Аналог фраттиниевой факторизации конечных групп

Алгебра и логика, 43, N 2 (2004), 184—196

УДК 512.542

АНАЛОГ ФРАТТИНИЕВОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП∗) В. И. ЗЕНКОВ, В. С. МОНАХОВ, Д. О. РЕВИН Введение В теории конечных групп часто используется простое утверждение [1, предлож. 4.3], известное как аргумент Фраттини: если G — конечная группа, а H — ее нормальная подгруппа, то для любой силовской подгруппы S группы H справедливо равенство G = = HNG (S). Это утверждение легко обобщить. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для любой конечной группы G и ее нормальной подгруппы H эквивалентны следующие утверждения: (1) G = HNG (S) для некоторой подгруппы S группы H; (2) {S h | h ∈ H} = {S g | g ∈ G}. Естественно возникает вопрос, какие подгруппы, кроме силовских, можно брать в качестве S. Например, можно ли в качестве S взять некоторую максимальную разрешимую подгруппу? В случае, когда подгруппа H разрешима, утвердительный ответ на последний вопрос очевиден: в качестве S можно взять H. В настоящей статье с помощью классификации конечных простых групп дается положительное решение вопроса 14.62 [2], а именно, доказывается следующая ∗)

Первый автор поддержан РФФИ, проект N 02-01-00772, второй — БРФФИ, дого-

вор Ф99-195, третий — РФФИ, проект N 02-01-00495, программой ”Университеты России“, проект УР 04.01.028, СО РАН, грант Лаврентьевского конкурса молодых ученых, а также Советом по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ-2069.2003.1. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

Аналог фраттиниевой факторизации конечных групп

185

ТЕОРЕМА. Пусть G — конечная группа, а H — ее неразрешимая нормальная подгруппа. Тогда в H имеется максимальная разрешимая подгруппа S такая, что G = HNG (S). СЛЕДСТВИЕ. В любой конечной группе G существует максимальная разрешимая подгруппа S такая, что для любой нормальной подгруппы N группы G пересечение S ∩ N — максимальная разрешимая подгруппа в N , а SN/N — максимальная разрешимая подгруппа в G/N . Другая формулировка этого следствия применительно к теории классов групп выглядит так: в любой конечной группе существует подгруппа, которая является одновременно S-проектором и S-инъектором, где S — класс всех разрешимых групп. В § 1 теорема доказывается для случая, когда H — простая неабелева группа, а G — ее группа автоморфизмов. Затем (§ 2) приводится доказательство для общего случая. Используемые обозначения стандартны и содержатся, напр., в [1]. При работе с простыми группами лиева типа используются терминология и обозначения из [3, 4]; при работе со спорадическими группами и некоторыми небольшими группами лиева типа — из [5]. При доказательстве следствия применяется терминология классов конечных групп [6]. Во избежание путаницы отметим также, что понятия максимальной разрешимой и разрешимой максимальной подгрупп различаются. Под максимальной разрешимой подгруппой группы G понимается подгруппа, являющаяся максимальной по включению среди разрешимых подгрупп группы G, а под разрешимой максимальной подгруппой группы G — собственная разрешимая подгруппа M такая, что из цепочки включений M ≤ H ≤ G вытекает H = M или H = G. § 1. Частный случай: H — простая группа, G = Aut(H) В этом параграфе с использованием классификации конечных простых групп доказывается следующая

186

В. И. Зенков, В. С. Монахов, Д. О. Ревин ЛЕММА 1. Пусть H — конечная простая неабелева группа, а G =

