Обобщенные функции Эйри и индексы пересечения когомологий

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 2 (2003). С. 83–94 УДК 512.7

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЭЙРИ И ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОГОМОЛОГИЙ c 2003 г.

Х. КИМУРА

АННОТАЦИЯ. В работе явно вычисляются индексы пересечения когомологий и развиваются результаты Ивасаки и Мацумото. С этой целью устанавливается внешняя экспоненциальная структура группы когомологий де Рама с полиномиальным кручением, связанная с обобщенными функциями Эйри в точке расширенного многообразия Веронезе. Используя эту структуру, мы определяем естественный базис группы когомологий де Рама с кручением (аналогично базису в одномерном случае). Данный базис рассматривается как аналог плоского базиса кольца Якоби простой сингулярности A-типа.

СОДЕРЖАНИЕ

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Общий гипергеометрический интеграл . . . . . . . Когомология де Рама с кручением . . . . . . . . . . Внешняя степенная структура группы когомологий Индекс пересечения когомологий . . . . . . . . . . Идея доказательства основной теоремы . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

83 85 88 88 91 92 93

ВВЕДЕНИЕ

Для гамма-функции и бета-функции Эйлера хорошо известны следующие формулы: π , Γ(a)Γ(1 − a) = sin πa   1 1 e2πi(a+b) − 1 + B(a, b)B(1 − a, 1 − b) = −2πi 2πia . a b (e − 1)(e2πib − 1) Для гипергеометрической функции Гаусса 1

Z ∞ X (a)m (b)m m F (a, b, c; x) = x = ua−1 (1 − u)c−a−1 (1 − xu)−b du, (c)m m! m=0

0

известна похожая формула F (a, b, c; x)F (1 − a, −b, 1 − c; x) − 1 =

(c − a)bx F (a, b + 1, c; x)F (1 − a, 1 − b, 2 − c; x). c(c − 1)

(1.1)

Мы называем эти формулы квадратичными соотношениями. В рамках общей теории гипергеометрических функций бета-функция и гамма-функция представляют простейшие гипергеометрические функции. Как будет показано в разделе 2, общие гипергеометрические функции определяются на открытом подмножестве Зариски (n + 1) × (N + 2)-мерных комплексных матриц при помощи абелевой подгруппы группы GL(N +2, C), занумерованной в соответствии с разложением λ числа N +2. Для Работа выполнена при финансовой поддержке гранта на научные исследования (B-11440058) Министерства образования, науки и культуры Японии. c

2003 МАИ

83

84

Х. КИМУРА

каждого разложения λ функции определяются при помощи n-мерных интегралов и характеризуются голономными системами. Бета-функция и гамма-функция соответствуют случаю (n, N ) = (1, 1) с разложениями (1, 1, 1) и (2, 1) числа 3 соответственно. В случае (n, N ) = (1, 2) мы имеем гипергеометрическую функцию Гаусса, вырожденную гипергеометрическую функцию Куммера, функцию Бесселя, функцию Эрмита-Вебера и функцию Эйри, соответствующие разложениям (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1), (2, 2), (3, 1), (4) соответственно. Таким образом, естественно поставить вопрос, существует ли аналогичная формула для общих гипергеометрических функций. Ответ на этот вопрос известен, если n = 1, т. е. когда общие гипергеометрические функции определяются одномерными интегралами (даже в случае когда не задан явный вид квадратичных соотношений), а также если (n, N ) произвольно, но разложение имеет вид (1, . . . , 1) — гипергеометрический случай Аомото-Гельфанда (см. [1, 3]). Один из методов получения квадратичных соотношений для описанных выше случаев заклюn для чается в следующем. Мы можем определить группу когомологий де Рама с кручением H+ n гипергеометрических функций и двойственную группу когомологий H− . Мы также можем определить группу гомологий с кручением Hn+ и двойственную группу Hn− . Если взять базисы {ϕ+ i } n и H n соответственно и базисы {γ + } и {γ − } для групп гомолои {ϕ− } для групп когомологий H + − i i i гий Hn+ и Hn− соответственно, то можно задать гипергеометрические матрицы периода ! ! Z Z U −1 ϕ− , M− = M+ = U ϕ+ i i γj+

i, j

γj−

i, j

и матрицы пересечений гомологий и когомологий Ih = (hγi+ , γj− i),

− Ic = (hϕ+ i , ϕj i).

