбрать функцию, производные которой по k и k¯ равны O(t1/4 ). В результате для f1 и f2 получим:  1 iξ  −1 ¯ ¯  −t bB 0 (k, ξ) exp(it(S0 − S)) при k − ≥ 2t−1/4 ;    4   1 2 1   1/4 )(t−1 B exp(−itS) − t−1/2 β − t−1 β)¯  b− O(t    1 −χt−1¯bB 0 exp(it(S0 − S))+ (2.33) f1 =  2  iξ   +(1 − χ)t−1¯bβ при t−1/4 < k − < 2t−1/4 ;     4  2  iξ  −1  −t ¯bβ(l, ξ) при k − ≤ t−1/4 ;  4  1 iξ  −1  t bA exp(itS) при p − > 2t−1/4 ;    4   1  2 2  1/4 −1 −1  [O(t )(t A − t α) − (1 − χ)t −1 α]× f2 = (2.34) iξ  ×b exp(itS) при t−1/4 < k − < 2t−1/4 ;     4   iξ 2    −t−1 bα(l, ξ) exp(itS) при p − ≤ t−1/4 . 4 Порядок невязок f1 и f2 вне переходного слоя легко оценивается из формул (2.33), (2.34) и (2.20), (2.21). Оценим порядок множителей при O(t1/4 ) в переходном слое: 1 iξ −1 −1 2 −5/4 −1/4 (2.35) t A − t α = O(t ) при t < k − < 2t−1/4 ; 4 1 2 1 iξ −1 −1/2 −1 −5/4 −1/4 t B−t β − t β = O(t ) при t < k − < 2t−1/4 . (2.36) 4 Формула (2.35) следует из (2.21), (2.23). Формула (2.36) получена из (2.20), (2.9), (2.22), (2.23). Перейдем к оценке остатка. Будем искать решение в виде     A A˜ = (2.37) ˜ + χ, B B Подставим (2.37) в (2.1). В результате получим систему уравнений с однородными краевыми условиями при |k| → ∞ ∂k¯ Φ1 = −¯b exp(−itS)Φ2 + f1

(2.38)

∂k Φ2 = b exp(itS)Φ1 + f2 .

(2.39)

От системы уравнений (2.39) перейдем к соответствующей системе интегральных уравнений Φ = GΦ + F.

(2.40)

Здесь компоненты вектор-функции F вычисляются по формулам Z Z Z Z dp ∧ d¯ p 1 dp ∧ d¯ p 1 F1 = f1 , F2 = f2 . 2iπ k − p 2iπ C C k−p

(2.41)

Оценим норму в X вектор-функции F . Лемма 2.3. kF k = O(t−5/4 ). Доказательство.  1 kF1 kC ≤ sup 2iπ k,z∈C

Z Z |p− iξ |≥2t−1/4 4

1 dp ∧ d¯ p f1 (p, ξ, t) + k−p 2iπ

Z Z |p− iξ |≤2t−1/4 4

 dp ∧ d¯ p f1 (p, ξ, t) . k−p

(2.42)

44

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

Оценка первого слагаемого сводится к оценке интеграла: Z Z dp ∧ d¯ p ¯ exp(it(S0 − S)) b(p) I= . k−p (p − iξ ) 4

|≥2t−1/4 |p− iξ 4

Область интегрирования не содержит стационарную точку фазы экспоненты, поэтому можно применить формулу интегрирования по частям, интегрируя быстро осциллирующую экспоненту по переменной p¯. В результате получим, что |I| ≤ t−1/4 . Таким образом, первое слагаемое в (2.42) оценивается величиной O(t−5/4 ). Оценим второе слагаемое в (2.42). Здесь воспользуемся малостью области интегрирования. Это слагаемое также оценивается величиной O(t−5/4 ). Вторая компонента вектор-функции F оценивается аналогично: kF2 k ≤ t−5/4 const. Лемма доказана. Вектор-функция F в системе уравнений (2.40) принадлежит X и система (2.40) разрешима в X. Оценим норму этого решения. Представим F в виде F = t−5/4 H. Из приведенной леммы следует, что kHk = O(1). Вектор-функцию Ψ будем искать в виде Ψ = t−5/4 φ. Вектор-функция φ удовлетворяет системе уравнений φ = Gφ + H.

(2.43)

Из разрешимости системы интегральных уравнений (2.43) следует оценка остатка в асимптотических формулах (2.6), (2.7) величиной O(t−5/4 ). Докажем гладкость остатка по z. Лемма 2.4. ∂z φ, ∂z¯φ ∈ X. Доказательство. Продифференцируем по z систему интегральных уравнений (2.43). В результате получим: θ = Gθ + P ; (2.44) здесь θ = ∂z φ, P = ∂z [G]φ + ∂z H. Покажем, что P ∈ X. Для этого оценим норму в X каждого из слагаемых P :   −b(p) exp(−itS)   Z Z 0  φ1 dp ∧ d¯ p  k − p   ∂z [G]φ = p  φ2 . b(p) exp(itS) 2iπ C 0 k−p Из интегрируемости b(k) в R2 и равномерной ограниченности φ1 ,  ∂ f z 1 Z Z 1  k ∂z H = t5/4 dp ∧ d¯ p  ∂ −f p z 2 2iπ C k−p

φ2 следует, что ∂z [G]φ ∈ X,   .

Производные f1 и f2 по z вычисляются из (2.33), (2.34). В результате получим k∂z Hk = O(1). Таким образом, P ∈ X. Система (2.44) разрешима в X, т.е. ∂z φ ∈ X. Для производной φ по z¯ доказательство аналогично. Лемма доказана. Этим заканчивается доказательство теоремы 2.3.

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

45

2.1.3. Асимптотика решения ДС-2. Подставим асимптотику решения задачи (0.6) в формулу (0.17): Z Z −i q(z, t) = dp ∧ dpb(p) exp(itS)(1 + t−1 A˜1 (p, ξ, t) + t−5/4 φ1 (p, ξ, t)), (2.45) π C где 1

2 A˜1 (p, ξ, t) = χA + (1 − χ)α.

Представим интеграл (2.45) в виде суммы интегралов. Z Z Z Z −i i dp ∧ dpb(p) exp(itS)A˜1 (p, ξ, t)− q(z, t) = dp ∧ dpb(p) exp(itS) − t−1 π π C C Z Z −5/4 i −t dp ∧ dpb(p) exp(itS)φ1 (p, ξ, t). π C Последнее слагаемое равно O(t−5/4 ). Интеграл во втором слагаемом разобьем на два. При |p− iξ4 | ≥ 2t−1/4 этот интеграл оценивается с помощью интегрирования по частям и имеет порядок t−1 . При |p − iξ4 | < 2t−1/4 легко видеть, что этот интеграл равен O(t−1/2 ). В результате получим: Z Z −i q(z, t) = dp ∧ dpb(p) exp(itS) + O(t−5/4 ). π C Асимптотика по t интеграла в этой формуле вычисляется методом стационарной фазы [87]. В результате получается формула (2.3). Асимптотика функции g(z, t) получается после подстановки (2.3) в формулу (0.18). Вычисление интеграла в смысле главного значения возможно из-за гладкости по z остатка в формуле (2.3). Эта гладкость — следствие гладкости по z остатка асимптотики в формулах (2.6) и (2.7) и гладкости по z асимптотики интеграла в (2.45), вычисленной методом стационарной фазы. Именно для гладкости асимптотики интеграла в (2.45) необходимо условие интегрируемости в R2 функции kb(k). Теорема об асимптотике решения уравнений ДС-2 доказана. 2.2. Асимптотика решения уравнений Ишимори-1. Асимптотика решения уравнений ˜ |z|→∞ = σ3 может быть получена из формулы Ишимори-1 при t → ∞ с краевым условием S| (0.26). Вторую строку матрицы φ можно восстановить с помощью ее первой строки, воспользовавшись формулой (0.12). Эта формула дает φ21 = κφ12 , φ22 = φ11 . Следовательно,   A exp(kz) B exp(kz) φ= ¯ exp(kz) A¯ exp(kz) . κB После подстановки асимптотики решения краевой задачи (0.15), построенной в предыдущем пункте, получим:   2 δ  1 −1/2 t1/2  ), (2.46) S˜ =  2  + o(t δ −1 t1/2 1

где δ = β(l) — решение краевой задачи 1

1

1

∂l β + 4ilβ = b(iξ/4),

β||l|→∞ = 0.

Переменные l и ξ связаны с переменными x, y, t формулами: l=

x + iy √ , t

ξ=

Функция b(k) удовлетворяет условиям теоремы 2.1.

x + iy . t

46

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

2.3. Асимптотика решения уравнения Кадомцева—Петвиашвили. Свойства решений и процедура интегрирования уравнения Кадомцева—Петвиашвили (КП): ∂x (∂t u + 6u∂x u + ∂x3 u) = −3σ 2 ∂y2 u

(2.47)

зависят от знака σ 2 . В случае σ 2 = 1 это уравнение называется КП-2. Здесь исследуется решение задачи Коши: (2.48)

u|t=0 = u0 (x, y).

Для убывающего по пространственным переменным решения построена асимптотика при t → ∞. Главный член асимптотики имеет порядок O(t−1 ) и быстро осциллирует. Амплитуда осцилляций зависит от характерных переменных ξ = x/t и η = y/t. Нетрудно догадаться, что для убывающего решения при t → ∞ основную роль в уравнении (2.47) играет его линейная часть. Это подтверждается на уровне главного члена асимптотики, структура которого полностью соответствует асимптотике решения линеаризованного уравнения. Более того, так же, как для линейного уравнения, асимптотика решения извлекается из интеграла типа Фурье применением метода стационарной фазы. Представление решения нелинейного уравнения через интеграл типа Фурье следует из метода обратной задачи рассеяния (МОЗР), предложенного для уравнения КП в [25, 33]. Несмотря на похожее поведение убывающих решений линейного и нелинейного уравнения, специфика нелинейного уравнения (2.47) проявляется в том, что роль образа Фурье играют данные рассеяния вспомогательной линейной задачи, связанной с уравнением КП-2. Кроме того, вместо ¯ экспоненты в интеграле типа Фурье используется решение так называемой D-задачи [97]. Уравнение, похожее на (2.47), с нелинейностью более высокого порядка обычно называется обобщенным уравнением КП. Для обобщенного уравнения КП известны результаты об оценке нормы решения в пространстве Соболева по времени [128]. В той же работе для убывающего решения получена структура асимптотики при t → ∞. Как уже отмечалось, главный член асимптотики убывающего решения определяется линейными слагаемыми. Эти слагаемые у уравнений КП и обобщенного КП совпадают. Поэтому и структура главного члена асимптотики убывающего решения, построенного в настоящей работе, совпадает со структурой убывающей асимптотики обобщенного уравнения КП из [128]. Существенное отличие проведенных здесь построений для уравнения КП от результатов [128] состоит в том, что построенная асимптотика связана с начальными данными. Такая связь устанавливается с помощью МОЗР благодаря интегрируемости уравнения КП. Одним из важнейших достижений МОЗР является возможность исследования асимптотик решений нелинейных уравнений. Сравнительно полно исследованы асимптотики для (1 + 1)-мерных уравнений (одна пространственная переменная и время) [9, 29, 35, 64, 72, 93, 101, 151]. Для двумерного обобщения цепочки Тоды асимптотика была построена в [73]. Строгие результаты об асимптотиках по времени для специального класса неубывающих при t → ∞ решений уравнений КП получены в [3, 76]. Формальная асимптотика при t → ∞ убывающего решения уравнения КП-1 построена в работе [147]. Однако, в этих случаях построенные асимптотики не обладают свойствами равномерности и пригодны не во всех направлениях. В работе автора [142] для уравнения КП-2 дан исчерпывающий ответ на вопрос об асимптотике убывающего решения равномерно по всем направлениям и получена оценка остатка этой асимптотики. Здесь будет использован формализм МОЗР, разработанный для уравнения КП-2 в работе [97]. Этот формализм позволяет свести построение решения нелинейного интегрируемого уравнения к последовательности линейных задач. Напомним основные этапы решения задачи Коши для уравнения КП-2 с помощью МОЗР. Первый этап — решение прямой задачи рассеяния на начальном потенциале u0 (x, y): −∂y ϕ + ∂x2 ϕ + 2ik∂x ϕ + u0 ϕ = 0,

ϕ||k|→∞ = 1,

(2.49)

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

и вычисление данных рассеяния по формуле1 Z Z −1 ¯ − (k 2 − k¯2 )y). F (k) = (2π) sgn(−<(k)) dxdy u0 (x, y)ϕ(x, y, k, 0) exp(−i(k + k)x

47

(2.50)

R2

На следующем этапе определяется зависимость данных рассеяния от времени. Она оказывается тривиальной: F(k; t) = F (k) exp(4it(k 3 + k¯3 )). Третий этап — решение обратной задачи рассеяния — восстановление потенциала u(x, y, t). Эта ¯ задача сводится к так называемой D-задаче, решение которой позволяет определить зависимость от времени функции ϕ:    ¯ exp(itS),  ∂k¯ ϕ = ψF (−k) ϕ 1 ||k|→∞ = . (2.51) ψ 1 ∂k ψ = −ϕF (k) exp(−itS); ¯ − i(k 2 − k¯2 )η, ξ = x/t, η = y/t. Здесь S = 4(k 3 + k¯3 ) + (k + k)ξ Последний шаг состоит в вычислении интеграла, дающего решение исходной задачи Коши [97]: Z Z ¯ (k)ψ(k, x, y, t) exp(itS). u(x, y, t) = ∂x dk ∧ dkF (2.52) C

В работах [59,63,71,123,127,158] изучалась разрешимость прямой задачи для некоторого класса начальных условий. В частности, в [127] доказано, что если функция u0 (x, y) экспоненциально убывает по пространственным переменным, то прямая задача (2.49) разрешима ∀k ∈ C. Задача о выделении спектральных данных, отвечающих быстро убывающим на бесконечности потенциалам, исследовалась в работах [17–19, 30, 71]. Однако, для более-менее общих начальных условий такой последовательный метод решения интегрируемых уравнений не дает явного ответа в терминах начальных данных из-за трудностей, встречающихся при решении как прямой, так и обратной задач. Поэтому для построения решения исходного нелинейного уравнения обычно используется только обратная задача. Она включает время как параметр. Временная эволюция данных рассеяния определяет нелинейное уравнение. Класс решений нелинейного уравнения в таком подходе определяется тем или иным функциональным классом данных рассеяния. Этот же подход используется и здесь. Все необходимые для построений ограничения на начальные данные сформулированы в терминах данных рассеяния. Подробное исследование класса начальных данных, удовлетворяющих этим ограничениям, здесь не обсуждается. Исследованию ¯ решения D-задачи посвящена основная часть этого раздела. Построена асимптотика функции ψ и затем вычислена асимптотика интеграла (2.52) при t → ∞ методом стационарной фазы [87]. Как оказалось, главный член асимптотики решения уравнения КП-2 можно определить, используя только главный член асимптотического разложения. Принимая во внимание быстро осциллирующие коэффициенты в системе уравнений (2.51), можно догадаться, что ψ = 1 + o(1) при t → ∞. Однако, этого недостаточно для выяснения асимптотических свойств решения u(x, y, t), если неизвестны аналитические и асимптотические свойства остатка в формуле для ψ. Таким образом мы приходим к необходимости изучения свойств решения задачи (2.51) при t → ∞. ¯ Асимптотика решения D-задачи для системы уравнений с непрерывными коэффициентами при ¯ t → ∞ была построена автором в [51]. Здесь исследуется D-задача с коэффициентами, разрывными на мнимой оси комплексного параметра k (2.50). Построение асимптотики решения такой задачи более сложно как с идейной, так и с технической стороны. Структура асимптотики решения (2.51) в отличие от рассмотренной в [51] определяется не только характером стационарных точек, но и их положением относительно линии разрыва коэффициентов. Это вносит существенные дополнительные трудности в вычисления и приводит к изменениям в результатах построений. Равномерная асимптотика строится методом согласования [34]. 1 ¯ = Из формул (2.49) и (1.15) следует, что для вещественных u0 (x, y) функция F (k) обладает свойством: F (−k) ¯ −F (k), функция F (k) — неаналитическая функция комплексного переменного k ∈ C.

48

3. ВРЕМЕННЫЕ

2.3.1.

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

Основной результат.

Теорема 2.4. Пусть начальная функция u0 (x, y) такова, что ее данные рассеяния обладают следующим свойством: (1 + |k|)F ∈ L1 ∩ C, ∂ α F ∈ L1 ∩ C при <(k) 6= 0, |a| ≤ 2 и выполнено условие Z Z F (κ + iλ) < π. sup dκdλ (2.53) κ + iλ − z 2 z∈C

R

Тогда решение задачи Коши для уравнения КП-2 существует и единственно ∀t > 0. Его асимптотика при t → ∞ различна в различных направлениях, которые описываются характеристическими переменными ξ = x/t и η = y/t: 1) при −(12ξ + η 2 )t1/3  1: r   y2 x −1 u(x, y, t) = −4t exp − 11it − 2 − 12 × t t   p   π 1 iη −1 2 p × f −η − 12ξ + + o(t ) + c.c.; 2 12 12i −η 2 − 12ξ 2) при (12ξ + η 2 )t1/3  1: u = o(t−1 ); 3) при |12ξ + 12η 2 |  1: u(x, y, t) = 8it

−1 √

Z πf (iη/12)

∞

dp1

√

p1 cos(8p31

Z − zp1 ) +

0

∞

dp1

√

p1 sin(8p31

 − zp1 ) + o(t−1 ).

0

Здесь   2 x y z=8 + ; 12t4/3 t1/3 1 f (k) = 2π

Z Z

¯ − (k 2 − k¯2 )y). dxdy u0 (x, y)ϕ(x, y, k, 0) exp(−i(k + k)x

R2

Области пригодности различных асимптотик, указанные в теореме, пересекаются. В областях пересечения асимптотики совпадают. Поэтому можно представить составную асимптотику решения равномерно в плоскости переменных x, y. 2.3.2. Аналитические свойства данных рассеяния. Здесь изучены свойства данных рассеяния, который соответствуют достаточно гладким, убывающим функциям из (2.48). Прежде чем переходить к изучению аналитических свойств данных рассеяния, докажем, что решение задачи (2.51) существует. Теорема 2.5. Пусть F (k) удовлетворяет условию (2.53), тогда решение задачи (2.51) существует в пространстве непрерывных ограниченных при k ∈ C вектор-функций. Доказательство. Перейдем от краевой задачи (2.51) к системе интегральных уравнений:       ϕ 1 ϕ = + G[F ] , ψ 1 ψ где   F (−m) ¯ Z Z 0 exp(itS) 1   k−m dm ∧ dm ¯  F (m) G[F ]V =  V (m, ξ, η, t). 2iπ m∈C exp(−itS) 0 k−m Пользуясь стандартными результатами для операторов с полярным ядром [11] можно показать, что оператор G[F ] действует из пространства непрерывных вектор-функций в пространство непрерывных вектор-функций. Из неравенства (2.53) следует, что оператор G[F ] — сжимающий. Отсюда следует утверждение теоремы.

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

49

Для построения асимптотик нам необходимо изучить гладкость функции F (k) в окрестности линии разрыва <(k) = 0. Обычно для исследования свойств данных рассеяния прибегают к изучению прямой задачи. Однако, некоторые свойства данных рассеяния можно получить, оставаясь в рамках обратной задачи. В частности, здесь мы воспользуемся формулой (2.50) и системой уравнений (2.51) для выяснения гладкости данных рассеяния в окрестности мнимой оси параметра k. Лемма 2.5. Пусть u0 (x, y) — финитная функция, тогда в окрестности k 0 ∈ C данные рассеяния можно представить в следующем виде: F (k) = sgn[<(−k)]

2 X

fα1 α2 (k 0 )(k − k 0 )α1 (k − k 0 )α2 + O(|k − k 0 |3 ),

|α|=0

где fα1 ,α2 (k 0 ) — непрерывные функции, если <(k 0 ) 6= 0 и fα1 ,α2 (k 0 ) = fα(1) (k 0 ) + sgn[<(−k)]fα(2) (k 0 ), 1 α2 1 α2 если <(k 0 ) = 0. Доказательство. Доказательство этой леммы состоит в последовательном вычислении производ¯ Для примера при <(k 0 ) = 0 вычислим f (1) (k 0 ) и f (2) (k 0 ). ных данных рассеяния по k и k. 10 10 Обозначим Z Z 1 ¯ − (k 2 − k¯2 )y). dxdyu0 (x, y)ϕ(x, y, k, 0) exp(−i(k + k)x f (k) = 2π 2 R (1)

(2)

Тогда f00 (k 0 ) = f (k 0 ), f00 (k 0 ) ≡ 0. (1) (2) Вычислим f10 (k 0 ) = f10 (k 0 ) + sgn[<(−k)]f10 (k 0 ), Z Z 1 ∂k f (k) = dxdy u0 (x, y)[(ix − 2ky)ϕ(x, y, k, 0) + ∂k ϕ(x, y, k, 0)]× 2π R2 ¯ − (k 2 − k¯2 )y). × exp(−i(k + k)x Для вычисления производной ∂k ϕ воспользуемся интегральным уравнением для функции ϕ Z Z −1 dm ∧ dm ¯ ∂k ϕ = v.p. F (−m) ¯ exp(i(m + m) ¯ − (m2 − m ¯ 2 )y)ψ(x, y, m). 2 2iπ (k − m) C Функции F (−m) ¯ и ψ(x, y, m) — гладкие в правой и левой частях комплексной плоскости m можно показать, что этот интеграл существует. Представим его в более удобном виде. Для этого разобьем интеграл на сумму двух интегралов по правой и левой полуплоскостям комплексной плоскости. Проинтегрируем эти интегралы по частям, интегрируя дробь 1/(k − m)2 . В результате получим Z (±)dm ¯ −1 X ∂k ϕ = f (−m) ¯ exp(i(m + m)x ¯ − (m2 − m ¯ 2 )y)ψ(x, y, m)− 2iπ ± ∂Ω± k − m Z Z −1 X dm ∧ dm ¯ − [(ix − 2my)(±)f (−m)ψ(x, ¯ y, m)+ 2iπ ± Ω± k − m +(±)∂m f (−m)ψ(x, ¯ y, m) − ϕ(x, y, m)f (−m)f ¯ (m)] exp(i(m + m)x ¯ − (m2 − m ¯ 2 )y). Здесь Ω± — правая (+) и левая (−) полуплоскости. Интеграл по ∂Ω+ понимается как сумма интегралов по правой половине окружности с центром в начале координат при радиусе окружности стремящемся к бесконечности, несобственного интеграла по мнимой оси и интеграла по окружности малого радиуса ε вокруг точки k = m, если она лежит в Ω+ . Направление интегрирования в интеграле по ∂Ω+ определяется стандартным образом. Рассмотрим сумму интегралов по ∂Ω± . Каждый из интегралов по большим полуокружностям при R → ∞ стремится к нулю из-за убывания подынтегральной функции. Сумма интегралов по мнимой оси с учетом направления интегрирования дает удвоенный интеграл по мнимой оси в положительном направлении (заметим, что на мнимой оси фаза экспоненты равна нулю). Интеграл по малой окружности равен нулю.

50

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

В двойном интеграле вычислим производную ∂m f (−m). ¯ Для этого заметим, что ϕ(x, y, k, 0) = ¯ 0), следовательно, f (−m) ψ(x, y, −k, ¯ выражается через функцию ψ(x, y, m, 0), и тогда: Z Z 1 dxdy u0 (x, y)[−f (m)ϕ(x, y, m, 0)+ ∂m f (−m) ¯ = 2π R2 +(−ix − 2my)ψ(x, y, m, 0)] exp(−i(m + m)x ¯ − (m2 − m ¯ 2 )y). Таким образом, для f10 (k 0 ) получим выражение (1)

(2)

f10 (k 0 ) = f10 (k 0 ) + sgn[<(−k)]f10 (k 0 ), где  Z Z 1 0 0 ¯ = −f (−k )ψ(x, y, k , 0) dxdy u0 (x, y) (ix − 2ky)φ(x, y, k, 0)+ 2πi R2  Z i∞ −1 X dm ¯ + v.p. (±)f (−m)ψ(x, ¯ y, m, 0)− 0 2iπ ± −i∞ k − m  Z Z −1 X dm ∧ dm ¯ − (ix − 2my)(±)f (−m)ψ(x, ¯ y, m)+ 2iπ ± Ω± k − m  +(±)∂m f (−m)ψ(x, ¯ y, m) − ϕ(x, y, m)f (−m)f ¯ (m) ×   2 2 0 0 02 02 ¯ ¯ × exp(i(m + m)x ¯ − (m − m ¯ )y) exp(−i(k + k )x − (k − k )y) ; Z Z −1 (2) f10 = dxdy u0 (x, y)f (−k¯0 )ψ(x, y, k 0 , 0). π R2

(1) f10 (k 0 )

(1)

(2)

Выражение для f01 (k 0 ) = f01 (k 0 ) + sgn[<(−k)]f01 (k 0 ) вычисляется проще: Z Z 1 (1) 0 f01 (k ) = dxdy u0 (x, y)(−ix + 2k¯0 y)ϕ(x, y, k 0 , 0) exp(i(k 0 + k¯0 )x − (k 02 − k¯02 )y), 2iπ R2 Z Z 1 (2) 0 f01 (k ) = dxdy u0 (x, y)ψ(x, y, k 0 , 0) exp(2i(k 0 + k¯0 )x − 2(k 02 − k¯02 )y). 2iπ R2 Выражения для остальных коэффициентов разложения вычисляются аналогично. Лемма доказана. ¯ 2.3.3. Асимптотическое решение D-задачи. В этом пункте построено асимптотическое при t → ¯ ∞ решение D-задачи:     ∂k¯ µ = νF (k) exp(itS), µ 1 = . (2.54) ¯ ν 0 ∂k ν = −µF (−k) exp(−itS); |k|→∞ Решение задачи (2.51) получается из решения задачи (2.54) по формуле       ¯ ξ, η, t) ϕ µ(k, ξ, η, t) −ν(−k, = + . ¯ ξ, η, t) ψ ν(k, ξ, η, t) µ(−k,

(2.55)

Здесь построена асимптотика при t → ∞, равномерная по всем переменным. При построении ¯ ξ, η). важную роль играют стационарные по переменным k, k¯ точки функции S(k, k, Вне малых окрестностей стационарных точек асимптотическое разложение строится по обратным степеням параметра t. В окрестностях стационарных точек калибровочная последовательность имеет вид t−n/2 , где n = 0, 1, 2, . . . . Следуя терминологии метода согласования асимптотических разложений [34], асимптотику вне малых окрестностей стационарных точек будем называть внешним разложением, асимптотики вблизи стационарных точек — внутренними разложениями. Кроме того, правая часть в системе (2.54) — разрывная функция на линии <(k) = 0, поэтому асимптотическое решение строится в классе непрерывно дифференцируемых функций всюду, кроме линии <(k) = 0.

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

51

S  S  S  S  θ2 > 0 S  S  S  S  S

S

 S 

S
θ2 = 0
@

@

@

@

@ @ @ θ2 < 0 @ @ 00
@ Γ A Γ0
@ A

Рис. 1

Около каждой из двух стационарных точек существуют окрестности, в которых пригодны как внешнее, так и внутреннее разложение. В методе согласования этот факт используется для однозначного определения коэффициентов внутреннего разложения. Фазовая функция S зависит от двух управляющих параметров (ξ, η) ∈ R2 . На кривой 12ξ+η 2 = 0 происходит вырождение стационарных точек функции S. В этом случае имеется единственная вырожденная стационарная точка. В ее окрестности меняется характер асимптотического разложения решения задачи (2.54). Вблизи параболы 12ξ + η 2 = 0 разложение в окрестности вырожденной стационарной точки строится по степеням t−n/3 , где n = 0, 1, 2, . . . . Формулы для равномерных асимптотических разложений решения задачи (2.54) громоздки и, чтобы избежать многочисленных ссылок «вперед», результаты этого параграфа сформулированы в п. 2.3.4 для невырожденных и в п. 2.3.7 для вырожденной стационарной точки. При построении асимптотики решения задачи (2.54) четырехмерное пространство k ∈ C, (ξ, η) ∈ R2 разбивается на несколько областей. На рис. 1 схематично изображено трехмерное сечение этого пространства при некотором значении η = const. Параметр θ2 = −12ξ − η 2 — дискриминант квадратного уравнения ∂k S = 0. Ветви кривой ∂k S = 0 обозначены через Γ0 и Γ00 . Рассмотрим двусвязную область |12ξ + η 2 |t2/3  1. В этой области лежат две ветви кривой ∂k S = 0, на которой находятся невырожденные стационарные точки функции S. Вне малых окрестностей ветвей этой кривой асимптотическое разложение решения задачи (2.54) строится по целым обратным степеням параметра t. Коэффициенты этого разложения имеют особенности степенного характера на кривой ∂k S = 0, причем степень особенности нарастает с ростом номера поправки. Поэтому такое разложение непригодно в окрестностях ветвей кривой ∂k S = 0. В окрестностях ветвей кривой ∂k S = 0 калибровочная последовательность имеет вид t−n/2 , где n = 0, 1, 2, . . . . Cледуя терминологии метода согласования асимптотических разложений [34], асимптотику в области, отделенной от кривой ∂k S = 0, будем называть внешним разложением, асимптотики вблизи ветвей кривой ∂k S = 0 — внутренними разложениями. Как и в методе ВКБ, в окрестности стационарной точки решение определяется некоторыми специальными функциями. Здесь это решение уравнения ∂l u + ilu = 1,

l ∈ C,

где переменная l связана с исходной переменной k формулой 1 l2 = 4t(k − kj )3 + t(k − kj )2 ∂k2 S|k=kj , 2

52

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

где j = 1, 2. Заметим, что в одномерном случае уравнение для u — обыкновенное и выражается через интеграл Френеля. В нашем случае это уравнение в частных производных, и его решение определяется в классе гладких функций. На гиперповерхности 12ξ + η 2 = 0 обе ветви кривой ∂k S = 0 совпадают, и стационарная по k точка функции S вырождена. Внешнее разложение, пригодное в области |12ξ + η 2 |t2/3  1, терпит разрыв на 12ξ + η 2 = 0, а коэффициенты внутреннего разложения, обcуждавшегося выше, имеют особенности степенного типа, причем порядок особенности нарастает с ростом номера поправки. Поэтому вблизи гиперповерхности 12ξ + η 2 = 0, в области tγ |12ξ + η 2 |  1 для ∀γ > 0, строятся другие внешнее и внутреннее разложения, равномерные по параметру v 2 = (ξ + η 2 /12)t2/3 . Первая поправка во внешнем разложении имеет порядок t−2/3 , внутреннее разложение строится по степеням t−n/3 , n = 0, 1, 2, . . . . При построении внутреннего разложения в окрестности стационарной точки k0 = iη/12 основную роль играет уравнение ∂p U + i(12p2 − v 2 )U = 1,

p ∈ C.

(2.56)

Здесь переменная p связана с исходной переменной k формулой: p = t1/3 (k − k0 ). 2.3.4. Асимптотика в невырожденном случае. Здесь построено составное асимптотическое решение задачи (2.54) в случае, когда фазовая функция S имеет только невырожденные стацио 2 1/3 ∂k S|k=k1,2  1 при нарные точки k = k1 и k = k2 . В нашем случае предполагается, что t t → ∞ ∀k ∈ C. Это приводит к ограничениям на значения управляющих параметров ξ и η, а именно, t1/3 |12ξ + η 2 |  1. Результат о равномерно пригодном по k ∈ C асимптотическом решении сформулирован в конце этого раздела. Для построения составного асимптотического решения, равномерно пригодного при k ∈ C, необходимо построить внешнее и внутренние асимптотические решения, пригодные вне малых p окрестностей kj , j = 1, 2 и в малых окрестностях точек kj соответственно. Обозначим: θ = −12ξ − η 2 . Тогда стационарные точки функции S выражаются через θ: k1 = (iη + θ)/12, k2 = (iη − θ)/12. 2.3.5. Стационарные точки лежат вне линии разрыва. Рассмотрим случай, когда <(θ) 6= 0, то есть стационарные точки k1,2 лежат вне линии разрыва <(k) = 0. Сформулируем результат этого пункта о составном асимптотическом решении. Лемма 2.6. Пусть система уравнений (2.54) не имеет однородных решений, F (k) ∈ C 2 ∩ L1 при <(k) 6= 0 и управляющие параметры ξ и η удовлетворяют неравенству t1/3 |θ|2  1, тогда: p • при t|θ||k − k1,2 |  1 формальное асимптотическое по mod o(t−2 |∂k S|−3 ) решение системы (2.54) имеет вид 1

µ ˜ = 1 + t−1 µ(k, ξ, η), 1

2

1

ν˜ = (t−1 ν 1 (k, ξ, η) + t−2 ν 1 (k, ξ, η)) exp(−itS) + t−1 ν 0 (k, ξ, η); 1 1

2

1

функции µ, ν 1 , ν 1 , ν 0 определены в (2.65), (2.59), (2.63), (2.76); • при |θ|−1 |k − kj |  1 формальное асимптотическое по mod o(t−1 |θ|−1 ) решение системы (2.54) имеет вид 1

µ ˜ = 1 + t−1 M (lj , ξ, η), 1

2

ν˜ = (t−1/2 N (lj , ξ, η) + t−1 N (lj , ξ, η)) exp(−itS), где lj , j = 1, 2, связаны с k формулой lj = 1

1

√

s t(k − kj )

∂k2 Sj + 4(k − kj ), 2

2

функции M (lj , ξ, η), N (lj , ξ, η), N (lj , ξ, η) определены в (2.78), (2.73), (2.77).

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

53

Доказательство. Перейдем к построению формальных асимптотических разложений. Будем искать внешнее разложение в виде отрезка асимптотического ряда по степеням t: 1

ν ex

2

µex = 1 + t−1 µ(k, ξ, η) + t−2 µ1 (k, ξ, η) exp(itS),
1 2 1 = t−1 ν 1 (k, ξ, η) + t−2 ν(k, ξ, η) exp(−itS) + t−1 ν 0 (k, ξ, η).

(2.57) (2.58)

Подставим (2.57) и (2.58) в (2.54). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра t и осциллирующих и неосциллирующих слагаемых. В результате для коэффициентов разложений (2.57) и (2.58) получим следующие формулы: 1

ν1 =

¯ sgn(<(k))f (−k) ; i∂k S

(2.59)

1

(2.60)

∂k ν 0 (k, ξ, η) = 0; ¯ (k) −f (−k)f 1 ∂k¯ µ = ; i∂k S

(2.61)

1

sgn(<(k))f (k)ν 0 (k, ξ, η) µ1 (k, ξ, η) = ; i∂k¯ S −1 2 ¯ µ1 − ∂k ν1 1 ). ν= (− sgn(<(k))f (−k) i∂k S 2

(2.62) (2.63)

1

Функция ν 1 при переходе через мнимую ось имеет скачок −2if (k)/(∂k S). Чтобы для функции 1

ν коэффициент асимптотики при t−1 был непрерывным, добавим к ν 1 exp(iSt) аналитическую по k¯ функцию, терпящую такой же скачок при переходе через мнимую ось в обратном направлении: Z i∞ f (n) 1 ¯ = 1 ν 0 0 (k) dn ¯ . (2.64) iπ −i∞ (k − n)∂n S 1 1 1 Функция ν 0 0 не полностью определяет аналитическую по k¯ функцию ν 0 . В ν 0 есть еще слагаемые, которые определятся из условия согласования внешнего и внутренних разложений после построения внутренних разложений в окрестностях точек k1 и k2 . Исчезающее при |k| → ∞ и ограниченное при ∀k ∈ C решение уравнения (2.61) дает формула Коши — Грина: Z Z −1 dp ∧ d¯ p f (−¯ p)f (p) 1 µ= . (2.65) 2iπ i∂p S C k−p

Область значений k, при которых пригодно внешнее разложение, получается из условия 1 |t−1 ν

1 /(t

2 −2 ν)|

 1. В результате прямых вычислений получим: p t|θ||k − kj |  1.

Перейдем к построению внутреннего разложения в окрестности невырожденной стационарной точки kj , где j = 1, 2. Для этого введем растянутую переменную lj : s √ ∂k2 Sj lj = t(k − kj ) + 4t(k − kj ). (2.66) 2 Из формулы (2.66) следует, что при t → ∞ и не слишком больших значениях |lj |: (t1/2 |∂k2 Sj |3/2  |lj |) справедлива асимптотическая формула s 2 8 (k − kj ) = lj − l2 + . . . . (2.67) t∂k2 Sj t(∂k2 Sj )2 j

54

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

Перепишем систему (2.54) в переменных lj и ¯lj . Подставим в эту систему отрезок асимптотического ряда следующего вида: 1

µin = 1 + t−1 M j (lj , ξ, η),

(2.68)

2

1

ν in = (t−1/2 N j (lj , ξ, η) + t−1 N j (lj , ξ, η)) exp(−itS).

(2.69)

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра t. В результате получим уравнения для коэффициентов разложений (2.68) и (2.69): s 1 1 2 ∂lj N j − 2ilj N j = − sgn(<(kj ))f (−k¯j ); (2.70) 2 ∂k Sj    ¯lj 2 2 2 2 16 f (−k¯j ) − 2 f10 (−k¯j ) lj − 2 f01 (−k¯j ) ; (2.71) ∂lj N j − 2ilj N j = sgn(<(kj )) (∂k2 Sj )2 ∂k Sj |∂k Sj | s 1 1 2 ∂¯lj M j = − sgn(<(kj ))f (kj )N j . (2.72) 2 ∂k¯ Sj Построим решения уравнений (2.70)–(2.72). Во внешнем разложении функции ν нет членов 1

порядка t−1/2 , поэтому краевое условие для N 1 (lj , ξ, η) имеет вид 1

N j (lj , ξ, η)||lj |→∞ = 0. 1

Тогда решение краевой задачи для N j (lj , x, y) вычисляется по формуле √ Z Z 1 2f (−k¯j ) exp(i(lj2 + ¯lj2 )) dn ∧ d¯ n exp(−i(n2 + n ¯ 2 )). N j (lj , ξ, η) = sgn(<(kj )) q 2iπ C lj − n ∂k2 Sj

(2.73)

2

Решение неоднородного уравнения для N j (lj , ξ, η) имеет вид  2 8f (−k¯j ) f10 (−k¯j ) 2f01 (−k¯j ) s − − exp(i(lj2 + ¯lj2 ))− N j (lj , ξ, η) = sgn(<(kj )) (∂k2 Sj )2 ∂k2 Sj |∂k2 Sj |  Z Z 2f01 (−k¯j ) exp(i(lj2 + ¯lj2 )) dn ∧ d¯ n 2 2 ¯ −lj exp(−i(n + n ¯ )) . 2iπ |∂k2 Sj | C lj − n

(2.74)

1

Частное решение уравнения для M j (lj , ξ, η) выражается через четырехкратный интеграл: 1

Mjs =

−2f (kj )f (−k¯j ) J, |∂k¯2 Sj |

(2.75)

где J=

1 2iπ

Z Z C

¯ 2 )) dn ∧ d¯ n exp(i(n2 + n lj − n 2iπ

Z Z C

dm ∧ dm ¯ exp(−i(m2 + m ¯ 2 )). n−m

В параграфе 7 показано, как этот четырехкратный интеграл можно свести к двойному. В результате получим: Z Z exp(i(lj2 + ¯lj2 )) dn ∧ d¯ n ¯ J = lj exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) − exp(i(lj2 + ¯lj2 )). 2iπ C lj − n Существует область значений комплексного параметра k, в которой пригодны как внешнее, так и внутреннее асимптотические разложения решения задачи (2.54). В этой области асимптотические решения должны совпадать с точностью o(t−1 ). В области t1/2 |k − kj |  1 и |k − kj | ≤ t−1/4 пригодны как внешнее, так и внутреннее разложения. Для согласования этих разложений необходимы асимптотики внешнего разложения при k → kj и внутреннего разложения при |lj | → ∞.

3. ВРЕМЕННЫЕ 1

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

55

2

Приведем асимптотики функций N j и N js при |lj | → ∞: ! s 1 exp(i(lj2 + ¯lj2 )) 1 2 + + O(|lj |−3 ) ; f (−k¯j ) N j ||lj |→∞ = − sgn(<(kj )) ¯lj 2ilj ∂k2 Sj " #  ¯lj −2f01 (−k¯j ) 2 8if (−k¯j ) if10 (−k¯j ) −1 + O(|lj | ) . N j (lj , ξ, η)||lj |→∞ = sgn(<(kj )) − + 2ilj (∂k2 Sj )2 ∂k2 Sj |∂k¯2 Sj | Условие согласования для ν˜ в области t1/3 |k − kj |  1 и |k − kj | = o(1) означает, что: 1

2

1

1

(t−1/2 N j (lj , ξ, η) + t−1 N j (lj , ξ, η)) exp(−itS) − t−1 (ν 1 (k, ξ, η) exp(−itS) + ν 0 (k, ξ, η)) = o(t−1 ). Сравнивая асимптотики внутренних разложений, переписанных в терминах внешней переменной 1

2

k при k → k1,2 и внешнего разложения, получим выражение для ν 0 и N j : ¯ ¯ 1 1 ¯ + 2f (−k1 ) exp(itS1 ) + −2f (−k2 ) exp(itS2 ) , ν 0 (k, x, y) = ν 0 0 (k) |∂k2 S1 |(k − k1 ) |∂k2 S2 |(k − k2 )

(2.76)

1

¯ определена в (2.64); где функция ν 00 (k) 2

2

1

N j = N js + ν 0 0 (kj ) exp(i(lj2 + ¯lj2 )) exp(itSj ) +

2 sgn(<(km ))f (−k¯m ) exp(itSm ) |∂k2 Sm |(kj

− km )

exp(i(lj2 + ¯lj2 )), (2.77)

2

где m 6= j, функция N js определена в (2.74). 1

Перейдем к построению M j (lj , ξ, η). Асимптотика (2.75) при |lj | → ∞ имеет вид s ¯lj ∂ 2 Sj i f (−k¯j )f (kj ) 1 s k M j ||lj |→∞ = . lj ∂k¯2 Sj 12π ∂k2 S 1

Вычислим асимптотику µ0 при k → kj : 1

µ0 |k→kj =

(k − kj ) f (−k¯j )f (kj ) f (kj )f (−k¯j ) 1 − + k − kj 12i(kj − kn ) 12i(kj − kn ) 2iπ

Z Z dp ∧ d¯ p C

f (−¯ p)f (p) − f (kj )f (−k¯j ) ; 12i(p − kj )2 (p − kn )

здесь n ∈ 1, 2, n 6= j. Условие согласования для µ ˜ в области t−1/3 |k − kj |  1 и |k − kj | = o(t−1/4 ) имеет вид 1

1

(1 + t−1 µ0 (k, ξ, η)) − (1 + t−1 M j (lj , ξ, η)) = o(t−1 ). 1

Из этого условия окончательно определяется M j (lj , ξ, η): 1

1

M j (lj , ξ, η) = M js (lj , ξ, η) + Cj (ξ, η).

(2.78)

1

Здесь функция M js (lj , ξ, η) определена в формуле (2.75), Cj (ξ, η) имеет вид Z Z f (kj )f (−k¯j ) f (−¯ p)f (p) − f (kj )f (−k¯j ) 1 Cj (ξ, η) = − + dp ∧ d¯ p , 12i(kj − kn ) 2iπ 12i(p − kj )2 (p − kn ) C

(2.79)

где n ∈ 1, 2, n 6= j. Таким образом, построено внутреннее разложение в окрестности невырожденной стационарной точки при |12ξ + η 2 | ≥ t−1/4 . Лемма доказана. Построенные асимптотические решения не являются равномерными по k: в зависимости от рассматриваемой области значений комплексного параметра k необходимо пользоваться внешним или

56

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

одним из внутренних разложений. Области определения внешнего и внутренних разложений пересекаются. Следуя методу согласования асимптотических разложений [34], равномерно пригодное разложение можно представить в виде             ˜1 ˜2 ˜1 ˜2 µ ˆ µ ˜ M M M M = + + − A1,k − A1,k (2.80) ˜1 ˜2 ˜1 ˜2 . νˆ ν˜ N N N N ˜ определяется следующим образом [34]. ВозьРезультат действия оператора An,k на функцию M ˜ (lj , ξ, η, t), заменим в ней зависимость от lj зависимостью от k, исходя из формем формулу для M мулы (2.66). Затем выпишем сумму всех членов асимптотического разложения по t со степенями ˜ (l1 , ξ, η, t) и N ˜ (l1 , ξ, η, t) эта процедура приводит −m, где 0 ≤ m ≤ n. В частности, для функций M к формулам p θ(k − k1 )2 + 4(k − k1 )3 f (−k¯1 )f (k1 ) −1 ˜ ; A1,k (M1 ) = 1 + t p θ(k − k1 )2 + 4(k − k1 )3 2|∂k2 S1 |  f (−k¯1 ) f (−k¯1 ) exp(−it(S − S1 )) −1 ˜ p + A1,k (N1 ) = t − p 2iθ θ(k − k1 )2 + 4(k − k1 )3 |θ| θ(k − k1 )2 + 4(k − k1 )3 p  f01 (−k¯1 ) θ(k − k1 )2 + 4(k − k1 )3 1 0 p +ν 0 − . |θ| θ(k − k1 )2 + 4(k − k1 )3 Если подставить (2.80) в (2.54) и подсчитать невязку, получим следующее утверждение. Теорема 2.6. Формальное асимптотическое решение задачи (2.54) по mod(o((t|θ|)−1 )), равномерно пригодное при k ∈ C и θ2 t  1, имеет вид (2.80). 2.3.6. Стационарные точки лежат на линии разрыва. Если <(θ) = 0, то стационарные точки фазовой функции S лежат на линии разрыва коэффициента в уравнении (2.54). В этом случае построение формальной асимптотики решения задачи (2.54) отлично от построенного выше. Основной результат о составном решении дает следующее утверждение. Лемма 2.7. Пусть система уравнений (2.54) не имеет однородных решений, F (k) ∈ C 2 ∩ L1 при <(k) 6= 0pи управляющие параметры ξ и η удовлетворяют неравенству −t2/3 (12ξ + η 2 )  1, тогда при t|θ||k − k1,2 |  1 формальное асимптотическое по mod(o(t−2 |∂k S|−3 )) решение системы (2.54) имеет вид 1

µ ˜ = 1 + t−1 α(k, ξ, η), 1

2

1

ν˜ = (t−1 β 1 (k, ξ, η) + t−2 β 1 (k, ξ, η)) exp(−itS) + t−1 β 0 (k, ξ, η); 1 1

2

1

функции α, β 1 , β 1 , β 0 определены в (2.83), (2.84), (2.87), (2.93); при |θ||k − kj |  1 формальное асимптотическое по mod(o(t−1 |θ|−1 )) решение системы (2.54) имеет вид 1

Y˜ = 1 + t−1 Y (lj , ξ, η), 1

2

Z˜ = (t−1/2 Z(lj , ξ, η) + t−1 Z(lj , ξ, η) exp(−itS), 1

1

2

где функции Y (lj , ξ, η), Z(lj , ξ, η), Z(lj , ξ, η) определены в (2.95), (2.94). Доказательство. Перейдем к построению асимптотики. Внешнее разложение строится аналогично п. 2.3.5. Отличие состоит в том, что стационарные точки функции S лежат на линии разрыва. Это приводит к существенным изменениям в формулах для коэффициентов асимптотики. Будем искать внешнее разложение в виде отрезка асимптотического ряда по степеням t: 1

2

µex = 1 + t−1 α(k, ξ, η) + t−2 α1 (t, ξ, η) exp(itS), 1

1

(2.81)

2

ν ex = t−1 (β(k, ξ, η) exp(−itS) + β 0 (k, ξ, η)) + t−2 β exp(−itS).

