Проектирование кулачковых механизмов: Методические указания к курсовому проектированию по курсу ''Теория механизмов и машин''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСОВОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН»

ПЕНЗА 2009 1

УДК 621.833

Даны определения основных понятий теории высшей кинематической пары и в частности кулачковых передаточных механизмов. Приведена классификация кулачковых механизмов, основные законы движения выходного звена кулачкового механизма, даны основные рекомендации по проектированию механизмов с высшими кинематическими парами. Методические указания содержат 5 таблиц и 42 рисунка. Методические указания подготовлены на кафедре «Транспортнотехнологические машины и оборудование» Пензенского государственного университета и предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс «Теория механизмов и машин».

Составители: Н.Е. Курносов, Л.П. Корнилаева, Ю.К. Измайлов, А.В.Тарнопольский

Рецензент: главный конструктор ОАО «Пензмаш» Н.В.Гуреев

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1 Общие сведения о кулачковых механизмах………………… Глава 2 Основные параметры и кинематические условия работы кулачковых механизмов ………………………………………… Глава 3 Основные типы кулачковых механизмов………………...... 3.1 Плоские кулачковые механизмы……………………………. 3.2 Пространственные кулачковые механизмы……………….. Глава 4 Прямой и обратный ход толкателя. Рабочий и холостой ход толкателя …………………………………………………….. Глава 5 Законы движения выходных звеньев……………………… Глава 6 Теоретический и рабочий профили кулачка………………. Глава 7 Кинематический анализ кулачковых механизмов графическим методом………………………………………………..

5 6 7 7 9 10 12 25 27 28 33

7.1 Графическое дифференцирование………………………… 7.2 Графическое интегрирование……………………………… 7.3 Построение диаграмм движения толкателя и определение их масштабов…………………………………………………… 36 7.4 Определение кинематических передаточных функций кулачкового механизма…………………………………………… 40 Глава 8 Определение основных размеров кулачкового механизма из условия ограничения угла давления………………………. 43 8.1 Угол давления кулачкового механизма и его связь с размерами кулачка…………………………………………………. 43 Глава 9 Определение минимального радиуса кулачка графическими методами………………………………………………………. 47 9.1 Механизм с поступательно движущимся остроконечным или 47 роликовым толкателем………………………………………… 9.2 Механизм с коромысловым роликовым толкателем………. 50 9.3 Механизм с плоским толкателем……………………………… 51 Глава 10 Построение профиля кулачка…………………………………. 53 10.1 Механизм с вращающимся кулачком с поступательно движущимся роликовым толкателем…………………………… 54 10.2 Механизм с вращающимся кулачком и коромысловым роли3

ковым толкателем……………………………………………… 56 10.3 Механизм с вращающимся кулачком и плоским толкателем……………………………………………………….... 57 10.4 Механизм с поступательно движущимся кулачком и роликовым толкателем………………………………………………… 58 Глава 11 Контрольные вопросы к листу курсового проекта «Проектирование кулачкового механизма»……………………………. 60 Порядок выполнения листа курсового проекта «ПроектироГлава 12 вание кулачкового механизма»………………….. 61 Литература

62

4

Рабочий процесс многих машин вызывает необходимость иметь в их составе механизмы, движение выходных звеньев которых должно быть выполнено строго по заданному закону и согласовано с движением других механизмов. Наиболее простыми, надежными и компактными для выполнения такой задачи являются кулачковые механизмы. Воспроизведение движения выходного звена — толкателя — они осуществляют теоретически точно. Их входное звено называют кулачком. Закон движения толкателя, задаваемый передаточной функцией, определяется профилем кулачка и является основной характеристикой кулачкового механизма, от которой зависят его функциональные свойства, а также динамические и вибрационные качества. Проектирование кулачкового механизма разделяется на ряд этапов: назначение закона движения толкателя, выбор структурной схемы, определение основных и габаритных размеров, расчет координат профиля кулачка. 1. Общие сведения о кулачковых механизмах Кулачковым называется механизм, в состав которого входит высшая кинематическая пара кулачкового типа. При этом одно из звеньев механизма совершает возвратное движение. Кулачковые механизмы применяются в тех случаях, когда перемещение, скорость и ускорение звена должны изменяться по заранее заданному закону, и в тех случаях, когда ведомое звено должно временно останавливаться при непрерывном движении ведущего звена. Элементом высшей кинематической пары является кулачок, профиль рабочей поверхности которого выполняют с таким расчетом, чтобы ведомое звено механизма совершало движение по заданному закону. Кулачковые механизмы нашли применение в самых разнообразных машинах, особенно в производственных машинах-автоматах. Двигатели внутреннего сгорания, паровые машины, гидравлические и паровые турбины, текстильные и полиграфические машины, пищевые и торговые автоматы, металлорежущие станки, приборы и счетные устройства имеют в своем составе кулачковые механизмы. Достоинства кулачковых механизмов Возможность воспроизведения почти любого закона движения ведомого звена путем соответствующего профилирования кулачка. Возможность достижения высокой производительности за счет рационального выбора закона движения ведомого звена. Возможность изменения закона движения ведомого звена за счет применения быстросъемных кулачков.

5

Сравнительная простота механизма и возможность получения малых его габаритов. Простота выполнения согласованной работы несколькими механизмами и машинами-автоматами. Недостатки кулачковых механизмов Значительные величины удельных давлений на поверхностях соприкосновений звеньев, образующих высшие кинематические пары, и если не принять соответствующих мер — износ трущихся поверхностей и уменьшение долговечности. В случае больших скоростей ведомого звена возможность появления ударов. Сложное изготовление профиля кулачка. Заметим, что для снижения износа кулачковой пары приходится применять высококачественные материалы, а также ставить между кулачком и толкателем промежуточный ролик с целью замены трения скольжения трением качения. 2. Основные параметры и кинематические условия работы кулачковых механизмов В плоском кулачковом механизме с вращающимся кулачком различают следующие геометрические параметры:

Рисунок 1 Геометрические параметры кулачкового механизма с поступательно-движущимся толкателем

6

1. М и н и м а л ь н ы й радиус кулачка ( rK ) - радиус окружности, определяющий наиболее близкую к центру вращения кулачка точку его профиля. 2. П р а к т и ч е с к и й п р о ф и л ь к у л а ч к а — очертание рабочей поверхности кулачка, которая входит в непосредственное соприкосновение с толкателем. 3. Т е о р е т и ч е с к и й п р о ф и л ь к у л а ч к а — кривая замкнутая линия, параллельная рабочему профилю кулачка и расположенная с его внешней стороны на расстоянии, равном радиусу ролика толкателя. Теоретический профиль получается проведением касательной линии к дугам, описанным из любой точки практического профиля радиусом ролика толкателя (рис.1). 4. Э к с ц е н т р и с и т е т к у л а ч к о в о г о м е х а н и з м а (е) — расстояние между центром вращения кулачка и осью толкателя (рис.1). При наличии эксцентриситета кулачковый механизм называют нецентральным или эксцентричным. У центрального механизма эксцентриситет равен нулю. 5. М е ж ц е н т р о в о е р а с с т о я н и е ( l 0 ) — расстояние между центром вращения кулачка и центром толкателя у механизмов с качающимся толкателем (рис.2).

Рисунок 2 Геометрические параметры кулачкового механизма с качающимся толкателем 6. Х о д т о л к а т е л я (h) — наибольшее линейное перемещение толкателя за период поворота кулачка. Величина хода толкателя численно равна разности между наиболее удаленной от центра кулачка точкой профиля и минимальным радиусом.

7

7. У г о л р а з м а х а т о л к а т е л я (Ψ) —наибольшее угловое перемещение толкателя за период оборота кулачка (рис.2). Этот угол зависит от геометрических размеров кулачка и межцентрового расстояния механизма. 8. У г о л н а ч а л ь н о й у с т а н о в к и к о р о м ы с л а (Ψ0) — угол между межцентровой линией и начальным положением коромысла кулачкового механизма с вращающимся толкателем. 3. Основные типы кулачковых механизмов 3.1 Плоские кулачковые механизмы Кулачковые механизмы могут быть плоские и пространственные. В плоском кулачковом механизме все подвижные звенья движутся параллельно одной неподвижной плоскости. Выбор типа кулачкового механизма зависит от конструктивных особенностей машины, где используется этот механизм.

Рисунок 3 Кулачковые механизмы с непрерывным вращением кулачка а – поступательно движущийся толкатель; б – качающийся толкатель (коромысло) Простейший кулачковый механизм состоит из трех звеньев: кулачка 1, толкателя 2, на которой закреплен рабочий орган, и стойки (рис. 3). Обычно на конце толкателя устанавливают ролик 3, чтобы трение скольжения в паре толкатель — кулачок заменить трением качения. Наличие ролика не изменяет законов движения звеньев механизма. Поэтому рассматриваемые механизмы и при наличии ролика называют трехзвенными кулачковыми механизмами. В подавляющем большинстве случаев кулачок является ведущим звеном, а толкатель — ведомым. 8

Кулачковые механизмы в основном являются преобразующими механизмами, так как изменяют характер (тип) движения. В табл. 1 и 2 приведены классификации плоских трехзвенных кулачковых механизмов по различиям в характере движения их ведущих и ведомых звеньев. Таблица 1 Основные типы дисковых трехзвенных кулачковых механизмов Тип мехаТип толкателя и коромысла низма Цилиндриче- Роликовый Плоский Остроконечский

ный

Центральный кулачковый механизм с толкателем Смещенный кулачковый механизм с толкателем Кулачковый механизм с коромыслом

Таблица 2 Основные типы кулачковых механизмов с прямолинейно движущимся кулачком Тип мехаТип толкателя и коромысла низма Цилиндрический Роликовый Остроконечный Кулачковый механизм с толкателем

9

Кулачковый механизм с коромыслом

Постоянное соприкосновение геометрических элементов звеньев, образующих кулачковую пару, осуществляется с помощью силового или геометрического замыкания. Обычно силовое замыкание достигается посредством пружин. Отметим некоторые виды геометрического замыкания кулачковых пар.

Рисунок 4 Примеры геометрического замыкания кулачковой пары: а) с двумя кулачками; б) с пазовым кулачком; в) с рамочным толкателем; г) с

10

толкателем, имеющим два ролика; д) с двумя кулачками и коромыслом, имеющим два ролика Например, толкатель может приводиться в движение с помощью двух кулачков (рис. 4,а). В этом случае ведомое звено касается одновременно профилей обоих кулачков, и тем самым осуществляется замыкание кулачковой пары. Далее на рис. 4,б изображен механизм с пазовым кулачком, а на рис. 4, в — кулачковый механизм с рамочным толкателем. Аналогичная конструкция изображена на рис. 4, г, но толкатель в этом механизме имеет два ролика. На рис. 4,д изображены два кулачка, закрепленные на одном и том же валу и соприкасающиеся с двойным роликовым коромыслом. 3.2 Пространственные кулачковые механизмы Пространственные механизмы, как правило, имеют три звена, причем два подвижных звена соединены со стойкой вращательными парами, т. е. являются основными. Применение метода инверсии к такому механизму позволяет утверждать, что пространственная кулачковая пара имеет в относительном движении две степени подвижности, т. е. является парой четвертого класса. В трехзвенном механизме указанная пара накладывает, как и в плоском кулачковом механизме, три общих условия связи. Следовательно, группа Ассура состоит из одного звена одной кулачковой пары и одной пары пятого класса. Основные типы пространственных трехзвенных кулачковых механизмов изображены в таблице 3. Все они представляют собою совокупность двухзвенного простейшего механизма и группы Ассура, состоящей из одного звена, пары пятого и пары четвертого класса. Из приведенных в таблице 3 механизмов наиболее широко применяются механизмы с цилиндрическим кулачком. Замыкание кулачковой пары осуществляется геометрическое путем применения пазовых кулачков (рис. 5,а), или силовое с помощью пружин (рис. 5,б). Таблица 3 Основные типы пространственных трехзвенных кулачковых механизмов Тип механизТип толкателя и коромысла ма РадиальноТорцевой Радиальное Торцевое роликовый толка- толкатель роликовое роликотель коромысло вое коромысло

11

Цилиндрический кулачковый механизм

Конический кулачковый механизм

-

Рисунок 5 Примеры применения замыкания пространственных кулачковых механизмов: а) пазовый цилиндрический кулачек; б) роликовый толкатель с пружинным замыканием 4. Прямой и обратный ход толкателя. Рабочий и холостой ход толкателя Условимся называть прямым ход толкателя, при котором он движется под влиянием кулачка, и обратным, который осуществляется силой пружины или веса, в то время как кулачок только удерживает толкатель от 12

быстрого падения. В кулачках с кинематическим замыканием оба хода прямые. Как прямой, так и обратный ход может быть рабочим или холостым. Р а б о ч и й х о д . Рабочим ходом называется ход толкателя, при котором требуемый закон движения его полностью определяется рабочим процессом машины. При рабочем ходе обычно требуется постоянная скорость толкателя. Например, в металлорежущих станках постоянная скорость подачи при обтачивании, растачивании, сверлении и фрезеровании обеспечивает наиболее гладкую поверхность обрабатываемой детали, постоянную нагрузку станка, а, следовательно, и наилучшее его использование. Особенно важно иметь постоянную скорость при нарезании резьбы. Постоянная скорость толкателя требуется также в текстильных и швейных машинах, где кулачки служат для направления нитки при наматывании на катушки, и во многих других случаях. Закон постоянной скорости толкателя будем считать основным законом для рабочего хода. Исключения из него встречаются чрезвычайно редко. Гораздо реже требуется выдержать заданный закон пути (перемещения толкателя). Закон изменения пути толкателя по времени или по углу поворота кулачка очень сложный. Поэтому его изображают в виде диаграммы и строят профиль кулачка графически. Если закон пути более простой и может быть выражен уравнением, то кулачок можно рассчитывать аналитически. Х о л о с т о й х о д . Холостым ходом называется ход толкателя, при котором требуется получить наименьшее время движения или наименьшую потерю времени. В этом случае закон движения не определяется рабочим процессом машины, а выбирается из условий наилучшей работы механизма (получения наименьших сил). Холостой ход толкателя встречается при медленном и при быстром движении кулачка. Это совершенно различные случаи, и потому мы их рассмотрим отдельно. Х о л о с т о й х о д п р и м е д л е н н о м д в и ж е н и и к у л а ч к а . При медленном движении кулачка силы инерции толкателя и связанных с ним деталей настолько малы, что практически они неощутимы. Зато силы трения, особенно при кулачках с крутым профилем, которые в этом случае часто применяются, существенно влияют на величину сил, возникающих в механизме. Наиболее типичный случай холостого хода при медленном 13

