Электричество. Электромагнитные волны: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Л.А.Лукьянчиков Электричество. Электромагнитные волны Учебное пособие

Новосибирск 2003

УДК 537.0

Лукьянчиков Л.А. Электричество. Электромагнитные волны. Учеб. пособие. Новосиб. гос.ун-т. Новосибирск, 2003. 168 с.

В учебном пособии излагается материал курса лекций по общей физике, который читается студентам геолого-геофизического факультета НГУ.

Рецензент профессор М.Е.Топчиян

Печатается по решению кафедры общей физики физического факультета НГУ

c Новосибирский государственный
университет

Глава 1

Постоянное электрическое поле в вакууме 1.1

Электрические заряды. Закон сохранения зарядов

Электростатика возникла как наука, изучающая стационарное силовое взаимодействие между макроскопическими неподвижными телами при накоплении на них особой физической субстанции – электрических зарядов. Тела в этом случае называют заряженными, а их силовое взаимодействие – электростатическим. Наблюдаемое в природе электростатическое взаимодействие можно хорошо описать полагая, что: - тела можно считать сплошными и в обычном состоянии электрически нейтральными, т.е. не оказывающими друг на друга никакого силового воздействия; - электрические заряды могут быть внесены на тела извне, что приводит к возникновению силового взаимодействия между этими телами; - существует два типа зарядов, один из которых называют положительным и обозначают знаком плюс "+", а второй – отрицательным, которому присвоен знак минус "−"; - суммарный заряд тела, как положительный, так и отрицательный всегда кратен некоторому элементарному заряду; - если на электрически нейтральное тело поместить одинаковое количество положительных и отрицательных зарядов, то тело остается 3

4

Глава 1. Постоянное электрическое поле в вакууме

электрически нейтральным; - электрические заряды одного знака отталкивают друг друга, в то время как заряды противоположного знака – притягивают. Эти положения должны быть согласованы с представлениями современной физики, которая установила, что: - все тела состоят из атомов, обычно объединенных в молекулы, которые находятся в состоянии непрекращающегося теплового движения; - в состав атомов и молекул входят элементарные положительные и отрицательные заряды, число которых в атоме всегда одинаково; - число молекул n в одном кубическом очень велико и средняя скорость их теплового движения v¯ может составлять сотни метров в секунду (например, для воздуха при нормальных условиях n ∼ 1019 1/см3 , v¯ ∼ 500 м/c ). В рамках электростатики исследуются физические величины, усредненные в пространстве и во времени. При усреднении в пространстве применяют обычные подходы физики сплошных сред, при которых полагают, что физическая модель среды позволяет дробить её на столь малые фрагменты, что с одной стороны с ними можно обращаться как с бесконечно малыми величинами при осуществлении необходимых математических операций, а с другой – каждый элементарный объём содержит достаточно большое количество частиц (в нашем случае зарядов) для того, чтобы провести необходимое усреднение по координатам. Усреднение по времени позволяет "остановить" заряды, находящиеся в тепловом движении, и, таким образом, свести задачу к стационарной. Ниже мы конкретизируем эти операции для определяющих величин. Обратим внимание и на то обстоятельство, что взаимное перемещение заряженных частиц друг относительно друга приводит к возникновению локальных электрических токов, обуславливающих появление сил, природа которых отлична от электростатических. Однако в условиях, типичных для электростатики, данное взаимодействие аннулируется усреднением. Кроме того эти силы по абсолютной величине на многие порядки меньше. Несмотря на то, что все макроскопические тела состоят из набора очень большого числа положительных и отрицательных зарядов, электростатическое взаимодействие проявляется только в том случае, если тело имеет избыток зарядов одного знака. Это является следствием не только усреднения, но и масштабных факторов, так как регистрация взаимодействия всегда осуществляется на расстояниях, намного больших, характерных межатомных расстояний. Последний фактор следует из конкретного закона силового взаимодействия, который будет рас-

1.2. Закон Кулона. Напряженность электрического поля

5

смотрен ниже. Зарядить первоначально нейтральное тело можно, поместив на него или убрав с него некоторое количество зарядов одного знака. В реальных процессах зарядка обычно связана с перемещением электронов. Усреднение позволяет рассматривать не только отдельные заряды, но и вводить представление об объемной плотности заряда ρ, которую определяет следующий предельный переход: ρ = lim

∆V →0

∆q . ∆V

Тело считают заряженным только в том случае, если на нем находится избыток зарядов одного знака, составляющий заряд тела, обозначаемый обычно буквой q или Q . Закон сохранения зарядов утверждает, что в замкнутой системе заряд сохраняется. Таким образом для изолированного тела с одинаковым количеством положительных и отрицательных зарядов сохраняется Q = 0 .

1.2 1.2.1

Закон Кулона. Напряженность электрического поля Взаимодействие точечных зарядов

Английский физик Кулон изучал взаимодействие между заряженными металлическими шарами и на основании обобщения экспериментальных данных предложил описывать взаимодействие в вакууме двух точечных зарядов q и Q, взаимное расположение которых задаётся вектором r12 , следующей зависимостью: qQ F = f · 3 · r12 , r12

(1.1)

где коэффициент f зависит от выбора системы единиц. В системе CGSE коэффициент f выбирается равным 1, что позволяет определить размерность заряда из (1.1): [q] = г1/2 · см3/2 · с−1 . Единичными считаются заряды, которые взаимодействуют на расстоянии в 1 см с силой 1 дина. Эта единица не имеет специального символа и обозначается как 1 ед. заряда CGSE.

6

Глава 1. Постоянное электрическое поле в вакууме

В системе СИ (SI) единица заряда устанавливается как производная от одной из основных единиц этой системы – Ампера. Если по цепи течет ток силой в 1 Ампер, то за 1 с через её сечение проходит заряд в 1 Кулон. Следовательно [q] = A · c.

(1.2)

Соотношение между этими двумя единицами устанавливается экспериментально при измерении сил электростатического и электродинамического взаимодействия для одного и того же заряда. Получено, что: 1 Кулон = 3 · 109 ед. заряда GGSE. Элементарным зарядом обладает электрон. Измерения показали, что этот заряд равен 1, 6 · 10−19 Кулона. В системе СИ единица заряда определена заранее и коэффициент f уже не может быть произвольным и безразмерным. Так как силу в СИ измеряют в Ньютонах, а расстояние – в метрах, то: Ньют м2 = кг · м3 · с−4 · А−2 . A2 с2 В СИ используют постоянную ε0 , связанную с f соотношением: 1 , ε0 = 4πf имеющую размерность [f ] =

[ε0 ] = кг−1 · м−3 · с4 · A2 .

(1.3)

Эту размерность обычно обозначают как ед. СИ. Определим значение постоянной ε0 . Для этого вычислим силу, с которой взаимодействуют два заряда по 1 Кулону на расстоянии 1 метр= 100 см в системе CGSE. На основании изложенного выше, сила взаимодействия в динах равна F =1·

(3 · 109 )2 дин = 9 · 1014 дин = 9 · 109 Ньют. (102 )2

Это же соотношение в СИ принимает вид: 1 9 · 109 Ньют = · А2 · с2 · м−2 , 4πε0 откуда 1 · кг−1 · м−3 · с4 · A2 = 8, 85 · 10−12 ед. СИ. ε0 = 4π · 9 · 109

(1.4)

1.2. Закон Кулона. Напряженность электрического поля

1.2.2

7

Напряженность электрического поля

Пусть нам заданы заряды q и Q, которые мы можем считать неподвижными. Тогда силу их взаимодействия мы сможем определить с помощью (1.1). Формально эту силу можно представить в виде двух сомножителей:  · Q, F = E (1.5) где  = E

1 q · · r. 4πε0 r3

(1.6)

Если трактовать полученные соотношения с точки зрения концепции непосредственного действия на расстоянии, то подобное представление итоговой зависимости в виде произведения двух сомножителей является только чисто формальной операцией. Однако специальная теория относительности, ограничивающая предельную скорость распространения для любого возмущения скоростью света c в вакууме, позволя глубокий физический смысл и ет придать вновь введенному вектору E сформировать представление о новом физическом объекте, названном электрическим полем. Для того, чтобы понять необходимость введения такого нового понятия, необходимо выйти за рамки электростатики. Сместим заряд q за время ∆t на некоторое расстояние ∆r, например, по направлению вектора r. Тогда в точке, удаленной от заряда на расстояние l  ∆r, в течение отрезка времени l τ= c силовое воздействие на заряд Q будет определяться исходным расположением зарядов, что особенно четко проявиться, если ∆t  τ . И весь этот промежуток времени соотношения (1.5) и (1.6) из-за изменившегося расстояния между зарядами уже не будут правильно определять силу F . Для адекватного описания возникшей ситуации необходимо ввести новый объект, который будет обеспечивать реальный уровень взаимодействия. Этот объект и получил название электрического поля. Появление электрического поля безусловно связано с существование электрических зарядов. Вместе с тем оно представляет самостоятельный физический объект со своими специфическими свойствами. Если ограничиваться только рамками электростатики, то непротиворечивое последовательное изложение курса можно провести и в рамках концепции непосредственного действия. Однако при описании явле-

8

Глава 1. Постоянное электрическое поле в вакууме

ний, связанных с движением зарядов, это неминуемо приведёт к появлению парадоксов. Поэтому в курсе, если мы хотим обеспечить единый подход к теории электрических явлений, необходимо проводить  называют вектором нарассмотрение только с позиции поля. Вектор E пряженности электрического поля. Соотношение (1.6) определяет напряженность поля заряда q в точке, задаваемой радиусом-вектором r. Размерность напряженности может быть определена из (1.5). [E] =

1.2.3

Ньютон кг · м [F ] = = 3 . [Q] Кулон c ·А

(1.7)

Принцип суперпозиции

В соответствии с законом Кулона для измерения напряженности конкретного поля необходимо поместить в эту точку пробный заряд Q и измерить действующую на него силу. Однако необходимо помнить о том, что само электрическое поле теперь изменится и будет определяться уже двумя зарядами: исходным и пробным. Напряженность нового поля можно измерить, поместив в нужную точку ещё один пробный заряд. Однако гораздо проще её рассчитать, что позволяет сделать применение принципа суперпозиции. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность электри поля нескольких неподвижных точечных зарядов q1 , q2 , q3... ческого E равна векторной сумме напряженности полей, которые бы создавал каждый из этих зарядов в отсутствии остальных. Таким образом:  = E1 + E2 + E3 + . . . = E

N
qi ri . 3  r i=1 i

(1.8)

Здесь ri - радиус-вектор, проведенный от заряда qi в ту точку, где определяется напряженность. Принцип суперпозиции электрических полей является обобщением многих наблюдений.

1.3 1.3.1

Теорема Гаусса Понятие о силовой линии

Для наглядного изображения напряженности электрических полей удобно воспользоваться понятием о силовой линии. Силовая линия –

1.3. Теорема Гаусса

9

это условная линия, касательная к которой в каждой точке совпадает  в этой точке и сама линия направлена так по направлению с вектором E же, как этот вектор. Таким образом силовая линия для положительного заряда направлена от заряда, а для отрицательного – к заряду. Абсолютную величину напряженности электрического поля в данной точке принято характеризовать густотой линий вблизи этой точки. Степень густоты силовых линий в принципе не ограничена, как и любой масштаб, и выбирается для каждого конкретного случая. В соответствии с (1.6), напряженность поля в любой точке пропорциональна величине образующего заряда, поэтому в принципе возможно поставить в соответствие элементарному заряду определенное ограниченное число силовых линий.

1.3.2

Поток силовых линий электрического поля через замкнутую поверхность

Рассмотрим изолированный точечный положительный заряд в пространстве, состоящий из некоторого набора элементарных зарядов. Поставим во взаимно однозначное соответствие каждому заряду какое-либо число силовых линий. Из (1.8) следует, что эти силовые линии уходят на бесконечность. Окружим заряд любой замкнутой односвязной поверхностью. Очевидно, что каждая силовая линия пересечет эту поверхность нечетное число один раз. Перемещаясь по этой поверхности найдем все точки пересечения и сосчитаем их. При проведении этого подсчета будем попарно исключать точки, проходящие контрольную поверхность извне и изнутри. После исключения этих парных пересечений по числу оставшихся восстановим величину заряда, находящегося внутри этой замкнутой поверхности. В математике создан аппарат, реализующий эту операцию. Так как он основан на анализе бесконечно малых, число силовых линий устремляют к бесконечности. В этом случае в качестве количественной характеристики напряженности электрического поля выступает уже их плотность в данной области. Эту плотность удобно характеризовать, введя понятие потока N силовых линий не вектора напряженности электрического поля, а пропорционального ему вектора   = ε0 E, D

(1.9)

называемого вектором электрической индукции. В системе CGSE век иE  в вакууме совпадают. В системе СИ размерность D  следует тора D

10

Глава 1. Постоянное электрическое поле в вакууме

из (1.3) и (1.7). [D] =

А·c . м2

(1.10)

 ПомесРассмотрим однородное электрическое поле с индукцией D. тим в это поле плоскую поверхность S с нормалью n (см. рис.1.1), которая задаёт ориентацию этой поверхности в пространстве. Определён Потоком вектора ная таким способом поверхность является вектором S. электрической индукции через заданную поверхность называют величину D  = SD cos α = SDn , N =S (1.11)  и D.  где α- угол между векторами S В неоднородном поле элементарный поток записывают для бесконечно малой поверхнос ти dS  S,  dN = Dd а суммарный поток находят интегрированием по всей поверхности. Особенно важен случай, когда эта поверхность замкнута. Пусть исходное поле создает изолированный точечный заряд q, а замкнутая поверхРис. 1.1. ность является сферической. Если этот заряд  находиться в центре такой поверхности, то угол между векторами S  и D в любой точке сферы равен нулю и полный поток N через всю поверхность составляет   S  = q · S = q. N = Dd 4π R2 S

 через произвольную замкнутую Вычислим теперь поток вектора D поверхность, охватывающую точечный заряд. Рассмотрим некоторый бесконечно малый телесный угол dΩ, вершина которого расположена в той же точке, что и заряд (см. рис.1.2). Этот  Поток вектора D  через эту угол высекает из поверхности площадку dS. площадку: q  = q · cos α · dS, · r · dS dN = 4π r3 4πr2

1.3. Теорема Гаусса

11

  высекается из поверхности сферы где α = 0. Элемент поверхности dS радиуса r тем же самым телесным углом dΩ. Площади этих поверхностей связаны очевидным соотношением dS  = dS cos α, поэтому q dS  q dΩ, = 2 4π r 4π так как по определению телесного угла dN =

dΩ = Следовательно,

 N=

dS  . r2

q q dΩ = 4π 4π

S

 (1.12)

dΩ = q, S

так как полный телесный угол равен 4π. Принцип суперпозиции позволяет вычислить поток вектора индукции для произвольной системы из N точечных зарядов:   dS = D

N= S

N


(1.13)

qi .

i=1

В том случае, если заряды распределены в пространстве непрерывно с некоторой плотностью ρ, которая может быть функцией координат, сумма в (1.13) трансформируется в интеграл по объёму и мы получаем     N = D dS = ρ dV. S

Рис. 1.2.

(1.14)

V

Соотношения (1.13) и (1.14) называют теоремой Гаусса в интегральной форме. В таком виде она позволяет в некоторых простых случая по известному ρ находить напряженности электрических полей. Некоторые из этих задач будут рассмотрены ниже. Однако, как правило, дифференциальные уравнения решаются проще, чем интегральные, поэтому рационально преобразовать последние соответствующим образом. Для достижение этой цели применим (1.14) к бесконечно малому объёму. Зададимся некоторым стационарным распределением электрического заряда в пространстве. Введём декартову

12

Глава 1. Постоянное электрическое поле в вакууме

систему координат, в которой это распределение характеризуется зависимостью ρ = ρ (x, y, z). Тогда в любой точке напряженность может быть представлена как  = ıEx + Ey + kEz , E где соответствующие компоненты поля так же являются функциями координат. Выберем бесконечно малый объём в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого перпендикулярны осям координат (1.3), а стороны равны dx, dy, dz. Пусть компонента напряженности поля по z на его нижней грани равна Ez = Ez (z). Тогда на верхней она уже Ez = Ez (z + dz). Так как площади верней и нижней граней одинаковы  вдоль и равны произведению dxdy, то суммарный поток dNz вектора D оси z составляет dNz = ε0 [Ez (z + dz) − Ez (z)] dxdy = ε0

∂Ez ∂Ez dxdydz = ε0 dV, ∂z ∂z

где dV = dxdydz - объём выделенного параллелепипеда. Потоки dNx и dNy легко находятся аналогичным образом . Суммарный поток через все грани равен dN = dNx + dNy + dNz =   ∂Ex ∂Ey ∂Ez + + ε0 dV. ∂x ∂y ∂z Так как заряд выделенного объёма равен ρ dV , то в силу (1.14)   ∂Ex ∂Ey ∂Ez + + dV = ρdV. ε0 ∂x ∂y ∂z Рис. 1.3.

После сокращения на dV получим

∂Dz ∂Dx ∂Dy + + = ρ. ∂x ∂y ∂z В математическом анализе принята сокращенная запись, в которой используется введенный ранее в курсе механики оператор Гамильтона  , справедливая для любой векторной функции A:  ∇ = divA

∂Ax ∂Ay ∂Az + + . ∂x ∂y ∂z

(1.15)

1.3. Теорема Гаусса

13

С учетом этого теорема Гаусса в дифференциальной форме приобретает вид  = ρ. divD (1.16)  то (1.16) можно предЕсли использовать оператор Гамильтона ∇, ставить в виде D  = ρ. ∇

1.3.3

Применение теоремы Гаусса в интегральной форме для вычисления напряженностей конкретных полей

Теорема Гаусса в форме (1.14) иногда позволяет определить векто  для полей, конфигурация силовых линий у которых известна ра D и E заранее. Как правило эти поля создаются распределением зарядов, обладающим хорошей симметрией. Поле равномерно заряженного бесконечного плоского слоя. Слой должен состоять из вещества, гарантированно удерживающего каждый заряд внутри весьма малого пространства. Такие вещества в электростатике называют диэлектриками. Вообще говоря диэлектрики активно влияют на электрическое поле свободных зарядов, существенно изменяя это поле. Детальный анализ такого воздействия и его количественное описание будут даны ниже. Однако при изложении материала, касающегося электрического поля в вакууме, когда речь будет идти об изучении полей при пространственном распреРис. 1.4. делении зарядов, мы всегда будем считать, что заряды удерживаются таким диэлектриком, воздействие которого пренебрежимо мало. Рассмотрим слой такого диэлектрика толщиной 2a, заряженный положительно с постоянной объемной плотностью ρ. Вне слоя заряда нет. Поместим начало координат в середину слоя и направим ось 0X перпендикулярно его поверхности (см. рис.1.4 ). По самой постановке задачи всё пространство разделено на две области, характер поля в которых различен. Однако из симметрии очевидно, что в обеих областях напряженность электрического поля направле-

14

Глава 1. Постоянное электрическое поле в вакууме

 направлен положительно, на вдоль оси 0X, причем при x > 0 вектор E а при x < 0 – отрицательно.  = E применим теорему Гаусса к цилиндру пеДля нахождения |E| ременной высоты 2x, образующая которого параллельна оси x, середина образующей имеет координату x = 0, а торцевые поверхности с координатами x и −x и площадью S перпендикулярны образующей. Если  x ≤ a, то теорема Гаусса устанавливает, что связь между потоком D через контрольную поверхность и полным зарядом, находящимся внутри этой поверхности, определяется соотношением 2DS = 2xSρ. Отсюда следует: xρ (x ≤ a). (1.17) E= ε0 Если же x ≥ a, то суммарный заряд, охватываемый контуром, не зависит от x и поток через поверхность и плотность заряда уже связаны соотношением 2DS = 2aSρ, и E=

aρ ε0

(x ≥ a).

(1.18)

Итоговая зависимость E = E(x) уже с учетом знака напряженности представлена на рис 1.5. Электрическое поле может быть создано заряженной поверхностью. Удельный заряд при этом нормирован на единицу площади 2 (в СИ – Кул/м ). Поверхностную плотность заряда обозначают σ, а заряд поверхности S, у которой σ = const равен q = σS. Величина  создаваемой заряженной напряженности E, Рис. 1.5. поверхностью, зависит от того, является ли она границей металла или диэлектрика. Если это диэлектрик, то поле по обе стороны от поверхности отлично от нуля и его напряженность рассчитанная тем же способом, что и для поля вне заряженного слоя конечной толщины определяется соотношением σ . E= 2ε0 Если же заряженный слой возник на границе металла, то в рамках электростатики поле внутри металла обязано быть равным нулю. При  через торцевую поверхность нашего этом равен нулю и поток вектора D контрольного объёма, находящуюся внутри металла. Так как итоговый

1.3. Теорема Гаусса

15

поток всё равно определяется полным зарядом внутри контрольной поверхности, то поле вне металла: E=

σ , ε0

(1.19)

что вдвое больше, чем в аналогичном случае для диэлектрика. Однако в возникшей ситуации нет противоречия. Безусловно, сам по себе металл не сможет аннулировать силовые линии у зарядов. В соответствие с принципом суперпозиции за это могут быть ответственны только противоположно направленные силовые линии других зарядов. В нашем случае эти заряды располагаются вне контрольного объёма таким образом, чтобы итоговое поле внутри металла стало равным нулю. Таким образом в этом случае формально примененная теорема Гаусса учитывает влияние зарядов, расположенных вне контрольной поверхности. Соотношение (1.19) можно использовать и для определения локальной напряженности электростатического поля вблизи любой заряженной металлической поверхности. Напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра. Рассмотрим бесконечно длинный цилиндр радиуса R0 с постоянной объемной плотностью заряда ρ. В такой постановке очевидно, что поле имеет осевую симметрию и его напряженность в каждой точке направлена по радиусу. В качестве контрольной поверхности выберем коаксиальный цилиндр переменного радиуса r, образующая которого имеет длину l (см.рис.1.6). Если r < R0 , то в соответствии с теоремой Гаусса 2πrlD = πr2 lρ, Рис. 1.6.

и поле внутри цилиндра равно E=

rρ . 2ε0

(1.20)

В том случае, если r > R0 , заряд, попадающий внутрь поверхности, остаётся неизменным, равным q = πR02 l ρ, а для напряженности получим E=

R0 ρ . 2rε0

(1.21)

16

Глава 1. Постоянное электрическое поле в вакууме

Если цилиндр проводящий, то его заряд концентрируется на поверхности и характеризуется как обычно поверхностной плотностью заряда σ. При этом напряженность поля внутри цилиндра равна нулю а вне его по аналогии с (1.21) E=

R0 σ . rε0

(1.22)

Очень часто в качестве σ выбирают заряд единицы длины цилиндра. В этом случае напряженность поля равна E=

σ . 2πrε0

Глава 2

Потенциал электростатического поля 2.1

Кулоновский потенциал

Кулоновское поле является центральным. Как было показано в курсе механики, такое поле потенциально. Если это поле образует заряд q, то вследствие (1.1) сила его воздействия на заряд Q F =

q Q ıx + y + kz 1 qQ  r = · . 4πε0 r3 4πε0 r3

Найдём потенциальную функцию V этого поля. Исходя из определения этой функции Fx =

Qq ∂V = x, ∂x 4πε0 r3

Fy =

Qq ∂V = y, ∂y 4πε0 r3

Fz =

Qq ∂V = z. ∂z 4πε0 r3

Запишем её полный дифференциал: dV =

∂V ∂V qQ ∂V qQ dx + dy + dz = (xdx + ydy + zdz) = dr. 3 ∂x ∂y ∂z 4πε0 r 4πε0 r2 17

18

Глава 2. Потенциал электростатического поля

Для V мы получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, проинтегрировав которое мы найдем потенциальную функцию с точностью до произвольной постоянной V =−

qQ 1 · + const. 4πε0 r

В соответствие с определением потенциальной энергии U последняя равна qQ 1 · + const. U = −V = 4πε0 r Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов полагают равной нулю в том случае, если заряды удалены друг от друга на бесконечно большое расстояние. Поэтому U (∞) = 0, откуда следует const = 0 и qQ 1 (2.1) · . 4πε0 r Так как электростатическое поле может быть создано и одним зарядом q, то для его энергетической характеристики важно ввести такую величину, которая бы зависела именно от этого заряда. Её легко получить, разделив (2.1) на величину заряда Q , выступающего в роли пробного. Эту характеристику поля в электростатике называют потенциалом и обозначают ϕ. U=

1 q (2.2) · . 4πε0 r Рассмотрим точечный заряд в пространстве, покоящийся в начале координат. Потенциал этого заряда с помощью (2.2) может быть определён в каждой точке. Пусть эти точки задаются радиусами-векторами r1 и r2 , а величины потенциалов в них равны соответственно ϕ1 и ϕ2 . В электростатике важное значение имеет разность этих величин, так и называемая разностью потенциалов. ϕ=

ϕ1 − ϕ2 =

q 1 1 · ( − ). 4πε0 r1 r2

(2.3)

Разность потенциалов уже не зависит от выбора уровня отсчета. Если её умножить на величину любого точечного заряда Q, который

2.2. Потенциал поля системы зарядов

19

перемещают из точки 1 в точку 2, то будет получено изменение потенциальной энергии при таком перемещении. Из определения потенциала следует его связь с напряженностью:    = −grad ϕ = − ı ∂ϕ +  ∂ϕ + k ∂ϕ . E (2.4) ∂x ∂y ∂z Единицу измерения разности потенциалов устанавливают, измеряя работу, совершаемую при перемещении единичного заряда в электрическом поле. В системе СИ такой единицей является Вольт. Если при перемещении заряда в 1 Кулон совершается работа в 1 Джоуль, то этот заряд проходит разность потенциалов в 1 Вольт. Размерность этой единицы равна [ϕ2 − ϕ1 ] = [V21 ] =

2.2

Джоуль кг · м2 [A] = = 3 . [q] Кулон с ·А

(2.5)

Потенциал поля системы зарядов

Для дискретного набора N точечных зарядов, произвольно расположенных в пространстве, принцип суперпозиции позволяет получить итоговый потенциал суммированием (2.2) по всем зарядам: ϕ=

N
i=1

qi . 4πε0 ri

(2.6)

Если же мы имеем дело с непрерывным распределением зарядов, то сумма (2.6) трансформируется в интеграл по объёму V.  ρ dV 1 . (2.7) ϕ= 4πε0 r V

Так как поле системы электрических зарядов остаётся потенциальным, то в нём всегда справедливы два следующих соотношения   l = 0, Ed (2.8) L

где L – некоторый замкнутый контур в пространстве. Его аналог в дифференциальной форме, введенный в курсе "Механика"

20

Глава 2. Потенциал электростатического поля  = 0. rotE

(2.9)

Используя (2.6) и (2.7) можно в принципе рассчитать потенциал электрического поля по известному распределению зарядов. Проведём эту операцию для важного в электростатике объекта, называемого диполем. Классический диполь рис. 2.1 состоит из двух одинаковых зарядов разного знака +q и −q, которые удерживаются на расстоянии l друг от друга Рис. 2.1. силами не электрического происхождения. Это расстояние не является постоянным и может изменяться под действием внешних сил. Характер этого взаимодействия обычно упругий. Определим потенциал в некоторой точке x > l, расположенной на оси 0X. Если отрицательный заряд расположен в начале координат, а положительный в точке x, то в в соответствие с (2.6) искомый потенциал равен   1 ql 1 1 q − . = ϕ= 4πε0 x − l x 4πε0 x(x − l) Напряженность электрического поля в данной точке определим с помощью (2.4). Градиент ϕ вычислим в декартовых координатах, где он имеет только компоненту по оси 0X.  = −ı ∂ϕ = ı ql (2x − l) . E ∂x 4πε0 x2 (x − l)2 На расстояниях x l величиной l можно пренебречь по сравнению с x и напряженность поля убывает как 1/x3 , т.е. значительно быстрее, чем у точечного заряда: ql . (2.10) 2πε0 x3 Характер этой зависимости не изменяется и при y = 0. В электростатике принято называть произведение q и l дипольным моментом и обозначать буквой pE . В общем случае это вектор, направленный так же, как вектор l. (2.11) pE = q l.  = ı E

Если мы имеем дело с объемным распределением зарядов, то обычно пользуются не (2.7), а другие методы вычисления, которые будут рассмотрены в следующем параграфе.

