Непрерывные группы

Л.С.Понтрягин НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ СОДЕРЖАНИЕ Предисловие к третьему изданию Введение Обозначения Глава 1. Группы § 1 Понятие группы Опр. 1. Прим. 1—2. § 2 Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа Опр. 2-4 Прим. 3—4. § 3 Изоморфизм. Гомоморфизм Опр. 5-6 Теор 1. Прим. 5—7. § 4 Центр. Коммутант Опр. 7-9. Прим. 8—9. § 5. Прямое произведение групп Опр. 10—10'. Прим. 10—12. § 6 Коммутативные группы Теор. 2. Прим. 13—15. § 7. Кольца и тепа Опр. 11. Прим. 16. Глава 2. Топологические пространства § 8. Понятие топологического пространства Опр. 12—13. Прим. 17—18. § 9. Окрестности Опр. 14. Теор 3. Прим. 19—20. § 10. Гомеоморфизм. Непрерывное отображение Опр. 15-16. § 11. Подпространство Опр. 17. Прим. 21—22. § 12. Аксиомы отделимости Опр. 18. Прим. 23—24. § 13. Бикомпактность Опр. 19. Теор. 4. Прим. 25-26. § 14. Прямое произведение топологических пространств Опр. 20. Теор. 5—7. Прим. 27—28. § 15 Связность § 16. Размерность Опр. 21. Теор. 8. Глава 3. Топологические группы § 17. Понятие топологической группы Опр. 22. Прим. 29. § 18. Система окрестностей единицы Теор. 9. Прим. 30—31. § 19. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа Опр. 23—25 Теор. 10. Прим. 32—34. § 20. Изоморфизм. Гомоморфизм Опр. 26—27. Теор. 11—12. Прим. 35— 37. § 21. Прямое произведение топологических групп Опр. 28—29 Теор. 13. Прим. 38-40. § 22. Свяэные и вполне несвязные группы Теор 14—17. Прим. 41—42. § 23. Локальные свойства Локальный изоморфизм Опр. 30 Теор 18 Прим 43—44. § 24. Непрерывные группы преобразований Опр. 31. Теор 19—20. Прим. 45—46. Глава 4. Топологические тела § 25. Топологические кольца и тела Опр. 32. § 26 Классические непрерывные тела Прим. 47. § 27 Структура непрерывных тел Теор. 21—22. Прим. 48.

7 9 11 13 13 17 21 27 30 38 49 60 61 63 69 72 75 80 87 96 99 104 105 107 111 121 129 138 143 151 160 161 165 176

Глава 5. Линейные представления бикомпактных топологических групп 192 § 28 Непрерывные функции па топологической группе Теор. 23 Прим. 193 49—50. § 29 Инвариантное интегрирование Оир. 33 Теор 24 -25. Прим. 51—52. 198 <j 30. Интегральные уравнения па группе Теор. 26-27. Прим. 53—54. 208 § 31. Предварительные сведения о матрицах 221 § 32 Соотношения ортогональности Опр. 34 -35. Теор. 28-31. Прим. 55-56. 227 § 33 Полнота системы неприводимых представлении Теор. 32-35. Прим. 233 57-60. Глава 6. Коммутативные локально бикомпактные топологические группы 243 § 34 Группа характеров Опр. 36-37. Теор. 36. Прим. 61 244 § 35. Группы характеров факторгруппы и открытой подгруппы Теор 37. 250 Прим 62. § 36. Группы характеров элементарных групп Теор 38. Прим. 63. 254 § 37. Теоремы двойственности для бикомпактных и дискретных групп 259 Опр. 38 Теор. 39-45. Прим. 64—65. § 38. Размерность, связность и локальная связность бикомпактной группы 266 Теор. 46-49. Прим. 66-68. § 39 Структура локально бикомпактных групп Теор. 50-51 Прим. 69-71. 273 § 40. Теоремы двойственности для локально бикомпактных групп Теор. 281 52-57. Прим. 72-75. Глава 7. Понятие группы Ли 288 § 41. Группа Ли Опр. 39. Прим. 76. 290 § 42. Однопараметрические подгруппы Теор. 58-60. Прим. 77. 294 § 43. Теорема инвариантности , Трор. 61. Прим. 78. 302 § 44. Подгруппа и факторгруппа Тсор. 62-63. Прим. 79. 307 § 45. Группы Ли и аналитические многообразия Опр. 40—41. Теор. 64-66. 316 Прим. 80. Глава 8. Структура бикомпактных топологических групп 328 § 46. Сходящиеся ряды бикомпактных групп Опр. 42-43. Теор. 67-68. 329 Прим. 81. § 47. Конечномерные бикомпактные группы Теор. 69-71. Прим. 82. 336 § 48. Транзитивные бикомпактные группы преобразований 344 конечномерных пространств Теор. 72—75. Прим. 83-84. Глава 9. Локально изоморфные группы 350 ^ 49. Фундаментальная группа Опр. 44. Прим. 85. 351 § 50. Накрывающее пространство , Опр. 45. Теор. 76—78. Прим. 86-88. 357 § 51. Накрывающие группы Опр. 46. Тсор. 79-80. Прим. 89-92. 368 Глава 10. Группы Ли и алгебры Ли 380 § 52. Структурные константы. Алгебра Ли Опр. 47-48. Тсор. 81-82. Прим. 3SO 93. § 53. Подалгебра. Факторалгебра. Гомоморфное отображение Теор. 83-84. 387 Прим. 94. § 54. Линейные группы. Автоморфизмы алгебр Ли Прим. 95. 391