движении кулачка встречается в токарных автоматах. При медленном движении кулачка нас обычно интересует только время холостого хода, которое желательно иметь наименьшим. Для получения наилучшей работы кулачкового механизма надо выбирать такой закон движения, при котором сила Q , действующая со стороны кулачка на толкатель, была наименьшей. Так как на прочность механизма и частично на износ влияет максимальная сила Q , а не средняя, надо стараться уменьшить максимальную силу. Наилучший результат получим в том случае, когда максимальная сила равна средней, т. е. когда сила постоянна. Этот закон и следует класть в основу профилирования кулачка при медленном движении, чтобы получить компактный, легкий и дешевый кулачковый механизм. Обычно при этом считают, что сопротивления, преодолеваемые толкателем, также постоянны. В большинстве случаев это соответствует действительности. Х о л о с т о й х о д п р и б ы с т р о м д в и ж е н и и к у л а ч к а . Холостой ход при быстром движении кулачка протекает иначе, чем в предыдущем случае. Трение в таких механизмах невелико благодаря хорошей смазке, а потому опасаться самоторможения в таких кулачках не приходится. Зато силы инерции достигают значительной величины из-за больших ускорений, которые приходится применять в таких кулачках. Таким образом, в быстроходных кулачках желательно получить наименьшие ускорения при наименьшем времени хода. 5 Законы движения выходных звеньев Теоретически кулачковыми механизмами можно осуществлять самые различные законы движения, но на практике пользуются только теми, которые обеспечивают более простую технологию обработки профиля кулачка и удовлетворяют кинематическим и динамическим требованиям к кулачковому механизму. Рассмотрение этих законов будем вести для четырех характерных фаз движения выходного звена: фазы подъема, с соответствующим фазовым углом φп - углом подъема, фазы верхнего выстоя, с соответствующим фазовым углом φвв - углом верхнего выстоя, фазы возврата, с соответсвующим фазовым углом φ0 - углом возврата и фазы нижнего выстоя, с соответствующим фазовым углом φнв – углом нижнего выстоя. Сумма всех фазовых углов должна составлять 3600. Различают три группы законов движения, характеризующиеся следующими особенностями: движение толкателя сопровождается жесткими ударами; движение толкателя сопровождается мягкими ударами; 14

движение толкателя происходит без ударов.

Рисунок 6 Закон движения выходного звена кулачкового механизма: а) диаграмма пути; б) диаграмма аналога скорости; в) диаграмма аналога ускорения Наиболее простым законом S2 = S2 (φ1) является линейный закон движения на фазах подъема и опускания (рис. 6). Углы φ 1 соответствующие фазам подъема, выстоя и опускания, обозначены через φп, φвв, φ0 и φнв. Сумма этих углов обозначена через Ф: Ф = φп + φвв + φо + φнв = 2π. ( 1) Полный подъем выходного звена обозначен через h. Закон движения выходного звена на фазе подъема представляет собой зависимость h

S2

1

,

(2)

п

а на фазе опускания S2

h HB

h

1

h HB

0

0

15

1 0

.

(3)

Аналог S 2' скорости выходного звена соответственно равен для фазы подъема ds 2 d 1

S 2'

h

const ,

(4)

n

а для фазы опускания S 2'

ds 2 d 1

d d 1

h

h HB

0

h 1

0

0

const.

(5)

Диаграмма S 2' S 2 ( 1 ) показана на рис. 6, б. Скорость движения толкателя на обеих фазах постоянна. Аналоги ускорений S 2" на обеих фазах равны нулю, кроме положений а, b, с и d, где функция S 2' S 2 ( 1 ) имеет разрывы. В этих положениях теоретически ускорения выходного звена являются равными бесконечности. Это вызывает появление в механизме так называемых жестких ударов, при которых силы, действующие на звенья механизма, теоретически достигают бесконечности. Практически ускорения в указанных положениях не равны бесконечности, потому что обычно действительный (рабочим) профилем кулачка является профиль, построенный как эквидистантная кривая к теоретическому профилю, что вызывает изменение в этих положениях не только теоретического ускорения, но и скорости. Кроме того, если даже толкатель не имеет ролика, а оканчивается острием, то вследствие упругости звеньев кулачкового механизма ускорения W2 не могут получаться равными бесконечности благодаря амортизирующему эффекту упругих звеньев. Несмотря на это, все же в указанных положениях мы можем получить размыкание элементов высшей пары и соударение толкателя и кулачка. Поэтому обычно линейным законом пользуются только на части фаз подъема или опускания и в закон движения вводятся переходные кривые, позволяющие осуществлять плавный переход на участках сопряжений двух линейных законов движения. Такими переходными кривыми могут быть дуги окружностей, участки парабол, участки синусоид и т. д.

16

Рисунок 7 Закон движения выходного звена кулачкового механизма с плавными переходами на сопряжениях линейных участков: а) диаграмма пути; б) диаграмма аналога скорости; в) диаграмма аналога ускорения На рис. 7 показан линейный закон движения с переходными участками, очерченными по дугам окружностей радиусов r , на участках П' и ' 0 фаз подъема и опускания. Чтобы не имел места скачок в кривой аналога скоростей S 2' S 2' 1 (рис. 7, б), необходимо линейный участок диаграммы S 2 S 2 ( 1 ) выполнить по касательным к окружности радиуса r.

17

Рисунок 8 Способ построения плавных переходов на диаграмме с двумя линейными участками Это может быть всегда сделано, если воспользоваться построением, показанным на рис.8, где рассмотрен в большом масштабе участок φп фазы подъема. Из точек А и B, лежащих на расстояниях r и (h-r) на ординатах, проведенных в точках а и b, проводим окружности выбранного радиуса r. Далее, соединяем точки А и В прямой. Из точек D и Е лежащих на прямой AВ, радиусами R, равными R= AB/4, проводим окружности до пересечения в точках m и k с окружностями радиусов, равных r. Прямая km получается касательной к окружностям радиуса r. Таким образом, кривая S 2 S 2 ( 1 ) будет состоять на участках n' из дуг аk и тп окружностей, а на участке φп — 2 n' — из прямой km. Диаграмма аналога скоростей S 2' S ' 2 ( 1 ) показана на рис. 7, б, а диаграмма аналога ускорения S 2" S 2" ( 1 ) — на рис. 7, в. Из этих диаграмм видно, что на участках n' фазы подъема и 0' фазы опускания аналог скорости S 2' не претерпевает разрывов. Аналог ускорений S 2" в начале и конце каждого интервала n' и ' 0 претерпевает мгновенное изменение своей величины на конечную величину. Следовательно, в точках а, е, f, b, c, g, h и d будут иметь место удары, но меньшие, чем в случае, рассмотренном на рис. 6. Эти удары при мгновенном изменении ускорений на конечную величину носят название мягких ударов. Мягкие удары менее опасны для работы кулачковых механизмов, поэтому многие тихоходные кулачковые механизмы работают в условиях мягких ударов. Из рис. 8 также следует, что угол наклона β прямой kт больше угла α наклона прямой ап, т. е. при задании одних и тех же значений h (подъем толкателя) и φп (фазы подъема) аналог скоростей S 2' на участках подъема и опускания для закона, показанного на рис. 7, будет 18

всегда больше, чем для закона, показанного на рис. 6. Из рассмотренных примеров законов движения следует, что при выборе того или иного закона необходимо знание аналогов скоростей и ускорений движения выходного звена. Обычно при проектировании кулачковых механизмов задаются аналогами ускорений выходного звена. По заданным аналогам ускорений и начальным условиям определяют аналоги скоростей и закон движения выходного звена. Рассмотрим следующие законы изменения аналогов ускорений на фазе подъема: а) равноускоренный, б) синусоидальный, в) косинусоидальный, г) линейно-убывающий, д) трапецеидальный.

Рисунок 9 Равноускоренный закон движения выходного звена кулачкового механизма: а) диаграмма пути; б) диаграмма аналога скорости; в) диаграмма аналога ускорения Равноускоренный закон аналога ускорений S 2" выходного звена 2 показан в виде диаграммы S 2" S 2" ( 1 ) на рис. 9, в, для четырех фаз движения, соответствующих углам φn, φвв, φ0 и φнв. Построение диаграмм S 2' S 2' 1 и S 2 S 2 ( 1 ) (рис. 9, а и б) может быть сделано методами графического интегрирования. Чтобы исследовать все характеристики рассмат19

риваемого закона движения, удобно рассмотреть его в аналитической форме. Рассмотрим фазу подъема, соответствующую углу φп (рис. 9, в). Угол φ1 на этой фазе изменяется в следующих пределах: 1 (6) 0 1 n, 1 (7) n 1 n. Зависимость для аналога ускорения S 2" (рис. 9, в) для первого предела будет такая: ( S 2" a1n const , (8) для второго предела зависимость для аналога ускорения имеет вид S 2"

a11 n

(

const.

(9) Интегрируя дважды выражение для аналога ускорения S 2" (8) изменяющегося в пределах 0 1 n1 , получаем выражение для аналога скоростей S 2' и перемещений S 2 : ( S 2' S 2" d 1 C1 a 1n d 1 a 1n 1 C1 (10) 1 2 S2

S 2' d

1

C2

a 1n

1

C1 d

1

C2

an 1 2

C1

1

C2 .

( 11) Начальными условиями для определения С1 и С2 интегрирования являются условия, в соответствии с которыми при φ1=0 S 2' =0 и S 2 =0. Отсюда следует, что С1 =С2=0, и равенства (10) и (11) имеют вид S 2' a 1n 1 , ( 1 2 (12) an 1 S2 . 2 ( (13) Из равенств (12) и (13) следует, что на интервале 0 1 n1 аналог скорости S 2' изменяется по линейному закону (рис. 9,б), а перемещение S2 – по закону параболы, имеющей вершину в точке А (рис. 9,а). Аналогично можно показать, что в интервале n1 1 n аналог скоростей S 2' изменяется по линейному закону, а перемещение S2 – по закону параболы, имеющей вершину в точке С (рис. 9,а). Обе параболы сопрягаются в точке В. 20

Отметим некоторые условия, которым должны удовлетворять зависимости S 2" S 2" ( 1 ) и S 2' S ' 2 ( 1 ) . Так как аналог ускорения S 2" в начале и конце фазы φп равен нулю (рис. 9,б), то площади прямоугольников ADEF и FGHK (рис. 9,в) должны быть равны, т.е. 11 ( a1n n1 a11 n n , 14) или 1 a11 ( n n kn . 11 1 an 15) n Так как

1 n

11 n

n

, то, учитывая равенство (15), получаем 1 n

11 n

n

n

kn , 1 kn

( 16)

1 . 1 kn

(

17) Перемещения S и S 4 (рис. 9, а) звена 2 пропорциональны площадям треугольников NМR и RMT (рис. 9,б). Тогда, обозначая значение аналога скорости в точке R через S 2' max получаем 1 2

11 2

S

1 2

S

11 2

S 2' max 2 ' S 2 max 2

1 n

11 n

( 18) .

( 19)

Делим равенство (18) на равенство (19) S 21 S 211

1 n 11 n

kn .

(20)

Так как S 21 S 211 h, то из равенства (20) получаем S 21

knh , 1 kn

(21)

S 211

h . 1 kn

(22)

Из равенства (13) следует:

21

a 1n a 11 n

2 S 21 1 2 n

,

11 2 11 2

2S

(23) .

(24)

n

Подставляя в уравнения (23) и (24) значения для S 21 , S 211 и венств (21), (22) и (16), (17), получаем 2h 1 k n , k n n2

a 1n a 11 n

1 n

,

11 n

из ра(25)

2h 1 k n

(26)

2 n

Далее, пользуясь равенствами (12), (25) и (16), имеем S 2' max

a1n

1 n

2h 1 k n k n n2

n

kn 1 kn

2h n

.

(27)

Из полученных равенств следует, что если задан полный подъем h выходного звена, фазовый угол n и коэффициент kп, то можно по формулам (16) и (17) определить углы n1 и n11 , по формуле (27) — максимальное значение аналога скорости S 2' max и по (25) и (26) — значения аналогов ускорения a 1n и a 11 n . Коэффициент

1 n 11 n

a11 n a1n

k n на практике берется больше единицы и

доходит до четырех. При выборе коэффициента k n обычно исходят из следующих соображений. Чем больше k n , тем большим будет и ускорение на фазе подъема толкателя, т.е. тем больше нагрузка от сил инерции на детали кулачкового механизма, но зато тем меньше ускорение на фазе возврата толкателя и, следовательно, необходимое усилие пружины. Поэтому в клапанном приводе с большим количеством деталей (например, в звездообразных двигателях) значения k n берутся ближе к единице. Если клапанный привод имеет малое количество деталей (например, когда кулачек непосредственно воздействует на клапан), значение k n для облегчения работы пружины берутся ближе к четырем. в среднем k n принимается равным двум. Из равенства (27) следует, что максимальное значение аналога скорости S 2' max не зависит от коэффициента kп т. е. от распределения фазового 22

угла φп по участкам положительного a 1n и отрицательного a 11 ускорений. n Если коэффициент kп принят равным kп = 1, то мы получаем симметричный закон движения, для которого имеем на интервале 0 4h

a 1n

n 1

2

(

2 n

28) Принимая во внимание равенство (12) аналог скорости S 2' для этого движения определяем так: S 2'

4h 2 n

1

,

(29)

а перемещение S2 из равенства (13) равно S2

2h 2 n

2 1

.