2.3. Общая задача электростатики

2.3

21

Общая задача электростатики

Выведем дифференциальное уравнение, связывающее потенциал с плотностью заряда. Из (1.16) и (2.4), в соответствии с которыми  =ρ ε0 divE

и

 − gradϕ = E,

сразу следует ε0 div grad ϕ = −ρ. Подставим значение градиента из (2.4).   ∂ϕ  ∂ϕ ∂ϕ ε0 div ı +  +k = −ρ. ∂x ∂y ∂z Воспользовавшись (1.15), иллюстрирующей правила выполнения операции div, в итоге получим   2 ∂ ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ ρ + + (2.12) =− . 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ε0 Данное уравнение играет важное значение в электростатике. Оно позволяет свести задачу о нахождении потенциала электрического поля к решению дифференциального уравнения второго порядка в частных производных. В математике для сокращенной записи левой части такого уравнения применяется специальный символ, называемый оператором Лапласа или лапласианом, которому в декартовых координатах соответствует ∂2 ∂2 ∂2 + + .

= ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Принимая эту форму записи, соотношение (2.12) представим в виде

ϕ = −

ρ . ε0

(2.13)

Это уравнение называют уравнением Пуассона. Его решение определяет потенциал поля в тех областях, где плотность зарядов отлична от нуля. Там, где заряд отсутствует, справедливо уравнение Лапласа

ϕ = 0.

(2.14)

Общее решение каждого из этих двух уравнений зависит от двух констант, которые могут быть определены из граничных условий. Конкретный вид этих условий зависит от физической постановки задачи.

22

Глава 2. Потенциал электростатического поля

С помощью полученных уравнений решим уже рассматривавшуюся задачу о нахождении электрического поля от заряженного с постоянной плотностью ρ бесконечного плоского слоя шириной 2a. Тогда внутри заряженного слоя, где потенциал в верхней полуплоскости обозначим ϕ1 (см. рис. 1.5), справедливо уравнение Пуассона, которое в одномерной постановке принимает вид d2 ϕ1 ρ =− . 2 dx ε0

(2.15)

Начальные условия определяют выбор нулевого уровня отсчета потенциала ϕ1 в середине слоя при x = 0, а так же равенство нулю напряженности поля E в этой плоскости, что обусловлено симметрией расположения заряда. ϕ1 (0) = E1 (0) = 0.

и

ϕ1 (0) = 0

Общим решением уравнения (2.15) является ϕ1 = −

ρx2 + A x + B, 2ε0

а из начальных условий следует равенство нулю обеих констант. При этом окончательный результат принимает вид: ϕ1 = −

ρx2 , 2ε0

E1 = −ϕ (x) =

ρx , ε0

а на границе заряженного слоя ϕ1 =

ρa2 , 8ε0

E1 = ϕ (a/2) =

ρa . 2ε0

Вне заряженного слоя, где ρ = 0, справедливо уже уравнение Лапласа, решение которого ϕ2 = Ax + B, а начальными условиями являются величина ϕ2 и E2 на на верхней границе заряженного слоя, которые могут были найдены из решения уравнения (2.15). Отсюда следует ϕ2 = −

aρ x 2ε0

и E2 =

aρ . 2ε0 ,

Найденное решение совпадает с полученным в 1.3.3.

2.3. Общая задача электростатики

23

Если электрическое поле создано заряженными металлическими поверхностями, то они обязательно являются эквипотенциалями, так как напряженность поля в электростатике может быть направлена только по нормали к этим поверхностям. Для того, чтобы эта задача могла быть решена (математики при этом говорят о корректной постановке задачи), необходимо задать значения потенциалов на этих поверхностях. Наиболее просто находится поле от одной заряженной поверхности с известным потенциалом. При этом условием для определения второй константы общего решения, является нулевое значение потенциала на бесконечности. Если же это две поверхности, то должны быть заданы потенциалы каждой из них. В тех случаях, когда известны не потенциалы, а плотность σ заряда на этих поверхностях, характер граничных условий изменяется. Выражение (1.19) позволяет восстановить вектор  полностью, так как определяет не только его модуль, но и устанавлиE вает, что он направлен по нормали к заряженной поверхности, которая должна быть задана и на которой ϕ = const. Таким образом для каждой точки этой поверхности определена производная от потенциала по нормали к этой поверхности  = ∂ϕ = n σ . E ∂n ε0

(2.16)

Математики доказали, что при комбинации всех этих способов задания граничных условий, постановка задачи корректна и решение уравнения Лапласа единственно. Этот чисто теоретический вывод важен для решения многих практических задач, так как позволяет заменять часть зарядов эквипотенциальной поверхностью (например проводником) и наоборот.

Глава 3

Электрическая ёмкость 3.1

Емкость изолированного проводника и конденсатора

Электростатическое поле удобно создавать, помещая свободные заряды на тонкие металлические пластины, которые всегда являются эквипотенциалями для этих полей. Рассмотрим некоторую уединенную пластину в вакууме. Зарядим эту пластину, подключив её на некоторое время к источнику с известным потенциалом ϕ0 . Потенциал на бесконечности как обычно примем равным нулю. На пластине появится заряд, который распределится по поверхности с некоторой плотностью σ, зависящей от координат таким образом, чтобы эта поверхность стала эквипотенциалью. Потенциал поля вне пластины будет удовлетворять уравнению Лапласа (2.14). Задача поставлена корректно, так как заданы все необходимые граничные условия. Она имеет единственное решение. Получив это решение и вычислив gradϕ, определим напряженность  направленного у поверхности по нормали к ней, электрического поля E, и воспользовавшись (1.19), найдем σ, а проинтегрировав последнее по поверхности и весь заряд q, который накопился на этой пластине. Увеличим потенциал поверхности в n раз до nϕ0 , подключив её к соответствующему источнику. Введя новый потенциал ϕ1 = nϕ, получим для нового потенциала ту же самую краевую задачу, которая только что была решена. Определив тем же способом новый заряд поверхности q1 , установим, что q1 = nq. 24

3.1. Емкость изолированного проводника и конденсатора

25

Таким образом потенциал пластины и её заряд всегда связаны линейной зависимостью q (3.1) ϕ= , C где коэффициент C называют электрической ёмкостью уединенного проводника. Вычислим ёмкость металлического шара радиуса R. Поместим на него заряд q. Теорема Гаусса устанавливает (см.рис.3.1) , что поток  через любую поверхность внутри шара, где не может быть вектора D заряда, равен нулю и поле там отсутствует. В качестве контрольной поверхности вне выберем концентрическую сферическую поверхность, радиуса r > R. Для этой поверхности из равенства потока заряду внутри неё следует 4πr2 D = q

и

E=

q . 4πε0 r2

Проинтегрировав эту напряженность по r от R до бесконечности, найдём потенциал шара: ∞ dr q q . ϕ= = 2 4πε0 r 4πε0 R

Рис. 3.1.

0

Подставив найденный потенциал в (3.1) определим его емкость. C = 4πε0 R. Важным частным случаем является система, состоящая из двух проводников, которую называют конденсатором. Эту систему обычно заряжают, перенося заряд с одной пластины на другую, что может быть осуществлено с помощью некоторого внешнего источника разности потенциалов. При этом пластины конденсатора запасают разные по знаку, но одинаковые по абсолютной величине заряды. Эту абсолютную величину заряда и называют зарядом конденсатора. Для вакуума, который находится между пластинами, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, а граничными условиями служат два разных его значения ϕ01 и ϕ02 на создающих поле пластинах. Такая постановка корректна и задача имеет единственное решение. Повторяя рассуждения, проведенные выше для одной поверхности, получим, что возникшая между

26

Глава 3. Электрическая ёмкость

пластинами разность потенциалов V12 = | ϕ01 − ϕ02 | так же пропорциональна заряду конденсатора q. V12 =

q . C12

(3.2)

Величина C12 получила название ёмкости конденсатора. Размерность емкости определим исходя из (3.2), используя (1.2) и (2.5). А 2 · с4 [q] = . (3.3) [C] = [V] кг · м2 Единица емкости в СИ, имеющая данную размерность, названа Фарадой. Величина емкости в 1 Фараду такова, что заряд в 1 Кул обеспечивает напряжение между пластинами конденсатора в 1 В. Таким образом 1 Фарада (Ф) = 1 ·

3.2

Кул . В

(3.4)

Ёмкость простейших конденсаторов

Плоский конденсатор. Плоский конденсатор образуют две параллельные достаточно большие плоскости с характерным размером l, расположенные на расстоянии d  l друг от друга. Большие размеры плоскостей позволяют пренебречь краевыми эффектами, что решающим образом упрощает расчёты. Если размеры конденсатора ограничены, то обычно полагают, что он имеет площадь S, вырезанную из больших пластин. Пусть на пластинах находятся заряды с плотностью соответственно +σ и −σ (см.рис.3.2). Напряженность поля между пластинами, следуя (1.19), равна: Рис. 3.2.

E=

σ , ε0

а разность потенциалов между ними V = Ed =

σd . ε0

3.2. Ёмкость простейших конденсаторов

27

Если площадь пластин конденсатора S, то его заряд равен q = σS и, исходя из (3.2), получим, что V ε0 S = . q d

C=

(3.5)

Цилиндрический конденсатор. Пусть цилиндрический конденсатор образуют две коаксиальные цилиндрические поверхности бесконечной длины с радиусами R1 и R2 (R1 < R2 ). Определим ёмкость конечного элемента длины l, вырезанного из этого конденсатора. На каждую единицу длины этих пластин поместим заряд с плотностью соответственно +σ и −σ. С помощью (1.22) установим, что напряженность электрического поля для R1 < r < R2 задается соотношением: E=

σ . 2πrε0

Разность потенциалов между обкладками получим после интегрирования этой напряженности по любому пути между обкладками. R2 V=

σdr σ R2 = ln . 2πrε0 2πε0 R1

R1

И, наконец, требуемую ёмкость найдём, разделив заряд выделенного элемента σl на полученную разность потенциалов V. C=

σl 2πε0 = . 2 V ln R R1

(3.6)

Сферический конденсатор. Сферический конденсатор образуют две концентрические металлические поверхности, радиусы которых R1 и R2 , а R1 < R2 . Если на них поместить заряды соответственно +q и −q, то из теоремы Гаусса сразу следует, что поле будет отлично от 0 только между этими поверхностями, а напряженность его будет равна E=

q . 4πε0 r2

Разность потенциалов между этими поверхностями составит R2 V= R1

q , 4πε0 r2

28

Глава 3. Электрическая ёмкость

а ёмкость конденсатора соответственно C=

q 4πε0 = . 1 1 V − R1 R2

(3.7)

Глава 4

Энергия поля и силы 4.1

Энергия электростатического поля

Рассмотрим некоторый конденсатор с постоянной ёмкостью C заряженный до напряжения V. Совершим работу по перемещению элементарного заряда dq с одной пластины на другую. Эта работа равна dA = V dq =

q dq. C

Если перенос заряда начался при нулевом напряжении и заряде, то к моменту завершения переноса некоторого конкретного заряда q будет совершена полная работа q A=

q2 C V2 q dq = = . C 2C 2

(4.1)

0

Так как до начала работы по переносу заряда электрического поля не было, то можно считать, что вся работа пошла на создание этого поля и превратилась в его энергию. Попытаемся связать эту энергию с величинами, характеризующими электрическое поле. Пусть конденсатор, в котором осуществлялся перенос заряда был плоским и все параметры его известны. В силу (3.5)емкость этого конденсатора C=

ε0 S . d

29

30

Глава 4. Энергия поля и силы

Так как разность потенциалов и напряженность поля в таком конденсаторе связаны соотношением V = E d, то вводя обозначение для полной энергии поля WE , можно записать A = WE =

ε0 S E 2 d . 2

(4.2)

Разделив эту энергию на объём конденсатора S d, получим плотность энергии wE электростатического поля, созданного внутри него. Это соотношение справедливо для плотности энергии любого электростатического поля. DE ε0 E 2 = . (4.3) wE = 2 2

4.2

Электростатические силы. Равновесие зарядов

Для известной системы N точечных дискретных зарядов силовое взаимодействие можно всегда рассчитать на основе принципа суперпозиции. Сила, действующая на j-тый заряд со стороны остальных зарядов, будет равна: N N
qj
qi i . E  r = q fj = j 4πε0 ri3 i=j

(4.4)

i=j

При обобщении этого выражения на непрерывное распределение возникают затруднения, так как в соответствии с определением напряженности при нахождении силы, действующей на пробный заряд, составляющая напряженности поля, которую создает этот пробный заряд, должна быть убрана из общей напряженности. В результате силовое воздействие уже определяется некоторой новой величиной напряженности поля, заметно отличающейся от той, которое соответствует истинному значению напряженности поля всего заданного распределения зарядов. Во многих важных случаях силу можно находить используя энергетический подход. Воспользуемся этим методом для определения давления, которое действует на границу разделяющую области, в одной из которых существует электрическое поле, в то время, как в другой оно равно нулю. Соответствующие границы раздела имеются в плоском

4.2. Электростатические силы. Равновесие зарядов

31

конденсаторе, который мы только что рассматривали. Действительно, поле между пластинами постоянно и однородно, а внутри металлической пластины оно равняется нулю. Направим ось 0X перпендикулярно плоскости пластин и выберем начало отсчета на одной из пластин так, как показано на рис. 4.1. Положение второй пластины зададим координатой x. Зарядим конденсатор зарядом Q. Сила с которой взаимодействуют пластины будет равна ∂WE . Fx = − ∂x Применим это соотношение к плоскому конденсатору, энергия которого находится исходя из (4.1) и (3.5). При x = d, получим  2 Q Q2 σ2 S ∂ W Q2 x Fx = − =− =− . =− 2C ∂x 2 S ε0 2 S ε0 2 ε0 Давление на пластины определим, разделив модуль этой силы на площадь пластин S: P =

σ2 | Fx | = . S 2 ε0

Воспользовавшись (1.19), задающей связь между σ и E в плоском конденсаторе, получим окончательный результат Рис. 4.1. DE . (4.5) P = 2 Полученное выражение полностью совпадает с (4.3). Пусть в некоторой части пространства находятся неподвижные электрические заряды. Тогда в свободных от них областях, где ρ = 0, справедливо уравнение Лапласа

ϕ = 0 Для того, чтобы показать, достаточно ли кулоновских сил для того, чтобы обеспечить равновесие такой системы, применим критерий, ранее уже использованный в разделе "Механика". Выделим небольшой заряд δq и сместим его на малое расстояние из области, занятой зарядами, в пространство, где их до этого не было. При этом потенциальная энергия системы измениться на   ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂U ∂U ∂U dU = δq dϕ = δq dx + dy + dz = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

32

Глава 4. Энергия поля и силы

Для того, чтобы равновесие было устойчивым система должна самопроизвольно вернуться в исходное положение, где она при этом имеет минимум потенциальной энергии. Известно, что необходимым условием минимума функции U = U (x, y, z) является требование того, чтобы в этой точке были выполнены неравенства: ∂2U > 0, ∂x2

∂2U > 0, ∂y 2

∂2U > 0, ∂z 2

∂2ϕ > 0, ∂y 2

∂2ϕ > 0. ∂z 2

или после деления на δq ∂2ϕ > 0, ∂x2

(4.6)

Но (4.6) не может иметь место, так как в той области, куда смещался заряд δq, было справедливо уравнение Лапласа. Поэтому сама по себе система электрических зарядов не может находиться в положении устойчивого равновесия. Для поддержания равновесия необходимо наличие сторонних сил. Эти силы чаще всего имеют короткий радиус действия.

Глава 5

Электрическое поле в среде 5.1

Поляризация диэлектриков

Влияние вещества на на электрическое поле можно проследить в экспериментах с плоским конденсатором, пластины которого настолько велики, что можно пренебречь искажениями поля на его границах. Этот конденсатор имеет пластины площади S, которые расположены на расстоянии d друг от друга и заряжены с поверхностной плотностью σ. Если ввести в такой конденсатор металлическую пластину так, как показано на рис.5.1, то напряжение между его пластинами будет зависеть от толщины этой пластины x. Эту зависимость легко найти исходя из того, что наРис. 5.1. пряженность поля внутри металла должна быть равна нулю. Для этого необходимо и достаточно, чтобы пластины были заряжены так, как показано на рисунке, а абсолютные величины зарядов σ и σ  были одинаковы. Тогда поле внутри конденсатора в пространстве, свободном от металла, создается только наружными обкладками, а его напряженность постоянна и в соответствие с (1.19) : E=

σ , ε0

33

34

Глава 5. Электрическое поле в среде

а напряжение между обкладками конденсатора будет составлять  x x σ σ  1− = V0 1 − , (5.1) V= (d − x) = ε0 ε0 d d d где V0 - напряжение на конденсаторе без пластины. Из определения ёмкости следует, что при введении пластины ёмкость C возрастает в соответствии с d C . = C0 d−x Если x ⇒ d, то и C ⇒ ∞. Подобные эксперименты с пластинами из незаряженного диэлектрика приводят к следующей зависимости V = V(x):  σ σ  x x V= (d − bx) = 1−b = V0 1 − b , (5.2) ε0 ε0 d d d где в диапазоне напряжений, неразрушающих диэлектрики, b является характерной константой для каждого диэлектрика, но всегда 0 < b < 1. а ёмкость конденсатора при этом возрастает как d C . = C0 d − bx Впервые увеличение ёмкости в том случае, когда диэлектрик полностью заполняет пространство между пластинами конденсатора, исследовал Фарадей, который охарактеризовал это увеличение коэффициентом κ, связанным с b очевидным соотношением κ= Рис. 5.2.

1 . 1−b

(5.3)

Сопоставление (5.1) и (5.2) даёт основание предполагать, что механизм, по которому осуществляется влияние диэлектрика, помещенного внутри конденсатора, на электрическое поле внутри этого конденсатора, так же связан с образованием противоположных по знаку, но одинаковых по величине поверхностных зарядов на плоскостях диэлектрика, обращенных к пластинам конденсатора. Однако поверхностная плотность этих индуцированных зарядов всегда меньше, чем плотность зарядов на пластинах. При этом напряженность поля внутри диэлектрика уже не становится равной нулю. Такие заряды мы будем называть в дальнейшем связанными, в то время, как заряды на обкладках

5.1. Поляризация диэлектриков

35

конденсатора – свободными. Из закона сохранения заряда следует, что объемная плотность зарядов внутри диэлектрика остаётся равной нулю. Определим напряженность электрического поля внутри такого конденсатора, изображенного на рис.5.2. С помощью теоремы Гаусса легко установить, что напряженность электрического поля E1 вне диэлектрика останется прежней, определяемой только свободными зарядами, т.е. E1 =

σ . ε0

Напряженность поля внутри слоя будет ослаблена наведенными зарядами: σ − σ E2 = . (5.4) ε0 Напряжение на конденсаторе после введения диэлектрика составит   σ σ − σ σ x (d − x) + x = V0 1 − V = E1 (d − x) + E2 x = . ε0 ε0 σ d Если диэлектрик полностью заполняет конденсатор, то x = d и напряжение на нем определяется выражением (5.2) , где b=

σ . σ

Таким образом увеличение ёмкости плоского конденсатора при заполнении его частично или полностью диэлектриком хорошо объясняется возникновением связанных зарядов разного знака на границах диэлектрика, причём отношение плотностей свободных и наведенных зарядов в области слабых однородных электрических полей является константой, характерной для каждого диэлектрика, которая не зависит от величины напряженности поля и от толщины слоя диэлектрика. Появление связанных зарядов на границе диэлектрика в электрическом поле называют поляризацией диэлектрика. Для количественного описания поляризации принято выражать σ  через напряженность поля E2 внутри этого диэлектрика. Исходя из соотношения (5.4))можно записать ε0 E2 ε0 E2 . = σ = σ 1 −1 − 1  σ b

36

Глава 5. Электрическое поле в среде

Вместо постоянной b в физике используется другая константа, обозначаемая греческой буквой χ – хи, получившая название диэлектрической восприимчивости, связанная с b соотношением χ=

b . 1−b

Поверхностная плотность связанных зарядов равна σ  = χ ε0 E2 ,

(5.5)

т.е. пропорциональна напряженности поля внутри диэлектрика. Выразим напряженность E2 через плотность свободных зарядов. Из (5.4) и (5.5)следует: E2 =

1 σ . ε0 1 + χ

Так как диэлектрик заполняет весь конденсатор, то величина 1 + χ определяет, во сколько раз из-за этого возрастает его ёмкость, поэтому совпадает с введенным Фарадеем коэффициентом κ (5.3). Но так уж случилось, что увеличение ёмкости (и снижение напряженности поля при фиксированном заряде на пластинах) принято характеризовать буквой ε, поэтому: ε = 1 + χ. (5.6) Обозначаемая через ε константа диэлектрика получила название диэлектрической проницаемости. Таким образом напряженность E поля внутри плоского конденсатора (индексы опускаем), заполненного однородным диэлектриком, будет удовлетворять соотношению: E=

σ ε0 ε

.

(5.7)

Это соотношение дало основание доопределить ранее введенный для  (1.9), связав его для диэлеквакуума вектор электрической индукции D триков с вектором напряженность поля:  = ε0 ε E.  D  зависит только от свободных зарядов. Важно, что вектор D

(5.8)

5.2. Механизм поляризации диэлектриков. Вектор поляризации.

5.2

37

Механизм поляризации диэлектриков. Вектор поляризации.

Диэлектрик был определен как вещество, в котором положительные и отрицательные электрические заряды не могут свободно перемещаться независимо друг от друга. Причина здесь в том, что заряды объединены в атомы и молекулы, где они прочно удерживаются сторонними силами. Существуют такие диэлектрики, молекулы которых в нормальном состоянии обладают высокой симметрией. Тогда усреднение по времени даже в объеме молекулы из-за быстрого движения электронов равномерно размазывает отрицательные заряды по объему всей молекулы, в центре которой находится положительный заряд. Такие молекулы в отсутствии поля не имеют дипольного момента. Если же их поместить в электрическое поле, то электронные облака деформируются, в то время как более тяжелые и сильно связанные сторонними силами ядра практически не изменяют своего положения. Центр усредненного отрицательного заряда теперь уже не совпадает с положительным. И молекулы, и атомы в этом случае приобретают дипольный момент. Такую поляризацию называют электронной. Но существуют исходно несимметричные молекулы, у которых центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Такие молекулы называют полярными. Мы ограничимся рассмотрением тех случаев, когда поля внутри молеРис. 5.3. кул много сильнее внешних. Тогда их дипольный момент  p можно считать постояненным. В отсутствии электрического поля диполи из-за теплового движения совершают колебания, направления которых хаотичны. Дипольные моменты смотрят в разные стороны и после усреднения суммарный момент любого объема, в котором допустимо усреднение, равен нулю. Но если такие диполи поместить в электрическое поле так, как показано на рис.5.3, то на них будет действовать момент сил  = q l × E  = p × E,  K стремящийся повернуть диполи таким образом, чтобы вектор l был ориентирован по полю. Однако полная ориентация невозможна из-за сто-

38

Глава 5. Электрическое поле в среде

ронних сил и теплового движения. Но колебания каждого диполя изменяются так, что положение равновесия смещается в направлении зада Положительные и отрицательные заряды близлеваемом вектором E. жащих диполей начинают двигаться в противоположных направлениях, что в конечном итоге приводит к появлению избыточного заряда на границе любого выделенного объёма. Суммарный заряд внутри этого объёма остаётся равным нулю. Эти правила применимы и для бесконечно малого объёма, в котором проведено усреднение. Такую поляризацию называют ориентационной. В результате электронной и ориентационной поляризации каждый ранее нейтральный элементарный объём становится большим диполем. Количественной характеристикой поляризации единицы объема служит физическая величина, называемая вектором поляризации. Вектор поляризации P определяет электрический момент единицы объёма диэлектрика. Он равен векторной сумме электрических моментов всех диполей в этом объёме:
P = pi . В однородном диэлектрике при постоянной напряженности поля поляризация однородна и вектор P одинаков по всему объёме. Пусть единичный объём представляет собой пластинку с площадью S и толщиной  Вследствие поляризации на S d, ориентированную перпендикулярно E.  возник заряд с плотностью σ и вектор её поляризации будет направлен по полю и (5.9) P = Sdσ  = σ, так как Sd = 1. В силу (5.5) с учетом того, что и E2 теперь уже обозна получим чен как E,  P = χε0 E.

(5.10)

Вектор поляризации в веществе отличен от нуля только в том случае, если в диэлектрике за счёт свободных зарядов создано электрическое поле. В неоднородном электрическом поле вектор P меняется от точки к точке, вследствие чего в диэлектрике возникают объемные связанные заряды ρ . Выведем соотношение, устанавливающее связь между P и ρ . С этой целью выделим внутри поляризованного диэлектрика прямоугольный параллелепипед, с ребрами dx, dy, dz, расположенный так, как показано на рис.5.4. Вектор поляризации в этом случае для любой точки пространства может быть представлен в виде суммы трех компонент.

5.2. Механизм поляризации диэлектриков. Вектор поляризации.

39

P = ı Px +  Py + k Pz Рассмотрим влияние компоненты Pz на приращение заряда в этом объёме. В соответствие с (5.8) мы вправе записать Pz (z + dz) − Pz (z) = −[σ(z + dz) − σ(z)]. Знак минус в правой части возник потому, что направление вектора поляризации по определению совпадает с направлением напряженности поля, которое так же по определению направлено от положиРис. 5.4. тельных зарядов. Поэтому положительные заряды будут вытесняться из области с большими E и P. После простых преобразований получим: ∂Pz dz = −[σ(z + dz) − σ(z)], ∂z ∂Pz σ(z + dz) − σ(z) =− . ∂z dz Введём в рассмотрение объемную плотность заряда ρz , обязанную своим возникновением Pz . Из определения плотности следует ρz =

откуда

[σ(z + dz) − σ(z)] dS [σ(z + dz) − σ(z)] dxdy dqz = = = dV dV dxdydz σ(z + dz) − σ(z) , dz

∂Pz = −ρz . ∂z Итоговую плотность связанных зарядов получим, просуммировав аналогичные соотношения по всем трем компонентам: ∂Px ∂Py ∂Pz + + = −[ρx + ρy + ρz ] = −ρ. ∂x ∂y ∂z Полученное уравнение обычно записывают в форме divP = −ρ .

(5.11)

40

Глава 5. Электрическое поле в среде

5.3

Электрическое поле при наличии диэлектрика

Электрическое поле в среде остаётся кулоновским и для его описания могут быть также применены ранее выведенные уравнения для вакуума, если сюда добавить связанные заряды, возникающие вследствие поляризации. Таким образом уравнение (1.16) трансформируется в  вакк = ρ + ρ , (5.12) divD где ρ – плотность свободных, ρ – связанных зарядов, а вектор индукции  вакк = ε0 E  сохраняет тот же физический смысл, что и в вакууме. D Подставим сюда ρ из (5.11).  вакк = ρ − divP , divD  вакк + P ) = ρ. div(D Так как в области слабых полей сохраняется линейная связь между  и P , задаваемая (5.10), то E  + ε0 χE)  = div ε0 (1 + χ)E  = ρ. div(ε0 E С учетом (5.6) и (5.8) получаем итоговое уравнение  = divD  = ρ. div ε0 εE

(5.13)

 представляет соТаким образом и в неоднородных полях вектор D бой физическую величину, определяемую только свободными зарядами. Соотношение (5.13) представляет собой дифференциальную форму теоремы Гаусса для доопределенного в соответствие с (5.8) вектора ин Интегральная форма этой теоремы для точечного заряда дукции D. следуя (1.12) имеет вид   = q.  dS D S

Выбрав в качестве поверхности S сферическую поверхность радиуса r, легко найдём, что величина D изменяется с ростом r как D=

q . 4πr2

5.4. Электрическое поле на границе раздела диэлектриков

41

Тогда величина напряженности поля, определённая с учетом (5.8) E=

1 q , 4πε0 ε r2

т.е. ослабляется в ε раз относительно напряженности поля в тех же условиях в вакууме, а сам закон Кулона (1.1) принимает вид: F =

5.4

1 q1 q2 r. 4πεε0 r3

(5.14)

Электрическое поле на границе раздела диэлектриков

Пусть два однородных диэлектрика разделены плоской границей (см рис. 5.5). В каждом из них заданы диэлектрические проницаемости ε1 и ε2 а так же напряженности электрического поля E1 и E2 , которые мы будем полагать пока постоянными.

Рис. 5.5.

Рис. 5.6.