(2.82)

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

57

После подстановки (2.81), (2.82) в систему (2.54) приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра t и при осциллирующих и неосциллирующих слагаемых соответственно. В результате для коэффициентов разложений (2.81) и (2.82) получаются те же уравнения, что и для коэффициентов разложений (2.57), (2.58). Выпишем явные формулы: Z Z −1 dn ∧ d¯ n f (−¯ n)f (n) 1 α= , (2.83) 2iπ C k − n i∂n S(n, ξ, η) ¯ 1 sgn(<(k))f (−k) β1 = . (2.84) i∂k S 1

Функция β 1 разрывна на мнимой оси. Для того, чтобы коэффициент асимптотического разложения (2.82) при t−1 был непрерывным, добавим аналитическую по k функцию, имеющую такой скачок, на мнимой оси при ее переходе в обратном направлении: Z i∞ Z i∞ 1 1 dnf (n)∂n¯ S 1 dnf (n) 0 . (2.85) β0 = = ¯ πi∂k¯ S −i∞ (k − n)∂n S πi∂k¯ S −i∞ k¯ − n 1

В отличие от ν 00 эта функция имеет особенности на линии разрыва. Формулы для остальных коэффициентов разложений (2.81), (2.82) имеют вид 1

sgn(<(k))f (k)β 0 (k, ξ, η) α1 = , i∂k¯ S 2 1 −1 1 ¯ α β= (− sgn(<(k)f (−k) − ∂k β 1 ). i∂k S 2

(2.86) (2.87)

1

Здесь аналитическая функция β 0 еще не определена. Она будет найдена после согласования внутреннего и внешнего разложений. Внутреннее разложение в окрестности точки kj зависит от растянутой переменной lj . Асим1

2

1

птотики функций µ и ν имеют ту же структуру по t, однако, уравнения для Z j , Z j и Y j имеют разрывные правые части: s 1 1 2 ∂lj Z j − 2ilj Z j = f (−k¯j ) sgn(<(¯l exp(iπ/4))); (2.88) 2 ∂k Sj   2 2 2lj (1) ¯ 2i¯lj (1) ¯ 16 ¯ ¯ ∂lj Z j − 2ilj Z j = sgn(<[l exp(iπ/4)]) f00 (−kj ) + 2 f01 (−kj ) + 2 f10 (−kj ) + (∂k2 Sj )2 ∂k Sj |∂k Sj | ¯ 2lj (2) 2ilj (2) + 2 f01 (−k¯j ) + 2 f10 (−k¯j ); (2.89) ∂k Sj |∂k Sj | s 1 1 2 ∂¯lj Y j = sgn(<(l exp(−iπ/4)))f (kj )Z j . (2.90) ∂k¯2 Sj Непрерывные на линии разрыва правой части частные решения уравнений (2.88), (2.89) и (2.90) получаются с помощью формулы Коши — Римана. Формулы для частных решений уравнений (2.88) и (2.89) отличаются от полученных в п. 2.3.5 наличием функции sgn под знаком двойного интеграла: 1

1

Z js = J [Hj ](lj ), 1

2

2

Z js = J [Hj ](lj ),

2

где H j и H j — правые части в уравнениях (2.88), (2.89). Оператор J имеет вид Z Z exp(i(lj2 + ¯lj2 )) dn ∧ d¯ n J [h](lj ) = h(n) exp(−i(n2 + n ¯ 2 )). 2iπ C lj − n

(2.91)

58

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

В выражении для частного решения уравнения (2.90) кроме двойного интеграла, как в (2.75), 1

имеется слагаемое, определяющееся интегралом по линии разрыва. Функция Y js имеет вид 1

Y js =

2f (kj )f (−k¯j ) (J − 2J+− − 2J−+ ), |∂k¯2 Sj |

(2.92)

где Z Z J∓± =

Ω∓

dm ∧ dm ¯ exp(i(m2 + m ¯ 2 )) l−m 2iπ

Z Z Ω±

dn ∧ d¯ n exp(−i(n2 + n ¯ 2 )). n−m

Здесь Ω± = {±<[l exp(−iπ/4) > 0}. Заметим, что J−+ (l) = J+− (−l). В параграфе 7 показано, как интеграл J−+ сводится к двукратному. Приведем окончательный результат: Z Z 3 dm ∧ dm ¯ J−+ = − iπ + il exp(−i(m2 + m ¯ 2 )) при l ∈ Ω+ ; 4 ¯ Ω+ il − m Z Z dm ∧ dm ¯ 1 1 J−+ = ¯l exp(i(l2 + ¯l2 )) exp(−i(m2 + m ¯ 2 )) − iπ − iπ exp(i(l2 + ¯l2 )) при l ∈ Ω− . ¯ 4 2 Ω+ il − m 1

Таким образом, функция Y js выражается через сумму двойных интегралов. Перейдем к согласованию внешнего и внутреннего асимптотических разложений. Для этого необходимы асимптотики по l при |l| → ∞ частных решений уравнений (2.88), (2.89). Асимптотики двукратных интегралов, встречающихся в формулах для этих решений, вычислены в п. 7.1. Воспользовавшись ими, получим: ! s 1 exp(−i(lj2 + ¯lj2 )) −1 2 −2 s + + O(|lj | ) ; Z j ||l|→∞ = sgn[<[−¯lj exp(iπ/4)]]f (−k¯j ) ∂k2 Sj 2ilj 2¯lj 2

Z js ||lj |→∞ = " #    (1) ¯lj − 1 1 2if 1 (1) 10 + = sgn[<[−¯lj exp(iπ/4)]] − exp(i(lj2 + ¯lj2 )) − exp(i(lj2 + ¯lj2 )) 2f01 + 2ilj 2 4 4 |∂k2 Sj |2  (2)  ¯ lj 2if10 1 (2) 2 2 ¯ + 2 + exp(i(lj + lj )) + if01 + O(|lj |−1 ). |∂k Sj | −2il 2 1

Асимптотика функции β 000 : 1

  Z ∞ f (in) − f (kj ) 1 ¯ = f (kj ) sgn[<(−k)] + dn + πi −∞ n − ikj 12i(k − kj )(kj − km )   Z ∞ f (in) − f (kj ) 1 −1 ¯ + f (kj ) sgn[<(−k)] + dn + 12i(kj − km )2 πi −∞ n − ikj  1 (1) (2) (1) (2) + f01 (kj ) + f01 (kj ) sgn[=(ik)] + f10 (kj ) + f10 (kj ) sgn[=(ik)]+ 12i(kj − km )  Z ∞ (2) (2) f (in) − f (kj ) − (in − ikj )f01 (kj ) − (in − ikj )f10 (kj ) 1 + dn + o(1). πi −∞ (n − ikj )2 1

β 000 |k→kj

Из условий согласования асимптотик внешнего разложения ν ex и внутреннего разложения ν in окончательно определяются: 1

1

β0 = β00 −

C11 12i(k − k1 )(k1 − k2 )

−

C21 12i(k − k2 )(k2 − k1 )

,

(2.93)

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

59

1

где β 00 определена в формуле (2.85), Cj1 =

1 πi

1

1

Z

Z j = Z js 1

∞

dn −∞ 2

и

f (−n) − f (−kj ) , n − ikj

j = 1, 2;

2

Z j = Z js − exp(−i(lj2 + ¯lj2 ))Cj2 ,

(2.94)

2

где функции Z js и Z js определены в (2.91), Z ∞ (2) (2) f (n) − f (−k¯j ) − f01 (−k¯j )(n − ikj ) − (n − ikj )f10 (kj ) i 1 (2) 1 ¯ Cj = 2 f10 (−kj ) − dn . πi −∞ ∂k Sj (n − ikj )2 1

Асимптотика функции Y js : 1

s j

Y =



 i¯lj f (−k¯j )f (kj ) . − iπ + 12πlj |∂k2 Sj |

Тогда условие согласования асимптотик внешнего и внутреннего разложений для µex и µin дает: 1 1 f (−k¯j )f (kj ) , (2.95) Y j = Y js + Cj (ξ, η) + iπ |∂k2 Sj | 1

где Y js определена в (2.92), функция Cj (ξ, η) определена в формуле (2.79). Лемма доказана. Построенные внутреннее и внешнее разложения неравномерны по параметрам k, ξ, η. Равномерное по k разложение при (12ξ + η 2 )t1/3  1 строится аналогично тому, как это было сделано в предыдущем пункте:             µ ˆ µ ˜ Y˜1 Y˜2 Y˜1 Y˜2 = + + − A1,k − A1,k . (2.96) νˆ ν˜ Z˜1 Z˜2 Z˜1 Z˜2 Оператор An,k определен выше. Подставим (2.96) в (2.54) и подсчитаем невязку. В результате получим следующее утверждение. Теорема 2.7. Формальное асимптотическое решение задачи (2.54) по mod(o((t|θ|)−1 )), равномерно пригодное при k ∈ C и −θ2 t2/3  1, имеет вид (2.96). 2.3.7. Асимптотика в окрестности вырожденной стационарной точки. Система уравнений в задаче (2.54) зависит от двух управляющих параметров ξ и η. На параболе 12ξ +η 2 = 0 происходит вырождение стационарных точек: k1 = k2 = k0 = iη. Это p приводит к тому, что асимптотики, построенные в п. 2.3.4 непригодны, когда параметр θ = η 2 + 12ξ близок к нулю. В частности, 1

асимптотика при k → k0 коэффициента µ внешнего разложения при θ → 0 имеет разрывный характер:   θ¯ k − k0 |k − k0 | 1 [µ|k→k0 ]|θ→0 = − f (−k¯0 )f (k0 ) + o(1). 12i((k − k0 )2 − θ2 ) θ 12i((k − k0 )2 − θ2 ) Это является указанием на то, что здесь необходимо растягивать параметр θ. Растянутый управляющий параметр в этом разделе определяется формулой θ v = t1/3 √ . 12 Если внешнее разложение, построенное в п. 2.3.4, вблизи θ = 0 становится разрывным, то внутреннее разложение из п. 2.3.4 в точке θ = 0 имеет особенность и теряет свой асимптотический характер. Поэтому здесь изменяется и характерная переменная для внутренней асимптотики: p = t1/3 (k − k0 ).

(2.97)

В случае значений управляющего параметра θ, близких к нулю, следует строить заново внешнее и внутреннее разложения.

60

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

В этом пункте построено составное формальное асимптотическое решение задачи (2.54) по mod(o(t−1 )) при |θ|  1 и равномерное по k ∈ C. Результат о составном решении сформулирован в конце пункта. Для построения составного решения потребуются внешнее и внутреннее асимптотические разложения решения, пригодные вне малой окрестности точки k0 и в малой окрестности этой точки. Сформулируем результат о внешнем и внутреннем разложениях. Лемма 2.8. Пусть система уравнений (2.54) не имеет однородных решений, F (k) ∈ C 2 ∩ L1 и параметры ξ и η удовлетворяют неравенству |12ξ + η 2 |  1, тогда при |k − k0 |t1/3  1 формальное асимптотическое по mod(o(t−2/3 /|k − k0 |) + o(t−1 )) решение системы (2.54) имеет вид 1

µ ˜ = 1 + t−1 m(k, ξ, η), 1

1

2

ν˜ = t−2/3 n0 + t−1 (n1 exp(itS) + n0 ), 1

1

2

функция m определена в (2.122), функции n0 и n2 определяются формулами (2.118) и (2.119), 1

функция n1 — формулой (2.110); при |k−k0 |  1 асимптотическое по mod(o(t−2/3 |k−k0 |+o(t−1 )) решение системы (2.54) имеет вид 1

2

µ ˜ = 1 + t−2/3 M + t−1 M, 1

2

3

ν˜ = (t−1/3 N + t−2/3 N + t−1 N ) exp(−itS); j

j

функции M, j = 1, 2, и N , j = 1, 2, 3, определены в (2.121), и (2.120). Доказательство. Будем искать внутреннее формальное асимптотическое решение системы (2.54) в виде отрезка асимптотического ряда: 1

2

Min = 1 + t−2/3 M + t−1 M, 1

2

(2.98)

3

N in = (t−1/3 N + t−2/3 N + t−1 N ) exp(−itS).

(2.99)

В системе (2.54) перейдем от переменной k к переменной p. Фазовая функция экспоненты связана с переменной p формулой tS ≡ ω(p) ≡ 4(p3 + p¯3 ) − v 2 (p + p¯), √ где v = t1/3 θ/ 12. Подставим (2.98) и (2.99) в систему (2.54), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра t. В результате получим последовательность уравнений для коэффициентов разложений (2.98) и (2.99): 1

1

∂p N − i(12p2 − v 2 )N = sgn[<(−¯ p)]f (−k¯0 ); (2.100) 2 2
(1) (1) (2) (2) ¯ ∂p N − i(12p2 − v 2 )N = − sgn[−<(¯ p)] f01 (−k¯0 )¯ p + f10 (−k)p − f01 (−k¯0 )¯ p − f10 (−k¯0 )p; (2.101) 1

1

∂p¯M = sgn[−<(¯ p)]f (k0 )N ;

(2.102)

3 3 1 (1) (2) ∂p N − i(12p2 − v 2 )N = − [sgn[−<(−¯ p)]f20 (−k¯0 ) + f20 (−k¯0 )]p2 − 2 1 (1) (2) − [sgn[−<(−¯ p)]f02 (−k¯0 ) + f02 (−k¯0 )]¯ p2 − 2 (1)

1

(2)

−[sgn[−<(¯ p)]f11 (−k¯0 ) + f11 (−k¯0 )]|p|2 − sgn[−<(−¯ p)]f (−k¯0 )M. 2

2

(1)

(2)

(2.103)

1

∂p¯M = sgn[<(p)]f (k0 )N + [sgn[−<(¯ p)]f10 (k0 ) + f10 (k0 )]N p+ (1)

(2)

1

+[sgn[−<(k)]f01 (k0 ) + f01 (k0 )]N p¯.

(2.104)

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

61

Эти уравнения получены в предположении, что |p|t−1/3  1. Равномерно ограниченные частные решения уравнений для коэффициентов разложения (2.99) получаются применением к правой части g(p) соответствующего уравнения интегрального оператора: exp(iω(p)) P[g] = 2iπ

Z Z C

dr ∧ d¯ r exp(−iω(r))g(r). p−r

(2.105) 1

2

Таким образом, ограниченные частные решения уравнений (2.100) и (2.101) — функции Ns и Ns — представляются через двукратные интегралы. Ограниченные частные решения уравнений для коэффициентов разложения (2.98) строятся с помощью формулы Коши — Грина. Формула для частного решения уравнения (2.102) имеет вид 1

Ms (p, ξ, η) = f (k0 )f (−k¯0 )(J1 (p, v 2 ) − 2J1−+ − 2J1+− ).

(2.106)

Здесь 1 J1 = 2iπ

Z Z

1 2iπ

Z Z

C

dn ∧ d¯ n exp(iω(n)) p−n 2iπ

Z Z C

dr ∧ d¯ r exp(−iω(r)) n−r

и J1∓± =

Ω∓

dn ∧ d¯ n exp(iω(n)) p−n 2iπ

Z Z Ω±

dr ∧ d¯ r exp(−iω(r)). n−r

В параграфе 7 интегралы J1 и J1−+ сведены к двойным интегралам. Аналогично можно пред1

ставить в виде суммы двойных интегралов и J1+− . Поэтому Ms тоже может быть выражена через двукратные интегралы. Это выражение очень громоздко и здесь не приводится. Мы им восполь1

зуемся ниже при вычислении асимптотики Ms при |p| → ∞. Ограниченное при p ∈ C частное решение уравнения (2.104) можно построить аналогично. Для 2

M приведем следующее утверждение. 2

Лемма 2.9. Непрерывное частное решение уравнения для M существует и равномерно ограничено при p ∈ C. 2

Схема доказательства. Частное решение уравнения для M получается в результате применения оператора Z Z 2 dn ∧ d¯ n 1 −1 s ∂p¯ [g] = M ≡ g(n) (2.107) 2iπ C p−n к правой части уравнения. Получающиеся в результате этого интегралы непрерывны в силу непрерывности интегрального оператора по параметру p. Ограниченность этих интегралов равномерно по параметру p при p ∈ C можно доказать, исходя из асимптотик при |p| → ∞ слагаемых из правой 2

части уравнения для M. Перейдем к построению внешнего разложения. Будем искать его в следующем виде: 1

2

2

m = 1 + t−1 m0 (k, v) + t−5/3 (m1 exp(itS) + m0 ) + . . . ; 1

2

3

1

2

n = (t−1 n1 (k, v) + t−5/3 n1 (k, v) + t−2 n1 . . . ) exp(itS) + t−2/3 n0 (k, v) + t−1 n0 (k, v) + . . . .

(2.108) (2.109)

62

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

Подставим (2.108) и (2.109) в (2.54). Действуя так же, как в п. 2.3.4, получим: 1 ¯ n1 = sgn[<(−k)]

¯ f (−k) ; 12i(k − k0 )2 1

∂k¯ m =

2 ¯ n1 = − sgn[<(−k)]

¯ f (k)f (−k) ; 12i(k − k0 )2

1

∂k n0 (k, ξ, η) = 0; ¯ 2 f (k)f (−k)v ; ∂k¯ m0 = 144i(k − k0 )4

¯ v 2 f (−k) ; 144i(k − k0 )4

(2.111)

2

(2.112)

∂k n0 (k, ξ, η) = 0; 1

¯ (k) n0 (k, ξ, η) ; m1 (k, ξ, η) = sgn[<(−k)]f 12i¯(k − k0 )2  1 1 3 ¯ (−k) ¯ m sgn[<(−k)]f n1 (k, ξ, η) = 0+ 12i(k − k0 )2 (1) ¯ ¯ sgn[<(−k)] ¯ + f (2) (−k) ¯  2f (−k) f10 (−k) 10 ¯ + sgn[<(−k)] − . 12i(k − k0 )3 12i(k − k0 )2 2

(2.110)

2

1

2

(2.113)

(2.114)

3

Формулы (2.110) и (2.114) полностью определяют n1 , n1 и n1 . Из формул (2.112) следует, что 1 2 ¯ Явный вид этой зависимости определяфункции n0 и n0 аналитически зависят от переменной k. ется из двух условий: во-первых, из условия непрерывности асимптотики, во-вторых, из условия согласования внешнего и внутреннего асимптотических разложений. Можно показать, что для непрерывности по k коэффициента асимптотики (2.109) при t−1 до2

статочно, чтобы в n0 содержалось слагаемое 2 n00

1 1 = πi 12i(k − k0 )2

Z

i∞

−i∞

dλ f (−¯l). k−λ

(2.115)

Из формул (2.113) следует, что коэффициент асимптотики (2.108) при t−5/3 определяется после 1

вычисления n0 , т.е. после согласования коэффициентов внешнего и внутреннего разложений при t−2/3 . 1 1 Рассмотрим подробнее задачу для m. В дополнение к уравнению (2.111), функция m должна удовлетворять краевому условию: 1

m0 ||k|→∞ = 0. Внешнее решение пригодно вне малых окрестностей точек kj , j = 0, 1, 2. Поэтому убывающее при |k| → ∞, всюду гладкое, ограниченное решение уравнения (2.111) Z Z dr ∧ d¯ r f (−¯ r)f (r) − f (−k¯0 )f (k0 ) (k − k0 )f (k0 )f (−k¯0 ) 1 1 (2.116) m0s (k, θ) = + 12i(k − k0 )2 2iπ 12i(r − k0 )2 C k−r определено с точностью до аналитической функции переменной k, имеющей особенность при 1

t1/3 |k − k0 |  1. Полностью m0 определяется при согласовании внутреннего и внешнего разложений. Для согласования асимптотических разложений в окрестности вырожденной стационарной точки k0 необходимы асимптотики частных решений уравнений (2.100)–(2.103) при |p| → ∞. Построение этих асимптотик сводится к вычислению асимптотик кратных интегралов со слабой особенностью подынтегральной функции. Эти вычисления проведены в параграфе 7. Основываясь на них, приведем асимптотики частных решений уравнений (2.100)–(2.103) при |p| → ∞: 1

1 1 − − 2 2 2 ¯ + 2 exp(iω(p))f (−k¯0 )[φ+ 00 (v ) − φ00 (v )] + 2 exp(iω(p))f (−k)[φ01 (v ) − φ01 (v )]+ p¯ p¯   1 exp(iω(p)) 1 ¯ + f (−k0 ) sgn[<(−¯ p)] − + O(|v 2 ||p|−3 ); 12i p2 p¯2     2 exp(iω(p)) + 2 1 exp(iω(p)) sgn[<(−¯ p)] (1) ¯ − s 2 N (p, ξ, η) = (φ10 (v ) − φ10 (v )) + − f10 (−k0 )+ p¯ p p¯ 12i

Ns (p, ξ, η) =

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

63

   1 1 exp(iω(p)) + 2 (2) 2 + exp(iω(p))φ10 (v 2 ) + f10 (−k¯0 ) + (φ01 (v ) − φ− 01 (v ))+ p¯ 12ip p¯      p¯ exp(ω(p)) sgn[<(−¯ p)] (1) ¯ 1 p¯ (2) 2 + 2− f01 (−k0 ) + exp(iω(p))φ01 (v ) + f (−k¯0 )+ p p¯ 12i p¯ 12ip2 01 +O(|p|−2 ) + O(|v|2 |p|−2 );  1 −¯ p 1 s ¯ M (p, ξ, η) = −f (k0 )f (−k0 ) + (−12iφ01 (v 2 )φ10 (v 2 )+ 2 12ip p  2 − 2 − + 2 2 2 +iv 2 φ00 (v 2 )φ00 (v 2 )) − iv 2 (φ+ 00 (v )ψ00 (v ) + φ00 (v )ψ00 (v ))+ p  1 + − 2 − + 2 2 2 +12i(φ01 (v )ψ01 (v ) + φ01 (v )ψ01 (v )) − ψ01 + O(|v|2 |p|−2 ); 2   2 p¯ p¯ 1 p¯2 (1) (2) (1) s ¯ ¯ M (p, ξ, η) = f (k0 )f10 (−k0 ) + f (k0 )f10 (−k0 ) + sgn[<(p)] + f (k0 )f01 (−k¯0 ) + 12ip 12ip 12i 24ip2  2  p¯ 1 (2) ¯ +f (k0 )f01 (−k0 ) − sgn[<(p)] + Φ(v 2 ) + O(|v|2 |p|−1 ); 24ip2 24i   3 1 (1) Ns (p, ξ, η) = sgn[<(−¯ p)](1 − exp(iω(p)))f20 (−k¯0 ) + 24i   2   p¯ exp(iω(p)) (1) ¯ p¯2 (2) ¯ + sgn[<(−¯ p)] − f02 (−k0 ) + f (−k0 ) + 12ip2 24i 24ip2 02     p¯ exp(iω(p)) (1) ¯ p¯ (2) ¯ + sgn[<(−¯ p)] + f11 (−k0 ) + f (−k0 ) + 12ip 12i 12ip 11 +f 2 (−k¯0 )f (k0 ) exp(iω(p))Ψ(v 2 ) + O(|v||p|−1 ). 0

В этих формулах приняты обозначения: Z Z ± φmn = dr ∧ d¯ rrm r¯n exp(iω(r)), ∓<(r)>0 Z Z ± ψmn = dr ∧ d¯ rrm r¯n exp(−iω(r)), ∓<(r)>0 Z Z φmn = dr ∧ d¯ rrm r¯n exp(iω(r)), Z ZC ψmn = dr ∧ d¯ rrm r¯n exp(−iω(r));

(2.117)

C 2

в формуле для асимптотики функции Ms функция Φ(v 2 ) — гладкая, равномерно ограниченная при 3

v 2 ∈ R; в формуле для асимптотики N функция Ψ(v 2 ) — гладкая, равномерно ограниченная при v 2 ∈ R. Вычислим асимптотику коэффициентов внешнего разложения при k → k0 и ∂k2 S = o(1):  1 1 (1) ¯ ¯ ¯ + n1 |k→k0 = f (−k0 ) sgn[<(−k)] + f (−k) 12i(k − k0 )2 12i(k − k0 ) 10    k − k0 k − k0 (1) (2) (2) ¯ ¯ ¯ ¯ +f01 (−k0 ) sgn[<(−k)] + + f10 (−k0 ) + f01 (−k0 ) k − k0 k − k0  1 (2) ¯ k − k0 1 (1) (k − k0 )2 1 (1) ¯ (1) ¯ + f (−k0 ) + + f02 + f20 (−k) + f11 (−k0 ) 2 (k − k0 ) 2 20 k − k0 2 2  k − k0 1 (2) ¯ (k − k0 )2 (2) ¯ ¯ + o(1); + f (−k0 ) sgn[<(−k)] +f11 (−k0 ) k − k0 2 02 (k − k0 )2 1

64

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

  Z ∞ 1 dλf (iλ) πif (−k¯0 ) sgn[<(−¯ p)] + v.p. + 12i(k − k0 )2 2iπ −∞ λ − ik0  1 1 (1) (1) πif01 (−k¯0 ) + πif10 (−k¯0 ) + (πif10 (2)(−k¯0 ) + + πi 12i(k − k0 )  Z ∞ dλf (iλ) (2) + +πif01 (−k¯0 )) sgn[<(−k¯0 )] + v.p. 2 −∞ (λ − ik0 )

2

1

n00 =

 1 (1) (1) (1) (2) (2) πif20 (−k¯0 ) + 2πif11 (−k¯0 ) + πif02 (−k¯0 ) + (πif20 (−k¯0 ) + 2πif11 (−k¯0 ) + + 12i  Z ∞ dλf (iλ) (2) ¯ ¯ +πif02 (−k0 )) sgn[<(−k)] + v.p. + o(1); 3 −∞ (λ − ik0 ) 1

ms =

(k − k0 ) k − k0 (1) ¯ + f (−k¯0 )f (k0 ) − [(f10 (−k¯0 ) sgn[<(−k)] 2 12i(k − k0 ) 12i(k − k0 ) (2) (1) (2) +f (−k¯0 ))f (k0 ) + f (−k¯0 )(f (k0 ) sgn[<(k)] + f (k0 ))] − 10

−

10

10

)2

(k − k0 (1) ¯ + f (2) (−k¯0 )) + [f (k0 )(f01 (−k¯0 ) sgn[<(−k)] 01 2 12i(k − k0 ) (1) (2) +f (−k¯0 )(f (k0 ) sgn[<(k)] + f (k0 ))] + o(1). 01

01

Проведем согласование внешнего и внутреннего разложений функции ν˜. Условие согласования для ν˜ в области t−1/3  |k − k0 |  1 при |θ|  1 имеет вид 1

2

1

1

2

3

(t−2/3 n0 + t−1 n0 + t−1 n1 exp(itS)) − (t−1/3 N + t−2/3 N + t−1 N ) = o(t−1 ). В этой формуле приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра t. В результате получим: 1 − 2 2 f (−k¯0 )[φ+ 00 (v ) − φ00 (v )], k − k0 1 2 − 2 ¯ + 2 n0 = 2 f (−k)[φ01 (v ) − φ01 (v )]+ k − k0 1 1 (1) (2) − 2 2 + f10 (−k¯0 )[φ+ f10 (−k¯0 )φ10 (v 2 )+ 10 (v ) − φ10 (v )] + k − k0 k − k0 1 1 (1) (2) + − 2 2 + f01 (−k¯0 )[φ01 (v ) − φ01 (v )] + f01 (−k¯0 )φ01 (v 2 ), k − k0 k − k0 1

n0 =

(2.118)

(2.119)

где φ, ψ, φ± и ψ ± определены в (2.117); 1

N = P[g1 ],

2

N = P[g2 ],

3

N = P[g3 ] − f02 (−k¯0 )f (k0 ) exp(iω(p))Ψ(v 2 ),

(2.120)

j

где gj — правые части в уравнениях для N , оператор P[g] определен формулой (2.105), функция Ψ(v 2 ) — гладкая, равномерно ограниченная по v 2 при v 2 ∈ R. Условие согласования для µ ˜ в области t−1/3  |k − k0 |  1 при |θ|  1 имеет вид 1

1

2

(1 + t−1 m) − (1 + t−2/3 M + t−1 M) = o(t−1 ). В результате получим: 1

1

M = Ms ,

2

2

M = Ms − Φ(v 2 ),

(2.121)

3. ВРЕМЕННЫЕ 1

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

65

2

где функция Ms определена формулой (2.106), функция Ms определена формулой (2.107), функция Φ(v 2 ) — гладкая, равномерно ограниченная при v 2 ∈ R; 1

1

m = ms −

1 (−12iφ01 (v 2 )φ10 (v 2 ) + iv 2 φ00 (v 2 )φ00 (v 2 )) − k − k0  2 − 2 − + 2 2 2 − iv 2 (φ+ 00 (v )ψ00 (v ) + φ00 (v )ψ00 (v )) + k − k0  1 + − 2 − + 2 2 2 +12i(φ01 (v )ψ01 (v ) + φ01 (v )ψ01 (v )) − ψ01 . 2

(2.122)

1

Здесь функция ms определена в (2.116), функции ψ ± , φ± , φ и ψ — в формулах (2.117). Внутреннее в окрестности k0 и внешнее разложения µ ˜ и ν˜ согласованы. Лемма доказана. Построенные внутреннее и внешнее разложения неравномерны по параметру k. Так же, как в п. 2.1, построим составное разложение, равномерно пригодное при k ∈ C. Следуя методу согласования асимптотических разложений [34], равномерно пригодное разложение можно представить в виде         ˜1 ˜1 µ ˆ m ˜ M M = + − A1,k . (2.123) ˜1 ˜1 νˆ n ˜ N N ˜ 1 в формуле для M1 надо заменить переЗдесь для вычисления действия оператора An,k на M менную p на переменную k в соответствии с формулой (2.97) и выписать все члены асимптотиче˜ ского разложения по t со степенями −m, где 0 ≤ m ≤ n. В частности, для функции M(p, ξ, η, t) получим:   −k − k0 ˜ A1,k [M(p, ξ, η, t)] = 1 + t−1 − f (k0 )f (−k¯0 ) + 12i(k − k0 )2 1 + (−12iφ01 (v 2 )φ10 (v 2 ) + iv 2 φ00 (v 2 )φ00 (v 2 ))− k − k0  2 − 2 − + 2 2 2 − iv 2 (φ+ 00 (v )ψ00 (v ) + φ00 (v )ψ00 (v ))+ k − k0  1 + − 2 − + 2 2 2 +12i(φ01 (v )ψ01 (v ) + φ01 (v )ψ01 (v )) − ψ01 + 2   k − k0 k − k0 1 (1) (2) ¯ ¯ +f (k0 )f10 (−k0 ) + f (k0 )f10 (−k0 ) + sgn[<(k)]+ 12i(k − k0 ) 12i(k − k0 ) 12i    2 2 1 k − k0 k − k0 (1) (2) ¯ ¯ +f (k0 )f01 (−k0 ) + f (k0 )f01 (−k0 ) − sgn[<(k)] . 24i(k − k0 )2 24i(k − k0 )2 24i ˜ ] более громоздко и поэтому здесь не приводится. Явное выражение для A1,k [N Теорема 2.8. Формула (2.123) дает асимптотическое по mod(o(t−1 )) при t → ∞ решение задачи (2.54), равномерно по k ∈ C и |θ|  1. ¯ 2.3.8. Обоснование асимптотики решения D-задачи. В этом пункте доказано, что остаток −4/3 асимптотики имеет порядок t равномерно по k ∈ C и дифференцируем по параметру x. Остатком асимптотики здесь называется разность между решением задачи (2.54) и асимптотическим решением (2.80) при θ2 t−2/3  1, (2.96) при −θ2 t−2/3  1 и (2.123) при |θ|  1. Дифференцируемость остатка асимптотики важна при построении временной асимптотики решения уравнения КП-2. ¯ ∈ L1 ∩ C 1 при |α| ≤ 2 вне мнимой оси комплексного параметра Теорема 2.9. Пусть ∂ α f (k, k) kи Z Z dk ∧ dk¯ sup |F (k)| < 2π, z∈C C |k − z|

66

3. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

¯ ЗАДАЧИ D-

тогда решение задачи (2.54) 

µ ν



 =

µ ˜ ν˜



+ O(t4/3 )

(2.124)

при k ∈ C, ξ, η ∈ R. Остаток асимптотики равномерно дифференцируем по x. Доказательство. Выпишем систему дифференциальных уравнений для остатка. Для этого обозначим остаток в формуле (2.128) через V . Подставим (2.128) в (2.54). В результате получим:     ¯ exp(itS) ∂k¯ 0 0 F (−k) V + f, (2.125) V = 0 ∂k F (k) exp(−itS) 0 V ||k|→∞ = 0.

(2.126)

Здесь f — невязка в уравнении (2.54) при подстановке в него столбца (˜ µ, ν˜)T : ¯ exp(itS)˜ f1 = −∂¯ µ ˜ + F (−k) ν, k

f2 = −∂k ν˜ + F (k) exp(−itS)˜ µ. Обозначим через X пространство ограниченных непрерывных по k вектор-функций с нормой kW k =

sup

|W1 | +

k∈C,(ξ,η)∈R2

sup

|W2 |.

k∈C,(ξ,η)∈R2

От задачи (2.125), (2.126) перейдем к системе интегральных уравнений: V = G[F ]V + H,

(2.127)

где G[F ] — интегральный оператор:  F (−m) ¯ 0 exp(itS) 1   k−m dm ∧ dm ¯  F (m) G[F ]V =  V (m, ξ, η, t); 2iπ m∈C exp(−itS) 0 k−m   f1 (m, ξ, η, t) Z Z 1   k−m H= dm ∧ dm ¯  f (m, . ξ, η, t) 2 2iπ m∈C k−m Воспользовавшись явным представлением функций f1,2 , можно показать, что 

Z Z

kHk = O(t−4/3 ) равномерно по ξ, η ∈ R и k ∈ C. Оператор G[F ] — сжимающий в пространстве X, поэтому решение интегрального уравнения (2.127) существует в X и оценивается в X величиной O(t−4/3 ) равномерно по ξ, η ∈ R. Покажем, что остаток асимптотики дифференцируем по параметру x = tξ. Продифференцируем по x систему уравнений для остатка. Обозначим производную вектора V по x через χ. Тогда для χ получим: χ = G[F ]χ + ∂x G[F ]V + ∂x H. Неоднородные слагаемые в правой части этого уравнения оцениваются величиной O(t−4/3 ) в пространстве X, оператор G[F ] — сжимающий в X, поэтому для χ справедлива оценка: kχk = O(t−4/3 ). Теорема доказана. 2.3.9. виде:

Решение уравнения КП-2. Асимптотика решения задачи (2.51) при t → ∞ записывается в 

φ ψ



 =

µ ˜ ν˜



¯ ξ, η, t) + (k, k,



−˜ ν µ ˜



¯ −k, ξ, η, t) + O(t−4/3 ). (−k,

Второе слагаемое в этой формуле — решение задачи (2.51) с краевым условием     µ ˜ 0 = . ν˜ |k|→∞ 1

(2.128)

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

67

Доказательство теоремы 2.4. Подставим функцию ψ в формулу для решения уравнения КП-2 (2.52). Продифференцируем подынтегральное выражение по x. Главными под интегралом оказываются слагаемые, полученные при дифференцировании экспоненты. Производные по x остальных сомножителей оказываются малыми из-за их медленной зависимости от x. Интегралы по плоскости от этих слагаемых оцениваются величиной O(t−4/3 ) равномерно по (x, y) ∈ R. Перепишем получившийся в главном члене интеграл как интеграл по вещественной плоскости (κ, λ) ∈ R2 , где κ = <(k), λ = =(k). В результате получим: Z Z u(x, y, t) = −4 dκdλ|κ|f (κ + iλ) exp(it(8κ3 − 24κλ2 + 2κξ + 4κλη)) + O(t−4/3 ). (2.129) R2

Таким образом, главный член асимптотики решения задачи Коши для уравнения КП-2 дается интегралом с быстро осциллирующей экспонентой. Перейдем к вычислению асимптотики этого интеграла. Условие невырожденности стационарных точек показателя экспоненты: |η 2 + 12ξ| = 6 0. p η 2 1/3 2 Пусть η + 12ξ > 0 и t |η + 12ξ|  1, тогда стационарные точки λ1,2 = ± η 2 + 12ξ, 12 κ1,2 = 0. Метод стационарной фазы для двойного интеграла [87] дает: u(x, y, t) = o(t−1 ). 1p 2 Пусть η 2 + 12ξ < 0 и t1/3 |η 2 + 12ξ|  1, тогда λ1,2 = η/12, κ1,2 = ± −η − 12ξ. Асимптотика 2 интеграла имеет вид  p  π 1 iη u(x, y, t) = −4t−1 p f0 −η 2 − 12ξ + × 2 12 12i −η 2 − 12ξ r   y2 x × exp − 11it − 2 − 12 + c.c. + o(t−1 ). t t Для вычисления главного члена асимптотики при |12ξ+η 2 | = o(1) в интеграле (2.129) перейдем √ к растянутым переменным p1 = t1/3 <(k − k0 ), p2 = t1/3 =(k − k0 ) и параметру v 2 = t2/3 (η 2 + 12ξ)/ 12. В результате получим: Z Z −1 u(ξ, η, t) = 4it f (k0 ) dp1 dp2 p1 exp(i(8p31 − 2v 2 p1 − 24p1 p22 )) + o(t−1 ). R2

Возьмем внутренний интеграл по параметру p2 , воспользуемся четностью полученной подынтегральной функции по параметру p1 . В результате получим: Z ∞ √ −1 √ u(x, y, t) = 8it πf (iη/12) dp1 p1 cos(8p1 (p21 − 8v 2 ))+ 0  Z ∞ √ 2 2 dp1 p1 sin(8p1 (p1 − 8v )) + o(t−1 ). + 0

Теорема 2.4 доказана. 3.

ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Теория возмущений солитонов для одномерных уравнений может рассматриваться как прообраз теории возмущений для (2 + 1)-мерных решений уравнения Деви—Стюартсона-1. Построение решений для (1+1)-мерных возмущенных уравнений существенно проще из-за меньшей размерности задачи. Поэтому здесь удалось продвинуться дальше, чем в многомерных уравнениях. Для возмущений нелинейных интегрируемых уравнений разработан не только метод вычисления поправок для параметров солитона, но и выведены уравнения модуляции вклада в решение интеграла типа Фурье. Задача этого раздела — познакомить с методами теории возмущений нелинейных интегрируемых уравнений на примере уравнения синус-Гордон. Затем показать, что разработанный подход работает также и для возмущений неинтегрируемого нелинейного уравнения φ4 . Поправки теории возмущений удовлетворяют линеаризованным уравнениям. Поэтому одно из центральных мест занимает решение линеаризованного уравнения с переменным коэффициентом.

68

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Известно [135, 138], что линеаризации нелинейных интегрируемых уравнений решаются методом Фурье. Этот факт широко используется при анализе возмущенных уравнений [40, 43, 134]. 3.1. Возмущение солитона уравнения синус-Гордона. В этом пункте рассматривается задача Гурса для возмущенного уравнения синус-Гордона: Z x ∂t q + sin(u) = εf (u), u = −2π + dyq(x, y); (3.1) −∞

u|t=0 = −4 arctg(exp(−2˜ η + ˜b).

(3.2)

Здесь ε — малый положительный параметр, f (u) — гладкая функция, f (0) = f (−2π) = 0. При t = 0 функция u соответствует односолитонному начальному условию (кинку) и зависит от двух параметров η˜ и ˜b. Задача (3.1), (3.2) исследуется в полосе x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ). Теорема 3.1. Формальное асимптотическое решение по mod(o(ε2 )) в полосе x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ), имеет вид u(x, t, ε) = u0 (z) + εu1 (x, t, ε) + ε2 u2 (x, t, ε). (3.3) Здесь u0 (z) — солитонное решение невозмущенного уравнения, переменная z имеет вид z = Rt −2(x + θ(t, ε))η(tε, ε) + b(tε, ε), где θ(tε, ε) = − 0 ds/(4η 2 (sε, ε)). Параметры солитона модулированы по ε: η(tε, ε) = η0 (tε) + εη1 (tε), b(tε, ε) = b0 (tε) + εb1 (tε), (3.4) функции η0 , η1 , b0 , а также первая поправка u1 (x, t, ε) определяются однозначно из стандартных задач. 3.1.1. Метод Фурье для линеаризованного уравнения синус-Гордон. В этом пункте излагается часть метода обратной задачи рассеяния, касающаяся уравнения синус-Гордон [84, 99]. На основании этих сведений, следуя [135], мы решаем задачу Гурса для неоднородного линеаризованного уравнения синус-Гордон (лСГ): ∂t ∂x w + w cos(u) = f (x, t),

w|x→−∞ = 0,

w|t=0 = g(x).

Как известно, уравнение синус-Годон является условием совместности двух систем уравнений: ∂x v1 = −iζv1 + Qv2 , (3.5) ∂x v2 = −Qv1 + iζv2, где Q = −∂x u/2; i (v1 cos(u) + v2 sin(u)), 4ζ (3.6) i ∂t v2 = − (v1 sin(u) − v2 cos(u)). 4ζ Пара функций Йоста системы (3.5), удовлетворяющая также (3.6), определяется асимптотиками:      t 1 φ∼ exp −i ζx + , x → −∞, (3.7) 0 4ζ      t 0 ψ∼ exp i ζx + , x → ∞, (3.8) 1 4ζ ∂t v1 = −

Через a(ζ) обычно обозначается вронскиан решений (3.7), (3.8). В этом параграфе рассматриваются частные решения такие, что нули вронскиана (точки дискретного спектра функций Йоста) простые и располагаются вне вещественной оси =(ζ) 6= 0. Известно, что нулей конечное число, если потенциал Q(x, t) для t ≥ 0 удовлетворяет условию [24, c. 302]: Z ∞ dx(1 + |x|)|Q(x, t)| < ∞. −∞

Солитонному решению соответствует так называемый безотражательный потенциал Q(x, t). Вронскиан в этом случае имеет вид N Y ζ − ζj a(ζ) = . ζ + ζj j=1

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

69

Условие вещественности функции Q(x, t) налагает ограничения на точки дискретного спектра функций Йоста ζj . В комплексной плоскости ζ ∈ C они располагаются либо парами комплексносопряженных ζ, либо лежат на мнимой оси. Здесь предполагается, что все точки ζj различны и =(ζj ) 6= 0 для всех j = 1, . . . , N . В точках дискретного спектра функции φ и ψ связаны линейными соотношениями φ(x, t, ζj ) = Cj ψ(x, t, ζj ). Важными свойствами функций Йоста является их аналитичность по ζ и поведение при |ζ| → ∞ и |ζ| → 0. Обозначим    t , χ(x, t, ζ) = φ(x, t, ζ) exp i xζ + 4ζ    (3.9) t ν(x, t, ζ) = ψ(x, t, ζ) exp −i xζ + . 4ζ Лемма 3.1. Пусть потенциал Q(x, t) удовлетворяет условию Z ∞ dx(1 + |x|)|Q(x, t)| < ∞, −∞

тогда χ(x, t, ζ) и ν(x, t, ζ) аналитичны по ζ при =(ζ) > 0, равномерно ограничены по x ∈ R; на оси =(ζ) = 0 функции χ(x, t, ζ) и ν(x, t, ζ) имеют производные по ζ, причем Z ∞  |∂ζ ν(x, t, ζ)| ≤ K(1 − min(0, x)) exp dy|Q(y, t)| ; x

аналогичная оценка справедлива для χ(x, t, ζ) Доказательство этого утверждения приведено, например, в [24, c. 302]. Лемма 3.2 (см. [24, c. 305]). Пусть потенциал Q(x, t) таков, что Q, ∂x Q ∈ L1 , тогда при |ζ| → ∞ функции χ(x, t, ζ) и ν(x, t, ζ) имеют асимптотику    Rx  1 dyQ2 (y, t) 1 −∞ χ(x, t, ζ) = − + o(|ζ|−1 ), (3.10) 0 −Q(x, t) 2iζ     1 0 R ∞−Q(x,2 t) ν(x, t, ζ) = − + o(|ζ|−1 ). (3.11) 1 dyQ (y, t) 2iζ x Асимптотика равномерна по x и t. Лемма 3.3. Пусть потенциал Q удовлетворяет условиям леммы 3.1. Тогда при |ζ| → 0 функции χ и ν имеют асимптотику   cos(U/2) χ(x, t, ζ) = + O(ζ|∂ζ χ|), sin(U/2)   − sin(U/2) ν(x, t, ζ) = + O(ζ|∂ζ ν|). cos(U/2) Доказательство. Функции χ и ν при ζ = 0 вычисляются явно из системы уравнений (3.5). Представления для их асимптотик следуют из леммы 3.1. Ниже будут использоваться не сами функции Йоста, а комбинации их квадратов: Φ± (x, t, ζ) = φ22 (x, t, ζ) ± φ21 (x, t, ζ), Ψ± (x, t, ζ) = ψ22 (x, t, ζ) ± ψ12 (x, t, ζ). Из системы уравнений (3.5) следует, что Ψ± и Φ± удовлетворяют системе уравнений: ∂x Ψ+ = 2iζΨ− , ∂x Ψ− = 2iζΨ+ − 4Qψ1 ψ2 , ∂x (ψ1 ψ2 ) = QΨ− .

(3.12)

70

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Похожая система уравнений получается и для эволюции по времени: i ∂t Ψ+ = − ψ1 ψ2 sin(U ), 2ζ i + Ψ cos(U ), ∂t Ψ− = 2ζ i ∂t (ψ1 ψ2 ) = − QΨ+ sin(U ). 2ζ Из этих уравнений можно получить, что функция Ψ+ удовлетворяет линеаризованному уравнению синус-Гордон [74]: ∂t ∂x Ψ+ + Ψ+ cos(U ) = 0. Из набора функций Ψ+ (или Φ+ ) можно получить базис в L1 . Базисность системы квадратов функций Йоста была показана в [135]. Решение линеаризованных уравнений с использованием разложений по квадратам исследовалось в [16, 84, 138, 153, 155]. Лемма 3.4. Пусть функция w(x, t) ∈ L1 по x и удовлетворяет условию Дини. Тогда ∀t > 0 справедливы представления Z 1 ∞ dζ w(x, t) = w(ζ, ˆ t)Ψ+ (x, t, ζ)− 2 π −inf ty a (ζ)  N  X −2∂ζ2 a(ζn ) w(ζ ˆ n , t) + Ψ+ (x, t, ζn ) + ˆ n , t) + Ψ (x, t, ζn )w(ζ −2i ψ (x, t, ζn ) + w(ζ ˆ n , t) . (3.13) (∂ζ a(ζn ))2 (∂ζ a(ζn ))2 (∂ζ a(ζn ))3 n=1

Здесь

Z

∞

w(ζ, ˆ t) = Z−∞ ∞ w ˆ (ζn , t) =

dxw(x, t)Φ− (x, t, ζ), (3.14) dxw(x, t)φ− (x, t, ζn ).

−∞

Здесь приняты обозначения ψ ± = ∂ζ Ψ± , φ± = ∂ζ Φ± . Такое же разложение возможно и по базису функций Ψ− : Z 1 ∞ dζ w(x, t) = w(ζ, ˘ t)Ψ− (x, t, ζ)− π −∞ a2 (ζ)  N  X −2∂ζ2 a(ζn ) w(ζ ˘ n , t) − Ψ− (x, t, ζn ) − −2i ψ (x, t, ζn ) + w ˘ (ζn , t) + Ψ (x, t, ζn )w(ζ ˘ n , t) . (∂ζ a(ζn ))2 (∂ζ a(ζn ))2 (∂ζ a(ζn ))3

(3.15)

n=1

Здесь

Z

∞

dxw(x, t)Φ+ (x, t, ζ),

w(ζ, ˘ t) = Z−∞ ∞ ˘ n , t) = w(ζ

(3.16) dxw(x, t)φ+ (x, t, ζn ).

−∞

Лемма 3.4 является следствием теорем о базисности квадратов функций Йоста [16, 135]. В таком виде это утверждение использовалось в [74, 138] для решения линеаризованного уравнения синус-Гордон. Рассмотрим задачу Гурса для неоднородного линеаризованного уравнения синус-Гордон: (3.17)

∂x ∂t w + w cos(U ) = h(x, t), w|t=0 = g(x),

(3.18)

w|x→−∞ = 0.

Перепишем её в эволюционном виде: Z ∂v + w cos(U ) = h(x, t),

x

w(x, t) =

dyv(y, t),

(3.19)

−∞

v|t=0 = ∂x g(x).