(30)

Из рис.9,в следует, что при рассмотренном законе движения механизм испытывает мягкие удары. Для фазы опускания, соответствующей углу 0 (рис. 9,а) расчет всех параметров движения может быть сделан по уже выведенным формулам с заменой коэффициента kп для фазы подъема коэффициентом k0 для фазы опускания. Движение выходного звена 2 происходит без жестких и мягких ударов, если кривая аналогов ускорений S 2" S 2" ( 1 ) синусоидальная (рис. 10, в). Если коэффициент kп выбран равным единице, то мы получаем симметan (рис. 9, в). ричную синусоиду, для которой a1n a11 n

23

Рисунок 10 Синусоидальный закон изменения ускорения выходного звена кулачкового механизма: а) диаграмма пути; б) диаграмма аналога скорости; в) диаграмма аналога ускорения Зависимость для аналога ускорения S 2" следующая: S 2"

a n sin

2 1

.

(31)

n

Интегрируя в пределах 0 1 n дважды выражение (31) для аналога ускорений S 2" , получаем выражения для аналога скорости S 2' и перемещения S 2 : 2 2 (32) S' S "d C a sin d C a n cos C, 2

2

1

1

n

1

1

1

n

n

S2

S 2' d

1

C2

an

n

2

cos

2

C1 d

1

2

C2

1

n

1

n

an

4

2 n 2

sin

2 1 n

C1

1

C2 .

(33)

Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из начальных условий , в соответствии с которыми при 1 0 S 2' 0 и S 2 0 . Из зависимости (32) получаем C1 ем С2 = 0. 24

an 2

n

. Одновременно из (33) име-

Подставляем полученные выражения для С1 и С2 в равенства (32) и (33): S 2'

an

S2

an

n

1 cos

2

2

(

,

1

34)

n 2 n

1 2 sin 2 n

1

2

n

1

.

( 35) Амплитуда ап аналога ускорения (рис. 9, в) определяется из равенства (35) на основании условия, по которому при 1 n перемещение S2 = h: h

2 n

an

2

(

.

(36)

Отсюда следует 2

an

2 n

(

h.

(37) Теперь зависимости (35), (34) и (31) окончательно получают следующий вид: S2

1 2 sin 2 n

1

h

n

S 2'

h

1

1 cos

2 1

n

S 2"

h

2 2 n

n

sin

2 1 n

1

.

,

,

(38) (39) (40)

Из равенств (39) и (40) следует, что аналог скорости S 2' и аналог ускорения S 2" зависят не только от выбранного подъема h выходного звена, но и от фазового угла φп. Аналог скорости S 2' обратно пропорционален углу φп , а аналог ускорения обратив пропорционален n2 . Вывод расчетных зависимостей для фазы опускания, соответствующей углу φ0, получается аналогичным. Если зависимость аналога ускорения S 2" S 2" ( 1 ) косинусоидальная (рис. 11,в), то движение выходного звена происходит с мягким ударом в начале и в конце хода выходного звена. Коэффициент kп принимаем kп=1. Тогда a1n a11 an . n

25

Рисунок 11 Косонусоидальный закон изменения ускорения ведомого звена кулачкового механизма: а) диаграмма пути; б) диаграмма аналога скорости; в) диаграмма аналога ускорения Зависимости для перемещения S2 и аналога скорости S 2' получаются, если дважды проинтегрировать в пределах 0 1 n выражение для аналога ускорения ( S 2" a n cos 1. 41) n Имеем S 2'

S 2" d

1

C1

a n cos

1

d

an

1

n

sin

n

S 2' d

S2

1

C2

n

an

1

C1 ,

(42)

n

sin

1

C1 d

1

C2

n

an

2 n 2

cos

1

C1

C2 .

1

(43)

n

S 2'

Постоянные С1 и С2 определяются из начальных условий при 0 и S 2 0. Получаем C1 0 и C 2

2 n

an 2

.

26

1

0,

Зависимости (42) и (43) принимают следующий вид: S 2'

n

an

sin

1

,

(44)

n

S2

2 n 2

an

1 cos

1 n

.

(45)

Амплитуда a n аналога ускорения (рис. 11,в) определяется из равенства (45) – из условия, по которому при 1 n перемещение S 2 h . Имеем h

an

2 n 2

2

;

следовательно, a n равно 2

an

2 n

(

h.

46) Тогда зависимости (45), (44) и (41) принимают следующий окончательный вид:

S2 S 2' S 2"

2

h 1 cos 2 h 2 h 2

1

,

(48)

n

2 2 n

(47)

n

sin n

,

1

cos

1

.

(49)

n

Вывод расчетных зависимостей для фаз опускания, соответствующих углу 0 получится аналогичным. На рис. 12,в показан линейно-убывающий закон аналога ускорения S S ( 1 ) . При этом законе движение выходного звена происходит с мягким ударом в начале и в конце хода выходного звена. " 2

" 2

27

Рис. 12. Линейно-убывающий закон изменения ускорения выходного звена кулачкового механизма: а) диаграмма пути; б) диаграмма аналога скорости; в) диаграмма аналога ускорения. Если принять коэффициент kп=1, то a1n

a11 n

an .

Зависимости для перемещения S2 и аналога скорости S 2' получаются, если дважды проинтегрировать в пределах 0 1 n выражение для аналога ускорения S 2"

an 1 2

1

.

(50)

n

Имеем S

' 2

" 2

S d

1

C1

1

an 1 2

d

C1

1

an

1

n

S2

S 2' d

1

C2

an

2 1

C1 d

1

1

C2 an

n

1

C1

(51)

C1 ,

n

an

Из начальных условий

2 1

an

0, S 2' C2

0 и S2

2 n

2

an 3

3 1

C1

1

n

0. , поэтому

0.

Зависимости (51) и (52) принимают тогда следующий вид:

28

C 2 . (52)

S 2'

an

1

1

1

,

(53)

n

S2

S

' 2

1 2

2 1

an

1 3

1

.

(54)

n

Полученные зависимости показывают, что кривая аналога скорости S 2 ( 1 ) (рис. 12,б) представляет собой параболу с вершиной в точке М. '

Кривая перемещения S 2 S 2 ( 1 ) представляет собой две параболы третьей степени, сопрягающиеся в точке В. Величина a n аналога ускорения (рис. 12,в) определяется из условия, что при 1 n перемещение S 2 h . Тогда из равенства (54) имеем h

an

2 n

1 2

1 3

a n n2 , 6

n n

откуда 6h

an

2 n

.

Подставляя полученное значение для величины a n в равенства (54), (53) и (50), получаем S2 S 2' S 2"

h 6h 6h

2 1 2 n

3 2

1

,

(55)

n 1 2 n

1 2 n

1

1

,

(56)

n

1 2

1 n

.

(57)

Вывод расчетных зависимостей для фазы опускания, соответствующей углу 0 (рис. 12,а) является аналогичным.

29

Рисунок 13 Трапецеидальный закон изменения ускорения выходного звена кулачкового механизма: а) диаграмма пути; б) диаграмма аналога скорости; в) диаграмма аналога ускорения Как было указано выше, возможны и другие законы движения выходного звена кулачкового механизма. Определение их кинематических характеристик может быть сделано теми же методами, какими мы пользовались для разобранных примеров. Отметим только, что в некоторых случаях применяются законы движения, являющиеся комбинацией простых законов. В качестве примера приведем трапецеидальный закон изменения аналога ускорения S 2" S 2" ( 1 ) , показанный на рис. 13, в. На участке аb угла " S 2" ( 1 ) изменяется, линейно возрастая; на участке bc оно п ускорение S 2 постоянно; на участке сde оно линейно убывает; на участке еf вновь постоянно и на участке fg изменяется линейно возрастая. Соответственно кривая S 2' S ' 2 ( 1 ) (рис. 13, б) на участках аb, cde и fg состоит из парабол, а на участках be и еf прямолинейна. Кривая S 2 S 2 ( 1 ) (рис. 13, в) на участках ab, cde и fg состоит из парабол третьей степени, а на участках bс и еf — из парабол второй степени. При трапецеидальном законе изменения ускорения жесткие и мягкие удары отсутствуют. Сопоставление различных законов движения выходных звеньев, удовлетворяющих одним и тем же граничным условиям, можно вести, сравнивая безразмерные коэффициенты max и max , характеризующие величины максимальных скоростей Vmax и ускорений Wmax : 30

max

Vmax / h tn

max

Wmax , h 2 tn

где h— полный подъем выходного звена за время tn , tn — время полного подъема выходного звена. В таблице 4 приведены значения коэффициентов max и max для некоторых законов изменения ускорения выходных звеньев. Таблица 4 Безразмерные коэффициенты Закон изменения ускорения max max Равноускоренный 2,00 4,00 Синусоидальный 2,00 6,28 Косинусоидальный 1,57 4,93 Линейно-убывающий 1,50 6,00 Выбор закона движения определяется главным образом теми требованиями, которые предъявляет технологический процесс к движению толкателя. В качестве требуемого закона движения можно принять определенный тип кривой перемещения, скорости или ускорения. Динамика кулачковых механизмов в основном определяется законами изменения ускорений (так как с ускорениями толкателя связаны пропорциональные им и массе толкателя силы инерции, учитывать которые приходиться при расчете замыкающих пружин, при определении напряжений в деталях механизма и т.д.), поэтому обычно в качества закона движения толкателя задаются кривой (или уравнением) относительных ускорений толкателя. Технологические соображения в большинстве случаев заставляют обращаться к сложным законам движения. В табл. 5 приведены некоторые законы движения толкателя, представленные в виде безразмерных коэффициентов относительных значений ускорений a и угла поворота Ку на фазе удаления. Коэффициент угла поворота Ку 1р у меняется в пределах от 0 до I, а коэффициент ускорения в пределах a1 ... a 2 может изменяться по величине и по знаку. Для приведенных примеров вначале, а также в промежуточных положениях ускорение может изменяться скачком на конечную величину (мягкий удар за счет мгновенного изменения силы инерции). Для ряда законов ускорение меняется скачком в конце фазы удаления, в других случаях скачки на графиках ускорений могут отсутствовать. 31

Таблица 5 Некоторые законы движения ведомых звеньев (толкателей) кулачковых механизмов Наименование закона

График f (k )

d 2S исполнительной точки на dk 2

фазе удаления толкателя в функции времени k

1

Аналитическое выражения для коэффициентов функции ускорения на заданных интервалах Интервал k Функция (k)

t , 0 k 1 ty

2

Прямоугольный симметричный

Прямоугольный несимметричный

Прямоугольный симметричный с нулевым участком

3

4

0 ... 0,5 0,5 ...1

f k =4 f k =-4

0 ...k1 k1... 1

f (k ) 2 / k 1 f (k ) 2 /(1 k1 )

0  k1

f (k ) 1 / k1 (1 k1 )

k1  k 2

f (k ) f (k )

k 2 1,0

f (0)

0 f (0)

Продолжение таблицы 5 32

1

2

3

Прямоугольный несимметричный с нулевым участком

0  k1 k1  k 2 k 2 1,0

Косинусоидальный симметричный

0 0 1,0

4 f (k )

2 / k1 (1 k1

f (k )

0

f (k )

Косинусоидальный несимметричный

0 0  k1 k1 1,0

2 1 k2

1 k1

f (0)

4,93

f (k )

0,5

2

/ 4k 1

f ( 0)

k2 )

2

k2

cos k

2,46 / k 1

2

f (k )

4k 1

cos

2k 1

2

f (k )

4 1 k1

cos

k 1 k 2 1 k1

2

f (0) 0

Косинусоидальный с нулевым участком

0  k1 k1  k 2 k2 0

33

2k 1 4k 1 2 k 1

f (k )

f (0) cos

f (k )

0

f (k )

f (0) cos

k 2k 1 1 k 2 1 k2

1

2

3

Продолжение таблицы 5 4

0 0 1,0 1,0

Равноубывающий симметричный

f (0) 6 f ( k ) 6 1 2k f (1) 6

f (0) 3 / k1 0 0  k1

Равноубывающий несимметричный

f (k )

k 1 1

3 k1

3 k k1

f (k )

1 k1

1

f (1)

0  k1

Прямоугольная трапеция

k1  k 2 k 2 1,0

0  k1

Прямоугольник с косинусоидой

k1  k 2 k 2 1,0

34

3k k12 2

3 /(1 k1 )

f (k )

3 / 0,5 k1 k12

f (k )

f (0)

f (k )

f (0)

f ( 0)

0,5 k 0,5 k1

f ( 0)

0,184 k1

1 k12

f (k1 )

f (0) sin 0,5

f (k )

f ( 0)

0,204 0,5 k 0,5 k1

1

Продолжение таблицы 5 4

3

2

Синусоидальный симметричный

f (0) 0 f (k ) 2 sin 2 k f (0,25) 2

0 0 1

f (k )

Синусоидальный несимметричный

k1

0  k1 k1 1

f (k )

sin

1 k1

f (0,5k1 ) f (k )

0  k1

Синусоидальный симметричный с нулевым участком

k1  1 k1 1 k1 1,0

k2

0  k1 k1  k 2 k 2 1,0

f (k )

35

1 k / 1 k1

/ k1 sin

k k1

0

f (k )

2k 1 1 k 1

f (k )

k1 1 k1

sin

k2

1 k 1 k1

sin

k k1

0

f (k ) sin

sin

2k 1 1 k 1

f (k )

Синусоидальный несимметричный с нулевым участком

k k1

1 k 1 k1

1 k 2 1 k1

k2

1

Продолжение таблицы 5 4

3

2

Двойной гармонический

01,0

f (k ) 0,5 2 cos k cos 2 k f (0,333) 5,55 f 0,667 0 2

f 1

Степенной типа 34-5

f (k ) 60(k 3k 2 f (k ) max 5,77

01,0

Степенной типа 45-6-7

01,0

c

Трапецеидальный

k1  k 2 k 2  0,5

36

2k 3 )

f (k ) 420k 2 (1 4k 5k 2 f (k ) max 7,4 f (k ) min

0  k1

9,86

7, 4

0,5(1 k1 ) (k 2 2k 1 ( k 2

f (k )

2k 3 )

k1 ) (k 2

k1 ) k1 ) 2

3k ck 1

f (k ) 3 / c f (k ) 3(0,5 k ) / c(0,5 k 2 )

1

3

2

Продолжение таблицы 5 4 5 [ 69 1260(1 k ) 4 64 3402(1 k ) 8 3276(1 k ) 12

f (k )

Степенной типа 26-10-14-18

0 k 1,0

1071(1 k ) 16 ] f (k ) max 10,8 f (1) f (k )

Степенной типа 34

0  0,5 0,5 1,0

4,9 48k (1 2k )

f (0,25) f (k ) f (0,75)

37

6 96(k 0,5)(1 k ) 6

Кинематические характеристики кулачкового механизма при задании функций через безразмерные коэффициенты могут быть представлены на фазе удаления в следующем виде: перемещение толкателя S B HB f ( K) кинематическая передаточная функция скорости толкателя VqB

HB

f ' (K) ;

y

кинематическая передаточная функция ускорения толкателя wqB

HB 2 y

f " (K ) .