Здесь U — функция, стоящая под знаком интеграла в интегральном представлении гипергеометрической функции. Например, в гауссовском случае U = ua−1 (1 − u)c−a−1 (1 − xu)−b . Для этих матриц выполняется соотношение √ t M− (Ih )−1 M+ = (2π)n −1 t Ic . Если теперь приравнять соответствующие элементы в матрицах слева и справа, то получится квадратичное соотношение (1.1). Таким образом, если мы хотим установить квадратичные соотношения для общих гипергеометрических функций, важно получить явный вид матриц пересечения Ih и Ic для соответствующим образом выбранного базиса f в группе гомологий и когомологий. Наша конечная цель — получить в явном виде квадратичные соотношения для общих гипергеометрических функций любого типа. В данной статье мы сделаем небольшой шаг по направлению к решению этой задачи, а именно мы явно вычислим матрицу пересечения когомологий для обобщенного интеграла Эйри, являющегося общим гипергеометрическим интегралом, введенным в [4] и соответствующим разложению (N + 2) числа N + 2. Приведем общую схему статьи. Пусть X = Cn , x = (x1 , . . . , xn ),  Zn+1 = (z0 , . . . , zN +1 ) ∈ M (n + 1, N + 2, C); det(z0 , . . . , zn ) 6= 0, z0 =t (1, 0, . . . , 0) . Обобщенная функция Эйри задается интегралом вида Z ef (x, z, α) dx1 ∧ . . . ∧ dxn , ∆(z)

где f — полином по переменной x (см. (2.9)), а ∆(z) — цикл группы гомологий HnΦ (X) локально конечных цепочек с семейством носителей Φ, определенных полиномом f . Считаем, что полином f задан, если зафиксированы некоторые z ∈ Z и α ∈ CN +2 . Грубо говоря, берется n-цикл, на котором Re f стремится при |x| → ∞ к −∞ быстрее чем −|x|q при некотором положительном q. Более подробно группа гомологий HnΦ (X) описана в [11, 16, 17]. В данном контексте классическая

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЭЙРИ И ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОГОМОЛОГИЙ

85

функция Эйри Z Ai(ζ) =

exζ−x

3 /3

dx

∆

соответствует случаю (n, N ) = (1, 2),  z=

 1 0 0 0 . 0 1 0 ζ

При каждом фиксированном z рассмотрим полином f , заданный формулой (2.9), и определим комплекс де Рама с кручением (Ω• (X), df ), где Ω• (X) есть множество полиномиальных дифференциальных форм на X, а df есть внешнее дифференцирование с кручением df η = e−f · d · ef (η) = dη + df ∧ η,

η ∈ Ω• (X).

Тогда группа когомологий с кручением H n (Ω• (X), df ) определяется как группа когомологий комплекса (Ω• (X), df ). Аналогично определяется группа когомологий H n (Ω• (X), d−f ). Известно
(предложение 3.2), что dimC H n (Ω• (X), df ) = dimC H n (Ω• (X), d−f ) = N n для любого z ∈ Zn+1 . Ивасаки [7] установил двойственность между когомологиями с полиномиальными кручениями H n (Ω• (X), df ) × H n (Ω• (X), d−f ) → C (см. раздел 5). Эта двойственность определяет комплексное число hφ+ , φ− i для классов φ+ ∈ H n (Ω• (X), df ) и

φ− ∈ H n (Ω• (X), d−f ),

называемое индексом пересечения когомологий для φ+ и φ− . Далее Ивасаки и Мацумото [8] вычислили матрицу индексов пересечений для базиса группы когомологий с кручением, связанной с обобщенным интегралом Эйри. Однако они вычислили эту матрицу только в одной точке z = (In+1 , 0) ∈ Zn+1 . При этом использовался базис группы когомологий H n (Ω• (X), df ) вида sλ (x) dx1 ∧ . . . ∧ dxn , где sλ (x) — полином по переменной x, такой, что sλ (e(y)) (функция, полученная подстановкой элементарных симметрических полиномов e(y) = (e1 (y), . . . , en (y)) переменной y = (y1 , . . . , yn ) в полином sλ (x)) есть функция Шура для диаграммы Юнга λ длины `(λ) 6 n с частями λi 6 N − n (см. предложение 3.2). В данной работе мы обобщаем (теорема 5.2) результаты Ивасаки и Мацумото на случай, когда z принадлежит подмногообразию многообразия Zn+1 размерности 2(N +1). Точки этого подмногообразия мы называем точками Веронезе (лемма 4.3). Для такого обобщения мы используем другой базис {φλ } группы когомологий H n (Ω• (X), df ), определяемый в предложении 4.10. Этот базис зависит от z и сводится к sλ (x)dx1 ∧ · · · ∧ dxn , если z = (In+1 , 0). 2.

ОБЩИЙ

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть имеются положительные целые числа n и N , такие, что N > n. Пусть (n1 , . . . , nl ) — разложение числа N + 2, т. е. невозрастающая последовательность положительных целых чисел, такая, что N +2=

l X

nk .

k=1

С данным разложением свяжем комплексную абелеву подгруппу Ли H общей линейной группы G = GL(N + 2, C): H = J(n1 ) × . . . × J(nl ), где J(nk ) — жорданова группа размера nk :   X i J(m) = h = hi Λ ; h0 6= 0, hi ∈ C ⊂ GL(m, C), 06i<m

(2.1)

(2.2)

86

Х. КИМУРА

Λ — матрица сдвига размера m  0 1  ...  Λ= 

 ..