 по прямоугольному контуру L, две стороны Циркуляция вектора E которого длины l параллельны границе раздела, а две другие длиной h – перпендикулярны, будет равна нулю, так как поле кулоновское. В этом конкретном случае   l = l E1τ − l E2τ = (E1τ − E2τ ) = 0, Ed L

42

Глава 5. Электрическое поле в среде

так как в силу симметрии составляющие циркуляции по боковым элементам контура длиной h взаимно уничтожаться. Таким образом E1τ = E2τ ,

(5.15)

 на участки контура, параллельгде E1τ и E2τ – проекции вектора E ные границе раздела. Устремив h → 0, мы получим, что этот результат справедлив и на границе раздела. Соотношение (5.15) остаётся справедливым и тогда, когда граница раздела не плоская. Этот результат легко получить, если при оценке циркуляции одновременно устремить к нулю h и l.  на границе Для того, чтобы определить как ведёт себя вектор D 1 раздела, воспользуемся теоремой Гаусса. Для двух сред, в которых D  и D2 постоянны, а граница плоская, в качестве контрольной поверхности используем поверхность цилиндра, расположенного так, как это показано на рис.5.6. Для кулоновского поля внутри поверхности имеет место (1.14)    S  = ρdV, Dd S

V

где V – объём поверхности, охватываемый цилиндром, а ρ - объемная плотность зарядов в средах. Соотношение между нормальными состав по обе стороны границы D1n и D2n найдём, устреляющими вектора D мив h → 0. Объём V а также интеграл по этому объёму обратиться при этом в ноль и в результате мы получим   S  = D1n S − D2n S = 0, Dd S

откуда сразу следует D1n = D2n .

(5.16)

Полученное соотношение между нормальными составляющими векто по обе стороны границы не зависит от объемной плотности заряра D дов.Однако, если на поверхность раздела внести заряды извне, вектор индукции при переходе через границу сохраняться уже не будет.

5.5. Энергия электрического поля и силы в диэлектрике

5.5

43

Энергия электрического поля и силы в диэлектрике

Рассмотрим плоский конденсатор ёмкости C, подключенный к источнику постоянного напряжения V. Тогда в соответствие с (4.1) его энергия равна CV 2 . WE = 2 Если мы введём в этот конденсатор диэлектрик, который заполнит его полностью, то, как было показано, выше его ёмкость, а соответственно и энергия увеличатся в ε раз. Так как геометрические размеры конденсатора при этом не изменятся, то плотность энергии возрастет то же в ε раз и в соответствии с (4.3) wE =

DE D2 εε0 E 2 = = . 2 2 2ε

(5.17)

Найдём величину давления, которое возникает в среде, заполненной диэлектриком, когда напряженность поля в нём отлична от нуля. Для этого определим вначале силу притяжения между пластинами плоского изолированного заряженного конденсатора с площадью пластин S, находящегося в пространстве, заполненном несжимаеРис. 5.7. мым однородным жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε (см.рис.5.7 ). Как и для поля в вакууме, применим для этого энергетический подход. Направим ось 0X от отрицательной пластины к положительной и сместим положительную пластину на величину dx. Плотность энергии внутри конденсатора при этом в силу (5.17) останется неизменной, так как D определяется только свободными зарядами, которые находятся только на пластинах конденсатора, не подключенных ни к какому внешнему источнику напряжения. Так как объём конденсатора при этом увеличиться на величину dV = Sdx, то его энергия в свою очередь возрастет на dWE = wE dV = wE Sdx. В соответствии с энергетическим подходом, сила взаимодействия

44

Глава 5. Электрическое поле в среде

между пластинами будет Fx = −

wE = −wE S, dx

а давление, стремящееся в данном случае сблизить пластины P =

| Fx | DE = wE = . S 2

(5.18)

Глава 6

Постоянный электрический ток 6.1

Закон Ома.

Электрический ток представляет собой упорядоченное движение зарядов, которые называют ещё носителями тока. В твердых телах носителями являются электроны, а в жидкостях и газах – ещё и положительные и отрицательные ионы. Объектом нашего дальнейшего изучения будут твёрдые тела и поэтому все носители будут одинаковы. Тела, хорошо проводящие электрический ток, называют проводниками. Обычно это металлы или их сплавы. Металл состоит из кристаллической решётки, в узлах которой находятся положительные ионы. Тепловое движение ионов представляет собой колебание относительно положения равновесия. Электроны в металлах слабо связаны с кристаллической решеткой и ведут себя фактически так же, как идеальный газ. Концентрацию носителей тока в единице объёма обозначим через n. Если на электроны в металле не действует никакая внешняя сила, то они совершают тепловое движения, для которого средняя скорость v¯t = 0. Если же эта сила существует, то в том направлении, в котором она действует, носители движутся с дрейфовой скоростью, которую мы обозначим через u. Поток заряженных частиц в единицу времени через единичную площадь называют плотностью электрического тока и обозначают . Она имеет размерность 45

46

Глава 6. Постоянный электрический ток А . м2 Для частиц с зарядом q этот поток равен [j] =

(6.1)

 = nqu.

(6.2)

Для положительных зарядов вектор j направлен так же, как и скорость u. Если одновременно перемещаются и положительные и отрицательные носители, то они дают две компоненты тока, направленного в сторону движения положительных зарядов. Пусть в пространстве задано распределение плотности тока как функция координат и времени. Тогда количество электричества dQ, перено симое в единицу времени через некоторую элементарную площадку dS, будет равно скалярному произведению плотности тока на элементарную площадку:  = jn dS. (6.3) dQ = dS Пусть в заданном участке пространства протекает ток, плотность которого в каждой точке пространства не изменяется со временем. Выделим в этом пространстве некоторый жестко зафиксированный объём V , ограниченный поверхностью S. Из закона сохранения заряда при этом сразу следует   = 0. dS (6.4) S

Дифференциальная форма этого соотношения имеет вид: div = 0.

(6.5)

Обычно электрический ток в проводниках возбуждают, создав в них электрическое поле. Многочисленные эксперименты, проведенные для различных тел, свидетельствуют, что в широких пределах для физически однородных веществ плотность электрического тока пропорциональна напряженности электрического поля в данной точке вещества:   = σ E.

(6.6)

Полученное соотношение представляет закон Ома в дифференциальной форме. Входящую в него величину σ называют удельной проводимостью или электропроводностью. Размерность σ в соответствии с (1.7) и (6.2) равна А2 · с3 [j] = 3 . (6.7) [σ] = [E] м · кг

6.1. Закон Ома.

47

а величину ρ, обратную σ, – удельным сопротивлением ρ=

1 . σ

(6.8)

Покажем, что в однородном проводнике, по которому течет постоянный ток, объемные заряды отсутствуют. Из (6.3) и (6.5) следует:   = 0 и divD  = 0.  = div σ D = σ divD div = divσ E ε0 ε ε0 ε Отсюда ясно, что в проводнике с током заряды могут скапливаться только на поверхности, т.е. он ведёт себя так же, как проводник в электростатике. Аналогия идёт ещё дальше, так как из условия стационарности распределение зарядов во времени остаётся неизменным. Однако, в отличии от электростатики, электрическое поле внутри проводника уже не равно нулю, что и является в конечном итоге причиной возникновения и существования самого тока. В самых распространенных проводниках – металлах, носителями тока являются электроны и поэтому q = e. Из (6.2) и (6.6) следует, что несмотря на постоянно действующую силу, обусловленную отличной от нуля постоянной по величине напряженностью E, дрейфовая скорость электронов сохраняет постоянное значение. Следовательно, при взаимодействии потока электронов с решеткой должна возникать некоторая сила сопротивления Fсоп . Количественное определение этой силы в рамках классической физики невозможно, однако механизм её возникновения можно пояснить. Двигаясь внутри металла, электроны испытывают соударения с кристаллической решеткой и друг с другом. Последние не влияют на характер дрейфового движения и учитываться нами не будут. В промежутках между соударениями каждый электрон движется с постоянным ускорением Ee , we = me где me масса электрона, а e - его заряд. Так как масса электрона на три-четыре порядка меньше, чем масса, сосредоточенная в узле решетки, модуль скорости электрона при соударении сохраняется. Поэтому остановка электронов происходит только в результате усреднения по многим актам взаимодействия и является следствием их изотропного рассеяния на узлах решётки. Именно таким образом формируется сила сопротивления, пропорциональная скорости дрейфового движения.

48

Глава 6. Постоянный электрический ток

Эту силу принято характеризовать величиной инерционного времени τин , которое определяется соотношением u . (6.9) τин Закон Ома справедлив в том случае, если для дрейфовой скорости имеет место l ∼ vT , (6.10) u τин где l – расстояние между узлами решетки. В этом случае плотность электронов и инерционное время не зависят от напряженности поля внутри металла. Покажем, что это условие практически всегда выполняется. Для этого сопоставим предельно допустимые значения u с тепловой скоростью электронов в металле. Известно, что наибольшая технически допустимая плотность тока в меди составляет j = 103 А /см2 . Атомный вес меди A и ее плотность ρ составляют соответственно 63 и 8,9 г/см3 . Полагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, для концентрации свободных электронов n получим Fсоп = −me ·

n=

Nρ ≈ 8, 5 · 1022 см−3 . A

Здесь N – число Авагадро. Из (6.2) следует u=

м j ≈ 62, 5 nq c

для q = e = 1, 6 · 10−19 K. Тепловая скорость электронов, вносящая вклад во время свободного полета электронов между соударениями о узлы кристаллической решетки, может быть определена на основе квантовой статистики. Однако снизу она может быть оценена и из классической кинетической теории, где она будет соответствовать среднему значению распределения для компоненты скорости для электрона с массой m = 9, 24 · 10−28г при температуре T = 300◦ K.  3kT м = 6, 7 · 106 . vT ≈ m с Сопоставление полученных значений j и vT показывает, что в реальных токовых цепях с металлическими проводниками (6.10)всегда имеет место.

6.2. Интегральный закон Ома

49

В силу изложенного в кулоновском поле имеет место Fсоп = −eE. В соответствии с (6.2), (6.6) и (6.9) получим σ=

u=−

neu j = , E E

Fсоп τин eEτин = , me me

σ=

ne2 τин . me

Энергия, приобретаемая электронами в процессе ускорения, в результате изотропного рассеивания переходит в тепловую энергию проводника. Соответствующая мощность qeT , обязанная одному электрону, движущемуся со скоростью v, равна qeT = vF = veE = (vT + u)eE. В результате усреднения составляющая скорости, обязанная тепловому движению, обращается в ноль и величина этой работы для всех электронов единицы объёма не содержит vT . qT = nueE. Принимая во внимание (6.2) , мощность тепловыделения в единице объёма qT можно представить в виде: j2 = σE 2 . (6.11) σ Данная формула представляет закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме. qT = jE =

6.2

Интегральный закон Ома

Кулоновские силы в проводнике не могут обеспечить существование постоянного тока, так как через некоторое время, переместившись, заряды нейтрализуют друг друга, поле исчезнет и ток прекратиться. То, что постоянный ток протекает в течение длительного времени, обусловлено воздействием иных сил, называемых сторонними. Такими силами, в частности, могут быть чисто механические, которые возникают при

50

Глава 6. Постоянный электрический ток

движении проводника с ускорением или по криволинейной траектории. Сторонние силы возникают в растворах с градиентом концентрации заряженных частиц, а так же при химических реакциях в так называемых гальванических элементах. Наиболее широко на практике и в эксперименте приходится иметь дело со сторонними силами, обусловленными магнитными полями. Силовое воздействие сторонних сил задают вели стор . При наличии сторонних сил соотношение чиной напряженности E (6.6) трансформируется в  +E  стор ).  = σ(E

(6.12)

Для того, чтобы в цепи протекал электрический ток, достаточно, чтобы сторонние силы были отличны от нуля на некотором её участке, который принято называть источником тока. Если внешнюю цепь разомкнуть, то  обратиться в 0, а внутри источника, где σ > 0, будет  создаваемое постоянным  +E  стор = 0. Так как поле E, иметь место E током, всегда потенциально, то поле сторонних сил внутри источника потенциально также. В общем случае электрический ток протекает в объеме, заполненном проводящей средой. Для того, чтобы он не изменялся во времени, на как минимум на двух поверхностях внутри этой среды, должны поддерживаться постоянные не равные друг другу значения потенциалов. Тогда распределение потенциалов в пространстве может быть найдено после решения задачи Коши для уравнения Лапласа. Далее с помощью (2.4) определяется распределение напряженности, а применение (6.6) позволяет установить j в каждой точке пространства. Если электрический ток течет вдоль тонких проводов, то плотность тока одинакова по сечению S, которое может быть и переменным. Количество электричества, проходящее через поперечное сечение провода в единицу, времени называют силой тока, которую обозначают буквой I. Поэтому для тонких проводов, у которых направление тока всегда совпадает с направлением оси проводника, I = jS.

(6.13)

Из закона Ома в форме (6.12) следует E + E стор =

I j = . σ σS

Выделим в электрической цепи участок, находящийся между точками 1 и 2 (см. рис.6.1). Этот участок содержит источник ЭДС, а од-

6.2. Интегральный закон Ома

51

нородные тонкие провода выполнены из материала с проводимостью σ. Проинтегрировав полную напряженность по всей длине участка, получим 2 2 2 dl стор . Edl + E dl = I σS 1

1

1

Первый интеграл представляет собой разность потенциалов между точками 1 и 2 2 ϕ2 − ϕ1 =

(6.14)

Edl.

Рис. 6.1.

1

Для рассматриваемой нами схемы второй интеграл характеризует стороннее электрическое поле, отличное от нуля только внутри гальванического элемента. Поле внутри источника не зависит от пути и является свойством самого элемента. Этот интеграл называют электродвижущей силой данного элемента и обозначают буквой E или ЕДС. Таким образом 2 (6.15) E = E стор dl. 1

Интеграл в правой части 2 R=

dl σS

(6.16)

1

получил название электрического сопротивления провода . Поэтому интегральная форма закона Ома для участка цепи принимает вид ϕ2 − ϕ1 + E = IR. (6.17) Если участок цепи не содержит источника сторонних сил, то закон Ома трансформируется в V = ϕ1 − ϕ2 = IR.

(6.18)

52

Глава 6. Постоянный электрический ток

Соотношение (6.18) используют для введения единицы сопротивления, получившей название Ом. Сопротивлением в 1 Ом обладает проводник, падение напряжения на котором составляет 1 Вольт при протекании по нему тока 1 Ампер. Размерность Ома через основные единицы системы СИ установим с помощью (2.5). [R] =

кг · м2 [V] = 3 . [I] с · А2

(6.19)

С учетом (6.19), размерность σ, следующая из (6.7), может быть представлена в виде: (6.20) [σ] = Ом−1 м−1 . Закон Джоуля – Ленца для конечного проводника длиной l12 получим интегрированием (6.11) по его объёму V . Представив элемент объёма в виде dV = Sdl, получим 2 qT =

j2 Sdl = I 2 σ

1

6.3

2

dl = I 2 R. σS

(6.21)

1

Правила Кирхгофа

Кирхгоф сформулировал два правила, позволяющих рассчитывать режимы цепей, содержащих источники ЭДС, омические сопротивления и тонкие провода. Первое правило Кирхгофа характеризует баланс токов для узла, в котором токи ветвятся. Узлом называется точка, в которой соединяются 3 и более проводов. Оно является следствием интегрального соотношения (6.4) и устанавливает, что для каждого узла, связывающего N , токов имеет место N


Ii = 0.

(6.22)

i=1

Это правило имеет смысл, так как втекающим и вытекающим токам присваивают различные знаки. Один из таких узлов, объединяющий три тока, представлен на рис.6.2. При составлении суммы (6.22) втекающие токи входят в неё со знаком "+", а вытекающие – со знаком "−". Если в процессе решения какой

6.3. Правила Кирхгофа

53

Рис. 6.2.

Рис. 6.3.

либо ток будет получен со знаком минус, то его направление следует изменить на обратное. Второе правило Кирхгофа является следствием применения (6.17) к произвольному замкнутому контуру, составленному из базовых элементов, указанных выше. Рассмотрим контур, представленный на рис. 6.3, который является некоторым фрагментом, выделенным из более сложного контура. Разобъем его на 4 участка так, как показано на рисунке. Границы участков находятся в точках 1, 2, 3, 4. Значения потенциалов в этих точках априорно неизвестны. Последовательное применение (6.17) к участкам контура 1 – 2, 2 – 3, 3 – 4, 4 – 1, которое трактуют как обход контура в направлении, указанном на рисунке стрелкой, приводит к системе уравнений ϕ2 − ϕ1 − E1 = R1 I1 , ϕ3 − ϕ2 − E2 = −R2 I2 , ϕ4 − ϕ3 + E3 = R3 I3, ϕ1 − ϕ4 + E4 = −R4 I4 . Сложив эти уравнения, получим итоговое равенство, выражающее второе правило Кирхгофа, в которое промежуточные потенциалы уже не входят: R1 I1 − R2 I2 + R3 I3 − R4 I4 = E1 + E2 − E3 − E4 . Применение правил Кирхгофа позволяет определить токи в любой разветвленной цепи постоянного тока. Для достижения этой цели рекомендуется изложенный ниже порядок действий.

54

Глава 6. Постоянный электрический ток

1. В исследуемой цепи выделяют все узлы и произвольным образом выбирают направление тока в каждой ветви. 2. Разбивают цепь на контуры и устанавливают произвольным образом направление обхода для каждого контура, необходимого для применения второго правила Кирхгофа. 3. Составляют уравнения, используя первое правило Кирхгофа, причём токи, втекающие в узел входят в сумму с положительным знаком, а выходящие – с отрицательным. 4. Осуществляют циркуляцию по контурам для составления уравнений по второму правилу Кирхгофа. При этом произведения Ik Rk входят в левую часть уравнения со знаком "+", если направление тока совпадает с направлением обхода, и со знаком "− ", если эти направления противоположны. ЭДС входят в правую часть со знаком "+", если при обходе контура первым пересекается отрицательный полюс батареи и наоборот. 5. Если какой-либо ток, найденный в результате решения, будет отрицательным, то его направление должно быть изменено на противоположное. При составлении системы уравнений необходимо следить за тем, чтобы число неизвестных и уравнений было одинаковым.

Глава 7

Магнитное поле токов в вакууме 7.1

Взаимодействие линейных токов

В результате прямых измерений Ампер установил, что два коротких прямолинейных отрезка ∆l1 и ∆l2 с токами соответственно I1 и I2 , находящиеся друг от друга на расстоянии r12 ∆l1 ∼ ∆l2 , взаимодействуют с силой I1 · I2 ∆l1 × (∆l2 × r12 ) F12 = k . 3 r12

(7.1)

Значение коэффициента пропорциональности k зависит от выбора системы единиц. В системе СИ единица силы тока Ампер является основной единицей. По определению 1 Ампер – это сила такого постоянного тока, который, протекая по двум параллельным прямолинейным тонким проводам, удаленным на 1 метр, вызывает силу воздействия на каждый метр провода этой линии F = 2 · 10−7 Ньют. Величина k может быть определена, если на основе (7.1) получить аналитическое выражение для этой силы. В системе СИ вместо k вводят новую константу µ0 µ0 = 4π k.

(7.2)

Представим (7.1) в виде двух сомножителей. Тогда для бесконечно 55

56

Глава 7. Магнитное поле токов в вакууме

малых отрезков токов dl1 и dl2 имеет место:  1, dF12 = µ0 I2 · dl2 × dH

(7.3)

1 I1 · dl1 × r12 · . 3 4π r12

(7.4)

1 = dH

Как и в случае с разбиением на сомножители закона Кулона (1.1), которое позволило, исходя из конечности скорости распространения любого сигнала, ввести новый объект – электрическое поле, соотношения  называют вектором (7.3)) и (7.4) определяют магнитное поле. Вектор H напряженности этого поля. Для определённого таким образом магнитного поля, так же как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции, в соответствие с которым при наложении нескольких полей итоговое поле находят векторным суммированием. N
 k.  = H H k

Проинтегрировав (7.4) можно в выбранной точке пространства найти напряженность магнитного поля любого тонкого нитевидного тока I, протекающего по контуру L. Соответствующий интеграл определяет закон, который называют законом Био-Саввара.  = 1 H 4π



Idl × r . r3

(7.5)

L

Следует помнить, что этот результат применим только для постоянных токов. Используя (7.5), вычислим напряженность магнитного поля от бесконечного прямолинейного тока на расстоянии R от провода (рис. 7.1). Силовые линии поля, как того требует векторное произведение dl × r, перпендикулярны плоскости рисунка. Для любой плоскости, полученРис. 7.1. ной вращением исходной вокруг провода, картина сохраняется. Поэтому в пространстве силовые линии представляют собой окружности. Вычислим вклад в напряженность поля

7.1. Взаимодействие линейных токов

57

участка провода длиной dl. Исходя из ((7.4)) получим: dH =

I dl · r · sin(90 + α) · . 4π r3

Из рисунка очевидно, что dl =

ds , cos α

ds = rdα,

r=

R , cos α

откуда I · cos α dα, 4πR что после интегрирования приводит к dH =

I H= 4πR

+π/2 

cos α dα = −π/2

I . 2πR

(7.6)

На основе (7.6) в СИ вводится единица напряженности магнитного поля. Эта напряженность обеспечивается током в 1 Ампер, протекающим по бесконечному прямому проводу в точке, удаленной от оси этого 1 провода на расстояние м. Такая единица получила название Ампер 2π А на метр и обозначается 1 . м Из (7.3) и (7.6) следует, что бесконечно длинный провод с током I притягивает параллельный ему проводник длиной l с таким же током, удаленный на расстоянии R, с силой F = µ0 ·

I2 · l . 2π R

Подставляя сюда известное значение силы F = 2 · 10−7 Ньют для l = R = 1м и I = 1А, определим значение µ0 : µ0 = 4π · 10−7

кг · м = π · 10−7 единиц СИ = 4π · 10−7 Генри/м. (7.7) с2 · А2

Здесь введена новая единица измерения – Генри, имеющая размерность кг · м2 . (7.8) [Генри] = 2 с · А2 Её физический смысл будет рассмотрен позднее.

58

Глава 7. Магнитное поле токов в вакууме

В системе CGSE размерность заряда уже определена нами ранее при формулировке закона Кулона: [q] = г1/2 · см3/2 · с−1 . Размерность тока в этой системе равна [I] =

дин1/2 · см [q] = г1/2 · см3/2 · с−2 = , [t] с

а размерность k соответственно [k] =

[F ] с2 = . [I]2 см2

Принимая во внимание, что 1Ньют = 105 дин, а 1А = 3 · 109 ед. тока СГСЕ, величину k найдём, исходя из уже известной силы взаимодействия между бесконечным и метровым проводами: k=

F ·R . 2I 2 · l

Но l = R и k=

F 2 · 10−2 с2 1 с2 = · 2 = · 2. 2 18 20 2I 2 · 9 · 10 см 9 · 10 см

Проведенные вычисления привели к знаменательному результату, суть которого в том, что в системе СГСЕ величина коэффициента в законе Ампера выражается только через скорость света в вакууме c: 1 . (7.9) c2 Так как на проводник с током в магнитном поле действует сила, то некоторая сила действует и на каждый его движущийся электрон. Определим эту силу исходя из (6.2) и (7.3). Для проводника l и тока I = jS = neuS, движущегося вдоль оси проводника, получим: k=

 = µ0 nlS · u × H  = µ0 N e · u × H.  F = µ0 neuS · l × H Разделив суммарную силу на число зарядов, получили выражение для силы, действующей на один электрон в магнитном поле. Для этого частного случая данная формула была получена Лорентцем и эта сила названа силой Лорентца.  Fл = µ0 e · u × H.

(7.10)

 7.2. Теорема о циркуляции вектора H

7.2 7.2.1

59


Теорема о циркуляции вектора H Теорема о циркуляции для конечного контура

Силовые линии магнитного поля замкнуты, в силу чего именно цир по замкнутому контуру является информативной характекуляция H ристикой этого поля. Покажем это на примере циркуляции по контуру, совпадающему с силовой линией поля, создаваемого бесконечным прямолинейным током. Так как любая силовая линия такого тока – окружность, например, радиуса R, то    I   · 2πR = I. Hdl = H dl = H dl = 2πR L

L

L

Это свойство циркуляции сохраняется для произвольного замкнутого контура, охватывающего этот же ток. Пусть dl – некоторый бесконечно малый элемент произвольного контура, а ds– контура, совпадающего с силовой линией, удаленной от провода на расстояние R. Между этими величинами существуют следующие очевидные соотношения:  dl = H cos β dl, H dl =

ds , cos β

ds = R dα,

I . 2πR Значение самого интеграла зависит от того, охватывает или не охватывает ток выбранный контур: H=

 L

 dl = I H 2πR



2π R dα =

Рис. 7.2.

I, если проводник внутри контура, (7.11) 0, если проводник вне контура.

0

В силу принципа суперпозиции соотношение (7.11) может быть распространено на любое количество дискретных токов. Если N из них находится внутри контура, тогда  N
 dl = H Ik . (7.12) L

k=1

60

Глава 7. Магнитное поле токов в вакууме

Если токи распределены в пространстве непрерывно с плотностью j, которая является функцией координат, то: 

  dl = H

L

 j dS.

(7.13)

S

Здесь контур L полностью охватывает поверхность S.

7.2.2


Применение теоремы о циркуляции вектора H для определения напряженностей магнитных полей

 в ряде случаев помогает найти Теорема о циркуляции вектора H напряженность магнитного поля по заданному распределению плотности тока j, если это распределение таково, что позволяет сразу определить форму силовой линии и вычислить значение интеграла, задающего  вдоль этой линии. Рассмотрим некоторые конциркуляцию вектора H кретные примеры. Магнитное поле прямолинейного бесконечного проводника с равномерно распределенным током. Постольку поскольку проводник бесконечен и плотность тока j в нём не зависит от r, задача обладает осевой симметрией и силовые линии магнитного поля как внутри, так и вне проводника представляют собой концентрические окружности.

Рис. 7.3.

Рис. 7.4.

На рис.7.3, где представлено поперечное сечение данного проводника, они имеют радиус r. Для контуров, совпадающих с обеими выделен-

 7.2. Теорема о циркуляции вектора H ными силовыми линиями,

61

  dl = 2π r H. H L

Контур, находящийся внутри проводника, охватывает только часть его тока, поэтому  j dS = j · πr2 .

I= S

Применяя теорему о циркуляции получим 2πr H = j · πr2 , откуда jr следует H = . 2 Поле вне проводника радиуса R0 определяется всем его током, равным I = πR02 j, и теорема о циркуляции приводит нас к j R02 . 2r График зависимости H = H(r) представлен на рис.7.4. Магнитное поле внутри соленоида. Рассмотрим соленоид с однослойной обмоткой, содержащей n витков на единицу длины, по которой течет постоянный ток I. Определим напряженность поля соленоида в том случае, когда его длина l очень велика. В процессе рассмотрения можно полагать, что она стремится к бесконечности. Число силовых линий внутри соленоида остается конечным и они замкнуты. Поэтом вне катушки линии расходятся на большое расстояние и при l → ∞ напряженность поля вне соленоида стремится к нулю. Внутри же поле однородно, постоянно и направлено по оси соленоида.  по контуВычислим циркуляцию H ру 1-2-3-4, расположенному так, как указано на рис.7.5. На участке 1-2 длиной l постоянное магнитное поле совпадает с направлением обхода и криволинейный интеграл соответственно равен Hl. Интегралы на участках 2-3 и 4-1 при их Рис. 7.5. конечных длинах равны по величине, но противоположны по знаку, а интеграл на участке 3-4 равен нулю так как H = 0 будем считать равным нулю. Итоговая сумма по всем четырем участкам оказывается равной Hl. Так как заданный контур охватывает nlI токов, из теоремы о циркуляции следует H=

Hl = nlI,

62

Глава 7. Магнитное поле токов в вакууме

что сразу приводит к H = nI.

7.2.3

(7.14)

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции

Теорему о циркуляции может быть получена и в в дифференциальной форме, которая наиболее удобна для решения большинства задач. Для этого применим (7.13) для бесконечно малого контура, расположенного в некоторой точке пространства, где протекает ток с плотностью  = ıjx + jy + kjz . Пусть этот контур расположен в плоскости Z0Y , и представляет собой прямоугольник со сторонами dz и dy, расположенный так, как показано на рис.7.6. На участке 1 – 2 проекция вектора напряженности магнитного поля на это направление равна Hy и вклад этого участка в циркуляцию составляет Hy dy. На участке  3 – 4 соответ ∂Hy ствующая проекция составляет Hy + dz ∂z и вклад в циркуляцию равен   Рис. 7.6. ∂Hy − Hy + dz dy. ∂z Знак минус здесь возник из-за того, что направление обхода противоположно направлению оси 0Y . Аналогичные рассуждения для ∂Hz участков 2 – 3 и 4 – 1 дают ещё две составляющие Hz + dy dz ∂y и −Hz dz. Итоговая циркуляция по всему этому контуру будет равна сумме всех этих вкладов.     l = ∂Hz − ∂Hy dydz. Hd ∂y ∂z l

В соответствии с (7.13), эта циркуляция должна быть равна току, охваченному контуром, равному в данном случае jx dydz. Поэтому   ∂Hz ∂Hy − dydz = jx dydz, ∂y ∂z и после сокращения на dydx получаем:

7.3. Магнитный поток

63 ∂Hz ∂Hy − = jx . ∂y ∂z

(7.15)

Повторив эти рассуждения для элементарных контуров, расположенных в плоскостях Z0X и X0Y, мы получим ещё два аналогичных соотношения: ∂Hz ∂Hx − = jy , (7.16) ∂x ∂z ∂Hx ∂Hy − = jz . ∂x ∂y

(7.17)

Правые часть данных уравнений состоит из трёх компонентов общей плотности тока j, протекающего в точке x, y, z. Поэтому умножив (7.15), (7.16) и (7.17) соответственно на ı,  и k и сложив их правые и левые части, мы получим: 

∂Hz ∂Hy − ı ∂y ∂z





   ∂Hz ∂Hx ∂Hy ∂Hx  − − +  +k = ∂x ∂z ∂x ∂y = ıjx + jy + kjz .