6 Теоретический и рабочий профили кулачка При роликовом толкателе центр ролика описывает кривую, отстоящую от профиля кулачка на расстояние, равном радиусу ролика (рис.14).

Рисунок 14 Теоретический и рабочий или конструктивный профиль кулачка Эту кривую условимся называть теоретическим профилем кулачка. При изучении теоретического профиля центр ролика рассматривается как конец заостренного толкателя. Рабочий или конструктивный профиль строится проведением (эквидистанты равноотстоящей кривой к теоретическому профилю (рис.15).

38

Рисунок 15 Построение эквидистанты Для этого из теоретического профиля делаются засечки радиусом, равным радиусу ролика. Общая огибающая к этим дугам даст искомый конструктивный или рабочий профиль кулачка. Обратная задача — построение теоретического профиля по конструктивному профилю кулачка — также решается проведением эквидистанты. При вогнутом теоретическом профиле радиус кривизны конструктивного профиля равняется сумме радиуса кривизны теоретического профиля и радиуса ролика толкателя. Поэтому он всегда положителен и профиль всегда можно получить (рис. 16).

Рисунок 16 Образование конструктивного или рабочего профиля при вогнутом теоретическом профиле При выпуклом центровом профиле радиус кривизны конструктивного профиля равняется разности радиуса кривизны центрового профиля и радиуса ролика (рис. 17).

39

Рисунок 17 Образование теоретического профиля при выпукло теоретическом профиле кулачка Если радиус кривизны теоретического профиля равен радиусу ролика (рис. 18), то при выпуклом профиле радиус кривизны конструктивного профиля обращается в нуль, и, следовательно, он получается заостренным.

Рисунок 18 Предельный случай выпуклого теоретического профиля При радиусе кривизны теоретического профиля, меньшем радиуса ролика, радиус кривизны конструктивного профиля получается отрицательным и такой профиль кулачка изготовить невозможно (рис. 19), так как кулачок при этом заостряется.

40

Рисунок 19 Заострение выпуклого конструктивного профиля кулачка Центровой будет в этом случае такой же, как и в случае, изображенном на рис. 18, т. е. округление радиуса будет равно радиусу ролика. Таким образом, при роликовом толкателе нельзя допускать произвольного движения у вершины кулачка. Это, с одной стороны, является недостатком роликового толкателя, с другой, имеет положительное значение, так как благодаря округлению теоретического профиля переход получается более плавным.

Рисунок 20 Определение вспомогательного отрезка 41

При заостренном конструктивном профиле кулачок и ролик из-за больших удельных давлений будут быстро изнашиваться. Чтобы этого избежать, следует радиус кривизны теоретического профиля брать больше радиуса ролика (рис. 20), т. е. rT

rK

где rK — радиус закругления кулачка, который должен составлять от 1 до 5 мм (в зависимости от размеров механизма); rT — радиус ролика. При проектировании кулачков не следует допускать выступающих углов у теоретического, а скруглять их окружностью радиуса ρ. Для этого целесообразно отложить отрезок AB q , который в дисковых кулачках будет хордой концентрической окружности (рис. 20). Обозначим через 1 и 2 углы между касательными к теоретическому профилю в точках А и В и хордой q . Принимая отрезки кривых АЕ и ВF приближенно за прямые линии из треугольников ADC и ВDС, получим q

rT

rK

tg

1

2

tg

2

2

.

(58)

После определения этого отрезка построение переходной окружности не представляет затруднений. При одном и том же законе движения толкателя, но при различных радиусах ролика теоретический профиль кулачка не изменяется, а конструктивный профиль кулачка приобретает различные очертания, иногда совсем не похожие одно на другое (рис. 21). Поэтому исследование кулачков следует вести по теоретическому профилю.

42

Рисунок 21 Конструктивные профили при одинаковом теоретическом профиле и различных радиусах ролика При изготовлении кулачка важны размеры его конструктивного профиля. Поэтому на рабочих чертежах следует проставлять эти размеры. Из размеров теоретического профиля надо указывать только необходимые для построения конструктивного профиля кулачка. При исследовании работы кулачка вычерчивание его в различных положениях потребовало бы очень много труда и времени, чтобы этого избежать, применяют метод обращения движения: всему механизму сообщают скорость, равную и противоположную скорости кулачка. После этого кулачок становится неподвижным и можно рассматривать движение толкателя относительно него. Это движение слагается из переносного, или движения направляющих, и относительного, или движения толкателя в направляющих. Для плоских кулачков, если принять вращение кулачка направленным против часовой стрелки. Тогда относительное движение направляющих и измерение углов в уравнении профиля будем проводить по часовой стрелке. 43

7 Кинематический анализ кулачковых механизмов графическим методом Задачей кинематического анализа кулачковых механизмов является определение перемещений S, скоростей V, ускорений W точек ведомого звена по заданному очертанию профиля кулачка (фазовым углам), закону движения кулачка и кинематической схеме механизма. По заданным положениям выходного звена кулачкового механизма (толкателя) можно построить график путь – время [S-t] для точки толкателя совершающего поступательное движение или график угол поворота – время [φ-t] для вращающегося толкателя (коромысла). Применяя методы графического дифференцирования, по этим графикам можно построить графики [V-t] для поступательно движущегося толкателя и [ω-t] для коромысла. Графически дифференцируя последние графики, получим, соответственно, графики [W-t] и [ε-t]. Обратная задача, заключающаяся в нахождении по графикам [W-t] или [ε-t] графиков [V-t] и [ω-t] соответственно, а по ним графиков [S-t] и [φ-t], носит название графического интегрирования. 7.1 Графическое дифференцирование Из имеющихся способов графического дифференцирования рассмотрим способ касательных и способ хорд. Способ касательных. Пусть имеем график [S-t], по которому требуется построить график [V-t] ( рис. 22).

44

Рисунок 22 Графическое дифференцирование методом касательных Скорость V , как известно, является первой производной пути S по времени t V

dS . dt

Если учесть, что для произвольной точки А графика [S-t] S

K SГР y S

t

K t xt ,

то можем записать V

K SГР dy S . K t dxt

(59)

Если далее на графике [S-t] взять точку А' , бесконечно близкую к yS xt

точке А , то видим, что отношение

будет тангенсом угла наклона

бесконечно малой хорды АА' графика к оси t. Это отношение при прибли-

45

жении точки А’ к А в пределе обращается в тангенс угла наклона касательной АС в точке А .т.е. lim

xt

0

yS xt

dy S dxt

tg .

(60)

Тогда выражение для скорости примет вид V

K SГР tg , Kt

(61)

где α – угол наклона касательной к оси t. Из последнего выражения следует, что если в некоторой точке графика пути провести касательную, то ее тангенс угла наклона, умноженный на масштаб длин и деленный на масштаб времени, представляет скорость движения в рассматриваемый момент времени, т.е. скорость движения пропорциональна тангенсу угла наклона касательной. В частности, из графика (рис. 22) видно, что поскольку положение касательной все время меняется, то рассматриваемое движение будет неравномерным. Построение графика [V-t] по способу касательных нетрудно. Выше уже отмечалось, что в точке А графика [S-t] касательная к кривой образует угол α с осью абсцисс t. Учитывая это, из произвольной точки Р , взятой на продолжение оси t , проводим луч РC под тем же углом α к оси абсцисс, т.е. параллельно касательной АС в точке А. Тогда CO2 PO2

tg

yV . hV

(62)

Далее, из точки С пересечения луча с осью V проводим прямую, параллельную оси t, до пересечения в точке A1 с ординатой, опущенной из точки A. Точка А1 может быть принята за точку кривой искомой зависимости [V-t] , т.к. нетрудно показать, что ордината yV точки А1 ,будет изображать в некотором масштабе величину скорости V. Действительно, подставив в формулу (61) выражение (62), получим V

где K VГР

K SГР yV K t hV

K VГР yV ,

(63)

К SГР . К hV

Величина K VГР представляет собой масштабный коэффициент графика скорости. Повторив построение для других точек B, D и т.д. графика пути, найдем на графике скорости соответствующие точки B1 ,D1 и т.д. 46

Соединив эти точки плавной кривой, получим график зависимости [V-t] . Заметим, что величина hV PO2 , называемая полюсным расстоянием, выбирается хотя и произвольно, но с таким, расчетом, чтобы масштабный коэффициент графика скорости K VГР выражался простым целым числом на конце. Желательно даже, чтобы ,он был равен или кратен масштабному коэффициенту плана скоростей Ку , что позволит легко производить сравнение результатов, полученных графическим и графоаналитическим методами. Однако, при этом необходимо также следить и за тем, чтобы ординаты графика [V-t] были достаточны по высоте, т.е. чтобы график обладал соответствующей наглядностью и точностью.. Это опять таки зависит от выбора hV (рис. 22). Величины K SГР и K t известны из графика [S-t]. По полученному графику [V-t] аналогичным образом строится график [W-t] - ускорение - время. Масштабный коэффициент графика Ускорения K WГР

K VГР , K t hW

где hW - полюсное расстояние графика ускорений, выбираемое аналогично hV . Заметим что, дифференцируя график [V-t], мы получаем график только касательных ускорений. Ни нормальное ускорение W n 2

2

V2

, ни

Wn W полное ускорение W , мы определить не можем. Только в случае прямолинейного движения ведомого звена, когда радиус кривизны и W n 0 , касательное ускорение W вместе с тем будет и полным ускорением. Надо сказать, что точное проведение касательных к кривой требует большой тщательности и навыка. Так как точное проведение касательных к кривым без специальных средств затруднительно, на практике нашел более широкое применение второй способ графического дифференцирования, известный под названием метода хорд. Он основан на допущении, что хорда КL, стягивающая концы кривой, на некотором ее участке (рис.23) параллельна касательной к кривой хотя бы в одной точке М , лежащей внутри этого участка.

47

Рисунок 23 Замена касательной хордой Заменяя касательную хордой при достаточно малых отрезках ΔХ , можно получить вполне приемлемую для практики точность. Для выполнения дифференцирования методом хорд на графике [S-t] по оси абсцисс от начала координат откладываются отрезки, которые обычно берутся равными на протяжении всей диаграммы, иди хотя бы часX 3 (рис. 24). ти ее X 1 X 2

Рисунок 24 Графическое дифференцирование методом хорд

48

Из конца каждого отрезка X i проводим ординаты, получая на кривой точки a, b, c, d, e. Соединяем соседние точки кривой хордами ab, bc, cd, de, заменяя этим кривую графика [S-t] ломаной abcde. Под графиком [S-t] проводим оси V-t и от точки О2 начала координат откладываем произвольный отрезок hV O2 P . Далее, из точки Р отложенного отрезка проводим луч РС под углом α , равным углу наклона первой хорды ab Затем из середины отрезка X 1 (точка m) проводим ординату mM вниз до пересечения с горизонталью СМ, проведенной из точки С. Точка М принадлежит кривой графика [V-t]. Повторяем описанное построение для участка bc кривой графика [S-t]. Для этого опять из середины отрезка X 2 (точка К) опускаем ординату кК. Из точки Р проводим луч РС' под углом β, равным :углу наклона хорды bc. Из точки С' ведем горизонталь С'К до пересечения в точке К с ординатой кК. Повторяя подобные построения, получим для кривой графика [V-t] столько точек, сколько участков X i отложено по оси абсцисс. Проводим через эти точки плавную кривую и получаем график [V-t]. В качестве примера на применение метода хорд произведем кинематическое исследование кулачкового механизма с центральным поступательно движущимся толкателем. Кинематическое исследование кулачкового механизма проводят по теоретическому профилю кулачка.