.

  . .. . 1 0 Поскольку dimC J(nk ) = nk , мы видим, что H есть комплексная группа Ли размерности N + 2. ˜ есть универсальная группа, накрывающая H, и пусть χ : H ˜ → C× есть характеристиПусть H ˜ т. е. комплексный аналитический гомоморфизм из H ˜ на комплексный тор C× . Явный вид χ ка H, описывается следующим образом. Определим функции θm (x) переменной x = (x0 , x1 , x2 , . . .) при помощи порождающей функции ∞ X

θm (x)T i = log(x0 + x1 T + x2 T 2 + . . .) =

m=0

  x1 x2 = log x0 + log 1 + T + T 2 + . . . = x0 x0 ∞  m m+1 X (−1) x1 x2 = log x0 + T + T2 + ... . m x0 x0 m=1

Отсюда получаем θ0 (x) = log x0 и при m > 1 θm (x) =

λ1 +...+λm −1 (λ1

X

(−1)

λ1 +2λ2 +···+mλm =m λ1 , ..., λm >0

+ . . . + λm − 1)! λ1 ! . . . λ n !



x1 x0

λ1

 ...

xm x0

λm .

Заметим, что θm (x) (m > 1) будет однородным полиномом по переменным x1 /x0 , . . . , xm /x0 , если переменной xk /x0 приписать вес k (= k−0); при этом вес полинома равен m. Так, первые несколько функций θm (x) имеют вид x1 θ1 (x) = , x0   x2 1 x1 2 θ2 (x) = − , x0 2 x0      x1 x2 1 x1 3 x3 θ3 (x) = − − , x0 x0 x0 3 x0        2     x4 1 x2 2 x1 x3 x1 x2 1 x1 4 θ4 (x) = − − + − . x0 2 x0 x0 x0 x0 x0 4 x0 Используя функции θm (x), мы можем записать характеристику χ следующим образом: ! nX l k −1 Y (k) (k) ˜ h(k) ∈ J(n ˜ k ), χ(h; α) = exp αi θi (h ) , h = (h(1) , . . . , h(l) ) ∈ H, k=1

(2.3)

i=0

где (k) (k)
α(k) = α0 , . . . , αnk −1 ∈ Cnk


α = α(1) , . . . , α(l) ∈ CN +2 ,

есть соответствующие комплексные константы. Здесь, в выражении для θi (h(k) ), мы отождествили (k) (k) матрицу h(k) ∈ J(nk ) с вектором (h0 , . . . , hnk −1 ). Обозначим через Zn+1 множество комплексных матриц (k)

(k)

z = (z (1) , . . . , z (l) ), z (k) = (z0 , . . . , znk −1 ) ∈ M (n + 1, nk , C) размерности (n + 1) × (N + 2), удовлетворяющих следующему условию: (1) для любой последовательности неотрицательных целых чисел (m1 , . . . , ml ), таких, что 0 6 mk 6 nk

(k = 1, . . . , l),

l X k=1

mk = n + 1,

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЭЙРИ И ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОГОМОЛОГИЙ

87

имеем (1)

(1)

(l)

(l)

det(z0 , . . . , zm1 −1 , . . . , z0 , . . . , zml −1 ) 6= 0. (2) z (1) удовлетворяет соотношению Пусть

(1) z0

(2.4)

= t (1, 0, . . . , 0).

˜ → ι: H

l  Y

˜ × Cnk −1 C



k=1

есть биголоморфное отображение, заданное формулой (1)

(1)

(l)

(l)

˜ ι(h) = (h0 , . . . , hn1 −1 , . . . , h0 , . . . , hnl −1 ) для h = (h(1) , . . . , h(l) ) ∈ H. Определение 2.1. Предположим, что характеристика χ( · ; α) удовлетворяет следующим условиям: l X (k) α0 = −n − 1 (2.5) k=0

и (k) αnk −1

( ∈ /Z 6= 0

if if

nk = 1, nk > 2.