§ 55. Условия интегрируемости Теор. 85. 398 § 56. Построение группы Ли по структурным константам Теор. 86-89. 402 Прим. 96-97. § 57. Построение подгруппы п гомоморфизма Теор. 90—92. Прим. 98-99. 414 § 58. Разрешимые и полуиростые алгебры Ли Опр. 49. Теор. 93-94. Прим. 420 100. § 59. Построение группы Ли в целом Теор. 95-97. Прим. 101. 429 § 60. Локальные группы Ли преобразований Опр. 50. Теор. 98. Прим. 102- 434 103. Глава 11. Структура компактных групп Ли 443 § 61. Компактные алгебры Ли Теор. 99-103. Прим. 104. 445 § 62. Корневая система полупростой компактной алгебры Ли Опр. 51. 454 Теор. 104-105. Прим. 105. 465 § 63. Построение полупростой компактной алгебры Ли по ее корневой системе Теор. 106. § 64. Инвариантность корневой системы Теор. 107-110. Прим. 106-107. 473 § 65. Классические алгебры Ли и их корневые системы Теор. 111-112. 486 Прим. 108. § 66. Классификация простых компактных алгебр Ли Теор. 113-114. Прим. 502 109-110. Литература 515 Распределение литературы по главам 516 Указатель 517 УКАЗАТЕЛЬ Аналитические координаты 291 Абелева группа 13 Аналитичность 318 Автоморфизм 21, 121, 389 Аннулятор 243, 250 Аксиома треугольника 69 Ассоциативность 13, 49 Аксиомы отделимости 75 Базис в точке 64 — соединения проективной — векторного пространства 54 геометрии 55 — топологического пространства 63 Алгебра внутренних — — — минимальной мощности дифференцирований алгебры Ли 63 395 Бикомпактность 80 — всех дифференцирований алгебры Бикомпактный элемент 280 Ли 394 Вектор 54 — Ли 350, 380, 384, 385 Векторная группа 107 — — над полем 384 Векторное поле 437 — — преобразований 437, 438 — произведение 176 Алгебраическая группа 105 — пространство 54 Алгебраически замкнутое поле 225 Вес топологического пространства 63 Алгебраическое кольцо 161 Внутренний автоморфизм 21 Аналитическая группа Ли 291, 329 Вполне несвязная группа 139 — функция 320, 412

— несвязное пространство 97 — приводимое множество матриц 226 — регулярное пространство 76 Всюду плотное множество 62 Гильбертов параллелепипед 96 Гильбертово пространство 69 Главная окрестность 183 Гладкость 318 Гомеоморфизм (гомеоморфное отображение) 69, 151 Гомеоморфные пространства 69 Гомоморфизм (гомоморфное отображение) 22, 50, 122, 147, 161, 289, 388, 427 Гомотопные пути 351 Группа 13 — бикомпактного происхождения 126 — вращений 374 — всех автоморфизмов алгебры Ли 391 — движений неевклидовой плоскости 429 — изометрических преобразований 158 — Ли 288, 289, 291, 329 — преобразований 15, 24 — характеров 243—245 Движение 26, 29, 158 Двойственность 243 Действительная алгебра Ли 384 — форма комплексной алгебры Ли 421 Действительное представление 227 Деформация 352 Дискретная группа 107 Дискретное пространство 62 Дискретный нормальный делитель 114 Дистрибутивность 49 Дифференцируемая группа Ли 291 — однопараметрическая подгруппа 294