49

Рисунок 25 Кинематическое исследование кулачкового механизма Начиная от нижнего положения толкателя относительно кулачка, теоретический профиль кулачка делится на четыре участка 0…6’; 6’…7’; 7’…13’, 13’…0, соответственно заданным фазовым углам (рис. 25). Делим угол удаления φуд (участок 0…6’) и угол возврата φв (участок 7’…13’) на равное число частей, например на шесть. Через точки деления из оси вращения кулачка проводим лучи, которые в пересечении с теоретическим профилем дадут точки 0, 1’,2’,…,6’. Проекции этих точек на ось толкателя дадут точки 0,1,2,...6, соответствующие траектории толкателя. При повороте кулачка на угол φдс толкатель находится в крайнем верхнем положении (дальнем стоянии). Аналогичным образом строится траектория толкателя на фазе возврата, начиная от верхнего положения толкателя. 50

Рисунок 26 Кинематический анализ кулачкового механизма графическим способом По найденным положениям толкателя строим диаграмму [S-φ] (путьугол поворота кулачка) или диаграмму [S-t] (путь-время) (рис.26) в масштабах КS по оси абсцисс и Кφ (или Kt) по оси ординат. Масштабный коэффициент графика КS вычисляют обычным порядком: задают ординату S в миллиметрах, изображающую заданное перемещение h толкателя в метрах, и тогда KS

стям

h , S

м мм

Масштабный коэффициент Кφ (или Kt) определяются по зависимо-

51

уд

P

K

l Kt

дс

рад ; мм

в

l

tP l

t уд

t дс

tв

c . мм

l

где l-отрезок в миллиметрах по оси φ (оси t), выражающий указанную сумму углов φР в радианах или времени tp в секундах. Графическим дифференцированием диаграммы [S-φ] получаем диаграммы скорости толкателя [V-φ] и ускорения толкателя [W-φ]. Масштабные коэффициенты графика по осям ординат: KV

KS K

h1

; KW

KV K

h2

.

Полюсные расстояния h1 и h2 могут быть выбраны произвольно. Однако, от их величины зависит высота графиков. График [S-φ] строим на основе плана положений кулачкового механизма (рис.25), подвергаем его графическому дифференцированию. Построение графика [V-φ] (рис. 26) ничем по сути не отличается от примера описанного для рисунка 24. Начинается оно с проведения на графике [S-φ] хорд 0-1, 1-2, 2-3, …,12-13 и кончается получением на графике [V-φ] точек I, II, III,…XIII, которые мы соединяем плавной кривой. Однако, чтобы получить недостающие точки нулевого и тринадцатого положений поступаем следующим образом. Продлим кривую [S-φ] на одно положение вправо (участок 13-1). Это позволит после дифференцирования на графике [V-φ] получить участок кривой XIII - I , который, как видно из чертежа, пересекает ось t в точке, соответствующей 13-му положению. Поскольку скорость в нулевом и 13-м положениях одинаковы, то точки графика [V-φ] , соответствующие этим положениям, обе лежат на оси t, причем нулевая точка, как показывает проведенная до пересечения с осью V горизонталь точки 13-го положения, лежит, в начале координат. Дифференцируя далее график [V-φ] , получим график [W-φ]. При этом, на что надо обратить особое внимание, дифференцируется участок графика [V-φ] от точки I, т.е. кривая, определяемая точками I, II, III,..., ХIII, I. Проводя на графике [V-φ] хорды I-II, II-III, III-IV,...,XII-XIII, XIII-I, а на графике [W-φ] из полюса Р2 - соответствующие им лучи, обозначенные теми же римскими цифрами, в результате описанных выше построений получим точки I’, II’, III’, … XII’, XIII’ графика [W-φ]. Проводя через точку XIII’ горизонталь до пересечения с осью W, получаем начальную точку 0’

52

кривой графика. Соединяя точки 0’, I’, II’,…,XII’, XIII’ плавной кривой, получим график [W-φ]. Указания, данные выше в отношении, выбора масштабных коэффициентов K SГР , KVГР , KWГР , а также полюсных расстояний hV и hW , остаются в силе и для рисунка 26. 7.2 Графическое интегрирование Графическим интегрированием приходится пользоваться при решении некоторых задач кинематики, и динамики машин. При проектировании кулачковых механизмов графическое интегрирование широко применяется при решении задачи синтеза механизма, когда по заданному закону изменения ускорения толкателя и кинематической схеме механизма необходимо построить профиль кулачка. На практике находят применение два способа. Первый способ заключается в том, что процесс интегрирования производится в порядке, обратном графическому дифференцированию методом хорд. Рассмотрим (рис.27), как по графику [V-t] можно. получить график [S-t].

Рисунок 27 Графическое интегрирование Интегрирование производится на основании равенства t

S

V dt 0

На диаграмме [V-t] через точки делений1, 2, .3 и т. д. оси t проводим вертикали, которые рассекут кривую графика [V-t] на ряд участков. Через 53

каждый из этих участков проводим горизонтали с таким расчетом, чтобы на глаз были равны площади F01' F01" для первого участка, площади F12' F12" для второго участка и т.д. Через точки пересечений горизонталей с осью V и точку Р , выбранную на произвольном расстоянии Н=ОР , проводим _лучи 0-1, 1-2, 2-3 и т.д. Параллельно этим лучам на диаграмме [S-t]. проводим отрезки прямых 0-1, 1-2, 2-3 и т.д. и по полученным в пересечениях с разделяющими вертикалями точками I, II, III,... строим кривую [S-t]. Масштаб для S диаграммы [S-t]. вычисляем из выражения K SГР

KVГР K t H

Второй способ интегрирования (рис.28) основывается на вычислении приращения площадей F01 ycp1 (0 1); F12 ycp 2 (1 2); F23 ycp 3 (2 3) и т.д., которыми заменяется площадь, ограниченная кривой скорости V и осью абсцисс t. Тогда величина пройденного пути для соответствующих положений механизма будет равна: S0

0;

S1

K V K t F01;

S2

S1

K V K t F12 ;

S3

S2

K V K t F23 ;

..........

Откладывая в масштабе K S пройденный путь S1 в виде отрезка I-I’,. путь S 2 в виде отрезка 2-2’, путь S 3 в виде отрезка 3-3’ и т.д. и соединяя полученные точки 0,1’, 2’, 3’ и т.д. плавной кривой, получим график [S-t]. Отметим в заключение некоторые общие закономерности, присущие графикам [S-t]., [V-t] , [W-t]. Рассматривая графики на рисунке 26, нетрудно подметить, что максимальной ординате на графике пути соответствует нулевая ордината на графике скорости. Аналогично, точкам экстремума на графике скорости соответствуют нулевые точки на графике ускорений. Далее, точками перегиба на графике пути соответствуют экстремумы на графике скорости, а точкам, перегиба на графике скорости - экстремумы на графике ускорения. В нулевом и тринадцатом положениях значения скорости V одинаковы. То же можно сказать и про значения ускорений W для этих положений. Заметим, что графический метод кинематического исследования механизмов в силу своей простоты и наглядности нашел широкое применение в инженерной практике. 54

Рисунок 28 Интегрирование способом приращения площадей При работе над листом проекта с использованием графического интегрирования (рис. 28) все три графика располагают один под другим на одинаковой базе по оси абсцисс, которую удобно выбирать в пределах 150...240 мм. График скорости VB f (t ) толкателя получается (строится) методом графического интегрирования из графика ускорения толкателя. Для этого на продолжении оси t графика ускорений с левой стороны выбирается отрезок интегрирования h1 =30...50 мм. После построения графика скорости строится график перемещений толкателя . Для этого также на продолжении оси абсцисс t графика VB f (t ) откладывается отрезок интегрирования h2. Можно принимать h1 = h2. Или принять их равными h1

h2

1 . В зависимости от принятых отрезков интегрирования на граK

фике S B f (t ) ордината y SB max получается больше или меньше. Если частота вращения кулачка n1 (с-1) и максимальное перемещение (ход) толкателя h в исходных данных на проект заданы, то можно определить следующие масштабы: Масштаб времени, c/ мм

Kt

Масштаб перемещений, м / мм

KS

Масштаб скорости, мс-1 /мм

KV

55

1p

n1 l

,

h

(64) ,

(65)

KS , K t h1

(66)

y SB max

Масштаб ускорений, мс-2 /мм

Kw

KV K t h2

(67)

где y SB max - максимальная ордината с графика перемещений точки В центра ролика толкателя, мм; 1р - угол рабочего профиля кулачка в градусах; l - база графика, мм; -1

n1 - частота вращения кулачка, c .

Если в задании на проект значение угловой скорости или частоты вращения кулачка не заданы, то можно интегрировать заданный график по углу поворота кулачка 1 и получить графики кинематических передаточных функций. Для перехода от вычисленных интегралов VqB' и S B' к действительным значениям кинематической передаточной функции скорости VqB и перемещения S B определяются масштабы, которые вычисляются с учетом заданного максимального перемещения (хода ) толкателя h и максимального вычисленного перемещения y SB max из массива перемещений S B . Масштаб угла поворота, рад/мм

K

1p

l

,

(68)

Масштаб передаточной функции скорости , м рад-1/мм ,

K qV

KS K

h1

,

(69)

,

(70)

Масштаб передаточной функции ускорения, м рад-2/мм , где

1раб

K qw

K qV K

h2

- угол рабочего профиля кулачка в радианах,

h1 ,h2 - отрезки интегрирования, мм. В массиве VqB отыскиваются максимальное VqB max и минимальное VqB min значения и соответствующие им углы 1 и перемещения толкателя SB . Пример использования метода графического интегрирования для кинематического исследования кулачкового механизма приведен на рисунке 29.

56

Рисунок 29 Построение кинематических диаграмм методом графического интегрирования 7.3 Построение диаграмм движения толкателя и определение их масштабов Построение начинаем с построения осей координат диаграмм d 2S2 d 2

;

dS 2 d 1

;

S

ваем масштаб оси абсцисс K

, располагая их друг под другом и рассчитыy

dc

L

b

, где углы φуд, φдс , φв берутся

в радианах. Отрезок по оси φ – L берется в переделах от 180 до 250 мм и изображает рабочий угол кулачкового механизма в масштабе Кφ. 57

В формулу для Кφ значение угла поворота кулачка, соответствующее его нижнему стоянию φбс - отсутствует. Это обусловлено тем, что в нижнем стоянии его кинематические параметры движения (скорость и ускорение) равны нулю, а профиль кулачка описывается дугой окружности минимального радиуса. Величина этого радиуса определяется и этот вопрос будет рассмотрен далее отдельно. Отрезок L разделяем пропорционально заданным фазовым углам l уд

уд

К

; l дс

дс

К

; lв

в

К

.

После вычислений длин отрезков проверяем выполнение условия l уд

lдс

lв

L.

Каждый из отрезков l уд и l в делим на равные интервалы (не менее шести) и через точки деления проводим ординаты через все диаграммы. В заданиях на курсовое проектирование закон движения толкателя кулачкового механизма чаще всего задается в виде зависимости изменения аналога ускорения толкателя от угла поворота кулачка

d 2 S2 d 2

без указа-

ния масштаба графика. Для того чтобы аналога ускорения и получаемые после интегрирования ее диаграммы аналога скорости

dS 2 d 1

и пе-

ремещения S были наглядными и удобно анализируемыми рекомендуется принимать для ординаты на фазе удаления значение d 2 S2 d 2

Ay

равное (60 - 120) мм. Значение ординаты на фазе возврата

max

вычисляется исходя из следующих соображений. Максимальный путь толкателя на фазах удаления и возврата должен y b быть одинаковым. Следовательно, на графике S (рис. 29) . S max S max Отсюда площади F3 и F4 графика

dS 2 d 1

, выражающие эти ординаты,

также должны быть равны по модулю: F3

F4 .

Скорость толкателя в начале и в конце фаз удаления и возврата равна нулю, поэтому площади F1 и F2 , а также F1' и F2' графика

d 2 S2 d 2

ны быть по модулю равны между собой, т.е. F1

F2' .

58

F2 и F1'

долж-

При одинаковом законе движения толкателя на фазах удаления и возврата и постоянной угловой скорости кулачка максимальные ординаты графика

dS 2 d 1

должны быть обратно пропорциональны фазовым углам yд

dS d

в

max в

dS d

,

уд max

d 2 S2 d 2

а максимальные ординаты графика

обратно пропорциональны квадратам этих углов:

d 2S d 2 2

d S d 2

уд

max в

2

Ауд

в

Ав

уд

max

поэтому амплитуда графика

d 2 S2 d 2

на фазе возврата может быть

2

определена из выражения Aв

уд

Aуд

.

в

dS 2 d 1

Соответственно для графика определяется из выражения Aв

уд

Aуд

амплитуда на фазе возврата .

в

При построении диаграммы

d 2 S2 d 2

на фазе удаления отсчет ин-

тервалов ведется слева направо, а на фазе возврата – справа налево, т.е. в порядке обратном фазе удаления. Графическим интегрирование диаграммы dS 2 d 1

d 2 S2 d 2

строят диаграмму строят диаграмму S

dS 2 d 1

, а интегрированием диаграммы

. Полюсные расстояния для графиков

могут быть выбраны произвольно, но рекомендуется принимать H

1 . K

Этим обеспечивается приемлемая высота ординат диаграмм и одинаковые 59

численные значения масштабных коэффициентов по оси ординат для всех тех диаграмм. Масштабные коэффициенты диаграмм определяются в порядке, обратном их построению, начиная с определения масштаба перемещения толкателя по заданному его ходу h

KS

S max

,

где h – заданный ход толкателя в метрах; Smax- максимальная ордината диаграммы S

в миллиметрах.

d 2 S2 d 2

Масштабные коэффициенты диаграмм

dS 2 d 1

;

в соот-

ветствии с формулами интегрирования рассчитываются соответственно по формулам KW

KV K

h1 ;

KV

KS K

h2 .