(2.6)

Общий гипергеометрический интеграл — это интеграл вида Z F (z; α) = χ(ι−1 (tz); α) dt,

(2.7)

∆(z)

где t = (t0 , . . . , tn ) — однородные координаты в Pn , dt =

n X

ci ∧ . . . ∧ dtn , (−1)i ti dt0 ∧ . . . ∧ dt

i=0 (1)

(1)

(l)

(l)

tz = (tz0 , . . . , tzn1 −1 , . . . , tz0 , . . . , tznl −1 ) обозначает вектор линейных по t форм: (k)

tzj

(k)

(k)

= t0 z0, j + . . . + tn zn, j ,

определяемых матрицей z ∈ Z. Замечание 2.2. Условие (2.5) гарантирует, что χ(ι−1 (tz); α) dt является многозначной анаl [ (k) n литической n-формой на P \ {tz0 = 0}. Данная форма интегрируется по циклу группы k=1

гомологий с кручением. Если мы рассмотрим аффинную диаграмму {t ∈ Pn ; t0 6= 0} с аффинными координатами x = (x1 , . . . , xn ), где xi = ti /t0 , и положим ~x = (1, x1 , . . . , xn ), то интеграл (2.7) примет вид Z χ(ι−1 (~xz); α) dx, (2.8) F (z; α) = ∆(z)

где dx = dx1 ∧ . . . ∧ dxn . В частности, если l = 1 (т. е. для N + 2 берется разложение (N + 2)), то Z ef (x, z, a) dx, F (z, a) = ∆(z)

где f (x, z, α) =

N X k=0

αN −k+1 θN −k+1 (~xz).

(2.9)

88

Х. КИМУРА

Заметим, что f есть полином степени N +1 (в силу условий на Zn+1 ). Далее мы будем использовать параметры a = (a1 , . . . , aN ), вместо α, которые связаны с α соотношениями αN −k+1 = (−1)k ek (a),

k = 0, 1, . . . , N,

(2.10)

где ek (a) — k-я элементарная симметрическая функция от a = (a1 , . . . , aN ) и по определению e0 (a) = 1. 3.

КОГОМОЛОГИЯ

ДЕ

РАМА

С КРУЧЕНИЕМ

Зафиксируем z ∈ Zn+1 и рассмотрим полином f переменной x, определенный в (2.9), где α p определено в (2.10). Пусть X = Cn , x = (x1 , . . . , xn ). Пусть L Ω p(X) есть множество p-форм на X • с полиномиальными коэффициентами. Положим Ω (X) = p Ω (X). Определим внешнее дифференцирование с кручением df : Ω• (X) → Ω• (X) формулой df η = dη + df ∧ η. Так как d2f = 0, пара (Ω• (X), df ) есть комплекс. Определение 3.1. Группа когомологий комплекса (Ω• (X), df ): H p (Ω• (X), df ) := Ker{df : Ωp (X) → Ωp+1 (X)}/df Ωp−1 (X) называется группой когомологий де Рама с кручением. Опишем структуру H p (Ω• (X), df ). Пусть Y(n, N − n) обозначает множество диаграмм Юнга λ, содержащихся в прямоугольнике длины n и высоты N − n, а именно — диаграммы, чьи длины меньше n и чьи части λi удовлетворяют соотношениям λi 6 N − n. Тогда имеет место следующий результат. Предложение 3.2 (см. [8, 10]). Для любого z ∈ Z выполняются следующие утверждения. (1) H p (Ω• (X), df ) = 0, если p 6= 0.
(2) H n (Ω• (X), df ) есть векторное пространство размерности ]Y(n, N − n) = N n . (3) Для заданной диаграммы Юнга λ ∈ Y(n, N −n) пусть sλ (x) — такой полином, что sλ (e(y)) есть полином Шура по y, где e(y) = (e1 (y), . . . , en (y)) и ei (y) есть i-й элементарный симметрический полином по y = (y1 , . . . , yn ). Тогда n-формы sλ (x) dx1 ∧ . . . ∧ dxn , λ ∈ Y(n, N − n) (3.1) образуют базис в H n (Ω• (X), df ). Замечание 3.3. В случае n = 1 можно взять 1-формы dx, xdx, . . . , xN −1 dx в качестве базиса в H 1 (Ω• (X), df ). Для n > 2 базис в H n (Ω• (X), df ), описанный в предложении 3.2, может быть получен в точках Веронезе в Zn+1 из внешней степенной структуры H n (Ω• (X), df ), см. раздел 4.2. 4.

ВНЕШНЯЯ

СТЕПЕННАЯ СТРУКТУРА ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ

4.1. Расширенное отображение Веронезе. Известно, что проективное пространство P1 вкладывается в Pn посредством отображения P1 3 x0 : x1 7→ xn0 : xn−1 x1 : · · · : x0 xn−1 : xn1 ∈ Pn . 0 1

(4.1)

Также хорошо известно, что построение этого отображения осуществляется из следующих алгебраических соображений. Пусть V есть комплексное векторное пространство размерности dim V = 2, и пусть S n V есть n-е симметрическое тензорное произведение пространства V. Рассмотрим отображение n z }| { n V → S V : v 7→ v ⊗ · · · ⊗ v .