= Aut(H). Тогда в группе H имеется максимальная разрешимая подгруппа S такая, что G = HNG (S). ЛЕММА 2. Пусть H — простая группа лиева типа над полем GF(q), q > 3, и G = Aut(H). Пусть B — подгруппа Бореля группы H, т. е. нормализатор некоторой силовской p-подгруппы, где p — характеристика поля GF(q). Тогда B является максимальной разрешимой подгруппой группы H, а G = HNG (B). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть S — максимальная разрешимая подгруппа, содержащая B. Тогда подгруппа S является параболической. Поскольку ее фактор Леви также разрешим и согласно [4, 2.2], справедливо равенство S = B. Кроме того, подгруппа Бореля инвариантна относительно диагональных, полевых и графовых автоморфизмов группы H (см. [3, п. 12.2 и теор. 12.5.1]). Следовательно, G = HNG (B). ЛЕММА 3. Пусть H — простая группа лиева типа над полем GF(q), причем q = 2, 3, H 6= A2 (3), G2 (3), (2 F4 (2))′ , и пусть G = Aut(H). Тогда в H имеется максимальная разрешимая подгруппа S такая, что G = HNG (S). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим некоторую максимальную разрешимую подгруппу S группы H, содержащую подгруппу Бореля. Подгруппа S является параболической. Пусть G∗ — подгруппа группы G, порожденная всеми внутренними, диагональными и полевыми автоморфизмами. Поскольку S — параболическая подгруппа, она инвариантна относительно полевых и диагональных автоморфизмов, а следовательно, G∗ = HNG∗ (S). Поэтому можно считать,что G∗ 6= G, т. е. H является группой из следующего списка: An (q), n > 2, B2 (q), Dn (q), n > 4, E6 (q), F4 (q), G2 (q). Поскольку группы B2 (2), G2 (2) не являются простыми, а также в силу изоморфизмов B2 (3) ≃ 2 A3 (2) и A2 (2) ≃ A1 (7) [1, теор. 2.13], группы A2 (2), B2 (2), B2 (3) и G2 (2) можно исключить из рассмотрения. Фактор Леви параболической подгруппы S разрешим, поэтому подгруппа S отвечает подмножеству P множества простых корней, в котором

Аналог фраттиниевой факторизации конечных групп

187

любые два различных корня не являются смежными в диаграмме Дынкина системы простых корней группы H (в противном случае по крайней мере один из сомножителей фактора Леви будет иметь лиев ранг, больший 1 (см. [4, 2.2]), а следовательно, будет неразрешим). С учетом условия леммы можно считать, что H принадлежит списку An (q), n > 2, Dn (q), n > 4, E6 (q), F4 (q), где q = 2 или q = 3. Пусть S — параболическая подгруппа, отвечающая множеству незаштрихованных корней системы простых корней с диаграммой Дынкина, изображенной на рис. 1—7. Поскольку это множество инвариантно относительно любой возможной симметрии диаграммы Дынкина, соответствующая ему параболическая подгруппа инвариантна относительно соответствующего графового автоморфизма. Следовательно, любой графовый автоморфизм оставляет подгруппу S инвариантной, и G = HNG (S). Остается заметить, что все сомножители фактора Леви параболической подгруппы S изоморфны некоторой фактор-группе одной из групп SL2 (2) или SL2 (3), следовательно, группа S является разрешимой, а с учетом [3, теор. 8.3.4], и максимальной разрешимой. Лемма доказана. ЛЕММА 4. Пусть H = M11 , M23 , M24 , Co1 , Co2 , Co3 , F i23 , T h, B, M , J1 , Ly, Ru, J4 ; G = Aut(H). Тогда в H имеется максимальная разрешимая подгруппа S такая, что G = HNG (S). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, поскольку G = H (см. [5]). ЛЕММА 5. Пусть H = A2 (3) ≃ L3 (3), G2 (3), (2 F4 (2))′ , M12 , J2 , Suz, M c L, He, F i22 , F i′24 , HN, O′ N , J3 ; G = Aut(H). Тогда в H имеется максимальная разрешимая подгруппа S такая, что G = HNG (S). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как известно, |G : H| = 2. Согласно [5] в H имеется максимальная подгруппа M , которая является разрешимой и не является максимальной в G. В табл. 1 приведен список таких подгрупп. ˆ обозначается максимальная подгруппа группы G, не лежащая в Через M ˆ . Поскольку M ˆ 6≤ H, в качестве H и содержащая M . Ясно, что NG (M ) = M S можно взять подгруппу M .