(7.18)

Нетрудно убедиться, что полученное соотношение соответствует введенной в первой главе раздела "Механика"векторной функции, обозначенной там символом rot. Поэтому мы вправе переписать (7.18) в компактном виде:  = j. rotH (7.19)

7.3

Магнитный поток

Электрический заряд создает магнитное поле только при своем перемещении. Если он движется равномерно и прямолинейно, то создаваемое поле эквивалентно полю бесконечного тока и его силовые линии представляют собой окружности. Посчитаем поток этих силовых линий, определенный так же как и(1.11), через какую-либо замкнутую поверхность. Из условия обязательной замкнутости этих линий следует, что они пересекут поверхность обязательно чётное число раз и поэтому суммарный их поток через поверхность будет всегда равен нулю. Как и для поля электрических зарядов, где поток определялся не как поток  а пропорционального ему вектора электрической индукции вектора E,

64

Глава 7. Магнитное поле токов в вакууме

 для магнитного поля вводят в рассмотрение вектор магнитной инD,  который для вакуума связан с вектором H  зависимостью дукции B,  = µ0 H.  B

(7.20)

А Магнитное поле с напряженностью 1 имеет в этой же точке магм нитную индукцию А А · Генри = 4π · 10−7 · = 4π · 10−7 Тесла. м м2 Размерность Тесла равна B = µ0 · 1

A · Генри кг . = 2 2 м с ·A

[Тесла] =

(7.21)

Таким образом для вектора магнитной индукции и произвольной замкнутой поверхности S всегда имеет место   S  = 0. Bd (7.22) S

Это же соотношение в дифференциальной форме принимает вид:  = 0. div B

(7.23)

Оно показывает, что магнитные заряды не существуют. Действительно, заряды являются такими объектами, на которых начинаются и заканчиваются силовые линии. В магнитном поле такая ситуация невозможна, так как линии всегда замкнуты.  через эту поЕсли же поверхность не замкнута, то поток вектора B верхность уже не равен нулю. Эту величину обозначают Φ и называют магнитным потоком.   S.  (7.24) Φ = Bd S

Единицей измерения магнитного потока в СИ является Вебер (Вб). Для того, чтобы магнитный поток получить в Веберах, магнитную индукцию надо измерить в Теслах, а площадь в м2 . Поэтому размерность Вебера равна [Вб] = Тесла · м2 = A · Генри =

кг · м2 . с2 · A

(7.25)

Глава 8

Магнитный момент тока 8.1

Токи и диполи

Пусть по единичном круглому витку радиуса R протекает постоянный ток I. Найдём магнитное поле на оси витка на расстоянии r от его плоскости (см. рис. 8.1). Выделим на витке два отрезка длиной dl, расположенные в диаметрально удаленных точках 1 и 2. Они создают  2 , симмет 1 и dH на оси витка два элементарных магнитных поля dH ричных относительно оси и направленных к ней под углом (π/2 − α).  , направленную вдоль В сумме два этих поля дают составляющую dH оси, т.е. перпендикулярную к плоскости витка. В соответствии с (7.4), эта напряженность:

dH =

2Ir dl RIdl ·cos(π/2−α) = . 4πr3 2π(R2 + x2 )3/2

Интегрируя это выражение по всем элементам тока, получим:

H=

RI 2π(R2 + x2 )3/2

πR dl = 0

2

=

SI πR I = . 2 2 3/2 2 2π(R + x ) 2π(R + x2 )3/2 65

Рис. 8.1.

66

Глава 8. Магнитный момент тока Здесь S – площадь витка, по которому течет ток I. При x → ∞, величиной R в (8.1) можно пренебречь и H=

SI . 2πx3

(8.1)

Во второй главе была выведена зависимость (2.10), характеризующая поле диполя, ориентированного по оси OX, для того случая, когда x l. E=

1 ql 1 pE · = · . ε0 2πx3 ε0 2πx3

Сопоставляя это выражение с (8.1), видим, что напряженность полей в обеих случаях убывает обратно пропорционально кубу расстояния от источника поля. Это дало основание назвать виток с током магнитным диполем, а вектор, величина и направление которого для плоского тока определяется выражением:  pM = µ0 I S. 

(8.2)

магнитным моментом. С учетом (8.2) соотношение (8.1) переходит в  = 1 · pM . H µ0 2πx3

8.2

(8.3)

Виток с током в магнитном поле

Исходя из (7.3) и (7.20), сила, действующая на виток с током I в постоянном магнитном поле, определяется выражением    F = I [dlB]. L

 можно вынести из Здесь dl элемент контура. Если поле однородно, то B  dl равен нулю. Таким обпод интеграла, а сам векторный интеграл L

разом суммарная сила, действующая на виток в однородном поле равна нулю. Но момент этой силы от нуля отличен.

8.3. Работа сил магнитного поля

67

Подсчитаем этот момент в простейшем случае, когда виток плоский и магнитное поле направлено перпендикулярно к плоскости витка. Рассмотрим плоский прямоугольный контур с током со сторонами a и b по которому течет ток I. Этот контур находится в постоян направном магнитном поле с индукцией B, ленном так, как показано на рис. 8.2. Определим модуль момента сил Ампера для этого контура относительно оси ОО’. a a K = F12 · +F34 · = a·b·IB = abIµ0 H = pm H 2 2 . Для произвольного плоского контура это соотношение принимает вид   = [ K pM H].

8.3

[h]

(8.4)

Рис. 8.2.

Работа сил магнитного поля

Так как на отрезок провода с током в магнитном поле действует сила, то при его перемещении совершается работа. Пусть проводник длиной l перемещается поступательно в плоскости, перпендикулярной  в направлении оси OX. Тогда при магнитному полю с индукцией B перемещении на dx эта работа будет равна dA = lIBdx = IBdS. Для проводника конечной длины элементарная работа может быть получена интегрированием по длине всего проводника. x2 Bldx = I · ∆Φ.

A=I

(8.5)

x1

Здесь ∆Φ – увеличение магнитного потока через контур тока при его перемещении из x1 в x2 .

Глава 9

Электромагнитная индукция 9.1

Основной закон электромагнитной индукции

Рассмотрим прямоугольный контур, одна из сторон которого подвижна. Она, например, может представлять из себя шину, которая скользит со скоростью v по двум другим параллельным шинам, расположенным на расстоянии l друг от друга, контактируя с каждой из них (см.рис.9.1). Контур находится в постоянном магнитном поле, напряженность которого H перпендикулярна той плоскости, в которой находятся шины. При этом на электроны, находящиеся в подвижной шине, начинает действовать сила Лорентца (7.10), которая для них является сторонней силой, создающей стороннюю ЭДС. E стор = E стор · l = Так как v = −

fл · l = µ0 lvH. e

da , то dt E стор = −µ0 Hl

da dS = −µ0 H . dt dt

68

9.2. Самоиндукция

69

Принимая во внимание, что S = al и используя определение потока вектора магнитной индукции (7.24), для ЭДС индукции E = E стор получим следующее выражение: dΦ . dt Данное соотношение является прямым следствием закона Ампера (7.1). Фарадей провел эксперименты, которые показали, что ЭДС Рис. 9.1. индукции также возникает и в том случае, если  Φ изменяется и за счёт вектора магнитной индукции B при неизменном контуре. Поэтому закон электромагнитной индукции в формулировке Фарадея приобрел окончательный вид:   ∂Φ ∂Φ ∂x ∂Φ ∂y ∂Φ ∂z dΦ =− + + + . (9.1) E=− dt ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t E=−

Интегральная форма этого закона для контура, зафиксированного в пространстве, а следовательно и недеформируемого, получается из (6.15), (7.20) и (9.1):      ∂ ∂B  ∂     Edl = − BdS = − dS. (9.2) dΦ = − ∂t ∂t ∂t l

9.2

S

S

S

Самоиндукция

Электромагнитная индукция проявляется во всех случаях, когда изменяется магнитный поток, охватываемый контуром. Но переменное потокообразующее магнитное поле в свою очередь создается изменяющимся во времени током. Переменные токи, протекающие в контурах принято классифицировать, сравнивая характерное время τ изменения тока в контуре (электрической цепи) с временем τc прохождения световым сигналом характерной длины контура lk . Ток называют квазистационарным, если имеет место lk . (9.3) c Если (9.3) выполняется, то ток в контуре без узлов в каждый момент времени одинаков в любом сечении цепи. Поэтому величина напряженности магнитного поля поток является однозначной функцией времени τ τc =

70

Глава 9. Электромагнитная индукция

и его величина в любой точке пропорциональна мгновенному значению тока, а, следовательно, и весь магнитный поток, пронизывающий контур, пропорционален I и следовательно (9.4)

Φ = LI.

Коэффициент пропорциональности L назван коэффициентом самоиндукции или индуктивностью рассматриваемого контура. Определим его размерность. С учетом (7.21) и (7.25) получим: [L] =

[Φ] Тесла · м2 А · Генри = = = Генри. [I] А А

(9.5)

Размерность Генри через основные единицы СИ определена в (7.8). Важная роль коэффициента самоиндукции L и предопределила оформление Генри в самостоятельную производную единицу этой системы. Если в жестком контуре протекает переменный квазистационарный ток, то исходя из (7.24), (9.1), (9.4), ЭДС самоиндукции, наводящаяся в этом контуре, равна dI Ec = −L . (9.6) dt Для того, чтобы вычислить индуктивность выбранного контура, надо задать в нём некоторый ток I, рассчитать, например, с помощью (7.5) напряженность магнитного поля во всех точках, охватываемых этим контуром, используя (7.20) определить магнитный поток и, подставив полученные Φ в (9.4), найти L. Проведём несколько конкретных расчётов. Индуктивность двухпроводной линии. Рассмотрим очень длинную двухпроводную линию из прямого и обратного проводов радиуса ρ с расстоянием R между их центрами (см. рис. 9.2). Поместим между проводами элементарную прямоугольную площадку dS = ldr и вычислим  Геометрическая конфигурация магнитного пополный поток вектора B. ля позволяет найти поток от одного провода и затем удвоить полученный результат. Так как напряженность магнитного поля от бесконечно длинного провода определяется (7.6), то dΦc = 2µ0 Hldr = 2µ0 l ·

I · dr, 2πr

9.3. Взаимная индуктивность

71

и после интегрирования µ0 lI Φc = π

R−ρ 

µ0 lI R−ρ dr = · ln . r π ρ

ρ

Зная поток, легко найдём индуктивность. L=

Φc µ0 l R − ρ = ln . I π ρ

(9.7)

Индуктивность соленоида. Ранее было показано, что напряженность магнитного поля внутри длинного соленоида с током I одинакова во всех точках и направлена вдоль его оси, а её величина в силу (7.14) равна H = nI. Если площадь охватываемая витком S, то поток  через его площадь составит вектора B Рис. 9.2. Φ1 = µ0 nIS. Но на единице длины соленоида находится n витков. Поэтому поток через все эти витки будет Φ = µ0 n2 SI. И, наконец, индуктивность единицы длины соленоида оказывается равной Φ L= = µ0 n2 S. (9.8) I

9.3

Взаимная индуктивность

Взаимная индуктивность определяет влияние двух квазистационарных токов друг на друга. Так как каждый ток создает своё магнитное поле, то оно в свою очередь будет формировать поток через соседний контур, обуславливая возникновение соответствующей ЭДС индукции. Для двух токов рис.9.3 получим:

Φ12

= L12 I1 ,

Φ21

= L21 I2 .

(9.9)

72

Глава 9. Электромагнитная индукция

Рис. 9.3.

Рис. 9.4.

Коэффициенты L12 и L21 называют коэффициентами взаимной индукции. По аналогии с (9.6) можно записать dI1 , dt dI2 . (9.10) E1 = −L21 dt Для коэффициентов магнитной индукции любых двух контуров 1 и 2 всегда имеет место L12 = L21 E2 = −L12

Покажем это на конкретном примере. Рассмотрим две тороидальные катушки, намотанные друг на друга (рис.9.4). Радиус намотки R будем считать одинаковым для обеих. По обмотке с количеством витков N1 течет ток I1 , а с витками N2 − I2 . Для того, чтобы вычислить L12 найдём магнитный поток, создаваемый током I1 в обмотке 2. Необходимую для этого напряженность H1 определим, воспользовавшись теоремой о циркуляции в форме (7.12). В качестве контура выберем окружность, образованную центральной осевой линией тора. N1 I1 . 2πR Считая площадь, охватываемую витками обеих обмоток, одинаковой и 1 равной S, определим величину магнитного потока ΦN 12 , создаваемого I1 в одном витке обмотки 2. H1 · 2πR = N1 IN1 ,

Φ112 = µ0 S

H1 =

N1 I1 , 2πR

9.3. Взаимная индуктивность

73

а через все N2 витков этой обмотки соответственно N1 N2 I1 . 2πR И, наконец, воспользовавшись (9.9), получим что 2 ΦN 12 = µ0 S

L12 =

2 ΦN µ0 N1 N2 12 . = I1 2πR

 2 , через все Для определения L21 необходимо найти поток вектора B витки обмотки N1 . Это приводит к Φ121 = µ0 S

N2 I2 , 2πR

и L21 =

1 ΦN 21 = µ0 S

2 ΦN µ0 N1 N2 21 . = I2 2πR

N2 N1 I2 2πR

Глава 10

Энергия магнитного поля 10.1

Энергия тока и энергия магнитного поля

Подключим к катушке индуктивности L без омического сопротивления источник ЭДС с постоянной E так, как показано на рис.10.1. В цепи начнет протекать ток I = I(t), на формировании которого будет сказываться также и ЭДС самоиндукции. Дифференциальное уравнение для этого тока получим, применив для этой цепи второе правило Кирхгофа: E −L

Рис. 10.1.

dI = 0. dt

Если в момент подключения источника ток в катушке отсутствовал, т.е. имело место I(0) = 0, то решением данного дифференциального уравнения является: I=

E · t. L

Мощность, развиваемая источником, будет равна N = IE, 74

(10.1)

10.1. Энергия тока и энергия магнитного поля

75

а энергия, затраченная на формирование тока к моменту t, получается при интегрировании мощности по времени. t WI =

E2 N dt = L

0

t dt =

E 2 t2 . 2L

0

Исключив из этого выражения E с помощью (10.1), получим WI =

LI 2 . 2

(10.2)

Соотношение (10.2) можно трактовать и как энергию тока, и как энергию магнитного поля только в том случае, если выполнено условие квазистационарности. Если же оно не имеет места, то как и в теории электрического поля ее можно интерпретировать только как энергию поля. Для того чтобы найти всю эту энергию необходимо установить ее плотность wM и, затем, проинтегрировать ее по всему объему, в котором напряженность отлична от нуля. Для того, чтобы найти wM , поступим точно так же, как в своё время в электростатике (см. параграф 4.1), т.е. создадим в пространстве однородное, но теперь уже магнитное поле с одинаковой во всех точках напряженностью. Такое поле может быть получено в длинном соленоиде с плотной намоткой. Пусть по участку подобного соленоида длины l с индуктивностью L и плотностью намотки n течет ток I. Тогда из (10.2) и (9.8)следует: WI = WM =

lSn2 I 2 µ0 V µ0 n2 I 2 LI 2 = = . 2 2 2

(10.3)

Здесь S - площадь сечения соленоида, а V – объём выделенной области. Принимая во внимание (7.14) запишем это выражение в виде Wm =

BH V µ0 H 2 =V · . 2 2

Для получения плотности энергии следует разделить энергию на величину выделенного объёма. wM =

BH WM = . V 2

(10.4)

76

10.2

Глава 10. Энергия магнитного поля

Магнитное давление

Выделим на поверхности обмотки соленоида площадку единичной длины с шириной dl, отсчитываемой вдоль витка. Тогда её площадь будет равна dS = 1·dl = dl. При плотности намотки n на этой площадке разместятся n витков, по каждому из которых течет ток I. На каждый из витков действует сила Ампера (7.3). Так как направление тока в обмотке соленоида и направление магнитного поля, действующего на этот ток, взаимно перпендикулярны, то на этот элемент действует сила давления dF1 = Iµ0 HN −1 dl, где HN −1 – напряженность магнитного поля и той области, где находиться выделенный виток, создаваемая всеми остальными витками, кроме выделенного. Сам виток в этой области также создает некоторую напряженность поля, равную по модулю Hвит и направленную так, как показано на рис.10.2. Эти две напряженности складываются, в результате чего напряженность поля внутри соленоида (область 2) будет определяться (7.14). Вне его (область 1), как мы уже видели в 7.2.2 она равна нулю. Поэтому мы вправе записать HN −1 + Hвит = nI, HN −1 − Hвит = 0. Разрешив эту систему найдём, что Рис. 10.2.

HN −1 =

nI 2

и

dF1 =

µ0 nI 2 · dl. 2

Сила, действующая на выделенную площадку, будет, очевидно, в n раз больше. µ0 n2 I 2 dFn = dF1 · n = · dl. 2 Требуемое магнитное давление получим, разделив эту элементарную силу на dS = 1 · dl: PM =

µ0 n2 I 2 · dl µ0 n2 I 2 BH dFn = = = . dS 2dl 2 2

(10.5)

Полезно получить это же соотношение энергетическим методом. С этой целью найдём работу сил давления P , которые деформируют тонкостенную цилиндрическую оболочку длиной с образующей длиной l и

10.2. Магнитное давление

77

радиусом R так, что её радиус увеличивается на малую величину dR. Вначале определим растягивающую силу, которая возникает в оболочке под действием давления. Если замкнуть половинку этой оболочки пластинкой такой же ширины так, как показано на рис.10.3, то из условия равновесия следует, что сила, действующая на пластину площадью 2Rl, будет равна двум силам F , растягивающим верхнюю половинку оболочки. Таким образом 2RlP = 2F,

F = RlP.

Элементарная работа, затрачиваемая на деформацию оболочки, будет равна dA = F · 2πdR = 2πlP RdR, откуда dA 1 · . 2πlR dR Применим этот подход для соленоиРис. 10.3. да, рассмотренного выше. Закон сохранения энергии позволяет связать элементарную работу с изменением энергии магнитного поля dWM . P =

dA + dWM = 0

и

dWM dA =− . dR dR

С помощью (9.4) и (10.2) энергию магнитного поля выделенного участка соленоида можно представить в виде WM =

Φ2 Φ2 LI 2 = = , 2 2L 2µ0 n2 πR2 l

так как в соответствие с (9.8) его индуктивность есть L = µ0 n2 πR2 l. Принимая во внимание, что магнитный поток Φ сохраняется, для магнитного давления получим уже известное нам выражение      dWM Φ2 d 1 1 1 · − · · − PM = = = 2πlR dR 2πlR 2µ0 n2 πl dR R2 =

Φ2 WM Φ2 = = = wM . (2µ0 n2 πR2 l)(πR2 l) 2LV V

Глава 11

Магнитное поле в среде 11.1

Намагничивание сред

Магнитные свойства сред были обнаружены раньше, чем стала ясной связь между током и магнитным полем, так как в природе существуют минералы, являющиеся источником довольно сильных постоянных магнитных полей. Магнитные свойства обусловлены тем фундаментальным обстоятельством, что вещества состоят из заряженных частиц, которые движутся, создавая замкнутые молекулярные токи.Кроме того заряженные частицы могут иметь собственные магнитные моменты, имеющие квантовомеханическую природу. Если учесть все эти токи и магнитные моменты, то после соответствующего усреднения по времени и пространственным координатам, идеология которого остаётся той же, что ранее была использована в электростатике, можно описать магнитное поле в среде на основе уравнений, уже выведенных нами для вакуума, и в конечном итоге определить величину напряженности магнитного поля в любой области. В первом приближении можно считать, что круговые токи создают электроны, вращающиеся вокруг неподвижных атомов. Орбитально движущийся электрон обладает еще и механическим моментом количества движения и поэтому подобен гироскопу. Каждый такой ток образует магнитный диполь, свойства которого мы рассматривали выше в главе 8. Но, вследствии хаотического расположения атомов в веществе, оно в целом не обладает магнитным моментом. Если такие диполи по78

11.1. Намагничивание сред

79

местить во внешнее магнитное поле, то действие поля на движущийся электрон приводит к наложению на первоначальное движение равномерного вращения вокруг направления внешнего магнитного поля или прецесии. Этот результат отражает теорему Лармора. Но взаимодействие с соседними атомами возмущает движение и в конечном итоге тормозит прецессию. Электронная орбита в конце концов будет стремиться к тому, чтобы магнитный момент орбиты оказался параллельным внешнему полю. Поэтому усредненный по времени магнитный момент pM элементарного тока будет направлен по внешнему полю и его величина будет расти с увеличением напряженности поля. Конкретное значение pM и определяющего его тока является индивидуальной характеристи кой каждого вещества и его теоретический расчёт выходит за рамки классической теории магнитного поля. Макроскопическое поле получают из микроскопического путём усреднения по пространственным координатам. Полученные при этом макроскопические токи называют токами намагничивания. Намагниченность среды принято характеризовать не токами намагничивания, а вектором намагничивания J , который определяет средний магнитный момент единицы объёма магнетика. Если pM известен, то суммарный магнитный момент единицы объёма может быть получен после суммирования по всем этим магнитным диполям: J =




pM .

В том случае, если поле однородно, все элементарные магнитные диполи параллельны и поэтому J = n pM , где n - количество молекул в единице объёма. Рис. 11.1. Для того, чтобы получить магнитный момент произвольного объёма V , находящегося в однородном магнитном поле, необходимо умножить на V магнитный момент единицы объёма. Поместим однородный цилиндр длиной l и сечением S из магнетика в однородное магнитное поле, направленное вдоль оси цилиндра от наблюдателя. Тогда его молекулярные токи расположатся так, так как показано на рис.11.1. Так как прилегающие отрезки токов имеют противоположное направление, внутри магнетика они взаимно компенсируются и остаются только отрезки токов, примыкающие к его поверхности. Именно этот ток ответственен за намагничивание вещества.

80

Глава 11. Магнитное поле в среде

Пусть его плотность на единицу длины будет j1 . Тогда, в соответствии с (8.2), магнитный момент рассматриваемого цилиндра будет равен J V = µ0 j1 lS и, наконец, J = µ0 j1 .

11.2

(11.1)

Магнитное поле в среде

Пусть по проводам, расположенным в вакууме, течет некоторый постоянный ток проводимости, создавая магнитное поле, напряженность которого является функцией координат. Связь между напряженностью  (7.12). В соответствии и токами устанавливает теорема о циркуляции H с (7.3) и (7.20) сила, которая действует со стороны данного поля на элемент тока в любой точке, определяется вектором магнитной индукции,  на µ0 . Введём в это поле который для вакуума получают, умножая H некоторый магнетик, приняв меры, чтобы ток проводимости в цепи не изменился. Упорядочившись, молекулярные токи изменят силовую характеристику поля, но не окажут никакого влияния на правую часть теоремы о циркуляции в силу того, что являются замкнутыми. Отсюда следует, что напряженность магнитного поля не зависит от присутст вия магнетика. Но силовое воздействие поля, а вместе с ним и вектор B,  в этом при этом изменяются. Определим, чему станет равен вектор B случае. С этой целью рассмотрим участок бесконечно длинного соленоида с плотностью намотки n, через который проходит стабилизированный ток с амплитудой I. Тогда в соответствие с (7.14) напряженность магнитного поля внутри него будет равна H = nI. Заполним этот соленоид однородным магнетиком. Он намагнитится и приобретет некоторый магнитный момент J , вследствие чего по его поверхности, совпадающей с поверхностью соленоида, потечет ток с некоторой линейной плотностью  внутри магнетика. Исходя j1 . Вычислим вектор магнитной индукции B из (7.20), для этого надо определить полную напряженность магнитного поля, создаваемую как токами проводимости, так и токами намагничивания. Следовательно:  = µ0 H  + J . B (11.2)  в тех случаях, когПолученное соотношение указывает как найти B  да направление вектора J совпадает с направлением напряженности

11.3. Магнитные свойства веществ

81

магнитного поля в катушке без магнетика, а модуль намагничивания является однозначной функцией H. Если оба эти условия выполнены, то мы вправе записать  (11.3) J = κ(H)µ0 H. Скалярную величину κ называют магнитной восприимчивостью. Она зависит от состояния вещества (температуры, давления и.т.д.) и аналогична диэлектрической восприимчивости диэлектриков, а для диамагнетиков и парамагнетиков не зависит от H. Подставив (11.3) в (11.2), получим:  = µµ0 H,  B (11.4) где µ, равное µ = 1 + κ,

(11.5)

называют магнитной проницаемостью. данного магнетика.  и D,  характеризующие электрическое поСопоставим вектора E  и B  в магнетике для однородных ле в диэлектрике, с векторами H   сред.Очевидна аналогия между E и B, которые определяют силовое воздействие и зависят от наведенных зарядов и токов намагничивания.  иH  не изменяются при заполнении поля среВ свою очередь вектора D дой и их величина определяется в одном случае свободными зарядами, а в другом – токами проводимости.

11.3

Магнитные свойства веществ

Существует три основных группы веществ, отличающихся характером взаимодействия с внешним магнитным полем. Две первые взаимодействуют с полем весьма слабо. Те из веществ, которые выталкиваются из поля, называют диамагнетиками. У диамагнетиков, как это будет показано ниже, µ < 1. Если вещество втягивается в поле, то оно является парамагнетиком и у него µ > 1. Вещества третьей группы – ферромагнетики – втягиваются в поле очень сильно и имеют µ 1. Многие из них после взаимодействия с внешним полем остаются постоянными магнитами. У парамагнетиков магнитный момент каждого атома отличен от нуля и в отсутствии внешнего магнитного поля. Механизм намагничивания таких веществ нами был рассмотрен выше. У диамагнетиков полный магнитный момент атомов в отсутствии внешнего поля равен нулю. Но ведь все электроны в этом веществе движутся и поэтому во внешнем магнитном поле на них начинает дейст-

82

Глава 11. Магнитное поле в среде

вовать сила Лорентца (7.10) . Она существенно изменяет траекторию их движения. Рассмотрим это на примере электронного газа. Поместим  такой газ в однородное магнитное поле с напряженностью H.

Рис. 11.2.

Рис. 11.3.

Выделим из этого газа какой либо электрон, имеющий в данный момент скорость в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного  расположены относительно друг друга так, как пополя. Векторы v и H  задаётся векторным казано на рис.11.2. Направление силы Лорентца F  произведением v × H, поэтому электрон, имеющий заряд −e, начинает двигаться по окружности, обозначенной пунктиром. Но вращение электрона по часовой стрелке соответствует току, текущему в обратном направлении. Направление магнитного поля в точке, определяемой радиусом вектором r (т.е. в любой точке, где существует исходное поле), задаётся (7.4) и поэтому определяется векторным произведением I × r, которое направлено в сторону, противоположную направлению исходного поля. Это наведенное поле ослабляет первоначальное. Но сам электронный газ, как и большинство металлов, внутри которых этот газ может находится, не являются диамагнетиками. Дело в том, что собственные магнитные моменты электронов или спины ориентируются по полю и усиливают его в большей степени, чем ослабляют возникшие круговые токи. Поэтому электронный газ все же парамагнетик. Физики установили, что магнитный момент электрона равен 1, 15·10−29 Вебер· м. Он получил название магнетона. Но есть вещества, например висмут, где спиновые моменты скомпенсированы, и орбитальный ток обуславливает диамагнитный эффект. В реальных парамагнетиках электроны связаны с положительными ядрами и создают круговой ток.