(3.20)

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

71

Теорема 3.2. Если начальное условие (3.20) и функция h(x, t) удовлетворяют следующим условиям: {∂xj g, ∂xk h, (1 + x2 )h(x, t)} ∈ L1 по x при j = 0, . . . , 3, k = 0, 1, 2, кроме того, Z ∞ Z ∞ dxh(x, t) − dxh(x, t + s) ≤ K|s|α , −∞

−∞

где K = const, 0 < α ≤ 1, то решение задачи (3.19), (3.20) имеет вид Z 1 ∞ dζ w(ζ, ˆ t)Ψ+ (x, t, ζ)− w(x, t) = π −∞ a2 (ζ)  N  X −2∂ζ2 a(ζn ) w(ζ ˆ n , t) + Ψ+ (x, t, ζn ) + ˆ n , t) + Ψ (x, t, ζn )w(ζ −2i ψ (x, t, ζn ) + w(ζ ˆ n , t) , (∂ζ a(ζn ))2 (∂ζ a(ζn ))2 (∂ζ a(ζn ))3

(3.21)

n=1

где w(ζ, ˆ t) — решение задачи Коши ˘ t), ζ ∈ R, ζ = ζn , n = 1, 2, . . . , N ; 2iζ∂t w(ζ, ˆ t) = h(ζ,   1 1˘ ˘ ∂t w ˆn = h(ζn , t) − h(ζn , t) , ζ = ζn , n = 1, 2, . . . , N. 2iζn ζn Начальные данные для образов w ˆ и w: ˆ w| ˆ t=0 = gˆ(ζ),

ζ ∈ R,

ζ = ζn ,

n = 1, 2, . . . , N ;

w ˆn |t=0 = ∂ζ gˆ(ζ).

(3.22) (3.23)

(3.24) (3.25)

Для доказательства этой теоремы потребуется следующая лемма. Лемма 3.5. Пусть r(s) — интегрируемая на [a, b] и удовлетворяет условию Г¨ельдера с показателем 0 < α ≤ 1. Тогда Z b r(s) exp(iλs)ds = O(λ−α ), λ → ∞. a

Доказательство. Разобьем интервал интегрирования на отрезки длиной β. Аппроксимируем функцию r(s) ломаной: s − si , s ∈ [si , si + β]. R(r) = r(si ) + (r(si + β) − r(si )) β Погрешность аппроксимации max |r(s) − R(s)| ≤ Kβ α . Тогда Z b Z b r(s) exp(iλs)ds − R(s) exp(iλs)ds ≤ |b − a|Kβ α . a

a

Аппроксимирующая функция кусочно-дифференцируема, ее производная оценивается величиной max |∂s R(s)| ≤ Aβ α ,

A = const > 0.

Возьмем интеграл от R(s) по частям. В результате получим: Z b R(s) exp(iλs)ds = O(λ−1 β α−1 ) + O(β α ). a

Выберем шаг β = O(λ−1 ). В результате получится оценка Z b = O(λ−α ), r(s) exp(iλs)ds

λ → ∞.

a

Что и требовалось. Доказательство теоремы 3.2. С технической точки зрения доказательство достаточно простое, но громоздкое. Для доказательства нужно подставить представление решения линеаризованного уравнения синус-Годон в само уравнение и, не заботясь о сходимости интегралов по ζ, продифференцировать подынтегральную функцию по x и t. Далее, опираясь на свойства гладкости прообразов, показать, что на самом деле получившиеся интегралы существуют. Это можно сделать с помощью вычислений интегралов по частям и использования асимптотик квадратов функций Йоста при больших вещественных значениях параметра ζ.

72

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Представим правую часть в лСГ в виде (3.15). Подставим (3.21) в уравнение лСГ. Продифференцируем формально по x и t подынтегральные функции. В результате получим задачу Коши (3.22)–(3.25). Покажем, что формула (3.21) дает решение задачи (3.19)–(3.20). Для этого достаточно показать, что интегралы по ζ, представляющие функцию w(x, t) и ее производную по x, существуют. Образ w(ζ, ˆ t) в интегральной составляющей решения имеет вид Z t 1 ˘ s). w(ζ, ˆ t) = g(ζ) + dsh(ζ, 2iζ 0 Рассмотрим решение однородного уравнения (h ≡ 0). В этом случае интеграл в формуле (3.21) и его производная по x имеют вид Z 1 ∞ dζ I(x, t) = gˆ(ζ)Ψ+ (x, t, ζ), π −∞ a2 (ζ) Z 1 ∞ dζ ∂x I(x, t) = 2iζ gˆ(ζ)Ψ− (x, t, ζ). π −∞ a2 (ζ) Для того, чтобы подынтегральная функция в ∂x I, а, следовательно, и в I(x, t), принадлежала L1 по ζ, достаточно, чтобы gˆ(ζ) = O(ζ −3 ), ζ → ±∞. Покажем, что это требование выполняется: Z ∞ Z ∞ g(x)Φ+ (x, 0, ζ) x→∞ 1 − gˆ(ζ) = g(x)Φ (x, 0, ζ) = − dx∂x g(x)Φ+ (x, 0, ζ) = 2iζ 2iζ −∞ −∞ x→−∞   x→∞ Z x ∂x g(x) − =− Φ (x, 0, ζ) + 4 dyQ(y, 0)(φ1 φ2 )(y, 0, ζ) + 2 (2iζ) −∞ x→−∞   Z ∞ Z x 1 2 − + dx∂x g(x) Φ (x, 0, ζ) + 4 dyQ(y, t)(φ1 φ2 )(y, 0, ζ) . (2iζ)2 −∞ −∞ Здесь интеграл по x дважды проинтегрирован по частям в соответствии с уравнениями (3.12). Из асимптотики функций φ при ζ → ∞ получим: Z ∞ 1 gˆ(ζ) = dx∂x2 g(x) exp(−2iζx) + O(ζ −3 ). (2iζ)2 −∞ Интеграл по x проинтегрируем еще раз по частям. В результате получим требуемое условие gˆ(ζ) = O(ζ −3 ),

ζ → ∞.

Таким образом, интегралы I, ∂x I равномерно ограничены при x ∈ R, t ≥ 0. Рассмотрим задачу (3.19)–(3.20) при g ≡ 0. В этом случае интеграл в (3.21) и его производная по x имеют вид Z Z t 1 ∞ dζ 1 + ˘ s), J(x, t) = Ψ (x, t, ζ) dsh(ζ, π −∞ a2 (ζ) 2iζ 0 Z Z t 1 ∞ dζ − ˘ s). ∂x J(x, t) = Ψ (x, t, ζ) dsh(ζ, π −∞ a2 (ζ) 0 Покажем, что подынтегральная функция в ∂x J абсолютно интегрируема равномерно по x, t ≥ 0. ˘ t): Рассмотрим образ h(x,   x→∞ Z ∞ Z x 1 + − ˘ h(ζ, t) = h(x, t)Φ (x, t, ζ) = ∂x h Φ (x, t, ζ) + 4 dyQ(y, t)(φ1 φ2 )(y, t, ζ) − 2iζ −∞ −∞ x→−∞   Z ∞ Z x 1 − dx∂x h(x, t) Φ (x, t, ζ) + 4 dyQ(y, t)(φ1 φ2 )(y, t, ζ) . − 2iζ −∞ −∞ Из асимптотики φ при ζ → ∞ получим: Z ∞ 1 ˘ h(ζ, s) = dx∂x h(x, s) exp(−2i(ζx + s/(4ζ))) + O(ζ −2 ), 2iζ −∞

ζ → ±∞.

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Проинтегрируем по частям: Z ∞ 1 ˘ h(ζ, s) = dx∂x2 h(x, s) exp(−2i(xζ + s/(4ζ))) + O(ζ −2 ) = O(ζ −2 ), (2iζ)2 −∞

73

ζ → ∞.

Следовательно, ∂x J(x, t) ограничен равномерно по x при t ≥ 0. Для оценки интеграла J(x, t) исследуем свойства подынтегральной функции при ζ → 0. Обо1 Rt ˘ значим: κ(ζ, t) = dsh(ζ, s). 2iζ 0 + Представим Φ в виде Φ+ (x, t, ζ) = exp(−2i(ζx + t/(4ζ)))(1 + (χ21 (x, t, ζ) + χ22 (x, t, ζ) − 1)). Здесь χ1 и χ2 — компоненты вектора χ из (3.9). Из лемм 3.3 и 3.1 следует, что при −1 ≤ ζ ≤ 1 для ∀t ≥ 0 функцию κ(ζ, t) можно представить в виде Z t Z ∞ 1 κ(ζ, t) = ds dxh(x, s) exp(−2i(xζ + s/(4ζ))) + O(1). 2iζ 0 −∞ ˜ s), как обычно, преобразование Фурье h(x, t) по x. Первое слагаемое в Обозначим через h(ζ, формуле для κ(ζ, t) представим в виде 1 κ(ζ, t) = 2iζ

Z 0

t

∞

Z t 1 ˜ s)+ ds exp(−is/(2ζ)) dxh(x, s) exp(−2iζx) = ds exp(−is/(2ζ))h(0, 2iζ 0 −∞ Z t 1 ˜ s) − h(0, ˜ s)). + ds exp(−is/(2ζ))(h(ζ, 2iζ 0 Z

Из условий на h(x, t) следует, что второе слагаемое в этой формуле ограничено в окрестности ζ = 0 при t ≥ 0. Для оценки функции w(x, t) достаточно показать, что первое слагаемое интегрируемо по ζ на отрезке −1 ≤ ζ ≤ 1. Рассмотрим его: 1 κ2 (ζ, t) = 2iζ

Z

t

˜ s). ds exp(−is/(2ζ))h(0,

0

Чтобы получить оценку величины этой функции при ζ → 0 для t ≥ 0, сделаем замену переменных : tσ = s, p = t/ζ. Тогда |κ2 (ζ, t)| ≤ O(p1−α ) = O((t/ζ)1−α ), т.е. κ2 (ζ, t) — интегрируемая функция по ζ в окрестности точки ζ = 0. Интеграл J(x, t) существует при x ∈ R, t ≥ 0. Теорема доказана. 3.1.2. Квадраты функций Йоста с модулированными параметрами. Ниже потребуется решать лСГ, линеаризованное не на точном решении уравнения синус-Гордон, а на некотором его формальном асимптотическом решении. Параметры этого формального асимптотического решения зависят от εt — медленного времени. Здесь приведена модификация функций Ψ+ и Φ+ такая, чтобы они являлись формальными асимптотическими решениями такого лСГ при x ∈ R, t = O(ε−1 ). В качестве фона, на котором проводится линеаризация, используется односолитонное решение (кинк) с модулированными параметрами, т.е. U (x, t) = u0 (z). В этом случае известен явный вид функций Йоста [134]. Их вронскиан: a(ζ) =

ζ − iη . ζ + iη

74

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Выражения для функций Φ± и Ψ± имеют вид Ψ+ (x, t, ζ) =

(ζ 2 − η 2 − 2iζη th(z)) exp(2i(ζx + µ(ζ, t))), (ζ + iη)2

(3.26)

(ζ 2 − η 2 − 2iζη th(z) + 2η 2 ch−2 (z)) exp(2i(ζx + µ(ζ, t))), (ζ + iη)2 (ζ 2 − η 2 + 2iζη th(z)) Φ+ (x, t, ζ) = exp(−2i(ζx + µ(ζ, t))), (ζ + iη)2

Ψ− (x, t, ζ) =

(3.27) (3.28)

(−ζ 2 + η 2 − 2iζη th(z) − 2η 2 ch−2 (z)) exp(−2i(ζx + µ(ζ, t))); (3.29) (ζ + iη)2 Rt здесь z = −2(x + θ(t, ε))η(tε, ε) + b(tε, ε), µ(ζ, t) = 0 ds/(2ζ)2 . При ζ ∈ R имеем µ(ζ, t) = t/(4ζ 2 ), при ζ = iη имеем µ(iη, t) = θ(t, ε). Φ− (x, t, ζ) =

Лемма 3.6. Функция Ψ+ является формальным асимптотическим решением уравнения лСГ, линеаризованного на кинке u0 (z) с модулированными параметрами: ∂t ∂x Ψ+ + Ψ+ cos(u0 (z)) = O(ε), равномерно по x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ). Доказательство. Доказательство этой леммы тривиально. Так как параметры модулированы только по медленному времени εt, формула (3.12) выполняется тождественно: ∂x Ψ+ = 2iζΨ− . Далее, при ζ ∈ R: ∂t (2iζΨ− ) = 2iζ∂η Ψ− ∂t η + 2iζ∂b Ψ− ∂t β − Ψ+ cos(u0 (z)). Производные параметров η и b имеют порядок ε. Такие же вычисления легко провести для ζ = iη. Лемма доказана. Для того, чтобы получить базис в L1 , необходимо к набору функций Ψ+ при ζ ∈ R и ζ = iη добавить производную ∂ζ Ψ+ в точке ζ = iη:   Z t z+b ds exp(−b) + 2η . ∂ζ Ψ+ |ζ=iη = i 3 2η ch(z) 0 4η Лемма 3.7. Функция + Ψ+ 1 = ∂ζ Ψ |ζ=iη

удовлетворяет уравнению лСГ с точностью O(εt) при x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ). Эта лемма доказывается так же, как предыдущая. Следует лишь заметить, что ∂ζ Ψ+ |ζ=iη содержит слагаемое O(t). Замечание 3.1. Из леммы 3.7 следует, что функция Ψ+ 1 не является формальным асимптотиче−1 ским решением лСГ при x ∈ R и 0 ≤ t ≤ O(ε ), ε → 0. Параметры функций Ψ± и Φ± модулированы по εt, свойства базисности системы функций сохраняются. В качестве следствия леммы 3.4 о разложении по системам функций Ψ± , Φ± для односолитонного потенциала Q(x, t) приведем следующее утверждение. Φ± , Ψ±

Теорема 3.3. Если функция w(x, t) и ее производные по x до второго порядка принадлежат пространству L1 , то при ∀t ≥ 0 справедливы представления Z 1 ∞ dζ w(x, t) = w(ζ, ˆ t)Φ+ (x, t, ζ) − 8iη 2 w ˆ0 (t)Φ+ ˆ0 (t) + 8iη 2 w ˆ1 (t))Ψ+ 1 (z, t) − (8η w 0 (z), (3.30) 2 π −∞ a (ζ) где + Ψ+ 0 (z) = Ψ (x, t, ζ)|ζ=iη ,

+ Ψ+ 1 (z, t) = ∂ζ Ψ (x, t, ζ)|ζ=iη ,

a(ζ) =

ζ − iη . ζ + iη

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

75

Образы w(ζ, ˆ t) вычисляются по формулам Z ∞ Z ∞ − dyw(y, t)Φ (y, t, ζ), w ˆ0 (t) = dyw(y, t)Φ− (y, t, iη), w(ζ, ˆ t) = −∞ −∞ Z ∞ w ˆ1 (t) = dyw(y, t)∂ζ Φ− (y, t, ζ)|ζ=iη ; −∞ Z 1 ∞ dζ w(x, t) = w(ζ, ˘ t)Φ− (x, t, ζ) − 8iη 2 w ˘0 (t)Φ− ˘0 (t) + 8iη 2 w ˘1 (t))Ψ− 1 (z, t) − (8η w 0 (z), π −∞ a2 (ζ) где + Ψ+ 0 (z) = Ψ (x, t, ζ)|ζ=iη ,

+ Ψ+ 1 (z, t) = ∂ζ Ψ (x, t, ζ)|ζ=iη ,

a(ζ) =

(3.31)

(3.32)

ζ − iη . ζ + iη

Образы w(ζ, ˘ t) вычисляются по формулам Z ∞ Z ∞ w(ζ, ˘ t) = dyw(y, t)Φ+ (y, t, ζ), w ˘0 (t) = dyw(y, t)Φ+ (y, t, iη), −∞ −∞ Z ∞ w ˘1 (t) = dyw(y, t)∂ζ Φ+ (y, t, ζ)|ζ=iη .

(3.33)

−∞

Эта теорема совместно с леммами 3.6, 3.7 будет использована ниже для решения уравнения лСГ. 3.1.3. Построение амплитуды и сдвига фазы кинка в главном. Структура первой поправки. В этом и следующих пунктах строится формальное асимптотическое решение задачи Гурса для возмущенного уравнения синус-Гордона. Формальное асимптотическое решение задачи (3.1), (3.2) имеет вид u(x, t, ε) = u0 (z) + εu1 (x, t, ε) + ε2 u2 (x, t, ε). (3.34) Здесь u0 (z) = −4 arctg(exp(z)), переменная z = −2η(tε, ε)(x + θ(t, ε)) + b(εt, ε), где θ(t, ε) = Rt − 4η2ds . Параметры солитона модулированы по εt: (εt,ε) 0

η(εt, ε) = η0 (εt) + εη1 (εt);

(3.35)

b(εt, ε) = b0 (εt) + εb1 (εt).

(3.36)

Подставим анзац (3.34)–(3.36) в (3.1), (3.2). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ε. В результате получается последовательность задач Гурса для u0 , u1 , u2 . Для построения главного члена асимптотики, равномерной при 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ), исследуем задачи для первой и второй поправок. Поправки u1 и u2 являются решениями задач Гурса для неоднородного уравнения лСГ: ∂t ∂x uk + uk cos(u0 ) = Fk с нулевыми начальным и граничным при x → −∞ условиями. Правая часть Fk зависит от предыдущих по номеру поправок. Рассмотрим задачу для первой поправки. В этом случае F1 = f (u0 (z)) − ∂η ∂x u0 (z)η00 − ∂b ∂x u0 (z)b00 . Для ограниченности функции u1 оказывается достаточно модулировать параметры η0 и β0 [42, 150]. Ниже исследуется первая поправка u1 и, в частности, получаются уравнения на η0 , b0 . Кроме того, в формальном асимптотическом решении u1 содержится произвол в виде слабой зависимости интегральной составляющей решения от t. Теорема 3.4. Если параметры главного члена u0 являются решениями задач Коши Z ∞ dz 0 f (u0 (z)) 4η = , η0 |t=0 = η¯; ch(z) −∞ Z ∞ zdz (η0 b00 − b0 η00 ) = − f (u0 (z)) , b0 |t=0 = ¯b, ch(z) −∞

(3.37) (3.38)

то формальное асимптотическое решение задачи Гурса для u1 имеет вид u1 (x, t, ε) = v(z) + w(x, t, ε) + O(ε),

(3.39)

76

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

где v(z) — гладкая быстро убывающая функция; функция w(x, t, ε) имеет вид Z 1 ∞ dζ w(x, t, ε) = w(ζ, ˆ t, ε)Ψ+ (x, t, ε), π −∞ a2 (ζ)

(3.40)

Доказательство. Перейдем к доказательству этого утверждения. Будем искать решение задачи Гурса для u1 в виде Z 1 ∞ dζ u1 (x, t, z, η, ε) = u ˆ1 (ζ, t, ε)Ψ+ (x, t, ζ) + (−8iη 2 )ˆ u1,0 (t, ε)Ψ+ 1 (z, t)+ π −∞ a2 (ζ) +(−8ηˆ u1,0 (t, ε) − 8iη 2 u ˆ1,1 (t, ε))Ψ+ 0 (z).

(3.41)

Тогда уравнения для u ˆ1,0 и u ˆ1,1 имеют вид 1 1 ˘ i ˘ F1,0 , ∂t u ˆ1,1 = − 2 F˘1,0 − F1,1 . (3.42) ∂t u ˆ1,0 = 4η 4η 4iη Из (3.42) следует, что для равномерной ограниченности u1 необходимо выполнение условий ˘ F1,0 ≡ 0, F˘1,1 ≡ 0. Эти условия и есть уравнения (3.37) и (3.38). Рассмотрим интегральную часть решения (3.41). Амплитуда u ˆ1 (ζ, t, ε) является решением задачи Коши: 1 ˘ ∂t u ˆ1 = F1 (ζ, t), u ˆ1 |t=0 = 0. (3.43) 2iζ Рассмотрим свойства образа F˘1 (ζ, t):     Z ∞ a2 (ζ) t b + ˘ F1 (ζ, t) = dxφ (x, t, ζ)F1 (z) = exp − 2iζ − θ − iζ G(ζ/η). (3.44) −2η 4ζ 2 η −∞ Здесь

∞

p2 − 1 + 2ip th(z) F1 (z) exp(ipz). (3.45) (p − i)2 −∞ Так как F1 (z) — гладкая, быстро убывающая по z функция, то G(p) — также гладкая и быстро убывающая функция. Задача (3.43) решается прямым интегрированием: Z t 2 a (ζ) 1 u ˆ1 (ζ, t, ε) = G(ζ/η) exp(−2iζ(y/(4ζ 2 ) − θ) + b/(2η))dy. (3.46) 0 −2η 2iζ Для анализа решения удобно один раз проинтегрировать по частям: Z t R(ζ, η, b) exp(2iζ(θ + t/(zζ 2 ))) t u ˆ1 = P (ζ, y, θ, η, η 0 , b0 )dy, −ε (ζ/η)2 + 1 Z

G(p) =

dz

0

0

где −1 2 a (ζ)G(ζ/η) exp(−iζb/η), 2η   exp(−2iζ(t/(4ζ 2 ) − θ)) 0 (−2/η 3 )η 0 R 0 0 0 P (ζ, y, θ, η, η , b ) = η ∂η R + b ∂b R − . (ζ/η)2 + 1 (ζ/η)2 + 1 Для выяснения структуры u1 при t → ∞ рассмотрим поведение интегралов типа Фурье, составляющих u1 : Z ∞ dζ R(ζ, η, b) + I1 (z) = Ψ exp(−2iζ(t/(4ζ 2 ) − θ))), 2 2+1 a (ζ) (ζ/η) −∞ Z ∞ dζ R(ζ, η, b) + I2 (x, t, ε) = Ψ , 2 2 −∞ a (ζ) (ζ/η) + 1 t=0 Z ∞ Z t dζ + I3 (x, t, ε) = Ψ P dy. 2 −∞ a (ζ) 0 R(ζ, η, b) =

Интеграл I1 можно представить в виде интеграла Фурье, используя явный вид Ψ+ : Z ∞ dζ R(ζ, η, b) exp(iζb/η) ζ 2 − η 2 − 2iζη th(z) I1 (z) = exp(−iζz/η). 2 (ζ/η)2 + 1 (ζ + iη)2 −∞ a (ζ)

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

77

Это преобразование Фурье от гладкой, убывающей функции, следовательно, I1 (z) — также гладкая и убывающая функция. Интеграл I2 ограничен, так как подынтегральная функция абсолютно интегрируема по ζ. Асимптотика интеграла при t → ∞ будет получена ниже. Интеграл I3 ограничен при x ∈ R ∀t ≥ 0. Действительно, проинтегрируем еще раз по частям по t, получится два слагаемых типа интегралов I1 , I2 и слагаемое, похожее на εI3 . Для первых двух можно показать ограниченность, так же как для I1 , I2 . В третьем слагаемом интеграл по ζ сходится абсолютно, а интеграл по t, умноженный на ε, ограничен. Производные I3 по x и по t также ограничены. Таким образом, u1 = v(z) + w(x, t, ε) + O(ε). Здесь 1 v(z) = π

Z

∞

−∞

dζ R(ζ, η, b) exp(iζb/η) ζ 2 − η 2 − 2iζη th(z) exp(−iζz/η); a2 (ζ) (ζ/η)2 + 1 (ζ + iη)2 Z 1 ∞ dζ w(x, t, ε) = w(ζ, ˆ t, ε)Ψ+ (x, t, ζ). π −∞ a2 (ζ)

Что и требовалось доказать. Функция w(x, t, ε) — асимптотическое решение задачи Гурса для однородного уравнения лСГ с нулевым граничным условием при x → −∞ и начальным условием w|t=0 = v(−2ηx + b). В решении u1 содержится произвол. Образ w ˆ может слабо зависеть от t, так что ∂t w ˆ = O(ε). Функция u1 при этом остается формальным асимптотическим решением задачи Гурса для первой поправки. Слабая зависимость от t будет определена ниже при построении второй поправки теории возмущений. Уравнения вида (3.37), (3.38) для возмущенных уравнений Кортевега—де Фриза, модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза и нелинейного уравнения Шр¨едингера были получены в [42], для уравнения синус-Гордона в лабораторной системе координат X = x + t, T = x − t в [150]. 3.1.4. Построение главного члена асимптотики. Структура второй поправки. После определения зависимости η0 и b0 от εt положение кинка при t = O(ε−1 ) становится известным с погрешностью O(1). Для получения более точного результата необходимо решить задачу для второй поправки. В решении этой задачи возникают растущие (секулярные) слагаемые двух различных типов. Первый тип секулярных членов имеет проекции только на внеинтегральную составляющую решения. При уничтожении таких секулярных членов определяются модуляции первых поправок: η1 и b1 , и, в конечном счете, главный член u0 (z) с точностью o(1) при t = O(ε−1 ). Второй тип секулярных слагаемых имеет проекции только на интегральную составляющую. Способ уничтожения таких растущих слагаемых — модуляция образов в интегралах типа Фурье, он рассмотрен в следующем пункте. Рассмотрим задачу для u2 : ∂t ∂x u2 + u2 cos(u0 ) = F2 , u2 |x→−∞ = 0,

u2 |t=0 = 0.

Правая часть уравнения: 1 F2 = f 0 (u0 )u1 + u21 sin(u0 ) − ∂x ∂η u0 η10 − ∂x ∂b u0 b00 − ∂x ∂η vη00 − ∂x ∂η vb00 − 2  −  Z Ψ 1 ∞ 0 − 0 2 − −1 2 − dζ 2iζ∂η 2 wη ˆ 0 + 2iζ∂b [Ψ ]wb ˆ 0 /a + 2iζΨ ε w/a ˆ . π −∞ a

78

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Теорема 3.5. Пусть параметры η1 и b1 — решения задач Коши: ∂t η1 = H1 (tε),

η1 |t=0 = 0,

b0 η1 − η0 b01 = H2 (εt),

b1 |t=0 = 0,

(3.47) (3.48)

где   Z 1 2 1 ∞ dz 0 0 0 f (u0 )u1 + u1 sin(u0 ) − ∂x ∂η vη0 − ∂x ∂η vb0 , H1 = − 4 −∞ ch(z) 2   Z ∞ zdz 1 2 1 0 0 0 f (u0 )u1 + u1 sin(u0 ) − ∂x ∂η vη0 − ∂x ∂η vb0 . H2 = 4 −∞ ch(z) 2 Образ w ˆ — решение задачи Коши ∂t w ˆ = εη00

Z ∞ dλB(ζ, λ, η)w(λ, ˆ t, ε) 2iζ w ˆ 0 + εη exp(−itω(ζ, εt, ε))v.p. exp(−itω(λ, εt, ε)), 0 2 2 ζ +η sh(2π(ζ − λ)/η) −∞ w| ˆ t=0 = −ˆ v (ζ), (3.49)

где ω(ζ, εt, ε) = 2(1/(4ζ) − ζθ(t, ε)/t), B(ζ, λ, η) = −a2 (ζ)∂η a2 (λ). Тогда решение задачи Гурса для второй поправки таково, что u1  εu2 при x ∈ R, t = O(ε−1). Доказательство. Доказательство этой теоремы основано на явных формулах для решения задачи Гурса для второй поправки. Будем искать решение задачи для второй поправки в виде Z 1 ∞ dζ u2 = Ψ+ (x, t, ζ)ˆ u2 (ζ, t) − 8iη 2 u ˆ2,0 Ψ+ u2,0 + i8η 2 u ˆ2,1 )Ψ+ 1 (x, t, z) − (ˆ 0 (z)). π −∞ a2 (ζ) Образ u ˆ2 удовлетворяет уравнениям 2iζ∂t u ˆ2 = F˘2 (ζ, t), (3.50) 1 ∂t u ˆ2,0 = − F˘2,0 , (3.51) 2η i 1 ∂t u ˆ2,1 = − 2 F˘2,0 − F˘2,1 . (3.52) 2η 2η Начальные условия для всех трех функций — нулевые. Необходимые условия для ограниченности внеинтегральных слагаемых из представления u2 приводят к задачам (3.47) и (3.48). Эти уравнения получаются также, как уравнения для модуляции параметров η0 и b0 в предыдущем пункте, поэтому подробно останавливаться на их выводе не будем. Перейдем к выводу уравнения для w. ˆ Для этого исследуем поведение образа u ˆ2 по t и ζ. Образ u ˆ2 состоит из нескольких слагаемых, каждое из которых соответствует тому или иному члену в F2 . Наиболее просто исследовать слагаемое в u ˆ2 , соответствующее слагаемому ∂t w ˆ из правой части уравнения. Обозначим это слагаемое через J1 (ζ, t, ε): Z t Z ∞ 2iλ − 1 ds dλ 2 J1 (ζ, t, ε) = Ψ (y, s, λ)ε−1 ∂s w(λ, ˆ s, ε). 2iζ 0 a (λ) −∞ Известно, что функции Ψ− и Φ+ ортогональны [153]: Z ∞ dyΦ+ (y, s, ζ)Ψ− (y, s, ζ) = πa2 (ζ)δ(ζ − λ). −∞

Применим эту формулу для интеграла по y в J1 , затем проинтегрируем по s и в результате получим: J1 (ζ, t, ε) = ε−1 (w(ζ, ˆ t, ε) − w(ζ, ˆ 0, ε)). Очевидно, что J1 = O(ε−1 ), если w ˆ не постоянна по t. Это слагаемое секулярно, так как вклад J1 в ε2 u2 того же порядка по ε, что и εw. Секулярные слагаемые есть и во вкладе в u ˆ2 (ζ, t, ε) от слагаемого из F2 , содержащего произ− 2 водную базиса ∂η [Ψ /a ]. Обозначим вклад от этого слагаемого J2 : Z Z ∞ Z 1 ∞ 1 t 0 + J2 (ζ, t, ε) = dsη0 dyΦ (y, s, ζ) dλ λ∂η [Ψ− (y, s, λ)/a2 (λ)]w(λ, ˆ s, ε). ζ 0 π −∞ −∞

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

79

Из явного вида функций Ψ− и Φ+ следует представление Φ+ (y, s, ζ)∂η [Ψ− (y, s, λ)/a2 (λ)] = (a2 (ζ)∂η a2 (λ)[1 − th(z)] + R(ζ, λ, η)κ(z))× × exp(2i((λ − ζ)y + s(1/(4λ) − 1/(4ζ)))).

(3.53)

Здесь z = −2η(εs, ε)(y + θ(s, ε)) + b(εs, ε); функция R — гладкая, ограниченная при ζ, λ ∈ R и 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ); κ(z) — гладкая, быстро убывающая функция. Подставим (3.53) в выражение для J2 . Представим J2 в виде суммы трех слагаемых, в соответствии с формулой (3.53): J2 = I1 + I2 + I3 . В первом слагаемом интегрирование по y и λ — прямое и обратное преобразование Фурье. Тогда: Z Z ∞ 1 t I1 (ζ, t, ε) = dsη0 dy exp(−2i(ζy + s/(4ζ)))× ζ 0 −∞ Z ∞ 1 2 × a (ζ) dλλ∂η a−2 (λ) exp(−2i(λy + s/(4λ)))w(λ, ˆ s, ε) = π −∞   Z t Z t 2iζ 2iζ iζ 0 0 0 = η0 ds 2 w(ζ, ˆ s, ε) = tη0 2 w(ζ, ˆ t, ε) + η0 ds∂s 2 w(ζ, ˆ s, ε) . ζ + η2 ζ + η2 ζ + η2 0 0 Здесь первое слагаемое имеет порядок O(ε−1 ) при t = O(ε−1 ), второе — порядок O(1) при t ≤ O(ε−1 ). Таким образом, I1 — еще один секулярный член в u2 . Слагаемое I2 имеет вид Z Z ∞ 1 t 0 I2 (ζ, t, ε) = − dsη0 dy exp(−2i(ζy + S/(4ζ)))× ζ 0 Z ∞ −∞ 1 × a2 (ζ) th(−2(y − θ(s, ε))η + b) dλ λ∂η a−2 (λ) exp(2i(yλ + s/(4λ)))w(λ, ˆ s, ε). π −∞ В интеграле по y заменим y на z, затем сделаем преобразование Фурье. В результате получим: Z Z ∞ Z ∞ −1 t dλB(ζ, λ, η)w(λ, ˆ s, ε) 0 I2 (ζ, s, ε) = dsη0 dy exp(−isω(ζ, εs, ε)) exp(isω(ζ, εs, ε)). ζ 0 sh(2π(ζ − λ)/η) −∞ −∞ Здесь ω(ζ, εs, ε) = 2(−ζθ(s, ε)/s + 1/(4ζ)),

B(ζ, λ, η) = −a2 (ζ)∂η a−2 (λ).

I2 — секулярное слагаемое. Действительно, при ζ, отделенных от стационарных точек фазы экспоненты ζ1,2 , подынтегральная по s функция может быть представлена в виде g(ζ, s, ε) = sgn(|ζ| − ζ1 )η00

2iζ w(ζ, ˆ s, ε), + η2

ζ2

ζ1 > 0.

Интегрирование g по s дает порядок O(ε−1 ) при t = O(ε−1 ). Следовательно, I2 — секулярное слагаемое в u2 . Для равномерности асимптотики потребуем, чтобы сумма секулярных слагаемых равнялась нулю. В результате получится уравнение (3.49). 3.1.5. Оценка величины второй поправки. После выделения секулярных членов остался не рассмотренным вклад в интегральную составляющую u2 от двух типов слагаемых из правой части. Во-первых, это функции, зависящие только от z, гладкие и быстро убывающие. Во-вторых — произведения таких функций на w(x, t, ε) и на w2 (x, t, ε). Функции первого типа содержатся и в правой части уравнения для первой поправки. При построении первой поправки было показано, что они приводят к ограниченным слагаемым в интегральной части решения. То же справедливо и для второй поправки. Здесь оценивается вклад в интегральную составляющую u2 от функций второго типа из F2 . Оценка этого вклада является следствием приведенной здесь теоремы 3.6.

80

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Теорема 3.6. Пусть κ(z) ∈ S∞ , тогда интеграл Z t Z ∞ Z ∞ 1 exp(itω(ζ, x/t)) dsψ(ζ, εs) dy exp(−isω(ζ, y/s))κ(z)× U1 (x, t, ε) = −∞ ζ 0 −∞ Z ∞ dλw(λ, ˆ εs) exp(isω(ζy/s)) × −∞

оценивается величиной O(t∆ ) для ∀∆ > −

α + 1/2 при ε → 0, 1  t ≤ O(ε−1 ), равномерно 2(α + 1)

по x ∈ R. Функция ω(ζ, x/t) = 2iζx/t+1/(2ζ), функция ψ(ζ, τ ) — рациональная с полюсами вне оси =(ζ) = 0 при 0 < t ≥ O(ε−1 ) и такая, что ее производная по τ — также рациональная с полюсами вне оси =(ζ) = 0 при 0 < t ≥ O(ε−1 ); функция κ(z) — гладкая, ограниченная, производная которой принадлежит пространству Шварца гладких, быстро убывающих функций; z = −2η(y + θ) + a, Rt где η = η(εs), θ(s, ε) = 0 dp/(4η 2 (εp)); w(λ, εs) быстро убывает по λ и удовлетворяет условию Г¨ельдера степени 0 < α ≤ 1 по λ равномерно при 0 < s ≤ O(ε−1 ). Доказательству этого утверждения предпошлем несколько лемм. Лемма 3.8. Пусть f (ζ − λ, εt) принадлежат пространству S∞ по ζ равномерно по t при 0 < t ≤ O(ε−1 ), ε → 0, тогда Z ∞ I(x, t, ε) = dζf (ζ − λ, tε) exp(itω(ζ, x/t)) = O(t−1/2 ) при 1  t ≤

O(ε−1 ),

x ∈ R, |λ|

−∞ < tγ ∀γ,

0 < γ < 1/2.

Доказательство. Оценим I в области x/t > 0. Функция f (ζ−λ, εt) принадлежит пространству S∞ по ζ, поэтому часть интеграла при ζ > tβ ∀β > γ оценивается величиной O(t−β(n−1) ) ∀n ∈ N. Той же величиной оценивается интеграл по ζ при ζ < −tβ . Остается оценить интеграл по промежутку ζ ∈ (−tβ , tβ ). Интеграл по этому промежутку оценивается с помощью метода стационарной фазы. В результате получается утверждение леммы. Лемма 3.9. Пусть f (ξ, εt) принадлежит пространству Шварца по ξ, тогда интеграл Z ∞ dζ I(x, t, ε) = f (ζ − λ, tε) exp(itω(ζ, x/t)) = O(t−1/2 ), 1  t ≤ O(ε−1 ), −∞ ζ равномерно по x ∈ R, |λ| < tγ ∀γ ∈ (0, 1/2). Доказательство. Для доказательства этого утверждения сначала проинтегрируем по частям, интегрируя экспоненту. Внеинтегральные слагаемые при этом оказываются равными нулю. В результате: Z Z 2 ∞ x ∞ I(x, t, ε) = −4 dζζf (ζ − λ, εt) exp(iω(ζ, x/t)) − dζ∂ζ [f (ζ − λ, tε)] exp(iω(ζ, x/t)). t −∞ it ∞ При |x|/t ≤ const утверждение леммы следует из леммы 3.8. При |x|/t ≥ const > 0 в интеграле сделаем замену ζ = Ak, где A = (t/(4|x|))1/2 . Тогда получим: Z ∞ f (Ak − λ, εt) I(z, t, ε) = dk exp(i(t|x|)1/2 (sgn(x)k + 1/k)). k −∞ При x < 0 фаза экспоненты не содержит стационарных точек на пути интегрирования. Разобьём интервал интегрирования на три: k ∈ (−∞, −2), k ∈ [−2, 2], k ∈ (2, ∞). Интегралы по этим интервалам обозначим соответственно I − , I 0 , I + . Рассмотрим интеграл I 0 . Проинтегрируем по частям, интегрируя exp(it(t|x|)1/2 k −1 ): I 0 = −i(t|x|)−1/2 f (Ak − λ, εt)k exp(i(t|x|)1/2 (−k + 1/k))|k=2 k=−2 + Z 2 +i(t|x|)−1/2 dk(f (Ak − λ, εt) + ∂k f (Ak − λ, εt)k+ −2 1/2

+i(t|x|)

f (Ak − λ, εt)) exp(i(t|x|)1/2 (−k + 1/k)).

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

81

Все слагаемые здесь оцениваются через (t|x|)1/2 . Интегралы I − и I + оцениваются одинаково. Область интегрирования не содержит стационарных точек экспоненты, поэтому интегралы можно оценить, интегрируя по частям экспоненту exp(i(t|x|)1/2 (sgn(x)k + 1/k)). В результате получается оценка I ± = O((t|x|)−1/2 ). При x/t ≥ const метод стационарной фазы дает: I = O((xt)−1/4 ) = O(t−1/2 (t/x)1/4 ). Утверждение леммы доказано. Лемма 3.10. Пусть f (ζ, εt) — быстро убывающая функция при ζ → ±∞, удовлетворяет условию Г¨ельдера степени 0 < α ≤ 1 по ζ равномерно по t при t = O(ε−1 ), ε → 0, тогда Z ∞ −α +γ I(x, t, ε) = dζf (ζ, εt) exp(itω(ζ, θ(t, ε)/t)) = O(t 2(α+1) ) ∀γ > 0. −∞

Доказательство. Представим I в виде суммы интегралов по интервалам: ζ ∈ (−∞, −tγ ), ζ ∈ (−tγ , −tγ ), ζ ∈ (tγ , ∞). Интегралы при |ζ| > tγ убывают быстрее любой степени t−1 . Это следует из быстрого убывания f . Осталось оценить интеграл Z tγ dζf (ζ, εt) exp(itω(ζ, θ(t, ε)/t)). I1 (x, t, ε) = −tγ

Разобьем интервал интегрирования на отрезки длины h так, чтобы для f (ζ, εt) при ζ ∈ [ζi , ζi+1 ] выполнялось условие: |f (ζ, εt) − f (λ, εt)| ≤ |ζ − λ|α . Тогда  Z ζi+1 N −1  Z ζi+1 X I1 = dζ(f (ζ, εt)−f (ζi , εt)) exp(itω(ζ, θ(t, ε)/t))+f (ζi , εt) dζ exp(itω(ζ, θ(t, ε)/t)) . i=0

ζi

ζi

Первое слагаемое под знаком суммы оценивается величиной Ch1+α , где C = const > 0. Второе слагаемое под знаком суммы оценивается с помощью метода стационарной фазы величиной O(t−1/2 ). Порядок числа слагаемых в сумме O(tγ h−1 ). Тогда для интеграла имеем: |I1 | = O(h1+α h−1 tγ ) + O(t−1/2 tγ h−1 ). −α

Наилучшая оценка получается при h = t 2(α+1)

+γ

: −α

|I1 | = O(t 2(α+1)

+γ

).

Лемма доказана. Доказательство теоремы 3.6. Теперь перейдем к доказательству теоремы 3.6. Внутренние интегралы по y и λ представим в виде свертки. Для этого удобно заменить y на y = z/(−2η)−θ +b/(2η) и обозначить Z ∞ dz g(k, εs) = exp(ikb/η) κ(z) exp(−ikz/η); 2η −∞ функция g(k, εs) ∈ S∞ , так как преобразование Фурье действует из S∞ в S∞ . В результате: Z ∞ Z t dζ U1 (x, t, ε) = exp(itω(ζ, x/t)) dsψ(ζ, εs) exp(−isω(ζ, −θ/s))× −∞ ζ 0 Z ∞ × dλw(λ, εs)g(ζ − λ, εs) exp(isω(, λ, −θ/s)). ∞

Поменяем порядок интегрирования: интеграл по ζ внесем под знак интегрирования по λ. Интеграл по λ представим в виде суммы интегралов по интервалам (−∞, −tγ ), [−tγ , tγ ], (tγ , ∞). Интегралы по (−∞, −tγ ) и (tγ , ∞) легко оцениваются любой степенью t−1 , так как быстро убывает подынтегральная функция в интеграле по λ. Остается оценить интеграл по промежутку [−tγ , tγ ]. Пусть γ < 1/12, тогда, вследствие леммы 3.9, интеграл по ζ можно представить в виде φ(λ, s, εs)(s + 1)−1/2 , где φ(λ, s, εs) — гладкая,

82

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

ограниченная по λ функция, равномерно по s при s = O(ε−1 ). Интеграл по λ оценивается согласно лемме 3.10. В результате получим, что интеграл по промежутку [−tγ , tγ ] можно оценить величиной Z t −α −α +γ +γ+1/2 A ds(s + 1)−12/ s 2(α+1) = O(t 2(α+1) ). 0

Теорема доказана. Из теоремы 3.6 следует, что интегральная составляющая u2 оценивается величиной −α

+γ+1/2

O(t 2(α+1) ) для 0 < γ < 1/12. То есть растет медленнее, чем O(t1/2 ), следовательно, при t = o(ε−1 ) не является секулярным слагаемым. Таким образом, справедлива следующая условная теорема. Теорема 3.7. Пусть решение задачи Коши (3.49) w(ζ, ˆ t, ε) удовлетворяет условию Г¨ельдера степени 0 < α ≤ 1, (1 + |ζ|)|w(ζ, ˆ t, ε)| интегрируема по ζ равномерно по t при t = O(ε−1 ). Тогда формальная асимптотика решения задачи (3.1), (3.2) имеет вид (3.34). Разрешимость задачи Коши (3.49) исследовалась Л. А. Калякиным в [41]. В частности из результатов [41] следует разрешимость (3.49) в классе Г¨ельдера. 3.2. Неинтегрируемое нелинейное уравнение Клейна—Гордона. В этом пункте показано, что подход, подобный использованному для уравнения синус-Гордон, можно развить также и для неинтегрируемого уравнения Клейна — Гордона, которое иногда называется φ4 : φtx − φ/2 + φ3 /2 = 0.

(3.54)

Решение этого уравнения в виде бегущей волны φ0 = th(−ηx/2 + t/(2η) + b). В физической литературе это решение также часто называют солитоном (кинком). В теории возмущений рассматриваются решения, в той или иной степени близкие к кинку: φ(x, t, ε) = φ0 (x, t, ε) + εφ1 (x, t, ε) + ε2 φ(x, t, ε) + . . . . Поправки удовлетворяют линеаризованному уравнению. Построение ограниченного решения для поправок обсуждается ниже в п. 3.2.1. Ключом к этому явилась работа [118]. В ней построена функция Грина для уравнения, линеаризованного на кинке, неподвижном в системе координат T = x + t, X = x − t. Здесь результаты [118] используются для решения методом Фурье уравнения Lφ4 , линеаризованного на движущемся кинке с медленно меняющимися параметрами. 3.2.1. Решение задачи Гурса для Lφ4 . Рассмотрим задачу Гурса для линеаризованного уравнения Lφ4 : 3 Y = h(x, t), 2 ch2 (z) = g(x), Y |x→−∞ = 0,

∂t ∂x Y + Y − Y |t=0

(3.55) (3.56)

где z = −η(x/2 − t/(2η 2 )) + b. В этом пункте предполагается, что ε = 0, η = const, b = const. Набор решений, зависящих от параметра ζ ∈ C, имеет вид 3η 2 ζ 2 th2 (z) + 3iηζ(ζ 2 − η 2 ) th(z) − (ζ 4 − ζ 2 η 2 + η 4 ) , (3.57) (ζ − ζ1∗ )2 (ζ − ζ2∗ )(ζ − ζ3∗ ) R t ds 5iπ где ζ1 = iη, ζ2 = η exp( iπ 6 ), ζ3 = η exp( 6 ), µ(t, ζ) = 0 ζ 2 . Функция (3.57) является модификацией решения Lφ4 при η = 1, полученного в [118]. Ниже понадобятся функции ψ(x, t, ζ) = exp(iζ(x + µ(ζ, t)))

ϕ(x, t, ζ) =

ψ(x, t, −ζ) , a(ζ, η)

где

¯ t, ζ) и ϕ(x, ψ(x, ¯ t, ζ) такие, что ψ¯ = iζ1 ∂x ψ, ϕ¯ = Функции ψ(x, t, ζ) образуют базис.

a(ζ, η) = 1 iζ ∂x ϕ.

(ζ + iη)2 (ζ − ζ2∗ )(ζ − ζ3∗ ) ; (ζ − iη)2 (ζ − ζ2 )(ζ − ζ3 )

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

83

Лемма 3.11. Пусть g(x) ∈ L1 и удовлетворяет условию Дини. Тогда для g(x) справедливо представление Z ∞ X 1 g(x) = dζa(ζ, η)ψ(x, t, ζ)ˆ g (ζ, t) − i aj ψj gˆj − i[a1 (ψ1 gˆ0 + ψ0 gˆ0 ) + a0 ψ1 gˆ1 ], (3.58) 2π −∞ j=2,3

где ψj (x, t) = ψ(x, t, ζ)|ζ=ζj , aj = (a(ζ, η)(ζ − ζi ))|ζ=ζj ,

ψ0 (x, t) = ∂ζ ψ(x, t, ζ)|ζ=ζ1 ,

j = 2, 3;

a1 = (a(ζ, η)(ζ − ζ1 )2 )|ζ=ζ1 ,

a0 = ∂ζ (a(ζ, η)(ζ − ζ1 )2 )|ζ=ζ1 . Образ gˆ(ζ, t): Z ∞ gˆ(ζ, t) = dxϕ(x, ¯ t, ζ)g(x), −∞ Z ∞ gˆ0 (t) = dxg(x)∂ζ ϕ(x, ¯ t, ζ)|ζ=iη .

(3.59)

−∞

Справедливо также представление Z ∞ X 1 ¯ t, ζ)˘ dζa(ζ, η)ψ(x, g (ζ, t) − i aj ψ¯j g˘j − i[a1 (˘ g0 ψ¯1 + g˘1 ψ¯0 ) + a0 ψ¯1 g˘1 ], g(x) = 2π −∞

(3.60)

j=2,3

где ¯ t, ζ)|ζ=ζ , ψ¯j (x, t) = ψ(x, j

¯ t, ζ)|ζ=ζ . ψ¯0 (x, t) = ∂ζ ψ(x, 1

Образ g˘(ζ, t): Z

∞

g˘(ζ, t) = dxϕ(x, t, ζ)g(x), Z ∞ −∞ g˘0 (t) = dxg(x)∂ζ ϕ(x, t, ζ)|ζ=iη .