Дифференцируемые координаты 291 Допустимая топологическая группа 374 Достаточная система линейных представлений 192 Евклидово пространство 68, 69, 208 Естественное отображение 113, 122 Естественный гомоморфизм 23, 50, 161, 248 — изоморфизм 22, 123, 462 — локальный изоморфизм 149 Замкнутая область 98 Замкнутое многообразие 317 — множество 61 Замкнутый путь 351 Замыкание 60, 61, 68 Звездная область 297 Идеал 50, 161, 387 Изометрическое преобразование 158 Изометрия 465 Изоморфизм (изоморфное отображение) 21, 51, 121, 162, 389, 427 Изоморфные алгебры Ли 389 — группы 21, 121 — кольца 51 — проективные геометрии 55, 56 Инвариантная билинейная форма 446, 447 — мера 193 — подгруппа 19 — функция на группе 237 Инвариантное интегрирование 193, 198 — подпространство 222 Инволютивный автоморфизм 426 Индуцированная топология 72 Интеграл 198 Интегральное уравнение 208, 210 Интегрирование матрицы 229 Канонические координаты второго рода 303 — — первого рода 297

Канторово совершенное множество 138 Касательное отображение 392 — пространство 427 Касательный вектор 293, 427 Квазициклическая группа 250 Кватернион 166 Классические алгебры Ли 486 — группы Ли 374, 486 Классические непрерывные тела 160, 165 Кольцо 49 Коммутант 28 Коммутативная алгебра Ли 384 — группа 13, 38 Коммутативное кольцо 50 Коммутатор 28, 384 Компактная алгебра Ли 422, 443, 445 Компактность 85 Комплексная алгебра Ли 384, 421 — группа Ли 426 Комплексное представление 227 — расширение алгебры Ли 421, 425, 427 — — векторного пространства 424 Комплексные координаты 426 Компонента 97 Конец пути 351 Корневая система 454, 460 Корневое подпространство 460 Кососимметрическое линейное отображение 455 Кратность системы множеств 99 Кривая 292 Куб 100 Лемниската 365 Линейная алгебра Ли 392 — группа Ли 391, 392 — зависимость 55 Линейно независимая система 38, 39 — — — векторов 54 — — — точек 55

— независимые однопараметрические подгруппы 303 — связное пространство 353 Линейное отображение 221 — представление 192, 227 — преобразование 222 Локальная группа 145 —— Ли 290, 291 — — — преобразований 435 — комплексная группа Ли 426 Локально бикомпактная локальная группа 150 — бикомпактное пространство 81 — изоморфные локальные группы 147 — — топологические группы 143 — компактное пространство 86 — односвязное пространство 353 — связное пространство 99, 353 Локальное гомоморфное отображение 148 — изоморфное отображение 147 — пространство смежных классов 148 Локальные координаты 317 — свойства 143, 145 Локальный изоморфизм 143 Максимальная система линейно независимых элементов 45 — центрированная система 90 Максимальное связное подмножество 97 Максимальный разрешимый идеал 423 Малая деформация 372 Метризуемое пространство 68, 69 Метрическое пространство 68 Модуль кватерниона 166 Мультипликативная система 90 Накрывающая деформация 376 Накрывающее отображение 357

— пространство 350, 357 Накрывающий путь 358 Накрытие 357 Направляющий вектор однопараметрической подгруппы 294 Наследственное свойство пространства 79 Начало пути 351 Невырождающееся отображение 222 Непрерывная группа преобразований 152 — проективная геометрия 191 — функция 75, 206 Непрерывное замыкание топологического тела 165 — отображение 70 — тело 160, 164, 165 Непрерывность в точке 71 Неприводимое множество линейных отображений 223 Неравенства между векторами 468 Неравенство Буняковского 210 Норма вектора 208 Нормальное пространство 76 Нормальный делитель 19, 111, 147, 427 Нормированная ортогональная система 208 Нуль 14, 49 Область 61 — существования однопараметрической подгруппы 150 Образующие 16 Однопараметрическая подгруппа 150 Однородная функция 304 Однородное пространство 106, 114 Односвязное пространство 354 Окрестность 63, 65 Ортогонализация 208 Ортогональная матрица 20 — пара групп 262