11.3. Магнитные свойства веществ

83

У ферромагнетиков µ может находится в интервале от сотен до нескольких миллионов. Им свойственна так же нелинейная зависимость между индукцией B и напряженностью поля H. На рис. 11.3 она сопоставлена с соответствующими зависимостями для диамагнетиков и парамагнетиков, у которых они линейны. В ферромагнетике же индукция сначала быстро возрастает, но по мере намагничивания нарастание замедляется. Прямые измерения свидетельствуют, что магнитные моменты атомов у ферромагнетиков те же, что и у парамагнетиков и поэтому за счёт ориентации по внешнему полю они не могут обеспечить наблюдаемое намагничивание и тем более остаточный магнетизм. Оказалось, что причина ферромагнетизма заключается в том, что в ферромагнетике уже существуют небольшие намагниченные области, называемые доменами. Такое намагничивание называют спонтанным намагничиванием. Объяснение физических причин существования доменов даёт квантовая механика. Они обусловлены сильной ориентацией собственных магнитных моментов электронов, называемых спинами под действием сил не магнитного происхождения. Размагниченный ферромагнетик состоит из огромного количества доменов, ориентированных хаотично. При включении внешнего поля из-за такой ориентации их энергия оказывается различной. Энергетически выгодным становится процесс смещения границ доменов, при котором объём доменов с меньшей энергией возрастает, а с большей – уменьшается. С ростом поля направление магнитного момента начинает меняться и, наконец, в сильном поле все домены усРис. 11.4. танавливаются параллельно полю и наступает насыщение. При дальнейшем увеличении H он ведёт себя уже как парамагнетик. Граничной точкой является точка 1, в которой достигается индукция насыщения. На рис. 11.4 такому намагничиванию соответствует участок 0 – 1. Если при переходе через точку 1 внешнее магнитное поле начинает уменьшаться, то кривая "размагничивания"идёт выше этого первоначальной кривой намагничивания. В точке 2, где внешнее поле обращается в 0, ферромагнетик остаётся намагниченным и является постоянным магнитом и при отсутствии внешнего поля. Для того, чтобы его размагнитить, необходимо приложить неко-

84

Глава 11. Магнитное поле в среде

торое внешнее магнитное поле с напряженностью обратной полярности. Это остаточное поле характеризует точка 3. Его называют задерживающей или коэрцитивной силой ферромагнетика. Очевидно, что для получения максимальной остаточной намагниченности необходимо создать такое H, при котором будет достигнута индукция насыщения. Амплитуда H при которой достигается насыщение при обратной полярности достигает максимума в точке 4, При изменении поля в обратном направлении намагничивание развивается уже по новому участку 4 – 5 – 6 – 1, который сохраняет все особенности участка размагничивания. Итоговая кривая образует петлю гистерезиса. Площадь петли гистерезиса имеет размерность энергии и характеризует потери энергии за каждый полный цикл намагничивания. Ферромагнитные материалы широко используются в электротехнике, радиотехнике и в установках для физического эксперимента. Наиболее широко распространено железо и его сплавы. Если вещество применяют в электротехнике, например в трансформаторах или электромоторах, то необходимы магнито-мягкие материалы, имеющие высокую магнитную проницаемость и малую площадь петли гистерезиса. К таким материалам относится достаточно чистое железо, у которого максимальная проницаемость достигает 5000. Его малая остаточное намагничивание важно для устойчивой работы реле. Для постоянных магнитов, наоборот, важны высокое остаточное намагничивание и большая коэрцитивная сила. В настоящее время созданы сплавы, у которых остаточная индукция достигает 1,3 Тесла. Для создания магнитов с большим B рационально применять вещества с высокой остаточной индукцией, например, железо и гадолиний. Однако основной прирост поля приходится получать за счет электрического тока, амплитуды которого в катушках достигают очень больших значений. Их обмотки выполняют из сверхпроводников, обычно работающих при температуре жидкого гелия. Особое место среди ферромагнетиков занимают ферриты, имеющие высокое удельное сопротивление, что позволяет уменьшить потери при работе высокочастотных устройств. Общим свойством ферромагнетиков является сильная зависимость их свойств от температуры. С ростом последней наблюдается монотонное уменьшение их магнитной восприимчивости и проницаемости. При некоторой температуре Tk , называемой температурой Кюри, эти свойства исчезают вовсе.

11.4. Поле на границе раздела магнетиков

11.4

85

Поле на границе раздела магнетиков

Рассмотрим два однородных изотропных магнетика, разделённые плоской границей. В каждом из них заданы магнитные проницаемости µ1 и µ2 . В каждом из магнетиков, вектора, определяющие магнитное поле, одинаковы во всех точках, но их величины отличаются от соответствующих значений в другом магнетике.  2 маг1 и H Установим, как изменяются вектора напряженности H нитного поля при переходе через границу раздела. С этой целью рас по прямоугольному контуру L, захвасмотрим циркуляцию вектора E тывающему оба вещества, приведенному на рис.11.5.

Рис. 11.5.

Рис. 11.6.

Две стороны этого контура длиной l параллельны границе раздела, а две другие с длиной h – перпендикулярны ей. Если контур не охватывает ток, то эта циркуляция в силу (7.13) всегда равна нулю и мы вправе записать   l = lH1τ − lH2τ = 0, Hd l

так как из-за симметрии составляющие циркуляции по боковым элементам контура длиной h взаимно уничтожаются. Здесь H1τ и H2τ –  на границу раздела. Отсюда следует, что проекции вектора E H1τ = H2τ .

(11.6)

Если граница неплоская, то длину l выбирают настолько малой, чтобы на её размере изменением Hτ можно было бы пренебречь, а величину

86

Глава 11. Магнитное поле в среде

h устремляют к нулю. При этом (11.6) так же выполняется.  на границе Для того, чтобы определить, как ведёт себя вектор B раздела тех же однородных магнетиков, применим (7.22), являющееся теоремой Гаусса для магнитного поля, к цилиндрической поверхности, охватывающей часть этой границы так, как это показано на рис.11.6.   S  = D1n S0 − D2n S0 = 0. Bd S

 на нормаль к торцам рассматЗдесь B1n и B2n – проекции вектора B риваемой цилиндрической поверхности с площадью S0 . Окончательный результат получим после сокращения на S0 . B1n = B2n .

(11.7)

Этот же подход можно применить и для неплоской границы и в случае неоднородного поля. Для этого достаточно выбрать характерные  размеры торцевых поверхностей цилиндра настолько малыми, чтобы B на таких промежутках можно было бы считать постоянным. Высота цилиндра при этом не существенна, так как она всегда может быть устремлена к нулю. Таким образом (11.7) задаёт граничные условия в каждой точке в любом случае.

11.5

Магнитная энергия и силы в среде

Введём в катушку индуктивности из сверхпроводника магнетик с постоянной магнитной проницаемостью µ и подключим её затем к идеальному источнику постоянной ЭДС в соответствии со схемой рис. 10.1. При этом ток через катушку в соответствие с (10.1) будет линейно возрастать, а энергия, накопленная в катушке и в магнитном поле в соответствии с (10.2), будет равна WM =

LI 2 . 2

Но индуктивность цепи с магнетиком в силу (9.4) и (11.4) увеличиться в µ раз и во столько же раз возрастет полная энергия в катушке  при этом увелис сердечником при том же уровне тока. Так как B  чивается в µ раз, а вектор H, определяемый только током в катушке,

11.5. Магнитная энергия и силы в среде

87

остаётся неизменным, плотность энергии магнитного поля в веществе будет определяться тем же выражением для энергии магнитного поля в вакууме (10.4): BH . wM = 2  иB  в ней могут не совпадать по Если среда анизотропна, то вектора H направлению и тогда для плотности магнитной энергии имеет место: wM =

H  B . 2

(11.8)

Определим магнитное давление на внутреннюю поверхность соленоида, по с плотностью намотки n и током I, заполненному магнетиком с магнитной восприимчивостью µ. Повторяя рассуждения, приведённые в 10.2 при анализе поля в катушке, изображенной на рис. 10.2, получим, что напряженность поля HN −1 , останется той же, что и в вакууме, т.е. HN −1 =

nI , 2

а индукция магнитного поля, определяющая силовое воздействие, вырастет в µ раз и будет равна BN −1 =

µ0 µnI . 2

Поэтому магнитное давление возрастет так же в µ раз, а в силу (8.2) формула для его определения останется прежней и поэтому в среде так же BH PM = . (11.9) 2 Напомним, что аналогичная ситуация имела место в электростатическом поле.

Глава 12

Квазистационарный ток 12.1

Переходные процессы в R,C-цепях

Подключим разряженный конденсатор к источнику постоянного напряжения U0 через постоянное сопротивления R так, как показано на рис. 12.1. Будем считать, что условия квазистационарности (9.3) для данной цепи выполнены, что позволяет применить для неё закон Ома (6.17). Постольку поскольку кроме внешнего источника с напряжением U0 , источником ЭДС является и конденсатор, мы получим  1 Рис. 12.1. Idt. U0 = RI + C Интеграл в этой формуле есть заряд, накопленный конденсатором при прохождении тока. Дифференцирования по времени приводит к уравнению I dI + = 0. (12.1) R dt C Если напряжение на конденсаторе до зарядки было равно нулю, начальное условие для этого уравнения имеет вид: I(0) = 88

U0 . R

12.1. Переходные процессы в R,C-цепях

89

Уравнение (12.1) легко решить разделением переменных.   dI dt t t =− , ln I = − + ln A, I = A exp − . I RC RC RC Используя начальное условие, установим, что I(0) =

U0 = A exp(0) = A, R

A=

U0 , R

и решением (12.1) является:   U0 t I= exp − . R RC

Рис. 12.2.

(12.2)

Рис. 12.3.

Зависимость тока от времени для C=1 мкФ, U0 =100 В, R = 1 Ом представлена на рис.12.2. Эту кривую принято характеризовать временем τRC = RC. Покажем, что τRC действительно имеет размерность времени. Из (6.19) и (3.3) следует: [τRC ] = [R][C] =

кг · м2 А2 · с4 · = с. с3 · А2 кг · м2

Из (12.2) следует, что в течение промежутка времени τRC ток в цепи спадает в e раз. Напряжение на конденсаторе C возрастает во времени по закону 1 q Uc = = C C

t 0

Рис. 12.4.

  t I(t)dt = U0 1 − exp − . RC

(12.3)

90

Глава 12. Квазистационарный ток

График данной зависимости для той же цепи приведен на рис.12.3. Установим как изменяется напряжение на конденсаторе C, заряженном до начального напряжения U0 , при его подключении к сопротивлению R по схеме, приведенной на рис.12.4. Текущее напряжение на конденсаторе Uc равно напряжению на сопротивлении и определяется уравнением t 1 I(t)dt, Uc = R · I(t) = U0 − C 0

которое после дифференцирования по времени приводит к уравнению, совпадающему с (12.1) Начальные условия здесь те же. Поэтому и ток в цепи будет определяться выражением (12.2). Напряжение Uc (t) будет изменяться пропорционально току аналогично кривой рис.12.2.

12.2

Переходные процессы в L,R-цепях

Подключим L,R - цепочку к источнику постоянного напряжения так, как показано на рис.12.5. Пусть в момент подключения ток в цепи был равен нулю. Напряжение на сопротивлении будет определяться суммой напряжения источника и ЭДС самоиндукции, поэтому: U0 − L

Рис. 12.5.

dI = RI dt

и

I(0) = 0.

(12.4)

Рис. 12.6.

Разделим переменные в этом уравнении и проинтегрируем его.   R U0 R U0 t dI = dt, ln(I − ) = − t+ln A, I= −A exp − . U0 L R L R RC −I R

12.2. Переходные процессы в L,R-цепях

91

U0 и ток как Применив начальное условие установим, что A = R функция времени равен 

 U0 R I= (12.5) 1 − exp − t . R L График этой зависимости для R = 1 Ом, L = 2 · 10−5 Гн и U0 = 100 L В приведен на рис.12.6. Постоянная времени этой цепи τLR = , как R следует из (6.19) и (9.5) действительно имеет размерность времени: Генри кг · м2 [L] = = 2 · [τLR ] = [R] Ом с · А2



кг · м2 с3 · А2

−1 = с.

В нашем случае постоянная τLR = L/R = 2 · 10−5 с определяет тот интервал времени, за который ток в цепи вырастет до 67% от асимптотического значения. Для того, чтобы величина τLR , была получена в секундах, необходимо, чтобы сопротивление было взято в Омах, а индуктивность – в Генри.

Рис. 12.7.

Рис. 12.8.

Определим теперь как меняется ток в цепи, приведенной на рис.12.7, если известно его значение I0 в начальный момент. Уравнения для тока и начальные условия имеют вид −L

dI = RI, dt

I(0) = I0 . Решение, удовлетворяющее этим условиям, легко получить, разделив переменные.   R (12.6) I = I0 exp − · t . L

92

Глава 12. Квазистационарный ток

Зависимость тока от времени для цепи, у которой R = 1 Ом, L = 2 · 10−5 Генри при I0 = 100 А, приведена на рис.12.8. За время τLR величина тока спадает со 100 до 37 Ампер.

12.3

Последовательный R,L,C-контур

Определим ток, возникающий в последовательном R,L,C-контуре при его подключению к источнику постоянного напряжения так, как это показано на рис. (12.9). В момент подключения ток в цепи остаётся равным нулю, а в дальнейшем он определяется совместным воздействием на сопротивление трёх источников напряжения: постоянного внешнего напряжения U0 , напряжения Uc , формирующегося на конденсаторе, и ЭДС самоиндукции. Поэтому  Рис. 12.9. dI 1 Idt − L = RI, U0 − C dt I(0) = 0. Продифференцировав уравнение для напряжения по времени, получим: d2 I I dI + = 0. (12.7) +R 2 dt dt C Это уже уравнение второго порядка, для получения полного решения которого необходимо иметь два начальных условия. Если при в момент t = 0 конденсатор разряжен, то кроме U0 источником напряжеdI ния может быть только ЭДС самоиндукции L . Поэтому начальными dt условиями для (12.7) являются: L

I(0) = 0, U0 ˙ I(0) = . L

(12.8)

Теперь задача поставлена корректно и можно приступить к нахождению решения. Мы имеем дело с обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными

12.3. Последовательный R,L,C-контур

93

коэффициентами. Метод решения таких уравнений нами рассмотрен в третьей главе "Механики", где исследовались одномерные колебания материальной точки. Решение уравнения будем искать виде I = Aeαt .

(12.9)

Подставив (12.9) в (12.7), получим уравнение для α, которое названо характеристическим. 1 R = 0, α2 + α + L LC откуда  R2 R 1 α1,2 = − ± . (12.10) − 2L 4L2 LC Пусть α1 = α2 . Тогда общее решение (12.7) будет линейной комбинацией решений, определяемых α1 и α2 , и I = Aeα1 t + Beα2 t .

(12.11)

Из (12.8) и (12.11) получим уравнения для коэффициентов A и B: A + B = 0, L( Aα1 + Bα2 ) = U0 , откуда сразу следует A = −B =

U0 . L(α1 − α2 )

После подстановки полученного результата в (12.11) получим общее решение (12.7), удовлетворяющее начальным условиям (12.8).   U0 R  I= (12.12) · exp − t (eωt − e−ωt ), 2L 1 R2 2L − 4L2 LC где  R2 1 ω= . (12.13) − 4L2 LC Убедимся, что ω имеет размерность с−1 . Для этого достаточно проверить, что размерность и второго слагаемого с−2 . Это сразу следует из (3.3) и (9.5):

94

Глава 12. Квазистационарный ток

[L] · [C] =

А2 · с4 кг · м2 · = с2 . кг · м2 с2 · А2

Характер решения (12.12) зависит от знака подкоренного выражения в (12.13). Если R2 1 > 0, − 2 4L LC то ω действительно и (12.12) представляет собой суперпозицию двух

Рис. 12.10.

Рис. 12.11.

убывающих экспонент. Соответствующая зависимость тока от времени для U0 = 100 В, R = 1 Ом, L = 20 мкГн и C = 100 мкФ представлена на рис.(12.10). В том случае, если подкоренное выражение обращается в ноль, наступает переходный критический режим. В рассматриваемой цепи при тех же значениях сопротивления и индуктивности он реализуется при C = 10 мкФ. Соответствующая зависимость тока от времени приведена рис.12.11. Этот режим тоже апериодический и ток в нём не переходит через ноль. И, наконец, в том случае, когда подкоренное выражение становится отрицательным, мы, как и ранее, преобразуем ω в iω, где новое ω уже действительное число. Таким образом теперь уже имеет место  R2 1 − . (12.14) ω= LC 4L2 В показателях экспонент при этом появляется мнимая единица i и в результате возникают тригонометрические функции. Решение полу-

12.3. Последовательный R,L,C-контур

95

чаемое из (12.12) при такой замене имеет вид:   R U0 exp − t · sin ωt. I= ωL 2L

(12.15)

График этой зависимости для ёмкости C = 0.1 мкФ и прежних значениях R, L и U0 приведен на рис.12.12. Он представляет из себя затухающую синусоиду, многократно переходящую через ноль. Проанализируем характер затухания в том случае, когда имеет место R2 1 . LC 4L2

(12.16)

Рис. 12.12.

Из (12.14) и (12.16) следует, что с высокой точностью ω2 =

1 . LC

В правой же части (12.16) стоит квадрат обратного времени τ=

2L , R

т.е. того времени, которое в соответствии с (12.12) определяет скорость уменьшения амплитуды тока. Поэтому (12.16) эквивалентно соотношению 1 ω , τ свидетельствующему, что колебания в контуре затухают достаточно медленно. Количественно характеризуют затухание величиной δ, при определении которой используют не частоту ω, а период колебаний T =

√ 2π = 2π LC. ω

Тогда мы получаем δ=

R 1 T = . 2L N

(12.17)

96

Глава 12. Квазистационарный ток

Здесь N – число полных колебаний, происходящих в контуре до того момента, когда их амплитуда уменьшится в e раз. При практическом определении степени затухания удобно находить отношение амплитуд любых двух последовательных колебаний т.е. n-го – I0n и (n+1)-го – I0(n+1) . Из (12.12) сразу следует R I0n T. = exp I0(n+1) 2L Прологарифмировав отношение амплитуд токов, мы установим, что оно равно δ, уже ранее определённому (12.17). Поэтому δ называют логарифмическим декрементом затухания. Для того, чтобы охарактеризовать скорость затухания колебаний в контуре используют ещё одну величину, называемую добротностью, определяемую соотношением  2Lπ 2Lπ L 1 π √ = · . (12.18) = Q = = πN = δ RT C R 2πR LC Если сопротивление R обратится в ноль, то частота колебаний в контуре,задаваемая (12.13), станет точно равной 1 , ω0 = √ LC

(12.19)

а соотношение (12.12) при этом трансформируется в U0 U0 I = sin ω0 t = sin ω0 t. ρ L

(12.20)

C

Величину ρ, равную 

L , C называют волновым сопротивлением контура. Условие (12.16) после введения в него ρ принимает вид: ρ=

ρ

R . 2

(12.21)

(12.22)

Глава 13

Переменный ток 13.1

R,L,C-контур под действием периодической ЭДС.

В дальнейшем под периодической ЭДС будем иметь ввиду напряжение такого источника, которое изменяется со временем по гармоническому закону. Будем задавать такое напряжение функциями вида U (t) = U0 sin(ωt + ϕ) или U (t) = U0 cos(ωt + ϕ). Приложим такое напряжение к последовательному R,L,C - контуру так, как показано на рис.13.1 . Тогда ток, протекающий в этой цепи, будет удовлетворять дифференциальному уравнению: U0 sin(ωt+ϕ)−L

dI 1 − dt C

 Idt = RI. (13.1) Рис. 13.1.

После дифференцирования по времени и перегруппировки членов оно сводится к I dI d2 I + = U0 ω cos(ωt + ϕ). +R (13.2) 2 dt dt C Мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно, его общее решение состоит из суммы двух решений: полного решения неоднородного уравнения и частного решения однородного. Но однородное L

97

98

Глава 13. Переменный ток

уравнение(12.7) мы уже решали в предыдущей главе и показали, что для всех режимов с отличным от нуля сопротивлением ток в цепи затухает, стремясь к нулю. Поэтому длительно протекающий ток будет определяться только частным решением данного уравнения. Исследуем свойства этого решения. Предположим, что существует источник напряжения U (t) , обеспечивающий протекание в контуре тока I0 sin ωt. Из уравнения (13.1) получим, что напряжение этого источника определяется выражением I0 cos ωt = ωC I0 π π = I0 R sin ωt + I0 ωL sin(ωt + ) + sin(ωt − ). 2 ωC 2

U (t) = I0 R sin ωt + I0 ωL cos ωt −

(13.3)

Таким образом неизвестное напряжение U (t) является суммой трёх гармонических напряжений той же частоты, но с различными амплитудами и фазами. Обратим внимание на то обстоятельство, что ωL и 1/ωC имеют размерность сопротивления. Это следует из (3.3),(6.19) и (9.5): 1 =с· [ω] · [C]



А2 · с4 кг · м2

−1 =

кг · м2 = [R], с3 · А 2

1 кг · м2 кг · м2 · 2 = 3 = [R]. 2 с с ·А с · А2 Из вида решения следует, что напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, на индуктивности опережает ток на π/2, а на ёмкости отстает на ту же величину. Докажем, что сумма любого числа гармонических функций одинаковых частот и различных, но постоянных, амплитуд и фаз является гармонической функцией той же частоты. Для этого вначале найдём сумму двух гармонических функций S1 и S2 . Пусть [ω][L] =

S1 = A1 cos(ωt − ϕ1 ),

S2 = A2 cos(ωt − ϕ2 ).

Тогда S1 + S2 = A1 cos ωt cos ϕ1 + A1 sin ωt sin ϕ1 + A2 cos ωt cos ϕ2 + +A2 sin ωt sin ϕ2 = (A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 ) cos ωt + (A1 sinϕ1 +

13.1. R,L,C-контур под действием периодической ЭДС.

99

+A2 sin ϕ2 ) sin ωt. Покажем, что существуют действительные A и ϕ, удовлетворяющие уравнениям A1 cos ϕ + A2 cos ϕ2 = A cos ϕ, A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 = A sin ϕ.

(13.4)

Возведем уравнения (13.4) в квадрат и сложим их. A2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos (ϕ1 − ϕ2 ).

(13.5)

Так как косинус угла не может быть меньше −1, то A2
A21 + A22 − 2A1 A2
0 и при любых положительных A1 и A2 действительное A существует. Разделив второе уравнение (13.4) на первое получим tg ϕ =

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 . A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2

(13.6)

Правая часть данного выражения может принимать любые значения в интервале от −∞ до +∞, что соответствует области определения тангенса при действительных значениях аргумента. Таким образом система уравнений (13.4) всегда имеет решение, найдя которое с помощью (13.5) и (13.6), мы представим сумму двух рассматриваемых колебаний в виде S1 + S2 = A · (cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ) = A · cos(ωt + ϕ).

(13.7)

Следовательно, сумма двух гармонических колебаний одинаковой частоты, но с произвольными амплитудами и фазами всегда даёт колебание этой же частоты с некоторой новой амплитудой и другой фазой. Этот результат без труда может быть обобщен на сумму произвольного числа колебаний. В силу этого гармонический ток в исследуемой последовательной цепи имеет ту же частоту, что и действующее гармоническое напряжение внешнего источника. Справедливо и обратное: частота гармонического тока, соответствующая частному решению дифференциального уравнения (13.2) совпадает с частотой источника.

100

13.2

Глава 13. Переменный ток

Метод векторных диаграмм

Рассмотренный в предыдущем параграфе метод сложения колебаний может быть применён для нахождения зависимости между током в цепи с линейными элементами R, Lи C и гармоническим напряжением на её входе. Но он требует громоздких вычислений, что затрудняет его использование для решения конкретных задач. Наибольшее применение получил другой метод, к изложению которого мы и приступаем. Рассмотрим два вектора a1 и a2 , заданных на плоскости X0Y и расположенных так, как показано на рис.13.2. Вектор a является суммой этих двух векторов a1 + a2 = a. Вектора a1 и a2 образуют с осью 0X соответственно углы ϕ1 и ϕ2 , а a − ϕ. Обозначим модули этих векторов соответственно |a1 | = A1 , |a2 | = A2 , |a| = A. Рис. 13.2.

Спроектируем сумму векторов на оси 0X и 0Y. A cos ϕ = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 , A sin ϕ = A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 .

Полученная в результате данной операции система уравнений эквивалентна системе (13.4), и, как легко убедиться, справедлива как для отрицательных, так и для положительных углов сдвига фаз. Это позволяет свести задачу о сложении гармонических колебаний одинаковых частот к сложению векторов на плоскости. Пусть нам необходимо сложить несколько скалярных колебания одинаковой частоты векторным методом. Для этого прежде всего требуется выбрать начало отсчета времени, что сразу устанавливает сдвиг фаз или фазу каждого колебания. Далее действуют следующим образом: 1. На плоскости выбирают некоторую прямоугольную систему координат. 2. Устанавливают масштаб, в соответствие с которым по заданной амплитуде колебаний определяют длину каждого вектора на плоскости.

13.2. Метод векторных диаграмм

101

3. Колебанию, имеющему в выбранной системе отсчета времени нулевой сдвиг фаз, ставят во взаимно однозначное соответствие вектор, амплитуда которого уже определена по правилам пункта 1, и направляют этот вектор по оси абсцисс в положительном направлении. 4. Вектора, соответствующие колебаниям с отличным от нуля сдвигом фаз, поворачивают по часовой стрелке, если угол сдвига фаз данного колебания положителен, и против часовой стрелки если он отрицателен. 5. Строят итоговый вектор, равный сумме исходных векторов. 6. С помощью уже установленного масштаба по модулю итогового вектора восстанавливают амплитуду результирующего колебания. Такую интерпретацию сложения колебаний на плоскости называют векторной диаграммой. Так как масштабный фактор используется дважды, его значение не влияет на конечный результат. Поэтому амплитуду векторов на плоскости можно задавать в том же виде, что и амплитуду колебаний. Рассматриваемое векторное пространство по самому способу построения двумерное, поэтому в качестве его ортов удобно использовать действительную и мнимую единицу или, другими словами, рассматривать плоскости как плоскость комплексных чисел. Построим векторную диаграмму для трёх напряжений последовательного LRC-контура, задаваемых соотношением (13.3). Выберем систему отсчета времени так, чтобы ток в цепи имел нулевой сдвиг фазы. Тогда век R , находящийся во взаимно однозначтор U ном соответствии с изменяющимся во времени по гармоническому закону напряжению на сопротивлении R, направлен по оси Рис. 13.3. действительных чисел. Амплитуда этого век R | ∼ RI0 . Естественно, что по этой же оси тора пропорциональна |U направлен вектор, соответствующий изменяющемуся по синусоиде току. π Напряжение на индуктивности опережает ток на угол ϕ = . Поэтому 2  l | ∼ ωLI0 и этот вектор направлен по положиамплитуда вектора |U тельному направлению мнимой оси. И, наконец, напряжение на ёмкосπ и поэтому вектор, пропорциональный по ти отстает от тока на угол 2 амплитуде напряжению на ёмкости C, направлен по отрицательному  C | ∼ I0 . направлению мнимой оси и |U ωC

102

Глава 13. Переменный ток Итоговый вектор напряжения равен:    = I0 R + iI0 ωL − i I0 = I0 R + iI0 ωL − 1 . U ωC ωC

(13.8)

Определим теперь амплитуду изменяющегося по гармоническому закону напряжения, которое вызывает протекания в рассматриваемой  , для чего цепи тока I0 sin ωt. С этой целью вычислим длину вектора U достаточно применить теорему Пифагора.

 2  = U0 = I0 R2 + ωL − 1 . (13.9) |U| ωC Для того, чтобы полностью восстановить U (t), необходимо определить угол сдвига фаз ϕ между током и напряжением . Из рис.13.3 следует, что 1 ωL − ) I(U ωC . (13.10) = tg ϕ = ) R R(U Здесь использованы принятые в математике операторы, выделяющие из любого комплексного числа, например z = a + bi, его действительную Re(z) или мнимую Im(z) части. Поэтому Re(z) = a, Im(z) = b. По известной амплитуде и фазе не представляет труда восстановить и напряжение как функцию времени.  

1  2 ωL − 1  ωC  U (t) = I0 R2 + ωL − · sin ωt + arctg  . (13.11) ωC R Запишем соотношение (13.8) в иной форме

  1   U = I0 R + i ωL − = I0 Z, ωC

(13.12)

 - новый вектор, называемый импедансом или комплексным согде Z противлением. В дальнейшем комплексный импеданс, как и все комплексные числа, будем обозначать в виде Z.

13.2. Метод векторных диаграмм

103

  1 Z = R + i ωL − . ωC

(13.13)

В теории электрических цепей именно импеданс обычно выступает носителем векторных свойств. Используя его свойства (13.9) и (13.10) можно записать в виде  (13.14) U0 = I0 Z Z¯ = I0 |Z|, tg ϕ =

Im(Z) . Re(Z)

(13.15)

Здесь Z¯ комплексно-сопряженное число для комплексного числа Z, имеющее равные с ним действительные части и мнимые части, отличаю¯ = R(Z), I(Z) ¯ = −I(Z). щиеся только знаком. Таким образом R(Z) Каждому из элементов электрической цепи L, R C, включенных в цепь переменного тока с частотой ω, ставят в соответствие свой импеданс на плоскости, где строятся вектора, а именно: ZR = R, ZL = iωL, i 1 ZC = =− . iωC ωC

(13.16)

Общий импеданс последовательной цепи находят, просуммировав все импедансы, которых может быть, естественно, не более трёх. Z = ZR + ZL + ZC .