188

В. И. Зенков, В. С. Монахов, Д. О. Ревин r1

r2

r3

r4

d

t

d

t

···

r2k−2

r2k−1

r2k

r2k+1

t

d

t

d

Рис. 1. Диаграмма Дынкина системы корней типа An , n = 2k + 1; удалены корни с четными номерами. r1 b

r2k−2 r2k−1

r2

r ...

r

r2k+1 r2k+2 r2k+3 r4k−1 r b r ... r

r2k

b

r

r4k b

Рис. 2. Диаграмма Дынкина системы корней типа An , n = 4k; удалены корни с четными номерами i 6 2k и с нечетными номерами i > 2k + 1.

r1 r

r2

r2k−1

r2k

r

b

b ...

r2k+1 r2k+2 r2k+3 r2k+4 r4k+1 r4k+2 r r b r ... b r

Рис. 3. Диаграмма Дынкина системы корней типа An , n = 4k + 2; удалены корни с нечетными номерами i 6 2k + 1 и с четными номерами i > 2k + 2. r1 d

@ @

@

@

r3

@t

r4

r5

r6

r7

d

t

d

t

···

r2 d Рис. 4. Диаграмма Дынкина системы корней типа Dn ; удалены корни с нечетными номерами i > 3. r1 d

@ @

@

@

r3

@t

r4 d

r2 d Рис. 5. Диаграмма Дынкина системы корней типа D4 , допускающая автоморфизмы порядков 2 и 3.

Аналог фраттиниевой факторизации конечных групп r1

r2

r3

r5

r6

d

t

d

t

d

189

t r4

Рис. 6. Диаграмма Дынкина системы корней типа E6 .

r1

r2

r3

r4

d

t

t

d

Рис. 7. Диаграмма Дынкина системы корней типа F4 . Т а б л и ц а 1. Разрешимые максимальные подгруппы в группах L3 (3), G2 (3), (2 F4 (2))′ , M12 , J2 , Suz, M c L, He, F i22 , F i′24 , HN , O′ N , J3 H L3 (3) G2 (3)

ˆ M

M 13 : 3 21+4 +

:

32 .2

13 : 6 21+4 +

: (S3 × S3 )

(2 F4 (2))′

52 : 4A4

52 : 4S4

M12

A4 × S3

S4 × S3

J2

52 : D12

52 : (4 × S3 )

Suz

32+4 : 2(A4 × 22 ).2

32+4 : 2(S4 × D8 )

M cL

51+2 :3:8 +

51+2 : 3 : 8.2 +

He

52 : 4A4

52 : 4S4

F i22

31+6 : 23+4 : 32 : 2 +

31+6 : 23+4 : 32 : 2 . 2 +

F i′24

9 : 14

9 : 28

HN

34 : 2(A4 × A4 ).4

34 : 2(S4 × S4 ) . 2

O′ N

34 : 21+4 : D10 −

34 : 21+4 : D10 . 2 −

J3

22+4 : (3 × S3 )

22+4 : (S3 × S3 )

ЛЕММА 6. Пусть H = M22 , HS; G = Aut(H). Тогда в H имеется максимальная разрешимая подгруппа S такая, что G = HNG (S).

190

В. И. Зенков, В. С. Монахов, Д. О. Ревин Т а б л и ц а 2. Максимальные подгруппы групп M22 и HS, имеющие нечетный индекс H

M

ˆ M

M22

24 : S5

25 : S5

24 : A6

24 : S6

43 : L3 (2)

43 : (L3 (2) × 2)