(3.61)

−∞

Доказательство. Доказательство леммы 3.11 основано на сведении преобразований (3.58)–(3.61) к прямому и обратному преобразованию Фурье. Рассмотрим интеграл Z R Z x I1 = lim dζa(ζ, η)ψ(x, t, ζ) dyg(y)ϕ(y, ¯ t, ζ)+ +2πi

R→∞ −R 3 X

−∞

Z

Resζ=ζn (a(ζ, η)ψ(x, t, ζ)

n=1

x

dyg(y)ϕ(y, ¯ t, ζ)). −∞

Заменим интеграл от −R до R при =(ζ) = 0 на интеграл по большой полуокружности в верхней полуплоскости ζ. Контур интегрирования обозначим через CR . При переходе на этот контур с вещественной оси ζ сокращается сумма вычетов в I1 . Поменяем порядок интегрирования по ζ и по y. Подсчитаем асимптотику подынтегральной функции в интеграле I1 при |ζ| → ∞, =ζ ≥ 0. В результате получим:   Z x Z 3iη −2 I1 = lim dyg(y) dζ exp(iζ(x − y)) −1 + (th zxt − th zyt ) + O(ζ ) . R→∞ −∞ ζ CR Здесь zxt = −η(x/2 + θ) + b. Представим этот интеграл в виде суммы интегралов от соответствующих слагаемых. Предел интеграла по CR при R → ∞ от членов порядка O(ζ −2 ) равен нулю. Предел интеграла от второго слагаемого также равен нулю. В первом слагаемом в I1 перейдем на ось =(ζ) = 0. В результате получим: Z x Z R I1 = − lim dyg(y) dζ exp(iζ(x − y)). R→∞ −∞

−R

84

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Рассмотрим интеграл Z ∞ dζ ¯ t, −ζ)+ I2 = lim ϕ(x, t, −ζ) dyg(y)ψ(y, R→∞ −R a(ζ, η) x   Z ∞ 3 X 1 ¯ +2πi Resζ=ζn∗ ϕ(x, t, −ζ) dyg(y)ψ(y, t, −ζ) . a(ζ, η) x Z

R

n=1

Здесь, в отличие от I1 , перейдем к интегралу по большой полуокружности в полуплоскости =(ζ) ≤ 0. В результате получим: ∞

Z I2 = − lim

R→∞ x

Z

R

dζ exp(iζ(x − y)).

dyg(y) −R

Таким образом, I1 + I2 = 2πg(x). Для доказательства леммы 3.11 осталось заметить, что a(ζ, η)ψ(x, t, ζ)ϕ(y, ¯ t, ζ) =

−1 ¯ t, −ζ). ϕ(x, t, −ζ)ψ(y, a(ζ, η)

Из этой формулы следует справедливость формул (3.58), (3.59). Формулы (3.60), (3.61) доказываются аналогично. Лемма 3.11 доказана. Используя лемму 3.11, легко написать формальное решение задачи (3.55), (3.56) методом Фурье. Здесь важно заметить, что функция ψ0 растет по t. Далее нам потребуется оценивать решения задач вида (3.55), (3.56), равномерно ограниченных по x ∈ R и 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). Пользоваться базисом, в котором есть растущие по t функции, неудобно. Поэтому в качестве базиса используется набор функций, такой же, как в лемме 3.11, кроме функции ψ0 . Вместо нее используется функция Ψ0 = ψ0 − ψ1 (x, t)[iζ∂ζ µ(ζ, t)]|ζ=iη . Свойство базисности для такого модифицированного набора сохраняется, однако, функция Ψ0 уже не является решением Lφ4 . После некоторых упрощений получим представление для формального решения (3.55), (3.56): Z ∞ 1 Y (x, t) = dζa(ζ)ψ(x, t, ζ)Yˆ (ζ, t)− 2π −∞  √  √ 3 th z 3 ˆ 3z ˆ ˆ −i − exp(i 3(z + 2ηθ))Y2 (t) − c.c. + Y0 (t) − Y1 (t), 2 2 ch z 2 ch z 2 ch2 z

(3.62)

где образы Yˆ — решения задач Коши: ˘ t), Yˆ |t=0 = gˆ|t=0 , ζ ∈ R, iζ∂t Yˆ = h(ζ, ˘ j Yˆj |t=0 = gˆj |t=0 , j = 1, 2, ∂t Yˆj = h ˘0 − h ˘ 1 + 1 Yˆ1 Yˆ0 |t=0 = gˆ0 |t=0 . ∂t Yˆ0 = h η

(3.63) (3.64) (3.65)

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

85

˘ t) и gˆ(ζ, t) при ζ ∈ R совпадает с формулами (3.59), (3.61), а при Здесь определение для h(ζ, j = 0, 1, 2 имеет вид: Z ∞ th(−ηx/2 + b) gˆ1 = −η dxg(x) 2 , ch (−ηx/2 + b) −∞ √    √ Z ∞ exp(i π3 ) 3 th(−ηx/2 + b) gˆ2 = η(1 − i 3) dxg(x) exp − iη x + × 2 4 ch2 (−ηx/2 + b) −∞   exp(η x2 ) th(−ηx/2 + b) 1 × + , 2 ch3 (−ηx/2 + b) ch3 (−ηx/2 + b)   Z ∞ −x th(−ηx/2 + b) exp(−ηx/2 + b) 2 th(−ηx/2 + b) 2 gˆ0 = bˆ g1 + η dxg(x) + − ; (3.66) 2 ch2 (−ηx/2 + b) 2 ch3 (−ηx/2 + b) η ch2 (−ηx/2 + b) −∞ Z ∞ h(x, t) ˘ h1 = dx 2 , ch (z) −∞ Z ∞ √ h(x, t) th(z) ˘2 = dx h exp(−i 3(z + 2ηθ)), ch(z) −∞ Z ∞ h(x, t)z ˘ h0 = dx 2 . (3.67) ch (z) −∞ 3.2.2. Асимптотическое решение Lφ4 . Если параметры кинка постоянны (возмущения нет), то функция (3.57) является решением однородного уравнения Lφ4 . Однако, в нашем случае, изза влияния возмущения, параметры η и b зависят от медленного времени εt. Это приводит к изменению уравнения для коэффициента Yˆ2 . Представление (3.61) удовлетворяет задаче Гурса для Lφ4 по mod(ε), если Yˆ2 удовлетворяет уравнению √ ˘ 2 , Yˆ2 |t=0 = gˆ2 |t=0 . ∂t Yˆ2 + (2iθ 3∂τ η0 )Yˆ2 = h (3.68) 4 Формулы (3.62)–(3.67) представляют решение задачи Гурса для Lφ с медленно меняющимися параметрами η, b. ˘ 2 = 0 определяет зависимость фазы колебаний асимЗамечание 3.2. Уравнение (3.68) при h птотического по mod(ε) локализованного около кинка осциллирующего по времени решения однородного уравнения Lφ4 вида Yˆ2 ψ2 . По аналогии с теорией солитонов, это решение называется бризером. 3.3. Взаимодействие кинка с бегущей волной малой амплитуды. В этом пункте исследуется задача о взаимодействии бегущей волны (кинка) уравнения фи-четыре (φ4 ) с бегущей волной малой амплитуды — решением линеаризованного на кинке уравнения. Амплитуда этой волны осциллирует по времени. Согласно терминологии, используемой для подобных решений в теории солитонов, эта волна называется бризером. В рассматриваемой задаче кинк и бризер образуют движущуюся пару и их взаимодействие проявляется при описании модуляции параметров кинка и амплитуды бризера. Подобная пара возникает, например, при движении возмущенного кинка в многомерном уравнении φ4 [145]. В теории возмущений интегрируемых уравнений похожие задачи о возмущении уединенных волн исследовались, например, в работах [40, 42, 44, 67, 68, 138, 143]. Одно из центральных мест в этой теории — возможность исследования уравнения, линеаризованного на солитоне. Уравнение φ4 не интегрируемо методом обратной задачи рассеяния. В [65] построены сингулярные асимптотические решения нелинейных уравнений Клейна — Гордона, в частности, и φ4 , с переменными коэффициентами. В работе [118] было исследовано уравнение φ4 , линеаризованное на кинке, неподвижном в лабораторной системе координат. Из набора решений этого уравнения был построен базис и, как следствие, функция Грина. При произвольном возмущении на больших временах скорость кинка меняется. Поэтому требуется некоторая модификация результатов работы [118]. Здесь используется базис из набора решений уравнения φ4 , линеаризованного на движущемся кинке, построенный в п. 3.2.1. Это позволяет исследовать возмущение кинка уравнения φ4

86

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

теми же методами и с той же полнотой, с какой исследованы уединенные волны возмущенных интегрируемых уравнений [40, 44]. Задача формулируется следующим образом. Рассмотрим уравнение φ4 ∂t ∂x φ − φ/2 + φ3 /2 = 0

(3.69)

с начальным условием φ|t=0 = th(−η 0 x/2 + b0 ) + εf (x), η0

φ|x→−∞ = 1.

(3.70)

b0

Здесь ε — малый параметр, > 0, ∈ R. Требуется построить главный член формального асимптотического по ε решения равномерно до t = O(ε−2 ). При ε = 0 решение этой задачи — кинк: φ0 = th(−ηx/2 + t/(2η) + b).

(3.71)

При 0 ≤ t ≤ o(ε−1 ) функция (3.71) является главным членом формального асимптотического решения задачи (3.69), (3.70). Однако, если t = O(ε−1 ) и, тем более t = O(ε−2 ), возмущение начального условия — функция f (x) — существенно влияет на главный член асимптотики. Исследованию этого влияния и посвящен п. 3.3. Формальное асимптотическое решение задачи (3.69), (3.70) строится в виде φ(x, t, ε) = φ0 (z) + εφ1 (z, t, ε) + ε2 u(x, t, ε) + ε3 v(x, t, ε) + ε4 w(x, t, ε) + . . . .

(3.72)

Здесь φ0 (z) — кинк уравнения φ4 . Через z всюду ниже обозначается фаза уединенной волны: z = −η(x/2 + θ(t, ε)) + b.

(3.73)

Основное отличие главного члена в (3.72) от решения (3.71) задачи при ε = 0 состоит в том, что в соответствии с методом Крылова — Боголюбова для параметров уединенной волны, амплитуды η и сдвига фазы b, строится асимптотическое разложение по ε. Предполагается, что коэффициенты этого разложения зависят от медленного времени τ = ε2 t: η(τ, ε) = η0 + ε2 η2 (τ ) + . . . ;

b(τ, ε) = b0 (τ ) + εb1 (τ ) + ε2 b(τ ) + . . . .

(3.74)

Функция θ(t, ε) в (3.73) имеет вид Z θ(t, ε) = − 0

t

ds . 2η 2 (sε2 , ε)

(3.75)

Нетривиальные эффекты возникают, если в начальном условии функция f (x) имеет вид √ th(−xη 0 /2 + b0 ) f (x) = B 0 exp(i 3(η 0 x/2 + b0 )) + c.c., где B 0 ∈ R. ch(−xη 0 /2 + b0 ) Это соответствует ситуации, когда в формальном асимптотическом решении имеется бризер малой амплитуды. Начальные условия более общего вида f (x) ∈ L1 приводят к дополнительному сдвигу начальных значений параметров кинка на малые величины (что в нашей ситуации не слишком интересно) и к появлению в формальной асимптотике членов равных O(εt−1/2 ) при t  1; построенная здесь формальная асимптотика слишком груба для исследования модуляции столь малых поправок. Поэтому здесь мы ограничиваемся начальными данными специального вида. В этом случае первая поправка в (3.72) имеет вид √ th(z) φ1 (z, t, ε) = B(τ ) exp(i 3(z + 2ηθ)) + c.c.. (3.76) ch(z) Ее амплитуда осциллирует по t и медленно меняется из-за зависимости B от τ . Основным результатом п. 3.3 является следующая теорема. Теорема 3.8. Решение задачи Коши ∂τ b0 + Q1 + Q2 |B0 |2 = 0, i∂τ B0 + q1 B0 + q2 B0 |B0 |2 + Q3 B0 ∂τ b0 + τ Q4 B0 ∂τ η2 = 0, ∂τ η2 + q3 |B0 |2 + q4 |B0 |4 = 0, b0 |τ =0 = b0 ,

B0 |τ =0 = B 0 ,

η2 |τ =0 = 0,

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

87

где Qi — постоянные (Q1 , Q2 — вещественные), qi — функции τ (q3 , q4 — вещественные), определенные формулами (3.78), (3.100), (3.112), однозначно определяет главный член формального асимптотического разложения (3.72)–(3.75) при x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). Сделаем некоторые замечания к асимптотическому анзацу (3.72)–(3.75). Для того, чтобы получить главный член формального асимптотического решения по ε, равномерный до t = O(ε−2 ), следует определить зависимость η2 (τ ) и b0 (τ ), при этом приходится строить поправки φ1 , u, v и, частично, w. Заметим также, что в (3.74) η0 = const, члена порядка ε в разложении для η нет. Это утверждение будет доказано ниже. Далее строится формальное асимптотическое решение задачи (3.69), (3.70). 3.3.1. Задача о взаимодействии кинка и бризера малой амплитуды. В этом пункте построена вторая поправка в формуле (3.72) — функция u и уравнение модуляции главного члена сдвига фазы b0 (τ ) в (3.74). Теорема 3.9. Пусть b0 (τ ) является решением задачи Коши ∂τ b0 + Q1 + Q2 |B|2 = 0, b|τ =0 = b0 ,

(3.77)

где

√ Z ∞ √ 3 3 th3 (z) 0 2 sin(−2 3z), Q2 = 2.2/η0 . Q1 = − ((B ) + c.c.) dz 4 (3.78) 2η0 ch (z) −∞ Тогда решение задачи Коши (3.79), (3.80) равномерно ограничено в полосе x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). Рассмотрим задачу (3.69), (3.70). Уравнения для поправок φ1 , u, v, w, получаются стандартным образом. Подставим анзац (3.72)–(3.75) в (3.69), (3.70). Сгруппируем члены в получившемся выражении так, чтобы разложение по степеням ε было равномерным при x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). В результате получается последовательность задач для φ1 , u, v, w. Первая поправка φ1 — решение задачи Гурса для однородного уравнения 3 φ1 = 0, ∂t ∂x φ1 + φ1 − 2 ch2 (z) φ1 |t=0 = f (x), φ1 |x→−∞ = 0. При специальном виде f (x) асимптотическое решение этой задачи, бризер, имеет вид (3.76). Для второй поправки u(x, t, ε) получается задача Гурса: 3 u ∂t ∂x u + u − = h(z, t), (3.79) 2 ch2 (z) u|t=0 = 0, u|x→−∞ = 0, (3.80) где th z 3 2 (3.81) 2 − 2 th(z)φ1 (z, t, ε). ch z В (3.81) имеется две произвольных функции b0 (τ ) и B0 (τ ). В процессе решения задачи (3.79)– (3.80) надо найти такое соотношение между ними, чтобы u(x, t, ε) = o(ε−1 ) при x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). То есть, в u(x, z, ε) не должно быть секулярных членов, приводящих к неравномерности разложения (3.72) в рассматриваемой полосе x, t. h(z, t) = η0 ∂τ b0

Доказательство теоремы 3.9. Решение задачи (3.79), (3.80) дается формулами (3.62)–(3.67). Перейдем к построению образов формального асимптотического решения задачи. Из формул (3.63)– (3.67) следует, что образ u ˆ1 (t) — решение задачи Коши √ 1 ∂t u ˆ1 = (3iC1 B 2 exp(−4i 3ηθ) + c.c.), u ˆ1 |t=0 = 0. (3.82) 2η Здесь Z ∞ √ th3 (z) C1 = dz 3 sin(−2 3z). ch (z) −∞

88

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Легко видеть, что решение (3.82) — ограниченная по t функция на рассматриваемом интервале времени. Образ u ˆ2 (t) — решение задачи Коши ˘ 2 (t, ε), ∂t u2 = h

u ˆ2 |t=0 = 0.

(3.83)

Так же, как и в (3.82), легко видеть, что u ˆ2 — ограниченная функция на рассматриваемом интервале t. Рассмотрим задачу Коши для образа u ˆ0 : ˘ 0 (t) − h ˘ 1 (t) + 1 u ∂t u ˆ0 = h ˆ1 (t), u ˆ0 |t=0 = 0. (3.84) η К растущим по t слагаемым и, следовательно, к неравномерности разложения (3.72) приводят неосциллирующие члены в правой части (3.84). Выберем соотношение между функциями b0 и B0 так, чтобы секулярных членов в (3.84) не возникало. Для этого приравняем сумму неосциллирующих по t слагаемых в правой части (3.84) к нулю. В результате получим уравнение модуляции для b0 : √ 3 3 (1) 2 2 η0 ∂τ b0 = −2.2|B| + C (B (0) + (B ∗ (0))2 ); (3.85) 2 1 здесь Z ∞ √ th3 (z) (1) sin(−2 3z). C1 = dz 4 ch (z) −∞ После элементарных преобразований получается уравнение (3.77). Заметим, что в (3.85) неизвестна зависимость B(τ ) — амплитуды бризера от медленного времени. Она определяется при построении следующих поправок формального асимптотического разложения (3.72)–(3.75). Уравнение (3.85) является достаточным условием для ограниченности решения (3.84). Таким образом, исследован вклад внеинтегральной части разложения вида (3.63) второй поправки u(x, t, ε). Он равномерно ограничен по t в рассматриваемой полосе x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). Образ u ˆ(ζ, t) в интегральной части решения определяется из задачи Коши: ˘ t), iζ∂t u ˆ(ζ, t) = h(ζ,

u ˆ|t=0 = 0.

(3.86)

Правая часть (3.80) может быть представлена в виде

√ h(z, t) = A1 (τ )κ1 (z) + A2 (τ ) exp(−4i 3ηθ)κ2 (z) + c.c.,

где κi (z) — гладкие быстро убывающие функции. Рассмотрим вклад слагаемых из h(z, t) в решение u(x, t, ε) по отдельности. Для этого функцию u(x, t, ε) будем искать в виде u(x, t, ε) = α(x, t, ε) + β(x, t, ε) + c.c., где α(x, t, ε) — решение √ задачи (3.79), (3.80) с правой частью A1 (τ )κ1 (z), β(x, t, ε) — с правой частью A2 (τ ) exp(−4i 3ηθ)κ2 (z). Образ α ˆ (ζ, t, ε) — решение задачи Коши iζ∂t α ˆ = A1 (τ )˘ κ1 (ζ, t, ε) α ˆ |t=0 = 0. Чтобы получить структуру α ˆ в явном виде, выпишем выражение для κ ˘ 1 (ζ, t, ε):   t κ ˘ 1 (ζ, t, ε) = exp i 2θζ − G1 (ζ, η, b), ζ где Z ∞

G1 (ζ, η, b) =

dzκ1 (z)ϕ(x, t, ζ) exp(iζµ(ζ, t)). −∞

Выделим в θ(t, ε) быструю и медленную зависимость от времени: Z τ η2 (σ) + . . . t θ(t, ε) = − 2 + ϑ(τ, ε), где ϑ(τ, ε) = dσ . 2η 2η02 η 2 0

(3.87)

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

89

Тогда решение (3.87) имеет вид    Z 1 t ζ 1 α ˆ (ζ, t, ε) = dsA1 (σ) exp(iζϑ(σ, ε))G1 (ζ, η, b) exp − is 2 + . iζ 0 η ζ Проинтегрируем по частям, интегрируя по быстрой переменной t и дифференцируя по медленной σ = ε2 t. В результате получим: α ˆ (ζ, t, ε) = A1 (τ )

G1 (ζ, η, b) ( ηζ )2

+1

exp(iω(ζ)t) − A1 (0)

G1 (ζ, η 0 , b0 ) ( ηζ0 )2

+1

+ O(ε2 ).

(3.88)

Остаток в (3.88) — гладкая быстро убывающая функция по ζ. Прообраз α(x, t, ε) имеет вид Z ∞ 1 G1 (ζ, η 0 , b0 ) (1) α(x, t, ε) = α (z, η, b, τ ) − dζa(ζ, η)A1 (0)ψ(x, t, ζ) ζ + O(ε2 ), (3.89) 2π −∞ ( 0 )2 + 1 η

где α

(1)

1 (z, η, b, τ ) = 2π

∞

  t exp i 2ζθ − dζa(ζ, η)A1 (τ )ψ(x, t, ζ) ζ ζ ( η )2 + 1 −∞

Z

G1 (ζ, η, b)

— гладкая быстро убывающая функция по z. Второе слагаемое в (3.89) ограничено при t = O(1), а при t  1 имеет порядок t−1/2 . Это утверждение следует из метода стационарной фазы [87]. Рассмотрим задачу Коши для β(x, t, ε): √ ˆ t=0 = 0. iζ∂t βˆ = A2 (τ )˘ κ2 (ζ, t, ε) exp(−4iηθ 3), β| (3.90) Здесь   t κ ˘ 2 (ζ, t, ε) = exp i 2θζ − G2 (ζ, η, b), η Z ∞ 2 G2 (ζ, η, b) = dzκ2 (z)ϕ(x, t, ζ) exp(iζµ(ζ, t)). η −∞ Тогда решение (3.90) имеет вид Z t ˆ t, ε) = 1 dsA2 (σ) exp(iζϑ(σ, ε))G2 (ζ, η, b) exp(is(−ω(ζ) + Ω1 )), β(ζ, iζ 0 √ 2 где Ω1 = −2 η0 t 3, ω(ζ) = ζ/η0 + 1/ζ. Проинтегрируем по частям, интегрируя функции, зависящие от s и дифференцируя зависящие от σ = ε2 s: 0 ˆ t, ε) = exp(it((−ω(ζ) + Ω1 )) M2 (ζ, η, b, τ ) − M2 (ζ, η0 , b , 0) + β(ζ, ζ(ω(ζ) − Ω1 ) ζ(ω(ζ) − Ω1 ) Z t 2 ε ds∂σ (M2 (ζ, η(σ), b(σ), σ)) exp(is((−ω(ζ) + Ω1 )). + ζ(ω(ζ) − Ω1 ) 0

Здесь

(3.91)

√ M2 (ζ, η, b, τ ) = A2 (τ ) exp(−4iϑ 3)G2 (ζ, η, b).

Прообраз β(x, t, ε) имеет вид Z

∞

β(x, t, ε) =

ˆ t, ε). dζa(ζ, η)ψ(x, t, ζ)β(ζ,

(3.92)

−∞

Дальнейшая наша цель — показать, что β(x, t, ε) — равномерно ограниченная по ε функция в полосе x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). Здесь интеграл (3.92) будет сведен к сумме интегралов в смысле

90

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

главного значения. Для этого рассмотрим три интеграла Фурье: Z

∞

dζ

β1 = v.p. −∞

Z

∞

β2 = v.p.

dζ

β3 =

τ

Z

∞

dζ

dσv.p.

ζ(ω(ζ) − Ω1 ) ζ(ω(ζ) − Ω1 )

M2 (ζ, η0 , b0 , 0)χ(ζ, z, η);

exp(iε−2 ((τ − σ)ω(ζ) + σΩ1 ) − 2i ηζ z) ζ(ω(ζ) − Ω1 )

−∞

0

M2 (ζ, η, b, τ )χ(ζ, z, η);

exp(it(Ω1 + ω(ζ)) − 2i ηζ z)

−∞

Z

exp(itΩ1 − 2i ηζ z)

M2 (ζ, η, b, τ )χ(ζ, z, η),

где χ(ζ, z, η) = exp(−iζ(x + µ(ζ, t)))ψ(x, t, ζ). В этих интегралах подынтегральные функции, аналитические вблизи вещественной оси ζ, имеют два полюса в точках ζ (1) и ζ (2) таких, что выражение ζ(ω(ζ) − Ω1 ) обращается в нуль. Из результатов [87] следует, что β1 — равномерно ограниченная функция. Интегралы по ζ в β2 и β3 ограничены при z, t = O(1). При больших значениях z и t поведение главных членов асимптоc с тик этих интегралов зависит от того, совпадают ли стационарные точки фазы экспоненты ζ1,2 полюсами подынтегральной функции. c ) ≥ const > 0, t  1, Рассмотрим асимптотику β2 при (ζ (1,2) − ζ1,2 β2 = πi

X





sgn τ ∂ζ ω ζ

(1,2)

− 2ε

1,2

−2

ζ (1,2) z η



exp(iε−2 τ Ω1 ),

M (ζ (1,2) , η0 , b0 , 0) ψ(ζ (1,2) , z, η) + O(ε−1 τ −1/2 ). ζ (1,2) − ζ (2,1) c В случае, когда ζ(1,2) находится вблизи полюса, главный член асимптотики описывается интегралом Френеля [75]. Таким образом, функция β2 равномерно ограничена в рассматриваемой полосе x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). Совершенно так же можно показать, что ограничена и функция β3 (x, t, ε). Теорема 3.9 доказана.

Замечание 3.3. Главный член асимптотики решения задачи (3.79), (3.80) при t  1 имеет различную структуру в разных областях полосы x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). При |z|  t имеем u(x, z, ε) = O(z n ) для любого натурального n. Вблизи линий τ ∂ζ ω(ζ (1,2) ) − 2ε−2 zζ (1,2) /η = 0 главный член асимптотики описывается интегралом Френеля, а вблизи z = 0 — произведением гладкой по z функции, выходящей на различные постоянные при z → ±∞, и осциллирующей экспоненты. Между линиями z = 0 и τ ∂ζ ω(ζ (1,2) ) − 2ε−2 zζ (1,2) /η главный член асимптотики — решение краевой задачи для линейного уравнения Клейна — Гордона ∂t ∂x Uj + Uj = 0, Uj | 2 z−ω0(ζj )ε−2 τ =0 = 2πi η

Uj |z=0

(−1)j−1 ζ (1)−ζ

(2)

M2 (ζ (j) , η0 , b0 , 0)χ(ζ (j) , z, η)×

  ζ (j) −2 (j) −2 × exp i ε τ ω(ζ ) + ε τ Ω2 − 2 z , η   ζ (j) (−1)j−1 (j) (j) −2 M2 (ζ , η, b, τ )χ(ζ , z, η) exp i ε τ Ω − 2 = 2πi (1) z . η ζ − ζ (2)

Эта задача легко решается методом ВКБ. Главный член асимптотики решения имеет вид    ζ (j) −2 (j) Uj = Ej (τ, Z) exp iε τ ω(ζ ) − 2Z + O(ε2 ). η Здесь Z = zε2 .

(3.93)

(3.94)

(3.95)

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

91

Подставим (3.95) в (3.93), (3.94). Решая методом ВКБ, получим: iω(ζ (j) )∂Z Ej + 2i Ej |Z=0 = 2πi

ζ (j) ∂τ Ej = 0 η

(−1)j−1 M2 (ζ (j) , η, b, τ )χ(ζ (j) , z, η)|z→(−1)j−1 ∞ . ζ (1) − ζ (2)

Отсюда определяется функция Ej :  Ej = Ej

 ω(ζ (j) )η τ− Z . 2ζ (j)

(3.96)

Формулы (3.95), (3.96) описывают эволюцию хвоста бризера. 3.3.2. Решение задачи для третьей поправки. Выше было получено уравнение модуляции главного члена сдвига фазы кинка b0 (τ ) (3.85). В этом уравнении имеется неизвестная еще функция B0 (τ ) — амплитуда бризера. В этом пункте из анализа задачи для третьей поправки v(x, t, ε) будет получено уравнение для B(τ ). Задача для v(x, t, ε) имеет вид   3 ∂t ∂x v + 1 − v = g(x, t, ε), (3.97) 2 ch2 z v|t=0 = 0, v|x→−∞ = 0. (3.98) Теорема 3.10. Пусть b1 и B0 удовлетворяют уравнениям i∂τ B0 + q1 B0 + q2 B0 |B0 |2 + Q3 ∂τ b0 + τ Q4 ∂τ η2 = 0, ∂τ b1 − 3γ0 /η02 = 0

(3.99)

и начальным условиям B0 |τ =0 = B 0 , где

b1 |τ =0 = 0,

√  √ √  3 −18 7 3 2 3 (3.100) q1 = γ1 3/η0 , q2 = + γ2 , Q3 = , Q4 = 2 , η0 35 3 η0 γj , j = 1, 2, 3 определены в формулах (3.102), (3.105). Тогда решение задачи (3.97), (3.98) равномерно ограничено по ε при x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). √

Выясним вид правой части уравнения (3.97). Особый интерес здесь представляет слагаемое, связанное с дифференцированием φ1 по медленному времени: ∂τ ∂x φ1 = ∂b ∂z φ1 ∂x z∂τ b + ∂B ∂z φ1 ∂x z∂τ B + ∂η ∂z φ1 ∂x z∂τ η. Вид первых двух слагаемых очевиден. Несколько сложнее дело обстоит с последним√слагаемым. Производная ∂τ η = O(ε2 ), при дифференцировании по η экспоненты в φ1 с фазой 2iηθ 3 получаем член порядка O(t). Их произведение имеет порядок O(1) в рассматриваемой полосе. Таким образом, правая часть (3.97) имеет вид th z 1 g(x, t, ε) = −η0 ∂τ b1 2 + η0 ∂τ b0 ∂z2 φ1 − η0 ∂τ B0 ∂B ∂z φ1 + ch z 2 √    √ τ 3 th z 1 +iB∂τ η2 ∂z exp − i 3(z + 2ηθ) + c.c. − φ31 − 3 th(z)φ1 u. 2η0 ch x 2 Здесь, как и в задаче для второй поправки, имеются функции b1 , B0 , η2 , зависимость которых от τ еще не определена. Дифференциальные уравнения для B0 и b1 находятся при уничтожении секулярных членов в v(x, t, ε), а η2 (τ ) определяется только на следующем шаге, при построении четвертой поправки — функции w(x, t, ε). Доказательство теоремы 3.10. Решение задачи (3.97), (3.98) будем искать в виде (3.62). Рассмотрим образы vˆ во внеинтегральных слагаемых. Задача Коши для vˆ2 имеет вид ∂t vˆ2 = g˘2 (t, ε),

vˆ2 |t=0 = 0.

92

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

В правой части этого уравнения есть медленно меняющиеся слагаемые, неосциллирующие по быстрой переменной t. Чтобы в решении не было секулярных членов, приравняем сумму этих слагаемых к нулю. В результате получится уравнение модуляции для B0 : iη B 7 18 √ 0 ∂τ B0 + 2τ 0 ∂τ η2 + η0 ∂τ b0 B0 − B0 |B0 |2 + F (B0 , τ ) = 0. η 6 35 3 0

(3.101)

Функция F (B0 , τ ) определяется с помощью оператора усреднения по быстрому времени t [7]: Z ∞ Z √ 1 T th2 z F (B, τ ) = lim dt dz φ1 u exp(−i 3z + 2iηθ). T →∞ T 0 ch z −∞ Медленное время τ здесь считается независимой переменной. Структура F получается из анализа осциллирующих слагаемых в произведении uφ1 , F (B, τ ) = γ1 B0 + γ2 B0 |B0 |2 .

(3.102)

Здесь γ1 и γ2 — функции от τ . После элементарных преобразований получим уравнение (3.99). Остальные слагаемые в правой части уравнения vˆ2 либо осциллируют по t, либо малы при больших значениях t. Легко видеть, что эти слагаемые не приводят к секулярным членам в решении v(x, t, ε). Образ vˆ1 — решение задачи Коши ∂t vˆ1 = g˘1 (t, ε),

vˆ1 |t=0 = 0.

Из структуры правой части следует, что решение этой задачи равномерно ограничено на рассматриваемом интервале времени t. Рассмотрим задачу Коши для vˆ0 : ∂t vˆ0 = g˘0 (t, ε) − g˘1 (t, ε) +

1 vˆ1 , η0

vˆ1 |t=0 = 0.

(3.103)

В правой части уравнения (3.103) есть неосциллирующие по t слагаемые, имеющие порядок O(1). Чтобы они не приводили к секулярным членам в решении, приравняем их сумму к нулю. В результате получается уравнение модуляции для b1 (τ ): η0 γ0 − ∂τ b1 + = 0. (3.104) 3 η0 Здесь γ0 также определяется через оператор усреднения: Z 1 T 0 0 γ0 (B , b , η0 ) = lim dtˆ v1 (t). T →∞ T 0

(3.105)

Здесь определяется лишь главный член формальной асимптотики (3.72). Функция b1 (τ ) не участвует в его построении и уравнение (3.104) ниже нас интересовать не будет. Уравнения (3.101), (3.104) — достаточные условия для ограниченности решения (3.97), (3.98) во внеинтегральной части его представления вида (3.62). Образ vˆ(ζ, t, ε) при ζ ∈ R — решение задачи Коши iζ∂t vˆ = g˘(ζ, t, ε),

vˆ|t=0 = 0.

Здесь удобно g(x, t, ε) представить в виде g(x, t, ε) = A0 (τ )κ1 (z) +

3 X

Aj (τ ) exp(ijtΩ2 )κj (z) + κ4 (z)A4 (τ ) exp(itΩ2 )β(x, t, ε)+

j=1

Z

∞

+κ5 (z)A5 (τ ) exp(itΩ2 )

dλψ(x, t, λ)a(λ, η) −∞

G(ζ, η0 , b0 ) ( ηζ0 )2 + 1

.

(3.106)

√ Здесь Ω2 = 3/η0 , Aj (τ ) — гладкая по τ функция, κj (z) — гладкие функции, экспоненциально быстро убывающие по z при |z| → ∞. Интегральная часть решения представляется в виде кратных интегралов Фурье. Рассмотрим вклад в решение различных слагаемых из правой части (3.97) отдельно. Кроме двух последних

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

93

членов в формуле (3.106), все остальные приводят к таким интегралам Фурье, которые рассматривались в предыдущем пункте. Эти интегралы равномерно ограничены в рассматриваемой области. Таким образом, осталось оценить вклад двух последних интегралов в (3.106) из правой части (3.97) в решение v. Последнее слагаемое в (3.106) приводит к появлению в решении v членов вида Z ∞ Z Z ∞ 1 t I1 = dζψ(x, t, ζ)a(ζ, η) ds dyϕ(y, s, ζ)κ5 (−η(y/2 + θ(s, ε)) + b)A5 (σ) exp(isΩ2 )× iζ 0 −∞ −∞ Z ∞ G(λ, η0 , b0 ) . × dλψ(y, s, λ)a(λ, η) (λ/η0 )2 + 1 −∞ Лемма 3.12. I1 = O((1 + t)−1/2 ) при x ∈ R, 1  t ≤ O(ε−2 ). Доказательство. Представим ϕ и ψ в виде    λ ϕ(y, s, λ) = exp − i ω(λ)s − 2izys ν(λ, zys , σ), η0    λ ψ(y, s, λ) = exp − i ω(λ)s − 2izys χ(λ, zys , σ). η0 Здесь zys = −η(σ, ε)(y/2 + θ(s, ε)) + b(σ, ε), σ = sε2 . В I1 поменяем порядок интегрирования по λ и по y. В интеграле по y сделаем замену переменной интегрирования y на zys . Обозначим Z 2 ∞ G(λ, η 0 , b0 ) H(ζ − λ, λ, ζ, σ) = dzys exp(2izys (ζ − λ)/η)ν(ζ, zys , σ)κ5 (zys )a(λ, η) . η −∞ (λ/η 0 )2 − 1 Функция H и ее производная по σ — гладкие по всем аргументам, быстро убывающие по |λ| → ∞ и |ζ − λ| → ∞. Сделаем замену переменной интегрирования в интеграле по s: s = ε−2 σ, а переменную t заменим на ε−2 τ . Интеграл по σ возьмем по частям, интегрируя быстро осциллирующую экспоненту. В результате получим: Z ∞ I1 = dζa(ζ, η)χ(ζ, z, τ ) exp(i(ω(ζ)ε−2 τ − 2zxt ζ/η)× −∞ Z ∞  H(ζ − λ, λ, ζ, 0) exp(iε−2 τ (−ω(ζ) + ω(λ) + Ω2 ))H(ζ − λ, λ, ζ, τ ) × dλ − − ζ(ω(λ) − ω(ζ) + Ω ) ζ(ω(λ) − ω(ζ) + Ω2 ) 2 −∞  Z τ exp(iε−2 σ(−ω(ζ) + ω(λ) + Ω2 ))∂σ (H(ζ − λ, λ, ζ, σ)) − dσ . ζ(ω(λ) − ω(ζ) + Ω2 ) 0 Интеграл I1 представим в виде суммы трех интегралов. Интегралы по λ будем понимать в смысле главного значения. Рассмотрим первое из этих слагаемых — интеграл Z ∞ Z ∞ exp(iε−2 τ (ω(λ) + Ω2 ))H(ζ − λ, λ, ζ, τ ) I11 = dζχ(ζ, zxt , τ ) exp(−2iζzxt /η)v.p. dλ . ζ(ω(λ) − ω(ζ) + Ω2 ) −∞ −∞ Знаменатель в интеграле по λ имеет нули только первого порядка по λ равномерно по ζ, η. Из результатов [87, c. 219] следует оценка этого интеграла: I11 = O((1 + ε−2 τ )1/2 ). Второе слагаемое в I1 имеет вид Z ∞ Z −2 I12 = dζχ(ζ, zxt , τ ) exp(i(ε τ ω(ζ) − 2ζzxt /η)v.p. −∞

∞

−∞

dλ

H(ζ − λ, λ, ζ, 0) . ζ(ω(λ) − ω(ζ) + Ω2 )

Интеграл по λ в силу свойств функции H(ζ − λ, λ, ζ, 0) — гладкая быстро убывающая по ζ функция. Асимптотика интеграла I12 строится методом стационарной фазы [87]. Для этого интеграла справедлива формула I12 = O((1 + ε−2 τ )1/2 ).

94

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

Рассмотрим интеграл Z τ Z I13 = dσ 0

∞

Z

∞

dζ v.p.

−∞

dλ −∞

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

exp(iε−2 σ(−ω(ζ) + ω(λ) + Ω2 ))∂σ (H(ζ − λ, λ, ζ, σ)) . ζ(ω(λ) − ω(ζ) + Ω2 )

Основываясь на результатах [87] об асимптотике интегралов в смысле главного значения, получим: Z τ I13 = dσO((1 + ε−2 (τ − σ)−1/2 (1 + ε−2 τ )−1/2 ) = O((1 + τ ε−2 )1/2 ). 0

Лемма 3.12 доказана. Предпоследнее слагаемое в (3.106) приводит к появлению в решении v члена вида Z ∞ Z Z ∞ 1 t I2 = dζψ(y, s, ζ)a(ζ, η) ds dyϕ(y, s, ζ)κ4 (−η(y/2 + θ(s, ε)) + b)A4 (σ) exp(isΩ2 )× iζ 0 −∞ −∞ Z ∞ Z Z ∞ 1 s × dλψ(y, s, λ)a(λ, η)a(ζ, η) dr dpϕ(p, r, λ)κ5 (−η(p/2 + θ(r, ε)) + b)A4 (ρ) exp(irΩ1 ). iζ 0 −∞ −∞ Здесь σ = sε2 , ρ = rε2 . Лемма 3.13. Интеграл I2 ограничен при x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). Доказательство. В интегралах по y и p поменяем переменные интегрирования на zys и zpr . В результате получим:    Z ∞ Z t ζ 1 ν(ζ, z, τ ) dsA4 (σ) exp(−is(ω(ζ)s + Ω2 ))× I2 = dζa(ζ, η) exp − i ω(ζ)s − 2iz iζ η0 −∞ 0 Z ∞ Z s 1 × drA5 (ρ) exp(ir(ω(λ) + Ω1 ))˜ κ5 (λ, η, ρ)˜ κ4 (ζ − λ, ζ, λ, ρ, σ). dλa(λ, η) exp(iω(λ)s) iλ −∞ 0 Здесь ∞

 λ κ ˜ 5 (λ, ρ) = dz exp 2iz ν(λ, z, ρ)κ5 (z), η −∞   Z ∞ ζ −λ κ ˜ 4 (ζ − λ, ζ, λ, ρ, σ) = dz exp 2iz ν(ζ, z, σ)κ4 (z). η −∞ Z



Функции κ ˜ 4 (ζ −λ, ζ, λ, ρ, σ) и κ ˜ 5 (λ, ρ) аналитичны по ζ, λ вблизи =ζ = 0, =λ = 0 и быстро убывают по первому аргументу (при |λ| → ∞ и |ζ−λ| → ∞ соответственно). Для оценки интеграла I2 удобно перейти к медленным переменным σ, ρ, τ . Интеграл по ρ возьмем по частям, в результате получим: Z τ Z ∞ dζ −2 I2 = ε exp(−2izζ/η)χ(z, ζ, τ ) dσ exp(iε−2 (Ω2 σ + ω(ζ)(τ − σ)))× 0 −∞ iζ  Z ∞ κ ˜ 4 (ζ − λ, ζ, λ, σ) ×A4 (σ) dλ A5 (σ)˜ κ5 (λ, σ) exp(iε−2 Ω1 σ)− λ(Ω − ω(λ)) 1 −∞  Z σ −2 −2 −A5 (0)˜ κ5 (λ, 0) exp(iε ω(λ)σ) − dρ∂ρ [A5 (ρ)˜ κ5 (λ, ρ)] exp(iε (Ω1 ρ + ω(λ)(σ − ρ))) . 0

Интеграл I2 представим в виде суммы трех интегралов по числу слагаемых в интеграле по λ. При этом каждый из них будем рассматривать в смысле главного значения. Рассмотрим каждый из получившихся интегралов отдельно:   Z ∞ Z τ ζ dζ I21 = ε−2 exp − 2iz χ(z, ζ, τ ) dσ exp(iε−2 (Ω2 σ + ω(ζ)(τ − σ)))× iζ η 0 −∞ Z ∞ κ ˜ 4 (ζ − λ, ζ, λ, σ) dλ ×A4 (σ)v.p. A5 (σ)˜ κ5 (λ, σ) exp(iε−2 Ω1 σ). λ(Ω − ω(λ)) 1 −∞

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

95

Проинтегрируем по σ:   Z ∞ Z ∞ dζ ζ 1 I21 = exp −2iz × χ(z, ζ, τ )v.p. dλ η λ(Ω1 − ω(λ)) −∞ ζ(Ω1 + Ω2 − ω(ζ)) −∞  × A4 (τ )A5 (τ )˜ κ4 (ζ − λ, ζ, λ, τ )˜ κ5 (λ, τ ) exp(iε−2 Ω2 τ )− −A4 (0)A5 (0)˜ κ4 (ζ − λ, ζ, λ, 0)˜ κ5 (λ, 0) exp(iε−2 ω(ζ)τ )− Z −

τ

−2

dσ∂σ [A4 (σ)A5 (σ)˜ κ4 (ζ − λ, ζ, λ, σ)˜ κ5 (λ, σ)] exp(iε

 (Ω2 σ + ω(ζ)(τ − σ) + Ω1 σ)) .

0

Интеграл по ζ опять представим в виде суммы трех интегралов в соответствии с числом слагаемых в интеграле по λ. Эти интегралы по ζ следует рассматривать, как интегралы в смысле главного значения. В каждом из таких слагаемых интеграл по λ — гладкая быстро убывающая функция по ζ. Из [75, c. 334], следует, что интеграл I21 равномерно ограничен при x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). Рассмотрим интеграл   Z ∞ Z τ dζ ζ −2 I22 = ε exp −2iz χ(z, ζ, τ ) dσ exp(iε−2 (Ω2 σ + ω(ζ)(τ − σ)))A4 (σ)× iζ η −∞ 0 Z ∞ κ ˜ 4 (ζ − λ, ζ, λ, σ) ×v.p. dλ A5 (0)˜ κ5 (λ, 0) exp(iε−2 ω1 (λ)σ). λ(Ω1 − ω(λ)) −∞ Интеграл по λ представим в виде суммы интеграла обходящего полюсы подынтегральной функции по полуокружностям в комплексной плоскости λ так, что <[iω(λ)] < 0 и полусуммы вычетов подынтегральной функции в этих точках Z ∞ κ ˜ 4 (ζ − λ, ζ, λ, σ) A5 (0)˜ κ5 (λ, 0) exp(iε−2 ω1 (λ)σ) = v.p. dλ λ(Ω − ω(λ)) 1 −∞ Z κ ˜ 4 (ζ − λ, ζ, λ, σ) = dλ A5 (0)˜ κ5 (λ, 0) exp(iε−2 ω1 (λ)σ)+ λ(Ω − ω(λ)) − 1 l Xκ ˜ 4 (ζ − λ(1,2) , ζ, λ(1,2) , σ) sgn(∂λ ω(λ(1,2) )A5 (0)˜ κ5 (λ(1,2) , 0) exp(iε−2 ω1 (λ(1,2) σ). +πi (1,2) − λ(2,1) λ 1,2 Здесь λ(1,2) — нули знаменателя подынтегральной функции по λ. Интеграл по l− не содержит полюсов. Его асимптотика строится методом стационарной фазы. Кроме того, этот интеграл — гладкая, быстро убывающая функция по ζ и, следовательно, к интегралу по ζ также применим (2) метод стационарной фазы. В результате I22 можно представить в виде   X Z τ Z ∞ ζ dζ (2) −2 −2 −1/2 −2 −1/2 −2 I22 = ε dσO(1 + ε σ) O(1 + ε τ ) +ε exp −2iz πi χ(ζ, z, τ )× η 0 −∞ iζ 1,2 Z τ κ ˜ 4 (ζ − λ(1,2) , ζ, λ(1,2) , σ) × dσ exp(iε−2 ω(ζ)(τ − σ)) A5 (0)˜ κ5 (λ(1,2) , 0) exp(iε−2 ω1 (λ(1,2) σ)). (1,2) − λ(2,1) λ 0 Первое слагаемое оценивается величиной O(1) равномерно по ε в рассматриваемой полосе z, t. Во втором слагаемом возьмем интеграл по σ по частям, интегрируя экспоненту. В результате получим, что и это слагаемое оценивается величиной O(1). Следовательно, интеграл I22 = O(1) равномерно по ε в рассматриваемой полосе z, t. Оценка третьего слагаемого в интеграле I2 делается аналогично. Лемма 3.13 доказана. Этим заканчивается и доказательство теоремы 3.10. 3.3.3. Уравнение для η2 . Уравнение для η2 получается при уничтожении секулярных членов в образе w ˆ1 (t, ε) решения задачи Гурса для четвертой поправки w(x, t, ε):   3 ∂t ∂x w + 1 − w = f (x, t, ε), (3.107) 2 ch2 z w|t=0 = 0, w|x→−∞ = 0. (3.108)

96

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

Здесь правая часть имеет вид

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

√

   √ 3τ th z f (x, t, ε) = −η0 ∂τ B1 ∂B ∂z φ1 + c.c. − iB∂τ η3 ∂z exp − i 3(z + 2ηθ) + 2η ch z   1 z th z th z +c.c. + ∂τ η2 − (∂τ b0 η2 − b0 ∂τ η2 ) 2 − ∂τ ∂x u+ 2 − 2 ch z ch z ch z 3 3 + th(z)u2 + uφ21 + th(z)vφ1 . 2 2 Рассмотрим задачу Коши для w ˆ1 : ∂t w ˆ1 = f˘1 ,

w| ˆ t=0 = 0.

Секулярных членов в решении этой задачи нет, если выполняется уравнение γ3 γ4 η0 ∂τ η2 + |B0 |2 + |B0 |4 = 0. (3.109) E1 E1 Здесь   Z 1 ∞ dz 1 z th z E1 = + 2 . (3.110) 2 −∞ ch2 z ch2 z ch z Функции γ3 (τ ), γ4 (τ ) определяются через оператор усреднения [7]:   Z Z ∞ 1 T dz 3 3 2 2 |B0 |2 γ3 + |B0 |4 γ4 = lim dt ∂ ∂ u + th(z)u + uφ + th(z)vφ τ x 1 . 2 T →∞ T 0 2 2 1 −∞ ch z При интегрировании по t здесь τ — независимая переменная. Сформулируем полученное утверждение. Лемма 3.14. Пусть η2 — решение задачи Коши ∂τ η2 + q3 |B0 |2 + q4 |B0 |4 = 0,

η2 |τ =0 = 0,

(3.111)

где

γ3 γ4 , q4 = , (3.112) η0 E1 η0 E1 γ3 , γ4 , E1 определены в (3.109), (3.110). Тогда образ w ˆ1 (t, ε) решения задачи (3.107), (3.108) равномерно ограничен при 0 ≤ t ≤ O(ε−2 ). q3 =

Уравнение (3.111) не содержит произвольных, еще не определенных функций из асимптотического анзаца (3.72)–(3.75). Следовательно, система уравнений (3.85), (3.101), (3.111) позволяет однозначно определить модуляцию параметров b0 , η2 , B0 . Это однозначно определяет главный член формальной асимптотики (3.72)–(3.75). Теорема 3.8 доказана. 3.4. Возмущенное уравнение φ4 . В разделе проводится асимптотический анализ задачи Гурса для возмущенного уравнения Клейна — Гордона (φ4 ): ∂t ∂x Φ − Φ/2 + Φ3 /2 = εf (Φ).