(13.17)

Определив импедансы в соответствие с (13.16), автоматически устанавливают начало отсчета реального времени, обеспечивающее нулевой сдвиг фаз у тока. Угол сдвига фаз между током и напряжением находят с помощью (13.15), а (13.14) задает связь между амплитудой тока и амплитудой входного напряжения. Перейдем к рассмотрению параллельного подключения. Пусть нам задан источник напряжения известной частоты и амплитуды, а к нему подключено несколько параллельных ветвей, каждая из которых имеет свой импеданс типа (13.17). Вычислив эти импедансы, можно построить для каждой ветви векторную диаграмму, аналогичную той, которая приведена на рис.13.4 . Очевидно,что все эти диаграммы будут отличаться друг от друга в том числе и величиной угла ϕk сдвига фаз

104

Глава 13. Переменный ток

между током и напряжением в k-той ветви. Зафиксируем вектор напряжения, направив его во всех диаграммах по оси действительных чисел. С этой целью повернем каждую диаграмму на соответствующий угол −ϕk . Тогда направления вектора тока на плоскости для k- той ветви будет задаваться комплексно-сопряженным её импедансу вектором Z¯k , Z¯k  (см. рис.13.4) будет на, а вектор U ортом которого является  Zk Z¯k правлен по оси действительных чисел. Таким образом вектор k-го тока равен U0 Z¯k U0 Ik =  · = , Zk Zk Z¯k Zi Z¯k а векторная сумма всех токов ветвей Рис. 13.4.

I =

N
k=1


1 U0 = U0 . Z Zk N

Ik =

k=1

Отсюда сразу следует закон сложения импедансов при параллельном включении: N
1 1 = . (13.18) Z Zk k=1

Таким образом введение комплексной плоскости позволяет свести задачу о сложении произвольного числа колебаний к сложению векторов на этой плоскости. Для цепей переменного тока в качестве таких векторов выступают импедансы. Для определения токов в разветвленной цепи поступают следующим образом: 1. Присваивают всем линейным элементам цепи комплексные импедансы, соответствующие векторам на плоскости комплексных чисел, по правилам, установленным (13.16). 2. При последовательном включении элементов итоговый импеданс находят суммированием самих векторов. 3. При параллельном включении ветвей в соответствии с (13.18) складываются величины, обратные импедансам . 4. Если при расчете возникают импедансы, имеющие мнимую единицу i в знаменателе, то комплексное число преобразуют к нормальному виду, умножив его числитель и знаменатель на число, комплексносопряженное знаменателю. После проведения данной операции импе-

13.3. Резонанс напряжений

105

данс всегда примет вид Z = Re(Z) + iIm(Z), где Re(Z) и Im(Z) всегда действительные числа. 5.Находят модуль импеданса |Z| =



Z Z¯ =

 Re(Z)2 + Im(Z)2 .

6. По известной амплитуде напряжения с помощью (13.14)находят амплитуду тока всей цепи или её участка. 7. С помощью (13.15)определяют угол сдвига фаз между током и напряжением. 8. По найденным величинам восстанавливают зависимость тока от времени   U0 Im(Z) I(t) = sin ωt + arctg . |Z| Re(Z)

13.3

Резонанс напряжений

Изучим зависимость тока в последовательном R,L,C-контуре рис.13.1 от частоты источника. Пусть к контуру приложен напряжение U (t) = U0 sin ωt. В соответствии с (13.9) амплитуда этого тока равна U0  2 . 1 R2 + ωt − ωC

I0 =

На рис. 13.5 приведено семейство кривых, характеризующих зависимость тока от частоты ω для контура, у которого C = 10−5 Ф, L = 10−3 Гн при амплитуде напряжения источника 100 В. Параметром, задающим это семейство, являлось сопротивление R, которое принимало набор постоянных значений в диапазоне 0,1-0,5 Ом. На всех кривых наблюдался харакРис. 13.5. терный максимум тока, наступающей при той частоте источника, при которой мнимая часть импеданса

106

Глава 13. Переменный ток

обращается в 0. Сдвиг фаз между током и напряжением при этом отсутствует, а амплитуда тока определяется только омическим сопротивлением контура R. U0 . I0 = R Это наступает при частоте генератора 1 , ω0 = √ LC совпадающей с собственной частотой колебаний L,C - контура без затухания, определяемой (12.19), равной для данного случая 104 1/с. Эту частоту так же называют резонансной. Вычислим амплитуду напряжения при резонансе на конденсаторе. U0C = |ZC | · I0 =

U0 . RωC

Подставив сюда значение тока при резонансе и резонансную частоту (12.19), получим U0C

U0 U0 = = RωC R



L ρ = U0 = U0 Q. C R

(13.19)

Здесь Q-добротность контура, определяемая (12.18) и (12.21). В контурах с малым затуханием Q 1 и на реактивных элементах снимают напряжение, во много раз превышающее напряжение входного генератора. Поэтому данный вид резонанса называют резонансом напряжений. Векторная диаграмма последовательного контура при резонансе приведена на рис.13.6. Напряжение на сопротивлении равно напряжению источника. Вектор индуктивного напряжения опережает вектор входРис. 13.6. ного на π/2, а вектор емкостного отстает на такой же угол. По амплитуде индуктивное напряжение равно емкостному. Резонанс напряжения используют для повышения амплитуды входного напряжения прежде всего в радиоприемных устройствах, а так же для отбора заданных частот.

13.4. Резонанс токов

13.4

107

Резонанс токов

Резонанс токов наблюдают в параллельном R, L, C− контуре, изображенном на рис.13.7. Мы здесь имеем дело со случаем параллельного подключения и поэтому при нахождении суммарного импеданса должны складывать величины, обратные импедансам ветвей. Импеданс Z этой цепи находят из уравнения 1 1 = iωC + . Z R + iωL После преобразования по обычной схеме, при реализации которой приходится избавляться от мнимых единиц в знаменателе, он принимает вид:

Рис. 13.7.

R ωL − ωR C − ω 3 L2 C +i 2 2 2 . 2 2 + (1 − ω LC) ω R C + (1 − ω 2 LC)2 На рисунке 13.8 приведено семейство кривых, характеризующее зависимость модуля импеданса контура, у которого L = 10−3 Гн, C = 5 · 10−5 Ф, от частоты ω при амплитуде напряжения источника 100 В. Параметром семейства является величина омического сопротивления контура, варьировавшаяся в пределах 0,2 – 1 Ом. При резонансной частоте, которая здесь та же, что и в предыдущем случае, наступает резкий рост модуля импеданса, который тем выше, чем меньше омическое сопротивление контура. Вычислим импеданс параллельного контура при резонансе. ПриРис. 13.8. 1 нимая во внимание, что ω = √ LC  L иρ= , получим: C 2

Z=

ω 2 R2 C 2

Z=

i L ρ2 R + iωL =− + = − iρ. iωRC ωC RC R

(13.20)

108

Глава 13. Переменный ток

Модуль этого импеданса, определяющий амплитуду общего тока, есть  ρ4 |Z| = + ρ2 , R2 а угол сдвига фаз между этим током и напряжением на входе равен ϕ = arctg

R . ρ

В контурах с высокой добротностью ρ R и поэтому с большой степенью точности |Z| =

ρ2 , R

I0 =

U0 R , ρ2

ϕ=−

R . ρ

Векторная диаграмм а для токов и напряжений исследуемого контура приведена на рис.13.9. Начало отсчета фазового угла здесь выбрано таким образом, чтобы ток в LR-ветви имел нулевой сдвиг фаз. Для контура с высокой добротностью определим амплитуды токов в отдельных ветвях при резонансе. Рис. 13.9.

ZLR = iωL + R = iρ + R.

В силу этого амплитуда тока в LR-ветви будет с большой точностью равна U0 U0 = , I0LR = |ZLR | ρ что во много раз больше амплитуды I0 общего тока. Вычислим резонансный импеданс C- ветви. ZC = −

i = −iρ, ωC

|ZC | = ρ.

В рассматриваемом случае он практически равен импедансу первой, в силу чего токи обеих ветвей отличаются на малую величину. Проследим, как трансформируется векторная диаграмма рис.13.9, если неограниченно уменьшать затухание в контуре . Направление тока L и U C в L-ветви при этом останется прежним, а вектора напряжения U

13.5. Мощность в цепях переменного тока

109

будут стремиться к тому, чтобы стать одинаковыми и направленными положительном направлении оси действительных чисел. Вектор тока IC , опережающий вектор напряжения на конденсаторе на π/2, будет стремиться к отрицательному направлению действительной мнимой оси, т.е. прямо противоположно вектору IL . Импеданс всей цепи будет стремиться к бесконечности, обращая в ноль ток I в цепи источника, а при полном отсутствии затухания IC + IL = 0. Рис. 13.10.

Векторная диаграмма токов при резонансе с малым затуханием представлена на рис. 13.10.

13.5

Мощность в цепях переменного тока

Пусть к некоторой произвольной цепи, содержащей в некоторой комбинации набор R, L и C, подключен источник переменного тока U (t) = U0 sin ωt, вызывающей протекание в цепи тока I(t) = I0 sin(ωt + ϕ). Тогда мгновенная мощность, выделяемая в этой цепи, будет равна N = IU = I0 U0 sin ωt · sin(ωt + ϕ).

(13.21)

Величина джоулевой энергии W, выделяемая в цепи за период времени 2π , t T = ω (здесь T - период тока данной цепи), определяется соотношением ¯ · t, W=N ¯ равно средней мощности за период а среднее значение мощности N ¯ = 1 N T

T I0 U0 sin ωt · sin(ωt + ϕ)dt. 0

Преобразуем функцию, стоящую под знаком интеграла. sin ωt · sin(ωt + ϕ) = sin ω · (sin ωt cos ϕ + cos ωt sin ϕ) =

110

Глава 13. Переменный ток 1 sin 2ωt sin ϕ = 2 1 1 = (1 − cos 2ωt) cos ϕ + sin 2ωt sin ϕ. 2 2 = sin2 ωt cos ϕ +

В силу этого ¯ = I0 U0 cos ϕ N 2T

T

I0 U0 dt + 2T

0

T sin(2ωt − ϕ)dt. 0

Второй из интегралов как интеграл от периодической функции по времени, кратному её периоду, обращается в 0 и в итоге мы получаем ¯ = U0 I0 cos ϕ = Uэ Iэ cos ϕ. N 2

(13.22)

Здесь введены эффективные значения тока и напряжения Iэ и Uэ , равные U0 Uэ = √ , 2 I0 Iэ = √ . 2

(13.23)

Глава 14

Ток в длинной линии 14.1

Уравнение для токов и напряжений

Будем считать длинной такую линию, в которой условие квазистационарности (9.3) не выполняется. Рассмотрим простейшую однородную линию, образованную двумя тонкими параллельными проводами с нулевым сопротивлением проводников и бесконечно большим сопротивлением изоляции. Эту линию можно охарактеризовать индуктивностью L и ёмкостью C единицы длины, имеющих соответственно размерности Генри/м и Фарада/м. На рис.14.1 изображен бесконечно малый отрезок такой линии длиной dx. Для этого отрезка условия квазистационарности заведомо выполнены, что позволяет применить к нему оба правила Кирхгофа. Напряжение, прикладываемое к участку линии dx, будет компенсировано ЭДС самоиндукции на индуктивности Ldx ∂I , ∂t а изменение тока определяет зарядка конденсатора Cdx U (x + dx) − U (x) = −Ldx

I(x + dx) − I(x) = −Cdx

∂U . ∂t

Рис. 14.1.

После предельного перехода эти уравнения трансформируются в систему: 111

112

Глава 14. Ток в длинной линии

∂U ∂I = −C , ∂x ∂t ∂I ∂U = −L . ∂x ∂t

(14.1)

Продифференцируем первое уравнение системы (14.1) по x, а второе по t. ∂2U ∂2I , = −C 2 ∂x ∂t∂x ∂2U ∂ 2I = −L 2 . ∂x∂t ∂t

(14.2)

Умножим второе уравнение (14.2) на C и сложим с первым. ∂2I ∂2I = LC 2 . 2 ∂x ∂t

(14.3)

Аналогичная операция легко приводит к идентичному уравнению для напряжения. ∂2U ∂2U = LC . (14.4) ∂x2 ∂t2 Полученные уравнения называют волновыми уравнениями. Для произвольной функции F (x) волновое уравнение имеет вид: 1 ∂2F ∂2F = . ∂x2 a2 ∂t2

(14.5)

Общее решение одномерного волнового уравнения находят с помощью замены переменных ξ = x + at, η = x − at.

(14.6)

Эта замена трансформирует (14.5) в ∂2F = 0, ∂ξ∂η общим решением которого является: F = F1 (ξ) + F2 (η) = F1 (x + at) + F2 (x − at).

(14.7)

14.2. Свойства решения волнового уравнения

113

1 и после соответствуюДля нашего конкретного случая a = √ LC щей замены (14.3) и (14.4) преобразуются соответственно в ∂2I = 0, ∂ξ∂η ∂2U = 0, ∂ξ∂η с общими решениями t t I = I1 (ξ) + I2 (η) = I1 (x + √ ) + I2 (x − √ ), LC LC t t U = U1 (ξ) + U2 (η) = U1 (x + √ ) + U2 (x − √ ). LC LC

14.2

(14.8)

Свойства решения волнового уравнения

Выберем систему координат и начало отсчета времени таким образом, чтобы аргумент функции I1 (ξ) в выбранной точке пространства был равен нулю. Тогда t = 0, x+ √ LC

v=

x 1 . = −√ t LC

Мы видим, что геометрическое место точек, где рассматриваемая функция сохраняет своё постоянное значение, движется в сторону отрицательных x со скоростью −v. Повторяя все рассуждения для функции I2 (η), установим, что она описывает волну, движущуюся в положительном направлении с той же по модулю скоростью. Для функций U1 и U2 ситуация аналогична. Конкретный вид этих функций определяется граничными условиями. Обычно их формирует генератор напряжения, который может быть расположен в любой заданной точке линии. Пусть генератор сформировал в линии волну, которая движется в отрицательном направлении и задаётся функциями U = ϕ2 (ξ), I = f2 (ξ).

114

Глава 14. Ток в длинной линии Тогда мы вправе записать ∂U ∂U ∂ξ 1 · ϕ2ξ , = = √ ∂t ∂ξ ∂t LC ∂I ∂ξ ∂I  = = f2ξ . ∂x ∂ξ ∂x

(14.9)

Подставим (14.9) в первое уравнение системы (14.1).  C  · ϕ2ξ . f2ξ = − L Проинтегрируем это уравнение, приняв константу интегрирования равной нулю.  C ϕ2 (ξ) f2 (ξ) = − · ϕ2 (ξ) = − . L ρ Волновое сопротивление ρ было определено ранее формулой (12.21). Поэтому ток и напряжение отрицательной волны в любой момент в произвольном участке линии связаны между собой соотношением   t U x + √LC  = −ρ,  (14.10) t I x + √LC а саму эту "−"волну можно задать как U =ϕ2 (ξ), 1 I = − · ϕ2 (ξ). ρ

(14.11)

Аналогичные рассуждения можно провести и для волны, движущейся в положительном направлении. Пусть в ней сформированы ток и напряжение U = ϕ1 (η), I = f1 (η). Вычислив частные производные ∂U ∂U ∂η = = ϕ1η , ∂x ∂η ∂x ∂I ∂η 1 ∂I  f1η = = −√ ∂t ∂η ∂t LC

(14.12)

14.2. Свойства решения волнового уравнения

115

и подставив найденные значения во второе уравнение (14.1), получим  C  f1η = · ϕ1η , L что после интегрирования приводит к  C f1 (η) = · ϕ1 (η). L Таким образом "+"волна записывается в виде: U = ϕ1 (η), 1 I = · ϕ1 (η). ρ

(14.13)

Общее решение волнового уравнения объединяет в себе и "+"и "−"волны. U = ϕ1 (η) + ϕ2 (ξ), 1 I = · [ϕ1 (η) − ϕ2 (ξ)]. ρ

(14.14)

Рассмотрим полубесконечную линию, которая нагружена на активное сопротивление R. Пусть в линии сформирована "+ "волна ϕ1 (η). В некоторый момент времени она выходит на границу, где формируется отраженная волна ϕ2 (ξ). Граничное условие требует, чтобы на конце линии всегда имело место U = R, I что совместно с (14.14) приводит к ϕ1 (η) + ϕ2 (ξ) R = . ϕ1 (η) − ϕ2 (ξ) ρ

(14.15)

Если R = ∞, т.е. линия разомкнута, то из (14.15) следует ϕ1 (η) = ϕ2 (ξ). Равенство отраженной и падающей волн приводит к удвоению амплитуды напряжения на конце линии. Если R = 0, то ϕ1 (η) = −ϕ2 (ξ).

116

Глава 14. Ток в длинной линии

Поэтому напряжение на конце линии обращается в ноль, а удваивается уже ток. Если же R = ρ, то из (14.15) следует ϕ1 (η) + ϕ2 (ξ) = ϕ1 (η) − ϕ2 (ξ), ϕ2 (ξ) = 0. Таким образом, если линию нагрузить на волновое сопротивление, то отраженная волна не возникает. В этом случае принято говорить, что линия согласована с нагрузкой.

Глава 15

Свободные электромагнитные волны 15.1

Полная система уравнений электромагнитного поля

В предыдущих главах были сформулированы следующие ключевые теоремы для электрического и магнитного полей, отражающие основные законы, сформулированные для этих полей на основании экспериментальных исследований многих выдающихся физиков. 1. Теорема Гаусса (1.14), следующая из закона Кулона:     DdS = ρdV. (15.1) S

V

2. Теорема Гаусса для магнитного поля (7.22), фиксирующая отсутствие магнитных зарядов:   S  = 0. Bd (15.2) S

 (7.13), полученная из закона 3. Теорема о циркуляции вектора H Ампера:    l =  dS.  Hd (15.3) L

S

117

118

Глава 15. Свободные электромагнитные волны

 (9.2), отражающая закон ин4. Теорема о циркуляции вектора E дукции Фарадея.     d l = − ∂ B d S.  E (15.4) ∂t L

S

Максвелл дополнил уравнение (15.3), добавив в него член, учитывающий изменение электрического поля во времени. 

  l = Hd

( +

 ∂D  ) dS. ∂t

(15.5)

s

L

Эта добавка к току проводимости  получила название тока смещения, обычно обозначаемого как см : см =

 ∂D . ∂t

(15.6)

Для того, чтобы пояснить, каким образом возник термин ток смещения, рассмотрим прохождение изменяющегося во времени тока через конденсатор, заполненный диэлектриком. Если поле однородно, то на пластинах образуются заряды с плотностью σ=D и таким образом наведенный заряд определяется смещением относительно друг друга диполей в диэлектрике . Если D = D(t), то и σ = σ(t) и плотность токов из-за смещения диполей можно определить как =

dD dσ = . dt dt

Но на самом деле соотношение (15.6) имеет более глубокий смысл, так как оно справедливо для вакуума. Уравнения (15.1), (15.2), (15.4) и (15.5) образуют систему, получившую название системы уравнений Максвелла. Для приложений наибо-

15.2. Плоские электромагнитные волны

119

лее удобна их дифференциальная форма:  = ρ, div D  = 0, div B  ∂B , ∂t   =  + ∂ D . rotH ∂t  =− rotE

(15.7)

|

15.2

Плоские электромагнитные волны

Для однородного незаряженного диэлектрика система уравнений (15.7) трансформируется в  = 0, div D  = 0, div B  ∂B , ∂t   = ∂D . rotH ∂t  =− rotE

(15.8)

Пусть все функции, входящие в эту систему, зависят только от координаты x и времени t. Спроектируем третье и четвёртое уравнения (15.8) на оси декартовой системы координат. Так как для любого век в этом случае имеет место: тора A    ı k     ∂Az  ∂Ay ∂ ∂   t) =  ∂ rotA(x,  ∂x ∂y ∂z  = − ∂x + k ∂x ,    Ax Ay Az  то в итоге мы получим −

∂Ez  ∂Ey ∂Bx ∂By  ∂Bz +k = −ı −  −k , ∂x ∂x ∂t ∂t ∂t

−

∂Hz  ∂Hy ∂Dx ∂Dy  ∂Dz +k = ı +  +k . ∂x ∂x ∂t ∂t ∂t

120

Глава 15. Свободные электромагнитные волны Проекция этих уравнений на ось 0Z даёт нам ∂Ey ∂Bz =− , ∂x ∂t ∂Dy ∂Hz =− , ∂x ∂t

(15.9)

∂By ∂Ez = , ∂x ∂t ∂Dz ∂Hy = . ∂x ∂t

(15.10)

а на ось 0Y соответственно

Проекция на ось 0X приводит к тривиальным соотношениям.  = εε0 E  иB  = µµ0 H,  после сопоставПринимая во внимание, что D ления (15.9) и (15.10) с (14.3) и (14.4), установим, что между функциями и константами, входящими в эти уравнения, существует следующее соответствие: U ⇐⇒ E, I ⇐⇒ H, L ⇐⇒ µµ0 , C ⇐⇒ εε0 .

(15.11)

Проведя с уравнениями (15.9) и (15.10) такие же преобразования, как в своё время с системой (14.1), получим, что каждая из систем формирует по паре волновых уравнений, определяющих две электромагнитных волны. ∂ 2 Ey ∂ 2 Ey = µεµ ε , 0 0 ∂x2 ∂t2 ∂ 2 Hz ∂ 2 Hz = µεµ0 ε0 . 2 ∂x ∂t2

(15.12)

∂ 2 Ez ∂ 2 Ez = µεµ ε , 0 0 ∂x2 ∂t2 ∂ 2 Hy ∂ 2 Hy = µεµ0 ε0 . 2 ∂x ∂t2

(15.13)

Тип волны определяют направлением напряженности электрического поля в этой волне. Поэтому волну (15.12) называют y-волной или

15.2. Плоские электромагнитные волны

121

волной, поляризованной по оси 0Y. Соответственно волна, задаваемая (15.13), поляризована по оси 0Z. Каждая из этих двух волн должна быть возбуждена своим генератором излучения. Пусть генератор сформировал y - волну, движущуюся в положительном направлении оси 0X. Сопоставляя полученные уравнения со стандартной формой волнового уравнения (14.5) и его общим решением (14.7), мы вправе записать Ey = E+ (x − ut), Hz = H+ (x − ut), а скорость u этой волны равна 1 1 u= √ ·√ . εµ ε0 µ0

(15.14)

Для волны в вакууме, эта скорость с учетом (1.4) и (7.2) составляет √ 1 4π · 9 · 109 u= √ = √ = 3 · 108 м/с. ε0 µ0 4π · 10−7 Таким образом скорость электромагнитной волны в вакууме совпадает со скоростью света c. Ex Учитывая аналогию, указываемую (15.11), отношение в "+"волне Hz найдём с помощью (14.13):  L U+ , = I+ C (15.15)  E+ µµ0 = . H+ εε0 Исходя из (14.10) для "−"волны получим:  U− L , =− I− C  E− µµ0 =− . H− εε0

(15.16)

122

Глава 15. Свободные электромагнитные волны

Пусть генератор формирует синусоидальную "+"волну, поляризованную по оси 0Y Ey = A0 sin

x − ut x = A0 sin ( − ωt), b b

где ω - круговая частота, а u задает скорость распространения любой фазы волны. Так как 2π , λ= u·T = u· ω то 2πu ω= . λ Поэтому u λ b= = . ω 2π Вместо b в теории электромагнитных волн вводят волновое число k, определяемое как 2π k= . (15.17) λ Фазовая скорость и волновое число связаны зависимостью: u=

ω . k

(15.18)

Теперь эта волна может быть записана в виде: Ey = A0 sin(ωt − kx),  εε0 sin(ωt − kx). Hz = A0 · µµ0

(15.19)

Дальнейшее изложение будет проведено для диэлектриков, у котолрых µ = 1.

15.3 15.3.1

Волны на границе раздела Нормальное падение плоской волны на границу раздела диэлектриков

Рассмотрим два однородных изотропных диэлектрика, разделённых плоской границей (см. рис.15.1). В верхнем диэлектрике, характеризующемся ε1 и µ1 распространяется "+"волна, падающая по нормали

15.3. Волны на границе раздела

123

на плоскую границу раздела со вторым диэлектриком, имеющим соответственно ε2 и µ2 . Поляризация волны в такой постановке несущественна. E1+ = A1 sin(ωt − k1 x),  ε0 ε1 H1+ = A1 n1 · sin(ωt − k1 x). µ1 µ0

(15.20)

На границе раздела должны выполняться граничные условия (5.15), (5.16), (11.6), (11.7). Эти условия могут быть выполнены только в том случае, если возникают отраженная и проходящая волны. Отраженная волна остаётся в среде "1", но это теперь уже "−"волна. Поэтому E1− = A1 sin(ωt + k1 x),  (15.21) ε1 ε0  H1− = −A1 n1 · · sin(ωt + k1 x). µ1 µ0

Рис. 15.1.

И, наконец, проходящая волна остаётся "+"волной, но её волновое число изменяется. E2+ = A2 sin(ωt − k2 x),  ε2 ε0 H2+ = A2 n2 · sin(ωt − k2 x). µ2 µ0

(15.22)

При записи этих выражений учтено, что k1 =

ω , u1

k2 =

ω , u2

1 u1 = √ , ε0 ε1 µ0 µ1

c u2 = √ . ε0 ε2 µ0 , µ2

В дальнейшем изложении будем использовать новые величины 

ε1 , µ1  ε2 n1 = . µ2 n1 =

(15.23)

124

Глава 15. Свободные электромагнитные волны

В соответствии с (5.15) и (11.6) при переходе через границу раз и H,  что дела сохраняются тангенциальные составляющие векторов E приводит к E1+ (t, 0) + E1− (t, 0) = E2+ (t, 0), H1+ (t, 0) + H1− (t, 0) = H2+ (t, 0), а совместно с (15.20),(15.21) и (15.22) позволяет получить A1 + A1 = A2 , n1 A1 − n1 A1 = n2 A2 . Эта система определена, так как амплитуда A1 падающей волны должна быть задана. Найдём амплитуды отраженной A1 и проходящей A2 волн: n1 − n2 A1 , n1 + n2 2n1 A2 = A1 . n1 + n2

A1 =

(15.24)

Как следует из первого уравнения (15.24), в том случае, если n1 < n2 , амплитуда отраженной волны меняет свой знак по отношению к падающей на противоположный. Таким образом на границе раздела диэлектриков между падающей и отраженной волной возникает угол сдвига фаз, равный π. При этом говорят, что на данной границе происходит отражение с потерей половины длины волны.

15.3.2

Косое падение плоской электромагнитной волны на границу раздела диэлектриков

При косом падении плоской электромагнитной волны на границу раздела двух однородных диэлектриков граничные условия, очевидно, остаются прежними. Однако конкретные соотношения, получаемые при их реализации, зависят от поляризации падающей волны.

15.3. Волны на границе раздела

125

Все возможные случаи поляризации можно получит из двух основных, представленных на рисунках 15.2 и 15.3.

Рис. 15.2.

Рис. 15.3.

 лежит в плоскости падения волВ первой конфигурации вектор E  перпендикулярен этой плоскости. Во втором случае эти ны, а вектор H вектора меняются местами. Граничные условия (5.15) и (11.6) для первой конфигурации приводят к появлению двух уравнений: E1 (t) cos i − E1 (t) cos ϕ = E2 (t) cos r, H1 (t) + H2 (t) = H2 (t).

(15.25)

Эта система должна иметь решение в произвольный момент времени в любой точке рассматриваемой границы раздела диэлектриков. Для волны второго типа соответствующие уравнения имеют вид: E1 (t) + E2 (t) = E2 (t), H1 (t) cos i − H1 (t) cos ϕ = H2 (t) cos r.

(15.26)

Во всех этих уравнениях угол падения i задан, а углы отражения ϕ и преломления r должны следовать из тех же граничных условий. Для того, того, чтобы удовлетворить этим уравнениям, фазы во всех трёх волнах на границе раздела должны быть одинаковы в каждой точке границы раздела, а для отраженной волны, как и в случае нормального падения, допускается возникновение сдвига фаз на π. Выполнение этих условий устанавливает зависимость между углом падения и углами отражения и преломления. Рассмотрим фазовые соотношения для отраженной волны.