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЭЙРИ И ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОГОМОЛОГИЙ

89

Если мы выразим это отображение в терминах базиса e0 , e1 пространства V и базиса X ei = ei1 ⊗ · · · ⊗ ein , i = 0, . . . , n, i1 +...+in =i

пространства

SnV

, то получим отображение (4.1). Назовем отображение C2 3 x0 : x1 7→ xn0 : xn−1 x1 : · · · : x0 xn−1 : xn1 ∈ Cn+1 0 1

отображением Веронезе. Это отображение играет очень важную роль при изучении общих гипергеометрических функций типа (1, . . . , 1), см. [9, 15]. Далее мы расширим отображение Веронезе так, чтобы оно было применимо к теории обобщенных функций Эйри. Пусть C[T ] — полиномиальное кольцо над T . Пусть R = C[T ]/(T N +2 ), где (T N +2 ) — идеал, порожденный T N +2 . Заметим, что группа элементов из R изоморфна жордановой группе J(N + 2), которая используется при определении обобщенных функций Эйри. Вместо того чтобы рассматривать векторное пространство V в описании исходного отображения Веронезе, мы рассмотрим свободный R-модуль V˜ := V ⊗C R, который также является левым GL(V ) модулем. Так как R — модуль, V˜ имеет базис e0 , e1 . Так как C — векторное пространство, оно имеет базис ei ⊗ T j

(0 6 i 6 1, 0 6 j 6 N + 1).

Используя этот базис, мы можем записать каждый элемент v ∈ V˜ следующим образом: X X v= vi (T )ei = vij ei ⊗ T j . i

i, j

Следовательно, V˜ можно отождествить с M (2, N + 2, C) при помощи соответствия V˜ 3 v 7→ (vij ) ∈ M (2, N + 2, C). Определение 4.1. Предположим, что S n V˜ есть n-е симметрическое тензорное произведение как R-модуль. Оно является свободным R-модулем с базисом ei (0X 6 i 6 n). Зададим отобX n ˜ ˜ ражение Vero : V → S V по формуле v 7→ v ⊗ · · · ⊗ v. Если v = vi (T )ei = vij ei ⊗ T j , i

то Vero(v) =

X

i, j

v0 (T )i v1 (T )n−i ei .

i, j

Если мы теперь запишем i

n−i

v0 (T ) v1 (T )

≡

N +1 X

wij T j

(mod (T N +2 )),

j=0

то соответствие (vij ) 7→ (wij ) даст отображение Vero : M (2, N + 2, C) 7→ M (n + 1, N + 2, C). Назовем это отображение (расширенным) отображением Веронезе. Пример 4.2. В случае n = 2, N = 2 расширенное отображение Веронезе Vero : M (2, 4, C) 7→ M (3, 4, C) имеет вид Vero((vij )) =   2 2 v00 2v00 v01 2v00 v02 + v01 2v00 v03 + 2v01 v02 = v00 v10 v00 v11 + v01 v10 v00 v12 + v02 v10 + v01 v11 v00 v13 + v01 v12 + v02 v11 + v03 v10  . 2 2 v10 2v10 v11 2v10 v12 + v11 2v10 v13 + 2v11 v12 Лемма 4.3. Отображение Vero : M (2, N + 2, C) 7→ M (n + 1, N + 2, C) индуцирует голоморфное отображение Vero : Z2 → Zn+1 . Точка из образа отображения Vero называется точкой Веронезе.

90

Х. КИМУРА

4.2. Внешняя степенная структура. Пусть Y = C, X есть симметрическое произведение n копий пространства Y , т. е. X = Y n /Sn ' Cn , где Sn — симметрическая группа порядка n. Пусть π : Y n → X есть проекция. Тогда π ∗ : Ω• (X) → Ω• (Y n ). Заметим, что отображение π реализуется как отображение (y1 , . . . , yn ) 7→ (x1 , . . . , xn ) = (e1 (y), . . . , en (y)). Определим внешнее дифференцирование для Ω• (Y n ) так, чтобы оно стало комплексом, а π ∗ стало цепным отображением. Зафиксируем z ∈ Z2 . Пусть g(y) есть полином вида g(y) =

N X

(−1)k ek (a)θN −k+1 (~y z),

(4.2)

k=0

где ~y = (1, y). Пусть dg : Ω• (Y ) → Ω• (Y ) есть внешнее дифференцирование, определяемое формулой dg = d + dg ∧ . n Обозначим через πi : Y → Y проекцию на i-й сомножитель. Пусть n dg = π1∗ dg ⊗ · · · ⊗ πn∗ dg : Ω• (Y n ) → Ω• (Y n ) есть внешнее произведение, т. е. внешнее дифференцирование, удовлетворяющее при ϕi ∈ Ωpi (Y ) соотношению n X (n dg )(π1∗ ϕ1 ∧ . . . ∧ πn∗ ϕn ) = (−1)p1 +...+pi−1 π1∗ ϕ1 ∧ . . . ∧ (πi∗ dg ϕi ) ∧ . . . ∧ πn∗ ϕn . i=1