Если закон движения толкателя задан в виде диаграммы изменения перемещения толкателя от угла поворота кулачка, то для построения диаграмм

dS 2 d 1

и

d 2S2 d 2

выполняются операции дифференцирова-

ния. Масштабный коэффициент диаграммы по оси абсцисс K S определяется также, как было изложено выше, а масштабный коэффициент по оси ординат вычисляют KS

где

S max

h S max

3050 мм – принимаемая при построении диаграммы

максимальная ордината. Полюсное расстояние при дифференци-

S

1 . K

ровании также рекомендуется принимать H

При 1 const угол поворота кулачка φ пропорционален времени поворота кулачка t , поэтому графики движения толкателя d 2S2 d 2 d 2S2 t ; d 2

;

dS 2 d 1 dS 2 d 1

; t ;

будут

S S t Kt

соответственно

графиками

. При этом масштаб по оси t будет равен ty

t dc

tb

L

yd

dc 1

60

L

b

K

. 1

При

1

d

const dt

, следовательно 1

K dS

K dS

dt

1

;

d

K d 2S

K d 2S

2

2

dt

d

2 1

.

7.4 Определение кинематических передаточных функций кулачкового механизма Связь между кинематическими параметрами толкателя - ускорением wB , скоростью V B и перемещением S B определяется известными соотношениями: T

T

VB

,

wB dt

VB dt ,

SB 0

0

где Т - время одного оборота кулачка. Так как закон изменения скорости кулачка неизвестен, приведенные зависимости нельзя использовать непосредственно, но их можно выразить через кинематические передаточные функции, которые не зависят от времени: T

VqB

1т

wB dt

wB

0

d

1т

2 1

1 1

0 T

SB

VB dt 0

2 1

0 1т

VB 0

d

wB

1т

d

1

wqB d

1

1

,

0 1т

1 1

VqB d

1

.

0

При расчете размеров и координат профиля кулачка кулачкового механизма определяющими являются ход толкателя, угол рабочего профиля кулачка и функциональная зависимость ускорения (относительного ускорения) толкателя от угла поворота кулачка. Если задать эту зависимость в аналитической форме, то последующим интегрированием могут быть получены зависимости кинематической передаточной функции скорости и перемещения толкателя. Любую непрерывную дифференцируемую функцию вида y f ( x) можно представить разложением в ряд: n k

y n 0

an x n

P( k , x ) ,

(71)

n k

y

a n sin(bn x Cn ) n 0

(71) - полиномиальное разложение; 61

P( k , x ) .

(72)

(72) - разложение в тригонометрический ряд; P( k , x) - остаточный член. Двойное интегрирование выражений (68) и (69) позволяет получить an x n 1 1) 0 (n

n k

ydx n

P( k , x )dx C ,

(73)

1

n k

ydx n

an cos(bn x Cn ) 0 bn k

ydxdx n

n

(74)

Pdxdx C1 x C2 ,

(75)

1

an x n 2 1)(n 2) 0 (n k

ydxdx

P( k , x ) dx C ,

an sin(bn x Cn ) 2 0 bn

Pdxdx C1 x C2 ,

(76)

где С1 , С2 - константы интегрирования. Если предположить что P( k , x) 0( ) , то интегралы от Р из формул (73) ... (76) можно исключить. Таким образом, имея зависимости wqB f w ( 1 ) вида (71) или (72), легко получить аналитические зависимости VqB f v ( 1 ) вида (73) или (74) и зависимости S B f s ( 1 ) вида (75) или (76). Следует заметить, что wqB

f w ( 1 ) в общем виде может иметь точки

разрыва. При этом функция f w ( 1 ) при 1р еж

0,

1

р еж .н

,

разбивается на участки

1р

р еж .к

i

,

где i - индекс участка (режима). Так что функция f wi - кусочно-непрерывная дифференцируемая функция в области своего определения реж ,н р еж р еж .к , каждый i - й участок называется режимом, при этом m

 i 1

Чтобы wqB

fw ( 1)

1р еж

0,

р аб

избежать f w1

f w2

неопределенности в задании функции  f wm , отрезки р еж.н.’ , р еж.к i открыты справа. Для

обеспечения задания функции на i - ом режиме (Vi что

р еж .н

0 . Требование wqB

1, m) предполагается,

1 не является обязательным. max

Точность интегрирования определяется не шагом по углу поворота, а точностью задания функции на участке, т.е. величиной P( k , x) . Если исходная функция заданна в виде графика или таблицы значений, то решение получают при помощи численных или графических мето62

дов. Графические методы интегрирования были рассмотрены выше. Для определения передаточной функции скорости толкателя интегрируют заданную функцию ускорения толкателя, интегрируя полученную функцию скорости, находят функцию перемещения толкателя. Обычно применяется численное интегрирование методом трапеций по формулам: VqBi

S

VqB(i

' Bi

S

wqB(i

1)

1)

wqBi 1

2

VqB (i

' B ( i 1)

1)

' VqBi 1

2

;

,

1) приращение угла поворота кулачка на шаге где 1 1р / ( N интегрирования, N - число равноотстоящих точек, в которых заданны значения переменной. Примечание: В течение цикла движения толкатель кулачкового механизма должен переместиться из начального положения на величину хода h , а затем возвратиться в исходное положение, то есть перемещение толкателя на фазе удаления равно перемещению на фазе сближения. Следовательно, график кинематической передаточной функции скорости должен удовлетворять условию: y

р аб

VqB d

VqB d

1

0

1

,

CJ

где со -угловая координата начальной точки фазы сближения. Скорость и кинематическая передаточная функция скорости толкателя на фазах ближнего и дальнего выстоя равны нулю. Чтобы эти условия выполнялись необходимо выполнить соотношения yp

y

wqе d 0

где

co

1

wqе d co

yp

𠈇

cp

wqе d 1 ,

wqе d

1 co

1

,

cp

угловое перемещение при разгоне на фазе удаления; ср - угловое перемещение при разгоне на фазе сближения; ст = раб - ( со + ср) - угловое перемещение при торможении на фазе сближения. Эти условия необходимо учитывать при построении безразмерных графиков передаточной функции скорости и передаточной функции ускорения, выравнивая соответствующие указанным интегралам площади над осью абсцисс и под ней. yp -

63

8 Определение основных размеров кулачкового механизма из условия ограничения угла давления 8.1 Угол давления кулачкового механизма и его связь с размерами кулачка При выборе основных размеров кулачкового механизма - минимального радиуса кулачка r0 , смещения оси толкателя относительно оси вращения кулачка e или расстояния между осями вращения кулачка и толкателя l 0 , стремятся получить минимально возможные значения углов давления , т.к. при этом уменьшаются реакции в кинематических парах, величина вращающего момента на валу кулачка, силы трения; повышается КПД и надежность механизма. Углом давления называется угол между вектором силы, действующим на ведомое звено со стороны ведущего звена, и вектором скорости точки приложения этой силы. Связь угла давления с характером движения звеньев высшей кинематической пары и основными размерами механизма может быть установлена с использованием рис. 30 .

Рисунок 30 Угол давления кулачкового механизма Угол давления заключен между направлением вектора силы F, действующей со стороны кулачка на толкатель по нормали nn, проведенной в точке касания звеньев, и направлением вектора скорости точки В - VB , принадлежащей толкателю, перпендикулярного толкателю. Угол CO1D равен углу давления , и 64

CD O1C

tg

BD ( O2 B O2 C) O1C

BD BC O1C

Из подобия треугольника плана скоростей и треугольника BO1D VA O1 A

VB BD

и

VB O1 A V1

BD

VB r1 1 r

VB

VqB

1

После подстановки значений отрезков зависимость между углом давления и кинематическими параметрами механизма приобретет вид: tg

VqB

2

l 0 cos

l 0 sin

2

,

(77)

2

где VqB - передаточная функция скорости точки В толкателя; l 0 - расстояние между осями вращения кулачка и толкателя;

 2 - длина толкателя; 2 - угол, определяющий положение толкателя относительно линии межосевого расстояния. В случае, когда толкатель совершает прямолинейно-поступательное движение, выражение для определения угла давления имеет вид [2] : tg

VqB S0

e SB

,

(78)

где e - смещение направляющей толкателя относительно оси вращения кулачка, S0 S B - координата точки В толкателя в системе координат, имеющих начало на оси вращения кулачка. Величины VqB , S B и 2 , входящие в формулу для определения , являются переменными. Следовательно, угол давления также является переменной величиной и его текущие значения i не должны превосходить определенный допустимый угол давления . i Ранее было показано, что отрезок BD (рис. 30) изображает в масштабе K S передаточную функцию скорости точки В . Перпендикуляр к BD, проведенный через конец этого отрезка (точка D), составляет с прямой, проходящей через точку D и центр вращения кулачка О1, угол давления . Следовательно, если известно положение оси вращения кулачка, не имея профиля кулачка, можно определить угол давления в различных точках i, построив для них отрезки, изображающие VqBi , соответствующие положениям толкателя, определяемым перемещениями S Bi (рис. 31 а, б) [1,2,5]. 65

Рисунок 31 Определение области допустимых решений для механизма с движущимся толкателем При проектировании механизма, когда положение оси вращения неизвестно, требуется выбрать его таким образом, чтобы любое из текущих значений i не превышало допустимых значений [ ]. Для этого следует построить зависимость S B (VqB ) и в каждой позиции i провести через конец отрезка кинематической передаточной функции скорости VqBi луч под углом [ ] к вектору скорости в этой точке. Каждый луч удовлетворяет равенству = [ ] и ограничивает заштрихованную область допустимых решений (ОДР), в которой выполняется условие i [ ] для этого положения (рис. 31г). Центр вращения кулачка следует поместить в ОДР, общую для всех положений. Такое решение обеспечит выполнение условия i < [ ] для полного цикла работы механизма. Очевидно, что для механизма с поступательно перемещающимся толкателем, максимальные углы давления, как правило, соответствуют ха66

рактерным точкам фазового портрета S B (VqB ) , в которых текущие значения кинематической передаточной функции скорости VqB принимают максимальные по абсолютной величине значения (рис. 31в). В общем случае лучи, проведенные касательно к фазовому портрету под углом , ограничивают ОДР, а точка пересечения лучей может быть выбрана центром вращения кулачка минимальных размеров. Для механизма с качающимся толкателем целесообразно сделать аналогичные построения.

Рисунок 32 Определение области допустимых решений для механизма с вращающимся толкателем

67

Такая геометрическая интерпретация ограничения по углу давления позволяет получить аналитические выражения для определения основных размеров механизма - r0 , e (или l 0 ). Для этого нужно построить по вычисленным значениям функции перемещения толкателя S Bi и передаточной функции скорости VqBi кривую S B (VqB ) : при поступательно движущемся толкателе в прямоугольной системе координат с началом в точке B0 на начальной окружности кулачка (рис 32б), при вращающемся толкателе - в полярной системе координат с началом в точке О2 на оси вращения толкателя (рис 32в). Текущие значения перемещения толкателя S Bi откладываются по линии перемещения центра ролика (на рис. 32б - по оси S Bi , на рис. 32в - по дуге радиуса  2), а текущие значения передаточной функции скорости VqBi соответственно перпендикулярно оси S B и - вдоль осевой линии толкателя. При построении принято [1,2], что передаточная функция скорости при удалении толкателя положительна, при сближении - отрицательна, т.е. вектор скорости точки В, будучи повернут на 90° в направлении вращения кулачка, совпадает с направлением отрезка кинематической передаточной функции скорости на фазовой плоскости. Для механизма с качающимся толкателем перемещениям S k и S n (рис. 32а) соответствуют углы поворота толкателя (рис. 32в): K

SK 2

и

Sn 2

n

Из треугольника O2kn, в котором известны длины двух сторон:  02 k  2 Vqk ,  02n  2 Vq 4 и угол между ними ( n k ) , определяются расстояние между точками k и n по теореме косинусов и угол :  kn

 2O2 k

 2O2 n

2 O2 k  O2 n cos(

 O2 k sin(  Kn

arcsin

n

K

n

k

)

)

В треугольнике О1kn определяются углы и сторона О1k по теореме синусов: ( n ; k 90 k) ;

90

n

180  O1k

(  kn

k

sin sin

n

);

n

Межосевое расстояние определяется из треугольника O1kO2 по теореме косинусов: 68

aw

 2O2 k

 O2 O1

 2O1k

2 O2 k  O1k sin[ ]

(79)

Угол между межосевой линией и ближним положением толкателя определяется из треугольника O1kO2 по теореме синусов: 20

arcsin

 AK cos[ ] aw

(80)

K

Радиус начальной окружности кулачка определяется из треугольника O1B0O2 по теореме косинусов: r0

aw2

 22

2a w  2 cos

(81)

20

Расчетные соотношения для определения размеров кулачкового механизма с поступательно перемещающимся толкателем, получаемые с использованием рис. 32б имеют вид: 2[ ]; arctg

Sk Vqk

Sn ; Vqn

k

90 [ ]

;

n

90 [ ]

;

 kn

Vqk

Vqn

cos sin  kn sin

 O1 k

; n

Смещение оси толкателя относительно оси вращения кулачка e

 O1k sin[ ] Vqk .

(82)

Координата ближней точки толкателя SO

 O1k cos[ ] S k .

(83)

Радиус начальной окружности кулачка r0

S02

e2 .

(84)

При жестких ограничениях на габаритные размеры механизма принимают во внимание, что опасность заклинивания толкателя при силовом замыкании кинематической пары характерна только для фазы удаления, так как на фазе сближения толкатель движется под действием силы упругости пружины. Это позволяет расширить границы ОДР для положения оси вращения кулачка O1 с учетом допустимого угла давления, когда при работе механизма реверсивное движение кулачка не предусмотрено (кулачок вращается только по часовой стрелке либо только против). В таком случае на фазе сближения ограничение по углу давления не вводится или 69

допустимый угол давления на фазе сближения принимается значительно большим, чем на фазе удаления.