(3.113)

Здесь ε — малый положительный параметр. В полосе x ∈ R, 0 ≤ t < ε−1 T0 , где T0 = const > 0 получено асимптотическое по modO(ε2+α ), где α > 0, решение (3.113) с главным членом в виде уединенной волны (кинка) невозмущенного уравнения φ0 (z) = th(z). Фазовая переменная z зависит от x, t и параметра возмущения ε. Решение задачи для возмущенного уравнения существенно отличается от рассмотренной выше задачи о возмущении начального условия. В частности, здесь для построения равномерной асимптотики возникает необходимость модулировать интегральную составляющую в первой поправке. Построена первая поправка асимптотического решения при больших значениях |z| (вне уединенной волны). Здесь решение имеет вид ±1 + εu + O(ε1+α ). Функция u определяет в главном существенную (отличную от ±1) часть асимптотики по ε решения (3.113) вне уединенной волны. Эта часть асимптотического решения представляет собой интеграл типа Фурье со специальной

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

97

модуляцией образа Фурье. Уравнение модуляции образа Фурье — интегродифференциальное уравнение с ядром Коши. Уравнение модуляции такого же вида получено в теории возмущений кинка уравнения синус-Гордона. Как известно, на больших временах на главный член асимптотики влияют высшие поправки теории возмущений. Для построения в главном асимптотики на большом масштабе времени — при t ∼ ε−1 — используется метод Крылова — Боголюбова. В рамках этого метода исследуются первая и вторая поправки теории возмущений. Оказывается, что на этом пути не удается уничтожить все растущие слагаемые в асимптотическом разложении. Ключ к построению равномерного асимптотического разложения — модуляция интегральной части решения, т.е. той, которая не связана напрямую с главным членом — солитоном. Здесь модуляция приводит к интегродифференциальному уравнению с быстро осциллирующим ядром Коши. Это результат был получен также для возмущенного уравнения синус-Гордона в работе [43]. Остановимся подробнее на методе построения решения. Асимптотическое решение уравнения (3.113) строится в виде φ(x, t, ε) = φ0 (z) + εu(x, t, ε) + ε2 v(x, t, ε). (3.114) Функция z определяется формулой 

θ z = −η x/2 + ε

 (3.115)

+ b.

При ε = 0 решение уравнения (3.113) — кинк: φ0 = th(−˜ η x/2 + t/(2˜ η ) + ˜b). В главном члене асимптотики (3.114), в отличие от решения уравнения φ4 при ε = 0, параметры кинка медленно меняются. Их асимптотика строится методом Крылова — Боголюбова: η(τ, ε) = η0 (τ ) + εη1 (τ );

b(τ, ε) = b0 (τ ) + εb1 (τ ).

(3.116)

Здесь τ = tε — медленное время. Функция θ в (3.115) имеет вид Z θ(τ, ε) = − 0

τ

dσ 2η 2 (σ, ε)

.

(3.117)

Уравнения модуляции по τ главных членов в разложении (3.116) определяются из анализа уравнения для u — первой поправки в асимптотическом решении уравнения (3.113). Сама поправка при этом не строится. Вопрос о том, достаточно ли этих уравнений модуляции для ограниченности первой поправки асимптотического решения (3.114), не обсуждается. Здесь построена первая поправка и доказана ее ограниченность, если главные члены параметров кинка удовлетворяют некоторым уравнениям модуляции. Этого достаточно для построения асимптотического решения (3.113) по mod(O(ε2 )). Далее, из анализа второй поправки в (3.114), функции v, получаются уравнения модуляции для η1 и b1 . В результате окончательно определяется главный член асимптотического решения уравнения (3.113) при t ∼ ε−1 . Вне уединенной волны основной вклад вносит интеграл типа Фурье из первой поправки. В этом пункте получено интегродифференциальное уравнение для модуляции коэффициентов Фурье первой поправки. Ядро интегрального оператора содержит произведение ядра Коши и быстро осциллирующей функции. Аналогичный результат ранее получен для уравнения синус-Гордон [43]. В работе [41] показано, что подобные интегродифференциальные уравнения носят универсальный характер в теории возмущений солитонов уравнений, интегрируемых МОЗР. Кроме того, в [41] доказана разрешимость таких интегродифференциальных уравнений в классе функций, удовлетворяющих условию Г¨ельдера. Для вывода уравнения модуляции коэффициентов Фурье первой поправки проведен подробный анализ второй поправки асимптотического решения. Это также позволяет решить вопрос о точности, с которой построены главный член асимптотики и первая поправка вне кинка.

98

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Обоснование построенного здесь асимптотического решения для возмущенного уравнения φ4 представляется интересной задачей, но выходит за рамки настоящей работы. Заметим, что этот вопрос решен для некоторых параболических уравнений [10] и для возмущений некоторых интегрируемых уравнений со специальным начальным условием с солитоном в главном члене [66], [149]. 3.4.1.

Постановка задачи и основной результат. Для уравнения (3.113) поставим задачу Гурса: Φ|t=0 = th(−˜ η x/2 + ˜b), Φ|x→−∞ = 1. (3.118)

Здесь η˜ > 0, ˜b ∈ R. Возмущение f (Φ) — гладкая функция, удовлетворяющая условиям f (−1) = f (1) = 0. Требуется построить формальное асимптотическое решение по mod(O(ε2+α )) для α > 0 равномерно до t = O(ε−1 ) при ε → 0. Основной результат этого пункта — следующая теорема. Теорема 3.11. Существуют α0 > 0, T0 > 0 такие, что при x ∈ R, 0 ≤ t < T0 ε−1 существует формальное асимптотическое решение (3.114) задачи (3.113), (3.118) по mod(O(ε2+α )), где 0 < α < α0 . Это решение определено формулами (3.114)–(3.117) и при ε → 0 имеет асимптотику φ = φ0 + εu + O(ε1+α ),

(3.119)

ε−1 .

равномерную по x ∈ R, 0 ≤ t < T0 Параметры η0 , η1 , b0 являются решениями задач Коши ∂τ η0 = C1 ,

η0 |τ =0 = η˜,

η0 ∂τ b0 − b0 ∂τ η0 = C2 , ∂τ η1 = −H1 (τ ),

b0 |τ =0 = ˜b,

η1 |τ =0 = 0,

где постоянные C1 , C2 вычисляются по формулам Z ∞ Z ∞ zf (φ0 (z)) f (φ0 (z)) , C2 = 3 dz , C1 = − dz 2 ch (z) ch2 z −∞ −∞ функция H1 (τ ) определена в (3.141). Первая поправка u(x, t, ε) определяется из (3.134), (3.135) и (3.144), (3.130). В пп. 3.4.2, 3.4.3 строится формальное асимптотическое решение задачи (3.113), (3.118). Уравнение модуляции коэффициентов Фурье интегральной части в первой поправке получено в п. 3.4.4. 3.4.2. Задача для первой поправки. В этом пункте построена первая поправка в формуле (3.114) — функция u и уравнения модуляции b0 (τ ) и η0 в (3.116). Рассмотрим задачу (3.113), (3.118). Уравнения для поправок u и v получаются стандартным образом. Подставим анзац (3.114)–(3.117) в (3.113), (3.118). Сгруппируем члены в получившемся выражении так, чтобы разложение по степеням ε было равномерным при x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ). В результате мы имеем задачи для u и v. Для первой поправки u(x, t, ε) получается задача Гурса: 3 u ∂t ∂x u + u − = h(z, τ ), (3.120) 2 ch2 (z) u|t=0 = 0, u|x→−∞ = 0, (3.121) где

  th z z th(z) 1 h(z, τ ) = f (φ0 ) − (η0 ∂τ b0 − b0 ∂τ η0 ) 2 − ∂τ η0 − . ch z ch2 (z) 2 ch2 (z)

(3.122)

Теорема 3.12. Решение задачи Гурса (3.120), (3.121) равномерно ограничено в полосе x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ), если параметры η0 (τ ) и b0 (τ ) являются решениями задач Коши: Z ∞ f (φ0 (z)) ∂τ η0 = − dz , (3.123) ch2 (z) −∞ Z ∞ zf (φ0 (z)) η0 ∂τ b0 − b0 ∂τ η0 = 3 dz , (3.124) ch2 z −∞ η0 |τ =0 = η˜, b0 |τ =0 = ˜b.

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

99

Доказательство. Решение задачи (3.120), (3.121) дается формулами (3.62)–(3.66). Перейдем к построению коэффициентов Фурье формального асимптотического решения задачи. Коэффициент u ˆ1 (t) — решение задачи Коши Z h(z, τ ) 2 ∞ dz 2 u ˆ1 |t=0 = 0. (3.125) ∂t u ˆ1 = η −∞ ch (z) Требование ограниченности по t решения этой задачи приводит к уравнению (3.123). При выполнении (3.123) правая часть (3.125) оказывается равной нулю и, следовательно, решение (3.125) — тождественный нуль. Решение задачи для u ˆ0 также равно нулю, если b0 удовлетворяет (3.124). Задача Коши для u ˆ2 (t) имеет вид √ ˘ 2 (τ, ε), u ∂t u ˆ2 + 2i 3θ∂τ η0 u ˆ2 = h ˆ2 |t=0 = 0. (3.126) ˘ ε): Функция h(τ,

  √ θ 2 ˘ h2 (τ, ε) = c1 exp i2 3η , η ε где Z ∞ √ th(z) c1 = dzf (φ0 (z)) (3.127) exp(−i 3z). ch(z) −∞ Решение задачи (3.126) равномерно ограничено при 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ). Внеинтегральная часть в представлении (3.62) для u(x, t, ε) имеет вид √    √ √ th(z) S(τ, ε) 3 th(z) u ˆ2 ψ2 = B(τ ) exp i 3 z + +A exp(2i 3z) + O(ε), (3.128) ch(z) ε 2 ch(z) где Z τ −2ic1 S = 2ηθ − 2 dσθ∂σ η0 , A = √ , (3.129) 3 0 а для функции B(τ ) известны лишь начальные условия: −2ic1 B(τ )|τ =0 = B0 = √ . 3 Уравнение для B(τ ) выписывается при построении следующего члена асимптотики — функции v(x, t, ε). Оно является одним из необходимых условий для ограниченности v(x, t, ε) в рассматриваемой полосе плоскости x, t. Интегральную составляющую в представлении (3.62) решения задачи (3.122), (3.123) можно записать в виде Z ∞ 1 ˆ H (ζ, τ, ε) + w(z, η, ε) + O(ε), uH = − dζa(ζ, η)ψ(x, t, ζ)W 2π −∞ где ˆ H |τ =0 = G(ζ, η, τ ) |τ =0 , W (3.130) 1 + (ζ/η)2 Z 2 ∞ G(ζ, η, τ ) = dzh(z, τ )g(z, ζ, η), (3.131) η −∞    θ g(z, ζ, η) = ϕ(x, t, ζ) exp iζ µ(ζ, t) − 2 . (3.132) ε Функция w(z) — гладкая, быстро убывающая по z, представима в виде   Z ∞ G(ζ, η, τ ) 1 ζ ˜ z, η), dζa(ζ, η) w(z) = exp i z ψ(ζ, (3.133) 2π −∞ 1 + (ζ/η)2 η здесь    θ ˜ ψ(ζ, z, η) = ψ(x, t, ζ) exp −iζ µ(ζ, t) − 2 . ε ˆ H (ζ, τ, ε) здесь определена при τ = 0. При τ > 0 эта функция определяется из треФункция W бования отсутствия секулярных членов в интегральной части представления (3.62) для второй

100

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

ˆ H по τ получено в параграфе 5. Существование решений подобпоправки. Уравнение модуляции W ных уравнений и их свойства исследовались в работе [41] в связи с теорией возмущений солитонов интегрируемых уравнений. Здесь сформулируем свойства, которым удовлетворяет решение уравˆ H (ζ, τ, ε). нения модуляции — функция W Лемма 3.15 (см. [41]). Существуют α0 и T0 , 0 < α0 < 1, T0 > 0, такие, что при 0 ≤ τ < T0 ˆ H (ζ, τ, ε) интегрируема по ζ и удовлетворяет по ζ условию Г¨ельдера степени α, где функция W 0 < α < α0 < 1,. При этих условиях функция uH равномерно ограничена в полосе x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ). Теорема доказана. Следствие. Решение задачи (3.120), (3.121) имеет вид √ √ 3 th(z) u(x, t, ε) = w(z) + A exp(2i 3z) + +U (z, τ, ε) + WH (x, t, ε) + c.c. + O(ε). 2 ch(z)

(3.134)

Первые два слагаемых в (3.134) — решения неоднородного Lφ4 . Третье и четвертое слагаемые — асимптотические решения однородного уравнения Lφ4 . Зависимость от медленного времени τ этих решений определяется из условия отсутствия секулярных членов во второй поправке. Функция U (z, τ, ε) — локализованное по z, осциллирующее по времени асимптотическое решение однородного уравнения Lφ4 — бризер:    √ th(z) S(τ, ε) U (z, τ, ε) = B(τ ) exp i 3 z + . ch(z) ε Функция WH имеет вид WH (x, t, ε) = −

1 2π

Z

∞

ˆ H (ζ, τ, ε). dζa(ζ, η)ψ(x, t, ζ)W

(3.135)

−∞

Она определяет существенную (отличную от ±1) часть асимптотики по ε вне кинка (при |z| → ∞). При больших значениях времени 1  t ≤ Cε−1 правая часть в формуле (3.135) представляет ˆ H , сформулированными собой интеграл с быстро осциллирующей фазой. Пользуясь свойствами W в лемме 3.15, можно показать, что этот интеграл мал. 3.4.3. Решение задачи для второй поправки. В этом пункте получены уравнения модуляции первых поправок параметров кинка. При этом уточняется внеинтегральная часть первой поправки u(x, t, ε): получено уравнение модуляции B(τ ) — амплитуды бризера. Задача для v(x, t, ε) имеет вид   3 ∂t ∂x v + 1 − v = F (x, t, ε), (3.136) 2 ch2 z v|t=0 = 0, v|x→−∞ = 0, (3.137) где 3 F (x, t, ε) = f 0 (φ0 (z))u − ∂η ∂x φ0 ∂τ η1 − ∂b ∂x φ0 ∂τ b1 − φ0 u2 − ∂τ ∂x u. 2 Теорема 3.13. Внеинтегральная часть в представлении (3.62) решения задачи (3.136), (3.137) равномерно ограничена при x ∈ R, 0 ≤ t ≤ O(ε−1 ), если η1 , b1 и B удовлетворяют уравнениям i2η √ ∂τ B + c2 B = 0, 3 ∂τ η1 = −H1 (τ ),

(3.139)

∂τ b1 η0 + ∂τ b0 η1 − ∂τ η1 b0 − ∂τ η0 b1 = 3H0 (τ )

(3.140)

(3.138)

и начальным условиям −2i B|τ =0 = √ c1 , 3

b1 |τ =0 = 0,

η1 |τ =0 = 0.

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Здесь постоянная c1 определена в (3.127), Z ∞ th2 (z) dz 2 f 0 (φ0 (z)), c2 = ch (z) −∞   Z ∞ √ 1 th(z) 0 f (φ0 ) A exp(2i 3z)+ H1 (τ ) = dz 2 ch(z) ch (z) −∞    √ th(z) +w(z) + c.c. − ∂τ ∂x w(z) + A exp(2i 3z) + c.c. − ch(z)  2  √ 3 th(z) − th(z) w(z) + A exp(2i 3z) + c.c. ; 2 ch(z)   Z ∞ √ z th(z) 0 H0 (τ ) = dz 2 exp(2i 3z)+ f (φ0 ) A ch(z) ch (z) −∞    √ th(z) +w(z) + c.c. − ∂τ ∂x w(z) + A exp(2i 3z) + c.c. − ch(z)  2  3 √ th(z) 3 2 th (z) exp(2i 3z) + c.c. + |B| − th(z) w(z) + A , 2 ch(z) ch2 (z)

101

(3.141)

величина A определена в (3.129), функция w(z) вычисляется из (3.66), (3.131), (3.132), (3.133). Доказательство. Решение задачи (3.136), (3.137) будем искать в виде (3.68). Рассмотрим коэффициенты Фурье vˆ во внеинтегральных слагаемых. Задача Коши для vˆ2 имеет вид √ ∂t vˆ2 + 2i 3θ∂τ η0 vˆ2 = F˘2 (t, ε), vˆ2 |t=0 = 0. Условие ограниченности v2 приводит к уравнению (3.138) на B(τ ). В уравнение (3.138) включены те члены из правой части уравнения для vˆ2 , частота осцилляций которых по t совпадает с собственной частотой колебаний решений уравнения для vˆ2 . Остальные слагаемые в правой части уравнения для vˆ2 либо осциллируют по t, но не являются резонансными, либо равны o(1) при t ∈ [ε−γ c0 , ε−1 T0 ), где 0 < γ < 1, c0 > 0. Эти слагаемые не приводят к секулярным членам в решении v(x, t, ε). Коэффициент vˆ1 — решение задачи Коши ∂t vˆ1 = F˘1 (t, ε),

vˆ1 |t=0 = 0.

Из структуры правой части следует, что решение этой задачи равномерно ограничено на рассматриваемом интервале времени t, если η1 удовлетворяет уравнению (3.139). Рассмотрим задачу Коши для vˆ0 : 1 ∂t vˆ0 = F˘0 (t, ε) − F˘1 (t, ε) + vˆ1 , vˆ0 |t=0 = 0. (3.142) η0 В правой части уравнения (3.142) есть неосциллирующие по t слагаемые, имеющие порядок O(1). Чтобы они не приводили к секулярным членам в решении, приравняем их сумму к нулю. В результате получается уравнение модуляции для b1 (τ ) (3.140). В этом пункте определяется лишь главный член формальной асимптотики (3.114). Функция b1 (τ ) не участвует в его построении. Уравнения (3.138)–(3.140) — достаточные условия для ограниченности решения (3.136), (3.137) во внеинтегральной части его представления вида (3.68). Теорема доказана. 3.4.4. Модуляция коэффициента Фурье в интегральной части первой поправки. Здесь получено уравнение модуляции коэффициента Фурье интегральной составляющей решения задачи для первой поправки. Интегральная составляющая определяет асимптотическое по ε решение задачи (3.113), (3.118) в области |z| ≥ ε−γ , где γ > 0. ˆ H при τ > 0 еще не определен. Его зависимость от τ выясняется при Коэффициент Фурье W анализе интегральной составляющей решения задачи (3.136), (3.137). Этот анализ аналогичен проведенному в [43].

102

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Обозначим интегральную часть в представлении асимптотического решения задачи для второй поправки v через VH (x, t, ε): Z ∞ 1 VH (x, t, ε) = dζa(ζ, η)ψ(x, t, ζ)VˆH (ζ, τ, ε). (3.143) 2π −∞ В (3.143) могут содержаться секулярные члены такие, что при |z| ≥ ε−γ , где γ > 0, величины ε2 v(x, t, ε) и εu(x, t, ε) одинакового порядка. Причина появления секулярных членов в (3.143) стандартна. В правой части уравнения для v содержатся решения однородного уравнения Lφ4 . Их можно представить в виде интеграла типа Фурье из формулы (3.62). В результате, во второй поправке секулярными будут те слагаемые, коэффициенты Фурье которых растут пропорционально времени t. Если их не уничтожить, разложение (3.114) будет неравномерно по ε при t = O(ε−1 ) и, соответственно, будет неверна формула (3.119). Секулярные члены уничтожаются модуляцией по ˆ H. τ коэффициента W ˆ H (ζ, τ, ε) — интегрируемая по ζ функция, решение задачи Коши для Теорема 3.14. Пусть W уравнения ˆ H (λ, τ, ε) dλW exp(iε−1 τ ω(τ, λ)) sh(π(ζ − λ)/η) −∞ (3.144) с начальным условием (3.130), тогда существуют T0 > 0 и 0 < α0 < 1 такие, что при 0 ≤ t < T0 ε−1 , x ∈ R формальное асимптотическое решение по mod(ε2+α ) задачи (3.113), (3.118) при ε → 0 имеет имеет асимптотику (3.119), где 0 < α < α0 . Первая поправка u(x, t, ε) имеет вид (3.134). Коэффициенты уравнения (3.144) определяются формулами ˆ H + M (ζ, η)W ˆ H = 2 exp(−iε−1 τ ω(τ, ζ))K(ζ, η)v.p. iζ∂τ W

M (ζ, η) = η00 iζ

∂η a(ζ, η) − N, a(ζ, η)

Z

∞

K(ζ, η) = η00 ζ

∂η a(ζ, η) + iP, a(ζ, η)

где
1 lim f 0 (φ0 (z)) + lim f 0 (φ0 (z)) , z→∞ 2 z→−∞
1 P = lim f 0 (φ0 (z)) − lim f 0 (φ0 (z)) . z→−∞ 2 z→∞

N=

Функция ω имеет вид ω(τ, λ) = −2

θ(τ, η) 1 λ+ . τ λ

Замечание 3.4. Асимптотика по ε при ε1−δ < τ < T0 , где 0 < δ < 1, формального асимптотического решения (3.114) задачи (3.113), (3.118) в области |z| ≥ ε−γ при γ > 0 определяется интегралом (3.135). Асимптотика интеграла WH при ε → ∞ определяется стационарными точками фазы экспоненты в ψ(x, t, ζ) [75, c. 333]. Такие точки существуют при x > 0. Используя ˆ H по ζ, можно дать асимптотическую оценку интеграла (3.135): г¨ельдеровость коэффициента W WH ∼

 ε α/2 τ

при

ε1−δ < τ < T0 , x/t = const > 0.

При x < 0 стационарных точек нет, и поэтому  ε α WH ∼ при ε1−δ < τ < T0 , x/t = const < 0. τ Таким образом, функция u в области x/t = const > 0 больше по порядку величины ε, чем остаток асимптотики в формуле (3.119).

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

103

Доказательство. В правой части (3.136) объединим слагаемые, имеющие одинаковую структуру зависимости от пространственной переменной: F = g1 (z, τ ) + N WH + P th(z)WH + g2 (z, τ )WH + √ √ +g3 (z, τ ) exp(i 3(2z + S/ε)) + g4 (z, τ ) exp(2i 3(2z + S/ε))+ √ √ 3 +g5 (z, τ ) exp(2i 3z + i 3S/ε)WH + th(z)WH2 + 2 Z ∞ Z ∞ ¯ t, ζ)]W ¯ t, ζ)∂τ W ˆ H (ζ, τ, ε) − ˆ H (ζ, τ, ε)− −η00 dζiζ∂η [a(ζ, η)ψ(x, dζiζa(ζ, η)ψ(x, −∞ −∞ Z ∞ 0 ¯ t, ζ)]W ˆ H (ζ, τ, ε) + c.c.. −b0 dζiζa(ζ, η)∂b [ψ(x, (3.145) −∞

Здесь gi — гладкие по z, быстро убывающие при |z| → ∞ функции; ψ¯ = ∂x ψ/(iζ). Коэффициент Фурье VˆH (ζ, t, ε) состоит из нескольких слагаемых, каждое из которых соответствует тому или иному слагаемому в (3.145). Интегральную часть в решении задачи (3.136), (3.137) можно представить в виде интегралов типа Фурье от слагаемых, составляющих коэффициент Фурье VˆH . Слагаемые в этой сумме являются кратными интегралами типа Фурье. Это можно заметить, если учесть, что, например, WH является однократным интегралом типа Фурье и этот интеграл содержится в выражении для соответствующих слагаемых в коэффициенте VˆH . Секулярные члены в интегральной части решения задачи (3.136), (3.137) появляются из-за тех слагаемых из правой части (3.145), которые при больших значениях |z| имеют асимптотику Z ∞ ˆ H exp(i(xζ + t/ζ)), dζυ(ζ)W −∞

где υ(ζ) — гладкая, ограниченная по ζ функция. Каждый такой член из правой части приводит к появлению слагаемого порядка O(t) в коэффициентах Фурье интегральной части решения (3.136), (3.137). Это второе, третье, девятое и десятое слагаемые из (3.145). Уравнение (3.144) получается из требования равенства нулю суммы таких секулярных членов. Вычисления при выводе этого уравнения аналогичны сделанным в [43]. Покажем, что остальные слагаемые в (3.145) не приводят к секулярным членам в VH . Интегральная часть решения Lφ4 с правой частью g1 (z, τ ) имеет такой же вид, как и uH и, соответственно, оценивается величиной O(1), при x ∈ R, 0 ≤ t < ε−1 const. Кратный интеграл Фурье, соответствующий решению Lφ4 с правой частью g2 WH , рассматривался в [43]. Он оценивается величиной O(1), при x ∈ R, 0 ≤ t < ε−1 const. Интегралы Фурье, получающиеся в интегральной части решения Lφ4 , с правыми частями вида √ √ g3 exp(2i 3z + iS/ε) и g4 exp(4i 3z + 2iS/ε), имеют порядок O(1) при x ∈ R, 0 ≤ t < ε−1 const. Рассмотрим интегральную часть решения Lφ4 с нулевыми граничным и начальным условиями и √ правой частью g5 exp(2i 3z + iS/ε)WH . Обозначим коэффициент Фурье этого решения через Vˆ5 . Задача Коши для Vˆ5 имеет вид √ iζ∂t Vˆ5 = exp(i 3S/ε) exp(−iε−1 τ ω(ζ, τ ))× Z ∞ ˆ H (λ, τ, ε) exp(iε−1 τ ω(λ, τ )), dλa(λ, η)κ(ζ − λ, l, ζ)W × −∞

Vˆ5 |t=0 = 0,

(3.146)

где κ(n, λ, ζ) — гладкая, быстро убывающая при |n| → ∞ функция. Для оценки интегральной части решения здесь тоже воспользуемся результатами [46]. Обозначим интеграл из (3.146) через I4 . При 0 ≤ τ < εγ ∀γ ∈ (0, 1), интеграл I4 оценивается величиной O(1). При больших значениях τ главный член асимптотики интеграла в (3.146) вычисляется с помощью метода, изложенного в [75, c. 333]. В результате при τ > εγ получим:    ε α/2 X 1 −1 −1 κ2 (ζ). I4 = exp(−iε τ ω(ζ, τ )) C1,2 κ(ζ − λ1,2 ) exp(iε τ ω1,2 ) + O τ 1 + ( τε )α 1,2

104

4. ВОЗМУЩЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Здесь λ1,2 — стационарные точки фазы в интеграле I4 , ω1,2 — значения фазы в стационарных точках, C1,2 — некоторые постоянные. Подставим эту формулу в выражение для интегральной части решения Lφ4 . Асимптотику главного члена подсчитаем так же, как в [46]. Вклад главного члена из этой формулы в решение равен O(1). Вклад в интегральную часть решения V5 остатка асимптотики имеет вид   Z ∞ Z 1 ε−1 τ dσO J3 = dζa(ζ, η)ψ(x, t, ζ) κ2 (ζ). iζ 0 1 + ( τε )α −∞ Здесь κ2 (n) — гладкая, быстро убывающая при |n| → ∞ функция. Выберем γ ≥ α. После интегрирования по σ J3 равен O(εα−1 ). Функция V5 — интеграл типа Фурье по ζ — имеет порядок O(εα−1 ) при x ∈ R, 0 ≤ t < ε−1 T0 . Таким образом, это слагаемое не является секулярным. Заметим, что при ζ → 0 подынтегральная функция в интеграле по ζ ограничена. Это можно показать, выделив интеграл по малой окрестности точки ζ = 0, в которой не содержатся стационарные точки фазы экспоненты. Проинтегрируем по частям внутренний интеграл по σ. Этот интеграл равен O(ζ) в окрестности ζ = 0. Поэтому, несмотря на множитель 1/ζ подынтегральная функция ограничена при ζ → 0. Осталось рассмотреть интеграл типа Фурье, соответствующий слагаемому th(z)WH2 в правой части уравнения для второй поправки. Чтобы воспользоваться результатами об асимптотике интегралов [46, 75, 87], необходимо сделать некоторые преобразования. Здесь интеграл Фурье имеет вид Z ∞ Z Z ∞ 1 t ¯ s, ζ) th(−η(x/2 + θ) + b)W 2 (y, s, ε). (3.147) J(x, t, ε) = dζa(ζ, η)ψ(x, t, ζ) ds dy ψ(y, H ζ −∞ 0 −∞ Внутренний интеграл по y в (3.147) обозначим через β. Выделим из функций ψ и ψ¯ осциллирующие по y экспоненты. Сделаем преобразование Фурье по y, в результате получим: Z ∞ Z ∞ ˆ H (k, σ, ε)W ˆ H (λ, σ, ε)× β= dk v.p. dλa(κ, η)a(λ, η)W −∞

−∞

A exp(iσε−1 (ω(λ, σ) + ω(k, σ) − ω(ζ, σ))) × + sh(π(ζ − λ − k)/η) Z +C

∞

ˆ (k, σ, ε)W ˆ (ζ − k, σ, ε) exp(iε−1 σ(ω(k, σ) + ω(ζ − k, σ) − ω(ζ, σ)))+ dk W Z ∞ Z ∞ ˆ H (k, σ, ε)W ˆ H (λ, σ, ε)a(κ, η)a(λ, η)χ(ζ − λ − k)× + dk dλW

−∞

−∞

−∞

× exp(iσε−1 (ω(λ, σ) + ω(k, σ) − ω(ζ, σ))). Здесь A, C = const, σ = sε, χ(n) — гладкая быстро убывающая при |n| → ∞ функция. При 0 ≤ τ ≤ const εγ , γ > 0 имеем β = O(1). При c0 εγ ≤ τ ≤ c1 , где c0 > 0, 0 < γ < 1, используя метод стационарной фазы [87], получим асимптотику     ε α/2 X ε α −1 β= C1,2 κ1,2 (ζ, τ ) exp(iε σ(ω(λ1,2 , σ) + ω(ζ − λ1,2 , σ) − ω(ζ, σ))) + O κ3 (ζ), σ σ 1,2

где κ1,2,3 (ζ, σ) — гладкие по ζ, быстро убывающие при |ζ| → ∞ функции, C1,2 — некоторые постоянные, λ1,2 — стационарные точки функции ω(λ, σ) по λ. Используя это представление так же, как и при вычислении функции V5 , получим: J(x, t, ε) = O(εα−1 ) при x ∈ R, 0 ≤ t < ε−1 const. Таким образом, J не является секулярным членом. Этим заканчивается доказательство теоремы.

4.

МЕТОД

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

РИМАНА

Термин «нелокальная задача Римана» был введен С. В. Манаковым в связи с применением метода обратной задачи для уравнения КП-1 [146]. В этом параграфе приведен алгоритм решения

5. МЕТОД

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

РИМАНА

105

уравнений ДС-1 с помощью МОЗР. Он был предложен в работе [119]. Однако, решения, построенные в рамках подхода [119], не содержали уединенных волн. Позднее в [104] были построены пространственно локализованные решения ДС-1. Алгоритм МОЗР, включающий такие решения, был предложен в [122]. Он и будет кратко изложен в этом параграфе. В литературе часто используется также и альтернативный подход к решению обратной задачи — с помощью интегральных уравнений Гельфанда — Левитана — Марченко. Наиболее полно для нелинейных уравнений, связанных с двумерной гиперболической системой Дирака, этот подход развит в монографии [69]. Там же исследованы вопросы о существовании решения и однозначной разрешимости обратной задачи рассеяния. 4.1. Решение уравнения Деви—Стюартсона-1. Ниже используется уравнение ДС-1 в характеристических координатах: ξ = x + y, η = x − y: i∂t Q + (∂ξ2 + ∂η2 )Q + (g1 + g2 )Q = 0, σ σ ∂ξ g1 = − ∂η |Q|2 , ∂η g2 = − ∂ξ |Q|2 , σ = ±1. 2 2 Здесь приняты обозначения: Q = A,

1 ∂η p = −g1 + κ|A|2 , 2

(4.1)

1 ∂ξ p = −g2 + κ|A|2 . 2

Мы будем считать, что задано начальное условие для функции Q(t, ξ, η) и краевые условия для g1 и g2 : Q = Q0 (ξ, η), g1 |ξ→−∞ = u1 (η), g2 |η→−∞ = u2 (ξ). (4.2) Система уравнений ДС-1 является условием совместности для двух линейных систем уравнений:     1 ∂ξ 0 0 q1 ψ=− ψ (4.3) 0 ∂η 2 q2 0 и для системы уравнений, определяющей зависимость от времени:       1 0 0 q1 ig1 −i∂η q1 2 ∂t ψ = i (∂ξ − ∂η ) ψ + i (∂ξ − ∂η )ψ + ψ, 0 −1 q2 0 i∂ξ q2 −ig2

(4.4)

¯ если в этих системах принять q1 = Q, q2 = −Q. 4.1.1. Прямая задача рассеяния. Прямая задача рассеяния, связанная с уравнениями ДС-1, состоит из двух шагов. Первый шаг — построение специальных решений гиперболической системы Дирака (4.3), удовлетворяющих задаче Гурса [122]: + + ψ11 |ξ→−∞ = exp(ikη), ψ12 |ξ→−∞ = 0, + ψ21 |η→∞ = 0, − ψ11 |ξ→−∞ = exp(ikη), − ψ21 |η→−∞ = 0,

+ ψ22 |η→−∞ = exp(−ikξ); − ψ12 |ξ→∞ = 0,

(4.5)

− ψ22 |η→−∞ = exp(−ikξ).

Исследуем свойства решений этой системы. Приведенные в этом пункте утверждения хорошо известны и могут быть доказаны достаточно просто. Обычно в работах по формализму метода обратной задачи заранее предполагается, что решения обладают нужными свойствами. Доказательства часто опускаются (см., например, [122]). Математически строгие утверждения имеются в книге Л. П. Нижника [69], однако, в основном, они относятся к потенциалам q1,2 из класса L2 . Нас же интересуют потенциалы из L1 ∩ C 2 . Поэтому здесь приведем два утверждения о свойствах решений задачи Гурса. В выкладках будут использоваться обозначения: ψ(j) — j-тый столбец матрицы ψ, j = 1, 2, и матрица E(z) = diag(exp(z), exp(−z)). Теорема 4.1. Пусть q1,2 (ξ, η) ∈ L1 , тогда решения задач Гурса для системы уравнений (4.3) с условиями (4.5) существуют, единственны в C 1 и равномерно ограничены при =(k) = 0.

106

5. МЕТОД

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

РИМАНА

Доказательство этой теоремы стандартно. Здесь приведем лишь схему. В качестве примера + рассмотрим систему уравнений для вектора ψ(1) (ξ, η, k). Перепишем для него задачу Гурса в виде системы интегральных уравнений Вольтерра: + + ψ(1) (ξ, η, k) = E(1) (ikη) + G1 [q]ψ(1) ;

здесь E(j) (z) — j-тый столбец матрицы E(z) и оператор G1 [q]: " R # ξ 0 q (ξ 0 , η)ψ + (ξ 0 , η, k) 1 dξ 1 + 21 R−∞ G1 [q]ψ(1) = − . η + 0 0 0 2 −∞ dη q2 (ξ, η )ψ11 (ξ, η , k) Из интегрируемости функций q1,2 (ξ, η) следует разрешимость системы интегральных уравнений и, как следствие, разрешимость соответствующей задачи Гурса. Так же можно доказать существование и остальных вектор-функций из задачи (4.3), (4.5). Ниже окажется полезным еще одно вспомогательное утверждение о свойствах решений задачи Гурса. Теорема 4.2. Элементы матрицы-функции ψ ± (ξ, η, k) — аналитические при ±=(k) > 0. + Приведем схему доказательства этого утверждения также на примере столбца ψ(1) (ξ, η, k). + + Для этого обозначим Mj1 (ξ, η, k) = exp(−ikη)ψj1 (ξ, η, k), где j = 1, 2. Уравнения Вольтерра для + Mj1 (ξ, η, k) имеют вид Z 1 ξ + 0 + M11 (ξ, η, k) = 1 − dξ 0 q1 (ξ 0 , η)M21 (ξ , η), 2 −∞ Z 1 ∞ + + M21 (ξ, η, k) = q2 (ξ, η 0 )M11 (ξ, η 0 , k) exp(ik(η 0 − η)). 2 η + Нетрудно видеть, что при =(k) > 0 существуют все производные по k функций Mj1 (ξ, η, k), j = 1, 2. + То есть эти функции, а следовательно, и элементы столбца ψ(1) (ξ, η, k) — аналитические по k при =(k) > 0. Доказательство свойств аналитичности по k остальных элементов матриц-функций ψ ± (ξ, η, k) аналогично. Следуя работе [122], выведем задачу Римана для элементов матриц ψ ± . Для этого рассмотрим + − интегральное уравнение для разности столбцов Ψ(1) = ψ(1) − ψ(1) :  +   −  ψ11 ψ11 (ξ, η, k) − (ξ, η, k) = + − ψ21 ψ21 " # R + 0 − 0 −1 ξ 0 0 2 −∞ dξ q1 (ξ , η)[ψ21 (ξ , η, k) − ψ21 (ξ , η, k)] . = 1 R∞ R + − 1 η 0 0 0 0 0 0 2 η dη q2 (ξ, η )ψ11 (ξ, η , k) + 2 −∞ dη q2 (ξ, η )ψ11 (ξ, η , k)

Правую часть второй строки этой формулы перепишем в виде Z Z 1 η 1 ∞ 0 + − 0 0 dη q2 (ξ, η )ψ11 (ξ, η , k) + dη 0 q2 (ξ, η 0 )ψ11 (ξ, η 0 , k) = 2 η 2 −∞ Z Z 1 ∞ 0 1 η + + − 0 0 = dη q2 (ξ, η )ψ11 (ξ, η , k) + dη 0 q2 (ξ, η 0 )[ψ11 (ξ, η 0 , k) − ψ11 (ξ, η 0 , k)]. 2 −∞ 2 −∞ Обозначим

Тогда для Ψ(1)

Z 1 ∞ 0 + (ξ, η 0 , k). f (ξ, k) = dη q2 (ξ, η 0 )ψ11 2 −∞ получим интегральное уравнение: Z −1 ξ Ψ11 = dξ 0 q1 (ξ 0 , η)Ψ21 (ξ 0 , η, k) 2 −∞ Z −1 η Ψ21 = f (ξ, k) + dη 0 q2 (ξ, η 0 )Ψ11 (ξ, η 0 , k). 2 −∞

5. МЕТОД

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

РИМАНА

107

+ (ξ, η, k) удовлетворяет похожей системе интегральных уравнений со Заметим, что столбец ψ(2) + свободным членом exp(−ikξ). Это позволяет выразить Ψ(1) через ψ(2) (ξ, η, k), а именно: Z ∞ + Ψ(1) (ξ, η, k) = dlψ(2) (ξ, η, l)s1 (k, l), −∞

где 1 s1 (k, l) = 4π В результате получим:

Z

+ ψ(1) (ξ, η, k)

∞

−∞

−

Z

∞

−∞

+ 0 0 dξ 0 dη 0 exp(ilξ 0 )q2 (ξ 0 , η 0 )ψ11 (ξ , η , k).

− ψ(1) (ξ, η, k)

Z

∞

= −∞

+ (ξ, η, l)s1 (k, l). dlψ(2)

(4.6)

− dlψ(1) (ξ, η, l)s2 (k, l),

(4.7)

Такие же выкладки приводят к формуле + ψ(2) (ξ, η, k)

−

− ψ(2) (ξ, η, k)

Z

∞

= −∞

где

Z ∞Z ∞ 1 − 0 0 s2 (k, l) = dξ 0 dη 0 exp(ilξ 0 )q1 (ξ 0 , η 0 )ψ22 (ξ , η , k). 4π −∞ −∞ Функции s1 (k, l) и s2 (k, l) называются данными рассеяния. Для вычисления данных рассеяния удобно ввести билинейную форму [141]: Z ∞Z ∞ (χ, µ)q = dξdη(χ1 µ1 q2 + χ2 µ2 q1 ). (4.8) −∞

−∞

Использовав это обозначение, данные рассеяния можно записать в виде 1 + s1 (k, l) = (ψ (ξ, η, k), E(1) (ilξ))q , 4π (1) 1 − s2 (k, l) = (ψ (ξ, η, k), E(2) (ilη))q , 4π (2)

(4.9) (4.10)

4.1.2. Эволюция данных рассеяния. Эволюция данных рассеяния может быть вычислена прямым дифференцированием по времени данных рассеяния [122]. В результате после некоторых очевидных преобразований интегралов получается линейное дифференциальное уравнение, содержащее свертки данных рассеяния с образами Фурье функций u1 (η) и u2 (ξ) из (4.2). Для образов Фурье данных рассеяния эти выражения принимают наиболее удобный вид. Обозначим Z dkdl exp(ikξ + ilη)s1 (κ, l, t), sˆ1 (ξ, η, t) = R2

тогда производная ∂t sˆ1 записывается в виде [122] iˆ s1 = −∂ξ2 sˆ1 − ∂η2 sˆ1 − (u2 (ξ) + u1 (η))ˆ s1 .

(4.11)

Выражение для производной образа Фурье sˆ2 получается, если в (4.11) заменить i на −i. Формула (4.11) обычно рассматривается как уравнение для определения sˆ1 в любой момент времени. Значение sˆ1 при t = 0 может быть вычислено из начального условия. Задача Коши для уравнения (4.11) решается методом Фурье. Зависимость от переменных t, ξ и η разделяется (см. [122]). Решение уравнения (4.11) строится в виде sˆ = T (t)X(ξ)Y (η), где T 0 + i(k 2 + l2 )T = 0, X 00 + (u2 + k 2 )X = 0, 00

2

(4.12)

Y + (u1 + l )Y = 0. (4.13) R∞ Будем рассматривать такие краевые условия u1,2 , что −∞ dx(1 + x2 )|u12 (x)| < ∞. Тогда решения уравнений (4.12) и (4.13), соответствующие дискретному и непрерывному спектрам, образуют

108

5. МЕТОД

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

РИМАНА

базисный набор функций в L1 [85]. Воспользовавшись разложениями по этим базисам, можно записать решение задачи Коши для уравнения (4.11) в виде [122]: M X L X

sˆ1 (ξ, η, t) =

ρjr Xj (ξ)Yr (η) exp(it(µ2j + λ2r ))+

j=1 r=1

Z +

dk

X M

R

+

L X r=1 Z

+

ρj (k) exp(it(µj − k 2 ))Xj (ξ)Y (η, k)+

j=1

ρ¯r (k) exp(it(λ2r

 − k ))Yr (η)X(ξ, k) + 2

dkdl ρ(k, l)X(ξ, k)Y (η, l) exp(−it(k 2 + l2 )),

(4.14)

R2

где Z ρjr =

¯ j (ξ)Y¯r (η), dξdηˆ s1 (ξ, η, 0)X

R2

Z ρ(k, l) =

¯ k)Y¯ (η, l), dξdηˆ s1 (ξ, η, 0)X(ξ,

R2

Z ρj (k) =

¯ j (ξ)Y¯ (η, k), dξdηˆ s1 (ξ, η, 0)X

R2

Z ρr (l) =

¯ k)Y¯r (η). dξdηˆ s1 (ξ, η, 0)X(ξ,

R2

Так определяется эволюция данных рассеяния. 4.1.3. Нелокальная задача Римана. Решение обратной задачи рассеяния так же, как и решение прямой задачи, состоит из двух шагов. Первый шаг — построение решений задачи (4.3) в любой момент времени. Как было показано, следуя [122], элементы матриц ψ ± — аналитические функции по переменной k при ±=(k) > 0. Используя данные рассеяния, формулы (4.6), (4.7) и формулы + − в виде и ψ12 Сохоцкого [14], можно записать нелокальную задачу Римана — Гильберта для ψ11 системы интегральных уравнений [122]:  − Z ∞ + − ψ11 (ξ, η, k, t) = exp(ikη) + exp(ikη) exp(−ikη) dls1 (k, l, t)ψ12 (ξ, η, l, t) , −∞

 Z + (ξ, η, k, t) = exp(−ikξ) exp(ikξ) ψ12

∞

−∞

+ − dls2 (k, l, t)ψ11 (ξ, η, l, t) ,

где (f (k))± =

1 2iπ

Z

∞

−∞

k0

dk 0 f (k 0 ) . − (k ± i0)

− + Похожую систему уравнений можно написать и для функций ψ21 и ψ22 :  − Z ∞ − + ψ21 (ξ, η, k, t) = exp(ikη) exp(−ikη) dls1 (k, l, t)ψ22 (ξ, η, l, t) , −∞

 Z + ψ22 (ξ, η, k, t) = exp(−ikξ) + exp(−ikξ) exp(ikξ)

∞

−∞

+

− dls2 (k, l, t)ψ21 (ξ, η, l, t)

.

Следующий шаг — построение решения уравнений ДС-1. Для этого удобно воспользоваться обозначением для билинейной формы: Z ∞Z ∞ hχ, µis = dkdl(χ1 (l)µ1 (k)s2 (k, l) + χ2 (l)µ2 (k)s1 (k, l)). (4.15) −∞

−∞

5. МЕТОД

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

РИМАНА

109

Функции q1 и q2 могут быть записаны в виде −1 (1) hψ (ξ, η, l), E (1) (ikξ)is , π 1 q2 (ξ, η) = hψ (2) (ξ, η, l), E (2) (ikη)is . π

q1 (ξ, η) =

(4.16) (4.17)

+ − Здесь ψ (j) — строка [ψj1 , ψj2 ], а E (j) (z) — строка матрицы E(z).

4.1.4. Солитонное решение. Для уравнения ДС-1 известны различные типы точных решений. Например, это плоские волны, распространяющиеся под углом друг к другу [103]. Решение типа многомерного локализованного солитона, стремящегося к не равной нулю постоянной во всех пространственных направлениях, было построено в [156]. Здесь мы разберем построение с помощью МОЗР двумерного локализованного решения, полученного в [104]. В работе [122] такие решения были названы дромионами. Дромионное решение уравнений ДС-1 получается, если начальные условия в задаче Коши для уравнения (4.11) таковы, что данные рассеяния в начальный момент времени имеют специальный вид: ρ(k, l, 0) = 0,

ρj (k) = 0,

ρr (l) = 0.

В этом случае в формуле (4.14) остаются только слагаемые, которые не содержат интегралов. Интегральные уравнения, к которым сводится нелокальная задача Римана, в этом случае сводятся к уравнениям с вырожденными ядрами и решаются явно. Это позволяет получить явные формулы для решения уравнений ДС-1. В качестве примера приведем формулы для функции q(ξ, η, t), соответствующие одному дромиону (в формуле (4.14) L = M = 1): Q(ξ, η, t) =

8ρλµ exp(it(λ2 + µ2 )) , ch(µξ) ch(λη)(16 − σ|ρ|2 µλ(1 + th(λη))(1 + th(µξ)))

(4.18)

где λ, µ — вещественные постоянные, однозначно определяющиеся из краевых условий при η → −∞ и ξ → −∞; ρ — параметр решения, определяющийся начальным значением для функции Q. Краевые условия в этом случае имеют вид u1 ≡

λ2 , 2 ch2 (λη)

u2 ≡

µ2 . 2 ch2 (µξ)

(4.19)

В дромионном случае вычислены в явном виде решения прямой задачи рассеяния [122]. Приведем две пары этих решений, которые будут использованы при построении теории возмущений для дромиона. Первый столбец матрицы ψ + имеет вид Z 

+ ψ11 + ψ21



 =

exp(ikη) 0   × 



∞

dpλ exp(ikp) 2 ch(λp)

η × λµ 2 1 − σ|ρ| (1 + th(µξ))(1 + th(λη)) 16  −σ|ρ|2 λµ(1 + th(µξ))  8 ch(λη) . 2 2 σ ρ¯µ exp(−it(λ + µ )) 

+

2 ch(µξ)

(4.20)

110

5. МЕТОД

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

РИМАНА

Второй столбец матрицы ψ + : Z 

+ ψ12 + ψ22



 =

0 exp(−ikξ)   × 

ξ



dpµ exp(ikp) 2 ch(µp)

∞ × λµ 1 − σ|ρ|2 (1 + th(µξ))(1 + th(λη)) 16  2 −ρλ exp(−it(λ + µ2 ))  2 ch(λη) . 2 σ|ρ| λµ(1 + th(λη))  8 ch(µξ)

+

(4.21)

Первый столбец матрицы ψ − : Z 

− ψ11 − ψ21



 =

exp(ikη) 0   × 

η

dpλ exp(ikp) 2 ch(λp)



−∞ × λµ 2 1 − σ|ρ| (1 + th(µξ))(1 + th(λη)) 16  −σ|ρ|2 λµ(1 + th(µξ))  8 ch(λη) . 2 2 σ ρ¯µ exp(−it(λ + µ ))  2 ch(µξ)

+

(4.22)

Второй столбец матрицы ψ − : Z 

− ψ12 − ψ22



 =

0 exp(−ikξ)   × 

5.