Лемма 4.4. Для z˜ = Vero(z) пусть g есть полином, определенный в (4.2), а f — полином по x вида N X f (x) = (−1)k ek (a)θN −k+1 (~xz˜). (4.3) k=0

Тогда π ∗ f =

n X

g(yi ).

i=1

Используя эту лемму, мы можем доказать следующее утверждение. Лемма 4.5. Отображение π ∗ : (Ω• (X), df ) → (Ω• (Y n ), n dg ) является цепным, и, следовательно, оно индуцирует гомоморфизм π ∗ : H • (Ω• (X), df ) → H • (Ω• (Y n ), n dg ).

(4.4)

Определим действие Sn на Y n формулой σ(y1 , . . . , yn ) = (yσ−1 (1) , . . . , yσ−1 (n) ), Поскольку π ∗ df =

n P i=1

σ ∈ Sn .

πi∗ dg инвариантно относительно σ ∗ , оно индуцирует цепной изомор-

физм σ ∗ : (Ω• (Y n ), n dg ) → (Ω• (Y n ), n dg ). Таким образом, Sn действует на группу когомологий H • (Ω• (Y n ), n dg ). Обозначим через H • (Ω• (Y n ), n dg )Sn подпространство инвариантных элементов относительно действия Sn . Ясно, что образ отображения (4.4) содержится в H • (Ω• (Y n ), n dg )Sn . Предложение 4.6. Отображение π ∗ : H • (Ω• (X), df ) → H • (Ω• (Y n ), n dg )Sn есть изоморфизм. Определим отображение κ:

n O

H 1 (Ω• (Y ), dg ) → H • (Ω• (Y n ), n dg )

формулой ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕn 7→ π1∗ ϕ1 ∧ . . . ∧ πn∗ ϕn .

(4.5)

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЭЙРИ И ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОГОМОЛОГИЙ

91

В силу формулы Кюннета (см. [7]) оно есть изоморфизм. Можно доказать следующее утверждение. Предложение 4.7. Отображение (4.5) индуцирует изоморфизм κ:

n ^

H 1 (Ω• (Y ), dg ) → H n (Ω• (Y n ), n dg )Sn .

Из предложений 4.6 и 4.7 вытекает следующий изоморфизм. H n (Ω• (X), df )

π∗

−→

H n (Ω• (Y n ), n dg )Sn

κ

←−

n ^

H 1 (Ω• (Y ), dg ).

Таким образом, имеет место следующий результат. Теорема 4.8. Пусть z ∈ Z2 и z˜ ∈ Zn+1 таково, что z˜ = Vero(z). Пусть f (x) и g(y) — полиномы по x = (x1 , . . . , xn ) и y, определенные в (4.3) и (4.2) соответственно. Тогда имеется изоморфизм n ^ (π ∗ )−1 ◦ κ : H 1 (Ω• (Y ), dg ) → H n (Ω• (X), df ). (4.6) 4.3. Явный базис группы когомологий. Пусть z ∈ Z2 и g(y) — полином вида (4.2). Предложение 4.9 (см. [13]). Группа когомологий H 1 (Ω• (Y ), dg ) (как C-векторное пространство) имеет базис φi = dθi (~y z) (1 6 i 6 N ). Далее рассмотрим выбор базиса в n-мерном случае. Предложение 4.10. Пусть z ∈ Zn+1 — точка Веронезе. Если для произвольного вектора λ = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Y(n, N − n) обозначить φλ = dθλ1 +n (~xz) ∧ dθλ2 +n−1 (~xz) ∧ . . . ∧ dθλn +1 (~xz), то {φλ ; λ ∈ Y(n, N − n)} будет задавать базис в H n (Ω• (X), df ) и в H n (Ω• (X), d−f ). 5.

ИНДЕКС

ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОГОМОЛОГИЙ

5.1. Определение индекса пересечения. Вначале напомним определение индекса пересечения для когомологий де Рама, предложенное Ивасаки [7, 8]. Оно основано на двойственности между H n (Ω• (X), df ) и H n (Ω• (X), d−f ). Мы установили, что имеется изоморфизм H n (Ω• (X), d±f )

∼

→

H n (Ω• (Y n ), d±f )Sn .

Пусть S • (Y n ) и T • (Y n ) — соответственно множество дифференциальных форм класса Шварца на Y n и множество медленных потоков на Y n . Тогда естественное Sn -эквивариантное цепное отображение (Ω• (Y n ), d±f ) ,→ (T • (Y n ), d±f ) ←- (S • (Y n ), d±f ) индуцирует Sn -эквивариантные изоморфизмы H n (Ω• (Y n ), d±f )

∼

→

∼

H n (T • (Y n ), d±f ) ← S • (Y n )

H n (S • (Y n ), d±f ).