Открытое гомоморфное отображение 122, 149 — множество 61 — отображение 71, 72 Отмеченная пара окрестностей 92, 95 Первая аксиома счетности 162 Плоскость 55, 56 Подалгебра 387 Подгруппа 17, 111, 147, 289, 427 —, порожденная множеством 32 — с делением 267 Подобие 465 — пары групп 25, 156 Подпространство 55, 72 Подстановка 16 Покрытие 80 Поле 50 — рациональных функций 53 — рядов 165, 170, 171 — частных 51 — р-адических чисел 165, 170 Полная комплексная группа Ли 427 — система окрестностей 63 — — — точки 64 — — функций Урысона 95 Полное прямое произведение 34 Положительно определенная форма 228 Положительный вектор 469 Полупростая алгебра Ли 421, 422 Почти периодическая функция 242 Правильно накрывающая окрестность 357 Предел сходящегося ряда групп 332 Предельная точка 61, 68 Приводимое множество линейных отображений 223 — — матриц 223 Признак равномерной сходимости 195 Присоединенная алгебра 395, 420 — группа 391, 396 Проективная геометрия 54—56 — плоскость 368, 428 Простая алгебра Ли 387

— группа 20 — топологическая группа 114 Простой вектор 505 Простой корневой вектор 469 Прямая 55, 56 Пути, эквивалентные по подгруппе 362 Путь 351 Пучок путей 362, 364 Равномерная сходимость 195 Размерность 54, 99, 100, 150 Разрешимая алгебра Ли 421, 422 — группа 29 Ранг 39, 45, 454, 458, 506 Расстояние 69 Регулярная подалгебра 454, 458 Регулярное пространство 76 Регулярный автоморфизм 475 — элемент 454, 458 Рефлексивность 18 Ряд Ли 329, 331 Свободная группа 366 — коммутативная группа 39 — циклическая группа 18 Свободный элемент 15 — — группы Ли 289 Свойство инвариантности 199 — L 268 Связная группа 139 Связное множество 97 — пространство 96 Связность 96 Связный линейный комплекс 507 Симметрическое ядро 210 Симметричная окрестность 126 Симметрия 18 Система координат 317, 318 — образующих 39 — окрестностей единицы 107 Скалярное произведение 176, 208, 443, 446, 449, 450 След 222 Слово 366 Сложение 14, 49

Смежный класс 18, 19, 112, 148 Собственная линейная форма 456 — функция 210 Собственное значение 210, 455 — подпространство 211, 456 Собственный вектор 455 Сопряженный гомоморфизм 250 Среднее значение функции 201—203 Стабильная подгруппа 26 Степень линейного представления 227 Структурные константы 380, 381, 384 Схема пересечений 100 Сходящаяся последовательность 68, 162 Сходящийся ряд бикомпактных групп 330 Тело 49 — кватернионов 165, 166 Тензорные обозначения 289 Тип гладкости (аналитичности) 318 Топологическая группа 104, 105 Топологическое кольцо 160, 161 — многообразие 317 — отображение 69 — поле 161 — произведение 87, 89 Топологическое пространство 60, 61 — тело 160, 161 Top 365 Торовидная группа 419 Транзитивная группа преобразований 15, 25, 152, 440 Транзитивность 18 Транспонированная матрица 20 Универсальная накрывающая, группа 350, 368, 369, 374 Универсальное накрывающее пространство 364 — накрытие 364 Унитарная матрица 225, 226 — унимодулярная матрица 488 Унитарное представление 227 — преобразование 226

— пространство 208, 488 — скалярное произведение 488 Условие интегрируемости 400 Факторалгебра 388 Факторгруппа 20, 113, 147, 148 Факторкольцо 50, 161 Фундаментальная группа 350, 351, 354 — последовательность 163, 332 Функция Урысона 95 Характер линейного представления 228 — топологической группы 245 Характеристика тела (поля) 52 Хаусдорфово пространство 75 Центр 27, 53, 140, 387 Центрированная система множеств 80 Часть координатного пространства 318 — локальной группы 146 Число измерений 99 — слоев накрытия 360 Шар 69 Шаровая область 479 Эквивалентность 18 — определяющих систем окрестностей 67 Эквивалентные линейные представления 227 — локальные гомоморфизмы 149 — — изоморфизмы 147 — накрытия 357 — подгруппы локальной группы 148 — пути 351 — фундаментальные последовательности 163 Элементарные группы 254, 258 — операции над матрицами 40 Эрмитова билинейная форма 226 Эффективная группа преобразовании 24 , 152 Ядро гомоморфизма122, 50, 149, 161, 389

— интегрального уравнения 210 — неэффективности 24 k-мерная плоскость 55 π-система 506 σ-система 503, 504