ВРЕМЕННЫЕ



ξ

dpµ exp(ikp) 2 ch(µp)

∞ × λµ 2 1 − σ|ρ| (1 + th(µξ))(1 + th(λη)) 16  σ ρ¯λ exp(−it(λ2 + µ2 ))  2 ch(µξ) . 2 −σ|ρ| λµ(1 + th(λη))  8 ch(λη)

+

АСИМПТОТИКИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

(4.23)

РИМАНА

5.1. Асимптотика решения уравнения Деви—Стюартсона-1. Здесь МОЗР используется для построения асимптотики при t → ∞ решения задачи Коши Z ξ  Z η κ 2 2 0 2 0 2 i∂t Q + (∂ξ + ∂η )Q + dξ ∂η |Q| + dη ∂ξ |Q| Q = 0, 2 (5.1) −∞ −∞ Q|t=0 = Q0 (ξ, η). В такой форме можно записать уравнение Деви—Стюартсона-1 с нулевыми граничными условиями для компонент g1,2 при ξ → −∞ и η → −∞ соответственно. При t → ∞ построенное решение имеет порядок O(t−1 ) и быстро осциллирует. Огибающая осцилляций определяется данными рассеяния и зависит от характерных переменных ξ/t и η/t. Эти результаты были получены в работе автора [49]. Структура асимптотик решений интегрируемых уравнений размерности 2 + 1 (две пространственные переменные и время) отличается от хорошо исследованного (1 + 1)-мерного случая. С технической стороны, особенность уравнения ДС-I по сравнению с (1 + 1)-мерными интегрируемыми уравнениями заключена во вспомогательной линейной задаче, которая используется для интегрирования уравнения с помощью МОЗР. Для уравнения (5.1) обратная задача – нелокальная задача Римана. В этом параграфе строится асимптотика при t → ∞ решения системы интегральных уравнений, эквивалентных нелокальной задаче Римана. Затем эта асимптотика используется

6. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

РИМАНА

111

для построения асимптотики решения уравнения (5.1) при t → ∞. Решающее условие, приводящее к убывающей асимптотике — нулевые граничные условия компонент g1,2 . В частности, они обеспечивают отсутствие дискретной составляющей в представлении решения с помощью МОЗР. 5.1.1. Основной результат. Для решения задачи Коши для (5.1) используются данные рассеяния в начальный момент времени [122]: Z ∞Z ∞ 1 − dξdηψ22 (ξ, η, k, 0) exp(ilη)Q0 (ξ, η). S(k, l) = 4π −∞ −∞ Сформулируем утверждение об асимптотике решения уравнения (5.1). Теорема 5.1. Пусть S(k, l) ∈ C 2 , ∂ α S(k, l) ∈ L1 , где α = 1, 2, удовлетворяет условию:

Z ∞

Z ∞

1 1 1

kS(l, k)kL1 + dl|∂k S(l, k)| + |S(l, k)|dl

+ 2π π −∞ π −∞ C C

Z ∞

Z ∞



1 1

+ |∂k S(k, l)|dl |S(k, l)|dl

+ π

< 1. π −∞ −∞ C C Тогда при t → ∞ асимптотика решения уравнения (5.1) имеет вид       1 it 2 x y 1 0  x 2 −3/2 Q(ξ, η, t) = exp (x + y ) iS , + √ µ1 x, y, + O(t ) . t 4 2 2 2 π

(5.2)

(5.3)

0

Здесь x = ξ/t, y = η/t; функция µ1 (x, y, k) удовлетворяет системе интегральных уравнений: Z y/2 0 0 µ1 (x, y, k) = dlµ2 (x, y, l)S(k, l), −∞ (5.4) Z ∞ Z ∞ 0 0 ¯ ¯ µ2 (x, y, k) = dlκS(l, k)S(l, k) + dlµ1 (x, y, l)S(l, k). x/2

x/2

Замечание 5.1. Если данные рассеяния имеют вид S(k, l) =

n X

σj (k)τj (l),

(5.5)

j=1

то решение задачи Коши для ДС-I вычисляется явно [119]. Это решение имеет асимптотику  n x  y  X 1 0  x −1 2 2 Q = t exp(it(x + y )/4) σj τj + √ χj x, y, + O(t−3/2 ), 2 2 2 π j=1

0

функции χj (x, y, k) — решения системы линейных алгебраических уравнений (5.11). 5.1.2. Асимптотика решения нелокальной задачи Римана. Для построения потенциала Q(ξ, η, t) по данным рассеяния S(k, l) при t > 0 будем использовать систему уравнений, эквивалентную нелокальной задаче Римана [122]:  −    ψ11 (ξ, η, k, t) exp(ikη) = + F [ψ], (5.6) + 0 ψ12 (ξ, η, k, t) где Z Z exp(ikη) ∞ dk 0 exp(−ik 0 η) ∞ ¯ k 0 ) exp(it(k 02 + l2 ))ψ + (ξ, η, l, t)), dl(κS(l, F1 [ψ] = 12 0 − (k − i0) 2iπ k −∞ −∞ Z ∞ Z exp(−ikξ) dk 0 exp(ik 0 ξ) ∞ − (ξ, η, l, t)). F2 [ψ] = dl(S(k 0 , l) exp(−it(k 02 + l2 ))ψ11 0 2iπ −∞ k − (k + i0) −∞ В этом пункте построена асимптотика решения системы (5.6) при t → ∞.

112

6. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

РИМАНА

Теорема 5.2. Пусть функция S(k, l) ∈ C 1 удовлетворяет условию (5.2). Тогда решение системы (5.6) при t → ∞ имеет вид − = exp(ikη) + t−1/2 exp(ik 2 t + ity 2 /4)ϕ1 (x, y, k, t) + O(t−1 ), ψ11 + ψ12 = t−1/2 exp(−ik 2 t + ity 2 /4)ϕ2 (x, y, k, t) + O(t−1 )

при x, y ∈ R. Функции ϕ1 (x, y, k, t) и ϕ2 (x, y, k, t) — решения системы интегральных уравнений (5.10). Замечание 5.2. Зависимость функций ϕ1 и ϕ2 от параметра t существенна в малой порядка O(t−1/2 ) окрестности точек k = y/2 и k = x/2. Для доказательства теоремы 5.2 исследуем свойства интегрального оператора F [ψ] из правой части (5.6). Обозначим через X пространство непрерывных вектор-функций h(k) = [h1 (k), h2 (k)]T с нормой kh(k)kX = kh1 kC + kh2 kC . Лемма 5.1. Пусть S(k, l) такова, что выполнены условия (5.2), тогда интегральный оператор F [ψ] является сжимающим в пространстве X. Доказательство. Рассмотрим интегральный оператор F1 [ψ] из правой части системы уравнений (5.6). Поменяем порядок интегрирования по k 0 и l. Интеграл по k 0 представим в виде суммы интегралов по k 0 от −∞ до k − 1, от k − 1 до k + 1 и от k +R1 до ∞. Сумма интегралов по k 0 при ∞ k 0 ∈ (−∞, k − 1) и k 0 ∈ (k + 0, ∞) легко оценивается через −∞ dk 0 |S(l, k 0 )|. Оценим интеграл по k 0 от k − 1 до k + 1: Z k+1 0 Z k+1 0 ¯ ¯ dk exp(−ik 0 η + itk 02 ) ¯ 0 S(l, k ) − S(l, k) S(l, k) ≤ dk + 0 0 k − (k − i0) k −k k−1 k−1 Z k+1 0 dk exp(−ik 0 η + itk 02 ) ¯ ¯ k 0 )| + 2π|S(l, ¯ k)|. +|S(l, k)| max |∂k0 S(l, ≤ 2 k0 ∈[k−1,k+1] 0 − (k − i0) k k−1 Тогда F1 [ψ] оценивается величиной   Z ∞  1 1 max |F1 [ψ]| ≤ kS(l, k)kL1 + max dl|∂k S(l, k)| + k∈R k∈R 2π π −∞  Z ∞  1 + max dl|S(l, k)| kψ2 kC . k∈R π −∞ Непрерывность F1 [ψ] по параметру k следует из гладкости S(k, l) (см., например, [14, c. 44]). Такие же утверждения справедливы и для второй компоненты интегрального оператора F [ψ]. Лемма доказана. Доказательство теоремы 5.2. Построим асимптотическое при t → ∞ представление интегральных операторов в (5.6). Представим интеграл по k 0 в первом интегральном операторе в виде Z ∞ Z ∞ dk 0 exp(it(k 02 − k 0 y)) ¯ dk 0 exp(it(k 02 − k 0 y)) 0 ¯ S(l, k ) = S(l, k) + k 0 − (k − i0) k 0 − (k − i0) −∞ −∞ Z ∞ ¯ k 0 ) − S(l, ¯ k) S(l, + dk 0 0 exp(it(k 02 − k 0 y). (5.7) k − (k − i0) −∞ Первый из этих интегралов запишем в виде разности интеграла в смысле главного значения и половины вычета подынтегральной функции в точке k. Интеграл в смысле главного значения можно выразить через интеграл Френеля [75, c. 334]. В результате получим: Z ∞ dk 0 exp(it(k 02 − k 0 y)) Φ(k, y, t) ≡ = k 0 − (k − i0) −∞  y  √ = 2π(1 − i) exp(it(k 2 − ky)φ t1/2 − k − iπ exp(it(k 2 − ky)), 2 Rz 0 02 где φ(z) = 0 dz exp(iz ) — интеграл Френеля.

6. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

РИМАНА

113

Для второго интеграла в правой части формулы (5.7) при t → ∞ пользуясь методом стационарной фазы [87] можно получить асимптотическое представление Z ∞ ¯ k 0 ) − S(l, ¯ k) S(l, dk 0 0 exp(it(k 02 − k 0 y) = k − (k − i0) −∞ r ¯ y/2) − S(l, ¯ k) π S(l, = exp(−ity 2 /4 + iπ/4) + O(t−1 ). t y/2 − k В результате получим: exp(ikη) 2iπ =

exp(ik 2 t) ¯ S(l, k)Φ(k, y, t) + 2iπ

∞

dk 0 exp(it(k 02 − k 0 y)) ¯ S(l, k 0 ) = 0 − (k − i0) k −∞ r ¯ y/2) − S(l, ¯ k) π exp(−ity 2 /4 + iπ/4) S(l,

Z

t

2iπ

y/2 − k

+ O(t−1 ).

Похожее представление справедливо для интеграла по k 0 во второй компоненте интегрального оператора F [ψ]. Таким образом, при t → ∞ систему интегральных уравнений можно записать в виде Z ∞ exp(ik 2 t) − ¯ k) exp(itl2 )ψ + (ξ, η, l, t)+ ψ18 (ξ, η, k, y) = exp(ikη) + Φ(k, y, t)κ dlS(l, 12 2iπ −∞ r Z ∞ ¯ ¯ k) π exp(ik 2 t) S(l, y/2) − S(l, + 2 + exp(−ity /4 + iπ/4) dl exp(itl2 )ψ12 (ξ, η, l, t) + O(t−1 ), t 2iπ y/2 − k −∞ Z ∞ 2 exp(−ik t) + − ψ12 (ξ, η, k, s) = Φ(k, x, t) dlS(k, l) exp(−itl2 )ψ31 (ξ, η, l, t)+ 2iπ −∞ r Z ∞ π exp(−itlx) S(x/2, l) − S(k, l) − + exp(itx2 /4 − iπ/4) dl exp(−itl2 )ψ21 (ξ, η, l, t) + O(t−1 ). t 2iπ x/2 − k −∞ (5.8) Решение системы (5.6) будем искать в виде − ψ11 = exp(ikη) + t−1/2 exp(ik 2 t + ity 2 /4)ϕ1 (x, y, k, t) + t−1 Ψ1 (ξ, η, t, k), + ψ12 = t−1/2 exp(−ik 2 t + ity 2 /4)ϕ2 (x, y, k, t) + t−1 Ψ2 (ξ, η, k, t).

(5.9)

Подставим анзац (5.9) в (5.8). Асимптотику интеграла Z ∞ I= dlS(k, l) exp(−it(l2 + ly)) −∞

вычислим методом стационарной фазы. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра t. Для ϕ1 и ϕ2 получим систему интегральных уравнений Z ∞ 1 ¯ k)ϕ2 (x, y, l, t), ϕ1 (x, y, k, t) = Φ(k, y, t) dlκS(l, 2iπ −∞  Z ∞    (5.10) √ −iπ 1 Φ(k, x, t) πS(k, y/2) exp + dlS(k, l)ϕ1 (x, y, l, t) . ϕ2 (x, y, k, t) = 4 2iπ −∞ Для разрешимости этих интегральных уравнений в пространстве X достаточно, чтобы выполнялось условие (5.2). В этом случае ряд Неймана для системы (5.10) сходится абсолютно и равномерно при x, y ∈ R. Покажем, что вектор-функция Ψ(ξ, η, k, t) в формуле (5.9) имеет порядок O(1). Для этого выпишем интегральное уравнение для Ψ(ξ, η, k, t): Ψ(ξ, η, k, t) = f (x, y, k, t) + F [Ψ],

114

6. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

РИМАНА

где компоненты вектора f вычисляются по формулам f1 (x, y, k, t) = t1/2 F1 [exp(−ik 2 t + ity 2 /4)ϕ2 (x, y, k, t)],  1/2 f2 (x, y, k, t) = t t1/2 F2 [exp(ikty)] + F2 [exp(ik 2 t + ity 2 /4)ϕ1 (x, y, k, t)]−   Z ∞ Φ(k, x, t) √ − πS(k, y/2) exp(−iπ/4) + dl S(k, l)ϕ(x, y, l, t) . 2iπ −∞ По построению асимптотики kf (x, y, k, t)kX = O(1), равномерно при x, y ∈ R, t ≥ 0. Оператор F [ψ] сжимающий, kΨ(ξ, η, k, t)kX = O(1), ξ, η ∈ R, t ≥ 0. Теорема 5.2 доказана. 5.1.3. Вырожденные ядра. Нелокальная задача Римана (5.6) решается явно, если ядра интегральных уравнений вырожденны (см. [119]), т.е. данные рассеяния имеют вид (5.5). Явное решение при t → ∞ выражается через интегралы от быстро осциллирующих функций. Вычислим асимптотику этого решения, воспользовавшись асимптотическим представлением (5.9) и интегральными уравнениями (5.10). Обозначим: Z ∞ χj (x, y, t) = dlϕ1 (x, y, l, t)τj (l), −∞ Z ∞ νj (x, y, t) = dlϕ2 (x, y, l, t)σ j (l). −∞

Для χj и νj получим систему 2n уравнений χj (x, y, t) =

n X

Fjm (y, t)νm (x, y, t),

m=1

νj (x, y, t) = gj (x, y, t) +

n X

Gjm (x, t)χm (x, y, t),

m=1

где Z ∞ 1 dkτj (k)¯ τm (k)Φ(k, y, t), Fjm (y, t) = 2iπ −∞ Z ∞ 1 Gjm (x, t) = dkσm (k)σ j (k)Φ(k, x, t) 2iπ −∞ n  y  exp(−iπ/4) √ Z ∞ X π dkσm (k)¯ σj (k)Φ(k, x, t). gj (x, y, t) = τm 2 2iπ −∞ m=1

Построим асимптотику Gjm (x, t) при t → ∞. Для этого разобьем интеграл по k на два интеграла по интервалам (−∞, x/2] и (x/2, ∞). В первом интервале представим Φ(k, x, t) в виде √ Z t1/2 (k−x/2) Φ(k, x, t) = −(1 + i) 2π dz exp(−iz 2 ). −∞

Тогда 1 Ijm

Z x/2 √ 1 1 (1 + i) 2π× = dkσ j (k)σm (k)Φ(x, k, t) = − 2iπ 2π −∞ Z x/2 Z t−1/2 (k−x/2) dz exp(−iz 2 ). × dkσ j (k)σm (k) −∞

−∞

Далее интеграл по k проинтегрируем по частям, интегрируя произведение σ j (k)σm (k). В результате получим: Z Z x/2 1 + i 1/2 x/2 1 2 Ijm = − √ t dk exp(it(k − x/2) ) dk 0 σ j (k 0 )σm (k 0 ). i 2π −∞ k

6. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

РИМАНА

115

1 оценивается Воспользовавшись методом стационарной фазы для интеграла по k, получим, что Ijm через O(t−1/2 ). В интеграле по промежутку (x/2, ∞) функцию Φ(x, k, t) представим в виде √ Z ∞ Φ(k, x, t) = 2iπ − (1 + i) 2π dz exp(−iz 2 ), t1/2 (k−x/2)

тогда 2 Ijm

−

1 = 2iπ

∞

Z

Z

∞

dkσ j (k)σm (k)Φ(k, x, t) =

dkσ j (k)σm (k)−

x/2

x/2

Z ∞ √ Z x/2 1 (1 + i) 2π dkσ(k)σm (k) dz exp(−iz 2 ). 2iπ 1/2 −∞ t (k−x/2)

1 . В результате получим: Второе слагаемое в этой формуле оценивается так же, как Ijm Z ∞ Gjm (x, t) = dkσ j (k)σm (k) + O(t−1/2 ). x/2

Аналогично, Z

y/2

Fjm (y, t) = −

dkτj (k)¯ τm (k) + O(t−1/2 ),

−∞

gj (x, y, t) =

n X

Z

∞

τj (y/2) exp(−iπ/4)

dkσm (k)¯ σj (k) + O(t−1/2 ).

x/2

m=1

Асимптотика решения задачи (5.6) имеет вид n

− ψ11

= exp(itky) + t

−1/2

X 1 0 exp(it(k + y /4)) Φ(y, k, t) κτ j (k)ν j (x, y) + O(t−1 ), 2iπ 2

2

j=1

1 + ψ12 = t−1/2 exp(−it(k 2 + y 2 /4)) Φ(x, k, t)× 2iπ   n √ X 0 × π σj (k)τj (y/2) exp(−iπ/4) + σj (k)χj (x, y) + O(t−1 ). j=1 0

0

Функции χj (x, y) и ν j (x, y) — решения линейной алгебраической системы уравнений: 0

χj (x, y) =

n X

0

0

F jm ν m (x, y),

m=1 0

0

χ2 (x, y) = g j (x, y) +

n X

0

(5.11) 0

Gjm χm (x, y),

m=1

где Z

0

y/2

F jm (x, y) = −

Z

0

τj (k)¯ τm (k), −∞

0

gj =

n X m=1

5.1.4.

∞

Gjm (x, y) =

σj (k)¯ σm (k), x/2

Z

∞

τj (y/2) exp(−iπ/4)

dkσm (k)¯ σj (k). x/2

Асимптотика решения ДС-I.. Решение уравнения (5.1) получается по формуле Z Z 1 ∞ ∞ − dkdl S(k, l) exp(−it(k 2 + l2 ) + ikξ)ψ11 (ξ, η, l, t). Q(ξ, η, t) = π −∞ −∞

(5.12)

Для построения решения Q(ξ, η, t) при t → ∞ в формуле (5.12) вычислим асимптотику интегра− и вычислим асимптотику интеграла по l методом ла по k, подставим асимптотику функции ψ11

116

6. ВРЕМЕННЫЕ

АСИМПТОТИКИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

РИМАНА

стационарной фазы [87]. В результате получим выражение для асимптотики решения уравнения (5.1):   1 it 2 Q(ξ, η, t) = exp (x + y 2 ) − S(x/2, y/2)+ t 4  Z exp(−iπ/4) ∞ √ + dl S(x/2, l)ϕ1 (x, y, l, t) + O(t−3/2 ), π −∞ где ϕ1 (x, y, l, t) — решение уравнения (5.10). В этом выражении функция ϕ1 (x, y, l, t) зависит от быстрой переменной t. Эта зависимость существенна в малых окрестностях точек l = y/2 и l = x/2. Интегрирование по l сглаживает эту зависимость. Поэтому для функции Q можно получить более точное асимптотическое представление (5.3), в котором зависимость от параметра t указана явно. Покажем, как сделать переход к (5.3). Обозначим Z ∞ 1 µ1 (k, x, y, t) = √ dl S(k, l)ϕ1 (x, y, l, t), π −∞ Z ∞ 1 ¯ k)ϕ2 (x, y, l, t). µ2 (k, x, y, t) = √ dlκS(l, π −∞ Функции µ1 и µ2 удовлетворяют системе интегральных уравнений Z ∞ 1 µ1 (x, y, k, t) = dmµ2 (m, x, y, t)S(k, m) Φ(m, y, t), 2iπ −∞ Z ∞ (5.13) 1 ¯ µ2 (x, y, k, t) = H(k, x, y, t) + dmµ1 (m, x, y, t)κS(m, k) Φ(x, m, t), 2iπ −∞ где Z ∞ 1 ¯ H(k, x, y, t) = √ exp(−iπ/4) dmκS(m, k)Φ(m, x, t)S(m, y/2). 2i π −∞ Асимптотика H(k, x, y, t) при t → ∞ может быть получена так же, как и асимптотика Gjm в п. 5.1.3: Z −∞ ¯ k)S(l, y/2) + O(t−1/2 ). H(k, x, y, t) = dlκS(l, x/2

Будем искать асимптотики функций µ1 и µ2 в виде 0

1

0

1

µ ˜1 = µ1 (k, x, y) + t−1/2 µ1 (k, x, y, t), µ ˜2 = µ2 (k, x, y) + t−1/2 µ2 (k, x, y, t). 0

0

Тогда для µ1 и µ2 получим систему интегральных уравнений (5.4). 1

1

Функции µ1 (k, x, y, t) и µ2 (k, x, y, t) удовлетворяют системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода с тем же интегральным оператором, что и в системе (5.13). Этот интегральный оператор сжимающий в пространстве непрерывных функций X. Стандартным методом можно 1

1

показать, что функции µ1 (k, x, y, t) и µ2 (k, x, y, t) — непрерывные, равномерно ограниченные по k, x, y ∈ R при t → ∞. Теорема об асимптотике решения ДС-1 доказана. 5.2. Формула для асимптотики решения уравнения Кадомцева—Петвиашвили-1. Асимптотическое решение уравнения КП-1 ∂x (∂t u + 6u∂x u + ∂x3 u) = 3∂y2 u с достаточно быстрым убыванием во всех пространственных направлениях обсуждалась в [147]. В [147] был построен главный член формальной асимптотики решения нелокальной задачи Римана, а затем с его помощью получен главный член формальной асимптотики при t → ∞ решения уравнения КП-1.

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

117

Приведем для справки результат из [147]. Формальная асимптотика u(x, y, t) при t → ∞ имеет вид 2 ± u(x, y, t) = − ∂ξ ψ[K−1,+1 (ξ, ξ, η) exp(itψ(ξ, η)) + c.c.], t где 1 ψ(ξ, η) = (η 2 − 12ξ)3/2 . 108 ± Матрица Kα,β (ξ, ξ 0 , η) является решением уравнения X Z ∞ ± 0 0 ± Kα,β (ξ, ξ , η) + Fα,β (ξ, ξ , η) + θ(±(ξ − ξ 00 ))Kα,γ (ξ, ξ 00 , η)Fα,γ (ξ, ξ 00 , η)dξ 00 = 0. α,β=±1 −∞

Функция θ(x) — ступенчатая функция, Fα,β (ξ, ξ 0 , η) =

θ(η 2 − 12ξ)θ(η 2 − 12ξ 0 ) f (kα (ξ, η), kβ (ξ 0 , η)). 4(η 2 − 12ξ)1/4 (η 2 − 12ξ 0 )1/4

Здесь 1 [η + α(η 2 − 12ξ)1/2 ], α = ±1. 12 Функция f (k, l) выражается через данные рассеяния линейного уравнения Шр¨едингера, связанного в МОЗР с уравнением КП-1. Приведенная здесь формальная асимптотика неравномерна по пространственным переменным. Это связано с использованием ступенчатой функции для перехода от асимптотики при η 2 −12ξ > 0 к асимптотике при η 2 − 12ξ < 0. Очевидно, что вблизи параболы η 2 − 12ξ = 0 асимптотическое решение имеет другой вид (см., например, п. 2.3). kα (ξ, η) =

6.

ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДЕВИ—СТЮАРТСОНА-1

Этот параграф посвящен изложению результатов о возмущении гиперболической системы Дирака, связанной с уравнениями ДС-1, и о возмущении солитона (дромиона) уравнений ДС-1. Эти результаты получены в работах автора [47, 140, 141]. Результаты, полученные в работе [141] о возмущении гиперболической системы Дирака, можно интерпретировать как утверждение об устойчивости решения обратной задачи по отношению к малому возмущению потенциала. 6.1. Теория возмущений гиперболической системы Дирака. В этом разделе развита теория возмущений для двухкомпонентной гиперболической системы Дирака (4.3). Построен аналог преобразования Фурье, использующий формулы для вариаций данных рассеяния и вариаций потен¯ (здесь черта означает комплексное сопряжение), где Q циала. Если принять q1 = Q и q2 = κQ эволюционирует в соответствии с уравнениями ДС-1 (4.1), то построенное преобразование дает возможность решить методом Фурье уравнение ДС-1, линеаризованное на Q и g12 (лДС-1): i∂t U + (∂ξ2 + ∂η2 )U + (g1 + g2 )U + (V1 + V2 )Q = iF (ξ, η, t), κ ¯ + QU ¯ ), ∂η V2 = − κ ∂ξ (QU ¯ + QU ¯ ). ∂ξ V1 = − ∂η (QU 2 2

(6.1)

6.1.1. Основные результаты. Основные результаты этого параграфа сформулированы в теоре− + мах 6.1 и 6.2. Обозначим через ψ (j) строку ψ (j) = [ψj1 , ψj2 ](ξ, η, k). Здесь ψ ± (ξ, η, k) — матрицыфункции, введенные в п. 4.1.1. Теорема 6.1. Пусть q1 и q2 таковы, что ∂ α q1,2 ∈ L1 ∩ C 1 для |α| ≤ 3. Если h1 (ξ, η) и h2 (ξ, η) удовлетворяют условиям ∂ α h1,2 ∈ L1 ∩ C 1 для |α| ≤ 4, то h1 и h2 могут быть представлены в виде −1 (1) hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)ihˆ , h1 = π 1 h2 = hψ (2) (ξ, η, l), ϕ(2) (ξ, η, k)ihˆ , π

118

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

где ˆ 1 = 1 (ψ + (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))h , h 4π (1) ˆ 2 = 1 (ψ − (ξ, η, k), φ(2) (ξ, η, l))h . h 4π (2) Строки ϕ(1) и ϕ(2) — решения задач, сопряженных относительно формы h·, ·is к нелокальным задачам Римана для строк ψ (1) и ψ (2) соответственно; столбцы φ(1) и φ(2) — то же относи+ − тельно формы (·, ·)q к интегральным уравнениям Вольтерра для столбцов ψ(1) и ψ(2) . Следующая теорема позволяет решать уравнение лДС-1 методом Фурье. ¯ где Q — решение уравнения ДС-1 с граничными условиТеорема 6.2. Пусть q1 = Q, q2 = κQ, ями g1 |ξ→−∞ = 0, g2 |η→−∞ = 0 и Q удовлетворяет условиям теоремы 6.1 при t ∈ [0, T0 ], T0 > 0. Если решение лДС-1 — гладкая и интегрируемая по ξ и η функция U такая, что ∂ α U ∈ L1 ∩ C 1 и ∂ α F ∈ L1 ∩ C 1 для |α| ≤ 4 и t ∈ [0, T0 ], то ˆ1 = i(k 2 + l2 )U ˆ1 + Fˆ1 , ∂t U ˆ2 = −i(k 2 + l2 )U ˆ2 + Fˆ2 . ∂t U + 6.1.2. Сопряженные функции. Уравнение Вольтерра для ψ(1) имеет вид + + ψ(1) (ξ, η, k) = E(1) (ikη) + G1 [q]ψ(1) ,

где E(j) (z) — j-тый столбец матрицы E(z) и оператор G1 [q] имеет вид " Rξ # + 0 0 0 1 −∞ dξ q1 (ξ , η)ψ21 (ξ , η, k) + G1 [q]ψ(1) = − . Rη 2 dη 0 q2 (ξ, η 0 )ψ + (ξ, η 0 , k) −∞

11

Сопряженный к G1 относительно формы (4.8) определяется формулой (G1 [q]µ, χ)q = (µ, H1 [q]χ)q . Построим оператор H1 [q]. Обозначим через µ(ξ, η) и χ(ξ, η) ограниченные вектор-функции при ξ, η ∈ R, тогда  Z Z Z −1 ξ (G1 [q]µ, χ)q = dξdη dξ 0 q1 (ξ 0 , η)µ2 (ξ 0 , η)q2 (ξ, η)χ1 (ξ, η)+ 2 2 R −∞  Z −1 η 0 0 0 + dη q2 (ξ, η )µ1 (ξ, η )q1 (ξ, η)χ2 (ξ, η) = 2 −∞  Z ξ  ξ=∞ Z Z ∞ 1 0 0 0 0 0 0 = dη dξ χ1 (ξ , η)q2 (ξ , η) − dξ µ2 (ξ , η)q1 (ξ , η) 2 ∞ R ξ ξ=−∞ Z Z Z 1 ∞ 0 − dηdξq1 (ξ, η)µ2 (ξ, η) dξ χ1 (ξ 0 , η)q2 (ξ 0 , η)− 2 2 R ξ  Z η  η=∞ Z Z ∞ 1 0 0 0 0 0 0 dη χ2 (ξ, η )q1 (ξ, η ) − − dξ dη µ1 (, ξη )q2 (ξ, η ) 2 −∞ R η η=−∞ Z Z Z 1 ∞ 0 − dηdξq2 (ξ, η)µ1 (ξ, η) dη χ2 (ξ, η 0 )q1 (ξ, η 0 ). 2 η R2 Первое и третье выражения в последнем равенстве равны нулю. Выражение для оператора H1 [q]χ: " R∞ 0 # 0 0 1 ξ dξ q1 (ξ , η)χ2 (ξ , η) R∞ 0 H1 [q]χ = − . 0 0 2 η dη q2 (ξ, η )χ1 (ξ, η ) + Столбец φ(1) , сопряженный к ψ(1) — решение уравнения

φ(1) (ξ, η, k) = E(1) (ikξ) + H1 [q]φ(1) .

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

119

− имеем: Из уравнений Вольтерра для ψ(2) − − ψ(2) (ξ, η, k) = E(2) (ikη) + G2 [q]ψ(2) ,

где − G2 [q]ψ(2)

1 =− 2

"

# R∞ − 0 − ξ dξ 0 q1 (ξ 0 , η)ψ22 (ξ , η, k) . Rη − 0 0 0 −∞ dη q2 (ξ, η )ψ12 (ξ, η , k)

Явное выражение для интегрального оператора, сопряженного к G2 [q] относительно билинейной формы (·, ·)q , может быть получено так же, как и для H1 . Приведем его вид: " R∞ 0 # 0 0 1 η dη q1 (ξ, η )χ2 (ξ, η ) H2 [q]χ = − . R 2 − ξ dξ 0 q2 (ξ 0 , η)χ1 (ξ 0 , η) −∞

− Столбец φ(2) , сопряженный к ψ(2) — решение уравнения

φ(2) = E(ikξ) + H2 [q]φ(2) . Данные рассеяния s1 (k, l) и s2 (k, l) можно выразить через сопряженную матрицу-функцию φ(ξ, η, l). Это можно доказать с помощью цепочки равенств: 1 + (ψ (ξ, η, k), E(1) (ilξ))q = 4π (1) + = (ψ(1) (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l) − H1 [q]ψ(1) (ξ, η, l))q = s1 (k, l) =

+ + = (ψ(1) (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))q − (G1 [q]ψ(1) (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))q = − − = (ψ(1) (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))q − (ψ(1) (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))q + (E(1) (ikη), φ(1) (ξ, η, l))q .

Окончательно получается формула s1 (k, l) = (E(1) (ikη), φ(1) (ξ, η, l))q . Такие же вычисления для функции s2 (k, l) дают выражение s2 (k, l) = (E(2) (ikξ), φ(2) (ξ, η, l))q . Чтобы написать нелокальную задачу Римана, связанную с сопряженными функциями ψ(ξ, η, l), введем еще одну матрицу-функцию — решение уравнений Вольтерра Z 1 η ϕ11 (ξ, η, l) = exp(ilξ) + dη 0 q1 (ξ, η 0 )ϕ21 (ξ, η 0 , l), 2 −∞ (6.2) Z 1 ξ 0 0 0 dξ q2 (ξ , η)ϕ11 (ξ , η, l). ϕ21 (ξ, η, l) = 2 −∞ Второй столбец матрицы ϕ удовлетворяет уравнению Z 1 η ϕ12 (ξ, η, l) = dη 0 q1 (ξ, η 0 )ϕ22 (ξ, η 0 , l), 2 −∞ Z 1 ξ ϕ22 (ξ, η, l) = exp(−ilη) + dξ 0 q2 (ξ 0 , η)ϕ12 (ξ 0 , η, l). 2 −∞

(6.3)

Столбцы φ(1) (ξ, η, l) и ϕ(2) (ξ, η, l) аналитичны при =(l) > 0, а столбцы φ(2) (ξ, η, l) и ϕ(1) (ξ, η, l) — при =(l) < 0. Это можно показать так же, как было показано для столбцов матриц ψ ± в п. 4.1.1. В результате выкладок, похожих на проделанные в п. 4.1.1, получим: Z ∞ φ11 (ξ, η, l) − ϕ11 (ξ, η, l) = − dks1 (k, l)ϕ12 (ξ, η, k), Z−∞ ∞ φ12 (ξ, η, l) − ϕ12 (ξ, η, l) = − dks2 (k, l)ϕ11 (ξ, η, k). −∞

120

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

Опять использовав формулы Сохоцкого, получим задачу Римана для строки ϕ(1) (ξ, η, l):  − Z ∞ ϕ11 (ξ, η, l) = exp(ilξ) − exp(ilξ) exp(−ilξ) dks1 (k, l)ϕ12 (ξ, η, k) , −∞

 Z ϕ12 (ξ, η, l) = − exp(−ilη) exp(ilη)

∞

+ dks2 (k, l)ϕ11 (ξ, η, k) .

−∞

Для строки

ϕ(2) (ξ, η, l):  Z ϕ21 (ξ, η, l) = − exp(ilξ) exp(−ilξ)

∞

− dks1 (k, l)ϕ22 (ξ, η, k) ,

−∞

 Z ϕ22 (ξ, η, l) = exp(−ilη) − exp(−ilη) exp(ilη)

∞

+ dks2 (k, l)ϕ21 (ξ, η, k) .

−∞

Таким образом, решения сопряженной задачи также являются решениями некоторой задачи Римана. Теперь выведем задачу, сопряженную нелокальной задаче Римана для функций ψ ± относительно − + второй билинейной формы. Рассмотрим задачу Римана для строки ψ (1) = [ψ11 , ψ12 ]: ψ (1) = E (1) (ikη) + S[s]ψ (1) . Здесь E (1) (z) — первая строка матрицы E(z), оператор S1 [s] определяется формулой −   Z ∞ + (1) S[s]ψ = exp(ikη) exp(−ikη) dls1 (k, l)ψ12 (ξ, η, l) , −∞

∞

 Z exp(−ikξ) exp(ikξ)

−∞

+  .

− dls2 (k, l)ψ11 (ξ, η, l)

Выведем оператор, сопряженный оператору S[s] относительно билинейной формы h·, ·is . Пусть µ(ξ, η, k) и χ(ξ, η, k) — строки, состоящие из пары элементов — функций, ограниченных при k, ξ, η ∈ R и аналитических по k в окрестности вещественной прямой:  Z Z hS[s]µ, χis = dkdl χ1 (ξ, η, l)s2 (k, l) exp(ikη)× R2   Z ∞ Z ∞ dk 0 0 0 0 0 0 × exp(−ik η) dl s (k , l )µ (ξ, η, l ) + 1 2 0 −∞ −k + (k + i0) −∞   Z ∞ Z ∞ dk 0 0 0 0 0 0 +χ2 (ξ, η, l)s1 (k, l) exp(−ikξ) exp(ik ξ) dl s2 (k , l )µ1 (ξ, η, l ) . 0 −∞ −k + (k − i0) −∞ Теперь осталось поменять порядок интегрирования — интегралы по k, l сделать внутренними, а интегралы по k 0 , l0 — внешними:  Z Z 0 0 hS[s]µ, χis = dk dl s1 (k 0 , l0 )µ2 (ξ, η, l0 ) exp(−ik 0 η)× 2 R   Z ∞ Z ∞ dk × exp(ikη) dlχ1 (ξ, η, l)s2 (k, l) + s2 (k 0 , l0 )µ1 (ξ, η, l0 ) exp(ik 0 ξ)× 0 −∞ −∞ k − (k − i0)   Z ∞ Z ∞ dk × exp(−ikξ) dlχ2 (ξ, η, l)s1 (k, l) = hµ, T [s]χis . 0 −∞ k − (k + i0) −∞ Здесь  T [s]χ =

 Z − exp(ilξ) exp(−ilξ)

∞

− dks1 (k, l)χ2 (ξ, η, k) ,

−∞

 Z − exp(−ilη) exp(ilη)

∞

+  dks2 (k, l)χ1 (ξ, η, k) .

−∞

Строка, сопряженная к Римана:

ψ (1)

относительно второй билинейной формы (4.15), удовлетворяет задаче ϕ(1) (ξ, η, l) = E (1) (ilξ) + T [s]ϕ(1) .

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

121

− − Таким же образом можно определить строку ϕ(2) , сопряженную к ψ (2) = [ψ21 , ψ22 ]:

ϕ(2) = E (2) (ilη) + T [s]ϕ(2) , т.е., решения систем уравнений (6.2) и (6.3) являются и решениями задачи, сопряженной относительно второй билинейной формы. 6.1.3. Вариация данных рассеяния. Здесь получены уравнения Вольтерра для функций, сопря+ − женных к ψ(1) и ψ(2) относительно первой билинейной формы (4.8). Выводятся формулы для вариации потенциалов и данных рассеяния. + Пусть δqi — инфинитезимальная вариация потенциала. Уравнение для вариации ψ(1) имеет вид + + + δψ(1) = G1 [q]δψ(1) + G1 [δq]ψ(1) .

(6.4)

Вычислим билинейную форму: + + + (δψ(1) (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))q = (G1 [q]δψ(1) , φ(1) )q + (G1 [δq]ψ(1) , φ(1) )q .

После преобразований получим: + + + (ψ(1) (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))δq = (δψ(1) (ξ, η, k), E(1) (ilξ))q + (ψ(1) (ξ, η, k), E(1) (ilξ))δq .

С другой стороны, можно вычислить вариацию s1 (k, l): 1 1 + + δs1 (k, l) = (δψ(1) (ξ, η, k), E(1) (ilξ))q + (ψ (ξ, η, k), E(1) (ilξ))δq . 4π 4π (1) Это дает 1 + δs1 (k, l) = (ψ (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))δq . (6.5) 4π (1) Таким образом, получена формула, связывающая вариации потенциалов с вариацией функции s1 (k, l). Вторая формула для вариации данных рассеяния получается подобным образом. Формула для вариации функции s2 (k, l): 1 − δs2 (k, l) = (ψ (ξ, η, k), φ(2) (ξ, η, l))δq . (6.6) 4π (2) Теперь выведем формулы для вычисления вариации потенциала по вариации данных рассеяния. На этом пути нам понадобятся функции, сопряженные относительно второй билинейной формы (4.15). Формулы для вычисления потенциалов приведены выше (см. (4.16), (4.17)). Пусть δs1 (k, l) и δs2 (k, l) — инфинитезимальные вариации данных рассеяния. Из (4.16) вариация потенциала имеет вид: −1 1 δq1 = hδψ (1) (ξ, η, l), E (1) (ikξ)is − hψ (1) (ξ, η, l), E (1) (ikξ)iδs . π π Уравнения для вариации строки ψ (1) : δψ (1) (ξ, η, l) = S[s]δψ (1) + S[δs]ψ (1) . Вычислим билинейную форму: hδψ (1) (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)is = hS[s]δψ (1) , E (1) (ikξ)is hψ (1) (ξ, η, l), E (1) (ikξ)iδs . Из (4.16) после преобразований получим: −1 (1) δq1 = hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)iδs . (6.7) π Формула для вариации q2 : 1 δq2 = hψ (2) (ξ, η, l), ϕ(2) (ξ, η, k)iδs . (6.8) π Формулы (6.5) и (6.6) определяют вариации потенциалов по вариации данных рассеяния. Формулы для вычисления вариаций данных рассеяния по вариациям потенциалов — (6.7), (6.8). Эти четыре соотношения были выведены формальным путем и, вообще говоря, могут и не определять взаимно-обратные отображения. Изучение их будет продолжено в следующих пунктах.

122

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

6.1.4. Финитные потенциалы. В этом пункте доказано, что формулы (6.5), (6.6) и (6.7), (6.8) определяют прямое и обратное преобразования типа преобразования Фурье. Обозначим δqi = fi , i = 1, 2. Композиция формул (6.7), (6.8) и (6.5), (6.6) дает 1 + (ψ (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))f , fˆ1 = 4π (1) 1 − (ψ (ξ, η, k), φ(2) (ξ, η, l))f ; fˆ2 = 4π (2) −1 (1) hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)ifˆ, h1 = π 1 h2 = hψ (2) (ξ, η, l), ϕ(2) (ξ, η, k)ifˆ. π Наша цель — показать эквивалентность hi ≡ fi . Доказательство основано на двух свойствах элементов матриц φ и ψ. Первое свойство — аналитичность по k, l ∈ C, если q1 и q2 имеют финитный носитель. Аналитичность следует из уравнений Вольтерра. Второе свойство — асимптотическое поведение φ и ψ при |k| или |l| → ∞. ± ∓ Асимптотики ψ(1) и ψ(2) получены в [122]: Z  −i ξ   dξ 0 q1 (ξ 0 , η)q2 (ξ 0 , η) 1 1 ± ψ(1) (ξ, η, k) = exp(ikη) +  4 −∞ 0 i k q2 2  −i   q1 1 Z 0 2 ∓ ψ(2) (ξ, η, k) = exp(−ikξ) +  i η 1 k dη 0 q1 (ξ, η 0 )q2 (ξ, η 0 ) 4 −∞ Столбцы φ(1) и φ(2) имеют похожее асимптотическое поведение: Z  −i η   dη 0 q1 (ξ, η 0 )q2 (ξ, η 0 ) 1 4 1 −∞ φ(1) (ξ, η, k) = exp(ikξ) +  0 −i k q2 2  i   q1 1 0  2 φ(2) (ξ, η, k) = exp(−ikη) +  iZ ξ 1 k dξ 0 q1 (ξ 0 , η)q2 (ξ 0 , η) 4 −∞

 

1 k2

 ;



1 k2

 .



1 k2

 ;



1 k2

 .

 +O   +O

  +O   +O

Построим асимптотику ϕ(1) при |k| → ∞. Главный член и поправка имеют вид  Z ∞ Z ∞ 1 1 (1) 0 (1) ϕ (ξ, η, k) = [exp(ikξ), 0] + exp(ikξ) dk dls1 (l, k 0 )ϕ2 (ξ, η, l) exp(ik 0 ξ), k 2iπ −∞ −∞    Z ∞ Z ∞ 1 1 (1) 0 0 0 exp(−ikη) dk dls2 (l, k )ϕ1 (ξ, η, l) exp(ik η) + O . 2iπ k2 −∞ −∞ С другой стороны, −1 (1) hE (ilη), ϕ(1) (ξ, η, k)is , π Z η Z Z 2 ∞ ∞ − 0 0 0 dη q1 (ξ, η )q2 (ξ, η ) = dldks2 (k, l) exp(ikξ)ψ21 (ξ, η, l). π −∞ −∞ −∞ q1 =

Вторая из этих формул получена в [122]. Это дает Z η 2 2 dη 0 q1 (ξ, η 0 )q2 (ξ, η 0 ) = hψ (2) (ξ, η, l), E (1) (ikξ)is = hE (2) (ilη, ϕ(1) (ξ, η, k)is . π π −∞

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

123

Асимптотика ϕ(1) при |k| → ∞ имеет вид ϕ(1) (ξ, η, k) = [exp(ikξ), 0]+     Z exp(−ikη) 1 1 exp(ikξ) η 0 0 dη q1 (ξ, η )q2 (ξ, η), q1 + O . + k 4i −2i k2 −∞ Таким же образом можно получить асимптотику ϕ(1) при |k| → ∞: ϕ(2) (ξ, η, k) = [0, exp(−ikη)]+     Z 1 exp(ikξ) exp(−ikη) ξ 1 q2 , dξ 0 q1 (ξ 0 , η)q2 (ξ 0 , η) + O . + 2 k 2i −4i k −∞ Докажем эквивалентность hi = fi . Композиция формул (6.7) и (6.5), (6.6) дает:  Z ∞Z ∞ Z ∞Z ∞ 1 (1) (1) h1 = dkdl ψ1 (ξ, η, l)ϕ1 (ξ, η, k) dξ 0 dη 0 × 4π −∞ −∞ −∞ −∞ 1 2 ×[ψ(2) (ξ 0 , η 0 , k)φ1(2) (ξ 0 , η 0 , l)f2 (ξ 0 , η 0 ) + ψ(2) (ξ 0 , η 0 , k)φ2(2) (ξ 0 , η 0 , l)f1 (ξ 0 , η 0 )]+ Z ∞Z ∞ (1) (1) 1 +ψ2 (ξ, η, l)ϕ2 (ξ, η, k) dξ 0 dη 0 [ψ(1) (ξ 0 , η 0 , k)φ1(1) (ξ 0 , η 0 , l)f2 (ξ 0 , η 0 )+ −∞ −∞  2 +ψ(1) (ξ 0 , η 0 , k)φ2(1) (ξ 0 , η 0 , l)f1 (ξ 0 , η 0 )] .