126

Глава 15. Свободные электромагнитные волны

Предварительно установим связь между изменением фазы волны и расстояниями s1 и s2 , пройденным этой волной в двух различных однородных средах с коэффициентами преломления n1 и n2 . Если изменения фаз одинаковы, то k1 s1 = k2 s2 , Так как λ =

2π 2π s1 = s2 . λ1 λ2

u , а частота волны неизменна в любой среде, то ω s1 ω n 2 s2 s2 ω n 1 s1 = . = ‘ и u1 u2 c c

Произведение коэффициента преломления n на расстояние s, пройденное волной, называют длиной оптического пути. Одинаковым длинам оптических путей, пройденных волной, соответствует одинаковое изменение фазы этой волны. Перейдём теперь к решению основной задачи. Пусть на границу раздела падает под углом i плоская электромагнитная волна. Зафиксируем фронт, который пересекает её в заданный момент времени в точке A (см. рис.15.4) . После взаимодействия с плоской поверхностью раздела диэлектриков формируется отраженная волна, составляющая с этой поверхностью пока ещё неизвестный угол ϕ. Через некоторый промежуток времени зафиксированный фронт отраженной волны будет пересекать границу раздела в точке D, удаленной от A на расстояние l. Выберем на фронте падающей волны некоторую точку с координатой xj . Волна, проходящая через эту точку, до отражения от поверхности раздела в точке C пройдёт путь sij с длиной оптического пути ∆ij = n1 sij , а затем попадет на зафиксированный фронт отраженной волны, пройдя ещё расстояние sϕj , которому соответстРис. 15.4. вует длина оптического пути ∆ϕj = n1 sϕj . Простые геометрические соображения приводят нас к следующим соотношениям: AB =

xj , tg i

BC = xj tg i,

AC = AB + BC =

2xj , sin 2i

CD = l −

2xj , sin 2i

15.3. Волны на границе раздела

∆iϕj

127

  2xj n1 xj , ∆ϕj = n1 l − , ∆ij = cos i sin 2i   2xj n1 xj . = ∆ij + ∆ϕj = n1 sin ϕ l − + sin 2i cos i

Для точки с координатой xk на фронте той же падающей волны соответствующая сумма двух оптических путей равна:   2xik n1 xik . ∆iϕk = ∆ik + ∆ϕk = n1 sin ϕ l − + sin 2i cos i Но в любой точке фронта фазы волны должны быть одинаковыми и поэтому ∆iϕj = ∆iϕk , что сразу приводит к

i = ϕ = i .

(15.27)

Связь между углами падения и преломления установим, сравнив соответствующие длины двух оптических путей для той же падающей и преломленной волны. Их взаимное расположение представлено на рис. 15.5. Длина AC и первая часть оптического пути ∆ij и остаются прежними. Величина же оптического пути, пройРис. 15.5. денного волной от точки C до фронта волны после преломления будет равна   2xij sin r. ∆rj = n2 srj = n2 l − sin 2i Полная длина оптического пути ∆irj в данном случае составит   xj 2xj + n2 l − ∆irj = ∆ij + ∆rj = n1 sin r. cos i sin 2i И, наконец, потребовав равенства фаз для любой точки фронта, установим (15.28) n1 sin i = n2 sin r.

128

Глава 15. Свободные электромагнитные волны

Соотношения (15.27) и (15.28) остаются справедливыми и в том случае, если на границе раздела между волнами возникает одинаковый для каждой точки постоянный сдвиг фаз. Определим соотношение между амплитудами волн. Зададимся падающей волной, движущейся в направлении, задаваемой вектором s1 : E1 = A1 sin (ωt + k1 s1 ),  ε0 H1 = A1 n1 · sin (ωt + k1 s1 ). µ0

(15.29)

Тогда отраженная и преломленная волны, амплитуды которых A1 и A2 неизвестны, могут быть записаны в виде: E1 = A1 sin (ωt + k1 s1 ),  ε0   · sin (ωt + k1 s1 ), H1 = A1 n1 µ0

(15.30)

E2 = A2 sin (ωt + k2 s2 ),  ε0 H2 = A2 n2 · sin (ωt + k2 s2 ). µ0

(15.31)

Уравнение, связывающее амплитуды этих волн, получим применив к ним граничные условия в один и тот же момент времени. В силу доказанного выше фазового соотношения на границе раздела, все зависящие от фазы и времени сомножители оказываются равными и в конечном  лежит в плоситоге сокращаются. Если в падающей волне вектор E кости падения, то мы должны использовать условие (15.25), которое совместно с (15.27),(15.28), (15.29), (15.30) и (15.31) приводит к системе уравнений cos r A2 , sin i n2 A2 . A1 + A1 = n1

A1 − A1 =

Разрешив эту систему относительно A1 и A2 , получим: tg (i − r) A1 , tg (i + r) 2 sin r cos i A2 = A1 . sin (i + r) cos (i − r) A1 =

(15.32)

15.3. Волны на границе раздела

129

 из (15.29), В том случае, если в плоскости падения лежит вектор H (15.30), (15.31) и (15.26) следует A1 + A1 = A2 , n2 cos r A2 , · A1 − A1 = n1 cos i разрешив которую мы будем иметь: sin (i − r) A1 , sin (i + r) 2 sin r cos i A1 . A2 = sin (i + r)

A1 =

(15.33)

Соотношения (15.32) и (15.33) получили название формул Френеля. Пусть на границу раздела падает под углом плоская электромагнитная волна, представляющая из себя суперпозицию обеих выделенных типов волн. Про такую волну говорят, что она поляризована по эллипсу. Если угол падения подобран таким образом, что i + r = π/2, то не будет π отраженной волны, которой соответствует (15.32), так как tg = ∞. 2 Следовательно отраженная волна будет уже поляризованной перпендикулярно к плоскости падения. Это и есть закон Брюстера. Угол, при котором этот закон реализуется, получил название угла Брюстера. Он находится из системы уравнений: π , 2 n2 sin i = . sin r n1

i+r =

Отсюда следует:

n2 . (15.34) n1 Эффект Брюстера наблюдают в оптике, что подтверждает электромагнитную природу света. tg i =

15.3.3

Поток электромагнитной энергии

В плоской электромагнитной волне, поляризованной по эллипсу, плотность энергии электромагнитного поля равна w = wy + wz =

1 1 (εε0 Ey2 + µµ0 Hz2 ) + (εε0 Ez2 + µµ0 Hy2 ). 2 2

(15.35)

130

Глава 15. Свободные электромагнитные волны

Здесь wy и wz соответственно плотности энергии в y-волне и z-волне. Продифференцируем (15.35) по времени.   ∂w ∂Ey ∂Hz ∂Ez ∂Hy = εε0 Ey + µµ0 Hz + εε0 Ez + µµ0 Hy (15.36) ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t Из (15.9) и (15.10) следует: 1 ∂Ey ∂Hz =− , ∂t µµ0 ∂x

∂Ey 1 ∂Hz =− , ∂t εε0 ∂x

∂Ez 1 ∂Hy = , ∂t εε0 ∂x

∂Hy 1 ∂Ez = . ∂t µµ0 ∂x

Подставив эти зависимости в (15.36) ∂ ∂w = − (Ey Hz − Ez Hy ), ∂t ∂x а после интегрирования по x от точки x1 до точки x2 получим: dW = Ey Hz − Ez Hy . dt Здесь W – энергия, в объеме, заключенном между выделенными координатами и площадками единичной площади, расположенными перпендикулярно оси 0X, вдоль которой распространяется плоская электромагнитная волна. Правая часть полученного выражения характеризует скорость изменения энергии данного объема, которая может вноситься и уноситься из него электромагнитной волной, проходящей через единичную поверхность. Таким образом эта волна организует поток энергии, плотность которого мы обозначим S. Таким образом S = Ey Hz − Ez Hy

(15.37)

Нетрудно видеть, что в общем случае это векторная величина, направленная в сторону распространения волны (в нашем случае по оси 0X), которая определяется выражением  = [E  H].  S

(15.38)

Определим коэффициент отражения R и коэффициент прохождения T для плоской волны, падающей по нормали на плоскую границу

15.3. Волны на границе раздела

131

раздела двух сред, равные соответственно отношению среднего за пери од потока потока энергии в отраженной волне S 1 и проходящей волнеS 2 к среднему потоку энергии в падающей волне. Таким образом 

R=

S1 S1

T =

S2 . S1

(15.39)

Для этого мы должны подставить соотношения (15.21),(15.22) и (15.20) в (15.37) и проинтегрировать их по времени от 0 до T . Пусть это будет для определенности y-волна. Тогда для падающей волны  Ey = A1 sin (ωt − k1 x),

Hz = A1 n1

ε0 sin (ωt − k1 x), µ0

Ez = 0,

Hy = 0

и средний поток энергии в этой волне равен 1 S1 = T

T

n1 A21 Ey Hz dt = T



ε0 µ0

0

T

n1 A21 sin ωtdt = 2 2



ε0 . µ0

0

Аналогичные соотношения имеют место и для отраженной S1 и S2 проходящей волны и в итоге мы имеем: n1 A21 2



ε0 , µ0
 n1 A12 ε0  S1 = , 2 µ0  n2 A22 ε0 S2 = . 2 µ0 S1 =

(15.40)

Окончательно из (15.24), (15.39) и (15.40) следует:


A2 R = 12 = A1



n1 − n2 n1 + n2

2 ,

(15.41)

4n1 n2 n2 A22 = . 2 n1 A1 (n1 + n2 )2

(15.42)

и прохождения T =

Глава 16

Интерференция электромагнитных волн 16.1

Излучатели электромагнитных волн

В теории и практике электромагнитных волн важно знать прежде всего знать, как эти волны взаимодействуют друг с другом. Такое взаимодействие (сложение), называют интерференцией волн. Но прежде всего необходимо излучить эти волн. Сформулировать общие принципы генерации можно только при решении уравнений Максвелла, что сложно и выходит за возможности данного курса. Впервые эта задача была решена Герцем. Мы же попытаемся качественно проанализировать общие условия генерации на простом примере. Рассмотрим полубесконечную двухпроводную волновую линию, левый конец которой замкнут на прямолинейный отрезок тонкого проводника, перпендикулярного оси линии (см. рис. 16.1). Подключим к этому проводнику, обладающему некоторым сопротивлением, генератор переменного напряжения, который вызовет в нём протекание тока I(t). В проводнике при этом возникнет электрическое поле, напряжен ность которого E(t) направлена в противоположную току сторону. Этот  ток создаст переменное магнитное поле H(t), направленное так, как  H  и вектоуказано на рисунке. Взаимное расположение векторов E, ра скорости волны u типичны и для плоской электромагнитной волны, свойственной диэлектрику.  (15.4) и H  (15.3) качественно Из теорем о циркуляции векторов E 132

16.1. Излучатели электромагнитных волн

133

понятно, что постоянный ток не сможет сформировать электромагнитную волну, а в цепи переменного тока электроны, его образующие, движутся ускоренно. Строгое решение уравнений Максвелла с граничными условиями, сформированными движущимися зарядами, устанавливает, что амплитуды напряженностей и электрического и магнитного полей прямо пропорциональны ускорению излучающих зарядов. В излучателях электромагнитных волн, часто называемых вибраторами, обычно заставляют ускоренно двигаться электроны металла. Элементарным вибратором называют систему, состоящую из двух неподвижных шариков, равные по абсолютной величине заряРис. 16.1. ды которых изменяются синусоидально во времени. Для элементарного вибратора обязательно, чтобы расстояние между центрами шариков было много меньше излучаемой длины волны. Этот вибратор может быть элементом колебательного контура. Излучать электромагнитные волны могут и неизменные по величине заряды, если расстояние между ними меняется по периодическому закону. Такой излучатель называют гармоническим осциллятором. В металлах есть электроны, которые ведут себя как гармонические осцилляторы. Для решения конкретных задач обычно применяются сложные излучатели, позволяющие получать острую направленность излучения. Для описания работы сложных излучателей используют модель, полагающую, что под действием падающей электромагнитной волны электроны, содержащиеся в теле излучателя, начинают совершать вынужденные колебания, излучая в пространство новые волны. Результирующее излучение антенны в произвольной точке находят, суммируя все пришедшие в неё от сложного излучателя волны. Именно таким образом и проявляется интерференция электромагнитных волн.

Рис. 16.2.

Рис. 16.3.

Наиболее простым из сложных излучателей является полуволновой

134

Глава 16. Интерференция электромагнитных волн

вибратор, приведённый на рисунке 16.2. Он состоит из двух прямолинейных отрезков, расстояние между концами которых равно λ/2. При анализе его работы мы заменим оба элемента отрезком прямой линии, пренебрегая разрывом. Так как этот разрыв обычно мал по сравнению с длиной волны, подобная замена практически не сказывается на конечном результате. Характеристики излучателя обычно исследуют в двух плоскостях: меридианальной, в которой расположена ось вибратора, и экваториальной, которая перпендикулярна как меридианальной плоскости, так и оси вибратора и проходит через центр вибратора. Основной характеристикой излучателя в меридианальной плоскости является диаграмма направленности, характеризующая зависимость амплитуды волны в равноудалённых от центра излучателя точках, от величины угла θ между нормалью к оси излучателя и лучом, направленным в выбранную точку P. Для того, чтобы получить эту амплитуду, необходимо сложить колебания от всех участков излучателя, фаза которых зависит от длины оптического пути от каждого из участков до этой точки. Для точек излучателя y1 и y2 эти пути показаны на рис.16.2 . Эта задача решается точно, но уже из общих соображений ясно, что максимальные амплитуды будут иметь место при θ равном нулю, куда излучение от всех симметричных точек приходят в одинаковой фазе. При возрастании угла амплитуда будет уменьшаться, обращаясь в ноль при θ = ±π/2. Соответствующая диаграмма полуволнового вибратора на больших расстояниях от излучателя (r λ) приведена на рис. 16.3. В экваториальной плоскости диаграмма направленности данного излучателя в силу симметрии представляет собой окружность.

16.2 16.2.1

Интерференция лучей системы излучателей Излучение антенны из двух полуволновых вибраторов

Рассмотрим систему из двух двух параллельных полуволновых вибраторов. Изучим распределение амплитуды итогового сигнала на большом расстоянии от этого излучателя в диэлектрике в вакууме, у которого n = 1.

16.2. Интерференция лучей системы излучателей

135

Будем исследовать зависимость интенсивности от угла в экваториальной плоскости. Рассмотрим два луча (см. рис. 16.4), от каждого из вибраторов, которые работают синхронно с частотой ω, направленные под углом θ в настолько удаленную точку P, что эти лучи можно считать параллельными. Тогда разность хода между ними будет составлять ∆ = d sin θ, где d - расстояние между вибраторами и в точке P будут складываться два колебания одинаковой амплитуды a с разность фаз kd sin θ. С помощью соотношения (13.5) найдем амплитуду A результирующего колебания. 

 kd sin θ . 2 (16.1) Эта амплитуда достигает максимума там, где   kd sin θmax 2 = 1, cos 2

A2 = 2a2 (1 + cos2 kd sin θ) = 4a2 cos2

Рис. 16.4.

для чего необходимо, чтобы kd sin θmax = ±m · 2π

(m = 0, 1, 2 . . . ),

что приводит к λ sin θmax = ±m . d

(16.2)

Во всех этих максимумах амплитуда колебаний одинакова. Амплитуда A обращается в ноль там, где   kd sin θmin 2 cos =0 2 и соответственно kd sin θmin = ±(m + 1)2π и sin θmin

(m = 0, 1, 2 . . . ),

  1 λ . =± m+ 2 d

(16.3)

136

Глава 16. Интерференция электромагнитных волн

Так как предельное значение правой части (16.2) и (16.3) составляет ±1, предельно допустимое значение m определяет отношение d/λ. Таким образом антенна из двух вибраторов имеет тем большее количество всё более узких лепестков диаграммы направленности, чем больше d и чем меньше λ. Если же d < λ, то диаграмма направленности похожа на диаграмму одного полуволнового вибратора, приведенную на рис. 16.3, где имеют место всего лишь два максимума излучения.

16.2.2

Одномерная антенна из N вибраторов

Рассмотрим антенну, которая состоит из N полуволновых вибраторов, расположенных в одной плоскости. Расстояние между соседними излучателями одинаково и равно d. Исследуем диаграмму направленности этой антенны в её экваториальной плоскости. Как и в предыдущей задаче о двух вибраторов, будем находить интенсивность излучения в настолько удаленных точках, что лучи, проведенные туда от каждого вибратора, можно считать параллельными. Соответствующий ход лучей представлен на рис.16.5.

Рис. 16.5.

Рис. 16.6.

Разность хода между каждым из соседних лучей в данном случае будет равна так же ∆ = d sin θ, а для нахождения результирующего

16.2. Интерференция лучей системы излучателей

137

колебания необходимо сложить следующие N колебаний: S1 = a cos ωt, S2 = a cos (ωt + kd sin θ), S3 = a cos (ωt + 2kd sin θ), ........................... SN = a cos (ωt + (N − 1)kd sin θ). Таким образом задача свелась к нахождению суммы N колебаний, фазы которых образуют арифметическую прогрессию. Эту задачу будем решать, используя метод векторных диаграмм. Одна из возможных диаграмм приведена рис.16.6. Она представляет собой ломанную линию, состоящую из звеньев одинаковой длины a. Векторная диаграмм может образовать и замкнутый многоугольник. В этом случае амплитуда результирующего колебания M обратится в 0. Для рассматриваемого нами случая справедливо: (2π − N ε M = OC sin α = OC sin )= 2 2 = OC sin

Nε , 2

OC =

a . 2 sin 2ε

Поэтому амплитуда результирующего колебания будет равна M =a·

sin N2ε . sin 2ε

(16.4)

Числитель полученной функции осциллирует в N раз более часто, чем знаменатель. Все нули дроби соответствуют нулям числителя, за исключением тех точек, где и числитель и знаменатель обращаются в ноль одновременно. Этот случай реализуется тогда, когда ε = ±m · 2π

(m = 0, 1, 2, . . . ).

Возникающую в этих точках неопределенность найдём с помощью правила Лопиталя: lim

ε 2 →±mπ

sin N2ε N cos(N mπ) = ±N. = sin 2ε cos(mπ)

138

Глава 16. Интерференция электромагнитных волн

Таким образом, при этих значениях угла амплитуда результирующего колебания превышает амплитуду колебания, доходящую от каждого вибратора, в N раз. На рис. 16.7 приведен конкретный случай зависимости M = M (N ε), для N = 10 и a = 1. Интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому её пики значительно более острые. Кривые, характеризующие зависимость интенсивности от ε для N = 5 и N = 10, приведены на рис. 16.8 и рис.16.9. Другие, побочные максимумы амплитуды и интенсивности возникают там, где имеет максимум функция, стоящая в числителе. Они могут быть найдены из условия N kd sin θmax 1 Nε = = π(m + ), 2 2 2 Рис. 16.7.

(m = 0, 1, 2, . . . ).

Рис. 16.8.

Рис. 16.9.

Углы, при которых реализуются побочные максимумы определяются уравнением: sin θmax =

2m + 1 λ 2m + 1 λ · = . 2 Nd 2 D

(16.5)

Если углы малы, то синусы можно заменить значением углов, что приводит к 2m + 1 λ θmax = · . (16.6) 2 D

16.2. Интерференция лучей системы излучателей

139

Углы, при которых реализуются минимумы интенсивности, соответствуют нулевым значениям числителя, за исключением значений, соответствующих главным максимумам. Они могут быть найдены из условия N kd sin θmin = (2m + 1)π, 2 откуда следует λ sin θmin = (2m + 1) , (16.7) D а для малых углов λ θmin = (2m + 1) . (16.8) D

16.2.3

Интерференция двух плоских монохроматических волн одинаковой частоты

Самая простая интерференционная картина, наиболее удобная для расшифровки, возникает в том случае, если складываются две плоские монохроматические волны одинаковой частоты. К тому же в прикладной оптике разработаны простые и удобные способы получения таких пучков, что и обусловило широкое ее использование в оптических приборах. Прежде всего это интерферометры, которые позволяют оптически визуализировать изменение плотности в прозрачных средах. Пусть две плоские монохроматические волны распространяются в пространстве под углом θ друг к другу. На плоскую поверхность, находящуюся на их пути, один из них падает по нормали, а другой соответственно под углом θ так, как это показано на рис. 16.10. Расположим ось 0X на этой поверхности и выберем начало отсчета в любой точке, где фазы обеих волн одинаковы. Тогда в точку с координатой x наРис. 16.10. клонная волна придет, имея сдвиг фаз по сравнению с нормальной, равный

ϕ = k∆ = kx sin θ. Если возникшая разность хода будет определяться в соответствии с ∆=

λ (2m + 1), 2

(m = 0, 1, 2, . . . ),

140

Глава 16. Интерференция электромагнитных волн

то в данной точке волны будут ослаблять друг друга и мы получим здесь минимум интенсивности. Если же ∆ = mλ, (m = 0, 1, 2, . . . ), то здесь уже интенсивность будет максимальна. Возникшие зоны усиления и ослабления интенсивности будут иметь равную ширину. В интерферометрах, заполненных однородным прозрачным веществом, в зоне наблюдения чередуются светлые и темные полосы постоянной ширины. Если на пути распространения одного из лучей плотность, а соответственно и коэффициент преломления изменяются от точки к точке, то полосы деформируются и изменяют свою ширину. Информация об их геометрии позволяет определить распределение плотности, если известна ее связь с коэффициентом преломления.

Глава 17

Интерференция лучей в оптике 17.1

Когерентность оптического излучения

Несмотря на то, что оптическое излучение является электромагнитным, получить интерференцию его волн в экспериментах, аналогичных по постановке экспериментам с вибраторами, не удается. В конечном итоге причиной этого являются свойства излучателей этих волн, которыми обычно являются атомы различных тел, нагретых до высокой температуры. Их излучение в первую очередь не является монохроматическим. Однако выделение узких участков спектра вот так сразу не позволяет получить желаемый результат. Обычно, если накладывались друг на друга излучения двух идентичных даже близких к точечным источников излучения оптического диапазона, происходило лишь суммирование их интенсивностей, хотя были все основания полагать, что источником света являются всё те же элементарные вибраторы, но колеблющиеся в ином диапазоне частот. Причина этого становится ясной, если вернуться к известной задаче о сложении колебаний одной частоты. Мы уже установили, что если эти колебания заданы в виде S1 = A1 cos(ωt − ϕ1 ), S2 = A2 cos(ωt − ϕ2 ), 141

142

Глава 17. Интерференция лучей в оптике

то амплитуда результирующего колебания может быть представлена, как A2 = A21 + A22 + 2A 1 A2 cos(ϕ1 − ϕ2 ). То, что в реальном случае складываются интенсивности, свидетельствует о том, что третий член в правой части почему-то обращается в ноль. Причиной этого является всё то же усреднение по времени наблюдения τ , обращающее слагаемое, ответственное за периодическую интерференционную картину, в ноль, а в основе лежит быстрая зависимость фаз от времени т.е. ϕ1 = ϕ1 (t) и ϕ1 = ϕ1 (t). Таким образом имеет место: τ cos[ϕ1 (t) − ϕ2 (t)]dt = 0. 0

Источники электромагнитных, в том числе и световых волн, в которых усреднение в течение времени τ , которое должно быть намного большим, чем период колебаний T в волне, не обращает это слагаемое в ноль, называют частично когерентными источниками излучения. Если же данная разность фаз остается постоянной в течении любого промежутка времени, то волны полностью когерентны. от

17.2

Получение когерентных волн

В волновой оптике были найдены способы, позволяющие заставить интерферировать лучи от обычных тепловых источников света. Было доказано, что интерференционная составляющая не обращается в ноль, если τ не превышает некоторой предельной величины τk , являющейся индивидуальной характеристикой каждого источника. Причиной данного обстоятельства в том, что атом, возбужденный в процессе теплового взаимодействия, в каждом акте излучает цуг волн определенной длины. В оптике критерием когерентности обычно выступает пропорциональная τk разница длин оптических путей lk . Оказалось, что получить когерентные пучки можно в том случае, если все они(чаще всего два) излучаются одной и той же близко расположенной группы атомов, а само это исходное излучение происходит за время τk .

17.2. Получение когерентных волн

143

Эта идея была впервые высказана и осуществлена Френелем, который расчленил излучение точечного источника на два пучка, направив его на два зеркала, расположенных под углом, отличающимся от π на малый угол α. Путь лучей в эксперименте Френеля показан на рис. 17.1. Волны, идущие от S, отражаясь от зеркал, движутся так, как будто они излучаются двумя источниками S1 и S2 , которые на самом деле не существует. Эти волны проходят разные длины оптических путей, но при малом α эта разница может быть сделана настолько малой, что они останутся когерентными после прохождения значительного пути. В результате на удаленном экране AA получается интерференционная картина. Лучи, которые могли бы попасть на экран наблюдения непосредственно от S, уже не когерентны волнам от мнимых источников, так как возникающая между ними разница длин оптических путей превышает lk . Поэтому основной источник закрывают ширмой KK. Два когерентных источника из одного получаются в экспериментах с билинзой, которую изгоРис. 17.1. тавливают, разрезав по диаметру исходную линзу на две идентичные половинки. Затем половинки раздвигают, а образовавшийся промежуток закрывают непрозрачной ширмой K. На экране AA наблюдают интерференционную картину от двух мнимых источников S1 и S2 . Если источник S расположен в фокусе линзы, то интерферирующие лучи параллельны и на экране фиксируются световые полосы равной толщины. Если мы начнём перемещать экран, удаляя или приближая его к линзе, то изменяется лишь количество наблюдаемых полос, а ширина их остаётся неизменной. Интерференционная картина от двух реальных когерентных точечных источников вообще существует в любой точке пространства. Локализованная интерференция Рис. 17.2. происходит при освещении тонких прозрачных пленок, где необходимое для интерференции возникнове-

144

Глава 17. Интерференция лучей в оптике

ние когерентных пучков происходит вследствие расщепления световой волны при отражении света от передней и задней поверхностях пленки. Такая интерференция имеет определённую область локализации. Рассмотрим тонкую пленку с коэффициентом преломления n > 1, находящуюся в воздушной среде. Пусть на эту пленку по нормали к поверхности падает плоская световая волна S1 c частотой ω, излученная естественным источником света, имеющим предельную длину цуга волн lk . Эта волна частично преломляется и частично отражается в соответствие с соотношением (15.24), формируя волны S2 S1 (см. рис.17.3). Преломленная волна, вновь отРис. 17.3. ражаясь от нижней поверхности пленки, в конечном итоге порождает вторую отраженную волну S1 в пространстве над пленкой. Теоретически процесс отражения происходит многократно, однако амплитуда каждой новой волны убывает в геометрической прогреccии и все последующие волны практически не влияют на итоговую амплитуды волны, отражающейся от пленки. В том случае, если волны S1 и S1 максимально ослабляют друг друга, что имеет место, если разница длин оптических путей между λ и не превышает lk , амплитуда итоговой проходящей ними кратна 2 волны будет максимальна. Для этого необходимо, чтобы имело место 2dn + λ/2 = m ·

λ , 2

(m = 0, 1, 2, 3 . . . ).

Если же эта разность хода кратна длине волны, то проходящая волна минимальна. Соответствующая толщина пленки при этом определяется 2dn + λ/2 = m · λ, (m = 0, 1, 2, 3 . . . ). λ будет пропускать меньше света, чем бо4 лее толстая. Для видимого цвета, средняя длина волны которого 5000˚ A такие пластинки изготавливаются и используются в эксперименте. При наблюдении в белом проходящим светом, который немонохроматичен, тонкие пленки окрашиваются в тот цвет, для частоты которого при данном d отраженная волна минимальна. Поэтому цвет той же пленки в отраженном свете иной. С течением времени этот цвет меПоэтому пленка, толщиной

17.2. Получение когерентных волн

145

няется (пленка переливается), так как толщина стенки уменьшается со временем. Окрашенными оказываются и тонкие пленки масла или бензина, разлитые на поверхности воды. Принцип формирования этой окраски здесь тот же, что и в только что рассмотренном случае, однако фиксируемая картина зависит от угла наблюдения. Такая пленка обычно освещается белым рассеянным светом, который падает на пленку под любым углом. Если дно лужи поглощает падающие лучи, то окрашенные пленки фиксируются достаточно контрастно. Выберем некоторый угол наблюдения, который можно задать углом падения i и проанализируем картину в отраженном свете. Это можно осуществить, сфокусировав оптическую систему на поверхности пленки. При наблюдении глазом это условие выполняется автоматически. Как и в только что рассмотренной задаче, определяющими для формирования интерференционной являются два первых отраженных луча, которые в нашем случае выходят из точки C. Вся разница ∆ в длинах оптических путей между этими лучами формируется до прихода их в эту точку на отрезках AD, DC и BC (см. λ рис. 17.4). Кроме того она обязательно содержит . 2 Эта разница равна: ∆ = n · 2AD +

λ − BC. 2

Длины входящих сюда отрезков легко выражаются через толщину пластинки d и выбранный угол падения: Рис. 17.4.