Рисунок 33 Определение области допустимых решений На рис. 33 показано несколько ОДР для механизма с поступательно движущимся толкателем: ОДР - направление вращения кулачка реверсивное, допустимые углы давления при удалении и сближении одинаковы; ОДР1 - направление вращения кулачка реверсивное, значения допустимых углов давления на фазе удаления и сближения различны; ОДР2 - кулачок вращается только против часовой стрелки, предель70

ное значение угла давления при сближении не регламентировано; ОДР3 - кулачок вращается только по часовой стрелке, предельное значение угла давления при сближении не регламентировано; ОДР4 - вращение кулачка реверсивное, смещение направляющей относительно оси вращения кулачка не допускается ( e = 0). Требования, предъявляемые к работе кулачкового механизма, определяют соответствующую ОДР, а следовательно, габаритные размеры, r0 , e (или l 0 ), разные для каждого частного случая, и должны быть отражены при задании исходных данных для расчета. Необходимо указать сведения о направлении вращения кулачка, допустимом угле давления и относительном расположении осей вращения кулачка и толкателя. 9. Определение минимального радиуса кулачка графическими методами 9.1 Механизм с поступательно движущимся остроконечным или роликовым толкателем Методика определения r0 зависит от вида движения и профиля толкателя в кулачковом механизме.

71

Рисунок 34 Определение минимального радиуса кулачка Если в точке касания толкателя с кулечком (см. рис. 34 ) отложить отрезок z

dS d

KL

в направлении, получаемом поворотом вектора скоро-

сти VB 2 толкателя на 900 в сторону вращения кулачка и через его конец (точку D ) провести прямую m-m , параллельную общей нормали п-п , то она продет через центр 01 вращения кулачка. Это обстоятельство справедливо для любого положения рассматриваемого механизма. Оно позволяет при синтезе кулачкового механизма по заданным диаграммам движения толкателя и углу давления ( θтаx ) найти область положений центра вращения кулачка, при которых выполняется условие – max .

72

С этой целью строят диаграмму

S B2

dS B 2 d 1

(рис. 35, в ) с одинако-

выми масштабами по осям. Ее построение рекомендуется проводить в следующем порядке.

Рисунок 35 Определение минимального радиуса кулачка для механизма с поступательно движущимся толкателем 1. Поместить начало координат диаграммы S B 2 нии оси

1

диаграммы S B 2

ния со осью

1

1

диаграммы S B 2

dS B 2 d 1

на продолже-

(рис.35, а). Ось S B 2 провести до пересечеdS B 2 d 1

(рис.35, б) в точке G.

2. Через точку G провести прямую К- К составляющую с осью

1

K dSB 2

угол

arctg

d

1

K SB 2

.

3. Через точки кривой диаграммы

dS B 2 d 1

1

провести горизонталь-

ные прямые до пересечения с прямой К-К , а через полученные точки на прямой К- К провести вертикальные прямые до пересечения с соответ73

ствующими горизонтальными прямыми, проведенными через точки кривой диаграммы S B 2 1 для тех же значений 1 , что и точки на кривой .диаграммы

dS B 2 d 1

dS B 2 d 1

1

.

4. Полученные точки 0; D1 ; D2 ; D3  D3' ; D2' ; D1' соединить плавной кривой. На этой диаграмме отрезки, параллельные оси

dS B 2 и заключенные d 1

между осью S B 2 , и точками 0; D1 ; D2 ; D3  D3' ; D2' ; D1' есть отрезки z . При этом отрезки z , соответствующие фазе удаления, расположены справа от оси S B 2 , а отрезки z , соответствующие фазе приближения, - слева. Если направление вращения кулачка будет противоположным, т.е. против хода часовой стрелки, то направление отрезков z указанных фаз движения толкателя также будет противоположным. Если через концы этих отрезков провести прямые под углом 90 0 заштрихована), min max , то они выделят область (на рисунке она любая точка которой может быть принята за центр вращения кулачка. При этом в любом положении механизма будет выполняться условие max . Для нахождения этой области достаточно к левой и правой частям кривой S B 2

S B2

dS B 2 d 1

провести касательные под углом

min

.

Если по условию задачи кулачковый механизм должен быть центральным, то за центр вращения кулачка принимается точка 01 или любая другая, расположенная на оси S B 2 или ниже ее. При заданном смещении е толкателя за центр вращения кулачка принимается точка O1I или любая другая точка прямой М- М , расположенная ниже названной. При этом смещение e прямой М- М на диаграмме e

e K SB 2

.

В том случае, когда вид кулачкового механизма не оговаривается заданием, за центр вращения кулачка может быть принята точка O1II пересечения касательных. В этой случае габариты кулачка получаются наименьшими, а величина смещения e1 толкателя найдется из чертежа по формуле e1 e1 K S . B2

В кулачковых механизмах с силовым замыканием высшей пары (образованной кулачком и толкателем) условие max должно выполняться только на фазе удаления, так как в фазе приближения движение толкателя 74

обеспечивается не кулачком, а силовым фактором, действующим на толкатель (сил тяжести перемещаемых масс, сила упругости пружины и др.). В этом случае за центр вращения кулачка принимается точка O1III при e 0 и точка O1IV при e e K S . Минимальным радиусом r0 кулачка на диаB2

dS B 2 d 1

грамме S B 2

будет расстояние от точки, принятой за центр враще-

ния кулачка., до начала координат 0 этой днагграммы. Если за центр вращения кулачка принять точку 0, ,то r0 O1O K S . B2

После того, как положение центра вращения кулачка выбрано, по диаграмме S B 2

S B2

dS B 2 d 1

можно найти значение углов давления

проек-

тируемого механизма во всех его положениях еще до построения профиля кулачка. Для этого через концы отрезков z диаграммы и точку, принятую за центр вращения кулачка, проводят прямые. Углы, составленные прямыми с отрезками z , будут углами передачи , а углы давления 0 90 . 9.2 Механизм с коромысловым роликовым толкателем Пусть диаграммы

2

1

d d

и

2 1

, представленные на рис.

1

8.а, б, являются диаграммами движения коромысла проектируемого механизма с масштабами K и K d по осям ординат. Так как угловой путь ко2

2

d

1

ромысла и путь S B его точки B2 связаны соотношением S B 2 l (l – длина коромысла), то эти диаграммы одновременно будут соответственно 2

диаграммами K dSB 2 d

1

Kd

2

d

1

S B2

2

1

и

dS B 2 d 1

1

с

масштабами

K SB 2

K

l

и

l.

Задача нахождения области возможных положений центров вращения кулачка решается в следующем порядке.

75

Рисунок 36 Определение минимального радиуса кулачка для механизма с коромысловым толкателем 1. Из точки О2 (рис. 36, в), произвольно выбранной на чертеже, проводят дугу радиусом, равным заданной длине l коромысла в некотором масштабе K l . Ее произвольную точку В0 соединяем с точкой О2 . Прямую B0 O2 принимают за начальное (нижнее) положение коромысла. 2. Вверх от точки B0 на дуге откладывают масштабный путь S B1 max

y max K S B 2 Kl

, где y max - максимальная ордината (в мм) на диаграмме

(см. рис. 36,а). Полученную точку соединяют с точкой О2 и находят конечное (верхнее) положение коромысла. 3. Путь S B 2 max размечают в соответствии с диаграммой и через точки В1, В2, … ,В7 проводят лучи, которые будут определять положения коромысла, соответствующие выбранным значения угла поворота кулачка. 4. На лучах откладывают отрезки z, рассчитываемые по формуле zi

dS B 2 d 1 Kl

y i K dSB 2 d

i

, где y i - ордината на графике (см. рис. 36,б) соот-

1

Kl

ветствующая углу

1i

.

При вращении кулачка по часовой стрелке отрезки, соответствующие фазе удаления, откладываются вправо, а фазе приближения - влево от траектории движения точки B2 коромысла. 76

5. Через концы отрезков z (точки D ) проводят прямые, составляющие с отрезками z угол min 90 0 max , где max - заданное максимально допустимое значение угла давления кулачкового механизма. Эти прямые ограничивают искомую область ( на рис. 36, в она заштрихована). Любая точка этой области может быть принята за центр O1 вращения кулачка. Расстояние от точки O1 до точки B0 коромысла в нижнем положении будет минимальным радиусом r0 центрового профиля кулачка. O1O2 - межосевым расстоянием, а 0 - углом наименьшего отклонения коромысла от межосевого расстояния O1O2 механизма. Соединяя точку O1 с концом отрезков z (точками D) прямыми, находят углы передачи γ , а по ним – углы давления i 90 0 i и строится диаграмма 1 . С достаточной для практики точностью за область возможных положений центра вращения кулачка можно принять область, заключенную между прямыми, проведенными через концы отрезков z , соответствующих максимальным значениям

dS B 2 на фазах удаления и приближения. d 1

9.3 Механизм с плоским толкателем В механизмах с плоским толкателем угол давления остается постоянным во все время движения механизма. Его величина определяется кон450 . струкцией толкателя и должна удовлетворять условию Профиль кулачка таких механизмов должен быть по всему контуру выпуклым, т.е. радиус кривизны в любой его точке должен быть больше нуля ( 0 ), иначе закон движения толкателя, обусловленный профилем кулачка, выполняться не будет. Известно, что r0

S2

d 2S d 2

cos ,

где r0 - минимальный радиус кулачка. Поскольку необходимо, чтобы r0

0 , то

S2

d 2S d 2

cos . max

По этому равенству определение r0 проводится в следующем порядке.

77

Рисунок 37 Определение минимального радиуса кулачка для механизма с плоским толкателем 1. По уже имеющимся диаграммам движения толкателя

d 2S d 2

и

( рис. 37, а,б) строят диаграмму их суммы ( рис. 37, в). суммирование ординат этих диаграмм проводится после приведения их к одному численной величине масштабов, т.е. должно выполняться равенство K d S KS . S

2

d

2

2. На суммарной диаграмме измеряется длина b максимальной отрицательной ординаты. Тогда r0 b K S cos , где K S - масштаб суммарной диаграммы по оси ординат, - величина, определяемая по условию

78

K S cos

10 мм.

Если в механизме угол давления равен нулю, то неравенство для определения r0 получает следующий вид r0

S

d 2S d 2

. max

Тогда r0

KS .

b

Минимальный радиус r0 можно определить по методу Геронимуса. Представим неравенство для определения r0 в следующем виде r0

S

d 2S . d 2

Разделив обе части этого неравенства на r0 S получим d 2S d 2 r0 S

1

или d 2S d 2 r0 S

tg 45 0 .

Определение r0 по последнему неравенству проводят следующим образом. 1. По диаграммам

d 2S d 2

и S

(рис. 37, а, б) путем исключения

d 2S строится диаграмма d 2

общего переменного

необходимо, чтобы K d S 2

d

(рис. 37, г). При этом

KS .

2

2. К отрицательной части этой диаграммы проводится касательная под углом 450 к ее оси S до пересечения в некоторой точке В. d 2S d 2 3. Из построений следует, что неравенство r0 S

полняться, если r0 OB K S . Поэтому принимается r0 K S 10 мм. 10 Построение профиля кулачка 79

tg 45 0 будет выOB

K S , где

При построении профиля кулачка используется метод обращения движения, который заключается в том, что всем звеньям механизма сообщается дополнительное движение со скоростью, равной заданной угловой скорости кулачка, но противоположной ей по направлению. В результате кулачек, получивший два равных по величине, но противоположных по направлению движения, останавливается, а толкатель получает сложное движение: он движется со скоростью вместе со стойкой и по задан1 ному закону относительно стойки (рис.38). профиль кулачка при этом представляется как огибающая профиля толкателя во всех его относительных положениях.

Рисунок 38 Метод обращенного движения Рассмотрим порядок решения этой задачи на конкретных схемах кулачковых механизмов. 10.1 Механизм с вращающимся кулачком с поступательно движущимся роликовым толкателем Для построения профиля кулачка необходимо задать или предварительно определить следующие параметры: диаграмма изменения перемещения центра ролика S B S B 1 и ее масштабы K S и K (рис. 39, а), направление вращения кулачка (в рассматриваемом случае по часовой стрелке); основные параметры схемы механизма r0 и e (рис. 39, б). При этих данных задача решается в следующем порядке. B

80

Рисунок 39 Построение профиля кулачка для механизма с поступательно движущимся толкателем Из точки O1 , произвольно выбранной на чертеже (рис. 39, б) проводят окружности радиусами численно равными r0 и e в некотором масштабе K l . Касательно к окружности радиуса e проводится ось движения толкателя. Точка пересечения проведенной касательной с окружностью радиуса r0 (точка B0 ) принимается за положение центра ролика толкателя в начале фазы удаления. От линии O1 B0 , перпендикулярной оси толкателя в начале фазы удаления, в направлении, обратном вращению кулачка ( в данном случае против часовой стрелки), откладываются фазовые углы уд , дс , в , бс . Углы 81

удаления и возврата уд и разделены на диаграмме S B

в

на столько же равных частей, на сколько они SB 1 .