(5.1)

• (Y n )

С другой стороны, из двойственности между иT вытекает Sn -эквивариантная двойственность H n (S • (Y n ), df ) × H n (T • (Y n ), d−f ) → C. Отсюда и из наличия изоморфизма (5.1) следует Sn -эквивариантная двойственность H n (Ω• (Y n ), df ) × H n (Ω• (Y n ), d−f ) → C.

(5.2)

Она индуцирует двойственность H n (Ω• (X), df ) × H n (Ω• (X), d−f ) → C.

(5.3)

Это отображение называется парой пересечения, а образ hφ+ , φ− i элемента (φ+ , φ− ), принадлежащего H n (Ω• (X), df ) × H n (Ω• (X), d−f ), называется индексом пересечения.

92

Х. КИМУРА

Теорема 5.1 (см. [7]). Для φ+ ∈ H n (Ω• (Y n ), d±f ) индекс пересечения определяется следующим образом: Z 1 + − hφ , φ i = ϕ+ ∧ φ− , (5.4) (2πi)n Yn

где

ϕ+

∈

H n (S • (Y n ),

df ) — класс, соответствующий φ+ при изоморфизме (5.1).

5.2. Основная теорема. Теорема 5.2. Пусть z ∈ Zn+1 — точка Веронезе. Индексы пересечения когомологий для базиса {φλ : λ ∈ Y(n, N − n)} равны − n(n−1)/2 hφ+ sλ/ˇµ (a). λ , φµ i = n! (−1)

(5.5)

Здесь µ ˇ = (N − n − µn , N − n − µn−1 , . . . , N − n − µ1 ) обозначает дополнительную диаграмму Юнга для µ в Y(n, N − n), а sλ/ˇµ (a) — косо-шуровский полином по a для диаграмм λ и µ ˇ. 6.

ИДЕЯ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

6.1. Случай n = 1. При n = 1 вычисление индексов пересечения сводится к случаю, когда z ∈ Z2 имеет более простой вид (6.1). Рассмотрим для этого действие GL(2, C) × H на Z2 . Для (g, h) ∈ GL(2, C) × H положим ρg, h : Z2 → Z2 ,

ρg, h (z 0 ) = gz 0 h.

Далее, можно доказать, что это отображение индуцирует изоморфизм когомологий ρ˜g,h : H n (Ω• (X), df (x, gz 0 h) ) → H n (Ω• (X), df (x, z 0 ) ) и что индексы пересечения — одни и те же для соответствующих классов. Зафиксируем некоторое z 0 ∈ Z2 . Тогда нетрудно показать, что существуют g ∈ GL(2, C) и h ∈ H, такие, что   1 0 0 ··· 0 0 z = gz h = . (6.1) 0 1 ζ2 · · · ζN +1 Таким образом, мы можем с самого начала считать, что z ∈ Z2 имеет вид (6.1). При помощи этого специального вида z доказывается следующее утверждение. Лемма 6.1 (см. [13]). Пусть z ∈ Z2 имеет вид (6.1). Тогда можно выбрать коэффициенты w1 , w2 , . . . , wN так, что w = −y(1 + w1 y −1 + w2 y −2 + . . . + wN y −N ) обладает свойством

1 m (w )+ (1 6 m 6 N + 1), (6.2) m где (wm )+ — сумма слагаемых, соответствующих положительным степеням в полиноме Лорана wm (по y). θm (~y z) = −

Заметим, что w может использоваться вместо y как координата Y вблизи y = ∞. Лемма 6.1 означает, что базис в H 1 (Ω• (Y ), dg ) вида (4.9) удовлетворяет соотношению dθm (~y z) ≈ −wm−1 dw вблизи y = ∞ (w = ∞). Описанная конструкция является аналогом плоского базиса для кольца Якоби сингулярности A-типа. Следуя идее работы [8], мы можем вычислить индексы пересечения для φ+ ∈ H 1 (Ω• (X), df ) и φ− ∈ H 1 (Ω• (X), d−f ), выполнив следующие шаги. • Ищем решение уравнения df ψ + = φ+ (6.3) ∞ P + −k vk w . в виде формального ряда по степеням w: ψ + = k=1

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЭЙРИ И ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОГОМОЛОГИЙ

93

• Пусть ξ + — гладкая функция на X, такая, что ее ряд Тейлора в окрестности w = ∞ совпадает с ψ + . Положим ϕ+ = φ+ − df ξ + . Тогда ϕ+ определяет класс в H 1 (S • (X), df ), который соответствует φ+ посредством изоморфизма (5.1). • Вычисляем индексы пересечения hφ+ , φ− i = hϕ+ , φ− i, используя теорию вычетов. Положим N N X X u+ k d(wN −k+1 )+ . (6.4) φ± = u+ dθ (~ y z) = − N −k+1 k N −k+1 k=1

k=1

Ищем решение уравнения (6.3) в виде формального степенного ряда ψ + =

∞ P k=1

vk+ =

k−1 X

hj (a)u+ k−j

(k = 1, . . . , N ),

vk+ w−k . Имеем (6.5)

j=0

где hj (a) — полная симметрическая функция от a степени j. Это первый шаг. Если мы возьмем ξ + и определим упомянутую выше ϕ+ , то на третьем шаге получим hφ+ , φ− i = Res (ψ + φ− ) = w=∞

N N X X

− hN +1−j−k (a)u+ j uk .

j=1 k=1

В частности, для φ+ = φ+ y z) и φ− = φ− y z) имеем µ = dθq (~ λ = dθp (~ − hφ+ µ. λ , φµ i = hp+q+1−N (a) = sλ/ˇ

6.2. Случай n > 2. В случае произвольного n мы можем доказать основную теорему при помощи сформулированной ниже леммы и тождества Якоби—Труди для косо-шуровских полиномов (см. [8]). ± ± согласно изоморфизму (4.6) из теореЛемма 6.2. Пусть ϕ± 1  · · · ϕn соответствует φ мы 4.8. Тогда имеем − hφ+ , φ− i = n! det(hϕ+ j , ϕk i). n V ± ± ± H 1 (Ω• (Y ), d±g ). Здесь ϕ± 1  · · · ϕn обозначает внешнее произведение элементов ϕ1 , . . . ϕn из

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Aomoto K. Les e´ quation aux diff´erences lin´eaires et les int´egrales des fonctions multiformes// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec. IA. — 1975. — 22. — С. 271–297 2. Cho K., Matsumoto K. Intersection theory for twisted cohomologies and twisted Riemann’s period relations I// Nagoya Math. J. — 1995. — 139. — С. 67–86 3. Gelfand I. M. General theory of hypergeometric functions// Soviet Math. Dokl. — 1986. — 33. — С. 9–13 4. Gelfand I. M., Retahk V. S., Serganova V. V. Generalized Airy functions, Schubert cells, and Jordan groups// Soviet Math. Dokl. — 1988. — 37. C. 8–12 5. Ishiura S., Noumi M. Calculus of the Gauss-Manin system of type Al , I// Proc. Jpn. Acad., Ser. A. — 1982. — 58. — C. 13–16 6. Ishiura S., Noumi M. Calculus of the Gauss-Manin system of type Al , II// Proc. Jpn. Acad., Ser. A. — 1982. — 58. — С. 62–65 7. Iwasaki K. Isolated singularity, Witten’s Laplacian and duality for twisted de Rham cohomology// Preprint 8. Iwasaki K., Matsumoto K. Intersection matrix of a generalized Airy function in terms of skew-Schur polynomials// Proc. Jpn. Acad., Ser. A. — 2000. — 76. — С. 135–140 9. Iwasaki K., Kita M. Exterior power structure on the twisted de Rham cohomology of the complements of real Veronese arrangements// J. Math. Pures Appl., IX. S´er. — 1995. — 75. — С. 69–84 10. Kimura H. On rational de Rham cohomology associated with the generalized Airy functions// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci., IV. Ser. — 1997. — 24. — С. 351–366 11. Kimura H. On the homology group associated with the general Airy integral// Kumamoto J. Math. — 1997. — 10. — С. 11–29 12. Kimura H., Haraoka Y., Takano K. The generalized confluent hypergeometric functions// Proc. Jpn. Acad., Ser. A. — 1992. — 68. — С. 290–295

94

Х. КИМУРА

13. Kimura H., Taneda M. Analogue of flat basis and cohomological intersection number for general hypergeometric functions// J. Math. Sci., Tokyo. — 1999. — 6. — С. 415–436 14. Majima H., Matsumoto K., Takayama N. Quadratic relations for confluent hypergeometric functions// Tohoku Math. J., II. Ser. — 2000. — 52. — С. 489–513 15. Matsumoto K. Quadratic identities for hypergeometric series of type (k, l)// Kyushu J. Math. — 1994. — 2. — С. 335–345 16. Pham F. Vanishing homologies and the n-variable saddle point method// Proc. Symp. Pure Math. — 1983. — 40. — C. 319–334 17. Pham F. La descente des cols par les onglets de Lefschetz, avec vues sur Gauss-Manin// Ast´erisque. — 1985. — 130. — С. 11–47

Hironobu Kimura Department of Mathematics, Faculty of Sciences, Kumamoto University, Kumamoto 860-8555, Japan E-mail: [email protected]