Функциональный анализ в задачах управления: Рабочая программа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ТЕОРИИ И МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Функциональный анализ в задачах управления Рабочая программа

Магистр техники и технологии 280200.68 – Системный анализ и управление

Магистерские программы – Теория и математические методы системного анализа и управления в технических системах – Системный анализ данных и моделей принятия решений

Санкт-Петербург 2006

2

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 517 (070) Афанасьева О.В. Функциональный анализ в задачах управления: Раб. прогр. - СПб.: СЗТУ, 2006.- 17с. Рабочая программа составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки магистра техники и технологии 280200.68 – Системный анализ и управление. В дисциплине рассматриваются основы функционального анализа (линейные пространства, евклидовы пространства, метрические пространства, линейные операторы), показаны приложения этого аппарата при изучении операторных уравнений, в теории квадратичных форм, для нахождения приближенных решений уравнений. Рассмотрено на заседании кафедры теории и методов прогнозирования 07.12.2005г. Одобрено методической комиссией факультета системного анализа и естественных наук СЗТУ 08.12.2005г. Рецензенты: А.А. Потапенко, д-р. физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой математики СЗТУ; П.В. Полищук, д-р. техн. наук, проф., ст. научн. сотр. НПО «Аврора». Составитель: О.В. Афанасьева, канд. техн. наук, доц.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2006

3

ПРЕДИСЛОВИЕ Цели и задачи дисциплины

Цель изучения дисциплины – изучение методов функционального анализа и их применение при решении задач управления.

Задачи изучения дисциплины: - изучение методов функционального анализа ; - знакомство с применением методов функционального анализа при решений задач управления сложными системами; -

овладение

в

комплексе

научно-методическим

аппаратом

функционального анализа при решении задач управления.

Место дисциплины в учебном процессе. Дисциплина базируется на знаниях,

полученных

«Математические

при

методы

изучении

системного

дисциплин:

анализа

и

«Математика»,

принятие

решений»,

«Системный анализ и принятие решений» по направлению подготовки бакалавра техники и технологии. Знания, умения и навыки, полученные при изучении настоящего предмета, используются в дисциплинах: «Теория и практика моделирования сложных

систем»,

«Теория

и

функционирования сложных систем».

методы

учёта

неопределённости

4

Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате изучения дисциплины студент должен: Иметь представление: - о разработке и адаптации методов функционального анализа для анализа сложных систем; - об основах функционального анализа и приложениях этого аппарата при изучении линейных операторов, в теории квадратичных форм, при нахождении приближенных решений уравнений. - о реализации управления, с применением методов функционального анализа, в сфере исследования и разработки сложных систем и прогнозирования их поведения в функции времени. Знать: - основные тенденции и научные направления применения в задачах управления методов функционального анализа; - основные принципы и методы функционального анализа для исследования сложных систем; - основные теоретические положения и результаты функционального анализа в теории

линейных

пространств,

эвклидовых

пространств,

метрических

пространств и линейных операторов. Уметь (владеть): -

методами

организации

и

проведения

системных

исследований

с

использованием функционального анализа; - применять методы функционального анализа при решении операторных уравнений, в теории квадратичных форм и при нахождении приближенных решений уравнений.

5

Владеть: научно-методическим

аппаратом

функционального

анализа

при

исследовании сложных систем.