К окружности радиуса e в точках b0 , b1 , b2  и в точках b0' , b1' , b2'  проводятся касательные. Последние будут определять относительные положения оси толкателя для выбранных значений угла поворота кулачка на фазах удаления и возврата. Точки пересечения этих касательных с окружностью радиуса r0 обозначаются C1 , C2 , C3  и C1' , C2' , C3'  . От этих точек на осях толкателя откладываются отрезки C1 B1 , C2 B2 , C3 B3 ,, C12 B12 и C1' B1' , C2' B2' , C3' B3' ,C12' B12' , определяемые по формуле Ci Bi

yi K SB , Kl

где y i - ордината диаграммы S B S B 1 , соответствующая выбранному значению угла поворота кулачка; K SB - масштабный коэффициент оси абсцисс диаграммы S B S B 1 ; K l - масштабный коэффициент плана положений кулачкового меха-

низма. Найденные таким образом точки B0 , B1 , B2  определяют положение центра ролика толкателя относительно кулачка на фазе удаления, а точки B0' , B1' , B2'  определяют положение центра ролика толкателя относительно кулачка на фазе возврата. Соединяются точки B0 , B1 , B2  B0' , B1' , B2'  плавными кривыми и получаются соответствующие указанным фазам участки теоретического профиля кулачка. Участки профиля кулачка, соответствующие фазам верхнего и нижнего стояния, очерчиваются дугами окружностей, проведенными из центра O1 радиусами Rmax и r0 , где Rmax

O1 B12

r02

' 12

O1 B

2 S max

2 S Kl

r02

e2

.

Из точек теоретического профиля кулачка проводятся дуги радиусом, равным радиусу ролика rP . Огибающая этих дуг будет практическим или рабочим профилем кулачка. Радиус ролика rP выбирается из условия отсутствия подрезания и пересечения рабочего профиля кулачка:

82

rP

0,8

rP

0,4 0,5 r0 ,

min

;

где min - минимальный радиус кривизны теоретического профиля кулачка на его выпуклых участках. Он определяется графически следующим образом. Визуально находят точку выпуклого профиля кулачка, в которой будет наибольшая кривизна профиля. Справа и слева от этой точки на профиле кулачка берутся еще две точки на расстоянии 5 мм. Через полученные точки проводится окружность. Радиус этой окружности и будет min . Примечание: 1. При e 0 , т.е. когда кулачковый механизм является центральным, ось толкателя в обращенном движении механизма будет проходить через центр O1 . В остальном же построение профиля кулачка проводится аналогично описанному выше. 2. При остроконечном толкателе теоретический и практический профили кулачка совпадают. 10.2 Механизм с вращающимся кулачком и коромысловым роликовым толкателем Для построения профиля кулачка необходимо задать или предварительно определить следующие параметры: диаграмма движения толкателя и K 1 ( рис. 40, а); основные размеры кулачково1 и ее масштабы K го механизма r0 , a O1O2 и l ; направление вращения кулачка ( в рассматриваемом случае по часовой стрелки).

83

Рисунок 40 Построение профиля кулачка для механизма с коромысловым толкателем При этих данных определение профиля кулачка графическим методом проводится в следующем порядке. 1.Из точки O1 (рис. 40, б) проводятся окружности радиусов r0 и a O1O2 , взятых в масштабе K l . На последней окружности выбирают точку O2 , принимаемую за центр абсолютного движения коромысла. Из точки O2 радиусом, равным длине коромысла, отложенной в масштабе K l , проводится дуга до пересечения с окружностью радиуса r0 в некоторой точке B0 . Тогда линия B0 O2 определяет нижнее положение коромысла. Отложив от этой линии заданный угол max , находится верхнее положение коромысла. 2. Траекторию движения центра ролика в абсолютном движении, т.е. дугу B0 B12 , размечают в соответствии с диаграммой (рис. 40, а). 1 текущее положение центра ролика толкателя определяется по уравнению B0 Bi

yi K Kl

l

или, если движение коромысла задано диаграммой S B B0 Bi

где y i - ордината диаграммы значения угла 1 ; l K

1

, то

yi K S , Kl 1

или S B

1

для выбранного

BO2 - длина коромысла;

- масштабный коэффициент диаграммы

K S - масштабный коэффициент диаграммы S B

1

1

; ;

K l - масштаб плана положений кулачкового механизма.

3. Начиная от линии O1O2 в направлении, обратном заданному направлению вращения кулачка, откладываются фазовые углы уд , дс , в , бс . Дуги окружности радиуса a O1O2 , соответствующие углам удаления и возврата уд и в делятся на столько же равных частей на сколько разделены соответствующие участки диаграммы 1 . Таким образом нахо0 I II XII XII ' дятся положения точек O2 , O2 , O2 ,, O2 и O2 , O2XI ' , O2X ' ,, O20' центра O2 в обращенном движении коромысла относительно кулачка. 84

4. Из найденных положений центра O2 радиусом l делаются засечки на дугах окружностей из центра O1 соответственно радиусами O1 B1 , O2 B2  ' ' в точках BI , BII , , BXII и BXII , B XI ,, B0' . Последние определяют положения центров ролика коромысла в обращенном движении для выбранных значений угла 1 в фазах удаления и возврата. Соединяя полученные точки плавной кривой линией, получаем участки теоретического профиля кулачка, соответствующие фазам удаления и возврата. Участки теоретического профиля кулачка для фаз дальнего и ближнего стояния очерчиваются дугами окружностей с центром в точке O1 соответственно радиусами ' (при делении фазовых углом на восемь частей) и Rmax O1 BVIII O1 BVIII rmin r0 .

5. Определение радиуса ролика коромысла и построение рабочего или практического профиля кулачка проводится так же, как и в случае профилирования кулачка в механизме с поступательно движущимся роликовым толкателем. 10.3 Механизм с вращающимся кулачком и плоским толкателем Для построения профиля кулачка необходимо задать или предварительно определить следующие параметры: диаграмма перемещения точки B толкателя - S B S B 1 (рис. 41, а), где B - точка пересечения оси движения толкателя с его прямой t t , соприкасающейся с профилем кулачка; r0 - минимальный радиус кулачка; направление движения кулачка (в рассматриваемом случае по часовой стрелке).

85

Рисунок 41 Построение профиля кулачка для механизма с плоским толкателем Построение профиля кулачка ведется в следующем порядке. 1. Радиусом r0 проводится окружность (рис. 41,б). На этой окружности выбирается произвольная точка B0 . Выбранная точка B0 соединяется с центром O1 . От линии B0 O1 в направлении, обратном заданному направлению вращения кулачка, откладываются фазовые углы уд , дс , в , бс . 2. Дуги окружности радиуса r0 , соответствующие углам удаления и приближения уд и в делятся на столько же равных частей, на сколько разделены эти углы на диаграмме S B S B 1 , и через полученные точки 86

B y1 , B y 2 , B y12 и

Bn12 , Bn11,, Bn0 из центра O1 проводятся лучи, кото-

рые определяют положения оси толкателя в обращенном движении. На этих лучах откладываются масштабные значения перемещения точки B толкателя S Bi

B yi Bi

yi K S , Kl

где K l - масштабный коэффициент, с использованием которого проведена окружность радиуса r0 . 3. Через точки B1 , B2 , B3  проводятся касательные (перпендикуляры к соответствующим радиусам) – прямые t t . Профилем кулачка будет огибающая к этим прямым. 10.4 Механизм с поступательно движущимся кулачком и роликовым толкателем Для построения профиля кулачка необходимо задать или предварительно определить следующие параметры: закон движения кулачка V const ; диаграмма перемещения толкателя в зависимости от перемещения кулачка S 2 S1 и ее масштабы K S 2 и K S1 , радиус ролика rP . Построение профиля кулачка ведется в следующем порядке. 1. Произвольную точку на чертеже принимают за положение центра ролика A0 толкателя в начале фазы удаления (рис. 41,б) и через нее проводится прямая, параллельная скорости V1 кулачка. На этой прямой откладывается отрезок AA0'

xi K S 1 , Kl

где xi - масштабное значение хода кулачка; K l - масштаб кулачка.

2. Отрезок AA0' размечается на части, соответствующие фазам движения толкателя:

87

Х уд

х уд К S 1 Кl

;

Х дс

х дс К S 1 ; Кl

Хв

хв К S1 ; Кl

Х бс

х бс К S 1 , Кl

где отрезки х уд , хдс , хв , хбс берутся с диаграммы S 2 S1 (рис. 42, а).

Рисунок 42 Построение профиля кулачка для механизма с поступательно движущимся кулачком 3. Отрезки X уд , X в делятся на столько же равных частей, на сколько разделены соответствующие им отрезки х уд , хв на диаграмме S 2 S 2 S1 и через полученные точки проводятся перпендикуляры к линии A0 A0' , которые будут определять положения оси толкателя относительно кулачка в обращенном движении. На этих перпендикулярах от линии A0 A0' откла88

дываются масштабные значения перемещения S 2 толкателя, соответствующие выбранным значениям перемещения кулачка. Они рассчитываются по формуле yi K S 2 . Kl

S 2i

4. Концы отрезков S 2 соединяются плавной кривой, которая будет теоретическим профилем кулачка. При этом в фазе дальнего стояния он будет параллелен прямой A0 A0' , а в фазе ближнего стояния – совпадать с ней. 5. Рабочий профиль кулачка находится также, как и в рассмотренных ранее случаях. 6. Размер b кулачка выбирается исходя из конструктивных положений с учетом условий прочности. В курсовом проектировании будем принимать b

1 4

1 S 2 max , 5

где S 2 max - заданный ход толкателя.

89

11. Контрольные вопросы к листу курсового проекта «Проектирование кулачкового механизма» 1. Назовите особенности кулачковых механизмов, обусловившие их широкое применение в различных машинах и приборах. 2. Каковы недостатки кулачковых механизмов? 3. Изобразите схемы наиболее распространенных плоских и пространственных кулачковых механизмов. 4. Как подразделяются кулачковые механизмы по способу замыкания высшей пары? 5. Перечислите основные фазы движения толкателя кулачкового механизма и соответствующие им углы поворота кулачка. 6. Расскажите об основных этапах синтеза кулачковых механизмов. 7. Какие законы движения толкателя рационально применять в быстроходных кулачковых механизмах и почему? 8. Как определить положение центра вращения кулачка в механизме с поступательно двигающемся толкателем при заданном допустимом угле давления? 9. Как определить положение центра вращения кулачка в механизме с качающемся толкателем при заданном допустимом угле давления? 10.Из каких соображений выбирается величина радиуса ролика кулачкового механизма? 11.Как по теоретическому (центровому) профилю кулачка построить действительный (конструктивный) профиль? 12.При каком законе движения толкателя ускорение и угол давления принимают максимальное значение? 13.Как влияет минимальный радиус кулачка на величину угла давления? 14.При каком условии обеспечивается постоянный контакт толкателя и кулачка? 15.Перечислите основные параметры кулачковых механизмов. 16.Что называется фазовыми углами кулачкового механизма? 17.Перечислите основные законы движения ведомого звена кулачкового механизма и особенности этих законов. 18.Как определяют скорости и ускорения точек кулачкового механизма? 19.Как определяют углы давления кулачкового механизма? 20.Какие требования предъявляют к выбору кинематической схемы и геометрических размеров кулачковых механизмов? 90

21.Назовите тип кулачкового механизма по его схеме. 22.Расскажите порядок построения графиков кинематических аналогов толкателя при кинематическом исследовании кулачковых механизмов. 23.Почему при анализе и синтезе кулачкового механизма используют метод обращенного движения и в чем он заключается? 24.Почему при синтезе кулачковых механизмов удобно применять аналоги скоростей и ускорений? 12. Порядок выполнения листа курсового проекта «Проектирование кулачкового механизма» 1. Построить кинематические диаграммы движения толкателя. 2. Определить минимальный радиус базовой окружности кулачка. 3. Построить профиль кулачка. Пример выполнения листа курсового проекта приведен на рисунке 43.

91

92

Рисунок 43 – Пример выполнения листа курсового проекта

93

ЛИТЕРАТУРА 1. Артоболевский, И.И. Теория механизмов и машин/ И.И.Артоболевский.- М.: Наука, 1988 - 640 с. 2. Теория механизмов/ В.А.Гавриленко, С.Б. Минут, Д.М. Лукичев и др.- М. : Высшая школа, 1971 – 414 с. 3. Решетов Л.Н. Кулачковые механизмы / Л.Н.Решетов.- М.: Машгиз, 1953 - 427 с. 4. Ротбарт Г.А. Кулачковые механизмы / Г.А.Ротбарт.- М.: Судпромгиз, 1960 – 289 с. 5. Курсовое проектирование по теории механизмов и механике машин / С.А. Попов , Г.А. Тимофеев под редакцией академика К.В.Фролова. - М.: Высшая школа, 2004 - 458 с. 6. Баранов Г.Г. Курс теории механизмов и машин / Г.Г.Баранов. М.: Машиностроение, 1975 - 508 с. 7. Семенов М.В. Структура механизмов / М.В.Семенов. - М.: Физматгиз, 1959 - 284 с. 8. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин / под редакцией С.И.Артоболевского - М.: Высшая школа, 1960 - 248 с. 9. Зиновьев Вл.А. Теория механизмов и машин / Вл.А.Зиновьев. М. : Высшая школа, 1963 - 202 с. 10. Попов Н.Н. Расчет и проектирование кулачковых механизмов / Н.Н.Попов. - М. : Машиностроение, 1980 - 214 с. 11. Кострыкин М.И. Теория механизмов и машин / М.И.Кострыкин. - М. : Высшая школа, 1969 - 714 с. 12. Артоболевский С.И. Теория механизмов и машин / С.И.Артоболевский. - М.: Высшая школа, 1965 - 368 с. 13. Теория механизмов и механика машин / под редакцией К.В. Фролова. - М. : Высшая школа, 2005 - 496 с. 14. Теория механизмов и машин / И.М.Белоконев, С.А.Балан, К.И.Белоконев. - М., Дрофа, 2004 - 172 с. 15. Смелягин А.И. Теория механизмов и машин / А.И.Смелягин. М.: Инфа-М, 2006 - 263 с. 16. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин : методические указания. - Пенза: РИО ПГУ, 1999 - 94 с. 17. Волков В.В., Злобин Б.А. Проектирование кулачковых механизмов: учебное пособие / В.В.Волков, Б.А.Злобин. - Пенза: РИО ПГУ, 2000 - 154 с. 94