4 · 24 : S 5

21+6 : S5 +

HS

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что в качестве S можно взять некоторую максимальную разрешимую подгруппу, содержащую силовскую 2подгруппу T группы H. Пусть M — максимальная подгруппа группы H, содержащая T . Тогда группа M имеет нечетный индекс. Используя информацию из [5] о максимальных подгруппах, заключаем, что M содержится ˆ группы G такой, что |M ˆ : M | = 2. в некоторой максимальной подгруппе M ˆ приводится в табл. 2. Видно, что |O2 (M )| = 24 , Строение групп M и M если H = M22 , и |O2 (M )| = 26 , если H = HS. Кроме того, в группе H группу M можно выбрать так, что M/O2 (M ) ≃ S5 . Каждая максимальная подгруппа групп S5 , A6 и L3 (2), имеющая нечетный индекс, изоморфна S4 (см. [5]) и, в частности, разрешима. Поэтому максимальная подгруппа S нечетного индекса в группе M такой, что M/O2 (M ) ≃ S5 , является максимальной разрешимой подгруппой группы H, содержащей некоторую силовскую 2-подгруппу группы H. Из строения ˆ видно, что S не является максимальной разрешимой подгрупп M и M группой группы G, а следовательно, NG (S) 6≤ H. Из того, что |G : H| = 2, вытекает равенство G = HNG (S). Лемма доказана. ЛЕММА 7. Пусть H = An , n > 5, и G = Aut(H). Тогда в H содержится максимальная разрешимая подгруппа S такая, что G = HNG (S). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу [7, следствие 4] все разрешимые подгруппы максимального порядка группы H сопряжены в H. Поскольку мно-

жество таких подгрупп инвариантно относительно G и по предложению,

Аналог фраттиниевой факторизации конечных групп

191

в качестве S можно взять подгруппу из этого множества. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО леммы 1. В силу классификационной теоремы [1, п. 2.12] требуемое следует из лемм 2–7.

§ 2. Общий случай ЛЕММА 8. Пусть G — конечная группа, H — ее минимальная нормальная подгруппа. Тогда в H имеется максимальная разрешимая подгруппа S такая, что G = HNG (S). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Можно считать, что подгруппа H неразрешима. Тогда она является прямым произведением некоторых простых неабелевых подгрупп P1 , . . . , Pn , образующих в G сопряженный класс. Пусть P — одна из них, а элементы g1 , . . . , gn ∈ G таковы, что Pi = P gi для любого i = 1, . . . , n. Заметим, что элементы g1 . . . , gn образуют полную систему представителей правых смежных классов группы G по подгруппе NG (P ). В силу леммы 1 и предложения у группы P есть максимальная разрешимая подгруппа T такая, что множество {T x | x ∈ P } является инвариантным относительно Aut(P ). Пусть Ti = T gi для всех i = 1, . . . , n и S = hT1 , . . . , Tn i. Легко видеть, что подгруппа S является максимальной разрешимой подгруппой группы H. Покажем, что G = HNG (S). Для этого, в силу предложения, достаточно показать, что для любого элемента g ∈ G в подгруппе H найдется элемент h такой, что S g = S h . Пусть g ∈ G. Умножение справа на элемент g индуцирует некоторую перестановку смежных классов NG (P )g1 , . . . , NG (P )gn . Поэтому существуют подстановка π ∈ Sn и элементы u1 , . . . , un ∈ NG (P ) такие, что gi g = ui giπ для всех i = 1, . . . , n. Имеем S g = hT1 , . . . , Tn ig = hT g1 g , . . . , T gn g i = hT u1 g1π , . . . , T un gnπ i = h(T u1π−1 )g1 , . . . , (T unπ−1 )gn i. Так как для любого i = 1, . . . , n элемент uiπ−1 нормализует подгруппу P и в силу выбора подгруппы T , в P имеется элемент si такой, что T uiπ−1 = T si .