1. Объем дисциплины и виды учебной работы 1.1. Объем дисциплины и виды учебной работы для студентов очной формы обучения

Вид учебной работы

Всего

Семестры,

часов

час. 1

2

Общая трудоемкость дисциплины

70

70

-

Аудиторные занятия

24

24

-

в т.ч.: лекции

16

16

-

8

8

-

Самостоятельная работа

46

46

-

Вид итогового контроля

зачёт

зачёт

-

практические занятия

6

1.2. Объем дисциплины и виды учебной работы для студентов заочной формы обучения

Вид учебной работы

Всего

Семестры,

часов

час. 1

2

Общая трудоемкость дисциплины

70

Аудиторные занятия

12

-

12

в т.ч.: лекции

8

-

8

4

-

4

Самостоятельная работа

58

-

58

Вид итогового контроля

зачёт

-

зачёт

практические занятия

70

2. Содержание дисциплины 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 70 часов). ТЕМА 1. Линейные пространства. [1],с.5-16; [2],с. 4-9. Определение линейного пространства. Свойства линейного пространства. Линейная зависимость. Базис и координаты. Размерность. Подпространства. Вопросы для самопроверки 1.

Какое множество называется линейным пространством?

2.

Какие условия налагаются на операции сложения и умножения на число в линейном пространстве?

3.

В каком случае линейное пространство называется вещественным, а в каком комплексным?

7

4.

Какими свойствами характеризуется линейное пространство?

5.

Приведите примеры линейных пространств.

6.

Что такое линейная комбинация векторов в линейном пространстве?

7.

В каком случае вектора линейного пространства называются линейно зависимыми?

8.

Приведите

примеры

линейно

зависимых

элементов

линейного

пространства, элементами которого являются многочлены Pn (x) от одной переменной x . 9.

Какая система векторов линейного пространства называется базисом?

10. Чем определяется размерность линейного пространства? 11. Что называется подпространством линейного пространства? 12. Какие примеры подпространств линейного пространства вы знаете? ТЕМА 2. Евклидовы пространства. [1],C.19-26; [2],C. 19-24. Определение евклидова пространства. Длина вектора. Неравенство КошиБуняковского.

Неравенство

треугольника.

Угол

между

векторами.

векторов

линейного

Ортонормированный базис. Вопросы для самопроверки 1. Как

определяется

скалярное

произведение

пространства? 2. Какое линейное пространство называется евклидовым? 3. Какие примеры евклидовых пространств вы знаете? 4. Как определяется длинна вектора в евклидовом пространстве? 5. Какое неравенство имеет место для скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве?

8

6. Какое

неравенство

для

произвольных

векторов

выполняется

в

евклидовом пространстве? 7. Когда векторы линейного пространства ортогональны? 8. Какой базис евклидова пространства называется ортогональным? 9. Какой базис евклидова пространства называется ортонормированным? 10. Во всяком ли евклидовом пространстве имеются ортонормированные базисы?

ТЕМА 3. Линейные операторы. [1],C.29-38; [2],C. 39-48. Определение линейного оператора. Примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Вопросы для самопроверки 1. Что называется оператором линейного пространства, действующим из одного непустого множества в другое непустое множество? 2. Что

называется

областью

определения

оператора

линейного

пространства? 3. Что называется прообразом элемента? 4. Что называется областью значений оператора линейного пространства? 5. При каком условии оператор линейного пространства называется взаимно-однозначным?

9

6. При каких условиях оператор линейного пространства называется линейным? 7. Как определяется матрица линейного оператора линейного пространства? 8. Приведите примеры линейных операторов линейного пространства. 9. Какой оператор называется суммой линейных операторов? 10. Какой оператор называется произведением линейного оператора на число? 11. Какой оператор называется произведением двух линейных операторов? 12. Какой оператор линейного пространства называется сопряжённым по отношению к другому оператору линейного пространства? 13. Какой

линейный

оператор

называется

самосопряжённым

(или

Эрмитовым)?

ТЕМА

4.

Преобразование

координат.

Собственные

векторы

и

собственные числа. [1],C.42-44,C.54-58; [2],C. 50-54. Замена базиса. Ортогональные преобразования. Матрица оператора при замене базиса. Определение собственных векторов и собственных чисел. Вычисление собственных векторов и собственных чисел в конечномерном пространстве. Собственные векторы симметричных операторов. Вопросы для самопроверки 1. Как происходит замена базиса в линейном пространстве? 2. Что такое ортогональное преобразование в евклидовом пространстве? 3. Что происходит с длинами векторов и углами между ними при ортогональном преобразовании в евклидовом пространстве? 4. Как вычисляется матрица линейного оператора при изменении базиса? 5. Какое подпространство линейного пространства инвариантным относительно линейного оператора?

называется

10

6. При каком условии вектор инвариантного подпространства оператора будет являться собственным вектором этого оператора? 7. Как выглядит характеристическое уравнение оператора? 8. Как вычисляются собственные вектора и собственные числа оператора в конечномерном пространстве? 9. Каким свойством обладает характеристическое уравнение вещественных корней?

матрица которого

линейного имеет n

оператора, различных

10. При выполнении какого условия, оператор называется симметричным? 11. Каким свойством обладают собственные векторы симметричного оператора, отвечающие различным собственным значениям? 12. Сколько взаимно ортогональных собственных векторов симметричный оператор в n мерном евклидовом пространстве?

имеет

ТЕМА 5 Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов. [1],C.47-51; [3],C. 11-14. Задача о проекции вектора и перпендикуляре к нему. Несовместные системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов. Вопросы для самопроверки 1. Какой вектор называется проекцией вектора на подпространство евклидова пространства? 2. Какой вектор называется перпендикуляром к проекции вектора на подпространство евклидова пространства? 3. В чём суть метода наименьших квадратов?

11

ТЕМА 6. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. [1],C.60-74; [3],C. 5-16. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Малые колебания механических систем. Вопросы для самопроверки 1. Какая функция называется билинейной (или билинейной формой)? 2. Какая матрица называется матрицей билинейной формы в линейном пространстве? 3. Какое равенство должно выполняться для того, чтобы билинейная форма являлась симметричной? 4. Что называется квадратичной формой в линейном пространстве? 5. Какую

последовательность

действий

необходимо

произвести

для

приведения квадратичной формы к диагональному виду? 6. По какой формуле осуществляется переход от старых координат к новым, используя матрицу поворота координатной системы? 7. Как привести квадратичную форму к каноническому виду? 8. Всегда ли имеет решение задача приведения к каноническому виду двух квадратичных форм, заданных в n мерном пространстве? 9. Применение

квадратичных

механических систем?

форм

при

анализе

малых

колебаний

12

ТЕМА 7. Элементы теории метрических пространств. [1],C. 78-83; [2],C. 11-14, 54-57; [3],C. 5-7. Определение

метрического

пространства.

Сходимость.

Полные

метрические пространства. Принцип сжимающих отображений. Вопросы для самопроверки 1. Что называется метрическим пространством? 2. Приведите примеры метрических пространств? 3. Что называется замкнутым шаром метрического пространства? 4. Что называется открытым шаром метрического пространства? 5. Что

называется

предельной

точкой

множества

метрического

пространства? 6. Что

называется

изолированной

точкой

множества

метрического

пространства? 7. Сформулируйте

необходимое

и

достаточное

условие

для

точки

прикосновения множества метрического пространства. 8. При каком условии множество метрического пространства является замкнутым? 9. При каком условии последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной? 10. Какое метрическое пространство называется полным? 11. Какое отображение называется сжимающим? 12. В чём сущность принципа сжимающих отображений? 13. В

чём

сущность

приближений)?

метода

итераций

(метода

последовательных

13

ТЕМА 8. Применение методов функционального анализа в задачах управления. [1],C. 83-89; [2],C. 63-69. Применение

методов

функционального

анализа

в

вариационном

исчислении. Задача о наименьшей поверхности вращения. Вопросы для самопроверки 1. Приведите пример применения оператора сжатия. 2. Приведите пример применения методов функционального анализа в вариационном исчислении. 3. Как решается задача о наименьшей поверхности вращения при помощи функционального анализа?