Представим интегралы по k и l как несобственные интегралы в смысле главного значения: Z ∞Z ∞ Z RZ R dkdl(. . . ) = lim dkdl(. . . ). −∞

R→∞ −R −R η 0 с интегрированием

−∞

Переставим порядок интегрирования по ξ 0 и по k и l. Подынтегральная функция аналитична по k и l в комплексной плоскости: k и l ∈ C. Поэтому можно преобразовать пути интегрирования по k и l к большим полуокружностям в верхней и нижней полуплоскостях + − комплексных плоскостей параметров k, l. Обозначим эти пути интегрирования CR или CR . Пред0 0 0 0 0 ставим интегралы по ξ и η как сумму интегралов по ξ ∈ (−∞, ξ], η ∈ (−∞, η] и ξ ∈ (ξ, ∞), + − η 0 ∈ (η, ∞). Преобразуем пути интегрирования по k и l к CR или CR соответственно. Подставим асимптотики подынтегральных функций при |k| → ∞, |l| → ∞. В результате получим:  Z ξ Z η Z Z 1 0 0 0 0 dk dl+ h= lim dξ dη f2 (ξ , η ) + + 4π R→∞ −∞ −∞ CR CR   Z ∞Z ∞ Z Z 0 exp(il(η − η 0 )) i 0 0 0 0 0 0 exp(ik(ξ − ξ )) −i 0 0 + dξ dη f2 (ξ , η ) dk dl q1 (ξ , η ) q1 (ξ , η ) + − − l 2 k 2 ξ η CR CR Z ξ Z η  Z Z Z Z Z ∞Z ∞ 0 0 0 0 0 0 0 0 + dξ dη f2 (ξ , η ) dk dl + dξ dη f2 (ξ , η ) dk dl × −∞

−∞

+ CR

+ CR

ξ

η

C−

− CR

 R 0 0 exp(il(ξ − ξ)) −i exp(ik(η − η)) i × q1 (ξ, η) q1 (ξ, η) + l 2 k 2 Z Z Z ∞Z ∞ Z Z dξ 0 dη 0 f1 (ξ 0 , η 0 ) dk dl + dξ 0 dη 0 f1 (ξ 0 , η 0 ) dk 

Z +

ξ

Z

−∞

η

+ CR

−∞

+ CR

ξ

η

− CR

− CR

  Z 1 −i ξ 0 0 00 00 00 dξ q1 (ξ , η)q2 (ξ , η) exp(ilη)× f1 (ξ , η ) dk dl 1 + l 4 −∞ CR CR   Z 1 1 η 00 00 00 × 1+ dη q1 (ξ, η )q2 (ξ, η ) exp(ikξ)× k 4i −∞   Z 0 1i η 00 0 00 0 00 × 1+ dη q1 (ξ , η )q2 (ξ , η ) exp(−ikξ 0 )× k 4 −∞    Z 0 1i ξ 00 00 0 00 0 0 × 1+ dξ q1 (ξ , η )q2 (ξ , η ) exp(−ilη ) . l 4 −∞ Z

Z

 dl ×

124

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

Затем трансформируем пути интегрирования обратно на вещественные оси =(l) = 0 и =(k) = 0. Это дает: Z R Z ∞ Z ∞ Z R 1 0 0 h= lim dξ dη × dk dlf1 (ξ 0 , η 0 ) exp(il(η − η 0 )) exp(ik(ξ − ξ 0 )) = f1 . 4π R→∞ −∞ −∞ −R −R Утверждение об эквивалентности доказано. Теорема 6.3. Пусть q1 и q2 — гладкие функции с финитным носителем. Если f1 и f2 — гладкие интегрируемые функции переменных ξ, η ∈ R, то f1 и f2 могут быть представлены в форме −1 (1) f1 = hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)ifˆ, π 1 f2 = hψ (2) (ξ, η, l), ϕ(2) (ξ, η, k)ifˆ, π где 1 + fˆ1 = (ψ (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))f , 4π (1) 1 − fˆ2 = (ψ (ξ, η, k), φ(2) (ξ, η, l))f . 4π (2) 6.1.5. Теорема об интегральном преобразовании. В предыдущем пункте была доказана теорема о представлении функций из L1 ∩ C 1 в виде интеграла по произведениям функций, связанных с системой Дирака, когда q1,2 имеют финитные носители. В этом пункте показано, что такое представление возможно для потенциалов более широкого класса, правда при этом приходится налагать некоторые дополнительные ограничения на раскладываемые функции. N

N

Для доказательства теоремы 6.1 мы аппроксимируем потенциалы q1 и q2 потенциалами q1 и q2 N

с конечным носителем. Для ε > 0 возьмем N (ε) > 0 такие, что k∂ α q 1,2 − ∂ α q1,2 kL1 = O(ε), где N

N

|α| ≤ 3 и q 1,2 = q1,2 для ξ 2 + η 2 ≤ N (ε) и q 1,2 = 0 для ξ 2 + η 2 > 2N (ε). Обозначим погрешность ε

N

аппроксимации q 1,2 = q1,2 − q 1,2 . Всюду в этом пункте верхний символ N используется для решений N

задачи Гурса с потенциалами q 1,2 . Верхним символом ε отмечаются функции, относящиеся к ε

погрешности аппроксимации q 1,2 . N

N

± Лемма 6.1. kψ ij± − ψij kC 3 = O(ε) для i, j = 1, 2. Здесь ψ ij± — элементы матрицы-решения N

N

задачи Гурса с потенциалами q 1 и q 2 . Доказательство. Обозначим через χ± выражение   exp(−ikη) 0 ± χ (ξ, η, k) = ψ ± (ξ, η, k). 0 exp(ikξ) N

ε

(6.9) N

N

Представим матрицу χ± в виде χ± = χ ± + χ± . Здесь χ ± — такое же выражение через ψ, как (6.9). ε Уравнения Вольтерра для столбца χ(1)+ имеют вид ε

ε N

ε

χ(1)+ = G1 [q] χ (1)+ + G1 [q]χ(1)+ , где

 ε

G1 [q]χ(1)+ =

−

Rξ

ε

0 0 + 0 −∞ dξ q1 (ξ , η)χ21 (ξ , η, k)

1 R∞ 0 ε 2 dη q2 (ξ, η 0 )χ

(6.10)  .

+ 0 0 11 (ξ, η , k) exp(ik(η − η)) η ε ε Ряды Неймана для этой системы сходятся и |χ11+ | + |χ21+ | = O(ε) ∀ξ, η ∈ R. ε ε справедливы для производных: |∂ α χ11+ | + |∂ α χ21+ | = O(ε) ∀ξ, η ∈ R при |α| ≤ 3. ε ε Подобные результаты можно получить для χ(2)± и χ(1)− . Лемма доказана. ε

Ниже будет использоваться асимптотическое поведение χ± при |k| → ∞.

Такие же оценки

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

125

ε

Лемма 6.2. При |k| → ∞ асимптотика χ± имеет вид Z   i ξ ε 0 ε N dξ (q 1 q 2 + q 2 q1 )  1 − ε −2 χ(1)± =  4 −∞  + O(k ). iε k q 2 2 Эта асимптотика равномерна при ξ, η ∈ R. Остаток дифференцируем по ξ:   −i ε q1 1 ε  2 −2 χ(2)± =  i Z ξ  + O(k ). ε 0 ε N k dη (q 2 q 1 + q 1 q2 ) 4 −∞

(6.11)

(6.12)

Формула равномерно пригодна при ξ, η ∈ R. Остаток дифференцируем по η. Асимптотика может быть построена так же, как и асимптотика ψ ± . Перейдем к доказательству теоремы 6.1. Обозначим N

fi =

N 1 N (ψ (i) (ξ, η, k), φ (i) (ξ, η, l))f . 4π

Представим f1 как f1 =

−1 N (1) N hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)iN . π f

Оценим разность f1 − h1 , где −1 (1) hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)ifˆ; π −1 N (1) 1 N f1 − h1 = hψ (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)iN + hψ (1) (ξ, η, l), ϕ(1) (ξ, η, k)ifˆ = π π f Z ∞Z ∞ N N −1 N − = dkdl[ f 2 (k, l)(ψ 11− (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k) − ψ11 (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k))+ π −∞ −∞ h1 =

N

− +( f 2 (k, l) − fˆ2 (k, l))ψ11 (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k)+ N

N

N

+ + f 1 (k, l)(ψ 12+ (ξ, η, l)ϕ12 (ξ, η, k) − ψ12 (ξ, η, l)ϕ12 (ξ, η, k))+ N

+ +( f 1 (k, l) − fˆ1 (k, l))ψ12 (ξ, η, l)ϕ12 (ξ, η, k)].

(6.13)

Рассмотрим различные слагаемые и оценим их по отдельности. Обозначим Z Z N N −1 ∞ ∞ N − I1 = dkdl f 2 (k, l)(ψ 11− (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k) − ψ11 (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k)). π −∞ −∞ Из леммы 6.1 следует, что N

N

− |ψ 11− (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k) − ψ11 (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k)| = O(ε). N

Чтобы показать, что I1 = O(ε), достаточно показать, что f 2 (k, l) ∈ L1 . N

Лемма 6.3. f 2 (k, l) ∈ L1 . N

Доказательство. Построим асимптотику f 2 (k, l) при |k| → ∞, равномерную при l ∈ R, и асимN

птотику f 2 (k, l) при |l| → ∞, равномерную при k ∈ R:   Z ∞Z ∞ N N −1 N 1 −2 dξdη f2 = q 1 (ξ, η) + O(k ) exp(−ikξ) φ 12 (ξ, η, l)+ 4π −∞ −∞ 2k    Z η N i 0N 0 N 0 −2 + 1+ dη q 1 (ξ, η ) q 2 (ξ, η ) + O(k ) exp(−ikξ) φ 22 (ξ, η, l) . 4k −∞

126

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

Представим интеграл как сумму интегралов. Проинтегрируем члены с асимптотикой O(k −1 ) при |k| → ∞ по частям по ξ. Дважды проинтегрируем по частям по ξ член Z ∞Z ∞ N 1 I10 = dξdηf2 (ξ, η) exp(−ikξ) φ 22 (ξ, η, l). 4π −∞ −∞ В результате получим N

f 2 = O(k −2 ) при

|k| → ∞,

равномерно при l ∈ R.

|l| → ∞,

равномерно при k ∈ R.

Таким же образом можно показать, что N

f 2 = O(l−2 ) при

N

Следовательно, f 2 ∈ L1 . Лемма доказана. В результате I1 = O(ε). Рассмотрим еще один член из формулы (6.13): Z Z N 1 ∞ ∞ − I2 = dkdlψ11 (ξ, η, l)ϕ11 (ξ, η, k)( f 2 (k, l) − fˆ2 (k, l)). π −∞ −∞ N

Лемма 6.4. k f 2 − fˆ2 (k, l)kL1 = O(ε). Доказательство. N

1 f 2 (k, l) − fˆ2 (k, l) = 4π N

Z

∞

Z

−∞ N

∞

−∞

N N  dξdη f2 (ξ, η)[(ψ 12 (ξ, η, k) − ψ12 (ξ, η, k)) φ 12 (ξ, η, l)+ N

N

+( φ 12 (ξ, η, l) − φ12 (ξ, η, l))ψ 12 (ξ, η, k)] + f1 (ξ, η)[(ψ 22 (ξ, η, k) − ψ22 (ξ, η, k)) φ 22 (ξ, η, l)+ N

N

+( φ 22 (ξ, η, l) − φ22 (ξ, η, l))ψ 22 (ξ, η, k)]].

(6.14)

Представим интеграл как сумму интегралов по ξ и η. Рассмотрим асимптотику одного из слагаемых при |k| → ∞: Z ∞Z ∞ N N 1 J1 = dξdηf1 (ξ, η)(ψ 22 (ξ, η, k) − ψ22 (ξ, η, k)) φ 22 (ξ, η, l) = 4π −∞ −∞ Z ∞Z ∞ Z η i 1 ε N = dξdηf1 (ξ, η)[ dη 0 (q 2 (ξ, η 0 ) q 1 (ξ, η 0 )+ 4π −∞ −∞ 4k −∞ ε

N

N

+q 1 (ξ, η 0 ) q 2 (ξ, η 0 )) + O(k −2 )] exp(ikξ) φ 22 (ξ, η, l). После интегрирования по частям по ξ получим: J1 = O(ε)O(k −2 ) при |k| → ∞, l ∈ R. Таким же образом можно получить J1 = O(ε)O(l−2 ) при

|l| → ∞, k ∈ R.

Более того, J1 = O(ε) при k, l ∈ R. Это следует из леммы 6.1. В результате получим kJ1 kL1 = O(ε). Таким же образом можно оценить остаточные слагаемые в (6.14). В результате получено утверждение леммы 6.4. Из леммы 6.4 следует, что I2 = O(ε). Другие слагаемые из формулы (6.13) оцениваются так же. В результате получим |f1 − h1 | = O(ε) при ξ, η ∈ R. Такая же формула справедлива для f2 и h2 : |f2 − h2 | = O(ε) при

ξ, η ∈ R.

Пусть ε → 0. Тогда получим утверждение теоремы 6.1.

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

127

6.1.6. Временная эволюция данных рассеяния. Здесь изучается временная эволюция вариаций ¯ и Q — решение уравнения ДС-1 с данных рассеяния в специальном случае, когда q1 = Q, q2 = κQ, краевыми условиями g1 |ξ→−∞ = 0 и g2 |η→−∞ = 0. Вариации данных рассеяния ˆ2 = 1 (ψ − (ξ, η, k), φ(2) (ξ, η, l))U , U 4π (2) ˆ1 = 1 (ψ + (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))U . U 4π (1) ¯1 . В этом случае Здесь U( ξ, η, t) — решение линеаризованных уравнений лДС-1 (6.1) и U2 = κU + + ψ(1) = ψ(1) (ξ, η, k, t) и они являются решениями системы уравнений [119]   1 0 + + 2 + ∂t ψ(1) = ik ψ(1) + i (∂ξ − ∂η )2 ψ(1) + 0 −1     0 q1 ig1 −i∂η q1 + + +i (∂ξ − ∂η )ψ(1) + ψ(1) . (6.15) q2 0 i∂ξ q2 −ig2 Можно показать, что φ(1) удовлетворяет системе   1 0 ∂t φ(1) = ik 2 φ(1) + i (∂η − ∂ξ )2 φ(1) − 0 −1     0 q1 ig2 i∂ξ q1 −i (∂η − ∂ξ )φ(1) + φ(1) . q2 0 −i∂η q2 −ig1

(6.16)

ˆ1 по t: Возьмем производную функции U ˆ1 = 1 (∂t ψ + (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))U + ∂t U (1) 4π 1 + 1 + + (ψ(1) (ξ, η, k), ∂t φ(1) (ξ, η, l))U + (ψ (ξ, η, k), φ(1) (ξ, η, l))∂t U . 4π 4π (1) + Дальше, заменяя производную от ψ(1) согласно (6.15), производную от φ(1) согласно (6.16) и производные от U1 и U2 согласно (6.1), получим интегралы, содержащие только производные по пространственным переменным. Затем с помощью довольно громоздких вычислений интегралов по частям можно избавиться от производных функций ψ и φ. В результате получим: ˆ1 = i(k 2 + l2 )U ˆ1 + Fˆ1 . ∂t U Так же можно получить: ˆ2 = −i(k 2 + l2 )U ˆ2 + Fˆ2 . ∂t U Теорема 6.2 доказана. 6.2. Возмущение дромиона. Здесь строится асимптотическое решение возмущенного, вообще говоря, неинтегрируемого МОЗР уравнения 1 i∂t Q + (∂ξ2 + ∂η2 )Q + (g1 + g2 )Q = εiF, 2 (6.17) κ κ ∂ξ G1 = − ∂η |Q|2 , ∂η G2 = − ∂ξ |Q|2 . 2 2 Здесь ε — малый параметр, F ≡ AQ — возмущающий оператор. Явный вид возмущающего оператора может определяться, например, малыми неровностями дна или учетом следующих поправок в исходной, несколько более физичной модели, рассмотренной, в частности, в работах [109, 113]. Для простоты взято линейное возмущение, учитывающее слабую неровность дна. Другие возмущения, связанные с исходной системой уравнений поверхностных волн, здесь обсуждаться не будут, хотя метод построения асимптотических решений позволяет исследовать уравнение (6.17) с достаточно широким классом возмущающих операторов. Здесь рассматривается возмущение дромионного решения (4.18) невозмущенного уравнения ДС1. Решение (4.18) уравнения (4.1) хорошо известно в силу того, что это, по-видимому, первое из найденных решений (2 + 1)-мерных интегрируемых уравнений, которое экспоненциально убывает

128

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

во всех пространственных направлениях. Если κ = −1, а постоянная ρ такова, что |ρ| >

16 , это µλ

решение имеет особенности на некоторых линиях η = const и ξ = const. Построение асимптотических солитоноподобных решений для возмущений интегрируемых уравнений достаточно популярно. Наиболее подробно исследованы возмущения (1 + 1)-мерных уравнений: построены асимптотические решения, пригодные на временах порядка обратной величины параметра возмущения; подробно исследованы уравнения для поправок [43, 132, 137, 138]. В большом количестве работ исследуется неустойчивость квазиодномерных решений (2+1)-мерных уравнений по отношению к трансверсальным возмущениям [37,78,107]. Возмущение существенно двумерных решений — менее развитая тематика. При построении теории возмущений для решений нелинейных уравнений важную роль играет возможность полного исследования линеаризованного уравнения. В нашем случае это можно сделать с помощью предложенного выше решения линеаризованного уравнения методом Фурье. 6.2.1. Постановка задачи и результаты. Асимптотическое по mod(O(ε2 )) решение уравнений (6.17) с граничными условиями (4.19) будем искать в виде Q(ξ, η, t, ε) = W (ξ, η, t, τ ) + εU (ξ, η, t, τ ), G1 (ξ, η, t, ε) = g1 (ξ, η, t, τ ) + εh1 (ξ, η, t, τ ),

(6.18)

G2 (ξ, η, t, ε) = g2 (ξ, η, t, τ ) + εh2 (ξ, η, t, τ ), где τ = εt — медленное время. Главный член асимптотики имеет вид W (ξ, η, t, τ ) = q(ξ, η, t; ρ(τ )), Z κ ξ dξ 0 ∂η |W (ξ 0 , η, t, τ )|2 , g1 (ξ, η, t, τ ) = u1 (η) − 2 −∞ Z κ η g2 (ξ, η, t, τ ) = u2 (ξ) − dη 0 ∂ξ |W (ξ, η 0 , t, τ )|2 . 2 −∞ Здесь q(ξ, η, t; ρ) — дромионное решение уравнения Деви—Стюартсона-1: q(ξ, η, t; ρ) =

µλρ exp(it(λ2 + µ2 )) 2 ch(µξ) ch(λη)(1 − κ|ρ|2 µλ 16 (1 + th(λη))(1 + th(µξ)))

,

функции u1 (η) и u2 (ξ) соответствуют дромионным граничным условиям: u1 (ξ) =

λ2 , 2 ch2 (λη)

u2 (ξ)

µ2 . 2 ch2 (µξ)

2 Обозначим γ(τ ) = 1 − κ µλ 4 |ρ(τ )| , γ0 = γ(0).

Теорема 6.4. Если exp(2Aτ )

γ(τ ) = γ0

,

Arg(ρ(τ )) ≡ const,

где γ0 > 1 при κ = −1 и 0 < γ0 < 1 при κ = 1, тогда асимптотическое по mod(O(ε2 )) решение (6.18) равномерно пригодно при t = O(ε−1 ). Замечание 6.1. На более широком интервале времени t  ε−1 log(log(ε−1 )) формулы (6.18) дают асимптотическое решение возмущенного уравнения ДС-1 по mod(o(1)). Проведенный асимптотический анализ пригоден для возмущений решений вида (4.18) без сингулярностей, т.е. если κ = 1, то |ρ| < 16/µλ. В построенной асимптотике модуль параметра ρ зависит от τ . Если коэффициент в возмущении A < 0, то |ρ| растет со временем и существует конечное значение τs , при котором ρ = 16/(λµ); при подходе к этому значению τs построенная асимптотика становится непригодной. Развитие сингулярностей в решении неинтегрируемых методом обратной задачи систем уравнений типа Деви—Стюартсона — известный эффект [154].

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

129

Замечание 6.2. Уравнение модуляции для |ρ(τ )| может быть получено из «энергетического» равенства [77]: Z Z Z Z 2 ¯ ). ∂t dξdη|Q| = ε dξdη(QF¯ − QF R2

R2

6.2.2. Решение линеаризованного уравнения. Воспользовавшись базисностью разложения, приведенного в теореме 6.1, можно получить решение задачи Коши для линеаризованного уравнения ˆ от времени несколько отличается от полученной в п. 6.1 из-за того, что ДС-1. Здесь зависимость h исследуется решение уравнения ДС-1 с ненулевыми краевыми условиями (4.2). ¯ где Q — решение уравнения ДС-1 с граничными Теорема 6.5. Пусть q1 = Q и q2 = κQ, условиями G1 |ξ→−∞ = u1 и G2 |η→−∞ = u2 , и Q удовлетворяет условиям теоремы 6.1, решение линеаризованного уравнения ДС-1 — гладкая и интегрируемая функция U по ξ и η, где ∂ α U ∈ L1 ∩ C 1 и ∂ α F ∈ L1 ∩ C 1 для |α| ≤ 4 и t ∈ [0, T0 ]. Тогда ˆ1 = i(k 2 + l2 )U ˆ1 + ∂t U

Z

ˆ2 = −i(k 2 + l2 )U ˆ2 + ∂t U

Z

ˆ1 (k − k 0 , l, t)χ(k 0 ) + dk 0 U

Z

ˆ2 (k − k 0 , l, t)χ(k 0 ) + dk 0 U

Z

ˆ1 (k, l − l0 , t)κ(l0 ) + Fˆ1 , dl0 U ˆ2 (k, l − l0 , t)κ(l0 ) + Fˆ2 . dl0 U

(6.19) (6.20)

Если граничные условия в задаче для уравнения ДС-1 — тождественные нули, то χ ≡ κ ≡ 0. В этом случае формулы теоремы 6.1 позволяют явно решить линеаризованное уравнение ДС-1. В этом пункте рассматривается решение уравнения ДС-1 с ненулевыми граничными условиями, это приводит к интегральным слагаемым в формулах теоремы 6.1. Для того, чтобы выписать решение линеаризованного уравнения, необходимо преобразовать формулы (6.19) и (6.20). В правой части (6.19) и (6.20) интегральные слагаемые не что иное, как свертки. Перейдем к уравнениям для ˆ (k, l, t, τ ) по переменным k и l. В результате получим линейное уравнение образов Фурье функций U Шр¨едингера: ˜2 = F˜ . ˜1 + (u2 (ξµ) + u1 (ηλ))U ˜1 + (∂ 2 + ∂η2 )U i∂t U ξ

(6.21)

Здесь Z 1 ˜ ˆ (k, l, t, τ ) exp(−ikη − ilξ); U1 (ξ, η, t, τ ) = dkdlU 2π R2 Z 1 ˜ F (ξ, η, t, τ ) = dkdlFˆ (k, l, t, τ ) exp(−ikη − ilξ). 2π R2 Такое же уравнение, только с нулевой правой частью, было получено при анализе зависимости от времени данных рассеяния системы ДС-1 в [122]. Решение задачи Коши с нулевыми начальными условиями для уравнения (6.21) можно получить методом разделения переменных. Формулы для построения базисного набора решений однородного уравнения приведены, например, в [122]. В нашем случае решение уравнения (6.21) методом Фурье имеет вид Z 1 ˜ ˘ (m, n, t)X(ξ, m)Y (η, n) exp(−it(m2 + n2 ))+ U (ξ, η, t) = dmdnU 2π R2 Z 1 ˘µ (n, t)Y (η, n)Xµ (ξ) exp(−it(n2 − µ2 ))+ +√ dnU 2π R 1 +√ 2π

Z R

˘λ (m, t)X(ξ, m)Yλ (η) exp(−it(m2 − λ2 )) + U ˘µ,λ Xµ (ξ)Yλ (η) exp(it(µ2 + λ2 )). dmU

130

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

Здесь приняты обозначения: µ th(µξ) + im µ exp(−imξ), Xµ (ξ) = ; im − µ 2 ch(µξ) λ th(λη) + in λ Y (n, η) = exp(−inη), Yλ (η) = ; in − λ 2 ch(λη) ˘ = i(m2 + n2 )U ˘ + F˘ (m, n, t), ∂t U ˘µ = i(n2 − µ2 )U ˘ + F˘µ (n, t), ∂t U ˘λ = i(m2 − λ2 )U ˘ + F˘λ (m, t), ∂t U ˘µλ = −i(λ2 − µ2 )U ˘ + F˘µλ (t), ∂t U X(m, ξ) =

˘ |t=0 = U ˘µ |t=0 = U ˘λ |t=0 = U ˘µλ |t=0 = 0; U Z ¯ F˘ (m, n, t) = dξdη F˜ (ξ, η, t)X(m, ξ)Y¯ (n, η), R2 Z ˘ ¯ µ (ξ)Y¯ (n, η), dξdη F˜ (ξ, η, t)X Fµ (n, t) = R2 Z ¯ F˘λ (m, t, τ ) = dξdη F˜ (ξ, η, t)X(m, ξ)Y¯λ (η), R2 Z ˘ ¯ µ (ξ)Y¯λ (η). Fµλ (t, τ ) = dξdη F˜ (ξ, η, t)X R2

6.2.3. Уравнение для первой поправки. В этом пункте получено уравнение для медленной деформации параметра ρ(τ ). Оно выводится из требования равномерной ограниченности первой поправки асимптотики в формуле (6.18). Подставим формулу (6.18) в уравнение (6.17). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра ε. Уравнение при ε0 удовлетворяется в силу того, что W, G1 , G2 — асимптотическое решение невозмущенного уравнения (4.1). Для первой поправки получим линеаризованное уравнение ДС-1: i∂t U + (∂ξ2 + ∂η2 )U + (G1 + G2 )U + (V1 + V2 )W = iH, κ ¯ +W ¯ U ), ∂η V2 = −κ ∂ξ (W U ¯ +W ¯ U ), ∂ξ V1 = − (W U 2 2

(6.22)

где H = AW − ∂τ W. Начальное и краевые условия для функций U, V1 и V2 — нулевые. Прежде чем воспользоваться формулами предыдущего пункта для решения линеаризованного уравнения, выясним вид правой части в первом из уравнений (6.22). От медленного времени τ в главном члене может зависеть лишь один параметр ρ = ρ(τ ). Остальные параметры в формуле для главного члена асимптотики однозначно связаны с краевыми условиями и не меняются при возмущении уравнения. Для удобства представим ρ(τ ) = r(τ ) exp(iα(τ )), где r(τ ), α(τ ) вещественные. Производная по медленному времени в этом случае может быть записана в виде ∂τ W = ∂r W r0 + ∂α W α0 . Здесь неизвестны производные r0 и α0 . Они будут определены ниже. ˆ В соответствии с формулами теоремы 6.5 и видом функций Перейдем к вычислению образа H. ψ + и φ, приведенных в п. 4.1.4 и в приложении 6.2.5, получим: b b l; ρ)∂τ ρ), H(k, l, t, τ ) = exp(−it(λ2 + µ2 ))(Pb(k, l; ρ) − R(k, где b l; ρ) = exp(it(λ2 + µ2 ))∂[ [ , R(k, Pb(k, l; ρ) = exp(it(λ2 + µ2 ))iAW τW.

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

131

В этих формулах выделена в явном виде зависимость от времени t. Такой вид удобен для выявления секулярных членов в формальном асимптотическом разложении (6.18). Выпишем дифференциаль˘: ные уравнения для U ˘ = i(m2 + n2 )U ˘ + exp(−it(λ2 + µ2 ))(P˘ (m, n; ρ) − R(m, ˘ ∂t U n; ρ)), ˘µ = i(n2 − µ2 )U ˘ + exp(−it(λ2 + µ2 ))(P˘µ (n; ρ) − R ˘ µ (n; ρ)), ∂t U ˘λ = i(m2 − λ2 )U ˘ + exp(−it(λ2 + µ2 ))(P˘λ (m; ρ) − R ˘ λ (m; ρ)), ∂t U ˘µλ = −i(λ2 − µ2 )U ˘ + exp(−it(λ2 + µ2 ))(P˘µλ (ρ) − R ˘ µλ (ρ)). ∂t U ˘ приводит неоднородное слагаемое в Легко видеть, что к секулярным слагаемым в образах U ˘µλ . Условие равенства нулю этого слагаемого и есть уравнение для определения уравнении для U зависимости ρ(τ ): ˘ µλ − P˘µλ = 0, ρ|τ =0 = ρ0 . R (6.23) ˘ ˘ В результате Uµλ ≡ 0. Остальные уравнения для образов U легко интегрируются. Решения этих уравнений равномерно ограничены по всем своим аргументам. Для утверждения об ограниченности первой поправки U, V1 , V2 остается вернуться от образов ˘ к прообразам. Как прямые (от U к U ˘ ), так и обратные (от U ˘ к U ) интегральные преобразоU вания можно представить как преобразования Фурье от гладких, экспоненциально убывающих по соответствующим переменным функций. Преобразование Фурье переводит такие функции в аналитические функции в некоторой окрестности вещественной прямой. Обратное преобразование переводит аналитическую функцию в экспоненциально убывающую. Таким образом, решение линеаризованного уравнения для первой поправки асимптотики U (ξ, η, t, τ ) — прообраз построенных ˆ — оказывается ограниченным и экспоненциально убывающим по пространственным функций U переменным. 6.2.4. Уравнение модуляции параметра. Уравнение (6.23) приведем к более удобному для анализа виду. Для этого запишем в явном виде производную главного члена по медленному времени τ : # " r0 2W . (6.24) i∂τ W = −α0 W + i W − 1 − κr2 µλ (1 + th(µξ))(1 + th(λη)) r 16

˘ Вычислим последовательно образы (·) µλ для каждого из слагаемых в формуле (6.24). Здесь удобно 2 обозначить µλr /4 = Γ, ρ exp(−it(λ2 + µ2 )) ˘ ) = κ¯ (W (κΓ − 1) log |1 − κΓ|; µλ 8 2 2 ˘ ) = −iκΓ ρ exp(−it(λ + µ )) . (iW µλ 8 ˘ Обозначим образ последнего слагаемого из (6.24) hµλ . Он имеет вид   ρ exp(−it(λ2 + µ2 )) 1 r0 κ¯ ˘ hµλ = (1 − κΓ) − 1 − log |1 − κΓ| . r 8 1 − κΓ ˘ слагаемого AW может быть представлен в похожем виде. Образ (·) Подставим эти формулы в (6.23), разделим мнимую и вещественную части в этом уравнении. В результате получим: r0 r0 (κΓ − 1) log |1 − κΓ| − (κΓ − (1 − κΓ) log |1 − κΓ|) + A(κΓ − 1) log |1 − κΓ| = 0. r r Используя обозначение для Γ, второе уравнение можно переписать в виде α0 = 0,

dΓ = −2κA(1 − κΓ) log |1 − κΓ|. dτ Это уравнение определяет эволюцию модуля комплексного параметра ρ. Аргумент этого параметра не меняется при выбранном возмущении F = AQ.

132

7. ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ СОЛИТОНА УРАВНЕНИЯ

ДС-1

Обозначим γ = 1 − κΓ, перепишем уравнение для γ. В результате получим: γ 0 = 2Aγ log(γ). Решение этого уравнения имеет вид γ(τ ) = exp(C exp(2Aτ )), где γ|τ =0 = exp(C). Тогда получим: exp(2Aτ )

γ(τ ) = γ0

.

Теорема 6.4 доказана. 6.2.5. Приложения. Явные формулы. Здесь приводятся задачи, решениями которых являются функции, сопряженные к функциям ψ ± относительно введенных билинейных форм. Выпишем интегральные уравнения, которым удовлетворяют элементы матрицы-функции φ — решения краевой задачи, сопряженной решениям задачи (4.3), (0.9), относительно первой билинейной формы (4.8). Первый столбец матрицы φ — решение интегрального уравнения Z 1 η φ11 (ξ, η, l, t) = exp(ilξ) + dη 0 Q(ξ, η 0 , t)φ21 (ξ, η 0 , l, t), 2 −∞ Z −1 ∞ 0 ¯ 0 φ21 (ξ, η, l, t) = dξ Q(ξ , η, t)φ11 (ξ 0 , η, l, t). 2 ξ Второй столбец φ удовлетворяет интегральному уравнению вида Z 1 ∞ 0 φ12 (ξ, η, l, t) = dη Q(ξ, η 0 , t)φ22 (ξ, η 0 , l, t), 2 η Z 1 ξ ¯ 0 , η, t)φ12 (ξ 0 , η, l, t). φ22 (ξ, η, l, t) = exp(−ilη) + dξ 0 Q(ξ 2 −∞ Явные формулы для первого столбца матрицы φ, использовавшиеся в п. 6.2.4: Z ∞ dpµ exp(ikp)     2 ch(µp) φ11 exp(ilξ) ξ × = + φ21 0 λµ 2 1 − κ|ρ| (1 + th(µξ))(1 + th(λη)) 16   −κ|ρ|2 λµ(1 + th(µξ))   8 ch(µξ) . × 2 2  −κ¯ ρλ exp(−it(λ + µ ))  2 ch(λη) 7.

АСИМПТОТИКИ

(6.25)

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Этот параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте построены асимптотики интегралов, встречающихся при построении асимптотического решения системы (2.54) в окрестностях стационарных точек фазовой функции осциллирующей экспоненты. Этот пункт носит во многом вспомогательный характер — исследуемые здесь интегралы встречаются в тексте, в части, посвященной построению асимптотики решения уравнения Кадомцева—Петвиашвили-2. Второй пункт посвящен построению асимптотик многомерных интегралов типа Коши с быстро осциллирующей экспонентой. Эта часть работы представляется интересной сама по себе. Вычисление асимптотик одномерных интегралов со слабой особенностью и быстро осциллирующей экспонентой проведено в [87, c. 26], [75, c. 332]. Асимптотика многомерных интегралов без особенностей подынтегральной функции с быстро осциллирующими экспонентами подробно изучена в [4,87]. Асимптотика интегралов Коши с быстро осциллирующей экспонентой в одномерном случае исследована в [87], в многомерном случае, в ситуации общего положения, — в работе автора [46]. Асимптотики многомерных интегралов со слабой особенностью исследованы не столь подробно. В частности, некоторые интегралы специального вида по комплексной плоскости исследовались в работе автора [51]. 7.1. Асимптотика двукратных интегралов со слабой особенностью.

8. АСИМПТОТИКИ

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

133

Интегралы по полуплоскости с невырожденной стационарной точкой фазовой функции экспоненты. Здесь построена асимптотика интеграла Z Z dn ∧ d¯ n exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) I= l − n + Ω + ¯ при |l| → ∞, где область Ω = {l + l − i(l − ¯l) > 0}. Теорема 7.1. Асимптотика интеграла I при |l| → ∞ имеет вид exp(−i(l2 + ¯l2 )) 3iπ − ¯ + O(|l|−2 ) при l ∈ Ω+ ; I = −2iπ 2il 2l iπ I = − ¯ + O(|l|−2 ) при l 6∈ Ω+ . 2l Доказательство. Рассмотрим случай, когда l ∈ Ω+ . Разобьем область Ω+ на три подобласти: + Ω+ 1 = {Ω \ {[|n| ≤ |l|/2] ∪ [|n − l| < ε]}} — эта область не содержит стационарную точку фазы + экспоненты и особенность подынтегральной функции; Ω+ 2 = {Ω \ [|n| ≥ |l|/2]} — эта область + содержит стационарную точку фазы экспоненты; Ω3 = {|n − l| < ε} — область, в которой лежит особенность подынтегральной функции. Интеграл по области Ω+ 1 возьмем по частям, интегрируя экспоненту по переменной n. В результате получим Z Z Z dn ∧ d¯ n d¯ n exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) 2 2 exp(−i(n + n ¯ )) = − −2in l−n l−n Ω+ ∂Ω+ 1 1 Z Z dn ∧ d¯ n exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) − . (7.1) 2in2 l−n Ω+ 1 Граница области Ω+ 1 состоит из большой полуокружности радиуса R при R → ∞, окружности радиуса ε вокруг точки l = n, полуокружности радиуса |l|/2 и двух отрезков [R exp(3iπ/4), |l| exp(3iπ)/2] и [|l| exp(−iπ/4)/2, R exp(3iπ)]. Рассмотрим интегралы по элементам границы области Ω+ 1 . Интеграл по большой полуокружности при R → ∞ равен нулю. Интеграл по полуокружности радиуса |l|/2 имеет порядок |l|−3 (из-за осцилляций экспоненты и малости подынтегральной функции). Интеграл по окружности вокруг точки n = l будем рассматривать в пределе при ε → 0. В результате получим вычет подынтегральной функции, умноженный на 2iπ. Интеграл по оставшимся отрезкам: [R exp(3iπ/4), |l| exp(3iπ)/2] и [|l| exp(−iπ/4)/2, R exp(3iπ)] (обозначим их объединение через L) в результате простых вычислений приводится к виду Z Z dλ d¯ n exp(3iπ/4) = . ¯ ¯ −2il |λ|≥|l|/2 l − λ exp(iπ/4) n∈L −2in(l − n) Второе слагаемое в (7.1) оценивается величиной O(|l|−3 ). Рассмотрим интеграл по Ω+ 2 . Представим:   1 1 n ¯ = ¯ 1+ . l l−n l−n Тогда интеграл по Ω+ 2 можно записать в виде Z Z Z Z dn ∧ d¯ n 1 dn ∧ d¯ n I2 = exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) = ¯ exp(−i(n2 + n ¯ 2 ))+ + + l l − n l − n Ω2 Ω2 Z Z 1 dn ∧ d¯ n +¯ n ¯ exp(−i(n2 + n ¯ 2 )). + l l − n Ω2 Здесь второе слагаемое возьмем по частям, интегрируя экспоненту по переменной n ¯ . После некоторых вычислений получим: Z |l| exp(−iπ/4)/2 Z Z dn 1 1 2 2 I2 = ¯ dn ∧ d¯ n exp(−i(n + n ¯ )) + ¯ + O(|l|−2 ). 2il |l| exp(3iπ/4)/2 l − n l Ω+

134

8. АСИМПТОТИКИ

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Интеграл по Ω+ 3 при ε → 0 равен нулю. Просуммируем полученные асимптотики: Z exp(−i(l2 + ¯l2 )) exp(iπ/2) ∞ dλ I = −2iπ + + ¯ ¯ 2il 2il −∞ l exp(−iπ/4) − λ Z 1 dn ∧ d¯ n exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) + O(|l|−2 ). 2i¯l Ω+ Таким образом, доказано первое утверждение теоремы. Второе доказывается так же, следует только учесть, что в этом случае l 6∈ Ω+ и нет вклада интеграла вокруг области Ω+ 3. Теорема доказана. Асимптотика интеграла с вырожденной фазовой функцией. В этом пункте построена асимптотика при |p| → ∞ интеграла Z Z dr ∧ d¯ r W+ = exp(−iω(r)), (7.2) p − r + Ω где Ω± = ±<(p) > 0. Сформулируем результат. Теорема 7.2. Асимптотика интеграла (7.2), где ω(p) = 4(p3 + p¯3 ) − v 2 (p + p¯) при |p| → ∞ и |p ± √v12 | ≥ 0 имеет вид 1 + 2 1 πi exp(−iω(p)) 2 φ (v ) + 2 φ+ + 2πi + 01 (v ) + 2 2  p¯ 00 p ¯ 12¯ p 12p  +O(|p|−3 + |v|2 |p|−2 ) при p ∈ Ω+ ;  = 1 + 2 1 πi  2 φ00 (v ) + 2 φ+ +  01 (v ) − p¯ p¯ 12¯ p2 −3 2 −2 +O(|p| + |v| |p| ) при p 6∈ Ω+ . 

W+

(7.3)

Здесь φ± jk

Z Z =

dr ∧ d¯ rrj r¯k exp(−iω(r)).

Ω±

Доказательство. Перейдем к доказательству теоремы. Представим интеграл в виде Z Z Z Z 1 1 W+ = dn ∧ d¯ n exp(−iω(n)) + 2 dn ∧ d¯ n exp(−iω(n))¯ n+ p¯ p¯ Ω+ Ω+ Z Z Z Z dn ∧ d¯ n 2 1 dn ∧ d¯ n v2 + n ¯ exp(−iω(n)) + (12¯ n2 − v 2 ) exp(−iω(n)). 2 2 12¯ p 12¯ p Ω+ p − n Ω+ p − n В последнем слагаемом проинтегрируем по частям по переменной n экспоненту, в результате получим:

1 + 12¯ p2

Z ∂Ω+

1 + 2 1 2 W + = φ+ 00 (v ) + 2 φ01 (v )+ p¯ p¯ 2 2 d¯ n (12¯ n − v ) exp(−iω(n)) + O(|p|−3 + |v|2 |p|−2 ). p−n (−i)(12n2 − v 2 )

Рассмотрим интеграл по границе области ∂Ω+ . Он складывается из интегралов по мнимой оси <(r) = 0, по половине окружности радиуса R при R → ∞, <(r) > 0, и по окружности |p − r| = ε при ε → 0 (если p ∈ Ω+ ). Можно показать, что интеграл по большой полуокружности стремится к нулю. В результате получим утверждение теоремы. Еще один двукратный интеграл, асимптотика которого необходима в вычислениях следующего пункта: Z Z dr ∧ d¯ r U+ = r¯ exp(−iω(r)). Ω+ p − r

8. АСИМПТОТИКИ

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

135

Его асимптотика вычисляется так же, как асимптотика интеграла (7.2) и при |p| → ∞, |p ± v| ≥ 0 имеет вид  1 πi exp(−iω(p)) 1 + 2 φ (v ) + 2iπ exp(−iω(p)) + + 2πi +  p¯ 10 12ip 12¯ p 12p2  U = +O(|p|−2 + |v|2 |p|−2 ) при p ∈ Ω+ ;  1 + 2 πi φ10 (v ) − + O(|p|−2 + |v|2 |p|−2 ) при p 6∈ Ω+ . p¯ 12¯ p 7.1.1. Сведение четырехкратного интеграла к двукратному. Этот пункт носит технический характер. Здесь приведены вычисления, сводящие четырехкратные интегралы по всей комплексной плоскости и по различным ее полуплоскостям к двукратным интегралам. Четырехкратный интеграл по комплексной плоскости с невырожденным показателем осциллирующей экспоненты. Покажем, что четырехкратный интеграл Z Z Z Z 1 dn ∧ d¯ n 1 dm ∧ dm ¯ 2 2 J= exp(−i(n + n ¯ )) exp(i(m2 + m2 )) 2iπ C lj − n 2iπ C n−m можно выразить через двойной. Для этого в двойном интеграле по n сделаем замену n − m = r, тогда J примет вид Z Z Z Z 1 dn ∧ d¯ n 1 dr ∧ d¯ r J= exp(i(r2 + r¯2 )) exp(−2i(rn + rn)). 2iπ l − n 2iπ r ¯ C j C Проинтегрируем по частям по n ¯ , интегрируя выражение d¯ n и дифференцируя по n ¯ все подынтегральное выражение. В результате получим: Z Z Z −1 dn¯ n dr ∧ d¯ r J = 2 lim exp(i(r2 + r¯2 )) exp(−2i(rn + rn))+ 4π R→∞ |n|=R lj − n r ¯ C Z Z Z 1 dn¯ n 1 dr ∧ d¯ r + lim exp(i(r2 + r¯2 )) exp(−2i(rn + rn))− 2iπ ε→0 |l−n|=ε lj − n 2iπ r¯ C Z Z Z Z 1 dn ∧ d¯ n 1 − n ¯ dr ∧ d¯ r(−2i) exp(i(r2 + r¯2 )) exp(−2i(rn + rn)). 2iπ 2iπ C lj − n C Здесь первое слагаемое равно нулю из-за быстрой осцилляции по n подынтегральной функции, второе слагаемое равно взятому со знаком минус вычету подынтегральной функции при n = l, внутренний интеграл в третьем слагаемом вычисляется явно. Окончательно получаем: Z Z exp(i(lj2 + ¯lj2 )) dn ∧ d¯ n J = ¯lj exp(−i(n2 + n ¯ 2 )) − exp(i(lj2 + ¯lj2 )). 2iπ C lj − m Четырехкратный интеграл по разным полуплоскостям с невырожденным показателем экспоненты. Рассмотрим интеграл Z Z Z Z ¯ 2 )) dm ∧ dm ¯ dn ∧ d¯ n exp(i(n2 + n J−+ = exp(−i(m2 + m ¯ 2 )). 2iπ Ω+ n − m Ω− l − n Проинтегрируем по частям по n ¯: Z Z Z dn exp(i(n2 + n dm ∧ dm ¯ ¯ 2 )) J−+ = n ¯ exp(−i(m2 + m ¯ 2 ))− l − n 2iπ n − m + ∂Ω− Ω Z Z Z Z 2 2 ¯ )) dm ∧ dm ¯ dn ∧ d¯ n ∂ exp(i(n + n − n ¯ exp(−i(m2 + m ¯ 2 )). l − n ∂ n ¯ 2iπ n − m − + Ω Ω Вычисление производной дает: Z Z Z dn n ¯ exp(i(n2 + n ¯ 2 )) dm ∧ dm ¯ J−+ = exp(−i(m2 + m ¯ 2 ))− l − n 2iπ n − m − + ∂Ω Ω Z dn 3 − exp(i(n2 + n ¯ 2 )). 4 ∂Ω− l − n

136

8. АСИМПТОТИКИ

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

В первом слагаемом рассмотрим интеграл по части границы: Z R exp(3iπ/4) Z Z dn n ¯ exp(i(n2 + n ¯ 2 )) dm ∧ dm ¯ I = lim exp(−i(m2 + m ¯ 2 )). R→∞ R exp(−iπ/4) l − n 2iπ n − m + Ω Поменяем порядок интегрирования по m, m ¯ и n. Внутренний интеграл по n вычисляется явно: " 1 Z R exp(3iπ/4) m ¯ n ¯ + при l ∈ Ω+ ; lim dn = 2 il − m ¯ R→∞ R exp(−iπ/4) (l − n)(n − m) −1/2 при l ∈ Ω+ . В последнем выражении для J−+ интегралы по большой полуокружности |n| = R при R → ∞ равны нулю. Окончательные формулы для J−+ зависят от l:  Z Z −5 exp(−i(m2 + m ¯ 2 )) iπ + il dm ∧ d m ¯ при l ∈ Ω+ ;  4 il − m ¯ Ω+  −5 J−+ =  iπ + 32 iπ exp(i)l2 + ¯l2 ));  Z Z4  exp(−i(m2 + m ¯ 2 )) при l ∈ Ω− . −¯l exp(i(l2 + ¯l2 )) dm ∧ dm ¯ l−m Ω+ Четырехкратный интеграл с вырожденной функцией в показателе осциллирующей экспоненты. Сведем четырехкратный интеграл Z Z Z Z dn ∧ d¯ n dm ∧ dm ¯ J1 = exp(iω(n)) exp(−iω(m)) C p−n C n−m к сумме двойных интегралов. Обозначим: exp(iω(n)) V (n, v ) = 2iπ 2

Для функции V

(p, v 2 )

Z Z C

dr ∧ d¯ r exp(−iω(r)). n−r

справедлива формула ∂V = 12i¯ n exp(iω(n))φ00 (v 2 ) + 12i exp(iω(n))φ01 (v 2 ). ∂n ¯

Эту формулу можно получить, сделав замену ρ = n − r в интеграле, продифференцировав получившееся выражение для V (n, v 2 ) по n ¯ и затем сделав обратную замену: r = n − ρ. Для двойного интеграла по n ¯ и n формула интегрирования по частям имеет вид: Z Z Z dn¯ nV (n, v 2 ) dn ∧ d¯ n 2 V (n, v ) = lim + R→∞ |n|=R p−n C p−n Z Z Z dn¯ n dn ∧ d¯ n ∂V (n, v 2 ) + lim V (n, v 2 ) − n ¯ . (7.4) ε→0 |p−n|=ε p − n ∂n ¯ C p−n Асимптотика функции V (n, v 2 ) при |n| → ∞ получена выше. Подстановка этой асимптотики в первый член правой части формулы (7.4) дает ноль. Второе слагаемое в правой части (7.4) дает вычет подынтегральной функции в точке p, помноженный на 2iπ. Тогда получим: Z Z dn ∧ d¯ n 1 J1 (p, v 2 ) = p¯V (p, v 2 ) − φ00 (v 2 ) exp(iω(p)) − 12iφ01 (v 2 ) n ¯ exp(iω(n))+ 2iπ C p−r Z Z dn ∧ d¯ n 2 2 1 +iv φ00 (v ) exp(iω(n)). 2iπ p − r C Аналогично можно преобразовать интеграл Z Z Z Z dm ∧ dm ¯ dn ∧ d¯ n J1−+ = exp(iω(n)) exp(−iω(m)). Ω− p − n Ω+ n − m

8. АСИМПТОТИКИ

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

137

Здесь отличие от интеграла J1 состоит в добавлении в ответ интегралов по границам областей Ω+ и Ω− . Приведем окончательный результат: при p ∈ Ω+ Z Z dm ∧ dm ¯ −+ + 2 exp(−iω(m))− J1 = −φ00 (v ) exp(iω(p)) + p¯ exp(iω(p)) Ω+ p − m Z Z Z Z 1 dn ∧ d¯ n dn ∧ d¯ n 2 1 − n ¯ exp(iω(n)) + iv 2 φ+ exp(iω(n))− 00 (v ) 2 2iπ Ω− p − n Ω− p − n Z Z dn ∧ d¯ n 2 1 −12iφ+ (v ) n ¯ exp(iω(n)); 01 2iπ Ω− p − n при p 6∈ Ω+ Z Z dm ∧ dm ¯ 1 dn ∧ d¯ n = +p exp(−iω(m)) − n ¯ exp(iω(n))− ¯ 2 Ω− p − n Ω+ p + m Z Z Z Z dn ∧ d¯ n dn ∧ d¯ n + 2 1 2 1 −iv 2 φ+ (v ) exp(iω(n)) − 12iφ (v ) n ¯ exp(iω(n)). 00 01 2iπ 2iπ Ω− p − n Ω− p − n J1−+

2 −φ+ 00 (v )

Z Z

7.2. Асимптотика многомерного интеграла типа Коши. Здесь строится равномерная асимптотика интеграла Z Ω(x) exp(itS(x, z)) I(z, t) = v.p. dn x (7.5) p(x) n R по большому параметру t при z ∈ R; функция Ω(x) — голоморфная в окрестности x ∈ Rn , быстро убывающая при |xk | → ∞ ∀k = 1, . . . , n функция; S(x, z) — аналитическая функция по x. Задачи о построении асимптотик подобных интегралов встречаются, например, при исследовании решений волновых уравнений методом Фурье. В частности, в теории возмущений размерность n связана не столько с пространственной размерностью соответствующего волнового уравнения, сколько с номером поправки в ряду теории возмущений: чем больше номер поправки, тем больше значение n. Похожий интеграл определяет асимптотику нелокальной задачи Римана при t → ∞. При построении асимптотики важную роль играют стационарные точки фазы экспоненты и нули знаменателя. Здесь предполагается, что функция p(x) имеет вид p(x) =

N Y

pj (x),

(7.6)

j=1

где pj (x) — голоморфные функции, имеющие нули только первого порядка. Многообразия pj (x) = 0 в Rn обозначаются Pj , их объединение P = ∪j Pj . Многообразия Pj находятся в общем положении. В одной точке пересекается не более n различных Pj , т.е. если n < N , то ∩n+1 k=1 Pjk = ∅ ∀jk = 1, . . . , N.

(7.7)

Многообразия Pj1 ...jk определяются так: Pj1 ...jk = ∩kl=1 Pjl . Функция S(x, z) на Pj1 ...jk как функция (n−k) переменных обозначается через S j1 ...jk (x, z). Следуя [87], стационарные точки этой функции назовем граничными стационарными точками. Ниже предполагается, что ∀l 6= j1 . . . jk при ∀k = 0, . . . , n − 1 выполнено условие [96, c. 205]: (∂pl S j1 ...jk = 0) ∩ Pj1 ...jk l — (n − k − 1)-мерно пренебрежимо.

(7.8)

В одномерном случае условие (7.8) означает, что стационарные точки фазы S не совпадают с нулями знаменателя подынтегральной функции в (7.5). В случае n = 2 условия (7.8) можно сформулировать следующим образом: во-первых, линии (∂pl S = 0) и Pl пересекаются на множестве меры нуль; во-вторых, граничные стационарные точки функций S 1 и S 2 не совпадают с нульмерным многообразием P12 = P1 ∩ P2 . Основные результаты сформулированы в теоремах 7.3 и 7.4.

138

8. АСИМПТОТИКИ

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Теорема 7.3. Пусть для интеграла (7.5) выполнены условия (7.7), (7.8). Тогда: 1) если ∩nk=1 Pjk = {x(g) }G g=1 , x ∈ R, то I=

G X

ag exp(itS(x(g) , z) + O(t−γ )),

g=1

где γ = const > 0, Ω(x) ag = ±Ng (iπ) , ∂(pj1 . . . pjn ) pjn+1 . . . pjN x=xg n ∂(x1 , . . . , xn )

x(g) ∈ Pj1 ...jn , знак плюс ставится, если преобразование (x1 , . . . , xn ) 7→ (pj1 , . . . , pjn ) сохраняет ориентацию и минус — в противном случае. Целое число Ng определено в формуле (7.23). 2) Если ∩nk=1 Pjk = ∅ ∀jk = 1, . . . , N , то I = O(t−γ ). Теорема 7.3 дает ответ не для всех z ∈ R. При изменении z может нарушиться условие (7.8). Поэтому асимптотические формулы, приведенные здесь, не равномерны по z. Построим равномерную асимптотику интеграла вида (7.5) в окрестности точки z = z0 , где нарушается условие (7.8). Для этого зависимость интеграла (7.5) от параметра рассмотрим при специальном виде фазы экспоненты: n−1 X S(x, z) = (xk − 1)2 + (xn − z)2 . (7.9) k=1

Для простоты примем, что N = n в (7.6) и что многообразия Pj пересекаются в единственной точке: ∩nj=1 Pj = 0. (7.10) Здесь условие (7.8) нарушается при z = 0. Вне этой точки асимптотика интеграла описана в теореме (7.5). Поведение главного члена асимптотики интеграла вблизи z = 0 сформулировано в следующем утверждении. Теорема 7.4. Пусть все стационарные точки функции S(x, z) по x и граничные стационарные точки S(x, z) на всех многообразиях Pj1 ...jk , где k = 1, . . . ,√n − 1 невырождены, тогда асимптотика интеграла (7.5) по t при условиях (7.9), (7.10) при z t = O(1) имеет вид √ (7.11) I(x, z) = B exp(it(n − 1)) exp(itz 2 )Φ(z t) + O(t−1/2 ), Ry где B = const, Φ(y) = 0 dv exp(−iv 2 ) — интеграл Френеля. Асимптотика интегралов (7.5) исследовалась в [87]. В многомерном случае в [87] рассматривалась ситуация, когда фаза экспоненты имеет только граничные стационарные точки, и многообразия Pj не имеют точек пересечения. Случай, когда полюс интеграла сливается со стационарной точкой фазы экспоненты, исследован для интеграла (7.5) при n = 1, p = x, S(x) = (x − z)2 . Главный член асимптотики в этой ситуации сводится к интегралу Френеля с точностью до постоянного множителя. Здесь рассматривается более общий случай. Во-первых, многообразия Pj пересекаются между собой, во-вторых, рассмотрена ситуация, когда граничная стационарная точка фазы экспоненты сливается с полюсом порядка n в n-мерном интеграле. Здесь в явном виде приводится главный ограниченный член асимптотики интеграла (7.5). Вычисление высших поправок сводится к построению асимптотик интегралов с быстро осциллирующей экспонентой и голоморфными подынтегральными функциями. Асимптотики таких интегралов исследованы в [4, 87]. 7.2.1. Условия существования интеграла Коши. Здесь формулируются достаточные условия существования интеграла в смысле главного значения [87]:   Z   Z ω ω v.p. = lim , (7.12) ε→0 L\|p|>ε p L p

8. АСИМПТОТИКИ

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

139

где L — n-мерное аналитическое многообразие, возможно, с псевдокраем [96, c. 215]; ω = Ω(x)dx1 ∧ · · · ∧ dxn — голоморфная дифференциальная форма в окрестности L. Всюду ниже предполагается, что интеграл по L \ |p| ≤ ε существует. Условия существования интеграла (7.12) при L = Rn обсуждались в [92]. В нашем случае это условия (7.6), (7.7) на многообразия Pj и требование, чтобы Pj находились в общем положении. Здесь нас будет интересовать случай, когда край bL — псевдомногообразие размерности n − 1; будем полагать, что ∀k = 1, . . . , n − 1 выполняется условие bL ∩ Pj1 ...jk — (n − k)-мерно пренебрежимо.

(7.13)

Поясним смысл условия (7.13). Если n = 1 и L — отрезок, то нуль знаменателя не должен совпадать с концом отрезка интегрирования. Если n = 2 и L — кусок плоскости, то, во-первых, пересечение P1 и P2 с краем нульмерно, во-вторых, нульмерное многообразие P12 не пересекается с краем bL. Множество всех Pj1 ...jk на многообразии L разделим на два. Через µk (L) обозначим множество таких Pj1 ...jk , что Pj1 ...jk ∩ Pl ∩ L = ∅ ∀l 6= j1 , . . . , jk . Множество Pj1 ...jk , не удовлетворяющих этому условию, обозначим через νk (L). Лемма 7.1. Пусть L — n-мерное аналитическое многообразие с псевдокраем bL, ω = Ω(x)dx1 ∧ · · · ∧ dxn — голоморфная дифференциальная форма в окрестности L, интеграл от ω/p по L \ |p| ≤ ε существует ∀ε > 0 и выполнены условия (7.7), (7.13). Тогда существует интеграл (7.12) и справедлива формула Z v.p. L

+

 X   Z n−1 X ω ω k k − (iπ) v.p. resPj ...j + 1 k p(x) p L Pj1 ...jk k=1 νk (L)     X ω ω k n n resPj ...j − (iπ) resPj ...j . 1 1 k k p p Pj1 ...j

ω = p(x) X Z µk (L)

Z

k

(7.14)

µn (L)

Здесь L− — поверхность, обходящая нули p(x) по той части области границы Лере [92] вещественного многообразия P , где =(pj ) ≤ 0, j = 1, . . . , N . Прежде, чем переходить к доказательству леммы, введем обозначения. Границу Лере многообразия Pj1 ...jk ∩ L, то есть поверхность |pjl | = ε, где l = 1, . . . , k на L, будем обозначать через δPε j ...j . 1

k

Замечание 7.1. Здесь мы будем рассматривать сложные границы Лере с естественной ориентацией; соответственно, сложный вычет Лере степени k имеет вид   ∂(xl1 , . . . , xlk ) dxlk+1 ∧ · · · ∧ dxln ω k resPj ...j = Ω , 1 k p ∂(pj1 , . . . , pjk ) pjk+1 . . . pjN где преобразование (x1 , . . . , xn ) 7→ (pj1 , . . . , pjk , xlk+1 , . . . , xn ) сохраняет ориентацию. Доказательство. Обозначим через lε (L) ту часть объединения границ Лере, где =(pjl ) < 0. Поверхность, удовлетворяющую условию x ∈ L \ |p| ≤ 0 и x ∈ lε , обозначим через L. Рассмотрим интеграл   Z Z Z ω ω ω Iε = = − . L\|p|>ε p L p(x) lε (L) p(x) По условию леммы подынтегральные формы голоморфны в окрестности L, следовательно, интеграл (7.12) можно представить в виде Z Z   Z ω ω ω v.p. = − lim . (7.15) ε→0 lε (L) p(x) L p(x) L p

140

8. АСИМПТОТИКИ

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Из формулы для сложных вычетов [2, c. 150] получим:  X   Z Z n−1 X ω ω k k lim = (iπ) v.p. resPj ...j + 1 k ε→0 lε (L) p(x) p P j ...j 1 k k=1 νk (L)     X X Z ω ω − (iπ)n resnPj ...jn . + reskPj ...j 1 1 k p p Pj1 ...j µk (L)

(7.16)

µn (L)

k

Из (7.15), (7.16) следует формула (7.14). Формула (7.14) позволяет свести вопрос о существовании n-мерного интеграла в смысле главного значения к вопросу о существовании интегралов в смысле главного значения меньшей размерности. Перейдем к доказательству существования предела (7.12). В формуле (7.14) интегралы по многообразиям из множества µk (L) и по L существуют в силу условий интегрируемости на L. Рассмотрим интегралы в смысле главного значения по многообразиям из множества νk (L). В силу условия (3.118) все Pj1 ...jk из νk (L) являются многообразиями, возможно, с псевдокраем bPj1 ...jk = bL ∩ Pj1 ...jk , размерности (n − k − 1). В свою очередь, для псевдокрая этого многообразия выполнено условие (7.13): bPj1 ...jk ∩ Pl1 ...lm = bL ∩ Pj1 ...jk ∩ Pl1 ...lm = = bL ∩ Pj1 ...jk l1 ...lm — (n − (k + m))-мерно пренебрежимо. Следовательно, для каждого Pj1 ...jm ∈ νk (L) выполняются условия леммы 7.1. Для Pj1 ...jm также можно применять формулу (7.14). Последовательно применяя (7.14) к многообразиям из множества νk (L), получим сумму интегралов по поверхностям, обходящим нули знаменателя подынтегральной формы в (7.12), сумму интегралов по многообразиям из множества νk (L) и сумму вычетов порядка n. Каждый член этой суммы ограничен. Следовательно, интеграл (7.12) существует. Лемма доказана. Кроме этого, нам потребуется еще один результат, несколько обобщающий лемму 7.1. Лемма 7.2. Пусть µn (L) = 0, условия леммы 7.1 на край bL и Pj1 ...jk не выполняются в единственной точке: bL ∩ Pj1 ...jk = 0; пусть существует интеграл от φ = xn ω на L \ |p| > ε ∀ε > 0. Тогда интеграл в смысле главного значения существует, и справедлива формула  X   Z Z Z n−1 X φ φ φ k k v.p. = − (iπ) v.p. resPj ...j + 1 k p L p(x) L− p(x) P j ...j 1 k k=1 νk (L)   X Z φ + reskPj ...j . (7.17) 1 k p Pj1 ...j µk (L)

k

Доказательство. Порядок особенности подынтегральной формы в точке x = 0 равен (n − 1). Поэтому вычет порядка n в точке x = 0 равен нулю. Применим формулу (7.14). В результате получим (7.17). Если k 6= n − 1, то будем последовательно применять (7.17), понижая размерность интеграла в смысле главного значения. Получим сумму интегралов от голоморфных форм. Причем, если k = n − 1, то интеграл не имеет особенности (в точке x = 0 форма φ обращается в нуль) и, следовательно, ограничен. Следовательно, ограничен и интеграл в правой части (7.17). Утверждение доказано. 7.2.2. Асимптотика интеграла при z = const. В этом пункте исследуется интеграл (7.5) в так называемом случае общего положения. Наша цель — представить (7.5) в виде суммы интегралов по поверхности, обходящей особенности подынтегральной функции, и интегралов (возможно, в смысле главного значения) меньшей размерности. Далее будем последовательно понижать размерность интегралов в смысле главного значения до тех пор, пока не получится сумма интегралов без особенностей подынтегральной функции или одномерный интеграл Коши. Затем применим результаты [4, 87]. Следуя [4], допустимой будем называть такую область некоторого многообразия L, для которой выполнено условие <(iS)|x∈L ≤ 0.

8. АСИМПТОТИКИ

141

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Лемма 7.3. Пусть выполнены условия леммы 7.1 и условия (7.7), (7.8). Тогда: Z v.p. L

 X Z × v.p. Pj1 ...jk

νk (L)

+

X Z µk (L) Pj1 ...jk ∩L

−

X

n−1 exp(itS)ω X − (iπ)k × p(x) L− k=1  Y k ω k sgn[∂pjl S]+ exp(itS) resPj ...j 1 k p ∩L

exp(itS)ω = p(x)

Z

l=1

exp(itS) reskPj

(iπ)n resnPj

1 ...jn

1 ...jk

  Y k ω sgn[∂pjl S] − p l=1

   n Y ω exp(itS) sgn[∂pjl S] |Pj1 ...jn . p

(7.18)

l=1

µn (L)

Здесь L− — контур, обходящий нули p(x) по допустимой области границы Лере вещественного многообразия P ; Pjl ∈ µk (L) ∪ νk (L). Доказательство. Согласно лемме 7.1, при выполнении условий теоремы 7.3 интеграл (7.18) существует. Рассмотрим интеграл Z Z exp(itS)ω exp(itS)ω Iε = − , (7.19) p(x) p(x) lε− L− где L− — контур, обходящий нули p(x) по допустимой области границы Лере вещественного многообразия P , lε− — допустимая область границы Лере вещественного многообразия P . Пусть ε → 0 в интеграле Iε . Тогда, в соответствии с леммой о сложных вычетах [2, c. 155] получим интегралы правой части (7.18). Лемма доказана. Доказательство теоремы 7.3. Применим лемму 7.3 к интегралу (7.5). В результате получим формулу (7.18). В первом слагаемом, интеграле по L− , поверхность интегрирования обходит особенности по допустимым областям. Обозначим этот интеграл через R(t). Асимптотика подобных интегралов построена в [4, c. 251]: R=

M X

∞ n−1 X X

t−γm exp(itS(x(m) , z))

m=1

amαk t−αm (ln t)k ,

(7.20)

αm =0 k=0

где x(m) — стационарная точка, γm — некоторые положительные числа, αm — ограниченная снизу последовательность положительных чисел. Если фазы подынтегральных экспонент не имеют стационарных точек, то R = O(t−M ) ∀m ∈ N

при t → ∞.

(7.21) (Rn )

Подынтегральные формы в интегралах по многообразиям из множества µk не содержат особенностей. Структура асимптотики этих интегралов аналогична (7.18), если имеются стационарные точки фазы подынтегральной экспоненты, и (7.21), если стационарных точек нет. Рассмотрим интеграл по Pj1 ...jk ∈ νk (Rn ) ∀k = 1, . . . , n − 1: IPν j ...j 1 k

Z = v.p.

exp(itS) Pj8 ...jk

k Y l=1

sgn[∂pjl S] reskPj ...j 1 k

  ω . p

По условию теоремы 7.3, (∂pl S j1 ...jk = 0) ∩ Pj1 ...jk l — (n − k − 1)-мерно пренебрежимо ∀l 6= j1 , . . . , jn . Поэтому интеграл можно разбить на сумму интегралов по областям знакоопределенности функции ∂pl S j1 ...jk , где Pj1 ...jk l 6= ∅. В силу леммы 7.1, каждый из этих интегралов существует. К каждому из получившихся интегралов в смысле главного значения еще раз применим формулу (7.18). В результате размерность интегралов в смысле главного значения понизится еще на единицу. Последовательно применяя формулу (7.18) для интегралов в смысле главного значения, получим

142

8. АСИМПТОТИКИ

последовательность n−1 X I 7→ (iπ)k IPν j

МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 Y n ω + (iπ) sgn[∂pjl S]+ 1 ...jk l p µn k=1 l=2   X ω + O(t−γ ). +O(t−γ ) 7→ . . . 7→ Ng exp(itS)|x∈µn resnµn p n n

X

cj exp(itS)|x∈µn resnµn

(7.22)

µn (R )

Здесь все точки из µn Ng =

(Rn ) n Y

занумерованы индексом g; целое число Ng вычисляется по формуле

sgn[∂pjl S] +

l=1

n−1 X

k X Y

k=1 νk

(Rn )

sgn[∂pjl S]

l=1

n Y

sgn[∂pjm S j1 ...jk ].

(7.23)

m=k+1

O(t−γ )

В (7.22) через обозначена асимптотика интегралов от голоморфных форм. Сами интегралы для краткости не приводятся. Для завершения доказательства остается подсчитать вычет Лере степени n. В соответствии с замечанием об ориентации границы имеем:   ∂(x1 , . . . , xn ) Ω(x) ω n =± , resPj ...jn 1 p ∂(pj1 , . . . , pjn ) pjn+1 . . . pjN x=xg где x(g) ∈ Pj1 ...jn , знак плюс ставится, если преобразование (x1 , . . . , xn ) 7→ (pj1 , . . . , pjn ) сохраняет ориентацию, и минус — в противном случае. Из последовательности (7.22) следует утверждение теоремы 7.3. Отдельно сформулируем результат для случая, когда все граничные стационарные точки на всех рассматриваемых здесь многообразиях Pj1 ,...,jk , где k = 1, . . . , n − 1, x ∈ R невырождены. Тогда для построения асимптотик интегралов от голоморфных форм можно воспользоваться результатами [87]. Теорема 7.5. Пусть все стационарные точки функции S(x, z) по x и граничные стационарные точки S(x, z) на всех многообразиях Pj1 ...bk , где k = 1, . . . , n−1, невырождены, и выполнены условия теоремы 7.3. 1) Если ∩nk=1 Pjk = {x(g) }G g=1 , x ∈ R, то I=

G X

ag exp(itS(x(g) , z)) + O(t−1/2 ).

g=1 (g)

5) Если n > M = max(m), где ∩m k=1 Pjk 6= ∅, {xc } — набор граничных стационарных точек функции S(x, z) по x на всех многообразиях Pj1 ...jR , jk = 1, . . . , N , k = 1, . . . , M , то I=t

−(n−M )/2

G X

−(n−M ) bg exp(itS(x(g) ). c , z)) + O(t

g=1

7.2.3.

Равномерная зависимость от параметра.

Доказательство теоремы 7.4. Используем стандартный прием [87]: продифференцируем интеграл I(t, z) по z: Z Z Ω(x)2it(xn − z) exp(itS(x, c)) Ω(x)xn exp(itS(x, z)) ∂z I = −v.p. dn x = 2itzI − 2itv.p. dn x . p(x) p(x) n n R R В результате получается дифференциальное уравнение ∂z I − 2itzI = −2itJ, где Z Ω(x)xn exp(itS(x, z)) J(z, t) = v.p. dn x . p(x) n R √ Заменим переменную z на y = z t. В результате для I(x, z) получим уравнение √ ∂y I − 2iyI = −2i tJ(y, t).

(7.24)

СПИСОК

143

ЛИТЕРАТУРЫ

Функция J(y, t) в правой части (7.24) имеет вид

J(y, t) = exp(iy 2 )v.p.

 n−1 √  P Ω(x)xn exp it (xk − 1)2 + i(tx2n + 2xn y t)

Z

k=1

dn r

.

p(x)

Rn

Исследуем асимптотику правой части (7.24). Здесь могут быть два случая. Во-первых, pj (x) ≡ xn для некоторого j, тогда для построения асимптотики J можно применить теорему 7.5 и J(y, t) = t−1/2 exp(it(n − 1))b + O(t−1 ). Во-вторых, pj (x) 6≡ xn ∀j = 5, . . . , n. Этот случай более общий. Здесь нельзя непосредственно воспользоваться теоремой 7.5, так как при y = 0 не выполняется условие (7.5). С другой стороны, в точке x = 0 амплитуда xn Ω = 0. Воспользуемся этим для построения асимптотики интеграла J(y, t) равномерно по y. Пусть выполнены условия теоремы 7.3, тогда справедлива формула Z Z exp(itψ(x; y, t))φ exp(iψ(x; y, t))φ 2 J(y, t) = exp(iy ) = − p(x) p(x) L− L−  X  Y Z n−1 k X φ k k − (iπ) v.p. exp(itψ(x; y, t)) resPj ...j sgn[∂pjl ψ(x; y, t)]+ 1 k p Pj1 ...j ∩L k=1

νk (L)

+

l=1

k

X Z µk (L) Pj1 ...jk ∩L

exp(igψ(x; y, t)) reskPj

1 ...jk

 Y  k φ sgn[∂pjl ψ(x; y, t)] . p

(7.25)

l=1

Здесь L = Rn , фаза экспоненты ψ(x; y, t) = t

n−1 P

√ (xk − 1)2 + i(tx2n + 2xn y t)), дифференциальная

k=1

форма φ = xn ω, где Ω быстро убывает при |x| → ∞ в окрестности x ∈ Rn . Формула (7.25) о понижении порядка интеграла в смысле главного значения доказывается так же, как и формула (7.18). Она верна не только для L = Rn , но и для всех многообразий с псевдокраем, удовлетворяющих условиям леммы 7.2. Последовательно ее применяя, получим, согласно лемме 7.2, сумму римановых интегралов. По условию теоремы 7.4, стационарные точки фаз подынтегральных экспонент невырождены, поэтому из результатов [87] следует равенство J(y, t) = t−1/2 exp(it(n − 1))b1 + O(t−1 ). Подставим эту формулу в уравнение (7.24): ∂y I − 2iyI = −2i exp(it(n − 1))b1 + O(t−1/2 ). Асимптотика по t решения этого уравнения имеет вид (7.11), где B = −b1 . Теорема 7.4 доказана. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Абловиц М., Сегур Х. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. — М.: Мир, 1989. 2. Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. — Новосибирск: Наука, 1979. — 368 с. 3. Андерс И. А., Котляров В. П., Хруслов Е. Я. Криволинейные асимптотические солитоны уравнения Кадомцева—Петвиашвили // Теор. мат. физ. — 1994. — 99, № 1. — C. 27–35. 4. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромия и асимптотики интегралов. — М.: Наука, 1984. 5. Ахманов С. А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики. — М.: ВИНИТИ, 1964. 6. Бикбаев Р. Ф., Тарасов В. О. Неоднородная краевая задача на полуоси и на отрезке для уравнения sine-Gordon // Алгебра и анализ. — 1991. — 3, № 4. — C. 78–99. 7. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. — 501 c. 8. Бурцев С. П. Затухание колебаний солитона в средах с отрицательным законом дисперсии // ЖЭТФ. — 1985. — 88. — C. 461–469. 9. Буслаев В. С. Использование детерминантного представления решений уравнения Кортевега—де Фриза для исследования их асимптотического поведения при больших временах // Успехи мат. наук. — 1981. — 36, № 4. — C. 217–218.

144

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

10. Вакуленко С. А. Структурообразование и волны в нелинейных дисспативных неоднородных средах. Дисс. докт. физ.-мат. наук. — С.-Пб., 1992. 11. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988. 12. Гадыльшин Р. Р., Киселев О. М. О бессолитонной структуре возмущенного солитонного решения уравнения Деви—Стюартсона // Теор. мат. физ. — 1996. — 106, № 2. — C. 167–173. 13. Гадыльшин Р. Р., Киселев О. М. Структурная неустойчивость солитона уравнения Деви—Стюартсона II // Теор. мат. физ. — 1999. — 118, № 3. — C. 354–361. 14. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. 15. Герджиков В., Христов Е. Об эволюционных уравнениях, решаемых методом обратной задачи рассеяния. I. Спектральная теория // Болг. физ. ж. — 1980. — 7, № 1. — C. 28–41. 16. Герджиков В. С., Христов Е. Х. О разложении по произведениям решений двух систем Дирака // Мат. заметки. — 1980. — 28. — C. 501–512. 17. Гриневич П. Г. Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шр¨едингера при одной энергии и связанные с ним интегрируемые уравнения математической физики. Дисс. докт. физ.-мат. наук. — Черноголовка, 1999. 18. Гриневич П. Г., Манаков С. В. Обратная задача теории рассеяния для двумерного оператора ¯ Шр¨едингера, ∂-метод и нелинейные уравнения // Функц. анал. и его прил. — 1986. — 20, № 2. — C. 14–24. 19. Гриневич П. Г., Новиков Р. Г. Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шр¨едингера // Функц. анал. и его прил. — 1985. — 19, № 4. — C. 32–42. 20. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях // Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ. — 1980. — 15. — C. 3– 94. 21. Доброхотов С. Ю. Резонансная поправка к адиабатически возмущенному конечнозонному почти периодическому решению уравнения Кортевега—де Фриза // Мат. заметки. — 1988. — 44, № 4. — C. 551– 555. 22. Доброхотов С. Ю. Резонансы в асимптотике решения задачи Коши для уравнения Шр¨едингера с быстро осциллирующим конечнозонным потенциалом // Мат. заметки. — 1988. — 44, № 3. — C. 319– 340. 23. Доброхотов С. Ю., Кричевер И. М. Многофазные решения уравнения Бенджамина — Оно и их усреднения // Мат. заметки. — 1991. — 49, № 6. — C. 42–59. 24. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. 25. Дрюма В. С. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега—де Фриза // Письма в ЖЭТФ. — 1974. — 19. — C. 753–757. 26. Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега—де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // Успехи мат. наук. — 1976. — 31, № 1. — C. 55–136. 27. Дубровский В. Г. Применение метода обратной задачи к построению точных решений (2 + 1)-мерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. Дисс. докт. физ.-мат. наук. — Новосибирск, 1999. 28. Захаров В. Е. Неустойчивость и нелинейные колебания солитонов // Письма в ЖЭТФ. — 1985. — 22. — C. 364. 29. Захаров В. Е., Манаков С. В. Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, интегрируемых методом обратной задачи // ЖЭТФ. — 1976. — 71. — C. 203–215. 30. Захаров В. Е., Манаков С. В. Многомерные нелинейные интегрируемые системы и методы построения их решений // Записки науч. семин. ЛОМИ. — 1984. — 133. — C. 77–91. 31. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солтонов: метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. 32. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // ЖЭТФ. — 1971. — 61. — C. 118–134. 33. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом задачи рассеяния. I // Функц. анал. и его прил. — 1974. — 6, № 3. — C. 43–53. 34. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М.: Наука, 1989. 35. Итс А. Р. Асимптотика решений нелинейного уравнения Шр¨едингера и изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. — 1981. — 261, № 1. — C. 14–18.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

145

36. Итс А. Р., Петров В. Э. Изомонодромные решения уравнения sine-Gordon и временная асимптотика его быстро убывающих решений // ДАН СССР. — 1982. — 265, № 3. — C. 1302–1304. 37. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. Об устойчивости уединенных волн в слабодиспергирующих средах // ДАН СССР. — 1970. — 192, № 4. — C. 753–756. 38. Калякин Л. А. Длинноволновые асимптотики решений многомерного уравнения Буссинеска. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений. — Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1988. — C. 28–44. 39. Калякин Л. А. Длинноволновые асимптотики. Интегрируемые уравнения как асимптотический предел нелинейных систем // Успехи мат. наук. — 1989. — 44, № 1. — C. 5–34. 40. Калякин Л. А. Возмущение солитона КдФ // Теор. мат. физ. — 1992. — l92. — C. 62–77. 41. Калякин Л. А. К задаче о первой поправке в теории возмущений солитонов // Мат. сб. — 1995. — 186, № 7. — C. 51–76. 42. Карпман В. И., Маслов Е. М. Структура хвостов, образующихся при воздействии возмущений на солитоны // ЖЭТФ. — 1977. — 73. — C. 537. 43. Киселев О. М. Асимптотика кинка возмущенного уравнения sine-Gordon // Теор. мат. физ. — 1992. — 93, № 1. — C. 39–48. 44. Киселев О. М. Решение задачи Гурса для системы Максвелла — Блоха // Теор. мат. физ. — 1994. — 98, № 1. — C. 29–37. 45. Киселев О. М. Формальное решение задачи Гурса для уравнения синус-Гордон. В кн. «Интегрируемость в динамических системах». — Уфа, 1994. — C. 17–26. 46. Киселев О. М. Асимптотика многомерного интеграла Коши с быстро осциллирующей экспонентой // Мат. заметки. — 1995. — 58, № 2. — C. 231–242. 47. Киселев О. М. Метод Фурье для линеаризованного уравнения Деви—Стюартсона I. В кн. «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. III. Дифференциальные уравнения». — Уфа, 1996. — C. 93–97. 48. Киселев О. М. Асимптотика бессолитонного решения уравнения Деви—Стюартсона II // Дифференциальные уравнения. — 1997. — 33, № 6. — C. 812–819. 49. Киселев О. М. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Деви—Стюартсона I // Теор. мат. физ. — 1998. — 114, № 1. — C. 104–114. 50. Киселев О. М. Базисные функции, связанные с двумерной системой Дирака // Функц. анал. и его прил. — 1998. — 32, № 1. — C. 56–59. 51. Киселев О. М. Асимптотика решения двумерной системы Дирака с быстро осциллирующими коэффициентами // Мат. сб. — 1999. — 190, № 2. — C. 71–92. 52. Киселев О. М. Возмущение уединенной волны нелинейного уравнения Клейна — Гордона // Сиб. мат. ж. — 2000. — 41, № 2. — C. 345–358. 53. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. 54. Кричевер И. М. Интегрирование нелинейных уравнений методом алгебраической геометрии // Функц. анал. и его прил. — 1977. — 11, № 1. — C. 15–31. 55. Кричевер И. М. Аналог формулы Даламбера для уравнений главного кирального поля и уравнения sine-Gordon // ДАН СССР. — 1980. — 253, № 2. — C. 288–292 56. Кричевер И. М. «Гессианы» интегралов уравнения КдФ и возмущения конечнозонных решений // ДАН СССР. — 1983. — 270, № 6. — C. 1213–1217. 57. Кричевер И. М. Эволюция уитемовской зоны в теории Кортевега—де Фриза // ДАН СССР. — 1987. — 295, № 2. — C. 345–348. 58. Кричевер И. М. Метод усреднения для двумерных «интегрируемых» уравнений // Функц. анал. и его прил. — 1988. — 22, № 3. — C. 37–52. 59. Кричевер И. М. Спектральная теория двумерных периодических операторов // Успехи мат. наук. — 1989. — 44, № 2. — C. 121–184. 60. Кулиш П. П., Липовский В. Д. О гамильтоновой интерпретации метода обратной задачи для уравнений Дэви — Стюартсона // Зап. Научн. Семин. ЛОМИ. — 1987. — 54. 61. Лезнов А. Н., Савельев М. В., Смирнов В. Г. Теория представлений групп и интегрирование нелинейных динамических систем // Теор. мат. физ. — 1981. — 48, № 1. — C. 3–12. 62. Лере Ж. Дифференциальное и интегральное исчисления на комплексном аналитическом многообразии. — М.: ИЛ, 1961. 63. Липовский В. Д. Гамильтонова структура уравнения КП-II в классе убывающих данных Коши // Функц. анал. и его прил. — 1986. — 20, № 4. — C. 35–45. 64. Манаков С. В. Нелинейная дифракция Фраунгофера // ЖЭТФ. — 1973. — 65, № 10. — C. 1392–1398

146

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

65. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М.: Наука, 1977. — 384 с. 66. Маслов В. П., Омельянов Г. А. Об условиях Гюгонио для бесконечно узких решений уравнений простых волн // Сиб. мат. ж. — 1983. — 24, № 5. — C. 172–182. 67. Маслов Е. М. К теории возмущений солитонов во втором приближении // Теор. мат. физ. — 1980. — 42, № 3. — C. 362–373. 68. Маслов В. П., Омельянов Г. А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией // Успехи мат. наук. — 36, № 3. — C. 63–126. 69. Нижник Л. П. Обратные задачи для гиперболических уравнений. — Киев: Наукова думка, 1991. — 232 с. 70. Новиков С. П. Периодическая задача Кортевега—де Фриза // Функц. анализ и его прил. — 8, № 3. — C. 54–66. ¯ 71. Новиков Р. Г., Хенкин Г. М. ∂-уравнение в многомерной задаче рассеяния // Успехи мат. наук. — 1987. — 42, № 3(255). — C. 93–152. 72. Новокшенов В. Ю. Асимптотика при t → ∞ решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шр¨едингера // ДАН СССР. — 1980. — 251, № 4. — C. 799–801 73. Новокшенов В. Ю. Асимптотика при t → ∞ решения задачи Коши для двумерного обобщения цепочки Тоды // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1984. — 48, № 2. — C. 372–410. 74. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. 75. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. — М.: Наука, 1990. 76. Остапенко Д. Ю., Паль-Валь А. П., Хруслов Е. Я. Равномерные асимптотические формулы для криволинейных солитонов уравнений Кадомцева—Петвиашвили // Теор. мат. физ. — 1996. — 108, № 2. — C. 205–211. 77. Пелиновский Д. Е., частное сообщение. 78. Пелиновский Д. Е., Степанянц Ю. А. Самофокусированная неустойчивость плоских солитонов в средах с положительной дисперсией // ЖЭТФ. — 1993. — 104. — C. 3387–3400. 79. Петвиашвили В. И., Похотелов О. А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 200 с. 80. Салль М. Уравнения Деви—Стюартсона // Зап. науч. семин. ЛОМИ. — 1990. — 180. — C. 161–169. 81. Сахнович А. Л. Задача Гурса для уравнения синус-Гордон // Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. — 1989. — № 12. — C. 14–17. 82. Склянин Е. К. Граничные условия для интегрируемых уравнений // Функц. анал. и его прил. — 1987. — 21, № 1. — C. 86–87. 83. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Существенно нелинейная модель классической теории поля // Теор. мат. физ. — 21, № 2. — C. 160–174. 84. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Наука, 1986. 85. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Часть I. — М.: ИЛ, 1960. 86. Фаминский А. В. Задача Коши для обобщенного уравнения КП // Сиб. мат. ж. — 1992. — 33. — C. 160–172. 87. Федорюк М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987. 88. Филиппов А. Т. Многоликий солитон. — М.: Наука, 1986. 89. Хабибуллин И. Т. Преобразование Бэклунда и интегрируемые начально-краевые задачи // Мат. заметки. — 1991. — 49, № 4. — C. 130–137. 90. Хабибуллин И. Т. Интегрируемая начально-краевая задача на полуплоскости для уравнений Ишимори и Деви—Стюартсона. — Уфа: ИМ сВЦ, 1991. — C. 50–59. 91. Хабибуллин И. Т. Начально-краевая задача для уравнения Ишимори, совместимая с методом обратной задачи рассеяния // Теор. мат. физ. — 1992. — 91. — № 3. — C. 363–376. 92. Хуа Р., Теплиц В. Гомология и фейнмановские интегралы. — М.: Мир, 1969. — 223 с. 93. Шабат А. Б. Об уравнении Кортевега—де Фриза // ДАН СССР. — 211, № 6. — 1973. — C. 1310–1313. 94. Шабат А. Б. Нелинейные эволюционные уравнения и задача Римана // Труды Всесоюзной конференции по уравнениям c частными производными. — М.: МГУ, 1978. — C. 242–245. 95. Шакирьянов М. М. Интегрируемость в динамических системах. — Уфа: ИМ сВЦ РАН, 1994. — C. 49– 61. 96. Шварц Л. Анализ. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1972. 97. Ablowitz M. J., Bar Yaacov D., Fokas A. S. On the inverse scattering transform for the Kadomtsev — Petviashvili equation // Stud. appl. math. — 1983. — 69. — C. 135–143. 98. Ablowitz M. J., Haberman R. Resonantly coupled nonlinear evolution equations // J. math. phys. — 1975. — 16. — C. 2301–2305.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

147

99. Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. Method for solving sine-Gordon equation // Phys. rev. lett. — 1973. — 30. — C. 1262–1264. 100. Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. Nonlinear evolution equations of physical significance // Phys. rev. lett. — 1973. — 31. — C. 125–127. 101. Ablowitz M. J., Newell A. C. The decay of the continuous spectrum for the solutions of the Korteweg — de Vries equation // J. math. phys. — 1973. — C. 1277–1284. 102. Arkadiev V. A., Pogrebkov A. K., Polivanov M. C. Inverse scattering transform method and soliton solutions for Davey — Stewartson II equation // Physica D. — 1989. — 36. — C. 189–197. 103. Anker D., Freeman N. C. On the soliton solutions for the Davey — Stewartson equation for long waves // Proc. roy. soc. London A. — 1978. — 360. — C. 529–540. 104. Boiti M., Leon J. J., Martina L., Pempinelli F. Scattering of localized solitons in the plane // Phys. lett. — 1988. — A32. — C. 432–439. 105. Boiti M., Pempinelli F., Pogrebkov A. Properties of solutions of the Kadomtsev — Petviashvili I equation // J. math. phys. — 1994. — 35, № 9. — C. 4683–4718. 106. Boiti M., Pempinelli F., Pogrebkov A., Prinary B. Towards an inverse scattering theory for twodimensional nondecaying potentials // Teor. math. phys. — 1998. — 116, № 1. — C. 3–53. 107. Bourdag L. A., Its A. R., Manakov S. V., Matveev V. B., Zakharov V. E. // Phys. lett. A. — 1979. — № 3. — C. 205. 108. Boussinesq J. Theorie des ondeset des remous qui se propagent // J. math. pures appl. — 1872. — 17, № 2. — C. 55–108. 109. Davey A., Stewartson K. On the three-dimensional packets of surfase waves // Proc. roy. soc. London. Ser. A. — 1974. — 338. — C. 101–110. 110. Deift P., Zhou X. A priori Lp -estimates for solutions of Riemann — Hilbert problems // Int. math. res. not. — 2002. — № 40. — C. 2121–2154. 111. Deift P., Zhou X. Long-time asympotoics for integrable systems. Higher order theory // Comm. math. phys. — 1994. — 165. — C. 175–191. 112. Deift P., Zhou X. Long-time asymptotics for solutions of the NLS equation with initial data in a weighted Sobolev space. // Comm. pure appl. math. — 2003. — 56, № 8. — C. 1029–1077. 113. Djordjevic V. D., Redekopp L. G. On two-dimensional packets of capillary-gravity waves // J. fluid mech. — 1977. — 79. — C. 703–714. ¯ 114. Dubrovsky V. G. The application of the ∂-dressing method to some integrable (2+1)-dimensional nonlinear equations // J. phys. A. Math. and gen. — 29. — C. 3617–3630. 115. Dubrovsky V. G., Konopelchenko B. G. Coherent structures for the Ishimory equation. I. Localised solitons with stationary boundaries // Phys. D. — 1991. — 48. — C. 367–395; II. Time-dependent boundaries // Phys. D. — 1992. — 55. — C. 1–13. ¯ 116. Dubrovsky V. G., Konopelchenko B. G. ∂-dressing and exact solutions for the (2 + 1)-dimensional Harry Dym equation // J. Phys. A: Math. and gen. — 1994. — 27. — C. 4619–4628. 117. Flaschka H., Forest M. G., McLaughlin D. W. Multiphase averaging and the inverse spectral solution of the KdV equation // Comm. pure apll. math. — 1980. — 33. — C. 739–784. 118. Flesch R. J., Trullinger S. E. Green’s functions for nonlinear Klein — Gordon kink perturbation theory //J. math. phys. — 1987. — 28, № 7. — C. 1619–1631. 119. Fokas A. S., Ablowitz M. J. On the inverse scattering transform of multidimensional nonlinear equations related to first-order systems in the plane // J. math. phys. — 1984. — 25. — C. 2494. 120. Fokas A. S., Its A. R. Soliton generation for initial-boundary value problems // Phys. rev. lett. — 1992. — 68. — C. 3117–3120. 121. Fokas A. S., Its A. R. An initial-boundary problem for the sine-Gordon equation in laboratory coordinates // Teor. mat. fiz. — 1992. — 92, № 3. — C. 386–403. 122. Fokas A. S., Santini P. M. Dromions and a boundary value prooblem for the Davey — Stewartson I equation // Phys. D. — 1990. 123. Fokas A. S., Sung L. J. On the solvalability on the N -wave, Davey — Stewartson and Kadomtsev — Petviashvili equations // Inv. probl. — 1992. — 8. — C. 673–708. 124. Gadyl’shin R. R., Kiselev O. M. Asymptotics of perturbed soliton solution for the Davey — Stewartson II equation. http://xxx.lanl.gov/solv-int/9801014. 125. Gardner C. G., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura K. M. Method for solving the Korteveg — de Vries equation // Phys. rev. lett. — 19. — C. 1095–1097. 126. Ghidaglia J.-M., Saut J.-K. On the initial value problem for the Davey — Stewartson systems // Nonlinearity. — 1990. — 3. — C. 475–506.

148

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

127. Grinevich P. G. Nonsingularity of the direct scattering transform for the KP II equation with real exponentially decaying at infinity potential // Lett. math. phys. — 1997. — 40. — C. 59–73. 128. Hayashi N., Naumkin P. I., Saut J.-C. Asymptotics for large time of global solutions to the generalized Kadomtsev — Petviashvili equation // Comm. math. phys. — 1999. — 201, № 3. — C. 577–590. 129. Hayashi N., Hirata H. Global existence and asymptotic behavior in time of small solutions to the elliptichyperbolic Davey — Stevartson system // Nonlinearity. — 1996. — 9. — C. 1387–1409. 130. Hietarinta J., Hirota R. Multidromion solutions to the Davey — Stewartson equation // Phys. lett. A. — 1990. — 145. — C. 237. 131. Ishimori Y. // Progr. in theor. phys. — 1984. — 72. — C. 33. 132. Karpman V. I., Maslov E. I. The structure of tails, appearing under soliton perturbations // JETPh. — 1977. — 73. — C. 537–559. 133. Kato T. Perturbation theory for linear operators. — Springer-Verlag, 1996. 134. Kaup D. J. A perturbation expansion for the Zakharov — Shabat inverse scattering transform // SIAM J. appl. math. — 1976. — 31. — C. 121–133. 135. Kaup D. J. Closure of the squared Zakharov — Shabat eigenstates // J. math. anal. and appl. — 1976. — 54. — C. 849–864. 136. Kaup D. J., Newell A. C. The Goursat and Cauchy problems for sine-Gordon equation // SIAM J. appl. math. — 1978. — 34. — C. 37–54. 137. Kaup D. J. The inverse scattering solution for the full three-wave resonant interaction // Phys. D. — 1980. — № 1. — C. 45. 138. Keener J. R., McLaughlin D. J. A Green’s function for a linear equation associated with solitons // J. math. phys. — 1977. — 18. — C. 2008. 139. Kiselev O. M. The interaction of a kink with a breather of small amplitude in the φ4 -model // Russ. J. math. phys. — 1997. — 5, № 1. — C. 29–46. 140. Kiselev O. M. Perturbation theory for the Dirac equation in two-dimensional space // J. math. phys. — 1998. — 39. — C. 2333–2345. 141. Kiselev O. M. Dromion perturbation for the Davey — Stewartson-1 equations // J. nonlinear math. phys. — 2000. — 7, № 4. — C. 411–422. 142. Kiselev O. M. Asymptotics of a solution of the Kadomtsev — Petviashvili-2 equation // Proc. Steklov Math. Inst. Suppl. — 2001. — № 1. — C. S107–S139. 143. Kivshar Y. S., Malomed B. A. Solitons in nearly integrable systems // Rev. mod. phys. — 1989. — 61, № 4. — C. 763–915. 144. Konopelchenko B. G., Matkarimov B. T. Inverse spectral transform for nonlinear evolution equation generating the Davey — Stewartson and Ishimory equations // Stud. appl. math. — 1990. — 82. — C. 319– 359. 145. Malomed B. A., Maslov E. M. // Phys. rev. lett. A. — 1991. — 160. — C. 233–236. 146. Manakov S. V. The inverse scattering transform for the time-dependent Schr¨odinger equation and Kadomtsev — Petviashvili equation // Phys. D. — 1981. — 3, № 1–2. — C. 420–427. 147. Manakov S. V., Santini P. M., Takchtadzhyan L. A. An asymptotic behavior of the solutions of the Kadomtsev — Petviashvili equations // Phys. lett. A. — 1980. — 75. — C. 451–454. 148. Manakov S. V., Zakharov V. E., Bordag L. A., Its A. R., Matveev V. B. Two-dimensional solitons of the Kadomtsev — Petviashvili equation and their interaction // Phys. lett. 1977. — 63A, № 3. — C. 205–206. 149. Maslov V. P., Omel’anov G. A. Quasi-linear nonstationary equations and evolution of interior boundary layers: asymptotical soliton-like solutions. — Dublin: BAIL-IV, Boole Press, 1986. — C. 362–367. 150. McLaughlin D. W., Scott A. C. Perturbation analysis of flucson dynamics // Phys. rev. lett. — 1978. — 18, № 4. — C. 1652–1697. 151. Miles J. W. The asymptotic solution of the Korteveg — de Vries equation in the absence of solitons // Stud. appl. math. — 1979. — 60. — C. 59–72. 152. Miura R. M. Korteveg — de Vries equation and generalizations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation // J. math. phys. — 1968. — 9. — C. 1202–1204. 153. Newell A. C. The inverse scattering transform // Topics in current phys. — 1980. — 17. — New York: Springer-Verlag. — C. 177–242. 154. Papanicolaou G. S., Sulem C., Sulem P. L., Wang X. P. The focusing singularity of the Davey — Stewartson equations for gravity-capillary surface waves // Phys. D. — 1994. — 72. — C. 61–86. 155. Sachs R. L. Completeness of derivative of squared Schr¨odinger eigenfunction and explicit solutions of the linearized KdV equations // SIAM J. math. anal. — 1983. — 14, № 4. — C. 674–683. 156. Satsuma J., Ablowitz M. J. Two-dimensional lumps in nonlinear dispersive systems // J. math. phys. — 1979. — 20. — C. 1496.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

149

157. Villaroell J., Ablowiz M. J. On the Hamiltonian formalism for the Davey — Stewartson system // Inv. probl. — 1991. — 7. — C. 451. 158. Wickenhauser M. V. Inverse scattering for the heat operator and evolution in 2 + 1 variables // Comm. math. phys. — 1987. — 108. — C. 67–87. 159. Zabuski N. J., Kruskal M. D. Interaction of «solitons» in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. rev. lett. — 1965. — 15. — C. 240–243.

Олег Михайлович Киселев Институт математики с ВЦ УНЦ РАН E-mail: [email protected]