192

В. И. Зенков, В. С. Монахов, Д. О. Ревин Поэтому g −1 s1 g1

S g = hT s1 g1 , . . . , T sn gn i = hT1 1

−1

, . . . , Tngn

sn gn

i = hT1h1 , . . . , Tnhn i,

где hi = sgi i для всех i. Заметим, что hi ∈ Pi . Пусть h = h1 . . . hn . Поскольку [Pi , Pj ] = 1 для различных i, j ∈ {1, . . . , n}, справедливо равенство Tih = = Tihi . Тогда S h = hT1h , . . . , Tnh i = hT1h1 , . . . , Tnhn i = S g . Итак, для произвольного g ∈ G существует элемент h ∈ H такой, что S g = S h . Лемма доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы. Допустим, теорема неверна и G — контрпример наименьшего порядка. Пусть M — минимальная нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в H. В силу леммы 8 подгруппа M является собственной в H. Подгруппа M неразрешима. В противном ¯ = H/M имеслучае в силу минимальности контрпримера G у группы H ¯ = HN ¯ ¯ (S), ¯ где ется максимальная разрешимая подгруппа S¯ такая, что G G ¯ = G/M . Легко видеть, что полный прообраз S группы S¯ является макG симальной разрешимой подгруппой группы H, и G = HNG (S) вопреки предположению. По лемме 8 для некоторой максимальной разрешимой подгруппы T группы M справедливо равенство G = M NG (T ). Поскольку M является, с одной стороны, минимальной нормальной подгруппой, а с другой стороны, неразрешимой, G∗ = NG (T ) является собственной подгруппой группы G. Пусть H ∗ = NH (T ). Поскольку G — контрпример наименьшего порядка, в группе H ∗ найдется максимальная разрешимая подгруппа S такая, что G∗ = H ∗ NG∗ (S). Ясно, что при этом T ≤ S. Тогда G = M NG (T ) = M G∗ = M H ∗ NG∗ (S) ≤ HNG (S). Остается заметить, что подгруппа S является максимальной разрешимой подгруппой группы H. В самом деле, пусть U — разрешимая подгруппа группы H, содержащая подгруппу S. Тогда U ∩M — разрешимая подгруппа группы M , содержащая подгруппу T , откуда T = U ∩ M  U . Значит,

Аналог фраттиниевой факторизации конечных групп

193

U ≤ NH (T ) = H ∗ . В силу выбора подгруппы S справедливо равенство S = U . Таким образом, S — максимальная разрешимая подгруппа группы H, при этом G = HNG (S). Теорема доказана.

§ 3. Доказательство следствия Предположим противное, и пусть группа G — контрпример минимального порядка. Ясно, что группа G неразрешима. Так как в любой простой неабелевой группе максимальные разрешимые подгруппы являются одновременно S-проекторами и S-инъекторами [6, опред. III.3.2 и VIII.2.5], то группа G не будет простой. Вначале рассмотрим случай, когда существует неединичная нормальная подгруппа N такая, что G/N неразрешима. Пусть B/N — Sпроектор в группе G/N , а H — S-проектор в группе B, причем B/N и H являются S-инъекторами в G/N и B соответственно. Так как B 6= G и N 6= 1, то H и B/N существуют по индукции. Проверим, что H является S-проектором группы G. Так как H — S-проектор подгруппы B, то HN/N является S-максимальной в B/N , поэтому HN = B. Пусть H ≤ L ≤ G, причем подгруппа L разрешима. Тогда HN/N = B/N ≤ LN/N ≃ L/L ∩ N, группа L/L ∩ N разрешима и HN = B = LN , т. е. L ≤ B. Из Sмаксимальности H в B следует, что H = L и подгруппа является Sмаксимальной в G. Допустим, что H не является S-проектором группы G. Значит, существует нормальная подгруппа A в G такая, что AH/A не S-максимальна в G/A, т. е. существует разрешимая подгруппа S/A, содержащая AH/A в качестве собственной подгруппы. Поскольку B/N — S-проектор фактор-группы G/N и AN/N  G/N , подгруппа (B/N · AN/N )/(AN/N ) = (BA/N )/(AN/N )