14

2.2. Тематический план лекций и практических занятий

2.2.1. Тематический план лекций и практических занятий для студентов очной формы обучения (24 ч.)

Номер

Наименование раздела

раздела,

(отдельной темы)

Виды занятий лекции

темы

практические занятия

1

Линейные пространства.

2

2

Евклидовы пространства

2

3

Линейные операторы

2

1

4

Преобразование

2

1

2

2

2

2

метрических

2

2

методов

2

координат.

Собственные

векторы

и

собственные числа. 5

Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов.

6

Квадратичные

формы

и

их

приведение к каноническому виду 7

Элементы

теории

пространств 8

Применение

функционального анализа в задачах управления Итого

16

8

15

2.2.2. Тематический план лекций и практических занятий для студентов заочной формы обучения (12 ч.)

Номер

Наименование раздела

раздела,

(отдельной темы)

Виды занятий лекции

темы

практические занятия

1

Линейные пространства

1

2

Евклидовы пространства

1

3

Линейные операторы

1

4

Преобразование

координат

Собственные

векторы

1

1

и

собственные числа 5

Несовместные системы линейных

1

1

1

1

метрических

1

1

методов

1

уравнений и метод наименьших квадратов. 6

Квадратичные

формы

и

их

приведение к каноническому виду 7

Элементы

теории

пространств 8

Применение

функционального анализа в задачах управления Итого

8

4

16

3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины Библиографический список Основной 1. Афанасьева О.В., Потапенко А.А. Функциональный анализ в задачах управления: Учеб. пособ.-СПб.: СЗТУ, 2005.-96с. 2. Мокрослоев Д.Д. Элементы функционального анализа. Учеб. пособ. Красноярск: Гос. образоват. Учереждение «ГАУМиЗ», 2003г.-76с. 3. Слугин С.Н., Кротова В.С. Прикладной функциональный анализ. моделирование, управление, оптимизация, приближённые методы: Учеб. пособ. - Н. Новгород: изд-во ННГУ, 1993г.-51с.

Дополнительный 4. Андреев В.К. Вопросы прикладного функционального анализа: Учеб. пособ. - Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 1998г.-129с. 5. Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Едиториал УРСС, 2004г.-208с. 6. Методы прикладного функционального анализа/ Под ред. С.Н. Слугина. Межвузовский сборник - Н. Новгород: изд-во Нижегородского ун-та, 1991г.-100с. Средства обеспечения освоения дисциплины Компьютерные программы по разделам дисциплины.

17

Содержание Предисловие………………………………………………………………………..03 Цели и задачи дисциплины………………………………………………………..03 Требования к уровню освоения содержания дисциплины………………………04 1. Объем дисциплины и виды учебной работы…………………………………..05 1.1. Объем дисциплины и виды учебной работы для студентов очной формы обучения…………………………………………………………………………….05 1.2. Объем дисциплины и виды учебной работы для студентов заочной формы обучения…………………………………………………………………………….05 2. Содержание дисциплины………………………………………………………..06 2.1. Рабочая программа…………………………………………………………….06 2.2. Тематический план лекций и практических занятий………………………..13 2.2.1. Тематический план лекций и практических занятий для студентов очной формы обучения……………………………………………………………………13 2.2.2. Тематический план лекций и практических занятий для студентов очной формы обучения……………………………………………………………………14 3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины……………………………..15

18

Ольга Владимировна Афанасьева

Функциональный анализ в задачах управления Рабочая программа Редактор И.Н. Садчикова Сводный темплан 2005 г. Лицензия ЛР №020308 от 14.02.97 Санитарно-эпидемиологическое заключение № 78.01.07.953.П.005641.11.03. от 24.11.2003 г.

Подписано в печать Б.кн.-журн. П.л.

Формат 60×84 1/16 Б.л. Тираж 100

РТП РИО СЗТУ Заказ

Северо-Западный государственный заочный технический университет РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации вузов Санкт-Петербурга 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5