BC = AC · sin i = 2AE · sin i = 2d tg r · sin i, d sin i , = n. cos r sin r Подставив полученные значения в выражение для ∆, получим окончательный результат: AD =

∆=

2nd λ λ + − 2d tg r · sin i = 2dn · cos r + . cos r 2 2

Глава 18

Дифракция света 18.1

Принцип Гюйгенса-Френеля

Излагаемый ниже материал может быть применён для описания любой электромагнитной волны, однако он был впервые получен при изучении распространения излучения в оптическом диапазоне. Объектом нашего рассмотрения будут типичные оптические задачи. Важным классом таких задач является описание взаимодействия световых волн с различными внешними объектами. В точной постановке для решения такой задачи надо решить систему уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями. Но в оптике задолго до получения этой системы уравнений был развит другой подход, получивший название принципа Гюйгенса-Френеля. Значительно позднее было показано, что этот принцип следует из свойств решений этой системы уравнений. Для определения интенсивности оптического излучения в некоторой точке пространства, Гюйгенс предложил заменить реальный источник светового излучения S, набором фиктивных когерентных источников, расположенных на фронте этой волны. Именно совместное воздействие этих Рис. 18.1. источников определяет освещенность любой точки экрана, представленного на рис. 18.1. В соответствие с идеей Френеля, для получения итоговой интенсивности необходимо учесть 146

18.2. Дифракция Френеля

147

интерференцию этих вторичных волн. На основе решения точных уравнений Кирхгоф показал, что амплитуда волны, приходящей в точку B экрана от элементарной площадки dS на поверхности фронта вторичных волн, задаваемой углом θ, должна зависеть от θ как 1 + cos θ . (18.1) λ Практический опыт свидетельствует, что приближённое рассмотрение на основе принципа Гюйгенса - Френеля даёт хорошее приближение, если углы между лучами, строящими дифракционную картину, не очень велики. При прохождении света через отверстия влияние вещества экрана заметно сказывается лишь на расстояниях порядка длины волны от края экрана. a = a0

18.2

Дифракция Френеля

Рассмотрим точечный источник света S, имеющий круговую диаграмму направленности. Выберем фронт вторичных волн, удаленный от S на расстояние a. Исследуем, как будет зависеть амплитуда итогового сигнала в точке B, расположенной так, как показано на рис.18.2, от величины излучающей поверхности заданного вторичного фронта. Точка B удалена от фронта на расстояние b. Найдём радиус r1 шарового сегмента на фронте, для которого длина оптического пути в точку λ B отличается от b на . 2 Радиус r1 и отрезок x1 находятся из системы уравнений λ 2 ) − (b + x1 )2 , 2 r12 = a2 + (a − x1 )2 .

r12 = (b +

Исключив r1 , получим уравнение для x1 : bλ +

Рис. 18.2.

λ2 − 2bx1 − x21 = 2ax1 − x21 . 4

λ2 можно В тех случаях, когда имеет место λ  b ∼ a, слагаемым 4 пренебречь и тогда λ b x1 = · , a+b 2

148

Глава 18. Дифракция света 

ab · λ. a+b Выделенный участок сферического фронта в области 0 ≤ r leqr1 называют первой зоной Френеля. Наружный радиус r2 второй зоны определяют из условия, что длина λ оптического пути от её границы в точку B составляет уже b+2· = b+λ. 2 Сама эта вторая зона Френеля расположена на фронте между радиусами r1 и r2 . Для m-мой зоны длина соответствующего оптического пути составляет (b + m · λ2 ) и r1 =

mb λ · , a+b 2  ab · λ, = m· a+b

xm = rm

(18.2)

а сама эта зона расположена между радиусами rm−1 и rm . Вычислим площади зон Френеля. Площадь шарового сегмента S(m), задаваемого r и x с учетом (18.2) для всех m зон равна S(m) = m ·

πab · λ. a+b

Площадь же каждой m-мой зоны составляет: S(m) − S(m − 1) =

πab ·λ a+b

и таким образом не зависит от m. Проанализируем как меняется амплитуда волны в точке B при постепенном увеличении излучающей поверхности вторичного фронта. Для решения данной задачи удобно воспользоваться методом векторных диаграмм. На рис.18.3-a. показано как меняется эта амплитуда в процессе открытия первой зоны Френеля. В том случае, когда излучает вся первая зона, колебание на её границе находятся в противофазе колебаниям центра, но амплитуда суммарного колебания достигает своего максимального значения. С началом открытия второй зоны эта амплитуда начинает убывать, но к моменту её полного открытия не обращается в ноль из-за зависимости (18.1) при равных площадях зон. (см. рис.18.3 b.). По той же причине скорость роста амплитуды волны уже меньше, чем на первом витке. Итоговая амплитуда, соответствующая всем полностью открытым зонам, приведена на рис. 18.3 с. Она

18.2. Дифракция Френеля

149

Рис. 18.3.

приблизительно в два раза меньше амплитуды от первой зоны. Отсюда следует, что круглое отверстие фокусирует лучи, строя изображение. Если закрыть первую зону непрозрачным экраном, то как следует всё из той же диаграммы, интенсивность в центре так же возрастает. Следовательно такой экран так же строит изображение. Наши рассуждения остаются справедливы только для очень гладких и ровных экранов и отверстий. Допустимый размер неровностей должен быть много меньшим, чем ширина соответствующей зоны Френеля.

Рис. 18.4.

Значительно большая фокусировка достигается в том случае, если закрыть все чётные зоны, которые теперь уже не смогут ослаблять излучение нечётных. Такой оптический прибор называют зонной пластинкой и она изображена на рис.18.4 a. Практически тот же эффект достигают, перекрыв все чётные зоны так, как это показано на рис.18.4 b. Ещё

150

Глава 18. Дифракция света

большего усиления можно достигнуть, задержав свет при прохождении λ чётных или нечётных пластинок на величину . Предельным случаем 2 фазовой зонной решётки является линза, которая к тому же аннулирует разность хода между всеми лучами. Принято говорить, что линза обладает свойством таутохронизма, т.е. обеспечивает равные оптические пути для всех прошедших через нее лучей. Используя подход Френеля можно получить распределение интенсивности излучения не только в точке, но и во всей плоскости. Для этого надо вычислять интегралы, которые не берутся в элементарных функциях.

18.3

Дифракция Фраунгофера

Дифракцию Фраугофера реализуется, если источник излучения и экран, где осуществляется наблюдение, удаляют на большое расстояние от вторичного фронта, ограничивающего пучок света. По другому её называют дифракцией в параллельных лучах. На рис.18.5 показан ход лучей при осуществлении такой дифракции на бесконечной щели шириной b при угле падения лучей на щель i = 0.. В данной постановке применена цилиндрическая линза, которая позволяет уменьшить расстояние между фронтом вторичных волн, локализованным в плоскости щели, и экраном, на котором происходит наблюдение. Обычно щель совмещают с оправой объектива и дифракция происходит именно на этой оправе. Все лучи, покидающие вторичные лучи под углом ϕ, собираются в некоторой точке C в фокальной плоскости линзы. Они интерферируют между собой и формируют итоговую интенсивность света в данной точРис. 18.5. ке. Вклад в амплитуду от элементарного участка щели dx будет равен: dS(ϕ, t) =

A0 · cos (ωt + α)dx. b

18.3. Дифракция Фраунгофера

151

Здесь A0 характеризует амплитуду всей волны, а b – ширина щели. Выберем начало отсчета времени так, чтобы волна из точки x = 0 приходила в точку C с нулевым сдвигом фаз. Тогда вклад в амплитуду от dx будет равен: dS(ϕ, t) =

A0 cos(ωt − kx sin ϕ) dx. b

Результирующую амплитуду волны в точке C найдём после интегрирования по всей длине щели: b S(ϕ, t) =

dS(ϕ, t) =

2A0 sin(ωt − kb sin ϕ) − sin ωt · = bk sin ϕ

0

  bk sin ϕ   sin bk 2   = A0 · sin ϕ . · cos ωt − bk sin ϕ 2 2

(18.3)

Исследуем зависимость амплитуды A(ϕ) этой волны от угла, для того случая, когда A0 = 1.   bk sin ϕ sin 2  . A(ϕ) = A0 ·  (18.4) bk sin ϕ 2 На рис.18.6 приведена зависимости амплитуды (a) и квадрата амплитуды(b), характеризующего интенсивность электромагнитной волны или освещенность, как функцию угла ϕ. И амплитуда и интенсивность обращаются в ноль там, где имеет место bπ sin ϕmin = ±mπ, λ

m = 1, 2, 3 . . .

Таким образом углы, при которых реализуются нули амплитуды и минимумы освещенности определяются соотношением sin ϕmin = ±

mλ , b

( m = 1, 2, 3 . . . ).

(18.5)

При m = 0 в ноль одновременно обращаются и числитель и знаменатель и здесь мы имеем главный максимум.

152

Глава 18. Дифракция света

Рис. 18.6.

Побочные максимумы имеют место там, где числитель имеет максимум. При этом всегда sin ϕ = 1 и это достигается тогда, когда имеет место π bπ sin ϕmax = ±(2m + 1) , (m = 0, 1, 2 . . . ). λ 2 и углы, при которых реализуются эти максимумы можно найти из sin ϕmax = ±

λ 2m + 1 · , b 2

(m = 0, 1, 2 . . . ),

(18.6)

а амплитуды из (18.4).

18.4

Разрешающая способность оптических приборов

От источника света, находящийся на большом расстоянии от точки наблюдения, приходит пучок электромагнитных волн с угловым размером порядка D/L, где D – диаметр источника, а L – расстояние между объектом наблюдения и регистрирующим прибором. Используя дифракцию Фраунгофера можно определить угол расхождения в этом пучке, как угол между двумя параллельными пучками света. Пусть один из этих пучков падает на щель, шириной b по нормали, а второй – под углом θ. Оба луча имеют одинаковую интенсивность определяемую амплитудой A0 . Дифракция пучка лучей первого типа только что нами рассмотрена.

18.4. Разрешающая способность оптических приборов

153

Ход лучей при падении на щель под углом θ представлен на рис.18.7. Эти лучи формируют в плоскости щели вторичный фронт, фаза излучателей которого α в каждой его точке зависит от x как α = kx sin θ. Так как в данной постановке углы θ и ϕ малы, мы можем принять, что α = kx(θ + ϕ). Учёт этой дополнительной добавки к сдвигу фаз приводит к тому, что амплитуда A(ϕ, θ) наклонного луча, дифрагирующего под малым углом ϕ, по аналогии с (18.4) будет равна:

A(ϕ, θ) = A0 ·

bk(ϕ + θ) 2 . bk(ϕ + θ) 2

sin

(18.7)

На рис18.8 a сопоставлены интенсивности света от волны, падающей по норРис. 18.7. мали , которая такая же, как и на рис.18.6 b и наклонного луча, амплитуда которого соответствует (18.7) при условии, что A0 = 1. При таком способе представления эти кривые четко разделены друг от друга. Но при реальном наблюдении интенсивности складываются, что даёт картину, приведенную на рис. 18.8 b. Здесь мы достаточно четко находим два горба, что указывает на существование двух пучков и в конечном

Рис. 18.8.

итоге позволяет найти угол между ними. Количественный критерий

154

Глава 18. Дифракция света

разрешения был предложен Релеем. Он предложил считать, границей разрешения двух дифракционных картин рассматриваемого нами типа такое их взаимное расположение, когда главный максимум одной из них, совпадет с первым минимумом другой. Именно этот случай взаимного расположения иллюстрируют кривые рис. 18.8 a и b. При этом амплитуда минимума на 20% меньше амплитуды каждого из максимумов. Для луча, падающего на щель, главный максимум достигается при λ при ϕ = 0, а первый минимум расположен там, где ϕ = ± . b Для наклонного фронта главный максимум находиться под углом bπ (ϕ + θ) = 0, λ

ϕ = −θ.

Чтобы условие Релея было выполнено для щели необходимо λ . (18.8) b Для круглого отверстия диаметром D аналогом (18.8) является θ=

θ = 1, 22

λ . D

(18.9)

Глава 19

Дисперсия света 19.1

Немонохроматические волны

Исследование распространения немонохроматических колебаний особенно важно в двух аспектах. Естественный свет представляет собой поток электромагнитных волн широкого диапазона частот, а скорость волны в среде зависит от её частоты. Поэтому в процессе распространения в среде исходный пакет волн непрерывно трансформируется.Для количественного и качественного описания оптических эффектов эту трансформацию необходимо уметь описывать. Второй аспект проблемы связан с потребностью передачи информации. Плоская электромагнитная монохроматическая волна переносит только энергию и движется с фазовой скоростью. Для передачи информации её необходимо, например, промодулировать по амплитуде. Такая волна уже немонохроматична. При этом важно знать, какой набор волн необходимо излучить для передачи заданной информации. Исследуем особенности формирования и распространения немонохроматической волны в простейшем случае. Исследуем волновой пакет, представляющий собой суперпозицию волн, частота которых непрерывно изменяется в заданном диапазоне ∆ω ∆ω  ω  ω0 + , ω0 − 2 2 а амплитуда колебаний не зависит от частоты, т.е. A(ω) = A0 . 155

156

Глава 19. Дисперсия света Будем считать так же, что диапазон изменения частот мал, т.е. ∆ω  ω0 . Итоговая излученная волна будет будет определяться интегралом ∆ω ω0 + 2 

S = A0

sin[ωt + k(ω)x]dω.

∆ω ω0 − 2

В рассматриваемом нами случае интеграл может быть взят в явном виде, если зависимость k(ω) разложить в ряд Тейлора и взять два первые члена разложения.   dk k(ω) = k(ω0 ) + (ω − ω0 ) . dω 0 Тогда выражение для излучаемой волны приобретает вид ∆ω ω0 + 2 

S = A0 ∆ω ω0 − 2



  

    dk dk sin ω t − x + k(ω0 ) − ω0 x dω. dω 0 dω 0

Этот интеграл достаточно легко вычисляется и дает: 

    ∆ω dk 2 sin t − x · dω 2  0 · sin [ω0 t − k(ω0 ) x] S = A0 dk t− x dω 0

(19.1)

Полученное выражение определяет волновой пакет, модулирующий несущую частоту ω0 . Амплитудный сомножитель 

    dk ∆ω 2 sin t − x · dω 2  0 A(t) = A0 (19.2) dk t− x dω 0 имеет максимум там, где его аргумент обращается в ноль, т.е.   dk t−x· = 0. dω 0

19.2. Электронная теория дисперсии

157

Эта точка движется в пространстве со скоростью v=

dω , dk

(19.3)

которую называют групповой. Ранее определенная фазовая скорость равна ω u= . k Отсюда следует, что в среде, где фазовая скорость не зависит от частоты, групповая и фазовая скорости совпадают. О такой среде говорят, что в ней нет дисперсии. Если же u = u(ω), то v=

dω d(ku) du = =u+k . dk dk dk

В оптике и акустике вместо k принято использовать λ. Так как λ=

2π dλ 2π du dλ du 2π du du , то =− 2 и k =k · = −k · · , = −λ · k dk k dk dλ dk dλ k 2 dλ

то

du . (19.4) dλ Данное соотношение называют формулой Релея. du > 0, то v > u и дисперсию Различают два типа дисперсии. Если dλ называют нормальной. du Если же > 0,то v < u и такую дисперсию считают аномальной. dλ При нормальной дисперсии групповая скорость может стать и больше скорости света в вакууме, но это не противоречит постулатам специальной теории относительности, так как формирование самого пакета не может начаться раньше, чем в рассматриваемую область пространства придет волна несущей частоты с фазовой скоростью. v =u−λ·

19.2

Электронная теория дисперсии

Зависимость фазовой скорости от частоты, определяющая существование дисперсии, сводится к зависимости от частоты показателя пре√ ломления n, который в свою очередь пропорционален ε. Изменение же ε объясняется поведением элементарных вибраторов, совершающих

158

Глава 19. Дисперсия света

под действием электрического поля волны вынужденные колебания. Зависящая от частоты амплитуда этих колебаний , изменяет дипольный момент каждого диполя, куда входят эти электроны, соответственно дипольный момент единицы объёма диэлектрика и, наконец, вектор по (см. (5.10) ЭМ). ляризации среды P = χε0 E Исходя из определения диэлектрической постоянной мы вправе записать P ε=1+χ=1+ ,  0 Eε а для плоской электромагнитной волны в однородной среде справедливо: N er . (19.5) ε=1+ ε0 E Здесь N -количество вибраторов в единице объёма, а r - расстояние от электрона с зарядом e до центра, относительно которого его удерживает упругая сила, задаваемая коэффициентом k, F = −kr. Уравнение движения электрона массы m в плоской монохроматической волне с частотой ω имеет вид: m¨ r + ar˙ + kr = E(t)e = eE0 · sin (ωt + α), где член ar˙ учитывает сопротивление, прямо пропорциональное скорости. Известно, что вынужденные колебания всегда совершаются с частотой возбуждающего источника и для установившегося остаётся отличным от нуля только частное решение данного дифференциального уравнения. Для некоторой фиксированной частоты, не совпадающей с  k , определим величину E0 , обеспечивающую двирезонансной ω0 = m жение электрона по закону r = r0 sin (ωt + α).

(19.6)

В этим случае должно иметь место −mr0 ω 2 sin (ωt + α)+kr0 sin (ωt + α)+ar0 ω cos (ωt + α) = eE0 sin (ωt + α). Сложив эти колебания на векторной плоскости, получим:   a 2 r0 m E0 = · (ω02 − ω 2 )2 + · ω2. e m

(19.7)

19.2. Электронная теория дисперсии

159

Величина сдвига фаз α может быть легко найдена, но она нам не потребуется. Если задаться напряженностью электрического поля в волне, то определена уже может быть зависимость r(t). eE0



r= m·

(ω02

−

ω 2 )2

+

 a 2 m

· sin (ωt + α) ·

(19.8)

ω2

Зависимость ε = ε(ω) получим, подставив (19.8) в (19.5). 

ε=1+ ε0 m ·

N e2

(ω02 − ω 2 )2 +

 a 2 m

.

(19.9)

· ω2

Структура полученной зависимости свидетельствует, что в диапазоне частот, близких к резонансной, имеет место аномальная дисперсия.

Оглавление 1 Постоянное электрическое поле в вакууме 1.1 Электрические заряды. Закон сохранения зарядов . . . 1.2 Закон Кулона. Напряженность электрического поля . . . 1.2.1 Взаимодействие точечных зарядов . . . . . . . . . 1.2.2 Напряженность электрического поля . . . . . . . . 1.2.3 Принцип суперпозиции . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Понятие о силовой линии . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Поток силовых линий электрического поля через замкнутую поверхность . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Применение теоремы Гаусса в интегральной форме для вычисления напряженностей конкретных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

. . . . . . .

3 3 5 5 7 8 8 8

.

9

. 13

Потенциал электростатического поля 2.1 Кулоновский потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Потенциал поля системы зарядов . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Общая задача электростатики . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 19 21

3 Электрическая ёмкость 24 3.1 Емкость изолированного проводника и конденсатора . . . 24 3.2 Ёмкость простейших конденсаторов . . . . . . . . . . . . . 26 4

Энергия поля и силы 29 4.1 Энергия электростатического поля . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Электростатические силы. Равновесие зарядов . . . . . . . 30 160

Оглавление 5

161

Электрическое поле в среде 5.1 Поляризация диэлектриков . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Механизм поляризации диэлектриков. Вектор поляризации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Электрическое поле при наличии диэлектрика . . . . . . 5.4 Электрическое поле на границе раздела диэлектриков . 5.5 Энергия электрического поля и силы в диэлектрике . .

6 Постоянный электрический 6.1 Закон Ома. . . . . . . . . 6.2 Интегральный закон Ома 6.3 Правила Кирхгофа . . . .

33 . 33 . . . .

37 40 41 43

ток 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Магнитное поле токов в вакууме 7.1 Взаимодействие линейных токов . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Теорема о циркуляции вектора H 7.2.1 Теорема о циркуляции для конечного контура . . .  для 7.2.2 Применение теоремы о циркуляции вектора H определения напряженностей магнитных полей . . 7.2.3 Дифференциальная форма теоремы о циркуляции 7.3 Магнитный поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 59 59

8 Магнитный момент тока 8.1 Токи и диполи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Виток с током в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Работа сил магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65 66 67

60 62 63

9 Электромагнитная индукция 68 9.1 Основной закон электромагнитной индукции . . . . . . . . 68 9.2 Самоиндукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 9.3 Взаимная индуктивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 10 Энергия магнитного поля 74 10.1 Энергия тока и энергия магнитного поля . . . . . . . . . . 74 10.2 Магнитное давление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 11 Магнитное поле в среде 11.1 Намагничивание сред . . . . . . . . . 11.2 Магнитное поле в среде . . . . . . . . 11.3 Магнитные свойства веществ . . . . 11.4 Поле на границе раздела магнетиков

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

78 78 80 81 85

162

Оглавление

11.5 Магнитная энергия и силы в среде . . . . . . . . . . . . . . 86 12 Квазистационарный ток 88 12.1 Переходные процессы в R,C-цепях . . . . . . . . . . . . . . 88 12.2 Переходные процессы в L,R-цепях . . . . . . . . . . . . . . 90 12.3 Последовательный R,L,C-контур . . . . . . . . . . . . . . . 92 13 Переменный ток 13.1 R,L,C-контур под действием периодической 13.2 Метод векторных диаграмм . . . . . . . . . 13.3 Резонанс напряжений . . . . . . . . . . . . . 13.4 Резонанс токов . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Мощность в цепях переменного тока . . . .

ЭДС. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

97 97 100 105 107 109

14 Ток в длинной линии 111 14.1 Уравнение для токов и напряжений . . . . . . . . . . . . . 111 14.2 Свойства решения волнового уравнения . . . . . . . . . . . 113 15 Свободные электромагнитные волны 117 15.1 Полная система уравнений электромагнитного поля . . . . 117 15.2 Плоские электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . 119 15.3 Волны на границе раздела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 15.3.1 Нормальное падение плоской волны на границу раздела диэлектриков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 15.3.2 Косое падение плоской электромагнитной волны на границу раздела диэлектриков . . . . . . . . . . . 124 15.3.3 Поток электромагнитной энергии . . . . . . . . . . . 129 16 Интерференция электромагнитных волн 16.1 Излучатели электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . 16.2 Интерференция лучей системы излучателей . . . . . . . 16.2.1 Излучение антенны из двух полуволновых вибраторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.2 Одномерная антенна из N вибраторов . . . . . . . 16.2.3 Интерференция двух плоских монохроматических волн одинаковой частоты . . . . . . . . . . . . . .

132 . 132 . 134 . 134 . 136 . 139

17 Интерференция лучей в оптике 141 17.1 Когерентность оптического излучения . . . . . . . . . . . . 141 17.2 Получение когерентных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Оглавление 18 Дифракция света 18.1 Принцип Гюйгенса-Френеля . . . . . . 18.2 Дифракция Френеля . . . . . . . . . . 18.3 Дифракция Фраунгофера . . . . . . . 18.4 Разрешающая способность оптических

163

. . . . . . . . . . . . . . . . . . приборов

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

146 146 147 150 152

19 Дисперсия света 155 19.1 Немонохроматические волны . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 19.2 Электронная теория дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Предметный указатель

164

Предметный указатель А Ампера закон, 55

правила построения, 100 Взаимная индукция, 72 Волновой пакет, 156 Волновое сопротивление колебательного контура, 96 Волновое сопротивление однородной линии, 114 Волновое уравнение, 112 метод решения, 112 общее решение для длинной линии, 115 свойства решения, 113 Волновое число, 122 Вольт, 19

Б Бизеркала Френеля, 143 Билинза, 143 Био-Саввара закон, 56 Брюстера угол, 129 В Вебер, 64  на границе раздела магВектор B нетиков, 86  на границе раздела диВектор D электриков, 42  на границе раздела диВектор E электриков, 42 Вектор напряженности магнит на границе ного поля H раздела магнетиков, 85 Вектор Умова-Пойтинга, 130 Вектор электрической индукции  D в среде, 36 Вектор электрической индукции  D в вакууме, 9  Вектор электрической индукцииD в вакууме, 10 Векторные диаграммы, 100

Г Гамильтона оператор, 13 Гаусса теорема дифференциальная форма в вакууме, 13 в среде, 40 интегральная форма в среде, 40 в вакууме, 11 Генри, 57 Групповая скорость, 157 Гюйгенса-Френеля принцип, 146 Д Давление магнитного поля в среде, 87 164

Предметный указатель

165

в вакууме, 76 Давление электростатического поля в вакууме, 31 в среде, 44 Джоуля-Ленца закон дифференциальная форма, 49 интегральная форма, 52 Диамагнетики, 81  12 Дивергенция вектора A, Диполь, 20 Дисперсия нормальная и аномальная , 157 Дифракция Фраунгофера на бесконечной щели, 150 Диэлектрическая восприимчивость, 36 Диэлектрическая проницаемость среды, 36 Добротность контура, 96

из N вибраторов, 136 из двух вибраторов, 135 Импеданс, 102 параллельное цепи, 103 последоватедьной цепи, 103 Индуктивность, 70 двухпроводной линии, 71 соленоида, 71 Индукция насыщения, 83 Интерференция двух плоских монохроматических волн, 139 Интерференция электромагнитных волн, 132

Е Единица напряженности магнитного поля, 57 Емкость конденсатора, 26 Емкость уединенного проводника, 25

Л Лапласа уравнение, 22 Логарифмический декремент затухания, 96 Лорентца сила, 58

З Закон индукции Фарадея дифференциальная форма, 69 интегральная форма, 69 Зонная пластинка, 149 Зоны Френеля, 148 И Излучение антенны

К Квазистационарности условие, 69 Когерентность, 142 в оптике, 142 Критерий разрешения Релея , 154 Кулона закон в среде, 41 в вакууме, 5

М Магнетон, 82 Магнитная восприимчивость, 81 Магнитная проницаемость, 81 Магнитный диполь, 66 Магнитный момент тока, 66 Магнитный поток, 64 Максвелла система уравнений интегральная форма, 117 дифференциальная форма, 119

166 Мощность переменного тока, 109 Н Намагничивания среды вектор, 79 Напряженность магнитного поля, 56 бесконечного прямолинейного тока, 57 витка с током, 65 внутри соленоида, 62 Напряженность электрического поля в вакууме, 7 внутри диэлектрика, 36 Носители тока, 45 О Объемные заряды при поляризации диэлектриков, 39 Ома закон дифференциальная форма, 46 интегральная форма, 51 Отражение волны на конце линии, 115 П Парамагнетики, 81, 82 Плоский конденсатор, 26 Плоские электромагнитные волны, 119 y – волна, 120 z – волна, 120 нормальное падение на границу раздела, 123 поляризация, 121 Плотность электрических зарядов, 5

Предметный указатель Плотность электрического тока, 45 Плотность энергии магнитного поля в вакууме, 75 в среде , 87 Плотность энергии электрического поля в вакууме, 30 в среде, 43 Полуволновой вибратор, 133 диаграмма направленности, 134 Поляризации вектор, 38 Поляризация диэлектриков, 37 ориентационная, 38 электронная, 37 Постоянная ε0 , 6 Потенциал системы зарядов, 19 Потенциал точечного заряда, 18 Потенциальная функция кулоновского поля, 17 Поток вектора магнитной индук через замкнутую ции D поверхность дифференциальная форма, 64 интегральная форма, 64 Поток силовых линий, 9 Принцип суперпозиции, 8 Прохождение света через тонкие пленки., 144 Пуассона уравнение, 21 Р Равновесие в системе электрических зарядов, 31 Разность потенциалов, 18 Расчет цепей постоянного тока, 53

Предметный указатель Резонанс напряжений, 105 векторная диаграмма, 106 Резонанс токов, 107 векторная диаграмма, 108 Резонансная частота, 106 Релея формула, 157 С Силовая линия, 8 Синусоидальные волны, 121 Сферический конденсатор, 27 Т Таутохронизм, 150 Теорема о циркуляции вектора  H дифференциальная форма, 63 для тока, непрерывно распределенного в пространстве, 60 для дискретных токов, 59 для единичного тока, 59 Тесла, 64 Ток смещения, 118 У Удельная проводимость, 46 Удельное сопротивление, 47 Условие потенциальности электрического поля, 19 Ф Фарада, 26 Феррамагнетики, 83 домены, 83 спонтанное намагничивание, 83 Ферриты, 84 Френеля формулы, 128

167 Ц Цилиндрический конденсатор, 27 Э Электрическое сопротивление, 51 Электродвижущая сила (ЕДС), 51 Электромагнитные волны длина оптического пути, 126 угол отражения при косом падении, 127 скорость распространения, 121 Электропроводность, 46 Электростатические силы, 30 Энергия конденсатора, 30 Энергия, запасенная в индуктивности, 75 Эффективные значения тока и напряжения, 110