194

В. И. Зенков, В. С. Монахов, Д. О. Ревин

является S-максимальной в (G/N )/(AN/N ), а подгруппа BA/AN — Sмаксимальной в G/AN . Кроме того, группа (S/A · AN/A)/(AN/A) ≃ SN/AN ≃ (S/A)/(S/A ∩ AN/A) разрешима, а так как BA/AN = HN A/AN ≤ SN/AN , из S-максимальности подгруппы BA/AN в G/AN получаем, что BA = HN A = SN . Теперь S = AH(S ∩ N ) ≤ AB, а поскольку H — S-проектор группы B, подгруппа H/H ∩A ≃ H(A∩B)/A∩B является S-максимальной в B/A∩B. С другой стороны, H/H ∩ A ≃ HA/A ≤ S/A ≤ AB/A ≃ B/A ∩ B, где H/H ∩A и S/A разрешимы. Поэтому HA = S, получаем противоречие. Итак, подгруппа H является S-проектором группы G. Предположим, что подгруппа H не является S-инъектором в G. Тогда существует нормальная подгруппа M в группе G, для которой H ∩ M не является S-максимальной в M . Поэтому H ∩ M < S ≤ M, где S ∈ S. Так как M N/N  G/N и B/N является S-инъектором в G/N , подгруппа M N/N ∩ B/N = M N ∩ B/N = N (M ∩ B)/N S-максимальна в M N/N . Поскольку H — S-проектор в G, имеем B = HN и N (M ∩ B) = N (M ∩ HN ) = N (M ∩ H) ≤ SN ≤ M N. Таким образом, справедлива цепочка равенств N M/N ∩ B/N = N (M ∩ H)/N = SN/N, т. е. SN ≤ B. Подгруппа B ∩ M нормальна в B, и H — S-инъектор в B, поэтому H ∩ B ∩ M является S-максимальной в B ∩ M . С другой стороны, H ∩ (B ∩ M ) = (H ∩ M ) < S = S ∩ M ≤ B ∩ M, получаем противоречие. Значит, H — S-инъектор в G.

Аналог фраттиниевой факторизации конечных групп

195

Пусть теперь фактор-группа G/N разрешима для всех неединичных нормальных подгрупп N группы G. Ясно, что в группе G нет разрешимых неединичных нормальных подгрупп и существует только одна минимальная нормальная подгруппа, которую обозначим через N . По теореме в N существует максимальная разрешимая подгруппа S, для которой G = NG (S)N . Поскольку S = NN (S) = NG (S) ∩ N и G/N ≃ NG (S)/S, то NG (S) разрешима. Предположим, что NG (S) ≤ F ≤ G и F ∈ S. Тогда S ≤ F ∩ N  F и F ∩ N ∈ S, поэтому S = F ∩ N и F ≤ NG (S). Значит, NG (S) — максимальная разрешимая подгруппа группы G. Пусть K — произвольная нормальная подгруппа группы G. Тогда N ≤ K и KNG (S) = G, т. е. NG (S) — S-проектор группы G. Предположим, что NG (S) ∩ K ≤ L ≤ K, где L ∈ S. Так как S ≤ L ∩ N , справедливо равенство S = L ∩ N . С другой стороны, K = (NG (S) ∩ K)N = LN , поэтому K/N ≃ L/L ∩ N = L/S и S  L. Теперь L ≤ NG (S), и NG (S) является S-инъектором группы G. Следствие доказано.

ЛИТЕРАТУРА

1. Д. Горенстейн, Конечные простые группы. Введение в их классификацию, М., Мир, 1985. 2. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2002. 3. R. W. Carter, Simple groups of Lie type (Pure Appl. Math., 28), London, Wiley, 1972. 4. А. С. Кондратьев, Подгруппы конечных групп Шевалле, Успехи матем. н., 41, N 1 (1986), 57—96. 5. J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, Atlas of finite groups, Oxford, Clarendon Press, 1985. 6. K. Doerk, T. Hawkes, Finite soluble groups (de Gruyter Expo. Math., 4), Berlin, New York, Walter de Gruyter, 1992.

196

В. И. Зенков, В. С. Монахов, Д. О. Ревин 7. A. Mann, Soluble subgroups of symmetric and linear groups, Isr. J. Math., 55, N 2 (1986), 162—172.

Поступило 22 февраля 2002 г. Адреса авторов: ЗЕНКОВ Виктор Иванович, Институт математики и механики УрО РАН, ул. Софьи Ковалевской, 16, г. Екатеринбург, 620219, РОССИЯ. МОНАХОВ Виктор Степанович, Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины, ул. Советская, 104, г. Гомель, 246019, БЕЛАРУСЬ. e-mail: [email protected] РЕВИН Данила Олегович, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected]